Chương II: Biến ngẫu nhiên và Quy luật phân môn xác suất thống kê| Đại học Duy Tân

23:08, 10/01/2026
Tổng hợp lý thuyết Xác suất thống kê Chương II: Biến ngẫu nhiên và Quy luật phân - Studocu Xácsuấtthốngkê
ChươngII:BiếnngẫunhiênvàQuyluậtphânphốixácsuất §1
Địnhnghĩavàphânloạibiếnngẫunhiên 1.1 Địnhnghĩa
Mộtbiếnsốđượcgọilàngẫunhiênnếutrongkếtquảcủaphépthửnósẽnhậnmộtvàchỉ
mộttrongcácgiátrịcóthểcócủanótùythuộcvàosựtácđộngcủacácnhântốngẫunhiên.
1.2 Phânloạibiếnngẫunhiên
Biếnngẫunhiêncóthểlàrờirạchoặcliêntục.
Biếnngẫunhiêngọilàrờirạcnếucácgiátrịcóthểcócủanólậpnênmộttậphợphữuhạn hoặcđếmđược.
Nóicáchkhác,biếnngẫunhiênsẽlàrờirạcnếutacóthểliệtkêđượctấtcảcácgiátrịcó thểcócủanó.
Biếnngẫunhiêngọilàliêntụcnếucácgiátrịcóthểcócủanólấpđầymộtkhoảngtrên trụcsố.
Đốivớibiếnngẫunhiênliêntụctakhôngthểliệtkêđượctấtcảcácgiátrịcóthểcócủanó. §2
Quyluậtphânphốixácsuấtcủabiếnngẫunhiên 2.1 Địnhnghĩa
Quyluậtphânphốixácsuấtcủabiếnngẫunhiênlàsựtươngứnggiữacácgiátrịcóthểcó
củanóvàcácxácsuấttươngứngvớicácgiátrịđó.
2.2 Bảngphânphốixácsuất
Bảngphânphốixácsuấtchỉdùngđểmôtảquyluậtphânphốixácsuấtcủacácbiếnngẫu nhiênrờirạc.
GiảsửbiếnngẫunhiênrờirạcXcóthểnhậnmộttrongcácgiátrịcóthểcólà x1,x2,...,xn
vớicácxácsuấttươngứnglà p1,p2,..., pn.Bảngphânphốixácsuấtcủabiếnngẫunhiên rờirạcXcódạng: Xx1x2...xn
Pp1p2...pn
Tachúýrằngđểtạonênmộtquyluậtphânphốixácsuấtthìcácxácsuất piphảithỏa mãnđiềukiện: 23:08, 10/01/2026
Tổng hợp lý thuyết Xác suất thống kê Chương II: Biến ngẫu nhiên và Quy luật phân - Studocu
0≤pi≤1∀i   n p X i=1(1)  i=1
Điềukiệnthứnhấtlàhiểnnhiêntheotínhchấtcủaxácsuất,cònđiềukiệnthứhaisuyra
từđịnhnghĩacủabiếnngẫunhiên.Docácbiếncố(X=x1),(X=x2),...,(X=xn)tạonênmột
nhómđầyđủcácbiếncốnêntổngcácxácsuấtcủachúngbằngmột.
Họckìphụnămhọc2024-2025 Trang1 23:08, 10/01/2026
Tổng hợp lý thuyết Xác suất thống kê Chương II: Biến ngẫu nhiên và Quy luật phân - Studocu Xácsuấtthốngkê
ChươngII:BiếnngẫunhiênvàQuyluậtphânphốixácsuất
2.3 Hàmphânbốxácsuất
Kháiniệmhàmphânbốxácsuấtápdụngđượcđốivớicảbiếnngẫunhiênrờirạcvàliên
tục.GiảsửXlàbiếnngẫu
nhiênbấtkỳ,xlàmộtsốthựcnàođó.Xétbiếncố"BiếnngẫunhiênXnhậngiátrịnhỏhơn
x",kýhiệu(X<x).HiểnnhiênlàxthayđổithìxácsuấtP(X<x)cũngthayđổitheo.Như
vậy,xácsuấtnàylàmộthàmsốcủax. 1.Địnhnghĩa
HàmphânbốxácsuấtcủabiếnngẫunhiênX,kýhiệuF(x),làxácsuấtđểbiếnngẫunhiên
Xnhậngiátrịnhỏhơnx,vớixlàmộtsốthựcbấtkỳ.
F(x)=P(X<x)(2)
2.Cáctínhchấtcủahàmphânbốxácsuất
Tính chất1.Hàmphânbốxácsuấtluônnhậngiátrịtrongđoạn[0,1]: 0≤F(x)≤1(3)
Tínhchấtnàytrựctiếpsuyratừđịnhnghĩacủahàm phânbốxácsuất,vìnólàmộtxác
suấtnêngiátrịcủanóluônnằmtrongđoạn[0;1].
Tính chất2.Hàmphânbốxácsuấtlàhàmkhônggiảm,tứclàvới x2>x1thì:
F(x2)≥F(x1)
Chứngminh.Giảsử x2>x1. Xétbiếncố(X<x2).Biếncốnàycóthểphântíchthànhtổng
củahaibiếncốxungkhắclà(X<x1)và(x1≤X<x2).Theođịnhlýcộngxácsuấttacó:
P(X<x2)=P(X<x1)+P(x1≤X<x2) Từđó
P(X<x2)−P(X<x1)=P(x1≤X<x2) hay
F(x2)−F(x1)=P(x1≤X<x2)
Songvếphảilàmộtxácsuất,nóluônkhôngâm,dođótacó:
F(x2)−F(x1)≥0từđóF(x2)≥F(x1)
Từtínhchấtthứhaicóthểsuyramộtsốhệquảsauđây: 23:08, 10/01/2026
Tổng hợp lý thuyết Xác suất thống kê Chương II: Biến ngẫu nhiên và Quy luật phân - Studocu
Hệquả1.XácsuấtđểbiếnngẫunhiênXnhậngiátrịtrongkhoảng[a,b)bằnghiệusốcủa
hàmphânbốxácsuấttạihaiđầukhoảngđó:
P(a≤X<b)=F(b)−F(a)(4)
Hệquảnàysuyratrựctiếptừquátrìnhchứngminhtínhchất.
Hệquả2.XácsuấtđểbiếnngẫunhiênliêntụcXnhậnmộtgiátrịxácđịnhbằng0:
P(X=x)=0(5)
Thậtvậy,nếutađặt a=xvàb=x+∆xtacó:
P(x≤X<x+∆x)=F(x+∆x)−F(x)
Họckìphụnămhọc2024-2025 Trang2 23:08, 10/01/2026
Tổng hợp lý thuyết Xác suất thống kê Chương II: Biến ngẫu nhiên và Quy luật phân - Studocu Xácsuấtthốngkê
ChươngII:BiếnngẫunhiênvàQuyluậtphânphốixácsuất
Lấygiớihạncủacảhaivếkhi∆x→0 l ∆ixm
→0P(x≤X<x+∆x)=lim ∆x→0F(x+∆x)−F(x)
VìXlàbiếnngẫunhiênliêntục,dođótạiđiểmxhàmphânbốxácsuấtcũngliêntục.Vì vậylim
∆x→0F(x+∆x)=F(x)Từđó:
P(X=x)=F(x)−F(x)=0.
Hệquả3.ĐốivớibiếnngẫunhiênliêntụcXtacócácđẳngthứcsauđây:
P(a≤X≤b)=P(a≤X<b)=P(a<X≤b)
=P(a<X<b)(6)
ChẳnghạnđẳngthứcP(a≤X<b)=P(a<X<b)cóthểchứngminhnhưsau:
P(a≤X<b)=P(X=a)+P(a<X<b)
=P(a<X<b)
Nhưvậyviệc xétxácsuấtđểbiếnngẫunhiênliêntụcXnhậnmộtgiátrịxácđịnhlàkhông
cóýnghĩa,songviệctìmxácsuấtđểnónhậngiátrịtrongmộtkhoảng,dùlàrấtnhỏlạicó ýnghĩa.
Tính chất3.Tacóbiểuthứcgiớihạnsau:
F(−∞)=0; F(+∞)=1(7) Thậtvậy:
F(−∞)=P(X< −∞)=P(V)=0
F(+∞)=P(X< +∞)=P(U)=1
Từtínhchấttrêncóthểsuyrahệquảsau:
Hệquả.NếubiếnngẫunhiênXchỉnhậngiátrịtrongđoạn[a,b]thìvới x≤a,F(x)=0và
vớix>b,F(x)=1.
Thậtvậy,với x≤abiến cố(X<x)làbiếncốkhôngthểcó,dođóxácsuấtcủanóbằng0.Còn
vớix>bthìbiếncố(X<x)làbiếncốchắcchắn,dođóxácsuấtcủanóbằng1.
Chúýrằng,nếuXlàbiếnngẫunhiênrờirạcthìhàmphânbốxácsuấtchỉliêntụcvềphía
tráitạimỗigiátrịcóthểcócủanó,cònvềphíaphảithìnóbịgiánđoạn.
3.Ýnghĩacủahàmphânbốxácsuất
Từđịnh nghĩacủahàmphânbốxácsuấtF(x)=P(X<x)tathấyhàmphânbốxácsuất 23:08, 10/01/2026
Tổng hợp lý thuyết Xác suất thống kê Chương II: Biến ngẫu nhiên và Quy luật phân - Studocu
phảnánhmứcđộtậptrungxácsuấtởvềphíabêntráimộtsốthựcxnàođó.Nhưđãbiết
toànbộxácsuấtcủabiếnngẫunhiênbằngmột,dođógiátrịcủahàmphânbốxácsuấttại
mỗiđiểmxchobiếtcóbaonhiêuphầncủamộtđơnvịxácsuấtphânbốtrongđoạn(−∞,x).
2.4 Hàmmậtđộxácsuất
ĐốivớibiếnngẫunhiênliêntụcXcóthểdùnghàmphânbốxácsuấtđểmôtảquyluật
phânphốixácsuấtcủanó.Tuynhiênphươngphápnàycũngcóhạnchế.Hàmphânbốxác
suấtkhôngthểđặctrưngđượcxácsuấtđểbiếnngẫunhiênliêntụcXnhậnmộtgiátrịxác
định.Vìthế,đốivớicácbiếnngẫunhiênliêntục,ngườitathườngdùnghàmmậtđộxác
suấtđểmôtảquyluậtphânphốixácsuấtcủanó.
Họckìphụnămhọc2024-2025 Trang3 23:08, 10/01/2026
Tổng hợp lý thuyết Xác suất thống kê Chương II: Biến ngẫu nhiên và Quy luật phân - Studocu Xácsuấtthốngkê
ChươngII:BiếnngẫunhiênvàQuyluậtphânphốixácsuất 1.Địnhnghĩa
HàmmậtđộxácsuấtcủabiếnngẫunhiênliêntụcX(kýhiệulàf(x))làđạohàmbậcnhất
củahàmphânbốxácsuấtcủabiếnngẫunhiênđó.
f(x)=F′(x)(8)
Chúýrằng,kháiniệmhàmmậtđộxácsuấtchỉápdụngđượcđốivớicácbiếnngẫunhiên
liêntụcmàkhôngápdụngđượcđốivớibiếnngẫunhiênrờirạcvìmuốnF’(x)tồntạithìtối
thiểuF(x)phảiliêntục,dođóXphảilàbiếnngẫunhiênliêntục.
2.Cáctínhchấtcủahàmmậtđộxácsuất
Tính chất1.Hàmmậtđộxácsuấtluônkhôngâm:
f(x)≥0∀x(9)
Chứngminh.HàmphânbốxácsuấtF(x)làmộthàmkhônggiảm,dođóđạohàmcủanó
F’(x)=f(x)làmộthàmkhôngâm.Vềmặthìnhhọcđiềuđócónghĩalàđồthịcủahàmf(x) khôngnằmthấphơntrụcOx.
Tính chất2.XácsuấtđểbiếnngẫunhiênliêntụcXnhậngiátrịtrongkhoảng(a,b)bằng
tíchphânxácđịnhcủahàmmậtđộxácsuấttrongkhoảngđó:
P(a<X<b)= b Z
f(x)d x (10) a
Chứngminh.Theotínhchấtcủahàmphânbốxácsuấttacó:
P(a≤X<b)=F(b)−F(a) TheocôngthứcNewton-Leibnitz
F(b)−F(a)= b
F′(x)d x = b Z Z f(x)d x a a Nhưvậy:
P(a≤X<b)= b Z f(x)d x a
SongvìXlàbiếnngẫunhiênliêntụcnên
P(a≤X<b)=P(a<X<b) từđótacó:
P(a<X<b)= b Z f(x)d x a
Tính chất3.HàmphânbốxácsuấtF(x)củabiếnngẫunhiênliêntụcXbằngtíchphân
suyrộngcủahàmmậtđộxácsuấttrongkhoảng(−∞,x): 23:08, 10/01/2026
Tổng hợp lý thuyết Xác suất thống kê Chương II: Biến ngẫu nhiên và Quy luật phân - Studocu F(x)= x Z
f(t)d t (11) −∞
Chứngminh.Theođịnhnghĩacủahàmphânbốxácsuất,tacó:
F(x)=P(X<x)=P(−∞ < X<x)
Theotínhchất2,đặta= −∞ vàb=x,tacó:
P(−∞ < X<x)= x Z f(t)d t −∞
Songbiếncố(−∞ < X< +∞)làbiếncốchắcchắn,dođó: +∞ Z
f(x)d x =P(U)=1 −∞
Họckìphụnămhọc2024-2025 Trang4 23:08, 10/01/2026
Tổng hợp lý thuyết Xác suất thống kê Chương II: Biến ngẫu nhiên và Quy luật phân - Studocu Xácsuấtthốngkê
ChươngII:BiếnngẫunhiênvàQuyluậtphânphốixácsuất
3.Ýnghĩacủahàmmậtđộxácsuất
HàmmậtđộxácsuấtcủabiếnngẫunhiênXtạimỗiđiểmxchobiếtmứcđộtậptrungxác
suấttạiđiểmđó.Thậtvậy,theođịnhnghĩacủahàmmậtđộxácsuất,tacó:
F(x+∆x)−F(x)
P(x≤X<x+ f(x) ∆x) =F′(x)=lim ∆x=lim ∆x→0 ∆x→0 ∆x
Nhưvậyhàmmậtđộxácsuấttạiđiểmxchínhlàgiớihạncủaxácsuấtđểbiếnngẫunhiên
liêntụcXnhậngiátrịtrongkhoảng[x,x+∆x)chiachođộdàicủakhoảngđó(khi∆x→0),
tứclàgiớihạncủamậtđộxácsuấttrungbìnhtrênđoạn[x;x+∆x)khi∆x→0. §3
Cácthamsốđặctrưngcủabiếnngẫunhiên 3.1 Kỳvọngtoán
Kỳvọngtoáncónhữngđịnhnghĩariêngđốivớibiếnngẫunhiênrờirạcvàbiếnngẫunhiên liêntục. 1.Địnhnghĩa
GiảsửbiếnngẫunhiênrờirạcXnhậnmộttrongcácgiátrịcóthểcó x1,x2,...,xnvớicácxác
suấttươngứng p1,p2,...,pn.KỳvọngtoáncủabiếnngẫunhiênrờirạcX,kýhiệuE(X)là
tổngcáctíchgiữacácgiátrịcóthểcócủabiếnngẫunhiênvớicácxácsuấttươngứng: n E(X) X = xipi(12) i=1
NếuXlàbiến ngẫunhiênliêntụcvới hàmmậtđộxácsuấtf(x)thìkỳvọngtoánE(X)được xácđịnhbằngbiểuthức: E(X)= +∞ Z
x f (x)dx (13) −∞
2.Cáctínhchấtcủakỳvọngtoán
Sauđâysẽphátbiểuvàchứngminhmộtsốtínhchấtcơbản củakỳvọngtoán.Cáctính
chấtđượcchứngminhđốivới cácbiếnngẫunhiênrờirạc.Việcchứngminhtrongtrường
hợpcácbiếnngẫunhiênlàliêntụccũngtiếnhànhtươngtự.
Tínhchất1.Kỳvọngtoáncủamộthằngsốbằngchínhhằngsốđó.Nhưvậy,nếuClàhằng sốthìE(C)=C.
Thậtvậy, cóthểcoiCnhưmộtbiếnngẫunhiênrờirạcđặcbiệt,vớimộtgiátrịcóthểcó 23:08, 10/01/2026
Tổng hợp lý thuyết Xác suất thống kê Chương II: Biến ngẫu nhiên và Quy luật phân - Studocu
bằngCvàxácsuấttươngứngbằng1.Lúcđótheođịnhnghĩacủakỳvọngtoántacó:
E(C)=C·1=C
Tính chất2.Kỳvọngtoáncủatíchgiữamộthằngsốvàmộtbiếnngẫunhiênbằngtích
giữahằngsốđóvàkỳvọngtoáncủabiếnngẫunhiênấy.
E(C X )=C·E(X)(14)
Thậtvậy,giảsửbiếnngẫunhiênrờirạcXcóbảngphânphốixácsuấtnhưsau: Xx1x2...xn
Pp1p2...pn
Họckìphụnămhọc2024-2025 Trang5 23:08, 10/01/2026
Tổng hợp lý thuyết Xác suất thống kê Chương II: Biến ngẫu nhiên và Quy luật phân - Studocu Xácsuấtthốngkê
ChươngII:BiếnngẫunhiênvàQuyluậtphânphốixácsuất
LúcđótíchCXsẽlàmộtbiếnngẫunhiênrờirạcmàcácgiátrịcóthểcócủanóbằngtích
giữahằngsốCvàcácgiátrịcóthểcócủaX.Mặtkhác,dođólàcácbiếncốtươngđương
nhau(cókhảnăngxảyranhưnhau)nêncácxácsuấttươngứngbằngnhau.Vậybảngphân
phốixácsuấtcủabiếnngẫunhiênCXcódạng:
CXCx1Cx2...Cxn
Pp1p2...pn
Lúcđótheođịnhnghĩakỳvọngtoántacó:
E(C X )=Cx1p1+Cx2p2+ · · · + Cxnpn
=C(x1p1+x2p2+ · · · + xnpn)=C·E(X)
Trướckhiphátbiểutínhchấttiếptheotaxétkháiniệmđộclậpcủacácbiếnngẫunhiên.
Haibiếnngẫunhiêngọilàđộclậpvớinhaunếuquyluậtphânphốixácsuấtcủabiếnngẫu
nhiênnàykhôngphụthuộcgìvàoviệcbiếnngẫunhiênkianhậngiátrịbằngbaonhiêu.
Tươngtựcácbiếnngẫunhiêngọilàđộclậplẫnnhau,nếucácquyluậtphânphốixácsuất
củamộtsốbấtkỳcácbiếnngẫunhiênnàođókhôngphụthuộcvàoviệccácbiếnngẫunhiên
cònlạinhậngiátrịbằngbaonhiêu.
TổngcủahaibiếnngẫunhiênXvàYlàbiếnngẫunhiênX+Ymàcácgiátrịcóthểcủa
nólàtổngcủamỗigiátrịcóthểcócủaXvàmỗigiátrịcóthểcócủaY.KhiXvàYđộclập
nhauthìcácxácsuấttươngứngsẽbằngtíchcácxácsuất
thànhphần.CònkhiXvàYphụthuộcnhauthìcácxácsuấttươngứngsẽbằngxácsuất
củathànhphầnnàynhânvớixácsuấtcóđiềukiệncủathànhphầnkia.
Tínhchấtsauđâyđúngvớicảcácbiếnngẫunhiênđộclậpvàphụthuộc.
Tính chất3.Kỳvọngtoáncủatổnghaibiếnngẫunhiênbằngtổngcáckỳ vọngtoánthành phần.
E(X+Y)=E(X)+E(Y)(15)
ThậtvậygiảsửcácbiếnngẫunhiênrờirạcXvàYcócácquyluậtphânphốixácsuấtnhư sau:
Xx1x2...xn
Yy1y2...ym
Pp1p2...pn
Pq1q2...qm
LúcđótacóquyluậtphânphốixácsuấtcủatổngX+Ynhưsau:
X+Y x1+y1x2+y2...xn+ym
Pp11 p12 ...pnm
trongđótakýhiệu pi j làxácsuấtđểtổngX+Ynhậngiátrịbằng xi+yj.
Theođịnhnghĩakỳvọngtoántacó: n m n m n m X X X X X X 23:08, 10/01/2026
Tổng hợp lý thuyết Xác suất thống kê Chương II: Biến ngẫu nhiên và Quy luật phân - Studocu E(X X X X X X X +Y)=
(xi+yj)pi j = xipi j + yjpi j i=1 j=1 i=1 j=1 i=1 j=1 n m m n = X x X X X i pi j + yj pi j i=1 j=1 j=1 i=1
Tasẽchứngminhrằng m X pi j =pi j=1
Thậtvậy, biếncố X=xisẽxảyrakhitổng X+Ynhậngiátrị xi+y1hoặcxi+y2,... hoặc
xi+ym.Dođótheođịnhlýcộngxácsuất:
P(X=xi)=P[(X+Y)=(xi+y1)] + · · · + P[(X+Y)=(xi+ym)]
Họckìphụnămhọc2024-2025 Trang6 23:08, 10/01/2026
Tổng hợp lý thuyết Xác suất thống kê Chương II: Biến ngẫu nhiên và Quy luật phân - Studocu Xácsuấtthốngkê
ChươngII:BiếnngẫunhiênvàQuyluậtphânphốixácsuất hay m p X
i=pi1+pi2+ · · · + pim = pi j =pi j=1
Tươngtựnhưvậycóthểchứngminhđượcrằng: n X pi j =qj i=1 Từđótacó: n m E(X+Y)= X x X ipi+
yjqj=E(X)+E(Y) i=1 j=1
Bằngphươngphápquynạptoánhọctacóthểchứngminhđượchệquảsauđây.
Hệquả.Kỳvọngtoáncủatổngnbiếnngẫunhiên X1,X2,..., Xnbằngtổngcáckỳvọngtoán thànhphần: E n Xi = n à ! X X E(Xi)(16) i=1 i=1
Tíchcủahaibiến ngẫunhiênđộclậpXvàYlàbiếnngẫunhiênXYmàcácgiátrịcóthểcó
củanólàtíchgiữamỗigiátrịcóthểcócủaXvàmỗigiátrịcóthểcócủaY.Cácxácsuất
tươngứnglàtíchcủacácxácsuấtthànhphần.
Tính chất4.Kỳvọngtoáncủatíchhaibiếnngẫunhiênđộclậpbằngtíchcáckỳvọngtoán thànhphần
E(X·Y)=E(X)·E(Y)(17)
Thậtvậy,giảsửcácbiếnngẫu nhiênXvàYđộclập,cócácquyluậtphânphốixácsuấtnhư sau:
Xx1x2...xn
Yy1y2...ym
Pp1p2...pn
Pq1q2...qm
lúcđótíchX.Ycóquyluậtphânphốixácsuấtnhưsau:
X.Yx1y1x1y2...xnym
Pp1q1p1q2...pnqm Tacó: n m n m
E(X.Y)= X X x X X iyjpiqj= xipi
yjqj=E(X).E(Y) i=1 j=1 i=1 j=1
Bằngphươngphápquynạptoánhọccóthểchứngminhđượchệquảsauđây:
Hệquả.Kỳvọngtoáncủatíchnbiếnngẫunhiên X1,X2,...,Xnđộclậplẫnnhaubằngtích
cáckỳvọngtoánthànhphần. n 23:08, 10/01/2026
Tổng hợp lý thuyết Xác suất thống kê Chương II: Biến ngẫu nhiên và Quy luật phân - Studocu E nY Xi = Y Ã ! E(Xi)(18) i=1 i=1
3.Bảnchấtvàýnghĩacủakỳvọngtoán
GiảsửđốivớibiếnngẫunhiênXtiếnhànhnphépthửtrongđócó n1lầnXnhậngiátrị x1,
n2lầnXnhậngiátrị x2,...,nklầnXnhậngiátrị xk k
ni=n .Giátrịtrungbìnhcủabiến à X ! i=1
ngẫunhiênXtrongnphépthửnàylà:
x=x1n1+x2n2+ · · · + xknk n1 n2 nk ¯ n=x1 n+x2
n+ · · · + xkn
Họckìphụnămhọc2024-2025 Trang7 23:08, 10/01/2026
Tổng hợp lý thuyết Xác suất thống kê Chương II: Biến ngẫu nhiên và Quy luật phân - Studocu Xácsuấtthốngkê
ChươngII:BiếnngẫunhiênvàQuyluậtphânphốixácsuất
Tachúýrằng n1n,n2n,..., nknchínhlàtầnsuấtxuấthiệncácgiátrị x1,x2,...,xktrongnphép thửtrên,dođó:
¯x=x1f1+x2f2+ · · · + xkfk
Theođịnhnghĩathốngkêvềxácsuấtkhi n→ ∞ cáctầnsuấtsẽhộitụtheoxácsuấtvềcác
xácsuấttươngứng,dođóvớinđủlớntacóthểviết:
¯x≈x1p1+x2p2+ · · · + xkpk=E(X)
Nhưvậytathuđượckếtquả:
E(X)≈¯ x(19)
Vậykỳvọngtoáncủabiếnngẫunhiêngầnbằngtrungbìnhsốhọccủacácgiátrịquansát
củabiếnngẫunhiên.Nóphảnánhgiátrịtrungtâmcủaphânphốixácsuấtcủabiếnngẫu nhiên. 3.2 Trungvị
Trungvị,kýhiệulà mdlàgiátrịnằmởchínhgiữatậphợpcácgiátrịcóthểcócủabiến
ngẫunhiên.Nóicáchkhácđólàgiátrịchiaphân phốicủabiếnngẫunhiênthànhhaiphần bằngnhau.
NếuXlàbiếnngẫunhiênrờirạcthìgiátrị Xisẽlàtrungvị mdnếuthỏamãnđiềukiện:
F(Xi)≤0,5<F(Xi+1)(20)
CònnếuXlàbiếnngẫunhiênliêntụcthìtrungvị mdlàgiátrịthỏamãnđiềukiện: md Z
f(x)dx =0,5(21) −∞ 3.3Mốt
Mốt,kýhiệulà mo,làgiátrịcủabiếnngẫunhiêntươngứngvới:
1. Xácsuấtlớnnhấtnếulàbiếnngẫunhiênrờirạc
2. Cựcđạicủahàmmậtđộxácsuấtnếulàbiếnngẫunhiênliêntục.
Trongthựctếcóthểgặpbiếnngẫu nhiênkhôngcógiátrịMốthoặcngượclạinhiềugiátrị Mốtcùngmộtlúc. 23:08, 10/01/2026
Tổng hợp lý thuyết Xác suất thống kê Chương II: Biến ngẫu nhiên và Quy luật phân - Studocu 3.4 Phươngsai
Trongthựctếnhiềukhichỉxácđịnhkỳvọngtoáncủabiếnngẫunhiênthìchưađủđểxác
địnhbiếnngẫunhiênđó.Ta cònphảixácđịnhmứcđộphântáncủacácgiátrịcủabiến
ngẫunhiênxungquanhgiátrịtrungbìnhcủanónữa.Chẳnghạn,khinghiêncứubiến
ngẫunhiênlànăngsuấtlúacủamộtđịaphươngnàođó,thìnăngsuấtlúatrungbình(kỳ
vọngtoán)mớichỉphảnánhđượcmộtkhíacạnhcủađạilượngđómàthôi.Mứcđộ biến
độngvềnăngsuấtcủacácthửaruộngkhácnhauxungquanhgiátrịtrungbìnhcũnglà
mộtkhíacạnhquantrọngcầnnghiêncứu.
Tacóthểnghĩrằngđểđặctrưngchomứcđộphântánthìđơngiảnnhấtlàtìmtấtcảcác
sailệchcủacácgiátrịcủabiếnngẫunhiênsovớikỳvọngtoáncủanóvàlấytrungbìnhsố
họccủacácsailệchđó.Songcáchlàmnàykhôngmanglạikếtquảvìcóthểdễdàngchứng
Họckìphụnămhọc2024-2025 Trang8 23:08, 10/01/2026
Tổng hợp lý thuyết Xác suất thống kê Chương II: Biến ngẫu nhiên và Quy luật phân - Studocu Xácsuấtthốngkê
ChươngII:BiếnngẫunhiênvàQuyluậtphânphốixácsuất
minhđượcrằngvớimọibiếnngẫunhiênthìE[X−E(X)] =0.Sởdĩcóđiềuđóvìcácsailệch
dươngvàcácsailệchâmxungquanhgiátrịkỳvọngtoánbaogiờcũngbùtrừchonhau,do
đógiátrịtrungbìnhcủacácsailệchsẽbằngkhông.Đểkhắcphụcđiềuđó,ngườitakhông
tínhtrựctiếptrungbìnhcủacácsailệchmàtínhtrungbìnhcủacácgiátrịtuyệtđốihoặc
bìnhphươngcủacácsailệch.Songđơngiảnhơnlàtìmtrungbìnhcủabìnhphươngcácsai lệch.
Từđótacókháiniệmphươngsai. 1.Địnhnghĩa
PhươngsaicủabiếnngẫunhiênX,kýhiệuV(X)làkỳvọngtoáncủabìnhphươngsailệch
củabiếnngẫunhiênsovớikỳvọngtoáncủanó.
V(X)=E[X−E(X)]2(22)
Nhưvậy,nếuXlàbiếnngẫunhiênrờirạcthìphươngsaisẽđượcxácđịnhbằngcôngthức: n
V(X)= X [xi−E(X)]2Pi(23) i=1
cònnếuXlàbiếnngẫunhiênliêntụcthìphươngsaiđượcxácđịnhbằngcôngthức: V(X)= +∞ Z
[x−E(X)]2f(x)dx (24) −∞
Trongthựctếviệctínhphươngsaibằngcáccôngthức
địnhnghĩatrêncóthểgặpkhókhăn.Ngườitathườngtínhphươngsaibằngcôngthứcsau đây:
V(X)=E(X2)−[E(X)]2(25)
Thậtvậy,theođịnhnghĩacủaphươngsaitacó:
V(X)=E[X−E(X)]2=E(X2−2X E(X)+[E(X)]2)
=E(X2)+E[−2X E(X)] +E[E(X)]2
SongtabiếtrằngkỳvọngtoánE(X)làmộtsốxácđịnh,dođótheotínhchấtcủakỳvọng toán,tacó:
V(X)=E(X2)−2E(X).E(X)+[E(X)]2=E(X2)−[E(X)]2
Nhưvậy,đốivớibiếnngẫunhiênrờirạc,tacóthểtínhphươngsaibằngcôngthức: n X 23:08, 10/01/2026
Tổng hợp lý thuyết Xác suất thống kê Chương II: Biến ngẫu nhiên và Quy luật phân - Studocu X V(X)= x2
i=1 ipi−[E(X)]2(26)
cònđốivớibiếnngẫunhiênliêntục: V(X)= +∞ Z
x2f(x)dx −[E(X)]2(27) −∞
Họckìphụnămhọc2024-2025 Trang9 23:08, 10/01/2026
Tổng hợp lý thuyết Xác suất thống kê Chương II: Biến ngẫu nhiên và Quy luật phân - Studocu Xácsuấtthốngkê
ChươngII:BiếnngẫunhiênvàQuyluậtphânphốixácsuất
2.Cáctínhchấtcủaphươngsai
Tính chất1.Phươngsaicủamộthằngsốbằngkhông; V(C)=0(28)
Thậtvậy,theođịnhnghĩacủaphươngsai:
V(C)=E[(C−E(C))2]=E[(C−C)2]=E(0) =0
Tính chất2.Phươngsaicủatíchgiữamộthằngsốvàmộtbiếnngẫunhiênbằngtíchgiữa
bìnhphươnghằngsốđóvàphươngsaicủabiếnngẫunhiênấy.
V(C X )=C2V(X)(29)
Thậtvậy,theođịnhnghĩacủaphươngsai
V(C X )=E[CX −E(C X )]2=E[C X −CE(X)]2
=E[C2(X−E(X))2]=C2E[X−E(X)]2=C2V(X)
Tính chất3.Phươngsaicủatổnghaibiếnngẫunhiênđộclậpbằngtổngcácphươngsai thànhphần:
V(X+Y)=V(X)+V(Y)(30)
Thậtvậy,theocôngthứctínhphươngsai:
V(X+Y)=E[(X+Y)2]−[E(X+Y)]2
=E[X2+2X Y +Y2]−[E(X)+E(Y)]2
=E(X2)+2E(X).E(Y)+E(Y2)−[E(X)]2
−2E(X).E(Y)−[E(Y)]2
={E(X2)−[E(X)]2}+{E(Y2)−[E(Y)]2}
=V(X)+V(Y)
Bằngphươngphápquynạpcóthểchứngminhđượchệquảsau.
Hệquả1.Phươngsaicủatổngnbiếnngẫunhiênđộclậpvớinhau X1,X2,...,Xnbằngtổng
cácphươngsaithànhphần: V n Xi = n à X ! X V(Xi)(31) i=1 i=1
Ngoàiratừcáctínhchấtnêutrêncóthểchứngminhđượccáchệquảsauđây:
Hệquả2.Phươngsaicủatổngmộthằngsốvớimộtbiếnngẫunhiênbằngphươngsaicủa
chínhbiếnngẫunhiênđó:
V(C+X)=V(X)(32) 23:08, 10/01/2026
Tổng hợp lý thuyết Xác suất thống kê Chương II: Biến ngẫu nhiên và Quy luật phân - Studocu
Hệquả3.Phươngsaicủahiệuhaibiếnngẫunhiênđộclậpbằngtổngcácphươngsai thànhphần:
V(X−Y)=V(X)+V(Y)(33)
MộtsốtínhchấtkháccủaphươngsaisẽđượcđềcậptiếpởchươngIV.
3.Bảnchấtvàýnghĩacủaphươngsai
Xuấtpháttừđịnhnghĩacủaphươngsai,tathấyphươngsaichínhlàtrungbìnhsốhọccủa
bìnhphươngcácsailệchgiữacácgiátrịcóthểcócủabiếnngẫunhiênsovớigiátrịtrung
bìnhcủacácgiátrịđó.Dođónóphảnánhmứcđộphântáncủacácgiátrịcủabiếnngẫu
nhiênxungquanhgiátrịtrungbìnhcủanólàkỳvọngtoán.
Họckìphụnămhọc2024-2025 Trang10