Chương 1: Xác xuất cơ sở | Trường Đại học Sư phạm Hà Nội

Bài tập Xác suất Thống kê
CHƯƠNG I: XÒC SUẤT CƠ SỞ
Bài 1. Gieo hai con xúc xắc cân đối, đồng chất. Gọi A là biến cố tổng số chấm là số lẻ, B là
biến cố ít nhất một con xuất hiện mặt một chấm. Tính P (AB), P (A ∪ B), P (AB).
Bài 2. Gieo một xúc xắc cân đối, đồng chất liên tiếp ba lần. Tính xác suất để tổng số chấm ở ba lần gieo bằng 11.
Bài 3. Có 5 người với chiều cao khác nhau. Chọn ngẫu nhiên lần lượt ra hai người. Tính xác
suất để trong hai người đõ chọn, người thứ nhất cao hơn người thứ hai.
Bài 4. Có 30 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 30. Chọn ngẫu nhiên ra 10 tấm thẻ. Tính xác suất để:
a) Tất cả 10 tấm thẻ đều mang số chẵn.
b) Có đúng 5 số chia hết cho 3.
Bài 5. Một hòm có 9 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 9. Chọn ngẫu nhiên ra hai tấm thẻ. Tính
xác suất để tích của hai số trên hai tấm thẻ là một số chẵn.
Bài 6. Một tổ học sinh gồm 9 người trong đó có 3 nữ sinh. Chia một cách ngẫu nhiên tổ đó
thành 3 nhóm, mỗi nhóm 3 người. Tính xác suất để sao cho mỗi nhóm đều có một bạn nữ.
Bài 7. Trong hộp bi có 6 viên đỏ và 4 viên trắng. Rút ngẫu nhiên ra 2 viên bi. Tính xác suất
để trong hai viên đõ lấy ra: a) Có 2 viên màu đỏ.
b) Trong đó có ít nhất 1 viên màu đỏ.
Bài 8. Chọn ngẫu nhiên ta một quân cờ từ một bộ cờ tướng gồm 32 quân. Gọi A là biến cố
rút được quân tướng, còn B là biến cố rút được quân cờ đen. Hỏi hai biến cố A và B có độc lập không? Vì sao?
Bài 9. Có ba người cùng bắn vào một mục tiêu, mỗi người bắn một viên. Xác suất trúng của
từng người lần lượt là 0,6, 0,7, và 0,8. Tính xác suất để:
a) Trong ba người có đúng một người bắn trúng;
b) Có ít nhất một người bắn trúng.
Bài 10. Đề cương của một môn học gồm có 30 câu hỏi. Khi thi, mỗi thí sinh bốc thăm ngẫu
nhiên hai câu hỏi. Thí sinh được tính là đạt nếu trả lời được ít nhất một trong hai câu hỏi đó.
Một thí sinh phải học bao nhiêu câu để xác suất thi đạt là trên 0,9?
Bài 11. Gieo một con xúc xắc liêp tiếp 6 lần. Tính xác suất để ít nhất có một lần xuất hiện mặt 6 chấm.
Bài 12. Trong một lớp học có 6 bóng đèn, mỗi bóng có xác suất bị cháy là 0,01. Lớp học đủ
ánh sáng nếu có ít nhất 4 bóng đèn sáng. Tính xác suất của sự kiện lớp học không đủ ánh sáng.
Bài 13. Một cầu thủ ném bóng vào rổ cho đến khi nào trúng rổ thì thôi. Tính xác suất để cầu
thủ đó dừng ném sau lần ném thứ tư, biết rằng xác suất ném trúng ở mỗi lần ném là 0,4.
Bài 14. Giả sử A và B là các biến cố với P(A) = 1/2, P(B) = 1/3 và P(AB) = 1/4. Hõy tính: P(A|B), P(B|A), P(A|B).
Bộ môn Toán ứng dụng, Khoa Toán Tin, HNUE
Bài tập Xác suất Thống kê
Bài 15. Gieo ba xúc xắc một cách độc lập. Tính xác suất để:
a) Tổng số chấm xuất hiện là 8 nếu biết rằng ít nhất có một xúc xắc xuất hiện 1 chấm.
b) Có ít nhất một xúc xắc xuất hiện mặt 6 chấm nếu biết rằng số chấm trên ba con là khác nhau.
Bài 16. Một hòm có 6 quả bóng xanh và 5 quả bóng đỏ. Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 4 quả bóng.
Tính xác suất để trong bốn quả đõ lấy ra có:
a) Cả 4 quả đều là màu xanh nếu biết ít nhất có 1 quả là màu xanh.
b) Có đúng 2 quả xanh nếu biết rằng trong 4 quả đõ lấy ra có cả quả xanh và quả đỏ.
Bài 17. Một hộp có chứa 3 tấm phiếu trong đó có 1 phiếu trúng thưởng. Ba người lần lượt
lên rút ngẫu nhiên một phiếu. Ai rút được phiếu trúng thưởng sẽ được thưởng. Hỏi rút trước hay rút sau có lợi hơn?
Bài 18. Một trạm phát tín hiệu phát đi hai loại tín hiệu A và B với xác suất tương ứng là 0.84
và 0.16. Do có nhiễu trên đường truyền nên 1/6 tín hiệu A bị méo và được thu như là tín
hiệu B, còn 1/8 tín hiệu B bị méo và được thu như là tín hiệu A.
a) Tính xác suất thu được tín hiệu A.
b) Giả sử đõ thu được tín hiệu A. Tính xác suất trạm phát phát ra tín hiệu A.
Bài 19. Có hai hộp bi giống nhau: hộp 1 chứa 30 bi trắng và 20 bi đen, hộp 2 chứa 25 bi
trắng và 15 bi đen. Chọn ngẫu nhiên ra một hộp, sau đó rút từ hộp đõ chọn ra một viên bi.
a) Tính xác suất để rút được viên bi trắng.
b) Giả sử đõ rút được bi trắng. Tính xác suất để viên bi đõ rút là ở hộp 1.
Bài 20. Khảo sát trên một vùng dân cư, người ta thấy rằng tỉ lệ người nghiện thuốc lá và mắc
chứng ung thư họng là 3%; có 22% số người thì nghiện thuốc lá nhưng không ung thư họng;
1% số người tuy không nghiện thuốc lá nhưng vẫn mắc ung thư họng; còn 75% số người thì
không nghiện thuốc và cũng không bị ung thư họng. Hõy sử dụng số liệu thống kê trên để
rút ra kết luận mối quan hệ giữa bệnh ung thư họng và thói quen hút thuốc lá.
Bài 21. Có hai hộp bút. Hộp thứ nhất có 3 bút đen và 3 bút xanh. Hộp thứ hai có 6 bút đen
và 4 bút xanh. Lấy ngẫu nhiên 2 bút từ hộp thứ nhất bỏ vào hộp thứ hai. Sau đó lấy ngẫu
nhiên một bút từ hộp thứ hai ra. Tính xác suất để bút lấy ra từ hộp thứ hai là bút xanh.
Bài 22. Ba xạ thủ cùng bắn vào một mục tiêu. Mỗi người một viên đạn với xác suất trúng
đích tương ứng là 0.7, 0.8 và 0.9. Người báo bia thông báo có đúng một viên trúng bia. Tính
xác suất để người thứ nhất bắn trúng.
Bài 23. Biết rằng: các trẻ sinh đôi là sinh đôi thật (do cùng trứng sinh ra) thì sẽ luôn cùng
giới tính, còn nếu là sinh đôi giả (do hai trứng khác nhau sinh ra) thì xác suất để chúng có
cùng giới tính là 0.5. Giả sử xác suất để một cặp sinh đôi là sinh đôi thật là p. Hõy tính xác
suất để một cặp sinh đôi cùng giới tính là sinh đôi thật.
Bài 24. Có một bệnh nhân mà một bác sĩ chuẩn đoán mắc bệnh A với xác suất 70%, mắc
bệnh B với xác suất 30%. Để có thêm thông tin chuẩn đoán, bác sỹ đõ cho bệnh nhân đó
đi xét nghiệm sinh hoá. Sau 3 lần thử thấy có 1 lần dương tính, biết rằng khả năng dương
tính của mỗi lần xét nghiệm đối với bệnh A và B tương ứng là 10% và 30%. Hõy cho biết nên
chuẩn đoán bệnh nhân đó mắc bệnh nào?
Bộ môn Toán ứng dụng, Khoa Toán Tin, HNUE
Bài tập Xác suất Thống kê
Bài 25. Một lô hàng gồm 7 sản phẩm trong đó có 2 phế phẩm. Chọn ngẫu nhiên ra 4 sản
phẩm để kiểm tra. Gọi X là số sản phẩm tốt trong 4 sản phẩm lấy ra. Tìm phân bố xác suất
của X. Tính kỳ vọng của X.
Bài 26. Trong một chiếc hộp có 4 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 4. Chọn ngẫu nhiên hai tấm thẻ.
Gọi X là tổng hai số ghi trên hai tấm thẻ với nhau. Tìm phân bố xác suất của X.
Bài 27. Một túi có chứa 10 tấm thẻ đỏ và 6 tấm thẻ xanh. Chọn ngẫu nhiên ra 3 tấm thẻ.
a) Gọi X là số thẻ đỏ trong 3 tấm thẻ rút ra đó. Tìm phân bố xác suất của X.
b) Giả sử số điểm của mỗi tấm thẻ đỏ, thẻ xanh lần lượt là 6 điểm và 8 điểm. Gọi Y là số
điểm có được khi rút ra ba tấm thẻ. Tìm phân bố xác suất của Y .
Bài 28. Trong một chiếc hòm có 5 bóng đèn trong đó có 2 bóng tốt, 3 bóng hỏng. Ta chọn
ngẫu nhiên từng bóng đem thử (thử xong không trả lại) cho đến khi thu được 2 bóng tốt.
Gọi X là số lần thử cần thiết. Tìm phân bố xác suất của X.
Bài 29. Hai đấu thủ A và B thi đấu cờ. Xác suất thắng của A trong mỗi ván là 0.4 (không có
hòa). Nếu ai thắng một ván sẽ được một điểm, thua không được điểm. Trận đấu kết thúc khi
A giành được 3 điểm trước (khi đó A là người thắng) hoặc khi B giành được 5 điểm trước (khi đó B là người thắng)
a) Tính xác suất thắng của A.
b) Gọi X là số ván cần thiết của trận đấu. Lập bảng phân bố xác suất của X.
Bài 30. Một người có một chùm chìa khóa gồm 7 chiếc nhìn rất giống nhau trong đó chỉ có
hai chiếc mở được cửa. Người đó thử ngẫu nhiên từng chiếc (thử xong bỏ ra ngoài) cho đến
khi tìm được chiếc chìa mở được cửa. Gọi X là số lần thử cần thiết. Tìm phân bố xác suất
của X. Tính kỳ vọng, phương sai của X.
Bài 31. Cho biến ngẫu nhiên X có phân bố xác suất như sau: X 1 3 5 7 9 P 0.1 0.2 0.3 0.3 0.1
Tìm phân bố xác suất của Y = min{X, 4}.
Bài 32. Cho biến ngẫu nhiên X có phân bố xác suất như sau: X 0 1 2 3 4 P 0.1 0.2 0.3 0.25 0.15
Tìm phân bố xác suất của Y = X2 − 2X. Tính kỳ vọng và phương sai của Y .
Bài 33. Tung liên tiếp một đồng xu cân đối cho đến khi thấy mặt ngửa thì dừng lại. Lập bảng
phân phối, tính kì vọng và phương sai của số lần tung.
Bài 34. Tại 1 trạm kiểm soát giao thông trung bình 1 phút có 2 xe ô tô đi qua. Biết số ô tô đi qua có phân phối Poissson.
a) Tính xác suất để có đúng 6 xe đi qua trong vòng 3 phút.
b) Xác định t để xác suất trong khoảng thời gian t phút, có ít nhất 1 xe ô tô đi qua là 0,99.
Bài 35. Một trạm cho thuê xe taxi có 3 chiếc xe. Hàng ngày trạm phải nộp thuế 8USD cho
mỗi xe (dù xe đó có được thuê hay không). Mỗi xe được cho thuê với giá 20USD/ngày. Giả sử
số yêu cầu thuê xe của trạm trong một ngày là biến ngẫu nhiên X có phân phối Poisson với tham số λ = 2, 8.
a) Gọi Y là số tiền thu được trong một ngày của trạm. Lập bảng phân bố xác suất của Y .
Tính số tiền trung bình trạm thu được trong một ngày.
b) Giải bài toán trên trong trường hợp trạm có 4 chiếc xe.
c) Trạm nên có 3 hay 4 chiếc xe?
Bộ môn Toán ứng dụng, Khoa Toán Tin, HNUE
Bài tập Xác suất Thống kê
Bài 36. Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ ( k(1 0 − x2) nếnuế x u ∈ x [ ∈−[1 −; 1 1; ]1] f (x) =
trong đó k là hằng số thực. Tính kì vọng và phương sai của biến ngẫu nhiên Y = 2X2.
Bài 37. Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ ( kx 0 2 nế nuế x u ∈ x [ ∈0[; 1 0; ]1] f (x) = √
trong đó k là hằng số thực. Tính P (0, 5 ≤ 2 X < 1, 5).
Bài 38. Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ ( √ k x−3 nếu x 0 nếu ≥ 1 f (x) = x < 1
trong đó k là hằng số thực. 1
a) Tìm hàm mật độ của biến ngẫu nhiên Y = . X
b) Tính P(0.1 ≤ Y < 0.2).
Bài 39. Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ f(x) = k.e−λ|x| trong đó k, λ là các hằng số dương. a) Tìm k theo λ.
b) Tính kì vọng, phương sai của X.
Bài 40. Cho biến ngẫu nhiên X có phân phối đều trên [−1; 3]. Tính P(X2 < 2).
Bài 41. Cho biến ngẫu nhiên X có phân phối đều trên [0; 1]. Tìm hàm mật độ của biến ngẫu nhiên Y = X2.
Bài 42. Cho X là biến ngẫu nhiên có phân phối đều trên [0, 2] và Y = min{X, 1}. Tính kỳ vọng và phương sai của Y .
Bài 43. Cho biến ngẫu nhiên X có phân phối mũ với tham số λ = 2. Tìm kì vọng và độ lệch
tiêu chuẩn của biến ngẫu nhiên Y = e−X.
Bài 44. Cho biến ngẫu nhiên X có phân phối mũ với kì vọng bằng 2. Xét biến ngẫu nhiên
Y = 2X2. Hõy tính P(2 < Y < 18) và P(Y < 5).
Bài 45. Cho biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn với kì vọng bằng 3, phương sai bằng 4.
Hõy tính P(−1 < X < 5) và P(X ≤ 8).
Bài 46. Chiều cao của nam giới đõ trưởng thành là biến ngẫu nhiên X ∼ N (163; 25).
a) Tính tỉ lệ nam giới trưởng thành cao từ 160cm đến 170cm.
b) Chọn ngẫu nhiên 1 nam giới, tìm xác suất để chọn được nam giới cao trên 165cm.
c) Tìm xác suất để khi chọn ngẫu nhiên ra 5 nam giới thì có ít nhất 1 người cao trên 165cm.
Bộ môn Toán ứng dụng, Khoa Toán Tin, HNUE
Bài tập Xác suất Thống kê
Bài 47. Cho hai biến ngẫu nhiên độc lập X, Y có phân bố xác suất như sau: X 0 1 2 3 4 5 P 0.15 0.3 0.25 0.2 0.08 0.02 Y 0 1 2 3 4 5 P 0.3 0.2 0.2 0.15 0.1 0.05 a) Tính E[X] và E[Y ]. b) Tính P(X + Y < 4).
c) Tính kì vọng và phương sai của Z = X + Y .
Bài 48. Các biến ngẫu nhiên X và Y có bảng phân phối xác suất đồng thời như sau: Y 1 2 3 X 1 0.12 0.15 0.03 2 0.28 0.35 0.07
a) Lập bảng phân phối xác suất của X và Y .
b) Chứng minh rằng X và Y độc lập.
c) Lập bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên Z = X.Y . Tính kỳ vọng và phương sai của Z.
Bài 49. Cho X và Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập có phân bố xác suất như sau: X 0 1 2 3 P 0.4 0.3 0.2 0.1 Y 0 1 2 3 4 P 0.1 0.3 0.4 0.15 0.05
a) Lập bảng phân phối xác suất đồng thời của (X, Y ). b) Tìm P(X > Y ).
c) Tính kì vọng và phương sai của Z = X2 + Y 2.
Bài 50. Cho X, Y là hai biến ngẫu nhiên có phân bố xác suất đồng thời như sau: Y -1 0 1 X -1 1/6 1/6 1/6 1 1/4 1/8 1/8 a) Tính EX, EY.
b) Tính kì vọng của Z = X2 + XY .
c) Tính hệ số tương quan giữa X và Y .
Bài 51. Trong hộp có 7 bóng trắng, 6 bóng đỏ và 5 bóng xanh. Ta lấy ra ngẫu nhiên 4 quả
bóng từ hộp. Gọi X là số bóng đỏ và Y là số bóng xanh trong 4 quả bóng.
a) Lập bảng phân phối đồng thời của X và Y .
b) Hỏi X và Y có độc lập với nhau hay không?
c) Lập bảng phân phối của Z = X.Y .
Bộ môn Toán ứng dụng, Khoa Toán Tin, HNUE
Bài tập Xác suất Thống kê
Bài 52. Ký hiệu X1, X2 lần lượt là các biến ngẫu nhiên chỉ số chấm xuất hiện khi gieo lần
lượt hai xúc xắc độc lập. Tìm phân phối xác suất của các biến ngẫu nhiên U = max(X1, X2) và V = X1 − X2.
Bài 53. Một túi chứa 3 thẻ mang số 1,2,3. Chọn ngẫu nhiên ra một thẻ, xem số và trả lại túi.
Chọn tiếp ra một thẻ khác. Gọi X, Y lần lượt là số trên các thẻ ở hai lần chọn. Đặt U = X + Y
và V = max{X, Y }. Tìm phân phối xác suất đồng thời của U và V .
Bài 54. Cho X, Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập và X ∼ B(14; 0.1); Y ∼ B(9; 0.1). Chứng minh
rằng X + Y có phân phối nhị thức.
Bài 55. Cho X, Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập và X ∼ B(2; 0.4); Y ∼ B(2; 0.7). Tìm phân bố
xác suất của X + Y . Từ đó, chứng minh rằng X + Y không là phân phối nhị thức.
Bài 56. Cho hai biến ngẫu nhiên độc lập X ∼ Exp(λ) và Y ∼ Exp(µ).
a) Hõy viết hàm mật độ đồng thời của (X, Y ). µ
b) Chứng minh: P[X < Y ] = . λ + µ
Bài 57. Cho hai biến ngẫu nhiên độc lập X ∼ Exp(λ) và Y ∼ Exp(µ) và đặt Z = min(X, Y ).
a) Tính xác suất P[Z > z] với z ≥ 0.
b) Tìm phân bố xác suất của Z.
Bài 58. Cho các biến ngẫu nhiên X, Y có hàm mật độ xác suất đồng thời ( . cx 0 y nế n u ế 0 u ≤ n y gư ≤ ợc xl ≤ ại 1 fX,Y (x, y) = a) Tìm hằng số c. X 1 b) Tính P Y ≤ và P X + Y ≤ .
c) Tính kỳ vọng2của X và Y . 2
Bài 59. Tổng số điểm thi các học phần của Minh là biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn
với trung bình 170 và có độ lệch tiêu chuẩn 20. Tổng số điểm thi của Tuấn là biến ngẫu
nhiên Y độc lập với X và cũng có phân phối chuẩn với trung bình 16, độ lệch tiêu chuẩn 15.
a) Tính xác suất để điểm thi của Tuấn lớn hơn của Minh.
b) Tính xác suất để tổng số điểm của 2 người lớn hơn 350.
Bài 60. Trọng lượng một sản phẩm là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với trung bình là
500g với độ lệch tiêu chuẩn 10g. Chọn ngẫu nhiên 25 sản phẩm.
a) Tính xác suất trọng lượng trung bình của 25 sản phẩm đó từ 495g đến 505g.
b) Tính xác suất trọng lượng trung bình của 25 sản phẩm đó lớn hơn 502g.
Bộ môn Toán ứng dụng, Khoa Toán Tin, HNUE