Chương 1 Không gian affine và phẳng
Bài tập 1.1. Chứng minh rằng có thể xem trường số phức C là một không gian affine thực 2 chiều.
Bài tập 1.1. Ta có C với phép cộng hai số phức và phép nhân số phức với một số thực là một
không gian vector thực hai chiều với cơ sở là {1, i}. Do đó C là không gian affine thực hai chiều
với cấu trúc affine chính tắc. Bài tập 1.2. − →
Cho không gian affine n chiều (A, A , Φ) và một tập hợp B 6= ∅ tùy ý. Chứng minh
rằng nếu có song ánh f : A −→ B thì có thể xây dựng B trở thành một không gian affine n chiều
(chuyển cấu trúc affine từ A sang B nhờ song ánh f). Bài tập 1.2. Xét ánh xạ − → ψ : B × B −→ A ,
−−−−−−−−−−→
(M, N ) 7−→ f −1(M )f −1(N ).
Kiểm tra ψ thoả mãn hai điều kiện trong định nghĩa không gian affine. Bài tập 1.3. − → − →
Cho (A, A , Φ) và (A′, A′, Φ′) là hai không gian affine và ánh xạ − → − →
Φ × Φ′ : (A × A′) × (A × A′) −→ A × A′ −−→ −−−→
((M, M ′), (N, N ′)) 7−→ (M N , M ′N ′). − → − →
Chứng minh rằng (A × A′, A × A′, Φ × Φ′) là một không gian affine. Bài tập 1.3. − → − →
Ta chứng minh (A×A′, A × A′, Φ×Φ′) thỏa mãn hai điều kiện trong định nghĩa không gian affine. − → − → −−→ 1. − →
∀(M, M ′) ∈ A × A′, ∀(− →
v , v′ ) ∈ A × A′ ta có ∃!N ∈ A sao cho − →
v = M N ; ∃!N ′ ∈ A′ sao cho − → −−−→ − → −−→ −−−→
v′ = M ′N ′. Nói cách khác, ∃!(N, N ′) ∈ A × A′ sao cho (− →
v , v′ ) = (M N , M ′N ′). 1
Bài tập Hình học affine và Euclid
2. ∀(M, M′), (N, N′), (P, P ′) ∈ A × A′, ta có: −−→ −−−→ −−→ −−−→
Φ × Φ′((M, M ′), (N, N ′)) + Φ × Φ′((N, N ′), (P, P ′)) = (M N , M ′N ′) + (N P , N ′P ′) −−→ −−→ −−−→ −−−→
= (M N + N P , M ′N ′ + N ′P ′) −−→ −−−→ = (M P ,M ′P ′)
= Φ × Φ′((M, M ′), (P, P ′)). − → − →
Vậy (A × A′, A × A′, Φ × Φ′) là một không gian affine. Bài tập 1.4. − → − →
Cho (A, A , Φ) là một không gian affine và − →
α là một không gian vector con của A . −−→
Hai điểm M, N ∈ A gọi là − →
α -tương đương nếu M N ∈ − → α .
1. Chứng minh rằng quan hệ trong định nghĩa trên là một quan hệ tương đương.
2. Ký hiệu tập các lớp tương đương là A/−→ và lớp tương đương chứa α M là [M ]. Xét ánh xạ − → Φ− → α : A/− → α × A/− → α −→ A /− → α −−→ ([M ], [N ]) 7−→ [M N ]. − →
Chứng minh rằng (A/−→α, A /−→α, Φ−→
α ) là một không gian affine. Bài tập 1.4. 1. Chứng minh quan hệ − →
α -tương đương có tính phản xạ, đối xứng và bắc cầu. (a) Tính phản xạ: −−→ Rõ ràng − →
∀M ∈ A ta luôn có M, M là − →
α -tương đương vì M M = 0 ∈ − → α . (b) Tính đối xứng: −−→ −−→ Giả sử M, N là − →
α -tương đương, tức là M N ∈ − → α , ta suy ra N M ∈ − → α , tức là N, M cũng − → α -tương đương. (c) Tính bắc cầu: −−→ −−→
Giả sử M, N và N, P là các cặp điểm − →
α -tương đương, tức là M N ∈ − → α và N P ∈ − → α . Do − → −−→ −−→ −−→
α là một không gian con nên M N +N P = M P ∈ − → α , tức là M, P cũng − → α -tương đương. − → 2. Chứng minh (A/−→ α , A /− → α , Φ− →
α ) là một không gian affine. − → − → (a) −−→ ∀[M ] ∈ A/− → A /− → ta có M N . α , ∀[− → v ] ∈ α M ∈ A, − →
v ∈ A , do đó ∃!N ∈ A sao cho − → v = −−−−→ −−→
Vậy ∃![N] ∈ A/−→ sao cho α [− → v ] = [M ][N ] = [M N ]. 2
Bài tập Hình học affine và Euclid
(b) ∀[M], [N], [P ] ∈ A/−→ ta có: α −−→ −−→ −−→ −−→ −−→
[M N ] + [N P ] = [M N + N P ] = [M P ]. − →
Vậy theo định nghĩa (A/−→α, A /−→ α , Φ− →
α ) là một không gian affine.
Bài tập 1.5. Cho A là không gian affine và O là một điểm của A. Khi đó ánh xạ biến điểm M ∈ A −−→ − →
thành vector OM ∈ A là một song ánh. Nhờ song ánh này có thể chuyển cấu trúc không gian − →
vector từ A lên A. Hãy xây dựng các phép toán cụ thể trên A để A là một không gian vector.
Bài tập 1.5. Ta có thể định nghĩa các phép toán trên A như sau để A trở thành một không gian vector −→ −−→ −→ A + B = C sao cho OA + OB = OC, −−→ −→ λ.A = B sao cho OB = λ.OA.
Bạn đọc kiểm chứng rằng A là một không gian vector với các phép toán trên.
Bài tập 1.6. Trong An cho α và α′ là hai siêu phẳng song song phân biệt, β là m-phẳng không
chứa trong α (β 6⊂ α). Chứng minh rằng nếu β cắt α thì β cũng cắt α′. Trong trường hợp α và α′
là các phẳng song song phân biệt tuỳ ý thì kết quả trên có còn đúng không? Tìm các kết quả đã
biết ở PTTH để minh họa. Bài tập 1.6. − → − →
1. Giả sử ngược lại, β không cắt α′ thì theo Định lí 1.3.3, β song song với α′. Suy ra β ⊂ α′ = − → α .
Mà β ∩ α 6= ∅, do đó β ⊂ α (mâu thuẩn).
2. Nếu α, α′ là các phẳng tùy ý thì kết quả trên không còn đúng. Ví dụ α và α′ là hai đường
thẳng song song trong E3. Một đường thẳng β có thể cắt α nhưng không cắt α′. Bạn đọc có
thể tìm thêm các ví dụ khác.
Trong chương trình PTTH ta có một số kết quả tương tự.
1. Trong mặt phẳng cho hai đường thẳng song song (phân biệt). Nếu một đường thẳng thứ ba
cắt một trong hai đường thẳng đó thì cũng cắt đường thẳng kia.
2. Trong không gian cho hai mặt phẳng phân biệt α và α′ song song với nhau. Nếu một đường
thẳng không chứa trong (hay một mặt phẳng không trùng với) mặt phẳng α và cắt mặt
phẳng α thì cũng cắt mặt phẳng α′. Bài tập 1.7. − →
Xét không gian vector A với cấu trúc affine chính tắc. Chứng minh mỗi không gian − →
vector con của A là một cái phẳng. Điều ngược lại có đúng không? Cho ví dụ.
Bài tập 1.7. Mỗi không gian vector con là một cái phẳng đi qua − →
0 với không gian chỉ phương là
chính nó. Tuy nhiên mỗi một − → − →
a 6= 0 là một 0-phẳng nhưng không phải là không gian vector con. 3
Bài tập Hình học affine và Euclid
Bài tập 1.8. Cho một điểm A và một m-phẳng α không chứa điểm đó. Chứng minh rằng có một
và chỉ một (m + 1)-phẳng đi qua A và chứa α. Tìm các kết quả đã biết ở PTTH để minh họa.
Bài tập 1.8. Xét phẳng tổng α + A. Áp dụng định lý về số chiều của phẳng tổng ta chứng minh
được dim(α + A) = m + 1. Để chứng minh tính duy nhất, ta giả sử β cũng là một (m + 1)-phẳng
đi qua A và chứa α. Khi đó ta có A + α ⊂ β. Nhưng do dim β = dim(α + A) = m + 1, nên β = α.
Các kết quả đã biết ở THPT.
1. Tồn tại một và chỉ một đường thẳng đi qua 2 điểm phân biệt.
2. Tồn tại một và chỉ một mặt phẳng đi qua 1 điểm và 1 đường thẳng không chứa điểm đó.
Bài tập 1.9. Chứng minh rằng nếu các phẳng α và β song song với phẳng γ thì α ∩ β, nếu khác
rỗng, là một phẳng song song với γ. Tìm các kết quả đã biết ở PTTH để minh họa. Bài tập 1.9. − → − → Theo giả thiết ta có − → α ⊂ − → γ hoặc − → γ ⊂ − → α ; β ⊂ − → γ hoặc − → γ ⊂ β .
Ta có các trường hợp sau đây: − → − → 1. Nếu − → α ⊂ − → γ hoặc β ⊂ − → γ thì − → α ∩ β ⊂ − → γ , do đó α ∩ β k γ. 2. Nếu − → − → − → γ ⊂ − → α và − → γ ⊂ β thì − → γ ⊂ − →
α ∩ β , do đó γ k α ∩ β.
Ta có kết quả quen thuộc ở THPT: “Trong E3 hai mặt phẳng cùng song song với một đường thẳng
thì giao tuyến nếu có của hai mặt phẳng đó cũng song song với đường thẳng đã cho.”
Bài tập 1.10. Chứng tỏ nếu hai siêu phẳng phân biệt α và β cắt nhau, siêu phẳng γ song song
với α ∩ β sao cho các giao α ∩ γ và β ∩ γ đều khác rỗng thì α ∩ γ song song với β ∩ γ. Tìm các kết
quả đã biết ở PTTH để minh họa. Bài tập 1.10. − →
Từ giả thiết α ∩ β 6= ∅, suy ra dim(− → α ∩ β ) = n − 2.
Nếu α ≡ γ hoặc β ≡ γ ta suy ra được điều cần chứng minh. Nếu − →
α 6≡ γ và β 6≡ γ, ta suy ra dim(α ∩ γ) = dim(β ∩ γ) = n − 2. Chú ý rằng − → α ∩ β ⊂ − → γ . Từ đó − → − → suy ra β ∩ − → γ = − → α ∩ β = − → α ∩ − → γ .
Ta có kết quả quen thuộc ở THPT: “Trong E3 hai mặt phẳng phân biệt α và β cắt nhau theo giao
tuyến là đường thẳng d. Nếu mặt phẳng γ song song với đường thẳng d cắt hai mặt phẳng đã cho
theo hai giao tuyến là hai đường thẳng d1 và d2 thì d1 k d2 (cùng song song với d).
Bài tập 1.11. Trong An, hãy xét vị trí tương đối giữa một đường thẳng và một m-phẳng. Xét cụ
thể các trường hợp n = 2, 3, 4. Bài tập 1.11.
Gọi d, α lần lượt là đường thẳng và m-phẳng đã cho. 4
Bài tập Hình học affine và Euclid
1. Nếu d ∩ α 6= ∅, ta chia ra 2 trường hợp như sau:
(a) Nếu d ⊂ α thì d ∩ α = d, do đó dim(d ∩ α) = dim d = 1, suy ra d và α cắt nhau cấp 1 (giao tuyến chính là d).
(b) Nếu d 6⊂ α thì dim(d ∩ α) < dim d = 1, do đó dim(d ∩ α) = 0, suy ra d và α cắt nhau
cấp 0 (cắt nhau tại 1 điểm). −−−→ − →
2. Nếu d ∩ α = ∅ thì dim(d ∩ α) = dim(d ∩ α) ≤ dim d = 1. − →
(a) Nếu dim(d ∩ α) = 1 = dim d thì d ⊂ − → α , do đó d k α.
(b) Nếu dim(d ∩ α) = 0 < dim d = min{dim d, dim α} thì d và α chéo nhau cấp 0.
Trường hợp n = 2. Hai đường thẳng có thể cắt nhau, song song hoặc trùng nhau. Trường hợp n = 3.
1. m = 1 ta có 4 khả năng: cắt nhau, song song, chéo nhau hoặc trùng nhau.
2. m = 2 ta có 3 khả năng: cắt nhau, song song hoặc chứa nhau. Trường hợp n = 4.
1. m = 1 ta có 4 khả năng: cắt nhau, song song, chéo nhau hoặc chứa nhau.
2. m = 2 ta có 4 khả năng: cắt nhau, song song, chéo nhau hoặc chứa nhau.
3. m = 3 ta có 3 khả năng: cắt nhau, song song hoặc chứa nhau.
Bài tập 1.12. Cho α là một m-phẳng, A là một điểm không thuộc α.
1. Có bao nhiêu l-phẳng β, l ≤ m, qua A và song song với α. Hãy nhận xét về α ∩ β.
2. Có bao nhiêu l-phẳng β, l > m, qua A và song song với α. Hãy nhận xét về α ∩ β. Bài tập 1.12.
1. Nếu m > 1 thì có vô số l-phẳng β, l < m, qua A và song song với α và có duy nhất một
m-phẳng β qua A song song với α. Trong tất cả các trường hợp này α ∩ β = ∅.
Nếu m ≤ 1 thì chỉ có duy nhất một l-phẳng β, l ≤ m, qua A và song song với α.
2. Nếu m < n − 1 thì có vô số l-phẳng β, l > m, qua A và song song với α. Trong trường hợp
này, α ∩ β = ∅ hoặc α ∩ β = α.
Nếu m = n − 1 thì có duy nhất một l-phẳng β, l = n > m, qua A và song song với α, đó là toàn bộ không gian An.
Bài tập 1.13. Cho α và β là hai cái phẳng có số chiều lần lượt là p và q. Chứng minh rằng α và
β song song khi và chỉ khi chúng cắt nhau cấp r hoặc chéo nhau cấp r với r = min{p, q}. 5
Bài tập Hình học affine và Euclid Bài tập 1.13.
Giả sử dim α = p, dim β = q. Không giảm tính tổng quát, ta có thể giả sử p ≤ q. − →
1. Nếu α ∩ β 6= ∅ thì − → α ∩ β = − →
α . Do đó α cắt β cấp p. −−−→ − →
2. Nếu α ∩ β = ∅, ta có dim α ∩ β = dim(− →
α ∩ β ) = p. Do đó α và β chéo nhau cấp p. Ngược lại, − → − →
1. nếu α cắt β cấp p thì ta có dim(− →
α ∩ β ) = p và do đó − → α ⊂ β ; − → − →
2. nếu α và β chéo nhau cấp p, ta cũng có dim − →
α ∩ β = p và do đó ta cũng có − → α ⊂ β .
Bài tập 1.14. Cho hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình và n ẩn trên trường số thực R với m ≤ n.
a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = a1
a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = a2 . · · · · · ·
am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = am
Giả sử rank(aij) = m, chứng minh rằng:
1. tập nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất tương ứng là một không gian vector
con (n − m)-chiều của Rn, ký hiệu là − → α ;
2. tập nghiệm của hệ phương trình trên là một (n − m)-phẳng của không gian affine Rn (cấu
trúc affine chính tắc) với phương là − → α .
Bài tập 1.14. Xét ánh xạ tuyến tính f : Rn −→ Rm có ma trận đối với cặp cơ sở chính tắc là A.
Khi đó tập nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất tương ứng chính là không gian con
ker f. Do rank A = m, nên dim(kerf ) = n − m.
Gọi a = (a1, a2, . . . , am) ∈ Rm. Do rankA = m nên f là một toàn cấu. Do đó tồn tại p =
(p1, p2, . . . , pn) ∈ Rn, f(p) = a. Khi đó dễ thấy α = {q ∈ Rn : − → pq = q − p ∈ ker f }
là tập nghiệm của hệ phương trình tuyến tính đã cho. Theo định nghĩa α là (n − m)-phẳng của Rn.
Bài tập 1.15. Cho hệ gồm p + 1 điểm {M0, M1, . . . , Mp} trong không gian affine An. Chứng minh rằng
1. dim(M0 + M1 + . . . + Mp) ≤ p;
2. hệ {M0, M1, . . . , Mp} độc lập affine khi và chỉ khi dim(M0 + M1 + . . . + Mp) = p; 6
Bài tập Hình học affine và Euclid
3. nếu hệ {M0, M1, . . . , Mp} độc lập affine thì
M0 + M1 + . . . + Mp = (M0 + M1 + . . . + Mk) + (Mk+1 + Mk+2 + . . . + Mp) và
(M0 + M1 + . . . + Mk) ∩ (Mk+1 + Mk+2 + . . . + Mp) = ∅. Bài tập 1.15.
−−−−→ −−−−→ −−−−→
1. Dễ thấy M0 + M1 + · · · + M là phẳng có phương p
hM0M1, M0M2, . . . ,M0Mpi là không gian
−−−−→ −−−−→ −−−−→
vector con sinh bởi {M0M1, M0M2, . . . , M0Mp}. Do đó
−−−−→ −−−−→ −−−−→
dimhM0M1, M0M2, . . . ,M0Mpi ≤ p. −−−−→ −−−−→ −−−−→ −−−−→
2. dimhM0M1, . . . , M0Mpi = p ⇔ {M0M1, . . . ,M0Mp} độc lập tuyến tính. 3. Đặt: α = M0 + M1 + . . . + Mk, β = Mk+1 + Mk+2 + . . . + Mp.
Ta chứng tỏ α + β là phẳng nhỏ nhất chứa M và i, i = 0, 1, 2, . . . , p
α ∩ β = ∅. Thật vậy, gọi γ
là phẳng bất kì chứa p + 1 điểm M0, M1, . . . , M . Suy ra p
α ⊂ γ, β ⊂ γ, do đó α + β ⊂ γ, hay
α+β là phẳng nhỏ nhất chứa p+1 điểm M Vậy i, i = 0, 1, 2, . . . , p. α+β = M0+M1+. . .+Mp.
Giả sử α ∩ β 6= ∅. Theo định lý về số chiều của phẳng tổng ta có:
dim(α + β) = p = dim α + dim β − dim(α ∩ β) = k + p − k − 1 − dim(α ∩ β),
suy ra dim(α ∩ β) = −1. Điều này vô lý, vậy α ∩ β = ∅.
Bài tập 1.16. Biết phương trình tham số của một m-phẳng α đối với một mục tiêu affine cho
trước trong An. Hãy cho nhận xét về phương trình tham số của m-phẳng β song song với α. Bài tập 1.16. − → − →
Theo giả thiết ta có α k β, dim − → α = dim β = m do đó − → α = β . Giả sử phương
trình của m-phẳng α có dạng: [x] = A[t] + [b],
trong đó A là ma trận cột tọa độ của các vector cơ sở của − →
α , [b] là tọa độ cột của điểm P nào đó thuộc α.
Do đó m-phẳng β có một phương trình tham số dạng [x] = A[t] + [b′],
trong đó [b′] là tọa độ cột của điểm P ′ nào đó thuộc β.
Nói cách khác m-phẳng β có một phương trình tham số khác với phương trình tham số của m-
phẳng α chỉ ở cột hệ số tự do [b] và [b′], tương ứng với tọa độ của hai điểm P và P ′ mà chúng đi qua.
Bài tập 1.17. Cho phương trình tổng quát của m-phẳng α. Chứng minh rằng tập nghiệm của hệ
phương trình tuyến tính thuần nhất tương ứng xác định phương của α. 7
Bài tập Hình học affine và Euclid
Bài tập 1.17. Xem bài tập 1.14.
Bài tập 1.18. Viết phương trình tham số và phương trình tổng quát của m-phẳng E0+E1+. . .+Em −−−→
và của siêu phẳng E1 + E2 + . . . + E trong đó n
{E0;E0Ei} là một mục tiêu affine cho trước của An.
Bài tập 1.18. Phương trình tham số và phương trình tổng quát của m-phẳng E0 + E1 + · · · + Em là x1 = t1 . . . xm+1 = 0 xm = tm . . . . xm+1 = 0 xn = 0 . . . ti ∈ R; và xn = 0
Phương trình tham số và phương trình tổng quát của siêu phẳng E1 + E2 + · · · + E là n x1 = t1 x2 = t2 . . . ti ∈ R; xn−1 = tn−1 xn
= −t1 − · · · − tn−1 + 1 và
x1 + x2 + · · · + xn − 1 = 0.
Bài tập 1.19. Trong An cho mục tiêu affine {O; − →
ei }. Lấy điểm E ∈ An sao cho −−→ OE = − → e1 + − → e2 + . . . + − → en.
Tìm công thức đổi toạ độ từ mục tiêu đã cho đến mục tiêu {E; − → e1 + − → e2 , − → e2 + − → e3 , . . . , − → en + − → e1 }.
Bài tập 1.19. Công thức đổi mục tiêu là 1 0 0 . . . 0 1 x1 x′ 1 1 1 0 . . . 0 0 1 x2 x′ 1 . 0 1 1 . . . 0 0 2 . . . . . . . . . . . . . . .. .. . . . . . .. .. x = + n x′ 1 0 0 0 . . . 1 1 n 8
Bài tập Hình học affine và Euclid
Bài tập 1.20. Trong A3 cho các điểm có toạ độ đối với mục tiêu affine {O; − → e1 , − → e2 , − → e3 } (mục tiêu (1))
A0(1, 1, 1), A1(2, 0, 0), A2(1, 0, 0), A3(1, 1, 0);
A′0(0, 0, 0), A′1(1, 1, 0), A′2(2, 0, 1), A′3(1, 0, 1).
−−−→ −−−→ −−−→
−−−→ −−−→ −−−→
1. Chứng minh rằng {A0; A0A1, A0A2, A0A3} và {A′ } là các mục tiêu affine 0; A′ A′ A′ A′ 0 1, A′0 2, A′0 3
của A3 (mục tiêu (2) và mục tiêu (3)).
2. Tìm các công thức đổi toạ độ từ mục tiêu (1) sang mục tiêu (2) và từ mục tiêu (2) sang mục tiêu (3). Bài tập 1.20. −−−→ −−−→ −−−→
−−−→ −−−→ −−−→
1. Ta có A0A1 = (1, −1, −1),A0A2 = (0, −1, −1), A0A3 = (0, 0, −1). Do det(A0A1, A0A2, A0A3) = −−−→ −−−→ −−−→ −−−→ n A0A1,A0A2, o A0A1, A0A2, A0A3} −−−→ −−−→ 1là6= 0 mộ n t ên m c ụ á c ctiv ê euctcoủra A3.
A0A3 độc lập tuyến tính, suy ra {A0;
−−−→ −−−→ −−−→
Tương tự, ta chứng minh được {A′ A′ A′ A′
} là một mục tiêu của A3. 0; A′ A′ A′ 0 1, 0 2, 0 3
2. Công thức đổi mục tiêu từ (1) sang mục tiêu (2)
Ma trận chuyển từ mục tiêu (1) sang mục tiêu (2) là 1 0 0 −1 −1 0 . A = −1 −1 −1
Công thức đổi mục tiêu [x] = A[x′] + [A0] hay x ′ 1 = x 1 + 1 x2 = −x′ − 1 x′2 + 1 . x3 = −x′ − − 1 x′2 x′3 + 1
Tương tự công thức đổi mục tiêu từ (1) sang mục tiêu (3) là [x] = B[x”] + [A′0], trong đó 1 2 1 1 0 0 . B =
Vậy công thức đổi mục tiêu từ (2) sang mụ 0 c ti 1 êu 1 (3) là [x′] = D[x”] + [C],
trong đó D = A−1B, [C] = A−1([A′0] − [A0]). 9
Bài tập Hình học affine và Euclid Ta có 1 2 1 −2 −2 −1 , [C] = (−1, 2, 0). D =
Vậy công thức đổi mục tiêu từ (2 1 ) sa − ng 1m − ục 1tiêu (3) là x′ − 1 1 = x′′1 + 2x′′ 2 + x′′3 x′ − − x′′ 2 = −2x′′1 2x′′2 3 + 2 . x′ − − 3 = x′′1 x′′2 x′′3
Chú ý: Có thể tìm ma trận chuyển trực tiếp rồi viết công thức chuyển mục tiêu.
Bài tập 1.21. Trong không gian affine An với một mục tiêu affine cho trước, hãy xét giao của
đường thẳng và siêu phẳng cho bởi các phương trình x1 − b1 x x = 2 − b2 = . . . = n − bn a1 a2 an và n c X ixi + d = 0. i=1
Bài tập 1.21. Dễ thấy đường thẳng đi qua điểm B(b1, b2, . . . , bn) và có vector chỉ phương − → c P i=1 ixi = a 0. (a
Do đó, ta có các trường hợp sau. n
1, a2, . . . , an). Theo Bài 1.17, phương của siêu phẳng được xác định bởi phương trình ciai = 0, tức là − → a ∈ − →
α . Đường thẳng song với siêu phẳng. Hơn nữa P i=1 1. n c
P i=1 ibi + d = 0, tức là B ∈ α, thì thì đường thẳng chứa trong siêu phẳng (cắt (i) N c ếấu p 1 n ).
cibi + d 6= 0, tức là B 6∈ α, thì đường thẳng không chứa trong siêu phẳng P i=1 (ii) N ( ế c u héo ncấp 1). ciai 6= 0, tức là − → a 6∈ − →
α . Theo Định lý 1.3.3, thì đường thẳng và siêu phẳng cắt nhau P i=1 2. t n
ại một điểm (cắt cấp 0).
Bài tập 1.22. Trong A4 viết phương trình tổng quát của phẳng có số chiều bé nhất 1. đi qua điểm − →
A(1, 2, 1, 1) và có phương chứa hai vector − →
a (0, 1, 2, 0), b (1, 1, 0, 0); 2. đi qua điểm − →
M (1, 0, 1, 0) và có phương chứa ba vector − →
a (1, 0, 1, 0), b (2, 1, 2, 1), − → c (4, 1, 4, 1); − →
3. đi qua hai điểm A(1, 1, 1, 1), B(2, 3, 1, 0) và có phương chứa các vector − →
a (0, 1, 1, 1), b (1, 2, 0, 0); − →
4. đi qua hai điểm A(1, 1, 1, 1), B(2, 3, 1, 0) và có phương chứa các vector − →
a (3, 4, 2, 1), b (2, 2, −2, 2);
5. đi qua ba điểm A(2, 1, 2, 1), B(1, 1, 1, 1), C(2, 0, 2, 0) và có phương chứa các vector − → a (2, 3, 1, 4), − → b (0, 0, 0, 1). 10