Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân | Giáo án Toán 11 Cánh diều
Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân | Giáo án Toán 11 Cánh diều được biên soạn rất cẩn thận, trình bày khoa học giúp giáo viên có một cách dạy mạch lạc, rõ ràng, dễ hiểu từ đó giúp học sinh tiếp thu kiến thức tốt nhất. Thầy cô và các bạn xem, tải về ở bên dưới.
Preview text:
KẾ HOẠCH BÀI DẠY
TÊN BÀI DẠY: DÃY SỐ
Môn học/Hoạt động giáo dục: Toán; lớp: 11
Thời gian thực hiện: (02 tiết) I. Mục tiêu
1. Về kiến thức: Học xong bài này, HS đạt các yêu cầu sau:
- Nhận biết được dãy số hữu hạn, dãy số vô hạn.
- Thể hiện được cách cho dãy số bằng liệt kê các số hạng; bằng công thức tổng quát; bằng
hệ thức truy hồi; bằng cách mô tả.
- Nhận biết được tính chất tăng, giảm, bị chặn của dãy số trong những trường hợp đơn giản. 2. Về năng lực:
Năng lực chung:
- Năng lực tự chủ và tự học trong tìm tòi khám phá.
- Năng lực giao tiếp và hợp tác trong trình bày, thảo luận và làm việc nhóm.
- Năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo trong thực hành, vận dụng.
Năng lực riêng:
- Tư duy và lập luận toán học: Năng lực này được thể hiện thông qua việc áp dụng logic
và tư duy phân tích để hiểu và giải quyết các vấn đề liên quan đến dãy số.
- Giao tiếp toán học: Năng lực này được thể hiện thông qua khả năng diễn đạt ý tưởng,
quan điểm và luận điểm toán học một cách rõ ràng và chính xác trong bài "Dãy số".
- Mô hình hóa toán học: Trong bài "Dãy số", việc mô hình hóa các quy tắc và quan hệ
trong dãy số thành các biểu thức và phương trình toán học là ví dụ về năng lực này.
- Giải quyết vấn đề toán học: Năng lực này liên quan đến khả năng xác định và áp dụng
các phương pháp, kỹ thuật và công cụ để giải quyết các vấn đề toán học. Thông qua các
thao tác: Nhận biết được các số hạng của dãy số; chứng minh được một dãy số là dãy
tăng, dãy giảm; chứng minh được một dãy số bị chặn trên, bị chặn dưới hay bị chặn,...
Trong bài "Dãy số", việc sử dụng các công thức và quy tắc để tìm ra mẫu và quy luật
trong dãy số và giải quyết các câu hỏi liên quan đến dãy số. 3. Về phẩm chất:
- Có ý thức học tập, ý thức tìm tòi, khám phá và sáng tạo, có ý thức làm việc nhóm, tôn
trọng ý kiến các thành viên khi hợp tác.
- Chăm chỉ tích cực xây dựng bài, có trách nhiệm, chủ động chiếm lĩnh kiến thức theo sự hướng dẫn của GV.
II. Thiết bị dạy học và học liệu 2
1. Đối với GV: SGK, tài liệu giảng dạy, giáo án, đồ dùng dạy học.
2. Đối với HS: SGK, SBT, vở ghi, giấy nháp, đồ dùng học tập (bút, thước...), bảng nhóm, bút viết bảng nhóm.
III. Tiến trình dạy học Tiết 1.
1. Hoạt động 1: Khởi động
a) Mục tiêu: Tạo tâm thế học tập cho học sinh, giúp các em ý thức được nhiệm vụ học tập,
sự cần thiết phải tìm hiểu về các vấn đề đã nêu ra, từ đó gây được hứng thú với việc học bài mới.
b) Nội dung: Một số loài hoa có số lượng cánh hoa luôn là một số cố định. Số cánh hoa
trong các bông hoa thường xuất hiện nhiều theo những con số 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,...
Ta có thể viết số cánh hoa của các bông hoa ở các hình trên lần lượt như sau: vị trí thứ nhất
viết số 1, vị trí thứ hai viết số 1, vị trí thứ ba viết số 2,..., vị trí thứ tám viết số 21.
Các số 1, 1, 2, 3, 5, 8, 21 được viết theo quy tắc trên gợi nên khái niệm nào trong toán học?
c) Sản phẩm: Câu trả lời của học sinh
d) Tổ chức thực hiện:
Chuyển giao
* Giáo viên trình chiếu hình ảnh - HS quan sát.
- HS tìm câu trả lời, tuy nhiên sẽ khó để giải quyết câu hỏi.
Thực hiện
- Mong đợi: Kích thích sự tò mò của HS :
Trả lời: Các số 1, 1, 2, 3, 5, 8, 21 được viết theo quy tắc trên gợi nên khái
niệm “dãy số” trong toán học.
Báo cáo thảo luận - Đại diện nhóm báo cáo, các nhóm còn lại theo dõi thảo luận. 3
- GV đánh giá kết quả của HS, trên cơ sở đó dẫn dắt HS vào bài học mới:
Đánh giá, nhận xét, “Hôm nay chúng ta sẽ bắt đầu một bài học mới đó là bài "Dãy số". Dãy
tổng hợp
số không chỉ tồn tại trong toán học mà còn xuất hiện khắp nơi trong cuộc
sống. Hãy cùng nhau khám phá những ứng dụng thực tế của dãy số và
khám phá những quy tắc toán học đằng sau chúng.”
2. Hoạt động 2: Hình thành kiến thức mới I. Khái niệm
Hoạt động 2.1. Khái niệm dãy số hữu hạn
a) Mục tiêu: Học sinh hiểu được khái niệm dãy số hữu hạn b) Nội dung:
HĐ 1: Một vật chuyển động đều với vận tốc 20 m/s. Hãy viết các số chỉ quãng đường
(đơn vị: mét) vật chuyển động được lần lượt trong thời gian 1 giây, 2 giây, 3 giây, 4
giây, 5 giây theo hàng ngang. Khái niệm: • Mỗi hàm số u { } m ® ! ( * : 1;2;3;...;
mΕ ) được gọi là dãy số hữu hạn. Do
mỗi số nguyên dương k (1£ k £ m) tương ứng với đúng một số u nên ta có k
thể viết dãy số đó dưới dạng khai triển: u ,u ,u ,...,u . 1 2 3 m
• Số u gọi là số hạng đầu, số u gọi là số hạng cuối của dãy số đó. 1 m
Ví dụ 1. Hàm số u (n) = 2n xác định trên tập hợp M ={1;2;3;4; }
5 là một dãy số hữu hạn.
Tìm số hạng đầu, số hạng cuối và viết dãy số trên dưới dạng khai triển. Giải
Số hạng đầu, số hạng cuối của dãy số lần lượt là: u = 2,u =10. 1 5
Dạng khai triển của dãy số đó là: 2; 4;6; 8;10.
Luyện tập 1. Hàm số u(n) 3
= n xác định trên tập hợp M ={1;2;3;4; } 5 là một dãy số hữu
hạn. Tìm số hạng đầu, số hạng cuối và viết dãy số trên dưới dạng khai triển.
c) Sản phẩm: Khái niệm và ví dụ về dãy số hữu hạn. Lời giải phần bài luyện tập 1 của các nhóm học sinh.
d) Tổ chức thực hiện: Học sinh thảo luận cặp đôi
- GV yêu cầu các nhóm đọc HĐ1 và chỉ định đại diện một nhóm trình bày đáp án.
- Từ đáp án GV đặt câu hỏi dẫn dắt ra khái niệm của dãy số hữu hạn.
+ GV mời một nhóm trả lời các câu hỏi và giới thiệu cho HS về khái
Chuyển giao
niệm dãy số hữu hạn.
- GV yêu cầu HS đọc – hiểu phần Ví dụ 1 và chỉ định một nhóm trình
bày lại cách thực hiện Ví dụ 1.
- GV tổ chức thảo luận nhóm và chỉ định một nhóm trình bày lời giải cho 4
Luyện tập 1. Các nhóm khác nhận xét đánh giá kết quả - Tìm câu trả lời
- HS làm việc cặp đôi theo bàn.
Thực hiện
- Kết quả mong đợi: Lời giải phần luyện tập 1
Số hạng đầu, số hạng cuối của dãy số lần lượt là: u =1,u =125. 1 5
Dạng khai triển của dãy số đó là: 1; 8; 27; 64; 125.
Báo cáo thảo luận * Đại diện nhóm báo cáo, các nhóm còn lại theo dõi thảo luận.
- GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của học sinh, ghi nhận
Đánh giá, nhận xét, và tuyên dương học sinh có câu trả lời tốt nhất. Động viên các học sinh còn
tổng hợp
lại tích cực, cố gắng hơn trong các hoạt động học tiếp theo - Chốt kiến thức
Hoạt động 2.2. Khái niệm dãy số vô hạn
a) Mục tiêu: Học sinh hiểu khái niệm dãy số vô hạn, vận dụng làm bài tập có liên quan b) Nội dung: 1 HĐ 2: Cho hàm số *
u(n) = , n Î • . Hãy viết các số u ,u ,...,u ,... theo hàng ngang. n 1 2 n
Ta có khái niệm về dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số) như sau: • Mỗi hàm số *
u : • ® ! được gọi là dãy số vô hạn.
Do mỗi số nguyên dương n tương ứng với đúng một số u nên ta có thể viết dãy n
số đó dưới dạng khai triển: u ,u ,...,u ,.... 1 2 n
• Số u được gọi là số hạng thứ nhất (hay số hạng đầu), số u gọi là số hạng 1 2
thứ hai, …, số u gọi là số hạng thứ n và là số hạng tổng quát của dãy số đó. n
Chú ý. Dãy số không đổi là dãy số có tất cả các số hạng đều bằng nhau.
Ví dụ 2. Cho (u u =1
n ) là dãy các số tự nhiên lẻ viết theo thứ tự tăng dần và . 1
a) Viết năm số hạng đầu của dãy số (un ).
b) Dự đoán số hạng tổng quát và viết dạng khai triển của dãy số (un ). Giải
a) Năm số hạng đầu của dãy số (u
u =1;u = 3;u = 5;u = 7;u = 9 n ) là: . 1 2 3 4 5
b) Số hạng tổng quát của dãy số (u u = 2n -1 * n Î •
n ) được dự đoán là với . n
Dạng khai triển của dãy số (u 2n -1
n ) là: 1; 3; 5; … ; , ...
Luyện tập 2. Cho dãy số 2 u = n n
a) Viết năm số hạng đầu và số hạng tổng quát của dãy số (un ).
b) Dự đoán số hạng tổng quát và viết dạng khai triển của dãy số (un ). c) Sản phẩm:
Khái niệm và ví dụ về dãy số hữu hạn. Lời giải phần bài luyện tập 2 của các nhóm học sinh. 5
d) Tổ chức thực hiện: Học sinh thảo luận cặp đôi; hoạt động nhóm lớn;
- GV mời đại diện một nhóm trình bày HĐ2 và đặt câu hỏi cho HS:
+ Quan sát kết quả là các số nằm ngang và cho biết: Dãy số này là vô hạn hay hữu hạn?
- Từ đó hướng dẫn HS tìm hiểu khái niệm dãy số vô hạn
Chuyển giao
- GV đặt câu hỏi: Có tồn tại một dãy số có dạng: 2, 2, 2, 2,…2,… không?
- HS trả lời câu hỏi GV và từ đó đưa ra chú ý.
- GV cho HS thảo luận nhóm đôi và thực hiện Ví dụ 2 theo như SGK.
- GV tổ chức thảo luận nhóm lớn và chỉ định một nhóm trình bày lời giải
cho Luyện tập 2. Các nhóm khác nhận xét đánh giá kết quả - Tìm câu trả lời
- HS làm việc cặp đôi theo bàn.
- Kết quả mong đợi: Lời giải phần luyện tập 2
a) Năm số hạng đầu của dãy số (un ) là:
Thực hiện
u =1;u = 4;u = 9;u =16;u = 25. 1 2 3 4 5
Số hạng tổng quát của dãy số (u 2 u = n * n Î • n ) là với . n
b) Dạng khai triển của dãy số (u 2 n
n ) là: 1; 4; 9; … ; , ...
Báo cáo thảo luận * Đại diện nhóm báo cáo, các nhóm còn lại theo dõi thảo luận.
- GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của học sinh, ghi nhận
Đánh giá, nhận xét, và tuyên dương học sinh có câu trả lời tốt nhất. Động viên các học sinh còn
tổng hợp
lại tích cực, cố gắng hơn trong các hoạt động học tiếp theo - Chốt kiến thức
II. Cách cho một dãy số
Hoạt động 2.3. Tìm hiểu các cách cho một dãy số
a) Mục tiêu: Học sinh hiểu được các cách cho một dãy số b) Nội dung:
HĐ 3: Xét mỗi dãy số sau:
- Dãy số: 1,4,9,16,25,36,49,64,81,100( ) 1 - Dãy số (u n ³1,u
n ) được xác định bởi: Với mỗi số tự nhiên là số thập phân hữu n
hạn có phần số nguyên là 1 và phần thập phân là n chữ số thập phân đầu tiên đứng
sau dấu ",", của số 2 . Cụ thể là:
u =1,4;u =1,41;u =1,414;u =1,4142;u =1,41421... 2 1 2 3 4 5 ( ); 6 - Dãy số (u u = (-2)n n ) vối (3) n - Dãy số (u u =1 u = u + 2 n ³ 2
n ) được xác định bởi: và với mọi (4) 1 n n 1 -
a) Hãy nêu cách xác định mỗi số hạng của lần lượt các dãy số (1), (2), (3), (4).
b) Từ đó hãy cho biết dãy số có thể cho bằng những cách nào.
Ta có thể cho dãy số bằng một trong những cách sau:
- Liệt kê các số hạng của dãy số đó (với những dãy số hữu hạn và có ít số hạng).
- Diễn đạt bằng lời cách xác định mỗi số hạng của dãy số đó.
- Cho công thức của số hạng tổng quát của dãy số đó.
- Cho bằng phương pháp truy hồi
c) Sản phẩm: Câu trả lời của học sinh
d) Tổ chức thực hiện: Học sinh thảo luận cặp đôi
- GV yêu cầu các nhóm đọc HĐ3 và chỉ định đại diện một nhóm trình
Chuyển giao bày đáp án.
- Từ đáp án GV dẫn dắt HS tìm hiểu các cách cho một dãy số - Tìm câu trả lời
- HS làm việc cặp đôi theo bàn.
- Kết quả mong đợi: Trả lời HĐ3
+ Dãy (1): liệt kê các số hạng ra ta được một dãy số, đây là cách
xác định mỗi số hạng bằng phương pháp liệt kê.
Thực hiện
+ Dãy (2): Diễn đạt các số hạng bằng lời, đây là cách xác định mỗi
số hạng bằng lời.
+ Dãy (3): Cho biết số hạng tổng quát u = (-2)n đây là cách xác n
định mỗi số hạng bằng công thức của số hạng tổng quát
+ Dãy (4): Cho bởi phương pháp truy hồi.
Báo cáo thảo luận * Đại diện nhóm báo cáo, các nhóm còn lại theo dõi thảo luận.
- GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của học sinh, ghi nhận
Đánh giá, nhận xét, và tuyên dương học sinh có câu trả lời tốt nhất. Động viên các học sinh còn
tổng hợp
lại tích cực, cố gắng hơn trong các hoạt động học tiếp theo - Chốt kiến thức
Hoạt động 2.4. Hướng dẫn học sinh vận dụng kiến thức thực hiện các ví dụ và luyện tập
a) Mục tiêu: Học sinh hiểu khái niệm dãy số vô hạn, vận dụng làm bài tập có liên quan b) Nội dung: 7
Ví dụ 3. Hãy nêu cách xác định mỗi dãy số sau:
a) Dãy số 1,8,27,64,125,216,343,512,729,1000(5) b) Dãy số (u n ³1,u
n ) được xác định bởi: Với mỗi số tự nhiên là số thập phân hữu n
hạn có phần số nguyên là 3 và phần thập phân là n chữ số thập phân đầu tiên đứng
sau dấu "," của số p (6) c) Dãy số (u 2 u = n + n n ) với (7) n d) Dãy số (u u =1 u = 2u n ³ 2 (8)
n ) được xác định bởi: và với mọi 1 n n 1 - Lời giải
a) Dãy số (5) được xác định bằng cách liệt kê các số hạng của dãy số.
b) Dãy số (6) được xác định bằng cách diễn đạt bằng lời cách xác định mỗi số hạng của dãy số.
c) Dãy số (7) được xác định bằng cách cho công thức của số hạng tổng quát của dãy số.
d) Dãy số (8) được xác định bằng cách cho bằng phương pháp truy hồi.
Ví dụ 4. Dãy số được nêu trong phần mở đầu được gọi là dãy số Fibonacci.
Dãy số Fibonacci là dãy số (u u =1,u =1 u = u + u
n ) được xác định bởi: và 1 2 n n 1 - n-2
với mọi n ³ 3 (9).
Viết mười số hạng đầu của dãy số (un ). Lời giải
Ta có: u = u = . 1 1 2
Để tìm u , thay n = 3 vào công thức (9), ta được: u = u + u =1+1 = 2. 3 3 2 1
Để tìm u , thay n = 4 vào công thức (9), ta được: u = u + u = 2 +1 = 3. 4 4 3 2
Cứ như thế, ta tìm được mười số hạng đầu của dãy số (un ) là: 1,1, 2,3,5,8,13, 21,34,55. n - 3
Luyện tập 3 Cho dãy số (u u = u ,u n ) với . Tìm
và viết dãy số dưới dạng khai n 3n +1 33 333 triển. c) Sản phẩm:
Lời giải các ví dụ và phần bài luyện tập 3 của các nhóm học sinh.
d) Tổ chức thực hiện: Học sinh thảo luận cặp đôi; hoạt động nhóm lớn;
- GV cho HS thảo luận nhóm đôi và thực hiện Ví dụ 3, 4 theo như SGK.
Chuyển giao
- GV tổ chức thảo luận nhóm lớn và chỉ định một nhóm trình bày lời giải
cho Luyện tập 3. Các nhóm khác nhận xét đánh giá kết quả - Tìm câu trả lời
Thực hiện
- HS làm việc cặp đôi theo bàn.
- Kết quả mong đợi: Lời giải phần luyện tập 3 8 33 - 3 3 u = = = 0,3; 33 3.33 +1 10 333 - 3 33 u = = = 0,33 333 3.333 +1 100
Báo cáo thảo luận * Đại diện nhóm báo cáo, các nhóm còn lại theo dõi thảo luận.
- GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của học sinh, ghi nhận
Đánh giá, nhận xét, và tuyên dương học sinh có câu trả lời tốt nhất. Động viên các học sinh còn
tổng hợp
lại tích cực, cố gắng hơn trong các hoạt động học tiếp theo - Chốt kiến thức
III. Dãy số tăng, dãy số giảm
Hoạt động 2.5. Tìm hiểu khái niệm dãy số tăng, dãy số giảm
a) Mục tiêu: Học sinh hiểu khái niệm dãy số tăng, dãy số giảm, vận dụng kiến thức để làm các ví dụ có liên quan b) Nội dung:
HĐ 4. Cho dãy số (u 2 u = n u u u n ) vối . Tính . Từ đó, hãy so sánh và với mọi n n 1 + n 1 + n * n Î • . - Dãy số (u u > u * n Î •
n ) được gọi là dãy số tăng nếu với mọi . n 1 + n - Dãy số (u u < u * n Î •
n ) được gọi là dãy số giảm nếu với mọi . n 1 + n
Ví dụ 5. Chứng minh rằng dãy số (u u = 3n - 2 n ) với là một dãy số tăng. n Lời giải Với mọi *
n Î • , ta có: u = 3(n +1) - 2 = 3n + . 1 n 1 +
Xét hiệu: u - u = (3n +1) - (3n - 2) = 3 > 0 hay u > u với mọi * n Î • . n 1 + n n 1 + n
Vậy dãy số (un ) là một dãy số tăng. 1
Luyện tập 4. Chứng minh rằng dãy số (v v = n ) với là một dãy số giảm. n 3n Chú ý
Không phải mọi dãy số đều là dãy số tăng hay dãy số giảm. Chẳng hạn, dãy số (un ) với u = ( 1
- )n có dạng khai triển: 1, - 1, 1, - 1, 1,
- … không là dãy số tăng, cũng không n là dãy số giảm.
c) Sản phẩm: Khái niệm dãy số tăng, dãy số giảm, các câu trả lời và lời giải của học sinh
d) Tổ chức thực hiện: Học sinh làm việc theo cặp đôi
* GV tổ chức hoạt động trao đổi thảo luận của các nhóm.
* Trên cơ sở câu trả lời của học sinh, giáo viên chuẩn hóa kiến thức, từ
Chuyển giao
đó giới thiệu về khái niệm dãy số tăng, dãy số giảm
* GV tổ chức cho các nhóm tìm hiểu các ví dụ, từ đó thảo luận và làm bài luyện tập 4. 9
* GV gọi đại diện một nhóm lên trình bày lời giải của phần luyện tập 4,
các nhóm khác nhận xét, góp ý.
- HS thảo luận theo nhóm thực hiện nhiệm vụ
- GV theo dõi, hỗ trợ, hướng dẫn các nhóm
- Học sinh đại diện nhóm trình bày lời giải
Kết quả mong đợi: Lời giải phần luyện tập 4 1 Ta có: v = n 1 + n 1 3 +
Thực hiện Xét hiệu: 1 1 2 1 * v - v = - = - . < 0, n " Ε . n 1 + n n 1 3 + 3n 3 3n Vậy v
> v . Vậy dãy số giảm. n 1 + n
Báo cáo thảo luận * Đại diện nhóm báo cáo, các nhóm còn lại theo dõi thảo luận.
- GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của học sinh, ghi nhận
Đánh giá, nhận xét, và tuyên dương học sinh có câu trả lời tốt nhất. Động viên các học sinh còn
tổng hợp
lại tích cực, cố gắng hơn trong các hoạt động học tiếp theo - Chốt kiến thức Tiết 2. IV. Dãy số bị chặn
Hoạt động 2.6. Tìm hiểu khái niệm dãy số bị chặn
a) Mục tiêu: Học sinh hiểu khái niệm dãy số bị chặn, vận dụng kiến thức để làm các ví dụ có liên quan b) Nội dung: 1 HĐ 5. Cho dãy số (u u = 1+ u £ 2 * n Î • n ) với . Khẳng định vối mọi có đúng không? n n n - Dãy số (u M u £ M
n ) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số sao cho với mọi n * n Î • . - Dãy số (u m u ³ m
n ) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số sao cho vối mọi n * n Î • .
- Dãy số (un ) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới; tức là tồn
tại các số m và M sao cho m £ u £ M với mọi * n Î • . n 2n + 5
Ví dụ 6. Chứng minh rằng dãy số (u u = n ) với là bị chặn. n n +1 Lời giải 2n + 5 2(n +1) + 3 3 Ta có: * u = = = 2 + , n " Ε . n n +1 n +1 n +1 3 3 3 7 7 Vì * 0 < £ , n " Î • nên 2 < 2 + £ hay * 2 < u £ , n " Ε . n +1 2 n +1 2 n 2 10
Vậy dãy số (un ) là dãy số bị chặn. 2 n +1
Luyện tập 5. Chứng minh rằng dãy số (u u = n ) với là bị chặn. n 2 2n + 4
c) Sản phẩm: Khái niệm dãy số bị chặn, các câu trả lời và lời giải của học sinh
d) Tổ chức thực hiện: Học sinh làm việc theo cặp đôi
* GV tổ chức hoạt động trao đổi thảo luận của các nhóm.
* Trên cơ sở câu trả lời của học sinh, giáo viên chuẩn hóa kiến thức, từ
đó giới thiệu về khái niệm dãy số bị chặn
Chuyển giao
* GV tổ chức cho các nhóm tìm hiểu các ví dụ, từ đó thảo luận và làm bài luyện tập 5.
* GV gọi đại diện một nhóm lên trình bày lời giải của phần luyện tập 4,
các nhóm khác nhận xét, góp ý.
- HS thảo luận theo nhóm thực hiện nhiệm vụ
- GV theo dõi, hỗ trợ, hướng dẫn các nhóm
- Học sinh đại diện nhóm trình bày lời giải
Kết quả mong đợi: Lời giải phần luyện tập 5 2 2 n +1 1 æ n +1 ö 1 æ 1 ö 1 Ta có: u = = ç ÷ = 1- < n 2 2 ç 2 ÷ 2n + 4 2 n + 2 2 è ø è n + 2 ø 2
Thực hiện 2 n +1 Ta lại có: * u = > 0, n " Ε . n 2 2n + 4 1 Do đó *
0 < u < , n " Ε . n 2
Vậy dãy số (un ) bị chặn.
Báo cáo thảo luận * Đại diện nhóm báo cáo, các nhóm còn lại theo dõi thảo luận.
- GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của học sinh, ghi nhận
Đánh giá, nhận xét, và tuyên dương học sinh có câu trả lời tốt nhất. Động viên các học sinh còn
tổng hợp
lại tích cực, cố gắng hơn trong các hoạt động học tiếp theo - Chốt kiến thức
3. Hoạt động 3: Luyện tập
a) Mục tiêu: bước đầu biết vận dụng các khái niệm về dãy số đã học giải các bài toán có liên quan b) Nội dung: Bài 1.
Viết năm số hạng đầu của mỗi dãy số có số hạng tổng quát u cho bởi công thức sau: n n - 2n n æ ö a) 2 u = 2n + ( 1) 1 b) u = ; c) u = 1 d) u = 1+ . n n ç ÷ 2n -1 n n n è n ø
Bài 3. Xét tính tăng, giảm của mỗi dãy số (un ), biết: 11 n - 3 3n a. u = b. u = c. u = (- ) 1 n (2n + n )1. n n + 2 n 2 .nn!
Bài 4. Trong các dãy số (un ) được xác định như sau, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên, bị chặn 1 a. 2
u = n + 2. b. u = 2 - n +1; c. u = . n n n 2 n + n
Bài 5. Cho dãy số thực dương (u (un)
n ) . Chứng minh rằng dãy số
là dãy số tăng khi và chỉ khi
un 1+ >1 với mọi * n Î • . un
c) Sản phẩm: Bài làm của học sinh Lời giải Bài 1.
Viết năm số hạng đầu của dãy số
a) u = 3;u = 9;u =19;u = 33;u = 5 1 1 2 3 4 5 1 1 1 1 b) u = 1
- ;u = ;u = - ;u = ;u = - ; 1 2 3 4 5 3 5 7 9 8 32
c) u = 2;u = 2;u = ;u = 4;u = 1 2 3 4 5 3 5 9 64 625 7776
d) u = 2;u = ;u = ;u = ;u = . 1 2 3 4 5 4 27 256 3125
Bài 3. Xét tính tăng, giảm của mỗi dãy số (un ), biết: n - 3 a. u = n n + 2 n - 2 Ta có: u = . Suy ra : n 1 + n + 3 n - 2 n - 3 u - u = - = n - n + - n - n +
= n - - n - = > n+ n
( 2)( 2) ( 3)( 3) 2 4 ( 2 9 5 0 1 ) n + 3 n + 2
Vậy dãy (un ) là dãy số tăng 3n b. u = n 2 .nn! n 1 3 + 3 Ta có: u = = u . Suy ra : n 1 + n 1 2 + .(n + ) 1 ! 2(n + ) 1 n u 3 n 1 + =
<1. Vậy u < u , từ đó dãy số (un ) là dãy số giảm u 2. n n 1 + n n ( + ) 1 c. u = (- ) 1 n (2n + n )1. Ta có: u = - n n + n+ ( ) 1 1 + ( 1 2 + 1 1 ).
Nếu n chẵn ta có u = - 2.2n +1 u = 2n +1 u < u (un) n 1 + ( ) và . Từ đó , suy ra dãy số là dãy số n n 1 + n giảm. 12
Nếu n lẻ ta có u = 2.2n + 1 và u = - u > u (un) n (2n + )1. Từ đó , suy ra dãy số là dãy số n 1 + n 1 + n tăng.
Bài 4. Trong các dãy số (un ) được xác định như sau, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên, bị chặn a. 2 u = n + 2. n Ta có *
nΕ nên n ³1. Suy ra 2 u = n + 2 ³ . 3 n
Vậy dãy số (un ) bị chặn dưới. b. u = 2 - n +1 n Ta có *
nΕ nên n ³1. Suy ra u = 2 - n +1£ - . 1 n
Vậy dãy số (un ) bị chặn trên. 1 c. u = . n 2 n + n 1 1 1 Ta có u = = - n 2 n + n n n +1 1 1 Vì *
nΕ nên n ³1. Suy ra > Þ u > 0. n n +1 n 1 1 Ta lại có 2
n + n ³ 2 Þ u = £ . n 2 n + n 2 1
Từ đó 0 < u £ . Suy ra dãy số (un ) bị chặn. n 2
Bài 5. Cho dãy số thực dương (u (un)
n ) . Chứng minh rằng dãy số
là dãy số tăng khi và chỉ khi
un 1+ >1 với mọi * n Î • . un u Ta có nếu (u n 1 + u > u Þ >1 * n Î •
n ) là dãy số tăng thì với mọi . n 1 + n un u Nếu n 1 + >1 với mọi *
n Î • suy ra u > u . Vậy (un ) là dãy số tăng u n 1 + n n
d) Tổ chức thực hiện: Làm việc theo nhóm đôi
* GV đề nghị hs nêu cách giải từng phần và lời giải chi tiết.
Chuyển giao
* GV nhận xét và chuẩn hóa lời giải
* HS suy nghĩ đưa ra lời giải.
Thực hiện
* Thảo luận theo nhóm đôi
Báo cáo thảo luận * Đại diện nhóm báo cáo, các nhóm còn lại theo dõi thảo luận.
- GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của học sinh, ghi nhận
Đánh giá, nhận xét, và tuyên dương học sinh có câu trả lời tốt nhất. Động viên các học sinh còn
tổng hợp
lại tích cực, cố gắng hơn trong các hoạt động học tiếp theo - Chốt kiến thức 13
4. Hoạt động 4: Vận dụng
a) Mục tiêu: Vận dụng khái niệm dãy số vào giải quyết các bài toán thực tiễn. b) Nội dung: Bài 2.
a) Gọi u là số chấm ở hàng thứ n trong Hình 1 . Dự đoán công thức của số hạng n
tổng quát cho dãy số (un ).
b) Gọi v là tổng diện tích của các hình tô màu ở hàng thứ n trong Hình 2 (mỗi ô n
vuông nhỏ là một đơn vị diện tích). Dự đoán công thức của số hạng tổng quát cho dãy số (vn ).
Bài 6. Chị Mai gửi tiền tiết kiệm vào ngân hàng theo thể thức lãi kép như sau: Lần đầu chị gửi
100 triệu đồng. Sau đó, cứ hết 1 tháng chị lại gửi thêm vào ngân hàng 6 triệu đồng. Biết lãi suất
của ngân hàng là 0,5% một tháng. Gọi P (triệu đồng) là số tiền chị có trong ngân hàng sau n n tháng.
a. Tính số tiền chị có trong ngân hàng sau 1 tháng.
b. Tính số tiền chị có trong ngân hàng sau 3 tháng.
c. Dự đoán công thức của P tính theo n . n
c) Sản phẩm: Kết quả bài làm của học sinh. Lời giải
Bài 2: a) Số chấm ở hàng thứ nhất là: u =1; 1
Số chấm ở hàng thứ hai là: u = 2; 2
Số chấm ở hàng thứ ba là: u = 3; 3
Số chấm ở hàng thứ tư là: u = 4; 4
Vậy số chấm ở hàng thứ n là: u = n n
b) Diện tích của các ô màu ở hàng thứ nhất là: 3 v = 1 = 1 ; 1
Diện tích của các ô màu ở hàng thứ hai là: 3 v = 8 = 2 ; 2 14
Diện tích của các ô màu ở hàng thứ ba là: 3 v = 27 = 3 ; 3
Diện tích của các ô màu ở hàng thứ tư là: 3 v = 64 = 4 ; 4
Vậy diện tích của các ô màu ở hàng thứ n là: 3 v = n . n Bài 6.
a) Số tiền chị có trong ngân hàng sau 1 tháng là:
P1 = 100 + 100.0,5% + 6 = 100,5 + 6 (triệu đồng).
b) Số tiền chị có trong ngân hàng sau 2 tháng là:
P2 = 100,5 + 6 + (100,5 + 6).0,5% + 6= (100,5 + 6)(1 + 0,5%) + 6 = 100,5(1 + 0,5%) + 6.(1 + 0,5%) + 6 (triệu đồng)
Số tiền chị có trong ngân hàng sau 3 tháng là:
P3 = (100,5 + 6)(1 + 0,5%) + 6 + [(100,5 + 6)(1 + 0,5%) + 6 ].0,5% + 6
= 100,5.(1 + 0,5%)2 + 6(1 + 0,5%)2 + 6.(1 + 0,5%) + 6 (triệu đồng).
c) Số tiền chị có trong ngân hàng sau 4 tháng là:
P4 = (100,5 + 6)(1 + 0,5%)2 + 6.(1 + 0,5%) + 6 + [(100,5 + 6)(1 + 0,5%)2 + 6.(1 + 0,5%) + 6]0,5% + 6
= 100,5.(1 + 0,5%)3 + 6.(1 + 0,5%)3 + 6(1 + 0,5%)2 + 6.(1 + 0,5%) + 6
Số tiền chị có trong ngân hàng sau n tháng là:
Pn = 100,5.(1 + 0,5%)n-1 + 6(1 + 0,5%)n-1 + 6(1 + 0,5%)n-2 + 6.(1 + 0,5%)n-3 + ... + 6 (triệu
đồng) với mọi n ∈ ℕ*.
d) Tổ chức thực hiện: Thảo luận cặp đôi, theo nhóm.
- GV hướng dẫn học sinh tiếp cận vấn đề và giao nhiệm vụ
- GV đề nghị HS nêu cách giải từng phần và lời giải chi tiết.
Chuyển giao
- GV yêu cầu học sinh vẽ hình minh họa
- GV nhận xét và chuẩn hóa lời giải
- HS suy nghĩ đưa ra lời giải.
Thực hiện
- Thảo luận theo nhóm đôi
Báo cáo thảo luận * Đại diện nhóm báo cáo, các nhóm còn lại theo dõi thảo luận.
Đánh giá, nhận xét, - GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của học sinh, ghi nhận
tổng hợp
và tuyên dương học sinh có câu trả lời tốt nhất. Động viên các học sinh còn 15
lại tích cực, cố gắng hơn trong các hoạt động học tiếp theo - Chốt kiến thức 16
TÊN BÀI DẠY: CẤP SỐ CỘNG
Môn học/Hoạt động giáo dục: Toán; lớp: 11
Thời gian thực hiện: 02 tiết I. Mục tiêu 1. Về kiến thức:
– Nhận biết được một dãy số là cấp số cộng.
– Giải thích được công thức xác định số hạng tổng quát của cấp số cộng.
– Tính được tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng.
– Giải quyết được một số vấn đề thực tiễn gắn với cấp số cộng để giải một số bài toán liên
quan đến thực tiễn (ví dụ: một số vấn đề trong Sinh học, trong Giáo dục dân số,...). 2. Về năng lực:
– Năng lực tư duy và lập luận toán học: Bao gồm khả năng nhận biết và sử dụng quy tắc và
mối quan hệ trong cấp số cộng để đưa ra luận điểm, đặt giả định và đi đến kết luận toán học.
– Năng lực Giao tiếp toán học: Năng lực này được thể hiện thông qua khả năng diễn đạt ý
tưởng, quan điểm và luận điểm toán học một cách rõ ràng và chính xác. Trong bài "Cấp số
cộng", việc trình bày các bước giải quyết vấn đề, các quy tắc và quan hệ trong cấp số cộng và
truyền đạt thông tin toán học một cách hiệu quả.
– Năng lực mô hình hóa toán học: Trong bài "Cấp số cộng", việc mô hình hóa các quy tắc và
quan hệ trong cấp số cộng thành các biểu thức và phương trình toán học.
– Năng lực giải quyết vấn đề toán học: Sử dụng các công thức, thuật toán và quy tắc để tìm
ra quy luật và thuật toán trong cấp số cộng và giải quyết các câu hỏi liên quan đến cấp số cộng.
Thông qua các thao tác: nhận biết được một dãy số là cấp số cộng, thể hiện được công thức của
số hạng tổng quát, tính được tổng n số hạng đầu của cấp số cộng,... 3. Về phẩm chất:
– Chăm học, chịu khó đọc sách giáo khoa, tài liệu liên quan đến cấp số cộng qua đó nhận thức
được Toán học giúp giải quyết bài Toán thực tế trong đời sống
– Rèn luyện tính cẩn thận, chính xác. Tư duy các vấn đề toán học một cách lôgic và hệ thống.
– Có trách nhiệm trog hoạt động nhóm, chủ động nhận và thực hiện nhiệm vụ cá nhân cũng
như thực hiện nhiệm chung của nhóm trong tìm hiểu kiến thức, tìm hiểu ứng dụng của cấp số cộng.
– Trung thực, sáng tạo trong quá trình học tập, tìm hiểu bài toán thực tế.
– Hình thành tư duy logic, lập luận chặt chẽ, và linh hoạt trong quá trình học tập nội dung bài học.
II. Thiết bị dạy học và học liệu 1) Giáo viên
– SGK, tài liệu giảng dạy, giáo án 2) Học sinh
– SGK, vở ghi, giấy nháp, đồ dùng học tập 17
III. Tiến trình dạy học Tiết 1:
1. Hoạt động 1: Khởi động
a) Mục tiêu: Tạo hứng thú, thu hút học sinh tìm hiểu nội dung bài học b) Nội dung:
HS đọc tình huống mở đầu, suy nghĩ trả lời câu hỏi.
Ruộng bậc thang là một hình thức canh tác có nhiều ở khu vực Tây Bắc và Đông Bắc Việt Nam.
Hình ảnh ruộng bậc thang thể hiện nét đẹp văn hóa, là công trình nghệ thuật độc đáo của đồng
bào vùng cao phía Bắc. Ruộng bậc thang ở một số nơi đã trở thành những địa chỉ tham quan du
lịch đầy hấp dẫn của du khách trong nước và quốc tế.
Một ruộng bậc thang có thửa thấp nhất nằm ở độ cao 1 250 m so với mực nước biểu, độ chênh
lệch giữa thửa trên và thửa dưới trung bình là 1,2 m.
Hỏi thửa ruộng ở bậc thứ 10 có độ cao là bao nhiêu so với mực nước biển?
(Ruộng bậc thang Mù Cang Chải – Yên Bái) c) Sản phẩm:
HS đưa ra những nhận định ban đầu về cấp số cộng và số hạng tổng quát của cấp số cộng
(HS chưa cần giải bài toán).
Ta có thửa ruộng thấp nhất có độ cao u = 1250 m so với mực nước biển. 1
Thửa ruộng ở bậc thứ hai cao hơn so với mực nước biển là: u = 1250 +1,2 (m). 2
Thửa ruộng ở bậc thứ ba cao hơn so với mực nước biển là: u = 1250 +1,2 +1,2 (m). 3 …
Thửa ruộng ở bậc thứ 10 cao hơn so với mực nước biển là: u = 1250 + 9.1,2 = 1260, 8 (m) 10
d) Tổ chức thực hiện: 18
Chuyển giao nhiệm vụ
- GV yêu cầu HS đọc bài toán mở đầu:
Thực hiện nhiệm vụ
- HS quan sát và chú ý lắng nghe, thảo luận cặp đôi hoàn thành yêu cầu.
- Kích thích sự tò mò của học sinh. Tính được độ cao của thửa
ruộng bậc thứ 10 so với mực nước biển
Báo cáo, thảo luận
- GV gọi một số HS trả lời, HS khác nhận xét, bổ sung.
Kết luận, nhận định
- GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của học sinh,
ghi nhận và tuyên dương học sinh có câu trả lời tốt nhất. Động
viên các học sinh còn lại tích cực, cố gắng hơn trong các hoạt động học tiếp theo
- Chốt kiến thức, dẫn dắt vào bài
2. Hoạt động 2: Hình thành kiến thức mới
Hoạt động 2.1: Tìm hiểu định nghĩa cấp số cộng a) Mục tiêu:
- HS hình thành và phát biểu được định nghĩa của cấp số cộng.
- HS sử dụng được định nghĩa để xử lí một số bài toán đơn giản có trong bài. b) Nội dung:
HS đọc SGK, nghe giảng, thực hiện các nhiệm vụ được giao, suy nghĩ trả lời câu hỏi, thực hiện
các hoạt động 1, Luyện tập 1, 2, đọc hiểu ví dụ. H1: Cho dãy số 2, - 3,8,13,18,23,28.
Kể từ số hạng thứ hai, nêu mối liên hệ của mỗi số hạng với số hạng đứng ngay trước nó.
Ví dụ 1. Cho cấp số cộng (u u = 9 d = 2 - n ) với , công sai
. Viết ba số hạng đầu của cấp số 1 cộng đó. Giải
Ba số hạng đầu của cấp số cộng (u u = 9 n ) là ; 1
u = u + d = 9 + 2
- = 7 u = u + d = 7 + 2 - = 5 3 2 ( ) 2 1 ( ) ; . ? Cho (u u = 7 - u = 2 -
n ) là cấp số cộng với ,
. Viết năm số hạng đầu của cấp số cộng đó. 1 2
Ví dụ 2. Dãy các số tự nhiên lẻ liên tiếp 1,3,5,..., 2n -1,.. .có là cấp số cộng hay không? Vì sao? Giải
Dãy các số tự nhiên lẻ liên tiếp 1,3,5,..., 2n -1,.. l.à cấp số cộng vì kể từ số hạng thứ hai, mỗi số
hạng bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với 2 . Công sai của cấp số cộng này là 2 . ? Cho dãy số (u u = 5 - n + 7 n ³ (un) n ( )1 n ) với . Dãy số
có là cấp số cộng không? Vì sao?
c) Sản phẩm: 19
HS hình thành được kiến thức bài học, câu trả lời của HS cho các câu hỏi. HS nhận biết được công thức cộng.
+) HĐ1: Số hạng thứ hai là số 3, so với số hạng đầu tiên ta thấy 3 lớn hơn 2 - năm đơn vị. Số
hạng thứ ba là số 8, so với số hạng đứng ngay trước nó ta thấy 8 hơn 3 năm đơn vị,…. Vậy ta
thấy kể từ số hạng thứ hai trở đi số hạng sau hơn số hạng trước năm đơn vị.
Định nghĩa: Cấp số cộng là một dãy số, trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng
tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi d , tức là: u = u + d với n ³ 2 . n n 1 -
Số d được gọi là công sai của cấp số cộng Nếu (u d n ³ 2 u - u = d
n ) là cấp số cộng với công sai
thì với số tự nhiên , ta có: . n n 1 -
Chú ý: Khi d = 0 thì cấp số cộng là một dãy số không đổi.
+) Luyện tập 1: Năm số hạng đầu của cấp số cộng: -7; -2; 3; 8; 13.
+) Luyện tập 2: Dãy số u = 5
- n + 7 là cấp số cộng vì kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng bằng n
số hạng đứng ngay trước nó cộng với -5. Công sai của cấp số cộng này là -5.
d) Tổ chức thực hiện:
Chuyển giao nhiệm vụ
- GV cho HS quan sát HĐ1 và chỉ định 1 HS đứng tại chỗ trả lời nhanh HĐ này. H1: Cho dãy số 2, - 3,8,13,18,23,28.
Kể từ số hạng thứ hai, nêu mối liên hệ của mỗi số hạng với số
hạng đứng ngay trước nó.
- Nêu khái niệm cấp số cộng?
- Cách tìm công sai của một cấp số cộng?
- Khi d = 0 thì cấp số cộng có điều gì đặc biệt?
- HS đọc, hiểu và trình bày lại ví dụ 1 sau đó làm Luyện tập 1
- HS đọc, hiểu và trình bày lại ví dụ 2 sau đó làm Luyện tập 2
Thực hiện nhiệm vụ
HS theo dõi SGK, chú ý lắng nghe, hoạt động cặp đôi thực hiện yêu cầu
GV quan sát, giúp đỡ học sinh
Báo cáo, thảo luận
HS giơ tay phát biểu, HS khác nhận xét, bổ sung ý kiến
Kết luận, nhận định
GV nhận xét, đánh giá học tập của học sinh
Chốt kiến thức Khái niệm cấp số cộng
Hoạt động 2.2: Số hạng tổng quát. 20 a) Mục tiêu:
- HS nắm được công thức số hạng tổng quát của một cấp số cộng.
- HS vận dụng công thức tổng quát của cấp số cộng để thực hiện một số bài tập có trong bài.
b) Nội dung: HS đọc SGK để tìm hiểu nội dung kiến thức theo yêu cầu của GV, chú ý nghe
giảng, thực hiện HĐ 2, Luyện tập 3, ví dụ.
H2. Cho cấp số cộng (u u d
n ) có số hạng đầu , công sai . 1
a. Viết năm số hạng đầu của cấp số cộng theo u và d . 1
b. Dự đoán công thức tính u theo u và d n 1 1
Ví dụ 3: Cho cấp số cộng với (u u = 1 d = -
n ) với số hạng đầu , công sai . 1 2 2 a. Tính u . 20 b. Số 99
- là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng (un )? Giải
a. Theo công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng, ta có: 1 æ 1 ö
u = u + 20 -1 d = +19. - = 9 - 20 1 ( ) . ç ÷ 2 è 2 ø b. Giả sử 99
- là số hạng thứ n của cấp số cộng. Ta có: 1 99 - - u - u n 1 2 n = +1 = +1 = 200. d 1 - 2 Vậy số 99
- là số hạng thứ 200 của cấp số cộng (un ).
c) Sản phẩm: HS hình thành được kiến thức bài học, câu trả lời của HS cho các câu hỏi. HS
nắm được công thức số hạng tổng quát của một cấp số cộng. + Hoạt động 2:
a) Năm số hạng đầu của cấp số cộng theo u và d là 1
u ,u = u + d,u = u + 2d,u = u + 3d,u = u + 4d 1 2 1 3 1 4 1 5 1
b) u = u + (n -1)d n 1
Nếu cấp số cộng (u u d u
n ) có số hạng đầu
và công sai thì số hạng tổng quát , được xác 1 n
định bởi công thức: u = u + n -1 d n ³ 2 n 1 ( ) với . u - u
Nhận xét: Từ công thức u = u + n -1 d n 1 n = +1 n ³ 2 n 1 ( ) , ta có: với . d 21
+ Luyện tập 3: Ta có độ cao các thửa ruộng so với mực nước biển tạo thành một cấp số cộng với
số hạng đầu u = 1250 d =1,2 1 và công sai . Vậy độ cao của thửa ruộng thứ 10 so với mực nước biển là
u =1250 + (10 -1).1,2 =1260,8( ) m 10
d) Tổ chức thực hiện:
Chuyển giao nhiệm vụ
GV đưa ra các nhiệm vụ học tập:
- Hoạt động cặp đôi thực hiện HĐ2
- Đưa ra công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng
- Rút n từ công thức số hạng tổng quát
- Đọc hiểu Ví dụ 3, áp dụng công thức nào
- GV cho HS thực hiện phần Luyện tập 3 và hướng dẫn, đặt câu hỏi gợi ý:
+ Ta thấy độ cao các thửa ruộng so với mực nước biển tạo thành
một cấp số cộng. Vậy số hạng đầu và công sai là bao nhiêu?
+ Hãy tìm công thức tổng quát của cấp số cộng đó?
+ Độ cao của thửa ruộng ở bậc thứ 10 chính là u . Ta tính 10
được giá trị của u . 10
Thực hiện nhiệm vụ
HS theo dõi SGK, chú ý lắng nghe, hoạt động cặp đôi thực hiện yêu cầu
GV quan sát, giúp đỡ học sinh
Báo cáo, thảo luận
HS giơ tay phát biểu, HS khác nhận xét, bổ sung ý kiến
Kết luận, nhận định
GV nhận xét, đánh giá học tập của học sinh
Chốt kiến thức Số hạng tổng quát của Cấp số cộng
Hoạt động 2.3: Tổng n số hạng đầu của cấp số cộng a) Mục tiêu:
- HS nắm được công thức tổng n số hạng đầu của cấp số cộng.
- HS vận dụng công thức tổng n số hạng đầu của cấp số cộng để thực hiện một số bài tập có trong bài.
b) Nội dung: HS đọc SGK để tìm hiểu nội dung kiến thức theo yêu cầu của GV, chú ý nghe
giảng, thực hiện HĐ 3, Luyện tập 4, ví dụ 4,5.
H3. Cho cấp số cộng (u u d
n ) có số hạng đầu , công sai . 1
a. So sánh các tổng: u + u ; u + u ; …; u + u . 1 n 2 n 1 - n 1 22
b. Đặt S = u + u + u +...+ u . So sánh n(u + u 2S 1 n ) với . n 1 2 3 n n
Vỉ dụ 4. Tính tổng: S = 1+ 5 + 9 +13 +…+ 97 . Giải Ta thấy dãy số 1,5,9, ,
… 97 là cấp số cộng có số hạng đầu u =1, số hạng cuối u = 97 1 n
, công sai d = 4 . Vì thế, số các số hạng của cấp số cộng trên là: u - u 97 -1 n 1 n = +1 = +1 = 25. d 4 (1+97)×25 Vậy S = =1225. 2
Luyện tập 4. Tính tổng n số hạng đầu của mỗi cấp số cộng sau: a) 3,1, 1 - , … với n =10 ;
b) 1, 2;1,7;2, 2;… với n = 15.
Ví du 5. Một nhà thi đấu có 20 hàng ghế dành cho khán giả. Hàng thứ nhất có 20 ghế, hàng thứ
hai có 21 ghế, hàng thứ ba có 22 ghế, ... Cứ như thế, số ghế ở hàng sau nhiều hơn số
ghế ở hàng trước là 1 ghế. Trong một giải thi đấu, ban tổ chức đã bán được hết số vé
phát ra và số tiền thu được từ bán vé là 70800000 đồng. Tính giá tiền của mỗi vé (đơn
vị: đồng), biết số vé bán ra bằng số ghế dành cho khán giả của nhà thi đấu và các vé là đồng giá. Giải
Số ghế ở mỗi hàng lập thành một cấp số cộng có số hạng đầu u = 20, công sai d = 1. 1
Cấp số cộng này có 20 số hạng. é2×20 + ë (20- )1×1ù×20
Do đó, tổng số ghế trong nhà thi đấu là: S û = = 590. 20 2
Vì số vé bán ra bằng số ghế dành cho khán giả của nhà thi đấu nên số vé bán ra là 590
. Vậy giá tiền của một vé là: 70800000 : 590 = 120000 (đồng).
c) Sản phẩm: HS hình thành được kiến thức bài học, câu trả lời của HS cho các câu hỏi. HS
nắm được công thức tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng. + Hoạt động 3: a) Ta có
u + u = u + u + (n -1)d = 2u + (n -1)d 1 n 1 1 1 u + u
= u + d + u + (n -1-1)d = 2u + (n -1)d 2 n 1 - 1 1 1 ...
u + u = u + (n -1)d + u = 2u + (n -1)d n 1 1 1 1
Ta thấy u + u = u + u = ... = u + u . 1 n 2 n 1 - n 1 b) Ta có 23
2S = 2(u + u + ... + u ) n 1 2 n
= (u + u ) + (u + u ) + ...+ (u + u ) 1 n 2 n 1 - n 1
= 2u + (n -1).d + ...+ 2u + (n -1).d 1 1
= 2nu + n(n -1)d 1
= n(u + u + (n -1)d) 1 1
= n(u + u ) 1 n
Cho cấp số cộng (u u d
S = u + u + u +…+ u
n ) có số hạng đầu và công sai . Đặt . 1 n 1 2 3 n Khi đó: (u +u n 1 n ) S = n 2 Nhận xét:
é2u + n -1 d ù n ë 1 ( )
Do u = u + n -1 d
u + u = 2u + n -1 d S û = 1 n 1 ( ) n 1 ( ) nên . Suy ra . n 2 + Luyện tập 4: a) Ta có 3,1, 1
- ,... là cấp số cộng với số hạng đầu u = 3 và công sai d =1-3 = 2 - 1
Khi đó u = 3 + (10 -1).( 2 - ) = 1 - 5 10 10(3 + ( 15 - )) Vậy S = = 60 - 10 2
b) Ta có 1,2;1,7;2,2;... là cấp số cộng với số hạng đầu u = 1,2 và công sai d =1,7 -1,2 = 0,5 1
Khi đó u = 1,2 + (15 -1).0,5 = 8,2 15 15(1,2 + 8,2) Vậy S = = 70,5 15 2
d) Tổ chức thực hiện:
Chuyển giao nhiệm vụ
GV đưa ra các nhiệm vụ học tập:
- Hoạt động nhóm 4 người thực hiện HĐ3
- Đưa ra công thức tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng.
- Thay công thức SGTQ u = u + n -1 d n 1 ( ) vào công thức tổng n
số hạng đầu của CSC, rút ra công thức
- Đọc hiểu Ví dụ 4,5, áp dụng công thức nào
- GV cho HS thực hiện phần Luyện tập 4 và hướng dẫn, đặt câu hỏi gợi ý
+ Áp dụng công thức nào? + Xác định công sai d, n 24
Thực hiện nhiệm vụ
HS theo dõi SGK, chú ý lắng nghe, hoạt động nhóm 4 ngừoi thực hiện yêu cầu
GV quan sát, giúp đỡ học sinh
Báo cáo, thảo luận
HS giơ tay phát biểu, HS khác nhận xét, bổ sung ý kiến
Kết luận, nhận định
GV nhận xét, đánh giá học tập của học sinh
Chốt kiến thức Tổng n số hạng đầu của CSC Tiết 2
3. Hoạt động 3: Luyện tập
a) Mục tiêu: Nhận biết được một dãy số là cấp số cộng, giải thích được công thức xác định
số hạng tổng quát của cấp số cộng, tính được tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng. b) Nội dung: Bài 1.
Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số cộng? Vì sao? a) 10, 2 - , 14 - , 26 - , 38 - 1 5 11 7 ; b) , , 2, , ; 2 4 4 2 c) 1, 2, 3, 4, 5 ; d) 1, 4,7,10,13. Bài 2.
Trong các dãy số (un ) với số hạng tổng quát sau, dãy số nào là cấp số cộng? Nếu là
cấp số cộng, hãy tìm số hạng đầu u và công sai d . 1 n + a) u = 3- 3 7 2n ; b) u = c) u = 3n . n n 5 n Bài 3.
Cho cấp số cộng (u u = 3 - d = 5
n ) có số hạng đầu , công sai . 1
a) Viết công thức của số hạng tổng quát u . n
b) Số 492 là số hạng thứ mấy của cấp số cộng trên?
c) Số 300 có là số hạng nào của cấp số cộng trên không? Bài 4.
Cho cấp số cộng (u u = 4,u =1 u n ) có . Tính . 1 2 10 1 Bài 5.
Cho cấp số cộng (u u =
u + u + u = 1 - n ) với và . 1 3 1 2 3
a) Tìm công sai d và viết công thức của số hạng tổng quát u . n
b) Số - 67 là số hạng thứ mấy của cấp số cộng trên?
c) Số 7 có phải là một số hạng của cấp số cộng trên không? Bài 6.
Tính tổng 100 số hạng đầu của dãy số (u u = 0,3n + 5 n ³ 1 n ) với với mọi . n
c) Sản phẩm: Bài làm của học sinh Bài 1.
Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số cộng? Vì sao? a) 10, 2 - , 14 - , 26 - , 38
- ; là CSC với số hạng đầu u =10, công sai d = 12 - 1 1 5 11 7 1 b) , , 2,
, ; là CSC với số hạng đầu u = 3 , công sai d = 2 4 4 2 1 2 4
c) 1, 2, 3, 4, 5 ; không là CSC
d) 1, 4,7,10,13. là CSC với số hạng đầu u =1, công sai d = 3 1 25 Bài 2.
Trong các dãy số (un ) với số hạng tổng quát sau, dãy số nào là cấp số cộng? Nếu là
cấp số cộng, hãy tìm số hạng đầu u và công sai d . 1 a) u = 3- 2n ; n Ta có u
= 3- 2(n +1) =1- 2n n 1 +
Xét hiệu u - u =1- 2n - (3- 2n) = 2 - n 1 + n Vì vậy dãy số (u u =1 d = 2 -
n ) là CSC với số hạng đầu , công sai 1 3n + 7 b) u = n 5 Dãy số (u u = 3 2 d =
n ) là CSC với số hạng đầu , công sai 1 5 c) u = 3n . n
Dãy số (un )là không là CSC Bài 3.
Cho cấp số cộng (u u = 3 - d = 5
n ) có số hạng đầu , công sai . 1
a) Viết công thức của số hạng tổng quát u . n
u = u + (n -1)d = 3 - + (n -1).5 = 8 - + 5n n 1
b) Số 492 là số hạng thứ mấy của cấp số cộng trên? -8 + 5n = 492 Û n = 100
Vậy Số 492 là số hạng thứ 100 của cấp số cộng trên
c) Số 300 có là số hạng nào của cấp số cộng trên không? 8 - + 5n = 300 Û n = 61,6
Vâỵ Số 300 không là số hạng nào của cấp số cộng trên Bài 4.
Cho cấp số cộng (u u = 4,u =1 n ) có . 1 2
Công sai d = u - u =1- 4 = 3 - 2 1
Ta có u = u + 9d = 4 + 9.( 3 - ) = 2 - 3. 10 1 1 Bài 5.
Cho cấp số cộng (u u =
u + u + u = 1 - n ) với và . 1 3 1 2 3
a) Tìm công sai d và viết công thức của số hạng tổng quát u . n
u + u + u = 1 - 1 2 3
Û u + u + d + u + 2d = -1 1 1 1
Ta có Û 3u + 3d = 1 - 1 1 1 - - 3. 1 - - 3u 2 1 3 Û d = = = - 3 3 3 1 2 - 2
Công thức của số hạng tổng quát u = + (n -1). =1- n n 3 3 3
b) Số - 67 là số hạng thứ mấy của cấp số cộng trên? 26 2 1- n = 6 - 7 3 Û n =102.
Vậy số - 67 là số hạng thứ 102 của cấp số cộng trên
c) Số 7 có phải là một số hạng của cấp số cộng trên không? 2 1- n = 7 3 Û n = 9. -
Vậy số 7 không phải là một số hạng của cấp số cộng trên không Bài 6.
Tính tổng 100 số hạng đầu của dãy số (u u = 0,3n + 5 n ³ 1 n ) với với mọi . n Ta có u
= 0,3(n +1) + 5 = 5,3+ 0,3n n 1 +
Xét hiệu u - u = 5,3+ 0,3n - (0,3n + 5) = 0,3 n 1 + n Vì vậy dãy số (u u = 5,3 d = 0,3
n ) là CSC với số hạng đầu , công sai 1
Tổng 100 số hạng đầu của dãy số (un )
é2u + n -1 d ù n é2.5,3+ 100 -1 0,3ù100 ë 1 ( ) û ë ( ) S û = = = 2015 100 2 2
d) Tổ chức thực hiện: Làm việc theo nhóm đôi
* GV đề nghị hs nêu cách giải từng phần và lời giải chi tiết.
Chuyển giao
* GV nhận xét và chuẩn hóa lời giải
* HS suy nghĩ đưa ra lời giải.
Thực hiện
* Thảo luận theo nhóm đôi
Báo cáo, thảo luận * Đại diện nhóm báo cáo, các nhóm còn lại theo dõi thảo luận.
- GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của học sinh, ghi nhận
và tuyên dương học sinh có câu trả lời tốt nhất. Động viên các học sinh còn
Kết luận, nhận định lại tích cực, cố gắng hơn trong các hoạt động học tiếp theo - Chốt kiến thức
4. Hoạt động 4: Vận dụng
a) Mục tiêu: Giải quyết được một số vấn đề thực tiễn gắn với cấp số cộng để giải một số
bài toán liên quan đến thực tiễn (ví dụ: một số vấn đề trong Sinh học, trong Giáo dục dân số,...). b) Nội dung: Bài 7.
Chiều cao (đơn vị: centimét) của một đứa trẻ n tuổi phát triển bình thường được cho bởi công thức: x = 75 + 5 n - n ( )1
a) Một đứa trẻ phát triển bình thường có chiều cao năm 3 tuổi là bao nhiêu centimét?
b) Dãy số (xn ) có là một cấp số cộng không? Trung bình một năm, chiều cao mỗi đứa
trẻ phát triển bình thường tăng lên bao nhiêu centimét? Bài 8.
Khi kí kết hợp đồng lao động với người lao động, một doanh nghiệp đề xuất hai
phương án trả lương nhử sau:
Phương án 1: Năm thứ nhất, tiền lương là 120 triệu. Kể từ năm thứ hai trở đi, mỗi năm
tiền lương được tăng 18 triệu. 27
Phương án 2: Quý thứ nhất, tiền lương là 24 triệu. Kể từ quý thứ hai trở đi, mỗi quý
tiền lường được tăng 1,8 triệu.
Nếu là người được tuyển dụng vào doanh nghiệp trên, em sẽ chọn phương án nào khi:
a) Kí hợp đồng lao động 3 năm?
b) Kí hợp đồng lao động 10 năm? Lời giải Bài 7:
a) Chiều cao 3 năm tuổi của một đứa trẻ phát triển bình thường à
x = 75 + 5 3-1 = 85cm 3 ( ) b) Ta có x
= 75+ 5 n +1-1 = 75+ 5n n 1 + ( )
Xét hiệu x - x = 75+ 5n - é75+ 5 n -1 ù = 5 n 1 + n ë ( ) û Do đó (x x = 75
n ) là một cấp số cộng có số hạng đầu và công sai d=5 1
Trung bình một năm, chiều cao mỗi đứa trẻ phát triển bình thường tăng lên 5 centimét Bài 8:
+) Theo phương án 1: Gọi (un ) là dãy số tiền lương của người lao động theo phương án 1
qua mỗi năm. Dãy số (u u =120
n ) lập thành một cấp số cộng có số hạng đầu và công sai d 1 = 18.
Khi đó số hạng tổng quát của cấp số nhân là: u =120 + (n -1).18 n
+) Theo phương án 2: Gọi (vn )là dãy số tiền lương của người lao động theo phương án 2
qua từng quý. Dãy số (v v = 24
n ) lập thành một cấp số cộng có số hạng đầu và công sai d = 1 1,8.
Khi đó số hạng tổng quát của cấp số nhân là v = 24 + (n -1).1,8 n
a) Khi kí hợp đồng 3 năm tương đương với 12 quý, ta có
+) Theo phương án 1: u =120 + (3-1).18 =156( triệu đồng) 3
Tổng số tiền lương nhận được sau 3 năm là 3.(120 +156) S = = 414( triệu đồng) 3 2
+ Theo phương án 2: v = 24 + (12 -1).1,8 = 43,8( triệu đồng) 12
Tổng số tiền lương nhận được sau 3 năm tương ứng 12 quý là: 12.(24 + 43,8) S = = 406,8( triệu đồng) 12 2
Vậy nếu được tuyển dụng vào doanh nghiệp và kí hợp đồng lao động 3 năm thì nên theo phương án 1.
b) Khi kí hợp đồng 10 năm tương đương với 40 quý, ta có
+) Theo phương án 1: u =120 + (10 -1).18 = 282( triệu đồng) 10
Tổng số tiền lương nhận được sau 10 năm là 10.(120 + 282) S = = 2010( triệu đồng) 10 2
+ Theo phương án 2: v = 24 + (40 -1).1,8 = 94, 2( triệu đồng) 40
Tổng số tiền lương nhận được sau 10 năm tương ứng 40 quý là: 40.(24 + 94, 2) S = = 2364.( triệu đồng) 40 2 28
Vậy nếu được tuyển dụng vào doanh nghiệp và kí hợp đồng lao động 3 năm thì nên theo phương án 2.
c) Sản phẩm: Bài làm của học sinh
d) Tổ chức thực hiện:
- GV hướng dẫn học sinh tiếp cận vấn đề và giao nhiệm vụ
Chuyển giao nhiệm vụ
- GV đề nghị HS nêu cách giải từng phần và lời giải chi tiết.
- GV nhận xét và chuẩn hóa lời giải
Thực hiện nhiệm
- HS suy nghĩ đưa ra lời giải. vụ
- Thảo luận theo nhóm đôi
Báo cáo, thảo luận * Đại diện nhóm báo cáo, các nhóm còn lại theo dõi thảo luận.
- GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của học sinh, ghi nhận
và tuyên dương học sinh có câu trả lời tốt nhất. Động viên các học sinh còn
Kết luận, nhận định lại tích cực, cố gắng hơn trong các hoạt động học tiếp theo - Chốt kiến thức 29
KẾ HOẠCH BÀI DẠY
TÊN BÀI DẠY: CẤP SỐ NHÂN
Môn học/Hoạt động giáo dục: Toán; lớp: 11
Thời gian thực hiện: (2 tiết) I. Mục tiêu 1. Về kiến thức:
- Nhận biết được một dãy số là một cấp số nhân.Giải thích được công thức xác định số
hạng tổng quát của cấp số nhân.
- Tính được n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân.
-Giải quyết được một số vấn đề thực tiễn gắn với cấp số nhân để giải quyết một số bài toán
gắn với thực tiễn như bài toán dân số và trong sinh học. 2. Về năng lực:
- Năng lực tự chủ và tự học trong tìm tòi khám phá.
- Năng lực giao tiếp và hợp tác trong trình bày,thảo luận và làm việc nhóm
- Năng lực giải quyết vấn đề Toán học, sáng tạo trong thực hành vận dụng.
- Năng lực giao tiếp Toán học: Trong các định lý, ví dụ, bài tập.
- Năng lực sử dụng công cụ, phương tiện để học Toán: Sử dụng máy tính cầm tay. 3. Về phẩm chất:
- Có ý thức học tập ,có ý thức tìm tòi khám phá và sáng tạo,có ý thức làm việc nhóm,tôn
trọng các thành viên trong nhóm khi hợp tác.
- Trách nhiệm, cố gắng chiếm lĩnh kiến thức mới, cố gắng làm đúng các bài tập.
- Chăm chỉ tích cực xây dựng bài,có trách nhiệm,chủ động chiếm lĩnh kiến thức theo sự
hướng dẫn của giáo viên.
II. Thiết bị dạy học và học liệu
- Kế hoạch bài dạy, SGK, phiếu học tập, phấn, thước kẻ, máy chiếu,bảng nhóm và bút viết bảng nhóm…
III. Tiến trình dạy học Tiết 1:
1. Hoạt động 1: Khởi động
a) Mục tiêu: Tạo tâm thế học tập cho học sinh, giúp các em ý thức được nhiệm vụ học tập,
sự cần thiết phải tìm hiểu về các vấn đề đã nêu ra, từ đó gây được hứng thú với việc học bài mới. b) Nội dung: 30
Vi khuẩn E. coli trong điều kiện nuôi cấy thích hợp cứ 20 phút lại phân đôi một lần.
(Nguồn: Sinh học 10, NXB Giáo dục Việt Nam, 2010)
Giả sử lúc đầu có 100 vi khuẩn E . coli. Hỏi có bao nhiêu vi khuẩn E. coli sau 180 phút?
c) Sản phẩm : Câu trả lời của học sinh
- Số lượng vi khuẩn lúc đầu là 100 vi khuẩn.
- Số lượng vi khuẩn sau lần nhân đôi đầu tiên (Sau 20 = 1.20 phút) là vi khuẩn.
- Số lượng vi khuẩn sau lần nhân đôi thứ hai (Sau 40 = 2.20 phút) là vi khuẩn.
- Số lượng vi khuẩn sau lần nhân đôi thứ ba (Sau 60 = 3.20 phút) là vi khuẩn.
ÞSố lượng vi khuẩn sau lần nhân đôi thứ n (sau n.20 phút) là vi khuẩn.
Vậy số lượng vi khuẩn sau lần nhân đôi thứ 9 ( sau 180 = 9.20 phút) là vi khuẩn. d)Tổ chức thực hiện.
Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ
* Giáo viên cho học sinh đọc tình huống mở đầu.
Chuyển giao
Tổ chức cho HS thảo luận theo cặp đôi, tìm câu trả lời
- Học sinh quan sát và chú ý lắng nghe,thảo luận nhóm và hoàn thành yêu
Thực hiện cầu.
* Đại diện nhóm báo cáo, các nhóm còn lại theo dõi thảo luận và nhận xét
Báo cáo thảo luận bổ sung.
- GV đánh giá KQ học tập của học sinh và dẫn dắt họ sinh vào bài mới
Đánh giá, nhận xét, CSN và được áp dụng trong nhiều bài toán thực tế như sự ra tăng đều đặn
tổng hợp
của 1 loại vi khuẩn hay sự phát triển của dân số của một quốc gia nào đó… - Chốt kiến thức
2. Hoạt động 2: Hình thành kiến thức mới
Hoạt động 2.1. Hình thành định nghĩa
a) Mục tiêu: Học sinh nắm và phát biểu định nghĩa của 1 CSN và vận dụng định nghĩa để
xử lý một số bài toán đơn giản
b) Nội dung:HS đọc SGK suy nghĩ trả lời các câu hỏi thực hiện HĐ 1,Luyện tập 1,2 và ví dụ. 1
HĐ 1: Cho dãy số ,1,3,9, 27,81, 243. 3
Kể từ số hạng thứ hai, nêu mối liên hệ của mỗi số hạng với số hạng đứng ngay trước nó.
ĐN: u = u .q n n 1 - với n ³ 2 .
Số q được gọi là công bội của cấp số nhân. Nếu (u q u ¹ 0 n ³ 1 n ³ 2
n ) là cấp số nhân với công bội và với mọi thì với số tự nhiên , ta có: n un = q un 1- -
Ví dụ 1: Cho cấp số nhân (u u = 2 - 1 q = n ) với , công bội
. Viết năm số hạng đầu của CSN 1 2 đó. 31
Luyện tập 1: Cho cấp số nhân (u u = 6, - u = 2 - n ) với . 1 2
a) Tìm công bội q .
b) Viết năm số hạng đầu của cấp số nhân đó. Luyện tập 2:
c) Sản phẩm: HS hình thành được kiến thức bài học và nhận biết được dãy số là một CSN
d) Tổ chức thực hiện: Học sinh thảo luận cặp đôi
* GV đặt các câu hỏi hướng dẫn học sinh tìm câu trả lời
+H1:Số hạng thứ 2 gấp số hạng đứng trước nó lần?
+H2: Số hạng thứ 3 gấp số hạng đứng trước nó lần?
+H3: Số hạng thứ 4 gấp số hạng đứng trước nó lần?
+H4: Số hạng thứ 5 gấp số hạng đứng trước nó lần? Þ KQ
+H5:Khi q = 1 thì CSN là một dãy số ntn? Luyện tập 1: H6:Công bội q = ?
Chuyển giao u = ? 3 u = ? 4 u = ? 5 Luyện tập 2:
H7: u = 3.2n Þ u = ? n n 1 - u q = n = ? un 1- Vậy q = ? - Tìm câu trả lời
Thực hiện
- HS làm việc cặp đôi theo bàn.
Báo cáo thảo luận
* Đại diện nhóm báo cáo, các nhóm còn lại theo dõi thảo luận.
- GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của học sinh, ghi
nhận và tuyên dương học sinh có câu trả lời tốt nhất. Động viên các
Đánh giá, nhận xét, tổng học sinh còn lại tích cực, cố gắng hơn trong các hoạt động học tiếp hợp theo - Chốt kiến thức
Hoạt động 2.2. Số hạng tổng quát
a)Mục tiêu: - Học sinh phát biểu công thức tổng quát của một CSN 32
-Học sinh vận dụng được công thức của số hạng tổng quát và các bài toán thực tế có trong bài b) Nội dung:
HĐ 2:Cho cấp số nhân (u u q
n ) có số hạng đầu , công bội . 1
a) Viết năm số hạng đầu của cấp số nhân theo u và q . 1
b) Dự đoán công thức tính u theo u và q . n 1
Nếu cấp số nhân (u u q u
n ) có số hạng đầu
và công bội thì số hạng tổng quát được xác định 1 n bởi công thức: n 1 u u q - = × với n ³ 2 n 1
Ví dụ 3. Cho cấp số nhân (u u = 1 4 q = - u
n ) với số hạng đầu , công bội . Tính . 1 2 7
Ví dụ 4.Dân số trung bình của Việt Nam năm 2020 là 97,6 triệu người, tỉ lệ tăng dân số là 1,14% /năm.
(Nguồn: Niên giám thống kê của Việt Nam năm 2020, NXB Thống kê, 2021)
Giả sử tỉ lệ tăng dân số không ổi qua các năm.
a) Sau 1 năm, dân số của Việt Nam sẽ là bao nhiêu triệu người (làm tròn kết
quả đến hàng phần mười)?
b) Viết công thức tính dân số Việt Nam sau n năm kể từ năm 2020 . Luyện tập 3:
c) Sản phẩm: Bài làm của học sinh
d) Tổ chức thực hiện: Học sinh thảo luận cặp đôi; hoạt động nhóm lớn;
H1: u ,u = ?,u = ?,u = ?,u = ? 1 2 3 4 5
H2: u = ? với n ³ 2 n H3?
Chuyển giao
Số tiền ban đầu T1 = 100 (triệu đồng).
Số tiền sau 1 năm bác Linh thu được là:
T2 = 100 + 100.6% = ? (triệu đồng). 33
Số tiền sau 2 năm bác Linh thu được là:
T3 = 100.(1 + 6%) + 100.(1 + 6%).6% = ? (triệu đồng).
Số tiền sau 3 năm bác Linh thu được là:
T4 = 100.(1 + 6%)2 + 100.(1 + 6%)2.6% = ? (triệu đồng).
Số tiền sau n năm bác Linh thu được chính là một cấp số nhân với số
hạng đầu T1 = ? và công bội q = ? có số hạng TQ là: Tn + 1 = ? (triệu đồng).
* Học sinh nhận biết được số hạng tổng quát
Học sinh làm việc theo nhóm cặp đôi lần lượt giải quyết các câu hỏi. Mong đợi
HĐ2: Năm số hạng đầu của cấp số nhân đã cho là: u1; u1.q; u1.q2; u1q3; u1q4.
Dự đoán công thức tính un theo u1 và q là: un = u1qn-1. với n ³ 2
Luyện tập 3: Số tiền ban đầu T1 = 100 (triệu đồng).
Số tiền sau 1 năm bác Linh thu được là:
Thực hiện
T2 = 100 + 100.6% = 100.(1 + 6%) (triệu đồng).
Số tiền sau 2 năm bác Linh thu được là:
T3 = 100.(1 + 6%) + 100.(1 + 6%).6% = 100.(1 + 6%)2 (triệu đồng).
Số tiền sau 3 năm bác Linh thu được là:
T4 = 100.(1 + 6%)2 + 100.(1 + 6%)2.6% = 100.(1 + 6%)3 (triệu đồng).
Số tiền sau n năm bác Linh thu được chính là một cấp số nhân với số
hạng đầu T1 = 100 và công bội q = 1 + 6% có số hạng tổng quát là:
Tn + 1 = 100.(1 + 6%)n (triệu đồng).
Báo cáo thảo luận * Đại diện nhóm đơn báo cáo, các nhóm còn lại theo dõi thảo luận.
- GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của học sinh, ghi nhận
Đánh giá, nhận xét, và tuyên dương học sinh có câu trả lời tốt nhất. Động viên các học sinh còn
tổng hợp
lại tích cực, cố gắng hơn trong các hoạt động học tiếp theo - Chốt kiến thức
Hoạt động 2.3. Tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân a) Mục tiêu:
-Học sinh nắm được tổng n số hạng đầu của một CSN. 34
-Học sinh vận dụng công thức tính tổng n số hạng đầu của một CSN để xử lý một số bài toán
đơn giản và các bài toán thực tế trong bài. b) Nội dung:
HĐ 3: Cho cấp số nhân (u u q ¹ 1
n ) có số hạng đầu , công bội . 1 Đặt 2 n 1 S u u u u u u q u q u q - = + + +…+ = + + +…+ . n 1 2 3 n 1 1 1 1
a) Tính S × q và S - S × q. n n n
b) Từ đó, hãy tìm công thức tính S theo u và q . n 1 Cho cấp số nhân (u u q ¹ 1
n ) có số hạng đầu và công bội . 1
Đặt S = u + u + u +…+ u . Khi đó: n 1 2 3 n u 1 n - q 1 ( ) S = . n 1- q
Nếu q =1 thì S = nu . n 1
Ví dụ 5. Tính tổng: 1 1 1 S = 1+ + +…+ . 9 2 4 2
Ví dụ 6. Giả sử anh Tuấn kí hợp đồng lao động trong 10 năm với điều khoản về tiền
lương như sau: Năm thứ nhất, tiền lương của anh Tuấn là 60 triệu. Kể từ năm thứ hai trở
đi, mỗi năm tiền lương của anh Tuấn được tăng lên 8% . Tính tổng số tiền lương anh
Tuấn lĩnh được trong 10 năm đi làm (đơn vị: triệu đồng, làm tròn đến hàng phần nghìn). Luyện tập 4:
c) Sản phẩm: Công thức tính tổng của n số hạng đầu của 1 CSN
d) Tổ chức thực hiện: Học sinh thảo luận cặp đôi H1:
a) Ta có: Sn.q = (u1 + u1q + u1q2 + ... + u1qn-1).q = ?
Sn – Sn.q = u1 + u1q + u1q2 + ... + u1qn-1 – (u1.q + u1.q2 + u1q3 + ... + u1qn) = ?
Chuyển giao b) Ta có: n
S - S q = u - u q n n 1 1
Û S (1- q) = u (1 n - q ) n 1 Û S = ? n
H2: a) Ta có: 3; – 6; 12; – 24; ... là cấp số nhân với u1 = 3 và công bội q 35 = – 2.
Khi đó tổng của 12 số hạng đầu của cấp số nhân đã cho là: 12 3(1- ( 2 - ) ) S = =12285. 12 1- ( 2 - )
b) Ta có: 110,1100,11000110,1100,11000,... là một cấp số nhân với
u1 = 110110 và công bội q=110110
Khi đó tổng của 5 số hạng đầu của cấp số nhân đã cho là: 1 1 5 (1- ( ) ) 10 10 S = = 0.1111. 5 1 1- 10 - Tìm câu trả lời
Thực hiện
- HS làm việc cặp đôi theo bàn.
Báo cáo thảo luận * Đại diện nhóm báo cáo, các nhóm còn lại theo dõi thảo luận.
- GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của học sinh, ghi nhận
Đánh giá, nhận xét, và tuyên dương học sinh có câu trả lời tốt nhất. Động viên các học sinh còn
tổng hợp
lại tích cực, cố gắng hơn trong các hoạt động học tiếp theo - Chốt kiến thức Tiết 2:
3.Hoạt động 3 :Luyện tập
a) Mục tiêu: Nhận biết được một dãy số là cấp số nhân, giải thích được công thức xác định số
hạng tổng quát của cấp số nhân, tính được tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân. b) Nội dung:
1.Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân? Vì sao? a)5; 0 - ,5;0,05; 0 - ,005;0,0005; 1 1 b) - 9,3, 1 - , ,- 3 9 c)2,8,32,64, 256. (un)
2.Chứng minh mỗi dãy số
với số hạng tổng quát như sau là cấp số nhân: 3 - a)u = ×2n n 4 5 b)u = n 3n c)u = ( 0 - ,75)n n
3.Cho cấp số nhân u với số hạng đầu u = 5 - , công bội q = 2. n 1 a) Tìm u . 9
b) Số - 320 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số nhân trên?
c) Số 160 có phải là một số hạng của cấp số nhân trên không? 36 27
4.Cho cấp số nhân u với u = 3,u = . n 1 3 4
a) Tìm công bội q và viết năm số hạng đầu của cấp số nhân trên.
b) Tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số nhân trên.
c) Sản phẩm: Bài làm của học sinh Lời giải Bài 1: 1
a) Từ số hạng thứ hai của dãy số ta thấy số hạng sau gấp -
lần số hạng trước của dãy. 10
Vì vậy dãy trên là cấp số nhân với số hạng đầu u1 = 5 và công bội q = – 0,5. 1
b) Từ số hạng thứ hai của dãy số ta thấy số hạng sau gấp - số hạng trước của dãy. 3 1
Vì vậy dãy trên là cấp số nhân với số hạng đầu u1 = – 9 và công bội q = - . 3 8 32 256 64 = = ¹ c) Ta có: 2 8 64 32
Vì vậy dãy trên không là cấp số nhân. Bài 2: 3 - a)u = × 2n n 4 3 - n 1 Þ u = × 2 - n 1 - 4 3 - ×2n un 4 = = 2 u 3 - n 1 n 1 - × 2 - 4
Vậy dãy số là một CSN với công bội q = 2. 5 5 b)u = Þ u = n n n 1 - n 1 3 3 - 5 n u 1 n 3 = = u 5 3 n 1 - n 1 3 - 1
Vậy dãy số là một CSN với công bội q = . 3 n n 1 c)u = ( 0 - ,75) Þ u = ( 0 - ,75) - n n 1 - u ( 0 - ,75)n n = = - , 0 5 7 n 1 u ( 0 - ,75) - n 1 -
Vậy dãy số là một CSN với công bội q = -0,75 37 Bài 3:
Ta có (un) là cấp số nhân có số hạng đầu u1 = – 5 và công bội q = 2 có số hạng tổng quát là: u 8
n = – 5.2n-1 với mọi n ∈ ℕ*. Þ u = 5 - .2 = 1 - 280 9
b) Xét un = – 5.2n-1 = – 320 ⇔ 2n-1 = 64 ⇔ n – 1 = 6 ⇔ n = 7.
Vậy số – 320 là số hạng thứ 7 của cấp số nhân. c) Xét un = – 5.2n-1 = 160 ⇔ 2n-1 = – 32 ⇔ n – 1 = – 5 ⇔ n = – 4 ∉ ℕ*
Vậy số 160 không phải là một số hạng của cấp số nhân. Bài 4: a) Ta có u3 = u1.q2 3
+) Với q = - ta có năm số hạng đầu của cấp số nhân là: 2 9 81 u1 = 3, u2 = - 27 ;u3 = ; u4 = - 243 ; u5 = . 2 4 8 16 3
+) Với q = ta có năm số hạng đầu của cấp số nhân là: 2 9 27 81 243 u1 = 3, u2 = ;u3 = ; u4 = ; u5 = . 2 4 8 16 3
b) Tổng của 10 số hạng đầu của cấp số nhân với số hạng đầu u1 = 3 và công bội q = - là: 2 3 10 n 3(1- (- ) ) u (1- q ) 1 2 S = Þ S = » -68 n 10 1- q 3 1- (- ) 2 38 3
Tổng của 10 số hạng đầu của cấp số nhân với số hạng đầu u1 = 3 và công bội q = 2 3 10 n 3(1- ( ) ) u (1- q ) 1 2 S = Þ S = » 340 n 10 1- q 3 1- 2
d) Tổ chức thực hiện: Làm việc theo nhóm đôi
* GV đề nghị hs nêu cách giải từng phần và lời giải chi tiết.
Chuyển giao
* GV nhận xét và chuẩn hóa lời giải
* HS suy nghĩ đưa ra lời giải.
Thực hiện
* Thảo luận theo nhóm đôi
Báo cáo, thảo luận
* Đại diện nhóm báo cáo, các nhóm còn lại theo dõi thảo luận.
- GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của học sinh, ghi nhận
và tuyên dương học sinh có câu trả lời tốt nhất. Động viên các học sinh
Kết luận, nhận định còn lại tích cực, cố gắng hơn trong các hoạt động học tiếp theo - Chốt kiến thức
4. Hoạt động 4: Vận dụng
a) Mục tiêu: Giải quyết được một số vấn đề thực tiễn gắn với cấp số nhân để giải một số
bài toán liên quan đến thực tiễn (ví dụ: một số vấn đề trong Sinh học, trong Giáo dục dân số,...). b) Nội dung:
5.Một tỉnh có 2 triệu dân vào năm 2020 với tỉ lệ tăng dân số là 1% /năm . Gọi u là số n
dân của tỉnh đó sau n năm. Giả sử tỉ lệ tăng dân số là không đổi.
a) Viết công thức tính số dân của tỉnh đó sau n năm kể từ năm 2020.
b) Tính số dân của tỉnh đó sau 10 năm kể từ năm 2020.
6.Một gia đình mua một chiếc ô tô giá 800 triệu đồng. Trung bình sau mỗi năm sử dụng,
giá trị còn lại của ô tô giảm đi 4% (so với năm trước đó).
a) Viết công thức tính giá trị của ô tô sau 1 năm, 2 năm sử dụng.
b) Viết công thức tính giá trị của ô tô sau n năm sử dụng.
c) Sau 10 năm, giá trị của ô tô ước tính còn bao nhiêu triệu đồng?
7.Một người nhảy bungee (một trò chơi mạo hiểm mà người chơi nhảy từ một nơi có địa
thế cao xuống với dây đai an toàn buộc xung quanh người) từ một cây cầu và căng một
sợi dây dài 100 m . Sau mỗi lần rởi xuống, nhờ sự đàn hồi của dây, người nhảy được kéo
lên một quãng đường có độ dài bằng 75% so với lần rơi trước đó và lại bị rơi xuống đúng
bằng quãng đường vừa được kéo lên (Hình 3). Tính tổng quãng đường người đó đi được
sau 10 lần kéo lên và lại rơi xuống. 39
c) Sản phẩm: Bài làm của học sinh Lời giải Bài 5:
a) Ta có số hạng đầu là u = 2 triệu dân và công sai 0 q = 1+1%.
Khi đó số hạng tổng quát của un = 2.(1 + 1%)n-1 (triệu dân).
b) Số dân của tỉnh đó sau 10 năm kể từ năm 2020 là:
u10 = 2.(1 + 1%)10-1 ≈ 2,19 (triệu dân). Bài 6:
a) Sau 1 năm giá trị của ô tô còn lại là:
u1 = 800 – 800.4% = 800.(1 – 4%) = 768 (triệu đồng).
Sau 2 năm giá trị của ô tô còn lại là:
u1 = 800.(1 – 4%) – 800.(1 – 4%).4% = 800.(1 – 4%)2 = 737,28 (triệu đồng).
b) Gọi un là giá trị của ô tô sau n năm sử dụng.
Dãy số (un) tạo thành một cấp số nhân với số hạng đầu là giá trị đầu của ô tô là u0 = 800 triệu
đồng và công bội q = 1 – 4%.
Khi đó công thức tổng quát để tính un = 800.(1 – 4%)n.
c) Sau 10 năm sử dụng giá trị của ô tô còn lại là:
u10 = 800.(1 – 4%)10 ≈ 531,87 (triệu đồng). Bài 7:
Gọi un là độ dài dây kéo sau n lần rơi xuống (n ∈ ℕ) Ta có: u0 = 100 (m).
Sau lần rơi đầu tiên độ dài dây kéo còn lại là: u1 = 100.75% (m).
Sau cú nhảy tiếp theo độ dài dây kéo còn lại là: u2 = 100.75%.75% = 100.(75%)2 (m). ... 40
Dãy số này lập thành một cấp số nhân có số hạng đầu là 100 và công bội q = 75%, có công thức
tổng quát un = 100.(75%)n-1 (m).
Tổng quãng đường người đó đi được sau 10 lần kéo lên và lại rơi xuống là: n 10 u (1- q ) 100(1- (75%) ) 1 S = Þ S = »377,5 (m). n 10 1- q 1- 75%
d) Tổ chức thực hiện:
- GV hướng dẫn học sinh tiếp cận vấn đề và giao nhiệm vụ
Chuyển giao nhiệm vụ
- GV đề nghị HS nêu cách giải từng phần và lời giải chi tiết.
- GV nhận xét và chuẩn hóa lời giải
Thực hiện nhiệm
- HS suy nghĩ đưa ra lời giải. vụ
- Thảo luận theo nhóm đôi
Báo cáo, thảo luận * Đại diện nhóm báo cáo, các nhóm còn lại theo dõi thảo luận.
- GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của học sinh, ghi nhận
và tuyên dương học sinh có câu trả lời tốt nhất. Động viên các học sinh còn
Kết luận, nhận định lại tích cực, cố gắng hơn trong các hoạt động học tiếp theo - Chốt kiến thức 41
KẾ HOẠCH BÀI DẠY
TÊN BÀI DẠY: BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG II
Môn học/Hoạt động giáo dục: Toán; lớp: 11
Thời gian thực hiện: (01 tiết) I. Mục tiêu
1. Về kiến thức: Học xong bài này, HS đạt các yêu cầu sau:
- HS ôn tập lại các kiến thức trọng tâm trong các bài: Dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân.
- Vận dụng, giải quyết một số vấn đề toán học và thực tiễn gắn với các kiến thức có trong chương II. 2. Về năng lực:
Năng lực chung:
- Năng lực tự chủ và tự học trong tìm tòi khám phá
- Năng lực giao tiếp và hợp tác trong trình bày, thảo luận và làm việc nhóm
- Năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo trong thực hành, vận dụng.
Năng lực riêng:
- Tư duy và lập luận toán học: Trong bài ôn tập này, HS sẽ được đặt vào các tình huống
thực tế liên quan đến dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân. Bằng cách áp dụng tư duy logic và lập
luận toán học, HS sẽ suy nghĩ và phân tích để hiểu rõ hơn về các quy tắc, tính chất và công thức
liên quan đến các loại dãy số này.
- Mô hình hóa toán học, giải quyết vấn đề toán học: Học sinh sẽ được thách thức trong
việc xây dựng các mô hình toán học để mô phỏng và giải quyết các bài toán liên quan đến dãy
số, cấp số cộng và cấp số nhân. Bằng cách áp dụng kiến thức đã học, HS sẽ tìm ra cách giải
quyết các vấn đề, xác định quy luật và mối quan hệ trong các dãy số này.
- Giao tiếp toán học: HS được khuyến khích tham gia vào các hoạt động nhóm, trao đổi ý
kiến và thảo luận với nhau về các khái niệm và phương pháp giải quyết trong dãy số, cấp số cộng
và cấp số nhân. Điều này giúp HS rèn kỹ năng giao tiếp toán học, diễn đạt ý tưởng và thảo luận
với nhóm để tìm ra các cách tiếp cận tốt nhất.
- Sử dụng công cụ, phương tiện học toán. 3. Về phẩm chất:
- Có ý thức học tập, ý thức tìm tòi, khám phá và sáng tạo, có ý thức làm việc nhóm, tôn
trọng ý kiến các thành viên khi hợp tác.
- Chăm chỉ tích cực xây dựng bài, có trách nhiệm, chủ động chiếm lĩnh kiến thức theo sự hướng dẫn của GV.
II. Thiết bị dạy học và học liệu
1. Đối với GV: SGK, Tài liệu giảng dạy, giáo án, đồ dùng dạy học.
2. Đối với HS: SGK, SBT, vở ghi, giấy nháp, đồ dùng học tập (bút, thước...), bảng nhóm, bút viết bảng nhóm. 42
III. Tiến trình dạy học
1. Hoạt động 1: Khởi động
a) Mục tiêu: Tạo hứng thú, thu hút HS tìm hiểu nội dung bài học.
b) Nội dung: HS thực hiện làm và trả lời nhanh phần bài tập trắc nghiệm theo sự hướng dẫn của GV.
c) Sản phẩm: HS trả lời được đáp án và giải thích được tại sao chọn đáp án đó.
d) Tổ chức thực hiện:
- GV cho HS trả lời nhanh các câu hỏi trắc nghiệm trong SGK – tr.57 và
Chuyển giao
yêu cầu HS giải thích tại sao lại chọn được đáp án đó.
- Câu hỏi 1 đến 7. - Tìm câu trả lời
Thực hiện
- HS làm việc theo nhóm lần lượt giải quyết các câu hỏi.
- GV theo dõi, hỗ trợ, hướng dẫn các nhóm
Báo cáo thảo luận GV gọi một số HS trả lời, HS khác nhận xét, bổ sung
- GV đánh giá kết quả của HS, trên cơ sở đó dẫn dắt HS vào bài học mới:
“Để giúp các em tổng kết lại các kiến thức một cách cô đọng nhất và vận
Đánh giá, nhận xét, dụng được kiến thức một cách linh hoạt trong các bài toán chúng ta cùng
tổng hợp
đi tìm hiểu nội dung của bài học ngày hôm nay.”
- Bài mới: Bài tập cuối chương II. Hướng dẫn giải 1. A Cách 1 : 𝑢 Ta có $ ! = !" , do đó 𝑢 𝑢
% = 1; 𝑢" = 3; 𝑢& = 9; 𝑢' = 27 # = 3𝑢#$! Cách 2 :
Ta có: (! = 3. Do đó dãy số (𝑢 và công bội q = 3 (
#) là một cấp số nhân với số hạng đầu 𝑢! = ! !"# "
nên ta có số hạng tổng quát là: 𝑢# = ! . 3#$! = 3#$% với 𝑛 ∈ ℕ∗. "
Do đó số hạng thứ năm của dãy số (𝑢#) là: 𝑢' = 3'$% = 27. 2. D
Ta có: 𝑢#*! = 2#*!*! = 2#*%. Xét hiệu 𝑢#*! − 𝑢# = 2#*% − 2# = 3.2# > 0 với mọi 𝑛 ∈ ℕ∗
Vậy dãy số đã cho là dãy số tăng. 3. A
Dãy số 21; – 3; – 27; – 51; – 75 lập thành một cấp số cộng có số hạng đầu là 𝑢! = 21 và công sai 𝑑 = −24 4. D 43
Công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng 𝑢# = −5 + (𝑛 − 1). 4 = 4𝑛 − 9 5. A
Các số tự nhiên lẻ lập thành một cấp số cộng với số hạng đầu 𝑢! = 1 và công sai 𝑑 = 2
Do đó tổng 100 số hạng đầu tiên của cấp số cộng này là: 100. (1 + 1 + 99.2) 𝑆!++ = = 10 000 2 6. D
Dãy (𝑢#) được xác định bởi: 𝑢! = 3 và 𝑢# = ! 𝑢
" #$! với mọi 𝑛 ≥ 2 là cấp số nhân với số hạng đầu 𝑢! = 3 và 𝑞 = ! " 7. C #$!
Số hạng tổng quát của cấp số nhân là: 𝑢# = (−1). =− ! > !+ #$!
Xét 𝑢# = (−1). =− ! > = ! ⟺ 𝑛 = 2018 !+ !+$%#&
2. Hoạt động 2. Hình thành kiến thức mới
a) Mục tiêu: HS nắm vững và hệ thống hóa được kiến thức trọng tâm trọng chương II theo sơ
đồ tư duy hoặc sơ đồ cây. HS vận dụng các kiến thức đó để hoàn thành các bài tập có trong chương.
b) Nội dung:HS hệ thống hóa kiến thức trong chương II theo yêu cầu, dẫn dắt của GV. * Nhóm 1;
+ Mỗi hàm số u: {1; 2; 3; … ; m} → ℝ(m ∈ ℕ∗) được gọi là một dãy số hữu hạn. Do mỗi số
nguyên dương k (1 ≤ k ≤ m) tương ứng với đúng một số u, nên ta có thể viết dãy số đó dưới
dạng khai triển: u!, u%, u", … , u-. Số u! được gọi là số hạng đầu, số u- được gọi là số hạng cuối của dãy số đó.
+ Mỗi hàm số: u: ℕ∗ → ℝ được gọi là một dãy số vô hạn. Do mỗi số nguyên dương n
tương ứng với đúng một số u. nên ta có thể viết dãy số đó dưới dạng khai triển:
u!, u%, u", … , u., …Dãy số đó còn được viết tắt là (u.).
+ Các cách cho một dãy số:
- Liệt kê các số hạng của dãy số đó (với những dãy số hữu hạn và có ít số hạng).
- Diễn đạt bằng lời cách xác định mỗi số hạng của dãy số đó.
- Cho công thức của số hạng tổng quát của dãy số đó.
- Cho bằng phương pháp truy hồi.
+ Dãy số (u.) được gọi là dãy số tăng nếu u.*! > u. với mọi n ∈ ℕ∗. Dãy số (u.) được
gọi là dãy số giảm nếu u.*! < u. với mọi n ∈ ℕ∗.
+ Dãy số (u.) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho u. ≤ M với mọi n ∈ ℕ∗. 44
+ Dãy số (u.) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho u. ≥ m với mọi n ∈ ℕ∗.
+ Dãy số (u.) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới; tức là tồn tại
các số m và M sao cho m ≤ u. ≤ M với mọi n ∈ ℕ∗. * Nhóm 2:
+ Cấp số cộng là một dãy số, trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tổng
của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi d, tức là:u. = u.$! + d với n ≥ 2. Số d
được gọi là công sai của cấp số cộng.
+ Nếu cấp số cộng (u.) có số hạng đầu u! và công sai d thì số hạng tổng quát u. được xác
định bởi công thức: u. = u! + (n − 1)d với n ≥ 2.
+ Cho cấp số cộng (u.) có số hạng đầu u! và công sai d. Đặt S. = u! + u% + u" + ⋯ + u.. Khi đó: S. = (0#*0'). % * Nhóm 3:
+ Cấp số nhân là một dãy số, trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tích của
số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q, tức là: u. = u.$!. q với n ≥ 2. Số q được
gọi là công bội của cấp số nhân.
+ Nếu cấp số nhân (u.) có số hạng đầu u! và công bội q thì số hạng tổng quát u. được xác
định bởi công thức: u. = u!. q.$! với n ≥ 2
+ Cho cấp số nhân (u.) có số hạng đầu u! và công bội q ≠ 1. Đặt S. = u! + u% + u" +
⋯ + u.. Khi đó: S. = 0#(!$2') !$2
c) Sản phẩm: HS ghi nhớ và vận dụng kiến thức trong chương II để thực hành làm các bài tập GSK và của GV.
d) Tổ chức thực hiện:
( Hướng dẫn HS chuẩn bị tại nhà, khuyến khích sử dụng sơ đồ tư duy)
GV thực hiện chia HS thành 3 nhóm thực hiện hệ thống hóa kiến thức.
Tương ứng với mỗi nhóm là mỗi bài trong chương II. GV đặt câu hỏi cho các nhóm.
* Nhóm 1: Thực hiện hệ thống hóa kiến thức bài Dãy số.
Chuyển giao
- Khái niệm dãy số hữu hạn ?
- Khái niệm dãy số vô hạn ?
- Cách cho một dãy số?
- Khái niệm dãy số tăng, dãy số giảm?
- Thế nào là dãy số bị chặn trên? 45
- Thế nào là dãy số bị chặn dưới?
- Thế nào là dãy số bị chặn?
* Nhóm 2: Thực hiện hệ thống hóa kiến thức bài Cấp số cộng.
- Định nghĩa cấp số cộng?
- Số hạng tổng quát của một cấp số cộng?
- Tổng n số hạng đầu của cấp số cộng?
- Nhóm 3: Thực hiện hệ thống hóa kiến thức bài Cấp số nhân.
- Định nghĩa của cấp số nhân?
- Số hạng tổng quát cảu cấp số nhân?
- Tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân? - Tìm câu trả lời
Thực hiện
- HS làm việc theo nhóm lần lượt giải quyết các câu hỏi.
- GV theo dõi, hỗ trợ, hướng dẫn các nhóm
Báo cáo thảo luận - Đại diện nhóm báo cáo, các nhóm còn lại theo dõi thảo luận.
- GV tổng quát, nhận xét quá trình hoạt động của các HS, cho HS nhắc lại
Đánh giá, nhận xét, kiến thức trọng tâm trong chương II
tổng hợp - Chốt kiến thức
Hoạt động 3. Luyện tập
a) Mục tiêu: Học sinh củng cố lại kiến thức đã học.
b) Nội dung: HS vận dụng các kiến thức của bài học làm bài tập trắc nghiệm và bài 8, 9, 10 (SGK – tr.58).
c) Sản phẩm học tập: HS giải quyết được tất cả các bài tập liên quan. Hướng dẫn giải Bài 8. a) 𝑢# = # => 𝑢 = #*! #*! #*! = #*! #*!*! #*%
+ Xét hiệu: 𝑢#*! − 𝑢# = #*! − # = ! + ! > 0 (vì 𝑛 ∈ ℕ∗). Vậy 𝑢 #*% #*! #*% #*!
#*! > 𝑢# nên 𝑢# là dãy số tăng.
+ Ta có: 𝑢# = # = 1 − ! mà 1 − ! < 1 (𝑛 ∈ ℕ∗).Vậy dãy số 𝑢 #*! #*! #*! # bị chặn trên bởi 1. b) 𝑢# = % => 𝑢 '! #*! = % '!(#
+ Xét hiệu 𝑢#*! − 𝑢# = % − % < 0, 𝑛 ∈ ℕ∗.Vậy 𝑢 '!(# '!
#*! < 𝑢# nên 𝑢# là dãy số giảm.
+ Ta có: 𝑢# = % . Vì 5# ≥ 5 ⟺ ! ≤ ! ⟺ % ≤ % (𝑛 ∈ ℕ∗), mà % > 0 (𝑛 ∈ ℕ∗).Vậy 0 < 𝑢 '! '! ' '! ' '! # ≤ % nên dãy số 𝑢 ' # bị chặn. Bài 9.
a) 𝑢% + 𝑢' = 𝑢! + 𝑑 + 𝑢! + 4𝑑 = 42 ⟺ 2𝑢! + 5𝑑 = 42 46
Ta lại có: 𝑢& + 𝑢3 = 𝑢! + 3𝑑 + 𝑢! + 8𝑑 = 2𝑢! + 11𝑑 = 66 2𝑢 Khi đó ta có: U ! + 5𝑑 = 42 2𝑢
! + 11𝑑 = 66 ⟺ V𝑢! = 11 𝑑 = 4
Vậy số hạng đầu của cấp số cộng là: 𝑢! = 11 và công sai 𝑑 = 4
b) Ta có: 𝑢% + 𝑢& = 𝑢! + 𝑑 + 𝑢! + 3𝑑 = 22 ⟺ 2𝑢! + 4𝑑 = 22 ⟺ 𝑢! = 11 − 2𝑑
Lại có: 𝑢!. 𝑢' = 𝑢!(𝑢! + 4𝑑) = 21. Thay 𝑢! = 11 − 2𝑑 vào biểu thức trên ta có:
(11 − 2𝑑)(11 − 2𝑑 + 4𝑑) = 21 ⟺ 𝑑 = 5 hoặc 𝑑 = −5
Với 𝑑 = 5 thì 𝑢! = 1.
Với 𝑑 = −5 thì 𝑢! = 21. Bài 10.
a) Ta có: 𝑢4 = 𝑢!. 𝑞' = 192 và 𝑢5 = 𝑢!. 𝑞4 = 384
Xét : () = (#6* = ! = !3% = !. Suy ra: 𝑞 = 2; 𝑢 ( ! = 192: (2)' = 6 & (#6) 6 "7& %
Vậy cấp số nhân có số hạng đầu là 𝑢! = 6 và công bội 𝑞 = 2
b) Ta có: 𝑢! + 𝑢% + 𝑢" = 𝑢! + 𝑢!. 𝑞 + 𝑢!. 𝑞% = 7 ⟺ 𝑢!(1 + 𝑞 + 𝑞%) = 7
Và 𝑢' − 𝑢% = 𝑢!. 𝑞& − 𝑢!. 𝑞 = 14 ⟺ 𝑢!. 𝑞. (𝑞" − 1) = 14
Suy ra: (#8!*6*6$9 = 5 ⟺ 2 = 𝑞(𝑞 − 1) ⟺ 𝑞% − 𝑞 − 2 = 0 ⟺ 𝑞 = 2 và 𝑞 = −1 (#6(6+$!) !&
Với 𝑞 = 2 thì 𝑢! = 1.
Với 𝑞 = −1 thì 𝑢! = 7
d) Tổ chức thực hiện: Thảo luận theo cặp đôi
Chuyển giao
- GV tổ chức cho HS hoạt động thực hiện Bài 8, 9, 10 (SGK – tr.58).
- HS quan sát và chú ý lắng nghe, thảo luận nhóm, hoàn thành các bài tập
Thực hiện
- GV quan sát và hỗ trợ.
- Câu hỏi trắc nghiệm: HS trả lời nhanh, giải thích, các HS chú ý lắng nghe sửa lỗi sai.
Báo cáo thảo luận - Mỗi bài tập GV mời HS trình bày. Các HS khác chú ý chữa bài, theo dõi
nhận xét bài trên bảng.
- GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của học sinh, ghi nhận
Đánh giá, nhận xét, và tuyên dương học sinh có câu trả lời tốt nhất. Động viên các học sinh còn
tổng hợp
lại tích cực, cố gắng hơn trong các hoạt động học tiếp theo - Chốt kiến thức
Hoạt động 4. Vận dụng
a) Mục tiêu: Học sinh thực hiện làm bài tập vận dụng để nắm vững kiến thức.
b) Nội dung: HS sử dụng SGK và vận dụng kiến thức đã học để làm bài tập 11 đến 16 (SGK – tr.58)
c) Sản phẩm: HS hoàn thành các bài tập được giao.
d) Tổ chức thực hiện:
Chuyển giao
- GV yêu cầu HS hoạt động hoàn thành bài tập 11 đến 16 (SGK – tr.58).
Thực hiện
- HS quan sát và chú ý lắng nghe, thảo luận nhóm, hoàn thành các bài tập 47
- GV điều hành, quan sát và hỗ trợ.
- Mỗi bài tập GV mời HS trình bày. Các HS khác chú ý chữa bài, theo dõi
Báo cáo thảo luận nhận xét bài trên bảng.
- GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của học sinh, ghi nhận
và tuyên dương học sinh có câu trả lời tốt nhất. Động viên các học sinh còn
Đánh giá, nhận xét, lại tích cực, cố gắng hơn trong các hoạt động học tiếp theo
tổng hợp
- GV nhận xét, đánh giá, đưa ra đáp án đúng, chú ý các lỗi sai của học sinh hay mắc phải. Hướng dẫn giải
Bài 11.Do A, B, C, D theo thứ tự lập thành một cấp số cộng nên ta có:
B = A + d; C = A + 2d; D = A + 3d.
Mặt khác: A + B + C + D = 360°⇔ A + A + d + A + 2d + A + 3d = 360°
⇔ 4A + 6d = 360° ⇔ 2A + 3d = 180°
Ta lại có: A + 2d = 5A ⇔ d = 2A⇒ 8A = 180°⇒ A = 22,5° và d = 45°
⇒ B = 67,5°, C = 112,5°, D = 157,5°.
Bài 12. Giả sử người ta đã trồng được n hàng.
Số cây ở mỗi hàng lập thành một cấp số cộng với: 𝑢! = 1, công sai 𝑑 = 1
Tổng số cây ở n hàng cây là: 𝑛(1 + 𝑛) 𝑛(𝑛 + 1) 𝑆# = =
= 4950 ⟺ 𝑛% + 𝑛 − 9900 = 0 2 2
⟺ 𝑛 = 99 (TM) hoặc 𝑛 = −100 (KTM)
Vậy có 99 hàng cây được trồng theo cách trên. Bài 13.
Diện tích mặt đáy tháp là u! = 12288 (m%)
Diện tích mặt sàn tầng 2 là : u% = 12288. ! = 6144 (m%) % …
Gọi diện tích mặt sàn tầng n là u. với n ∈ ℕ∗.
Dãy (u.) lập thành một cấp số nhân là u! = 12288 và công bội q = !, có số hạnh tổng quát là : % .$! u. = 12288. =!> . % !!$!
Diện tích mặt tháp trên cùng chính là mặt tháp thứ 11 nên ta có: u!! = 12288. =!> = % 12 (m%)
Bài 14. Gọi un là nhiệt độ của khay nước đó sau n giờ (đơn vị độ C) với n ∈ ℕ*.
Ta có : 𝑢! = 23; 𝑢% = 23 − 23.20% = 23. (1 − 20%) = 23.80%
𝑢" = 23.80%. 80% = 23. (80%)%; …
Suy ra dãy (un) lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu 𝑢! = 23 và công bội 𝑞 = 80% có số
hạng tổng quát 𝑢# = 23. (80%)#$! độ C. 48
Vậy sau 6 giờ thì nhiệt độ của khay là 𝑢4 = 23. (80%)' ≈ 7,5:𝐶. Bài 15.
Độ dài cạnh của hình vuông đầu tiên là: 𝑎! = 4
Độ dài cạnh của hình vuông thứ n là: 𝑎#
Độ dài cạnh của hình vuông thứ n + 1 là: 𝑎#*! = =√!+> . 𝑎 & # Suy ra : <!(# = √!+ <! &
Vậy (an) là một cấp số nhân với số hạng đầu 𝑎! = 4 và công bội 𝑞 = √!+. & Bài 16.
Gọi un là số tiền sau mỗi tháng ông An còn nợ ngân hàng.
Lãi suất mỗi tháng là 1%. Ta có: 𝑢! = 1 000 000 000 đồng
𝑢% = 𝑢! + 𝑢!. 1% − 𝑎 = 𝑢!(1 + 1%) − 𝑎 (đồng)
𝑢" = 𝑢!(1 + 1%) − 𝑎 + [𝑢!(1 + 1%) − 𝑎]. 1% − 𝑎 = 𝑢!(1 + 1%)% − 𝑎(1 + 1%) − 𝑎 …
𝑢# = 𝑢!(1 + 1%)#$! − 𝑎(1 + 1%)#$% − 𝑎(1 + 1%)#$" − 𝑎(1 + 1%)#$& − ⋯ − 𝑎
Ta thấy dãy 𝑎(1 + 1%)#$%; 𝑎(1 + 1%)#$"; 𝑎(1 + 1%)#$&; … ; 𝑎 lập thành một cấp số nhân với
số hạng đầu a1 = a và công bội q = 1 + 1% = 101% có tổng n – 2 số hạng đầu là: 𝑎(1 − (101%)#$%) 𝑆#$% = = 100𝑎[−1 + (101%)#$%] 1 − 101%
Suy ra : 𝑢# = 𝑢!(1 + 1%)#$! − 100𝑎[−1 + (101%)#$%].
Vì sau 2 năm = 24 tháng thì ông An trả xong số tiền nên n = 24 và 𝑢%& = 0. Do đó ta có :
𝑢%& = 𝑢!(1 + 1%)%" − 100𝑎[−1 + (101%)%%] = 0
⟺ 1 000 000 000. (99%)%" − 100𝑎[−1 + (101%)%%] = 0 ⟺ 𝑎 = 51372355,66 49
Vậy mỗi tháng ông An phải trả 51372355,66 đồng.