Chuyên đề dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân – Tô Quốc An

Tài liệu gồm 70 trang, được biên soạn và sưu tầm bởi thầy giáo Tô Quốc An, tổng hợp lý thuyết, các dạng toán điển hình và các bài tập rèn luyện kĩ năng chuyên đề dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân

78 39 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân (KNTT)

Môn: Toán 11

Thông tin:

70 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Kim Oanh
DAÕY SOÁ -
CAÁP SOÁ COÄNG
& CAÁP SOÁ NHAÂN
LÔÙP TOAÙN THAÀY AN
DÑ: 0988 32 33 71
toanthayan@gmail.com
fb.com/toanthayan
Hoï vaø teân: ..............................................
Tröôøng: .............................. Lôùp: ..........
PLEIKU
TAØI LIEÄU LÖU HAØNH NOÄI BOÄ
Söu taàm vaø bieân soaïn: Toâ Quoác An
Pleiku, Gia Lai
LUYỆN MÃI THÀNH TÀI- MIỆT MÀI TẤT GIỎI. CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN.
0988323371 | Biên so
ạ
n và sưu t
ầ
m: Tô Qu
ố
c An
1
CHUYÊN ĐỀ: DÃY SỐ. CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN
Mục lục sách :
PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC ................................................................................................... 3
A. LÝ THUYẾT ........................................................................................................................................ 3
B. CÁC BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH ............................................................................................................. 3
C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG ..................................................................................................... 8
D. HƯỚNG DẪN GIẢI ........................................................................................................................... 10
DÃY SỐ....................................................................................................................................................... 13
A. LÝ THUYẾT ...................................................................................................................................... 13
1. Định nghĩa: ....................................................................................................................................... 13
2. Các cách cho một dãy số: ................................................................................................................. 13
3. Dãy số tăng, dãy số giảm, dãy số hằng: ........................................................................................... 13
4. Dãy số bị chặn .................................................................................................................................. 14
B. CÁC BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH ........................................................................................................... 15
C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG ................................................................................................... 21
Dạng 1: Bài tập về xác định số hạng của dãy số .................................................................................. 21
Dạng 2: Bài tập về xét tính tăng, giảm của dãy số. .............................................................................. 22
Dạng 3: Bài tập về xét tính bị chặn của dãy số. ................................................................................... 22
Dạng 4: Bài tập về tính chất của dãy số. .............................................................................................. 23
D. HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT ......................................................................................................... 25
Dạng 1: Bài tập về xác định số hạng của dãy số .................................................................................. 25
Dạng 2: Bài tập về xét tính tăng giảm của dãy số ................................................................................ 26
Dạng 3: Bài tập về xét tính bị chặn của dãy số .................................................................................... 26
Dạng 4: Bài tập về tính chất của dãy số. .............................................................................................. 27
CẤP SỐ CỘNG ........................................................................................................................................... 30
A. LÝ THUYẾT ...................................................................................................................................... 30
I. Định nghĩa. ........................................................................................................................................ 30
II. Số hạng tổng quát của cấp số cộng. ................................................................................................. 31
III. Tính chất các số hạng của cấp số cộng. .......................................................................................... 31
IV. Tổng
số hạng đầu tiên của cấp số cộng. .................................................................................... 32
B. CÁC DẠNG TOÁN VỀ CẤP SỐ CỘNG........................................................................................... 33
C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG ................................................................................................... 40
Dạng 1: Bài tập nhận dạng cấp số cộng ............................................................................................... 40
Dạng 2: Bài tập về xác định số hạng và công sai của cấp số cộng. ...................................................... 40
Dạng 3: Bài tập về tổng của
số hạng đầu tiên của cấp số cộng. ...................................................... 41
CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN. If you wish to reach the highest, Begin at the lowest.
2 https://www.facebook.com/toanthayan | 0988323371
Dạng 4: Bài tập liên quan đến tính chất của cấp số cộng. .................................................................... 41
Dạng 5: Bài tập liên quan đến cấp số cộng. ......................................................................................... 41
D. HƯỚNG DẪN GIẢI ........................................................................................................................... 44
Dạng 1: Bài tập về nhận dạng cấp số cộng ........................................................................................... 44
Dạng 2: Bài tập về nhận dạng cấp số cộng ........................................................................................... 44
Dạng 3: Bài tập về tổng của
n
số hạng đầu tiên của cấp số cộng. ...................................................... 46
Dạng 4: Bài tập liên quan đến tính chất của cấp số cộng. .................................................................... 46
Dạng 5: Bài tập liên quan đến cấp số cộng. ......................................................................................... 46
CẤP SỐ NHÂN ........................................................................................................................................... 50
A. LÝ THUYẾT ...................................................................................................................................... 50
1. Định nghĩa. ....................................................................................................................................... 50
2. Số hạng tổng quát của cấp số nhân. .................................................................................................. 51
3. Tính chất các số hạng của cấp số nhân ............................................................................................. 52
4. Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân. ........................................................................................ 52
B. CÁC DẠNG TOÁN VỀ CẤP SỐ NHÂN .......................................................................................... 54
C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG ................................................................................................... 60
Dạng 1: Bài tập về nhận dạng cấp số nhân. .......................................................................................... 60
Dạng 2: Bài tập về xác định số hạng và công bội của cấp số nhân. ..................................................... 60
Dạng 3: Bài tập về tổng
số hạng đầu tiên của cấp số nhân. ............................................................. 61
Dạng 4: Bài tập liên quan đến cấp số nhân. ......................................................................................... 61
Dạng 5: Bài tập liên quan đến cả cấp số nhân và cấp số cộng. ............................................................ 62
D. HƯỚNG DẪN GIẢI ........................................................................................................................... 63
Dạng 1: Bài tập về nhận dạng cấp số nhân. .......................................................................................... 63
Dạng 2: Bài tập về xác định số hạng và công bội của cấp số nhân. ..................................................... 63
Dạng 3: Bài tập về tổng
số hạng đầu tiên của cấp số nhân. ............................................................. 65
Dạng 4: Bài tập liên quan đến cấp số nhân .......................................................................................... 66
Dạng 5: Bài tập liên quan đến cả cấp số nhân và cấp số cộng. ............................................................ 68
LUYỆN MÃI THÀNH TÀI- MIỆT MÀI TẤT GIỎI. CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN.
0988323371 | Biên so
ạ
n và sưu t
ầ
m: Tô Qu
ố
c An
3
CHỦ ĐỀ 3: DÃY SỐ. CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN
PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
A. LÝ THUYẾT
Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số nguyên dương
là đúng với mọi
n
mà
không thể thử trực tiếp được thì có thể làm như sau:
- Bước 1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với
1
n
.
- Bước 2: Giả thiết rằng mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kỳ
1
n k
(gọi là giả
thiết quy nạp). Bằng kiến thức đã biết và giả thiết quy nạp, chứng minh rằng mệnh đề đó cũng
đúng với
1
n k
.
B. CÁC BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH
Ví dụ 1. Với mối số nguyên dương
, đặt
2 2 2
1 2 ...
S n
. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A.
( 1)( 2)
6
n n n
S
.
B.
( 1)(2 1)
3
n n n
S
.
C.
( 1)(2 1)
6
n n n
S
.
D.
( 1)(2 1)
2
n n n
S
.
Đáp án C.
Lời giải
Cách 1:
Chúng ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học rằng mọi
*
n
ℕ
, ta có đẳng
thức
2 2 2 2
( 1)(2 1)
1 2 3 ... .
6
n n n
n
- Bước 1: Với
1
n
thì vế trái bằng
2
1 1
, vế phải bằng
1(1 1)(2.1 1)
1
6
.
Vậy đẳng thức đúng với
1
n
.
-Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng với
1
n k
, tức là chứng minh
2 2 2 2 2
( 1) ( 1) 1 2( 1) 1
( 1)( 2)(2 3)
1 2 3 ... ( 1) .
6 6
k k k
k k k
k k
Ta phải chứng minh đẳng thức cũng đúng với
1
n k
, tức là chứng minh
2 2 2 2 2
( 1) ( 1) 1 2( 1) 1
( 1)( 2)(2 3)
1 2 3 ... ( 1) .
6 6
k k k
k k k
k k
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có
2 2 2 2 2 2
( 1)( 1)(2 1)
1 2 3 ... ( 1) ( 1) .
6
k k k
k k k
Mà
2
2
( 1)( 1)(2 1) ( 1)(2 1) 6( 1) ( 1)( 2)(2 3)
( 1) .
6 6 6
k k k k k k k k k k
k
Suy ra
2 2 2 2 2
( 1)( 2)(2 3)
1 2 3 ... ( 1) .
6
k k k
k k
Do đó đẳng thức đúng với
1
n k
. Suy ra có điều phải chứng minh.
Vậy phương án đúng là C.
Cách 2:
Kiểm tra tính đúng-sai của từng phương án đến khi tìm được phương án đúng thông
qua một số giá trị cụ thể của n.
+ Với
1
n
thì
2
1 1
S
(loại được các phương án B và D);
+ Với
2
n
thì
2 2
1 2 5
S
(loại được phương án A).
Vậy phương án đúng là C.
CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN. If you wish to reach the highest, Begin at the lowest.
4 https://www.facebook.com/toanthayan | 0988323371
MẸO HỌC TẬP
Ngoài kết quả nêu trong ví dụ 1, chúng ta có thể đề cập đến các kết quả tương tự như sau:
1)
( 1)
1 2 .. .
2
n n
n
2)
2 2
3 3 3
( 1)
1 2 ... .
4
n n
n
3)
2
4 4 4
( 1)(2 1)(3 3 1)
1 2 ... .
30
n n n n n
n
4)
2 2 2
5 5 5
( 1) (2 2 1)
1 2 ... .
12
n n n n
n
5)
( 1)( 2)( 3)
1.2.3 2.3.4 ... ( 1)( 2) .
4
n n n n
n n n
Nhận xét: Từ ví dụ 1 và các bài tập ở phần nhận xét, ta thấy bậc ở vế trái nhỏ hơn bậc ở vế
phải là 1 đơn vị. Lưu ý điều này có thể tính được tổng dạng luỹ thừa dựa vào phương pháp hệ
số bất định. Từ kết quả của ví dụ này, chúng ta hoàn toàn có thể đề xuất các câu hỏi trắc
nghiệm sau đây:
Câu 1.1.
Với mỗi số nguyên
,
n
đặt
2 2 2
1 2 ... .
S n
Mệnh đề nào dưới đây là sai?
A.
3 2
1
2 3
6
S n n n
.
B.
3
3
1 1
1 1
6 6
S n n n n
.
C.
3
1
2 1 3 1 2 1
6
S n n n n
.
D.
2
1 2 1
6
n n n
S
.
Câu 1.2.
Với mỗi số nguyên dương
,
n
ta có
2 2 2 3 2
1 2 ... ,
n an bn cn
trong đó
, ,
a b c
là các
hằng số. Tính giá trị của biểu thức
2 2 2
.
M ab bc ca
A.
25
M
.
B.
25
216
M
.
C.
25
6
M
.
D.
23
M
.
Câu 1.3.
Tìm tất cả các số nguyên dương
,
n
để
2 2 2
1 2 ... 2017
n
.
A.
18
n
.
B.
20
n
.
C.
17
n
.
D.
19
n
.
Câu 1.4.
Tính tổng
S
của tất cả các số nguyên dương
,
n
thoả mãn
2 2 2
1 2 ... 2018
n
.
A.
153
S
.
B.
171
S
.
C.
136
S
.
D.
190
S
.
Ví dụ 2.
Đặt
2 2 2 ... 2
n
T
(có
n
dấu căn). Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng?
A.
3
n
T
.
B.
1
2cos
2
n
n
T
.
C.
1
cos
2
n
n
T
.
D.
5
n
T
.
Đáp án B.
Lời giải
Ta chứng minh
1
2cos
2
n
n
T
bằng phương pháp quy nạp toán học. Thật vậy:
Bước 1: Với
1
n
thì vế trái bằng
2
, còn vế phải bằng
1 1
2cos 2cos 2
2 4
.
Vậy đẳng thức đúng với
1
n
.
Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng với
1
n k
, nghĩa là
1
2cos
2
k
k
T
.
LUYỆN MÃI THÀNH TÀI- MIỆT MÀI TẤT GIỎI. CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN.
0988323371 | Biên so
ạ
n và sưu t
ầ
m: Tô Qu
ố
c An
5
Ta phải chứng minh đẳng thức cũng đúng với
1
n k
, tức là chứng minh
1
2
2cos
2
k
k
T
.
Thật vậy, vì
1
2
k k
T T
nên theo giả thiết quy nạp ta có
1
1
2 2 2cos
2
k k
k
T T
.
Mặt khác,
2
1 2 2
1 cos 1 cos 2. 2cos
2 2 2
k k k
nên
2
1
2 2
2.2cos 2cos
2 2
k
k k
T
.
Vậy phương án đúng là B.
MẸO HỌC TẬP
Ngoài cách làm như trên, ta có thể làm theo cách sau: kiểm tra tính đúng – sai của từng phương
án đến khi tìm được phương án đúng thông qua một số giá trị cụ thể của
n
.
+ Với
1
n
thì
1
2
T
(loại ngay được phương án A, C và D).
Nhận xét: Từ kết quả của ví dụ 2, chúng ta có thể đề xuất các câu hỏi dưới đây:
Câu 2.1:
Đặt
2 2 2 ... 2
n
T
(có
n
dấu căn). Tìm
n
để
511
2sin
1024
n
T
.
A.
10
n
.
B.
9
n
.
C.
11
n
.
D.
8
n
.
Câu 2.2:
Cho dãy số
n
u
xác định bởi
1
2
u
và
*
1
2 ,
n n
u u n
ℕ
. Số hạng tổng quát của dãy
số
n
u
là:
A.
1
2sin
2
n
n
u
.
B.
1
2cos
2
n
n
u
.
C.
1
cos
2
n
n
u
.
D.
1
sin
2
n
n
u
.
Ví dụ 3.
Đặt
1 1 1
...
1.3 3.5 (2 1)(2 1)
n
S
n n
,với
*
n
ℕ
.Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
1
2(2 1)
n
n
S
n
.
B.
3 1
4 2
n
n
S
n
.
C.
2 1
n
n
S
n
.
D.
2
6 3
n
n
S
n
.
Đáp án C.
Lời giải
Cách 1: Rút gọn biểu thức
n
S
dựa vào việc phân tích phần tử đại diện.
Với mọi số nguyên dương
k
, ta có
1 1 1 1
(2 1)(2 1) 2 2 1 2 1
k k k k
.
Do đó:
1 1 1 1 1 1
1 ...
2 3 3 5 2 1 2 1
n
S
n n
1 1
1
2 2 1 2 1
n
n n
.
Vậy phương án đúng là phương án C.
Cách 2: Kiểm tra tính đúng – sai của phương án dựa vào một số giá trị cụ thể của n.
Với
1
n
thì
1
1 1
1.3 3
S
(chưa loại được phương án nào);
Với
2
n
thì
2
1 1 2
1.3 3.5 5
S
(loại ngay được các phương án A,B và
D.
Vậy phương án đúng là phương án
C.
CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN. If you wish to reach the highest, Begin at the lowest.
6 https://www.facebook.com/toanthayan | 0988323371
Nhận xét: Từ kết quả của ví dụ này,chúng ta hoàn toàn trả lời được các câu hỏi trắc nghiệm
sau đây:
Câu 3.1:
Với
*
n
ℕ
,biết rằng
1 1 1
...
1.3 3.5 (2 1)(2 1) 1
an b
n n cn
. Trong đó
, ,
a b c
là các số nguyên.
Tính giá trị biểu thức
2 3 4
P a b c
.
A.
17
P
.
B.
10
P
.
C.
9
P
.
D.
19
P
.
Câu 3.2:
Với
*
n
ℕ
,biết rằng
1 1 1
...
1.3 3.5 (2 1)(2 1) 4
an b
n n n c
. Trong đó
, ,
a b c
là các số
nguyên.Tính giá trị biểu thức
2 2 2
T a b c a b c
.
A.
40
T
.
B.
4
T
.
C.
32
T
.
D.
16
T
.
Câu 3.3: Biết rằng
2
2
1 1 1
...
1.3 3.5 (2 1)(2 1)
2 1
an bn c
n n
n
,trong đó
*
n
ℕ
và
, ,
a b c
là các số
nguyên. Tính giá trị biểu thức
a c
F a b
.
A.
9
F
.
B.
6
F
.
C.
8
F
.
D.
27
F
.
Câu 3.4:
Tính tổng S của tất cả các số nguyên dương n thỏa mãn bất phương trình
1 1 1 17
...
1.3 3.5 (2 1)(2 1) 35
n n
A.
153
S
.
B.
136
S
.
C.
272
S
.
D.
306
S
.
Ví dụ 4.
Tìm tất cả các số nguyên dương
n
sao cho
1 2
2 3 .
n
n n
A.
3
n
.
B.
5
n
.
C.
6
n
.
D.
4
n
.
Đáp án D.
Lời giải
Kiểm tra tính đúng – sai của bất đẳng thức với các trường hợp
1,2,3,4,
n
ta dự đoán được
1 2
2 3 ,
n
n n
với
4.
n
Ta chứng minh bất đẳng thức này bằng phương pháp quy nạp toán
học. Thật vây:
-Bước 1: Với
4
n
thì vế trái bằng
4 1 5
2 2 32,
còn vế phải bằng
2
4 3.4 28.
Do
32 28
nên bất đẳng thức đúng với
4.
n
-Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng với
4,
n k
nghĩa là
1 2
2 3 .
k
k k
Ta phải chứng minh bất đẳng thức cũng đúng với
1,
n k
tức là phải chứng minh
2
1 1
2 1 3 1
k
k k
hay
2 2
2 5 4.
k
k k
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có
1 2
2 3 .
k
k k
Suy ra
1 2
2.2 2 3
k
k k
hay
2 2
2 2 6
k
k k
Mặt khác
2 2 2 2
2 6 5 4 4 4 4 4 16
k k k k k k
với mọi
4.
k
Do đó
2 2 2
2 2 3 5 4
k
k k k k
hay bất đẳng thức đúng với
1.
n k
Suy ra bất đẳng thức được chứng minh.
Vậy phương án đúng là D.
MẸO HỌC TẬP
Dựa vào kết quả ví dụ 4, ta có thể đề xuất bài toán sau:
Câu 4.4:
Tìm số nguyên tố
p
nhỏ nhất sao cho:
1 2
2 3 , , *
n
n n n p n
ℕ
A.
3
p
.
B.
5
p
.
C.
4
p
.
D.
7
p
.
LUYỆN MÃI THÀNH TÀI- MIỆT MÀI TẤT GIỎI. CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN.
0988323371 | Biên so
ạ
n và sưu t
ầ
m: Tô Qu
ố
c An
7
CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN. If you wish to reach the highest, Begin at the lowest.
8 https://www.facebook.com/toanthayan | 0988323371
C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG
Câu 1.
Tổng
S
các góc trong của một đa giác lồi
cạnh,
3
n
, là:
A.
.180
S n
.
B.
2 .180
S n
.
C.
1 .180
S n
.
D.
3 .180
S n
.
Câu 2.
Với
*
n
ℕ
, hãy rút gọn biểu thức
1.4 2.7 3.10 ... 3 1
S n n
.
A.
2
1
S n n
.
B.
2
2
S n n
.
C.
1
S n n
.
D.
2 1
S n n
.
Câu 3.
Kí hiệu
*
! 1 ...2.1,k k k k
ℕ
. Với
*
n
ℕ
, đặt
1.1! 2.2! ... . !
n
S n n
. Mệnh đề nào dưới
đây là đúng?
A.
2. !
n
S n
.
B.
1 ! 1
n
S n
. C.
1 !
n
S n
.
D.
1 ! 1
n
S n
.
Câu 4.
Với
*
n
ℕ
, đặt
2
2 2 2
1 2 3 ... 2
n
T n
và
2
2 2 2
2 4 6 ... 2
n
M n
. Mệnh đề nào dưới
đây là đúng?
A.
4 1
2 2
n
n
T
n
M n
.
B.
4 1
2 1
n
n
T
n
M n
. C.
8 1
1
n
n
T
n
M n
.
D.
2 1
1
n
n
T
n
M n
.
Câu 5.
Tìm số nguyên dương
p
nhỏ nhất để
2 2 1
n
n
với mọi số nguyên
n p
.
A.
5
p
.
B.
3
p
. C.
4
p
.
D.
2
p
.
Câu 6.
Tìm tất cả các giá trị của
*
n
ℕ
sao cho
2
2
n
n
.
A.
5
n
.
B.
1
n
hoặc
6
n
. C
7
n
.
D.
1
n
hoặc
5
n
.
Câu 7.
Với mọi số nguyên dương
, ta có:
1 1 1
...
2.5 5.8 3 1 3 2 4
an b
n n cn
, trong đó
, ,
a b c
là các số nguyên. Tính các giá trị của biểu thức
2 2 2
T ab bc ca
.
A.
3
T
.
B.
6
T
.
C.
43
T
.
D.
42
T
.
Câu 8.
Với mọi số nguyên dương
2
n
, ta có:
2
1 1 1 2
1 1 ... 1
4 9 4
an
n bn
, trong đó
,
a b
là các
số nguyên. Tính các giá trị của biểu thức
2 2
T a b
.
A.
5
P
.
B.
9
P
.
C.
20
P
.
D.
36
P
.
Câu 9.
Biết rằng
3 3 3 4 3 2 *
1 2 ... , nn an bn cn dn e
ℕ
. Tính giá trị biểu thức
M a b c d e
.
A.
4
M
.
B.
1
M
. C.
1
4
M
.
D.
1
2
M
.
Câu 10.
Biết rằng mọi số nguyên dương
, ta có
3 2
1 1 1 1
1.2 2.3 ... 1
n n a n b n c n d
và
3 2
2 2 2 2
1.2 2.5 3.8 ... 3 1
n n a n b n c n d
. Tính giá trị biểu thức
1 2 1 2 1 2 1 2
T a a b b c c d d
.
A.
2
T
.
B.
1
T
. C.
4
3
M
.
D.
2
3
T
.
Câu 11.
Biết rằng
1 2 ...
k k k
n
, trong đó
,
n k
là số nguyên dương. Xét các mệnh đề sau:
1
1
2
n n
S
,
2
1 2 1
6
n n n
S
,
2
2
3
1
4
n n
S
và
2
4
1 2 1 3 3 1
30
n n n n n
S
.
Số các mệnh đề đúng trong các mệnh đề nói trên là:
A.
. B.
1
. C.
.
D.
3
.
Câu 12.
Với
*
n
ℕ
, ta xét các mệnh đề
:"7 5
n
P
chia hết cho
2"
;
:"7 5
n
Q
chia hết cho
3"
và
:"7 5
n
Q
chia hết cho
6"
. Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là :
A.
3
. B.
0
. C.
1
.
D.
.
LUYỆN MÃI THÀNH TÀI- MIỆT MÀI TẤT GIỎI. CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN.
0988323371 | Biên so
ạ
n và sưu t
ầ
m: Tô Qu
ố
c An
9
Câu 13.
Xét bài toán: “Kiểm nghiệm với số nguyên dương
bất đẳng thức
1
2
n
n
”. Một học sinh đã
trình bày lời giải bài toán này bằng các bước như sau:
Bước 1: Với
1
n
, ta có:
! 1! 1
n
và
1 1 1 0
2 2 2 1
n
. Vậy
1
! 2
n
n
đúng.
Bước 2 : Giả sử bất đẳng thức đúng với
1
n k
, tức là ta có
1
! 2
k
k
.
Ta cần chứng minh bất đẳng thức đúng với
1
n k
, nghĩa là phải chứng minh
1 ! 2
k
k
.
Bước 3 : Ta có
1
1 ! 1 . ! 2.2 2
k k
k k k
. Vậy
1
! 2
n
n
với mọi số nguyên dương
n
.
Chứng minh trên đúng hay sai, nếu sai thì sai từ bước nào ?
A. Đúng. B. Sai từ bước 2. C. Sai từ bước 1. D. Sai từ bước 3.
Câu 14.
Biết rằng
2
2
1 1 1
...
1.2.3 2.3.4 1 2 16
an bn
n n n cn dn
, trong đó
, , ,
a b c d
và
là các số
nguyên dương. Tính giá trị của biểu thức
T a c b d
.
là :
A.
75
T
.
B.
364
T
.
C.
300
T
.
D.
256
T
.
CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN. If you wish to reach the highest, Begin at the lowest.
10 https://www.facebook.com/toanthayan | 0988323371
D. HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1. Đáp án B.
Cách 1: Từ tổng các góc trong tam giác bằng
180
và tổng các góc trong từ giác bằng
360
,
chúng ta dự đoán được
2 .180
S n
.
Cách 2: Thử với những trường hợp đã biết để kiểm nghiệm tính đúng –sai từ các công thức. Cụ
thể là với
3
n
thì
180
S
(loại luôn được các phương án A, C và D); với
4
n
thì
360
S
(kiểm nghiệm phương án B lần nữa).
Câu 2. Đáp án A.
Để chọn được
S
đúng, chúng ta có thể dựa vào một trong ba cách sau đây:
Cách 1: Kiểm tra tính đúng –sai của từng phương án với những giá trị của
.
Với
1
n
thì
1.4 4
S
(loại ngay được phương án B và C); với
2
n
thì
1.4 2.7 18
S
(loại được phương án D).
Cách 2: Bằng cách tính
S
trong các trường hợp
1, 4; 2, 18; 3, 48
n S n S n S
ta dự
đoán được công thức
2
1
S n n
.
Cách 3: Ta tính
S
dựa vào các tổng đã biết kết quả như
1
1 2 ...
2
n n
n
và
2 2 2
1 2 1
1 2 ...
6
n n n
n
. Ta có:
2
2 2 2
3 1 2 ... 1 2 ... 1
S n n n n
.
Câu 3. Đáp án B.
Chúng ta có thể chọn phương án đúng dựa vào một trong hai cách sau đây:
Cách 1: Kiểm nghiệm từng phương án đúng đối với những giá trị cụ thể của
.
Với
1
n
thì
1
1.1! 1
S
(Loại ngay được các phương án A, C, D).
Cách 2: Rút gọn
n
S
dựa vào việc phân tích phần tử đại diện
. ! 1 1 . ! 1 . ! ! 1 ! !
k k k k k k k k k
. Suy ra:
2! 1! 3! 2! ... 1 ! ! 1 ! 1
n
S n n n
.
Câu 4. Đáp án A.
Chúng ta có thể chọn phương án đúng dựa vào một trong hai cách sau đây:
Cách 1: Kiểm nghiệm từng phương án đúng đối với những giá trị cụ thể của
.
Với
1
n
thì
2 2 2
1 1
1 2 5; 2 4
T M
nên
1
1
5
4
T
M
(loại ngay được các phương án B, C, D).
Cách 2: Chúng ta tính
,
n n
T M
dựa vào những tổng đã biết kết quả. Cụ thể dựa vào ví dụ 1:
2 2 1 4 1 2 1 2 1
;
6 3
n n
n n n n n n
T M
. Suy ra
4 1
2 2
n
n
T n
M n
.
Câu 5. Đáp án B.
Dễ thấy
2
p
thì bất đẳng thức
2 2 1
p
p
là sai nên loại ngay phương án D.
Xét với
3
p
ta thấy
2 2 1
p
p
là bất đửng thức đúng. Bằng phương pháp quy nạp toán học
chúng ta chứng minh được rằng
2 2 1
n
n
với mọi
3
n
. Vậy
3
p
là số nguyên dương nhỏ
nhất cần tìm.
Câu 6. Đáp án D.
Kiểm tra với
1
n
ta thấy bất đẳng thức đúng nên loại ngay phương án A và C.
Kiểm tra với
1
n
ta thấy bất đẳng thức đúng. Bằng phương pháp quy nạp toán học chúng ta
chứng minh được rằng
2
2 , 5
n
n n
.
LUYỆN MÃI THÀNH TÀI- MIỆT MÀI TẤT GIỎI. CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN.
0988323371 | Biên so
ạ
n và sưu t
ầ
m: Tô Qu
ố
c An
11
Câu 7. Đáp án B
.
Cách 1: Với chú ý
1 1 1 1
3 1 3 2 3 3 1 3 2
k k k k
, chúng ta có:
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
... ...
2.5 5.8 3 1 3 2 3 2 5 5 8 3 1 3 2
n n n n
=
1 3
.
3 2 3 2 6 4
n n
n n
.
Đối chiếu với đẳng thức đã cho, ta có:
1, 0, 6
a b c
.
Suy ra
2 2 2
6
T ab bc ca
.
Cách 2: Cho
1, 2, 3
n n n
ta được:
1 2 1 3 3
; ;
4 10 2 4 8 3 4 22
a b a b x b
c c c
.
Giải hệ phương trình trên ta được
1, 0, 6
a b c
. Suy ra
2 2 2
6
T ab bc ca
Câu 8. Đáp án C.
Cách 1: Bằng cách phân tích số hạng đại diện, ta có:
2
1 1 1
1 .
k k
k k k
. Suy ra
2
1 1 1
1 1 ... 1
4 9
n
1 3 2 4 1 1 1 2 2
. . . ... .
2 2 3 3 2 2 4
n n n n
n n n n
.
Đối chiếu với đẳng thức đã cho ta có:
2, 4
a b
. Suy ra
2 2
20
P a b
.
Cách 2: Cho
2, 3
n n
ta được
1 3 3 2 2
;
4 3 3
a a
b b
. Giải hệ phương trình trren ta được
2; 4
a b
. Suy ra
2 2
20
P a b
.
Câu 9. Đáp án B.
Cách 1: Sử dụng kết quả đã biết:
2
2 4 3 2
3 3 3
1 2
1 2 ...
4 4
n n n n n
n
. So sánh cách hệ
số, ta được
1 1 1
; ; ; 0
4 2 4
a b c d e
.
Cách 2: Cho
1, 2, 3, 4, 5
n n n n n
, ta được hệ 5 phương trình 5 ẩn
, , , ,
a b c d e
. Giải hệ
phương trình đó, ta tìm được
1 1 1
; ; ; 0
4 2 4
a b c d e
. Suy ra
1
M a b c d e
.
Câu 10. Đáp án C.
Cách 1: Sử dụng các tổng lũy thừa bậc 1 và bậc 2 ta có:
+)
2 2 2 3 2
1 2
1.2 2.3 ... 1 1 2 ... 1 2 ...
3 3
n n n n n n n
.
Suy ra
1 1 1 1
1 2
; 1; ; 0
3 3
a b c d
.
+)
2 2 2 3 2
1.2 2.5 3.8 ... 3 1 3 1 2 ... 1 2 ... .
n n n n n n
Suy ra
2 2 2 2
1; 0
a b c d
.
Do đó
1 2 1 2 1 2 1 2
4
3
T a a b b c c d d
.
Cách 2: Cho
1, 2, 3, 4
n n n n
và sử dụng phương pháp hệ số bất đinh ta cũng tìm được
1 1 1 1
1 2
; 1; ; 0
3 3
a b c d
;
2 2 2 2
1; 0
a b c d
.
Do đó
1 2 1 2 1 2 1 2
4
3
T a a b b c c d d
.
CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN. If you wish to reach the highest, Begin at the lowest.
12 https://www.facebook.com/toanthayan | 0988323371
Câu 11. Đáp án D.
Bằng các kết quả đã biết ở ví dụ 1, chúng ta thấy ngay được chỉ có
2
2
3
1
4
n n
S
là sai.
Câu 12. Đáp án A.
Bằng phương pháp quy nạp toán học, chúng ta chứng minh được rằng
7 5
n
chia hết cho 6.
Thật vậy: Với
1
n
thì
1
7 5 12 6
⋮
.
Giả sử mệnh đề đúng với
1
n k
, nghĩa là
7 5
k
chia hết ccho 6.
Ta chứng minh mệnh đề đúng với
1
n k
, nghĩa là phỉa chứng minh
1
7 5
k
chia hết cho 6.
Ta có:
1
7 5 7 7 5 30
k k
.
Theo giả thiết quy nạp thì
7 5
k
chia hết cho 6 nên
1
7 5 7 7 5 30
k k
cũng chia hết cho
6.
Vậy
7 5
n
chia hết cho 6 với mọi
1
n
. Do đó các mệnh đề
P
và
Q
cũng đúng.
Câu 13. Đáp án A.
Câu 14. Đáp án C.
Phân tích phần tử đại diện, ta có:
1 1 1 1
1 2 2 1 1 2
k k k k k k k
.
Suy ra:
1 1 1
...
1.2.3 2.3.4 1 2
n n n
1 1 1 1 1 1 1
. ...
2 1.2 2.3 2.3 3.4 1 1 2
n n n n
1 1 1
2 2 1 2
n n
=
2 2
2 2
3 2 6
4 12 8 8 24 16
n n n n
n n n n
.
Đối chiếu với hệ số, ta được:
2; 6; 8; 24
a b c d
.
Suy ra:
300
T a c b d
.
LUYỆN MÃI THÀNH TÀI- MIỆT MÀI TẤT GIỎI. CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN.
0988323371 | Biên so
ạ
n và sưu t
ầ
m: Tô Qu
ố
c An
13
DÃY SỐ
A. LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa:
Một hàm số
u
xác định trên tập hợp các số nguyên dương
*
ℕ
được gọi là một dãy số vô hạn (hay
còn gọi tắt là dãy số)
Người ta thường viết dãy số dưới dạng khai triển
1 2
, ,..., ,...,
n
u u u
trong đó
n
u u n
hoặc viết
tắt là
n
u
.
Số hạng
1
u
được gọi là số hạng đầu,
n
u
là số hạng tổng quát (số hạng thứ
) của dãy số.
2. Các cách cho một dãy số:
Người ta thường cho một dãy số bằng một trong các cách dưới đây:
- Cách 1: Cho dãy số bằng công thức của số hạng tổng quát.
Ví dụ 1.
Cho dãy số
n
x
với
1
3
n
n
n
x
.
Dãy số cho bằng cách này có ưu điểm là chúng ta có thể xác định được ngay số hạng bất kỳ
của dãy số. Chẳng hạn,
10
11
10 10
3 177147
x
.
- Cách 2: Cho dãy số bằng phương pháp truy hồi.
Ví dụ 2.
Cho dãy số
n
a
xác định bởi
1
1
a
và
1
3 7, 1
n n
a a n
.
Ví dụ 3.
Cho dãy số
n
b
xác định bởi
1 2
2 1
1, 3
4 5 , 1
n n n
b b
b b b n
.
Với cách này, ta có thể xác định được ngay mối liên hệ giữa các số hạng hoặc nhóm các số
hạng của dãy số thông qua hệ thức truy hồi. Tuy nhiên, để tính được các số hạng bất kỳ của dãy
số thì chúng ta cần phải tích được các số hạng trước đó hoặc phải tìm được công thức tính số
hạng tổng quát của dãy số.
- Cách 3: Cho dãy số bằng phương pháp mô tả hoặc diễn đạt bằng lời cách xác định mỗi số
hẩng dãy số.
Ví dụ 4.
Cho dãy số
n
u
gồm các số nguyên tố.
Ví dụ 5.
Cho tam giác đều
ABC
có cạnh bằng 4. Trên cạnh
BC
, ta lấy điểm
1
A
sao cho
1
1
CA
. Gọi
1
B
là hình chiếu của
1
A
trên
CA
,
1
C
là hình chiếu của
1
B
trên
AB
,
2
A
là hình chiếu của
1
C
trên
BC
,
2
B
là hình chiếu của
2
A
trên
CA
,… và cứ tiếp tục như thế, Xét dãy số
n
u
với
n n
u CA
.
3. Dãy số tăng, dãy số giảm, dãy số hằng:
Dãy số
n
u
được gọi là dãy số tăng nếu ta có
1
n n
u u
với mọi
*
n
ℕ
.
Dãy số
n
u
được gọi là dãy số giảm nếu ta có
1
n n
u u
với mọi
*
n
ℕ
.
Dãy số
n
u
được gọi là dãy số hằng (hoặc dãy số không đổi) nếu ta có
1
n n
u u
với mọi
*
n
ℕ
.
Ví dụ 6.
a) Cho dãy số
n
x
với
2
2 3
n
x n n
là một dãy số tăng.
Chứng minh: Ta có
2
2
1
1 2 1 3 2
n
x n n n
.
Suy ra
2 2
1
2 2 3 2 1 0, 1
n n
x x n n n n n
hay
1
, 1
n n
x x n
.
Vậy
n
x
là một dãy số tăng.
CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN. If you wish to reach the highest, Begin at the lowest.
14 https://www.facebook.com/toanthayan | 0988323371
b) Dãy số
n
y
với
2
5
n
n
n
y
là một dãy số giảm.
Chứng minh:
Cách 1: Ta có
1
1
3
5
n
n
n
y
. Suy ra
1
1 1
3 2 4 7
0, 1
5 5 5
n n
n n n
n n n
y y n
hay
1
, 1
n n
y y n
.Vậy
n
y
là một dãy số giảm.
Cách 2: Với
*
n
ℕ
, ta có
0
n
y
nên ta xét tỉ số
1
n
n
y
y
.
Ta có
1
1
3
5
n
n
n
y
nên
1
3
1, 1
5 2
n
n
y
n
n
y n
. Vậy
n
y
là một dãy số giảm.
c) Dãy số
n
z
với
z 1
n
n
không phải là một dãy số tăng cũng không phải là một dãy số
giảm vì
1
1
1 1 2 1
n n n
n n
z z
không xác định được dương hay âm. Đây là dãy
số đan dấu.
MẸO HỌC TẬP
Để chứng minh dãy số
n
b
là dãy số giảm hoặc dãy số tăng, chúng ta thường sử dụng một
trong 2 hướng sau đây:
(1): Lập hiệu
1
n n n
u u u
. Sử dụng các biến đổi đại sốvà các kết quả đã biết để chỉ ra
0
n
u
(dãy số tăng) hoặc
n
u
(dãy số giảm)
(2): Nếu
0, 1
n
u n
thì ta có thể lập tỉ số
1
n
n
n
u
T
u
. Sử dụng các biến đổi đại số và các kết
quả đã biết để chỉ ra
1
n
T
(dãy số tăng),
1
n
T
(dãy số giảm).
4. Dãy số bị chặn
Dãy số
n
u
được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số
M
sao cho
*
,
m
u M n
ℕ
.
Dãy số
n
u
được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số
m
sao cho
*
,
m
u m n
ℕ
.
Dãy số
n
u
được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số
M
,
m
sao cho
*
,
m
m u M n
ℕ
.
Ví dụ 7.
a) Dãy số
n
a
với
3 1
2017sin
4
n
n
a
là một dãy số bị chặn vì
*
2017 2017,
n
a n
ℕ
.
b) Dãy số
n
b
với
2 3
3 2
n
n
b
n
là một dãy số bị chặn vì
*
2
1,
3
n
b n
ℕ
.
c) Dãy số
n
c
với
1
3 2 .7
n
n
c n
bị chặn dưới vì
*
49,
n
a n
ℕ
.
d) Dãy số
n
d
với
6 6 ...... 6
n
d (
dấu căn), bị chặn trên vì
*
3,
n
d n
ℕ
.
MẸO HỌC TẬP
1) Nếu
n
u
là dãy số giảm thì bị chặn trên bởi
1
u
.
2) Nếu
n
u
là dãy số tăng thì bị chặn dưới bởi
1
u
.
LUYỆN MÃI THÀNH TÀI- MIỆT MÀI TẤT GIỎI. CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN.
0988323371 | Biên so
ạ
n và sưu t
ầ
m: Tô Qu
ố
c An
15
B. CÁC BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH
Ví dụ 8.
Cho dãy số
n
a
xác định bởi
2017sin 2018cos
2 3
n
n n
a
. Mệnh đề nào dưới đây là mệnh
đề đúng?
A.
*
6
,
n n
a a n
ℕ
.
B.
*
9
,
n n
a a n
ℕ
.
C.
*
12
,
n n
a a n
ℕ
.
D.
*
15
,
n n
a a n
ℕ
.
Đáp án C
Lời giải
Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được đáp án đúng.
+ Ta có
6
6 6
2017 sin 2018cos 2017 sin 2018cos
2 3 2 3
n n
n n
n n
a a
+ Ta có
6
9 9
2017sin 2018cos 2017 sin 2018cos
2 3 2 3
n n
n n
n n
a a
.
+ Ta có
12
12 12
2017sin 2018cos 2017 sin 2018cos
2 3 2 3
n n
n n
n n
a a
.
+ Ta có
15
15 15
2017sin 2018cos 2017sin 2018cos
2 3 2 3
n n
n n
n n
a a
.
Vậy phương án đúng là C.
Nhận xét: Từ kết quả trong ví dụ này, chúng ta có thể trả lời được các câu hỏi trắc nghiệm sau
đây
Cho dãy số
n
a
xác định bởi
2017sin 2018cos
2 3
n
n n
a
. Hãy chọn phương án trả lời
đúng trong mỗi câu hỏi sau đây:
Câu 8.1: Tìm số nguyên dương
p
nhỏ nhất để
*
,
n p p
a a n
ℕ
Câu 8.2: Số hạng thứ 2017 của dãy số là số hạng nào dưới đây?
A.
3026
.
B.
2017 1009 3
.
C.
2017 1009 3
.
D.
3026
.
Ví dụ 9.
Cho dãy số
n
a
xác định bởi
2 *
1 1
3 5
1; 1,
2 2
n n n
a a a a n
ℕ
. Số hạng thứ 201 của dãy
số
n
a
có giá trị bằng bao nhiêu?
A.
2018
2
a
.
B.
2018
1
a
.
C.
2018
0
a
.
D.
2018
5
a
.
Đáp án A
Lời giải
Nhận thấy dãy số trên là dãy số cho bởi công thức truy hồi.
Ta có
1 2 3 4 2 6
1; 2; 0; 1; 2; 0; 1
a a a a a a
.
Từ đây chúng ta có thể dự đoán
*
3
,
n n
a a n
ℕ
. Chúng ta khẳng định dự đoán đó bằng
phương pháp quy nạp toán học. Thật vậy:
Với
1
n
thì
1
1
a
và
4
1
a
. Vậy đẳng thức đúng với
1
n
.
Giả sử đẳng thức đúng với
1
n k
, nghĩa là
3
k k
a a
.
Ta phải chứng minh đẳng thức đúng với
1
n k
, nghĩa là chứng minh
4 1
k k
a a
.
Thật vậy, ta có
2
4 3 3
3 5
1
2 2
k k k
a a a
(theo hệ thức truy hồi).
Theo giả thiết quy nạp thì
3
k k
a a
nên
2
4 1
3 5
1
2 2
k k k k
a a a a
.
CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN. If you wish to reach the highest, Begin at the lowest.
16 https://www.facebook.com/toanthayan | 0988323371
Vậy đẳng thức đúng với
1
n k
. Suy ra
*
3
,
n n
a a n
ℕ
.
Từ kết quả phần trên, ta có : nếu
mod3
m p thì
m p
a a
.
Ta có
2018 2 mod3
nên
2018
2
a
.
Vậy phương án đúng là A.
Nhận xét: Việc chứng minh được hệ thức
*
3
,
n n
a a n
ℕ
giúp ta giải quyết được bài toán
tính tổng hoặc xác định được số hạng tùy ý của dãy số. Vì vậy, việc phát hiện ra tính chất đặc
biệt của một dãy số sẽ giúp chúng ta giải quyết các yêu cầu liên quan đến dãy số một cách
thuận lợi và dễ dàng hơn. Chúngta cùng kiểm nghiệm qua các câu hỏi trắc nghiệm khách quan
dưới đây nhé:
Cho dãy số
n
a
xác định bởi
2 *
1 1
3 5
1; 1,
2 2
n n n
a a a a n
ℕ
. Hãy chọn phương án trả
lời đúng trong mỗi câu hỏi sau đây:
Câu 9.1.
Tính tổng S của sáu số hạng đầu tiên của dãy
n
a
A.
S
.
B.
S
.
C.
4
S
.
D.
5
S
.
Câu 9.2.
Tìm số nguyên dương
p
nhỏ nhất để
*
,
n p p
a a n
ℕ
A.
9
p
.
B.
2
p
.
C.
6
p
.
D.
3
p
.
Câu 9.3.
Tính tổng S của 2018 số hạng đầu tiên của dãy
n
a
A.
2016
S
.
B.
2019
S
.
C.
2017
S
.
D.
2018
S
.
Câu 9.4.
Tính tổng bình thường của 2018 số hạng đầu tiên của dãy
n
a
A.
3360
S
.
B.
3361
S
.
C.
3364
S
.
D.
3365
S
.
Ví dụ 10.
Cho dãy số
n
a
xác định bởi
2 *
1 1
1; 1,
n n
a a a n
ℕ
. Tìm số hạng tổng quát của dãy số
n
a
.
A.
2
n
a
.
B.
2 1
n
a n
.
C.
3 2
n
a n
.
D.
n
a n
.
Đáp án D
Lời giải
Ta có
2 3 4 5
2; 3; 4; 5
a a a a
.
Từ 5 số hạng đầu của dãy ta dự đoán được
n
a n
. Bằng phương pháp quy nạp toán học
chúng ta chứng minh được
n
a n
. Vậy phương án đúng là D.
Nhận xét: Với kết quả của ví dụ này, chúng ta có thể đề xuất các câu hỏi trắc nghiệm dưới
đây:
Cho dãy số
n
a
xác định bởi
2 *
1 1
1; 1,
n n
a a a n
ℕ
. Hãy chọn phương án trả lời đúng
trong mỗi câu hỏi sau đây:
Câu 10.1.
Rút gọn biểu thức
1 2 2 3 1
1 1 1
... , 2
n
n n
s n
a a a a a a
ta được
A.
1
n
S n
.
B.
1
n
S n
.
C.
n
n
S
n
.
D.
1
n
n
S
n
.
Câu 10.2.
Mệnh đề nào dưới đây là đúng
LUYỆN MÃI THÀNH TÀI- MIỆT MÀI TẤT GIỎI. CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN.
0988323371 | Biên so
ạ
n và sưu t
ầ
m: Tô Qu
ố
c An
17
A.
Dãy số
n
a
là dãy số giảm.
B.
Dãy số
n
a
không là dãy số giảm.
C.
Dãy số
n
a
là dãy số tăng.
D.
Dãy số
n
a
không là dãy số tăng.
Câu 10.3.
Rút gọn biểu thức
2 2 2
1 2
...
n n
S a a a
A.
1
n
S n n
.
B.
1
n
S n n
.
C.
1
2
n
n n
S
.
D.
1
2
n
n n
S
.
MẸO HỌC TẬP
Ngoài cách làm bên, ta có thể kiểm tra từng phương án đến khi tìm được phương án đúng thông
qua việc xác định một vài số hạng đầu của dãy
+ Với
1
1
a
thì loại ngay được phương án A.
+Ta có
2
2
a
thì loại ngay được các phương án B và C.
Ví dụ 11.
Cho dãy số
n
a
có tổng của
số hạng đầu tiên bằng
3
n
S n
. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A.
n
a
là dãy số tăng và
2
3 3 1
n
a n n
.
B.
n
a
là dãy số giảm và
2
3 3 1
n
a n n
.
C.
n
a
là dãy số tăng và
2
3 3 1
n
a n n
.
D.
n
a
là dãy số tăng và
2
3 3 1
n
a n n
.
Đáp án A.
Lời giải
Ta có
3
1 2
...
n n
a a a S n
và
3
1 2 1 1
... 1
n n
a a a S n
.
Suy ra
3
3 2
1
1 3 3 1
n n n
a S S n n n n
.
Ta có
2
3 3 1
n
a n n
và
2
2
1
3 1 3 1 1 3 9 7
n
a n n n n
.
Do đó
*
1
6 1 0,
n n
a a n n
ℕ
.
Dấu bằng chỉ xảy ra khi
1 0
n
hay
1
n
. suy ra dãy số
n
a
là dãy số tăng.
Vậy phương án đúng là A.
Ví dụ 12.
Cho dãy số
n
a
xác định bởi
*
1 1
1; 3 10,
n n
a a a n
ℕ
. Tìm số hạng thứ 15 của dãy số
n
a
.
A.
15
28697809
a
.
B.
15
28697814
a
.
C.
15
9565933
a
.
D.
15
86093437
a
.
Đáp án A
Lời giải
Chúng ta đi tìm công thức xác định số hạng tổng quát của dãy số
n
a
.
Đặt
5
n n
b a
khi đó
1 1
n n
b a
.
Từ hệ thức truy hồi
*
1
3 10,
n n
a a n
ℕ
suy ra
1 1
5 3 5 10 3
n n n n
b b b b
.
Như vậy ta có
1 1 1
5 6; 3
n n
b a b b
.
CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN. If you wish to reach the highest, Begin at the lowest.
18 https://www.facebook.com/toanthayan | 0988323371
Ta có
2 1
3
b b
;
2
3 2 1
3 3
b b b
3
43 3 1
3 3
b b b
. Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được
rằng
1 *
1
3 ,
n
n
b b n
ℕ
, suy ra
*
2.3 5,
n
n
a n
ℕ
. Do đó
15
28697809
a
. Vậy suy ra
phương án đúng là A.
MẸO HỌC TẬP
Dãy số
n
a
xác định bởi
*
1 1
1; ,
n n
a a qa d n
ℕ
-Nếu
1
q
thì số hạng tổng quát của dãy số
n
a
là
1
1
1
1
n
n
n
d q
a aq
q
.
-Nếu
1
q
thì số hạng tổng quát của dãy số
n
a
là
1
n
a a n d
.
Cho dãy số
n
a
xác định bởi và
1
3 10, *
ℕ
n n
a a n
. Hãy chọn phương án trả lời đúng
trong mỗi câu hỏi sau đây.
Câu 12.1.
Số hạng thứ ba, thứ năm và thứ bảy của dãy số
n
a
lần lượt là:
A.
13, 49,157
. B.
49, 481, 4369
. C.
49,157,1453
. D.
49,1453,4369
.
Câu 12.2.
Tìm số hạng tổng quát của dãy số
n
a
.
A.
2.3 5
n
n
a
.
B.
1
2.3 5
n
n
a
.
C.
2.3 5
n
n
a
.
D.
2.3 5
n
n
a
.
Câu 12.3.
Số
2324522929
có là số hạng của dãy số
n
a
không, nếu có thì nó là số hạng thứ bao nhiêu?
A.
Không.
B.
Có,
18
.
C.
Có,
19
.
D.
Có,
20
.
Câu 12.4.
n
a
là một dãy số:
A.
Giảm và bị chặn trên.
B.
Tăng và bị chặn trên.
C.
Tăng và bị chặn dưới.
D.
Giảm và bị chặn dưới.
Ví dụ 13.
Cho dãy số
n
a
xác định bởi
1 2
5, 0
a a
và
2 1
6 , 1
n n n
a a a n
. Số hạng thứ
14
của
dãy là số hạng nào?
A.
3164070
. B.
9516786
. C.
1050594
. D.
9615090
.
Đáp án A
Lời giải
+ Ta có
2 1 2 1 1
6 , 1 2 3 2 , 1
n n n n n n n
a a a n a a a a n
.
Do đó ta có
1 2 1
2 10
b a a
và
1
3 , 1
n n
b b n
.
Từ hệ thức truy hồi của dãy số
n
b
, ta có
2 3
2 1 3 2 1 4 3 1
3 ; 3 3 ; 3 3
b b b b b b b b
.
Bằng phương pháp quy nạp toán học, chúng ta chứng minh được rằng:
1 1
1
3 10.3 , 1
n n
n
b b n
.
+ Ta có
2 1 2 1 1
6 , 1 3 2 3 , 1
n n n n n n n
a a a n a a a a n
.
Do đó ta có:
1 2 1
3 15
c a a
và
1
2 , 1
n n
c c n
.
Từ hệ thức truy hồi của dãy số
n
c
, ta có
2 3
2 1 3 1 4 1
2 ; 2 ; 2
c c c c c c
.
Bằng phương pháp quy nạp toán học, chúng ta chứng minh được rằng:
1 1
1
2 15. 2 , 1
n n
n
c c n
.
+ Từ các kết quả trên, ta có hệ phương trình:
1
1
1
1
1
1
2 10.3
2.3 3. 2
3 15. 2
n
n n
n
n
n
n
n n
a a
a
a a
.
LUYỆN MÃI THÀNH TÀI- MIỆT MÀI TẤT GIỎI. CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN.
0988323371 | Biên so
ạ
n và sưu t
ầ
m: Tô Qu
ố
c An
19
Do đó số hạng tổng quát của dãy số
n
a
là
1
1
2.3 3. 2 , 1
n
n
n
a n
.
Vậy suy ra
14
3164070
a
. Vậy phương án đúng là A.
Nhận xét: Với kết quả trong ví dụ này, chúng ta có thể trả lời các câu hỏi trắc nghiệm khách
quan dưới đây:
Cho dãy số
n
a
xác định bởi
1 2
5; 0
a a
và
2 1
6 , 1
n n n
a a a n
. Hãy chọn phương án
trả lời đúng trong mỗi câu hỏi sau đây.
Câu 13.1.
Tính số hạng thứ năm của dãy số
n
a
.
A.
5
210
a
.
B.
5
66
a
.
C.
5
36
a
.
D.
5
360
a
.
Câu 13.2.
Số hạng tổng quát của dãy số
n
a
là:;
A.
1
1
2.3 3. 2
n
n
n
a
.
B.
2.3 3. 2
n
n
n
a
.
C.
1 1
2.3 3.2
n n
n
a
.
D.
2.3 3.2
n n
n
a
.
MẸO HỌC TẬP
Dãy số
n
a
xác định bởi
1 2
,
a a a b
và
2 1
. .
n n n
a a a
, với mọi
1
n
, trong đó
phương trình
2
0
t t
có hai nghiệm phân biệt là
1
t
và
2
t
. Khi đó số hạng tổng quát của
dãy số
n
a
là
1 1
1 1 2 2
. .
n n
n
a m t m t
, trong đó
1 2
,
m m
thỏa mãn hệ phương trình
1 2
1 1 2 2
. .
m m a
m t m t b
.
Ví dụ 14.
Cho dãy số
n
a
xác định bởi
1
3
a
và
2
1
3 4, *
ℕ
n n
a a n n n
. Số
1391
là số hạng
thứ mấy của dãy số đã cho?
A.
18
.
B.
17
.
C.
20
.
D.
19
Đáp án A.
Lời giải
Từ hệ thức truy hồi của dãy số
n
a
ta có:
3 2
2
2 2
1
6 17 21
1 2 ... 1 3 1 2 ... 1 4 1
3
n n
n n n
a a n n n a
.
Suy ra số hạng tổng quát của dãy số
n
a
là
3 2
6 17 21
3
n
n n n
a
.
Giải phương trình
1391
n
a
ta được
18
n
Vậy phương án đúng là A.
MẸO HỌC TẬP
Dãy số
n
a
xác định bởi
1
a a
và
1
, 1
n n
a a f n n
.
Số hạng tổng quát của dãy số
n
a
được tính theo công thức:
1
1
1
n
n
i
a a f i
.
Ví dụ 15.
Cho dãy số
n
a
xác định bởi
1
2
a
và
1
1
1 , 1
2
n n
a a n
. Mệnh đề nào dưới đây là
đúng?
A.
n
a
là một dãy số giảm và bị chặn.
B.
n
a
là một dãy số tăng và bị chặn.
CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN. If you wish to reach the highest, Begin at the lowest.
20 https://www.facebook.com/toanthayan | 0988323371
C.
n
a
là một dãy số giảm và không bị chặn dưới.
D.
n
a
là một dãy số tăng và không bị chặn trên.
Đáp án A
Lời giải
Ta có
1 2 3
3 5
2
2 4
a a a
. Do đó ta loại được các phương án B và D.
+ Ta có
1
1
1
2
a a
n
n
nên
1 1 2 1
1
1 1
0, *
2 2
ℕ
n n n n
n
a a a a a a n
.
Suy ra
1
, 1
n n
a a n
nên
n
a
là dãy số giảm.
+ Vì
n
a
là một dãy số giảm nên dãy số này bị chặn trên bởi
1
2
a
.
Ta có
1
1
1 0, 1 1, 1
2
n n n n
a a a n a n
.
Vậy phương án đúng là A.
LUYỆN MÃI THÀNH TÀI- MIỆT MÀI TẤT GIỎI. CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN.
0988323371 | Biên so
ạ
n và sưu t
ầ
m: Tô Qu
ố
c An
21
C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG
Dạng 1: Bài tập về xác định số hạng của dãy số
Câu 1.
Cho dãy số
n
x
có
2 3
1
, *
1
ℕ
n
n
n
x n
n
. Mệnh đề nào dưới đây là đúng ?
A.
2 5
1
1
1
n
n
n
x
n
.
B.
2 3
1
2
n
n
n
x
n
.
C.
2 5
1
2
n
n
n
x
n
.
D.
2 1
1
1
1
n
n
n
x
n
.
Câu 2.
Cho dãy số
n
y
xác định bởi
2
2
sin cos
4 3
n
n n
y
. Bốn số hạng đầu của dãy số đó là:
A.
1 3 1
0, , ,
2 2 2
.
B.
1 3 1
1, , ,
2 2 2
.
C.
1 3 3
1, , ,
2 2 2
.
D.
1 1 1
0, , ,
2 2 2
.
Câu 3.
Cho dãy số
n
y
xác định bởi
1 2
1
y y
và
2 1
, *
ℕ
n n n
y y y n
. Năm số hạng đầu tiên
của dãy số đã cho là:
A.
1,1, 2,4,7
.
B.
2,3,5,8,11
.
C.
1,2,3,5,8
.
D.
1,1, 2,3,5
.
Câu 4.
Cho dãy số
n
u
xác định bởi
1
1
u
và
1
2. .
n n
u n u
với mọi
2
n . Mệnh đề nào dưới đây là
đúng ?
A.
10
11
2 .11!
u
.
B.
10
11
2 .11!
u
.
C.
10 10
11
2 .11
u
.
D.
10 10
11
2 .11
u
.
Câu 5.
Cho dãy số
n
u
xác định bởi
1
1
2
u
và
1
2
n n
u u n
với mọi
2
n . Khi đó
50
u
bằng:
A.
1274,5
. B.
2548,5
.
C.
5096,5
.
D.
2550,5
.
Câu 6.
Cho dãy số
n
u
có
1
2 1
n
n
u
n
. Số
8
15
là số hạng thứ bao nhiêu của dãy số
n
u
?
A.
8
. B.
6
. C.
5
. D.
7
.
Câu 7.
Cho dãy số
n
a
có
2
4 11, *
ℕ
n
a n n n
. Tìm số hạng lớn nhất của dãy số
n
a
.
A.
14
.
B.
15
.
C.
13
.
D.
12
.
Câu 8.
Cho dãy số
n
a
có
2
, *
100
ℕ
n
n
a n
n
. Tìm số hạng lớn nhất của dãy số
n
a
.
A.
1
20
. B.
1
30
.
C.
1
25
.
D.
1
21
.
Câu 9.
Cho dãy số
n
y
xác định bởi
1
2
y
và
2
1
2 3 , *
ℕ
n n
y y n n n
. Tổng
4
S
của
số hạng
đầu tiên của dãy số là:
A.
4
20
S
.
B.
4
10
S
.
C.
4
30
S
.
D.
4
14
S
.
Câu 10.
Cho dãy số
n
x
xác định bởi
1
5
x
và
1
, *
ℕ
n n
x x n n
. Số hạng tổng quát của dãy số
n
x
là:
A.
2
10
2
n
n n
x
.
B.
2
5 5
2
n
n n
x
.
C.
2
10
2
n
n n
x
.
D.
2
3 12
2
n
n n
x
.
Câu 11.
Cho dãy số
n
x
xác định bởi
1
2
3
x
và
1
, *
2 2 1 1
ℕ
n
n
n
x
x n
n x
. Mệnh đề nào dưới
đây là đúng ?
A.
100
2
39999
x
.
B.
100
39999
2
x
.
C.
100
2
40001
x
.
D.
100
2
40803
x
.
CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN. If you wish to reach the highest, Begin at the lowest.
22 https://www.facebook.com/toanthayan | 0988323371
Dạng 2: Bài tập về xét tính tăng, giảm của dãy số.
Câu 12.
Trong các dãy số dưới đây dãy số nào là dãy số tăng ?
A.
Dãy
n
a
, với
1
1 .sin , *
ℕ
n
n
a n
n
.
B.
Dãy
n
b
, với
2
1 . 5 1 , *
ℕ
n
n
n
b n .
C.
Dãy
n
c
, với
1
, *
1
ℕ
n
c n
n n
.
D.
Dãy
n
d
, với
2
, *
1
ℕ
n
n
d n
n
.
Câu 13.
Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là dãy số giảm ?
A.
Dãy
n
a
, với
1
2
n
n
a
.
B.
Dãy
n
b
với
2
1
n
n
b
n
.
C.
Dãy
n
c
, với
3
1
1
n
c
n
.
D.
Dãy
n
d
, với
3.2
n
n
d
.
Câu 14.
Cho dãy số
n
x
với
4
2
n
an
x
n
. Dãy số
n
x
là dãy số tăng khi:
A.
2
a
.
B.
2
a
.
C.
2
a
.
D.
1
a .
Câu 15.
Cho hai dãy số
n
x
với
1 !
2
n
n
n
x
và
n
y
với
2
sin 1
n
y n n . Mệnh đề nào dưới đây
là đúng ?
A.
n
x
là dãy số giảm,
n
y
là dãy số giảm.
B.
n
x
là dãy số giảm,
n
y
là dãy số tăng.
C.
n
x
là dãy số tăng,
n
y
là dãy số giảm.
D.
n
x
là dãy số tăng, là dãy số tăng.
Dạng 3: Bài tập về xét tính bị chặn của dãy số.
Câu 16.
Cho dãy số
n
u
, với
3 1
3 7
n
n
u
n
. Mệnh đề nào dưới đây là đúng ?
A.
Dãy
n
u
bị chặn trên và không bị chặn dưới.
B.
Dãy
n
u
bị chặn dưới và không bị chặn trên.
C.
Dãy
n
u
bị chặn trên và bị chặn dưới.
D.
Dãy
n
u
không bị chặn.
Câu 17.
Trong các dãy số sau dãy số nào là dãy bị chặn ?
A.
Dãy
n
a
, với
2
16, *
ℕ
n
a n n
.
B.
Dãy
n
b
, với
1
, *
2
ℕ
n
b n n
n
.
C.
Dãy
n
c
, với
2 3, *
ℕ
n
n
c n
.
D.
Dãy
n
d
, với
2
, *
4
ℕ
n
n
d n
n
.
Câu 18.
Trong các dãy số dưới đây dãy số nào bị chặn trên ?
A.
Dãy
n
a
, với
3 1
n
a n
.
LUYỆN MÃI THÀNH TÀI- MIỆT MÀI TẤT GIỎI. CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN.
0988323371 | Biên so
ạ
n và sưu t
ầ
m: Tô Qu
ố
c An
23
B.
Dãy
n
b
, với
1
2 1
n
b
n n
.
C.
Dãy
n
c
, với
1
3.2
n
n
c
.
D.
Dãy
n
d
, với
2
n
n
d
.
Câu 19.
Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào bị chặn dưới ?
A.
Dãy
n
x
, với
2
1 . 2 3
n
n
x n n
.
B.
Dãy
n
y
, với
2
6
n
y n n
.
C.
Dãy
n
z
, với
1
2018
2017
n
n
n
z
.
D.
Dãy
n
w
, với
2017
n
n
w
.
Dạng 4: Bài tập về tính chất của dãy số.
Câu 20.
Cho dãy số
n
x
, xác định bởi:
2.3 5.2 , *
ℕ
n n
n
x n
. Mệnh đề nào dưới đây là đúng ?
A.
2 1
5 6
n n n
x x x
.
B.
2 1
6 5
n n n
x x x
.
C.
2 1
5 6 0
n n n
x x x
.
D.
2 1
6 5 0
n n n
x x x
.
Câu 21.
Cho dãy số
n
u
, với
3
n
n
u
. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A.
1 9
5
2
u u
u
.
B.
2 4
3
.
2
u u
u
.
C.
100
1 2 100
1
1 ...
2
u
u u u
.
D.
1 2 100 5050
. ...
u u u u
.
Câu 22.
Cho dãy số
n
a
xác định bởi
3 1
2017 cos
6
n
n
a
. Mệnh đề nào dưới đây là sai ?
A.
12
, 1
n n
a a n
.
B.
8
, 1
n n
a a n
.
C.
9
, 1
n n
a a n
.
D.
4
, 1
n n
a a n
.
Câu 23.
Cho dãy số
n
a
xác định bởi
1
1
a
và
2
1
3 5
1, *
2 2
ℕ
n n n
a a a n
. Mệnh đề nào dưới
đây là đúng ?
A.
2018 2
a a
.
B.
2018 1
a a
.
C.
2018 3
a a
.
D.
2018 4
a a
.
Câu 24.
Cho dãy số
n
a
xác định bởi
1 2
1, 2
a a
và
2 1
3. , 1
n n n
a a a n
. Tìm số nguyên
dương
p
nhỏ nhất sao cho
, *
ℕ
n p n
a a n
.
A.
9
p
.
B.
12
p
.
C.
24
p
.
D.
18
p
.
Câu 25.
Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào SAI ?
A.
Dãy số
n
a
xác định bởi
1
1
a
và
1
2018
, *
2017
ℕ
n
n
a n
a
là một dãy số không đổi.
B.
Dãy số
n
b
, với
tan 2 1
4
n
b n
, có tính chất
2
, *
ℕ
n n
b b n
.
C.
Dãy số
n
c
, với
tan 1
n
c n
, là một dãy số bị chặn.
D.
Dãy số
n
d
, với
cos
n
d n
, là một dãy số giảm.
CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN. If you wish to reach the highest, Begin at the lowest.
24 https://www.facebook.com/toanthayan | 0988323371
Câu 26.
Cho dãy số
( )
n
u
xác định bởi
1
2
u
và
*
2 1
2 1, ,
n
u u n N
có tính chất
A.
Là dãy số tăng và bị chặn dưới.
B.
Là dãy số giảm và bị chặn trên.
C.
Là dãy số giảm và bị chặn dưới.
D.
Là dãy số tăng và bị chặn trên.
Câu 27.
Cho dãy số
( )
n
u
xác định bởi
1
1
u
và
2
1
2 , 1.
n n
u u n
Tổng
2 2 2
2018 1 2 2018
...
S u u u
là
A.
2
2018
2015
S
.
B.
2
2018
2018 .
S
C.
2018
2017 .
S
D.
2
2018
2016 .
S
Câu 28.
Cho dãy số
( )
n
z
xác định bởi
sin 2 cos .
2 3
n
n n
z
Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá
trị nhỏ nhất trong các số hạng của dãy số
( )
n
z
. Tính giá trị biểu thức
2 2
.
T M m
A.
13.
T
B.
5.
T
C.
18.
T
D.
7.
T
Câu 29.
Cho dãy số
( )
n
u
thỏa mãn
1 1 1 2
1 2017
; , 1. ...
2 2( 1) 1 2018
n
n n n
n
u
u u n S u u u
n u
khi
có giá trị nguyên dương lớn nhất.
A.
2017.
B.
2015.
C.
2016.
D.
2014.
LUYỆN MÃI THÀNH TÀI- MIỆT MÀI TẤT GIỎI. CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN.
0988323371 | Biên so
ạ
n và sưu t
ầ
m: Tô Qu
ố
c An
25
D. HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Dạng 1: Bài tập về xác định số hạng của dãy số
Câu 1. Đáp án C.
Ta có
2 3
1
1
n
n
n
x
n
nên
2( 1) 3
2 5
1
( 1) 1
.
( 1) 1 2
n
n
n
n n
x
n n
Câu 2. Đáp án A.
Ta có
2 2
1 2
2 4 1
sin os 0; sin os .
4 3 4 3 2
y c y c
(loại phương án B và D) và
2
3
3 3
sin os2 .
4 2
y c
(loại phương án C).
Câu 3. Đáp án D.
Ta có
3 4
2; 3
y y
nên loại các phương án còn lại.
Câu 4. Đáp án B.
Ta có
2 2 3
2 1 3 2 1 4 3 1
2 ; 6 2 .2.3 ; 8 2 .2.3.4 .
u u u u u u u u
Bằng phương pháp quy nạp toán học,
chúng ta chứng minh được rằng
1 1
1
2 . ! 2 . !
n n
n
u n u n
. Do đó
10
11
2 .11!
u
.
Câu 5. Đáp án D.
Ta có
1 1
2(1 2 .. ) ( 1)
2 2
n
u n n n
. Suy ra
50
1
50.51 2550,5.
2
u
Câu 6. Đáp án D.
Giải phương trình
1 8
2 1 15
n
n
ta được
7.
n
Câu 7. Đáp án B.
Ta có
2
( 2) 15 15, 1.
n
a n n
Dấu bằng xảy ra khi
2 0 2.
n n
Vậy số hạng lớn nhất của dãy số là số hạng bằng 15.
Câu 8. Đáp án A.
Ta có
2
2
1
.
100 20
2 .100
n
n n
a
n
n
Dấu bằng xảy ra khi
2
100 10.
n n
Vậy số hạng lớn nhất của dãy là số hạng bằng
1
20
.
Câu 9. Đáp án A.
Ta tính được
2 3 4 4
2; 4; 12 20.
y y y S
Câu 10. Đáp án A.
Cách 1: Tìm số hạng tổng quát của dãy số.
Ta có
2
1
( 1) 10
(1 2 ... 1) 5 .
2 2
n n
n n n n
x x n x
Cách 2: Kiểm tra từng phương án cho đến khi tìm được phương án đúng.
Phương án A:
2 2 2
1
( 1) ( 1) 10 10 10
.
2 2 2
n n
n n n n n n
x n x n
Cách 3: Với
1
1 5
n x
loại các phương án còn lại B, C, D.
Câu 11. Đáp án A.
Ta có
0, 1
n
x n
và
1
1 1
2(2 1) , 1.
n n
n n
x x
Suy ra
2
1
1 1 3 4 1
4(1 2 ... 1) 2( 1) 2 ( 1) 2( 1) .
2 2
n
n
n n n n n
x x
Suy ra
2
2
.
4 1
n
x
n
Do đó
100
2
.
39999
x
CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN. If you wish to reach the highest, Begin at the lowest.
26 https://www.facebook.com/toanthayan | 0988323371
Dạng 2: Bài tập về xét tính tăng giảm của dãy số
Câu 12. Đáp án B.
Dãy số
( )
n
a
là dãy đan dấu nên không phải là dãy số tăng cũng không phải là dãy số giảm.
Với dãy
( )
n
b
, ta có
5 1
n
n
b
(do
2
( 1) 1).
n
Vì
1
1
5 1 5.5 1 , 1
n n
n n
b b n
nên
( )
n
b
là một dãy số tăng.
Dãy số
( )
n
c
là một dãy số giảm vì
1
1 1
, 1.
1 2 1
n n
c c n
n n n n
Dãy số
( )
n
d
là một dãy số giảm vì
1
2 2
1
, 1.
2 2 1
n n
n n
d d n
n n n
Câu 13. Đáp án C.
Dãy số
( )
n
a
là dãy đan dấu nên không phải là dãy số tăng cũng không phải là dãy số giảm.
Dãy số
( )
n
b
là một dãy số tăng vì
1
1 1
1 , 1.
1
n n
b n n b n
n n
Dãy số
( )
n
c
là một dãy số giảm vì
1
3 3
1 1
, 1.
1 ( 1) 1
n n
c c n
n n
Dãy số
( )
n
d
là một dãy số tăng vì
1
1
3.2 3.2 , 1.
n n
n n
d d n
Câu 14. Đáp án B.
Ta có
1
( 1) 4
.
3
n
a n
x
n
Xét hiệu
1
( 1) 4 4 2 4
.
3 2 ( 2)( 3)
n n
a n an a
x x
n n n n
( )
n
x
là dãy tăng khi và chỉ khi
1
0, 1 2 4 0 2.
n n
x x n a a
Câu 15. Đáp án D.
Ta có
0, 1
n
x n
và
1
2
1, 1
2
n
n
x n
n
x
nên
( )
n
x
là dãy số tăng.
Ta có
2 2
1
sin ( 1) 1 sin 0, 1
n n
y y n n n
nên
(y )
n
cũng là dãy số tăng.
Dạng 3: Bài tập về xét tính bị chặn của dãy số
Câu 16. Đáp án C.
Ta có
1
8 8
1 1 , 1
3 7 3 10
n n
u u n
n n
nên
(u )
n
là một dãy số tăng. Suy ra nó bị chặn
dưới bởi
1
1
5
u
. Lại do
8
1 1, 1
3 7
n
u n
n
nên dãy số
n
u
bị chặn trên bởi 1.
Câu 17. Đáp án D.
Dãy số
( )
n
a
là dãy số tăng và chỉ bị chặn dưới vì
2
16 17, 1.
n
a n n
Dãy số
( )
n
b
là dãy số tăng và chỉ bị chặn dưới vì
1 1
2 . 2, 1.
2 2
n
b n n n
n n
Dãy số
( )
n
c
là dãy số tăng và chỉ bị chặn dưới vì
2 3 5, 1.
n
n
c n
Dãy số
( )
n
d
là dãy số bị chặn vì
1
0 , 1.
4
n
d n
2
1
0 .
4 4 4
n n
do
n n
Câu 18. Đáp án B.
Dãy số
( )
n
a
là dãy số tăng và chỉ bị chặn dưới vì
1
4.
u
Dãy số
( )
n
b
có
0 1, 1
n
b n
nên dãy số
( )
n
b
là dãy số bị chặn.
Dãy số
( )
n
c
là dãy số tăng và chỉ bị chặn dưới bởi
1
12.
c
Dãy số
( )
n
d
là dãy đan dấu và
2
2
( 2) 4
n n
n
d
lớn tùy ý khi
đủ lớn, còn
2 1
2 1
( 2) 2.4
n n
n
d
nhỏ tùy ý khi
n
đủ lớn.
LUYỆN MÃI THÀNH TÀI- MIỆT MÀI TẤT GIỎI. CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN.
0988323371 | Biên so
ạ
n và sưu t
ầ
m: Tô Qu
ố
c An
27
Câu 19. Đáp án C.
Dãy số
( )
n
x
là dãy đan dấu và
2
n
x
lớn tùy ý khi
đủ lớn,
2 1
n
x
nhỏ tùy ý khi
đủ lớn.
Dãy số
( )
n
y
là dãy số giảm và
n
y
nhỏ tùy ý khi
đủ lớn.
Dãy số
( )
n
z
là dãy số tăng nên nó bị chặn dưới bởi
1
2
2018
.
2017
z
Dãy số
(w )
n
là dãy đan dấu và
2
w
n
lớn tùy ý khi
đủ lớn,
2 1
w
n
nhỏ tùy ý khi
đủ lớn.
Dạng 4: Bài tập về tính chất của dãy số.
Câu 20. Đáp án A.
Ta có
2 2 1 1
2 1
2.3 5.2 18.3 20.2 ; 2.3 5.2 6.3 10.2
n n n n n n n n
n n
x x
.
Phương án A:
2 1
5 6 0.
n n n
x x x
Phương án B:
2 1
6 5 8.3 15.2 0.
n n
n n n
x x x
Phương án C:
2 1
5 6 36.3 40.2 0.
n n
n n n
x x x
Phương án D:
2 1
6 5 44.3 55.2 0.
n n
n n n
x x x
Câu 21. Đáp án D.
Phương án A:
9
5
1 9
3 3
3 .
2 2
u u
u
Phương án B:
6
3
2 4
3
. 3
3 .
2 2
u u
u
Phương án C:
100
1 2 100 100
1
1 ... .
2
u
u u u u
Phương án D:
1 2 ... 100 5050
1 2 100 5050
. ... 3 3 .
u u u u
Câu 22. Đáp án C.
Phương án A:
12
3( 12) 1
(3 1) (3 1)
2017cos 2017 cos 6 2017cos . 1.
6 6 6
n n
n
n n
a a n
Phương án B:
8
3( 8) 1
(3 1) (3 1)
2017cos 2017cos 4 2017cos . 1.
6 6 6
n n
n
n n
a a n
Phương án C:
9
3( 9) 1
(3 4) (3 4)
2017cos 2017cos 4 2017cos . 1.
6 6 6
n n
n
n n
a a n
Phương án D:
4
3( 4) 1
(3 1) (3 1)
2017cos 2017 cos 2 2017cos . 1.
6 6 6
n n
n
n n
a a n
Lưu ý: Quan sát vào các chỉ số dưới của số hạng tổng quát, ta thấy ở C có sự khác biệt so
với ba phương án trên nên ta có thể kiểm tra ngay phương án C trước.
Câu 23. Đáp án A.
Sáu số hạng đầu tiên của dãy là 1;2;0;1;2;0.
Từ đây ta dự đoán
3
, 1.
n n
a a n
Bằng phương pháp quy nạp toán học ta chứng minh được
rằng
3
, 1.
n n
a a n
Mặt khác
2018 3.672 2
nên
2018 2
.
a a
CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN. If you wish to reach the highest, Begin at the lowest.
28 https://www.facebook.com/toanthayan | 0988323371
Câu 24. Đáp án B.
Trước hết ta kiểm tra phương án với
p
nhỏ nhất. Viết 10 số hạng đầu tiên của
( ) :
n
a
1 1 3 4 5 6 7
8 9 10
1; 2; 2 3 1; 4 3; 2 3 2; 2 3; 1;
2; 1 2 3; 3 4.
a a a a a a a
a a a
Dễ dàng thấy
10 1
3 4 1
a a
nên phương án A là sai.
Cách 1: Ta viết thêm 4 số hạng nữa của dãy
( ) :
n
a
ta được
1 1 3 4 5 6 7
8 9 10 11 12 13 14
( ) : 1; 2; 2 3 1; 4 3; 2 3 2; 2 3; 1;
2; 1 2 3; 3 4; 2 2 3; 3 2; 1; 2.
n
a a a a a a a a
a a a a a a a
Từ đây ta dự đoán được
12
, 1.
n n
a a n
Bằng phương pháp quy nạp toán học chúng ta chứng minh được
12
, 1.
n n
a a n
Vậy số
nguyên dương cần tìm là
12.
p
Cách 2: Sau khi viết 10 số hạng của dãy ta có thể đoán được
6
, 1.
n n
a a n
Bằng phương pháp quy nạp toán học, ta chứng minh được rằng
6
, 1.
n n
a a n
Như vậy 6 là
số nguyên dương nhỏ nhất để
6
, 1.
n n
a a n
Do đó
12 6
6 6
, 1.
n n n
n
a a a a n
Suy ra số cần tìm là
12.
p
Câu 25. Đáp án D.
Phương án A: Ta có
1 2 3
2018
1; 1; 1
1 2017
a a a
. Từ đây ta dự đoán
1, 1.
n
a n
Bằng phương pháp quy nạp toán học, chúng ta chứng minh được rằng
1, 1.
n
a n
Suy ra
n
a
là dãy số không đổi. Do đó phương án A đúng.
Phương án B: Ta có
2
tan 2( 2) 1 tan (2 1) tan(2 1) , 1.
4 4 4
n n
b n n n a n
Vậy
2
, 1.
n n
b b n
Do đóphương án B là đúng.
Phương án C: Ta có
1, 1.
n
c n
nên dãy số
n
c
là dãy số không đổi. Suy ra
n
c
là dãy
số bị chặn. Do đó phương án C là đúng.
Phương án D: Ta có
2 4
cos(2 ) 1 cos(4 ) .
n n
d n n d
Suy ra khẳng định
n
d
là một
dãy số giảm là khẳng định sai.
Câu 26. Đáp án C.
Ta có
1 1 2 1
1
1 1
( ) ... ( ).
2 2
n n n n
n
u u u u u u
Từ đó ta tính được
1
1
1 .
2
n
n
u
Do
2
1
1 1 1
0, 1
2 2 2
n n
n n n
u u n
nên
n
u
là dãy số giảm
Ta có
1
1
1 1 2, 1
2
n
n
u n
nên
n
u
là dãy số bị chặn. Suy ra phương án đúng là C.
Câu 27. Đáp án B.
Từ hệ thức truy hồi của dãy số, ta có
2 2
1
2, 1.
n n
u u n
Suy ra
2 2
1
2( 1) 2 1.
n
u u n n
Do đó
2 2 2 2
1 2
... 2(1 2 ... ) ( 1) .
n n
S u u u n n n n n n
Vậy
2
2018
2018 .
S
Câu 28. Đáp án A.
Dựa vào chu kì của hàm số
sin ; cos ,
y x y x
ta có
12
, 1.
n n
z z n
Do đó tập hợp các phần tử của dãy số là
1 2 12
; ;...; 3; 2; 1;0;2 .
S z z z
Suy ra
2; 3.
M m
Do đó
13.
T
Câu 29. Đáp án C.
LUYỆN MÃI THÀNH TÀI- MIỆT MÀI TẤT GIỎI. CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN.
0988323371 | Biên so
ạ
n và sưu t
ầ
m: Tô Qu
ố
c An
29
Dễ chỉ ra được
0, 1.
n
u n
Từ hệ thức truy hồi của dãy số, ta có
1
1 1
2 2, 1.
n n
n n
u u
Suy ra
2
1
1 1 1 1
2(1 2 .. 1) 2( 1) 2 ( 1) 2( 1) .
( 1)
n
n n
n n n n n n n u
u u u n n
Do đó
1 1
, 1.
1
n
u n
n n
Vậy
1 2
1
... 1 .
1 1
n n
n
S u u u
n n
Vì
2017
2018
n
S
nên
2017
2017.
1 2018
n
n
n
Suy ra số nguyên dương lớn nhất để
2017
2018
n
S
là
2016
n
. Vì vậy phương án đúng là C.
CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN. If you wish to reach the highest, Begin at the lowest.
30 https://www.facebook.com/toanthayan | 0988323371
CẤP SỐ CỘNG
A. LÝ THUYẾT
I. Định nghĩa.
Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều
bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi
d
.
Số không đổi
d
được gọi là công sai của cấp số cộng.
Đặc biệt, khi
0
d
thì cấp số cộng là một dãy số không đổi (tất cả các số hạng đều bằng nhau).
Nhận xét: Từ định nghĩa, ta có:
1) Nếu
n
u
là một cấp số cộng với công sai
d
, ta có công thức truy hồi
*
1
, .
n n
u u d n
ℕ
1
2) Cấp số cộng
n
u
là một dãy số tăng khi và chỉ khi công sai
0
d
.
3) Cấp số cộng
n
u
là một dãy số giảm khi và chỉ khi công sai
0
d
.
MẸO HỌC TẬP
Để chứng minh dãy số
n
u
là một cấp số cộng, chúng ta cần chứng minh
1
n n
u u
là một hằng số với
mọi số nguyên dương
.
Ví dụ 1.
Chứng minh rằng dãy số hữu hạn sau là một cấp số cộng:
2,1, 4, 7,10,13,16,19
.
Lời giải
Vì
1 2 3; 4 1 3; 7 4 3; 10 7 3;
13 10 3; 16 13 3; 19 16 3.
Nên theo định nghĩa cấp số cộng, dãy số
2,1, 4, 7,10,13,16,19
là một cấp số cộng với công sai
3.
d
Ví dụ 2.
Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng? Tìm số hạng đầu và công sai của nó.
a) Dãy số
n
a
, với
4 3
n
a n
; b) Dãy số
n
b
, với
2 3
4
n
n
b
;
c) Dãy số
n
c
, với
2018
n
n
c
; d) Dãy số
n
d
, với
2
n
d n
.
Lời giải
a) Ta có
1
4( 1) 3 4 1
n
a n n
nên
1
(4 1) (4 3) 4, 1.
n n
a a n n n
Do đó
n
a
là cấp số cộng với số hạng đầu
1
4.1 3 1
a
và công sai
d
.
b) Ta có
1
2 3( 1) 1 3
4 4
n
n n
b
nên
1
1 3 2 3 3
, 1
4 4 4
n n
n n
b b n
Suy ra
n
b
là cấp số cộng với số hạng đầu
1
2 3.1 1
4 4
b
và công sai
3
4
d
.
c) Ta có
1
1
2018
n
n
c
nên
1
1
2018 2018 2017.2018
n n n
n n
c c
(phụ thuộc vào giá trị của
). Suy ra
n
c
không phải là một cấp số cộng.
d) Ta có
2
1
( 1)
n
d n
nên
2 2
1
( 1) 2 1
n n
d d n n n
(phụ thuộc vào giá trị của
).
Suy ra
n
d
không phải là một cấp số cộng.
Ví dụ 3.
Cho cấp số cộng
n
u
có 7 số hạng với số hạng đầu
1
2
3
u
và công sai
4
3
d
. Viết dạng
khai triển của cấp số cộng đó.
Lời giải
LUYỆN MÃI THÀNH TÀI- MIỆT MÀI TẤT GIỎI. CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN.
0988323371 | Biên so
ạ
n và sưu t
ầ
m: Tô Qu
ố
c An
31
Ta có
2 1 3 2 4 3
2 10
; 2; ;
3 3
u u d u u d u u d
5 4 6 5 7 6
14 22
; 6; ;
3 3
u u d u u d u u d
Vậy dạng khai triển của cấp số cộng
n
u
là
2 2 10 14 22
; ; 2; ; ; 6; .
3 3 3 3 3
II. Số hạng tổng quát của cấp số cộng.
Định lý 1.
Nếu cấp số cộng
n
u
có số hạng đầu
1
u
và công sai
d
thì số hạng tổng quát
n
u
được
xác định bởi công thức:
1
( 1) , 2.
n
u u n d n
(2)
MẸO HỌC TẬP
Từ kết quả của định lý 1, ta rút ra nhận xét sau:
Cho cấp số cộng
n
u
biết hai số hạng
p
u
và
q
u
thì số hạng đầu và công sai được tính theo
công thức:
(1) :
p q
u u
d
p q
(2) :
1
( 1) .
p
u u p d
Ví dụ 4.
Cho cấp số cộng
n
u
có
1
2
u
và
5
d
.
a) Tìm
20
u
.
b) Số
2018
là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng?
Lời giải
a) Ta có
20 1
(20 1) 2 19.( 5) 93.
u u d
b) Số hạng tổng quát của cấp số cộng là
1
( 1) 7 5 .
n
u u n d n
Vì
2018
n
u
nên
7 5 2018 405.
n n
Do
405
n
là số nguyên dương nên số
2018
là số hạng thứ 405 của cấp số cộng đã cho.
III. Tính chất các số hạng của cấp số cộng.
Định lý 2.
Trong một cấp số cộng
n
u
, mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là trung bình cộng
của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là
1 1
2
k k
k
u u
u
với
2
k
. (3)
MẸO HỌC TẬP
Một cách tổng quát, ta có:
Nếu
n
u
là cấp số cộng thì
, 1
2
p k p k
p
u u
u k p
.
Ví dụ 5.
a) Cho cấp số cộng
n
u
có
99
101
u
và
101
99
u
. Tìm
100
u
.
b) Cho cấp số cộng
2, , 6,
x y
. Tính giá trị của biểu thức
2 2
P x y
.
Lời giải
a) Theo tính chất của cấp số cộng, ta có
99 101
100
2
u u
u
nên
100
100
u
.
CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN. If you wish to reach the highest, Begin at the lowest.
32 https://www.facebook.com/toanthayan | 0988323371
b) Theo tính chất của cấp số cộng, ta có
2 6
2
2
x
và
6
2
x y
.
Vì
2
x
nên
10.
y
Vậy
2 2 2 2
2 10 104
P x y
.
IV. Tổng
số hạng đầu tiên của cấp số cộng.
Định lý 3.
Cho một cấp số cộng
n
u
. Đặt
1 2
...
n n
S u u u
. Khi đó:
1
( )
2
n
n
n u u
S
(4) hoặc
1
( 1)
.
2
n
n n
S nu d
(5)
MẸO HỌC TẬP
1) Chúng ta thường sử dụng công thức (4) để tính
n
S
khi biết số hạng đầu và số hạng thứ
của cấp số cộng.
2) Để tính được
n
S
, thì công thức (5) được sử dụng mọi trường hợp. Cụ thể là, chúng ta cần
tìm được số hạng đầu
1
u
và công sai
d
của cấp số cộng.
3) Các bài toán về cấp số cộng thường đề cập đến 5 đại lượng
1
, , , ,
n n
u d n u S
. Chúng ta cần
biết ba đại lượng trong năm đại lượng là có thể tìm được hai đại lượng còn lại. Tuy nhiên, theo
các công thức tính
,
n n
u S
thì các bài toán về cấp số cộng sẽ quy về việc tính ba đại lượng
1
, ,
u d n
.
Ví dụ 6.
Cho cấp số cộng
n
u
có
1
2
u
và
3
d
.
a) Tính tổng của 25 số hạng đầu tiên của cấp số cộng.
b) Biết
6095374
n
S
, tìm
.
Lời giải
Ta có
2
1
( 1) 3( ) (3 7)
2 .
2 2 2
n
n n n n n n
S nu d n
a) Ta có
25
25(3.25 7)
850
2
S
.
b) Vì
6095374
n
S
nên
2
(3 7)
6095374 3 7 12190748 0
2
n n
n n
Giải phương trình bậc hai trên với
nguyên dương, ta tìm được
2017.
n
LUYỆN MÃI THÀNH TÀI- MIỆT MÀI TẤT GIỎI. CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN.
0988323371 | Biên so
ạ
n và sưu t
ầ
m: Tô Qu
ố
c An
33
B. CÁC DẠNG TOÁN VỀ CẤP SỐ CỘNG
Câu 1.
Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng?
A.
Dãy số
n
a
, với
*
2 ,
ℕ
n
n
a n
.
B.
Dãy số
n
b
, với
*
1 1
1, 2 1,
ℕ
n n
b b b n
.
C.
Dãy số
n
c
, với
2 2 *
(2 3) 4 ,
ℕ
n
c n n n
.
D.
Dãy số
n
d
, với
*
1 1
2018
1, ,
1
ℕ
n
n
d d n
d
.
Lời giải
Đáp án C.
Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được phương án đúng.
- Phương án A: Ba số hạng đầu tiên của dãy số
2, 4, 8.
Ba số này không lập thành cấp số cộng vì
4 2 2 4 8 4.
- Phương án B: Ba số hạng đầu tiên của dãy số
1, 3, 7.
Ba số này không lập thành cấp số cộng vì
3 1 2 4 7 3.
- Phương án C: Ta có
*
9 12 ,
ℕ
n
c n n
Do đó,
*
1
12,
ℕ
n n
c c n
nên
( )
n
c
là cấp số cộng.
- Phương án D: Ba số hạng đầu tiên của dãy số
1009
1, 1009, .
505
Ba số này không lập thành cấp số cộng.
MẸO HỌC TẬP
1) Để chứng minh dãy số
n
u
là một cấp số cộng, chúng ta cần chứng minh
1
n n
u u
là một
hằng số với mọi số nguyên dương
.
2) Để chỉ ra dãy số
n
u
không phải là một cấp số cộng, chúng ta cần phải chỉ ra ba số hạng
liên tiếp
1 2
, ,
k k k
u u u
của dãy số không lập thành một cấp số cộng.
Câu 2.
Cho cấp số cộng
n
u
có
1
123
u
và
3 15
84
u u
. Tìm số hạng
17
u
.
A.
17
242
u
. B.
17
235
u
. C.
17
11
u
. D.
17
4
u
.
Lời giải
Đáp án C.
Ta có công sai của cấp số cộng là
3 15
84
7
3 15 12
u u
d
.
Suy ra
17 1
(17 1) 11
u u d
.
Vậy phương án đúng là C.
MẸO HỌC TẬP
Với việc biết được số hạng đầu và công sai của một cấp số cộng, chúng ta hoàn toàn xác định
được các yếu tố còn lại của một cấp số cộng như số hạng tổng quát, thứ tự của số hạng và tổng
của
số hạng đầu tiên. Tham khảo các bài tập sau.
Nhận xét: Cụ thể chúng ta có thể đề xuất các câu hỏi sau đây:
Câu 2.1:
Cho cấp số cộng
n
u
có
1
123
u
và
3 15
84
u u
. Số
11
là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số
cộng đã cho?
A.
17.
B.
16.
C.
18.
D.
19.
Câu 2.2:
Cho cấp số cộng
n
u
có
1
123
u
và
3 15
84
u u
. Tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng
.
n
u
A.
130 7
n
u n
.
B.
116 7
n
u n
.
C.
123 7
n
u n
.
D.
123 7
n
u n
.
CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN. If you wish to reach the highest, Begin at the lowest.
34 https://www.facebook.com/toanthayan | 0988323371
Câu 2.3:
Cho cấp số cộng
n
u
có
1
123
u
và
3 15
84
u u
. Tính tổng
2017
S
của
2017
số hạng đầu tiên
của cấp số cộng đã cho.
A.
2017
14487102,5
S
. B.
2017
13983861
S
.
C.
2017
13990920,5
S
. D.
2017
14480043
S
.
Câu 2.4:
Cho cấp số cộng
n
u
có
1
123
u
và
3 15
84
u u
. Biết rằng tổng
số hạng đầu tiên của cấp
số cộng bằng 18, tìm
.
A.
34
n
.
B.
35
n
.
C.
36
n
.
D.
37
n
.
Câu 3.
Cho cấp số cộng
n
u
có
1 5
2 0
u u
và
4
14
S
. Tính số hạng đầu
1
u
và công sai
d
của cấp
số cộng.
A.
1
8, 3
u d
. B.
1
8, 3
u d
. C.
1
8, 3
u d
. D.
1
8, 3
u d
.
Lời giải
Đáp án D.
Ta có
1 5 1 1 1
2 0 2( 4 ) 0 3 8 0
u u u u d u d
.
1
4 1
4(2 3 )
14 14 2 3 7
2
u d
S u d
Ta có hệ phương trình
1
1
1
3 8 0
8
2 3 7
3
u d
u
u d
d
.
Vậy phương án đúng là D.
Câu 4.
Cho cấp số cộng
n
u
. Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề sai?
A.
,
m k n k m n
u u u u
với
,
k m k n
.
B.
2 ,
m k m k m
u u u
với
k m
.
C.
( ) ,
m k
u u m k d
với
k m
.
D.
3 2 1
n n n
u u u
.
Lời giải
Đáp án D.
Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được phương án sai.
+ Phương án A: Ta có
1 1
( 1) ( 1)
m k n k
u u u m k d u n k d
1 1
( 1) ( 1)
m n
u m d u n d u u
.
Do đó A là phương án đúng.
+ Phương án B: Ta có
1 1
( 1) ( 1)
m k m k
u u u m k d u m k d
1
2[ ( 1) ] 2
m
u m d u
.
Do đó B là phương án đúng.
+ Phương án C: Ta có
1 1
( 1) ( 1) ( ) ( )
m k
u u m d u k d m k d u m k d
Do đó C là phương án đúng.
+ Phương án D: Ta có
2 1 1 1 1 1 3 1
(2 1) (3 1)
n n n
u u u n d u nd u n d u u u
Vậy phương án D sai.
LUYỆN MÃI THÀNH TÀI- MIỆT MÀI TẤT GIỎI. CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN.
0988323371 | Biên so
ạ
n và sưu t
ầ
m: Tô Qu
ố
c An
35
MẸO HỌC TẬP
Qua ví dụ này, chúng ta lưu ý một số tính chất của cấp số cộng như:
1)
,
m k n k m n
u u u u
với
,
k m k n
.
2)
2 ,
m k m k m
u u u
với
k m
.
3)
( ) ,
m k
u u m k d
với
k m
.
Do đó C là phương án đúng.
+ Phương án D: Ta có
2 1 1 1 1 1 3 1 3
2 1 3 1
n n n n
u u u n d u nd u n d u u u u
.
Vậy D là phương án sai.
Câu 5.
Cho dãy số
n
u
xác định bởi
1
321
u
và
1
3
n n
u u
với mọi
*
n
ℕ
. Tính tổng
S
của
125
số hạng đầu tiên của dãy số đó.
A.
16875
S
.
B.
63375
S
.
C.
63562,5
S
.
D.
16687,5
S
.
Lời giải
Từ công thức truy hồi của dãy số
n
u
, ta có
n
u
là một cấp số cộng với công sai
3
d
. Do
đó tổng của
125
số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó là
1
125. 2 125 1
16875
2
u d
S
Vậy chọn phương án A.
CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN. If you wish to reach the highest, Begin at the lowest.
36 https://www.facebook.com/toanthayan | 0988323371
Câu 6.
Cho cấp số cộng
n
u
có công sai
3
d
và
2 2 2
2 3 4
u u u
đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng
100
S
của
100
số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó.
A.
100
14650
S
. B.
100
14400
S
. C.
100
14250
S
. D.
100
15450
S
.
Lời giải
Đặt
1
a u
thì
2 2 2 2
2 2 2 2
2 3 4
2 3 3 36 126 3 6 18 18
u u u a d a d a d a a a
với mọi
.
Dấu bằng xảy ra khi
6 0 6
a a
.Suy ra
1
6
u
.
Ta có
1
100
100. 2 100 1
14250
2
u d
S
. Vậy phương án đúng là C.
Nhận xét: Từ kết quả bài tập này, chúng ta có thể đề xuất các câu hỏi sau đây:
Câu 6.1:
Cho cấp số cộng
n
u
có công sai
3
d
và
2 2 2
2 3 4
u u u
đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm số hạng thứ
2017
của cấp số cộng đó.
A.
2017
6042
u
. B.
2017
6045
u
. C.
2017
6044
u
. D.
2017
6054
u
.
Câu 6.2:
Cho cấp số cộng
n
u
có công sai
3
d
và
2 2 2
2 3 4
u u u
đạt giá trị nhỏ nhất. Số
2019
là số
hạng thứ mấy của cấp số cộng đã cho?
A.
676
.
B.
675
.
C.
672
.
D.
674
.
Câu 6.3:
Cho cấp số cộng
n
u
có công sai
3
d
và
2 2 2
2 3 4
u u u
đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm số hạng
tổng quát của cấp số cộng đó.
A.
9 3
n
u n
.
B.
6 3
n
u n
.
C.
5 3
n
u n
.
D.
3 3
n
u n
.
Câu 6.4:
Cho cấp số cộng
n
u
có công sai
3
d
, trong đó
m
là tham số. Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức
2 2 2
2 3 4
F u u u
.
A.
min 18
F
.
B.
min 6
F
.
C.
min 99
F
.
D.
min 117
F
.
LUYỆN MÃI THÀNH TÀI- MIỆT MÀI TẤT GIỎI. CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN.
0988323371 | Biên so
ạ
n và sưu t
ầ
m: Tô Qu
ố
c An
37
Câu 7.
Cho cấp số cộng
3,8,13,...
Tính tổng
3 8 13 ... 2018
S
.
A.
408422
S
.
B.
408242
S
.
C.
407231,5
S
.
D.
409252,5
S
.
Lời giải
Cấp số cộng
3,8,13,...
có số hạng đầu
1
3
a
và công sai
5
d
.
Suy ra
2018
là số hạng thứ
2018 3
1 404
5
của cấp số cộng.
Do đó
404
404. 3 2018
408242
2
S S
. Vậy B là phương án đúng.
Nhận xét: Từ kết quả của bài tập này, chúng ta có thể giải quyết các câu hỏi sau đây:
Câu 7.1:
Cho cấp số cộng
3,8,13,...
Số
2018
là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng đó?
A.
402
.
B.
403
.
C.
404
.
D.
405
.
Câu 7.2:
Cho cấp số cộng
3,8,13,..., ,...
x
Tìm
x
biết
3 8 13 ... 408242
x
.
A.
2017
x
.
B.
2016
x
.
C.
2019
x
.
D.
2018
x
.
Câu 7.3:
Cần viết thêm vào giữa hai số
3
và
2018
bao nhiêu số hạng để thu được một cấp số cộng hữu
hạn có tổng các số hạng bằng
408242
?
A.
402
.
B.
403
.
C.
405
.
D.
404
.
Câu 7.4:
Cho cấp số cộng
n
u
có
1
3, 2018
k
u u
và
408242
k
S
. Số hạng thứ
2018
của cấp số
cộng đó là số nào dưới đây?
A.
10088
.
B.
10093
.
C.
10083
.
D.
10098
.
CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN. If you wish to reach the highest, Begin at the lowest.
38 https://www.facebook.com/toanthayan | 0988323371
Câu 8.
Tìm tất cả các giá trị của tham số
m
để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập thành một
cấp số cộng:
3 2 2
3 2 4 9 0
x mx m m x m m
.
A.
0
m
.
B.
17 265
12
m
.
C.
17 265
12
m
.
D.
1
m
.
Lời giải
Cách 1: Giải bài toán như cách giải tự luận.
- Điều kiện cần: Giả sử phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt
1 2 3
, ,
x x x
lập thành một cấp
số cộng. Theo định lý Vi-ét đối với phương trình bậc ba, ta có
1 2 3
3
x x x m
. Vì
1 2 3
, ,
x x x
lập thành cấp số cộng nên
1 3 2
2
x x x
. Suy ra
2 2
3 3
x m x m
. Thay
2
x m
vào phương
trình đã cho, ta được
3 2 2 2
3 . 2 4 . 9 0 0
1
m
m m m m m m m m m m
m
- Điều kiện đủ:
+ Với
0
m
thì ta có phương trình
3
0 0
x x
(phương trình có nghiệm duy nhất). Do đó
0
m
không phải giá trị cần tìm.
+ Với
1
m
, ta có phương trình
3 2
3 6 8 0 1; 2; 4.
x x x x x x
Ba nghiệm
2; 1; 4
lập thành một cấp số cộng nên
1
m
là giá trị cần tìm.
Cách 2: Kiểm tra từng phương án cho đến khi chọn được phương án đúng.
Trước hết, ta kiểm tra phương án A và D (vì
m
nguyên).
+ Với
0
m
thì ta có phương trình
3
0 0
x x
(phương trình có nghiệm duy nhất). Do đó
0
m
không phải giá trị cần tìm.
+ Với
1
m
, ta có phương trình
3 2
3 6 8 0 1; 2; 4.
x x x x x x
Ba nghiệm
2; 1; 4
lập thành một cấp số cộng nên
1
m
là giá trị cần tìm.
MẸO HỌC TẬP
Phương trình bậc ba
3 2
0 0
ax bx cx d a
có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp
số cộng thì điều kiện cần là
3
b
x
a
là nghiệm của phương trình. Giải điều kiện này ta có hệ
thức liên hệ giữa các hệ số của phương trình là
3 3
2 9 27 0
b abc a d
. Trong thực hành giải
toán, chúng ta cũng chỉ cần ghi nhớ điều kiện cần là
3
b
x
a
là nghiệm của phương trình.
LUYỆN MÃI THÀNH TÀI- MIỆT MÀI TẤT GIỎI. CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN.
0988323371 | Biên so
ạ
n và sưu t
ầ
m: Tô Qu
ố
c An
39
Câu 9.
Biết rằng tồn tại hai giá trị của tham số
m
để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt lập
thành một cấp số cộng:
4 2 2
10 2 7 0
x x m m
, tính tổng lập phương của hai giá trị đó.
A.
343
8
. B.
721
8
.
C.
721
8
. D.
343
8
.
Lời giải
Đặt
2
0
t x t
. Khi đó ta có phương trình:
2 2
10 2 7 0 (*)
t t m m
.
Phương trình đã cho có
nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình
(*)
có
nghiệm
dương phân biệt
2 2
2
2
5 (2 7 ) 0
0 2 7 25.
2 7 0
m m
m m
m m
(do tổng hai nghiệm bằng
10 0
nên không cần điều kiện này).
+ Với điều kiện trên thì
(*)
có hai nghiệm dương phân biệt là
1 2 1 2
, ( )
t t t t
.
Khi đó phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt là
2 1 1 2
; ; ;
t t t t
.
Bốn nghiệm này lập thành một cấp số cộng khi
1 2 1 1 2 1 2 1
9 .
t t t t t t t t
Theo định lý Vi-ét ta có:
2
1 2 1 2
10; . 2 7
t t t t m m
.
Suy ra ta có hệ phương trình
2 1 1
1 2 2
2 2
1 2
9 1
1
10 9
9
2
. 2 7 2 7 9
t t t
m
t t t
m
t t m m m m
.
Cả hai giá trị này đều thỏa mãn điều kiện nên đều có thể nhận được.
Do đó
3
3
9 721
1
2 8
.
Suy ra phương án đúng là C.
Câu 10.
Một cơ sở khoan giếng đưa ra định mức giá như sau: Giá từ mét khoan đầu tiên là
100000
đồng và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét sau tăng thêm
30000
đồng so với giá của
mét khoan ngay trước đó. Một người muốn kí hợp đồng với cơ sở khoan giếng này để khoan
một giếng sâu
20
mét lấy nước dùng cho sinh hoạt của gia đình. Hỏi sau khi hoàn thành việc
khoan giếng, gia đình đó phải thanh toán cho cơ sở khoan giếng số tiền bằng bao nhiêu?
A.
7700000
đồng.
B.
15400000
đồng.
C.
8000000
đồng.
D.
7400000
đồng.
Lời giải
Gọi
n
u
là giá của mét khoan thứ
, trong đó
1 20.
n
Theo giả thiết, ta có
1
100000
u
và
1
30000
n n
u u
với
1 19
n
.
Ta có
( )
n
u
là cấp số cộng có số hạng đầu
1
100000
u
và công sai
30000
d
.
Tổng số tiền gia đình thanh toán cho cơ sở khoan giếng chính là tổng các số hạng của cấp số
cộng
( )
n
u
. Suy ra số tiền mà gia đình phải thanh toán cho cơ sở khoan giếng là
1
20 1 2 20
20[2 (20 1) ]
.... 7700000
2
u d
S u u u
(đồng).
Vậy phương án đúng là A.
CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN. If you wish to reach the highest, Begin at the lowest.
40 https://www.facebook.com/toanthayan | 0988323371
C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG
Dạng 1: Bài tập nhận dạng cấp số cộng
Câu 1.
Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số cộng?
A.
3,1,5,9,14
.
B.
5,2, 1, 4, 7
.
C.
5 1 1
,1, , , 3
3 3 3
.
D.
7 5 1 1
, , 2, ,
2 2 2 2
.
Câu 2.
Trong các dãy số sau, dãy số nào không là cấp số cộng?
A.
Dãy số
n
a
với
3 5
n
a n
.
B.
Dãy số
n
b
với
3 5
n
b n
.
C.
Dãy số
n
c
với
2
n
c n n
.
D.
Dãy số
n
d
với
4 1
2017cot 2018
2
n
n
d
.
Câu 3.
Cho các số thực
, ,
x y z
thỏa mãn điều kiện: Ba số
1 1 1
, ,
x y y z z x
theo thứ tự lập thành một
cấp số cộng. Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng?
A.
Ba số
2 2 2
, ,
x y z
theo thứ tự lập thành một cấp số cộng.
B.
Ba số
2 2 2
, ,
y z x
theo thứ tự lập thành một cấp số cộng.
C.
Ba số
2 2 2
, ,
y x z
theo thứ tự lập thành một cấp số cộng.
D.
Ba số
2 2 2
, ,
z y x
theo thứ tự lập thành một cấp số cộng.
Dạng 2: Bài tập về xác định số hạng và công sai của cấp số cộng.
Câu 4.
Cho cấp số cộng
n
u
xác định bởi
*
3 1
2; 3,
n n
u u u n
ℕ
. Xác định số hạng tổng quát
của cấp số cộng đó.
A.
3 11
n
u n
.
B.
3 8
n
u n
.
C.
2 8
n
u n
.
D.
5
n
u n
.
Câu 5.
Cho cấp số cộng
n
u
có
2 5
2017; 1945
u u
. Tính
2018
u
.
A.
2018
46367
u
. B.
2018
50449
u
. C.
2018
46391
u
. D.
2018
50473
u
.
Câu 6.
Cho cấp số cộng
n
x
có
2
3 2
n
S n n
. Tìm số hạng đầu
1
u
và công sai
d
của cấp số cộng
đó.
A.
1
2; 7
u d
.
B.
1
1; 6
u d
.
C.
1
1; 6
u d
.
D.
1
2; 6
u d
.
Câu 7.
Cho cấp số cộng
n
u
có
2
7 2
n
S n n
. Tính giá trị của biểu thức
2 2 2
3 5 7
P u u u
.
A.
491
P
.
B.
419
P
.
C.
1089
P
.
D.
803
P
.
Câu 8.
Cho cấp số cộng
n
u
với
3 5
3 5
5
. 6
u u
u u
. Tìm số hạng đầu của cấp số cộng.
A.
1
1
u
hoặc
1
u
.
B.
1
1
u
hoặc
1
4
u
.
C.
1
1
u
hoặc
1
u
.
D.
1
1
u
hoặc
1
1
u
.
Câu 9.
Cho cấp số cộng
n
u
có công sai
2
d
và
2 2 2
2 3 4
u u u
đạt giá trị nhỏ nhất. Số
2018
là số
hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng
n
u
?
A.
1012
.
B.
1011
.
C.
1014
.
D.
1013
.
Câu 10.
Cho cấp số cộng
6, , 2,
x y
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
2; 5
x y
.
B.
4; 6
x y
.
C.
2; 6
x y
.
D.
4; 6
x y
.
Câu 11.
Viết sáu số xen giữa
3
và
24
để được một cấp số cộng có tám số hạng. Sáu số hạng cần viết
thêm là
A.
6,9,12,15,18,21
.
B.
21,18,15,12,9,6
.
C.
13 27 41
,10, ,17, ,24
2 2 2
.
D.
16 23 37 44 58 65
, , , , ,
3 3 3 3 3 3
.
LUYỆN MÃI THÀNH TÀI- MIỆT MÀI TẤT GIỎI. CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN.
0988323371 | Biên so
ạ
n và sưu t
ầ
m: Tô Qu
ố
c An
41
Câu 12.
Cho hai cấp số cộng
:4,7,10,...
n
x và
:1,6,11,...
n
y Hỏi trong
2017
số hạng đầu tiên của
mỗi cấp số cộng có bao nhiêu số hạng chung?
A.
404
.
B.
403
.
C.
672
.
D.
673
.
Câu 13.
Cho cấp số cộng
1,7,13,...,
x
thỏa mãn điều kiện
1 7 13 ... 280
x
. Tính giá trị của
x
.
A.
53
x
.
B.
55
x
.
C.
57
x
.
D.
59
x
.
Câu 14.
Biết rằng tồn tại các giá trị của
0;2
x
để ba số
2
1 sin ,sin ,1 sin3
x x x
lập thành một cấp
số cộng, tính tổng
S
các giá trị đó của
x
.
A.
5
S
.
B.
3
S
.
C.
7
2
S
.
D.
23
6
S
.
Dạng 3: Bài tập về tổng của
số hạng đầu tiên của cấp số cộng.
Câu 15.
Cho cấp số cộng
n
u
có
4
3
u
và tổng của
9
số hạng đầu tiên là
9
45
S
. Cấp số cộng trên
có
A.
10
92
S
.
B.
20
980
S
. C.
3
56
S
.
D.
16
526
S
.
Câu 16.
Cho cấp số cộng
n
x
có
3 13
80
x x
. Tính tổng
15
S
của
15
số hạng đầu tiên của cấp số cộng.
A.
15
600
S
. B.
15
800
S
. C.
15
570
S
. D.
15
630
S
.
Dạng 4: Bài tập liên quan đến tính chất của cấp số cộng.
Câu 17.
Cho cấp số cộng
n
u
. Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng?
A.
m n p
n p u p m u m n u
.
B.
m n p
m n u n p u p m u
.
C.
m n p
m p u n m u p n u
.
D.
m n p
p n u m p u m n u
.
Câu 18.
Cho ba số dương
, ,
a b c
thỏa mãn điều kiện
1 1 1
, ,
b c c a a b
lập thành một cấp số
cộng. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A.
Ba số
, ,
a b c
lập thành một cấp số cộng.
B.
Ba số
1 1 1
, ,
a b c
lập thành một cấp số cộng.
C.
Ba số
2 2 2
, ,
a b c
lập thành một cấp số cộng.
D.
Ba số
, ,
a b c
lập thành một cấp số cộng
Dạng 5: Bài tập liên quan đến cấp số cộng.
Câu 19.
Tìm tất cả các giá trị của tham số
m
để phương trình
4 2
10 0
x x m
có bốn nghiệm phân
biệt lập thành một cấp số cộng.
A.
16
m .
B.
9
m .
C.
24
m .
D.
21
m .
Câu 20.
Biết rằng tồn tại đúng hai giá trị của tham số
m
để phương trình
4 2
2 1 2 1 0
x m x m
có bốn nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng, tính tổng bình phương của hai giá trị đó.
A.
1312
81
.
B.
1024
81
.
C.
32
9
.
D.
1600
81
.
Câu 21.
Tìm tất cả các giá trị của tham số
m
để phương trình
3 2 2
3 1 0
x x x m
có ba nghiệm
phân biệt lập thành một cấp số cộng.
A.
16
m .
B.
2
m .
C.
2
m .
D.
2
m .
CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN. If you wish to reach the highest, Begin at the lowest.
42 https://www.facebook.com/toanthayan | 0988323371
Câu 22.
Biết rằng tồn tại đúng ba giá trị
1 2 3
, ,
m m m
của tham số
m
để phương trình
3 2 3 2
9 23 4 9 0
x x x m m m
có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng, tính
giá trị của biểu thức
3 3 3
1 2 3
P m m m
.
A.
34
P .
B.
36
P .
C.
64
P .
D.
34
P .
Câu 23.
Mặt sàn tầng của một ngôi nhà cao hơn mặt sân
0,5
m
. Cầu thang đi từ tầng một lên tầng hai
gồm
21
bậc, một bậc cao
18
cm
. Kí hiệu
n
h
là độ cao của bậc thứ
n
so với mặt sân. Viết công
thức để tìm độ cao
n
h
.
A.
0,18 0,32
n
h n m
.
B.
0,18 0,5
n
h n m
.
C.
0,5 0,18
n
h n m
.
D.
0,5 0,32
n
h n m
.
Câu 24.
Người ta trồng
3003
cây theo hình một tam giác như sau: hàng thứ nhất có 1 cây, hàng thứ hai
có 2 cây, hàng thứ ba có 3 cây,… Hỏi trồng được bao nhiêu hàng cây theo cách này?
A.
77
hàng.
B.
76
hàng.
C.
78
hàng.
D.
79
hàng.
Câu 25.
Trên một bàn cờ có nhiều ô vuông. Người ta đặt 7 hạt dẻ vào ô vuông đầu tiên, sau đó đặt tiếp
vào ô thứ hai số hạt dẻ nhiều hơn ô đầu tiên là 5, tiếp tục đặt vào ô thứ ba số hạt dẻ nhiều hơn ô
thứ hai là 5, … và cứ thế tiếp tục đến ô cuối cùng. Biết rằng đặt hết số ô trên bàn cờ người ta đã
phải sử dụng hết
25450
hạt dẻ. Hỏi bàn cờ đó có bao nhiêu ô?
A.
98
ô.
B.
100
ô.
C.
102
ô.
D.
104
ô.
Câu 26.
Một công ty trách nhiệm hữu hạn thực hiện việc trả lương cho các kỹ sư theo phương thức sau:
Mức lương của quý làm việc đầu tiên cho công ty là
13,5
triệu đồng/quý, và kể từ quý làm việc
thứ hai, múc lương sẽ được tăng thêm
500.000
đồng mỗi quý. Tính tổng số tiền lương một kỹ
sư nhận được sau ba năm làm việc cho công ty.
A.
198
triệu đồng.
B.
195
triệu đồng.
C.
228
triệu đồng.
D.
114
triệu đồng.
Câu 27.
Trên tia
Ox
lấy các điểm
1 2
, ,..., ,...
n
A A A
sao cho với mỗi số nguyên dương
n
,
n
OA n
. Trong
cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa tia
Ox
, vẽ các nửa đường tròn đường kính
n
OA
,
1,2,...
n
Kí hiệu
1
u
là diện tích nửa đường tròn đường kính
1
OA
và với mỗi
2
n
, kí
hiệu
n
u
là diện tích của hình giới hạn bởi nửa đường tròn đường kính
1
n
OA
, nửa đường tròn
đường kính
n
OA
và tia
Ox
. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A.
Dãy số
n
u
không phải là một cấp số cộng.
B.
Dãy số
n
u
là một cấp số cộng có công sai
4
d .
C.
Dãy số
n
u
là một cấp số cộng có công sai
8
d .
D.
Dãy số
n
u
không phải là một cấp số cộng có công sai
2
d .
Câu 28.
Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
, cho đồ thị
C
của hàm số
3 2
y x
. Với mỗi số nguyên
dương
n
, gọi
n
A
là giao điểm của đồ thị
C
với đường thẳng
: 0
d x n . Xét dãy số
n
u
với
n
u
là tung độ của điểm
n
A
. Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng?
A.
Dãy số
n
u
là một cấp số cộng có công sai
2
d .
B.
Dãy số
n
u
là một cấp số cộng có công sai
3
d .
C.
Dãy số
n
u
là một cấp số cộng có công sai
1
d
.
D.
Dãy số
n
u
không phải là một cấp số cộng.
LUYỆN MÃI THÀNH TÀI- MIỆT MÀI TẤT GIỎI. CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN.
0988323371 | Biên so
ạ
n và sưu t
ầ
m: Tô Qu
ố
c An
43
Câu 29.
Cho cấp số cộng
u
có số hạng đầu
1
2
u
và công sai
3
d . Trên mặt phẳng tọa độ
Oxy
,
lấy các điểm
1 2
, ,...
A A
sao cho với mỗi số nguyên dương
n
, điểm
n
A
có tọa độ
;
n
n u
. Biết
rằng khi đó tất cả các điểm
1 2
, ,..., ,...
n
A A A
cùng nằm trên một đường thẳng. Hãy viết phương
trình của đường thẳng đó.
A.
3 5
y x
.
B.
3 2
y x
.
C.
2 3
y x
.
D.
2 5
y x
CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN. If you wish to reach the highest, Begin at the lowest.
44 https://www.facebook.com/toanthayan | 0988323371
D. HƯỚNG DẪN GIẢI
Dạng 1: Bài tập về nhận dạng cấp số cộng
Câu 1. Đáp án B.
Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được đáp án đúng.
- Phương án A:
1 3 5 1 9 5 4 14 9 5
.
- Phương án B:
2 5 1 2 4 1 7 4 3
.
Vậy dãy số ở phương án B là cấp số cộng.
Câu 2. Đáp án C.
Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được đáp án đúng.
- Phương án A: Ta có
1
3, 1
n n
a a n
nên
n
a
là cấp số cộng.
- Phương án B: Ta có
1
5, 1
n n
b b n
nên
n
b
là cấp số cộng.
- Phương án C: Ta có
1
2 , 1
n n
c c n n
nên
n
c
không là cấp số cộng.
- Phương án D: Ta có
2018, 1
n
d n
(do
4 1
cot 0
2
n
) nên
n
d
là cấp số cộng.
Câu 3. Đáp án C.
Theo giả thiết, ta có:
2 2 2
1 1 2
2 2 2
y z x y z x y x z y z x
x y z x y z
.
Suy ra
2 2 2
, ,
y x z
hoặc
2 2 2
, ,
z x y
lập thành một cấp số cộng. Do đó phương án đúng là C.
Dạng 2: Bài tập về nhận dạng cấp số cộng
Câu 4. Đáp án A.
Ta có
n
u
là cấp số cộng có công sai
3
d
nên số hạng đầu là
1 3
2 8
u u d
Suy ra số hạng tổng quát là
3 11
n
u n
.
Câu 5. Đáp án A.
Gọi
d
là công sai của cấp số cộng. Theo giả thiết, ta có:
1
1
1
2017
2041
4 1945
24
u d
u
u d
d
Suy ra
2018 1
2017 46367
u u d
.
Câu 6. Đáp án B.
Ta có
1 1
1
u S
và
1 2 2
8
u u S
. Suy ra
2
7
u
Vậy
2 1
6
d u u
.
Câu 7. Đáp án A.
Ta có
1
9 4
n n n
u S S n
.
Suy ra
3 5 7
3, 11, 19
u u u
. Do đó
491
P
.
Câu 8. Đáp án A.
Ta có
3 5 3
3 5 5
5 2
. 6 3
u u u
u u u
hoặc
3
5
3
2
u
u
.
+ Giải
3
5
2
u
u
, ta được
1
1
u
.
+ Giải
3
5
3
2
u
u
, ta được
1
4
u
.
LUYỆN MÃI THÀNH TÀI- MIỆT MÀI TẤT GIỎI. CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN.
0988323371 | Biên so
ạ
n và sưu t
ầ
m: Tô Qu
ố
c An
45
Câu 9. Đáp án A.
Ta có
2
2 2 2 2
2 3 4 1 1 1
3 24 56 3 4 8 8
u u u u u u
Dấu bằng xảy ra khi
1 1
4 0 4
u u
Số hạng tổng quát của cấp số cộng là
2 6
n
u n
.
Nếu
2018
n
u
thì
2 6 2018 1012
n n
.
Vậy
2018
là số hạng thứ
1012
của cấp số cộng.
Câu 10. Đáp án C.
Theo tính chất của cấp số cộng, ta có
2 6 2
2
6
2. 2
x
x
y
x y
.
Câu 11. Đáp án A.
Theo giả thiết, ta có
1 8
3, 24
u u
Suy ra
3 7 24 3
d d
.
Vậy
6
số cần viết thêm là
6,9,12,15,18,21
.
Câu 12. Đáp án B.
Ta có
4 1 .3 3 1,1 2017
n
x n n n
1 1 .5 5 4,1 2017
n
y m m m
Để một số là số hạng chung của cả hai cấp số cộng thì ta phải có
3 1 5 4 3 5 1
n m n m .
Suy ra
5
⋮
n
, tức là
5
n t
và
*
3 1
ℕ
m t t
.
Lại do
1 2017
n
nên
1 403
t
.
ứng với
403
giá trị của
t
, ta tìm được
403
số hạng chung.
Câu 13. Đáp án B.
Cấp số cộng
1,7,13, ,
…
x
có số hạng đầu
1
1
u
và công sai
6
d
nên số hạng tổng quát là
6 5
n
u n
Giả sử
6 5
n
x u n
. Khi đó
2
6 4
1 7 13 3 2
2
…
n n
x n n
Theo giả thiết, ta có
2
10
3 2 280 10 55
n n n x u
.
Câu 14. Đáp án A.
Theo tính chất của cấp số cộng ta có:
2
3 2
3 2
2
1 sin 1 sin 3 2sin
2 4sin 4sin 2sin
2sin sin 2sin 1 0
2sin 1 sin 1 0
1
sin
2
cos 0
x x x
x x x
x x x
x x
x
x
+)
2
1
6
sin
7
2
2
6
x k
x
x k
.
+)
cos 0
2
x x k
CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN. If you wish to reach the highest, Begin at the lowest.
46 https://www.facebook.com/toanthayan | 0988323371
Với nghiệm
2
6
x k
và
0;2
x , ta tìm được
11
6
x . Với nghiệm
7
2
6
x k
và
0;2
x , ta tìm được
7
6
x . Với nghiệm
2
x k
và
0;2
x ta tìm được nghiệm
3
;
2 2
x x
Do đó
11 7 3
5
6 6 2 2
S
.
Dạng 3: Bài tập về tổng của
n
số hạng đầu tiên của cấp số cộng.
Câu 15. Đáp án B.
Ta có
4 1
3 3 3
u u d
.
1
9 1
9 2 8
45 45 4 5
2
u d
S u d
.
Do đó ta có hệ phương trình
1
1
1
3 3
27
4 5
8
u d
u
u d
d
.
Ta có
1 1
10 20
10 2 9 20 2 19
90; 980
2 2
u d u d
S S
Vậy đáp án đúng là B.
Câu 16. Đáp án A.
Ta có
3 13 1 15
80 2 2 80
x x x d x d
1 15
1 15 15
15
80 600
2
x x
x x S
.
Dạng 4: Bài tập liên quan đến tính chất của cấp số cộng.
Câu 17. Đáp án A.
Kiểm tra từng phương án cho đến khi tìm được phương án đúng.
Ta có:
1 1 1
1 ; 1 ; 1
m n p
u u m d u u n d u u p d
.
- Phương án A: Ta có:
m n p
n p u p m u m n u
-
1 1 1
1 1 1 0
n p u m d p m u n d m n u p d
.
- Vậy đáp án A.
Câu 18. Đáp án A.
Theo giả thiết ta có:
1 1 2
2 2 2
b c a b c a
c a a c b b c a b a c b
Suy ra ba số
, ,
a b c
hoặc
, ,
c b a
lập thành một cấp số cộng. Do đó đáp án là.
A.
Dạng 5: Bài tập liên quan đến cấp số cộng.
Câu 19. Đáp án B.
Áp dụng kết quả ở phần lí thuyế, ta có phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt lập thành
một cấp số cộng thì điều kiện cần là
2
9 100
b ac
hay
2
9.10 100.1. 9
m m
.
Với
9
m
thì phương trình đã cho trở thành
4 2
10 9 0 1; 3
x x x x
.
Bốn số
3; 1;1;3
lập thành một cấp số cộng nên
9
m
là giá trị cần tìm.
LUYỆN MÃI THÀNH TÀI- MIỆT MÀI TẤT GIỎI. CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN.
0988323371 | Biên so
ạ
n và sưu t
ầ
m: Tô Qu
ố
c An
47
Câu 20. Đáp án A.
ÁP dụng kết quả phần lý thuyết, ta có phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt lập thành một
cấp số cộng thì điều kiện cần là
2
9 100
b ac
hay
2
2
4
9 2 2 100.1. 2 1 9 32 16 0
4
9
m
m m m m
m
Với
4
m
, ta có phương trình
4 2
10 9 0
x x
. Phương trình nàu có 4 nghiệm là
3; 1;1;3
lập thành cấp số cộng.
Với
4
9
m
, ta có phương trình
4 2
9 10 1 0
x x
. Phương trình này có 4 nghiệm
1 1
1; ; ;1
3 3
lập thành cấp số cộng.
Vậy
4
4;
9
m m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Do đó
2
2
4 1312
4
9 81
.
Câu 21. Đáp án D.
Áp dụng kết quả phần lý thuyết, ta có phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt thì điều kiện
cần là
3
1
3a 3
b
là nghiệm của phương trình.
Suy ra
3 2 2
1 3.1 1 1 0 2
m m
.
Với
2
m
, ta có phương trình
3 2
3 3 0
x x x
.
2
3 1 0 1, 1, 3
x x x x x
Ba số
1,1,3
lập thành cấp số cộng.
Vậy các giá trị cần tìm là
2
m
. Do đó D là phương án đúng.
Câu 22. Đáp án A.
Áp dụng kết quả ở phần lý thuyết, ta có phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt thì điều
kiện cần là:
9
3
3 3
b
a
là nghiệm của phương trình.
Suy ra
3 2 3 2
3 9.3 23.3 4 9 0
m m m
3 2
4 6 0
m m m
1, 2, 3
m m m
Với
1, 2, 3
m m m
thì
3 2
4 6 0
m m m
nên
3 2
4 9 15
m m m
.
Do vậy, với
1, 2, 3
m m m
ta có phương trình
3 2 2
9 23 15 0 3 6 5 0
x x x x x x
1, 3, 5
x x x
.
Ba số 1,3,5 lập thành cấp số cộng.
Vậy
1, 2, 3
m m m
là các giá trị cần tìm.
Do đó
3
3 3
1 2 3 34
Câu 23. Đáp án A.
Ký hiệu
n
h
là độ cao của bậc thứ
so với mặt sân.
Khi đó, ta có
1
0,18
n n
h h
(mét), trong đó
1
0,5
h
(mét). Dãy số
n
h
lập thành một cấp số
cộng có
1
0,5
h
và công sai
0,18
d
. Suy ra số hạng tổng quát của cấp số cộng này là
0,5 1 .0,18 0,18. 0,32
n
h n n
(mét).
CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN. If you wish to reach the highest, Begin at the lowest.
48 https://www.facebook.com/toanthayan | 0988323371
Câu 24. Đáp án A.
Giả sử trồng được
n
hàng. Khi đó tổng số cây được trồng là
1
1 2 ...
2
n n
S n
.
Theo giả thiết ta có
1
3003 77
2
n n
n
.
Câu 25. Đáp án B.
Kí hiệu
n
u
là số hạt dẻ ở ô thứ
.
Khi đó, ta có
1
7
u
và
1
5, 1
n n
u u n
.
Dãy số
n
u
là cấp số cộng với
1
7
u
và công sai
5
d
nên có
2
1
2 1
5 9
2 2
n
n u n d
n n
S
.
Theo giả thiết, ta có
2
5 9
25450
2
n n
100
n
.
Suy ra bàn cờ có 100 ô. Do đó B là đáp án đúng.
Câu 26. Đáp án B.
Kí hiệu
n
u
là mức lương của quý thứ
làm việc cho công ty. Khi đó
1
13,5
u
và
1
0,5, 1
n n
u u n
.
Dãy số
n
u
lập thành cấp số cộng có số hạng đầu
1
13,5
u
và công sai
0,5
d
.
Một năm có 4 quý nbên 3 năm có tổng 12 quý.
Số tiền lương sau 3 năm bằng tổng số tiền lương của 12 quý và bằng tổng 12 số hạng đầu tiên
của cấp số cộng
n
u
. Vậy, tổng số tiền lương nhận được sau 3 năm làm việc cho công ty của
kỹ sư là
12
12. 2.13,5 11.0,5
195
2
S
(triệu đồng).
Câu 27. Đáp án B.
Bán kính đường tròn có đường kính
n
OA
là
2
n
n
r
.
Diên tích nửa đường tròn đường kính
n
OA
là
2
2
1
2 2 8
n
n n
S
.
Suy ra
2
2
1
2 1
1 , 2
8 8
n n n
n
u s s n n n
.
Ta có
2
1
1 1
2 2 8
u
.
Do
1
, n 1
4
n n
u u
nên
n
u
là cấp số cộng với công sai
4
d
.
Suy ra B là phương án đúng.
Câu 28. Đáp án B.
Ta có
;
n n
A n u
trong đó
3 2
n
u n
.
Do
1
3, n 1
n n
u u
nên
n
u
là một cấp số cộng với công sai
3
d
.
Suy ra B là phương án đúng.
Câu 29. Đáp án A.
Số hạng tổng quát của cấp số cộng
n
u
là
1
1 3 5
n
u u n d n
.
LUYỆN MÃI THÀNH TÀI- MIỆT MÀI TẤT GIỎI. CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN.
0988323371 | Biên so
ạ
n và sưu t
ầ
m: Tô Qu
ố
c An
49
Nhận thấy toạ độ của các điểm
n
A
đều thoả mãn phương trình
3 5
y x
nên phương trình
đường thẳng đi qua các điểm
1 2
, ,..., ,...
n
A A A
là
3 5
y x
.
Suy ra A là phương án đúng.
CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN. If you wish to reach the highest, Begin at the lowest.
50 https://www.facebook.com/toanthayan | 0988323371
CẤP SỐ NHÂN
A. LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa.
Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng
đều bằng số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nhân với một số không đổi q.
Số không đổi q được gọi là công bội của cấp số nhân.
Đặc biệt:
1) Khi
1
q
thì cấp số nhân là một dãy số không đổi (tất cả các số hạng đều bằng nhau).
2) Khi
0
q
thì cấp số nhân có dạng
1
,0,0,0, ,0,
u
… …
3) Khi
1
0
u
thì với mọi
cấp số nhân có dạng
0,0,0,0, ,0,
… …
Nhận xét: Từ định nghĩa, ta có:
Nếu
n
u
là một cấp số nhân với công bội
q
, ta có công thức truy hồi
*
1
. ,
n n
u u q n
ℕ
(1)
MẸO HỌC TẬP
1) Để chứng minh dãy số
n
u
là một cấp số nhân, chúng ta cần phải chỉ tồn tại một số không đổi
sao
cho
1
. , 1
n n
u u q n
.
2) Trong trường hợp
0, 1
n
u n
để chứng minh
n
u
là một cấp số nhân, chúng ta cần phải chỉ ra tỷ
số
1
n
n
u
u
là một số không đổi với mọi số nguyên dương n.
3) Để chỉ ra một dãy số không phải là cấp số nhân, chúng ta cần chỉ một dãy số gồm 3 số hạng liên tiếp
của dãy số đã cho mà không lập thành cấp số nhân.
Ví dụ 1.
Chứng minh rằng dãy số hữu hạn sau là một cấp số nhân.
1 1 1 1
3, 1, , , , .
3 9 27 81
Lời giải
Ta có
1 1 1 1 1 1
1 2 3; 1 3. ; 1. ; . ;
3 3 3 9 3 3
1 1 1 1 1 1
. ; . .
27 9 3 81 27 3
Theo định nghĩa cấp số nhân, dãy số
1 1 1 1
3, 1, , , , .
3 9 27 81
là một cấp số nhân với công
bội
1
3
q
.
Ví dụ 2.
Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào là cấp số nhân?
a) Dãy số
n
x
, với
2
;
n
x n
b) Dãy số
n
y
, với
2 3
5 ;
n
n
y
c) Dãy số
n
z
, với
2
;
n
z
n
d) Dãy số
n
w
, với
1
3 1
.
3
n
n
n
w
Lời giải
a) Cách 1: Ba số hạng đầu của dãy số
n
x
là 1, 4, 9. Vì
4 1.4;9 4.4
nên dãy số
n
x
không
phải là cấp số nhân.
LUYỆN MÃI THÀNH TÀI- MIỆT MÀI TẤT GIỎI. CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN.
0988323371 | Biên so
ạ
n và sưu t
ầ
m: Tô Qu
ố
c An
51
Cách 2: Ta có
2
1
1
n
x n
nên
2
1
2 2
1
2 1
1
n
n
n
x
x n n n
(phụ thuộc vào n không phải là số
không đổi). Do đó,
n
x
không phải là cấp số nhân.
b) Ta có
2( 1) 3 2 1
1
5 5
n n
n
y
nên
2
1
5 5
n
n
y
y
(là số không đổi). Do đó,
n
y
phải
là cấp số nhân với công bội
5
q
.
c) Ta có
1
2
1
n
z
n
nên
1
1
n
n
z
n
z n
(phụ thuộc vào n, không phải là số không đổi).
Do đó
n
z
không phải là một cấp số nhân.
d) Ba số hạng đầu của dãy số
n
w
là
4 10 28
, , .
9 27 81
Vì
10 4 5 28 10 5
,
27 9 6 81 27 6
nên dãy số
n
w
không phải là cấp số nhân.
Ví dụ 3.
Cho cấp số nhân
n
u
có số hạng đầu
1
1
u
và công bội
3
q
. Viết 6 số hạnh đầu của cấp số
nhân và tính tổng của 6 số hạng đó.
Lời giải
Ta có
2 1 3 2
( 1)( 3) 3; q 3( 3) 9;
u u q u u
4 3 5 4
q ( 9)( 3) 27; q (27)( 3) 81;u u u u
6 5
q ( 81)( 3) 243;
u u
Tổng của 6 số hạng đầu tiên của cấp số nhân là
1 3 ( 9) 27 ( 81) 243 182.
S
2. Số hạng tổng quát của cấp số nhân.
Định lý 1.
Nếu cấp số nhân
n
u
có số hạng đầu
1
u
và công bội q thì số hạng tổng quát
n
u
được xác định
bởi công thức:
1
1
q , 2.
n
n
u u n
(2)
MẸO HỌC TẬP
Từ kết quả của định lý 1, ta rút ra kết quả sau:
Cho cấp số nhân
n
u
với các số hạng khác 0. Khi đó ta có:
1)
. , .
m k
m k
u u q k m
2)
, .
m k
m
k
u
q k m
u
Ví dụ 4.
Cho cấp số nhân
n
u
có
1
3
u
và
2.
q
a) Tìm
7
u
.
b) Số
12288
là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số nhân đã cho?
Lời giải
a) Ta có
7 1 6
7 1
3.2 192.
u u q
b) Số hạng tổng quát của cấp số nhân là
1 1
1
3.2 .
n n
n
u u q
Vì
12288
n
u
nên
1
3.2 12288 13.
n
n
Do
13
n
là số nguyên dương nên số
12288
là số hạng thứ 13 của cấp số nhân đã cho.
CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN. If you wish to reach the highest, Begin at the lowest.
52 https://www.facebook.com/toanthayan | 0988323371
Ví dụ 5.
Cho cấp số nhân
n
x
có
3
18
x
và
7
1458.
x
Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân đó
Lời giải
Gọi q là công bội của cấp số nhân
n
x
.
Ta có
2 2
3
1 1
1 1
2
6 2 4
7
1 1
18
2 2
. 18 . 18
1458
9 3
. 1458 . 1458
x
x x
x q x q
x
q q
x q x q q
+ Với
1
2
x
và
3
q
, ta có số hạng tổng quát là
1 1
1
. 2.3 .
n n
n
x x q
+ Với
1
2
x
và
3
q
, ta có số hạng tổng quát là
1 1
1
. 2.( 3) .
n n
n
x x q
3. Tính chất các số hạng của cấp số nhân
Định lý 2.
Trong một cấp số nhân
n
u
, bình phương mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là
tích hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là
2
1 1
. , 2
k k k
u u u k
(3)
MẸO HỌC TẬP
Một cách tổng quát, ta có:
Nếu
n
u
là cấp số nhân thì
2
,
m m k m k
u u u k m
Ví dụ 6.
a) Cho cấp số nhân
n
a
có
7
4
a
và
9
12
a
. Tìm
8
a
.
b) Cho cấp số nhân
3, ,12,
x y
. Tính giá trị của biểu thức
3 3
F x y
.
Lời giải
a) Theo tính chất của cấp số nhân, ta có
2
8 7 9
. 4.12 48
a a a
Suy ra
8
4 3
a
hoặc
8
4 3
a
.
b) Theo tính chất của cấp số nhân, ta có
2
3.12 36
x
và
2
. 12 144
x y
.
Giải ra ta được
x 6; 24
y
hoặc
x 6; 24
y
.
+ Với
x 6; 24
y
thì
3 3
14040.
F x y
+ Với
x 6; 24
y
thì
3 3
14040.
F x y
Vậy
14040
F
hoặc
14040.
F
4. Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân.
Định lý 3.
Cho một cấp số nhân
n
u
với công bội
1.
q
Đặt
1 2
...
n n
S u u u
. Khi đó:
1
(1 )
(1 )
n
n
u q
S
q
hoặc
1 1
(5)
1
n
n
u u
S
q
MẸO HỌC TẬP
1) Chúng ta thường sử dụng công thức (4) để tính
n
S
khi biết số hạng đầu
1
u
và công bội q của cấp số
nhân.
2) Công thức (5) được sử dụng để tính
n
S
trong trường hợp biết các số hạng
1 1
,
n
u u
và công bội q của
cấp số nhân.
Ví dụ 7.
LUYỆN MÃI THÀNH TÀI- MIỆT MÀI TẤT GIỎI. CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN.
0988323371 | Biên so
ạ
n và sưu t
ầ
m: Tô Qu
ố
c An
53
a) Tính tổng
2 12
S 1 10 10 10 .
…
b) Cho cấp số nhân
n
u
có
1
3
u
và công bội
2
q
. Tìm k, biết
189
k
S
.
Lời giải
a) Ta có dãy số
2 12
1,10,10 , ,10
…
lập thành một cấp số nhân có số hạng đầu
1
1
u
và công bội
10
q
. Cấp số nhân này có 13 số hạng. Do đó
13
1
13
13
1
1
S 10 1 .
1 9
u q
S
q
b) Ta có
1
1 3. 1 2
3 2 1
1 1 2
k k
k
k
u q
S
q
Theo giả thiết, ta có
6
3 2 1 189 2 2 6.
k k
k
CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN. If you wish to reach the highest, Begin at the lowest.
54 https://www.facebook.com/toanthayan | 0988323371
B. CÁC DẠNG TOÁN VỀ CẤP SỐ NHÂN
Câu 1.
Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào là cấp số nhân?
A.
Dãy số
n
a
, với
1 *
1 .3 1,
n
n
n
a n
ℕ
.
B.
Dãy số
n
b
, với
*
1 1
2017
1, b ,
2018
n n n
b b b n
ℕ
.
C.
Dãy số
n
c
, với
2 1 *
.5 ,
n
n
c n n
ℕ
.
D.
Dãy số
n
d
, với
2 *
1 1
3, ,
n n
d d d n
ℕ
.
Lời giải
Đáp án B
Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được phương án đúng.
- Phương án A: Ba số hạng đầu tiên của dãy số là
8, 28, 80.
Ba số này không lập thành cấp số nhân vì
28 80
.
8 28
- Phương án B: Ta có
*
1
4035
,
2018
n n
b b n
ℕ
nên
n
b
là cấp số nhân
- Phương án C: Ta có
1
25 1
n
n
n
c
c n
(phụ thuộc vào n, không phải là không đổi)
Do đó
( )
n
c
không phải là cấp số nhân.
- Phương án D: Ba số hạng đầu tiên của dãy số
n
d
là
3,9,81
. Nhận thấy ba số này không lập
thành cấp số nhân nên dãy số
n
d
không là cấp số nhân.
Câu 2.
Cho cấp số nhân
n
a
có
1
3
a
và
2
6
a
. Tìm số hạng thứ năm của cấp số nhân đã cho.
A.
5
24
a
.
B.
5
48
a
.
C.
5
48
a
.
D.
5
24
a
.
Lời giải
Đáp án B
Ta có công bội của cấp số nhân là
2
1
2.
a
q
a
Suy ra
4 4
5 1
. 3.( 2) 48
a a q
.
Vậy phương án đúng là B.
Nhận xét: Với dữ kiện của ví dụ này, chúng ta có thể đề xuất các câu hỏi sau đây:
Câu 2.1:
Cho cấp số nhân có và . Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân đã cho.
A. .
B. .
C. .
D. .
Câu 2.2:
Cho cấp số nhân có và . Tìm tổng S của 50 số hạng đầu tiên cấp số nhân đã
cho.
A. .
B. .
C. .
D. .
Câu 2.3:
Cho cấp số nhân có và . Biết rằng , tính .
A. .
B. .
C. .
D. .
n
a
1
3
a
2
6
a
3.( 2)
n
n
u
1
3.( 2)
n
n
u
1
3.(2)
n
n
u
3.(2)
n
n
u
n
a
1
3
a
2
6
a
50
2 1
S
51
2 1
S
50
1 2
S
51
1 2
S
n
a
1
3
a
2
6
a
16383
k
S
a
k
24576
k
a
24576
k
a
49152
k
a
49152
k
a
LUYỆN MÃI THÀNH TÀI- MIỆT MÀI TẤT GIỎI. CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN.
0988323371 | Biên so
ạ
n và sưu t
ầ
m: Tô Qu
ố
c An
55
Câu 3.
Cho cấp số nhân
n
x
có
2 4 5
3 5 6
10
.
20
x x x
x x x
Tìm
1
x
và công bội
.
q
A.
1
1, 2
x q
. B.
1
1, 2
x q
. C.
1
1, 2
x q
. D.
1
1, 2
x q
.
Lời giải
Ta có
2 3
2
2 4 5
2
2 3
3 5 6
2
1 10
10
2
.
20
2
1
x q q
x x x
x
x x x
q
x q q q
Suy ra
2
1
1.
x
x
q
Vậy phương án đúng là A.
Câu 4.
Cho cấp số nhân
n
u
có tổng
n
số hạng đầu tiên là
5 1.
n
n
S
Tìm số hạng đầu
1
u
và công
bội
q
của cấp số nhân đó.
A.
1
6, 5
u q
. B.
1
5, 4
u q
. C.
1
4, 5
u q
. D.
1
5, 6
u q
.
Lời giải
Ta có
1 1
5 1 4
u S
và
2
2 2 1
5 1 5 1 20.
u S S
MẸO HỌC TẬP
1) Định lý Vi-ét đối với phương trình bậc ba:
Nếu phương trình bậc ba
3 2
0
ax bx cx d
có ba nghiệm
1 2 3
, ,
x x x
thì:
1 2 3
1 2 2 3 3 1
1 2 3
.
b
x x x
a
c
x x x x x x
a
d
x x x
a
2) Trong thực hành giải toán, chúng ta sử dụng kết quả này kết hợp với giả thiết của bài toán để
tìm ra nghiệm của phương trình hoặc xác định được mối liên hệ giữa các hệ số của phương
trình.
Trường hợp nếu
d
a
là hằng số thì điều kiện cần để phương trình bậc ba nói trên có ba nghiệm
lập thành một cấp số nhân là
3
d
x
a
là nghiệm của phương trình bậc ba đó.
Câu 5.
Cho cấp số nhân
n
u
có
1
3
u
và
1 2 3
15 4
u u u
đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm số hạng thứ
13
của
cấp số nhân đã cho.
A.
13
24567
u
. B.
13
12288
u
. C.
13
49152
u
. D.
13
3072
u
.
Lời giải
Gọi
q
là công bội của cấp số nhân
.
n
u
Ta có
2
2
1 2 3
15 4 45 12 3 3 2 33 33 .
u u u q q q q
Suy ra
12
13 1
12288.
u u q
Phương án đúng là B.
Nhận xét: Từ kết quả của ví dụ này, chúng ta có thể đề xuất các câu hỏi sau:
Câu 5.1:
Cho cấp số nhân có và đạt giá trị nhỏ nhất. Số hạng tổng quát của
cấp số nhân đó là
A.
B.
n
u
1
3
u
1 2 3
15 4
u u u
1
3.2 .
n
n
u
3.2 1.
n
n
u
CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN. If you wish to reach the highest, Begin at the lowest.
56 https://www.facebook.com/toanthayan | 0988323371
C.
D.
Câu 5.2:
Cho cấp số nhân có và đạt giá trị nhỏ nhất. Số là số hạng
thứ bao nhiêu của cấp số nhân đó?
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Câu 5.3:
Cho cấp số nhân có và đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng của 15 số
hạng đầu tiên của cấp số nhân đó.
A.
B.
C.
D.
Câu 5.4:
Cho cấp số nhân có và đạt giá trị nhỏ nhất. Biết
tìm .
A.
B.
C.
D.
Câu 6.
Số đo ba kích thước của hình hộp chữ nhật lập thành một cấp số nhân. Biết thể tích của khối
hộp là
3
125
cm
và diện tích toàn phần là
175 .
cm
Tính tổng số đo ba kích thước của hình hộp
chữ nhật đó.
A.
30 .
cm
B.
28 .
cm
C.
31 .
cm
D.
17,5 .
cm
Lời giải
Vì ba kích thước của hình hộp chữ nhật lập thành một cấp số nhân nên ta có thể gọi ba kích
thước đó là
, , .
a
q aq
q
Thể tích của khối hình hộp chữ nhật là
3
. . 125 5.
a
V a qa a a
q
Diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật là
2
1 1
2 . . . 2 1 50 1 .
tp
a a
S a a aq aq a q q
q q q q
Theo giả thiết, ta có
2
2
1
50 1 175 2 5 2 0 .
1
2
q
q q q
q
q
Với
2
q
hoặc
1
2
q
thì kích thước của hình hộp chữ nhật là
2,5 ;5 ;10 .
cm cm cm
Suy ra tổng của ba kích thước này là
2,5 5 10 17,5
cm.
Vậy phương án đúng là D.
1
3. 2 .
n
n
u
1
3.4 .
n
n
u
n
u
1
3
u
1 2 3
15 4
u u u
12288
13
12
14
15
n
u
1
3
u
1 2 3
15 4
u u u
15
S
15
737235.
S
15
2949075.
S
15
1474515.
S
15
2949075.
S
n
u
1
3
u
1 2 3
15 4
u u u
5898195,
k
S
k
16.
k
18.
k
19.
k
17.
k
LUYỆN MÃI THÀNH TÀI- MIỆT MÀI TẤT GIỎI. CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN.
0988323371 | Biên so
ạ
n và sưu t
ầ
m: Tô Qu
ố
c An
57
Câu 7.
Tìm tất cả các giá trị của tham số
m
để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập thành một
cấp số nhân:
3 2 2
7 2 6 8 0.
x x m m x
A.
7.
m
B.
1.
m
C.
1
m
hoặc
7.
m
D.
1
m
hoặc
7.
m
Lời giải
+ Điều kiện cần: Giả sử phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt
1 2 3
, ,
x x x
lập thành một
cấp số nhân.
Theo định lý Vi-ét, ta có
1 2 3
8.
x x x
Theo tính chất của cấp số nhân, ta có
2
1 3 2
x x x
. Suy ra ta có
3
2 2
8 2.
x x
+ Điều kiện đủ: Với
1
m
và
7
m
thì
2
6 7
m m
nên ta có phương trình
3 2
7 14 8 0.
x x x
Giải phương trình này, ta được các nghiệm là
1, 2, 4.
Hiển nhiên ba nghiệm này lập thành một
cấp số nhân với công bôị
2.
q
Vậy,
1
m
và
7
m
là các giá trị cần tìm. Do đó phương án
.
D
MẸO HỌC TẬP
Ta có thể chỉ ra nghiệm
2
x
bằng cách khác:
Theo định lý Vi-ét thì
2
1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3
7; 2 6 ; 8.
x x x x x x x x x m m x x x
Theo tính chất của cấp số nhân thì
2
1 3 2
.
x x x
Suy ra
2
1 2 2 3 3 1 2 1 2 3
2 6 .
m m x x x x x x x x x x
Thay
1 2 3
7;
x x x
được
2
2
2 6
.
7
m m
x
Thay vào
1 2 3
x x x
ta được
3
2
3
8 6
8
7
m m
2
6 7 0.
m m
Nhận xét: Từ kêt quả của ví dụ này, ta có thể đề xuất các câu hỏi sau đây:
Câu 7.1:
Biết rằng tồn tại đúng hai giá trị của tham số để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt
lập thành một cấp số nhân: Tính tổng bình phương của hai giá
trị đó.
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Câu 7.2:
Biết rằng tồn tại đúng hai giá trị của tham số m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập
thành một cấp số nhân: . Tính tổng bình phương của ba số hạng
của cấp số nhân đó.
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
m
3 2 2
7 2 6 8 0.
x x m m x
48
64
36
50
3 2 2
7 2 6 8 0
x x m m x
49
21
14
13
CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN. If you wish to reach the highest, Begin at the lowest.
58 https://www.facebook.com/toanthayan | 0988323371
Câu 8.
Một khu rừng có trữ lượng gỗ là
5
4.10
mét khối. Biết tốc độ sinh trưởng của các cây ở khu
rừng đó là
4%
mỗi năm. Hỏi sau 5 năm, khu rừng đó sẽ có bao nhiêu mét khối gỗ
A.
5
5
4.10 . 0,05 .
B.
5
5
4.10 . 1, 4 .
C.
5
5
4.10 . 1,04 .
D.
5
4. 10,4 .
Lời giải
Đặt
5
0
4.10
u
và
4% 0,04.
r
Gọi
n
u
là trữ lượng gỗ của khu rừng sau năm thứ
.
n
Khi đó ta có
1
1 , .
n n n
u u u r n
N
Suy ra
n
u
là cấp số nhân với số hạng đầu
0
u
và công bội
1 .
q r
Do đó số hạng tổng quát của cấp số nhân
n
u
là
0
1 .
n
n
u u r
Sau 5 năm, khu rừng đó sẽ có:
5 5
4 5
1
. 4.10 . 1 0,04 4. 10,4
n
u u q mét khối gỗ.
Vậy phương án đúng là D.
Câu 9.
Bài toán “Lãi kép”
Một người gửi số tiền
100
triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất
7%
/năm. Biết rằng nếu
không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi được nhập vào vốn ban đầu
(người ta gọi đó là lãi kép). Giả sử trong khoảng thời gian gửi người gửi không rút tiền ra và lãi
suất không thay đổi, hỏi sau
10
năm thì tổng số tiền cả vốn lẫn lãi mà người gửi nhận được gần
với số tiền nào trong các số tiền dưới đây?
A.
196715000
đồng. B.
196716000
đồng. C.
183845000
đồng. D.
183846000
đồng.
Lời giải
Đặt
8
0
10
M
(đồng) và
7% 0,07.
r
Gọi
n
M
là số tiền cả vốn lẫn lãi mà người gửi nhận được sau
n
năm.
Theo giả thiết, ta có
1
. 1 , 1.
n n n n
M M M r M r n
Do đó dãy số
n
M
là cấp số nhân với số hạng đầu
0
M
và công bội
1 .
q r
Suy ra
0
1 .
n
n
M M r
Vì vậy, sau
10
năm thì tổng số tiền cả vốn lẫn lãi mà người gửi nhận được là
10 10
8
10 0
1 10 . 1,07 196715000.
M M r
Vậy phương án đúng là A.
Câu 10.
Một người gửi ngân hàng
150
triệu đồng theo thể thức lãi kép, lãi suất
0,58%
một tháng (kể
từ tháng thứ
2
, tiền lãi được tính theo phần trăm của tổng tiền lãi tháng trước đó và tiền gốc
của tháng trước đó). Sau ít nhất bao nhiêu tháng, người đó có
180
triệu đồng?
A.
34
tháng. B.
32
tháng. C.
31
tháng. D.
30
tháng.
Lời giải
Theo ví dụ
9
, thì sau
n
tháng gửi tiết kiệm, ta có
0
1 ,
n
n
M M r
trong đó
7
0
15.10 , 0,0058.
M r
Do đó
7
15.10 . 1,0058 .
n
n
M
Cách 1: Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được phương án đúng.
+ Phương án A:
34
7
34
15.10 . 1,0058 182594000
M (đồng).
+ Phương án B:
32
7
32
15.10 . 1,0058 180494000
M (đồng).
+ Phương án C:
31
7
31
15.10 . 1,0058 179453000
M (đồng).
LUYỆN MÃI THÀNH TÀI- MIỆT MÀI TẤT GIỎI. CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN.
0988323371 | Biên so
ạ
n và sưu t
ầ
m: Tô Qu
ố
c An
59
Vậy, phương án đúng là B. (Không cần kiểm tra phương án D vì ở phương án D, số tháng ít
hơn ở phương án C nên số tiền sẽ ít hơn nữa).
Cách 2: Theo giả thiết, ta có
7
18.10
n
M
(đồng).
Do đó, ta có
7 7
6
18.10 15.10 . 1,0058 1,0058 .
5
n n
Sử dụng máy tính cầm tay, ta tính được
6
log : log 1,0058
5
n
hay
31,526.
n
Do đó
32.
n
Vậy phương án đúng là B.
CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN. If you wish to reach the highest, Begin at the lowest.
60 https://www.facebook.com/toanthayan | 0988323371
C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG
Dạng 1: Bài tập về nhận dạng cấp số nhân.
Câu 1.
Dãy số nào dưới đây không là cấp số nhân?
A.
1 1 1
1, , , .
5 25 125
B.
1 1 1
; ; ;1.
8 4 2
C.
4 4 4 4
2;2 2; 4 2;8 2.
D.
1 1 1
1; ; ; .
3 9 27
Câu 2.
Trong các dãy số được cho dưới đây, dãy số nào là cấp số nhân?
A.
Dãy số
,
n
u
với
7 3 .
n
u n
B.
Dãy số
,
n
v
với
7 3 .
n
n
v
C.
Dãy số
,
n
w
với
7.3 .
n
n
w
D.
Dãy số
,
n
t
với
7
.
3
n
t
n
Câu 3.
Trong các dãy số cho bởi công thức truy hồi sau, hãy chọn dãy số là cấp số nhân.
A.
1
2
1
2
.
n n
u
u u
B.
1
1
1
.
3
n n
u
u u
C.
1
1
3
.
1
n n
u
u u
D.
1
1
3
.
2 .
n
n n
u
u u
Dạng 2: Bài tập về xác định số hạng và công bội của cấp số nhân.
Câu 4.
Cho dãy số
n
u
xác định bởi
1
3
u
và
1
, 1.
4
n
n
u
u n
Tìm số hạng tổng quát của dãy số.
A.
3.4 .
n
u
B.
1
3.4 .
n
n
u
C.
1
3.4 .
n
n
u
D.
1
3.4 .
n
n
u
Câu 5.
Cho cấp số nhân
n
x
có
2
x
và
4
27.
x
Tính số hạng đầu
1
x
và công bội
của cấp số
nhân.
A.
1
1, 3
x q
hoặc
1
1, 3.
x q
B.
1
1, 3
x q
hoặc
1
1, 3.
x q
C.
1
3, 1
x q
hoặc
1
3, 1.
x q
D.
1
3, 1
x q
hoặc
1
3, 1.
x q
Câu 6.
Cho cấp số nhân
n
a
có
3
8
a
và
5
32.
a
Tìm số hạng thứ mười của cấp số nhân đó.
A.
10
1024.
a
B.
10
512.
a
C.
10
1024.
a
D.
10
1024.
a
Câu 7.
Cho cấp số nhân
,12, ,192.
x y
Tìm
x
và
.
y
A.
3, 48
x y
hoặc
4, 36.
x y
B.
3, 48
x y
hoặc
2, 72.
x y
C.
3, 48
x y
hoặc
3, 48.
x y
D.
3, 48
x y
hoặc
3, 48.
x y
Câu 8.
Cho cấp số nhân
n
u
có
1
5, 3
u q
và
200,
n
S
tìm
và
.
n
u
A.
5
n
và
405.
n
u
B.
6
n
và
1215.
n
u
C.
7
n
và
3645.
n
u
D.
4
n
và
135.
n
u
Câu 9.
Cho cấp số nhân
n
a
có
1
2
a
và biểu thức
1 2 3
20 10
a a a
đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm số hạng
thứ bảy của cấp số nhân đó.
A.
7
156250.
a
B.
7
31250.
a
C.
7
2000000.
a
D.
7
39062.
a
Câu 10.
Một tứ giác lồi có số đo các góc lập thành một cấp số nhân. Biết rằng số đo của góc nhỏ nhất
bằng
1
9
số đo của góc nhỏ thứ ba. Hãy tính số đo của các góc trong tứ giác đó.
A.
0 0 0 0
5 ,15 , 45 , 225 .
B.
0 0 0 0
9 , 27 ,81 , 243 .
C.
0 0 0 0
7 , 21 ,63 , 269 .
D.
0 0 0 0
8 ,32 ,72 , 248 .
Câu 11.
Cho cấp số nhân
n
u
có
4 6
3 5
540
.
180
u u
u u
Tìm số hạng đầu
1
u
và công bội
của cấp số nhân.
A.
1
2, 3.
u q
B.
1
2, 3.
u q
C.
1
2, 3.
u q
D.
1
2, 3.
u q
LUYỆN MÃI THÀNH TÀI- MIỆT MÀI TẤT GIỎI. CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN.
0988323371 | Biên so
ạ
n và sưu t
ầ
m: Tô Qu
ố
c An
61
Câu 12.
Cho cấp số nhân
n
a
có
1
7,
a
6
224
a
và
3577.
k
S
Tính giá trị của biểu thức
1 .
k
T k a
A.
17920.
T
B.
8064.
T
C.
39424.
T
D.
86016.
T
Dạng 3: Bài tập về tổng
số hạng đầu tiên của cấp số nhân.
Câu 13.
Cho cấp số nhân
n
u
có
2
4
S
và
3
13.
S
Tìm
5
.
S
A.
5
121
S
hoặc
5
181
.
16
S
B.
5
121
S
hoặc
5
35
.
16
S
C.
5
114
S
hoặc
5
185
.
16
S
D.
5
141
S
hoặc
5
183
.
16
S
Câu 14.
Cho cấp số nhân
n
u
có
1
8
u
và biểu thức
3 2 1
4 2 15
u u u
đạt giá trị nhỏ nhất. Tính
10
.
S
A.
11
10
9
2 4 1
5.4
S
B.
10
10
8
2 4 1
5.4
S
C.
10
10
6
2 1
3.2
S
D.
11
10
7
2 1
3.2
S
Câu 15.
Cho cấp số nhân
n
u
có
1
2,
u
công bội dương và biểu thức
4
7
1024
u
u
đạt giá trị nhỏ nhất.
Tính
11 12 20
... .
S u u u
A.
2046.
S
B.
2097150.
S
C.
2095104.
S
D.
1047552.
S
Câu 16.
Cho cấp số nhân
n
u
có
4 6
3 5
540
180
u u
u u
. Tính
21
.
S
A.
21
21
1
3 1
2
S
B.
21
21
3 1.
S
C.
21
21
1 3 .
S
D.
21
21
1
3 1 .
2
S
Dạng 4: Bài tập liên quan đến cấp số nhân.
Câu 17.
Tìm tất cả các giá trị của tham số
m
để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập thành một
cấp số nhân:
3 2
3 1 5 4 8 0.
x x x m x
A.
2.
m
B.
2.
m
C.
4.
m
D.
4.
m
Câu 18.
Biết rằng tồn tại hai giá trị
1
m
và
2
m
để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập thành một
cấp số nhân:
3 2 2 2
2 2 2 1 7 2 2 54 0.
x m m x m m x
Tính giá trị của biểu thức
3 3
1 2
.
P m m
A.
56
P
B.
8.
P
C.
56
P
D.
8.
P
Câu 19.
Một của hàng kinh doanh, ban đầu bán mặt hàng A với giá 100 (đơn vị nghìn đồng). Sau đó,
cửa hàng tăng giá mặt hàng A lên
10%.
Nhưng sau một thời gian, cửa hàng lại tiếp tục tăng giá
mặt hàng đó lên
10%.
Hỏi giá của mặt hàng A của cửa hàng sau hai làn tăng giá là bao nhiêu?
A.
120.
B.
121.
C.
122.
D.
200.
Câu 20.
Một người đem 100 triệu đồng đi gửi tiết kiệm với kỳ han 6 tháng, mỗi tháng lãi suất là
0,7%
số tiền mà người đó có. Hỏi sau khi hết kỳ hạn, người đó được lĩnh về bao nhiêu tiền?
A.
5
8
10 . 0,007
(đồng)
B.
5
8
10 . 1,007
(đồng)
C.
6
8
10 . 0,007
(đồng)
D.
6
8
10 . 1,007
(đồng)
Câu 21.
Tỷ lệ tăng dân số của tỉnh M là
1, 2%.
Biết rằng số dân của tỉnh M hiện nay là 2 triệu người.
Nếu lấy kết quả chính xác đến hàng nghìn thì sau 9 năm nữa số dân của tỉnh M sẽ là bao nhiêu?
A.
10320
nghìn người.
B.
3000
nghìn người.
C.
2227
nghìn người.
D.
2300
nghìn người.
CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN. If you wish to reach the highest, Begin at the lowest.
62 https://www.facebook.com/toanthayan | 0988323371
Câu 22.
Tế bào E. Coli trong điều kiện nuôi cấy thích hợp cứ 20 phút lại nhân đôi một lần. Nếu lúc đầu
có
12
10
tế bào thì sau 3 giờ sẽ phân chia thành bao nhiêu tế bào?
A.
12
1024.10
tế bào.
B.
12
256.10
tế bào.
C.
12
512.10
tế bào.
D.
13
512.10
tế bào.
Câu 23.
Người ta thiết kế một cái tháp gồm 11 tầng theo cách: Diện tích bề mặt trên của mỗi tầng bằng
nửa diện tích mặt trên của tầng ngay bên dưới và diện tích bề mặt trên của tầng 1 bằng nửa diện
tích đế tháp. Biết diện tích đế tháp là
2
12288 ,
m
tính diện tích mặt trên cùng.
A.
2
6 .
m
B.
12 .
m
C.
2
24 .
m
D.
2
3 .
m
Dạng 5: Bài tập liên quan đến cả cấp số nhân và cấp số cộng.
Câu 24.
Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào là sai?
A.
Dãy số
n
a
, với
1
3
a
và
1
6,
n n
a a
1,
n
vừa là cấp số cộng vừa là cấp số nhân.
B.
Dãy số
n
b
, với
1
1
b
và
2
1
2 1 3,
n n
b b
1,
n
vừa là cấp số cộng vừa là cấp số nhân.
C.
Dãy số
n
c
, với
1
2
c
và
2
1
3 10
n n
c c
1,
n
vừa là cấp số cộng vừa là cấp số nhân.
D.
Dãy số
n
d
, với
1
3
d
và
2
1
2 15,
n n
d d
1,
n
vừa là cấp số cộng vừa là cấp số nhân.
Câu 25.
Các số
6 ,
x y
5 2 ,
x y
8
x y
theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng, đồng thời, các số
5
,
3
x
1,
y
2 3
x y
theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. Hãy tìm
x
và
.
y
A.
3, 1
x y
hoặc
3 1
, .
8 8
x y
B.
3, 1
x y
hoặc
3 1
, .
8 8
x y
C.
24, 8
x y
hoặc
3, 1
x y
D.
24, 8
x y
hoặc
3, 1
x y
Câu 26. Ba số
, ,
x y z
lập thành một cấp số cộng và có tổng bằng 21. Nếu lần lượt thêm các số
2;3;9
vào ba số đó (theo thứ tự của cấp số cộng) thì được ba số lập thành một cấp số nhân. Tính
2 2 2
.
F x y z
A.
389.
F
hoặc
395.
F
B.
395.
F
hoặc
179.
F
C.
389.
F
hoặc
179.
F
D.
441
F
hoặc
357.
F
LUYỆN MÃI THÀNH TÀI- MIỆT MÀI TẤT GIỎI. CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN.
0988323371 | Biên so
ạ
n và sưu t
ầ
m: Tô Qu
ố
c An
63
D. HƯỚNG DẪN GIẢI
Dạng 1: Bài tập về nhận dạng cấp số nhân.
Câu 1. Đáp án
B
Các dãy số trong các phương án
,
A C
và
D
đảm bảo về dấu còn dãy số trong phương án
B
thì
3 số hạng đầu âm còn số hạng thứ tư là dương nên dãy số trong phương án
B
không phải là
cấp số nhân.
Câu 2. Đáp án
.
C
Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được phương án đúng.
+ Phương án
:
A
Ba số hạng đầu của dãy số là
4,1, 2
không lập thành cấp số nhân nên dãy số
n
u
không phải là cấp số nhân.
+ Phương án
:
B
Ba số hạng đầu của dãy số là
4; 2; 20
không lập thành cấp số nhân nên dãy
số
n
v
không phải là cấp số nhân.
+ Phương án
:
C
Ta có
1
1
7.3 3 , 1
n
n n
w w n
nên dãy số
n
w
là một cấp số nhân.
+ Phương án
:
D
Ba số hạng đầu của dãy số là
7 7 7
, ,
3 6 9
không lập thành cấp số nhân nên dãy số
n
t
không phải là cấp số nhân.
Câu 3. Đáp án
.
B
Các kiểm tra như câu 2.
Dạng 2: Bài tập về xác định số hạng và công bội của cấp số nhân.
Câu 4. Đáp án
.
B
Ta có:
1
1
.
4 4
n
n n
u
u u
nên
n
u
là cấp số nhân có công bội
1
.
4
q
Suy ra số hạng tổng quát là
1
1 1
1
1
. 3. 3.4 .
4
n
n n
n
u u q
Vậy phương án đúng là
.
B
Câu 5. Đáp án
.
B
Ta có
2
4
3
27
x
x
1
3
1
3
27
x q
x q
1
1
3
x
q
hoặc
1
1
.
3
x
q
Do đó
B
là phương án đúng.
Câu 6. Đáp án
.
A
Ta có:
3
5
8
32
a
a
2
1
4
1
8
32
a q
a q
1
2
2
a
q
hoặc
1
2
.
2
a
q
Với
1
2, 2
a q
thì
9
10 1
1024.
a a q
Với
1
2, 2
a q
thì
9
10 1
1024.
a a q
Vậy
10
1024.
a
Suy ra
A
là phương án đúng.
CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN. If you wish to reach the highest, Begin at the lowest.
64 https://www.facebook.com/toanthayan | 0988323371
Câu 7. Đáp án
.
C
Theo tính chất của cấp số nhân, ta có:
2
12.192 2304
y
48.
y
Cũng theo tính chất của cấp số nhân, ta có:
2
12 144.
xy
Với
48
y
thì
3;
x
với
48
y
thì
3.
x
Vậy phương án đúng là
.
C
Câu 8. Đáp án
.
D
Ta có:
1
1
.
1
n
n
q
S u
q
nên theo giả thiế, ta có:
1 3
5. 200
1 3
n
3 81 4.
n
n
Suy ra
3
4 1
. 135.
u u q
Vậy đáp án là
.
D
Câu 9. Đáp án
.
B
Gọi
là công bội của cấp số nhân
n
a
.
Ta có
2
1 2 3
20 10 2 10 20
a a a q q
2
2 5 10 10, .
q q
Dấu bằng xảy ra khi
5.
q
Suy ra
6 6
7 1
. 2.5 31250.
a a q
Vậy phương án đúng là
.
B
Câu 10. Đáp án
.
B
Cách 1: Kiểm tra các dãy số trong mỗi phương án có thỏa mãn yêu cầu của bài toán không.
+ Phương án
:
A
Các góc
0 0 0 0
5 ,15 ,45 ,225
không lập thành cấp số nhân vì
0 0
15 3.5 ;
0 0
45 3.15 ;
0 0
225 3.45 .
+ Phương án
:
B
Các góc
0 0 0 0
9 , 27 ,81 , 243
lập thành cấp số nhân và
0 0 0 0 0
9 27 81 243 360 .
Hơn nữa,
0 0
1
9 81
9
nên
B
là phương án đúng.
+ Phương án
C
và
:
D
Kiểm tra như phương án
.
A
Cách 2: Gọi các góc của tứ giác là
2 3
, , , ,
a aq aq aq
trong đó
1.
q
Theo giả thiết, ta có
2
1
9
a aq
nên
3.
q
Suy ra các góc của tứ giác là
,3 ,9 , 27 .
a a a a
Vì tổng các góc trong tứ giác bằng
0
360
nên ta có:
0
3 9 27 360
a a a a
0
9 .
a
Do đó, phương án đúng là
B
(vì trong ba phương án còn lại không có phương án nào có góc
0
9
).
LUYỆN MÃI THÀNH TÀI- MIỆT MÀI TẤT GIỎI. CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN.
0988323371 | Biên so
ạ
n và sưu t
ầ
m: Tô Qu
ố
c An
65
Câu 11. Đáp án
.
A
Ta có
4 6
540
u u
3 5
540.
u u q
Kết hợp với phương trình thứ hai trong hệ, ta tìm được
3.
q
Lại có
3 5
180
u u
2 4
1
180.
u q q
Vì
3
q
nên
1
2.
u
Vậy phương án đúng là
.
A
Câu 12. Đáp án
.
A
Ta có
6
224
a
5
1
224
a q
2
q
(do
1
7
a
).
Do
1
1
7 2 1
1
k
k
k
a q
S
q
nên
3577
k
S
7 2 1 3577
k
9
2 2
k
9.
k
Suy ra
8
9 1
10 10 17920.
T a a q
Vậy phương án đúng là
.
A
Dạng 3: Bài tập về tổng
số hạng đầu tiên của cấp số nhân.
Câu 13. Đáp án
.
A
Ta có
3 3 2
9
u S S
2
1 1
2
9
9u q u
q
Vì
2
4
S
nên
1 1
4.
u u q
Do đó
2
9 9
4
q q
2
4 9 9 0
q q
3
q
hoặc
3
.
4
q
+ Với
3
q
thì
1
1,
u
5
6 1
243.
u u q
Suy ra
1 6
5
1 243
121.
1 1 3
u u
S
q
+ Với
3
4
q
thì
1
16,
u
6
243
.
64
u
Suy ra
1 6
5
181
.
1 16
u u
S
q
Vậy phương án đúng là
.
A
Câu 14. Đáp án
.
B
Gọi
là công bội của cấp số nhân. Khi đó
2
3 2 1
4 2 15 2 4 1 122 122, .
u u u q q
Dấu bằng xảy ra khi
4 1 0
q
1
.
4
q
Suy ra:
10
10
10
10 1
8
1
1
2 4 1
1
4
. 8.
1
1 5.4
1
4
q
S u
q
Vậy phương án đúng là
.
B
CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN. If you wish to reach the highest, Begin at the lowest.
66 https://www.facebook.com/toanthayan | 0988323371
Câu 15. Đáp án
.
C
Gọi
là công bội của cấp số nhân,
0.
q
Ta có
3
4
6
7
1024 512
2 .
u q
u q
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:
3 3 3 3 3
3
6 6 6
512 512 512
2 3 . . 24.
q q q q q
q q q
Suy ra
4
7
1024
u
u
đạt giá trị nhỏ nhất bằng
24
khi
3
6
512
q
q
2.
q
Ta có
10
1
11
10
1
2 2;
1
u q
S
q
20
1
21
10
1
2 2.
1
u q
S
q
Do đó
20 10
2095104.
S S S
Vậy phương án đúng là
.
C
Câu 16. Đáp án
.
A
Ta có
4 6
540
u u
3 5
540.
u u q
Kết hợp với phương trình thứ hai trong hệ, ta tìm được
3.
q
Lại có
3 5
180
u u
2 4
1
180.
u q q
Vì
3
q
nên
1
2.
u
Suy ra
21
1
21
21
1
1
3 1 .
1 2
u q
S
q
Vậy phương án đúng là
.
A
Dạng 4: Bài tập liên quan đến cấp số nhân
Câu 17. Đáp án
.
B
Cách 1: Ta có
8
8.
1
d
a
Điều kiện cần để phương trình đã choc ó ba nghiệm lập thành một cấp số nhân là
3
8 2
x
là
nghiệm của phương trình.
Thay
2
x
vào phương trình đã cho, ta được
4 2 0
m
2.
m
Với
2,
m
ta có phương trình
3 2
7 14 8 0
x x x
1; 2; 4
x x x
Ba nghiệm này lập thành một cấp số nhân nên
2
m
là giá trị cần tìm. Vậy,
B
là phương án
đúng.
Cách 2: Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được phương án đúng.
Câu 18. Đáp án
.
A
Ta có
54
27.
2
d
a
Điều kiện cần để phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số nhân là
3
27 3
x
phải là nghiệm của phương trình đã cho.
2
2 8 0
m m
2; 4.
m m
Vì giả thiết cho biết tồn tại đúng hai giá trị của tham số
m
nên
2
m
và
4
m
là các giá trị
thỏa mãn
Suy ra
3
3
2 4 56.
P
Vậy phương án đúng là
.
A
LUYỆN MÃI THÀNH TÀI- MIỆT MÀI TẤT GIỎI. CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN.
0988323371 | Biên so
ạ
n và sưu t
ầ
m: Tô Qu
ố
c An
67
Câu 19. Đáp án
.
B
Sau lần tăng giá thứ nhất thì giá của mặt hàng
A
là:
1
100 100.10% 110.
M
Sau lần tăng giá thứ hai thì giá của mặt hàng
A
là:
2
110 110.10% 121.
M
Suy ra phương án đúng là
.
B
Suy ra phương án đúng là B.
Câu 20. Đáp án D.
Số tiền ban đầu là
8
0
10
M
(đồng).
Đặt
0,7% 0,007
r
.
Số tiền sau tháng thứ nhất là
1 0 0 0
1
M M M r M r
.
Số tiền sau tháng thứ hai là
2
2 1 1 0
1
M M M r M r
.
Lập luận tương tự, ta có số tiền sau tháng thứ sáu là
6
6 0
1
M M r
.
Do đó
6
8
6
10 1,007
M
.
Câu 21. Đáp án C.
Đặt
6
0
2000000 2.10
P
và
1, 2% 0,012
r
.
Gọi
n
P
là số dân của tỉnh
M
sau
năm nữa.
Ta có:
1
1
n n n n
P P P r P r
.
Suy ra
n
P
là một cấp số nhân với số hạng đầu
0
P
và công bội
1
q r
.
Do đó số dân của tỉnh
M
sau
10
năm nữa là:
9 10
6
9 0
1 2.10 1,012 2227000
P M r .
Câu 22. Đáp án C.
Lúc đầu có
22
10
tế bào và mỗi lần phân chia thì một tế bào tách thành hai tế bào nên ta có cấp
số nhân với
22
1
10
u
và công bội
2
q
.
Do cứ
20
phút phân đôi một lần nên sau
3
giờ sẽ có
9
lần phân chia tế bào. Ta có
10
u
là số tế
bào nhận được sau
3
giờ. Vậy, số tế bào nhận được sau
3
giờ là
9 12
10 1
512.10
u u q
.
Câu 23. Đáp án A.
Gọi
0
u
là diện tích đế tháp và
n
u
là diện tích bề mặt trên của tầng thứ
, với
1 11
n
. Theo
giả thiết, ta có
1
1
0 10
2
n n
u u n
.
Dãy số
n
u
lập thành cấp số nhân với số hạng đầu
0
12288
u
và công bội
1
2
q
.
Diện tích mặt trên cùng của tháp là
11
11 2
11 0
1
. 12288. 6m
2
u u q
.
CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN. If you wish to reach the highest, Begin at the lowest.
68 https://www.facebook.com/toanthayan | 0988323371
Dạng 5: Bài tập liên quan đến cả cấp số nhân và cấp số cộng.
Câu 24. Đáp án D.
Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được phương án sai.
+ Phương án A:Ta có
2 2
3; 3;...
a a
Bằng phương pháp quy nạp toán học chúng ra chứng
minh được rằng
3, 1
n
a n
. Do đó
n
a
là dãy số không đổi. Suy ra nó vừa là cấp số cộng
(công sai bằng
0
) vừa là cấp số nhân (công bội bằng
1
).
+ Phương án B: Tương tự như phương án A, chúng ta chỉ ra được
1, 1
n
b n
. Do đó
n
b
là
dãy số không đổi. Suy ra nó vừa là cấp số cộng (công sai bằng
0
) vừa là cấp số nhân (công
bội bằng
1
).
+ Phương án C: Tương tự như phương án A, chúng ta chỉ ra được
2, 1
n
c n
. Do đó
n
c
là
dãy số không đổi. Suy ra nó vừa là cấp số cộng (công sai bằng
0
) vừa là cấp số nhân (công
bội bằng
1
).
+ Phương án D: Ta có:
1 2 3
3, 3, 3
d d d
. Ba số hạng này không lập thành cấp số cộng
cũng không lập thành cấp số nhân nên dãy số
n
d
không phải là cấp số cộng và cũng không
là cấp số nhân .
Câu 25. Đáp án A.
+ Ba số
6 ,5 2 ,8
x y x y x y
lập thành cấp số cộng nên
6 8 2 5 2 3
x y x y x y x y
.
+ Ba số
5
, 1,2 3
3
x y x y
lập thành cấp số nhân nên
2
5
2 3 1
3
x x y y
.
Thay
3
x y
vào ta được
2
8 7 1 0 1
y y y
hoặc
1
8
y
.
Với
1
y
thì
3
x
; với
1
8
y
thì
3
8
x
.
Câu 26. Đáp án C.
Theo tính chất của cấp số cộng , ta có
2
x z y
.
Kết hợp với giả thiết
21
x y z
, ta suy ra
3 21 7
y y
.
Gọi
d
là công sai của cấp số cộng thì
7
x y d d
và
7
z y d d
.
Sau khi thêm các số
2;3;9
vào ba số
, ,
x y z
ta được ba số là
2, 3, 9
x y z
hay
9 ,10,16
d d
.
Theo tính chất của cấp số nhân, ta có
2 2
9 16 10 7 44 0
d d d d
.
Giải phương trình ta được
11
d
hoặc
4
d
.
Với
11
d
, cấp số cộng
18,7, 4
. Lúc này
389
F
.
Với
4
d
, cấp số cộng
3,7,11
. Lúc này
179
F
.
LUYỆN MÃI THÀNH TÀI- MIỆT MÀI TẤT GIỎI. CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN.
0988323371 | Biên so
ạ
n và sưu t
ầ
m: Tô Qu
ố
c An
69
ĐÃ MẤT CÔNG HỌC TẠI SAO KHÔNG HỌC CHO HẾT
QUYỂN SÁCH NÀY.
CHÚC CÁC EM THÀNH CÔNG!!!
“TRONG VIỆC HỌC PHẢI LẤY TỰ HỌC LÀM CỐT”
T.Q.A.
| 1/70
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

Hoï vaø teân: .............................................. PLEIKU
TAØI LIEÄU LÖU HAØNH NOÄI BOÄ
Tröôøng: .............................. Lôùp: .......... DAÕY SOÁ - CAÁP SOÁ COÄNG & CAÁP SOÁ NHAÂN LÔÙP TOAÙN THAÀY AN
Söu taàm vaø bieân soaïn: Toâ Quoác An Pleiku, Gia Lai toanthayan@gmail.com fb.com/toanthayan DÑ: 0988 32 33 71
LUYỆN MÃI THÀNH TÀI- MIỆT MÀI TẤT GIỎI.
CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN.
CHUYÊN ĐỀ: DÃY SỐ. CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN Mục lục sách :
PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC ................................................................................................... 3
A. LÝ THUYẾT ........................................................................................................................................ 3
B. CÁC BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH ............................................................................................................. 3
C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG ..................................................................................................... 8
D. HƯỚNG DẪN GIẢI ........................................................................................................................... 10
DÃY SỐ....................................................................................................................................................... 13
A. LÝ THUYẾT ...................................................................................................................................... 13
1. Định nghĩa: ....................................................................................................................................... 13
2. Các cách cho một dãy số: ................................................................................................................. 13
3. Dãy số tăng, dãy số giảm, dãy số hằng: ........................................................................................... 13
4. Dãy số bị chặn .................................................................................................................................. 14
B. CÁC BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH ........................................................................................................... 15
C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG ................................................................................................... 21
Dạng 1: Bài tập về xác định số hạng của dãy số .................................................................................. 21
Dạng 2: Bài tập về xét tính tăng, giảm của dãy số. .............................................................................. 22
Dạng 3: Bài tập về xét tính bị chặn của dãy số. ................................................................................... 22
Dạng 4: Bài tập về tính chất của dãy số. .............................................................................................. 23
D. HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT ......................................................................................................... 25
Dạng 1: Bài tập về xác định số hạng của dãy số .................................................................................. 25
Dạng 2: Bài tập về xét tính tăng giảm của dãy số ................................................................................ 26
Dạng 3: Bài tập về xét tính bị chặn của dãy số .................................................................................... 26
Dạng 4: Bài tập về tính chất của dãy số. .............................................................................................. 27
CẤP SỐ CỘNG ........................................................................................................................................... 30
A. LÝ THUYẾT ...................................................................................................................................... 30
I. Định nghĩa. ........................................................................................................................................ 30
II. Số hạng tổng quát của cấp số cộng. ................................................................................................. 31
III. Tính chất các số hạng của cấp số cộng. .......................................................................................... 31
IV. Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng. .................................................................................... 32
B. CÁC DẠNG TOÁN VỀ CẤP SỐ CỘNG........................................................................................... 33
C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG ................................................................................................... 40
Dạng 1: Bài tập nhận dạng cấp số cộng ............................................................................................... 40
Dạng 2: Bài tập về xác định số hạng và công sai của cấp số cộng. ...................................................... 40
Dạng 3: Bài tập về tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng. ...................................................... 41
0988323371 | Biên soạn và sưu tầm: Tô Quốc An 1
CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN.
If you wish to reach the highest, Begin at the lowest.
Dạng 4: Bài tập liên quan đến tính chất của cấp số cộng. .................................................................... 41
Dạng 5: Bài tập liên quan đến cấp số cộng. ......................................................................................... 41
D. HƯỚNG DẪN GIẢI ........................................................................................................................... 44
Dạng 1: Bài tập về nhận dạng cấp số cộng ........................................................................................... 44
Dạng 2: Bài tập về nhận dạng cấp số cộng ........................................................................................... 44
Dạng 3: Bài tập về tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng. ...................................................... 46
Dạng 4: Bài tập liên quan đến tính chất của cấp số cộng. .................................................................... 46
Dạng 5: Bài tập liên quan đến cấp số cộng. ......................................................................................... 46
CẤP SỐ NHÂN ........................................................................................................................................... 50
A. LÝ THUYẾT ...................................................................................................................................... 50
1. Định nghĩa. ....................................................................................................................................... 50
2. Số hạng tổng quát của cấp số nhân. .................................................................................................. 51
3. Tính chất các số hạng của cấp số nhân ............................................................................................. 52
4. Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân. ........................................................................................ 52
B. CÁC DẠNG TOÁN VỀ CẤP SỐ NHÂN .......................................................................................... 54
C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG ................................................................................................... 60
Dạng 1: Bài tập về nhận dạng cấp số nhân. .......................................................................................... 60
Dạng 2: Bài tập về xác định số hạng và công bội của cấp số nhân. ..................................................... 60
Dạng 3: Bài tập về tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân. ............................................................. 61
Dạng 4: Bài tập liên quan đến cấp số nhân. ......................................................................................... 61
Dạng 5: Bài tập liên quan đến cả cấp số nhân và cấp số cộng. ............................................................ 62
D. HƯỚNG DẪN GIẢI ........................................................................................................................... 63
Dạng 1: Bài tập về nhận dạng cấp số nhân. .......................................................................................... 63
Dạng 2: Bài tập về xác định số hạng và công bội của cấp số nhân. ..................................................... 63
Dạng 3: Bài tập về tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân. ............................................................. 65
Dạng 4: Bài tập liên quan đến cấp số nhân .......................................................................................... 66
Dạng 5: Bài tập liên quan đến cả cấp số nhân và cấp số cộng. ............................................................ 68
2 https://www.facebook.com/toanthayan | 0988323371
LUYỆN MÃI THÀNH TÀI- MIỆT MÀI TẤT GIỎI.
CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN.
CHỦ ĐỀ 3: DÃY SỐ. CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN
PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC A. LÝ THUYẾT
Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số nguyên dương n là đúng với mọi n mà
không thể thử trực tiếp được thì có thể làm như sau:
- Bước 1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n  1 .
- Bước 2: Giả thiết rằng mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kỳ n k  1 (gọi là giả
thiết quy nạp). Bằng kiến thức đã biết và giả thiết quy nạp, chứng minh rằng mệnh đề đó cũng
đúng với n k  1 .
B. CÁC BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH
Ví dụ 1. Với mối số nguyên dương n , đặt 2 2 2
S  1  2  ...  n . Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
n(n 1)(n  2)
n(n 1)(2n 1) A. S  . B. S  . 6 3
n(n 1)(2n 1)
n(n 1)(2n 1) C. S  . D. S  . 6 2 Đáp án C. Lời giải
Cách 1: Chúng ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học rằng mọi *
n  ℕ , ta có đẳng n n n  thức 2 2 2 2 ( 1)(2 1)
1  2  3  ... n  . 6 1(11)(2.11)
- Bước 1: Với n  1 thì vế trái bằng 2 1 1, vế phải bằng  1. 6
Vậy đẳng thức đúng với n  1 .
-Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng với
n k  1 , tức là chứng minh      2 2 2 2 2
(k 1)(k 1)  1 2(k 1)  1
(k 1)(k  2)(2k  3)
1  2  3  ... k  (k 1)   . 6 6
Ta phải chứng minh đẳng thức cũng đúng với n k  1 , tức là chứng minh      2 2 2 2 2
(k 1)(k 1)  1 2(k 1)  1
(k 1)(k  2)(2k  3)
1  2  3  ... k  (k 1)   . 6 6
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có 2 2 2 2 2
(k 1)(k 1)(2k 1) 2
1  2  3  ... k  (k 1)   (k 1) . 6 2
(k 1)(k 1)(2k 1)
k(k 1)(2k 1)  6(k 1)
(k 1)(k  2)(2k  3) Mà 2  (k 1)   . 6 6 6 k k k  Suy ra 2 2 2 2 2 ( 1)( 2)(2 3)
1  2  3  ... k  (k 1)  . 6
Do đó đẳng thức đúng với n k  1 . Suy ra có điều phải chứng minh.
Vậy phương án đúng là C.
Cách 2: Kiểm tra tính đúng-sai của từng phương án đến khi tìm được phương án đúng thông
qua một số giá trị cụ thể của n. + Với n  1 thì 2
S 1 1 (loại được các phương án B và D); + Với n  2 thì 2 2
S 1  2  5 (loại được phương án A).
Vậy phương án đúng là C.
0988323371 | Biên soạn và sưu tầm: Tô Quốc An 3
CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN.
If you wish to reach the highest, Begin at the lowest. MẸO HỌC TẬP
Ngoài kết quả nêu trong ví dụ 1, chúng ta có thể đề cập đến các kết quả tương tự như sau: n(n 1)
1) 1 2  .. n  . 2 2 2 n n  2) 3 3 3 ( 1)
1  2  ... n  . 4 2 n n n n n  3) 4 4 4 ( 1)(2 1)(3 3 1)
1  2  ... n  . 30 2 2 2 n n n n  4) 5 5 5 ( 1) (2 2 1)
1  2  ...  n  . 12
n(n 1)(n  2)(n  3)
5) 1.2.3  2.3.4  ... n(n 1)(n  2)  . 4
Nhận xét: Từ ví dụ 1 và các bài tập ở phần nhận xét, ta thấy bậc ở vế trái nhỏ hơn bậc ở vế
phải là 1 đơn vị. Lưu ý điều này có thể tính được tổng dạng luỹ thừa dựa vào phương pháp hệ
số bất định. Từ kết quả của ví dụ này, chúng ta hoàn toàn có thể đề xuất các câu hỏi trắc nghiệm sau đây:
Câu 1.1. Với mỗi số nguyên n, đặt 2 2 2
S 1  2 ... n . Mệnh đề nào dưới đây là sai? 1 1 1 A. S   3 2
2n  3n n .
B. S  n  3 1  n   1    3 n n 6 6   . 6 1 n 2 n   1 2n   1
C. S  2n  3
1  3nn   1  2n   1  S  . 6   . D. 6
Câu 1.2. Với mỗi số nguyên dương n, ta có 2 2 2 3 2
1  2  ... n an bn cn, trong đó , a , b c là các
hằng số. Tính giá trị của biểu thức 2 2 2
M ab bc ca . 25 25 A. M  25 . B. M  . C. M  . D. M  23 . 216 6
Câu 1.3. Tìm tất cả các số nguyên dương n, để 2 2 2
1  2 ... n  2017 . A. n  18 . B. n  20 . C. n  17 . D. n  19 .
Câu 1.4. Tính tổng S của tất cả các số nguyên dương n, thoả mãn 2 2 2
1  2 ... n  2018. A. S  153 . B. S  171 . C. S  136 . D. S  190 .
Ví dụ 2. Đặt T  2  2  2  ... 2 (có n dấu căn). Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng? n   A. T  3 . B. T  2 cos . C. T  cos . D. T  5 . n n n 1 2  n n 1 2  n Đáp án B. Lời giải
Ta chứng minh T  2 cos
bằng phương pháp quy nạp toán học. Thật vậy: n n 1 2   
Bước 1: Với n  1 thì vế trái bằng 2 , còn vế phải bằng 2 cos  2 cos  2 . 1 1 2  4
Vậy đẳng thức đúng với n  1. 
Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng với n k  1, nghĩa là T  2cos . k k 1 2 
4 https://www.facebook.com/toanthayan | 0988323371
LUYỆN MÃI THÀNH TÀI- MIỆT MÀI TẤT GIỎI.
CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN.
Ta phải chứng minh đẳng thức cũng đúng với n k  1 , tức là chứng minh T  2cos . k 1  k 2 2  Thật vậy, vì T
 2  T nên theo giả thiết quy nạp ta có T
 2  T  2  2 cos . k 1  k k 1  k k 1 2         Mặt khác, 2 1 cos  1 cos 2.  2 cos nên 2 T  2.2 cos  2 cos . k 1   k 2  k 2 2  2  2 k 1  k 2 k 2 2 2
Vậy phương án đúng là B. MẸO HỌC TẬP
Ngoài cách làm như trên, ta có thể làm theo cách sau: kiểm tra tính đúng – sai của từng phương
án đến khi tìm được phương án đúng thông qua một số giá trị cụ thể của n .
+ Với n  1 thì T  2 (loại ngay được phương án A, C và D). 1
Nhận xét: Từ kết quả của ví dụ 2, chúng ta có thể đề xuất các câu hỏi dưới đây: 511
Câu 2.1: Đặt T  2  2  2  ... 2 (có n dấu căn). Tìm n để T  2sin . n n 1024 A. n 10 . B. n  9 . C. n  11 . D. n  8 .
Câu 2.2: Cho dãy số u xác định bởi u  2 và * u  2  u , n
  ℕ . Số hạng tổng quát của dãy n  1 n 1  n số u là: n    A. u  2sin . B. u  2 cos . n n 1 2  n n 1 2    C. u  cos . D. u  sin . n n 1 2  n n 1 2  1 1 1
Ví dụ 3. Đặt S    ...  ,với *
nℕ .Mệnh đề nào dưới đây đúng? n 1.3 3.5
(2n 1)(2n 1) n 1 3n 1 n n  2 A. S  . B. S  . C. S  . D. S  . n 2(2n 1) n 4n  2 n 2n 1 n 6n  3 Đáp án C. Lời giải
Cách 1: Rút gọn biểu thức S dựa vào việc phân tích phần tử đại diện. n 1 1  1 1
Với mọi số nguyên dương  k , ta có   . (2k 1)(2k 1)
2  2k 1 2k 1      1  1 1 1 1 1 1  1  n Do đó:  S  1    ...    1  . n 2     3 3 5 2n 1 2n 1    2 
2n 1 2n 1
Vậy phương án đúng là phương án C.
Cách 2: Kiểm tra tính đúng – sai của phương án dựa vào một số giá trị cụ thể của n. 1 1
Với n  1 thì S
 (chưa loại được phương án nào); 1 1.3 3 1 1 2
Với n  2 thì S  
 (loại ngay được các phương án A,B và D. 2 1.3 3.5 5
Vậy phương án đúng là phương án C.
0988323371 | Biên soạn và sưu tầm: Tô Quốc An 5
CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN.
If you wish to reach the highest, Begin at the lowest.
Nhận xét: Từ kết quả của ví dụ này,chúng ta hoàn toàn trả lời được các câu hỏi trắc nghiệm sau đây: 1 1 1 an b Câu 3.1: Với * nℕ ,biết rằng   ...   . Trong đó , a ,
b c là các số nguyên. 1.3 3.5
(2n 1)(2n 1) cn 1
Tính giá trị biểu thức 2 3 4
P a b c . A. P  17 . B. P  10 . C. P  9 .
D. P  19 . 1 1 1 an b Câu 3.2: Với * nℕ ,biết rằng   ...   . Trong đó , a , b c là các số 1.3 3.5
(2n 1)(2n 1) 4n c
nguyên.Tính giá trị biểu thức      2 2 2 T
a b c a b c . A. T  40 . B. T  4 . C. T  32 .
D. T  16 . 2 1 1 1
an bn c
Câu 3.3: Biết rằng   ...  ,trong đó * nℕ a b c là các số 1.3 3.5
(2n 1)(2n 1)  và , , 2n  2 1
nguyên. Tính giá trị biểu thức  a c F a b    . A. F  9 . B. F  6 . C. F  8 .
D. F  27 .
Câu 3.4: Tính tổng S của tất cả các số nguyên dương n thỏa mãn bất phương trình 1 1 1 17   ...   1.3 3.5
(2n 1)(2n 1) 35 A. S  153 . B. S  136 . C. S  272 . D. S  306 . Ví dụ 4. n
Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho 1 2 2  n  3 . n A. n  3 . B. n  5 . C. n  6 . D. n  4 . Đáp án D. Lời giải
Kiểm tra tính đúng – sai của bất đẳng thức với các trường hợp n 1,2,3, 4, ta dự đoán được n 1  2 2
n  3n, với n  4. Ta chứng minh bất đẳng thức này bằng phương pháp quy nạp toán học. Thật vây:
-Bước 1: Với n  4 thì vế trái bằng 4 1  5 2
 2  32, còn vế phải bằng 2 4  3.4  28.
Do 32  28 nên bất đẳng thức đúng với n  4.
-Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng với n k  4, nghĩa là k 1  2 2  k  3k.
Ta phải chứng minh bất đẳng thức cũng đúng với n k 1, tức là phải chứng minh k   1 1 2   k  2 1  3k   1 hay k2 2 2
k  5k  4.
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có k 1  2 2  k  3k. Suy ra k 1    2 2.2
2 k  3k  hay k2 2 2  2k  6k Mặt khác 2
k k   2 k k   2 2 2 6 5
4  k k  4  4  4  4  16 với mọi k  4. Do đó k2   2 k k  2 2 2 3
k  5k  4 hay bất đẳng thức đúng với n k 1.
Suy ra bất đẳng thức được chứng minh.
Vậy phương án đúng là D. MẸO HỌC TẬP
Dựa vào kết quả ví dụ 4, ta có thể đề xuất bài toán sau:
Câu 4.4:Tìm số nguyên tố p nhỏ nhất sao cho: n 1  2 2
n  3n,n p, n  ℕ * A. p  3. B. p  5. C. p  4 . D. p  7 .
6 https://www.facebook.com/toanthayan | 0988323371
LUYỆN MÃI THÀNH TÀI- MIỆT MÀI TẤT GIỎI.
CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN.
0988323371 | Biên soạn và sưu tầm: Tô Quốc An 7
CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN.
If you wish to reach the highest, Begin at the lowest.
C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG
Câu 1. Tổng S các góc trong của một đa giác lồi n cạnh, n  3, là: A. S  . n 180.
B. S  n  2.180 .
C. S  n   1 .180 .
D. S  n  3.180 . Câu 2. Với *
n  ℕ , hãy rút gọn biểu thức S  1.4  2.7  3.10  ...  n 3n   1 .
A. S n n  2 1 .
B. S n n  2 2 .
C. S n n   1 .
D. S  2n n   1 .
Câu 3. Kí hiệu k k k   * !
1 ...2.1, k  ℕ . Với *
n  ℕ , đặt S  1.1! 2.2! ...  .
n n!. Mệnh đề nào dưới n đây là đúng?
A. S  2.n!.
B. S  n 1!1.
C. S  n   1 !.
D. S  n   1 !1 . n n n n Câu 4. Với *
n  ℕ , đặt T       n2 2 2 2 1 2 3 ... 2 và M       n2 2 2 2 2 4 6 ... 2 . Mệnh đề nào dưới n n đây là đúng? T 4n 1 T 4n 1 T 8n 1 T 2n 1 A. n  . B. n . C. n  . D. n  . M 2n  2 M 2n 1 M n 1 M n 1 n n n n
Câu 5. Tìm số nguyên dương p nhỏ nhất để 2n  2n 1 với mọi số nguyên n p . A. p  5 .
B. p  3 . C. p  4 . D. p  2 .
Câu 6. Tìm tất cả các giá trị của * n  ℕ sao cho 2 2n n . A. n  5 .
B. n  1 hoặc n  6 . C n  7 .
D. n  1 hoặc n  5. 1 1 1 an b
Câu 7. Với mọi số nguyên dương n , ta có:   ... 
, trong đó a,b, c 2.5 5.8 3n   1 3n  2 cn  4
là các số nguyên. Tính các giá trị của biểu thức 2 2 2
T ab bc ca . A. T  3. B. T  6 . C. T  43 .
D. T  42 .  1  1   1  an  2
Câu 8. Với mọi số nguyên dương n  2 , ta có: 1 1 ...1  
, trong đó a,b là các 2  4   9   n bn  4
số nguyên. Tính các giá trị của biểu thức 2 2
T a b . A. P  5 . B. P  9 . C. P  20 .
D. P  36. Câu 9. Biết rằng 3 3 3 4 3 2 *
1  2  ...  n an bn cn dn e, n  ℕ . Tính giá trị biểu thức
M a b c d e . 1 1 A. M  4 .
B. M  1 . C. M  .
D. M . 4 2
Câu 10. Biết rằng mọi số nguyên dương n , ta có 1.2  2.3  ... n n   3 2
1  a n b n c n d và 1 1 1 1
1.2  2.5  3.8  ...  n 3n 1 3 2
a n b n c n d . Tính giá trị biểu thức 2 2 2 2
T a a b b c c d d . 1 2 1 2 1 2 1 2 4 2 A. T  2 .
B. T  1. C. M  .
D. T . 3 3
Câu 11. Biết rằng 1k  2k  ... kn , trong đó ,
n k là số nguyên dương. Xét các mệnh đề sau: n n   1 nn   1 2n   1 n n  2 2 1 n n   1 2n   1  2
3n  3n   1 S  , S  , S  và S  . 1 2 2 6 3 4 4 30
Số các mệnh đề đúng trong các mệnh đề nói trên là: A. 4 . B. 1. C. 2 . D. 3 . Câu 12. Với *
n  ℕ , ta xét các mệnh đề :"7n P
 5 chia hết cho 2" ; :"7n Q  5 chia hết cho 3" và :"7n Q
 5 chia hết cho 6" . Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là : A. 3 . B. 0 . C. 1. D. 2 .
8 https://www.facebook.com/toanthayan | 0988323371
LUYỆN MÃI THÀNH TÀI- MIỆT MÀI TẤT GIỎI.
CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN.
Câu 13. Xét bài toán: “Kiểm nghiệm với số nguyên dương n bất đẳng thức 1 2n n   ”. Một học sinh đã
trình bày lời giải bài toán này bằng các bước như sau:
Bước 1: Với n  1, ta có: n!1! 1 và n 1  1 1  0 2  2  2  1. Vậy 1 ! 2n n   đúng.
Bước 2 : Giả sử bất đẳng thức đúng với n k  1, tức là ta có 1 ! 2k k   .
Ta cần chứng minh bất đẳng thức đúng với n k 1, nghĩa là phải chứng minh   1 ! 2k k   . Bước 3 : Ta có     k 1 1 ! 1 . ! 2.2 2k k k k       . Vậy 1 ! 2n n  
với mọi số nguyên dương n .
Chứng minh trên đúng hay sai, nếu sai thì sai từ bước nào ? A. Đúng. B. Sai từ bước 2. C. Sai từ bước 1.
D. Sai từ bước 3. 2 1 1 1 an bn Câu 14. Biết rằng   ...  
, trong đó a,b, c, d và n là các số 1.2.3 2.3.4 n n   1 n  2 2 cn dn 16
nguyên dương. Tính giá trị của biểu thức T  a cb d  . là : A.T  75 . B. T  364 . C. T  300 .
D. T  256 .
0988323371 | Biên soạn và sưu tầm: Tô Quốc An 9
CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN.
If you wish to reach the highest, Begin at the lowest.
D. HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1. Đáp án B.
Cách 1: Từ tổng các góc trong tam giác bằng 180 và tổng các góc trong từ giác bằng 360 ,
chúng ta dự đoán được S  n  2.180 .
Cách 2: Thử với những trường hợp đã biết để kiểm nghiệm tính đúng –sai từ các công thức. Cụ
thể là với n  3 thì S 180 (loại luôn được các phương án A, C và D); với n  4 thì S  360
(kiểm nghiệm phương án B lần nữa). Câu 2. Đáp án A.
Để chọn được S đúng, chúng ta có thể dựa vào một trong ba cách sau đây:
Cách 1: Kiểm tra tính đúng –sai của từng phương án với những giá trị của n .
Với n  1 thì S  1.4  4 (loại ngay được phương án B và C); với n  2 thì S 1.4  2.7 18
(loại được phương án D).
Cách 2: Bằng cách tính S trong các trường hợp n  1, S  4; n  2, S  18; n  3, S  48 ta dự
đoán được công thức S n n  2 1 . nn   1
Cách 3: Ta tính S dựa vào các tổng đã biết kết quả như 1 2  ...  n  và 2 nn   1 2n   1 2 2 2
1  2  ...  n  . Ta có: S   
  n       n  n n  2 2 2 2 3 1 2 ... 1 2 ... 1 . 6 Câu 3. Đáp án B.
Chúng ta có thể chọn phương án đúng dựa vào một trong hai cách sau đây:
Cách 1: Kiểm nghiệm từng phương án đúng đối với những giá trị cụ thể của n .
Với n  1 thì S  1.1!  1 (Loại ngay được các phương án A, C, D). 1
Cách 2: Rút gọn S dựa vào việc phân tích phần tử đại diện n
k.k !  k 1 
1 .k !  k  
1 .k ! k !  k   1 ! k !. Suy ra: S  2!1  !  3! 2 
!  ...  n   1 ! n  !  n   1 !1. n Câu 4. Đáp án A.
Chúng ta có thể chọn phương án đúng dựa vào một trong hai cách sau đây:
Cách 1: Kiểm nghiệm từng phương án đúng đối với những giá trị cụ thể của n . T 5 Với n  1 thì 2 2 2
T  1  2  5; M  2  4 nên 1  (loại ngay được các phương án B, C, D). 1 1 M 4 1
Cách 2: Chúng ta tính T , M dựa vào những tổng đã biết kết quả. Cụ thể dựa vào ví dụ 1: n n 2n 2n   1 4n   1 2nn   1 2n   1 T 4n 1 T  ; M  . Suy ra n  . n 6 n 3 M 2n  2 n Câu 5. Đáp án B.
Dễ thấy p  2 thì bất đẳng thức 2p  2 p 1 là sai nên loại ngay phương án D.
Xét với p  3 ta thấy 2p  2 p 1 là bất đửng thức đúng. Bằng phương pháp quy nạp toán học
chúng ta chứng minh được rằng 2n  2n 1 với mọi n  3 . Vậy p  3 là số nguyên dương nhỏ nhất cần tìm.
Câu 6. Đáp án D.
Kiểm tra với n  1 ta thấy bất đẳng thức đúng nên loại ngay phương án A và C.
Kiểm tra với n  1 ta thấy bất đẳng thức đúng. Bằng phương pháp quy nạp toán học chúng ta
chứng minh được rằng n 2
2  n ,n  5 .
10 https://www.facebook.com/toanthayan | 0988323371
LUYỆN MÃI THÀNH TÀI- MIỆT MÀI TẤT GIỎI.
CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN.
Câu 7. Đáp án B. 1 1  1 1 Cách 1: Với chú ý     , chúng ta có:   3k   1 3k  2
3  3k 1 3k  2  1 1 1 1  1 1 1 1 1 1    ...        ...   2.5 5.8 3n   1 3n  2 3  2 5 5 8
3n 1 3n  2  1 3n n = .  . 3 23n  2 6n  4
Đối chiếu với đẳng thức đã cho, ta có: a  1,b  0, c  6 . Suy ra 2 2 2
T ab bc ca  6 . a b 1 2a b 1 3x b 3
Cách 2: Cho n  1, n  2, n  3 ta được:  ;  ;  .
c  4 10 2c  4 8 3c  4 22
Giải hệ phương trình trên ta được a  1,b  0,c  6 . Suy ra 2 2 2
T ab bc ca  6
Câu 8. Đáp án C. 1 k 1 k 1
Cách 1: Bằng cách phân tích số hạng đại diện, ta có: 1  . . Suy ra 2 k k k  1  1   1 
1 3 2 4 n 1 n 1 n 1 2n  2
1 1 ...1   . . . ... .   . 2  4  9   n  2 2 3 3 n 2n 2n 4n
Đối chiếu với đẳng thức đã cho ta có: a  2,b  4 . Suy ra 2 2
P a b  20 .
a 1 3 3a  2 2
Cách 2: Cho n  2, n  3 ta được  ;
 . Giải hệ phương trình trren ta được b 4 3b 3
a  2;b  4 . Suy ra 2 2
P a b  20 .
Câu 9. Đáp án B. n n  2 2 4 3 2 1
n  2n n
Cách 1: Sử dụng kết quả đã biết: 3 3 3
1  2  ...  n   . So sánh cách hệ 4 4 1 1 1
số, ta được a  ;b  ;c  ; d e  0 . 4 2 4
Cách 2: Cho n  1, n  2, n  3, n  4, n  5 , ta được hệ 5 phương trình 5 ẩn a,b, c, d, e . Giải hệ 1 1 1
phương trình đó, ta tìm được a  ;b  ;c  ; d e  0 . Suy ra M a b c d e 1. 4 2 4
Câu 10. Đáp án C.
Cách 1: Sử dụng các tổng lũy thừa bậc 1 và bậc 2 ta có: 1 2
+) 1.2  2.3  ... nn   1   2 2 2
1  2  ... n   1 2  ...  n 3 2
n n n . 3 3 1 2
Suy ra a  ;b  1;c  ; d  0 . 1 1 1 1 3 3 +)  
  n n     2 2 2 
  n       n 3 2 1.2 2.5 3.8 ... 3 1 3 1 2 ... 1 2 ...
n n .
Suy ra a b  1;c d  0 . 2 2 2 2 4
Do đó T a a b b c c d d  . 1 2 1 2 1 2 1 2 3
Cách 2: Cho n  1, n  2, n  3, n  4 và sử dụng phương pháp hệ số bất đinh ta cũng tìm được 1 2
a  ;b  1; c  ; d  0 ; a b  1;c d  0 . 1 1 1 1 3 3 2 2 2 2 4
Do đó T a a b b c c d d  . 1 2 1 2 1 2 1 2 3
0988323371 | Biên soạn và sưu tầm: Tô Quốc An 11
CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN.
If you wish to reach the highest, Begin at the lowest. Câu 11. Đáp án D. n n  2 2 1
Bằng các kết quả đã biết ở ví dụ 1, chúng ta thấy ngay được chỉ có S  là sai. 3 4 Câu 12. Đáp án A.
Bằng phương pháp quy nạp toán học, chúng ta chứng minh được rằng 7n  5 chia hết cho 6.
Thật vậy: Với n  1 thì 1 7  5  12⋮6 .
Giả sử mệnh đề đúng với n k  1, nghĩa là 7k  5 chia hết ccho 6.
Ta chứng minh mệnh đề đúng với n k 1, nghĩa là phỉa chứng minh k1 7  5 chia hết cho 6. Ta có: k 1
7   5  7 7k  5  30 .
Theo giả thiết quy nạp thì 7k  5 chia hết cho 6 nên k 1
7   5  7 7k  5  30 cũng chia hết cho 6.
Vậy 7n  5 chia hết cho 6 với mọi n 1. Do đó các mệnh đề P và Q cũng đúng. Câu 13. Đáp án A. Câu 14. Đáp án C. 1 1  1 1
Phân tích phần tử đại diện, ta có:    . k k  1 k 2 2  k k  1 k  1 k 2        1 1 1 Suy ra:   ... 1.2.3 2.3.4 n n   1 n  2 1  1 1 1 1 1 1      .  ...   2 1.2 2.3 2.3 3.4 n n  1 n  1 n 2      1  1 1  2 2 n  3n 2n  6n   =  . 2  2 n  1 n 2     2 2 4n 12n  8 8n  24n 16
Đối chiếu với hệ số, ta được: a  2;b  6;c  8; d  24 .
Suy ra: T  a cb d   300 .
12 https://www.facebook.com/toanthayan | 0988323371
LUYỆN MÃI THÀNH TÀI- MIỆT MÀI TẤT GIỎI.
CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN. DÃY SỐ A. LÝ THUYẾT 1. Định nghĩa:
Một hàm số u xác định trên tập hợp các số nguyên dương *
ℕ được gọi là một dãy số vô hạn (hay
còn gọi tắt là dãy số)
Người ta thường viết dãy số dưới dạng khai triển u ,u ,...,u ,..., trong đó u u n hoặc viết 1 2 n n tắt là u . n
Số hạng u được gọi là số hạng đầu, u là số hạng tổng quát (số hạng thứ n ) của dãy số. 1 n
2. Các cách cho một dãy số:
Người ta thường cho một dãy số bằng một trong các cách dưới đây:
- Cách 1: Cho dãy số bằng công thức của số hạng tổng quát. n
Ví dụ 1. Cho dãy số  x với x  . n n n 1 3 
Dãy số cho bằng cách này có ưu điểm là chúng ta có thể xác định được ngay số hạng bất kỳ 10 10
của dãy số. Chẳng hạn, x   . 10 11 3 177147
- Cách 2: Cho dãy số bằng phương pháp truy hồi.
Ví dụ 2. Cho dãy số a xác định bởi a  1 và a  3a  7,n  1. n  1 n 1  n b   1,b  3
Ví dụ 3. Cho dãy số b xác định bởi 1 2 . n
b  4b 5b , n   1  n2 n 1  n
Với cách này, ta có thể xác định được ngay mối liên hệ giữa các số hạng hoặc nhóm các số
hạng của dãy số thông qua hệ thức truy hồi. Tuy nhiên, để tính được các số hạng bất kỳ của dãy
số thì chúng ta cần phải tích được các số hạng trước đó hoặc phải tìm được công thức tính số
hạng tổng quát của dãy số.
- Cách 3: Cho dãy số bằng phương pháp mô tả hoặc diễn đạt bằng lời cách xác định mỗi số hẩng dãy số.
Ví dụ 4. Cho dãy số u gồm các số nguyên tố. n
Ví dụ 5. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 4. Trên cạnh BC , ta lấy điểm A sao cho CA  1. Gọi 1 1
B là hình chiếu của A trên CA , C là hình chiếu của B trên AB , A là hình chiếu của C 1 1 1 1 2 1
trên BC , B là hình chiếu của A trên CA ,… và cứ tiếp tục như thế, Xét dãy số u với n  2 2 u CA . n n
3. Dãy số tăng, dãy số giảm, dãy số hằng:
Dãy số u được gọi là dãy số tăng nếu ta có u u với mọi * n  ℕ . n n 1  n
Dãy số u được gọi là dãy số giảm nếu ta có u u với mọi * n  ℕ . n n 1  n
Dãy số u được gọi là dãy số hằng (hoặc dãy số không đổi) nếu ta có u u với mọi n n 1  n * n  ℕ .
Ví dụ 6. a) Cho dãy số  x với 2
x n  2n  3 là một dãy số tăng. n n Chứng minh: Ta có x  n  2 1  2 n   2 1  3  n  2 . n 1  Suy ra xx n   n n   n   n   hay xx , n   1.  n  2 2  2 2 3 2 1 0, 1 n 1  n 1  n
Vậy  x là một dãy số tăng. n
0988323371 | Biên soạn và sưu tầm: Tô Quốc An 13
CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN.
If you wish to reach the highest, Begin at the lowest. n  2
b) Dãy số  y với y  là một dãy số giảm. n n 5n Chứng minh: n  3 n  3 n  2 4n  7
Cách 1: Ta có y  . Suy ra yy      0,n  1 hay n 1  n 1 5  n 1  n n 1  n n 1 5 5 5  y
y ,n  1 .Vậy  y là một dãy số giảm. n n 1  n y Cách 2: Với *
n  ℕ , ta có y  0 nên ta xét tỉ số n 1  . n yn n  3 y n  3 Ta có y  nên n 1    1, n
  1. Vậy  y là một dãy số giảm. n n 1  n 1 5  y 5 n n  2
c) Dãy số  z với z  
không phải là một dãy số tăng cũng không phải là một dãy số n   1 n n  giảm vì zz        
không xác định được dương hay âm. Đây là dãy  n  n 1 1 1 n 2 1 n n 1     số đan dấu. MẸO HỌC TẬP
Để chứng minh dãy số b là dãy số giảm hoặc dãy số tăng, chúng ta thường sử dụng một n  trong 2 hướng sau đây:
(1): Lập hiệu u u
u . Sử dụng các biến đổi đại sốvà các kết quả đã biết để chỉ ra n n 1  n
u  0 (dãy số tăng) hoặc u  0 (dãy số giảm) n n u
(2): Nếu u  0,n  1thì ta có thể lập tỉ số n 1 T  
. Sử dụng các biến đổi đại số và các kết n n un
quả đã biết để chỉ ra T  1 (dãy số tăng),T  1 (dãy số giảm). n n
4. Dãy số bị chặn
Dãy số u được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho *
u M ,n  ℕ . n m
Dãy số u được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho *
u m,n  ℕ . n m
Dãy số u được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số n M , m sao cho *
m u M ,n  ℕ . m Ví dụ 7. 3n   1 
a) Dãy số a với a  2017sin
là một dãy số bị chặn vì *
2017  a  2017, n  ℕ n n 4 n . 2n  3 2
b) Dãy số b với b
là một dãy số bị chặn vì *  b 1, n   ℕ . n n 3n  2 3 n
c) Dãy số c với c n    bị chặn dưới vì *
a  49,n  ℕ . n   1 3 2 .7n n n
d) Dãy số d với d  6  6 ...... 6 ( n dấu căn), bị chặn trên vì *
d  3,n  ℕ . n n n MẸO HỌC TẬP
1) Nếu u là dãy số giảm thì bị chặn trên bởi u . n  1
2) Nếu u là dãy số tăng thì bị chặn dưới bởi u . n  1
14 https://www.facebook.com/toanthayan | 0988323371
LUYỆN MÃI THÀNH TÀI- MIỆT MÀI TẤT GIỎI.
CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN.
B. CÁC BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH nn
Ví dụ 8. Cho dãy số a xác định bởi a  2017sin  2018cos
. Mệnh đề nào dưới đây là mệnh n n 2 3 đề đúng? A. * a
a ,n  ℕ . B. * a
a ,n  ℕ . n6 n n9 n C. * a
a ,n  ℕ . D. * a
a ,n  ℕ . n 1  2 n n 1  5 n Đáp án C Lời giải
Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được đáp án đúng. n  6 n  6 nn + Ta có a  2017 sin  2018cos  2017 sin  2018cos  a n6 2 3 2 3 nn  9 n  9 nn + Ta có a  2017 sin  2018cos  2017 sin  2018cos  a . n6 2 3 2 3 nn 12 n 12 nn + Ta có a  2017 sin  2018cos  2017 sin  2018cos  a . n 1  2 2 3 2 3 nn 15 n 15 nn + Ta có a  2017 sin  2018cos  2017 sin  2018cos  a . n 1  5 2 3 2 3 n
Vậy phương án đúng là C.
Nhận xét: Từ kết quả trong ví dụ này, chúng ta có thể trả lời được các câu hỏi trắc nghiệm sau đây nn
Cho dãy số a xác định bởi a  2017 sin  2018cos
. Hãy chọn phương án trả lời n n 2 3
đúng trong mỗi câu hỏi sau đây:
Câu 8.1: Tìm số nguyên dương p nhỏ nhất để * aa , n   ℕ np p
Câu 8.2: Số hạng thứ 2017 của dãy số là số hạng nào dưới đây? A. 3026. B. 2017 1009 3 . C. 2017 1009 3 . D. 3  026. 3 5
Ví dụ 9. Cho dãy số a xác định bởi 2 * a  1;a
  a a 1, n
  ℕ . Số hạng thứ 201 của dãy n  1 n 1  2 n 2 n
số a có giá trị bằng bao nhiêu? n A. a  2 . B. a  1 . C. a  0 . D. a  5. 2018 2018 2018 2018 Đáp án A Lời giải
Nhận thấy dãy số trên là dãy số cho bởi công thức truy hồi.
Ta có a  1; a  2; a  0; a  1; a  2; a  0; 1. 1 2 3 4 2 6
Từ đây chúng ta có thể dự đoán * a
a ,n  ℕ . Chúng ta khẳng định dự đoán đó bằng n3 n
phương pháp quy nạp toán học. Thật vậy:
Với n  1 thì a  1 và a  1. Vậy đẳng thức đúng với n  1. 1 4
Giả sử đẳng thức đúng với n k  1, nghĩa là aa . k 3 k
Ta phải chứng minh đẳng thức đúng với n k 1, nghĩa là chứng minh aa . k 4 k 1  3 5 Thật vậy, ta có 2 a   aa
1 (theo hệ thức truy hồi). k 4 k 3 k 3 2 2 3 5
Theo giả thiết quy nạp thì aa nên 2 a
  a a 1  a . k 3 k k 4 k k k 1 2 2 
0988323371 | Biên soạn và sưu tầm: Tô Quốc An 15
CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN.
If you wish to reach the highest, Begin at the lowest.
Vậy đẳng thức đúng với n k 1. Suy ra * a
a ,n  ℕ . n3 n
Từ kết quả phần trên, ta có : nếu m p mod3 thì a a . m p
Ta có 2018  2mod3 nên a  2 . 2018
Vậy phương án đúng là A.
Nhận xét: Việc chứng minh được hệ thức * a
a ,n  ℕ giúp ta giải quyết được bài toán n3 n
tính tổng hoặc xác định được số hạng tùy ý của dãy số. Vì vậy, việc phát hiện ra tính chất đặc
biệt của một dãy số sẽ giúp chúng ta giải quyết các yêu cầu liên quan đến dãy số một cách
thuận lợi và dễ dàng hơn. Chúngta cùng kiểm nghiệm qua các câu hỏi trắc nghiệm khách quan dưới đây nhé: 3 5
Cho dãy số a xác định bởi 2 * a  1; a
  a a 1,n  ℕ . Hãy chọn phương án trả n  1 n 1  2 n 2 n
lời đúng trong mỗi câu hỏi sau đây:
Câu 9.1. Tính tổng S của sáu số hạng đầu tiên của dãy a n
A. S  0 .
B. S  6 .
C. S  4 .
D. S  5.
Câu 9.2. Tìm số nguyên dương p nhỏ nhất để * aa , n   ℕ np p
A. p  9 .
B. p  2 .
C. p  6 .
D. p  3 .
Câu 9.3. Tính tổng S của 2018 số hạng đầu tiên của dãy a n
A. S  2016 .
B. S  2019 .
C. S  2017 .
D. S  2018 .
Câu 9.4. Tính tổng bình thường của 2018 số hạng đầu tiên của dãy a n
A. S  3360 .
B. S  3361.
C. S  3364 .
D. S  3365.
Ví dụ 10. Cho dãy số a xác định bởi 2 * a  1; aa 1, n
  ℕ . Tìm số hạng tổng quát của dãy số n  1 n 1  na . n
A. a  2 .
B. a  2n 1 .
C. a  3n  2 .
D. a n . n n n n Đáp án D Lời giải
Ta có a  2; a  3; a  4; a  5 . 2 3 4 5
Từ 5 số hạng đầu của dãy ta dự đoán được a n . Bằng phương pháp quy nạp toán học n
chúng ta chứng minh được a n . Vậy phương án đúng là D. n
Nhận xét: Với kết quả của ví dụ này, chúng ta có thể đề xuất các câu hỏi trắc nghiệm dưới đây:
Cho dãy số a xác định bởi 2 * a  1; aa 1, n
  ℕ . Hãy chọn phương án trả lời đúng n  1 n 1  n
trong mỗi câu hỏi sau đây: 1 1 1
Câu 10.1. Rút gọn biểu thức s    ... 
, n  2 ta được n a a a a aa 1 2 2 3 n 1  n n n
A. S n 1.
B. S n 1. C. S . D. S . n n n n 1 n n 1
Câu 10.2. Mệnh đề nào dưới đây là đúng
16 https://www.facebook.com/toanthayan | 0988323371
LUYỆN MÃI THÀNH TÀI- MIỆT MÀI TẤT GIỎI.
CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN.
A. Dãy số a là dãy số giảm.
B. Dãy số a không là dãy số giảm. n n
C. Dãy số a là dãy số tăng.
D. Dãy số a không là dãy số tăng. n n
Câu 10.3. Rút gọn biểu thức 2 2 2
S a a  ...  a n 1 2 n n n   1 n n   1
A. S n n   1 .
B. S n n  . C. S  . D. S  . n   1 n n 2 n 2 MẸO HỌC TẬP
Ngoài cách làm bên, ta có thể kiểm tra từng phương án đến khi tìm được phương án đúng thông
qua việc xác định một vài số hạng đầu của dãy
+ Với a  1 thì loại ngay được phương án A. 1
+Ta có a  2 thì loại ngay được các phương án B và C. 2
Ví dụ 11. Cho dãy số a có tổng của n số hạng đầu tiên bằng 3
S n . Mệnh đề nào dưới đây là đúng? n n
A. a là dãy số tăng và 2
a  3n  3n  1 . n n
B. a là dãy số giảm và 2
a  3n  3n  1. n n
C. a là dãy số tăng và 2
a  3n  3n  1. n n
D. a là dãy số tăng và 2
a  3n  3n  1 . n n Đáp án A. Lời giải Ta có 3
a a  ...  a S n và a a  ...  aSn 1 . 1 2 n 1  n 1   3 1 2 n n
Suy ra a S Sn      .  n 3 3 2 1 3n 3n 1 n n n 1 Ta có 2
a  3n  3n  1 và a
 3 n 1  3 n 1 1  3n  9n  7 . n 1   2   2 n Do đó * a a
 6n 1  0, n  ℕ . n n 1 
Dấu bằng chỉ xảy ra khi n 1  0 hay n  1. suy ra dãy số a là dãy số tăng. n
Vậy phương án đúng là A.
Ví dụ 12. Cho dãy số a xác định bởi * a  1; a
 3a 10,n  ℕ . Tìm số hạng thứ 15 của dãy số n  1 n 1  na . n
A. a  28697809 .
B. a  28697814 . 15 15
C. a  9565933.
D. a  86093437 . 15 15 Đáp án A Lời giải
Chúng ta đi tìm công thức xác định số hạng tổng quát của dãy số a . n
Đặt b a  5 khi đó ba  5 . n n n 1  n 1  Từ hệ thức truy hồi * a
 3a 10,n  ℕ suy ra b
 5  3 b  5 10  b  3b . n 1   n n 1  n n 1  n
Như vậy ta có b a  5  6;b  3b . 1 1 n 1  n
0988323371 | Biên soạn và sưu tầm: Tô Quốc An 17
CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN.
If you wish to reach the highest, Begin at the lowest.
Ta có b  3b ; 2
b  3b  3 b 3
b  3b  3 b . Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được 2 1 3 2 1 43 3 1 rằng n 1  *
b  3 b ,n  ℕ , suy ra n *
a  2.3  5,n  ℕ . Do đó a  28697809 . Vậy suy ra n 1 n 15 phương án đúng là A. MẸO HỌC TẬP
Dãy số a xác định bởi * a  1; a
qa d ,n  ℕ n  1 n1 n d q n  n 1 1 1 
-Nếu q  1 thì số hạng tổng quát của dãy số a là a aq  . n n 1 q
-Nếu q  1 thì số hạng tổng quát của dãy số a là a a n d . n   1 n
Cho dãy số a xác định bởi và a  3a 10,n  ℕ * . Hãy chọn phương án trả lời đúng n n 1  n
trong mỗi câu hỏi sau đây.
Câu 12.1. Số hạng thứ ba, thứ năm và thứ bảy của dãy số a lần lượt là: n A. 13, 49,157 .
B. 49, 481, 4369 .
C. 49,157,1453 .
D. 49,1453, 4369 .
Câu 12.2. Tìm số hạng tổng quát của dãy số a . n
A. a  2.3n  5 . B. n 1 a 2.3    5 .
C. a  2.3n  5 .
D. a  2.3n  5 . n n n n
Câu 12.3. Số 2324522929 có là số hạng của dãy số a không, nếu có thì nó là số hạng thứ bao nhiêu? n A. Không. B. Có, 18 . C. Có, 19 . D. Có, 20 .
Câu 12.4. a là một dãy số: n
A. Giảm và bị chặn trên.
B. Tăng và bị chặn trên.
C. Tăng và bị chặn dưới.
D. Giảm và bị chặn dưới.
Ví dụ 13. Cho dãy số a xác định bởi a  5, a  0 và aa
 6a ,n  1. Số hạng thứ 14 của n  1 2 n2 n 1  n dãy là số hạng nào? A. 3164070. B. 9516786 . C. 1050594. D. 9615090. Đáp án A Lời giải + Ta có a
a  6a ,n  1  a  2a
 3 a  2a ,n  1. n2 n 1  n n2 n 1   n 1 n
Do đó ta có b a  2a  10 và b
 3b ,n  1. 1 2 1 n 1  n
Từ hệ thức truy hồi của dãy số b , ta có 2 3
b  3b ;b  3b  3 b ;b  3b  3 b . n  2 1 3 2 1 4 3 1
Bằng phương pháp quy nạp toán học, chúng ta chứng minh được rằng: n 1  n 1 b 3 b 10.3    ,n  1. n 1 + Ta có a
a  6a ,n  1  a  3a  2
a  3a ,n  1. n2 n 1  n n2 n 1   n 1 n
Do đó ta có: c a  3a  15 và c
 2c ,n  1. 1 2 1 n 1  n
Từ hệ thức truy hồi của dãy số c , ta có c  2c ;c  2 c ;c  2 c . 2 1 3  2 1 4  3 n  1
Bằng phương pháp quy nạp toán học, chúng ta chứng minh được rằng: c c n . n  2n 1 15. 2n 1      ,  1 1
+ Từ các kết quả trên, ta có hệ phương trình: n 1
a  2a 10.3   n 1  n n
a  2.3n  3. 2   . n 1  n   1 1
a  3a  15. 2   n 1  n  
18 https://www.facebook.com/toanthayan | 0988323371
LUYỆN MÃI THÀNH TÀI- MIỆT MÀI TẤT GIỎI.
CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN.
Do đó số hạng tổng quát của dãy số a là n a n . n  n 1 1 2.3 3. 2      ,  1 n
Vậy suy ra a  3164070 . Vậy phương án đúng là A. 14
Nhận xét: Với kết quả trong ví dụ này, chúng ta có thể trả lời các câu hỏi trắc nghiệm khách quan dưới đây:
Cho dãy số a xác định bởi a  5;a  0 và aa
 6a ,n  1. Hãy chọn phương án n  1 2 n2 n 1  n
trả lời đúng trong mỗi câu hỏi sau đây.
Câu 13.1. Tính số hạng thứ năm của dãy số a . n
A. a  210 .
B. a  66 .
C. a  36 .
D. a  360 . 5 5 5 5
Câu 13.2. Số hạng tổng quát của dãy số a là:; n A. a   1 1 2.3 3. 2      n n .
B. a  2.3  3. . n  2  n n n C. n 1  n 1 a 2.3 3.2    .
D. a  2.3n  3.2n . n n MẸO HỌC TẬP
Dãy số a xác định bởi a a, a b và a  .a
 .a , với mọi n 1, trong đó n  1 2 n2 n 1  n phương trình 2
t t    0 có hai nghiệm phân biệt là t và t . Khi đó số hạng tổng quát của 1 2 dãy số a là n 1  n 1 a m .t m .    t
, trong đó m , m thỏa mãn hệ phương trình n n 1 1 2 2 1 2
m m a 1 2  .
m .t m .t   b 1 1 2 2
Ví dụ 14. Cho dãy số a xác định bởi a  3 và 2 a
a n  3n  4,n  ℕ * . Số 1391 là số hạng n  1 n 1  n
thứ mấy của dãy số đã cho? A. 18 . B. 17 . C. 20 . D. 19 Đáp án A. Lời giải
Từ hệ thức truy hồi của dãy số a ta có: n  3 2 n n n a a  1   2  ... n n n a . n   2 6 17 21 2 2 1   3 1   2  ...  1   4 1   1        n 3 3 2
n  6n 17n  21
Suy ra số hạng tổng quát của dãy số a là a  . n n 3
Giải phương trình a  1391 ta được n 18 n
Vậy phương án đúng là A. MẸO HỌC TẬP
Dãy số a xác định bởi a a và a a f n ,n 1. n 1  n   n  1 n 1 
Số hạng tổng quát của dãy số a được tính theo công thức: a a f i . n  1   n i 1  1
Ví dụ 15. Cho dãy số a xác định bởi a  2 và a
a 1 ,n  1. Mệnh đề nào dưới đây là n 1   n n  1 2 đúng?
A. a là một dãy số giảm và bị chặn. n
B. a là một dãy số tăng và bị chặn. n
0988323371 | Biên soạn và sưu tầm: Tô Quốc An 19
CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN.
If you wish to reach the highest, Begin at the lowest.
C. a là một dãy số giảm và không bị chặn dưới. n
D. a là một dãy số tăng và không bị chặn trên. n Đáp án A Lời giải 3 5
Ta có a  2  a
a  . Do đó ta loại được các phương án B và D. 1 2 3 2 4 1 1 1 + Ta có a na n 1 1 nên aa a a
a a  0,n  ℕ *. n 1  nn n 1 n 1   2 1  2 2 2 Suy ra a
a ,n  1 nên a là dãy số giảm. n n 1  n
+ Vì a là một dãy số giảm nên dãy số này bị chặn trên bởi a  2 . n  1 1 Ta có 1 a a a n a n . n     0,  1   1,  1 n 1 2  n n
Vậy phương án đúng là A.
20 https://www.facebook.com/toanthayan | 0988323371
LUYỆN MÃI THÀNH TÀI- MIỆT MÀI TẤT GIỎI.
CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN.
C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG
Dạng 1: Bài tập về xác định số hạng của dãy số 2n3  n 1
Câu 1. Cho dãy số  x có x
,n  ℕ *. Mệnh đề nào dưới đây là đúng ? n n   n 1   2n5  n 1 2n3  n  2n5  n  2n 1  n 1   A. x  . B. x. C. x. D. x. n 1   n   n   n    n 1   1   n  2  1   n  2  1   n 1  n 2  n
Câu 2. Cho dãy số  y xác định bởi 2 y  sin  cos
. Bốn số hạng đầu của dãy số đó là: n n 4 3 1 3 1 1 3 1 1 3 3 1 1 1 A. 0, , ,  . B. 1, , , . C. 1, , , . D. 0, ,  , . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
Câu 3. Cho dãy số  y xác định bởi y y  1 và yy
y ,n  ℕ *. Năm số hạng đầu tiên n  1 2 n2 n 1  n
của dãy số đã cho là: A. 1,1, 2, 4, 7 . B. 2,3,5,8,11 . C. 1, 2,3,5,8 . D. 1,1, 2,3,5 .
Câu 4. Cho dãy số u xác định bởi u  1 và u  2. . n u
với mọi n  2 . Mệnh đề nào dưới đây là n  1 n n 1  đúng ? A. 10 u  2 .11!. B. 10
u  2 .11!. C. 10 10 u  2 .11 . D. 10 10
u  2 .11 . 11 11 11 11 1
Câu 5. Cho dãy số u xác định bởi u  và u u  2n với mọi n  2 . Khi đó u bằng: n  1 2 n n 1  50 A. 1274,5 . B. 2548,5 . C. 5096,5 . D. 2550,5 . n 1 8
Câu 6. Cho dãy số u có u  . Số
là số hạng thứ bao nhiêu của dãy số u ? n n n 2n 1 15 A. 8 . B. 6 . C. 5 . D. 7 .
Câu 7. Cho dãy số a có 2
a  n  4n  11,n  ℕ * . Tìm số hạng lớn nhất của dãy số a . n n n A. 14 . B. 15 . C. 13 . D. 12 . n
Câu 8. Cho dãy số a có a
,n  ℕ * . Tìm số hạng lớn nhất của dãy số a . n n n 2 n 100 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 20 30 25 21
Câu 9. Cho dãy số  y xác định bởi y  2 và 2 y
 2 y n  3n,n  ℕ * . Tổng S của 4 số hạng n  1 n 1  n 4
đầu tiên của dãy số là:
A. S  20 .
B. S  10 .
C. S  30 .
D. S  14 . 4 4 4 4
Câu 10. Cho dãy số  x xác định bởi x  5 và x x n,n  ℕ *. Số hạng tổng quát của dãy số n  1 n 1  nx là: n  2 n n 10 2 5n  5n 2 n n 10 2 n  3n 12 A. x . B. x . C. x . D. x . n 2 n 2 n 2 n 2 2 x
Câu 11. Cho dãy số  x xác định bởi x  và x n
,n  ℕ *. Mệnh đề nào dưới n  1 3 n 1  22n   1 x 1 n đây là đúng ? 2 39999 2 2 A. x . B. x . C. x . D. x  . 100 39999 100 2 100 40001 100 40803
0988323371 | Biên soạn và sưu tầm: Tô Quốc An 21
CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN.
If you wish to reach the highest, Begin at the lowest.
Dạng 2: Bài tập về xét tính tăng, giảm của dãy số.
Câu 12. Trong các dãy số dưới đây dãy số nào là dãy số tăng ? n 
A. Dãy a , với a n . n   1 1 .sin ,  ℕ * n n
B. Dãy b , với b n . n  2
1 n .5n   1 ,  ℕ * n  1
C. Dãy c , với c  ,n  ℕ * . n n n n 1 n
D. Dãy d , với d  ,n  ℕ * . n n 2 n 1
Câu 13. Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là dãy số giảm ?  1 n 2 n 1
A. Dãy a , với a   .
B. Dãy b với b  . n n n  2    n n 1
C. Dãy c , với c  .
D. Dãy d , với d  3.2n . n n n 3 n 1 n an  4
Câu 14. Cho dãy số  x với x
. Dãy số  x là dãy số tăng khi: n n n n  2
A. a  2 .
B. a  2 .
C. a  2 .
D. a  1.n   1 ! Câu 15. 2
Cho hai dãy số  x với x
và  y với y n  sin n  . Mệnh đề nào dưới đây n  1 n n n 2n là đúng ?
A. x là dãy số giảm,  y là dãy số giảm. n n
B. x là dãy số giảm,  y là dãy số tăng. n n
C. x là dãy số tăng,  y là dãy số giảm. n n
D. x là dãy số tăng, là dãy số tăng. n
Dạng 3: Bài tập về xét tính bị chặn của dãy số. 3n 1
Câu 16. Cho dãy số u , với u
. Mệnh đề nào dưới đây là đúng ? n n 3n  7
A. Dãy u bị chặn trên và không bị chặn dưới. n
B. Dãy u bị chặn dưới và không bị chặn trên. n
C. Dãy u bị chặn trên và bị chặn dưới. n
D. Dãy u không bị chặn. n
Câu 17. Trong các dãy số sau dãy số nào là dãy bị chặn ?
A. Dãy a , với 2
a n 16,n  ℕ * . n n 1
B. Dãy b , với b n  ,n  ℕ * . n n 2n
C. Dãy c , với c  2n  3,n  ℕ *. n n n
D. Dãy d , với d  ,n  ℕ * . n n 2 n  4
Câu 18. Trong các dãy số dưới đây dãy số nào bị chặn trên ?
A. Dãy a , với a  3n 1. n n
22 https://www.facebook.com/toanthayan | 0988323371
LUYỆN MÃI THÀNH TÀI- MIỆT MÀI TẤT GIỎI.
CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN. 1
B. Dãy b , với b  . n n n2n   1
C. Dãy c , với 1 c 3.2   n . n n
D. Dãy d , với d  . n 2n n
Câu 19. Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào bị chặn dưới ?
A. Dãy  x , với x   n n n . n  2 1 .  2  3 n
B. Dãy  y , với y   n n . n  2 6  n  2018n
C. Dãy  z , với z  . n n n 1 2017 
D. Dãy w , với w  . n  2  017n n
Dạng 4: Bài tập về tính chất của dãy số.
Câu 20. Cho dãy số  x , xác định bởi: x  2.3n  5.2n,n  ℕ *. Mệnh đề nào dưới đây là đúng ? n n A. x  5x  6x . B. x  6x  5x . n2 n 1  n n2 n 1  n C. x  5x
 6x  0 . D. x  6x  5x  0 . n2 n 1  n n2 n1 n
Câu 21. Cho dãy số u , với u  3n . Mệnh đề nào dưới đây đúng ? n n u u A. 1 9  u . 5 2 u .u
B. 2 4  u . 3 2 u 1 C. 100
1 u u  ...  u. 1 2 100 2
D. u .u ...uu . 1 2 100 5050 3n   1 
Câu 22. Cho dãy số a xác định bởi a  2017 cos
. Mệnh đề nào dưới đây là sai ? n n 6 A. a
a ,n  1. B. a
a ,n  1. C. a
a ,n  1 . D. a
a ,n  1. n 1  2 n n8 n n9 n n4 n 3 5
Câu 23. Cho dãy số a xác định bởi a  1 và 2 a
  a a 1,n  ℕ * . Mệnh đề nào dưới n  1 n 1  2 n 2 n đây là đúng ? A. aa . B. aa . C. aa . D. aa . 2018 2 2018 1 2018 3 2018 4
Câu 24. Cho dãy số a xác định bởi a  1, a  2 và a
 3.a a ,n  1. Tìm số nguyên n  1 2 n2 n 1  n
dương p nhỏ nhất sao cho a
a ,n  ℕ * . np n
A. p  9 .
B. p  12 .
C. p  24 .
D. p  18 .
Câu 25. Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào SAI ? 2018
A. Dãy số a xác định bởi a  1 và a
, n  ℕ * là một dãy số không đổi. n  1 n 1  a  2017 n
B. Dãy số b , với b  tan 2n  , có tính chất b
b ,n  ℕ *. n  1 n  4 n2 n
C. Dãy số c , với c  tan n
, là một dãy số bị chặn. n    1 n
D. Dãy số d , với d  cos n , là một dãy số giảm. n    n
0988323371 | Biên soạn và sưu tầm: Tô Quốc An 23
CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN.
If you wish to reach the highest, Begin at the lowest.
Câu 26. Cho dãy số (u ) xác định bởi u  2 và * u  2u
1, n N , có tính chất n 1 2 n 1 
A. Là dãy số tăng và bị chặn dưới.
B. Là dãy số giảm và bị chặn trên.
C. Là dãy số giảm và bị chặn dưới.
D. Là dãy số tăng và bị chặn trên.
Câu 27. Cho dãy số (u ) xác định bởi u  1 và 2 u  2  u , n   1. Tổng 2 2 2 S
u u  ...  u là n 1 n 1  n 2018 1 2 2018 A. 2 S  2015 . B. 2 S  2018 . C. 2 S  2017 . D. 2 S  2016 . 2018 2018 2018 2018 nn
Câu 28. Cho dãy số (z ) xác định bởi z  sin  2 cos
. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá n n 2 3
trị nhỏ nhất trong các số hạng của dãy số (z ) . Tính giá trị biểu thức 2 2
T M m . n A. T  13. B. T  5. C. T  18. D. T  7. 1 u 2017
Câu 29. Cho dãy số (u ) thỏa mãn u  ; n u
, n  1.S u u  ...  u  khi n n 1 n 1  n 1 2 2 2(n 1)u 1 n 2018 n
có giá trị nguyên dương lớn nhất. A. 2017. B. 2015. C. 2016. D. 2014.
24 https://www.facebook.com/toanthayan | 0988323371
LUYỆN MÃI THÀNH TÀI- MIỆT MÀI TẤT GIỎI.
CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN.
D. HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Dạng 1: Bài tập về xác định số hạng của dãy số Câu 1. Đáp án C. 2n3 2(n 1  )3  n 1 2n5  (n 1) 1  n  Ta có x  nên x   . n       n 1   n 1   (n 1) 1  n  2  Câu 2. Đáp án A.  2  4 1 Ta có 2 2 y  sin  cos  0; y  sin  cos
 . (loại phương án B và D) và 1 2 4 3 4 3 2 3 3 2 y  sin  o
c s2  . (loại phương án C). 3 4 2 Câu 3. Đáp án D.
Ta có y  2; y  3 nên loại các phương án còn lại. 3 4 Câu 4. Đáp án B. Ta có 2 2 3
u  2 u ;u  6u  2 .2.3u ;u  8u  2 .2.3.4u . Bằng phương pháp quy nạp toán học, 2 1 3 2 1 4 3 1
chúng ta chứng minh được rằng n 1  n 1 u 2 .n!u 2     .n!. Do đó 10 u  2 .11!. n 1 11 Câu 5. Đáp án D. 1 1 1
Ta có u   2(1 2  ..  n)   n(n 1) . Suy ra u   50.51  2550,5. n 2 2 50 2 Câu 6. Đáp án D. n 1 8 Giải phương trình 
ta được n  7. 2n 1 15 Câu 7. Đáp án B. Ta có 2
a  (n  2)  15  15, n  1. Dấu bằng xảy ra khi n  2  0  n  2. n
Vậy số hạng lớn nhất của dãy số là số hạng bằng 15.
Câu 8. Đáp án A. n n 1 Ta có a    . Dấu bằng xảy ra khi 2
n  100  n  10. n 2 2 n 100 2 n .100 20 1
Vậy số hạng lớn nhất của dãy là số hạng bằng . 20 Câu 9. Đáp án A.
Ta tính được y  2; y  4; y  12  S  20. 2 3 4 4 Câu 10. Đáp án A.
Cách 1: Tìm số hạng tổng quát của dãy số. 2 n(n 1) n n 10
Ta có x x  (1 2  ...  n 1)  x  5   . n 1 n 2 2
Cách 2: Kiểm tra từng phương án cho đến khi tìm được phương án đúng. 2 2 2
(n 1)  (n 1) 10 n n 10 n n 10 Phương án A: x   
n x  . n n 1  2 2 2 n
Cách 3: Với n  1  x  5 loại các phương án còn lại B, C, D. 1 Câu 11. Đáp án A. 1 1
Ta có x  0,n  1 và  2(2n 1)  ,n  1. n x x n 1  n 2 1 1 3 4n 1 Suy ra 
 4(1 2  ... n 1)  2(n 1)   2n(n 1)  2(n 1)  . x x 2 2 n 1 2 2 Suy ra x  . Do đó x  . n 2 4n 1 100 39999
0988323371 | Biên soạn và sưu tầm: Tô Quốc An 25
CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN.
If you wish to reach the highest, Begin at the lowest.
Dạng 2: Bài tập về xét tính tăng giảm của dãy số Câu 12. Đáp án B.
 Dãy số (a ) là dãy đan dấu nên không phải là dãy số tăng cũng không phải là dãy số giảm. n
 Với dãy (b ) , ta có b  5n 1(do 2 ( 1) n   1). Vì n 1 b
 5   1  5.5n 1  b ,n  1 nên n n n 1  n
(b ) là một dãy số tăng. n 1 1
 Dãy số (c ) là một dãy số giảm vì c  
c ,n  1. n n 1 
n 1 n  2 n n 1 n n 1 n
 Dãy số (d ) là một dãy số giảm vì d  
d ,n  1. n n 1  2 2 n  2n  2 n 1 n Câu 13. Đáp án C.
 Dãy số (a ) là dãy đan dấu nên không phải là dãy số tăng cũng không phải là dãy số giảm. n 1 1
 Dãy số (b ) là một dãy số tăng vì b n   n 1  b , n   1. n n n 1 n n 1  1 1
 Dãy số (c ) là một dãy số giảm vì c  
c ,n  1. n n 3 3 n 1
n 1 (n 1) 1 
 Dãy số (d ) là một dãy số tăng vì n n 1
d  3.2  3.2   d , n  1. n n n 1 
Câu 14. Đáp án B. a(n1)4
a(n 1)  4 an  4 2a  4 Ta có x  . Xét hiệu xx    . n 1  n  3 n 1  n n  3 n  2
(n  2)(n  3)
(x ) là dãy tăng khi và chỉ khi x
x  0,n  1  2a  4  0  a  2. n n 1  n Câu 15. Đáp án D. x n  2
Ta có x  0,n  1 và n 1  
 1,n  1 nên (x ) là dãy số tăng. n x 2 n n Ta có 2 2 y
y  sin (n 1) 1 sin n  0,n  1 nên (y ) cũng là dãy số tăng. n 1  n n
Dạng 3: Bài tập về xét tính bị chặn của dãy số Câu 16. Đáp án C. 8 8 Ta có u  1  1  u , n
  1 nên (u ) là một dãy số tăng. Suy ra nó bị chặn n n 1 3n  7 3n 10  n 1 8
dưới bởi u  . Lại do u  1  1, n
  1 nên dãy số u bị chặn trên bởi 1. 1 5 n 3n  7 n Câu 17. Đáp án D.
 Dãy số (a ) là dãy số tăng và chỉ bị chặn dưới vì 2
a n 16  17,n  1. n n 1 1
 Dãy số (b ) là dãy số tăng và chỉ bị chặn dưới vì b n   2 . n  2, n   1. n n 2n 2n
 Dãy số (c ) là dãy số tăng và chỉ bị chặn dưới vì c  2n  3  5,n  1. n n 1   n n 1 
Dãy số (d ) là dãy số bị chặn vì 0  d  , n   1. do0    . n n 4  2  n 4 4n 4    Câu 18. Đáp án B.
 Dãy số (a ) là dãy số tăng và chỉ bị chặn dưới vì u  4. n 1
 Dãy số (b ) có 0  b  1,n  1 nên dãy số (b ) là dãy số bị chặn. n n n
 Dãy số (c ) là dãy số tăng và chỉ bị chặn dưới bởi c  12. n 1
 Dãy số (d ) là dãy đan dấu và 2
d  (2) n  4n lớn tùy ý khi n đủ lớn, còn n 2n 2n 1 d
 (2)   2.4n nhỏ tùy ý khi n đủ lớn. 2n 1 
26 https://www.facebook.com/toanthayan | 0988323371
LUYỆN MÃI THÀNH TÀI- MIỆT MÀI TẤT GIỎI.
CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN. Câu 19. Đáp án C.
 Dãy số (x ) là dãy đan dấu và x lớn tùy ý khi n đủ lớn, x
nhỏ tùy ý khi n đủ lớn. n 2n 2 n 1 
 Dãy số ( y ) là dãy số giảm và y nhỏ tùy ý khi n đủ lớn. n n 2018
 Dãy số (z ) là dãy số tăng nên nó bị chặn dưới bởi z  . n 1 2 2017
 Dãy số (w ) là dãy đan dấu và w lớn tùy ý khi n đủ lớn, w
nhỏ tùy ý khi n đủ lớn. n 2n 2n 1 
Dạng 4: Bài tập về tính chất của dãy số. Câu 20. Đáp án A. Ta có n 2 n 2 n n n 1  n 1 x  2.3  5.2  18.3  20.2 ; x  2.3
 5.2   6.3n 10.2n . n 2 n 1 
 Phương án A: x  5x  6x  0. n2 n 1  n
 Phương án B: x  6x  5x  8.3n 15.2n  0. n2 n 1  n
 Phương án C: x  5x  6x  36.3n  40.2n  0. n2 n 1  n
 Phương án D: x  6x  5x  44.3n  55.2n  0. n2 n 1  n Câu 21. Đáp án D. 9 u u 3  3  Phương án A: 1 9 5   3  u . 5 2 2 6 u .u 3  Phương án B: 2 4 3   3  u . 3 2 2 u 1  Phương án C: 100
1 u u  ...  uu  . 1 2 100 100 2  Phương án D: 1 2... 1  00 5050 u .u ...u  3  3  u . 1 2 100 5050 Câu 22. Đáp án C.
 Phương án A: 3(n12) 1  (3n 1)  (3n 1) a  2017 cos  2017 cos  6  2017 cos  a . n   1. n 1  2 6  6    6 n
 Phương án B: 3(n8) 1  (3n 1)  (3n 1) a  2017 cos  2017 cos  4  2017 cos  a . n   1. n8 6  6    6 n
 Phương án C: 3(n9) 1  (3n  4)  (3n  4) a  2017 cos  2017 cos  4  2017 cos  a . n   1. n9 6  6    6 n
 Phương án D: 3(n4) 1  (3n 1)  (3n 1) a  2017 cos  2017 cos  2  2017 cos  a . n   1. n4 6  6    6 n
Lưu ý: Quan sát vào các chỉ số dưới của số hạng tổng quát, ta thấy ở C có sự khác biệt so
với ba phương án trên nên ta có thể kiểm tra ngay phương án C trước. Câu 23. Đáp án A.
Sáu số hạng đầu tiên của dãy là 1;2;0;1;2;0.
Từ đây ta dự đoán a
a ,n  1. Bằng phương pháp quy nạp toán học ta chứng minh được n3 n rằng a
a ,n  1. n3 n
Mặt khác 2018  3.672  2 nên aa . 2018 2
0988323371 | Biên soạn và sưu tầm: Tô Quốc An 27
CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN.
If you wish to reach the highest, Begin at the lowest. Câu 24. Đáp án B.
Trước hết ta kiểm tra phương án với p nhỏ nhất. Viết 10 số hạng đầu tiên của (a ) : n
a 1;a  2;a  2 3 1;a  4  3;a  2 3  2;a  2  3; a  1  ; 1 1 3 4 5 6 7 a  2
 ;a 1 2 3;a  3  4. 8 9 10
Dễ dàng thấy a  3  4  1  a nên phương án A là sai. 10 1
Cách 1: Ta viết thêm 4 số hạng nữa của dãy (a ) : ta được n
(a ) : a  1; a  2; a  2 3 1; a  4  3; a  2 3  2; a  2  3; a  1  ; n 1 1 3 4 5 6 7 a  2
 ; a  1 2 3;a  3  4; a  2  2 3; a  3  2; a  1; a  2. 8 9 10 11 12 13 14
Từ đây ta dự đoán được a
a ,n  1. n 1  2 n
Bằng phương pháp quy nạp toán học chúng ta chứng minh được a
a ,n  1. Vậy số n 1  2 n
nguyên dương cần tìm là p  12.
Cách 2: Sau khi viết 10 số hạng của dãy ta có thể đoán được a  a , n   1. n6 n
Bằng phương pháp quy nạp toán học, ta chứng minh được rằng a
 a ,n  1.Như vậy 6 là n6 n
số nguyên dương nhỏ nhất để a  a , n   1. Do đó aa  aa , n   1. n6 n n 1  2 n66 n6 n
Suy ra số cần tìm là p  12. Câu 25. Đáp án D. 2018
 Phương án A: Ta có a  1;a
 1; a  1. Từ đây ta dự đoán a  1,n  1. 1 2 3 1 2017 n
Bằng phương pháp quy nạp toán học, chúng ta chứng minh được rằng a  1,n  1. Suy ra n
a là dãy số không đổi. Do đó phương án A đúng. n   Phương án B: Ta có      b  tan 2(n  2) 1
 tan (2n 1)    tan(2n 1)
a ,n  1. n2   4  4    4 n Vậy b
b ,n  1. Do đóphương án B là đúng. n2 n
 Phương án C: Ta có c  1,n  1.nên dãy số c là dãy số không đổi. Suy ra c là dãy n n n
số bị chặn. Do đó phương án C là đúng.
 Phương án D: Ta có d  cos(2n )  1  cos(4n )  d . Suy ra khẳng định d là một n  2n 4n
dãy số giảm là khẳng định sai. Câu 26. Đáp án C. 1 1 1 Ta có u
u  (u u )  ... 
(u u ). Từ đó ta tính được u  1 . n 1  n n n 1  n 1  2 1 2 2 n n 1 2  1 1 1 Do uu      0, n
  1 nên u là dãy số giảm n n2 n n n 1 2 2  2n 1 Ta có 1  u  1
 2,n  1 nên u là dãy số bị chặn. Suy ra phương án đúng là C. n n n 1 2  Câu 27. Đáp án B.
Từ hệ thức truy hồi của dãy số, ta có 2 2 u
u  2,n  1. Suy ra 2 2
u u  2(n 1)  2n 1. n 1  n n 1 Do đó 2 2 2 2
S u u  ...  u  2(1 2  ...  n)  n n(n 1)  n n . n 1 2 n Vậy 2 S  2018 . 2018 Câu 28. Đáp án A.
Dựa vào chu kì của hàm số y  sin x; y  cos x, ta có z
z ,n  1. n 1  2 n
Do đó tập hợp các phần tử của dãy số là S  z ; z ;...; z  3  ; 2  ; 1  ;0;2 . 1 2 12  
Suy ra M  2; m  3. Do đó T  13. Câu 29. Đáp án C.
28 https://www.facebook.com/toanthayan | 0988323371
LUYỆN MÃI THÀNH TÀI- MIỆT MÀI TẤT GIỎI.
CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN. 1 1
Dễ chỉ ra được u  0,n  1. Từ hệ thức truy hồi của dãy số, ta có 
 2n  2,n  1. n u u n 1  n Suy ra 1 1 1 1 2 
 2(1 2  ..  n 1)  2(n 1) 
 2  n(n 1)  2(n 1)  n n u  . n u u u n(n 1) n 1 n 1 1 Do đó u   , n   1. n n n 1 1 n 2017 n 2017
Vậy S u u  ... u  1  . Vì S  nên   n  2017. n 1 2 n n 1 n 1 n 2018 n 1 2018 2017
Suy ra số nguyên dương lớn nhất để S
là n  2016 . Vì vậy phương án đúng là C. n 2018
0988323371 | Biên soạn và sưu tầm: Tô Quốc An 29
CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN.
If you wish to reach the highest, Begin at the lowest. CẤP SỐ CỘNG A. LÝ THUYẾT I. Định nghĩa.
Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều
bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d .
Số không đổi d được gọi là công sai của cấp số cộng.
Đặc biệt, khi d  0 thì cấp số cộng là một dãy số không đổi (tất cả các số hạng đều bằng nhau).
Nhận xét: Từ định nghĩa, ta có: 1) Nếu u
là một cấp số cộng với công sai d , ta có công thức truy hồi n * u
u d , n  ℕ .   1 n 1  n
2) Cấp số cộng u là một dãy số tăng khi và chỉ khi công sai d  0 . n
3) Cấp số cộng u là một dãy số giảm khi và chỉ khi công sai d  0. n MẸO HỌC TẬP
Để chứng minh dãy số u
là một cấp số cộng, chúng ta cần chứng minh u
u là một hằng số với n n 1  n
mọi số nguyên dương n .
Ví dụ 1. Chứng minh rằng dãy số hữu hạn sau là một cấp số cộng: 2
 , 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19. Lời giải Vì 1  2   3; 4  1 3; 7  4  3; 10  7  3; 13  10  3; 16  13  3; 19 16  3.
Nên theo định nghĩa cấp số cộng, dãy số 2
 , 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19 là một cấp số cộng với công sai d  3.
Ví dụ 2. Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng? Tìm số hạng đầu và công sai của nó. 2  3n
a) Dãy số a , với a  4n  3 ;
b) Dãy số b , với b  ; n n n n 4
c) Dãy số c , với c  2018n ;
d) Dãy số d , với 2 d n . n n n n Lời giải a) Ta có a
 4(n  1)  3  4n  1 nên a
a  (4n 1)  (4n  3)  4, n  1. n 1  n 1  n
Do đó a là cấp số cộng với số hạng đầu a  4.1  3  1 và công sai d  4 . n  1 2  3(n  1) 1  3n
1 3n 2  3n 3 b) Ta có b  
nên b b     , n  1 n 1  4 4 n 1  n 4 4 4 2  3.1 1 3
Suy ra b là cấp số cộng với số hạng đầu b
  và công sai d   . n  1 4 4 4 c) Ta có n 1 c  2018  nên n 1 c
c  2018   2018n  2017.2018n (phụ thuộc vào giá trị của n 1  n 1  n
n ). Suy ra c không phải là một cấp số cộng. n  d) Ta có 2 d  (n  1) nên 2 2 d
d  (n  1)  n  2n  1 (phụ thuộc vào giá trị của n ). n 1  n 1  n
Suy ra d không phải là một cấp số cộng. n  2 4
Ví dụ 3. Cho cấp số cộng u có 7 số hạng với số hạng đầu u  và công sai d   . Viết dạng n  1 3 3
khai triển của cấp số cộng đó. Lời giải
30 https://www.facebook.com/toanthayan | 0988323371
LUYỆN MÃI THÀNH TÀI- MIỆT MÀI TẤT GIỎI.
CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN. 2 10
Ta có u u d   ;
u u d  2  ;
u u d   ; 2 1 3 2 4 3 3 3 14 22
u u d   ;
u u d  6;
u u d   ; 5 4 6 5 7 6 3 3 2 2 10 14 22
Vậy dạng khai triển của cấp số cộng u là ;  ;  2;  ;  ;  6;  . n  3 3 3 3 3
II. Số hạng tổng quát của cấp số cộng. Định lý 1.
Nếu cấp số cộng u
có số hạng đầu u và công sai d u n 1
thì số hạng tổng quát n được
xác định bởi công thức:
u u  (n 1)d , n  2. (2) n 1 MẸO HỌC TẬP
Từ kết quả của định lý 1, ta rút ra nhận xét sau:
Cho cấp số cộng u
biết hai số hạng u và u thì số hạng đầu và công sai được tính theo n p q công thức: u u (1) : d p q p q
(2) : u u  ( p  1)d. 1 p
Ví dụ 4. Cho cấp số cộng u có u  2 và d  5 . n  1 a) Tìm u . 20
b) Số 2018 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng? Lời giải
a) Ta có u u  (20 1)d  2  19.(5)  93. 20 1
b) Số hạng tổng quát của cấp số cộng là u u  (n 1)d  7  5 . n n 1
Vì u  2018 nên 7  5n  2018  n  405. n
Do n  405 là số nguyên dương nên số 2018 là số hạng thứ 405 của cấp số cộng đã cho.
III. Tính chất các số hạng của cấp số cộng. Định lý 2.
Trong một cấp số cộng u , mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là trung bình cộng n
của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là uu 1  1  u k k với k  2 . (3) k 2 MẸO HỌC TẬP
Một cách tổng quát, ta có: uu
Nếu u là cấp số cộng thì pk pu
k , 1  k p . n p 2 Ví dụ 5.
a) Cho cấp số cộng u
có u  101 và u  99 . Tìm u . n  99 101 100 b) Cho cấp số cộng 2  , ,
x 6, y . Tính giá trị của biểu thức 2 2
P x y . Lời giải u u
a) Theo tính chất của cấp số cộng, ta có 99 101 u  nên u  100 . 100 2 100
0988323371 | Biên soạn và sưu tầm: Tô Quốc An 31
CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN.
If you wish to reach the highest, Begin at the lowest. 2  6 x y
b) Theo tính chất của cấp số cộng, ta có x   2 và 6  . 2 2
Vì x  2 nên y 10. Vậy 2 2 2 2
P x y  2  10  104 .
IV. Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng. Định lý 3.
Cho một cấp số cộng u . Đặt S u u  ...  u . Khi đó: n n 1 2 n
n(u u ) n(n 1) 1 S n (4) hoặc S nu d. (5) n 2 n 1 2 MẸO HỌC TẬP
1) Chúng ta thường sử dụng công thức (4) để tính Sn khi biết số hạng đầu và số hạng thứ n của cấp số cộng.
2) Để tính được S , thì công thức (5) được sử dụng mọi trường hợp. Cụ thể là, chúng ta cần n
tìm được số hạng đầu u và công sai d của cấp số cộng. 1
3) Các bài toán về cấp số cộng thường đề cập đến 5 đại lượng u , d, n, u , S . Chúng ta cần 1 n n
biết ba đại lượng trong năm đại lượng là có thể tìm được hai đại lượng còn lại. Tuy nhiên, theo
các công thức tính u , S thì các bài toán về cấp số cộng sẽ quy về việc tính ba đại lượng n n
u , d, n . 1
Ví dụ 6. Cho cấp số cộng u có u  2 và d  3 . n  1
a) Tính tổng của 25 số hạng đầu tiên của cấp số cộng.
b) Biết S  6095374 , tìm n . n Lời giải 2 n(n 1) 3(n n) n(3n  7)
Ta có S nu d  2n   . n 1 2 2 2 25(3.25  7) a) Ta có S   850 . 25 2 n(3n  7)
b) Vì S  6095374 nên 2
 6095374  3n  7n 12190748  0 n 2
Giải phương trình bậc hai trên với n nguyên dương, ta tìm được n  2017.
32 https://www.facebook.com/toanthayan | 0988323371
LUYỆN MÃI THÀNH TÀI- MIỆT MÀI TẤT GIỎI.
CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN.
B. CÁC DẠNG TOÁN VỀ CẤP SỐ CỘNG
Câu 1. Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng?
A. Dãy sốa , với n *
a  2 , n  ℕ . n n
B. Dãy số b , với * b  1, b
 2b  1, n  ℕ . n  1 n 1  n
C. Dãy số c , với 2 2 *
c  (2n  3)  4n , n  ℕ . n n 2018
D. Dãy số d , với * d  1, d  , n  ℕ . n  1 n 1  d  1 n Lời giải Đáp án C.
Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được phương án đúng.
- Phương án A: Ba số hạng đầu tiên của dãy số 2, 4, 8.
Ba số này không lập thành cấp số cộng vì 4  2  2  4  8  4.
- Phương án B: Ba số hạng đầu tiên của dãy số 1, 3, 7.
Ba số này không lập thành cấp số cộng vì 3  1  2  4  7  3.
- Phương án C: Ta có *
c  9  12n, n  ℕ n Do đó, * c
c  12, n  ℕ nên (c ) là cấp số cộng. n 1  n n 1009
- Phương án D: Ba số hạng đầu tiên của dãy số 1, 1009, . 505
Ba số này không lập thành cấp số cộng. MẸO HỌC TẬP
1) Để chứng minh dãy số u là một cấp số cộng, chúng ta cần chứng minh uu là một n n 1  n
hằng số với mọi số nguyên dương n .
2) Để chỉ ra dãy số u không phải là một cấp số cộng, chúng ta cần phải chỉ ra ba số hạng n
liên tiếp u ,u ,u
của dãy số không lập thành một cấp số cộng. k k 1  k 2
Câu 2. Cho cấp số cộng u
có u  123 và u u  84 . Tìm số hạng u . n  1 3 15 17 A. u  242 . B. u  235 . C. u  11. D. u  4 . 17 17 17 17 Lời giải Đáp án C. u u 84
Ta có công sai của cấp số cộng là 3 15 d    7 . 3 15 12
Suy ra u u  (17  1)d  11 . 17 1
Vậy phương án đúng là C. MẸO HỌC TẬP
Với việc biết được số hạng đầu và công sai của một cấp số cộng, chúng ta hoàn toàn xác định
được các yếu tố còn lại của một cấp số cộng như số hạng tổng quát, thứ tự của số hạng và tổng
của n số hạng đầu tiên. Tham khảo các bài tập sau.
Nhận xét: Cụ thể chúng ta có thể đề xuất các câu hỏi sau đây:
Câu 2.1: Cho cấp số cộng u có u  123 và u u  84 . Số 11 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số n  1 3 15 cộng đã cho? A. 17. B. 16. C. 18. D. 19.
Cho cấp số cộng u có u  123 và u u  84 . Tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng n Câu 2.2: 1 3 15 u . n
A. u  130  7n .
B. u  116  7n .
C. u  123  7n .
D. u  123  7n . n n n n
0988323371 | Biên soạn và sưu tầm: Tô Quốc An 33
CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN.
If you wish to reach the highest, Begin at the lowest.
Câu 2.3: Cho cấp số cộng u có u  123 và u u  84 . Tính tổng S
của 2017 số hạng đầu tiên n  1 3 15 2017
của cấp số cộng đã cho. A. S  14487102,5 . B. S  13983861 . 2017 2017 C. S  13990920,5 . D. S  14480043 . 2017 2017
Câu 2.4: Cho cấp số cộng u có u  123 và u u  84 . Biết rằng tổng n số hạng đầu tiên của cấp n  1 3 15
số cộng bằng 18, tìm n . A. n  34 . B. n  35 . C. n  36 . D. n  37 .
Câu 3. Cho cấp số cộng u có u  2u  0 và S  14 . Tính số hạng đầu u và công sai d của cấp n  1 5 4 1 số cộng.
A. u  8, d  3 .
B. u  8, d  3 .
C. u  8, d  3 .
D. u  8, d  3. 1 1 1 1 Lời giải Đáp án D.
Ta có u  2u  0  u  2(u  4d )  0  3u  8d  0 . 1 5 1 1 1 4(2u  3d ) 1 S  14 
 14  2u  3d  7 4 1 2 3
u  8d  0 u  8 Ta có hệ phương trình 1 1    . 2u  3d  7 d  3   1 
Vậy phương án đúng là D.
Câu 4. Cho cấp số cộng u . Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề sai? n A. uu
u u , với k  , m k n . mk nk m n B. uu
 2u , với k m . mk mk m
C. u u  (m k)d, với k m . m k
D. u u u . 3n 2n n 1  Lời giải Đáp án D.
Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được phương án sai.
+ Phương án A: Ta có uu
u  (m k 1)d u  (n k 1)d mk nk 1 1
u  (m 1)d u  (n 1)d u u . 1 1 m n
Do đó A là phương án đúng.
+ Phương án B: Ta có uu
u  (m k 1)d u  (m k 1)d mk mk 1 1
 2[u  (m 1)d ]  2u . 1 m
Do đó B là phương án đúng.
+ Phương án C: Ta có u u  (m 1)d u  (k 1)d  (m k)d u  (m k)d m 1 1 k
Do đó C là phương án đúng.
+ Phương án D: Ta có u u
u  (2n 1)d u nd u  (3n 1)d u u u 2n n 1  1 1 1 1 3n 1 Vậy phương án D sai.
34 https://www.facebook.com/toanthayan | 0988323371
LUYỆN MÃI THÀNH TÀI- MIỆT MÀI TẤT GIỎI.
CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN. MẸO HỌC TẬP
Qua ví dụ này, chúng ta lưu ý một số tính chất của cấp số cộng như: 1) uu
u u , với k  , m k n . mk nk m n 2) uu
 2u , với k m . mk mk m
3) u u  (m k)d, với k m . m k
Do đó C là phương án đúng.
+ Phương án D: Ta có u u
u  2n 1 d u nd u  3n 1 d u u u u . 2n n 1  1   1 1   1 3n 1 3n Vậy D là phương án sai.
Câu 5. Cho dãy số u xác định bởi u  321 và u u  3 với mọi *
n  ℕ . Tính tổng S của 125 n  1 n 1  n
số hạng đầu tiên của dãy số đó. A. S 16875 .
B. S  63375 .
C. S  63562,5 .
D. S  16687,5 . Lời giải
Từ công thức truy hồi của dãy số u , ta có u là một cấp số cộng với công sai d  3  . Do n n
đó tổng của 125 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó là
125.2u  125 1 d   1   S    16875 2 Vậy chọn phương án A.
0988323371 | Biên soạn và sưu tầm: Tô Quốc An 35
CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN.
If you wish to reach the highest, Begin at the lowest.
Câu 6. Cho cấp số cộng u có công sai d  3  và 2 2 2
u u u đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng S n  2 3 4 100
của 100 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó. A. S  14650 . B. S  14400 . C. S  14250 . D. S  15450 . 100 100 100 100 Lời giải
Đặt a u thì 1
u u u  a d 2  a  2d 2  a  3d 2  3a  36a 126  3a  62 2 2 2 2
18  18 với mọi a . 2 3 4
Dấu bằng xảy ra khi a  6  0  a  6 .Suy ra u  6 . 1
100.2u  100 1 d   1   Ta có S  
 14250 . Vậy phương án đúng là C. 100 2
Nhận xét: Từ kết quả bài tập này, chúng ta có thể đề xuất các câu hỏi sau đây:
Câu 6.1: Cho cấp số cộng u có công sai d  3  và 2 2 2
u u u đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm số hạng thứ n  2 3 4
2017 của cấp số cộng đó. A. u  6042 . B. u  6045 . C. u  6044 . D. u  6054 . 2017 2017 2017 2017
Câu 6.2: Cho cấp số cộng u có công sai d  3  và 2 2 2
u u u đạt giá trị nhỏ nhất. Số 2  019 là số n  2 3 4
hạng thứ mấy của cấp số cộng đã cho? A. 676 . B. 675. C. 672 . D. 674 .
Câu 6.3: Cho cấp số cộng u có công sai d  3  và 2 2 2
u u u đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm số hạng n  2 3 4
tổng quát của cấp số cộng đó.
A. u  9  3n .
B. u  6  3n .
C. u  5  3n .
D. u  3  3n . n n n n
Câu 6.4: Cho cấp số cộng u có công sai d  3
 , trong đó m là tham số. Tìm giá trị nhỏ nhất của n  biểu thức 2 2 2
F u u u . 2 3 4
A. min F  18 .
B. min F  6 .
C. min F  99 .
D. min F  117 .
36 https://www.facebook.com/toanthayan | 0988323371
LUYỆN MÃI THÀNH TÀI- MIỆT MÀI TẤT GIỎI.
CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN.
Câu 7. Cho cấp số cộng 3,8,13,... Tính tổng S  38 13... 2018 .
A. S  408422 .
B. S  408242 .
C. S  407231,5 .
D. S  409252,5 . Lời giải
Cấp số cộng 3,8,13,... có số hạng đầu a  3 và công sai d  5. 1 2018  3
Suy ra 2018 là số hạng thứ
1  404 của cấp số cộng. 5 404.3  2018 Do đó S S
 408242 . Vậy B là phương án đúng. 404 2
Nhận xét: Từ kết quả của bài tập này, chúng ta có thể giải quyết các câu hỏi sau đây:
Câu 7.1: Cho cấp số cộng 3,8,13,... Số 2018 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng đó? A. 402 . B. 403. C. 404 . D. 405 .
Câu 7.2: Cho cấp số cộng 3,8,13,..., x,... Tìm x biết 3  8 13  ... x  408242 . A. x  2017 . B. x  2016 . C. x  2019 . D. x  2018 .
Câu 7.3: Cần viết thêm vào giữa hai số 3 và 2018 bao nhiêu số hạng để thu được một cấp số cộng hữu
hạn có tổng các số hạng bằng 408242 ? A. 402 . B. 403. C. 405 . D. 404 .
Câu 7.4: Cho cấp số cộng u có u  3, u  2018 và S  408242 . Số hạng thứ 2018 của cấp số n  1 k k
cộng đó là số nào dưới đây? A. 10088 . B. 10093 . C. 10083 . D. 10098.
0988323371 | Biên soạn và sưu tầm: Tô Quốc An 37
CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN.
If you wish to reach the highest, Begin at the lowest.
Câu 8. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng: 3 2
x mx mm   2 3 2
4 x  9m m  0 . 17  265 17  265 A. m  0 . B. m  . C. m  . D. m 1. 12 12 Lời giải
Cách 1: Giải bài toán như cách giải tự luận.
- Điều kiện cần: Giả sử phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt x , x , x lập thành một cấp 1 2 3
số cộng. Theo định lý Vi-ét đối với phương trình bậc ba, ta có x x x  3m . Vì x , x , x 1 2 3 1 2 3
lập thành cấp số cộng nên x x  2x . Suy ra 3x  3m x m . Thay x m vào phương 1 3 2 2 2 2 trình đã cho, ta được m  0 3 2 m  3 .
m m  2mm  4 2 2
.m  9m m  0  m m  0   m  1 
- Điều kiện đủ:
+ Với m  0 thì ta có phương trình 3
x  0  x  0 (phương trình có nghiệm duy nhất). Do đó
m  0 không phải giá trị cần tìm.
+ Với m 1, ta có phương trình 3 2
x  3x  6x  8  0  x  1; x  2; x  4.
Ba nghiệm 2; 1; 4 lập thành một cấp số cộng nên m 1 là giá trị cần tìm.
Cách 2: Kiểm tra từng phương án cho đến khi chọn được phương án đúng.
Trước hết, ta kiểm tra phương án A và D (vì m nguyên).
+ Với m  0 thì ta có phương trình 3
x  0  x  0 (phương trình có nghiệm duy nhất). Do đó
m  0 không phải giá trị cần tìm.
+ Với m 1, ta có phương trình 3 2
x  3x  6x  8  0  x  1; x  2; x  4.
Ba nghiệm 2; 1; 4 lập thành một cấp số cộng nên m 1 là giá trị cần tìm. MẸO HỌC TẬP
Phương trình bậc ba 3 2
ax bx cx d  0 a  0 có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp b
số cộng thì điều kiện cần là x  
là nghiệm của phương trình. Giải điều kiện này ta có hệ 3a
thức liên hệ giữa các hệ số của phương trình là 3 3
2b  9abc  27a d  0 . Trong thực hành giải b
toán, chúng ta cũng chỉ cần ghi nhớ điều kiện cần là x  
là nghiệm của phương trình. 3a
38 https://www.facebook.com/toanthayan | 0988323371
LUYỆN MÃI THÀNH TÀI- MIỆT MÀI TẤT GIỎI.
CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN.
Câu 9. Biết rằng tồn tại hai giá trị của tham số m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt lập
thành một cấp số cộng: 4 2 2
x 10x  2m  7m  0 , tính tổng lập phương của hai giá trị đó. 343 721 721 343 A.  . B. . C.  . D. . 8 8 8 8 Lời giải Đặt 2
t x t  0 . Khi đó ta có phương trình: 2 2
t 10t  2m  7m  0 (*) .
Phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có 2 nghiệm 2 2 5
  (2m  7m)  0 dương phân biệt 2  
 0  2m  7m  25. 2
2m  7m  0 
(do tổng hai nghiệm bằng 10  0 nên không cần điều kiện này).
+ Với điều kiện trên thì (*) có hai nghiệm dương phân biệt là t , t (t t ) . 1 2 1 2
Khi đó phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt là  t ;  t ; t ; t . 2 1 1 2
Bốn nghiệm này lập thành một cấp số cộng khi
t   t t   t t t t  9t . 1  2  1  1 2 1 2 1
Theo định lý Vi-ét ta có: 2
t t  10; t .t  2m  7m . 1 2 1 2 t  9tt  1 2 1 1 m  1  
Suy ra ta có hệ phương trình t t 10 t 9       . 1 2 2 9 m    2  2
t .t  2m  7m 2m  7m  9  2  1 2 
Cả hai giá trị này đều thỏa mãn điều kiện nên đều có thể nhận được. 3  9   721 Do đó 3 1     . 2    8
Suy ra phương án đúng là C.
Câu 10. Một cơ sở khoan giếng đưa ra định mức giá như sau: Giá từ mét khoan đầu tiên là 100000
đồng và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét sau tăng thêm 30000 đồng so với giá của
mét khoan ngay trước đó. Một người muốn kí hợp đồng với cơ sở khoan giếng này để khoan
một giếng sâu 20 mét lấy nước dùng cho sinh hoạt của gia đình. Hỏi sau khi hoàn thành việc
khoan giếng, gia đình đó phải thanh toán cho cơ sở khoan giếng số tiền bằng bao nhiêu? A. 7700000 đồng. B. 15400000 đồng. C. 8000000 đồng. D. 7400000 đồng. Lời giải
Gọi u là giá của mét khoan thứ n , trong đó 1  n  20. n
Theo giả thiết, ta có u  100000 và u
u  30000 với 1 n 19 . 1 n 1  n
Ta có (u ) là cấp số cộng có số hạng đầu u  100000 và công sai d  30000 . n 1
Tổng số tiền gia đình thanh toán cho cơ sở khoan giếng chính là tổng các số hạng của cấp số
cộng (u ) . Suy ra số tiền mà gia đình phải thanh toán cho cơ sở khoan giếng là n
20[2u  (20 1)d ] 1
S u u  ....  u   7700000 (đồng). 20 1 2 20 2
Vậy phương án đúng là A.
0988323371 | Biên soạn và sưu tầm: Tô Quốc An 39
CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN.
If you wish to reach the highest, Begin at the lowest.
C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG
Dạng 1: Bài tập nhận dạng cấp số cộng
Câu 1. Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số cộng? 5 1 1 7 5 1 1 A. 3,1,5,9,14 .
B. 5, 2, 1,4,7 . C. ,1, , ,3 . D.  ,  , 2  ,  , . 3 3 3 2 2 2 2
Câu 2. Trong các dãy số sau, dãy số nào không là cấp số cộng?
A. Dãy số a với a  3n  5 . n n
B. Dãy số b với b  3  5n . n n
C. Dãy số c với 2
c n n . n n 4n   1 
D. Dãy số d với d  2017cot  2018 . n n 2 1 1 1
Câu 3. Cho các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện: Ba số , ,
theo thứ tự lập thành một
x y y z z x
cấp số cộng. Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng? A. Ba số 2 2 2
x , y , z theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. B. Ba số 2 2 2
y , z , x theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. C. Ba số 2 2 2
y , x , z theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. D. Ba số 2 2 2
z , y , x theo thứ tự lập thành một cấp số cộng.
Dạng 2: Bài tập về xác định số hạng và công sai của cấp số cộng.
Câu 4. Cho cấp số cộng u xác định bởi * u  2; u
u  3, n  ℕ . Xác định số hạng tổng quát n  3 n 1  n của cấp số cộng đó.
A. u  3n 11.
B. u  3n  8 .
C. u  2n  8 .
D. u n  5. n n n n
Câu 5. Cho cấp số cộng u có u  2017;u  1945 . Tính u . n  2 5 2018 A. u  46367 . B. u  50449 . C. u  46391. D. u  50473 . 2018 2018 2018 2018
Câu 6. Cho cấp số cộng  x có 2
S  3n  2n . Tìm số hạng đầu u và công sai d của cấp số cộng n n 1 đó.
A. u  2;d  7 .
B. u  1;d  6 .
C. u  1;d  6 .
D. u  2;d  6 . 1 1 1 1
Câu 7. Cho cấp số cộng u có 2
S  7n  2n . Tính giá trị của biểu thức 2 2 2
P u u u . n n 3 5 7 A. P  491. B. P  419 . C. P 1089 . D. P  803 . u   u  5
Câu 8. Cho cấp số cộng u với 3 5
. Tìm số hạng đầu của cấp số cộng. n  u .u  6  3 5
A. u  1 hoặc u  4 . B. u  1 hoặc u  4 . C. u  1 hoặc u  4 . D. u  1 hoặc u  1. 1 1 1 1 1 1 1 1
Câu 9. Cho cấp số cộng u có công sai d  2 và 2 2 2
u u u đạt giá trị nhỏ nhất. Số 2018 là số n  2 3 4
hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng u ? n A. 1012. B. 1011. C. 1014 . D. 1013.
Câu 10. Cho cấp số cộng 6, x,2, y . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. x  2; y  5 .
B. x  4; y  6 .
C. x  2; y  6 .
D. x  4; y  6 .
Câu 11. Viết sáu số xen giữa 3 và 24 để được một cấp số cộng có tám số hạng. Sáu số hạng cần viết thêm là A. 6,9,12,15,18,21. B. 21,18,15,12,9,6 . 13 27 41 16 23 37 44 58 65 C. ,10, ,17, ,24 . D. , , , , , . 2 2 2 3 3 3 3 3 3
40 https://www.facebook.com/toanthayan | 0988323371
LUYỆN MÃI THÀNH TÀI- MIỆT MÀI TẤT GIỎI.
CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN.
Câu 12. Cho hai cấp số cộng  x  : 4,7,10,... và  y
Hỏi trong 2017 số hạng đầu tiên của n  :1, 6,11,... n
mỗi cấp số cộng có bao nhiêu số hạng chung? A. 404 . B. 403. C. 672 . D. 673.
Câu 13. Cho cấp số cộng 1,7,13,..., x thỏa mãn điều kiện 1 7 13 ... x  280 . Tính giá trị của x . A. x  53. B. x  55. C. x  57. D. x  59.
Câu 14. Biết rằng tồn tại các giá trị của x0;2  để ba số 2
1 sin x,sin x,1 sin 3x lập thành một cấp
số cộng, tính tổng S các giá trị đó của x . 7 23 A. S  5 . B. S  3 . C. S  . D. S  . 2 6
Dạng 3: Bài tập về tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng.
Câu 15. Cho cấp số cộng u có u  3 và tổng của 9 số hạng đầu tiên là S  45 . Cấp số cộng trên n  4 9 có A. S  92 . B. S  980 .
C. S  56 . D. S  526 . 10 20 3 16
Câu 16. Cho cấp số cộng  x có x x  80 . Tính tổng S của 15 số hạng đầu tiên của cấp số cộng. n  3 13 15 A. S  600 . B. S  800 . C. S  570 . D. S  630 . 15 15 15 15
Dạng 4: Bài tập liên quan đến tính chất của cấp số cộng.
Câu 17. Cho cấp số cộng u . Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng? n
A.n pu   p mu  m nu  0 .
B.m nu n p u p m u  . m   n   0 m n p p
C.m pu  n mu   p nu  0 .
D.p nu m p u m n u  . m   n   0 m n p p 1 1 1
Câu 18. Cho ba số dương , a ,
b c thỏa mãn điều kiện , ,
lập thành một cấp số b c c a a b
cộng. Mệnh đề nào dưới đây là đúng? A. Ba số , a ,
b c lập thành một cấp số cộng. 1 1 1
B. Ba số , , lập thành một cấp số cộng. a b c C. Ba số 2 2 2
a ,b , c lập thành một cấp số cộng.
D. Ba số a , b, c lập thành một cấp số cộng
Dạng 5: Bài tập liên quan đến cấp số cộng.
Câu 19. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 4 2
x 10x m  0 có bốn nghiệm phân
biệt lập thành một cấp số cộng. A. m 16 . B. m  9 . C. m  24 . D. m  21.
Câu 20. Biết rằng tồn tại đúng hai giá trị của tham số m để phương trình 4
x  m   2 2
1 x  2m 1  0
có bốn nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng, tính tổng bình phương của hai giá trị đó. 1312 1024 32 1600 A. . B. . C. . D. . 81 81 9 81
Câu 21. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 3 2 2
x 3x x m 1 0 có ba nghiệm
phân biệt lập thành một cấp số cộng. A. m  1  6 . B. m  2  . C. m  2 . D. m  2  .
0988323371 | Biên soạn và sưu tầm: Tô Quốc An 41
CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN.
If you wish to reach the highest, Begin at the lowest.
Câu 22. Biết rằng tồn tại đúng ba giá trị m , m , m của tham số m để phương trình 1 2 3 3 2 3 2
x 9x  23x m  4m m 9  0 có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng, tính
giá trị của biểu thức 3 3 3
P m m m . 1 2 3 A. P  34. B. P  36. C. P  64 . D. P  3  4.
Câu 23. Mặt sàn tầng của một ngôi nhà cao hơn mặt sân 0,5m . Cầu thang đi từ tầng một lên tầng hai
gồm 21 bậc, một bậc cao 18cm. Kí hiệu h là độ cao của bậc thứ n so với mặt sân. Viết công n
thức để tìm độ cao h . n
A. h  0,18n  0,32 m .
B. h  0,18n  0,5 m . n   n  
C. h  0,5n  0,18 m .
D. h  0,5n  0,32 m . n   n  
Câu 24. Người ta trồng 3003 cây theo hình một tam giác như sau: hàng thứ nhất có 1 cây, hàng thứ hai
có 2 cây, hàng thứ ba có 3 cây,… Hỏi trồng được bao nhiêu hàng cây theo cách này? A. 77 hàng. B. 76 hàng. C. 78 hàng. D. 79 hàng.
Câu 25. Trên một bàn cờ có nhiều ô vuông. Người ta đặt 7 hạt dẻ vào ô vuông đầu tiên, sau đó đặt tiếp
vào ô thứ hai số hạt dẻ nhiều hơn ô đầu tiên là 5, tiếp tục đặt vào ô thứ ba số hạt dẻ nhiều hơn ô
thứ hai là 5, … và cứ thế tiếp tục đến ô cuối cùng. Biết rằng đặt hết số ô trên bàn cờ người ta đã
phải sử dụng hết 25450 hạt dẻ. Hỏi bàn cờ đó có bao nhiêu ô? A. 98ô. B. 100ô. C. 102 ô. D. 104 ô.
Câu 26. Một công ty trách nhiệm hữu hạn thực hiện việc trả lương cho các kỹ sư theo phương thức sau:
Mức lương của quý làm việc đầu tiên cho công ty là 13,5 triệu đồng/quý, và kể từ quý làm việc
thứ hai, múc lương sẽ được tăng thêm 500.000 đồng mỗi quý. Tính tổng số tiền lương một kỹ
sư nhận được sau ba năm làm việc cho công ty. A. 198triệu đồng.
B. 195 triệu đồng.
C. 228 triệu đồng.
D. 114 triệu đồng.
Câu 27. Trên tia Ox lấy các điểm A , A ,..., A ,... sao cho với mỗi số nguyên dương n , OA n . Trong 1 2 n n
cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa tia Ox , vẽ các nửa đường tròn đường kính
OA , n 1, 2,... Kí hiệu u là diện tích nửa đường tròn đường kính OA và với mỗi n  2 , kí n 1 1
hiệu u là diện tích của hình giới hạn bởi nửa đường tròn đường kính OA , nửa đường tròn n n 1 
đường kính OA và tia Ox . Mệnh đề nào dưới đây là đúng? n
A. Dãy số u không phải là một cấp số cộng. n  
B. Dãy số u là một cấp số cộng có công sai d  . n  4 
C. Dãy số u là một cấp số cộng có công sai d  . n  8 
D. Dãy số u không phải là một cấp số cộng có công sai d  . n  2
Câu 28. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đồ thị C của hàm số y  3x  2 . Với mỗi số nguyên
dương n , gọi A là giao điểm của đồ thị C với đường thẳng d : x n  0 . Xét dãy số u n n
với u là tung độ của điểm A . Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng? n n
A. Dãy số u là một cấp số cộng có công sai d  2  . n
B. Dãy số u là một cấp số cộng có công sai d  3. n
C. Dãy số u là một cấp số cộng có công sai d 1. n
D. Dãy số u không phải là một cấp số cộng. n
42 https://www.facebook.com/toanthayan | 0988323371
LUYỆN MÃI THÀNH TÀI- MIỆT MÀI TẤT GIỎI.
CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN.
Câu 29. Cho cấp số cộng u  có số hạng đầu u  2 và công sai d  3
 . Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , 1
lấy các điểm A , A ,... sao cho với mỗi số nguyên dương n , điểm A có tọa độ  ; n u . Biết n  1 2 n
rằng khi đó tất cả các điểm A , A ,..., A ,... cùng nằm trên một đường thẳng. Hãy viết phương 1 2 n
trình của đường thẳng đó. A. y  3  x  5. B. y  3  x  2 .
C. y  2x  3.
D. y  2x  5
0988323371 | Biên soạn và sưu tầm: Tô Quốc An 43
CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN.
If you wish to reach the highest, Begin at the lowest.
D. HƯỚNG DẪN GIẢI
Dạng 1: Bài tập về nhận dạng cấp số cộng Câu 1. Đáp án B.
Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được đáp án đúng.
- Phương án A: 1  3
   5 1  9  5  4  14  9  5 .
- Phương án B: 2  5  1
  2  4    1  7   4    3 .
Vậy dãy số ở phương án B là cấp số cộng. Câu 2. Đáp án C.
Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được đáp án đúng.
- Phương án A: Ta có a
a  3,n  1 nên a là cấp số cộng. n n 1  n
- Phương án B: Ta có b b   5,n  1 nên b là cấp số cộng. n n 1  n
- Phương án C: Ta có c
c  2n,n  1 nên c không là cấp số cộng. n n 1  n 4n   1 
- Phương án D: Ta có d  2018,n  1(do cot
 0 ) nên d là cấp số cộng. n n 2 Câu 3. Đáp án C. Theo giả thiết, ta có: 1 1 2  
  y z2x y z  2 x y x z 2 2 2
y z  2x . x y z x y z Suy ra 2 2 2
y , x , z hoặc 2 2 2
z , x , y lập thành một cấp số cộng. Do đó phương án đúng là C.
Dạng 2: Bài tập về nhận dạng cấp số cộng Câu 4. Đáp án A.
Ta có u là cấp số cộng có công sai d  3 nên số hạng đầu là u u  2d  8 n  1 3
Suy ra số hạng tổng quát là u  3n 11. n Câu 5. Đáp án A.
u d  2017 u  2041
Gọi d là công sai của cấp số cộng. Theo giả thiết, ta có: 1 1   
u  4d  1945 d  2  4  1  Suy ra u
u  2017d  46367 . 2018 1 Câu 6. Đáp án B.
Ta có u S  1 và u u S  8 . Suy ra u  7 1 1 1 2 2 2
Vậy d u u  6 . 2 1 Câu 7. Đáp án A.
Ta có u S S  9  4n . n n n 1 
Suy ra u  3,u  11,u  19 . Do đó P  491 . 3 5 7 Câu 8. Đáp án A. u u  5 u  2 u  3 Ta có 3 5 3    hoặc 3  . u .u  6 u  3  u  2 3 5  5  5 u  2 + Giải 3  , ta được u  1. u  3 1  5 u  3 + Giải 3 
, ta được u  4 . u  2 1  5
44 https://www.facebook.com/toanthayan | 0988323371
LUYỆN MÃI THÀNH TÀI- MIỆT MÀI TẤT GIỎI.
CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN. Câu 9. Đáp án A.
Ta có u u u  3u  24u  56  3u  42 2 2 2 2  8  8 2 3 4 1 1 1
Dấu bằng xảy ra khi u  4  0  u  4 1 1
Số hạng tổng quát của cấp số cộng là u  2n  6 . n
Nếu u  2018 thì 2n  6  2018  n  1012 . n
Vậy 2018 là số hạng thứ 1012 của cấp số cộng. Câu 10. Đáp án C. 2x  6    2   x  2
Theo tính chất của cấp số cộng, ta có    . 2.   2
   x y y  6   Câu 11. Đáp án A.
Theo giả thiết, ta có u  3,u  24 1 8
Suy ra 3  7d  24  d  3 .
Vậy 6 số cần viết thêm là 6,9,12,15,18,21. Câu 12. Đáp án B.
Ta có x  4  n n n n    1 .3  3 1,1   2017 y  1 m m m n    1 .5  5  4,1   2017
Để một số là số hạng chung của cả hai cấp số cộng thì ta phải có
3n 1  5m  4  3n  5m   1 .
Suy ra n⋮5, tức là n  5t và m t   * 3 1 t  ℕ  .
Lại do 1  n  2017 nên 1  t  403.
ứng với 403 giá trị của t , ta tìm được 403 số hạng chung. Câu 13. Đáp án B.
Cấp số cộng 1,7,13,…, x có số hạng đầu u  1 và công sai d  6 nên số hạng tổng quát là 1 u  6n  5 n n 6n  4
Giả sử x u  6n  5 . Khi đó 2
1 7 13 …  x   3n  2n n 2 Theo giả thiết, ta có 2
3n  2n  280  n  10  x u  55 . 10
Câu 14. Đáp án A.
Theo tính chất của cấp số cộng ta có: 2
1 sin x 1 sin 3x  2sin x 3 2
 2  4sin x  4sin x  2sin x 3 2
 2sin x  sin x  2sin x 1  0  2sin x   1  2 sin x   1  0  1 sin x     2 cos x  0   
x    k2 1  +) 6 sin x     . 2 7 x   k2  6 
+) cos x  0  x   k 2
0988323371 | Biên soạn và sưu tầm: Tô Quốc An 45
CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN.
If you wish to reach the highest, Begin at the lowest.  11 7
Với nghiệm x    k2 và x 0;2  , ta tìm được x  . Với nghiệm x   k2 và 6 6 6 7 
x 0;2 , ta tìm được x  . Với nghiệm x
k và x 0;2  ta tìm được nghiệm 6 2  3 x  ; x  2 2 11 7  3 Do đó S      5 . 6 6 2 2
Dạng 3: Bài tập về tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng. Câu 15. Đáp án B.
Ta có u  3  u  3d  3 . 4 1 92u  8d 1  S  45 
 45  u  4d  5 . 9 1 2
u  3d  3  u  2  7
Do đó ta có hệ phương trình 1 1    . u  4d  5 d  8  1  102u  9d 20 2u 19d 1   1  Ta có S   90; S   980 10 20 2 2
Vậy đáp án đúng là B. Câu 16. Đáp án A.
Ta có x x  80  x  2d x  2d  80 3 13  1   15  15 x x 1 15 
x x  80  S   600 . 1 15 15 2
Dạng 4: Bài tập liên quan đến tính chất của cấp số cộng.
Câu 17. Đáp án A.
Kiểm tra từng phương án cho đến khi tìm được phương án đúng.
Ta có: u u m 1 d;u u n 1 d;u u p 1 d . m 1   n 1   p 1  
- Phương án A: Ta có: n pu   p mu  m n u m np
-  n p u m 1 d   p m u n 1 d   m n u p 1 d   0  . 1      1      1    - Vậy đáp án A.
Câu 18. Đáp án A. Theo giả thiết ta có: 1 1 2   b c a b c a
  c a  a c  2 b  2 b c  a b  a c  2b Suy ra ba số , a , b c hoặc , c ,
b a lập thành một cấp số cộng. Do đó đáp án là. A.
Dạng 5: Bài tập liên quan đến cấp số cộng. Câu 19. Đáp án B.
Áp dụng kết quả ở phần lí thuyế, ta có phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt lập thành
một cấp số cộng thì điều kiện cần là 2 9b 100ac hay 2
9.10 100.1.m m  9.
Với m  9 thì phương trình đã cho trở thành 4 2
x 10x  9  0  x  1; x  3 . Bốn số 3  ; 1
 ;1;3 lập thành một cấp số cộng nên m  9 là giá trị cần tìm.
46 https://www.facebook.com/toanthayan | 0988323371
LUYỆN MÃI THÀNH TÀI- MIỆT MÀI TẤT GIỎI.
CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN.
Câu 20. Đáp án A.
ÁP dụng kết quả phần lý thuyết, ta có phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt lập thành một
cấp số cộng thì điều kiện cần là 2
9b 100ac hay m  4
92m 22 100.1.2m  2 1 9m 32m 16 0          4 m    9
Với m  4 , ta có phương trình 4 2
x 10x  9  0 . Phương trình nàu có 4 nghiệm là 3  ; 1  ;1;3
lập thành cấp số cộng. 4 1 1
Với m   , ta có phương trình 4 2
9x 10x 1 0 . Phương trình này có 4 nghiệm 1; ; ;1 9 3 3
lập thành cấp số cộng. 4
Vậy m  4; m   thỏa mãn yêu cầu bài toán. 9 2   Do đó 2 4 1312 4     . 9    81
Câu 21. Đáp án D.
Áp dụng kết quả phần lý thuyết, ta có phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt thì điều kiện b 3  cần là   
 1 là nghiệm của phương trình. 3a 3 Suy ra 3 2 2
1 3.1 1 m 1 0  m  2  .
Với m  2 , ta có phương trình 3 2
x 3x x  3  0.   x   2 3 x   1  0  x  1
 , x  1, x  3 Ba số 1
 ,1,3 lập thành cấp số cộng.
Vậy các giá trị cần tìm là m  2 . Do đó D là phương án đúng. Câu 22. Đáp án A.
Áp dụng kết quả ở phần lý thuyết, ta có phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt thì điều b 9 kiện cần là:   
 3 là nghiệm của phương trình. 3a 3 Suy ra 3 2 3 2
3 9.3  23.3 m  4m m 9  0  3 2
m  4m m  6  0  m  1
 ,m  2,m  3 Với m  1
 , m  2,m  3 thì 3 2
m  4m m  6  0 nên 3 2
m  4m m 9  1  5 . Do vậy, với m  1
 ,m  2,m  3 ta có phương trình 3 2 x x x
   x   2 9 23 15 0
3 x  6x  5  0  x 1, x  3, x  5.
Ba số 1,3,5 lập thành cấp số cộng. Vậy m  1
 , m  2,m  3 là các giá trị cần tìm. Do đó  3 3 3 1  2  3  34 Câu 23. Đáp án A.
Ký hiệu h là độ cao của bậc thứ n so với mặt sân. n Khi đó, ta có h
h  0,18 (mét), trong đó h  0,5 (mét). Dãy số h lập thành một cấp số n n 1  n 1
cộng có h  0,5 và công sai d  0,18 . Suy ra số hạng tổng quát của cấp số cộng này là 1
h  0,5  n  
1 .0,18  0,18.n  0,32 (mét). n
0988323371 | Biên soạn và sưu tầm: Tô Quốc An 47
CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN.
If you wish to reach the highest, Begin at the lowest. Câu 24. Đáp án A. n n   1
Giả sử trồng được n hàng. Khi đó tổng số cây được trồng là S  1 2  ...  n  . 2 n n   1 Theo giả thiết ta có
 3003  n  77 . 2 Câu 25. Đáp án B.
Kí hiệu u là số hạt dẻ ở ô thứ n . n
Khi đó, ta có u  7 và u
u  5, n  1. 1 n 1  n
Dãy số u là cấp số cộng với u  7 và công sai d  5 nên có n  1 n 2u   n   2 1 d  1  5n  9n S   . n 2 2 2 5n  9n Theo giả thiết, ta có
 25450  n  100 . 2
Suy ra bàn cờ có 100 ô. Do đó B là đáp án đúng. Câu 26. Đáp án B.
Kí hiệu u là mức lương của quý thứ n làm việc cho công ty. Khi đó u  13,5 và n 1 u
u  0,5, n  1. n 1  n
Dãy số u lập thành cấp số cộng có số hạng đầu u  13,5 và công sai d  0,5 . n  1
Một năm có 4 quý nbên 3 năm có tổng 12 quý.
Số tiền lương sau 3 năm bằng tổng số tiền lương của 12 quý và bằng tổng 12 số hạng đầu tiên
của cấp số cộng u . Vậy, tổng số tiền lương nhận được sau 3 năm làm việc cho công ty của n  12.2.13,5 11.0,5 kỹ sư là S   195 (triệu đồng). 12 2 Câu 27. Đáp án B. n
Bán kính đường tròn có đường kính OA là r  . n n 2 2 2 1 n n
Diên tích nửa đường tròn đường kính OA là S      . n n 2  2    8  2n 1 
Suy ra u s s
n n 1   , n  2 n n n 1   2 2   8   . 8 2 1 1  Ta có u      . 1 2  2    8   Do u
u  ,n  1 nên u là cấp số cộng với công sai d  . n n 1  n 4 4
Suy ra B là phương án đúng. Câu 28. Đáp án B. Ta có A  ;
n u trong đó u  3n  2 . n n n Do u
u  3, n  1 nên u là một cấp số cộng với công sai d  3 . n n 1  n
Suy ra B là phương án đúng. Câu 29. Đáp án A.
Số hạng tổng quát của cấp số cộng u là u u n 1 d  3  n  5 . n 1   n
48 https://www.facebook.com/toanthayan | 0988323371
LUYỆN MÃI THÀNH TÀI- MIỆT MÀI TẤT GIỎI.
CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN.
Nhận thấy toạ độ của các điểm A đều thoả mãn phương trình y  3
x  5 nên phương trình n
đường thẳng đi qua các điểm A , A ,..., A ,...là y  3  x  5 . 1 2 n
Suy ra A là phương án đúng.
0988323371 | Biên soạn và sưu tầm: Tô Quốc An 49
CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN.
If you wish to reach the highest, Begin at the lowest. CẤP SỐ NHÂN A. LÝ THUYẾT 1. Định nghĩa.
Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng
đều bằng số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nhân với một số không đổi q.
Số không đổi q được gọi là công bội của cấp số nhân. Đặc biệt:
1) Khi q  1 thì cấp số nhân là một dãy số không đổi (tất cả các số hạng đều bằng nhau).
2) Khi q  0 thì cấp số nhân có dạng u ,0,0,0,…,0,… 1
3) Khi u  0 thì với mọi q cấp số nhân có dạng 0,0,0,0,…,0,… 1
Nhận xét: Từ định nghĩa, ta có:
Nếu u là một cấp số nhân với công bội q , ta có công thức truy hồi * u
u .q, n ℕ (1) n n 1  n MẸO HỌC TẬP
1) Để chứng minh dãy số u là một cấp số nhân, chúng ta cần phải chỉ tồn tại một số không đổi q sao n cho u
u .q, n  1 . n 1  n
2) Trong trường hợp u  0,n  1 để chứng minh u là một cấp số nhân, chúng ta cần phải chỉ ra tỷ n n u số n 1
là một số không đổi với mọi số nguyên dương n. un
3) Để chỉ ra một dãy số không phải là cấp số nhân, chúng ta cần chỉ một dãy số gồm 3 số hạng liên tiếp
của dãy số đã cho mà không lập thành cấp số nhân.
Ví dụ 1. Chứng minh rằng dãy số hữu hạn sau là một cấp số nhân. 1 1 1 1 3, 1,  ,  ,  ,  . 3 9 27 81 Lời giải 1 1 1 1 1 1 Ta có 1  2   3; 1  3  . ;   1  . ;    . ; 3 3 3 9 3 3 1 1 1 1 1 1    . ;    . . 27 9 3 81 27 3 1 1 1 1
Theo định nghĩa cấp số nhân, dãy số 3  , 1  ,  ,  ,  , 
. là một cấp số nhân với công 3 9 27 81 1 bội q  . 3
Ví dụ 2. Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào là cấp số nhân? n
a) Dãy số  x , với 2 x n ;
b) Dãy số  y , với y n  2 3 5 ; n n n 2 3n 1
c) Dãy số  z , với z  ;
d) Dãy số w , với w  . n n n n n n 1 3  Lời giải
a) Cách 1: Ba số hạng đầu của dãy số  x là 1, 4, 9. Vì 4 1.4;9  4.4 nên dãy số  x không n n  phải là cấp số nhân.
50 https://www.facebook.com/toanthayan | 0988323371
LUYỆN MÃI THÀNH TÀI- MIỆT MÀI TẤT GIỎI.
CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN. x n 1 2 1 n 1   2
Cách 2: Ta có x  n  nên   1 
(phụ thuộc vào n không phải là số  2 1 n 1 2 2 x n n n n
không đổi). Do đó,  x không phải là cấp số nhân. n  2(n 1  )3 2n 1  y b) Ta có y  5  5 nên n   2 1
5  5 (là số không đổi). Do đó,  y phải n n 1      yn
là cấp số nhân với công bội q  5 . 2 z n c) Ta có z  nên n 1  
(phụ thuộc vào n, không phải là số không đổi). n 1  n 1 z n 1 n
Do đó  z không phải là một cấp số nhân. n  4 10 28 10 4 5 28 10 5
d) Ba số hạng đầu của dãy số w là , , . Vì   , 
 nên dãy số wn n  9 27 81 27 9 6 81 27 6
không phải là cấp số nhân.
Ví dụ 3. Cho cấp số nhân u có số hạng đầu u  1 và công bội q  3
 . Viết 6 số hạnh đầu của cấp số n  1
nhân và tính tổng của 6 số hạng đó. Lời giải Ta có
u u q  (1)(3)  3;
u u q  3(3)  9; 2 1 3 2
u u q  (9)(3)  27;
u u q  (27)(3)  81; 4 3 5 4
u u q  (81)(3)  243; 6 5
Tổng của 6 số hạng đầu tiên của cấp số nhân là S  1   3 ( 9  )  27  ( 8  1)  243 182.
2. Số hạng tổng quát của cấp số nhân. Định lý 1.
Nếu cấp số nhân u có số hạng đầu u và công bội q thì số hạng tổng quát u được xác định n 1 n bởi công thức: n 1 u u q   , n  2. (2) n 1 MẸO HỌC TẬP
Từ kết quả của định lý 1, ta rút ra kết quả sau:
Cho cấp số nhân u với các số hạng khác 0. Khi đó ta có: n
1) u u . mk q , k  . m m ku 2) m k m q  , k  . m uk
Ví dụ 4. Cho cấp số nhân u có u  3 và q  2. n  1 a) Tìm u . 7
b) Số 12288 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số nhân đã cho? Lời giải a) Ta có 7 1 6 u u q    3.2  192. 7 1
b) Số hạng tổng quát của cấp số nhân là n 1 n 1 u u q  3.2    . n 1 Vì u  12288 nên n 1
3.2  12288  n 13. n
Do n 13 là số nguyên dương nên số12288 là số hạng thứ 13 của cấp số nhân đã cho.
0988323371 | Biên soạn và sưu tầm: Tô Quốc An 51
CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN.
If you wish to reach the highest, Begin at the lowest.
Ví dụ 5. Cho cấp số nhân  x có x  18 và x  1458. Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân đó n  3 7 Lời giải
Gọi q là công bội của cấp số nhân  x . n  2 2  x 18  x .q  18  x .q  18  x  2  x  2 Ta có 3 1 1 1 1          6 2 4 2 x  1458  x .q  1458 x .q q  1458 q  9 q  3  7  1  1  
+ Với x  2 và q  3, ta có số hạng tổng quát là n 1 n 1 x x .q  2.3    . 1 n 1
+ Với x  2 và q  3
 , ta có số hạng tổng quát là n 1 n 1 x x .q  2.( 3)     . 1 n 1
3. Tính chất các số hạng của cấp số nhân Định lý 2.
Trong một cấp số nhân u , bình phương mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là n
tích hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là 2
u u .u , k  2 (3) k k 1  k 1  MẸO HỌC TẬP
Một cách tổng quát, ta có:
Nếu u là cấp số nhân thì 2 u uu , k m n m mk mk Ví dụ 6.
a) Cho cấp số nhân a có a  4 và a  12 . Tìm a . n  7 9 8
b) Cho cấp số nhân 3, x, 12, y . Tính giá trị của biểu thức 3 3
F x y . Lời giải
a) Theo tính chất của cấp số nhân, ta có 2
a a .a  4.12  48 Suy ra a  4 3 hoặc 8 7 9 8 a  4 3 . 8
b) Theo tính chất của cấp số nhân, ta có 2 x  3.12  36 và 2 . x y  12  144 .
Giải ra ta được x  6; y  24 hoặc x  6  ; y  2  4 .
+ Với x  6; y  24 thì 3 3
F x y  14040. + Với x  6  ; y  2  4 thì 3 3
F x y  14040.
Vậy F  14040 hoặc F  14040.
4. Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân. Định lý 3.
Cho một cấp số nhân u với công bội q 1. Đặt S u u  ... u . Khi đó: n n 1 2 n u (1 nq ) u u 1 S  hoặc 1 n 1 S   (5) n (1 q) n 1 q MẸO HỌC TẬP
1) Chúng ta thường sử dụng công thức (4) để tính S khi biết số hạng đầu u và công bội q của cấp số n 1 nhân.
2) Công thức (5) được sử dụng để tính S trong trường hợp biết các số hạng u ,u và công bội q của n 1 n 1  cấp số nhân. Ví dụ 7.
52 https://www.facebook.com/toanthayan | 0988323371
LUYỆN MÃI THÀNH TÀI- MIỆT MÀI TẤT GIỎI.
CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN. a) Tính tổng 2 12
S 110 10 …10 .
b) Cho cấp số nhân u có u  3 và công bội q  2 . Tìm k, biết S  189 . n  1 k Lời giải a) Ta có dãy số 2 12
1,10,10 ,…,10 lập thành một cấp số nhân có số hạng đầu u  1 và công bội 1
q 10 . Cấp số nhân này có 13 số hạng. Do đó u  13 1 q 1  1 S  S    13 10 1 . 13  1 q 9 u 1 kq 3. 1 2k 1     b) Ta có S    32k k 1 1 q 1 2
Theo giả thiết, ta có  k   k 6 3 2
1  189  2  2  k  6.
0988323371 | Biên soạn và sưu tầm: Tô Quốc An 53
CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN.
If you wish to reach the highest, Begin at the lowest.
B. CÁC DẠNG TOÁN VỀ CẤP SỐ NHÂN
Câu 1. Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào là cấp số nhân?
A. Dãy sốa , với a     n   ℕ . n  n n 1 * 1 .3 1, n  2017
B. Dãy số b , với * b  1, bb  b , n   ℕ . n  1 n 1  n 2018 n
C. Dãy số c , với 2n 1  * c  . n 5 , n  ℕ . n n
D. Dãy số d , với 2 * d  3, d
d , n  ℕ . n  1 n 1  n Lời giải Đáp án B
Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được phương án đúng.
- Phương án A: Ba số hạng đầu tiên của dãy số là 8, 28,  80. 28 8  0
Ba số này không lập thành cấp số nhân vì  . 8  28 4035
- Phương án B: Ta có * b
b ,n  ℕ nên b là cấp số nhân n n 1  2018 n c 25 n 1 n 1   
- Phương án C: Ta có 
(phụ thuộc vào n, không phải là không đổi) c n n
Do đó (c ) không phải là cấp số nhân. n
- Phương án D: Ba số hạng đầu tiên của dãy số d là 3,9,81. Nhận thấy ba số này không lập n
thành cấp số nhân nên dãy số d không là cấp số nhân. n
Câu 2. Cho cấp số nhân a có a  3 và a  6 . Tìm số hạng thứ năm của cấp số nhân đã cho. n  1 2
A. a  24 . B. a  48 .
C. a  48 .
D. a  24 . 5 5 5 5 Lời giải Đáp án B a
Ta có công bội của cấp số nhân là 2 q   2. a1 Suy ra 4 4
a a .q  3.(2)  48 . 5 1
Vậy phương án đúng là B.
Nhận xét: Với dữ kiện của ví dụ này, chúng ta có thể đề xuất các câu hỏi sau đây:
Câu 2.1: Cho cấp số nhân a a  3 a  6  n  có và
. Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân đã cho. 1 2
A. u  3.(2)n . B. 1 u 3.( 2)n   . C. 1 u 3.(2)n  .
D. u  3.(2)n . n n n n
Cho cấp số nhân a a  3 a  6  n  có và
. Tìm tổng S của 50 số hạng đầu tiên cấp số nhân đã Câu 2.2: 1 2 cho. A. 50 S  2 1 . B. 51 S  2 1. C. 50 S 1 2 . D. 51 S 1 2 .
Câu 2.3: Cho cấp số nhân a a  3 a  6  S  16383 a n  có và . Biết rằng , tính . 1 2 k k
A. a  24576 .
B. a  24576 .
C. a  49152 .
D. a  49152 . k k k k
54 https://www.facebook.com/toanthayan | 0988323371
LUYỆN MÃI THÀNH TÀI- MIỆT MÀI TẤT GIỎI.
CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN.
x x x 10
Câu 3. Cho cấp số nhân  x có 2 4 5 
. Tìm x và công bội q. n
x x x  20  1 3 5 6
A. x  1, q  2 .
B. x  1, q  2 .
C. x  1, q  2 .
D. x  1, q  2 . 1 1 1 1 Lời giải
x x x  10 x   2 3
1 q q  10 2  x  2 Ta có 2 4 5 2     
x x x  20   x q   . 2 3 1 q q q  2 3 5 6  2  x Suy ra 2 x
 1. Vậy phương án đúng là A. 1 q
Câu 4. Cho cấp số nhân u có tổng n số hạng đầu tiên là S  5n 1. Tìm số hạng đầu u và công n n 1
bội q của cấp số nhân đó.
A. u  6, q  5 .
B. u  5, q  4 .
C. u  4, q  5 .
D. u  5, q  6 . 1 1 1 1 Lời giải
Ta có u S  5 1  4 và u S S   2
5 1  5 1  20. 2 2 1    1 1 MẸO HỌC TẬP
1) Định lý Vi-ét đối với phương trình bậc ba:
Nếu phương trình bậc ba 3 2
ax bx cx d  0 có ba nghiệm x , x , x thì: 1 2 3  b
x x x   1 2 3  a   c
x x x x x x  . 1 2 2 3 3 1 a   d x x x    1 2 3  a
2) Trong thực hành giải toán, chúng ta sử dụng kết quả này kết hợp với giả thiết của bài toán để
tìm ra nghiệm của phương trình hoặc xác định được mối liên hệ giữa các hệ số của phương trình. d
Trường hợp nếu  là hằng số thì điều kiện cần để phương trình bậc ba nói trên có ba nghiệm a d
lập thành một cấp số nhân là 3 x  
là nghiệm của phương trình bậc ba đó. a
Câu 5. Cho cấp số nhân u có u  3 và 15u  4u u đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm số hạng thứ 13 của n  1 1 2 3 cấp số nhân đã cho.
A. u  24567 .
B. u  12288 .
C. u  49152 . D. u  3072 . 13 13 13 13 Lời giải
Gọi q là công bội của cấp số nhân u . n
Ta có 15u  4u u  45 12q  3q  3q  22 2  33  33  . q 1 2 3 Suy ra 12
u u q  12288. Phương án đúng là B. 13 1
Nhận xét: Từ kết quả của ví dụ này, chúng ta có thể đề xuất các câu hỏi sau:
Câu 5.1: Cho cấp số nhân u u  3
15u  4u u n  có và
đạt giá trị nhỏ nhất. Số hạng tổng quát của 1 1 2 3 cấp số nhân đó là A. n 1 u 3.2   .
B. u  3.2n 1. n n
0988323371 | Biên soạn và sưu tầm: Tô Quốc An 55
CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN.
If you wish to reach the highest, Begin at the lowest. C. u    n 1 u 3.4   . n  n 1 3. 2 . D. n
Câu 5.2: Cho cấp số nhân u u  3
15u  4u u 12288 n  có và
đạt giá trị nhỏ nhất. Số là số hạng 1 1 2 3
thứ bao nhiêu của cấp số nhân đó? A. 13 . B. 12 . C. 14 . D. 15 .
Câu 5.3: Cho cấp số nhân u u  3
15u  4u u S n  có và
đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng của 15 số 1 1 2 3 15
hạng đầu tiên của cấp số nhân đó.
A. S  737235.
B. S  2949075.
C. S  1474515.
D. S  2949075. 15 15 15 15
Câu 5.4: Cho cấp số nhân u u  3
15u  4u u S  5  898195, n  có và
đạt giá trị nhỏ nhất. Biết 1 1 2 3 k tìm k . A. k 16. B. k 18. C. k 19. D. k 17.
Câu 6. Số đo ba kích thước của hình hộp chữ nhật lập thành một cấp số nhân. Biết thể tích của khối hộp là 3
125 cm và diện tích toàn phần là 2
175 cm . Tính tổng số đo ba kích thước của hình hộp chữ nhật đó. A. 30c . m B. 28c . m C. 31c . m D. 17,5c . m Lời giải
Vì ba kích thước của hình hộp chữ nhật lập thành một cấp số nhân nên ta có thể gọi ba kích a
thước đó là , q, aq. q a
Thể tích của khối hình hộp chữ nhật là 3 V  . .
a qa a  125  a  5. q
Diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật là  a a      2 1 1 S  2 .a  . a aq a . q
 2a 1 q   50 1 q  . tpq q   q   q         q  2  1  Theo giả thiết, ta có 2 50 1 q 175 2q 5q 2 0            1 .  q   q   2 1
Với q  2 hoặc q  thì kích thước của hình hộp chữ nhật là 2,5cm;5c ; m 10c . m 2
Suy ra tổng của ba kích thước này là 2,5  5 10  17,5 cm.
Vậy phương án đúng là D.
56 https://www.facebook.com/toanthayan | 0988323371
LUYỆN MÃI THÀNH TÀI- MIỆT MÀI TẤT GIỎI.
CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN.
Câu 7. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số nhân: 3 2
x x   2 7
2 m  6mx 8  0. A. m  7  . B. m 1.
C. m  1 hoặc m  7.
D. m 1 hoặc m  7  . Lời giải
+ Điều kiện cần: Giả sử phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt x , x , x lập thành một 1 2 3 cấp số nhân.
Theo định lý Vi-ét, ta có x x x  8. 1 2 3
Theo tính chất của cấp số nhân, ta có 2
x x x . Suy ra ta có 3
x  8  x  2. 1 3 2 2 2
+ Điều kiện đủ: Với m 1 và m  7 thì 2
m  6m  7 nên ta có phương trình 3 2
x  7x 14x  8  0.
Giải phương trình này, ta được các nghiệm là 1, 2, 4. Hiển nhiên ba nghiệm này lập thành một
cấp số nhân với công bôị q  2.
Vậy, m 1 và m  7
 là các giá trị cần tìm. Do đó phương án . D MẸO HỌC TẬP
Ta có thể chỉ ra nghiệm x bằng cách khác: 2
Theo định lý Vi-ét thì x x x  7; x x x x x x  2 2
m  6m ; x x x  8. 1 2 3 1 2 2 3 3 1  1 2 3
Theo tính chất của cấp số nhân thì 2
x x x . Suy ra 1 3 2 2 2
m  6m  x x x x x x x x x x . 1 2 2 3 3 1 2  1 2 3  2 2 m  6m 8m  6m3 2
Thay x x x  7; được x
. Thay vào x x x  8 ta được  8 1 2 3 2 7 1 2 3 3 7 2
m  6m  7  0.
Nhận xét: Từ kêt quả của ví dụ này, ta có thể đề xuất các câu hỏi sau đây:
Câu 7.1: Biết rằng tồn tại đúng hai giá trị của tham số m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt
lập thành một cấp số nhân: 3 2
x x   2 7
2 m  6mx 8  0. Tính tổng bình phương của hai giá trị đó. A. 48 . B. 64 . C. 36 . D. 50.
Câu 7.2: Biết rằng tồn tại đúng hai giá trị của tham số m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập
thành một cấp số nhân: 3 2
x x   2 7
2 m  6mx 8  0 . Tính tổng bình phương của ba số hạng của cấp số nhân đó. A. 49 . B. 21 . C. 14 . D. 13 .
0988323371 | Biên soạn và sưu tầm: Tô Quốc An 57
CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN.
If you wish to reach the highest, Begin at the lowest.
Câu 8. Một khu rừng có trữ lượng gỗ là 5
4.10 mét khối. Biết tốc độ sinh trưởng của các cây ở khu
rừng đó là 4% mỗi năm. Hỏi sau 5 năm, khu rừng đó sẽ có bao nhiêu mét khối gỗ A.  5 5 4.10 . 0, 05 . B.  5 5 4.10 . 1, 4 . C.  5 5 4.10 . 1, 04 . D.  5 4. 10, 4 . Lời giải Đặt 5
u  4.10 và r  4%  0, 04. 0
Gọi u là trữ lượng gỗ của khu rừng sau năm thứ . n n Khi đó ta có u
u u 1 r , n  . N n 1  n n  
Suy ra u là cấp số nhân với số hạng đầu u và công bội q  1 r. n  0
Do đó số hạng tổng quát của cấp số nhân u là u u 1 nr . n 0   n
Sau 5 năm, khu rừng đó sẽ có:
u u .q  4.10 .1 0,045  4.10, 4 mét khối gỗ. n 5 4 5 1
Vậy phương án đúng là D.
Câu 9. Bài toán “Lãi kép”
Một người gửi số tiền 100 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất 7% /năm. Biết rằng nếu
không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi được nhập vào vốn ban đầu
(người ta gọi đó là lãi kép). Giả sử trong khoảng thời gian gửi người gửi không rút tiền ra và lãi
suất không thay đổi, hỏi sau 10 năm thì tổng số tiền cả vốn lẫn lãi mà người gửi nhận được gần
với số tiền nào trong các số tiền dưới đây? A. 196715000 đồng.
B. 196716000 đồng. C. 183845000 đồng. D. 183846000 đồng. Lời giải Đặt 8
M  10 (đồng) và r  7%  0, 07. 0
Gọi M là số tiền cả vốn lẫn lãi mà người gửi nhận được sau n năm. n
Theo giả thiết, ta có M
M M .r M 1 r , n   1. n 1  n n n  
Do đó dãy số M là cấp số nhân với số hạng đầu M và công bội q  1 r. Suy ra n  0 M M 1 nr . n 0  
Vì vậy, sau 10 năm thì tổng số tiền cả vốn lẫn lãi mà người gửi nhận được là
M M 1 r10  10 .1,0710 8  196715000. 10 0
Vậy phương án đúng là A.
Câu 10. Một người gửi ngân hàng 150 triệu đồng theo thể thức lãi kép, lãi suất 0,58% một tháng (kể
từ tháng thứ 2 , tiền lãi được tính theo phần trăm của tổng tiền lãi tháng trước đó và tiền gốc
của tháng trước đó). Sau ít nhất bao nhiêu tháng, người đó có 180 triệu đồng? A. 34 tháng. B. 32 tháng. C. 31 tháng. D. 30 tháng. Lời giải
Theo ví dụ 9 , thì sau n tháng gửi tiết kiệm, ta có M M 1 nr , trong đó 7
M  15.10 , r  0, 0058. n 0   0 Do đó 7 M  15.10 . n 1,0058n .
Cách 1: Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được phương án đúng.
+ Phương án A: M  15.10 .1,005834 7
 182594000 (đồng). 34
+ Phương án B: M  15.10 .1,005832 7  180494000 (đồng). 32
+ Phương án C: M  15.10 .1,005831 7
 179453000 (đồng). 31
58 https://www.facebook.com/toanthayan | 0988323371
LUYỆN MÃI THÀNH TÀI- MIỆT MÀI TẤT GIỎI.
CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN.
Vậy, phương án đúng là B. (Không cần kiểm tra phương án D vì ở phương án D, số tháng ít
hơn ở phương án C nên số tiền sẽ ít hơn nữa).
Cách 2: Theo giả thiết, ta có 7 M  18.10 (đồng). n n n 6 Do đó, ta có 7 7
18.10  15.10 .1,0058  1,0058  . 5  6
Sử dụng máy tính cầm tay, ta tính được  n  log : log  
1,0058 hay n  31,526.  5 
Do đó n  32. Vậy phương án đúng là B.
0988323371 | Biên soạn và sưu tầm: Tô Quốc An 59
CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN.
If you wish to reach the highest, Begin at the lowest.
C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG
Dạng 1: Bài tập về nhận dạng cấp số nhân.
Câu 1. Dãy số nào dưới đây không là cấp số nhân? 1 1 1 1 1 1 A. 1,  ,  ,  . B.  ; ; ;1. 5 25 125 8 4 2 1 1 1 C. 4 4 4 4 2; 2 2; 4 2;8 2. D. 1; ; ; . 3 9 27
Câu 2. Trong các dãy số được cho dưới đây, dãy số nào là cấp số nhân?
A. Dãy số u , với u  7  3 . n
B. Dãy số v
với v  7  3n. n  , n n n 7
C. Dãy số w , với w  7.3n.
D. Dãy số t với t  . n  , n n n 3n
Câu 3. Trong các dãy số cho bởi công thức truy hồi sau, hãy chọn dãy số là cấp số nhân. u   2 u   1  u   3  u   3 A. 1  . B. 1  . C. 1  . D. 1  . 2 uuu  3u uu 1 u  2 .nu n 1  nn 1  nn 1  nn 1  n
Dạng 2: Bài tập về xác định số hạng và công bội của cấp số nhân. u
Câu 4. Cho dãy số u xác định bởi u  3 và n u  , n
  1. Tìm số hạng tổng quát của dãy số. n  1 n 1  4
A. u  3.4n. B. 1
u  3.4 n. C. n 1 u 3.4   . D. n 1 u 3.4   . n n n n
Câu 5. Cho cấp số nhân  x có x  3 và x  27. Tính số hạng đầu x và công bội q của cấp số n  2 4 1 nhân.
A. x  1, q  3 hoặc x  1, q  3.
B. x  1, q  3 hoặc x  1, q  3. 1 1 1 1
C. x  3, q  1 hoặc x  3, q  1.
D. x  3, q  1 hoặc x  3, q  1. 1 1 1 1
Câu 6. Cho cấp số nhân a có a  8 và a  32. Tìm số hạng thứ mười của cấp số nhân đó. n  3 5
A. a  1024.
B. a  512.
C. a  1024.
D. a  1024. 10 10 10 10
Câu 7. Cho cấp số nhân x,12, y,192. Tìm x và . y
A. x  3, y  48 hoặc x  4, y  36.
B. x  3, y  48 hoặc x  2, y  72.
C. x  3, y  48 hoặc x  3, y  48.
D. x  3, y  48 hoặc x  3, y  48.
Câu 8. Cho cấp số nhân u có u  5, q  3 và S  200, tìm n và u . n  1 n n
A. n  5 và u  405.
B. n  6 và u  1215. n n
C. n  7 và u  3645.
D. n  4 và u  135. n n
Câu 9. Cho cấp số nhân a có a  2 và biểu thức 20a 10a a đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm số hạng n  1 1 2 3
thứ bảy của cấp số nhân đó.
A. a  156250. B. a  31250.
C. a  2000000. D. a  39062. 7 7 7 7
Câu 10. Một tứ giác lồi có số đo các góc lập thành một cấp số nhân. Biết rằng số đo của góc nhỏ nhất 1
bằng số đo của góc nhỏ thứ ba. Hãy tính số đo của các góc trong tứ giác đó. 9 A. 0 0 0 0 5 ,15 , 45 , 225 . B. 0 0 0 0 9 , 27 ,81 , 243 . C. 0 0 0 0
7 , 21 , 63 , 269 . D. 0 0 0 0 8 ,32 , 72 , 248 . u   u  5  40
Câu 11. Cho cấp số nhân u có 4 6 
. Tìm số hạng đầu u và công bội q của cấp số nhân. n u u  180 1  3 5
A. u  2, q  3.
B. u  2, q  3.
C. u  2, q  3.
D. u  2, q  3. 1 1 1 1
60 https://www.facebook.com/toanthayan | 0988323371
LUYỆN MÃI THÀNH TÀI- MIỆT MÀI TẤT GIỎI.
CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN.
Câu 12. Cho cấp số nhân a có a  7, a  224 và S  3577. Tính giá trị của biểu thức n  1 6 k
T  k   1 a . k A. T  17920. B. T  8064. C. T  39424. D. T  86016.
Dạng 3: Bài tập về tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân.
Câu 13. Cho cấp số nhân u có S  4 và S  13. Tìm S . n  2 3 5 181 35
A. S  121 hoặc S  .
B. S  121 hoặc S  . 5 5 16 5 5 16 185 183
C. S  114 hoặc S  .
D. S  141 hoặc S  . 5 5 16 5 5 16
Câu 14. Cho cấp số nhân u có u  8 và biểu thức 4u  2u 15u đạt giá trị nhỏ nhất. Tính S . n  1 3 2 1 10 2 11 4   1 2 10 4   1 10 2 1 11 2 1 A. S B. S C. S D. S  10 9 5.4 10 8 5.4 10 6 3.2 10 7 3.2 1024
Câu 15. Cho cấp số nhân u có u  2, công bội dương và biểu thức u
đạt giá trị nhỏ nhất. n  1 4 u7
Tính S u u  ...  u . 11 12 20 A. S  2046.
B. S  2097150.
C. S  2095104.
D. S  1047552. u   u  5  40
Câu 16. Cho cấp số nhân u có 4 6 . Tính S . n  u u 180 21  3 5 1 1 A. S   21 3 1 B. 21 S  3 1. C. 21 S  1  3 .
D. S    21 3 1 . 21  21  2 21 21 2
Dạng 4: Bài tập liên quan đến cấp số nhân.
Câu 17. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số nhân: 3
x   x   2 3
1 x  5m  4 x  8  0. A. m  2  . B. m  2. C. m  4. D. m  4  .
Câu 18. Biết rằng tồn tại hai giá trị m và m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập thành một 1 2 cấp số nhân: 3 x   2
m m   2 x   2 2 2 2 1
7 m  2m  2 x  54  0. Tính giá trị của biểu thức 3 3
P m m . 1 2 A. P  5  6 B. P  8. C. P  56 D. P  8  .
Câu 19. Một của hàng kinh doanh, ban đầu bán mặt hàng A với giá 100 (đơn vị nghìn đồng). Sau đó,
cửa hàng tăng giá mặt hàng A lên 10%. Nhưng sau một thời gian, cửa hàng lại tiếp tục tăng giá
mặt hàng đó lên 10%. Hỏi giá của mặt hàng A của cửa hàng sau hai làn tăng giá là bao nhiêu? A. 120. B. 121. C. 122. D. 200.
Câu 20. Một người đem 100 triệu đồng đi gửi tiết kiệm với kỳ han 6 tháng, mỗi tháng lãi suất là 0,7%
số tiền mà người đó có. Hỏi sau khi hết kỳ hạn, người đó được lĩnh về bao nhiêu tiền? A.  5 8 10 . 0,007 (đồng) B.  5 8 10 . 1, 007 (đồng) C.  6 8 10 . 0,007 (đồng) D.  6 8 10 . 1,007 (đồng)
Câu 21. Tỷ lệ tăng dân số của tỉnh M là 1, 2%. Biết rằng số dân của tỉnh M hiện nay là 2 triệu người.
Nếu lấy kết quả chính xác đến hàng nghìn thì sau 9 năm nữa số dân của tỉnh M sẽ là bao nhiêu?
A. 10320 nghìn người.
B. 3000 nghìn người.
C. 2227 nghìn người.
D. 2300 nghìn người.
0988323371 | Biên soạn và sưu tầm: Tô Quốc An 61
CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN.
If you wish to reach the highest, Begin at the lowest.
Câu 22. Tế bào E. Coli trong điều kiện nuôi cấy thích hợp cứ 20 phút lại nhân đôi một lần. Nếu lúc đầu có 12
10 tế bào thì sau 3 giờ sẽ phân chia thành bao nhiêu tế bào? A. 12 1024.10 tế bào. B. 12 256.10 tế bào. C. 12 512.10 tế bào. D. 13 512.10 tế bào.
Câu 23. Người ta thiết kế một cái tháp gồm 11 tầng theo cách: Diện tích bề mặt trên của mỗi tầng bằng
nửa diện tích mặt trên của tầng ngay bên dưới và diện tích bề mặt trên của tầng 1 bằng nửa diện
tích đế tháp. Biết diện tích đế tháp là 2
12288m , tính diện tích mặt trên cùng. A. 2 6m . B. 2 12m . C. 2 24m . D. 2 3m .
Dạng 5: Bài tập liên quan đến cả cấp số nhân và cấp số cộng.
Câu 24. Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào là sai?
A. Dãy số a , với a  3 và a a  6, n  1, vừa là cấp số cộng vừa là cấp số nhân. n  1 n 1  n
B. Dãy số b , với b  1 và b
  n  1, vừa là cấp số cộng vừa là cấp số nhân.   2 2b 1 3, n 1 nn  1
C. Dãy số c , với c  2 và 2 c
 3c 10 n  1, vừa là cấp số cộng vừa là cấp số nhân. n  1 n 1  n
D. Dãy số d , với d  3 và 2 d
 2d 15, n  1, vừa là cấp số cộng vừa là cấp số nhân. n  1 n 1  n
Câu 25. Các số x  6 y, 5x  2 y, 8x y theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng, đồng thời, các số 5
x  , y 1, 2x  3y theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. Hãy tìm x và y. 3 3 1 3 1
A. x  3, y  1 hoặc x  , y  .
B. x  3, y  1 hoặc x   , y   . 8 8 8 8
C. x  24, y  8 hoặc x  3, y  1
D. x  24, y  8 hoặc x  3, y  1
Câu 26. Ba số x, y, z lập thành một cấp số cộng và có tổng bằng 21. Nếu lần lượt thêm các số 2;3;9
vào ba số đó (theo thứ tự của cấp số cộng) thì được ba số lập thành một cấp số nhân. Tính 2 2 2
F x y z .
A. F  389. hoặc F  395.
B. F  395. hoặc F  179.
C. F  389. hoặc F  179.
D. F  441 hoặc F  357.
62 https://www.facebook.com/toanthayan | 0988323371
LUYỆN MÃI THÀNH TÀI- MIỆT MÀI TẤT GIỎI.
CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN.
D. HƯỚNG DẪN GIẢI
Dạng 1: Bài tập về nhận dạng cấp số nhân.
Câu 1. Đáp án B
Các dãy số trong các phương án ,
A C và D đảm bảo về dấu còn dãy số trong phương án B thì
3 số hạng đầu âm còn số hạng thứ tư là dương nên dãy số trong phương án B không phải là cấp số nhân.
Câu 2. Đáp án C.
Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được phương án đúng.
+ Phương án A: Ba số hạng đầu của dãy số là 4,1, 2 không lập thành cấp số nhân nên dãy số
u không phải là cấp số nhân. n
+ Phương án B : Ba số hạng đầu của dãy số là 4; 2; 20 không lập thành cấp số nhân nên dãy
số v không phải là cấp số nhân. n
+ Phương án C : Ta có n 1 w
 7.3   3w , n  1 nên dãy số w là một cấp số nhân. n n 1  n 7 7 7
+ Phương án D : Ba số hạng đầu của dãy số là , , không lập thành cấp số nhân nên dãy số 3 6 9
t không phải là cấp số nhân. n Câu 3. Đáp án . B Các kiểm tra như câu 2.
Dạng 2: Bài tập về xác định số hạng và công bội của cấp số nhân. Câu 4. Đáp án . B u 1 1 Ta có: n u
 .u nên u là cấp số nhân có công bội q  . Suy ra số hạng tổng quát là n n 1  4 4 n 4 n 1  n  1 1  1
u u .q  3.  3.4  .n n 1  4   
Vậy phương án đúng là . B Câu 5. Đáp án . B x  3  x q  3  x  1  x  1 Ta có 2  1   1   hoặc 1  . x  2  7  3 x q  2  7 q  3 q  3  4  1  
Do đó B là phương án đúng. Câu 6. Đáp án . A a  8 2 a q  8 a  2 a  2 Ta có: 3  1   1   hoặc 1  . a  32  4 q  2 q  2  5 a q  32  1  
Với a  2, q  2 thì 9
a a q  1024. 1 10 1
Với a  2, q  2 thì 9
a a q  1024. 1 10 1
Vậy a  1024. Suy ra A là phương án đúng. 10
0988323371 | Biên soạn và sưu tầm: Tô Quốc An 63
CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN.
If you wish to reach the highest, Begin at the lowest.
Câu 7. Đáp án C.
Theo tính chất của cấp số nhân, ta có: 2
y  12.192  2304  y  48.
Cũng theo tính chất của cấp số nhân, ta có: 2 xy  12  144.
Với y  48 thì x  3; với y  48 thì x  3  .
Vậy phương án đúng là C. Câu 8. Đáp án . D 1 nq
Ta có: S u .
nên theo giả thiế, ta có: n 1 1 q 1 3n  5.
 200  3n  81  n  4. 1 3 Suy ra 3
u u .q  135. Vậy đáp án là . D 4 1 Câu 9. Đáp án . B
Gọi q là công bội của cấp số nhân a . n
Ta có 20a 10a a  2 2
q 10q  20  q  2 2 5 10  10, . q 1 2 3 
Dấu bằng xảy ra khi q  5. Suy ra 6 6
a a .q  2.5  31250. 7 1
Vậy phương án đúng là . B Câu 10. Đáp án . B
Cách 1: Kiểm tra các dãy số trong mỗi phương án có thỏa mãn yêu cầu của bài toán không.
+ Phương án A: Các góc 0 0 0 0
5 ,15 , 45 , 225 không lập thành cấp số nhân vì 0 0 15  3.5 ; 0 0 45  3.15 ; 0 0 225  3.45 .
+ Phương án B : Các góc 0 0 0 0
9 , 27 ,81 , 243 lập thành cấp số nhân và 1 0 0 0 0 0
9  27  81  243  360 . Hơn nữa, 0 0
9  81 nên B là phương án đúng. 9
+ Phương án C và D : Kiểm tra như phương án . A
Cách 2: Gọi các góc của tứ giác là 2 3
a, aq, aq , aq , trong đó q  1. 1 Theo giả thiết, ta có 2
a aq nên q  3. 9
Suy ra các góc của tứ giác là a,3a,9a, 27a.
Vì tổng các góc trong tứ giác bằng 0 360 nên ta có: 0
a  3a  9a  27a  360 0  a  9 .
Do đó, phương án đúng là B (vì trong ba phương án còn lại không có phương án nào có góc 0 9 ).
64 https://www.facebook.com/toanthayan | 0988323371
LUYỆN MÃI THÀNH TÀI- MIỆT MÀI TẤT GIỎI.
CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN. Câu 11. Đáp án . A
Ta có u u  540  u u q  5  40. 3 5  4 6
Kết hợp với phương trình thứ hai trong hệ, ta tìm được q  3.
Lại có u u  180  u  2 4
q q  180. 1  3 5
Vì q  3 nên u  2. 1
Vậy phương án đúng là . A Câu 12. Đáp án . A Ta có a  224 5
a q  224  q  2 (do a  7 ). 6 1 1 a 1 kq 1   Do S
 72k  nên S  3577 7 2k    1  3577 k 9
 2  2  k  9. k 1 1 q k Suy ra 8
T  10a  10a q  17920. 9 1
Vậy phương án đúng là . A
Dạng 3: Bài tập về tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân. Câu 13. Đáp án . A 9
Ta có u S S  9 2
u q  9  u  3 3 2 1 1 2 q 9 9
Vì S  4 nên u u q  4. Do đó   4 2 1 1 2 q q 3 2
 4q  9q  9  0  q  3 hoặc q   . 4
+ Với q  3 thì u  1, 5
u u q  243. 1 6 1 u u 1 243 Suy ra 1 6 S    121. 5 1 q 1 3 3 243
+ Với q   thì u  16, u   . 4 1 6 64 u u 181 Suy ra 1 6 S   . 5 1 q 16
Vậy phương án đúng là . A Câu 14. Đáp án . B
Gọi q là công bội của cấp số nhân. Khi đó
4u  2u 15u  24q  2 1 122  1  22, . q 3 2 1 1
Dấu bằng xảy ra khi 4q 1  0  q   . 4 10  1  1  1 q   2  4   10 10 4   1
Suy ra: S u .  8.  10 1 8 1 q  1  5.4 1   4   
Vậy phương án đúng là . B
0988323371 | Biên soạn và sưu tầm: Tô Quốc An 65
CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN.
If you wish to reach the highest, Begin at the lowest.
Câu 15. Đáp án C.
Gọi q là công bội của cấp số nhân, q  0. 1024 512 Ta có 3 u   2q  . 4 6 u q 7
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: 3 512 3 3 512 3 3 512 2q   q q   33 q .q .  24. 6 6 6 q q q 1024 512 Suy ra u
đạt giá trị nhỏ nhất bằng 24 khi 3 q   q  2. 4 u 6 q 7 u  10 1 q u  20 1 q 1  1  Ta có 11 S   2  2; 21 S   2  2. 10 1 q 10 1 q
Do đó S S S  2095104. Vậy phương án đúng là C. 20 10 Câu 16. Đáp án . A
Ta có u u  540  u u q  5  40. 3 5  4 6
Kết hợp với phương trình thứ hai trong hệ, ta tìm được q  3. Lại có u u  180 3 5  u  2 4
q q  180. 1  u  21 1 q 1  1
Vì q  3 nên u  2. Suy ra S    21 3 1 . 21  1 1 q 2
Vậy phương án đúng là . A
Dạng 4: Bài tập liên quan đến cấp số nhân Câu 17. Đáp án . B d 8 
Cách 1: Ta có     8. a 1
Điều kiện cần để phương trình đã choc ó ba nghiệm lập thành một cấp số nhân là 3 x  8  2 là
nghiệm của phương trình.
Thay x  2 vào phương trình đã cho, ta được
4  2m  0  m  2.
Với m  2, ta có phương trình 3 2
x  7x 14x  8  0  x  1; x  2; x  4
Ba nghiệm này lập thành một cấp số nhân nên m  2 là giá trị cần tìm. Vậy, B là phương án đúng.
Cách 2: Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được phương án đúng. Câu 18. Đáp án . A d 5  4 Ta có     27. a 2
Điều kiện cần để phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số nhân là 3
x  27  3 phải là nghiệm của phương trình đã cho. 2
m  2m  8  0  m  2; m  4.
Vì giả thiết cho biết tồn tại đúng hai giá trị của tham số m nên m  2 và m  4  là các giá trị thỏa mãn Suy ra P    3 3 2 4  5  6.
Vậy phương án đúng là . A
66 https://www.facebook.com/toanthayan | 0988323371
LUYỆN MÃI THÀNH TÀI- MIỆT MÀI TẤT GIỎI.
CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN. Câu 19. Đáp án . B
Sau lần tăng giá thứ nhất thì giá của mặt hàng A là:
M  100 100.10%  110. 1
Sau lần tăng giá thứ hai thì giá của mặt hàng A là:
M  110 110.10%  121. 2
Suy ra phương án đúng là . B
Suy ra phương án đúng là B. Câu 20. Đáp án D. Số tiền ban đầu là 8 M  10 (đồng). 0
Đặt r  0, 7%  0, 007 .
Số tiền sau tháng thứ nhất là M M M r M 1 r . 1 0 0 0  
Số tiền sau tháng thứ hai là M M M r M 1 r 2 . 2 1 1 0
M M 1 r 6 0  6
Lập luận tương tự, ta có số tiền sau tháng thứ sáu là .
Do đó M  10 1,0076 8 . 6 Câu 21. Đáp án C. Đặt 6
P  2000000  2.10 và r  1, 2%  0, 012 . 0
Gọi P là số dân của tỉnh M sau n năm nữa. n
Ta có: P P P r P 1 r . n 1  n n n  
Suy ra  P là một cấp số nhân với số hạng đầu P và công bội q  1 r . n  0
Do đó số dân của tỉnh M sau 10 năm nữa là: P M 1 r 9  2.10 1,01210 6  2227000 . 9 0 Câu 22. Đáp án C. Lúc đầu có 22
10 tế bào và mỗi lần phân chia thì một tế bào tách thành hai tế bào nên ta có cấp số nhân với 22
u  10 và công bội q  2 . 1
Do cứ 20 phút phân đôi một lần nên sau 3 giờ sẽ có 9 lần phân chia tế bào. Ta có u là số tế 10
bào nhận được sau 3 giờ. Vậy, số tế bào nhận được sau 3 giờ là 9 12
u u q  512.10 . 10 1 Câu 23. Đáp án A.
Gọi u là diện tích đế tháp và u là diện tích bề mặt trên của tầng thứ n , với 1  n 11. Theo 0 n 1 giả thiết, ta có u
u 0  n  10 . n 1  2 n 1
Dãy số u lập thành cấp số nhân với số hạng đầu u  12288 và công bội q  . n  0 2 11  1 
Diện tích mặt trên cùng của tháp là 11 2
u u .q  12288.  6 m . 11 0  2   
0988323371 | Biên soạn và sưu tầm: Tô Quốc An 67
CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN.
If you wish to reach the highest, Begin at the lowest.
Dạng 5: Bài tập liên quan đến cả cấp số nhân và cấp số cộng. Câu 24. Đáp án D.
Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được phương án sai.
+ Phương án A:Ta có a  3; a  3;... Bằng phương pháp quy nạp toán học chúng ra chứng 2 2
minh được rằng a  3,n  1. Do đó a là dãy số không đổi. Suy ra nó vừa là cấp số cộng n n
(công sai bằng 0 ) vừa là cấp số nhân (công bội bằng 1).
+ Phương án B: Tương tự như phương án A, chúng ta chỉ ra được b  1,n  1 . Do đó b là n n
dãy số không đổi. Suy ra nó vừa là cấp số cộng (công sai bằng 0 ) vừa là cấp số nhân (công bội bằng 1).
+ Phương án C: Tương tự như phương án A, chúng ta chỉ ra được c  2,n  1. Do đó c là n n
dãy số không đổi. Suy ra nó vừa là cấp số cộng (công sai bằng 0 ) vừa là cấp số nhân (công bội bằng 1).
+ Phương án D: Ta có: d  3, d  3, d  3. Ba số hạng này không lập thành cấp số cộng 1 2 3
cũng không lập thành cấp số nhân nên dãy số d không phải là cấp số cộng và cũng không n  là cấp số nhân . Câu 25. Đáp án A.
+ Ba số x  6 y,5x  2 y,8x y lập thành cấp số cộng nên
x  6y  8x y  25x  2y  x  3y . 5  5
+ Ba số x  , y 1, 2x  3y lập thành cấp số nhân nên  x
2x  3y   y    2 1 . 3  3  1
Thay x  3y vào ta được 2
8 y  7 y 1  0  y  1 hoặc y  . 8 1 3 Với y  1  thì x  3
 ; với y  thì x  . 8 8 Câu 26. Đáp án C.
Theo tính chất của cấp số cộng , ta có x z  2 y .
Kết hợp với giả thiết x y z  21, ta suy ra 3y  21  y  7 .
Gọi d là công sai của cấp số cộng thì x y d  7  d và z y d  7  d .
Sau khi thêm các số 2;3;9 vào ba số x, y, z ta được ba số là x  2, y  3, z  9 hay
9  d,10,16  d .
Theo tính chất của cấp số nhân, ta có   d   d  2 2 9 16
 10  d  7d  44  0 .
Giải phương trình ta được d  1  1 hoặc d  4 . Với d  1
 1, cấp số cộng 18, 7, 4 . Lúc này F  389.
Với d  4 , cấp số cộng 3,7,11. Lúc này F  179.
68 https://www.facebook.com/toanthayan | 0988323371
LUYỆN MÃI THÀNH TÀI- MIỆT MÀI TẤT GIỎI.
CHUYÊN ĐỀ:DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN.
ĐÃ MẤT CÔNG HỌC TẠI SAO KHÔNG HỌC CHO HẾT QUYỂN SÁCH NÀY. CHÚC CÁC EM THÀNH CÔNG!!!
“TRONG VIỆC HỌC PHẢI LẤY TỰ HỌC LÀM CỐT” T.Q.A.
0988323371 | Biên soạn và sưu tầm: Tô Quốc An 69