Chương 1: Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học | Bài giảng môn Đại số các nhóm ngành chuẩn | Đại học Bách khoa hà nội

Một trong những người đầu tiên nghiên cứu đường cong Cycloid là Galileo. Tài liệu trắc nghiệm môn Đại số các nhóm ngành chuẩn giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao. Mời bạn đọc đón xem!

31 16 lượt tải Tải xuống

Chia sẻ Báo cáo tài liệu

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC

TS. BÙI XUÂN DIỆU

Bài Giảng

GIẢI TÍCH II

(lưu hành nội bộ)

CÁC ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH VI PHÂN , TÍCH PHÂN BỘI, TÍCH PHÂN

PHỤ THUỘC THAM SỐ, TÍCH PHÂN ĐƯỜNG, TÍCH PHÂN MẶT, LÝ THUYẾT

TRƯỜNG

Tóm tắt lý thuyết, các ví dụ, bài tập và lời giải

Hà Nội- 2017

(bản cập nhật Ngày 28 tháng 8 năm 2017)

Tập Bài giảng vẫn đang trong quá trình hoàn thiện và có thể chứa những lỗi đánh

máy, những lỗi kí hiệu và những chỗ sa i chưa được kiểm tra hết. Tác giả mong nhận được

sự đóng góp ý kiến để tập Bài giảng được hoàn thiện. Mọi ý kiến đóng góp xin vu i lòng gửi

về địa chỉ “dieu.buixuan@hu st.edu.vn”

Hà Nội, Ngày 28 tháng 8 năm 2017.

MỤC LỤC

Mục lục. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Chương 1 . Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học. . . . . . . 5

1 Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học phẳng . . . . . . . . . . 5

1.1 Đường cong trong mặt phẳng R

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Độ cong của đường cong. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3 Hình bao của họ đường cong phụ thuộc một tham số . . . . . . . . . . 9

2 Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học không gian . . . . . . . 13

2.1 Hàm véctơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2 Đường cong trong không gian R

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3 Độ cong của đường cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.4 Mặt cong trong không gian R

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.5 Đường cong cho dưới dạng giao của hai mặt cong . . . . . . . . . . . . 18

Chương 2 . Tích phân bội . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1 T ích phân kép . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.2 T ính tích phân kép trong hệ toạ độ Descartes . . . . . . . . . . . . . . 28

1.3 Phép đổi biến số trong tích phân kép . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.4 Bài tập ôn tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2 T ích phân bội ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.1 Định nghĩa và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.2 T ính tích phân bội ba trong hệ toạ độ Descartes . . . . . . . . . . . . 54

2.3 Đổi biến số trong tích phân bội ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.4 Bài tập ôn tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3 Các ứng dụng của tích phân bội . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3.1 T ính diện tích hình phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3.2 T ính thể tích vật thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

3.3 T ính diện tích mặt cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

2 MỤC LỤC

3.4 Bài tập ôn tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

Chương 3 . Tích phân phụ thuộc tham số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

1 T ích phân xác định phụ thuộc tham số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

1.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

1.2 Các tính chất của tích phân xác định phụ thuộc tham số. . . . . . . . 91

1.3 Các tính chất của tích phân phụ thuộc tham số với cận biến đổi. . . . 94

1.4 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

2 T ích phân suy rộng phụ thuộc tham số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

2.1 Các tính chất của tích phân suy rộng phụ thuộc tham số. . . . . . . . 98

2.2 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

2.3 Một số tích phân quan trọng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

2.4 Bài tập ôn tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

3 T ích phân Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 6

3.1 Hàm Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

3.2 Hàm Beta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

3.3 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

Chương 4 . Tích phân đường. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

1 T ích phân đường loại I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

1.2 Các công thức tính tích phân đường loại I . . . . . . . . . . . . . . . . 124

1.3 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

1.4 Bài tập ôn tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

2 T ích phân đường loại II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

2.2 Các công thức tính tích phân đường loại II . . . . . . . . . . . . . . . . 128

2.3 Công thức Green. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

2.4 Ứng dụng của tích phân đường loại II . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

2.5 Điều kiện để tích phân đường không phụ thuộc đường lấy tích phân. 139

Chương 5 . Tích phân mặt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

1 T ích phân mặt loại I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

1.1 Diện tích mặt cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

1.2 Bài toán dẫn đến tích phân mặt loại I . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

1.3 Các công thức tính tích phân mặt loại I . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

1.4 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

2 T ích phân mặt loại II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

2.1 Định hướng mặt cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

2.2 Bài toán dẫn đến tích phân mặt loại II . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

MỤC LỤC 3

2.3 Các công thức tính tích phân mặt loại II . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

2.4 Công thức Ostrog radsky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

2.5 Công thức Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

2.6 Công thức liên hệ giữa tích phân mặt loại I và loại II . . . . . . . . . 161

Chương 6 . Lý thuyết trường. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

1 Trường vô hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

1.2 Đạo hàm theo hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

1.3 Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

1.4 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

2 Trường véctơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

2.2 Thông lượng, dive, trường ống . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

2.3 Hoàn lưu, véctơ xoáy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

2.4 Trường thế - hàm thế vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0

2.5 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

4 MỤC LỤC

CHƯƠNG 1

CÁC ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH VI PHÂN

TRONG HÌNH HỌC

§1. CÁC ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH VI PHÂN TRONG

HÌNH HỌC PHẲNG

1.1 Đường cong trong mặt phẳng R

Ở chương trình học phổ thông, chúng ta đã làm quen với khái niệm đường cong cho bởi

phương trình y = f (x), chẳng hạn như đường parabol y = x

, đường cong bậc ba y = x

Tuy nhiên, không phải lúc nào cũng "may mắn" biểu diễn một đường cong được dưới dạng

y = f (x), vì có thể với một giá trị x = x

, ứng với nó có hai hoặc nhiều hơn giá trị y tương

ứng. Chẳng hạn như, tưởng tượng rằng có một hạt chuyển động dọc theo đường cong C

như hình vẽ dưới đây. Đường cong C này không thể biểu diễn được dưới dạng y = f (x).

Tuy nhiên, các tọa độ x và y của hạt này là một hàm số phụ thuộc thời gian t. Chính vì vậy

sẽ là thuận lợi nếu ta biểu diễn đường cong C dưới dạng x = f (t), y = g(t). Đây chính là

6 Chương 1. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học

phương trình đường cong cho dưới dạng tham số đã được giới thiệu ở học phần Giải tích I.

Ví dụ 1.1 (Đ ườn g Cycloid).

Giả sử có một bánh xe h ình tròn và cố định một điểm

trên

bánh xe đó. Cho bánh xe đó lăn không trượt trên một đường thẳng. Quỹ tích điểm

đó

được gọi là đường Cycloid. Hãy viết phương trình tham số của đường cong này.

a θ

(πa, 2a)

2πa

[Lời giải] Giả sử bánh xe có bán kính

và điểm xuất phát của

là gốc tọa độ, đồng

thời cho bánh xe lăn không trượt trên trục

. Gọi

là góc quay của bánh xe (

θ = 0

nếu

ở gốc tọa độ). Khi đó, vì bánh xe lăn không trượt, nên

OT =

độ dài cung

PT = rθ.

Do đó,







x = |OT|−|PQ| = rθ − r sin θ = r(θ −sin θ)

y = |TC| − |QC| = r −r cos θ = r(1 −cos θ).

Một số điều thú vị về đường Cycloid.

• Một trong những người đầu tiên nghiên cứu đường cong Cycloid là Galileo. Ông đề

xuất rằng các cây cầu nên được xây theo đường cong Cycloid và cũ ng là người đi tìm

diện tích của miền nằm phía dưới một cung Cycloid.

1. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học phẳng 7

• Đường cong Cycloid này về sau xuất hiện trong bài toán "Brachistochrone" sau. Cho

hai điểm A và B sao cho điểm A cao hơn điểm B. Hãy tìm đường cong nối A với B

sao cho khi ta thả một viên bi từ A, viên bi chạy theo đường cong đó (dưới tác dụng

của lực hấp dẫn) từ A đến B với thời gian ngắn nhất. Nhà toá n học người Thụy Sĩ,

John Bernoulli đã chỉ ra rằng, trong số tất cả các đường cong nối A với B thì viên bi

sẽ mất ít thời gian nhất để lăn từ A đến B nếu nó đi theo đường Cycloid.

• Nhà vật lý người Hà Lan, Huyghens, cũng đã chỉ ra rằng đường cong Cycloid là lời

giải cho bài toán "Tautochrone" sau. Cho dù đặt viên bi ở đâu trên cung Cycloid

ngược thì nó cũng mất một khoảng thời gian như nhau để lăn về đáy. Điều này được

ứng dụng khi ông phát minh ra đồng hồ quả lắc. Ông đề xuất rằng quả lắc nên được

lắc theo cung Cycloid, bởi vì khi đó con lắc sẽ mất một khoảng thời gian như nhau

để hoàn thành một chu kì dao động, cho dù là nó lắc theo một cung dài hay là ngắn.

1. Điểm chính quy.

• Cho đường cong (L) xác định bởi phương trình f

(

x, y

)

= 0. Điểm M

(

, y

)

được gọi là điểm chính quy của đường cong (L) nếu tồn tại các đạo hàm riêng

′

(

)

, f

′

(

)

không đồng thời bằng 0.

• Cho đường cong (L) xác định bởi phương trình tham số







x = x

(

)

y = y

(

)

Điểm M

(

)

, y

(

))

được gọi là điểm chính quy của đường cong (L) nếu tồn

tại các đạo hàm x

′

(

)

, y

′

(

)

không đồng thời bằng 0.

8 Chương 1. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học

• Một điểm không phải là điểm chính quy được gọi là điểm kì dị.

2. Phương trình tiếp tuyến và pháp tuyến của đường cong.

• Chúng ta biết rằng hệ số góc k của tiếp tuyến của đường cong C tại điểm M

chính là y

′

(M). Do đó, nếu đường cong cho bởi phương trình f (x, y) = 0 thì nó

xác định một hàm ẩn y = y(x) và đạo hàm của nó tính theo công thức

k = y

′

= −

′

Vậy

– Phương trình tiếp tuyến tại M là

(

)

: y −y

= −

′

(M)

′

(M)

(x − x

)

⇔f

′

(

)

(

x −x

)

+ f

′

(

)

(

y −y

)

= 0.

(1.1)

– Phương trình pháp tuyến tại M là



′



x − x

′

(

)

y −y

′

(

)

Chú ý: Trường hợp đặc biệt, đường cong cho bởi phương trình y = f (x)

thì phương trình tiếp tuyến của đường cong tại điểm M(x

, y

) chính quy là

y − y

= f

′

)(x − x

). Đây là công thức mà học sinh đã biết trong chương

trình phổ thông.

• Nếu đường cong (C) cho bởi phương trình tham số







x = x

(

)

y = y

(

)

thì

k = y

′

dy/dt

dx/dt

′

Do đó,

– Phương trình tiếp tuyến tại điểm M

(

)

, y

(

))

chính quy:

(

)

: y −y(t

) =

′

)

′

)

(x − x(t

) ⇔

x − x

(

)

′

(

)

y −y

(

)

′

(

)

Nói cách khác, véc tơ tiếp tuyến của đường cong C tại điểm M

(

)

, y

(

))

là

n = (x

′

), y

′

)).

– Phương trình pháp tuyến tại M:



′



: x

′

(

)

(

x −x

(

))

+ y

′

(

)

(

y −y

(

))

= 0.

1. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học phẳng 9

1.2 Độ cong của đường cong.

1. Định nghĩa.

2. Các công thức tính độ cong của đường cong tại một điểm.

• Nếu đường cong cho bởi phương trình y = f

(

)

thì:

(

)

′′

(

1 + y

′2

)

3/2

• Nếu đường cong cho bởi phương trình tham số







x = x

(

)

y = y

(

)

thì:

(

)



′

′′



(

′2

+ y

′2

)

3/2

• Nếu đường cong cho bởi phương trình trong toạ độ cực r = r

(

)

thì:

(

)



+ 2r

′2

−rr

′′



(

+ r

′2

)

3/2

1.3 Hình bao của họ đường cong phụ thuộc một tham

số

1. Định nghĩa:

Định nghĩa 1.1.

Cho họ đường cong

(L)

phụ thuộc vào một hay nhiều tham số. Nếu

mỗi đường cong trong họ

(L)

đều tiếp xúc với đường cong

(E)

tại một điểm nào đó

trên

và ngược lại, tại mỗi điểm thuộc

(E)

đều tồn tại một đường cong của họ

(L)

tiếp xúc với

(E)

tại điểm đó thì

(E)

được gọi là hình bao của họ đường cong

(L)

2. Quy tắc tìm hình bao của họ đường cong phụ thuộc một tham số.

Định lý 1.1.

Cho họ đường cong

(

x, y, c

)

= 0

phụ thuộc một tham số

. Nếu họ

đường cong t rên không có điểm kì dị thì hình bao của nó được xác định bằng cách

khử

từ hệ phương trình







(

x, y, c

)

= 0

′

(

x, y, c

)

= 0

(1.2)

10 Chương 1. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học

3. Nếu họ đường cong đã cho có điểm kì dị thì hệ phương trình (1.2) bao gồm hình bao

(E) và quỹ tích các điểm kì dị thuộc họ các đường cong đã cho.

Bài tập 1.1. Viết phương trình tiếp tuyến và pháp tuyến với đường cong:

a) y = x

+ 2x

−4x −3 tại

(

−2, 5

)

Lời giải.







Phương trình tiếp tuyến y = 5

Phương trình pháp tuyến x = −2

b) y = e

1−x

tại giao điểm của đường cong với đường thằng y = 1 .

Lời giải. – Tại M

(

−1, 1

)







Phương trình tiếp tuyến 2x −y + 3 = 0

Phương trình pháp tuyến x + 2y −1 = 0

– Tại M

(

−1, 1

)







Phương trình tiếp tuyến 2x + y −3 = 0

Phương trình pháp tuyến x −2y + 1 = 0

(

x =

1+t

y =

tại A(2, 2).

Lời giải. – Phương trình tiếp tuyến y = x.

– Phương trình pháp tuyến x + y −4 = 0.

d. x

+ y

= 5 tại M(8, 1).

Lời giải. – Phương trình tiếp tuyến x + 2y −10 = 0.

– Phương trình pháp tuyến 2x −y −15 = 0.

Bài tập 1.2. Tính độ cong của:

a. y = −x

tại điểm có hoành độ x =

Lời giải.

(

)

′′

(

1 + y

′2

)

3/2

= ... =

192

125

(

x = a

(

t −sin t

)

y = a

(

1 −cos t

)

(

a > 0

)

tại điểm bất kì.

1. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học phẳng 11

Lời giải.

(

)



′

′′



(

′2

+ y

′2

)

3/2

= ... =

√

1 −cos t

c. x

+ y

= a

tại điểm bất kì (a > 0).

Lời giải. Phương trình tham số:

(

x = a cos

y = a sin

, nên

(

)



′

′′



(

′2

+ y

′2

)

3/2

= ... =

sin t cos t

d. r = ae

bϕ

(

a, b > 0

)

Lời giải.

(

)



+ 2r

′2

−rr

′′



(

+ r

′2

)

3/2

bϕ

√

1 + b

Bài tập 1.3. Tìm hình bao của họ đường cong sau:

a. y =

+ c

b. cx

+ c

y = 1

c. y = c

(

x − c

)

Lời giải. a. Đặt F

(

x, y, c

)

:= y −

−c

= 0.

Điều kiện: c 6= 0.

Xét hệ phương trình:

(

′

(

x, y, c

)

= 0

′

(

x, y, c

)

= 0

⇔

(

′

(

x, y, c

)

= 0

1 = 0.

Hệ phương trình vô nghiệm nên họ đường cong không có điểm kì dị. Ta có

(

x, y, c

)

= 0

′

(

x, y, c

)

= 0

⇔

(

y −

−c

= 0

−2c +

= 0

⇔

(

x = 2c

y = 3c

nên





−





= 0. Do điều kiện c 6= 0 nên x, y 6= 0. Vậy ta có hình bao của họ

đường cong là đường





−





= 0 trừ điểm O

(

0, 0

)

12 Chương 1. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học

b. Đặt F

(

x, y, c

)

:= cx

+ c

y −1 = 0. Nếu c = 0 thì không thoả mãn phương trình đã

cho nên điều kiện: c 6= 0.

Xét hệ phương trình:

(

′

(

x, y, c

)

= 0

′

(

x, y, c

)

= 0

⇔

(

2cx = 0

= 0

⇔ x = c = 0, nhưng điểm kì

dị đó không thuộc họ đường cong đã cho nên họ đường cong đã cho không có điểm kì

dị. Ta có

(

x, y, c

)

= 0

′

(

x, y, c

)

= 0

⇔

(

+ c

y = 1

+ 2cx = 0

⇔

(

x =

y =

−1

Do đó x, y 6= 0 và ta có hình bao của họ đường cong là đường y = −

trừ điểm O(0, 0).

c. Đặt F

(

x, y, c

)

:= c

(

x −c

)

−y = 0.

Xét hệ phương trình:

(

′

(

x, y, c

)

= 0

′

(

x, y, c

)

= 0

⇔

(

′

= 0

−1 = 0.

Hệ phương trình vô nghiệm nên họ đường cong đã cho không có điểm kì dị. Ta có







(

x, y, c

)

= 0

′

(

x, y, c

)

= 0

⇔







(

x − c

)

−y = 0

(

)

(

x − c

)

−2c

(

x − c

)

= 0.

(

)

(

)

⇔







c = 0

c = x

c =

, thế vào (1) ta được y = 0, y =

Vậy hình bao của họ đường cong là y = 0, y =

2. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học không gian 13

§2. CÁC ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH VI PHÂN TRONG

HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

2.1 Hàm véctơ

Giả sử I là một khoảng trong R.

• Ánh xạ I → R

, t 7→

−−→

(

)

∈ R

được gọi là hàm véctơ của biến số t xác định trên R.

Nếu n = 3, ta viết

−−→

(

)

= x

(

)

−→

i + y

(

)

−→

j + z

(

)

−→

k .

Đặt M

(

)

, y

(

)

, z

(

))

, quỹ tích M khi t biến th iên trong I được gọi là tốc đồ của

hàm véctơ

−−→

(

)

• Giới hạn: Người ta nói hàm véctơ có giới hạn là

−→

a khi t → t

nếu

lim

t→t



−−→

(

)

−

−→



−→

0 ,

kí hiệu lim

t→t

−−→

(

)

−→

a .

• Liên tục: Hàm véctơ

−−→

(

)

xác định trên I được gọi là liên tục tại t

∈ I nếu

lim

t→t

−−→

(

)

−−→

(

)

(Tuơng đương với tính liên tục của các thành phần tương ứng x

(

)

, y

(

)

, z

(

)

• Đạo hàm: Giới hạn, nếu có, của tỉ số

lim

h→0

∆

−→

= lim

h→0

−→

(

+ h

)

−

−→

(

)

được gọi là đạo hàm của hàm véctơ

−−→

(

)

tại t

, kí hiệu

−→

′

(

)

hay

−→

(

)

, khi đó ta

nói hàm véctơ

−−→

(

)

khả vi tại t

Nhận xét: nếu x

(

)

, y

(

)

, z

(

)

khả vi tại t

thì

−−→

(

)

cũng khả vi tại t

và

−→

′

(

)

= x

′

(

)

−→

i + y

′

(

)

−→

j + z

′

(

)

−→

k .

2.2 Đường cong trong không gian R

Tương tự như cách chúng ta biểu diễn đường cong trong không gian R

bởi phương

trình tham số, mỗi đường cong trong không gian R

được định nghĩa, một cách đơn giản,

là một hàm véc tơ

γ : [a, b] → R

, γ(t) = x(t).

i + y(t).

j + z(t).

14 Chương 1. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học

Đường cong γ được gọi là trơn nếu như tồn tại γ

′

(t) liên tục và γ

′

(t) 6= 0 với mọi t ∈

[a, b]. Nếu như trong mặt phẳng, một véc tơ tiếp tuyến của đường cong







x = x(t)

y = y(t)

là

n = (x

′

(t), y

′

(t)) thì trong không gian, một cách hoàn toàn tương tự, một véc tơ tiếp tuyến

của đường cong γ(t) = x(t).

i + y(t).

j + z(t).

k là γ

′

(t) = x

′

(t).

i + y

′

(t).

j + z

′

(t).

k. Do đó,

• Phương trình tiếp tuyến của γ tại điểm M(x

, y

, z

) chính quy:

(

)

x −x

(

)

′

(

)

y −y

(

)

′

(

)

z −z

(

)

′

(

)

• Phương trình pháp diện tại M:

(

)

: x

′

(

)

(

x − x

(

))

+ y

′

(

)

(

y −y

(

))

+ z

′

(

)

(

z −z

(

))

= 0.

2.3 Độ cong của đường cong

Cho đường cong γ = γ(t). Khi đó, véc tơ tiếp tuyến đơn vị

N(t) được xác định bởi

N(t) =

′

(t)

|γ

′

(t)|

Véc tơ này xác định hướng của đường cong như hình vẽ dưới đây.

Độ cong của đường cong tại một điểm P là một đại lượng đo "tốc độ" thay đổi hướng của

đường cong tại điểm P đó. Một cách cụ thể, người ta định nghĩa độ cong của đường cong

tại điểm P là "t ốc độ" thay đổi của véc tơ tiếp tuyến đơn vị theo độ dài cung tại điểm P đó.

Định nghĩa 1.2.

Độ cong của đường c ong

là

C =



ở đó

là véc tơ tiếp tuyến đơn vị của

2. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học không gian 15

Ta có

C =



N/dt

ds/dt



Vì độ dài của cung γ được tính theo công thức

s =

′

)

+ (y

′

)

+ (z

′

)

dt =

|γ

′

(t)|dt,

nên

s(t) =

|γ

′

(u)|du

là phần độ dài của cung nằm giữa γ(a) và γ(t). Lấy đạo hàm hai vế phương trình này theo

t ta được

= |γ

′

(t)|.

Do đó,

C =

′

(t)|

|γ

′

(t)|

Định lý 1.2.

Độ cong của đường c ong

được cho bởi công thức

C(t) =

|γ

′

(t) ∧ γ

′′

(t)|

|γ

′

(t)|



′

′′



′

′′



′

′′



′2

+ y

′2

+ z

′2

)

Lời giải. Ta có

N(t) =

′

(t)

|γ(t)|

nên

′

(t) =

2.4 Mặt cong trong không gian R

Tương tự như cách chúng ta biểu diễn đường cong trong không gian bởi một hàm véc tơ

một tham số r(t) = x(t).

i + y(t).

j + z(t).

k, mỗi mặt cong trong không gian được biểu diễn

tham số dưới dạng

r(u, v) = x(u, v).

i + y(t).

j + z(t).

tức là một hàm véc tơ phụ thuộc vào hai tham số u, v.

16 Chương 1. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học

Định nghĩa 1.3.

Tập hợp tất cả các điểm

(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) ∈ R

sao cho

(u, v)

biến

thiên trong miền

D ⊂ R

được gọi là một mặt cong cho bởi phương trình tham số.

Ví dụ 2.2.

Mỗi mặt phẳng

ax + by + cz + d = 0

trong không gian có một tham số tự nhiên











x = u,

y = v,

z = −

d+ax+by

D = R

Ví dụ 2.3.

Mỗi mặt cầu

+ y

+ z

= R

trong không gian đều có một tham số tự n hiên

là











x = u,

y = v,

z = ±

− x

−y

D = {(x, y) ∈ R

: x

+ y

≤ R

và một tham số trong tọa độ cầu











x = R sin θ cos ϕ,

y = R sin θ sin ϕ,

z = R cos θ,

D = {(ϕ, θ) ∈ R

: 0 ≤ ϕ ≤ 2π, 0 ≤ θ ≤ π.}

Như vậy, phương trình tham số của một mặt cong có thể không duy nhất.

Phương trình tiếp diện của mặt cong cho bởi phương trình tham số

Bài toán: Tìm mặt phẳng tiếp diện của mặt cong S cho bởi phương trình tham số

r(u, v) = x(u, v).

i + y(t).

j + z(t).

tại điểm P

ứng với u = u

, v = v

2. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học không gian 17

[Lời giải] Nếu ta cố định u = u

thì r(u

, v) xác định một đường cong C

⊂ S trong

không gian. Tiếp tuyến với đường cong này tại P

có véc tơ chỉ phương là

∂x

∂v

, v

i +

∂y

∂v

, v

j +

∂z

∂v

, v

Tương tự như vậy, nếu ta cố định v = v

thì r(u, v

) xác định một đường cong C

⊂ S trong

không gian. Tiếp tuyến với đường cong này tại P

có véc tơ chỉ phương là

∂x

∂u

, v

i +

∂y

∂u

, v

j +

∂z

∂u

, v

Lấy tích có hướng của r

và r

ta được véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng tiếp diện của mặt

cong S tại điểm P

. Nếu tại P

, r

∧r

6= 0 thì ta nói mặt cong S là trơn tại P

Chú ý 1.1.

Đường thẳng đi qua

và vuông góc với tiếp diện của

tại

được gọi là pháp

tuyến của mặt

tại

. Nó nhận véc tơ

N = r

∧r

làm véc tơ chỉ phương.

Ví dụ 2.4.

Viết phương trình tiếp diện của mặt cong cho bởi phương trình tham số

x =

, y = v

, z = u + 2v

tại điểm

(1, 1, 3).

[Lời giải] Ta có

∂x

∂u

i +

∂y

∂u

j +

∂z

∂u

k = 2u.

i +

∂x

∂v

i +

∂y

∂v

j +

∂z

∂v

k = 2v.

j + 2

Do đó,

∧r



2u 0 1

0 2v 2



= −2v.

i −4u.

j + 4uv.

Điểm (1, 1, 3) ứng với giá trị u = v = 1 nên r

∧ r

= (−2, −4, 4). Vậy phương trình tiếp

diện là

−2(x −1) − 4(y −1) + 4(z −3) = 0 ⇔ x + 2y −2z + 3 = 0.

18 Chương 1. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học

Phương trình tiếp diện của mặt cong cho bởi phương trình z = z(x, y)

Trường hợp đặc biệt, mặt cong S cho bởi phương trình z = z(x, y) thì S có một tham số

hóa tự nhiên là











x = u,

y = v,

z = z(u, v).

Khi đó, r

= (1, 0, z

′

), r

= (0, 1, z

′

) và do đó, véc tơ pháp tuyến của mặt cong S tại P là

∧r



1 0 z

′

0 1 z

′



= (−z

′

, −z

′

, 1) = (−z

′

, −z

′

, 1).

Do đó, phương trình tiếp diện tại P(x

, y

, z

) là

z −z

= z

′

(

)

(

x − x

)

+ z

′

(

)

(

y −y

)

. (1.3)

Phương trình tiếp diện của mặt cong cho bởi phương trình f (x, y, z) = 0

Nếu mặt cong S xác định bởi phương trình f (x, y, z) = 0 và M(x

, y

, z

) là một điểm

chính quy của S thì nó xác định một hàm ẩn z = z(x, y) và các đạo hàm z

′

, z

′

được tính

theo công thức

′

= −

′

, z

′

= −

′

Áp dụng công thức (1.3) ta được

• Phương trình tiếp diện tại M

z −z

= −

′

(M)

′

(M)

(x − x

) −

′

(M)

′

(M)

(y −y

)

⇔f

′

(

)

(

x − x

)

+ f

′

(

)

(

y −y

)

+ f

′

(

)

(

z −z

)

= 0.

• Phương trình pháp tuyến tại M

(

)

x −x

′

(

)

y −y

′

(

)

z −z

′

(

)

2.5 Đường cong cho dưới dạng giao của hai mặt cong

Cho đường cong xác định bởi giao của hai mặt cong như sau







(

x, y, z

)

= 0

(

x, y, z

)

= 0

Đặt

−→



′

(

)

, f

′

(

)

, f

′

(

)



là véctơ pháp tuyến của mặt phẳng tiếp diện của mặt

2. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học không gian 19

cong f

(

x, y, z

)

= 0 tạ i M.

Đặt

−→



′

(

)

, g

′

(

)

, g

′

(

)



là véctơ pháp tuyến của mặt phẳng tiếp diện của mặt

cong g

(

x, y, z

)

= 0 tạ i M.

Khi đó

−→

∧

−→

là véctơ chỉ phương của tiếp tuyến của đường cong đã cho tại M. Vậy phương

trình tiếp tuyến là:











PTTQ :

(

′

(

)

(

x −x

)

+ f

′

(

)

(

y −y

)

+ f

′

(

)

(

z −z

)

= 0.

′

(

)

(

x −x

)

+ g

′

(

)

(

y −y

)

+ g

′

(

)

(

z −z

)

= 0.

PTCT :

x−x



′

(

)

′

(

)

′

(

)

′

(

)



y−y



′

(

)

′

(

)

′

(

)

′

(

)



z−z



′

(

)

′

(

)

′

(

)

′

(

)



Bài tập 1.4. Giả sử

−→

(

)

−→

(

)

−→

(

)

là các hàm véctơ khả vi. Chứng minh rằng:



−→

(

)

−→

(

)



−→

(

)

−→

(

)



(

)

−→

(

)



= α

(

)

−→

(

)

+ α

′

(

)

−→

(

)



−→

(

)

−→

(

)



−→

(

)

−→

(

)

−→

(

)

−→

(

)



−→

(

)

∧

−→

(

)



−→

(

)

∧

−→

(

)

−→

(

)

∧

−→

(

)

Lời giải. a. Giả sử

−→

(

)

(

)

, p

(

)

, p

(

))

−→

(

)

(

)

, q

(

)

, q

(

))

, khi đó:



−→

(

)

−→

(

)



(

)

+ q

(

)

, p

(

)

+ q

(

)

, p

(

)

+ q

(

))



′

(

)

+ q

′

(

)

, p

′

(

)

+ q

′

(

)

, p

′

(

)

+ q

′

(

)





′

(

)

, p

′

(

)

, p

′

(

)





′

(

)

, q

′

(

)

, q

′

(

)



−→

(

)

−→

(

)



(

)

−→

(

)





[

(

)

(

)]

′

[

(

)

(

)]

′

[

(

)

(

)]

′





′

(

)

(

)

+ α

(

)

′

(

)

, α

′

(

)

(

)

+ α

(

)

′

(

)

, α

′

(

)

(

)

+ α

(

)

′

(

)





′

(

)

(

)

, α

′

(

)

(

)

, α

′

(

)

(

)





(

)

′

(

)

, α

(

)

′

(

)

, α

(

)

′

(

)



= α

(

)

−→

(

)

+ α

′

(

)

−→

(

)

c. Chứng minh tương tự như câu b, sử dụng công thức đạo hàm của hàm hợp.

20 Chương 1. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học



−→

(

)

∧

−→

(

)





(

)

(

)

(

)

(

)



(

)

(

)

(

)

(

)



(

)

(

)

(

)

(

)



= ...



(

)

′

(

)

(

)

′

(

)



(

)

′

(

)

(

)

′

(

)



(

)

′

(

)

(

)

′

(

)



′

(

)

(

)

′

(

)

(

)



′

(

)

(

)

′

(

)

(

)



′

(

)

(

)

′

(

)

(

)



−→

(

)

∧

−→

(

)

−→

(

)

∧

−→

(

)

Bài tập 1.5. Viết phương trình tiếp tuyến và pháp diện của đường:











x = a sin

y = b sin t cos t

z = c cos

tại điểm ứng với t =

(

a, b, c > 0

)











x =

sin t

√

y = 1

z =

cos t

√

tại điểm ứng với t = 0.

Lời giải. a. – Phương trình tiếp tuyến:

(

)

x−

y−

z−

−c

– Phương trình pháp diện:

(

)

: a



x −



−c



z −



= 0.

b. – Phương trình tiếp tuyến:

(

)

√

y−1

z−

√

– Phương trình pháp diện:

(

)

√

x +

√



z −

√



= 0.

Bài tập 1.6. Viết phương trình pháp tuyến và tiếp diện của mặt cong:

a) x

−4y

+ 2z

= 6 tại điểm

(

2, 2, 3

)

b) z = 2x

+ 4y

tại điểm

(

2, 1, 12

)

c) z = ln

(

2x + y

)

tại điểm

(

−1, 3, 0

)

2. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học không gian 21

Lời giải. a. – Phương trình pháp tuyến:

(

)

x−2

y−2

−16

z−3

– Phương trình tiếp diện:

(

)

: 4

(

x −2

)

−16

(

y −2

)

+ 12

(

z −3

)

= 0

b. – Phương trình pháp tuyến:

(

)

x−2

y−1

z−12

−1

– Phương trình tiếp diện:

(

)

: 8

(

x −2

)

+ 8

(

y −1

)

−

(

z −12

)

= 0.

c. – Phương trình pháp tuyến:

(

)

x+1

y−3

−1

– Phương trình tiếp diện:

(

)

: 2

(

x + 1

)

(

y −3

)

−z = 0.

Bài tập 1.7. Viêt phương trình tiếp tuyến và pháp diện của đường:

(

+ y

= 10

+ z

= 25

tại điểm A

(

1, 3, 4

)

(

+ 3y

+ z

= 47

+ 2y

= z

tại điểm B

(

−2, 6, 1

)

Lời giải. a. Ta có

(

x, y, z

)

:= x

+ y

−10 = 0

(

x, y, z

)

:= y

+ z

−25 = 0

nên

(

2, 6, 0

)

(

0, 6, 8

)

Do đó n

∧n

= 4

(

12, −4, 3

)

. Vậy:

– Phương trình tiếp tuyến

(

)

x−1

y−3

−4

z−4

– Phương trình pháp diện

(

)

: 12

(

x −1

)

−4

(

y −3

)

+ 3

(

z −4

)

= 0

b. Tương tự,

(

−8, 6, 12

)

(

−4, 4, −1

)

, n

∧n

= −2

(

27, 27, 4

)

nên

– Phương trình tiếp tuyến

(

)

x+2

y−1

z−6

– Phương trình pháp diện

(

)

: 27

(

x + 2

)

+ 27

(

y −1

)

+ 4

(

z −6

)

= 0

22 Chương 1. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học

CHƯƠNG 2

TÍCH PHÂN BỘI

§1. TÍCH PHÂN KÉP

1.1 Định nghĩa

Diện tích và tích phân xác định

Cho f (x) là một hàm số xác định với a ≤ x ≤ b. Đầu tiên ta chia khoảng [a, b] này thành

n khoảng nhỏ [x

i−1

, x

] với độ dài bằng nhau ∆x =

b−a

và chọn trong mỗi khoảng đó một

điểm x

∗

bất kì. Sau đó lập tổng Riemann

S(n) =

∑

i=1

f (x

∗

)∆x

24 Chương 2. Tích phân bội

và lấy giới hạn để thu được tích phân xác định từ a đến b của hàm số f (x):

f (x)dx = lim

n→∞

S(n).

Trường hợp đặc biệt, f (x) ≥ 0, tổng Riemann trên chính là tổng diện tích của các hình

chữ nhật xấp xỉ miền D giới hạn bởi các đường x = a, x = b, y = 0 và y = f (x) và

f (x)dx

chính là diện tích của miền D.

Thể tích và tích phân bội hai trên hình chữ nhật

Một cách hoàn toàn tương tự như trên, xét hàm số f phụ thuộc vào hai biến số x, y xác

định trên một hình chữ nhật đóng

R = [a, b] ×[c, d] = {(x, y) ∈ R

: a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}.

Gọi S là miền nằm phía dưới của mặt z = f (x, y) và phía trên của hình chữ nhật R, nghĩa

là

S = {(x, y, z) ∈ R

: 0 ≤ z ≤ f (x, y), (x, y) ∈ R}.

Đầu tiên ta chia miền R thành các miền hình chữ nhật con, bằng cách chia khoảng [a, b]

thành m khoảng con với độ dài bằng nhau và bằng

b−a

, chia khoảng [c, d] thành n khoảng

con với độ dài bằng nhau và bằng

d−c

. Như vậy ta đã chia miền R thành m × n hình chữ

nhật con

= [x

i−1

, x

] ×[y

j−1

, y

]

1. Tích phân kép 25

mỗi hình chữ nhật con có diện tích ∆S = ∆x∆y. Trên mỗi hình chữ nhật R

ta chọn một

điểm (x

∗

, y

∗

) bất kì. Khi đó thể tích của phần con của S nằm phía trên của hình chữ nhật

có thể được xấp xỉ bằng

f (x

∗

, y

∗

)∆S.

Chúng ta tiếp tục quá trình này và thu được công thức xấp xỉ thể tích của miền S:

V(S) ≈

∑

i=1

∑

j=1

f (x

∗

, y

∗

)∆S.

Dễ dàng nhận thấy rằng nếu ta chia miền R càng nhỏ thì công thức xấp xỉ trên càng tốt.

Định nghĩa 2.4.

T ích phân kép (hay tích phân b ội hai) của hàm số

f (x)

trên miền hình

chữ nhật

là

f (x, y)dxdy = lim

m,n→∞

∑

i=1

∑

j=1

f (x

∗

, y

∗

)∆S,

nếu như giới hạn này tồn tại.

Chú ý 2.2.

Nếu

f (x, y) ≥ 0

thì thể tích của miền nằm phía dưới mặt cong

z = f (x, y)

và

phía trên hình chữ nhật

R = [a, b] ×[c, d]

là

V =

f (x, y)dxdy.

Tích phân lặp và Định lý Fubini

Giả sử f (x, y) là một hàm số khả tích trên R = [a, b] × [c, d]. Xét hai tích phân lặp sau:





f (x, y)dy





dx, I





f (x, y)dx





dy.

26 Chương 2. Tích phân bội

Định lý 2.3 (Định lý Fubini).

Nếu

f (x, y)

là hàm số liên tục trên miền hình chữ nhật

R = [a, b] ×[c, d]

thì

f (x, y)dxdy =

f (x, y)dy =

f (x, y)dx.

Chứng minh. Trong khuôn khổ của Bài giảng này, thay vì đưa ra chứng minh cho trường

hợp tổng quát, chúng ta sẽ chỉ chứng minh cho trường hợp f (x, y) ≥ 0. Trước hết, thể tích

của miền nằm phía dưới mặt z = f (x, y) và phía trên hình chữ nhật R được tính theo công

thức.

V =

f (x, y)dxdy.

Trong học phần Giải tích I, phần ứng dụng của tích phân xác định để tính thể tích, chúng

ta có một công thức khác, đó là

V =

A(x)dx,

ở đó A(x) là diện tích của thiết diện của miền V cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox.

Nhìn vào hình vẽ, có thể thấy A(x) diện tích của miền là miền nằm phía dưới đường

z = f (x, y), ở đó x được cố định và c ≤ y ≤ d. Do đó,

A(x) =

f (x, y)dy ⇒

f (x, y)dxdy =

f (x, y)dy.

Một cách hoàn toàn tương tự,

f (x, y)dxdy =

f (x, y)dx.

1. Tích phân kép 27

Tích phân kép trên miền bị chặn bất kì

Nếu như miền D không phải là hình chữ nhật mà chỉ là miền bị chặn bất kì thì ý tưởng

rất đơn giản là chọn một hình chữ nhật R chứa D và định nghĩa hàm số F với miền xác

định là R bởi

F(x, y) =







f (x, y), nếu (x, y) ∈ D,

0, nếu (x, y) 6∈ D,

Định nghĩa 2.5.

T ích phân kép (hay tích phân bội hai) của hàm số

f (x, y

trên miền

được định nghĩa bằng

f (x, y)dxdy =

F(x, y)dxdy.

Có một cách định nghĩa khác của tích phân kép như sau.

Định nghĩa 2.6.

Cho hàm số

(

x, y

)

xác định trong một miền đóng, bị chặn

. Chia

miền

một cách tuỳ ý thành

mảnh nhỏ. Gọi các mảnh đó và diện tích của chúng là

∆S

, ∆S

, ..., ∆S

. Trong mỗi mảnh

∆S

lấy một điểm tuỳ ý

(

, y

)

và thành lập tổng tích

phân

∑

i=1

(

, y

)

∆S

. Nếu khi

n → ∞

sao cho

max

{

∆S

→ 0

}

mà

tiến tới một giá

tr ị hữu hạn

, không phụ thuộc vào cách chia miền

và cách chọn điểm

(

, y

)

thì giới

hạn ấy được gọi là tích phân kép của hàm số

(

x, y

)

trong miền

, kí hiệu là

(

x, y

)

dxdy.

Cách định nghĩa này về cơ bản ý tưởng cũng giống như định nghĩa ở trên. Tuy nhiên, việc

chia miền D thành n mảnh nhỏ như vậy dẫn đến việc khó hình dung. Thay vào đó, do tích

phân kép không phụ thuộc vào cách chia miền D thành các mảnh nhỏ nên ta "chủ động"

chia D thành hai họ đường thẳng song song với c ác tr ục toạ độ như trong Định nghĩa 2.4.

28 Chương 2. Tích phân bội

Chú ý 2.3.

Nếu tồn tại tích phân kép

f (x, y)dxdy

thì ta nói hàm số

(

x, y

)

khả tích

trong miền

Tính chất cơ bản:

• Tính chất tuyến tính:

[

(

x, y

)

+ g

(

x, y

)]

dxdy =

(

x, y

)

dxdy +

(

x, y

)

dxdy

k f

(

x, y

)

dxdy = k

(

x, y

)

dxdy

• Tính chất cộng tính: Nếu D = D

∪D

, ở đó D

và D

không "chồng" lên n hau (có thể

ngoại trừ phần biên) thì

(

x, y

)

dxdy =

(

x, y

)

dxdy +

(

x, y

)

dxdy.

1.2 Tính tích phân kép trong hệ toạ độ Descartes

Để tính các tích phân hai lớp, ta cần phải đưa về tính các tích phân lặp.

1. Nếu D là miền hình chữ nhật

(

)

: a 6 x 6 b, c 6 y 6 d thì ta có thể sử dụng một

trong hai tích phân lặp

(

x, y

)

dxdy =

(

x, y

)

dy =

(

x, y

)

dx.

1. Tích phân kép 29

2. Nếu D là hình thang cong có cách cạnh song song với Oy,

(

)

: a 6 x 6 b, ϕ

(

)

y 6 ψ

(

)

thì, một cách hết sức đơn giản, ta chọn hình chữ nhật R = [a, b] ×[c, d] như

hình vẽ.

y = ϕ(x)

y = ψ(x)

Khi đó,

f (x, y)dxdy =

F(x, y)dxdy =

F(x, y)dy,

ở đó, nhắc lại rằng,

F(x, y) =







f (x, y), nếu (x, y) ∈ D,

0, nếu (x, y) 6∈ D.

Ta có

F(x, y)dy =

ψ(x)

ϕ(x)

F(x, y)dy =

ψ(x)

ϕ(x)

f (x, y)dy,

bởi vì với y ≥ ψ(x) hoặc y < ϕ(x) thì F(x, y) = 0.

30 Chương 2. Tích phân bội

Do đó, tích phân kép trong trường hợp này được chuyển về tích phân lặp với thứ tự

dy trước, dx sau như sau:

(

x, y

)

dxdy =

(

)

(

)

(

x, y

)

dy.

Một số miền có dạng hình thang cong có cạnh đáy song song với Oy khác được thể

hiện ở hình vẽ sau:

3. Một cách hoàn toàn tương tự, nếu D là hình thang cong có cách cạnh son g song với

Ox,

(

)

: c 6 y 6 d, ϕ

(

)

6 x 6 ψ

(

)

thì tích phân kép được chuyển về tích phân lặp

với thứ tự dx trước, dy sau như sau:

(

x, y

)

dxdy =

(

)

(

)

(

x, y

)

dx.

x = ϕ(y)

x = ψ(y)

4. Nếu D là miền có hình dáng phức tạp, không có dạng 2,3 thì thông thường ta sẽ chia

miền D thành một số hữu hạn miền có dạng 2 hoặc 3 rồi sử dụng tính chất cộng tính

để đưa về việc tính toán những tích phân lặp trên miền có dạng 2, 3.

1. Tích phân kép 31

Bài tập 2.1. Tính các tích phân sau:

x sin

(

x + y

)

dxdy, D =



(

x, y

)

∈ R

: 0 6 y 6

, 0 6 x 6



Lời giải.

I =

x sin

(

x + y

)

dy = ... =

hoặc I =

x sin

(

x + y

)

dx = ... =

b) I =

(

y − x

)

dxdy, D giới hạn bởi y = x

và x = y

y = x

x = y

Hình 2.1

Lời giải.

I =

√



y − x



dy = ... = −

504

Một số dạng bài tập cơ bản

Dạng 1: Đổi thứ tự lấy tích phân.

Chúng ta bắt đầu bằng bài toán sau đây:

Bài tập 2.2. Tính I =

xdx

dy.

Hàm số f

(

x, y

)

= xe

liên tục trên miền D nên chắc chắn khả tích trên D. Tuy nhiên, nếu

tính tích phân trên mà làm theo thứ tự dy trước dx sau như trong đề bài thì không tính

được, vì hàm số e

không có nguyên hàm sơ cấp! Do đó, nảy sinh nhu cầu đổi thứ tự lấy

tích phân.

32 Chương 2. Tích phân bội

Hình 2.2

Lời giải. Từ biểu thức tính tích phân suy ra biểu diễn giải tích của miền D là







0 ≤ x ≤ 1,

≤ y ≤ 1.

Ta vẽ miền D và biểu diễn nó lại dưới dạng







0 ≤ y ≤ 1,

0 ≤ x ≤

√

Do đó,

I =

√

dx =



√

x=0

dy =

.ydy =

(

e −1

)

Quy trình làm bài toán đổi thứ tự lấy tích phân

Bài toán 1: Đổi thứ tự lấy tích phân

ψ(x)

ϕ(x)

f (x, y)dy

1. Từ biểu thức tích phân lặp, suy ra biểu diễn giải tích của miền lấy tích phân là

(

)







a 6 x 6 b,

(

)

6 y 6 ψ

(

)

2. Vẽ phác thảo miền D.

y = ϕ(x)

y = ψ(x)

1. Tích phân kép 33

3. Chia D thành các hình thang cong có các cạnh song song với Ox. Tìm biểu diễn giải

tích của các miền con, ví dụ

(

)







6 y 6 d

(

)

6 x 6 ψ

(

)

Sau đó viết

(

)

(

)

(

x, y

)

dy =

∑

(

)

(

)

(

x, y

)

dx.

Làm tương tự với

Bài toán 2: Đổi thứ tự lấy tích phân

ψ(y)

ϕ(y)

f (x, y)dx.

1. Từ biểu thức tích phân lặp, suy ra biểu diễn giải tích của miền lấy tích phân là

(

)







c 6 y 6 d,

(

)

6 x 6 ψ

(

)

2. Vẽ phác thảo miền D.

x = ϕ(y)

x = ψ(y)

3. Chia D thành các hình thang cong có các cạnh song song với Oy. Tìm biểu diễn giải

tích của các miền con, ví dụ

(

)







6 y 6 b

(

)

6 y 6 ψ

(

)

Sau đó viết

(

)

(

)

(

x, y

)

dx =

∑

(

)

(

)

(

x, y

)

dy.

Bài tập 2.3. Thay đổi thứ tự lấy tích phân của các tích phân sau:

34 Chương 2. Tích phân bội

−1

1−x

−

√

1−x

(

x, y

)

dy.

Hình 2.3 a)

Chia miền D thành hai miền con D

, D

như hình vẽ, với







−1 6 y 6 0

−

1 − y

6 x 6

1 − y

, D







0 6 y 6 1

−

1 − y 6 x 6

1 − y.

Vậy

I =

−1

√

1−y

−

√

1−y

(

x, y

)

dx+

√

1−y

−

√

1−y

(

x, y

)

dx.

√

1−y

2−y

(

x, y

)

dx.

Hình 2.3 b)

Lời giải. Ta có biểu diễn giải tích của D là







1 6 x 6 2

2 − x 6 y 6

√

2x −x

nên:

I =

√

2x−x

2−x

(

x, y

)

dy.

1. Tích phân kép 35

√

2x−x

(

x, y

)

dx.

Hình 2.3 c)

Lời giải. Chia D thành 3 miền như hình vẽ, với







0 6 y 6 1

6 x 6 1 −

1 − y

, D







0 6 y 6 1

1 +

1 − y

6 x 6 2

, D







1 6 y 6 2

6 x 6 2.

Vậy:

I =

1−

√

1−y

(

x, y

)

dx+

√

1−y

(

x, y

)

dx +

(

x, y

)

dx.

√

(

x, y

)

dx+

√

4−y

(

x, y

)

dx.

√

Hình 2.3 d)

36 Chương 2. Tích phân bội

Lời giải. Biểu diễn giải tích của D là







0 6 x 6

√

x 6 y 6

√

4 − x

nên:

I =

√

4−x

(

x, y

)

dy.

Bài tập 2.4. Chứng minh rằng





x −y

(x + y)





dx =





x − y

(x + y)





dy = −

Hãy giải thích tại sao không đổi thứ tự lấy tích phân được t rong tích phân trên.

[Gợi ý] Hàm lấy tích phân f (x, y) =

x−y

(x+y)

không liên tục trên miền D = [0, 1] × [0, 1] nên

[0,1]×[0,1]

x − y

(x + y)

dxdy

có thể không tồn tại. Đây thực chất là một tích phân bội suy rộng.

Dạng 2: Tính các tích phân kép có chứa dấu giá trị tuyệt đối.

Giả sử cần tính

(

x, y

)

dxdy.

Mục đích của chúng ta là phá bỏ được dấu giá trị tuyệt đối. Vì vậy ta khảo sát dấu của

hàm f

(

x, y

)

. Do tính liên tục của hàm f

(

x, y

)

nên đường cong f

(

x, y

)

= 0 sẽ chia miền D

thành hai miền, D

và D

−

. Trên miền D

, f

(

x, y

)

> 0, và trên miền D

−

, f

(

x, y

)

6 0. Ta

có công thức:

(

x, y

)

dxdy =

(

x, y

)

dxdy +

−

−f

(

x, y

)

dxdy

(2.1)

Các bước để làm bài toán tính tích phân kép có chứa dấu giá trị tuyệt đối:

1. Vẽ đường cong f

(

x, y

)

= 0 để tìm đường cong phân chia miền D.

2. Giả sử đường cong tìm được chia miền D thành hai miền. Đề xác định xem miền nào

là D

, miền nào là D

−

, ta xét một điểm

(

, y

)

bất kì, sau đó tính giá trị f

(

, y

)

Nếu f

(

, y

)

> 0 th ì miền chứa

(

, y

)

là D

và ngược lại.

3. Sau khi xác định được các miền D

, D

−

, sử dụng công thức (2.1) để tính tích phân.

1. Tích phân kép 37

Bài tập 2.5. Tính

x + y

dxdy, D :=



(

x, y

)

∈ R

x 6 1

6 1



−

Hình 2.5

Lời giải. Ta có:

= D ∩

{

x + y > 0

}







−1 6 x 6 1,

−x 6 y 6 1.

−

= D ∩

{

x + y 6 0

}







−1 6 x 6 1,

−1 6 y 6 −x.

nên

I =

(

x + y

)

dxdy −

−

(

x + y

)

dxdy = ... =

Bài tập 2.6. Tính

y − x

dxdy, D :=



(

x, y

)

∈ R

6 1, 0 6 y 6 1



−

Hình 2.6

38 Chương 2. Tích phân bội

Lời giải. Chia miền D thành hai miền con

= D ∩

(

x, y

)



y − x

> 0







−1 6 x 6 1,

6 y 6 1,

−

= D ∩

(

x, y

)



y − x

6 0







−1 6 x 6 1,

0 6 y 6 x.

Do đó

I =

y − x

dxdy +

−

−ydxdy = I

+ I

trong đó

−1

y − x

dy =

−1



1 − x



x=sin t

cos

tdt = ... =

−1

−ydy =

−1

dx =

Kết luận I =

Dạng 3: T ính tích phân kép trong trường hợp miền lấy tích phân l à miền đối

xứng.

Định lý 2.4.

Nếu miền

là miền đối xứng qua trục

(tương ứng

) và hàm là hàm lẻ

đối với

(tương ứng đối với

) thì

(

x, y

)

dxdy = 0.

Định lý 2.5.

Nếu miền

là miền đối xứng qua tr ục

(tương ứng

) và hàm là hàm

chẵn đối với

(tương ứng đối với

) thì

(

x, y

)

dxdy = 2

(

x, y

)

dxdy,

trong đó

là phần nằm bên t rên trục

của

(tương ứng phía phải trục

của

Định lý 2.6.

Nếu miền

là miền đối xứng qua trục gốc toạ độ

và hàm

(

x, y

)

thoả mãn

(

−x, −y

)

= −f

(

x, y

)

thì

(

x, y

)

dxdy = 0.

1. Tích phân kép 39

Bài tập 2.7. Tính

dxdy.

Hình 2.7

Lời giải. Do D đối xứng qua cả Ox và Oy, f

(

x, y

)

là hàm chẵn với x, y nên

I = 4

(

x, y

)

dxdy = 4

1−x

(

x + y

)

dy =

1.3 Phép đổi biến số trong tích phân kép

Phép đổi biến số tổng quát

Phép đổi biến số tống quát thường được sử dụng trong trường hợp miền D là giao của

hai họ đường cong. Xét tích phân kép I =

(

x, y

)

dxdy, trong đó f

(

x, y

)

liên tục trên D.

Thực hiện phép đổi biến số







x = x

(

u, v

)

y = y

(

u, v

)

(2.2)

thoả mãn:

• x = x

(

u, v

)

, y = y

(

u, v

)

là các hàm số liên tục và có đạo hàm riêng liên tục trong

miền đóng D

của mặt phẳng O

′

uv.

• Công thức (2.2) xác định song ánh từ D

→ D.

• Định thức Jacobi J =

(

x,y

)

(

u,v

)



′



6= 0 ∀(u, v) ∈ D

40 Chương 2. Tích phân bội

Khi đó ta có công thức đổi biến số:

I =

(

x, y

)

dxdy =

(

u, v

)

, y

(

u, v

))

dudv

Chú ý:

• Mục đích của phép đổi biến số là đưa việc tính tích phân từ miền D có hình dáng

phức tạp về tính tích phân trên miền D

đơn giản hơn như là hình thang cong hoặc

hình chữ nhật. Trong nhiều trường hợp, phép đổi biến số còn có tác dụng làm đơn

giản biểu thức tính tích phân f

(

x, y

)

• Để xác định được miền D

, lưu ý rằng phép đổi biến số tổng quát sẽ biến biên của

miền D thành biên của miền D

, biến miền D bị chặn thành miền D

bị chặn.

• Có thể tính J thông qua J

−1

(

u,v

)

(

x,y

)



′



Bài tập 2.8. Chuyển t ích phân sau sang hai biến u, v:

−x

(

x, y

)

dxdy, nếu đặt







u = x + y

v = x − y

b) Áp dụng tính với f

(

x, y

)

(

2 − x − y

)

′

Hình 2.8

Lời giải. Ta có







u = x + y

v = x − y

⇒







x =

u+v

y =

u−v

, J

−1

(

u, v

)

(

x, y

)



1 1

1 −1



= −2.

Hơn nữa







0 6 x 6 1

−x 6 y 6 x

↔ D







0 6 u 6 2

0 6 v 6 2 − u

1. Tích phân kép 41

nên

I =

2−u



u + v

u −v



dv.

Bài tập 2.9. Tính I =



−2y



dxdy, trong đó D :







1 6 xy 6 4

x 6 y 6 4x.

y = 4x

y = x

xy = 4

xy = 1

Hình 2.9

Lời giải. Thực hiện phép đổi biến







u = xy

v =

⇒D







1 6 u 6 4

1 6 v 6 4

, J

−1



y x

−y



= 2v.

Ta có

I =



−2uv



dv =



−u



dv =

−

udu = −

42 Chương 2. Tích phân bội

Dùng tích phân kép để chứng minh Công thức Euler (Giải tích III)

Chứng minh công thức Euler sau

∞

∑

n=1

Có nhiều cách để chứng minh công thức này, một trong những cách đó là sử dụng khai

triển Fourier. Sau đây tôi xin giới thiệu một phương pháp chứng minh khác dựa vào Tích

phân kép. Trước hết, vì

dx =

dy =

n+1

nên

∞

∑

n=1

∞

∑

n=0

dy =

∞

∑

n=0

(xy)

dxdy =

∞

∑

n=0

(xy)

dxdy =

1 − xy

dxdy.

Để tính được tích phân kép này ta thực hiện phép đổi biến x = u − v, y = u + v. Khi đó

J = 2 và miền D sẽ biến thành miền D

như hình vẽ (Tại sao? Phải dựa vào nhận xét

phép đổi biến biến biên của miền D thành biên c ủa miền D

O O

Ta có

I =

1 − xy

dxdy = 2

1 − u

+ v

dudv

= 4

1 − u

+ v

dv + 4

1−u

1 − u

+ v

dv.

(2.3)

Vì

+ t

arctan



arctan

1. Tích phân kép 43

nên

I = 4

√

1 − u

arctan

√

1 − u

du + 4

√

1 − u

arctan

1 − u

√

1 − u

du = I

+ I

Đặt u = sin θ đối với tích phân I

ta được

= 4

cos θ

1 −sin

arctan

sin θ

1 −sin

dθ = 4

arctan(tan θ)dθ = 4

θdθ =

. (2.4)

Đặt u = cos 2θ đối với tích phân I

ta được

= 4

2 sin 2θ

√

1 −cos

2θ

arctan



1 −cos 2θ

√

1 −cos

2θ



dθ = 8

arctan(tan θ)dθ =

Kết luận I =

Phép đổi biến số trong toạ độ cực

Trong rất nhiều trường hợp, việc tính toán tích phân kép trong toạ độ cực đơn giản

hơn rất nhiều so với việc tính tích phân trong toạ độ Descartes, đặc biệt là khi miền D có

dạng hình tròn, quạt tròn, cardioids,. . . và hàm dưới dấu tích phân có những biểu th ức



+ y



. Toạ độ cực của điểm M

(

x, y

)

là bộ

(

r, ϕ

)

, trong đó







r =



−−→



ϕ =

Ox,

−−→

r = |

−−→

OM|

Công thức đổi biến:







x = r cos ϕ

y = r sin ϕ

trong đó miền biến thiên của r, ϕ phụ thuộc vào hình

dạng của miền D. Khi đó

J =

(

x, y

)

(

r, ϕ

)

= r và I =

rϕ

(

r cos ϕ, r sin ϕ

)

rdrdϕ.

44 Chương 2. Tích phân bội

Đặc biệt, nếu miền lấy tích phân có dạng hình quạt







6 ϕ 6 ϕ

(

)

6 r 6 r

(

)

(xem hình vẽ)

thì

I =

dϕ

(

)

(

)

(

r cos ϕ, r sin ϕ

)

rdr.

r = r

(ϕ)

r = r

(ϕ)

Bài tập 2.10. Tìm cận lấy tích phân trong toạ độ cực I =

(

x, y

)

dxdy, trong đó D là

miền xác định như sau:

a) a

6 x

+ y

6 b

Hình 2.10a

Lời giải.

D :







0 6 ϕ 6 2π

a 6 r 6 b

⇒I =

2π

dϕ

(

r cos ϕ, r sin ϕ

)

rdr

1. Tích phân kép 45

b) x

+ y

> 4x, x

+ y

6 8x, y > x, y 6 2x

Hình 2.10b

Lời giải. Ta có:

D :







6 ϕ 6

4 cos ϕ 6 r 6 8 cos ϕ

⇒I =

dϕ

8 cos ϕ

4 cos ϕ

(

r cos ϕ, r sin ϕ

)

rdr.

Bài tập 2.11. Dùng phép đổi biến số trong toạ độ cực, hãy tính các tích phân sau:

√

−x



1 + x

+ y



(

R > 0

)

Hình 2.11 a

Từ biểu thức tính tích phân ta suy ra biểu thức giải tích của miền D là:







0 6 x 6 R

0 6 y 6

√

− x

Chuyển sang toạ độ cực, đặt







x = r cos ϕ

y = r sin ϕ

thì







0 6 ϕ 6

0 6 r 6 R.

I =

dϕ



1 + r



rdr =



1 + r





1 + r



h

+ 1





+ 1



− R

46 Chương 2. Tích phân bội

b) Tính

dxdy, D giới hạn bởi







(

y −1

)

= 1

+ y

−4y = 0.

Hình 2.11 b

Đặt







x = r cos ϕ

y = r sin ϕ

⇒







0 6 ϕ 6 π

2 sin ϕ 6 r 6 4 sin ϕ.

I =

dϕ

4 sin ϕ

2 sin ϕ

r cos ϕ.

(

r sin ϕ

)

rdr

= 0.

Cách 2: Vì D đối xứng qua Oy và f (x, y) = xy

là hàm số lẻ đối với x nên I = 0.

Bài tập 2.12. Tính các tích phân sau:

dxdy

(

)

, trong đó D :







4y 6 x

+ y

6 8y,

x 6 y 6 x

√

y = x

√

Hình 2.12a

1. Tích phân kép 47

Lời giải. Đặt







x = r cos ϕ

y = r sin ϕ

⇒







6 ϕ 6

4 sin ϕ 6 r 6 8 sin ϕ.

Do đó

I =

dϕ

8 sin ϕ

4 sin ϕ

rdr = −



64 sin

−

16 sin



dϕ =

128



1 −

√



1−x

−y

1+x

dxdy trong đó D : x

+ y

6 1.

Hình 2.12b

Đặt







x = r cos ϕ

y = r sin ϕ

⇒







0 6 ϕ 6 2π

0 6 r 6 1.

Ta có:

I =

2π

dϕ

1 −r

1 + r

rdr

u=r

2π

1 − u

1 + u

du.

Đặt

t =

1 − u

1 + u

⇒







du = −

(

1+t

)

0 6 t 6 1.

I = π

−

(

1 + t

)

dt = −π

4dt

1 + t

+ 4π

(

1 + t

)

= −4π arctan t



+ 4π



+ 1

arctan t





48 Chương 2. Tích phân bội

dxdy trong đó D :











+ y

6 12

+ y

> 2x

+ y

> 2

√

x > 0, y > 0.

√

Hình 2.12c

Lời giải. Chia miền D thành hai miền D = D

∪ D

như hình vẽ,







0 6 ϕ 6

2 cos ϕ 6 r 6 2

√

, D







6 ϕ 6

√

3 sin ϕ 6 r 6 2

√

Vậy I = I

+ I

, trong đó

dϕ

√

2 cos ϕ

cos ϕ sin ϕ

rdr =

cos ϕ sin ϕ



12 −4cos



dϕ = ... =

dϕ

√

3 sin ϕ

cos ϕ sin ϕ

rdr =

cos ϕ sin ϕ



12 −12 sin



dϕ = ... =

Kết luận I =

Phép đổi biến số trong toạ độ cực suy rộng.

Phép đổi biến trong toạ độ cực suy rộng được sử dụng khi miền D có hình dạng ellipse

hoặc hình tròn có tâm không nằm trên các tr ục toạ độ. Khi sử dụng phép biến đổi này, bắt

buộc phải tính lại các Jacobian của phép biến đổi.

1. Nếu D :

= 1, thự c hiện phép đổi biến







x = ar cos ϕ

y = br sin ϕ

, J = abr.

1. Tích phân kép 49

2. Nếu D :

(

x −a

)

(

y −b

)

= R

, thực hiện phép đổi biến







x = a + r cos ϕ

y = b + r sin ϕ

, J = r.

3. Xác định miền biến thiên của r, ϕ trong phép đổi biến trong hệ toạ độ cực suy rộng.

4. Thay vào công thức đổi biến tổng quát và hoàn tất quá trình đổi biến.

Bài tập 2.13. Tính



−4y



dxdy, trong đó D :

6 1.

Hình 2.13

Lời giải.

Đặt







x = 2r cos ϕ

y = 3r sin ϕ

⇒ J = 6r,







0 6 ϕ 6 2π

0 6 r 6 1.

Ta có:

I = 6

rϕ



36r

cos

ϕ −36r

sin



rdrdϕ = 6.36

2π

cos 2ϕ

dϕ

dr = ... = 216

Bài tập 2.14. Tính

√

Rx−x

−

√

Rx−x

Rx − x

−y

dy,

(

R > 0

)

Hình 2.14

50 Chương 2. Tích phân bội

Lời giải. Từ biểu thức tính tích phân suy ra biểu thức giải tích của D là:

D :







0 6 x 6 R

−

√

Rx − x

6 y 6

√

Rx − x

⇔



x −



+ y

Đặt







x =

+ rcosϕ

y = r sin ϕ

⇒

= r,







0 6 ϕ 6 2π

0 6 r 6

Vậy

I =

2π

dϕ

−r

dr = 2π.

−1

−r



−r



πR

Chú ý 2.4.

Đối với Bài tập 2.14, nếu chỉ đổi biến số trong tọa độ cực thông thường







x = r cos ϕ,

y = r sin ϕ

thì







−

≤ ϕ ≤

0 ≤ r ≤ R cos ϕ.

T ích phân đã cho trở thành

I =

−

dϕ

R cos ϕ



Rr cos ϕ −r



rdr.

T ích phân này không dễ tính vì nó chứa biểu thức vô tỉ

Rr cos ϕ −r

. Đây là một ví dụ

điển hình về việc phép đổi biến số trong tọa độ cực suy rộng không những biến miền lấy

tích phân về miền đơn giản, mà còn có tác dụng làm đơn giản biểu thức tính tích phân.

Bài tập 2.15. Tính

xydxdy, với

a) D là hình tròn

(

x −2

)

+ y

6 1.

Hình 2.15a

1. Tích phân kép 51

Lời giải.

Đặt







x = 2 + r cos ϕ

y = r sin ϕ

⇒







0 6 r 6 1

0 6 ϕ 6 2π.

Ta có

I =

2π

dϕ

(

2 + r cos ϕ

)

r sin ϕ.rdr = 0.

Cách 2. Nhận xét D là miền đối xứng qua Ox và f

(

x, y

)

= xy là hàm lẻ đối với y nên

I = 0.

b) D là nửa hình tròn

(

x −2

)

+ y

6 1, y > 0.

Hình 2.15b

Lời giải.

Đặt







x = 2 + r cos ϕ

y = r sin ϕ

⇒







0 6 r 6 1

0 6 ϕ 6 π.

Ta có

I =

dϕ

(

2 + r cos ϕ

)

r sin ϕ.rdr =

1.4 Bài tập ôn tập

Bài tập 2.16.

T ính

[0,1]×[0,1]

ydxdy

(1 + x

+ y

)

[Gợi ý] Nên tính tích phân này theo thứ tự dy trước, dx sau.

I =

ydy

(1 + x

+ y

)

52 Chương 2. Tích phân bội

Bài tập 2.17.

T ính

dxdy,

trong đó

là miền giới h ạn bởi các đường thẳng

x = 2, y = x

và

hyperbol

xy = 1

+ y)dxdy

, trong đó

là miền giới hạn bởi các parbaol

y = x

và

x = y

[Đáp số]

a) I

b) I

140

Bài tập 2.18.

T ính tích phân

I =

sin xy

dxdy,

trong đó

là miền giới hạn bởi bốn parabol

= ay, x

= by, y

= px, y

= qx, (0 < a < b, 0 < p < q).

[Gợi ý] Thực hiện phép đổi biến số u =

, v =

Bài tập 2.19.

T ính tích phân

I =

xydxdy

trong đó

là miền giới hạn bởi cá c đường

cong

y = ax

, y = bx

, y

= px, y

= qx, (0 < b < a, 0 < p < q).

[Gợi ý] Thực hiện phép đổi biến số u =

, v =

Bài tập 2.20.

Chứng minh rằng

1−x

x+y

dy =

e −1

[Gợi ý] Thực hiện phép đổi biến u = x + y, v = y.

Bài tập 2.21.

T ính diện tích của miền giới hạn bởi các đường

xy = 4, xy = 8, xy

5, xy

= 15

[Gợi ý] Đặt u = xy, v = xy

. Đáp số S = 2 ln 3.

Bài tập 2.22.

T ính diện tích của miền giới hạn bởi bốn parabol

= x, y

= 8x, x

y, x

= 8y

1. Tích phân kép 53

[Gợi ý] Đặt u =

, v =

. Đáp số S =

279π

Bài tập 2.23.

T ính diện tích của miền giới hạn bởi các đường

y = x

, y = 4x

, x = y

, x =

[Đáp số] S =

Bài tập 2.24.

Chứng minh rằng

x+y≤1,x≥0,y≥0

cos



x −y

x + y



dxdy =

sin 1

[Gợi ý] Đặt u = x −y, v = x + y.

Bài tập 2.25.

T ính tích phân

I =





dxdy,

trong đó

là miền giới hạn bởi các trục tọa độ và parabol

= 1

54 Chương 2. Tích phân bội

§2. TÍCH PHÂN BỘI BA

2.1 Định nghĩa và tính chất

Định nghĩa 2.7.

Cho hàm số

f (x, y, z)

xác định trong một miền đóng, bị chặn

của không

gian

Oxyz

. Chia miền

một cách tuỳ ý thành

miền nhỏ. Gọi các miền đó và thể tích

của chúng là

∆V

, ∆V

, ..., ∆V

. Trong mỗi miền

∆

lấy một điểm tuỳ ý

M(x

, y

, z

)

và thành

lập tổng tích phân

∑

i=1

(

, y

, z

)

∆V

. Nếu khi

n → +∞

sao cho

max

{

∆V

→ 0

}

mà

tiến tới một giá trị hữu hạn

, không phụ thuộc vào cách chia miền

và cách chọn điểm

M(x

, y

, z

)

thì giới hạn ấy được gọi là

tích phân bội ba

của hàm số

f (x, y, z)

trong miền

kí hiệu là

ZZZ

(

x, y, z

)

Khi đó ta nói rằng hàm số f (x, y, z) khả tích trong miền V.

Do tích phân bội ba không phụ thuộc vào cách chia miền V thành các miền nhỏ nên ta có

thể chia V bởi ba họ mặt thẳng song song với các mặt phẳng toạ độ, khi đó dV = dxdydz

và ta có thể viết

ZZZ

(

x, y, z

)

dV =

ZZZ

(

x, y, z

)

dxdydz

Các tính chất cơ bản

• Tính chất tuyến tính

ZZZ

[

(

x, y, z

)

+ g

(

x, y, z

)]

dxdydz =

ZZZ

(

x, y, z

)

dxdydz +

ZZZ

(

x, y, z

)

dxdydz

ZZZ

k f

(

x, y, z

)

dxdydz = k

ZZZ

(

x, y, z

)

dxdydz

• Tính chất cộng tính: Nếu V = V

∪V

, ở đó V

và V

không "chồng" lên nhau (có thể

ngoại trừ phần biên) thì:

ZZZ

(

x, y, z

)

dxdydz =

ZZZ

(

x, y, z

)

dxdydz +

ZZZ

(

x, y, z

)

dxdydz

2.2 Tính tích phân bội ba trong hệ toạ độ Descartes

Cũng giống như việc tính toán tích phân kép, ta cần phải đưa tích phân ba lớp về tích

phân lặp. Việc chuyển đổi này sẽ được thực hiện qua trung gian là tích phân kép.

T ích phân ba lớp ⇒ Tích phân hai lớp ⇒ Tích phân lặp

2. Tích phân bội ba 55

Sơ đồ trên cho thấy việc tính tích phâ n ba lớp được chuyển về tính tích phân kép (việc

tính tích phâ n kép đã được nghiên cứu ở bài trước). Đương nhiên việc chuyển đổi này phụ

thuộc chặt chẽ vào h ình dáng của miền V. Một lần nữa, kĩ năng vẽ hình là rất quan trọng.

z = z

(x, y)

z = z

(x, y)

Nếu miền V được giới hạn bởi các mặt z = z

(

x, y

)

, z = z

(

x, y

)

, trong đó z

(

x, y

)

, z

(

x, y

)

là các hàm số liên tục trên miền D, D là hình chiếu của miền V lên mặt phẳng Oxy thì ta

có:

I =

ZZZ

(

x, y, z

)

dxdydz =

dxdy

(

x,y

)

(

x,y

)

(

x, y, z

)

dz (2.5)

Thuật toán chuyển tích phân ba lớp về tích phân hai lớp

1. Xác định hình chiếu của miền V lên mặt phẳng Oxy.

2. Xác định biên dưới z = z

(

x, y

)

và biên trên z = z

(

x, y

)

của V.

3. Sử dụng công thức 2.5 để hoàn tất việc chuyển đổi.

Đến đây mọi việc chỉ mới xong một nửa, vấn đề còn lại bây giờ là:

Xác định D và các biên z = z

(

x, y

)

, z = z

(

x, y

)

như thế nào?

Có hai cách đề xác định: Dùng hình học hoặc là dựa vào biểu thức giải tích của miền V.

Mỗi cách đều có những ưu và nhược điểm riêng. Cách dùng hình học có ưu điểm là rất

trực quan, dễ hiểu. Cách dùng biểu thức giải tích của V tuy có thể áp dụng cho nhiều

bài nhưng thường khó hiểu và phức tạp. Vì thế, chúng ta cố gắng thử cách vẽ hình trước.

Muốn làm được điều này, đòi hỏi bạn đọc phải có kĩ năng vẽ các mặt con g cơ bản trong

không gian như mặt phẳng, mặt trụ, mặt nón, mặt cầu, ellipsoit, paraboloit, hyperboloit

1 tầng, hyperboloit 2 tầ ng, hơn nữa cần có trí tưởng tượng tốt đề hình dung ra sự giao cắt

56 Chương 2. Tích phân bội

của các mặt.

Chú ý: Cũng giống như khi tính tích phân kép, việc nhận xét được tính đối xứng của miền

V và tính chẵn lẻ của hàm lấy tích phân f

(

x, y, z

)

đôi khi giúp sinh viên giảm được khối

lượng tính toán đáng kể.

Định lý 2.7.

Nếu

là miền đối xứng qua mặt phẳng

z = 0 (Oxy)

và

f (x, y, z)

là hàm số

lẻ đối với

thì

ZZZ

(

x, y, z

)

dxdydz = 0

Định lý 2.8.

Nếu

là miền đối xứng qua mặt phẳng

z = 0 (Oxy)

và

f (x, y, z)

là hàm số

chẵn đối với

thì

ZZZ

(

x, y, z

)

dxdydz = 2

ZZZ

(

x, y, z

)

dxdydz

, trong đó

là phần phía

trên mặt phẳng

z = 0

của

Chú ý 2.5.

Vai trò của

trong hai định lý trên có thể được thay đổi bằng

hoặc

. Hai

định lý này có thể được chứng minh dễ dàng bằng phương pháp đổi biến số.

Bài tập 2.26. Tính

ZZZ

zdxdydz trong đó m iền V được xác định bởi:











0 6 x 6

x 6 y 6 2x

0 6 z 6

1 − x

−y

Lời giải.

I =

√

1−x

−y

zdz =



1 − x

−y



dy =



x −



dx =

3072

Bài tập 2.27. Tính

ZZZ



+ y



dxdydz trong đó V là miền giới hạn bởi các mặt

(

+ y

+ z

= 1

+ y

−z

= 0.

2. Tích phân bội ba 57

z =

1 − x

−y

z =

+ y

Hình 2.27

Lời giải. Do tính chất đối xứng,

ZZZ



+ y



dxdydz = 2

ZZZ



+ y



dxdydz = 2I

, trong

đó V

là nửa phía trên mặt phẳng Oxy của V. Ta có











+ y

6 z 6

1 − x

−y

D : x

+ y

với D là hình chiếu của V

lên Oxy. Ta có

+ y

dxdy

√

1−x

−y

√

dz =



+ y





1 − x

−y

−

+ y



dxdy.

Đặt

(

x = r cos ϕ

y = r sin ϕ

⇒ J = r,











0 6 ϕ 6 2π

0 6 r 6

√

nên

√



1 −r

−r



2π

dϕ = 2π

√



1 −r

−r



dr =

(

r=cos α

)

... =

2π

8 −5

√

58 Chương 2. Tích phân bội

Vậy

I =

4π

8 −5

√

2.3 Đổi biến số trong tích phân bội ba

Phép đổi biến số tổng quát

Phép đổi biến số tổng quát thường được sử dụng trong trường hợp miền V là giao của

ba họ mặt cong. Giả sử cần tính I =

ZZZ

(

x, y, z

)

dxdydz trong đó f (x, y, z) liên tục trên V.

Thực hiện phép đổi biến số











x = x

(

u, v, w

)

y = y

(

u, v, w

)

z = z

(

u, v, w

)

(2.6)

thoả mãn

• x, y, z cùng với các đạo hàm riêng của nó là các hàm số liên tục trên miền đóng V

uvw

của mặt phẳng O

′

uvw.

• Công thức 2.6 xác định song ánh V

uvw

→ V.

• J =

(

x,y,z

)

(

u,v,w

)

6= 0 trong V

uvw

. Khi đó

I =

ZZZ

(

x, y, z

)

dxdydz =

ZZZ

uvw

[

(

u, v, w

)

, y

(

u, v, w

)

, z

(

u, v, w

)]

dudvdw

Chú ý 2.6.

1. Cũng giống như phép đổi biến trong tích phân kép, phép đổi biến trong

tích phân bội ba cũng biến biên của miền

thành biên của miền

uvw

, biến miền

bị chặn thành miền

uvw

bị chặn.

2. Có thể tính

thông qua

−1

D(u,v,w)

D(x,y,z)

Bài tập 2.28. Tính thể tích miền V giới hạn bởi











x + y + z = ±3

x + 2y −z = ±1

x + 4y + z = ±2

biết V =

ZZZ

dxdydz.

2. Tích phân bội ba 59

Lời giải. Thực hiện phép đổi biến











u = x + y + z

v = x + 2y − z

w = x + 4y + z.

Vì phép đổi biến biến biên của V thành biên của V

uvw

nên V

uvw

giới hạn bởi:











u = ±3

v = ±1

w = ± 2.

Ta có

−1

(

u, v, w

)

(

x, y, z

)



1 1 1

1 2 −1

1 4 1



= 6 ⇒ J =

⇒ V =

ZZZ

uvw

dudvdw =

.6.2.4 = 8.

Bài tập 2.29. Tính

ZZZ

(3x

+ 2y + z)dxdydz, trong đó V : |x −y| ≤ 1, |y −z| ≤ 1, |z + x| ≤ 1.

ZZZ

dxdydz, trong đó V : |x −y| + |x + 3y|+ |x + y + z| ≤ 1.

[Gợi ý]

a) Đặt











u = x − y,

v = y − z,

w = z + x

⇒











−1 ≤ u ≤ 1,

−1 ≤ v ≤ 1,

−1 ≤ w ≤ 1.

b) Đặt











u = x − y,

v = x + 3y,

w = x + y + z

⇒ |u| + |v| + |w| ≤ 1.

Phép đổi biến số trong toạ độ trụ

Khi miền V có biên là các mặt như mặt paraboloit, mặt nón, mặt trụ, và có hình chiếu

D lên Oxy là hình tròn, hoặc hàm lấy tích phân f (x, y, z) có chứa biểu thức (x

+ y

) thì ta

hay sử dụng công thức đổi biến trong hệ toạ độ trụ.

Toạ độ trụ của điểm M(x, y, z) là bộ ba (r, ϕ, z), trong đó (r, ϕ) chính là toạ độ cực của

điểm M

′

là hình chiếu của điểm M lên Oxy.

60 Chương 2. Tích phân bội

′







r = |

−−→

′

ϕ =

Ox,

−−→

′

Công thức đổi biến











x = r cos ϕ

y = r sin ϕ

z = z.

Định thức Jacobian của phép biến đổi là J =

(

x,y,z

)

(

r,ϕ,z

)

= r, ta có:

I =

ZZZ

(

x, y, z

)

dxdydz =

ZZZ

rϕz

(

rcosϕ, r sin ϕ, z

)

rdrdϕdz.

Nếu miền V :

(

x, y

)

∈ D

(

x, y

)

6 z 6 z

(

x, y

)

, trong đó D :

(

6 ϕ 6 ϕ

(

)

6 r 6 r

(

)

thì:

I =

dϕ

(

)

(

)

rdr

(

r cos ϕ,r sin ϕ

)

(

r cos ϕ,r sin ϕ

)

(

r cos ϕ, r sin ϕ, z

)

dz.

z = z

(r cos ϕ, r sin ϕ)

z = z

(r cos ϕ, r sin ϕ)

2. Tích phân bội ba 61

Bài tập 2.30. Tính

ZZZ



+ y



dxdydz, trong đó V :

(

+ y

6 1

1 6 z 6 2.

Hình 2.30

Lời giải. Đặt











x = r cos ϕ

y = r sin ϕ

z = z

thì











0 6 ϕ 6 2π

0 6 r 6 1

1 6 z 6 2.

Ta có

I =

2π

dϕ

zdz = ... =

3π

Bài tập 2.31. Tính

ZZZ

+ y

dxdydz, trong đó:

a) V là miền giới hạn bởi mặt trụ: x

+ y

= 2x và các mặt phẳng z = 0, z = a

(

a > 0

)

b) V là nửa của hình cầu x

+ y

+ z

6 a

, z > 0

(

a > 0

)

62 Chương 2. Tích phân bội

Hình 2.31a

Lời giải. a) Đặt











x = r cos ϕ

y = r sin ϕ

z = z.

Từ x

+ y

= 2x suy ra r = 2 cos ϕ. Do đó:











−

6 ϕ 6

0 6 r 6 2 cos ϕ

0 6 z 6 a.

Vậy

I =

−

dϕ

2 cos ϕ

zdz = ... =

16a

2. Tích phân bội ba 63

Hình 2.31b

Lời giải. b) Đặt











x = r cos ϕ

y = r sin ϕ

z = z

, ta có











0 6 ϕ 6 2π

0 6 r 6 a

0 6 z 6

−r

Ta có

I =

2π

dϕ

√

−r

zdz = 2π

−r

dr =

2πa

Bài tập 2.32. Tính I =

ZZZ

ydxdydz, trong đó V giới hạn bởi:

(

y =

+ x

y = h.

64 Chương 2. Tích phân bội

Hình 2.32

Lời giải. Đặt











x = r cos ϕ

z = r sin ϕ

y = y

, ta có











0 6 ϕ 6 2π

0 6 r 6 h

r 6 y 6 h.

Do đó

I =

2π

dϕ

rdr

ydy = 2π

−r

dr =

πh

Bài tập 2.33. Tính I =

ZZZ

+ y

dxdydz trong đó V giới hạn bởi:

(

+ y

= z

z = 1.

2. Tích phân bội ba 65

Hình 2.33

Lời giải. Đặt











x = r cos ϕ

y = r sin ϕ

z = z

, ta có











0 6 ϕ 6 2π

0 6 r 6 1

r 6 z 6 1.

Do đó

I =

2π

dϕ

dz = 2π

(

1 −r

)

dr =

Bài tập 2.34. Tính

ZZZ

dxdydz

√

(

z−2

)

, trong đó V :

(

+ y

≤ 1

|z| ≤ 1.

66 Chương 2. Tích phân bội

Hình 2.34

Lời giải. Đặt











x = r cos ϕ

y = r sin ϕ

′

= z −2

⇒

= r, V

rϕz











0 6 ϕ 6 2π

0 6 r 6 1

−3 6 z

′

6 −1.

Ta có

I =

2π

dϕ

rdr

−1

−3

′

√

+ z

′2

= π

r. ln



′

+ z

′2





′

=−1

′

=−3

= 2π





r ln



+ 1 −1



dr −

r ln



+ 9 −3







= 2π

(

− I

)

Vì lim

r→0

r ln



√

+ 1 −1



= lim

r→0

r ln



√

+ 9 −3



= 0 nên thực chất I

, I

là các tích phân

xác định.

Đặt

√

+ 1 = t ⇒ rdr = tdt, ta có

r ln



+ 1 −1



t ln

(

t −1

)

(

t −1

)

−

t −1

−1

(

t −1

)

−

+ C.

2. Tích phân bội ba 67

Do đó



−1

(

t −1

)

−



√



√

2 −1



−



√

2 −1



Tương tự, I

−9

(

t −3

)

−

+ C nên



−9

(

t −3

)

−



√



√

10 −3



−



√

10 −3



Kết luận

I = 2π

(

− I

)

= π

√

2 −1

√

10 −3

+ 3

√

10 −8 −

√

Phép đổi biến số trong toạ độ cầu

Trong trường hợp miền V có dạng hình cầu, chỏm cầu, múi cầu,.. . và khi hàm lấy tích

phân f (x, y, z) có chứa biểu thức



+ y

+ z



thì ta hay sử dụn g phép đổi biến trong toạ

độ cầu.

Toạ độ cầu của điểm M(x, y, z) trong không gian là bộ ba

(

r, θ, ϕ

)

, trong đó:











r =



−−→



θ =



Oz,

−−→



ϕ =



Ox,

−−→

′



′

r = |

−−→

OM|

Công thức của phép đổi biến là:











x = r sin θ cos ϕ

y = r sin θ sin ϕ

z = r cos θ.

68 Chương 2. Tích phân bội

Định thức Jacobian J =

(

x,y,z

)

(

r,θ,ϕ

)

= −r

sin θ. Ta có công thức đổi biến

ZZZ

(

x, y, z

)

dxdydz =

ZZZ

rθ ϕ

(

r sin θ cos ϕ, r sin θ sin ϕ, r cos θ

)

sin θdrdθdϕ.

Đặc biệt, nếu miền V

rθϕ











6 ϕ 6 ϕ

(

− ϕ

6 2π

)

(

)

6 θ 6 θ

(

)

(

θ, ϕ

)

6 r 6 r

(

θ, ϕ

)

thì

I =

dϕ

(

)

(

)

sin θdθ

(

θ,ϕ

)

(

θ,ϕ

)

(

r sin θ cos ϕ, r sin θ sin ϕ, r cos θ

)

dr.

Bài tập 2.35. Tính

ZZZ



+ y

+ z



dxdydz, trong đó V :

(

1 6 x

+ y

+ z

6 4

+ y

6 z

Hình 2.35

Lời giải. Đặt











x = r sin θ cos ϕ

y = r sin θ sin ϕ

z = r cos θ.

Do 1 6 x

+ y

+ z

6 4 nên 1 ≤ r ≤ 2. Trên mặt nón có phương trình x

+ y

= z

nên

θ =

. Vậy c ận lấy tích phân là











0 6 ϕ 6 2π

0 6 θ 6

1 6 r 6 2.

2. Tích phân bội ba 69

Ta có

I = 2

2π

dϕ

sin θdθ

dr = 2.2π.

(

−cos θ

)



4.31π

1 −

√

Bài tập 2.36. Tính

ZZZ

+ y

+ z

dxdydz trong đó V : x

+ y

+ z

6 z.

Hình 2.36

Lời giải. Đặt











x = r sin θ cos ϕ

y = r sin θ sin ϕ

z = r cos θ.

Nhìn hình vẽ ta thấy 0 6 ϕ 6 2π, 0 6 θ 6

Do x

+ y

+ z

6 z nên 0 6 r 6 cos θ. Vậy

I =

2π

dϕ

sin θdθ

cos θ

r.r

dr = 2π.

sin θ.

cos

θdθ =

Phép đổi biến số trong toạ độ cầu suy rộng.

1. Tương tự như khi tính tích phân kép, nếu miền V có dạng hình ellipsoit hoặc hình

cầu có tâm không nằm trên các trục toạ độ nên nghĩ tới phép đổi biến số trong toạ độ

cầu suy rộng. Khi đó ta phải tính lại Jacobian của phép biến đổi.

70 Chương 2. Tích phân bội

2. – Nếu V :

= 1 th ì thực hiện phép đổi b iến











x = ar sin θ cos ϕ

y = br sin θ sin ϕ

z = cr cos θ

, J = −abcr

sin θ

– Nếu V :

(

x −a

)

(

y −b

)

(

z −c

)

= R

thì thực hiện phép đổi biến











x = a + r sin θ cos ϕ

y = b + r sin θ sin ϕ

z = c + r cos θ

, J = −r

sin θ

3. Xác định miền biến thiên của ϕ, θ, r.

4. Dùng công thức đổi biến tổng quát để hoàn tất việc đổi biến.

Bài tập 2.37. Tính

ZZZ

+ y

dxdydz, trong đó V là nửa của khối ellipsoit

1, z > 0,

(

a, b > 0

)

Lời giải. 1. Toạ độ trụ suy rộng.

Đặt











z = bz

′

x = ar cos ϕ

y = ar sin θ.

Ta có











0 6 ϕ 6 2π,

0 6 r 6 1,

0 6 z

′

√

1 −r

, J = a

Vậy

I =

2π

dϕ

√

1−r

′

.ar.a

brdz

′

= 2a

1 −r

2πa

2. Toạ độ cầu suy rộng.

Đặt











x = ar sin θ cos ϕ

y = ar sin θ sin ϕ

z = br cos θ

Ta có











0 6 ϕ 6 2π,

0 6 θ 6

0 6 r 6 1.

, J = a

sin θ.

Vậy

I =

2π

dϕ

dθ

br cos θ.ar sin θ.a

b sin θdr

= 2a

2π

cos θ sin

πdθ

2πa

2. Tích phân bội ba 71

Bài tập 2.38. Tính

ZZZ





dxdydz , ở đó V :

6 1,

(

a, b, c > 0

)

Lời giải. Đặt











x = ar sin θ cos ϕ

y = br sin θ sin ϕ

z = cr cos θ

, ta có

J =

(

x, y, z

)

(

r, θ, ϕ

)

= abcr

sin θ, V

rϕz

′

{

0 6 ϕ 6 2π, 0 6 θ 6 π, 0 6 r 6 1

}

Vậy

I = abc

2π

dϕ

dθ

sin θ =

4π

abc.

Tọa độ cầu vs Tọa độ cầu suy rộng

Phép đổi biến số không những có tác dụng làm đơn giản miền lấy tích phần, mà trong

nhiều tình huống nó còn có tác dụng làm đơn giản hóa biểu thức tính tích phân. Trong

bài tập sau đây, phép đổi biến số trong tọa độ cầu suy rộng sẽ làm cho biểu thức tính tích

phân đơn giản hơn rất nhiều so với phép đổi biến trong tọa độ cầu thông thường.

Bài tập 2.39. Tính

ZZZ

z − x

−y

−z

dxdydz trong đó V : x

+ y

+ z

6 z.

Hình 2.39

Lời giải.

72 Chương 2. Tích phân bội

1. Tọa độ cầu thông thường

Đặt











x = r sin θ cos ϕ

y = r sin θ sin ϕ

z = r cos θ.

Ta có











0 6 ϕ 6 2π,

0 6 θ 6

0 6 r 6 cos θ.

I =

2π

dϕ

dθ

cos θ

r cos θ − r

sin θdr

tích phân này không dễ tính

2. Tọa độ cầu suy rộng

Đặt











x = r sin θ cos ϕ,

y = r sin θ sin ϕ,

z =

+ r cos θ.

Ta có











0 ≤ ϕ ≤ 2π,

0 ≤ θ ≤ π,

0 ≤ r ≤

I =

2π

dϕ

dθ

−r

sin θdr

Tọa độ cầu vs Tọa độ trụ

Nói chung t hì việc sử dụng tọa độ cầu hay tọa độ trụ phụ thuộc vào hai yếu tố chính:

hình dáng của miền V và biểu thức tính tích phân.

• Nếu miền V có dạng hình cầu, chỏm cầu và biểu thức tính tích phân có chứa x

+ z

thì ta thường sử dụng phép đổi biến trong tọa độ cầu (khi đó x

+ y

+ z

= r

• Nếu miền V có dạng hình trụ hoặc có chứa mặt nón, mặt paraboloid và biểu thức

tính tích phân có chứa x

+ y

thì ta thường sử dụng phép đổi biến trong tọa độ trụ

(khi đó x

+ y

= r

Trong nhiều trường hợp t hì chúng ta có thể sử dụng được đồng thời cả tọa độ trụ lẫn tọa

độ cầu. Chẳng hạn như, tính

+ y

)dxdydz, trong đó V là nửa phía trên của hình cầu

+ y

+ z

≤ 1, z ≥ 0.

2. Tích phân bội ba 73

1. Tọa độ cầu.

Đặt











x = r sin θ cos ϕ,

y = r sin θ sin ϕ,

z = r cos θ.

Ta có











0 ≤ ϕ ≤ 2π,

0 ≤ θ ≤

0 ≤ r ≤ 1.

I =

2π

dϕ

dθ

sin

θ.r

sin θdr

4π

2. Tọa độ trụ.

Đặt











x = r cos ϕ,

y = r sin ϕ,

z = z.

Ta có











0 ≤ ϕ ≤ 2π,

0 ≤ r ≤ 1,

0 ≤ z ≤

√

1 −r

I =

2π

dϕ

√

1−r

.rdz

4π

Tuy nhiên, cũng có những tình huống mặc dù miền lấy tích phân là hình cầu nhưng

việc sử dụng tọa độ trụ lại thuận tiện hơn (vì biểu thức tính tích phân có chứa x

+ y

Chẳng hạn như, tính

1 − x

−y

dxdydz, trong đó V là nửa phía trên của hình cầu

+ y

+ z

≤ 1, z ≥ 0 (xem hình vẽ của ví dụ phía trên).

1. Tọa độ cầu.

Đặt











x = r sin θ cos ϕ,

y = r sin θ sin ϕ,

z = r cos θ.

Ta có











0 ≤ ϕ ≤ 2π,

0 ≤ θ ≤

0 ≤ r ≤ 1.

I =

2π

dϕ

dθ

1 −r

sin

θ.r

sin θdr

(tích phân này không dễ tính).

2. Tọa độ trụ.

Đặt











x = r cos ϕ,

y = r sin ϕ,

z = z.

Ta có











0 ≤ ϕ ≤ 2π,

0 ≤ r ≤ 1,

0 ≤ z ≤

√

1 −r

I =

2π

dϕ

√

1−r

1 −r

.rdz

74 Chương 2. Tích phân bội

2.4 Bài tập ôn tập

Bài tập 2.40.

T ính

I =

ZZZ

dxdydz

(1 + x + y + z)

trong đó

là tứ diện giới hạ n bởi các mặt phẳng

x = 0, y = 0, z = 0

và

x + y + z = 1

[Đáp số] I =



ln 2 −



Bài tập 2.41.

T ính

ZZZ

zdxdydz,

trong đó

là nửa trên của ellipsoid

≤ 1, (z ≥ 0).

[Đáp số] I =

πabc

Bài tập 2.42.

T ính các tích phân sau

ZZZ





, trong đó

là ellipsoid

≤ 1

ZZZ

zdxdydz

, trong đó

làm miền giới hạn bởi mặt nón

+ y

)

và mặt

phẳng

z = h

ZZZ

dxdydz

, trong đó

là phần chung của hình cầu

+ y

+ z

≤ R

và hình

cầu

+ y

+ z

≤ 2Rz

ZZZ

(x + y + z)

dxdydz

, trong đó

là phần chung của paraboloid

+ y

≤ 2az

và hình cầu

+ y

+ z

≤ 3a

Bài tập 2.43.

T ính thể tích của vật thể giới hạn phía dưới bởi mặt phẳng

0xy

, mặ t bên là

các mặt phẳng

x = 0, x = a, y = 0, y = b

, phía trên bởi paraboloid elliptic

z =

, (p > 0, q > 0).

Bài tập 2.44.

T ính tích phân

I =

ZZZ

+ y

+ z

dxdydz,

trong đó

là miền giới hạn bởi mặt

+ y

+ z

= z

2. Tích phân bội ba 75

[Đáp số] I =

Bài tập 2.45.

T ính

I =

ZZZ

zdxdydz,

trong đó

là miền giới hạn bởi các mặt

z = x

+ y

và

+ y

+ z

= 6

[Đáp số] I =

11π

Bài tập 2.46.

T ính tích phân

I =

ZZZ

xyz

+ y

dxdydz,

trong đó

là vật thể giới hạn phía trên bởi mặt

+ y

+ z

)

= a

và phía dưới bởi

mặt

z = 0

76 Chương 2. Tích phân bội

§3. CÁC ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN BỘI

3.1 Tính diện tích hình phẳng

Công thức tổng quát: S =

dxdy

Bài tập 2.47. Tính diện tích của miền D giới hạn bởi:











y = 2

−x

y = 4.

y = 2

−x

Hình 2.47

Lời giải. Nhậ n xét: D = D

∪ D

, ở đó

(

−2 6 x 6 0

−x

6 y 6 4

, D

(

0 6 x 6 2

6 y 6 4.

Do đó

S =

dxdy =

dxdy +

dxdy = 2

dxdy = ... = 2



8 −

ln 2



3. Các ứng dụng của tích phân bội 77

Bài tập 2.48. Tính diện tích của miền D giới hạn bởi:

(

= x, y

= 2x

= y, x

= 2y.

y = x

= 2y

x = y

2x = y

Hình 2.48

Lời giải. Ta có S =

dxdy. Thực hiện phép đổi biến











u =

v =

⇒ D

(

1 6 u 6 2

1 6 v 6 2

và

−1

(

u, v

)

(

x, y

)



−



= −3.

Vậy

S =

dudv =

Bài tập 2.49. Tính diện tích miền D giới hạn bởi

(

y = 0, y

= 4ax

x + y = 3a, y 6 0

(

a > 0

)

78 Chương 2. Tích phân bội

−6a

Hình 2.49

Lời giải. Nhìn hình vẽ ta thấy D :











−6a 6 y 6 0

6 x 6 3a − y

nên

S =

dxdy =

−6a

3a−y

dx =

−6a



3a −y −



dy = 18a

Bài tập 2.50. Tính diện tích miền D giới hạn bởi

(

+ y

= 2x, x

+ y

= 4x

x = y, y = 0.

y = x

Hình 2.50

Lời giải. Ta có S =

dxdy. Đặt

(

x = r cos ϕ

y = r sin ϕ

thì D :







0 6 ϕ 6

2 cos ϕ 6 r 6 4 cos ϕ

nên

S =

dϕ

4 cos ϕ

2 cos ϕ

rdr =

12 cos

ϕdϕ =

3π

3. Các ứng dụng của tích phân bội 79

Bài tập 2.51. Tính diện tích miền D giới hạn bởi đường tròn r = 1, r =

√

cos ϕ.

Chú ý:

• r = a là phương trình đường tròn tâm O(0, 0), bán kính a.

• r = 2a cos ϕ là phương trình đường tròn tâm (a, 0), bán kính a.

• r = 2a sin ϕ là phương trình đường tròn tâm (0, a), bán kính a.

Hình 2.51

Lời giải. Giao tại giao điểm của 2 đường tròn:

r = 1 =

√

cos ϕ ⇔ ϕ = ±

Do đó

S = 2

dϕ

√

cos ϕ

rdr = 2.



cos

ϕ −1



dϕ =

√

−

Bài tập 2.52. Tính diện tích miền D giới hạn bởi đường



+ y



= 2a

(

a > 0

)

80 Chương 2. Tích phân bội

r = a

sin 2ϕ

Hình 2.52

Lời giải. Tham số hoá đường cong đã cho, đặt

(

x = r cos ϕ

y = r sin ϕ

, phương trình đường cong

tương đương với r

= a

sin 2ϕ. Khảo sát và vẽ đường cong đã cho trong hệ toạ độ cực (xem

hình vẽ 2.52). Ta có

D :







0 6 ϕ 6

, π 6 ϕ 6

3π

0 6 r 6 a

sin 2ϕ

Do tính đối xứng của hình vẽ nên

S = 2

dϕ

√

sin 2ϕ

rdr =

sin 2ϕdϕ = a

Bài tập 2.53.

T ính diện tích của miền giới hạn bởi đường Lemniscate

+ y

)

= 2a

−y

) (a > 0).

r = a

2 cos 2ϕ

Hình 2.53

3. Các ứng dụng của tích phân bội 81

[Gợi ý] Phương trình của đường Lemniscate trong tọa độ cực là r

= 2a

cos 2ϕ, và do tính

đối xứng của miền nên

dϕ

√

2 cos 2ϕ

rdr =

Bài tập 2.54. Tính diện tích miền D giới hạn bởi đường x

+ y

= axy

(

a > 0

)

(Lá Descartes).

TCX: y = −x −

Hình 2.54

Tham số hoá đường cong đã cho, đặt

(

x = r cos ϕ

y = r sin ϕ

, phương trình đường cong tương đương

với

r =

a sin ϕ cos ϕ

sin

ϕ + cos

Khảo sát và vẽ đường cong đã cho trong hệ toạ độ cực (xem hình vẽ 2.54). Ta có

D :











0 6 ϕ 6

0 6 r 6

a sin ϕ cos ϕ

sin

ϕ + cos

Do đó

S =

dϕ

a sin ϕ cos ϕ

sin

ϕ+cos

rdr =

sin

ϕ cos



sin

ϕ + cos



dϕ

t=tan ϕ

+∞



+ 1



(

+ 1

)

Bài tập 2.55. Tính diện tích miền D giới hạn bởi đường r = a

(

1 + cos ϕ

) (

a > 0

)

(đường

Cardioids hay đường hình tim)

82 Chương 2. Tích phân bội

−a

Hình 2.55

Lời giải. Ta có

D =

{

0 6 ϕ 6 2π, 0 6 r 6 a

(

1 + cos ϕ

)

}

nên

S = 2

dϕ

(

1+cos ϕ

)

rdr = a

(

1 + cos ϕ

)

dϕ = ... =

3πa

3.2 Tính thể tích vật thể

Công thức tổng quát:

V =

ZZZ

dxdydz

Các trường hợp đặc biệt

1. Vật thể hình trụ, mặt xung quanh là mặt trụ có đường sinh song song với trục

Oz, đáy là miền D trong mặt phẳng Oxy, phía trên giới hạn bởi mặt cong z =

(

x, y

)

, f

(

x, y

)

> 0 và liên tục trên D thì V =

(

x, y

)

dxdy. (Xem hình vẽ dưới

đây).

3. Các ứng dụng của tích phân bội 83

z = f (x, y)

2. Vật thể là khối trụ, giới hạn b ởi các đường sinh song song với trục Oz, hai mặt

z = z

(

x, y

)

, z = z

(

x, y

)

. Chiếu các mặt này lên mặt phẳng Oxy ta được miền D,

(

x, y

)

, z

(

x, y

)

là các hàm liên tục, có đạo hàm riêng liên tục trên D. Khi đó:

V =

(

x, y

)

−z

(

x, y

)

dxdy

z = z

(x, y)

z = z

(x, y)

Ω

Bài tập 2.56. Tính thể tích miền giới hạn bởi











3x + y > 1

3x + 2y 6 2

y > 0, 0 6 z 6 1 − x −y.

84 Chương 2. Tích phân bội

Hình 2.56

Lời giải.

V =

(

x, y

)

dxdy =

2−2y

1−y

(

1 − x − y

)

dx =



1 −2y + y



dy =

Bài tập 2.57. Tính thể tích của miền V giới hạn bởi

(

z = 4 − x

−y

2z = 2 + x

+ y

2z = 2 + x

+ y

z = 4 − x

−y

Hình 2.57

3. Các ứng dụng của tích phân bội 85

Lời giải. Giao tuyến của hai mặt cong:

(

+ y

= 2

z = 2,

nên hình chiếu của V lên mặt phẳng

Oxy là D : x

+ y

≤ 2. Hơn nữa trên D thì 4 − x

−y

2+x

nên ta có:

V =



4 − x

−y

−

2 + x

+ y



dxdy.

Đặt

(

x = r cos ϕ

y = r sin ϕ

thì

(

0 6 ϕ 6 2π

0 6 r 6

√

Do đó

V =

2π

dϕ

√



3 −



rdr = ... = 3π.

Bài tập 2.58. Tính thể tích của V :

(

0 6 z 6 1 − x

−y

y > x, y 6

√

3x.

Hình 2.58

Lời giải. Do x ≤ y ≤

√

3x nên x, y ≥ 0. Ta có

V =



1 − x

−y



dxdy.

Đặt

(

x = r cos ϕ

y = r sin ϕ

thì







6 ϕ 6

0 6 r 6 1.

86 Chương 2. Tích phân bội

Vậy

V =

dϕ



1 −r



rdr = . . . =

Bài tập 2.59. Tính thể tích V :

(

+ y

+ z

6 4a

+ y

−2ay 6 0.

2a2a

Hình 2.59

Lời giải. Do tính chất đối xứng của miền V nên

V = 4

− x

−y

dxdy,

trong đó D là nửa hình tròn D :

(

+ y

−2ay 6 0

x > 0.

Đặt

(

x = r cos ϕ

y = r sin ϕ

thì







0 6 ϕ 6

0 6 r 6 2a sin ϕ.

3. Các ứng dụng của tích phân bội 87

Vậy

V = 4

dϕ

2a sin ϕ

−r

rdr

= 4.

−1



−r





r=2a sin ϕ

r=0

dϕ



−8a

cos



dϕ

32a



−



Bài tập 2.60. Tính thể tích của miền V giới hạn bởi











z = 0

z =

Hình 2.60

Lời giải. Ta có hình chiếu của V lên mặt phẳng Oxy là miền D :

≤

. Do tính chất

đối xứng của miền V nên:

V = 2





dxdy,

88 Chương 2. Tích phân bội

trong đó D

là nửa ellipse D

≤

, y > 0

Đặt

(

x = ar cos ϕ

y = br sin ϕ

thì

= abr,







0 6 ϕ 6

0 6 r 6 2 cos ϕ.

Vậy

V = 2

dϕ

2 cos ϕ

rdr = ... =

3π

Bài tập 2.61. Tính thể tích của miền V :







az = x

+ y

z =

+ y

−a

Hình 2.61

Lời giải. Giao tuyến của hai đường cong:

z =

+ y

⇔

(

+ y

= a

z = a

Vậy hình chiếu của V lên mặt phẳ ng Oxy là

D : x

+ y

≤ a

Nhận xét rằng, ở trong miền D thì mặt nón ở phía trên mặt paraboloit nên:

V =



+ y

−

+ y



dxdy.

3. Các ứng dụng của tích phân bội 89

Đặt

(

x = r cos ϕ

y = r sin ϕ

thì

(

0 6 ϕ 6 2π

0 6 r 6 a.

Vậy

V =

2π

dϕ



r −



rdr = ... =

πa

3.3 Tính diện tích mặt cong

Mặt z = f

(

x, y

)

giới hạn bởi một đường cong kín, hình chiếu của mặt cong lên mặt

phẳng Oxy là D. Giả thiết f

(

x, y

)

là hàm số liên tục, có các đạo hàm riêng liên tục trên D.

Khi đó:

σ =

1 + p

+ q

dxdy, p = f

′

, q = f

′

z = f (x, y)

3.4 Bài tập ôn tập

Bài tập 2.62.

T ính thể tích của vật thể giới hạn bởi hình trụ elliptic

= 1

, mặt

phẳng

z = 0

và paraboloid elliptic

(c > 0)

Bài tập 2.63.

T ính thể tích của miền giới hạn bởi các mặt hyperbolic

xy = 1, xy = 9, xz =

4, xz = 36, yz = 25, yz = 49

[Gợi ý] Đặt u = xy, v = xz, w = yz. Đáp số V = 64.

90 Chương 2. Tích phân bội

CHƯƠNG 3

TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ.

§1. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH PHỤ THUỘC THAM SỐ.

1.1 Giới thiệu

Xét tích phân xác định phụ thuộc tham số: I

(

)

(

x, y

)

dx, trong đó f

(

x, y

)

khả

tích theo x trên

[

a, b

]

với mỗi y ∈

[

c, d

]

. Trong bài học này chúng ta sẽ nghiên cứu một số

tính chất của hàm số I

(

)

như tính liên tục, khả vi, khả tích.

1.2 Các tính chất của tích phân xác định phụ thuộc

tham số.

1) Tính liên tục.

Định lý 3.9.

Nếu

(

x, y

)

là hàm số liên tục trên

[

a, b

]

[

c, d

]

thì

(

)

là hàm số liên

tục trên

[

c, d

]

. Tức là:

lim

y→y

(

)

= I

(

)

⇔ lim

y→y

(

x, y

)

dx =

(

x, y

)

(có thể chuyển dấu lấy giới hạn vào bên trong biểu thức tính tích phân)

Ví dụ 1.1.

Khảo sát sự liên tục của tích phân

(

)

y f

(

)

, với

(

)

là hàm số

dương, liên tục trên

[

0, 1

]

92 Chương 3. Tích phân phụ thuộc tham số.

Lời giải. Nhậ n xét rằng hàm số g

(

x, y

)

y f

(

)

liên tục trên mỗi hình chữ nhật

[

0, 1

]

[

c, d

]

và

[

0, 1

]

[

−d, −c

]

với 0 < c < d bất kì, nên theo Định lý 3.9, I

(

)

liên

tục trên mỗi

[

c, d

]

[

−d, −c

]

, hay nói cách khác I

(

)

liên tục với mọi y 6= 0.

Bây giờ ta xét tính liên tục của hàm số I

(

)

tại điểm y = 0 . Do f

(

)

liên tục trên

[

0, 1

]

nên tồn tại m = min

[0,1]

f (x) > 0. Khi đó f

(

)

> m > 0 ∀x ∈

[

0, 1

]

và với ε > 0 thì:

(

)

ε f

(

)

+ ε

dx >

ε.m

+ ε

dx = m.arctan

(

−ε

)

−ε f

(

)

+ ε

dx 6

−ε.m

+ ε

dx = −m.arctan

Suy ra

(

)

− I

(

−ε

)

> 2m. arctan

→ 2m.

khi ε → 0 , tức là

(

)

− I

(

−ε

)

không

tiến tới 0 khi ε → 0 , I

(

)

gián đoạn tại y = 0 .

Ví dụ 1.2.

Xét tính liên tục của hàm số

(

)

−x

(

)

Lời giải. Tại y = 0 , I

(

)

−

dx = −∞, nên hàm số I

(

)

không xác định tại

y = 0.

Tại y 6= 0, cũng có thể sử dụng Định lý 3.9 để khảo sát tính liên tục của I(y). Khi đó

phải xét hàm số f (x, y) =

−x

)

trong khoảng [0, 1] × [c, d] với d > c > 0 bất kì (để

tránh điểm y = 0) giống như trong Ví dụ 1.1. Tuy nhiên, trong trường hợp này có thể

tính được I(y) một cách trực tiếp như sau:

(

)



+ y



−2x.x

(

+ y

)

dx =



+ y



1 + y

Do đó I

(

)

xác định và liên tục với mọi y 6= 0.

2) Tính khả vi.

Định lý 3.10.

Giả sử với mỗi

y ∈

[

c, d

]

(

x, y

)

là hàm số liên tục theo

trên

[

a, b

]

và

′

(

x, y

)

là hàm số liên tục trên

[

a, b

]

[

c, d

]

thì

(

)

là hàm số khả vi trên

(

c, d

)

và

′

(

)

′

(

x, y

)

, hay nói cách khác chúng ta có thể đưa dấu đạo hàm vào trong

tích phân.

1. Tích phân xác định phụ thuộc tham số. 93

Ví dụ 1.3.

T ính các tích phân sau:

(

)

xdx

, n là số nguyên dương.

Lời giải. ∗ Với mỗi α > 0, hàm số f

(

x, α

)

= x

x, n = 0, 1, 2, ... liên tục theo

x trên

[

0, 1

]

∗ Vì lim

x→0

n+1

x = 0 nên

∂ f

(

x,α

)

∂α

= x

n+1

x liên tục trên

[

0, 1

]

(

0, +∞

)

Nghĩa là hàm số f

(

x, α

)

= x

x thoả mãn các điều kiện của Định lý 3 .10

nên:

′

n−1

(

)

dα

n−1

xdx =

dα



n−1



dx =

xdx =I

(

)

Tương tự, I

′

n−2

= I

n−1

, ..., I

′

= I

, I

′

= I

, suy ra I

(

)

[

(

)]

(

)

. Mà

(

)

dx =

α + 1

⇒ I

(

)



α + 1



(

)

(

−1

)

(

α + 1

)

n+1



1 +

sin



, với

y > 1

Lời giải. Xét hàm số f

(

x, y

)

= ln



1 + y sin



thoả mãn các điều kiện sau:

• f

(

x, y

)

= ln



1 + y sin



xác định trên





(

1, +∞

)

và với mỗi y > −1

cho trước, f

(

x, y

)

liên tục theo x trên





• Tồn tại f

′

(

x, y

)

sin

1+y sin

xác định, liên tục trên





(

1, +∞

)

Theo Định lý 3.10, I

′

(

)

sin

1+y sin

dx =

sin

Đặt t = tanx thì dx =

1+t

, 0 6 t 6 +∞ .

′

(

)

+∞

(

+ 1

) (

1 + t

+ yt

)

+∞



+ 1

−

1 +

(

y + 1

)



arctan t



+∞

−

y + 1

arctan



y + 1





+∞

1 −

1 + y

1 +

1 + y

94 Chương 3. Tích phân phụ thuộc tham số.

Suy ra

(

)

′

(

)

dy =

1 + y

1 +

1 + y

dy = π ln



1 +

1 + y



+ C.

Do I

(

)

= 0 nên C = −π ln 2 và I

(

)

= π ln



1 +

1 + y



−π ln 2.

3) Tính khả tích.

Định lý 3.11.

Nếu

(

x, y

)

là h àm số liên tục trên

[

a, b

]

[

c, d

]

thì

(

)

là hàm số khả

tích trên

[

c, d

]

, và:

(

)

dy :=





(

x, y

)





dy =





(

x, y

)





Ví dụ 1.4.

T ính

−x

ln x

dx,

(

0 < a < b

)

Lời giải. Hàm lấy tích phân f (x) =

−x

ln x

mặc dù không xá c định tại x = 0 nhưng

lim

x→0

−x

ln x

= 0 nên có thể xếp tích phân này vào loại tích phân xác định.

Ta có:

− x

ln x

= F

(

x, b

)

− F

(

x, a

)

′

(

x, y

)

dy =

dy;



(

x, y

)

ln x



nên:

− x

ln x

dx =









dx =









dy =

y + 1

dy = ln

b + 1

a + 1

Bạn đọc tự kiểm tra điều kiện về đổi thứ tự lấy tích phân.

1.3 Các tính chất của tích phân phụ thuộc tham số với

cận bi ến đổi.

Xét tích phân phụ thuộc tham số với cận biến đổi

(

)

(

)

(

)

(

x, y

)

dx, với y ∈

[

c, d

]

, a 6 a

(

)

, b

(

)

6 b ∀y ∈

[

c, d

]

1. Tích phân xác định phụ thuộc tham số. 95

1) Tính liên tục

Định lý 3.12.

Nếu hàm số

(

x, y

)

liên tục trên

[

a, b

]

[

c, d

]

, các hàm số

(

)

, b

(

)

liên tục trên

[

c, d

]

và thoả mãn điều kiện

a 6 a

(

)

, b

(

)

6 b ∀y ∈

[

c, d

]

thì

(

)

là

một hàm số liên tục đối với

trên

[

c, d

]

2) Tính khả vi

Định lý 3.13.

Nếu hàm số

(

x, y

)

liên tục trên

[

a, b

]

[

c, d

]

′

(

x, y

)

liên tục trên

[

a, b

]

[

c, d

]

, và

(

)

, b

(

)

khả vi trên

[

c, d

]

và thoả mãn điều kiện

a 6 a

(

)

, b

(

)

b ∀y ∈

[

c, d

]

thì

(

)

là một hàm số khả vi đối với y trên

[

c, d

]

, và:

′

(

)

= f

(

)

, y

)

′

(

)

− f

(

)

, y

)

′

(

)

(

)

(

)

′

(

x, y

)

dx.

Ví dụ 1.5.

T ìm

lim

y→0

1+y

1+x

Lời giải. Dễ dàng kiểm tra được hàm số I

(

)

1+y

1+x

liên tục tại y = 0 dựa vào định

lý 3.12, nên lim

y→0

1+y

1+x

= I

(

)

1+x

1.4 Bài tập

Dạng 1. T ính tích phân suy rộng phụ thuộc tham số bằng cách đổi thứ tự lấy

tích phân

Giả sử cần tính I

(

)

(

x, y

)

dx.

B1. Biểu diễn f

(

x, y

)

(

x, y

)

dy.

B2. Sử dụng tính chất đổi thứ tự lấy tích phân:

(

)

(

x, y

)

dx =





(

x, y

)





dx =





(

x, y

)





dy.

96 Chương 3. Tích phân phụ thuộc tham số.

Dạng 2. Tính tích phân bằng cách đạo hàm qua dấu tích phân.

Giả sử cần tính I

(

)

(

x, y

)

dx.

B1. Tính I

′

(

)

bằng cách I

′

(

)

′

(

x, y

)

dx.

B2. Dùng công thức Newton-Leibniz để khôi phục lại I

(

)

bằng cách I

(

)

′

(

)

dy +

B3. Cho một giá trị đặc biệt của y để xác định C.

Chú ý: Phải kiểm tra điều kiện đổi thứ tự lấy tích phân trong Định lý 3.11 hoặc chuyển

dấu đạo hàm qua tích phân trong Định lý 3.10.

Bài tập 3.1. Tính

−x

ln x

dx,

(

0 < a < b

)

Lời giải. Cách 1: Đổi TT lấy TP

− x

ln x

= F

(

x, b

)

− F

(

x, a

)

′

(

x, y

)



(

x, y

)

ln x



nên:

− x

ln x

dx =

















y + 1

= ln

b + 1

a + 1

Cách 2: Đạo hàm qua dấu TP

Đặt I(b) =

−x

ln x

dx.

Ta có

′

(b) =

dx =

b + 1

nên

I(b) =

′

(b)db = ln(b + 1) + C.

Thay giá trị đặc biệt b = a vào biểu

thức tính tích phân I(b) ta được

I(a) = 0 ⇔ C = −ln(a + 1).

Do đó I = ln

b+1

a+1

1. Tích phân xác định phụ thuộc tham số. 97

Bài tập 3.2. Tính tích phân sau:

a) I

(

)

arctan

dx. b) J(y) =



+ y



dx.

[Gợi ý]

a) B1. Kiểm tra I

(

)

thỏa mãn các điều kiện của Định lý về tính khả vi.

B2. Nhận xét rằng I

′

(y) =

1+y

B3. I(y) = arctan

y ln

1+y

+ C.

B4. Thay một giá trị đặc biệt y = y

vào để tính C. Chẳng hạn, I(1) =

arctan xdx,

và tính được C = 0.

b) B1. Kiểm tra J(y) thỏa mãn các điều kiện của Định lý về tính khả vi.

B2. Tính I

′

(y) = 2 arctan

B3. I(y) = ln(1 + y

) −2 + 2y arctan

B4. Thay một giá trị đặc b iệt y = y

vào để tính C. Chẳng hạn, I(0) =

ln x

dx, và

tính được C = 0.

Bài tập 3.3. Cho hàm số f (x) =







−x

)

, 0 < x, y ≤ 1,

0, x = y = 0.

Chứng minh rằng





f (x, y)dx





dy 6=





f (x, y)dy





dx = −

nghĩa là hàm số I(y) =

f (x, y)dx khả tích trên đoạn [0, 1] nhưng không thể đổi thứ tự

lấy tích phân được trong trường hợp này. Hãy giải thích vì sao.

Bài tập 3.4. Chứng minh hàm Bessel

(x) =

cos(nϕ − x sin ϕ)dϕ

thỏa mãn phương trình Bessel

′′

(x) + xI

(x) + (x

−n

= 0, n = 0, 1, 2, . . .

§2. TÍCH PHÂN SUY RỘNG PHỤ THUỘC THAM SỐ.

Xét tích phân suy rộng phụ thuộc t ham số I

(

)

+∞

(

x, y

)

dx, y ∈

[

c, d

]

. Các kết quả

dưới đây tuy phát biểu đối với tích phân suy rộng loại II (có cận bằng vô cùng) nhưng đều

có thể áp dụng một cách thích hợp cho trường hợp tích phân suy rộng loại I (có hàm dưới

dấu tích phân không bị chặn).

2.1 Các tính chất của tích phân suy rộng phụ thuộc

tham số.

Giả thiết

• f (x, y) là hàm số xác định trên [a, ∞) × [c, d],

• với mỗi y ∈ [c, d] cố định, f (x, y) khả tích theo x trên [a, b], ∀b > a.

Định nghĩa 3.8.

Ta nói TPSR phụ thuộc tham số là

•

hội tụ tại

∈ [c, d]

nếu

∞

f (x, y

)dx

hội tụ, nghĩa là với mọi

ǫ > 0

, tồn tại

b(ǫ, y

) >

(phụ thuộc vào

và

) sao cho



I(y

) −

f (x, y

)dx



∞

f (x, y

)dx



< ǫ

với mọi

b > b(ǫ, y

•

hội tụ trên

[c, d]

nếu

(

)

hội tụ tại mọi

y ∈ [c, d]

•

hội tụ đều trên

[c, d]

nếu với mọi

ǫ > 0

, tồn tại

> a

(chỉ phụ thuộc vào

mà không

phụ thuộc vào

) sao cho



I(y) −

f (x, y)dx



∞

f (x, y)dx



< ǫ

với mọi

b > b

và với mọi

y ∈ [c, d].

Ví dụ 2.6. I(y) =

∞

sin(yx)dx

hội tụ khi

y = 0

và phân kỳ khi

y 6= 0

Ví dụ 2.7.

a) Tính

I(y) =

+∞

−yx

dx (y > 0).

2. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số. 99

b) Chứng minh rằn g

I(y)

hội tụ đều tới

trên

, +∞)

với mọi

> 0

c) Giải thích tại sao

I(y)

không hội tụ đều trên

(0, +∞)

[Gợi ý]

a) I(y) = −e

−yx



∞

= 1 với mọi y > 0.

b) Theo định nghĩa, muốn chỉ ra I(y) hội tụ đều tới 1 trên [y

, +∞) ta phải chỉ ra với

mỗi ǫ > 0, tồn tại số b

chỉ phụ thuộc vào ǫ, không phụ thuộc vào y sao cho



I(y) −

−yx



< ǫ, ∀b > b

Thật vậy,



I(y) −

−yx



= |1 − (1 − e

−by

)| = e

−by

≤ e

−by

< ǫ nếu b >

Do đó, có thể chọn b

c) Ta có



I(y) −

−yx



= |1 − (1 − e

−by

)| = e

−by

Muốn



I(y) −

−yx



< ǫ thì e

−by

< ǫ ⇔ b >

. Tuy nhiên,

→ +∞ khi

y → 0

. Do đó, không thể chọn được hằng số b

chỉ phụ thuộc vào ǫ th ỏa mãn yêu

cầu của hội tụ đều.

Ví dụ 2.8.

Chứng minh rằng

+∞

−ax

cos yx =

với

a > 0

và với mọi

[Gợi ý]

−ax

cos yxdx = −

+ y

−ax

cos yx +

+ y

−ax

sin yx,

nên

+∞

−ax

cos yxdx =

1) Tiêu chuẩn hội tụ đều Weierstrass

100 Chương 3. Tích phân phụ thuộc tham số.

Định lý 3.14.

Nếu

(

x, y

)

6 g

(

)

∀

(

x, y

)

∈

[

a, +∞

]

[

c, d

]

và nếu tích phân suy

rộng

+∞

(

)

hội tụ, thì tích phân suy rộng

(

)

+∞

(

x, y

)

hội tụ đều đối với

y ∈

[

c, d

]

Ví dụ 2.9.

Chứng minh rằng

I(y) =

∞

cos yx

là hội tụ đều t rên

I(y) =

+∞

−yx

dx (y > 0)

hội tụ đều trên

, +∞)

với mọi

> 0

I(y) =

+∞

−yx

cos αx

hội tụ đều trên kh oảng

[a, b]

với mọi

0 < a < b

và

α ∈ R

2) Tính liên tục

Định lý 3.15.

Nếu hàm số

(

x, y

)

liên tục trên

[

a, +∞

]

[

c, d

]

và nếu tích phân suy

rộng

(

)

+∞

(

x, y

)

hội tụ đều đối với

y ∈

[

c, d

]

thì

(

)

là một hàm số liên tục

trên

[

c, d

]

, nghĩa là

lim

y→y

I(y) = lim

y→y

+∞

(

x, y

)

dx =

+∞

lim

y→y

f (x, y)dx =

+∞

f (x, y

)dx = I(y

Ví dụ 2.10.

T ính

lim

y→0

∞

cos yx

Ví dụ 2.11.

Chứng minh rằng

I(y) =

+∞

−yx

không liên tục phải tại

y = 0

nghĩa là

lim

y→0





+∞

−yx





+∞



lim

y→0

−yx



dx.

Hãy giải thích tại sao không chuyển được dấu giới hạn vào trong biểu thức tính tích

phân trong trường hợp này.

3) Tính khả vi

100

2. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số. 101

Định lý 3.16.

Giả sử hàm số

(

x, y

)

xác định trên

[

a, +∞

]

[

c, d

]

sao cho với mỗi

y ∈

[

c, d

]

, hàm số

(

x, y

)

liên tục đối với

trên

[

a, +∞

]

và

′

(

x, y

)

liên tục trên

[

a, +∞

]

[

c, d

]

. Nếu tích phân suy rộng

(

)

+∞

(

x, y

)

hội tụ và

+∞

′

(

x, y

)

hội tụ đều

đối với

y ∈

[

c, d

]

thì

(

)

là hàm số khả vi trên

[

c, d

]

và

′

(

)

+∞

′

(

x, y

)

Ví dụ 2.12.

Chứng minh rằn g tích phân phụ thuộc tham số

(

)

+∞

−∞

arctan

(

x+y

)

1+x

là một hàm số liên tục khả vi đối với biến

. Tính

′

(

)

rồi suy ra biểu thức của

(

)

Lời giải. Ta có:

1) f

(

x, y

)

arctan

(

x+y

)

1+x

liên tục trên

[

−∞, +∞

]

[

−∞, +∞

]



arctan

(

x+y

)

1+x



1+x

, mà

+∞

−∞

1+x

= π hội tụ, nên I

(

)

+∞

−∞

arctan

(

x+y

)

1+x

dx hội t ụ

đều trên

[

−∞, +∞

]

Theo Định lý 3.15, I

(

)

liên tục trên

[

−∞, +∞

]

Hơn nữa



′

(

x, y

)



(

1+x

)

[

(

x+y

)

]

1+x

, ∀y; do đó

+∞

−∞

′

(

x, y

)

dx hội tụ đều trên

[

−∞, +∞

]

. Theo Định lý 3 .16, I

(

)

khả vi trên

[

−∞, +∞

]

, và: I

′

(

)

+∞

−∞

(

1+x

)

[

(

x+y

)

]

dx.

Đặt

(

1+x

)

[

(

x+y

)

]

Ax+B

1+x

Cx+D

(

x+y

)

, dùng phương pháp đồng nhất hệ số ta thu

được:A =

−2

(

)

, B =

(

)

, C =

, D =

. Do đó:

′

(

)

+ 4

+∞

−∞

−2x + y

1 + x

2x + 3y

1 +

(

x + y

)

+ 4

−ln



1 + x



+ y arctan x + ln



1 +

(

x + y

)



+ y arctan

(

x + y

)

+∞

x=−∞

4π

+ 4

Suy ra I

(

)

′

(

)

dy = 2 arctan

+ C, mặt khác I

(

)

+∞

−∞

arctan x

1+x

dx = 0 nên

C = 0 và I

(

)

= 2 arctan

101

102 Chương 3. Tích phân phụ thuộc tham số.

Ví dụ 2.13.

T ính

+∞

(

)

n+1

Lời giải. Đặt I

(

)

+∞

(

)

n+1

, f

(

x, y

)

(

)

n+1

. Khi đó:

[

n−1

(

)]

′





+∞

(

+ y

)





′

= −n

+∞

(

+ y

)

n+1

= −n.I

(

)

⇒ I

= −

(

n−1

)

′

Tương tự, I

n−1

= −

n−1

(

n−2

)

′

, I

n−2

= −

n−2

(

n−3

)

′

, ..., I

= −

(

)

′

Do đó, I

(

)

(

−1

)

[

(

)]

(

)

. Mà I

(

)

+∞

dx =

√

arctan

√



+∞

√

nên

(

)

(

2n−1

)

(

)

√

2n+1

Vấn đề còn lại là việc kiểm tra điều kiện chuyển đạo hàm qua dấu tích phân.

1) Các hàm số f

(

x, y

)

, f

′

(

x, y

)

−1

(

)

, ..., f

(

)

(

x, y

)

(

−1

)

(

)

n+1

liên tục

trong

[

0, +∞

)

[

ε, +∞

)

với mỗi ε > 0 cho trước.

+ε



−1

(

)



(

+ε

)

, ...,



(

−1

)

(

)

n+1



(

+ε

)

n+1

Mà các tích phân

+∞

+ε

dx, ...,

+∞

(

+ε

)

n+1

dx đều hội tụ, do đó

+∞

(

x, y

)

dx,

+∞

′

(

x, y

)

dx, ...,

+∞

(

)

(

x, y

)

dx hội tụ đều trên

[

ε, +∞

)

với mỗi

ε > 0.

4) Tính khả tích

Định lý 3.17.

Nếu hàm số

(

x, y

)

liên tục trên

[

a, +∞

]

[

c, d

]

và nếu tích phân suy

rộng

(

)

hội tụ đều đối với

y ∈

[

c, d

]

thì

(

)

là hàm số khả tích trên

[

c, d

]

và ta có

thể đổi thứ tự lấy tích phân theo công thức:

(

)

dy :=





+∞

(

x, y

)





dy =

+∞





(

x, y

)





dx.

Ví dụ 2.14.

T ính

+∞

−αx

−e

−βx

dx,

(

α, β > 0

)

102

2. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số. 103

Lời giải. Ta có:

−αx

−e

−βx



(

x,y

)

−yx



= F

(

x, α

)

− F

(

x, β

)

′

(

x, y

)

−yx

nên:

+∞

−αx

−e

−βx

dx =

+∞





−yx





dx =





+∞

−yx





dy =

= ln

Bạn đọc tự kiểm tra điều kiện về đổi thứ tự lấy tích phân.

Ví dụ 2.15 (Tích phân Gauss).

G =

∞

−x

dx =

√

Đặt x = ut ta có

G = u

+∞

−u

dt.

Ta có

= G

+∞

−u

+∞





−u

+∞

−u





+∞





+∞

−(1+t





+∞

1 + t

Suy ra

G =

∞

−x

dx =

√

Bạn đọc tự kiểm tra điều kiện về đổi thứ tự lấy tích phân.

103

104 Chương 3. Tích phân phụ thuộc tham số.

Ví dụ 2.16.

Chứng minh công thức tích phân Gauss

∞

−x

dx =

√

bằng tích phân kép.

Lời giải. Đặt I

−x

dx =

−y

dy ta có





−x









−y





−(x

)

dxdy.

√

Hình 2.16

Vì e

−(x

)

dxdy ≥ 0 nên

OAE

−(x

)

dxdy ≤ I

OACE

−(x

)

dxdy ≤

OBD

−(x

)

dxdy.

Sử dụng tọa độ cực ta có

dϕ

−r

rdr ≤ I

≤

dϕ

√

−r

rdr

hay là

(1 −e

−M

) ≤ I

≤

(1 −e

−2M

)

Cho M → +∞ ta được

≤ I

≤

⇔ I =

√

104

2. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số. 105

Ví dụ 2.17 (Tích phân Dirichlet).

D =

∞

sin x

dx =

Nhận xét

∞

−xt

dt,

ta có

D =

∞

sin x





∞

−xt





∞





∞

−xt

sin xdx





∞

1 + t

Bạn đọc tự kiểm tra điều kiện về đổi thứ tự lấy tích phân.

Chú ý: Bạn đọc có thể so sánh với một kết quả trong Giải tích III, đó là

∞

∑

n=1

sin n

π−1

Ví dụ 2.18.

Áp dụng công thức tích phân Dirichlet, chứng minh rằng

+∞

sin

dx =

+∞

1−cos x

dx =

+∞

sin

dx =

[Gợi ý]

a) Áp dụng công thức hạ bậc sin

x =

sin 3x +

sin x.

b) Áp dụng công thức tích phân từng phần,

1 −cos x

dx =



−



(1 −cos x)



sin x

dx =

1 −cos ǫ

−

1 −cos M

sin x

dx.

Cho ǫ → 0

và M → +∞ ta được

lim

ǫ→0

1 −cos ǫ

= 0, lim

M→+∞

1 −cos M

= 0

Do đó,

+∞

1 −cos x

dx =

+∞

sin x

105

106 Chương 3. Tích phân phụ thuộc tham số.

c) Hơn nữa,

+∞

1 −cos x

dx = 2

+∞

sin

+∞

sin

du.

Ví dụ 2.19 (Tích phân Fresnel).

I =

∞

sin(x

)dx =

, J =

∞

cos(x

)dx =

Đổi biến x

= t ta có

I =

∞

sin t

√

dt, J =

∞

cos t

√

dt.

Từ công thức tích phâ n Gauss

∞

−u

du =

√

suy ra

√

∞

−tu

du.

Ta có

∞

sin t

√

dt =

√

∞

sin t

∞

−tu

√

∞

−tu

sin tdt

√

∞

1 + u

√

(3.1)

Kết luận

I = J =

Bạn đọc tự kiểm tra điều kiện về đổi thứ tự lấy tích phân.

106

2. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số. 107

2.2 Bài tập

Dạng 1. T ính tích phân suy rộng phụ thuộc tham số bằng cách đổi thứ tự lấy

tích phân

Giả sử cần tính I

(

)

+∞

(

x, y

)

dx.

B1. Biểu diễn f

(

x, y

)

(

x, y

)

dy.

B2. Sử dụng tính chất đổi thứ tự lấy tích phân:

(

)

+∞

(

x, y

)

dx =

+∞





(

x, y

)





dx =





+∞

(

x, y

)





dy.

Dạng 2. Tính tích phân suy rộng phụ thuộc tham số bằng cách đạo hàm qua dấu

tích phân.

Giả sử cần tính I

(

)

+∞

(

x, y

)

dx.

B1. Tính I

′

(

)

bằng cách I

′

(

)

+∞

′

(

x, y

)

dx.

B2. Dùng công thức Newton-Leibniz để khôi phục I

(

)

bằng cách I

(

)

′

(

)

dy + C.

B3. Cho một giá trị đặc biệt của y để xác định C.

Chú ý: Phải kiểm tra các điều kiện đổi thứ tự lấy tích phân trong Định lý 3.17 hoặc

chuyển dấu đạo hàm qua tích phân trong Định lý 3.16.

107

108 Chương 3. Tích phân phụ thuộc tham số.

Bài tập 3.5. Tính

+∞

−αx

−e

−βx

dx,

(

α, β > 0

)

Lời giải. Cách 1: Đổi TT lấy TP

Ta có:

−αx

−e

−βx



(

x, y

)

−yx



= F

(

x, α

)

− F

(

x, β

)

′

(

x, y

)

−yx

dy.

nên

+∞

−αx

−e

−βx

+∞





−yx









+∞

−yx





= ln

Cách 2: Đạo hàm qua dấu TP

Đặt I

(

)

+∞

−αx

−e

−βx

dx.

′

(

)

+∞

′

(

x, α

)

+∞

−e

−αx

= −

Do đó

(

)

′

(

)

dα

= −ln α + C.

Mặt khác, I

(

)

= 0 nên C = ln β.

Kết luận

I = ln

Kiểm tra điều kiện chuyển đạo hàm qua dấu tích phân.

Với f

(

x, α

)

−αx

−e

−βx

ta có:

1) f

(

x, α

)

−αx

−e

−βx

liên tục theo x trên

[

0, +∞

)

với mỗi α, β > 0.

2) f

′

(

x, α

)

= −e

−αx

liên tục trên

[

0, +∞

)

(

0, +∞

)

+∞

′

(

x, α

)

dx =

+∞

−e

−αx

dx = −

hội tụ đều đối với α trên mỗi khoảng

[

ε, +∞

)

theo

tiêu chuẩn Weierstrass, thật vậy,

−e

−αx

6 e

−εx

, mà

+∞

−εx

dx =

hội tụ.

Bạn đọc tự kiểm tra điều kiện về đổi thứ tự lấy tích phân.

108

2. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số. 109

Bài tập 3.6. Tính

+∞

−αx

−e

−βx

dx,

(

α, β > 0

)

Lời giải. Cách 1: Đổi TT lấy TP.

−αx

−e

−βx

(

x, y

)

−yx

= F

(

x, α

)

− F

(

x, β

)

′

(x, y)dy =

−yx

dy.

nên:

+∞

−αx

−e

−βx

+∞





−x









+∞

−x





√

dy =

√



β −

√



Cách 2: Đạo hàm qua dấu TP.

Đặt I

(

)

+∞

−αx

−e

−βx

dx.

Ta có

′

(

)

+∞

′

(

x, α

)

+∞

−e

−αx

= −

√

⇒ I

(

)

′

(

)

dα

= −

√

π.

√

α + C.

Mặt khác, I

(

)

= 0 nên C =

√

π.

β.

Kết luận

(

)

√



β −

√



Kiểm tra điều kiện chuyển đạo hàm qua dấu tích phân.

Với f

(

x, α

)

−αx

−e

−βx

ta có:

1) f

(

x, α

)

−αx

−e

−βx

liên tục theo x trên

[

0, +∞

)

với mỗi α, β > 0.

2) f

′

(

x, α

)

= −e

−αx

liên tục trên

[

0, +∞

)

(

0, +∞

)

+∞

′

(

x, α

)

dx =

+∞

−e

−αx

√

α=y

−

+∞

−y

√

= −

√

hội tụ đều theo α trên

[

ε, +∞

)

theo tiêu chuẩn Weierstrass, thật vậy,



−e

−αx



6 e

−εx

mà

+∞

−εx

dx hội tụ.

Trong chứng minh trên ta đã sử dụng công thức

+∞

−x

dx =

√

Bạn đọc tự kiểm tra điều kiện về đổi thứ tự lấy tích phân.

109

110 Chương 3. Tích phân phụ thuộc tham số.

Bài tập 3.7. Tính

+∞

−ax

sin bx−sin cx

(

a > 0

)

Lời giải. Cách 1: Đổi TT lấy TP

Ta có:

−ax

sin bx −sin cx

=F(x, b) − F(x, c)



F(x, y) =

−ax

sin yx



′

(x, y)dy =

−ax

cos yxdx.

nên

I =

+∞





−ax

cos yxdy









+∞

−ax

cos yxdx





+ y

= arctan

−arctan

Cách 2: Đạo hàm qua dấu TP

Đặt I

(

)

+∞

−ax

sin bx−sin cx

dx. Ta có

′

(

x, b

)

+∞

−ax

cos bx =

+ b

nên

I =

+ b

db = arctan

+ C.

Mặt khác I

(

)

= 0 nên C = −arctan

Kết luận

I = arctan

−arctan

Kiểm tra điều kiện chuyển đạo hàm qua dấu tích phân.

Với f

(

x, b

)

= e

−ax

sin bx−sin cx

ta có

1. f

(

x, b

)

= e

−ax

sin bx−sin cx

liên tục theo x trên

[

0, +∞

)

với mỗi a, b, c > 0.

2. f

′

(

x, b

)

= e

−ax

cos bx liên tục trên

[

0, +∞

)

(

0, +∞

)

+∞

′

(

x, b

)

dx =

+∞

−ax

cos bx =



−

+ b

−ax

cos bx +

+ b

−ax

sin bx



+∞

+ b

hội tụ đều theo b trên mỗi

(

0, +∞

)

theo tiêu chuẩn Weierstrass, thật vậy,

−ax

cos bx

6 e

−ax

mà

+∞

−ax

dx hội tụ.

110

2. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số. 111

Trong chứng minh trên ta đã sử dụng công thức

−ax

cos yxdx = −

+ y

−ax

cos yx +

+ y

−ax

sin yx,

nên

+∞

−ax

cos yxdx =

Bạn đọc tự kiểm tra điều kiện về đổi thứ tự lấy tích phân.

Bài tập 3.8. Một cách tương tự như Bài tập 3.7, tính

+∞

−ax

cos bx −cos cx

(

a > 0

)

[Đáp số] I =

Hệ quả 3.1.

+∞

cos bx −cos cx

= ln

Bài tập 3.9.

T ính

+∞

−x

cos

(

)

dx.

Lời giải. Đặt I

(

)

+∞

−x

cos

(

)

dx, f

(

x, y

)

= e

−x

cos

(

)

. Ta có:

1) f

(

x, y

)

liên tục trên

[

0, +∞

)

(

−∞, +∞

)

2) f

′

(

x, y

)

= −xe

−x

sin yx liên tục trên

[

0, +∞

)

(

−∞, +∞

)

+∞

′

(

x, y

)

dx =

+∞

−xe

−x

sin yxdx =

−x

sin yx



+∞

−

+∞

−x

cos yxdx

−y

(

)

hội tụ đều theo tiêu chuẩn Weierstrass, thật vậy,



′

(

x, y

)



6 xe

−x

, mà

+∞

−x

dx =

hội tụ.

Do đó theo Định lý 3.16,

′

(

)

(

)

= −

⇒ I = Ce

−

Mà I

(

)

= C =

√

nên I

(

)

√

−

111

112 Chương 3. Tích phân phụ thuộc tham số.

2.3 Một số tích phân quan trọng

Tích phân Dirichlet

∞

sin x

dx =

Tích phân Gauss

∞

−x

dx =

√

Tích phân Fresnel

∞

sin(x

)dx =

∞

cos(x

)dx =

2.4 Bài tập ôn tập

Bài tập 3.10. Tính các tích phân sau

∞

−ax

−cos bx

dx, (a > 0)

ln(1 + y cos x)dx,

∞

−x

sin axdx,

∞

sin xy

dx, y ≥ 0,

∞

−ax

cos bxdx (a > 0),

∞

−x

cos bxdx, n ∈ N.

∞

sin ax cos bx

dx,

∞

sin ax sin bx

dx.

[Gợi ý]

a) Đặt I(a) =

∞

−ax

−cos bx

dx và sử dụng công thức đạo hàm qua dấu tích phân. Chú

ý rằng I(0) =

∞

1−cos bx

dx = b

∞

1−cos bx

(bx)

dbx =

bπ

112

2. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số. 113

b) Đặt I(y) =

ln(1 + y cos x)dx và sử dụng công thức đạo hàm qua dấu tích phân.

c) Đặt I(a) =

∞

−x

sin axdx và sử dụng công thức đạo hàm qua dấu tích phân.

d) Sử dụng công thức tích phân Dirichlet.

e) Đặt I(b) =

∞

−ax

cos bxdx và sử dụng công thức đạo hàm qua dấu tích phân.

f) Đặt I

(b) =

∞

−x

cos bxdx và sử dụng công thức đạo hàm qua dấu tích phân để

ra công thức truy hồi.

g) Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng và tích phân Dirichlet.

h) Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng và Hệ quả 3.1.

Bài tập 3.11. Chứng minh rằng

∞

sin yx

x(1+x

)

dx =

(1 −e

−y

), y ≥ 0.

∞

1−cos yx

|y|.

∞

x sin yx

dx =

−ay

, a, y ≥ 0.

∞

−yx

dx =

√

, y > 0.

Bài tập 3.12. Sử dụng công thức

∞

+ a

arctan



+∞

tính

∞

+ a

)

Bài tập 3.13. Chứng minh rằng

a) I(y) =

+∞

−yx

sin x

hội tụ đều trên [0, +∞).

b) I(y) =

−arctan y.

113

114 Chương 3. Tích phân phụ thuộc tham số.

Bài tập 3.14. Chứng minh rằng

+∞



−

−e

−



dx =

√

πb −

√

πa, (a, b > 0).

Bài tập 3.15. Chứng minh rằng

+∞

arctan

−arctan

dx =

, (a, b > 0).

Bài tập 3.16. a) Chứng minh rằng

+∞

ln(1 + α

)

1 + x

= π ln(1 + α), α ≥ 0.

b) Sử dụng câu a), chứng minh rằng

ln(sin θ)dθ = −

ln 2.

Bài tập 3.17. Chứng minh rằng

∞

sin

dx =

Bài tập 3.18. Sử dụng tích phân Fresnel chứng minh rằng

∞

sin(x

+ y

)dxdy =

Bài tập 3.19. Chứng minh rằng

I(y) =

+∞

−

(

x−

)

dx =

√

Áp dụng, tính

+∞

−(x

−2

)

dx.

Bài tập 3.20. Chứng minh rằng I(y) =

+∞

−yx

không liên tục tại y = 0, nghĩa là

lim

y→0

+∞

−yx

+∞

lim

y→0

−yx

Hãy giải thích tại sao?

114

2. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số. 115

Bài tập 3.21. Chứng minh rằng I(y) =

+∞

−yx

không liên tục tại y = 0, nghĩa là

lim

y→0

+∞

−yx

+∞

lim

y→0

−yx

Hãy giải thích tại sao?

115

116 Chương 3. Tích phân phụ thuộc tham số.

§3. TÍCH PHÂN EULER

3.1 Hàm Gamma

(

)

+∞

p−1

−x

dx xác định trên

(

0, +∞

)

Thật vậy,

Γ(p) =

p−1

−x

dx +

+∞

p−1

−x

dx = I

+ I

• Với tích phân I

ta so sánh với

+∞

. Ta có

lim

x→+∞



p−1

−x



= lim

x→+∞

1+p

= 0,

mà

+∞

hội tụ nên I

hội tụ. Thậm chí, tích phân I

hội tụ với mọi p ∈ R.

• Với tích phân I

thì nếu p ≥ 1 ta có I

thực chất là tích phân xác định. Còn nếu

0 < p < 1 thì ta so sánh I

với

1−p

. Ta có

lim

x→0



p−1

−x

1−p



= 1,

mà

1−p

hội tụ nên I

cũng hội tụ. Nếu p < 0 thì

1−p

phân kì nên I

sẽ phân

kì.

Các tính chất

1. Hạ bậc: Γ

(

p + 1

)

= pΓ

(

)

. Công thức này có thể chứng minh một cách dễ dàng bằng

tích phân từng phần. Thật vậy,

Γ(p + 1) =

+∞

−x

dx = −

+∞

d(e

−x

) = −x

−x



+∞

p−1

−x

= pΓ(p).

Ý nghĩa: Để nghiên cứu Γ

(

)

ta chỉ cần nghiên cứu Γ

(

)

với 0 < p 6 1 mà thôi, còn

với p > 1 chúng ta sẽ sử dụng công thức hạ bậc.

2. Đặc biệt,

• Γ

(

)

= 1 (tính trực tiếp) nên Γ

(

)

(

n −1

)

! ∀n ∈ N.

116

3. Tích phân Euler 117

• Từ công thức tích phân Gauss

+∞

−x

√

suy ra Γ





+∞

−x

√

dx =

√

π.

Do đó, Γ



n +



(

2n−1

)

√

π.

3. Đạo hàm của hàm Gamma: Γ

(

)

(

)

+∞

p−1





−x

dx.

4. Γ

(

)

.Γ

(

1 − p

)

sin pπ

∀0 < p < 1.

3.2 Hàm Beta

Dạng 1: B

(

p, q

)

p−1

(

1 − x

)

q−1

dx. Bằng cách đổi biến số x =

t+1

ta sẽ thu được:

Dạng 2: B

(

p, q

)

+∞

p−1

(

1+x

)

p+q

dx.

Ví dụ 3.20.

Biểu thị

sin

x cos

xdx

qua hàm

(

m, n

)

Lời giải. Đặt sin x =

√

t ⇒ 0 6 t 6 1, cos xdx =

√

sin

x cos

xdx =

sin



1 −sin



n−1

. cos xdx

(

1 − t

)

n−1

−

dt =



m + 1

n + 1



Từ ví dụ này ta suy ra:

Dạng lượng giác: B

(

p, q

)

= 2

sin

2p−1

t cos

2q−1

tdt.

Các tính chất:

1. Tính đối xứng: B

(

p, q

)

= B

(

q, p

)

2. Hạ bậc:







(

p, q

)

p−1

p+q−1

(

p −1, q

)

, nếu p > 1

(

p, q

)

q−1

p+q−1

(

p, q −1

)

, nếu q > 1

117

118 Chương 3. Tích phân phụ thuộc tham số.

Ý nghĩa của công thức trên ở chỗ muốn nghiên cứu hàm bêta ta chỉ cần nghiên cứu

nó trong khoảng

(

0, 1

]

(

0, 1

]

mà thôi.

3. Đặc biệt, B

(

1, 1

)

= 1 nên







(

m, n

)

(

m−1

)

(

n−1

)

(

m+n−1

)

, ∀m, n ∈ N

(

p, n

)

(

n−1

)

(

p+n−1

)(

p+n−2

)

...

(

p+1

)

B(p, 1) ∀n ∈ N.

4. Công thức liên hệ giữa hàm Bêta và Gamma: B

(

p, q

)

(

)

(

)

(

p+q

)

Chứng minh.

Ta có

Γ(p)Γ(q) =

+∞

p−1

−t

+∞

q−1

−s

ds =

+∞

p−1

q−1

−(t+s)

dtds.

Áp dụng công thức đổi biến t = xy và s = x(1 − y) ta được







0 ≤ t < +∞,

0 ≤ s < +∞

⇒







0 ≤ x < +∞,

0 ≤ y ≤ 1

, J =

D(t, s)

D(x, y)



y x

1 − y −x



= −x.

Do đó,

Γ(p)Γ(q) =

+∞

−x

p−1

q−1

(1 −y)

q−1

xdxdy

+∞

−x

p+q−1

p−1

(1 −y)

q−1

= Γ(p + q) B(p, q).

5. B

(

p, 1 − p

)

= Γ

(

)

(

1 − p

)

sin pπ

Ví dụ 3.21.

Chứng minh công thức liên hệ giữa hàm Bêta và Gamma

(

p, q

)

(

)

(

)

(

p+q

)

bằng tích phân kép.

Lời giải. Xuất phát từ công thức Γ(p) =

+∞

p−1

−x

dx thực hiện phép đổi biến x = t

được

Γ(p) = 2

+∞

−t

2p−1

dt = 2

+∞

−x

2p−1

dx.

Do đó,

Γ(p)Γ(q) = 4

+∞

−(x

)

2p−1

2q−1

dxdy.

118

3. Tích phân Euler 119

Đặt I

−(x

)

2p−1

2q−1

dxdy. Ta có lim

M→+∞]

Γ(p)Γ(q)

√

Hình 2.16

Ta có

OAE

−(x

)

2p−1

2q−1

dxdy ≤ I

≤

OBD

−(x

)

2p−1

2q−1

dxdy.

Thực hiện phép đổi biến số trong tọa độ cực







x = r cos ϕ,

y = r sin ϕ

ta có

(cos ϕ)

2p−1

(sin ϕ)

2q−1

dϕ

2p+2q−1

−r

≤ I

≤

(cos ϕ)

2p−1

(sin ϕ)

2q−1

dϕ

√

2p+2q−1

−r

dr.

(3.2)

Ta có

lim

M→+∞

2p+2q−1

−r

dr =

+∞

2(p+q)−1

−r

dr =

Γ(p + q)

và

lim

M→+∞

√

2p+2q−1

−r

dr =

+∞

2(p+q)−1

−r

dr =

Γ(p + q)

Ngoài ra,

(cos ϕ)

2p−1

(sin ϕ)

2q−1

dϕ =

B(p, q).

119

120 Chương 3. Tích phân phụ thuộc tham số.

Cho M → +∞ trong bất đẳng thức (3.2) ta được

B(p, q)

Γ(p + q) ≤

Γ(p)Γ(q)

≤

B(p, q)

Γ(p + q).

Do đó,

B(p, q) =

Γ(p)Γ(q)

Γ(p + q)

3.3 Bài tập

Bài tập 3.22.

sin

x cos

xdx.

Lời giải. Ta có

I =













(

)



3 +





2 +



(

)

5!!

√

π.

3!!

√

3π

512

√

− x

(

a > 0

)

Lời giải. Đặt x = a

√

t ⇒ dx =

adt

√

I =

(

1 − t

)

adt

√

2n+2

n−

(

1 − t

)

dt =

2n+2



n +



2n+2



n +







(

n + 2

)

2n+2

(

2n−1

)

√

π.

√

(

n + 1

)

= π

2n+2

(

2n −1

)

(

2n + 2

)

+∞

−x

dx.

Lời giải. Đặt x =

√

t ⇒ dx =

√

I =

+∞

−t

√

+∞

−t

dt =





9!!

√

9!!

√

120

3. Tích phân Euler 121

+∞

√

(

1+x

)

dx.

Lời giải. Đặt x

= t ⇒ 2xdx = dt

I =

+∞

√

(

1 + t

)

+∞

−

(

1 + t

)

(

p, q

)

với







p −1 = −

p + q = 2

⇒







p =

q =

Vậy

I =





−1









sin

√

+∞

1+x

dx.

Lời giải. Đặt x

= t ⇒ dx =

−

I =

+∞

−

1 + t





sin

2π

√

+∞

n+1

(

1+x

)

dx,

(

2 < n ∈ N

)

Lời giải. Đặt x

= t ⇒ dx =

−1

I =

+∞

n+1

−1

(

1 + t

)

+∞

(

1 + t

)

dt =



+ 1, 1 −





+ 1





1 −



−1



, 1 −



sin



2π



√

1−x

dx, n ∈ N

∗

Lời giải. Đặt x

= t ⇒ dx =

−1

I =

−1

(

1 − t

)

−1

(

1 − t

)

−

dt =



, 1 −



sin

121

122 Chương 3. Tích phân phụ thuộc tham số.

Bài tập 3.23.

Chứng minh công thức Jacobi

B(p, q) =

Γ(p)Γ(q)

Γ(p + q)

[Gợi ý] Viết

Γ(p) =

∞

−y

p−1

dy, Γ(q) =

∞

−x

q−1

dx.

Nên

Γ(p)Γ(q) =

∞

−x−y

q−1

p−1

dxdy.

Thực hiện phép đổi biến số x = u(v −1), y = uv để suy ra

Γ(p)Γ(q) = Γ(p + q)B(p, q).

122

CHƯƠNG 4

TÍCH PHÂN ĐƯỜNG

§1. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI I

1.1 Định nghĩa

Cho hàm số f

(

x, y

)

xác định trên một cung phẳng

AB . Chia cung

AB thành n cung

nhỏ, gọi tên và độ dài của chúng lần lượt là ∆s

, ∆s

, ...∆s

. Trên mỗi cung ∆s

lấy một điểm

bất kì. Giới hạn, nếu có, của

∑

i=1

(

)

∆s

khi n → ∞ sao cho max ∆s

→ 0 không phụ

thuộc vào cách chia cung

AB và c ách chọn các điểm M

được gọi là tích phân đường loại

một của hàm số f

(

x, y

)

dọc theo cung

AB, kí hiệu là

(

x, y

)

ds.

Chú ý:

• Tích phân đường loại một không phụ thuộc vào hướng của cung

AB.

• Nếu cung

AB có khối lượng riêng tại M

(

x, y

)

là ρ

(

x, y

)

thì khối lượng của nó là

(

x, y

)

ds. nếu tích phân đó tồn tại.

• Chiều dài của cung

AB được tính theo công thức l =

ds.

• Tích phân đường loại một có các tính chất giống như tích phân xác định.

123

124 Chương 4. Tích phân đường

1.2 Các công thức tính tích phân đường loại I

1. Nếu cung

AB cho bởi phương trình y = y

(

)

, a 6 x 6 b thì

(

x, y

)

ds =

(

x, y

(

))

1 + y

′2

(

)

dx. (1)

2. Nếu cung

AB cho bởi phương trình x = x

(

)

, c 6 y 6 d thì

(

x, y

)

ds =

(

)

, y

)

1 + x

′2

(

)

dy. (2)

3. Nếu

AB cho bởi phương trình x = x(t), y = y(t), t

≤ t ≤ t

, thì

f (x, y)ds =

f (x(t), y(t))

′2

(t) + y

′2

(t)dt (3)

4. Nếu cung

AB cho bởi phương tr ình trong toạ độ cực r = r

(

)

, ϕ

≤ ϕ ≤ ϕ

thì coi nó

như là phương trình dưới dạn g tham số, ta được ds =

(

)

+ r

′2

(

)

dϕ và

(

x, y

)

ds =

(

)

cos ϕ, r

(

)

sin ϕ

)

(

)

+ r

′2

(

)

dϕ (4)

1.3 Bài tập

Bài tập 4.1.

T ính

(

x −y

)

ds, C

là đường tròn có phương trình

+ y

= 2x

Lời giải. Đặt







x = 1 + cos t

y = sin t

, 0 6 t 6 2π

I =

2π

(

1 + cos t −sin t

)

(

−sin t

)

+ cos

tdt = 2π

Bài tập 4.2.

T ính

ds, C

là đường cong







x = a

(

t −sin t

)

y = a

(

1 −cos t

)

, 0 6 t 6 2π, a > 0.

124

1. Tích phân đường loại I 125

Lời giải.







′

(

)

= a

(

1 −cos t

)

′

(

)

= a sin t

⇒

′2

(

)

+ y

′2

(

)

= 2a sin

⇒ I =

2π

(

1 −cos t

)

.2a sin

dt =

256a

Bài tập 4.3.

T ính

+ y

ds, C

là đường







x = a

(

cos t + t sin t

)

y = a

(

sin t − t cos t

)

, 0 6 t 6 2π, a > 0

Lời giải.







′

(

)

= at cos t

′

(

)

= at sin t

⇒

′2

(

)

+ y

′2

(

)

= at

⇒ I =

2π

(

cos t + t sin t

)

(

sin t − t cos t

)

.atdt =



(

1 + 4π

)

−1



Bài tập 4.4.

T ính tích phân đường

I =



+ y



ds,

trong đó

là đường Astroid

+ y

= a

(a > 0)

Hình 4.4

[Gợi ý] Tham số hóa đường cong







x = a cos

y = a sin

t, (0 ≤ t ≤ 2π, a > 0)

và dựa vào tính đối

xứng của đường cong và hàm dưới dấu tích phâ n để tính I. Đáp số: I = 4a

125

126 Chương 4. Tích phân đường

Bài tập 4.5.

T ính

I =

+ y

+ z

)ds,

trong đó

là đường xoắn ốc cho bởi phương trình tham số











x = a cos t,

y = b sin t,

z = bt, (0 ≤ t ≤ 2π, a, b > 0).

[Đáp số] I = 2π

√

+ b





1.4 Bài tập ôn tập

Bài tập 4.6.

T ính độ dài các cung sau đây.

+ y

= a

(a > 0)

Hình 4.6a

= 2px, x ∈ [0, a], p > 0, a > 0.

x = cos

t, y = sin

x = a(t −sin t), y = a(1 −cos t), (0 ≤ t ≤ 2π)

Bài tập 4.7.

T ính các tích phân đường loại I.

I =

xyds,

trong đó

là cung ellip

= 1

nằm trong góc phần tư thứ nhất.

I =

|y|ds,

trong đó

là đường Cardioid

r = a(1 + cos ϕ) (a > 0)

126

1. Tích phân đường loại I 127

−a

Hình 4.7b

I =

|y|ds,

trong đó

là cung Lemniscate

+ y

)

= a

−y

)

r = a

2 cos 2ϕ

Hình 4.7c

I =

+ y

ds,

trong đó

đường tròn

+ y

= ax

I =

ds,

trong đó

là đường tròn

+ y

+ z

= a

, x + y + z = 0

127

128 Chương 4. Tích phân đường

§2. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI II

2.1 Định nghĩa

Cho hai hàm số P

(

x, y

)

, Q

(

x, y

)

xác định trên cung

AB. Chia cung

AB thành n cung nhỏ

∆s

bởi các điểm chia A

= A, A

, A

, ..., A

= B.Gọi toạ độ của vectơ

−−−−→

i−1

(

∆x

, ∆y

)

và

lấy điểm M

bất kì trên mỗi cung ∆s

. Giới hạn, nếu có, của tổng

∑

i=1

[

(

)

∆x

+ Q

(

)

∆y

]

sao cho max ∆x

→ 0, không phụ thuộc vào cách chia cung

AB và cách chọn các điểm M

được gọi là tích phân đường loại hai của các hàm số P

(

x, y

)

, Q

(

x, y

)

dọc theo cung

AB , kí

hiệu là

(

x, y

)

dx + Q

(

x, y

)

dy.

Chú ý:

• Tích phân đường loại hai phụ thuộc vào hướng của cung

AB, nếu đổi chiều trên đường

lấy tích phân thì tích phân đổi dấu,

(

x, y

)

dx + Q

(

x, y

)

dy = −

(

x, y

)

dx + Q

(

x, y

)

dy.

• Tích phân đường loại hai có các tính chất giống như tích phân xác định.

2.2 Các công thức tính tích phân đường loại II

1. Nếu cu ng

AB được cho bởi phương trình y = y

(

)

, điểm đầu và điểm cuối ứng với

x = a, x = b thì

Pdx + Qdy =



(

x, y

(

))

+ Q

(

x, y

(

))

′

(

)



dx. (5)

2. Nếu cung

AB được cho bởi phương trình x = x

(

)

, điểm đầu và điểm cuối ứng với

y = c, y = d thì

Pdx + Qdy =





(

)

′

(

)



dy, y



+ Q

(

)

, y

)

. (6)

3. Nếu cung

AB được cho bởi phương trình







x = x

(

)

y = y

(

)

, điểm đầu và điểm cuối tương

ứng với t = t

, t = t

thì

Pdx + Qdy =



(

)

, y

(

))

′

(

)

+ Q

(

)

, y

(

))

′

(

)



dt (7)

128

2. Tích phân đường loại II 129

Bài tập

Bài tập 4.8.

T ính



−2xy



dx +



2xy −y



, trong đó

là cung parabol

y = x

từ

(

1, 1

)

đến

(

2, 4

)

Lời giải. Áp dụng công thức (5) ta có:

I =

h

−2x





− x



.2x

dx = −

Bài tập 4.9.

T ính



−2xy



dx +



2xy −y



trong đó

là đường cong xác định bởi

một nhịp cycloid







x = a(t −sin t)

y = a(1 − cos t)

theo chiều tăng của

t, 0 ≤ t ≤ 2π, a > 0

a θ

(πa, 2a)

x = a(t −sin t)

y = a(1 −cos t)

2πa

Hình 4.9

Lời giải. Ta có







′

(t) = a(1 −cos t)

′

(t) = a sin t

nên:

I =

2π

{

[

2a(t − sin t) − a(1 −cos t)

]

a(1 −cos t) + a(t −sin t).a sin t

}

= a

2π

[(

2t −2

)

+ sin 2t +

(

t −2

)

sin t −

(

2t −2

)

cos t

]

= a

2π

[(

2t −2

)

+ t sin t −2t cos t

]

= a



4π

−6π



129

130 Chương 4. Tích phân đường

Bài tập 4.10.

T ính

ABCA



+ y



dx + x

(

4y + 3

)

ở đó

ABCA

là đường gấp khúc đi

qua các điểm

A(0, 0), B(1, 1), C(0, 2)

Hình 4.10

Lời giải. Ta có











phương trình đường thẳng AB : x = y

phương trình đường thẳng BC : x = 2 − y

phương trình đường thẳng CA : x = 0

nên

I =

... +

...



+ y



+ y

(

4y + 3

)

dy +

(

2 − y

)

+ y

(

−1

)

(

2 − y

) (

4y + 3

)

dy + 0

= 3

Bài tập 4.11.

T ính

ABCDA

dx+dy

trong đó

ABCDA

là đường gấp khúc qua các điểm

A(1, 0), B(0, 1), C(− 1, 0), D(0, −1)

Hình 4.11

Lời giải. Ta có











AB : x + y = 1 ⇒dx + dy = 0

BC : x − y = −1 ⇒dx = dy

CD : x + y = −1 ⇒dx + dy = 0

DA : x −y = 1 ⇒dx = dy

130

2. Tích phân đường loại II 131

nên

I =

... +

= 0 +

2dx

x + y

+ 0 +

2dx

x −y

−1

2dx +

2dx

= 0

Bài tập 4.12.

T ính

√

dx + dy

trong đó











x = t sin

√

y = t cos

√

0 ≤ t ≤

theo chiều tăng của

Lời giải. Đặt u =

√

t⇒0 ≤ u ≤ π,







x = u

sin u

y = u

cos u

⇒







′

(

)

= 2u sin u + u

cos u

′

(

)

= 2u cos u −u

sin u

I =



2u sin u + u

cos u



+ 2u cos u − u

sin u



+ 2u



cos udu

= −

+ 2

2.3 Công thức Green.

Hướng dương của đường cong kín: Nếu đường lấy tích phân là đường cong kín thì

ta quy ước hướng dương của đường cong là hướng sao cho một người đi dọc theo đường

cong theo hướng ấy sẽ nhìn thấy miền giới hạn bởi nó ở gần phía mình nhất nằm về phía

bên trái.

131

132 Chương 4. Tích phân đường

Giả sử D ⊂ R

là miền đơn liên, liên thông, bị chặn với biên giới ∂D là đường cong kín với

hướng dương, hơn nữa P, Q cùng các đạo hàm riêng cấp một của chúng liên tục trên D.

Khi đó

Pdx + Qdy =



∂Q

∂x

−

∂P

∂y



dxdy

Chú ý:

• Nếu ∂D có hướng âm thì

Pdx + Qdy = −



∂Q

∂x

−

∂P

∂y



dxdy

• Trong nhiều bài toán, nếu C là đường cong không kín, ta có thể bổ sung C để được

đường cong kín và áp dụng công thức Green. Tất nhiên, sau đó phải tr ừ đi phần đã

bổ sung.

Bài tập 4.13.

T ính các tích phân sau

(

xy + x + y

)

dx +

(

xy + x −y

)

bằng hai c ách:

tính trực tiếp, tính nhờ công thức Green rồi so sánh các kết quả, với

là đường:

+ y

= R

Hình 4.13 a

132

2. Tích phân đường loại II 133

Tính trực tiếp

Tham số hóa đường con g







x = R cos t

y = R sin t

⇒0 ≤ t ≤ 2π.

Ta có

I = ...

2π

(

cos t cos 2t + sin t cos 2t

)

= 0.

Sử dụng công th ức Green







P(x, y) = xy + x + y

Q(x, y) = xy + x −y

Ta có

∂Q

∂x

−

∂P

∂y

= y −x,

I =

(

y − x

)

dxdy

ydxdy −

xdxdy

= 0.

+ y

= 2x

Hình 4.13 b

Tính trực tiếp.

Vì

+ y

= 2x ⇔ (x − 1)

+ y

= 1

nên tham số hóa đường cong







x = 1 + cos t

y = sin t

, 0 ≤ t ≤ 2π

ta được

I =

2π

[(1 + cos t) sin t + (1 + cos t) + sin t]

×(−sin t)dt

2π

[(1 + cos t) sin t + (1 + cos t) −sin t]

×cos tdt

= −π.

Sử dụng công th ức Green.

Ta có











P(x, y) = xy + x + y

Q(x, y) = xy + x −y

∂Q

∂x

−

∂P

∂y

= y −x

I =

(x−1)

(

y − x

)

dxdy.

Đặt







x = r cos ϕ

y = r sin ϕ

, −

≤ ϕ ≤

I =

−

dϕ

2 cos ϕ

(

r sin ϕ − 1 − r cos ϕ

)

rdr

= −π.

133

134 Chương 4. Tích phân đường

= 1, (a, b > 0).

Tính trực tiếp

Đặt







x = a cos t

y = b sin t

⇒











0 ≤ t ≤ 2π

′

(t) = −a sin t

′

(t) = b cos t

I = ...

2π



−ab sin

t + ab cos



= 0.

Sử dụng công th ức Green







P(x, y) = xy + x + y

Q(x, y) = xy + x −y

⇒

∂Q

∂x

−

∂P

∂y

= y −x

⇒I =

(

y − x

)

dxdy

ydxdy −

xdxdy

= 0.

Bài tập 4.14.

T ính

=2x



y +



dy −y



x +



dx.

Hình 4.14

Lời giải. Áp dụng công thức Green ta có:

I =



∂Q

∂x

−

∂P

∂y



dxdy =



4xy +



dxdy =



+ y



dxdy.





vì

4xydxdy = 0





Đặt







x = r cos ϕ

y = r sin ϕ

, ta có −

≤ ϕ ≤

, 0 ≤ r ≤ 2 cos ϕ. Vậy

I =

−

dϕ

2 cos ϕ

.rdr =

−

4 cos

ϕ =

π.

134

2. Tích phân đường loại II 135

Bài tập 4.15.

T ính

OABO

[(

1 −cos y

)

dx −

(

y −sin y

)

]

trong đó

OABO

là đường gấp

khúc

O(0, 0), A(1, 1), B(0, 2)

Hình 4.15

Lời giải. Đặt







(

x, y

)

= e

(

1 −cos y

)

(

x, y

)

= −e

(

y −sin y

)

⇒

∂Q

∂x

−

∂P

∂y

= −e

Áp dụng công thức Green ta có:

I =

−e

ydxdy

2−x

−e

ydy

(

4x −4

)

= 4 −2e.

Bài tập 4.16.

T ính

=2x

(

xy + e

sin x + x + y

)

dx −

(

xy − e

−y

+ x −sin y

)

Hình 4.16

135

136 Chương 4. Tích phân đường

Lời giải. Đặt







(

x, y

)

= xy + e

sin x + x + y

(

x, y

)

= xy − e

−y

+ x −sin y

⇒

∂Q

∂x

−

∂P

∂y

= −y − x −2.

Áp dụng công thức Green ta có:

I =

−y − x −2dxdy

−x −2dxdy vì

ydxdy = 0

đặt







x = r cos ϕ

y = r sin ϕ

⇒−

≤ ϕ ≤

, 0 ≤ r ≤ 2 cos ϕ

−

dϕ

2 cos ϕ

(

−r cos ϕ −2

)

rdr

= −3π.

Bài tập 4.17.

T ính



+ x

+ y cos xy



dx +



+ xy

− x + x cos xy



trong đó







x = a cos t

y = a sin t

(a > 0).

Hình 4.17

Lời giải. Đặt







(

x, y

)

= xy

+ x

+ y cos xy

(

x, y

)

+ xy

− x + x cos xy

⇒

∂Q

∂x

−

∂P

∂y

= x

+ y

−4xy

−1.

136

2. Tích phân đường loại II 137

Áp dụng công thức Green ta có:

I =

+ y

−4xy

−1dxdy

+ y

−1dxdy vì

4xy

dxdy = 0

đặt







x = r cos ϕ

y = r sin ϕ

⇒0 ≤ ϕ ≤ 2π, 0 ≤ ra

2π

dϕ



−1



rdr

= π



− a



2.4 Ứng dụng của tích phân đường loại II

Áp dụng công thức Green cho hàm số P(x, y), Q(x, y) thoả mãn

∂Q

∂x

−

∂P

∂y

= 1 ta có:

(

)

1dxdy =

∂D

Pdx + Qdy.

• Lấy P(x, y) = 0, Q(x, y) = x thì S

(

)

∂D

xdy.

• Lấy P(x, y) = −y, Q(x, y) = 0 thì S

(

)

∂D

−ydx.

• Lấy P(x, y) =

x, Q(x, y) =

y thì S

(

)

∂D

xdy − ydx.

Bài tập 4.18.

T ính diện tích của miền elip

≤ 1

[Gợi ý] Phương trình tham số của đường elip là x = a cos θ, y = b sin θ. Do đó

S =

xdy − ydx =

2π

(a cos θ)(b sin θ)dθ − (b sin θ)(−a sin θ)dθ = πab.

Bài tập 4.19.

Dùng tích phân đường loại II, tính diện tích của miền giới hạn bởi một nhịp

cycloid







x = a(t −sin t)

y = a(1 − cos t)

và

Ox (a > 0).

137

138 Chương 4. Tích phân đường

a θ

(πa, 2a)

x = a(t −sin t)

y = a(1 −cos t)

2πa

Hình 4.19

Lời giải. Áp dụng công thức

S(D) =

∂D

xdy =

AmO

xdy +

OnA

xdy =

2π

(

t −sin t

)

.a sin tdt = 3πa

Bài tập 4.20.

Dùng tích phân đường loại II, tính diện tích của miền giới hạn bởi đường

Astroid

x = cos

t, y = sin

t, 0 ≤ t ≤ 2π.

Hình 4.6a

[Đáp số] S =

3πa

Bài tập 4.21.

Dùng tích phân đường loại II, tính diện tích của miền giới hạn bởi đường

+ y

= 3axy, a > 0

(lá Descartes, xem thêm Bài tập 2.54).

138

2. Tích phân đường loại II 139

TCX:

y = −x −

Hình 4.21a

+ y

= a

+ y

)

cos

ϕ+sin

Hình 4.21b

2.5 Điều kiện để tích phân đường không phụ thuộc

đường lấy tích phân.

Giả sử rằng D là miền đơn liên, liên thông, P, Q cùng với các đạo hà m riêng cấp một

của chúng liên tục trên

D. Khi đó bốn mệnh đề sau là tương đương:

∂Q

∂x

∂P

∂y

với mọi (x, y) ∈ D.

Pdx + Qdy = 0 với mọi đường cong đóng kín L n ằm trong D.

Pdx + Qdy = 0 không phụ thuộc vào đường đi từ A đếnB, với mọi đường cong AB

nằm trong D.

139

140 Chương 4. Tích phân đường

4. Pdx + Qdy là vi phân toàn phần. Nghĩa là có hàm số u(x, y) sao cho du = Pdx + Qdy.

Hàm u có thể được tìm theo công thức:

u(x, y) =

P(x, y

)dx +

Q(x, y)dy =

P(x, y)dx +

Q(x

, y)dy

Giải bài toán tính tích phân đường không phụ thuộc đường đi:

1. Kiểm tra điều kiện P

′

= Q

′

. (1)

2. Nếu điều kiện (1) được thoả mãn và đường lấy tích phân là đường cong kín thì I = 0.

3. Nếu điều kiện (1) được thoả mãn và cần tính tích phân trên cung AB không đóng

thì ta chọn đường tính tích phân sao cho việc tính tích phân là đơn giản nhất, thông

thường ta chọn là đường thẳng nối A với B, hoặc đường gấp khúc có các cạnh song

song với các trục toạ độ. Mặt khác, nếu tìm được hàm F sao cho du = Pdx + Qdy thì

I = u(B) − u(A).

Bài tập 4.22.

T ính

(

3,0

)

(

−2,1

)



+ 4xy



dx +



−5y



dy.

−2

−1

Hình 4.22

Lời giải. Nhậ n xét rằng



+ 4xy



′



−5y



′

nên tích phân đã cho không phụ

thuộc vào đường đi. Vậy ta chọn đường đi là đường gấp khúc ACB như hình vẽ.

I =

Pdx + Qdy +

Pdx + Qdy = 62.

Bài tập 4.23.

T ính

(

2,π

)

(

1,π

)



1 −

cos



dx +



sin

cos



dy.

140

2. Tích phân đường loại II 141

2π

Hình 4.23

Lời giải. Đặt







P = 1 −

cos

Q = sin

cos

⇒

∂P

∂y

∂Q

∂x

= −

cos

sin

nên tích phân đã

cho không phụ thuộc vào đường đi từ A đến B. Khi đó ta chọn đường lấy tích phân là

đường thẳng AB, nó có phương trình y = πx.

I =



1 − π

cos π



dx+

(

sin π + π cos π

)

πdx = 1.

141

142 Chương 4. Tích phân đường

142

CHƯƠNG 5

TÍCH PHÂN MẶT

§1. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI I

1.1 Diện tích mặt cong

Xét mặt cong cho bởi phương trình tham số

r(u, v) = x(u, v).

i + y(t).

j + z(t).

Để đơn giản ta chọn miền D là hình chữ nhật và chia D thà nh các hình chữ nhật con có

các cạnh song song với các trục tọa độ Ou và Ov. Giả sử S

là ảnh của hình chữ nhật R

Khi đó

= r

, v

) và r

= r

, v

)

143

144 Chương 5. Tích phân mặt

là các véc tơ chỉ phương của mặt phẳng tiếp diện của mặt cong S tại điểm P

Diện tích của S

có thể được xấp xỉ bởi diện tích của hình bình hành có hai cạnh là

−−−−→

i+1,j

và

−−−−→

i,j+1

. Do đó,

S(S

) ≈ |

−−−−→

i+1,j

∧

−−−−→

i,j+1

| ≈ |(∆ur

) ∧(∆vr

)| = |r

∧r

|∆u∆v.

Vậy công thức tính xấp xỉ diện tích của mặt S là

∑

i=1

∑

j=1

∧r

|∆u∆v.

Nhận xét rằng nếu chia miền D thành các mảnh càng nhỏ thì công thức tính xấp xỉ

trên càng tốt. Đồng thời, công thức ở vế phải chính là tổng Riemann của tích phân kép

∧r

|dudv. Điều này dẫn chúng ta tới định nghĩa sau:

Định nghĩa 5.9.

Cho mặt cong

trơn, cho bởi phương trình tham số

r(u, v) = x(u, v).

i + y(t).

j + z(t).

k, (u, v) ∈ D ⊂ R

và

chỉ được phủ một lần khi

(u, v)

biến thiên trên miền

. Khi đó diện tích của mặt cong

được định nghĩa bởi

S =

∧r

|dudv,

ở đó

∂x

∂u

i +

∂y

∂u

j +

∂z

∂u

k, r

∂x

∂v

i +

∂y

∂v

j +

∂z

∂v

Ví dụ 1.1.

T ính diện tích của mặt cầu

+ y

+ z

= R

144

1. Tích phân mặt loại I 145

[Lời giải] Mặt cầu S có phương trình tham số trong tọa độ cầu là











x = R sin θ cos ϕ,

y = R sin θ sin ϕ,

z = R cos θ.

Do đó,

∧r



R cos θ cos ϕ R cos θ sin ϕ −R sin θ

−R sin θ sin ϕ R sin θ cos ϕ 0



= R

sin

θ cos ϕ.

i + R

sin

θ sin ϕ.

j + R

sin θ cos θ.

Vì vậy, |r

∧r

| = R

sin θ và

S =

2π

dϕ

sin θdθ = 4πR

Trường hợp đặc biệt, nếu mặt cong cho bởi phương trình z = z(x, y) thì

∧r

= (−z

′

, −z

′

, 1).

Do đó,

S =

1 + (z

′

)

+ (z

′

)

dxdy.

1.2 Bài toán dẫn đến tích phân mặt loại I

Cho mặt cong S trơn, cho bởi phương trình tham số

r(u, v) = x(u, v).

i + y(t).

j + z(t).

k, (u, v) ∈ D ⊂ R

Hơn nữa, giả sử trên S có phân phối một khối lượng vật chất với mật độ (hay tỉ t rọng bề

mặt) tại điểm (x, y, z) là ρ(x, y, z), trong đó ρ(x, y, z là một hàm số liên tục trên S. Hãy tính

khối lượng mặt S.

[Lời giải] Tương tự như cách tính diện tích mặt S, ta chia miền D thành các miền con

bằng các đường song song với các trụ c tọa độ trong mặt phẳng Ouv. Khi đó mặt S được

chia thành các mặt con S

và diện tích của nó được xấp xỉ bởi

S(S

) ≈ |r

∧r

|∆u∆v.

Do tính liên tục của ρ, nếu ta chia miền D thành các miền khá nhỏ thì miền S

cũng khá

nhỏ và ta coi hàm ρ không đổi trên S

và bằng ρ(x(u

∗

, v

∗

), y(u

∗

, v

∗), z(u

∗

, v

∗

)) = ρ(P

∗

Khi đó khối lượng của S

là

m(S

) ≈ ρ(P

∗

)|r

∧r

|∆u∆v

145

146 Chương 5. Tích phân mặt

Khối lượng của toàn bộ mặt S là

m(S) ≈

∑

i=1

∑

j=1

ρ(P

∗

)|r

∧r

|∆u∆v

Đây chính là tổng Riemann của tích phân kép

f (x(u, v), y(u, v), z(u, v))|r

∧ r

|dudv.

Điều này dẫn đến định nghĩa sau đây.

Định nghĩa 5.10.

Cho mặt cong

trơn, cho bởi phương trình tham số

r(u, v) = x(u, v).

i + y(t).

j + z(t).

k, (u, v) ∈ D ⊂ R

và

là một hàm số xác định trên

. Nếu tồn tại tích phân

f (x(u, v), y(u, v), z(u, v))|r

∧r

|dudv

thì ta gọi giá trị của tích phân này là tích phân mặt loại I của hàm

lấy trên

và kí hiệu

là

f (x, y, z)dS.

Ngoài ra, người ta có thể định nghĩa tích phân mặt loại I như sau:

Định nghĩa 5.11.

Cho hàm số

f (x, y, z)

xác định trên mặt cong

. Chia mặt cong

thành

mặt nhỏ

∆S

, ∆S

, . . . , ∆S

. Trên mỗi

∆S

lấy một điểm

bất kì. Giới hạn, nếu có, của

∑

i=1

f (M

)∆S

khi

n → ∞

và

max

1≤i≤n

d(∆S

) → 0

không phụ thuộc vào cá ch chia mặt cong

và

cách chọn các điểm

được gọi là tích phân mặt loại I của hàm số

f (M)

trên mặt cong

kí hiệu là

f (x, y, z)dS.

146

1. Tích phân mặt loại I 147

1.3 Các công thức tính tích phân mặt loại I

Mặt S cho bởi phương trình tham số

Nếu mặt S cho bởi phương trình tham số

r(u, v) = x(u, v).

i + y(u, v).

j + z(u, v).

k, (u, v) ∈ D ⊂ R

thì

f (x, y, z)dS =

f (x(u, v), y(u, v), z(u, v))|r

∧r

|dudv.

Mặt S cho bởi phương trình z = z(x, y)

Nếu mặt S được cho bởi phương trình z = z(x, y), (x, y) ∈ D ⊂ R

, thì đó nó có một

tham số hóa tự nhiên là











x = u,

y = v,

z = z(u, v).

Khi đó, r

= (1, 0, z

′

), r

= (0, 1, z

′

) và do đó, véc tơ pháp tuyến của mặt cong S tại P là

∧r



1 0 z

′

0 1 z

′



= (−z

′

, −z

′

, 1) = (−z

′

, −z

′

, 1).

Vậy |r

∧ r

| =

1 + (z

′

)

+ (z

′

)

. Ngoài ra, miền xác định của (u, v) chính là hình chiếu

của S lên mặt phẳng Oxy. Do đó

f (x, y, z)dS =

f (x, y, z(x, y))

1 + (z

′

)

+ (z

′

)

dxdy.

1.4 Bài tập

Bài tập 5.1.

T ính



z + 2x +



trong đó

S =

(

x, y, z

)

= 1, x > 0, y > 0, z > 0

147

148 Chương 5. Tích phân mặt

Hình 5.1

Lời giải. Ta có hình chiều của mặt S lên mặt phẳng Oxy là

D =

(

x, y

)

6 1, x > 0, y > 0

(

x, y

)

|0 6 x 6 2, 0 6 y 6 3



1 −

o

Mặt khác z = 4(1 −

−

)⇒







p = z

′

= −2

q = z

′

⇒dS =

1 + p

+ q

dxdy =

√

dxdy nên

I =





1 −

−



+ 2x +



√

dxdy = 4

√

3−

dy = 4

√

61.

Bài tập 5.2.

T ính



+ y



dS, S =



(

x, y, z

)

|z = z

+ y

, 0 6 z 6 1



−1

Hình 5.2

148

1. Tích phân mặt loại I 149

Lời giải. Ta có hình chiếu của mặt cong lên mặt phẳng Oxy là D =



(

x, y

)

+ y

6 1



Mặt khác, z = x

+ y

⇒







p = z

′

= 2x

q = z

′

= 2y

nên

I =



+ y



1 + 4x

+ 4y

dxdy,

đặt







x = r cos ϕ

y = r sin ϕ

⇒0 ≤ ϕ ≤ 2π, 0 ≤ r ≤ 1

I =

2π

dϕ

1 + 4r

rdr

1 + 4r



1 + 4r



t −1

√

tdt



đặtt = 1 + 4r



√

Bài tập 5.3.

T ính tích phân mặt

zdS

, trong đó

là phần mặt nón

z =

+ y

ở

dưới mặt phẳng

z = 1

[Đáp số] I =

√

149

150 Chương 5. Tích phân mặt

§2. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI II

2.1 Định hướng mặt cong

Cho mặt cong S trơn, cho bởi phương trình tham số

r(u, v) = x(u, v).

i + y(u, v).

j + z(u, v).

k, (u, v) ∈ D ⊂ R

Như đã biết, véc tơ pháp tuyến đơn vị của S tại điểm P chính quy là

∧r

, ở đó

∂x

∂u

i +

∂y

∂u

j +

∂z

∂u

k, r

∂x

∂v

i +

∂y

∂v

j +

∂z

∂v

Tại mỗi điểm P chính quy của mặt cong S có hai vectơ pháp tuyến đơn vị là

và

= −

Giả sử P

∈ S và L là một đường cong kín nằm trên S và đi qua P

. Chọn

n(P

) là một véc

tơ pháp tuyến đơn vị của mặt S tại P

. Khi P di chuyển dọc theo đường cong kín L từ P

và quay trở về P

thì véc tơ

n(P) cũng biến thiên liên tục, và khi P trở về P

thì

n(P) trở

thành

′

). Có hai khả năng xảy ra

•

′

) =

n(P

), tức là, pháp tuyến trở lại như cũ. Khi đó ta nói mặt S định hướng

được (hay còn gọi là mặt hai phía).

150

2. Tích phân mặt loại II 151

• Ngược lại,

′

) = −

n(P

), tức là, pháp tuyến trở về vị trí cũ thì đổi hư ớng. Khi

đó ta nói mặt S gọi là không định hướng được (hay còn gọi là mặt một phía). Ví dụ

như lá Mobius sau đây (được mang tên nhà toán học người Đức August Ferdinand

obius).

GT2

Nếu mặt S định hướng được thì ta chọn một hướng làm hướng dương và hướng còn lại

được gọi là hướng âm.

2.2 Bài toán dẫn đến tích phân mặt loại II

Giả sử có một mặt cong hai phía được nhúng vào một môi trường chất lỏng đang chảy

với mật độ ρ(x, y, z) và tốc độ v(x, y, z) = (v

(x, y, z), v

(x, y, z). Hãy tính lượng

chất lỏng chảy qua S trong một đơn vị thời gian.

Ta chia mặt S thành các thành phần nhỏ S

như hình vẽ trên. Nếu chia mặt c ong đủ nhỏ

thì ta coi S

như mặt phẳng và khối lượng chất lỏng trên một đơn vị diện tích là

F = ρv

coi như hằng số trên S

. Do đó, ta có thể xấp xỉ khối lượng của chất lỏng chảy qua S

theo

hướng véc tơ pháp tuyến đơn vị

n trên một đơn vị thời gian bởi

(

n)S(S

151

152 Chương 5. Tích phân mặt

Lượng chất lỏng chảy qua S trên một đơn vị thời gian là

∑

i=1

∑

j=1

(

n)S(S

Nếu chia mặt cong S càng nhỏ thì tổng trên chính là tổng Riemann của tích phân kép sau

ndS =

(P cos α + Q cos β + R cos γ)dS,

ở đó

F = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) và

n = (cos α, cos β, cos γ).

Định nghĩa 5.12.

Cho mặt cong

trơn, định hướng được, cho bởi phương trình tham số

r(u, v) = x(u, v).

i + y(t).

j + z(t).

k, (u, v) ∈ D ⊂ R

và

n = (cos α, cos β, cos γ)

là véc tơ pháp tuyến đơn vị tại

M(x, y, z)

theo hướng dương đã

chọn của

. Giả sử

F = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)), (x, y, z) ∈ S

là một hàm véc tơ xác định trên

. Nếu tồn tại tích phân mặt loại I

(P cos α + Q cos β + R cos γ)dS

thì giá tr ị đó được gọi là tích phân mặt loại II của hàm véc tơ

lấy theo hướng đã chọn

của mặt

và kí hiệu là

Pdydz + Qdzdx + Rdxdy.

Người ta cũng có thể định nghĩa tích phân mặt loại II theo cách sau.

Định nghĩa 5.13.

Cho một mặt cong định hướng

trong miền

V ⊂ R

và

n =

(

cos α, cos β, cos γ

)

là véctơ pháp tuyến đơn vị theo hướng dương đã chọn của

tại điểm

M(x, y, z)

. Giả trường

vectơ

−→

(

)

(

)

, Q

(

)

, R

(

))

biến thiên liên tục trên

, nghĩa là các toạ độ

(

)

, Q

(

)

, R

(

)

của nó là những hàm số liên tục trên

. Chia mặt

thành

mặt

cong nhỏ, gọi tên và cả diện tích của chúng lần lượt là

∆S

, ∆S

, ..., ∆S

. Trên mỗi

∆S

lấy

một điểm

bất kì và gọi vectơ pháp tuyến đơn vị theo hướng dương đã chọn của nó là

(

cos α

, cos β

, cos γ

)

Giới hạn, nếu có, của tổng

∑

i=1

[

(

)

cos α

+ Q

(

)

cos β

+ R

(

)

cos γ

]

∆S

được gọi là

tích phân mặt loại II của các hàm số

(

x, y, z

)

, Q

(

x, y, z

)

, R

(

x, y, z

)

trên mặt

, và được kí

hiệu là:

P(x, y, z)dydz + Q(x, y, z)dzdx + R(x, y, z)dxdy.

152

2. Tích phân mặt loại II 153

2.3 Các công thức tính tích phân mặt loại II

Mặt cong cho bởi phương trình tham số

Nếu mặt cong S trơn, cho bởi phương trình tham số

r(u, v) = x(u, v).

i + y(u, v).

j + z(u, v).

k, (u, v) ∈ D ⊂ R

thì một véc tơ pháp tu yến của S tại điểm P chính quy là

N = r

∧r

= (A, B, C).

• Nếu véc tơ này cùng phương cùng hướng với

n, tức là, hướng theo phía đã chọn của

mặt thì

cos α =

√

+ B

+ C

cos β =

√

+ B

+ C

cos γ =

√

+ B

+ C

dS =

+ B

+ C

dudv

nên ta đi đến công thức tính tích phân mặt loại II sau

Pdydz + Qdzdx + Rdxdy =

(AP + BQ + CR)dudv.

• Nếu véc tơ

N = r

∧ r

= (A, B, C) cùng phương, ngược hướng với

n, tức là, ngược

hướng vói phía đã chọn của S thì

cos α = −

√

+ B

+ C

cos β = −

√

+ B

+ C

cos γ = −

√

+ B

+ C

Do đó,

Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = −

(AP + BQ + CR)dudv.

Mặt cong cho bởi phương trình f (x, y, z) = 0

Giả sử

I =

Pdydz

{z }

Qdzdx

{z }

Rdxdy

| {z }

153

154 Chương 5. Tích phân mặt

Người ta tính tích phân mặt loại II bằng cách đưa về tích phân kép. Chẳng hạn xét tích

phân I

. Giả sử mặt S có phương tr ình z = z(x, y), z(x, y) cùng với các đạo hàm riêng

của chúng liên tục trên miền D là hình chiếu của S lên mặt phẳng Oxy. Khi đó, véc tơ

N = r

∧ r

= (−z

′

, −z

′

, 1). Véc tơ

N này lập với Oz một góc nhọn (Tại sao?

(1)

) Do đó, để

thuận lợi cho việc xác định xem

N cùng hướng hay ngược hướng với

n, người ta xét góc

giữa

n và Oz.

• Nếu vectơ pháp tuyến đơn vị theo hướng dương

−→

n t ạo với Oz một góc nhọn thì

Rdxdy =

(AP + BQ + CR)dxdy =

(

x, y, z

(

x, y

))

dxdy

• Nếu vectơ pháp tuyến đơn vị theo hướng dương

−→

n t ạo với Oz một góc tù thì

Rdxdy = −

(

x, y, z

(

x, y

))

dxdy

T ích phân I

, I

được đưa về tích phân kép một cách tương tự.

Bài tập

Bài tập 5.4.

T ính



+ y



dxdy

, trong đó

là nửa mặt cầu

+ y

+ z

= 1, z > 0

hướng của

là phía ngoài mặt cầu .

D : x

+ z

≤ a

−→

n (x, y, z)

Hình 5.4

Lời giải. Ta có mặt z =

1 − x

−y

, hình chiếu của S lên mặt phẳng Oxy là miền D :

(1)

vì

k = (−Z

′

, −z

′

, 1).(0, 0, 1) = 1 = |

N|.|

k|. cos(

N, Oz) ⇒ cos(

N, Oz) > 0 ⇒ (

N, Oz) <

154

2. Tích phân mặt loại II 155

+ y

≤ 1, hơn nữa

−→

n t ạo với Oz một góc nhọn nên:

I =

1 − x

−y



+ y



dxdy

đặt







x = r cos ϕ

y = r sin ϕ

⇒0 ≤ ϕ ≤ 2π, 0 ≤ r ≤ 1

2π

dϕ

1 −r

4π

Bài tập 5.5.

T ính

ydxdz + z

dxdy

trong đó

là phía ngoài mặt

+ z

= 1, x >

0, y > 0, z > 0

−→

n (x, y, z)

Hình 5.5

Lời giải. Tính I

ydxdz.

• Mặt S : y = 2

√

1 − x

−z

• Hình chiếu của S lên Oxz là

hình tròn, D

: x

+ z

≤ 1, x ≥ 0, z ≥ 0.

• β = (

−→

n , Oy là góc nhọn.

155

156 Chương 5. Tích phân mặt

Do đó

I =

1 − x

−z

dxdz

đặt







x = r cos ϕ

z = r sin ϕ

⇒0 ≤ ϕ ≤

, 0 ≤ r ≤ 1

dϕ

1 −r

rdr

T ính I

dxdy.

• Mặt S : z

= 1 − x

−

• Hình chiếu của S lên Oxz là

elip, D

: x

≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0.

• γ = (

−→

n , Oz là góc nhọn.

Do đó

I =

1 − x

−

dxdy

đặt







x = r cos ϕ

y = 2r sin ϕ

⇒0 ≤ ϕ ≤

, 0 ≤ r ≤ 1, J = −2r

dϕ

(1 −r

)2rdr

Vậy I =

7π

Bài tập 5.6.

T ính

zdxdy

trong đó

là mặt trên củ a nửa mặt cầu

+ y

+ z

, z ≤ 0

156

2. Tích phân mặt loại II 157

Hình 5.6

Lời giải. Ta có:

• Mặt S : z = −

− x

−y

• Hình chiếu của S lên Oxy là hình tròn, D : x

+ y

≤ R

• β = (

−→

n , Oz) là góc nhọn.

Do đó

I = −

− x

−y

dxdy

đặt







x = r cos ϕ

y = r sin ϕ

⇒0 ≤ ϕ ≤ 2π, 0 ≤ r ≤ R, J = −r

I =

2π

dϕ

sin

ϕ cos

−r

= −

105

2.4 Công thức Ostrogradsky

Giả sử P, Q, R là các hàm khả vi, liên tục trên miền bị chặn, đo được trong V ⊂ R

. V

giới hạn bởi mặt cong kín S trơn hay trơn từng mảnh, khi đó:

Pdydz + Qdzdx + Rdxdy =

ZZZ



∂P

∂x

∂Q

∂y

∂R

∂z



dxdydz,

trong đó tích phân ở vế trái lấy theo hướng pháp tuyến ngoài.

Chú ý:

157

158 Chương 5. Tích phân mặt

• Nếu tích phân ở vế trái lấy theo hướng pháp tuyến trong thì

Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = −

ZZZ



∂P

∂x

∂Q

∂y

∂R

∂z



dxdydz.

• Nếu mặt cong S không kín, có thể bổ sung thành mặt cong S

′

kín để áp dụng công

thức Ostrogradsky, rồi trừ đi phần bổ sung.

Bài tập 5.7.

T ính

xdydz + ydzdx + zdxdy

trong đó

là phía ngoài của mặt cầu

+ z

= a

−→

n (x, y, z)

Hình 5.7

Lời giải. Áp dụng công thức Ostrogradsky ta có

xdydz + ydzdx + zdxdy =

ZZZ

3dxdydz = 3V = 4πa

Bài tập 5.8.

T ính

dydz + y

dzdx + z

dxdy

trong đó

là phía ngoài của mặt cầu

+ z

= R

158

2. Tích phân mặt loại II 159

Lời giải. Xem hình vẽ 5.7, áp dụng công thức Ostrogradsky ta có:

I =

ZZZ



+ y

+ z



dxdydz

đặt











x = r sin θ cos ϕ

y = r sin θ sin ϕ

z = r cos θ

⇒











0 ≤ ϕ ≤ 2π

0 ≤ θ ≤ π

0 ≤ r ≤ R

, J = −r

sin θ

I = 3

2π

dϕ

dθ

sin θdr

12πR

Bài tập 5.9.

T ính

zdxdy + xzdydz + x

ydxdz

trong đó

là phía ngoài của miền

x ≤

0, y ≤ 0, x

+ y

≤ 1, z ≤ x

+ y

Hình 5.9

159

160 Chương 5. Tích phân mặt

Lời giải. Áp dụng công thức Ostrogradsky ta có:

I =

ZZZ



+ z + x



dxdydz

đặt











x = r cos ϕ

y = r sin ϕ

z = z

⇒











0 ≤ ϕ ≤

0 ≤ r ≤ 1

0 ≤ z ≤ r

, J = −r

dϕ



+ z



rdr

Bài tập 5.10.

T ính

xdydz + ydzdx + zdxdy

trong đó

là phía ngoài của miền

(

z −1

)

+ y

, a 6 z 6 1, a > 0

−→

1 − aa −1

Hình 5.10

Lời giải. Áp dụng công thức Ostrogradsky ta có:

I =

ZZZ

3dxdydz = 3V = 3.

Bh = π

(

1 − a

)

2.5 Công thức Stokes

Giả sử S là mặt hai phía, đơn và trơn có biên giới là đường cong kín L. Giả sử

n là

hướng dương của pháp tuyến của S. Khi đó, ta xác định hướng dương trên biên giới L của

mặt S là hướng sao cho, một người đứng thẳng theo hướng pháp tuyến

n, đi theo hướng đó

thì thấy phần của mặt ở gần người đó nhất nằm ở phía tay trái.

160

2. Tích phân mặt loại II 161

Định lý 5.18 (Định lý Stokes).

Giả sử

là một mặt cong t rơn, có biên

∂S

là một đường

cong trơn. Giả thiết

P, Q, R

là các hàm số liên tục và có đạo hàm r iêng liên tục trong một

tập mở nào đó chứa

. Khi đó

∂S

Pdx + Qdy + Rdz =



∂R

∂y

−

∂Q

∂z



dydz +



∂P

∂z

−

∂R

∂z



dzdx +



∂Q

∂x

−

∂P

∂y



dxdy,

trong đó tích phân đường ở vế trái lấy theo hướng dương của

∂S

phù hợp với hướng dương

của mặt

2.6 Công thức liên hệ giữa tích phân mặt loại I và loại

[

P(x, y, z) cos α + Q(x, y, z) cos β + R(x, y, z) cos γ

]

P(x, y, z)dydz + Q(x, y, z)dzdx + R(x, y, z)dxdy,

(5.1)

trong đó cos α, cos β, cos γ là cosin chỉ phương của véctơ pháp tuyến đơn vị của mặt S.

Bài tập 5.11.

Gọi

là phần mặt cầu

+ y

+ z

= 1

nằm trong mặt trụ

+ x + z

0, y ≥ 0

, hướng

phía ngoài. Chứng minh rằn g

(x −y)dxdy + (y −z)dydz + (z − x)dxdz = 0.

161

162 Chương 5. Tích phân mặt

−1

Hình 5.11

Lời giải. Ta có y =

1 − x

−y

nên véctơ pháp tuyến của S là

−→

n = ±(−y

′

, 1, −y

′

). Vì

(

−→

n , Oy) <

nên

−→

n = (−y

′

, 1, −y

′

) =



√

1 − x

−z

, 1,

√

1 − x

−z



Do đó |

−→

n | =

1−x

−z

+ 1 +

1−x

−z

√

1−x

−z

. Vậy











cos α = cos(

−→

n , Ox) =

−→

n |

= x

cos β = cos(

−→

n , Oy) =

−→

n |

= y

cos γ = cos(

−→

n , Oz) =

−→

n |

= z

Áp dụng công thức liên hệ giữa tích phân mặt loại I và II 5.1 ta có

I =

[

(x −y) cos γ + (y − z) cos β + (z − x) cos α

]

(x −y)z + (y − z)x + (z − x)ydS

= 0.

162

2. Tích phân mặt loại II 163

Bài tập 5.12.

T ính tích phân mặt loại II

I =

xdydz + ydzdx + zdxdy,

trong đó

là phía ngoài mặt cầu

+ y

+ z

= a

[Đáp số] I = 4πa

Bài tập 5.13.

T ính tích phân mặt

ydzdx

, trong đó

là phía ngoài của mặt paraboloid

z = x

+ y

(0 ≤ z ≤ 2)

[Đáp số] I = 2π.

163

164 Chương 5. Tích phân mặt

164

CHƯƠNG 6

LÝ THUYẾT TRƯỜNG

§1. TRƯỜNG VÔ HƯỚNG

1.1 Định nghĩa

Định nghĩa 6.14.

Cho

Ω

là một tập con mở của

(hoặc

). Một hàm số

u : Ω → R

(x, y, z) 7→ u = u(x, y, z)

được gọi là một trường vô hướng xác định trên

Ω

Cho c ∈ R, khi đó mặt S = {(x, y, z) ∈ Ω|u(x, y, z) = c} được gọi là mặt mức ứng với giá trị

c (đẳng trị).

1.2 Đạo hàm theo hướng

Định nghĩa 6.15.

Cho

u = u(x, y, z)

là một trường vô hướng xác định trên

Ω

và

, y

, z

) ∈

Ω

. Giả thiết

−→

l = (a, b, c)

là một véctơ đơn vị bất kì trong

. Giới hạn (nếu có) của tỉ số

lim

t→0

u(M

+ t

= lim

t→0

u(x

+ ta, y

+ tb, z

+ tc) −u(x

, y

, z

)

(6.1)

được gọi là đạo hàm theo hướng

−→

tại

của trường vô hướng

và được kí hiệu là

∂u

∂

−→

)

Chú ý:

165

166 Chương 6. Lý thuyết trường

• Nếu

l không phải là véc tơ đơn vị thì giới hạn trong công thức 6.1 có thể được thay

bằng

lim

t→0

u(x

+ t cos α, y

+ t cos β, z

+ t cos γ) − u(x

, y

, z

)

trong đó cos α, cos β, cosγ là các cosin chỉ phương của

−→

l .

• Nếu

−→

l ↑↑ Ox thì

∂u

∂

−→

) =

∂u

∂x

• Đạo hàm theo hướng

−→

l tại điểm M

của trường vô hướng u thể hiện tốc độ biến

thiên của trường vô hướng u tại M

theo hướng

−→

l .

Định lý 6.19.

Nếu

u = u(x, y, z)

khả vi tại

M(x

, y

, z

)

thì nó có đạo hàm theo mọi hướng

−→

l 6= 0

tại

và

∂u

∂

−→

) =

∂u

∂x

). cos α +

∂u

∂y

). cos β +

∂u

∂z

). cos γ, (6.2)

trong đó

cos α, cos β, cosγ

là các cosin chỉ phương của

−→

Lời giải. Giả sử cos α = a, cos β = b, cos γ = c. Xét hàm số một b iết số

g(t) = u(x

+ ta, y

+ tb, z

+ tc).

Khi đó, theo định nghĩa,

′

(0) = lim

t→0

g(t) − g(0)

= lim

t→0

u(x

+ ta, y

+ tb, z

+ tc) −u(x

, y

, z

)

∂u

∂

Mặt khác, g(t) có thể viết dưới dạng g(t) = u(x, y, z), ở đó x = x

+ ta, y = y

+ tb, z =

+ tc. Vì vậy, theo công thức đạo hàm của hàm hợp,

′

(h) =

∂u

∂x

∂h

∂u

∂y

∂h

∂u

∂z

∂h

= u

(x, y, z).a + u

(x, y, z).b + u

(x, y, z).c

Thay t = 0 vào phương trình trên, ta có x = x

, y = y

, z = z

, và

∂u

∂

) = u

).a + u

).b + u

).c.

1.3 Gradient

Định nghĩa 6.16.

Cho

u(x, y, z)

là trường vô hướng có các đạo hàm riêng tại

, y

, z

)

Người ta gọi gradient của

tại

là véctơ



∂u

∂x

∂u

∂y

∂u

∂z

)



và được kí hiệu là

−−→

gradu(M

)

166

1. Trường vô hư ớng 167

Định lý 6.20.

Nếu trường vô hướng

u(x, y, z)

khả vi tại

thì tại đó ta có

∂u

∂

) =

−−→

gradu.

Chú ý:

∂u

∂

) thể hiện tốc độ biến thiên của trường vô hướng u tại M

theo hướng

Từ công thức

∂u

∂

) =

−−→

gradu.

l =



−−→

gradu



. cos



−−→

gradu,



ta có



∂u

∂

)



đạt giá trị lớn

nhất bằng



−−→

gradu



nếu

l có cùng phương với

−−−→

grad u. Cụ thể

• Theo hướng

l, trường vô hướng u tăng nhanh nhất tại M

nếu

l có cùng phương, cùng

hướng với

−−−→

grad u.

• Theo hướng

l, trường vô hướng u giảm nhanh nhất tại M

nếu

l có cùng phương,

ngược hướng với

−−−→

grad u.

1.4 Bài tập

Bài tập 6.1. Tính đạo hàm theo hướng

−→

l của u = x

+ 2y

− 3z

tại A(2, 0, 1),

−→

l =

−→

AB, B(1, 2, −1).

Lời giải. Ta có

−→

AB = (−1, 2, −2) nên

cos α =

−1

−→

AB|

−1

∂u

∂x

= 3x

⇒

∂u

∂x

(A) = 12

cos β =

−→

AB|

∂u

∂y

= 6y

⇒

∂u

∂x

(A) = 0

cos γ =

−2

−→

AB|

−2

∂u

∂z

= −9z

⇒

∂u

∂x

(A) = −9

Áp dụng công thức 6.2 ta có

∂u

∂

−→

(A) = 12.

−1

+ 0.

+ (−9).

−2

= 2

Bài tập 6.2. Tính mônđun của

−−→

gradu với u = x

+ y

+ z

−3xyz tại A(2, 1, 1). Khi nào thì

−−→

gradu⊥Oz, khi nào

−−→

gradu = 0.

Lời giải. Ta có

−−→

gradu =



∂u

∂x

∂u

∂y

∂u

∂z



= (3x

= 3yz, 3y

−3zx, 3z

−3xy)

nên

−−→

gradu = (9, − 3, −3) và



−−→

gradu



√

+ 3

= 3

√

11.

167

168 Chương 6. Lý thuyết trường

•

−−→

gradu⊥Oz ⇔

−−→

gradu,

−→

= 0 ⇔

∂u

∂x

= 0 ⇔ z

= xy

•

−−→

gradu = 0 ⇔











= yz

= zx

= xy

⇔ x = y = z

Bài tập 6.3. Tính

−−→

gradu với u = r

+ ln r và r =

+ y

+ z

Bài tập 6.4. Theo hướng nào thì sự biến thiên của hàm số u = x sin z −y cos z từ gốc toạ

độ O(0, 0) là lớn nhất?

Lời giải. Từ công thức

∂u

∂

(O) =

−−→

gradu.

l =



−−→

gradu



. cos



−−→

gradu,



ta có



∂u

∂

(O)



đạt giá

trị lớn nhất bằng



−−→

gradu



nếu

l có cùng phương với

−−→

gradu(O) = (0, −1, 0).

Bài tập 6.5. Tính góc giữa hai véctơ

−−→

gradz của các hàm z =

+ y

, z = x − 3y +

3xy

tại M(3, 4).

Lời giải. Ta có

•

−−→

gradz



√



nên

−−→

gradz

(M) =





•

−−→

gradz



1 +

√

, −3 +

√



nên

−−→

gradz

(M) =



2, −



. Vậy

cos α =

−−→

gradz

−−→

gradz



−−→

gradz



−−→

gradz



−12

√

145

168

2. Trường véctơ 169

§2. TRƯỜNG VÉCTƠ

2.1 Định nghĩa

Cho Ω là một miền mở trong R

. Một hàm véctơ

−→

F : Ω → R

M 7→

−→

F =

−→

F (M),

trong đó

−→

F = F

(M)

−→

i + F

(M)

−→

j + F

(M)

−→

2.2 Thông lượng, dive, trường ống

a. Thông lượng: Cho S là một mặt định hướng và

−→

F là một trường véctơ. Đại lượng

φ =

dydz + F

dzdx + F

dxdy (6.3)

được gọi là thông lượng của

−→

F đi qua mặt cong S.

b. Dive: Cho

−→

F là một trường véctơ có thành phần F

, F

là các hàm số có đạo hàm

riêng cấp một thì tổng

∂F

∂x

∂F

∂y

∂F

∂z

được gọi là dive của trường véctơ

−→

F và kí hiệu

là div

−→

F .

c. Trường véctơ

−→

F xác định trên Ω được gọi là một trường ống nếu div

−→

F (M) = 0 với

mọi M ∈ Ω.

Tính chất: Nếu

−→

F là một trường ống thì thông lượng đi vào bằng thông lượng đi ra.

2.3 Hoàn lưu, véctơ xoáy

a. Hoàn lưu: Cho C là một đường cong (có thể kín hoặc không kín) trong không gian.

Đại lượng

dx + F

dy + F

dz (6.4)

được gọi là hoàn lưu của

−→

F dọc theo đường cong C.

b. Véctơ xoáy: Véctơ

−→

rot

−→

F :=







−→

∂

∂x

∂

∂y

∂

∂z







được gọi là véctơ xoáy (hay véctơ rota) của trường véctơ

−→

F .

169

170 Chương 6. Lý thuyết trường

2.4 Trường thế - hàm thế vị

Trường véctơ

−→

F được gọi là trường thế (trên Ω) nếu tồn tại trường vô hướng u sao cho

−−→

gradu =

−→

F (trên Ω). Khi đó hàm u được gọi là hàm thế vị.

Định lý 6.21.

Điều kiện cần và đủ để trường véctơ

−→

F =

−→

F (M)

là một trường thế (trên

Ω

) là

−→

rot

−→

F (M) = 0

với mọi

M ∈ Ω

Chú ý: Nếu

−→

F là trường thế thì hàm thế vị u được tính theo công thức

u =

(x, y

, z

)dx +

(x, y, z

)dy +

(x, y, z)dz + C (6.5)

2.5 Bài tập

Bài tập 6.6. Trong các trường sau, trường nào là trường thế?

−→

a = 5(x

−4xy)

−→

i + (3x

−2y)

−→

j +

−→

k .

−→

a = yz

−→

i + xz

−→

j + xy

−→

k .

−→

a = (x + y)

−→

i + (x + z)

−→

j + (z + x)

−→

k .

Lời giải. a. Ta có

−→

rot

−→

a =



∂

∂y

∂

∂z

Q R



∂

∂z

∂

∂x

R P



∂

∂x

∂

∂y

P Q



= (0, 0, 6x −20y) 6= 0

nên trường đã cho không phải là trường thế.

b. Ngoài cách tính

−→

rot

−→

a , sinh viên có thể dễ dàng nhận thấy tồn tại hàm thế vị u = xyz

nên

−→

a là trường thế.

c. Ta có

−→

rot

−→

a =



∂

∂y

∂

∂z

Q R



∂

∂z

∂

∂x

R P



∂

∂x

∂

∂y

P Q



= (0, 0, 0)

nên

−→

a là trường thế. Hàm thế vị được tính theo công thức 6.5:

u =

(t, y

, z

)dt +

(x, t, z

)dt +

(x, y, t)dt + C

tdt +

(x + 0)dt +

(t + y)dt + C

+ xy +

+ yz + C

170

2. Trường véctơ 171

Bài tập 6.7. Cho

−→

F = xz

−→

i +

−→

j + zy

−→

k . Tính thông lượng của

−→

F qua mặt cầu S :

+ y

+ z

= 1 hướng ra ngoài.

Lời giải. Theo công thức tính thông lượng 6.3 ta có

φ =

dydz + yx

dxdz + zy

dxdy

Áp dụng công thức Ostrogradsky ta có

φ =

ZZZ

+ y

+ z

)dxdydz

Thực hiện phép đổi biến trong toạ độ cầu











x = r sin θ cos ϕ

y = r sin θ sin ϕ

z = r cos θ











0 ≤ ϕ ≤ 2π

0 ≤ θ ≤ π

0 ≤ r ≤ 1

, J = −r

sin θ

ta có

φ =

2π

dϕ

dθ

sin θdr =

4π

Bài tập 6.8. Cho

−→

F = x(y + z)

−→

i + y(z + x)

−→

j + z(x + y)

−→

k và L là giao tuyến của mặt

trụ x

+ y

+ y = 0 và nửa mặt cầu x

+ y

+ z

= 2, z ≥ 0. Chứng minh rằng lưu số của

−→

dọc theo L bằng 0.

Lời giải. Theo công thức tính lưu số 6.4

I =

x(y + z)dx + y(z + x)dy + z(x + y)dz

Áp dụng công thức Stokes ta có

I =



∂

∂y

∂

∂z

Q R



dydz +



∂

∂z

∂

∂x

R P



dzdx +



∂

∂x

∂

∂y

P Q



dxdy

(z −y)dydz + (x −z)dzdx + (y −x)dxdy

= 0 (theo bài tập 5.11).

171

Bấm Tải xuống để xem toàn bộ.

| 1/173

| | Tải xuống

Preview text:

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC TS. BÙI XUÂN DIỆU Bài Giảng GIẢI TÍCH II (lưu hành nội bộ)
CÁC ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH VI PHÂN, TÍCH PHÂN BỘI, TÍCH PHÂN
PHỤ THUỘC THAM SỐ, TÍCH PHÂN ĐƯỜNG, TÍCH PHÂN MẶT, LÝ THUYẾT TRƯỜNG
Tóm tắt lý thuyết, các ví dụ, bài tập và lời giải Hà Nội- 2017
(bản cập nhật Ngày 28 tháng 8 năm 2017)
Tập Bài giảng vẫn đang trong quá trình hoàn thiện và có thể chứa những lỗi đánh
máy, những lỗi kí hiệu và những chỗ sai chưa được kiểm tra hết. Tác giả mong nhận được
sự đóng góp ý kiến để tập Bài giảng được hoàn thiện. Mọi ý kiến đóng góp xin vui lòng gửi
về địa chỉ “dieu.buixuan@hust.edu.vn”
Hà Nội, Ngày 28 tháng 8 năm 2017. MỤC LỤC
Mục lục. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Chương 1 . Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học. . . . . . . 5 1
Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học phẳng . . . . . . . . . . 5 1.1
Đường cong trong mặt phẳng R2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2
Độ cong của đường cong. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3
Hình bao của họ đường cong phụ thuộc một tham số . . . . . . . . . . 9 2
Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học không gian . . . . . . . 13 2.1
Hàm véctơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2
Đường cong trong không gian R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.3
Độ cong của đường cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.4
Mặt cong trong không gian R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.5
Đường cong cho dưới dạng giao của hai mặt cong . . . . . . . . . . . . 18
Chương 2 . Tích phân bội . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1
Tích phân kép . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.1
Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.2
Tính tích phân kép trong hệ toạ độ Descartes . . . . . . . . . . . . . . 28 1.3
Phép đổi biến số trong tích phân kép . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 1.4
Bài tập ôn tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2
Tích phân bội ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.1
Định nghĩa và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.2
Tính tích phân bội ba trong hệ toạ độ Descartes . . . . . . . . . . . . 54 2.3
Đổi biến số trong tích phân bội ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 2.4
Bài tập ôn tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 3
Các ứng dụng của tích phân bội . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 3.1
Tính diện tích hình phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 3.2
Tính thể tích vật thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 3.3
Tính diện tích mặt cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 1 2 MỤC LỤC 3.4
Bài tập ôn tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
Chương 3 . Tích phân phụ thuộc tham số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 1
Tích phân xác định phụ thuộc tham số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 1.1
Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 1.2
Các tính chất của tích phân xác định phụ thuộc tham số. . . . . . . . 91 1.3
Các tính chất của tích phân phụ thuộc tham số với cận biến đổi. . . . 94 1.4
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 2
Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 2.1
Các tính chất của tích phân suy rộng phụ thuộc tham số. . . . . . . . 98 2.2
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 2.3
Một số tích phân quan trọng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 2.4
Bài tập ôn tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 3
Tích phân Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 3.1
Hàm Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 3.2
Hàm Beta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 3.3
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
Chương 4 . Tích phân đường. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 1
Tích phân đường loại I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 1.1
Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 1.2
Các công thức tính tích phân đường loại I . . . . . . . . . . . . . . . . 124 1.3
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 1.4
Bài tập ôn tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 2
Tích phân đường loại II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 2.1
Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 2.2
Các công thức tính tích phân đường loại II . . . . . . . . . . . . . . . . 128 2.3
Công thức Green. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 2.4
Ứng dụng của tích phân đường loại II . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 2.5
Điều kiện để tích phân đường không phụ thuộc đường lấy tích phân. 139
Chương 5 . Tích phân mặt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 1
Tích phân mặt loại I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 1.1
Diện tích mặt cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 1.2
Bài toán dẫn đến tích phân mặt loại I . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 1.3
Các công thức tính tích phân mặt loại I . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 1.4
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 2
Tích phân mặt loại II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 2.1
Định hướng mặt cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 2.2
Bài toán dẫn đến tích phân mặt loại II . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 2 MỤC LỤC 3 2.3
Các công thức tính tích phân mặt loại II . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 2.4
Công thức Ostrogradsky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 2.5
Công thức Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 2.6
Công thức liên hệ giữa tích phân mặt loại I và loại II . . . . . . . . . 161
Chương 6 . Lý thuyết trường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 1
Trường vô hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 1.1
Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 1.2
Đạo hàm theo hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 1.3
Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 1.4
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 2
Trường véctơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 2.1
Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 2.2
Thông lượng, dive, trường ống . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 2.3
Hoàn lưu, véctơ xoáy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 2.4
Trường thế - hàm thế vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 2.5
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 3 4 MỤC LỤC 4 1 CHƯƠNG
CÁC ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH VI PHÂN TRONG HÌNH HỌC
§1. CÁC ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH VI PHÂN TRONG HÌNH HỌC PHẲNG
1.1 Đường cong trong mặt phẳng R2.
Ở chương trình học phổ thông, chúng ta đã làm quen với khái niệm đường cong cho bởi
phương trình y = f (x), chẳng hạn như đường parabol y = x2, đường cong bậc ba y = x3.
Tuy nhiên, không phải lúc nào cũng "may mắn" biểu diễn một đường cong được dưới dạng
y = f (x), vì có thể với một giá trị x = x , ứng với nó có hai hoặc nhiều hơn giá trị 0 y tương
ứng. Chẳng hạn như, tưởng tượng rằng có một hạt chuyển động dọc theo đường cong C
như hình vẽ dưới đây. Đường cong C này không thể biểu diễn được dưới dạng y = f (x).
Tuy nhiên, các tọa độ x và y của hạt này là một hàm số phụ thuộc thời gian t. Chính vì vậy
sẽ là thuận lợi nếu ta biểu diễn đường cong C dưới dạng x = f (t), y = g(t). Đây chính là 5 6
Chương 1. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học
phương trình đường cong cho dưới dạng tham số đã được giới thiệu ở học phần Giải tích I.
Ví dụ 1.1 (Đường Cycloid). Giả sử có một bánh xe hình tròn và cố định một điểm P trên
bánh xe đó. Cho bánh xe đó lăn không trượt trên một đường thẳng. Quỹ tích điểm P đó
được gọi là đường Cycloid. Hãy viết phương trình tham số của đường cong này. y (πa, 2a) a y θ x x a θ 2πa
[Lời giải] Giả sử bánh xe có bán kính r và điểm xuất phát của P là gốc tọa độ, đồng
thời cho bánh xe lăn không trượt trên trục Ox. Gọi θ là góc quay của bánh xe (θ = 0 nếu P
ở gốc tọa độ). Khi đó, vì bánh xe lăn không trượt, nên
OT = độ dài cung PT = rθ. Do đó, 
x = |OT| − |PQ| = rθ − r sin θ = r(θ − sin θ)
y = |TC| − |QC| = r − r cos θ = r(1 − cos θ).
Một số điều thú vị về đường Cycloid.
• Một trong những người đầu tiên nghiên cứu đường cong Cycloid là Galileo. Ông đề
xuất rằng các cây cầu nên được xây theo đường cong Cycloid và cũng là người đi tìm
diện tích của miền nằm phía dưới một cung Cycloid. 6
1. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học phẳng 7
• Đường cong Cycloid này về sau xuất hiện trong bài toán "Brachistochrone" sau. Cho
hai điểm A và B sao cho điểm A cao hơn điểm B. Hãy tìm đường cong nối A với B
sao cho khi ta thả một viên bi từ A, viên bi chạy theo đường cong đó (dưới tác dụng
của lực hấp dẫn) từ A đến B với thời gian ngắn nhất. Nhà toán học người Thụy Sĩ,
John Bernoulli đã chỉ ra rằng, trong số tất cả các đường cong nối A với B thì viên bi
sẽ mất ít thời gian nhất để lăn từ A đến B nếu nó đi theo đường Cycloid.
• Nhà vật lý người Hà Lan, Huyghens, cũng đã chỉ ra rằng đường cong Cycloid là lời
giải cho bài toán "Tautochrone" sau. Cho dù đặt viên bi ở đâu trên cung Cycloid
ngược thì nó cũng mất một khoảng thời gian như nhau để lăn về đáy. Điều này được
ứng dụng khi ông phát minh ra đồng hồ quả lắc. Ông đề xuất rằng quả lắc nên được
lắc theo cung Cycloid, bởi vì khi đó con lắc sẽ mất một khoảng thời gian như nhau
để hoàn thành một chu kì dao động, cho dù là nó lắc theo một cung dài hay là ngắn. 1. Điểm chính quy.
• Cho đường cong (L) xác định bởi phương trình f (x, y) = 0. Điểm M (x0, y0)
được gọi là điểm chính quy của đường cong (L) nếu tồn tại các đạo hàm riêng ′ ′
fx (M) , fy (M) không đồng thời bằng 0.  x = x (t)
• Cho đường cong (L) xác định bởi phương trình tham số y = y(t).
Điểm M (x (t0) , y (t0)) được gọi là điểm chính quy của đường cong (L) nếu tồn
tại các đạo hàm x′ (t0) , y′ (t0) không đồng thời bằng 0. 7 8
Chương 1. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học
• Một điểm không phải là điểm chính quy được gọi là điểm kì dị.
2. Phương trình tiếp tuyến và pháp tuyến của đường cong.
• Chúng ta biết rằng hệ số góc k của tiếp tuyến của đường cong C tại điểm M
chính là y′x(M). Do đó, nếu đường cong cho bởi phương trình f (x, y) = 0 thì nó
xác định một hàm ẩn y = y(x) và đạo hàm của nó tính theo công thức f ′ k = y′ x x = − . f ′y Vậy
– Phương trình tiếp tuyến tại M là f ′ (d) : y − y x(M) 0 = − (x − x f ′ 0) y(M) (1.1) ′ ′
⇔ fx (M) . (x − x0) + fy (M) . (y − y0) = 0.
– Phương trình pháp tuyến tại M là x − x y − y d′ : 0 = 0 . f ′x (M) f ′y (M)
Chú ý: Trường hợp đặc biệt, đường cong cho bởi phương trình y = f (x)
thì phương trình tiếp tuyến của đường cong tại điểm M(x0, y0) chính quy là
y − y0 = f ′(x0)(x − x0). Đây là công thức mà học sinh đã biết trong chương trình phổ thông.  x = x (t)
• Nếu đường cong (C) cho bởi phương trình tham số thì y = y (t) dy dy/dt y′ k = y′ t x = = = . dx dx/dt x′t Do đó,
– Phương trình tiếp tuyến tại điểm M (x (t0) , y (t0)) chính quy: y′(t x − x (t y − y (t (d) : y − y(t 0) 0) 0) 0) = (x − x(t = . x′(t 0) ⇔ 0) x′ (t0) y′ (t0)
Nói cách khác, véc tơ tiếp tuyến của đường cong C tại điểm M (x (t0) , y (t0)) là ~n = (x′(t0), y′(t0)).
– Phương trình pháp tuyến tại M:
d′ : x′ (t0) . (x − x (t0)) + y′ (t0) . (y − y (t0)) = 0. 8
1. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học phẳng 9
1.2 Độ cong của đường cong. 1. Định nghĩa.
2. Các công thức tính độ cong của đường cong tại một điểm.
• Nếu đường cong cho bởi phương trình y = f (x) thì: |y′′| C (M) = (1 + y′2)3/2  x = x (t)
• Nếu đường cong cho bởi phương trình tham số thì: y = y (t) x′ y′ x′′ y′′ C (M) = (x′2 + y′2)3/2
• Nếu đường cong cho bởi phương trình trong toạ độ cực r = r (ϕ) thì: r2 + 2r′2 − rr′′ C (M) = (r2 + r′2)3/2
1.3 Hình bao của họ đường cong phụ thuộc một tham số 1. Định nghĩa:
Định nghĩa 1.1. Cho họ đường cong (L) phụ thuộc vào một hay nhiều tham số. Nếu
mỗi đường cong trong họ (L) đều tiếp xúc với đường cong (E) tại một điểm nào đó
trên E và ngược lại, tại mỗi điểm thuộc (E) đều tồn tại một đường cong của họ (L)
tiếp xúc với (E) tại điểm đó thì (E) được gọi là hình bao của họ đường cong (L).
2. Quy tắc tìm hình bao của họ đường cong phụ thuộc một tham số.
Định lý 1.1. Cho họ đường cong F (x, y, c) = 0 phụ thuộc một tham số c. Nếu họ
đường cong trên không có điểm kì dị thì hình bao của nó được xác định bằng cách
khử c từ hệ phương trình  F (x, y, c) = 0 (1.2)  ′ Fc (x, y, c) = 0 9 10
Chương 1. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học
3. Nếu họ đường cong đã cho có điểm kì dị thì hệ phương trình (1.2) bao gồm hình bao
(E) và quỹ tích các điểm kì dị thuộc họ các đường cong đã cho.
Bài tập 1.1. Viết phương trình tiếp tuyến và pháp tuyến với đường cong:
a) y = x3 + 2x2 − 4x − 3 tại (−2, 5). 
Phương trình tiếp tuyến y = 5
Lời giải. Phương trình pháp tuyến x = −2
b) y = e1−x2tại giao điểm của đường cong với đường thằng y = 1 . 
Phương trình tiếp tuyến 2x − y + 3 = 0 Lời giải.
– Tại M1 (−1, 1), Phương trình pháp tuyến x +2y−1 = 0 
Phương trình tiếp tuyến – Tại 2x + y − 3 = 0
M2 (−1, 1), Phương trình pháp tuyến x −2y +1 = 0 ( c. x = 1+t t3 tại A(2, 2). y = 3 + 1 2t3 2t Lời giải.
– Phương trình tiếp tuyến y = x.
– Phương trình pháp tuyến x + y − 4 = 0. d. 2 2 x 3 + y 3 = 5 tại M(8, 1). Lời giải.
– Phương trình tiếp tuyến x + 2y − 10 = 0.
– Phương trình pháp tuyến 2x − y − 15 = 0.
Bài tập 1.2. Tính độ cong của:
a. y = −x3 tại điểm có hoành độ x = 1. 2 Lời giải. |y′′| 192 C (M) = = ... = (1 + y′2)3/2 125 ( b.
x = a (t − sin t) (a > 0) tại điểm bất kì. y = a (1 − cos t) 10
1. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học phẳng 11 Lời giải. x′ y′ x′′ y′′ 1 1 C (M) = = ... = √ √ (x′2 + y′2)3/2 2a 2 1 − cos t c. 2 2 2
x 3 + y 3 = a 3 tại điểm bất kì (a > 0). ( x = acos3 t
Lời giải. Phương trình tham số: , nên y = a sin3 t x′ y′ x′′ y′′ 1 C (M) = = ... = (x′2 + y′2)3/2 3a |sin t cos t|
d. r = aebϕ, (a, b > 0) Lời giải. r2 + 2r′2 − rr′′ 1 C (M) = = √ (r2 + r′2)3/2 aebϕ 1 + b2
Bài tập 1.3. Tìm hình bao của họ đường cong sau: a. y = x + c2 c b. cx2 + c2y = 1 c. y = c2 (x − c)2 Lời giải.
a. Đặt F (x, y, c) := y − xc − c2 = 0. Điều kiện: c 6= 0. ( ( Xét hệ phương trình: F′x (x, y, c) = 0 F′ ⇔ x (x, y, c) = 0 F′y (x, y, c) = 0 1 = 0.
Hệ phương trình vô nghiệm nên họ đường cong không có điểm kì dị. Ta có ( ( ( F (x, y, c) = 0 y − x x = 2c3 ⇔ c − c2 = 0 ⇔ F′c (x, y, c) = 0 −2c + x = 0 y = 3c2 c2 nên x 2 3 = 0. Do điều kiện c 2 − y3
6= 0 nên x, y 6= 0. Vậy ta có hình bao của họ đường cong là đường x 2 3 = 0 trừ điểm O (0, 0). 2 − y3 11 12
Chương 1. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học
b. Đặt F (x, y, c) := cx2 + c2y − 1 = 0. Nếu c = 0 thì không thoả mãn phương trình đã
cho nên điều kiện: c 6= 0. ( ( Xét hệ phương trình: F′x (x, y, c) = 0 2cx = 0 ⇔
⇔ x = c = 0, nhưng điểm kì F′y (x, y, c) = 0 c2 = 0
dị đó không thuộc họ đường cong đã cho nên họ đường cong đã cho không có điểm kì dị. Ta có ( ( ( F (x, y, c) = 0 cx2 + c2y = 1 x = 2 ⇔ ⇔ c F′c (x, y, c) = 0 x2 + 2cx = 0 y = −1 c2
Do đó x, y 6= 0 và ta có hình bao của họ đường cong là đường y = −x4 trừ điểm O(0, 0). 4
c. Đặt F (x, y, c) := c2 (x − c)2 − y = 0. ( ( Xét hệ phương trình: F′x (x, y, c) = 0 F′ ⇔ x = 0 F′y (x, y, c) = 0 −1 = 0.
Hệ phương trình vô nghiệm nên họ đường cong đã cho không có điểm kì dị. Ta có   F (x, y, c) = 0 c2 (x − c)2 − y = 0 (1) ⇔ F′  c (x, y, c) = 0
2c (x − c) − 2c2 (x − c) = 0. (2)  c = 0 ( 
2) ⇔  c = x , thế vào (1) ta được y = 0, y = x4 . 16 c = x2
Vậy hình bao của họ đường cong là y = 0, y = x4 . 16 12
2. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học không gian 13
§2. CÁC ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH VI PHÂN TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 2.1 Hàm véctơ
Giả sử I là một khoảng trong R. −−→
• Ánh xạ I → Rn, t 7→ r (t) ∈ Rn được gọi là hàm véctơ của biến số t xác định trên R. Nếu n = 3, ta viết −−→ − → − → − →
r (t) = x (t) . i + y (t) . j + z (t) . k .
Đặt M (x (t) , y (t) , z (t)), quỹ tích M khi t biến thiên trong I được gọi là tốc đồ của hàm véctơ −−→ r (t).
• Giới hạn: Người ta nói hàm véctơ có giới hạn là − → a khi t → t nếu 0 −−→ − → lim r (t) − − → a = 0 , t→t0 kí hiệu −−→ lim r (t) = − → a . t→t0
• Liên tục: Hàm véctơ −−→
r (t) xác định trên I được gọi là liên tục tại t0 ∈ I nếu −−→ −−→ lim r (t) = r (t0). t→t0
(Tuơng đương với tính liên tục của các thành phần tương ứng x (t) , y (t) , z (t))
• Đạo hàm: Giới hạn, nếu có, của tỉ số ∆− → r − → r (t lim = lim 0 + h) − − → r (t0) h→0 h h→0 h
được gọi là đạo hàm của hàm véctơ −−→ r (t) tại t , kí hiệu − → , khi đó ta 0 r ′ (t0) hay d− → r (t0) dt nói hàm véctơ −−→ r (t) khả vi tại t . 0
Nhận xét: nếu x (t) , y (t) , z (t) khả vi tại t thì −−→ và 0 r (t) cũng khả vi tại t0 − → − → − → − →
r ′ (t0) = x′ (t0) . i + y′ (t0) . j + z′ (t0) . k .
2.2 Đường cong trong không gian R3
Tương tự như cách chúng ta biểu diễn đường cong trong không gian R2 bởi phương
trình tham số, mỗi đường cong trong không gian R3 được định nghĩa, một cách đơn giản, là một hàm véc tơ
γ : [a, b] → R3, γ(t) = x(t).~i + y(t).~j + z(t).~k. 13 14
Chương 1. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học
Đường cong γ được gọi là trơn nếu như tồn tại γ′(t) liên tục và γ′(t) 6= 0 với mọi t ∈  x = x(t)
[a, b]. Nếu như trong mặt phẳng, một véc tơ tiếp tuyến của đường cong là y = y(t) ~
n = (x′(t), y′(t)) thì trong không gian, một cách hoàn toàn tương tự, một véc tơ tiếp tuyến
của đường cong γ(t) = x(t).~i + y(t).~j + z(t).~k là γ′(t) = x′(t).~i + y′(t).~j + z′(t).~k. Do đó,
• Phương trình tiếp tuyến của γ tại điểm M(x0, y0, z0) chính quy: x − x (t y − y (t z − z (t (d) : 0) = 0) = 0) . x′ (t0) y′ (t0) z′ (t0)
• Phương trình pháp diện tại M:
(P) : x′ (t0) . (x − x (t0)) + y′ (t0) . (y − y (t0)) + z′ (t0) . (z − z (t0)) = 0.
2.3 Độ cong của đường cong
Cho đường cong γ = γ(t). Khi đó, véc tơ tiếp tuyến đơn vị ~N(t) được xác định bởi ~ γ′(t) N(t) = . |γ′(t)|
Véc tơ này xác định hướng của đường cong như hình vẽ dưới đây.
Độ cong của đường cong tại một điểm P là một đại lượng đo "tốc độ" thay đổi hướng của
đường cong tại điểm P đó. Một cách cụ thể, người ta định nghĩa độ cong của đường cong
tại điểm P là "tốc độ" thay đổi của véc tơ tiếp tuyến đơn vị theo độ dài cung tại điểm P đó.
Định nghĩa 1.2. Độ cong của đường cong γ là d~N C = , ds
ở đó ~N là véc tơ tiếp tuyến đơn vị của γ. 14
2. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học không gian 15 Ta có d~N d~N/dt C = = . ds ds/dt
Vì độ dài của cung γ được tính theo công thức b Z q b Z s = (x′)2 + ( )2 + ( )2 t y′t z′t dt = |γ′(t)|dt, a a nên t Z s(t) = |γ′(u)|du a
là phần độ dài của cung nằm giữa γ(a) và γ(t). Lấy đạo hàm hai vế phương trình này theo t ta được ds = |γ′(t)|. dt Do đó, |~N′(t)| C = . |γ′(t)|
Định lý 1.2. Độ cong của đường cong γ được cho bởi công thức v u u 2 2 2 t y′ z′ z′ x′ x′ y′ + +
|γ′(t) ∧ γ′′(t)| y′′ z′′ z′′ x′′ x′′ y′′ C(t) = = . |γ′(t)|3 3 (x′2 + y′2 + z′2) 2 Lời giải. Ta có ~ γ′(t) N(t) = |γ(t)| nên N′(t) =
2.4 Mặt cong trong không gian R3
Tương tự như cách chúng ta biểu diễn đường cong trong không gian bởi một hàm véc tơ
một tham số r(t) = x(t).~i + y(t).~j + z(t).~k, mỗi mặt cong trong không gian được biểu diễn tham số dưới dạng
r(u, v) = x(u, v).~i + y(t).~j + z(t).~k,
tức là một hàm véc tơ phụ thuộc vào hai tham số u, v. 15 16
Chương 1. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học
Định nghĩa 1.3. Tập hợp tất cả các điểm (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) ∈ R3 sao cho (u, v) biến
thiên trong miền D ⊂ R2 được gọi là một mặt cong cho bởi phương trình tham số.
Ví dụ 2.2. Mỗi mặt phẳng ax + by + cz + d = 0 trong không gian có một tham số tự nhiên     x = u, y = v, D = R2.    z = −d+ax+by, c
Ví dụ 2.3. Mỗi mặt cầu x2 + y2 + z2 = R2 trong không gian đều có một tham số tự nhiên là     x = u, y = v,
D = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ R2}.     p z = ± R2 − x2 − y2,
và một tham số trong tọa độ cầu    
x = R sin θ cos ϕ,
y = R sin θ sin ϕ,
D = {(ϕ, θ) ∈ R2 : 0 ≤ ϕ ≤ 2π, 0 ≤ θ ≤ π.}    z = R cos θ,
Như vậy, phương trình tham số của một mặt cong có thể không duy nhất.
Phương trình tiếp diện của mặt cong cho bởi phương trình tham số
Bài toán: Tìm mặt phẳng tiếp diện của mặt cong S cho bởi phương trình tham số
r(u, v) = x(u, v).~i + y(t).~j + z(t).~k tại điểm P ứng với . 0 u = u0, v = v0 16
2. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học không gian 17
[Lời giải] Nếu ta cố định u = u thì 0
r(u0, v) xác định một đường cong C1 ⊂ S trong
không gian. Tiếp tuyến với đường cong này tại P có véc tơ chỉ phương là 0 ∂x ∂y ∂z rv = (u (u (u ∂v
0, v0).~i + ∂v 0, v0).~j + ∂v 0, v0).~k.
Tương tự như vậy, nếu ta cố định v = v thì 0
r(u, v0) xác định một đường cong C2 ⊂ S trong
không gian. Tiếp tuyến với đường cong này tại P có véc tơ chỉ phương là 0 ∂x ∂y ∂z ru = (u (u (u ∂u
0, v0).~i + ∂u 0, v0).~j + ∂u 0, v0).~k.
Lấy tích có hướng của r và
ta được véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng tiếp diện của mặt u rv
cong S tại điểm P . Nếu tại , . 0
P0 ru ∧ rv 6= 0 thì ta nói mặt cong S là trơn tại P0
Chú ý 1.1. Đường thẳng đi qua P và vuông góc với tiếp diện của được gọi là pháp 0 S tại P0
tuyến của mặt S tại P . Nó nhận véc tơ ~ làm véc tơ chỉ phương. 0 N = ru ∧ rv
Ví dụ 2.4. Viết phương trình tiếp diện của mặt cong cho bởi phương trình tham số x =
u2, y = v2, z = u + 2v tại điểm (1, 1, 3). [Lời giải] Ta có ∂x ∂y ∂z ru = .~i + .~j + .~k = 2u.~i +~k, ∂u ∂u ∂u ∂x ∂y ∂z rv = .~i + .~j + .~k = 2v.~j + 2~k. ∂v ∂v ∂v Do đó, ~ i ~j ~k
ru ∧ rv = 2u 0 1 = −2v.~i − 4u.~j + 4uv.~k. 0 2v 2
Điểm (1, 1, 3) ứng với giá trị u = v = 1 nên ru ∧ rv = (−2, −4, 4). Vậy phương trình tiếp diện là
−2(x − 1) − 4(y − 1) + 4(z − 3) = 0 ⇔ x + 2y − 2z + 3 = 0. 17 18
Chương 1. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học
Phương trình tiếp diện của mặt cong cho bởi phương trình z = z(x, y)
Trường hợp đặc biệt, mặt cong S cho bởi phương trình z = z(x, y) thì S có một tham số     x = u, hóa tự nhiên là y = v,    z = z(u, v).
Khi đó, ru = (1, 0, z′u), rv = (0, 1, z′v) và do đó, véc tơ pháp tuyến của mặt cong S tại P là ~ i ~j ~k
ru ∧ rv = 1 0 z′ = (−z′ u
u, −z′v, 1) = (−z′x, −z′y, 1). 0 1 z′ v
Do đó, phương trình tiếp diện tại P(x0, y0, z0) là
z − z0 = z′x (M) . (x − x0) + z′y (M) . (y − y0) . (1.3)
Phương trình tiếp diện của mặt cong cho bởi phương trình f (x, y, z) = 0
Nếu mặt cong S xác định bởi phương trình f (x, y, z) = 0 và M(x0, y0, z0) là một điểm
chính quy của S thì nó xác định một hàm ẩn z = z(x, y) và các đạo hàm z′ được tính x, z′y theo công thức f ′ f ′y z′ x x = − , z′ . f ′ y = − z f ′z
Áp dụng công thức (1.3) ta được
• Phương trình tiếp diện tại M f ′ f ′y(M) z − z x(M) 0 = − (x − x (y − y f ′ 0) − 0) z(M) f ′z(M)
⇔ f ′x (M) . (x − x0) + f ′y (M) . (y − y0) + f ′z (M) . (z − z0) = 0.
• Phương trình pháp tuyến tại M x − x y − y z − z (d) : 0 = 0 = 0 . f ′x (M) f ′y (M) f ′z (M)
2.5 Đường cong cho dưới dạng giao của hai mặt cong  
Cho đường cong xác định bởi giao của hai mặt cong như sau f (x, y, z) = 0 .. g (x, y, z) = 0 Đặt − → n
là véctơ pháp tuyến của mặt phẳng tiếp diện của mặt f =
f ′x (M) , f ′y (M) , f ′z (M) 18
2. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học không gian 19 cong f (x, y, z) = 0 tại M. Đặt − → n
là véctơ pháp tuyến của mặt phẳng tiếp diện của mặt g =
g′x (M) , g′y (M) , g′z (M) cong g (x, y, z) = 0 tại M. Khi đó − → n
là véctơ chỉ phương của tiếp tuyến của đường cong đã cho tại f ∧ − → ng M. Vậy phương trình tiếp tuyến là:  (    f ′ 
x (M) . (x − x0) + f ′y (M) . (y − y0) + f ′z (M) . (z − z0) = 0.  PTTQ : 
g′x (M) . (x − x0) + g′y (M) . (y − y0) + g′z (M) . (z − z0) = 0.  PTCT : x−x0 = y−y0 = z−z0    f ′ f ′ f ′  y (M) f ′z (M) z (M) f ′x (M) x (M) f ′y (M)  g′y (M) g′z (M) g′z (M) g′x (M) g′x (M) g′y (M)
Bài tập 1.4. Giả sử − → p (t) , − → q (t) , − →
α (t) là các hàm véctơ khả vi. Chứng minh rằng: a. d − → p (t) + − → q (t) = d− → p (t) + d−→q(t) dt dt dt b. d α (t) − → p (t) = α (t) d− → p (t) + α′ (t) − → p (t) dt dt c. d − → p (t) − → q (t) = − → p (t) d− → q (t) + d−→p(t)− → q (t) dt dt dt d. d − → p (t) = − → p (t) + d− → p (t) dt ∧ − → q (t) ∧ d−→q(t) dt dt ∧ − → q (t) Lời giải. a. Giả sử − →
p (t) = (p1 (t) , p2 (t) , p3 (t)) , − →
q (t) = (q1 (t) , q2 (t) , q3 (t)), khi đó: d − → d p (t) + − → q (t) = (p dt dt
1 (t) + q1 (t) , p2 (t) + q2 (t) , p3 (t) + q3 (t))
= p′1 (t) + q′1 (t) , p′2 (t) + q′2 (t) , p′3 (t) + q′3 (t)
= p′1 (t) , p′2 (t) , p′3 (t) + q′1 (t) , q′2 (t) , q′3 (t) d− → p (t) d− → q (t) = + dt dt b. d α (t) − → p (t) dt
= [α (t) p1 (t)]′ , [α (t) p2 (t)]′ , [α (t) p3 (t)]′
= α′ (t) p1 (t) + α (t) p′1 (t) , α′ (t) p2 (t) + α (t) p′2 (t) , α′ (t) p3 (t) + α (t) p′3 (t)
= α′ (t) p1 (t) , α′ (t) p2 (t) , α′ (t) p3 (t) + α (t) p′1 (t) , α (t) p′2 (t) , α (t) p′3 (t) d− → p (t) = α (t) + α′ (t) − → p (t) dt
c. Chứng minh tương tự như câu b, sử dụng công thức đạo hàm của hàm hợp. 19 20
Chương 1. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học d. d − → p (t) ∧ − → q (t) dt ! d p p p =
2 (t) p3 (t) , 3 (t) p1 (t) , 1 (t) p2 (t) dt
q2 (t) q3 (t) q3 (t) q1 (t) q1 (t) q2 (t) = ... ! p (t) p (t) p (t) = 2 (t) p′3 , 3 (t) p′1 , 1 (t) p′2 q2 (t) q′ ( ( ( 3 t) q3 (t) q′ t) q t) 1 1 (t) q′2 ! p′ (t) p p′ (t) p p′ (t) p + 2 3 (t) , 3 1 (t) , 1 2 (t) q′ ( ( ( 2 t) q3 (t) q′3 t) q1 (t) q′ t) q 1 2 (t) d− → q (t) d− → p (t) = − → p (t) ∧ + ∧ − → q (t) dt dt
Bài tập 1.5. Viết phương trình tiếp tuyến và pháp diện của đường:    x = a sin2 t a.
y = b sin t cos t tại điểm ứng với t = π , (a, b, c > 0).   4 z = c cos2 t     x = et sin t √2 b. y = 1
tại điểm ứng với t = 0.    z = et cos t √2 Lời giải. a.
– Phương trình tiếp tuyến: ( x
d) : − a2 = y− b2 = z− c2 a 0 −c
– Phương trình pháp diện: (P) : a x − a = 0. 2 − c z − c2 √ b.
– Phương trình tiếp tuyến: 2 (d) : x √ = y−1 = z− 2 √ . 2 0 2 2 2 √ √ √
– Phương trình pháp diện: (P) : 2x + 2 z 2 = 0. 2 2 − 2
Bài tập 1.6. Viết phương trình pháp tuyến và tiếp diện của mặt cong:
a) x2 − 4y2 + 2z2 = 6 tại điểm (2, 2, 3).
b) z = 2x2 + 4y2 tại điểm (2, 1, 12).
c) z = ln (2x + y) tại điểm (−1, 3, 0) 20
2. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học không gian 21 Lời giải. a.
– Phương trình pháp tuyến: (d) : x−2 = y−2 = z−3 4 −16 12
– Phương trình tiếp diện: (P) : 4 (x − 2) − 16 (y − 2) + 12 (z − 3) = 0 b.
– Phương trình pháp tuyến: (d) : x−2 = y−1 = z−12 8 8 −1
– Phương trình tiếp diện: (P) : 8 (x − 2) + 8 (y − 1) − (z − 12) = 0. c.
– Phương trình pháp tuyến: (d) : x+1 = y−3 = z 2 1 −1
– Phương trình tiếp diện: (P) : 2 (x + 1) + (y − 3) − z = 0.
Bài tập 1.7. Viêt phương trình tiếp tuyến và pháp diện của đường: ( a.
x2 + y2 = 10 tại điểm A (1,3,4) y2 + z2 = 25 ( b.
2x2 + 3y2 + z2 = 47 tại điểm B (−2,6,1) x2 + 2y2 = z ( ( f (x, y, z) := x2 + y2 n Lời giải. a. Ta có − 10 = 0 nên f = (2, 6, 0) .
g (x, y, z) := y2 + z2 − 25 = 0 ng = (0, 6, 8)
Do đó nf ∧ ng = 4 (12, −4, 3). Vậy:
– Phương trình tiếp tuyến (d) : x−1 = y−3 = z−4 12 −4 3
– Phương trình pháp diện (P) : 12 (x − 1) − 4 (y − 3) + 3 (z − 4) = 0 ( b. Tương tự,
n f = (−8, 6, 12) , nf ∧ ng = −2(27,27,4) nên ng = (−4, 4, −1)
– Phương trình tiếp tuyến (d) : x+2 = y−1 = z−6 27 27 4
– Phương trình pháp diện (P) : 27 (x + 2) + 27 (y − 1) + 4 (z − 6) = 0 21 22
Chương 1. Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học 22 2 CHƯƠNG TÍCH PHÂN BỘI §1. TÍCH PHÂN KÉP 1.1 Định nghĩa
Diện tích và tích phân xác định
Cho f (x) là một hàm số xác định với a ≤ x ≤ b. Đầu tiên ta chia khoảng [a, b] này thành n khoảng nhỏ [x
và chọn trong mỗi khoảng đó một
i−1, xi] với độ dài bằng nhau ∆x = b−a n
điểm x∗ bất kì. Sau đó lập tổng Riemann i n S(n) = ∑ f (x∗i)∆x i=1 23 24
Chương 2. Tích phân bội
và lấy giới hạn để thu được tích phân xác định từ a đến b của hàm số f (x): b Z f (x)dx = lim S(n). n→∞ a
Trường hợp đặc biệt, f (x) ≥ 0, tổng Riemann trên chính là tổng diện tích của các hình b Z
chữ nhật xấp xỉ miền D giới hạn bởi các đường x = a, x = b, y = 0 và y = f (x) và f (x)dx a
chính là diện tích của miền D.
Thể tích và tích phân bội hai trên hình chữ nhật
Một cách hoàn toàn tương tự như trên, xét hàm số f phụ thuộc vào hai biến số x, y xác
định trên một hình chữ nhật đóng
R = [a, b] × [c, d] = {(x, y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}.
Gọi S là miền nằm phía dưới của mặt z = f (x, y) và phía trên của hình chữ nhật R, nghĩa là
S = {(x, y, z) ∈ R3 : 0 ≤ z ≤ f (x, y), (x, y) ∈ R}.
Đầu tiên ta chia miền R thành các miền hình chữ nhật con, bằng cách chia khoảng [a, b]
thành m khoảng con với độ dài bằng nhau và bằng b−a, chia khoảng [c, d] thành n khoảng m
con với độ dài bằng nhau và bằng d−c. Như vậy ta đã chia miền R thành m n × n hình chữ nhật con
Rij = [xi−1, xi] × [yj−1, yj] 24 1. Tích phân kép 25
mỗi hình chữ nhật con có diện tích ∆S = ∆x∆y. Trên mỗi hình chữ nhật R ta chọn một ij
điểm (x∗, y∗ ) bất kì. Khi đó thể tích của phần con của S nằm phía trên của hình chữ nhật ij ij
R có thể được xấp xỉ bằng ij f (x∗ij, y∗ij)∆S.
Chúng ta tiếp tục quá trình này và thu được công thức xấp xỉ thể tích của miền S: m n
V(S) ≈ ∑ ∑ f (x∗ij, y∗ij)∆S. i=1 j=1
Dễ dàng nhận thấy rằng nếu ta chia miền R càng nhỏ thì công thức xấp xỉ trên càng tốt.
Định nghĩa 2.4. Tích phân kép (hay tích phân bội hai) của hàm số f (x) trên miền hình chữ nhật R là ZZ m n
f (x, y)dxdy = lim ∑ ∑ f (x∗ m,n→∞ ij, y∗ ij)∆S, R i=1 j=1
nếu như giới hạn này tồn tại.
Chú ý 2.2. Nếu f (x, y) ≥ 0 thì thể tích của miền nằm phía dưới mặt cong z = f (x, y) và
phía trên hình chữ nhật R = [a, b] × [c, d] là ZZ V = f (x, y)dxdy. R
Tích phân lặp và Định lý Fubini
Giả sử f (x, y) là một hàm số khả tích trên R = [a, b] × [c, d]. Xét hai tích phân lặp sau:     b Z d Z d Z b Z I     1 = f (x, y)dy dx, I2 = f (x, y)dx dy. a c c a 25 26
Chương 2. Tích phân bội
Định lý 2.3 (Định lý Fubini). Nếu f (x, y) là hàm số liên tục trên miền hình chữ nhật R = [a, b] × [c, d] thì ZZ b Z d Z d Z b Z f (x, y)dxdy = dx f (x, y)dy = dy f (x, y)dx. R a c c a
Chứng minh. Trong khuôn khổ của Bài giảng này, thay vì đưa ra chứng minh cho trường
hợp tổng quát, chúng ta sẽ chỉ chứng minh cho trường hợp f (x, y) ≥ 0. Trước hết, thể tích
của miền nằm phía dưới mặt z = f (x, y) và phía trên hình chữ nhật R được tính theo công thức. ZZ V = f (x, y)dxdy. R
Trong học phần Giải tích I, phần ứng dụng của tích phân xác định để tính thể tích, chúng
ta có một công thức khác, đó là b Z V = A(x)dx, a
ở đó A(x) là diện tích của thiết diện của miền V cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox.
Nhìn vào hình vẽ, có thể thấy A(x) diện tích của miền là miền nằm phía dưới đường
z = f (x, y), ở đó x được cố định và c ≤ y ≤ d. Do đó, d Z ZZ b Z d Z A(x) = f (x, y)dy ⇒ f (x, y)dxdy = dx f (x, y)dy. c R a c
Một cách hoàn toàn tương tự, ZZ d Z b Z f (x, y)dxdy = dy f (x, y)dx. R c a 26 1. Tích phân kép 27
Tích phân kép trên miền bị chặn bất kì
Nếu như miền D không phải là hình chữ nhật mà chỉ là miền bị chặn bất kì thì ý tưởng
rất đơn giản là chọn một hình chữ nhật R chứa D và định nghĩa hàm số F với miền xác định là R bởi 
 f (x, y), nếu (x, y) ∈ D, F(x, y) = 0, nếu (x, y) 6∈ D,
Định nghĩa 2.5. Tích phân kép (hay tích phân bội hai) của hàm số f (x, y trên miền D được định nghĩa bằng ZZ ZZ f (x, y)dxdy = F(x, y)dxdy. D R
Có một cách định nghĩa khác của tích phân kép như sau.
Định nghĩa 2.6. Cho hàm số f (x, y) xác định trong một miền đóng, bị chặn D. Chia
miền D một cách tuỳ ý thành n mảnh nhỏ. Gọi các mảnh đó và diện tích của chúng là ∆S . Trong mỗi mảnh lấy một điểm tuỳ ý 1, ∆S2, ..., ∆Sn ∆Si
M (xi, yi) và thành lập tổng tích phân n I . Nếu khi tiến tới một giá n = ∑ f (xi, yi) ∆Si
n → ∞ sao cho max {∆Si → 0} mà In i=1
trị hữu hạn I, không phụ thuộc vào cách chia miền D và cách chọn điểm M (xi, yi) thì giới
hạn ấy được gọi là tích phân kép của hàm số f (x, y) trong miền D, kí hiệu là ZZ f (x, y) dxdy. D
Cách định nghĩa này về cơ bản ý tưởng cũng giống như định nghĩa ở trên. Tuy nhiên, việc
chia miền D thành n mảnh nhỏ như vậy dẫn đến việc khó hình dung. Thay vào đó, do tích
phân kép không phụ thuộc vào cách chia miền D thành các mảnh nhỏ nên ta "chủ động"
chia D thành hai họ đường thẳng song song với các trục toạ độ như trong Định nghĩa 2.4. 27 28
Chương 2. Tích phân bội ZZ
Chú ý 2.3. Nếu tồn tại tích phân kép
f (x, y)dxdy thì ta nói hàm số f (x, y) khả tích D trong miền D. Tính chất cơ bản:
• Tính chất tuyến tính: ZZ ZZ ZZ [ f (x, y) + g (x, y)] dxdy = f (x, y) dxdy + g (x, y) dxdy D D D ZZ ZZ k f (x, y) dxdy = k f (x, y) dxdy D D
• Tính chất cộng tính: Nếu D = D , ở đó và
không "chồng" lên nhau (có thể 1 ∪ D2 D1 D2
ngoại trừ phần biên) thì ZZ ZZ ZZ f (x, y) dxdy = f (x, y) dxdy + f (x, y) dxdy. D D1 D2 y D1 D2 O x
1.2 Tính tích phân kép trong hệ toạ độ Descartes
Để tính các tích phân hai lớp, ta cần phải đưa về tính các tích phân lặp.
1. Nếu D là miền hình chữ nhật (D) : a 6 x 6 b, c 6 y 6 d thì ta có thể sử dụng một trong hai tích phân lặp ZZ b Z d Z d Z d Z f (x, y) dxdy = dx f (x, y) dy = dy f (x, y) dx. D a c c c 28 1. Tích phân kép 29 y d D c O a b x
2. Nếu D là hình thang cong có cách cạnh song song với Oy, (D) : a 6 x 6 b, ϕ (x) 6
y 6 ψ (x) thì, một cách hết sức đơn giản, ta chọn hình chữ nhật R = [a, b] × [c, d] như hình vẽ. y R d y = ψ(x) D y = ϕ(x) c O a b x Khi đó, ZZ ZZ b Z d Z f (x, y)dxdy = F(x, y)dxdy = dx F(x, y)dy, D R a c ở đó, nhắc lại rằng, 
 f (x, y), nếu (x, y) ∈ D, F(x, y) = 0, nếu (x, y) 6∈ D. Ta có d Z ψ(x) Z ψ(x) Z F(x, y)dy = F(x, y)dy = f (x, y)dy, c ϕ(x) ϕ(x)
bởi vì với y ≥ ψ(x) hoặc y < ϕ(x) thì F(x, y) = 0. 29 30
Chương 2. Tích phân bội
Do đó, tích phân kép trong trường hợp này được chuyển về tích phân lặp với thứ tự dy trước, dx sau như sau: ZZ b Z ψ(x) Z f (x, y) dxdy = dx f (x, y) dy. D a ϕ(x)
Một số miền có dạng hình thang cong có cạnh đáy song song với Oy khác được thể hiện ở hình vẽ sau:
3. Một cách hoàn toàn tương tự, nếu D là hình thang cong có cách cạnh song song với
Ox, (D) : c 6 y 6 d, ϕ (y) 6 x 6 ψ (y) thì tích phân kép được chuyển về tích phân lặp
với thứ tự dx trước, dy sau như sau: ZZ d Z ψ(y) Z f (x, y) dxdy = dy f (x, y) dx. D c ϕ(y) y x = ψ(y) x = ϕ(y) d D c O x
4. Nếu D là miền có hình dáng phức tạp, không có dạng 2,3 thì thông thường ta sẽ chia
miền D thành một số hữu hạn miền có dạng 2 hoặc 3 rồi sử dụng tính chất cộng tính
để đưa về việc tính toán những tích phân lặp trên miền có dạng 2, 3. 30 1. Tích phân kép 31
Bài tập 2.1. Tính các tích phân sau: ZZ a)
x sin (x + y) dxdy, D = (x, y) ∈ R2 : 0 6 y 6 π , 0 6 x 6 π . 2 2 D Lời giải. π π π π 2 Z 2 Z 2 Z 2 Z π π I = dx x sin (x + y) dy = ... = hoặc I = dy x sin (x + y) dx = ... = 2 2 0 0 0 0 ZZ b) I =
x2 (y − x) dxdy, D giới hạn bởi y = x2 và x = y2. D y y = x2 x = y2 1 O 1 x Hình 2.1 Lời giải. √ 1 Z x Z 1 I = dx x2y − x3 dy = ... = − . 504 0 x2
Một số dạng bài tập cơ bản
Dạng 1: Đổi thứ tự lấy tích phân.
Chúng ta bắt đầu bằng bài toán sau đây: 1 Z 1 Z
Bài tập 2.2. Tính I = xdx ey2dy. 0 x2
Hàm số f (x, y) = xey2 liên tục trên miền D nên chắc chắn khả tích trên D. Tuy nhiên, nếu
tính tích phân trên mà làm theo thứ tự dy trước dx sau như trong đề bài thì không tính
được, vì hàm số ey2 không có nguyên hàm sơ cấp! Do đó, nảy sinh nhu cầu đổi thứ tự lấy tích phân. 31 32
Chương 2. Tích phân bội y 2 x O 1 Hình 2.2  0 ≤ x ≤ 1,
Lời giải. Từ biểu thức tính tích phân suy ra biểu diễn giải tích của miền D là x2 ≤ y ≤ 1.   Ta vẽ miền 0 ≤ y ≤ 1,
D và biểu diễn nó lại dưới dạng  √ 0 ≤ x ≤ y. Do đó, √ 1 Z y Z 1 Z 1 Z √ x= y 1 1 1 I = dy xey2dx = ey2 x2 dy = ey2.ydy = ey2|1 (e − 1) . 2 x=0 2 4 0 = 4 0 0 0 0
Quy trình làm bài toán đổi thứ tự lấy tích phân b Z ψ(x) Z
Bài toán 1: Đổi thứ tự lấy tích phân dx f (x, y)dy a ϕ(x)
1. Từ biểu thức tích phân lặp, suy ra biểu diễn giải tích của miền lấy tích phân là  a 6 x 6 b,
(D) : ϕ(x) 6 y 6 ψ(x). 2. Vẽ phác thảo miền D. y y = ψ(x) D y = ϕ(x) O a b x 32 1. Tích phân kép 33
3. Chia D thành các hình thang cong có các cạnh song song với Ox. Tìm biểu diễn giải  
tích của các miền con, ví dụ c ( i 6 y 6 di,
Di) : ϕi (y) 6 x 6 ψi (y). Sau đó viết b Z ψ(x) Z di Z ψi(y) Z dx f (x, y) dy = ∑ dy f (x, y) dx. a i ϕ(x) ci ϕi(y) Làm tương tự với d Z ψ(y) Z
Bài toán 2: Đổi thứ tự lấy tích phân dy f (x, y)dx. c ϕ(y)
1. Từ biểu thức tích phân lặp, suy ra biểu diễn giải tích của miền lấy tích phân là  c 6 y 6 d,
(D) : ϕ(y) 6 x 6 ψ(y). 2. Vẽ phác thảo miền D. y x = ψ(y) x = ϕ(y) d D c O x
3. Chia D thành các hình thang cong có các cạnh song song với Oy. Tìm biểu diễn giải  
tích của các miền con, ví dụ a ( i 6 y 6 bi,
Di) : ϕi (x) 6 y 6 ψi (x). Sau đó viết d Z ψ(y) Z bi Z ψi(x) Z dy f (x, y) dx = ∑ dx f (x, y) dy. c i ϕ(y) ai ϕi(x)
Bài tập 2.3. Thay đổi thứ tự lấy tích phân của các tích phân sau: 33 34
Chương 2. Tích phân bội 1 Z 1−x2 Z a) dx f (x, y) dy. √ −1 − 1−x2 y 1 D2 O 1 x D1 Hình 2.3 a)
Chia miền D thành hai miền con D như hình vẽ, với 1, D2   −1 6 y 6 0 0 6 y 6 1 D1 : , D  p p 2 : p p − 1 − y2 6 x 6 1 − y2 − 1 − y 6 x 6 1 − y. Vậy √ √ 0 Z 1−y2 Z 1 Z 1−y Z I = dy f (x, y) dx+ dy f (x, y) dx. √ √ −1 − 1−y2 0 − 1−y √ 1 Z 1+ 1−y2 Z b) dy f (x, y) dx. y 0 2−y 2 1 O 1 2 x Hình 2.3 b)  1 6 x 6 2
Lời giải. Ta có biểu diễn giải tích của D là nên:  √ 2 − x 6 y 6 2x − x2 √ 2 Z 2x−x2 Z I = dx f (x, y) dy. 1 2−x 34 1. Tích phân kép 35 √ 2 Z 2x Z y c) dx f (x, y) dx. √ 0 2x−x2 2 1 O 1 2 x Hình 2.3 c)
Lời giải. Chia D thành 3 miền như hình vẽ, với    0 6 y 6 1 0 6 y 6 1 1 6 y 6 2 D1 : , D , D  y2 p 2 : p 3 : y2 6 x 6 1 1 1 + 1  6 x 6 2. 2 − − y2 − y2 6 x 6 2 2 Vậy: √ 1 Z 1− 1−y2 Z 1 Z 2 Z 2 Z 2 Z I = dy f (x, y) dx+ dy f (x, y) dx + dy f (x, y) dx. √ 0 y2 0 1+ 1−y2 1 y2 2 2 √ √ 2 Z y Z 2 Z 4−y2 Z d) dy f (x, y) dx+ dy f (x, y) dx. √ 0 0 2 0 y √2 √ x O 2 Hình 2.3 d) 35 36
Chương 2. Tích phân bội   √ 0 6 x 6 2
Lời giải. Biểu diễn giải tích của D là nên:  √ x 6 y 6 4 − x2 √ √ 2 Z 4−x2 Z I = dx f (x, y) dy. 0 x
Bài tập 2.4. Chứng minh rằng     1 Z 1 Z 1 Z 1 Z  x − y 1 x − y 1 dy dx = 6=  dx dy = − . (x + y)3 2 (x + y)3 2 0 0 0 0
Hãy giải thích tại sao không đổi thứ tự lấy tích phân được trong tích phân trên.
[Gợi ý] Hàm lấy tích phân f (x, y) = x−y không liên tục trên miền D = [0, 1] × [0, 1] nên (x+y)3 ZZ x − y dxdy (x + y)3 [0,1]×[0,1]
có thể không tồn tại. Đây thực chất là một tích phân bội suy rộng.
Dạng 2: Tính các tích phân kép có chứa dấu giá trị tuyệt đối. ZZ Giả sử cần tính | f (x, y)| dxdy. D
Mục đích của chúng ta là phá bỏ được dấu giá trị tuyệt đối. Vì vậy ta khảo sát dấu của
hàm f (x, y). Do tính liên tục của hàm f (x, y) nên đường cong f (x, y) = 0 sẽ chia miền D
thành hai miền, D+ và D−. Trên miền D+, f (x, y) > 0, và trên miền D−, f (x, y) 6 0. Ta có công thức: ZZ ZZ ZZ | f (x, y)| dxdy = f (x, y) dxdy + − f (x, y) dxdy (2.1) D D+ D−
Các bước để làm bài toán tính tích phân kép có chứa dấu giá trị tuyệt đối:
1. Vẽ đường cong f (x, y) = 0 để tìm đường cong phân chia miền D.
2. Giả sử đường cong tìm được chia miền D thành hai miền. Đề xác định xem miền nào
là D+ , miền nào là D−, ta xét một điểm (x0, y0) bất kì, sau đó tính giá trị f (x0, y0).
Nếu f (x0, y0) > 0 thì miền chứa (x0, y0) là D+ và ngược lại.
3. Sau khi xác định được các miền D+, D−, sử dụng công thức (2.1) để tính tích phân. 36 1. Tích phân kép 37 ZZ Bài tập 2.5. Tính
|x + y|dxdy, D := (x, y) ∈ R2 ||x 6 1| , |y| 6 1 D y 1 D+ x O 1 D− Hình 2.5 Lời giải. Ta có:  −1 6 x 6 1,
D+ = D ∩ {x + y > 0} = −x 6 y 6 1.  −1 6 x 6 1,
D− = D ∩ {x + y 6 0} = −1 6 y 6 −x. nên ZZ ZZ 8 I = (x + y) dxdy − (x + y) dxdy = ... = . 3 D+ D− ZZ p Bài tập 2.6. Tính
|y − x2|dxdy, D := (x, y) ∈ R2 ||x| 6 1, 0 6 y 6 1 . D y 1 D+ D− x O 1 Hình 2.6 37 38
Chương 2. Tích phân bội
Lời giải. Chia miền D thành hai miền con  n  o −1 6 x 6 1,
D+ = D ∩ (x, y) y − x2 > 0 = x2 6 y 6 1,  n  o −1 6 x 6 1,
D− = D ∩ (x, y) y − x2 6 0 = 0 6 y 6 x. Do đó ZZ q ZZ q I = y − x2dxdy + x2 − ydxdy = I1 + I2, D+ D− trong đó π 1 Z 1 Z q 1 Z 2 Z 2 3 x=sin t 4 π I 2 1 = dx y − x2dy = 1 − x2 dx = cos4 tdt = ... = , 3 3 4 −1 x2 −1 0 1 Z x2 Z q 1 Z 1 Z 2 4 1 I2 = dx x2 − ydy = |x|3dx = x3dx = . 3 3 3 −1 0 −1 0
Kết luận I = π + 1. 4 3
Dạng 3: Tính tích phân kép trong trường hợp miền lấy tích phân là miền đối xứng.
Định lý 2.4. Nếu miền D là miền đối xứng qua trục Ox (tương ứng Oy) và hàm là hàm lẻ
đối với y (tương ứng đối với x) thì ZZ f (x, y) dxdy = 0. D
Định lý 2.5. Nếu miền D là miền đối xứng qua trục Ox (tương ứng Oy) và hàm là hàm
chẵn đối với y (tương ứng đối với x) thì ZZ ZZ f (x, y) dxdy = 2 f (x, y) dxdy, D D+
trong đó D+ là phần nằm bên trên trục Ox của D (tương ứng phía phải trục Oy của D).
Định lý 2.6. Nếu miền D là miền đối xứng qua trục gốc toạ độ O và hàm f (x, y) thoả mãn
f (−x, −y) = − f (x, y) thì ZZ f (x, y) dxdy = 0. D 38 1. Tích phân kép 39 ZZ Bài tập 2.7. Tính |x| + |y|dxdy. |x|+|y|61 y 1 D1 x O 1 Hình 2.7
Lời giải. Do D đối xứng qua cả Ox và Oy, f (x, y) = |x| + |y| là hàm chẵn với x, y nên ZZ 1 Z 1−x Z 4 I = 4 f (x, y) dxdy = 4 dx (x + y)dy = . 3 D1 0 0
1.3 Phép đổi biến số trong tích phân kép
Phép đổi biến số tổng quát
Phép đổi biến số tống quát thường được sử dụng trong trường hợp miền D là giao của ZZ
hai họ đường cong. Xét tích phân kép I =
f (x, y) dxdy, trong đó f (x, y) liên tục trên D. D
Thực hiện phép đổi biến số  x = x (u, v) , (2.2) y = y (u, v) thoả mãn:
• x = x (u, v) , y = y (u, v) là các hàm số liên tục và có đạo hàm riêng liên tục trong
miền đóng D của mặt phẳng uv O′uv.
• Công thức (2.2) xác định song ánh từ Duv → D. ′ ′ x • Định thức Jacobi J = D(x,y) = u xv 6= 0 ∀(u,v) ∈ D D(u,v) ′ ′ uv. yu yv 39 40
Chương 2. Tích phân bội
Khi đó ta có công thức đổi biến số: ZZ ZZ I = f (x, y) dxdy =
f (x (u, v) , y (u, v)) |J| dudv D Duv Chú ý:
• Mục đích của phép đổi biến số là đưa việc tính tích phân từ miền D có hình dáng
phức tạp về tính tích phân trên miền D đơn giản hơn như là hình thang cong hoặc uv
hình chữ nhật. Trong nhiều trường hợp, phép đổi biến số còn có tác dụng làm đơn
giản biểu thức tính tích phân f (x, y).
• Để xác định được miền D , lưu ý rằng phép đổi biến số tổng quát sẽ biến biên của uv
miền D thành biên của miền D , biến miền bị chặn. uv
D bị chặn thành miền Duv ′ ′ u • Có thể tính J thông qua J−1 = D(u,v) = x uy . D(x,y) ′ ′ vx vy
Bài tập 2.8. Chuyển tích phân sau sang hai biến u, v:  1 Z x Z  a) u = x + y dx
f (x, y) dxdy, nếu đặt v = x − y 0 −x
b) Áp dụng tính với f (x, y) = (2 − x − y)2. v 2 y 1 D O x 1 O′ u 2 Hình 2.8 Lời giải. Ta có   u = x + y x = u+v D (u, v) 1 1 ⇒ 2 , J−1 = = = −2. v = x − y y = u−v D (x, y) 1 −1 2 Hơn nữa   0 6 x 6 1 0 6 u 6 2 D ↔ D  uv −x 6 y 6 x 0 6 v 6 2 − u 40 1. Tích phân kép 41 nên 2 Z 2−u Z 1 u + v u − v I = du f , dv. 2 2 2 0 0  ZZ  Bài tập 2.9. Tính 1 6 xy 6 4 I =
4x2 − 2y2 dxdy, trong đó D : x 6 y 6 4x. D y y = 4x y = x 1 xy = 4 xy = 1 x O 1 Hình 2.9
Lời giải. Thực hiện phép đổi biến   u = xy 1 6 u 6 4 y x 2y ⇒ D , J−1 = = = 2v.  uv : −y 1 v = y 1 6 v 6 4 x x x2 x Ta có 4 Z 4 Z 4 Z 4 Z 4 Z u 1 2u 3 45 I = du 4 − 2uv . dv = du − u dv = − udu = − . v 2v v2 2 4 1 1 1 1 1 41 42
Chương 2. Tích phân bội
Dùng tích phân kép để chứng minh Công thức Euler (Giải tích III)
Chứng minh công thức Euler sau ∞ 1 π2 ∑ = . n2 6 n=1
Có nhiều cách để chứng minh công thức này, một trong những cách đó là sử dụng khai
triển Fourier. Sau đây tôi xin giới thiệu một phương pháp chứng minh khác dựa vào Tích Z 1 Z 1
phân kép. Trước hết, vì xndx = yndy = 1 nên n+1 0 0 ∞ 1 Z 1 Z 1 Z 1 Z 1 Z 1 Z 1 Z 1 Z 1 ∞ ∞ ∞ 1 ∑ = ∑ xndx yndy = ∑ (xy)ndxdy = ∑ (xy)ndxdy = dxdy. n2 1 − xy n=1 n=0 0 0 n=0 0 0 0 0 n=0 0 0
Để tính được tích phân kép này ta thực hiện phép đổi biến x = u − v, y = u + v. Khi đó
J = 2 và miền D sẽ biến thành miền D
như hình vẽ (Tại sao? Phải dựa vào nhận xét uv
phép đổi biến biến biên của miền D thành biên của miền D ). uv x v 1 1 2 O y 1 O 1 u Ta có Z Z 1 1 I = dxdy = 2 dudv 1 − xy 1 − u2 + v2 D Duv 1 (2.3) 2 Z u Z 1 Z 1−u Z 1 1 = 4 du dv + 4 du dv. 1 − u2 + v2 1 − u2 + v2 0 0 1 0 2 Vì z Z dt 1 t z 1 z = arctan = arctan a2 + t2 a a 0 a a 0 42 1. Tích phân kép 43 nên 1 2 Z 1 Z 1 u 1 1 − u I = 4 √ arctan√ du + 4 √ arctan√ du = I1 + I2. 1 − u2 1 − u2 1 − u2 1 − u2 0 1 2
Đặt u = sin θ đối với tích phân I ta được 1 π π π 6 Z 6 Z 6 Z cos θ sin θ π2 I1 = 4 p arctanp dθ = 4
arctan(tan θ)dθ = 4 θdθ = . (2.4) 1 − sin2 θ 1 − sin2 θ 18 0 0 0
Đặt u = cos 2θ đối với tích phân I ta được 2 π π 6 Z 6 Z 2 sin 2θ 1 − cos 2θ π2 I2 = 4 √ arctan √ dθ = 8
arctan(tan θ)dθ = . 1 − cos2 2θ 1 − cos2 2θ 9 0 0
Kết luận I = π2 + π2 = π2 . 18 9 6
Phép đổi biến số trong toạ độ cực
Trong rất nhiều trường hợp, việc tính toán tích phân kép trong toạ độ cực đơn giản
hơn rất nhiều so với việc tính tích phân trong toạ độ Descartes, đặc biệt là khi miền D có
dạng hình tròn, quạt tròn, cardioids,. . . và hàm dưới dấu tích phân có những biểu thức  −−→ r = OM
x2 + y2 . Toạ độ cực của điểm M (x, y) là bộ (r, ϕ), trong đó .  \ −−→ ϕ = Ox, OM y M y −−→ r = |OM| ϕ O x x  
Công thức đổi biến: x = r cos ϕ
trong đó miền biến thiên của r, ϕ phụ thuộc vào hình y = r sin ϕ
dạng của miền D. Khi đó ZZ D (x, y) J = = r và I =
f (r cos ϕ, r sin ϕ)rdrdϕ. D (r, ϕ) Drϕ 43 44
Chương 2. Tích phân bội  
Đặc biệt, nếu miền lấy tích phân có dạng hình quạt ϕ1 6 ϕ 6 ϕ2 (xem hình vẽ)
r1 (ϕ) 6 r 6 r2 (ϕ) thì ϕ2 Z r2(ϕ) Z I = dϕ
f (r cos ϕ, r sin ϕ) rdr. ϕ1 r1(ϕ) y r = r2(ϕ) r = r1(ϕ) O x ZZ
Bài tập 2.10. Tìm cận lấy tích phân trong toạ độ cực I =
f (x, y) dxdy, trong đó D là D miền xác định như sau: a) a2 6 x2 + y2 6 b2 y b a b O a x Hình 2.10a Lời giải.   2π b 0 6 ϕ 6 2π Z Z D : ⇒I = dϕ
f (r cos ϕ, r sin ϕ) rdr a 6 r 6 b 0 a 44 1. Tích phân kép 45
b) x2 + y2 > 4x, x2 + y2 6 8x, y > x, y 6 2x y O 2 4 8 x Hình 2.10b Lời giải. Ta có:  π  8 cos ϕ π 3 6 ϕ 6 π Z Z D : 4 3 ⇒I = dϕ
f (r cos ϕ, r sin ϕ) rdr.
4 cos ϕ 6 r 6 8 cos ϕ π 4 cos ϕ 4
Bài tập 2.11. Dùng phép đổi biến số trong toạ độ cực, hãy tính các tích phân sau: √ R Z R2−x2 Z a) dx ln 1 + x2 + y2 dy (R > 0). 0 0 y O R x Hình 2.11 a
Từ biểu thức tính tích phân ta suy ra biểu thức giải tích của miền D là:  0 6 x 6 R  √ 0 6 y 6 R2 − x2.    
Chuyển sang toạ độ cực, đặt x = r cos ϕ
thì 0 6 ϕ 6 π2 y = r sin ϕ 0 6 r 6 R. π 2 Z R Z R Z π I = dϕ ln 1 + r2 rdr = ln 1 + r2 d 1 + r2 4 0 0 0 π h i = R2 + 1 ln R2 + 1 − R2 . 4 45 46
Chương 2. Tích phân bội  ZZ  b) Tính x2 + (y − 1)2 = 1
xy2dxdy, D giới hạn bởi x2 + y2 −4y = 0. D y 4 2 O x  Hình 2. 11 b   Đặt x = r cos ϕ 0 6 ϕ 6 π ⇒ y = r sin ϕ
2 sin ϕ 6 r 6 4 sin ϕ. π Z 4 sin ϕ Z I = dϕ
r cos ϕ. (r sin ϕ)2 rdr 0 2 sin ϕ = 0.
Cách 2: Vì D đối xứng qua Oy và f (x, y) = xy2 là hàm số lẻ đối với x nên I = 0.
Bài tập 2.12. Tính các tích phân sau:  ZZ  a) dxdy , trong đó 4y 6 x2 + y2 6 8y, D : √ (x2+y2)2 x 6 y 6 x 3. D y √ 8 y = x 3 y = x 4 x O Hình 2.12a 46 1. Tích phân kép 47   x = r cos ϕ
 π 6 ϕ 6 π Lời giải. Đặt ⇒ 4 3 y = r sin ϕ
4 sin ϕ 6 r 6 8 sin ϕ. Do đó π π 3 Z 8 sin ϕ Z 3 Z 1 1 1 1 3 1 I = dϕ rdr = − − dϕ = 1 − √ . r4 2 64 sin2 ϕ 16 sin2 ϕ 128 3 π 4 sin ϕ π 4 4 ZZ r b)
1−x2−y2 dxdy trong đó D : x2 + y2 6 1. 1+x2+y2 D y 1 O 1 x Hình 2.12b     Đặt x = r cos ϕ 0 6 ϕ 6 2π ⇒ y = r sin ϕ 0 6 r 6 1. Ta có: s 2π Z 1 Z 1 Z r 1 − r2 u=r2 1 1 − u I = dϕ rdr = 2π du. 1 + r2 2 1 + u 0 0 0 Đặt r  1 − u du = − 4t dt t = ⇒ (1+t2)2 1 + u 0 6 t 6 1. 1 Z ! 1 Z 1 Z 4t 4dt dt I = π t − dt = −π + 4π (1 + t2)2 1 + t2 (1 + t2)2 0 0 0 1 t 1 = −
4π arctan t 10 + 4π + arctan t 1 2 t2 + 1 2 0 π2 = . 2 47 48
Chương 2. Tích phân bội    x2 + y2 6 12 ZZ    c) xy x2 + y2 > 2x dxdy trong đó D : x2+y2  √ x2 + y2 > 2 3y D    x > 0, y > 0. y √ 2 3 D2 D1 √ O 2 x 2 3 Hình 2.12c
Lời giải. Chia miền D thành hai miền D = D như hình vẽ, 1 ∪ D2   0 6 ϕ 6 π
 π 6 ϕ 6 π D 6 6 2 1 = , D  √ 2 = √ √ 2 cos ϕ 6 r 6 2 3
2 3 sin ϕ 6 r 6 2 3. Vậy I = I1 + I2, trong đó π √ π 6 Z 2 3 Z 6 Z r2 cos ϕ sin ϕ 1 17 I1 = dϕ rdr =
cos ϕ sin ϕ 12 − 4cos2ϕ dϕ = ... = , r2 2 32 0 2 cos ϕ 0 π √ π 2 Z 2 3 Z 2 Z r2 cos ϕ sin ϕ 1 27 I2 = dϕ rdr =
cos ϕ sin ϕ 12 − 12 sin2 ϕ dϕ = ... = . r2 2 32 π √ π 6 2 3 sin ϕ 6 Kết luận I = 11. 8
Phép đổi biến số trong toạ độ cực suy rộng.
Phép đổi biến trong toạ độ cực suy rộng được sử dụng khi miền D có hình dạng ellipse
hoặc hình tròn có tâm không nằm trên các trục toạ độ. Khi sử dụng phép biến đổi này, bắt
buộc phải tính lại các Jacobian của phép biến đổi. 1. Nếu x = ar cos ϕ
D : x2 + y2 = 1, thực hiện phép đổi biến , J = abr. a2 b2 y = br sin ϕ 48 1. Tích phân kép 49   2. Nếu x = a + r cos ϕ
D : (x − a)2 + (y − b)2 = R2, thực hiện phép đổi biến , J = r. y = b + r sin ϕ
3. Xác định miền biến thiên của r, ϕ trong phép đổi biến trong hệ toạ độ cực suy rộng.
4. Thay vào công thức đổi biến tổng quát và hoàn tất quá trình đổi biến. ZZ Bài tập 2.13. Tính
9x2 − 4y2 dxdy, trong đó D : x2 + y2 6 1. 4 9 D y 3 O 2 x Hình 2.13 Lời giải.     Đặt x = 2r cos ϕ 0 6 ϕ 6 2π ⇒ J = 6r, y = 3r sin ϕ 0 6 r 6 1. Ta có: ZZ 2π Z 1 Z I = 6
36r2 cos2 ϕ − 36r2 sin2 ϕrdrdϕ = 6.36 |cos 2ϕ| dϕ r3dr = ... = 216 Drϕ 0 0 √ R Z Rx−x2 Z p Bài tập 2.14. Tính dx
Rx − x2 − y2dy, (R > 0). √ 0 − Rx−x2 y x O R Hình 2.14 49 50
Chương 2. Tích phân bội
Lời giải. Từ biểu thức tính tích phân suy ra biểu thức giải tích của D là:   0 6 x 6 R R 2 R2 D : ⇔ x − + y2 6 .  √ √ − Rx − x2 6 y 6 Rx − x2 2 4     Đặt x = R + rcosϕ 0 6 ϕ 6 2π 2 ⇒ |J| = r, y = r sin ϕ 0 6 r 6 R2 Vậy R R 2π Z r r 2 Z 2 Z R2 −1 R2 R2 πR3 I = dϕ r − r2dr = 2π. − r2d − r2 = . 4 2 4 4 12 0 0 0
Chú ý 2.4. Đối với Bài tập 2.14, nếu chỉ đổi biến số trong tọa độ cực thông thường   x = r cos ϕ,  thì − π , 2 ≤ ϕ ≤ π 2 y = r sin ϕ
0 ≤ r ≤ R cos ϕ.
Tích phân đã cho trở thành π 2 Z R cos ϕ Z q I = dϕ Rr cos ϕ − r2 rdr. − π 0 2
Tích phân này không dễ tính vì nó chứa biểu thức vô tỉpRr cos ϕ − r2. Đây là một ví dụ
điển hình về việc phép đổi biến số trong tọa độ cực suy rộng không những biến miền lấy
tích phân về miền đơn giản, mà còn có tác dụng làm đơn giản biểu thức tính tích phân. ZZ Bài tập 2.15. Tính xydxdy, với D
a) D là hình tròn (x − 2)2 + y2 6 1. y x O 1 3 Hình 2.15a 50 1. Tích phân kép 51 Lời giải.     Đặt x = 2 + r cos ϕ 0 6 r 6 1 ⇒ y = r sin ϕ 0 6 ϕ 6 2π. Ta có 2π Z 1 Z I = dϕ
(2 + r cos ϕ) r sin ϕ.rdr = 0. 0 0
Cách 2. Nhận xét D là miền đối xứng qua Ox và f (x, y) = xy là hàm lẻ đối với y nên I = 0.
b) D là nửa hình tròn (x − 2)2 + y2 6 1, y > 0. y O x 1 3 Hình 2.15b Lời giải.     Đặt x = 2 + r cos ϕ 0 6 r 6 1 ⇒ y = r sin ϕ 0 6 ϕ 6 π. Ta có π Z 1 Z 4 I = dϕ
(2 + r cos ϕ) r sin ϕ.rdr = . 3 0 0 1.4 Bài tập ôn tập Bài tập 2.16. Tính ZZ ydxdy 3 (1 + x2 + y2) 2 [0,1]×[0,1]
[Gợi ý] Nên tính tích phân này theo thứ tự dy trước, dx sau. 1 Z 1 Z ydy I = dx . 3 (1 + x2 + y2) 2 0 0 51 52
Chương 2. Tích phân bội Bài tập 2.17. Tính ZZ a) I x2 1 =
dxdy, trong đó D là miền giới hạn bởi các đường thẳng x = 2, y = x và y2 D hyperbol xy = 1. ZZ b) I2 =
(x2 + y)dxdy, trong đó C là miền giới hạn bởi các parbaol y = x2 và x = y2. C [Đáp số] a) I b) 1 = 9 I 4 2 = 33 140
Bài tập 2.18. Tính tích phân ZZ x2 sin xy I = dxdy, y D
trong đó D là miền giới hạn bởi bốn parabol
x2 = ay, x2 = by, y2 = px, y2 = qx, (0 < a < b, 0 < p < q).
[Gợi ý] Thực hiện phép đổi biến số u = x2 , v = y2 . y x ZZ
Bài tập 2.19. Tính tích phân I =
xydxdy trong đó D là miền giới hạn bởi các đường D cong
y = ax3, y = bx3, y2 = px, y2 = qx, (0 < b < a, 0 < p < q).
[Gợi ý] Thực hiện phép đổi biến số u = x3 , v = y2 . y x
Bài tập 2.20. Chứng minh rằng 1 Z 1−x Z y e − 1 dx e x+y dy = . 2 0 0
[Gợi ý] Thực hiện phép đổi biến u = x + y, v = y.
Bài tập 2.21. Tính diện tích của miền giới hạn bởi các đường xy = 4, xy = 8, xy3 = 5, xy3 = 15.
[Gợi ý] Đặt u = xy, v = xy3. Đáp số S = 2 ln 3.
Bài tập 2.22. Tính diện tích của miền giới hạn bởi bốn parabol y2 = x, y2 = 8x, x2 = y, x2 = 8y. 52 1. Tích phân kép 53
[Gợi ý] Đặt u = y2 , v = x2 . Đáp số S = 279π. x y 2
Bài tập 2.23. Tính diện tích của miền giới hạn bởi các đường y = x3, y = 4x3, x = y3, x = 4y3. [Đáp số] S = 1. 8
Bài tập 2.24. Chứng minh rằng ZZ x − y sin 1 cos dxdy = . x + y 2 x+y≤1,x≥0,y≥0
[Gợi ý] Đặt u = x − y, v = x + y.
Bài tập 2.25. Tính tích phân ZZ r r x y I = + dxdy, a b D q
trong đó D là miền giới hạn bởi các trục tọa độ và parabolpx + y = 1. a b 53 54
Chương 2. Tích phân bội
§2. TÍCH PHÂN BỘI BA
2.1 Định nghĩa và tính chất
Định nghĩa 2.7. Cho hàm số f (x, y, z) xác định trong một miền đóng, bị chặn V của không
gian Oxyz. Chia miền V một cách tuỳ ý thành n miền nhỏ. Gọi các miền đó và thể tích của chúng là ∆V . Trong mỗi miền lấy một điểm tuỳ ý 1, ∆V2, ..., ∆Vn ∆i M(xi, yi, zi) và thành lập tổng tích phân n I . Nếu khi n = ∑ f (xi, yi, zi) ∆Vi
n → +∞ sao cho max {∆Vi → 0} mà In i=1
tiến tới một giá trị hữu hạn I, không phụ thuộc vào cách chia miền V và cách chọn điểm
M(xi, yi, zi) thì giới hạn ấy được gọi là tích phân bội ba của hàm số f (x, y, z) trong miền V, ZZZ kí hiệu là f (x, y, z) dV. V
Khi đó ta nói rằng hàm số f (x, y, z) khả tích trong miền V.
Do tích phân bội ba không phụ thuộc vào cách chia miền V thành các miền nhỏ nên ta có
thể chia V bởi ba họ mặt thẳng song song với các mặt phẳng toạ độ, khi đó dV = dxdydz và ta có thể viết ZZZ ZZZ f (x, y, z) dV = f (x, y, z) dxdydz V V
Các tính chất cơ bản • Tính chất tuyến tính ZZZ ZZZ ZZZ
[ f (x, y, z) + g (x, y, z)] dxdydz = f (x, y, z) dxdydz + g (x, y, z) dxdydz V V V ZZZ ZZZ k f (x, y, z) dxdydz = k f (x, y, z) dxdydz V V
• Tính chất cộng tính: Nếu V = V và
không "chồng" lên nhau (có thể 1 ∪ V2, ở đó V1 V2
ngoại trừ phần biên) thì: ZZZ ZZZ ZZZ f (x, y, z) dxdydz = f (x, y, z) dxdydz + f (x, y, z) dxdydz V V1 V2
2.2 Tính tích phân bội ba trong hệ toạ độ Descartes
Cũng giống như việc tính toán tích phân kép, ta cần phải đưa tích phân ba lớp về tích
phân lặp. Việc chuyển đổi này sẽ được thực hiện qua trung gian là tích phân kép.
Tích phân ba lớp ⇒ Tích phân hai lớp ⇒ Tích phân lặp 54
2. Tích phân bội ba 55
Sơ đồ trên cho thấy việc tính tích phân ba lớp được chuyển về tính tích phân kép (việc
tính tích phân kép đã được nghiên cứu ở bài trước). Đương nhiên việc chuyển đổi này phụ
thuộc chặt chẽ vào hình dáng của miền V. Một lần nữa, kĩ năng vẽ hình là rất quan trọng. z z = z2(x, y) V z = z1(x, y) y O D x
Nếu miền V được giới hạn bởi các mặt z = z1 (x, y) , z = z2 (x, y), trong đó z1 (x, y) , z2 (x, y)
là các hàm số liên tục trên miền D, D là hình chiếu của miền V lên mặt phẳng Oxy thì ta có: ZZZ ZZ z2(x,y) Z I = f (x, y, z) dxdydz = dxdy f (x, y, z) dz (2.5) V D z1(x,y)
Thuật toán chuyển tích phân ba lớp về tích phân hai lớp
1. Xác định hình chiếu của miền V lên mặt phẳng Oxy.
2. Xác định biên dưới z = z1 (x, y) và biên trên z = z2 (x, y) của V.
3. Sử dụng công thức 2.5 để hoàn tất việc chuyển đổi.
Đến đây mọi việc chỉ mới xong một nửa, vấn đề còn lại bây giờ là:
Xác định D và các biên z = z1 (x, y) , z = z2 (x, y) như thế nào?
Có hai cách đề xác định: Dùng hình học hoặc là dựa vào biểu thức giải tích của miền V.
Mỗi cách đều có những ưu và nhược điểm riêng. Cách dùng hình học có ưu điểm là rất
trực quan, dễ hiểu. Cách dùng biểu thức giải tích của V tuy có thể áp dụng cho nhiều
bài nhưng thường khó hiểu và phức tạp. Vì thế, chúng ta cố gắng thử cách vẽ hình trước.
Muốn làm được điều này, đòi hỏi bạn đọc phải có kĩ năng vẽ các mặt cong cơ bản trong
không gian như mặt phẳng, mặt trụ, mặt nón, mặt cầu, ellipsoit, paraboloit, hyperboloit
1 tầng, hyperboloit 2 tầng, hơn nữa cần có trí tưởng tượng tốt đề hình dung ra sự giao cắt 55 56
Chương 2. Tích phân bội của các mặt.
Chú ý: Cũng giống như khi tính tích phân kép, việc nhận xét được tính đối xứng của miền
V và tính chẵn lẻ của hàm lấy tích phân f (x, y, z) đôi khi giúp sinh viên giảm được khối
lượng tính toán đáng kể.
Định lý 2.7. Nếu V là miền đối xứng qua mặt phẳng z = 0 (Oxy) và f (x, y, z) là hàm số ZZZ lẻ đối với z thì f (x, y, z) dxdydz = 0. V
Định lý 2.8. Nếu V là miền đối xứng qua mặt phẳng z = 0 (Oxy) và f (x, y, z) là hàm số ZZZ ZZZ chẵn đối với z thì f (x, y, z) dxdydz = 2
f (x, y, z) dxdydz, trong đó V+ là phần phía V V+
trên mặt phẳng z = 0 của V.
Chú ý 2.5. Vai trò của z trong hai định lý trên có thể được thay đổi bằng x hoặc y. Hai
định lý này có thể được chứng minh dễ dàng bằng phương pháp đổi biến số. ZZZ Bài tập 2.26. Tính
zdxdydz trong đó miền V được xác định bởi: V    1   0 6 x 6  4  x 6 y 6 2x    q  0 6 z 6 1 − x2 − y2. Lời giải. √ 1 1 1 1 4 Z 2x Z −x2−y2 Z 4 Z 2x Z 4 Z 1 1 10 43 I = dx dy zdz = dx 1 − x2 − y2 dy = x − x3 dx = . 2 2 3 3072 0 x 0 0 x 0 ZZZ Bài tập 2.27. Tính
x2 + y2 dxdydz trong đó V là miền giới hạn bởi các mặt V ( x2 + y2 + z2 = 1 x2 + y2 − z2 = 0. 56
2. Tích phân bội ba 57 z p z = 1 − x2 − y2 p z = x2 + y2 y O D x Hình 2.27 ZZZ ZZZ
Lời giải. Do tính chất đối xứng, x2 + y2 dxdydz = 2 x2 + y2 dxdydz = 2I , trong 1 V V1  q q   V1 : x2 + y2 6 z 6 1 − x2 − y2
đó V là nửa phía trên mặt phẳng 1 Oxy của V. Ta có  1 D : x2 + y2 6 , 2
với D là hình chiếu của V lên 1 Oxy. Ta có √ ZZ 1−x2−y2 Z ZZ q q I1 = x2 + y2dxdy dz = x2 + y2 1 − x2 − y2 − x2 + y2 dxdy. √ D x2+y2 D  (   0 6 ϕ 6 2π Đặt x = r cos ϕ ⇒ J = r, 1 nên y = r sin ϕ   0 6 r 6 √2 1 √ 1 √ 2 Z p 2π Z 2 Z p √ 2π 8 − 5 2 I1 = r3 1 − r2 − r dr dϕ = 2π r3
1 − r2 − r dr = (r=cos α) ... = . . 5 12 0 0 0 57 58
Chương 2. Tích phân bội Vậy √ 4π 8 − 5 2 I = . . 5 12
2.3 Đổi biến số trong tích phân bội ba
Phép đổi biến số tổng quát
Phép đổi biến số tổng quát thường được sử dụng trong trường hợp miền V là giao của ZZZ
ba họ mặt cong. Giả sử cần tính I =
f (x, y, z) dxdydz trong đó f (x, y, z) liên tục trên V. V
Thực hiện phép đổi biến số     x = x (u, v, w) y = y (u, v, w) (2.6)    z = z (u, v, w) thoả mãn
• x, y, z cùng với các đạo hàm riêng của nó là các hàm số liên tục trên miền đóng Vuvw của mặt phẳng O′uvw.
• Công thức 2.6 xác định song ánh Vuvw → V. • J = D(x,y,z) . Khi đó D(u,v,w) 6= 0 trong Vuvw ZZZ ZZZ I = f (x, y, z) dxdydz =
f [x (u, v, w) , y (u, v, w) , z (u, v, w)] |J| dudvdw V Vuvw Chú ý 2.6.
1. Cũng giống như phép đổi biến trong tích phân kép, phép đổi biến trong
tích phân bội ba cũng biến biên của miền V thành biên của miền V , biến miền uvw V bị chặn thành miền V bị chặn. uvw
2. Có thể tính J thông qua J−1 = D(u,v,w). D(x,y,z)     x + y + z = ±3 ZZZ
Bài tập 2.28. Tính thể tích miền V giới hạn bởi x + 2y − z = ±1 biết V = dxdydz.    x + 4y + z = ±2 V 58 2. Tích phân bội ba 59     u = x + y + z
Lời giải. Thực hiện phép đổi biến v = x + 2y − z    w = x + 4y + z.     u = ±3
Vì phép đổi biến biến biên của V thành biên của V nên giới hạn bởi: uvw Vuvw v = ±1    w = ±2. Ta có 1 1 1 ZZZ D (u, v, w) 1 1 1 J−1 = = 1 2 −1 = 6 ⇒ J = ⇒ V = dudvdw = .6.2.4 = 8. D (x, y, z) 6 6 6 1 4 1 Vuvw Bài tập 2.29. Tính ZZZ a)
(3x2 + 2y + z)dxdydz, trong đó V : |x − y| ≤ 1, |y − z| ≤ 1, |z + x| ≤ 1. V ZZZ b)
dxdydz, trong đó V : |x − y| + |x + 3y| + |x + y + z| ≤ 1. V [Gợi ý]        u = x − y,  −1 ≤ u ≤ 1, a) Đặt v = y ⇒  − z, −1 ≤ v ≤ 1,       w = z + x −1 ≤ w ≤ 1.     u = x − y, b) Đặt v = x + 3y, ⇒ |u| + |v| + |w| ≤ 1.    w = x + y + z
Phép đổi biến số trong toạ độ trụ
Khi miền V có biên là các mặt như mặt paraboloit, mặt nón, mặt trụ, và có hình chiếu
D lên Oxy là hình tròn, hoặc hàm lấy tích phân f (x, y, z) có chứa biểu thức (x2 + y2) thì ta
hay sử dụng công thức đổi biến trong hệ toạ độ trụ.
Toạ độ trụ của điểm M(x, y, z) là bộ ba (r, ϕ, z), trong đó (r, ϕ) chính là toạ độ cực của
điểm M′ là hình chiếu của điểm M lên Oxy. 59 60
Chương 2. Tích phân bội z M   −−→ r = |OM′|  \ −−→ ϕ = Ox, OM′ O y ϕ M′ x     x = r cos ϕ Công thức đổi biến y = r sin ϕ    z = z.
Định thức Jacobian của phép biến đổi là J = D(x,y,z) = r, ta có: D(r,ϕ,z) ZZZ ZZZ I = f (x, y, z) dxdydz =
f (rcosϕ, r sin ϕ, z) rdrdϕdz. V Vrϕz ( ( ( Nếu miền x, y) ∈ D
ϕ1 6 ϕ 6 ϕ2 V : , trong đó D : thì: z1 (x, y) 6 z 6 z2 (x, y)
r1 (ϕ) 6 r 6 r2 (ϕ) ϕ2 Z r2(ϕ) Z
z2(r cos ϕ,r sin ϕ) Z I = dϕ rdr
f (r cos ϕ, r sin ϕ, z) dz. ϕ1 r1(ϕ)
z1(r cos ϕ,r sin ϕ) z
z = z2(r cos ϕ, r sin ϕ) V
z = z1(r cos ϕ, r sin ϕ) O y D x 60
2. Tích phân bội ba 61 ZZZ ( Bài tập 2.30. Tính x2 + y2 6 1 x2 + y2 dxdydz, trong đó V : 1 6 z 6 2. V z 2 V 1 y O x Hình 2.30       x = r cos ϕ   0 6 ϕ 6 2π Lời giải. Đặt y = r sin ϕ thì 0 6 r 6 1      z = z  1 6 z 6 2. Ta có 2π Z 1 Z 2 Z 3π I = dϕ r2dr zdz = ... = . 4 0 0 1 ZZZ p Bài tập 2.31. Tính z x2 + y2dxdydz, trong đó: V
a) V là miền giới hạn bởi mặt trụ: x2 + y2 = 2x và các mặt phẳng z = 0, z = a (a > 0).
b) V là nửa của hình cầu x2 + y2 + z2 6 a2, z > 0 (a > 0) 61 62
Chương 2. Tích phân bội z y O x Hình 2.31a     x = r cos ϕ Lời giải. a) Đặt y = r sin ϕ    z = z.   π π   − 6 ϕ 6  2 2
Từ x2 + y2 = 2x suy ra r = 2 cos ϕ. Do đó: 0 6 r 6 2cos ϕ    0 6 z 6 a. Vậy π 2 Z 2 cos ϕ Z a Z 16a2 I = dϕ r2dr zdz = ... = . 9 − π 0 0 2 62
2. Tích phân bội ba 63 z y O x Hình 2.31b      0 6 ϕ 6 2π  x = r cos ϕ   Lời giải. b) Đặt y = r sin ϕ , ta có 0 6 r 6 a      p z = z  0 6 z 6 a2 − r2. Ta có √ 2π Z a Z a2−r2 Z a Z a2 − r2 2πa5 I = dϕ r2dr zdz = 2π r2. dr = . 2 15 0 0 0 0 p ZZZ ( Bài tập 2.32. Tính y = z2 + x2 I =
ydxdydz, trong đó V giới hạn bởi: y = h. V 63 64
Chương 2. Tích phân bội z y O h x Hình 2.32       x = r cos ϕ   0 6 ϕ 6 2π Lời giải. Đặt z = r sin ϕ , ta có 0 6 r 6 h      y = y  r 6 y 6 h. Do đó 2π Z h Z h Z h Z h2 − r2 πh4 I = dϕ rdr ydy = 2π r. dr = . 2 4 0 0 r 0 ZZZ ( p Bài tập 2.33. Tính x2 + y2 = z2 I =
x2 + y2dxdydz trong đó V giới hạn bởi: z = 1. V 64
2. Tích phân bội ba 65 z y O x Hình 2.33       x = r cos ϕ   0 6 ϕ 6 2π Lời giải. Đặt y = r sin ϕ , ta có 0 6 r 6 1      z = z  r 6 z 6 1. Do đó 2π Z 1 Z 1 Z 1 Z π I = dϕ r2dr dz = 2π r2 (1 − r) dr = . 6 0 0 r 0 ZZZ ( Bài tập 2.34. Tính dxdydz x2 + y2 ≤ 1 √ , trong đó V : x2+y2+(z−2)2 |z| ≤ 1. V 65 66
Chương 2. Tích phân bội z y O x Hình 2.34       x = r cos ϕ   0 6 ϕ 6 2π Lời giải. Đặt
y = r sin ϕ ⇒ |J| = r, V 0 6 r 6 1  rϕz :     z′ = z − 2  −3 6 z′ 6 −1. Ta có 2π Z 1 Z −1 Z dz′ I = dϕ rdr √r2 + z′2 0 0 −3 1 Z p = π r. ln z′ + r2 + z′2 z′=−1 dr z′=−3 0  1 Z p 1 Z p = 2π  r ln r2 + 1 − 1 dr − r ln r2 + 9 − 3 dr 0 0 = 2π (I1 − I2) . √ √ Vì lim r ln r2 + 1 − 1 = lim r ln
r2 + 9 − 3 = 0 nên thực chất I là các tích phân 1, I2 r→0 r→0 xác định. √
Đặt r2 + 1 = t ⇒ rdr = tdt, ta có Z p r ln r2 + 1 − 1 dr Z = t ln (t − 1) dt Z t2 1 t2 = ln (t − 1) − dt 2 2 t − 1 t2 − 1 t2 t = ln (t − 1) − − + C. 2 4 2 66 2. Tích phân bội ba 67 Do đó t2 − 1 t2 t √ 1 √ 1 1 √ I 2 1 = ln (t − 1) − − | = ln 2 − 1 − − 2 − 1 . 2 4 2 1 2 4 2
Tương tự, I2 = t2−9 ln (t + C nên 2 − 3) − t24 − 3t2 t2 − 9 t2 3t √ 1 √ 1 3 √ I 10 2 = ln (t − 3) − − | = ln 10 − 3 − − 10 − 3 . 2 4 2 3 2 4 2 Kết luận √ ! 2 − 1 √ √
I = 2π (I1 − I2) = π ln √ + 3 10 − 8 − 2 . 10 − 3
Phép đổi biến số trong toạ độ cầu
Trong trường hợp miền V có dạng hình cầu, chỏm cầu, múi cầu,. . . và khi hàm lấy tích phân
f (x, y, z) có chứa biểu thức x2 + y2 + z2 thì ta hay sử dụng phép đổi biến trong toạ độ cầu.
Toạ độ cầu của điểm M(x, y, z) trong không gian là bộ ba (r, θ, ϕ), trong đó:  −−→    r = OM    \ −−→ θ = Oz, OM       \ −−→ ϕ = Ox, OM′ . z M −−→ r = |OM| θ O y ϕ M′ x   
 x = r sin θ cos ϕ
Công thức của phép đổi biến là:
y = r sin θ sin ϕ    z = r cos θ. 67 68
Chương 2. Tích phân bội
Định thức Jacobian J = D(x,y,z) = −r2 sin θ. Ta có công thức đổi biến D(r,θ,ϕ) ZZZ ZZZ f (x, y, z) dxdydz =
f (r sin θ cos ϕ, r sin θ sin ϕ, r cos θ) r2 sin θdrdθdϕ. V Vrθϕ   
 ϕ1 6 ϕ 6 ϕ2, (ϕ2 − ϕ1 6 2π) Đặc biệt, nếu miền V thì rθ ϕ : θ
 1 (ϕ) 6 θ 6 θ2 (ϕ) 
 r1 (θ, ϕ) 6 r 6 r2 (θ, ϕ) ϕ2 Z θ2(ϕ) Z r2(θ,ϕ) Z I = dϕ sin θdθ
f (r sin θ cos ϕ, r sin θ sin ϕ, r cos θ)r2dr. ϕ1 θ1(ϕ) r1(θ,ϕ) ZZZ ( Bài tập 2.35. Tính 1 6 x2 + y2 + z2 6 4
x2 + y2 + z2 dxdydz, trong đó V : x2 + y2 6 z2. V z V1 y O x Hình 2.35   
 x = r sin θ cos ϕ Lời giải. Đặt
y = r sin θ sin ϕ    z = r cos θ.
Do 1 6 x2 + y2 + z2 6 4 nên 1 ≤ r ≤ 2. Trên mặt nón có phương trình x2 + y2 = z2 nên     0 6 ϕ 6 2π  π
θ = π . Vậy cận lấy tích phân là 0 6 θ 6 4   4   1 6 r 6 2. 68
2. Tích phân bội ba 69 Ta có π 2π Z ! 4 Z 2 Z √ π r5 4.31π 2 I = 2 dϕ sin θdθ
r2.r2dr = 2.2π. (− cos θ) 4 . 1 . 0 2 − 5 1 = 5 2 0 0 1 ZZZ p Bài tập 2.36. Tính
x2 + y2 + z2dxdydz trong đó V : x2 + y2 + z2 6 z. V z y O x Hình 2.36   
 x = r sin θ cos ϕ Lời giải. Đặt
y = r sin θ sin ϕ    z = r cos θ.
Nhìn hình vẽ ta thấy 0 6 ϕ 6 2π, 0 6 θ 6 π. 2
Do x2 + y2 + z2 6 z nên 0 6 r 6 cos θ. Vậy π π 2π Z 2 Z cos θ Z 2 Z 1 π I = dϕ sin θdθ r.r2dr = 2π.
sin θ. cos4 θdθ = . 4 10 0 0 0 0
Phép đổi biến số trong toạ độ cầu suy rộng.
1. Tương tự như khi tính tích phân kép, nếu miền V có dạng hình ellipsoit hoặc hình
cầu có tâm không nằm trên các trục toạ độ nên nghĩ tới phép đổi biến số trong toạ độ
cầu suy rộng. Khi đó ta phải tính lại Jacobian của phép biến đổi. 69 70
Chương 2. Tích phân bội 2.
– Nếu V : x2 + y2 + z2 = 1 thì thực hiện phép đổi biến a2 b2 c2   
 x = ar sin θ cos ϕ
y = br sin θ sin ϕ , J = −abcr2 sin θ    z = cr cos θ
– Nếu V : (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2 thì thực hiện phép đổi biến   
 x = a + r sin θ cos ϕ
y = b + r sin θ sin ϕ , J = −r2 sin θ    z = c + r cos θ
3. Xác định miền biến thiên của ϕ, θ, r.
4. Dùng công thức đổi biến tổng quát để hoàn tất việc đổi biến. ZZZ p Bài tập 2.37. Tính z
x2 + y2dxdydz, trong đó V là nửa của khối ellipsoit x2+y2 + z2 6 a2 b2 V 1, z > 0, (a, b > 0) . Lời giải.
1. Toạ độ trụ suy rộng.
2. Toạ độ cầu suy rộng.       z = bz′ 
 x = ar sin θ cos ϕ Đặt x = ar cos ϕ Đặt
y = ar sin θ sin ϕ      y = ar sin θ.  z = br cos θ Ta có Ta có        0 6 ϕ 6 2π,  0 6 ϕ 6 2π, 0 6 r 6 1, , J = a2br 0 6 θ 6 π , , J = a2br2 sin θ.    2  √    0 6 z′ 6 1 − r2. 0 6 r 6 1. Vậy Vậy √ π 2π Z 1 Z 1−r2 Z 2π Z 2 Z 1 Z I = dϕ dr bz′.ar.a2brdz′ I = dϕ dθ
br cos θ.ar sin θ.a2b sin θdr 0 0 0 0 0 0 1 Z 2π Z 1 Z 1 − r2 = 2a3b2π r2. dr = 2a3b2π
cos θ sin2 πdθ r4dr 2 0 0 0 2πa3b2 2πa3b2 = . = . 15 15 70
2. Tích phân bội ba 71 ZZZ Bài tập 2.38. Tính
x2 + y2 + z2 dxdydz , ở đó V : x2 + y2 + z2 6 1, (a, b, c > 0). a2 b2 c2 a2 b2 c2 V   
 x = ar sin θ cos ϕ Lời giải. Đặt
y = br sin θ sin ϕ , ta có    z = cr cos θ D (x, y, z) J = = abcr2 sin θ, V D (r, θ, ϕ)
rϕz′ = {0 6 ϕ 6 2π, 0 6 θ 6 π, 0 6 r 6 1} . Vậy 2π Z π Z 1 Z 4π I = abc dϕ dθ r2.r2 sin θ = abc. 5 0 0 0
Tọa độ cầu vs Tọa độ cầu suy rộng
Phép đổi biến số không những có tác dụng làm đơn giản miền lấy tích phần, mà trong
nhiều tình huống nó còn có tác dụng làm đơn giản hóa biểu thức tính tích phân. Trong
bài tập sau đây, phép đổi biến số trong tọa độ cầu suy rộng sẽ làm cho biểu thức tính tích
phân đơn giản hơn rất nhiều so với phép đổi biến trong tọa độ cầu thông thường. ZZZ p Bài tập 2.39. Tính
z − x2 − y2 − z2dxdydz trong đó V : x2 + y2 + z2 6 z. V z y O x Hình 2.39 Lời giải. 71 72
Chương 2. Tích phân bội
1. Tọa độ cầu thông thường
2. Tọa độ cầu suy rộng     
 x = r sin θ cos ϕ  
x = r sin θ cos ϕ, Đặt
y = r sin θ sin ϕ Đặt 
y = r sin θ sin ϕ,     z = r cos θ.  z = 1 + r cos θ. 2 Ta có Ta có        0 6 ϕ 6 2π, 
0 ≤ ϕ ≤ 2π, 0 6 θ 6 π 0  ≤ θ ≤ π,  2      0 6 r 6 cos θ. 0 ≤ r ≤ 1.2 1 2π π r π Z Z 2 Z 2π Z 2 Z cos θ Z p 1 I = dϕ dθ − r2.r2 sin θdr I = dϕ dθ
r cos θ − r2.r2 sin θdr 4 0 0 0 0 0 0 π2
tích phân này không dễ tính = . 64
Tọa độ cầu vs Tọa độ trụ
Nói chung thì việc sử dụng tọa độ cầu hay tọa độ trụ phụ thuộc vào hai yếu tố chính:
hình dáng của miền V và biểu thức tính tích phân.
• Nếu miền V có dạng hình cầu, chỏm cầu và biểu thức tính tích phân có chứa x2 +
y2 + z2 thì ta thường sử dụng phép đổi biến trong tọa độ cầu (khi đó x2 + y2 + z2 = r2).
• Nếu miền V có dạng hình trụ hoặc có chứa mặt nón, mặt paraboloid và biểu thức
tính tích phân có chứa x2 + y2 thì ta thường sử dụng phép đổi biến trong tọa độ trụ (khi đó x2 + y2 = r2).
Trong nhiều trường hợp thì chúng ta có thể sử dụng được đồng thời cả tọa độ trụ lẫn tọa ZZ
độ cầu. Chẳng hạn như, tính
(x2 + y2)dxdydz, trong đó V là nửa phía trên của hình cầu V x2 + y2 + z2 ≤ 1, z ≥ 0. z y O x 72 2. Tích phân bội ba 73 1. Tọa độ cầu. 2. Tọa độ trụ.       
x = r sin θ cos ϕ,  x = r cos ϕ,
Đặt y = r sin θ sin ϕ, Đặt y = r  sin ϕ,       z = r cos θ. z = z.       
0 ≤ ϕ ≤ 2π, 
0 ≤ ϕ ≤ 2π, Ta có 0 , Ta có
 ≤ θ ≤ π 0 ≤ r ≤ 1,  2      √ 0 ≤ r ≤ 1. 0 ≤ z ≤ 1 − r2. π √ 2π Z 2 Z 1 Z 2π Z 1 Z 1−r2 Z I = dϕ dθ
r2 sin2 θ.r2 sin θdr I = dϕ dr r2.rdz 0 0 0 0 0 0 4π 4π = . = . 15 15
Tuy nhiên, cũng có những tình huống mặc dù miền lấy tích phân là hình cầu nhưng
việc sử dụng tọa độ trụ lại thuận tiện hơn (vì biểu thức tính tích phân có chứa x2 + y2). ZZ p Chẳng hạn như, tính
1 − x2 − y2dxdydz, trong đó V là nửa phía trên của hình cầu V
x2 + y2 + z2 ≤ 1, z ≥ 0 (xem hình vẽ của ví dụ phía trên). 1. Tọa độ cầu. 2. Tọa độ trụ.       x = r cos ϕ,
x = r sin θ cos ϕ,  
Đặt y = r sin θ sin ϕ, Đặt y = r sin ϕ,        z = r cos θ. z = z.      
0 ≤ ϕ ≤ 2π,
0 ≤ ϕ ≤ 2π,   Ta có 0 , Ta có 0 ≤ r ≤ 1,
 ≤ θ ≤ π  2    √   0 ≤ r ≤ 1. 0 ≤ z ≤ 1 − r2. √ π 2π 1 1−r2 2π Z Z Z Z 2 Z 1 Z p p I = dϕ dθ
1 − r2 sin2 θ.r2 sin θdr I = dϕ dr 1 − r2.rdz 0 0 0 0 0 0 π
(tích phân này không dễ tính). = . 2 73 74
Chương 2. Tích phân bội 2.4 Bài tập ôn tập Bài tập 2.40. Tính ZZZ dxdydz I = , (1 + x + y + z)3 V
trong đó V là tứ diện giới hạn bởi các mặt phẳng x = 0, y = 0, z = 0 và x + y + z = 1. [Đáp số] I = 1 ln 2 . 2 − 58 Bài tập 2.41. Tính ZZZ zdxdydz, V
trong đó V là nửa trên của ellipsoid x2 y2 z2 + + ≤ 1, (z ≥ 0). a2 b2 a2
[Đáp số] I = πabc2 . 4
Bài tập 2.42. Tính các tích phân sau ZZZ a) I x2 , trong đó 1 = + y2 + z2 B là ellipsoid x2 + y2 + z2 B a2 b2 c2 a2 b2 c2 ≤ 1. ZZZ b) I2 =
zdxdydz, trong đó C làm miền giới hạn bởi mặt nón z2 = h2 (x2 + y2) và mặt C R2 phẳng z = h. ZZZ c) I3 =
z2dxdydz, trong đó D là phần chung của hình cầu x2 + y2 + z2 ≤ R2 và hình D cầu x2 + y2 + z2 ≤ 2Rz. ZZZ d) I4 =
(x + y + z)2dxdydz, trong đó V là phần chung của paraboloid x2 + y2 ≤ 2az V
và hình cầu x2 + y2 + z2 ≤ 3a2.
Bài tập 2.43. Tính thể tích của vật thể giới hạn phía dưới bởi mặt phẳng 0xy, mặt bên là
các mặt phẳng x = 0, x = a, y = 0, y = b, phía trên bởi paraboloid elliptic x2 y2 z = + , (p > 0, q > 0). 2p 2y
Bài tập 2.44. Tính tích phân ZZZ q I = x2 + y2 + z2dxdydz, V
trong đó V là miền giới hạn bởi mặt x2 + y2 + z2 = z. 74 2. Tích phân bội ba 75 [Đáp số] I = π . 10 Bài tập 2.45. Tính ZZZ I = zdxdydz, V
trong đó V là miền giới hạn bởi các mặt z = x2 + y2 và x2 + y2 + z2 = 6. [Đáp số] I = 11π. 3
Bài tập 2.46. Tính tích phân ZZZ xyz I = dxdydz, x2 + y2 V
trong đó V là vật thể giới hạn phía trên bởi mặt (x2 + y2 + z2)2 = a2xy và phía dưới bởi mặt z = 0. 75 76
Chương 2. Tích phân bội
§3. CÁC ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN BỘI
3.1 Tính diện tích hình phẳng ZZ Công thức tổng quát: S = dxdy D     y = 2x
Bài tập 2.47. Tính diện tích của miền D giới hạn bởi: y = 2−x    y = 4. y y = 2x y = 2−x 4 1 x O Hình 2.47
Lời giải. Nhận xét: D = D , ở đó 1 ∪ D2 ( ( −2 6 x 6 0 0 6 x 6 2 D1 , D2 2−x 6 y 6 4 2x 6 y 6 4. Do đó ZZ ZZ ZZ ZZ 3 S = dxdy = dxdy + dxdy = 2 dxdy = ... = 2 8 − . ln 2 D D1 D2 D1 76
3. Các ứng dụng của tích phân bội 77 (
Bài tập 2.48. Tính diện tích của miền y2 = x, y2 = 2x D giới hạn bởi: x2 = y, x2 = 2y. y y = x2 x2 = 2y 2x = y2 x = y2 x O Hình 2.48 ZZ
Lời giải. Ta có S =
dxdy. Thực hiện phép đổi biến D    y2  u = ( x 1 6 u 6 2 ⇒ D ,  uv :  x2  v = 1 6 v 6 2 y và D (u 2y , v) − y2 J−1 = = x2 x = −3. D (x, y) 2x y − x2 y2 Vậy ZZ 1 1 S = dudv = . 3 3 Duv (
Bài tập 2.49. Tính diện tích miền y = 0, y2 = 4ax D giới hạn bởi x + y = 3a, y 6 0 (a > 0) . 77 78
Chương 2. Tích phân bội y 3a 3a O x −6a Hình 2.49    −6a 6 y 6 0
Lời giải. Nhìn hình vẽ ta thấy D : nên  y2  6 x 6 3a − y 4a ZZ 0 Z 3a−y Z 0 Z y2 S = dxdy = dy dx = 3a − y − dy = 18a2. 4a D −6a y2 −6a 4a (
Bài tập 2.50. Tính diện tích miền x2 + y2 = 2x, x2 + y2 = 4x D giới hạn bởi x = y, y = 0. y y = x 2 4 x O Hình 2.50  ZZ ( π x = r cos ϕ  0 6 ϕ 6
Lời giải. Ta có S = dxdy. Đặt thì D : 4 nên y = r sin ϕ  D
2 cos ϕ 6 r 6 4 cos ϕ π π 4 Z 4 cos ϕ Z 4 Z 1 3π 3 S = dϕ rdr = 12 cos2 ϕdϕ = + . 2 4 2 0 2 cos ϕ 0 78
3. Các ứng dụng của tích phân bội 79
Bài tập 2.51. Tính diện tích miền D giới hạn bởi đường tròn r = 1, r = 2 √ cos ϕ. 3 Chú ý:
• r = a là phương trình đường tròn tâm O(0, 0), bán kính a.
• r = 2a cos ϕ là phương trình đường tròn tâm (a, 0), bán kính a.
• r = 2a sin ϕ là phương trình đường tròn tâm (0, a), bán kính a. y x O Hình 2.51
Lời giải. Giao tại giao điểm của 2 đường tròn: 2 π
r = 1 = √ cos ϕ ⇔ ϕ = ± . 3 6 Do đó π 2 √ cos ϕ π 6 Z 3Z 6 Z √ 1 4 3 π S = 2 dϕ rdr = 2.
cos2 ϕ − 1 dϕ = − . 2 3 6 18 0 1 0
Bài tập 2.52. Tính diện tích miền 2
D giới hạn bởi đường x2 + y2 = 2a2xy (a > 0). 79 80
Chương 2. Tích phân bội y p r = a sin 2ϕ O x Hình 2.52 ( x = rcos ϕ
Lời giải. Tham số hoá đường cong đã cho, đặt
, phương trình đường cong y = r sin ϕ
tương đương với r2 = a2 sin 2ϕ. Khảo sát và vẽ đường cong đã cho trong hệ toạ độ cực (xem hình vẽ 2.52). Ta có   π 3π 0 6 ϕ 6 , π 6 ϕ 6 D : 2 2  p 0 6 r 6 a sin 2ϕ
Do tính đối xứng của hình vẽ nên √ π a sin 2ϕ π 2 Z Z 2 Z S = 2 dϕ rdr =
a2 sin 2ϕdϕ = a2. 0 0 0
Bài tập 2.53. Tính diện tích của miền giới hạn bởi đường Lemniscate
(x2 + y2)2 = 2a2(x2 − y2) (a > 0). y p r = a 2 cos 2ϕ x O Hình 2.53 80
3. Các ứng dụng của tích phân bội 81
[Gợi ý] Phương trình của đường Lemniscate trong tọa độ cực là r2 = 2a2 cos 2ϕ, và do tính
đối xứng của miền nên √ π a 2 cos 2ϕ 4 Z Z S a2 = dϕ rdr = . 4 2 0 0
Bài tập 2.54. Tính diện tích miền D giới hạn bởi đường x3 + y3 = axy (a > 0) (Lá Descartes). y 1 2 1 x O 2 Hình 2.54 TCX: y = −x − 13 (
Tham số hoá đường cong đã cho, đặt
x = r cos ϕ , phương trình đường cong tương đương y = r sin ϕ với a sin ϕ cos ϕ r = .
sin3 ϕ + cos3 ϕ
Khảo sát và vẽ đường cong đã cho trong hệ toạ độ cực (xem hình vẽ 2.54). Ta có   π   0 6 ϕ 6 2 D :  a sin ϕ cos ϕ   0 6 r 6 .
sin3 ϕ + cos3 ϕ Do đó a sin ϕ cos ϕ π π 2 Z sin3 ϕ+cos3 ϕ Z 2 Z +∞ Z a2 sin2 ϕ cos2 ϕ t=tan ϕ a2 1 d t3 + 1 a2 S = dϕ rdr = dϕ = . = . 2 2
sin3 ϕ + cos3 ϕ 2 3 (t3 + 1)2 6 0 0 0 0
Bài tập 2.55. Tính diện tích miền D giới hạn bởi đường r = a (1 + cos ϕ) (a > 0) (đường
Cardioids hay đường hình tim) 81 82
Chương 2. Tích phân bội y a O x 2a −a Hình 2.55 Lời giải. Ta có
D = {0 6 ϕ 6 2π, 0 6 r 6 a (1 + cos ϕ)} nên π Z a(1+cos ϕ) Z π Z 3πa2 S = 2 dϕ rdr = a2
(1 + cos ϕ)2 dϕ = ... = . 2 0 0 0
3.2 Tính thể tích vật thể Công thức tổng quát: ZZZ V = dxdydz V
Các trường hợp đặc biệt
1. Vật thể hình trụ, mặt xung quanh là mặt trụ có đường sinh song song với trục
Oz, đáy là miền D trong mặt phẳng Oxy, phía trên giới hạn bởi mặt cong z = ZZ
f (x, y) , f (x, y) > 0 và liên tục trên D thì V =
f (x, y) dxdy. (Xem hình vẽ dưới D đây). 82
3. Các ứng dụng của tích phân bội 83 z = f (x, y) z y O D x
2. Vật thể là khối trụ, giới hạn bởi các đường sinh song song với trục Oz, hai mặt
z = z1 (x, y) , z = z2 (x, y). Chiếu các mặt này lên mặt phẳng Oxy ta được miền D,
z1 (x, y) , z2 (x, y) là các hàm liên tục, có đạo hàm riêng liên tục trên D. Khi đó: ZZ V = |z1 (x, y) − z2 (x, y)|dxdy D z = z z 1(x, y) Ω z = z2(x, y) y O D x     3x + y > 1
Bài tập 2.56. Tính thể tích miền giới hạn bởi 3x + 2y 6 2  
 y > 0, 0 6 z 6 1 − x − y. 83 84
Chương 2. Tích phân bội z O y x Hình 2.56 Lời giải. 2−2y ZZ 1 Z 3 Z 1 Z 1 1 V = f (x, y) dxdy = dy (1 − x − y) dx = 1 − 2y + y2 dy = . 6 18 D 0 1−y 0 3 (
Bài tập 2.57. Tính thể tích của miền z = 4 − x2 − y2 V giới hạn bởi 2z = 2 + x2 + y2. z 2z = 2 + x2 + y2 O z = 4 − x2 − y2 y x Hình 2.57 84
3. Các ứng dụng của tích phân bội 85 ( x2 + y2 = 2
Lời giải. Giao tuyến của hai mặt cong:
nên hình chiếu của V lên mặt phẳng z = 2,
Oxy là D : x2 + y2 ≤ 2. Hơn nữa trên D thì 4 − x2 − y2 2+x2+y2 > nên ta có: 2 ZZ 2 + x2 + y2 V = 4 − x2 − y2 − dxdy. 2 D ( ( Đặt
x = r cos ϕ thì 0 6 ϕ 6 2π √ y = r sin ϕ 0 6 r 6 2. Do đó √ 2π Z 2 Z 3 V = dϕ
3 − r2 rdr = ... = 3π. 2 0 0 (
Bài tập 2.58. Tính thể tích của 0 6 z 6 1 − x2 − y2 V : √ y > x, y 6 3x. z 1 O 1 y Hình 2.58 x √
Lời giải. Do x ≤ y ≤ 3x nên x, y ≥ 0. Ta có ZZ V = 1 − x2 − y2 dxdy. D (   π π 6 ϕ 6 Đặt x = r cos ϕ thì 4 3 y = r sin ϕ  0 6 r 6 1. 85 86
Chương 2. Tích phân bội Vậy π 3 Z 1 Z π V = dϕ 1 − r2 rdr = . . . = . 48 π 0 4 (
Bài tập 2.59. Tính thể tích x2 + y2 + z2 6 4a2 V : x2 + y2 − 2ay 6 0. z 2a O 2a 2a x y Hình 2.59
Lời giải. Do tính chất đối xứng của miền V nên ZZ q V = 4 4a2 − x2 − y2dxdy, D ( trong đó x2 + y2 − 2ay 6 0 D là nửa hình tròn D : x > 0. (   π 0 6 ϕ 6 Đặt x = r cos ϕ thì 2 y = r sin ϕ  0 6 r 6 2a sin ϕ. 86
3. Các ứng dụng của tích phân bội 87 Vậy π 2 Z 2a sin ϕ Z p V = 4 dϕ 4a2 − r2rdr 0 0 π 2 − Z 1 2 3 = 2 4. 4a2 − r2 r= 2a sin ϕ dϕ 2 3 r=0 0 π 2 Z 4 =
8a3 − 8a3 cos3 ϕ dϕ 3 0 32a3 π 2 = − . 3 2 3     z = 0    x2 y2
Bài tập 2.60. Tính thể tích của miền V giới hạn bởi z = +   a2 b2     x2 y2 2x + = . a2 b2 a z z = x2 + y2 a2 b2 4 V O 2a x Hình 2.60
Lời giải. Ta có hình chiếu của V lên mặt phẳng Oxy là miền D : x2 + y2 . Do tính chất a2 b2 ≤ 2x a
đối xứng của miền V nên: ZZ x2 y2 V = 2 + dxdy, a2 b2 D+ 87 88
Chương 2. Tích phân bội
trong đó D+ là nửa ellipse D+ : x2 + y2 , y > 0 a2 b2 ≤ 2x a (   π 0 6 ϕ 6 Đặt
x = ar cos ϕ thì |J| = abr, 2 y = br sin ϕ  0 6 r 6 2 cos ϕ. Vậy π 2 Z 2 cos ϕ Z 3π V = 2 dϕ r2rdr = ... = . 2 0 0   az = x2 + y2
Bài tập 2.61. Tính thể tích của miền V : q  z = x2 + y2. z a y −a O a Hình 2.61
Lời giải. Giao tuyến của hai đường cong: q ( x2 + y2 x2 + y2 = a2 z = x2 + y2 = ⇔ a z = a
Vậy hình chiếu của V lên mặt phẳng Oxy là D : x2 + y2 ≤ a2.
Nhận xét rằng, ở trong miền D thì mặt nón ở phía trên mặt paraboloit nên: ZZ q x2 + y2 V = x2 + y2 − dxdy. a D 88
3. Các ứng dụng của tích phân bội 89 ( ( Đặt
x = r cos ϕ thì 0 6 ϕ 6 2π y = r sin ϕ 0 6 r 6 a. Vậy 2π Z a Z r2 πa3 V = dϕ r − rdr = ... = . a 6 0 0
3.3 Tính diện tích mặt cong
Mặt z = f (x, y) giới hạn bởi một đường cong kín, hình chiếu của mặt cong lên mặt
phẳng Oxy là D. Giả thiết f (x, y) là hàm số liên tục, có các đạo hàm riêng liên tục trên D. Khi đó: ZZ q σ =
1 + p2 + q2dxdy, p = f ′x, q = f ′y D z = f (x, y) z y O D x
3.4 Bài tập ôn tập
Bài tập 2.62. Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi hình trụ elliptic x2 + y2 = 1, mặt a2 b2
phẳng z = 0 và paraboloid elliptic 2z = x2 + y2 (c > 0). c p2 q2
Bài tập 2.63. Tính thể tích của miền giới hạn bởi các mặt hyperbolic xy = 1, xy = 9, xz = 4, xz = 36, yz = 25, yz = 49.
[Gợi ý] Đặt u = xy, v = xz, w = yz. Đáp số V = 64. 89 90
Chương 2. Tích phân bội 90 3 CHƯƠNG
TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ.
§1. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH PHỤ THUỘC THAM SỐ. 1.1 Giới thiệu b Z
Xét tích phân xác định phụ thuộc tham số: I (y) =
f (x, y) dx, trong đó f (x, y) khả a
tích theo x trên [a, b] với mỗi y ∈ [c, d]. Trong bài học này chúng ta sẽ nghiên cứu một số
tính chất của hàm số I (y)như tính liên tục, khả vi, khả tích.
1.2 Các tính chất của tích phân xác định phụ thuộc tham số. 1) Tính liên tục.
Định lý 3.9. Nếu f (x, y)là hàm số liên tục trên [a, b] × [c, d] thì I (y)là hàm số liên tục trên [c, d]. Tức là: b Z b Z lim I (y) = I (y0) ⇔ lim f (x, y) dx = f (x, y0) dx y→y0 y→y0 a a
(có thể chuyển dấu lấy giới hạn vào bên trong biểu thức tính tích phân) 1 Z
Ví dụ 1.1. Khảo sát sự liên tục của tích phân I (y) =
y f (x) dx , với f (x) là hàm số x2+y2 0
dương, liên tục trên [0, 1] . 91 92
Chương 3. Tích phân phụ thuộc tham số.
Lời giải. Nhận xét rằng hàm số g (x, y) = yf (x) liên tục trên mỗi hình chữ nhật x2+y2
[0, 1] × [c, d] và [0, 1] × [−d, −c] với 0 < c < d bất kì, nên theo Định lý 3.9, I (y) liên
tục trên mỗi [c, d] , [−d, −c] , hay nói cách khác I (y) liên tục với mọi y 6= 0.
Bây giờ ta xét tính liên tục của hàm số I (y) tại điểm y = 0 . Do f (x) liên tục trên
[0, 1] nên tồn tại m = min f (x) > 0. Khi đó f (x) > m > 0 ∀x ∈ [0, 1] và với ε > 0 thì: [0,1] 1 Z 1 Z ε f (x) ε.m x I (ε) = dx > dx = m.arctan , x2 + ε2 x2 + ε2 ε 0 0 1 Z 1 − Z ε f (x) −ε.m x I (−ε) = dx 6 dx = −m.arctan . x2 + ε2 x2 + ε2 ε 0 0
Suy ra |I (ε) − I (−ε)| > 2m. arctan x khi ε ε → 2m. π 2
→ 0 , tức là |I (ε) − I (−ε)| không
tiến tới 0 khi ε → 0 , I (y) gián đoạn tại y = 0 . 1 Z
Ví dụ 1.2. Xét tính liên tục của hàm số I (y) = y2−x2 dx. (x2+y2)2 0 1 Z
Lời giải. Tại y = 0 , I (0) =
− 1 dx = −∞, nên hàm số I (y) không xác định tại x2 0 y = 0.
Tại y 6= 0, cũng có thể sử dụng Định lý 3.9 để khảo sát tính liên tục của I(y). Khi đó
phải xét hàm số f (x, y) = y2−x2 trong khoảng [0, 1] × [c, d] với d > c > 0 bất kì (để x2+y2)2
tránh điểm y = 0) giống như trong Ví dụ 1.1. Tuy nhiên, trong trường hợp này có thể
tính được I(y) một cách trực tiếp như sau: 1 Z 1 x2 + y2 − 2x.x Z x 1 I (y) = dx = d = . (x2 + y2)2 x2 + y2 1 + y2 0 0
Do đó I (y) xác định và liên tục với mọi y 6= 0. 2) Tính khả vi.
Định lý 3.10. Giả sử với mỗi y ∈ [c, d], f (x, y) là hàm số liên tục theo x trên [a, b] và ′
fy (x, y) là hàm số liên tục trên [a, b] × [c, d] thì I (y) là hàm số khả vi trên (c, d) và b Z ′ I′ (y) =
fy (x, y) dx , hay nói cách khác chúng ta có thể đưa dấu đạo hàm vào trong a tích phân. 92
1. Tích phân xác định phụ thuộc tham số. 93
Ví dụ 1.3. Tính các tích phân sau: 1 Z
a) In (α) = xα lnn xdx , n là số nguyên dương. 0 Lời giải.
∗ Với mỗi α > 0, hàm số fn (x, α) = xα lnn x, n = 0, 1, 2, ... liên tục theo x trên [0, 1]
∗ Vì lim xα lnn+1 x = 0 nên ∂ fn(x,α) = xα lnn+1 x liên tục trên [0, 1] ∂α × (0, +∞). x→0+
Nghĩa là hàm số fn (x, α) = xα lnn x thoả mãn các điều kiện của Định lý 3.10 nên: 1 Z 1 Z 1 Z ′ d d In−1 (α) = xα lnn−1 xdx = xα lnn−1 x dx = xα lnn xdx =I dα dα n (α) . 0 0 0 Tương tự, ′ ′ ′ I = = = , suy ra n−2 In−1, ..., I2 I1, I I I 1 0
n (α) = [ I0 (α)](n). Mà 1 Z 1 1 (n) (−1)n n! I0 (α) = xαdx = ⇒ I = . α + 1 n (α) = α + 1 (α + 1)n+1 0 π 2 Z b)
ln 1 + y sin2 x dx, với y > 1. 0
Lời giải. Xét hàm số f (x, y) = ln 1 + y sin2 x thoả mãn các điều kiện sau:
• f (x, y) = ln 1 + y sin2 x xác định trên 0, π2 × (1, +∞) và với mỗi y > −1 cho trước,
f (x, y) liên tục theo x trên 0, π . 2 • Tồn tại ′ f
xác định, liên tục trên y (x, y) = sin2 x 0, π × (1, +∞) . 1+y sin2 x 2 π π 2 Z 2 Z
Theo Định lý 3.10, I′ (y) = sin2 x dx = dx . 1+y sin2 x 1 +y sin2 x 0 0
Đặt t = tanx thì dx = dt , 0 6 t 6 +∞ . 1+t2 +∞ Z +∞ Z t2dt 1 1 1 I′ (y) = = − dt (t2 + 1) (1 + t2 + yt2) y t2 + 1 1 + (y + 1) t2 0 0 " # 1 +∞ 1 p +∞ = arctan t − p arctan t y + 1 y 0 y + 1 0 ! π 1 π 1 = 1 − p = p . p . 2y 1 + y 2 1 + y 1 + 1 + y 93 94
Chương 3. Tích phân phụ thuộc tham số. Suy ra Z Z π 1 p I (y) = I′ (y) dy = p . p dy = π ln 1 + 1 + y + C. 2 1 + y 1 + 1 + y Do p
I (0) = 0 nên C = −π ln 2 và I (y) = π ln 1 + 1 + y − π ln 2. 3) Tính khả tích.
Định lý 3.11. Nếu f (x, y) là hàm số liên tục trên [a, b] × [c, d] thì I (y)là hàm số khả tích trên [c, d] , và:     d Z d Z b Z b Z d Z I (y) dy :=  f (x, y) dx dy =  f (x, y) dy dx c c a a c 1 Z Ví dụ 1.4. Tính xb−xa dx, (0 < a < b). ln x 0
Lời giải. Hàm lấy tích phân f (x) = xb−xa mặc dù không xác định tại x = 0 nhưng ln x
lim xb−xa = 0 nên có thể xếp tích phân này vào loại tích phân xác định. ln x x→0+ Ta có: b Z b Z xb − xa ′ xy = F (x, b) − F (x, a) = F xydy; F (x, y) := ln x y (x, y) dy = ln x a a nên:     1 Z 1 Z b Z b Z 1 Z b Z xb − xa 1 b + 1 dx =  xydy dx =  xydx dy = dy = ln . ln x y + 1 a + 1 0 0 a a 0 a
Bạn đọc tự kiểm tra điều kiện về đổi thứ tự lấy tích phân.
1.3 Các tính chất của tích phân phụ thuộc tham số với cận biến đổi.
Xét tích phân phụ thuộc tham số với cận biến đổi b(y) Z J (y) =
f (x, y) dx, với y ∈ [c, d] , a 6 a (y) , b (y) 6 b ∀y ∈ [c, d] . a(y) 94
1. Tích phân xác định phụ thuộc tham số. 95 1) Tính liên tục
Định lý 3.12. Nếu hàm số f (x, y) liên tục trên [a, b] × [c, d] , các hàm số a (y) , b (y)
liên tục trên [c, d] và thoả mãn điều kiện a 6 a (y) , b (y) 6 b ∀y ∈ [c, d] thì J (y) là
một hàm số liên tục đối với y trên [c, d]. 2) Tính khả vi
Định lý 3.13. Nếu hàm số ′
f (x, y) liên tục trên [a, b] × [c, d] , fy (x, y) liên tục trên
[a, b] × [c, d] , và a (y) , b (y) khả vi trên [c, d] và thoả mãn điều kiện a 6 a (y) , b (y) 6
b ∀y ∈ [c, d] thì J (y) là một hàm số khả vi đối với y trên [c, d], và: b(y) Z ′ ′ ′
J′ (y) = f (b (y) , y) by (y) − f (a (y) , y) ay (y) + fy (x, y) dx. a(y) 1+y Z Ví dụ 1.5. Tìm lim dx . y→0 1+x2+y2 y 1+y Z
Lời giải. Dễ dàng kiểm tra được hàm số I (y) = dx
liên tục tại y = 0 dựa vào định 1+x2+y2 y 1+y Z 1 Z lý 3.12, nên lim dx = I (0) = dx = π . y→0 1+x2+y2 1+x2 4 y 0 1.4 Bài tập
Dạng 1. Tính tích phân suy rộng phụ thuộc tham số bằng cách đổi thứ tự lấy tích phân b Z Giả sử cần tính I (y) = f (x, y)dx. a d Z
B1. Biểu diễn f (x, y) = F (x, y) dy. c
B2. Sử dụng tính chất đổi thứ tự lấy tích phân:     b Z b Z d Z d Z b Z I (y) = f (x, y)dx =  F (x, y) dydx =  F (x, y) dxdy. a a c c a 95 96
Chương 3. Tích phân phụ thuộc tham số.
Dạng 2. Tính tích phân bằng cách đạo hàm qua dấu tích phân. b Z Giả sử cần tính I (y) = f (x, y)dx. a b Z B1. Tính ′
I′ (y) bằng cách I′ (y) = fy (x, y) dx. a Z
B2. Dùng công thức Newton-Leibniz để khôi phục lại I (y) bằng cách I (y) = I′ (y) dy + C.
B3. Cho một giá trị đặc biệt của y để xác định C.
Chú ý: Phải kiểm tra điều kiện đổi thứ tự lấy tích phân trong Định lý 3.11 hoặc chuyển
dấu đạo hàm qua tích phân trong Định lý 3.10. 1 Z Bài tập 3.1. Tính xb−xa dx, (0 < a < b). ln x 0 Lời giải.
Cách 1: Đổi TT lấy TP
Cách 2: Đạo hàm qua dấu TP
xb − xa = F (x, b) − F (x, a) 1 Z ln x Đặt I(b) = xb−xa dx. b Z ln x ′ 0 = Fy (x, y) dy Ta có a b Z = xydy 1 Z 1 a I′(b) = xbdx = . b + 1 xy 0 F (x, y) := . ln x nên: nên   1 Z 1 Z b Z xb − xa Z dx =  xydy dx I(b) = I′(b)db = ln(b + 1) + C. ln x 0 0 a   b Z 1 Z
Thay giá trị đặc biệt b = a vào biểu =  xydx dy
thức tính tích phân I(b) ta được a 0 b Z 1 = dy
I(a) = 0 ⇔ C = − ln(a + 1). y + 1 a b + 1 = Do đó . ln . I = ln b+1 a+1 a + 1 96
1. Tích phân xác định phụ thuộc tham số. 97
Bài tập 3.2. Tính tích phân sau: 1 Z 1 Z a) I (y) = arctan x dx. b) J(y) = ln x2 + y2 dx. y 0 0 [Gợi ý]
a) B1. Kiểm tra I (y) thỏa mãn các điều kiện của Định lý về tính khả vi.
B2. Nhận xét rằng I′(y) = 1 ln y2 . 2 1+y2
B3. I(y) = arctan 1 + 1y ln y2 + C. y 2 1+y2 Z 1
B4. Thay một giá trị đặc biệt y = y vào để tính 0 C. Chẳng hạn, I(1) = arctan xdx, 0 và tính được C = 0.
b) B1. Kiểm tra J(y) thỏa mãn các điều kiện của Định lý về tính khả vi.
B2. Tính I′(y) = 2 arctan 1. y
B3. I(y) = ln(1 + y2) − 2 + 2y arctan 1. y Z 1
B4. Thay một giá trị đặc biệt y = y vào để tính 0 C. Chẳng hạn, I(0) = ln x2dx, và 0 tính được C = 0.   y2−x2
Bài tập 3.3. Cho hàm số , 0 < x, y ≤ 1, f (x) = (x2+y2)2 0, x = y = 0. Chứng minh rằng     1 Z 1 Z 1 Z 1 Z π π =  f (x, y)dx dy 6=  f (x, y)dy dx = − , 4 4 0 0 0 0 Z 1 nghĩa là hàm số I(y) =
f (x, y)dx khả tích trên đoạn [0, 1] nhưng không thể đổi thứ tự 0
lấy tích phân được trong trường hợp này. Hãy giải thích vì sao.
Bài tập 3.4. Chứng minh hàm Bessel π Z 1 In(x) =
cos(nϕ − x sin ϕ)dϕ π 0
thỏa mãn phương trình Bessel x2 I′′
n (x) + x In(x) + (x2 − n2)In = 0, n = 0, 1, 2, . . . 97
§2. TÍCH PHÂN SUY RỘNG PHỤ THUỘC THAM SỐ. +∞ Z
Xét tích phân suy rộng phụ thuộc tham số I (y) =
f (x, y)dx, y ∈ [c, d]. Các kết quả a
dưới đây tuy phát biểu đối với tích phân suy rộng loại II (có cận bằng vô cùng) nhưng đều
có thể áp dụng một cách thích hợp cho trường hợp tích phân suy rộng loại I (có hàm dưới
dấu tích phân không bị chặn).
2.1 Các tính chất của tích phân suy rộng phụ thuộc tham số. Giả thiết
• f (x, y) là hàm số xác định trên [a, ∞) × [c, d],
• với mỗi y ∈ [c, d] cố định, f (x, y) khả tích theo x trên [a, b], ∀b > a.
Định nghĩa 3.8. Ta nói TPSR phụ thuộc tham số là Z ∞
• hội tụ tại y0 ∈ [c, d] nếu
f (x, y0)dx hội tụ, nghĩa là với mọi ǫ > 0, tồn tại b(ǫ, y0) > a
a (phụ thuộc vào ǫ và y ) sao cho 0 ∞ b Z Z I(y0) −
f (x, y0)dx = f (x, y0)dx < ǫ với mọi b > b(ǫ, y0). a b
• hội tụ trên [c, d] nếu I (y) hội tụ tại mọi y ∈ [c, d],
• hội tụ đều trên [c, d] nếu với mọi ǫ > 0, tồn tại bǫ > a (chỉ phụ thuộc vào ǫ mà không phụ thuộc vào y) sao cho ∞ b Z Z và với mọi I(y) −
f (x, y)dx = f (x, y)dx < ǫ với mọi b > bǫ y ∈ [c, d]. a b ∞ Z Ví dụ 2.6. I(y) =
sin(yx)dx hội tụ khi y = 0 và phân kỳ khi y 6= 0. 1 +∞ Z Ví dụ 2.7. a) Tính I(y) = ye−yxdx (y > 0). 0 98
2. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số. 99
b) Chứng minh rằng I(y) hội tụ đều tới 1 trên [y0, +∞) với mọi y0 > 0.
c) Giải thích tại sao I(y) không hội tụ đều trên (0, +∞). [Gợi ý] ∞ a)
I(y) = −e−yx = 1 với mọi y > 0. 0
b) Theo định nghĩa, muốn chỉ ra I(y) hội tụ đều tới 1 trên [y0, +∞) ta phải chỉ ra với
mỗi ǫ > 0, tồn tại số b chỉ phụ thuộc vào ǫ
ǫ, không phụ thuộc vào y sao cho b Z I(y) −
ye−yxdx < ǫ, ∀b > bǫ. 0 Thật vậy, b Z 1 1 I(y) −
ye−yxdx = |1 − (1 − e−by)| = e−by ≤ e−by0 < ǫ nếu b > ln . y0 ǫ 0 Do đó, có thể chọn b . ǫ = 1 ln 1 y0 ǫ c) Ta có b Z I(y) −
ye−yxdx = |1 − (1 − e−by)| = e−by. 0 Z b Muốn . Tuy nhiên, 1 I(y) −
ye−yxdx < ǫ thì e−by < ǫ ⇔ b > 1 ln 1 ln 1 y ǫ y ǫ → +∞ khi 0
y → 0+. Do đó, không thể chọn được hằng số b chỉ phụ thuộc vào ǫ ǫ thỏa mãn yêu cầu của hội tụ đều. +∞ Z
Ví dụ 2.8. Chứng minh rằng e−ax cos yx = a
với a > 0 và với mọi y. y2+a2 0 [Gợi ý] Z a y e−ax cos yxdx = − e−ax cos yx + e−ax sin yx, a2 + y2 a2 + y2 +∞ Z nên e−ax cos yxdx = a . a2+y2 0
1) Tiêu chuẩn hội tụ đều Weierstrass 99 100
Chương 3. Tích phân phụ thuộc tham số.
Định lý 3.14. Nếu | f (x, y)| 6 g (x) ∀ (x, y) ∈ [a, +∞] × [c, d] và nếu tích phân suy +∞ Z +∞ Z rộng
g (x) dx hội tụ, thì tích phân suy rộng I (y) =
f (x, y)dx hội tụ đều đối với a a y ∈ [c, d].
Ví dụ 2.9. Chứng minh rằng ∞ Z a) I(y) =
cos yx là hội tụ đều trên R. x2+1 0 +∞ Z b) I(y) = ye−yxdx
(y > 0) hội tụ đều trên [y0, +∞) với mọi y0 > 0. 0 +∞ Z c) I(y) =
e−yx cos αx hội tụ đều trên khoảng [a, b] với mọi 0 < a < b và α ∈ R. 0 2) Tính liên tục
Định lý 3.15. Nếu hàm số f (x, y) liên tục trên [a, +∞] × [c, d] và nếu tích phân suy +∞ Z rộng I (y) =
f (x, y)dx hội tụ đều đối với y ∈ [c, d] thì I (y) là một hàm số liên tục a trên [c, d], nghĩa là +∞ Z +∞ Z +∞ Z lim I(y) = lim f (x, y)dx = lim f (x, y)dx = f (x, y0)dx = I(y0). y→y0 y→y0 y→y0 a a a ∞ Z
Ví dụ 2.10. Tính lim cos yx . y→0 x2+1 0 +∞ Z
Ví dụ 2.11. Chứng minh rằng I(y) =
ye−yxdx không liên tục phải tại y = 0, 0 nghĩa là   +∞ Z +∞ Z lim  ye−yxdx 6= lim ye−yx dx. y→0+ y→0+ 0 0
Hãy giải thích tại sao không chuyển được dấu giới hạn vào trong biểu thức tính tích
phân trong trường hợp này. 3) Tính khả vi 100
2. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số. 101
Định lý 3.16. Giả sử hàm số f (x, y) xác định trên [a, +∞] × [c, d] sao cho với mỗi y ∈ [ ′
c, d] , hàm số f (x, y) liên tục đối với x trên [a, +∞] và fy (x, y) liên tục trên [a, +∞] × +∞ Z +∞ Z [ ′
c, d]. Nếu tích phân suy rộng I (y) = f (x, y)dx hội tụ và fy (x, y)dx hội tụ đều a a +∞ Z đối với ′
y ∈ [c, d] thì I (y) là hàm số khả vi trên [c, d] và I′ (y) = fy (x, y) dx. a +∞ Z
Ví dụ 2.12. Chứng minh rằng tích phân phụ thuộc tham số I (y) = arctan(x+y) dx 1+x2 −∞
là một hàm số liên tục khả vi đối với biến y. Tính I′ (y) rồi suy ra biểu thức của I (y). Lời giải. Ta có:
1) f (x, y) = arctan(x+y) liên tục trên [−∞, +∞] × [−∞, +∞]. 1+x2 +∞ Z +∞ Z 2) arctan(x+y) arctan(x+y) 6 π . 1 , mà 1
= π hội tụ, nên I (y) = dx hội tụ 1+x2 2 1+x2 1+x2 1+x2 −∞ −∞ đều trên [−∞, +∞].
Theo Định lý 3.15, I (y) liên tục trên [−∞, +∞]. +∞ Z Hơn nữa ′ ′ fy (x, y) = 1 6 1 , ∀y; do đó f (1+x2)[1+(x+y)2] 1+x2
y (x, y)dx hội tụ đều trên −∞ +∞ Z
[−∞, +∞]. Theo Định lý 3.16, I (y) khả vi trên [−∞, +∞], và: I′ (y) = 1 dx. (1+x2)[1+(x+y)2] −∞ Đặt 1
= Ax+B + Cx+D , dùng phương pháp đồng nhất hệ số ta thu (1+x2)[1+(x+y)2] 1+x2 1+(x+y)2 được:A = −2 , B = 2 , C = 1 , D = 3 . Do đó: y(y2+4) y(y2+4) y2+4 y2+4 +∞ Z " # 1 −2x + y 2x + 3y I′ (y) = + y2 + 4 1 + x2 1 + (x + y)2 −∞ 1 h i =
− ln 1 + x2 + y arctan x + ln 1 + (x + y)2 + y arctan (x + y) |+∞ y2 + 4 x=−∞ 4π = y2 + 4 Z +∞ Z Suy ra I (y) =
I′ (y) dy = 2 arctan y + C, mặt khác I (0) = arctan x dx = 0 nên 2 1+x2 −∞ C = 0 và I (y) = 2 arctan y . 2 101 102
Chương 3. Tích phân phụ thuộc tham số. +∞ Z Ví dụ 2.13. Tính dx (x2+y)n+1 0 +∞ Z Lời giải. Đặt I dx . Khi đó: n (y) = , fn (x, y) = 1 (x2+y)n+1 (x2+y)n+1 0  ′ +∞ Z +∞ Z ′ dx dx 1 ′ [I   n−1 (y)] = = = ( y −n −n.In (y) ⇒ In = − I . ( n x2 + y)n −1) (x2 + y)n+1 n 0 y 0 Tương tự, ′ ′ ′ I . n−1 = − 1 (I , I (I , ..., I n−1 n−2) n−2 = − 1 n−2 n−3) 1 = − (I0) +∞ Z +∞ Do đó, I 1 nên n (y) = (−1)n [I dx = 1 √ arctan x √ = π √ n! 0 (y)](n). Mà I0 (y) = x2+y y y 2 y 0 0 I .
n (y) = π . (2n−1)!! . 1 √ 2 (2n)!! y2n+1
Vấn đề còn lại là việc kiểm tra điều kiện chuyển đạo hàm qua dấu tích phân. 1) Các hàm số ′ ( f (x, y) = 1 , f , ..., f n) liên tục x2+y y (x, y) = −1 (x2+y)2 yn (x, y) = (−1)n (x2+y)n+1
trong [0, +∞) × [ε, +∞) với mỗi ε > 0 cho trước. 2) 1 ( 6 1 , −1 , ..., −1)n x2+y x2+ε (x2+y)2 6 1 (x2+ε)2 (x2+y)n+1 6 1 (x2+ε)n+1 +∞ Z +∞ Z Mà các tích phân 1 dx, ..., 1 dx đều hội tụ, do đó x2+ε (x2+ε)n+1 0 0 +∞ Z +∞ Z +∞ Z ′ ( f (x, y) dx, f n) y (x, y) dx, ...,
fyn (x, y) dx hội tụ đều trên [ε, +∞) với mỗi 0 0 0 ε > 0. 4) Tính khả tích
Định lý 3.17. Nếu hàm số f (x, y) liên tục trên [a, +∞] × [c, d] và nếu tích phân suy
rộng I (y) hội tụ đều đối với y ∈ [c, d] thì I (y) là hàm số khả tích trên [c, d] và ta có
thể đổi thứ tự lấy tích phân theo công thức:     d Z d Z +∞ Z +∞ Z d Z I (y) dy :=  f (x, y) dx dy =  f (x, y) dy dx. c c a a c +∞ Z Ví dụ 2.14. Tính
e−αx−e−βx dx, (α, β > 0). x 0 102
2. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số. 103 Lời giải. Ta có: α Z β Z
e−αx − e−βx F(x,y):= e−yx x ′ =
F (x, α) − F (x, β) = F e−yxdy x y (x, y) = β α nên:     +∞ Z +∞ Z β Z β Z +∞ Z β Z
e−αx − e−βx dy β dx =  e−yxdydx =  e−yxdxdy = = ln . x y α 0 0 α α 0 α
Bạn đọc tự kiểm tra điều kiện về đổi thứ tự lấy tích phân.
Ví dụ 2.15 (Tích phân Gauss). ∞ Z √π G = e−x2dx = . 2 0 Đặt x = ut ta có +∞ Z G = u e−u2t2dt. 0 Ta có +∞ Z G2 = G e−u2du 0  +∞ Z +∞ Z = ue−u2 e−u2t2dt du 0 0   +∞ Z +∞ Z =  ue−(1+t2)u2du dt 0 0 +∞ Z 1 dt = 2 1 + t2 0 π = . 4 Suy ra ∞ Z √π G = e−x2dx = . 2 0
Bạn đọc tự kiểm tra điều kiện về đổi thứ tự lấy tích phân. 103 104
Chương 3. Tích phân phụ thuộc tham số.
Ví dụ 2.16. Chứng minh công thức tích phân Gauss ∞ Z √π e−x2dx = 2 0 bằng tích phân kép. Z M Z M
Lời giải. Đặt IM = e−x2dx = e−y2dy ta có 0 0     M Z M Z M Z M Z I2     M = e−x2dx e−y2dy = e−(x2+y2)dxdy. 0 0 0 0 y D E C √ M 2 M x O A B Hình 2.16 Vì e−(x2+y2)dxdy ≥ 0 nên Z Z Z e−(x2+y2)dxdy ≤ I2M = e−(x2+y2)dxdy ≤ e−(x2+y2)dxdy. OAE OACE OBD
Sử dụng tọa độ cực ta có π π √ 2 Z M Z 2 Z M 2 Z dϕ e−r2rdr ≤ I2M ≤ dϕ e−r2rdr 0 0 0 0 hay là π π (1 − e−M2) ≤ I2 (1 − e−2M2) 4 M ≤ 4 Cho M → +∞ ta được √ π π π ≤ I2 ≤ ⇔ I = . 4 4 2 104
2. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số. 105
Ví dụ 2.17 (Tích phân Dirichlet). ∞ Z sin x π D = dx = . x 2 0 Nhận xét ∞ Z 1 = e−xtdt, x 0 ta có   ∞ Z ∞ Z D = sin x  e−xtdt dx 0 0   ∞ Z ∞ Z =  e−xt sin xdx dt 0 0 ∞ Z dt = 1 + t2 0π = . 2
Bạn đọc tự kiểm tra điều kiện về đổi thứ tự lấy tích phân. ∞
Chú ý: Bạn đọc có thể so sánh với một kết quả trong Giải tích III, đó là ∑ sin n = π−1. n 2 n=1
Ví dụ 2.18. Áp dụng công thức tích phân Dirichlet, chứng minh rằng +∞ Z Z Z +∞ +∞ 1−cos x sin2 x a) c) . sin3 x dx = π dx = π dx = π . b) x2 2 x2 2 x 4 0 0 0 [Gợi ý]
a) Áp dụng công thức hạ bậc sin3 x = 1 sin 3x + 3 sin x. 4 4
b) Áp dụng công thức tích phân từng phần, M Z M Z M Z 1 − cos x 1 M sin x 1 − cos ǫ 1 − cos M sin x dx = − (1 − cos x) + dx = − + dx. x2 x ǫ x ǫ M x ǫ ǫ ǫ
Cho ǫ → 0+ và M → +∞ ta được 1 − cos ǫ 1 − cos M lim = 0, lim = 0 ǫ→0+ ǫ M→+∞ M Do đó, +∞ Z +∞ Z 1 − cos x sin x π dx = = . x2 x 2 0 0 105 106
Chương 3. Tích phân phụ thuộc tham số. c) Hơn nữa, +∞ Z +∞ Z +∞ Z 1 − cos x sin2 x sin2 u dx = 2 2 = du. x2 x2 u2 0 0 0
Ví dụ 2.19 (Tích phân Fresnel). ∞ Z r ∞ Z r 1 π 1 π I = sin(x2)dx = , J = cos(x2)dx = . 2 2 2 2 0 0 Đổi biến x2 = t ta có ∞ Z ∞ Z 1 sin t 1 cos t I = √ dt, J = √ dt. 2 t 2 t 0 0 Z ∞ √
Từ công thức tích phân Gauss e−u2du = π suy ra 2 0 ∞ Z 1 2 √ = √ e−tu2du. t π 0 Ta có ∞ Z ∞ Z ∞ Z sin t 2 √ dt = √ sin t e−tu2du t π 0 0 0 ∞ Z ∞ Z 2 = √ du e−tu2 sin tdt π 0 0 ∞ Z (3.1) 2 du = √π 1 + u2 0 2 π = √ . √ π 2 2 r π = . 2 Kết luận r 1 π I = J = . 2 2
Bạn đọc tự kiểm tra điều kiện về đổi thứ tự lấy tích phân. 106
2. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số. 107 2.2 Bài tập
Dạng 1. Tính tích phân suy rộng phụ thuộc tham số bằng cách đổi thứ tự lấy tích phân +∞ Z Giả sử cần tính I (y) = f (x, y)dx. a d Z
B1. Biểu diễn f (x, y) = F (x, y) dy. c
B2. Sử dụng tính chất đổi thứ tự lấy tích phân:     +∞ Z +∞ Z d Z d Z +∞ Z I (y) = f (x, y)dx =  F (x, y) dydx =  F (x, y) dxdy. a a c c a
Dạng 2. Tính tích phân suy rộng phụ thuộc tham số bằng cách đạo hàm qua dấu tích phân. +∞ Z Giả sử cần tính I (y) = f (x, y)dx. a +∞ Z B1. Tính ′
I′ (y) bằng cách I′ (y) = fy (x, y) dx. a Z
B2. Dùng công thức Newton-Leibniz để khôi phục I (y) bằng cách I (y) = I′ (y) dy + C.
B3. Cho một giá trị đặc biệt của y để xác định C.
Chú ý: Phải kiểm tra các điều kiện đổi thứ tự lấy tích phân trong Định lý 3.17 hoặc
chuyển dấu đạo hàm qua tích phân trong Định lý 3.16. 107 108
Chương 3. Tích phân phụ thuộc tham số. +∞ Z Bài tập 3.5. Tính
e−αx−e−βx dx, (α, β > 0). x 0 Lời giải.
Cách 1: Đổi TT lấy TP
Cách 2: Đạo hàm qua dấu TP Ta có: +∞ Z Đặt I (α) =
e−αx−e−βx dx.
e−αx − e−βx e−yx x F (x, y) := 0 x x
= F (x, α) − F (x, β) +∞ Z ′ α I′ (α) = f Z β Z α (x, α) dx ′ = F 0 y (x, y) = e−yxdy. +∞ Z β α = −e−αxdx nên 0 +∞ Z 1
e−αx − e−βx = − . dx α x 0   Do đó +∞ Z β Z Z =  e−yxdy dx I (α) = I′ (α) dα 0 α   β Z +∞ Z = − ln α + C. =  e−yxdxdy
Mặt khác, I (β) = 0 nên C = ln β. α 0 β Z Kết luận dy β = = ln . β y α I = ln . α α
Kiểm tra điều kiện chuyển đạo hàm qua dấu tích phân.
Với f (x, α) = e−αx−e−βx ta có: x
1) f (x, α) = e−αx−e−βx liên tục theo x trên [0, +∞) với mỗi α, β > 0. x 2) ′
fα (x, α) = −e−αx liên tục trên [0, +∞) × (0, +∞). +∞ Z +∞ Z 3) ′ f hội tụ đều đối với α (x, α) dx = −e−αxdx = − 1
α trên mỗi khoảng [ε, +∞) theo α 0 0 +∞ Z
tiêu chuẩn Weierstrass, thật vậy, |−e−αx| 6 e−εx, mà
e−εxdx = 1 hội tụ. ε 0
Bạn đọc tự kiểm tra điều kiện về đổi thứ tự lấy tích phân. 108
2. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số. 109 +∞ Z Bài tập 3.6. Tính
e−αx2 −e−βx2 dx, (α, β > 0). x2 0 Lời giải.
Cách 1: Đổi TT lấy TP.
Cách 2: Đạo hàm qua dấu TP. ! +∞
e−αx2 − e−βx2 e−yx2 Z F (x, y) := Đặt I (α) =
e−αx2 −e−βx2 dx. x2 x2 x2 0
= F (x, α) − F (x, β) Ta có α Z β Z ′ +∞ Z = Fy(x, y)dy = e−yx2dy. ′ I′ (α) = fα (x, α) dx β α 0 nên: +∞ Z +∞ Z = −e−αx2dx
e−αx2 − e−βx2 dx 0 x2 √ 0 π 1   = − . √ +∞ Z β Z 2 α Z =  e−x2ydy dx ⇒ I (α) = I′ (α) dα 0 α   √ √ β Z +∞ Z
= − π. α + C. =  e−x2ydx dy Mặt khác, √ p I (β) = 0 nên C = π. β. α 0 Kết luận β Z √π √ p √ = √ dy = π β − α √ p √ 2 y I (α) = π β − α . α
Kiểm tra điều kiện chuyển đạo hàm qua dấu tích phân.
Với f (x, α) = e−αx2−e−βx2 ta có: x2
1) f (x, α) = e−αx2−e−βx2 liên tục theo x trên [0, +∞) với mỗi α, β > 0. x2 2) ′
fα (x, α) = −e−αx2 liên tục trên [0, +∞) × (0, +∞). +∞ Z +∞ Z √ +∞ Z √ 3) ′ x α=y f = π hội tụ đều theo α (x, α) dx = −e−αx2dx − e−y2 dy √ = − . 1 √ α trên α 2 α 0 0 0 +∞ Z [
ε, +∞) theo tiêu chuẩn Weierstrass, thật vậy, −e−αx2 6 e−εx2 mà e−εx2dx hội tụ. 0 +∞ Z √
Trong chứng minh trên ta đã sử dụng công thức e−x2ydx = π √ . 2 y 0
Bạn đọc tự kiểm tra điều kiện về đổi thứ tự lấy tích phân. 109 110
Chương 3. Tích phân phụ thuộc tham số. +∞ Z Bài tập 3.7. Tính
e−ax sin bx−sin cx , (a > 0). x 0 Lời giải.
Cách 1: Đổi TT lấy TP
Cách 2: Đạo hàm qua dấu TP Ta có: +∞ Z e−ax sin bx − sin cx Đặt I (b) =
e−ax sin bx−sin cx dx. Ta có x x e−ax sin yx 0 =F(x, b) − F(x, c) F(x, y) = x b +∞ Z b Z Z a ′ ′ = F I e−ax cos bx = , y(x, y)dy = e−ax cos yxdx. b (x, b) = a2 + b2 c c 0 nên   +∞ Z b Z nên I =  e−ax cos yxdydx Z 0 c   a b b + Z +∞ Z I = db = arctan C. a2 + b2 a =  e−ax cos yxdx dy c 0
Mặt khác I (c) = 0 nên C = − arctan c. b Z a a Kết luận = dy a2 + y2 c b c b c = arctan − arctan . I = arctan − arctan . a a a a
Kiểm tra điều kiện chuyển đạo hàm qua dấu tích phân.
Với f (x, b) = e−ax sin bx−sin cx ta có x
1. f (x, b) = e−ax sin bx−sin cx liên tục theo x trên [0, +∞) với mỗi a, b, c > 0. x
2. ′f (x, b) = e−ax cos bx liên tục trên [0, +∞) b × (0, +∞). 3. +∞ Z +∞ Z ′ a b fb (x, b) dx = e−ax cos bx = − e−ax cos bx + e−ax sin bx |+∞ a2 + b2 a2 + b2 0 0 0 a = a2 + b2
hội tụ đều theo b trên mỗi (0, +∞) theo tiêu chuẩn Weierstrass, thật vậy, +∞ Z |e−ax cos bx| 6 e−ax2 mà e−ax2dx hội tụ. 0 110
2. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số. 111
Trong chứng minh trên ta đã sử dụng công thức Z a y e−ax cos yxdx = − e−ax cos yx + e−ax sin yx, a2 + y2 a2 + y2 +∞ Z nên e−ax cos yxdx = a , a2+y2 0
Bạn đọc tự kiểm tra điều kiện về đổi thứ tự lấy tích phân.
Bài tập 3.8. Một cách tương tự như Bài tập 3.7, tính +∞ Z
e−ax cos bx − cos cx , (a > 0) . x 0 [Đáp số] I = 1 ln a2+c2 . 2 a2+b2 Hệ quả 3.1. +∞ Z cos bx − cos cx c = ln . x b 0 +∞ Z Bài tập 3.9. Tính e−x2 cos (yx) dx. 0 +∞ Z
Lời giải. Đặt I (y) =
e−x2 cos (yx) dx, f (x, y) = e−x2 cos (yx) . Ta có: 0
1) f (x, y) liên tục trên [0, +∞) × (−∞, +∞). 2) ′
fy (x, y) = −xe−x2 sin yx liên tục trên [0, +∞) × (−∞, +∞). 2) +∞ Z +∞ Z +∞ Z ′ 1 1 f +∞ y (x, y) dx =
−xe−x2 sin yxdx = e−x2 sin yx ye−x2 cos yxdx 2 0 − 2 0 0 0 −y = I (y) 2
hội tụ đều theo tiêu chuẩn Weierstrass, thật vậy, +∞ Z ′ 1 f hội tụ y (x, y) 6 xe−x2 , mà xe−x2dx = . 2 0
Do đó theo Định lý 3.16, I′(y) = −y I(y) 2 ⇒ I = Ce− y2 4 . √ √
Mà I (0) = C = π nên I (y) = π e−y24 . 2 2 111 112
Chương 3. Tích phân phụ thuộc tham số.
2.3 Một số tích phân quan trọng Tích phân Dirichlet ∞ Z sin x π dx = . x 2 0 Tích phân Gauss ∞ Z √π e−x2dx = . 2 0 Tích phân Fresnel ∞ Z ∞ Z r 1 π sin(x2)dx = cos(x2)dx = . 2 2 0 0 2.4 Bài tập ôn tập
Bài tập 3.10. Tính các tích phân sau Z ∞ ∞ a) e−ax2 −cos bx Z dx, (a > 0) e) 0 x2 e−ax2 cos bxdx (a > 0), π Z 0 b) ln(1 + y cos x)dx, ∞ Z 0 f)
x2ne−x2 cos bxdx, n ∈ N. ∞ Z 0 c) e−x2 sin axdx, Z ∞ 0 g) sin ax cos bx dx, x ∞ 0 Z d) sin xy dx, y Z ∞ x ≥ 0, h) sin ax sin bx dx. 0 x 0 [Gợi ý] Z ∞ a) Đặt I(a) =
e−ax2 −cos bx dx và sử dụng công thức đạo hàm qua dấu tích phân. Chú 0 x2 Z ∞ Z ∞ ý rằng I(0) = 1−cos bx dx = b 1−cos bx dbx = bπ . ( 2 0 x2 0 bx)2 112
2. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số. 113 π Z b) Đặt I(y) =
ln(1 + y cos x)dx và sử dụng công thức đạo hàm qua dấu tích phân. 0 ∞ Z c) Đặt I(a) =
e−x2 sin axdx và sử dụng công thức đạo hàm qua dấu tích phân. 0
d) Sử dụng công thức tích phân Dirichlet. ∞ Z e) Đặt I(b) =
e−ax2 cos bxdx và sử dụng công thức đạo hàm qua dấu tích phân. 0 ∞ Z f) Đặt In(b) =
x2ne−x2 cos bxdx và sử dụng công thức đạo hàm qua dấu tích phân để 0 ra công thức truy hồi.
g) Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng và tích phân Dirichlet.
h) Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng và Hệ quả 3.1.
Bài tập 3.11. Chứng minh rằng Z ∞ Z ∞ a) sin yx dx = π (1 c)
x sin yx dx = π e−ay, a, y 2 − e−y), y ≥ 0. 2 ≥ 0. 0 x(1+x2) 0 a2+x2 Z ∞ Z ∞ √ b) 1−cos yx = π d) e−yx2dx = π √ , y > 0. 2 |y|. 2 y 0 x2 0
Bài tập 3.12. Sử dụng công thức ∞ Z dx 1 x +∞ π = arctan = , x2 + a2 a a 0 2a 0 tính ∞ Z dx In = . (x2 + a2)n 0
Bài tập 3.13. Chứng minh rằng +∞ Z a) I(y) =
e−yx sin x hội tụ đều trên [0, +∞). x 0
b) I(y) = π2 − arctan y. 113 114
Chương 3. Tích phân phụ thuộc tham số.
Bài tập 3.14. Chứng minh rằng +∞ Z √ √
e− ax2 − e− bx2 dx = πb − πa, (a, b > 0). 0
Bài tập 3.15. Chứng minh rằng +∞ Z arctan xa − arctan xb π b dx = ln , (a, b > 0). x 2 a 0 Bài tập 3.16. a) Chứng minh rằng +∞
Z ln(1 + α2x2) = πln(1+α), α ≥ 0. 1 + x2 0
b) Sử dụng câu a), chứng minh rằng π 2 Z π
ln(sin θ)dθ = − ln 2. 2 0 ∞ Z
Bài tập 3.17. Chứng minh rằng sin4 x dx = π . x4 3 0
Bài tập 3.18. Sử dụng tích phân Fresnel chứng minh rằng ∞ Z ∞ Z π sin(x2 + y2)dxdy = . 4 0 0
Bài tập 3.19. Chứng minh rằng +∞ Z √π I(y) = e−(x− y )2 x dx = . 2 0 +∞ Z Áp dụng, tính e−(x2+x−2)dx. 0 +∞ Z
Bài tập 3.20. Chứng minh rằng I(y) =
y2xe−yx2 không liên tục tại y = 0, nghĩa là 0 +∞ Z +∞ Z lim y2xe−yx2 6= lim y2xe−yx2. y→0 y→0 0 0 Hãy giải thích tại sao? 114
2. Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số. 115 +∞ Z
Bài tập 3.21. Chứng minh rằng I(y) =
y2xe−yx không liên tục tại y = 0, nghĩa là 0 +∞ Z +∞ Z lim y2xe−yx 6= lim y2xe−yx. y→0 y→0 0 0 Hãy giải thích tại sao? 115 116
Chương 3. Tích phân phụ thuộc tham số. §3. TÍCH PHÂN EULER 3.1 Hàm Gamma +∞ Z Γ (p) =
xp−1e−xdx xác định trên (0, +∞) . 0 Thật vậy, 1 Z +∞ Z Γ(p) = xp−1e−xdx + xp−1e−xdx = I1 + I2. 0 1 Z +∞
• Với tích phân I ta so sánh với dx . Ta có 2 1 x2 1 x1+p lim xp−1e−x : = lim = 0, x→+∞ x2 x→+∞ ex Z +∞ mà
dx hội tụ nên I hội tụ. Thậm chí, tích phân hội tụ với mọi 2 I2 p ∈ R. 1 x2
• Với tích phân I thì nếu
thực chất là tích phân xác định. Còn nếu 1 p ≥ 1 ta có I1 Z 1
0 < p < 1 thì ta so sánh I với dx . Ta có 1 0 x1−p 1 lim xp−1e−x : = 1, x→0+ x1−p Z 1 Z 1 mà dx
hội tụ nên I cũng hội tụ. Nếu dx phân kì nên sẽ phân 1 p < 0 thì I1 0 x1−p 0 x1−p kì. Các tính chất
1. Hạ bậc: Γ (p + 1) = pΓ (p) . Công thức này có thể chứng minh một cách dễ dàng bằng
tích phân từng phần. Thật vậy, +∞ Z +∞ Z +∞ +∞ Z Γ( p + 1) = xpe−xdx = − xpd(e−x) = −xpe−x +p xp−1e−x = pΓ(p). 0 0 0 0
Ý nghĩa: Để nghiên cứu Γ (p) ta chỉ cần nghiên cứu Γ (p) với 0 < p 6 1 mà thôi, còn
với p > 1 chúng ta sẽ sử dụng công thức hạ bậc. 2. Đặc biệt,
• Γ (1) = 1 (tính trực tiếp) nên Γ (n) = (n − 1)! ∀n ∈ N. 116 3. Tích phân Euler 117 Z +∞ √ Z +∞ √
• Từ công thức tích phân Gauss e−x2 = π suy ra Γ 1 = e−x √ dx = π. 2 2 0 0 x Do đó, √
Γ n + 1 = (2n−1)!! π. 2 2n +∞ Z
3. Đạo hàm của hàm Gamma: Γ(k) (p) = xp−1 lnk x .e−xdx. 0
4. Γ (p) .Γ (1 − p) = π
sin pπ ∀0 < p < 1. 3.2 Hàm Beta 1 Z Dạng 1: B (p, q) =
xp−1 (1 − x)q−1dx. Bằng cách đổi biến số x = t ta sẽ thu được: t+1 0+∞ Z Dạng 2: B (p, q) = xp−1 (1+x)p+q dx. 0 π 2 Z
Ví dụ 3.20. Biểu thị
sinm x cosn xdx qua hàm B (m, n). 0 √
Lời giải. Đặt sin x =
t ⇒ 0 6 t 6 1, cos xdx = 1√ dt 2 t π π 2 Z 2 Z n−1 2 sinm x cosn xdx = sinm x 1 − sin2 x . cos xdx 0 0 π 2 Z 1 m n−1 1 m + 1 n + 1 = t 2 (1 − t) 2 t−12 dt = B , 2 2 2 2 0 Từ ví dụ này ta suy ra: π 2 Z
Dạng lượng giác: B (p, q) = 2 sin2p−1 t cos2q−1 tdt. 0 Các tính chất:
1. Tính đối xứng: B (p, q) = B (q, p). 2. Hạ bậc:  B (p, q) = p−1 B (p p+q−1 − 1, q) , nếu p > 1 B (p, q) = q−1 B (p, q p+q−1 − 1) , nếu q > 1 117 118
Chương 3. Tích phân phụ thuộc tham số.
Ý nghĩa của công thức trên ở chỗ muốn nghiên cứu hàm bêta ta chỉ cần nghiên cứu
nó trong khoảng (0, 1] × (0, 1] mà thôi.
3. Đặc biệt, B (1, 1) = 1 nên 
B (m, n) = (m−1)!(n−1)!, ( ∀m, n ∈ N m+n−1)! B (p, n) = (n−1)! B(p, 1) ( ∀n ∈ N. p+n−1)(p+n−2)...(p+1)p
4. Công thức liên hệ giữa hàm Bêta và Gamma: B (p, q) = Γ(p)Γ(q). Γ(p+q) Chứng minh. Ta có +∞ Z +∞ Z +∞ Z +∞ Z Γ(p)Γ(q) = tp−1e−tdt sq−1e−sds = tp−1sq−1e−(t+s)dtds. 0 0 0 0
Áp dụng công thức đổi biến t = xy và s = x(1 − y) ta được   0 ≤ t < +∞, 0 ≤ x < +∞, D(t, s) y x ⇒ , J = = = −x. 0 ≤ s < +∞ 0 ≤ y ≤ 1 D(x, y) 1 − y −x Do đó, 1 Z +∞ Z Γ(p)Γ(q) =
e−xxp−1yp−1xq−1(1 − y)q−1xdxdy 0 0 +∞ Z 1 Z = e−xxp+q−1dx yp−1(1 − y)q−1dy 0 0 = Γ(p + q) B(p, q).
5. B (p, 1 − p) = Γ (p) Γ (1 − p) = π . sin pπ
Ví dụ 3.21. Chứng minh công thức liên hệ giữa hàm Bêta và Gamma B (p, q) = Γ(p)Γ(q) Γ(p+q) bằng tích phân kép. Z +∞
Lời giải. Xuất phát từ công thức Γ(p) =
xp−1e−xdx thực hiện phép đổi biến x = t2 ta 0 được +∞ Z +∞ Z Γ(p) = 2 e−t2t2p−1dt = 2 e−x2 x2p−1dx. 0 0 Do đó, +∞ Z +∞ Z Γ(p)Γ(q) = 4 e−(x2+y2)x2p−1y2q−1dxdy. 0 0 118 3. Tích phân Euler 119 Z M Z M Đặt I . M =
e−(x2+y2)x2p−1y2q−1dxdy. Ta có lim = Γ(p)Γ(q) 4 0 0 M→+∞] y D E C √ M 2 M x O A B Hình 2.16 Ta có Z Z
e−(x2+y2)x2p−1y2q−1dxdy ≤ IM ≤ e−(x2+y2)x2p−1y2q−1dxdy. OAE OBD  
Thực hiện phép đổi biến số trong tọa độ cực x = r cos ϕ, ta có y = r sin ϕ π 2 Z M Z
(cos ϕ)2p−1(sin ϕ)2q−1dϕ r2p+2q−1e−r2dr 0 0 ≤ I (3.2) M ≤ π √ 2 Z M 2 Z
(cos ϕ)2p−1(sin ϕ)2q−1dϕ r2p+2q−1e−r2dr. 0 0 Ta có M Z +∞ Z Γ(p + q) lim r2p+2q−1e−r2dr = r2(p+q)−1e−r2dr = M→+∞ 2 0 0 và √ M 2 Z +∞ Z Γ(p + q) lim r2p+2q−1e−r2dr = r2(p+q)−1e−r2dr = . M→+∞ 2 0 0 Ngoài ra, π 2 Z 1
(cos ϕ)2p−1(sin ϕ)2q−1dϕ = B(p, q). 2 0 119 120
Chương 3. Tích phân phụ thuộc tham số.
Cho M → +∞ trong bất đẳng thức (3.2) ta được 1 1 Γ(p)Γ(q) 1 1 B(p, q) Γ(p + q) ≤ ≤ B(p, q) Γ(p + q). 2 2 4 2 2 Do đó, Γ(p)Γ(q) B(p, q) = . Γ(p + q) 3.3 Bài tập Bài tập 3.22. π 2 Z a) sin6 x cos4 xdx. 0 Lời giải. Ta có √ √ 1 7 5 1 Γ 7 Γ 5 1 Γ 3 + 1 Γ 2 + 1 5!! 2 2 1 π.3!! π 3π I = B , = . 2 2 = . = . 23 22 = 2 2 2 2 Γ (6) 2 Γ (6) 2 5! 512 a Z √ b) x2n a2 − x2dx (a > 0) . 0 √
Lời giải. Đặt x = a t ⇒ dx = adt √ 2 t 1 Z 1 Z 1 adt a2n+2 1 a2n+2 1 3 I = a2ntn.a (1 − t)2 . √ = . tn− 12 (1 − t)2 dt = B n + , 2 t 2 2 2 2 0 0 √ (2n √ a2n+2 Γ n + 1 Γ 3 −1)!! π 2 2 a2n+2 π. a2n+2 (2n − 1)!! = = . 2n 2 = π 2 Γ (n + 2) 2 (n + 1)! 2 (2n + 2)!! +∞ Z c) x10e−x2dx. 0 √
Lời giải. Đặt x = t ⇒ dx = dt √ 2 t +∞ Z +∞ Z √ √ dt 1 9 1 11 1 9!! π 9!! π I = t5e−t. √ = t 2 e−tdt = Γ = . = . 2 t 2 2 2 2 25 26 0 0 120 3. Tích phân Euler 121 +∞ Z √ d) x dx. (1+x2)2 0
Lời giải. Đặt x2 = t ⇒ 2xdx = dt   +∞ Z 1 t +∞ 4 . dt √ Z 1 t− 1   4 dt 1 p − 1 = −1 p = 3 I = 2 t = = B (p, q) với 4 ⇒ 4 (1 + t)2 2 (1 + t)2 2 p + q = 2 q = 5 0 0 4 Vậy 1 3 5 1 5 3 1 1 3 1 1 π π I = B , = . 4 − 1 B , = .B , = . = √ 2 4 4 2 3 + 5 4 4 8 4 4 8 sin π 4 4 − 1 4 4 2 +∞ Z e) 1 dx. 1+x3 0
Lời giải. Đặt x3 = t ⇒ dx = 1t−23 dt 3 +∞ Z 1 t− 23 dt 1 1 2 1 π 2π I = = B , = = √ 3 1 + t 3 3 3 3 sin π3 3 3 0 +∞ Z f) xn+1 dx, (2 < n ( ∈ N). 1+xn) 0 Lời giải. Đặt 1 xn = t ⇒ dx = 1 t n −1dt n +∞ Z n+1 1 +∞ t Z 2 n . 1 t n −1dt 1 t n 1 2 2 I = n = dt = B + 1, 1 − (1 + t)2 n (1 + t)2 n n n 0 0 1 2 2 2 2 π = . n B , 1 − = . n 2 + 1 + 1 n n n2 sin 2π n − 2n − 1 n 1 Z g) 1 n √ dx, n ∈ N∗. 1−xn 0 Lời giải. Đặt 1 xn = t ⇒ dx = 1 t n −1dt n 1 Z 1 1 1 t Z n −1dt 1 1 1 1 1 1 π I = n =
t n −1. (1 − t)− 1n dt = B , 1 − = 1 (1 n n n n n n sin πn 0 − t) 0 121 122
Chương 3. Tích phân phụ thuộc tham số.
Bài tập 3.23. Chứng minh công thức Jacobi Γ(p)Γ(q) B(p, q) = . Γ(p + q) [Gợi ý] Viết ∞ Z ∞ Z Γ(p) = e−yyp−1dy, Γ(q) = e−xyq−1dx. 0 0 Nên ∞ Z ∞ Z Γ(p)Γ(q) = e−x−yxq−1yp−1dxdy. 0 0
Thực hiện phép đổi biến số x = u(v − 1), y = uv để suy ra Γ(p)Γ(q) = Γ(p + q)B(p, q). 122 4 CHƯƠNG TÍCH PHÂN ĐƯỜNG
§1. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI I 1.1 Định nghĩa
Cho hàm số f (x, y) xác định trên một cung phẳng c AB . Chia cung c AB thành n cung
nhỏ, gọi tên và độ dài của chúng lần lượt là ∆s lấy một điểm
1, ∆s2, ...∆sn. Trên mỗi cung ∆si n
M bất kì. Giới hạn, nếu có, của khi i ∑ f (Mi) ∆si
n → ∞ sao cho max ∆si → 0 không phụ i=1 thuộc vào cách chia cung c
AB và cách chọn các điểm M được gọi là tích phân đường loại i Z
một của hàm số f (x, y) dọc theo cung c AB, kí hiệu là f (x, y) ds. c AB Chú ý:
• Tích phân đường loại một không phụ thuộc vào hướng của cung c AB. • Nếu cung c
AB có khối lượng riêng tại M (x, y) là ρ (x, y) thì khối lượng của nó là Z
ρ (x, y) ds. nếu tích phân đó tồn tại. c AB Z • Chiều dài của cung c
AB được tính theo công thức l = ds. c AB
• Tích phân đường loại một có các tính chất giống như tích phân xác định. 123 124
Chương 4. Tích phân đường
1.2 Các công thức tính tích phân đường loại I 1. Nếu cung c
AB cho bởi phương trình y = y (x) , a 6 x 6 b thì Z b Z q f (x, y) ds = f (x, y (x)) 1 + y′2 (x)dx. (1) c AB a 2. Nếu cung c
AB cho bởi phương trình x = x (y) , c 6 y 6 d thì Z d Z q f (x, y) ds = f (x (y) , y) 1 + x′2 (y)dy. (2) c AB c 3. Nếu c
AB cho bởi phương trình x = x(t), y = y(t), t , thì 1 ≤ t ≤ t2 Z t2 Z q f (x, y)ds = f (x(t), y(t)) x′2(t) + y′2(t)dt (3) c AB t1 4. Nếu cung c
AB cho bởi phương trình trong toạ độ cực r = r (ϕ) , ϕ thì coi nó 1 ≤ ϕ ≤ ϕ2 p
như là phương trình dưới dạng tham số, ta được ds = r2 (ϕ) + r′2 (ϕ)dϕ và Z ϕ2 Z q f (x, y) ds =
f (r (ϕ) cos ϕ, r (ϕ) sin ϕ)
r2 (ϕ) + r′2 (ϕ)dϕ (4) c AB ϕ1 1.3 Bài tập Z Bài tập 4.1. Tính
(x − y) ds, C là đường tròn có phương trình x2 + y2 = 2x. C  x = 1 + cos t Lời giải. Đặt , 0 6 t 6 2π y = sin t 2π Z q I = (1 + cos t − sin t)
(− sin t)2 + cos2 tdt = 2π 0  Z  Bài tập 4.2. Tính x = a (t − sin t) y2ds, C là đường cong
, 0 6 t 6 2π, a > 0. y = a (1 − cos t) C 124
1. Tích phân đường loại I 125 Lời giải.  x′ (t) = a (1 − cos t) q t ⇒ x′2 (t) + y′2 (t) = 2a sin y′ (t) = a sin t 2 2π Z t 256a3 ⇒ I = a2 (1 − cos t)2 .2a sin dt = . 2 15 0  Z p  Bài tập 4.3. Tính x = a (cos t + t sin t) x2 + y2ds, C là đường
, 0 6 t 6 2π, a > 0. y = a (sin t − t cos t) C Lời giải.  x′ (t) = at cos t q ⇒ x′2 (t) + y′2 (t) = at y′ (t) = at sin t 2π Z r h i q a3 ⇒ I =
a2 (cos t + t sin t)2 + (sin t − t cos t)2 .atdt = (1 + 4π2)3 − 1 3 0
Bài tập 4.4. Tính tích phân đường Z 4 4 I = x 3 + y 3 ds, L trong đó 2 2 2
L là đường Astroid x 3 + y 3 = a 3 (a > 0). y O x Hình 4.4  
[Gợi ý] Tham số hóa đường cong x = a cos3 t, và dựa vào tính đối
y = a sin3 t, (0 ≤ t ≤ 2π, a > 0)
xứng của đường cong và hàm dưới dấu tích phân để tính 7 I. Đáp số: I = 4a 3 . 125 126
Chương 4. Tích phân đường Bài tập 4.5. Tính Z I = (x2 + y2 + z2)ds, γ
trong đó γ là đường xoắn ốc cho bởi phương trình tham số     x = a cos t, y = b sin t,   
z = bt, (0 ≤ t ≤ 2π, a, b > 0). √
[Đáp số] I = 2π a2 + b2 a2 + 4π2b2 3 1.4 Bài tập ôn tập
Bài tập 4.6. Tính độ dài các cung sau đây. a) 2 2 2 x 3 + y 3 = a 3 (a > 0). y O x Hình 4.6a
b) y2 = 2px, x ∈ [0, a], p > 0, a > 0. c) x = cos4 t, y = sin4 t.
d) x = a(t − sin t), y = a(1 − cos t), (0 ≤ t ≤ 2π).
Bài tập 4.7. Tính các tích phân đường loại I. Z a) I =
xyds, trong đó L là cung ellip x2 + y2 = 1 nằm trong góc phần tư thứ nhất. L a2 b2 Z b) I =
|y|ds, trong đó L là đường Cardioid r = a(1 + cos ϕ) (a > 0). L 126
1. Tích phân đường loại I 127 y a O x 2a −a Hình 4.7b Z c) I =
|y|ds, trong đó L là cung Lemniscate (x2 + y2)2 = a2(x2 − y2). L y p r = a 2 cos 2ϕ x O Hình 4.7c Z d) p I =
x2 + y2ds, trong đó L đường tròn x2 + y2 = ax. L Z e) I =
x2ds, trong đó L là đường tròn x2 + y2 + z2 = a2, x + y + z = 0. L 127 128
Chương 4. Tích phân đường
§2. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI II 2.1 Định nghĩa
Cho hai hàm số P (x, y) , Q (x, y) xác định trên cung c AB. Chia cung c AB thành n cung nhỏ ∆s bởi các điểm chia i
A0 = A, A1, A2, ..., An = B.Gọi toạ độ của vectơ −−−−→ Ai−1Ai = (∆xi, ∆yi) và n
lấy điểm M bất kì trên mỗi cung
. Giới hạn, nếu có, của tổng i ∆si
∑ [P (Mi) ∆xi + Q (Mi) ∆yi] i=1
sao cho max ∆xi → 0, không phụ thuộc vào cách chia cung c
AB và cách chọn các điểm Mi
được gọi là tích phân đường loại hai của các hàm số P (x, y) , Q (x, y) dọc theo cung c AB , kí Z hiệu là P (x, y) dx + Q (x, y) dy. c AB Chú ý:
• Tích phân đường loại hai phụ thuộc vào hướng của cung c
AB, nếu đổi chiều trên đường Z Z
lấy tích phân thì tích phân đổi dấu,
P (x, y) dx + Q (x, y) dy = − P (x, y) dx + Q (x, y) dy. c AB c BA
• Tích phân đường loại hai có các tính chất giống như tích phân xác định.
2.2 Các công thức tính tích phân đường loại II 1. Nếu cung c
AB được cho bởi phương trình y = y (x), điểm đầu và điểm cuối ứng với x = a, x = b thì Z b Z Pdx + Qdy =
P (x, y (x)) + Q (x, y (x)) .y′ (x) dx. (5) c AB a 2. Nếu cung c
AB được cho bởi phương trình x = x (y), điểm đầu và điểm cuối ứng với y = c, y = d thì Z d Z Pdx + Qdy =
P x (y) .x′ (y) dy, y + Q (x (y) , y). (6) c AB c   3. Nếu cung c x = x (t)
AB được cho bởi phương trình
, điểm đầu và điểm cuối tương y = y (t) ứng với t = t thì 1, t = t2 Z t2 Z Pdx + Qdy =
P (x (t) , y (t)) .x′ (t) + Q (x (t) , y (t)) y′ (t) dt (7) c AB t1 128
2. Tích phân đường loại II 129 Bài tập Z Bài tập 4.8. Tính
x2 − 2xy dx + 2xy − y2 dy, trong đó c
AB là cung parabol y = x2 từ c AB A (1, 1) đến B (2, 4).
Lời giải. Áp dụng công thức (5) ta có: 2 Z h i 41 I =
x2 − 2x3 + 2x3 − x4 .2x dx = − . 30 1 Z Bài tập 4.9. Tính
x2 − 2xy dx + 2xy − y2 dy trong đó C là đường cong xác định bởi C  
một nhịp cycloid x = a(t − sin t)
theo chiều tăng của t, 0 ≤ t ≤ 2π, a > 0. y = a(1 − cos t) y (πa, 2a) y m a x = a(t − sin t) y θ y = a(1 − cos t) A x x a θ 2πa x O n 2πa Hình 4.9  x′(t) = a(1 − cos t) Lời giải. Ta có nên: y′(t) = a sin t 2π Z I =
{[2a(t − sin t) − a(1 − cos t)] a(1 − cos t) + a(t − sin t).a sin t} dt 0 2π Z = a2
[(2t − 2) + sin 2t + (t − 2) sin t − (2t − 2) cos t]dt 0 2π Z = a2
[(2t − 2) + t sin t − 2t cos t]dt 0
= a2 4π2 − 6π . 129 130
Chương 4. Tích phân đường Z Bài tập 4.10. Tính
2 x2 + y2 dx + x (4y + 3) dy ở đó ABCA là đường gấp khúc đi ABCA
qua các điểm A(0, 0), B(1, 1), C(0, 2). y C B 1 O A 1 x Hình 4.10   
 phương trình đường thẳng  AB : x = y Lời giải. Ta có
phương trình đường thẳng BC : x = 2 nên  − y  
 phương trình đường thẳng CA : x = 0 Z Z Z I = ... + ... + ... AB BC CA 1 Z h i 2 Z h i = 2 y2 + y2 + y (4y + 3) dy +
2 (2 − y)2 + y2 . (−1) + (2 − y) (4y + 3) dy + 0 0 1 = 3 Z Bài tập 4.11. Tính
dx+dy trong đó ABCDA là đường gấp khúc qua các điểm |x|+|y| ABCDA
A(1, 0), B(0, 1), C(−1, 0), D(0, −1). y B 1 C O 1A x D Hình 4.11 Lời giải. Ta có    AB : x + y = 1 ⇒dx + dy = 0  
BC : x − y = −1 ⇒dx = dy   CD : x + y =  −1 ⇒dx + dy = 0  DA : x − y = 1 ⇒dx = dy 130
2. Tích phân đường loại II 131 nên Z Z Z Z I = ... + ... + ... + AB BC CD DA Z Z 2dx 2dx = 0 + + 0 + x + y x − y BC DA −1 Z 1 Z = 2dx + 2dx 0 0 = 0   √ Z √   x = t sin t Bài tập 4.12. Tính 4 x2+y2 √ dx + dy trong đó theo chiều tăng của t. 2 y = t cos t   C  0 ≤ t ≤ π24   √ x = u2 sin u
x′ (u) = 2u sin u + u2 cos u
Lời giải. Đặt u = t⇒0 ≤ u ≤ π, ⇒ y = u2 cos u
y′ (u) = 2u cos u − u2 sin u π 2 Z h u i I =
2u sin u + u2 cos u + 2u cos u − u2 sin u du 2 0 π Z u3 = + 2u cos udu 2 0 3 = − π2 + 2 2 2.3 Công thức Green.
Hướng dương của đường cong kín: Nếu đường lấy tích phân là đường cong kín thì
ta quy ước hướng dương của đường cong là hướng sao cho một người đi dọc theo đường
cong theo hướng ấy sẽ nhìn thấy miền giới hạn bởi nó ở gần phía mình nhất nằm về phía bên trái. 131 132
Chương 4. Tích phân đường y D C O x
Giả sử D ⊂ R2 là miền đơn liên, liên thông, bị chặn với biên giới ∂D là đường cong kín với
hướng dương, hơn nữa P, Q cùng các đạo hàm riêng cấp một của chúng liên tục trên D. Khi đó Z ZZ ∂Q ∂P Pdx + Qdy = − dxdy ∂x ∂y C D Chú ý: Z ZZ ∂Q ∂P
• Nếu ∂D có hướng âm thì Pdx + Qdy = − − dxdy ∂x ∂y C D
• Trong nhiều bài toán, nếu C là đường cong không kín, ta có thể bổ sung C để được
đường cong kín và áp dụng công thức Green. Tất nhiên, sau đó phải trừ đi phần đã bổ sung. Z
Bài tập 4.13. Tính các tích phân sau
(xy + x + y) dx + (xy + x − y) dy bằng hai cách: C
tính trực tiếp, tính nhờ công thức Green rồi so sánh các kết quả, với C là đường: a) x2 + y2 = R2 y O x Hình 4.13 a 132
2. Tích phân đường loại II 133 1. Tính trực tiếp.
2. Sử dụng công thức Green. Tham số hóa đường cong   P(x, y) = xy + x + y
x = R cos t ⇒0 ≤ t ≤ 2π. Q(x, y) = xy + x − y y = R sin t Ta có ∂Q = Ta có y ∂x − ∂P ∂y − x, ZZ I = ... I = (y − x) dxdy 2π Z D ZZ ZZ R3 =
(cos t cos 2t + sin t cos 2t) dt = ydxdy − xdxdy 2 0 D D = 0. = 0. b) x2 + y2 = 2x y O x Hình 4.13 b 1. Tính trực tiếp.
2. Sử dụng công thức Green. 
Vì x2 + y2 = 2x ⇔ (x − 1)2 + y2 = 1   P(x, y) = xy + x + y
nên tham số hóa đường cong   Ta có Q(x, y) = xy + x − y x = 1 + cos t    ∂Q , 0 ≤ t ≤ 2π  = y − x  ∂x − ∂P ∂y y = sin t ta được ZZ 2π Z I = (y − x) dxdy. I =
[(1 + cos t) sin t + (1 + cos t) + sin t] (x−1)2+y261  0 x = r cos ϕ π π × (− sin t)dt Đặt , − ≤ ϕ ≤ y = r sin ϕ 2 2 2π Z +
[(1 + cos t) sin t + (1 + cos t) − sin t] π 2 Z 2 cos ϕ Z 0 I = dϕ
(r sin ϕ − 1 − r cos ϕ)rdr × cos tdt − π 0 2 = −π. = −π. 133 134
Chương 4. Tích phân đường c) x2 + y2 = 1, (a, b > 0). a2 b2 1. Tính trực tiếp 2. 
Sử dụng công thức Green        0 ≤ t ≤ 2π P(x, y) = xy + x + y
Đặt x = a cos t ⇒ x′(t) = Q(x, y) = xy + x  −a sin t − y y = b sin t    y′(t) = b cos t ⇒ ∂Q = y ∂x − ∂P ∂y − x ZZ I = ... ⇒I = (y − x) dxdy 2π Z D ZZ ZZ = −ab sin2 t + ab cos2 t dt = ydxdy − xdxdy 0 D D = 0. = 0. Z Bài tập 4.14. Tính x2 y + x dy dx. 4 − y2 x + y4 x2+y2=2x y O x Hình 4.14
Lời giải. Áp dụng công thức Green ta có: Z Z Z ∂Q ∂P 3 3 3 I = − dxdy = 4xy + x2 + y2 dxdy = x2 + y2 dxdy. ∂x ∂y 4 4 4 D D D   Z  vì 4xydxdy = 0. D  
Đặt x = r cos ϕ , ta có −π
, 0 ≤ r ≤ 2 cos ϕ. Vậy  2 ≤ ϕ ≤ π 2 y = r sin ϕ π π 2 Z 2 cos ϕ Z 2 Z 3 3 9 I = dϕ r2.rdr = 4 cos4 ϕ = π. 4 4 8 − π 0 2 − π2 134
2. Tích phân đường loại II 135
Bài tập 4.15. Tính H ex [(1 − cos y) dx − (y − sin y) dy] trong đó OABO là đường gấp OABO
khúc O(0, 0), A(1, 1), B(0, 2) y B A 1 O 1 x Hình 4.15  P (x, y) = ex (1 − cos y) Lời giải. Đặt ⇒ ∂Q = −exy.  ∂x − ∂P ∂y Q (x, y) = −ex (y − sin y)
Áp dụng công thức Green ta có: ZZ I = −exydxdy D 1 Z 2−x Z = dx −exydy 0 x 1 Z 1 = ex (4x − 4) dx 2 0 = 4 − 2e. Bài tập 4.16. Tính H
(xy + ex sin x + x + y) dx − (xy − e−y + x − sin y) dy x2+y2=2x y O x Hình 4.16 135 136
Chương 4. Tích phân đường 
P (x, y) = xy + ex sin x + x + y Lời giải. Đặt ⇒ ∂Q = −y − x − 2.  ∂x − ∂P ∂y
Q (x, y) = xy − e−y + x − sin y
Áp dụng công thức Green ta có: ZZ I = −y − x − 2dxdy D ZZ ZZ = −x − 2dxdy vì ydxdy = 0 D D   đặt x = r cos ϕ π π ⇒ − ≤ ϕ ≤ , 0 ≤ r ≤ 2 cos ϕ y = r sin ϕ 2 2 π 2 Z 2 cos ϕ Z = dϕ (−r cos ϕ − 2) rdr − π 0 2 = −3π.
Bài tập 4.17. Tính H
xy4 + x2 + y cos xy dx + x3 + xy2 dy 3 − x + x cos xy C   trong đó x = a cos t C (a > 0). y = a sin t y O x Hình 4.17 
P (x, y) = xy4 + x2 + y cos xy Lời giải. Đặt ⇒ ∂Q = x2 + y2 − 4xy3 − 1.  ∂x − ∂P ∂y Q (x, y) = x3 + xy2 3 − x + x cos xy 136
2. Tích phân đường loại II 137
Áp dụng công thức Green ta có: ZZ I = x2 + y2 − 4xy3 − 1dxdy D ZZ ZZ = x2 + y2 − 1dxdy vì 4xy3dxdy = 0 D D   đặt x = r cos ϕ
⇒0 ≤ ϕ ≤ 2π, 0 ≤ ra y = r sin ϕ 2π Z a Z = dϕ r2 − 1 rdr 0 0 a4 = π − a2 . 2
2.4 Ứng dụng của tích phân đường loại II
Áp dụng công thức Green cho hàm số P(x, y), Q(x, y) thoả mãn ∂Q = 1 ta có: ∂x − ∂P ∂y ZZ Z S (D) = 1dxdy = Pdx + Qdy. D ∂D Z
• Lấy P(x, y) = 0, Q(x, y) = x thì S (D) = xdy. ∂DZ
• Lấy P(x, y) = −y, Q(x, y) = 0 thì S (D) = −ydx. ∂D Z
• Lấy P(x, y) = 1 x, Q(x, y) = 1y thì S (D) = 1 xdy 2 2 2 − ydx. ∂D
Bài tập 4.18. Tính diện tích của miền elip x2 + y2 a2 b2 ≤ 1.
[Gợi ý] Phương trình tham số của đường elip là x = a cos θ, y = b sin θ. Do đó I 2π Z 1 1 S = xdy − ydx =
(a cos θ)(b sin θ)dθ − (b sin θ)(−a sin θ)dθ = πab. 2 C 2 0
Bài tập 4.19. Dùng tích phân đường loại II, tính diện tích của miền giới hạn bởi một nhịp   cycloid x = a(t − sin t) và Ox (a > 0). y = a(1 − cos t) 137 138
Chương 4. Tích phân đường y (πa, 2a) y m a x = a(t − sin t) y θ y = a(1 − cos t) A x x x a θ 2πa O n 2πa Hình 4.19
Lời giải. Áp dụng công thức Z Z Z 0 Z S(D) = xdy = xdy + xdy =
a (t − sin t) .a sin tdt = 3πa2. ∂D AmO OnA 2π
Bài tập 4.20. Dùng tích phân đường loại II, tính diện tích của miền giới hạn bởi đường
Astroid x = cos3 t, y = sin3 t, 0 ≤ t ≤ 2π. y O x Hình 4.6a
[Đáp số] S = 3πa2 . 8
Bài tập 4.21. Dùng tích phân đường loại II, tính diện tích của miền giới hạn bởi đường sau
a) x2 + y3 = 3axy, a > 0 (lá Descartes, xem thêm Bài tập 2.54). 138
2. Tích phân đường loại II 139 y 1 2 1 x O 2 Hình 4.21a TCX: y = −x − 13 b) x4 + y4 = a2(x2 + y2). y r2 = a2 cos4 ϕ+sin4 ϕ O x Hình 4.21b
2.5 Điều kiện để tích phân đường không phụ thuộc
đường lấy tích phân.
Giả sử rằng D là miền đơn liên, liên thông, P, Q cùng với các đạo hàm riêng cấp một
của chúng liên tục trên D. Khi đó bốn mệnh đề sau là tương đương: 1. ∂Q ∂P = với mọi (x, y) ∈ D. ∂x ∂y Z 2.
Pdx + Qdy = 0 với mọi đường cong đóng kín L nằm trong D. L Z 3.
Pdx + Qdy = 0 không phụ thuộc vào đường đi từ A đếnB, với mọi đường cong AB AB nằm trong D. 139 140
Chương 4. Tích phân đường
4. Pdx + Qdy là vi phân toàn phần. Nghĩa là có hàm số u(x, y) sao cho du = Pdx + Qdy.
Hàm u có thể được tìm theo công thức: x Z y Z x Z y Z u(x, y) = P(x, y0)dx + Q(x, y)dy = P(x, y)dx + Q(x0, y)dy x0 y0 x0 y0
Giải bài toán tính tích phân đường không phụ thuộc đường đi:
1. Kiểm tra điều kiện ′ ′ Py = Qx. (1)
2. Nếu điều kiện (1) được thoả mãn và đường lấy tích phân là đường cong kín thì I = 0.
3. Nếu điều kiện (1) được thoả mãn và cần tính tích phân trên cung AB không đóng
thì ta chọn đường tính tích phân sao cho việc tính tích phân là đơn giản nhất, thông
thường ta chọn là đường thẳng nối A với B, hoặc đường gấp khúc có các cạnh song
song với các trục toạ độ. Mặt khác, nếu tìm được hàm F sao cho du = Pdx + Qdy thì I = u(B) − u(A). (3,0) Z Bài tập 4.22. Tính
x4 + 4xy3 dx + 6x2y2 − 5y4 dy. (−2,1) y −2 B O x A −1 C Hình 4.22 ′ ′
Lời giải. Nhận xét rằng x4 + 4xy3 = 6x2y2 − 5y4
nên tích phân đã cho không phụ y x
thuộc vào đường đi. Vậy ta chọn đường đi là đường gấp khúc ACB như hình vẽ. Z Z I = Pdx + Qdy + Pdx + Qdy = 62. AC CB (2,π) Z Bài tập 4.23. Tính
1 − y2 cos y dx + sin y + y cos y dy. x2 x x x x (1,π) 140
2. Tích phân đường loại II 141 y 2π B π A O 1 2 x Hình 4.23  P = 1 − y2 cos y Lời giải. Đặt x2 x
⇒ ∂P = ∂Q = −2y cos y + y2 sin y nên tích phân đã  ∂y ∂x x x Q = sin y + y cos y x2 x3 x x x
cho không phụ thuộc vào đường đi từ A đến B. Khi đó ta chọn đường lấy tích phân là
đường thẳng AB, nó có phương trình y = πx. 2 Z 2 Z I =
1 − π2 cos π dx+
(sin π + π cos π) πdx = 1. 1 1 141 142
Chương 4. Tích phân đường 142 5 CHƯƠNG TÍCH PHÂN MẶT
§1. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI I
1.1 Diện tích mặt cong
Xét mặt cong cho bởi phương trình tham số
r(u, v) = x(u, v).~i + y(t).~j + z(t).~k.
Để đơn giản ta chọn miền D là hình chữ nhật và chia D thành các hình chữ nhật con có
các cạnh song song với các trục tọa độ Ou và Ov. Giả sử S là ảnh của hình chữ nhật . ij Rij Khi đó
ru = ru(ui, vj) và rv = rv(ui, vj) 143 144
Chương 5. Tích phân mặt
là các véc tơ chỉ phương của mặt phẳng tiếp diện của mặt cong S tại điểm P . ij
Diện tích của S có thể được xấp xỉ bởi diện tích của hình bình hành có hai cạnh là −−−−→ ij PijPi+1,j và −−−−→ P . Do đó, ij Pi,j+1
−−−−→ −−−−→
S(Sij) ≈ |PijPi+1,j ∧ PijPi,j+1| ≈ |(∆uru) ∧ (∆vrv)| = |ru ∧ rv|∆u∆v.
Vậy công thức tính xấp xỉ diện tích của mặt S là m n ∑ ∑ |ru ∧ rv|∆u∆v. i=1 j=1
Nhận xét rằng nếu chia miền D thành các mảnh càng nhỏ thì công thức tính xấp xỉ
trên càng tốt. Đồng thời, công thức ở vế phải chính là tổng Riemann của tích phân kép ZZ
|ru ∧ rv|dudv. Điều này dẫn chúng ta tới định nghĩa sau: D
Định nghĩa 5.9. Cho mặt cong S trơn, cho bởi phương trình tham số
r(u, v) = x(u, v).~i + y(t).~j + z(t).~k, (u, v) ∈ D ⊂ R2
và S chỉ được phủ một lần khi (u, v) biến thiên trên miền D. Khi đó diện tích của mặt cong
S được định nghĩa bởi ZZ S = |ru ∧ rv|dudv, D ở đó ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z r ~ ~ ~ ~ ~ ~ u = i + j + k, r i + j + k. ∂u ∂u ∂u v = ∂v ∂v ∂v
Ví dụ 1.1. Tính diện tích của mặt cầu x2 + y2 + z2 = R2. 144
1. Tích phân mặt loại I 145    
x = R sin θ cos ϕ,
[Lời giải] Mặt cầu S có phương trình tham số trong tọa độ cầu là y = R sin θ sin ϕ,    z = R cos θ. Do đó, ~ i ~j ~k
rθ ∧ rϕ = R cos θ cos ϕ R cos θ sin ϕ −R sin θ
−R sin θ sin ϕ R sin θ cos ϕ 0
= R2 sin2 θ cos ϕ.~i + R2 sin2 θ sin ϕ.~j + R2 sin θ cos θ.~k.
Vì vậy, |rθ ∧ rϕ| = R2 sin θ và 2π Z π Z S = dϕ
R2 sin θdθ = 4πR2. 0 0
Trường hợp đặc biệt, nếu mặt cong cho bởi phương trình z = z(x, y) thì
rx ∧ ry = (−z′x, −z′y, 1). Do đó, ZZ q S = 1 + (z′x)2 + (z′y)2dxdy. D
1.2 Bài toán dẫn đến tích phân mặt loại I
Cho mặt cong S trơn, cho bởi phương trình tham số
r(u, v) = x(u, v).~i + y(t).~j + z(t).~k, (u, v) ∈ D ⊂ R2
Hơn nữa, giả sử trên S có phân phối một khối lượng vật chất với mật độ (hay tỉ trọng bề
mặt) tại điểm (x, y, z) là ρ(x, y, z), trong đó ρ(x, y, z là một hàm số liên tục trên S. Hãy tính khối lượng mặt S.
[Lời giải] Tương tự như cách tính diện tích mặt S, ta chia miền D thành các miền con
bằng các đường song song với các trục tọa độ trong mặt phẳng Ouv. Khi đó mặt S được
chia thành các mặt con S và diện tích của nó được xấp xỉ bởi ij
S(Sij) ≈ |ru ∧ rv|∆u∆v.
Do tính liên tục của ρ, nếu ta chia miền D thành các miền khá nhỏ thì miền S cũng khá ij
nhỏ và ta coi hàm ρ không đổi trên S và bằng ij
ρ(x(u∗, v∗), y(u∗, v , v∗)) = ρ(P∗). i j i j∗), z(u∗ i j ij
Khi đó khối lượng của S là ij
m(Sij) ≈ ρ(P∗ij)|ru ∧ rv|∆u∆v 145 146
Chương 5. Tích phân mặt
Khối lượng của toàn bộ mặt S là n m
m(S) ≈ ∑ ∑ ρ(P∗ij)|ru ∧ rv|∆u∆v i=1 j=1 ZZ
Đây chính là tổng Riemann của tích phân kép
f (x(u, v), y(u, v), z(u, v))|ru ∧ rv|dudv. D
Điều này dẫn đến định nghĩa sau đây.
Định nghĩa 5.10. Cho mặt cong S trơn, cho bởi phương trình tham số
r(u, v) = x(u, v).~i + y(t).~j + z(t).~k, (u, v) ∈ D ⊂ R2,
và f là một hàm số xác định trên S. Nếu tồn tại tích phân ZZ
f (x(u, v), y(u, v), z(u, v))|ru ∧ rv|dudv D
thì ta gọi giá trị của tích phân này là tích phân mặt loại I của hàm f lấy trên S và kí hiệu là ZZ f (x, y, z)dS. S
Ngoài ra, người ta có thể định nghĩa tích phân mặt loại I như sau:
Định nghĩa 5.11. Cho hàm số f (x, y, z) xác định trên mặt cong S. Chia mặt cong S thành n mặt nhỏ ∆S . Trên mỗi lấy một điểm
bất kì. Giới hạn, nếu có, của 1, ∆S2, . . . , ∆Sn ∆Si Mi n ∑ f (M khi i)∆Si
n → ∞ và max d(∆Si) → 0 không phụ thuộc vào cách chia mặt cong S và i=1 1≤i≤n
cách chọn các điểm M được gọi là tích phân mặt loại I của hàm số i f (M) trên mặt cong S, kí hiệu là ZZ f (x, y, z)dS. S 146
1. Tích phân mặt loại I 147
1.3 Các công thức tính tích phân mặt loại I
Mặt S cho bởi phương trình tham số
Nếu mặt S cho bởi phương trình tham số
r(u, v) = x(u, v).~i + y(u, v).~j + z(u, v).~k, (u, v) ∈ D ⊂ R2, thì ZZ ZZ f (x, y, z)dS =
f (x(u, v), y(u, v), z(u, v))|ru ∧ rv|dudv. S D
Mặt S cho bởi phương trình z = z(x, y)
Nếu mặt S được cho bởi phương trình z = z(x, y), (x, y) ∈ D ⊂ R2, thì đó nó có một     x = u,
tham số hóa tự nhiên là y = v,    z = z(u, v).
Khi đó, ru = (1, 0, z′u), rv = (0, 1, z′v) và do đó, véc tơ pháp tuyến của mặt cong S tại P là ~ i ~j ~k
ru ∧ rv = 1 0 z′ = (−z′ u
u, −z′v, 1) = (−z′x, −z′y, 1). 0 1 z′ v q
Vậy |ru ∧ rv| = 1 + (z′x)2 + (z′y)2. Ngoài ra, miền xác định của (u, v) chính là hình chiếu
của S lên mặt phẳng Oxy. Do đó ZZ ZZ q f (x, y, z)dS =
f (x, y, z(x, y)) 1 + (z′x)2 + (z′y)2dxdy. S D 1.4 Bài tập ZZ Bài tập 5.1. Tính z + 2x + 4y dS trong đó 3 S n x y z o S = (x, y, z) | + +
= 1, x > 0, y > 0, z > 0 . 2 3 4 147 148
Chương 5. Tích phân mặt z C y O B A x Hình 5.1
Lời giải. Ta có hình chiều của mặt S lên mặt phẳng Oxy là n x y o n x o D = (x, y) | + 6 1, x > 0, y > 0
= (x, y) |0 6 x 6 2, 0 6 y 6 3 1 − . 2 3 2   ′ p √ Mặt khác p = z z = 4(1 − x ) x = −2 1 + p2 + q2dxdy = 61 dxdy nên 2 − y3 ⇒ ⇒dS =  ′ 3 q = zy = 43 ZZ √ √ 2 Z 3− 3x 2 Z x y 4y 61 61 √ I = 4 1 − − + 2x + dxdy = 4 dx dy = 4 61. 2 3 3 3 3 D 0 0 ZZ Bài tập 5.2. Tính
x2 + y2 dS, S = (x, y, z) |z = z2 + y2, 0 6 z 6 1 . S z 1 y −1 O 1 x Hình 5.2 148
1. Tích phân mặt loại I 149
Lời giải. Ta có hình chiếu của mặt cong lên mặt phẳng Oxy là D = (x, y) |x2 + y2 6 1 .   ′ Mặt khác, p = z z = x2 + y2⇒ x = 2x nên  ′ q = zy = 2y ZZ q I = x2 + y2 1 + 4x2 + 4y2dxdy, D  đặt x = r cos ϕ
⇒0 ≤ ϕ ≤ 2π, 0 ≤ r ≤ 1 y = r sin ϕ 2π Z 1 Z p I = dϕ r2 1 + 4r2rdr 0 0 1 Z π p = r2 1 + 4r2d 1 + 4r2 4 0 5 Z π t − 1√ = tdt đặtt = 1 + 4r2 4 4 1 √ ! π 20 5 4 = + . 16 3 15 ZZ p
Bài tập 5.3. Tính tích phân mặt
x2y2zdS, trong đó S là phần mặt nón z = x2 + y2 ở S dưới mặt phẳng z = 1. √ [Đáp số] I = π 2. 28 149 150
Chương 5. Tích phân mặt
§2. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI II
2.1 Định hướng mặt cong
Cho mặt cong S trơn, cho bởi phương trình tham số
r(u, v) = x(u, v).~i + y(u, v).~j + z(u, v).~k, (u, v) ∈ D ⊂ R2.
Như đã biết, véc tơ pháp tuyến đơn vị của S tại điểm P chính quy là ~n , ở đó 1 = ru∧rv kru∧rvk ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z r ~ ~ ~ ~ ~ ~ u = i + j + k, r i + j + k. ∂u ∂u ∂u v = ∂v ∂v ∂v
Tại mỗi điểm P chính quy của mặt cong S có hai vectơ pháp tuyến đơn vị là ~n và . 1 ~ n2 = −~n1 Giả sử P . Chọn
0 ∈ S và L là một đường cong kín nằm trên S và đi qua P0 ~ n(P0) là một véc
tơ pháp tuyến đơn vị của mặt S tại P . Khi 0
P di chuyển dọc theo đường cong kín L từ P0
và quay trở về P thì véc tơ thì 0 ~
n(P) cũng biến thiên liên tục, và khi P trở về P0 ~ n(P) trở
thành ~n′(P0). Có hai khả năng xảy ra
• ~n′(P0) = ~n(P0), tức là, pháp tuyến trở lại như cũ. Khi đó ta nói mặt S định hướng
được (hay còn gọi là mặt hai phía). 150
2. Tích phân mặt loại II 151
• Ngược lại, ~n′(P0) = −~n(P0), tức là, pháp tuyến trở về vị trí cũ thì đổi hướng. Khi
đó ta nói mặt S gọi là không định hướng được (hay còn gọi là mặt một phía). Ví dụ
như lá Mobius sau đây (được mang tên nhà toán học người Đức August Ferdinand M¨obius). T2 G sami hust
Nếu mặt S định hướng được thì ta chọn một hướng làm hướng dương và hướng còn lại
được gọi là hướng âm.
2.2 Bài toán dẫn đến tích phân mặt loại II
Giả sử có một mặt cong hai phía được nhúng vào một môi trường chất lỏng đang chảy
với mật độ ρ(x, y, z) và tốc độ v(x, y, z) = (v1(x, y, z), v2(x, y, z), v3(x, y, z). Hãy tính lượng
chất lỏng chảy qua S trong một đơn vị thời gian.
Ta chia mặt S thành các thành phần nhỏ S như hình vẽ trên. Nếu chia mặt cong đủ nhỏ ij
thì ta coi S như mặt phẳng và khối lượng chất lỏng trên một đơn vị diện tích là ~ ij F = ρv
coi như hằng số trên S . Do đó, ta có thể xấp xỉ khối lượng của chất lỏng chảy qua theo ij Sij
hướng véc tơ pháp tuyến đơn vị ~n trên một đơn vị thời gian bởi (~F.~n)S(Sij). 151 152
Chương 5. Tích phân mặt
Lượng chất lỏng chảy qua S trên một đơn vị thời gian là n m ∑ ∑(~F.~n)S(Sij). i=1 j=1
Nếu chia mặt cong S càng nhỏ thì tổng trên chính là tổng Riemann của tích phân kép sau ZZ ZZ ~ F.~ndS =
(P cos α + Q cos β + R cos γ)dS, S S
ở đó ~F = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) và ~n = (cos α, cos β, cos γ).
Định nghĩa 5.12. Cho mặt cong S trơn, định hướng được, cho bởi phương trình tham số
r(u, v) = x(u, v).~i + y(t).~j + z(t).~k, (u, v) ∈ D ⊂ R2
và ~n = (cos α, cos β, cos γ) là véc tơ pháp tuyến đơn vị tại M(x, y, z) theo hướng dương đã chọn của S. Giả sử ~
F = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)), (x, y, z) ∈ S
là một hàm véc tơ xác định trên S. Nếu tồn tại tích phân mặt loại I ZZ
(P cos α + Q cos β + R cos γ)dS S
thì giá trị đó được gọi là tích phân mặt loại II của hàm véc tơ ~F lấy theo hướng đã chọn
của mặt S và kí hiệu là ZZ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy. S
Người ta cũng có thể định nghĩa tích phân mặt loại II theo cách sau.
Định nghĩa 5.13. Cho một mặt cong định hướng S trong miền V ⊂ R3 và n = (cos α, cos β, cos γ)
là véctơ pháp tuyến đơn vị theo hướng dương đã chọn của S tại điểm M(x, y, z). Giả trường vectơ − →
F (M) = (P (M) , Q (M) , R (M)) biến thiên liên tục trên V, nghĩa là các toạ độ
P (M) , Q (M) , R (M) của nó là những hàm số liên tục trên V. Chia mặt S thành n mặt
cong nhỏ, gọi tên và cả diện tích của chúng lần lượt là ∆S . Trên mỗi lấy 1, ∆S2, ..., ∆Sn ∆Si
một điểm M bất kì và gọi vectơ pháp tuyến đơn vị theo hướng dương đã chọn của nó là i
ni = (cos αi, cos βi, cos γi).
Giới hạn, nếu có, của tổng n∑ [P (M được gọi là
i) cos αi + Q (Mi) cos βi + R (Mi) cos γi]∆Si i=1
tích phân mặt loại II của các hàm số P (x, y, z) , Q (x, y, z) , R (x, y, z) trên mặt S, và được kí hiệu là: ZZ
P(x, y, z)dydz + Q(x, y, z)dzdx + R(x, y, z)dxdy. S 152
2. Tích phân mặt loại II 153
2.3 Các công thức tính tích phân mặt loại II
Mặt cong cho bởi phương trình tham số
Nếu mặt cong S trơn, cho bởi phương trình tham số
r(u, v) = x(u, v).~i + y(u, v).~j + z(u, v).~k, (u, v) ∈ D ⊂ R2.
thì một véc tơ pháp tuyến của S tại điểm P chính quy là ~N = ru ∧ rv = (A, B, C).
• Nếu véc tơ này cùng phương cùng hướng với ~n, tức là, hướng theo phía đã chọn của mặt thì A cos α = √ , A2 + B2 + C2 B cos β = √ , A2 + B2 + C2 C cos γ = √ , A2 + B2 + C2 p dS = A2 + B2 + C2dudv
nên ta đi đến công thức tính tích phân mặt loại II sau ZZ ZZ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = (AP + BQ + CR)dudv. S D
• Nếu véc tơ ~N = ru ∧ rv = (A, B, C) cùng phương, ngược hướng với ~n, tức là, ngược
hướng vói phía đã chọn của S thì A cos α = −√ , A2 + B2 + C2 B cos β = −√ , A2 + B2 + C2 C cos γ = −√ . A2 + B2 + C2 Do đó, ZZ ZZ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = − (AP + BQ + CR)dudv. S D
Mặt cong cho bởi phương trình f (x, y, z) = 0 Giả sử ZZ ZZ ZZ I = Pdydz + Qdzdx + Rdxdy . S | {z } S | {z } S | {z } I1 I2 I3 153 154
Chương 5. Tích phân mặt
Người ta tính tích phân mặt loại II bằng cách đưa về tích phân kép. Chẳng hạn xét tích phân I . Giả sử mặt 3
S có phương trình z = z(x, y), z(x, y) cùng với các đạo hàm riêng
của chúng liên tục trên miền D là hình chiếu của S lên mặt phẳng Oxy. Khi đó, véc tơ ~
N = rx ∧ ry = (−z′x, −z′y, 1). Véc tơ ~N này lập với Oz một góc nhọn (Tại sao?(1)) Do đó, để
thuận lợi cho việc xác định xem ~N cùng hướng hay ngược hướng với ~n, người ta xét góc giữa ~n và Oz.
• Nếu vectơ pháp tuyến đơn vị theo hướng dương − →
n tạo với Oz một góc nhọn thì ZZ ZZ ZZ Rdxdy = (AP + BQ + CR)dxdy = R (x, y, z (x, y)) dxdy S S D
• Nếu vectơ pháp tuyến đơn vị theo hướng dương − →
n tạo với Oz một góc tù thì ZZ ZZ Rdxdy = − R (x, y, z (x, y)) dxdy S D Tích phân I
được đưa về tích phân kép một cách tương tự. 1, I2 Bài tập ZZ Bài tập 5.4. Tính
z x2 + y2 dxdy, trong đó S là nửa mặt cầu x2 + y2 + z2 = 1, z > 0, S
hướng của S là phía ngoài mặt cầu. z − → n (x, y, z) y O D : x2 + z2 ≤ a2 Hình 5.4 x p
Lời giải. Ta có mặt z =
1 − x2 − y2, hình chiếu của S lên mặt phẳng Oxy là miền D :
(1)vì ~N.~k = (−Z′x, −z′y, 1).(0, 0, 1) = 1 = |~N|.|~k|. cos(~N,Oz) ⇒ cos(~N,Oz) > 0 ⇒ (~N,Oz) < π2 154
2. Tích phân mặt loại II 155 x2 + y2 ≤ 1, hơn nữa − →
n tạo với Oz một góc nhọn nên: ZZ q I = 1 − x2 − y2 x2 + y2 dxdy D  đặt x = r cos ϕ
⇒0 ≤ ϕ ≤ 2π, 0 ≤ r ≤ 1 y = r sin ϕ 2π Z 1 Z p = dϕ 1 − r2r3dr 0 0 4π = . 15 ZZ Bài tập 5.5. Tính
ydxdz + z2dxdy trong đó S là phía ngoài mặt x2 + y2 + z2 = 1, x > 4 S 0, y > 0, z > 0. z − → n (x, y, z) y O Hình 5.5 x ZZ
Lời giải. Tính I1 = ydxdz. S √
• Mặt S : y = 2 1 − x2 − z2
• Hình chiếu của S lên Oxz là 1 hình tròn, D 4
1 : x2 + z2 ≤ 1, x ≥ 0, z ≥ 0. • β = (− → n , Oy là góc nhọn. 155 156
Chương 5. Tích phân mặt Do đó ZZ p I = 2 1 − x2 − z2dxdz D1  đặt x = r cos ϕ π ⇒0 ≤ ϕ ≤ , 0 ≤ r ≤ 1 z = r sin ϕ 2 π 2 Z 1 Z p = dϕ 2 1 − r2rdr 0 0 π = 3 ZZ Tính I2 = z2dxdy. S
• Mặt S : z2 = 1 − x2 − y24
• Hình chiếu của S lên Oxz là 1 elip, D 4 2 : x2 + y2 4 ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0. • γ = (− → n , Oz là góc nhọn. Do đó ZZ y2 I = 1 − x2 − dxdy 4 D2  đặt x = r cos ϕ π ⇒0 ≤ ϕ ≤ , 0 ≤ r ≤ 1, J = −2r y = 2r sin ϕ 2 π 2 Z 1 Z = dϕ (1 − r2)2rdr 0 0 π = . 4 Vậy I = 7π. 12 ZZ Bài tập 5.6. Tính
x2y2zdxdy trong đó S là mặt trên của nửa mặt cầu x2 + y2 + z2 = S R2, z ≤ 0. 156
2. Tích phân mặt loại II 157 z y O x Hình 5.6 Lời giải. Ta có: p
• Mặt S : z = − R2 − x2 − y2
• Hình chiếu của S lên Oxy là hình tròn, D : x2 + y2 ≤ R2. • β = (− → n , Oz) là góc nhọn. Do đó ZZ q I = − x2y2 R2 − x2 − y2dxdy D   đặt x = r cos ϕ
⇒0 ≤ ϕ ≤ 2π, 0 ≤ r ≤ R, J = −r y = r sin ϕ 2π Z R Z p I = dϕ sin2 ϕ cos2 ϕ R2 − r2.r5dr 0 0 2R7 = − . 105
2.4 Công thức Ostrogradsky
Giả sử P, Q, R là các hàm khả vi, liên tục trên miền bị chặn, đo được trong V ⊂ R3. V
giới hạn bởi mặt cong kín S trơn hay trơn từng mảnh, khi đó: ZZ ZZZ ∂P ∂Q ∂R Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = + + dxdydz, ∂x ∂y ∂z S V
trong đó tích phân ở vế trái lấy theo hướng pháp tuyến ngoài. Chú ý: 157 158
Chương 5. Tích phân mặt
• Nếu tích phân ở vế trái lấy theo hướng pháp tuyến trong thì ZZ ZZZ ∂P ∂Q ∂R Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = − + + dxdydz. ∂x ∂y ∂z S V
• Nếu mặt cong S không kín, có thể bổ sung thành mặt cong S′ kín để áp dụng công
thức Ostrogradsky, rồi trừ đi phần bổ sung. ZZ Bài tập 5.7. Tính
xdydz + ydzdx + zdxdy trong đó S là phía ngoài của mặt cầu x2 + S y2 + z2 = a2. z − → n (x, y, z) y O x Hình 5.7
Lời giải. Áp dụng công thức Ostrogradsky ta có ZZ ZZZ xdydz + ydzdx + zdxdy = 3dxdydz = 3V = 4πa2. S V ZZ Bài tập 5.8. Tính
x3dydz + y3dzdx + z3dxdy trong đó S là phía ngoài của mặt cầu x2 + S y2 + z2 = R2. 158
2. Tích phân mặt loại II 159
Lời giải. Xem hình vẽ 5.7, áp dụng công thức Ostrogradsky ta có: ZZZ I = 3 x2 + y2 + z2 dxdydz V      
x = r sin θ cos ϕ 
0 ≤ ϕ ≤ 2π đặt
y = r sin θ sin ϕ ⇒ 0 , J = −r2 sin θ  ≤ θ ≤ π       z = r cos θ 0 ≤ r ≤ R 2π Z π Z R Z I = 3 dϕ dθ r4 sin θdr 0 0 0 12πR5 = . 5 ZZ Bài tập 5.9. Tính
y2zdxdy + xzdydz + x2ydxdz trong đó S là phía ngoài của miền x ≤ S
0, y ≤ 0, x2 + y2 ≤ 1, z ≤ x2 + y2. z y O x Hình 5.9 159 160
Chương 5. Tích phân mặt
Lời giải. Áp dụng công thức Ostrogradsky ta có: ZZZ I = y2 + z + x2 dxdydz V       x = r cos ϕ 
0 ≤ ϕ ≤ π2 đặt y = r sin ϕ ⇒ 0 , J = −r  ≤ r ≤ 1       z = z 0 ≤ z ≤ r2 π 2 Z 1 Z r2 Z = dϕ dr r2 + z rdr 0 0 0 π = . 8 ZZ Bài tập 5.10. Tính
xdydz + ydzdx + zdxdy trong đó S là phía ngoài của miền (z − 1)2 6 S x2 + y2, a 6 z 6 1, a > 0. z − → n a y a − 1 O 1 − a x Hình 5.10
Lời giải. Áp dụng công thức Ostrogradsky ta có: ZZZ 1 I =
3dxdydz = 3V = 3. Bh = π (1 − a)3 . 3 V 2.5 Công thức Stokes
Giả sử S là mặt hai phía, đơn và trơn có biên giới là đường cong kín L. Giả sử ~n là
hướng dương của pháp tuyến của S. Khi đó, ta xác định hướng dương trên biên giới L của
mặt S là hướng sao cho, một người đứng thẳng theo hướng pháp tuyến ~n, đi theo hướng đó
thì thấy phần của mặt ở gần người đó nhất nằm ở phía tay trái. 160
2. Tích phân mặt loại II 161
Định lý 5.18 (Định lý Stokes). Giả sử S là một mặt cong trơn, có biên ∂S là một đường
cong trơn. Giả thiết P, Q, R là các hàm số liên tục và có đạo hàm riêng liên tục trong một
tập mở nào đó chứa S. Khi đó Z ZZ ∂R ∂Q ∂P ∂R ∂Q ∂P Pdx + Qdy + Rdz = − dydz + − dzdx + − dxdy, ∂y ∂z ∂z ∂z ∂x ∂y ∂S S
trong đó tích phân đường ở vế trái lấy theo hướng dương của ∂S phù hợp với hướng dương của mặt S.
2.6 Công thức liên hệ giữa tích phân mặt loại I và loại II ZZ
[P(x, y, z) cos α + Q(x, y, z) cos β + R(x, y, z) cos γ] dS S ZZ (5.1) =
P(x, y, z)dydz + Q(x, y, z)dzdx + R(x, y, z)dxdy, S
trong đó cos α, cos β, cos γ là cosin chỉ phương của véctơ pháp tuyến đơn vị của mặt S.
Bài tập 5.11. Gọi S là phần mặt cầu x2 + y2 + z2 = 1 nằm trong mặt trụ x2 + x + z2 =
0, y ≥ 0, hướng S phía ngoài. Chứng minh rằng ZZ
(x − y)dxdy + (y − z)dydz + (z − x)dxdz = 0. S 161 162
Chương 5. Tích phân mặt z 1 y −1 O 1 x Hình 5.11 p
Lời giải. Ta có y =
1 − x2 − y2 nên véctơ pháp tuyến của S là − →
n = ±(−y′x, 1, −y′z). Vì (− → n , Oy) < π nên 2 − → x z
n = (−y′x, 1, −y′z) = √ , 1, √ . 1 − x2 − z2 1 − x2 − z2 q Do đó |− → n | = x2 + 1 + z2 = 1 √ . Vậy 1−x2−z2 1−x2−z2 1−x2−z2   n  1 cos α = cos(− → n , Ox) = = x    |− → n | n cos β = cos(− → n , Oy) = 2 = y   |− → n |    n cos γ = cos(− → n , Oz) = 3 = z |− → n |
Áp dụng công thức liên hệ giữa tích phân mặt loại I và II 5.1 ta có ZZ I =
[(x − y) cos γ + (y − z) cos β + (z − x) cos α] dS S ZZ =
(x − y)z + (y − z)x + (z − x)ydS S = 0. 162
2. Tích phân mặt loại II 163
Bài tập 5.12. Tính tích phân mặt loại II ZZ I = xdydz + ydzdx + zdxdy, S
trong đó S là phía ngoài mặt cầu x2 + y2 + z2 = a2. [Đáp số] I = 4πa3. ZZ
Bài tập 5.13. Tính tích phân mặt
ydzdx, trong đó S là phía ngoài của mặt paraboloid S z = x2 + y2 (0 ≤ z ≤ 2). [Đáp số] I = 2π. 163 164
Chương 5. Tích phân mặt 164 6 CHƯƠNG LÝ THUYẾT TRƯỜNG
§1. TRƯỜNG VÔ HƯỚNG 1.1 Định nghĩa
Định nghĩa 6.14. Cho Ω là một tập con mở của R3 (hoặc R2). Một hàm số u : Ω → R (x, y, z) 7→ u = u(x, y, z)
được gọi là một trường vô hướng xác định trên Ω.
Cho c ∈ R, khi đó mặt S = {(x, y, z) ∈ Ω|u(x, y, z) = c} được gọi là mặt mức ứng với giá trị c (đẳng trị).
1.2 Đạo hàm theo hướng
Định nghĩa 6.15. Cho u = u(x, y, z) là một trường vô hướng xác định trên Ω và M0(x0, y0, z0) ∈ Ω. Giả thiết − →
l = (a, b, c) là một véctơ đơn vị bất kì trong R3. Giới hạn (nếu có) của tỉ số u(M u(x lim 0 + t~l) = lim
0 + ta, y0 + tb, z0 + tc) − u(x0, y0, z0) (6.1) t→0 t t→0 t
được gọi là đạo hàm theo hướng − →
l tại M của trường vô hướng 0 u và được kí hiệu là ∂u − → (M0). ∂ l Chú ý: 165 166
Chương 6. Lý thuyết trường
• Nếu ~l không phải là véc tơ đơn vị thì giới hạn trong công thức 6.1 có thể được thay bằng u(x lim
0 + t cos α, y0 + t cos β, z0 + t cos γ) − u(x0, y0, z0) , t→0 t
trong đó cos α, cos β, cosγ là các cosin chỉ phương của − → l . • Nếu − → l ↑↑ Ox thì ∂u − → (M0) = ∂u (M0). ∂ l ∂x
• Đạo hàm theo hướng − →
l tại điểm M của trường vô hướng 0
u thể hiện tốc độ biến
thiên của trường vô hướng u tại M theo hướng − → 0 l .
Định lý 6.19. Nếu u = u(x, y, z) khả vi tại M(x0, y0, z0) thì nó có đạo hàm theo mọi hướng − → l 6= 0 tại M và 0 ∂u ∂u ∂u ∂u − → (M0) = (M0). cos α + (M0). cos β + (M0). cos γ, (6.2) ∂ l ∂x ∂y ∂z
trong đó cos α, cos β, cosγ là các cosin chỉ phương của − → l .
Lời giải. Giả sử cos α = a, cos β = b, cos γ = c. Xét hàm số một biết số
g(t) = u(x0 + ta, y0 + tb, z0 + tc). Khi đó, theo định nghĩa, g(t) − g(0) u(x ∂u g′(0) = lim = lim
0 + ta, y0 + tb, z0 + tc) − u(x0, y0, z0) = (M0). t→0 t t→0 t ∂~l
Mặt khác, g(t) có thể viết dưới dạng g(t) = u(x, y, z), ở đó x = x0 + ta, y = y0 + tb, z =
z0 + tc. Vì vậy, theo công thức đạo hàm của hàm hợp, ∂u ∂x ∂u ∂y ∂u ∂z g′(h) = + + = u ∂x ∂h ∂y ∂h ∂z ∂h
x(x, y, z).a + uy(x, y, z).b + uz(x, y, z).c
Thay t = 0 vào phương trình trên, ta có x = x , và 0, y = y0, z = z0
∂u (M0) = ux(M0).a + uy(M0).b + uz(M0).c. ∂~l 1.3 Gradient
Định nghĩa 6.16. Cho u(x, y, z) là trường vô hướng có các đạo hàm riêng tại M0(x0, y0, z0).
Người ta gọi gradient của u tại M là véctơ 0 ∂u ∂u ∂u (M (M (M ∂x 0), ∂y 0), ∂z 0)
và được kí hiệu là −−→ gradu(M0). 166
1. Trường vô hướng 167
Định lý 6.20. Nếu trường vô hướng u(x, y, z) khả vi tại M thì tại đó ta có 0 ∂u −−→ (M0) = gradu.~l ∂~l Chú ý: ∂u(M theo hướng ~
0) thể hiện tốc độ biến thiên của trường vô hướng u tại M0 l. ∂~l Từ công thức ∂u −−→ −−→ −−→ ∂u ( M ta có đạt giá trị lớn
0) = gradu.~l = gradu ~l . cos gradu,~l (M0) ∂~l ∂~l nhất bằng −−→
gradu ~l nếu~l có cùng phương với −−−→ grad u. Cụ thể
• Theo hướng~l, trường vô hướng u tăng nhanh nhất tại M nếu~ 0 l có cùng phương, cùng hướng với −−−→ grad u.
• Theo hướng ~l, trường vô hướng u giảm nhanh nhất tại M nếu ~ 0 l có cùng phương,
ngược hướng với −−−→ grad u. 1.4 Bài tập
Bài tập 6.1. Tính đạo hàm theo hướng − → − →
l của u = x3 + 2y3 − 3z3 tại A(2, 0, 1), l = −→ AB, B(1, 2, −1).
Lời giải. Ta có −→ AB = (−1, 2, −2) nên −1 −1 ∂u ∂u cos α = −→ = , = 3x2 ⇒ (A) = 12 |AB| 3 ∂x ∂x 2 2 ∂u ∂u cos β = −→ = , = 6y2 ⇒ (A) = 0 |AB| 3 ∂y ∂x −2 −2 ∂u ∂u cos γ = −→ = , = −9z2 ⇒ (A) = −9 |AB| 3 ∂z ∂x
Áp dụng công thức 6.2 ta có ∂u −1 2 −2 − → (A) = 12. + 0. + (−9). = 2 ∂ l 3 3 3
Bài tập 6.2. Tính mônđun của −−→
gradu với u = x3 + y3 + z3 − 3xyz tại A(2, 1, 1). Khi nào thì −−→ gradu⊥Oz, khi nào −−→ gradu = 0. Lời giải. Ta có −−→
∂u ∂u ∂u gradu = , ,
= (3x2 = 3yz, 3y2 − 3zx, 3z2 − 3xy)
∂x ∂y ∂z √ √ nên −−→ −−→
gradu = (9, −3, −3) và gradu = 92 + 32 + 32 = 3 11. 167 168
Chương 6. Lý thuyết trường −−→ D−−→ −→E • gradu⊥Oz ⇔ gradu, k = 0 ⇔ ∂u = 0 ∂x ⇔ z2 = xy    x2 = yz −−→  • gradu = 0 ⇔ y2 = zx ⇔ x = y = z    z2 = xy p
Bài tập 6.3. Tính −−→
gradu với u = r2 + 1 + ln r và r = x2 + y2 + z2. r
Bài tập 6.4. Theo hướng nào thì sự biến thiên của hàm số u = x sin z − y cos z từ gốc toạ
độ O(0, 0) là lớn nhất? −−→ −−→ −−→
Lời giải. Từ công thức ∂u ∂u (
O) = gradu.~l = gradu ~l . cos gradu,~l ta có (O) đạt giá ∂~l ∂~l
trị lớn nhất bằng −−→
gradu ~l nếu~l có cùng phương với −−→ gradu(O) = (0, −1, 0). p
Bài tập 6.5. Tính góc giữa hai véctơ −−→ p gradz của các hàm z = x2 + y2, z = x − 3y + 3xy tại M(3, 4). Lời giải. Ta có −−→ • gradz x nên −−→ 3 . 1 = √ , y √ gradz1(M) = , 4 x2+y2 x2+y2 5 5 −−→ √ √ 3y • gradz 3x nên −−→ . Vậy 2 = 1 + √ , −3 + √ gradz 2 x 2 y 2(M) = 2, −94 D−−→ −−→ E gradz1, gradz2 −12 cos α = −−→ −−→ = √ gradz 5 145 1 . gradz2 168 2. Trường véctơ 169 §2. TRƯỜNG VÉCTƠ 2.1 Định nghĩa
Cho Ω là một miền mở trong R3. Một hàm véctơ − → F : Ω → R3 − → − → M 7→ F = F (M), trong đó − → − → − → − →
F = Fx(M) i + Fy(M) j + Fz(M) k
2.2 Thông lượng, dive, trường ống
a. Thông lượng: Cho S là một mặt định hướng và − →
F là một trường véctơ. Đại lượng ZZ φ = Fxdydz + Fydzdx + Fzdxdy (6.3) S
được gọi là thông lượng của − → F đi qua mặt cong S. b. Dive: Cho − →
F là một trường véctơ có thành phần F
là các hàm số có đạo hàm x, Fy, Fz
riêng cấp một thì tổng ∂Fx + ∂Fy + ∂Fz được gọi là dive của trường véctơ − → F và kí hiệu ∂x ∂y ∂z là − → div F . c. Trường véctơ − → − →
F xác định trên Ω được gọi là một trường ống nếu div F (M) = 0 với mọi M ∈ Ω. Tính chất: Nếu − →
F là một trường ống thì thông lượng đi vào bằng thông lượng đi ra.
2.3 Hoàn lưu, véctơ xoáy
a. Hoàn lưu: Cho C là một đường cong (có thể kín hoặc không kín) trong không gian. Đại lượng Z Fxdx + Fydy + Fzdz (6.4) C
được gọi là hoàn lưu của − → F dọc theo đường cong C. b. Véctơ xoáy: Véctơ − → − → − → i j k − →− →   rot F :=  ∂ ∂ ∂ ∂x ∂y ∂z  Fx Fy Fz
được gọi là véctơ xoáy (hay véctơ rota) của trường véctơ − → F . 169 170
Chương 6. Lý thuyết trường
2.4 Trường thế - hàm thế vị Trường véctơ − →
F được gọi là trường thế (trên Ω) nếu tồn tại trường vô hướng u sao cho −−→ − →
gradu = F (trên Ω). Khi đó hàm u được gọi là hàm thế vị.
Định lý 6.21. Điều kiện cần và đủ để trường véctơ − → − →
F = F (M) là một trường thế (trên − → Ω) là − →
rot F (M) = 0 với mọi M ∈ Ω. Chú ý: Nếu − →
F là trường thế thì hàm thế vị u được tính theo công thức x Z y Z z Z u = Fx(x, y0, z0)dx + Fy(x, y, z0)dy + Fz(x, y, z)dz + C (6.5) x0 y0 z0 2.5 Bài tập
Bài tập 6.6. Trong các trường sau, trường nào là trường thế? a. − → − → − → − →
a = 5(x2 − 4xy) i + (3x2 − 2y) j + k . b. − → − → − → − → a = yz i + xz j + xy k . c. − → − → − → − →
a = (x + y) i + (x + z) j + (z + x) k . Lời giải. a. Ta có ! − → ∂
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ rot− → a =
∂y ∂z , ∂z ∂x , ∂x ∂y = (0, 0, 6x − 20y) 6= 0 Q R R P P Q
nên trường đã cho không phải là trường thế. b. Ngoài cách tính −→ rot− →
a , sinh viên có thể dễ dàng nhận thấy tồn tại hàm thế vị u = xyz nên − → a là trường thế. c. Ta có ! − → ∂
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ rot− → a =
∂y ∂z , ∂z ∂x , ∂x ∂y = (0, 0, 0) Q R R P P Q nên − →
a là trường thế. Hàm thế vị được tính theo công thức 6.5: x Z y Z z Z u = Fx(t, y0, z0)dt + Fy(x, t, z0)dt + Fz(x, y, t)dt + C x0 y0 z0 x Z y Z z Z = tdt + (x + 0)dt + (t + y)dt + C 0 0 0 x2 z2 = + xy + + yz + C 2 2 170 2. Trường véctơ 171 Bài tập 6.7. Cho − → − → F = xz2− → i + 2− →
j + zy2 k . Tính thông lượng của − → F qua mặt cầu S :
x2 + y2 + z2 = 1 hướng ra ngoài.
Lời giải. Theo công thức tính thông lượng 6.3 ta có ZZ φ = xz2dydz + yx2dxdz + zy2dxdy S
Áp dụng công thức Ostrogradsky ta có ZZZ φ = (x2 + y2 + z2)dxdydz V
Thực hiện phép đổi biến trong toạ độ cầu       
x = r sin θ cos ϕ 
0 ≤ ϕ ≤ 2π
y = r sin θ sin ϕ , 0 , J = −r2 sin θ  ≤ θ ≤ π       z = r cos θ 0 ≤ r ≤ 1 ta có 2π Z π Z 1 Z 4π φ = dϕ dθ r2.r2 sin θdr = 5 0 0 0 Bài tập 6.8. Cho − → − → − → − →
F = x(y + z) i + y(z + x) j + z(x + y) k và L là giao tuyến của mặt
trụ x2 + y2 + y = 0 và nửa mặt cầu x2 + y2 + z2 = 2, z ≥ 0. Chứng minh rằng lưu số của − → F dọc theo L bằng 0.
Lời giải. Theo công thức tính lưu số 6.4 I I =
x(y + z)dx + y(z + x)dy + z(x + y)dz L
Áp dụng công thức Stokes ta có ZZ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ I =
∂y ∂z dydz + ∂z ∂x dzdx + ∂x ∂y dxdy Q R R P P Q S ZZ =
(z − y)dydz + (x − z)dzdx + (y − x)dxdy S = 0 (theo bài tập 5.11). 171
Document Outline

Mục lục
Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học
- Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học phẳng
  - Đường cong trong mặt phẳng R2.
  - Độ cong của đường cong.
  - Hình bao của họ đường cong phụ thuộc một tham số
- Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học không gian
  - Hàm véctơ
  - Đường cong trong không gian R3
  - Độ cong của đường cong
  - Mặt cong trong không gian R3
  - Đường cong cho dưới dạng giao của hai mặt cong
Tích phân bội
- Tích phân kép
  - Định nghĩa
  - Tính tích phân kép trong hệ toạ độ Descartes
  - Phép đổi biến số trong tích phân kép
  - Bài tập ôn tập
- Tích phân bội ba
  - Định nghĩa và tính chất
  - Tính tích phân bội ba trong hệ toạ độ Descartes
  - Đổi biến số trong tích phân bội ba
  - Bài tập ôn tập
- Các ứng dụng của tích phân bội
  - Tính diện tích hình phẳng
  - Tính thể tích vật thể
  - Tính diện tích mặt cong
  - Bài tập ôn tập
Tích phân phụ thuộc tham số.
- Tích phân xác định phụ thuộc tham số.
  - Giới thiệu
  - Các tính chất của tích phân xác định phụ thuộc tham số.
  - Các tính chất của tích phân phụ thuộc tham số với cận biến đổi.
  - Bài tập
- Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số.
  - Các tính chất của tích phân suy rộng phụ thuộc tham số.
  - Bài tập
  - Một số tích phân quan trọng
  - Bài tập ôn tập
- Tích phân Euler
  - Hàm Gamma
  - Hàm Beta
  - Bài tập
Tích phân đường
- Tích phân đường loại I
  - Định nghĩa
  - Các công thức tính tích phân đường loại I
  - Bài tập
  - Bài tập ôn tập
- Tích phân đường loại II
  - Định nghĩa
  - Các công thức tính tích phân đường loại II
  - Công thức Green.
  - Ứng dụng của tích phân đường loại II
  - Điều kiện để tích phân đường không phụ thuộc đường lấy tích phân.
Tích phân mặt
- Tích phân mặt loại I
  - Diện tích mặt cong
  - Bài toán dẫn đến tích phân mặt loại I
  - Các công thức tính tích phân mặt loại I
  - Bài tập
- Tích phân mặt loại II
  - Định hướng mặt cong
  - Bài toán dẫn đến tích phân mặt loại II
  - Các công thức tính tích phân mặt loại II
  - Công thức Ostrogradsky
  - Công thức Stokes
  - Công thức liên hệ giữa tích phân mặt loại I và loại II
Lý thuyết trường
- Trường vô hướng
  - Định nghĩa
  - Đạo hàm theo hướng
  - Gradient
  - Bài tập
- Trường véctơ
  - Định nghĩa
  - Thông lượng, dive, trường ống
  - Hoàn lưu, véctơ xoáy
  - Trường thế - hàm thế vị
  - Bài tập

Chương 1: Các ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học | Bài giảng môn Đại số các nhóm ngành chuẩn | Đại học Bách khoa hà nội

Thông tin :

Tài liệu liên quan:

Hiện nay, với hình thức thi đổi mới từ thi tự luận sang thi trắc nghiệm, chinh vì vậy nhiều bạn sinh viên sẽ gặp khó khăn trong việc ôn tập. | Bài giảng môn Đại số các nhóm ngành chuẩn | Đại học Bách khoa hà nội

Chương 1: Ứng dụng phép tính vi phân trong hình ảnh | Bài giảng môn Đại số các nhóm ngành chuẩn | Đại học Bách khoa hà nội

Tài liệu gồm nội dung lý thuyết và bài tập phục vụ cho việc giảng dạy học phần giải tích | Bài giảng môn Đại số các nhóm ngành chuẩn | Đại học Bách khoa hà nội

Bài 1: Chuỗi số, chuỗi số dương | Bài giảng môn Đại số các nhóm ngành chuẩn | Đại học Bách khoa hà nội