Chương 5: Hệ phi lý thuyết tuyến tính Lyapunov môn Đại số tuyến tính | Đại học Bách Khoa, Đại học Đà Nẵng

Chương 5: Hệ phi lý thuyết tuyến tính Lyapunov môn Đại số tuyến tính | Đại học Bách Khoa, Đại học Đà Nẵng giúp sinh viên tham khảo, ôn luyện và phục vụ nhu cầu học tập của mình cụ thể là có định hướng, ôn tập, nắm vững kiến thức môn học và làm bài tốt trong những bài kiểm tra, bài tiểu luận, bài tập kết thúc học phần, từ đó học tập tốt và có kết quả cao cũng như có thể vận dụng tốt những kiến thức mình đã học

86 43 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Môn: Đại số tuyến tính (ĐSTT1)

Trường: Trường Đại học Bách khoa, Đại học Đà Nẵng

Thông tin:

42 trang 6 tháng trước

Tác giả:

Profile Kim Oanh
LÝ THUYẾT ỔN ĐỊNH LYAPUNOV
Chương 5
HỆ PHI TUYẾN 1
1. Định nghĩa
2. Hàm Lyapunov và định lý ổn định
3. Phương pháp Krasovski tìm hàm Lyapunov
4. Ổn định Lyapunov đối với hệ thống tuyến nh hóa
Nội dung chương 5
HỆ PHI TUYẾN 2
2
Cho hệ thống MIMO phi tuyến biểu diễn bởi phương trình trạng thái
không autonom:
Định nghĩa 1 (BIBO): Hệ thống được gọi là có tính ổn định BIBO
(Bounded Input Bounded Output), nếu với tín hiệu vào u(t) bị chặn thì
tín hiệu ra y(t) cũng bị chặn
1. Định nghĩa
( , )
(*)
( , )
f u
y h u
x x
x
( ) y( )
u t t
liên quan đến tác động từ tín hiệu vào đến hệ thống
HỆ PHI TUYẾN 3
Định nghĩa 2 (Lyapunov): Hệ thống được gọi là ổn định Lyapunov,
hay còn gọi là ổn định tại điểm cân bằng x
e
nếu với
, t
0
>0 bất kỳ, bao
giờ cũng tồn tại (
, t
0
) sao cho nghiệm x(t) của (*) với (0) =x x
0
thỏa
mãn:
1. Định nghĩa
0 0
( ) ,
e e
t t t
x x x x
Nghĩa là nếu cho trước lân cận của
x
e
thì phải tồn tại một lân cận cũng
của x
e
sao cho mọi quỹ đạo trạng thái
tại thời điểm t
0
đi qua điểm x
0
thuộc
lân cận sẽ nằm hoàn toàn trong lân
cận
.
HỆ PHI TUYẾN 4
* Hệ thống được gọi là ổn định tiệm cận Lyapunov tại điểm cân bằng x
e
nếu với
, t >0 bất kỳ, bao giờ cũng tồn tại
0
(
, t
0
) sao cho nghiệm x(t)
của (*) với x(0) = x
0
thỏa mãn:
1. Định nghĩa
Nếu biểu thức trên đúng với mọi x
0
thì được gọi là ổn định tuyệt đối tại x
e
0
e e
t
x x x x
HỆ PHI TUYẾN 5
Tính chất
- Do hệ phi tuyến có nhiều điểm cân bằng -> tính ổn định gắn với
điểm cân bằng.
- Hệ phi tuyến có thể ổn định tại điểm cân bằng này nhưng không ổn
định tại điểm cân bằng khác
- Đối với hệ tuyến tính: đã ổn định tại điểm cần bằng nào đó thì ổn
định với mọi điểm cân bằng khác
1. Định nghĩa
HỆ PHI TUYẾN 6
2.1. Hàm Lyapunov
Xét hệ phi tuyến autonom không có tín hiệu vào, có điểm cân bằng
tại gốc tọa độ x
e
= 0
2. Hàm Lyapunov và định lý ổn định
0
( , ) ( )
u
f u f
x x x
- Giả sử ta có hệ các đường cong
khép kín bao quanh gốc tọa độ
trong mặt phẳng pha.
- Xét nghiệm x(t) của phương trình vi
phân ở trên xuất phát từ trạng thái
đầu x
0
, khi t biến thiên tạo nên quỹ
đạo pha.
- Nếu x(t) cắt mọi đường cong
theo hướng từ ngoài vào trong ->
x(t) sẽ tiến về 0 -> hệ ổn định theo
HỆ PHI TUYẾN 7
định nghĩa Lyapunov.
2.2. Định lý ổn định Lyapunov
Xét hệ phi tuyến autonom không có tín hiệu vào, có điểm cân bằng tại
gốc tọa độ x
e
= 0
Nếu tồn tại hàm sao cho trong miền D chứa điểm cân bằng thỏa:V(x)
thì hệ thống ổn định Lyapunov tại điểm 0.
* Nếu tồn tại hàm thì ổn định tiệm cận Lyapunov tại điểm 0.
* Hàm V(x) được gọi là hàm Lyapunov, thường chọn là hàm toàn phương
của các biến trạng thái.
0
( , ) ( )
u
f u f
x x x
( ) 0, \
( ) 0
( ) 0,
V D
V
V D
x x 0
0
x x
( ) 0, 0
V
x x
2. Hàm Lyapunov và định lý ổn định
Nếu không tìm được hàm V(x) thỏa mãn các điều kiện trên
HỆ PHI TUYẾN 8
-> chưa thể kết luận tính ổn định Lyapunov
Định lý ổn định Lyapunov (2)
Xét hệ phi tuyến autonom không có tín hiệu vào, có điểm cân bằng
tại gốc tọa độ x
e
= 0
Nếu tồn tại hàm sao cho trong miền D chứa điểm cân bằng thỏa:V(x)
Thì hệ thống không ổn định Lyapunov tại điểm .0
0
( , ) ( )
u
f u f
x x x
( ) 0, \
( ) 0
( ) 0,
V D
V
V D
x x 0
0
x x
2. Hàm Lyapunov và định lý ổn định
HỆ PHI TUYẾN 9
Ví dụ 1:
Xét ổn định của hệ thống sau:
Giải
Hệ thống có điểm cân bằng
Chọn hàm Lyapunov ta có
Tính
2 2
2 1 1 2
2 2
1 2 1 2
, 0
x ax x x
d
a
dt
x ax x x
x
2 2
1 2
( )
V x x
x
0 0
T
e
x
( ) 0, \ 0
( ) 0
V D
V
x x
0
2 2
2 1 1 2
1 2
2 2
1 2 1 2
2
2 2
1 2 1 2
( ) ( )
2
( )
2a 0, 0, 0
T
x ax x x
dV V d
x x
dt x dt
x ax x x
dV
x x x x
dt
x x x
x
2. Hàm Lyapunov và định lý ổn định
HỆ PHI TUYẾN 10
Hệ ổn định tiệm cận Lyapunov
Ví dụ 2:
Xét ổn định của hệ thống sau:
Xác định điểm cân bằng của hệ thống và đánh giá tính ổn định tại điểm
cân bằng.
Giải
Trạng thái cân bằng là nghiệm của phương trình
Chọn hàm Lyapunov có V(0) = 0 và V(x) >0
2 4
2 1 1 2
2 4
1 2 1 2
x
x x x x
d
dt
x x x x
2 4
1 2 1 1 2
1e
2 4
2e
2 1 2 1 2
0
0
0
0
x x x x x
x
x
x x x x x
2 2
1 2
( )
V x x
x
1 2 1 2 1 1 1 2
2 2 2 4
1 2 1 2
( ) 2 2
( ) 0, 0
T
V x x x x x x x x
V x x x x x
x
x
2. Hàm Lyapunov và định lý ổn định
HỆ PHI TUYẾN 11
Hệ không ổn định Lyapunov
Ví dụ 3:
Xét ổn định của hệ phi tuyến sau
Giải
Hệ phi tuyến có điểm cân bằng tại x
e
=(0 0)
T
.
Chọn hàm Lyapunov có V(0) = 0 và V(x) >0.
Ta có
3
1 1 2
2
2
x x x
d
dt
x
x
2 2
1 2
( )
V x x
x
2 2 2
1 1 1 2 1 1 2 2
( ) 2 2 1 2 2
V x x x x x x x x
x
2
1 2
1 2 0 (*)
x x
Để hệ thống ổn định Lyapunov tại 0 thì
hay nói cách khác, quỹ đạo trạng thái phải
xuất phát từ một điểm bên trong miền D
thỏa mãn điều kiện (*) ở trên.
2. Hàm Lyapunov và định lý ổn định
HỆ PHI TUYẾN 12
Việc chọn hàm Lyapunov
liên quan đến miền ổn định
Bài tập:
Xét ổn định của hệ thống con lắc đơn tại 2 vị trí cân bằng
Biết ptvp mô tả con lắc đơn
Hướng dẫn
Chọn hàm Lyapunov
2. Hàm Lyapunov và định lý ổn định
2
2
1 2
( ) 2 sin(0.5 )
2
l
V x x
g
x
HỆ PHI TUYẾN 13
- Việc chọn được hàm Lyapunov có ý nghĩa quyết định để xác định
tính ổn định của hệ thống và miền ổn định
- Thông thường chọn hàm Lyapunov dạng toàn phương của biến
trạng thái.
- Trong hầu hết các trường hợp -> khó tìm được hàm Lyapunov
3. Phương pháp Krasovski tìm hàm Lyapunov
HỆ PHI TUYẾN 14
Định lý Krasovski: Xét hệ phi tuyến autonom không có tín hiệu vào, có
điểm cân bằng tại gốc tọa độ x
e
= 0
Gọi A là ma trận Jacobi của hệ thống
Nếu ma trận
F = A + A
T
xác định âm trong miền D thì hệ thống ổn định
tiệm cận tại điểm cân bằng. Hàm Lyapunov của hệ thống trong trường
hợp này là:
* Miền ổn định là tập D chứa gốc tọa độ và các điểm trạng thái mà tại
đó F xác định âm.
0
( , ) ( )
u
x f x u f x
f
A
x
( ) ( ) ( )
T
V x f x f x
3. Phương pháp Krasovski tìm hàm Lyapunov
Ma trận xác định âm nếu thỏa mãn 1 trong 2 điều kiện sau:
- Định thức con chính (định thức từ cấp 1x1 cấp lẻ âm, cấp chẵn dương
đến nxn trên đường chéo chính)
- Các giá tri riêng của ma trận đều âm.
HỆ PHI TUYẾN 15
* Nếu không thỏa mãn điều kiện không có nghĩa là nó không âm
| 1/42
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

Chương 5
LÝ THUYẾT ỔN ĐỊNH LYAPUNOV HỆ PHI TUYẾN 1 Nội dung chương 5 1. Định nghĩa
2. Hàm Lyapunov và định lý ổn định
3. Phương pháp Krasovski tìm hàm Lyapunov
4. Ổn định Lyapunov đối với hệ thống tuyến nh hóa 2 HỆ PHI TUYẾN 2 1. Định nghĩa
Cho hệ thống MIMO phi tuyến biểu diễn bởi phương trình trạng thái không autonom:
x  f ( , x u)  (*) y   ( h , x u)
Định nghĩa 1 (BIBO): Hệ thống được gọi là có tính ổn định BIBO
(Bounded Input Bounded Output), nếu với tín hiệu vào u(t) bị chặn thì
tín hiệu ra y(t) cũng bị chặn
u(t)    y(t)  
liên quan đến tác động từ tín hiệu vào đến hệ thống HỆ PHI TUYẾN 3 1. Định nghĩa
Định nghĩa 2 (Lyapunov): Hệ thống được gọi là ổn định Lyapunov,
hay còn gọi là ổn định tại điểm cân bằng xe nếu với , t0 >0 bất kỳ, bao
giờ cũng tồn tại (, t0 ) sao cho nghiệm x(t) của (*) với x(0) = x0 thỏa mãn: x x    (
x t)  x  , t t 0 e e 0
Nghĩa là nếu cho trước lân cận  của
xe thì phải tồn tại một lân cận  cũng
của xe sao cho mọi quỹ đạo trạng thái
tại thời điểm t0 đi qua điểm x0 thuộc
lân cận  sẽ nằm hoàn toàn trong lân cận . HỆ PHI TUYẾN 4 1. Định nghĩa
* Hệ thống được gọi là ổn định tiệm cận Lyapunov tại điểm cân bằng xe
nếu với , t >0 bất kỳ, bao giờ cũng tồn tại 0
(, t0 ) sao cho nghiệm x(t)
của (*) với x(0) = x0 thỏa mãn:
x x    lim x(t)=x 0 e e t 
 Nếu biểu thức trên đúng với mọi x0
thì được gọi là ổn định tuyệt đối tại xe HỆ PHI TUYẾN 5 1. Định nghĩa Tính chất
- Do hệ phi tuyến có nhiều điểm cân bằng -> tính ổn định gắn với điểm cân bằng.
- Hệ phi tuyến có thể ổn định tại điểm cân bằng này nhưng không ổn
định tại điểm cân bằng khác
- Đối với hệ tuyến tính: đã ổn định tại điểm cần bằng nào đó thì ổn
định với mọi điểm cân bằng khác HỆ PHI TUYẾN 6
2. Hàm Lyapunov và định lý ổn định 2.1. Hàm Lyapunov
Xét hệ phi tuyến autonom không có tín hiệu vào, có điểm cân bằng
tại gốc tọa độ xe = 0 x f ( , x u)  f  ( ) x u 0 
- Giả sử ta có hệ các đường cong 
khép kín bao quanh gốc tọa độ trong mặt phẳng pha.
- Xét nghiệm x(t) của phương trình vi
phân ở trên xuất phát từ trạng thái
đầu x0, khi t biến thiên tạo nên quỹ đạo pha.
- Nếu x(t) cắt mọi đường cong 
theo hướng từ ngoài vào trong ->
x(t) sẽ tiến về 0 -> hệ ổn định theo định nghĩa Lyapunov. HỆ PHI TUYẾN 7
2. Hàm Lyapunov và định lý ổn định
2.2. Định lý ổn định Lyapunov
Xét hệ phi tuyến autonom không có tín hiệu vào, có điểm cân bằng tại
gốc tọa độ xe = 0
x f (x,u)  f  (x) u0
Nếu tồn tại hàm V(x) sao cho trong miền D chứa điểm cân bằng thỏa: V
 (x)  0,xD \   0V  ( ) 0  0
V(x)  0,xD
thì hệ thống ổn định Lyapunov tại điểm 0.
* Nếu tồn tại hàmV(x)  0,x  0 thì ổn định tiệm cận Lyapunov tại điểm 0.
* Hàm V(x) được gọi là hàm Lyapunov, thường chọn là hàm toàn phương
của các biến trạng thái.
Nếu không tìm được hàm V(x) thỏa mãn các điều kiện trên
-> chưa thể kết luận tính ổn định Lyapunov HỆ PHI TUYẾN 8
2. Hàm Lyapunov và định lý ổn định
Định lý ổn định Lyapunov (2)
Xét hệ phi tuyến autonom không có tín hiệu vào, có điểm cân bằng
tại gốc tọa độ xe = 0
x f (x,u)  f  (x) u0
Nếu tồn tại hàm V(x) sao cho trong miền D chứa điểm cân bằng thỏa: V
 (x)  0,x D \  0V  (0)  0
V(x)  0,x D
Thì hệ thống không ổn định Lyapunov tại điểm 0. HỆ PHI TUYẾN 9
2. Hàm Lyapunov và định lý ổn định Ví dụ 1:
Xét ổn định của hệ thống sau:  x x ax  2 2 x xd 2 1 1 2     dt x ax   , a 0 2 2 x x  1 2 1 2  Giải
Hệ thống có điểm cân bằng x eT 0 0 V
 (x)  0,xD \  0 Chọn hàm Lyapunov 2 2
V (x)  x x ta có  1 2 V  ( ) 0  0 Tính T     (x)   (x) x axx  2 2 x x dV V d 2 1 1 2    2   x x   1 2  dtx   dt x ax   2 2 x x  1 2 1 2   dV (x)   2
 ax x 2 2 2  0, x   0,x  0 1 2 1 2 dt
 Hệ ổn định tiệm cận Lyapunov HỆ PHI TUYẾN 10
2. Hàm Lyapunov và định lý ổn định Ví dụ 2:
Xét ổn định của hệ thống sau:     x x x  2 4 x x d 2 1 1 2     dt x x   2 4 x x  1 2 1 2 
Xác định điểm cân bằng của hệ thống và đánh giá tính ổn định tại điểm cân bằng. Giải
Trạng thái cân bằng là nghiệm của phương trình
x  x x   2 4 x x  0   1 2 1 1 2  x 0 1e           2 4   x x x x x x   0 0  2e 2 1 2 1 2 Chọn hàm Lyapunov 2 2 V ( )
x x x có V(0) = 0 và V(x) >0 1 2 T V( ) x  2  x x xx
 2 x x  x x 1 2  1 2   1 1 1 2  V( ) x   2 2 x x  2 4 x x  0, x   0 1 2 1 2 
 Hệ không ổn định Lyapunov HỆ PHI TUYẾN 11
2. Hàm Lyapunov và định lý ổn định Ví dụ 3:
Xét ổn định của hệ phi tuyến sau 3
dx x  2x x  1 1 2    dtx  2  Giải
Hệ phi tuyến có điểm cân bằng tại xe=(0 0)T. Chọn hàm Lyapunov 2 2 V ( )
x x x có V(0) = 0 và V(x) >0. 1 2 Ta có V( )
x  2 x x  x x  2  2  x  2 1  2x x  2 2x 1 1 1 2 1 1 2 2
Để hệ thống ổn định Lyapunov tại 0 thì  2 1  2x x  0 (*) 1 2 
hay nói cách khác, quỹ đạo trạng thái phải
xuất phát từ một điểm bên trong miền D
thỏa mãn điều kiện (*) ở trên. Việc chọn hàm Lyapunov
liên quan đến miền ổn định HỆ PHI TUYẾN 12
2. Hàm Lyapunov và định lý ổn định Bài tập:
Xét ổn định của hệ thống con lắc đơn tại 2 vị trí cân bằng
Biết ptvp mô tả con lắc đơn Hướng dẫn l Chọn hàm Lyapunov
V (x)  2sin(0.5x )2 2  x 1 2 2g HỆ PHI TUYẾN 13
3. Phương pháp Krasovski tìm hàm Lyapunov
- Việc chọn được hàm Lyapunov có ý nghĩa quyết định để xác định
tính ổn định của hệ thống và miền ổn định
- Thông thường chọn hàm Lyapunov dạng toàn phương của biến trạng thái.
- Trong hầu hết các trường hợp -> khó tìm được hàm Lyapunov HỆ PHI TUYẾN 14
3. Phương pháp Krasovski tìm hàm Lyapunov
Định lý Krasovski: Xét hệ phi tuyến autonom không có tín hiệu vào, có
điểm cân bằng tại gốc tọa độ xe = 0
x f (x,u)  f  (x) u0 
Gọi A là ma trận Jacobi của hệ thống f A x
Nếu ma trận F = A + AT xác định âm trong miền D thì hệ thống ổn định
tiệm cận tại điểm cân bằng. Hàm Lyapunov của hệ thống trong trường hợp này là: ( ) T
V x f (x) f (x)
* Miền ổn định là tập D chứa gốc tọa độ và các điểm trạng thái mà tại đó F xác định âm.
Ma trận xác định âm nếu thỏa mãn 1 trong 2 điều kiện sau:
- Định thức con chính cấp lẻ âm, cấp chẵn dương (định thức từ cấp 1x1
đến nxn trên đường chéo chính)
- Các giá tri riêng của ma trận đều âm.
* Nếu không thỏa mãn điều kiện không có nghĩa là nó không âm HỆ PHI TUYẾN 15