73 trang 6 lượt tải

Chuyên Đề Bất Đẳng Thức Bồi Dưỡng HSG Toán 8 Giải Chi Tiết

12

Cộng hai vế của BĐT với cùng một số. Nhân hai vế của BĐT với cùng một số. Cộng hai BĐT cùng chiều. Nhân hai BĐT cùng chiều. Nâng hai vế của BĐT lên một lũy thừa. Khai căn hai vế của một BĐT. Tính chất giá trị tuyệt đối. Tài liệu giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao. Mời đọc đón xem!

Chủ đề: Tài liệu chung Toán 8 271 tài liệu

Môn: Toán 8 2.2 K tài liệu

Tác giả:

Profile

Mỹ Châu

1 tháng trước
Danh sách Quiz
/73
Trang 1
CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC
A. LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa:
- Các mệnh đề “ A > B ” hoặc “ A < B ” được gọi là bất đẳng thức. (BĐT)
- Các mệnh đề: “
AB
” hoặc “
AB
“ được gọi là các bất đẳng thức suy rộng.
2. Bất đẳng thức hệ quả và bất đẳng thức tương đương:
- Nếu từ BĐT A > B mà ta biến đổi được thành C > D thì ta nói rằng BĐT C > D là BĐT hệ quả
của BĐT A > B. kí hiệu A > B => C > D
- Nếu BĐT A > B là hệ quả của BĐT C > D và C > D cũng là BĐT hệ quả của BĐT A > B thì ta
nói hai BĐT trên tương đương với nhau, Kí hiệu A > B <=> C > D
3. Tính chất:
-
A B A C B C = − −
( Cộng hai vế của BĐT với cùng một số)
-
( )
( )
. . , 0
. . , 0
A B AC B C C
A B AC B C C
=
=
(Nhân hai vế của BĐT với cùng một số)
-
,A B C D A C B D = + +
( Cộng hai BĐT cùng chiều)
-
( )
, , , 0A B C D AC BD A C =
(Nhân hai BĐT cùng chiều)
-
2 1 2 1nn
A B A B
++
=
hoặc
22nn
AB
Với A > 0, (Nâng hai vế của BĐT lên một lũy thừa)
-
(Khai căn hai vế của một BĐT)
-
a b a b a b− + +
(Tính chất giá trị tuyệt đối).
B. LUYỆN TẬP
Dạng 1: SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA: A > B TA XÉT HIỆU A – B > 0, CHÚ Ý BĐT
2
0A
Bài 1: CMR : với mọi x, y, z thì
2 2 2
x y z xy yz zx+ + + +
HD:
Xét hiệu ta có:
( )
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2
2 0 0x y z xy yz zx x y y z z x+ + − − − = − + − + −
Dấu bằng xảy ra khi x = y = z
Bài 2: CMR : với mọi x, y, z thì
2 2 2
2 2 2x y z xy yz zx+ + + −
HD:
Xét hiệu ta có:
( )
2
2 2 2
2 2 2 0 0x y z xy yz zx x y z+ + − − + = − +
Dấu bằng xảy ra khi x + z = y
Bài 3: CMR : với mọi x, y, z thì
( )
2 2 2
32x y z x y z+ + + + +
HD:
Xét hiệu ta có:
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 1 1 0x y z− + − + −
, Dấu bằng khi x = y = z = 1
Bài 4: CMR : với mọi a, b ta có :
2
22
22
a b a b++



HD :
Xét hiệu ta có :
2 2 2 2
2
0
24
a b a ab b+ + +
−
<=>
( )
2 2 2 2
2 2 2 0a b a ab b+ − − +
( )
2
22
2 0 0a ab b a b= + + = +
, Dấu bằng khi a = - b
Trang 2
Bài 5: CMR : với mọi a, b, c ta có :
2
2 2 2
33
a b c a b c+ + + +



HD:
Ta có:
2 2 2 2 2 2
2 2 2
39
a b c a b c ab bc ac+ + + + + + +
( )
2 2 2 2 2 2
3 3 3 2 2 2 0a b c a b c ab bc ac= + + − + + + + +
2 2 2
2 2 2 2 2 2 0a b c ab bc ac= + + − − −
( ) ( ) ( )
2 2 2
0a b b c c a= − + − + −
, Dấu bằng khi a = b = c
Bài 6: CMR :
( )
2
2 2 2
3
abc
abc
++
+ +
HD:
Ta có:
2 2 2 2 2 2
3 3 3 2 2 2a b c a b c ab bc ca+ + + + + + +
2 2 2
2 2 2 2 2 2 0a b c ab bc ac= + + − − −
( ) ( ) ( )
2 2 2
0a b b c c a= − + − + −
, Dấu bằng khi a = b = c
Bài 7: CMR :
( )
2
22
2
2
ab
a b ab
+
+
HD:
Ta chứng minh:
( )
2
22
2
ab
ab
+
+
2 2 2 2
2 2 2a b a ab b= + + +
( )
2
22
2 0 0a b ab a b= + − = −
, Dấu bằng khi a = b
Ta chứng minh
( )
2
2
2
ab
ab
+
( )
2
22
2 4 0a ab b ab a b= + + = −
, Dấu bằng khi a = b
Bài 8: Cho a, b, c là các số thực. CMR:
2
2
4
b
a ab+
HD:
Ta có:
( )
2
22
4 4 2 0a b ab a b+ − = −
Dấu bằng khi b = 2a
Bài 9: Cho a, b, c là các số thực. CMR :
22
1a b ab a b+ + + +
HD:
Ta có:
22
10a b ab a b+ + − − −
22
2 2 2 2 2 2 0a b ab a b= + + − − −
( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2 2 1 2 1 0a ab b a a b b= − + + − + + − +
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 1 0a b a b= − + − + −
.
Dấu bằng khi a = b = 1
Bài 10: Cho a, b, c, d là các số thực . CMR :
( )
2 2 2 2 2
a b c d e a b c d e+ + + + + + +
HD:
Ta có:
2 2 2 2 2
0a b c d e ab ac ad ae+ + + + − − − −
2 2 2 2 2
4 4 4 4 4 4 4 4 4 0a b c d e ab ac ad ae= + + + + − − − −
=
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2 2
4 4 4 4 4 4 4 4 0a ab b a ac c a ad d a ae e− + + − + + − + + − +
=
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2 2 2 2 0a b a c a d a e− + − + − + −
Dấu bằng xảy ra khi a = 2b = 2c = 2d = 2e
Trang 3
Bài 11: Cho a, b thỏa mãn: a + b = 1, a > 0, b > 0. CMR:
11
1 1 9
ab
+ +
HD:
Ta có: VT
1 1 2 2 4 2 1
a b a b b a a b
a b a b b a
++
= + + = + + = + + +
5 2 5 2.2 9
ab
ba

= + + + =


. Dấu bằng khi
22
1
2
ab
a b a b
ba
= = + = = =
Bài 12: Cho
2
, 0, :
2
xy
x y CMR xy
+




HD:
Ta có:
( )
2
2 2 2 2
2 4 2 0 0x y xy xy x xy y x y+ + = − + = −
, Dấu bằng khi x = y
Bài 13: Cho a > 0, b > 0. CMR:
3 3 2 2
a b a b ab+ +
HD:
Ta có:
( ) ( )
( ) ( )
3 2 3 2 2 2
00a a b b ab a a b b a b− + − = − − −
=
( )
( )
( ) ( )
2
22
00a b a b a b a b− − = − +
Dấu bằng khi a = b
Bài 14: Cho
1,ab
CMR:
22
1 1 2
1 1 1a b ab
+
+ + +
HD:
Xét hiệu:
22
1 1 1 1
0
1 1 1 1a ab b ab
− + −
+ + + +
( )
( )
( )
( )
( )
( )
22
0
1 1 1 1
a b a b a b
a ab b ab
−−
= +
+ + + +
=
( ) ( )
( )
( )( )
2
22
1
0
11
b a ab
ab a b a
−−
+ + +
, Dấu bằng khi a = b hoặc a.b = 1
Bài 15: CMR : với mọi số thực x, y, z, t ta luôn có :
( )
2 2 2 2
x y z t x y z t+ + + + +
HD:
Ta có:
2 2 2 2
0x y z t xy xz xt+ + + − − −
=
2 2 2 2
4 4 4 4 4 4 4 0x y z t xy xz xt+ + + − − −
=
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2
4 4 4 4 4 4 0x xy y x xz z x xt t x− + + − + + − + +
Dấu bằng khi x = 2y = 2z = 2t = 0
Bài 17: CMR :
2
22
2
4
a
b c ab ac bc+ + − +
HD:
Ta có:
2 2 2
4 4 4 4 8 0a b c ab ac bc+ + − + −
( )
( )
2 2 2
4 4 2 0a a b c b c bc= − − + + −
=
( ) ( )
2
2
4 4 0a a b c b c− − + −
=
( )
2
2 2 0aac− +
Bài 19: CMR :
2 2 2
2 2 2x y z xy zx yz+ + − +
HD:
Ta có:
2 2 2
2 2 2 0x y z xy yz zx+ + − − +
( )
2 2 2
2 2 0= − − + − + x x y z y yz z
( ) ( ) ( )
22
2
2 0 0x x y z y z x y z− − + − = − +
Bài 20: CMR :
( )
4 4 4 2
1 2 1x y z x xy x z+ + + − − +
HD:
Ta có:
4 4 4 2 2 2
1 2 2 2 2 0x y z x y x xz x+ + + − + − −
( ) ( ) ( )
4 4 2 2 2 2 2
2 2 2 1 0x y x y x xz z x x+ − + − + + − +
( )
( ) ( )
2
22
22
10x y x z x− + − + −
, Dấu bằng khi x = z = 1, y =
1
Trang 4
Bài 21: CMR :
2 2 2
a b c ab bc ca+ + + +
HD:
Ta có :
2 2 2
0a b c ab bc ca+ + − − −
2 2 2
2 2 2 2 2 2 0a b c ab bc ca= + + − − −
( ) ( ) ( )
2 2 2
0a b b c c a= − + − + −
Bài 22: CMR :
22
a b ab+
HD:
Ta có:
22
0a b ab+ −
2
2 2 2
2
33
2 . 0 0
2 4 4 2 4
b b b b b
a a a

= − + + = − +


Bài 23: CMR :
22
0x xy y+ +
HD:
Ta có:
2
2 2 2
2
33
2 . 0 0
2 4 4 2 4
y y y y y
x x x

+ + + = + +


Bài 24: CMR :
( )( )( )
22
0a a b a c a b c b c+ + + + +
HD:
( )( )( )
22
0a a b c a b a c b c= + + + + +
=
( )( )
2 2 2 2
0a ab ac a ab ac bc b c+ + + + + +
Đặt
2
a ab ac x
bc y
+ + =
=
, Khi đó ta có:
( )
2 2 2
00x x y y x xy y+ + = + +
Bài 25: CMR :
( )( ) ( )
2
2 2 4 4 3 3
a b a b a b+ + +
HD:
Ta có:
6 2 4 4 2 6 6 3 3 6
2a a b a b b a a b b+ + + + +
=
( ) ( )
4 2 3 3 2 4 3 3
0a b a b a b a b− + −
=
( ) ( )
3 2 2 3
0a b a b a b b a− + −
=
( )
( )
( )
2
3 2 2 3 2 2
00a b a b a b a b a b− − = −
Bài 26: CMR :
( )
( ) ( )
3 3 4 4
2a b a b a b+ + +
HD:
Ta có:
4 3 3 4 4 4
22a ab a b b a b+ + + +
=
4 3 4 3
0a ab b a b− + −
=
( ) ( )
33
0a a b b b a− + −
=
( )
( ) ( )
( )
2
3 3 2 2
00a b a b a b a ab b− − = − + +
Bài 27: Cho a, b > 0, CMR :
( )
( )
( )
3 3 2 2
2 a b a b a b+ + +
HD:
Ta có:
3 3 3 2 2 3
22a b a ab a b b+ + + +
=
3 2 3 2
0a a b b ab− + −
=
( ) ( )
22
0a a b b b a− + −
=
( ) ( )
2
0a b a b− +
Bài 28: Cho a, b > 0, CMR:
( )
( )
3
33
4 a b a b+ +
HD:
Ta có:
3 3 3 2 2 3
4 4 3 3a b a a b ab b+ + + +
=
3 2 3 2
3 3 3 3 0a a b b ab− + −
=
( ) ( ) ( )
( )
2 2 2 2
3 3 0 3 0a a b b b a a b a b− + − = − −
=
( ) ( )
2
30a b a b− +
Bài 29: Cho a, b, c > 0, CMR:
( )
33
a b abc ab a b c+ + + +
Trang 5
HD:
Ta có:
3 3 2 2
a b abc a b ab abc+ + + +
=
3 2 3 2
0a a b b ab− + −
=
( ) ( )
22
0a a b b b a− + −
=
( ) ( )
2
0a b a b− +
Bài 30: CMR:
( )
( )
2
2
22
a b ab a b+ +
HD:
Ta có:
( )
4 2 2 4 2 2 3 2 2 3
2 2 2a a b b ab a ab b a b a b ab+ + + + = + +
=
( ) ( )
4 3 4 3
0a a b b ab− + −
=
( ) ( )
33
0a a b b b a− + −
=
( )
( ) ( )
( )
2
3 3 2 2
00a b a b a b a ab b− − = − + +
Bài 31: CMR:
( )
2 2 2
a b c a b c+ + +
HD:
Ta có:
2 2 2
0a b c ab ac+ + − −
=
2 2 2
4 4 4 4 4 0a b c ab ac+ + − −
=
( ) ( )
2 2 2 2 2
4 4 4 4 2 0a ab b a ac c a− + + − + +
=
( ) ( )
22
2
2 2 2 0a b a c a− + − +
Bài 32: CMR:
( )
2 2 2 2
a b c d a b c d+ + + + +
HD:
Ta có:
2 2 2 2
0a b c d ab ac ad+ + + − − −
=
2 2 2 2
4 4 4 4 4 4 4 0a b c d ab ac ad+ + + − − −
=
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2
4 4 4 4 4 4 0a ab b a ac c a ad d a− + + − + + − + +
=
( ) ( ) ( )
2 2 2
2
2 2 2 0a b a c a d a− + − + − +
Bài 33: CMR:
( )
2 2 2
3
4
a b c a b c+ + + + +
HD:
Ta có:
( ) ( ) ( )
2 2 2
3
0
4
a a b b c c− + − + − +
=
2 2 2
1 1 1
0
4 4 4
a a b b c c
− + + − + + − +
=
2 2 2
1 1 1
0
2 2 2
abc
− + − + −
Bài 34: CMR:
44
24a b ab+ +
HD:
Ta có:
44
4 2 0a b ab+ − +
=
4 4 2 2 2 2
2 2 4 2 0a b a b a b ab+ − + − +
=
( ) ( )
2
2 2 2 2
2 2 1 0a b a b ab− + − +
=
( )
( )
2
2
22
2 1 0a b ab− + −
Bài 35: CMR:
4
4 5 0xx− +
HD:
Ta có:
( ) ( )
4 2 2
4 4 4 4 1 0x x x x− + + − +
=
( )
( )
2
2
2
2 2 1 0xx− + −
Không xảy ra dấu bằng.
Bài 36: CMR:
4
1
0
2
xx− +
HD:
Ta có:
4 2 2
11
0
44
x x x x
− + + − +
=
22
2
11
0
22
xx
− + −
Bài 37: CMR:
32
4 1 3 ( 0)x x x x+ +
HD:
Ta có:
32
3 4 1 0x x x− + +
=
( )
22
4 1 0x x x x− + + +
=
( )
2
2
2 1 0x x x− + +
, Vì x > 0
Trang 6
Bài 39: CMR:
( )( )( )( )
1 2 3 4 1x x x x− − − − −
HD:
( )( )( )( )
1 4 2 3 1 0x x x x− − − − +
=
( )( )
22
5 4 5 6 1 0x x x x− + − + +
Đặt
2
55x x t− + =
, Khi đó ta có:
( )( )
1 1 1 0tt− + +
=
2
0t
, Dấu bằng khi t = 0
Bài 40: CMR:
432
10x x x x+ + + +
HD:
Ta có :
( ) ( )
32
1 1 0x x x x+ + + +
=
( )
( )
32
1 1 0x x x+ + +
=
( )
( )
2
22
1 1 0x x x x+ − + +
( ĐPCM)
Bài 41: CMR :
2 2 2
4 4 4 8 4a b c ab bc ac+ + + −
HD:
Ta có:
2 2 2
4 4 4 8 4 0a b c ab bc ac+ + − − +
=
( ) ( )
22
2
2 2 2. .2 2.2 .2 2. .2 0a b c a b b c a c+ + − − +
=
( )
2
0a b c− +
Bài 42: CMR :
( )
( ) ( ) ( )
3 3 3
3 3 3
8 a b c a b b c c a+ + + + + + +
với a, b, c >0
HD:
Ta có:
3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2
8 8 8 2 2 2 3 3 3 3 3 3a b c a b c a b ab b c bc a c ac+ + + + + + + + + +
=
3 3 3 2 2 2 2 2 2
6 6 6 3 3 3 3 3 3 0a b c a b ab b c bc a c ac+ + − − − − − −
=
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 3
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 0a a b a a c b b a b b c c bc c ac− + − + − + − + − + −
=
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3 3 0a a b a a c b b a b b c c c b c c a− + − + − + − + − + −
=
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 2 2 2 2 2
3 3 3 0a b a b a c a c b c b c− − + − − + − −
=
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
22
3 3 3 0a b a b a c a c b c b c− + + − + + − +
Bài 43: CMR:
( )
3
3 3 3
24a b c a b c abc+ + + + +
với a,b,c>0
HD:
Ta có:
( )( )( )
3 3 3 3 3 3
3 24a b c a b b c c a a b c abc+ + + + + + + + +
=
( )( )( )
3 24a b b c c a abc+ + +
Vì
2
2
2
a b ab
b c bc
c a ca
+
+
+
, Nhân theo vế ta được ĐPCM
Bài 44: CMR: Với mọi x, y # 0 ta có:
22
22
43
x y x y
y x y x

+ + +


HD:
Ta có:
( )
4 4 2 2 2 2
43x y x y xy x y+ + +
=
( ) ( ) ( )
2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 0x y xy x y x y xy x y+ − + + − +
=
( )( ) ( )
2 2 2 2 2 2
20x y x y xy xy xy x y+ + − + − −
=
( )( )
2 2 2 2
20x y xy x y xy+ − + −
=
( )
( )
2
22
0x y x xy y− − +
Bài 45: CMR : Nếu
1ab+
, thì
33
1
4
ab+
HD:
Ta có:
3 2 3
1 1 3 3b a b a a a − = − + −
=
2
3 3 2
1 1 1
3 3 1 3
2 4 4
a b a a a

+ − + = − +


Trang 7
Bài 46: Cho a, b, c > 0, CMR :
2 2 2
ab bc ca a b c+ + + +
HD:
Ta có:
2 2 2
0a b c ab bc ca+ + − − −
=
( ) ( ) ( )
2 2 2
0a b b c c a− + − + −
Bài 47: CMR :
2
2
1
0
1
aa
aa
++
−+
HD:
Ta có:
22
13
1 0,
44
a a a a a

+ + = + + +


<=>
22
13
1 0,
44
a a a a a

− + = − + +


Bài 48: CMR :
( )( )( )
2
4 1 1 0a a b a a b b+ + + + +
HD:
Ta có:
( )( )( )
2
4 1 1 0a a b a a b b+ + + + +
=
( )( )
2 2 2
40a ab a a ab a b b+ + + + + +
.
Đặt
2
a ab a x
by
+ + =
=
Khi đó:
=
( )
2
40x x y y+ +
=
22
4 4 0x xy y+ +
=
( )
2
20xy+
,
Dấu bằng khi
( )
2
21
2 2 2 2
21
aa
x y a ab a b b
a
+
= − = + + = − = = −
+
Bài 49: CMR :
( )
2
22
2
2
xy
x y xy
+
+
HD:
Ta có:
( )
( )
( )
( )
2
2
2 2 2 2 2 2
2
2
22
2 2 2 0
2
2 2 4 0
2
xy
x y x y x y xy x y
xy
xy x y xy xy x y
+
+ = + + + = −
+
= + + = −
Bài 50: CMR :
1 1 4
a b a b
+
+
, Với a,b > 0
HD:
Ta có:
( )
4
ab
ab a b
+
+
=
( ) ( )
22
40a b ab a b+ = −
Bài 51: CMR :
( )
4 4 2 2
a b ab a b+ +
HD:
Ta có:
4 4 3 3
0a b a b ab+ − −
=
( ) ( )
33
0a a b b a b− + −
=
( )
( )
2
22
0a b a ab b− + +
Bài 52: CMR :
4
44
22
a b a b++



HD:
Ta có:
4 4 4 4 2 2 2 2 3 3
8 8 4 2 4 4a b a b a b a b a b ab+ + + + + +
=
4 4 2 2 2 2 3 3
7 7 4 2 4 4 0a b a b a b a b ab+ − − − −
=
( ) ( ) ( )
4 4 2 2 4 4 2 2 2 2
2 6 6 4 8 0a b a b a b ab a b a b+ + + + − + −
=
( ) ( ) ( )
2
2 2 2 2 2 2 4 4 2 2
4 4 6 12 0a b ab a b a b a b a b+ − + + + + −
=
( ) ( )
2
2 2 4 4 2 2
2 6 2 0a b ab a b a b+ − + + −
=
( )
( )
2
4
22
60a b a b− + −
Bài 53: Cho a + b + c = 0, CMR :
0ab bc ca+ +
HD:
Ta có:
( )
2 2 2
20a b c ab bc ca+ + + + + =
=
( )
( )
2 2 2
20ab bc ca a b c+ + = − + +
Dấu bằng khi a = b = c = 0
Trang 8
Bài 54: Cho x,y,z
R
, CMR :
( ) ( ) ( )
( )
2 2 2
2 2 2
3x y y z z x x y z− + − + − + +
HD:
Ta có:
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 3 3 3x y z xy yz zx x y z+ + − − − + +
=
2 2 2
2 2 2 0x y z xy yz zx+ + + + +
=
( )
2
0x y z+ +
Bài 55: CMR : Với mọi x, y khác 0, ta luôn có :
66
44
22
xy
xy
yx
+ +
HD:
Ta có:
( )
2 2 4 4 8 8
x y x y x y+ +
=
8 8 6 2 2 6
0x y x y x y+ − −
=
( ) ( )
6 2 2 6 2 2
0x x y y x y− − −
=
( )( )
6 6 2 2
0x y x y− −
=
( )( )( )
2 2 4 2 2 4 2 2
0x y x x y y x y− + + −
=
( ) ( )
2
2 2 4 2 2 4
0x y x x y y− + +
Bài 56: CMR :
( )
2 2 2
22a b c a b c+ + +
HD:
Ta có:
2 2 2
2 2 2 0a b c ab ac+ + − −
=
( ) ( )
2 2 2 2
2 2 0a ab b a ac c− + + − +
=
( ) ( )
22
0a b a c− + −
Bài 57: CMR :
4 3 3 4
0a a b ab b+ + +
HD:
Ta có:
( ) ( )
33
0a a b b a b+ + +
=
( )
( )
33
0a b a b+ +
=
( )
( )
2
22
0a b a ab b+ − +
Bài 58: CMR :
4 3 2 2 3 4
2 2 2 0a a b a b ab b− + − +
HD:
Ta có:
( ) ( )
4 2 2 2 4 2 2 2
2 . 2 . 0a a ab a b b ab b a b− + + − +
( ) ( )
22
22
0a ab b ab= − + −
Bài 59: CMR :
( )
4 4 2 2
1 2 1a b c a ab a c+ + + − + +
HD:
Ta có:
4 4 2 2 2 2
1 2 2 2 2 0a b c a b a ac a+ + + − + − −
=
( ) ( ) ( )
4 4 2 2 2 2 2
2 2 2 1 0a b a b a ac c a a+ − + − + + − +
=
( )
( ) ( )
2
22
22
10a b a c a− + − + −
Bài 60: CMR :
( ) ( )
2
3ab bc ca abc a b c+ + + +
HD:
Ta có:
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 3 3 3 0a b b c c a ab c abc a bc a bc ab c abc+ + + + + − − −
2 2 2 2 2 2 2 2 2
0a b b c c a ab c abc a bc= + + − − −
Đặt
ab x
bc y
ca z
=
=
=
=>
2 2 2
0x y z xy yz zx+ + − − −
=
( ) ( ) ( )
2 2 2
0x y y z z x− + − + −
Bài 61: CMR :
( ) ( )
1 1 1 1 1
y x z x z
x z y x z
+ + + + +
, Với
0 x y z
HD:
Ta có:
( ) ( )
2
0
y x z x z
xz
xz y xz
++
+
+ −
=
( )
2
0y xz y x z+ − +
=
2
0y xz xy yz+ − −
( )( )
0y x z y= − −
Trang 9
Bài 62: Cho a, b dương có tổng 1, CMR :
1 1 4
1 1 3ab
+
++
HD:
Quy đồng
=
( ) ( )( )
3 2 4 1 1a b a b+ + + +
=
( ) ( )
2
4 1 9 1 4 4ab a b ab a b ab+ + + = = +
=
( )
2
0ab−
( đúng)
Bài 63: CMR : Với a, b, c > 0 thì
22
22
a b a b
b a b a
+ +
HD:
Ta có:
22
22
20
a b a b a b
b a b a b a
+ − + + +
=
22
22
22
a b a b
VT
b a b a


+ − + +




=
22
22
2. 1 2. 1 0
a a b b
b b a a
− + + − +
Bài 64: CMR :
( )
8 8 8
3 3 3
1 1 1
, , , 0
abc
abc
a b c a b c
++
+ +
HD:
Ta có:
( ) ( ) ( )
2 2 2
8 8 8 4 4 4 4 4 4 2 2 2 2 2 2
a b c a b b c c a a b b c c a+ + + + = + +
2 4 2 2 4 2 4 2 2
VT a b c b c a a b c + +
( )
( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2
a b c a b c a b c ab bc ca= + + + +
8 8 8 8 8 8
2 2 2 3 3 3
1 1 1a b c a b c
ab bc ca
a b c a b c a b c
+ + + +
= + + = + +
Bài 65: CMR :
( )( ) ( )( )
10 10 2 2 8 8 4 4
a b a b a b a b+ + + +
HD:
Ta có:
12 10 2 2 10 12 12 8 4 4 8 12
a a b a b b a a b a b b+ + + + + +
( ) ( )
10 2 8 4 2 10 4 8
0a b a b a b a b= − + −
( ) ( )
8 2 2 2 2 8 2 2
0a b a b a b b a= − + −
( )( )
2 2 2 2 6 6
0a b a b a b= − −
=
( ) ( )
2
2 2 2 2 4 2 2 4
0a b a b a a b b− + +
Bài 66: Cho a, b, c dương có abc=1, và
1 1 1
abc
abc
+ + + +
, CMR :
( )( )( )
1 1 1 0abc− − −
HD:
Ta có:
a b c ab bc ca+ + + +
,
Xét
( )( )( ) ( ) ( )
1 1 1 1a b c abc ab bc ca a b c− − − = − + + + + + −
=>
( ) ( )
0a b c ab bc ca+ + − + +
Bài 67: Cho a, b > 0, thỏa mãn :
33
a b a b+ = −
, CMR :
22
1a b ab+ +
HD:
Ta có:
( )
( )
3 3 3 3 2 2
a b a b a b a ab b+ − = − + +
( ) ( )
( )
22
a b a b a b ab= − − + +
22
1a b ab= + +
Bài 68: CMR :
( ) ( )( )
8 8 3 3 5 5
2 a b a b a b+ + +
HD:
Ta có:
8 8 8 3 5 5 3 8
22a b a a b a b b+ + + +
=
( ) ( )
8 5 3 8 3 5
0a a b b a b− + −
=
( ) ( )
5 3 3 5 3 3
0a a b b a b− − −
=
( )( )
5 5 3 3
0a b a b− −
,
Giả sử a > b =>
3 3 5 5
,a b a b
=> ĐPCM
Nếu a < b =>
3 3 5 5
,a b a b
=> ĐPCM
Trang 10
Bài 79: CMR :
( ) ( )( )
8 8 8 3 3 3 5 5 5
3 a b c a b c a b c+ + + + + +
HD:
Ta có:
( ) ( )( )
8 8 3 3 5 5
2 a b a b a b+ + +
<=>
( ) ( )( )
8 8 3 3 5 5
2 b c b c b c+ + +
( ) ( )( )
8 8 3 3 5 5
2= + + +c a a c a c
Cộng theo vế ta được:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
8 8 8 8 8 8 3 5 5 5 3 5 5 5 3 5 5 5
4 a b c a b c a a b c b a b c c a b c+ + + + + + + + + + + + +
( ) ( )( )
8 8 8 3 3 3 5 5 5
3 a b c a b c a b c= + + + + + +
Bài 70: Cho a + b = 2, CMR :
8 8 7 7
a b a b+ +
HD:
Ta có:
( )
( )
( )
8 8 7 7 8 8 7 7
2 a b a b a b a b ab a b+ + + = + + +
=
( )
( )
8 8 7 7 7 7
00a b a b ab a b a b+ − − = − −
Giả sử
77
0
0
ab
ab
ab
−
=
−
Nếu
77
0
0
ab
ab
ab
−
=
−
Bài 71: CMR :
( )
6 6 6 5 5 5
, , , 0a b c a b b c c a a b c+ + + +
HD:
Ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
5 5 5 5 5 5 5
0a a b b b c c c a a b a b c a c b− + − + − = − − + − −
Giả sử :
55
0
0
ca
abc
cb
−
=
−
và
55
0
0
ab
ab
−
−
=> ĐPCM
Bài 72: CMR : Với mọi a, b, c > 0 thì
2 2 2
2 2 2 2 2 2
a b c a b c
b c c a a b b c c a a b
+ + + +
+ + + + + +
HD:
Xét
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
2 2 2
2
22
2 2 2 2
a b c a b c
ab a b ac a c
aa
b c b c
b c b c b c b c
+ − +
− + −
− = =
++
+ + + +
Giả sử
abc
=> Các ngoặc đều dương => ĐPCM
Bài 73: Cho a, b là hai số dương, CMR :
( )
( ) ( )
3 3 4 4
2a b a b a b+ + +
HD:
Ta có:
4 4 4 3 3 4
2 2 0a b a ab a b b+ − − − −
=
( ) ( )
4 3 4 3
0a a b b ab− + −
=
( ) ( )
33
0a a b b a b− − −
Bài 74: Cho a, b là hai số dương, CMR :
( )
( ) ( )( )
4 4 2 2 3 3
a b a b a b a b+ + + +
HD:
Ta có:
5 4 4 5 5 2 3 3 2 5
0a ab a b b a a b a b b+ + + − − − −
=
( ) ( )
4 3 2 4 2 3
0a b a b ab a b− + −
=
( ) ( )
33
0a b a b ab b a− + −
=
( )
( )
33
0a b a b ab− −
=
( )
( )
22
0ab a b a b− −
Bài 75: CMR :
( )
22
42a b ab a b+ + + +
HD:
Ta có:
22
4 2 2 0a b ab a b+ + − − −
=
22
2 2 8 2 4 4 0a b ab a b+ + − − −
=
( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2 4 4 4 4 0a ab b a a b b− + + − + + − +
Bài 76: Cho a,b là hai số có tổng bằng 2, CMR :
4 4 3 3
a b a b+ +
HD:
Ta có:
( )
( )
( )
4 4 3 3
2 a b a b a b+ + +
=
4 4 4 3 3 4
2 2 0a b a ab a b b+ − − − −
=
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
4 3 4 3 3 3 3 3
0 0 0a a b b ab a a b b b a a b a b− + − = − + − = − −
Bài 77: Cho a,b,c là ba số thỏa mãn : a + b + c = 3, CMR :
4 4 4 3 3 3
a b c a b c+ + + +
Trang 11
HD:
Ta có:
( )
( )
( )
4 4 4 3 3 3
3 a b c a b c a b c+ + + + + +
=
( ) ( )
( )
( )
( )
2
2 2 2
2 2 2 2 2
3
0
24
b
a b a b b c b bc c c a c ac a


− + + + − + + + − + +





Bài 78: Cho
0 , , 1x y z
, CMR :
01x y z xy yz zx + + − − −
HD:
Xét tích
( )( )( ) ( )
1 1 1 1 0x y z xyz xy yz zx x y z− − − = − − − − + + + −
Mà
1
x xy
y yz x y z xy yz zx xyz
z zx
= + + − − − −
, Mà
0 1 1 1xyz xyz = −
Bài 79: Cho
1 , , 2x y z−
và x + y + z = 0, CMR :
2 2 2
6x y z+ +
HD:
Xét
( )( )
( )( )
( )( )
2
2
2
2 1 0
20
2 1 0 2 0
20
2 1 0
xx
xx
y y y y
zz
zz
− +
− −
− + = − −


− −
− +
, Cộng theo vế ta có:
2 2 2 2 2 2
6 0 6x y z x y z+ + − = + +
Bài 80: Cho x > 0, y > 0, z > 0, CMR :
1 1 1 1
x y z xyz
+ −
, Với
2 2 2
5
3
x y z+ + =
HD:
Ta có:
( )
2
2 2 2
0 2 2 2 0x y z x y z xy yz zx+ − = + + + − −
=
( )
5
20
3
xy yz zx+ − −
=
( )
55
21
36
xy yz zx yz zx xy
−
− − = + −
=
1 1 1 1
x y z xyz
+ −
Bài 81: Cho 0 < a, b, c < 1, CMR :
3 3 3 2 2 2
2 2 2 3a b c a b b c c a+ + + + +
HD:
Do
2
1 1, 1a a b =
=>
( )
( )
2 2 2
1 1 0 1 0a b a b a b− − = + − −
=
22
1 a b a b+ +
Mặt khác: 0< a, b<1=>
2 3 3 2 3 3
,b ba a a b a b = + +
Vậy
2 3 3
1 a b a b+ +
, Chứng minh tương tự => ĐPCM
Bài 82: CMR :
( )
4 4 4
a b c abc a b c+ + + +
HD:
Chuyển vế ta có:
4 4 4 2 2 2
0a b c a bc ab c abc+ + − − −
=
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 0a b a b b c b c c a a c a bc b ac abc− + + − + + − + − − −
=
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2 2 2 2
a b b c c a− + − + −
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 0a b a bc a c a b ab c b c a b ab c b c a c abc b c+ − + + − + + − + + − +
Bài 83: Cho a, b, c, d > 0 thỏa mãn:
a c d+
,
b c d+
, CMR:
ab ad bc+
HD:
Ta có:
( )( )
0
0
a c d a c d
a c b d cd
b c d b d c
+ −

= = − −

+ −

, Nhân vào ta được ĐPCM
Trang 12
Bài 84: Cho
0 , , , 1a b c d
, CMR :
( )( )( )( )
1 1 1 1 1a b c d a b c d− − − − − − − −
HD:
Ta có:
( )( )
1 1 1 1a b a b ab a b− − = − − + − −
( do ab >0)
Do
( )( )( ) ( )( )
1 1 0 1 1 1 1 1 1c c a b c a b c a b c = − = − − − − − − − − −
Chứng minh tương tự => ĐPCM
Bài 85: Cho a.b.c=1,
3
36a
, CMR :
2
22
3
a
b c ab bc ca+ + + +
HD:
Xét hiệu
22
22
0
4 12
aa
b c ab bc ac+ + + − − −
22
22
2 3 0
4 12
aa
b c ab ac bc bc

= + + − − + + −


=
2
3
36
2 12
a a abc
bc
a
−

− − +


, Do
3
3
36
36 0
12
a abc
a
a
−
=
ĐPCM
Bài 87: Cho hai số a, b thỏa mãn:
0,ab+
Chứng minh rằng:
2
22
1
2
ab
ab
ab

+
+ +

+

HD:
Ta có:
( )
( ) ( ) ( )
2
2 2 2
2 2 2 2
1
2 1 2
ab
a b a b a b ab a b
ab

+
+ + = + + + + +

+

( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2 2 1 0a b a b ab a b ab

= + + − − + + +


( ) ( ) ( ) ( )
4 2 2 2
2 2 1 0a b ab a b a b ab= + − + − + + +
( ) ( ) ( ) ( )
4 2 2
2 1 1 0a b a b ab ab= + − + + + +
( )
2
2
10a b ab

= + − −


(ĐPCM)
Bài 88: Cho
0xy
hãy so sánh :
xy
A
xy
−
=
+
, và
22
22
xy
B
xy
−
=
+
HD:
Vì
0, 0 0x y x y = +
( )( )
( )
2
x y x y
xy
A
xy
xy
−+
−
==
+
+
, lại có:
2 2 2 2 2 2
2 , 0x y xy x y x y+ + + −
2 2 2 2
2 2 2 2
2
x y x y
AB
xy x y x y
−−
= = =
+ + +
Bài 89: Cho x, y > 0 thỏa mãn điều kiện:
2 3 3 4
x y x y+ +
, Chứng minh rằng:
33
2xy+
, Dấu bằng xảy
ra khi nào?
HD:
Áp dụng BĐT côsi cho hai số dương ta có:
3 2 2 4 3
2 , 2x x x y y y+ +
, Do vậy
( ) ( )
3 2 4 2 3 2 2 3 2 3 3 4 2 3
22x x y y x y x y x y x y x y x y+ + + + = + + + + − − +
,(
2 3 3 4
x y x y+ +
)
Mà:
2 4 2
1 2 , 1 2x x y y+ +
, nên
2 4 2 2 3 2 3 3 4
1 1 2 2 2 2x y x y x y x y x y+ + + + + + + +
Do vậy
33
2xy+
Dấu bằng xảy ra khi:
1xy==
Trang 13
Bài 90: Chứng minh BĐT sau:
22
1x y xy x y+ − + −
HD:
Ta có:
( )
( )
2 2 2 2
1 2 2 1x y xy x y x y xy x y+ − + − = + − + −
22
2 2 2 2 2 2x y xy x y= + − + −
( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2 2 1 2 1 0x xy y x x y y= − + + − + + − +
Bài 91: Cho a, b là các số dương thỏa mãn:
3 3 5 5
a b a b+=+
, Chứng minh rằng:
22
1a b ab+ +
HD:
Ta có:
( )
( )
2 2 2 2 2 2
11a b ab a b ab a b a b ab a b+ + = + − = + + − +
( )( )
( )
( )
3 3 3 3 3 3 5 5 3 3 5 5
2a b a b a b a b a b a b a b ab a b= + + = + + + + = +
( ) ( )
2
4 2 2 4 2 2
2 0 0, , 0ab a a b b ab a b a b= − + = −
Bài 92: Cho các số a, b, c
0;1


, chứng minh rằng:
23
1a b c ab bc ca+ + − − −
HD:
Do a, b,c
0;1


, nên:
( )( )( )
1 1 1 0 1 0a b c a b c ab bc ca abc− − − = − − − + + + −
11a b c ab bc ca abc= + + − − − −
Do
23
, , 0;1 ,ca b c b b c

=

, từ đó ta có:
23
1a b c ab bc ca a b c ab bc ca+ + − − − + + − − −
Trang 14
Dạng 2 : SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ
Các BĐT phụ hay dùng :
( )
2
22
2
ab
ab
+
+
( )
2
4x y xy+
2
xy
yx
+
Bài 1: Cho a + b > 1, CMR :
44
1
8
ab+
HD:
Ta có:
( )
22
2
22
22
21
1
1
2
20
a b ab
a b a b
a b ab
+ +
+ = = +
+ −
=>
( )
4 4 2 2
2
2 2 4 4
4 2 2 2
1
2
11
22
4
44
20
a b a b
a b a b
a b a b
+ +
+ = = +
+ −
, Vậy
44
1
8
ab+
Bài 2: Cho a + b = 1, CMR :
22
1
2
ab+
HD:
Ta có:
( )
22
2
2 2 2 2
22
21
1
1 2 2 1
2
20
a ab b
a b a b a b
a ab b
+ + =
+ = = = + = +
− +
Bài 3: Cho a + b > 2, CMR :
22
2ab+
HD:
Ta có:
( )
22
2
2 2 2 2
22
24
4 2 2 4 2
20
a ab b
a b a b a b
a ab b
+ +
+ = = + = +
− +
Bài 4: Cho
22
2ab+
, CMR:
2ab+
HD:
Ta có:
22
2 2 2 2
2
2 2 2
ab
a b ab ab a b
+
+ = +
Cộng theo vế ta được:
( )
2
22
2 4 4 2a b ab a b a b+ + = + = +
Bài 5: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác, CMR:
( )
2 2 2
2a b c ab bc ca+ + + +
HD:
Ta có: Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác nên ta có:
( )
2
2 2 2 2
2
2
a ab ac
a b c
b a c b ab bc a b c ab bc ac
c a b
c ac bc
+
+
+ = + = + + + +


+
+
Bài 6: Cho a, b là hai số thực bất kỳ có tổng bằng 1, CMR:
33
1
4
ab+
HD:
Ta có:
( )
3
3
1 1 1a b b a b a+ = = = − = = −
=>
3 3 3 2 3 2
1 3 3 3 3 1a b a a a a a a+ = + − + − = − +
2
2
1 3 1 1 1
33
4 4 2 4 4
a a a
= − + + = − +
Trang 15
Bài 8: Cho a, b, c > 0, CMR :
3 3 3 3 3 3
1 1 1 1
a b abc b c abc c a abc abc
+ +
+ + + + + +
HD:
Ta có:
( )
( )
( )
3 3 2 2
a b a b a ab b a b ab+ = + − + +
, Do
22
a ab b ab− +
Khi đó
( ) ( )
33
b abc a b ab abc ab a b c+ + + + = + +
Chứng minh tương tự ta có:
( )
33
b c abc bc a b c+ + + +
và
( )
33
c a abc ac a b c+ + + +
Khi đó ta có:
1 1 1 1 1 1
.
abc
VT
a b c ab bc ca a b c abc abc
++

+ + = =

+ + + +

Bài 10: Cho a, b, c > 0, CMR :
3
2
a b c
b c c a a b
+ +
+ + +
HD:
Từ
( )
1 1 1
9x y z
x y z

+ + + +


, Đặt
x a b
y b c
z c a
=+
=+
=+
=>
( )
1 1 1
29abc
a b b c c a

+ + + +

+ + +

<=>
9
2
a b c a b c a b c
a b b c c a
+ + + + + +
+ +
+ + +
=>
93
3
22
c a b
a b b c c a
+ + − =
+ + +
Bài 11: Cho a, b > 0, CMR :
13
1 1 2
ab
b a a b
+ +
+++
HD:
Ta có:
1
1 1 1 3
11
ab
b a a b
+ + + + + +
+++
( )
1 1 1 9 3
1 3 3
1 1 2 2
ab
a b a b

= + + + + − − =

+ + +

Bài 15: CMR :
2 2 2
3
4
a b c a b c+ + + − − −
HD:
Ta có:
2 2 2
1 1 1
0
4 4 4
a a b b c c
+ + + + + + + +
Bài 16: Cho a, b, c dương có tổng là 1, CMR :
1 1 1
9
abc
+ +
HD:
Vì
( ) ( )
1 1 1
19a b c a b c
abc

+ + = = + + + +


Bài 18: Cho x, y, z > 0, CMR :
4 4 2 2
4 4 2 2
2
x y x y x y
y x y x y x
+ − − + +
HD:
Ta có:
44
44
2
xy
yx
+
, Tương tự
2
xy
yx
+
và
22
22
2
xy
yx

− + −


Cộng theo vế ta có:
2 2 2 2VT + − =
Bài 19: Cho a, b là các số dương thỏa mãn: a + b < ab, CMR : a + b > 4
HD:
Ta có:
( )
2
4
4
ab
a b ab
ab a b
+
+ =
+
Do
4
1 1 4
a b ab
a b ab a b
ab ab a b
+
+ = = = = +
+
Trang 16
Bài 21: Cho a, b, c thỏa mãn:
2 2 2
3abc+ + =
, CMR:
6ab bc ca a b c+ + + + +
HD:
Ta có:
( )
( ) ( )
22
2 2 2 2 2
22
2
2 2 2 2.3 2
2
a b ab
b c bc a b c ab bc ca ab bc ca
c a ac
+
+ = + + + + = + +
+
=>
3ab bc ca+ +
(1)
Mặt khác:
( )
2
2
2
12
1 2 3 3 2 3
12
aa
b b a b c a b c
cc
+
+ = + + + = + +
+
(2)
Cộng (1) và (2) theo vế ta được ĐPCM
Bài 22: CMR:
22
44
1
1 16 1 16 4
xy
xy
+
++
, với mọi x, y là số thực
HD:
Ta có:
2
4 4 2 2
4
1
1 16 2. 16 2.4 8
1 16 8
x
x x x x
x
+ = = =
+
(1)
Tương tự:
22
42
1
1 16 8 8
yy
yy
=
+
(2)
Cộng theo vế ta được :
1
4
VT
Bài 24: CMR: với a,b > 0 và a > b > 0 thì
22
22
a b a b
a b a b
−−
++
HD:
Ta có:
( )( )
( ) ( )
22
22
a b a b
a b a b
ab
a b a b
−+
−−
==
+
++
, Mà
2 2 2 2
2a ab b a b+ + +
Khi đó
22
22
ab
VT
ab
−
+
Bài 25: Cho 3 số a,b,c dương thoă mãn: a + b + c = 4, CMR :
a b abc+
HD:
Ta có:
( ) ( ) ( )
2
2
44a b ab a b c a b c+ = + + +


( )
16 4 a b c= +
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2
2
4 4 4 2 4a b c a b a b c a b ab c abc= + = + + = + =
=>
a b abc+
Bài 26: Cho 2 số x, y > 0 thỏa mãn:
33
x y x y+ = −
, CMR :
22
1xy+
HD:
Ta có:
( )
( )
3 3 2 2 2 2 3 3
0 0 1x y x y x y x y x y x y+ = − = + = − + +
3 2 2 3 3 3
x xy x y y x y= + − − +
( )
3 2 2 2 2
2 0 2 0y x y xy y y x xy= + − = + −
Bài 27: Cho a + b = 1, CMR:
22
1
2
ab+
HD:
Ta có:
( )
22
2
2 2 2 2
22
21
1
1 2 2 1
2
20
a ab b
a b a b a b
a ab b
+ + =
+ = = = + = +
− +
Trang 17
Bài 28: Cho a + b = 1, CMR:
44
1
8
ab+
HD:
Ta có:
22
2 2 2 2
22
21
1
2 2 1
2
20
a ab b
a b a b
a ab b
+ + =
= + = +
− +
Mặt khác:
4 4 2 2
4 4 4 4
4 4 2 2
1
2
11
22
4
48
20
a b a b
a b a b
a b a b
+ +
= + = +
+ −
Bài 30: Cho a, b, c thỏa mãn:
2 2 2
1,abc+ + =
CMR:
( )
2 1 0abc a b c ab bc ca+ + + + + + +
HD:
Vì
2 2 2
1 , , 1 1 , , 1a b c a b c x y z+ + = = = −
Khi đó:
( )( )( )
1 1 1 0 1 0a b c abc ab bc ca a b c+ + + = + + + + + + +
(1)
Mà
( ) ( ) ( )
22
1 2 1 0a b c a b c a b c+ + + = + + + + + +
( ) ( )
2 2 2
2 2 1 0a b c ab bc ca a b c= + + + + + + + + +
10ab bc ca a b c= + + + + + +
(2)
Cộng (1) và (2) theo vế ta được:
( )
2 1 0abc ab bc ca a b c+ + + + + + +
Trang 18
Dạng 4: SẮP SẾP CÁC BIẾN VÀ BĐT TAM GIÁC:
Bài 1: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác, CMR:
2
a b c
b c c a a b
+ +
+ + +
HD :
Ta có :
2
1
a a a
b c b c a b c
=
+ + + +
Tương tự ta có:
22
1,
b b b c c
c a c a a b c a b a b c
=
+ + + + + + +
, cộng theo vế
2( )
2
abc
VT
abc
++
=
++
Bài 2: Cho a, b, c > 0, CMR:
12
a b c
a b b c c a
+ +
+ + +
HD :
Ta có :
a a a c
a b c a b a b c
+

+ + + + +
và
b b b a
a b c b c a b c
+

+ + + + +
và
c c c b
a b c c a a b c
+

+ + + + +
Cộng theo vế ta được :
a b c a b b c c a
M
a b c a b c a b c a b c a b c a b c
+ + +
+ + + +
+ + + + + + + + + + + +
( )
2
12
abc
abc
MM
a b c a b c
++
++
=
+ + + +
Bài 3: Cho a, b, c, d > 0, CMR:
12
a b c d
a b c b c d c d a d a b
+ + +
+ + + + + + + +
HD :
Ta có :
a a a d
a b c d a b c a b c d
+

+ + + + + + + +
và
b b a b
a b c d b c d a b c d
+

+ + + + + + + +
c c c b
a b c d c d a a b c d
+

+ + + + + + + +
và
d d d c
a b c d d a b a b c d
+

+ + + + + + + +
Cộng theo vế ta có :
( )
2
12
a b c d
a b c d
MM
a b c d a b c d
+ + +
+ + +
=
+ + + + + +
Bài 4: Cho a, b, c, d > 0, CMR:
23
a b b c c d d a
a b c b c d c d a d a b
+ + + +
+ + +
+ + + + + + + +
HD :
Ta có :
a b a b a b d
a b c d a b c a b c d
+ + + +

+ + + + + + + +
Chứng minh tương tự :
b c b c b c a
a b c d b c d a b c d
+ + + +

+ + + + + + + +
,
c d c d c d b
a b c d c d a a b c d
+ + + +

+ + + + + + + +
Và
d a d a d a c
a b c d d a b a b c d
+ + + +

+ + + + + + + +
Cộng theo vế ta có :
( ) ( )
23a b c d a b c d
M
a b c d a b c d
+ + + + + +

+ + + + + +
Bài 5: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác, CMR:
12
a b c
b c c a a b
+ +
+ + +
HD :
Ta có :
a a a a
a b c b c a b c
+

+ + + + +
và
b b b b
a b c c a a b c
+

+ + + + +
và
c c c c
a b c a b a b c
+

+ + + + +
Cộng theo vế ta được :
( )
2 abc
abc
M
a b c a b c
++
++

+ + + +
Trang 19
Bài 6: CMR nếu a, b, c > 0 thì
3
2
a b c
b c c a a b
+ +
+ + +
HD :
Áp dung BĐT :
( )
1 1 1
9x y z
x y z

+ + + +


, Đặt
( )
2
b c x
c a y x y z a b c
a b z
+=
+ = = + + = + +
+=
Khi đó ta có :
( )
1 1 1 9
29
2
a b c a b c a b c
abc
a b b c c a a b b c c a
+ + + + + +

+ + + + = + +

+ + + + + +

=> ĐPCM
Bài 7: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác, CMR:
3
a b c
b c a a c b a b c
+ +
+ − + − + −
HD :
Đặt :
2
2
2
b c a x x y c
a c b y y z a
a b c z z a b
+ − = + =


+ − = = + =


+ − = + =

, Khi đó :
2
y z x z x y
A
xyz
+++
= + +
63
x y z x z y
A
y x x z y z

= + + + + + =


Bài 8: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác,
CMR:
1 1 1 1 1 1
a b c b c a c a b a b c
+ + + +
+ − + − + −
HD :
Áp dụng BĐT Schawzr :
1 1 4 2
2a b c b c a b b
+ =
+ − + −
Tương tự ta có :
1 1 2
b c a c a b c
+
+ − + −
và
1 1 2
c a b a b c a
+
+ − + −
, Cộng theo vế ta được : ĐPCM
Bài 9: CMR với a, b, c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác và p là nửa chu vi của tam giác đó thì:
1 1 1 1 1 1
2
p a p b p c a b c

+ + + +

− − −

HD :
Ta có :
1 1 4 4
2p a p b p a b c
+ =
− − − −
Tương tự ta có :
1 1 4
p b p c a
+
−−
và
1 1 4
p c p a b
+
−−
Cộng theo vế ta được điều phải chứng minh
Bài 10: Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là a, b, c chu vi là 2p, CMR:
( )( )( )
8
abc
p a p b p c − − −
HD :
Ta có :
( ) ( ) ( )( ) ( )( )
22p a p b p a p b c p a p b− + − − − = − −
Chứng minh tương tự ta có :
( )( )
2a p b p c − −
và
( )( )
2b p a p c − −
Nhân theo vế ta được :
( )( )( )
8abc p a p b p c − − −
Trang 20
Bài 11: CMR: Nếu a, b, c là chiều dài ba cạnh của tam giác thì:
( )
2 2 2
2ab bc ca a b c ab bc ca+ + + + + +
HD :
Ta chứng minh :
2 2 2
a b c ab bc ca+ + + +
Chuyển vế ta được :
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2
00a b c ab bc ca a b b c c a+ + − − − = − + − + −
Ta chứng minh :
( )
2 2 2
2a b c ab bc ca+ + + +
Ta có :
2
2
2
a ab ac
a b c
b a c b bc ba
c a b
c ac bc
+
+
+ = +


+
+
, Cộng theo vế ta được :
( )
2 2 2
2a b c ab bc ca+ + + +
Bài 12: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác, CMR:
( )( )( )
abc a b c b c a c a b + − + − + −
HD :
Ta có :
( ) ( ) ( )( ) ( )( )
2 2 2a b c b c a a b c b c a b a b c b c a+ − + + − + − + − = + − + −
Tương tự ta có :
( )( )
22c b c a c a b + − + −
và
( )( )
22a a b c c a b + − + −
Nhân theo vế ta được ĐPCM
Bài 13: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác, CMR:
( )
4 4 4 2 2 2 2 2 2
2a b c a b b c c a+ + + +
HD :
Ta có :
4 4 4 2 2 2 2 2 2 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 0 2 2 2 4 0a b c a b b c c a a b c a b b c c a a b+ + − − − = + + + − − −
=
( )
( )
( )( )
2
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 0 2 2 0a b c ab a b c ab a b c ab+ − − = + − + + − −
( )( )( )( )
0a b c a b c a b c a b c= + + + − − + − −
(Luôn đúng )
Bài 14: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác, CMR:
b c a a b c
a b c b c a
+ + + +
với
abc
HD :
Nhân 2 vế với a, b, c ta có :
2 2 2 2 2 2
b c c a a b a c ab bc+ + + +
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
0c b a a c b b a c= − + − + −
=
( )( )( )
0c a b c b a− − −
Đúng
Bài 15: CMR với a, b, c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác thì:
( )
2
2 2 2 2 2
4a b a b c + −
HD :
Xét hiệu :
( ) ( )( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
4 0 2 2 0a b a b c ab a b c ab a b c− + − = + + − − − +
=
( )( )( )( )
0a b c a b c c a b c a b+ + + − + − − +
đúng
Bài 16: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác, CMR:
( ) ( ) ( )
2 2 2
3 3 3
a b c b c a c a b a b c− + − + + + +
HD :
Ta xét :
( ) ( ) ( )( )
22
32
0a b c a a b c a a b c a b c a

− − = − − = − − − +

Chứng minh tương tự ta có : Tổng của 3 số âm là 1 số âm
Bài 17: Cho
2 2 2
1
1, :
3
a b c CMR a b c+ + = + +
HD :
Đặt
22
22
22
1 2 1
.
3 3 9
1 2 1
.
3 3 9
1 2 1
.
3 3 9
a x a x x
b y b y y
c z c z z

= + = + +



= + = = + +



= + = + +


Cộng theo vế ta được :

Tài liệu khác của Toán 8

Preview text:

CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC A. LÝ THUYẾT 1. Định nghĩa:
- Các mệnh đề “ A > B ” hoặc “ A < B ” được gọi là bất đẳng thức. (BĐT)
- Các mệnh đề: “ A B ” hoặc “ A B “ được gọi là các bất đẳng thức suy rộng.
2. Bất đẳng thức hệ quả và bất đẳng thức tương đương:
- Nếu từ BĐT A > B mà ta biến đổi được thành C > D thì ta nói rằng BĐT C > D là BĐT hệ quả
của BĐT A > B. kí hiệu A > B => C > D
- Nếu BĐT A > B là hệ quả của BĐT C > D và C > D cũng là BĐT hệ quả của BĐT A > B thì ta
nói hai BĐT trên tương đương với nhau, Kí hiệu A > B <=> C > D 3. Tính chất:
- A B = A − C B − C ( Cộng hai vế của BĐT với cùng một số)
A B = . AC  . B , C (C  0) - 
(Nhân hai vế của BĐT với cùng một số)
A B = . AC  . B , C  (C  0) - A  ,
B C D = A + C B + D ( Cộng hai BĐT cùng chiều) - A  ,
B C D = AC BD,( , A C  )
0 (Nhân hai BĐT cùng chiều) - 2n 1 + 2n 1 A B A B +  =  hoặc 2n 2n
A B Với A > 0, (Nâng hai vế của BĐT lên một lũy thừa)
- A B = A B,( A  )
0 (Khai căn hai vế của một BĐT)
- a − b a + b a + b (Tính chất giá trị tuyệt đối). B. LUYỆN TẬP
Dạng 1: SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA: A > B TA XÉT HIỆU A – B > 0, CHÚ Ý BĐT 2 A  0
Bài 1: CMR : với mọi x, y, z thì 2 2 2
x + y + z xy + yz + zx HD:
Xét hiệu ta có: (x + y + z − xy − yz − zx)  = (x − y)2 + ( y − z)2 + (z − x)2 2 2 2 2 0  0
Dấu bằng xảy ra khi x = y = z
Bài 2: CMR : với mọi x, y, z thì 2 2 2
x + y + z  2xy + 2yz − 2zx HD:
Xét hiệu ta có: x + y + z − xy − yz + zx  = ( x − y + z)2 2 2 2 2 2 2 0  0
Dấu bằng xảy ra khi x + z = y
Bài 3: CMR : với mọi x, y, z thì 2 2 2
x + y + z + 3  2( x + y + z) HD:
Xét hiệu ta có: ( x − )2 + ( y − )2 + ( z − )2 1 1
1  0 , Dấu bằng khi x = y = z = 1 2 2 2 a + ba + b
Bài 4: CMR : với mọi a, b ta có :    2  2  HD : 2 2 2 2 a + b
a + 2ab + b Xét hiệu ta có : −  0 <=> 2 2 a + b − ( 2 2 2 2
a − 2ab + b )  0 2 4
= a + ab + b  = (a + b)2 2 2 2 0
 0 , Dấu bằng khi a = - b Trang 1 2 2 2 2 a + b + c
a + b + c
Bài 5: CMR : với mọi a, b, c ta có :    3  3  HD: 2 2 2 2 2 2 a + b + c
a + b + c + 2ab + 2bc + 2ac Ta có:  3 9 2 2 2
= a + b + c − ( 2 2 2 3 3 3
a + b + c + 2ab + 2bc + 2ac)  0 2 2 2
= 2a + 2b + 2c − 2ab − 2bc − 2ac  0
= (a −b)2 + (b − c)2 + (c − a)2  0 , Dấu bằng khi a = b = c a + b + c 2 2 2 ( )2
Bài 6: CMR : a + b + c  3 HD: Ta có: 2 2 2 2 2 2
3a + 3b + 3c a + b + c + 2ab + 2bc + 2ca 2 2 2
= 2a + 2b + 2c − 2ab − 2bc − 2ac  0
= (a −b)2 + (b − c)2 + (c − a)2  0 , Dấu bằng khi a = b = c a + b 2 2 ( )2
Bài 7: CMR : a + b   2ab 2 HD: a + b 2 2 ( )2
Ta chứng minh: a + b  2 2 2 2
= 2a + 2b a + 2ab + b 2
= a + b − ab  = (a −b)2 2 2 2 0
 0 , Dấu bằng khi a = b (a +b)2 Ta chứng minh
 2ab = a + ab + b ab = (a − b)2 2 2 2 4
 0 , Dấu bằng khi a = b 2 2 b
Bài 8: Cho a, b, c là các số thực. CMR: 2 a +  ab 4 HD:
Ta có: a + b − ab = ( a − b)2 2 2 4 4 2  0 Dấu bằng khi b = 2a
Bài 9: Cho a, b, c là các số thực. CMR : 2 2
a + b +1  ab + a + b HD: Ta có: 2 2
a + b +1− ab − a − b  0 2 2
= 2a + 2b + 2 − 2ab − 2a − 2b  0 = ( 2 2
a − ab + b ) + ( 2
a − a + ) + ( 2 2 2 1 b − 2b + )
1  0 = (a − b)2 + (a − )2 + (b − )2 1 1  0 . Dấu bằng khi a = b = 1
Bài 10: Cho a, b, c, d là các số thực . CMR : 2 2 2 2 2
a + b + c + d + e a (b + c + d + e) HD: Ta có: 2 2 2 2 2
a + b + c + d + e − ab − ac − ad − ae  0 2 2 2 2 2
= 4a + 4b + 4c + 4d + 4e − 4ab − 4ac − 4ad − 4ae  0 = ( 2 2
a − ab + b ) + ( 2 2
a − ac + c ) + ( 2 2
a − ad + d ) + ( 2 2 4 4 4 4 4 4
a − 4ae + 4e )  0
= (a − b)2 + (a − c)2 + (a − d )2 + (a − e)2 2 2 2 2  0
Dấu bằng xảy ra khi a = 2b = 2c = 2d = 2e Trang 2  1  1 
Bài 11: Cho a, b thỏa mãn: a + b = 1, a > 0, b > 0. CMR: 1+ 1+  9     a  b  HD:  a + b  a + b   b  a   a b  Ta có: VT = 1+ 1+ = 2 + 2 + = 4 + 2 + +1          a  b   a  b   b a   a b a b 1 = 5 + 2 +  5 + 2.2 = 9   . Dấu bằng khi 2 2
= = a + b = a = b =  b a b a 2 2  x + y
Bài 12: Cho x, y  0,CMR :  xy    2  HD:
Ta có: x + y + xy xy = x − xy + y  = (x − y)2 2 2 2 2 2 4 2 0
 0 , Dấu bằng khi x = y
Bài 13: Cho a > 0, b > 0. CMR: 3 3 2 2
a + b a b + ab HD: Ta có: ( 3 2 a − a b) + ( 3 2 b − ab ) 2
 = a (a −b) 2 0
− b (a − b)  0
= (a −b)(a −b )  = (a −b)2 2 2 0 (a +b)  0 Dấu bằng khi a = b 1 1 2
Bài 14: Cho a b  1, CMR: +  2 2 1+ a 1+ b 1+ ab HD:  1 1   1 1 
a (b − a)
b(a − b) Xét hiệu: − + −  0  = +  0 2   2  1+ a
1+ ab  1+ b 1+ ab  ( 2 1+ a )(1+ ab) ( 2 1+ b )(1+ ab)
(b − a)2 (ab − ) 1 = (
 , Dấu bằng khi a = b hoặc a.b = 1 1+ ab)( 0 2 a + ) 1 ( 2 b + a)
Bài 15: CMR : với mọi số thực x, y, z, t ta luôn có : 2 2 2 2
x + y + z + t x ( y + z + t) HD: Ta có: 2 2 2 2
x + y + z + t − xy − xz − xt  0 = 2 2 2 2
4x + 4 y + 4z + 4t − 4xy − 4xz − 4xt  0 = ( 2 2
x − xy + y ) + ( 2 2
x − xz + z ) + ( 2 2
x − xt + t ) 2 4 4 4 4 4 4 + x  0
Dấu bằng khi x = 2y = 2z = 2t = 0 2 a Bài 17: CMR : 2 2
+ b + c ab − ac + 2bc 4 HD: Ta có: 2 2 2
a + 4b + 4c − 4ab + 4ac − 8bc  0 2
= a − a (b − c) + ( 2 2 4
4 b + c − 2bc)  0
= a − a (b − c) + (b − c)2 2 4 4
 0 = (a − a + c)2 2 2  0 Bài 19: CMR : 2 2 2
x + y + z  2xy − 2zx + 2yz HD: Ta có: 2 2 2
x + y + z − 2xy − 2yz + 2zx  0 2
= x − x ( y − z) 2 2 2
+ y − 2yz + z  0
x − x ( y − z) + ( y − z)2  = ( x − y + z)2 2 2 0  0 Bài 20: CMR : 4 4 4
x + y + z +  x ( 2
1 2 xy − x − z + ) 1 HD: Ta có: 4 4 4 2 2 2
x + y + z +1− 2x y + 2x − 2xz − 2x  0 ( 4 4 2 2
x + y − x y ) + ( 2 2
x − xz + z ) + ( 2 2 2 x − 2x + ) 1  0 2
(x − y ) +(x− z)2 +(x− )2 2 2
1  0 , Dấu bằng khi x = z = 1, y = 1  Trang 3 Bài 21: CMR : 2 2 2
a + b + c ab + bc + ca HD: Ta có : 2 2 2
a + b + c − ab − bc − ca  0 2 2 2
= 2a + 2b + 2c − 2ab − 2bc − 2ca  0
= (a −b)2 + (b − c)2 + (c − a)2  0 Bài 22: CMR : 2 2
a + b ab HD: 2 2 2 2 b b 3bb  3b Ta có: 2 2
a + b − ab  0 2 = a − 2 . a + +  0 = a − +  0   2 4 4  2  4 Bài 23: CMR : 2 2
x + xy + y  0 HD: 2 2 2 2 y y 3yy  3y Ta có: 2 x + 2 . x + +  0 = x + +  0   2 4 4  2  4
Bài 24: CMR : a (a + b)(a + c)(a + b + c) 2 2 + b c  0 HD:
= a(a + b + c)(a + b)(a + c) 2 2 + b c  0 = ( 2
a + ab + ac)( 2
a + ab + ac + bc) 2 2 + b c  0 2
a + ab + ac = x Đặt 
, Khi đó ta có: x ( x + y) 2 2 2
+ y  0 = x + xy + y  0 bc = y
Bài 25: CMR : ( + )( + )  ( + )2 2 2 4 4 3 3 a b a b a b HD: Ta có: 6 2 4 4 2 6 6 3 3 6
a + a b + a b + b a + 2a b + b = ( 4 2 3 3
a b − a b ) + ( 2 4 3 3
a b − a b )  0 = 3 2
a b (a − b) 2 3
+ a b (b − a)  0
= (a −b)(a b − a b )  = a b (a −b)2 3 2 2 3 2 2 0  0
Bài 26: CMR : (a + b)( 3 3 a + b )  ( 4 4 2 a + b ) HD: Ta có: 4 3 3 4 4 4
a + ab + a b + b  2a + 2b = 4 3 4 3
a − ab + b − a b  0 = 3
a (a − b) 3
+ b (b − a)  0 = (a −b )(a −b)  = (a −b)2 3 3 ( 2 2 0
a + ab + b )  0
Bài 27: Cho a, b > 0, CMR : ( 3 3 + )  ( + )( 2 2 2 a b a b a + b ) HD: Ta có: 3 3 3 2 2 3
2a + 2b a + ab + a b + b = 3 2 3 2
a − a b + b − ab  0 = 2
a (a − b) 2
+ b (b − a)  0
= (a − b)2 (a + b)  0
Bài 28: Cho a, b > 0, CMR: ( + )  ( + )3 3 3 4 a b a b HD: Ta có: 3 3 3 2 2 3
4a + 4b a + 3a b + 3ab + b = 3 2 3 2
3a − 3a b + 3b − 3ab  0 = 2
a (a − b) 2
+ b (b − a)  = (a −b)( 2 2 3 3 0 3 a − b )  0
= (a − b)2 3 (a +b)  0
Bài 29: Cho a, b, c > 0, CMR: 3 3
a + b + abc ab(a + b + c) Trang 4 HD: Ta có: 3 3 2 2
a + b + abc a b + ab + abc = 3 2 3 2
a − a b + b − ab  0 = 2
a (a − b) 2
+ b (b − a)  0 = (a −b)2 (a + b)  0 2 Bài 30: CMR: ( + )  ( + )2 2 2 a b ab a b HD: Ta có: 4 2 2 4
a + a b + b ab( 2 2
a + ab + b ) 3 2 2 3 2 2
= a b + 2a b + ab = ( 4 3 a − a b) + ( 4 3
b − ab )  0 = 3
a (a − b) 3
+ b (b − a)  0
= (a −b )(a −b)  = (a −b)2 3 3 ( 2 2 0
a + ab + b )  0 Bài 31: CMR: 2 2 2
a + b + c a (b + c) HD: Ta có: 2 2 2
a + b + c − ab − ac  0 = 2 2 2
4a + 4b + 4c − 4ab − 4ac  0 = ( 2 2
a − ab + b ) + ( 2 2
a − ac + c ) 2 4 4 4 4
+ 2a  0 = (a − b)2 + (a − c)2 2 2 2 + 2a  0 Bài 32: CMR: 2 2 2 2
a + b + c + d a (b + c + d ) HD: Ta có: 2 2 2 2
a + b + c + d − ab − ac − ad  0 = 2 2 2 2
4a + 4b + 4c + 4d − 4ab − 4ac − 4ad  0 = ( 2 2
a − ab + b ) + ( 2 2
a − ac + c ) + ( 2 2
a − ad + d ) 2 4 4 4 4 4 4 + a  0
= (a − b)2 + (a − c)2 + (a − d )2 2 2 2 2 + a  0 3 Bài 33: CMR: 2 2 2
a + b + c +  (a + b + c) 4 HD: 3  1   1   1  Ta có: ( 2 a − a) + ( 2 b − b) + ( 2
c − c) +  0 = 2 2 2 a − a + + b − b + + c − c +  0       4  4   4   4  2 2 2  1   1   1  = a − + b − + c −  0        2   2   2  Bài 34: CMR: 4 4
a + b + 2  4ab HD: Ta có: 4 4
a + b − 4ab + 2  0 = 4 4 2 2 2 2
a + b − 2a b + 2a b − 4ab + 2  0 2 2 = ( 2 2
a − b ) + ( 2 2
2 a b − 2ab + )
1  0 = (a −b ) + (ab − )2 2 2 2 1  0 Bài 35: CMR: 4
x − 4x + 5  0 HD: 2 Ta có: ( 4 2
x − x + ) + ( 2 4 4 4x − 4x + )
1  0 = (x − ) + ( x − )2 2 2 2 1  0 Không xảy ra dấu bằng. 1 Bài 36: CMR: 4 x − x +  0 2 HD:  1   1  2 2  1   1  Ta có: 4 2 2 x − x + + x − x +  0     = 2 x − + x −  0      4   4   2   2  Bài 37: CMR: 3 2
x + 4x +1  3x (x  0) HD: Ta có: 3 2
x − 3x + 4x +1  0 = x ( 2 x − x + ) 2
4 + x +1  0 = x ( x − )2 2
2 + x +1  0 , Vì x > 0 Trang 5 Bài 39: CMR: ( x − )
1 ( x − 2)( x − 3)( x − 4)  1 − HD: (x − )
1 ( x − 4)( x − 2)(x − 3) +1 0 = ( 2 x − x + )( 2 5
4 x − 5x + 6) +1 0 Đặt 2
x − 5x + 5 = t , Khi đó ta có: (t − ) 1 (t + ) 1 +1  0 = 2
t  0 , Dấu bằng khi t = 0 Bài 40: CMR: 4 3 2
x + x + x + x +1  0 HD: Ta có : 3
x ( x + ) + ( x + ) 2 1
1 + x  0 = ( x + )( 3 x + ) 2 1 1 + x  0 = (x + )2 ( 2 x − x + ) 2 1 1 + x  0 ( ĐPCM) Bài 41: CMR : 2 2 2
a + 4b + 4c  4ab + 8bc − 4ac HD: Ta có: 2 2 2
a + 4b + 4c − 4ab − 8bc + 4ac  0 = a + ( b)2 + ( c)2 2 2 2 − 2. .2 a b − 2.2 .2 b c + 2. .2 a c  0
= (a − b + c)2  0
Bài 42: CMR : ( + + )  ( + )3 + ( + )3 + ( + )3 3 3 3 8 a b c a b b c
c a với a, b, c >0 HD: Ta có: 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2
8a + 8b + 8c  2a + 2b + 2c + 3a b + 3ab + 3b c + 3bc + 3a c + 3ac = 3 3 3 2 2 2 2 2 2
6a + 6b + 6c − 3a b − 3ab − 3b c − 3bc − 3a c − 3ac  0 = ( 3 2 a − a b) + ( 3 2 a − a c) + ( 3 2 b − b a) + ( 3 2 b − b c) + ( 3 2 c − bc ) + ( 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
3c − 3ac )  0 = 2
a (a − b) 2
+ a (a − c) 2
+ b (b − a) 2
+ b (b − c) 2
+ c (c −b) 2 3 3 3 3 3
+ 3c (c − a)  0
= (a −b)( 2 2
a − b ) + (a − c)( 2 2
a − c ) + (b − c)( 2 2 3 3 3 b − c )  0
= (a − b)2 (a + b) + (a − c)(a + c) + (b − c)2 3 3 3 (b + c)  0
Bài 43: CMR: (a + b + c)3 3 3 3
a + b + c + 24abc với a,b,c>0 HD: Ta có: 3 3 3
a + b + c + (a + b)(b + c)(c + a) 3 3 3 3
a + b + c + 24abc
= 3(a + b)(b + c)(c + a)  24abc
a + b  2 ab  Vì b
 + c  2 bc , Nhân theo vế ta được ĐPCM
c+ a  2 ca  2 2 x yx y
Bài 44: CMR: Với mọi x, y # 0 ta có: + + 4  3 + 2 2   y xy x  HD: 2 Ta có: 4 4 2 2
x + y + x y xy ( 2 2 4 3
x + y ) = ( 2 2
x + y ) − xy( 2 2 x + y ) 2 2 + x y − xy ( 2 2 2 2 x + y )  0 = ( 2 2 x + y )( 2 2
x + y − xy) + xy( 2 2 2
xy − x − y )  0 = ( 2 2
x + y − xy)( 2 2
x + y − 2xy)  0
= (x − y)2 ( 2 2
x − xy + y )  0 1
Bài 45: CMR : Nếu a + b  1, thì 3 3 a + b  4 HD: 2  1  1 1 Ta có: 3 2 3
b  1− a = b  1− 3a + 3a − a = 3 3 2
a + b  3a − 3a +1 = 3 a − +     2  4 4 Trang 6
Bài 46: Cho a, b, c > 0, CMR : 2 2 2
ab + bc + ca a + b + c HD: Ta có: 2 2 2
a + b + c − ab − bc − ca  0 = (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2  0 2 a + a +1 Bài 47: CMR :  0 2 a − a +1 HD:  1  3  1  3 Ta có: 2 2
a + a +1 = a + a + +  0, a    <=> 2 2
a − a +1 = a − a + +  0, a     4  4  4  4
Bài 48: CMR : a (a + b)(a + )(a + b + ) 2 4 1 1 + b  0 HD:
Ta có: a (a + b + )(a + )(a + b) 2 4 1 1 + b  0 = ( 2
a + ab + a)( 2
a + ab + a + b) 2 4 + b  0 . 2
a + ab + a = x Đặt
Khi đó: = x ( x + y) 2 4 + y  0 = 2 2
4x + 4xy + y  0 = ( x + y)2 2  0 , b = y 2a a +1 2 ( )
Dấu bằng khi 2x = −y = 2a + 2ab + 2a = b − = b = − 2a +1 x + y 2 2 ( )2
Bài 49: CMR : x + y   2xy 2 HD:  (x + y)2 x + y
= 2x + 2y x + y + 2xy = (x − y)2 2 2 2 2 2 2  0 Ta có:  2  (x + y)2 
 2xy = x + y + 2xy  4xy = (x − y)2 2 2  0  2 1 1 4 Bài 50: CMR : +  , Với a,b > 0 a b a + b HD: (a +b) 4 Ta có: 
= (a + b)2  ab = (a −b)2 4  0 ab a + b Bài 51: CMR : 4 4 +  ( 2 2 a b ab a + b ) HD: Ta có: 4 4 3 3
a + b − a b − ab  0 = 3
a (a − b) 3
+ b (a −b)  0 = (a −b)2 ( 2 2
a + ab + b )  0 4 4 4 a + ba + b  Bài 52: CMR :    2  2  HD: Ta có: 4 4 4 4 2 2 2 2 3 3
8a + 8b a + b + 4a b + 2a b + 4a b + 4ab = 4 4 2 2 2 2 3 3
7a + 7b − 4a b − 2a b − 4a b − 4ab  0 = ( 4 4 2 2
a + b + a b ) + ( 4 4
a + b ) − ab( 2 2 a + b ) 2 2 2 6 6 4 −8a b  0
= (a + b )2 2 2 − ab( 2 2 a + b ) 2 2 + a b + ( 4 4 a + b ) 2 2 4 4 6 −12a b  0
= (a + b − ab)2 2 2 + ( 4 4 2 2 2
6 a + b − 2a b )  0 = (a −b)4 + ( 2 2
6 a − b )2  0
Bài 53: Cho a + b + c = 0, CMR : ab + bc + ca  0 HD: Ta có: 2 2 2
a + b + c + 2(ab + bc + ca) = 0
= (ab + bc + ca) = −( 2 2 2 2
a + b + c )  0
Dấu bằng khi a = b = c = 0 Trang 7
Bài 54: Cho x,y,z  R , CMR : ( x − y)2 + ( y − z)2 + ( z − x)2  ( 2 2 2
3 x + y + z ) HD: Ta có: 2 2 2 2 2 2
2x + 2y + 2z − 2xy − 2yz − 2zx  3x + 3y + 3z = 2 2 2
x + y + z + 2xy + 2 yz + 2zx  0 = ( x + y + z)2  0 6 6 x y
Bài 55: CMR : Với mọi x, y khác 0, ta luôn có : 4 4 x + y  + 2 2 y x HD: Ta có: 2 2 ( 4 4 + ) 8 8 x y x
y x + y = 8 8 6 2 2 6
x + y − x y − x y  0 = 6 x ( 2 2 x − y ) 6 − y ( 2 2 x − y )  0 = ( 6 6 x − y )( 2 2
x − y )  0 = ( 2 2 x − y )( 4 2 2 4
x + x y + y )( 2 2 x − y )  0
= (x − y )2 2 2 ( 4 2 2 4
x + x y + y )  0 Bài 56: CMR : 2 2 2
2a + b + c  2a (b + c) HD: Ta có: 2 2 2
2a + b + c − 2ab − 2ac  0 = ( 2 2
a − ab + b ) + ( 2 2 2
a − 2ac + c )  0
= (a − b)2 + (a − c)2  0 Bài 57: CMR : 4 3 3 4
a + a b + ab + b  0 HD: Ta có: 3 a (a + b) 3
+ b (a + b)  0 = ( 3 3
a + b )(a + b)  0 = (a + b)2 ( 2 2
a − ab + b )  0 Bài 58: CMR : 4 3 2 2 3 4
a − 2a b + 2a b − 2ab + b  0 HD: 2 2 Ta có: ( 4 2 2 2
a − a ab + a b ) + ( 4 2 2 2 2 . b − 2a .
b b + a b )  0 = ( 2 a − ab) + ( 2 b − ab)  0 Bài 59: CMR : 4 4 2
a + b + c +  a ( 2
1 2 ab − a + c + ) 1 HD: Ta có: 4 4 2 2 2 2
a + b + c +1− 2a b + 2a − 2ac − 2a  0 = ( 4 4 2 2 2
a + b − a b ) + ( 2 2
a − ac + c ) + ( 2 2 2 a − 2a + )
1  0 = (a −b ) + (a − c)2 + (a − )2 2 2 1  0
Bài 60: CMR : (ab + bc + ca)2  3abc(a + b + c) HD: Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
a b + b c + c a + 2ab c + 2abc + 2a bc − 3a bc − 3ab c − 3abc  0 2 2 2 2 2 2 2 2 2
= a b + b c + c a − ab c − abc − a bc  0 ab = x
Đặt bc = y => 2 2 2
x + y + z − xy − yz − zx  0 = ( x − y)2 + ( y − z)2 + ( z − x)2  0 ca = z   1 1  1  1 1  Bài 61: CMR : y + +   (x + z)  + 
( x + z) , Với 0  x y z x z yx z  HD:
y (x + z) x + z (x + z)2 Ta có: + −  0 = 2
y + xz − y ( x + z)  0 = 2
y + xz − xy − yz  0 xz y xz
= ( y − x)(z − y)  0 Trang 8 1 1 4
Bài 62: Cho a, b dương có tổng 1, CMR : +  a +1 b +1 3 HD:
Quy đồng = 3(a + b + 2)  4(a + ) 1 (b + ) 1
= (ab + a + b + )  =  ab = (a + b)2 4 1 9 1 4
 4ab = (a − b)2  0 ( đúng) 2 2 a b a b
Bài 63: CMR : Với a, b, c > 0 thì +  + 2 2 b a b a HD: 2 2 a b
a b   a b  2 2  a b   a b  Ta có: + − 2 + + +
 0 = VT   +  − 2 + + 2 2 2       b a
b a   b a  2 2  b a   b a  2 2  a a   b b
=  − 2. +1 +  − 2. +1  0 2 2  b b   a a  8 8 8 a + b + c 1 1 1 Bài 64: CMR :  + + , a, , b c  0 3 3 3 ( ) a b c a b c HD: 2 2 2 Ta có: 8 8 8 4 4 4 4 4 4 + +  + + = ( 2 2 ) + ( 2 2 ) + ( 2 2 a b c a b b c c a a b b c c a ) 2 4 2 2 4 2 4 2 2
VT a b c + b c a + a b c 2 2 2 = ( 2 2 2 + + ) 2 2 2 a b c a b
c a b c (ab + bc + ca) 8 8 8 8 8 8 a + b + c a + b + c 1 1 1 =
ab + bc + ca =  + + 2 2 2 3 3 3 a b c a b c a b c Bài 65: CMR : ( 10 10 + )( 2 2 + )  ( 8 8 + )( 4 4 a b a b a b a + b ) HD: Ta có: 12 10 2 2 10 12 12 8 4 4 8 12
a + a b + a b + b a + a b + a b + b = ( 10 2 8 4
a b − a b ) + ( 2 10 4 8
a b − a b )  0 8 2 = a b ( 2 2 a − b ) 2 8 + a b ( 2 2 b − a )  0 2 2 = a b ( 2 2 a − b )( 6 6 a − b )  0
= a b (a −b )2 2 2 2 2 ( 4 2 2 4
a + a b + b )  0 1 1 1
Bài 66: Cho a, b, c dương có abc=1, và a + b + c  + + , CMR : (a − ) 1 (b − ) 1 (c − ) 1  0 a b c HD:
Ta có: a + b + c ab + bc + ca , Xét (a − ) 1 (b − ) 1 (c − )
1 = abc − (ab + bc + ca) + (a + b + c) −1=> (a + b + c) − (ab + bc + ca)  0
Bài 67: Cho a, b > 0, thỏa mãn : 3 3
a + b = a − b , CMR : 2 2
a + b + ab  1 HD: Ta có: 3 3 3 3 +  − = ( − )( 2 2 a b a b
a b a + ab + b ) = ( − )  ( − )( 2 2 a b
a b a + b + ab) 2 2
= a + b + ab  1 Bài 68: CMR : ( 8 8 + )  ( 3 3 + )( 5 5 2 a b a b a + b ) HD: Ta có: 8 8 8 3 5 5 3 8
2a + 2b a + a b + a b + b = ( 8 5 3
a − a b ) + ( 8 3 5
b − a b )  0 = 5 a ( 3 3 a − b ) 5 − b ( 3 3
a − b )  0 = ( 5 5 a − b )( 3 3
a − b )  0, Giả sử a > b => 3 3 5 5
a b , a b => ĐPCM Nếu a < b => 3 3 5 5
a b , a b => ĐPCM Trang 9 Bài 79: CMR : ( 8 8 8 + + )  ( 3 3 3 + + )( 5 5 5 3 a b c a b c
a + b + c ) HD: Ta có: ( 8 8 + )  ( 3 3 + )( 5 5 2 a b a b
a + b ) <=> ( 8 8 + )  ( 3 3 + )( 5 5 2 b c b c b + c ) = ( 8 8 c + a )  ( 3 3 a + c )( 5 5 2 a + c ) Cộng theo vế ta được: ( 8 8 8 + + )  ( 8 8 8 + + ) 3 + ( 5 5 5 + + ) 3 + ( 5 5 5 + + ) 3 + ( 5 5 5 4 a b c a b c a a b c b a b c
c a + b + c ) = ( 8 8 8 + + )  ( 3 3 3 + + )( 5 5 5 3 a b c a b c
a + b + c )
Bài 70: Cho a + b = 2, CMR : 8 8 7 7
a + b a + b HD: Ta có: ( 8 8 + )  ( + )( 7 7 + ) 8 8 7 7 2 a b a b a
b = a + b + ab + a b = 8 8 7 7
a + b − a b − ab  = (a − b)( 7 7 0 a − b )  0 a − b  0 a − b  0
Giả sử a b = 
Nếu a b =  7 7 a − b  0 7 7 a − b  0 Bài 71: CMR : 6 6 6 5 5 5
a + b + c a b + b c + c a,(a,b,c  0) HD: Ta có: 5
a (a − b) 5
+ b (b − c) 5
+ c (c − a) = (a − b)( 5 5
a − b ) + (c − a)( 5 5 c − b )  0 c − a  0 a − b  0
Giả sử : a b c =  và  => ĐPCM 5 5 c − b  0 5 5 a − b  0 2 2 2 a b c a b c
Bài 72: CMR : Với mọi a, b, c > 0 thì + +  + + 2 2 2 2 2 2 b + c c + a a + b
b + c c + a a + b HD: 2 a a
a (b + c) − a ( 2 2 2
b + c ) ab(a − b) + ac(a − c) Xét − = = 2 2 b + c b + c (b + c)( 2 2 b + c ) (b + c)( 2 2 b + c )
Giả sử a b c => Các ngoặc đều dương => ĐPCM
Bài 73: Cho a, b là hai số dương, CMR : (a + b)( 3 3 a + b )  ( 4 4 2 a + b ) HD: Ta có: 4 4 4 3 3 4
2a + 2b − a − ab − a b − b  0 = ( 4 3 a − a b) + ( 4 3
b − ab )  0 = 3
a (a − b) 3
− b (a −b)  0
Bài 74: Cho a, b là hai số dương, CMR : ( + )( 4 4 + )  ( 2 2 + )( 3 3 a b a b a b a + b ) HD: Ta có: 5 4 4 5 5 2 3 3 2 5
a + ab + a b + b − a − a b − a b − b  0 = ( 4 3 2
a b − a b ) + ( 4 2 3
ab − a b )  0 = 3
a b(a − b) 3
+ ab (b − a)  0 = (a −b)( 3 3
a b − ab )  0 = ab(a − b)( 2 2 a − b )  0 Bài 75: CMR : 2 2
a + b + 4  ab + 2(a + b) HD: Ta có: 2 2
a + b + 4 − ab − 2a − 2b  0 = 2 2
2a + 2b + 8 − 2ab − 4a − 4b  0 = ( 2 2
a − ab + b ) + ( 2
a − a + ) + ( 2 2 4 4
b − 4b + 4)  0
Bài 76: Cho a,b là hai số có tổng bằng 2, CMR : 4 4 3 3
a + b a + b HD: Ta có: ( 4 4 + )  ( + )( 3 3 2 a b
a b a + b ) = 4 4 4 3 3 4
2a + 2b − a − ab − a b − b  0 = ( 4 3 a − a b) + ( 4 3 b − ab ) 3
 = a (a −b) 3
+ b (b − a)  = (a −b)( 3 3 0 0 a − b )  0
Bài 77: Cho a,b,c là ba số thỏa mãn : a + b + c = 3, CMR : 4 4 4 3 3 3
a + b + c a + b + c Trang 10 HD: Ta có: ( 4 4 4 + + )  ( + + )( 3 3 3 3 a b c
a b c a + b + c ) 2   = (   a − b)2 b 3  a + + b  
 + (b − c)2 (b + bc + c ) + (c − a)2 2 2 2 ( 2 2
c + ac + a )  0  2  4  
Bài 78: Cho 0  x, y, z  1, CMR : 0  x + y + z − xy − yz − zx  1 HD:
Xét tích (1− x)(1− y)(1− z) = −( xyz − xy − yz − zx + x + y + z − ) 1  0 x xy
Mà y yz = x + y + z − xy − yz − zx  1− xyz , Mà 0  xyz 1=1− xyz  1 z zx
Bài 79: Cho −1  x, y, z  2 và x + y + z = 0, CMR : 2 2 2
x + y + z  6 HD: (
x − 2)(x + ) 2 1  0
x − x − 2  0   Xét (
y − 2)( y + ) 2
1  0 = y − y − 2  0 , Cộng theo vế ta có: (   z − 2  )(z + ) 2 1  0
z − z − 2  0  2 2 2 2 2 2
x + y + z − 6  0 = x + y + z  6 1 1 1 1 5
Bài 80: Cho x > 0, y > 0, z > 0, CMR : + −  , Với 2 2 2
x + y + z = x y z xyz 3 HD:
Ta có: ( x + y − z)2 2 2 2
 0 = x + y + z + 2xy − 2yz − 2zx  0 −
= 5 + 2(xy − yz − zx)  0 = (xy − yz − zx) 5 5 2 
= yz + zx − xy  1 3 3 6 = 1 1 1 1 + −  x y z xyz
Bài 81: Cho 0 < a, b, c < 1, CMR : 3 3 3 2 2 2
2a + 2b + 2c  3 + a b + b c + c a HD: Do 2
a  1 = a  1,b  1 => ( 2 − a )( −b) 2 2 1 1
 0 =1+ a b − a − b  0 = 2 2
1+ a b a + b
Mặt khác: 0< a, b<1=> 2 3 3 2 3 3
a a , b  b = a + b a + b Vậy 2 3 3
1+ a b a + b , Chứng minh tương tự => ĐPCM Bài 82: CMR : 4 4 4
a + b + c abc (a + b + c) HD: Chuyển vế ta có: 4 4 4 2 2 2
a + b + c − a bc − ab c − abc  0
= (a −b )2 + a b + (b − c )2 + b c + (c − a )2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
+ 2a c − 2a bc − 2b ac − 2abc  0
= ( − )2 + ( − )2 + ( − )2 2 2 2 2 2 2 a b b c c a +( 2 2 2 2 2
a b − a bc + a c ) + ( 2 2 2 2 2
a b − ab c + b c ) + ( 2 2 2 2 2
a b − ab c + b c ) + ( 2 2 2 2 2 2 2 2
a c − 2abc + b c )  0
Bài 83: Cho a, b, c, d > 0 thỏa mãn: a c + d , b c + d , CMR: ab ad + bc HD:
a c + d
a − c d  0 Ta có:  = 
= (a − c)(b − d )  cd , Nhân vào ta được ĐPCM b   c + d b
 − d c  0 Trang 11
Bài 84: Cho 0  a,b, c, d  1, CMR : (1− a)(1− b)(1− c)(1− d ) 1− a − b − c − d HD:
Ta có: (1− a)(1− b) =1− a − b + ab 1− a − b ( do ab >0)
Do c  1 = 1− c  0 = (1− a)(1− b)(1− c)  (1− a − b)(1− c) 1− a − b − c
Chứng minh tương tự => ĐPCM 2 a Bài 85: Cho a.b.c=1, 3 a  36 , CMR : 2 2
+ b + c ab + bc + ca 3 HD: 2 2 a a 2 2  aa Xét hiệu 2 2 +
+ b + c − ab − bc − ac  0 2 2
=  + b + c − ab − ac + 2bc+ −3bc  0 4 12  4  12 2 3   − 3 − = a a 36abc − a 36abc b − c +   , Do 3 a  36 =  0 ĐPCM  2  12a 12a 2  ab + 
Bài 87: Cho hai số a, b thỏa mãn: a + b  0, Chứng minh rằng: 2 2 1 a + b +  2   a b  +  HD: 2  ab +1 Ta có: a + b +
 2 = (a + b )(a+ )2 b + (ab+ )2 1  2(a+   )2 2 2 2 2 b a+ b  (a )2 b (a )2 b ab = + + −
− (a+ b)2 + (ab+ )2 2 2 1  0    = (a+ )4
b − ab(a+ )2 b − (a+ )2 b + (ab+ )2 2 2 1  0 = (a+ )4 b − (a+ )2
b (ab+ ) + (ab+ )2 2 1 1  0 (a ) 2 2 b ab 1 = + − −  0  (ĐPCM)   x − y 2 2 x − y
Bài 88: Cho x y  0 hãy so sánh : A = , và B = x + y 2 2 x + y HD:
Vì x  0, y  0 = x + y  0 x − y
(x− y)(x+ y) A = = , lại có: 2 2 2 2 2 2
x + y + 2xy x + y , x − y  0 x + y (x+ y)2 2 2 2 2 x − y x − y = A =  = B 2 2 2 2
2xy + x + y x + y
Bài 89: Cho x, y > 0 thỏa mãn điều kiện: 2 3 3 4
x + y x + y , Chứng minh rằng: 3 3
x + y  2 , Dấu bằng xảy ra khi nào? HD:
Áp dụng BĐT côsi cho hai số dương ta có: 3 2 2 4 3
x + x  2x , y + y  2y , Do vậy 3 2 4 2 3 2
x + x + y + y x + y = x + y  ( 2 3 x + y ) + ( 2 3 3 4
x + y − x − y ) 2 3 2 2  x + y ,( 2 3 3 4
x + y x + y ) Mà: 2 4 2 x +1 2 ,
x y +1 2y , nên 2 4 2 2 3 2 3 3 4
1+ x +1+ y  2x + 2y  2x + 2y x + y + x + y Do vậy 3 3 x + y  2
Dấu bằng xảy ra khi: x = y = 1 Trang 12
Bài 90: Chứng minh BĐT sau: 2 2
x + y − xy x + y −1 HD: Ta có: 2 2
x + y − xy x + y − = ( 2 2 1
2 x + y − xy)  2(x + y− ) 1 2 2
= 2x + 2y − 2xy  2x + 2y − 2 = ( 2 2
x − xy + y ) + ( 2
x − x + ) + ( 2 2 2 1 y − 2y + ) 1  0
Bài 91: Cho a, b là các số dương thỏa mãn: 3 3 5 5
a + b = a + b , Chứng minh rằng: 2 2
a + b  1+ ab HD: Ta có: 2 2 2 2
a + b  + ab = a + b − ab  = (a+ b)( 2 2 1 1
a + b − ab)  a+ b 3 3
= a + b a + b = ( 3 3 a + b )( 3 3
a + b )  (a+ b)( 5 5 a + b ) 3 3 5 5
= 2a b ab + a b
= ab(a − a b + b )  = ab(a − b )2 4 2 2 4 2 2 2 0  0, , a b  0
Bài 92: Cho các số a, b, c  0;1   , chứng minh rằng: 2 3
a + b + c − ab − bc − ca  1 HD: Do a, b,c  0;1   , nên: (1− )
a (1− b)(1− c)  0 = 1− a− b − c + ab + bc + ca− abc  0
= a+ b + c − ab − bc − ca  1− abc  1 Do 2 3 , a ,
b c 0;1 = b  , b c  c   , từ đó ta có: 2 3
a + b + c − ab − bc − ca a + b + c − ab − bc − ca  1 Trang 13
Dạng 2 : SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ Các BĐT phụ hay dùng : (a +b)2 x y 2 2 a + b
(x + y)2  4xy +  2 2 y x 1
Bài 1: Cho a + b > 1, CMR : 4 4 a + b  8 HD: 2 2
a + b + 2ab 1 1 Ta có: (a + b)2 2 2 1 = 
= a + b  2 2
a + b − 2ab  0 2  1 1
a + b + 2a b  1 1 => (a + b ) 4 4 2 2 2 2 2 4 4  = 
4 = 2a + 2b  , Vậy 4 4 a + b  4 4 8 4 2 2 2
a +b −2a b  0 1 Bài 2: Cho a + b = 1, CMR : 2 2 a + b  2 HD: 2 2
a + 2ab + b =1 1 Ta có: (a + b)2 2 2 2 2 =1 = 
= 2a + 2b 1 = a + b  2 2
a − 2ab + b  0 2
Bài 3: Cho a + b > 2, CMR : 2 2 a + b  2 HD: 2 2
a + 2ab +b  4 Ta có: (a + b)2 2 2 2 2  4 = 
= 2a + 2b  4 = a + b  2 2 2
a − 2ab + b  0 Bài 4: Cho 2 2
a + b  2 , CMR: a + b  2 HD: 2 2 a +b  2 Ta có:  2 2 2 2
a + b  2ab = 2ab a + b  2
Cộng theo vế ta được: a + b + ab  = (a + b)2 2 2 2 4
 4 = a + b  2
Bài 5: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác, CMR: 2 2 2
a + b + c  2(ab + bc + ca) HD:
Ta có: Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác nên ta có: 2
a b + c
a ab + ac   2 2 2 2 b
  a + c = b
  ab + bc = a + b + c  2(ab + bc + ac)   2
c a + b
c ac + bc  1
Bài 6: Cho a, b là hai số thực bất kỳ có tổng bằng 1, CMR: 3 3 a + b  4 HD:
Ta có: a + b = = b = − a = b = ( − a)3 3 1 1 1 => 3 3 3 2 3 2
a + b = a +1− 3a + 3a − a = 3a − 3a +1 2  1 3   1  1 1 2 = 3 a − a + + = 3 a − +       4 4   2  4 4 Trang 14 1 1 1 1
Bài 8: Cho a, b, c > 0, CMR : + +  3 3 3 3 3 3
a + b + abc b + c + abc c + a + abc abc HD: Ta có: 3 3 + = ( + )( 2 2 a b
a b a − ab + b )  (a + b)ab , Do 2 2
a − ab + b ab Khi đó 3 3
+b + abc  (a + b)ab + abc = ab(a + b + c)
Chứng minh tương tự ta có: 3 3
b + c + abc bc (a + b + c) và 3 3
c + a + abc ac (a + b + c) 1  1 1 1  1 a + b + c 1 Khi đó ta có: VT  + + = . =  
a + b + c ab bc ca a + b + c abc abc a b c 3
Bài 10: Cho a, b, c > 0, CMR : + + 
b + c c + a a + b 2 HD:
x = a + b   
Từ ( x + y + z) 1 1 1 + +  9  
, Đặt y = b + c x y z
z = c + a   
=> (a + b + c) 1 1 1 2 + +  9  
a + b b + c c + a
a + b + c a + b + c a + b + c 9 c a b 9 3 <=> + +  => + +  − 3 = a + b b + c c + a 2
a + b b + c c + a 2 2 a b 1 3
Bài 11: Cho a, b > 0, CMR : + + 
b +1 a +1 a + b 2 HD:  a   b   1    Ta có: +1 + +1 + +1 + 3       = (a + b + ) 1 1 1 9 3 1 + + − 3  − 3 =    b +1   a +1   a + b
a + b a +1 b +1 2 2 3 Bài 15: CMR : 2 2 2
a + b + c +  −a − b − c 4 HD:  1   1   1  Ta có: 2 2 2 a + a + + b + b + + c + c +  0        4   4   4  1 1 1
Bài 16: Cho a, b, c dương có tổng là 1, CMR : + +  9 a b c HD:  
Vì (a + b + c) = = (a + b + c) 1 1 1 1 + +  9    a b c  4 4 2 2 x y x y x y
Bài 18: Cho x, y, z > 0, CMR : + − − + +  2 4 4 2 2 y x y x y x HD: 4 4 x y x y 2 2  x y  Ta có: +
 2 , Tương tự +  2 và − +   2 − 4 4 y x y x 2 2  y x
Cộng theo vế ta có: VT  2 + 2 − 2 = 2
Bài 19: Cho a, b là các số dương thỏa mãn: a + b < ab, CMR : a + b > 4 HD: a + b a + b ab 4 Ta có: (a + b)2 4  4ab = 
Do a + b ab =  =1 =1 
= a + b  4 ab a + b ab ab a + b Trang 15
Bài 21: Cho a, b, c thỏa mãn: 2 2 2
a + b + c = 3, CMR: ab + bc + ca + a + b + c  6 HD: 2 2
a + b  2ab  Ta có: 2 2 b
 + c  2bc = 2( 2 2 2
a + b + c )  2(ab + bc + ca) = 2.3  2(ab + bc + ca)  2 2
c + a  2ac
=> ab + bc + ca  3 (1) 2 a +1 2a  Mặt khác: 2 b
 +1 2b = 3+ 3  2(a + b + c) = a + b + c  3 (2)  2 c +1  2c
Cộng (1) và (2) theo vế ta được ĐPCM 2 2 x y 1 Bài 22: CMR: +
 , với mọi x, y là số thực 4 4 1+16x 1+16y 4 HD: 2 x 1 Ta có: 4 4 2 2
1+16x  2. 16x = 2.4x = 8x =  (1) 4 1+16x 8 2 2 y y 1 Tương tự:  = (2) 4 2 1+16y 8y 8 1
Cộng theo vế ta được : VT  4 2 2 a − b a − b
Bài 24: CMR: với a,b > 0 và a > b > 0 thì  2 2 a + b a + b HD: a − b
(a −b)(a +b) 2 2 a − b Ta có: = = , Mà 2 2 2 2
a + 2ab + b a + b a + b (a +b)2 (a +b)2 2 2 a − b Khi đó VT  2 2 a + b
Bài 25: Cho 3 số a,b,c dương thoă mãn: a + b + c = 4, CMR : a + b abc HD:
Ta có: (a + b)2  4ab = (a +b) 2 + c  4 
(a +b)c =16  4(a +b)c
=  (a + b)c = (a + b)  (a + b) c = (a +b)  ( ab)2 2 4 4 4 2 c = 4abc
=> a + b abc
Bài 26: Cho 2 số x, y > 0 thỏa mãn: 3 3
x + y = x − y , CMR : 2 2 x + y  1 HD: Ta có: 3 3 2 2
x + y  = x − y  = x + y  = (x − y)( 2 2 x + y ) 3 3 0 0 1  x + y 3 2 2 3 3 3
= x + xy − x y − y x + y 3 2 2
= y + x y − xy  = y ( 2 2 2 0
2y + x − xy)  0 1 Bài 27: Cho a + b = 1, CMR: 2 2 a + b  2 HD: 2 2
a + 2ab + b =1 1 Ta có: (a + b)2 2 2 2 2 =1 = 
= 2a + 2b 1= a + b  2 2
a − 2ab + b  0 2 Trang 16 1 Bài 28: Cho a + b = 1, CMR: 4 4 a + b  8 HD: 2 2
a + 2ab +b =1 1 Ta có: 2 2 2 2 
= 2a + 2b 1 = a + b  2 2
a − 2ab + b  0 2  1 4 4 2 2
a + b + 2a b  1 1 Mặt khác: 4 4 4 4 
4 = 2a + 2b  = a + b  4 8 4 4 2 2
a +b −2a b  0
Bài 30: Cho a, b, c thỏa mãn: 2 2 2
a + b + c = 1, CMR: abc + 2(1+ a + b + c + ab + bc + ca)  0 HD: Vì 2 2 2
a + b + c = 1 = a , b , c  1 = 1
−  x, y, z  1 Khi đó: (a + ) 1 (b + ) 1 (c + )
1  0 = abc + ab + bc + ca + a + b + c +1  0 (1)
Mà (a + b + c + )2 = (a + b + c)2 1
+ 2(a + b + c) +1 0 2 2 2
= a + b + c + 2(ab + bc + ca) + 2(a + b + c) +1 0
= ab + bc + ca + a + b + c +1  0 (2)
Cộng (1) và (2) theo vế ta được: abc + 2(ab + bc + ca + a + b + c + ) 1  0 Trang 17
Dạng 4: SẮP SẾP CÁC BIẾN VÀ BĐT TAM GIÁC: a b c
Bài 1: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác, CMR: + +  2
b + c c + a a + b HD : a a 2a Ta có : 1 =  b + c b + c a + b + c b b 2b c 2c
2(a + b + c) Tương tự ta có: 1 =  , 
, cộng theo vế VT  = 2 c + a c + a
a + b + c a + b a + b + c a + b + c a b c
Bài 2: Cho a, b, c > 0, CMR: 1  + +  2
a + b b + c c + a HD : a a a + c b b b + a c c c + b Ta có :   và   và   a + b + c a + b a + b + c a + b + c b + c a + b + c a + b + c c + a a + b + c
Cộng theo vế ta được : a b c a + b b + c c + a + +  M  + +
a + b + c a + b + c a + b + c
a + b + c a + b + c a + b + c a + b + c
2(a + b + c)  M  =1 M  2 a + b + c a + b + c a b c d
Bài 3: Cho a, b, c, d > 0, CMR: 1  + + +  2
a + b + c b + c + d
c + d + a d + a + b HD : a a a + d b b a + b Ta có :   và  
a + b + c + d a + b + c
a + b + c + d
a + b + c + d b + c + d
a + b + c + d c c c + b +   d d d c và  
a + b + c + d c + d + a
a + b + c + d
a + b + c + d d + a + b
a + b + c + d Cộng theo vế ta có :
a + b + c + d
2(a + b + c + d )  M  =1 M  2
a + b + c + d
a + b + c + d a + b b + c c + d d + a
Bài 4: Cho a, b, c, d > 0, CMR: 2  + + +  3
a + b + c b + c + d
c + d + a d + a + b HD : a + b a + b a + b + d Ta có :  
a + b + c + d a + b + c
a + b + c + d Chứng minh tương tự : b + c b + c b + c + a + + + +   c d c d c d b ,  
a + b + c + d b + c + d
a + b + c + d a + b + c + d c + d + a
a + b + c + d d + a d + a d + a + c Và  
a + b + c + d d + a + b
a + b + c + d Cộng theo vế ta có :
2(a + b + c + d )
3(a + b + c + d )  M
a + b + c + d
a + b + c + d a b c
Bài 5: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác, CMR:1  + +  2
b + c c + a a + b HD : a a a + a b b b + b c c c + c Ta có :   và   và   a + b + c b + c a + b + c a + b + c c + a a + b + c a + b + c a + b a + b + c a + b + c
2(a + b + c)
Cộng theo vế ta được :  M a + b + c a + b + c Trang 18 a b c 3
Bài 6: CMR nếu a, b, c > 0 thì + + 
b + c c + a a + b 2 HD : b  + c = x   
Áp dung BĐT : ( x + y + z) 1 1 1 + +  9  
, Đặt c + a = y = x + y + z = 2(a + b + c)  x y z
a +b = z   
a + b + c a + b + c a + b + c
Khi đó ta có : (a + b + c) 1 1 1 9 2 + +  9 = + +   
a + b b + c c + a a + b b + c c + a 2 => ĐPCM a b c
Bài 7: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác, CMR: + +  3
b + c − a a + c − b a + b − c HD : b
 + c − a = x
x + y = 2c  
y + z x + z x + y
Đặt : a + c − b = y = y + z = 2a , Khi đó : 2A = + +  x y z a b c z  + − =
z + a = 2b  
x y   z x   z y  = + + + + +  6 = A  3      
y x   x z   y z
Bài 8: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác, 1 1 1 1 1 1 CMR: + +  + +
a + b − c b + c − a c + a − b a b c HD : 1 1 4 2 Áp dụng BĐT Schawzr : +  =
a + b − c b + c − a 2b b Tương tự ta có : 1 1 2 +  1 1 2 và +
 , Cộng theo vế ta được : ĐPCM
b + c − a c + a − b c
c + a − b a + b − c a
Bài 9: CMR với a, b, c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác và p là nửa chu vi của tam giác đó thì: 1 1 1  1 1 1  + +  2 + +   p − a p − b p − ca b c  HD : 1 1 4 4 Ta có : +  = p − a p − b
2 p − a − b c 1 1 4 1 1 4 Tương tự ta có : +  và +  p − b p − c a p − c p − a b
Cộng theo vế ta được điều phải chứng minh abc
Bài 10: Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là a, b, c chu vi là 2p, CMR:
 ( p − a)( p −b)( p − c) 8 HD :
Ta có : ( p − a) + ( p − b)  2 ( p − a)( p − b) = c  2 ( p − a)( p − b)
Chứng minh tương tự ta có : a  2 ( p − b)( p − c) và b  2 ( p − a)( p − c)
Nhân theo vế ta được : abc  8( p − a)( p − b)( p − c) Trang 19
Bài 11: CMR: Nếu a, b, c là chiều dài ba cạnh của tam giác thì: 2 2 2
ab + bc + ca a + b + c  2(ab + bc + ca) HD : Ta chứng minh : 2 2 2
a + b + c ab + bc + ca
Chuyển vế ta được : a + b + c − ab − bc − ca  = (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 2 2 2 0  0 Ta chứng minh : 2 2 2
a + b + c  2(ab + bc + ca) 2
a b + c
a ab + ac   Ta có : 2 b
  a + c = b
  bc + ba , Cộng theo vế ta được : 2 2 2
a + b + c  2(ab + bc + ca)   2
c a + b
c ac + bc
Bài 12: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác, CMR: abc  (a + b − c)(b + c − a)(c + a − b) HD :
Ta có : (a + b − c) + (b + c − a)  2 (a + b − c)(b + c − a) = 2b  2 (a + b − c)(b + c − a)
Tương tự ta có : 2c  2 (b + c − a)(c + a − b) và 2a  2 (a + b − c)(c + a − b)
Nhân theo vế ta được ĐPCM
Bài 13: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác, CMR: 4 4 4
a + b + c  ( 2 2 2 2 2 2
2 a b + b c + c a ) HD : Ta có : 4 4 4 2 2 2 2 2 2 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2
a + b + c − 2a b − 2b c − 2c a  0 = a + b + c + 2a b − 2b c − 2c a − 4a b  0
= (a +b −c )2 −( ab)2 2 2 2  = ( 2 2 2
a + b − c + ab)( 2 2 2 2 0 2
a + b − c − 2ab)  0
= (a + b + c)(a + b − c)(a − b + c)(a − b − c)  0 (Luôn đúng ) b c a a b c
Bài 14: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác, CMR: + +  + + với a b c a b c b c a HD :
Nhân 2 vế với a, b, c ta có : 2 2 2 2 2 2
b c + c a + a b a c + ab + bc = c( 2 2
b − a ) + a( 2 2
c − b ) + b( 2 2
a − c )  0 = (c − a)(b − c)(b − a)  0 Đúng
Bài 15: CMR với a, b, c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác thì:  ( + − )2 2 2 2 2 2 4a b a b c HD : Xét hiệu : 2 2 a b − ( 2 2 2
a + b − c )  = ( 2 2 2
ab + a + b − c )( 2 2 2 4 0 2
2ab − a − b + c )  0
= (a + b + c)(a + b − c)(c + a −b)(c − a + b)  0 đúng
Bài 16: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác, CMR: ( − )2 + ( − )2 + ( + )2 3 3 3 a b c b c a
c a b a + b + c HD :
Ta xét : a (b − c)2 − a = a (b − c)2 3 2
− a  = a (b − c − a)(b − c + a)  0  
Chứng minh tương tự ta có : Tổng của 3 số âm là 1 số âm 1 Bài 17: Cho 2 2 2
a + b + c = 1,CMR : a + b + c  3 HD :  1  2 1 2 2 a = x +
a = x + .x +  3  3 9    1  2 1 2 2 b  = y + = b  = y + .y + Đặt 3 3 9  
Cộng theo vế ta được :  1  2 1 2 2 c = z +
c = z + .z +  3    3 9 Trang 20

Tài liệu liên quan: