Chương IV Cấu trúc Cây - Giáo trình Cấu trúc dữ liệu và giải thuật | Trường Đại học Bách khoa Hà Nội

Cấu trúc dữ liệu và Giải thuật
Cấu trúc dữ liệu và Giải thuật Chương IV: Cấu trúc Cây Cấu trúc Cây z Nội dung 1. Các khái niệm 2. Cây tổng quát 1. ADT Cây 2.
Biểu diễn cây tổng quát 3. Duyệt cây tổng quát 3. Cây nhị phân 1.
Định nghĩa và tính chất 2. Duyệt cây nhị phân 3. Biểu diễn cây nhị phân 4.
Ứng dụng của cấu trúc cây cho cây biểu thức
Đỗ Bích Diệp - Khoa CNTT
Đỗ Bích Diệp - Khoa CNTT - ĐHBKHN 1
Cấu trúc dữ liệu và Giải thuật Định nghĩa Cây
− Cây là một cấu trúc phi tuyến, thiết lập trên một
tập hữu hạn các “nút”
– Tồn tại một nút đặc biệt gọi là “gốc” (root)
– Giữa các nút tồn tại một quan hệ phân cấp hay gọi là quan hệ cha con
– Một nút trừ nút gốc chỉ có một cha
– Một nút có thể có từ 0 đến n con
Đỗ Bích Diệp - Khoa CNTT Định nghĩa Cây
z Định nghĩa đệ quy về Cây r
– Một nút tạo thành một cây.
– Nếu có n cây T , T , …, 1 2 r1 r2 rn T tách biệt có các nút n
gốc lần lượt là r , r , … , 1 2 r ; r là một nút có quan n
hệ cha-con với r , r , … , T1 T2 Tn 1 2
r thì tồn tại một cây mới n T nhận r làm gốc.
Đỗ Bích Diệp - Khoa CNTT
Đỗ Bích Diệp - Khoa CNTT - ĐHBKHN 2
Cấu trúc dữ liệu và Giải thuật Ví dụ Cây
Cây thư mục trong máy tính Desktop My Network My My Computer Places Documents WindowsXP CD Driver My Received Floppy(A:) My Pictures (C:) (D:) Files My Music
Đỗ Bích Diệp - Khoa CNTT Ví dụ Cây
Cây phân cấp chức năng hệ thống thông tin
Đỗ Bích Diệp - Khoa CNTT
Đỗ Bích Diệp - Khoa CNTT - ĐHBKHN 3
Cấu trúc dữ liệu và Giải thuật Ví dụ Cây Cây mục lục Sách
Đỗ Bích Diệp - Khoa CNTT
Các thuật ngữ liên quan đến cây
– Cấp (Degree) của một nút và của cây
z Cấp của một nút là số các con của nút đó
z Cấp của một cây là cấp cao nhất của một nút trên cây Degree 3 Degree 2 A Degree 4 B C D Degree 1 E F G H I J K Degree 3 P L M N
Đỗ Bích Diệp - Khoa CNTT
Đỗ Bích Diệp - Khoa CNTT - ĐHBKHN 4
Cấu trúc dữ liệu và Giải thuật
Các thuật ngữ liên quan đến cây – Đường đi trên cây:
z Dãy các nút n , n , .., n trong đó n là nút cha của n ( i = 1 2 k i i+1
1..k-1) là đường đi từ n đến n 1 k Path from A to M A Length = 3 B C D E F G H I J K P L M N
Đỗ Bích Diệp - Khoa CNTT
Các thuật ngữ liên quan đến cây
z Độ sâu hay mức (Depth – Level ) của nút
– Độ dài đường đi từ gốc đến nút đó + 1 A Depth 1 B C D Depth 2 E F G H I J K Depth 3 L M N Depth 4 P
Đỗ Bích Diệp - Khoa CNTT
Đỗ Bích Diệp - Khoa CNTT - ĐHBKHN 5
Cấu trúc dữ liệu và Giải thuật
Các thuật ngữ liên quan đến cây
z Độ cao (Height) của nút
– Độ dài đường đi dài nhất từ nút đó đến 1 nút lá trong cây + 1
– Chiều cao của cây là chiều cao của nút gốc của cây đó Height =4 Height =3 A B C D Height = 2 E F G H I J K P L M N Height = 1
Đỗ Bích Diệp - Khoa CNTT
Các thuật ngữ liên quan đến cây
z Tổ tiên (Ancestor): A,C, G là tổ tiên của M
z Hậu duệ (descendants): E, F, G, H, L,M …đều là hậu duệ của A
z Anh em (siblings): E, F là một cặp anh em ; L, N là một cặp anh em A B C D E F G H I J K P L M N
Đỗ Bích Diệp - Khoa CNTT
Đỗ Bích Diệp - Khoa CNTT - ĐHBKHN 6
Cấu trúc dữ liệu và Giải thuật
Các thuật ngữ liên quan đến cây
z Rừng là một tập hợp hữu hạn các cây phân biệt , không giao nhau B C D E F G H I J K L M N
Đỗ Bích Diệp - Khoa CNTT
Các thao tác cơ bản trên Cây
– Các thao tác truy nhập cây
z root() : trả ra nút gốc của cây
z parent( Tree T, Node p): trả ra nút cha của nút p trong cây T
z children(Tree T, Node p): trả ra danh sách các nút con của nút p trong cây T
z left_most_child(Tree T, Node p) : trả ra nút con cực trái của nút p
z right_most_child(Tree T, Node p) : trả ra nút con cực phải của nút p
z left_sibling (Tree T, Node p) : trả ra nút anh em kề cận bên trái của nút p
z right_sibling(Tree T, Node p) : trả ra nút anh em kề cận bên phải của nút p – Các thao tác khác z height (Tree T) z size(Tree T)
z isRoot (Tree T, Node p); isLeaf (Tree T, Node p); isInternal (Tree T, Node p);
Đỗ Bích Diệp - Khoa CNTT
Đỗ Bích Diệp - Khoa CNTT - ĐHBKHN 7
Cấu trúc dữ liệu và Giải thuật
Biểu diễn cây tổng quát
– Dựa trên tham chiếu đến nút cha
z Cây T có các nút được đánh số từ 1 đến n
z Cây T được biểu diễn bằng một danh sách tuyến tính
trong đó nút thứ i sẽ chứa một thành phần tham chiếu đến cha của nó
z Nếu dùng mảng, A[i] = j nếu j là cha của nút i ; nếu i là 1 gốc thì A[i] = 0; A 2 3 4 B C D 0 1 1 1 2 3 3 6 6 5 6 7 E G H A[1]
A[2] A[3] A[4] A[5] A[6] A[7] A[8] A[9] 8 9 L N
Đỗ Bích Diệp - Khoa CNTT
Biểu diễn cây tổng quát
– Dựa trên danh sách các nút con
z 1 nút trong cây có một danh sách các nút con
z Danh sách các nút con thường là danh sách móc nối
z Trong trường hợp sử dụng danh sách móc nối, các nút
đầu danh sách được lưu trong một mảng
Đỗ Bích Diệp - Khoa CNTT
Đỗ Bích Diệp - Khoa CNTT - ĐHBKHN 8
Cấu trúc dữ liệu và Giải thuật
Biểu diễn cây tổng quát
– Dựa trên danh sách các nút con A[1] 2 3 4 1 A[2] A 5 2 3 4 B C D A[3] 6 7 5 6 7 A[4] NULL E G H A[5] NULL 8 9 A[6] 8 9 L N A[7] NULL A[8] NULL A[9] NULL
Đỗ Bích Diệp - Khoa CNTT
Biểu diễn cây tổng quát
– Thông qua một cây cấp 2
z Với một nút trong cây , chỉ quan tâm tới 2 quan hệ
– Quan hệ 1-1 giữa nút đó và nút con cực trái của nó (con cả)
– Quan hệ 1-1 giữa nút đó và nút em kế cận bên phải của nó
z Dựa vào nhận định này, người ta biểu diễn được một cây
tổng quát dưới dạng một cây nhị phân gọi là cây nhị phân
tương đương (equivalent binary tree)
z Quy cách của 1 nút trên cây nhị phân tương đương sẽ như sau LCHILD INFO RSIBLING
Đỗ Bích Diệp - Khoa CNTT
Đỗ Bích Diệp - Khoa CNTT - ĐHBKHN 9
Cấu trúc dữ liệu và Giải thuật
Biểu diễn cây tổng quát A z Ví dụ: – Cây tổng quát B C D E F G H I K A
– Cây nhị phân tương đương B E C F G D H I
Đỗ Bích Diệp - Khoa CNTT K
Duyệt cây theo thứ tự trước z
Duyệt cây là thăm các nút trên cây
theo một thứ tự nhất định, mỗi nút
Algorithm preOrder(v) thăm 1 lần
visit(v) z
Khi duyệt theo thứ tự trước, một nút
for each child w of v
sẽ được thăm trước các hậu duệ của nó
preOrder(w) z
Ứng dụng: In ra các mục lục của một tài liệu 1 I. A 2 5 9 1. B 2. C 3.D 3 4 6 7 8 1.1 E 1.2 F 2.1 G 2.2 H 2.3 I
Đỗ Bích Diệp - Khoa CNTT
Đỗ Bích Diệp - Khoa CNTT - ĐHBKHN 10
Cấu trúc dữ liệu và Giải thuật
Duyệt cây theo thứ tự trước z
Duyệt cây là thăm các nút trên cây
theo một thứ tự nhất định, mỗi nút
Algorithm preOrder(v) thăm 1 lần ⇒
visit(v) z
Khi duyệt theo thứ tự trước, một nút
for each child w of v
sẽ được thăm trước các hậu duệ của nó
preOrder(w) z
Ứng dụng: In ra các mục lục của một tài liệu 1 I. A 1. B 2. C 3. D 1.1 E 1.2 F 2.1 G 2.2 H 2.3 I
Đỗ Bích Diệp - Khoa CNTT
Duyệt cây theo thứ tự trước z
Duyệt cây là thăm các nút trên cây
theo một thứ tự nhất định, mỗi nút
Algorithm preOrder(v) thăm 1 lần
visit(v) z
Khi duyệt theo thứ tự trước, một nút
for each child w of v
sẽ được thăm trước các hậu duệ của nó ⇒
preOrder(w) z
Ứng dụng: In ra các mục lục của một tài liệu 1 I. A 1. B 2. C 3. D 1.1 E 1.2 F 2.1 G 2.2 H 2.3 I
Đỗ Bích Diệp - Khoa CNTT
Đỗ Bích Diệp - Khoa CNTT - ĐHBKHN 11
Cấu trúc dữ liệu và Giải thuật
Duyệt cây theo thứ tự trước z
Duyệt cây là thăm các nút trên cây
theo một thứ tự nhất định, mỗi nút
Algorithm preOrder(v) thăm 1 lần ⇒
visit(v) z
Khi duyệt theo thứ tự trước, một nút
for each child w of v
sẽ được thăm trước các hậu duệ của nó
preOrder(w) z
Ứng dụng: In ra các mục lục của một tài liệu 1 I. A 2 1. B 2. C 3. D 1.1 E 1.2 F 2.1 G 2.2 H 2.3 I
Đỗ Bích Diệp - Khoa CNTT
Duyệt cây theo thứ tự trước z
Duyệt cây là thăm các nút trên cây
theo một thứ tự nhất định, mỗi nút
Algorithm preOrder(v) thăm 1 lần
visit(v) z
Khi duyệt theo thứ tự trước, một nút
for each child w of v
sẽ được thăm trước các hậu duệ của nó ⇒
preOrder(w) z
Ứng dụng: In ra các mục lục của một tài liệu 1 I. A 2 1. B 2. C 3. D 1.1 E 1.2 F 2.1 G 2.2 H 2.3 I
Đỗ Bích Diệp - Khoa CNTT
Đỗ Bích Diệp - Khoa CNTT - ĐHBKHN 12
Cấu trúc dữ liệu và Giải thuật
Duyệt cây theo thứ tự trước z
Duyệt cây là thăm các nút trên cây
theo một thứ tự nhất định, mỗi nút
Algorithm preOrder(v) thăm 1 lần ⇒
visit(v) z
Khi duyệt theo thứ tự trước, một nút
for each child w of v
sẽ được thăm trước các hậu duệ của nó
preOrder(w) z
Ứng dụng: In ra các mục lục của một tài liệu 1 I. A 2 1. B 2. C 3. D 3 1.1 E 1.2 F 2.1 G 2.2 H 2.3 I
Đỗ Bích Diệp - Khoa CNTT
Duyệt cây theo thứ tự trước z
Duyệt cây là thăm các nút trên cây
theo một thứ tự nhất định, mỗi nút
Algorithm preOrder(v) thăm 1 lần
visit(v) z
Khi duyệt theo thứ tự trước, một nút
for each child w of v
sẽ được thăm trước các hậu duệ của nó
preOrder(w) z
Ứng dụng: In ra các mục lục của một tài liệu 1 I. A 2 Thăm nút con 1. B tiếp theo 2. C 3. D 3 1.1 E 1.2 F 2.1 G 2.2 H 2.3 I
Đỗ Bích Diệp - Khoa CNTT
Đỗ Bích Diệp - Khoa CNTT - ĐHBKHN 13
Cấu trúc dữ liệu và Giải thuật
Duyệt cây theo thứ tự trước z
Duyệt cây là thăm các nút trên cây
theo một thứ tự nhất định, mỗi nút
Algorithm preOrder(v) thăm 1 lần
visit(v) z
Khi duyệt theo thứ tự trước, một nút
for each child w of v
sẽ được thăm trước các hậu duệ của nó
⇒ preOrder(w) z
Ứng dụng: In ra các mục lục của một tài liệu 1 I. A 2 1. B 2. C 3. D 3 1.1 E 1.2 F 2.1 G 2.2 H 2.3 I
Đỗ Bích Diệp - Khoa CNTT
Duyệt cây theo thứ tự trước z
Duyệt cây là thăm các nút trên cây
theo một thứ tự nhất định, mỗi nút
Algorithm preOrder(v) thăm 1 lần ⇒
visit(v) z
Khi duyệt theo thứ tự trước, một nút
for each child w of v
sẽ được thăm trước các hậu duệ của nó
preOrder(w) z
Ứng dụng: In ra các mục lục của một tài liệu 1 I. A 2 1. B 2. C 3. D 3 4 1.1 E 1.2 F 2.1 G 2.2 H 2.3 I
Đỗ Bích Diệp - Khoa CNTT
Đỗ Bích Diệp - Khoa CNTT - ĐHBKHN 14
Cấu trúc dữ liệu và Giải thuật
Duyệt cây theo thứ tự trước z
Duyệt cây là thăm các nút trên cây
theo một thứ tự nhất định, mỗi nút
Algorithm preOrder(v) thăm 1 lần
visit(v) z
Khi duyệt theo thứ tự trước, một nút
for each child w of v
sẽ được thăm trước các hậu duệ của nó
preOrder(w) z
Ứng dụng: In ra các mục lục của một tài liệu Không còn con 1 I. A Quay lại nút gốc 2 1. B 2. C 3. D 3 4 1.1 E 1.2 F 2.1 G 2.2 H 2.3 I
Đỗ Bích Diệp - Khoa CNTT
Duyệt cây theo thứ tự trước z
Duyệt cây là thăm các nút trên cây
theo một thứ tự nhất định, mỗi nút
Algorithm preOrder(v) thăm 1 lần
visit(v) z
Khi duyệt theo thứ tự trước, một nút
for each child w of v
sẽ được thăm trước các hậu duệ của nó
preOrder(w) z
Ứng dụng: In ra các mục lục của một tài liệu Thăm nút con 1 I. A tiếp theo của gốc 2 1. B 2. C 3. D 3 4 1.1 E 1.2 F 2.1 G 2.2 H 2.3 I
Đỗ Bích Diệp - Khoa CNTT
Đỗ Bích Diệp - Khoa CNTT - ĐHBKHN 15
Cấu trúc dữ liệu và Giải thuật
Duyệt cây theo thứ tự trước z
Duyệt cây là thăm các nút trên cây
theo một thứ tự nhất định, mỗi nút
Algorithm preOrder(v) thăm 1 lần
visit(v) z
Khi duyệt theo thứ tự trước, một nút
for each child w of v
sẽ được thăm trước các hậu duệ ⇒ của nó
preOrder(w) z
Ứng dụng: In ra các mục lục của một tài liệu 1 I. A 2 1. B 2. C 3. D 3 4 1.1 E 1.2 F 2.1 G 2.2 H 2.3 I
Đỗ Bích Diệp - Khoa CNTT
Duyệt cây theo thứ tự trước z
Duyệt cây là thăm các nút trên cây
theo một thứ tự nhất định, mỗi nút
Algorithm preOrder(v) thăm 1 lần ⇒
visit(v) z
Khi duyệt theo thứ tự trước, một nút
for each child w of v
sẽ được thăm trước các hậu duệ của nó
preOrder(w) z
Ứng dụng: In ra các mục lục của một tài liệu 1
Và tiếp tục như vậy …. I. A 2 1. B 5 2. C 3. D 3 4 1.1 E 1.2 F 2.1 G 2.2 H 2.3 I
Đỗ Bích Diệp - Khoa CNTT
Đỗ Bích Diệp - Khoa CNTT - ĐHBKHN 16
Cấu trúc dữ liệu và Giải thuật
Duyệt cây theo thứ tự sau z
Duyệt theo thứ tự sau thì một nút
Algorithm postOrder(v)
sẽ được thăm sau các hậu duệ
for each child w of v của nó
postOrder(w) z
Ứng dụng: Xác định kích thước
của các tệp trong một thư mục và
visit(v) các thư mục con của 9 cs16/ 8 3 7 homeworks/ todo.txt programs/ 1K 1 2 4 5 6 h1c.doc h1nc.doc DDR.java Stocks.java Robot.java 3K 2K 10K 25K 20K
Đỗ Bích Diệp - Khoa CNTT
Duyệt cây theo thứ tự giữa z
Duyệt theo thứ tự giữa thì một nút
Algorithm inOrder(v)
sẽ được thăm sau các hậu duệ
if (isLeaf(v)) then visit(v)
của nó trong cây con cực trái và else
trước các hậu duệ trong các cây con tiếp theo
inOrder(left_most_child(v)) visit(v)
for each child w of v (w is not the left most child) 4 cs16/
inOrder(w) 9 2 6 homeworks/ todo.txt programs/ 1K 1 3 5 7 8 h1c.doc h1nc.doc DDR.java Stocks.java Robot.java 3K 2K 10K 25K 20K
Đỗ Bích Diệp - Khoa CNTT
Đỗ Bích Diệp - Khoa CNTT - ĐHBKHN 17
Cấu trúc dữ liệu và Giải thuật
Cây nhị phân ( Binary Tree)
– Là cây mà mọi nút trên cây chỉ có tối đa là 2 con.
z Cây con của một nút cũng cần phải được phân biệt rõ
ràng thành cây con trái (left subtree) và cây con phải (right subtree) A left-subtree right-subtree B C E F D G
Đỗ Bích Diệp - Khoa CNTT
Ví dụ cây nhị phân
– Cây biểu thức số học với các phép toán 2 ngôi + - / x z x * 3 y
Đỗ Bích Diệp - Khoa CNTT
Đỗ Bích Diệp - Khoa CNTT - ĐHBKHN 18
Cấu trúc dữ liệu và Giải thuật
Ví dụ cây nhị phân – Cây quyết định Want a fast meal? Yes No How about coffee? On expense account? Yes No Yes No Starbucks Spike’s Al Forno Café Paragon
Đỗ Bích Diệp - Khoa CNTT
Ví dụ cây nhị phân
– Kết quả thi đấu một môn thể thao theo cặp tại nhiều vòng H A H H F A E A D C E B H G F
Đỗ Bích Diệp - Khoa CNTT
Đỗ Bích Diệp - Khoa CNTT - ĐHBKHN 19
Cấu trúc dữ liệu và Giải thuật
Các dạng đặc biệt của cây nhị phân
z Cây suy biến (degenerate binary tree)
– Mỗi nút trong của cây có đúng 1 nút con A A A A C C C C F F F F G G G G (a) (b) (c) (d)
Đỗ Bích Diệp - Khoa CNTT
Các dạng đặc biệt của cây nhị phân
z Cây nhị phân đầy đủ (full A binary tree)
– Mỗi nút trong của cây đều B C có đầy đủ 2 con E F D G A
z Cây nhị phân gần đầy
– Ở mức cuối cùng không B C có đầy đủ các nút E F G D H Đỗ Bích I Diệp - KJhoa CNTT K
Đỗ Bích Diệp - Khoa CNTT - ĐHBKHN 20