Toán giải tích HK1 Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh

CHÖÔNG II ÑAÏO HAØM VAØ VI PHAÂN CUÛA HAØM MOÄT BIEÁN
Chöông naøy cung caáp cho sinh vieân caùc kieán thöùc veà pheùp tính vi phaân cuûa
haøm moät bieán, moät phaàn cuûa chöông naøy ñaõ ñöôïc trình baøy trong chöông trình
phoå thoâng. Hoïc xong chöông naøy, sinh vieân phaûi tính ñöôïc ñaïo haøm vaø vi phaân,
vaø öùng duïng cuûa pheùp tính naøy trong vieäc khaûo saùt haøm soá trong caùc daïng khaùc nhau. §1 ÑAÏO HAØM CAÁP 1
2.1.1. Ñònh nghóa vaø tính chaát 2.1.1.1. Ñònh nghóa:
Cho haøm soá y  f(x) xaùc ñònh trong laân caän cuûa ñieåm x , giôùi haïn (neáu coù) 0 cuûa tyû soá y  khi x
  0 ñöôïc goïi laø ñaïo haøm cuûa f(x) taïi x vaø kyù hieäu y x  0 hay f  (x0). Vaäy y  f (x  x  )  f (x ) f (x)  f (x ) 0 0 0 f (  x )  lim  lim  lim   0 x  0 x  0 x0 x x  x  x0
2.1.1.2. YÙ nghóa cuûa ñaïo haøm a. YÙ nghóa cô hoïc:
Cho moät quy luaät chuyeån ñoäng S=S(t), vaän toác töùc thôøi taïi t0 cuûa chuyeån ñoäng v(t S  S(t  t  )S(t ) 0) = 0 0 lim  lim = S(t0) t  0 t  0 t  t b. YÙ nghóa hình hoïc:
Heä soá goùc cuûa tieáp tuyeán MT taïi M0(x0,y0)  (C) : y = f(x) (y0=f(x0)) laø tg  lim y   f (x . 0) x  0 x  27 2.1.1.3. Tính chaát:
a. Giaû söû f(x) vaø g(x) coù ñaïo haøm taïi x vaø c laø haèng soá. Khi ñoù:
i. [f(x)  g(x)]  f (x)  g (x)
ii. [f(x)g(x)]  f (x)g(x)  f(x)g (x) iii. [cf(x)]  cf (x)   iv. f (x) f (x)g(x) f(x)g (x)    ,g(x)  0 2 g(x) g(x)  
b. Neáu f(x) coù ñaïo haøm taïi x0 thì f(x) lieân tuïc taïi x 0
c. Neáu y=f(x) coù ñaïo haøm f  (x0)  0 vaø noù coù haøm ngöôïc x=g(y) thì haøm
ngöôïc x=g(y) coù ñaïo haøm taïi y0=f(x0) vaø 1 x (y   0) g (y0)  f (x0) -    
VÍ DUÏ :1: Cho y = arcsinx  x = siny y   ,  2 2   
Ñaïo haøm theo bieán x hai veá ta coù 1 = cosy. y  1  x yx  cosy Vì y     ,   neân cosy  0 vaø 2 2 cosy  1 sin y  1x  2 2    Vaäy (arcsinx)’=  1 arcsin   2 1x -    
VÍ DUÏ :2: y = arctgx  x = tgy  y   ,   2 2 - 1 1  2 y x  cos y   2 2 1  tg y 1  x
d. Cho haøm soá y=f(u) vôùi u=u(x). Neáu haøm u(x) coù ñaïo haøm u (x vaø haøm 0) f coù ñaïo haøm taïi u thì haøm hôïp coù ñaïo haøm taïi 0  u(x0) y  f[u(x)] x vaø 0 yx      0  f u x0 .u x0   hay f (x    0) f [u(x0)].u (x0) 28
e. Heä quaû: Giaû söû u(x) coù ñaïo haøm theo x laø u vaø y = f(u) = f[u(x)] laø haøm
hôïp cuûa x coù ñaïo haøm theo u laø f  (u). Khi ñoù y coù ñaïo haøm theo x laø y :
Baûng ñaïo haøm caùc haøm soá thöôøng gaëp 1, y = u (R)  y =u’u -1 2, y = au (a>0, a  1) y =u’aulna 3, y = eu y =u’eu 4, y = log u a u (a>0, a  1) y = ' (u  0) u lna 5, y = ln u y = u ' (u  0) u 6, y = sinu y =u’cosu 7, y = cosu y =-u’sinu 8, y = tgu y = u ' (u    k) 2 cos u 2 9, y = cotgu y = u  ' (u  k) 2 sin u 10, y = arcsinu y = u ' (u  1) 2 1u 11, y = arccosu   y = u (u 1) 2 1u 12, y = arctgu u ' y  2 1  u 13, y = arccotgu y = u  ' 2 1  u VÍ DUÏ : 29 5 1  sin x y     (x  1  )     1 x 1  0 4 1  x  1   sin    cos x y    1  x2 1x    1 x  3 2 VÍ DUÏ : 1x y       x    61x 1  y     4 1  x  (1  x)
2.1.2. Ñaïo haøm moät phía – Ñaïo haøm voâ cuøng 2.1.2.1. Ñònh nghóa: Neáu lim y
 <  thì ta goïi y = f(x) laø coù ñaïo haøm phaûi taïi x0 vaø kyù hieäu x 0   x  f  (x y  f(x  x  ) f(x ) 
0) hay f  (x0+0) hay f  +(x0)= 0 0 lim   lim x 0 x 0 x       x 
Töông töï: y=f(x) coù ñaïo haøm traùi taïi x0 vaø ñöôïc kyù hieäu: f  (x y f(x  x  ) f(x )<   0)= 0 0 lim   lim x 0 x 0 x       x 2.1.2.2. Ñònh lyù
Haøm soá y = f(x) coù ñaïo haøm taïi x0 khi vaø chæ khi f  (x  (x  0) = f 0) x  x  1 VÍ DUÏ : Cho f(x) =  2  x   2x x  1  2 f(1  x  ) f(1) (  1 x  )  2(1 x  )1 f   (1)  lim    lim 0 x  0 x  0 x  x  f(1  x  ) f(1) (1  x  )1 f   (1)  lim    lim 1 x0 x0 x  x 
Vaäy khoâng toàn taïi f  (1).
2.1.2.3. Ñaïo haøm voâ cuøng Ñònh nghóa : Neáu y  f(x0  x) f(x0) lim  lim  thì ta goïi haøm x0 x0 x  x 
y=f(x) coù ñaïo haøm voâ cuøng taïi x0 vaø kyù hieäu f  (x0)= 30
VÍ DUÏ : Cho f(x)=x2/3 tìm f  (x)
Vôùi x  0 thì f  (x) = 2 (x  0) 3 3 x
Vôùi x=0 thì f  (0) = 
Chuù yù: Ta thöôøng quan taâm f  (x0)= ñeå bieát heä soá goùc cuûa tieáp tuyeán MT taïi
moät soá ñieåm ñaëc bieät treân ñoà thò (C) : y = f(x)
2.1.3. Ñaïo haøm trong 1 khoaûng, 1 ñoaïn 2.1.3.1. Ñònh nghóa
-Haøm y=f(x) coù ñaïo haøm trong (a,b) neáu noù coù ñaïo haøm taïi moïi x  (a,b)
-Haøm y=f(x) coù ñaïo haøm trong [a,b] neáu noù coù ñaïo haøm trong (a,b) vaø coù ñaïo
haøm traùi taïi x=b, ñaïo haøm phaûi taïi x=a.
-Ñaïo haøm cuûa haøm y = [u(x)]v(x) (1) (u(x)>0)
Böôùc 1: Laáy ln hai veá cuûa (1) ñöôïc lny = v(x)lnu(x) (2)
Böôùc 2: Laáy ñaïo haøm hai veá cuûa (2) theo x ñöôïc y u (x)    v(x) u (x)  v (x)lnu(x)  v(x)  y  u(x) v (x)lnu(x)  ( v x)  y u(x)  u(x)   
VÍ DUÏ 1: Tìm ñaïo haøm cuûa y = xx (x>0), ta coù :
ln  ln    (1 ln ) x y x x y y x  y  x (1  lnx)
Chuù yù: Quy taéc treân coù theå aùp duïng cho haøm soá coù daïng tích vaø thöông caùc haøm VÍ DUÏ 2: 3 (3x  5) 4x  3 1 y 
 lny  ln 3x  5  ln 4x  3  3 ln 2x  1 3 (2x  1) 3   3 4 6  y  y      (*)
3x  5 3(4x  3) 2x  1  
sau ñoù thay y vaøo (*), ta thu ñöôïc keát quaû. 31