Chương 1: Ma trận và định thức | Đại học Sư phạm Hà Nội

Chương 1: Ma trận và định thức | Đại học Sư phạm Hà Nội với những kiến thức và thông tin bổ ích giúp sinh viên tham khảo, ôn luyện và phục vụ nhu cầu học tập của mình cụ thể là có định hướng, ôn tập, nắm vững kiến thức môn học và làm bài tốt trong những bài kiểm tra, bài tiểu luận, bài tập kết thúc học phần, từ đó học tập tốt và có kết quả cao cũng như có thể vận dụng tốt những kiến thức mình đã học vào thực tiễn cuộc sống.

Trường:

Đại học Sư Phạm Hà Nội 2.1 K tài liệu

Thông tin:
49 trang 8 tháng trước
Tác giả:
K
Kim Oanh
docx.com.vn

Bình luận

Vui lòng đăng nhập hoặc đăng ký để gửi bình luận.

Chương 1: Ma trận và định thức | Đại học Sư phạm Hà Nội

Chương 1: Ma trận và định thức | Đại học Sư phạm Hà Nội với những kiến thức và thông tin bổ ích giúp sinh viên tham khảo, ôn luyện và phục vụ nhu cầu học tập của mình cụ thể là có định hướng, ôn tập, nắm vững kiến thức môn học và làm bài tốt trong những bài kiểm tra, bài tiểu luận, bài tập kết thúc học phần, từ đó học tập tốt và có kết quả cao cũng như có thể vận dụng tốt những kiến thức mình đã học vào thực tiễn cuộc sống.

50 25 lượt tải Tải xuống

Môn: Nhập môn lý thuyết ma trận 68 tài liệu

Trường: Đại học Sư Phạm Hà Nội 2.1 K tài liệu

Thông tin:

49 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Kim Oanh
1 CHƯƠNG 1. MA TRẬN - ĐỊNH THỨC
1.1 Ma tr ận
1.1.1 Định nghĩa.
Ma tr n A c p ậ ấ
m n
trên R là m t b ng s hình ch nh t gộ ả ố ữ ậ ồm m hàng và n c c ột đượ
biểu diễn như sau:
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
...
n
n
m m mn
a a a
a a a
A
a a a
=
ij
m n
a
,
1, , 1,
i m j n
Trong đó:
ij
a R
: là ph n t thu c dòng ầ ử ộ
i
và c tộ
j
của ma tr n A. ậ
m : s dòng c a ma tr n A. ố ủ ậ
n : s c t c a ma tr n A. ố ộ ủ ậ
1 2
...
i i in
a a a
: dòng thứ i của ma tr n A. ậ
1
2
...
j
j
mj
a
a
a
: c t th j c a ma tr n A. ộ ứ ủ ậ
Ký hiệu
( )
m n
M R
là t p hậ ợp các ma tr n c p ậ ấ
m n
trên
R
.
Ví dụ. Xét ma tr n ậ
1 0 2
1 2 0
B
. Ma tr n B là ma tr n c p ậ ậ ấ
2 3
.
1.1.2 Các d ạng đặc biệt của ma trận.
1) Ma tr n dòng ậ
Ma tr n dòng là ma tr n có m t dòng và n c t, ký hiậ ậ ộ ộ ệu là A =
1 2
...
n
a a a
Ví dụ.
2 8 3
A
2) Ma tr n c t ậ ộ
Ma tr n c t là ma tr n có ậ ộ ậ
m
dòng và m t c t, ký hiộ ộ ệu là :
1
2
m
a
a
A
a
Ví dụ.
1
2
4
0
A
3) Ma tr n không: ậ
Ma tr n không là ma tr n có t t c các ph n t u b ng 0, ký hi u ậ ậ ấ ả ầ ử đề ằ ệ
0 0
m n
Ví dụ.
3 2
0 0
0 0
0 0 0 0 ; 0
0 0
0 0
4) Ma tr n vuông c p n: ậ ấ
Ma tr n vuông c p n là ma tr n có s dòng và s c t b ng n, ký hi u là ậ ấ ậ ố ố ộ ằ ệ
11 12 1
21 22 2
ij
1 2
...
...
...
n
n
n
n n nn
a a a
a a a
A a
a a a
Tập h p các ma tr n vuông c p nợ ậ ấ được ký hiệu :
( )
n
A M R
.
Đường thẳng đi qua các phần tử
11 22 33
, , ,...,
nn
a a a a
được gọi là đường chéo chính của
ma tr n A. ng thậ Đườ ẳng đi qua các phần t ử
1 2( 1) 3( 2) 1
, , ,...,
n n n n
a a a a
được g i là ng ọ đườ
chéo ph c a ma tr n A. ụ ủ ậ
Ví dụ.
Ma tr n ậ
1 1 4
1 2 0
4 0 3
A
là m t ma trộ ận vuông. Đường thẳng đi qua các phần t 1,2,-3 là ử
đường chéo chính.
5) Ma tr n tam giác ậ
Ma tr n tam giác trên là ma tr n vuông có các ph n t nậ ậ ầ ử ằm phía dưới đường chéo chính
đều b ng 0. ằ
Ví dụ.
1 2 3
0 2 4
0 0 1
A
Ma trận tam giác dưới là ma trận vuông có các ph n t nầ ử ằm phía trên đường chéo chính
đều b ng 0. ằ
Ví dụ.
1 0 0
0 2 0
5 4 1
A
6) Ma tr n chéo ậ
Ma tr n chéo là ma tr n vuông có các phậ ậ ần t không n ng chéo chính b ng 0 ử ằm trên đườ ằ
Ví dụ.
1 0 0
0 2 0
0 0 3
A
7) Ma trận đơn vị c p n ấ
Ma tr c p n là ma tr n chéo có các ph n tận đơn vị ấ ậ ầ ử nằm trên đường chéo chính b ng 1. ằ
Ký hiệu là
n
I I
.
Ví dụ.
2 3
1 0 0
1 0
; 0 1 0
0 1
0 0 1
I I
;
4
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
I
.
8) Ma tr n chuy n v ậ ể ị
Chuy
ển v cị ủa ma trận A là ma tr c t A b ng cách vi t các hàng c a ma tr n A
ận có đượ ừ ằ ế ủ ậ
theo th t thành c t, ký hi
ứ ự ộ ệu là A .
t
Ví dụ. Cho
1 1 4
1 2 1
5 2 3
A
. Khi đó
1 1 5
1 2 2
4 1 3
t
A
9) Ma trận đối xứng
Ma tr n vuôngậ
ij
n
A
a
gọi là ma trận đối x ng nứ ếu
ij ji
, , 1,
a a i j n
, t c là ứ
t
A
A
Ví dụ. Ma tr n ậ
1 1 4
1 2 0
4 0 3
A
là m t ma tr i x ng. ộ ận đố ứ
1.1.3 Các phép toán v ề ma trận
1) Hai ma tr n b ng nhau. ậ ằ
Hai ma trận cùng c p ấ
( )
n m
A M R
và
( )
n m
B M R
g i là b ng nhau nọ ằ ếu các ph n tầ ử tương
ứng của chúng bằng nhau, t c là: ứ
( , )
ij ij
A B a b i j
.
Ví dụ. Cho
1 2 1 2
,
2 1
A B
a a b
. Tìm
,
a b
sao cho
A B
Theo định nghĩa tr ải đượên gi c
2, 1
a b
.
2) Phép nhân m t sộ ố với ma tr n. ậ
Cho
0
c
và ma tr n ậ
ij
( )
m n
m n
A M R
a
. Khi đó :
( )
ij m n
cA ca
Ví dụ. Cho
1 2 3
2 1 0
A
. Khi đó
1 2 3 2 4 6
2 2
2 1 0 4 2 0
A
.
1 2 3
2 1 0
A
và
3 6 9
3
6 3 0
A
3) Phép c ng hai ma tr n. ộ ậ
Cho
ij
m n
A a
và
ij
m n
B b
. Tổng c a A và B là ma tr n ủ ậ
ij
m n
C c
được xác định như
sau:
, 1, , 1,
ij ij ij
c a b i m j n
Ví dụ. Với
1 2 3
2 3 1
A
và
1 1 1
0 1 0
B
,
1 3 1
0 4 0
C
. Khi đó
0 3 4 2 3 2
; 2
2 4 1 2 4 1
A B A B C
Nhận xét. Phép c ng hai ma tr n ch th c hi c khi hai ma trộ ậ ỉ ự ện đượ ận đó cùng cấp.
4) Phép nhân m t dòng v i m t cộ ớ ộ ột
Cho
1
( )
n
A M R
và
1
( )
n
B M R
1 2
...
n
A a a a
;
1
2
n
b
b
B
b
Khi đó ọi là tích (vô hướAB g ng) của một dòng v i m t c t: ớ ộ ộ
1 1 2 2
...
n n
AB a b a b a b
Ví dụ.
1 2 0 7
A và
3
2
6
2
B
thì : AB (–1).3 + 2.(–2) + 0.6 + 7.2 7.
5) Phép nhân hai ma tr n ậ
Cho
( )
m k
A M R
và
( )
k n
B M R
. G i A , A , ..., A là m dòng c a A; ọ
1 2 m
ủ
(1) ( 2) ( )
, , ...,
n
B B B
là
n c t c a B. ộ ủ
Ta vi t: ế
1
2
m
A
A
A
A
và
(1) (2) ( )
...
n
B B B B
Với
1 2
...
i i i ik
A a a a
và
1
2
( )
j
j
j
kj
b
b
B
b
.
Khi đó C = AB gọi là ma tr n tích cậ ủa A với B và ph n t ầ ử
ij
c
c a Củ được xác định như
sau
( )
1 1 2 2
...
j
ij i i j i j ik kj
c A B a b a b a b
Nhận xét
Phép nhân hai ma tr n AB ch thậ ỉ ực hiện được khi số cột của ma trận A là s dòng c a ma ố ủ
trận B. V i ớ
( )
m k
A M R
và
( )
k n
B M R
thì
( )
m n
C M R
Nói chung
AB BA
. Trường hợp
AB BA
thì ta nói A và B là hai ma tr n giao hoán. ậ
Ví dụ. Cho
1 0
1 1
A
và
1 2
0 1
B
. Khi đó
1 2 3 2
1 3 1 1
AB BA
.
Ví dụ. Cho
1 2
3 0
2 4
A
,
1 2 3 4
2 1 0 3
B
.
Ta có:
1 2 3
1 2 , 3 0 , 2 4
A A A và
(1) (2) ( 3) (4)
1 2 3 4
, , ,
2 1 0 3
B B B B
. Khi đó ma trậ xác địn AB nh b i : ở
(1)
11 1
1
1 2 1.1 2( 2) 3
2
c A B
, tương tự
12 13 14 21 22 23 24
31 32 33 34
4, 3, 10, 3, 6, 9, 12
6, 8, 6, 20
c c c c c c c
c c c c
.
Vậy
3 4 3 10
3 6 9 12
6 8 6 20
AB
Ví dụ.
1 5 2
1 2 3
, 0 1 0
3 1 0
3 2 4
A B
. Khi đó
8 1 14
;
3 14 6
AB BA
không thực
hiện được.
1.1.4 Các tính chất của các phép toán trên ma tr ận
Phép c ng hai ma tr n có các tính ch t sau: ộ ậ ấ
Cho
, ( )
m n
A B M R
và
, \ {0}
R
. Ta có :
1)
A B B A
2)( ) ( )
A B C A B C
3)
m n m n
O A A O A
4) ( )
m n
A A O
5)( ) ( )
A A

6) ( )
A B A B
7)( )
A A A
8)1 , 0. 0
A A A
Phép nhân hai ma tr n có các tính ch t sau: ậ ấ
1) ( )
A B C AB AC
,
2) ( ) ( )
A BC AB C
,
3) ( )
t t t
AB B A
,
4) ( ) ( ) ( )
c AB cA B A cB
1.1.5 Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng
Các phép biến đổi biến ma trận A thành ma tr n A’ậ sau được gọi là các phép biến đổi
sơ cấp trên dòng.
Loại 1 : Đổi chỗ hai dòng cho nhau, ký hi u : ệ
'
i j
d d
A A

Loại 2 : Bi n dòng i thành c l n dòng i ế ầ
( 0)
c
, ký hiệu :
'
i i
d cd
A A

Loại 3 : Bi n dòng i thành dòng i c ng c l n dòng j ế ộ ầ
( 0, )
c i j
, ký hiệu :
'
i i j
d d cd
A A

Ví dụ. Cho ma tr n ậ
1 2 3
4 5 6
7 8 9
A
. Ta có
2 2
2
1 2 3 1 2 3
4 5 6 ' 8 10 12
7 8 9 7 8 9
d d
A A

2 2 1
2
1 2 3 1 2 3
4 5 6 ' 6 9 12
7 8 9 7 8 9
d d d
A A

2 1
1 2 3 4 5 6
4 5 6 ' 1 2 3
7 8 9 7 8 9
d d
A A

1.1.6 Ma tr ận bậc thang
1) Ma tr n khác không ậ
( ),( , 2)
m n
A M R m n
được gọi là ma trận bậc thang dòng, n u có ế
một s nguyên ố
(0 min , )
r r m n
, và m t dãy các ch s c t ộ ỉ ố ộ
1 2
1 , ,...,
r
j j j n
, sao
cho :
) 0
ij
i a
n u ế
r i m
ho c
ặ
1
1
i
i r
j j
1 2
1 2
) ... 0
r
j j rj
ii a a a
Các ph n tầ ử
1 2
1 2
, ,...
r
j j rj
a a a
gọi là các ph n t u cầ ử được đánh dấ ủa A. N u ngoài ) và ) ế i ii
còn có thêm:
1 2
1 2
) ... 1
r
j j rj
iii a a a
) 0,1
i
kj
iv a k i r
thì A c g i là ma tr n b c thang dòng rút g n. đượ ọ ậ ậ ọ
Ví dụ. Các ma trận sau đây là ma trận b c thang: ậ
1 2 3 4
1 2 3
0 1 4 5
0 5 6 ;
0 0 1 0
0 0 0
0 0 0 1
A B
2) Ma tr n khác không ậ
( ),( , 2)
m n
B M R m n
được gọi là ma trận b c thang c t (b c ậ ộ ậ
thang c t rút g n) nộ ọ ếu chuyển v ị
t
B
c a ủ
B
là m t ma tr n b c thang dòng (b c thang dòng ộ ậ ậ ậ
rút g n). ọ
1.1.7 Hạng của ma trận
Cho
( )
m n
A M R
và B là ma tr n b c thang nhậ ậ ận được từ A bằng một số hữu hạn
các phép biến đổi sơ cấp. Khi đó số dòng (s cố ột) khác không c a B c g i là hủ đượ ọ ạng của
A, kí hi u là rank(A) ho c r(A). ệ ặ
Ví dụ .Tìm h ng c a ma tr n ạ ủ ậ
1 2 3
4 5 6
3 3 9
A
.
Dùng phép biến đổi sơ cấp dòng n A v d ng b c thang: đưa ma trậ ề ạ ậ
3 3 22 2 1
3 3 1
34
3
1 2 3 1 2 3 1 2 3
4 5 6 0 3 6 0 3 6
3 3 9 0 9 18 0 0 0
d d d
d d d
d d d
A A
 
Ma tr n b c thang A’ có hai dòng khác 0 nên ậ ậ
( ) 2
rank A
Nhận xét.
Ma tr n b c thang ậ ậ có các đặc điểm sau:
1) Phần tử khác 0 đầu tiên c a dòng trên n m v bên trái so v i ph n tủ ằ ề ớ ầ ử khác 0 đầu tiên c a ủ
dòng d i. ướ
2) Dòng b ng 0 (nằ ếu có) nằm phía dưới so với dòng khác 0.
Ta có thể dùng phép biến đổi sơ cấp dòng để đưa một ma trận b t kấ ỳ v d ng b c thang. ề ạ ậ
Ví dụ. Hãy n A v d ng b c thang dòng và b c thang dòng rút gđưa ma trậ ề ạ ậ ậ ọn
1 2 3 4
2 4 1 10
3 6 1 15
A
Dùng phép biến đổi dòng n A v d ng b c thang dòng nh đưa ma trậ ề ạ ậ ư sau:
3 3 2
2 2 1
3 3 1
8
2
7
3
1 2 3 4 1 2 3 4
0 0 7 2 0 0 7 2
0 0 8 3 5
0 0 0
7
d d d
d d d
d d d
A B
 
2 2 2 2 3
1 1 2
1 1 3
3 3
1 2
3
7 7
7
4
5
1 2 3 4
1 2 3 0 1 2 0 0
2
0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0
7
0 0 0 1 0 0 0 1
0 0 0 1
d d d d d
d d d
d d d
d d
B C
  
B là ma tr n b c thang c a A, C là ma tr n b c thang rút g n c a A. ậ ậ ủ ậ ậ ọ ủ
1.2 Định thức
1.2.1 Định thức cấp 2.
Cho
2ij
2
( )
A M R
a , định thức cấp 2 của ma trận được xác định vA à ký hiệu như
sau
11 12
11 22 21 12
21 22
det
a a
A A a a a a
a a
Ví dụ. Cho
1 2
3 1
A
ta có :
1 2
det 1 1 2 ( 3) 7
3 1
A
.
1.2.2 Định thức cấp 3.
Cho
3ij
3
( )
A M R
a . định thức cấp 3 của ma trận được xác định v ệu A à ký hi
như sau :
11 12 13
21 22 23 11 22 33 12 23 31 21 32 13 13 22 31 12 21 33 23 32
11
31 32 33
det
a a a
A a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a
1.2.3 n Định thức cấp
Cho
( )
n
A M R
, ta ký hi A(i,j) là ma tr A bệu ận có được từ ằng cách bỏ dòng i và
cột j .
Ví dụ. Cho
1 3 4
4 5 6
3 2 3
A
thì
1 4
(2,2)
3 3
A
Phần phụ đại số ủa phần tử ột số được xác định v c a
ij
là m à kí hiệu như sau:
( 1) det ( , )
i j
ij
A A i j
Cho
ij
( )
n
n
A M R
a . Định thức cấ ập n của ma tr n A nh nghđược đị ĩa là:
11 12 1
21 22 2
1
1 2
...
...
det
...
n
n
n
pj pj
j
n n nn
a a a
a a a
A a A
a a a
(khai tri n theo dòng p) ho c ể ặ
1
det
n
iq iq
i
A a A

(khai triển theo c t q). ộ
Ví d . ụ Cho
1 1 2 2
1 2 1 2
2 1 2 1
2 2 2 1
A
. Tính
det
A
.
Ta khai tri n theo dòng 1 ta có : ể
1 1
11
2 1 2
( 1) 1 2 1 3
2 2 1
A
;
1 2
12
1 1 2
( 1) 2 2 1 0
2 2 1
A
;
1 3
13
1 2 2
( 1) 2 1 1 3
2 2 1
A
;
1 4
14
1 2 1
( 1) 2 1 2 0
2 2 2
A
Do đó
4
1 1
1
det 1.( 3) 1.0 2.3 2.0 3
j j
j
A a A
1.2.4 Các tính ch ất của định thức
Dựa vào định nghĩa của đị ức ta suy ra đượnh th c các tính ch t sau: ấ
1) Nếu đổi dòng thành c t, cộ ột thành dòng thì nh thđị ức không thay đổi , tức là
det det
t
A A
2) Nếu i ch hai dòng cho nhau thì nh th c i d u, t c là: đổ ỗ đị ứ đổ ấ ứ
' det( ) det( ')
i j
d d
A A A A

3) T m t dòng (m t c t) ta c ng vào m t dòng khác (c t khác) sau khi nhân m t sừ ộ ộ ộ ộ ộ ộ ộ ố
0
c
thì nh th i đị ức không đổ
i i j
d d cd
A A
 khi đó
det( ') det( )
A A
.
4) Ta có thể đưa thừa số chung
0
c
ra ngoài định thức, tức là:
'
i i
d cd
A A
 khi đó
det( ') det( )
A c A
.
5) Cho
( )
n
A M R
, n u m i ph n t trên dòng (c t) c a A là t ng c a hai phế ỗ ầ ử ộ ủ ổ ủ ần t thì nh ử đị
thức c a A c thành t ng c nh th c. ủ tách ra đượ ổ ủa hai đị ứ
Ví dụ.
' ' ' '
a a b b a b a b
c d c d c d
hoặc
' '
' '
a a b a b a b
c c d c d c d
6) Cho
, ( )
n
A B M R
khi đó
det det det
AB A B
.
Nhận xét.
1) D a vào các tính chự ấ ểt trên, ta có th dùng các phép biến đổi sơ cấp dòng nh để tính đị
thức cấp n.
Ví dụ. Cho
1 2 5
1 1 2
1 2 1
A
. Khi đó :
2 2 1
3 3 1
1 2 5 1 2 5
1 3
det( ) 1 1 2 0 1 3 1 6
4 6
1 2 1 0 4 6
h h h
h h h
A

2) Cho
ij
m n
A a
. Hạng c a ma tr n là c p cao nh t củ ậ ấ ấ ủa định th c con khác 0. ứ
3) Cho
ij
n
A a
là ma tr n vuông cậ ấp n. Khi đó
( ) det 0
rank A n A
Ví dụ. Cho ma tr nậ
1 2 3
4 5 6
3 3
A
m
. Tìm h ng c a ma tr n A theo m. ạ ủ ậ
Ta có
det 9.
A m
N u ế
9
m
thì
( ) 2
rank A
; nếu
9
m
thì
( ) 3
rank A
.
1.3 Ma tr ận nghịch đảo
1.3.1 Định nghĩa
Cho ma tr nậ
( )
n
A M R
. Ta nói ma tr n A kh ngh ch n u ậ ả ị ế
( )
n
B M R
tho mãn: ả
n
BA AB I
Ta nói B (t n t i duy nh t) là ma tr n ngh o cồ ạ ấ ậ ịch đả ủa A. Ký hi u ệ
1
B A
1.3.2 Định lí
Cho
( )
n
A M R
. Khi đó A khả nghịch nếu và chỉ nếu
det 0
A
1.3.3 Tính ch ất
Nếu
, ( )
n
A B M R
là hai ma tr n khậ ả ngh ch thì : ị
1)
1 1
( )
A A
2)
1 1 1
( )
AB B A
3)
1 1
( ) ( )
t t
A A
4)
1 1
1
( )
cA A
c
5) Nếu A kh nghả ịch thì
1
1
det det
A A
1.3.4 ìm ma trPhương pháp t ận nghịch đảo ằng phép biến đổi sơ cấp b
Người ta chứng minh được kết qu sau: Cho ả
( )
n
A M R
là ma tr n kh nghậ ả ịch.
Khi đó nhữ ến đổi sơ cấng phép bi p trên dòng nào bi n A thành I thì chúng c n I ế
n
ũng biế
n
(theo th tứ ự đó) thành
1
A
.
Từ đó ta có phương pháp t ịch đảo như sauìm ma trận ngh :
Để tìm ma trận
1
A
với
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
...
n
n
n n nn
a a a
a a a
A
a a a
Ta l p ma tr n ậ ậ
n
A I
11 12 1
21 22 2
1 2
...
1 0 ... 0
...
0 1 ... 0
...
0 0 ... 1
n
n
n n nn
a a a
a a a
a a a
Dùng phép biến đổi sơ cấp dòng i v i đố ớ
n
A I
để biến A thành I
n
khi đó I
n
biến thành
1
A
.
Ví dụ. Tìm
1
A
v i ớ
1 3 2
1 4 2
1 3 3
A
.
Ta có :
3
1 3 2 1 0 0
1 4 2 0 1 0
1 3 3 0 0 1
A I
2 2 1
2 2 1
d d d
d d d

1 3 2 1 0 0
0 1 0 1 1 0
0 0 1 1 0 1
1 1 3
1 1 2
2
3
d d d
d d d

1
3
1 0 0 6 3 2
0 1 0 1 1 0
0 0 1 1 0 1
I A
.
V
ậy
1
6 3 2
1 1 0
1 0 1
A
1.3.5 ìm ma tr c Phương pháp t ận nghịch đảo nhờ định thứ
Ta g i ma tr n ph họ ậ ụ ợp
A
P
c a ma tr n A là ma tr n ủ ậ ậ được xác định như sau:
ij
; , 1,
A ji
P A i j n
Để tìm
1
A
ta thực hiện hai bước
Bước 1. Tính
det
D A
Nếu
det 0
A
thì A không khả ngh ch ị
Nếu
det 0
A
thì A khả ngh ch, chuyị ển sang bước 2.
Bướ ậc 2. L p ma trận ph hụ ợp
A
P
. Khi đó:
1
1
A
A P
D
.
Ví dụ. Dùng phương pháp định thức tìm
1
A
c a ủ
1 3 2
1 4 2
1 3 3
A
Ta có:
det 1
D A
1 3
2 1
1 1 1 2
11 12 13
2 2 2 3
21 22 23
3 1 3 2 3 3
31 32 33
4 2 1 2 1 4
( 1) 6; ( 1) 1; ( 1) 1;
3 3 1 3 1 3
3 2 1 2 1 3
( 1) 3; ( 1) 1; ( 1) 0;
3 3 1 3 1 3
3 2 1 2 1 3
( 1) 2; ( 1) 0; ( 1) 1
4 2 1 2 1 4
A A A
A A A
A A A
Khi đó:
1
6 3 2
1
1 1 0
1 0 1
A
A P
D
.
Trong chương này chúng ta đã làm quen m ng m i là ma tr n, và các vột đối tượ ớ ậ ấn đề
xoay quanh ma tr n. Trong Toán hậ ọc có nh ng vữ ấn đề d n vi c giẫn đế ệ ải hệ phương trình,
và để gi i h ình ã n y sinh ra khái ni m m i là ma tr thả ệ phương tr đó đ ả ệ ớ ận. Để ấy rõ điều đó
ta s nghiên cẽ ứu chương tiếp theo là Hệ phương trình tuyến tính.
BÀI T P C Ậ HƯƠNG I
1.1 Thực hiện các phép toán trên ma tr n ậ
4
2 2 1
1 1 3 2
) 1 2 3 4 ) 4 2 3
0 5 1 0
2 0 1
5
1 0
2 4 2 1 2
) 3 1 3 2 ) 4 1 2
3 1 3 4 1
4 3
a b
c d
e) Cho
2 2 1 2 1
1 1 2
, 4 2 3 , 7 2
5 1 3
2 0 1 1 6
A B C
.
Tính
T
3
3A+2B ,AB,AB-BA, BC, ABC, BA-3C+I
f) Cho
2 2
1 2
3
( ) 2 3 1, ( ) 2 ,
2 5
f x x x g x x x A
x
. Tính
( ), ( ).
f A g A
g) Cho
1 2 1 1
, , .
0 1 1 3 0
a a
A B C
a
Tính
10 2011
, ,
n
A B C
1.2 Cho
1 0 3 2 2 1
2 1 1 , 4 2 3
3 2 2 2 0 1
A B
. Tìm ma tr n nghậ ịch đảo
1 1
,
A B
(n u có) ế
bằng 2 phương pháp đã học.
1.3 Tính các định thức sau:
2 3 1 1 0 3 2 2 1
2 3
) ) 0 2 2 ) 2 1 1 , ) 4 2 3
1 2
1 3 3 2 2 2 0 1
1 1 1 1 1
1 2 3 4 0
1 0 1 1 1
2 3 4 1 0
) ) ) 1 1 0 1 1
3 4 1 2 0
1 1 1 0 1
4 1 2 3 0
1 1 1 1 0
a b c d B
m
a b c
a c b
e f g
b b a
c c a
1.4 Giải các phương trình sau:
1 3 2 1 0 3
) 3 7 5 0 ) 2 1 1 0
2 5 8 3 2 2
1 0 1 1
1 1 0
0 1 0 0
) 0 1 1 0 ) 0
1 0 2 1
1 2 1
1 0 1 2
a b
c d
1.5 Tìm h ng c a các ma tr n sau: ạ ủ ậ
1 0 3 1 2 1
) 2 1 2 , ) 4 5 3
3 2 2 2 0 1
1 1 1 1 1
1 2 1 2
1 1 1 1 1
2 3 7 1
) )
1 1 1 1 1
1 1 3 5
1 1 1 1 1
10 2 4 15
1 1 1 1 1
a A b B
c C d D
2 CHƯƠNG 2. Ệ PHƯƠNG TR H ÌNH TUY N TÍNH Ế
2.1 H ình tuy ệ phương tr ến tính
2.1.1 H ình tuyệ phương tr ến tính tổng quát.
Hệ phương tr phương trình gồm m ình n ẩn có dạng:
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
...
...
...
...
n n
n n
m m mn n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
(3.1)
được gọi là h ình tuy n tính tệ phương tr ế ổng quát.Trong đó ,
ij i
a b R
,
1 2
, ,...,
n
x x x
là các n ẩ
số. t Ta đặ
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
...
n
n
m m mn
a a a
a a a
A
a a a
gọi là ma tr n hậ ệ số ủ c a (3.1)
1
2
m
b
b
B
b
: c t hộ ệ số tự do,
1
2
n
x
x
X
x
: c t n s . ộ ẩ ố
11 12 1 1
21 22 2 2
1 2
...
...
...
n
n
m m mn m
a a a b
a a a b
A B
a a a b
g i là ma tr n b sung (m r ng) c a họ ậ ổ ở ộ ủ ệ (3.1).
Với cách đặt như trên hệ (3.1) được viết lại :
AX B
Khi B=0 hệ (3.1) được gọi là h ình tuyệ phương tr ến tính thu n nh t. N c l i ta gầ ấ gượ ạ ọi là h ệ
không thu n nh t . ầ ấ
2.1.2 Nghi ình ệm của hệ phương tr
Nghiệm c a hủ ệ (3.1) là b s ộ ố
1
2
n
c
c
C
c
sao cho
AC B
. Quá trình ìm t p đi t ậ
nghiệm c a h ình tuyủ ệ phương tr ến tính g i là giọ ải hệ phương trình tuyến tính.
Hai hệ phương trình tuyến tính có cùng s n (s ình có th khác nhau) g i là ố ẩ ố phương tr ể ọ
tương đương nếu chúng có cùng t p h p nghi m. ậ ợ ệ
Ví dụ. Gi i hả ệ phương trình tuyến tính sau:
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3 2 1
4 2 2
3 3 3
x x x
x x x
x x x
(1)
Ma tr n hậ ệ số của hệ phương trình tuyến tính là:
1 3 2
1 4 2
1 3 3
A
Ma tr n ngh o cậ ịch đả ủa A (đã có được từ ví d c) là ụ trướ
1
6 3 2
1 1 0
1 0 1
A
H
ệ
1
6 3 2 1 6
(1) 1 1 0 2 1
1 0 1 3 2
AX B X A B
Vậy h ình có nghi m là: ệ phương tr ệ
1
2
3
6
1
2
x
x
x
.
Ví dụ. Giải h ình tuyệ phương tr ến tính sau:
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1
3 4 3 3
2 2 3
x x x
x x x
x x x m
Hệ phương tr ương đương ình t
1
t t
A X C X A C
1
6 1 1 1 3
3 1 0 3 0
2 0 1 2
t
m
X A C
m m
2.2 ình tuy Phương pháp giải hệ phương tr ến tính
2.2.1 Phương pháp Cramer để giải hệ phương tr ến tính ình tuy
Hệ phương tr ến tính (3.1) đượình tuy c gọi là h Cramer n u ệ ế
m n
và
det 0
A
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
...
...
...
...
n n
n n
n n nn n n
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
(3.2)
Đặt
det( )
D A
và
( 1, )
j
D j n
là đị ức có đượnh th c bằng cách thay c t c a b i c t t ộ j ủ D ở ộ ự
do. Khi đó hệ phương trình Cramer có nghiệm duy nh nh theo công th c: ất xác đị ứ
1 2
1 2
, , ...,
n
n
D
D D
x x x
D D D
.
Ví dụ. Giải h ình : ệ phương tr
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1
2 6 0
3 4 2 0
x x x
x x x
x x x
.
Ta có :
1 1 1
2 6 1
3 4 2
A
,
det( ) 11 0
D A
,
1
1 1 1
0 6 1 8
0 4 2
D
,
2
1 1 1
2 0 1 7
3 0 2
D
,
3
1 1 1
2 6 0 26
3 4 0
D
.
Vậy h có nghi m duy nh t : ệ ệ ấ
1 2 3
8 7 26
, ,
11 11 11
x x x .
2.2.2 – Capelli Định lý Kronecker
Hệ (3.1) có nghiệm khi và chỉ khi
( ) ( )
r A r A B
. Hơn nữa
i)
( ) ( )
r A r A B
n : h (3.1) có nghi m duy nh t. ệ ệ ấ
ii)
( ) ( )
r A r A B
n : hệ (3.1) có vô s nghiố ệm ph thu c ụ ộ
( )
n r
tham s . ố
iii)
( ) ( )
r A r A B
: h (3.1) vô nghi m. ệ ệ
2.2.3 nh lý Đị
Cho hai h ình tuyệ phương tr ến tính có cùng m phương trình và n ẩn số với ma trận
m
ở r ng lộ ần lượt là
' '
( );( ), ( 2)
A B A B m
. Khi đó nếu
' '
( )
A B
nh c t ận đượ ừ
( )
A B
b i ở
một s hố ữu hạn các phép biến đổi sơ cấ ệ phương tr ến tính đp dòng thì hai h ình tuy ã cho
tương đương nhau.
Từ hai định lí trên ta đi đến phương pháp sau:
2.2.4 Phương pháp Gauss để giải hệ phương tr ến tínhình tuy
Để giải hệ (3.1) ta thực hiện các bước:
Bước 1: Lập ma trận mở rộng c a A: ủ
11 12 1 1
21 22 2 2
1 2
...
...
...
n
n
m m mn m
a a a b
a a a b
A B
a a a b
Bước 2: Dùng các phép bi p dòng n ến đổi sơ cấ đưa ma trậ
( )
A B
v ma tr n ề ậ
' '
( )
A B
, trong
đó
A
là ma tr n b c thang (rút g n). D a vào nh lý Kronecker –ậ ậ ọ ự Đị Capelli để k t lu n ế ậ
nghiệm.
Ví dụ. Giải h ình : ệ phương tr
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 1
2 5 6
4 2 2
x x x
x x x
x x x
.
Ma tr n hoá hậ ệ phương trình trên ta thu c : đượ
1 2 1 1 1 2 1 1 1 0 3 7 1 0 0 40
2 5 1 6 0 1 1 4 0 1 1 4 0 1 0 15
1 4 2 2 0 2 3 3 0 0 1 11 0 0 1 11
Hệ có nghi m duy nh t là : ệ ấ
1 2 3
40, 15, 11
x x x
Ví dụ . Gi i hả ệ phương trình :
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 3 1
3 5 3 1
4 3 8 4 0
x x x x
x x x x
x x x x
.
Ta có
1 2 3 1 1 1 2 3 1 1
3 1 5 3 1 0 7 4 0 4
4 3 8 4 0 0 0 0 0 2
A B
.
Suy ra :
( ) 3
r A B
. Mà
( ) 2 ( )
r A r A B
. Vậy h vô nghi m. ệ ệ
Ví dụ . Gi i hả ệ phương trình :
1 2 3
1 2 3
1
2 3 2
x x x
x x x
.
Ta có :
1 1 1 1 1 1 1 1
2 1 3 2 0 1 5 0
A B
1 0 4 1
0 1 5 0
.
Suy ra :
( ) ( ) 2 3
r A r A B n
, vậy h có vô s nghi m. ệ ố ệ
Ta vi t h thành ế ệ
1 3 1 3
2 3 2 3
4 1 1 4
5 0 5
x x x x
x x x x
.
Vậy t p nghiậ ệm c a h có d ng ủ ệ ạ
1
2
3
1 4
5 ( )
x t
x t t R
x t
.
Như vậy vi c giệ ải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Crammer đòi h i h ỏ ệ
phương trình tuyến tính có số phương trình và số ẩn bằng nhau, ma tr n hậ ệ ả số ph i là ma
trận khả ngh ch tị rong khi đó phương pháp Gauss lại cho phép ta giải một hệ bất kỳ. Thực
chất phương pháp Gauss là phương pháp cộng mà trước đây ta đ ọc nhưng trong qúa ã h
trình gi i ch có h sả ỉ ệ ố thay đổi chứ các ẩn s vố ẫn giữ nguyên nên ta quan tâm đến nh ng h ữ ệ
số và được viế ật thành ma tr n.
BÀI T ẬP CHƯƠNG II
2.1 Giải các hệ phương trình tuyến tính sau:
1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 3 1 2 3
2 3 2 2 1
) 1 ) 3 2 6 5
2 7 3
2 3 2 1
2 2 1
4 3 2 2
) 3 2 1 )
16 9 3 3
2 5 0
4 7 7 4
x x x x x x
a x x x b x x x
x x x x x
x y z t
x y z t
x y z t
c x y z t c
x y z t
x y z t
x y t z
2.2 Cho ma tr n ậ
1 0 1
1 1 1
1 2 2
A
. Tìm
1
A
, r i gi i các hồ ả ệ phương trình sau:
1 1 1
) 2 ) 2 1 ) 2
2 2 5 2 2 2 2 5
x z x y z x z
a x y z b y z m c x y z
x y z x y z x y z
2.3 Giải và biện lu n các h ình tuyậ ệ phương tr ến tính sau:
3 1 2 3 1 3 3
) 2 2 ) 1 ) 2 6 2
3 4 3 2 2 2 2 2 1
x y z x y z x y z
a x y mz b x y z m c x y z m
x my z x y z x y z m
2.4 Trong m t ngày, khộ ẩu ph a m i c n có 80g Protit, 50g Lipit, 450g ần ăn củ ỗi ngườ ầ
Gluxit. Hàm lượng các chất trên có trong 1g thức ăn A và B như sau:
Thức ăn Chất dinh dưỡng
A B
Protit (g) 0,1 0,2
Lipit (g) 0,2 0,3
Gluxit (g) 0,6 0,4
Hãy lập phương trình ma trận cho bài toán trên. Hãy cho biế ẩt các n số trong phương trình
ma tr n trên cho bi u gì? ậ ết điề
3 CHƯƠNG 3. KHÔNG GIAN VECTƠ
3.1 Không gian Véc- tơ
3.1.1 Định nghĩa
Tập h p ợ V
đượ ột không gian vectơ tc gọi là m rên
R
nếu ta nh ngh đị ĩa hai phép
toán cộng (+) và nhân vô hướng ( ) trên .
V
th a 10ỏ tiên đề sau:
, , ; ,
u v w V R
1) , ,
u v V u v V
2)
u v v u
3)
( ) ( )
u v w u v w
4) 0 , 0 0
V u u u
5)
, ( ) : ( ) 0
u V u u u
1’) , ,
u V R u V
2’)
( ) ( ) ( )
u u u
3’) ( )
u u u
4’)
u v u v
.
5’) 1
u u
3.1.2 Các Ví d v gian Véc- ụ ề không tơ
1)
3
R
với phép cộng vectơ và phép nhân một số thực với một vectơ là không gian vectơ
trên
R
2) T p h p ậ ợ
( )
m n
M R
gồm t t c các ma tr n c p ấ ả ậ ấ
m n
trên
R
cùng v i phép c ng các ma ớ ộ
trận và phép nhân m t s vộ ố ới một ma tr n tậ ạo thành một không gian vectơ.
3) T p hậ ợp
2
P x
gồm các đa thức bậc không quá 2 cùng v i phép cớ ộng hai đa thức thông
thường và phép nhân m t sộ ố v c là mới đa thứ ột không gian véctơ trên
R
.
3.1.3 Tính ch ất.
Từ các tiên đề trên ta suy ra được vài tính ch t sau c a không gian Véc- : ấ ủ tơ
1)
0 0
2)
0 0
u
3) ( 1)
u u
4)
0 0 0
u u
, 0u u u
, 0
u v u v
5) Vectơ 0 và vectơ đối (-u) của u t n t i duy nh t. ồ ạ ấ
6) , , :
u v w V u w v w u v
3.2 à phĐộc lập tuyến tính v ụ thuộc tuyến tính
3.2.1 T ổ hợp tuyến tính
Cho V là không gian vectơ trê và các vectơ n R
1
, ,...,
n
u u u V
. Ta nói u là tổ h p ợ
tuyến tính c a hủ ệ vectơ
1
{ ,..., }
n
u u
khi và chỉ khi t n t i ồ ạ
1
,...,
n
R
sao cho
1 1
...
n n
u u u
.
Ta cũng nói u bi u thể ị tuyến tính đượ ệ vectơc qua h
1
{ ,..., }
n
u u
Ví dụ. Trong
3
R
, xét các vectơ
1 2 3
(2,3,1), (2,1,3), ( 2,0,0), (1,1, 1)
u u u u
. Khi
đó:
1 2 3
2
u u u u
nên u là t hổ ợp tuyến tính của các vectơ
1 2 3
, ,
u u u
.
Ví dụ. Trong
2
R
xét các vectơ
1 2 3
( 1,0), (0, 1), (1,1)
u u u . Khi đó:
vec tơ
0 0,0
có ít nhất hai cách biểu thị tuy c qua hến tính đượ ệ vectơ
1 2 3
{ , , }
u u u
1 2 3 1 2 3
0 0 0 0 ; 0 1 1 1
u u u u u u
.
Tổ h p tuyợ ến tính
1 1
...
n n
u u
c a hủ ệ
1
{ ,..., }
n
u u
gọi là t ng n u ầm thườ ế
1
... 0
n
. Ngược lại, n u t n t i ế ồ ạ
0(1 )
i
i n
thì t h p tuyổ ợ ến tính
1
n
i i
i
u
g i ọ
là không tầm thường.
3.2.2 Ph ụ thuộc tuyến tính
Hệ vectơ
1
{ ,..., }
n
u u
được gọi là ph thu c tuyụ ộ ến tính nếu t n tồ ại
1,
i
i n
R
th a ỏ
2
1
0
i
n
i
sao cho
1 1
... 0
n n
u u
Ví dụ.
Trong
3
R
xét các vectơ
1
(1,1, 2)
u
2
, ( 2,0,1)
u ,
3
(1, 1, 3)
u
. Khi đó
1 2 3
0
u u u
nên hệ các vectơ {
1 2 3
, ,
u u u
} là ph thuụ ộc tuyến tính.
Tập h p ợ
S V
được gọi là t p ph thu c tuyậ ụ ộ ến tính nếu tồn t i hạ ệ các vectơ
1
{ ,..., }
n
u u S
sao cho hệ
1
{ ,..., }
n
u u
phụ thu c tuyộ ến tính.
Ví dụ. Trong
3
R
t p ậ
1 2 3 4
(1,1, 2), ( 2,0,1), (1, 1, 3), (1, 5, 3)
S u u u u phụ
thuộc tuy n tính vì hế ệ vectơ
1 2 3
, ,
u u u S
và {
1 2 3
, ,
u u u
} là phụ thuộc tuyến tính.
3.2.3 Độc lập tuyến tính
Hệ vectơ
1
{ ,..., }
n
u u
được gọi là độc lập tuyến tính nếu
1 1
... 0
n n
u u
thì
1
... 0
n
.
Ví dụ. Hệ
1 2 3
(1,1, 2), (1, 1, 1), (2,1,1)
u u u là độc lập tuyến tính vì t ừ
1 2 3
0
xu yu zu
ta suy ra
0
x y z
.
Tập hợp
S V
được g i là t c l p tuyọ ập độ ậ ến tính n u v i m i hế ớ ọ ệ các vectơ
1
{ ,..., }
n
u u S
thì
1
{ ,..., }
n
u u
là h c l p tuyệ các vectơ độ ậ ến tính.
3.2.4 Các tính ch ất.
1) M i h chọ ệ ứa vectơ 0 đều phụ thu c tuyộ ến tính.
2) M i h chọ ệ ứa một hệ con ph thu c tuyụ ộ ến tính thì phụ thuộc tuy n tính. ế
3) T p h p ậ ợ
1
{ ,..., }
n
S u u
là phụ thu c tuyộ ến tính khi
i
u S
sao cho
i
u
là t hổ ợp
tuyến tính của các vectơ còn lại trong S.
4) M i h con c a họ ệ ủ ệ độc lập tuyến tính thì c l p tuy n tính. độ ậ ế
5) T p hậ ợp
1
{ ,..., }
n
S u u
là độc lập tuyến tính nếu mọi
i
u
không là t h p tuyổ ợ ến tính
của các vectơ còn lại trong S.
6) Tập h p ợ
S V
ho c là t c lặ ập độ ập tuyến tính hoặc ph thu c tuy n tính. ụ ộ ế
Ví dụ. Cho các vectơ
1 2
( 2,1, 1), (1, 1, 1)
u u
3
, ( 1,0, 2)
u
. Ta có
1 2 3
u u u
nên hệ các vectơ {
1 2 3
, ,
u u u
} ph thuụ ộc tuyến tính.
3.2.5 Định lý.
Trong không gian
n
R
cho hệ m vectơ
1 11 12 1 2 21 22 2 1 2
, ,..., , , ,..., ,..., , ,...,
n n m m m mn
u a a a u a a a u a a a
Đặt
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
... ... ... ...
...
n
n
m m mn
a a a
a a a
A
a a a
,
Khi đó
1
,...,
m
u u
là độc lập tuyến tính khi và ch khi ỉ ( )
rank A m
.
Trong t ng h p rườ ợ
m n
thì
1
,...,
m
u u
là độc lập tuyến tính khi và chỉ khi
( ) det 0
rank A n A
.
Ví dụ. Cho các vectơ
1 2
( 2,1, 1,1), (1, 1, 1,2 )
u u ,
3
( 1, 0, 2,1)
u . Khi đó ta có
ma tr n ậ
2 1 1 1
1 1 1 2
1 0 2 1
A
có
( ) 3
r A
nên hệ các vectơ
1 2 3
, ,
u u u
là độc lập tuyến tính.
Ví dụ. Xét hệ vectơ
1 2
(2,1, 1), (1,1, 1)
u u
,
3
(3, 2, 2)
u
. Khi đó ma trận
2 1 1
1 1 1
3 2 2
A
có
det 0
A
nên h ọ
1 2 3
, ,
u u u
là phụ thuộc tuyến tính.
3.3 Không gian Vectơ con
3.3.1 Định nghĩa.
Cho V là không gian vectơ trên R và
W V
. W c g i là không gian con đượ ọ
của V n u W c i các phép toán cế ũng là không gian vectơ trên R vớ ộng và nhân như trên V.
Ký hiệu
W V
.
Định lý sau cho ta điều ki n cệ ần và đủ để tập W là không gian con c a Vủ
3.3.2 Định lý
Cho V là không gian vectơ trên R và
W V
. W là không gian con c a V khi ủ
và chỉ khi , ,
u v W R
:
u v W
và
u W
.
Ví dụ. Xét
3
1 2 3 1
, , / 0
W x x x x R
. Khi đó W là không gian con của
3
R
.
Thật vậy
3
1 2 3 1 2 3
, , , , ,
x x x y y y R
sao cho
1 1
0
x y
. Ta có
1 1
0
x y
1 1 2 2 3 3
, , W
x y x y x y
,
1
0
x
3
1 2 3 1 2 3
, , , ,
x x x x x x R
.
3.3.3 T ập sinh – không gian vectơ sinh bởi một tập hợp.
Cho V là không gian vectơ trên R và
1
,...,
n
u u V
. Gọi S là tập tấ ảt c các tổ hợp
tuyến tính của
1
,...,
n
u u
. Khi đó S là một không gian con c a V, ta nói S là không gian ủ
con c a V sinh b i ủ ở
1
,...,
n
u u
. Ký hi u là: ệ
1
,...,
n
S u u
Quy ước
{0}
. Nếu
S V
thì ta nói S sinh ra V hay S là t p sinh c a V. ậ ủ
3.3.4 nh lý Đị
Cho
1
,...,
n
U u u
là m t hộ ệ h u h c V và U’ là hữ ạn các vectơ thuộ ệ vectơ nhận
được từ U sau m t s hộ ố ữ ạu h n các phép biến đổi sơ cấp. Khi đó ta có
'
U U
.
Ví dụ. Tìm
(1,1,1);(2,3,4)(4,5,6)
Ta l p ma tr n dòng t ậ ậ ừ ba vectơ trên
1 1 1
2 3 4
4 5 6
A
Dùng phép biến đổi sơ cấp dòng ma tr n b c thang: đưa A về ậ ậ
3 3 22 2 1
3 3 1
2
4
1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 3 4 0 1 2 0 1 2
4 5 6 0 1 2 0 0 0
d d dd d d
d d d
A
 
Vậy
(1,1,1);(2,3,4)(4,5,6) (1,1,1);(0,1, 2)
3.4 C - s - tơ sở ố chiều ọa độ
3.4.1 , s c Cơ sở ố chiều ủa không gian véctơ
Cho V là không gian vectơ V . Tập
B V
được gọi là cơ sở của V nếu B độc
lập tuy n tính và sinh ra V . ế
Khi đó số vectơ của B được gọi là s chiố ều của V . Ký hi u là dimV. ệ
Ví dụ. Trong không gian vectơ
3
R
, hệ vectơ
(1,0,0);(0,1,0);(0,0,1)
B độc lập tuyến
tính ng th i B sinh ra V nên đồ ờ
(1,0,0);(0,1,0);(0,0,1)
B là cơ sở của
3
R
và được gọi là
cơ sở chính t c c a ắ ủ
3
R
.
3.4.2 Định lý
Cho V là không gian vectơ trên R và
1
,...,
n
B u u
là cơ sở của V, '
B V
. Khi
đó:
i) Nếu B’ có nhiều hơn n vectơ thì B’ phụ thuộc tuyến tính c nên B’ không là cơ sở ủa V.
ii) Nếu B’ có ít hơn n vectơ thì B’ không sinh ra V nên B’ không là cơ sở của V.
iii) Nếu B’ có đúng n vectơ th B’ là cơ sởì của V
B’ sinh ra V
B’ độc lập tuyến
tính.
3.4.3 Định lý
Trong không gian vectơ hữu hạn chiều m i h c l p tuyọ ọ vectơ độ ậ ến tính đều có thể
bổ sung thành cơ sở
Ví dụ. Cho
(1,1,1);(2,3,4) (4, 5, 6)
S . Tìm dim S.
Ta có
(1,1,1);(2,3,4) (4, 5, 6) (1,1,1);(0,1, 2)
S và
(1,1,1);(0,1, 2)
độc lập tuyến tính
nên
(1,1,1);(0,1, 2)
cũng là cơ sở của VS. ậy dim =2 S
3.4.4 Tọa độ của véc tơ trong cơ sở
Một cơ sở được gọi là cơ sở đượ ủa không gian vectơ V là cơ sởc sắp c mà ta quan
tâm đế ủa các vectơ trong đón thứ tự c .
Ví dụ.
(1, 0),(0,1)
B là cơ sở được sắp của không gian vectơ
2
R
.
Dễ dàng th y r i vấ ằng đố ới không gian vectơ n chiề ơ sở đượ Khi nói đếu thì có n! c c sắp. n
cơ sở mà không nói rõ là c c s p thì ta hiơ sở đượ ắ ểu đó là cơ sở được sắp theo thứ tự mà ta
viết trong cơ sở đó.
Nếu
1 2
{ , ,..., }
n
B u u u
là cơ sở được sắp của không gian vectơ V trên R và
u V
. Khi đó
ta có mọi vectơ
u V
đều được viết duy nh i d ng ất dướ ạ
1 1 2 2
...
n n
u u u u
.
Ký hiệu là:
1
2
u
...
B
n
và gọi là t c B. ọa độ ủa vectơ u trong cơ sở
Ví dụ. Cho các vectơ
3
1 2 3
(1, 2,3), (1,1,0), (0,1,1), (1,0,1)
u u u u R
. Khi đó
1 2 3
(1,1,0), (0,1,1), (1,0,1)
B u u u
là cơ sở của
3
R
và ta có
1 2 3
0 2
u u u u
nên
0
u 2
1
B
Cho B là cơ sở của không gian vectơ hữu hạn chi u trên R. Khiề đó:
, ,
R u v V
, ta có
B B B
u v u v
(Sinh viên t kiự ểm tra như bài tập)
3.4.5 Ma tr ận chuyển cơ sở
Giả sử
1 2
{ , ,..., }
n
B u u u
và
1 2
' { ' , ' ,..., ' }
n
B u u u
là 2 cơ sở được sắp của không
gian vectơ V. Ma trận
1 2
' ' ... '
n
B B B
P u u u đượ ển cơ sởc gọi là ma trận chuy từ
B sang B’ và ta ký hiệu là
( ')
P B B
Ví dụ. Cho
1 2 3
(1, 0,0), (0,1,0), (0,0,1)
B e e e
1 2 3
' (1,1,0), (0,1,1), (1, 0,1)
B u u u
là hai cơ sở của
3
R
.
Ta có
1 2 3
1 0 1
u 1 ; u 1 ; u 0
0 1 1
B B B
nên
1 0 1
( ') 1 1 0
0 1 1
P B B
3.4.6 Định lý
Cho A, B, C là các cơ sở được sắp của không gian vectơ V có số ều n. Khi đó: chi
i) Ma tr n chuyậ ển cơ sở từ A sang B là duy nh t. ấ
ii) ( )
n
P A A I
iii
)
1
( ) ( )
P A B P B A
iv)
( ) ( ) ( )
P A B P B C P A C
3.4.7 Định lý (công thức đổi tọa độ)
Cho
1 2
{ , ,..., }
n
B u u u
và
1 2
' { ' , ' ,..., ' }
n
B u u u
là 2 cơ sở được sắp của không gian
vectơ V,
( ')
P B B
là ma trận đổi cơ sở từ B sang B’ ,
u V
. Khi đó:
( ')
B B
u P B B u
Hay
1
'
( ')
B B
u P B B u
Ví dụ.
Trong
3
R
cho hai cơ sở
1 2 3
{ (1,1,1), (1,1, 2), (1, 2,3)}
B u u u và
1 2 3
' ' (2,1, 1), ' (3,2,5), ' (1, 1,1)
B u u u .
Khi đó
1 2 3
4 0 1
' 1 ; u' 4 ; u' 4
1 1 2
B B B
u
. Vậy
4 0 1
( ') 1 4 4
1 1 2
P B B
.
Áp d ng công thụ ức c : trên ta đượ
'
4 0 1 0 1
( ') 1 4 4 1 0
1 1 2 1 1
B B
u P B B u
.
BÀI T ẬP CHƯƠNG 3
3.1. Trong t p ậ
( , , ) : , , 0
V x y z x R y R z R và x y z , xét phép c ng và ộ
nhân như sau
1 2 3 1 2 3
( , , ) ; ( , , ) ,
u x x x V v y y y V R
Phép c ng ”+”: ộ
1 1 2 2 3 3
( , , )
u v x y x y x y
Phép nhân ”.”:
1 2 3
( , , )
u x x x
a) T p V v i phép cậ ớ ộng và phép nhân như trên có không gian vectơ trên R
không? T i sao? ạ
b) T p V có là không gian con c a ậ ủ
3
R
không? T i sao? ạ
3.2. Trong các trườ ợp sau đây xét xem W có không gian con củng h a không
gian vectơ
3
R
(
3
R
là không gian vectơ trên
R
):
3
1 2 3 1
( , , ) : 0
W x x x R x
3
1 2 3 1 2 3
( , , ) : 2
W x x x R x x x
3
1 2 3 1 2
( , , ) : 0
W x x x R x x
3.3 Trong các trườ ợp sau đây, h để vectơ ng h ãy xác định tham số m x là tổ hợp
tuyến tính của các vectơ u, v, w.
Trong
3
R
: u = (1,4,2); v = (6,0,7); w = (5,6,m); x = (1,3,5)
Trong
3
R
: u = (1,4,3); v = (2,2,1); w = (4,1,6); x = (5,0,m).
Trong
3
R
: u = (1,3,2); v = (2,-1,1); w = (3,-4,3); x = (1,m,5).
Trong
4
R
: u = (1,0,-3,2); v = (4,1,3,-2); w = (16,9,1-3); x = (m,4,-1,1).
3.4 Gọi W là không gian con c a ủ
4
R
sinh ra bởi các vectơ:
1
(2, 1,3,2)
u ,
2 3
( 1,1,1, 3), (1,1,9, 5)
u u
. Hỏi vectơ
(3, 1,0, 1)
u
có thu c không gian ộ
con c a W không? ủ
3.5 Cho c l p tuyx, y, z là ba vectơ độ ậ ến tính trong không gian vectơ V. Xét
tính độc lập tuyến tính,phụ thu c tuyộ ế ủn tính c a h ọ các véc tơ sau:
2 , ,
S u x z v x y z w x x z
, ,
S u x y v y z w z x
3.6 Xét tính độc lập tuyến tính,phụ thuộc tuyến tính của các t ập vectơ sau:
( 1, 2,0),(3, 6,2)
M trong
3
R
(1, 2,6), (6, 3,0)
M trong
3
R
(2, 3, ), (3, 2, 5),(1, 4,3)
M m trong
3
R
(4, 5,2,0),(2, 2,1, 0),(0, 3,3,9),(4,0,5,6)
M trong
4
R
(1, 0,1,1),(0.1.1.1),(1,1,0,1),(1,1,1, )
M m
trong
4
R
3.7 Trong không gian
4
R
cho các t p: ậ
4
1 1 2 3 4 1 2 3 1 2 3 4
( , , , ) : , 2
W x x x x R x x x x x x x
4
2 1 2 3 4 1 2 3
( , , , ) :
W x x x x R x x x
4
3 1 2 3 4 1 2
( , , , ) : 0
W x x x x R x x
a) Ch ng minh r ng ứ ằ
1 2 3
, ,
W W W
là các không gian con c a ủ
4
R
b) Tìm m c a ột cơ sở ủ
1 2 3
, ,
W W W
3.8 Trong các t t c aập vectơ sau, xét xem ập nào cơ sở ủ
3
R
:
1 2
(1, 2,1), (1,0,5)
M u u
1 2 3 4
(1, 2,3), (1,1, 1), (3, 4,2), (6,2,1)
M u u u u
1 2 3
(0,2,3), (2, 3,4), (3, 4, 5)
M u u u
1 2 3
(1,1, 2), (1, 2,1), (3,2,2)
M u u u
3.9 Trong
4
R
cho t p ậ
(1, 2, 1, 2),(2,0, 0,1),(1,3,1, 4),(1,3, 1,0)
B .
a) Ch ng minh r ng lứ ằ B à cơ sở của
4
R
b) Tìm tọa độ vectơ
(1, 2, 1, 2)
x
đối với cơ sở B.
b) Xác định ma trận chuyển cơ sở sang cơ sở từ B chính tắc c a ủ
4
R
Xác định ma tr n chuyậ ển cơ sở sang cơ sở từ B
' (1,1,0,0), (1,0,0,1),(0,1,1,0),(0,0,1,1)
B và tìm
'
B
x
.
3.10 Trong không gian
3
R
, cho:
1 2 3
(1, 0,1), (1,2,2), (0, 1, 1)
B v v v ,
1 2 3
(1,0, 1), (1,1,1), ( 1,2, 2)
E u u u
a) Ch ng minh ứ B, E là các cơ sở của
3
R
.
b) Tìm ma tr n chuyậ ển cơ sở từ B sang . Cho E u = (1,2,3) , tìm
u
,
E
u
c) Tìm ma tr n chuyậ ển cơ sở từ E sang B. Cho
3
2
1
v
, tìm , v
E
v
3.11 Cho
1 2 3
, ,
B u u u
là m cột cơ sở ủa
3
R
và các vectơ
1 2 3
, ,
v v v
có tọa độ đối
với cơ sở B l t là: ần lượ
1 2 3
1 1 1
1 , 0 , 2
1 3 1
v v v
.
a) Ch ng minh ứ
1 2 3
, ,
E v v v
là cơ sở của
3
R
. Tìm
1 2 3
, ,
v v v
theo
1 2 3
, ,
u u u
.
b) Tìm ma tr n chuyậ ển cơ sở từ E sang . B
4 CHƯƠNG 4 Ạ TUYẾN TÍNH. ÁNH X
4.1 Ánh x ạ tuyến tính
4.1.1 Định nghĩa
Cho V và U là hai không gian vectơ trên trường K. Ánh xạ :
f V U
được g i là ọ
ánh x tuyạ ến tính nếu thỏa mãn hai u ki n : điề ệ
i)
f f f
v i ớ ,
V
ii)
. . , ,
f a a f a V
Ta có th vi t l i thành : ể ế ạ
.f a a f f
với , ,
a V
Một ánh x tuyạ ến tính :
f V V
g i là m t phép biọ ộ ến đổi tuyến tính c a V. ủ
Ví dụ.
1) Ánh xạ không : 0 :
V U
,
0 0
là ánh x tuyạ ến tính
2) Ánh x ng nh t : ạ đồ ấ :
id V V
,
id
là m t ánh x tuyộ ạ ến tính và cũng là
một phép biến đổi tuyến tính của V
3) Ánh xạ đạo hàm :
:
x x
,
'
f x f f x
là m t ánh xộ ạ tuyến tính
4) Phép chiếu
3 2
:p
,
1 2 3 1 2 3 1 2
, , , , ,
x x x p x x x x x
là ánh xạ tuy n tính ế
5) Ánh x : ạ
3 2
:T
v i ớ
2 2 2
1 2 3 2 3 1 2 3
, , 4 ,
T x x x x x x x x
không ph i là ánh xả ạ tuyến
tính.
Thật vậy, lấy vectơ
1 2 3
, ,
u x x x
. Khi đó:
1 2 3
, ,
T cu T cx cx cx
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 3 1 2 3 2 3 1 2 3
4 , 4 ,
c x c x c x c x x c x x x x x c T u cT u
4.1.2 Các tính chất cơ bản của ánh xạ tuyến tính
Cho
,
U V
là các không gian vectơ và :
f V U
là ánh x tuyạ ến tính. Khi đó :
1)
0 0
V U
f
do :
f f
v i m i ớ ọ
V
2) V i m i ớ ọ
1 2 1 2
, ,..., , , ,...,
n n
a a a V
:
1 1 2 2 1 1 2 2
... ...
n n n n
f a a a a f a f a f
3) Ánh x tuyên tính bi n hạ ế ệ ph thu c tuyụ ộ ến tính thành h ph thu c tuyệ ụ ộ ến tính. T c là ứ
nếu
1 2
, ,...,
n
là hệ phụ thuộc tuyến tính trong
V
thì
1 2
, ,...,
n
f f f
là h ph ệ ụ
thuộc tuy n tính trong ế
U
4) Ánh x tuyạ ến tính không làm tăng hạng c a m t h à vủ ộ ệ vectơ, nghĩa l ới mọi
1 2
, ,...,
n
V
ta luôn có :
1 2 1 2
, ,..., , ,...,
n n
rank f f f rank
Ta ch ng minh 3) và 4) ứ
3) Gi sả ử
1 2 3
, ,...,
V
là m t h ph thu c tuyộ ệ ụ ộ ến tính thì tồn t i ạ
1 2
, ,...,
n
a a a
không
đồng th i b ng không sao cho ờ ằ
1 1 2 2
... 0
n n
a a a
. Do đó
1 1 2 2
... 0
n n
f a a a f
.
Suy ra
1 1 2 2
... 0
n n
a f a f a f
mà
1 2
, ,...,
n
a a a
không đồng th i b ng ờ ằ
không nên
1 2
, ,...,
n
f f f
là hệ phụ thu c tuyộ ến tính trong
U
4) Giả s ử
1
,...,
k
i i
f f
là m t h c lộ ệ con độ ập tuyến tính t i c a hối đạ ủ ệ
1
,...,
n
f f
thì
1 2
, ,...,
n
rank f f f k
nên theo tính ch t 3), h ấ ệ
1
,...
k
i i
c l p tuyđộ ậ ến tính
Do đó hệ con c lđộ ập tuyế ện tính t i cối đạ ủa h
1 2
, ,...,
n
có không ít hơn
k
vectơ, tức là
1 2 1 2
, ,..., , ,...,
n n
rank rank f f f
.
4.1.3 Định lý cơ bản về sự xác định của ánh xạ tuyến tính
Cho V là không gian vectơ n chiều ( dim
V n
) và
1 2
, ,...,
n
là cơ sở tùy ý
của
,
V U
là không gian vectơ tùy ý và
1 2
, ,...,
n
là h ý c a ệ vectơ tùy ủ
U
. Khi đó tồn
tại duy nhất một ánh x tuyạ ến tính :
f V U
th a mãn ỏ
, 1,
i i
f i n
Chứng minh.
Tính t n t i: ồ ạ
Với m i ỗ
x V
thì t n t i ồ ạ
1 2
, ,...,
n
a a a
sao cho:
1 1 2 2
...
n n
x a a a
, ta định
nghĩa ánh xạ : :
f V U
như sau :
1 1 2 2
...
n n
f x a a a
thì
f
là ánh xạ tuyến
tính thỏa mãn u kiđiề ện của định lý.
Tính duy nh t : ấ
Giả sử có hai ánh xạ tuyến tính , :
f g V U
th a mãn ỏ điề ệu ki n c nh lý. ủa đị Khi đó với
mọi
x V
ta có :
1 1 2 2
...
n n
x a a a
.
Suy ra :
1 1 2 2
...
n n
f x f a a a
1 1 2 2
...
n n
a f a f a f
1 1 2 2
...
n n
a g a g a g
1 1 2 2
...
n n
g a a a g x
Vậy :
f g
4.2 Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính
4.2.1 Các định nghĩa
Cho V, U là các không gian vectơ, :
f V U
là ánh x tuyạ ến tính.
Ký hiệu
1
ker | 0
U
f f O x V f x V
và gọi là h t nhân cạ ủa ánh xạ tuy n tính ế
f
.
Ký hi u ệ
Im |
f f V f x x V U
và g i là nh c a ánh x tuyọ ả ủ ạ ến tính
f
.
Có thể chứng minh được
ker
f
,
Im
f
lần lượt là các không gian vectơ con của
V
và
U
.
Nếu
là một cơ sở của
V
thì
f
là m t tộ ập sinh c a ủ
Im
f f V
.
4.2.2 Tìm à Kerf cơ sở cho Imf v
Để tìm c cơ sở ủa
Im
f
ta tìm cơ sở
1
,...,
n
của V. Khi đó :
1
Im ,...,
n
f f f
và hệ con c l p tuyđộ ậ ến tính t i c a hối đạ ủ ệ
1
,...,
n
f f
là
cơ sở của
Im
f
.
Để tìm c cho ơ sở
ker
f
ta chỉ c n tìm c cho không gian nghi m c a hầ ơ sở ệ ủ ệ PTTT
U
f x O
Ví dụ : Cho ánh x tuyạ ến tính
4 4
:f
với
, , , 2 4 7 , 3 2 5 , 2 2 ,3 3
f x y z t x y z t x y t x y z t x y z t
Tìm c cho ơ sở
Im
f
và
ker
f
Giải.
Tìm c c a ơ sở ủ
Im
f
Chọn một cơ sơ a tùy ý của
4
, ch ng hẳ ạn ta chọn cơ sở chính tắc như sau :
1
1,0,0,0 1, 3, 2,3
f e f
2
0,1,0,0 2, 2,1,1
f e f
3
0,0,1,0 4, 0, 1, 3
f e f
4
0,0,0,1 7,5, 2, 1
f e f
Tìm c c a ơ sở ủ
Im
f
từ một tập sinh :
Lập ma tr n ậ
1
2
3
4
1 3 2 3
2 2 1 1
4 0 1 3
7 5 2 1
f e
f e
f e
f e
Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng n vđể đưa ma trậ ề dạng b c thang ậ
4 4 2
3 3 2
2 2 1
4 4 3 2
3 3 2
3
2
2
1
2
1 3 2 3 1 3 2 3
2 2 1 1 0 4 3 5
4 0 1 3 0 4 3 5
7 5 2 1 1 1 1 2
1 3 2 3
0 4 3 5
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
d d d
d d d
d d d
d d d d
d d d


Im
f
có m là ột cơ sở
1 2
1, 3,2,3 , 0,4, 3, 5
và
dim Im 2
f
Tìm c c a ơ sở ủ
Kerf
Ta gi i hả ệ phương trình tuyến tính
2 4 7 0
3 2 5 0
2 2 0
3 3 0
x y z t
x y t
x y z t
x y z t
Ma tr n m r ng c a hậ ở ộ ủ ệ phương trình tuyến tính trên là :
2 2 3
3 3 2
4 4 1
1 1 2
2 2
3 3 2
4 4 2
2
3
2
3
5
1 2 4 7 0 1 2 4 7 0
3 2 0 5 0 0 1 3 4 0
2 1 1 2 0 0 3 9 12 0
3 1 3 1 0 0 5 15 20 0
1 0 2 1 0
0 1 3 4 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
d d d
d d d
d d d
d d d
d d
d d d
d d d



Nghiệm ,z t
tùy ý, 2 , 4
x z t y t z
Cho
1, 0
z t
ta được :
1
2, 3,1,0
Cho
0, 1
z t
ta được :
2
1, 4,0,1
Vậy cơ sở của
Kerf
là
1 2
2, 3,1,0 , 1, 4,0,1
,
dim Im 2
f
4.2.3 Định lý (về mối liên hệ giữa số chiều của hạt nhân và ảnh)
Cho ánh x tuyạ ến tính :
f V U
. Khi đó :
dim dim Im dim
Kerf f V
4.3 Ma trận của ánh xạ tuyến tính
4.3.1 : Định nghĩa
Cho
V
và
U
là các không gian vectơ,
1
,...,
n
là cơ sở của
V
,
1
,...,
m
là
cơ sở của
U
và :
f V U
là ánh x tuyạ ến tính. Do
i
f U
nên
i
f
bi u th tuyể ị ến
tính được qua cơ sở
nên ta có h sau : ệ
1 11 1 12 2 1
2 21 1 22 2 2
1 1 2 2
...
...
...
...
m m
m m
n n n nm m
f a a a
f a a a
f a a a
Khi đó ma trận
11 21 1
12 22 2
1 2
...
...
...
n
n
m m nm
a a a
a a a
A
a a a
được gọi là ma tr n c a ậ ủ
f
trong c ặp cơ sở
,
và kí hi u là : ệ
,
f
A
Trường h c bi t, khi ợp đặ ệ
f
là phép biến đổi tuyến tính c a ủ
V
, :
f V V
và
thì ma tr n c a ậ ủ
f
trong cặp cơ sở
,
được gọi là ma tr n c a ậ ủ
f
trong cơ
sở
và kí hiệu là :
f
A
Ví dụ. Cho ánh xạ tuyến tính
2 3
:f
, với
1 2 1 2 1 2 2
, 2 , ,
f x x x x x x x
1 2
: 1,1 , 1, 0
là cơ sở của
2
1 2 3
: 1,1,1 , 1, 2,1 , 1,3,2
là cơ sở của
3
Tìm ma tr n c a ậ ủ
f
trong cặp cơ sở
,
(t c là : ứ
,
f
A
)
Giải
Giả sử :
1 1 1 2 2 3 3
f a a a
(1)
và :
2 1 1 2 2 3 3
f b b b
(2)
Khi đó, ma trận của ánh x ạ
f
trong cặp cơ sở
,
là :
1 1
2 2
,
3 3
f
a b
A a b
a b
Ta c n gi ình vect tìm ầ ải các phương tr ơ (1), (2) để
1 2 3
, ,
a a a
và
1 2 3
, ,
b b b
.
Từ (1) và (2), ta có 2 h ình sau : ệ phương tr
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3
1 2 3 0
2 1
a a a
a a a
a a a
và :
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1
2 2 3 1
2 0
b b b
b b b
b b b
Vì ma tr n h s cậ ệ ố ủa 2 phương trình trên là như nhau nên ta sẽ giải một lúc 2 h trên b ng ệ ằ
ma tr n m r ng sau : ậ ở ộ
1 1 1 3 1 1 1 1 3 1
1 2 3 0 1 0 3 2 3 0
1 1 2 1 0 0 2 1 4 1
1 1 1 3 1 1 1 1 3 1
0 1 1 1 1 0 1 1 1 1
0 2 1 4 1 0 0 1 6 3
Từ ma tr n b c thang sậ ậ au cùng, ta được :
Hệ (1) :
1 2 3
8, 5, 6
a a a
Hệ (2) :
1 2 3
4, 2, 3
b b b
Vậy:
,
8 4
5 2
6 3
f
A
BÀI T ẬP CHƯƠNG 4
4.1
Các ánh xạ nào sau đây từ
2
là ánh x tuy
ạ ến tính ? (
2
,
là các không
gian vectơ)
a)
, 3
x y x
b)
2
,
x y xy
c)
, 2 3
x y x y
d)
,
x y x y
4.2 Các ánh xạ nào sau đây từ
2 2
là ánh x tuy n tính ? ạ ế
a)
, ,
x y y x
b)
, 1 ,
x y y x
c)
2
, ,
x y y x
4.3 Cho ánh x ạ
4 3
:f
xác định bởi
1 2 3 4 1 2 3 1 4 3 2 4
, , , ,2 , 2
f x x x x x x x x x x x x
a) Ch ng t r ng ứ ỏ ằ
f
là ánh x tuyạ ến tính
b) Tìm
Kerf
và
Im
f
4.4 nh ánh xXác đị ạ tuyến tính
2 2
:f
bi t : ế
3,1 2,12
f ,
1,1 0, 2
f
4.5 nh ánh x Xác đị ạ tuyến tính
3 2
:f
bi t : ế
1, 2,3 1,0
f ,
1,0,10 0,1
f ,
2,3,5 15, 4
f
4.6 nh ánh x Xác đị ạ tuyến tính
3 3
:f
bi t : ế
1, 2,3 1,0,1
f ,
1,1,1 0,1, 0
f ,
1,3,4 1,0, 2
f
4.7 Trong
3
cho 2 cơ sở
:
1
1,0,0
u ,
2
0,1,1
u ,
3
1,0,1
u
:
1
1, 1,0
v ,
2
0,1, 1
v
,
3
1,0,1
u
và ánh x tuyạ ến tính :
3 3
:f
, với
i i
f u v
,
1,3
i
a. Tìm công th
ức của
2 2 2
2 1 2 3 1 2
( ) 2 4
Q x x x x x x
b. Tìm các ma tr n sau : ậ

3
, ,
, , ,
f f f f f
e
A A A A A
(với
3
e
là cơ sở chuẩn tắc trong
3
)
4.8 Tìm vectơ riêng, giá trị ri ủa ma trận sauêng c :
a.
1 2
2 1
A
b.
1 1
5 3
A
4.9 a. Tìm đa thức đặc trưng của ma trận:
1 1 1
1 3 1
3 1 1
A
b. Dựa vào đa thức đặc trưng, chứng minh A khả nghịch và chỉ ra biểu thức xác định
1
A
c. Tính
3
det 2008
A I
d. Tìm GTR, vect ơ riêng của A.
4.10 Tìm vectơ riêng, giá trị riêng và chéo hóa các ma trận sau :
a.
1 0 1
0 0 0
1 0 1
b.
5 1 1
1 2 2
1 2 2
c.
1 2 1
2 4 2
1 2 1
d.
1 3 1 2
0 1 1 3
0 0 2 5
0 0 0 2
4.11 Trong
3
cho cơ sở :
1 2 3
1,1,1 , 1,2,1 , 1,3,2
u u u
và cho ánh xạ tuyến tính
3 3
:f
xác định bởi :
1
0,5,3
f u ;
2
2,4,3
f u ;
3
0,3,2
f u
a) Xác định ánh xạ tuyến tính
3 3
:f
b) Tìm một cơ sở để ma trận
f
trong cơ sở đó l ận chéo.à ma tr
5 CHƯƠNG ẠNG TOÀN PHƯƠNG5. D
5.1 Tr ị riêng-vectơ riêng
5.1.1 Đa thức đặc trưng
Cho A là ma tr n vuông c p n ậ ấ
n
A M
. Ta g a ma tr n ọi đa thức đặc trưng củ ậ
A là đa thức
det .
A n
p x A x I
Ví dụ. Tìm đa thức đặc trưng của ma trận
2 2 1
2 2 0
3 1 1
A
3 2
3
2 2 1
det . 2 2 0 5x 7x 8
3 1 1
A
x
p x A x I x x
x
5.1.2 Cayley – Hamilton: Định lý
Mỗi ma tr n là nghiậ ệm của đa thức đặc trưng của nó.
5.1.3 Giá tr ị riêng, vectơ riêng
Các nghiệm th c cự ủa đa thức đặc trưng
A
p x
g i là giá tr riêng cọ ị ủa ma tr n ậ
A
Nếu
o
là 1 giá tr riêng c a A thì ị ủ
det . 0
o n
x I A
. Do đó, hệ phương trình thu n nhầ ất :
1
0
.
0
o n
n
x
A x I
x
có vô số nghiệm. Không gian nghiệ ệm của h
. 0
o n
I A X
gọi là không gian con riêng
của ma tr n ậ
A
ứng v i giá trớ ị riêng
o
. Các vectơ khác không là nghiệm của hệ
. 0
o n
I A X
đượ ọi là các vectơ riêng củc g a ma trận
A
ứng với giá trị riêng
o
x
.
5.1.4 ìm giá trPhương pháp t ị riêng, vectơ riêng.
Bước 1 : Tìm đa thức đặc trưng :
det .
A n
p x A x I
Bước 2 : Giải phương tr đa thức cấp n ến ình theo bi
: 0
A
x p x
để t ị riìm các tr êng
Bước 3 : Đối với mỗi trị ri êng
i
, tìm các vectơ riêng tương ứng bằng cách giải hệ phương
trình tuyến tính thuần nhất
0
i
A I X
.
Ví dụ. Tìm giá trị riêng, vectơ riêng của ma trận A:
1 3
2 4
Bước 1: T đa thức đặc trưng của ma trận Aìm :
2
1 3
det 3 2
2 4
P A I
Bước 2: Giải phương tr đặc trưng : ình
0
P
, ta có 2 giá tr êng : ị ri
1 2
1, 2
Bước 3: T ơ riêng :ìm các vect
Ta tìm các vectơ riêng ứng với giá trị riêng
1
1
2 3 0
0 2 3
2 3 0
x x y
A I x y
y x y
Không gian con riêng của
A
ứng với
1
1
là
(1) 3 , 2 |E a a a
Các vectơ riêng của A ứng với
1
1
là tất cả các vectơ có dạng:
3 , 2
a a
với
0
a
(vì
vectơ riêng phải khác không).
Ta có
dim (1) 1
E
và
A
có 1 vectơ riêng ĐLTT ứng với
1
1
là
1
3,2
.
Ứng với giá trị riêng
2
2
. Để t ơ riêng ta giải hệ phương trìm vect ình
3 3 0
0
2 2 0
x x y
A I x y
y x y
Không gian con riêng của
A
ứng với GTR
2
2
là
(2) , |E b b b
Các vectơ riêng của A ứng với
2
2
là tất cả các vectơ có dạng :
,
b b
với
0
b
Ta có
dim (2) 1
E
và
A
có một vectơ riêng ĐLTT ứng với
2
2
là
2
1,1
.
5.1.5 Định lý
Nếu
1 2
, ,...,
m
X X X
lần lượt là
m
vec tơ riêng ứng với
m
tr riêng phân bi t ị ệ
1 2
, ,..., ( )
m
m n
của ma tr n vuông ậ
[ ]
ij nxm
A a thì hệ vectơ
1 2
m
X X X
độc lập
tuyến tính. Nói cách khác, các vec tơ riêng ứng với các trị riêng khác nhau c a A t o thành ủ ạ
một hệ vec tơ độc lập tuyến tính.
5.2 Chéo hóa ma tr ận
5.2.1 Định nghĩa
Ma tr n vuông A cậ ấp n đượ ọi là chéo hóa được g c nếu t n t i ma tr n T vuông c p ồ ạ ậ ấ
n không suy bi n sao cho
ế
1
T AT
là ma tr n chéo. ậ
Ma trận T được gọi là ma tr n làm chéo A, và ma trậ ận A được chéo hóa bởi ma trận T
Câu h t ra là có ph i ma tr n vuông nào cỏi đặ ả ậ ũng chéo hóa được không, điều ki ma ện để
trận vuông chéo hóa được là gì và tìm ma trận T như thế nào ? Ta bắt đầ ằng địu b nh lí sau:
5.2.2 Định lí (Điều kiện chéo hoá được)
n
A M K
chéo hoá được khi và chỉ khi A có đủ n vectơ riêng độc lậ ếp tuy n tính
hay
1
dim ( )
k
i
i
E n
, với
1
,...,
k
là t t c các giá tr riêng c a A. ấ ả ị ủ
Ma tr n T làm chéo hóa A là ma tr n có các cậ ậ ột là n vectơ riêng độc lập tuyến tính của A
nói cách khác các c t cộ ủa T là các cơ sở của các không gian con riêng c a A. ủ
Từ định lí trên ta suy ra phương pháp chéo hoá ma tr n ậ vuông A như sau:
Tìm các giá tr c lị riêng và các vectơ riêng độ ập tuyến tính của A. Khi đó xảy ra m t trong ộ
hai kh : ả năng sau
Nếu t ng sổ ố vectơ riêng ĐLTT của A bé hơn n thì A không chéo hoá c (t c là đượ ứ
không t n t i ồ ạ
n
T M K
để
1
T AT
là ma tr n chéo) ậ
Nếu t ng sổ ố vectơ riêng độc lập tuyến tính c a A b ng n thì A chéo hoá ủ ằ được. Khi
đó ma trận T cần tìm là ma tr n mà các c t cậ ộ ủa nó chính là các vectơ riêng độc l p tuyậ ến
tính c a A vi t theo c t và : ủ ế ộ
1
21
0 ... 0
0 ... 0
0 0 ...
n
T AT
là ma trận chéo. Trong đó
i
là giá tr riêng cị ủa A ứng với vectơ riêng là vectơ cột thứ i
của ma tr n T. ậ
Ví dụ. Chéo hoá ma tr n ậ
1 3
2 4
A
(nếu được).
Ma tr n ậ
A
có 2 giá trị riêng là :
1 2
1, 2
và có 2 vectơ riêng độc lập tuyến tính là :
1
3,2
và
2
1,1
. Do số vectơ riêng bằng c p c a ấ ủ
A
nên chéo hóa được.
Ma tr n ậ
T
c n tìm là : ầ
3 1
2 1
T
.
Khi đó
1
1 0
0 2
T AT
Nếu ch n ọ
1 3
1 2
T
thì
1
2 0
0 1
T AT
5.3 Dạng toàn phương
5.3.1 D ạng toàn phương
Đị
nh nghĩa Dạng toàn phương trên R
n
là đa thứ đẳc ng c p b c 2 c a n biấ ậ ủ ến
1 2
, ,...,
n
x x x
:
111 12 1
21 22 2 2
1 2
1 1
1 2
( ) X , ,...,
n
n n
n
T
ij i j n
i j
n n nn n
xa a a
a a a x
Q x a x x AX x x x
a a a x
trong đó A là ma trận đối xứng.
Ma tr c g i là ma tr n c a dận A đượ ọ ậ ủ ạng toàn phương.
Ví dụ.
1
2 2
2 1 2 1 1 2 2
2
3 2
( ) , 3 4 5
2 5
T
x
Q x X AX x x x x x x
x
là dạng toàn phương trên
R
2
v i ma tr nớ ậ
3 2
2 5
A
Ví dụ.
1
2 2
3 1 2 3 2 1 1 2 1 3 2 3 2
3
1 1 3
( ) , , 1 4 2 2 6 4 4
3 2 0
T
x
Q x x Ax x x x x x x x x x x x x
x
là d
ạng toàn phương trên R
3
với ma tr n ậ
1 1 3
1 4 2
3 2 0
A
Ví dụ.
Tìm ma tr n c a d
ậ ủ ạng toàn phương
2 2 2
1 1 2 2 1 3 3 2 3
( ) 2 2 6 3 2
Q x x x x x x x x x x
Ta vi t l i ế ạ
2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 3 3 1 3 2 3 3 2
( ) 2 3 3 3
Q x x x x x x x x x x x x x x x x
Do đó
2 1 3
1 1 1
3 1 3
A
5.3.2 Phân loại dạng toàn phương
Dạng toàn phương Q(x) được gọi là:
1)Xác định dương, nếu
( ) 0, 0
Q x x
2) Nửa xác định dương, nếu
( ) 0, 0
Q x x
3) Xác định âm, n u ế
( ) 0, 0
Q x x
4) Nửa xác định âm, n u ế
( ) 0, 0
Q x x
5) Không xác định d u, nấ ếu ngoài các trường hợp trên.
Ví dụ.
2 2
1 1 2
( ) 2
Q x x x
là d
ạng toàn phương xác định dương trên R
2
.
2 2
2 1 3
( ) 2
Q x x x
là dạng toàn phương nửa xác định dương trên R
3
.
2 2
3 1 2
( ) 2
Q x x x
là dạng toàn phương không xác định dấu trên R .
2
5.3.3 D c ạng chính tắc ủa dạng toàn phương
Dạng toàn phương Q(x) được gọi là d ng chính t c nở ạ ắ ếu:
2 2 2
1 1 2 2
( )
n n
Q x a x a x a x
Ví d
ụ. Trong R các d
3
ạng toàn phương sau ở dạng chính t c: ắ
2 2 2
1 1 2 3
( ) 2
Q x x x x
ma trận tương ứng
1
1 0 0
0 2 0
0 0 1
A
2 2
2 1 2
( ) 2
Q x x x
ma trận tương ứng
2
2 0 0
0 1 0
0 0 0
A
2 2
3 2 3
( ) 3
Q x x x
ma trận tương ứng
3
0 0 0
0 1 0
0 0 3
A
Dễ th y ma tr n c a dấ ậ ủ ạng toàn phương chính tắc là ma trận chéo
1
2
0 0
0 0
0 0
n
a
a
A
a
5.4 Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc
Một dạng toàn phương ở dạng chính tắc có cấu trúc rõ ràng, d nghiên c u, phân ễ ứ
loại. Trong phạm vi chương tr chúng ta xét các phương pháp đưa dạng toàn phương ình sau
bất kỳ v d ng chính t c ề ạ ắ
5.4.1 Định lí (Phương pháp biến đổi trực giao)
Cho dạng toàn phương ( )
T
Q x X AX
với
1 2
, , ,
n
là các tr riêng c a A. T là ị ủ
ma tr n tr c giao làm chéo hóa A t c là
ậ ự ứ
1
T AT D
. Khi đó, bằng cách đổi bi n ế
X TY
ta được:
2 2 2
1 1 2 2
T T
n n
X AX Y DY y y y
Chứng minh.
Vì T là ma tr n tr c giao nên: ậ ự
1
T
T T
. Ngoài ra D là ma tr n chéo nên ậ
1 2 2 2
1 1 2 2
( ) ( )
T T T T T T
n n
X AX TY A TY Y T ATY Y T ATY Y DY y y y
Thuật toán biến đổi trực giao:
Bước 1: Viế ật ma tr n A của dạng toàn phương
Bước 2: Chéo hóa A b i ma tr n tr c giao T, t c là tìm ma tr n tr c giao T sao cho: ở ậ ự ứ ậ ự
1
T AT D
, với D là ma tr n chéo. ậ
Bướ ếc 3: K t lu n d ng chính t c c n tìm là: ậ ạ ắ ầ
' 2 2 2
1 1 2 2
( )
T
n n
Q y Y DY y y y
với
1 2
, , ,
n
là các tr riêng c a A ị ủ
Ví dụ. Cho dạng toàn phương:
2 2 2
1 1 3 2 2 3 3
( ) 2 2 2 2 3
Q x x x x x x x x
Ma tr n c a Q là ậ ủ
2 0 1
0 2 1
1 1 3
A
Ma tr n A có các tr riêng: ậ ị
1 2 3
1, 2, 4
v i 3 veớ ctơ riêng trực chu n ẩ
1 2 3
1 1 1 1 1 1 1 2
, , ; , ,0 ; , ,
3 3 3 2 2 6 6 6
u u u
Do đó dạng chính tắc là:
' 2 2 2
1 2 3
( ) 2 4
Q y y y y
v i bi n: ới phép đổ ế
X TY
hay
1 1
2 2
3 3
1 1 1
3 2 6
1 1 1
3 2 6
1 2
0
3 6
x y
x y
x y
5.4.2 Phương pháp Lagrange
Nội dung của phương pháp Lagrange là biến đổi biểu th c t cứ ọa độ ủa dạng toàn
phương thành các tổng bình ph Thu t toán Lagrange có th c sau: ương. ậ ể chia làm các bướ
Bước 1: Chọn m t sộ ố hạng có ch a ứ
2
k
x
( 0)
kk
a
.
(Nếu không có s hố ạng nào như vậy trong bi u thể ức t cọa độ ủa dạng toàn phương thì có
th cể tìm đượ
0
ij
a
, i bi n: ta đổ ế
' ' '
; ; , ( , )
2 2
i j i j
i j k k
x x x x
x x x x k i k j
.
Khi đó xuất hiện s hố ạng ch aứ
'2
i
x
)
Bước 2: Tách bi u th c t c a dể ứ ọa độ ủ ạng toàn phương thành 2 nhóm: một nhóm có chứa
k
x
, nhóm còn l i không chạ ứa
k
x
Bước 3: Trong nhóm th nh t ta l p thành t ng bình phứ ấ ậ ổ ương
Bước 4: Quay l c 1,2,3 cho nhóm th hai và c th ti p tại bướ ứ ứ ế ế ục cho đến khi tìm được
dạng chính t c. ắ
Ví dụ. Đưa dạng toàn phương
2 2 2
1 1 3 2 2 3 3
( ) 2 2 2 2 3
Q x x x x x x x x
v d ng chính t c ề ạ ắ
bằng phương pháp Lagrange.
Ta có:
2 2 2
1 1 3 2 2 3 3
2 2 2
1 1 3 2 2 3 3
2 2 2 2
1 1 3 3 2 2 3 3
2
2 2 2
1 3 2 2 3 3 3
2
1 3
( ) 2 2 2 2 3
(2 2 ) (2 2 3 )
1 1 5
2 2 2 2
2 4 2
1 1 1
2 2 2 2
2 2 4
1
2
2
Q x x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x
2
2
2 3 3
2 2 2
1 2 3
1
2 2
2
2 2 2
x x x
y y y
Trong đó
1 1 3 2 2 3 3 3
1 1
; ;
2 2
y x x y x x y x
Nhận xét: M t dộ ạng toàn phương có thể có nhiều dạng chính t c khác nhau. ắ
5.4.3 Lu . ật quán tính
Như trên ta đã thấy, m t dộ ạng toàn phương có thể có nhiều dạng chính t c khác ắ
nhau. Tuy nhiên các d ng chính tạ ắc này đều có đặc điểm chung là s các h số ệ ố dương và
âm là b t bi n. ấ ế
Số các hệ số dương (âm) trong dạng chính t c c a m t dắ ủ ộ ạng toàn phương gọi là chỉ số
quán tính dương (âm).
5.4.4 nh lý. Đị
Chỉ số quán tính dương (âm) trong dạ ạng toàn phương ng chính tắc của một d
không ph thuụ ộc vào phương pháp đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc
5.4.5 Định lý (Dạng toàn phương xác định dấu)
Cho d
ạng toàn phương Q(x) trên R . Q(x) xác định dương (âm) khi và chỉ
n
khi ch ỉ
số quán tính dương (âm) bằng n.
Ví dụ.
1) Trong R , d
3
ạng toàn phương:
2 2 2
1 2 3
( ) 2 4
Q x x x x
có chỉ số quán tính dương bằng 3
nên nó xác định dương.
2) Trong R
4
, dạng toàn phương:
2 2 2 2
1 2 3 4
( ) 5 2 3
Q x x x x x
có ch s quán tính âm bỉ ố ằng
4 nên nó xác định âm
Nhận xét: M t dộ ạng toàn phương xác định dương (âm) khi và chỉ khi ma tr n c a nó ch ậ ủ ỉ
có các trị riêng dương (âm). Mộ ạng toàn phương là nửa xác định dương (âm) khi và chỉt d
khi ma tr n c a nó có trậ ủ ị riêng b ng không và các tr riêng còn lằ ị ại đều dương (âm).
5.4.6 nh lý (Sylvester) Đị
Giả sử d ng toạ àn phương Q có ma trận A. Khi đó:
i) Q xác định dương khi và chỉ khi các định thức con chính c
k
ủa A đều dương
ii) Q xác định âm khi và ch nh th c con chính c u v i <0 ỉ khi các đị ứ ủa A đan dấ ớ
1
Ví d
ụ. Xét dạng toàn phương:
2 2 2
1 1 2 2 2 3 3 1 3
( ) 2 2 2 2 2
Q x x x x x x x x x x
Ma tr n c a dậ ủ ạng toàn phương
1 1 1
1 2 1
1 1 2
A
Các định th c con chính: ứ
1 2 3
1 1
1 0 ; 1 0 ; 1 0
1 2
A
.
Vậy Q(x) là dạng toàn phương xác định âm.
BÀI T ẬP CHƯƠNG 5
5.1 Tìm ma trận của các dạng toàn phương (trong cơ sở chính t c): ắ
a)
2 2 2
1 1 2 3 1 2 1 3 2 3
( ) 2 3 4 2
Q x x x x x x x x x x
b)
2 2 2
2 1 2 3 1 2 1 3
( ) 3 2 5 4
Q x x x x x x x x
5.2 Vi t ma tr n và bi u thế ậ ể ức t c a các dọa độ ủ ạng toàn phương ở câu trên trong cơ sở
1 2 3
{ (0,0,1); (1, 1,0); (1,1,1)}
F f f f
5.3 Cho các dạng toàn phương:
a)
2 2
1 1 2 1 2
( ) 2 4
Q x x x x x
b)
2 2 2
2 1 2 3 1 2
( ) 2 4
Q x x x x x x
c)
2 2 2
3 1 2 3 1 2 1 3 2 3
( ) 2 2 2 2 2
Q x x x x x x x x x x
d)
2 2 2
4 1 2 3 1 2 1 3 2 3
( ) 2 2 2 2
Q x x x x x x x x x x
Hãy tìm m t d ng chính t c c a các dộ ạ ắ ủ ạng toàn phương trên bằng phương pháp biến
đổi tr c giao. ự
5.4 Cũng vớ ỏi như trên nhưng sửi câu h dụng phương pháp Lagrange.
5.5 Tìm m t d ng chính t c c a các d ng toàn phộ ạ ắ ủ ạ ương sau bằng phương pháp Lagrange:
a)
2 2
1 1 2 1 2 2 3
( ) 2 2 2
Q x x x x x x x
b)
2 2 2
2 1 2 3 1 2 2 3
( ) 2 2 2
Q x x x x x x x x
c)
2 2 2
3 1 2 3 1 3 2 3
( ) 2 2 3 2 2
Q x x x x x x x x
d)
2 2 2
3 1 2 3 1 2 1 3 2 3
( ) 2 4 4 2
Q x x x x x x x x x x
5.6 S d ng tiêu chu n Sylvester, cho biử ụ ẩ ết dạng toàn phương nào sau đây là xác định
dương, xác định âm:
a)
2 2 2
1 1 2 3 1 3 2 3
( ) 2 2 2
Q x x x x x x x x
b)
2 2 2
2 1 2 3 1 3 2 3
( ) 2 3 2 2
Q x x x x x x x x
c)
2 2 2
3 1 2 3 1 2 1 3 2 3
( ) 3 4 4 2
Q x x x x x x x x x x
5.7 Tìm a để dạng toàn phương sau xác định dương:
2
2 2 2
1 2 3 1 2 1 3 2 3
15
( ) 2 2 4
2
a
Q x x x x x x x x x x
5.8
Với giá tr nào c a b thì dị ủ ạng toàn phương:
2 2 2
1 2 3 1 2 1 3
( ) 2 2 2
Q x x x x x x bx x
là xác
định dương, nửa xác định dương?
MỤC LỤC
1CHƯƠNG 1. MA TR N - Ậ ĐỊNH THỨC ............................. 1
1.1 Ma trận....................................................................................... 1
1.1.1 Định nghĩa. ...................................................................................1
1.1.2 Các d c bi t c a ma trạng đặ ệ ủ ận. ......................................................1
1.1.3 Các phép toán v ma trề ận ..............................................................3
1.1.4 Các tính ch t c a các phép toán trên ma trấ ủ ận.................................6
1.1.5 Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng ...............................................6
1.1.6 Ma tr n bậ ậc thang..........................................................................7
1.1.7 Hạng c a ma trủ ận ..........................................................................8
1.2 Định thức....................................................................................9
1.2.1 Định th c cứ ấp 2.............................................................................9
1.2.2 Định th c cứ ấp 3.............................................................................9
1.2.3 Định th c cứ ấp n.............................................................................9
1.2.4 Các tính ch t c nh thấ ủa đị ức .........................................................10
1.3 Ma tr n nghậ ịch đảo.................................................................. 11
1.3.1 Định nghĩa ..................................................................................11
1.3.2 Định lí.........................................................................................11
1.3.3 Tính chất.....................................................................................11
1.3.4 Phương pháp tìm ma trận ngh o b ng phép biịch đả ằ ến đổi sơ cấp.12
1.3.5 Phương pháp tìm ma trận ngh o nhịch đả ờ định thức....................13
2CHƯƠNG 2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH ........ 15
2.1 Hệ phương trình tuyến tính..................................................... 15
2.1.1 Hệ phương trình tuyến tính tổng quát..........................................15
2.1.2 Nghi ệm của hệ phương trình .......................................................16
2.2 Phương pháp giả ệ phương tri h ình tuyến tính....................... 17
2.2.1 Phương pháp Cramer để gi i h ình tuyả ệ phương tr ến tính.............17
2.2.2 Định lý Kronecker – Capelli........................................................18
2.2.3 Định lý........................................................................................18
2.2.4 Phương pháp Gauss để gi i hả ệ phương trình tuyến tính ...............18
3CHƯƠNG 3. KHÔNG GIAN VECTƠ............................... 21
3.1 Không gian Véc-tơ ................................................................... 21
3.1.1 Định nghĩa ..................................................................................21
3.1.2 Các Ví dụ v không gian Véc-ề tơ..................................................21
3.1.3 Tính chất.....................................................................................21
3.2 Độc l p tuyậ ến tính và ph thu c tuyụ ộ ến tính ........................... 22
3.2.1 Tổ hợp tuyến tính........................................................................22
3.2.2 Ph ụ thu c tuyộ ến tính....................................................................22
3.2.3 Độc lập tuyến tính.......................................................................23
3.2.4 Các tính chất. ..............................................................................23
3.2.5 Định lý........................................................................................23
3.3 Không gian Vectơ con.............................................................. 24
3.3.1 Định nghĩa. .................................................................................24
3.3.2 Định lý........................................................................................24
3.3.3 Tập sinh – không gian vectơ sinh bởi một t p hậ ợp.......................24
3.3.4 Định lý........................................................................................24
3.4 Cơ sở ọa độ- số chiều- t ............................................................. 25
3.4.1 Cơ sở, số chi u cề ủa không gian véctơ..........................................25
3.4.2 Định lý........................................................................................25
3.4.3 Định lý........................................................................................25
3.4.4 Tọa độ ủa véc tơ trong cơ sở c ......................................................26
3.4.5 Ma tr n chuyậ ển cơ sở ..................................................................26
3.4.6 Định lý........................................................................................27
3.4.7 Định lý (công th i tức đổ ọa độ).....................................................27
4Chương 4. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH .................................. 30
4.1 Ánh xạ tuyến tính..................................................................... 30
4.1.1 Định nghĩa ..................................................................................30
4.1.2 Các tính ch n c a ánh x tuyất cơ bả ủ ạ ến tính..................................30
4.1.3 Định lý cơ bản v s nh c a ánh x tuyề ự xác đị ủ ạ ến tính ...................31
4.2 Nhân và ảnh của ánh x tuyạ ến tính......................................... 32
4.2.1 Các định nghĩa ............................................................................32
4.2.2 Tìm cơ sở cho Imf và Kerf ..........................................................32
4.2.3 Định lý (về m i liên h gi a s chiố ệ ữ ố ều c a h t nhân và ủ ạ ảnh) .........34
4.3 Ma tr n c a ánh x tuyậ ủ ạ ến tính................................................ 34
4.3.1 Định nghĩa : ................................................................................34
5Chương 5. dẠng TOÀN PHƯƠNG .................................... 37
5.1 Tr ị riêng-vectơ riêng................................................................ 37
5.1.1 Đa thức đặc trưng........................................................................37
5.1.2 Định lý Cayley – Hamilton: ........................................................37
5.1.3 Giá trị riêng, vectơ riêng .............................................................37
5.1.4 Phương pháp t ị riêng, vectơ riêng.ìm giá tr ..................................38
5.1.5 Định lý........................................................................................38
5.2 Chéo hóa ma trận..................................................................... 39
5.2.1 Định nghĩa ..................................................................................39
5.2.2 Định lí (Điề ện chéo hoá đượu ki c)...............................................39
5.3 D ạng toàn phương ................................................................... 40
5.3.1 Dạng toàn phương.......................................................................40
5.3.2 Phân lo i dạ ạng toàn phương ........................................................40
5.3.3 Dạng chính t c cắ ủa dạng toàn phương.........................................41
5.4 Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc .............................. 41
5.4.1 Định lí (Phương pháp biến đổi trực giao) ....................................42
5.4.2 Phương pháp Lagrange................................................................42
5.4.3 Lu ật quán tính. ............................................................................43
5.4.4 Định lý........................................................................................43
5.4.5 Định lý (Dạng toàn phương xác định dấu)...................................44
5.4.6 Định lý (Sylvester) ......................................................................44
| 1/49

Tài liệu khác của Đại học Sư Phạm Hà Nội

Preview text:

1 CHƯƠNG 1. MA TRẬN - ĐỊNH THỨC 1.1 Ma trận
1.1.1 Định nghĩa.
Ma trận A cấp mn trên R là một bảng số hình chữ nhật gồm m hàng và n cột được
biểu diễn như sau: a a ... a 11 12 1  n   a a ... a 21 22 2 n A    =a , i
  1, m, j  1, n ij       mn   a a ... a  1 m m2 mn  Trong đó:
a R : là phần tử thuộc dòng i và cột j của ma trận A. ij
m : số dòng của ma trận A.
n : số cột của ma trận A.
a a ... a : dòng thứ i của ma trận A. i1 i 2 in   a  1 j   a2j
 : cột thứ j của ma trận A.  ...     a mj   Ký hiệu M
(R là tập hợp các ma trận cấp  )
mn trên R . m n  1 0 2
Ví dụ. Xét ma trận B 
. Ma trận B là ma trận cấp 2 3 . 1  2 0  
1.1.2 Các dạng đặc biệt của ma trận. 1) Ma trận dòng
Ma trận dòng là ma trận có một dòng và n cột, ký hiệu là A = a a ... 1 2 a n
Ví dụ. A  2 8 3 2) Ma trận cột  a  1   a
Ma trận cột là ma trận có m dòng và một cột, ký hiệu là : 2 A         am   1   2 
Ví dụ. A     4   0   3) Ma trận không:
Ma trận không là ma trận có tất cả các phần tử đều bằng 0, ký hiệu 0  0 m n   0 0    0 0 Ví dụ. 0  0  0 0 ; 0  3 2        0 0 0 0    4) Ma trận vuông cấp n:
Ma trận vuông cấp n là ma trận có số dòng và số cột bằng n, ký hiệu là  a a ...  11 12 1 a n   a a ... 21 22 2 a n A     a ij     n     a a ... a  1n n2 nn
Tập hợp các ma trận vuông cấp n được ký hiệu : A M (R) . n
Đường thẳng đi qua các phần tử a , a , a ,..., a được gọi là đường chéo chính của 11 22 33 nn
ma trận A. Đường thẳng đi qua các phần tử a ,a ,a ,..., được gọi là đường 1 a n 2( n 1  ) 3( n2) 1 n
chéo phụ của ma trận A. Ví dụ.  1 1 4  Ma trận   A  1 2 0 
 là một ma trận vuông. Đường thẳng đi qua các phần tử 1,2,-3 là  4 0 3      đường chéo chính. 5) Ma trận tam giác
Ma trận tam giác trên là ma trận vuông có các phần tử nằm phía dưới đường chéo chính đều bằng 0.  1 2 3  Ví dụ.   A  0 2 4    0 0 1   
Ma trận tam giác dưới là ma trận vuông có các phần tử nằm phía trên đường chéo chính đều bằng 0.  1 0 0  Ví dụ.   A  0 2 0     5 4 1     6) Ma trận chéo
Ma trận chéo là ma trận vuông có các phần tử không nằm trên đường chéo chính bằng 0  1 0 0  Ví dụ.   A  0 2 0    0 0 3   
7) Ma trận đơn vị cấp n
Ma trận đơn vị cấp n là ma trận chéo có các phần tử nằm trên đường chéo chính bằng 1.
Ký hiệu là I I . n 1 0 0 0   1 0 0  1 0 0 1 0 0 Ví dụ.   I  ; I    0 1 0 ;    . 2 3 I 0 1   4    0 0 1 0  0 0 1     0 0 0 1   8) Ma trận chuyển vị
Chuyển vị của ma trận A là ma trận có được từ A bằng cách viết các hàng của ma trận A
theo thứ tự thành cột, ký hiệu là At .  1 1 4  1 1 5 Ví dụ. Cho     A  1 2 1 t   . Khi đó A  1 2 2    5 2 3        4 1  3   9) Ma trận đối xứng
Ma trận vuông A  a gọi là ma trận đối xứng nếu a a , i
 , j  1,n , tức là t  ij ij ji A A n  1 1 4  Ví dụ. Ma trận   A  1 2 0 
 là một ma trận đối xứng.  4 0 3     
1.1.3 Các phép toán về ma trận 1) Hai ma trận bằng nhau.
Hai ma trận cùng cấp A M (R) và B M
(R) gọi là bằng nhau nếu các phần tử tương nm nm
ứng của chúng bằng nhau, tức là: A B a b ( i  , j ). ij ij  1 2   1 2
Ví dụ. Cho A  , B      . Tìm ,
a b sao cho A B a a   b  2 1
Theo định nghĩa trên giải được a  2,b  1  .
2) Phép nhân một số với ma trận.
Cho c  0 và ma trận A  aM
(R) . Khi đó : cA  (ca ) ij  mnm nij m n  1 2 3
Ví dụ. Cho A  . Khi đó 2 1 0   
 1 2 3  2 4 6 2  A  2    . 2 1 0   4 2 0         1  2 3    3 6 9   A   và 3A     2 1 0      6 3 0
3) Phép cộng hai ma trận. Cho A  a và B  b
. Tổng của A và B là ma trận C c được xác định như ij  ij ij mn m nmn sau:
c a b , i  1, , m j  1, n ij ij ij   1 2 3  1 1 1  1  3 1 
Ví dụ. Với A  và B  , C  . Khi đó 2 3 1       0 1 0   0 4 0    0 3 4  2  3 2 A B
; A B 2C   2 4 1  2 4 1     
Nhận xét. Phép cộng hai ma trận chỉ thực hiện được khi hai ma trận đó cùng cấp.
4) Phép nhân một dòng với một cột
Cho A M (R) và B M (R ) 1 nn 1    1 b   b A  a a ... ; 2    1 2 a B n       bn
Khi đó AB gọi là tích (vô hướng) của một dòng với một cột:
AB a b a b  ..  1 1 2 2 a b n n  3   2 
Ví dụ. A   1  2 0 7 và B   
thì : AB  (–1).3 + 2.(–2) + 0.6 + 7.2  7.  6     2  5) Phép nhân hai ma trận Cho A M
(R ) và B M ( ) R . Gọi A (1) ( 2) ( )
1, A2, ..., Am là m dòng của A; , , ..., n B B B là mk k n n cột của B. Ta viết:   1 A   2 A A    và   (1) ( 2) ( ) ... n B B B B        Am    1 b j   b Với ( j) 2 A  a a ... a và j B    . i i 1 i 2 ik        b kj  
Khi đó C = AB gọi là ma trận tích của A với B và phần tử c của C được xác định như ij sau ( )j c A B
a b a b ...  a b ij i i1 1 j i 2 2 j ik kj Nhận xét
Phép nhân hai ma trận AB chỉ thực hiện được khi số cột của ma trận A là số dòng của ma trận B. Với A M
(R ) và B M
(R) thì C M ( ) R mk kn m n
Nói chung AB BA . Trường hợp AB BA thì ta nói A và B là hai ma trận giao hoán. 1 0  1 2 1  2  3 2 
Ví dụ. Cho A  và B  . Khi đó AB   BA  . 1 1         0 1   1  3  1 1   1 2  1 2 3 4  Ví dụ. Cho   A  3 0   , B   .   2 1 0 3 2 4   
Ta có: A  1 2 , A  3 0 , A  2 4 và 1   2   3    1   2  3  4 (1) (2) ( 3) (4 ) B  , B  , B  , B  
. Khi đó ma trận AB xác định bởi : 2  1  0  3           1  (1) c A B  1 2
 1.1 2(2)  3 , tương tự 11 1   2   
c  4, c  3, c 10, c  3  , c  6  , c  9  , c  1  2 12 13 14 21 22 23 24 . c  6
 , c 8, c 6, c  20 31 32 33 34  3 4 3 10  Vậy   AB  3  6  9  1  2    6 8 6 20      1  5 2   1 2 3 8 1 14  Ví dụ.   A  , B  0 1 0  . Khi đó AB  ; BA   không thực  3 1 0       3 1   4 6  3 2 4     hiện được.
1.1.4 Các tính chất của các phép toán trên ma trận
Phép cộng hai ma trận có các tính chất sau: Cho A,B M  (R ) và ,
  R \ {0} . Ta có : m n
1) A B B A
2)(A B) C A  (B C  ) 3)O
A A OA m nm n
4) A  (A)  O mn
5) ()A  ( A  )
6) (A B)  A  B
7)(  )A A   A  8)1A  ,
A 0.A  0
Phép nhân hai ma trận có các tính chất sau:
1) A(B C )  AB AC ,
2) A(BC )  (AB)C , 3) ( )t t t AB B A , 4) ( c A ) B (c ) A B  ( A c ) B
1.1.5 Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng
Các phép biến đổi biến ma trận A thành ma trận A’ sau được gọi là các phép biến đổi sơ cấp trên dòng.
Loại 1 : Đổi chỗ hai dòng cho nhau, ký hiệu : d di j
A  A'
Loại 2 : Biến dòng i thành c lần dòng i (c  0), ký hiệu : d i cd i
A  A '
Loại 3 : Biến dòng i thành dòng i cộng c lần dòng j (c  0,i j) , ký hiệu : d dcd i i j
A  A ' 1 2 3 
Ví dụ. Cho ma trận   A  4 5 6   . Ta có 7 8 9     1 2 3  1 2 3      d 2 2  d 2 A  4 5 6   A '  8 10 12      7 8 9  7 8 9       1 2 3  1 2 3    d   2 d 2 2  d1
A  4 5 6   A '  6 9 12      7 8 9  7 8 9       1 2 3  4 5 6   d d   2 1
A  4 5 6  A '  1 2 3      7 8 9  7 8 9    
1.1.6 Ma trận bậc thang
1) Ma trận khác không AM ( ) R , ( ,
m n  2) được gọi là ma trận bậc thang dòng, nếu có m n
một số nguyên r (0  r  minm,n), và một dãy các chỉ số cột 1  j , j ,..., j n, sao 1 2 r cho : 1   i r )
i a  0 nếu r i m hoặc ij 1 j ji i ) i a a ...a 0 1 j1 2 j 2 rj r
Các phần tử a , a ,...a gọi là các phần tử được đánh dấu của A. Nếu ngoài i) và ii) 1j1 2j2 rj r còn có thêm: iii) aa  ...  a  1 1 j1 2 j2 r r j iv) a
 0,1 k i r kj i
thì A được gọi là ma trận bậc thang dòng rút gọn.
Ví dụ. Các ma trận sau đây là ma trận bậc thang:  1 2 3 4  1 2 3  0 1 4 5   A 0 5 6 ;B        0 0 1 0  0 0 0      0 0 0 1 
2) Ma trận khác không BM
(R),(m, n  2) được gọi là ma trận bậc thang cột (bậc mn
thang cột rút gọn) nếu chuyển vị t
B của B là một ma trận bậc thang dòng (bậc thang dòng rút gọn).
1.1.7 Hạng của ma trận Cho AM
(R ) và B là ma trận bậc thang nhận được từ A bằng một số hữu hạn m n
các phép biến đổi sơ cấp. Khi đó số dòng (số cột) khác không của B được gọi là hạng của
A, kí hiệu là rank(A) hoặc r(A).  1 2 3
Ví dụ .Tìm hạng của ma trận   A  4 5 6   .  3 3 9   
Dùng phép biến đổi sơ cấp dòng đưa ma trận A về dạng bậc thang:  1 2 3  1 2 3  1 2 3   
d d d
d d d   2 2 4 1 3 3 3 2 ' A  4 5 6  0 3  6   0 3  6   A       3 d  3 d 3  1 d  3 3 9  0 9 18   0 0 0        
Ma trận bậc thang A’ có hai dòng khác 0 nên rank( ) A  2 Nhận xét.
Ma trận bậc thang có các đặc điểm sau:
1) Phần tử khác 0 đầu tiên của dòng trên nằm về bên trái so với phần tử khác 0 đầu tiên của dòng dưới.
2) Dòng bằng 0 (nếu có) nằm phía dưới so với dòng khác 0.
Ta có thể dùng phép biến đổi sơ cấp dòng để đưa một ma trận bất kỳ về dạng bậc thang.
Ví dụ. Hãy đưa ma trận A về dạng bậc thang dòng và bậc thang dòng rút gọn  1 2 3 4    A  2 4 1 10    3 6 1 15   
Dùng phép biến đổi dòng đưa ma trận A về dạng bậc thang dòng như sau:   1 2 3 4   1 2 3 4  8     3 d  3 d  2   2 d d d d 2 2 1 7 A  0 0 7 2   0 0 7 2  B d     3 d  3 3d 1 0 0 8 3   5    0  0 0   7  1 2 3  4  1  2 3  0  1  2 0 0  1   2 d d 2
d d d 2 2 2 2 3   d d  3   7     7 d 1 1 2 B 0 0 1 
 0 0 1 0  0 0 1 0  7 C d d  4     1 1 d 3 3 d  3 d  7  5 0 0 0 1  0 0 0 1  0 0 0 1       
B là ma trận bậc thang của A, C là ma trận bậc thang rút gọn của A.
1.2 Định thức
1.2.1 Định thức cấp 2.
Cho A  a M (R), định thức cấp 2 của ma trận A được xác định và ký hiệu như ij 2 2 sau 1 a 1 1 a 2 det A A  a a a a 11 22 21 12 a21 a22  1 2 1 2
Ví dụ. Cho A  ta có : det A  1 1  2 ( 3  )  7 .  3 1   3  1
1.2.2 Định thức cấp 3.
Cho A a M (R). định thức cấp 3 của ma trận A được xác định và ký hiệu ij  3 3 như sau : a a a 11 12 13 det A a a a
a a a a a a a a a a a a a a a a a a 21 22 23 11 22 33 12 23 31 21 32 13 13 22 31 12 21 33 23 32 11 a a a 31 32 33
1.2.3 Định thức cấp n
Cho AM (R ), ta ký hiệu A(i,j) là ma trận có được từ A bằng cách bỏ dòng i và n cột j .  1 3 4  1 4 Ví dụ. Cho   A  4 5 6   thì A(2,2)     3 3 3 2 3   
Phần phụ đại số của phần tử aij là một số được xác định và kí hiệu như sau: A ( 1)i j  
det A(i, j) ij Cho A  a M
(R ) . Định thức cấp n của ma trận A được định nghĩa là: ij  n n a a ... a 11 12 1n a a ... n a 21 22 2 det n A
 a A (khai triển theo dòng p) hoặc pj pj    j1 a a ... 1 a n 2 n nn n det A  a
A (khai triển theo cột q). iq iq i 1   1 1 2 2  1 2 1 2
Ví dụ. Cho A    . Tính detA .  2 1 2 1   2 2 2 1  
Ta khai triển theo dòng 1 ta có : 2 1 2 1 1 2 1 1 A  ( 1  ) 1 2 1  3  ; 1 2 A ( 1)    2 2 1  0; 11 12 2 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 3 A  ( 1  ) 2 1 1 3 ; 1 4 A  ( 1) 2 1 2  0 13 14 2 2 1 2 2 2 4 Do đó detA
a A  1.( 3) 1.0 2.3 2.0   3 1 j 1 j j 1 
1.2.4 Các tính chất của định thức
Dựa vào định nghĩa của định thức ta suy ra được các tính chất sau:
1) Nếu đổi dòng thành cột, cột thành dòng thì định thức không thay đổi , tức là det  det t A A
2) Nếu đổi chỗ hai dòng cho nhau thì định thức đổi dấu, tức là: d d i j
A  A'  det( )
A   det(A ')
3) Từ một dòng (một cột) ta cộng vào một dòng khác (cột khác) sau khi nhân một số c  0
thì định thức không đổi d d  cd i i j
A  A ' khi đó det(A ')  det(A ) .
4) Ta có thể đưa thừa số chung c  0ra ngoài định thức, tức là: d cd i i
A A ' khi đó det(A ')  c det(A) .
5) Cho A M (R ) , nếu mỗi phần tử trên dòng (cột) của A là tổng của hai phần tử thì định n
thức của A tách ra được thành tổng của hai định thức. a a' b b' a b a' ' b a a' b a b a ' b Ví dụ.   hoặc   c d c d c d
c c ' d c d c ' d 6) Cho A ,B M
(R ) khi đó det AB  det A detB . n Nhận xét.
1) Dựa vào các tính chất trên, ta có thể dùng các phép biến đổi sơ cấp dòng để tính định thức cấp n.  1 2 5 Ví dụ. Cho   A  1 1 2   . Khi đó :  1 2 1    1 2 5 1 2 5 2
h  2h  1h 1  3 
h h h 3 3 1 det( ) A  1 1 2   0 1 3  1  6 4 6 1  2 1 0 4 6 2) Cho A a
. Hạng của ma trận là cấp cao nhất của định thức con khác 0. ij m n  3) Cho A a
là ma trận vuông cấp n. Khi đó ran ( k )
A n  det A  0 ij n  1 2 3  Ví dụ. Cho ma trận   A  4 5 6 
. Tìm hạng của ma trận A theo m.  3 3 m   
Ta có det Am9. Nếu m  9 thì rank(A)  2; nếu m  9 thì rank( ) A  3 .
1.3 Ma trận nghịch đảo
1.3.1 Định nghĩa Cho ma trậnA M
(R ) . Ta nói ma trận A khả nghịch nếu B
  M (R ) thoả mãn: n n
BA AB I n
Ta nói B (tồn tại duy nhất) là ma trận nghịch đảo của A. Ký hiệu 1 B A
1.3.2 Định lí
Cho A M (R) . Khi đó A khả nghịch nếu và chỉ nếu det A 0 n
1.3.3 Tính chất
Nếu A ,B M (R ) là hai ma trận khả nghịch thì : n 1) 1  1 (A )   A 2) 1  1  1 (AB ) B A   3) t  1  1 ( )  ( ) t A A  1 4) 1 1 (cA) A   c
5) Nếu A khả nghịch thì 1 det  A  detA  1
1.3.4 Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo bằng phép biến đổi sơ cấp
Người ta chứng minh được kết quả sau: Cho A M (R ) là ma trận khả nghịch. n
Khi đó những phép biến đổi sơ cấp trên dòng nào biến A thành In thì chúng cũng biến In (theo thứ tự đó) thành 1 A  .
Từ đó ta có phương pháp tìm ma trận nghịch đảo như sau: Để tìm ma trận 1 A  với  a a ... a  11 12 1n   a a ... 21 22 a2n A           a a  ... a n 1 n 2 nn  Ta lập ma trận a a ... a 1 0 ... 0  11 12 1n    a a ... a 0 1 ... 0 A I  21 22 2 n   n            a a ... a 0 0 ... 1   1n n2 nn
Dùng phép biến đổi sơ cấp dòng đối với A I để biến A thành I n  n khi đó In biến thành 1 A  .  1 3 2 Ví dụ. Tìm 1  
A  với A  1 4 2   .  1 3 3   Ta có : 1 3 2 1 0 0  1 3 2 1 0 0     
d 2 d 2 d1   A I  1 4 2 0 1 0 d 2 d  2d1 0 1 0 1  1 0 3       1 3 3 0 0 1     0 0 1 1  0 1    1 0 0 6 3 2 d d   d 1 1 2 3   d d  3  d 1 1 1 2  0 1 0 1 1 0     . 3 I A   0 0 1 1 0 1      6 3  2  Vậy 1   A  1 1 0    1 0 1    
1.3.5 Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo nhờ định thức
Ta gọi ma trận phụ hợp P của ma trận A là ma trận được xác định như sau: A
P  A ; i  , j 1,n A ij ji Để tìm 1
A ta thực hiện hai bước
Bước 1. Tính D  det A
Nếu det A  0 thì A không khả nghịch
Nếu det A  0 thì A khả nghịch, chuyển sang bước 2.  1
Bước 2. Lập ma trận phụ hợp P . Khi đó: 1 A P . A A D 1 3 2
Ví dụ. Dùng phương pháp định thức tìm 1  
A  của A  1 4 2   1 3 3  
Ta có: D  detA  1 4 2 1 2 1 4 1 1  1 2  1 3 A  ( 1  )  6; A  ( 1  )  1  ; A  ( 1  )   1  ; 11 12 13 3 3 1 3 1 3 3 2  1 2  1 3 2 1 2 2 2 3 A  ( 1  )   3  ; A  ( 1  ) 1; A  ( 1  )  0; 21 22 23 3 3 1 3 1 3 3 2 1 2 1 3 3 1 3 2 3 3 A  ( 1  )  2  ;A  ( 1  )  0;A  ( 1  ) 1 31 32 33 4 2 1 2 1 4  6 3 2  1 Khi đó: 1   A P  1 1 0 . A   D  1 0 1    
Trong chương này chúng ta đã làm quen một đối tượng mới là ma trận, và các vấn đề
xoay quanh ma trận. Trong Toán học có những vấn đề dẫn đến việc giải hệ phương trình,
và để giải hệ phương trình đó đã nảy sinh ra khái niệm mới là ma trận. Để thấy rõ điều đó
ta sẽ nghiên cứu chương tiếp theo là Hệ phương trình tuyến tính.
BÀI TẬP CHƯƠNG I
1.1 Thực hiện các phép toán trên ma trận  4     2 2 1     a   1 1 3 2 ) 1 2 3 4    b) 4 2 3  0    5 1 0        2 0 1   5      1  0         c    2 4 2 1 2 ) 3 1 3 2 d) 4 1 2          3 1  3 4 1     4 3      2 2  1  2 1  1 1 2 e) Cho     A  ,   B  4 2 3 ,C  7 2 . 5 1 3        2 0 1   1 6       Tính T
3A+2B ,AB,AB-BA, BC, ABC, BA-3C+I 3 3  1 2 f) Cho 2 2
f (x)  2x 3x 1
 , g(x)  x  2x  , A 
 . Tính f (A),g (A). x  2 5 1 a  2 1  a 1  g) Cho A  , B  , C  .  Tính n 10 2011 A , B , C 0 1  1 3 0       a   1 0 3  2 2 1 1.2 Cho     A  2 1 1 ,B  4 2 3     
 . Tìm ma trận nghịch đảo 1 1
A ,B (nếu có)  3 2 2  2 0 1      
bằng 2 phương pháp đã học.
1.3 Tính các định thức sau: 2 3 1 1 0 3 2 2 1 2 3 a) b) 0 2 2 c) 2 1 1 , d )B  4 2 3 1 2 1 3 m 3 2 2 2 0 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 0 a b c 1 0 1 1 1 2 3 4 1 a 0 c b e) f ) g) 1 1 0 1 1 3 4 1 2 b b 0 a 1 1 1 0 1 4 1 2 3 c c a 0 1 1 1 1 0
1.4 Giải các phương trình sau: 1  3 2 1  0 3 a) 3  7   5   0 b) 2 1   1  0 2 5  8   3 2 2   1  0 1 1 1   1 0 0 1   0 0 ) c 0 1   1  0 d)  0 1 0 2  1 1 2 1   1 0 1 2  
1.5 Tìm hạng của các ma trận sau:  1 0 3  1 2 1       a) A  2 1 2 , b) B  4 5 3      3 2 2  2 0 1       1  1 1 1 1   1 2 1  2  1  1 1 1 1    2 3 7 1     c) C    d ) D  1  1 1 1 1   1  1  3  5     1 1 1 1  1 10 2 4 15     1   1 1 1 1  
2 CHƯƠNG 2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
2.1 Hệ phương trình tuyến tính
2.1.1 Hệ phương trình tuyến tính tổng quát.
Hệ phương trình gồm m phương trình n ẩn có dạng:
a x a x ...   11 1 12 2 a1 x b n n 1 a x
a x  ... a x b 21 1 22 2 2n n 2  (3.1) ... 
a x a x  ... a x bm1 1 m 2 2 mn n m
được gọi là hệ phương trình tuyến tính tổng quát.Trong đó a , b R , x , x ,..., x là các ẩn ij i 1 2 n số. Ta đặt  a a ...  11 12 1 a n   a a ... 21 22 2 a n A            a a ... 1 a m m2 mn
gọi là ma trận hệ số của (3.1)  b   x  1   1   b x 2 B    : cột hệ số tự do, 2    : cột ẩn số.  X          b  x m n   a a ...  11 12 1 a b n 1      A Ba a ... 21 22 2 a b n 2  ọ ậ ổ ở ộ ủ ệ 
g i là ma tr n b sung (m r ng) c a h (3.1).        a a ... a b   m1 m 2 mn m
Với cách đặt như trên hệ (3.1) được viết lại : AX B
Khi B=0 hệ (3.1) được gọi là hệ phương trình tuyến tính thuần nhất. Ngược lại ta gọi là hệ không thuần nhất .
2.1.2 Nghiệm của hệ phương trình   1 c   c
Nghiệm của hệ (3.1) là bộ số 2 C    sao cho
 . Quá trình đi tìm tập  AC B     cn
nghiệm của hệ phương trình tuyến tính gọi là giải hệ phương trình tuyến tính.
Hai hệ phương trình tuyến tính có cùng số ẩn (số phương trình có thể khác nhau) gọi là
tương đương nếu chúng có cùng tập hợp nghiệm.
Ví dụ. Giải hệ phương trình tuyến tính sau:
x  3x  2x  1 1 2 3 
x  4x  2x  2 (1) 1 2 3
x  3x  3x  3  1 2 3
Ma trận hệ số của hệ phương trình tuyến tính là: 1  3 2    A  1 4 2   1  3 3   
Ma trận nghịch đảo của A (đã có được từ ví dụ trước) là  6 3  2 1   A  1 1 0    1 0 1      6 3 2   1  6 Hệ 1 (1)     
AX B X A B  1 1 0 2  1     
 1 0 1  3  2         x  6  1 
Vậy hệ phương trình có nghiệm là:  x  1 . 2   x  2 3
Ví dụ. Giải hệ phương trình tuyến tính sau:
x x x  1 1 2 3 
 3 x  4 x  3 x  3 1 2 3
2x  2x  3x m  1 2 3 
Hệ phương trình tương đương     1 t t A X C X A C  6 1  1
  1   3  m        X   1
A t C  3 1 0 3  0       2 0 1      m 2       m
2.2 Phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính
2.2.1 Phương pháp Cramer để giải hệ phương trình tuyến tính
Hệ phương trình tuyến tính (3.1) được gọi là hệ Cramer nếu m n và det A 0
a x a x ...   11 1 12 2 1 a x b n n 1 a x   a x .
 ..  a x b 21 1 22 2 2n n 2  (3.2) ... 
a x a x ... a x bn1 1 n 2 2 nn n n
Đặt D  det(A) và D (j  1,n ) là định thức có được bằng cách thay cột j của D bởi cột tự j
do. Khi đó hệ phương trình Cramer có nghiệm duy nhất xác định theo công thức: D D D 1 2 x  , x  , ..., n x  . 1 2 n D D D
x x x  1 1 2 3 
Ví dụ. Giải hệ phương trình : 2x 6x x  0 . 1 2 3
3x 4x 2x 0  1 2 3  1 1 1  Ta có :   A  2 6  1  
, D  det(A)  11  0,  3 4 2    1 1 1 1 1 1 1 1 1
D  0  6  1   8, D  2 0 1  7 , D  2 6 0  26 . 1 2 3 0 4 2 3 0 2 3 4 0 8 7 26
Vậy hệ có nghiệm duy nhất : x   , x   ,  . 1 2 x3 11 11 11
2.2.2 Định lý Kronecker – Capelli
Hệ (3.1) có nghiệm khi và chỉ khi r( )
A r( A B) . Hơn nữa i) r( )
A r( A B)  n : hệ (3.1) có nghiệm duy nhất.
ii) r (A)  r (A B )  n : hệ (3.1) có vô số nghiệm phụ thuộc (n r) tham số. iii) r( )
A r( A B) : hệ (3.1) vô nghiệm.
2.2.3 Định lý
Cho hai hệ phương trình tuyến tính có cùng m phương trình và n ẩn số với ma trận mở rộng lần lượt là ' '
(A B);(A B ), (m  2). Khi đó nếu ' '
(A B ) nhận được từ (A B ) bởi
một số hữu hạn các phép biến đổi sơ cấp dòng thì hai hệ phương trình tuyến tính đã cho tương đương nhau.
Từ hai định lí trên ta đi đến phương pháp sau:
2.2.4 Phương pháp Gauss để giải hệ phương trình tuyến tính
Để giải hệ (3.1) ta thực hiện các bước:
Bước 1: Lập ma trận mở rộng của A:  a a ...  11 12 1 a b n 1      A Ba a ... 21 22 a 2 b n 2          a a ...   1 a b m 2 m mn m
Bước 2: Dùng các phép biến đổi sơ cấp dòng đưa ma trận ( ' '
A B) về ma trận (A B ) , trong đó '
A là ma trận bậc thang (rút gọn). Dựa vào Định lý Kronecker – Capelli để kết luận nghiệm.
x  2x x  1 1 2 3 
Ví dụ. Giải hệ phương trình : 2x  5x x   6 . 1 2 3 
x  4 x  2 x  2 1 2 3
Ma trận hoá hệ phương trình trên ta thu được :  1 2 1 1  1 2 1 1  1 0 3 7   1 0 0 4  0          2 5 1 6  0
1  1 4  0 1  1 4  0 1 0 15        
 1 4 2 2  0 2 3 3  0 0 1 11  0 0 1 11            
Hệ có nghiệm duy nhất là : x  4
 0, x 15, x 11 1 2 3
Ví dụ . Giải hệ phương trình :
x  2x  3x x  1 1 2 3 4 3
x x  5x  3x  1 . 1 2 3 4 4
x  3x  8x  4 x  0 1 2 3 4 Ta có  1 2  3 1 1  1 2 3 1 1       A B   3 1  5 3  1  0 7 4  0 4    .  4 3 8 4 0 0 0 0 0 2        
Suy ra : r(A B)  3. Mà ( r ) A  2  ( r A )
B . Vậy hệ vô nghiệm.
Ví dụ . Giải hệ phương trình :
x x x  1 1 2 3  .
2x x  3x  2  1 2 3        1 0 4 1 Ta có : A B 1 1 1 1 1 1 1 1          . 2 1 3 2 0 1 5 0     0 1 5  0   Suy ra : r( )
A r( A B)  2  n  3, vậy hệ có vô số nghiệm. Ta viết hệ thành
x  4x  1 x  1 4 1 3 1 x 3    . x   5x  0 x   5x 2 3 2 3
Vậy tập nghiệm của hệ có dạng x  1 4t 1  x  5t (t R) . 2  x  3 t
Như vậy việc giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Crammer đòi hỏi hệ
phương trình tuyến tính có số phương trình và số ẩn bằng nhau, ma trận hệ số phải là ma
trận khả nghịch trong khi đó phương pháp Gauss lại cho phép ta giải một hệ bất kỳ. Thực
chất phương pháp Gauss là phương pháp cộng mà trước đây ta đã học nhưng trong qúa
trình giải chỉ có hệ số thay đổi chứ các ẩn số vẫn giữ nguyên nên ta quan tâm đến những hệ
số và được viết thành ma trận.
BÀI TẬP CHƯƠNG II
2.1 Giải các hệ phương trình tuyến tính sau:
x x  2x  3
 2x x  2x  1 1 2 3 1 2 3  
a)  x x x  1
b) 3x  2x  6x  5  1 2 3 1 2 3  
x x  2 
 x x  7x  3 1 3 1 2 3
x 2 y 3z 2t 1 
 2x y z  2t  1  
 4x y 3z  2t  2 )
c x 3 y  2 zt  1  )
c 16x9yz3t  3   2 
x y z  5t  0 
x  4y  7t  7z   4  1 0 1   2.2 Cho ma trận   A  1 1 1   . Tìm 1
A , rồi giải các hệ phương trình sau:  1 2 2      x z 1 
x y z 1   x z 1     a) 
x y z  2 )
b y  2z m 1
c)  x y z  2   
x 2 y 2 z  5 
xy  2 z  2
2 x 2 yz  5    
2.3 Giải và biện luận các hệ phương trình tuyến tính sau:
x y  3z  1
 2x y  3z  1 
x  3y z  3   
a)  2x y mz  2
b) xyz m 1
c)  2x 6 y  2z m   
xmy  3 z  4 
x 3 y  2 z  2 2
x2 yz  2 m 1    
2.4 Trong một ngày, khẩu phần ăn của mỗi người cần có 80g Protit, 50g Lipit, 450g
Gluxit. Hàm lượng các chất trên có trong 1g thức ăn A và B như sau: Chất dinh dưỡng Thức ăn A B Protit (g) 0,1 0,2 Lipit (g) 0,2 0,3 Gluxit (g) 0,6 0,4
Hãy lập phương trình ma trận cho bài toán trên. Hãy cho biết các ẩn số trong phương trình
ma trận trên cho biết điều gì?
3 CHƯƠNG 3. KHÔNG GIAN VECTƠ
3.1 Không gian Véc-tơ
3.1.1 Định nghĩa
Tập hợp V   được gọi là một không gian vectơ trên R nếu ta định nghĩa hai phép
toán cộng (+) và nhân vô hướng (.) trên V thỏa 10 tiên đề sau: u  ,v,w V  ;,  R
1) u,v V , u vV
2) u v v u
3) (u v) w u (v  ) w
4)  0V , u  0  0 u u 5) u  V, ( u
 ) : u  ( u  )  0 1’)u V
 , R , u V
2’)  (u )  ( )u   ( u  )
3’) (   )u  u  u 4’)  u  
v u  v . 5’) 1u u
3.1.2 Các Ví dụ về không gian Véc-tơ 1) 3
R với phép cộng vectơ và phép nhân một số thực với một vectơ là không gian vectơ trên R 2) Tập hợp M
gồm tất cả các ma trận cấp  trên ớ ộ  (R ) m n
R cùng v i phép c ng các ma m n
trận và phép nhân một số với một ma trận tạo thành một không gian vectơ. 3) Tập hợp
gồm các đa thức bậc không quá 2 cùng với phép cộng hai đa thức thông 2 P x
thường và phép nhân một số với đa thức là một không gian véctơ trên R .
3.1.3 Tính chất.
Từ các tiên đề trên ta suy ra được vài tính chất sau của không gian Véc-tơ: 1)  0  0 2) 0u  0
3) (1)u   u
4) u  0   0 u  0
u   u, u  0    
u  v ,  0  u v
5) Vectơ 0 và vectơ đối (-u) của u tồn tại duy nhất. 6) u
 ,v,wV :u w v w u v
3.2 Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính
3.2.1 Tổ hợp tuyến tính
Cho V là không gian vectơ trên R và các vectơ u,u ,...,  . Ta nói u là tổ hợp 1 u V n
tuyến tính của hệ vectơ {u ,..., u } khi và chỉ khi tồn tại  ,...,  sao cho 1 R n 1 n
u   u ...  u . 1 1 n n
Ta cũng nói u biểu thị tuyến tính được qua hệ vectơ {u ,..., u } 1 n Ví dụ. Trong 3
R , xét các vectơ u  (2,3,1), u  (2,1, 3), u  (2, 0, 0 ), u  (1,1,1) . Khi 1 2 3
đó: u u u  2 nên u là tổ hợp tuyến tính của các vectơ u ,u , 1 2 3 u 1 2 u . 3 Ví dụ. Trong 2
R xét các vectơ u  ( 1  , 0), u  (0, 1
 ), u  (1,1) . Khi đó: 1 2 3
vec tơ 0  0,0 có ít nhất hai cách biểu thị tuyến tính được qua hệ vectơ {u ,u ,u } 1 2 3
0  0u  0u  0u ; 0  1u 1u 1u . 1 2 3 1 2 3
Tổ hợp tuyến tính  u .  .. 
của hệ {u ,..., u }gọi là tầm thường nếu 1 1  u n n 1 n n  .
 ..    0 . Ngược lại, nếu tồn tại   0(1 i  ) thì tổ hợp tuyến tính  gọi 1 nu n i i i i 1 là không tầm thường.
3.2.2 Phụ thuộc tuyến tính
Hệ vectơ {u ,...,u } được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại   R thỏa i  1 n i 1  ,n n 2
 0 sao cho u  ...  u  0 1 1 n n i i 1  Ví dụ. Trong 3 R xét các vectơ
u  (1,1, 2) , u  ( 2
 ,0,1) , u  (1, 1, 3  ) . Khi đó 1 2 3
u u u  0 nên hệ các vectơ {u , u , u } là phụ thuộc tuyến tính. 1 2 3 1 2 3
Tập hợp   S V được gọi là tập phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại hệ các vectơ
{u ,..., u }  sao cho hệ {u ,..., u }phụ thuộc tuyến tính. 1 S n 1 n Ví dụ. Trong 3 R tập S
u  (1,1, 2), u ( 2  ,0,1), u  (1, 1  , 3  ), u  (1,5, 3  ) phụ 1 2 3 4 
thuộc tuyến tính vì hệ vectơ u ,u ,  và { u ,u , 1 2 3 u S 1
2 u } là p hụ thuộc tuyến tính. 3
3.2.3 Độc lập tuyến tính
Hệ vectơ {u ,...,u } được gọi là độc lập tuyến tính nếu  u  ...  u  0 thì 1 n 1 1 n n  ...  0 . 1 n
Ví dụ. Hệ u  (1,1, 2), u  (1, 1,1), u  (2,1,1) là độc lập tuyến tính vì từ 1 2 3
xu yu zu  0 ta suy ra x y z  0 . 1 2 3
Tập hợp   S V được gọi là tập độc lập tuyến tính nếu với mọi hệ các vectơ
{u ,..., u }  thì {u ,..., u } là hệ các vectơ độc lập tuyến tính. 1 S n 1 n
3.2.4 Các tính chất.
1) Mọi hệ chứa vectơ 0 đều phụ thuộc tuyến tính.
2) Mọi hệ chứa một hệ con phụ thuộc tuyến tính thì phụ thuộc tuyến tính.
3) Tập hợp S  {u ,..., u } là phụ thuộc tuyến tính khi u S sao cho u là tổ hợp 1 n i i
tuyến tính của các vectơ còn lại trong S.
4) Mọi hệ con của hệ độc lập tuyến tính thì độc lập tuyến tính. 5) Tập hợp S {
u ,...,u } là độc lập tuyến tính nếu mọi u không là tổ hợp tuyến tính 1 n i
của các vectơ còn lại trong S.
6) Tập hợp   S V hoặc là tập độc lập tuyến tính hoặc phụ thuộc tuyến tính.
Ví dụ. Cho các vectơ u  ( 2  ,1, 1
 ), u  (1, 1, 1
 ) , u  (1,0,  2) . Ta có   1 2 3 u1 u2 u3
nên hệ các vectơ { u , u , ụ ộc tuyến tính. 1 2 u } ph thu 3
3.2.5 Định lý. Trong không gian n R cho hệ m vectơ
u a , a ,..., a , u a , a ,..., a ,..., u a , a ,..., a 1  11 12 1n  2  21 22 2n mm1 m 2 mn  Đặt  a a ...  11 12 1 a n   a a ... 21 22 2 a n A    ,  ... ... ... ...     a a ... a m1 m 2 mn
Khi đó u ,...,u là độc lập tuyến tính khi và chỉ khi rank (A)  m. 1 m
Trong trường hợp m n thì u ,..., 1 u
là độc lập tuyến tính khi và chỉ khi m rank( )
A n  det A  0 .
Ví dụ. Cho các vectơ u  ( 2  ,1, 1
 ,1), u  (1, 1, 1
 , 2 ) , u  (1, 0, 2,1) . Khi đó ta có 1 2 3 ma trận  2  1 1  1    A  1 1  1  2   có r( )
A  3 nên hệ các vectơ u , u , 1 2 u
là độc lập tuyến tính. 3  1 0 2 1     
Ví dụ. Xét hệ vectơ u  (2,1, 1
 ), u  (1,1,1) , u  (3, 2, 2) . Khi đó ma trận 1 2 3  2 1 1     A  1 1 1 
 có det A  0 nên họ u , u ,
là phụ thuộc tuyến tính. 1 2 3 u   3 2 2   
3.3 Không gian Vectơ con
3.3.1 Định nghĩa.
Cho V là không gian vectơ trên R và  W V . W được gọi là không gian con
của V nếu W cũng là không gian vectơ trên R với các phép toán cộng và nhân như trên V.
Ký hiệu W V .
Định lý sau cho ta điều kiện cần và đủ để tập W là không gian con của V
3.3.2 Định lý
Cho V là không gian vectơ trên R và   W V . W là không gian con của V khi và chỉ khi u  ,v W
 , R : u v W và  uW .
Ví dụ. Xét W  x , x , x  / x   3 0 
. Khi đó W là không gian con của 3 1 2 3 1 R R .
Thật vậy  x , x , x  , y , y , y  3
R sao cho x y  0 . Ta có 1 2 3 1 2 3 1 1
x y  0   x y , x y , x y W , 1 1 2 2 3 3  1 1
x  0    x , x , x   x , x ,  . 1 2 3   1 2  x3  3 1 R
3.3.3 Tập sinh – không gian vectơ sinh bởi một tập hợp.
Cho V là không gian vectơ trên R và u ,...,
 . Gọi S là tập tất cả các tổ hợp 1 u V n
tuyến tính của u ,..., ủ 1 u
. Khi đó S là một không gian con c a V, ta nói S là không gian n
con của V sinh bởi u ,..., ệ S u ,..., 1 u . Ký hi u là: u n  1 n Quy ước  {
 0} . Nếu S V thì ta nói S sinh ra V hay S là tập sinh của V.
3.3.4 Định lý
Cho U u ,...,
là một hệ hữu hạn các vectơ thuộc V và U’ là hệ vectơ nhận 1 un
được từ U sau một số hữu hạn các phép biến đổi sơ cấp. Khi đó ta có U U ' .
Ví dụ. Tìm (1,1,1);(2,3,4)(4,5,6)
Ta lập ma trận dòng từ ba vectơ trên  1 1 1   A  2 3 4    4 5 6  
Dùng phép biến đổi sơ cấp dòng đưa A về ma trận bậc thang:  1 1 1  1 1 1  1 1 1   d     2 d 2 2  d1 3 d  3 d  2
A  2 3 4  0 1 2 d  0 1 2 d   3 d  3 4  d1      4 5 6  0 1 2  0 0 0      
Vậy (1,1,1);(2,3,4)(4,5,6)  (1,1,1);(0,1, 2)
3.4 Cơ sở- số chiều- tọa độ
3.4.1 Cơ sở, số chiều của không gian véctơ
Cho V là không gian vectơ V . Tập   B V được gọi là cơ sở của V nếu B độc
lập tuyến tính và sinh ra V .
Khi đó số vectơ của B được gọi là số chiều của V . Ký hiệu là dimV.
Ví dụ. Trong không gian vectơ 3
R , hệ vectơ B  (1,0,0);(0,1,0);(0,0,1  ) độc lập tuyến
tính đồng thời B sinh ra V nên B   (1,0,0);(0,1,0);(0,0,1 ) là cơ sở của 3
R và được gọi là cơ sở chính tắc của 3 R .
3.4.2 Định lý
Cho V là không gian vectơ trên R và B  u ,...,u là cơ sở của V, B' V . Khi 1 n  đó:
i) Nếu B’ có nhiều hơn n vectơ thì B’ phụ thuộc tuyến tính nên B’ không là cơ sở của V.
ii) Nếu B’ có ít hơn n vectơ thì B’ không sinh ra V nên B’ không là cơ sở của V.
iii) Nếu B’ có đúng n vectơ thì B’ là cơ sở của V  B’ sinh ra V  B’ độc lập tuyến tính.
3.4.3 Định lý
Trong không gian vectơ hữu hạn chiều mọi họ vectơ độc lập tuyến tính đều có thể bổ sung thành cơ sở
Ví dụ. Cho S  (1,1,1);(2,3, 4) (4,5, 6) . Tìm dim S.
Ta có S  (1,1,1);(2,3, 4) (4,5, 6)  (1,1,1);(0,1, 2) và (1,1,1);(0,1, 2  ) độc lập tuyến tính
nên (1,1,1);(0,1, 2) cũng là cơ sở của S. Vậy dim S=2
3.4.4 Tọa độ của véc tơ trong cơ sở
Một cơ sở được gọi là cơ sở được sắp của không gian vectơ V là cơ sở mà ta quan
tâm đến thứ tự của các vectơ trong đó.
Ví dụ. B  (1,0),(0,1) là cơ sở được sắp của không gian vectơ 2 R .
Dễ dàng thấy rằng đối với không gian vectơ n chiều thì có n! cơ sở được sắp. Khi nói đến
cơ sở mà không nói rõ là cơ sở được sắp thì ta hiểu đó là cơ sở được sắp theo thứ tự mà ta viết trong cơ sở đó.
Nếu B {u ,u ,...,u } là cơ sở được sắp của không gian vectơ V trên R và  . Khi đó 1 2 u V n ta có mọi vectơ u V
 đều được viết duy nhất dưới dạng
u   u   u ...   . 1 1 2 2 u n n Ký hiệu là:   1     2 u    B  ...      n
và gọi là tọa độ của vectơ u trong cơ sở B.
Ví dụ. Cho các vectơ 3
u  (1, 2,3), u  (1,1, 0), u  (0,1,1),u  (1,0,1) R . Khi đó 1 2 3
B  u  (1,1,0), u  (0,1,1), u  (1, 0,1) 1 2 3  là cơ sở của 3
R và ta có u  0u  2  nên 1 u 2 u 3 0 u 2    B   1  
Cho B là cơ sở của không gian vectơ hữu hạn chiều trên R. Khi đó:   R , u  ,v V
 , ta có uv   u v (Sinh viên tự kiểm tra như bài tập) B
 B  B
3.4.5 Ma trận chuyển cơ sở Giả sử B {
u ,u ,..., u } và B ' {u ' ,u ' ,...,u ' } là 2 cơ sở được sắp của không 1 2 n 1 2 n
gian vectơ V. Ma trận P  u ' u ' ... u '
được gọi là ma trận chuyển cơ sở từ 1   B 2   n B B
B sang B’ và ta ký hiệu là P(B B ') Ví dụ. Cho
B  e  (1, 0,0), e  (0,1,0), e  (0,0,1) 1 2 3 
B ' u  (1,1, 0),u  (0,1,1),u  (1, 0,1) 1 2 3  là hai cơ sở của 3 R . Ta có 1 0 1 1 0 1  u 1 ; u 1 ; u 0    nên (   P B ' B )  1 1 0 1   B 2   B 3  B         0 1 1         0 1 1  
3.4.6 Định lý
Cho A, B, C là các cơ sở được sắp của không gian vectơ V có số chiều n. Khi đó:
i) Ma trận chuyển cơ sở từ A sang B là duy nhất.
ii) P (A A )  I n iii) 1
P (A B )  P (B A )
iv) P (A B )P (B C )  P (A C )
3.4.7 Định lý (công thức đổi tọa độ)
Cho B  {u ,u ,...,u } và B' {u ' , u ' ,..., u' } là 2 cơ sở được sắp của không gian 1 2 n 1 2 n
vectơ V, P(B B ') là ma trận đổi cơ sở từ B sang B’ , u V . Khi đó:
u  P(B B ')u B B ' Hay   1 u ( P B ' B )    u B'  B Ví dụ. Trong 3
R cho hai cơ sở B  {u  (1,1,1), u  (1,1, 2), u  (1, 2,3)} và 1 2 3
B ' u '  (2,1, 1),u '  (3,2,5),u '  (1, 1,1) . 1 2 3   4   0   1  4 0 1   Khi đó          u '   1  ; u'  4 ; u'
 4 . Vậy P(B B ')  1 4 4 . 1  2  3 B   B   B      1    1    2           1  1  2   
Áp dụng công thức trên ta được :  4 0 1   0  1       
u  P(B B ')u  1 4 4 1  0 . B B '       1 1 2 1 1         
BÀI TẬP CHƯƠNG 3
3.1. Trong tập V   ( ,x y, z) : x  , R y  ,
R z R và x y z  0  , xét phép cộng và nhân như sau u
  (x ,x , x )V ; v  (y , y , y )V ,   R 1 2 3 1 2 3
Phép cộng ”+”: u v  (x y , x y , x y ) 1 1 2 2 3 3 Phép nhân ”.”: u
  (x , x , x ) 1 2 3
a) Tập V với phép cộng và phép nhân như trên có không gian vectơ trên R không? Tại sao?
b) Tập V có là không gian con của 3 R không? Tại sao?
3.2. Trong các trường hợp sau đây xét xem W có không gian con của không gian vectơ 3 R ( 3
R là không gian vectơ trên R ): W   3
(x ,x ,x ) R :x  0 1 2 3 1  W   3
(x ,x ,x ) R :x  2  1 2 3 1 2 x 3 x W   3
(x ,x ,x ) R :x x  0 1 2 3 1 2 
3.3 Trong các trường hợp sau đây, hãy xác định tham số m để vectơ x là tổ hợp
tuyến tính của các vectơ u, v, w. Trong 3
R : u = (1,4,2); v = (6,0,7); w = (5,6,m); x = (1,3,5) Trong 3
R : u = (1,4,3); v = (2,2,1); w = (4,1,6); x = (5,0,m). Trong 3
R : u = (1,3,2); v = (2,-1,1); w = (3,-4,3); x = (1,m,5). Trong 4
R : u = (1,0,-3,2); v = (4,1,3,-2); w = (16,9,1-3); x = (m,4,-1,1).
3.4 Gọi W là không gian con của 4
R sinh ra bởi các vectơ: u  (2, 1  ,3,2) , 1
u  (1,1,1,3) , u  (1,1, 9,5) . Hỏi vectơ u  (3,1, 0,1) có thuộc không gian 2 3 con của W không?
3.5 Cho x, y, z là ba vectơ độc lập tuyến tính trong không gian vectơ V. Xét
tính độc lập tuyến tính,phụ thuộc tuyến tính của họ các véc tơ sau:
S  u x  2z,v x y z ,w x x z
S  u x y ,v y z ,w z x
3.6 Xét tính độc lập tuyến tính,phụ thuộc tuyến tính của các tập vectơ sau:
M  (1, 2,0),(3,6,2  ) trong 3 R
M  (1, 2,6), (6,3,0  ) trong 3 R
M  (2,3, m), (3, 2,5),(1, 4  ,3) trong 3 R
M  (4,5, 2,0),(2, 2,1, 0),(0,3,3,9),(4,0,5,6) trong 4 R
M (1, 0,1,1), (0.1.1.1), (1,1,0,1),(1,1,1,m ) trong 4 R 3.7 Trong không gian 4 R cho các tập: W  4
(x , x , x , x )  R : x x x , x x x  2 1 1 2 3 4 1 2 3 1 2 3 4 x W   4
(x ,x ,x ,x ) R :x x x 2 1 2 3 4 1 2 3  W   4
( x , x , x , x )  R : x x  0 3 1 2 3 4 1 2 
a) Chứng minh rằng W ,W ,W là các không gian con của 4 1 2 3 R
b) Tìm một cơ sở của W ,W , 1 2 3 W
3.8 Trong các tập vectơ sau, xét xem tập nào cơ sở của 3 R :
M   u  (1, 2,1),u  (1,0,5) 1 2 
M   u  (1, 2  ,3),u  (1,1, 1
 ),u  (3, 4, 2),u  (6, 2,1) 1 2 3 4 
M   u  (0, 2,3),u  (2, 3, 4),u  (3, 4, 5) 1 2 3 
M   u  (1,1, 2),u  (1, 2,1),u  (3,2, 2) 1 2 3  3.9 Trong 4
R cho tập B   (1, 2, 1,2),(2,0, 0,1),(1,3,1,4),(1,3,1,0) .
a) Chứng minh rằng B là cơ sở của 4 R
b) Tìm tọa độ vectơ x  (1, 2,1, 2) đối với cơ sở B.
b) Xác định ma trận chuyển cơ sở từ B sang cơ sở chính tắc của 4 R Xác định ma trận chuyển cơ sở từ B sang cơ sở
B '   (1,1,0,0), (1,0,0,1),(0,1,1, 0),(0,0,1,1)  và tìm x . B'
3.10 Trong không gian 3 R , cho:
B   v  (1, 0,1), v  (1,2, 2), v  (0, 1,1) , 1 2 3 
E   u  (1,0,1),u  (1,1,1),u  (1,2, 2) 1 2 3 
a) Chứng minh B, E là các cơ sở của 3 R .
b) Tìm ma trận chuyển cơ sở từ B sang E. Cho u = (1,2,3) , tìm u , u  E  3 
c) Tìm ma trận chuyển cơ sở từ  
E sang B. Cho v  2 , tìm v,   v    E  1   
3.11 Cho B   u ,u , u là một cơ sở của 3
v , v ,v có tọa độ đối 1 2 3  R và các vectơ 1 2 3 1   1   1   với cơ sở      
B lần lượt là: v  1  , v  0 , v  2 . 1   2      3       1   3 1        
a) Chứng minh E v ,v , là cơ sở của 3 v , v , u , u , 1 2 v3  R . Tìm 1 2 3 v theo 1 2 3 u .
b) Tìm ma trận chuyển cơ sở từ E sang B.
4 CHƯƠNG 4. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
4.1 Ánh xạ tuyến tính
4.1.1 Định nghĩa
Cho V và U là hai không gian vectơ trên trường K. Ánh xạ f :V U được gọi là
ánh xạ tuyến tính nếu thỏa mãn hai điều kiện :
i) f       f   f   với   ,  V ii) f  . a   .
a f  , a ,   V
Ta có thể viết lại thành :
f a     .
a f    f   với a
 ,,  V
Một ánh xạ tuyến tính f :V V gọi là một phép biến đổi tuyến tính của V. Ví dụ.
1) Ánh xạ không : 0 :V U ,   0   0 là ánh xạ tuyến tính
2) Ánh xạ đồng nhất : id :V V ,   id    là một ánh xạ tuyến tính và cũng là
một phép biến đổi tuyến tính của V
3) Ánh xạ đạo hàm :  : x  x, f x     f   f ' x là một ánh xạ tuyến tính 4) Phép chiếu 3 2
p :    , x ,x , x
p x , x , x
x , x là ánh xạ tuyến tính 1 2 3   1 2 3   1 2  5) Ánh xạ : 3 2
T :    với T x , x , x    2 2 2 4x x , 
không phải là ánh xạ tuyến 1 2 3 2 3 1 x 2 x 3 x  tính.
Thật vậy, lấy vectơ u  x , x , x . Khi đó: 1 2 3
T cu   T cx , cx , 1 2 c 3 x    2 2 2 2 2 2 2
4c x c x , c x c x x  2  c  2 2 2
4x x , x x x  2
c T u cT u 2 3 1 2 3 2 3 1 2 3    
4.1.2 Các tính chất cơ bản của ánh xạ tuyến tính
Cho U ,V là các không gian vectơ và f :V U là ánh xạ tuyến tính. Khi đó :
1) f 0   0 do : f  
   f   với mọi  V V U
2) Với mọi a ,a ,...,a  ,  , ,..., V : 1 2 n 1 2 n
f a   a   ... a
a f   a f   ... 1 1 2 2 a f n n  1  1 2  2 nn
3) Ánh xạ tuyên tính biến hệ phụ thuộc tuyến tính thành hệ phụ thuộc tuyến tính. Tức là
nếu  ,  ,...,  là hệ phụ thuộc tuyến tính trong f  , f
,..., f  là hệ phụ 1 2 V thì  1  2  n n
thuộc tuyến tính trong U
4) Ánh xạ tuyến tính không làm tăng hạng của một hệ vectơ, nghĩa là với mọi  , ,...,
ta luôn có : rank f  , f  ,..., f   rank  , ,..., 1   2   n   1 2 n  1 2  V n Ta chứng minh 3) và 4)
3) Giả sử  , ,..., V
 là một hệ phụ thuộc tuyến tính thì tồn tại a , a ,..., a   không 1 2 3 1 2 n
đồng thời bằng không sao cho a   a  .
 ..  a  0 . Do đó 1 1 2 2 n n
f a   a   ... a   f 0 . 1 1 2 2 n n   
Suy ra a f   a f   ... a f   0 mà a , a ,..., a  không đồng thời bằng 1  1  2  2  nn 1 2 n
không nên f  , f  ,..., f  là hệ phụ thuộc tuyến tính trong 1   2   U n
4) Giả sử f  ,..., f  là một hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ 1 i   ki
f  ,..., f  thì rankf  , f  ,..., f   k nên theo tính chất 3), hệ 1   2   n  1   n
 ,... độc lập tuyến tính i1 ik
Do đó hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ  , ,..., 1 2
 có không ít hơn k vectơ, tức là n
rank  , ,...,
rank f  , f  ,..., f  . 1 2 n   1  2   n
4.1.3 Định lý cơ bản về sự xác định của ánh xạ tuyến tính
Cho V là không gian vectơ n chiều ( dimV n ) và  , ,..., là cơ sở tùy ý 1 2 n
của V, U là không gian vectơ tùy ý và  ,  ,...,  là hệ vectơ tùy ý của 1 2 U . Khi đó tồn n
tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính f : V U thỏa mãn f     , i  1,n i i Chứng minh. Tính tồn tại:
Với mỗi x V thì tồn tại a , a ,..., a  sao cho: x a   a   ... a  , ta định 1 2 n 1 1 2 2 n n
nghĩa ánh xạ : f :V U
 như sau : f x  a  a   ...
thì f là ánh xạ tuyến 1 1 2 2 a n n
tính thỏa mãn điều kiện của định lý. Tính duy nhất :
Giả sử có hai ánh xạ tuyến tính f , g :V U thỏa mãn điều kiện của định lý. Khi đó với
mọi x V ta có : x a  a   ...a  . 1 1 2 2 n n Suy ra :
f x  f a   a   ... 1 1 2 2 a n n
a f   a f   ... 1  1 2  2 a f nn
a g   a g   ... 1  1 2  2 a g nn
g a   a   ...   1 1 2 2 a g x n n   
Vậy : f g
4.2 Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính
4.2.1 Các định nghĩa
Cho V, U là các không gian vectơ, f :V U là ánh xạ tuyến tính. Ký hiệu 1 ker f f  
O  x V
 | f x  0 V và gọi là hạt nhân của ánh xạ tuyến tính Uf .
Ký hiệu Im f f V    f x | xV  U và gọi là ảnh của ánh xạ tuyến tính f .
Có thể chứng minh được ker f , Im f lần lượt là các không gian vectơ con của V và U .
Nếu   là một cơ sở của V thì f   là một tập sinh của Im f f V .
4.2.2 Tìm cơ sở cho Imf và Kerf
Để tìm cơ sở của Im f ta tìm cơ sở  ,..., 1  của V. Khi đó : n
Im f f  ,..., f
và hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ f  ,..., 1  f  là n  1  n  cơ sở của Im f .
Để tìm cơ sở cho ker f ta chỉ cần tìm cơ sở cho không gian nghiệm của hệ PTTT
f x  O U
Ví dụ : Cho ánh xạ tuyến tính 4 4 f :   với
f x , y ,z ,t   x  2y  4z  7t , 3
x  2y  5t, 2x y z  2t , 3x y  3z t
Tìm cơ sở cho Im f và ker f Giải.
Tìm cơ sở của Im f
Chọn một cơ sơ a tùy ý của 4
 , chẳng hạn ta chọn cơ sở chính tắc như sau :
f e   f 1, 0,0,0  1, 3, 2,3 1    
f e f 0,1,0,0  2,2,1,1 2     
f e f 0,0,1, 0  4,0,1,3 3     
f e f 0,0,0,1  7,5, 2  , 1 4     
Tìm cơ sở của Im f từ một tập sinh : Lập ma trận  f   1 e   1 3 2 3       f e  2 2 1 1 2       f e  4 0 1  3 3       f   7  5 2  1     4 e  
Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng để đưa ma trận về dạng bậc thang  1 3  2 3   1 3  2 3  4 d  4 d  3 2 d     3 d  3 d  2 2 2 2  1 1 d 0 4 3  5    2 d  2 d  2 1 d     4 0 1 3  0 4 3 5      7  5 2  1    1  1 1 2   1  3 2 3   1      
d 4d 4 d3 d2     0 4 3 5  d d d 2 3 3 2        0 0 0 0   0       0 0 0 0   0 
Im f có một cơ sở là      1, 3  ,2,3 ,   0,4, 3  , 5  và dim Im f  2 1   2  
Tìm cơ sở của Kerf
Ta giải hệ phương trình tuyến tính 
x  2 y  4 z  7t  0  3x  2y  5t  0 
2 xyz 2t 0 
 3x y  3z t  0 
Ma trận mở rộng của hệ phương trình tuyến tính trên là :  1 2 4 7  0  1 2 4 7  0  d d d  2 2 3     d 3 d 3 2  d 2  3  2 0 5 0       0 1 3 4 0 d   4 d4 3d1   2 1 1  2  0  0  3  9  12 0       3 1 3 1 0  0  5 15 20 0          d d   d  1 0 2 1 0 1 1 2 2 2 d  2 d  
d d d 3 3 3 2    0 1 3 4 0 4 d 4 d 5 2 d   0 0 0 0 0    0 0 0 0 0  
Nghiệm z,t   tùy ý, x  2 z  ,t y  4t z Cho z 1
 ,t 0 ta được :   2, 3  ,1, 0 1  
Cho z  0,t 1 ta được :   1  , 4,0,1 2  
Vậy cơ sở của Kerf là    2, 3  ,1, 0 ,   1
 , 4,0,1 , dim Im f  2 1   2  
4.2.3 Định lý (về mối liên hệ giữa số chiều của hạt nhân và ảnh)
Cho ánh xạ tuyến tính f :V U . Khi đó : dim Kerf dim Im f  dimV
4.3 Ma trận của ánh xạ tuyến tính
4.3.1 Định nghĩa :
Cho V và U là các không gian vectơ,  ,..., là cơ sở của  ,..., 1   V ,  1  là m n
cơ sở của U và f :V U là ánh xạ tuyến tính. Do f  U nên f  biểu thị tuyến i i
tính được qua cơ sở   nên ta có hệ sau :
f   a   a  ... 1  11 1 12 2 1 a m m
f   a  a  ...  2  21 1 22 2 a2  m m  .  ..  f
   a  a    a n  ... 1 n 1 2 n 2 nm m Khi đó ma trận  a a ...  11 21 a 1n   a a ... a 12 22 n 2 A            a a ... a  1m 2m nm
được gọi là ma trận của f trong cặp cơ sở  ,   và kí hiệu là : A f  , 
Trường hợp đặc biệt, khi f là phép biến đổi tuyến tính của V , f :V V  và
     thì ma trận của f trong cặp cơ sở  , được gọi là ma trận của f trong cơ
sở   và kí hiệu là : A f 
Ví dụ. Cho ánh xạ tuyến tính 2 3
f :    , với f x ,x x  2x , x x , 1 2   1 2 1 2 2 x
  :  1,1 ,   1, 0 là cơ sở của 2  1   2  
  :   1,1,1 ,   1,2,1 ,  1,3,2 là cơ sở của 3  1   2   3  
Tìm ma trận của f trong cặp cơ sở  ,  (tức là : A ) f  ,  Giải
Giả sử : f        (1) 1  1
a 1 a2 2 a3 3 và :
f   b   b   b  (2) 2  1 1 2 2 3 3
Khi đó, ma trận của ánh xạ f trong cặp cơ sở ,   là :   1 a 1 b   Aa b f 2 2    ,  a b   3 3 
Ta cần giải các phương trình vectơ (1), (2) để tìm a ,a ,a và b , b , b . 1 2 3 1 2 3
Từ (1) và (2), ta có 2 hệ phương trình sau :
a a a  3 b
 b b  1 1 2 3 1 2 3   
1  a  2a 3a  0 và : 2  b
  2b  3b  1 1 2 3 1 2 3  
a a  2a  1 
b b  2b  0 1 2 3  1 2 3
Vì ma trận hệ số của 2 phương trình trên là như nhau nên ta sẽ giải một lúc 2 hệ trên bằng ma trận mở rộng sau : 1  1  1 3 1 1  1  1 3 1      1 2 3 0 1  0 3 2 3  0     1  1 2 1 0  0  2 1 4 1     1 1 1 3 1  1 1 1 3 1 
0 1 1 1 1  0 1 1 1 1        0 2 1 4 1 0 0 1 6 3    
Từ ma trận bậc thang sau cùng, ta được :
Hệ (1) : a  8, a  5, a  6 1 2 3 Hệ (2) : b  4
 , b  2, b  3 1 2 3  8  4 Vậy:   A  5  2 f    ,   6 3   
BÀI TẬP CHƯƠNG 4
4.1 Các ánh xạ nào sau đây từ 2
   là ánh xạ tuyến tính ? ( 2  ,  là các không gian vectơ)
a) x, y   3x b) x y  2 ,  xy
c) x, y   2x 3y
d) x, y  x y
4.2 Các ánh xạ nào sau đây từ 2 2
   là ánh xạ tuyến tính ?
a) x, y   y, x
b) x ,y   1 y ,x  c) x y    2 , y , x 4.3 Cho ánh xạ 4 3
f :   xác định bởi
f x ,x ,x ,x
x x x , 2x x ,x  2x x 1 2 3 4   1 2 3 1 4 3 2 4 
a) Chứng tỏ rằng f là ánh xạ tuyến tính
b) Tìm Kerf và Im f
4.4 Xác định ánh xạ tuyến tính 2 2
f :    biết : f  3,  1  2,1  2 , f 1,  1  0, 2
4.5 Xác định ánh xạ tuyến tính 3 2
f :    biết :
f 1, 2,3   1,0  , f 1, 0,10  0, 
1 , f 2,3,5  15, 4  
4.6 Xác định ánh xạ tuyến tính 3 3
f :    biết :
f 1, 2,3    1  ,0, 
1 , f  1,1,1  0,1, 0 , f 1,3, 4  1, 0,  2 4.7 Trong 3  cho 2 cơ sở
  : u  1,0,0 , u  0,1,1 , u  1,0,1 3   2   1    : v  1, 1  ,0 , v  0,1, 1  , u  1, 0,1 3   2   1   và ánh xạ tuyến tính : 3 3
f :    , với f u v , i 1,3 i i a. Tìm công thức của 2 2 2
Q (x)  x x  2x 4 2 1 2 3 1 x 2 x
b. Tìm các ma trận sau : A A , A , A , A f f f f f  3e  ,     , (với 3
e là cơ sở chuẩn tắc trong 3  )
4.8 Tìm vectơ riêng, giá trị riêng của ma trận sau :  1 2 1  1   a. A   b. A  2 1      5 3    1 1  1  
4.9 a. Tìm đa thức đặc trưng của ma trận:   A  1 3 1   3 1 1  
b. Dựa vào đa thức đặc trưng, chứng minh A khả nghịch và chỉ ra biểu thức xác định 1 A
c. Tính det A 2008I 3 
d. Tìm GTR, vectơ riêng của A.
4.10 Tìm vectơ riêng, giá trị riêng và chéo hóa các ma trận sau : 1 0 1  5 1 1  a. 0 0 0     b. 1  2 2    1 0 1    1   2 2  1 3 1 2  1 2 1 0 1 1 3   c. 2 4 2     d. 0 0 2 5  1 2 1     0 0 0   2 4.11 Trong 3
 cho cơ sở : u  1,1,1 , u  1, 2,1 , u  1,3,2 1   2   3  
và cho ánh xạ tuyến tính 3 3
f :    xác định bởi :
f u  0,5,3 ; f u
 2,4,3 ; f u  0,3, 2 3    2    1   
a) Xác định ánh xạ tuyến tính 3 3 f : 
b) Tìm một cơ sở để ma trận f trong cơ sở đó là ma trận chéo.
5 CHƯƠNG 5. DẠNG TOÀN PHƯƠNG
5.1 Trị riêng-vectơ riêng
5.1.1 Đa thức đặc trưng
Cho A là ma trận vuông cấp n  AM  . Ta gọi đa thức đặc trưng của ma trận n   A là đa thức
p x   det  A . x I A n
Ví dụ. Tìm đa thức đặc trưng của ma trận  2 2 1   A  2 2 0    3 1 1     2 x 2 1 p x A x I   xx    A   det .  3 2 2 2 0 5x 7x 8 3 3 1  1  x
5.1.2 Định lý Cayley – Hamilton:
Mỗi ma trận là nghiệm của đa thức đặc trưng của nó.
5.1.3 Giá trị riêng, vectơ riêng
Các nghiệm thực của đa thức đặc trưng p x gọi là giá trị riêng của ma trận A A  
Nếu  là 1 giá trị riêng của A thì det x .I A  . Do đó, hệ phương trình thuần nhất : o n  0 ox  0 1     
A x .I    o n       x  0  n  
có vô số nghiệm. Không gian nghiệm của hệ  .I A X  0 gọi là không gian con riêng o n
của ma trận A ứng với giá trị riêng  . Các vectơ khác không là nghiệm của hệ o  .I  
A X  0 được gọi là các vectơ riêng của ma trận A ứng với giá trị riêng x . o n o
5.1.4 Phương pháp tìm giá trị riêng, vectơ riêng.
Bước 1 : Tìm đa thức đặc trưng : p x  det A  . x I A n
Bước 2 : Giải phương trình đa thức cấp n theo biến x : p x 0 để tìm các trị riêng  A i
Bước 3 : Đối với mỗi trị riêng  , tìm các vectơ riêng tương ứng bằng cách giải hệ phương i
trình tuyến tính thuần nhất  A IX  0. i  1  3
Ví dụ. Tìm giá trị riêng, vectơ riêng của ma trận A:  2 4   
Bước 1: Tìm đa thức đặc trưng của ma trận A:   
P   det A  I  1 3 2     3  2 2  4 
Bước 2: Giải phương trình đặc trưng : P   0, ta có 2 giá trị riêng :  1,   2 1 2
Bước 3: Tìm các vectơ riêng :
Ta tìm các vectơ riêng ứng với giá trị riêng   1 1      
A I x 2x 3y 0  0      2x  3y y
2x  3y  0
Không gian con riêng của A ứng với  1
là E(1)  3a, 2a | a    1
Các vectơ riêng của A ứng với   1 là tất cả các vectơ có dạng:  3a ,2a  với a  0 (vì 1
vectơ riêng phải khác không).
Ta có dim E (1)  1 và A có 1 vectơ riêng ĐLTT ứng với   1 là   3,2 . 1   1
Ứng với giá trị riêng   2 . Để tìm vectơ riêng ta giải hệ phương trình 2      
A I x 3x 3y 0  0      x y y
2x  2y  0   
Không gian con riêng của A ứng với GTR   2 là E(2)  b,b | b   2
Các vectơ riêng của A ứng với   2 là tất cả các vectơ có dạng : b,b  với b  0 2
Ta có dim E(2) 1 và A có một vectơ riêng ĐLTT ứng với   2 là   1,1 . 2   2
5.1.5 Định lý
Nếu X , X ,..., X lần lượt là ị ệ 1 2
m vec tơ riêng ứng với m tr riêng phân bi t m
 , ,..., (m n)của ma trận vuông A [ a ] thì hệ vectơ X  độc lập 1 X 2 X m 1 2 m ij nxm
tuyến tính. Nói cách khác, các vec tơ riêng ứng với các trị riêng khác nhau của A tạo thành
một hệ vec tơ độc lập tuyến tính.
5.2 Chéo hóa ma trận
5.2.1 Định nghĩa
Ma trận vuông A cấp n được gọi là chéo hóa được nếu tồn tại ma trận T vuông cấp
n không suy biến sao cho 1
T AT là ma trận chéo.
Ma trận T được gọi là ma trận làm chéo A, và ma trận A được chéo hóa bởi ma trận T
Câu hỏi đặt ra là có phải ma trận vuông nào cũng chéo hóa được không, điều kiện để ma
trận vuông chéo hóa được là gì và tìm ma trận T như thế nào ? Ta bắt đầu bằng định lí sau:
5.2.2 Định lí (Điều kiện chéo hoá được) A M
K chéo hoá được khi và chỉ khi A có đủ n vectơ riêng độc lập tuyến tính n   k hay dim E( )  
n , với  ,...,  là tất cả các giá trị riêng của A. i 1 k i 1 
Ma trận T làm chéo hóa A là ma trận có các cột là n vectơ riêng độc lập tuyến tính của A
nói cách khác các cột của T là các cơ sở của các không gian con riêng của A.
Từ định lí trên ta suy ra phương pháp chéo hoá ma trận vuông A như sau:
Tìm các giá trị riêng và các vectơ riêng độc lập tuyến tính của A. Khi đó xảy ra một trong hai khả năng sau :
Nếu tổng số vectơ riêng ĐLTT của A bé hơn n thì A không chéo hoá được (tức là
không tồn tại T M K để 1
T AT là ma trận chéo) n  
Nếu tổng số vectơ riêng độc lập tuyến tính của A bằng n thì A chéo hoá được. Khi
đó ma trận T cần tìm là ma trận mà các cột của nó chính là các vectơ riêng độc lập tuyến
tính của A viết theo cột và :  0 ... 0  1  0   ... 0  1 2 T AT            0 0 ...   n
là ma trận chéo. Trong đó  là giá trị riêng của A ứng với vectơ riêng là vectơ cột thứ i i của ma trận T. 1   3 
Ví dụ. Chéo hoá ma trận A   (nếu được). 2 4   
Ma trận A có 2 giá trị riêng là :   1,   2 và có 2 vectơ riêng độc lập tuyến tính là : 1 2
  3, 2 và   1,1 . Do số vectơ riêng bằng cấp của A nên chéo hóa được. 2   1    3 1    1 0
Ma trận T cần tìm là : T   . Khi đó 1 T AT  2 1      0 2 1  3  2 0 Nếu chọn T  thì 1 T AT  1  2     0 1  
5.3 Dạng toàn phương
5.3.1 Dạng toàn phương
Định nghĩa Dạng toàn phương trên Rn là đa thức đẳng cấp bậc 2 của n biến x ,x ,..., 1 2 x : n      1 a 1 1 a 2 1 a x n 1     n n a aa x Q(x) a x x XT AX x x x         ij i j  , ,..., n  21 22 2 n 2 1 2        i 1  j 1      a aax n 1 n 2 nnn
trong đó A là ma trận đối xứng.
Ma trận A được gọi là ma trận của dạng toàn phương.  3 2   x
Ví dụ. Q (x) T
X AX   x ,x  1 2 2
 3x  4x x  5x là dạng toàn phương trên 2 1 2     1 1 2 2 2 5     2 x  3 2 
R2 với ma trận A  2 5    Ví dụ.
 1 1 3  x  1     Q ( ) T
x x Ax  x , x , x  2 2 1 4 2 x
  x  2 x x  6 x x  4 x x  4 x 3 1 2 3 2 1 1 2 1 3 2 3 2      3 2 0      x  3
là dạng toàn phương trên R3 với ma trận 1 1 3    A  1 4 2    3 2 0     Ví dụ.
Tìm ma trận của dạng toàn phương 2 2 2 ( Q )
x  2 x  2 x x x  6 x x  3 x  2 x x 1 1 2 2 1 3 3 2 3 Ta viết lại 2 2 2 ( Q )
x  2 x x x x x x  3 x x  3 x x  3   1 1 2 2 1 2 1 3 3 1 x3 2 x 3 x 3 x 2 x Do đó  2 1  3   A  1 1 1    3 1 3  
5.3.2 Phân loại dạng toàn phương
Dạng toàn phương Q(x) được gọi là:
1)Xác định dương, nếu ( Q )
x  0, x  0
2) Nửa xác định dương, nếu ( Q )
x  0, x  0
3) Xác định âm, nếu Q(x)  0,x  0
4) Nửa xác định âm, nếu ( Q )
x  0, x  0
5) Không xác định dấu, nếu ngoài các trường hợp trên. Ví dụ. 2 2 Q (x )  2
 là dạng toàn phương xác định dương trên R2. 1 x1 x 2 2 2
Q (x )  x  2x là dạng toàn phương nửa xác định dương trên R3. 2 1 3 2 2 Q ( ) x x  2
là dạng toàn phương không xác định dấu trên R2. 3 1 2 x
5.3.3 Dạng chính tắc của dạng toàn phương
Dạng toàn phương Q(x) được gọi là ở dạng chính tắc nếu: 2 2 2 (
Q x)  a x a x   a x 1 1 2 2 n n
Ví dụ. Trong R3 các dạng toàn phương sau ở dạng chính tắc: 1 0 0  2 2 2  
Q (x)  x  2x x ma trận tương ứng A  0 2 0 1 1 2 3 1   0 0 1    2 0 0  2 2   Q ( )
x  2 x x ma trận tương ứng A  0 1  0 2 1 2 2   0  0 0     0 0 0 2 2   Q ( ) x x  3
ma trận tương ứng A  0 1 0 3 2 3 x 3    0 0 3  
Dễ thấy ma trận của dạng toàn phương chính tắc là ma trận chéo a 0  0  1  0  a  0 2 A           0 0   an
5.4 Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc
Một dạng toàn phương ở dạng chính tắc có cấu trúc rõ ràng, dễ nghiên cứu, phân
loại. Trong phạm vi chương trình chúng ta xét các phương pháp sau đưa dạng toàn phương
bất kỳ về dạng chính tắc
5.4.1 Định lí (Phương pháp biến đổi trực giao) Cho dạng toàn phương ( ) T
Q x X AX với  , ,, là các trị riêng của A. T là 1 2 n
ma trận trực giao làm chéo hóa A tức là 1
T AT D . Khi đó, bằng cách đổi biến X TY ta được: T T 2 2 2
X AX Y DY      1y1  2y2  y n n Chứng minh.
Vì T là ma trận trực giao nên: T 1 T T  
. Ngoài ra D là ma trận chéo nên T T T T T 1  T 2 2 2
X AX  (TY ) A (TY )  Y T ATY Y T ATY Y DY     1  1 y 2  y2  y n n
Thuật toán biến đổi trực giao:
Bước 1: Viết ma trận A của dạng toàn phương
Bước 2: Chéo hóa A bởi ma trận trực giao T, tức là tìm ma trận trực giao T sao cho: 1
T AT D , với D là ma trận chéo.
Bước 3: Kết luận dạng chính tắc cần tìm là: ' 2 2 2 Q ( y) TY DY         1 1 y 2 2 y y n n với  ,  , ,
  là các trị riêng của A 1 2 n
Ví dụ. Cho dạng toàn phương: 2 2 2 ( Q )
x  2 x  2 x x 2 x  2 x x 3x 1 1 3 2 2 3 3  2 0 1 Ma trận của Q là   A  0 2 1    1 1 3     
Ma trận A có các trị riêng:  1,   2,   4 với 3 vectơ riêng trực chuẩn 1 2 3  1 1 1   1 1   1 1 2  u  , , ; u  ,  ,0 ; u  , ,  1   2   3  3 3 3   2 2    6 6 6 
Do đó dạng chính tắc là: ' 2 2 2 Q ( )
y y  2 y  4
với phép đổi biến: X TY hay 1 2 y 3  1 1 1   3 2 6        1 x 1 y    1 1 1    x   2 y     2 3 2 6   x       3 y   3 1 2    0   3 6   
5.4.2 Phương pháp Lagrange
Nội dung của phương pháp Lagrange là biến đổi biểu thức tọa độ của dạng toàn
phương thành các tổng bình phương. Thuật toán Lagrange có thể chia làm các bước sau:
Bước 1: Chọn một số hạng có chứa 2 x (a  0). k kk
(Nếu không có số hạng nào như vậy trong biểu thức tọa độ của dạng toàn phương thì có
thể tìm được a  0 , ta đổi biến: ij x x x x ' i j ' i j ' x  ; x
; x x , (k  ,i k  ) j . i 2 j 2 k k
Khi đó xuất hiện số hạng chứa '2 x ) i
Bước 2: Tách biểu thức tọa độ của dạng toàn phương thành 2 nhóm: một nhóm có chứa
x , nhóm còn lại không chứa x k k
Bước 3: Trong nhóm thứ nhất ta lập thành tổng bình phương
Bước 4: Quay lại bước 1,2,3 cho nhóm thứ hai và cứ thế tiếp tục cho đến khi tìm được dạng chính tắc.
Ví dụ. Đưa dạng toàn phương 2 2 2 ( Q )
x  2 x  2 x x  2 x  2 x x  3 về dạng chính tắc 1 1 3 2 2 3 3 x
bằng phương pháp Lagrange. Ta có: 2 2 2 ( Q )
x 2 x 2x x 2 x 2x x 3  1 1 3 2 2 3 x3 2 2 2
(2 x 2 x x ) (2 x 2 x x 3 x ) 1 1 3 2 2 3 3  1 1   5 2 2 2 2 2   x 2 x x x
 2x 2 x x x  1 1 3 3   2 2 3 3 2 4 2      2  1   2 1 1 2 2 2 x x 2 x 2x x x      2 1 3 2 2 3 3 x3  2   2 4  2  1 2  1 2    x x  2  2 x x  2x 1 3 2      2 3 3  2  2 2 2
2 y 2 y 2 1 2 y3 1 1
Trong đó y x x ; y x x ;  1 1 3 2 2 3 y3 x3 2 2
Nhận xét: Một dạng toàn phương có thể có nhiều dạng chính tắc khác nhau.
5.4.3 Luật quán tính.
Như trên ta đã thấy, một dạng toàn phương có thể có nhiều dạng chính tắc khác
nhau. Tuy nhiên các dạng chính tắc này đều có đặc điểm chung là số các hệ số dương và âm là bất biến.
Số các hệ số dương (âm) trong dạng chính tắc của một dạng toàn phương gọi là chỉ số quán tính dương (âm).
5.4.4 Định lý.
Chỉ số quán tính dương (âm) trong dạng chính tắc của một dạng toàn phương
không phụ thuộc vào phương pháp đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc
5.4.5 Định lý (Dạng toàn phương xác định dấu)
Cho dạng toàn phương Q(x) trên Rn. Q(x) xác định dương (âm) khi và chỉ khi chỉ
số quán tính dương (âm) bằng n. Ví dụ.
1) Trong R3, dạng toàn phương: 2 2 2
Q(x)  2x x  4x có chỉ số quán tính dương bằng 3 1 2 3
nên nó xác định dương.
2) Trong R4, dạng toàn phương: 2 2 2 2 ( Q ) x  5
x 2 x x 3 có chỉ số quán tính âm bằng 1 2 3 4 x 4 nên nó xác định âm
Nhận xét: Một dạng toàn phương xác định dương (âm) khi và chỉ khi ma trận của nó chỉ
có các trị riêng dương (âm). Một dạng toàn phương là nửa xác định dương (âm) khi và chỉ
khi ma trận của nó có trị riêng bằng không và các trị riêng còn lại đều dương (âm).
5.4.6 Định lý (Sylvester)
Giả sử dạng toàn phương Q có ma trận A. Khi đó:
i) Q xác định dương khi và chỉ khi các định thức con chính k của A đều dương
ii) Q xác định âm khi và chỉ khi các định thức con chính của A đan dấu với 1<0
Ví dụ. Xét dạng toàn phương: 2 2 2 (
Q x)   x  2 x x  2x  2x x  2x  2 1 1 2 2 2 3 3 1 x 3 x  1  1 1 
Ma trận của dạng toàn phương   A  1 2 1    1 1 2     
Các định thức con chính: 1  1   1 0 ;  
 1 0 ;   A  1 0 . 1 2 3 1 2
Vậy Q(x) là dạng toàn phương xác định âm.
BÀI TẬP CHƯƠNG 5
5.1 Tìm ma trận của các dạng toàn phương (trong cơ sở chính tắc): a) 2 2 2
Q (x )  x  2x  3x x x  4x x  2 1 1 2 3 1 2 1 3 2 x 3 x b) 2 2 2
Q (x )  3x x  2x  5x x  4 2 1 2 3 1 2 1 x 3 x
5.2 Viết ma trận và biểu thức tọa độ của các dạng toàn phương ở câu trên trong cơ sở
F  {f  (0, 0,1); f  (1,1, 0); f  (1,1,1)} 1 2 3
5.3 Cho các dạng toàn phương: a) 2 2
Q (x )  2x x  4x x 1 1 2 1 2 b) 2 2 2
Q (x )  x x  2x  4 2 1 2 3 1 x 2 x c) 2 2 2
Q (x)  x  2x  2x  2x x  2x x  2x x 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3 d) 2 2 2
Q (x )  2x x x  2x x  2x x  2 4 1 2 3 1 2 1 3 2 x 3 x
Hãy tìm một dạng chính tắc của các dạng toàn phương trên bằng phương pháp biến đổi trực giao.
5.4 Cũng với câu hỏi như trên nhưng sử dụng phương pháp Lagrange.
5.5 Tìm một dạng chính tắc của các dạng toàn phương sau bằng phương pháp Lagrange: a) 2 2
Q (x )  x  2x  2x x  2x x 1 1 2 1 2 2 3 b) 2 2 2
Q (x)   x x  2x  2x x  2 2 1 2 3 1 2 2 x 3 x c) 2 2 2
Q (x)  2x  2x  3x  2x x  2 3 1 2 3 1 3 x2x3 d) 2 2 2
Q (x )  x  2x  4x x x  4x x  2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 x 3 x
5.6 Sử dụng tiêu chuẩn Sylvester, cho biết dạng toàn phương nào sau đây là xác định dương, xác định âm: a) 2 2 2 Q (x )  2
x x  2x  2x x x x 1 1 2 3 1 3 2 3 b) 2 2 2
Q (x )  2x x  3x  2x x  2 2 1 2 3 1 3 2 x 3 x c) 2 2 2
Q (x)  3x  4x x  4x x  2  3 1 2 3 1 2 1 x x3 x2x3
5.7 Tìm a để dạng toàn phương sau xác định dương: 2 15   2 2 a 2 ( Q )
x  2 x x x  2 x x 4  1 2   3 1 2 1 x 3 x 2 x 3 x  2 
5.8 Với giá trị nào của b thì dạng toàn phương: 2 2 2 (
Q x) 2 x 2x x 2  là xác 1 2 3 1 x 2 x b 1 x x3
định dương, nửa xác định dương?
MỤC LỤC
1CHƯƠNG 1. MA TRẬN - ĐỊNH THỨC ............................. 1
1.1 Ma trận....................................................................................... 1
1.1.1 Định nghĩa. ...................................................................................1
1.1.2 Các dạng đặc biệt của ma trận. ......................................................1
1.1.3 Các phép toán về ma trận ..............................................................3
1.1.4 Các tính chất của các phép toán trên ma trận.................................6
1.1.5 Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng ...............................................6
1.1.6 Ma trận bậc thang..........................................................................7
1.1.7 Hạng của ma trận ..........................................................................8
1.2 Định thức.................................................................................... 9
1.2.1 Định thức cấp 2.............................................................................9
1.2.2 Định thức cấp 3.............................................................................9
1.2.3 Định thức cấp n.............................................................................9
1.2.4 Các tính chất của định thức .........................................................10
1.3 Ma trận nghịch đảo.................................................................. 11
1.3.1 Định nghĩa ..................................................................................11
1.3.2 Định lí.........................................................................................11
1.3.3 Tính chất.....................................................................................11
1.3.4 Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo bằng phép biến đổi sơ cấp.12
1.3.5 Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo nhờ định thức....................13
2CHƯƠNG 2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH ........ 15
2.1 Hệ phương trình tuyến tính..................................................... 15
2.1.1 Hệ phương trình tuyến tính tổng quát..........................................15
2.1.2 Nghiệm của hệ phương trình .......................................................16
2.2 Phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính....................... 17
2.2.1 Phương pháp Cramer để giải hệ phương trình tuyến tính.............17
2.2.2 Định lý Kronecker – Capelli........................................................18
2.2.3 Định lý........................................................................................18
2.2.4 Phương pháp Gauss để giải hệ phương trình tuyến tính ...............18
3CHƯƠNG 3. KHÔNG GIAN VECTƠ............................... 21
3.1 Không gian Véc-tơ ................................................................... 21
3.1.1 Định nghĩa ..................................................................................21
3.1.2 Các Ví dụ về không gian Véc-tơ..................................................21
3.1.3 Tính chất.....................................................................................21
3.2 Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính ........................... 22
3.2.1 Tổ hợp tuyến tính........................................................................22
3.2.2 Phụ thuộc tuyến tính....................................................................22
3.2.3 Độc lập tuyến tính.......................................................................23
3.2.4 Các tính chất. ..............................................................................23
3.2.5 Định lý........................................................................................23
3.3 Không gian Vectơ con.............................................................. 24
3.3.1 Định nghĩa. .................................................................................24
3.3.2 Định lý........................................................................................24
3.3.3 Tập sinh – không gian vectơ sinh bởi một tập hợp.......................24
3.3.4 Định lý........................................................................................24
3.4 Cơ sở- số chiều- tọa độ............................................................. 25
3.4.1 Cơ sở, số chiều của không gian véctơ..........................................25
3.4.2 Định lý........................................................................................25
3.4.3 Định lý........................................................................................25
3.4.4 Tọa độ của véc tơ trong cơ sở......................................................26
3.4.5 Ma trận chuyển cơ sở ..................................................................26
3.4.6 Định lý........................................................................................27
3.4.7 Định lý (công thức đổi tọa độ).....................................................27
4Chương 4. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH .................................. 30
4.1 Ánh xạ tuyến tính..................................................................... 30
4.1.1 Định nghĩa ..................................................................................30
4.1.2 Các tính chất cơ bản của ánh xạ tuyến tính ..................................30
4.1.3 Định lý cơ bản về sự xác định của ánh xạ tuyến tính ...................31
4.2 Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính......................................... 32
4.2.1 Các định nghĩa ............................................................................32
4.2.2 Tìm cơ sở cho Imf và Kerf ..........................................................32
4.2.3 Định lý (về mối liên hệ giữa số chiều của hạt nhân và ảnh) .........34
4.3 Ma trận của ánh xạ tuyến tính................................................ 34
4.3.1 Định nghĩa : ................................................................................34
5Chương 5. dẠng TOÀN PHƯƠNG .................................... 37
5.1 Trị riêng-vectơ riêng................................................................ 37
5.1.1 Đa thức đặc trưng........................................................................37
5.1.2 Định lý Cayley – Hamilton: ........................................................37
5.1.3 Giá trị riêng, vectơ riêng .............................................................37
5.1.4 Phương pháp tìm giá trị riêng, vectơ riêng...................................38
5.1.5 Định lý........................................................................................38
5.2 Chéo hóa ma trận..................................................................... 39
5.2.1 Định nghĩa ..................................................................................39
5.2.2 Định lí (Điều kiện chéo hoá được)...............................................39
5.3 Dạng toàn phương ................................................................... 40
5.3.1 Dạng toàn phương.......................................................................40
5.3.2 Phân loại dạng toàn phương ........................................................40
5.3.3 Dạng chính tắc của dạng toàn phương.........................................41
5.4 Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc .............................. 41
5.4.1 Định lí (Phương pháp biến đổi trực giao) ....................................42
5.4.2 Phương pháp Lagrange................................................................42
5.4.3 Luật quán tính. ............................................................................43
5.4.4 Định lý........................................................................................43
5.4.5 Định lý (Dạng toàn phương xác định dấu)...................................44
5.4.6 Định lý (Sylvester) ......................................................................44