Các dạng toán về vectơ và các phép toán vectơ – Nguyễn Hoàng Việt

Tài liệu gồm 34 trang phân dạng và hướng dẫn giải các dạng toán về vectơ và các phép toán vectơ thường gặp trong chương trình Hình học 10 chương 1, tài liệu được biên soạn bởi thầy Nguyễn Hoàng Việt.

Chủ đề:

Chương 4: Vectơ (KNTT) 49 tài liệu

Môn:

Toán 10 2.8 K tài liệu

Thông tin:
34 trang 1 năm trước
Tác giả:
Student
Mai Nguyệt
docx.com.vn

Bình luận

Vui lòng đăng nhập hoặc đăng ký để gửi bình luận.

Các dạng toán về vectơ và các phép toán vectơ – Nguyễn Hoàng Việt

Tài liệu gồm 34 trang phân dạng và hướng dẫn giải các dạng toán về vectơ và các phép toán vectơ thường gặp trong chương trình Hình học 10 chương 1, tài liệu được biên soạn bởi thầy Nguyễn Hoàng Việt.

267 134 lượt tải Tải xuống

Chủ đề: Chương 4: Vectơ (KNTT) 49 tài liệu

Môn: Toán 10 2.8 K tài liệu

Thông tin:

34 trang 1 năm trước

Tác giả:

Profile Mai Nguyệt
Chuyên đề: Véctơ Năm học 2018 – 2019
THẦY VIỆT
0905.193.688
Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường
Trang 1/34
luyenthitracnghi
MỤC LỤC
A. HAI VÉCTƠ BẰNG NHAU .............................................................................................................................................. 2
I. Chứng minh các véctơ bằng nhau ............................................................................................................................ 2
II. Tính độ dài véctơ ...................................................................................................................................................... 3
BÀI TẬP ........................................................................................................................................................................ 3
B. TỔNG VÀ HIỆU HAI VÉCTƠ ........................................................................................................................................... 4
Dạng 1: Tìm tổng của hai vectơ và tổng của nhiều véctơ ............................................................................................ 4
Dạng 2 : Tìm vectơ đối và hiệu của hai véctơ .............................................................................................................. 4
Dạng 3 : Chứng minh Đẳng thức véctơ ....................................................................................................................... 4
Dạng 4 : Tính độ dài véctơ ............................................................................................................................................ 5
Bài tập ............................................................................................................................................................................ 6
C.TÍCH CỦA VÉCTƠ VỚI MỘT SỐ ...................................................................................................................................... 7
Dạng1 : Chứng minh đẳng thức véctơ: ........................................................................................................................ 7
Bài tập .......................................................................................................................................................................... 10
Dạng 2: Tìm một điểm thoả mãn một đẳng thức véctơ cho trước: ........................................................................... 11
Bài tập .......................................................................................................................................................................... 13
Dạng 3: Phân tích một véctơ theo hai véctơ không cùng phương. ........................................................................... 14
Bài tập .......................................................................................................................................................................... 18
Dạng 4: Chứng minh ba điểm thẳng hàng ................................................................................................................ 18
Bài tập .......................................................................................................................................................................... 22
Dạng 5: Chứng minh hai điểm trùng nhau: .............................................................................................................. 23
Bài tập .......................................................................................................................................................................... 24
Dạng 6: Quỹ tích điểm ................................................................................................................................................ 24
Bài tập .......................................................................................................................................................................... 26
MỘT SỐ VÍ DỤ VÀ BÀI TẬP VẬN DỤNG. ........................................................................................................................ 26
Bài tập .......................................................................................................................................................................... 29
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM .................................................................................................................................................. 30
1.1 Xác đinh véctơ ....................................................................................................................................................... 30
1.2 Tổng – Hiệu hai véc tơ .......................................................................................................................................... 30
1.3 Tích véctơ với một số ............................................................................................................................................. 31
Chuyên đề: Véctơ Năm học 2018 – 2019
THẦY VIỆT
0905.193.688
Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường
Trang 2/34
luyenthitracnghi
A. HAI VÉCTƠ BẰNG NHAU
I. Chứng minh các véctơ bằng nhau
Ví dụ 1: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O. Gọi H là trực tâm của tam
giác ABC. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của BC và AH. Chứng minh:
OM AN
Giải:
OA kéo dài cắt đường tròn ngọai tiếp tam giác ABC tại D.
Ta có
DC AC,DB AB
( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
BH / /DC,CH / /DB BHCD
là hình bình hành
H,M,D
thẳng hàng và MH=MD.
Trong tam giác DAH có OM//AH và
1
OM AH
2
Suy ra
OM AN
.
Ví dụ 2:Cho hình vuông ABCD. Gọi M,N,P,Q lần lượt là các điểm trên các cạnh AB,BC,CD và
DA sao cho
AM BN CP DQ 1
AB BC CD DA 3
. Chứng minh rằng:
MN QP,MQ NP
.
Giải:
Từ giả thiết ta suy ra AM=BN=CP=DQ
MNPQ là hình bình
hành
MN QP
và
MQ NP
Ví dụ 3:Cho tứ giác ABCD. Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm các cạnh AB,BC,CD và DA.
Chứng minh rằng:
NP MQ , PQ NM
.
Giải:
Từ giả thiết ta suy ra MN=PQ và MN//PQ vì chúng đều
bằng
1
AC
2
và đều song song với AC. Vậy tứ giác
MNPQ là hình bình hành nên ta có
NP MQ , PQ NM
Ví dụ 4:Cho hình bình hành ABCD. Dựng
AM BA ;MN DA ;NP DC
. Chứng minh
MP DB ; MD PB
Giải:
N
M
H
D
O
A
B
C
N
P
Q
M
C
B
A
D
Q
P
N
M
B
C
D
A
Chuû ñeà 1
PHEÙP TOAÙN VEÙCTÔ

Chuyên đề: Véctơ Năm học 2018 – 2019
THẦY VIỆT
0905.193.688
Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường
Trang 3/34
luyenthitracnghi
Ta có B,A,M thẳng hàng và AB=AM.
Do
MN DA MN / /DA
và MN=DA.
Do
NP DC AB
NP//AP và NP=AB
Hai tam giác ABC và NPM bằng nhau và có các cạnh
tương ứng song song . Từ đó suy ra MP=DB và
MP//DB. Vậy tứ giác MPDB là hình bình hành.
MP DB ; MD PB
(đpcm)
II. Tính độ dài véctơ
Ví dụ 5: Cho hình vuông ABCD tâm O cạnh a. Gọi M là trung điểm của AB, N là điểm đối
xứng với C qua D. Hãy tính độ dài của các véctơ sau:
MD , MN
.
Giải:
Trong tam giác vuông MAD ta có
2
2 2 2
a a 5
MD MD AB AM a
22



.
Dựng hình vuông ADNP , khi đó
3a
PM
2
.
Trong tam giác vuông MNP ta có
2
2 2 2
3a a 13
MN MN NP PM a
22



Ví dụ 6: Cho tam giác đều ABC cạnh a và G là trọng tâm. Gọi I là trung điểm của AG. Tính độ
dài của các véctơ
AG , BI
.
Giải:
Ta có
2
2 2 2
2 2 2 a a 3
AG AG AM AB BM a
3 3 3 4 3
22
22
a a a 21
BI BI BM MI
4 3 6
BÀI TẬP
Bài 1: Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi I là trung điểm của BC . Dựng điểm B’ sao cho
B'B AG
a) Chứng minh:
BI IC
b) Gọi J là trung điểm của BB’. Chứng minh :
BJ IG
Bài 2:Cho hình bình hành ABCD. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của DC, AB . Gọi P là giao điểm
của của AM và DB ; Q là giao điểm của CN và DB. Chứng minh
DP PQ QB
Bài 3:Cho hình thang ABCD có hai đáy là AB và CD với AB =2CD. Từ C vẽ
CI DA
. Chứng
minh: a)
DI CB
. b)
AI IB DC
.
P
N
M
A
B
C
D
P
N
M
C
D
A
B
I
G
A
M
B
C
Chuyên đề: Véctơ Năm học 2018 – 2019
THẦY VIỆT
0905.193.688
Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường
Trang 4/34
luyenthitracnghi
B. TỔNG VÀ HIỆU HAI VÉCTƠ
Dạng 1: Tìm tổng của hai vectơ và tổng của nhiều véctơ
Phương pháp: Dùng định nghĩa tổng của hai véctơ, quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành và các
tính chất của tổng các véctơ
Ví dụ 1:Cho lục giác đều ABCDEF tâm O . Chứng minh
OA OB OC OD OE OF 0
Ví dụ 2: Cho năm điểm A,B,C,D,E. Hãy tính tổng
AB BC CD DE
Ví dụ 3: Cho hình bình hành ABCD. Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD.
a) Tìm tổng của hai véctơ
NC
và
MC , AM
và
CD , AD
và
NC
.
b) Chứng minh
AM AN AB AD
Dạng 2 : Tìm vectơ đối và hiệu của hai véctơ
Phương pháp: 1) Tính tổng
ab
,ta làm hai bước sau:
- Tìm véctơ đối của
b
là
b
- Tính tổng
ab
2) Vận dụng quy tắc
OA OB BA
với ba điểm O,A,B bất kì.
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC.Các điểm M , N và P lần lượt là trung điểm của AB, AC và BC.
a) Tìm hiệu
AM AN , MN NC , MN PN , BP CP
.
b) Phân tích
AM
theo hai véctơ
MN
và
MP
Ví dụ 2: Cho bốn điểm A,B,C,D. Chứng minh
AB CD AC BD
Ví dụ 3: Cho hai điểm phân biệt A và B. Tìm điểm M thoả mãn một trong các điều kiện sau:
a)
MA MB BA
b)
MA MB AB
c)
MA MB 0
Dạng 3 : Chứng minh Đẳng thức véctơ
Phương pháp:
Sử dụng quy tắc ba điểm , quy tắc hình bình hành , trung điểm để biến đổi vế này thành vế
kia của đẳng thức hoặc biến đổi cả hai vế để được hai vế bằng nhau hoặc ta cũng có thể biến
đổi đẳng thức véctơ cần chứng minh đó tương đương với một đẳng thức véctơ đã được công
nhận là đúng
Ví dụ 1: Cho bốn điểm bất kì A,B,C,D . Chứng minh các đẳng thức sau:
a)
AC BD AD BC
b)
AB CD AD CB
c)
AB CD AC BD
Ví dụ 2: Cho 6 điểm A,B,C,D ,E, F tuỳ ý . Chứng minh rằng:
AC BD EF AF BC ED
Ví dụ 3: Cho hình bình hành ABCD tâm O. Chứng minh :
BD BA OC OB
và
BC BD BA 0
Ví dụ 4: Cho hình bình hành ABCD tâm O. M là điểm tuỳ ý. Chứng minh :
AB OA OB
và
MA MC MB MD
Ví dụ 5: Cho hình bình hành ABCD . Gọi M và N là trung điểm của AD và BC. Chứng minh
a)
AD MB NA 0
b)
CD CA CB 0
Chuyên đề: Véctơ Năm học 2018 – 2019
THẦY VIỆT
0905.193.688
Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường
Trang 5/34
luyenthitracnghi
Ví dụ 6: Cho 6 điểm A,B,C,D ,E, F . Chứng minh rằng: ( Bằng nhiều cách khác nhau)
a)
AB CD AD CB
b)
AB CD AC DB
c)
AB AD CB CD
d)
AB BC CD DA 0
e)
AD BE CF AE BF CD
f)
AC DE DC CE CB AB
Dạng 4 : Tính độ dài véctơ
Phương pháp: Đưa tổng hoặc hiệu của các véctơ về một véctơ có độ dài là một cạnh của
đa giác
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A , biết AB=a ; AC=2a . Tính
AB AC
và
AB AC
.
Giải:
+
2
2
AB AC AD AD BC a 2a a 5
+
AB AC CB CB a 5
Ví dụ 2: Cho tam giác đều ABC cạnh a. Tính
AB BC
và
CA CB
.
Giải:
+
AB BC AC AC a
+
AB AC CB CB a
Ví dụ 3: Cho hình thoi ABCD cạnh a có
0
BAD 60
. Gọi O là giao điểm hai đường chéo .Tính:
a)
AB AD
b)
BA BC
; c)
OB DC
Giải:
a)
22
AB AD AC AC 2AO AB BO a 3
b)
BA BC CA CA a 3
c)
a3
OB DC DO DC CO CO
2
a
2a
D
B
A
C
A
B
C
60
0
C
A
O
B
D
Chuyên đề: Véctơ Năm học 2018 – 2019
THẦY VIỆT
0905.193.688
Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường
Trang 6/34
luyenthitracnghi
Ví dụ 4: Cho tam giác ABC vuông tại A , biết AB=a và
0
B 60
. Tính
AB BC
và
AB AC
.
Giải:
+
0
AB BC AC AC AB.tan60 a 3
+
0
a
AB AC CB CB 2a
cos60
Ví dụ 5: Cho hình vuông ABCD cạnh a , có O là giao điểm hai đường chéo . Tính:
a)
OA CB
b)
AB DC
; c)
CD DA
Giải:
a)
a2
OA CB CO CB BO BO
2
b)
AB DC AB AB 2 AB 2a
c)
CD DA CD CB BD BD a 2
Bài tập
Bài 1:Cho tam giác đều ABC cạnh a và đường cao AH.Tính
AB AC
và
AB BH
,
AB AC
.
Bài 2:Cho hình vuông ABCD cạnh a . Tính
BC AB
;
AB AC
Bài 3: Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD.
a) Với M tuỳ ý, Hãy chứng minh:
MA MC MB MD
b) Chứng minh rằng:
AB AD
=
AB AD
Bài 4 : Cho hai véctơ
a
và
b
cùng khác
0
. Khi nào thì:
a)
a b a b
b)
a b a b
c)
a b a b
Bài 5: Tìm tính chất tam giác ABC biết rằng :
CA CB CA CB
a
60
0
D
B
A
C
O
C
B
A
D
Chuyên đề: Véctơ Năm học 2018 – 2019
THẦY VIỆT
0905.193.688
Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường
Trang 7/34
luyenthitracnghi
C.TÍCH CỦA VÉCTƠ VỚI MỘT SỐ
Dạng1 : Chứng minh đẳng thức véctơ:
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có AM là trung tuyến, D là trung điểm của AM. Chứng minh:
a)
2DA DB DC 0
b)
2OA OB OC 4OD
( Với O tuỳ ý)
Giải:
a) Có
DB DC 2DM
2DA DB DC 2DA 2DM 2 DA DM 0
b)
OB OC 2OM
2OA OB OC 2OA 2OM 2 OA OM 4OD
Ví dụ 2: Cho tứ giác ABCD. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của hai đường chéo AC và BD.
Chứng minh rằng:
AB CD 2MN
Giải:
Có
MN MA AB BN
MN MC CD DN
2MN MA MC AB CD BN DN
2MN AB CD
Ví dụ 3:Gọi I,J lần lượt là trung điểm của hai đoạn thẳng AB và CD.
Chứng minh rằng:
2IJ AC BD AD BC
Giải:
Có
IJ IA AC CJ
IJ IB BD DJ
2IJ IA IB AC BD CJ DJ AC BD
Có
IJ IA AD DJ
IJ IB BC CJ
2IJ IA IB AD BB CJ DJ AD BC
Ví dụ 4: Chứng minh rằng: Nếu G và G’ lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ABC và A’B’C’ thì
3GG' AA' BB' CC'
Giải:
Có
AA' AG GG' G'A'
BB' BG GG' G'B'
CC' CG GG' G'C'
và
AG BG CG 0
G'A' G'B' G'C' 0
AA' BB' CC' AG BG CG 3GG' G'A' G'B' G'C' 3GG'
D
M
A
B
C
O
N
M
B
C
A
D
J
I
B
C
A
D
Chuyên đề: Véctơ Năm học 2018 – 2019
THẦY VIỆT
0905.193.688
Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường
Trang 8/34
luyenthitracnghi
Ví dụ 5: Cho tứ giác ABCD. Gọi E,F lần lượt là trung điểm của AB ,CD và O là trung điểm của EF.
Chứng minh rằng: a)
1
EF AC BD
2

, b)
OA OB OC OD 0
c)
MA MB MC MC 4MO
( M là điểm bất kì)
Giải:
a) Có
EF EA AC CF
EF EB BD DF
2EF EA EB AC BD CF DF AC BD
Vậy:
1
EF AC BD
2

b) Có
OA OB 2OE
OC OD 2OF


OA OB OC OD 2 OE OF 0
c) Có
MA MO OA
MB MO OB
MC MO OC
MD MO OD




MA MB MC MC 4MO OA OB OC OD 4MO
Ví dụ 6: Cho tam giác ABC. Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của BC,CA,AB.
Chứng minh rằng:
AM BN CP 0
Giải:
Có
3 3 3
AM AG; BN BG;CP CG
2 2 2
3
AM BN CP AG BG CG 0
2
Ví dụ 7: Cho hình bình hành ABCD tâm O .
AO a , BO b
a) Chứng minh rằng:
AB AD 2AO
b) Biểu diễn các véctơ sau
AC , BD, AB , BC, CD ,DA
theo
a,b
.
Giải:
a)
AB AD AC 2AO
b)
AC 2AO 2a
;
BD 2BO 2b
AB OB OA BO AO a b
BC OC OB AO BO a b
CD BA OA OB AO BO a b
DA OA OD AO BO a b
O
F
E
B
C
A
D
M
G
P
N
M
A
B
C
b
a
O
B
A
D
C
Chuyên đề: Véctơ Năm học 2018 – 2019
THẦY VIỆT
0905.193.688
Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường
Trang 9/34
luyenthitracnghi
Ví dụ 8: Cho tam giác ABC nội tiến đường tròn tâm O , H là trực tâm của tam giác ,D là điểm đối
xứng của A qua O.
a) Chứng minh tứ giác HCDB là hình bình hành.
b) Chứng minh:
HA HD 2HO , HA HB HC 2HO , OA OB OC OH
c) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Chứng minh
OH 3OG
.
Từ đó có kết luận gì về ba điểm O,H,G
Giải:
a) Có BH//DC vì cùng vuông góc với AC
CH//BD vì cùng vuông góc với AB
Suy ra tứ giác HCDB là hình bình hành.
b) Vì O là trung điểm của AD nên:
HA HD 2HO
Vì tứ giác HCDB là hình bình hành nên
HB HC HD
HA HB HC HA HD 2HO
Từ đẳng thức
HA HB HC 2HO
Suy ra
HO OA HO OB HO OC 2HO
OA OB OC HO OH
Cách khác: Có
OA OH HA OH AH OH 2OM OH OB OC
OA OB OC OH *
c) Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên
OA OB OC 3OG
Kết hợp với (*) ta có
OH 3OG
. Hai véctơ
OH
và
OG
cùng phương nên ba điểm O,H,G thẳng
hàng.
Ví dụ 9: Cho tứ giác ABCD.
a) Gọi M,N là trung điểm của AD, BC. Chứng minh
1
MN AB DC
2

.
b) Gọi O là điểm nằm trên đoạn MN và OM=2ON.Chứng minh rằng:
OA 2OB 2OC OD 0
Giải:
a)
MN MA AB BN
MN AD DC CN
2MN MA MD AB DC BN CN AB DC
Vây:
1
MN AB DC
2

b) Có;
OA 2OB 2OC OD OA OD 2 OB OC 2OM 4ON
=
4NO 4ON 0
G
N
M
H
D
O
B
C
A
O
N
M
B
C
A
D
Chuyên đề: Véctơ Năm học 2018 – 2019
THẦY VIỆT
0905.193.688
Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường
Trang 10/34
luyenthitracnghi
Ví dụ 10: Cho 4 điểm A,B,C,D . Gọi I ,F lần lượt là trung điểm của BC , CD .
Chứng minh:
2 AB AI FA DA 3DB
Giải:
Có
AB AI FA DA DA AB FA AI
13
DB FI DB DB DB
22
Do
1
FI DB
2
.
2 AB AI FA DA 3DB
Ví dụ 11: Cho tam giác đều ABC với G là trọng tâm, H là điểm đối xứng với B qua G .Chứng minh:
a)
21
AH AC AB
33

;
1
CH AB AC
3
b) M là trung điểm của BC. Chứng minh:
15
MH AC AB
66

Giải:
a) Có
44
AH AB BH AB BE AB AE AB
33
4 1 1 2
AB AC AB AB AC
3 2 3 3



2 2 1 1
CH 2MG GA AM . AB AC AB AC
3 3 2 3
b) Có:
11
MH MC CH BC AB AC
23
1 1 1 5
AC AB AB AC AC AB
2 3 6 6
Bài tập
Bài 1: Cho hình bình hành ABCD.Chứng minh rằng:
AB 2AC AD 3AC
Bài 2: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Chứng minh rằng:
MA MB MC 3MG
với M bất kì
Bài 3: Gọi M,N là trung điểm của AB và CD của tứ giác ABCD.Chứng minh rằng:
2MN AC BD BC AD
Bài 4: Chứng minh rằng: Nếu G và G’ lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ABC và A’B’C’ thì
AA' BB' CC' 3GG'
. Suy ra điều kiện để hai tam giác có cùng trọng tâm.
Bài 5: Cho tam giác ABC.Chứng minh rằng:
G là trọng tâm của tam giác ABC
GA GB GC 0 MA MB MC 3MG
Bài 6: Cho 4 điểm A,B,C,D . M,N lần lượt là trung điểm của AB, CD. Chứng minh rằng:
AD BD AC BC 4MN
Bài 7: Gọi O,G,H lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, trực tâm, trọng tâm của tam giác ABC.
Chứng minh rằng: a)
HA HB HC 2HO
b)
HG 2GO
F
I
B
C
A
D
H
G
E
M
A
B
C
Chuyên đề: Véctơ Năm học 2018 – 2019
THẦY VIỆT
0905.193.688
Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường
Trang 11/34
luyenthitracnghi
Dạng 2: Tìm một điểm thoả mãn một đẳng thức véctơ cho trước:
Phương Pháp:
+ Biến đổi đẳng thức đã cho về dạng :
AM u
trong đó A là một điểm cố định ,
u
cố định.
+ Dựng điểm M thoả mãn
AM u
Ví dụ 1: Cho hai điểm phân biệt A và B . Tìm điểm K sao cho:
3KA 2KB 0
Giải:
2
3KA 2KB 0 3KA 2 KA AB 0 5AK 2AB AK AB K
5
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC .
a) Tìm điểm I sao cho:
2IB 3IC 0
b) Tìm điểm O sao cho:
OA OB OC 0
c) . Tìm điểm K sao cho:
KA 2KB CB
d) Tìm điểm M sao cho:
MA MB 2MC 0
Giải:
a) Có
3
2IB 3IC 0 2BI 3IC 2BI 3 IB BC BI BC I
5
b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Khi đó:
OA OB OC 0
OG GA OG GB OG GC 0
3OG GA GB GC 0
3OG 0 O G
. Vậy điểm O cần tìm chính là trọng tâm G của tam giác ABC.
c)
KA 2KB CB
KA 2 KA AB AB AC
3KA AB AC 3AK AB AC 2AM
2
AK AM AG K G
3
(Với M là trung điểm BC , G là trọng tâm tam giác ABC)
d) Tìm điểm M sao cho:
MA MB 2MC 0
Gọi I là trung điểm của AB. Khi đó:
MA MB 2MC 0
2MI 2MC 0 2 MI MC 0
4MK 0 M K
Với K là trung điểm của IC.
Ví dụ 3: Cho tứ giác ABCD. Tìm điểm O sao cho:
OA OB OC OD 0
Giải:
Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm các cạnh AB,BC,CD,DA
Khi đó ta có
GA GB GC GD GM GP 0
Với G là
giao điểm của MP và NQ.Điểm G chính là trọng tâm tứ giác
ABCD. Từ đẳng thức
OA OB OC OD 0
suy ra
4OG GA GB GC GD 0
OG 0 O G
.
G
M
A
B
C
K
I
A
B
C
G
Q
N
P
M
B
C
A
D
Chuyên đề: Véctơ Năm học 2018 – 2019
THẦY VIỆT
0905.193.688
Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường
Trang 12/34
luyenthitracnghi
Ví dụ 4: Cho tam giác ABC.
a) Tìm điểm I sao cho:
2IB 3IC 0
b) Tìm điểm J sao cho:
JA JB 2JC 0
c) . Tìm điểm K sao cho:
KA KB BC
d) . Tìm điểm K sao cho:
KA KB 2BC
e) Tìm điểm L sao cho:
3LA LB 2LC 0
Giải:
a)
3
2IB 3IC 0 2IB 3 IB BC 0 5IB 3BC 0 BI BC I
5
b) JA JB 2JC 0 JA JC JB JC 0
CA JB JC CA JC CB JC CA CB 2JC
1
AB 2CJ CJ AB J
2
c)
KA KB BC
KA KA AB BC
2KA BC BA
1
AK AC K
2
d) . Tìm điểm K sao cho:
KA KB 2BC
Gọi D là trung điểm của AB. Khi đó
KA KB 2BC
2KD 2BC DK CB K
( Tứ giác DCBK là hình bình
hành)
e) Tìm điểm L sao cho:
3LA LB 2LC 0
Gọi E là trung điểm của AC. Khi đó
3LA LB 2LC 0
2 LA LC LC LB 0
4LE BC 0
1
EL BC
4

Ví dụ 5: Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của AB và N là một điểm trên cạnh AC sao cho
NC=2NA.
a) Xác định điểm K sao cho
3AB 2AC 12AK 0
b) Xác định điểm D sao cho
3AB 4AC 12KD 0
Giải:
a)
3AB 2AC 12AK 0
11
AK AB AC
46
Gọi I,J lần lượt là trung điểm của AM, AN. Khi đó
AK AI AJ K
là trung điểm của MN.
b)
3AB 4AC 12KD 0
11
KD AB AC AI AN AH
43
.
Ta chỉ cần tìm điểm D sao cho
KD AH
(Tứ giác AKDH là hình bình hành)
K
J
B
C
A
K
D
A
B
C
L
E
A
B
C
D
H
K
J
I
N
M
A
B
C
Chuyên đề: Véctơ Năm học 2018 – 2019
THẦY VIỆT
0905.193.688
Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường
Trang 13/34
luyenthitracnghi
Ví dụ 6: Cho các điểm A,B,C, D , E . Xác định các điểm O, I , K sao cho
a)
OA 2OB 3OC 0
b)
IA IB IC ID 0
c)
KA KB KC 3 KD KE 0
Giải:
a)
OA 2OB 3OC 0
OA OC 2 OB OC 0
OM 2ON 0
3OM 2MN 0
2
MO MN O
3
(Với M , N lần lượt là trung điểm của AC , BC.)
b) I là trọng tâm của tứ giác ABCD.
c) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, P là trung điểm của
DE.Khi đó
KA KB KC 3 KD KE 0
2
3KG 6KP 0 KG 2KP 0 GK GP
3
Ví dụ 7: Cho tam giác ABC và đường thẳng d
a) Xác định điểm I sao cho
IA IB 2IC 0
b) Tìm điểm M trên d sao cho véctơ
u MA MB 2MC
có độ dài nhỏ nhất.
Giải:
a) Gọi H là trung điểm của AB.Ta có
IA IB 2IC 0
2IH 2IC 0 IH IC 0
. Suy ra I
là trung điểm của HC
b) ta có:
u MA MB 2MC
4MI IA IB 2IC 4MI
u 4MI 4MI
nhỏ nhất khi và chỉ khi M là hình chiếu
vuông góc của I trên d.
Bài tập
Bài 1: Cho hai điểm phân biệt A và B .Xác định điểm M biết:
2MA 3MB 0
Bài 2: Cho tam giác ABC. Xác đinh các điểm M,N sao cho:
a)
MA 2MB 0
b)
NA 2NB CB
Bài 3: Cho hình bình hành ABCD. Xác định điểm M thoả mãn :
3AM AB AC AD
Bài 4: Cho tứ giác ABCD. Tìm điểm O sao cho:
OA OB OC OD 0
Bài 5: Cho tam giác ABC.
a) Hãy xác định các điểm G, P, Q, R , S sao cho:
GA GB GC 0
;
2PA PB PC 0
;
QA 3QB 2QC 0
;
RA RB RC 0
5SA 2SB SC 0
b) Với điểm O bất kì và với các điểm G , P , Q, R , S ở câu a) , chứng minh rằng:
1 1 1
OG OA OB OC
3 3 3
;
1 1 1
OP OA OB OC
2 4 4
;
1 1 1
OQ OA OB OC
6 2 3
OR OA OB OC
;
51
OS OA OB OC
22
K
G
P
O
N
M
B
C
D
E
A
d
M
I
H
A
B
C
Chuyên đề: Véctơ Năm học 2018 – 2019
THẦY VIỆT
0905.193.688
Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường
Trang 14/34
luyenthitracnghi
Dạng 3: Phân tích một véctơ theo hai véctơ không cùng phương.
Phương Pháp:
* Quy tắc 3 điểm
AB AO OB
( phép cộng)
AB OB OA
( phép trừ)
* Quy tắc đường chéo hình bình hành: Nếu ABCD là hình bình hành thì
AC AB AD
* Tính chất trung điểm : I là rung điểm AB
IA IB 0 MA MB 2MI
( M bất kì)
* Tính chất trọng tâm: G là trọng tâm tam giác ABC
GA GB GC 0
MA MB MC 3MG
( M bất kì)
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Cho các điểm D, E, F lần lượt là trung điểm các cạnh
BC , CA, AB . I là giao điểm AD và EF. Hãy phân tích các véctơ
AI,AG,DE,DC
theo hai
véctơ
AE,AF
Giải:
+
11
AI AE AF
22

+
2 2 2
AG AD AE AF
3 3 3
+
DE FA 0.AE AF
+
DC FE AE AF
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC . Điểm M nằm trên cạnh BC sao cho
MB 3MC
. hãy phân tích
véctơ
AM
theo hai véctơ
AB,AC
Giải:
Có
MB 3MC
MB 3MB 3BC 2BM 3BC
3
BM BC M
2
33
AM AB BM AB BC AB AC AB
22
13
AM AB AC
22
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC . Điểm M nằm trên cạnh BC sao cho MB=2MC . hãy phân tích véctơ
AM
theo hai véctơ
AB,AC
Giải:
Có
22
AM AB BM AB BC AB AC AB
33
12
AM AB AC
33

I
E
G
D
F
B
C
A
M
B
A
C
M
B
C
A
Chuyên đề: Véctơ Năm học 2018 – 2019
THẦY VIỆT
0905.193.688
Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường
Trang 15/34
luyenthitracnghi
Ví dụ 4: Cho AK và BM là hai trung tuyến của tam giác ABC. Hãy phân tích véctơ
AB,BC,CA
theo hai véctơ
AK,BM
Giải:
+
1
AB AK KB AK KM MB AK AB BM
2
3
AB AK BM
2
Vậy:
22
AB AK BM
33

+
1
BC BM MC BM AC
2

1
BM AK KC
2
1 1 1 1
AK BM KC AK BM BC
2 2 2 4
31
BC AK BM
42
. Vậy
24
BC AK BM
33

+
11
CA CK AK CB AK MB MC AK
22
1 1 1 1
CA AK BM MC AK BM CA
2 2 2 2
31
CA AK BM
22
. Vậy:
21
CA AK BM
33
Ví dụ 5: Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi I là trung điểm của đoạn AG, K là điểm trên cạnh
AB sao cho
1
AK AB
5
. Hãy phân tích các véctơ
AI, AK , CI , CK
theo
CA , CB
Giải:
+
1 1 1 1
AI AD AC CD AC CB
3 3 3 2



Vậy:
11
AI CA CB
36
+
11
AK AB CB CA
55
. Vậy
11
AK CA CB
55
+
1 1 2 1
CI CA AI CA CA CB CA CB
3 6 3 6



+
11
CK CA AK CA AB CA CB CA
55
Vậy:
41
CK CA CB
55

G
M
K
B
C
A
K
I
G
D
A
B
C
Chuyên đề: Véctơ Năm học 2018 – 2019
THẦY VIỆT
0905.193.688
Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường
Trang 16/34
luyenthitracnghi
Ví dụ 6: Cho lục giác đều ABCDEF tâm O cạnh a.
a) Phân tích véctơ
AD
theo hai véctơ
AB , AF
b) Tính độ dài
11
u AB BC
22

theo a.
Giải:
a) Có
1
AD AB BC CD AB AD AF
2
( Do
1
BC AD ; CD AF
2

)
1
AD AB AF AD 2AB 2AF
2
b)
1 1 1
u AB BC AC
2 2 2
AC a 3
u
22
Ví dụ 7: Cho tam giác ABC . Gọi M là trung điểm của AB, N là điểm trên cạnh AC sao cho
NA=2NC . Gọi K là trung điểm MN.
a) Phân tích véctơ
AK
theo hai véctơ
AB,AC
b) Gọi D là trung điểm BC. Chứng minh:
11
KD AB AC
46

Giải:
a)
1 1 1 2 1 1
AK AM AN AB AC AB AC
2 2 2 3 4 3



b)
1 1 1
KD AD AK AB AC AB AC
2 4 3



11
KD AB AC
46
Ví dụ 8: Cho tam giác ABC , Gọi G là trọng tâm và H là điểm đối xứng của B qua G.
a) Chứng minh:
2 1 4 2
AH AC AB , BH AB AC
3 3 3 3
b) Gọi M là trung điểm BC , Chứng minh:
15
MH AC AB
66

Giải:
a) +
44
AH AB BH AB BE AB AE AB
33
1 4 1 2
AH AB AE AB AC
3 3 3 3
+
4 4 4 1 4 2
BH BE AE AB AC AB AB AC
3 3 3 2 3 3



b)
1 2 1
MH AH AM AB AC AB AC
3 3 2



Vậy:
51
MH AB AC
66
a
E
F
A
B
C
O
D
D
K
N
M
B
C
A
H
G
E
M
B
C
A
Chuyên đề: Véctơ Năm học 2018 – 2019
THẦY VIỆT
0905.193.688
Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường
Trang 17/34
luyenthitracnghi
Ví dụ 9: Cho hình bình hành ABCD , tâm O. Đặt
AB a,AD b
. Hãy tính các véctơ sau theo
a,b
. a)
AI
( I là trung điểm của BO) .
b)
BG
( G là trọng tâm tam giác OCD). ĐS:
31
AI a b
44

15
BG a b
26
Giải:
a)
11
AI AB BI AB BD AB AD AB
44
3 1 3 1
AI AB AD a b
4 4 4 4
b)
1 1 1 1
BG BO OG BD AD AD AB AD
2 3 2 3
1 5 1 5
BG AB AD a b
2 6 2 6
Ví dụ 10: Cho tam giác ABC và G là trọng tâm . B
1
là điểm đối xứng của B qua G. M là trung điểm
BC. Hãy biểu diễn các véctơ
1 1 1
AM,AG,BC,CB ,AB ,MB
qua hai véctơ
AB,AC
.
Giải:
+
11
AM AB AC
22

+
2 2 1 1 1
AG AM . AB AC AB AC
3 3 2 3 3
+
BC AB AC
+
1
11
CB 2MG AG AB AC
33
+
11
44
AB AB BB AB BE AB . AE AB
33
1
12
AB AB AC
33
+
11
1 2 1
MB AB AM AB AC AB AC
3 3 2



51
AB AC
66
Ví dụ 11: Cho tam giác ABC , Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI=3BI và J thuộc BC kéo dài
sao cho 5JB=2JC.
a) Tính
AI,AJ
theo hai véctơ
AB,AC
. Từ đó biểu diễn
AB,AC
theo
AI,AJ
.
b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Tính
AG
theo
AI,AJ
Giải:
a) +
22
AI AB BI AB BC AB AC AB
55
32
AI AB AC
55

+
22
AJ AB BJ AB BC AB AC AB
33
12
AJ AB AC
33

Giải hệ:
3AB 2AC 5AI
AB 2AC 3AJ


5 3 5 9
AB AI AJ ; AC AI AJ
4 4 8 8
b
a
G
I
O
A
B
C
D
B
1
G
M
E
A
B
C
G
J
I
A
B
C
Chuyên đề: Véctơ Năm học 2018 – 2019
THẦY VIỆT
0905.193.688
Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường
Trang 18/34
luyenthitracnghi
b)
1 1 5 3 5 9 5 1
AG AB AC AI AJ AI AJ AI AJ
3 3 4 4 8 8 8 8



Bài tập
Bài 1: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Phân tích
AM
theo hai véctơ
AB,AC
Bài 2: Cho tam giác ABC . Gọi M là trung điểm của AB, N là điểm trên cạnh AC sao cho
NA=2NC . Gọi K là trung điểm MN. Phân tích véctơ
AK
theo hai véctơ
AB,AC
Bài 3: Cho tam giác ABC. Gọi M,N,P là trung điểm của BC, CA, AB. Tính các véctơ
AB,BC,CA
theo các véctơ
BN ,CP
.
Bài 4: Cho hình vuông ABCD, E là trung điểm CD. Hãy phân tích véctơ
AE
theo hai véctơ
AD,AB
Bài 5:Cho tam giác ABC. Gọi I là điểm trên BC kéo dài thoả mãn IB=3IC
a) Tính véctơ
AI
theo các véctơ
AB,AC
.
b) Gọi J và K lần lượt là các điểm trên AC , AB sao cho
JA 2JC
và
KB 3KA
.
Tính véctơ
JK
theo các véctơ
AB,AC
.
c) Chứng minh
BC 10AI 24JK.
Bài 6: Cho hai điểm phân biệt A và B.
a) Hãy xác định các điểm P,Q,R biết:
2PA 3PB 0 ; 2QA QB 0 ; RA 3RB 0
b) Với điểm O bất kì và với ba điểm P,Q,R ở câu a) , Chứng minh rằng:
2 3 1 3
OP OA OB ; OQ 2OA OB ; OR OA OB
5 5 2 2
Dạng 4: Chứng minh ba điểm thẳng hàng
Phương pháp: Ba điểm A,B,C thẳng hàng
AB kAC
Để chứng minh được điều này ta có thể áp dụng một trong hai phương pháp:
+ Cách 1: Áp dụng các quy tắc biến đổi véctơ.
+ Cách 2: Xác định hai véctơ trên thông qua tổ hợp trung gian.
Ví dụ 1: Cho 4 điểm O,A,B,C sao cho
3OA 2OB OC 0.
Chứng minh rằng A,B,C thẳng hàng.
Giải:
Ta có :
3OA 2OB OC 0.
3OA 2 OA AB OA AC 0
1
AB AC
2
Vậy: ba điểm A,B,C thẳng hàng
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC. I là điểm trên cạnh AC sao cho
1
CI AC
4
, J là điểm mà
12
BJ AC AB
23

a) Chứng minh rằng:
3
BI AC AB
4

b) Chứng minh B, I, J thẳng hàng.
Giải:
Đổi đẳng thức
12
BJ AC AB
23

1 2 1 1
BJ AB BC AB BA BC
2 3 6 2
. Ta tìm được điểm J.
a)
13
BI BC CI AC AB AC AC AB
44
.
b) Lại có
2 3 2
BJ AC AB BI
3 4 3



nên B, I, J thẳng hàng.
F
E
J
I
A
B
C
Chuyên đề: Véctơ Năm học 2018 – 2019
THẦY VIỆT
0905.193.688
Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường
Trang 19/34
luyenthitracnghi
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có AM là trung tuyến. Gọi I là trung điểm của AM và K là một điểm
trên cạnh AC sao cho
1
AK AC
3
.
a) Phân tích véctơ
BK,BI
theo hai véctơ
BA ,BC
.
b) Chứng minh ba điểm B,I,K thẳng hàng.
Giải:
a)
11
BK BA AK BA AC BA BC BA
33
2 1 1
BK BA BC 2BA BC
3 3 3
1 1 1
BI BA AI BA AM BA AB BC
2 2 2



1 1 1
BI BA BC 2BA BC
2 4 4
b)
4
BK BI
3

Vậy ba điểm B,I,K thẳng hàng.
Ví dụ 4: Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Lấy điểm I,J sao cho
2IA 3IC 0
,
2JA 5JB 3JC 0
a) Chứng minh rằng: M,N,J thẳng hàng . Với M,N là trung điểm của AB và BC.
b) Chứng minh rằng: J là trung điểm của BI.
Giải:
Tìm điểm I: Từ giả thiêt
2IA 3IC 0
3
2IA 3IA 3AC 0 AI AC I
5
Tìm điểm J:
2JA 5JB 3JC 0
2 JA JB 3 JB JC 0
4JM 6JN 0
2JM 3JN 0 5JM 3MN 0
Hay
3
MJ MN J
5

a) Từ đẳng thức
3
MJ MN
5
suy ra ba điểm M,N,J thẳng hàng .
b) Từ đẳng thức
2IA 3IC 0
2 IB BA 3 IB BC 0 5IB 2BA 3BC 0
23
BI BA BC
55
Từ đẳng thức:
2JA 5JB 3JC 0
2 JB BA 5JB 3 JB BC 0
1 3 1 2 3
10JB 2BA 3BC BJ BA BC BA BC
5 10 2 5 5



Như vậy :
1
BJ BI
2
nên J là trung điểm của BI.
K
I
M
A
B
C
J
I
G
M
N
A
B
C
Chuyên đề: Véctơ Năm học 2018 – 2019
THẦY VIỆT
0905.193.688
Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường
Trang 20/34
luyenthitracnghi
Ví dụ 5: Cho tam giác ABC. Gọi I là trung điểm của BC ; D và E là hai điểm sao
cho:
BD DE EC
.
a) Chứng minh
AB AC AD AE
b) Tính véctơ:
AS AB AD AC AE
theo
AI
.
c) Suy ra ba điểm A, I , S thẳng hàng.
Giải:
a) Do I là trung điểm của BC nên I cũng là trung điểm của DE.
Nên
AB AC 2AI
;
AD AE 2AI
.
Suy ra :
AB AC AD AE
b)
AS AB AD AC AE AB AC AD AE 4AI
c) Có
AS 4AI
Suy ra ba điểm A, I , S thẳng hàng.
Ví dụ 6:Cho tam giác ABC. Đặt
AB u ; AC v
a) Gọi P là điểm đối xứng với B qua C. Tính
AP
theo
u ,v
.
b) Gọi Q và R là hai điểm định bởi :
11
AQ AC ; AR AB
23

. Tính
RP ;RQ
theo
u ,v
.
c) Suy ra P,Q,R thẳng hàng.
Giải:
a)
AP AB BP AB 2BC AB 2 AC AB
AP AB 2AC u 2v
b)
14
RP RA AP AB AB 2AC AB 2AC
33
4 1 1
RP u 2v 4 u v
3 3 2



1 1 1 1
RQ RA AQ AB AC u v
3 2 3 2
c) Nhận thấy
RP 4RQ
nên ba điểm P,Q,R thẳng hàng.
Ví dụ 7: Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Lấy điểm I,J sao cho
IA 2IB
,
3JA 2JC 0
.
Chứng minh IJ đi qua trọng tâm G của tam giác ABC.
Giải:
Xác định các điểm I,J.
Có
3JA 2JC 0
2
5JA 2AC 0 AJ AC
5
Phân tích các véctơ
IG,IJ
qua hai véctơ
AB,AC
21
IG AG AI . AB AC 2AB
32
51
AB AC
33
2
IJ IA AJ 2AB AC
5
=
6 5 1
AB AC
5 3 3



6
IJ IG
5

. Vậy ba điểm I,G,J thẳng hàng.
E
D
I
A
B
C
v
u
R
Q
P
A
B
C
G
J
I
A
B
C
Chuyên đề: Véctơ Năm học 2018 – 2019
THẦY VIỆT
0905.193.688
Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường
Trang 21/34
luyenthitracnghi
Ví dụ 8: Cho tam giác ABC Lấy các điểm M,N,P thoả mãn :
MA MB 0
,
3AN 2AC 0
,
PB 2PC
. Chứng minh: M,N,P thẳng hàng.
Giải:
Xác định các điểm M,N,P.
+ M là trung điểm của AB
+
3AN 2AC 0
2
AN AC
3

+
PB 2PC
PB 2PB 2BC BP 2BC
+ Phân tích các véctơ
MN ,MP
theo hai véctơ
AB,AC
12
MN MA AN AB AC
23
;
1 1 1
MP MA AP AB AC CP AB AC BC AB AC AC AB
2 2 2
Hay :
3 1 2
MP AB 2AC 3 AB AC 3MN
2 2 3



3 1 2
MP AB 2AC 3 AB AC 3MN
2 2 3



. Vậy ba điểm M,N,P thẳng hàng.
Ví dụ 9: Cho hình bình hành ABCD . Lấy các điểm I,J thoả mãn
3IA 2IC 2ID 0
JA 2JB 2JC 0
. Chứng minh I,J ,O thẳng hàng với O là giao điểm của AC và BD.
Giải:
Xác định các điểm I, J.
+
3IA 2IC 2ID 0
2
3IA 2DC 0 3AI 2DC AI AB
3
+
JA 2JB 2JC 0
JA 2BC 0
AJ 2AD
+ Biểu diễn các véctơ
IJ,IO
qua các véctơ
AB,AD
2
IJ AJ AI AB 2AD
3
;
1 2 1 1
IO AO AI AB AD AB AB AD
2 3 6 2
Có :
2 1 1
IJ AB 2AD 4 AB AD 4IO
3 6 2



. Vậy ba điểm I,J ,O thẳng hàng .
Ví dụ 10: Cho tam giác ABC và điểm M thoả mãn
AM 3AB 2AC.
Chứng minh B,M,C thẳng
hàng.
Giải:
+ Dựng các véctơ
AE 3AB,AF 2AC
AM AE AF M
+
MC MA AC 3AB 2AC AC
3 AC AB 3BC
Do
MB 3BC
nên ba điểm M,B,C thẳng hàng.
P
N
M
A
B
C
J
I
O
A
B
C
D
M
F
E
A
B
C
Chuyên đề: Véctơ Năm học 2018 – 2019
THẦY VIỆT
0905.193.688
Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường
Trang 22/34
luyenthitracnghi
Ví dụ 11: Cho tam giác ABC . Gọi M,N lần lượt là các điểm thuộc cạnh AB, AC sao cho
1
AM MB,AN 3NC
2

và điểm P xác định bởi hệ thức
4PB 9PC 0
. Gọi K là trung điểm MN.
a) Chứng minh:
13
AK AB AC
68

b) Chứng minh: Ba điểm A,K,P thẳng hàng.
Giải:
Xác định điểm P:
4PB 9PC 0
9
4PB 9 PB BC 0 BP BC
13
a)
1 1 1 3 1 3
AK AM AN AB AC AB AC
2 2 3 4 6 8



b) Tìm
AP
99
AP AB BP AB BC AB AC AB
13 13
4 9 24 1 3 24
AP AB AC AB AC AK
13 13 13 6 8 13



. Vì vậy ba điểm A,K,P thẳng hàng.
Ví dụ 12: Cho tam giác ABC. Hai điểm M,N được xác định bởi các hệ thức
BC MA 0 ; AB NA 3AC 0
. Chứng minh MN//AC.
Giải:
+ Xác định các điểm M,N.
Có
AM BC
Tứ giác ABCM là hình bình hành.
AB NA 3AC 0 AN AB 3AC
Dựng các véctơ
AE AB , AF 3AC
AN AE AF
MN AN AM AB 3AC BC
AB 3AC AC AB 2AC
Vậy: MN//AC
Bài tập
Bài 1: Cho tam giác ABC . Lấy các điểm M,N,P sao cho
MB 3MC 0
;
AN 3NC
;
PA PB 0
. Chứng minh rằng M,N,P thẳng hàng.
Bài 2: Cho tam giác ABC . M là điểm trên BC, N là điểm trên AM còn P là điểm trên AC sao cho
BM AN 1 AP 1
;
BC AC 3 AC 7
. Chứng minh ba điểm B,N,P thẳng hàng.
Bài 3: Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Giả sử I và J là các điểm thoả mãn hệ thức
IA IB IC 0 ; JA JB 3JC 0
a) Dựng các điểm I,J.
b) Chứng minh ba điểm I, G, B thẳng hàng.
c) Chứng minh I J// AC.
Bài 4: Cho tam giác ABC
a) Dựng điểm I thoả mãn hệ thức:
2IA IB 3IC 0
b) Giả sử các điểm M,N biến thiên nhưng luôn luôn thoả mãn hệ thức
MN 2MA MB 3MC
.
Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.
P
K
N
M
A
B
C
N
F
E
M
A
B
C
Chuyên đề: Véctơ Năm học 2018 – 2019
THẦY VIỆT
0905.193.688
Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường
Trang 23/34
luyenthitracnghi
Dạng 5: Chứng minh hai điểm trùng nhau:
Phương pháp:
Để chứng minh M và M’ trùng nhau , ta lựa chọn một trong hai hướng:
Cách 1: Chứng minh
MM' 0
Cách 2: Chứng minh
OM OM'
với O là điểm tuỳ ý.
Ví dụ 1: Cho tứ giác lồi ABCD. Gọi M,N , P,Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA.
Chứng minh rằng: Hai tam giác ANP và CMQ có cùng trọng tâm.
Giải:
Với điểm G bất kì ta có
11
GA GN GP GA GB GC GC GD
22
11
GC GA GB GA GD
22
GC GM GQ
Vậy
GA GN GP 0
khi và chỉ khi
GC GM GQ 0
Do đó Hai tam giác ANP và CMQ có cùng trọng tâm G.
Ví dụ 2: Cho lục giác ABCDEF. Gọi M,N,P,Q,R,S lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD,
DE,EF,FA. Chứng minh rằng hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm.
Giải:
Với điểm G bất kì ta có
1 1 1
GM GP GR GA GB GC GD GE GF
2 2 2
1 1 1
GB GC GD GE GF GA
2 2 2
GN GQ GS
Vậy
GM GP GR 0
khi và chỉ khi
GN GQ GS 0
Do đó Hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm G.
Ví dụ 3: Cho tứ giác ABCD. Gọi I,J là trung điểm của AB và CD.
a) Chứng minh rằng:
AC BD AD BC 2IJ
b) Gọi P,Q là trung điểm các đoạn thẳng AC và BD , M và N là trung điểm AD và BC.
Chứng minh rằng: Ba đoạn thẳng IJ , PQ , MN có cùng trung điểm.
Giải:
a) Ta có:
AC BD AB BC BA AD BC AD
Lại có
IJ IB BC CJ
IJ IA AD DJ
2IJ IA IB BC AD CJ DJ BC AD
Vì vậy:
AC BD AD BC 2IJ
b) Ba hình bình hành MPNQ , MINJ, MIPJ có các đường
chéo MN, PQ, IJ đồng quy tại trung điểm mỗi đường.
Q
P
N
M
B
C
A
D
S
R
Q
P
N
M
B
C
D
E
F
A
G
N
M
Q
P
J
I
B
C
A
D
Chuyên đề: Véctơ Năm học 2018 – 2019
THẦY VIỆT
0905.193.688
Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường
Trang 24/34
luyenthitracnghi
Bài tập
Bài 1:Cho hai tam giác ABC và A’B’C’ có trọng tâm tương ứng là G , G’.
a) Chứng minh rằng:
AA' BB' CC' 3GG'
b) Từ đó suy ra nếu
AA' BB' CC' 0
thì hai tam giác có cùng trọng tâm.
Bài 2: Cho hai tam giác ABC . Lấy D,E,F lần lượt trên các cạnh BC,CA,AB sao cho
BD CE AF 1
BC CA AB 3
. Chứng minh hai tam giác ABC và DEF có cùng trọng tâm.
Bài 3: Cho ngũ giác ABCDE. Gọi M,N,P,Q,R lần lượt là trung điểm các cạnh AB , BC , CD ,
DE , EA . Chứng minh rằng hai tam giác MPE và NQR có cùng trọng tâm.
Bài 4: Cho hai hình bình hành ABCD và AB’C’D’ có chung đỉnh A. Chứng minh rằng:
a)
BB' C'C DD' 0
b) Hai tam giác BC’D và B’CD’ có cùng trọng tâm.
Dạng 6: Quỹ tích điểm
Phương pháp: Đối với bài toán quỹ tích, học sinh cần nhớ một số quỹ tích cơ bản sau:
- Nếu
MA MB
với A, B cho trước thì M thuộc đường trung trực của đoạn AB.
- Nếu
MC k. AB
với A,B , C cho trước thì M thuộc đường tròn tâm C , bán kính bằng
k. AB
- Nếu
MA k.BC
thì
+ M thuộc đường thẳng qua A song song với BC nếu
k
+ M thuộc nửa đường thẳng qua A song song với BC và cùng hướng với
BC
nếu
k
+M thuộc nửa đường thẳng qua A song song với BC và ngược hướng với
BC
nếu
k
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC. M là điểm tuỳ ý trong mặt phẳng.
a) Chứng minh rằng: véctơ
v 3MA 5MB 2MC
không đổi.
b) Tìm tập hợp những điểm M thoả mãn:
3MA 2MB 2MC MB MC
Giải:
a)
v 3MA 5MB 2MC
v 3 MA MB 2 MC MB 3BA 2BC
là
véctơ không đổi.
b) Chọn điểm I sao cho
3IA 2IB 2IC 0
Khi đó
3MA 2MB 2MC MB MC
3 MI IA 2 MI IB 2 MI IC CB
1
3 MI CB MI BC
3
Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn
tâm I bán kính
1
R BC
3
Về mặt hình học:
3IA 2IB 2IC 0
2
3IA 2CB 0 AI CB I
3
Ta chỉ cần vẽ đường tròn tâm I bán kính
1
R BC
3
I
K
A
B
C
Chuyên đề: Véctơ Năm học 2018 – 2019
THẦY VIỆT
0905.193.688
Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường
Trang 25/34
luyenthitracnghi
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp những điểm M thoả mãn:
a)
3
MA MB MC MB MC
2
b)
MA 3MB 2MC 2MA MB MC
Giải:
a) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC và D là trung điểm của BC.
Ta có:
3
MA MB MC MB MC
2
3
3MG 2MD MG MD MG MD
2
Vậy tập hợp các điểm M là đường thẳng trung trực của đoạn GD.
……
b) Chọn điểm I sao cho
IA 3IB 2IC 0
Khi đó
MA 3MB 2MC 2MA MB MC
MI IA 3 MI IB 2 MI IC
MA MB MA MC
2MI IA 3IB 2IC BA CA
1
MI BA CA
2
1
MI BA CA
2
Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn
tâm I bán kính
1
R BA CA AD
2
.
Về mặt hình học: Gọi K là trung điểm của
AB. Khi đó:
IA 3IB 2IC 0
IA IB 2 IB IC 0
2IK 2BC 0 KI BC I
1
R BA CA
2

1
AB AC AD
2
Ví dụ 3: Cho tứ giác ABCD. Với k là số tuỳ ý thuộc đoạn
0;1
lấy các điểm M,N sao cho
AM kAB , DN kDC
.
Tìm tập hợp trung điểm I của đoạn MN khi k thay đổi.
Giải:
Gọi P ,Q lần lượt là trung điểm của AD và BC.
Ta có
1
PQ AB DC
2

Vì P và I lần lượt là trung điểm của AD và MN nên
1k
PI AM DN AB DC
22
PI kPQ
Ba điểm P,I Q thẳng hàng . Do
0 k 1
nên tập hợp các
điểm I là đoạn thẳng PQ.
d
G
E
D
A
B
C
M
D
I
K
A
B
C
P
Q
I
N
M
B
C
A
D
Chuyên đề: Véctơ Năm học 2018 – 2019
THẦY VIỆT
0905.193.688
Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường
Trang 26/34
luyenthitracnghi
Bài tập
Bài 1: Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp những điểm M thoả mãn:
2 MA MB MC 3 MA MC
Bài 2: Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp những điểm M thoả mãn:
a)
MA MB MC
b)
MA MC
c)
MA MB MC AB AC
Bài 3: Cho hai điểm A và B .Tìm tập hợp những điểm M thoả mãn:
a)
MA MB MA MB
b)
MA MB MA MC
MỘT SỐ VÍ DỤ VÀ BÀI TẬP VẬN DỤNG.
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC với I là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác .
a) Phân tích véctơ
IC
theo các phương AI, BI.
b) Từ câu a) hãy chứng minh hệ thức véctơ
aIA bIB cIC 0
( trong đó BC=a, CA= b, AB = c)
Giải:
a) Dựng hình bình hành IECF . Viết
IC IE IF
Ta có
IE CF B'C BC a
IA IA B'A BA c
a
IE IA
c
( Do BB’ là là đường phân giác trong của góc B nên
B'C BC a
B'A BA c

)
Tương
IF b b
IF IB
IB c c
. Vì vậy
ab
IC IA IB
cc
b) Từ kết quả
ab
IC IA IB aIA bIB cIC 0
cc
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC Có trọng tâm G , M là điểm tuỳ ý .Gọi A
1
, B
1
, C
1
lần lượt là các điểm
đối xứng của M qua các trung điểm I, J, K của các cạnh BC, CA, AB.
a) Chứng minh AA
1
, BB
1
, CC
1
đồng quy tại trung điểm của mỗi đoạn ( gọi là điểm O).
b) Chứng minh M,O,G thẳng hàng.
Giải:
a) Ta có
1
MA MA MA MB MC
1
MB MB MA MB MC
1
MC MC MA MB MC
Suy ra
1 1 1
MA MA MB MB MC MC
Từ đó suy ra các đoạn AA
1
, BB
1
, CC
1
đồng quy tại
trung điểm của mỗi đoạn .
b) Từ kết quả câu a) ta có
2MO MA MB MC 3MG
Suy ra hai véctơ
MO;MG
cùng phương hay M,O,G
thẳng hàng.
c
a
b
E
F
C
B'
B
A'
A
I
C
1
O
B
1
A
1
G
K
J
I
A
B
C
M
Chuyên đề: Véctơ Năm học 2018 – 2019
THẦY VIỆT
0905.193.688
Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường
Trang 27/34
luyenthitracnghi
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC , M là một điểm trên cạnh BC . Chứng minh rằng
MC MB
AM AB AC
BC BC

Giải:
Vẽ MN//AC (
N AB
)
Áp dụng định lí Ta-lét ta có
AN MC
AN AB AB
AB BC

NM MB
NM AC AC
AC BC

MC MB
AM AN NM AB AC
BC BC
Ví dụ 4: Đường tròn tâm I nội tiếp trong tam giác ABC , tiếp xúc với các cạnh BC, CA , AB lần lượt
tại M,N,P. Chứng minh rằng:
aIM bIN cIP 0
( Trong đó BC=a , CA=b, AB=c)
Giải:
Gọi p là nửa chu vi tan giác ABC , ta có:
AP AN p a
BM BP p b
CN CM p c
Áp dụng ví dụ 3 ta có
MC MB
IM IB IC
BC BC

aIM p c IB p b IC
Tương tự
bIN p a IC p c IA
cIP p b IA p a IB
Cộng từng vế các đẳng thức này ta được
aIM bIN cIP 2p b c IA 2p c a IB 2p a b IC
aIA bIB cIC 0
Ví dụ 5: Cho tam giác ABC và một điểm M bất kì trong tam giác . Đặt
MBC MCA MAB
ac
b
S S , S S ,S S
. Chứng minh rằng:
c
b
a
S MA S MB S MC 0
Giải:
Áp dụng ví dụ 3 ta có
A'C A'B
MA' MB MC
BC BC

Ta lại có:
MA'C MAC b
MA'B MAB c
11
MA'.CK CK.MA
S S S
A'C CK
22
11
A'B S BH S S
MA'.BH BH.AM
22
b
bc
S
A'C
BC S S

;
bc
c
S
A'B
BC S S

bc
b c b c
SS
MA' MB MC *
S S S S

.
N
A
B
C
M
b
c
a
C
B
A
I
P
M
N
E
H
K
A
B
C
A'
M
Chuyên đề: Véctơ Năm học 2018 – 2019
THẦY VIỆT
0905.193.688
Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường
Trang 28/34
luyenthitracnghi
+ Tính
MA'C MA'C MA'B a
MA'B
MAC MAB MAC MAB b c
S S S S
MA' S
MA S S S S S S

a
bc
S
MA' MA
SS
. Thay vào (*)
Ta được
a b c
b c b c b c
S S S
MA MB MC
S S S S S S
. Suy ra
c
b
a
S MA S MB S MC 0
Ví dụ 6: Cho tam giác đều ABC tâm O. M là một điểm tuỳ ý bên trong tam giác. D,E,F lần lượt là
hình chiếu của M trên BC, CA, AB.Chứng minh rằng:
3
MD ME MF MO
2
Giải:
Gọi AA’ , BB’ , CC’ là các đường cao của tam giác đều ABC
Khi đó
MBC MCA MAB
S .MA S .MB S .MC 0
. Đặt
ABC
SS
Ta luôn có:
MBC MBC
SS
MD 3
MD .AA' AA' AO
AA' S 2 S
MCA MCA
SS
ME 3
ME BB' BB' BO
BB' S 2 S
MAB MAB
MF S 3 S
MF CC' CC' CO
CC' S 2 S
Cộng vế với vế ba đẳng thức này ta được
MBC MCA
MAB
SS
3S
MD ME MF AO BO CO
2 S S S



MBC MCA MAB
3
S MO MA S MO MB S MO MC
2S
MBC MCA MAB MBC MCA MAB
33
S S S .MO S .MA S MB S MC
2S 2S
33
MD ME MF .S.MO MO
2S 2
Ví dụ 7: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp trong đường tròn (O). Tìm điểm M thuộc (O) sao cho
MA MB MC
lớn nhất , nhỏ nhất.
Giải:
Gọi I là đỉnh thứ tư của hình bình hành ACBI , ta có
IA IB IC 0
suy ra
MA MB MC MI , M
Vậy
MA MB MC
lớn nhất khi và chỉ khi
1
MM
MA MB MC
nhỏ nhất khi và chỉ khi
2
MM
Trong đó M
1
,M
2
là giao điểm của đường thẳng IO với đường
tròn, M
1
khác phía với I, M
2
cùng phía với I đối với tâm O.
(Tam giác ABC nhọn nên I luôn nằm ngoài đường tròn)
Ví dụ 8: Cho tứ giác ABCD. Hai điểm M,N thay đổi trên các cạnh AB , CD sao cho:
AM CN
AB CD
. Tìm tập hợp các trung điểm I của đoạn MN.
Giải:
C'
O
B'
A'
E
F
D
A
B
C
M
M
1
M
2
I
O
A
C
B
Chuyên đề: Véctơ Năm học 2018 – 2019
THẦY VIỆT
0905.193.688
Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường
Trang 29/34
luyenthitracnghi
Từ giả thiết ta có:
AM kAB , CN kCD
; (
0 k 1
)
Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của AC và BD.
PI PA AM MI
PI PC CN NI
1k
PI AM CN AB CD
22
Có
PQ PA AB BQ
PQ PC CD DQ
1
PQ AB CD
2
Suy ra
PI kPQ
. Chứng tỏ P,I,Q thẳng hàng . Vì
0 k 1
nên I thuộc đoạn PQ.
Vậy :Tập hợp các trung điểm I của đoạn MN là đoạn PQ.
Bài tập
Bài 1: Cho ngũ giác ABCDE. Các điểm M,N,P,Q , R, S theo thứ tự là trung điểm các đoạn
EA, AB. BC,CD,MP,NQ. Chứng minh rằng RS//ED và
1
RS ED
4
Bài 2: Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn tâm I . Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các
đường chéo AC, BD . Chứng minh rằng I,E,F thẳng hàng.
Bài 3: Cho hình vuông ABCD cạnh a. Chứng minh ràng véctơ
u 4MA 3MB MC 2MD
Không phụ thuộc vào vị trí của M. Tính độ dài véctơ
u
.
Bài 4: Cho tam giác ABC , hai điểm M,N thay đổi sao cho
MN 4MA MB 2MC
.
Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 5: Cho tứ giác ABCD. Tìm tập hợp các điểm M sao cho
MA MB MC MD MA MB 2MC
---------------------------------------------------------------
I
N
M
Q
P
A
B
D
C
Chuyên đề: Véctơ Năm học 2018 – 2019
THẦY VIỆT
0905.193.688
Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường
Trang 30/34
luyenthitracnghi
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
CHƯƠNG I. VÉCTƠ
1.1 Xác đinh véctơ
Câu 1: Cho tam giác ABC, có thể xác định bao nhiêu vectơ khác vectơ
0
có điểm đầu và điểm cuối
là đỉnh A, B, C ?
A.3 B. 6 C. 4 D. 9
Câu 2: Cho tứ giác ABCD. Số các vectơ khác
0
có điểm đầu và cuối là đỉnh của tứ giác bằng:
A. 4 B. 6 C. 8 D. 12
Câu 3: Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Số các vectơ khác
0
cùng phương với
OC
có điểm đầu và cuối là đỉnh của lục giác là:
A. 4 B. 6 C. 7 D. 9
Câu 4: Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Số các vectơ bằng
OC
có điểm đầu và
cuối là đỉnh của lục giác là:
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
Câu 5: Cho
AB
≠
0
và một điểm C, có bao nhiêu điểm D thỏa mãn:
AB CD
A. 0 B. 1 C. 2 D. vô số
Câu 6: Cho
AB
≠
0
và một điểm C, có bao nhiêu điểm D thỏa mãn:
AB CD
A. 1 B. 2 C. 0 D. vô số
Câu 7: Điều kiện nào là điều kiện cần và đủ để
AB CD
:
A. ABCD là hình bình hành. B. ABDC là hình bình hành.
C. AD và BC có cùng trung điểm D. AB = CD và AB // CD
1.2 Tổng – Hiệu hai véc tơ
Câu 8: Cho hình chữ nhật ABCD có AB=3, BC=4. Độ dài của
AC
là:
A.5 B.6 C. 7 D. 9
Câu 9: Cho ba điểm phân biệt A, B, C . Đẳng thức nào đúng?
A.
CA BA BC
B.
AB AC BC
C.
AB
+
CA
=
CB
D.
AB BC CA
Câu 10: Cho hai điểm A và B phân biệt. Điều kiện để I là trung điểm AB là:
A. IA = IB B.
IA IB
C.
IA IB
D.
AI BI
Câu 11: Cho ABC cân ở A, đường cao AH . Câu nào sau đây sai:
A.
AB AC
B.
HC HB
C.
AB AC
D.
AB CB CA
Câu 12: Cho đường tròn tâm O và hai tiếp tuyến song song với nhau tiếp xúc với (O) tại hai điểm A
và B . Câu nào sau đây đúng:
A.
OA OB
B.
AB OB
C. OA = –OB D. AB = –BA
Câu 13: Cho ABC đều , cạnh a . Câu nào sau đây đúng:
A.
AB BC CA
B.
CA AB
C.
AB BC CA a
D.
CA BC
Câu 14: Cho đ.tròn tâm O , và hai tiếp tuyến MT, MT ' (T và T' là hai tiếp điểm) . Câu nào sau đây
đúng:
A.
MT MT'
B.
MT MT' TT'
C. MT = MT D.
OT OT'
Câu 15: Cho ABC, với M là trung điểm của BC . Tìm câu đúng:
A.
AM MB BA 0
B.
MA MB AB
C.
MA MB MC
C.
AB AC AM
Câu 16: Cho ABC với M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB . Tìm câu sai:
Chuyên đề: Véctơ Năm học 2018 – 2019
THẦY VIỆT
0905.193.688
Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường
Trang 31/34
luyenthitracnghi
A.
AB BC AC 0
C.
AP BM CN 0
C.
MN NP PM 0
D.
PB MC PM
Câu 17: Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Vectơ nào trong các vectơ dưới đây bằng
CA
?
A.
BC AB
B.
OA OC
C.
BA DA
D.
DC CB
Câu 18: Điều kiện nào là điều kiện cần và đủ để I là trung điểm của đoạn thẳng AB.
A. I A = I B B.
IA IB 0
C.
IA IB 0
D.
IA IB
Câu 19: Cho ba điểm ABC. Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề đúng:
A. AB + BC = AC B.
AB BC CA 0
C.
AB BC CA BC
D.
AB CA BC
Câu 20: Cho bốn điểm ABCD. Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề đúng:
A.
AB CD AD CB
B.
AB BC CD DA
C.
AB BC CD DA
D.
AB AD CD CB
Câu 21: Cho hình vuông ABCD, trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề đúng ?
A.
AB BC
B.
AB CD
C.
AC BD
D.
AD CB
Câu 22: Cho ABC và một điểm M thoả mãn điều kiện
MA MB MC 0
. Trong các mệnh đề sau
tìm đề sai :
A. MABC là hình bình hành B.
AM AB AC
C.
BA BC BM
D.
MA BC
1.3 Tích véctơ với một số
Câu 23: Cho ABC có G là trọng tâm, I là trung điểm BC. Đẳng thức nào đúng?
A.
GA 2GI
B.
1
IG IA
3

C.
GB GC 2GI
D.
GB GC GA
Câu 24: Cho tam giác ABC có trọng tâm G và M là trung điểm BC. Khẳng định nào sau đây là sai?
A.
2
AG AM
3
B.
AB AC 3AG
C.
G A BG CG
D.
GB GC GM
Câu 25: Cho hình bình hành ABCD. Đẳng thức nào đúng?
A.
AC B 2BCD
B.
AC BC AB
C.
AC B 2CDD
D.
AC A CDD
Câu 26: Cho ABC vuông tại A với M là trung điểm của BC . Câu nào sau đây đúng:
A.
AM MB MC
B.
MB MC
C.
MB MC
D.
BC
AM
2
Câu 27: Cho tam giác ABC. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Trong các mệnh đề
sau tìm mệnh đề sai :
A.
AB 2AM
B.
AC 2NC
C.
BC 2MN
D.
1
CN AC
2

Câu 28: Cho hình vuông ABCD có tâm là O. Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai
A.
AB AD 2AO
B.
1
AD DO CA
2
C.
1
OA OB CB
2

D.
AC DB 2AB
Câu 29: Cho tam giác ABC, có bao nhiêu điểm M thoả mãn :
MA MB MC
= 1
A. 0 B. 1 C. 2 D. vô số
Câu 30: Cho hình bình hành ABCD, có M là giao điểm của hai đường chéo. Trong các mệnh đề sau,
tìm mệnh đề sai:
A.
AB BC AC
B.
AB AD AC
C.
BA BC 2BM
D.
MA MB MC MD
Câu 31: Cho G là trọng tâm của tam giác ABC. Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề đúng :
Chuyên đề: Véctơ Năm học 2018 – 2019
THẦY VIỆT
0905.193.688
Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường
Trang 32/34
luyenthitracnghi
A.
2
AB AC AG
3

B.
BA BC 3BG
C.
CA CB CG
D.
AB AC BC 0
Câu 32: Cho tam giác ABC điểm I thoả:
IA 2IB
. Chọn mệnh đề đúng:
A.
CA 2CB
CI
3
B.
CA 2CB
CI
3
C.
CI CA 2CB
D.
CA 2CB
CI
3
Câu 33: Cho tam giác ABC đều có cạnh bằng a . Độ dài của
AB AC
bằng
A. 2a B. a C.
a3
D.
a3
2
Câu 34: Cho ABC. Đặt
a BC,b AC
. Các cặp vectơ nào sau cùng phương?
A.
2a b,a 2b
B.
a 2b,2a b
C.
5a b, 10a 2b
D.
a b,a b
Câu 35: Cho tam giác ABC. I là điểm nào nếu
IA IB IC 0
A. Trung điểm AB B. Trọng tâm tam giác ABC
C. Đỉnh thứ tư của hình bình hành ACBI D. Đỉnh thứ tư của hình bình hành ABCI
Câu 36: Cho hình bình hành ABCD, Điểm M thoả mãn
4AM AB AC AD
Khi đó, điểm M là:
A. Trung điêm AC B. Điểm C C. Trung điểm AB D. Trung điểm AD
Câu 37: Cho ba điểm ABC thoả mãn
AB 2AC
. Chọn câu trả lời sai :
A. Ba điểm A,B,C thẳng hàng B. Điểm B nằm trên AC và ngoài đoạn AC
C. Điểm C là trung điểm đoạn thẳng AB D. Điểm B là trung điểm đoạn thẳng AC
Câu 38: Cho tam giác ABC. Điểm N thoả mãn
2NA NB NC 0
là:
A. Trọng tâm tam giác ABC
B. Trung điểm đoạn BC
C. Trung điểm đoạn AK với K là trung điểm đoạn BC
D. Đỉnh thứ tư của hình bình hành nhận AB và AC làm hai cạnh.
Câu 39:Cho tam giác ABC. Hãy xác định điểm I thoả mãn
2IB 3IC 0
A. I là trung điểm BC B. I không thuộc BC
C. I nằm trên BC ngoài đoạn BC D. I thuộc đoạn BC và
3
BI IC
2
Câu 40: Cho tam giác ABC. Hãy xác định điểm M thoả mãn
MA MB MC 0
A. Trọng tâm tam giác ABC B. Đỉnh của hình bình hành ABCM
C. Trùng điểm B D. Trung điểm BC
Câu 41: Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Trên cạnh BC lấy hai điểm M,N sao cho
BM=MN=NC. Điểm G là điểm gì của tam giác AMN ?
A. Trực tâm B. Tâm đường tròn ngoại tiếp
C. Tâm đường tròn nội tiếp. D. Trọng tâm
Câu 42: Cho tứ giác ABCD. Gọi E,F lần lượt là trung điểm của AB và CD.Điểm G thoả mãn :
GA GB GC GD 0
. Xét các mệnh đề :
I. G là trung điểm của AC II. G là trung điểm của EF.
Mệnh đề nào đúng :
A. Chỉ I B. Cả I,II đều đúng C. Chỉ II D. I , II đều sai
Câu 43: Cho tứ giác ABCD. Điểm P thoả mãn hệ thức
3PA PB PC 0
Chuyên đề: Véctơ Năm học 2018 – 2019
THẦY VIỆT
0905.193.688
Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường
Trang 33/34
luyenthitracnghi
A. P là trung điểm AG , G là trọng tâm tam giác ACD.
B. P là trung điểm AG , G là trọng tâm tam giác BAD.
C. P là trung điểm AG , G là trọng tâm tam giác BCD.
D. P là trung điểm AG , G là trọng tâm tam giác ABC.
Câu 44: Tứ giác ABCD là hình thoi có đáy AB và CD khi và chỉ khi
A. AD//BC B.
AB kCD
với
k \ 0
C.
AB kCD
với k>0 D.
AB kCD
với k<0
Câu 45: Tứ giác ABCD là hình thoi khi và chỉ khi
A.
AB DC
và
AC BD
B.
BC AD
và AC là phân giác
BAD
C.
BA CD
và
BA BC
D. Các kết quả A,B,C đều đúng.
Câu 46: Cho tam giác ABC có
AB AC AB AC
thì tam giác ABC :
A. Cân B. Đều C. Vuông tại A D. Vuông tại B
Câu 47: Tứ giác ABCD là hình gì nếu thoả mãn hệ thức
AD BD DC
?
A. Hình thang B. Hình chữ nhật C. Hình bình hành D.Hình vuông
Câu 48: Tứ giác ABCD thoả mãn hệ thức
AC kAD AB
thì tứ giác đó là hình gì?
A. Hình bình hành B. Hình chữ nhật C. Hình thang D. Hình thoi.
Câu 49: Gọi M,N lầ lượt là trung điểm của cạnh AD và DC của tứ giác ABCD . Các đoạn thẳng
AN và BM cắt nhau tại P. Biết
12
PM BM ; AP AN
55

.Tứ giác ABCD là hình gì ?
A. Hình bình hành B.Hình thang C. Hình chữ nhật D. Hình vuông
Câu 50: Cho tam giác ABC có các cạnh bằng a,b,c và trọng tâm G thoả mãn
2 2 2
a GA b GB c GC 0
. Tam giác ABC là tam giác gì ?
A. Đều B. Cân tại A C. Thường D. Vuông tại B.
Câu 51: Cho tam giác ABC cố định , M là điểm di động thoả mãn
MA MB MC 3
. Khi đó
tập hợp các điểm M là :
A. Đoạn thẳng B. Đường thẳng C. Đường tròn D. Các kết quả A,B,C đều sai
Câu 52: Cho tam giác ABC có trọng tâm G , I là trung điểm BC. Tập hợp các điểm M di đọng thoả
mãn
2 NA NB NC 3 NB NC
là :
A. Đường trung trực của IG B. Đường thẳng qua G và vuông góc với IG
C. Đường thẳng qua G và song song với IG D. Đường tròn tâm G, bán kính IG
Câu 53: Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn điều kiện sau:
A. Tập hợp các điểm M là đường trung trực của EF ; E,F lần lượt là trung điểm của AB, AC.
B. Tập hợp các điểm M là đường thẳng đi qua A và song song với BC.
C. Tập hợp các điểm M là đường tròn tâm I, bán kính
AB
9
D. Tập hợp các điểm M là đường thẳng vuông góc với AC.
Câu 54: Cho hai điểm cố định A và B. Tập hợp điểm M thoả mãn
MA MB MA MB
là:
A. Đường tròn đường kính AB B. Trung trực của đoạn thẳng AB
Chuyên đề: Véctơ Năm học 2018 – 2019
THẦY VIỆT
0905.193.688
Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường
Trang 34/34
luyenthitracnghi
C. Đường tròn tâm I , bán kính AB D. Nửa đường tròn đường kính AB.
Câu 55:Cho tam giác ABC . Tâp hợp các điểm M thoả mãn điều kiện
MA MB MC AB AC
là:
A. Đường tròn tâm G , đường kính BC B.Đường tròn tâm G, đường kính
BC
3
C. Đường tròn tâm G, bán kính
BC
3
D. Đường tròn tâm G , đường kính 3MG
Câu 56: Cho hai véctơ
a
và
b
không cùng phương sao cho
a b 1, a b 2
. Khi đó, véctơ
a
và
b
có giá
A. Trùng nhau B. Song song với nhau
C. Vuông góc với nhau D. Cắt nhau nhưng không vuông góc với nhau
Câu 57: Cho tam giác đều ABC , tâm O, M là điểm bất kì trong tam giác . Hình chiếu của M
xuống ba cạnh của tam giác là D, E., F . Hệ thức giữa các véctơ
MD, ME ,MF,MO
là :
A.
1
MD ME MF MO
2
B.
2
MD ME MF MO
3
C.
3
MD ME MF MO
4
D.
3
MD ME MF MO
2
Câu 58: Cho tam giác ABC có trực tâm H, O là tâm đường tròn ngoại tiếp. Chọn khẳng định đúng:
A.
1
OA OB OC OH
2
B.
1
OA OB OC OH
3
C.
OA OB OC OH
D.
OA OB OC 2OH
Câu 59: Cho tam giác ABC có trực tâm H, O là tâm đường tròn ngoại tiếp. Chọn khẳng định đúng:
A.
HA HB HC 4OH
B.
HA HB HC 2OH
C.
2
HA HB HC OH
3
D.
HA HB HC 3OH
Câu 60: Cho tam giác ABC với các cạnh AB=c , BC=a, CA=b . Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp
trong tam giác ABC . Đẳng thức nào sau đây đúng ?
A.
aIA bIB cIC 0
B.
1 1 1
IA IB IC 0
a b c
C.
bIA cIB aIC 0
D.
aIA bIB cIC 0
| 1/34

Tài liệu khác của Toán 10

Preview text:

THẦY VIỆT 0905.193.688
Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường MỤC LỤC
A. HAI VÉCTƠ BẰNG NHAU .............................................................................................................................................. 2
I. Chứng minh các véctơ bằng nhau ............................................................................................................................ 2
II. Tính độ dài véctơ ...................................................................................................................................................... 3
BÀI TẬP ........................................................................................................................................................................ 3
B. TỔNG VÀ HIỆU HAI VÉCTƠ ........................................................................................................................................... 4
Dạng 1: Tìm tổng của hai vectơ và tổng của nhiều véctơ ............................................................................................ 4
Dạng 2 : Tìm vectơ đối và hiệu của hai véctơ .............................................................................................................. 4
Dạng 3 : Chứng minh Đẳng thức véctơ ....................................................................................................................... 4
Dạng 4 : Tính độ dài véctơ ............................................................................................................................................ 5
Bài tập ............................................................................................................................................................................ 6
C.TÍCH CỦA VÉCTƠ VỚI MỘT SỐ ...................................................................................................................................... 7
Dạng1 : Chứng minh đẳng thức véctơ: ........................................................................................................................ 7
Bài tập .......................................................................................................................................................................... 10
Dạng 2: Tìm một điểm thoả mãn một đẳng thức véctơ cho trước: ........................................................................... 11
Bài tập .......................................................................................................................................................................... 13
Dạng 3: Phân tích một véctơ theo hai véctơ không cùng phương. ........................................................................... 14
Bài tập .......................................................................................................................................................................... 18
Dạng 4: Chứng minh ba điểm thẳng hàng ................................................................................................................ 18
Bài tập .......................................................................................................................................................................... 22
Dạng 5: Chứng minh hai điểm trùng nhau: .............................................................................................................. 23
Bài tập .......................................................................................................................................................................... 24
Dạng 6: Quỹ tích điểm ................................................................................................................................................ 24
Bài tập .......................................................................................................................................................................... 26
MỘT SỐ VÍ DỤ VÀ BÀI TẬP VẬN DỤNG. ........................................................................................................................ 26
Bài tập .......................................................................................................................................................................... 29
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM .................................................................................................................................................. 30
1.1 Xác đinh véctơ ....................................................................................................................................................... 30
1.2 Tổng – Hiệu hai véc tơ .......................................................................................................................................... 30
1.3 Tích véctơ với một số ............................................................................................................................................. 31
Chuyên đề: Véctơ
Năm học 2018 – 2019 Trang 1/34 luyenthitracnghi
THẦY VIỆT 0905.193.688
Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường Chuû ñeà 1
PHEÙP TOAÙN VEÙCTÔ  A. HAI VÉCTƠ BẰNG NHAU
I. Chứng minh các véctơ bằng nhau
Ví dụ 1: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O. Gọi H là trực tâm của tam
giác ABC. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của BC và AH. Chứng minh: OM  AN Giải:
OA kéo dài cắt đường tròn ngọai tiếp tam giác ABC tại D. A
Ta có DC  AC, DB  AB ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
 BH / /DC,CH / /DB BHCD là hình bình hành  H,M,D N thẳng hàng và MH=MD. 1
Trong tam giác DAH có OM//AH và OM  AH H O 2 Suy ra OM  AN . B C M D
Ví dụ 2:Cho hình vuông ABCD. Gọi M,N,P,Q lần lượt là các điểm trên các cạnh AB,BC,CD và AM BN CP DQ 1 DA sao cho   
. Chứng minh rằng: MN  QP,MQ  NP . AB BC CD DA 3 Giải:
Từ giả thiết ta suy ra AM=BN=CP=DQ  MNPQ là hình bình N C
hành  MN  QP và MQ  NP B P M A Q D
Ví dụ 3:Cho tứ giác ABCD. Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm các cạnh AB,BC,CD và DA.
Chứng minh rằng: NP  MQ , PQ  NM . Giải:
Từ giả thiết ta suy ra MN=PQ và MN//PQ vì chúng đều C 1 N bằng
AC và đều song song với AC. Vậy tứ giác B 2
MNPQ là hình bình hành nên ta có P M NP  MQ , PQ  NM A Q D
Ví dụ 4:Cho hình bình hành ABCD. Dựng AM  BA ;MN  DA ; NP  DC . Chứng minh
MP  DB ; MD  PB Giải:
Chuyên đề: Véctơ
Năm học 2018 – 2019 Trang 2/34 luyenthitracnghi
THẦY VIỆT 0905.193.688
Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường
Ta có B,A,M thẳng hàng và AB=AM. B C
Do MN  DA MN / /DA và MN=DA.
Do NP  DC  AB  NP//AP và NP=AB P A
Hai tam giác ABC và NPM bằng nhau và có các cạnh D
tương ứng song song . Từ đó suy ra MP=DB và
MP//DB. Vậy tứ giác MPDB là hình bình hành. N M
 MP  DB ; MD  PB (đpcm)
II. Tính độ dài véctơ
Ví dụ 5: Cho hình vuông ABCD tâm O cạnh a. Gọi M là trung điểm của AB, N là điểm đối
xứng với C qua D. Hãy tính độ dài của các véctơ sau: MD , MN . Giải:
Trong tam giác vuông MAD ta có D 2  a  a 5 N C 2 2 2 MD  MD  AB  AM  a     .  2  2
Dựng hình vuông ADNP , khi đó 3a PM  . 2
Trong tam giác vuông MNP ta có B P A M 2  3a  a 13 2 2 2 MN  MN  NP  PM  a      2  2
Ví dụ 6: Cho tam giác đều ABC cạnh a và G là trọng tâm. Gọi I là trung điểm của AG. Tính độ
dài của các véctơ AG , BI . Giải: 2 2 2 2 a a 3 A Ta có 2 2 2 AG  AG  AM  AB  BM  a   3 3 3 4 3 2 2 a a a 21 I 2 2 BI  BI  BM  MI    4 3 6 G B C M BÀI TẬP
Bài 1: Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi I là trung điểm của BC . Dựng điểm B’ sao cho B'B  AG a) Chứng minh: BI  IC
b) Gọi J là trung điểm của BB’. Chứng minh : BJ  IG
Bài 2:Cho hình bình hành ABCD. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của DC, AB . Gọi P là giao điểm
của của AM và DB ; Q là giao điểm của CN và DB. Chứng minh DP  PQ  QB
Bài 3:Cho hình thang ABCD có hai đáy là AB và CD với AB =2CD. Từ C vẽ CI  DA . Chứng
minh: a) DI  CB . b) AI  IB  DC .
Chuyên đề: Véctơ
Năm học 2018 – 2019 Trang 3/34 luyenthitracnghi
THẦY VIỆT 0905.193.688
Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường
B. TỔNG VÀ HIỆU HAI VÉCTƠ
Dạng 1: Tìm tổng của hai vectơ và tổng của nhiều véctơ
Phương pháp: Dùng định nghĩa tổng của hai véctơ, quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành và các
tính chất của tổng các véctơ
Ví dụ 1:Cho lục giác đều ABCDEF tâm O . Chứng minh OA  OB  OC  OD  OE  OF  0
Ví dụ 2: Cho năm điểm A,B,C,D,E. Hãy tính tổng AB  BC  CD  DE
Ví dụ 3: Cho hình bình hành ABCD. Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD.
a) Tìm tổng của hai véctơ NC và MC , AM và CD , AD và NC .
b) Chứng minh AM  AN  AB  AD
Dạng 2 : Tìm vectơ đối và hiệu của hai véctơ
Phương pháp: 1) Tính tổng a  b ,ta làm hai bước sau:
- Tìm véctơ đối của b là b
- Tính tổng a  b
2) Vận dụng quy tắc OA  OB  BA với ba điểm O,A,B bất kì.
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC.Các điểm M , N và P lần lượt là trung điểm của AB, AC và BC.
a) Tìm hiệu AM  AN , MN  NC , MN  PN , BP  CP .
b) Phân tích AM theo hai véctơ MN và MP
Ví dụ 2: Cho bốn điểm A,B,C,D. Chứng minh AB  CD  AC  BD
Ví dụ 3: Cho hai điểm phân biệt A và B. Tìm điểm M thoả mãn một trong các điều kiện sau:
a) MA  MB  BA b) MA  MB  AB c) MA  MB  0
Dạng 3 : Chứng minh Đẳng thức véctơ
Phương pháp:
Sử dụng quy tắc ba điểm , quy tắc hình bình hành , trung điểm để biến đổi vế này thành vế
kia của đẳng thức hoặc biến đổi cả hai vế để được hai vế bằng nhau hoặc ta cũng có thể biến
đổi đẳng thức véctơ cần chứng minh đó tương đương với một đẳng thức véctơ đã được công nhận là đúng
Ví dụ 1: Cho bốn điểm bất kì A,B,C,D . Chứng minh các đẳng thức sau:
a) AC  BD  AD  BC b) AB  CD  AD  CB c) AB  CD  AC  BD
Ví dụ 2: Cho 6 điểm A,B,C,D ,E, F tuỳ ý . Chứng minh rằng:
AC  BD  EF  AF  BC  ED
Ví dụ 3: Cho hình bình hành ABCD tâm O. Chứng minh :
BD  BA  OC  OB và BC  BD  BA  0
Ví dụ 4: Cho hình bình hành ABCD tâm O. M là điểm tuỳ ý. Chứng minh :
AB  OA  OB và MA  MC  MB  MD
Ví dụ 5: Cho hình bình hành ABCD . Gọi M và N là trung điểm của AD và BC. Chứng minh
a) AD  MB  NA  0 b) CD  CA  CB  0
Chuyên đề: Véctơ
Năm học 2018 – 2019 Trang 4/34 luyenthitracnghi
THẦY VIỆT 0905.193.688
Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường
Ví dụ 6: Cho 6 điểm A,B,C,D ,E, F . Chứng minh rằng: ( Bằng nhiều cách khác nhau)
a) AB  CD  AD  CB b) AB  CD  AC  DB
c) AB  AD  CB  CD d) AB  BC  CD  DA  0
e) AD  BE  CF  AE  BF  CD f) AC  DE  DC  CE  CB  AB
Dạng 4 : Tính độ dài véctơ
Phương pháp: Đưa tổng hoặc hiệu của các véctơ về một véctơ có độ dài là một cạnh của đa giác
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A , biết AB=a ; AC=2a . Tính AB  AC và AB  AC . Giải: +        2 2 AB AC AD AD BC a 2a  a 5 A
+ AB  AC  CB  CB  a 5 a 2a B C D
Ví dụ 2: Cho tam giác đều ABC cạnh a. Tính AB  BC và CA  CB . Giải:
+ AB  BC  AC  AC  a A
+ AB  AC  CB  CB  a B C
Ví dụ 3: Cho hình thoi ABCD cạnh a có 0
BAD  60 . Gọi O là giao điểm hai đường chéo .Tính:
a) AB  AD b) BA  BC ; c) OB  DC Giải: a) 2 2
AB  AD  AC  AC  2AO  AB  BO  a 3 A
b) BA  BC  CA  CA  a 3 600 a 3
c) OB  DC  DO  DC  CO  CO  2 B D O C
Chuyên đề: Véctơ
Năm học 2018 – 2019 Trang 5/34 luyenthitracnghi
THẦY VIỆT 0905.193.688
Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường
Ví dụ 4: Cho tam giác ABC vuông tại A , biết AB=a và 0
B  60 . Tính AB  BC và AB  AC . Giải: + 0
AB  BC  AC  AC  AB.tan 60  a 3 A a + AB  AC  CB  CB   2a a 0 cos 60 600 B C D
Ví dụ 5: Cho hình vuông ABCD cạnh a , có O là giao điểm hai đường chéo . Tính:
a) OA  CB b) AB  DC ; c) CD  DA Giải: a 2
a) OA  CB  CO  CB  BO  BO  B C 2
b) AB  DC  AB  AB  2 AB  2a O
c) CD  DA  CD  CB  BD  BD  a 2 A D Bài tập
Bài 1:Cho tam giác đều ABC cạnh a và đường cao AH.Tính AB  AC và AB  BH , AB  AC .
Bài 2:Cho hình vuông ABCD cạnh a . Tính BC  AB ; AB  AC
Bài 3: Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD.
a) Với M tuỳ ý, Hãy chứng minh: MA  MC  MB  MD
b) Chứng minh rằng: AB  AD = AB  AD
Bài 4 : Cho hai véctơ a và b cùng khác 0 . Khi nào thì:
a) a  b  a  b b) a  b  a  b c) a  b  a  b
Bài 5: Tìm tính chất tam giác ABC biết rằng : CA  CB  CA  CB
Chuyên đề: Véctơ
Năm học 2018 – 2019 Trang 6/34 luyenthitracnghi
THẦY VIỆT 0905.193.688
Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường
C.TÍCH CỦA VÉCTƠ VỚI MỘT SỐ
Dạng1 : Chứng minh đẳng thức véctơ:
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có AM là trung tuyến, D là trung điểm của AM. Chứng minh:
a) 2DA  DB  DC  0 b) 2OA  OB  OC  4OD ( Với O tuỳ ý) Giải: a) Có DB  DC  2DM O
 2DA  DB  DC  2DA  2DM  2DA  DM  0 A b) OB  OC  2OM D
 2OA  OB  OC  2OA  2OM  2OA  OM  4OD B C M
Ví dụ 2: Cho tứ giác ABCD. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của hai đường chéo AC và BD.
Chứng minh rằng: AB  CD  2MN Giải: Có MN  MA  AB  BN C MN  MC  CD  DN  B
2MN  MA  MC  AB  CD  BN  DN M N
 2MN  AB  CD A D
Ví dụ 3:Gọi I,J lần lượt là trung điểm của hai đoạn thẳng AB và CD.
Chứng minh rằng: 2IJ  AC  BD  AD  BC Giải: IJ  IA  AC  CJ Có C IJ  IB  BD  DJ B
 2IJ  IA  IB AC BDCJ  DJ  AC BD J I IJ  IA  AD  DJ Có IJ  IB  BC  CJ A D
2IJ  IA  IB  AD  BB  CJ  DJ  AD  BC
Ví dụ 4: Chứng minh rằng: Nếu G và G’ lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ABC và A’B’C’ thì
3GG '  AA'  BB'  CC' Giải:
AA '  AG  GG '  G 'A ' AG  BG  CG  0
Có BB'  BG  GG '  G 'B' và
G 'A '  G 'B'  G 'C'  0
CC '  CG  GG '  G 'C '
 AA '  BB'  CC'  AG  BG  CG  3GG'  G'A'  G'B'  G'C'  3GG'
Chuyên đề: Véctơ
Năm học 2018 – 2019 Trang 7/34 luyenthitracnghi
THẦY VIỆT 0905.193.688
Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường
Ví dụ 5: Cho tứ giác ABCD. Gọi E,F lần lượt là trung điểm của AB ,CD và O là trung điểm của EF. 1
Chứng minh rằng: a) EF 
ACBD , b) OAOBOCOD0 2
c) MA  MB  MC  MC  4MO ( M là điểm bất kì) Giải: EF  EA  AC  CF a) Có M C EF  EB  BD  DF
 2EF  EA  EB AC BD CF DF  AC BD B F 1 E Vậy: EF  ACBD O 2 OA  OB  2OE A D b) Có OC  OD  2OF
 OA  OB  OC  OD  2OE  OF  0 MA  MO  OA MB  MO  OB c) Có
 MA  MB  MC  MC  4MO  OA  OB  OC  OD  4MO MC  MO  OC MD  MO  OD
Ví dụ 6: Cho tam giác ABC. Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của BC,CA,AB.
Chứng minh rằng: AM  BN  CP  0 Giải: 3 3 3 Có AM  AG; BN  BG;CP  CG A 2 2 2 3
 AM  BN  CP  AG  BG  CG  0 2 P N G B C M
Ví dụ 7: Cho hình bình hành ABCD tâm O . AO  a , BO  b
a) Chứng minh rằng: AB  AD  2AO
b) Biểu diễn các véctơ sau AC , BD, AB , BC, CD , DA theo a , b . Giải: a) AB  AD  AC  2AO B C
b) AC  2AO  2a ; BD  2BO  2b b
AB  OB  OA  BO  AO  a  b
BC  OC  OB  AO  BO  a  b a O
CD  BA  OA  OB  AO  BO  a   b A D
DA  OA  OD  AO  BO  a   b
Chuyên đề: Véctơ
Năm học 2018 – 2019 Trang 8/34 luyenthitracnghi
THẦY VIỆT 0905.193.688
Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường
Ví dụ 8: Cho tam giác ABC nội tiến đường tròn tâm O , H là trực tâm của tam giác ,D là điểm đối xứng của A qua O.
a) Chứng minh tứ giác HCDB là hình bình hành.
b) Chứng minh: HA  HD  2HO , HA  HB  HC  2HO , OA  OB  OC  OH
c) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Chứng minh OH  3OG .
Từ đó có kết luận gì về ba điểm O,H,G Giải:
a) Có BH//DC vì cùng vuông góc với AC A
CH//BD vì cùng vuông góc với AB
Suy ra tứ giác HCDB là hình bình hành.
b) Vì O là trung điểm của AD nên: HA  HD  2HO N
Vì tứ giác HCDB là hình bình hành nên HB  HC  HD G H O
HA  HB  HC  HA  HD  2HO
Từ đẳng thức HA  HB  HC  2HO Suy ra B M C
HO  OA  HO  OB  HO  OC  2HO D
 OA  OB  OC  HO  OH
Cách khác: Có OA  OH  HA  OH  AH  OH  2OM  OH  OB  OC
 OA  OB  OC  OH   *
c) Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên OA  OB  OC  3OG
Kết hợp với (*) ta có OH  3OG . Hai véctơ OH và OG cùng phương nên ba điểm O,H,G thẳng hàng.
Ví dụ 9: Cho tứ giác ABCD. 1
a) Gọi M,N là trung điểm của AD, BC. Chứng minh MN  ABDC . 2
b) Gọi O là điểm nằm trên đoạn MN và OM=2ON.Chứng minh rằng:
OA  2OB  2OC  OD  0 Giải: MN  MA  AB  BN a) C MN  AD  DC  CN N B
 2MN  MA  MD AB DCBN  CN  AB DC O 1 Vây: MN  ABDC 2 A b) Có; M D
OA  2OB  2OC  OD  OA  OD  2OB  OC  2OM  4ON = 4NO  4ON  0
Chuyên đề: Véctơ
Năm học 2018 – 2019 Trang 9/34 luyenthitracnghi
THẦY VIỆT 0905.193.688
Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường
Ví dụ 10: Cho 4 điểm A,B,C,D . Gọi I ,F lần lượt là trung điểm của BC , CD .
Chứng minh: 2AB  AI  FA  DA  3DB Giải:
AB  AI  FA  DA  DA  AB  FA  AI C Có 1 3 I
 DB  FI  DB  DB  DB B 2 2 F 1 Do FI  DB . 2
 2AB AI  FA  DA  3DB A D
Ví dụ 11: Cho tam giác đều ABC với G là trọng tâm, H là điểm đối xứng với B qua G .Chứng minh: 2 1 1 a) AH 
AC  AB ; CH   AB  AC 3 3 3 1 5
b) M là trung điểm của BC. Chứng minh: MH  AC  AB 6 6 Giải: 4 4
a) Có AH  AB  BH  AB  BE  AB  AEAB A 3 3 4  1  1 2  AB  AC  AB   AB  AC   H 3  2  3 3 E 2 2 1          1 CH 2MG GA AM . AB AC   AB  AC 3 3 2 3 G 1 1 MH  MC  CH  BC  AB  AC 2 3 b) Có: B C 1 M     1     1 5 AC AB AB AC  AC  AB 2 3 6 6 Bài tập
Bài 1: Cho hình bình hành ABCD.Chứng minh rằng: AB  2AC  AD  3AC
Bài 2: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Chứng minh rằng:
MA  MB  MC  3MG với M bất kì
Bài 3: Gọi M,N là trung điểm của AB và CD của tứ giác ABCD.Chứng minh rằng:
2MN  AC  BD  BC  AD
Bài 4: Chứng minh rằng: Nếu G và G’ lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ABC và A’B’C’ thì
AA'  BB'  CC'  3GG ' . Suy ra điều kiện để hai tam giác có cùng trọng tâm.
Bài 5: Cho tam giác ABC.Chứng minh rằng:
G là trọng tâm của tam giác ABC  GA  GB  GC  0  MA  MB  MC  3MG
Bài 6: Cho 4 điểm A,B,C,D . M,N lần lượt là trung điểm của AB, CD. Chứng minh rằng:
AD  BD  AC  BC  4MN
Bài 7: Gọi O,G,H lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, trực tâm, trọng tâm của tam giác ABC.
Chứng minh rằng: a) HA  HB  HC  2HO b) HG  2GO
Chuyên đề: Véctơ
Năm học 2018 – 2019 Trang 10/34 luyenthitracnghi
THẦY VIỆT 0905.193.688
Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường
Dạng 2: Tìm một điểm thoả mãn một đẳng thức véctơ cho trước: Phương Pháp:
+ Biến đổi đẳng thức đã cho về dạng : AM  u trong đó A là một điểm cố định , u cố định.
+ Dựng điểm M thoả mãn AM  u
Ví dụ 1: Cho hai điểm phân biệt A và B . Tìm điểm K sao cho: 3KA  2KB  0 Giải:        2 3KA 2KB 0 3KA 2 KA
AB  0  5AK  2AB  AK  AB  K 5
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC .
a) Tìm điểm I sao cho: 2IB  3IC  0
b) Tìm điểm O sao cho: OA  OB  OC  0
c) . Tìm điểm K sao cho: KA  2KB  CB
d) Tìm điểm M sao cho: MA  MB  2MC  0 Giải: a) Có          3 2IB 3IC 0 2BI 3IC 2BI 3 IB BC  BI  BC  I 5
b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Khi đó: OA  OB  OC  0
 OG  GA  OG  GB  OG  GC  0  3OG  GA  GB  GC  0
 3OG  0  O  G . Vậy điểm O cần tìm chính là trọng tâm G của tam giác ABC.
c) KA  2KB  CB  KA  2KA  AB  AB  AC A
 3KA  AB  AC  3AK  AB  AC  2AM 2  AK  AM  AG  K  G 3 G
(Với M là trung điểm BC , G là trọng tâm tam giác ABC) B C M
d) Tìm điểm M sao cho: MA  MB  2MC  0
Gọi I là trung điểm của AB. Khi đó: MA  MB  2MC  0 A
2MI  2MC  0  2MI  MC  0  4MK  0  M  K
Với K là trung điểm của IC. I K B C
Ví dụ 3: Cho tứ giác ABCD. Tìm điểm O sao cho: OA  OB  OC  OD  0 Giải:
Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm các cạnh AB,BC,CD,DA C
Khi đó ta có GA  GB  GC  GD  GM  GP  0 Với G là N
giao điểm của MP và NQ.Điểm G chính là trọng tâm tứ giác B P
ABCD. Từ đẳng thức OA  OB  OC  OD  0 suy ra M G
4OG  GA  GB  GC  GD  0  OG  0  O  G . A Q D
Chuyên đề: Véctơ
Năm học 2018 – 2019 Trang 11/34 luyenthitracnghi
THẦY VIỆT 0905.193.688
Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường
Ví dụ 4: Cho tam giác ABC.
a) Tìm điểm I sao cho: 2IB  3IC  0
b) Tìm điểm J sao cho: JA  JB  2JC  0
c) . Tìm điểm K sao cho: KA  KB  BC
d) . Tìm điểm K sao cho: KA  KB  2BC
e) Tìm điểm L sao cho: 3LA  LB  2LC  0 Giải: a)        3 2IB 3IC 0
2IB 3 IB BC  0  5IB  3BC  0  BI  BC  I 5
b) JA  JB  2JC  0  JA  JC  JB  JC  0 K
CA  JB  JC  CA  JC  CB  JC  CA  CB  2JC A 1
 AB  2CJ  CJ  AB  J 2
c) KA  KB  BC  KA  KA  AB  BC B C 1
 2KA  BC  BA  AK   AC  K 2 J
d) . Tìm điểm K sao cho: KA  KB  2BC A
Gọi D là trung điểm của AB. Khi đó KA  KB  2BC K
2KD  2BC  DK  CB  K ( Tứ giác DCBK là hình bình D hành) B C
e) Tìm điểm L sao cho: 3LA  LB  2LC  0 A
Gọi E là trung điểm của AC. Khi đó 3LA  LB  2LC  0
 2LA  LC  LC LB  0  4LE  BC  0 E L 1  EL  BC B C 4
Ví dụ 5: Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của AB và N là một điểm trên cạnh AC sao cho NC=2NA.
a) Xác định điểm K sao cho 3AB  2AC 12AK  0
b) Xác định điểm D sao cho 3AB  4AC 12KD  0 Giải: a) 3AB  2AC 12AK  1 1 0  AK  AB  AC A 4 6 J
Gọi I,J lần lượt là trung điểm của AM, AN. Khi đó I N
AK  AI  AJ  K là trung điểm của MN. b) 3AB  4AC 12KD  0 M K 1 1 H
 KD  AB  AC  AI  AN  AH . 4 3
Ta chỉ cần tìm điểm D sao cho KD  AH
(Tứ giác AKDH là hình bình hành) B C D
Chuyên đề: Véctơ
Năm học 2018 – 2019 Trang 12/34 luyenthitracnghi
THẦY VIỆT 0905.193.688
Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường
Ví dụ 6: Cho các điểm A,B,C, D , E . Xác định các điểm O, I , K sao cho a) OA  2OB  3OC  0
b) IA  IB  IC  ID  0
c) KA  KB  KC  3KD  KE  0 Giải:
a) OA  2OB  3OC  0  OA  OC  2OB  OC  0 C
 OM  2ON  0  3OM  2MN  0 N 2  MO  MN  O O 3 B M
(Với M , N lần lượt là trung điểm của AC , BC.) G
b) I là trọng tâm của tứ giác ABCD. K D
c) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, P là trung điểm của
DE.Khi đó KA  KB  KC  3KD  KE  0 A P 2
 3KG  6KP  0  KG  2KP  0  GK  GP E 3
Ví dụ 7: Cho tam giác ABC và đường thẳng d
a) Xác định điểm I sao cho IA  IB  2IC  0
b) Tìm điểm M trên d sao cho véctơ u  MA  MB  2MC có độ dài nhỏ nhất. Giải:
a) Gọi H là trung điểm của AB.Ta có A
IA  IB  2IC  0  2IH  2IC  0  IH  IC  0 . Suy ra I là trung điểm của HC H
b) ta có: u  MA  MB  2MC  4MI  IA  IB  2IC  4MI
 u  4MI  4MI nhỏ nhất khi và chỉ khi M là hình chiếu I C B vuông góc của I trên d. d M Bài tập
Bài 1: Cho hai điểm phân biệt A và B .Xác định điểm M biết: 2MA  3MB  0
Bài 2: Cho tam giác ABC. Xác đinh các điểm M,N sao cho:
a) MA  2MB  0 b) NA  2NB  CB
Bài 3: Cho hình bình hành ABCD. Xác định điểm M thoả mãn : 3AM  AB  AC  AD
Bài 4: Cho tứ giác ABCD. Tìm điểm O sao cho: OA  OB  OC  OD  0
Bài 5: Cho tam giác ABC.
a) Hãy xác định các điểm G, P, Q, R , S sao cho:
GA  GB  GC  0 ; 2PA  PB  PC  0 ; QA  3QB  2QC  0 ; RA  RB  RC  0 5SA  2SB  SC  0
b) Với điểm O bất kì và với các điểm G , P , Q, R , S ở câu a) , chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 OG  OA  OB  OC ; OP  OA  OB  OC ; OQ  OA  OB  OC 3 3 3 2 4 4 6 2 3 5 1
OR  OA  OB  OC ; OS  OA  OB  OC 2 2
Chuyên đề: Véctơ
Năm học 2018 – 2019 Trang 13/34 luyenthitracnghi
THẦY VIỆT 0905.193.688
Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường
Dạng 3: Phân tích một véctơ theo hai véctơ không cùng phương. Phương Pháp:
* Quy tắc 3 điểm AB  AO  OB ( phép cộng)
AB  OB  OA ( phép trừ)
* Quy tắc đường chéo hình bình hành: Nếu ABCD là hình bình hành thì AC  AB  AD
* Tính chất trung điểm : I là rung điểm AB  IA  IB  0  MA  MB  2MI ( M bất kì)
* Tính chất trọng tâm: G là trọng tâm tam giác ABC  GA  GB  GC  0
 MA  MB  MC  3MG ( M bất kì)
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Cho các điểm D, E, F lần lượt là trung điểm các cạnh
BC , CA, AB . I là giao điểm AD và EF. Hãy phân tích các véctơ AI, AG , DE, DC theo hai véctơ AE , AF Giải: 1 1 + AI  AE  AF A 2 2 2 2 2 + AG  AD  AE  AF 3 3 3 F I E + DE  FA  0.AE  AF G + DC  FE  AE  AF B D C
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC . Điểm M nằm trên cạnh BC sao cho MB  3MC . hãy phân tích
véctơ AM theo hai véctơ AB, AC Giải:
Có MB  3MC  MB  3MB  3BC  2BM  3BC A 3  BM  BC  M 2 3 3 AM  AB  BM  AB  BC  AB  ACAB 2 2 1 3 BC M AM   AB  AC 2 2
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC . Điểm M nằm trên cạnh BC sao cho MB=2MC . hãy phân tích véctơ AM theo hai véctơ AB, AC Giải: 2 2
Có AM  AB  BM  AB  BC  AB  ACAB A 3 3 1 2 AM  AB  AC 3 3 B C M
Chuyên đề: Véctơ
Năm học 2018 – 2019 Trang 14/34 luyenthitracnghi
THẦY VIỆT 0905.193.688
Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường
Ví dụ 4: Cho AK và BM là hai trung tuyến của tam giác ABC. Hãy phân tích véctơ AB, BC,CA theo hai véctơ AK,BM Giải: 1
+ AB  AK  KB  AK  KM  MB  AK  AB  BM A 2 3  2 2 AB  AK  BM Vậy: AB  AK  BM M 2 3 3 G 1 1 + BC  BM  MC  BM  AC  BM  AKKC 2 2 B C 1 1 1 1 K  AK  BM  KC  AK  BM  BC 2 2 2 4 3 1  2 4 BC  AK  BM . Vậy BC  AK  BM 4 2 3 3 1 1 + CA  CK  AK  CB  AK  MBMCAK 2 2 1 1 1 1
 CA  AK  BM  MC  AK  BM  CA 2 2 2 2 3 1  2 1 CA  AK 
BM . Vậy: CA   AK  BM 2 2 3 3
Ví dụ 5: Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi I là trung điểm của đoạn AG, K là điểm trên cạnh 1 AB sao cho AK 
AB . Hãy phân tích các véctơ AI, AK , CI , CK theo CA , CB 5 Giải: 1 1 1  1  + AI  AD  AC  CD  AC  CB   A 3 3 3  2  K 1 1 Vậy: AI   CA  CB I 3 6 1 1 1 1 + AK  AB 
CBCA . Vậy AK   CA CB G 5 5 5 5  1 1  2 1 B C D
+ CI  CA  AI  CA   CA  CB  CA  CB    3 6  3 6 1 1 + CK  CA  AK  CA  AB  CA  CB  CA 5 5 4 1 Vậy: CK  CA  CB 5 5
Chuyên đề: Véctơ
Năm học 2018 – 2019 Trang 15/34 luyenthitracnghi
THẦY VIỆT 0905.193.688
Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường
Ví dụ 6: Cho lục giác đều ABCDEF tâm O cạnh a.
a) Phân tích véctơ AD theo hai véctơ AB , AF 1 1
b) Tính độ dài u  AB  BC theo a. 2 2 Giải: 1
a) Có AD  AB  BC  CD  AB  AD  AF B a C 2 1 ( Do BC  AD ; CD  AF ) 2 O 1 A D
 AD  AB  AF  AD  2AB  2AF 2 1 1 1 AC a 3 b) u  AB  BC  AC  u   2 2 2 2 2 F E
Ví dụ 7: Cho tam giác ABC . Gọi M là trung điểm của AB, N là điểm trên cạnh AC sao cho
NA=2NC . Gọi K là trung điểm MN.
a) Phân tích véctơ AK theo hai véctơ AB, AC 1 1
b) Gọi D là trung điểm BC. Chứng minh: KD  AB  AC 4 6 Giải: 1 1  1 2  1 1 a) AK  AMAN  AB  AC  AB  AC   A 2 2  2 3  4 3 1  1 1  b) KD  AD  AK  ABAC AB AC   M 2  4 3  K N 1 1  KD  AB  AC 4 6 B C D
Ví dụ 8: Cho tam giác ABC , Gọi G là trọng tâm và H là điểm đối xứng của B qua G. 2 1 4 2 a) Chứng minh: AH  AC  AB , BH   AB  AC 3 3 3 3 1 5
b) Gọi M là trung điểm BC , Chứng minh: MH  AC  AB 6 6 Giải: 4 4
a) + AH  AB  BH  AB  BE  AB  AEAB A 3 3 1 4 1 2 H AH   AB  AE   AB  AC 3 3 3 3 4 4 4  1  4 2 G E + BH  BE  AEAB  AC  AB   AB  AC   3 3 3  2  3 3 B C  1 2  1 M
b) MH  AH  AM   AB  AC    ABAC  3 3  2 5 1 Vậy: MH   AB  AC 6 6
Chuyên đề: Véctơ
Năm học 2018 – 2019 Trang 16/34 luyenthitracnghi
THẦY VIỆT 0905.193.688
Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường
Ví dụ 9: Cho hình bình hành ABCD , tâm O. Đặt AB  a , AD  b . Hãy tính các véctơ sau theo
a , b . a) AI ( I là trung điểm của BO) . 1 5
b) BG ( G là trọng tâm tam giác OCD). ĐS: 3 1 AI  a  b BG   a  b 4 4 2 6 Giải: 1 1
a) AI  AB  BI  AB  BD  AB  ADAB B C 4 4 3 1 3 1
 AI  AB  AD  a  b a I 4 4 4 4 G O 1 1 1 1 b) BG  BO  OG  BD  AD  ADAB AD A D 2 3 2 3 b 1 5 1 5  BG   AB  AD   a  b 2 6 2 6
Ví dụ 10: Cho tam giác ABC và G là trọng tâm . B1 là điểm đối xứng của B qua G. M là trung điểm
BC. Hãy biểu diễn các véctơ AM, AG , BC,CB , AB , MB qua hai véctơ AB, AC . 1 1 1 Giải: 1 1 + AM  AB  AC A 2 2 2 2 1 1 1 B1 + AG  AM 
. AB  AC  AB  AC E 3 3 2 3 3 + BC  AB  AC G 1 1 B C
+ CB  2MG  AG   AB  AC M 1 3 3 4 4 1 2 + AB  AB  BB  AB 
BE  AB  . AE  AB  AB   AB  AC 1 1   3 3 1 3 3  1 2  1 5 1
+ MB  AB  AM   AB  AC  AB  AC     AB  AC 1 1    3 3  2 6 6
Ví dụ 11: Cho tam giác ABC , Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI=3BI và J thuộc BC kéo dài sao cho 5JB=2JC.
a) Tính AI, AJ theo hai véctơ AB, AC . Từ đó biểu diễn AB, AC theo AI, AJ .
b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Tính AG theo AI, AJ Giải: 2 2 AI  AB  BI  AB  BC  AB  ACAB A 5 5 a) + 3 2 AI  AB  AC 5 5 2 2 + AJ  AB  BJ  AB  BC  AB  ACAB G 3 3 C 1 2 J B I AJ  AB  AC 3 3 3  AB 2AC  5AI 5 3 5 9 Giải hệ:   AB  AI  AJ ; AC  AI  AJ AB  2AC  3AJ 4 4 8 8
Chuyên đề: Véctơ
Năm học 2018 – 2019 Trang 17/34 luyenthitracnghi
THẦY VIỆT 0905.193.688
Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường 1 1  5 3 5 9  5 1 b) AG  AB  AC  AI  AJ  AI  AJ  AI  AJ   3 3  4 4 8 8  8 8 Bài tập
Bài 1: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Phân tích AM theo hai véctơ AB, AC
Bài 2: Cho tam giác ABC . Gọi M là trung điểm của AB, N là điểm trên cạnh AC sao cho
NA=2NC . Gọi K là trung điểm MN. Phân tích véctơ AK theo hai véctơ AB, AC
Bài 3: Cho tam giác ABC. Gọi M,N,P là trung điểm của BC, CA, AB. Tính các véctơ AB, BC,CA theo các véctơ BN ,CP .
Bài 4: Cho hình vuông ABCD, E là trung điểm CD. Hãy phân tích véctơ AE theo hai véctơ AD, AB
Bài 5:Cho tam giác ABC. Gọi I là điểm trên BC kéo dài thoả mãn IB=3IC
a) Tính véctơ AI theo các véctơ AB, AC .
b) Gọi J và K lần lượt là các điểm trên AC , AB sao cho JA  2JC và KB  3KA .
Tính véctơ JK theo các véctơ AB, AC . c) Chứng minh BC  1  0AI  24JK.
Bài 6: Cho hai điểm phân biệt A và B.
a) Hãy xác định các điểm P,Q,R biết: 2PA  3PB  0 ;  2QA  QB  0 ; RA  3RB  0
b) Với điểm O bất kì và với ba điểm P,Q,R ở câu a) , Chứng minh rằng: 2 3 1 3 OP 
OA  OB ; OQ  2OA  OB ; OR   OA  OB 5 5 2 2
Dạng 4: Chứng minh ba điểm thẳng hàng
Phương pháp: Ba điểm A,B,C thẳng hàng  AB  kAC
Để chứng minh được điều này ta có thể áp dụng một trong hai phương pháp:
+ Cách 1: Áp dụng các quy tắc biến đổi véctơ.
+ Cách 2: Xác định hai véctơ trên thông qua tổ hợp trung gian.
Ví dụ 1: Cho 4 điểm O,A,B,C sao cho 3OA  2OB  OC  0. Chứng minh rằng A,B,C thẳng hàng. Giải: 1
Ta có : 3OA  2OB  OC  0.  3OA  2OA  AB  OA  AC  0  AB   AC 2
Vậy: ba điểm A,B,C thẳng hàng 1
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC. I là điểm trên cạnh AC sao cho CI  AC , J là điểm mà 4 1 2 3 BJ  AC 
AB a) Chứng minh rằng: BI 
AC  AB b) Chứng minh B, I, J thẳng hàng. 2 3 4 Giải: Đổi đẳ 1 2 ng thức BJ  AC  AB A 2 3 1     2 1 1 BJ AB BC  AB  BA 
BC . Ta tìm được điểm J. 2 3 6 2 1 3 J I
a) BI  BC  CI  AC  AB  AC  AC  AB . 4 4 E 2  3  2 B C F b) Lại có BJ  AC  AB  BI   nên B, I, J thẳng hàng. 3  4  3
Chuyên đề: Véctơ
Năm học 2018 – 2019 Trang 18/34 luyenthitracnghi
THẦY VIỆT 0905.193.688
Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có AM là trung tuyến. Gọi I là trung điểm của AM và K là một điểm 1
trên cạnh AC sao cho AK  AC . 3
a) Phân tích véctơ BK , BI theo hai véctơ BA , BC .
b) Chứng minh ba điểm B,I,K thẳng hàng. Giải: 1 1
a) BK  BA  AK  BA  AC  BA  BC  BA A 3 3 2 1 1 K BK 
BA  BC  2BA  BC 3 3 3 I 1 1  1  BI  BA  AI  BA  AM  BA  AB  BC   2 2  2  B C M 1 1 1 BI  BA  BC  2BABC 2 4 4 4 b)  BK 
BI Vậy ba điểm B,I,K thẳng hàng. 3
Ví dụ 4: Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Lấy điểm I,J sao cho 2IA  3IC  0 , 2JA  5JB  3JC  0
a) Chứng minh rằng: M,N,J thẳng hàng . Với M,N là trung điểm của AB và BC.
b) Chứng minh rằng: J là trung điểm của BI. Giải:
Tìm điểm I: Từ giả thiêt 2IA  3IC  0 A 3
2IA  3IA  3AC  0 AI  AC  I 5
Tìm điểm J: 2JA  5JB  3JC  0 MI
2JA  JB  3JB  JC  0 G J
 4JM  6JN  0  2JM  3JN  0  5JM  3MN  0 3 B C Hay MJ  MN  J N 5 3 a) Từ đẳng thức MJ 
MN suy ra ba điểm M,N,J thẳng hàng . 5
b) Từ đẳng thức 2IA  3IC  0  2IB  BA  3IB  BC  0  5IB  2BA  3BC  0 2 3  BI  BA  BC 5 5
Từ đẳng thức: 2JA  5JB  3JC  0  2JB  BA  5JB  3JB  BC  0 1 3 1  2 3 
10JB  2BA  3BC  BJ  BA  BC  BA  BC   5 10 2  5 5  1 Như vậy : BJ 
BI nên J là trung điểm của BI. 2
Chuyên đề: Véctơ
Năm học 2018 – 2019 Trang 19/34 luyenthitracnghi
THẦY VIỆT 0905.193.688
Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường
Ví dụ 5: Cho tam giác ABC. Gọi I là trung điểm của BC ; D và E là hai điểm sao cho: BD  DE  EC.
a) Chứng minh AB  AC  AD  AE
b) Tính véctơ: AS  AB  AD  AC  AE theo AI .
c) Suy ra ba điểm A, I , S thẳng hàng. Giải:
a) Do I là trung điểm của BC nên I cũng là trung điểm của DE. A
Nên AB  AC  2AI ; AD  AE  2AI .
Suy ra : AB  AC  AD  AE
b) AS  AB  AD  AC  AE  AB  AC  AD  AE  4AI
c) Có AS  4AI Suy ra ba điểm A, I , S thẳng hàng. B C D I E
Ví dụ 6:Cho tam giác ABC. Đặt AB  u ; AC  v
a) Gọi P là điểm đối xứng với B qua C. Tính AP theo u , v . 1 1
b) Gọi Q và R là hai điểm định bởi : AQ  AC ; AR 
AB . Tính RP ; RQ theo u , v . 2 3
c) Suy ra P,Q,R thẳng hàng. Giải:
AP  AB  BP  AB  2BC  AB  2AC  AB A a)
AP  AB  2AC  u  2v R 1 4 Q
b) RP  RA  AP   AB  AB  2AC   AB  2AC 3 3 u v 4  1 1 
 RP   u  2v  4  u  v   B C 3  3 2  P 1 1 1 1
RQ  RA  AQ   AB  AC   u  v 3 2 3 2
c) Nhận thấy RP  4RQ nên ba điểm P,Q,R thẳng hàng.
Ví dụ 7: Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Lấy điểm I,J sao cho IA  2IB , 3JA  2JC  0 .
Chứng minh IJ đi qua trọng tâm G của tam giác ABC. Giải:
Xác định các điểm I,J. A Có 3JA  2JC  2
0  5JA  2AC  0  AJ  AC J 5
Phân tích các véctơ IG,I J qua hai véctơ AB,AC G 2 1 5 1 IG  AG  AI 
. AB  AC  2AB   AB  AC B C 3 2 3 3 2 6  5 1  I J  IA  AJ  2  AB  AC =  AB  AC   5 5  3 3  I 6
 IJ  IG . Vậy ba điểm I,G,J thẳng hàng. 5
Chuyên đề: Véctơ
Năm học 2018 – 2019 Trang 20/34 luyenthitracnghi
THẦY VIỆT 0905.193.688
Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường
Ví dụ 8: Cho tam giác ABC Lấy các điểm M,N,P thoả mãn : MA  MB  0 , 3AN  2AC  0 ,
PB  2PC . Chứng minh: M,N,P thẳng hàng. Giải:
Xác định các điểm M,N,P. A
+ M là trung điểm của AB + 3AN  2AC  2 0  AN  AC 3 M N
+ PB  2PC  PB  2PB  2BC  BP  2BC
+ Phân tích các véctơ MN ,MP theo hai véctơ AB,AC B C P 1 2
MN  MA  AN   AB  AC ; 2 3 1 1 1
MP  MA  AP   AB  AC  CP   AB  AC  BC   AB  AC  AC  AB 2 2 2 3  1 2 
Hay : MP   AB  2AC  3  AB  AC  3MN   2  2 3  3  1 2 
MP   AB  2AC  3  AB  AC  3MN  
. Vậy ba điểm M,N,P thẳng hàng. 2  2 3 
Ví dụ 9: Cho hình bình hành ABCD . Lấy các điểm I,J thoả mãn 3IA  2IC  2ID  0
JA  2JB  2JC  0 . Chứng minh I,J ,O thẳng hàng với O là giao điểm của AC và BD. Giải:
Xác định các điểm I, J. B C + 3IA  2IC  2ID  0 2 I
 3IA  2DC  0  3AI  2DC  AI  AB 3 O
+ JA  2JB  2JC  0  JA  2BC  0 J A D AJ  2AD
+ Biểu diễn các véctơ I J , IO qua các véctơ AB, AD 2 1 2 1 1
I J  AJ  AI   AB  2AD ; IO  AO  AI 
ABAD AB  AB AD 3 2 3 6 2 2  1 1 
Có : I J   AB  2AD  4  AB  AD  4IO  
. Vậy ba điểm I,J ,O thẳng hàng . 3  6 2 
Ví dụ 10: Cho tam giác ABC và điểm M thoả mãn AM  3AB  2AC. Chứng minh B,M,C thẳng hàng. Giải:
+ Dựng các véctơ AE  3AB, AF  2A  C F  AM  AE  AF  M
MC  MA  AC  3AB  2AC  AC A +  3AC  AB  3BC M B C
Do MB  3BC nên ba điểm M,B,C thẳng hàng. E
Chuyên đề: Véctơ
Năm học 2018 – 2019 Trang 21/34 luyenthitracnghi
THẦY VIỆT 0905.193.688
Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường
Ví dụ 11: Cho tam giác ABC . Gọi M,N lần lượt là các điểm thuộc cạnh AB, AC sao cho 1 AM 
MB, AN  3NC và điểm P xác định bởi hệ thức 4PB  9PC  0 . Gọi K là trung điểm MN. 2 1 3 a) Chứng minh: AK 
AB  AC b) Chứng minh: Ba điểm A,K,P thẳng hàng. 6 8 Giải:
Xác định điểm P: 4PB  9PC  0 A      9 4PB 9 PB BC  0  BP  BC 13 M 1 1  1 3  1 3 a) AK  AMAN  AB  AC  AB  AC   2 2  3 4  6 8 K N b) Tìm AP 9 9 B C P AP  AB  BP  AB  BC  AB  ACAB 13 13 4 9 24  1 3  24 AP  AB  AC  AB  AC  AK  
. Vì vậy ba điểm A,K,P thẳng hàng. 13 13 13  6 8  13
Ví dụ 12: Cho tam giác ABC. Hai điểm M,N được xác định bởi các hệ thức
BC  MA  0 ; AB  NA  3AC  0 . Chứng minh MN//AC. Giải:
+ Xác định các điểm M,N. E
Có AM  BC Tứ giác ABCM là hình bình hành. M
AB  NA  3AC  0  AN  AB  3AC A
Dựng các véctơ AE  AB , AF  3AC  AN  AE  AF C N B
MN  AN  AM  AB  3AC  BC Vậy: MN//AC
 AB  3AC  AC  AB  2AC F Bài tập
Bài 1: Cho tam giác ABC . Lấy các điểm M,N,P sao cho MB  3MC  0 ; AN  3NC ;
PA  PB  0 . Chứng minh rằng M,N,P thẳng hàng.
Bài 2: Cho tam giác ABC . M là điểm trên BC, N là điểm trên AM còn P là điểm trên AC sao cho BM AN 1 AP 1   ;
 . Chứng minh ba điểm B,N,P thẳng hàng. BC AC 3 AC 7
Bài 3: Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Giả sử I và J là các điểm thoả mãn hệ thức
IA  IB  IC  0 ; JA  JB  3JC  0 a) Dựng các điểm I,J.
b) Chứng minh ba điểm I, G, B thẳng hàng. c) Chứng minh I J// AC.
Bài 4: Cho tam giác ABC
a) Dựng điểm I thoả mãn hệ thức: 2IA  IB  3IC  0
b) Giả sử các điểm M,N biến thiên nhưng luôn luôn thoả mãn hệ thức MN  2MA  MB  3MC .
Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.
Chuyên đề: Véctơ
Năm học 2018 – 2019 Trang 22/34 luyenthitracnghi
THẦY VIỆT 0905.193.688
Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường
Dạng 5: Chứng minh hai điểm trùng nhau: Phương pháp:
Để chứng minh M và M’ trùng nhau , ta lựa chọn một trong hai hướng:
Cách 1: Chứng minh MM '  0
Cách 2: Chứng minh OM  OM ' với O là điểm tuỳ ý.
Ví dụ 1: Cho tứ giác lồi ABCD. Gọi M,N , P,Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA.
Chứng minh rằng: Hai tam giác ANP và CMQ có cùng trọng tâm. Giải:
Với điểm G bất kì ta có C 1        1 GA GN GP GA GB GC  GCGD N 2 2 B 1 1  GC 
GAGB GAGD P 2 2 M  GC  GM  GQ
Vậy GA  GN  GP  0 khi và chỉ khi GC  GM  GQ  0 A Q D
Do đó Hai tam giác ANP và CMQ có cùng trọng tâm G.
Ví dụ 2: Cho lục giác ABCDEF. Gọi M,N,P,Q,R,S lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD,
DE,EF,FA. Chứng minh rằng hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm. Giải:
Với điểm G bất kì ta có N C 1       1     1 B GM GP GR GA GB GC GD  GEGF P 2 2 2 M D 1 1 1
GBGC GDGE GFGA A 2 2 2 Q
 GN  GQ  GS S
Vậy GM  GP  GR  0 khi và chỉ khi GN  GQ  GS  0 R E F
Do đó Hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm G.
Ví dụ 3: Cho tứ giác ABCD. Gọi I,J là trung điểm của AB và CD.
a) Chứng minh rằng: AC  BD  AD  BC  2IJ
b) Gọi P,Q là trung điểm các đoạn thẳng AC và BD , M và N là trung điểm AD và BC.
Chứng minh rằng: Ba đoạn thẳng IJ , PQ , MN có cùng trung điểm. Giải:
a) Ta có: AC  BD  AB  BC  BA  AD  BC  AD C I J  IB  BC  CJ Lại có N I J  IA  AD  DJ  B P
2I J  IA  IB  BC  AD  CJ  DJ  BC  AD J G
Vì vậy: AC  BD  AD  BC  2IJ I Q
b) Ba hình bình hành MPNQ , MINJ, MIPJ có các đường
chéo MN, PQ, IJ đồng quy tại trung điểm mỗi đường. A M D
Chuyên đề: Véctơ
Năm học 2018 – 2019 Trang 23/34 luyenthitracnghi
THẦY VIỆT 0905.193.688
Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường Bài tập
Bài 1:Cho hai tam giác ABC và A’B’C’ có trọng tâm tương ứng là G , G’.
a) Chứng minh rằng: AA'  BB'  CC'  3GG '
b) Từ đó suy ra nếu AA'  BB'  CC'  0 thì hai tam giác có cùng trọng tâm.
Bài 2: Cho hai tam giác ABC . Lấy D,E,F lần lượt trên các cạnh BC,CA,AB sao cho BD CE AF 1  
 . Chứng minh hai tam giác ABC và DEF có cùng trọng tâm. BC CA AB 3
Bài 3: Cho ngũ giác ABCDE. Gọi M,N,P,Q,R lần lượt là trung điểm các cạnh AB , BC , CD ,
DE , EA . Chứng minh rằng hai tam giác MPE và NQR có cùng trọng tâm.
Bài 4: Cho hai hình bình hành ABCD và AB’C’D’ có chung đỉnh A. Chứng minh rằng: a) BB'  C'C  DD'  0
b) Hai tam giác BC’D và B’CD’ có cùng trọng tâm.
Dạng 6: Quỹ tích điểm
Phương pháp: Đối với bài toán quỹ tích, học sinh cần nhớ một số quỹ tích cơ bản sau:
- Nếu MA  MB với A, B cho trước thì M thuộc đường trung trực của đoạn AB.
- Nếu MC  k. AB với A,B , C cho trước thì M thuộc đường tròn tâm C , bán kính bằng k. AB - Nếu MA  k.BC thì
+ M thuộc đường thẳng qua A song song với BC nếu k 
+ M thuộc nửa đường thẳng qua A song song với BC và cùng hướng với BC nếu k  
+M thuộc nửa đường thẳng qua A song song với BC và ngược hướng với BC nếu k  
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC. M là điểm tuỳ ý trong mặt phẳng.
a) Chứng minh rằng: véctơ v  3MA  5MB  2MC không đổi.
b) Tìm tập hợp những điểm M thoả mãn: 3MA  2MB  2MC  MB  MC Giải: a) v  3MA  5MB  2MC
v  3MA  MB  2MC  MB  3BA  2BC I A là véctơ không đổi.
b) Chọn điểm I sao cho 3IA  2IB  2IC  0
Khi đó 3MA  2MB  2MC  MB  MC  B
3MI  IA  2MI  IB  2MI  IC  CB K C 1
Về mặt hình học: 3IA  2IB  2IC  0 3 MI  CB  MI  BC 3 2
 3IA  2CB  0  AI  CB  I
Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn 3 1
Ta chỉ cần vẽ đường tròn tâm I bán kính tâm I bán kính R  BC 3 1 R  BC 3
Chuyên đề: Véctơ
Năm học 2018 – 2019 Trang 24/34 luyenthitracnghi
THẦY VIỆT 0905.193.688
Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp những điểm M thoả mãn: 3 a) MA  MB  MC 
MB  MC b) MA  3MB  2MC  2MA  MB  MC 2 Giải:
a) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC và D là trung điểm của BC. A 3 Ta có: MA  MB  MC  MB  MC 2 3 3MG 
2MD  MG  MD  MG  MD 2 E
Vậy tập hợp các điểm M là đường thẳng trung trực của đoạn GD. G d M B C D ……
b) Chọn điểm I sao cho IA  3IB  2IC  0
Khi đó MA  3MB  2MC  2MA  MB  MC A
 MI  IA  3MI  IB  2MI  IC KI MA  MB  MA  MC  B C
2MI  IA  3IB  2IC  BA  CA D 1 
Về mặt hình học: Gọi K là trung điểm của MI  BA  1 CA  MI  BA  CA 2 2 AB. Khi đó:
Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn IA  3IB  2IC  0 1
 IA  IB  2IB IC tâm I bán kính R  BA  CA  AD .  0 2
 2IK  2BC  0  KI  BC I 1 R  BA  1 CA  AB  AC  AD 2 2
Ví dụ 3: Cho tứ giác ABCD. Với k là số tuỳ ý thuộc đoạn 0; 
1 lấy các điểm M,N sao cho AM  kAB , DN  kDC .
Tìm tập hợp trung điểm I của đoạn MN khi k thay đổi. Giải:
Gọi P ,Q lần lượt là trung điểm của AD và BC. C 1 Ta có PQ  ABDC Q 2 B
Vì P và I lần lượt là trung điểm của AD và MN nên 1     k PI AM DN  ABDC PI  kPQ N M 2 2 I
Ba điểm P,I Q thẳng hàng . Do 0  k 1 nên tập hợp các A D
điểm I là đoạn thẳng PQ. P
Chuyên đề: Véctơ
Năm học 2018 – 2019 Trang 25/34 luyenthitracnghi
THẦY VIỆT 0905.193.688
Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường Bài tập
Bài 1: Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp những điểm M thoả mãn:
2 MA  MB  MC  3 MA  MC
Bài 2: Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp những điểm M thoả mãn:
a) MA  MB  MC b) MA  MC c) MA  MB  MC  AB  AC
Bài 3: Cho hai điểm A và B .Tìm tập hợp những điểm M thoả mãn:
a) MA  MB  MA  MB b) MA  MB  MA  MC
MỘT SỐ VÍ DỤ VÀ BÀI TẬP VẬN DỤNG.
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC với I là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác .
a) Phân tích véctơ IC theo các phương AI, BI.
b) Từ câu a) hãy chứng minh hệ thức véctơ aIA  bIB  cIC  0
( trong đó BC=a, CA= b, AB = c) Giải:
a) Dựng hình bình hành IECF . Viết IC  IE  I F A F IE CF B'C BC a a Ta có      IE   IA IA IA B'A BA c c B'
( Do BB’ là là đường phân giác trong của góc B nên b c B'C BC a I   ) B'A BA c B a C A' Tương I F b b   a b IF  
IB . Vì vậy IC   IA  IB I B c c c c a b
b) Từ kết quả IC   IA 
IB  aIA  bIB  cIC  0 E c c
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC Có trọng tâm G , M là điểm tuỳ ý .Gọi A1 , B1 , C1 lần lượt là các điểm
đối xứng của M qua các trung điểm I, J, K của các cạnh BC, CA, AB.
a) Chứng minh AA1 , BB1 , CC1 đồng quy tại trung điểm của mỗi đoạn ( gọi là điểm O).
b) Chứng minh M,O,G thẳng hàng. Giải:
a) Ta có MA  MA  MA  MB  MC 1 A
MB  MB  MA  MB  MC 1
MC  MC  MA  MB  MC 1 K M J
Suy ra MA  MA  MB  MB  MC  MC C1 B1 G 1 1 1
Từ đó suy ra các đoạn AA1 , BB1 , CC1 đồng quy tại trung điể O m của mỗi đoạn . B
b) Từ kết quả câu a) ta có I C
2MO  MA  MB  MC  3MG
Suy ra hai véctơ MO; MG cùng phương hay M,O,G thẳng hàng. A1
Chuyên đề: Véctơ
Năm học 2018 – 2019 Trang 26/34 luyenthitracnghi
THẦY VIỆT 0905.193.688
Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC , M là một điểm trên cạnh BC . Chứng minh rằng MC MB AM  AB  AC BC BC Giải: Vẽ MN//AC ( N  AB ) A
Áp dụng định lí Ta-lét ta có AN MC AN  AB  AB AB BC N NM MB NM  AC  AC AC BC MC MB  AM  AN  NM  AB  AC B C M BC BC
Ví dụ 4: Đường tròn tâm I nội tiếp trong tam giác ABC , tiếp xúc với các cạnh BC, CA , AB lần lượt
tại M,N,P. Chứng minh rằng: aIM  bIN  cIP  0 ( Trong đó BC=a , CA=b, AB=c) Giải:
Gọi p là nửa chu vi tan giác ABC , ta có: A AP  AN  p  a  BM  BP  p  b N P CN  CM  p c  b c I MC MB
Áp dụng ví dụ 3 ta có IM  IB  IC BC BC B a C M
 aIM  p  cIB  p  bIC bIN  
p aIC  p cIA Tương tự 
Cộng từng vế các đẳng thức này ta được cIP  
p  bIA  p aIB
aIM  bIN  cIP  2p  b  cIA  2p  c  aIB  2p  a  bIC  aIA  bIB  cIC  0
Ví dụ 5: Cho tam giác ABC và một điểm M bất kì trong tam giác . Đặt S  S , S  S ,S  S . Chứng minh rằng:  S MC  0 MBC a MCA MAB c b a S MA S MB c b Giải: A 'C A 'B
Áp dụng ví dụ 3 ta có MA '  MB  MC A BC BC Ta lại có: 1 1 MA '.CK CK.MA H A 'C S CK S S MA 'C 2 2 MAC b       M A 'B S 1 BH 1 S S MA ' B MAB c MA '.BH BH.AM 2 2 A' A 'C S A 'B S B C b   E ; c   BC S  S BC S  S b c b c K S S b c  MA'  MB  MC   * . S  S S  S b c b c
Chuyên đề: Véctơ
Năm học 2018 – 2019 Trang 27/34 luyenthitracnghi
THẦY VIỆT 0905.193.688
Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường MA ' S S S  S S S + Tính MA 'C MA ' B MA 'C MA ' B a     a  MA'   MA . Thay vào (*) MA S S S  S S  S S  S MAC MAB MAC MAB b c b c Ta đượ S S S c a b c  MA  MB  MC . Suy ra    a S MA S MB c S MC 0 S  S S  S S  S b b c b c b c
Ví dụ 6: Cho tam giác đều ABC tâm O. M là một điểm tuỳ ý bên trong tam giác. D,E,F lần lượt là 3
hình chiếu của M trên BC, CA, AB.Chứng minh rằng: MD  ME  MF  MO 2 Giải:
Gọi AA’ , BB’ , CC’ là các đường cao của tam giác đều ABC A Khi đó S .MA  S .MB  S .MC  0 . Đặt S  S MBC MCA MAB ABC MD S 3 S Ta luôn có: MBC MBC MD  .AA '  AA '  AO AA ' S 2 S F ME S 3 S C' B' MCA MCA ME  BB'  BB'  BO E BB' S 2 S O MF S 3 S M MAB MAB MF  CC'  CC'  CO CC' S 2 S
Cộng vế với vế ba đẳng thức này ta được B C A' D 3  S S S  MBC MCA MAB MD  ME  MF  AO  BO  CO   2  S S S  3 
S MOMA S MOMB S MOMC MBC   MCA  MAB  2S 3 3  S  S  S .MO  S .MA  S MB  S MC MBC MCA MAB   MBC MCA MAB  2S 2S 3 3  MD  ME  MF  .S.MO  MO 2S 2
Ví dụ 7: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp trong đường tròn (O). Tìm điểm M thuộc (O) sao cho
MA  MB  MC lớn nhất , nhỏ nhất. Giải:
Gọi I là đỉnh thứ tư của hình bình hành ACBI , ta có I A
IA  IB  IC  0 suy ra MA  MB  MC  MI , M  M2
Vậy MA  MB  MC lớn nhất khi và chỉ khi M  M 1 O
MA  MB  MC nhỏ nhất khi và chỉ khi M  M 2 B C
Trong đó M1 ,M2 là giao điểm của đường thẳng IO với đường M tròn, M 1
1 khác phía với I, M2 cùng phía với I đối với tâm O.
(Tam giác ABC nhọn nên I luôn nằm ngoài đường tròn)
Ví dụ 8: Cho tứ giác ABCD. Hai điểm M,N thay đổi trên các cạnh AB , CD sao cho: AM CN 
. Tìm tập hợp các trung điểm I của đoạn MN. AB CD Giải:
Chuyên đề: Véctơ
Năm học 2018 – 2019 Trang 28/34 luyenthitracnghi
THẦY VIỆT 0905.193.688
Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường
Từ giả thiết ta có: AM  kAB , CN  kCD ; ( 0  k  1) B
Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của AC và BD. M A PI  PA  AM  MI 1 k  PI 
AMCN  ABCD Q P PI  PC  CN  NI 2 2 I PQ  PA  AB  BQ 1 Có  PQ  ABCD D N C PQ  PC  CD  DQ 2
Suy ra PI  kPQ . Chứng tỏ P,I,Q thẳng hàng . Vì 0  k  1nên I thuộc đoạn PQ.
Vậy :Tập hợp các trung điểm I của đoạn MN là đoạn PQ. Bài tập
Bài 1: Cho ngũ giác ABCDE. Các điểm M,N,P,Q , R, S theo thứ tự là trung điểm các đoạn 1
EA, AB. BC,CD,MP,NQ. Chứng minh rằng RS//ED và RS  ED 4
Bài 2: Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn tâm I . Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các
đường chéo AC, BD . Chứng minh rằng I,E,F thẳng hàng.
Bài 3: Cho hình vuông ABCD cạnh a. Chứng minh ràng véctơ u  4MA  3MB  MC  2MD
Không phụ thuộc vào vị trí của M. Tính độ dài véctơ u .
Bài 4: Cho tam giác ABC , hai điểm M,N thay đổi sao cho MN  4MA  MB  2MC .
Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 5: Cho tứ giác ABCD. Tìm tập hợp các điểm M sao cho
MA  MB  MC  MD  MA  MB  2MC
---------------------------------------------------------------
Chuyên đề: Véctơ
Năm học 2018 – 2019 Trang 29/34 luyenthitracnghi
THẦY VIỆT 0905.193.688
Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CHƯƠNG I. VÉCTƠ 1.1 Xác đinh véctơ
Câu 1: Cho tam giác ABC, có thể xác định bao nhiêu vectơ khác vectơ 0 có điểm đầu và điểm cuối là đỉnh A, B, C ? A.3 B. 6 C. 4 D. 9
Câu 2: Cho tứ giác ABCD. Số các vectơ khác 0 có điểm đầu và cuối là đỉnh của tứ giác bằng: A. 4 B. 6 C. 8 D. 12
Câu 3: Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Số các vectơ khác 0 cùng phương với
OC có điểm đầu và cuối là đỉnh của lục giác là: A. 4 B. 6 C. 7 D. 9
Câu 4: Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Số các vectơ bằng OC có điểm đầu và
cuối là đỉnh của lục giác là: A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
Câu 5: Cho AB ≠ 0 và một điểm C, có bao nhiêu điểm D thỏa mãn: AB  CD A. 0 B. 1 C. 2 D. vô số
Câu 6: Cho AB ≠ 0 và một điểm C, có bao nhiêu điểm D thỏa mãn: AB  CD A. 1 B. 2 C. 0 D. vô số
Câu 7: Điều kiện nào là điều kiện cần và đủ để AB  CD :
A. ABCD là hình bình hành.
B. ABDC là hình bình hành.
C. AD và BC có cùng trung điểm
D. AB = CD và AB // CD
1.2 Tổng – Hiệu hai véc tơ
Câu 8: Cho hình chữ nhật ABCD có AB=3, BC=4. Độ dài của AC là: A.5 B.6 C. 7 D. 9
Câu 9: Cho ba điểm phân biệt A, B, C . Đẳng thức nào đúng?
A. CA  BA  BC B. AB  AC  BC C. AB + CA = CB D. AB  BC  CA
Câu 10: Cho hai điểm A và B phân biệt. Điều kiện để I là trung điểm AB là: A. IA = IB
B. IA  IB C. IA  IB D. AI  BI
Câu 11: Cho ABC cân ở A, đường cao AH . Câu nào sau đây sai:
A. AB  AC B. HC  HB C. AB  AC D. AB  CB  CA
Câu 12: Cho đường tròn tâm O và hai tiếp tuyến song song với nhau tiếp xúc với (O) tại hai điểm A
và B . Câu nào sau đây đúng: A. OA  O  B B. AB  O
 B C. OA = –OB D. AB = –BA
Câu 13: Cho ABC đều , cạnh a . Câu nào sau đây đúng:
A. AB  BC  CA B. CA  AB C. AB  BC  CA  a D. CA  BC
Câu 14: Cho đ.tròn tâm O , và hai tiếp tuyến MT, MT ' (T và T' là hai tiếp điểm) . Câu nào sau đây đúng:
A. MT  MT ' B. MT  MT'  TT' C. MT = MT  D. OT  O  T'
Câu 15: Cho ABC, với M là trung điểm của BC . Tìm câu đúng:
A. AM  MB  BA  0 B. MA  MB  AB C. MA  MB  MC C. AB  AC  AM
Câu 16: Cho ABC với M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB . Tìm câu sai:
Chuyên đề: Véctơ
Năm học 2018 – 2019 Trang 30/34 luyenthitracnghi
THẦY VIỆT 0905.193.688
Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường
A. AB  BC  AC  0
C. AP  BM  CN  0
C. MN  NP  PM  0 D. PB  MC  PM
Câu 17: Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Vectơ nào trong các vectơ dưới đây bằng CA ? A. BC  AB B. O  A  OC
C. BA  DA D. DC  CB
Câu 18: Điều kiện nào là điều kiện cần và đủ để I là trung điểm của đoạn thẳng AB. A. I A = I B B. IA  IB  0
C. IA  IB  0 D. IA  IB
Câu 19: Cho ba điểm ABC. Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề đúng: A. AB + BC = AC
B. AB  BC  CA  0
C. AB  BC  CA  BC D. AB  CA  BC
Câu 20: Cho bốn điểm ABCD. Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề đúng:
A. AB  CD  AD  CB
B. AB  BC  CD  DA
C. AB  BC  CD  DA
D. AB  AD  CD  CB
Câu 21: Cho hình vuông ABCD, trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề đúng ? A. AB  BC
B. AB  CD C. AC  BD D. AD  CB
Câu 22: Cho ABC và một điểm M thoả mãn điều kiện MA  MB  MC  0. Trong các mệnh đề sau tìm đề sai :
A. MABC là hình bình hành B. AM  AB  AC C. BA  BC  BM D. MA  BC
1.3 Tích véctơ với một số
Câu 23: Cho ABC có G là trọng tâm, I là trung điểm BC. Đẳng thức nào đúng? 1
A. GA  2GI B. IG   IA C. GB  GC  2GI D. GB  GC  GA 3
Câu 24: Cho tam giác ABC có trọng tâm G và M là trung điểm BC. Khẳng định nào sau đây là sai? 2 A. AG  AM
B. AB AC 3AG C. GA BG CG D. GB  GC  GM 3
Câu 25: Cho hình bình hành ABCD. Đẳng thức nào đúng?
A. AC  BD  2BC B. AC  BC  AB C. AC  BD  2CD D. AC  AD  CD
Câu 26: Cho ABC vuông tại A với M là trung điểm của BC . Câu nào sau đây đúng: BC
A. AM  MB  MC B. MB  MC C. MB  MC D. AM  2
Câu 27: Cho tam giác ABC. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Trong các mệnh đề sau tìm mệnh đề sai : 1
A. AB  2AM B. AC  2NC C. BC  2M  N D. CN   AC 2
Câu 28: Cho hình vuông ABCD có tâm là O. Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai 1 1
A. AB  AD  2AO B. AD  DO   CA C. OA  OB 
CB D. AC  DB  2AB 2 2
Câu 29: Cho tam giác ABC, có bao nhiêu điểm M thoả mãn : MA  MB  MC = 1 A. 0 B. 1 C. 2 D. vô số
Câu 30: Cho hình bình hành ABCD, có M là giao điểm của hai đường chéo. Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai:
A. AB  BC  AC B. AB  AD  AC C. BA  BC  2BM
D. MA  MB  MC  MD
Câu 31: Cho G là trọng tâm của tam giác ABC. Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề đúng :
Chuyên đề: Véctơ
Năm học 2018 – 2019 Trang 31/34 luyenthitracnghi
THẦY VIỆT 0905.193.688
Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường 2 A. AB  AC 
AG B. BA  BC  3BG
C. CA  CB  CG D. AB  AC  BC  0 3
Câu 32: Cho tam giác ABC điểm I thoả: IA  2IB . Chọn mệnh đề đúng: CA  2CB CA  2CB A. CI  B. CI  3 3 CA  2CB C. CI  C  A  2CB D. CI  3 
Câu 33: Cho tam giác ABC đều có cạnh bằng a . Độ dài của AB  AC bằng a 3 A. 2a B. a C. a 3 D. 2
Câu 34: Cho ABC. Đặt a  BC, b  AC . Các cặp vectơ nào sau cùng phương?
A. 2a  b,a  2b B. a  2b, 2a  b C. 5a  b, 1
 0a  2b D. a  b,a  b
Câu 35: Cho tam giác ABC. I là điểm nào nếu IA  IB  IC  0 A. Trung điểm AB
B. Trọng tâm tam giác ABC
C. Đỉnh thứ tư của hình bình hành ACBI
D. Đỉnh thứ tư của hình bình hành ABCI
Câu 36: Cho hình bình hành ABCD, Điểm M thoả mãn 4AM  AB  AC  AD Khi đó, điểm M là:
A. Trung điêm AC B. Điểm C C. Trung điểm AB D. Trung điểm AD
Câu 37: Cho ba điểm ABC thoả mãn AB  2A
 C . Chọn câu trả lời sai :
A. Ba điểm A,B,C thẳng hàng
B. Điểm B nằm trên AC và ngoài đoạn AC
C. Điểm C là trung điểm đoạn thẳng AB D. Điểm B là trung điểm đoạn thẳng AC
Câu 38: Cho tam giác ABC. Điểm N thoả mãn 2NA  NB  NC  0 là:
A. Trọng tâm tam giác ABC
B. Trung điểm đoạn BC
C. Trung điểm đoạn AK với K là trung điểm đoạn BC
D. Đỉnh thứ tư của hình bình hành nhận AB và AC làm hai cạnh.
Câu 39:Cho tam giác ABC. Hãy xác định điểm I thoả mãn 2IB  3IC  0
A. I là trung điểm BC
B. I không thuộc BC 3
C. I nằm trên BC ngoài đoạn BC
D. I thuộc đoạn BC và BI  IC 2
Câu 40: Cho tam giác ABC. Hãy xác định điểm M thoả mãn MA  MB  MC  0
A. Trọng tâm tam giác ABC B. Đỉnh của hình bình hành ABCM C. Trùng điểm B D. Trung điểm BC
Câu 41: Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Trên cạnh BC lấy hai điểm M,N sao cho
BM=MN=NC. Điểm G là điểm gì của tam giác AMN ? A. Trực tâm
B. Tâm đường tròn ngoại tiếp
C. Tâm đường tròn nội tiếp. D. Trọng tâm
Câu 42: Cho tứ giác ABCD. Gọi E,F lần lượt là trung điểm của AB và CD.Điểm G thoả mãn :
GA  GB  GC  GD  0 . Xét các mệnh đề :
I. G là trung điểm của AC II. G là trung điểm của EF. Mệnh đề nào đúng :
A. Chỉ I B. Cả I,II đều đúng
C. Chỉ II D. I , II đều sai
Câu 43: Cho tứ giác ABCD. Điểm P thoả mãn hệ thức 3PA  PB  PC  0
Chuyên đề: Véctơ
Năm học 2018 – 2019 Trang 32/34 luyenthitracnghi
THẦY VIỆT 0905.193.688
Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường
A. P là trung điểm AG , G là trọng tâm tam giác ACD.
B. P là trung điểm AG , G là trọng tâm tam giác BAD.
C. P là trung điểm AG , G là trọng tâm tam giác BCD.
D. P là trung điểm AG , G là trọng tâm tam giác ABC.
Câu 44: Tứ giác ABCD là hình thoi có đáy AB và CD khi và chỉ khi A. AD//BC
B. AB  kCD với k  \   0
C. AB  kCD với k>0
D. AB  kCD với k<0
Câu 45: Tứ giác ABCD là hình thoi khi và chỉ khi
A. AB  DC và AC  BD
B. BC  AD và AC là phân giác BAD
C. BA  CD và BA  BC
D. Các kết quả A,B,C đều đúng.
Câu 46: Cho tam giác ABC có AB  AC  AB  AC thì tam giác ABC :
A. Cân B. Đều
C. Vuông tại A D. Vuông tại B
Câu 47: Tứ giác ABCD là hình gì nếu thoả mãn hệ thức AD  BD  DC ?
A. Hình thang B. Hình chữ nhật
C. Hình bình hành D.Hình vuông
Câu 48: Tứ giác ABCD thoả mãn hệ thức AC  kAD  AB thì tứ giác đó là hình gì?
A. Hình bình hành B. Hình chữ nhật C. Hình thang D. Hình thoi.
Câu 49: Gọi M,N lầ lượt là trung điểm của cạnh AD và DC của tứ giác ABCD . Các đoạn thẳng 1 2
AN và BM cắt nhau tại P. Biết PM  BM ; AP 
AN .Tứ giác ABCD là hình gì ? 5 5
A. Hình bình hành B.Hình thang C. Hình chữ nhật D. Hình vuông
Câu 50: Cho tam giác ABC có các cạnh bằng a,b,c và trọng tâm G thoả mãn 2 2 2
a GA  b GB  c GC  0 . Tam giác ABC là tam giác gì ? A. Đều B. Cân tại A
C. Thường D. Vuông tại B.
Câu 51: Cho tam giác ABC cố định , M là điểm di động thoả mãn MA  MB  MC  3 . Khi đó
tập hợp các điểm M là :
A. Đoạn thẳng B. Đường thẳng C. Đường tròn D. Các kết quả A,B,C đều sai
Câu 52: Cho tam giác ABC có trọng tâm G , I là trung điểm BC. Tập hợp các điểm M di đọng thoả
mãn 2 NA  NB  NC  3 NB  NC là :
A. Đường trung trực của IG
B. Đường thẳng qua G và vuông góc với IG
C. Đường thẳng qua G và song song với IG
D. Đường tròn tâm G, bán kính IG
Câu 53: Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn điều kiện sau:
A. Tập hợp các điểm M là đường trung trực của EF ; E,F lần lượt là trung điểm của AB, AC.
B. Tập hợp các điểm M là đường thẳng đi qua A và song song với BC. AB
C. Tập hợp các điểm M là đường tròn tâm I, bán kính 9
D. Tập hợp các điểm M là đường thẳng vuông góc với AC.
Câu 54: Cho hai điểm cố định A và B. Tập hợp điểm M thoả mãn MA  MB  MA  MB là:
A. Đường tròn đường kính AB
B. Trung trực của đoạn thẳng AB
Chuyên đề: Véctơ
Năm học 2018 – 2019 Trang 33/34 luyenthitracnghi
THẦY VIỆT 0905.193.688
Nơi nào có ý chí nơi đó có con đường
C. Đường tròn tâm I , bán kính AB
D. Nửa đường tròn đường kính AB.
Câu 55:Cho tam giác ABC . Tâp hợp các điểm M thoả mãn điều kiện
MA  MB  MC  AB  AC là: BC
A. Đường tròn tâm G , đường kính BC B.Đường tròn tâm G, đường kính 3 BC
C. Đường tròn tâm G, bán kính
D. Đường tròn tâm G , đường kính 3MG 3
Câu 56: Cho hai véctơ a và b không cùng phương sao cho a  b  1 , a  b  2 . Khi đó, véctơ a và b có giá A. Trùng nhau
B. Song song với nhau
C. Vuông góc với nhau
D. Cắt nhau nhưng không vuông góc với nhau
Câu 57: Cho tam giác đều ABC , tâm O, M là điểm bất kì trong tam giác . Hình chiếu của M
xuống ba cạnh của tam giác là D, E., F . Hệ thức giữa các véctơ MD, ME , MF, MO là : 1 2 A. MD  ME  MF 
MO B. MD  ME  MF  MO 2 3 3 3 C. MD  ME  MF 
MO D. MD  ME  MF  MO 4 2
Câu 58: Cho tam giác ABC có trực tâm H, O là tâm đường tròn ngoại tiếp. Chọn khẳng định đúng: 1 1 A. OA  OB  OC 
OH B. OA  OB  OC  OH 2 3
C. OA  OB  OC  OH
D. OA  OB  OC  2OH
Câu 59: Cho tam giác ABC có trực tâm H, O là tâm đường tròn ngoại tiếp. Chọn khẳng định đúng:
A. HA  HB  HC  4OH B. HA  HB  HC  2OH 2
C. HA  HB  HC 
OH D. HA  HB  HC  3OH 3
Câu 60: Cho tam giác ABC với các cạnh AB=c , BC=a, CA=b . Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp
trong tam giác ABC . Đẳng thức nào sau đây đúng ? 1 1 1
A. aIA  bIB  cIC  0 B. IA  IB  IC  0 a b c
C. bIA  cIB  aIC  0
D. aIA  bIB  cIC  0
Chuyên đề: Véctơ
Năm học 2018 – 2019 Trang 34/34 luyenthitracnghi