-
Thông tin
-
Quiz
Chuyên đề bất đẳng thức bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8
Tài liệu gồm 47 trang, được biên soạn bởi tác giả Ngô Thế Hoàng (giáo viên Toán trường THCS Hợp Đức, tỉnh Bắc Giang), hướng dẫn giải các dạng toán chuyên đề bất đẳng thức bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8, giúp các em học sinh khối lớp 8 ôn tập để chuẩn bị cho các kỳ thi chọn HSG Toán 8 cấp trường, cấp huyện, cấp tỉnh
Toán 8 1.8 K tài liệu
Chuyên đề bất đẳng thức bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8
Tài liệu gồm 47 trang, được biên soạn bởi tác giả Ngô Thế Hoàng (giáo viên Toán trường THCS Hợp Đức, tỉnh Bắc Giang), hướng dẫn giải các dạng toán chuyên đề bất đẳng thức bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8, giúp các em học sinh khối lớp 8 ôn tập để chuẩn bị cho các kỳ thi chọn HSG Toán 8 cấp trường, cấp huyện, cấp tỉnh
Chủ đề: Chương 2: Hằng đẳng thức đáng nhớ và ứng dụng (KNTT) 18 tài liệu
Môn: Toán 8 1.8 K tài liệu
Thông tin:
Tác giả:
Preview text:
CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC
DẠNG 1: SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA: A>B TA XÉT HIỆU A-B >0, CHÚ Ý BĐT 2 A 0
Bài 1: CMR : với mọi x,y,z thì 2 2 2
x + y + z xy + yz + zx HD: Xét hiệu ta có: 2 2 2 ( 2 2 2
2 x + y + z − xy − yz − zx) 0 = ( x − y) + ( y − z) + (z − x) 0
Dấu bằng xảy ra khi x = y = z
Bài 2: CMR : với mọi x,y,z thì 2 2 2
x + y + z 2xy + 2yz − 2zx HD: Xét hiệu ta có:
x + y + z − xy − yz + zx
= (x − y + z)2 2 2 2 2 2 2 0 0
Dấu bằng xảy ra khi x+z=y
Bài 3: CMR : với mọi x,y,z thì 2 2 2
x + y + z + 3 2( x + y + z) HD: Xét hiệu ta có: 2 2 2 (x − ) 1 + ( y − ) 1 + ( z − ) 1 0 Dấu bằng khi x=y=z=1 2 2 2 a + b a + b
Bài 4: CMR : với mọi a,b ta có : 2 2 HD : Xét hiệu ta có : 2 2 2 2 a + b
a + 2ab + b − 0 <=> 2 2 a + b − ( 2 2 2 2
a − 2ab + b ) 0 2 4
= a + ab + b = (a +b)2 2 2 2 0 0 Dấu bằng khi a=b 2 2 2 2 a + b + c
a + b + c
Bài 5: CMR : với mọi a,b,c ta có : 3 3 HD: Ta có: 2 2 2 2 2 2 a + b + c
a + b + c + 2ab + 2bc + 2ac 3 9 2 2 2
= a + b + c − ( 2 2 2 3 3 3
a + b + c + 2ab + 2bc + 2ac) 0 2 2 2
= 2a + 2b + 2c − 2ab − 2bc − 2ac 0
= (a −b)2 + (b −c)2 + (c − a)2 0 , Dấu bằng khi a=b=c a + b + c 2 2 2 ( )2
Bài 6: CMR : a + b + c 3 HD: Ta có: 2 2 2 2 2 2
3a + 3b + 3c a + b + c + 2ab + 2bc + 2ca 2 2 2
= 2a + 2b + 2c − 2ab − 2bc − 2ac 0 2 2 2
= (a −b) + (b −c) + (c − a) 0 , Dấu bằng khi a=b=c 1
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức a + b 2 2 ( )2
Bài 7: CMR : a + b 2ab 2 HD: a + b 2 2 ( )2
Ta chứng minh: a + b 2 2 2 2 2
= 2a + 2b a + 2ab + b
= a + b − ab = (a −b)2 2 2 2 0 0 Dấu bằng khi a=b (a +b)2 Ta chứng minh 2ab 2
= a + ab + b ab = (a −b)2 2 2 2 4 0 Dấu bằng khi a=b 2 b
Bài 8: Cho a,b,c là các số thực, CMR: 2 a + ab 4 HD: Ta có:
a + b − ab = ( a − b)2 2 2 4 4 2 0 Dấu bằng khi b=2a
Bài 9: Cho a,b,c là các số thực, CMR : 2 2
a + b +1 ab + a + b HD: Ta có: 2 2
a + b +1− ab − a − b 0 2 2
= 2a + 2b + 2 − 2ab − 2a − 2b 0 = ( 2 2
a − ab + b ) + ( 2
a − a + ) + ( 2 2 2 1 b − 2b + ) 1 0 2 2 2
= (a −b) + (a − ) 1 + (b − ) 1 0 Dấu bằng khi a=b=1
Bài 10: Cho a,b,c,d là các số thực : CMR : 2 2 2 2 2
a + b + c + d + e a (b + c + d + e) HD: Ta có: 2 2 2 2 2
a + b + c + d + e − ab − ac − ad − ae 0 2 2 2 2 2
= 4a + 4b + 4c + 4d + 4e − 4ab − 4ac − 4ad − 4ae 0 = ( 2 2
a − ab + b ) + ( 2 2
a − ac + c ) + ( 2 2
a − ad + d ) + ( 2 2 4 4 4 4 4 4
a − 4ae + 4e ) 0 2 2 2 2
= (a − 2b) +(a − 2c) + (a − 2d ) + (a − 2e) 0
Dấu bằng xảy ra khi a=2b=2c=2d=2e 1 1
Bài 11: Cho a,b thỏa mãn: a+b = 1, a>0, b>0 CMR: 1+ 1+ 9 a b HD: a + b a + b b a a b ta có: VT = 1+ 1+ = 2 + 2 + = 4 + 2 + +1 a b a b b a a b = 5+ 2 + 5+ 2.2 = 9 b a a b 1 Dấu bằng khi 2 2
= = a + b = a = b = b a 2 2
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 2 x + y
Bài 12: Cho x, y 0,CMR : xy 2 HD: Ta có:
x + y + xy xy = x − xy + y
= (x − y)2 2 2 2 2 2 4 2 0 0 , Dấu bằng khi x=y
Bài 13: Cho a > 0, b > 0, CMR: 3 3 2 2
a + b a b + ab HD: Ta có: ( 3 2 a − a b) + ( 3 2 b − ab ) 2
= a (a −b) 2 0
−b (a −b) 0 2
= (a −b)( 2 2
a − b ) 0 = (a − b) (a + b) 0 Dấu bằng khi a=b 1 1 2
Bài 14: Cho a b 1, CMR: + 2 2 1+ a 1+ b 1+ ab HD: Xét hiệu: 1 1 1 1 − + − 0 2 2 1+ a
1+ ab 1+ b 1+ ab
a (b − a)
b (a − b) = ( + 0 2 1+ a )(1+ ab) ( 2 1+ b )(1+ ab)
(b−a)2 (ab − ) 1 = ( 1+ ab)( 0 2 a + ) 1 ( 2 b + a)
Dấu bằng khi a=b hoặc a=b=1
Bài 15: CMR : với mọi số thực x,y,z,t ta luôn có : 2 2 2 2
x + y + z + t x ( y + z + t) HD: Ta có: 2 2 2 2
x + y + z + t − xy − xz − xt 0 = 2 2 2 2
4x + 4y + 4z + 4t − 4xy − 4xz − 4xt 0 = ( 2 2
x − xy + y ) + ( 2 2
x − xz + z ) + ( 2 2
x − xt + t ) 2 4 4 4 4 4 4 + x 0
Dấu bằng khi x= 2y=2z=2t=0 2 a Bài 17: CMR : 2 2
+ b + c ab − ac + 2bc 4 HD: Ta có: 2 2 2
a + 4b + 4c − 4ab + 4ac − 8bc 0 2
= a − a(b − c) + ( 2 2 4
4 b + c − 2bc) 0
= a − a(b −c) + (b −c)2 2 4 4 0
= (a − a + c)2 2 2 0 Bài 19: CMR : 2 2 2
x + y + z 2xy − 2zx + 2yz HD: Ta có: 2 2 2
x + y + z − 2xy − 2yz + 2zx 0 2
x − x( y − z) 2 2 2
+ y − 2yz + z 0 2 2 2
x − 2x ( y − z) + ( y − z) 0 = ( x − y + z) 0 3
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức Bài 20: CMR : 4 4 4
x + y + z + x ( 2 1 2
xy − x − z + ) 1 HD: Ta có: 4 4 4 2 2 2
x + y + z +1− 2x y + 2x − 2xz − 2x 0 ( 4 4 2 2
x + y − x y ) + ( 2 2
x − xz + z ) + ( 2 2 2 x − 2x + ) 1 0 2 2 2 ( 2 2
x − y ) + ( x − z) + ( x − ) 1 0 Dấu bằng khi x=z=1, y= 1 Bài 21: CMR : 2 2 2
a + b + c ab + bc + ca HD: Ta có : 2 2 2
a + b + c − ab − bc − ca 0 2 2 2
= 2a + 2b + 2c − 2ab − 2bc − 2ca 0 2 2 2
= (a −b) + (b −c) + (c − a) 0 Bài 22: CMR : 2 2
a + b ab HD: ta có: 2 2 2 2 b b 3b b 3b 2 2
a + b − ab 0 2 = a − 2 . a + + 0 = a − + 0 2 4 4 2 4 Bài 23: CMR : 2 2
x + xy + y 0 HD: Ta có: 2 2 2 2 y y 3y y 3y 2 x + 2 . x + + 0 = x + + 0 2 4 4 2 4
Bài 24: CMR : a (a + b)(a + c)(a + b + c) 2 2 +b c 0 HD:
= a(a +b+c)(a +b)(a +c) 2 2 +b c 0 = ( 2
a + ab + ac)( 2
a + ab + ac + bc) 2 2 + b c 0 2
a + ab + ac = x Đặt b c = y
Khi đó ta có: x(x + y) 2 2 2
+ y 0 = x + xy + y 0 Bài 25: CMR : ( + )( + ) ( + )2 2 2 4 4 3 3 a b a b a b HD: Ta có: 6 2 4 4 2 6 6 3 3 6
a + a b + a b + b a + 2a b + b = ( 4 2 3 3
a b − a b ) + ( 2 4 3 3
a b − a b ) 0 = 3 2
a b (a −b) 2 3
+ a b (b −a) 0
= (a −b)(a b − a b ) = a b (a −b)2 3 2 2 3 2 2 0 0
Bài 26: CMR : (a + b)( 3 3 a + b ) ( 4 4 2 a + b ) HD: Ta có: 4 3 3 4 4 4
a + ab + a b + b 2a + 2b = 4 3 4 3
a − ab + b − a b 0 2 = 3
a (a −b) 3
+b (b −a) 0 = ( 3 3
a − b )(a − b) = (a − b) ( 2 2 0
a + ab + b ) 0 4
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
Bài 27: Cho a,b > 0, CMR : ( 3 3 + ) ( + )( 2 2 2 a b a b a + b ) HD: Ta có: 3 3 3 2 2 3
2a + 2b a + ab + a b + b = 3 2 3 2
a − a b + b − ab 0 = 2
a (a −b) 2
+b (b −a) 0 2
= (a −b) (a +b) 0
Bài 28: Cho a, b > 0, CMR: ( + ) ( + )3 3 3 4 a b a b HD: Ta có: 3 3 3 2 2 3
4a + 4b a + 3a b + 3ab + b = 3 2 3 2
3a − 3a b + 3b − 3ab 0 = 2
a (a − b) 2
+ b (b − a) = (a −b)( 2 2 3 3 0 3 a − b ) 0 2
= 3(a −b) (a + b) 0
Bài 29: Cho a,b,c > 0, CMR: 3 3
a + b + abc ab(a + b + c) HD: Ta có: 3 3 2 2
a + b + abc a b + ab + abc = 3 2 3 2
a − a b + b − ab 0 = 2
a (a −b) 2
+b (b −a) 0 2
= (a −b) (a +b) 0 2 2 Bài 30: CMR: ( 2 2
a + b ) ab(a + b) HD: Ta có: 4 2 2 4
a + a b + b ab ( 2 2
a + ab + b ) 3 2 2 3 2 2
= a b + 2a b + ab = ( 4 3 a − a b) + ( 4 3
b − ab ) 0 = 3
a (a −b) 3
+b (b −a) 0 2 = ( 3 3
a − b )(a − b) = (a − b) ( 2 2 0
a + ab + b ) 0 Bài 31: CMR: 2 2 2
a + b + c a (b + c) HD: ta có: 2 2 2
a + b + c − ab − ac 0 = 2 2 2
4a + 4b + 4c − 4ab − 4ac 0 = ( 2 2
a − ab + b ) + ( 2 2
a − ac + c ) 2 4 4 4 4 + 2a 0 2 2
= (a − b) +(a − c) 2 2 2 + 2a 0 Bài 32: CMR: 2 2 2 2
a + b + c + d a (b + c + d ) HD: 2 2 2 2
a + b + c + d − ab − ac − ad 0 = 2 2 2 2
4a + 4b + 4c + 4d − 4ab − 4ac − 4ad 0 = ( 2 2
a − ab + b ) + ( 2 2
a − ac + c ) + ( 2 2
a − ad + d ) 2 4 4 4 4 4 4 + a 0 2 2 2
= (a − b) + (a − c) + (a − d ) 2 2 2 2 + a 0 5
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 3 Bài 33: CMR: 2 2 2
a + b + c +
(a + b + c) 4 HD: Ta có: ( 3 2 a − a) + ( 2 b − b) + ( 2
c − c) + 0 4 1 1 1 = 2 2 2 a − a + + b −b + + c − c + 0 4 4 4 2 2 2 1 1 1 = a − + b − + c − 0 2 2 2 Bài 34: CMR: 4 4
a + b + 2 4ab HD: ta có: 4 4
a + b − 4ab + 2 0 = 4 4 2 2 2 2
a + b − 2a b + 2a b − 4ab + 2 0 2 = ( 2 2
a − b ) + ( 2 2
2 a b − 2ab + ) 1 0 2 2 = ( 2 2
a − b ) + 2(ab − ) 1 0 Bài 35: CMR: 4
x − 4x + 5 0 HD: ta có: ( 4 2
x − x + ) + ( 2 4 4 4x − 4x + ) 1 0
= (x − )2 + ( x − )2 2 2 2 1 0 Không xảy ra dấu bằng 1 Bài 36: CMR: 4 x − x + 0 2 HD: Ta có: 1 1 4 2 2 x − x + + x − x + 0 4 4 2 2 = 1 1 2 x − + x − 0 2 2 Bài 37: CMR: 3 2
x + 4x +1 3x (x 0) HD: ta có: 3 2
x − 3x + 4x +1 0 = x( 2 x − x + ) 2 4 + x +1 0
= x(x − )2 2 2
+ x +1 0 , Vì x > 0 Bài 39: CMR: ( x − )
1 ( x − 2)( x − ) 3 ( x − 4) 1 − HD: (x− )
1 ( x − 4)( x − 2)( x − ) 3 +1 0 = ( 2 x − x + )( 2 5 4
x − 5x + 6) +1 0 Đặt 2
x − 5x + 5 = t
Khi đó ta có: (t − ) 1 (t + ) 1 +1 0 = 2
t 0 , Dấu bằng khi t=0 6
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức Bài 40: CMR: 4 3 2
x + x + x + x +1 0 HD: Ta có : 3
x ( x + ) + ( x + ) 2 1 1 + x 0 = (x + )( 3 x + ) 2 1 1 + x 0 x = (x + )2 ( 2 x − x + ) 2 1 1 + x 0 ( ĐPCM) Bài 41: CMR : 2 2 2
a + 4b + 4c 4ab + 8bc − 4ac HD: Ta có: 2 2 2
a + 4b + 4c − 4ab − 8bc + 4ac 0
= a + ( b)2 + ( c)2 2 2 2 − 2. . a 2b − 2.2 . b 2c + 2. . a 2c 0
= (a −b + c)2 0 3 3 3 Bài 42: CMR : ( 3 3 3
8 a + b + c ) (a + b) + (b + c) + (c + a) với a, b, c >0 HD: Ta có: 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2
8a + 8b + 8c 2a + 2b + 2c + 3a b + 3ab + 3b c + 3bc + 3a c + 3ac = 3 3 3 2 2 2 2 2 2
6a + 6b + 6c − 3a b − 3ab − 3b c − 3bc − 3a c − 3ac 0 = ( 3 2 a − a b) + ( 3 2 a − a c) + ( 3 2 b − b a) + ( 3 2 b − b c) + ( 3 2 c − bc ) + ( 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
3c − 3ac ) 0 = 2
a (a −b) 2
+ a (a −c) 2
+ b (b−a) 2
+ b (b−c) 2
+ c (c −b) 2 3 3 3 3 3
+ 3c (c −a) 0
= (a −b)( 2 2
a − b ) + (a − c)( 2 2
a − c ) + (b − c)( 2 2 3 3 3 b − c ) 0
= (a −b)2 (a +b) + (a −c)(a + c) + (b −c)2 3 3 3 (b+c) 0
Bài 43: CMR: (a + b + c)3 3 3 3
a + b + c + 24abc với a,b,c>0 HD: Ta có: 3 3 3
a + b + c + (a + b)(b + c)(c + a) 3 3 3 3
a +b + c + 24abc
= 3(a +b)(b +c)(c + a) 24abc
a + b 2 ab Vì b
+ c 2 bc , Nhân theo vế ta được ĐPCM
c+a 2 ca 2 2 x y x y
Bài 44: CMR: Với mọi x, y # 0 ta có: + + 4 3 + 2 2 y x y x HD: Ta có: 4 4 2 2
x + y + x y xy ( 2 2 4 3 x + y )
= (x + y )2 2 2 − xy ( 2 2 x + y ) 2 2 + x y − xy ( 2 2 2 2 x + y ) 0 = ( 2 2 x + y )( 2 2
x + y − xy) + xy ( 2 2 2
xy − x − y ) 0 = ( 2 2
x + y − xy)( 2 2
x + y − 2xy) 0
= (x − y)2 ( 2 2
x − xy + y ) 0 7
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 1
Bài 45: CMR : Nếu a + b 1, thì 3 3 a + b 4 HD: Ta có: 3 2 3
b 1− a = b 1− 3a + 3a − a 2 1 1 1 = 3 3 2
a + b 3a − 3a +1 = 3 a − + 2 4 4
Bài 46: Cho a,b,c > 0, CMR : 2 2 2
ab + bc + ca a + b + c HD: Ta có: 2 2 2
a + b + c − ab − bc − ca 0 2 2 2
= (a −b) +(b −c) + (c − a) 0 2 a + a +1 Bài 47: CMR : 0 2 a − a +1 HD: Ta có: 1 3 2 2
a + a +1 = a + a + + 0, a 4 4 1 3 2 2
a − a +1 = a − a + + 0, a 4 4 Nên VT > 0
Bài 48: CMR : a(a + b)(a + )(a + b + ) 2 4 1 1 + b 0 HD: Ta có:
a(a + b + )(a + )(a + b) 2 4 1 1 +b 0 2
a + ab + a = x = ( 2
a + ab + a)( 2
a + ab + a + b) 2 4 + b 0 . đặt b = y
= x(x + y) 2 4 + y 0 = 2 2
4x + 4xy + y 0 2a a +1 2 ( )
= ( x + y)2 2
0 , Dấu bằng khi 2x = −y = 2a + 2ab + 2a = b
− = b = − 2a+ 1 x + y 2 2 ( )2
Bài 49: CMR : x + y 2xy 2 HD: Ta có: (x + y)2 x + y
= 2x + 2y x + y + 2xy = (x − y)2 2 2 2 2 2 2 0 2 (x + y)2
2xy = x + y + 2xy 4xy = (x − y)2 2 2 0 2 1 1 4 Bài 50: CMR : + a b a + , Với a,b > 0 b HD: Ta có: (a +b) 4
= (a +b)2 ab = (a −b)2 4 0 ab a + b 8
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức Bài 51: CMR : 4 4 + ( 2 2 a b ab a + b ) HD: Ta có: 4 4 3 3
a + b − a b − ab 0 = 3
a (a −b) 3
+b (a −b) 0
= (a −b)2 ( 2 2
a + ab + b ) 0 4 4 4 a + b a + b Bài 52: CMR : 2 2 HD: Ta có: 4 4 4 4 2 2 2 2 3 3
8a + 8b a + b + 4a b + 2a b + 4a b + 4ab = 4 4 2 2 2 2 3 3
7a + 7b − 4a b − 2a b − 4a b − 4ab 0 = ( 4 4 2 2
a + b + a b ) + ( 4 4
a + b ) − ab( 2 2 a + b ) 2 2 2 6 6 4 −8a b 0 = (a +b )2 2 2 − ab( 2 2 a + b ) 2 2 + a b + ( 4 4 a + b ) 2 2 4 4 6 −12a b 0
= (a + b − ab)2 2 2 + ( 4 4 2 2 2
6 a + b − 2a b ) 0
= (a −b) + (a −b )2 4 2 2 6 0
Bài 53: Cho a+b+c=0, CMR : ab + bc + ca 0 HD: Ta có: 2 2 2
a + b + c + 2(ab + bc + ca) = 0
= (ab +bc + ca) = −( 2 2 2 2
a + b + c ) 0 Dấu bằng khi a=b=c=0 2 2 2
Bài 54: Cho x,y,z R , CMR : ( x − y) + ( y − z) + ( z − x) ( 2 2 2
3 x + y + z ) HD: Ta có: 2 2 2 2 2 2
2x + 2y + 2z − 2xy − 2yz − 2zx 3x + 3y + 3z = 2 2 2
x + y + z + 2xy + 2yz + 2zx 0
= (x + y + z)2 0 6 6 x y
Bài 55: CMR : Với mọi x,y khác 0, ta luôn có : 4 4 x + y + 2 2 y x HD: Ta có: 2 2 ( 4 4 + ) 8 8 x y x y x + y = 8 8 6 2 2 6
x + y − x y − x y 0 = 6 x ( 2 2 x − y ) 6 − y ( 2 2 x − y ) 0 = ( 6 6 x − y )( 2 2 x − y ) 0 = ( 2 2 x − y )( 4 2 2 4
x + x y + y )( 2 2 x − y ) 0
= (x − y )2 2 2 ( 4 2 2 4
x + x y + y ) 0 Bài 56: CMR : 2 2 2
2a + b + c 2a (b + c) HD: Ta có: 2 2 2
2a + b + c − 2ab − 2ac 0 = ( 2 2
a − ab + b ) + ( 2 2 2
a − 2ac + c ) 0
= (a −b)2 + (a −c)2 0 9
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức Bài 57: CMR : 4 3 3 4
a + a b + ab + b 0 HD: ta có: 3 a (a + b) 3
+b (a +b) 0 = ( 3 3
a + b )(a + b) 0 2
= (a + b) ( 2 2
a − ab + b ) 0 Bài 58: CMR : 4 3 2 2 3 4
a − 2a b + 2a b − 2ab + b 0 HD: Ta có: ( 4 2 2 2
a − a ab + a b ) + ( 4 2 2 2 2 . b − 2a .
b b + a b ) 0 2 2 = ( 2 a − ab) + ( 2 b − ab) 0 Bài 59: CMR : 4 4 2
a + b + c + a ( 2 1 2
ab − a + c + ) 1 HD: Ta có: 4 4 2 2 2 2
a + b + c +1− 2a b + 2a − 2ac − 2a 0 = ( 4 4 2 2
a + b − a b ) + ( 2 2
a − ac + c ) + ( 2 2 2 a − 2a + ) 1 0
= (a −b )2 + (a − c)2 + (a − )2 2 2 1 0 2
Bài 60: CMR : (ab + bc + ca) 3abc (a + b + c) HD: Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
a b + b c + c a + 2ab c + 2abc + 2a bc − 3a bc − 3ab c − 3abc 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2
= a b + b c + c a − ab c − abc − a bc 0 ab = x Đặt b
c = y => 2 2 2
x + y + z − xy − yz − zx 0 ca = z 2 2 2
= (x − y) +( y − z) + (z − x) 0 1 1 1 1 1 Bài 61: CMR : y + + (x + z) +
(x + z) , Với 0 x y z x z y x z HD: Ta có:
y ( x + z) x + z (x + z)2 + − 0 xz y xz = 2
y + xz − y ( x + z) 0 = 2
y + xz − xy − yz 0
= ( y − x)(z − y) 0 1 1 4
Bài 62: Cho a,b dương có tổng 1, CMR : + a +1 b + 1 3 HD: Ta có:
Quy đồng = 3(a +b + 2) 4(a + ) 1 (b + ) 1
= (ab + a +b + ) = ab = (a + b)2 4 1 9 1 4 4ab
= (a −b)2 0 ( đúng) 10
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 2 2 a b a b
Bài 63: CMR : Với a,b,c > 0 thì + + 2 2 b a b a HD: 2 2 a b
a b a b Ta có: + − 2 + + + 0 2 2 b a
b a b a 2 2 = a b a b VT + − 2 + + 2 2 2 b a b a 2 2 = a a b b
− 2. +1 + − 2. +1 0 2 2 b b a a 8 8 8 a + b + c 1 1 1 Bài 64: CMR : + + , , a , b c 0 3 3 3 ( ) a b c a b c HD: 2 2 2 Ta có: 8 8 8 4 4 4 4 4 4 + + + + = ( 2 2 ) + ( 2 2 ) + ( 2 2 a b c a b b c c a a b b c c a ) 2 4 2 2 4 2 4 2 2
VT a b c + b c a + a b c 2 2 2 = ( 2 2 2 + + ) 2 2 2 a b c a b c
a b c (ab +bc + ca) 8 8 8 8 8 8 a + b + c a + b + c 1 1 1 =
ab + bc + ca = + + 2 2 2 3 3 3 a b c a b c a b c Bài 65: CMR : ( 10 10 + )( 2 2 + ) ( 8 8 + )( 4 4 a b a b a b a + b ) HD: Ta có: 12 10 2 2 10 12 12 8 4 4 8 12
a + a b + a b + b a + a b + a b + b = ( 10 2 8 4
a b − a b ) + ( 2 10 4 8
a b − a b ) 0 8 2 = a b ( 2 2 a − b ) 2 8 + a b ( 2 2 b − a ) 0 2 2 = a b ( 2 2 a − b )( 6 6 a − b ) 0
= a b (a −b )2 2 2 2 2 ( 4 2 2 4
a + a b + b ) 0
Bài 66: Cho a,b,c dương có abc=1, và 1 1 1
a + b + c + + , CMR : (a − ) 1 (b − ) 1 (c − ) 1 0 a b c HD:
Ta có: a + b + c ab + bc + ca , Xét (a − ) 1 (b − ) 1 (c − )
1 = abc − (ab + bc + ca) + (a + b + c) −1
= (a + b + c) −(ab + bc + ca) 0
Bài 67: Cho a,b>0, thỏa mãn : 3 3
a + b = a − b , CMR : 2 2
a + b + ab 1 HD: Ta có: 3 3 3 3 + − = ( − )( 2 2 a b a b
a b a + ab + b ) = ( − ) ( − )( 2 2 a b
a b a + b + ab) 2 2
= a + b + ab 1 Bài 68: CMR : ( 8 8 + ) ( 3 3 + )( 5 5 2 a b a b a + b ) HD: Ta có: 8 8 8 3 5 5 3 8
2a + 2b a + a b + a b + b = ( 8 5 3
a − a b ) + ( 8 3 5
b − a b ) 0 = 5 a ( 3 3 a − b ) 5 −b ( 3 3 a − b ) 0 = ( 5 5 a − b )( 3 3
a − b ) 0, Giả sử a > b => 3 3 5 5
a b , a b => ĐPCM Nếu a 3 3 5 5
a b , a b => ĐPCM 11
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức Bài 79: CMR : ( 8 8 8 + + ) ( 3 3 3 + + )( 5 5 5 3 a b c a b c
a + b + c ) HD: Ta có: ( 8 8 + ) ( 3 3 + )( 5 5 2 a b a b a + b ) ( 8 8 + ) ( 3 3 + )( 5 5 2 b c b c b + c ) ( 8 8 + ) ( 3 3 + )( 5 5 2 c a a c a + c ) Cộng theo vế ta được: ( 8 8 8 + + ) ( 8 8 8 + + ) 3 + ( 5 5 5 + + ) 3 + ( 5 5 5 + + ) 3 + ( 5 5 5 4 a b c a b c a a b c b a b c c
a + b + c ) = ( 8 8 8 + + ) ( 3 3 3 + + )( 5 5 5 3 a b c a b c
a + b + c ) Bài 70: Cho a+b=2, CMR : 8 8 7 7
a + b a + b HD: Ta có: ( 8 8 + ) ( + )( 7 7 + ) 8 8 7 7 2 a b a b a b
= a + b + ab + a b = 8 8 7 7
a + b − a b − ab
= (a −b)( 7 7 0 a − b ) 0 a − b 0 a − b 0
Giả sử a b =
Nếu a b = 7 7 a − b 0 7 7 a − b 0 Bài 71: CMR : 6 6 6 5 5 5
a + b + c a b + b c + c , a ( , a , b c 0) HD: Ta có: 5
a (a − b) 5
+ b (b −c) 5
+ c (c − a) = (a −b)( 5 5
a − b ) + (c − a)( 5 5 c − b ) 0 c − a 0 a − b 0
Giả sử : a b c = và => ĐPCM 5 5 c − b 0 5 5 a − b 0 2 2 2 a b c a b c
Bài 72: CMR : Với mọi a,b,c > 0 thì + + + + 2 2 2 2 2 2 b + c c + a a + b b + c c + a a + b HD: 2 a a a
(b+c)−a( 2 2 2
b + c ) ab(a − b) + ac(a − c) Xét − = = 2 2 b + c b + c (b+c)( 2 2 b + c ) (b+c)( 2 2 b + c )
Giả sử a b c => Các ngoặc đều dương => ĐPCM
Bài 73: Cho a, b là hai số dương, CMR : (a + b)( 3 3 a + b ) ( 4 4 2 a + b ) HD: Ta có: 4 4 4 3 3 4
2a + 2b − a − ab − a b − b 0 = ( 4 3 a − a b) + ( 4 3
b − ab ) 0 = 3
a (a −b) 3
−b (a −b) 0
Bài 74: Cho a,b là hai số dương, CMR : ( + )( 4 4 + ) ( 2 2 + )( 3 3 a b a b a b a + b ) HD: Ta có: 5 4 4 5 5 2 3 3 2 5
a + ab + a b + b − a − a b − a b − b 0 = ( 4 3 2
a b − a b ) + ( 4 2 3
ab − a b ) 0 = 3
a b(a −b) 3
+ ab (b −a) 0
= (a −b)( 3 3
a b − ab ) 0 = ab(a − b)( 2 2 a − b ) 0 12
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức Bài 75: CMR : 2 2
a + b + 4 ab + 2(a + b) HD: Ta có: 2 2
a + b + 4 − ab − 2a − 2b 0 = 2 2
2a + 2b + 8 − 2ab − 4a − 4b 0 = ( 2 2
a − ab + b ) + ( 2
a − a + ) + ( 2 2 4 4
b − 4b + 4) 0
Bài 76: Cho a,b là hai số có tổng bằng 2, CMR : 4 4 3 3
a + b a + b HD: Ta có: ( 4 4 + ) ( + )( 3 3 2 a b a b a + b ) = 4 4 4 3 3 4
2a + 2b − a − ab − a b − b 0 = ( 4 3 a − a b) + ( 4 3 b − ab ) 3
= a (a −b) 3
+ b (b − a) = (a −b)( 3 3 0 0 a − b ) 0
Bài 77: Cho a,b,c là ba số thỏa mãn : a+b+c=3, CMR : 4 4 4 3 3 3
a + b + c a + b + c HD: Ta có: ( 4 4 4 + + ) ( + + )( 3 3 3 3 a b c a b c
a + b + c ) 2 = ( a − b)2 b 3 a + + b
+ (b −c)2 (b +bc + c )+(c − a)2 2 2 2 ( 2 2
c + ac + a ) 0 2 4 Bài 78: Cho 0 ,
x y, z 1, CMR : 0 x + y + z − xy − yz − zx 1 HD: Ta có:
Xét tích (1− x)(1− y)(1− z) = −( xyz − xy − yz − zx + x + y + z − ) 1 0 x xy
mà y yz = x + y + z − xy − yz − zx 1− xyz z zx
mà 0 xyz 1 = 1− xyz 1 Bài 79: Cho 1
− x, y, z 2 và x+y+z=0, CMR : 2 2 2
x + y + z 6 HD:
Ta có: (x−2)(x+ ) 2 1 0
x − x − 2 0 Xét (
y − 2)( y + ) 2
1 0 = y − y − 2 0 , Cộng theo vế ta có: ( z − 2 )(z + ) 2 1 0
z − z − 2 0 2 2 2 2 2 2
x + y + z − 6 0 = x + y + z 6 1 1 1 1 5
Bài 80: Cho x > 0, y > 0, z > 0, CMR : + − , Với 2 2 2
x + y + z = x y z xyz 3 HD: Ta có:
(x + y − z)2 2 2 2
0 = x + y + z + 2xy − 2yz − 2zx 0
= 5 + 2(xy − yz − zx) 0 3 −
= (xy − yz − zx) 5 5 2
= yz + zx − xy 1 3 6 = 1 1 1 1 + − x y z xyz 13
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
Bài 81: Cho 0 < a,b,c < 1, CMR : 3 3 3 2 2 2
2a + 2b + 2c 3 + a b + b c + c a HD: Do 2
a 1= a 1,b 1 => ( 2 − a )( −b) 2 2 1 1
0 =1+ a b − a −b 0 = 2 2
1+ a b a + b
Mặt khác: 0< a, b<1=> 2 3 3 2 3 3
a a , b b = a + b a + b Vậy 2 3 3
1+ a b a + b , Chứng minh tương tự => ĐPCM Bài 82: CMR : 4 4 4
a + b + c abc (a + b + c) HD: Chuyển vế ta có: 4 4 4 2 2 2
a + b + c − a bc − ab c − abc 0
= (a −b )2 + a b + (b −c )2 + b c + (c − a )2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
+ 2a c − 2a bc − 2b ac − 2abc 0
= ( − )2 + ( − )2 + ( − )2 2 2 2 2 2 2 a b b c c a +( 2 2 2 2 2
a b − a bc + a c ) + ( 2 2 2 2 2
a b − ab c + b c ) + ( 2 2 2 2 2
a b − ab c + b c ) + ( 2 2 2 2 2 2 2 2
a c − 2abc + b c ) 0
Bài 83: Cho a,b,c,d > 0 thỏa mãn: a c + d , b c + d , CMR: ab ad + bc HD:
a c + d
a − c d 0 Ta có: =
= (a − c)(b − d ) cd , Nhân vào ta được ĐPCM b c + d b
− d c 0 Bài 84: Cho 0 a, , b ,
c d 1, CMR : (1− a)(1−b)(1− c)(1− d ) 1− a −b − c − d HD:
Ta có: (1− a)(1−b) =1− a −b + ab 1− a −b ( do ab >0)
Do c 1 =1− c 0 = (1− a)(1−b)(1− c) (1− a − b)(1− c) 1− a − b − c
Chứng minh tương tự => ĐPCM 2 a Bài 85: Cho a.b.c=1, 3 a 36 , CMR : 2 2
+ b + c ab + bc + ca 3 HD: 2 2 a a 2 2 a a Xét hiệu 2 2 +
+ b + c − ab −bc − ac 0 2 2
= + b + c − ab − ac + 2bc + −3bc 0 4 12 4 12 2 3 − 3 − = a a 36abc − a 36abc b − c + , Do 3 a 36 = 0 ĐPCM 2 12a 12a 4 4 4 4
Bài 86 : Chứng minh rằng : Nếu a + b + c + d = 4abcd và a,b,c,d là các số dương thì a= b= c= d 2 2 2 ab +1
Bài 87: Cho hai số a, b thỏa mãn: a + b 0, Chứng minh rằng: a + b + 2 a b + HD: 2 ab +1 2 2 2 2 2 2 2 Ta có: a + b + 2 =
(a +b )(a+b) +(ab+ )1 2(a+b) a + b
(a b)2 (a b)2 ab = + + −
− (a + b)2 + (ab + )2 2 2 1 0
= (a + b)4 − ab(a + b)2 − (a + b)2 + (ab + )2 2 2 1 0
= (a + b)4 − (a + b)2 (ab + ) + (ab + )2 2 1 1 0 (a b) 2 2 ab 1 = + − − 0 (ĐPCM) 14
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức x − y 2 2 x − y
Bài 88: Cho x y 0 hãy so sánh : A = B = x , và + y 2 2 x + y HD:
Vì x 0, y 0 = x + y 0
x − y (x − y)(x + y) A = =
x + y + xy x + y x − y x , lại có: 2 2 2 2 2 2 2 , 0 + y (x + y)2 2 2 2 2 x − y x − y = A = = B 2 2 2 2 2xy + x + y x + y
Bài 89: Cho x, y > 0 thỏa mãn điều kiện: 2 3 3 4
x + y x + y , Chứng minh rằng: 3 3
x + y 2 , Dấu bằng xảy ra khi nào? HD:
Áp dụng BĐT côsi cho hai số dương ta có: 3 2 2 4 3
x + x 2x ,y + y 2y , Do vậy 3 2 4 2 3 2
x + x + y + y x + y = x + y ( 2 3
x + y ) + ( 2 3 3 4
x + y − x − y ) 2 3 2 2 x + y ,( 2 3 3 4
x + y x + y ) Mà: 2 4 2 x +1 2 ,
x y +1 2y , nên 2 4 2 2 3 2 3 3 4
1+ x +1+ y 2x + 2y 2x + 2y x + y + x + y Do vậy 3 3 x + y 2
Dấu bằng xảy ra khi: x = y = 1
Bài 90: Chứng minh BĐT sau: 2 2
x + y − xy x + y −1 HD: 2 2 2 2
Ta có: x + y − xy x + y − 1 = 2 (x + y − xy) 2(x + y − ) 1 2 2 2 2 2 2
= 2x + 2y − 2xy 2x + 2y − 2 = (x − 2xy + y ) + (x − 2x + )
1 + (y − 2y + ) 1 0 3 3 5 5 2 2
Bài 91: Cho a, b là các số dương thỏa mãn: a + b = a + b , Chứng minh rằng: a + b 1 + ab HD: 2 2 2 2 2 2
Ta có: a + b 1 + ab = a + b − ab 1 = (a + b)(a + b − ab) a + b 3 3 3 3 3 3 5 5 3 3 5 5
= a + b a + b = (a + b )(a + b ) (a + b)(a + b ) = 2a b ab + a b
= ab(a − a b + b ) = ab(a −b )2 4 2 2 4 2 2 2 0 0, , a b 0 2 3
Bài 92: Cho các số a, b, c 0;1
, chứng minh rằng: a + b + c − ab − bc − ca 1 HD: Do a, b,c 0;1 , nên:
(1−a)(1−b)(1−c) 0 =1−a−b−c+ ab+bc+ca− abc 0
= a + b + c − ab − bc − ca 1− abc 1 Do 2 3 , a ,
b c 0;1 = b , b c c , từ đó ta có: 2 3
a + b + c − ab − bc − ca a + b + c − ab − bc − ca 1 15
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
DẠNG 2 : SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ Các BĐT phụ hay dùng : (a +b)2 x y 2 2 a + b
(x + y)2 4xy + 2 2 y x 1
Bài 1: Cho a+b > 1, CMR : 4 4 a + b 8 HD: 2 2 + + 2 a b 2ab 1 1 Ta có: (a + b) 2 2 1=
= a + b 2 2
a +b − 2ab 0 2 1 1
a + b + 2a b 1 => (a + b ) 4 4 2 2 2 2 2 4 4 =
4 = 2a + 2b 4 4 4 2 2 2
a +b −2a b 0 1 Vậy 4 4 a + b 8 1 Bài 2: Cho a+b = 1, CMR : 2 2 a + b 2 HD: 2 2 + + = 2 a 2ab b 1 1 Ta có: (a + b) 2 2 2 2 =1=
= 2a + 2b 1= a + b 2 2
a − 2ab +b 0 2
Bài 3: Cho a+b > 2, CMR : 2 2 a + b 2 HD: 2 2 + + 2 a 2ab b 4 Ta có: (a + b) 2 2 2 2 4 =
= 2a + 2b 4 = a + b 2 2 2
a − 2ab +b 0 Bài 4: Cho 2 2
a + b 2 , CMR: a + b 2 HD: Ta có: 2 2 a +b 2 2 2 2 2
a +b 2ab = 2ab a +b 2
Cộng theo vế ta được: a + b + ab = (a +b)2 2 2 2 4
4 = a + b 2
Bài 5: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác, CMR: 2 2 2
a + b + c 2(ab + bc + ca) HD:
Ta có: Vì a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác nên ta có: 2
a b + c
a ab + ac 2 2 2 2 b
a + c = b
ab + bc = a + b + c 2(ab + bc + ac) 2
c a + b
c ac + bc 1
Bài 6: Cho a,b là hai số thực bất kỳ có tổng bằng 1, CMR: 3 3 a + b 4 HD:
Ta có: a + b = = b = − a = b = ( − a)3 3 1 1 1 => 3 3 3 2 3 2
a + b = a +1− 3a + 3a − a = 3a − 3a +1 2 1 3 1 1 1 2 = 3 a − a + + = 3 a − + 4 4 2 4 4 16
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức Bài 7: Cho ,
x y, z 0 , CMR : (x + y)( y + z)(z + x) 8xyz HD:
x + y 2 xy
Ta có: y + z 2 yz , Nhân theo vế ta được: ( x + y)( y + z)(z + x) 8xyz
z + x 2 zx 1 1 1 1
Bài 8: Cho a,b,c > 0, CMR : + + 3 3 3 3 3 3
a + b + abc
b + c + abc c + a + abc abc HD: Ta có: 3 3 + = ( + )( 2 2 a b
a b a − ab + b ) (a + b)ab , Do 2 2
a − ab + b ab Khi đó 3 3 b
+ + abc (a +b)ab + abc = ab(a +b +c)
Chứng minh tương tự ta có: 3 3
b + c + abc bc (a + b + c) và 3 3
c + a + abc ac (a + b + c) + + Khi đó ta có: 1 1 1 1 1 a b c 1 VT + + = . =
a + b + c ab bc ca a + b + c abc abc
Bài 9: CMR: Với mọi a,b,c > 0 thì (a + b + c) 1 1 1 + + 9 a b c HD: 1 1 1 1 Ta có: 3
a + b + c 3 abc và 3 + + 3 a b c abc
Nhân theo vế ta có: (a + b + c) 1 1 1 + + 9 a b c a b c 3
Bài 10: Cho a,b,c > 0, CMR : + + b + c c + a a + b 2 HD: Ta có:
x = a + b
Từ ( x + y + z) 1 1 1 + + 9
, Đặt y = b + c x y z
z = c + a
=> (a + b + c) 1 1 1 2 + + 9
a + b b + c c + a a + b + c a + b + c a + b + c 9 c a b 9 3 <=> + + + + − 3 = a + b b + c c + => a 2 a + b b + c c + a 2 2 a b 1 3
Bài 11: Cho a,b > 0, CMR : + + b +1 a +1 a + b 2 HD: a b 1 Ta có: +1 + +1 + +1 + 3 = (a +b + ) 1 1 1 9 3 1 + + −3 − 3 = b +1 a +1 a + b
a + b a +1 b +1 2 2 2 2 2 a b c a + b + c
Bài 12: Cho a,b,c là ba số dương, CMR : + + b + c c + a a + b 2 HD: 2 2 2 a
b + c b
c + a c a + b a + b + c Ta có: VT = + + + + + − b + c 4 c + a 4 a + b 4 2 a + b + c a + b + c
VT a + b + c − = = VP 2 2 17
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức a b c 1 1 1 1
Bài 13: Cho a,b,c > 0, CMR : + + + + 2 2 2 2 2 2 a + b b + c c + a 2 a b c HD: 2 2
a + b 2ab a b c 1 1 1 1 1 1 1 Ta có: 2 2 b
+ c 2bc =VT + + = + + = + + 2ab 2bc 2ca 2b 2c 2a 2 a b c 2 2
c + a 2ca 2 2 2 a b c
Bài 14: CMR: với a,b,c > 0 thì : + +
a + b + c b c a HD: 2 2 2 a b c Ta có:
+ b + + c + + a −(a + b + c) 2a + 2b+ 2c −(a +b+c) = a +b+c =VP b c a 3 Bài 15: CMR : 2 2 2
a + b + c +
−a − b − c 4 HD: 1 1 1 Ta có: 2 2 2 a + a + + b + b + + c + c + 0 4 4 4 1 1 1
Bài 16: Cho a,b,c dương có tổng là 1, CMR : + + 9 a b c HD:
Vì (a + b + c) = = (a + b + c) 1 1 1 1 + + 9 a b c
Bài 17: Cho a,b,c là các số không âm và a + b + c 3 ,CMR : a b c 3 1 1 1 + + + + 2 2 2 1+ a 1+ b 1+ c 2 1+ a 1+ b 1+ c HD: 2 1 + a 2a a b c a b c 3 Ta có: 2 1
+ b 2b = + + + + = 2 2 2 1+ a 1+ b 1+ c 2a 2b 2a 2 2 1+ c 2c 1 + a = x Đặ 1 1 1 3 t 1
+ b = y = x + y + z = a + b + c + 3 6 => B = + + , x y z 2 1+ c = z
Khi đó: ( x + y + z) 1 1 1 1 1 1 9 9 3 + + 9 = + + = x y z x y z x + y + z 6 2 4 4 2 2 x y x y x y
Bài 18: Cho x,y,z > 0, CMR : + − − + + 2 4 4 2 2 y x y x y x HD: 4 4 x y x y 2 2 x y Ta có: +
2 , Tương tự + 2 và − + 2 − 4 4 y x y x 2 2 y x
Cộng theo vế ta có: VT 2 + 2 − 2 = 2
Bài 19: Cho a,b là các số dương thỏa mãn: a+b < ab, CMR : a+b > 4 HD: Ta có: ( + a + b ab 4 a + b)2 a b 4 4ab =
a + b ab = =1 =1 = a + b 4 ab a + Do b ab ab a + b 18
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 3 3 3 a b c
Bài 20: Cho a,b,c > 0, CMR : + +
ab + bc + ca b c a HD: Ta có: 3 3 3 a b c 2 2 2
+ b + + c + + a −( 2 2 2
a + b + c ) b c a 3 3 a + b ab(a + b) Mà: = a(a +b) 2 = a + ab b b 3 3 Tương tự b c => 2 2 2 2
+ c b + b , c
+ a c + ca c a Khi đó VT ( 2 2 2 + + )+( + + )−( 2 2 2 a b c ab bc ca
a + b + c ) = ab + bc + ca
Bài 21: Cho a,b,c thỏa mãn: 2 2 2
a + b + c = 3, CMR: ab + bc + ca + a + b + c 6 HD: 2 2
a + b 2ab Ta có: 2 2 b
+ c 2bc = 2( 2 2 2
a + b + c ) 2(ab + bc + ca) = 2.3 2(ab + bc + ca) 2 2
c + a 2ac
=> ab + bc + ca 3 (1) 2 a +1 2a Mặt khác: 2 b
+1 2b = 3+ 3 2(a + b + c) = a + b + c 3 (2) 2 c +1 2c
Cộng (1) và (2) theo vế ta được ĐPCM 2 2 x y 1 Bài 22: CMR: +
, với mọi x,y là số thực 4 4 1+16x 1+16 y 4 HD: 2 x 1 Ta có: 4 4 2 2
1+16x 2. 16x = 2.4x = 8x = 4 1+ (1) 16x 8 2 2 y y 1 Tương tự: = (2) 4 2 1+16 y 8y 8 1
Cộng theo vế ta được : VT 4 bc ac ab
Bài 23: CMR với a,b,c > 0 thì + +
a + b + c a b c HD: bc ac a b ac ab ab bc Ta có: + = c + 2c , Tương tự ta có: + 2a, + 2b a b b a b c c a
Cộng theo vế ta được : 2VT 2VP = VT VP 2 2 a − b a − b
Bài 24: CMR: với a,b > 0 và a > b > 0 thì 2 2 a + b a + b HD: a − b
(a −b)(a +b) 2 2 a − b Ta có: = = , Mà 2 2 2 2
a + 2ab + b a + b a + b (a +b)2 (a +b)2 2 2 − Khi đó a b VT 2 2 a + b 19
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
Bài 25: Cho 3 số a,b,c dương thoă mãn: a+b+c = 4, CMR : a + b abc HD: 2 2
Ta có: (a + b) 4ab = (a + b) + c 4
(a +b)c =16 4(a+b)c
= (a +b)c = (a +b) (a +b) c = (a +b) ( ab)2 2 4 4 4 2 c = 4abc
=> a + b abc
Bài 26: Cho 2 số x,y > 0 thỏa mãn: 3 3
x + y = x − y , CMR : 2 2 x + y 1 HD: Ta có: 3 3 2 2
x + y = x − y = x + y = ( x − y)( 2 2 x + y ) 3 3 0 0 1 x + y 3 2 2 3 3 3
= x + xy − x y − y x + y 3 2 2
= y + x y − xy = y( 2 2 2 0
2y + x − xy) 0 1 Bài 27: Cho a+b = 1, CMR: 2 2 a + b 2 HD: 2 2 + + = 2 a 2ab b 1 1 Ta có: (a + b) 2 2 2 2 =1=
= 2a + 2b 1= a + b 2 2
a − 2ab +b 0 2 1 Bài 28: Cho a+b=1, CMR: 4 4 a + b 8 HD: 2 2
a + 2ab +b =1 1 Ta có: 2 2 2 2
= 2a + 2b 1= a + b 2 2
a − 2ab +b 0 2 1 4 4 2 2
a + b + 2a b 1 1 Mặt khác: 4 4 4 4
4 = 2a + 2b
= a + b 4 8 4 4 2 2
a +b −2a b 0 x y z
Bài 29: Cho 3 số x,y,z >0, CMR: + + 3 y z x HD: 2 x = yz x y z x y z x y z Ta có: + + 3 2 3 . .
= 3, Dấu bằng khi = = = y = xz = x = y = z y z x y z x y z x 2 z = xy
Bài 30: Cho a,b,c thỏa mãn: 2 2 2
a + b + c =1, CMR: abc + 2(1+ a + b + c + ab + bc + ca) 0 HD: Vì 2 2 2
a + b + c = 1 = a , b , c 1 = 1 − , x , y z 1 Khi đó: (a+ ) 1 (b + ) 1 (c + )
1 0 = abc + ab + bc + ca + a + b + c +1 0 (1) 2 2
mà (a + b + c + )
1 = (a + b + c) + 2(a + b + c) +1 0 2 2 2
= a +b + c + 2(ab +bc +ca)+ 2(a +b +c)+1 0
= ab +bc + ca + a +b + c +1 0 (2)
Cộng (1) và (2) theo vế ta được: abc + 2(ab + bc + ca + a + b + c + ) 1 0 20
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
DẠNG 3: BẤT ĐẲNG THỨC COSI VÀ SCHAWRZ
BĐT Cô Si: Với hai số a,b không âm ta có: a +b 2 ab , Dấu = xảy ra khi a=b Mở rộng ta có: 3
a + b + c 3 abc (a +b)2 3 + + Co si ngượ a b c c dấu: . a b và abc 4 3 BĐT Schwa 1 1 4 rz: +
với x, y > 0, Dấu = khi x = y x y x + y 1 1 1 9 Mở rộng : + + , dấu = khi x = y = z x y z x + y + z 1 1 4
Bài 1: Cho x, y>0. Chứng minh BĐT : + x y x + y HD : x + y 4 2 2 Ta có: gt =
= (x + y) 4xy = (x − y) 0 xy x + y Dấu ‘ = ‘ khi x=y 1 1 1 9 Bài 2: CMR: + + x y z x + y + z HD :
Ta có : = ( x + y + z) 1 1 1 + + 9 x y z 2 2 2 a b c c b a Bài 3: CMR: + + + + 2 2 2 b c a b a c HD: 2 2 a b a 2 2 b c b 2 2 c a c Ta có : + 2. , tương tự : + 2. , và + 2. 2 2 b c c 2 2 c a a 2 2 a b b
Cộng theo vế ta được : 2VT 2VP => VT> VP
Bài 4: Cho a,b,c là ba số dương, CMR: (a + b + c) 1 1 1 + + 9 a b c HD: 1 1 1 1 Ta có : 3
a + b + c 3 abc và 3 + + 3 a b c abc
Nhân theo vế ta được : (a + b + c) 1 1 1 + + 9 a b c a b c
Bài 5: Cho a,b,c là ba số dương, CMR: 3 + + b + c c + a a + b 2 HD:
Ta có : Áp dụng bất đẳng thức : ( x + y + z) 1 1 1 + + 9 x y z
x = a + b
Đặt y = b + c = (a + b + c) 1 1 1 2 + + 9
a + b b + c c + a z = c + a a + b + c a + b + c a + b + c 9 = + + a b c + + − = a + b b + c c + = 9 3 3 a 2 b + c c + a a + b 2 2 21
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức Bài 6: Cho a,b,c là độ 1 1 1 1 1 1
dài ba cạnh của 1 tam giác, CMR: + + + +
a + b − c
b + c − a c + a − b a b c HD :
Vì a, b, c là ba cạnh của 1 tam giác nên các mẫu đều dương 1 1 4 2
Áp dụng BĐT schawzr ta có : + =
a + b − c b + c − a 2b b Tương tự 1 1 2 1 1 2 ta cũng có : + +
b + c − a c + a − và b c
c + a − b a + b − c a
Cộng theo vế ta được điều phải chứng minh Bài 7: Cho ,
x y, z 0 , CMR: (x + y)( y + z)(z + x) 8xyz HD :
x + y 2 xy
Ta có : y + z 2 yz , Nhân theo vế ta được : ( x + y)( y + z)(z + x) 8xyz
z + x 2 zx 1 1
Bài 8: Cho x 0, y 0, x + y 1, CMR: + 4 2 2 x + xy y + xy HD :
Áp dụng BĐT schawzr ta có : 1 1 4 + 2 1
4 , Vì x + y 1 = ( x + y) 1 = 1 2 2 x + xy y + xy ( 2 x + y)2 (x + y)
Bài 9: Cho a,b,c dương có tích bằng 1, CMR: (a + ) 1 (b + ) 1 (c + ) 1 8 HD : a +1 2 a Ta có : b
+1 2 b = (a + ) 1 (b + ) 1 (c + ) 1 8 abc = 8 c+1 2 c
Bài 10: Cho a,b không âm, CMR: (a + b)(ab + ) 1 4ab HD :
a +b 2 ab Ta có :
= (a + b)(ab + ) 1 4ab
ab +1 2 ab
Bài 11: Cho a,b,c,d dương có tích bằng 1, CMR: 2 2 2 2
a + b + c + d + ab + cd 6 HD : 2 2
a +b 2ab Ta có : 2 2 2 2
= a + b + c + d + ab + cd 3(ab + cd ) 3.2 abcd = 6 2 2 c
+ d 2cd 2
a + b c + d Bài 12: CMR: +
(a + c)(b + d) 2 2 HD : 2
a + c b + d
(a +c)(b + d) Ta có : VT = + 4 =
(a + c)(b + d) 2 2 4
Do áp dụng BĐT : (a + b)2 4ab Bài 13: CMR: ( + ) ( + )4 4 4 8 a b a b HD :
Ta có : a + b a b = (a + b ) (a + b )2 4 4 2 2 4 4 2 2 2 2 (1) 22
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức a + b
Mặt khác : a + b ab = (a + b ) (a + b) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
= a + b 2 + + = ( a b a + b ) (a b)4 2 2 2
, Thay vào (1) ta được : (a + b ) ( )4 4 4 2 4 4 Bài 14: CMR: 4 4 4 4
a + b + c + d 4abcd HD : Vì 4 4 4 4
a ,b ,c , d là 4 số dương => a + b + c + d (abcd)4 4 4 4 4 4 4 = 4abcd a b 1 3 Bài 15: Cho a,b > 0, CMR: + + b +1 a +1 a + b 2 HD : a b 1 VT = + + + + + − = (a+b+ ) 1 1 1 1 1 1 3 1 + + −3 b +1 a +1 a + b
b +1 a +1 a + b 1 ( = 9 3 a +
)+(b+ )+(a+b) 1 1 1 1 1 + + −3 − 3 = 2
a +1 b +1 a + b 2 2 2 2 2 a b c c b a Bài 16: CMR: + + + + 2 2 2 b c a b a c HD : 2 2 a b 2a 2 2 b c 2b 2 2 c a 2c Ta có : + , Tương tự ta có : + và + 2 2 b c c 2 2 c a a 2 2 a b b Cộng theo vế ta có : 2VT 2VP bc ca ab
Bài 17: Cho a,b,c > 0, CMR: + +
a + b + c a b c HD : bc ca b a ca ab c b Ta có : + = c + 2c , Tương tự ta có : + = a + 2a và a b a b b c b c ab bc a c + = b + 2b c a c a
Cộng theo vế ta được : 2VT 2VP a b c 1 1 1 Bài 18: Cho a,b,c>0, CMR: + + + + 2 2 2 b c a a b c HD : a 1 2 + 2 b a b b 1 2 1 1 1 1 1 1 Ta có :
+ = VT + + + 2 + + => ĐPCM 2 c b c a b c a b c c 1 2 + 2 a c a 1 1
Bài 19: Cho a,b > 0, a+b = 1, CMR: + 6 2 2 ab a + b HD : 1 1 1 4 1 1 Ta có : + + + = 4 + 2 2 a + b 2ab 2ab
(a +b)2 2ab 2ab 1 1
Ta lại có : 1 = a + b 2 ab = 1 4ab = 1 = 2 4ab 2ab
Khi đó VT 4 + 2 = 6 23
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
Bài 20: CMR với mọi a,b > 0 thỏa mãn: ab=1, ta có BĐT: 1 1 2 + + 3 a b a + b HD : a + b 2 2 a + b a + b 2 2 ab Ta có : = + = a + b + = + + + 2 =1+ 2 = 3 ab a + b a + b 2 2 a + b 2
Bài 21: Cho a,b,c là ba số dương thỏa mãn: a + b + c = 4 , CMR: ( + )( + )( + ) 3 3 3 a b b c c a a b c HD : 2 2
Áp dụng BĐT : (a + b) 4ab = (a + b + c) 4(a + b)c = 16 4(a + b)c
= (a +b) (a +b)2 4
c 4abc = a + b abc
Tương tự ta có : b + c abc,c + a abc
Khi đó nhân theo vế ta được : (a + b)(b + c)(c + a) abc abc abc = (abc)3 . . ab bc ca a + b + c
Bài 22: CMR: với a,b,c > 0 thì + + a + b b + c c + a 2 HD : Áp dụng BĐT : ( + ) + 2 ab a b a b
4ab = (a + b)(a + b) 4ab = a + b 4 + + Tương tự bc b c ca c a ta có : , b + c 4 c +
, Cộng theo vế ta được ĐPCM a 4 2 2 2 a b c a + b + c
Bài 23: Cho a,b,c > 0, CMR: + + b + c c + a a + b 2 HD : 2 a b + c 2 b c + a 2 c a + b Ta có : +
a , Tương tự ta có : + b + c b + c 4 c + và a 4 a + b 4
Cộng theo vế ta được : a + b + c a + b + c VT +
a + b + c = VT 2 2
Bài 24: Cho a,b không âm, CMR: (a + b)(ab + ) 1 4ab HD :
a +b 2 ab Ta có :
= (a + b)(ab + ) 1 4ab
ab +1 2 ab 1 1 1 a + b + c
Bài 25: Cho a,b,c > 0, CMR: + + 2 2 2 a + bc b + ac c + ab 2abc HD : Co si cho hai số : 2
a ,bc , Ta được: 1 1 2 1 1 1 2
a + bc 2a bc = = + 2 2 a + bc 2a bc a + bc 2 ab bc Tương tự ta có : 2 1 1 1 + 2 1 1 1 và + 2 b + ac 2 ab bc 2 c + ab 2 ca cb 1 1 1 a + b + c a + b + c
Cộng thoe vế ta được : 2VT + + = = VT ab bc ca abc 2abc 24
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức a b c
Bài 26: CMR: Trong tam giác ABC ta có: + + 3
b + c − a
c + a − b a + b − c HD : abc
Ta có : VT 33 (b+c−a)(c+a −b)(a +b− c)
Lại có : (b + c − a) + (c + a − b) 2 (b + c − a)(c + a − b)
= 2c 2 (b + c − a)(c + a −b) , Tương tự ta có :
a (c + a − b)(a + b − c) và b (b + c − a)(a + b − c) abc
=> abc (b + c − a)(c + a −b)(a + b − c) => 3 ( = =
b + c − a)(c + a − b)(a + b − c) 1 VT 3 1 3 a b
Bài 27: Cho a, b là các số thực không nhỏ hơn 1, CMR: 4 + 2a −1 2b −1 1+ ab HD : a a 1 Ta có : 2 2
2a a +1 = 2a −1 a = = 2 2a − 1 a a
Chứng minh tương tự ta có : b 1 1 1 4 = VT + ,
a b 1 = a −1 b −1 0 2a −1 b a b a + Vì ( )( ) b 4 4
= ab − a − b +1 0 = a + b ab +1 = a + b ab + 1 2 2 2 b c a 9 9
Bài 28: Cho a,b,c dương thỏa mãn: abc = 1, CMR: + + + a b c 2(a + b + c) 2 HD : 2 a 2 2 b c Ta có : + c 2a , + a 2 , b + b 2c c a b + + + + Ki đó 9 a b c a b c 9 9
VT a + b + c + = + + 2(a b c) 2 2 2 (a b c) + + + + 2 3 3 abc 2.3 3 9 VT + = + 3 = 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 Bài 29: Cho + + = 4, CMR: + + 1 a b c
2a + b + c
a + 2b + c a + b + 2c HD : 1 1 4 Áp dụng BĐT : + x y a + y 3
Dấu ’’=’’ xảy ra khi a = b = c =
= 2a = b + c 4 Khi đó ta có : 1 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 + + + = + +
4 2a + b + c 4 2a b + c
4 2a 4 b c 16 a b c tương tự ta có : 1 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 + + + = + +
4 a + 2b + c 4 2b a + c
4 2b 4 a c 16 b a c 1 4 1 2 1 1 + + , Khi đó 1 4 4 4 VT + + =1
4 a + b + 2c 16 c a b 16 a b c 25
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức a + 3c c + 3a 4b
Bài 30: Cho a,b,c là các số thực dương, Tìm GTNN của: P = + + a + b b + c c + a
3(b + c) 4a + 3c 12(b − c)
Bài 31: Cho a,b,c là các số thực dương, Tìm GTNN của : P = + + 2a 3b 2a + 3c b + c 2a + c 4(a + b)
Bài 32: Cho a,b,c là các số thực dương, CMR: + + 9 a b a + c 9b +16c
25(4a +16c) 64(4a + 9b)
Bài 33: Cho a,b,c là các số thực dương, Tìm GTNN của : P = + + a b c 1 1 1 3
Bài 34: CMR với a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc=1, thì: + + 3 a (b + c) 3 b (c + a) 3 c (a + b) 2 1 1 1
Bài 35: Giả sử có: 2015 số nguyên dương: a ;a ;...a thỏa mãn: + +...+ =1008 , CMR có ít 1 2 2015 a a a 1 2 2015
nhất 2 trong 2015 số nguyên dương đã cho bằng nhau Bài 36: Cho 3 3 3
a + b + c = 0 , CMR: 3 3 3 3 3 3 3 3
a b + 2b c + 2b c + 3a c 0 HD: Từ: 3 3 3 3 3 3 3 3 3
a + b + c = 0 = b + c = a
− ;a +b = c − Do đó : 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
a b + b c + c a = a b + c a + c a + b c = a ( 3 3 b + c ) 3 + c ( 3 3 a + b ) 6 6 2 3 2 2 2
= −a − 2c 0
Bài 37: Cho hai số a,b khác 0 và trái dấu nhau trong đó: 2008 2009 a = b
. xác định dấu của mỗi số HD: Vì a 0 nên 2008 a 0 nên 2009 b
0 mà a ,b trái dấu nên a <0 Bài 38: Cho x>y>0 và 5 5
x + y = x − y , CMR: 4 4 x + y 1 HD:
Vì x>y>0=>x - y>0, 5 5 5 5 4 3 2 2 3 4 4 4
x − y x + y ; x + x y + x y + xy + y x + y Do đó : ( − )( 4 4 + ) ( − )( 4 3 2 2 3 4 + + + + ) 5 5 x y x y x y x x y x y xy y = x − y 5 5
x + y = x − y
=> ( x − y)( 4 4 x + y ) 4 4
x − y = x + y 1 1 1
Bài 39: Cho a, b, c > 0 thỏa mãn : a + b + c = 1 , CMR: + 16 ac bc HD: Cách 1: 2 2
Ta có: 1 = (a + b + c) = (a + b) + c 4 (a+b)c 2 2 2 2
Vì (a − b) 0 a + b 2ab (a + b) 4ab
Khi đó: (a + b)c (a + b) (a + b)2 1 4 4
c , Mà: (a + b)2 4ab = a + b 4.4a . b c a + b 1 1 1 1 1 1 1
a + b 16abc =
16c = + 16c = + 16 = + 16 ab a b c a b ac bc Cách 2: 1 1 1 1 1 1 4 1 4 4 Ta có: + = + . = . = 2 ac bc c
a b c a + b c 1− c −c + c 2 2 1 1 1 4
Mặt khác ta lại có: −c + c = − c − + 16 2 Nên , 4 4 2 −c + c 1 1
Dấu ‘’=’’ khi c = ,a = b = 2 4 26
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 1 1 1 Bài 40: Cho , a ,
b c 0,a + b + c 1 , Chứng minh rằng: + + 9 2 2 2
a + 2bc b + 2ac c + 2ab (1) HD: 2
x = a + 2bc 2 Đặt 2
y = b + 2ac = x + y + z = (a + b + c) 1 , Khi đó: 2
z = c + 2ab 1 1 1 (1) = + + 9
x + y + z 1, x, , y z 0 x y z , Với ( ) Áp dụng BĐT Côsi ta có: 3
x + y + z 3. xyz , ĐT xảy ra khi x=y=z 1 1 1 1 1 1 1 = + + 3.3 = = x y z
xyz , ĐT xảy ra khi x y z (x y z) 1 1 1 = + + + + 9 1 1 1
x + y + z 1 = + + 9 x y z , mà
, Đẳng thức xảy ra khi : x y z 1 x 1 = y = z =
= a = b = c = 3 3 1 1 2 a + b c + b
Bài 41: Cho a, b,c là ba số dương và + = + a c b , CMR : 4
2a − b 2c − b HD: 1 1 2 Ta có: + = = 2 ab a − b = − = a c b c và 2 bc c b a a + b c + b
a + b c + b c c a a ac 4 = + = + = + + + 4 4 2
2a − b 2c + b ab bc b a b c b c a
Áp dụng BĐT co si cho ba số dương a, b, c , Dấu bằng xảy ra khi a= b= c 27
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
DẠNG 4: SẮP SẾP CÁC BIẾN VÀ BĐT TAM GIÁC: Bài 1: Cho a,b,c là độ a b c
dài ba cạnh của 1 tam giác, CMR: + + 2 b + c c + a a + b HD : a a 2a Ta có : 1 = b + c b + c a + b + c + + Tương tự b b 2b c 2c 2(a b c) ta có: 1 = , VT = 2 c + a c + a
a + b + c a + b
a + b + , cộng theo vế c a + b + c a b c
Bài 2: Cho a,b,c > 0, CMR: 1 + + 2 a + b b + c c + a HD : a a a + c b b b + a c c c + b Ta có : a + b + c a + b a + b + và c a + b + c b + c a + b + và c a + b + c c + a a + b + c
Cộng theo vế ta được : a b c a + b b + c c + a + + M + + a + b + c a + b + c a + b + c a + b + c a + b + c a + b + c a + b + c
2(a + b + c) M =1 M 2 a + b + c a + b + c a b c d
Bài 3: Cho a,b,c,d > 0, CMR: 1 + + + 2 a + b + c b + c + d c + d + a d + a + b HD : a a a + d b b a + b Ta có :
a + b + c + d a + b + c
a + b + c + và d
a + b + c + d b + c + d
a + b + c + d c c c + b + d d d c
a + b + c + d c + d + a
a + b + c + và d
a + b + c + d d + a + b
a + b + c + d Cộng theo vế ta có :
a + b + c + d
2(a + b + c + d ) M =1 M 2
a + b + c + d
a + b + c + d a + b b + c c + d d + a
Bài 4: Cho a,b,c,d > 0, CMR: 2 + + + 3 a + b + c b + c + d c + d + a d + a + b HD : a + b a + b a + b + d Ta có :
a + b + c + d a + b + c
a + b + c + d Chứng minh tương tự : b + c b + c b + c + a + + + + c d c d c d b
a + b + c + d b + c + d
a + b + c + , d
a + b + c + d c + d + a
a + b + c + d d + a d + a d + a + c Và
a + b + c + d d + a + b
a + b + c + d Cộng theo vế ta có :
2(a + b + c + d )
3(a + b + c + d ) M
a + b + c + d
a + b + c + d Bài 5: Cho a,b,c là độ a b c
dài ba cạnh của 1 tam giác, CMR:1 + + 2 b + c c + a a + b HD : a a a + a b b b + b c c c + c Ta có : a + b + c b + c a + b + và c a + b + c c + a a + b + và c a + b + c a + b a + b + c a + b + c
2(a + b + c)
Cộng theo vế ta được : M a + b + c a + b + c 28
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức a b c 3
Bài 6: CMR nếu a,b,c > 0 thì + + b + c c + a a + b 2 HD : b + c = x
Áp dung BĐT : ( x + y + z) 1 1 1 + + 9 , Đặt c
+ a = y = x + y + z = 2(a + b + c) x y z
a +b = z + + + + + + Khi đó ta có a b c a b c a b c
: (a + b + c) 1 1 1 9 2 + + 9 = + +
a + b b + c c + a a + b b + c c + a 2 => ĐPCM Bài 7: Cho a,b,c là độ a b c
dài ba cạnh của 1 tam giác, CMR: + + 3
b + c − a
a + c − b a + b − c HD : b
+ c − a = x
x + y = 2c + + + Đặ y z x z x y
t : a + c − b = y = y + z = 2a , Khi đó : 2A = + + x y z
a + b − c = z
z + a = 2b
x y z x z y = + + + + + 6 = A 3
y x x z y z
Bài 8: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác, 1 1 1 1 1 1 CMR: + + + +
a + b − c
b + c − a c + a − b a b c HD : 1 1 4 2 Áp dụng BĐT Schawzr : + =
a + b − c b + c − a 2b b Tương tự ta có : 1 1 2 + 1 1 2 +
b + c − a c + a − và b c
c + a − b a + b −
, Cộng theo vế ta được : ĐPCM c a
Bài 9: CMR với a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác và p là nửa chu vi của tam giác đó thì: 1 1 1 1 1 1 + + 2 + + p − a p − b p − c a b c HD : 1 1 4 4 Ta có : + = p − a p − b 2 p − a − b c Tương tự 1 1 4 1 1 4 ta có : + + p − b p − và c a p − c p − a b
Cộng theo vế ta được điều phải chứng minh
Bài 10: Cho tam giác ABC có độ abc
dài ba cạnh là a,b,c chu vi là 2p, CMR:
( p − a)( p −b)( p − c) 8 HD :
ta có : ( p − a) + ( p − b) 2 ( p − a)( p − b) = c 2 ( p − a)( p − b)
Chứng minh tương tự ta có : a 2 ( p − b)( p − c) và b 2 ( p − a)( p − c)
Nhân theo vế ta được : abc 8( p − a)( p − b)( p − c) 29
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
Bài 11: CMR: Nếu a,b,c là chiều dài ba cạnh của tam giác thì: 2 2 2
ab + bc + ca a + b + c 2(ab + bc + ca) HD : Ta chứng minh : 2 2 2
a + b + c ab + bc + ca 2 2 2 Chuyển vế ta được : 2 2 2
a + b + c − ab − bc − ca 0 = (a − b) + (b − c) + (c − a) 0 Ta chứng minh : 2 2 2
a + b + c 2(ab + bc + ca) 2
a b + c
a ab + ac Ta có : 2 b
a + c = b
bc + ba , Cộng theo vế ta được : 2 2 2
a + b + c 2(ab + bc + ca) 2
c a + b
c ac + bc
Bài 12: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác, CMR: abc (a +b −c)(b + c − a)(c + a −b) HD :
Ta có : (a + b − c) + (b + c − a) 2 (a + b − c)(b + c − a) = 2b 2 (a + b − c)(b + c − a)
Tương tự ta có : 2c 2 (b + c − a)(c + a −b) và 2a 2 (a + b − c)(c + a − b)
Nhân theo vế ta được ĐPCM
Bài 13: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác, CMR: 4 4 4
a + b + c ( 2 2 2 2 2 2
2 a b + b c + c a ) HD : Ta có : 4 4 4 2 2 2 2 2 2 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2
a + b + c − 2a b − 2b c − 2c a 0 = a + b + c + 2a b − 2b c − 2c a − 4a b 0
= (a +b −c )2 −( ab)2 2 2 2 = ( 2 2 2
a + b − c + ab)( 2 2 2 2 0 2
a + b − c − 2ab) 0
= (a +b + c)(a +b −c)(a −b + c)(a −b −c) 0 (Luôn đúng ) Bài 14: Cho a,b,c là độ b c a a b c
dài 3 cạnh của 1 tam giác, CMR:
+ + + + với a b c a b c b c a HD :
Nhân 2 vế với a,b,c ta có : 2 2 2 2 2 2
b c + c a + a b a c + ab + bc = c( 2 2
b − a ) + a( 2 2
c − b ) + b( 2 2
a − c ) 0 = (c − a)(b − c)(b − a) 0 Đúng
Bài 15: CMR với a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác thì: ( + − )2 2 2 2 2 2 4a b a b c HD : Xét hiệu : 2 2 a b − ( 2 2 2
a + b − c ) = ( 2 2 2
ab + a + b − c )( 2 2 2 4 0 2
2ab − a − b + c ) 0
= (a +b+c)(a +b−c)(c +a −b)(c −a +b) 0 đúng Bài 16: Cho a,b,c là độ 2 2 2
dài ba cạnh của 1 tam giác, CMR: ( − ) + ( − ) + ( + ) 3 3 3 a b c b c a c a b
a + b + c HD :
Ta xét : a (b − c)2 − a = a ( b −c)2 3 2
− a = a(b −c − a)(b −c + a) 0
Chứng minh tương tự ta có : Tổng của 3 số âm là 1 số âm 1 Bài 17: Cho 2 2 2
a + b + c = 1,CMR : a + b + c 3 HD : 1 2 1 2 2 a = x + a = x + .x + 3 3 9 1 2 1 2 2 = + = = + + Đặ b y b y .y t 3 3 9
Cộng theo vế ta được : 1 2 1 2 2 c = z + c = z + .z + 3 3 9 30
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 2 1 2 2 2
a + b + c = ( 2 2 2
x + y + z ) + ( x + y + z) + (1) 3 3
Mà : a + b + c = x + y + z +1 = x + y + z = 0 , Thay vào (1) 1 1 => 2 2 2 2 2 2
a + b + c = x + y + z + 3 3
Bài 18: Cho a,b,c là dộ dài ba cạnh của 1 tam giác, CMR: 2 2 2
a + b + c 2(ab + bc + ca) HD : 2
a b + c
a ab + ac Ta có : 2 b
c + a = b
ab + bc , Cộng theo vế ta được ĐPCM 2
c a + b
c ac + bc Bài 19: Cho a,b,c là độ 1 1 1
dài ba cạnh của 1 tam giác, CMR: , ,
, cũng là độ dài 3 cạnh của 1
a + b b + c c + a tam giác HD : 1 1 1 1 2 2 1 Ta cần chứng minh : + + = = a + b b + c a + b + c a + b + c a + b + c
(a +c)+(a +c) a + c Tương tự 1 1 1 1 1 1 ta cũng có : + + b + c c + a a + và b c + a a + b b + c
Bài 20: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác có chu vi bằng 2, hãy so sánh a,b,c với 1, CMR: 2 2 2
a + b + c + 2abc 2 HD :
Giải sử : a b c = a b + c = 2a a + b + c = 2 = a 1 = , b c 1
Khi đó : (1− a)(1−b)(1−c) 0 = ab +bc + ca 1+ abc lại có : (a +b+c)2 2 2 2
= a + b + c + (ab +bc + ca) 2 2 2 2
a + b + c + 2(1+ abc) = 2 2 2 2 2 2
4 a + b + c + 2 + 2abc = a + b + c + 2abc 2
Bài 21: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác,
CMR: abc (a + b − c)(b + c − a)(c + a −b) HD :
Ta có : (a + b − c) + (b + c − a) 2 (a + b − c)(b + c − a) = 2b 2 (a + b − c)(b + c − a)
Tương tự ta có : 2c 2 (b + c − a)(c + a −b) và 2a 2 (a + b − c)(c + a − b)
Nhân theo vế ta được ĐPCM
Bài 22: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác, CMR : 2 2 2
ab + bc + ca a + b + c 2(ab + bc + ca) HD : Ta chứng minh : 2 2 2
a + b + c ab + bc + ca 2 2 2 Chuyển vế ta được : 2 2 2
a + b + c − ab − bc − ca 0 = (a − b) + (b − c) + (c − a) 0 Ta chứng minh : 2 2 2
a + b + c 2(ab + bc + ca) ta có : 2
a b + c
a ab + ac 2 b
a + c = b
bc + ba , Cộng theo vế ta được : 2 2 2
a + b + c 2(ab + bc + ca) 2
c a + b
c ac + bc 31
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
Bài 23: Cho a,b,c là chiều dài ba cạnh của 1 tam giác có chu vi bằng 2,CMR: 2 2 2
a + b + c + 2abc 2 HD :
Giải sử : a b c = a b + c = 2a a + b + c = 2 = a 1 = , b c 1
Khi đó : (1− a)(1−b)(1−c) 0 = ab +bc + ca 1+ abc lại có : (a +b+c)2 2 2 2
= a + b + c + (ab +bc + ca) 2 2 2 2
a + b + c + 2(1+ abc) = 2 2 2 2 2 2
4 a + b + c + 2 + 2abc = a + b + c + 2abc 2 3a + b 3b + c 3c + a
Bài 24: Cho a,b,c là ba cạnh của 1 tam giác: CMR: + + 4 2a + c 2b + a 2c + b HD : 3a + b 3b + c 3c + a Ta có : VT = −1 + −1 + −1 1 2a + c 2b + a 2c + b
a + b − c
b + c − a
c + a − b = + + 1 2a + c 2b + a 2c + , Lại có : b
(a +b−c)2
(b+c−a)2
(c+a −b)2 = ( + +
a + c)(a + b − c) ( b + a)(b + c − a) ( c + b)(c + a − b) 1 2 2 2 (a+b+c)2 = ( =
a + c)(a + b − c) + ( b + a)(b + c − a) + ( c + b)(c + a − b) 1 2 2 2 1 1 1
Bài 25: Cho a,b,c > 0 thỏa mãn:
+ + a + b + c , a b c 1 1 1 Tìm Max của: T = + + 2 2 2 2 + a 2 + b 2 + c HD : 2 2 2 2 2 2 a b c a b c Ta có : 2T = 1− + 1− + 1− = 3− + + = 3− A 2 2 2 2 2 2 a + 2 b + 2 c + 2
a + 2 b + 2 c + 2 Schawzr ta có : (a +b+c)2 2 2 2
a + b + c + 2(ab + bc + ca) A = 2 2 2 2 2 2
a + b + c + 6
a + b + c + (1) 6 2
Mà : abc (a + b + c) ab + bc + ca = (ab + bc + ca) 3abc (a + b + c) , Tự chứng minh 2
=> (ab + bc + ca) 3(ab + bc + ca) = ab + bc + ca 3 thay vào (1) ta được :
A 1 = 2T 2 = T 1
Bài 26: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác: CMR : 2016 2016 2016 a b c 2015 2015 2015 + + a + b + c
b + c − a
c + a − b a + b − c HD : Xét hiệu ta có : 2016 a a
a − b + a − c 2015 2015 2015 ( ) ( ) − a = a −1 = a
b + c − a
b + c − a
b + c − a Tương tự ta cũng có :
b − a + b − c
c − a + c − b 2015 ( ) ( ) 2015 ( ) ( ) b và c
c + a − b
a + b − c Khi đó = ( − ) 2015 2015 − + ( − ) 2015 2015 − + ( − ) 2015 2015 a b b c a c VT a b b c a c −
b + c − a c + a − b
c + a − b a + b − c
b + c − a a + b − c 32
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
Giả sử : a b c = Ngoặc 2, 3 0 c ( 2015 2015 a −b
)+(a−b)( 2015 2015 2015 2015 a + b a b ) ta có ngoặc 1= ( − = , ĐPCM
b + c − a) (c + a − b)
(b+c−a)(c +a −b) 0 1 Bài 27: Cho 2 2 2
a + b + c = 1,CMR : a + b + c 3 HD : 1 2 1 2 2 a = x + a = x + .x + 3 3 9 1 2 1 2 2 = + = = + + Đặ b y b y .y t 3 3 9
Cộng theo vế ta được : 1 2 1 2 2 c = z + c = z + .z + 3 3 9 2 1 2 2 2
a + b + c = ( 2 2 2
x + y + z ) + ( x + y + z) + (1) 3 3
mà : a + b + c = x + y + z +1 = x + y + z = 0 , Thay vào (1) 1 1 => 2 2 2 2 2 2
a + b + c = x + y + z + 3 3 a b c
Bài 28: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác, CMR: + + 3
b + c − a
a + c − b a + b − c HD : b
+ c − a = x
x + y = 2c + + + Đặ y z x z x y
t : a + c − b = y = y + z = 2a , Khi đó : 2A = + + x y z
a + b − c = z
z + a = 2b
x y z x z y = + + + + + 6 = A 3
y x x z y z a b c d
Bài 29: Cho a,b,c,d>0, CMR: + + + 2 b + c c + d d + a a + b
Bài 30: Chứng minh với ba số a, b, c đôi 1 khác nhau thì : 3 3 3 a b c
( − )( − ) + ( − )( − ) + ( − )( − ) = a+ b+ c a b a c b c b a c a c b a b c
Bài 31: Cho a, b, c đôi 1 khác nhau thỏa mãn : + + = 0
b − c c − a a − b , CMR : a b c + + = 0 (
b − c)2 (c − a)2 (a − b)2
Bài 32: Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên dương và số đo diện tích bằng chu vi HD:
Gọi các cạnh của tam giác vuông là x, y, z trong đó cạnh huyền là z ( x, y, z là các số nguyên dương)
Ta có: xy = 2 (x + y + z) (1) và 2 2 2
x + y = z (2)
Từ (2) = z = ( x + y)2 2
− 2xy , thay vào (1) ta có: 2 2 2 2
z = (x + y) − 4(x + y + z) = z + 4z = (x + y) − 4(x + y) 2 2 2 2
z + 4z + 4 = (x + y) − 4(x + y) + 4 = (z + 2) = (x + y − 2) 33
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
= z + 2 = x + y − 2 = z = x + y − 4 , thay vào (1) ta được :
xy = 2(x + y + x + y − 4) = xy − 4x − 4y = 8
− = (x − 4)(y − 4) = 8 =1.8 = 2.4
Từ đó ta tìm được các giá trị của x, y, z là : (5;12;1 ) 3 ;(12;5;1 ) 3 ;(6;8;10);(8;6;10) 34
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
DẠNG 5, TÌM ĐIỂM RƠI CỦA BĐT CO SI: 1 5
Bài 1: Cho a 2,CMR : a + a 2 HD : 1 1 1
Ta có : Dấu bằng khi a = 2 =>
= = k.a = k.2 = k = a 2 4 Khi đó ta có : 1 a 3a a 3a 3a 3 5 VT = + + 2 + =1+ 1+ = a 4 4 4a 4 4 2 2 1 a = Dấu bằng khi a 4 a = 2 1 1
Bài 2: Cho a,b > 0, a + b 1, CMR : a + b + + 5 a b HD : a + b =1 1 1 1 Ta có : Dấu bằng khi
= a = b = = = 2 = k. = k = 4 a = b 2 a 2 Khi đó 1 1 1 1 : VT = + a + + b = + 4a + + 4b − 3 (a+b) a b a b
2 4 + 2 4 −3(a +b), Mà a +b 1= 3 − (a +b) 3 −
=VT 4+ 4−3 = 5 2 2 x + y
Bài 3: Cho x 2 y 0, Tìm GTNN của: P = xy HD : x y x 1 Ta có : P =
+ , đặt = a = a 2 = P = a + y x y a 1 1 1 1 a 3a
Dấu bằng khi a = 2 =
= = k.2 = k = = P = + + a 2 4 a 4 4 2 3.2 3 5 P + =1+ = 4 4 2 2 1
Bài 4: Cho a 3, Tìm GTNN của: S = a + a HD : 1 1 1
Ta có : Dấu bằng khi a = 3 =
= = k.3 = k = a 3 9 1 a 8a 2 8.3 2 8 10 S = + + + = + = a 9 9 9 9 3 3 3 10 Vậy Min S = 3 1
Bài 5: Cho x 1, Tìm Min của: A = 3x + 2x HD : 1 1 1
Ta có : Dấu bằng khi x = 1 =
= = k.3 = k = 2x 2 6 Khi đó 1 3x 5x 2 5.1 5 7 : A = + + + =1+ = 2x 6 2 4 2 2 2 35
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 10 8
Bài 6: Cho x,y là các sớ thực dương thỏa mãn: x+y 6, Tìm Min của: P = 5x + 3y + + x y HD :
Dấu bằng khi x y , Dự đoán sẽ có các cặp (x ; y) là (1 ;5),(2 ;4) , (5 ;1) và (4 ;2)
và nhận thấy cắp (2 ;4) thì P có giá trị nhỏ nhất Khi đó ta có : 10 1 8 1 x = 2 =
= 5 = k.5.2 = k = ,, = 2 = 3.4.h = h = x 2 4 6
10 5x 8 3y 5x 5y 5 => P = + + + + + 2.5+ 2.2 + .6 = 29 x 2 y 6 2 2 2
Bài 7: Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn : a+2b+3c 20, 3 9 4
Tìm Min của: P = a + b + c + + + a 2b c HD :
Dấu bằng khi a=2, b=3, c=4 3 3a 9 b 4 c a b 3c Khi đó : P = + + + + + + + + a 4 2b 2 c 4 4 2 4 1 P + + +
(a + b+ c) 1 3 3 2 2 3 8 + .20 4 4 1
Bài 8: Cho a 2, Tìm Min của: S = a + 2 a HD : 1 1 1 Dấu bằng khi a=2=> = = .2 h
= h = , Khi đó ta có : 2 a 4 8 a a 1 3a 1 3.2 3 6 9 3 S = + + + 3 + = + = 2 8 8 a 4 64 4 4 4 4 1 1 Bài 9: Cho 0 a
, Tìm Min của: S = 2a + 2 2 a HD ; 1 1 1 Dấu bằng khi a = =
= 4 = k.2. = k = 4 , Khi đó ta có : 2 2 a 2 1 1 3 S =
+8a +8a −14a 3 64 −14a , mà a = 1 − 4a 7
− = S 3.4 − 7 = 5 2 a 2 1 1 1
Bài 10: Cho a 10, b 100, c 1000, Tìm Min của: A = a + + b + + c + a b c HD : 1 1 1
Dấu bằng khi a = 10 = = = k.10 = k = , Tương tự với b và c, a 10 100 Khi đó ta có : 1 a 99a 2 99.10 101 B = + + + = , Tương tự với b và c a 100 100 100 100 10 1 1 1
Bài 11: Cho a,b,c là ba số thực dương thỏa mãn: a + b + c 1, Tìm Min của: P = a + b + c + + + a b c HD : 1 1 1 1
Dấu bằng khi a = b = c = , Khi đó P = + 9a + + 9b + + 9c −8 (a+b+c) 3 a b c
P 2 9 + 2 9 + 2 9 − 8(a + b + c) Mà a + b + c 1= 8
− (a +b+c) 8 −
Vậy P 6 + 6 + 6 −8 =10 36
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
Bài 12: Cho a,b,c là ba số thực thỏa mãn: a+b+c=1, Tìm Max của: 3 3 3
P = ab + bc + ca HD : 1 a + b + 1 1
Ta có : Dấu bằng khi a = b = c = 3 3 3 3 3 = ab = 3. . a . b 3. 3 3 3 1 1 b + c + c + a + Tương tự ta có : 3 3 3 3 3 3 bc 3. , ca 3. 3 3
2a + 2b + 2c 1
Cộng theo vế ta được : 3 3 P 3 + = 3 3 3 3 1 1 1
Bài 13: Cho a,b,c là ba số thực dương thỏa mãn: a + b + c
, Tìm Min của: P = a + b + c + + + 2 a b c HD : 1 1 1 1
Dấu bằng khi a = b = c = = P = + 4a + + 4b + + 4c −3 (a +b+c) 2 a b c 3 15 P 4 + 4 + 4 − 3. = 2 2
Bài 14: Cho a,b,c là ba số thực dương thỏa mãn: a + b + c 1, 1 1 1
Tìm Min của: P = a + b + c + 2 + + a b c HD : 1 2 2 2
Dấu bằng khi a = b = c = = P = 18a + + 18b + + 18c + −17 (a +b+c) 3 a b c = P 19
Bài 15: Cho a,b,c là ba số thực dương thỏa mãn: a + b + c = 1, , Tìm Min của: 3 3 3 a b c A = + + ( 1− a)2 (1−b)2 ( 2 1− c ) HD : 1
Dấu bằng khi a = b = c = Khi đó : 3 3 a 1− a 1− a 3 3 − − + + b 1 b 1 b 3 + + (
a , Tương tự ta cũng có : b 2 1− a)2 8 8 4 (1−b) 8 8 4 3 c 1− c 1− c 3 + + ( c 1− c)2 8 8 4 3 1
Cộng theo vế ta được : A
(a +b +c) = 4 4 1
Bài 16: Cho a,b là các số thực dương thỏa mãn: a + b 1, Tìm min của: S = ab + ab HD : 1 1
Ta có : Dấu bằng khi a = b = = = 4 =16ab 2 ab Khi đó ta có 1 : S = 16ab +
−15ab 2 16 −15ab ab 1 1 − 5
mà a + b 2 ab = 1 2 ab = ab = 1 − 5ab 4 4 37
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 15 15 17 Vậy S 2.4 − = 8 − = 4 4 4 1 1
Bài 17: Cho a,b là các số thực thỏa mãn: a + b 1, Tìm min của A = a + b + + 2 2 a b HD : 1 1 1
Dấu bằng khi a = b =
= A = 8a +8a + + 8b + 9b + −15 a + b 2 2 ( ) 2 a b
= S 3.4+3.4−15.1= 9 3 1 1 1
Bài 18: Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn: a + b + c
, Tìm Min P = a + b + c + + + 2 2 2 2 a b c HD : 1
Dấu bằng khi a = b = c = 2 1 1 1
Khi đoa : P = 8a + 8a + + 8b +8b + + 8c +8c +
−15 a + b + c 2 2 2 ( ) a b c 3 45 27
P 3.4 + 3.4 + 3.4 −15. = 36 − = 2 2 2
Bài 19: Cho a,b,c là các sơ thực dương thỏ 3 1 1 1
a mãn: a + b + c , Tìm Min: 2 2 2
A = a + b + c + + + 2 a b c HD : 1
Dấu bằng khi : a = b = c = 2 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 2 2 2 = P = a + + + b + + + c + + + + + 8a 8a 8b 8b 8c
8c 4 a b c 3 3 3 3 9 27 P + + + = 4 4 4
4 a + b + c 4
Bài 20: Cho x,y là các số thực dương thỏa mãn: x + y 1 1 1
Tìm Min của: A = 1− 1− 2 2 x y HD : 1
Dấu bằng khi : x = y =
= A = 9 , Ta cần chứng minh A 9 2 1 1 Xét 1− 1− 9 =
( 2x − )1( 2y − ) 2 2 1 9x y 2 2 x y 2 2 2 2
=1 x + y +8x y , do ( + )2 1 x y
, Nên ta cần chứng minh : (x + y)2 2 2 2 2
x + y +8x y = 2xy (1− 4xy) 0 (x + y)2 BĐT này đúng do: 1 1 0 xy = Mi .
n A = 9 khi x = y = 4 4 2 a + b ab
Bài 21: Cho a,b>0 Tìm Min của: P = + ab a + b HD : a + b ab =
Dấu bằng khi : m ab
a + b = m = 4 a = b Khi đó ta có : 38
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức a + b ab 3 a + b 1 3.2 ab 3.2 5 P = + + . 2 + =1+ = 4 ab a + b 4 ab 4 4 ab 4 2 1 1
Bài 22: Cho a + b 1 và a,b>0, Tìm min của: P = + 2 2 a + b ab HD : 1
Dấu bằng khi a = b = 2 Khi đó 1 1 1 4 1 : P = + + + 2 2 a + b 2ab 2ab
(a +b)2 2ab 4 2 4 2 6 P + + = ( a + b) 6 2 4ab
(a +b)2 (a +b)2 (a +b)2 1 1
Bài 23: Cho a,b>0 và a + b 1, Tìm Min của: P = + 2 2 1+ a + b 2ab HD : 1 1 1
Dấu bằng khi : a = b = . Khi đó : = 2 2 2 1+ a + b 3.2ab 1 1 1 4 1 = 4 1 P = + + + => P + 2 2 1+ a + b 6ab 3ab ( 2 2
a + b + 6ab + ) 1 3ab
(a +b)2 + 4ab +1 3ab 1 4 1 8
Mặt khác : a + b 2 ab = ab = P + = 4 2 + 1 1 3 3. 4 2 2 1
+ a + b = 6ab 1
Dấu bằng khi a = b = a = b = 2 a +b =1 1 1
Bài 24: Cho a,b>0, a + b 1, Tìm Min của: P = + + 4ab 2 2 a + b ab HD : 1
Dấu bằng khi a = b = 2 Khi đó 1 1 1 4 1 1 : P = + + + 4ab + 4ab + + 2 2 a + b 2ab 2ab (a + b)2 4ab 4ab 2 2
a + b = 2ab 4 4ab 1 1 1 P + + 2 2 = = = = ( . Dấu bằng khi a b a b a + b) 2. 7 2 4ab 1 16 2 4. 4 a + b =1 1 1 1
Bài 25: Cho a,b>0 và a + b 1, Tìm Min của: S = + + 3 3 2 2 a + b a b ab HD : 1
Dấu bằng khi a = b =
và a + b + a b + ab = (a + b)3 3 3 2 2 3 3 2 Khi đó 1 1 1 : = = 3 3 2 2 a + b 2a b 2ab 1 1 1 1 1 25 S = + + + + 3 3 2 2 2 2 a + b 2a b 2ab 2a b 2ab
(a +b)3 + ab(a +b) 39
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 25 a + b 1 S
, Vì ab (a + b) ( )2 2 4 = ab
=> S 20 , Dấu bằng khi a = b = ( + 4 2 a + b) (a b)3 3 + 4 1 Bài 26: Cho a,b,c>0 và 2 2 2
a + b + c = 1, Tìm Min của: P = a + b + c + abc HD : 1 1 1
Dấu bằng khi a = b = c = , Khi đó : = 3 3,a = 3 abc 3 1 1 Tìm m sao cho :
= a = b = c = m = . m abc 3 1 8 abc 8 4
P = a + b + c + + 4 + 9abc 9abc 9abc 9abc 4 8 2 2 1 P + , Ta lại có : 2 2 2
a + b + c 3 (abc) = 1 3 (abc) 2 2 2 3 3 = a b c 3 9abc 27 9 3 1 3 1 = 9abc = = = 4 8 12 = P + = = 4 3 3 3 3 9abc 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 Bài 27: Cho x,y,z>0 và
+ + = 4 , Tìm Max của : P = + + x y z
2x + y + z
x + 2y + z x + y + 2z HD : 3 1 1 1 1 1
Dấu bằng xảy ra khi x = y = z =
= 2x = y + z = = + + + 4 2x + y + z x y z x 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Nên : P + + + + + + + + + + + 16 x x y z 16 x y y z 16 x y z z 1 4 4 4 + + =1 16 x y z
Bài 28 : Cho a,b,c là các số thực dương và a + b + c = 1, CMR: a + b + b + c + c + a 6 HD : 1 2
Dấu bằng khi : a = b = c =
= a + b = b + c = c + a = 3 3 2 + a +b Khi đó ta có 2 2 2 2 :
(a +b) + (b+c) + (c +a) 2 => (a +b) 3 , 3 3 3 3 2 2 2 2 + a + b + b + c + c + a Tương tự ta có : 3 3 3 VT + + = 2 2 2 2
Bài 29: Cho a,b,c dương thỏa mãn: a+b+c=1, Tìm Max của 3 3 3
A = a + b + b + c + c + a HD : 1 2
Dấu bằng khi : a = b = c =
= a + b = b + c = c + a = 3 3 2 2 a + b + + 9 2 2 9 Nên : 3 3 3 3 3 a + b = (a +b) 3 . . . 4 3 3 3 3 Tương tự ta có : 2 2 2 2 b + c + + a + c + + 9 9 3 3 3 3 3 3 b + c . và 3 3 c + a . 4 3 4 3 40
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
9 2(a + b + c) + 4
Cộng theo vế ta được : 3 3 P . = 18 4 3 2 2 2 x y z 3
Bài 30: Cho x,y,z>0 và xyz=1, CMR: + + 1+ y 1+ z 1+ x 2 HD : 2 x 1 1+ y
Ta có Dấu bằng khi x = y = z = 1 = = = = = 4 1+ y 2 2 + 2 + 2 + Khi đó x 1 y y 1 z z 1 x : +
x , tương tự ta có : + y và + z 1+ y 4 1+ z 4 1+ x 4 1 3 3 3 6
Cộng theo vế ta được : P ( x + y + z) − ( x + y + z) −
= (x + y + z) − = 4 4 4 4 4
Bài 31: Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn : xy + yz + zx = 5 , Tìm Min của : 2 2 2
P = 3x + 3y + z HD : 2 2
x + y 2xy 1 Ta có : 2 2
2x + z 2xz , Cộng theo vế ta được : P 2(xy + yz + zx) =10 2 1 2 2 2 y + z 2 yz 2 Dấu bằng khi x=y=1, z=2
Bài 32: Cho x,y là các số thực dương thỏa mãn : x + y + xy = 8 , Tìm Min của : 2 2
P = x + y HD : (x + y)2 2 t
Ta có : 8 = x + y + xy x + y + =
+ t 8 = t 8 − hoặc t 4 4 4 x + y Hay ( x + y) ( )2 2 2 2
16 = P = x + y = 8 2 x + y = 4
Dấu bằng khi x = y = x = y = 2
x + y + xy = 8
Bài 33 : Cho a,b là các số thực thỏa mãn : 0 a 3,8 b 11 và a+b=11,
Tìm Max của : P = ab HD :
Dấu bằng khi a = 3,b = 8 = 8a = 3b 2 2 1 1 8a + 3b 1 1 33 + 5.3 Khi đó 2 2 : P = (8 .a3b) ( ) . = . 3
(a +b)+5a (3.11+5a) ( ) = 24 24 24 4 96 96 96
Bài 34: Cho x,y > 0, x + y 6,CMR : A = x ( x − ) 1 + y ( y − ) 1 12 HD :
Dấu bằng khi x = y = 3 Khi đó : A = ( 2 2
x + y ) − ( x + y) = ( 2 x + ) + ( 2 9
y + 9) − ( x + y) −18
A 2.3x + 2.3y − ( x + y) −18 => A 6( x + y) −(x + y) −18 = 5(x + y) −18 30 −18 =12
Bài 35: Cho a,b,c > 0, Thỏa mãn : a + b + c =1,CMR : S = a + b + b + c + c + a 16 HD : 1 2
Dấu bằng khi a = b = c =
= a + b = b + c = c + a = 3 3 41
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 2 + a +b Co si ngượ 2 c ta có : (a +b) 3 , 3 2 2 2 + b + c + c + a Tương tự 2 2 ta có : (b + c) 3 (c + a) 3 , 3 2 3 2 2
2(a + b + c) 3
Cộng theo vế ta được : .S 1+ = 2 = S 2 = 6 3 2 2
Bài 36: Cho a,b > 1, CMR: a b −1 + b a −1 ab HD :
Dấu bằng khi : b −1 = a −1 =1 = a = b = 2 Co si ngược ta có : ( − ) (b− )1+1 ab a b 1 .1 . a = 2 2 ( − ) a −1+1 ab b a 1 .1 . b = 2 2
Cộng theo vế ta được : ( − ) ab ab a
b 1 + b (a − ) 1 + = ab 2 2 2 2 2 x y z
Bài 37: Cho x,y,z > 0, x+y+z = 2, tìm GTNN của: P = + + y + z x + z x + y HD : 2
Dáu bằng khi x = y = z = 3 2 + Khi đó x 1 y z : = = = k = 4 y + z 3 k 2 x y + z Nên : +
x , Tương tự ta có : y + z 4 x + y + z x + y + z P +
x + y + z = P =1 2 2 2 2 x y Bài 38: Cho x,y > 1, CMR : + 8 y −1 x −1 HD :
Dấu bằng khi x = y , Thay vào ta được : 2 2 x x +
= 8 = x = y = 2 x −1 x − 1 2 2 Khi đó x y : + 4( y − ) 1 4x
+ 4 x −1 4y y − và ( ) 1 x − 1
VT 4( x + y) − 4( y − ) 1 − 4(x − ) 1 = 8 a b c 3 3
Bài 39: Cho a,b,c > 0, thỏa mãn: 2 2 2
a + b + c = 1, CMR: + + 2 2 2 2 2 2 b + c a + c a + b 2 HD : 1
Dấu bằng khi a = b = c = 3 42
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 2 2 2 2 4 4 2 Khi đó a a a .2a 2a 27a a 3 3 : = = = 2 2 b + c (1−a )2 ( 2 1− a )( 2 1− a ) 2 2 8 .2a 4 2 27 Tương tự 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 ta có : 2 2 2 VT a . + b . + c . = ( 2 2 2
a + b + c ) = 2 2 2 2 2 43
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức
BẤT ĐẲNG THỨC CHƯA SOẠN Bài 1 : Cho 2 2 2 2
a + b = x + ,
y a + b = x + y , Chứng minh rằng : 2010 2010 2010 2010 a + b = x + y HD:
Từ a + b = x + y = a − x = y − b Mặt khác: 2 2 2 2 2 2 2 2
a + b = x + y = a − x = y − b = (a + x)(a − x) = (y + b)(y − b) a − x =
= (a + x)(a − x) = (y + b)(a − x) 0,(1) = a + x = b + , y (2) a − x = 0 2010 2010 2010 2010 Với
= b = y = a + b = x + y
a + b = x + y
a + b = x + y 2010 2010 2010 2010 Với
= a = y = b = c = a + b = x + y
a + x = b + y Bài 2 : Cho x+y=2, CMR: 2011 2011 2012 2012 x + y x + y HD : Xét ( 2012 2012 x + y )−( 2011 2011 x + y ) 2011 = x (x − ) 2011 1 + y (y − ) 1 = 2011 x ( − y) 2011 1 + y (y − )1 Do x-1=1-y Vậy ( 2012 2012 x + y )−( 2011 2011 x + y ) =( − y)( 2011 2011 1 x − y ) Giả sử : 2011 2011
x y = x y
và x 1 y do đó : ( − y)( 2011 2011 1 x − y ) 0(dpcm) 1 Tương tự nếu lấy 2011 2011
y x = y x
và y 1 x đo đó ( − y)( 2011 2011 1 x − y ) 0(dpcm) dấu = khi x=y=1 a b c Bài 3: CMR: A = + + 3
b + c − a
a + c − b a + b − c HD:
Đặt b + c − a = x 0,c + a − b = y 0,a + b − c = z 0 , từ đó: y − z x + z x + y a = , b = , c = thay vào A ta được 2 2 2 y + z x + z x + y 1 y x x z y z 1 A = + + = + + + + + (2 + 2 + 2) 3 2x 2 y 2z 2 x y z x z y 2
Bài 4: CMR: nếu a, b, c là độ dài các cạnh của 1 tam giác thì A<0 HD: Ta có:
b + c − a 0
b + c + a 0
b − c − a 0
b − c + a 0 Vậy A<0 a b c d
Bài 5: Cho a,b,c,d > 0, Chứng tỏ rằng: N = + + + a + b + c b + c + d c + d + a d + a + có giá trị không b nguyên
Bài 6: Tìm các số nguyên x, y, z thỏa mãn: 2 2 2
x + y + z xy + 3y + 2z − 4 HD: 2 2 y y 2 Ta có gt=> x − + 3 −1 + (z − ) 1 0 => 2 2 44
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 1 1 1 Bài 7: Cho a, ,
b c 0 và a + b + c 1, CMR: + + 9 2 2 2 a + 2bc b + 2ac c + 2ab HD: Đặt 2 2 2
x = a + 2b ,
c y = b + 2a ,
c z = c + 2ab Khi đó x+y+z= ( 1 1 1
a + b + c)2 1 và +
+ 9 với x + y + z 1 x y z 1 1 1 1 Áp dụng Co si cho 3 số : 3
x + y + z 3 xyz ta được + + 33 x y z xyz 1 1 1 1
=> ( x + y + z) 1 1 1 + + 9
mà x + y + z 1 =>
+ + 9 đảng thức xảy ra khi x=y=z= x y z x y z 3
Bài 8: Cho a, b, c là các số không âm và không lớn hơn 2 thỏa mãn: a+b+c=3. CMR: 2 2 2
a + b + c 5 HD:
Theo giả thiết ta có: (2 − x)(2 −b)(2 − c) 0 = 8 + 2(ab + bc + ca) − 4(a + b + c) − abc 0 Cộng hai vế với 2 2 2
a + b + c sau đó thu gọn ta được: (a +b+c)2 2 2 2 2 2 2
a + b + c + abc + 4 = a + b + c + abc 5, Mà 2 2 2
abc 0 = a + b + c 5
Đẳng thức xảy ra khi trong ba số a,b,c có 1 số bằng 0, một số bằng 2 và 1 số bằng 1
Bài 9: Cho x,y >0 thỏa mãn: 2 3 3 4
x + y x + y , CMR : 3 3
x + y 2 , dấu bằng xảy ra khi nào ? HD:
Áp dụng BĐT cô si cho hai số dương ta có: 3 2 2 4 3
x + x 2x , y + y 2y do vậy 3 2 4 2 3 2
x + x + y + y x + y = x + y ( 2 3 3 4
x + y − x − y ) 2 3 2 2 x + y Do 2 3 3 4
x + y x + y . Mà 2 4 2 x +1 2 ,
x y +1 2y Nên 2 4 2 2 3 2 3 3 4
1+ x +1+ y 2x + 2y 2x + 2y x + y + x + y do vậy 3 3
x + y 2 dấu bằng khi x=y=1 Bài 10: CM: 2 2
x + y − xy x + y −1 HD: 2 2
x + y − xy x + y − = ( 2 2 1
2 x + y − xy) 2(x + y − ) 1 => 2 2
2x + 2y − 2xy 2x + 2y − 2 2 2 2
=> ( x − y) + ( x − ) 1 + ( y − ) 1
0 luôn đúng, dấu bằng khi x=y=1 4 −
Bài 11: CMR không có giá trị nào của x thỏa mãn: − 5 0 2 x − 2x + 2 HD: 4 − 4 − Ta có: − − ( mà 0, 5 0 => đpcm x − ) 5 2 1 +1 (x − )2 1 +1
Bài 12: Cho a, b là các số dương thỏa mãn: 3 3 5 5
a + b = a + b , CMR: 2 2
a + b 1+ ab HD: Ta có: 2 2 2 2
a + b + ab = a + b − ab = (a + b)( 2 2
a + b − ab) 3 3 1 1
a + b = a + b a + b => ( 3 3 a + b )( 3 3
a + b ) (a + b)( 5 5 a + b ) 3 3 5 5
= 2a b ab + a b => ab ( 4 2 2 4
a − a b + b ) = ab( 2 2 2 0
a − b ) 0 luôn đúng do a, b dương
Bài 13: Cho các số a, b, c0; 1 , CMR: 2 3
a + b + c − ab − bc − ca 1 HD: Do a,b,c 0;
1 Nên (1− a)(1−b)(1− c) 0 =1− a −b − c + ab + bc + ca − abc 0
=> a + b + c − ab − bc − ca 1− abc 1, Do a,b,c0; 1 nên 2 3 b ,
b c c , từ đó ta có: 2 3
a + b + c − ab − bc − ca a + b + c − ab − bc − ca 1 45
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 1 1 4
Bài 14: Cho a>0, b>0 và a+b=1, CMR: + a +1 b + 1 3 HD: 1 1 4 +
= 3(a +1+ b + ) 1 4(a + ) 1 (b + ) 1
9 4 ab + a + b +1 do a+b=1 a +1 b + => ( ) 1 3
=> ab + = ab = (a + b)2 9 4 8 1 4
4ab => (a −b)2 0 đúng với mọi a, b a + b c + b
Bài 15: Cho a, b, c là ba số dương và 1 1 2 + = , CMR : + 4 a c b 2a − b 2c − b HD: 1 1 2 ab bc
+ = = 2a − b = và 2c − b = a c b c a a + b c + b a + b c + b c c a a ac => 4 + = + = + + + 4 4 2 2a − b 2c + b ab bc b a b c b c a
Áp dụng BĐT Cô si cho 3 số a, b, c dương , dấu bằng khi a=b=c
Bài 16: Cho a,b,c là các số thỏa mãn hai điều kiện sau: 2 0 a ,
b ax + bx + c = 0 vô nghiệm, a + b + c CMR: = 3 b − a HD: a + b + c
Do 0 a b nên ta có
3 = a + b + x 3(b − a) = 4a + c 2b b − (*) a Vì phương trình 2
ax + bx + c = 0 vô nghiệm nên 2 b 4ac 2 2 2 b b b a + b + c => c
= 4a + c 4a + 2 4a
= 2b từ đó suy ra: (*) đúng hay 3 4a 4a 4a b − a
Bài 17: Cho a, b là các số nguyên dương thỏa mãn : 3 3
a + b = a − b , CMR : 2 2
a + b + ab 1
Bài 18: Cho x,y,z là ba cạnh của 1 tam giác: CMR: 2 2 A = x y − ( 2 2 2 4
x + y + z ) 0 Bài 19: CMR : 4 2
x + 2012x − 2011x + 2012 0 với mọi x
Bài 20: Cho a, b, c, d thỏa mãn: 2 − a, , b ,
c d 5 và a + 2b + 3c + 5d =10 . CMR: 2 2 2 2
a + 2b + 3c + 5d 140 1 1 1 1 1 1 1 Bài 21 : CMR : + + + + 2 2 2 x yz y xz z
xy 2 xy yz xz + + + HD : + + 2 2 1 1 1 1 1 yz xz xy
Ta có : x + yz 2 x yz = 2x yz Khi đó : VT + + = 2
x yz y xz z xy 2 xyz
y + z x + z x + y + + 1 2 2
2 1 x + y + z 1 1 1 1 VT = + + 2 xyz
2 xyz 2 yz zx xy , Dấu ‘’=’’ khi x=y=z 1 1 1 1
Bài 22 : CHứng minh rằng nếu : x + = x + = x + = ... = x +
x = x = x = .... = x 1 2 3 n x x x x , thì 1 2 3 n 2 3 4 1
hoặc : x .x .x ....x = 1 1 2 3 n a + b b + c c + d d + a
Bài 23 : Cho a, b, c, d >0, CMR : 2 + + + 3
a + b + c b + c + d c + d + a d + a + b 46
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 1 1 1
Bài 24: Chứng minh rằng nếu a, b, c là các sớ thực thỏa mãn: + + = 2 + + = a b c và a b c abc , thì 1 1 1 + + = 2 2 2 2 a b c
Bài 25: Cho a + b + c = 2 p , CMR: 2 2 2
2bc + b + c − a = 4p( p − a) 3 Bài 26: Cho 2 2 3 3 x + y = , a x + y = ,
b x + y = c , CMR: a − 3ab + 2c = 0 2 2 2 4 4 4
Bài 27: Cho a + b + c = 0,a + b + c = 1 , Tính giá trị của: M = a + b + c
Bài 28: Cho a, b, c đôi 1 khác nhau thỏa mãn: ( + + )2 2 2 2
a b c = a + b + c , CMR: 2 2 2 a b c + + =1 2 2 2 a
+ 2bc b + 2ac c + 2ab 1 1 1
b + c c + a a + b Bài 29: Cho + + = 0 M = + + a b c , tính giá trị của: a b c a b c 2 2 2 a b c Bài 30: Cho + + = 1 + + = 0
b + c c + a a + b
, CMR: b + c c + a a+b 2 2 2 . a x + . b y + . c z Bài 31: Cho . a x + . b y + .
c z = 0 , Rút gọn: A =
bc(y − z)2 + ac(x − z)2 + ab(x − y)2 a b c
Bài 32: Cho a + b + c = 0, x + y + z = 0, + + = 0
a x + by + cz = x y z , CMR: 2 2 2 . 0 a b c a b c Bài 33: Cho + + = 0 + + = 0
b − c c − a a − b , CMR: (
b − c)2 (c − a)2 (a − b)2
Bài 34: Chứng minh rằng nếu: x + y + z = 3 − thì: 3 3 3 Bài 35: C ( x + ) 1 + (y + ) 1 + (z + ) 1 = 3(x + ) 1 (y + ) 1 (z + )
1 ho a ,b thỏa mãn: a 1,b 1 , CMR: 1 1 2 + 2 2 1 + a 1+ b 1+ ab 2018 2018 2020 2020 2 2
Bài 36: Cho a, b không âm thỏa mãn: a + b = a + b
, Tìm GTLN của: P = (a + ) 1 + (b + ) 1 HD: Ta có: 2 2
P = a + b + 2(a + b) + 2 4 + 2(a + b) , 2
Bài 37: Cho a, b, c là các số thỏa mãn hai điều kiện 0 a , b .
a x + bx + c = 0 vô nghiệm, a + b + c Chứng minh rằng: 3 b − a HD: a + b + c
Do 0 a b , nên bất đẳng thức:
3 = a + b + c 3(b − a) = 4a + c 2b b − a 2 Vì phương trình: 2
ax + bx + c = 0 vô nghiệm nên b 4ac 2 2 2 b b b = c
= 4a + c 4a + 2 4 . a = 2b 4a 4a 4a a + b + c Từ đó suy ra: 3 b − a 47
GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức