Cách tìm công thức tổng quát của dãy số cho bởi công thức truy hồi – Phạm Thị Thu Huyền

Tài liệu gồm 23 trang hướng dẫn phương pháp tìm công thức tổng quát của dãy số cho bởi công thức truy hồi thông qua một số ví dụ minh họa, tài liệu được biên soạn bởi cô Phạm Thị Thu Huyền với nội dung gồm:

59 30 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân (KNTT)

Môn: Toán 11

Thông tin:

23 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Kim Oanh
GV: Phạm Thị Thu Huyền
1
CÁC TÌM CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ CHO BỞI CÔNG THỨC TRUY HỒI
Dạng 1: Tìm số hạng tổng quát của dãy số (dạng đa thức) khi biết các số hạng đầu tiên
Ví dụ 1.1: Cho dãy số

n
u có dạng khai triển sau: 1; 1; 1;1;5;11;19;29;41;55;.....
Hãy tìm công thức của số hạng tổng quát và tìm số tiếp theo?
Bài giải:
Nhận xét: Với 10 số hạng đầu thế này, để tìm ra quy luật biểu diễn là rất khó. Với
những cách cho này ta thường làm phương pháp sau:
Đặt:
1kk k
uu u

2
1kk k
uu u

32 2
1kk k
uu u

……..
Ta lập bảng các giá trị
23
, , .....
kkk
uuu nếu đến hàng nào có giá trị không đổi thì dừng
lại, sau đó kết luận
n
u là đa thức bậc 1, 2, 3,…..và ta đi tìm đa thức đó.
Lời giải:
Bảng giá trị ban đầu:
k
u
1 -1 -1 1 5 11 19 29 41 55
k
u
-2 0 2 4 6 8 10 12 14
2
k
u
2 2 2 2 2 2 2 2
Ta thấy hàng của
2
k
u không đổi nên dãy số là dãy các giá trị của đa thức bậc hai:

2
0
n
uanbnca
(1) trong đó n là số thứ tự của các số hạng trong dãy.
Tìm
,,abc như sau:
Cho
1; 2; 3n thay vào công thức (1) ta được hệ phương trình sau:
11
42 1 5
93 1 5
abc a
abc b
abc c








2
55
n
un n
Số hạng tiếp theo
11
71u
Ví dụ 1.2: Cho dãy số

n
u có dạng khai triển sau: 5; 3;11;43;99;185;307;471;....
GV: Phạm Thị Thu Huyền
2
Hãy tìm công thức của số hạng tổng quát và 2 số hạng tiếp theo
Bài giải:
Bảng giá trị ban đầu
k
u
-5 -3 11 43 99 185 307 471
k
u
2 14 32 56 86 122 164
2
k
u
12 18 24 30 36 42
3
k
u
6 6 6 6 6
Ta thấy hàng của
3
k
u không đổi nên dãy số là dãy các giá trị của đa thức bậc ba:

32
0
n
uanbncnda (2) trong đó n là số thứ tự của các số hạng trong dãy.
Tìm
,,,abcd như sau:
Cho
1; 2; 3; 4n thay vào công thức (2) ta được hệ phương trình sau:
551
842 3 73 2 0
27 9 3 11 26 8 2 16 5
64 16 4 43 63 15 3 48 1
abcd abcd a
abcd abc b
abcd abc c
abcd abc d
 









 

3
51
n
un n
Hai số hạng tiếp theo là:
9
683u ;
10
949u
Lời bình: Công thức tìm được trên là không duy nhất vì hiển nhiên các số hạng đã cho
cũng thỏa mãn, chẳng hạn dãy số sau:

2
55 . 1 2 3
n
un n Pnn n n (Của ví dụ 1.1)

3
51 1234
n
un n Pnn n n n (của ví dụ 1.2)
Với

Pn
là một đa thức bất kỳ
Vậy cách tìm trên đây là mới chỉ tìm được một dạng mà dãy số đã cho thỏa mãn mà
không tìm được tất cả các dạng mà dãy số đã cho thỏa mãn.
Bài tập tương tự:
Với mỗi dãy số sau đây, hãy tìm công thức của số hạng tổng quát của dãy số
1)
8;14;20;26;32;..... (Đs: 62
n
un)
2)
1; 2; 2; 1; 7; 16; 28; 43; 6 1; . .. (Đs:
2
315
7
22
n
un n)
3)
1;6;17;34;57;86;121;.....
(Đs:
2
342
n
unn)
GV: Phạm Thị Thu Huyền
3
4) 2;3;7;14;24;37;..... (Đs:
2
37
4
22
n
unn
)
5)
3;5;10;18;29;..... (Đs:
2
35
4
22
n
unn)
6)
2;1;5;14;28;47;71;100;134;173;217;.... (Đs:
2
517
8
22
n
un n)
7)
2;2;8;26;62;122;212;338;.... (Đs:
32
322
n
un n n
)
DẠNG 2: Dạng cơ sở: Cho dãy

n
u biết
1
1
,
nn
ua
uqud

1n
Với ,qd là các hằng số thực.
GIẢI:
Trường hợp 1: Nếu 0q
1
1
,
n
ua
ud
1n
1
ua,
*
,,2
n
udn n
Trường hợp 2: Nếu
1q
1
1
,
nn
ua
uud

1n

n
u là cấp số cộng với số hạng đầu
1
ua và công sai bằng
d

1
n
uan d
Trường hợp 3: Nếu
0d
1
1
,
nn
ua
uqu
1n

n
u là cấp số nhân với số hạng đầu
1
ua và công bội bằng q
1
.
n
n
uaq

Trường hợp 4: Nếu
0, 1, 0qqd
. Đặt dãy

n
v sao cho
1
nn
d
uv
q

(1)
Thay ct(1) vào công thức truy hồi ta có:
1
11
nn
dd
vqvd
qq





1
,
nn
vqv
 1n

n
v là một cấp số nhân với số hạng đầu
11
11
dd
vu a
qq


và công bội
bằng
q
1
,1
1
n
n
d
va qn
q




GV: Phạm Thị Thu Huyền
4
1
111
n
nn
ddd
uv a q
qqq





Ví dụ 2.1: Tìm công thức của số hạng tổng quát của các dãy

n
u
biết:
1)
1
1
1
3,
nn
u
uu


1n
(Đs: 34
n
un)
2)
1
1
1
23,
nn
u
uu

1n
(Đs:
1
4.2 3
n
n
u
)
Giải:
1)
1
1
1
3,
nn
u
uu


1n
Vì
1
3
nn
uu
, 1n

n
u là một cấp số cộng với số hạng đầu
1
1u  và công sai 3d
 
1
113134
n
uu n d n n 
2)
1
1
1
23,1
nn
u
uun

Nhận xét: Dãy số này có dạng 1 với
1, 3qd
Đặt dãy

n
v sao cho: 3
1
nn n
d
uv v
q
 
(1)
Thay (1) vào công thức truy hồi ta được

1
32 3 3
nn
vv

1
2
nn
vv


n
v là cấp số nhân với số hạng đầu
11
3134vu và công bội 2q
11
4.2 2
nn
n
v


1
32 3
n
nn
uv

Nhận xét: Câu 1:
1
1
1
3,
nn
u
uu


1n
Còn có các cách sau:
Cách 2:
Ta có:
1
1u 
21
3uu
32
3uu
GV: Phạm Thị Thu Huyền
5
……..
1
3
nn
uu

Cộng vế với vế các hệ thức trên ta được:
123 123 1
...... 1 ..... 3( 1)
nn
uuu u uuu u n
 

13 1
n
un
34
n
un
Cách 3:
Dựa vào công thức truy hồi ta tính được dạng khai triển của dãy

n
u
là:
1;2;;5;8;11;14;17;....
k
u
-1 2 5 8 11 14 17
k
u
3 3 3 3 3 3

,0
n
uanba (1)
Thay
1n và 2n thay vào (1) ta được:
13
22 4
ab a
ab b





34
n
un
Bài tập tương tự: Tìm công thức của số hạng tổng quát của các dãy

n
u
biết:
1)
1
1
1
7,
nn
u
uu

1n
(Đs: 76
n
un)
2)
1
1
3
2,
nn
u
uu
1n
(Đs:
1
2.3
n
n
u
)
3)
1
1
1
21,
nn
u
uu


1n
(Đs: 1
n
u  )
4)
1
1
5
4
3
2,
4
nn
u
uu

1n
(Đs:
4
32
n
n
u )
5)
1
1
1
1
2,
3
nn
u
uu

1n
(Đs:
3
12
n
n
u )
Lời bình: Dạng 2 gọi là dạng cơ sở vì:
- Với 3 trường hợp 1, 2, và 3, dãy số trở thành các dãy đặc biệt đó là: dãy số hằng,
cấp số cộng và cấp số nhân. Các dãy số này ta đều đã tìm được công thức của số
hạng tổng quát.
GV: Phạm Thị Thu Huyền
6
- Trên cơ sở của 3 dãy này, để giải trường hợp 4: bằng phương pháp đặt một dãy
số mới

n
v liên hệ với dãy số

n
u bằng một biểu thức nào đó để có thể đưa
được về dãy số
n
v mà
n
v dãy số hằng hoặc cấp cộng hoặc cấp số nhân.
- Vấn đề đặt ra là: Mối liên hệ giữa

n
u
và

n
v
bởi biểu thức nào mới có thể đưa
dãy số
n
v thành dãy số hằng hoặc cấp số cộng hoặc cấp số nhân hoặc trường
hợp 4. Qua quá trình tìm tòi, tôi đã tìm ra được một số dạng sau:
LOẠI 2.1:
1
1
,
nn
ua
uqucnd

1n
với ,,qcd R và ,0qc
GIẢI:
Trường hợp 1: Nếu 1q
1
1nn
ua
uucnd

Cách 1:
Ta có:
1
ua
21
.1uucd
32
.2uuc d
43
.3uuc d
………….

1
.1
nn
uu cn d

Cộng vế với vế các hệ thức trên, ta được:

.1 .2 .3 ...... . 1 1
n
uacc c cn n d


1
1
2
cn n
and

Cách 2: Dùng công thức DẠNG 1 (Viết dãy số theo dạng khai triền)
Trường hợp 2: Nếu
1q
Đặt dãy
n
v sao cho:
1
nn
cn
uv
q

, thay vào công thức truy hồi ta được

1
1
11
nn
cn
cn
vqvcnd
qq





1
1
nn
c
vqvd
q

Từ đó ta có dãy

n
v với
11
1
1
',
1
nn n
c
vu
q
c
vqvd qvd
q

 
1n
Khi đó dãy

n
v lại
có DẠNG 1
GV: Phạm Thị Thu Huyền
7
Ví dụ 2.2: Tìm công thức của số hạng tổng quát của các dãy

n
u
biết:
1)
1
1
5
32,
nn
u
uun

1n
(Đs:
2
3714
2
n
nn
u

)
2)
1
1
11
10 1 9 ,
nn
u
uun

1n
(Đs: 10
n
n
un)
3)
1
1
1
361
nn
u
uun

(Đs: 313
n
n
un)
Bài giải:
1)
1
1
5
32,
nn
u
uun

1n
Cách 1:
Ta có:
1
5u
21
3.1 2uu
32
3.2 2uu
43
3.3 2uu
54
3.4 2uu
…………..

1
3. 1 2
nn
uu n

Cộng vế với vế ta được:



2
31
3714
5 3.1 3.2 3.3 .... 3. 1 2 1 5 2 1
22
n
nn
nn
unnn


Cách 2:
Ta có dạng khai triển của dãy số

n
u
là:
5;6;10;17;27;40;56;75;.....
k
u
5 6 10 17 27 40 56 75
k
u
1 4 7 10 13 16 19
2
k
u
3 3 3 3 3 3
2
n
uanbnc  (*)
Thay
1, 2, 3nn n vào (*) ta được:
GV: Phạm Thị Thu Huyền
8
3
2
5
7
42 6
2
93 10
7
a
abc
abc b
abc
c






2
2
37 3714
7
22 2
n
nn
unn


2)
1
1
11
10 1 9 ,
nn
u
uun

1n
Đặt dãy
n
v
sao cho: ,1
nn
uvnn
Thay vào công thức truy hồi ta được:

1
110 19
nn
vn vn n

1
10
nn
vv


n
v là một cấp số nhân với số hạng đầu
11
110vu và công bội 10q
1
10.10 10
nn
n
v

10
n
n
un
3)
1
1
1
361
nn
u
uun

Đặt dãy
n
v sao cho: 3
nn
uv n, thay vào công thức truy hồi của dãy

n
u ta được:

1
313 361
nn
vn vnn

1
32
nn
vv


n
v
được xác định bởi:
11
1
32
32,
nn
vu
vv


1n
Đặt dãy

n
y
sao cho 1, 1
nn
vy n , thay vào công thức truy hồi của dãy
n
v ta được

1
13 1 2
nn
yy

1
3
nn
y
y


n
y
là một cấp số nhân với số hạng đầu
11
1213yv và công bội 3q
1
3.3 3
nn
n
y
 
31
n
n
v
Vây:
313
n
n
un
Bài tập tương tự: Tìm công thức của số hạng tổng quát của các dãy

n
u biết:
GV: Phạm Thị Thu Huyền
9
1)
1
1
99
21,
nn
u
uun

1n
(Đs:
2
100
n
un
)
2)
1
3
1
1
,
nn
u
uun

1n
(Đs:


2
3
33
1
1 1 2 ... 1
2
n
nn
un




)
3)
1
2
1
1
2, 1
nn
u
uunn

(Đs:



2
222
121
1 2 1 2 3 .... 1 1
3
n
nnn
un

 
LOẠI 2.2: Cho dãy

n
u
xác định bởi:
1
1
,
n
nn
ua
uqurc

1n
với 0q
GIẢI:
Trường hợp 1: Nếu
1q
1
1
,
n
nn
ua
uurc

1n
ta có thể làm bằng phương
pháp sau:
Ta có:
1
ua
1
21
uurc
2
32
uurc
3
43
uurc
………………..
1
1
n
nn
uu rc

Cộng vế với vế ta được:

1
23 1
1
( .... )
1
n
n
n
cc r
uaccc cra
c
 
Trường hợp 2: Nếu
cq
1
1
,
n
nn
ua
uqurc

1n
Đặt dãy
n
v sao cho:
n
nn
rc
uv
cq

, thay vào công thức truy hồi ta được
1
1
nn
n
nn
rc rc
vqvrc
cq cq





1nn
vqv

GV: Phạm Thị Thu Huyền
10

n
v là một cấp số nhân với số hạng đầu
11
rc rc
vu a
cq cq


và công bội
bằng
q
1n
n
rc
va q
cq




1
nn
n
nn
rc rc rc
uv a q
cq cq cq





Trường hợp 3: Nếu
cq
1
,
n
nn
ua
uqvrq

1n
Đặt dãy số

n
v sao cho:
.
n
nn
uqv
, thay vào công thức truy hồi của dãy

n
u ta
được

1
1
nnn
nn
qv qqv rq

1nn
r
vv
q


n
v là một cấp số cộng với số hạng đầu
1
1
u
a
v
qq

và công sai
r
d
q
Ví dụ 2.3: Cho dãy

n
u biết
n
nn
uu
u
2
1
1
1
1
với
*
Nn .
Xác định số hạng tổng quát của dãy

n
u (Đs:
1
1
2
2
n
n
u




)
Bài giải:
Cách 1:
Ta có:
1
1u
21
1
2
uu
2
32
1
2
uu




3
43
1
2
uu




…………
1
1
1
2
n
nn
uu




GV: Phạm Thị Thu Huyền
11
Cộng vế với vế ta được:
21 1
1
1
11 1 1
2
1 ..... 2
1
22 2 2
1
2
n
nn
n
u



  


  
  
Cách 2:
Đặt dãy số

n
v sao cho:
1
1
2
2.
1
2
2
n
n
nn n
uv v




 


thay vào công thức truy hồi ta
được:
1
1
111
22
222
nnn
nn
vv
  

  
  
1nn
vv

dãy

n
v được xác định bởi:
11
1
1
2112
2
nv
vu
vv




1
2, 1
n
vv n
Vậy:
1
11
22 2
22
nn
n
u
 
 
 
 
Ví dụ 2.4: Viết công thức của số hạng tổng quát của các dãy số

n
u
với:
1)
1
1
8
23,1
n
nn
u
uun

(Đs:
1
5.2 3
nn
n
u
)
2)
1
1
1
53,1
n
nn
u
uun

(Đs:

1
1
35
2
nn
n
u
)
3)
1
1
1
101
77,1
n
nn
u
uu n

(Đs:
1
.7 94.7
nn
n
un
 )
4)
1
1
1
26.2,1
n
nn
u
uu n

(Đs:
1
3.2 5.2
nn
n
un
)
5)
1
1
0
2.3, 1
n
nn
u
uunn

(Đs:
1
33
.3
2
n
n
n
un

)
Bài giải:
GV: Phạm Thị Thu Huyền
12
1)
1
1
8
23,1
n
nn
u
uun

Đặt
3, 1
n
nn
uv n thay vào công thức truy hội của dãy

n
u
ta được:

1
1
32 33
nnn
nn
vv

1
2
nn
vv


n
v
là một cấp số nhân với số hạng đầu
11
35vuvà công bội 2q
1
5.2
n
n
v

1
5.2 3
nn
n
u

2)
1
1
1
53,1
n
nn
u
uun

Đặt
3
2
n
nn
uv thay vào công thức truy hồi ta được
1
1
33
53
22
nn
n
nn
vv




1
5
nn
vv


n
v
là một cấp số nhân với số hạng đầu
11
31
22
vu và công bội 5q
1
1
.5
2
n
n
v


11
111
.5 .3 3 5
222
nnnn
n
u


3)
1
1
1
101
77,1
n
nn
u
uu n

Đặt
7
n
nn
uv thay vào công thức truy hồi ta được
11
1
77.77
nnn
nn
vv


1
1
nn
vv


n
v là một cấp số cộng với số hạng đầu
1
1
101
77
u
v 
và công sai 1d
101 94
1
77
n
vnn
1
.7 94.7
nn
n
un

GV: Phạm Thị Thu Huyền
13
4)
1
1
1
26.2,1
n
nn
u
uu n

Đặt
2, 1
n
nn
uvn thay vào công thức truy hồi ta được
1
1
22.26.2
nnn
nn
vv

1
3
nn
vv


n
v là cấp số cộng với số hạng đầu
1
1
1
22
u
v 
và công sai
3d

15
13 3
22
n
vn n
1
5
3.23.25.2
2
nnn
n
un n




5)
1
1
0
2.3, 1
n
nn
u
uunn

Đặt
3, 1
n
nn
uvn
thay vào biểu thức truy hồi của dãy

n
u ta được
1
1
332.3
nnn
nn
vvn

1
12
33
nn
vvn

dãy

n
v xác định bởi
1
1
1
0
2
12
,
33
nn
u
v
vvn


1n
Đặt
nn
vyn thay vào công thức truy hồi của dãy
n
v
ta được

1
12
1
33
nn
y
nynn

1
1
1
3
nn
yy


n
y
xác định bởi
11
1
11
1
1,
3
nn
yv
yy


1n
Đặt
3
2
nn
yt thay vào công thức truy hồi của dãy

n
y
ta được
1
31 3
1
23 2
nn
tt




1
1
3
nn
tt

GV: Phạm Thị Thu Huyền
14

n
t là một cấp số nhân với số hạng đầu
11
331
1
222
ty
và công bội
1
3
q
………………….
1
33
.3
2
n
n
n
un

LOẠI 2.3: Cho dãy số

n
u
xác định bởi:
1
1
,
n
n
n
ua
cu
u
qdu
1n
GIẢI:
Đặt dãy số

n
v sao cho:
1
n
n
u
v
thay vào công thức truy hồi của dãy

n
u ta đươc
1
1
n
n
n
c
v
d
v
q
v
1
1
nn
c
vqvd

1nn
qd
vv
cc


1
1
1
:
,
n
nn
v
a
v
qd
vv
cc

1n
quay về DẠNG 1
LOẠI 2.4: Cho dãy số

n
u xác định bởi:
1
1
,1
n
n
n
ua
bcu
un
pru

GIẢI:
Đặt ,1
nn
uv n
 thay vào công thức truy hồi của dãy

n
u ta được


1
n
n
n
bcv
v
prv




2
1
nn
n
n
bc cv p rv
v
prv




GV: Phạm Thị Thu Huyền
15


2
1
n
n
n
p
cbcrv
v
pr rv


 



Để dãy
n
v
trở về loại 2.3, ta chọn
là nghiệm của phương trình

2
0rc b


Ví dụ 2.5: Tìm công thức của số hạng tổng quát của các dãy

n
u sau, biết:
1)
1`
1
1
,
1
n
n
n
u
u
u
u
1n
(Đs:
1
n
u
n
)
2)
1
1
2
,
2
n
n
n
u
u
u
u
1n
(Đs:
2
1
3.2 1
n
n
u
)
3)
1
1
1
2
1
2
n
n
u
u
u
(Đs:
1
n
n
u
n
)
4)
1
1
1
14
,
16
n
n
n
u
u
u
u
1n
(Đs:
2
11
262
n
n
u

)
Bài giải:
1)
1`
1
1
,
1
n
n
n
u
u
u
u
1n
Đặt
1
n
n
u
v
thay vào công thức truy hồi của dãy

n
u ta được:
1
1
1
1
1
n
n
n
v
v
v
GV: Phạm Thị Thu Huyền
16
1
11
1
nn
vv

1
1
nn
vv

Dãy

n
v là cấp số cộng có số hạng đầu
1
1
1
1v
u

, công sai 1d

1
11 1
n
vv n d n n  
1
n
u
n

2)
1
1
2
,
2
n
n
n
u
u
u
u
1n
Đặt
1
n
n
u
v
thay vào công thức truy hồi của dãy

n
u ta được:
1
1
1
1
2
n
n
n
v
v
v
1
11
21
nn
vv

1
21
nn
vv

Đặt
1
nn
vy thay vào dãy
n
v
ta được:

1
12 1 1
nn
yy

1
2
nn
y
y


n
y
là một cấp số nhân với số hạng đầu
11
1
13
11
2
yv
u

và công bội
2q
12
3
.2 3.2
2
nn
n
y


2
13.2 1
n
nn
vy

2
1
3.2 1
n
n
u

3)
1
1
1
2
1
2
n
n
u
u
u
Đặt dãy số

n
v
sao cho:
nn
uv
 thay vào dãy

n
u
ta được:
1
1
2
n
n
v
v


GV: Phạm Thị Thu Huyền
17
2
1
21
2
n
n
n
v
v
v




Chọn
là nghiệm của phương trình:
2
210


1

1
nn
uv và
1
1
n
n
n
v
v
v
Đặt dãy số

n
y
sao cho:
1
n
n
v
y
thay vào dãy

n
v ta được:
1
1
1
1
1
n
n
n
y
y
y
1
11
1
nn
yy

1
1
nn
yy


n
y
là cấp số cộng có số hạng đầu
1
11
11
2
1
y
vu

và công sai 1d 

211 1
n
y
nn
11
1
n
n
v
y
n

1
11
11
nn
n
uv
nn


4)
1
1
1
14
,
16
n
n
n
u
u
u
u
1n
Đặt dãy
n
v sao cho
nn
uv
, thay vào công thức truy hồi ta được


1
14
16
n
n
n
v
v
v






2
1
6 5164
16
n
n
v
v




=> chọn
1
2
là một nghiệm của phương trình
2
6510


Khi đó
1
2
nn
uv và dãy số
n
v được xác định bởi
1
1
1
2
26
n
n
n
v
v
v
v
Đặt dãy số

n
y
sao cho
1
n
n
v
y
thay vào công thức truy hồi của dãy

n
v ta được:
GV: Phạm Thị Thu Huyền
18
1
1
1
6
2
n
n
n
y
y
y
1
11
26
nn
yy

1
26
nn
yy


n
y
được xác định bởi
1
1
2
26,1
nn
y
yyn

Đặt dãy số

n
x
sao cho 6
nn
yx thay vào công thức truy hồi của dãy

n
y
ta được

1
62 6 6
nn
xx

1
2
nn
x
x


n
x
là cấp số nhân với
11
68xy và công bội 2q
12
8.2 2
nn
n
x


2
26
n
n
y

2
1
26
n
n
v

2
11
262
n
n
u

Bài tập tương tự: Tìm công thức của số hạng tổng quát của các dãy

n
u
sau, biết:
1)
1
1
1
22
,
31
n
n
n
u
u
u
u

1n
2)
1
1
0
,
21
n
n
n
u
u
u
u
1n
2.3. Sử dụng máy tính casio để tìm các số hạng trong một dãy số được cho bởi công thức
truy hồi:
Theo dự án mới của Bộ Giáo Dục và Đào Tạo, từ năm học 2016 – 2017 kỳ thi THPT
Quốc gia, bộ môn Toán thi bằng phương pháp trắc nghiệm. Vậy, với một bài toán về dãy
số mà dãy số đó cho bởi công thức truy hồi thì phải giải thế nào? Có phải tìm công thức
của số hạng tổng quát hay không?
Sau đây tôi xin giới thiệu quy trình bấm máy tính casio để tìm giá trị
k
u của một dãy số
cho bởi biểu thức truy hồi
GV: Phạm Thị Thu Huyền
19
Ví dụ 3.1: Cho dãy số

n
u
xác định bởi
1
1
1
3, 1
nn
u
uun

. Tính
8
u ?
Bài giải:
+ Gán giá trị của
1
1u vào biến A: 1 SHIFT STO A
+ Dùng biến D làm biến đếm, công thức truy hồi bắt đầu được tính từ
2
u , nên ta gán cho
biến đếm D giá trị khởi đầu là 1: 1 SHIFT STO D
+ Biểu thức lặp: Khi biến đếm D tăng lên 1 đơn vị thì
21
33uu A và ta lại gán giá
trị của
2
u vào biến A, cứ như vậy biều thức được lặp lại. Nên ta có biểu thức lặp như sau:
1: 3DD AA
+ Sau đó bấm phím CACL và liên tiếp các dấu “=” cho đến khi giá trị
18DD
thì
tính được
8
u .
Tóm lại quy trình bấm máy như sau:
1 SHIFT STO A
1 SHIFT STO D
1: 3DD AA
CACL = = = ……=
Cho đến khi trên màn hình có
18DD bấm tiếp dấu “=” ta được
8
22Au
Chú ý: Các ký hiệu “=” và “:” trong biểu thức lặp
1: 3DD AA là những phím màu
đỏ trên bàn phím của máy tính casio, nên ta phải bấm tổ hợp phím ALPHA và dấu “=”,
dấu “:” màu đỏ. Còn dấu “=” sau khi gọi phím CACL = = = ……= là dấu “=” màu đen
trên màn phím máy tính casio.
Ví dụ 3.2: Cho dãy số

n
u xác định bởi:
1
2
21
2
1
2,1
nnn
u
u
uuun



Tính
7
u ?
Bài giải:
Vì công thức truy hồi được tính theo 2 số hạng đứng ngay trước nó, nên ta cần dùng đến 2
biến A và B cho 2 số hạng đó và phải dùng tới 2 lần lặp. Quy trình bấm máy như sau:
2 SHIFT STO A
-1 SHIFT STO B
2 SHIFT STO D
1: 2 : 1: 2DD AB ADD BA B 
CACL = = = ….=
Cho đến khi
17DD bấm tiếp dấu “=” nữa ta được
7
23u
GV: Phạm Thị Thu Huyền
20
Lời bình: Với quy trình này học sinh không phải dùng nháp và tính từng bước từ công
thức truy hồi hoặc không phải tìm công thức của số hạng tổng quát đồng thời cũng có lợi
khi bài toán yêu cầu tìm
k
u với
k
hơi lớn (VD:
40 45
,uu)
Bài tập áp dụng:
Bài 1: Cho dãy số

n
u
xác định bởi:
1
1
2
1
,1
2
n
n
u
u
un

. Số hạng
4
u của dãy số là:
A. 1 B.
9
8
C.
7
8
D.
4
3
Bài 2: Cho dãy số hữu hạn

n
u có dạng khai triển là:
1;
1;
1;
1;
5;
11;
19;
29;
41;
55;
Khi đó công thức tổng quát của dãy số là:
A.
2
31
n
un n
B.
2
31
n
un n
C.
2
55
n
un n D.
2
2
n
un n
Bài 3: Cho dãy số

n
u xác định bởi
1
1
1
1
,1
2
n
nn
u
uu n




Công thức của số hạng tổng
quát
n
u là:
A.
1
21
2
n
n
n
u
B.
1
21
2
n
n
n
u
C.
23
2
n
n
n
u
D.
1
1
21
2
n
n
n
u
Với bài số 2: Ta sử dụng MODE 7 để kiểm tra từng đáp án
Quy trình bấm như sau:
MODE 7

2
31Fx x x
START 1
END 10
STEP 1
Sau đó dò trên cột

f
x . Nếu cột này trùng với các giá trị của các số hạng trong dãy số
thì ta chọn biểu thức đó.
Chú ý: Với máy casio fx – 570 VN PLUS ta có thể kiểm tra một lúc 2 đáp án qua 2 hàm

f
x và

gx bằng phím chuyển đổi: SHIFT MODE ▼ 5 2
2.4. Các bài toán thi học sinh giỏi các cấp:
GV: Phạm Thị Thu Huyền
21
Bài 1: (Đề thi chọn HSG môn toán lớp 11 của trường THPT Vũng Tàu năm học 2014
– 2015)
Cho dãy số

n
u
xác định bởi:
1
1
1
1
,1
2
n
nn
u
uu n




Chứng minh rằng
*
21
1,
32
n
n
un








Bài giải:
Cách 1:
Ta có:
1
1u
21
1
2
uu




2
32
1
2
uu




2
43
1
2
uu




………………..
1
1
1
2
n
nn
uu




Cộng vế với vế các đẳng thức trên ta được:
21
1
1
11 1 2 1
2
1 ..... 1
1
22 2 3 2
1
2
n
nn
n
u




  

 

  

  





Cách 2:
Đặt dãy số

n
v sao cho
1
21
2
1
32
1
2
n
n
nn n
uv v




 



thay vào biểu thức truy hồi ta
được
1
1
21 21 1
32 32 2
nnn
nn
vv
 
 
 
 
1nn
vv


n
v là một dãy số hằng
11
21 12
1
32 33
n
vvu




GV: Phạm Thị Thu Huyền
22
22 1 2 1
1
33 2 3 2
nn
n
u

 


 
 


Cách 3: Chứng minh quy nạp
Bài 2: (Đề thi Olympic 27/4 môn Toán – lớp 11 của Sở GD và ĐT Tỉnh Bà Rịa Vũng
Tàu năm học 2012 – 2013)
Cho dãy số

n
u xác định bởi

1
1
3
21
,1
11 2
n
n
n
u
u
un
u



. Tính
2013
u
Bài giải:
Đặt dãy số

n
v sao cho tan
nn
uv , thay vào công thức truy hồi ta được:
1
tan tan
8
tan
1 tan .tan
8
n
n
n
v
v
v
1
tan tan
8
nn
vv




=> chọn
1
8
nn
vv


n
v là cấp số cộng với số hạng đầu
11
3tan
3
vv

và công sai
8
d

1
38
n
vn


tan 1
38
n
un




2013
2012 3
tan
38 3
u





GV: Phạm Thị Thu Huyền
23
| 1/23
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

GV: Phạm Thị Thu Huyền
CÁC TÌM CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ CHO BỞI CÔNG THỨC TRUY HỒI
Dạng 1: Tìm số hạng tổng quát của dãy số (dạng đa thức) khi biết các số hạng đầu tiên
Ví dụ 1.1: Cho dãy số u có dạng khai triển sau: 1; 1  ; 1  ;1;5;11;19;29;41;55;..... n
Hãy tìm công thức của số hạng tổng quát và tìm số tiếp theo? Bài giải:
Nhận xét: Với 10 số hạng đầu thế này, để tìm ra quy luật biểu diễn là rất khó. Với
những cách cho này ta thường làm phương pháp sau: Đặt: u
  u u k k 1  k 2  u u   uk k 1  k 3 2 2
u   u   u k k 1  k ……..
Ta lập bảng các giá trị 2 3 u
 ,  u ,  u .....nếu đến hàng nào có giá trị không đổi thì dừng k k k
lại, sau đó kết luận u là đa thức bậc 1, 2, 3,…..và ta đi tìm đa thức đó. n Lời giải:
Bảng giá trị ban đầu: u 1 -1 -1 1 5 11 19 29 41 55 k u  -2 0 2 4 6 8 10 12 14 k 2  u 2 2 2 2 2 2 2 2 k Ta thấy hàng của 2
u không đổi nên dãy số là dãy các giá trị của đa thức bậc hai: k 2
u an bn c a  0 (1) trong đó n là số thứ tự của các số hạng trong dãy. n  Tìm a, , b c như sau:
Cho n  1;2;3 thay vào công thức (1) ta được hệ phương trình sau:
a b c 1 a  1  
4a  2b c  1  b   5 2
u n  5n  5 n 9  
a  3b c  1  c  5  
Số hạng tiếp theo u  71 11
Ví dụ 1.2: Cho dãy số u có dạng khai triển sau: 5  ; 3
 ;11;43;99;185;307;471;.... n  1 GV: Phạm Thị Thu Huyền
Hãy tìm công thức của số hạng tổng quát và 2 số hạng tiếp theo Bài giải: Bảng giá trị ban đầu u -5 -3 11 43 99 185 307 471 k u  2 14 32 56 86 122 164 k 2  u 12 18 24 30 36 42 k 3  u 6 6 6 6 6 k Ta thấy hàng của 3
u không đổi nên dãy số là dãy các giá trị của đa thức bậc ba: k 3 2
u an bn cn d a  0 (2) trong đó n là số thứ tự của các số hạng trong dãy. n  Tìm a, ,
b c, d như sau:
Cho n 1;2;3;4 thay vào công thức (2) ta được hệ phương trình sau:
a b c d  5 
a b c d  5  a 1 8   
a  4b  2c d  3 
7a  3b c  2 b   0     
27a  9b  3c d  11
26a  8b  2c  16 c  5    
64a 16b  4c d  43 63a 15b 3c  48 d  1  3
u n  5n 1 n
Hai số hạng tiếp theo là: u  683 ; u  949 9 10
Lời bình: Công thức tìm được trên là không duy nhất vì hiển nhiên các số hạng đã cho
cũng thỏa mãn, chẳng hạn dãy số sau: 2
u n  5n  5  P n.n  
1 n  2n  3 (Của ví dụ 1.1) n  3
u n  5n 1 P nn  
1 n  2n  3n  4 (của ví dụ 1.2) n
Với P n là một đa thức bất kỳ
Vậy cách tìm trên đây là mới chỉ tìm được một dạng mà dãy số đã cho thỏa mãn mà
không tìm được tất cả các dạng mà dãy số đã cho thỏa mãn. Bài tập tương tự:
Với mỗi dãy số sau đây, hãy tìm công thức của số hạng tổng quát của dãy số 1) 8;14;20;26;32;.....
(Đs: u  6n  2 ) n 3 15 2) 1; 2  ; 2  ;1;7;16;28;43;61;... (Đs: 2 u n n  7 ) n 2 2 3) 1;6;17;34;57;86;121;..... (Đs: 2
u  3n  4n  2 ) n 2 GV: Phạm Thị Thu Huyền 3 7 4) 2;3;7;14;24;37;..... (Đs: 2 u n n  4 ) n 2 2 3 5 5) 3;5;10;18;29;..... (Đs: 2 u n n  4 ) n 2 2 5 17
6) 2;1;5;14;28;47;71;100;134;173;217;.... (Đs: 2 u n n  8 ) n 2 2
7) 2;2;8;26;62;122;212;338;.... (Đs: 3 2
u n  3n  2n  2 ) n u   a
DẠNG 2: Dạng cơ sở: Cho dãy u biết 1  n uqu d,  n  1 n 1  n
Với q, d là các hằng số thực. GIẢI:    u a
Trường hợp 1: Nếu q  0 1   ud,  n  1 n 1    , *
u d , n    , n  2 1 u a n    u a
Trường hợp 2: Nếu q 1 1   uu d,  n  1 n 1  n
 u là cấp số cộng với số hạng đầu  và công sai bằng d n  1 u a
u a  n   1 d n    u a
Trường hợp 3: Nếu d  0 1   uqu ,  n  1 n 1  n
 u là cấp số nhân với số hạng đầu  và công bội bằng q n  1 u a 1 u . n a q    n
Trường hợp 4: Nếu d
q  0, q  1, d  0 . Đặt dãy v sao cho u v  (1) n n n 1 q
Thay ct(1) vào công thức truy hồi ta có: dd v   q v   d   n 1  1 nq  1 q
v qv , n 1 n 1  n   d d v
là một cấp số nhân với số hạng đầu v u   a  và công bội n  1 1 1 q 1 q bằng q d n 1  v a q  , n  1   n  1 q  3 GV: Phạm Thị Thu Huyền dd   d n 1  u v   a q    n n 1 q  1 q  1 q
Ví dụ 2.1: Tìm công thức của số hạng tổng quát của các dãy u biết: n u   1  1) 1 
(Đs: u  3n  4 ) uu  3,  n n  1 n 1  n u   1 2) 1  (Đs: n 1 u 4.2    3) u  2u  3,  n n  1 n 1  n Giải: u   1  1) 1  uu  3,  n  1 n 1  n Vì u
u  3 , n 1 n 1  n
 u là một cấp số cộng với số hạng đầu u  1
 và công sai d  3 n  1
u u n 1 d  1
  3 n 1  3n  4 n 1     u   1 2) 1  u
 2u  3, n 1  n 1 n
Nhận xét: Dãy số này có dạng 1 với q  1, d  3 Đặt dãy  d v
sao cho: u v   v  3 (1) n n n 1 nq
Thay (1) vào công thức truy hồi ta được
v  3  2 v  3  3  v  2v n 1   n n 1  n
 v là cấp số nhân với số hạng đầu v u  3 1 3  4 và công bội q  2 n  1 1 n 1  n 1 v 4.2 2     n n 1 u v 3 2       3 n n u   1  Nhận xét: Câu 1: 1  Còn có các cách sau: uu  3,  n  1 n 1  n Cách 2: Ta có: u  1  1 u u  3 2 1 u u  3 3 2 4 GV: Phạm Thị Thu Huyền …….. u u  3 n n 1 
Cộng vế với vế các hệ thức trên ta được:
u u u  ......  u  1
  u u u ..... u 3  (n 1) 1 2 3 n 1 2 3 n 1   u  1   3n   1 n
u  3n  4 n Cách 3:
Dựa vào công thức truy hồi ta tính được dạng khai triển của dãy u là: n  1  ;2;;5;8;11;14;17;.... u -1 2 5 8 11 14 17 k u  3 3 3 3 3 3 k
u an b,a  0 (1) n  a b  1  a  3
Thay n  1 và n  2 thay vào (1) ta được:   
2a b  2 b   4 
u  3n  4 n
Bài tập tương tự: Tìm công thức của số hạng tổng quát của các dãy u biết: n u   1 1) 1 
(Đs: u  7n  6 ) uu  7,  n n  1 n 1  n u   3 2) 1  (Đs: n 1 u 2   .3 ) u  2u ,  n n  1 n 1  n u   1 3) 1  (Đs: u  1  ) u  2u 1,  n n  1 n 1  n  5   1 u  2n  3 4) 4  (Đs: u  ) 3 n 4 u
 2u  , n 1 n 1  n  4 u   1 1  2n 1 5)  1 (Đs: u  ) n u  2u  ,  n  1 3 n 1  n  3
Lời bình: Dạng 2 gọi là dạng cơ sở vì:
- Với 3 trường hợp 1, 2, và 3, dãy số trở thành các dãy đặc biệt đó là: dãy số hằng,
cấp số cộng và cấp số nhân. Các dãy số này ta đều đã tìm được công thức của số hạng tổng quát. 5 GV: Phạm Thị Thu Huyền
- Trên cơ sở của 3 dãy này, để giải trường hợp 4: bằng phương pháp đặt một dãy
số mới v liên hệ với dãy số u bằng một biểu thức nào đó để có thể đưa n n
được về dãy số v mà v dãy số hằng hoặc cấp cộng hoặc cấp số nhân. n n
- Vấn đề đặt ra là: Mối liên hệ giữa u và v bởi biểu thức nào mới có thể đưa n n
dãy số v thành dãy số hằng hoặc cấp số cộng hoặc cấp số nhân hoặc trường n
hợp 4. Qua quá trình tìm tòi, tôi đã tìm ra được một số dạng sau: u   a LOẠI 2.1: 1 
với q,c, d R và q,c  0 u
qu cn d,  n  1 n 1  n GIẢI:    u a
Trường hợp 1: Nếu q 1 1   u
u cn dn 1 n Cách 1: Ta có:  1 u a
u u  .1 2 1 c d
u u  .2  3 2 c d
u u  .3  4 3 c d …………. u u  . c n 1  d n n 1   
Cộng vế với vế các hệ thức trên, ta được: cn n   1 u a  .1 c  .2 c  .3 c  ......  . c n   1  n   1 d a   n   1 d n 2
Cách 2: Dùng công thức DẠNG 1 (Viết dãy số theo dạng khai triền)
Trường hợp 2: Nếu q  1 Đặt dãy  cn v
sao cho: u v
, thay vào công thức truy hồi ta được n n n 1 q c n   1  cn v   q v   cn d n 1    1 nq  1 q c
v qv d n 1  n 1 qc    1 v 1 u  1 Từ đó ta có dãy  q v với 
Khi đó dãy v lại n n cn  1 vqv d   qv d ', n 1  n  1 nq có DẠNG 1 6 GV: Phạm Thị Thu Huyền
Ví dụ 2.2: Tìm công thức của số hạng tổng quát của các dãy u biết: n u   5 2 3n  7n 14 1) 1  (Đs: u  ) u
u  3n  2,  n n  1 2 n 1  n u   11 2) 1 
(Đs: u  10n n ) u
10u 1 9n,  n n  1 n 1  n u   1 3) 1 
(Đs: u  3n 1 3n ) u
 3u  6n 1  n n 1  n Bài giải: u   5 1) 1  u
u  3n  2,  n  1 n 1  n Cách 1: Ta có: u  5 1
u u  3.1 2 2 1
u u  3.2  2 3 2
u u  3.3  2 4 3
u u  3.4  2 5 4 ………….. u u  3. n 1  2 n n 1   
Cộng vế với vế ta được: 2 n n n n   u       n   n     n   n     3 1   3 7 14 5 3.1 3.2 3.3 .... 3. 1 2 1 5 2 1 2 2 Cách 2:
Ta có dạng khai triển của dãy số u là: n  5;6;10;17; 27; 40;56;75;..... u 5 6 10 17 27 40 56 75 k u  1 4 7 10 13 16 19 k 2  u 3 3 3 3 3 3 k 2
u an bn c (*) n
Thay n  1, n  2, n  3 vào (*) ta được: 7 GV: Phạm Thị Thu Huyền  3 a   2
a b c  5    7
4a  2b c  6  b    2 9  
a  3b c  10  c  7  2 3   2 7 3n 7n 14
u n n  7  n 2 2 2 u   11 2) 1  u
10u 1 9n,  n  1 n 1  n
Đặt dãy v sao cho: u v  , n n  1 n n n
Thay vào công thức truy hồi ta được: v
n 1 10 v n 1 9n n 1   n   v 10v n 1  n
 v là một cấp số nhân với số hạng đầu v u 1 10 và công bội q 10 n  1 1 n 1 v 10.10    10n n
u 10n n n u   1 3) 1  u
 3u  6n 1  n 1 n
Đặt dãy v sao cho: u v  3n , thay vào công thức truy hồi của dãy u ta được: n n n n v
 3 n 1  3 v  3n  6n 1 n 1     n
v  3v  2 n 1  n
v u  3  2 
 v được xác định bởi: 1 1  n v  3v  2,  n  1 n 1  n
Đặt dãy  y sao cho v y 1,n 1, thay vào công thức truy hồi của dãy v ta được n n n n y
1  3 y 1  2 n 1   n   y  3y n 1  n
  y là một cấp số nhân với số hạng đầu y v 1  2 1  3
 và công bội q  3 n  1 1 n 1 y 3.3     3nn
v  3n 1 n
Vây: u  3n 1 3n n
Bài tập tương tự: Tìm công thức của số hạng tổng quát của các dãy u biết: n  8 GV: Phạm Thị Thu Huyền u   99 1) 1  (Đs: 2
u  100  n ) u
u  2n 1,  n n  1 n 1  n u  1  n n 1  2) 1 
(Đs: u  11  2  ... n     ) n     2 3 3 3 1 3 u   u n ,  n  1 2 n 1  n   u  1
n 1 n 2n 1 3) 1  (Đs: u  1 2     n    n 1 2 3 ....  2 2 2 2 1      1 2 u
u  2n , n 1  3 n 1  n u   a
LOẠI 2.2: Cho dãy u xác định bởi: 1  với q  0 n n u   qu rc ,  n  1 n 1  n GIẢI:    u a
Trường hợp 1: Nếu q  1 1  
ta có thể làm bằng phương n u   u rc ,  n  1 n 1  n pháp sau: Ta có:  1 u a 1 u   2 1 u rc 2   3 u u2 rc 3 u   4 3 u rc ……………….. n 1 u urc n n 1 
Cộng vế với vế ta được: c c   r n  n 1 1 2 3 1 
u a  (c c c  .... c )r a n c 1    u a
Trường hợp 2: Nếu c q 1   n u   qu rc ,  n  1 n 1  n n Đặt dãy  rc v
sao cho: u v
, thay vào công thức truy hồi ta được n n n c q n 1  n rcrcn v   q v    rc n 1  n c q c q    v qv n 1  n 9 GV: Phạm Thị Thu Huyền   rc rc v
là một cấp số nhân với số hạng đầu v u   a  và công bội n  1 1 c q c q bằng q rc n 1  v a q n    c q n n rcrc   rc n 1  u v   a qn n   c qc q c q    u a
Trường hợp 3: Nếu c q 1   n u
  qv rq ,  n  1 n n
Đặt dãy số v sao cho: n
u q .v , thay vào công thức truy hồi của dãy u ta n n n n được n 1  n n q v
q q v rq n 1   nrv v n 1  n q   u a v
là một cấp số cộng với số hạng đầu 1 v   và công sai r d n  1 q q qu  1  1
Ví dụ 2.3: Cho dãy u biết  n với * n N . n   1  uu n1 n     2  n 1  1 
Xác định số hạng tổng quát của dãy   u (Đs: u  2  ) n n    2  Bài giải: Cách 1: Ta có: u  1 1 1 u   2 1 u 2 2  1    3 u u2    2  3  1  u   4 3 u    2  ………… n 1  1   u un n 1     2  10 GV: Phạm Thị Thu Huyền
Cộng vế với vế ta được:  1 n  2  n 1  1 n 1 1 1 1        2   1   u  1   .....   2  n       2  2   2 1   2 1   2 Cách 2:  1 n     2   1 n Đặt dãy số   v
sao cho: u v   v  2.
thay vào công thức truy hồi ta n n n 1 n    2   2 được: n 1  1    1 n   1 nv  2  v  2  n 1         2 n   2   2   v v n 1  n   1  v u  2  11  2  dãy    v
được xác định bởi: 1 1   2  n  v vn 1 v
v v  2, n 1 n 1 n n 1  1   1  Vậy:  u  2  2  2  n      2   2 
Ví dụ 2.4: Viết công thức của số hạng tổng quát của các dãy số u với: n u   8  1) 1  (Đs: n 1 u 5.2    3n ) n u
 2u  3n, n 1  n 1 n u   1  1 2) 1  (Đs: u    ) nn n 1 3 5  u
 5u  3n, n 1  2 n 1  n u  101 3) 1  (Đs: n n 1 u .7 n 94.7    ) n 1 n u
 7u  7  , n  1  n 1 n u  1 4) 1  (Đs: n n 1 u 3 . n 2 5.2    ) n u
 2u  6.2n, n  1  n 1 n u   0  n 1 3 3   5) 1  (Đs: u   .3n n ) n u   u  2 .
n 3n , n  1  2 n 1  n Bài giải: 11 GV: Phạm Thị Thu Huyền u   8  1) 1  u
 2u  3n, n 1  n 1 n
Đặt u v  3n, n 1 thay vào công thức truy hội của dãy u ta được: n n n n 1 v
 3   2 v  3n  3n n 1   n   v  2v n 1  n
 v là một cấp số nhân với số hạng đầu v u  3  5 và công bội q  2 n  1 1 1 v 5.2n   n n 1 u 5.2     3n n u  1 2) 1  u
 5u  3n, n 1  n 1 n 3n
Đặt u v
thay vào công thức truy hồi ta được n n 2 n 1 3   3n v
 5v   3n n 1  2 n 2    v  5v n 1  n   3 1 v
là một cấp số nhân với số hạng đầu v u    và công bội q  5 n  1 1 2 2 1 n 1 v .5     n 2 1 n 1 1 n 1 u .5 .3        nn n 1 3 5  2 2 2 u  101 3) 1  n 1 u
 7u  7  , n  1  n 1 n
Đặt u  7n v thay vào công thức truy hồi ta được n n n 1  n n 1 7 v  7.7 v  7  n 1  n
v v 1 n 1  n   u 101 v
là một cấp số cộng với số hạng đầu 1 v   và công sai d  1 n  1 7 7 101 94  v
n 1  n n 7 7 n n 1 u .7 n 94.7     n 12 GV: Phạm Thị Thu Huyền u  1 4) 1  u
 2u  6.2n, n  1  n 1 n
Đặt u  2n v , n 1 thay vào công thức truy hồi ta được n n n 1 2  v
 2.2n v  6.2n n 1  n
v v  3 n 1  n   u 1 v
là cấp số cộng với số hạng đầu 1 v
 và công sai d  3 n  1 2 2 1
v   n   n n   5 1 3 3 2 2  5  n n n 1  u  3n  .2  3 . n 2  5.2  n    2  u   0  5) 1  u   u  2 .
n 3n , n  1  n 1 n
Đặt u  3n v , n  1 thay vào biểu thức truy hồi của dãy u ta được n n n n 1 3  v  3nv  2 . n 3n n 1  n 1 2
v v n n 1  3 n 3  1 u v   0  1   dãy  2 v xác định bởi  n  1 2 v v  , n n  1 n 1   3 n 3
Đặt v y n thay vào công thức truy hồi của dãy v ta được n n n 1 2 yn 1  y n n n 1   n  3 3 1
y y 1 n 1  3 n
y v 1  1 1 1    y xác định bởi  1 n yy 1,  n  1 n 1   3 n 3
Đặt y t  thay vào công thức truy hồi của dãy  y ta được n n n 2 3 1  3  t   t  1 n 1    2 3 n  2  1  t t n 1  3 n 13 GV: Phạm Thị Thu Huyền   3 3 1 1 t
là một cấp số nhân với số hạng đầu t y   1
   và công bội q n  1 1 2 2 2 3 …………………. n 1 3 3    u   .3n n n 2   1 u a
LOẠI 2.3: Cho dãy số u xác định bởi:  cu n n u  , n 1 n 1   q dun GIẢI: 1
Đặt dãy số v sao cho: u
thay vào công thức truy hồi của dãy u ta đươc n n n vn c 1 vnv d n 1  q vn 1 c   v qv d n 1  n q dv v n 1  n c c  1 v      a v  quay về DẠNG 1 n  1 : q d
v v  , n 1 n 1  n  c c   1 u a
LOẠI 2.4: Cho dãy số u xác định bởi:  b cu n n u  , n  1 n 1   p run GIẢI:
Đặt u v , n  1 thay vào công thức truy hồi của dãy u ta được n n n
b c v   nv   n 1 
p r v  n  2
b c  cv  p  rv   n nv n 1 
p r v   n  14 GV: Phạm Thị Thu Huyền 2   
  p c  b  c r v   nv n 1 
p r  rvn
Để dãy v trở về loại 2.3, ta chọn  là nghiệm của phương trình n  2  
 r c  b  0
Ví dụ 2.5: Tìm công thức của số hạng tổng quát của các dãy u sau, biết: n u   1 1`  1 1)  u (Đs: u  ) n u  , n n  1 n n 1   1 un u   2 1  1 2)  u (Đs: u  ) n u  , n n2 n  1 3.2 1 n 1   2  un  1   1 u  2 3) n  (Đs:  ) 1 un n 1 u   n 1   2  un u   1 1  1 1 4)  1 4u (Đs: u   ) n u  , n n2 n  1 2  6 2 n 1   1 6un Bài giải: u   1 1`  1)  u n u  , n 1 n 1   1 un 1 Đặt u
thay vào công thức truy hồi của dãy u ta được: n n vn 1 1 vnv 1 n 1  1 vn 15 GV: Phạm Thị Thu Huyền 1 1   v 1 v n 1  n
v v 1 n 1  n 1
Dãy v là cấp số cộng có số hạng đầu v
 1, công sai d 1 n  1 1 u
v v n 1 d 1 n 1  n n 1   1  u n n u   2 1  2)  u n u  , n 1 n 1   2  un 1 Đặt u
thay vào công thức truy hồi của dãy u ta được: n n vn 1 1 vnv 1 n 1  2  vn 1 1   v 2v 1 n 1  n
v  2v 1 n 1  n
Đặt v y 1 thay vào dãy v ta được: n n n y 1  2 y 1 1 n 1   n   y  2y n 1  n   1 3 y
là một cấp số nhân với số hạng đầu y v 1 
1  và công bội q  2 n  1 1 u 2 1 3 n 1 n2  y  .2  3.2 n 2 n2
v y 1  3.2 1 n n 1  u n n2 3.2 1  1   1 u  2 3)  1 u   n 1   2  un
Đặt dãy số v sao cho: u v  thay vào dãy u ta được: n n n n 1 v   n 1  2  v  n 16 GV: Phạm Thị Thu Huyền 2
  2 1vnv n 1  2   vn
Chọn  là nghiệm của phương trình: 2
  2 1  0   1  v
u v 1 và n vn n n 1  1 vn 1
Đặt dãy số  y sao cho: v
thay vào dãy v ta được: n n n yn 1 1 yny 1 n 1  1 yn 1 1   y y 1 n 1  n
y y 1 n 1  n   1 1 y
là cấp số cộng có số hạng đầu y    2
 và công sai d  1  n  1 v u 1 1 1
y  2  n   1   1  n 1 n 1 1  v    n y n 1 n 1   1 1 n u v   n n n 1 n 1 u   1 1  4)  1 4u n u  , n 1 n 1   1 6un
Đặt dãy v sao cho u v  , thay vào công thức truy hồi ta được n n n 1 4v  nv   n 1  1 6v  n   2 6  5   1  6  4  v n 1  1 6v  n  1
=> chọn   là một nghiệm của phương trình 2 6  5 1  0 2  1 v  1  1  2
Khi đó u v  và dãy số v được xác định bởi  n n n 2 vnv n 1   2  6vn 1
Đặt dãy số  y sao cho v
thay vào công thức truy hồi của dãy v ta được: n n n yn 17 GV: Phạm Thị Thu Huyền 1 1 yny 6 n 1  2  yn 1 1   y 2y  6 n 1  n
y  2y  6 n 1  n  y  2 y được xác định bởi 1  n y
 2y  6, n 1  n 1 n
Đặt dãy số x sao cho y x  6 thay vào công thức truy hồi của dãy  y ta được n n n n x
 6  2 x  6  6 n 1   n   x  2x n 1  n
 x là cấp số nhân với x y  6  8 và công bội q  2 n  1 1 n 1  n2  x  8.2  2 n n2  y  2  6 n 1  v n n2 2  6 1 1  u   n n2 2  6 2
Bài tập tương tự: Tìm công thức của số hạng tổng quát của các dãy u sau, biết: n u   1  1  1)  2u  2 n u  , n 1 n 1   3u 1  n u   0 1  2)  u n u  , n 1 n 1   2u 1  n
2.3. Sử dụng máy tính casio để tìm các số hạng trong một dãy số được cho bởi công thức truy hồi:
Theo dự án mới của Bộ Giáo Dục và Đào Tạo, từ năm học 2016 – 2017 kỳ thi THPT
Quốc gia, bộ môn Toán thi bằng phương pháp trắc nghiệm. Vậy, với một bài toán về dãy
số mà dãy số đó cho bởi công thức truy hồi thì phải giải thế nào? Có phải tìm công thức
của số hạng tổng quát hay không?
Sau đây tôi xin giới thiệu quy trình bấm máy tính casio để tìm giá trị u của một dãy số k
cho bởi biểu thức truy hồi 18 GV: Phạm Thị Thu Huyền u  1
Ví dụ 3.1: Cho dãy số u xác định bởi 1  . Tính n  8 u ? u
u  3, n  1  n 1 n Bài giải:
+ Gán giá trị của u 1 vào biến A: 1 SHIFT STO A 1
+ Dùng biến D làm biến đếm, công thức truy hồi bắt đầu được tính từ u , nên ta gán cho 2
biến đếm D giá trị khởi đầu là 1: 1 SHIFT STO D
+ Biểu thức lặp: Khi biến đếm D tăng lên 1 đơn vị thì u u  3  A  3 và ta lại gán giá 2 1
trị của u vào biến A, cứ như vậy biều thức được lặp lại. Nên ta có biểu thức lặp như sau: 2
D D 1: A A  3
+ Sau đó bấm phím CACL và liên tiếp các dấu “=” cho đến khi giá trị D D 1  8 thì tính được 8 u .
Tóm lại quy trình bấm máy như sau: 1 SHIFT STO A 1 SHIFT STO D
D D 1: A A  3 CACL = = = ……=
Cho đến khi trên màn hình có D D 1  8 bấm tiếp dấu “=” ta được A u  22 8
Chú ý: Các ký hiệu “=” và “:” trong biểu thức lặp D D 1: A A  3 là những phím màu
đỏ trên bàn phím của máy tính casio, nên ta phải bấm tổ hợp phím ALPHA và dấu “=”,
dấu “:” màu đỏ. Còn dấu “=” sau khi gọi phím CACL = = = ……= là dấu “=” màu đen
trên màn phím máy tính casio. u   2 1 
Ví dụ 3.2: Cho dãy số u xác định bởi: u   1  Tính u ? n  2 7
u u  2u ,n 1  n2 n n 1  Bài giải:
Vì công thức truy hồi được tính theo 2 số hạng đứng ngay trước nó, nên ta cần dùng đến 2
biến A và B cho 2 số hạng đó và phải dùng tới 2 lần lặp. Quy trình bấm máy như sau: 2 SHIFT STO A -1 SHIFT STO B 2 SHIFT STO D
D D 1: A B  2A : D D 1: B A  2B CACL = = = ….=
Cho đến khi D D 1  7 bấm tiếp dấu “=” nữa ta được u  23 7 19 GV: Phạm Thị Thu Huyền
Lời bình: Với quy trình này học sinh không phải dùng nháp và tính từng bước từ công
thức truy hồi hoặc không phải tìm công thức của số hạng tổng quát đồng thời cũng có lợi
khi bài toán yêu cầu tìm u với k hơi lớn (VD: u ,u ) k 40 45 Bài tập áp dụng: u   2 1
Bài 1: Cho dãy số   u xác định bởi:  
. Số hạng u của dãy số là: n u 1 n 4 u  , n  1  n 1  2 A. 1 B. 9 C. 7 D. 4 8 8 3
Bài 2: Cho dãy số hữu hạn u có dạng khai triển là: 1; 1  ; 1
 ; 1; 5; 11; 19; 29; 41; 55; n
Khi đó công thức tổng quát của dãy số là: A. 2
u n  3n 1 B. 2
u n  3n 1 n n C. 2
u n  5n  5 D. 2
u n  2n n n u   1 1 
Bài 3: Cho dãy số u xác định bởi n
Công thức của số hạng tổng n   1  uu  , n  1  n 1 n     2  quát u là: n 2n 1 n 1 2  1 A. u B. u n n 1 2  n 2n 2n  3 n 1 2  1 C. u D. u n 2n n n 1 2 
Với bài số 2: Ta sử dụng MODE 7 để kiểm tra từng đáp án Quy trình bấm như sau: MODE 7 F x 2
x  3x 1 START 1 END 10 STEP 1
Sau đó dò trên cột f x . Nếu cột này trùng với các giá trị của các số hạng trong dãy số
thì ta chọn biểu thức đó.
Chú ý: Với máy casio fx – 570 VN PLUS ta có thể kiểm tra một lúc 2 đáp án qua 2 hàm
f x và g x bằng phím chuyển đổi: SHIFT MODE ▼ 5 2
2.4. Các bài toán thi học sinh giỏi các cấp: 20 GV: Phạm Thị Thu Huyền
Bài 1: (Đề thi chọn HSG môn toán lớp 11 của trường THPT Vũng Tàu năm học 2014 – 2015) u   1 1 
Cho dãy số u xác định bởi: nn   1  uu   , n  1  n 1 n     2  2   1 n  Chứng minh rằng  * u  1       , n    n 3   2    Bài giải: Cách 1: Ta có: u  1 1  1  u    2 1 u    2  2  1     3 u u2    2  2  1  u    4 3 u    2  ……………….. n 1  1   u u   n n 1     2 
Cộng vế với vế các đẳng thức trên ta được:  1 n  2   n 1  1 1 1 1    2  2  1 n          u  1    .....    1             n  2   2   2   1  3   2 1         2  Cách 2:  1 n      2  2  1 n Đặt dãy số   v
sao cho u v   v  
thay vào biểu thức truy hồi ta n n n 1 n   3  2 1    2 được n 1 2  1   2  1 n   1 nv    v     n 1        3  2 n  3  2   2   v v n 1  n
 v là một dãy số hằng n  2  1  1 2
v v u    1  n 1 1   3  2  3 3 21 GV: Phạm Thị Thu Huyền 2 2 1 n 2  1 n       u     1         n 3 3  2  3   2   
Cách 3: Chứng minh quy nạp
Bài 2: (Đề thi Olympic 27/4 môn Toán – lớp 11 của Sở GD và ĐT Tỉnh Bà Rịa Vũng
Tàu năm học 2012 – 2013) u   3 1 
Cho dãy số u xác định bởi  u  2 1 . Tính u n n u  , n  1 2013 n 1   1  1 2un Bài giải:
Đặt dãy số v sao cho u  tan v , thay vào công thức truy hồi ta được: n n n  tan v  tan n 8 tan vn 1   1 tan .tan v 8 n   
 tan v  tan v n 1   n   8  
=> chọn v v n 1  n 8  
 v là cấp số cộng với số hạng đầu 3  tan v v  và công sai d n  1 1 3 8  
v   n n  1 3 8     u  tan  n n  1  3 8     2012  3 u  tan    2013  3 8    3 22 GV: Phạm Thị Thu Huyền 23