Các khối đa diện và hình học không gian chuyên đề Toán| Trường Đại học Sư phạm Hà Nội

CHƯƠNG 1: KHỐI ĐA DIỆN HÌ –
NH HỌC KHÔNG GIAN
BÀI TẬP RÈN LUYỆN CÂU 1: a 2 Cho t
ứ diện OABC có ba cạnh OA , OB , OC đôi một vuông góc với nhau, OA  , 2
OB  OC  a . Gọi H là hình chiếu của điểm O trên mặt phẳng  ABC  . Tính thể tích kh i t
ố ứ diện OABH . 3 3 3 3 A. a 2 a 2 a 2 a 2 . B. . C. . D. . 6 12 24 48 CÂU 2 : Cho kh i
ố chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy và khoảng cách từ a 2
A đến mặt phẳng  SBC bằng
. Tính thể tích V c a kh ủ ối chóp đã cho. 2 3 a 3 3a 3 a A. V  . B. V  . C . 3 V  a . D .V  . 3 9 2
CÂU 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, 0
ABC  120 , SA  ABCD . Biết góc giữa hai
mặt phẳng  SBC và  SC 
D bằng 60 . Tính SA a 3 a 6 a 6 A. B. . C. a 6 D. 2 2 4
CÂU 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A , cạnh SA vuông góc với mặt phẳng
đáy. Cho biết AB  a , BC  2a . Góc giữa cạnh bên SC và mặt đáy bằng 60 . Tính thể tích V của khối chóp S.ABC. 3 a 3 3 3a 3 3 a 2 A. V  . B. V  . C. 3 V  a . D. V  . 2 2 3 2 a CÂU 5: 3
Cho hình chóp S.ABCD có SA  ABCD , AC  a 2 , S 
và góc giữa đường thẳng SC ABCD 2
và mặt phẳng ABCD bằng 60 . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SC . Tính theo a thể tích của
khối chóp H.ABCD. 3 3 3 3 A. a 6 a 6 a 6 3a 6 . B. . C. . D. . 2 4 8 4 CÂU 6. Cho kh i
ố chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a . Mặt bên SAB là tam giác đều, mặt phẳng
(SAB) vuông góc với mặt phẳng ( ABCD) . Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD. 3 a 3 3 a 3 3 a 3 3 a 3 A. V  . B. V  . C. V  . D. V  . 12 6 4 9
CÂU 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng
 ABCD trùng với trung điểm của cạnh AD , cạnh SB hợp với đáy một góc 60 . Tính theo a thể tích V
của khối chóp S.ABCD . 3 3 3 3 A. a 15 a 15 a 5 a 15 . B. . C. . D. . 2 6 4 6 3
CÂU 8: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B , AB  a , BC  2a . Tam giác SAB
cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi G là tr n
ọ g tâm tam giác ABC , mặt phẳng  SA 
G tạo với đáy một góc 60 . Thể tích kh i t ố di ứ ện ACGS bằng 3 3 3 3 A. a 6 a 6 a 3 a 6 V  B. V  C. V  D. V  36 18 27 12
GROUP: CHINH PHỤC KÌ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2020. Trang 12
CHƯƠNG 1: KHỐI ĐA DIỆN HÌ –
NH HỌC KHÔNG GIAN
CÂU 9: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân tại B , AC  a 2, mặt phẳng  SAC vuông
góc với mặt đáy  ABC  . Các mặt bên  SAB,  SBC tạo với mặt đáy các góc bằng nhau và bằng 60 . Tính
theo a thể tích V c a kh ủ
ối chóp S.ABC . 3 3 3 3 A. 3a 3a 3a 3a V  B. V  C. V  D. V  2 4 6 12
CÂU 10: chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SAB là tam giác cân tại S và nằm trong
mặt phẳng vuông góc với đáy  ABCD . Biết côsin của góc tạo bởi mặt phẳng  SC 
D và  ABCD bằng
2 17 . Thể tích V của khối chóp S.ABCD là 17 3 a 13 3 a 17 3 a 17 3 a 13 A. V  . B. V  . C. V  . D. V  . 6 6 2 2
CÂU 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, S  AB đều cạnh a nằm trong mặt
phẳng vuông góc với  ABCD . Biết  SCD tạo với  ABCD một góc bằng 0
30 . Tính thể tích V của
khối chóp S.ABC . D 3 3 3 3 A. a 3 a 3 a 3 a 3 V  . B. V  . C. V  . D. V  . 8 4 2 3
CÂU 12: Trong không gian Oxyz, cho các điểm A, B , C lần lượt thay đổi trên các trục Ox , Oy, Oz và 3
luôn thỏa mãn điều kiện: tỉ số giữa diện tích của tam giác ABC và thể tích khối tứ diện OABC bằng . 2
Biết rằng mặt phẳng  ABC luôn tiếp xúc với một mặt cầu cố định, bán kính của mặt cầu đó bằng A. 3. B. 2. C. 4. D. 1.
CÂU 13: Cho khối tứ diện ABCD có thể tích 2017 . Gọi M , N , P , Q lần lượt là trọng tâm của các tam
giác ABC , ABD , ACD , BCD . Tính theo V thể tích của khối tứ diện MNPQ . A. 2017 . B. 4034 . C . 8068 . D . 2017 . 9 81 27 27
CÂU 14: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên tạo với đáy
một góc 60. Gọi M là trung điểm của SC . Mặt phẳng đi qua AM và song song với BD cắt SB tại E
và cắt SD tại F . Tính thể tích V khối chóp S.AEMF . 3 a 6 3 a 6 3 a 6 3 a 6 A. V  . B. V  . C. V  . D. V  . 36 9 6 18
CÂU 15: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy,
SA  a 2 . Gọi B , D là hình chiếu của A lần lượt lên SB , SD . Mặt phẳng  A  B 
D  cắt SC tại  C . Thể
tích khối chóp SAB C D  là: 3 2a 3 3 2a 2 3 a 2 3 2a 3 A. V  . B. V  . C. V  . D. V  . 9 3 9 3
CÂU 16: Cho hình chóp tứ u
giác đề S.ABCD có cạnh đáy bằng a , cạnh bên hợp với đáy một góc 60 . Gọi
M là điểm đối xứng của C qua D , N là trung điểm S .
C Mặt phẳng  BMN chia khối chóp S.ABCD thành hai phần. Tỉ s ố thể tích gi a hai ph ữ
ần (phần lớn trên phần bé) bằng: 7 1 7 6 A. . B. . C. . D. . 5 7 3 5
GROUP: CHINH PHỤC KÌ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2020. Trang 13
CHƯƠNG 1: KHỐI ĐA DIỆN HÌ –
NH HỌC KHÔNG GIAN CÂU 17: Cho t
ứ diện ABCD , trên các cạnh BC , BD , AC lần lượt lấy các điểm M , N , P sao cho 3
BC  3BM , BD 
BN , AC  2AP . Mặt phẳng  MNP chia khối tứ diện ABCD thành hai phần có thể 2 V
tích là V , V . Tính tỉ s ố 1 . 1 2 V2 A. V 26 V 26 V 3 V 15 1  . B. 1  . C . 1  . D. 1  . V 13 V 19 V 19 V 19 2 2 2 2
CÂU 18: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 1 . Gọi M , N là hai điểm thay đổi lần lượt thuộc cạnh
BC , BD sao cho  AMN  luôn vuông góc với mặt phẳng BCD  . Gọi V , V lần lượt là giá trị lớn nhất và 1 2 giá trị nh nh ỏ ất c a th ủ
ể tích khối tứ diện ABMN . Tính V V . 1 2 17 2 17 2 17 2 2 A. . B. . C. . D. . 216 72 144 12
CÂU 19: Cho hình chóp S.ABCD có thể tích bằng V , đáy ABCD là hình bình hành. Mặt phẳng P song
song với  ABCD cắt các đoạn SA , SB, SC , SD tương ứng tại M , N , E , F ( M , N , E, F khác S và
không nằm trên  ABCD ). Các điểm H , K , P , Q tương ứng là hình chiếu vuông góc của M , N , E, F
lên  ABCD . Thể tích lớn nhất của kh n
ối đa diệ MNEFHKPQ là: A. 2 V . B. 4 V .
C . 4 V .
D . 2 V . 3 27 9 9 CÂU 20: Cho t
ứ diện đều ABCD có cạnh bằng 1. Trên các cạnh AB và CD lần lượt lấy các điểm M và
N sao cho MA  MB  0 và NC  2
 ND . Mặt phẳng P  chứa MN và song song với AC chia khối tứ
diện ABCD thành hai kh n, trong ối đa diệ n ch đó khối đa diệ nh ứa đỉ
A có thể tích là V . Tính V . 2 11 2 7 2 2 A. V  . B. V  . C. V  . D. V  . 18 216 216 108
MỘT SỐ CÔNG THỨC GIẢI NHANH THỂ TÍCH KHỐI CHÓP 3 a 2
 Công thức 1: Thể tích tứ di u c ện đề ạnh a: VS.AB = C . 12
 Công thức 2: Với tứ diện ABCD có AB = a; AC = b: AD = c đôi mộ 1 t vuông góc thì V = abc 6
 Công thức 3: Với tứ diện ABCD có AB = CD = a; BC = AD = b; AC = BD = c 2  V   2 2 2 a  b  c  2 2 2 b  c  a  2 2 2 a  c  b  12
 Công thức 4: Kh i chóp S.ABC có ố
SA  a;SB  b;SC  c,BSC  ,  CSA  ,  ASB   abc 2 2 2  V  1  2cos c  os c
 os  cos   cos   cos  6
GROUP: CHINH PHỤC KÌ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2020. Trang 14