CÁC ĐỊNH LÝ VỀ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH ĐHSPTPHCM

§3 CAÙC ÑÒNH LYÙ VEÀ GIAÙ TRÒ TRUNG BÌNH 2.3.1. Ñònh nghóa:
Haøm y=f(x) ñöôïc goïi laø ñaït cöïc ñaïi (hay ñaïi cöïc ñaïi theo nghóa heïp) taïi x0
neáu toàn taïi laân caän (x0-,x0+) Df (mieàn xaùc ñònh cuûa f(x)) sao cho: f(x0) f(x)  x  (x0-,x0+).
Töông töï neáu f(x) f(x0)  x  (x0-,x0+) thì ta goïi f(x) ñaït cöïc tieåu (hoaëc
cöïc tieåu theo nghóa heïp) taïi x0.
Ñieåm x0 (cöïc tieåu hay cöïc ñaïi) goïi laø cöïc trò cuûa haøm soá vaø f(x0) goïi laø giaù trò
cöïc trò cuûa haøm soá f(x) taïi x0.
2.3.2. Caùc ñònh lyù veà giaù trò trung bình 2.3.2.1. Ñònh lyù Ferma
Cho haøm soá f(x) xaùc ñònh trong laân caän cuûa x0 vaø ñaït cöïc trò taïi x0. Neáu taïi
x0, haøm soá coù ñaïo haøm thì f’(x0) = 0. Chöùng minh:
Giaû söû f ñaït cöïc ñaïi taïi x0, suy ra f = f(x)-f(x0) 0. Do ñoù y  y f      (x0) lim    0; f(x0) lim 0 x  0 x  0 x x
suy ra f’(x0)=0 do haøm soá coù ñaïo haøm taïi x0.
YÙ nghóa hình hoïc: Taïi caùc ñieåm cöïc trò, tieáp
tuyeán M0T seõ song song truïc Ox. 2.3.2.2. Ñònh lyù Rolle:
Neáu f(x) lieân tuïc treân [a,b], khaû vi trong (a,b) vaø f(a) = f(b) thì coù ít nhaát
moät ñieåm c  (a,b) sao cho f’(c)=0
2.3.2.3. Ñònh lyù Lagrange:
Neáu f(x) lieân tuïc treân [a,b], khaû vi trong (a,b), thì coù ít nhaát moät ñieåm c  (a,b) sao cho
f(b) f(a)  f (c)  f(b)f(a) f (c)(ba). b  a
Chuù yù: Ñònh lyù Rolle laø tröôøng hôïp rieâng cuûa ñònh lyù Lagrange
YÙ nghóa hình hoïc: Neáu haøm soá f(x) thoûa ñieàu kieän ñònh lyù Lagrange thì toàn taïi c
 (a,b) sao cho tieáp tuyeán MT taïi c song song daây cung AB 38 2.3.2.4. Ñònh lyù Cauchy:
Cho f(x) vaø g(x) laø 2 haøm soá cuøng lieân tuïc treân [a,b}, khaû vi trong (a,b) vaø
g’(x)  0 treân (a,b). Khi ñoù  c  (a,b) sao cho f(b) f(a) f '(c)  g(b) g(a) g '(c)
VÍ DUÏ1: Cho haøm f(x) = x(x+1)(x+2)(x+3). Chöùng minh raèng phöông trình
f’(x)=0 coù 3 nghieäm thöïc.
Thaät vaäy vì f(-1)=f(-2)=f(-3)=f(0)=0 neân theo ñònh lyù Rolle  x1 (-3,-2),
x2  (-2,-1), x3  (-1,0) sao cho f’(x1)=f’(x2)=f’(x3)=0. Maët khaùc phöông trình
f’(x)=0 laø phöông trình baäc 3. Do ñoù phöông trình f’(x)=0 coù ñuùng 3 nghieäm thöïc.
VÍ DUÏ 2: Cho f’(x) >0  x  (a,b). Chöùng minh f(x) taêng treân (a,b)
Thaät vaäy, laáy x1f x1 f x2
(x1,x2) thì  c  (x1,x2) sao cho
 f '(c)  0 . Vaäy f(x) taêng treân x1  x2 (a,b).
VÍ DUÏ 3: Chöùng minh ex 1+x  x  R.
Aùp duïng ñònh lyù Lagrange:
Vôùi x>0 thì  c  (0,x) sao cho ex-1=ex-e0=ec(x-0)>x (do ec>1)  ex 1+x
Vôùi x<0 thì  c1  (x,0) sao cho -ex+1=e0-ex=ec1(0-x)<-x (do ec1<1)  ex 1+x Vôùi x=0 thì ex=1+x
VÍ DUÏ 4: Chöùng toû raèng phöông trình f(x)=6x4-64x+31=0 (1) khoâng theå coù 2
nghieäm phaân bieät trong (0,1)
Giaû söû (1) coù 2 nghieäm phaân bieät trong (0,1) laø x1, x2. Vì f(x) lieân tuïc treân
[x1,x2], khaû vi trong (x1,x2) neân theo ñònh lyù Rolle  c  (x1,x2) sao cho f’(c)=0
hay 24c3-64=0 suy ra c>1 (voâ lyù) 39 2.3.3. Quy taéc L’Hospital 2.3.3.1. Ñònh lyù:
a. Giaû söû f(x) vaø g(x) khaû vi treân laân caän x0 (x0 höõu haïn), vaø
lim f(x)  lim g(x)  0 , g’(x)  0 treân laân caän x f(x) 0. Khi ñoù neáu lim  A xx0 xx0 xx0 g(x)  thì f (x) lim  A . xx0 g (x)
Chöùng minh: Coá ñònh x  laân caän x0, do ñònh lyù Cauchy thì  c naèm giöõa x vaø x0 ñeå ta coù   f(x) f(x) f(x0) f (c)   (1) g(x) g(x)  g(x  0) g (c)
Cho x  x0 suy ra c  x0, khi ñoù (1) cho ta ñieàu phaûi chöùng minh.
b. Nhaän xeùt: Ngöôøi ta cuõng chöùng minh ñöôïc ñònh lyù treân trong tröôøng hôïp
x0 laø  hoaëc lim f(x)  lim g(x)  . xx0 xx0 c. Caùc ví duï : 1. 2x  sin x 2  cos x lim  lim  3  x x x0 x0 1 e e  x x x 2. e  2x e  2 e lim  lim  lim   2 x x x 3x 6x  6 3 2 3. x 3x 6x lim  lim  lim  6 x0 x0 x0 x  sin x 1 cos x s in x x a x 4. x  a x (ln x  1) a lim  lim  a (ln a  1) xa xa x  a 1 d. Chuù yù:
Quy taéc L’Hospital trong ñònh lyù treân khoâng coøn ñuùng trong tröôøng hôïp f (x) lim khoâng toàn taïi. xx0 g (x)
VÍ DUÏ : Neáu duøng quy taéc L’Hospital thì ta coù x  sin x 1  cos x lim  lim x x 2x  2 laø khoâng toàn taïi trong khi neáu ñeå yù ta thaáy x  sin x 1 sin x 1 lim  (1  lim )  . x x 2x 2  x 2 40
e. Caùc daïng voâ ñònh khaùc: 0  0 0. ;    ;  0 ;1 ; VÍ DUÏ : ln x 1 1. L 3 x lim     x ln x lim lim 0 x0 x0 1 x0 3 3 4 x x   2. 1 1 x L 1 lim     lim lim  1 2 x0    x0 x0 x x(x 1) x  x 2x  1     3. 1 1 x cos x  sin x x cos x  sin x L x  sin x lim     lim  lim lim  0 2 x0   x0 x0 x0 tgx x x sin x x 2x ln x 1 4. L x x
y  lim x  ln y  lim x ln x  lim lim  0 x0 x0 x0 1 x0 1 x 2 x x  y  lim x  1 x0 5. y  lim x  e 1 x x x x 1  e x x 1
 ln y  lim lnx  e  L L x x  e e  lim  lim  1 x x x x x 1  1  e  y  lim x  e 1 x x = e x 6. y  limx  e 1 x 1 x
x  ln y  lim ln(x  e ) x0 x0 x x 1  ex 1 L x  e lim  2  y  lim x x  e  2 x  e x0 x0 1
Löu yù: Vôùi daïng 1 coù theå bieán ñoåi ñeå söû duïng giôùi haïn e: 1 1 x t
lim(1  x)  lim(1  )  e . x0 t t 41