CHƯƠNG 3 : BIẾN NGẪU NHIÊN RỜI RẠC VÀ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT I.
Hàm xác suất - Hàm phân phối xác suất: p(x)=P(X=x)=P
Ví dụ về hàm phân phối xs sau: F(x)= 0,4 nếu x = 0 0,3 nếu x = 1 0,2 nếu x = 2 0,075 nếu x = 3 0,025 nếu x = 4
Ví dụ: Cho bảng phân phối X: X 0 1 2 3 4 P(X) 0,4 0,3 0,2 0,075 0,025
Hàm tích lũy: F(x) = P(X<=y) =
P(X<= 2) = 0,2 + 0,3 + 0,4 =0,9
P(1<=X<=4) = 0,3 + 0,2 + 0,075 + 0,025=0,6
Kỳ vọng (giá trị trung bình):  E(X) = ∑x.f(x)
 E[h(X)] = E(aX + b) = a. E(X) + b  E(X+Y)=E(X)+E(Y)
 E(X.Y)=E(X)+E(Y) khi X,Y độc lập
E(X) = 0.0,4 + 1.0,3 + 2.0,2 + 3.0,075 + 4. 0,025 =1.025
Phương sai: V(X) = E(X2 2 ) – [E(X)] V(X) = (O,3 + O,2.22 2 2 2 + 0,075.3 + 0,025.4 ) – 1.025 = 1.124375
Độ lệch chuẩn: (X)= II.
CÁC DẠNG PHÂN PHỐI
1. Phân phối nhị thức: X là số lần xuất hiện tính chất S khi thực hiện n TNNN độc
lập có xs xuất hiện t/c S trong mỗi TNNN là như nhau và bằng p, kí hiệu X~B(n;p) Hàm xs: p u x(u) = P(X=u)= p (1-p)n-u E(X) = n.p ; V(X)=np(1-p)
Ví dụ: Trong xưởng thực hành có 20 máy thiết bị. Xác suất để 1 máy thiết bị bị hỏng là 5%
a. Xs không có máy nào bị hỏng
b. Số máy bị hỏng trung bình là bao nhiêu
c. Biết có ít nhất 1 máy bị hỏng, tính xác suất bị hỏng ko quá 2 máy
Gọi X là số máy bị hỏng trong 20 thiết bị
X có phân phối nhị thức với n=20; p=0,05 P(X=u)= 0,05u.0,9520-u a. P(X=0)= ….= 0,3584859224 b. E(X) = 20. 0,05 = 1
c. P(X<=2/X>=1)=P(1≤X≤2)/P(X≥1) = ….= 0,8823351249
2. Phân phối poisson, X~P() P(X=u)= ; E(X)=V(X)=
Ví dụ:Số lỗi chính tả trong mỗi chương của một cuốn tiểu thuyết A là biến ngẫu
nhiên có phân phối Poisson với trung bình bằng 2. Tính xác suất từ chương 1 đến
chương 5 có không quá 10 lỗi chính tả.
Gọi X là số lỗi chính tả trong 1 chương của cuốn tiểu thuyết A. X~P(2)
Gọi Y là số lỗi chính tả trong các chương từ 1 đến 5 của cuốn tiểu thuyết A. Y~P(10)
Xác suất có không quá 10 lỗi chính tả trong các chương từ 1 đến 5 của cuốn tiểu thuyết A P(0≤Y≤10)=
Trong trường hợp phân phối nhị thức có n đủ lớn và p đủ nhỏ (n>50 và np<5)
=> phân phối poisson với μ=n.p
Ví dụ: Một máy dệt có 5000 ống sợi hoạt động độc lập. Xác suất để mỗi ống sợi bị đứt
trong 1 phút là 0,0005.Tính xác suất để trong 1 phút có 3 ống sợi bị đứt
Gọi X là số ống sợi bị đứt. X có phân phối nhị thức với n=5000;p=0,0005
Vì X có n quá lớn và p nhỏ=> X có phân phối Poison với μ=5000.0,0005=2,5 P(X=3)= =0,2138
3. Phân phối nhị thức âm: thực hiện các thí nghiệm độc lập có xs xuất hiện tính
chất S trong mỗi TNNN là như nhau và bằng p cho đến khi xuất hiện tính chất S r lần thì dừng.
TH1: X là số lần không xuất hiện tính chất S đến khi S xuất hiện r lần thì dừng P(X=u)= ; u=0;1;2
Ví dụ: Xác suất mỗi sản phẩm của nhà máy M đạt chuẩn là 0,85. Kiểm tra ngẫu
nhiên lần lượt từng sản phẩm của công ty M cho đến khi được 3 sản phẩm đạt
chuẩn thì dừng. Gọi X là số sản phẩm không đạt chuẩn cần phải kiểm tra. Tính P(X=10)
X là số sản phẩm không đạt chuẩn cần phải kiểm tra
X có phân phối nhị thức âm với r=3; p=0,85 P(X=10) =
TH2: Y là số lần thực hiện TNNN cho đến khi S xuất hiện r lần thì dừng P(Y=u)= ; u=0;1;2 E(X) = ; V(X)=
Ví dụ: Nhà máy M sản xuất sản phẩm với xs ko đạt của mỗi sản phẩm là 0,082.
Kiểm tra ngẫu nhiên từng sản phẩm của nhà máy M cho đến khi dc 3 sản phẩm ko
đạt chuẩn thì dừng. Gọi X là số sản phẩm cần kiểm tra. Tính E(X), V(X), P(X=10)
X là số sản phẩm cần kiểm tra; X có p = 0,082; r=3, X có phân phối nhị thức âm
E(X) = =3(1-0,082)0,082=33,58536585
V(X)= = 3(1-0,082)0,082.O,O82= 409,5776324
P(X=10)= = 0,0109054308
4. Phân phối siêu bội: Lấy ngẫu nhiên n phần tử từ N phần tử trong đó có M phần tử
có tính chất A. Gọi X là số phần tử có tc A trong n phần tử lấy ra. X có phân phối
siêu bội với 3 tham số n;M;N. P(X=x)= E(X)= n . ; V(X)=
Ví dụ: X có phân phối siêu bội với 3 tham số n=10;M=5,N=25 P(X)= Tính X=2; E(X); V(X) P(X=2)= EX = 10. =2; V( X)= 1 BT ôn
B1. Một hộp có 10 chiếc tất màu đỏ, 5 chiếc màu trắng, 8 chiếc màu đen. Một người
lấy ngẫu nhiên ra 2 chiếc tất. Gọi X là số tất màu đỏ lấy ra.
a. Hãy tìm hàm xs của X từ đó tính kỳ vọng và phương sai của X
b. Tính P(X>1); P(X<3)
B2. Một hộp có 10 sản phẩm trong đó có 7 sản phẩm tốt, 3 sp xấu. Lấy ngẫu nhiên 3
sản phẩm. Gọi X là số sản phẩm xấu được lấy ra. Lập bảng phân phối xs, tính kì vọng X
B3. Một phân xưởng đóng gói mỗi hộp bi gồm 5 bi đỏ, 25 bi xanh, 10 bi vàng, 5 bi
đen. Một người lấy ngẫu nhiên từng hộp và từ mỗi hộp lấy ngẫu nhiên r 3 viên bi,
nếu lấy dc 3 bi xanh thì mua hộp đó. Người đó cần mua 3 hộp bi. Tính xs người đó
kiểm tra đến hộp thứ 5 thì dừng.(0,01793851509)
B4. Một đồng xu thiên vị với xác suất xuất hiện mặt có hình gấp đôi mặt không có
hình. Tung đồng xu này 10 lần, tính xs số lần xuất hiện mặt có hình từ 3 đến 6 lần
B5. Một cửa hàng bán 100 bóng đèn, trong đó có 12 bóng hỏng. Một người chọn
mua ngẫu nhiên 15 bóng đèn từ của hàng này. Hỏi TB người này mua được bao nhiêu bóng tốt
B6. Một người bắn lần lượt từng viên đạn vào bia với giả thuyết xác suất bắn trúng
mỗi viên là như nhau và bằng 0,2. Người này bắn cho đến khi trúng 3 viên thì dừng
lại. Tính xác suất người này đã bắn 8 viên.(0,05505024)
B7. Một doanh nghiệp có 3 cửa hàng bán hàng một cách độc lập. Xác suất mỗi cửa
hàng không bán được trong 1 ngày lần lượt là 0,02; 0,04, 0,07. Gọi X là số cửa hàng
không bán được hàng. Tính E(X) (0,13)
B8. Số khách đến quầy dịch vụ S trong 5 phút là biến ngẫu nhiên có phân phối
Poisson với trung bình là 3. Tính xác suất trong 10 phút có ít nhất 5 khách đến quầy
S biết rằng có không quá 8 khách đến quầy S trong 10 phút.
B9. Xác suất để một máy sản xuất ra sản phẩm loại A là 0,25. Máy đã sản xuất ra 30 sản phẩm
a. Tính xs trong các sản phẩm đã sản xuất có từ 15 đến 20 sp loại A
b. Tính xs trong các sp sản xuất có đúng 5 sản phẩm không phải loại A
B10. Tỷ lệ học viên học trung tâm ngoại ngữ A,B,C có kết quả thi IELTS trở lên lần
lượt là 0,55; 0,6 và 0,48.
a. Tính xs trong 20 học viên trung tâm đi thi ILELTS có ít nhất 8 người đạt kết
quả từ 6.0 trở lên
b. Tính xs trong 2 học viên trung tâm A, 3 học viên trung tâm B và 4 học viên
trung tâm C thi ILELTS có đúng một người đạt 6.0 trở lên