69 trang 14 lượt tải

Chuyên đề cấp số cộng môn Toán 11 định hướng cấu trúc mới

27

Tài liệu gồm 69 trang, được biên soạn bởi thầy giáo Lê Bá Bảo, bao gồm lý thuyết và bài tập chuyên đề cấp số cộng môn Toán 11 định hướng cấu trúc mới.

Chủ đề: Tài liệu chung Toán 11 85 tài liệu

Môn: Toán 11 3.6 K tài liệu

Tác giả:

Profile

Linh Đan

1 tháng trước
Tải xuống Chia sẻ Báo cáo
Danh sách Quiz
Tải xuống
/69
CẤP SỐ CỘNG
TOÁN 11
LÊ BÁ BẢO
TRƯỜNG THPT ĐẶNG HUY TRỨ - ADMIN CLB GIÁO VIÊN TRẺ TP HUẾ
Chuyên đề DÃY SỐ - CẤP SỐ
LUYỆN THI THPT QUỐC GIA
CẬP NHẬT TỪ ĐỀ THI MỚI NHẤT
.d
d
( )
n
u
d
1
,2
nn
u u d n
−
= +
( )
n
u
1
u
d
n
u
( )
1
1
n
u u n d= + −
12
,,
k k k
u u u
++
( )
n
u
2
1
2
kk
k
uu
u
+
+
+
=
n
( )
n
u
.d
1 2 3
... .
nn
S u u u u= + + +
( )
( )
1
1
21
22
n
n
n u n d
n u u
S

+−
+

==
( )
n
u
32
n
un=+
2
n
un=
( )
n
u
32
5
n
n
u
+
=
3
n
n
u =
73
2
n
n
u
−
=
3
1
2
n
n
u =−
( )
n
u
( )
( )
1
1
3 2 1
nn
u a a
u u n
+
=
= −
a
( )
n
u
( )
n
u
1 5 3
16
10
17
u u u
uu
+ − =
+=
1 2 3
222
1 2 3
27
275
u u u
uuu
+ + =
+ + =
5 2 5
47
1
10
1
10
S S u
Su
− − =
+=
( )
n
u
7 15 3
1 64
10
11
u u u
uu
+ − =
+ = −
7 15
22
4 12
60
1170
uu
uu
+=
+=
1 3 5
1 2 3
12
8
u u u
u u u
+ + = −
=
53
24
4
.3
uu
uu
− = −
=−
73
27
8
. 75
uu
uu
−=
=
1 2 3
2 2 2 2 2
1 2 3
...
...
n
n
u u u u a
u u u u b
+ + + + =
+ + + + =
( )
n
u
3 14
15, 18 uu= − =
20
S
( )
n
u
1
17, 3 ud==
20
u
20
S
( )
n
u
6 11
17, 1 uu= = −
d
11
S
()
n
u
1 4 7 10 13 16
147u u u u u u+ + + + + =
1 6 11 16
u u u u+ + +
( )
n
u
5 19
90uu+=
( )
n
u
2 2 2 2 2 2
;;x b bc c y c ca a z a ab b= + + = + + = + +
,, a b c
22
2 2 ;+ = +a bc c ab
( )
2
2
8 2 .+ = +a bc b c
log , log , log
x y z
a b c
( )
2log log
log 0 , , , , , 1
log log
ac
b
ac
xz
y x y z a b c
xz
=
+
x
,, a b c
2
10 3 ; 2 3; 7 4 .= − = + = −a x b x c x
2
1; 3 2; 1a x b x c x= + = − = −
2 2 2
; ; .= − = − = −x a bc y b ca z c ab
1 1 1
;; x y z
b c c a a b
= = =
+ + +
,, a b c
( )
( ) ( )
22
2 2 2
36a b c a b a b c+ + − − = + +
2 2 2
,, a b c
1 1 1
;; x y z
a b b c c a
= = =
+ + +
1 2 3 4
, , , u u u u
1 4 2 3
6u u u u−
( )( )
( )
( )
1 2 3 4
9= − − − − +A x u x u x u x u
x
32
4 6 6 14 6 0x x x− + − =
m
( )
42
2 2 2 3 0x m x m− + + + =
( )
42
3 24 26 0x x m x n+ − + − − =
m
n
1 2 3
,,x x x
32
15 71 105 0x x x− + − =
m
32
3 9 0− − + =x x x m
m
( )
42
2 1 2 1 0− + + + =x m x m
15 20 25 ... 7515.= + + + +A
2 2 2 2 2 2
1000 999 998 997 ... 2 1 .B = − + − + + −
n
( )
1 4 7 ... 3 2 590n+ + + + − =
( )
32n −
n
(2 1) (2 2) ... 3 2265n n n+ + + + + =
2 1, 2 2,..., 3 n n n++
2 7 12 ... 245n+ + + + =
n
23
,,
n n n
S S S
, 2 , 3 n n n
( )
32
3
n n n
S S S=−
,, a b c
cot .cot 3
22
AC
=
tan .tan 6AB=
tan .tan 3AC=
tan , tan , tan A B C
tan , tan , tan A B C
cot , cot , cot
2 2 2
A B C
,, a b c
cot , cot , cot A B C
2 2 2
,, a b c
,, a b c
3
tan tan .
2 2 2

=−


CA
dr
( )
n
u
, mk
mk
2
k m k m
k
uu
u
−+
+
=
( )
1
1
1
:
2, 1
n
nn
u
u
u u n
+
=
= +
( )
1
1
3
:
2 1, 1
n
nn
u
u
u u n
+
=
= +
( )
:
n
u
1
3
6
10
15
( )
:
n
u
1−
1
1−
1
1−
1
u
d
2n
1n
u u d=+
( )
1
1
n
u u n d= + +
( )
1
1
n
u u n d= − −
( )
1
1
n
u u n d= + −
1
1u =
1
2
nn
uu
−
=+
( )
,1nn
5
9u =
3
4u =
2
2u =
6
13u =
( )
n
a
1
4a =
2
7a =
100
a
( )
n
b
1
1b =
2
6b =
100
b
32
20
33
53
( )
n
u
2
3u =
4
7u =
15
u
27
31
35
29
( )
n
u
1
3u =
5d =
4
23.=u
4
18.=u
4
8.=u
4
14.=u
( )
n
u
1
3u =
5
19u =
12
u
12
51u
12
57u
12
47u
12
207
5
u
( )
n
u
1
3u =
2d =
5
u
11.
15.
12.
14.
( )
n
u
5 20
15; 60uu= − =
1
,ud
1
35, 5ud= − = −
1
35, 5ud= − =
1
35, 5ud= = −
1
35, 5ud==
1
u
d
( )
n
u
92
5uu=
13 6
25uu=+
1
3u =
4d =
1
3u =
5d =
1
4u =
5d =
1
4u =
3d =
( )
n
u
2d =−
8
72S =
1
u
1
16u =
1
16u =−
1
1
16
u =
1
1
16
u =−
( )
n
u
4
46
10
26
u
uu
=
+=
3d =−
3d =
5d =
6d =
(u )
n
2 3 5 7
20, 29u u u u+ = + = −
1
,ud
1
20; 7ud==
1
20,5; 7ud==
1
20,5; 7ud= = −
1
20,5; 7ud= − = −
( )
n
u
4
12u =−
14
18u =
16
16
24S =−
16
26S =
16
25S =−
16
24S =
( )
n
u
5
18=u
2
4 =
nn
SS
1
u
d
1
2=u
4=d
1
2=u
3=d
1
2=u
2=d
1
3=u
2=d
( )
n
u
13
8u =
3d =−
( )
n
u
50
28
38
44.
( )
n
u
5
18u =
2
4
nn
SS=
1
u
d
1
2u =
3d =
1
3u =
2d =
1
2u =
2d =
1
2u =
4d =
1
1u =
2d =−
n
9800
n
S =−
n
100.
99.
101.
98.
( )
n
u
5 3 2
74
3 21
3 2 34
u u u
uu
+ − = −
− = −
15
244−
274−
253−
285−
5
x
15
y
32xy+
50
70
30
80
x
2
1 ; ;1x x x−+
5.=x
2x =
1x =
0x =
x
2
1 2 ; 2 1; 2x x x+ − −
3x =
3
2
x =
3
4
x =
2=x
2
22
5
7; 12; 17
6; 10;14
8;13;18
6;12;18
4
1
3
16
3
4 5 6 7
; ; ;
3 3 3 3
4 7 10 13
; ; ;
3 3 3 3
4 7 11 14
; ; ;
3 3 3 3
3 7 11 15
; ; ;
4 4 4 4
3
15
;1;
33
17
;1;
44
35
;1;
44
13
;1;
22
( )
n
u
5
15u =−
20
60u =
20
S
20
20
600S =
20
60S =
20
250S =
20
500S =
( )
n
u
2 3 5
46
10
26
u u u
uu
− + =
+=
1 4 7 2011
....= + + + +S u u u u
2023736S =
2023563S =
6730444S =
6734134S =
( )
n
u
1
2017u =−
3d =
674
u
672
u
675
u
673
u
( )
n
u
1
5u =
50
5150
n
u
14
n
un=+
5
n
un=
32
n
un=+
23
n
un=+
( )
n
u
1
3u =
7d =
( )
n
u
2018
287
289
288
286
( )
n
u
1
1; 2; 483.
n
u d S= − = =
20n =
21n =
22n =
23n =
n
2
43
n
S n n=+
*
n
10
95.u =
10
71.u =
10
79.u =
10
87.u =
( )
n
u
2013 6
1000uu+=
1009000
100800
1008000
100900
, , a b c
22
22a c ab bc+ = +
22
22a c ab bc− = −
22
22a c ab bc+ = −
22
a c ab bc− = −
, , a b c
22
2 2 2a c ab bc ac+ = + +
22
2 2 2a c ab bc ac− = + −
22
2 2 2a c ab bc ac+ = + −
22
2 2 2a c ab bc ac− = − +
, , a b c
22
2 , ,b a c
2 , 2 , 2bac− − −
2 , ,bac
2 , ,bac−−
1 8 15 22 7944.+ + + ++ =x
330x =
220x =
351x =
407x =
4
, , ,a b c d
4
4
24
3 3 3 3
P a b c d= + + +
64.=P
80.=P
16.=P
79.=P
( )
n
u
1
4u =
1 2 2 3 3 1
.++u u u u u u
20
6
8
24
( )
n
u
n
S
n
7
77S =
12
192S =
n
u
54
n
un=+
32
n
un=+
23
n
un=+
45
n
un=+
2
22
5
6
12
18
8
13
18
7
12
17
6
10
14
7; 12; 17
6; 10;14
8;13;18
6;12;18
1
3
16
3
4 5 6 7
; ; ;
3 3 3 3
4 7 10 13
; ; ;
3 3 3 3
4 7 11 14
; ; ;
3 3 3 3
3 7 11 15
; ; ;
4 4 4 4
n
2
34
n
S n n=+
*n
10
10
55u =
10
67u =
10
61u =
10
59.u =
28
276
585
161
404
276
()
n
u
1
1u =
100
24850
1 2 2 3 49 50
1 1 1
...S
u u u u u u
= + + +
123S =
4
23
S =
9
246
S =
49
246
S =
( )
n
u
1
1u =
100
14950
2 1 1 2 3 2 2 3 2018 2017 2017 2018
1 1 1
...S
u u u u u u u u u u u u
= + + +
+ + +
11
1
3
6052

−


1
1
6052
−
2018
1
ABC
a
b
c
2
a
2
b
2
c
2
tan A
2
tan B
2
tan C
2
cot A
2
cot B
2
cot C
cos A
cos B
cos C
2
sin A
2
sin B
2
sin C
ABC
25
65 ,90
75 ,80
60 ,95
60 ,90
ABCD
4
A
75 ,120 , 65
72 ,114 ,156
3240
1
81
82
80
79
465
1
2
3
31
30
29
28
3003
1
2
3
77
79
76
78
10
210
39
100
270
2018
900
1,3,5,...
59.
30.
61.
57.
n
158 cm
3 d cm=
44 cm
n
7.=n
5.=n
6.=n
4.=n
30
15
4
2250
1740
4380
2190
42
8
400
47
45
44
46
01
100
01
01
2016
100
01
01
2016
30
4
2016
738.100
726.000
714.000
750.300
X
500
1
1
25250
250500
12550
125250
17
01
5
2018
3850000
1000
01
02
2018
1000
30
4
2018
4095000
89000
4005000
3960000
( )
n
u
32
n
un=+
2
n
un=
( ) ( )
*
1
: 3 1 2 3 2 3 cosnt
nn
n u u n n
+
− = + + − + = =


( )
n
u
3d =
1
5u =
( )
2
*2
1
: 1 2 1 cosnt
nn
n u u n n n
+
− = + − = +
( )
n
u
( )
n
u
32
5
n
n
u
+
=
3
n
n
u =
73
2
n
n
u
−
=
3
1
2
n
n
u =−
( )
n
u
( )
( )
1
1
3 2 1
nn
u a a
u u n
+
=
= −
a
( )
n
u
( )
n
u
*
1
: cosnt
nn
n u u d
+
− = =
3 2 1
3
cosnt
n n n
d
u u d u − − = = − =
( )
n
u
0d =
11
3
d
a− = =
( )
n
u
1a =
1a =
( )
n
u
( )
( )
1
*
1
1
1
3 2 1
n
nn
ua
un
u u n
+
=
=
= −
( )
n
u
0d =
( )
n
u
1 5 3
16
10
17
u u u
uu
+ − =
+=
1 2 3
222
1 2 3
27
275
u u u
uuu
+ + =
+ + =
5 2 5
47
1
10
1
10
S S u
Su
− − =
+=
( ) ( )
( )
1 1 1
1 5 3
1
1
1 6 1
11
4 2 10
10
2 10
16
17 2 5 17
3
5 17
u u d u d
u u u
ud
u
u u u d
d
u u d
+ + − + =
+ − =
+=
=
+ = + =
=−
+ + =

( ) ( )
( ) ( )
1 1 1
1 2 3
22
222
2
1 2 3
1 1 1
2 27
27
275
2 275
+ + + + =
+ + =


+ + =
+ + + + =
u u d u d
u u u
uuu
u u d u d
1
22
11
9
3 6 5 275
(1)
(2)
+=
+ + =
ud
u u d d
1
9ud=−
22
11
3 6 5 275u u d d+ + =
( ) ( )
2
2 2 2
4
3 9 6 9 5 275 2 32 16
4
d
d d d d d d
d
=
− + − + = = =
=−
1
45du= =
1
4 13du= − =
( )
n
u
1
5
4
u
d
=
=
1
13
4
u
d
=
=−
( ) ( )
( )
( )
( )
11
5 2 5 1
1
47
1
5 2 4 2 2
11
4
10 2 2 10
1
4 2 3
1
6
10
2 10
u d u d
S S u u d
ud
Su
ud
++
− − = − − + =


+

+=
+ + =
11
1
12
25
10 35
13
59
10 70
u d u
u d d

+ = = −





+ = =


( )
n
u
7 15 3
1 64
10
11
u u u
uu
+ − =
+ = −
7 15
22
4 12
60
1170
uu
uu
+=
+=
1 3 5
1 2 3
12
8
u u u
u u u
+ + = −
=
53
24
4
.3
uu
uu
− = −
=−
73
27
8
. 75
uu
uu
−=
=
1 2 3
2 2 2 2 2
1 2 3
...
...
n
n
u u u u a
u u u u b
+ + + + =
+ + + + =
( )
n
u
3 14
15, 18 uu= − =
20
S
( )
n
u
1
17, 3 ud==
20
u
20
S
( )
n
u
6 11
17, 1 uu= = −
d
11
S
()
n
u
1 4 7 10 13 16
147u u u u u u+ + + + + =
1 6 11 16
u u u u+ + +
( )
n
u
5 19
90uu+=
( )
n
u
1 2 3 4 5 6 7 8
, , , , , , , u u u u u u u u
d
11
1
8 8 1
77
7
35 7 35
4
uu
u
u u u d
d
==
=


= = + =
=

2 3 4 5 6 7
11, 15, 19, 23, 27, 31 u u u u u u= = = = = =
A B C D
0
180A B C D+ + + =
, , , A B C D
( )
00
4
4
180 90
2
AD
S A B C D A D
+
= + + + = = + =
4DA=
0 0 0 0 0
5 90 18 72 3 72 3 18A A D A d d A= = = = + = − =
00
36 , 2 54 B A d C A d= + = = + =
n
( )
0
2 .180n −
2 2 2 2 2 2
;;x b bc c y c ca a z a ab b= + + = + + = + +
( ) ( )
( )
2 2 2 2 2 2 2
2x z b bc c a ab b b c a b a c+ = + + + + + = + + + +
2a c b + =
( )
( )
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 4 2 2x z b c a b c a b c a a c c ca a y + = + + + = + + = + + + = + + =
,, a b c
22
2 2 ;+ = +a bc c ab
( )
2
2
8 2 .+ = +a bc b c
,, a b c
2a c b+=
( ) ( )
2 2 2 2 2 2
22a bc a a c c a ac c c a a c c ab + = + + = + + = + + = +
,, a b c
2a c b+=
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2 2
8 4 4 4 2 2a bc a c a c a ac c a c a c c b c + = + + = + + = + = + + = +
log , log , log
x y z
a b c
( )
2log log
log 0 , , , , , 1
log log
ac
b
ac
xz
y x y z a b c
xz
=
+
2log .log
1 1 2
log log 2log log
log log log log log
ac
x z y b
a c b a c
xz
a c b y
x z y x z
+ = + = =
+
x
,, a b c
2
10 3 ; 2 3; 7 4 .= − = + = −a x b x c x
2
1; 3 2; 1a x b x c x= + = − = −
2 2 2
; ; .= − = − = −x a bc y b ca z c ab
1 1 1
;; x y z
b c c a a b
= = =
+ + +
,, a b c
( )
( ) ( )
22
2 2 2
36a b c a b a b c+ + − − = + +
2 2 2
,, a b c
1 1 1
;; x y z
a b b c c a
= = =
+ + +
1 2 3 4
, , , u u u u
1 4 2 3
6u u u u−
( )( )
( )
( )
1 2 3 4
9= − − − − +A x u x u x u x u
x
1 4 2 3
u u u u+ = +
( )( )
( )
( ) ( )
( )
22
1 2 3 4 1 4 1 4 2 3 2 3
x u x u x u x u x u u x u u x u u x u u
− − − − = − + + − + +
( )
( )
22
1 4 2 3
t x u u x x u u x= − + = − +
( )
( ) ( )
2
1 4 2 3 1 4 2 3 1 4 2 3
( ) 9 9f t t u u t u u t u u u u t u u u u= + + + = + + + +
( ) ( )
22
1 4 1 3 1 2 3 4 1 4 2 3
4 36 36
t
u u u u u u u u u u u u = + − − = − −
1 4 2 3
6 0 ( ) 0
t
u u u u f t t−
x
32
4 6 6 14 6 0x x x− + − =
D =
1 2 3
,, x x x
( )( )
( )
32
1 2 3
4 6 6 14 6 4x x x x x x x x x− + − = − − −
1 3 2
2x x x+=
( )
3 2 3 2
1 2 3
4 6 6 14 6 4 4x x x x x x x x Mx N− + − = − + + + +
( )
1 2 3 2 2
6
4 6 6 12 6 6
2
x x x x x + + = = =
6
2
3 2 2
61
4 6 6 14 6 4 6 0
22
x x x x x x


− + − = − − + =




2
6
2
6
6
2
1
2
1
60
6
2
1
2
x
x
x
xx
x
=
=
= +
− + =
= − +
6 6 6
; 1 ; 1 .
2 2 2
x x x= = + = − +
m
( )
42
2 2 2 3 0x m x m− + + + =
D =
2
0tx=
( )
2
2 2 2 3 0t m t m− + + + =
(2)
12
, tt
12
0 tt
Δ0
3
0
2
1
0
(*)
m
S
m
P
−



−
( )
1 2 2 1 3 1 4 2 2 1 1 2
, , , x t x t x t x t t t t t= − = − = = − −
( )
4 1 3 2 2 1 2 1
3 3 9x x x x t t t t − = − = =
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
2
1
12
2
2
12
1
2
10 2 2
22
2
9 2 3 9 100
5
. 2 3
9 2 3
3
9 14 39 0
13
9
t m S
t t m S
m
m S P
t t m P
t m P
m
mm
m
= + =
+ = + =
+


= + =


= + =
= + =

=
− − =
=−
m
13
3, .
9
mm= = −
( )
42
3 24 26 0x x m x n+ − + − − =
m
n
1 2 3
,,x x x
D =
1 2 3
,, x x x
( )
1 0 2 0 3 0
, , 0 x x d x x x x d d= − = = +
( ) ( )( )
( ) ( )( )( )
32
1 2 3 0 0 0
3 24 26x x m x n x x x x x x x x d x x x x d+ − + − − = − − − = − + − − −
( )
( )
3 2 2 2 3 2
0 0 0 0
33x x x x d x x x d x= − + − − +
( )
00
0
2 2 2
0
2
32
00
3 3 1
1
3 24 3 24
1 26
26
xx
x
x d m d m
mn
dn
x x d n
− = = −
=−
− = − + − = − −
=

− = − −
− + = − −
mn=
32
15 71 105 0x x x− + − =
m
32
3 9 0− − + =x x x m
m
( )
42
2 1 2 1 0− + + + =x m x m
15 20 25 ... 7515.= + + + +A
2 2 2 2 2 2
1000 999 998 997 ... 2 1 .B = − + − + + −
15 20 25 ... 7515A = + + + +
1
15, 5 ud==
n
( )
1
7515 1 7515
n
u u n d= + − =
( )
15 1 5 7515 1501nn + − = =
( )
1501 15 7515
5.651.265
2
A
+
==
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
1000 999 998 997 ... 2 1B = − + − + + −
( ) ( ) ( )
1. 1000 999 1. 998 997 ... 1. 2 1
1999 1995 1991 ... 3
= + + + + + +
= + + + +
1999 1995 1991 ... 3B = + + + +
1
1999, 4 ud= = −
n
( )
1
3 1 3
n
u u n d= + − =
( )
1999 1 4 3 500nn − − = =
( )
500 1999 3
5.000.500
2
B
+
==
n
( )
1 4 7 ... 3 2 590n+ + + + − =
( )
32n −
21
3u u d− = =
32
k
un=−
( )
( )
( )
1
2
21
1 4 7 ... 3 2 590 2 1 3 1180
2
20
3 1180 0 20
59
3
(nhËn)
(lo¹i)
k u k d
n k k
k
k k k
k
+−


+ + + + − = = + − =


=
− − = =
=−
20 1
3 2 19 3 2 1 57 3 2 20u n u d n n n= − + = − + = − =
n
(2 1) (2 2) ... 3 2265n n n+ + + + + =
2 1, 2 2,..., 3 n n n++
2 7 12 ... 245n+ + + + =
n
23
,,
n n n
S S S
, 2 , 3 n n n
( )
32
3
n n n
S S S=−
,, a b c
cot .cot 3
22
AC
=
,, a b c
2a c b + =
sin sin 2sin 2sin 4sin
22
A-C B
os os
22
A C B
A C B c c
+
+ = =
( )
0
00
0
sin sin 90
22
180 90 *
22
90 sin
2 2 2
B
os
2
os os
A C B
c
A C B
A C B
A C B B
cc
+

= − =

+

+ = − = −
+

= − =


sin cos 2sin cos
2 2 2 2
A C A C A C A C+ − + +
=
cos 2sin cos 2cos
2 2 2 2
A C B A C A C− − +
= =
cos cos sin sin 2cos cos 2sin sin cos cos 3sin sin
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
A C A C A C A C A C A C
+ = − =
cot cot 3
22
AC
=
tan .tan 6AB=
tan .tan 3AC=
tan , tan , tan A B C
tan .tan 6
tan .tan 3
AB
AC
=
=
( ) ( )
tan tan tan tan 1
tan tan tan tan
1 tan tan 1 3 2
A C A C
B A C A C
AC
++
− = + = = = − +
−−
2
2 tan tan tan 2 tan tan 2 tan tan tanB A C A B A A C = + = +
22
2.6 2 tan 3 tan 9AA = + =
tan .tan 6 0AB=
tan .tan 3 0AC=
tan 0, tan 0, tan 0 A B C
tan 3, tan 2, tan 1 A B C= = =
tan , tan , tan A B C
1.d =
tan , tan , tan A B C
tan , tan , tan A B C
tan tan 2 tanA C B+=
( )
sin
sin 2sin sin
tan tan
cos .cos cos .cos cos cos .cos
AC
B B B
AC
A C A C B A C
+
+ = = =
( ) ( )
21
2cos .cos cos cos cos cos
cos cos .cos
A C B A C A C B
B A C
= = + + − =
( ) ( ) ( )
11
cos cos cos cos cos 2
22
B A C B B A C − + − = = −
( )
0 cos 1AC −
0 B π
3
π
B =
cot , cot , cot
2 2 2
A B C
,, a b c
sin cos sin
2 2 2
cot cot 2cot 2 2
2 2 2
sin sin sin cos
2 2 2 2
A C B A C
A C B
A C B A C
++
+ = = =
+
sin cos 2sin sin sin cos cos sin
2 2 2 2 2 2 2 2
A C A C A C A C A C A C A C+ + + − + +
= = −
( ) ( )
1
2sin cos cos sin 2sin sin sin
2 2 2 2 2
A C A C A C A C
A C A C
+ + − +
= + = +
sin sin 2sin 2A C B a c b + = + =
cot , cot , cot A B C
2 2 2
,, a b c
cot cot 2cotA C B+=
( )
( ) ( )
2
sin
2cos
sin 2sin sin cos cos cos cos
sin sin sin
AC
B
B B C B A C A C B
A C B
+
= = = − − +


( ) ( ) ( ) ( )
22
sin cos cos cos cos cos cos cosB A C B A C B A C A C B = − − + = − − + +
( )
( )
2 2 2 2 2
11
sin cos2 cos 2 1 sin 1 2sin 1 2sin 1 sin
22
B A C B A C B = − + + − = − − + − + −
2 2 2 2 2 2
2sin sin sin 2B A C b a c = + = +
,, a b c
3
tan tan .
2 2 2

=−


CA
dr
A
B
C
C
O
r
,, a b c
2
ca
d
−
=
cot cot cot cot
2 2 2 2
B C B C
a r r r

= + = +


cot cot
22
BA
cr

=+


( )
tan tan
1 1 1 1 1
22
cot cot 2
2 2 2 2 2
tan tan tan tan
2 2 2 2
CA
AC
d r r
A C A C
−

= − = − =


1
cot cot 3 tan tan
2 2 2 2 3
A C A C
= =
tan tan
13
22
: tan tan
1
2 2 2 2
3
CA
CA
d r r
−

= = −


( )
n
u
, mk
mk
2
k m k m
k
uu
u
−+
+
=
( )
1
1
1
:
2, 1
n
nn
u
u
u u n
+
=
= +
( )
1
1
3
:
2 1, 1
n
nn
u
u
u u n
+
=
= +
( )
:
n
u
1
3
6
10
15
( )
:
n
u
1−
1
1−
1
1−
1
2
nn
uu
+
−=
1n
1
u
d
2n
1n
u u d=+
( )
1
1
n
u u n d= + +
( )
1
1
n
u u n d= − −
( )
1
1
n
u u n d= + −
( )
1
1
n
u u n d= + −
2n
1
1u =
1
2
nn
uu
−
=+
( )
,1nn
5
9u =
3
4u =
2
2u =
6
13u =
1
2
nn
uu
−
=+
1
2
nn
uu
−
− =
( )
n
u
d2=
( )
1
1d
n
u u n= + −
21
duu=+
1 2 3= + =
31
2duu=+
1 2.2=+
5=
51
4duu=+
1 4.2=+
9=
61
5duu=+
1 5.2=+
11=
5
9u =
( )
n
a
1
4a =
2
7a =
100
a
( )
n
b
1
1b =
2
6b =
100
b
32
20
33
53
( )
n
a
1
4a =
2
7a =
100
a
( )
4 1 3 3 1
n
a n n= + − = +
( )
n
b
1
1b =
2
6b =
100
b
( )
1 1 5 5 4
m
b m m= + − = −
( )
3 5 1
3 1 5 4
1 100 1 100
1 100 1 100
nm
nm
nn
mm
=−
+ = −


( )
3 5 1nm=−
5n
13m −
10m −
( )
100 3 300 5 1 300 61n n m m −
1 3 3 1m m t− = +
*t
1 61 1 3 1 61 0 20m t t +
* 1; 2;3;...;20tt =
20
( )
n
u
2
3u =
4
7u =
15
u
27
31
35
29
2
3u =
4
7u =
1
1
3
37
ud
ud
+=
+=
1
1
2
u
d
=
=
15 1
14 29u u d= + =
( )
n
u
1
3u =
5d =
4
23.=u
4
18.=u
4
8.=u
4
14.=u
41
3u u d=+
3 5.3=+
18=
( )
n
u
1
3u =
5
19u =
12
u
12
51u
12
57u
12
47u
12
207
5
u
5
19u =
1
4 19ud + =
3 4 19d + =
4d=
12 1
11 3 11.4 47u u d= + = + =
( )
n
u
1
3u =
2d =
5
u
11.
15.
12.
14.
51
4u u d=+
3 4.2 11= + =
( )
n
u
5 20
15; 60uu= − =
1
,ud
1
35, 5ud= − = −
1
35, 5ud= − =
1
35, 5ud= = −
1
35, 5ud==
51
1
1
20 1 1
4
4 15
5
35
19 19 60
u u d
ud
d
u
u u d u d
=+
+ = −
=

=−
= + + =
1
u
d
( )
n
u
92
5uu=
13 6
25uu=+
1
3u =
4d =
1
3u =
5d =
1
4u =
5d =
1
4u =
3d =

Tài liệu khác của Toán 11

Preview text:

LÊ BÁ BẢO
TRƯỜNG THPT ĐẶNG HUY TRỨ - ADMIN CLB GIÁO VIÊN TRẺ TP HUẾ TOÁN 11
Chuyên đề DÃY SỐ - CẤP SỐ CẤP SỐ CỘNG
 LUYỆN THI THPT QUỐC GIA
 CẬP NHẬT TỪ ĐỀ THI MỚI NHẤT
Chuyên đề DÃY SỐ Toán 11 CHƯƠNG II
DÃY SỐ. CẤP SỐ CỘNG. CẤP SỐ NHÂN
Chủ đề 2: CẤP SỐ CỘNG I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. ĐỊNH NGHĨA
Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng
đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d. Số d được gọi là công
sai của cấp số cộng.
Cấp số cộng (u với công sai d được cho bởi hệ thức truy hồi: u = u + d, n   2 n ) n n−1
2. SỐ HẠNG TỔNG QUÁT
Nếu cấp số cộng (u có số hạng đầu u và công sai d thì số hạng tổng quát u của nó được n ) 1 n
xác định theo công thức: u = u + n − 1 d n 1 ( ) Chú ý: u +u
Nếu u ,u ,u u thì k k+2 = u k k+1
k+ là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng ( n ) 2 k+1 2
3. TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CẤP SỐ CỘNG
Cho cấp số cộng (u với công sai d. Đặt S = u + u + u + ...u . n ) n 1 2 3 n n(u + u
n 2u + n − 1 d 1 n )  1 ( )  Khi đó: S = = n 2 2 II. BÀI TẬP TỰ LUẬN
Câu 1: Trong các dãy số (un ) dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng, khi đó cho biết số hạng đầu và công sai của nó: 2 a) u = 3n + 2 u = n n b) n
Câu 2: Trong các dãy số (un ) dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng, khi đó cho biết số hạng đầu và công sai của nó: 3n + 2 7 − 3n 3 n a) u = u = u = u = −1 n b) 3n c) d) 5 n n 2 n 2 u  = a a   1 ( )
Câu 3: Cho dãy số (u u n ) : 
. Tìm các giá trị của a để ( n ) là một cấp số cộng. u
= 3 − 2u n  1  n 1+ n ( )
Câu 4: Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng (un ) , biết: u
 + u − u =10 u  + u + u = 27 1 5 3  1 2 3 a)  b)  u + u = 17  2 2 2 u
 + u + u = 275 1 6  1 2 3  1
S − S − u =  5 2 5  10 c)  1  S + u = 4 7  10
Câu 5: Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng (un ) , biết:
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Chuyên đề DÃY SỐ Toán 11 u
 + u − u =10 u  + u = 60 u  + u + u = 12 − 7 15 3 7 15 1 3 5 a)  b)  c)  u + u = 11 −  2 2 u  + u = 1170 u u u = 8 1 64  4 12  1 2 3 u  − u = 4 − u  − u = 8 u
 + u + u + ... + u = a 5 3 7 3  1 2 3 n d)  e)  f)  u .u = 3 −  u .u = 75 2 2 2 2 2 u
 + u + u + ... + u = b 2 4  2 7  1 2 3 n
Câu 6: 1) Cho cấp số cộng (u u = 15 − , u = 18 S n ) có 3 14 . Tính 20 .
2) Cho cấp số cộng (u u = 17, d = 3 u S n ) có 1 . Tính 20 và 20 .
3) Cho cấp số cộng (u u = 17, u = 1 − S n ) có 6 11 . Tính d và 11 .
Câu 7: Xác định cấp số cộng có công sai là 3, số hạng cuối là 12 và có tổng bằng 30.
Câu 8: Cho cấp số cộng (u )
u + u + u + u + u + u = 147
u + u + u + u n . Biết 1 4 7 10 13 16 . Tính 1 6 11 16 .
Câu 9: Một cấp số cộng có 11 số hạng. Tổng của chúng là 176. Hiệu của số hạng cuối và số hạng đầu là 30. Tìm cấp số đó.
Câu 10: Cho cấp số cộng (u u + u = 90 u n ) có 5 19
. Hy tính tổng 23 số hạng đầu của ( n ) .
a) Giữa các số 7 và 35, hãy đặt thêm 6 số nữa để được một cấp số cộng.
b) Giữa các số 4 và 67, hãy đặt thêm 20 số nữa để được một cấp số cộng.
Câu 11: a) Tìm 3 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng, biết tổng của chúng là 27 và tổng các bình
phương của chúng là 293.
b) Tìm 4 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng, biết tổng của chúng bằng 22 và tổng các bình
phương của chúng bằng 66.
Câu 12: Số đo các góc của một tứ giác lồi lập thành một cấp số cộng và góc lớn nhất gấp 5 lần góc nhỏ
nhất. Tìm số đo các góc đó.
Câu 13: a) Ba góc của một tam giác vuông lập thành một cấp số cộng. Tìm số đo các góc đó.
b) Số đo các góc của một đa giác lồi có 9 cạnh lập thành một cấp số cộng có công sai bằng 30.
Tìm số đo của các góc đó.
Câu 14: Chứng minh rằng nếu 3 số a, b, c lập thành một cấp số cộng thì các số x, y, z cũng lập thành 2 2 2 2 2 2
một cấp số cộng, với x = b + bc + c ; y = c + ca + a ; z = a + ab + b .
Câu 15: Cho ba số a, b, c lập thành một cấp số cộng. Chứng minh các hệ thức sau: a) 2 2
a + 2bc = c + 2 ; ab
b) a + bc = ( b + c)2 2 8 2 .
Câu 16: Chứng minh rằng: Nếu log a, log , b log c x y z
theo thứ tự tạo thành một cấp số cộng thì: 2log xlog z log a c y =  x y z a b c b (0 , , , , , ) 1 log x + . log z a c
Câu 17: Tìm x để 3 số a, b, c lập thành một cấp số cộng, với: 2 2 a) a = 10 − 3 ;
x b = 2x + 3; c = 7 − 4 . x
b) a = x +1; b = 3x − 2; c = x −1
Câu 18: Chứng minh rằng nếu 3 số a, b, c lập thành một cấp số cộng thì các số x, y, z cũng lập thành
một cấp số cộng 2 2 2
a) x = a − b ;
c y = b − ca; z = c − a . b 1 1 1
b) Với giả thiết như trên và a, b, c dương: x = ; y = ; z = . b + c c + a a + b
Câu 19: Cho ba số a, b, c lập thành một cấp số cộng. Chứng minh rằng:
(a +b +c )− (a −b)2 = (a +b+c)2 2 2 2 3 6
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Chuyên đề DÃY SỐ Toán 11
Câu 20: Chứng minh rằng nếu 3 số 2 2 2
a , b , c lập thành một cấp số cộng thì các số x, y, z cũng lập 1 1 1
thành một cấp số cộng, với x = ; y = ; z = a + b b + c c + . a
Câu 21: Cho một cấp số cộng: u , u , u , u
u u − u u  6 1 2
3 4 . Chứng minh rằng nếu: 1 4 2 3 thì biểu thức
A = (x − u x − u x − u x − u + 9 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 )
có nghĩa với mọi x .
Câu 22: Tìm các nghiệm số của phương trình: 3 2
4x − 6 6x +14x − 6 = 0 , biết rằng các nghiệm số
phận biệt và tạo thành một cấp số cộng.
Câu 23: Tìm các giá trị m để phương trình 4 x − (m + ) 2 2
2 x + 2m + 3 = 0 (1) có 4 nghiệm phận biệt và
tạo thành một cấp số cộng.
Câu 24: Cho phương trình : 4 2
x + 3x − (24 + m) x − 26 − n = 0 . Tìm hệ thức liên hệ giữa m và n để 3
nghiệm phân biệt x , x , x 1 2
3 lập thành một cấp số cộng. 3 2
Câu 25: Tìm các nghiệm số của phương trình: x −15x + 71x −105 = 0 , biết rằng các nghiệm số
phận biệt và tạo thành một cấp số cộng.
Câu 26: Tìm các giá trị m để phương trình 3 2
x − 3x − 9x + m = 0 có 4 nghiệm phận biệt và tạo thành một cấp số cộng.
Câu 27: Tìm các giá trị m để phương trình 4 x − (m + ) 2 2
1 x + 2m + 1 = 0 có 4 nghiệm phận biệt và tạo
thành một cấp số cộng.
Câu 28: Tính các tổng sau:
a) A = 15 + 20 + 25 + ... + 7515. 2 2 2 2 2 2
b) B = 1000 − 999 + 998 − 997 + ... + 2 −1 .
Câu 29: Tìm số tự nhiên n sao cho: 1+ 4 + 7 + ... + (3n − 2) = 590 , biết 1, 4, 7, ..., (3n − 2) là l cấp số cộng.
Câu 30: Tìm số tự nhiên n sao cho:
a) (2n +1) + (2n + 2) + ... + 3n = 2265 , biết 2n + 1, 2n + 2,..., 3n là l cấp số cộng.
b) 2 + 7 +12 + ... + n = 245 , biết 2, 7, 12, ..., n là l cấp số cộng.
Câu 31: Chứng minh rằng nếu S , S , S n n n 2 n n
3n tương ứng là tổng của
, 2 , 3 số hạng đầu tiên của
một cấp số cộng thì: S = 3 S − S 3n ( 2n n ) .
Câu 32: Cho tam giác ABC, có ba cạnh a, b, c theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng . Hãy chứng A C minh rằng: cot .cot = 3 . 2 2
Câu 33: Tam giác ABC thỏa mãn điều kiện: tan .
A tan B = 6 và tan .
A tan C = 3 . Chứng minh rằng: tan ,
A tan B, tan C theo thứ tự dó lập thành cấp số cộng.
Câu 34: Tam giác ABC thỏa mãn điều kiện tan ,
A tan B, tan C theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng.
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của góc B. A B C
Câu 35: Tam giác ABC có cot , cot , cot
theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. CMR: Ba 2 2 2
cạnh a, b, c theo thứ tự đó cũng lập thành một cấp số cộng.
Câu 36: Tam giác ABC có cot ,
A cot B, cot C theo thứ tự đó lập thành một cấp cộng. CMR: 2 2 2
a , b , c theo thứ tự đó cũng lập thành một cấp số cộng.
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Chuyên đề DÃY SỐ Toán 11
Câu 37: Tam giác ABC có các cạnh a, b, c theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. Chứng minh 3  C A
công sai của cấp số cộng đó, được tính bởi công thức d = r tan − tan .   2  2 2 
Câu 38: Cho một cấp số cộng (u m k
n ) và cho các số nguyên dương
, với m k . Chứng minh rằng: u + u k −m
k +m = u . 2 k
III. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 39: Dãy số nào sau đây là một cấp số cộng?  u = 1  u = 3 A. (u u : n ) 1 :  . B. ( n ) 1  . u = u + 2, n  1  u = 2u +1, n  1 n 1 + nn 1+ n C. (u ) : 1 u 1 − n ; 3 ; 6 ; 10 ; 15 ; . D. ( ) : n ; 1; 1 − ; 1; 1 − ; .
Câu 40: Công thức nào sau đây là đúng với cấp số cộng có số hạng đầu u n  1 , công sai d , 2 ?
A. u = u + d
u = u + n +1 d
u = u − n −1 d
u = u + n −1 d n 1 . B. n 1 ( ) . C. n 1 ( ) . D. n 1 ( ) .
Câu 41: Cho dãy số u = 1 u = u + 2 n  , n  1 1 ; n n 1 − , ( ) . Kết quả nào đúng? A. u = 9 u = 4 u = 2 u = 13 5 . B. 3 . C. 2 . D. 6 .
Câu 42: Cho hai cấp số cộng (a
a = 4 a = 7 a b
b = 1 b = 6 b n ) : 1 ; 2 ;.; 100 và ( n ) : 1 ; 2
;.; 100 . Hỏi có bao nhiêu
số có mặt đồng thời trong cả hai dãy số trên. A. 32 . B. 20 . C. 33 . D. 53 .
Câu 43: Cho cấp số cộng (u u = 3 u = 7 u n ) , biết 2 và 4
. Giá trị của 15 bằng A. 27 . B. 31. C. 35 . D. 29 .
Câu 44: Cấp số cộng (u u = 3 d =
n ) có số hạng đầu 1 , công sai
5 , số hạng thứ tư là A. u = 23. u = 18. u = 8. u = 14. 4 B. 4 C. 4 D. 4
Câu 45: Cho dãy số (u u = 3 u = 19 u
n ) là cấp số cộng với 1 ; 5 . Tính 12 . 207 A. u 51 u 57 u 47 u 12 . B. 12 . C. 12 . D. 12 . 5
Câu 46: Cho cấp số cộng (u u = 3 d = u
n ) có số hạng đầu 1 và công sai 2 . Tính 5 . A. 11. B. 15. C. 12. D. 14.
Câu 47: Cho cấp số cộng (u u = 15 − ;u = 60 u , d n ) có 5 20 . Tìm 1 của cấp số cộng. A. u = 3 − 5,d = 5 − u = −35, d = 5 u = 35, d = 5 − u = 35, d = 5 1 . B. 1 . C. 1 D. 1 .
Câu 48: Xác định số hạng đầu u u u = 5u u = 2u + 5
1 và công sai d của cấp số cộng ( n ) có 9 2 và 13 6 . A. u = 3 d = u = 3 d = u = 4 d = u = 4 d = 1 và 4 . B. 1 và 5 . C. 1 và 5 . D. 1 và 3 .
Câu 49: Cho dãy số (u d = − S = 72 u n ) có 2 ; 8 . Tính 1 . 1 1 A. u = 16 u = −16 u = u = − 1 . B. 1 . C. 1 . D. . 16 1 16 u  4 =10
Câu 50: Cho cấp số cộng (un ) thỏa mãn  có công sai là u  4 + 6 u = 26 A. d = −3. B. d = 3 . C. d = 5 . D. d = 6 .
Câu 51: Cho cấp số cộng (u )
u + u = 20, u + u = 29 − u , d n có 2 3 5 7 . Tìm 1 .
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Chuyên đề DÃY SỐ Toán 11
A. u = 20; d = 7 u = 20,5; d = 7 u = 20,5;d = 7 − u = 20 − ,5;d = 7 − 1 . B. 1 . C. 1 . D. 1 .
Câu 52: Cho cấp số cộng (u u = −12 u = 18 n ) có 4 , 14
. Tính tổng 16 số hạng đầu tiên của cấp số cộng này. A. S = 24 − S = 26 S = 25 − S = 24 16 . B. 16 . C. 16 . D. 16 .
Câu 53: Cho cấp số cộng (u u = 18 4S =S u n ) biết 5 và n
2n . Tìm số hạng đầu tiên 1 và công sai d của cấp số cộng.
A. u = 2 d = u = 2 d = u = 2 d = u = 3 d = 1 ; 4 . B. 1 ; 3 . C. 1 ; 2 . D. 1 ; 2 .
Câu 54: Một cấp số cộng (u u = 8 d = − u n ) có 13 và
3 . Tìm số hạng thứ ba của cấp số cộng ( n ) . A. 50 . B. 28 . C. 38 . D. 44.
Câu 55: Cho cấp số cộng (u u = 18 4S = S u n ) biết 5 và n
2n . Giá trị 1 và d là
A. u = 2 d = u = 3 d = u = 2 d = u = 2 d = 1 , 3 . B. 1 , 2 . C. 1 , 2 . D. 1 , 4 .
Câu 56: Cho cấp số cộng có u = 1 d = − 1 và công sai
2 . Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng này là S = 9800 − n . Giá trị n là A. 100. B. 99. C. 101. D. 98. u
 + 3u − u = 2 − 1 5 3 2
Câu 57: Cho cấp số cộng (un ) thỏa 
. Tổng 15 số hạng đầu của cấp số cộng là 3u − 2u = 3 − 4  7 4 A. −244 . B. −274 . C. −253 . D. −285 .
Câu 58: Biết bốn số 5 ; x ; 15 ; y theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Giá trị của biểu thức 3x + 2 y bằng A. 50 . B. 70 . C. 30 . D. 80 .
Câu 59: Xác định x để 3 số : 2 1− ;
x x ;1+ x theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. A. x = 5. B. x = 2 . C. x = 1 . D. x = 0 .
Câu 60: Xác định x để 3 số : 2 1+ 2 ; x 2x −1; 2
− x theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. 3 3
A. x = 3 . B. x =  . C. x =  . D. x = 2 2 4
Câu 61: Viết ba số xen giữa các số 2 và 22 để được cấp số cộng có 5 số hạng. A. 7; 12; 17 . B. 6; 10;14 . C. 8;13;18 . D. 6;12;18 . 1 16
Câu 62: Viết 4 số hạng xen giữa các số và
để được cấp số cộng có 6 số hạng. 3 3 4 5 6 7 4 7 10 13 4 7 11 14 3 7 11 15 A. ; ; ; . B. ; ; ; . C. ; ; ; . D. ; ; ; . 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4
Câu 63: Một tam giác vuông có chu vi bằng 3 và độ dài các cạnh lập thành một cấp số cộng. Độ dài
các cạnh của tam giác đó là: 1 5 1 7 3 5 1 3 A. ;1; . B. ;1; . C. ;1; . D. ;1; . 3 3 4 4 4 4 2 2
Câu 64: Cho cấp số cộng (u u = −15 u = 60 S n ) có 5 , 20
. Tổng 20 của 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là A. S = 600 S = 60 S = 250 S = 500 20 . B. 20 . C. 20 . D. 20 . u
 − u + u =10
Câu 65: Cho cấp số cộng (u
S = u + u + u + ...+ u . n ) thỏa 2 3 5  . Tính u + u = 26 1 4 7 2011  4 6
A. S = 2023736 .
B. S = 2023563 .
C. S = 6730444 .
D. S = 6734134 .
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Chuyên đề DÃY SỐ Toán 11
Câu 66: Cho cấp số cộng (u u = 2017 − d =
n ) với số hạng đầu là 1 và công sai
3 . Bắt đầu từ số hạng
nào trở đi mà các số hạng của cấp số cộng đều nhận giá trị dương ? A. u u u u 674 . B. 672 . C. 675 . D. 673 .
Câu 67: Cho một cấp số cộng (u u = 5 n ) có 1
và tổng của 50 số hạng đầu bằng 5150 . Tìm công thức
của số hạng tổng quát un .
A. u = 1+ 4n u = n u = + n u = + n n . B. 5 n . C. 3 2 n . D. 2 3 n .
Câu 68: Cho cấp số cộng (u u = 3 d = n ) có 1 và công sai
7 . Hỏi kể từ số hạng thứ mấy trở đi thì các số
hạng của (un ) đều lớn hơn 2018 ? A. 287 . B. 289 . C. 288 . D. 286 .
Câu 69: Cho dãy số (u u = 1
− ;d = 2; S = 483. n ) có 1 n
Tính số các số hạng của cấp số cộng.
A. n = 20 . B. n = 21. C. n = 22 . D. n = 23 .
Câu 70: Cho cấp số cộng có tổng n số hạng đầu là 2
S = 4n + 3n n , * n
thì số hạng thứ 10 của cấp số cộng là A. u = 95. u = 71. u = 79. u = 87. 10 B. 10 C. 10 D. 10
Câu 71: Cho cấp số cộng (u u + u = 1000 n ) có 2013 6
. Tổng 2018 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó là: A. 1009000. B. 100800 . C. 1008000 . D. 100900 .
Câu 72: Cho a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng, đẳng thức nào sau đây là đúng? A. 2 2
a + c = 2ab + 2bc . B. 2 2
a − c = 2ab − 2bc . C. 2 2
a + c = 2ab − 2bc . D. 2 2
a − c = ab − bc .
Câu 73: Cho a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng, đẳng thức nào sau đây đúng? A. 2 2
a + c = 2ab + 2bc + 2ac . B. 2 2
a − c = 2ab + 2bc − 2ac . C. 2 2
a + c = 2ab + 2bc − 2ac . D. 2 2
a − c = 2ab − 2bc + 2ac .
Câu 74: Cho a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng, ba số nào dưới đây cũng lập thành một cấp số cộng? A. 2 2
2b , a, c .
B. −2b, − 2a, − 2c .
C. 2b, a, c . D. 2 ,
b − a, − c .
Câu 75: Giải phương trình 1+ 8 +15 + 22 ++ x = 7944. A. x = 330 . B. x = 220 . C. x = 351 . D. x = 407 .
Câu 76: Cho 4 số thực a,b, c, d là 4 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng. Biết tổng của chúng bằng
4 và tổng các bình phương của chúng bằng 24 . Tính 3 3 3 3
P = a + b + c + d . A. P = 64. B. P = 80. C. P = 16. D. P = 79.
Câu 77: Cho cấp số cộng (u u = 4
u u + u u + u u . n ) có 1
. Tìm giá trị nhỏ nhất của 1 2 2 3 3 1 A. 20 . B. 6 . C. 8 . D. 24 .
Câu 78: Cho cấp số cộng (u S S = 77 S = 192 n ) và gọi
n là tổng n số hạng đầu tiên của nó. Biết 7 và 12 .
Tìm số hạng tổng quát un của cấp số cộng đó
A. u = 5 + 4n u = + n u = + n u = + n n . B. 3 2 n . C. 2 3 n . D. 4 5 n .
Câu 79: Viết ba số xen giữa 2 và 22 để ta được một cấp số cộng có 5 số hạng. A. 6 , 12 , 18 . B. 8 , 13 , 18 . C. 7 , 12 , 17 .
D. 6 , 10 , 14 .
Câu 80: Viết ba số xen giữa các số 2 và 22 để được cấp số cộng có 5 số hạng. A. 7; 12; 17 . B. 6; 10;14 . C. 8;13;18 . D. 6;12;18 .
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Chuyên đề DÃY SỐ Toán 11 1 16
Câu 81: Viết 4 số hạng xen giữa các số và
để được cấp số cộng có 6 số hạng. 3 3 4 5 6 7 4 7 10 13 4 7 11 14 3 7 11 15 A. ; ; ; . B. ; ; ; . C. ; ; ; . D. ; ; ; . 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4
Câu 82: Cho cấp số cộng có tổng n số hạng đầu là 2
S = 3n + 4n n n ,
* . Giá trị của số hạng thứ 10
của cấp số cộng là A. u = 55 u = 67 u = 61 u = 59. 10 . B. 10 . C. 10 . D. 10
Câu 83: Bốn số tạo thành một cấp số cộng có tổng bằng 28 và tổng các bình phương của chúng bằng
276 . Tích của bốn số đó là A. 585 . B. 161. C. 404 . D. 276 .
Câu 84: Cho một cấp số cộng (u ) u = 1 n có 1
và tổng 100 số hạng đầu bằng 24850 . Tính 1 1 1 S = + +...+ u u u u u u 1 2 2 3 49 50 4 9 49 A. S = 123. B. S = . C. S = . D. S = . 23 246 246
Câu 85: Cho cấp số cộng (u u = 1
n ) có các số hạng đều dương, số hạng đầu 1
và tổng của 100 số hạng đầu tiên bằng 14950 . 1 1 1 Tính giá trị S = + +...+ . u u + u u u u + u u u u + u u 2 1 1 2 3 2 2 3 2018 2017 2017 2018 1  1  1 A. 1− . B. 1− . C. 2018 . D. 1. 3    6052  6052 2 2 2
Câu 86: Tam giác ABC có ba cạnh a , b , c thỏa mãn a , b , c theo thứ tự đó lập thành một cấp số
cộng. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau A. 2 tan A , 2 tan B , 2
tan C theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. B. 2 cot A , 2 cot B , 2
cot C theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng.
C. cos A , cos B , cos C theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. D. 2 sin A , 2 sin B , 2
sin C theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng.
Câu 87: Cho tam giác ABC biết 3 góc của tam giác lập thành một cấp số cộng và có một góc bằng
25 . Tìm 2 góc còn lại. A. 65 ,  90 B. 75 ,  80 . C. 60 ,  95 . D. 60 ,  90 .
Câu 88: Cho tứ giác ABCD biết 4 góc của tứ giác lập thành một cấp số cộng và góc A bằng 30o. Tìm các góc còn lại. A. 75 ,  120 ,  65 . B. 72 ,  114 ,  156 . C. 70o ; 110o; 150o. D. 80o ; 110o; 135o.
Câu 89: Người ta trồng 3240 cây theo một hình tam giác như sau: hàng thứ nhất trồng 1 cây, kể từ
hàng thứ hai trở đi số cây trồng mỗi hàng nhiều hơn 1 cây so với hàng liền trước nó. Hỏi có
tất cả bao nhiêu hàng cây? A. 81. B. 82 . C. 80 . D. 79 .
Câu 90: Người ta trồng 465 cây trong một khu vườn hình tam giác như sau: Hàng thứ nhất có 1 cây,
hàng thứ hai có 2 cây, hàng thứ ba có 3 cây….Số hàng cây trong khu vườn là A. 31. B. 30 . C. 29 . D. 28 .
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Chuyên đề DÃY SỐ Toán 11
Câu 91: Người ta trồng 3003 cây theo dạng một hình tam giác như sau: hàng thứ nhất trồng 1 cây,
hàng thứ hai trồng 2 cây, hàng thứ ba trồng 3 cây, …, cứ tiếp tục trồng như thế cho đến khi
hết số cây. Số hàng cây được trồng là A. 77 . B. 79 . C. 76 . D. 78 .
Câu 92: Bạn An chơi trò chơi xếp các que diêm thành tháp theo qui tắc thể hiện như hình vẽ. Để xếp
được tháp có 10 tầng thì bạn An cần đúng bao nhiêu que diêm? A. 210 . B. 39 . C. 100 . D. 270 .
Câu 93: Trong hội chợ tết Mậu Tuất 2018 , một công ty sữa muốn xếp 900 hộp sữa theo số lượng
1,3,5,... từ trên xuống dưới (số hộp sữa trên mỗi hàng xếp từ trên xuống là các số lẻ liên tiếp -
mô hình như hình bên). Hàng dưới cùng có bao nhiêu hộp sữa? A. 59. B. 30. C. 61. D. 57.
Câu 94: Một đa giác có n cạnh và có chu vi bằng 158 cm . Biết số đo các cạnh của đa giác lập thành
một cấp số cộng với công sai d = 3 cm và cạnh lớn nhất có độ dài là 44 cm . Đa giác có số cạnh n bằng A. n = 7. B. n = 5. C. n = 6. D. n = 4.
Câu 95: Trong sân vận động có tất cả 30 dãy ghế, dãy đầu tiên có 15 ghế, các dãy liền sau nhiều hơn
dãy trước 4 ghế, hỏi sân vận động đó có tất cả bao nhiêu ghế? A. 2250 . B. 1740 . C. 4380 . D. 2190 .
Câu 96: Hùng đang tiết kiệm để mua một cây guitar. Trong tuần đầu tiên, anh ta để dành 42 đô la,
và trong mỗi tuần tiết theo, anh ta đã thêm 8 đô la vào tài khoản tiết kiệm của mình. Cây
guitar Hùng cần mua có giá 400 đô la. Hỏi vào tuần thứ bao nhiêu thì anh ấy có đủ tiền để mua cây guitar đó? A. 47 . B. 45 . C. 44 . D. 46 .
Câu 97: Sinh nhật bạn của An vào ngày 01 tháng năm. An muốn mua một món quà sinh nhật cho
bạn nên quyết định bỏ ống heo 100 đồng vào ngày 01 tháng 01 năm 2016 , sau đó cứ liên
tục ngày sau hơn ngày trước 100 đồng. Hỏi đến ngày sinh nhật của bạn, An đã tích lũy được
bao nhiêu tiền ? (thời gian bỏ ống heo tính từ ngày 01 tháng 01 năm 2016 đến ngày 30 tháng 4 năm 2016 ). A. 738.100 đồng. B. 726.000 đồng. C. 714.000 đồng. D. 750.300 đồng.
Câu 98: Bà chủ quán trà sữa X muốn trang trí quán cho đẹp nên quyết định thuê nhân công xây một
bức tường gạch với xi măng (như hình vẽ bên dưới), biết hàng dưới cùng có 500 viên, mỗi
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Chuyên đề DÃY SỐ Toán 11
hàng tiếp theo đều có ít hơn hàng trước 1 viên và hàng trên cùng có 1 viên. Hỏi số gạch cần
dùng để hoàn thành bức tường trên là bao nhiêu viên gạch ? A. 25250 . B. 250500 . C. 12550 . D. 125250 .
Câu 99: Sinh nhật lần thứ 17 của An vào ngày 01 tháng 5 năm 2018 . Bạn An muốn mua một chiếc
máy ảnh giá 3850000 đồng để làm quà sinh nhật cho chính mình nên An quyết định bỏ ống
heo 1000 đồng vào ngày 01 tháng 02 năm 2018 . Trong các ngày tiếp theo, ngày sau bỏ ống
nhiều hơn ngày trước 1000 đồng. Hỏi đến ngày sinh nhật của mình, An có bao nhiêu tiền
(tính đến ngày 30 tháng 4 năm 2018 )? A. 4095000 đồng. B. 89000 đồng. C. 4005000 đồng. D. 3960000 đồng.
IV. LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1: Trong các dãy số (un ) dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng, khi đó cho biết số hạng đầu và công sai của nó: 2 a) u = 3n + 2 u = n n b) n Lời giải : a) * n   : u
− u = 3 n +1 + 2 − 3n + 2 = 3 = 1 +  ( )  ( ) cosnt n n  (u d = u = 5
n ) là 1 cấp số cộng với công sai 3 và 1 . b) n   : u − u = + − = +  + (n )2 * 2 1 n 2n 1 1 cosnt n n
 (un ) không là 1 cấp số cộng.
Bài tập tương tự:
Câu 2: Trong các dãy số (un ) dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng, khi đó cho biết số hạng đầu và công sai của nó: 3n + 2 7 − 3n 3 n a) u = u = u = u = −1 n b) 3n c) d) 5 n n 2 n 2 u  = a a   1 ( )
Câu 3: Cho dãy số (u u n ) : 
. Tìm các giá trị của a để ( n ) là một cấp số cộng. u
= 3 − 2u n  1  n 1+ n ( ) Lời giải : * Để (un   : u − u = d =
n ) là một cấp số cộng 1 cosnt n+ n d
 3 − 2u − u = d u = 1− = cosnt u d = n n n
, tức là ( n ) phải là dãy không đổi 0 , tức là 3 d 1− = a = 1. 3
Vậy điều kiện cần để (u a =
n ) là một cấp số cộng là 1.
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Chuyên đề DÃY SỐ Toán 11 u  = 1 a   1 ( ) *
Ngược lại: khi a = 1 thì (u   u = 1 n   u n ) :
nên ( n ) là một cấp u  = 3 − 2 n u n  1  n 1+ n ( )
số cộng với công sai d = 0 .
Câu 4: Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng (un ) , biết: u
 + u − u =10 u  + u + u = 27 1 5 3  1 2 3 a)  b)  u + u = 17  2 2 2 u
 + u + u = 275 1 6  1 2 3  1
S − S − u =  5 2 5  10 c)  1  S + u = 4 7  10 Lời giải : u
 + u − u = 10 u
 + u + 4d − u + 2d = 10  u  + 2d = 10 u  = 16 1 5 3 1 ( 1 ) ( 1 ) 1 1 a) Ta có        u + u = 17  u
 + u + 5d = 17 2u + 5d = 17   d = 3 − 1 6 1 ( 1 ) 1
u + u + u = 27
u + u + d + u + 2d = 27  1 2 3  1 ( 1 ) ( 1 ) b) Ta có    2 2 2 2
u + u + u = 275 
u + u + d + u + d = 1 2 3 2 275  1 ( 1 )2 ( 1 )2 u + d = 9 1 (1)   2 2
3u + 6u d + 5d = 275  1 1 (2)
Từ (1): u = 9 − d
3u + 6u d + 5d = 275 1
thay vào (2) ta có phương trình: 2 2 1 1 d =
3(9 − d )2 + 6(9 − d ) 4 2 2 2
d + 5d = 275  2d = 32  d = 16   d = 4 −
+ Với d = 4  u = 5 1 + Với d = 4 −  u = 13 1 u  = 5 u  = 13 1 1
Kết luận: Có 2 cấp số cộng (un ) thỏa yêu cầu bài toán là  và  . d = 4 d = 4 −  1 5(2u + 4d 2 2u + d 1 1 ) ( 1 )
S − S − u = − − u + 4d =  5 2 5  ( 1 )  10  2 2 10 c) Ta có    1 4   (2u + 3d 1 1 ) S + u = 4 7 + (u + 6d = 1 )  10  2 10  1  2 2u + 5d = u = −  1  1  10  35     1 3 5u 9d  + = d = 1  10  70
Bài tập tương tự:
Câu 5: Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng (un ) , biết:
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Chuyên đề DÃY SỐ Toán 11 u
 + u − u =10 u  + u = 60 u  + u + u = 12 − 7 15 3 7 15 1 3 5 a)  b)  c)  u + u = 11 −  2 2 u  + u = 1170 u u u = 8 1 64  4 12  1 2 3 u  − u = 4 − u  − u = 8 u
 + u + u + ... + u = a 5 3 7 3  1 2 3 n d)  e)  f)  u .u = 3 −  u .u = 75 2 2 2 2 2 u
 + u + u + ... + u = b 2 4  2 7  1 2 3 n
Câu 6: 1) Cho cấp số cộng (u u = 15 − , u = 18 S n ) có 3 14 . Tính 20 .
2) Cho cấp số cộng (u u = 17, d = 3 u S n ) có 1 . Tính 20 và 20 .
3) Cho cấp số cộng (u u = 17, u = 1 − S n ) có 6 11 . Tính d và 11 .
Câu 7: Xác định cấp số cộng có công sai là 3, số hạng cuối là 12 và có tổng bằng 30.
Câu 8: Cho cấp số cộng (u )
u + u + u + u + u + u = 147
u + u + u + u n . Biết 1 4 7 10 13 16 . Tính 1 6 11 16 .
Câu 9: Một cấp số cộng có 11 số hạng. Tổng của chúng là 176. Hiệu của số hạng cuối và số hạng đầu là 30. Tìm cấp số đó.
Câu 10: Cho cấp số cộng (u u + u = 90 u n ) có 5 19
. Hy tính tổng 23 số hạng đầu của ( n ) .
a) Giữa các số 7 và 35, hãy đặt thêm 6 số nữa để được một cấp số cộng.
b) Giữa các số 4 và 67, hãy đặt thêm 20 số nữa để được một cấp số cộng. Lời giải :
a) Gọi cấp số cộng thỏa yêu cầu bài toán là u , u , u , u , u , u , u , u 1 2 3 4 5 6 7 8 (công sai d ) u  = 7 u  = 7 u  = 7 1 1 1 Theo giả thiết:      . u = 35
u = u + 7d = 35   d = 4 8 8 1
Suy ra: u = 11, u = 15, u = 19, u = 23, u = 27, u = 31 2 3 4 5 6 7 .
b) Độc giả tương tự giải quyết.
Bài tập tương tự:
Câu 11: a) Tìm 3 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng, biết tổng của chúng là 27 và tổng các bình
phương của chúng là 293.
b) Tìm 4 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng, biết tổng của chúng bằng 22 và tổng các bình
phương của chúng bằng 66.
Câu 12: Số đo các góc của một tứ giác lồi lập thành một cấp số cộng và góc lớn nhất gấp 5 lần góc nhỏ
nhất. Tìm số đo các góc đó. Lời giải :
Gọi các góc của tứ giác A B C D theo thứ tự tạo thành một cấp số cộng. 0
Ta có: A + B + C + D = 180 (1) Do ,
A B, C, D tạo thành 1 cấp số cộng 4( A + D) 0 0
S = A + B + C + D =
= 180  A + D = 90 4 (2) 2
Theo giả thiết: D = 4 A (3) 0 0 0 0 0
Từ (2) và (3) suy ra: 5A = 90  A = 18  D = 72 = A + 3d d = 72 − 3A = 18 Từ đây suy ra: 0 0
B = A + d = 36 , C = A + 2d = 54 (y.c.b.t)
CHÚ Ý: Tổng các góc trong một đa giác lồi có n cạnh bằng (n − ) 0 2 .180
Bài tập tương tự:
Câu 13: a) Ba góc của một tam giác vuông lập thành một cấp số cộng. Tìm số đo các góc đó.
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Chuyên đề DÃY SỐ Toán 11
b) Số đo các góc của một đa giác lồi có 9 cạnh lập thành một cấp số cộng có công sai bằng 30.
Tìm số đo của các góc đó.
Câu 14: Chứng minh rằng nếu 3 số a, b, c lập thành một cấp số cộng thì các số x, y, z cũng lập thành
một cấp số cộng, với 2 2 2 2 2 2
x = b + bc + c ; y = c + ca + a ; z = a + ab + b . Lời giải :
Ta xét x + z = ( 2 2
b + bc + c ) + ( 2 2
a + ab + b ) 2 2 2
= 2b + c + a + b(a + c) (*)
Do a, b, c lập thành một cấp số cộng  a + c = 2b thay vào (*):
x + z = b + c + a + b = c + a + b = c + a + (a + c)2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = ( 2 2 2 2 4
2 c + ca + a ) = 2y
x, y, z lập thành một cấp số cộng (đ.p.c.m).
Câu 15: Cho ba số a, b, c lập thành một cấp số cộng. Chứng minh các hệ thức sau: a) 2 2
a + 2bc = c + 2 ; ab
b) a + bc = ( b + c)2 2 8 2 . Lời giải :
a) Ta có a, b, c lập thành một cấp số cộng a + c = 2b . 2 2
a + bc = a + (a + c) 2 2 2
c = a + ac + c = c + a (a + c) 2 2
= c + 2ab (đ.p.c.m)
b) Ta có a, b, c lập thành một cấp số cộng a + c = 2b .
a + bc = a + c(a + c) = a + ac + c = (a + c)2 = (a + c + c)2 = ( b + c)2 2 2 2 2 8 4 4 4 2 2 (đ.p.c.m)
Câu 16: Chứng minh rằng: Nếu log a, log , b log c x y z
theo thứ tự tạo thành một cấp số cộng thì: 2log xlog z log a c y =  x y z a b c b (0 , , , , , ) 1 log x + . log z a c Lời giải : Theo giả thiết: 1 1 2 2log . x log z
 log a + log c = 2log b  + =  log a c y = x z y log x log z log b y log x + (đ.p.c.m) log z a c b a c
Bài tập tương tự:
Câu 17: Tìm x để 3 số a, b, c lập thành một cấp số cộng, với: 2 2 a) a = 10 − 3 ;
x b = 2x + 3; c = 7 − 4 . x
b) a = x +1; b = 3x − 2; c = x −1
Câu 18: Chứng minh rằng nếu 3 số a, b, c lập thành một cấp số cộng thì các số x, y, z cũng lập thành
một cấp số cộng 2 2 2
a) x = a − b ;
c y = b − ca; z = c − a . b 1 1 1
b) Với giả thiết như trên và a, b, c dương: x = ; y = ; z = . b + c c + a a + b
Câu 19: Cho ba số a, b, c lập thành một cấp số cộng. Chứng minh rằng:
(a +b +c )− (a −b)2 = (a +b+c)2 2 2 2 3 6
Câu 20: Chứng minh rằng nếu 3 số 2 2 2
a , b , c lập thành một cấp số cộng thì các số x, y, z cũng lập 1 1 1
thành một cấp số cộng, với x = ; y = ; z = a + b b + c c + . a
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Chuyên đề DÃY SỐ Toán 11
Câu 21: Cho một cấp số cộng: u , u , u , u
u u − u u  6 1 2
3 4 . Chứng minh rằng nếu: 1 4 2 3 thì biểu thức
A = (x − u x − u x − u x − u + 9 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 )
có nghĩa với mọi x . Lời giải :
Theo tính chất của cấp số cộng, ta có: u + u = u + u 1 4 2 3
Do đó: ( x − u )( x − u )( x − u )( x − u ) 2
= x − (u + u ) 2
x + u u  x − u + u x + u u  1 2 3 4  1 4 1 4 (   2 3 ) 2 3  (*) Đặt : 2
t = x − (u + u ) 2
x = x − u + u x 1 4 ( 2 3) , khi đó:
(*) trở thành: f (t) = (t + u u )(t + u u ) 2
+ 9 = t + u u + u u t + u u u u + 9 1 4 2 3 ( 1 4 2 3) 1 4 2 3 2 2
Xét  = (u u + u u
− 4u u u u − 36 = u u − u u − 36 t 1 4 1 3 ) 1 2 3 4 ( 1 4 2 3) .
Rõ ràng : u u − u u  6    0  f (t)  0 t   1 4 2 3 t
A có nghĩa với mọi x .
Câu 22: Tìm các nghiệm số của phương trình: 3 2
4x − 6 6x +14x − 6 = 0 , biết rằng các nghiệm số
phận biệt và tạo thành một cấp số cộng. Lời giải : TXĐ: D =
Vì phương trình có các nghiệm x , x , x 1
2 3 phân biệt và tạo thành một cấp số cộng, nên: 3 2
4x − 6 6x +14x − 6 = 4( x − x x − x x − x
x + x = 2x 1 ) ( 2 ) ( 3 ) và 1 3 2 . Ta có: 3 2 3
4x − 6 6x +14x − 6 = 4x − 4(x + x + x ) 2
x + Mx + N 1 2 3  ( 6
4 x + x + x = 6 6  12x = 6 6  x = 1 2 3 ) 2 2 2 6
Vậy phương trình có một nghiệm là nên: 2   3 2 6  2 1 
4x − 6 6x + 14x − 6 = 4 x −  x − 6x + = 0   2   2   6 x =  2 6  x =  6 2    x =1+  1 2 2 x 6x 0  − + =  2  6 x = 1 − + 2  6 6 6
Vậy phương trình có các nghiệm là x = ; x = 1+ ; x = 1 − + . 2 2 2 4 2
Câu 23: Tìm các giá trị m để phương trình x − 2(m + 2) x + 2m + 3 = 0 (1) có 4 nghiệm phận biệt và
tạo thành một cấp số cộng. Lời giải : TXĐ: D = 2 2
Đặt t = x  0 . Phương trình đã cho trở thành t − 2(m + 2)t + 2m + 3 = 0 (2)
Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt  (2) có 2 nghiệm t , t 0  t t 1 2 thỏa mãn: 1 2
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Chuyên đề DÃY SỐ Toán 11 Δ  0  3  m  −
y.c.b.t  S  0   2 (*) P  0   m  1 −
Khi đó phương trình đã cho có các nghiệm là:
x = − t , x = − t , x = t , x = t
− t  − t t t 1 2 2 1 3 1 4 2 ( 2 1 1 2 )
Do các nghiệm lập thành 1 cấp số cộng  x − x = 3 x − x
t = 3 t t = 9t 4 1 ( 3 2) 2 1 2 1 . Mặt khác: t
 + t = 2 m + 2 = S 10
t = 2 m + 2 = S  1 2 ( ) ( )  ( ) ( ) 2 1  m + 2      9 = 2m + 3   ( 2 9S = 100P 2 ) t
 .t = 2m + 3 = P 9 
t = 2m + 3 = P  5  1 2 ( )  1 ( ) m = 3 2 9m 14m 39 0   − − =  13 m = −  9 13
Đối chiếu điều kiện (*), ta có các giá trị m thỏa y.c.b.t là m = 3, m = − . 9 4 2
Câu 24: Cho phương trình : x + 3x − (24 + m) x − 26 − n = 0 . Tìm hệ thức liên hệ giữa m và n để 3
nghiệm phân biệt x , x , x 1 2
3 lập thành một cấp số cộng. Lời giải : TXĐ: D =
Vì 3 nghiệm phân biệt x , x , x 1
2 3 lập thành cấp số cộng, nên ta có thể đặt:
x = x − d, x = x , x = x + d d  0 1 0 2 0 3 0 (
). Theo giả thiết ta có : 3 2
x + 3x − (24 + m) x − 26 − n = ( x − x x − x
x − x = x − x + d x − x
x − x − d 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 0 )( 0 ) ( 0 ) 3 2
= x − 3x x + ( 2 2 3x − d ) 3 2
x − x + x d x  0 0 0 0 ( )
Đồng nhất hệ số ở hai vế của phương trình ta có hệ:  3 − x = 3 x = 1 − 0 0   x = 1 − 2 2  3
x − d = − 24 + m  3  − d = 2 − 4 − m  0 ( ) 2 0    m = n 3 2 2 −x + x d = 26 − − n 1− d = 2 − 6 − n  0 0 
Vậy với m = n thì ba nghiệm phân biệt của phương trình lập thành cấp số cộng .
Bài tập tương tự: 3 2
Câu 25: Tìm các nghiệm số của phương trình: x −15x + 71x −105 = 0 , biết rằng các nghiệm số
phận biệt và tạo thành một cấp số cộng.
Câu 26: Tìm các giá trị m để phương trình 3 2
x − 3x − 9x + m = 0 có 4 nghiệm phận biệt và tạo thành một cấp số cộng.
Câu 27: Tìm các giá trị m để phương trình 4 x − (m + ) 2 2
1 x + 2m + 1 = 0 có 4 nghiệm phận biệt và tạo
thành một cấp số cộng.
Câu 28: Tính các tổng sau:
a) A = 15 + 20 + 25 + ... + 7515. 2 2 2 2 2 2
b) B = 1000 − 999 + 998 − 997 + ... + 2 −1 .
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Chuyên đề DÃY SỐ Toán 11 Lời giải :
a) Ta thấy các số hạng của tổng A = 15 + 20 + 25 + ... + 7515 tạo thành một cấp số cộng có u = 15, d = 5
u = 7515  u + n −1 d = 7515 1
. Giả sử tổng trên có n số hạng thì n 1 ( )  15 + (n − )
1 5 = 7515  n = 1501. 150 ( 1 15 + 7515) Lúc đó: A = = 5.651.265 . 2 b) B = ( 2 2 − )+( 2 2 − )+ +( 2 2 1000 999 998 997 ... 2 −1 )
=1.(1000 + 999) +1.(998 + 997) +...+1.(2 + ) 1 =1999 +1995 +1991+ ...+ 3
Ta thấy các số hạng của tổng B = 1999 + 1995 + 1991 + ... + 3 tạo thành một cấp số cộng có u = 1999, d = 4 −
u = 3  u + n −1 d = 3 1
. Giả sử tổng trên có n số hạng thì n 1 ( )  1999 − (n − ) 1 4 = 3  n = 500 . 500(1999 + 3) Lúc đó: B = = 5.000.500 . 2
Câu 29: Tìm số tự nhiên n sao cho: 1+ 4 + 7 + ... + (3n − 2) = 590 , biết 1, 4, 7, ..., (3n − 2) là l cấp số cộng. Lời giải :
Dễ thấy công sai của cấp số cộng là u − u = d = 3 2 1 .
Giả sử u = 3n − 2 k , lúc đó:
k u + k − d  1 4 7 ... (3n 2) 2 1  1 ( )  + + + + − = = 590  k 2 +  (k − ) 1 3 = 1180 2  k = 20 (nhËn) 2 3k k 1180 0   − − =  59  k = 20 k = − (lo¹i)  3 Lúc đó: u
= 3n − 2  u +19d = 3n − 2  1+ 57 = 3n − 2  n = 20 20 1 .
Bài tập tương tự:
Câu 30: Tìm số tự nhiên n sao cho:
a) (2n +1) + (2n + 2) + ... + 3n = 2265 , biết 2n + 1, 2n + 2,..., 3n là l cấp số cộng.
b) 2 + 7 +12 + ... + n = 245 , biết 2, 7, 12, ..., n là l cấp số cộng.
Câu 31: Chứng minh rằng nếu S , S , S n n n 2 n n
3n tương ứng là tổng của
, 2 , 3 số hạng đầu tiên của
một cấp số cộng thì: S = 3 S − S 3n ( 2n n ) .
Câu 32: Cho tam giác ABC, có ba cạnh a, b, c theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng . Hãy chứng A C minh rằng: cot .cot = 3 . 2 2 Lời giải :
Ta có: a, b, c lập thành cấp số cộng  a + c = 2b A + C B
 sin A + sinC = 2sin B  2sin A-C c = 4sin B os os c (1) 2 2 2 2
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Chuyên đề DÃY SỐ Toán 11 A + C  0 B  sin = sin 90 B − = os c    A + C B 2  2  2 Vì : 0 0
A + C = 180 − B  = 90 −   (*) 2 2  A + C  0 B B o c s = o c s 90 − = sin     2  2  2 A + C A − C A + C A + C
Do đó (1) trở thành:  sin cos = 2sin cos 2 2 2 2 A − C B A − C A + C  cos = 2sin  cos = 2cos 2 2 2 2 A C A C A C A C A C A C  cos cos + sin sin = 2cos cos − 2sin sin  cos cos = 3sin sin 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 A C  cot cot = 3 (đ.p.c.m) 2 2
Câu 33: Tam giác ABC thỏa mãn điều kiện: tan .
A tan B = 6 và tan .
A tan C = 3 . Chứng minh rằng: tan ,
A tan B, tan C theo thứ tự dó lập thành cấp số cộng. Lời giải : tan . A tan B = 6
Từ giả thiết ta có hệ phương trình:  tan . A tan C = 3 tan A + tan C tan A + tan C 1
Mặt khác ta có: − tan B = tan ( A + C ) = =
= − (tan A+ tanC) 1− tan Atan C 1− 3 2 2
 2 tan B = tan A + tan C  2 tan Atan B = 2 tan A + tan Atan C 2 2
 2.6 = 2 tan A + 3  tan A = 9 Theo giả thiết: tan .
A tan B = 6  0 , tan .
A tan C = 3  0 nên tan A  0, tan B  0, tan C  0
Suy ra: tan A = 3, tan B = 2, tan C = 1. Điều đó chứng tỏ tan ,
A tan B, tan C lập thành cấp
số cộng có công sai d = 1.
Câu 34: Tam giác ABC thỏa mãn điều kiện tan ,
A tan B, tan C theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng.
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của góc B. Lời giải :
Theo giả thiết tan ,
A tan B, tan C lập thành cấp số cộng thì ta có:
tan A + tan C = 2 tan B sin ( A + C) sin B 2sin B sin B
 tan A + tanC = =  = cos . A cosC cos . A cosC cos B cos . A cosC 2 1  =  2cos .
A cosC = cos B  cos( A + C) + cos( A − C) = cos B cos B cos . A cosC  − B + (A−C) 1 = B B = (A−C) 1 cos cos cos cos cos 
(2)( vì 0  cos( A−C) 1) 2 2 π
Do 0  B π  Giá trị nhỏ nhất của B = . 3 A B C
Câu 35: Tam giác ABC có cot , cot , cot
theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. CMR: Ba 2 2 2
cạnh a, b, c theo thứ tự đó cũng lập thành một cấp số cộng.
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Chuyên đề DÃY SỐ Toán 11 Lời giải : A + C B A + C sin cos sin A C B 2 2 2 Theo đề bài ta có : cot + cot = 2cot  = 2 = 2 2 2 2 A C B A + C sin sin sin cos 2 2 2 2  A + C   A + C A C A + CA − C A + C A + C  sin cos = 2sin sin sin = cos − cos sin        2   2  2 2 2  2 2  2 A + C A + C A − C A + C  =  (A+ C) 1 2sin cos cos sin 2sin
= (sin A + sinC) 2 2 2 2 2
 sin A + sin C = 2sin B a + c = 2b (đ.p.c.m)
Câu 36: Tam giác ABC có cot ,
A cot B, cot C theo thứ tự đó lập thành một cấp cộng. CMR: 2 2 2
a , b , c theo thứ tự đó cũng lập thành một cấp số cộng. Lời giải:
Theo giả thiết ta có: cot A + cot C = 2 cot B
sin ( A + C) 2cos B 2  =
 sin B = 2sin BsinC cos B = cos 
(A−C)− cos(A+ C)cosB sin Asin C sin B  2  B =
(A−C) B −
(A+ C) B = − (A−C) (A+ C) 2 sin cos cos cos cos cos cos + cos B 2 1  B = − ( A + C ) 2 1 sin cos 2 cos 2 +1− sin B = − ( 2 2
1− 2sin A +1− 2sin C ) 2 +1− sin B 2 2 2 2 2 2 2 2
 2sin B = sin A + sin C  2b = a + c (đ.p.c.m)
Câu 37: Tam giác ABC có các cạnh a, b, c theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. Chứng minh 3  C A
công sai của cấp số cộng đó, được tính bởi công thức d = r tan − tan .   2  2 2  Lời giải: A O r C B C c − a
Do a, b, c là cấp số cộng , cho nên công sai d = (1) 2 B CB C
Ta có: a = r cot + r cot = r cot + cot   2 2  2 2   B A
Tương tự c = r cot + cot    2 2 
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Chuyên đề DÃY SỐ Toán 11    C A  tan − tan 1  A C  1  1 1  1  2 2 
Thay vào (1) ta có: d = r cot − cot =    −  = r  (2) 2  2 2  2 A C 2 A C  tan tan   tan tan   2 2   2 2  A C A C 1 Mặt khác: cot cot = 3  tan tan = . 2 2 2 2 3 C A tan − tan 1 3 2 2  C A
Thay vào (2) ta có: d = r = r tan − tan   . ( đ.p.c.m) 2 1 2  2 2  3
Câu 38: Cho một cấp số cộng (u m k
n ) và cho các số nguyên dương
, với m k . Chứng minh rằng: u + u k −m
k +m = u . 2 k
Áp dụng: Tìm một cấp số cộng có 7 số hạng mà số hạng thứ ba bằng 2 và tổng của số hạng
đầu và số hạng cuối bằng 10.
III. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 39: Dãy số nào sau đây là một cấp số cộng?  u = 1  u = 3 A. (u u : n ) 1 :  . B. ( n ) 1  . u = u + 2, n  1  u = 2u +1, n  1 n 1 + nn 1+ n C. (u ) : 1 u 1 − n ; 3 ; 6 ; 10 ; 15 ; . D. ( ) : n ; 1; 1 − ; 1; 1 − ; . Lời giải:
Dãy số ở đáp án A thỏa u − u = 2 n n 1 + n với mọi 1 nên là cấp số cộng.
Câu 40: Công thức nào sau đây là đúng với cấp số cộng có số hạng đầu u n  1 , công sai d , 2 ?
A. u = u + d
u = u + n +1 d
u = u − n −1 d
u = u + n −1 d n 1 . B. n 1 ( ) . C. n 1 ( ) . D. n 1 ( ) . Lời giải:
Công thức số hạng tổng quát : u = u + n −1 d n n 1 ( ) , 2 .
Câu 41: Cho dãy số u = 1 u = u + 2 n  , n  1 1 ; n n 1 − , ( ) . Kết quả nào đúng? A. u = 9 u = 4 u = 2 u = 13 5 . B. 3 . C. 2 . D. 6 . Lời giải:
Ta có u = u + 2  u − u = 2 u = n n 1 − n n 1 −
nên dãy ( n ) là một cấp số cộng với công sai d 2 .
Nên theo công thức tổng quát của CSC u = u + n −1 d n 1 ( ) . Do đó:
u = u + d = 1+ 2 = 3
u = u + 2d = 1+ 2.2 = 5 u = u + 4d = 1+ 4.2 = 9 2 1 ; 3 1 ; 5 1 ;
u = u + 5d = 1+ 5.2 = 6 1 11 . Vậy u = 9 5 .
Câu 42: Cho hai cấp số cộng (a
a = 4 a = 7 a b
b = 1 b = 6 b n ) : 1 ; 2 ;.; 100 và ( n ) : 1 ; 2
;.; 100 . Hỏi có bao nhiêu
số có mặt đồng thời trong cả hai dãy số trên. A. 32 . B. 20 . C. 33 . D. 53 . Lời giải:
Cấp số cộng (a
a = 4 a = 7 a
a = 4 + n −1 3 = 3n +1 n ) : 1 ; 2
;.; 100 có số hạng tổng quát: n ( ) .
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Chuyên đề DÃY SỐ Toán 11 Cấp số cộng (b
b = 1 b = 6 b
b = 1+ m −1 5 = 5m − 4 n ) : 1 ; 2
;.; 100 có số hạng tổng quát: m ( ) .
Các số có mặt đồng thời trong cả hai dãy số trên thỏa mãn hệ: 3
n +1 = 5m − 4 3
n = 5(m − ) 1   1   n 100  1   n 100 . 1  m 100 1     m 100  
Vì 3n = 5(m − )
1 nên n 5 và m −1 3 với m −1  0
Ta lại có n  100  3n  300  5(m − )
1  300  m  61 .
Có m −1 3  m = 3t +1, t
*. Vì 1  m  61  1  3t +1  61  0  t  20 .
Vì t  *  t = 1; 2;3;...;  20 .
Vậy có 20 số hạng có mặt đồng thời ở hai dãy số trên.
Câu 43: Cho cấp số cộng (u u = 3 u = 7 u n ) , biết 2 và 4
. Giá trị của 15 bằng A. 27 . B. 31. C. 35 . D. 29 . Lời giải: u  + d = 3 u  =1
Từ giả thiết u = 3 u = 7 1  2 và 4
suy ra ta có hệ phương trình: 1   . u + 3d = 7  d = 2 1
Vậy u = u +14d = 29 15 1 .
Câu 44: Cấp số cộng (u u = 3 d =
n ) có số hạng đầu 1 , công sai
5 , số hạng thứ tư là A. u = 23. u = 18. u = 8. u = 14. 4 B. 4 C. 4 D. 4 Lời giải:
u = u + 3d = 3 + 5.3 = 18 4 1 .
Câu 45: Cho dãy số (u u = 3 u = 19 u
n ) là cấp số cộng với 1 ; 5 . Tính 12 . 207 A. u 51 u 57 u 47 u 12 . B. 12 . C. 12 . D. 12 . 5 Lời giải:
Ta có: u = 19  u + 4d = 19  3 + 4d = 19  d = 4 5 1
Do đó: u = u +11d = 3 +11.4 = 47 12 1 .
Câu 46: Cho cấp số cộng (u u = 3 d = u
n ) có số hạng đầu 1 và công sai 2 . Tính 5 . A. 11. B. 15. C. 12. D. 14. Lời giải:
Ta có u = u + 4d = + = 5 1 3 4.2 11 .
Câu 47: Cho cấp số cộng (u u = 15 − ;u = 60 u , d n ) có 5 20 . Tìm 1 của cấp số cộng. A. u = 3 − 5,d = 5 − u = −35, d = 5 u = 35, d = 5 − u = 35, d = 5 1 . B. 1 . C. 1 D. 1 . Lời giải: u  = u + 4d u  + 4d = 1 − 5 d = 5 5 1 1 Ta có :     
. Suy ra chọn B.
u = u +19d u +19d = 60 u = 35 −  20 1  1  1
Câu 48: Xác định số hạng đầu u u u = 5u u = 2u + 5
1 và công sai d của cấp số cộng ( n ) có 9 2 và 13 6 . A. u = 3 d = u = 3 d = u = 4 d = u = 4 d = 1 và 4 . B. 1 và 5 . C. 1 và 5 . D. 1 và 3 . Lời giải:
Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115

Tài liệu liên quan: