Cách tính đạo hàm của hàm hợp cực chính xác, dễ hiểu nhất
1. Khái niệm hàm hợp
Hàm hợp là một khái niệm quan trọng trong toán học, đặc biệt trong việc nghiên cứu và mô tả sự
biến đổi của một lượng qua thời gian hoặc không gian. Để hiểu rõ hơn về hàm hợp, chúng ta có
thể xem xét định nghĩa và tính xác định của nó.
Hàm hợp không chỉ là một khái niệm trừu tượng trong thế giới toán học mà còn có những ứng
dụng quan trọng trong thực tế, từ kinh tế đến khoa học tự nhiên. Chúng ta có thể nhìn nhận hàm
hợp như một công cụ mạnh mẽ giúp mô tả mối quan hệ phức tạp giữa các biến số.
Trong kinh tế, ví dụ, hàm hợp có thể được sử dụng để mô tả cách giá cổ phiếu biến động theo thời
gian dựa trên các chỉ số kinh tế khác nhau. Trong vật lý, hàm hợp có thể diễn giải sự tương tác
giữa các lực và vật thể. Mặt khác, trong xã hội, hàm hợp có thể được áp dụng để phân tích cách
các yếu tố khác nhau ảnh hưởng đến quyết định của con người. Điều này thực sự làm nổi bật sự
quan trọng của hàm hợp không chỉ là một khái niệm toán học trừu tượng mà còn là một công cụ
linh hoạt và mạnh mẽ có thể áp dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực, giúp chúng ta hiểu rõ hơn về
thế giới xung quanh và ra quyết định thông minh dựa trên sự hiểu biết
1.1 Định nghĩa hàm hợp
Cho hai hàm số y = f(u) và u(x), Khi chúng ta thay thế u trong f(u) bằng u(x), ta thu được g(x) =
f[u(x)]. hàm g(x) này được gọi là hàm hợp của f và u(x)
1.2 Tính xác định của Hàm hợp
Tập xác định của g(x) là tập hợp casc giá trị x sao cho f[u(x)] có nghĩa. Điều này nghĩa là giá trị
của u(x) nằm trong tập xác định của f(u)
Ví dụ và mô tả chi tiết: Giả sử
Ở đây, g(x) là hàm hợp của f và u(x). Tập xác định của g(x) là tập hợp các giá trị sao cho u(x) =
x2 nằm trong tập xác định của , tức là
( vì dấu căn bậc 2). Do đó, g(x) xác định trên tất
cả csc giá trị x trên đoạn
Tó, lại, hàm hợp giúp cúng ta mô tả mối quan hệ phức tạp giữa các biến và mở rộng khả năng miểu tả của hàm số. Ví Dụ Cụ Thể:
Cho hai hàm số y = f(u) và u = u(x) t
rong đó: f(u) = 2u và u(x) = 5x + 1.
Ta có: f[u(x)] = 2(5x + 1) = 10x + 2.
Đặt g(x) = f[u(x)] = 10x + 2. Khi đó, g(x) là hàm hợp của hàm số f qua hàm số trung gian u.
Vì f[u(x)] là hàm đa thức nên tập xác định của hàm số g(x) là D = R
2. Công thức đạo hàm hàm hợp
Đối với các hàm hợp, công thức tính đạo hàm sẽ có sự khác biệt. Cụ thể, từ dạng tổng quát y'(x) =
y'(u).u'(x) ta sẽ suy ra được một số hệ quả như sau: - - -
2.1. Công thức đạo hàm của hàm hợp tổng quát
- Công thức đạo hàm của hàm hợp tại điểm xo:
+ Cho hàm số u = u(x) có đạo hàm tại xo
+ Cho hàm số y = f(u) có đạo hàm tại uo = u(xo)
+ Khi đó, hàm số hợp g(x) = f[u(x)] cũng có đạo hàm tại xo và được tính bằng công thức: g'(xo) = f'(uo) . u'(xo) Trong đó:
+ f'(uo) là đạo hàm của f(u) tại uo
+ u'(xo) là đạo hàm của u(x) tại xo
- Công thức tính đạo hàm của hàm hợp trên tập J
+ Nếu giả sử trên thoả mãn với mọi x thuộc tập J, thì hàm số hợp y = g(x) có đạo hàm trên J và
được tính bằng công thức: g'(x) = f'[u(x)] . u'(x) Trong đó:
+ f' [u(x)] là đạo hàm của f(u) tại u(x)
+ u'(x) là đạo hàm của u(x) tại x
2.2. Công thức đạo hàm của hàm hợp đối với hàm lũy thừa
+ Nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm trên J thì hàm số y = un(x) (với n N và n 2) có đạo hàm trên J. Khi đó: [un(x)]' = n.un - 1(x).u'(x).
+ Công thức trên được viết gọn là: (un)' = n.un - 1.u'.
Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số y = Giải: Ta có: y' = = =
2.3. Công thức đạo hàm của hàm hợp đối với hàm căn bậc hai
+ Nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm trên J và u(x) > 0 với mọi x thuộc J thì hàm số y = có đạo hàm trên J. Khi đó
+ Công thức trên được viết gọn là:
Ví dụ 1: Tính đạo hàm của hàm số y = Đáp án: =
Ví dụ 2: Tính đạo hàm hàm hợp phân thức
3. Các dạng bài tập liên quan
Câu 1: Tính đạo hàm của hàm số y = (5x + 2)10 A. B. C. D. Hướng dẫn giải
+ Đạo hàm của hàm số đã cho là: y' = 10.(5x + 2)9.( 5x+2)' = 50(5x+2)9 Chọn B.
Câu 2: Tính đạo hàm của hàm số y = (4x2 - 2x)3 A. (4x2 - 2x)2.(8x -2) B. 3.(4x2 - 2x)2 C. 3(4x2 - 2x)2.(8x -2) D. Đáp án khác Đáp án chi tiết: y Chọn A
Câu 3: Tính đạo hàm hàm của hàm số: A. B. C. D. Đáp án khác Đáp án chi tiết:
Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp ta có: Chọn C
Câu 4: Tính đạo hàm của hàm số: A. B. C. D. Đáp án chi tiết:
Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp và đạo hàm của hàm hợp và đạo hàm của một tích ta có: Hay ⇔ ⇔ Chọn B
Câu 5: Tính đạo hàm hàm số y = (5x + 2)10 A. 10(5x + 2)9 B. 50(5x + 2)9 C. 5(5x + 2)9 D. ( 5x + 2)9 Đáp án chi tiết:
Đạo hàm của hàm số đã cho là: y' = 10.(5x + 2)9.(5x + 2)' = 50( 5x + 2)9 Chọn B
Câu 6: Đạo hàm của hàm số y = f(x) = (1 - 3x2)5 là: A. -30x.(1 - 3x2)4 B. -10x. (1 - 3x2)4 C. 30 (1 - 3x2)4 D. -3x. (1 - 3x2)4 Đáp án chi tiết:
Đặt u(x) = 1 - 3x2 suy ra u(x) = (1 - 3x2)' = (1)' - 3(x2)' = -6x
Với u = 1 - 3x2 thì y = u5 suy ra y'(u) = 5. u4 = 5. (1 -3x2)4
Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp ta có:
y'(x) = 5.(1-3x2)4. (-6x) = -30x. (1 -3x2)4 Chọn A
Câu 6: Tính đạo hàm của hàm số: A. B. C. D. Đáp án khác Đáp án chi tiết:
Áp dụng công thức tính đạo hàm của hàm hợp ta có: Chọn A
Câu 7: Tính đạo hàm của hàm số : A. B. C. D. Tất cả sai Lời giải chi tiết:
Áp dụng công thức đạo hàm của một thương và đạo hàm của hàm hợp ta có Chọn B
Câu 8: Tính đạo hàm số: A. B. C. D. Đáp án chi tiết:
Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp và công thức = ta được Chọn B
4. Bài tập tự luyện Bài 1: Hàm số có đạo hàm là: A. B. C. D. Bài 2: Hàm số có đạo hàm là: A. B. C. D. Bài 3: Hàm số có đạo hàm là: A. B. C. D.
Bài 4: Đạo hàm của hàm số tại điểm xo = -1 là: A. y'(-1) = 154 B. y'(-1) = -154 C. y'(-1) = 49 D. y'(-1) = -49
Bài 5: Đạo hàm của hàm số tại điểm xo = 2 là: A. B. 2 C. D. 6 Bài 6: Hàm số
. Hỏi với giá trị nào của x thì f'(x) là một số nguyên? A. x = 1 B. x = 2 C. x = 3 D. x = 4 Bài 7: Cho hàm số
. Hỏi, có mấy giá trị của xo để f'(xo) = 0?
A. Không có giá trị nàu của xo B. Có 2 giá trị của xo C. Có 4 giá trị của xo D. Có 1 giá trị của xo Bài 8: Hàm số
. Hỏi với điều kiên nào của x thì f'(x) là một số âm?
A. Không có giá trị nào của x thoả mãn yêu cầu đề bài B. C. D.
Bài 9: Tính đạo hàm của hàm số A. B. C. D.
Bài 10: Tính đạo hàm của hàm số A. B. C. D.
Bài 11: Tính đạo hàm của các hàm số sau: 1. 2. 3. 4.
Bài 2: Tính đạo hàm riêng của hàm số y đối với x trong các trường hợp sau: 1. 2. 3. Bài 4: Cho hàm số trên đoạn [0,4] Bài 5: Cho hàm số
hỏi có bao nhiêu điểm cực trị ? Tìm toạ độ của các điểm cực trị đó
Bài 6: Xác định khoảng giá trị của x sao cho hàm số
là đoạn tăng và đoạn giảm Bài 7: Cho hàm số
. Hãy xác định điểm cực trị của hàm số này Bài 8: Cho hàm số
, hãy xác định các điểm uốn và các đoạn có hình dạng lõm và lỗi
Bài 9: Tính đạo hàm của hàm số: A. B. C. D.
Bài 10: Tính đạo hàm của hàm số: A. B. C. D. Đáp án khác