Chuyên đề cung chứa góc

Tài liệu gồm 30 trang, được biên soạn bởi tác giả Toán Học Sơ Đồ, tổng hợp kiến thức trọng tâm, phân dạng và hướng dẫn giải các dạng bài tập tự luận & trắc nghiệm chuyên đề cung chứa góc, hỗ trợ học sinh trong quá trình học tập chương trình Hình học 9 chương 3 bài số 6.

67 34 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 3: Góc với đường tròn

Môn: Toán 9

Thông tin:

30 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Hà Việt Anh
1.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
CUNG CHỨA GÓC
A.TRỌNG TÂM CẦN ĐẠT
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Quỹ tích cung chứa góc
Với đoạn thẳng AB và góc a (0° < a < 180°) cho trước thì quỹ tích các điểm M thoả mãn
AMB
= a là hai
cung chứa góc a dựng trên đoạn AB.
Chú ý:
- Hai cung chứa góc a nói trên là hai cung tròn đối xứng nhau qua AB. Hai điểm A, B được coi là thuộc
quỹ tích.
- Quỹ tích các điểm M nhìn đoạn thẳng AB cho trước dưới một góc vuông là đường tròn đường kính AB.
2. Cách vẽ cung chứa góc a
- Vẽ đường trung trực d của đoạn thăng AB;
- Vẽ tia Ax tạo v
ới AB một góc a;
- Vẽ đường thẳng Ay vuông góc với Ax. Gọi o là giao điểm của Ay với d.
- Vẽ cung
AmB , tâm O, bán kính OA sao cho cung này nằm ở nửa mặt phẳng bờ AB không chứa tia Ax.
Cung
AmB được vẽ như trên là một cung chứa góc a.
3. Cách giải bài toán quỹ tích
Muốn chứng minh quỹ tích (tập hợp) các điểm M thoả mãn tính chất T là một hình H nào đó, ta phải
chứng minh hai phần:
Phần thuận: Mọi điểm có tính chất T đều thuộc hình H.
Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình H đều có tính chất T.
Từ đó đi đế
n kết luận quỹ tích các điểm M có tính chất T là hình H.
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. Quỹ tích là cung chứa góc
Phương pháp giải: Thực hiện theo ba bước sau:
Bước 1. Tìm đoạn cô định trong hình vẽ;
2.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Bước 2. Nối điểm phải tìm với hai đầu đoạn thẳng cố định đó, xác định góc a không đổi;
Bước 3. Khẳng định quỹ tích điểm phải tìm là cung chứa góc a dựng trên đoạn cố định.
1.1. Cho tam giác ABC có BC cố định và góc A bằng 50°. Gọi D là giao điểm của ba đường phân giác
trong của tam giác. Tìm quỹ tích điểm D.
1.2. Cho tam giác ABC vuông t
ại A, có cạnh BC cố định. Gọi I là giao điểm của ba đường phân giác
trong. Tìm quỹ tích điểm 1 khi điểm A thay đổi.
Dạng 2. Chứng minh nhiều điểm thuộc đường tròn
Phương pháp giải: Chứng minh nhiều điểm cùng thuộc nửa mặt phang bờ là AB và cùng nhìn đoạn cố
định AB dưới một góc không đổi.
2.1. Cho nửa đườ
ng tròn đường kính AB. Gọi M là điểm chính giữa của cung AB. Trên cung AM lấy điểm
N. Trên tia đổi của tia MA lây điểm D sao cho MD = MB, trên tia đối của tia NB lấy điểm E sao cho NA =
NE, trên tia đối của tia MB lấy điểm c sao cho MC = MA. Chứng minh 5 điểm A, B, C, D, E cùng thuộc
một đường tròn.
2.2. Cho I, O lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp, ngoạ
i tiếp của tam giác ABC với
A
= 60°. Gọi H là trực
tâm của ∆ABC. Chứng minh các điểm B, C, O, H, I cùng thuộc một đường tròn.
Dạng 3. Dạng cung chứa góc
Phương pháp giải: Thực hiện theo bốn bước sau:
Bước 1. Vẽ đường trung trực d của đoạn thẳng AB;
Bước 2. Vẽ tia Ax tạo với AB một góc α;
Bước 3. Vẽ đường thẳng Ay vuông góc với Ax. Gọi O là giao điểm của Ay với d.
Bướ
c 4. Vẽ cung
AmB , tâm Om bán kính OA sao cho cung này nằm ở nửa mặt phẳng bờ AB không chứa
tia Ax. Cung
AmB được vẽ như trên là một cung chứa góc α.
3.1. Dựng một cung chứa góc 55
0
trên đoạn thẳng AB = 3cm.
3.2. Dựng tam giác ABC, biết BC = 3cm, AB = 3,5cm và
A
= 50
0
.
III. BÀI TẬP VỀ NHÀ
4. Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC lấy điểm E, trên tia đối của tia CD lấy điểm F sao cho CE = CF.
Gọi M là giao điểm của hai đường thẳng DE và BF. Tìm quỹ tích của điểm M khi E di động trên cạnh
BC.
3.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
5. Cho tam giác ABCD vuông tại A, phân giác BF. Từ điểm I nằm giữa B và F vẽ đường thẳng song song
với AC cắt AB, BC lần lượt tại M và N. Vẽ đường trong ngoại tiếp tam giác BIN cắt AI tại D. Hai đường
thẳng DN và BF cắt nhau tại E. Chứng minh:
a) Bốn điểm A, B, D, E cùng thuộc một đường tròn;
b) Năm điểm A, B, C, D, E cùng thuộc một đường tròn. Từ đó suy ra BE vuông góc với CE.
6. Dựng cung chứa góc 45
0
trên đoạn thẳng AB = 5cm.
HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ
1.1. Ta có

00
50 130ABC
00
65 115DBC DCB BDC
Quỹ tích của điểm D là hai cung chứa góc 115
0
dựng trên
đoạn BC.
1.2. Tương tự 1.1.
Tính được
0
135BIC
Quỹ tích của điểm I là hai cung chứa góc 135
0
dựng trên
đoạn BC.
2.1. Các tam giác
,ANE AMC
và
BMD
vuông cân
0
45AEB ADB ACB
Mà AB cố định nên các điểm A, B, C, D, E cùng thuộc một
đường tròn.
2.2. Chứng minh được
0
120BIC .
0
2120BOC BAC và
00 0
180 60 120BHC (góc
nội tiếp và góc ở tâm)
4.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
H, I, O cùng nhìn BC dưới góc 120
0
nên B, C, O, I, H
cùng thuộc một đường tròn.
3.1. Bước 1. Vẽ đoạn thẳng AB = 3cm, dựng trung trực d của
AB;
Bước 2: Vẽ tia Ax tạo với AB góc 55
0
;
Bước 3: Vẽ
Ay Ax
cắt d ở O;
Bước 4: Vẽ cung
AmB tâm O, bán kính OA sao cho cung
này nằm trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa tia Ax.
AmB là cung cần vẽ.
3.2. HS tự thực hiện. Bài toán có 2 nghiệm hình
4.Chứng minh được:
0
90CBFBEM MDFDEC
0
90BMD nên M thuộc đường tròn đường kính BD. Mà
E BC nên quỹ tích của điểm M là là cung
BC của đường
tròn đường kính BD.
5. a) Chứng minh
ABE ADE
.
b) Chứng minh được:
ACB BNM (đồng vị)
C, D, E nhìn AB dưới góc bằng nhau nên A, B, C, D, E
cùng thuộc một đường tròn.
BC là đường kính
0
90BEC
6. Tương tự 3.1
5.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
B.NÂNG CAO PHÁT TRIỂN TƯ DUY
HƯỚNG DẪN
Bài 1. Từ điểm M nằm ngoài đường tròn tâm O. Kẻ cát tuyến MAB đi qua O và các tiếp tuyến MC, MD.
Gọi K là giao điểm của AC và BD. Chứng minh rằng:
a) Bốn điểm B, C, M, K cùng thuộc một đường tròn.
b) MK vuông góc với AB.
Bài 2. Cho tam giác ABC đường cao AH, đường trung tuyến AM (H, M phân biệt và thuộc cạnh BC)
thỏa mãn
BAH MAC . Chứng minh rằng
90BAC 
Bài 3. Cho đường tròn tâm O và dây AB cố định (O không thuộc AB), P là điểm di động trên đoạn AB (P
khác A, B). Qua A, P vẽ đường tròn tâm C tiếp xúc với (O) tại A. Qua B, P vẽ đường tròn tâm D tiếp xúc
với (O) tại B. Hai đường tròn (C) và (D) cắt nhau tại N (khác P).
a) Chứng minh:
ANP BNP
b) Chứng minh:
90PNO 
c) Chứng minh khi P di động thì N luôn nằm trên một cung tròn cố định.
Bài 4. Cho tam giác EFG có
FEG là góc tù. Xác định đường tròn có bán kính nhỏ nhất sao cho không có
đỉnh nào của tam giác EFG nằm bên ngoài đường tròn.
Bài 5. Cho đường tròn (O; R) và dây cung
3BC R . Dựng điểm A (O; R) sao cho tam giác ABC có

2
.3AB AC AC R
Bài 6. Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AH. Gọi M, N lần lượt là các điểm đối xứng của H qua AB
và AC. Gọi giao điểm của MN với AB và AC lần lưọt là F và E. Chứng minh rằng:
a) Năm điểm A, M, B, H, E cùng thuộc một đường tròn.
b) Ba đường thẳng AH, BE và CF đồng qui.
Bài 7. Cho tứ giác ABCD. Lấy mỗi cạnh làm đưòng kính vẽ một nửa hình tròn vào trong tứ giác. Chứng
minh rằng bổn nửa hình tròn đó phủ kính tứ giác.
HƯỚNG DẪ
N
6.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Bài 1. Từ điểm M nằm ngoài đường tròn tâm O. Kẻ cát tuyến MAB đi qua O và các tiếp tuyến MC, MD.
Gọi K là giao điểm của AC và BD. Chứng minh rằng:
a) Bốn điểm B, C, M, K cùng thuộc một đường tròn.
b) MK vuông góc với AB.
Lời giải
a) Dễ dàng chứng minh AB CD nên
AC AD
Do đó
ACM ABD (góc tạo bởi tia tiếp tuyến với dây và góc nội
tiếp chắn hai dây cung bằng nhau)
Tức là
KCM KBM .
Tứ giác BCMK có các điểm B và C cùng nhìn KM dưới hai góc
bằng nhau nên bốn điểm B, C, M, K thuộc cùng một đưòng tròn.
b) Từ câu a suy ra
90BMK BCK. Vậy KM AB.
Bài 2. Cho tam giác ABC đường cao AH, đường trung tuyến AM (H, M phân biệt và thuộc cạnh BC)
thỏa mãn
BAH MAC . Chứng minh rằng
90BAC 
Lời giải
Gọi E là trung điểm AB.
Ta có
11
HBAHMACM nên bốn điểm A, M, H, E thuộc
cùng một đường tròn.
Suy ra
90AEM AHM
Do EM // AC nên
90BAC 
Bài 3. Cho đường tròn tâm O và dây AB cố định (O không thuộc AB), P là điểm di động trên đoạn AB (P
khác A, B). Qua A, P vẽ đường tròn tâm C tiếp xúc với (O) tại A. Qua B, P vẽ đường tròn tâm D tiếp xúc
với (O) tại B. Hai đường tròn (C) và (D) cắt nhau tại N (khác P).
a) Chứng minh:
ANP BNP
b) Chứng minh:
90PNO 
c) Chứng minh khi P di động thì N luôn nằm trên một cung tròn cố định.
7.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Lời giải
a) Vì (O) và(C) tiếp xúc trong tại A nên A, C, O thẳng hàng.
Vì (O) và (C) tiếp xúc trong tại B nên B, D, O thẳng hàng.
Xét (C) có
1
2
ANP ACP
Tam giác ACP cân tại C, tam giác AOB cân tại O nên suy ra:

//APC ABO CPA CP OB

1
1
2
ACP AOB ANP AOB
Tương tự ta có

1
// 2
2
DP OA BDP AOB BNP AOB
Từ (1) và (2) suy ra
ANP BNP
b) Gọi H là giao điểm của NP và CD;
I là giao điểm của OP và CD.
Theo chứng minh trên ta có: CP // OB; DP // CO.
Suy ra tứ giác CPDO là hình bình hành.
Do đó IO = IP. (C) và (D) cắt nhau tại p và N suy ra CD
NP (3)
HN = HP do đó HI là đường trung bình của tam giác PNO nên: HI // NO hay CD // NO (4)
Từ (3) và (4), suy ra:
90NO NP PNO
c) Theo chứng minh trên ta có:

ANB ANP PNB ANB AOB (không đổi) Dễ thấy N, O thuộc nửa
mặt phẳng bờ AB.
Suy ra điểm N thuộc cung chứa góc AOB dựng trên đoạn thẳng AB nên N thuộc cung tròn cố định.
Nhận xét. Dựa vào kết quả câu a, chúng ta chứng minh được: Khi P di động thì NP luôn đi qua một điểm
cố định.
Bài 4. Cho tam giác EFG có
FEG là góc tù. Xác định đường tròn có bán kính nhỏ nhất sao cho không có
đỉnh nào của tam giác EFG nằm bên ngoài đường tròn.
Lời giải
8.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Gọi O là trung điểm
FG EO FO GO
Xét đường tròn (O) đường kính FG Suy ra các đỉnh của tam giác EFG không
nằm bên ngoài của (O).
Gọi (O; R) là đường tròn tùy ý sao cho các đỉnh của tam giác EFG không nằm
bên ngoài của (O; R)
Suy ra F, G nằm trên hoặc nằm bên trong của (O; R)
2FG R
Vậy (J) là đường tròn có bán kính nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện đề bài.
Bài 5. Cho đường tròn (O; R) và dây cung
3BC R
. Dựng điểm A (O; R) sao cho tam giác ABC có

2
.3AB AC AC R
Lời giải
• Xét A thuộc cung lớn BC.
a) Phân tích. OD cắt (O) tại E, F và E nằm giữa O và D.
Giả sử dựng được A thuộc cung lớn BC sao cho

2
.3AB AC AC R
Trên tia đối của tia AB lấy D sao cho
;3AD AC BC R
BC là cạnh của tam giác đều nội tiếp (O; R)
1
120 60 .60 30
2
sd BC BAC BDC
AFD ~ EBD(vì
D
chung,
AFD EBD
)
..
DA DF
DA DB DE DF
DE DB

Mà
;DA AC DB AB AD AB AC

22
.DE DF OD OE OD OF OD R OD R OD R 
Do đó

222222
.3 3 4 2AB AC AC R OD R R OD R OD R
Do đó D là giao điểm của (O; 2R) và cung chứa góc 30° dựng trên đoạn BC. D xác định được A xác
định được.
b) Cách dựng.
9.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
- Dựng đường tròn (O;R).
- Dựng cung chứa góc 30° dựng trên đoạn BC
Gọi D là giao điểm của (O; 2R) và cung chứa góc trên.
Dựng đoạn thẳng BD; BD cắt (O; R) tại A.
Chú ý: Có thể nhận ra rằng A là điểm đổi xứng của B qua O.
c) Chứng minh.
Chứng minh được
22 2
.3DA DB OD R R
(Xem ở phần phân tích)
60 ; 30BAC ADC
Do đó
60 30 30 .ACD  ADC cân tại A (vì
30 )ADC ACD
AD = AC. Do đó

2
...3AB AC AC AB AD AD BD DA R
d) Biện luận.
Trên cung lớn BC có một điểm A sao cho

2
.3AB AC AC R
• Bạn đọc hãy xét trường hợp điểm A nằm trên nhỏ cung BC.
Bài 6. Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AH. Gọi M, N lần lượt là các điểm đối xứng của H qua AB
và AC. Gọi giao điểm của MN với AB và AC lần lưọt là F và E. Chứng minh rằng:
a) Năm điểm A, M, B, H, E cùng thuộc một đường tròn.
b) Ba đường thẳng AH, BE và CF đồng qui.
Lời giải
a) AMB = AHB (c.c.c) nên
90AMB AHB
Suy ra M. H cùng thuộc đường tròn đường kính AB (1)
Ta có AM = AN (= AH) nên AMN cân tại A do đó
AMN ANM
Mà AEH = AEN (c.c.c)
ANE AHE
Suy ra
AME AHE
, H và M là hai đỉnh liên tiếp cùng nhìn AE dưới
một góc bằng nhau
10.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
A, M, H, E cùng thuộc một đường tròn (2)
Từ (1) và (2) suy ra năm điểm A, M, B, H, E cùng thuộc một đường tròn.
b) Ta có A, M ,B, H, E cùng thuộc đường tròn đường kính AB nên
90AEB hay BE AC (3)
Chứng minh tương tự ta có năm điểm A, F, H, C, N cùng thuộc một đường tròn đường kính AC nên
90AFC  hay CF AB. (4)
Từ (3) và (4) ta có BE, CF cùng là đường cao trong tam giác ABC nên AH, BE, CF đồng qui.
Bài 7. Cho tứ giác ABCD. Lấy mỗi cạnh làm đưòng kính vẽ một nửa hình tròn vào trong tứ giác. Chứng
minh rằng bổn nửa hình tròn đó phủ kính tứ giác.
Lời giải
Ta chứng minh bằng phản chứng.
Giả sử O là điểm nằm trong tứ giác ABCD mà không bị phủ bởi một
nửa hình tròn nào.
Khi đó điểm O nằm ngoài cả bốn nửa hình tròn.
Do đó
90 ; 90 ; 90 , 90AOB BOC COD DOA   
Suy ra
360AOB BOC COD DOA (vô lí)
Vậy bốn nửa hình tròn phủ kín cả tứ giác.
C.TRẮC NGHIỆM RÈN LUYỆN PHẢN XẠ
Câu 1. Quỹ tích các điểm
M
nhìn đoạn thẳng
AB
cho trước dưới một góc vuông là.
A. Đường tròn đường kính
AB
. B. Nửa đường tròn đường kính
AB
.
C. Đường tròn đường kính
2
AB
. D. Đường tròn bán kính
AB
.
Câu 2. Đường tròn đường kính
CD
là quỹ tích của điểm nào dưới đây?
A. Quỹ tích các điểm
P
nhìn đoạn thẳng
CD
cho trước dưới một góc
60
. B. Quỹ tích các điểm
N
nhìn
đoạn thẳng
CD
cho trước dưới một góc
45
.
C. Quỹ tích các điểm
M
nhìn đoạn thẳng
CD
cho trước dưới một góc vuông.
D. Quỹ tích các điểm
Q
thuộc đường trung trực của
CD
.
11.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Câu 3. Với đoạn thẳng
AB
và góc
(0 180 )aa<<

cho trước thì quỹ tích các điểm
M
thỏa mãn
AMB a=
là:
A. Hai cung chứa góc
a
dựng trên đoạn
AB
. Hai cung này không đối xứng nhau qua
AB
.
B. Hai cung chứa góc
a
dựng trên đoạn
AB
và không lấy đoạn
AB
.
C. Hai cung chứa góc
a
dựng trên đoạn
AB
. Hai cung này đối xứng nhau qua
AB
.
D. Một cung chứa góc
a
dựng trên đoạn
AB
.
Câu 4. Cho tam giác
ABC
có
BC
cố định và góc
A
bằng
50
. Gọi
D
là giao điểm của ba đường phân
giác trong của tam giác. Tìm quỹ tích điểm
D
.
A. Một cung chứa góc
115
dựng trên đoạn
BC
.
B. Một cung chứa góc
115
dựng trên đoạn
AC
.
C. Hai cung chứa góc
115
dựng trên đoạn
AB
.
D. Hai cung chứa góc
115
dựng trên đoạn
BC
.
Câu 5. Cho tam giác
ABC
có
BC
cố định và góc
A
bằng
60
. Gọi
D
là giao điểm của ba đường phân
giác trong của tam giác. Tìm quỹ tích điểm
D
.
A. Hai cung chứa góc
120
dựng trên đoạn
BC
.
B. Một cung chứa góc
120
dựng trên đoạn
AC
.
C. Hai cung chứa góc
60
dựng trên đoạn
AB
.
D. Hai cung chứa góc
115
dựng trên đoạn
BC
.
Câu 6. Cho các hình thoi
ABCD
có cạnh
AB
cố định. Tìm quỹ tích giao điểm
O
của hai đường thẳng
chéo nhau của hình thoi đó.
A. Quỹ tích điểm
O
là
2
cung chứa góc
0
120
dựng trên
AB
.
B. Quỹ tích điểm
O
là nửa đường tròn đường kính
AB
, trừ hai điểm
A
và
B
.
C. Quỹ tích điểm
O
là
2
cung chứa góc
0
60
dựng trên
AB
.
D. Quỹ tích điểm
O
là
2
cung chứa góc
0
30
dựng trên
AB
.
12.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Câu 7. Cho các hình vuông
ABCD
có cạnh
AB
cố định. Tìm quỹ tích giao điểm
O
của hai đường
chéo của các hình vuông đó.
A. Quỹ tích điểm
O
là
2
cung chứa góc
0
120
dựng trên
AB
.
B. Quỹ tích điểm
O
là nửa đường tròn đường kính
AB
, trừ hai điểm
A
và
B
.
C. Quỹ tích điểm
O
là
2
cung chứa góc
0
60
dựng trên
AB
.
D. Quỹ tích điểm
O
là
2
cung chứa góc
0
30
dựng trên
AB
.
Câu 8. Cho nửa đường tròn đường kính
AB
. Gọi
M
là điểm chính giữa của cung
AB
. Trên cung
AM
lấy điểm
N
. Trên tia đối của tia
MA
lấy điểm
D
sao cho
MD MB=
, trên tia đối của tia
NB
lấy điểm
E
sao cho
NA NE=
, trên tia đối của tia
MB
lấy điểm
C
sao cho
MC M A=
. Các điểm nào dưới đây
thuộc một đường tròn?
A.
,,, ,
ABC M E
. B.
,,,,
MBCDN
.
C.
,,,,
ABC DE
. D.
,,,,
ABC DN
.
Câu 9. Cho hình vuông
ABCD
. Trên cạnh
BC
lấy điểm
E
, trên tia đối của tia
CD
lấy điểm
F
sao
cho
CE CF=
. Gọi
M
là giao điểm của hai đường thẳng
DE
và
BF
. Tìm quỹ tích của điểm
M
khi
E
di động trên cạnh
BC
.
A. Nửa đường tròn đường kính
BD
. B. Cung
BC
của đường tròn đường kính
BD
.
C. Cung
BC
của đường tròn đường kính
BD
trừ điểm
,
BC
. D. Đường tròn đường kính
BD
.
Câu 10. Cho tam giác
ABC
đều. Tìm quỹ tích các điểm
M
nằm trong tam giác đó sao cho
222
MA MB MC=+
.
A. Quỹ tích điểm
M
là hai cung chứa góc
0
150
dựng trên
BC
, trừ hai điểm
B
và
C
.
B. Quỹ tích điểm
M
là đường tròn đường kính
BC
.
C. Quỹ tích điểm
M
là đường tròn đường kính
BC
trừ hai điểm
B
và
C
.
D. Quỹ tích điểm
M
là
2
cung chứa góc
0
150
dựng trên
BC
.
Câu 11. Cho tam giác
ABC
đều. Tìm quỹ tích các điểm
M
nằm trong tam giác đó sao cho
222
MB MA MC=+
.
A. Quỹ tích điểm
M
là hai cung chứa góc
0
150
dựng trên
BC
, trừ hai điểm
B
và
C
.
B. Quỹ tích điểm
M
là hai cung chứa góc
0
150
dựng trên
AC
, trừ hai điểm
A
và
C
.
13.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
C. Quỹ tích điểm
M
là đường tròn đường kính
BC
trừ hai điểm
B
và
C
.
D. Quỹ tích điểm
M
là
2
cung chứa góc
0
150
dựng trên
AC
.
Câu 12. Cho tam giác
ABC
vuông cân tại
A
. Tìm quỹ tích các điểm
M
nằm trong tam giác đó sao cho
222
2
MA MB MC=-
.
A. Quỹ tích điểm
M
là cung chứa góc
0
135
dựng trên
AC
, trừ hai điểm
A
và
C
.
B. Quỹ tích điểm
M
là đường tròn đường kính
AC
.
C. Quỹ tích điểm
M
là đường tròn đường kính
AC
trừ hai điểm
A
và
C
.
D. Quỹ tích điểm
M
là cung chứa góc
0
135
dựng trên
AC
.
Câu 13. Cho tam giác
ABC
vuông cân tại
B
. Tìm quỹ tích các điểm
M
nằm trong tam giác đó sao cho
222
2
MB MA MC=-
.
A. Quỹ tích điểm
M
là cung chứa góc
0
135
dựng trên
BC
.
B. Quỹ tích điểm
M
là đường tròn đường kính
BC
.
C. Quỹ tích điểm
M
là đường tròn đường kính
BC
trừ hai điểm
B
và
C
.
D. Quỹ tích điểm
M
là cung chứa góc
0
135
dựng trên
BC
, trừ hai điểm
B
và
C
.
Câu 14. Cho hình bình hành
ABCD
, hai đường chéo cắt nhau tại
I
. Từ
A
kẻ các đường vuông góc với
,,
BC CD DB
thứ tự tại
,,
HEK
. Xét các khẳng định sau:
I. Bốn điểm
,,,
AHC E
nằm trên một đường tròn.
II. Bốn điểm
,,,
AK DE
nằm trên một đường tròn.
III. Bốn điểm
,,,
AH K B
nằm trên một đường tròn.
IV. Bốn điểm
,, ,
KIEH
nằm trên một đường tròn.
Chọn khẳng định đúng.
A. Cả bốn khẳng định đều sai. B. Cả bốn khẳng định đều đúng.
C. Có ít nhất một khẳng định sai. D. Có nhiều nhất một khẳng định sai.
Câu 15. Cho đường tròn đường kính
AB
cố định,
M
là một điểm chạy trên đường tròn. Trên tia đối của
tia
MA
lấy điểm
I
sao cho
2
MI MB
=
. Quỹ tích các điểm
I
là:
A. Quỹ tích điểm
I
là
2
cung chứa góc
0
30
dựng trên
AB
.
14.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
B. Quỹ tích điểm
I
là
2
cung chứa góc
0
a
dựng trên
AB
với
tan 2
a
=
.
C. Quỹ tích điểm
I
là
2
cung chứa góc
0
a
dựng trên
AB
với
1
tan
2
a = .
D. Quỹ tích điểm
I
là
2
cung chứa góc
0
60
dựng trên
AB
.
Câu 16. Cho tam giác
ABC
, gọi
I
là tâm đường tròn nội tiếp tam giác,
P
là một điểm trong tam giác
thỏa mãn
PBA PCA PBC PCB+= +
. Xét các khẳng định sau:
I.
P
nhìn đoạn
BC
dưới một góc
0
1
90
2
BAC+ .
II.
I
nhìn đoạn
BC
dưới một góc
0
1
90
2
BAC+ .
Kết luận nào sau đây đúng?
A. Cả hai khẳng định đều sai. B. Cả hai khẳng định đều đúng.
C. Chỉ có I đúng và II sai. D. Chỉ có I sai và II đúng.
Câu 17. Cho tam giác
ABC
cân tại
A
,
M
là điểm trên cạnh đáy
BC
. Qua
M
kẻ các đường thẳng song song với hai cạnh bên cắt hai cạnh đó tại
D
và
E
. Gọi
N
là điểm đối xứng của
M
qua
DE
. Quỹ tích các điểm
N
là:
A. Quỹ tích các điểm
N
là cung chứa góc bằng
BAC
dựng trên đoạn
BC
.
B. Quỹ tích các điểm
N
là cung chứa góc bằng
1
2
BAC dựng trên đoạn
BC
.
C. Quỹ tích các điểm
N
là cung chứa góc bằng
2BAC
dựng trên đoạn
BC
.
D. Quỹ tích các điểm
N
là cung chứa góc bằng
0
180 BAC-
dựng trên đoạn
BC
.
Câu 18. Cho đoạn thẳng
AB
cố định và điểm
C
di chuyển trên đường tròn tâm
B
bán kính
BA
. Dựng
hình bình hành
ABCD
, gọi
O
là giao điểm của hai đường chéo hình bình hành. Tìm quỹ tích các điểm
O
khi
C
di chuyển trên đường tròn
(; )
BBA
.
A. Quỹ tích điểm
O
là
2
cung chứa góc
0
120
dựng trên
AB
.
B. Quỹ tích điểm
O
là đường tròn đường kính
AB
C. Quỹ tích điểm
O
là
2
cung chứa góc
0
60
dựng trên AB.
15.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
D. Quỹ tích điểm
O
là đường tròn đường kính
AB
, trừ hai điểm
A
và
B
.
Câu 19. Cho đoạn thẳng
10AB cm=
,
M
là trung điểm của
AB
. Quỹ tích các điểm
C
trong mặt phẳng
thỏa mãn tam giác
ABC
có
22
100CA CB+=
là:
A. Nửa đường tròn đường kính
AB
.
B. Đường tròn tâm
M
bán kính
10
cm
.
C. Đường tròn tâm
M
bán kính
5cm
. D. Đường tròn tâm
M
đường kính
5cm
.
HƯỚNG DẪN
Câu 1. Đáp án A.
Quỹ tích các điểm
M
nhìn đoạn thẳng
AB
cho trước dưới một góc vuông là đường tròn đường
kính
AB
.
Câu 2. Đáp án C.
Quỹ tích các điểm
M
nhìn đoạn thẳng
CD
cho trước dưới một góc vuông là
đường tròn đường kính
CD
.
Câu 3. Đáp án C.
Với đoạn thẳng
AB
và góc
(0 180 )
aa
<<

cho trước thì quỹ tích các điểm
M
thỏa
mãn
AMB
a
=
là hai cung chứa góc
a
dựng trên đoạn
AB
.
Hai cung chứa góc
a
nói trên là hai cung tròn đối xứng nhau qua
AB
. Hai điểm
,
AB
được coi là thuộc
quỹ tích.
Câu 4. Đáp án D.
Ta có
50 0
ˆ
ˆ
13
ˆ
ABC=+=

nên

130
65 115
2
BDC DBC BDC+===

Quỹ tích của điểm
D
là hai cung chứa góc
115
dựng trên đoạn
BC
.
Câu 5. Đáp án A.
16.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Ta có
60 0
ˆ
ˆ
12
ˆ
ABC=+=

nên

120
60 120
2
BDC DBC BDC+===

Quỹ tích của điểm
D
là hai cung chứa góc
0
120
dựng trên đoạn
BC
.
Câu 6. Đáp án B.
Xét hình thoi
ABCD
có hai đường chéo
AC
và
BD
vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Suy ra
0
90AO BO AOB^ =
Ta có
0
90
AOB =
không đổi mà
,
AB
cố định
Quỹ tích điểm
O
là nửa đường tròn đường kính
AB
trừ hai điểm
A
và
B
.
Câu 7. Đáp án B.
Xét hình vuông
ABCD
có hai đường chéo
AC
và
BD
vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi
đường.
Suy ra
0
90AO BO AOB^ =
Ta có
0
90
AOB =
không đổi mà
,
AB
cố định Quỹ tích điểm
O
là nửa đường tròn đường kính
AB
trừ hai điểm
A
và
B
.
Câu 8. Đáp án C.
17.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Các tam giác
,,ANE AMC B MDDD D
lần lượt vuông cân tại
,,
NMM
nên
45
AEB ADB ACB===
Mà
AB
cố định nên các điểm
,,,,
ABC DE
cùng thuộc một đường
tròn.
Câu 9. Đáp án B.
Ta có
()DEC BFC c g c EDC EBMDD=--=


90EDC DEC EBM BEM EMB+=+=
Hay
90
BMD =
nên
M
thuộc đườngtròn đường kính
BD
. Mà
EBCÎ
nên quỹ tích của điểm
M
là
cung
BC
của đường tròn đường kính
BD
.
Câu 10. Đáp án A.
Vẽ tam giác
BMN
đều (
N
khác phía CC đối với
BM
).
Xét
BNA
D
và
BMC
D
có:
BN BM
=
(vì tam giác
BMN
đều)
BA BC
=
(vì tam giác
ABC
đều)
NBA MBC=
(vì cùng bằng
0
60 ABM-
)
18.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Suy ra
(..)
BNA BMC c g cDD
=
nên ta có
NA MC
=
.
Ta có:
222 22
MA MB MC MN NA=+=+
nên
0
90
MNA =
.
Suy ra
00 0
90 60 150BNA =+=
, do đó
0
150
BMC BNA==
.
,
BC
cố định Quỹ tích điểm
M
là hai cung chứa góc
0
150
dựng trên
BC
, trừ hai điểm
B
và
C
.
Câu 11. Đáp án B.
Vẽ tam giác
AMN
đều (
N
khác phía
C
đối với
AM
).
Xét
BNAD
và
AMCD
có:
AN AM=
(vì tam giác
AMN
đều)
BA BC=
(vì tam giác
ABC
đều)
NAB MAC=
(vì cùng bằng
60
BAM-
)
Suy ra
(..)
ANB AMC c g cDD
=
nên ta có
NB MC
=
.
Ta có:
222 22
MB MA MC M N NB=+ = +
nên
90
MNB =
Suy ra
00 0
90 60 150BNA =+=
, do đó
0
150
AMC BNA==
,
BC
cố định Quỹ tích điểm
M
là hai cung chứa góc
0
150
dựng trên
AC
, trừ hai điểm
A
và
C
.
Câu 12. Đáp án A.
Vẽ tam giác
MAD
vuông cân tại
A
(
M
và
D
khác phía đối với
AC
).
Xét
BAMD
và
CADD
có:
AM AD
=
(vì tam giác
MAD
vuông cân tại
A
)
BA A C
=
(vì tam giác
ABC
vuông cân tại
A
)
19.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
MAB CAD=
(vì cùng bằng
0
90
MAC-
)
Suy ra
()
BAM CA D c g cDD
=--
nên ta có
BM CD=
.
Ta có:
222
2
MA MB MC
=-
()
2
222 22 222
22MA MC MB MA MC CD MD MC CD+= +=+=
nên
0
90
DMC =
. Suy ra
0
135
AMC =
.
Mà
,
AC
cố định Quỹ tích điểm M là cung chứa góc
0
135
dựng trên
AC
, trừ hai điểm
A
và
C
.
Câu 13. Đáp án D.
Vẽ tam giác
MBD
vuông cân tại
B
(
M
và
D
khác phía đối với
BC
).
Xét
ABMD
và
CBDD
có:
BM BD=
(vì tam giác
MBD
vuông cân tại
B
)
BA BC=
(vì tam giác
ABC
vuông cân tại
B
)
MBA CBD=
(vì cùng bằng
90
MBC-
)
Suy ra
()
ABM CBD c g cDD
=--
nên ta có
AM CD
=
.
Ta có:
222
2
MB MA MC
=-
()
2
222 22 222
22MB MC MA MB MC CD MD MC CD+= +=+=
nên
0
90
DMC =
. Suy ra
0
45 90 135BMC BMD DMC=+=+=

Mà
,
BC
cố định Quỹ tích
điểm M là cung chứa góc
0
135
dựng trên
BC
, trừ hai điểm
B
và
C
.
Câu 14. Đáp án B.
20.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
,
AH BC AE CD
^^
bốn điểm
,,,
AHC E
nằm trên đường tròn đường kính
AC
,
I
là trung điểm
của
AC
I
là tâm đường tròn đường kính
AC
00
0
222(90 90 )
2(180 )( )
HIE HAE ACB ACE
BCD HAC EAC
= == - +-
=- +
Lại có
,,
AH BC AK BD AE CD
^^^
nên bốn đỉnh
,,,
AK E D
nằm trên đường tròn đường
kính
AD
và bốn đỉnh
;;;
AK H B
nằm trên đường tròn đường kính
AB EKD EAD=
và
BKH BAH=
00
00 0
180 180
90 90 2(180 )
HKE EKD BKH EAD BAH
EAD BAH ADC ABC BCD
=--=--
=- +- = + = -
Suy ra
K
và
I
cùng nhìn đoạn
HE
dưới một góc
0
2(180 )BCD-
.
Vậy
,, ,
KIEH
nằm trên một đường tròn.
Câu 15. Đáp án C.
Tam giác
AMB
vuông tại
M
, ta
0
90
AMB =
. Mặt khác ta có:
0
180 ,AMB IMB+=
suy
ra
0
90
IMB =
hay tam giác
BMI
vuông tại
M
Trong tam giác vuông
BMI
ta
có
1
tan
2
MB
MIB
MI
==
Suy ra
0
MIB a=
không đổi hay
0
AIB a=
không đổi.
Mà
,
AB
cố định Quỹ tích điểm
I
là
2
cung chứa góc
0
a
dựng trên
AB
với
1
tan
2
a = .
Câu 16. Đáp án B.
21.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Theo giả thiết ta có:
+=++++= +2( )PBA PCA PBC PCB PBA PCA PBC PCB PBC PCB
+ =+ - =+= -
00
2( ) 2(180
ˆ
)1
ˆˆ ˆ
80PBC PCB B C BPC B C BAC
=+
0
1
90
2
BPC BAC .
Mặt khác

00
1
180 ( ) 180 ( )
2
BIC IBC ICB ABC ACB=- + =- +
Suy ra
P
và
I
luôn nhìn đoạn
BC
về cùng một phía dưới cùng một góc
0
1
90
2
BAC+ .
Câu 17. Đáp án A.
Ta có
// , //
MD AC ME AB
ˆ
,.BDM A MEC DB DM EC EM=== =
,
MN
đối xứng nhau qua
DE
;.DN DM EM EN= =
⇒
D
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
BMN
11
22
ˆ
BNM BDM A= = (góc nội tiếp bằng nửa góc ở tâm cùng chắn cung
BM
).
Tương tự,
E
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
CMN
.
ˆ
11
22
ˆ
MNC MEC A BNC BNM MNC A= ==+=
Suy ra
N
nhìn đoạn
BC
dưới một góc bằng
BAC
không đổi.
Nên quỹ tích các điểm
N
là cung chứa góc bằng
BAC
dựng trên đoạn
BC
.
22.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Câu 18. Đáp án B
Do
ABCD
là hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau nên là hình thoi, do đó hai đường chéo
AC
và
BD
vuông góc với nhau tại
O
Suy ra
90AO BO AOB^ =
Ta có
0
90AOB =
không đổi, A, B cố định Quỹ tích điểm O là đường tròn đường kính AB.
Nếu
CAº
thì
OAº
nên
A
thuộc quỹ tích.
Nếu
C
đối xứng với
A
qua
B
thì
OBº
.
Vậy hai điểm
,
AB
cũng thuộc quỹ tích.
Câu 19. Đáp án C.
Vì
22 2
100CA CB AB+==
nên
ABCD
là tam giác vuông tại
C
hay điểm
C
luôn nhìn đoạn
AB
một góc
0
90
.
Do đó quỹ tích các điểm
C
là đường tròn đường kính
10
AB cm
=
hay đường tròn tâm
M
bán
kính 5cm .
D.PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO
Bài 1: Cho ba điểm cố định
,,MNP
không thẳng hàng. Tìm quỹ tích các đỉnh của tam giác đều có các
cạnh theo thứ tự đi qua
,,MNP
.
Bài 2: Cho nửa đường tròn
()O
đường kính
AB
.
C
là một điểm chuyển động trên nửa đường tròn. Trên
tia
AC
lấy
D
sao cho
AD BC=
. Tìm tập hợp các điểm
D
.
Bài 3: Cho đường tròn
(; )OR
;
BC
là một dây cung cố định
(2)BC R¹
.
A
là điểm chuyển động trên
cung lớn
BC
. Xác định vị trí của
A
để chu vi tam giác
ABC
lớn nhất.
Bài 4: Cho đường tròn
(; )OR
;
BC
là một dây cung cố định.
A
là điểm chuyển động trên cung lớn
BC
.
I
là tâm đường tròn nội tiếp tam giác
ABC
. Xác định vị trí của
A
để chu vi tam giác
IBC
lớn nhất.
Bài 5: Dựng tam giác
ABC
biết bán kính đường tròn ngoại tiếp
R
, bán kính đường tròn nội tiếp
r
và
C a=
.
23.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
P
N
M
C'
B'
A'
C
BA
60°
Bài 6: Dựng hình thang
ABCD
biết bán kính đường tròn ngoại tiếp là
R
. Độ dài đáy
1CD =
và góc tạo
bởi hai đường chéo là
a
.
Bài 7: Cho tam giác
ABC
nội tiếp đường tròn
(; )
OR
, gọi
H
là trực tâm,
I
và
O
là tâm đường tròn nội
tiếp và ngoại tiếp tam giác
ABC
, đồng thời
AH
bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC
.
Chứng minh ba điểm
, ,
OHI
nằm trên cung tròn nhìn về một phía của
BC
dưới góc
0
120
Bài 8: Cho nửa đường tròn đường kín AB, dây
MN
có độ dài bằng bán kính
R
của đường tròn,
M
thuộc cung
AN
. Các tia
AM
và
BN
cắt nhau ở
I
, dây
AN
và
BM
cắt nhau ở
K
. Với vị trí nào của dây
MN
thì diện tích tam giác
IAB
lớn nhất? Tính diện tích đó theo bán kính
R
.
HƯỚNG DẪN
Bài 1:
a) Phần thuận:
Gọi
,,ABC
là các đỉnh của một tam giác đều có các cạnh đi qua ba điểm
,,MNP
.
Rõ ràng

0
60ABC===
hay
0
60PAM MBN NCP===
. Ta thấy điểm
A
nhìn đoạn thẳng cố định
MP
dưới một góc không đổi bằng
0
60
.
Do đó
A
thuộc cung chứa góc
0
60
dựng
trên đoạn thẳng
MP
. Chứng minh tương
tự ta có
B
thuộc cung chứa góc
0
60
dựng trên đoạn thẳng
MN
và
C
thuộc cung chứa góc
0
60
nhận
NP
làm dây cung.
b) Phần ảo:
Lấy một điểm
A
bất kỳ thuộc cung
MAP
Nối
AM
cắt cung
MBN
tại
B
¢
. Các đường
AP
¢
và
BN
¢
cắt nhau tại
C
¢
. Ta thấy:
A
¢
thuộc cung
MAP
có số đo bằng
0
60
. Tương tự
B
¢
thuộc cung
MBN
nên có số đo bằng
00
60 60C=
. Do đó
C
¢
24.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
x
E
D
C
O
BA
nằm trên cung chứa góc
0
60
dựng trên đoạn thẳng
NP
, do đó
ABC
¢¢¢
D
là tam giác đều.
Kết luận:
Quĩ tích các đỉnh của tam giác đều
ABC
có các cạnh đi qua ba điểm
,,MNP
cho trước là ba cung chứa
các góc
0
60
phía ngoài tam giác
MNP
.
Bài 2:
a) Phần thuận:
vẽ tia tiếp tuyến
Ax
của nửa đường tròn
()
O
, tia
Ax
nằm trên nửa mặt phẳng bờ
Ab
có chứa nửa đường
tròn
()
O
, trên tia
Ax
lấy ba điểm
E
sao cho
AE AB E
=
cố định.
Xét
ABCD
và
EADD
có:
,AB AE ABC EAD==
(hệ quả góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung)
BC AD=
Do đó:
ABC EADD=D
(c.g.c)
Suy ra:
ACB EDA=
Mà
0
90ACB =
(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn
()
O
)
Do đó:
0
90EDA =
,
AE
cố định.
Vậy
D
thuộc đường tròn cố định đường kính
AE
.
Giới hạn:
Khi
CAº
thì
DEº
Khi
CBº
thì
DAº
Vậy
D
chuyển động trên nửa đường tròn đường kính
AE
nằm trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia
Ax
có
chứa điểm
B
(loại trừ
A
).
b) Phần đảo:
25.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
D
A
C
B
O
Lấy điểm
D
bất kỳ thuộc nửa đường tron bán kính
AE
()
DA
¹
,
AD
cắt
()
O
tại
C
.
Ta có:
0
90 ,ADE =
0
90ACB =
(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Xét
ABCD
0
(90)C =
và
0
(90)EAD DD=
Ta có:
,AE AB ABC EAD==
Do đó:
ABC EADD=D
Suy ra:
BC AD=
Vậy tập hợp các điểm
D
là nửa đường tròn đường kính
AE
(trừ
A
)
(với
E
thuộc tia tiếp tuyến
Ax
của
()
O
,
AE AB=
), nằm trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia
Ax
có chứa
điểm
B
.
Bài 3:
()
CV A BC AB AC BC BC
=++
không đổi
Trên tia đối của tia
AB
lấy điểm
D
sao cho
AD AC=
ADCD
cân tại
A
2BAC ADC=
BAC
không đổi
ADC
không đổi
BDC
không đổi,
BC
cố định
D
thuộc cung chứa góc có số đo
1
4
s BCđ
BC
của
()
O
dựng trên đoạn thẳng
BC
()
CV A BC
lớn nhất
()
AB AC
+
lớn nhất
()
AB AD
+
lớn nhất
BD
là đường kính của cung chứa góc nói trên
Khi đó
0
90BCD =
26.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
C
B
A
I
O
x
O
I
C
B
A
y
Mà

0
90ABC BDC ACB ADC+=+=
()BDC ACD AC AD==
Do đó:
ABC ACB AB AC A==
là trung điểm cung lớn
BC
Vậy khi
A
là trung điểm cung lớn
BC
thì chu vi tam giác
ABC
lớn nhất .
Bài 4:
Ta có:
=
1
2
IBC B
(
BI
là phân giác
ABC
)
=
1
2
ICB C
(
CI
là phân giác
ACB
)
BIC
có

=- + =+
00
180 ( ) 90
2
A
BIC IBC ICB
(không đổi)
a=+=
0
90
2
A
BIC
(không đổi),
BC
cố định
Do đó
I
chuyển động trên cung chứa góc
a
dựng trên đoạn
thẳng
BC
mà
=++
()
CV IBC IB IC BC
,
BC
không đổi
Do đó:
()
CV IBC
lớn nhất.
+IB IC
lớn nhất
I
là trung điểm
BC
của cung chứa góc
a
dựng trên đoạn thẳng
BC
.
A
là trung điểm cung lớn
BC
(vận dụng bài toán 158)
Bài 5:
a) Phân tích:
Giả sử tam giác
ABC
đã dựng được thỏa mãn:
- Nội tiếp trong đường tròn
(; )
OR
- Có đường tròn nội tiếp
(; )
Ir
và góc
aa= =2CAOB
.
Do tam giác
ABC
dựng được .
27.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
d
α
B
0
D
C
BA
Ta lại có:
a+= -
0
1
(180 )
2
IAB IBA
Và
+=-
0
180IAB IBA AIB
Vậy
a
=+
0
90
2
AIB
không đổi
,AB
cố định nằm trên cung chứa góc
a
+
0
90
2
.
Vậy
I
xác định.
b) Cách dựng:
- Dựng tam giác
AOB
có
==
OA OB R
và
a= 2AOB
- Dựng cung chứa góc
a
+
0
90
2
vẽ trên đoạn
AB
- Dựng đường thẳng
XY AB
và cách
AB
một khoảng bằng
r
- Dựng đường tròn
(; )
OR
; tia
Bt
hợp với
BI
một góc
=Ibc ABI
. Tia
Bt
cắt
(; )
OR
tại
C
. Ta được
DABC
cần dựng.
c) Chứng minh:
Tam giác
ABC
rõ ràng nội tiếp trong
(; )
OR
Và
a==
2
AOB
C
. Ta có
I
nằm trên tia phân giác góc
B
và
a +
=+=+ =- =
00 0
90 90 90
22 22
CACA
AIB IAB
Vậy
I
nằm trên đường phân giác góc
A
.
Do đó
I
là tâm đường tròn nội tiếp tam giác
ABC
bán kính
r
.
d) Biện luận:
Bài toán có một nghiệm hình nếu
XY
nếu cung chứa góc
a
+
0
90
2
vẽ trên đoạn
AB
.
Bài toán có hai nghiệm hình nếu
XY
tiếp xúc với cung chứa góc trên.
Bài toán vô nghiệm khi
XY
không cắt cung chứa góc đó.
Bài 6:
28.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
a) Phân tích:
Gỉa sử hình thang
ABCD
dựng được thỏa mãn các điều kiện:
- Nối tiếp đường tròn
(; )
OR
, đáy
= 1CD
. Hai đường chéo
AC
và
BD
cắt nhau tại
I
sao cho:
a=CID
.
Nhận thấy:
= 1CD
nên hai đỉnh
,CD
xác định được ngay cần xác định hai đỉnh
B
và
A
. Việc xác định
A
và
B
đưa về xác định
I
.
- Để nội tiếp đường tròn
(; )
OR
thì hình thang phải cân, do đó
I
thuộc đường trung trực của
CD
. Mặt
khác
a=CID
nên
I
thuộc cung tròn nhìn
CD
dưới một góc bằng
a
.
b) Cách dựng:
- Trong đường tròn
(; )
OR
dựng dây
= 1CD
- Dựng cung chứ góc nhìn
CD
dưới một góc bằng
a
- Dựng đường trung trực
d
của
CD
- Lấy
I
là giao điểm của
d
và cung chứa góc
a
- Kéo dài
,CI DI
cắt đường tròn
(; )
OR
tại
A
và
B
.
c) Chứng minh: Hiển nhiên theo cách dựng.
d) Biện luận:
-
2
lR
<
bài toán có 2 nghiệm hình
-
2
lR
=
bài toán có 1 nghiệm hình
-
2
lR
>
bài toán vô nghiệm.
Bài 7:
29.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Gọi
D
là trung điểm của
BC
. Suy ra
OD BC^
.
Kéo dài
OC
cắt đường tròn tại điểm
G
ta có :
0
90 / /CBG BG BC BG A H= ^
1
2
OD BG= (tính chất đường trung bình).
Ta có:
0
90 / / CAG AG AC AG BH A HBG^=
là hình bình
hành
2BG AH AH OD==
Theo giả thiết
2AH R R OB OD== =
Tam giác OBD là tam giác vuông có
000
2 30 120 60OB OD OBD BOC BAC= = = =
H là trực tâm của tam giác
, 120 .ABC CH AB BH AC BHC^ ^ =
=- + =- - =+ =
00000
111
180 ( ) 180 (180 ) 90 120
222
BIC ABC ACB BAC BAC
Ta thấy
120BOC BH C BIC===
nên ba điểm
, ,
OHI
nằm trên cung tròn nhìn về một phía của
BC
dưới góc
0
120
( ĐPCM)
Bài 8:
Gọi
H
là chân đường cao kẻ từ
I
đến cạnh
AB
.
Khi đó ta có:
1
.
2
IAB
SIHAB= .
Ta có AB là đường kính
IAB
SMaxIHMaxH
trùng với
O
.
30.
TOÁNHỌCSƠĐỒ‐THCS.TOANMATH.com
Khi
H
trùng với
O
thì
OI
vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến của tam giác
IABD
cân tại
I
.
Lại có
1
22
MN R
MN
AB R
== là đường trung bình của tam giác
ABCD
// .
MN BC
Xét
MOND
có
MO ON MN R MOND== =
là tam giác đều.
Tam giác
IAB
cân tại
I
có
MN
là đường trung bình
M
và
N
lần lượt là trung điểm của
AM
và
AB
.
Lại có
O
là trung điểm của
;AB OM ON
cũng là hai đường trung bình của tam giác
IAB
.
//
//
ON IM
OM IN
ì
ï
ï

í
ï
ï
î
tứ giác
IMON
là hình bình hành.
Lại có hai đường chéo
OI
và
MN
vuông góc với nhau (do
// ;
MN AB OI A B
^
).
IMON
là hình thoi
22MI IN OM R IA IM R== == =
.
Xét tam giác
AOI
vuông tại
O
ta có:
22 22
2
43.
11
..3.2 3.
22
IAB
OI IA OA R R R
SOIABRRR
=-= -=
= = =
---------------------Toán Học Sơ Đồ--------------------
| 1/30
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

CUNG CHỨA GÓC
A.TRỌNG TÂM CẦN ĐẠT
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Quỹ tích cung chứa góc
Với đoạn thẳng AB và góc a (0° < a < 180°) cho trước thì quỹ tích các điểm M thoả mãn  AMB = a là hai
cung chứa góc a dựng trên đoạn AB. Chú ý:
- Hai cung chứa góc a nói trên là hai cung tròn đối xứng nhau qua AB. Hai điểm A, B được coi là thuộc quỹ tích.
- Quỹ tích các điểm M nhìn đoạn thẳng AB cho trước dưới một góc vuông là đường tròn đường kính AB.
2. Cách vẽ cung chứa góc a
- Vẽ đường trung trực d của đoạn thăng AB;
- Vẽ tia Ax tạo với AB một góc a;
- Vẽ đường thẳng Ay vuông góc với Ax. Gọi o là giao điểm của Ay với d. - Vẽ cung 
AmB , tâm O, bán kính OA sao cho cung này nằm ở nửa mặt phẳng bờ AB không chứa tia Ax. Cung 
AmB được vẽ như trên là một cung chứa góc a.
3. Cách giải bài toán quỹ tích
Muốn chứng minh quỹ tích (tập hợp) các điểm M thoả mãn tính chất T là một hình H nào đó, ta phải chứng minh hai phần:
Phần thuận: Mọi điểm có tính chất T đều thuộc hình H.
Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình H đều có tính chất T.
Từ đó đi đến kết luận quỹ tích các điểm M có tính chất T là hình H.
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. Quỹ tích là cung chứa góc
Phương pháp giải: Thực hiện theo ba bước sau:
Bước 1. Tìm đoạn cô định trong hình vẽ;
1. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Bước 2. Nối điểm phải tìm với hai đầu đoạn thẳng cố định đó, xác định góc a không đổi;
Bước 3. Khẳng định quỹ tích điểm phải tìm là cung chứa góc a dựng trên đoạn cố định.
1.1. Cho tam giác ABC có BC cố định và góc A bằng 50°. Gọi D là giao điểm của ba đường phân giác
trong của tam giác. Tìm quỹ tích điểm D.
1.2. Cho tam giác ABC vuông tại A, có cạnh BC cố định. Gọi I là giao điểm của ba đường phân giác
trong. Tìm quỹ tích điểm 1 khi điểm A thay đổi.
Dạng 2. Chứng minh nhiều điểm thuộc đường tròn
Phương pháp giải: Chứng minh nhiều điểm cùng thuộc nửa mặt phang bờ là AB và cùng nhìn đoạn cố
định AB dưới một góc không đổi.
2.1. Cho nửa đường tròn đường kính AB. Gọi M là điểm chính giữa của cung AB. Trên cung AM lấy điểm
N. Trên tia đổi của tia MA lây điểm D sao cho MD = MB, trên tia đối của tia NB lấy điểm E sao cho NA =
NE, trên tia đối của tia MB lấy điểm c sao cho MC = MA. Chứng minh 5 điểm A, B, C, D, E cùng thuộc một đường tròn.
2.2. Cho I, O lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của tam giác ABC với A = 60°. Gọi H là trực
tâm của ∆ABC. Chứng minh các điểm B, C, O, H, I cùng thuộc một đường tròn.
Dạng 3. Dạng cung chứa góc
Phương pháp giải: Thực hiện theo bốn bước sau:
Bước 1. Vẽ đường trung trực d của đoạn thẳng AB;
Bước 2. Vẽ tia Ax tạo với AB một góc α;
Bước 3. Vẽ đường thẳng Ay vuông góc với Ax. Gọi O là giao điểm của Ay với d. Bước 4. Vẽ cung 
AmB , tâm Om bán kính OA sao cho cung này nằm ở nửa mặt phẳng bờ AB không chứa tia Ax. Cung 
AmB được vẽ như trên là một cung chứa góc α.
3.1. Dựng một cung chứa góc 550 trên đoạn thẳng AB = 3cm.
3.2. Dựng tam giác ABC, biết BC = 3cm, AB = 3,5cm và A = 500.
III. BÀI TẬP VỀ NHÀ
4. Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC lấy điểm E, trên tia đối của tia CD lấy điểm F sao cho CE = CF.
Gọi M là giao điểm của hai đường thẳng DE và BF. Tìm quỹ tích của điểm M khi E di động trên cạnh BC.
2. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
5. Cho tam giác ABCD vuông tại A, phân giác BF. Từ điểm I nằm giữa B và F vẽ đường thẳng song song
với AC cắt AB, BC lần lượt tại M và N. Vẽ đường trong ngoại tiếp tam giác BIN cắt AI tại D. Hai đường
thẳng DN và BF cắt nhau tại E. Chứng minh:
a) Bốn điểm A, B, D, E cùng thuộc một đường tròn;
b) Năm điểm A, B, C, D, E cùng thuộc một đường tròn. Từ đó suy ra BE vuông góc với CE.
6. Dựng cung chứa góc 450 trên đoạn thẳng AB = 5cm.
HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ 1.1. Ta có  0   0
A  50  B C 130   0  0
DBC DCB  65  BDC 115
 Quỹ tích của điểm D là hai cung chứa góc 1150 dựng trên đoạn BC. 1.2. Tương tự 1.1. Tính được  0 BIC 135
 Quỹ tích của điểm I là hai cung chứa góc 1350 dựng trên đoạn BC.
2.1. Các tam giác ANE, AMC và BMD vuông cân    0
AEB ADB ACB  45
Mà AB cố định nên các điểm A, B, C, D, E cùng thuộc một đường tròn.
2.2. Chứng minh được  0 BIC 120 .   0
BOC  2BAC 120 và  0 0 0
BHC 180 60 120 (góc
nội tiếp và góc ở tâm)
3. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
 H, I, O cùng nhìn BC dưới góc 1200 nên B, C, O, I, H
cùng thuộc một đường tròn.
3.1. Bước 1. Vẽ đoạn thẳng AB = 3cm, dựng trung trực d của AB;
Bước 2: Vẽ tia Ax tạo với AB góc 550;
Bước 3: Vẽ Ay Ax cắt d ở O;
Bước 4: Vẽ cung 
AmB tâm O, bán kính OA sao cho cung
này nằm trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa tia Ax. 
AmB là cung cần vẽ.
3.2. HS tự thực hiện. Bài toán có 2 nghiệm hình
4.Chứng minh được:     0
CBF BEM MDF DEC  90  0
BMD  90 nên M thuộc đường tròn đường kính BD. Mà
E  BC nên quỹ tích của điểm M là là cung  BC của đường tròn đường kính BD. 5. a) Chứng minh   ABE ADE . b) Chứng minh được:  
ACB BNM (đồng vị)
 C, D, E nhìn AB dưới góc bằng nhau nên A, B, C, D, E
cùng thuộc một đường tròn.
 BC là đường kính   0 BEC  90 6. Tương tự 3.1
4. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
B.NÂNG CAO PHÁT TRIỂN TƯ DUY HƯỚNG DẪN
Bài 1. Từ điểm M nằm ngoài đường tròn tâm O. Kẻ cát tuyến MAB đi qua O và các tiếp tuyến MC, MD.
Gọi K là giao điểm của AC và BD. Chứng minh rằng:
a) Bốn điểm B, C, M, K cùng thuộc một đường tròn. b) MK vuông góc với AB.
Bài 2. Cho tam giác ABC đường cao AH, đường trung tuyến AM (H, M phân biệt và thuộc cạnh BC) thỏa mãn  
BAH MAC . Chứng minh rằng  BAC  90
Bài 3. Cho đường tròn tâm O và dây AB cố định (O không thuộc AB), P là điểm di động trên đoạn AB (P
khác A, B). Qua A, P vẽ đường tròn tâm C tiếp xúc với (O) tại A. Qua B, P vẽ đường tròn tâm D tiếp xúc
với (O) tại B. Hai đường tròn (C) và (D) cắt nhau tại N (khác P). a) Chứng minh:   ANP BNP b) Chứng minh:  PNO  90
c) Chứng minh khi P di động thì N luôn nằm trên một cung tròn cố định.
Bài 4. Cho tam giác EFG có 
FEG là góc tù. Xác định đường tròn có bán kính nhỏ nhất sao cho không có
đỉnh nào của tam giác EFG nằm bên ngoài đường tròn.
Bài 5. Cho đường tròn (O; R) và dây cung BC R 3 . Dựng điểm A  (O; R) sao cho tam giác ABC có  AB AC 2 .AC  3R
Bài 6. Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AH. Gọi M, N lần lượt là các điểm đối xứng của H qua AB
và AC. Gọi giao điểm của MN với AB và AC lần lưọt là F và E. Chứng minh rằng:
a) Năm điểm A, M, B, H, E cùng thuộc một đường tròn.
b) Ba đường thẳng AH, BE và CF đồng qui.
Bài 7. Cho tứ giác ABCD. Lấy mỗi cạnh làm đưòng kính vẽ một nửa hình tròn vào trong tứ giác. Chứng
minh rằng bổn nửa hình tròn đó phủ kính tứ giác. HƯỚNG DẪN
5. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Bài 1. Từ điểm M nằm ngoài đường tròn tâm O. Kẻ cát tuyến MAB đi qua O và các tiếp tuyến MC, MD.
Gọi K là giao điểm của AC và BD. Chứng minh rằng:
a) Bốn điểm B, C, M, K cùng thuộc một đường tròn. b) MK vuông góc với AB. Lời giải
a) Dễ dàng chứng minh AB  CD nên   AC AD Do đó  
ACM ABD (góc tạo bởi tia tiếp tuyến với dây và góc nội
tiếp chắn hai dây cung bằng nhau) Tức là   KCM KBM .
Tứ giác BCMK có các điểm B và C cùng nhìn KM dưới hai góc
bằng nhau nên bốn điểm B, C, M, K thuộc cùng một đưòng tròn. b) Từ câu a suy ra  
BMK BCK  90 . Vậy KM  AB.
Bài 2. Cho tam giác ABC đường cao AH, đường trung tuyến AM (H, M phân biệt và thuộc cạnh BC) thỏa mãn  
BAH MAC . Chứng minh rằng  BAC  90 Lời giải Gọi E là trung điểm AB. Ta có    
H BAH MAC M nên bốn điểm A, M, H, E thuộc 1 1 cùng một đường tròn. Suy ra  
AEM AHM  90 Do EM // AC nên  BAC  90
Bài 3. Cho đường tròn tâm O và dây AB cố định (O không thuộc AB), P là điểm di động trên đoạn AB (P
khác A, B). Qua A, P vẽ đường tròn tâm C tiếp xúc với (O) tại A. Qua B, P vẽ đường tròn tâm D tiếp xúc
với (O) tại B. Hai đường tròn (C) và (D) cắt nhau tại N (khác P). a) Chứng minh:   ANP BNP b) Chứng minh:  PNO  90
c) Chứng minh khi P di động thì N luôn nằm trên một cung tròn cố định.
6. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com Lời giải
a) Vì (O) và(C) tiếp xúc trong tại A nên A, C, O thẳng hàng.
Vì (O) và (C) tiếp xúc trong tại B nên B, D, O thẳng hàng. 1 Xét (C) có   ANP ACP 2
Tam giác ACP cân tại C, tam giác AOB cân tại O nên suy ra:   
APC ABO  CPA  CP / /OB    1 
ACP AOB ANP AOB   1 2 1 Tương tự ta có    
DP / /OA BDP AOB BNP AOB 2 2 Từ (1) và (2) suy ra   ANP BNP
b) Gọi H là giao điểm của NP và CD;
I là giao điểm của OP và CD.
Theo chứng minh trên ta có: CP // OB; DP // CO.
Suy ra tứ giác CPDO là hình bình hành.
Do đó IO = IP. (C) và (D) cắt nhau tại p và N suy ra CD NP (3)
HN = HP do đó HI là đường trung bình của tam giác PNO nên: HI // NO hay CD // NO (4) Từ (3) và (4), suy ra: 
NO NP PNO  90
c) Theo chứng minh trên ta có:     
ANB ANP PNB ANB AOB (không đổi) Dễ thấy N, O thuộc nửa mặt phẳng bờ AB.
Suy ra điểm N thuộc cung chứa góc AOB dựng trên đoạn thẳng AB nên N thuộc cung tròn cố định.
Nhận xét. Dựa vào kết quả câu a, chúng ta chứng minh được: Khi P di động thì NP luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 4. Cho tam giác EFG có 
FEG là góc tù. Xác định đường tròn có bán kính nhỏ nhất sao cho không có
đỉnh nào của tam giác EFG nằm bên ngoài đường tròn. Lời giải
7. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Gọi O là trung điểm FG EO FO GO
Xét đường tròn (O) đường kính FG Suy ra các đỉnh của tam giác EFG không nằm bên ngoài của (O).
Gọi (O; R) là đường tròn tùy ý sao cho các đỉnh của tam giác EFG không nằm bên ngoài của (O; R)
Suy ra F, G nằm trên hoặc nằm bên trong của (O; R)  FG  2R
Vậy (J) là đường tròn có bán kính nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện đề bài.
Bài 5. Cho đường tròn (O; R) và dây cung BC R 3 . Dựng điểm A  (O; R) sao cho tam giác ABC có  AB AC 2 .AC  3R Lời giải
• Xét A thuộc cung lớn BC.
a) Phân tích. OD cắt (O) tại E, F và E nằm giữa O và D.
Giả sử dựng được A thuộc cung lớn BC sao cho  AB AC 2 .AC  3R
Trên tia đối của tia AB lấy D sao cho AD AC; BC R 3
 BC là cạnh của tam giác đều nội tiếp (O; R)    1
sd BC  120  BAC  60  BDC  .60  30 2 AFD ~ EBD(vì  D chung,   DA DF
AFD EBD )    .
DA DB DE.DF DE DB
Mà DA AC; DB AB AD AB AC
DE DF  OD OEOD OF   OD ROD R 2 2 .  OD R
Do đó  AB AC 2 2 2 2 2 2
.AC  3R OD R  3R OD  4R OD  2R
Do đó D là giao điểm của (O; 2R) và cung chứa góc 30° dựng trên đoạn BC. D xác định được  A xác định được. b) Cách dựng.
8. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
- Dựng đường tròn (O;R).
- Dựng cung chứa góc 30° dựng trên đoạn BC
Gọi D là giao điểm của (O; 2R) và cung chứa góc trên.
Dựng đoạn thẳng BD; BD cắt (O; R) tại A.
Chú ý: Có thể nhận ra rằng A là điểm đổi xứng của B qua O. c) Chứng minh. Chứng minh được 2 2 2 .
DA DB OD R  3R (Xem ở phần phân tích)   BAC  60 ;  ADC  30 Do đó 
ACD  60  30  30 .
 ADC cân tại A (vì  
ADC ACD  30 ) 
 AD = AC. Do đó  AB ACAC   AB AD 2 . .AD  . BD DA  3R d) Biện luận.
Trên cung lớn BC có một điểm A sao cho  AB AC 2 .AC  3R
• Bạn đọc hãy xét trường hợp điểm A nằm trên nhỏ cung BC.
Bài 6. Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AH. Gọi M, N lần lượt là các điểm đối xứng của H qua AB
và AC. Gọi giao điểm của MN với AB và AC lần lưọt là F và E. Chứng minh rằng:
a) Năm điểm A, M, B, H, E cùng thuộc một đường tròn.
b) Ba đường thẳng AH, BE và CF đồng qui. Lời giải
a) AMB = AHB (c.c.c) nên  
AMB AHB  90
Suy ra M. H cùng thuộc đường tròn đường kính AB (1)
Ta có AM = AN (= AH) nên AMN cân tại A do đó   AMN ANM Mà AEH = AEN (c.c.c)  
ANE AHE Suy ra  
AME AHE , H và M là hai đỉnh liên tiếp cùng nhìn AE dưới một góc bằng nhau
9. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
 A, M, H, E cùng thuộc một đường tròn (2)
Từ (1) và (2) suy ra năm điểm A, M, B, H, E cùng thuộc một đường tròn.
b) Ta có A, M ,B, H, E cùng thuộc đường tròn đường kính AB nên 
AEB  90 hay BE  AC (3)
Chứng minh tương tự ta có năm điểm A, F, H, C, N cùng thuộc một đường tròn đường kính AC nên 
AFC  90 hay CF  AB. (4)
Từ (3) và (4) ta có BE, CF cùng là đường cao trong tam giác ABC nên AH, BE, CF đồng qui.
Bài 7. Cho tứ giác ABCD. Lấy mỗi cạnh làm đưòng kính vẽ một nửa hình tròn vào trong tứ giác. Chứng
minh rằng bổn nửa hình tròn đó phủ kính tứ giác. Lời giải
Ta chứng minh bằng phản chứng.
Giả sử O là điểm nằm trong tứ giác ABCD mà không bị phủ bởi một nửa hình tròn nào.
Khi đó điểm O nằm ngoài cả bốn nửa hình tròn. Do đó     AOB  90 ;  BOC  90 ;  COD  90 ,  DOA  90 Suy ra    
AOB BOC COD DOA  360 (vô lí)
Vậy bốn nửa hình tròn phủ kín cả tứ giác.
C.TRẮC NGHIỆM RÈN LUYỆN PHẢN XẠ
Câu 1. Quỹ tích các điểm M nhìn đoạn thẳng AB cho trước dưới một góc vuông là.
A. Đường tròn đường kính AB . B. Nửa đường tròn đường kính AB . AB
C. Đường tròn đường kính .
D. Đường tròn bán kính AB . 2
Câu 2. Đường tròn đường kính CD là quỹ tích của điểm nào dưới đây?
A. Quỹ tích các điểm P nhìn đoạn thẳng CD cho trước dưới một góc 60 . B. Quỹ tích các điểm N nhìn
đoạn thẳng CD cho trước dưới một góc 45 .
C. Quỹ tích các điểm M nhìn đoạn thẳng CD cho trước dưới một góc vuông.
D. Quỹ tích các điểm Q thuộc đường trung trực của CD .
10. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Câu 3. Với đoạn thẳng AB và góc a (0 < a < 180) cho trước thì quỹ tích các điểm M thỏa mãn  AMB = a là:
A. Hai cung chứa góc a dựng trên đoạn AB . Hai cung này không đối xứng nhau qua AB .
B. Hai cung chứa góc a dựng trên đoạn AB và không lấy đoạn AB .
C. Hai cung chứa góc a dựng trên đoạn AB . Hai cung này đối xứng nhau qua AB .
D. Một cung chứa góc a dựng trên đoạn AB .
Câu 4. Cho tam giác ABC có BC cố định và góc A bằng 50 . Gọi D là giao điểm của ba đường phân
giác trong của tam giác. Tìm quỹ tích điểm D .
A. Một cung chứa góc 115 dựng trên đoạn BC .
B. Một cung chứa góc 115 dựng trên đoạn AC .
C. Hai cung chứa góc 115 dựng trên đoạn AB .
D. Hai cung chứa góc 115 dựng trên đoạn BC .
Câu 5. Cho tam giác ABC có BC cố định và góc A bằng 60 . Gọi D là giao điểm của ba đường phân
giác trong của tam giác. Tìm quỹ tích điểm D .
A. Hai cung chứa góc 120 dựng trên đoạn BC .
B. Một cung chứa góc 120 dựng trên đoạn AC .
C. Hai cung chứa góc 60 dựng trên đoạn AB .
D. Hai cung chứa góc 115 dựng trên đoạn BC .
Câu 6. Cho các hình thoi ABCD có cạnh AB cố định. Tìm quỹ tích giao điểm O của hai đường thẳng
chéo nhau của hình thoi đó.
A. Quỹ tích điểm O là 2 cung chứa góc 0 120 dựng trênAB .
B. Quỹ tích điểm O là nửa đường tròn đường kính AB , trừ hai điểm A và B .
C. Quỹ tích điểm O là 2 cung chứa góc 0 60 dựng trênAB .
D. Quỹ tích điểm O là 2 cung chứa góc 0 30 dựng trênAB .
11. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Câu 7. Cho các hình vuông ABCD có cạnh AB cố định. Tìm quỹ tích giao điểm O của hai đường
chéo của các hình vuông đó.
A. Quỹ tích điểm O là 2 cung chứa góc 0 120 dựng trênAB .
B. Quỹ tích điểm O là nửa đường tròn đường kính AB , trừ hai điểm A và B .
C. Quỹ tích điểm O là 2 cung chứa góc 0 60 dựng trên AB .
D. Quỹ tích điểm O là 2 cung chứa góc 0 30 dựng trên AB .
Câu 8. Cho nửa đường tròn đường kính AB . Gọi M là điểm chính giữa của cung AB . Trên cung AM
lấy điểm N . Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MB , trên tia đối của tia NB lấy điểm
E sao cho NA = NE , trên tia đối của tia MB lấy điểm C sao cho MC = MA . Các điểm nào dưới đây
thuộc một đường tròn? A. ,
A B,C,M,E . B. M,B,C,D,N . C. ,
A B,C, D,E . D. ,
A B,C,D,N .
Câu 9. Cho hình vuông ABCD . Trên cạnh BC lấy điểm E , trên tia đối của tia CD lấy điểm F sao
cho CE = CF . Gọi M là giao điểm của hai đường thẳng DE và BF . Tìm quỹ tích của điểm M khi E
di động trên cạnh BC .
A. Nửa đường tròn đường kính BD .
B. Cung BC của đường tròn đường kính BD .
C. Cung BC của đường tròn đường kính BD trừ điểm B,C . D.
Đường tròn đường kính BD .
Câu 10. Cho tam giác ABC đều. Tìm quỹ tích các điểm M nằm trong tam giác đó sao cho 2 2 2
MA = MB + MC .
A. Quỹ tích điểm M là hai cung chứa góc 0
150 dựng trên BC , trừ hai điểm B và C .
B. Quỹ tích điểm M là đường tròn đường kính BC .
C. Quỹ tích điểm M là đường tròn đường kính BC trừ hai điểm B và C .
D. Quỹ tích điểm M là 2 cung chứa góc 0 150 dựng trên BC .
Câu 11. Cho tam giác ABC đều. Tìm quỹ tích các điểm M nằm trong tam giác đó sao cho 2 2 2
MB = MA + MC .
A. Quỹ tích điểm M là hai cung chứa góc 0
150 dựng trên BC , trừ hai điểm B và C .
B. Quỹ tích điểm M là hai cung chứa góc 0
150 dựng trên AC , trừ hai điểm A và C .
12. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
C. Quỹ tích điểm M là đường tròn đường kính BC trừ hai điểm B và C .
D. Quỹ tích điểm M là 2 cung chứa góc 0 150 dựng trên AC .
Câu 12. Cho tam giác ABC vuông cân tại A . Tìm quỹ tích các điểm M nằm trong tam giác đó sao cho 2 2 2
2MA = MB - MC .
A. Quỹ tích điểm M là cung chứa góc 0
135 dựng trên AC , trừ hai điểm A và C .
B. Quỹ tích điểm M là đường tròn đường kính AC .
C. Quỹ tích điểm M là đường tròn đường kính AC trừ hai điểm A và C .
D. Quỹ tích điểm M là cung chứa góc 0 135 dựng trênAC .
Câu 13. Cho tam giác ABC vuông cân tại B . Tìm quỹ tích các điểm M nằm trong tam giác đó sao cho 2 2 2
2MB = MA - MC .
A. Quỹ tích điểm M là cung chứa góc 0 135 dựng trên BC .
B. Quỹ tích điểm M là đường tròn đường kính BC .
C. Quỹ tích điểm M là đường tròn đường kính BC trừ hai điểm B và C .
D. Quỹ tích điểm M là cung chứa góc 0
135 dựng trên BC , trừ hai điểm B và C .
Câu 14. Cho hình bình hành ABCD , hai đường chéo cắt nhau tại I . Từ A kẻ các đường vuông góc với
BC,CD,DB thứ tự tại H,E,K . Xét các khẳng định sau: I. Bốn điểm ,
A H,C,E nằm trên một đường tròn. II. Bốn điểm ,
A K,D,E nằm trên một đường tròn. III. Bốn điểm ,
A H , K,B nằm trên một đường tròn. IV.
Bốn điểm K,I,E,H nằm trên một đường tròn.
Chọn khẳng định đúng.
A. Cả bốn khẳng định đều sai.
B. Cả bốn khẳng định đều đúng.
C. Có ít nhất một khẳng định sai.
D. Có nhiều nhất một khẳng định sai.
Câu 15. Cho đường tròn đường kính AB cố định, M là một điểm chạy trên đường tròn. Trên tia đối của
tia MA lấy điểm I sao cho MI = 2MB . Quỹ tích các điểm I là:
A. Quỹ tích điểm I là 2 cung chứa góc 0 30 dựng trên AB .
13. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
B. Quỹ tích điểm I là 2 cung chứa góc 0
a dựng trên AB với tana = 2 . 1
C. Quỹ tích điểm I là 2 cung chứa góc 0
a dựng trên AB với tana = . 2
D. Quỹ tích điểm I là 2 cung chứa góc 0 60 dựng trên AB .
Câu 16. Cho tam giác ABC , gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác, P là một điểm trong tam giác thỏa mãn    
PBA + PCA = PBC + PCB . Xét các khẳng định sau: 1 I.
P nhìn đoạn BC dưới một góc 0  90 + BAC . 2 1 II.
I nhìn đoạn BC dưới một góc 0  90 + BAC . 2
Kết luận nào sau đây đúng?
A. Cả hai khẳng định đều sai.
B. Cả hai khẳng định đều đúng.
C. Chỉ có I đúng và II sai.
D. Chỉ có I sai và II đúng.
Câu 17. Cho tam giác ABC cân tại A , M là điểm trên cạnh đáy BC . Qua M
kẻ các đường thẳng song song với hai cạnh bên cắt hai cạnh đó tại D và E . Gọi
N là điểm đối xứng của M qua DE . Quỹ tích các điểm N là:
A. Quỹ tích các điểm N là cung chứa góc bằng 
BAC dựng trên đoạn BC . 1
B. Quỹ tích các điểm N là cung chứa góc bằng 
BAC dựng trên đoạn BC . 2
C. Quỹ tích các điểm N là cung chứa góc bằng 
2BAC dựng trên đoạn BC .
D. Quỹ tích các điểm N là cung chứa góc bằng 0 
180 - BAC dựng trên đoạn BC .
Câu 18. Cho đoạn thẳng AB cố định và điểm C di chuyển trên đường tròn tâm B bán kính BA . Dựng
hình bình hành ABCD , gọi O là giao điểm của hai đường chéo hình bình hành. Tìm quỹ tích các điểm
O khi C di chuyển trên đường tròn (B;B ) A .
A. Quỹ tích điểm O là 2 cung chứa góc 0 120 dựng trên AB .
B. Quỹ tích điểm O là đường tròn đường kính AB
C. Quỹ tích điểm O là 2 cung chứa góc 0 60 dựng trên AB.
14. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
D. Quỹ tích điểm O là đường tròn đường kính AB , trừ hai điểm A vàB .
Câu 19. Cho đoạn thẳng AB = 10cm , M là trung điểm của AB . Quỹ tích các điểm C trong mặt phẳng
thỏa mãn tam giác ABC có 2 2
CA +CB = 100 là:
A. Nửa đường tròn đường kính AB .
B. Đường tròn tâm M bán kính 10cm .
C. Đường tròn tâm M bán kính 5cm . D.
Đường tròn tâm M đường kính 5cm . HƯỚNG DẪN Câu 1. Đáp án A.
Quỹ tích các điểm M nhìn đoạn thẳng AB cho trước dưới một góc vuông là đường tròn đường kính AB . Câu 2. Đáp án C.
Quỹ tích các điểm M nhìn đoạn thẳng CD cho trước dưới một góc vuông là
đường tròn đường kính CD . Câu 3. Đáp án C.
Với đoạn thẳng AB và góc a (0 < a < 180) cho trước thì quỹ tích các điểm M thỏa mãn 
AMB = a là hai cung chứa góc a dựng trên đoạn AB .
Hai cung chứa góc a nói trên là hai cung tròn đối xứng nhau qua AB . Hai điểm ,
A B được coi là thuộc quỹ tích. Câu 4. Đáp án D. 130 Ta có ˆ A = 50 ˆ ˆ  B +C = 0 13  nên     BDC + DBC = = 65  BDC = 115 2
Quỹ tích của điểm D là hai cung chứa góc 115 dựng trên đoạn BC . Câu 5. Đáp án A.
15. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 120 Ta có ˆ A = 60 ˆ ˆ  B +C = 0 12  nên     BDC + DBC = = 60  BDC = 120 2
Quỹ tích của điểm D là hai cung chứa góc 0
120 dựng trên đoạn BC . Câu 6. Đáp án B.
Xét hình thoi ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường. Suy ra  0
AO ^ BO AOB = 90 Ta có  0
AOB = 90 không đổi mà , A B cố định
 Quỹ tích điểm O là nửa đường tròn đường kính AB trừ hai điểm A và B . Câu 7. Đáp án B.
Xét hình vuông ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường. Suy ra  0
AO ^ BO AOB = 90 Ta có  0
AOB = 90 không đổi mà ,
A B cố định Quỹ tích điểm O là nửa đường tròn đường kính
AB trừ hai điểm A và B . Câu 8. Đáp án C.
16. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com Các tam giác ANE D , AM D C, B
D MD lần lượt vuông cân tại N,M,M nên   
AEB = ADB = ACB = 45 Mà AB cố định nên các điểm ,
A B,C,D,E cùng thuộc một đường tròn. Câu 9. Đáp án B. Ta có   DE D C = B
D FC(c - g - c)  EDC = EBM     
EDC + DEC = EBM + BEM EMB = 90 Hay 
BMD = 90 nên M thuộc đườngtròn đường kính BD . Mà E Î BC nên quỹ tích của điểm M là
cung BC của đường tròn đường kính BD . Câu 10. Đáp án A.
Vẽ tam giác BMN đều (N khác phía CC đối vớiBM ). Xét BNA D và BM D C có:
BN = BM (vì tam giác BMN đều)
BA = BC (vì tam giác ABC đều)  
NBA = MBC (vì cùng bằng 0  60 - ABM )
17. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com Suy ra BNA D = B
D MC(c.g.c) nên ta có NA = MC . Ta có: 2 2 2 2 2
MA = MB + MC = MN + NA nên  0 MNA = 90 . Suy ra  0 0 0
BNA = 90 + 60 = 150 , do đó   0
BMC = BNA = 150 .
B,C cố định  Quỹ tích điểm M là hai cung chứa góc 0
150 dựng trên BC , trừ hai điểm B và C . Câu 11. Đáp án B.
Vẽ tam giác AMN đều (N khác phía C đối với AM ). Xét BNA D và AM D C có:
AN = AM (vì tam giác AMN đều)
BA = BC (vì tam giác ABC đều)  
NAB = MAC (vì cùng bằng   60 - BAM ) Suy ra ANB D = AM D C ( .
c g.c) nên ta có NB = MC . Ta có: 2 2 2 2 2
MB = MA + MC = MN + NB nên  MNB = 90 Suy ra  0 0 0
BNA = 90 + 60 = 150 , do đó   0 AMC = BNA = 150
B,C cố định Quỹ tích điểm M là hai cung chứa góc 0
150 dựng trên AC , trừ hai điểm A và C . Câu 12. Đáp án A.
Vẽ tam giác MAD vuông cân tại A (M và D khác phía đối với AC ). Xét BAM D và CA D D có:
AM = AD (vì tam giác MAD vuông cân tại A )
BA = AC (vì tam giác ABC vuông cân tạiA )
18. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com  
MAB = CAD (vì cùng bằng 0  90 - MAC ) Suy ra BA D M = C
D AD(c - g - c) nên ta có BM = CD . Ta có: 2 2 2
2MA = MB - MC
MA + MC = MB  (MA )2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 + MC = CD MD + MC = CD  nên 0 DMC = 90 . Suy ra  0 AMC = 135 . Mà ,
A C cố định  Quỹ tích điểm M là cung chứa góc 0
135 dựng trên AC , trừ hai điểm A vàC . Câu 13. Đáp án D.
Vẽ tam giác MBD vuông cân tại B (M và D khác phía đối với BC ). Xét ABM D và CBD D có:
BM = BD (vì tam giác MBD vuông cân tại B )
BA = BC (vì tam giác ABC vuông cân tại B )  
MBA = CBD (vì cùng bằng   90 - MBC ) Suy ra ABM D = C
D BD(c - g - c) nên ta có AM = CD . Ta có: 2 2 2
2MB = MA - MC
MB + MC = MA  (MB )2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 + MC = CD MD + MC = CD nên  0 DMC = 90 . Suy ra      0
BMC = BMD + DMC = 45 + 90 = 135 Mà B,C cố định  Quỹ tích
điểm M là cung chứa góc 0
135 dựng trên BC , trừ hai điểm B vàC . Câu 14. Đáp án B.
19. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
AH ^ BC,AE ^ CD  bốn điểm ,
A H,C,E nằm trên đường tròn đường kínhAC , I là trung điểm
của AC I là tâm đường tròn đường kính AC   0  0 
HIE = 2HAE = 2 = 2(90 - ACB + 90 - ACE) 0   
= 2(180 - BCD)(HAC + EAC )
Lại có AH ^ BC,AK ^ BD,AE ^ CD nên bốn đỉnh ,
A K,E,D nằm trên đường tròn đường
kính AD và bốn đỉnh ;
A K;H ;B nằm trên đường tròn đường kính  
AB EKD = EAD và   BKH = BAH  0   0  
HKE = 180 - EKD - BKH = 180 - EAD - BAH 0  0    0 
= 90 - EAD + 90 - BAH = ADC + ABC = 2(180 - BCD)
Suy ra K và I cùng nhìn đoạn HE dưới một góc 0  2(180 - BCD).
Vậy K,I,E,H nằm trên một đường tròn. Câu 15. Đáp án C.
Tam giác AMB vuông tại M , ta  0
AMB = 90 . Mặt khác ta có:   0
AMB + IMB = 180 , suy ra  0
IMB = 90 hay tam giác BMI vuông tại M Trong tam giác vuông BMI ta MB có  1 tan MIB = = MI 2 Suy ra  0
MIB = a không đổi hay  0
AIB = a không đổi. 1 Mà ,
A B cố định  Quỹ tích điểm I là 2 cung chứa góc 0
a dựng trên AB với tana = . 2 Câu 16. Đáp án B.
20. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com Theo giả thiết ta có:          
PBA + PCA = PBC + PCB PBA + PCA + PBC + PCB = 2(PBC + PCB)   0  0 
 2(PBC + PCB) = ˆ B + ˆ
C  2(180 - BPC = ˆ ) B + ˆ C = 180 - BAC  1 0 
BPC = 90 + BAC . 2 1 Mặt khác  0   0  
BIC = 180 - (IBC + ICB) = 180 - (ABC + ACB) 2 1
Suy ra P và I luôn nhìn đoạn BC về cùng một phía dưới cùng một góc 0  90 + BAC . 2 Câu 17. Đáp án A.  ˆ 
BDM = A = MEC DB = DM,EC = EM.
Ta có MD / /AC,ME / /AB
DN = DM; EM = EN.
M,N đối xứng nhau qua DE
⇒ D là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BMN  1  1 ˆ
BNM = BDM = A (góc nội tiếp bằng nửa góc ở tâm cùng chắn cung BM ). 2 2
Tương tự, E là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CMN .  1  1 ˆ    ˆ
MNC = MEC = A BNC = BNM + MNC = A 2 2
Suy ra N nhìn đoạn BC dưới một góc bằng  BAC không đổi.
Nên quỹ tích các điểm N là cung chứa góc bằng 
BAC dựng trên đoạn BC .
21. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com Câu 18. Đáp án B
Do ABCD là hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau nên là hình thoi, do đó hai đường chéo AC
và BD vuông góc với nhau tại O Suy ra 
AO ^ BO AOB = 90 Ta có  0
AOB = 90 không đổi, A, B cố định Quỹ tích điểm O là đường tròn đường kính AB.
Nếu C º A thì O º A nên A thuộc quỹ tích.
Nếu C đối xứng với A qua B thì O º B . Vậy hai điểm ,
A B cũng thuộc quỹ tích. Câu 19. Đáp án C. Vì 2 2 2
CA +CB = 100 = AB nên AB D
C là tam giác vuông tại C hay điểm
C luôn nhìn đoạn AB một góc 0 90 .
Do đó quỹ tích các điểm C là đường tròn đường kính AB = 10cm hay đường tròn tâm M bán kính 5cm .
D.PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO
Bài 1: Cho ba điểm cố định M,N,P không thẳng hàng. Tìm quỹ tích các đỉnh của tam giác đều có các
cạnh theo thứ tự đi qua M,N,P .
Bài 2: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB . C là một điểm chuyển động trên nửa đường tròn. Trên
tia AC lấy D sao cho AD = BC . Tìm tập hợp các điểm D .
Bài 3: Cho đường tròn (O;R); BC là một dây cung cố định (BC ¹ 2R). A là điểm chuyển động trên
cung lớn BC . Xác định vị trí của A để chu vi tam giác ABC lớn nhất.
Bài 4: Cho đường tròn (O;R); BC là một dây cung cố định. A là điểm chuyển động trên cung lớn BC .
I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC . Xác định vị trí của A để chu vi tam giác IBC lớn nhất.
Bài 5: Dựng tam giác ABC biết bán kính đường tròn ngoại tiếp R , bán kính đường tròn nội tiếp r và C = a .
22. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Bài 6: Dựng hình thang ABCD biết bán kính đường tròn ngoại tiếp là R . Độ dài đáy CD = 1 và góc tạo
bởi hai đường chéo là a .
Bài 7: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O;R), gọi H là trực tâm, I vàO là tâm đường tròn nội
tiếp và ngoại tiếp tam giác ABC , đồng thời AH bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .
Chứng minh ba điểm O, H, I
nằm trên cung tròn nhìn về một phía của BC dưới góc 0 120
Bài 8: Cho nửa đường tròn đường kín AB, dây MN có độ dài bằng bán kính R
của đường tròn, M thuộc cung AN . Các tia AM và BN cắt nhau ở I , dây
AN và BM cắt nhau ở K . Với vị trí nào của dây MN thì diện tích tam giác
IAB lớn nhất? Tính diện tích đó theo bán kínhR . HƯỚNG DẪN Bài 1: a) Phần thuận: Gọi ,
A B,C là các đỉnh của một tam giác đều có các cạnh đi qua ba điểm M, N, P . Rõ ràng    0
A = B = C = 60 hay    0
PAM = MBN = NCP = 60 . Ta thấy điểm A nhìn đoạn thẳng cố định B' M
MP dưới một góc không đổi bằng 0 60 . A B 60°
Do đó A thuộc cung chứa góc 0 60 dựng N A'
trên đoạn thẳng MP . Chứng minh tương P
tự ta có B thuộc cung chứa góc C' C 0
60 dựng trên đoạn thẳng MN và C thuộc cung chứa góc 0
60 nhận NP làm dây cung. b) Phần ảo:
Lấy một điểm A bất kỳ thuộc cung  MAP
Nối AM cắt cung 
MBN tại B¢ . Các đường A¢P và B N
¢ cắt nhau tại C ¢ . Ta thấy: A¢ thuộc cung 
MAP có số đo bằng 0
60 . Tương tự B¢ thuộc cung 
MBN nên có số đo bằng 0  0
60  C = 60 . Do đó C ¢
23. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com nằm trên cung chứa góc 0
60 dựng trên đoạn thẳng NP , do đó A D ¢B C ¢ ¢ là tam giác đều. Kết luận:
Quĩ tích các đỉnh của tam giác đều ABC có các cạnh đi qua ba điểm M,N,P cho trước là ba cung chứa các góc 0
60 phía ngoài tam giác MNP . Bài 2: a) Phần thuận:
vẽ tia tiếp tuyến Ax của nửa đường tròn (O), tia Ax
nằm trên nửa mặt phẳng bờ Ab có chứa nửa đường
tròn (O), trên tia Ax lấy ba điểm E sao cho
AE = AB E cố định.
Xét DABC và EA D D có: x     E
AB = AE, ABC = EAD
(hệ quả góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung) C BC = AD D Do đó: ABC D = E D AD (c.g.c) A B O Suy ra:   ACB = EDA Mà  0
ACB = 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)) Do đó:  0
EDA = 90 , AE cố định.
Vậy D thuộc đường tròn cố định đường kính AE .  Giới hạn:
Khi C º A thì D º E
Khi C º B thì D º A
Vậy D chuyển động trên nửa đường tròn đường kính AE nằm trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ax có
chứa điểm B (loại trừ A ). b) Phần đảo:
24. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Lấy điểm D bất kỳ thuộc nửa đường tron bán kính AE (D ¹ )
A , AD cắt (O) tại C . Ta có:  0 ADE = 90 ,  0
ACB = 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Xét DABC  0 (C = 90 ) và  0 EA D D(D = 90 ) Ta có:   AE = , AB ABC = EAD Do đó: ABC D = E D AD
Suy ra: BC = AD
Vậy tập hợp các điểm D là nửa đường tròn đường kính AE (trừ A )
(với E thuộc tia tiếp tuyến Ax của (O), AE = AB ), nằm trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ax có chứa điểm B . Bài 3: D
CV (ABC ) = AB + AC + BC BC không đổi A
Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AC O AD D
C cân tại A B C    BAC = 2ADC BAC không đổi   ADC không đổi 
BDC không đổi, BC cố định 1
D thuộc cung chứa góc có số đo 
sđBC BC của (O) dựng trên đoạn thẳng BC 4
CV (ABC ) lớn nhất  (AB + AC ) lớn nhất
 (AB + AD) lớn nhất
BD là đường kính của cung chứa góc nói trên Khi đó  0 BCD = 90
25. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com Mà     0
ABC + BDC = ACB + ADC = 90  
BDC = ACD(AC = AD) Do đó:  
ABC = ACB AB = AC A là trung điểm cung lớn BC
Vậy khi A là trung điểm cung lớn BC thì chu vi tam giác ABC lớn nhất . Bài 4: Ta có:  1
IBC = B ( BI là phân giác ABC ) 2  1
ICB = C (CI là phân giác ACB ) 2  ABIC có  0   BIC = - IBC + ICB = 0 180 ( ) 90 + (không đổi) 2 A  A BIC = 0 90 +
= a (không đổi), BC cố định 2 I O
Do đó I chuyển động trên cung chứa góc a dựng trên đoạn B C thẳng BC
mà CV (IBC ) = IB + IC + BC , BC không đổi
Do đó: CV (IBC ) lớn nhất.
IB + IC lớn nhất
I là trung điểm BC của cung chứa góc a dựng trên đoạn thẳng BC .
A là trung điểm cung lớn BC (vận dụng bài toán 158) Bài 5: a) Phân tích:
Giả sử tam giác ABC đã dựng được thỏa mãn:
- Nội tiếp trong đường tròn (O;R)
- Có đường tròn nội tiếp (I;r) và góc 
C = a AOB = a 2 .
Do tam giác ABC dựng được . C
26. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com x I y O A B Ta lại có:   1 IAB + IBA = 0 (180 - a) 2 Và   IAB + IBA = 0 180 - AIB Vậy  0 a AIB = 90 + không đổi 2 0 a ,
A B cố định nằm trên cung chứa góc 90 + . 2 Vậy I xác định. b) Cách dựng:
- Dựng tam giác AOB có OA = OB = R và  AOB = a 2 0 a
- Dựng cung chứa góc 90 + vẽ trên đoạn AB 2
- Dựng đường thẳng XY AB và cách AB một khoảng bằng r
- Dựng đường tròn (O;R); tia Bt hợp với BI một góc  
Ibc = ABI . Tia Bt cắt (O;R) tại C . Ta được DABC cần dựng. c) Chứng minh:
Tam giác ABC rõ ràng nội tiếp trong (O;R)  AOB Và C = a =
. Ta có I nằm trên tia phân giác góc B và 2      C A C A 0 a 0  0 + AIB = 90 + = 90 +  IAB = 90 - = 2 2 2 2
Vậy I nằm trên đường phân giác góc A .
Do đó I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC bán kính r . d) Biện luận: 0 a
Bài toán có một nghiệm hình nếu XY nếu cung chứa góc 90 + vẽ trên đoạn AB . 2
Bài toán có hai nghiệm hình nếu XY tiếp xúc với cung chứa góc trên. A B B
Bài toán vô nghiệm khi XY không cắt cung chứa góc đó. 0 α D C Bài 6:
27. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com d a) Phân tích:
Gỉa sử hình thang ABCD dựng được thỏa mãn các điều kiện:
- Nối tiếp đường tròn (O;R), đáy CD = 1 . Hai đường chéo AC
và BD cắt nhau tại I sao cho:  CID = a . Nhận thấy:
CD = 1 nên hai đỉnh C, D xác định được ngay cần xác định hai đỉnh B và A . Việc xác định A và B
đưa về xác định I .
- Để nội tiếp đường tròn (O;R) thì hình thang phải cân, do đó I thuộc đường trung trực của CD . Mặt khác 
CID = a nên I thuộc cung tròn nhìn CD dưới một góc bằng a . b) Cách dựng:
- Trong đường tròn (O;R) dựng dây  CD = 1
- Dựng cung chứ góc nhìn 
CD dưới một góc bằng a
- Dựng đường trung trực d của CD
- Lấy I là giao điểm của d và cung chứa góc a
- Kéo dài CI,DI cắt đường tròn (O;R) tại A và B . c)
Chứng minh: Hiển nhiên theo cách dựng. d) Biện luận:
- l < 2R bài toán có 2 nghiệm hình
- l = 2R bài toán có 1 nghiệm hình
- l > 2R bài toán vô nghiệm. Bài 7:
28. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Gọi D là trung điểm của BC . Suy ra OD ^ BC .
Kéo dài OC cắt đường tròn tại điểm G ta có :  0
CBG = 90  BG ^ BC BG / /AH 1
OD = BG (tính chất đường trung bình). 2 Ta có:  0
CAG = 90  AG ^ AC AG / /BH AHBG là hình bình
hành  BG = AH AH = 2OD
Theo giả thiết AH = R R = OB = 2OD
Tam giác OBD là tam giác vuông có  0  0  0
OB = 2OD OBD = 30  BOC = 120  BAC = 60
H là trực tâm của tam giác 
ABC CH ^ AB,BH ^ AC BHC = 120 .  1 1 1 0   0 0  0 
BIC = 180 - (ABC + ACB) = 180 - (180 - BAC ) = 90 + BAC = 0 120 2 2 2 Ta thấy   
BOC = BHC = BIC = 120 nên ba điểm O, H, I
nằm trên cung tròn nhìn về một phía của BC dưới góc 0 120 ( ĐPCM) Bài 8:
Gọi H là chân đường cao kẻ từ I đến cạnh AB . 1 Khi đó ta có: S = IH.AB . IAB 2
Ta có AB là đường kính  S
Max IH Max H trùng với O . IAB
29. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Khi H trùng với O thì OI vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến của tam giác  IA
D B cân tại I . MN R 1 Lại có = =
MN là đường trung bình của tam giác AB D
C MN / /BC . AB 2R 2 Xét MON D
có MO = ON = MN = R M
D ON là tam giác đều.
Tam giác IAB cân tại I có MN là đường trung bình  M và N lần lượt là trung điểm của AM và AB .
Lại có O là trung điểm của ABOM; ON cũng là hai đường trung bình của tam giácIAB . ON ìï / /IM ï  í
 tứ giác IMON là hình bình hành. OM ï / /IN ïî
Lại có hai đường chéo OI và MN vuông góc với nhau (doMN / /AB;OI ^ AB ).
IMON là hình thoi  MI = IN = OM = R IA = 2IM = 2R .
Xét tam giác AOI vuông tại O ta có: 2 2 2 2
OI = IA -OA = 4R - R = R 3. 1 1 2  S
= OI.AB = .R 3.2R = R 3. IAB 2 2
---------------------Toán Học Sơ Đồ--------------------
30. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com