5 trang 9 lượt tải

TAYLOR VÀ MACLAURIN TOÁN GIẢI TÍCH ĐHSPTPHCM

18

LÝ THUYẾT

Môn: Toán ứng dụng 61 tài liệu

Trường: Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh 738 tài liệu

Tác giả:

Profile

Em Văn

6 ngày trước
Tải xuống
Báo cáo
Danh sách Quiz
Tải xuống
/5
42
§4 COÂNG THÖÙC TAYLOR- COÂNG THÖÙC MACLAURIN
3.4.1. Coâng thöùc Taylor vôùi phaàn dö Lagrange
a. Cho haøm soá f(x) lieân tuïc treân [a,b], khaû vi ñeán caáp (n+1) treân (a,b). Vaán
ñeà laø tìm ña thöùc P
n
(x) baäc khoâng quaù n sao cho vôùi x
0
(a,b) thì f(x
0
)=P
n
(x
0
),
f’(x
0
)=P
n
(x
0
);…;f
(n)
(x
0
)=P
n
(n)
(x
0
).
Ñaët P
n
(x)=a
0
+a
1
(x-x
0
)+a
2
(x-x
0
)
2
+…+a
n
(x-x)
n
, söû duïng ñaïo haøm, ta coù:
n 1
n 1 2 0 n 0
n 2
n 2 2 0 n 0
(n) (n)
n n
f (x) P (x) a 2a (x x ) ... na (x x )
f (x) P (x) 2a 3.2a (x x ) ... n(n 1)a (x x )
.....
f (x) P (x) n !a
Thay x=x
0
ta coù
0 0
1 0
0
2
(n)
0
n
a f(x )
a f '(x )
a
2!
.....
f (x )
a
n !
Nhö vaäy ta coù ña thöùc caàn tìm:
P
n
(x)=
(n)
2 n
0 0 0
0 0 0 0
f '(x ) f ''(x ) f (x )
f(x ) (x x ) (x x ) ... (x x )
1! 2! n !
Ñaët R
n
(x)=f(x)-P
n
(x) thì ta coù R
n
(x
0
)=R
n
’(x
0
)=…=R
n
(n)
(x
0
)=0 vaø
Ñaët G(x)=(x-x
0
)
(n+1)
thì G(x
0
)=G’(x
0
)=…=G
(n)
(x
0
)=0 vaø G
(n+1)
(x)=(n+1)! neáu xx
0
.
Giaû söû x (a,b) vaø x x
0
, Do R
n
(x) vaø G(x) khaû vi ñeán caáp (n+1) neân theo ñònh
lyù Cauchy thì
n n n 0 n 1
0 1
R (x) R (x) R (x ) R ' (x )
G(x) G(x) G(x ) G'(x )
vôùi x
1
naèm giöõa x vaø x
0
.
Tieáp tuïc aùp duïng ñònh lyù Cauchy:
n 1 n 1 n 0 n 2
1 1 0 2
R (x ) R (x ) R (x ) R (x )
G (x ) G (x ) G (x ) G (x )
vôùi x
2
naèm giöõa x
1
vaø x
0
. Cöù theá ta coù:
(n) (n 1)
n 0 n 1 n 2 n n
(n)
0 1 2 n
R (x ) R (x ) R (x ) R (x ) f (c)
...
G(x ) G (x ) G (x ) G (x ) (n 1)
trong ñoù x
i
naèm giöõa
43
x
i-1
vaø x
0
(i=2,3,…n) vaø c naèm giöõa x
n
vaø x
0
neân c cuõng naèm giöõa x vaø x
0
, ta cuõng
coù theå vieát c=x
0
+(x-x
0
) ( (0,1))
Töø ñoù ta suy ra R
n
(x)=
(n 1) (n 1)
n 1
0
f (c) f (c)
G(x) (x x )
(n 1)! (n 1)!
, R
n
(x ) goïi laø
phaàn dö Lagrange.
Vaäy:
(k) (n 1)
n
k k 1
0
0 0
k 0
f (x ) f (c)
f(x) (x x ) (x x )
k! (k 1)!
Quaù trình treân cho chuùng ta ñònh lyù
b. Ñònh lyù:
Neáu f(x) lieân tuïc treân [a,b], khaû vi ñeán caáp (n+1) trong (a,b) thì vôùi x, x
0
(a,b) ta luoân coù:
(k) (n 1)
n
k k 1
0
0 0
k 0
f (x ) f (c)
f(x) (x x ) (x x )
k! (k 1)!
(*)
vôùi c naèm giöõa x vaø x
0
. (quy öôùc f
(0)
(x
0
) = f(x
0
).
Ngöôøi ta goïi (*) laø coâng thöùc Taylor cuûa haøm f(x) taïi laân caän x
0
hay khai
trieån Taylor höõu haïn cuûa f(x) taïi x
0
vôùi phaàn dö Lagrange.
VÍ DUÏ : Vieát coâng thöùc Taylor cho haøm f(x)=
3
x
ñeán soá haïng baäc 5 ôû laân caän
x
0
=1 vôùi phaàn dö Lagrange:
Ta coù: f(1)=1; f’(x)=
2
3
1
3
x
f’(1)=1/3; f’’(1)=-2/9 … f
(5)
(1)=
5
880
3
;
f
(6)
(c)=
17
3
6
12320
3
c
.
Vaäy
2 3 4
3
2 3 4
5 6
5
6 17
3
1 2 (x 1) 10 (x 1) 80 (x 1)
x 1 (x 1)
3 3 2! 3 3! 3 4!
880 (x 1) 12320 (x 1)
3 5! 6!
3 c
3.4.2. Coâng thöùc Taylor vôùi phaàn dö Peano
Ñònh lyù:
Neáu haøm f(x) lieân tuïc treân [a,b], khaû vi ñeán caáp (n-1) trong (a,b) vaø toàn taïi
f
(n)
(x
0
) vôùi x
0
(a,b) thì vôùi x (a,b) ta luoân coù coâng thöùc Taylor:
(k)
n
k n
0
0 0
k 0
f (x )
f(x) (x x ) 0((x x ) )
k!
vôùi
n
0
0((x x ) )
laø VCB cao hôn
(x-x
0
)
n
44
Chöùng minh: Goïi P
n
(x) nhö ñaõ goïi trong phaàn treân vaø ñaët R
n
(x)=f(x)-P
n
(x)
R
n
(n-1)
(x)=R
n
(n-1)
(x)-R
n
(n-1)
(x
0
)=R
n
(n)
(x
0
)(x-x
0
)+0((x-x
0
))= 0((x-x
0
))
Maët khaùc theo ñònh lyù Lagrange c naèm giöõa x vaø x
0
sao cho:
R
n
(n-2)
(x) = R
n
(n-2)
(x)-R
n
(n-2)
(x
0
) = R
n
(n-1)
(c)(x-x
0
)= 0((c-x
0
))(x-x
0
) = 0((x-x
0
)
2
)
Tieáp tuïc töông töï treân ta coù: R
n
(x)=0((x-x
0
)
n
) vaø noù ñöôïc goïi laø phaàn dö
Peano.
VÍ DUÏ : Vieát coâng thöùc Taylor cho haøm f(x)=
3
x
ñeán soá haïng baäc 3 ôû laân caän
x
0
=1 vôùi phaàn dö Peano:
2 3
3
3
2 3
1 2 (x 1) 10 (x 1)
x 1 (x 1) 0((x 1) )
3 3 2! 3 3!
3.4.3. Coâng thöùc Maclaurin
Thay x
0
=0 vaøo coâng thöùc Taylor vôùi phaàn dö Lagrange hoaëc phaàn dö Peano
ta ñöôïc coâng thöùc Maclaurin cuûa f(x)
(k)
n
k
n
k 0
f (0)
f(x) x R (x)
k!
trong ñoù R
n
(x) =
(n 1)
n 1
f (c)
x
(n 1)!
(phaàn dö Lagrange) hoaëc
n
n
R (x) 0(x )
(phaàndö
Peano)
a. Coâng thöùc Maclaurin moät soá haøm sô caáp (phaàn dö Peano)
1.
2 n
x n
x x
e 1 x ... 0(x )
2! n!
2.
3 5 7 2m 1
m 1 2m
x x x x
sin x x ... ( 1) 0(x )
3! 5! 7! (2m 1)!
3.
2 4 6 2m
m 2m 1)
x x x x
cos x 1 ... ( 1) 0(x
2! 4! 6! (2m)!
4.
1 2 2 n n n
(1 x) 1 C x C x ... C x 0(x )
trong ñoù
k
( 1)( 2)...( k 1)
C
k!
. Vì f(x)=(1+x)
vôùi x>-1, R
suy ra f
(k)
(x)=(-1)…(-k+1)(1+x)
-k
, k N f
(k)
(0)=(-1)…(-k+1), k N.
Ñaëc bieät vôùi
=-1:
2 2
1
1 x x 0(x )
1 x
=1/2:
2 2
1 1
1 x 1 x x 0(x )
2 8
45
=-1/2:
2 2
1 1 3
1 x x 0(x )
1 x 2 8
5.
2 3 n
n 1 n
x x x
ln(1 x) x ... ( 1) 0(x )
2 3 n
6.
3 5 7 2m 1
m 1 2m
x x x x
arctgx x ... ( 1) 0(x )
3 5 7 2m 1
7.
3
4
x
tgx x 0(x )
3
b. Chuù yù: Söû duïng caùc coâng thöùc treân ta coù theå vieát coâng thöùc Maclaurin
cho moät soá haøm phöùc taïp hôn maø khoâng caàn ñaïo haøm tröïc tieáp caùc haøm ñoù.
VÍ DUÏ : Vieát coâng thöùc Maclaurin cho haøm f(x)=e
sinx
ñeán caáp 3.
Theo phaàn b) ta coù
sin x 2 3 3
1 1
e sin x sin x 0(sin x)
2 6
1 sin x vaø
3 4
1
sin x x x 0(x )
6
2 2 3
sin x x 0(x )
(boû ñi caùc VCB baäc cao hôn
x
4
), töông töï sin
3
x = x
3
+0(x
4
). Vì sinx vaø x laø caùc VCB töông ñöông neân
0(sin
3
x)=0(x
3
).
Vaäy
sin x 2 3
1
e 1 x x 0(x )
2
VÍ DUÏ : Khai trieån Maclaurin ñeán baäc 4 haøm
2
2
1 x x
f(x)
1 x x
vaø tính f
(4)
(0).
Ta coù
2 3 2
3 1
2 3
1 x x 1 x 1 x 2x 2x
f(x) 1 2x(1 x)(1 x )
1 x x 1 x 1 x
Maø (1+x
3
)
-1
=1-x
3
+0(x
5
) neân f(x) =1+2x+2x
2
-2x
4
+0(x
4
)
(4)
(4)
f (0)
2 f (0) 2.4 ! 48
4!
3.4.4. Aùp duïng coâng thöùc Taylor vaø Maclaurin
a. Tính giôùi haïn
VÍ DUÏ :
x x
x 0
e e 2x
lim
x sin x
2 3 2 3
3 3
3
x 0
3
x x x x
(1 x 0(x )) (1 x 0(x )) 2x
2 3! 2 3!
lim
x
x (x 0(x )
3!
46
3
3
3
x 0
4
x
0(x )
3
lim 2
x
0(x )
3!
VÍ DUÏ :
2 2
2 2
x x 0
2
2 2
2 2
x 0
2
1 1 1 1
lim[x x ln(1 )] lim[x x ( 0( ))]
x x 2x x
1
0( )
1 1 1 1
x
lim[ x 0( )] (do x 0( ) 0)
1
2 x 2 x
x
b. Tính gaàn ñuùng coù ñaùnh giaù sai soá
Ta coù coâng thöùc gaàn ñuùng
(k)
n
k
k 0
f (0)
f(x) x
k!
vôùi sai soá
(n 1)
n 1
n 0
f (c)
R (x) (x x )
(n 1)!
. Neáu f
(n+1)
(x) bò chaën treân [a,b], töùc M>0 sao cho
(n 1)
f (x) M x [a, b]
thì vôùi x, x
0
(a,b) sai soá R
n
(x) coù theå ñaùnh giaù
n 1
n 0
M
R (x) x x
(n 1)!
.
VÍ DUÏ : Tính gaàn ñuùng soá e chính xaùc =10
-3
.
Duøng khai trieån Taylor treân laân caän x
0
=0 vôùi x=1, khi ñoù ñeå sai soá khoâng
quaù 10
-3
ta phaûi coù
c
n
e 3
R (x)
(n 1)! (n 1)!
(do c naèm giöõa 0 vaø 1). Vaäy
ta choïn n=6 thì ñöôïc
n
R (x)
. Khi ñoù
1 1 1 1 1
e 1 1
2 3! 4! 5! 6!
.

Tài liệu khác của Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh

Preview text:

§4 COÂNG THÖÙC TAYLOR- COÂNG THÖÙC MACLAURIN
3.4.1. Coâng thöùc Taylor vôùi phaàn dö Lagrange
a. Cho haøm soá f(x) lieân tuïc treân [a,b], khaû vi ñeán caáp (n+1) treân (a,b). Vaán
ñeà laø tìm ña thöùc Pn(x) baäc khoâng quaù n sao cho vôùi x0  (a,b) thì f(x0)=Pn(x0), f’(x (n)
0)=Pn(x0);…;f(n)(x0)=Pn (x0).
Ñaët Pn(x)=a0+a1(x-x0)+a2 (x-x0)2+…+an (x-x)n , söû duïng ñaïo haøm, ta coù:  n 1 f  (x)   n
P (x)  a1  2a2(x  x0) . .  nan(x  x0)    n 2 f (x)   n
P (x)  2a2  3.2a2(x  x0) ..  n(n 1)an(x  x0)  . . .  (n) (n) f  (x)   n P (x)  n!an  a0  f(x0) a1  f'(x0)  Thay x=x  f ' (x ) 0 ta coù 0 a  2   2! . ..  (n)  f (x0) a  n   n!
Nhö vaäy ta coù ña thöùc caàn tìm: (n) P f '(x0) f ' (x0) 2 f (x0) n n(x)= f(x 0)  (x  x0)  (x  x0)  . .  (x  x0) 1! 2! n! Ñaët R (n)
n(x)=f(x)-Pn(x) thì ta coù Rn(x0)=Rn’(x0)=…=Rn (x0)=0 vaø
Ñaët G(x)=(x-x0)(n+1) thì G(x0)=G’(x0)=…=G(n)(x0)=0 vaø G(n+1)(x)=(n+1)! neáu xx0.
Giaû söû x  (a,b) vaø x  x0, Do Rn(x) vaø G(x) khaû vi ñeán caáp (n+1) neân theo ñònh lyù Cauchy thì Rn(x) Rn(x) Rn(x0) R 'n(x1)   vôùi x G(x) G(x) G(x 1 naèm giöõa x vaø x0. 0) G'(x1)     
Tieáp tuïc aùp duïng ñònh lyù Cauchy: Rn(x1) Rn(x1) Rn(x0) Rn(x2)   vôùi x G (x     2 1) G (x1) G (x0) G (x2) naèm giöõa x1 vaø x0. Cöù theá ta coù: (n) (n 1  ) R   n(x0) Rn(x1) Rn(x2) Rn (xn) f (c)    . .   trong ñoù x (n) G(x   i naèm giöõa 0) G (x1) G (x2) G (xn) (n 1) 42
xi-1 vaø x0 (i=2,3,…n) vaø c naèm giöõa xn vaø x0 neân c cuõng naèm giöõa x vaø x0, ta cuõng
coù theå vieát c=x0+(x-x0) (  (0,1)) (n 1  ) (n 1  ) Töø ñoù ta suy ra R f (c) f (c) n 1  n(x)= G(x)  (x  x , R 0) (n  1)! (n  1)! n(x ) goïi laø phaàn dö Lagrange. n (k) (n 1  ) Vaäy: f (x0) k f (c) k 1 f(x)   (x  x  0)  (x  x0) k0 k! (k  1)!
Quaù trình treân cho chuùng ta ñònh lyù b. Ñònh lyù:
Neáu f(x) lieân tuïc treân [a,b], khaû vi ñeán caáp (n+1) trong (a,b) thì vôùi x, x0  (a,b) ta luoân coù: n (k) (n 1  ) f (x0) k f (c) k 1 f(x)   (x  x  (*) 0)  (x  x0) k0 k! (k  1)!
vôùi c naèm giöõa x vaø x0. (quy öôùc f(0)(x0) = f(x0).
Ngöôøi ta goïi (*) laø coâng thöùc Taylor cuûa haøm f(x) taïi laân caän x0 hay khai
trieån Taylor höõu haïn cuûa f(x) taïi x0 vôùi phaàn dö Lagrange.
VÍ DUÏ : Vieát coâng thöùc Taylor cho haøm f(x)= 3 x ñeán soá haïng baäc 5 ôû laân caän
x0=1 vôùi phaàn dö Lagrange: Ta coù: f(1)=1; f’(x)= 1 2 880 3
x  f’(1)=1/3; f’’(1)=-2/9 … f(5)(1)= ; 3 5 3 f(6)(c)= 1  2320 173 c . 6 3 Vaäy 2 3 4 1 2 (x 1) 10 (x 1) 80 (x 1) 3 x  1  (x 1)     2 3 4 3 3 2! 3 3! 3 4! 5 6 880 (x 1) 12320 (x 1)   5 6 3 17 3 5! 3 c 6!
3.4.2. Coâng thöùc Taylor vôùi phaàn dö Peano Ñònh lyù:
Neáu haøm f(x) lieân tuïc treân [a,b], khaû vi ñeán caáp (n-1) trong (a,b) vaø toàn taïi
f(n)(x0) vôùi x0  (a,b) thì vôùi x  (a,b) ta luoân coù coâng thöùc Taylor: n (k) f (x0) k n f(x)   (x  x vôùi n laø VCB cao hôn 0)  0((x  x0) ) 0((x  x0) ) k0 k! (x-x0)n 43
Chöùng minh: Goïi Pn(x) nhö ñaõ goïi trong phaàn treân vaø ñaët Rn(x)=f(x)-Pn(x)  R (n-1) (n-1) (n-1) (n) n (x)=Rn (x)-Rn
(x0)=Rn (x0)(x-x0)+0((x-x0))= 0((x-x0))
Maët khaùc theo ñònh lyù Lagrange  c naèm giöõa x vaø x0 sao cho: R (n-2) (n-2) (n-2) (n-1) n (x) = Rn (x)-Rn (x0) = Rn
(c)(x-x0)= 0((c-x0))(x-x0) = 0((x-x0)2)
Tieáp tuïc töông töï treân ta coù: Rn(x)=0((x-x0)n) vaø noù ñöôïc goïi laø phaàn dö Peano.
VÍ DUÏ : Vieát coâng thöùc Taylor cho haøm f(x)= 3 x ñeán soá haïng baäc 3 ôû laân caän x0=1 vôùi phaàn dö Peano: 2 3 1 2 (x 1) 10 (x 1) 3 3 x  1  (x 1)   0((x 1) ) 2 3 3 3 2! 3 3!
3.4.3. Coâng thöùc Maclaurin
Thay x0=0 vaøo coâng thöùc Taylor vôùi phaàn dö Lagrange hoaëc phaàn dö Peano
ta ñöôïc coâng thöùc Maclaurin cuûa f(x) n (k) f (0) k f(x)  x  R  n(x) k0 k! (n 1  ) trong ñoù R f (c) n 1  n(x) =
x (phaàn dö Lagrange) hoaëc n R (x)  0(x ) (phaàndö (n  1)! n Peano)
a. Coâng thöùc Maclaurin moät soá haøm sô caáp (phaàn dö Peano) 2 n 1. x x x n e  1  x   . .   0(x ) 2! n! 3 5 7 2m 1  2. x x x  x m 1 2m sin x  x     . .  ( 1  )  0(x ) 3! 5! 7! (2m 1)! 2 4 6 2m 3. x x x x m 2m 1  ) cos x  1    . .  (1)  0(x 2! 4! 6! (2m)! 4.  1 2 2 n n n (1  x)  1  C
x  Cx  . .  Cx  0(x ) trong ñoù k (
  1)(  2). .(  k 1) C 
. Vì f(x)=(1+x) vôùi x>-1,   R k!
suy ra f(k)(x)=(-1)…(-k+1)(1+x)-k, k  N  f(k)(0)=(-1)…(-k+1), k  N. Ñaëc bieät vôùi =-1: 1 2 2  1 x  x  0(x ) 1  x =1/2: 1 1 2 2
1  x  1  x  x  0(x ) 2 8 44 =-1/2: 1 1 3 2 2  1 x  x  0(x ) 1  x 2 8 2 3 n 5. x x  x n 1 n ln(1  x)  x   . . (1)  0(x ) 2 3 n 3 5 7 2m 1  6. x x x  x m 1 2m arctgx  x    . . (1)  0(x ) 3 5 7 2m 1 3 7. x 4 tgx  x   0(x ) 3
b. Chuù yù: Söû duïng caùc coâng thöùc treân ta coù theå vieát coâng thöùc Maclaurin
cho moät soá haøm phöùc taïp hôn maø khoâng caàn ñaïo haøm tröïc tieáp caùc haøm ñoù.
VÍ DUÏ : Vieát coâng thöùc Maclaurin cho haøm f(x)=esinx ñeán caáp 3. Theo phaàn b) ta coù sinx 1 2 1 3 3 e
 1  sin x  sin x  sin x  0(sin x) vaø 2 6 1 3 4
sin x  x  x  0(x )  2 2 3
sin x  x  0(x ) (boû ñi caùc VCB baäc cao hôn 6
x4), töông töï sin3x = x3+0(x4). Vì sinx vaø x laø caùc VCB töông ñöông neân 0(sin3x)=0(x3). Vaäy sinx 1 2 3 e  1  x  x  0(x ) 2 2
VÍ DUÏ : Khai trieån Maclaurin ñeán baäc 4 haøm 1  x  x f(x)  vaø tính f(4)(0). 2 1 x  x 2 3 2 Ta coù
1  x  x 1  x 1  x  2x  2x 3 1 f(x)  
 1  2x(1  x)(1  x ) 2 3 1 x  x 1  x 1  x
Maø (1+x3)-1 =1-x3+0(x5) neân f(x) =1+2x+2x2-2x4+0(x4) (4)  f (0) (4)
 2  f (0)  2.4!  48 4!
3.4.4. Aùp duïng coâng thöùc Taylor vaø Maclaurin a. Tính giôùi haïn x x VÍ DUÏ : e  e  2x lim x0 x  sin x 2 3 2 3 x x 3 x x 3 (1  x    0(x ))(1 x    0(x )) 2x 2 3! 2 3!  lim 3 x0 x 3 x (x   0(x ) 3! 45 3 x 3  0(x ) 3  lim 3  2 x0 x 4  0(x ) 3! VÍ DUÏ : 2 1 2 1 1 1
lim[x  x ln(1  )]  lim[x  x (   0( ))] 2 2 x x0 x x 2x x 1 0( ) 2 1 2 1 1 2 1 x
 lim[  x 0( )]  (do x 0( )   0) 2 2 x0 2 x 2 x 12x
b. Tính gaàn ñuùng coù ñaùnh giaù sai soá n (k)
Ta coù coâng thöùc gaàn ñuùng f (0) k f(x)  x  vôùi sai soá k0 k! (n 1  ) f (c) n 1 R
 . Neáu f(n+1)(x) bò chaën treân [a,b], töùc  M>0 sao cho n(x)  (x  x0) (n  1)! (n 1  ) f
(x)  M x  [a,b] thì vôùi x, x0  (a,b) sai soá Rn(x) coù theå ñaùnh giaù M n 1 R  . n(x)  x  x0 (n  1)!
VÍ DUÏ : Tính gaàn ñuùng soá e chính xaùc  =10-3.
Duøng khai trieån Taylor treân laân caän x0=0 vôùi x=1, khi ñoù ñeå sai soá khoâng c quaù 10-3 ta phaûi coù e 3 R
(do c naèm giöõa 0 vaø 1). Vaäy n(x)   (n  1)! (n  1)!
ta choïn n=6 thì ñöôïc Rn(x)  . Khi ñoù 1 1 1 1 1
e  1  1      . 2 3! 4! 5! 6! 46

Tài liệu liên quan: