Tóm tắt lý thuyết và các dạng bài tập Toán 11 – Ôn thi Đánh giá năng lực – ĐHQGHN (HSA)

MỤC LỤC PHẦN I
Đại số - Giải tích 21 CHƯƠNG 1
Hàm số lượng giác - Phương trình lượng giác 23 1
Công thức lượng giác cần nắm 23 A Tóm tắt lý thuyết 23 2 Hàm số lượng giác 26 A Tóm tắt lý thuyết 26 B
Các dạng toán thường gặp 29
Dạng 2.1. Tìm tập xác định của hàm số lượng giác 29 1 Bài tập vận dụng 30 2 Bài tập tự luyện 32
Dạng 2.2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác 33 1 Ví dụ 33 2 Bài tập áp dụng 34 3 Bài tập rèn luyện 38
Dạng 2.3. Xét tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác 39 1 Ví dụ 40 2 Bài tập áp dụng 40 3 Bài tập rèn luyện 41 3 Phương trình lượng giác 41 A
Phương trình lượng giác cơ bản 41 1 Ví dụ 42 2 Bài tập áp dụng 42 1 2 MỤC LỤC 3 Bài tập rèn luyện 43 B
Một số kỹ năng giải phương trình lượng giác 44
Dạng 3.1. Sử dụng thành thạo cung liên kết 44 1 Ví dụ 44 2 Bài tập áp dụng 46 3 Bài tập rèn luyện 51
Dạng 3.2. Ghép cung thích hợp để áp dụng công thức tích thành tổng 52 1 Ví dụ 52 2 Bài tập áp dụng 53 3 Bài tập rèn luyện 56
Dạng 3.3. Hạ bậc khi gặp bậc chẵn của sin và cos 56 1 Ví dụ 57 2 Bài tập áp dụng 58 3 Bài tập rèn luyện 59
Dạng 3.4. Xác định nhân tử chung để đưa về phương trình tích 61 1 Ví dụ 61 2 Bài tập áp dụng 63 3 Bài tập rèn luyện 65 4
Phương trình lượng giác đưa về bậc hai và bậc cao cùng một hàm lượng giác 89 A Tóm tắt lý thuyết 89 B Dạng toán và bài tập 89 1 Ví dụ 89 2 Bài tập vận dụng 92 3 Bài tập tự luyện 104 MỤC LỤC 3 5
Phương trình bậc nhất đối với sin và cos 108 A Tóm tắt lý thuyết 108 B Ví dụ và bài tập 109 1 Ví dụ 109 2 Bài tập áp dụng 114 3 Bài tập rèn luyện 119 6
Phương trình lượng giác đẳng cấp (bậc 2, bậc 3, bậc 4) 121 A Tóm tắt lý thuyết 121 B Ví dụ 122 C Bài tập áp dụng 123 7
Phương trình lượng giác đối xứng 131 A Tóm tắt lý thuyết 131 B Ví dụ 131 C Bài tập áp dụng 132 D Bài tập rèn luyện 138 8
Một số phương trình lượng giác khác 139 A Tóm tắt lý thuyết 139 B Ví dụ 140 C Bài tập áp dụng 141 D Bài tập rèn luyện 145 9
Phương trình lượng giác có cách giải đặc biệt 146 A Tóm tắt lý thuyết 146 B Ví dụ 147 C Bài tập áp dụng 150 4 MỤC LỤC D Bài tập rèn luyện 155 10
Bài tập ôn cuối chương I 156 CHƯƠNG 2 Tổ hợp và xác suất 169 1
Các quy tắc đếm cơ bản 169 A Tóm tắt lý thuyết 169 B Dạng toán và bài tập 170 1 Ví dụ 170
Dạng 1.1. Bài toán sử dụng quy tắc cộng 170
Dạng 1.2. Bài toán sử dụng quy tắc nhân 171
Dạng 1.3. Bài toán sử dụng quy tắc bù trừ 172 1 Bài tập áp dụng 172 2
Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp 187 A Tóm tắt lý thuyết 187 B Ví dụ minh họa 189 C Dạng toán và bài tập 191
Dạng 2.1. Giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình 191 1 Ví dụ 191 2 Bài tập áp dụng 194 3 Bài tập rèn luyện 197
Dạng 2.2. Các bài toán sử dụng hoán vị 199 1 Ví dụ 199 2 Bài tập áp dụng 201 3 Bài tập rèn luyện 203 MỤC LỤC 5
Dạng 2.3. Các bài toán sử dụng chỉnh hợp 204 1 Ví dụ 204 2 Bài tập áp dụng 206 3 Bài tập rèn luyện 208
Dạng 2.4. Các bài toán sử dụng tổ hợp 209 1 Ví dụ 209 2 Bài tập áp dụng 211 3 Bài tập rèn luyện 213 3 Nhị thức Newton 215 A Nhị thức Newton 215 B Tam giác Pascal 216 C Dạng toán và bài tập 216
Dạng 3.1. Tìm hệ số hoặc số hạng thỏa mãn điều kiện cho trước 216 1 Ví dụ minh họa 217 2 Bài tập áp dụng 219 3 Bài tập rèn luyện 221
Dạng 3.2. Tìm hệ số trong khai triển nhị thức Niu-tơn (a + b)n 222 1 Ví dụ 223 2 Bài tập áp dụng 225 3 Bài tập rèn luyện 228
Dạng 3.3. Chứng minh hoặc tính tổng 232 1 Ví dụ 233 2 Bài tập áp dụng 235 3 Bài tập rèn luyện 236 6 MỤC LỤC 4
Biến cố và xác suất của biến cố 237 A Phép thử 237 B Biến cố 238 C Xác suất 238
Dạng 4.1. Chọn hoặc sắp xếp đồ vật 241 D Lí thuyết 241 E Ví dụ 242 F Bài tập rèn luyện 244 G Bài tập tự luyện 247
Dạng 4.2. Chọn hoặc sắp xếp người 250 H Lí thuyết 250 I Ví dụ 251 J Bài tập rèn luyện 253 K Bài tập tự luyện 256
Dạng 4.3. Chọn hoặc sắp xếp số 262 L Lí thuyết 262 M Ví dụ 262 N Bài tập rèn luyện 266 O Bài tập tự luyện 269 5
Các quy tắc tính xác suất 277 A Tóm tắt lý thuyết 277 1 Quy tắc cộng xác suất 277 2 Quy tắc nhân xác suất 280 B Bài tập áp dụng 282 MỤC LỤC 7 6 Bài tập ôn chương 2 290 CHƯƠNG 3
Dãy số - Cấp số cộng - Cấp số nhân 301 1
Phương pháp quy nạp toán học 301 A Tóm tắt lý thuyết 301 B Dạng toán và bài tập 301
Dạng 1.1. Chứng minh mệnh đề P(n) đúng với mọi số tự nhiên n 301 1 Ví dụ 301 2 Bài tập áp dụng 304 3 Bài tập rèn luyện 308 2 Dãy số 314 A Tóm tắt lý thuyết 314 1 Định nghĩa 314 2 Cách cho một dãy số 314 3
Dãy số tăng, dãy số giảm 314 4 Dãy số bị chặn 315 B Dạng toán và bài tập 315
Dạng 2.1. Tìm số hạng của dãy số cho trước 315 1 Ví dụ 315 2 Bài tập áp dụng 317 3 Bài tập rèn luyện 319
Dạng 2.2. Xét tính tăng, giảm của dãy số 321 1 Ví dụ 321 2 Bài tập áp dụng 322 3 Bài tập rèn luyện 324 8 MỤC LỤC
Dạng 2.3. Tính bị chặn của dãy số 327 1 Ví dụ 327 2 Bài tập áp dụng 328 3 Bài tập rèn luyện 330 3 Cấp số cộng 332 A Tóm tắt lý thuyết 332 B Dạng toán và bài tập 333 1 Ví dụ 333 2 Bài tập áp dụng 336 4 Cấp số nhân 356 A Tóm tắt lý thuyết 356 B Dạng toán và bài tập 357 1 Ví dụ 357 2 Bài tập áp dụng 359 3 Bài tập rèn luyện 363 CHƯƠNG 4 GIỚI HẠN 367 1 Giới hạn của dãy số 367 A Tóm tắt lí thuyết 367 1 Giới hạn của dãy số 367 2
Các định lý về giới hạn hữu hạn 367 3
Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn 367 4 Giới hạn vô cực 368 B Các dạng toán 368
Dạng 1.1. Dùng định nghĩa chứng minh giới hạn 368 MỤC LỤC 9
Dạng 1.2. Tính giới hạn dãy số dạng phân thức 371
Dạng 1.3. Tính giới hạn dãy số dạng phân thức chứa an 371
Dạng 1.4. Dãy số dạng Lũy thừa - Mũ 377
Dạng 1.5. Giới hạn dãy số chứa căn thức 379 2 Giới hạn hàm số 389 A Tóm tắt lý thuyết 389 1
Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm 389 2
Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực 390 3
Giới hạn vô cực của hàm số 391 B Các dạng toán 393 0
Dạng 2.1. Giới hạn của hàm số dạng vô định 393 0 ∞
Dạng 2.2. Giới hạn dạng vô định ∞; ∞ − ∞;0 · ∞ 410
Dạng 2.3. Tính giới hạn hàm đa thức, hàm phân thức và giới hạn một bên. 414 3 Hàm số liên tục 421 A Tóm tắt lí thuyết 421 1
Hàm số liên tục tại một điểm 421 2
Hàm số liên tục trên một khoảng 421 3
Một số định lí cơ bản 421 B Các dạng toán 422
Dạng 3.1. Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm 422
Dạng 3.2. Hàm số liên tục trên một tập hợp 428
Dạng 3.3. Dạng tìm tham số để hàm số liên tục - gián đoạn 431
Dạng 3.4. Chứng minh phương trình có nghiệm 434 10 MỤC LỤC 4 Đề Kiểm tra Chương IV 440 A Đề số 1a 440 B Đề số 1b 442 C Đề số 2a 443 D Đề số 2b 445 E Đề số 3a 446 F Đề số 3b 450 G Đề số 4a 453 H Đề số 4b 454 I Đề số 5a 456 J Đề số 5b 458 K Đề số 6a 460 L Đề số 6b 462 CHƯƠNG 5 ĐẠO HÀM 465 1
Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm 465 A Tóm tắt lí thuyết 465 1
Đạo hàm tại một điểm 465 2
Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số 465 3
Ý nghĩa hình học của đạo hàm 465 4
Ý nghĩa vật lí của đạo hàm 465 5
Đạo hàm trên một khoảng 466 6 Đạo hàm một bên 466 B Các dạng toán 466
Dạng 1.1. Tính đạo hàm của hàm số bằng định nghĩa 466 MỤC LỤC 11
Dạng 1.2. Ý nghĩa của đạo hàm vào một số bài toán 469
Dạng 1.3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 470
Dạng 1.4. Mối quan hệ giữa tính liên tục và đạo hàm của hàm số 474 2 Quy tắc tính đạo hàm 476 A Tóm tắt lí thuyết 476 1 Quy tắc tính đạo hàm 476 2 Các công thức 476 B Ví dụ 476 C Các dạng toán 478
Dạng 2.1. Tính đạo hàm của hàm số chứa đa thức, chứa căn thức 478
Dạng 2.2. Một số ứng dụng của đạo hàm 483 3
Đạo hàm của các hàm số lượng giác 487 A Tóm tắt lí thuyết 487 sin x 1 Giới hạn của 487 x 2
Đạo hàm của các hàm số lượng giác 487 B Các dạng toán 487
Dạng 3.1. Tính đạo hàm của các hàm số lượng giác 487
Dạng 3.2. Chứng minh đẳng thức hoặc giải phương trình 494
Dạng 3.3. Tính giới hạn của hàm số có chứa biểu thức lượng giác 500 4 Đạo hàm cấp hai 506 A Tóm tắt lý thuyết 506 B Các dạng toán 506
Dạng 4.1. Tính đạo hàm cấp hai - Ý nghĩa của đạo hàm cấp hai 506
Dạng 4.2. Chứng minh đẳng thức chứa đạo hàm cấp 2 510 12 MỤC LỤC
Dạng 4.3. Vận dụng đạo hàm cấp hai chứng minh đẳng thức tổ hợp 513 5 Đề Kiểm tra Chương 5 518 A Đề số 1a 518 B Đề số 1b 519 C Đề số 2a 521 D Đề số 2b 522 E Đề số 3a 524 F Đề số 3b 525 PHẦN II Hình học 529 CHƯƠNG 1 Phép biến hình 531 1
Mở đầu về phép biến hình 531 A Tóm tắt lý thuyết 531 2 Phép tịnh tiến 531 A Tóm tắt lý thuyết 531 B Dạng toán và bài tập 532
Dạng 2.1. Xác định ảnh của một hình qua phép tịnh tiến 532 1 Ví dụ 532 2 Bài tập áp dụng 534 3 Bài tập rèn luyện 536
Dạng 2.2. Xác định phép tịnh tiến khi biết ảnh và tạo ảnh 536 1 Ví dụ 537 2 Bài tập áp dụng 538 3 Bài tập rèn luyện 538 MỤC LỤC 13
Dạng 2.3. Các bài toán ứng dụng của phép tịnh tiến 539 1 Ví dụ 539 2 Bài tập áp dụng 541 3 Bài tập rèn luyện 542 3
Phép đối xứng trục (Bài đọc thêm) 542 A Định nghĩa 542 B Biểu thức tọa độ 542 C Tính chất 543 D
Trục đối xứng của một hình 543 4 Phép quay 543 A Tóm tắt lý thuyết 543 B Dạng toán và bài tập 544
Dạng 4.1. Tìm tọa độ ảnh của một điểm qua phép quay 544 1 Ví dụ 544 2 Bài tập áp dụng 545 3 Bài tập rèn luyện 545
Dạng 4.2. Tìm phương trình ảnh của một đường tròn qua phép quay 546 1 Ví dụ 546 2 Bài tập áp dụng 546 3 Bài tập rèn luyện 547 5 Phép đối xứng tâm 552 A Tóm tắt lý thuyết 552 6
Phép vị tự và phép đồng dạng 552 A Tóm tắt lý thuyết 552 14 MỤC LỤC B Dạng toán và bài tập 554
Dạng 6.1. Phép vị tự trong hệ tọa độ Oxy 554 1 Ví dụ 554 2 Bài tập áp dụng 556 CHƯƠNG 2
Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian 561 1
Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng 561 A Tóm tắt lý thuyết 561 B Dạng toán và bài tập 563
Dạng 1.1. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng 563 1 Ví dụ 563 2 Bài tập áp dụng 564 3 Bài tập tự luyện 566
Dạng 1.2. Tìm giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (α) 568 1 Ví dụ 568 2 Bài tập áp dụng 570 3 Bài tập rèn luyện 576
Dạng 1.3. Tìm thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (α). 580 1 Ví dụ 580 2 Bài tập áp dụng 581 3 Bài tập tự luyện 588
Dạng 1.4. Chứng minh ba điểm thẳng hàng 591 1 Ví dụ 591 2 Bài tập áp dụng 593 3 Bài tập rèn luyện 600 MỤC LỤC 15
Dạng 1.5. Chứng minh ba đường thẳng đồng quy 603 1 Ví dụ 603 2 Bài tập áp dụng 604 3 Bài tập rèn luyện 608 2
Hai đường thẳng song song. 608 A Tóm tắt lý thuyết 608 B Dạng toán và bài tập 609
Dạng 2.1. Chứng minh hai đường thẳng song song. 609 1 Ví dụ 610 2 Bài tập áp dụng 611 3 Bài tập rèn luyện 612
Dạng 2.2. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song.614 1 Ví dụ 614 2 Bài tập áp dụng 616 3 Bài tập rèn luyện 619 3
Đường thẳng song song với mặt phẳng 623 A Tóm tắt lý thuyết 623 B Dạng toán và bài tập 624
Dạng 3.1. Chứng minh dường thẳng a song song với mặt phẳng (P) 624 1 Ví dụ 624
Dạng 3.2. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng 625
Dạng 3.3. Tìm thiết diện song song với một đường thẳng 626 1 Bài tập áp dụng 627 16 MỤC LỤC 4 Hai mặt phẳng song song 658 A Tóm tắt lý thuyết 658 1
Vị trí tương đối của hai mặt phẳng phân biệt 658 2 Các định lí 658 3 Ví dụ 660 B Bài tập áp dụng 660 5
Bài tập ôn cuối chương 2 669 CHƯƠNG 3 QUAN HỆ VUÔNG GÓC 675 1 Vectơ trong không gian 675 A Tóm tắt lí thuyết 675 1 Các định nghĩa 675 2
Các quy tắc tính toán với véctơ 675 3
Một số hệ thức véctơ trọng tâm, cần nhớ 676 4
Điều kiện đồng phẳng của ba véctơ 676 5
Phân tích một véctơ theo ba véctơ không đồng phẳng 676 6
Tích vô hướng của hai véctơ 676 B Các dạng toán 677
Dạng 1.1. Xác định véctơ và các khái niệm có liên quan 677
Dạng 1.2. Chứng minh đẳng thức véctơ 678
Dạng 1.3. Tìm điểm thỏa mãn đẳng thức vecto 681
Dạng 1.4. Tích vô hướng của hai véctơ 684
Dạng 1.5. Chứng minh ba véctơ đồng phẳng 687
Dạng 1.6. Phân tích một vectơ theo 3 vectơ không đồng phẳng cho trước 688
Dạng 1.7. Ứng dụng véctơ chứng minh bài toán hình học 690 MỤC LỤC 17 2
Hai đường thẳng vuông góc 697 A Tóm tắt lí thuyết 697 1
Tích vô hướng của hai vec-tơ trong không gian 697 2
Góc giữa hai đường thẳng 697 B Các dạng toán 698
Dạng 2.1. Xác định góc giữa hai vec-tơ 698
Dạng 2.2. Xác định góc giữa hai đường thẳng trong không gian 699
Dạng 2.3. Sử dụng tính chất vuông góc trong mặt phẳng. 703
Dạng 2.4. Hai đường thẳng song song cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba 706 3
Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng 710 A Tóm tắt lí thuyết 710 1 Định nghĩa 710 2
Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng 710 3 Tính chất 710 4
Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng 711 5
Phép chiếu vuông góc và định lý ba đường vuông góc 712 B Các dạng toán 713
Dạng 3.1. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng 713
Dạng 3.2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng 720
Dạng 3.3. Xác định thiết diện của một khối đa diện cắt bởi mặt phẳng đi qua
một điểm và vuông góc với một đường thẳng cho trước 726 C Bài tập tổng hợp 729 18 MỤC LỤC 4 Hai mặt phẳng vuông góc 734 A Tóm tắt lí thuyết 734 1
Định nghĩa góc giữa hai mặt phẳng 734 2
Cách xác định góc của hai mặt phẳng cắt nhau 734 3
Diện tích hình chiếu của một đa giác 734 4 Hai mặt phẳng vuông góc 734 5
Hình lăng trụ đứng, hình hộp chữ nhật, hình lập phương 735 6
Hình chóp đều và hình chóp cụt đều 735 B Các dạng toán 736
Dạng 4.1. Tìm góc giữa hai mặt phẳng 736
Dạng 4.2. Tính diện tích hình chiếu của đa giác 740
Dạng 4.3. Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc 742
Dạng 4.4. Thiết diện chứa một đường thẳng và vuông góc với một mặt phẳng 746 5 Khoảng cách 750 A Tóm tắt lý thuyết 750 1
Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng 750 2
Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng 750 3
Khoảng cách từ một đường thẳng tới một mặt phẳng song song 750 4
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song 750 5
Đường thẳng vuông góc chung và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau 751 B Các dạng toán 751
Dạng 5.1. Khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng 751
Dạng 5.2. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng 752
Dạng 5.3. Khoảng cách giữa đường và mặt song song - Khoảng cách giữa hai mặt song song 760 MỤC LỤC 19
Dạng 5.4. Đoạn vuông góc chung, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau 764 6 Đề Kiểm tra Chương 3 778 A Đề số 1a 778 B Đề số 1b 780 C Đề số 2a 782 D Đề số 2b 783 E Đề số 3a 784 F Đề số 3b 785 20 MỤC LỤC