Cách giải phương trình trùng phương đơn giản, dễ hiểu nhất

Cách giải phương trình trùng phương đơn giản, dễ hiểu nhất
1. Lý thuyết về phương trình trùng phương
Phương trình trùng phương là phương trình bậc bốn có hệ số đứng trước
x2 và x là 0 hay Theo định nghĩa là phương trình bậc bốn có dạng:
ax4 + bx2 + c = 0 với a khác 0.
2. Cách giải phương trình trùng phương
Giải phương trình trùng phương: cho phương trình ax4 + bx2 + c = 0 ( ) (1)
Bước 1: Đặt x2 = 0 (điều kiện
) , ta được phương trình bậc 2 ẩn t: at2 + bt + c = 0 ( ) (2)
Bước 2: giải phương trình bậc hai ẩn t
bước 3: giải phương trình x2 = t để Tìm nghiệm Bước 4: kết luận
Biện luận số nghiệm của phương trình trùng phương
- phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt => phương trình (2) có hai nghiệm dương phân biệt
- Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt => phương trình (2) có 1 nghiệm
dương và một nghiệm t = 0
- Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt => phường trình (2) có hai nghiệm
trái dấu hoặc nghiệm kép dương
- Phương trình (1) có duy nhất 1 nghiệm => phương trình. (2) có nghiệm kép
x = 0 hoặc có một nghiệm x = 0 và một nghiệm âm
- Phương trình (1) vô nghiệm => phương trình (2) vô nghiệm hoặc có hai nghiệm âm
* Sô nghiêm trùng phương co dang ax4 + bX2 + c = 0 Khi đó: - Phương trình trùng phương có 1 nghiệm ⇔ v à nghiệm đó băng 0 - Phương trình trùng phương có 2 nghiêm phân biệt ⇔ hoặc - Phương trình trùng phương có 3 nghiệm phân biệt ⇔
và trong đó có một nghiệm băng 0 - Phương trình trùng phương có 4 nghiệm phân biệt ⇔
. Khi đó tông 4 nghiệm = 0 và tich 4 nghiệm băng c/a - Phương trình trùng phương vô nghiệm ⇔ hoặc 3. Bài tập luyên tập
Bài 1: Tìm m để phương trình x4 + 2mx2 + 8 = 0 có bốn nghiem phân biệt
sao cho tông của bình phương các nghiệm băng 32 A. m = B. m = C. m = -8 D. m = 8 Lời giải: Đáp án chon C
Goi phương trình x4 + 2mx2 + 8 = 0 là (1) Đặt x2 = t (điều kiện
), ta được phương trình bậc hai ẩn t: t2 + 2mt + 8 = 0 (2)
Phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt ⇔ phương trình (2) có hai nghiệm dương phân biệt
Goi x1,x2,x3, x4 la bốn nghiệm phân biệt của phương trình (1), t1, t2 là hai
nghiệm dương phân biệt của phương trình (2). Ta có:
= 2t1 + 2t2 = 2( t1 + t2) = 2. (-2m)= -4m Theo bài ta có:
= 32 ⇔ -4m = 32 ⇔m = -8 (thoả man) Vậy m = -8
Bài 2: Điều kiện để a và b để phương trình x4 - 2x(a2 + b2) x2+ (a2 - b2)2 = 0
có ba nghiệm phân biệt là A. B. C. và D. và a = b hoặc a = -b
Đáp án: Chon D, để phương trình có ba nghiệm phân biệt thì và a = b hoặc a = -b
Bài 3: Giải các phương trình trùng phương: a, x4 - 5x2 + 4 = 0 b, 2x4 - 3x2 - 2 = 0 c, 3x4 + 10x2 + 3 = 0 Lời giải: a, x4 - 5x2 + 4 = 0 (1) Đặt t =x2, điều kiện
Khi đó phương trình (1) trơ thành t2 - 5t + 4 = 0 (2)
Giải phương trình (2) ta có: Có a=1; b = -5; c= 4 => a + b + c = 0
=> Phương trình có hai nghiệm t1 = 1; t2 = c/a = 4
Cả hai giá trị đều thoả man điều kiện
+ Với t =1 => x2 = 1 => x =1 hoặc x = -1
+ Với t = 4 => x2 = 4 => x = 2 hoặc x = -2
Vậy phương trình (1) có nghiệm S = {-2; -1; 1; 2} b. 2x4 - 3x2 - 2 = 0 (1) Đặt t = x2, điều kiện
. Khi đó phương trình (1) trơ thành 2t2 - 3t - 2 = 0 (2)
- Giải phương trình (2) có a = 2; b = -3; c = -2 => = (-3)2 - 4.2.(-2) = 25 > 0
=> Phương trình có hai nghiệm t1 = 2; t2 = -0,5
Với t = 2 => x2 = 2 => x = hoặc x =
Vậy phương trình (1) có tập nghiệm S = { ; } c, 3x4 + 10x2 + 3 = 0 (1)
Phương trình có 2 nghiệm t1 = -1/3; t2 = -3. Đối chiều điều kiện t là ,
ta thấy cả 2 giá trị t1 và t2 đều không thoả man điều kiện. Vậy phương trình (1) vô nghiệm
Bài 4: Số nghiệm của phương trình 3x4 - 2x2 - 5 = 0 (1) là A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 Đáp án: Chon C. 2, phương trình có 2 nghệm và
Bài 5: Số nghiệm âm của phương trình 3x4 + 10x2 + 3 = 0 là A. 0 B. 4 C. 2 D. 3 Lời giải: Chon đáp án A Đặt t = x2 (
). Phương trình (1) trơ thành 3t2 + 10t + 3 = 0 (2) Ta có:
= 102 - 4.3.3 = 100 - 36 = 64 > 0
Vậy phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt t = -1/3 < 0 (Loại) t2 = -3 < 0 (loại)
Vậy phương trình (1) vô nghiệm nên phương trình (1) không có nghiệm âm nào
Bài 6: Số nghiệm của phương trình -15x4 - 26x2 + 10 = 0 là A. 1 nghiệm B. 2 nghiệm C. 3 nghiệm d. 4 nghiệm
Lời giải: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt t1 < 0 (loại), t2 > 0 (thoả man).
Vậy phương trình có 2 nghiệm.
Bài 7: Tìm m để phương trình (m + 1)4 + 5x2 - m -1 = 0. Tìm giá trị của m để
phương trình có đung hai nghiệm phân biệt
A. -1 < m < 1 và m khác 0 B. -1 < m < 1 C. -1 < m < 2 D. Không có m thoả man Lời giải: Chon đáp án D
- Trường hợp 1: Nếu m = -1, phương trình (1) là phương trình bậc 2 5x2 = 0 ⇔ x2 = 0 ⇔ x = 1.
Phương trình có 1 nghiệm nên m = -1 không thoả man - Trường hợp 2: Nếu
, phương trình (1) la phương trình bậc 4 trùng phương. Đặt x2 = t ( điều kiện
), ta được phương trinh bậc hai ẩn t: (m+1) t2 + 5t - m - 1 = 0 (2),
Phương trình (1) có đung 2 nghiệm trái dấu hoặc có nghiệm kép dương
Trường hợp phương trình (2) có nghiệm kép dương không xảy ra với moi m.
- Phương trình (2) có hai nghiệm trái dấu: (m + 1)(-m -1) < 0 ⇔ (m + 1)2 < 0, không có m thoả man
Vậy không có giá trị nào của m thoả man yêu câu bài toán.
Bài 8: Cho phương trình m2x4 + x2 - m2 - 1 = 0 với m là tham số. Chon khăng định sai
A. . Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt vói moi m khác 0
B. phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với m khác 0
C. x = -1 và x = 1 đều là nghiệm của phương trình
D. X=2 không là nghiệm của phương trình
Lời giải: Chon đáp án A. Phương trình luôn có nghiệm phân biệt với moi m khác 0
- Trườn hợp 1: m= 0, phương trình (1) là phương trình bậc hai ⇔ x = 1 và x = -1 - Trường hợp 2:
. Phương trình (1) là phương trình bậc 4 trùng
phương. Ta có x = 1 và x = -1.
Bài 9: Nghiệm của phương trình x4 + 5x2 - 6 = 0 là A. x= -2 B. x = 3 C. x = 2 hoặc x = -3
D. Phương trình vô nghiệm
Bài 10: Số nghiệm của phương trình (x +1)4 - 5(x + 1)2 - 84 = 0 là
A. Phương trình vô nghiệm
B. Phương trình có 1 nghiệm
C. Phương trình có 2 nghiệm
D. Phương trình có 4 nghiệm
Lời giải: Đặt t = (x +1)2 (
). Phương trình (1) trơ thành t2 - 5t -84 =0 (2) Ta có
= (-5)2 - 4.1.(-84) = 25 + 336 = 361 > 0.
Vậy phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt: t1 = -7 < 0 (loại), t2 = 12 > 0 (thoả man)
Vậy phương trình có 2 nghiem x = và x =
Document Outline

• Cách giải phương trình trùng phương đơn giản, dễ h
  • 1. Lý thuyết về phương trình trùng phương
  • 2. Cách giải phương trình trùng phương
  • 3. Bài tập luyện tập