Chương 2: HÀM SỐ HAI BIẾN SỐ PHẦN I. BÀI TẬP Bài 1. Cho Tính
Bài 2. Tìm miền xác định của các hàm số sau: 1. z = x2 +y2 - 2xy+10 2. z = 3. z = 4. z =
Bài 3. Cho hàm số z = f(x,y) = x3+x2y3-2y2, hãy tìm z’x(2,1) và z’y(2,1)
Bài 4. Cho hàm số z = yln(x2-y2).
1. Tính các đạo hàm riêng z’x và z’y
2. Chứng tỏ rằng .
Bài 5. Tính vi phân dz của các hàm số sau: a. z = xy2 b. Bài 6. Cho hàm số
Tính dz(1,1) và kiểm tra công thức
Bài 7. Tính vi phân cấp hai d2z của các hàm số sau: 1. z = exsiny 2. z = ln(x-y) 163
Tìm cực trị của hàm hai biến
Bài 8. Tìm cực trị của các hàm số sau: 1. (x, y > 0) 2. 3. z= x4 + y4 - x2 - 2xy - y2
Bài 9. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của các hàm số sau: 1. z= f(x,y) = 3+xy-x-2y
trong miền tam giác ABC với A(1;4); B(1;0) và C(5;0)
2. f(x,y) = x2 + 2y2 – y trong miền D: x2 + y2 £ 1 3. trong miền 4. z = x2 + y2 trên miền
Bài 10. Tìm cực trị có điều kiện
1. Tìm cực trị của hàm số z=f(x, y) = xy + 2x với điều kiện 8x + 4y = 120.
2. Tìm cực trị của hàm số z = 2013.x0,2y0,8 thỏa mãn điều kiện 5x +4y = 250
3. Tìm cực trị của hàm số
z = f(x,y) = 15 – 13x – 6y với điều kiện x2 – y2 = 133.
4. Tìm cực trị của hàm số z= f(x,y) = 20x+5y với
điều kiện 20x0,5y0,5 = 120 164
PHẦN II. Bài tập và đáp số. Bài 1. Cho tính Bài 2. Cho Tính
Bài 3. Tìm miền xác định của các hàm số sau: 1. 2. 3. 4. 5.
Bài 4. Tính các đạo hàm riêng cấp một của các hàm số sau: 1. z = x3y - y3x - 3axy 2. 3. 4. 5.
Bài 5. Cho hàm số z = ln(x2 +xy + y2), chứng minh rằng: xz’x + yz’y = 2 Bài 6. Cho z = xy + x , chứng minh rằng: xz’x + yz’y = xy + z
Bài 7. Tính vi phân toàn phần của các hàm số sau: 1. 2. 3. 165 4. ) 5.
Bài 8. Tính giá trị các đạo hàm riêng cấp hai của f(x,y) = 6x2y-24xy-
6x2+24x+4y3-15y2+36y+1 tại M(2,2)
Bài 9. Tính đạo hàm và vi phân của các hàm số sau: 1. Tính ; ; 2. z= sinxsiny Tính 3. Tính ; 4. z= xsinxy + ycosxy. Tính 5. z = sin(x + cosy). Tính 6. Tính 7. z = cos(x + y) Tính
Bài 10. Tìm cực trị của các hàm số sau: 1. z = x2+y2-4lnx-10lny+1 2. 3. z = xyln(x2+y2) 4. z = 2x4 + y4 - x2 - 2y2 5. z = x2 + xy + y2 -3x - 6y 6. z = xy2(1 - x - y) 7. z = x3 + y3 - 15xy 8. z = 4 - (x2 + y2)2/3 9. z = (x2 + y2) - x2 - y2 10. z = 1 + 6x - x2 - xy -y2 11. z = (x-1)2 + 2y2
12. z = x2 + xy + y2 - 2x – y 166
Bài 11. Tìm giá trị lớn nhất và bộ nhất của các hàm số trong các miền cho tương ứng:
1. z = x2 + y2 - xy - 4x trong miền đúng x = 0; y = 0; 2x + 3y - 12 = 0
2. z = xy trong hình tròn x2 + y2 1
3. z = x2 – y2 trong hình tròn x2 + y2 4
4. z = x2y (4 – x – y) trong miền giới hạn bởi x = 0; y = 0 và x + y = 6
5. z = x + y trong hình tròn x2 + y2 1
6. z = x3 – y3 – 3xy trong hình chữ nhật 0 x 2; -1 y 2
7. z = x2 + y2 – 12x +16y trong hình tròn x2 + y2 25
8. z = sinx + siny + sin(x + y) trong hình chữ nhật 0 x , 0 y 9.
trong miền D xác định bởi
Bài 12. Tính đạo hàm y’x của các hàm ẩn được xác định bởi các phương trình sau: 1. xey + yex = exy 2. y = arctan(x + y) 3. xy = yx
Bài 13. Tìm cực trị có điều kiện của các hàm số sau:
1. z = xy với điều kiện x + y = 1
2. z = x + 2y với điều kiện x2 + y2 = 5
3. z = x2 + y2 với điều kiện
4. z = x2 + y2 với điều kiện 5. với điều kiện
6. z = 12x+3y với điều kiện 25x0,5y0,5 =1250
C.Bài tập và đáp số. Đáp số Bài 1. ; Bài 2. 167
Bài 3. Tìm miền xác định của các hàm số sau: 1. 2. và 3. 4. và ,n:số nguyên 5. y2 < 4(x+1)
Bài 4 .Tính các đạo hàm riêng cấp một của các hàm số sau: 1. 2. 3. 4. 5.
Bài 5. Tính các đạo hàm riêng cấp 1 của hàm số z ;
thay vào ta có xz’x + yz’y = 2
Bài 6. Làm tương tự bài 4.7 Bài 7. 1. 168 2. 3. 4. 5. Bài 8. Bài 9. 1.
2.d2z = 2cosxcosydxdy-sinxsiny(dx2 + dy2) 1. 2. 3. 4. 5. 169 Bài 10
1. zCT= 8 -2ln2-10ln5 tại điểm 2. zCT= 0 tại điểm O(0,0) z 2 2 CĐ=
mọi điểm thuộc đường tròn x +y =1 3. zCT= tại M zCĐ= tại A và B 4. zCT tại các điểm ( 5. zCT= -9 tại điểm(0,3) 6. zCĐ = 1/64. 7. zCT= -125 8. ZCĐ = 4 9. zCT = 0
10.zCĐ = 13 tại điểm(4,-2) 11.ZCT = 0 tại điểm (1,0)
12.zCT = -1 tại điểm (1,0) Bài 11. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 170 7. 8. 9. Bài 12. 1. 2. 3. Bài 13.
1. zCĐ=1/4 tại điểm(1/2,1/2) 2. zCT=5 tại điểm (1,2) 3. zCT= 36/13 tại điểm 4. zCĐ= tại điểm 5.
Hàm số đạt cực đại tại
và giá trị cực đại là
6. Hàm số đạt cực tiểu tại M(25,100) và giá trị cực tiểu là 600 171