Chuyên đề giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số | Tài liệu ôn thi THPTQG môn Toán

Tài liệu chuyên đề giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

Chủ đề:
Môn:

Toán 1.8 K tài liệu

Thông tin:
172 trang 9 tháng trước

Bình luận

Vui lòng đăng nhập hoặc đăng ký để gửi bình luận.

Chuyên đề giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số | Tài liệu ôn thi THPTQG môn Toán

Tài liệu chuyên đề giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

76 38 lượt tải Tải xuống
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 126
BÀI 3: GIÁ TR NH NHT VÀ GIÁ TR LN NHT CA HÀM S
1. Định nghĩa: Cho hàm s
( )
y fx=
xác định trên min
D
.
S M gi là giá tr ln nht ca hàm s
( )
y fx=
trên
D
nếu:
( )
( )
00
,
,
fx M x D
x Df x M
∀∈
∃∈ =
.
Kí hiu:
( )
max
xD
M fx
=
hoc
( )
max
D
M fx=
.
S m gi là giá tr nh nht ca hàm s
( )
y fx=
trên
D
nếu:
( )
( )
00
,
,
fx m x D
x Df x m
∀∈
∃∈ =
.
Kí hiu:
( )
min
xD
m fx
=
hoc
2. Định lý
Mi hàm s liên tc trên mt đon đều có giá tr ln nht, giá tr nh nht trên đoạn đó.
Quy tc tìm giá tr ln nht, giá tr nh nht của hàm liên tục trên mt đon
Gi s hàm s
( )
y fx=
liên tục trên đoạn
[ ]
;ab
. Khi đó, để tìm giá tr ln nht, giá tr nh
nht ca hàm
f
trên đoạn
[ ]
;ab
ta làm như sau:
Tìm các đim
12
; ;...;
n
xx x
thuc
( )
;ab
sao cho tại đó hàm số
f
đạo hàm bng hoc
không xác định.
Tính
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
12
; ;...; ; ;
n
fx fx fx fa fb
.
So sánh các giá tr tìm đưc.
S ln nht trong các giá tr đó giá tr ln nht ca hàm
f
trên đoạn
[ ]
;ab
, s nh nht trong
các giá tr đó là giá trị nh nht ca hàm
f
trên đoạn
[ ]
;ab
.
* Nếu:
1)
[ ]
[ ]
( ) ( )
[ ]
( ) ( )
;
;
max
' 0, ;
min
ab
ab
fx fb
y x ab
fx fa
=
> ∀∈
=
2)
[ ]
[ ]
( ) ( )
[ ]
( ) ( )
;
;
max
' 0, ;
min
ab
ab
fx fa
y x ab
fx fb
=
< ∀∈
=
Chú ý
0
CHƯƠNG
I
NG DỤNG ĐẠO HÀM
ĐỂ KHO SÁT HÀM S
LÝ THUYT.
I
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 127
Quy tc trên ch được s dng trong các bài toán tìm giá tr ln nht, giá tr nh nht ca hàm
s trên mt đon.
Đối vi bài toán tìm giá tr ln nht, giá tr nh nht ca hàm s trên mt khong (na
khong) thì ta phi tính đo hàm, lp bng biến thiên ca hàm
f
ri da vào ni dung ca
bng biến thiên đ suy ra giá tr ln nht, giá tr nh nht ca hàm
f
trên khong (na khong)
đó.
Giá tr ln nht, giá tr nh nht ca hàm s trên mt khong (na khong) th không
tn ti.
* Với bài toán đặt n ph ta phi tìm điu kin ca n ph.
DNG 1. TÌM MAX-MIN TRÊN ĐON BNG HÀM S C TH, BNG BIN THIÊN, Đ
TH HÀM S CHO TRÊN ĐON VÀ KHONG.
Câu 1. Cho hàm s
( )
y fx=
liên tc trên
[ ]
3; 2
và có bng biến thiên như hình dưới đây. Gọi
M
m
lần lượt là giá tr ln nht và giá tr nh nht ca hàm s
( )
y fx=
trên
[ ]
1; 2
. Giá tr ca
Mm+
bng bao nhiêu ?
Câu 2. a) Tìm GTLN, GTNN ca hàm s
42
21yx x=+−
trên đoạn
1; 3


.
b) Tìm GTLN, GTNN ca hàm s
32
32yx x=−+ +
trên đoạn
[ ]
1; 2
.
Câu 3. Tìm giá tr ln nht ca hàm s
( )
2
4x
fx
x
−−
=
trên đoạn
3
;4
2



.
Câu 4. Tìm giá tr nh nht ca hàm s
3
31yx x=−+
trên đoạn
[ ]
0; 2
.
Câu 5. Gi
M
m
lần lượt là giá tr ln nht và giá tr nh nht ca hàm s
2
22
2
xx
y
x
−+
=
trên
3;2 2 2

+

. Tính
Mm
.
Câu 6. Kí hiu
m
M
ln lưt là giá tr ln nht giá tr nh nht ca hàm s
trên
đoạn
[ ]
0;3
. Tính giá tr ca t s
.
M
m
Câu 7. Gi giá tr ln nht ca hàm s, giá tr nh nht ca hàm s
( )
2
4x
fx
x
−−
=
trên đoạn
3
;4
2



lần lượt là
,Mm
. Tìm
3Mm
H THNG BÀI TP T LUN
II
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 128
Câu 8. Cho hàm s
(
)
fx
liên tục trên đoạn
[ ]
2;3
có đồ th như hình vẽ dưới đây. Gọi
,mM
ln lưt
là giá tr nh nht và giá tr ln nht ca hàm s trên đoạn
[ ]
2;3
. Giá tr ca
23mM
bng bao nhiêu?
Câu 9. Cho hàm s
()
fx
liên tc trên
[ ]
1; 5
và có đồ th như hình vẽ bên dưới. Gi
M
m
ln
t là giá tr ln nht và nh nht ca hàm s đã cho trên
[ ]
1; 5
. Giá tr ca
Mm
bng
bao nhiêu?
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 129
Câu 10. Cho hàm s
fx
liên tc trên
[ ]
1; 3
và có đồ th như hình v bên. Gi
,
Mm
ln lưt là giá
tr ln nht và giá tr nh nht ca hàm s
( )
y fx=
trên
[
]
1; 3
. Tính
Mm
.
Câu 11. Cho hàm s
( )
y fx=
liên tục trên đoạn
[
]
2;6
có đồ th như hình vẽ. Gi
M
,
m
lần lượt
là giá tr ln nht, giá tr nh nht ca
( )
fx
trên đoạn
[ ]
2;6
. Giá tr ca
23
Mm
+
Câu 12. Cho hàm s
22
4 21 3 10y xx xx=−+ + −+ +
, gi
0
y
là GTNN ca hàm s đã cho, đạt
được ti đim
0
x
. Tính
4
00
6xy+
.
Câu 13. Cho hàm s
()y fx=
liên tc trên
và có đồ th như hình dưới:
Tìm GTLN, GTNN ca hàm s
2
() 3y fx= +
trên đoạn
[ ]
0; 2
.
Câu 14. Cho hàm s
()y fx=
liên tc trên
và có đồ th như hình dưới:
Tìm GTLN, GTNN ca hàm s
2
1 ()y fx=
trên đoạn
[ ]
2;1
.
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 130
DNG 2: TÌM MAX- MIN BNG PHƯƠNG PHÁP ĐI BIN
Câu 1. Tìm giá tr ln nht và giá tr nh nht ca hàm s
2
sin 4sin 2yxx=−+
.
Câu 2. Cho hàm s
( )
y fx=
có bng xét du biến thiên như sau:
Giá tr ln nht ca hàm s
( )
sin 1fx
bng bao nhiêu?
Câu 3. Cho hàm s = () xác đnh và liên tục trên R có đồ th như hình vẽ bên. Gi M vàm lần lượt
là giá tr ln nht và nh nht ca hàm s = ( + 2). Giá tr ca bng
Câu 4. Cho hàm s
( )
y fx=
có đ th như hình vẽ. Tìm giá tr ln nht ca hàm s
( )
2
2yf x
=
trên
đoạn
0; 2


.
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 131
Câu 5. Cho hàm s
()fx
liên tc trên
[ ]
1; 5
và có đồ th như hình vẽ bên dưới. Tìm giá tr ln nht
và nh nht ca hàm s
( )
2
24
y fx x= −+
trên
[ ]
0; 2
.
Câu 6. Cho hàm s
y fx
liên tc trên tp
và có bng biến thiên như sau
Gi
;Mm
lần lượt là giá tr ln nht và giá tr nh nht ca hàm s
2
2
y fx x
trên
đoạn
37
;
22




. Tìm tng
Mm
.
Câu 7. Cho hàm s
( )
y fx=
liên tc trên
và có đồ th như hình vẽ:
Xét hàm s
( )
( )
3
21gx f x x m= +− +
. Tìm
m
để
[ ]
( )
0;1
max 10gx=
.
DNG 3: MT S BÀI TOÁN CÓ CHA THAM S
Câu 1. Tìm tt c các giá tr ca tham s
m
để giá tr nh nht ca hàm s
32
3
y x xm=−− +
trên
đoạn
[ ]
1;1
bng
0
.
Câu 2. Tìm tt c các giá tr ca tham s
m
để hàm s
2
1
xm
y
x
=
+
đạt giá tr ln nht bng 3 trên
[ ]
4; 2−−
.
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 132
Câu 3. Tính tng tt c các giá tr ca tham s
m
sao cho giá tr nh nht ca hàm s
(
)
2
3
3y x xm
= −+
trên đoạn
[ ]
1;1
bng 1.
Câu 4. Tìm tt c các ca tham s
m
đểGTNN ca hàm s
2
43y x xm= ++
bng
5
.
Câu 5. Tìm tt c các giá tr ca
m
để GTNN ca hàm s
2
4 34y x xm x= + +−
bng
5
.
Câu 6. Gi
S
là tp tt c các giá tr thc ca tham s
m
sao cho giá tr ln nht ca hàm s
( )
3
3fx x x m= −+
trên đoạn
[ ]
0;3
bng
16
. Tng tt c các phn t ca
S
bng
Câu 7: Gi tp
S
là tp hp tt c các giá tr thc ca tham s
m
sao cho giá tr ln nht ca hàm s
3
3
y x xm= −+
trên đoạn
[ ]
0; 2
bng 3. S phn t ca
S
Câu 8: Gi
S
là tp hp tt c các giá tr ca tham s
m
để hàm s
2
y x xm= ++
tha mãn
[ ]
2; 2
min 2y
=
. Tng tt c các phn t ca
S
bng
Câu 9: Gi
M
là giá tr ln nht ca hàm s
( )
43 2
3 4 12fx x x x m= −− +
trên đoạn
[ ]
1; 3
. Có bao
nhiêu s thc
m
để
59
2
M =
?
Câu 10: Gi
S
là tp hp tt c các giá tr ca tham s
m
để m s
2
2
xm m
y
x
−−
=
+
tha
[ ]
1;2
max 1y =
. Tích các phn t ca
S
bng
Câu 11: Gi
S
là tp hp tt c các giá tr thc ca tham s
m
sao cho giá tr ln nht ca hàm s
2
1
x mx m
y
x
++
=
+
trên
[ ]
1; 2
bng
2
. S phn t ca
S
Câu 12: Xét hàm s
( )
2
f x x ax b= ++
, vi
a
,
b
là tham s. Gi
M
là giá tr ln nht ca hàm s
trên
[
]
1; 3
. Khi
M
nhn giá tr nh nht tính
2
Ta b= +
.
Câu 13: Cho hàm s
32
3yx xm=−+
(vi
m
là tham s thc). Hi
[ ]
1;2
max y
có giá tr nh nht bng
Câu 14: Cho hàm s
( )
42
8f x x ax b= ++
, trong đó
a
,
b
là tham s thc. Tìm mi liên h gia
a
b
để giá tr ln nht ca hàm s
( )
fx
trên đoạn
[ ]
1;1
bng
1
.
Câu 15: Cho hàm s
( )
432
44fx x x x a=−++
. Gi
M
,
m
ln lưt là giá tr ln nht, giá tr nh
nht ca hàm s đã cho trên đoạn
[ ]
0; 2
. Có bao nhiêu s nguyên
a
thuc đon
[ ]
3; 3
sao
cho
2Mm
?
Câu 16: Cho hàm s
4
1
x ax a
y
x
++
=
+
. Gi
M
,
m
lần lượt là giá tr ln nht và giá tr nh nht ca
hàm s trên đoạn
[ ]
1; 2
. Có bao nhiêu s nguyên
a
sao cho
2Mm
?
Câu 17: Cho hàm s
( )( )
2
2 13y xx x x m= −− + +
. Có tt c bao nhiêu giá tr thc ca tham s
m
để
max 3y =
?
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 133
Câu 18: Cho hàm s
( )( )
2
2 13y xx x x m= −− + +
. Khi giá tr ln nht ca hàm s đạt giá tr nh
nht. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Câu 19: Gi
S
là tp hp tt c các s nguyên
m
để m s
42
1 19
30
42
y x x xm= ++
có giá tr ln
nhất trên đoạn
[ ]
0; 2
không vượt quá
20
. Tng các phn t ca
S
bng
Câu 20: Cho hàm s
32
23y x xm= −+
. Có bao nhiêu s nguyên
m
để
[ ]
( )
1;3
min 3fx
?
Câu 21: Cho hàm s
2
() ,
f x ax bx c
= ++
( ) 1, [0;1]fx x ∀∈
. Tìm giá tr ln nht ca
(0).f
Câu 22: Cho hàm s
4 32
2yx x xa= ++
. Có bao nhiêu s thc
a
để
[ ]
[ ]
1; 2
1; 2
min max 10yy
+=
?
DẠNG 4: PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ ĐỂ GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN TÌM ĐIỀU KIỆN
CỦA THAM SỐ m SAO CHO PHƯƠNG TRÌNH
( )
,0f xm=
CÓ NGHIỆM
(CÓ ỨNG DỤNG GTLN, GTNN )
I. Phương pháp:
Bước 1. Tìm điều kiện xác định của phương trình đã cho.
Bước 2. Đặt
(
)
t ux=
hoc
( )
x ut=
. Tìm tp giá tr
K
ca
t
. Chuyn bài toán v: tìm điu kin
ca
m
để phương trình
(
) ( )
gt hm=
có nghim thuc
K
.
Bước 3. m GTLN, GTNN ca
( )
gt
hoc tp giá tr ca
( )
gt
trên
K
để suy ra điu kin ca
m
.
Mt s cách đt n ph thưng gp:
1. Xut hin biu thức đối xng
(
)(
)
ax b cx d
ax b cx d
+
++
. PP: Đặt
t ax b cx d= ++ +
.
2. Xut hin
a bx+
c bx
(
)
0
ac
+>
.
PP:
( )
( )
22
a bx c bx a c+ +− =+
. Nên đặt
sin
cos
a bx a c
c bx a c
α
α
+= +
−= +
,
0;
2
π
α



.
Và s dng h thc
2
2
2
2 tan
2
sin
1 tan
2
1 tan
2
cos
1 tan
2
α
α
α
α
α
α
=
+
=
+
, tiếp tục đặt
tan
2
t
α
=
,
[ ]
0;1t
.
Ta được một phương trình ẩn
t
.
Câu 1. Tìm các giá tr thc ca tham s
m
để phương trình sau có nghiệm:
( )( )
6 22 14 4 1 42.4x x xm x x+ = + −+
.
Câu 2. Tìm các giá tr thc ca tham s
m
để phương trình sau có nghiệm:
( )
( )
2 1 3 2 1 10
m x m xm + + + −=
.
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 134
DẠNG 7: PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ ĐỂ GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN TÌM ĐIỀU KIỆN
CỦA THAM SỐ ĐỂ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM HOẶC NGHIỆM ĐÚNG VỚI
MỌI
xK
(CÓ ỨNG DỤNG GTLN, GTNN)
I. Phương pháp
1. Tìm điều kin ca tham s để bt phương trình cha tham s có nghim hoc nghim đúng
vi mi
[ ]
;x ab
( )
[ ]
[
]
(
)
;
; max
ab
m fx x ab m fx> ∀∈ >
(
)
[ ]
[ ]
( )
;
; max
ab
m fx x ab m fx ∀∈
( )
[ ]
[ ]
(
)
;
; min
ab
m fx x ab m fx
< ∀∈ <
(
)
[ ]
[ ]
( )
;
; min
ab
m fx x ab m fx ∀∈
( )
m fx>
có nghim
[
]
[ ]
( )
;
; min
ab
x ab m f x ⇔>
( )
m fx
có nghim
[ ]
[ ]
( )
;
; min
ab
x ab m f x ⇔≥
( )
m fx<
có nghim
[ ]
[ ]
( )
;
; max
ab
x ab m f x ⇔<
( )
m fx
có nghim
[ ]
[ ]
( )
;
; max
ab
x ab m f x ⇔≤
2. Tìm điều kin ca tham s để bt phương trình cha tham s có nghim hoc nghim đúng
vi mi
( )
;x ab
MO NH
Nếu hàm ch có max min
biên và không tn ti
thì: Loi
luôn có du
=, loi có nghim luôn b
du =.
Nếu hàm có max min tn
tại thì đang có dấu gì thì
gi nguyên
( ) ( )
;m f x x ab> ∀∈
(
) ( )
;m f x x ab ∀∈
( ) ( )
;m f x x ab< ∀∈
( ) ( )
;m f x x ab
∀∈
( )
m fb→≥
( )
m fb→≥
( )
m fa
→≤
( )
m fa→≤
( )
maxm m fd> →>
( )
max
m m fd →≥
( )
minm m fc< →<
( )
minm m fc →≤
(
)
m fx>
có nghim
( )
m fx
có nghim
( )
m fx<
có nghim
( )
m fx
có nghim
( )
m fa→>
( )
m fa→>
( )
m fb→<
( )
m fb→<
(
)
minm m fc> →>
(
)
minm m fc →≥
( )
maxm m fd< →<
( )
maxm m fd →≤
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 135
Câu 1. Tìm tt c các giá tr ca tham s
m
để bất phương trình
( )( )
2
6 28 1x x x xm+ + +−
nghiệm đúng với mi
[
]
2;8x ∈−
.
Câu 2. Cho phương trình
(
)
2
46 3 2 23xx xm x x
+− ++
. m
m
để bất phương trình đã cho
có nghim thc?
Câu 3. Tìm
m
để bất phương trình
2
99x x x xm+ ≥− + +
( )
1
có nghim.
Câu 4. Cho hàm s
( )
fx
liên tc trên
. Hàm s
(
)
y fx
=
có đồ th như hình vẽ
Tìm
m
sao cho bất phương trình
( )
2
2sin 2sinf x xm−<
đúng với mi
( )
0;
x
π
?
DẠNG 8: BÀI TOÁN THỰC TẾ:
I. Phương pháp:
Đưau cu bài toán v mi quan h hàm s, lp bng biến thiên để tìm giá tr ln nht , giá tr nh nht
ca hàm s với điều kin ràng buộc cho trước.
Chú ý:
Ta cũng có thể s dng các bất đẳng thức để m giá tr ln nht , giá tr nh nht ca biu thc. Mt s
bất đẳng thức thường dùng.
1. Bất đẳng thc
AM GM
:
Cho hai s thc
,0ab
ta có:
2
ab
ab
+
hay
2a b ab+≥
.
Du
'' ''=
xãy ra khi và chỉ khi
ab=
.
Cho ba s thc
,, 0
abc
ta có:
3
3
abc
abc
++
hay
3
3a b c abc
++≥
.
Du
'' ''
=
xãy ra khi và chỉ khi
abc= =
.
2. Bất đẳng thc Bunhiacopxki :
Cho hai b s thc
( ) ( )
;,;ab xy
ta có:
( )( )
222 2
ax by a b x y+≤ + +
.
Du
'' ''=
xãy ra khi và chỉ khi
ay bx=
.
Cho hai b s thc
( ) ( )
;; , ;;abc xyz
ta có:
( )( )
2222 22
ax by cz a b c x y z++ ++ ++
.
Du
'' ''=
xãy ra khi và chỉ khi
:: ::abc x yz=
.
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 136
Câu 1. Mt chất điểm chuyển động theo quy lut
23
() 3St t t=
. Tìm thời điểm
t
(giây) tại đó vận tc
( )
m/sv
ca chuyn động đạt giá tr ln nht?
Câu 2. Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình
( )
42
1
3 24
4
St t t t
= + −−
, trong đó
t
tính
bằng giây
( )
s
S
tính bng mét
( )
m
. Ti thời điểm nào vn tc ca chuyển động đạt giá
tr ln nht?
Câu 3. Hng ngày mc nưc ca h thủy điện min Trung lên và xuống theo lượng nước mưa và các
suối nước đ v h. T c
8
gi sáng, độ sâu ca mực nước trong h tính theo mét và lên
xung theo thi gian
t
(gi) trong ngày cho bi công thc:
( ) ( )
32
1
5 24 0
3
ht t t t t=++ >
Biết rng phi thông báo cho các h dân phải di di trưc khi x nước theo quy định trước
5
gi. Hi cn thông báo cho h dân di dời trưc khi x nước my gi. Biết rng mực nước
trong h phi lên cao nht mi x nước.
Câu 4. Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được cho bởi công thức
( ) ( )
2
1
30
40
Fx x x=
, trong đó
x
là liều lượng thuốc tiêm cho bệnh nhân (
x
được tính bằng miligam). Tính liều lượng
thuốc cần tiêm cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều nhất.
Câu 5. Để thiết kế mt chiếc b cá hình hp ch nht có chiu cao là
60cm
, th tích
3
96000
cm
. Người
th dùng loi kính để s dng làm mt bên có giá thành
70000
2
/VNĐm
và loại kính để
làm mặt đáy có giá thành
100000
VNĐ
2
/m
. Tính chi phí thp nhất để hoàn thành b cá .
Câu 6. Nhà xe khoán cho hai tài xế An và Bình mỗi người lần lượt nhận
32
lít và
72
lít xăng trong
một tháng. Biết rằng trong một ngày tổng số xăng cả hai người sử dụng là 10 lít. Tổng số
ngày ít nhất để hai tài xế sử dụng hết số xăng được khoán là bao nhiêu.
Câu 7. Ngưi ta cần xây một b chứa nước sn xut dng khi hp ch nht không np có th tích
bng
3
200 m
. Đáy bể hình ch nht có chiu dài gấp đôi chiều rộng. Chi phí để xây bể
300
nghìn đồng
2
/m
(chi phí được tính theo diện tích xây dựng, bao gm din tích đáy và
din tích xung quanh không tính chiu dày của đáy và thành bên). Tính chi phí thấp nhất để
xây bể ( làm tròn s tin đến đơn vị triệu đồng).
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 1
BÀI 3: GIÁ TR NH NHT VÀ GIÁ TR LN NHT CA HÀM S
1. Định nghĩa: Cho hàm s
( )
y fx=
xác định trên min
D
.
S M gi là giá tr ln nht ca hàm s
( )
y fx=
trên
D
nếu:
( )
( )
00
,
,
fx M x D
x Df x M
∀∈
∃∈ =
.
Kí hiu:
( )
max
xD
M fx
=
hoc
( )
max
D
M fx=
.
S m gi là giá tr nh nht ca hàm s
( )
y fx=
trên
D
nếu:
( )
( )
00
,
,
fx m x D
x Df x m
∀∈
∃∈ =
.
Kí hiu:
( )
min
xD
m fx
=
hoc
2. Định lý
Mi hàm s liên tc trên mt đon đều có giá tr ln nht, giá tr nh nht trên đoạn đó.
Quy tc tìm giá tr ln nht, giá tr nh nht của hàm liên tục trên mt đon
Gi s hàm s
( )
y fx=
liên tục trên đoạn
[ ]
;ab
. Khi đó, để tìm giá tr ln nht, giá tr nh
nht ca hàm
f
trên đoạn
[ ]
;ab
ta làm như sau:
Tìm các đim
12
; ;...;
n
xx x
thuc
( )
;ab
sao cho tại đó hàm số
f
đạo hàm bng hoc
không xác định.
Tính
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
12
; ;...; ; ;
n
fx fx fx fa fb
.
So sánh các giá tr tìm đưc.
S ln nht trong các giá tr đó giá tr ln nht ca hàm
f
trên đoạn
[ ]
;ab
, s nh nht trong
các giá tr đó là giá trị nh nht ca hàm
f
trên đoạn
[ ]
;ab
.
* Nếu:
1)
[ ]
[ ]
( ) ( )
[ ]
( ) ( )
;
;
max
' 0, ;
min
ab
ab
fx fb
y x ab
fx fa
=
> ∀∈
=
2)
[ ]
[ ]
( ) ( )
[ ]
( ) ( )
;
;
max
' 0, ;
min
ab
ab
fx fa
y x ab
fx fb
=
< ∀∈
=
Chú ý
0
CHƯƠNG
I
NG DỤNG ĐẠO HÀM
ĐỂ KHO SÁT HÀM S
LÝ THUYT.
I
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 2
Quy tc trên ch được s dng trong các bài toán tìm giá tr ln nht, giá tr nh nht ca hàm
s trên mt đon.
Đối vi bài toán tìm giá tr ln nht, giá tr nh nht ca hàm s trên mt khong (na
khong) thì ta phi tính đo hàm, lp bng biến thiên ca hàm
f
ri da vào ni dung ca
bng biến thiên đ suy ra giá tr ln nht, giá tr nh nht ca hàm
f
trên khong (na khong)
đó.
Giá tr ln nht, giá tr nh nht ca hàm s trên mt khong (na khong) th không
tn ti.
* Với bài toán đặt n ph ta phi tìm điu kin ca n ph.
DNG 1. TÌM MAX-MIN TRÊN ĐON BNG HÀM S C TH, BNG BIN THIÊN, Đ
TH HÀM S CHO TRÊN ĐON VÀ KHONG.
Câu 1. Cho hàm s
( )
y fx=
liên tc trên
[ ]
3; 2
và có bng biến thiên như hình dưới đây. Gọi
M
m
lần lượt là giá tr ln nht và giá tr nh nht ca hàm s
( )
y fx=
trên
[ ]
1; 2
. Giá tr ca
Mm+
bng bao nhiêu ?
Li gii
Ta có
[ ]
( ) ( )
1;2
13M max f x f
= = −=
[ ]
( ) ( )
1;2
00m min f x f
= = =
.
Vy
3Mm+=
.
Câu 2. a) Tìm GTLN, GTNN ca hàm s
42
21yx x=+−
trên đoạn
1; 3


.
b) Tìm GTLN, GTNN ca hàm s
32
32yx x=−+ +
trên đoạn
[ ]
1; 2
.
Li gii
a) TXĐ:
.
3
'4 4yxx= +
.
3
'04 40 01;3y xx x

= + =⇔=

.
( )
(1) 2; 3 14yy= =
1; 3
max 14y


=
khi
3x =
1; 3
min 2y


=
khi
1x =
.
b) ĐS:
[ ]
1;2
max 6y
=
khi
1
2
x
x
=
=
[ ]
1;2
min 2y
=
khi
0x =
.
H THNG BÀI TP T LUN
II
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 3
Câu 3. Tìm giá tr ln nht ca hàm s
( )
2
4x
fx
x
−−
=
trên đoạn
3
;4
2



.
Li gii
Ta có
(
)
2
44x
fx x
xx
−−
= =−−
( )
2
22
44
1
x
fx
xx
−+
=−+ =
.
Trên khong
3
;4
2



:
(
)
2
2
40
2
02
3
4
3
4
2
2
x
x
x
fx x
x
x
=
+=

=
= ⇔=

<<

<<
.
Ta có
( ) ( )
3 25
; 2 4; 4 5
26
f ff

= =−=


.
Do hàm s
( )
fx
xác định và liên tc trên
3
;4
2



nên
( ) ( )
3
;4
2
max 2 4
x
fx f



= =
.
Câu 4. Tìm giá tr nh nht ca hàm s
3
31yx x=−+
trên đoạn
[
]
0; 2
.
Li gii
Ta có:
2
'3 3yx=
;
[
]
[ ]
1 0; 2
'0
1 0; 2
x
y
x
=
=
=−∉
.
(
)
01y =
;
( )
11y =
;
(
)
23y
=
.
Suy ra
[
]
0;2
min 1y
=
.
Câu 5. Gi
M
m
lần lượt là giá tr ln nht và giá tr nh nht ca hàm s
2
22
2
xx
y
x
−+
=
trên
3;2 2 2

+

. Tính
Mm
.
Li gii
Hàm s
2
22
2
xx
y
x
−+
=
xác định và liên tc trên
3;2 2 2

+

.
Ta có
2
2
yx
x
= +
( )
2
2
1
2
y
x
⇒=
.
( )
( )
2
2
2 2 3;2 2 2
2
01 0 2 2
2
2 2 3;2 2 2
x
yx
x
x

=−∉ +

= ⇔− = =

=+∈ +

.
Ta có :
( )
35
y =
;
( )
2 2 2 22y +=+
;
( )
52 4
2 22
2
y
+
+=
.
Suy ra
52 4
2
M
+
=
2 22m = +
.
Vy
( )
52 4 2
2 22
22
Mm
+
−= + =
.
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 4
Câu 6. Kí hiu
m
M
ln lưt là giá tr ln nht giá tr nh nht ca hàm s
trên
đoạn
[ ]
0;3
. Tính giá tr ca t s
.
M
m
Li gii
Tập xác định
{ }
\1D =
( )( )
( )
(
)
[ ]
2
2
22
0;3
21 1 4
23
' ; 1.
'0
11
x
x x xx
xx
yx
y
xx
+ + −−
+−
= = ⇔=
=
++
Ta có
(0) 4; (1) 3; (3) 4.f ff= = =
Do đó
[ ]
[
]
0;3
0;3
4
min ( ) 3; max ( ) 4 .
3
M
m fx M fx
m
= = = =⇒=
Câu 7. Gi giá tr ln nht ca hàm s, giá tr nh nht ca hàm s
( )
2
4x
fx
x
−−
=
trên đoạn
3
;4
2



lần lượt là
,Mm
. Tìm
3Mm
Li gii
Ta có
(
)
2
44x
fx x
xx
−−
= =−−
( )
2
22
44
1
x
fx
xx
−+
=−+ =
.
Trên khong
3
;4
2



:
( )
2
2
40
2
02
3
4
3
4
2
2
x
x
x
fx x
x
x
=
+=

=
= ⇔=

<<

<<
.
Ta có
( )
( )
3 25
; 2 4; 4 5
26
f ff

= =−=


.
Do hàm s
( )
fx
xác định và liên tc trên
3
;4
2



nên
( ) (
)
3
;4
2
max 2 4
x
fx f



= =
.
( ) ( )
3
;4
2
min 4 5
x
fx f



= =
. Hay
4; 5Mm=−=
suy ra
3 11
Mm−=
.
Câu 8. Cho hàm s
( )
fx
liên tục trên đoạn
[
]
2;3
có đồ th như hình vẽ dưới đây. Gọi
,mM
ln lưt
là giá tr nh nht và giá tr ln nht ca hàm s trên đoạn
[
]
2;3
. Giá tr ca
23mM
bng bao nhiêu?
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 5
Li gii
Dựa vào đồ th ta xác định được
3; 4
mM=−=
. Ta có
2 3 6 12 18mM =−− =
.
Câu 9. Cho hàm s
()fx
liên tc trên
[ ]
1; 5
và có đồ th như hình vẽ bên dưới. Gi
M
m
ln
t là giá tr ln nht và nh nht ca hàm s đã cho trên
[ ]
1; 5
. Giá tr ca
Mm
bng
bao nhiêu?
Li gii
Da vào hình v, ta có
3; 2 5
M m Mm= =−⇒ =
.
Câu 10. Cho hàm s
fx
liên tc trên
[ ]
1; 3
và có đồ th như hình v bên. Gi
,Mm
ln lưt là giá
tr ln nht và giá tr nh nht ca hàm s
( )
y fx=
trên
[ ]
1; 3
. Tính
Mm
.
Li gii
Quan sát đồ th ta thy hàm s
( )
y fx=
đạt giá tr nh nht trên
[ ]
1; 3
1
ti đim
1x =
đạt giá tr ln nht trên
[
]
1; 3
4
tại điểm
3x =
. Do đó
4, 1Mm= =
.
Giá tr
( )
4 15
Mm
= −− =
.
Câu 11. Cho hàm s
( )
y fx=
liên tục trên đoạn
[ ]
2;6
có đồ th như hình vẽ. Gi
M
,
m
lần lượt
là giá tr ln nht, giá tr nh nht ca
( )
fx
trên đoạn
[ ]
2;6
. Giá tr ca
23Mm+
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 6
Li gii
Nhìn vào đồ th ta thy:
6M
=
,
4m =
.
Vy giá tr
(
)
2 3 2.6 3. 4 0
Mm
+ = + −=
.
Câu 12. Cho hàm s
22
4 21 3 10y xx xx=−+ + −+ +
, gi
0
y
là GTNN ca hàm s đã cho, đạt
được ti đim
0
x
. Tính
4
00
6xy+
.
Li gii
TXĐ:
[ ]
2;5D =
.
Xét hàm s đã cho xác định và liên tc trên
[ ]
2;5
Ta có:
22
2 23
= ( 2 5)
4 21 2 3 10
xx
yx
xx xx
−+
+ −< <
−+ + −+ +
.
22
22
2 23
y'=0 0
4 21 2 3 10
(2 4) 3 10 (2 3) 4 21
xx
xx xx
x xx x xx
−+
⇔+ =
−+ + −+ +
−+ + = −+ +
[
)
( ) ( )
[
)
( )
22 22
22
25
(2 4)(2 3) 0
(2 4) ( 3 10) (2 3) ( 4 21)
3
2; 2;5
2
3
2; 2;5
1
1
2
2;5
3
3
25 2 3 49 2
29
17
x
xx
x xx x xx
x
x
x
x
xx
x
−< <
−≥
−+ + = −+ +

∈−


∈−

= ∈−

=

−=
=
Xét:
1
( 2) 3; 2; (5) 4
3
yy y

−= = =


[ ]
2;5
1
min 2
3
yy

⇒==


Suy ra,
00
1
, 2
3
xy= =
4
00
6 10xy +=
Câu 13. Cho hàm s
()y fx=
liên tc trên
và có đồ th như hình dưới:
Tìm GTLN, GTNN ca hàm s
2
() 3y fx= +
trên đoạn
[
]
0; 2
.
Li gii
Đặt
2
() () 3gx f x= +
. T đồ th đã cho ta có:
( )
0
0;1x∃∈
để
0
()0fx =
.
[ ]
0; 2x∀∈
thì
22
3 () 1 0 () 9 3 () 3 12 3 () 12fx fx fx gx ≤⇒ +≤
[ ]
0;2
max ( ) 12gx =
khi
[ ]
( ) 3 2 0; 2fx x=−⇔ =
.
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 7
[ ]
0;2
min ( ) 3gx
=
khi
[ ]
0
( ) 0 0; 2fx x x=⇔=
.
Câu 14. Cho hàm s
()
y fx=
liên tc trên
và có đồ th như hình dưới:
Tìm GTLN, GTNN ca hàm s
2
1 ()y fx=
trên đoạn
[ ]
2;1
.
Li gii
GTNN là
8
khi
1x =
.
GTLN là
1
khi
1
2
xx
xx
=
=
(vi
12
,xx
là các nghim ca
()fx
trên đoạn
[ ]
2;1
).
khi
1
3
x =
4
0 0 00
1
, 26 8
3
x y xy⇒= = +=
.
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 8
DNG 2: TÌM MAX- MIN BNG PHƯƠNG PHÁP ĐI BIN
Câu 1. Tìm giá tr ln nht và giá tr nh nht ca hàm s
2
sin 4sin 2yxx=−+
.
Li gii
Đặt
sintx=
điều kin
11t−≤
hàm s đã cho trở thành
2
() 4 2y ft t t= =−+
.
Ta có
() 2 4ft t
=
,
() 0ft
<
vi
[-1;1]t∀∈
nên hàm s
()ft
nghch biến trên
[ ]
1;1
do đó
[
]
1;1
min ( ) (1) 1
t
ft f
∈−
= =
[ ]
1;1
max ( ) ( 1) 7
t
ft f
∈−
= −=
.
Vy hàm s đã cho có GTLN là 7 và GTNN là
1
.
Câu 2. Cho hàm s
( )
y fx=
có bng xét du biến thiên như sau:
Giá tr ln nht ca hàm s
( )
sin 1fx
bng bao nhiêu?
Li gii
Đặt
(
)
sin 1 , 2 0xt t
−= −≤
.
Bài toán quy v tìm giá tr ln nht ca hàm s
( )
y ft=
trên đoạn
[ ]
2;0
.
T bng biến thiên ta có giá tr ln nht ca hàm s
( )
y ft=
trên đoạn
[
]
2;0
3
khi
2t =
hay
sinx 1 2 ,
2
x k kZ
π
π
=−⇔ = +
.
Vy giá tr ln nht ca hàm s
( )
sin 1fx
bng 3.
Câu 3. Cho hàm s = () xác đnh và liên tục trên R có đồ th như hình vẽ bên. Gi M vàm lần lượt
là giá tr ln nht và nh nht ca hàm s = ( + 2). Giá tr ca bng
Li gii
Đặt
sin 2tx=−+
1 sin 1 [1; 3].xt−≤
Xét hàm s
( )
y ft=
vi
[ ]
1; 3t
,
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 9
T đồ th đã cho, ta có
[1;3]
[1;3]
max ( ) (3) 3; min ( ) (2) 2 5.M ft f ft f M m= = = = =−⇒ =
Câu 4. Cho hàm s
( )
y fx=
có đ th như hình vẽ. Tìm giá tr ln nht ca hàm s
( )
2
2yf x=
trên
đoạn
0; 2


.
Li gii
Đặt .
,
nên hàm s nghch biến trên đoạn
. Nên ta có . Bài toán tr thành tìm giá tr ln nht ca hàm
s
( )
=y ft
trên đoạn
[ ]
0; 2
.
T đồ th hàm s cho thy : trên hàm s nghch biến.
Do đó
Câu 5. Cho hàm s
()fx
liên tc trên
[ ]
1; 5
và có đồ th như hình vẽ bên dưới. Tìm giá tr ln nht
và nh nht ca hàm s
( )
2
24y fx x= −+
trên
[ ]
0; 2
.
Li gii
Đặt
[ ]
2
2 4, 0; 2tx x x=−+
.
Ta có
( )
' 22tx x=
.
( )
'0 1tx x=⇔=
.
2
2tx=
20tx
=−≤
0; 2x

∀∈

'0 0tx=⇔=
2
2tx=
0; 2


0; 2x

∈⇔

[ ]
0; 2t
( )
y fx=
[ ]
0; 2
( )
y ft=
[ ]
( ) ( )
0;2
max 0 4.ft f= =
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 10
( ) ( ) (
)
[ ]
0 4; 1 3; 2 4 3; 4t tt t= = = ⇒∈
.
(
)
(
)
[ ]
2
2 4 , 3; 4y fx x ft t
= +=
.
Dựa vào đồ th ta có :
[ ]
[ ]
( )
0;2 3;4
Max Max 3
xt
y ft
∈∈
= =
.
[ ]
[ ]
(
)
0;2 3;4
Min Min 1
xt
y ft
∈∈
= =
.
Câu 6. Cho hàm s
y fx
liên tc trên tp
và có bng biến thiên như sau
Gi
;Mm
lần lượt là giá tr ln nht và giá tr nh nht ca hàm s
2
2y fx x

trên
đoạn
37
;
22




. Tìm tng
Mm
.
Li gii
Đặt
2
2tx x=
vi
37
;
22
x

∈−


.
Ta có
(
)
2
3 7 5 5 25
; 1 01
22 2 2 4
x xx

⇔−


( )
2
21
1 11
4
x⇔−
nên
21
1;
4
t

∈−


.
Xét hàm s
( )
21
; 1;
4
y ft t

= ∈−


T bng biến thiên suy ra:
( ) ( ) ( )
21
21
1;
1;
4
4
21
min 1 2, max 5
4
t
t
m ft f M ft f


∈−
∈−





= = = = = =


.
Do đó
257Mm
+ =+=
.
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 11
Câu 7. Cho hàm s
( )
y fx=
liên tc trên
và có đồ th như hình vẽ:
Xét hàm s
( )
( )
3
21gx f x x m= +− +
. Tìm
m
để
[ ]
( )
0;1
max 10gx=
.
Li gii
Đặt
(
)
3
21
tx x x= +−
vi
[ ]
0;1 .x
Ta có
( )
[ ]
2
6 1 0, 0;1tx x x
= + > ∀∈
.
Suy ra hàm s
( )
tx
đồng biến nên
[ ] [ ]
0;1 1; 2xt
∈−
.
T đồ th hàm s ta có
[ ]
( )
[ ]
( )
1;2 1; 2
max 3 max 3ft ft m m
−−
= +=+


.
Theo yêu cu bài toán ta cn có:
3 10 13mm+==
.
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 12
DNG 3: MT S BÀI TOÁN CÓ CHA THAM S
Câu 1. Tìm tt c các giá tr ca tham s
m
để giá tr nh nht ca hàm s
32
3y x xm
=−− +
trên
đoạn
[ ]
1;1
bng
0
.
Li gii
( )
32
3
y fx x x m= =−− +
. Ta có:
2
36y xx
=−−
.
[ ]
[ ]
0 1;1
0
2 1;1
x
y
x
= ∈−
=
= ∉−
.
( )
12fm
−=
;
( )
0fm=
;
( )
14fm=
.
Ta thy
[ ]
( ) ( ) ( )
{ }
1;1
min 1 ; 0 ; 1 4f ff m
−=
. Suy ra yêu cu bài toán
40 4mm −= =
.
Câu 2. Tìm tt c các giá tr ca tham s
m
để hàm s
2
1
xm
y
x
=
+
đạt giá tr ln nht bng 3 trên
[ ]
4; 2−−
.
Li gii
Tập xác định
{
}
\1D =
.
Ta có:
( )
2
2
1
' 0, 1
1
m
yx
x
+
= > ≠−
+
. Suy ra hàm s
2
1
xm
y
x
=
+
đồng biến trên
( ) ( )
; 1 , 1;−∞ +∞
.
Do đó:
[
]
(
)
2
2
4; 2
2
max 2 2
21
m
yy m
−−
−−
= −= =+
−+
.
Theo gi thiết:
[ ]
2
4; 2
max 3 2 3 1
y mm
−−
=⇔+ = =±
.
Câu 3. Tính tng tt c các giá tr ca tham s
m
sao cho giá tr nh nht ca hàm s
( )
2
3
3
y x xm= −+
trên đoạn
[ ]
1;1
bng 1.
Li gii
Xét hàm s
( )
3
3xfx x m=−+
. Để GTNN ca hàm s
( )
2
3
3xyx m= −+
trên đoạn
[ ]
1;1
bng
1
thì
[ ]
( )
1;1
min 1fx
=
hoc
[ ]
( )
1;1
max 1fx
=
.
Ta có
( )
2
3x 3fx
=
;
( )
1
0
1
x
fx
x
=
=
=
( )
fx
nghch biến trên
[ ]
1;1
.
Suy ra
[ ]
( ) ( )
1;1
max 1 2fx f m
= −=+
[ ]
( ) ( )
1;1
min 1 2fx f m
= =−+
.
Trưng hp 1:
[ ]
( )
1;1
min 1 2 1 3fx m m
= ⇔− + = =
.
Trưng hp 2:
[ ]
( )
1;1
max 1 2 1 3fx m m
=−⇔ + =−⇔ =
.
Vy tng các giá tr ca tham s
m
0
.
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 13
Câu 4. Tìm tt c các ca tham s
m
đểGTNN ca hàm s
2
43
y x xm= ++
bng
5
.
Li gii
Đặt
2
() 4 3 () 2 4.fx x x m f x x
= + +⇒ =
( ) 0 2.fx x
=⇔=
Bng biến thiên
TH1: Nếu
10 1
mm−≥
thì GTNN ca hàm s
2
43y x xm= ++
bng
1 5 6( )m m TM
−= =
.
TH2: Nếu
10 1mm−< <
Ta có
(
)
0
fx=
có hai nghim
1
21xm=−−
;
2
21
xm=+−
thỏa mãn
12
2xx<<
Ta có GTNN ca hàm s
2
43y x xm= ++
bng 0 (KTM)
KL:
6
m =
.
Câu 5. Tìm tt c các giá tr ca
m
để GTNN ca hàm s
2
4 34y x xm x= + +−
bng
5
.
Ligii
Xét
( )
2
43fx x x m= ++
1 m
∆=
.
TH1.
1m
:
( )
2
0 83fx x y x x m
∀⇔ = + +
.
min 5 8
ym=−⇔ =
(TM).
TH2.
1m <
:
( )
0fx=
có hai nghim
1
21xm=−−
;
2
21
xm=+−
.
Khiđó
[ ]
[ ]
−−
=
++
2
12
2
12
3 nÕu ;
8 3 nÕu ;
x m x xx
y
x x m x xx
Do đó
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 14
[ ]
(
) (
)
{ }
{ }
= = −+ −− =−− <
12
12
;
min min min , min 8 4 1 , 8 4 1 8 4 1 8
xx
y y yx yx m m m
(loi).
Vy
8
m =
là giá tr cn tìm.
Câu 6. Gi
S
là tp tt c các giá tr thc ca tham s
m
sao cho giá tr ln nht ca hàm s
(
)
3
3fx x xm= −+
trên đoạn
[ ]
0;3
bng
16
. Tng tt c các phn t ca
S
bng
Cách tìm giá trị ln nhất, giá trị nh nht hàm s trên đon
[
]
;
ab
- Tìm nghim
( 1,2,...)
i
xi=
ca
0y
=
thuc
[ ]
;ab
- Tính các giá tr
( ) ( ) ( )
;;
i
fx fa fb
so sánh các giá tr, suy ra giá tr ln nht, giá tr nh
nht.
3. HƯỚNG GII: Tìm giá tr ln nht hàm s
(
)
y fx=
, ta xét hàm s
( )
y fx=
.
B1: Tìm giá tr ln nht và nh nht ca hàm s
( )
y fx=
.
B2: Giá tr ln nht ca hàm s
( )
y fx=
ti
( )
max fx
hoc
( )
min fx
.
T đó, ta có thể giải bài toán cụ th như sau:
Li gii
Đặt
( )
3
3gx x x m=−+
.
(
)
2
33
gx x
=
;
( )
[ ]
[ ]
1 0;3
0
1 0;3
x
gx
x
=−∉
=
=
.
(
) ( ) (
)
0 ; 1 2 ; 3 18g mg m g m= =−+ = +
.
Suy ra
[ ]
( )
0;3
max 18
gx m= +
;
[ ]
( )
0;3
min 2gx m=−+
.
Để giá tr ln nht hàm s
( )
y fx=
16
18 16 2
2 16 14
2 16 14
18 16 2
mm
mm
mm
mm
+= =



+ >− >−


⇔⇔

−+ = =



+ < <−



.
Vy
{
}
2; 14S =−−
nên tng là
2 14 16−− =
.
Câu 7: Gi tp
S
là tp hp tt c các giá tr thc ca tham s
m
sao cho giá tr ln nht ca hàm s
3
3
y x xm= −+
trên đoạn
[ ]
0; 2
bng 3. S phn t ca
S
Li gii
Xét
3
3u x xm=−+
. Ta có:
2
'3 3ux=
;
[
]
0 1 0; 2ux
=⇔=
. Khi đó:
[ ]
( ) ( ) ( )
{ }
{ }
0;2
max max 0 , 1 , 2 max , 2, 2 2A u u u u mm m m= = = +=+
.
[ ]
( ) ( ) ( )
{
}
{ }
0;2
min min 0 , 1 , 2 min , 2, 2 2a u u u u mm m m= = = +=
.
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 15
Ta có:
[ ]
{ }
{ }
0;2
23
22
1
max max , max 2 , 2 3
1
23
22
m
mm
m
y Aa m m
m
m
mm
+=
+≥
=
= = + −=
=
−=
−≥ +
.
Vy
{
}
1S = ±
.
Câu 8: Gi
S
là tp hp tt c các giá tr ca tham s
m
để hàm s
2
y x xm= ++
tha mãn
[ ]
2; 2
min 2y
=
. Tng tt c các phn t ca
S
bng
Lời giải
Xét hàm s
2
u x xm
= ++
trên đoạn
[ ]
2; 2
, có:
1
0 2 10
2
ux x
= += =
.
[ ]
( )
( )
2;2
1
max max 2 , , 2 6
2
u uu u m


= −− =+




;
[ ]
( ) ( )
3;2
11
min min 2 , , 2
24
u uu u m


= −− =




.
Nếu
1
0
4
m −≥
hay
1
4
m
thì
[ ]
2; 2
19
min 2
44
ym m
=−= =
(tha mãn).
Nếu
60m +≤
hay
6m ≤−
thì
[ ]
2; 2
min 6 2 8ym m
=−= =
(tha mãn).
Nếu
1
6
4
m−< <
thì
[ ]
2; 2
min 0y
=
(không thỏa mãn).
Ta có:
9
8;
8
S

=


. Vy tng các phn t ca
S
bng
23
4
.
Câu 9: Gi
M
là giá tr ln nht ca hàm s
( )
43 2
3 4 12fx x x x m
= −− +
trên đoạn
[ ]
1; 3
. Có bao
nhiêu s thc
m
để
59
2
M =
?
Li gii
Xét hàm s:
43 2
3 4 12u x x xm=−− +
.
32
12 12 24uxx x
=−−
0
01
2
x
ux
x
=
⇒= =
=
.
Khi đó:
[ ]
( ) ( ) ( ) ( )
{ }
( )
[ ]
( )
( ) ( ) ( )
{ }
( )
1;3
1;3
min min 1 , 0 , 2 , 3 2 32
max max 1 , 0 , 2 , 3 3 27
u u uuu u m
u u uuu u m
=−==
=−==+
.
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 16
Do đó:
{ }
59
max 32 , 27
2
M mm= +=
59
32
2
32 27
5
2
59
27
2
27 32
m
mm
m
m
mm
−=
≥+
⇔=
+=
+ ≥−
.
Vy có
1
s thc
m
để
59
2
M
=
.
Câu 10: Gi
S
là tp hp tt c các giá tr ca tham s
m
để m s
2
2
xm m
y
x
−−
=
+
tha
[
]
1;2
max 1y
=
. Tích các phn t ca
S
bng
Lời giải
Xét
2
2
xm m
u
x
−−
=
+
, ta có:
( )
[ ]
2
2
2
0 , 1; 2 ,
2
mm
u xm
x
++
= > ∀∈
+
.
Do đó
[ ]
( )
2
1;2
2
max 2
4
mm
A uu
+−
= = =
;
[ ]
( )
2
1;2
1
min 1
3
mm
a uu
+−
= = =
.
[ ]
22
1;2
21
max max , 1
43
mm mm
y

+− +−

= =



1 17
2
m
−±
⇔=
.
Ta có:
1 17
2
S

−±

=



. Vy tích các phn t ca
S
bng
4
.
Câu 11: Gi
S
là tp hp tt c các giá tr thc ca tham s
m
sao cho giá tr ln nht ca hàm s
2
1
x mx m
y
x
++
=
+
trên
[ ]
1; 2
bng
2
. S phn t ca
S
Li gii
Xét hàm s:
2
1
x mx m
u
x
++
=
+
.
( )
2
2
2
1
xx
u
x
+
=
+
;
0
u
=
( )
2
2
2
0
1
xx
x
+
⇔=
+
2
20xx⇔+=
[
]
[ ]
0 1; 2
2 1; 2
x
x
=
=−∉
.
Ta có:
[ ]
0 1; 2ux
> ∀∈
nên
[ ]
1;2
41
max ,
32
ym m

= +


.
[ ]
1;2
max 2y =
2
3
10
3
m
m
=
=
. Vy
2 10
;
33
S

=


.
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 17
Câu 12: Xét hàm s
( )
2
f x x ax b= ++
, vi
a
,
b
là tham s. Gi
M
là giá tr ln nht ca hàm s
trên
[ ]
1; 3
. Khi
M
nhn giá tr nh nht tính
2Ta b= +
.
Lời giải
Ta có:
{ }
( )
max , 1
2
AB
AB
+
. Du
=
xy ra khi
AB=
.
Ta có:
{ }
(
)
max , 2
2
AB
AB
. Du
=
xy ra khi
AB
=
.
Xét hàm s
( )
2
g x x ax b=++
, có
(
)
0
2
a
gx x
=⇔=
.
Trưng hp 1:
[ ]
1; 3
2
a
∉−
[ ]
6; 2a ∉−
. Khi đó
{
}
M max 1 , 9 3
ab ab= −+ + +
.
Áp dng bất đẳng thc
( )
1
ta có
M 42 8a≥+ >
.
Trưng hp 2:
[ ]
1; 3
2
a
∈−
[ ]
6; 2a ∈−
. Khi đó
2
M max 1 , 9 3 ,
4
a
ab abb


= −+ + +



.
Áp dng bất đẳng thc
( )
1
(
)
2
ta có
2
M max 5 ,
4
a
a bb


++



2
1
M 20 4
8
aa⇔≥ ++
( )
2
1
M 16 2
8
a
++
.
Suy ra
M2
.
Ta có:
M
nhn giá tr nh nht có th đưc là
2
M
=
khi
2
2
5
2
1 93
a
a
ab b
ab ab
=
++=
−+=+ +
2
1
a
b
=
=
.
Vy
24ab+=
.
Câu 13: Cho hàm s
32
3yx xm=−+
(vi
m
là tham s thc). Hi
[ ]
1;2
max y
có giá tr nh nht bng
Li gii
Xét hàm s:
32
3tx x
=
vi
[ ]
1; 2x
.
Ta có
( )
( )
2
0 1; 2
3 60
2 1; 2
x
txx
x
=
= −=
=
;
( )
12t =
,
(
)
24t =
. Nên
[ ]
1;2
max 2t =
[ ]
1;2
min 4t =
.
Do đó
[ ] [ ]
{ }
1;2 1;2
max max max 4 ; 2y mt m m
= +=
{ }
( ) ( )
42
42
max 4 ; 2 1
22
mm
mm
mm
−+−
−+−
= −≥ =
.
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 18
Du bằng đạt ti
42 3m mm−=− =
.
Câu 14: Cho hàm s
(
)
42
8f x x ax b
= ++
, trong đó
a
,
b
là tham s thc. Tìm mi liên h gia
a
b
để giá tr ln nht ca hàm s
(
)
fx
trên đoạn
[ ]
1;1
bng
1
.
Lời giải
Đặt
2
tx
=
, vì
[ ]
1;1x
∈−
nên
[ ]
0;1t
.
Ta có:
( )
2
8g t t at b= ++
, đây là parabol có bề lõm quay lên và có tọa độ đỉnh là
2
;
6 32
aa
Ib

−− +


Trưng hp 1:
[ ]
0;1
6
a
−∈
. Theo yêu cu bài toán ta có:
(
)
( )
2
1 01
1 11
11
32
g
g
a
b
−≤
−≤
≤− +
2
11
18 1
32 32 32
b
ab
ba
−≤
++≤
−≤
( )
( )
( )
2
11 1
18 1 2
32 32 32 3
b
ab
ab
−≤
++≤
−≤
Ly
( ) ( )
1 32 3+
ta có :
2
64 64a−≤
do đó
88a−≤
.
Ly
( ) ( )
3 32 2+
ta có :
2
64 32 256 64aa−≤ + +
Suy ra :
2
32 192 0aa++≤
24 8a
≤−
.
Khi đó ta có :
8a =
1b =
.
Th li:
( )
2
8 81gt t t= −+
( )
2
22 1 1t= −−
01t≤≤
nên
12 11t−≤
( )
2
0 21 1t⇒≤
( )
(
)
2
1 22 1 1 1gt t
⇒− =
.
Ta có:
( )
max 1gt =
khi
11tx=⇒=±
. Nên
8
a =
1b
=
(thỏa mãn).
Trưng hp 2 :
[ ]
0;1
6
a
−∉
. Theo yêu cu bài toán ta có:
( )
( )
1 01
1 11
g
g
−≤
−≤
11
18 1
b
ab
−≤
++≤
11
18 1
b
ab
−≤
++≤
2 8 2 10 6aa⇒− + ≤−
(loi).
Vy
8a
=
1b =
.
Câu 15: Cho hàm s
( )
432
44fx x x x a=−++
. Gi
M
,
m
ln lưt là giá tr ln nht, giá tr nh
nht ca hàm s đã cho trên đoạn
[ ]
0; 2
. Có bao nhiêu s nguyên
a
thuc đon
[ ]
3; 3
sao
cho
2Mm
?
Lời giải
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 19
Xét hàm s
( )
432
44gx x x x a=−++
.
( )
32
4 12 8gx x x x
=−+
;
( )
0gx
=
32
4 12 8 0x xx +=
0
1
2
x
x
x
=
⇔=
=
.
Bng biến thiên
`
TH1:
( )
1 1;a m a Ma≤− =− + =−
( ) { }
2 1 2 3; 2a aa a + ≥− ≤−
.
TH2:
1 0 0; 0a mM−< < = >
2Mm⇒>
(loi ).
TH3:
0 ;1a m aM a≥⇒ = =+
{ }
2111;2;3aa a a + ≥⇒
.
Vy có
5
giá tr ca
a
thỏa mãn đề bài.
Câu 16: Cho hàm s
4
1
x ax a
y
x
++
=
+
. Gi
M
,
m
lần lượt là giá tr ln nht và giá tr nh nht ca
hàm s trên đoạn
[ ]
1; 2
. Có bao nhiêu s nguyên
a
sao cho
2Mm
?
Lời giải
Xét
4
1
x ax a
u
x
++
=
+
trên đoạn
[ ]
1; 2
, ta có
( )
43
2
34
0
1
xx
u
x
+
= >
+
,
[ ]
1; 2x∀∈
.
Do đó,
[ ]
( )
1;2
16
max 2
3
uu a= = +
,
[ ]
( )
1;2
1
min 1
2
uu a= = +
.
TH1:
1
0
2
a +≥
16
3
1
2
Ma
ma
= +
= +
1
0
2
16 1
2
32
a
aa
+≥

+≥ +


1 13
23
a⇔−
.
TH2:
16
0
3
a +≤
1
2
16
3
Ma
ma

=−+



=−+


16
0
3
1 16
2
23
a
aa
+≤

+ ≥− +


61 16
63
a⇔− ≤−
.
TH3:
1 16
.0
23
aa

+ +≤


0m⇒=
,
1 16
max ,
23
M aa

= ++


2Mm⇒>
( thỏa mãn).
Ta có:
61 13
63
a ≤≤
{ }
10;....;4a ∈−
. Vy có 15 s nguyên thỏa mãn.
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 20
Câu 17: Cho hàm s
(
)
( )
2
2 13y xx x x m= −− + +
. Có tt c bao nhiêu giá tr thc ca tham s
m
để
max 3y =
?
Lời giải
Hàm s xác định khi:
( )( )
13 0 1 3xx x+ ⇔−
.
Đặt
( )( )
[ ]
( )
2
1 3 3 2 0; 2t x x xxt= + −= +−
22
23xx t
−=
.
Khi đó ta cần tìm giái tr ln nht ca hàm s
2
3yt t m
= −−+
trên đoạn
[
]
0; 2
.
Vi
2
3ut t m= −−+
ta có:
[ ]
[ ]
0;2 0;2
13
max 1;min
4
um um=−=
.
Do đó
13 1
max max 1 ; 3 4;
44
y m m mm

= =⇔= =


.
Câu 18: Cho hàm s
(
)( )
2
2 13y xx x x m= −− + +
. Khi giá tr ln nht ca hàm s đạt giá tr nh
nht. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Lời giải
Hàm s xác định khi:
( )( )
13 0 1 3xx x+ ⇔−
.
Đặt
( )( )
[ ]
( )
2
1 3 3 2 0; 2t x x xxt= + −= +−
22
23
xx t−=
.
Khi đó ta cần tìm giái tr ln nht ca hàm s
2
3yt t m= −−+
trên đoạn
[
]
0; 2
.
Vi
2
3ut t m= −−+
ta có:
[ ] [ ]
0;2 0;2
13
max 1;min
4
um um=−=
.
Do đó
13 13
11
13 9
44
max max 1 ;
4 2 28
m mm m
y mm
+ −+

= −≥ =


.
Du bng xy ra
13 9 17
1
48 8
m mm−= = =
.
Câu 19: Gi
S
là tp hp tt c các s nguyên
m
để m s
42
1 19
30
42
y x x xm
= ++
có giá tr ln
nhất trên đoạn
[ ]
0; 2
không vượt quá
20
. Tng các phn t ca
S
bng
Lời giải
Xét
42
1 19
30
42
u x x xm= ++
trên đoạn
[
]
0; 2
3
5
19 30; 0 3
2
x
ux x u x
x
=
′′
= + =⇔=
=
.
Do đó:
[ ]
{
[ ]
0;2
0;2
max max (0); (2)} max{ ; 6} 6; min .u u u mm m u m
= = +=+ =
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 21
Do đó:
[ ]
0;2
6 20
13 6
max max{ ; 6} 20 20 6
20 13
6 20
mm
m
y mm m
m
mm
+≤
−≤≤
= + ≤−
≤−
+≤
.
m
nên
{ 20; 19;..., 6}m ∈−
. Vy
20
6
195
Sk=−=
.
Câu 20: Cho hàm s
32
23y x xm= −+
. Có bao nhiêu s nguyên
m
để
[ ]
(
)
1;3
min 3fx
?
Lời giải
Xét
32
23u x xm
=−+
, ta có:
2
'6 6uxx=
;
0
0
1
x
u
x
=
=
=
.
Do đó:
[ ]
(
)
( ) ( ) ( )
{ }
{ }
[
]
( ) ( ) ( ) ( )
{
}
{ }
1;3
1;3
min min 1 , 3 , 0 , 1 min 5, 27, , 1 5
max max 1 , 3 , 0 , 1 max 5, 27, , 1 27
u u u u u m m mm m
u u u u u m m mm m
= = + −=−
= = + −=+
.
TH1:
[ ]
( )
{ }
1;3
5 0 5 min 5 3 8 5;6;7;8
m m fx m m m
−≥ = −≤
.
TH2:
[ ]
( ) { }
1;3
27 0 27 min ( 27) 3 30 30; 29; 28; 27m m fx m m m
+ ≤− =− + ≥−
.
TH3:
(
)
[ ]
( )
1;3
( 5) 27 0 27 5 min 0m m m fx
+ < ⇔− < < =
(tha mãn).
Vy
{ }
30; 29; 28;...;7;8m −−−
.
Câu 21: Cho hàm s
2
() ,f x ax bx c= ++
( ) 1, [0;1]fx x ∀∈
. Tìm giá tr ln nht ca
(0).f
Lời giải.
( ) 2 (0)f x ax b f b
′′
= +⇒ =
.
Bài toán tr thành tìm giá tr ln nht ca
b
vi điu kin
( ) 1, [0;1].fx x ∀∈
Ta có.
( )
(1) (0)
(0)
11
1 2 4 4 (0) 4 (1) 3 (0).
22
1
(0)
2 42
ab f f
fc
f abc a b f f b f f f
ab
cf
fc
+=
=

 
=++ + = =

 
 



=
=++


( ) ( ) ( )
1 (0) 1
1
( ) 1, [0;1] 1 1 1 4 (1) 3 (0) 4 1 3 8.
2
1
11
2
f
fx x f b f f f
f
−≤

∀∈ = +− + ++ =



−≤


CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 22
Đẳng thc xy ra
2
1
1
1, 8
2
(1)1 1, 8 ()8 81.
(0) 1 1
1
42
f
ca
f abc b fx x x
f ab c
c

=

=−=


=−⇔ ++= = = +


=−=

++=
Vy giá tr ln nht ca
(0)f
bng 8.
Câu 22: Cho hàm s
4 32
2yx xxa= ++
. Có bao nhiêu s thc
a
để
[
]
[
]
1; 2
1; 2
min max 10yy
+=
?
Li gii
Xét
4 32
2ux x x a= ++
trên đoạn
[
]
1; 2
, ta có :
32
'4 6 2uxxx=−+
;
0
'0 1
1
2
x
ux
x
=
=⇔=
=
.
Suy ra:
[ ]
( ) ( )
( ) ( ) ( )
[ ]
( ) ( )
( ) ( ) ( )
1; 2
1; 2
1
max max 1 , 0 , , 1 1 2 4
2
1
min min 1 , 0 , , 1 0 1
2
M u uuuu u ua
m u u uu u u u a


= = = −= =+






==−===




.
TH1:
00ma
≥⇔
. Khi đó:
[ ]
[ ]
1; 2
1; 2
min ; maxym yM
= =
Ta có điều kiện :
0
3
4 10
a
a
aa
⇔=
++=
.
TH2:
04Ma ≤−
. Khi đó :
[ ]
[ ]
1; 2
1; 2
min ; max
yM ym
=−=
.
Ta có điều kiện :
( )
4
7
4 10
a
a
aa
≤−
⇔=
+ −=
.
TH3:
0 40mM a< < ⇔− < <
.
Khi đó:
[ ]
[ ]
{ }
{ }
1; 2
1; 2
min 0; max max 4 , max 4, 10y y aa a a
= = + = +− <
.
Suy ra
[ ]
[ ]
1; 2
1; 2
min max 0 10 10yy
+ <+ =
(loại).
Vậy
{ }
3; 7a ∈−
.
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 23
DẠNG 4: PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ ĐỂ GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN TÌM ĐIỀU KIỆN
CỦA THAM SỐ m SAO CHO PHƯƠNG TRÌNH
( )
,0f xm =
CÓ NGHIỆM
(CÓ ỨNG DỤNG GTLN, GTNN )
I. Phương pháp:
Bước 1. Tìm điều kiện xác định của phương trình đã cho.
Bước 2. Đặt
(
)
t ux
=
hoc
( )
x ut=
. Tìm tp giá tr
K
ca
t
. Chuyn bài toán v: tìm điu kin
ca
m
để phương trình
( ) ( )
gt hm=
có nghim thuc
K
.
Bước 3. m GTLN, GTNN ca
( )
gt
hoc tp giá tr ca
( )
gt
trên
K
để suy ra điu kin ca
m
.
Mt s cách đt n ph thưng gp:
1. Xut hin biu thức đối xng
( )( )
ax b cx d
ax b cx d
+
++
. PP: Đặt
t ax b cx d= ++ +
.
2. Xut hin
a bx+
c bx
( )
0ac+>
.
PP:
( )
(
)
22
a bx c bx a c
+ +− =+
. Nên đặt
sin
cos
a bx a c
c bx a c
α
α
+= +
−= +
,
0;
2
π
α



.
Và s dng h thc
2
2
2
2 tan
2
sin
1 tan
2
1 tan
2
cos
1 tan
2
α
α
α
α
α
α
=
+
=
+
, tiếp tục đặt
tan
2
t
α
=
,
[ ]
0;1t
.
Ta được một phương trình ẩn
t
.
Câu 1. Tìm các giá tr thc ca tham s
m
để phương trình sau có nghiệm:
( )( )
6 22 14 4 1 42.4x x xm x x+ = + −+
.
Li gii
Đkxđ:
14x≤≤
.
Phương trình đã cho tương đương:
( )(
)
( )
6 2 182 4 1 82x x x x xm+ −+ =
(1).
Đặt
1 82tx x= −+
.
Xét hàm s
( )
1 82tx x x= −+
liên tục trên đoạn
[ ]
1;4
, có:
( )
1 2 82 2 1
'
2 1 282 2 1.82
xx
tx
x xx x
−−
=+=
−−
Ta có:
( )
' 0 82 2 1 2tx x x x= = −⇔ =
.
Li có:
( )
16t =
,
( )
23t =
,
( )
43t =
[ ]
( ) ( )
[ ]
( ) ( )
1;4
1;4
min 4 3
max t 2 3
x
x
tx t
xt
= =
= =
( )( )
( )( )
22
1 82 7 2 182 16 2 182tx xt xx xt xx x= + =−+ =−+
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 24
Phương trình (1) trở thành:
2
41tt m
−=
(2).
Xét hàm s
( )
2
41ft t t=−−
liên tục trên đoạn
3;3


, có:
( )
' 24ft t=
.
Ta có:
( )
02ft t= ⇔=
.
Li có:
( )
3 2 43f =
,
( )
25f =
,
( )
34f =
( ) ( )
(
)
( )
3;3
3;3
min 2 5
max 3 4
x
x
ft f
ft f




==
= =
(1) có nghim
[
]
1;4
x
(2) có nghim
3;3t


( ) ( )
3;3
3;3
min max 5 4
t
t
ft m ft m




≤≤ ≤≤
.
Vy
54m ≤−
là các giá tr
m
cn tìm.
Câu 2. Tìm các giá tr thc ca tham s
m
để phương trình sau có nghiệm:
(
) ( )
2 1 3 2 1 10m x m xm
+ + + −=
.
Li gii
Đkxđ:
31
x
−≤
.
Phương trình đã cho tương đương:
( )
3 21 1
2311 3211
2 31 1
xx
mx x x x m
xx
++ +
++ + = ++ + =
++ +
(1).
Ta có:
( )
( )
22
31 4xx++=
. Nên đặt:
3 2sin
, 0;
2
1 2cos
xa
a
xa
π
+=



−=
.
S dng:
2
2
2
2 tan
2
sin
1 tan
2
1 tan
2
cos
1 tan
2
a
a
a
a
a
a
=
+
=
+
, và đặt
tan
2
a
t =
,
[ ]
0;1t
.
Phương trình (1) trở thành:
2
2
3 45
83
tt
m
tt
++
=
−+ +
,
[ ]
0;1t
.
Xét hàm s
( )
2
2
3 45
83
tt
ft
tt
++
=
−+ +
liên tục trên đoạn
[ ]
0;1
.
Ta có
( )
( )
[ ]
2
2
2
20 8 28
' 0 0;1
83
tt
ft t
tt
−−
= < ∀∈
−+ +
hàm s
( )
ft
nghch biến trên
[ ]
0;1
[ ]
( ) ( )
[
]
( )
( )
0;1
0;1
3
min 1
5
5
max 0
3
t
t
ft f
ft f
= =
= =
(1) có nghim
[ ]
3;1x ∈−
(2) có nghim
[ ]
0;1t
[ ]
(
)
[ ]
( )
0;1
0;1
35
min max
53
t
t
ft m ft m
≤≤ ≤≤
.
Vy
35
53
m≤≤
là các giá tr
m
cn tìm.
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 25
DẠNG 7: PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ ĐỂ GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN TÌM ĐIỀU KIỆN
CỦA THAM SỐ ĐỂ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM HOẶC NGHIỆM ĐÚNG VỚI
MỌI
xK
(CÓ ỨNG DỤNG GTLN, GTNN)
I. Phương pháp
1. Tìm điều kin ca tham s để bt phương trình cha tham s có nghim hoc nghim đúng
vi mi
[ ]
;x ab
( )
[ ]
[ ]
( )
;
; max
ab
m fx x ab m fx> ∀∈ >
( )
[ ]
[ ]
( )
;
; max
ab
m fx x ab m fx ∀∈
( )
[ ]
[ ]
( )
;
; min
ab
m fx x ab m fx< ∀∈ <
(
)
[
]
[ ]
( )
;
; min
ab
m fx x ab m fx ∀∈
( )
m fx>
có nghim
[
]
[ ]
( )
;
; min
ab
x ab m f x ⇔>
( )
m fx
có nghim
[ ]
[ ]
( )
;
; min
ab
x ab m f x
⇔≥
( )
m fx<
có nghim
[ ]
[ ]
( )
;
; max
ab
x ab m f x ⇔<
( )
m fx
có nghim
[ ]
[ ]
( )
;
; max
ab
x ab m f x ⇔≤
2. Tìm điều kin ca tham s để bt phương trình cha tham s có nghim hoc nghim đúng
vi mi
( )
;x ab
MO NH
Nếu hàm ch có max min
biên và không tn ti
thì: Loi
luôn có du
=, loi có nghim luôn b
du =.
Nếu hàm có max min tn
tại thì đang có dấu gì thì
gi nguyên
( ) ( )
;m f x x ab> ∀∈
(
) ( )
;m f x x ab ∀∈
( ) ( )
;
m f x x ab< ∀∈
( ) ( )
;m f x x ab
∀∈
( )
m fb→≥
( )
m fb→≥
( )
m fa→≤
( )
m fa→≤
( )
maxm m fd> →>
( )
max
m m fd →≥
( )
minm m fc< →<
( )
minm m fc →≤
(
)
m fx>
có nghim
( )
m fx
có nghim
( )
m fx<
có nghim
( )
m fx
có nghim
( )
m fa→>
( )
m fa→>
( )
m fb→<
( )
m fb→<
( )
minm m fc> →>
( )
minm m fc →≥
( )
maxm m fd< →<
( )
maxm m fd →≤
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 26
Câu 1. Tìm tt c các giá tr ca tham s
m
để bất phương trình
( )( )
2
6 28 1x x x xm+ + +−
nghiệm đúng với mi
[ ]
2;8x ∈−
.
Li gii
Bất phương trình tương đương với
( )( )
2
6 16 2 8 15xx x x m−+ ++ +
Đặt
( )( )
28t xx=+−
, vi
[ ]
2;8x ∈−
thì
[ ]
0;5t
.
Bất phương trình trở thành
.
Xét hàm s
( )
2
15ft t t= +−
trên đoạn
[ ]
0;5
, ta có bng biến thiên như hình sau
Suy ra bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mi
[ ]
2;8x ∈−
khi và ch khi
[ ]
( )
0;5
max 15m ft≥=
Câu 2. Cho phương trình
( )
2
46 3 2 23xx xm x x+− ++
. m
m
để bất phương trình đã cho
có nghim thc?
Li gii
+ Điu kin:
23x−≤
.
+ Đặt
2 23tx x= ++
vi
[ ]
2,3x ∈−
Ta có:
1 1 3 22
'
223 223
xx
t
x xx x
−− +
= −=
+ +−
;
'0 3 2 2 1t xx x= −= +⇔=
Bng biến thiên:
T bng biến thiên suy ra:
5,5t


+ Do
22
2 2 3 4 6 3 14t x x xx xt
= ++ +− =
nên bất phương trình đã cho trở
thành:
2
2
14
14
t
t mt m
t
−≤
+ Xét hàm s
( )
2
14t
ft
t
=
vi
5,5t


, ta có:
( ) ( )
2
2
14
' 0, 5,5
t
f t t ft
t
+

= > ∀∈

đồng biến trên
5,5


Bất phương trình đã cho có nghiệm thc
( )
( )
5;5
95
min 5
5
m ft f m


= ≥−
.
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 27
Câu 3. Tìm
m
để bất phương trình
2
99x x x xm+ ≥− + +
( )
1
có nghim.
Li gii
Điu kin:
09x≤≤
Ta có
( )
2
1 9 2 (9 ) 9x x x x x xm + + ≥− + +
22
92 9 9xxxxm
+ −+ −+ +
( )
2
Đặt
do
09x≤≤
suy ra
9
0
2
t
≤≤
Nên
( )
2
tr thành
22
92 2 9tt m t t m+ + ⇔− + +
( )
3
Xét hàm s
2
() 2 9
ft t t
=−+ +
,
9
0
2
t
≤≤
Bng biến thiên :
Suy ra
( )
1
có nghim khi và ch khi
( )
3
có nghim
9
0;
2
t



, nên
9
10
4
m−≤
.
Câu 4. Cho hàm s
( )
fx
liên tc trên
. Hàm s
( )
y fx
=
có đồ th như hình vẽ
Tìm
m
sao cho bất phương trình
( )
2
2sin 2sinf x xm−<
đúng với mi
( )
0;x
π
?
Li gii
Ta có:
( ) (
]
0; sin 0;1xx
π
⇒∈
.
Đặt
(
]
( )
2sin 0; 2t xt=
ta có:
( )
2
2sin 2sinf x xm−<
đúng với mi
( )
0;x
π
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 28
(
)
2
1
2
ft t m −<
đúng với mi
(
]
0; 2t
.
Xét
( )
(
)
2
1
2
gt f t t=
vi
(
]
0; 2t
.
( ) ( )
gt f t t
′′
=
.
T đồ th ca hàm s
( )
y fx
=
yx=
(hình v) ta có BBT ca
( )
gt
như sau:
Vy
(
]
(
) (
) (
)
0;2
1
11
2
Max g t g f= =
.
Vy yêu cu bài toán
( ) ( )
1
11
2
mg m f⇔> ⇔>
.
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 29
DẠNG 8: BÀI TOÁN THỰC TẾ:
I. Phương pháp:
Đưau cu bài toán v mi quan h hàm s, lp bng biến thiên để tìm giá tr ln nht , giá tr nh nht
ca hàm s với điều kin ràng buộc cho trước.
Chú ý:
Ta cũng có thể s dng các bất đẳng thức để m giá tr ln nht , giá tr nh nht ca biu thc. Mt s
bất đẳng thức thường dùng.
1. Bất đẳng thc
AM GM
:
Cho hai s thc
,0ab
ta có:
2
ab
ab
+
hay
2a b ab+≥
.
Du
'' ''=
xãy ra khi và chỉ khi
ab=
.
Cho ba s thc
,, 0abc
ta có:
3
3
abc
abc
++
hay
3
3a b c abc++
.
Du
'' ''=
xãy ra khi và chỉ khi
abc= =
.
2. Bất đẳng thc Bunhiacopxki :
Cho hai b s thc
(
) ( )
;,;ab xy
ta có:
( )( )
222 2
ax by a b x y+≤ + +
.
Du
'' ''=
xãy ra khi và chỉ khi
ay bx=
.
Cho hai b s thc
( ) ( )
;; , ;;abc xyz
ta có:
( )( )
2222 22
ax by cz a b c x y z++ ++ ++
.
Du
'' ''
=
xãy ra khi và chỉ khi
:: ::abc x yz=
.
Câu 1. Mt chất điểm chuyển động theo quy lut
23
() 3St t t=
. Tìm thời điểm
t
(giây) tại đó vận tc
(
)
m/sv
ca chuyn động đạt giá tr ln nht?
Li gii
Ta có
( )
2
2
() 6 3 3 1 3 3
v St t t t
= = = +≤
,
0t∀≥
. Du
'' ''=
xy ra khi
1t =
Vy vn tc ca chuyn động đạt giá tr ln nht bng
3
ti thời điểm
1 ( )ts=
.
Câu 2. Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình
( )
42
1
3 24
4
St t t t= + −−
, trong đó
t
tính
bằng giây
( )
s
S
tính bng mét
(
)
m
. Ti thời điểm nào vn tc ca chuyển động đạt giá
tr ln nht?
Li gii
Vn tc ca chuyển động được xác đnh bi
( )
( )
3
62vt S t t t
= =−+
.
Ta có:
( )
2
2
3 60
2
t
vt t
t
=
= +=
=
.
Do
0t >
, nên ta có bng biến thiên
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 30
Da vào bng biến thiên suy ra vn tc ca chuyn động đạt giá tr ln nht ti
2t =
.
Câu 3. Hng ngày mc nưc ca h thủy điện min Trung lên và xuống theo lượng nước mưa và các
suối nước đ v h. T lúc
8
gi sáng, độ sâu ca mực nước trong h tính theo mét và lên
xung theo thi gian
t
(gi) trong ngày cho bi công thc:
( )
(
)
32
1
5 24 0
3
ht t t t t
=++ >
Biết rng phi thông báo cho các h dân phải di di trưc khi x nước theo quy định trước
5
gi. Hi cn thông báo cho h dân di dời trưc khi x nước my gi. Biết rng mực nước
trong h phi lên cao nht mi x nước.
Li gii
Xét :
( ) ( )
32
1
5 24 0
3
ht t t t t= ++ >
Ta có:
(
)
2
10 24
ht t t
=−+ +
( )
(
)
2
12
' 0 10 24 0
2 0;
t
ht t t
t
=
= ⇔− + + =
= +∞
Bng biến thiên:
Để mc nưc lên cao nht thì phi mt
12
gi. Vy phải thông báo cho dân di dời vào
15
gi
chiu cùng ngày.
Câu 4. Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được cho bởi công thức
( ) ( )
2
1
30
40
Fx x x=
, trong đó
x
là liều lượng thuốc tiêm cho bệnh nhân (
x
được tính bằng miligam). Tính liều lượng
thuốc cần tiêm cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều nhất.
Lời giải
Xét hàm số :
( )
( ) ( )
2
1
30 0 30
40
Fx x x x= <<
.
( )
( )
2
1
3 60
40
Fx x x
= −+
( )
( )
2
1
0 3 60 0
40
Fx x x
= −+ =
( )
0 0;30
20
x
x
=
=
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 31
BBT.
Ta có huyết áp giảm nhiều nhất
()Fx
lớn nhất trên
( )
0; +∞
. Dựa vào BBT ta thấy
(
)
0;
Max ( ) (20) 100Fx F
+∞
= =
nên liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân là
20x =
.
Câu 5. Để thiết kế mt chiếc b cá hình hp ch nht có chiu cao là
60
cm
, th tích
3
96000
cm
. Người
th dùng loại kính để s dng làm mt bên có giá thành
70000
2
/VNĐm
và loại kính để
làm mặt đáy có giá thành
100000
VNĐ
2
/m
. Tính chi phí thp nhất để hoàn thành b cá .
Li gii
Gi
( ) ( )
, 0, 0xym x y>>
là chiu dài và chiu rng của đáy bể
Khi đó theo đề ta suy ra:
0,16
0,6 0, 096xy hay y
x
= =
.
Giá thành ca b cá được xác định theo giá tr hàm s sau:
( )
0,16 0,16
2.0,6 .70000 100000. .fx x x
xx

=++


Ta có
( )
0,16
84000 16000
fx x
x

= ++


Suy ra
( ) ( )
2
0,16
84000 1 0 0,4fx fx x
x

′′
= =⇔=


Bng biến thiên ca hàm s
()
fx
trên (
0; )+∞
.
Da vào bng biến thiên suy ra chi phí thp nht đ hoàn thành b
cá là
( )
0,4 83200f =
VNĐ
Câu 6. Nhà xe khoán cho hai tài xế An và Bình mỗi người lần lượt nhận
32
lít và
72
lít xăng trong
một tháng. Biết rằng trong một ngày tổng số xăng cả hai người sử dụng là 10 lít. Tổng số
ngày ít nhất để hai tài xế sử dụng hết số xăng được khoán là bao nhiêu.
Lời giải
Gọi
x
(lít)
( )
0 10x<<
là số xăng An sử dụng trong
1
ngày.
Khi đó:
10 x
(lít) là số xăng Bình sử dụng trong
1
ngày.
Suy ra
( ) ( )
32 72
, 0;10
10
fx x
xx
=+∈
là tổng số ngày An và Bình sử dụng hết số xăng được
khoán.
-
+
0
F(x)
F'(x)
100
+
20
0
x
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 32
Xét hàm số
()fx
ta có:
(
)
(
)
'
2
2
32 72
10
fx
x
x
=−+
.
( )
'
0
fx=
( )
2
2
32 72
0
10
x
x
⇔− + =
(
)
4
20 0;10
x
x
=
=−∉
Bảng biến thiên của hàm số
( )
( )
32 72
, 0;10
10
fx x
xx
=+∈
Dựa vào BBT ta có sau ít nhất
20
ngày thì An và Bình sử dụng hết lượng xăng được khoán.
Câu 7. Ngưi ta cần xây một b chứa nước sn xut dng khi hp ch nht không np có th tích
bng
3
200 m
. Đáy bể hình ch nht có chiu dài gấp đôi chiều rộng. Chi phí để xây bể
300
nghìn đồng
2
/m
(chi phí được tính theo diện tích xây dựng, bao gm din tích đáy và
din tích xung quanh không tính chiu dày ca đáy và thành bên). Tính chi phí thấp nhất để
xây bể ( làm tròn s tin đến đơn vị triệu đồng).
Li gii
Gi chiu rng ca khi hp là
(m), 0xx>
chiu dài ca khi hp là
2x
chiu cao ca khi hp là
2
200 100
(m)
2.xx x
=
. Ta có :
Din tích xung quanh ca b cha là
22
100 100
2 . 2.
xq
Sx x
xx

= +


Din tích mặt đáy của b
1
2.S xx=
Do đó diện tích xây dựng ca b
22
1
22
100 100 600
2 . 2. 2. 2 (m)
xq
S S S x x xx x
xx x

= += + + = +


Chi phí xây dựng b
25
600
( ) 2 .3.10Cx x
x

= +


đồng.
Tìm GTNN ca
2
600
() 2fx x
x
= +
khi
0x >
.
0x >
nên áp dng bất đẳng thc Cô-si cho ba s không âm ta được
2x
x
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 33
22
3
600 300 300
( ) 2 2 3 2.300.300
fx x x
x xx
=+=++
.
Đẳng thc xy ra khi và ch khi
2
3
300
2
150.
0
x
x
x
x
=
⇔=
>
Do đó
( )
33
0;
min ( ) ( 150) 3 180000fx f
+∞
= =
.
Chi phí thp nhất để xây bể
( )
0;
min ( ).300fx
+∞
=
3
3 180000.300 50,81595
triệu đồng.
Vy chi phí thp nhất để xây bể xp x
51
triệu đồng.
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 137
BÀI 3: GIÁ TR NH NHT VÀ GIÁ TR LN NHT CA HÀM S
BÀI TP TRC NGHIM TRÍCH T ĐỀ THAM KHO VÀ Đ CHÍNH THC
CA B GIÁO DC T NĂM 2017 ĐẾN NAY
Câu 1: (MĐ 101-2022) Giá tr ln nht ca hàm s
( )
32
3 9 10fx x x x= −+
trên đoạn
[ ]
2; 2
bng
A.
12
. B.
10
. C.
15
. D.
1
.
Câu 2: (MĐ 102-2022) Giá tr ln nht ca hàm s
( )
32
3 9 10fx x x x
= −+
trên đoạn
[ ]
2; 2
bng
A.
15
. B.
10
. C.
1
. D.
12
.
Câu 3: (MĐ 101-2022) Cho hàm số
( ) ( )
42
12 1f x m x mx=−− +
vi
m
là tham s thc. Nếu
[ ]
( ) ( )
0;3
min 2fx f
=
thì
[
]
(
)
0;3
max fx
bng
A.
13
.
3
B.
4
C.
14
3
−⋅
D.
1
Câu 4: (MĐ 102-2022) Cho hàm số
( ) ( )
42
21f x mx m x=+−
vi
m
là tham s thc. Nếu
[ ]
( ) ( )
0;2
min 1fx f=
thì
[ ]
( )
0;2
max fx
bng
A.
2
. B.
1
. C.
4
. D.
0
.
Câu 5: (MĐ 103-2022) Cho hàm số
( ) ( )
42
24 1f x ax a x=++
vi
a
là tham s thc. Nếu
[ ]
0;2
max ( ) (1)fx f=
thì
[ ]
0;2
min ( )fx
bng
A.
17
. B.
16
. C.
1
. D.
3
.
Câu 6: (MĐ 104-2022) Cho hàm số
( ) ( )
42
321f x a x ax=+−+
vi
a
là tham s thc. Nếu
[ ]
( ) ( )
0;3
max 2fx f=
thì
[ ]
( )
0;3
min fx
bng
A.
9
. B.
4
. C.
1
. D.
8
.
Câu 7: (ĐTK 2020-2021) Gi
,
Mm
lần lượt là giá tr ln nhât, giá tr nh nht ca hàm s
( )
42
23fx x x=−+
trên đoạn
[ ]
0; 2 .
Tng
Mm+
bng?
A.
11.
B.
14.
C.
5.
D.
13.
CHƯƠNG
I
NG DỤNG ĐẠO HÀM
ĐỂ KHO SÁT HÀM S
BÀI TP TRC NGHIM
III
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 138
Câu 8: (MĐ 101 2020-2021 ĐỢT 1) Trên đoạn
[ ]
0;3
, hàm số
3
3yx x=−+
đạt giá trị lớn nhất tại
điểm
A.
0x =
. B.
3x =
. C.
1x =
. D.
2x =
.
Câu 9: (MĐ 102 2020-2021 ĐT 1) Trên đoạn
[ ]
2;1
, hàm s
32
31yx x=−−
đạt giá tr ln nht ti
điểm.
A.
2
x =
. B.
0x =
. C.
1
x =
. D.
1x =
.
Câu 10: (MĐ 103 2020-2021 ĐỢT 1) Trên đoạn
[ ]
0;3
, hàm s
3
34yx x=−+
đạt giá tr nh nht ti
điểm
A.
1x =
. B.
0x =
. C.
3x =
. D.
2x =
.
Câu 11: (MĐ 104 2020-2021 ĐỢT 1) Trên đoạn
[ ]
1;2
, hàm số
32
31
yx x=++
đạt giá trị nhỏ nhất
tại điểm
A.
2
x =
. B.
0x =
. C.
1x =
. D.
1
x =
.
Câu 12: (101 2020-2021 ĐỢT 2) Trên đoạn
[ ]
4; 1−−
, hàm s
42
8 13
yx x
=−+
đạt giá tr nh
nht tại điểm
A.
2x =
. B.
1x =
. C.
4
x
=
. D.
3
x
=
.
Câu 13: (103 2020-2021 ĐỢT 2) Trên đoạn
[ ]
1; 4
hàm s
42
8 19yx x=−+
đạt giá tr nh nht ti
điểm
A.
2x =
. B.
1
x
=
. C.
3x =
. D.
4x =
.
Câu 14: (104 2020-2021 ĐỢT 2) Trên đoạn
[
]
1; 4
,hàm s
42
8 13yx x=−+
đạt giá tr ln nht
ti đim
A.
4x
=
. B.
2x =
. C.
1x =
. D.
3x =
.
Câu 15: minh ha 1, Năm 2017) Tìm giá tr nh nht ca hàm s
2
3
1
x
y
x
+
=
trên đoạn
[ ]
2; 4
.
A.
[ ]
2;4
min 6y =
B.
[ ]
2;4
min 2
y =
C.
[ ]
2;4
min 3y =
. D.
[ ]
2;4
19
min
3
y =
Câu 16: (Mã 101, Năm 2017) Giá tr ln nht ca hàm s
42
49yx x=−+
trên đoạn
[ ]
2;3
bng
A.
201
B.
2
C.
9
D.
54
Câu 17: (Mã 102, Năm 2017) Giá tr nh nht ca hàm s
32
27
yx x x=+−
trên đoạn
[ ]
0; 4
bng
A.
259
B.
68
C.
0
D.
4
Câu 18: (102, Năm 2017) Ông A d định s dng hết
2
6,7m
kính để m mt b cá bng kính có
dng hình hp ch nht không np, chiu dài gấp đôi chiều rng (các mối ghép kích thước
không đáng kể). B cá có dung tích ln nht bằng bao nhiêu (kết qu làm tròn đến hàng phn
trăm).
A.
3
1, 57m
B.
3
1,11m
C.
3
1, 23m
D.
3
2,48m
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 139
Câu 19: (Mã 103, Năm 2017) Tìm giá tr nh nht
m
ca hàm s
42
13yx x=−+
trên đoạn
[ ]
2;3 .
A.
51
4
m
=
B.
49
4
m
=
C.
13m =
D.
51
2
m
=
Câu 20: (Mã 104, Năm 2017) Tìm giá tr nh nht
m
ca hàm s
2
2
yx
x
= +
trên đoạn
1
;2
2



.
A.
17
4
m
=
B.
10m =
C.
5m =
D.
3m =
Câu 21: tham khảo, Năm 2018) Giá tr ln nht ca hàm s
( )
42
45fx x x=−+
trêm đon
[ ]
2;3
bng
A.
50
B.
5
C.
1
D.
122
Câu 22: (Mã 101, Năm 2018) Giá tr ln nht ca hàm s
42
49yx x=−+
trên đoạn
[ ]
2;3
bng
A.
201
B.
2
C.
9
D.
54
Câu 23: (Mã 102, Năm 2018) Giá tr nh nht ca hàm s
32
27yx x x=+−
trên đoạn
[ ]
0; 4
bng
A.
259
B.
68
C.
0
D.
4
Câu 24: (102, Năm 2018) Ông A d định s dng hết
2
6,7m
kính để m mt b cá bng kính có
dng hình hp ch nht không np, chiu dài gấp đôi chiều rng (các mối ghép kích thước
không đáng kể). B cá có dung tích ln nht bằng bao nhiêu (kết qu làm tròn đến hàng phn
trăm).
A.
3
1, 57m
B.
3
1,11m
C.
3
1, 23m
D.
3
2,48m
Câu 25: (Mã 103, Năm 2018) Tìm giá tr nh nht
m
ca hàm s
42
13yx x=−+
trên đoạn
[ ]
2;3 .
A.
51
4
m
=
B.
49
4
m
=
C.
13m =
D.
51
2
m =
Câu 26: (Mã 104, Năm 2018) Tìm giá tr nh nht
m
ca hàm s
2
2
yx
x
= +
trên đoạn
1
;2
2



.
A.
17
4
m
=
B.
10m =
C.
5m =
D.
3m =
Câu 27: minh họa, Năm 2019) Cho hàm số
( )
=y fx
liên tục trên đoạn
[ ]
1; 3
đồ th như
hình bên. Gi
M
m
ln t là giá tr ln nht và nh nht ca hàm s đã cho trên đoạn
[ ]
1; 3
. Giá tr ca
Mm
bng
A.
0
B.
1
C.
4
D.
5
O
2
2
3
1
1
2
3
y
x
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 140
Câu 28: (Mã 101, Năm 2019) Giá tr ln nht ca hàm s
3
() 3 2fx x x=−+
trên đoạn
[ 3; 3]
bng
A.
16
B.
20
C.
0
D.
4
Câu 29: (Mã 102, Năm 2019) Giá tr nh nht ca hàm s
( )
3
32=−+fx x x
trên
[ 3;3]
bng
A. 20 B. 4 C. 0 D. –16
Câu 30: (Mã 103, Năm 2019) Giá tr ln nht ca hàm s
( )
3
3fx x x=
trên đoạn
[ ]
3; 3
bng
A.
18
B.
2
C.
18
D.
2
Câu 31: (Mã 104, Năm 2019) Giá tr nh nht ca hàm s
( )
3
3fx x x=
trên đoạn
[ ]
3; 3
bng
A.
18
B.
18
C.
2
D.
2
Câu 32: Minh Họa 2020 Lần 1) Giá tr ln nht ca hàm s
42
( ) 12 1fx x x=−+ +
trên đoạn
[ ]
1; 2
bng:
A.
1
. B.
37
. C.
33
. D.
12
.
Câu 33: Tham Khảo 2020 Lần 2) Giá tr nh nht ca hàm s
( )
42
10 2fx x x=−+
trên đoạn
[ ]
1; 2
bng
A.
2
. B.
23
. C.
22
. D.
7
.
Câu 34: (Mã 101 - 2020 Lần 1) Giá tr nh nht ca hàm s
( )
3
24fx x x=
trên đoạn
[ ]
2;19
bng
A.
32 2
. B.
40
. C.
32 2
. D.
45
.
Câu 35: (Mã 102 - 2020 Lần 1) Giá tr nh nht ca hàm s trên đoạn bng
A. . B. . C. . D. .
Câu 36: (Mã 103 - 2020 Lần 1) Giá tr nh nht ca hàm s
3
( ) 30fx x x=
trên đoạn
[ ]
2;19
bng
A.
20 10.
B.
63.
C.
20 10.
D.
52.
Câu 37: (Mã 104 - 2020 Lần 1) Giá tr nh nht ca hàm s
( )
3
33fx x x=
trên đoạn
[ ]
2;19
bng
A.
72
. B.
22 11
. C.
58
. D.
22 11
.
Câu 38: (Mã 101 2020 Lần 2) Giá tr nh nht ca hàm s
( )
42
10 4fx x x=−−
trên
[ ]
0;9
bng
A.
28
. B.
4
. C.
13
. D.
29
.
Câu 39: (Mã 102 - 2020 Lần 2) Giá tr nh nht ca hàm s
( )
42
12 4=−−fx x x
trên đoạn
[ ]
0;9
bng
A.
39
. B.
40
. C.
36
. D.
4
.
Câu 40: (Mã 103 - 2020 Lần 2) Giá tr nh nht ca hàm s
(
)
42
10 2fx x x=−−
trên đoạn
[ ]
0;9
bng
A.
2
. B.
11
. C.
26
. D.
27
.
Câu 41: (Mã 104 - 2020 Lần 2) Giá tr nh nht ca hàm s
( )
42
12 1fx x x=−−
trên đoạn
[ ]
0;9
bng
A.
28
. B.
1
. C.
36
. D.
37
.
( )
3
21fx x x=
[ ]
2;19
36
14 7
14 7
34
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 141
Câu 42: Minh Họa 2020 Lần 1) Gi
S
là tp hp tt c các giá tr thc ca tham s m sao cho giá
tr ln nht ca hàm s
( )
3
3fx x x m
= −+
trên đoạn
[ ]
0;3
bng 16. Tng tt c các phn t ca
S
là:
A.
16
. B.
16
. C.
12
.
D.
2
.
Câu 43: Tham Khảo 2020 Lần 2) Cho hàm số
( )
1
xm
fx
x
+
=
+
(
m
là tham s thc). Gi
S
là tp
hp tt c các giá tr ca
m
sao cho
[ ]
( )
[ ]
( )
0;1
0;1
max min 2fx fx+=
. S phn t ca
S
A.
6
. B.
2
. C.
1
. D.
4
.
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 1
BÀI 3: GIÁ TR NH NHT VÀ GIÁ TR LN NHT CA HÀM S
BÀI TP TRC NGHIM TRÍCH T ĐỀ THAM KHO VÀ Đ CHÍNH THC
CA B GIÁO DC T NĂM 2017 ĐẾN NAY
Câu 1: (MĐ 101-2022) Giá tr ln nht ca hàm s
( )
32
3 9 10fx x x x= −+
trên đoạn
[ ]
2; 2
bng
A.
12
. B.
10
. C.
15
. D.
1
.
Li gii
Chn C
Hàm s liên tục trên đoạn
[ ]
2; 2
.
Ta có:
( ) ( )
[ ]
[ ]
2
1 2; 2
3 69 0
3 2; 2
x
fx x x fx
x
=∈−
′′
= −⇒ =
= ∉−
.
Mà:
( ) ( ) ( )
1 15; 2 8; 2 12f ff−= = =
[ ]
( ) ( )
2;2
max 1 15.fx f
= −=
Câu 2: (MĐ 102-2022) Giá tr ln nht ca hàm s
( )
32
3 9 10fx x x x= −+
trên đoạn
[ ]
2; 2
bng
A.
15
. B.
10
. C.
1
. D.
12
.
Li gii
Chn D
(
) ( )
32 2
3 9 10 3 6 9
fx x x x f x x x
= +⇒ =
( )
3
0
1
x
fx
x
=
=
=
do
[ ]
2; 2 1xx∈− =
.
( ) ( )
( )
2 8, 1 15, 2 12ff f= −= =
.
Vy giá tr ln nht ca hàm s
( )
32
3 9 10fx x x x= −+
trên đoạn
[ ]
2; 2
bng 15. Chn.
A.
Câu 3: ( 101-2022) Cho hàm số
( ) ( )
42
12 1f x m x mx=−− +
vi
m
là tham s thc. Nếu
[ ]
( ) ( )
0;3
min 2fx f=
thì
[ ]
( )
0;3
max fx
bng
CHƯƠNG
I
NG DỤNG ĐẠO HÀM
ĐỂ KHO SÁT HÀM S
BÀI TP TRC NGHIM
III
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 2
A.
13
.
3
B.
4
C.
14
3
−⋅
D.
1
Li gii
Chn B
Có:
( ) ( )
3
41 4f x m x mx
=−−
.
Nếu
[ ]
( )
( )
0;3
min 2
fx f
=
thì điều kin cn là
( )
20f
=
(Do
( )
fx
là hàm đa thức)
Suy ra
( )
4
20
3
fm
=⇔=
.
Điu kin đủ: Vi
4
3
m =
, ta có
(
)
42
18
1
33
fx x x=−+
;
( )
3
4 16
33
fx x x
=
Nên
(
)
( )
0
02
2 0;3
x
fx x
x
=
=⇔=
=−∉
Ta có
( ) ( ) ( )
13
0 1; 3 4; 2
3
ff f= = =
. Vy
[
]
( ) ( )
0;3
min 2
fx f=
;
[ ]
( )
0;3
max 4fx=
Câu 4: (MĐ 102-2022) Cho hàm số
(
) ( )
42
21f x mx m x
=+−
vi
m
là tham s thc. Nếu
[
]
(
) ( )
0;2
min 1fx f
=
thì
[ ]
( )
0;2
max fx
bng
A.
2
. B.
1
. C.
4
. D.
0
.
Li gii
Chn C
[ ]
( ) ( )
0;2
min 1fx f=
nên suy ra
( )
10f
=
Ta có
( ) ( )
( )
3
1
4 4 1 10
2
f x mx m x f m
′′
= + =⇔=
Vi
1
2
m =
thì
( )
42
1
2
fx x x=
Ta có
( ) (
)
3
0
2 2; 0
1
x
fx x xfx
x
=
′′
=−=
= ±
( ) ( ) ( )
1
0 0; 1 ; 2 4
2
ff f==−=
.
Vy
[ ]
( )
0;2
max 4fx=
.
Câu 5: (MĐ 103-2022) Cho hàm số
( ) ( )
42
24 1f x ax a x=++
vi
a
là tham s thc. Nếu
[ ]
0;2
max ( ) (1)fx f=
thì
[ ]
0;2
min ( )fx
bng
A.
17
. B.
16
. C.
1
. D.
3
.
Li gii
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 3
Chn A
Ta có
(
) (
)
3
4 44
f x ax a
= ++
.
Theo giả thiết
[ ]
0;2
max ( ) (1)fx f=
suy ra
(
)
10
f
=
.
( )
44 40 2aa a + + =⇔=
.
Khi đó
( ) ( )
[ ]
42 3
1
2 4 1 8 8 0 1 0; 2
0
x
fx x x f x x x x
x
=
= + = + = =−∉
=
.
Ta có
( ) ( )
(
)
0 1, 1 1, 2 17f ff=−= =
.
Vy,
[ ]
0;2
min ( ) 17fx=
.
Câu 6: (MĐ 104-2022) Cho hàm số
( ) ( )
42
321f x a x ax=+−+
vi
a
là tham s thc. Nếu
[
]
(
) (
)
0;3
max 2
fx f=
thì
[ ]
( )
0;3
min fx
bng
A.
9
. B.
4
. C.
1
. D.
8
.
Li gii
Chn D
Ta có:
( ) ( )
2
43 ,fx xa x a x

= + ∀∈

.
Do
[ ]
( )
( )
0;3
max 2fx f
=
nên
( )
2 0 3 12 0 4f aa
= + =⇔=
.
Kim tra li:
4a =
thì
(
)
42
81fx x x=−+ +
liên tc trên
[ ]
0;3
.
Ta có:
( )
3
4 16fx x x
=−+
( )
[ ]
[ ]
[
]
0 0;3
0 2 0;3
2 0;3
x
fx x
x
=
=⇔=
=−∉
.
Ta có:
( )
2 17f =
,
( )
01f =
( )
38f =
.
Suy ra:
[ ]
( ) ( )
0;3
max 2 17
fx f= =
[ ]
( ) ( )
0;3
min 3 8fx f= =
.
***********************
Câu 7: (ĐTK 2020-2021) Gi
,Mm
lần lượt là giá tr ln nhât, giá tr nh nht ca hàm s
( )
42
23fx x x=−+
trên đoạn
[ ]
0; 2 .
Tng
Mm+
bng?
A.
11.
B.
14.
C.
5.
D.
13.
Li gii
Ta có
3
() 4 4fx x x

( ) 0 0, 1fx x x

. Trên
[0; 2],
ta xét các giá tr
(0) 3, (1) 2, (2) 11.fff
Do đó
11, 2Mm
13.Mm
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 4
Câu 8: (MĐ 101 2020-2021 ĐỢT 1) Trên đoạn
[ ]
0;3
, hàm số
3
3yx x=−+
đạt giá trị lớn nhất tại
điểm
A.
0x =
. B.
3x =
. C.
1x =
. D.
2x =
.
Lời giải
Hàm số
3
3
yx x=−+
xác định và liên tục trên đoạn
[ ]
0;3
.
2
33yx
=−+
;
[ ]
[
]
2
1 0;3
0 3 30
1 0;3
x
yx
x
=
= ⇔− + =
=−∉
.
Ta có:
( )
00f =
;
( )
3 18f
=
;
( )
12f =
.
Vậy
[
]
( )
0;3
max 2
fx
=
đạt tại
1x =
.
Câu 9: (MĐ 102 2020-2021 ĐT 1) Trên đoạn
[ ]
2;1
, hàm s
32
31yx x=−−
đạt giá tr ln nht ti
điểm.
A.
2x =
. B.
0
x =
. C.
1x =
. D.
1x =
.
Li gii
2
2
36
0
03 60
2
yxx
x
y xx
x
=
=
= −=
=
Vi
( )
2 2 21xy=−⇔ =
Vi
( )
0 01xy=⇔=
Vi
( )
1 23xy= −=
Vy hàm s
32
31yx x
=−−
đạt giá tr ln nht ti đim
0x =
vi
(
)
01
y
=
.
Câu 10: (MĐ 103 2020-2021 ĐỢT 1) Trên đoạn
[ ]
0;3
, hàm s
3
34yx x=−+
đạt giá tr nh nht ti
điểm
A.
1x
=
. B.
0x =
. C.
3x =
. D.
2x =
.
Li gii
2
33yx
=
,
( )
0;3x∀∈
;
( )
( )
2
1
0 3 30
1
n
l
x
yx
x
=
= −=
=
Ta có:
( ) ( ) ( )
0 4; 1 2; 3 22y yy= = =
Mà hàm s liên tc trên
[ ]
0;3
(hàm s liên tc trên
). Suy ra
[ ]
( )
0;3
min 1 2
x
yy
= =
Vy hàm s đạt giá tr nh nht ti
1x =
.
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 5
Câu 11: (MĐ 104 2020-2021 ĐỢT 1) Trên đoạn
[ ]
1;2
, hàm số
32
31
yx x=++
đạt giá trị nhỏ nhất
tại điểm
A.
2x =
. B.
0
x =
. C.
1x =
. D.
1
x =
.
Li gii
Xét hàm số
(
)
32
31y fx x x
= =++
.
( )
2
36y fx x x
′′
⇒= = +
.
+
( )
[ ]
[ ]
2
0 1; 2
03 60
2 1; 2
x
fx x x
x
= ∈−
= +=
= ∉−
.
Ta có
( )
13f −=
,
(
)
01f =
( )
2 21
f
=
.
Nên
[ ]
( )
1;2
min
x
fx
∈−
1=
khi
0x =
.
Câu 12: (101 2020-2021 ĐỢT 2) Trên đoạn
[ ]
4; 1−−
, hàm s
42
8 13yx x=−+
đạt giá tr nh
nht tại điểm
A.
2x =
. B.
1x =
. C.
4
x
=
. D.
3
x
=
.
Li gii
Hàm s
42
8 13yx x=−+
xác định và liên tục trên đoạn
[
]
4; 1
−−
.
Ta có
3
4 16yx x
=
;
[ ]
( )
[ ]
( )
[
]
(
)
3
2 4; 1
04 160 0 4;1
2 4; 1
x
y xx x
x
= ∈−
= = = ∉−
= ∉−
.
Ta có
( )
4 141f −=
;
(
)
23f
−=
;
(
)
16f
−=
.
Vy hàm s
42
8 13yx x=−+
đạt giá tr nh nht ti đim
2x =
.
Câu 13: (103 2020-2021 ĐỢT 2) Trên đoạn
[ ]
1; 4
hàm s
42
8 19yx x=−+
đạt giá tr nh nht ti
điểm
A.
2x =
. B.
1x =
. C.
3x =
. D.
4x =
.
Li gii
Ta có:
( )
32
4 16 4 4
y x x xx
=−=
. Do đó:
( )
( )
( )
( )
2
0 1;4
0 4 4 0 2 1;4
2 1;4
x
y xx x
x
=
= = =−∉
=
.
Đặt
( )
42
8 19fx x x=−+
ta có:
( ) ( ) (
)
1 12; 2 3; 4 147f ff= = =
. Suy ra trên đon
[ ]
1; 4
hàm s
42
8 19yx x=−+
đạt giá tr nh nht ti đim
2x
=
.
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 6
Câu 14: (104 2020-2021 ĐỢT 2) Trên đoạn
[
]
1; 4
,hàm s
42
8 13yx x=−+
đạt giá tr ln nht
ti đim
A.
4
x =
. B.
2x =
. C.
1x =
. D.
3x =
.
Li gii
Ta có
3
' 4 16
y xx=−+
,
[ ]
[ ]
[
]
0 1; 4
' 0 2 1; 4
2 1; 4
x
yx
x
=
=⇔=
=−∉
( ) ( ) ( )
1 6, 2 3, 4 141y yy=−= =
.
[ ]
1;4
max 3 2yx =⇔=
.
Câu 15: minh họa 1, Năm 2017) Tìm giá tr nh nht ca hàm s
2
3
1
x
y
x
+
=
trên đoạn
[ ]
2; 4
.
A.
[ ]
2;4
min 6y =
B.
[ ]
2;4
min 2y =
C.
[ ]
2;4
min 3y =
. D.
[ ]
2;4
19
min
3
y =
Li gii
Chn A
Tập xác định
{ }
\1D =
. Hàm s đã cho liên tục trên
[ ]
2; 4
.
Ta có
( )
2
2
23
'
1
xx
y
x
−−
=
.
[ ]
2
1 2; 4
'0 2 30
3
x
y xx
x
=−∉
= −=
=
.
Ta có
( )
27y =
,
( )
36y =
,
( )
19
4
3
y
=
. Vy
[ ]
2;4
min 6
y =
.
Câu 16: (Mã 101, Năm 2017) Giá tr ln nht ca hàm s
42
49yx x=−+
trên đoạn
[
]
2;3
bng
A.
201
B.
2
C.
9
D.
54
Li gii
Chn D
Hàm s đã cho liên tục trên
[ ]
2;3
.
Ta có
3
48
= yxx
;
0
0
2
=
=
= ±
x
y
x
.
Ta có
( )
29y −=
;
( )
3 54y =
;
( )
09y =
;
( )
25y ±=
.
Vy
[ ]
2;3
max 54y
=
.
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 7
Câu 17: (Mã 102, Năm 2017) Giá tr nh nht ca hàm s
32
27yx x x=+−
trên đoạn
[ ]
0; 4
bng
A.
259
B.
68
C.
0
D.
4
Li gii
Chn D
TXĐ
D.=
Hàm s liên tục trên đoạn
[ ]
0; 4
.
Ta có
2
3 47yx x
= +−
. Ta có
0
y
=
[ ]
[ ]
1 04
7
04
3
x;
x;
=
=−∉
( )
(
) ( )
0 0; 1 4; 4 68yy y==−=
. Vy
[ ]
0;4
min 4y =
.
Câu 18: (102, Năm 2017) Ông A d định s dng hết
2
6,7m
kính để m mt b cá bng kính có
dng hình hp ch nht không np, chiu dài gấp đôi chiều rng (các mối ghép kích thước
không đáng kể). B cá có dung tích ln nht bằng bao nhiêu (kết qu làm tròn đến hàng phn
trăm).
A.
3
1, 57m
B.
3
1,11m
C.
3
1, 23m
D.
3
2,48m
Li gii
Chn A
Gi
x
là chiu rng, ta có chiu dài là
2x
Do diện tích đáy và các mặt bên là
2
6,7m
nên có chiều cao
,
Ta có
0h >
nên
6,7
2
x <
.
Th tích b cá là
( )
3
6,7 2
3
xx
Vx
=
( )
2
6,7 6
0
3
x
Vx
= =
6,7
6
x⇔=
Bng biến thiên
B cá có dung tích ln nht bng
3
1, 57m
.
Câu 19: (Mã 103, Năm 2017) Tìm giá tr nh nht
m
ca hàm s
42
13yx x=−+
trên đoạn
[ ]
2;3 .
A.
51
4
m =
B.
49
4
m =
C.
13m =
D.
51
2
m =
Li gii
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 8
Chn A
Hàm s đã cho liên tục trên
[ ]
2;3
.
Ta có:
3
4 2.yxx
=
0
0
1
2
x
y
x
=
=
= ±
;
( )
0 13y =
,
1 51
4
2
y

±=


,
( )
2 25y −=
,
( )
3 85y =
.
Vy:
51
4
m =
.
Câu 20: (Mã 104, Năm 2017) Tìm giá tr nh nht
m
ca hàm s
2
2
yx
x
= +
trên đoạn
1
;2
2



.
A.
17
4
m =
B.
10m =
C.
5m =
D.
3m =
Li gii
Chn D
Đặt
( )
2
2
y fx x
x
= = +
. Hàm s đã cho liên tục trên
1
;2
2



.
Ta có
3
22
22 2
2
x
yx
xx
=−=
,
1
0 1 ;2
2
yx

=⇒=


Khi đó:
( )
1 3,
f
=
1 17
,
24
f

=


( )
25f =
Vy
( ) ( )
1
;2
2
min 1 3m fx f



= = =
.
Câu 21: tham khảo, Năm 2018) Giá tr ln nht ca hàm s
( )
42
45fx x x=−+
trêm đon
[ ]
2;3
bng
A.
50
B.
5
C.
1
D.
122
Li gii
Chn A
Hàm s đã cho liên tục trên
[ ]
2;3
.
[ ]
3
0
'( ) 4 8 0 2;3
2
=
= = ∈−
= ±
x
fx x x
x
;
( )
( )
( ) ( )
0 5; 2 1; 2 5; 3 50ff f f= ± = −= =
Vy
[ ]
2;3
50Max y
=
Câu 22: (Mã 101, Năm 2018) Giá tr ln nht ca hàm s
42
49yx x=−+
trên đoạn
[
]
2;3
bng
A.
201
B.
2
C.
9
D.
54
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 9
Li gii
Chn D
Hàm s đã cho liên tục trên
[ ]
2;3
.
Ta có
3
48
=
yxx
;
0
0
2
=
=
= ±
x
y
x
.
Ta có
( )
29y −=
;
(
)
3 54
y
=
;
( )
09y =
;
(
)
25y ±=
.
Vy
[
]
( )
2;3
max 3 54yy
= =
Câu 23: (Mã 102, Năm 2018) Giá tr nh nht ca hàm s
32
27yx x x=+−
trên đoạn
[ ]
0; 4
bng
A.
259
B.
68
C.
0
D.
4
Li gii
Chn D
TXĐ
D.=
Hàm s liên tục trên đoạn
[ ]
0; 4
.
Ta có
2
3 47yx x
= +−
. Ta có
0y
=
[ ]
[ ]
1 04
7
04
3
x;
x;
=
=−∉
( ) ( )
( )
0 0; 1 4; 4 68yy y==−=
. Vy
[ ]
0;4
min 4y =
.
Câu 24: (102, Năm 2018) Ông A d định s dng hết
2
6,7m
kính để m mt b cá bng kính có
dng hình hp ch nht không np, chiu dài gấp đôi chiều rng (các mối ghép kích thước
không đáng kể). B cá có dung tích ln nht bằng bao nhiêu (kết qu làm tròn đến hàng phn
trăm).
A.
3
1, 57m
B.
3
1,11m
C.
3
1, 23m
D.
3
2,48m
Li gii
Chn A
Gi
x
là chiu rng, ta có chiu dài là
2
x
Do diện tích đáy và các mặt bên là
2
6,7m
nên có chiều cao
,
Ta có
0h >
nên
6,7
2
x <
.
Th tích b cá là
( )
3
6,7 2
3
xx
Vx
=
( )
2
6,7 6
0
3
x
Vx
= =
6,7
6
x⇔=
Bng biến thiên
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 10
B cá có dung tích ln nht bng
3
1, 57m
.
Câu 25: (Mã 103, Năm 2018) Tìm giá tr nh nht
m
ca hàm s
42
13
yx x
=−+
trên đoạn
[ ]
2;3 .
A.
51
4
m =
B.
49
4
m =
C.
13m
=
D.
51
2
m =
Li gii
Chn A
Hàm s đã cho liên tục trên
[ ]
2;3
.
Ta có:
3
4 2.
yxx
=
0
0
1
2
x
y
x
=
=
= ±
;
( )
0 13y =
,
1 51
4
2
y

±=


,
( )
2 25y
−=
,
( )
3 85y =
.
Vy:
51
4
m =
.
Câu 26: (Mã 104, Năm 2018) Tìm giá tr nh nht
m
ca hàm s
2
2
yx
x
= +
trên đoạn
1
;2
2



.
A.
17
4
m =
B.
10m =
C.
5
m
=
D.
3m =
Li gii
Chn D
Đặt
( )
2
2
y fx x
x
= = +
. Hàm s đã cho liên tục trên
1
;2
2



.
Ta có
3
22
22 2
2
x
yx
xx
=−=
,
1
0 1 ;2
2
yx

=⇒=


Khi đó:
( )
1 3,f
=
1 17
,
24
f

=


( )
25f =
Vy
( ) ( )
1
;2
2
min 1 3m fx f



= = =
.
Câu 27: minh họa, Năm 2019) Cho hàm số
( )
=y fx
liên tục trên đoạn
[ ]
1; 3
đồ th như
hình bên. Gi
M
m
ln t là giá tr ln nht và nh nht ca hàm s đã cho trên đoạn
[ ]
1; 3
. Giá tr ca
Mm
bng
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 11
A.
0
B.
1
C.
4
D.
5
Li gii
Chn D
T đồ th hàm s
( )
=
y fx
trên đoạn
[ ]
1; 3
ta có:
[ ]
( )
1;3
max 3 3
= = =M yf
[ ]
( )
1;3
min 2 2
= = =
m yf
Khi đó
5
−=Mm
.
Câu 28: (Mã 101, Năm 2019) Giá tr ln nht ca hàm s
3
() 3 2
fx x x=−+
trên đoạn
[ 3; 3]
bng
A.
16
B.
20
C.
0
D.
4
Li gii
Chn B
Hàm s đã cho liên tục trên
[
]
3; 3
.
Ta có:
( ) ( )
32
32 3 3fx x x xfx= +⇒ =
Có:
(
)
2
1
0 3 30
1
x
x
x
fx
=
= −=
=
Mt khác:
( ) ( ) ( ) ( )
3 16, 1 4, 1 0, 3 20f f ff= −= = =
.
Vy
[ ]
( )
3;3
max 20fx
=
.
Câu 29: (Mã 102, Năm 2019) Giá tr nh nht ca hàm s
( )
3
32=−+fx x x
trên
[ 3;3]
bng
A. 20 B. 4 C. 0 D. –16
Li gii
Chn D
Hàm s đã cho liên tục trên
[ ]
3; 3
.
Ta có:
( )
2
33
= fx x
( )
01
=⇔=±fx x
.
Ta có:
( ) ( ) ( ) (
)
3 16; 1 4; 1 0; 3 20.= −= = =f f ff
Do hàm số
( )
fx
liên tc trên
[ 3;3]
nên giá tr nh nht ca hàm s bng –16.
Câu 30: (Mã 103, Năm 2019) Giá tr ln nht ca hàm s
( )
3
3fx x x=
trên đoạn
[ ]
3; 3
bng
A.
18
B.
2
C.
18
D.
2
Li gii
Chn A
O
2
2
3
1
1
2
3
y
x
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 12
Hàm s đã cho liên tục trên
[ ]
3; 3
.
Tập xác định trên
D =
. Hàm s
( )
3
3fx x x=
liên tục trên đoạn
[ ]
3; 3
.
( )
2
' 33fx x=
.
Cho
( )
1
'0
1
x
fx
x
=
=
=
. Ta có
( )
3 18f −=
,
( )
12f −=
,
( )
12f =
(
)
3 18f =
.
Vy
[ ]
( )
3;3
max 18 3yf
= =
Câu 31: (Mã 104, Năm 2019) Giá tr nh nht ca hàm s
( )
3
3fx x x=
trên đoạn
[ ]
3; 3
bng
A.
18
B.
18
C.
2
D.
2
Li gii
Chn B
Hàm s đã cho liên tục trên
[ ]
3; 3
.
Ta có:
( )
2
33fx x
=
Có:
( )
[ ]
[ ]
1 3; 3
0
1 3; 3
x
fx
x
=∈−
=
= ∈−
Mt khác:
( ) ( ) ( ) ( )
3 18; 3 18; 1 2; 1 2f ff f= = −= =
.
Vy
[ ]
( )
( )
3;3
min 3 18fx f
= −=
.
Câu 32: Minh Họa 2020 Lần 1) Giá tr ln nht ca hàm s
42
( ) 12 1fx x x=−+ +
trên đoạn
[ ]
1; 2
bng:
A.
1
. B.
37
. C.
33
. D.
12
.
Li gii
Chn C
42
( ) 12 1fx x x=−+ +
liên tc trên
[ ]
1; 2
32
0
'( ) 4 24 0 6 ( )
6()
x
fx x x x L
xL
=
=+ =⇔=
=
Ta có:
( 1) 12; (2) 33; (0) 1f ff−= = =
Vy, giá tr ln nht ca hàm s
42
( ) 12 1fx x x=−+ +
trên đoạn
[
]
1; 2
bng 33 ti
2x =
Câu 33: Tham Khảo 2020 Lần 2) Giá tr nh nht ca hàm s
( )
42
10 2
fx x x=−+
trên đoạn
[
]
1; 2
bng
A.
2
. B.
23
. C.
22
. D.
7
.
Li gii
Chn C
Hàm s đã cho liên tục trên đoạn
[ ]
1; 2
.
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 13
Ta có:
( ) ( )
3
0
4 20 , 0
5
x
fx x xfx
x
=
′′
=−=
= ±
.
Xét hàm s trên đoạn
[ ]
1; 2
có:
( ) ( ) ( )
1 7; 0 2; 2 22f ff−= = =
.
Vy
[ ]
( )
1;2
min 22
x
fx
∈−
=
.
Câu 34: (Mã 101 - 2020 Lần 1) Giá tr nh nht ca hàm s
( )
3
24fx x x=
trên đoạn
[ ]
2;19
bng
A.
32 2
. B.
40
. C.
32 2
. D.
45
.
Li gii
Chn C
Ta có
( )
[ ]
[ ]
2
2 2 2;19
3 24 0 .
2 2 2;19
x
fx x
x
=
= −=
=−∉
( )
3
2 2 24.2 40f =−=
;
( ) ( )
3
2 2 2 2 24.2 2 32 2f =−=
;
( )
3
19 19 24.19 6403f =−=
.
Vy g tr nh nht ca hàm s
( )
3
24fx x x=
trên đoạn
[ ]
2;19
bng
32 2
.
Câu 35: (Mã 102 - 2020 Lần 1) Giá tr nh nht ca hàm s trên đoạn bng
A. . B. . C. . D. .
Li gii
Chn B
Trên đoạn , ta có: .
Ta có: . Vy .
Câu 36: (Mã 103 - 2020 Lần 1) Giá tr nh nht ca hàm s
3
( ) 30fx x x=
trên đoạn
[ ]
2;19
bng
A.
20 10.
B.
63.
C.
20 10.
D.
52.
Li gii
Chn C
Ta có
( ) ( )
( )
( )
22
10
3 30 0 3 30 0
10
xn
fx x fx x
xl
=
′′
= −⇒ = =
=
.
Khi đó
( )
2 52f =
;
( )
10 20 10f =
.
Vy
[ ]
( )
( )
2;19
min 10 20 10
x
fx f
= =
.
Câu 37: (Mã 104 - 2020 Lần 1) Giá tr nh nht ca hàm s
( )
3
33fx x x=
trên đoạn
[ ]
2;19
bng
A.
72
. B.
22 11
. C.
58
. D.
22 11
.
Li gii
( )
3
21fx x x=
[ ]
2;19
36
14 7
14 7
34
[ ]
2;19
[ ]
[ ]
2
7 2;19
3 21 0
7 2;19
x
yx y
x
=−∉
′′
= ⇒=
=
( )
( )
( )
2 34; 7 14 7; 19 6460yy y=−= =
14 7m =
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 14
Chn B
Ta có
(
)
[ ]
[ ]
2
11 2;19
3 33 0
11 2;19
x
fx x
x
=
= −=
=−∉
.
Khi đó ta có
(
)
2 58
f
=
,
( )
11 22 11f =
,
. Vy
( )
min
11 22 11ff
= =
.
Câu 38: (Mã 101 2020 Lần 2) Giá tr nh nht ca hàm s
( )
42
10 4fx x x=−−
trên
[ ]
0;9
bng
A.
28
. B.
4
. C.
13
. D.
29
.
Li gii
Chn D
Hàm s
( )
y fx=
liên tc trên
[
]
0;9
.
( )
3
4 20
fx x x
=
,
( )
[ ]
0
05
5 0;9
x
fx x
x
=
=⇔=
=−∉
Ta có
( )
04
f =
,
( )
5 29f =
,
Do đó
[
]
(
)
( )
0;9
min 5 29
fx f= =
.
Câu 39: (Mã 102 - 2020 Lần 2) Giá tr nh nht ca hàm s
( )
42
12 4=−−fx x x
trên đoạn
[ ]
0;9
bng
A.
39
. B.
40
. C.
36
. D.
4
.
Li gii
Chn B
Ta có:
( )
3
4 24fx x x
=
;
( )
0
0
6
x
fx
x
=
=
= ±
Tính được:
( )
04= f
;
( )
9 5585=f
( )
6 40
= f
.
Suy ra
[ ]
( )
0;9
min 40= fx
.
Câu 40: (Mã 103 - 2020 Lần 2) Giá tr nh nht ca hàm s
( )
42
10 2fx x x=−−
trên đoạn
[ ]
0;9
bng
A.
2
. B.
11
. C.
26
. D.
27
.
Li gii
Chn D
Ta có
( )
3
' 4 20fx x x=
( )
'0fx=
3
4 20 0xx⇔−=
( )
( )
( )
0 0;9
5 0;9
5 0;9
x
x
x
=
⇔=
=−∉
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 15
(
)
02
f =
;
( )
5 27
f
=
;
( )
9 5749f =
.
Vy
[
]
(
)
0;9
min 27
fx=
.
Câu 41: (Mã 104 - 2020 Lần 2) Giá tr nh nht ca hàm s
(
)
42
12 1fx x x
=−−
trên đoạn
[ ]
0;9
bng
A.
28
. B.
1
. C.
36
. D.
37
.
Li gii
Chn D
Ta có
( )
3
4 24
fx x x
=
.
(
)
[ ]
[
]
[ ]
3
0 0;9
04 240 60;9
6 0;9
x
fx x x x
x
=
= =⇔=
=−∉
.
( )
01
f =
,
(
)
6 37f =
,
( )
9 5588f =
Câu 42: Minh Họa 2020 Lần 1) Gi
S
là tp hp tt c các giá tr thc ca tham s m sao cho giá
tr ln nht ca hàm s
( )
3
3fx x x m= −+
trên đoạn
[ ]
0;3
bng 16. Tng tt c các phn t ca
S
là:
A.
16
. B.
16
. C.
12
.
D.
2
.
Li gii
Chn A
Xét
3
3u x xm
trên đoạn
0;3
2
0 3 3 0 1 0;3ux x
 
.
Khi đó
0;3
0;3
max u max 0 , 1 , 3 max m, m 2, m 18 18
min u min 0 , 1 , 3 min m,m 2,m 18 2
u uu m
u uu m


.
Suy ra
0;3
18 16
18 2
2
ax max 2 , 18 16
14
2 16
2 18
m
mm
m
M fx m m
m
m
mm







.
Do đó tổng tt c các phn t ca
S
bng
16
.
Câu 43: Tham Khảo 2020 Lần 2) Cho hàm số
( )
1
xm
fx
x
+
=
+
(
m
là tham s thc). Gi
S
là tp
hp tt c các giá tr ca
m
sao cho
[ ]
( )
[ ]
( )
0;1
0;1
max min 2fx fx+=
. S phn t ca
S
A.
6
. B.
2
. C.
1
. D.
4
.
Li gii
Chn B
Do hàm số
( )
1
xm
fx
x
+
=
+
liên tc trên
[ ]
0;1
.
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 16
Khi
1m =
hàm s là hàm hng nên
[ ]
( )
[ ]
( )
0;1
0;1
max min 1fx fx= =
Khi
1
m
hàm s đơn điệu trên đoạn
[ ]
0;1
nên
+ Khi
( ) ( )
0; 1ff
cùng du thì
[ ]
( )
[ ]
( ) ( ) ( )
0;1
0;1
1
max min 0 1
2
m
fx fx f f m
+
+ = +=+
.
+ Khi
( ) ( )
0; 1ff
trái du thì
[
]
(
)
0;1
min 0
fx=
,
[ ]
( ) ( ) ( )
{ }
0;1
1
max max 0 ; 1 max ;
2
m
fx f f m
+
= =


.
TH1:
( ) ( )
1
0 . 1 0 ( 1) 0
0
m
f f mm
m
≤−
≥⇔ +≥⇔
.
[ ]
( )
[ ]
( )
0;1
0;1
1
1
max min 2 2
5
2
3
m
m
fx fx m
m
=
+
+ =⇔+ =
=
(tho mãn).
TH2:
( ) ( )
0 . 1 0 ( 1) 0 1 0f f mm m<⇔ +<⇔< <
[ ]
( )
[ ]
( )
0;1
0;1
2
2
max min 2 5
1
2
3
2
m
m
fx fx m
m
m
= ±
=
+ = ⇔=
+
=
=
(không thoả mãn).
S phn t ca
S
2
.
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 141
BÀI 3: GIÁ TR NH NHT VÀ GIÁ TR LN NHT CA HÀM S
DẠNG 1. XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ LỚN NHẤT GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ THÔNG
QUA ĐỒ THỊ, BẢNG BIẾN THIÊN
Giá tr ln nht ca hàm s
( )
fx
trên đoạn
[ ]
;
ab
Hàm s
( )
fx
liên tục trên đoạn
[ ]
;ab
( )
[
]
0, ;
ii
f x x ab
=
. Khi đó giá trị ln nht ca
hàm s
( )
fx
( ) (
)
( )
{
}
max , ,
i
M fa fb fx=
Giá tr nh nht ca hàm s
(
)
fx
trên đoạn
[
]
;ab
Hàm s
(
)
fx
liên tục trên đoạn
[ ]
;ab
( )
[
]
0, ;
ii
f x x ab
=
. Khi đó giá trị nh nht ca
hàm s
( )
fx
( )
( ) ( )
{ }
,,
i
m Min f a f b f x=
Hàm s
( )
y fx=
đồng biến trên đoạn
[ ]
;
ab
thì
[
]
( ) ( )
[ ]
( ) (
)
;;
;
ab ab
Max f x f b Min f x f a= =
Hàm s
( )
y fx=
nghịch biến trên đoạn
[ ]
;
ab
thì
[ ]
( ) ( )
[
]
( ) ( )
;;
;
ab ab
Max f x f a Min f x f b= =
Câu 1: Cho hàm số
( )
y fx=
liên tục trên đoạn
[ ]
1;1
và có đồ th như hình vẽ.
Gi
M
m
ln lưt là giá tr ln nht và nh nht ca hàm s đã cho trên đoạn
[ ]
1;1
. Giá
tr ca
Mm
bằng
A.
0
. B.
1
. C.
2
. D.
3
.
CHƯƠNG
I
NG DỤNG ĐẠO HÀM
ĐỂ KHO SÁT HÀM S
BÀI TP TRC NGHIM
III
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 142
Câu 2: Cho hàm số
( )
y fx=
liên tc trên
[ ]
3; 2
và có bảng biến thiên như sau. Gọi
,Mm
lần lượt là
giá trị ln nhất và giá trị nh nht ca hàm s
( )
y fx=
trên đoạn
[ ]
1; 2
. Tính
Mm+
.
A.
3
. B.
2
. C.
1
. D.
4
.
Câu 3: Cho hàm số
( )
y fx=
xác đnh và liên tc trên
đồ th như nh vẽ bên. Tìm giá trị nh
nht
m
và giá trị ln nht
M
ca hàm s
( )
y fx=
trên đoạn
[ ]
2;2
.
A.
5; 1mM=−=
. B.
2; 2mM=−=
. C.
1; 0mM=−=
. D.
5; 0mM=−=
.
Câu 4: Xét hàm s vi có bảng biến thiên như sau:
Khẳng định nào sau đây là đúng
A. m s đã cho không tồn ta GTLN trên đoạn
B. m s đã cho đạt GTNN ti trên đoạn
C. m s đã cho đạt GTNN ti và đạt GTLN ti trên đoạn
D. m s đã cho đạt GTNN ti trên đoạn
()y fx=
[ ]
1; 5x ∈−
[ ]
1; 5
1x =
2x =
[ ]
1; 5
1x =
5x =
[ ]
1; 5
0x =
[ ]
1; 5
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 143
Câu 5: Cho hàm số
( )
y fx
=
liên tc trên
, có bảng biến thiên như hình sau:
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. m s có hai điểm cc tr.
B. m s có giá trị ln nhất bằng
2
và giá trị nh nhất bằng
3
.
C. Đồ th hàm s có đúng một đường tiệm cn.
D. m s nghịch biến trên mỗi khoảng
(
) (
)
; 1 , 2;−∞ +∞
.
Câu 6: Cho hàm s
()
=
y fx
liên tc bảng biến thiên trên đoạn
[
]
1;3
như hình vẽ n. Khẳng
định nào sau đây đúng?
A.
[ ]
1;3
max ( ) (0)
fx f
=
. B.
[ ]
( ) ( )
1;3
max 3
=fx f
. C.
[
]
( ) ( )
1;3
max 2
=fx f
. D.
[
]
( ) ( )
1;3
max 1
= fx f
.
Câu 7: Cho hàm số
( )
fx
liên tc trên
[ ]
1; 5
và có đ th trên đoạn
[ ]
1; 5
như hình vẽ bên dưới. Tng
giá trị ln nhất và giá trị nh nht ca hàm s
(
)
fx
trên đoạn
[ ]
1; 5
bằng
A.
1
B.
4
C.
1
D.
2
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 144
Câu 8: Cho hàm số
( )
y fx=
xác định, liên tc trên
5
1,
2



và có đồ th là đường cong như hình vẽ.
Giá tr ln nht
M
và giá trị nh nht
m
ca hàm s
( )
fx
trên
5
1,
2



là:
A.
4, 1Mm= =
B.
= = 4, 1Mm
C.
7
,1
2
Mm= =
D.
7
,1
2
Mm= =
Câu 9: Cho hàm số
( )
y fx=
có đồ th như hình vẽ. Giá tr ln nht ca hàm s
( )
fx
trên đoạn
[ ]
0; 2
là:
A.
[
]
( )
0;2
2Max f x
=
. B.
[ ]
(
)
0;2
2Max f x =
. C.
[
]
( )
0;2
4Max f x =
. D.
[
]
( )
0;2
0Max f x =
.
Câu 10: Cho hàm số
()y fx=
liên tc trên đon
[ ]
1; 3
và có đồ th như hình vẽ bên. Gọi
,Mm
ln lưt
là giá tr ln nhất và giá trị nh nht ca hàm s đã cho trên đoạn
[ ]
1; 3
. Giá tr ca
Mm+
A.
2
B.
6
C.
5
D.
2
Câu 11: Cho hàm số
( )
y fx=
có bảng biến thiên trên
[
)
5; 7
như sau
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 145
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
[
)
( )
5;7
Min 6
fx
=
. B.
[
)
( )
5;7
Min 2fx
=
. C.
[
)
( )
-5;7
Max 9fx=
. D.
[
)
( )
5;7
Max 6fx
=
.
Câu 12: Cho hàm s
( )
fx
liên tục trên đoạn
[ ]
0;3
và có đồ th như hình v bên. Gi
M
m
ln lưt
giá tr ln nht và nh nht ca hàm s đã cho trên
[ ]
0;3
. Giá tr ca
Mm+
bằng?
A.
5
. B.
3
. C.
2
. D.
1
.
Câu 13: Cho hàm số
( )
y fx=
liên tục trên đoạn
2;6
và có đồ th như hình vẽ bên dưới.
Gi
M
m
lần lượt là giá trị ln nht và nh nht ca hàm s đã cho trên đoạn
2;6
. Giá
tr ca
Mm
bằng
A.
9
. B.
8
. C.
9
. D.
8
.
Câu 14: Cho hàm số
( )
y fx
=
liên tục đồ th trên đoạn
[ ]
2; 4
như hình vẽ n. Tổng giá trị ln
nht và nh nht ca hàm s
( )
y fx=
trên đoạn
[
]
2; 4
bằng
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 146
A.
5
B.
3
C.
0
D.
2
Câu 15: Cho hàm số
( )
y fx=
có bảng xét dấu đạo hàm như sau:
Mệnh đề nào sau đây đúng
A.
(
]
(
) ( )
1;1
max 0fx f
=
B.
(
)
( ) ( )
0;
max 1fx f
+∞
=
C.
( )
( ) ( )
;1
min 1fx f
−∞
=
D.
( )
( ) ( )
1;
min 0fx f
+∞
=
DẠNG 2. XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ LỚN NHẤT GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ TRÊN ĐOẠN
c 1: Hàm s đã cho
(
)
=y fx
xác định và liên tục trên đoạn


ab;.
Tìm các điểm
n
xx x
12
, ,...,
trên khoảng
(
)
ab;
, tại đó
( )
=fx 0
hoặc
( )
fx
không xác định.
c 2: Tính
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n
fa fx fx fx fb
12
, , ,..., , .
c 3: Khi đó:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
{ }
n
ab
maxfx maxfx fx fx fa fb
12
,
, ,..., , , .


=
( ) ( ) (
) ( )
( ) ( )
{ }


=
n
ab
minfx minfx fx fx fa fb
12
,
, ,..., , , .
Câu 16: Tìm tập giá trị ca hàm s
19yx x= −+
A.
[
]
1; 9T =
. B.
. C.
(
)
1; 9
T =
. D.
.
Câu 17: Giá tr nh nht ca hàm s
2
2
yx
x
= +
trên đoạn
[ ]
2;3
bằng
A.
15
2
. B.
5
. C.
29
3
. D.
3
.
Câu 18: m giá trị ln nht
M
ca hàm s
31
3
x
y
x
=
trên đoạn
[ ]
0;2
A.
1
3
M =
. B.
1
3
M =
. C.
5M =
. D.
5M =
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 147
Câu 19: Giá tr ln nht ca hàm s
2
4yx=
A. 2. B. 0. C. 4. D. 1.
Câu 20: m giá trị nh nht ca hàm s
2
sin 4sin 5yxx=−−
.
A.
20
. B.
8
. C.
9
. D.
0
.
Câu 21: Gi
m
,
M
lần lượt giá tr nh nhất giá trị ln nht ca hàm s
( )
1
1
2
fx x x
= −+
trên
đoạn
[ ]
0;3
. Tính tổng
23S mM= +
.
A.
7
2
S
=
. B.
3
2
S =
. C.
3
. D.
4S =
.
Câu 22: m giá trị ln nht ca hàm s
( )
sin cosfx x x= + 2
trên
[
]
;0
π
A.
9
8
. B.
5
4
. C.
2
. D.
1
.
Câu 23: Giá tr ln nht ca hàm s
3
4
2cos os
3
y x cx=
trên
[ ]
0;
π
.
A.
[ ]
0;
2
ax
3
my
π
=
. B.
[ ]
0;
10
ax
3
my
π
=
. C.
[ ]
0;
22
ax
3
my
π
=
. D.
[
]
0;
ax 0my
π
=
.
Câu 24: Gi
,Mm
lần lượt giá tr ln nht giá tr nh nht ca hàm s
3sin 2
sin 1
x
y
x
+
=
+
trên đoạn
0;
2
π



. Khi đó giá trị ca
22
Mm+
A.
31
2
. B.
11
2
. C.
41
4
. D.
61
4
.
Câu 25: Cho hàm số
2
sin 1
sin sin 1
x
y
xx
+
=
++
. Gọi
M
giá trị lớn nhất
m
là giá trị nhỏ nhất của hàm số
đã cho. Chọn mệnh đề đúng.
A.
3
2
Mm= +
. B.
3
2
Mm=
. C.
1Mm= +
. D.
2
3
Mm= +
.
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 148
DẠNG 3. XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ LỚN NHẤT GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ TRÊN
KHOẢNG
( )
;ab
.
c 1: Tính đạo hàm
fx()
.
c 2: Tìm tt c c nghiệm
i
x ab
(;)
của phương trình
fx() 0
=
và tt c các đim
i
ab
(;)
α
làm cho
fx()
không xác định.
c 3. Tính
+
=
xa
A fxlim ( )
,
=
xb
B fxlim ( )
,
i
fx()
,
i
f ()
α
.
c 4. So sánh các giá trị tính được và kết lun
ab
M fx
(;)
max ( )
=
,
.
Nếu giá tr ln nht là A hoc B thì ta kết lun không có giá tr ln nht.
Câu 26: Gi
m
là giá tr nh nht ca hàm s
4
1
1
yx
x
= −+
trên khoảng
( )
1; +∞
. Tìm
m
?
A.
5m =
. B.
4
m =
. C.
2
m =
. D.
3m =
.
Câu 27: Giá tr nh nht ca hàm s
1
5yx
x
=−+
trên khoảng
( )
0; +∞
bằng bao nhiêu?
A.
0
B.
1
C.
3
D.
2
Câu 28: Gi
m
là giá tr nh nht ca hàm s
4
yx
x
= +
trên khoảng
( )
0;
+∞
. Tìm
m
A.
4m =
. B.
2m =
. C.
1
m =
. D.
3m =
.
Câu 29: Giá tr nh nht ca hàm s
1
()fx x
x
= +
trên nửa khoảng
[
)
2;
+∞
là:
A.
2
B.
5
2
C.
0
D.
7
2
Câu 30: Gi
m
là giá tr nh nht ca hàm s
4
yx
x
= +
trên khoảng
( )
0; +∞
. Tìm
m
.
A.
3m =
. B.
4m =
. C.
2m =
. D.
1m =
.
Câu 31: Giá tr nh nht ca hàm s
43yx= −+
trên tập xác định của nó là
A.
2 3.+
B.
2 3.
C.
0.
D.
3.
Câu 32: Với giá trị nào của
x
thì hàm s
2
1
yx
x
= +
đạt giá trị nh nhất trên khoảng
( )
0; +∞
?
A.
3
3
4
. B.
1
2
. C.
1
. D.
3
1
2
.
Câu 33: Giá tr nh nht ca hàm s
( )
2
2
12yx
x
=+−+
trên khoảng
( )
0;+∞
A. không tồn ti. B.
3
. C.
12−+
. D.
0
.
Câu 34: Mệnh đề nào sau đây là đúng về hàm s
2
1
5
x
y
x
trên tập xác định của nó.
A. m s không có giá trị ln nhất và không có giá trị nh nht.
B. m s không có giá trị ln nhất và có giá trị nh nht.
C. m s có giá trị ln nhất và giá trị nh nht.
D. m s có giá trị ln nhất và không có giá trị nh nht.
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 1
BÀI 3: GIÁ TR NH NHT VÀ GIÁ TR LN NHT CA HÀM S
DẠNG 1. XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ LỚN NHẤT GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ THÔNG
QUA ĐỒ THỊ, BẢNG BIẾN THIÊN
Giá tr ln nht ca hàm s
( )
fx
trên đoạn
[ ]
;
ab
Hàm s
( )
fx
liên tục trên đoạn
[ ]
;ab
( )
[
]
0, ;
ii
f x x ab
=
. Khi đó giá trị ln nht ca
hàm s
( )
fx
( ) (
)
( )
{
}
max , ,
i
M fa fb fx=
Giá tr nh nht ca hàm s
(
)
fx
trên đoạn
[
]
;ab
Hàm s
(
)
fx
liên tục trên đoạn
[ ]
;ab
( )
[
]
0, ;
ii
f x x ab
=
. Khi đó giá trị nh nht ca
hàm s
( )
fx
( )
( ) ( )
{ }
,,
i
m Min f a f b f x=
Hàm s
( )
y fx=
đồng biến trên đoạn
[ ]
;
ab
thì
[
]
( ) ( )
[ ]
( ) (
)
;;
;
ab ab
Max f x f b Min f x f a= =
Hàm s
( )
y fx=
nghịch biến trên đoạn
[ ]
;
ab
thì
[ ]
( ) ( )
[
]
( ) ( )
;;
;
ab ab
Max f x f a Min f x f b= =
Câu 1: Cho hàm số
( )
y fx
=
liên tục trên đoạn
[ ]
1;1
và có đồ th như hình vẽ.
Gi
M
m
ln lưt là giá tr ln nht và nh nht ca hàm s đã cho trên đoạn
[ ]
1;1
. Giá
tr ca
Mm
bằng
A.
0
. B.
1
. C.
2
. D.
3
.
Li gii
T đồ th ta thy
1, 0Mm= =
nên
1Mm−=
.
CHƯƠNG
I
NG DỤNG ĐẠO HÀM
ĐỂ KHO SÁT HÀM S
BÀI TP TRC NGHIM
III
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 2
Câu 2: Cho hàm số
( )
y fx=
liên tc trên
[ ]
3; 2
và có bảng biến thiên như sau. Gọi
,Mm
lần lượt là
giá trị ln nhất và giá trị nh nht ca hàm s
( )
y fx=
trên đoạn
[ ]
1; 2
. Tính
Mm+
.
A.
3
. B.
2
. C.
1
. D.
4
.
Li gii
Trên đoạn
[ ]
1; 2
ta có giá trị ln nht
3M =
khi
1x =
và giá trị nh nht
0m =
khi
0x =
.
Khi đó
303Mm+ =+=
.
Câu 3: Cho hàm số
( )
y fx=
xác đnh và liên tc trên
đồ th như hình vẽ bên. Tìm giá trị nh
nht
m
và giá trị ln nht
M
ca hàm s
( )
y fx=
trên đoạn
[ ]
2;2
.
A.
5; 1mM=−=
. B.
2; 2mM=−=
. C.
1; 0mM=−=
. D.
5; 0mM=−=
.
Li gii
Nhìn vào đồ th ta thy:
[ ]
( )
2;2
max 1M fx
= =
khi
1x =
hoặc
2x =
.
[ ]
( )
2;2
min 5m fx
= =
khi
2x =
hoặc
1x =
.
Câu 4: Xét hàm s vi có bảng biến thiên như sau:
Khẳng định nào sau đây là đúng
A. Hàm s đã cho không tồn ta GTLN trên đoạn
B. m s đã cho đạt GTNN ti trên đoạn
C. m s đã cho đạt GTNN ti và đạt GTLN ti trên đoạn
()y fx=
[ ]
1; 5x ∈−
[ ]
1; 5
1x =
2x =
[ ]
1; 5
1x =
5x =
[ ]
1; 5
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 3
D. m s đã cho đạt GTNN ti trên đoạn
Li gii
A. Đúng. Vì
5
lim
x
y
= +∞
nên hàm s không có GTLN trên đoạn .
B. Sai. Hàm s đã cho chỉ đạt GTNN ti trên đoạn .
C. Sai. Hàm s đã cho chỉ đạt GTNN ti trên đoạn .
D. Sai. Hàm s đã cho chỉ đạt GTNN ti trên đoạn .
Câu 5: Cho hàm số
( )
y fx=
liên tc trên
, có bảng biến thiên như hình sau:
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. m s có hai điểm cc tr.
B. Hàm s có giá trị ln nhất bằng
2
và giá trị nh nhất bằng
3
.
C. Đồ th hàm s có đúng một đường tiệm cn.
D. m s nghịch biến trên mỗi khoảng
( ) ( )
; 1 , 2;−∞ +∞
.
Li gii
Dựa vào BBT ta thấy hàm s không có GTLN, GTNN.
Câu 6: Cho hàm s
()=y fx
liên tục và có bảng biến thiên trên đoạn
[ ]
1;3
như hình vẽ bên. Khẳng
định nào sau đây đúng?
A.
[ ]
1;3
max ( ) (0)fx f
=
. B.
[ ]
( ) ( )
1;3
max 3
=fx f
. C.
[ ]
( ) ( )
1;3
max 2
=fx f
. D.
[ ]
( ) ( )
1;3
max 1
= fx f
.
Li gii
Nhìn vào bảng biến thiên ta thy
[ ]
( ) ( )
1;3
max 0 .fx f
=
Câu 7: Cho hàm số
( )
fx
liên tc trên
[ ]
1; 5
đồ th trên đoạn
[ ]
1; 5
như hình vẽ bên dưới.
Tổng giá trị ln nhất và giá trị nh nht ca hàm s
( )
fx
trên đoạn
[ ]
1; 5
bằng
0x =
[ ]
1; 5
[ ]
1; 5
2x =
[ ]
1; 5
2x =
[ ]
1; 5
5
lim
x
y
= +∞
2x =
[ ]
1; 5
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 4
A.
1
B.
4
C.
1
D.
2
Li gii
T đồ th ta thy:
[
]
( )
[ ]
(
)
1;5
1;5
max 3
1.
min 2
M fx
Mn
n fx
= =
+=
= =
Câu 8: Cho hàm số
( )
y fx=
xác định, liên tc trên
5
1,
2



và có đồ th là đường cong như hình vẽ.
Giá tr ln nht
M
và giá trị nh nht
m
ca hàm s
( )
fx
trên
5
1,
2



là:
A.
4, 1Mm= =
B.
= = 4, 1Mm
C.
7
,1
2
Mm= =
D.
7
,1
2
Mm= =
Li gii
Chn B
Dựa vào đồ th
= = 4, 1Mm
.
Câu 9: Cho hàm số
( )
y fx=
có đ th như hình vẽ. Giá tr ln nht ca hàm s
( )
fx
trên đoạn
[ ]
0; 2
là:
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 5
A.
[ ]
( )
0;2
2
Max f x =
. B.
[ ]
(
)
0;2
2Max f x =
.
C.
[ ]
( )
0;2
4
Max f x =
. D.
[ ]
( )
0;2
0Max f x =
.
Li gii
Chn C
Dựa vào đồ th ta thấy trên đoạn
[
]
0; 2
hàm s
( )
fx
có giá trị ln nht bằng
4
khi
2
x =
Suy ra
[ ]
( )
0;2
4Max f x =
Câu 10: Cho hàm số
()y fx=
liên tục trên đoạn
[ ]
1; 3
đồ th như hình vẽ bên. Gọi
,Mm
ln
t là giá tr ln nht và giá tr nh nht ca hàm s đã cho trên đoạn
[ ]
1; 3
. Giá tr ca
Mm+
A.
2
B.
6
C.
5
D.
2
Li gii
Dựa vào đồ th ta thy GTLN ca hàm s trên đoạn
[ ]
1; 3
2M
=
đạt được ti
1x =
GTNN ca hàm s s trên đoạn
[ ]
1; 3
4m =
đạt được ti
2x =
2 ( 4) 2Mm + = +− =
Câu 11: Cho hàm số
(
)
y fx=
có bảng biến thiên trên
[
)
5; 7
như sau
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 6
A.
[
)
(
)
5;7
Min 6
fx
=
. B.
[
)
( )
5;7
Min 2fx
=
. C.
[
)
( )
-5;7
Max 9fx=
. D.
[
)
( )
5;7
Max 6fx
=
.
Li gii
Dựa vào bảng biến thiên trên
[
)
5; 7
, ta có:
[
)
( ) ( )
5;7
Min 1 2fx f
= =
.
Câu 12: Cho hàm s
( )
fx
liên tục trên đoạn
[ ]
0;3
và có đồ th như hình v bên. Gi
M
m
ln lưt
giá tr ln nht và nh nht ca hàm s đã cho trên
[ ]
0;3
. Giá tr ca
Mm+
bằng?
A.
5
. B.
3
. C.
2
. D.
1
.
Li gii
Da vào hình v ta có:
3M =
,
2m =
nên
1
Mm+=
.
Câu 13: Cho hàm số
( )
y fx=
liên tục trên đoạn
2;6
và có đồ th như hình vẽ bên dưới.
Gi
M
m
lần lượt là giá trị ln nht và nh nht ca hàm s đã cho trên đoạn
2;6
. Giá
tr ca
Mm
bằng
A.
9
. B.
8
. C.
9
. D.
8
.
Li gii
T đồ th suy ra
( )
45fx−≤
[ ]
2;6 ;x∈−
( ) ( )
1 4; 4 5ff=−=
5
4
M
m
=
=
9Mm −=
.
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 7
Câu 14: Cho hàm số
( )
y fx
=
liên tc và có đ th trên đon
[
]
2; 4
như hình vẽ bên. Tổng giá trị ln
nht và nh nht ca hàm s
( )
y fx=
trên đoạn
[ ]
2; 4
bằng
A.
5
B.
3
C.
0
D.
2
Li gii
Chn B
Dựa vào đồ th hàm s ta có
[ ]
( )
2;4
4
x
m Min f x
∈−
= =
,
[ ]
( )
2;4
7
x
M Max f x
∈−
= =
Khi đó
3Mm+=
Câu 15: Cho hàm số
( )
y fx=
có bảng xét dấu đạo hàm như sau:
Mệnh đề nào sau đây đúng
A.
(
]
( ) ( )
1;1
max 0fx f
=
B.
( )
( ) ( )
0;
max 1fx f
+∞
=
C.
( )
( ) ( )
;1
min 1fx f
−∞
=
D.
( )
( ) ( )
1;
min 0fx f
+∞
=
Li gii
Chn B
DẠNG 2. XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ LỚN NHẤT GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ TRÊN ĐOẠN
c 1: Hàm s đã cho
( )
=y fx
xác định và liên tục trên đoạn


ab;.
Tìm các điểm
n
xx x
12
, ,...,
trên khoảng
( )
ab;
, tại đó
( )
=fx 0
hoặc
( )
fx
không xác định.
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 8
c 2: Tính
(
) (
) (
)
( )
( )
n
fa fx fx fx fb
12
, , ,..., , .
c 3: Khi đó:
( ) (
) (
)
( )
( )
( )
{
}
n
ab
maxfx maxfx fx fx fa fb
12
,
, ,..., , , .


=
(
)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
{ }


=
n
ab
minfx minfx fx fx fa fb
12
,
, ,..., , , .
Câu 16: Tìm tập giá trị ca hàm s
19yx x= −+
A.
[
]
1; 9
T =
. B.
. C.
( )
1; 9T =
. D.
.
Li gii
Tập xác định:
[ ]
1; 9D =
11
09 1
2 1 29
y xx
xx
= = −=
−−
1
5
91
x
x
xx
⇔=
−=−
.
( ) ( )
1 9 22ff= =
;
( )
54f
=
Vậy tập giá trị
.
Câu 17: Giá tr nh nht ca hàm s
2
2
yx
x
= +
trên đoạn
[ ]
2;3
bằng
A.
15
2
. B.
5
. C.
29
3
. D.
3
.
Li gii
Chn B
+ Ta có hàm số
2
2
()y fx x
x
= = +
xác định và liên tc trên
[ ]
2;3
.
+
2
2
' '( ) 2y fx x
x
= =
;
[ ]
'( ) 0 1 2; 3fx x
=⇔=
(2) 5f =
,
29
(3)
3
f =
.
+ Vậy
[ ]
2;3
min 5y =
ti
2x
=
.
Câu 18: Tìm giá trị ln nht
M
ca hàm s
31
3
x
y
x
=
trên đoạn
[ ]
0;2
A.
1
3
M =
. B.
1
3
M =
. C.
5M =
. D.
5M
=
Li gii
Chn A
Trên đoạn
[ ]
0;2
ta luôn có
( )
( )
2
8
0 0;2
3
yx
x
= < ∀∈
)
( ) ( )
1
0,25
3
yy= =
nên
[ ]
0;2
1
max
3
My= =
.
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 9
Câu 19: Giá tr ln nht ca hàm s
2
4yx=
A. 2. B. 0. C. 4. D. 1.
Li gii
Chn A
• Tập xác định:
[
]
2; 2D =
• Ta có:
2
'
4
x
y
x
=
( )
0 0 2; 2yx
= = ∈−
• Ta có:
(
) ( )
( )
[
]
2;2
2 20
max 2
02
yy
y
y
−= =
⇒=
=
.
Câu 20: Tìm giá trị nh nht ca hàm s
2
sin 4sin 5yxx=−−
.
A.
20
. B.
8
. C.
9
. D.
0
.
Li gii
Đặt
[ ]
sin , 1;1t xt= ∈−
. Xét
2
() 4 5
ft t t
=−−
,
[
]
1;1
t
∈−
.
[ ]
( ) 2 4 0 2 1;1ft t t
= = = ∉−
.
(
)
( )
1 8, 1 0ff
= −=
.
Ta thy
[ ]
(
) ( )
1;1
min 1 8ft f
= =
. Vậy giá trị nh nht ca hàm s
8
.
Câu 21: Gi
m
,
M
ln t giá tr nh nhất giá trị ln nht ca hàm s
(
)
1
1
2
fx x x
= −+
trên
đoạn
[ ]
0;3
. Tính tổng
23S mM= +
.
A.
7
2
S =
. B.
3
2
S =
. C.
3
. D.
4S =
.
Li gii
Ta có:
( )
1 1 11
2
2121
x
fx
xx
+−
=−=
++
, cho
( )
[ ]
0 1 1 0 0;3
fx x x
= += =
.
Khi đó:
( )
01f =
,
( )
1
3
2
f
=
nên
1m =
1
2
M =
.
Vậy
7
23
2
S mM=+=
.
Câu 22: Tìm giá trị ln nht ca hàm s
( )
sin cosfx x x= + 2
trên
[ ]
;0
π
A.
9
8
. B.
5
4
. C.
2
. D.
1
.
Li gii
( )
sin cosfx x x= + 2
sin sinxx= +−
2
12
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 10
Đặt
sin xt=
(
)
t≤≤
01
( )
ft t t= ++
2
21
,
( )
ft t
=−+41
( )
ft
= 0
t⇔=
1
4
(
)
f
=01
,
( )
f =
10
,
f

=


19
48
Vậy
[ ]
( )
;
max fx=
01
9
8
.
Câu 23: Giá tr ln nht ca hàm s
3
4
2cos os
3
y x cx=
trên
[ ]
0;
π
.
A.
[
]
0;
2
ax
3
my
π
=
. B.
[
]
0;
10
ax
3
my
π
=
. C.
[ ]
0;
22
ax
3
my
π
=
. D.
[
]
0;
ax 0my
π
=
.
Li gii
Đặt:
costx
=
[ ]
1;1t ∈−
3
4
2
3
yt t⇒=
.
2
'24yt
=
'0y =
[
]
[ ]
1
1;1
2
1
1;1
2
x
x
= ∈−
= ∈−
.
Tính:
( )
2
1
3
y
−=
,
1 22
3
2
y
−−

=


,
1 22
3
2
y

=


,
( )
2
1
3
y =
.
Vậy:
[
]
0;
22
ax
3
my
π
=
.
Câu 24: Gi
,Mm
lần lượt giá tr ln nht giá tr nh nht ca hàm s
3sin 2
sin 1
x
y
x
+
=
+
trên đoạn
0;
2
π



. Khi đó giá trị ca
22
Mm+
A.
31
2
. B.
11
2
. C.
41
4
. D.
61
4
.
Li gii
Chn C
Đặt
sintx=
,
[ ]
0;1t
.
Xét hàm
( )
32
1
t
ft
t
+
=
+
liên tục trên đoạn
[ ]
0;1
( )
( )
[ ]
2
1
0, 0;1
1
ft t
t
= >∈
+
.
Suy ra hàm số đồng biến trên
[ ]
0;1
.
[ ]
0;1
5
Max ( ) (1)
2
M ft f⇒= = =
[ ]
0;1
Min ( ) (0) 2m ft f= = =
.
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 11
Khi đó
2
22 2
5 41
2
24
Mm

+ = +=


.
Câu 25: Cho hàm số
2
sin 1
sin sin 1
x
y
xx
+
=
++
. Gọi
M
giá trị lớn nhất
m
là giá trị nhỏ nhất của hàm
số đã cho. Chọn mệnh đề đúng.
A.
3
2
Mm= +
. B.
3
2
Mm
=
. C.
1
Mm= +
. D.
2
3
Mm= +
.
Li gii
Đặt
sin xt=
,
(
)
11
t−≤
ta được
2
1
1
t
y
tt
+
=
++
.
Xét hàm số
2
1
1
t
y
tt
+
=
++
trên đoạn
[ ]
1;1
ta có
( )
2
2
2
2
1
tt
y
tt
−−
=
++
.
Giải phương trình
0
y
=
2
20tt⇔− =
0 ( / )
2 ( )
t tm
t loai
=
=
.
( )
10y −=
;
(
)
01y
=
;
( )
2
1
3
y =
nên
[ ]
( )
1;1
max 0 1yy
= =
1M⇒=
;
[ ]
( )
1;1
min 1 0yy
= −=
0m⇒=
.
Vậy
1
Mm= +
.
DẠNG 3. XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ LỚN NHẤT GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ TRÊN
KHOẢNG
( )
;ab
.
c 1: Tính đạo hàm
fx()
.
c 2: Tìm tt c c nghiệm
i
x ab(;)
của phương trình
fx() 0
=
và tt c các đim
i
ab(;)
α
làm cho
fx()
không xác định.
c 3. Tính
+
=
xa
A fx
lim ( )
,
=
xb
B fx
lim ( )
,
i
fx()
,
i
f ()
α
.
c 4. So sánh các giá trị tính được và kết lun
ab
M fx
(;)
max ( )=
,
.
Nếu giá tr ln nht là A hoc B thì ta kết lun không có giá tr ln nht .
Câu 26: Gi
m
là giá tr nh nht ca hàm s
4
1
1
yx
x
= −+
trên khoảng
( )
1; +∞
. Tìm
m
?
A.
5m =
. B.
4m =
. C.
2m =
. D.
3m =
.
Li gii
Chn B
Tập xác định
{ }
\1DR=
.
( )
2
2
1
23
,0
3
1
x
xx
yy
x
x
=
−−
′′
= =
=
.
Bảng biến thiên:
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 12
( )
1;
min 4my
+∞
⇒= =
khi
3
x =
Câu 27: Giá tr nh nht ca hàm s
1
5yx
x
=−+
trên khoảng
( )
0; +∞
bằng bao nhiêu?
A.
0
B.
1
C.
3
D.
2
Li gii
Chn C
Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:
11
52 . 5 3yx x
xx
=+ −≥ =
Dấu bằng xảy ra khi
2
1
11xxx
x
= =⇔=
.
Vậy
(
)
0;
min 3y
+∞
=
Câu 28: Gi
m
là giá tr nh nht ca hàm s
4
yx
x
= +
trên khoảng
( )
0; +∞
. Tìm
m
A.
4m =
. B.
2m =
. C.
1
m =
. D.
3m =
.
Li gii
( )
2
4
'1
' 0 2; 2 0; .
y
x
y xx
=
= = ± = +∞
Bảng biến thiên:
Suy ra giá trị nh nht ca hàm s bằng
2) 4
( 4.ym=⇒=
Câu 29: Giá tr nh nht ca hàm s
1
()fx x
x
= +
trên nửa khoảng
[
)
2; +∞
là:
A.
2
B.
5
2
C.
0
D.
7
2
Li gii
Chn B
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 13
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta được:
1 3 1 3.2 1 5
() 2 .
44 4 4 2
xx x
fx x
xx x
=+= ++ + =
.
Dấu bằng xảy ra khi
2x =
.
Câu 30: Gi
m
là giá tr nh nht ca hàm s
4
yx
x
= +
trên khoảng
( )
0; +∞
. Tìm
m
.
A.
3m =
. B.
4m =
. C.
2
m =
. D.
1m =
.
Li gii
Chn B
Cách 1:
Hàm s
4
yx
x
= +
liên tục và xác định trên
( )
0; +∞
.
Ta có
( )
( )
2
22
2 0;
44
'1 '0
2 0;
x
x
yy
xx
x
= +∞
= = ⇒=
= +∞
.
Bảng biến thiên
Vậy giá trị nh nht là
4m =
khi
2.x =
Cách 2:
Với
( )
4
0; ; 0.xx
x
+∞ >
Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:
44
2 . 4.xx
xx
+≥ =
Dấu bằng xảy ra khi và ch khi
0
2.
4
x
x
x
x
>
⇔=
=
Vậy
4m =
khi
2.x =
Câu 31: Giá tr nh nht ca hàm s
43yx= −+
trên tập xác định của nó là
A.
2 3.+
B.
2 3.
C.
0.
D.
3.
Li gii
Chn D
Tập xác định ca hàm s là:
(
]
;4 .D = −∞
Ta có
1
' 0,
24
y xD
x
= < ∀∈
Bảng biến thiên
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 14
T bảng biến thiên suy ra
(
]
;4
min 3
y
−∞
=
khi
4x =
.Vậy chn
D
.
Câu 32: Với giá trị nào của
x
thì hàm s
2
1
yx
x
= +
đạt giá trị nh nhất trên khoảng
( )
0; +∞
?
A.
3
3
4
. B.
1
2
. C.
1
. D.
3
1
2
.
Li gii
Chn D
TXD:
{ }
\0D =
.
2
1
'2yx
x
=
,
3
1
'0 .
2
yx=⇔=
Dựa vào BBT thì
3
1
2
x =
hàm số đạt giá trị nhỏ nhất trên
( )
0; +∞
.
Câu 33: Giá tr nh nht ca hàm s
( )
2
2
12yx
x
=+−+
trên khoảng
( )
0;
+∞
A. không tồn ti. B.
3
. C.
12−+
. D.
0
.
Li gii
Chn B
Hàm s xác định và liên tục trên khoảng
( )
0; .+∞
2
22
22
1.
x
y
xx
=−=
2
0.
2
x
y
x
=
=
=
Bảng biến thiên:
3
+
x
y'
y
4
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 15
Vậy
( )
( )
0;
min 2 3.yf
+∞
= =
Câu 34: Mệnh đề nào sau đây là đúng về hàm s
2
1
5
x
y
x
trên tập xác định của nó.
A. m s không có giá trị ln nhất và không có giá trị nh nht.
B. m s không có giá trị ln nhất và có giá trị nh nht.
C. m s có giá trị ln nhất và giá trị nh nht.
D. Hàm s có giá trị ln nhất và không có giá trị nh nht.
Li gii
Chn D
Tập xác định:
D
.
2
22
2
2
22 22
2
51
55
25
'
5
55 55
x
xx
x xx x
x
y
x
xx xx



 
.
22
5
'0 0 5 0 5
55
x
y xx
xx
 

.
Bảng biến thiên:
T bảng biến thiên có
30
max 5
5
yy
khi
5x
.
Hàm s
2
1
5
x
y
x
không có giá trị nh nht.
Vậy hàm s có giá trị ln nhất và không có giá trị nh nht.
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 149
BÀI 3: GIÁ TR NH NHT VÀ GIÁ TR LN NHT CA HÀM S
DẠNG. ĐỊNH M ĐỂ GTLN-GTNN CỦA HÀM SỐ THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC
ớc 1. Tìm nghim
( 1,2,...)
i
xi=
ca
0y
=
thuc
[ ]
;ab
c 2. Tính các giá tr
( ) ( ) ( )
;;
i
fx fa fb
theo tham s
ớc 3. So sánh các giá tr, suy ra giá tr ln nht, giá tr nh nht.
ớc 4. Bin lun m theo gi thuyết đ để kết lun
Lưu ý:
Hàm s
( )
y fx=
đồng biến trên đoạn
[
]
;
ab
thì
[ ]
( )
( )
[ ]
( )
( )
;;
;
ab ab
Max f x f b Min f x f a= =
Hàm s
( )
y fx=
nghch biến trên đoạn
[ ]
;
ab
thì
[ ]
( ) ( )
[ ]
( ) ( )
;;
;
ab ab
Max f x f a Min f x f b= =
Câu 1: Tng giá tr ln nht và giá tr nh nht ca hàm s
1
xm
y
x
+
=
+
trên đoạn
[ ]
1; 2
bng
8
(
m
là tham
s thc). Khẳng định nào sau đây là đúng?
A.
10m >
.
B.
8 10m<<
.
C.
04
m<<
.
D.
48m
<<
.
Câu 2: Có bao nhiêu giá tr ca tham s
m
để giá tr ln nht ca hàm s
2
2xm
y
xm

trên đon
0; 4
bng
1.
A.
3
. B.
2
. C.
1
. D.
0
.
Câu 3: Cho hàm s
2
1x
y
xm
+
=
tha mãn
[ ]
3; 2
1
min
2
y
−−
=
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
34m
<≤
. B.
23m−<
. C.
4m >
. D.
2m ≤−
.
Câu 4: Tìm giá tr dương của tham s
m
để giá tr nh nht ca hàm s
2
1
2
mx
y
x
=
+
trên đoạn
[ ]
1; 3
bng
1
.
A.
2m =
. B.
3m =
. C.
4m =
. D.
2m =
.
CHƯƠNG
I
NG DỤNG ĐẠO HÀM
ĐỂ KHẢO SÁT HÀM S
BÀI TP TRC NGHIM
III
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 150
Câu 5: Cho hàm s
2
8
xm
y
x
vi
m
là tham s thc. Gi s
0
m
là giá tr dương của tham s
m
để
hàm s có giá tr nh nht trên đon
0;3
bng 3. Giá tr
0
m
thuc khong nào trong các khong
cho dưới đây?
A.
2;5
. B.
1; 4
. C.
6;9
. D.
20;25
.
Câu 6: Tìm giá tr ca tham s thc
m
để giá tr nh nht ca hàm s
2
1
xm
y
x
+
=
+
trên đoạn
[ ]
0; 4
bng
3
.
A.
3m
=
. B.
1m =
. C.
7
m
=
. D.
5m =
Câu 7: Tìm các giá tr ca tham s
m
để giá tr nh nht ca hàm s
2
1
xm m
y
x
−+
=
+
trên đoạn
[ ]
0;1
bng
2
.
A.
1
2
m
m
=
=
. B.
1
2
m
m
=
=
. C.
1
2
m
m
=
=
. D.
1
2
m
m
=
=
.
Câu 8: Cho hàm s
1
xm
y
x
(
m
là tham s thc) tha mãn
0;1
min 3y



. Mệnh đề nào dưới đây
đúng?
A.
13m

B.
6m
C.
1
m
D.
36
m
Câu 9: Tng giá tr ln nht và giá tr nh nht ca hàm s
1
xm
y
x
trên
1; 2
bng
8
(
m
là tham
s thc). Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
10m >
. B.
8 10m<<
. C.
04m<<
. D.
48m<<
.
Câu 10: Gi
,AB
ln lưt là giá tr nh nht, giá tr ln nht ca hàm s
2
1
xm m
y
x
++
=
trên đoạn
[ ]
2;3
. Tìm tt c các giá tr thc ca tham s
m
để
13
2
AB+=
.
A.
1; 2mm= =
. B.
2m
=
. C.
2m
= ±
. D.
1; 2
mm=−=
.
Câu 11: Cho hàm s
( )
2
8
xm
fx
x
=
+
vi
m
là tham s thc. Gi s
0
m
là giá tr dương của tham s
m
để m s giá tr nh nht trên đon
[
]
0;3
bng
3
. Giá tr
0
m
thuc khong nào trong các
khoảng cho dưới đây?
A.
( )
20;25
. B.
( )
5;6
. C.
( )
6;9
. D.
( )
2;5
.
Câu 12: Tìm tt c các giá tr ca tham s
m
để giá tr nh nht ca hàm s
32
3y x xm=−− +
trên đon
[ ]
1;1
bng
0
.
A.
2.m =
B.
6.m =
C.
0.m =
D.
4.m =
Câu 13: Tìm tt c các giá tr thc ca tham s m để hàm s
32
3yx x m=−+
có giá tr nh nht trên
đoạn
[ ]
1;1
bng
2
A.
2m
. B.
22m 
. C.
42m 
. D.
22
42
m
m


.
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 151
Câu 14: Có mt giá tr
0
m
ca tham s
m
để m s
32
11y x m xm 
đạt giá tr nh nht
bng
5
trên đoạn
0;1
. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A.
2
00
2018 0mm
. B.
0
2 10
m

. C.
2
00
60
mm

. D.
0
2 10
m

.
Câu 15: Nếu hàm s
2
1
y xm x=++
có giá tr ln nht bng
22
thì giá tr ca
m
A.
2
2
. B.
2
. C.
2
. D.
2
2
.
Câu 16: Cho hàm s
32
23y x xm=−−
. Trên
[ ]
1;1
hàm s có giá tr nh nht là
1
. Tính
m
?
A.
6m =
. B.
3m =
. C.
4m =
. D.
5m =
.
Câu 17: Biết
S
là tp giá tr ca
m
để tng giá tr ln nht và giá tr nh nht ca hàm s
4 23 2
2yxmx xm= −−
trên đoạn
[ ]
0;1
bng
16
. Tính tích các phn t ca
S
.
A.
2
. B.
2
. C.
15
. D.
17
.
Câu 18: Tìm tt c giá tr thc ca tham s
m
để hàm s
2
1x mx
y
xm
++
=
+
liên tc và đt giá tr nh nht
trên đoạn
[
]
0; 2
ti một điểm
( )
0
0; 2x
.
A.
01m<<
B.
1m >
C.
2m
>
D.
11m−< <
Câu 19: Cho hàm s
1 sin
cos 2
mx
y
x
=
+
. Có bao nhiêu giá tr nguyên ca tham s
m
thuộc đoạn
[ ]
0;10
để
giá tr nh nht ca hàm s nh hơn
2
?
A.
1
. B.
9
. C.
3
. D.
6
.
Câu 20: Cho hàm s
3
,0
y ax cx d a= ++
( )
( )
( )
;0
min 2
x
fx f
−∞
=
. Giá tr ln nht ca hàm s
(
)
y fx
=
trên đoạn
[ ]
1;3
bng
A.
11da
. B.
16da
. C.
2da+
. D.
8da+
.
Câu 21: Tìm tt c các giá tr ca tham s m để hàm s
2
1
xm
y
xx
+
=
++
có giá tr ln nht trên
nh hơn
hoc bng 1.
A.
1
m
. B.
1m
. C.
1m ≥−
. D.
1m ≤−
.
Câu 22: Giá tr ln nht ca hàm s
32
1
xxm
y
x
+−
=
+
trên
[ ]
0; 2
bng
5
. Tham s
m
nhn giá tr
A.
5
. B.
1
. C.
3
. D.
8
.
Câu 23: Cho hàm s
( )
2
3
3y x xm= −+
. Tng tt c các giá tr ca tham s
m
sao cho giá tr nh nht
ca hàm s trên đoạn
[ ]
1;1
bng
1
A.
1
. B.
4
. C.
0
. D.
4
.
Câu 24: Tìm tt c các giá tr ca
0m >
để giá tr nh nht ca hàm s
3
31yx x=−+
trên đoạn
[ ]
1; 2mm++
luôn bé hơn
3
.
A.
( )
0; 2m
. B.
( )
0;1m
. C.
( )
1;m +∞
. D.
( )
0;m +∞
.
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 152
Câu 25: Biết rng giá tr nh nht ca hàm s
36
1
y mx
x
= +
+
trên
[ ]
0;3
bng
20
. Mnh đề nào sau đây
đúng?
A.
02m<≤
. B.
48m<≤
. C.
24m<≤
. D.
8m >
.
Câu 26: Cho hàm s
( )
322
3 3 1 2020y x mx m x= + −+
. Có tt c bao nhiêu giá tr nguyên ca
m
sao
cho hàm s có giá tr nh nht trên khong
( )
0; +∞
?
A.
2
. B.
1
. C. Vô s. D.
3
.
Câu 27: Cho hàm s
( )
1fx mx=
. Gi
12
,mm
là hai giá tr ca
m
tho n
[ ]
( )
[ ]
( )
2
2;5
2;5
min ax 10fx m fx m+=
. Giá tr ca
12
mm+
bng
A. 3. B. 5. C. 10. D. 2.
Câu 28: Cho hàm s có bao nhiêu giá tr nguyên ca tham s thuộc đoạn
để giá tr nh nht ca nh hơn .
A. . B. . C. . D. .
Câu 29: Gi là tp hp tt c các giá tr thc ca tham s sao cho giá tr nh nht ca hàm s
trên đoạn bng 2. Tng tt c các phn t ca bng
A. . B. . C. . D. .
Câu 30: Cho hàm s
( )
2
3
31y x xm= ++
. Tng tt c các giá tr ca tham s
m
sao cho giá tr nh
nht ca hàm s trên đoạn
[ ]
1;1
bng
1
A.
2
. B.
4
. C.
4
. D.
0
.
Câu 31: Cho hàm s
( )
( )
22
2 2 44 1y fx m x x x m= = ++ + + +
. Tính tng tt c các giá tr ca
m
để hàm s
( )
y fx=
có giá tr nh nht bng
4
.
A.
7
2
. B.
5
2
. C.
1
2
. D.
1
2
.
Câu 32: Cho hàm s
( )
2
1
xm
fx
x
=
+
vi
2m ≠−
. Mệnh đề nào dưới đây sai?
A.
[ ]
( )
1;3
26
max max ;
24
mm
fx
−−

=


. B.
[ ]
( )
1;3
6
max
4
m
fx
=
khi
2m <−
.
C.
[ ]
( )
1;3
26
min min ;
24
mm
fx
−−

=


. D.
[ ]
( )
1;3
2
min
2
m
fx
=
khi
2m >−
.
Câu 33: Có bao nhiêu s nguyên
m
thuc đon
[ ]
20 ; 20
để giá tr ln nht ca hàm s
6xm
y
xm
++
=
trên đoạn
[ ]
1;3
là s dương?
A. 9. B. 8. C. 11. D. 10.
sin 1
cos 2
mx
y
x
+
=
+
m
[ ]
5;5
y
1
4
2
6
8
S
m
( )
( )
2
3
34
32 1
fx
x xm
=
−+ +
[ ]
0;3
S
8
8
6
1
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 1
BÀI 3: GIÁ TR NH NHT VÀ GIÁ TR LN NHT CA HÀM S
DẠNG. ĐỊNH M ĐỂ GTLN-GTNN CỦA HÀM SỐ THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC
ớc 1. Tìm nghim
( 1,2,...)
i
xi=
ca
0y
=
thuc
[ ]
;ab
c 2. Tính các giá tr
( ) ( ) ( )
;;
i
fx fa fb
theo tham s
ớc 3. So sánh các giá tr, suy ra giá tr ln nht, giá tr nh nht.
ớc 4. Bin lun m theo gi thuyết đ để kết lun
Lưu ý:
Hàm s
( )
y fx=
đồng biến trên đoạn
[
]
;
ab
thì
[ ]
( )
( )
[ ]
( )
( )
;;
;
ab ab
Max f x f b Min f x f a= =
Hàm s
( )
y fx=
nghch biến trên đoạn
[ ]
;
ab
thì
[ ]
( ) ( )
[ ]
( ) ( )
;;
;
ab ab
Max f x f a Min f x f b= =
Câu 1: Tng giá tr ln nht và giá tr nh nht ca hàm s
1
xm
y
x
+
=
+
trên đoạn
[ ]
1; 2
bng
8
(
m
là tham
s thc). Khẳng định nào sau đây là đúng?
A.
10m >
.
B.
8 10m<<
.
C.
04
m<<
.
D.
48m
<<
.
Li gii
Chn B
Ta có:
( )
2
1
1
m
y
x
=
+
.
- Nếu
11my=⇒=
.
- Nếu
1m
khi đó
[ ]
0, 1; 2yx
< ∀∈
hoc
[ ]
0, 1; 2
yx
> ∀∈
nên hàm s đạt giá tr ln nht và
nh nht ti
1, 2xx= =
.
Theo bài ra:
[ ]
[ ]
( ) ( ) ( )
1;2
1;2
1 2 41
max min 8 1 2 8 8;10
23 5
mm
y y yy m
++
+ = + = + =⇔=
.
Câu 2: Có bao nhiêu giá tr ca tham s
m
để giá tr ln nht ca hàm s
2
2xm
y
xm

trên đon
0; 4
bng
1.
A.
3
. B.
2
. C.
1
. D.
0
.
CHƯƠNG
I
NG DỤNG ĐẠO HÀM
ĐỂ KHẢO SÁT HÀM S
BÀI TP TRC NGHIM
III
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 2
Li gii
Chn C
Tập xác định:
\Dm
.
2
2
2
0,
mm
y xm
xm


. Do đó hàm số đồng biến trên mi khong
;m
;m 
.
Bng biến thiên ca hàm s:
T bng biến thiên suy ra, hàm s đạt giá tr ln nhất trên đoạn
0; 4
bng
1
khi
0
41
m
f

2
0
2
1
4
m
m
m

2
0
60
m
mm

0
2, 3
m
mm

3m 
.
Câu 3: Cho hàm s
2
1x
y
xm
+
=
tha mãn
[ ]
3; 2
1
min
2
y
−−
=
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
34m<≤
. B.
23m−<
. C.
4m >
. D.
2m
≤−
.
Li gii
Chn B
+TXĐ:
{ }
[
]
2
\ , 3; 2Dm D= −−
.
+ Ta có
( )
2
2
2
1
' 0,
m
y xD
xm
−−
= < ∀∈
. Nên hàm s nghch biến trên tng khoảng xác định.
Nên
[ ]
( )
2
2
3; 2
1 21
min 2 2 2 0 2 3
22
yy m m m
m
−−
−+
= = = ⇒− =− = ⇒− <
−−
.
Câu 4: Tìm giá tr dương của tham s
m
để giá tr nh nht ca hàm s
2
1
2
mx
y
x
=
+
trên đoạn
[ ]
1; 3
bng
1
.
A.
2m =
. B.
3m =
. C.
4m =
. D.
2m =
.
Li gii
Chn A
Tập xác định:
{ }
\2D =
.
Ta có:
( )
2
2
21
0, 2
2
m
yx
x
+
= > ≠−
+
.
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 3
Hàm s đồng biến trên đoạn
[ ]
1; 3
nên
[ ]
( )
1;3
max 3yy=
2
31
1
5
m
⇔=
2
m
⇔=
.
Câu 5: Cho hàm s
2
8
xm
y
x
vi
m
là tham s thc. Gi s
0
m
là giá tr dương của tham s
m
để
hàm s có giá tr nh nht trên đon
0;3
bng 3. Giá tr
0
m
thuc khong nào trong các khong
cho dưới đây?
A.
2;5
. B.
1; 4
. C.
6;9
. D.
20;25
.
Li gii
Chn A
+ TXĐ:
\8
D 
.
+
2
'
2
8
0,
8
m
y xD
x

Vy hàm s
2
8
xm
y
x
đồng biến trên
0;3
.
2
0;3
min (0)
8
m
yy

Để
2
0;3
min 3 3 2 6.
8
m
ym
 
0
2 6 2;5m
. Vy chnA.
Câu 6: Tìm giá tr ca tham s thc
m
để giá tr nh nht ca hàm s
2
1
xm
y
x
+
=
+
trên đoạn
[ ]
0; 4
bng
3
.
A.
3m =
. B.
1m =
. C.
7m
=
. D.
5m =
Li gii
Chn C
Ta có:
( )
2
2
'
1
m
y
x
=
+
.
+ Xét
2m =
.
Hàm s tr thành:
2y =
là hàm s hằng nên không đạt giá tr nh nht bng
3
2m⇒=
+ Xét
2m >
.
( )
2
2
' 0 ( 1)
1
m
yx
x
= < ≠−
+
[ ]
0;4
8
min (4)
5
m
yy
+
⇒==
.
8
37
5
m
m
+
=⇔=
.
+ Xét
2m <
.
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 4
( )
2
2
' 0 ( 1)
1
m
yx
x
= > ≠−
+
[ ]
0;4
min (0)yy m⇒==
.
3
m⇒=
.
Vy
7
m
=
.
Câu 7: Tìm các giá tr ca tham s
m
để giá tr nh nht ca hàm s
2
1
xm m
y
x
−+
=
+
trên đoạn
[ ]
0;1
bng
2
.
A.
1
2
m
m
=
=
. B.
1
2
m
m
=
=
. C.
1
2
m
m
=
=
. D.
1
2
m
m
=
=
.
Li gii
Chn D
Tập xác định:
{ }
\1
D =
.
Hàm s đã cho liên tục trên
[ ]
0;1
.
Ta có:
( )
( ) ( )
2
2
22
1
1
0
11
mm
mm
y
xx
−− +
−+
= = >
++
;
xD
∀∈
.
Hàm s đồng biến trên đoạn
[ ]
0;1
.
Trên
[ ]
0;1
hàm s đạt giá tr nh nht ti
0x =
.
Ta có:
(
)
22
1
0 2 2 20
2
m
y mm mm
m
=
=−⇔ + =−⇔ =
=
.
Câu 8: Cho hàm s
1
xm
y
x
(
m
là tham s thc) tha mãn
0;1
min 3y



. Mệnh đề nào dưới đây
đúng?
A.
13
m
B.
6m
C.
1m
D.
36m
Li gii
Chn D
Tập xác định:
\1
D 
.
Vi
1m
1y
,
0;1x




thì
0;1
min 3y



.
Suy ra
1m
. Khi đó
2
1
1
m
y
x
không đổi du trên tng khoảng xác định.
TH 1:
01ym

thì
0;1
min 0 3yy m




.
TH 2:
01ym

thì
0;1
min 1 5yy m




.
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 5
Câu 9: Tng giá tr ln nht và giá tr nh nht ca hàm s
1
xm
y
x
trên
1; 2
bng
8
(
m
là tham
s thc). Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
10
m >
. B.
8 10
m<<
. C.
04m<<
. D.
48m<<
.
Li gii
Nếu
1m =
thì
1y
Nếu
1m
thì hàm s đã cho liên tục trên
1; 2
2
1
'
1
m
y
x
.
Khi đó đạo hàm ca hàm s không đổi dấu trên đoạn
[ ]
1; 2
.
Do vy
[
]
[
]
(
) (
)
1;2 1;2
1 2 41
12 8
23 5
xx
mm
Min y Max y y y m
∈∈
++
+ = + = + =⇔=
.
Câu 10: Gi
,AB
ln lưt là giá tr nh nht, giá tr ln nht ca hàm s
2
1
xm m
y
x
++
=
trên đoạn
[
]
2;3
. Tìm tt c các giá tr thc ca tham s
m
để
13
2
AB+=
.
A.
1; 2mm= =
. B.
2m
=
. C.
2m = ±
. D.
1; 2mm=−=
.
Li gii
Xét hàm s
2
1
xm m
y
x
++
=
trên đoạn
[ ]
2;3
.
( )
[ ]
( ) ( )
2 22
2
1 32
' 0 2;3 3 , 2
21
1
mm mm mm
y x Af Bf
x
−− ++ ++
= < ∀∈ = = = =
.
22
1
13 3 2 13
2
2 2 12
m
mm mm
AB
m
=
++ ++
+= + =
=
.
Câu 11: Cho hàm s
( )
2
8
xm
fx
x
=
+
vi
m
là tham s thc. Gi s
0
m
là giá tr dương của tham s
m
để m s giá tr nh nht trên đon
[ ]
0;3
bng
3
. Giá tr
0
m
thuc khong nào trong các
khoảng cho dưới đây?
A.
( )
20;25
. B.
( )
5;6
. C.
( )
6;9
. D.
( )
2;5
.
Li gii
Chn D
Xét hàm s
( )
2
8
xm
fx
x
=
+
trên đoạn
[
]
0;3
.
Ta có:
( )
[ ]
2
2
8
0, 0;3
8
m
yx
x
+
= > ∀∈
+
m s
( )
2
8
xm
fx
x
=
+
đồng biến trên đoạn
[ ]
0;3
[ ]
( ) ( )
2
0;3
min 0 .
8
m
fx f
⇒==
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 6
Theo gi thiết, ta có:
[ ]
( )
2
2
0;3
26
min 3 3 24 .
8
26
m
m
fx m
m
=
=−⇔ =−⇔ =
=
( )
0, 2 6 4,9 2;5mm m> ∈⇒=
.
Câu 12: Tìm tt c các giá tr ca tham s
m
để giá tr nh nht ca hàm s
32
3y x xm=−− +
trên đon
[ ]
1;1
bng
0
.
A.
2.m =
B.
6.m =
C.
0.m =
D.
4.m =
Li gii
Chn D
Xét hàm s
32
3y x xm
=−− +
trên đoạn
[ ]
1;1
, ta có
[
]
[ ]
2
0 1;1
3 6; 0
2 1;1
x
y x xy
x
= ∈−
′′
=−− =
= ∉−
( 1) m 2
(0) m
(1) m 4
y
y
y
−=
=
=
Do đó
[ ]
1;1
min 4 0 4.
ymm
=−+ = =
Vy
4m =
tha yêu cu bài toán.
Câu 13: Tìm tt c các giá tr thc ca tham s m để hàm s
32
3yx x m=−+
có giá tr nh nht trên
đoạn
[ ]
1;1
bng
2
A.
2m
. B.
22m 
. C.
42m 
. D.
22
42
m
m


.
Li gii
Chn C
2
'3 6yxx
0
'0
2
x
y
x

Trên
[ ]
1;1
thì
1 01
' 4;' ;' 2y m y my m
 
nên
1;1
2 42 42Miny m m

Câu 14: Có mt giá tr
0
m
ca tham s
m
để m s
32
11y x m xm 
đạt giá tr nh nht
bng
5
trên đoạn
0;1
. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A.
2
00
2018 0mm
. B.
0
2 10m 
. C.
2
00
60mm
. D.
0
2 10m 
.
Li gii
+ Đặt
32
11fx x m x m 
.
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 7
+ Ta có:
22
31y xm

. D thy rng
0y
vi mi
x
,
m
thuc
nên hàm s đồng biến
trên
, suy ra hàm s đồng biến trên
0;1
. Vì thế
0;1
min y
0;1
min fx
0f
1
m
.
+ Theo bài ra ta có:
15m 
, suy ra
4m
.
+ Như vậy
0
4
m
và mệnh đề đúng là
2
00
2018 0mm
.
Câu 15: Nếu hàm s
2
1
y xm x=++
có giá tr ln nht bng
22
thì giá tr ca
m
A.
2
2
. B.
2
. C.
2
. D.
2
2
.
Li gii
Xét hàm s
2
1
y xm x=++
Tập xác định:
[ ]
1;1D =
.
Ta có:
2
1
1
x
y
x
=
2
2
1
0
10
xx
y
x
−=
=
−>
2
10
1
x
xx
>≥
−=
2
10
1
10
1
2
21
2
1
2
x
x
x
x
x
x
>≥
>≥
=
⇔=

=
=
.
Ta có:
( ) ( )
1
1 1,11, 2
2
y my m y m

=−+ =+ = +


.
Do hàm s
2
1y xm x=++
liên tc trên
[
]
1;1
nên
[ ]
1;1
Max 2ym
= +
.
Theo bài ra thì
[ ]
1;1
Max 2 2y
=
, suy ra
2 22 2
mm+ = ⇔=
.
Câu 16: Cho hàm s
32
23y x xm=−−
. Trên
[ ]
1;1
hàm s có giá tr nh nht là
1
. Tính
m
?
A.
6m =
. B.
3m =
. C.
4m =
. D.
5m =
.
Li gii
Chn C
Xét
[ ]
1;1
2
66yxx
=
.
0y
=
2
6 60xx −=
[ ]
[ ]
0 1;1
1 1;1
x
x
= ∈−
= ∈−
.
Khi đó
( )
15ym =−−
;
( )
0ym=
;
( )
11ym=−−
Ta thy
51m mm <− <−
nên
[ ]
1;1
min 5ym
=−−
.
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 8
Theo bài ra ta có
[ ]
1;1
min 1y
=
nên
51m−− =
4m⇔=
.
Câu 17: Biết
S
là tp giá tr ca
m
để tng giá tr ln nht và giá tr nh nht ca hàm s
4 23 2
2yxmx xm= −−
trên đoạn
[ ]
0;1
bng
16
. Tính tích các phn t ca
S
.
A.
2
. B.
2
. C.
15
. D.
17
.
Li gii
TXĐ:
D
=
.
Ta có:
3 22
43 4
y x mx x
=−−
( )
3 22
22 2
0
04 3 40
4 3 4 0 9 64
x
y x mx x
x mx m
=
= −=
= ∆= +
24
24
0
3 9 64
1
8
3 9 64
0
8
x
mm
x
mm
x
=
++
⇔= >
−+
= <
Nên hàm s đơn điệu trên
( )
0;1
.
Tng giá tr ln nht và giá tr nh nht ca hàm s trên đoạn
[
]
0;1
bng
16
nên
(
)
(
)
( )
22
0 1 16 1 16 2 15 0
y y m mm m m
+ =− ⇔− + = ⇔− + =
.
Vy
12
. 15mm =
.
Câu 18: Tìm tt c giá tr thc ca tham s
m
để hàm s
2
1x mx
y
xm
++
=
+
liên tc và đt giá tr nh nht
trên đoạn
[ ]
0; 2
ti một điểm
( )
0
0; 2x
.
A.
01
m<<
B.
1m >
C.
2
m >
D.
11m
−< <
Li gii
Chn A
Tập xác định:
{
}
\ Dm=
. Hàm s liên tc trên
[ ]
0; 2
00
22
mm
mm
−< >

⇔⇔

> <−

Ta có
( )
( )
( )
2
22
22
1
21
xm
x mx m
y
xm xm
+−
+ +−
= =
++
. Cho
1
2
1
0
1
xm
y
xm
=−−
=
=−+
.
Ta có bng biến thiên
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 9
Hàm s đạt giá tr nh nht ti
( )
0
0; 2x
nên
0 12 1 1mm<− + < < <
So với điều kin hàm s liên tục trên đoạn
[ ]
0; 2
. Ta có
01m<<
.
CÓ TH GII NHƯ SAU:
Điu kiện xác định
xm≠−
Hàm s liên tục trên đoạn
[ ]
0; 2
nên
[ ]
( )
00
0; 2 *
22
mm
m
mm
−< >

−∈

> <−

( )
( )
( )
2
22
22
1
21
'
xm
x mx m
y
xm xm
+−
+ +−
= =
++
'0y =
có hai nghim là
1
2
1
1
xm
xm
=−+
=−−
,
12
2xx
−=
nên ch có nhiu nht mt nghim thuc
(
)
0; 2
Ta thy
1 1,m mm−+>−−
và do đó để hàm s liên tục và đạt giá tr nh nht trên
[ ]
0; 2
ti
một điểm
( )
0
0; 2
x
thì
( )
0 1 2 1 1 **
mm<− + < ⇔− < <
T
( ) ( )
* , **
ta có
01m<<
Câu 19: Cho hàm s
1 sin
cos 2
mx
y
x
=
+
. Có bao nhiêu giá tr nguyên ca tham s
m
thuộc đoạn
[ ]
0;10
để
giá tr nh nht ca hàm s nh hơn
2
?
A.
1
. B.
9
. C.
3
. D.
6
.
Li gii
Tập xác định:
D
=
.
Ta có:
1 sin
cos 2
mx
y
x
=
+
cos sin 1 2y xm x y⇔+=
.
Phương trình có nghiệm khi và ch khi:
22 2
14 4ym y y+ ≥− +
22
3 41 0yy m +−
22
2 13 2 13
33
mm
y
−+ ++
≤≤
.
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 10
Theo đề bài, ta có:
[ ]
2
2 13
min 2
3
0;10
x
m
y
m
m
−+
= <−
[
]
2
13 8
0;10
m
m
m
+>
⇔∈
[ ]
2
3 63
0;10
m
m
m
>
⇔∈
[ ]
2
21
0;10
m
m
m
>
⇔∈
{
}
5, 6, 7,8,9,10
m⇔∈
.
Vy có
6
giá tr nguyên ca tham s
m
tha yêu cu bài toán.
Câu 20: Cho hàm s
3
,0y ax cx d a= ++
( )
( ) ( )
;0
min 2
x
fx f
−∞
=
. Giá tr ln nht ca hàm s
( )
y fx=
trên đoạn
[ ]
1;3
bng
A.
11
da
. B.
16da
. C.
2
da+
. D.
8
da+
.
Li gii
3
,0y ax cx d a= ++
là hàm s bc ba và có
( )
( ) ( )
;0
min 2
x
fx f
−∞
=
nên
0a <
'0y =
hai nghiệm phân biệt.
Ta có
2
'3 0y ax c= +=
có hai nghiệm phân biệt
0ac⇔<
.
Vy vi
0, 0ac<>
thì
'0y =
có hai nghim đi nhau
3
c
x
a
=±−
T đó suy ra
( )
( )
;0
min
3
x
c
fx f
a
−∞

= −−



2 2 12
33
cc
ca
aa
−=−==
Ta có bng biến thiên
Ta suy ra
[
]
(
) ( )
1;3
max 2 8 2 16
x
fx f a c d a d
= = + += +
.
Câu 21: Tìm tt c các giá tr ca tham s m để hàm s
2
1
xm
y
xx
+
=
++
có giá tr ln nht trên
nh hơn
hoc bng 1.
A.
1
m
. B.
1
m
. C.
1m ≥−
. D.
1m ≤−
.
Li gii
Chn A
+ TXĐ:
D =
.
+
lim 0
x
y
→∞
=
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 11
+
( )
2
2
2
21
1
x mx m
y
xx
+−
=
++
.
2
0 2 1 0 (*)y x mx m
= ⇔− + =
2
(*)
1 0,mm m
= +>
nên có 2 nghiệm phân biệt
12
,
xx m
< ∀∈
+ BBT:
Vy hàm s đạt giá tr lón nht là
( )
2
2
1
21
fx
x
=
+
vi
2
2
1
x m mm=−+ +
2
2
1
1 12 2 11
2 2 11
YCBT m m m
m mm
⇔− + +
+ ++
2
22
0
0
11
1
m
m
mm m m
mm m
<
+≥
+≥
Câu 22: Giá tr ln nht ca hàm s
32
1
xxm
y
x
+−
=
+
trên
[ ]
0; 2
bng
5
. Tham s
m
nhn giá tr
A.
5
. B.
1
. C.
3
. D.
8
.
Li gii
Chn C
Cách 1:
Tập xác định ca hàm s:
{ }
[ ]
\ 1 0; 2DD= ⇒⊂
.
Ta có:
( )
32 3 2
2
242
1
1
x x m x x xm
yy
x
x
+− + ++
= ⇒=
+
+
.
(
)
32 32
0242 0 242y xxxm xxxm
=+++= ++=
.
Ta có
( )
( )
0 ;2 4
3
m
y my=−=
Đặt
( )
( )
(
)
( )
32 2
1
2 4 2 6 820 1
3
gx x x x g x x x x x
= + + = + + = =−∨ =
.
Trên
[ ]
0; 2
ta có bng biến thiên:
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 12
T bng biến thiên ta có
( )
[ ] [ ]
36;0 , 0;2gx x∈−
.
Trưng hp 1:
0m >⇒
phương trình vô nghiệm
phương trình
0y
=
vô nghim.
D thy
(
)
( )
0 24 0
3
m
y m y khi m=−< = >
.
Khi đó
[
]
( )
0;2
Max 2 4 5 3
3
m
yy m= ==⇔=
loi do
0m
>
.
Trưng hp 2:
36m <−
phương trình vô nghiệm
phương trình
0
y
=
vô nghim.
D thy
( ) ( )
0 2 4 36
3
m
y m y khi m=− > = <−
.
Khi đó
[ ]
( )
0;2
Max 0 5 5yy m m= =−= =
loi do
36m <−
.
Trưng hp 3:
[
]
36;0
m
∈−
phương trình
0y
=
có nghim duy nht .
Trên
[ ]
0; 2
ta có bng biến thiên:
Nhìn vào bng biến thiên ta có:
+
( )
( )
32 32
0
: 242 242 0 0xxgxm xxxm xxxm y
= = ++=+++==
.
+
(
) ( )
( )
32 32
0
0;: 242 242 0 0x xgxm xxxm xxxm y
>⇔ + + >⇔ + + +<<
.
+
( ) ( )
( )
32 32
0
;0: 242 242 0 0xx gxm xxxm xxxm y
< ++<+++>>
.
Ta có bng biến thiên sau:
T bng biến thiên ta thy
[ ]
( ) ( )
{ }
0;2
Max 2 ; 0yy y
.
Nếu m
[ ]
( ) ( )
[ ]
( ) ( )
0;2
36; 6 0 2 Max 0 5 5y y yy m m l∈− = = = =
.
Nếu m
[ ]
( ) ( )
[ ]
( )
0;2
6;0 0 2 Max 2 4 5 3( )
3
m
y y yy m n
∈− = = = =
.
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 13
Vy
3m =
thỏa đề.
Cách 2:
Tập xác định ca hàm s:
{ }
[ ]
\ 1 0; 2DD
= ⇒⊂
.
Ta có:
(
)
32
2
2
2
11
1
xxm m m
y x yx
xx
x
+−
= = ⇒= +
++
+
.
Trưng hp 1:
[ ]
0 0, 0; 2m yx
∀∈
Hàm s đồng biến trên
[ ]
0; 2
.
[
]
( )
0;2
Max 2 4 5 3
3
m
yy m = ==⇔=
loi do
0m
>
.
Trưng hp 2:
0m
<
, gi s
[ ]
( )
0
0;2
Max y yx⇒=
vi
( )
0
0; 2x
. Do hàm s liên tc trên
[ ]
0; 2
( )
( )
( )
2
00
0
32
00
0
0
21
0
5
5
1
m xx
yx
xxm
yx
x
=−+
=
⇒⇔

+−
=
=
+
( ) ( )
2
32
0 0 00 0 0
5
2 1 5 1 1( ) 8
3
x x xx x x x n m
+ + + = + = ∨= =
.
Khi đó:
(
) (
)
32
22
8 2 4 28
2 01
11
xxx
yx y x
xx
+ +−
′′
= + = =⇔=
++
.
Ta có bng biên thiên:
8
m⇒=
không tha yêu cầu đề.
Nên không tn ti
( )
0
0; 2x
để
[ ]
( )
0
0;2
Max y yx=
.
[ ]
( )
[ ]
( )
0;2
0;2
Max 2 5
Max 0 3
yy m
yy m
= ⇒=
= ⇒=
.
Nếu
(
) ( )
[ ]
(
) ( )
0;2
17 17
5 0 5; 2 Max 2 5 5
33
m y y yy m l=−⇒ = = = = =
.
Nếu
( ) ( )
[ ]
( ) ( )
0;2
3 03;25Max 25 3m y y yy m n=−⇒ = = = = =
.
Vy
3m =
thỏa đề.
Câu 23: Cho hàm s
( )
2
3
3y x xm
= −+
. Tng tt c các giá tr ca tham s
m
sao cho giá tr nh nht
ca hàm s trên đoạn
[ ]
1;1
bng
1
A.
1
. B.
4
. C.
0
. D.
4
.
Li gii
Chn C
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 14
.
D =
Đặt
[
]
[ ]
3
3 , 1;1 2; 2 .
t x xx t
= ∈− ∈−
Khi đó ta có hàm số
( ) ( )
2
.ft t m= +
(
)
(
)
( )
2; 0 .
ft tm ft t m
′′
= + = ⇔=
Trưng hp 1:
2 2 2 2.mm−< < −< <
T bng biến thiên ta thy:
[
]
(
) (
)
2;2
min 0ft f m
=−=
không tha mãn yêu cu.
Trưng hp 2:
22
mm ≤−
T bng biến thiên ta thy:
[ ]
( )
( ) (
)
2
2;2
min 2 2ft f m
= −=
.
Theo yêu cu bài toán:
(
)
2
2
3
2 1 3.
1
m
m
mm
m
=
= → =
=
Trưng hp 3:
22mm ≤−
T bng biến thiên ta thy:
[ ]
( ) ( ) ( )
2
2;2
min 2 2 .ft f m
= = +
Theo yêu cu bài toán:
(
)
2
2
3
2 1 3.
1
m
m
mm
m
≤−
=
+ = → =
=
Vy tng các giá tr ca tham s
m
tha mãn yêu cu là:
( )
3 3 0.+− =
Câu 24: Tìm tt c các giá tr ca
0m >
để giá tr nh nht ca hàm s
3
31yx x=−+
trên đoạn
[ ]
1; 2mm++
luôn bé hơn
3
.
A.
( )
0; 2m
. B.
( )
0;1m
. C.
( )
1;
m +∞
. D.
( )
0;m +∞
.
Li gii
Ta có
2
33yx
=
,
01yx
=⇔=±
do đó
( )
11
CT
yy= =
( )
C
13
Đ
yy= −=
.
Thy ngay vi
0m >
thì trên đoạn
[ ]
1; 2mm++
hàm s luôn đồng biến.
Vy GTNN ca hàm s đã cho trên đoạn
[ ]
1; 2mm++
( ) ( ) ( )
3
1 1 3 11ym m m+= + ++
.
GTNN luôn bé hơn
3
( ) ( )
3
1 3 1 20mm + + −<
12
11
m
m
+<
+ ≠−
1
2
m
m
<
≠−
.
Kết hợp điều kin
0m >
ta được
( )
0;1m
.
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 15
Câu 25: Biết rng giá tr nh nht ca hàm s
36
1
y mx
x
= +
+
trên
[
]
0;3
bng
20
. Mnh đ nào sau đây
đúng?
A.
02m<≤
. B.
48m<≤
. C.
24m<≤
. D.
8m >
.
Li gii
36
1
y mx
x
= +
+
( )
2
36
1
ym
x
⇒=
+
Trưng hp 1:
0m =
, ta có
( )
2
36
0, 1
1
yx
x
=− < ≠−
+
.Khi đó
[ ]
( )
0;3
min 3 9
x
yy
= =
.
Trưng hp 2:
0m
Nếu
0m
<
, ta có
0y
<
,
1
x
≠−
Khi đó
[ ]
( )
0;3
min 3
x
yy
=
11
20 3 9
3
mm = +⇔ =
.
Nếu
0m
>
, khi đó
(
)
2
36
00
1
ym
x
=⇔− =
+
( )
2
36
1x
m
⇔+ =
( )
6
1
6
1
x
m
xl
m
=
=−−
.
64
0 1 3 36
9
m
m
< −≤ <
,
[ ]
( )
0;3
4
6
min 1 12 20
100
x
m
y y mm
ml
m
=

= = −=

=

.
69
13
4
m
m
−> <
,
[
]
( )
0;3
min 3
x
yy
=
( )
11
20 3 9
3
m ml = +⇔ =
.
Câu 26: Cho hàm s
( )
322
3 3 1 2020y x mx m x= + −+
. Có tt c bao nhiêu giá tr nguyên ca
m
sao
cho hàm s có giá tr nh nht trên khong
( )
0; +∞
?
A.
2
. B.
1
. C. Vô s. D.
3
.
Li gii
Chn D
Ta có:
( )
1
22
2
1
'3 6 3 1 0
1
xm
y x mx m
xm
=
= + −=
= +
.
Để m s có giá tr nh nht trên khong
( )
0; +∞
thì
12
0xx≤<
hoc
12
0 xx<<
.
TH1:
12
0
xx≤<
10 1mm −≤ < +
11m⇔− <
. Do
m
{ }
0;1m⇒∈
.
BBT ca hàm s:
TH2:
12
0 xx<<
.
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 16
BBT ca hàm s
Hàm s có giá tr nh nht trên khong
( )
0; +∞
khi và ch khi
( ) ( )
10
10
m
ym y
−>
+≤
.
( ) ( )
( )
( )
32
2
1
1 3 1 3 1 1 2020 2020
m
m mm m m
>
+ + + ++
( ) ( )
2
1
1 20
m
mm
>
+ −≤
1
2
1
m
m
m
>
=
12m⇔<
.
Do
m
2m⇒=
.
Vy
{
}
0;1; 2
m
.
Câu 27: Cho hàm s
( )
1fx mx=
. Gi
12
,mm
là hai giá tr ca
m
tho n
[ ]
( )
[ ]
( )
2
2;5
2;5
min ax 10fx m fx m
+=
. Giá tr ca
12
mm+
bng
A. 3. B. 5. C. 10. D. 2.
Li gii
Chn A
Ta có
( )
'
1
.
21
fx m
x
=
;
Do
0
m
nên
( )
'
fx
khác 0 và có dấu không thay đổi vi
( )
1; .x +∞
Nếu
0
m >
thì
( )
[ ]
'
0, 2;5
fx x> ∀∈
. Do đó
[ ]
(
) (
)
[
]
( ) ( )
2;5
2;5
min 2 ; ax 5 2 .
fx f mm fx f m= = = =
[
]
( )
[ ]
( )
2
2;5
2;5
2
1
2
2
min ax 10
2 10
2
3 10 0
5
fx m fx m
m mm
m
mm
m
+=
⇔+ =
=
−=
=
Do
0m >
nên nhn
2
5.m =
Nếu
0m <
thì
( )
[ ]
'
0, 2;5fx x< ∀∈
. Do đó
[ ]
( ) (
)
[
]
( ) (
)
2;5
2;5
min 5 2 ; ax 2 .
fx f mm fx f m= = = =
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 17
[ ]
( )
[ ]
( )
2
2;5
2;5
2
1
2
2
min ax 10
2 10
2
3 10 0
5
fx m fx m
mmm
m
mm
m
+=
+=
=
−=
=
Do
0m <
nên nhn
1
2.m =
Vy
12
3.mm+=
Câu 28: Cho hàm s có bao nhiêu giá tr nguyên ca tham s thuộc đoạn
để giá tr nh nht ca nh hơn .
A. . B. . C. . D. .
Li gii
Chn C
Điu kin: luôn đúng .
.
Phương trình có nghiệm
.
Vy .
.
nên .
Câu 29: Gi là tp hp tt c các giá tr thc ca tham s sao cho giá tr nh nht ca hàm s
trên đoạn bng 2. Tng tt c các phn t ca bng
A. . B. . C. . D. .
Li gii
Chn B
Ta có
Nhn thy .
Xét hàm s trên , ta có:
sin 1
cos 2
mx
y
x
+
=
+
m
[ ]
5;5
y
1
4
2
6
8
cos 2 0x +≠
x∀∈
( )
sin 1
cos 2 sin 1
cos 2
mx
y y x mx
x
+
= += +
+
sin cos 2 1m xy x y −=
( )
22
2
22 2 2
2 13 2 13
21 3 41 0
33
mm
my y y y m y
−+ ++
+ +−
2
2 13
3
m
Min y
−+
=
2
22
2 2 2,82
2 13
1 1 13 5 8 0
3
2 2 2,82
m
m
Min y m
m
m
>≈
−+
<− <− + > >
<− ≈−
[ ]
, 5;5mm ∈−
}
{
5; 4; 3; 3; 4; 5m ∈−
S
m
( )
( )
2
3
34
32 1
fx
x xm
=
−+ +
[ ]
0;3
S
8
8
6
1
( )
2
33
32 32x xm x xm−+ = −+
[ ]
( )
0;3
min 2fx=
[ ]
( )
3
0;3
max 3 2 16 1x xm −+ =
( )
3
32gx x x m=−+
[ ]
0;3
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 18
+ ,
+
Do đó , tc .
T đây ta có
. Suy ra . Vy, tng các phn t ca .
Câu 30: Cho hàm s
( )
2
3
31y x xm= ++
. Tng tt c các giá tr ca tham s
m
sao cho giá tr nh
nht ca hàm s trên đoạn
[ ]
1;1
bng
1
A.
2
. B.
4
. C.
4
. D.
0
.
Li gii
Chn A
Đặt
( )
2
3
() 3 1y fx x x m= = ++
là hàm s xác định và liên tục trên đoạn
[ ]
1;1
.
Ta có
( )( )
32
() 2 3 1 3 3y fx x xm x
′′
= = ++
.
3
1
() 0
3 1 ()
x
fx
m x x gx
= ±
=
= + −=
.
Ta kho sát hàm s
()gx
trên đoạn
[ ]
1;1
.
Bng biến thiên ca
()gx
Nếu
[ ]
3;1m ∈−
thì luôn tn ti
[ ]
0
1;1x ∈−
sao cho
0
()m gx=
hay
0
()0fx =
. Suy ra
[ ]
1;1
min 0y
=
, tc là không tn ti
m
tha mãn yêu cu bài toán.
Nếu
[ ]
3;1m ∉−
thì
[ ]
( ) 0 1 1;1fx x
= =±∈−
.
Ta có:
[ ]
{ }
{ }
22
1;1
min ( ) min (1); ( 1) min ( 1) ; ( 3)fx f f m m
= −= +
( )
2
' 33gx x=
( )
2
' 3 30gx x= −=
( )
( )
1 0;3
1 0;3
x
x
=
=−∉
( ) ( ) ( )
0 2 , 1 2 2, 3 2 18g mg m g m= =−=+
( )
[ ]
2 2 2 18, 0;3m gx m x + ∀∈
[ ] [ ]
{ }
3
0;3 0;3
max 3 2 max 2 2 ; 2 18x xm m m−+ = +
( )
[ ]
{ }
0;3
1 max 2 2 ; 2 18 16mm +=
2 18 2 2
2 18 16
1
7
2 18 2 2
2 2 16
mm
m
m
m
mm
m
+>
+=
=
⇔⇔
=
+≤
−=
{ }
7; 1S =−−
S
8
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 19
Trưng hp 1:
1m >
tc là
3 10
mm
+> −>
suy ra
[ ]
2
1;1
2( )
min ( ) ( 1) 1
0( )
m TM
fx m
m KTM
=
=−=
=
Trưng hp 2:
3m <−
tc là
1 30mm−< +<
suy ra
[ ]
2
1;1
4( )
min ( ) ( 3) 1
2( )
m TM
fx m
m KTM
=
=+=
=
Vy có hai giá tr ca
m
tha mãn yêu cu bài toán:
2; 4mm= =
, t đó tổng tt c các giá tr
ca
m
2
.
Câu 31: Cho hàm s
(
)
( )
22
2 2 44 1y fx m x x x m
= = ++ + + +
. Tính tng tt c các giá tr ca
m
để hàm s
( )
y fx=
có giá tr nh nht bng
4
.
A.
7
2
. B.
5
2
. C.
1
2
. D.
1
2
.
Li gii
Chn C
TXĐ:
[ ]
2;2D =
.
Đặt
22txx= ++
;
2;2 2
t


.
22
4 24tx⇔=+
22
24 4xt −=
.
( )
( )
22
24 1y g t mt t m= = + ++
22
27t mt m= + +−
vi
2;2 2t


.
Ta có:
( )
2
4gt t m
= +
.
( )
2
0
4
m
gt t
= ⇔=
0; m< ∀∈
(
)
gt
đồng biến trên
2;2 2


( ) ( )
2;2 2
min 2
gt g


⇒=
4=
.
( )
2
22 1g mm= ++
2
2 14mm + +=
1
3
2
m
m
=
=
.
Tng các giá tr ca
m
tha mãn ycbt là
31
1
22
S

=+− =


.
Câu 32: Cho hàm s
( )
2
1
xm
fx
x
=
+
vi
2m ≠−
. Mệnh đề nào dưới đây sai?
A.
[ ]
( )
1;3
26
max max ;
24
mm
fx
−−

=


. B.
[ ]
( )
1;3
6
max
4
m
fx
=
khi
2m <−
.
C.
[ ]
( )
1;3
26
min min ;
24
mm
fx
−−

=


. D.
[ ]
( )
1;3
2
min
2
m
fx
=
khi
2m >−
.
Li gii
Chn B
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 20
Xét hàm s
(
)
2
1
xm
fx
x
=
+
vi
2m ≠−
.
Tập xác định
1x ≠−
.
Ta có
( )
( )
2
2
1
m
fx
x
+
=
+
suy đạo hàm không đổi du
[ ]
1; 3x
suy ra
[ ]
( )
( ) ( )
{ }
1;3
26
max max 1 ; 3 max ;
24
mm
fx f f
−−

= =


;
[
]
(
)
( )
(
)
{ }
1;3
26
min min 1 ; 3 min ;
24
mm
fx f f
−−

= =


.
Xét vi
2m <−
( )
0fx
⇒<
[ ]
1; 3x∀∈
. Vy
[
]
( )
( )
2
1; 3 1
2
m
x fx f
∀∈ =
[ ]
( )
1;3
2
max
2
m
fx
⇒=
.
Xét vi
2m
>−
( )
0fx
⇒>
[ ]
1; 3x∀∈
. Vy
[ ]
( ) ( )
2
1; 3 1
2
m
x fx f
∀∈ =
[ ]
( )
1;3
2
min
2
m
fx
⇒=
.
Câu 33: Có bao nhiêu s nguyên
m
thuc đon
[ ]
20 ; 20
để giá tr ln nht ca hàm s
6xm
y
xm
++
=
trên đoạn
[ ]
1;3
là s dương?
A. 9. B. 8. C. 11. D. 10.
Li gii
Chn A
Tập xác định
{ }
\.Dm=
Để m s có giá tr ln nht trên
[ ]
1;3
thì
[ ]
1;3 .m
( )
2
26
.
m
y
xm
−−
=
Trưng hp 1:
2 6 0 3.mm
> <−
Khi đó
[ ]
( )
1;3
9
max 3 .
3
x
m
yy
m
+
= =
Để giá tr ln nhất trên đoạn
[ ]
1;3
là s dương thì
9
0 9 0 9.
3
m
mm
m
+
>⇔ +>⇔ >
Vy các s nguyên
m
tha là
8,
7,
6,
5,
4.
Trưng hp 2:
2 6 0 3.mm < >−
Khi đó
[ ]
( )
1;3
7
max 1 .
1
x
m
yy
m
+
= =
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 21
Để giá tr ln nhất trên đoạn
[ ]
1;3
là s dương thì
7
0 1 0 1.
1
m
mm
m
+
>⇔ >⇔ <
Vy các s nguyên
m
tha mãn là
2,
1,
0.
Trưng hp 3:
2 6 0 3.mm
−= =
Khi đó
1.y =
Nên
[ ]
1;3
max 1.
x
y
=
Vy
3m =
tha.
Kết lun: có 9 s nguyên
m
tha mãn yêu cu bài toán.
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 153
BÀI 3: GIÁ TR NH NHT VÀ GIÁ TR LN NHT CA HÀM S
DẠNG 1. ĐỊNH M ĐỂ GTLN-GTNN CỦA HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI THỎA
MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC
Dng 1: Tìm
m
để
[ ]
( ) ( )
;
max 0 .y fx m a a
αβ
= += >
Phương pháp:
Cách 1:Trưc tiên tìm
[ ]
( )
[ ]
( ) ( )
;
;
max ; min .fx K fx kK k
αβ
αβ
= = >
Kim tra
{
}
max , .
2 22
mK mk mKmk Kk
mKmk
+ + + +−−
+ +≥ =
TH1:
.
2
Kk
a
Để
[ ]
{ }
;
max ;
mk a m ak
y a m a ka K
mK a maK
αβ
+ = =−−

= ∈−

+= =

.
TH2:
2
Kk
a
>
m ∈∅
.
Cách 2: Xét trưng hp
TH1:
mK a
Max m K
mK mk
+ =
=+⇔
+≥+
TH2:
mk a
Max m k
mk mK
+=
= +⇔
+≥ +
Dng 2: Tìm
m
để
[
]
( )
( )
;
min 0 .y fx m a a
αβ
= += >
Phương pháp:
Trưc tiên tìm
[ ]
( )
[ ]
( ) ( )
;
;
max ; min .fx K fx kK k
αβ
αβ
= = >
Để
[ ]
;
min .
00
mk a mK a mak m aK
ya
mk mK m k m K
αβ
+ = + = = =−−
 
=⇔∨ ⇔∨
 
+ > + < >− <−
 
Vy
12
.mS S∈∪
Dng 3: Tìm
m
để
[ ]
( )
;
max
y fx m
αβ
= +
không vượt quá giá tr
M
cho trước.
CHƯƠNG
I
NG DỤNG ĐẠO HÀM
ĐỂ KHẢO SÁT HÀM S
BÀI TP TRC NGHIM. (MC 9 10)
III
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 154
Phương pháp: Trưc tiên tìm
[ ]
( )
[ ]
( ) ( )
;
;
max ; min .fx K fx kK k
αβ
αβ
= = >
Để
[ ]
;
max .
mk M
yM MkmMK
mK M
αβ
+ ≥−
⇔−
+≤
Dng 4: Tìm
m
để
[ ]
( )
;
min y fx m
αβ
= +
không vượt quá giá tr
a
cho trước.
Phương pháp: Trưc tiên tìm
[
]
(
)
[ ]
(
)
( )
;
;
max ; min .fx K fx kK k
αβ
αβ
= = >
Để
[ ]
(
)(
)
;
min 0 .
00
mk a mK a mak m aK
y a mKmk K m k
mk mK m k m K
αβ
+ + ≥− ≥−
 
+ + < ∨− < <
 
+ + ≥− ≤−
 
Dang 5: Tìm
m
để
[
]
( )
;
max
ab
y fx m= +
đạt min.
Phương pháp:
Trưc tiên tìm
[ ]
( )
[ ]
( ) ( )
;
;
max ; min .
ab
ab
fx K fx kK k
= = >
Đề hi tìm
.
2
Kk
mm
+
⇒=
Đề hi tìm min ca
[ ]
;
max
ab
y
giá tr này là
.
2
Kk
Dng 6: Tìm
m
để
[ ]
( )
;
min
ab
y fx m= +
đạt min.
Phương pháp: Trưc tiên tìm
[
]
( )
[
]
( )
( )
;
;
max ; min .
ab
ab
fx K fx kK k
= = >
Đề hi tìm
( )( )
0m mKmk K m k + + ≤−
. Đề hi tìm min ca
[ ]
;
min
ab
y
giá tr này là
0.
Dng 7: Cho hàm s
( )
y fx m= +
.Tìm
m
để
[ ]
[ ]
( )
;
;
max .min 0
ab
ab
y h yh≤>
hoc
maxMin
+=
Phương pháp: Trưc tiên tìm
[
]
(
)
[
]
( )
( )
;
;
max ; min .
ab
ab
fx K fx kK k= = >
TH1:
1
cungdau
.
Km km
Km km
K m hk m m S
+ ≥+
++
+ + 
TH2:
2
cungdau
.
km Km
Km km
k m hK m m S
+≥+
++
+ + 
Vy
12
.mS S∈∪
Dng 8: Cho hàm s
( )
y fx m= +
.
Phương pháp: Trưc tiên tìm
[ ]
(
)
[ ]
(
) ( )
;
;
max ; min .
ab
ab
fx K fx kK k= = >
BT1: m
m
để
[ ]
[ ]
;
;
min max
ab
ab
y y mK mk
αα
+ = + + +=
.
BT2: m
m
để
[ ]
[ ]
;
;
min *max *
ab
ab
y y mK mk
ββ
= + +=
.
Câu 1: Tìm
m
để giá tr ln nht ca hàm s
3
321yx x m= −+
trên đoạn
[ ]
0; 2
là nh nht. Giá tr
ca
m
thuc khong nào?
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 155
A.
3
;1
2

−−


. B.
2
;2
3



. C.
[ ]
1; 0
. D.
( )
0;1
.
Câu 2: Tính tng tt c các giá tr ca tham s
m
sao cho giá tr ln nht ca hàm s
2
2y x xm
=−+
trên đoạn
[ ]
1; 2
bng
5
.
A.
1
. B.
2
. C.
2
. D.
1
.
Câu 3: Cho hàm s
2
24y x xa
= + +−
(
a
là tham s ). Tìm
a
để giá tr ln nht ca hàm s trên đoạn
[ ]
2;1
đạt giá tr nh nht
A.
1a =
. B.
3a =
. C.
2a =
. D.
5a =
.
Câu 4: Gi
S
là tp hp tt c các giá tr thc ca tham s
m
sao cho giá tr ln nht ca hàm s
2
1
x mx m
y
x
++
=
+
trên
[ ]
1; 2
bng
2
. S phn t ca tp
S
.
A.
3
. B.
1
. C.
4
. D.
2
.
Câu 5: Xét hàm s
( )
2
f x x ax b= ++
, vi
a
,
b
là tham s. Gi
M
là giá tr ln nht ca hàm s
trên
[ ]
1;3
. Khi
M
nhn giá tr nh nht có th được, tính
2ab+
.
A.
2
. B.
4
. C.
4
. D.
3
.
Câu 6: Cho hàm s
( )
32 2
1 27yxx m x= ++ + +
. Giá tr ln nht ca hàm s trên đoạn
[ ]
3; 1
−−
có giá
tr nh nht bng
A.
26
. B.
18
. C.
28
. D.
16
.
Câu 7: Có bao nhiêu giá tr thc ca tham s
m
để giá tr ln nht ca hàm s
2
24y x xm= + +−
trên đoạn
[
]
2;1
bng
4
?
A.
1
. B.
2
. C.
3
. D.
4
.
Câu 8: Gi
S
là tp tt c các giá tr nguyên ca tham s
m
sao cho giá tr ln nht ca hàm s
42
1 19
30 20
42
y x x xm= + +−
trên đoạn
[ ]
0; 2
không vượt quá
20
. Tng các phn t ca
S
bng
A.
210
. B.
195
. C.
105
. D.
300
.
Câu 9: Cho hàm s
4
1
x ax a
y
x
++
=
+
, vi
a
là tham s thc. Gi
,Mm
ln lưt là giá tr ln nht và giá
tr nh nht ca hàm s đã cho trên đoạn
[ ]
1; 2
. Có bao nhiêu giá tr nguyên ca tham s
a
để
2Mm
?
A.
10
. B.
14
. C.
5
. D.
20
.
Câu 10: Gi
S
là tp hp tt c các giá tr nguyên ca tham s thc
m
sao cho giá tr ln nht ca hàm
s
42
1
14 48 30
4
y x x xm= + +−
trên đoạn
[ ]
0; 2
không vượt quá
30
. Tng giá tr các phn t
ca tp hp
S
bng bao nhiêu?
A.
120
. B.
210
. C.
108
. D.
136
.
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 156
Câu 11: Cho hàm s
4 32
2
yx xxa
= ++
. Có bao nhiêu s thc
a
để
[
]
[ ]
1;2 1;2
min max 10
yy
+=
?
A. 3. B. 5. C. 2. D. 1.
Câu 12: Biết giá tr ln nht ca hàm s
( )
3
2 15 5 9y fx x x m x= = +−+
trên
[
]
0;3
bng
60
. Tính
tng tt c các giá tr ca tham s thc
m
.
A.
48
. B.
5
. C.
6
. D.
62
.
Câu 13: Cho hàm s
( )
4 32
2= ++fx x x x m
(
m
là tham s thc). Gi
S
là tp hp tt c các giá tr
ca
m
sao cho
[ ]
( )
[ ]
( )
1;2
1;2
min max 10
+=fx fx
. S phn t ca
S
là?
A.
2
. B.
3
. C.
5
. D.
1
.
Câu 14: Cho hàm s
42
23yx x m
=−+
vi
m
là tham s. Biết rằng có đúng hai giá trị
12
,mm
ca
m
để giá tr nh nht ca hàm s đã cho trên
[ ]
1; 2
bng 2021. Tính giá tr
12
mm
.
A.
1
3
. B.
4052
3
. C.
8
3
. D.
4051
3
.
Câu 15: Cho hàm s
(
)
32
31
fx x x m= ++
(
m
là tham s thc). Gi
S
là tp hp tt c các giá tr
nguyên ca
m
thuộc đoạn
[ ]
2020;2020
sao cho
[
]
(
)
[ ]
( )
1;4
1;4
max 3minfx fx
. S phn t ca
S
A.
4003
. B.
4002
. C.
4004
. D.
4001
.
DẠNG 2. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT HÀM ẨN, HÀM HỢP
Câu 16: Cho hàm s
( )
y fx=
xác định và liên tc trên
, đồ th ca hàm s
( )
y fx
=
như hình vẽ.
Giá tr ln nht ca hàm s
( )
y fx=
trên đoạn
[ ]
1; 2
A.
( )
1f
. B.
( )
1f
. C.
( )
2f
. D.
( )
0f
.
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 157
Câu 17: Cho hàm s
( )
y fx
=
đạo hàm là hàm
( )
fx
. Đồ th ca hàm s
(
)
y fx
=
được cho như
hình v. Biết rng
( )
( )
(
) (
)
0325
ffff+=+
. Giá tr nh nht, giá tr ln nht ca
( )
y fx=
trên đoạn
[ ]
0;5
lần lượt là:
A.
( )
2f
;
( )
5f
. B.
(
)
0
f
;
(
)
5
f
. C.
( )
2f
;
( )
0f
. D.
( )
1f
;
( )
5f
.
Câu 18: Cho hàm s
( )
fx
đạo hàm là
( )
fx
. Đồ th ca hàm s
( )
y fx
=
được cho như hình vẽ
bên. Biết rng
( )
(
) (
) (
)
( )
0 123 5 4ff fff+− =
. Tìm giá tr nh nht
m
và giá tr ln nht
M
ca
(
)
fx
trên đoạn
[
]
0;5
.
A.
( ) ( )
5, 3mf M f
= =
B.
( ) (
)
5, 1mf M f= =
C.
( )
( )
0, 3mf M f
= =
D.
( ) ( )
1, 3mf M f
= =
Câu 19: Cho hàm s
( )
y fx=
có bng biến thiên như hình dưới đây. Tìm giá tr ln nht ca hàm s
(
)
( )
2 32
11
4 38
33
gx f x x x x x= + ++
trên đoạn
[ ]
1;3
.
A. 15. B.
25
3
. C.
19
3
. D. 12.
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 158
Câu 20: Cho hàm s
( )
y fx=
liên tc trên
.
Đồ th ca hàm s
( )
y fx
=
như hình bên. Đặt
( ) ( ) ( )
2
2 1.gx f x x= −+
Mệnh đề dưới đây đúng.
A.
[ ]
( ) ( )
3;3
max 3 .gx g
=
B.
[ ]
( ) ( )
3;3
min 1 .gx g
=
C.
[ ]
( ) ( )
3;3
max 0 .gx g
=
D.
[ ]
( ) ( )
3;3
max 1 .gx g
=
Câu 21: Cho hàm s đạo hàm cp hai trên . Biết , và bng xét
du ca như sau:
Hàm s đạt giá tr nh nht tại điểm thuc khoảng nào sau đây?
A.
( )
; 2017−∞
B.
( )
2017;+∞
C.
( )
0; 2
D.
( )
2017;0
Câu 22: Cho hàm s
( )
fx
đạo hàm là
( )
fx
. Đồ th ca hàm s
( )
y fx
=
được cho như hình vẽ
dưới đây:
Biết rng
( ) ( ) ( ) ( )
1012f f ff−+ < +
. Giá tr nh nht và giá tr ln nht ca hàm s
( )
y fx=
trên đoạn
[ ]
1;2
lần lượt là:
A.
( )
1f
;
( )
2f
. B.
( )
2f
;
( )
0f
. C.
( )
0f
;
( )
2f
. D.
( )
1f
;
( )
1f
.
Câu 23: Cho hàm s
( )
y fx=
liên tục trên đoạn
7
0;
2



có đồ th hàm s
( )
'y fx=
như hình vẽ.
( )
y fx=
( )
03f
=
( )
2 2018f
=
( )
fx
′′
( )
2017 2018y fx x=++
0
x
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 159
Hàm s
( )
y fx=
đạt giá tr nh nhất trên đoạn
7
0;
2



ti đim
0
x
nào dưới đây?
A.
0
0x =
. B.
0
7
2
x =
. C.
0
1x =
. D.
0
3x =
.
Câu 24: Cho hàm s
( )
y fx=
. Đồ th hàm
( )
y fx
=
như hình vẽ
Đặt
( ) ( )
3
33hx f x x x
= −+
. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A.
(
)
[ 3; 3]
max ( ) 3 1hx f
=
. B.
( )
[ 3; 3]
max ( ) 3 3hx f
=
.
C.
( )
[ 3; 3]
max ( ) 3 3
hx f
=
. D.
(
)
[ 3; 3]
max ( ) 3 0hx f
=
.
Câu 25: Cho hàm s
( )
y fx=
đ th
( )
y fx
=
hình v bên. Xét hàm s
( ) ( )
32
133
2018,
342
gx f x x x x= ++
mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
[ ]
( ) ( )
3;1
min 1gx g
=
. B.
[ ]
( )
( ) (
)
3;1
31
min
2
gg
gx
−+
=
.
C.
[ ]
( ) ( )
3;1
min 3gx g
=
. D.
[ ]
(
) ( )
3;1
min 1gx g
=
.
Câu 26: Cho hàm s
(
)
y fx=
có đạo hàm liên tc trên
R
. Hàm s
( )
'y fx=
có đ th như hình sau:
-
2
-1
1
y
x
O
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 160
Cho bn mệnh đề sau:
1) Hàm s
( )
y fx=
có hai cc tr
2) Hàm s
( )
y fx=
đồng biến trên khong
( )
1;
+∞
3)
( ) ( )
(
)
1 2 4.ff f>>
4) Trên đoạn
[ ]
1; 4
, giá tr ln nht ca hàm s
( )
y fx=
(
)
1.
f
S mệnh đề đúng trong bốn mệnh đề trên là:
A.
3.
B.
1.
C.
4.
D.
2.
Câu 27: Cho hàm s
y fx
có bng biến thiên như hình dưới đây. Tìm giá trị ln nht ca hàm s
2 32
11
4 38
33
gx f x x x x x 
trên đoạn
1; 3 .
A.
25
.
3
B.
15.
C.
19
.
3
D.
12.
Câu 28: Cho hàm s
( )
y fx=
. Hàm s
( )
y fx
=
có bng biến thiên như hình vẽ bên. Giá tr ln nht
ca hàm s
( ) ( )
2
2 singx f x x=
trên đoạn
[ ]
1;1
A.
( )
1f
. B.
( )
0f
. C.
( )
2f
. D.
( )
1f
.
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 161
Câu 29: Cho hàm s
( )
y fx
=
liên tc trên
sao cho
[
]
(
)
1;2
max 3
fx
=
. Xét hàm s
( ) ( )
31
gx f x m= −+
. Tìm tt c các giá tr ca tham s
m
để
[
]
( )
0;1
max 10gx=
.
A.
13
. B.
7
. C.
13
. D.
1
.
Câu 30: Cho hàm s
( )
y fx=
có đạo hàm cp 2 trên
, hàm s
( )
y fx
=
có đồ th như hình vẽ bên.
Giá tr ln nht ca hàm s
sin 3 cos
2
xx
yf

+
=



trên đoạn
5
;
66
ππ



bng
A.
3
f
π



. B.
(
)
0f
. C.
5
6
f
π



. D.
6
f
π



.
Câu 31: Cho hàm s
(
)
y fx
=
liên tc trên
sao cho
[ ]
( ) (
)
0;10
max 2 4
x
fx f
= =
. Xét hàm s
( )
( )
32
2gx f x x x x m= +−++
. Giá tr ca tham s
m
để
A.
5
. B.
4
. C.
1
. D.
3
.
Câu 32: Cho hai hàm s
(
)
y fx=
,
(
)
y gx
=
có đo hàm là
( )
fx
,
( )
gx
. Đ th hàm s
( )
y fx
=
(
)
gx
được cho như hình vẽ bên dưới.
Biết rng
( )
( ) (
) ( )
0606f f gg
<−
. Giá tr ln nht, giá tr nh nht ca hàm s
( ) ( ) ( )
hx f x gx=
trên đoạn
[ ]
0;6
lần lượt là:
A.
(
)
6h
,
(
)
2h
. B.
( )
2h
,
(
)
6h
. C.
(
)
0h
,
( )
2h
. D.
( )
2h
,
(
)
0h
.
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 162
Câu 33: Cho hàm s
( )
fx
liên tc trên
, có đồ th như hình vẽ
Có tt c bao nhiêu giá tr nguyên ca tham s
m
để hàm s
2
8
1
1
x
yf m
x

= +−

+

có giá tr ln nhất không vượt quá
2020
?
A.
4029
. B.
4035
.
C.
4031
. D.
4041
.
Câu 34: Cho hàm s
( )
y fx=
liên tc trên
có đồ th
( )
y fx
=
như hình bên. Đặt
( ) ( ) ( )
2
21gx f x x= −−
.
Khi đó
( )
y gx=
đạt giá tr nh nhất trên đoạn
[ ]
3; 3
ti
A.
3x =
. B.
3x =
. C.
0x =
. D.
1x =
.
Câu 35: Cho hàm s
( )
fx
. Biết hàm s
( )
fx
đồ th như hình dưới đây. Trên
[ ]
4;3
, hàm s
( ) ( ) ( )
2
21gx f x x= +−
đạt giá tr nh nht ti đim
A.
3x =
. B.
4x =
. C.
3x =
. D.
1x =
.
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 163
Câu 36: Cho hàm s
( )
y fx=
đạo hàm cp hai trên
. Biết
( ) ( ) ( )
0 3, 2 2018 0f ff
′′
= =−=
, và
bng xét du ca
( )
fx
′′
như sau
Hàm s
( )
1 2018y fx= −−
đạt giá tr nh nht ti
0
x
thuc khoảng nào sau đây?
A.
( )
; 2015−∞
. B.
( )
1; 3
. C.
( )
1009;2
. D.
( )
2015;1
.
Câu 37: Cho hàm s
( )
y fx=
đạo hàm cp hai trên
. Biết
( )
03f
=
,
( )
2 2020f
=
,
( )
lim
x
fx
−∞
= −∞
và bng xét du ca
( )
fx
′′
như hình sau:
Hàm s
( )
2019 2020y fx x=++
đạt giá tr nh nht tại điểm
0
x
thuc khoảng nào sau đây?
A.
( )
; 2019−∞
. B.
( )
0; 2
. C.
( )
2019;0
. D.
( )
2019;+∞
.
DẠNG 3. ỨNG DỤNG GTLN-GTNN GIẢI BÀI TOÁN THỰC TẾ
Câu 38: Cho s
0>a
. Trong s các tam giác vuông có tng mt cnh góc vuông và cnh huyn bng
a
, tam giác có din tích ln nht bng
A.
2
3
3
a
. B.
2
3
6
a
. C.
2
3
9
a
. D.
2
3
18
a
.
Câu 39: Mt loi thuốc được dùng cho mt bệnh nhân và nồng độ thuc trong máu ca bệnh nhân được
giám sát bi bác sĩ. Biết rng nồng độ thuc trong máu ca bệnh nhân sau khi tiêm vào thể
trong
t
gi đưc cho bi công thc
( )
2
1
t
ct
t
=
+
( )
/mg L
. Sau khi tiêm thuốc bao lâu thì nồng
độ thuc trong máu ca bệnh nhân cao nhất?
A. 4 gi. B. 1 gi. C. 3 gi. D. 2 gi.
Câu 40: Cho mt tm nhôm hình vuông cnh
12
cm. Người ta ct bn góc ca tấm nhôm đó bốn hình
vuông bng nhau, mi hình vuông có cnh bng
x
, ri gp tm nm lại như hình vẽ dưới đây
để được mt cái hp không np. Tìm
x
để hp nhận được có th tích ln nht.
A.
3x =
B.
2x =
C.
4x =
D.
6x =
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 164
Câu 41: Mt si dây có chiu dài
28m
được cắt thành hai đoạn để làm thành mt hình vuông và mt
hình tròn. Tính chiu dài của đoạn dây làm thành hình vuông đưc ct ra sao cho tng din tích
ca hình vuông và hình tròn là nh nht?
A.
56
4
π
+
. B.
112
4
π
+
. C.
84
4
π
+
. D.
92
4
π
+
.
Câu 42: Cho mt tm nhôm hình ch nht có chiu dài bng
10cm
và chiu rng bng
8cm
. Người ta
ct b bn góc ca tấm nhôm đó bốn hình vuông bng nhau, mi hình vuông có cnh bng
( )
x cm
, ri gp tm nhôm li đ được mt cái hp không np. Tìm
x
để hp nhận được có th
tích ln nht.
A.
8 2 21
3
x
=
B.
10 2 7
3
x
=
C.
9 21
9
x
+
=
. D.
9 21
3
x
=
Câu 43: Ông A d định s dng hết
2
5 m
nh để làm mt b cá bng kính có dng hình hp ch nht
không np, chiu dài gấp đôi chiều rng . B cá có dung tích ln nht bng bao nhiêu ?
A.
3
1, 01 m
. B.
3
0,96 m
. C.
3
1, 33 m
. D.
3
1, 51 m
.
Câu 44: Một người nông dân 15.000.000 đồng mun làm mt cái hàng rào hình ch E dc theo mt
con sông để làm một khu đất có hai phn ch nht đ trồng rau. Đối vi mt hàng rào song song
vi b sông thì chi phí nguyên vt liu là 60.000 đồng một mét, còn đối vi ba mt hàng rào song
song nhau thì chi phí nguyên vt liệu là 50.000 đồng mt mét. Tìm din tích ln nht ca đt rào
thu được
A.
2
3125m
. B.
2
50m
. C.
2
1250m
. D.
2
6250m
.
Câu 45: Ông Khoa muốn xây một cái b chứa nước ln dng mt khi hp ch nht không np có th
tích bng
3
288m
. Đáy bể là hình ch nht có chiu dài gấp đôi chiều rộng, giá thuê nhân công
để xây bể
500000
đồng/
2
m
. Nếu ông Khoa biết xác định các kích thước ca b hp lí thì chi
phí thuê nhân công sẽ thp nht. Hi ông Khoa tr chi phí thp nht đ xây dng b đó bao
nhiêu ?
A.
90
triệu đồng. B.
168
triệu đồng. C.
54
triệu đồng. D.
108
triệu đồng.
Câu 46: Một người nông dân có 3 tấm lưi thép B40, mi tm dài
( )
12 m
và mun rào mt mảnh vườn
dc b sông có dạng hình thang cân
ABCD
như hình vẽ . Hi ông ta có th rào được mảnh vườn
có din tích ln nht là bao nhiêu
2
m
?
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 165
A.
100 3
. B.
106 3
. C.
108 3
. D.
120 3
.
Câu 47: Cho nửa đường tròn đường kính
2AB =
hai điểm
C
,
D
thay đi trên nửa đường tròn đó
sao cho
ABCD
là hình thang. Din tích ln nht ca hình thang
ABCD
bng
A.
1
2
. B.
33
4
. C.
1
. D.
33
2
.
Câu 48: Một người đàn ông muốn chèo thuyn v trí
A
ti đim
B
v phía h lưu b đối din, càng
nhanh càng tt, trên mt b sông thng rng
3 km
. Anh có th chèo thuyn ca mình trc tiếp
qua sông để đến
C
sau đó chạy đến
B
, hay có th chèo trc tiếp đến
B
, hoc anh ta có th
chèo thuyn đến một điểm
D
gia
C
B
sau đó chạy đến
B
. Biết anh y có th chèo
thuyn
6 km/ h
, chy
8 km/ h
và quãng đường
8 kmBC =
. Biết tc đ của dòng nước là không
đáng kể so vi tc đ chèo thuyn của người đàn ông. Tính khoảng thi gian ngn nht đ người
đàn ông đến
B
.
A.
3
2
. B.
9
7
. C.
73
6
. D.
7
1
8
+
.
DẠNG 4. DÙNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ
NHẤT CỦA BIỂU THỨC
Câu 49: Cho ba s thc
,,xyz
tha mãn
0, 0, 1
xyz≥≥
,
2xyz++=
.Biết giá tr ln nht ca biu
thc
P xyz=
bng
a
b
vi
*
,ab
a
b
là phân số ti gin. Giá tr ca
2ab+
bng
A.
5
. B.
43
. C.
9
. D.
6
.
Câu 50: Cho
22
2x xy y−+=
. Giá tr nh nht ca
22
P x xy y=++
bng:
A.
2
3
B.
1
6
C.
1
2
D.
2
Câu 51: Cho
x
,
y
là các s thc tha mãn
122xy x y+ = −+ +
. Gi
M
,
m
ln t là giá tr ln
nht và nh nht ca
( )( )
22
2 1 1 84Px y x y xy= + + + + + −−
. Tính giá tr
Mm+
A.
42
B.
41
C.
43
D.
44
Câu 52: Cho
x
,
0y >
tha mãn
3
2
xy+=
và biu thc
41
4
P
xy
= +
đạt giá tr nh nht. Tính
22
xy+
.
C
D
B
A
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 166
A.
153
100
. B.
5
4
. C.
2313
1156
. D.
25
16
.
Câu 53: Cho
,0xy>
5
4
xy+=
sao cho biu thc
41
4
P
xy
= +
đạt giá tr nh nhất. Khi đó
A.
22
25
32
xy+=
. B.
22
17
16
xy+=
. C.
22
25
16
xy+=
. D.
22
13
16
xy+=
.
Câu 54: Xét các s thực dương
, ,
xyz
tha mãn
4xyz++=
5xy yz zx++=
. Giá tr nh nht ca
biu thc
( )
3 33
111
xyz
xyz

+ + ++


bng:
A.
20
. B.
25
. C.
15
. D.
35
.
Câu 55: Cho
,xy
là các s thực dương thỏa mãn
(
)
(
)(
)
22
22
x y xy x y xy
+ +=+ +
. Giá tr nh nht ca
biu thc
33 22
33 22
49
xy xy
P
yx yx

= +− +


.
A.
25
4
. B.
5
. C.
23
4
. D.
13
.
Câu 56: Cho các s thực dương
x
,
y
tha mãn
5
2
4
xy+=
. Tìm giá tr nh nht
min
P
ca biu thc
21
4
P
xy
= +
.
A.
min
34
5
P =
. B.
min
65
4
P
=
. C.
min
P
không tn ti. D.
min
5P =
.
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 1
BÀI 3: GIÁ TR NH NHT VÀ GIÁ TR LN NHT CA HÀM S
DẠNG 1. ĐỊNH M ĐỂ GTLN-GTNN CỦA HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI THỎA
MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC
Dng 1: Tìm
m
để
[ ]
( ) ( )
;
max 0 .y fx m a a
αβ
= += >
Phương pháp:
Cách 1:Trưc tiên tìm
[ ]
( )
[ ]
( ) ( )
;
;
max ; min .fx K fx kK k
αβ
αβ
= = >
Kim tra
{
}
max , .
2 22
mK mk mKmk Kk
mKmk
+ + + +−−
+ +≥ =
TH1:
.
2
Kk
a
Để
[ ]
{ }
;
max ;
mk a m ak
y a m a ka K
mK a maK
αβ
+ = =−−

= ∈−

+= =

.
TH2:
2
Kk
a
>
m ∈∅
.
Cách 2: Xét trưng hp
TH1:
mK a
Max m K
mK mk
+ =
=+⇔
+≥+
TH2:
mk a
Max m k
mk mK
+=
= +⇔
+≥ +
Dng 2: Tìm
m
để
[
]
( )
( )
;
min 0 .y fx m a a
αβ
= += >
Phương pháp:
Trưc tiên tìm
[ ]
( )
[ ]
( ) ( )
;
;
max ; min .fx K fx kK k
αβ
αβ
= = >
Để
[ ]
;
min .
00
mk a mK a mak m aK
ya
mk mK m k m K
αβ
+ = + = = =−−
 
=⇔∨ ⇔∨
 
+ > + < >− <−
 
Vy
12
.mS S∈∪
Dng 3: Tìm
m
để
[ ]
( )
;
max
y fx m
αβ
= +
không vượt quá giá tr
M
cho trước.
CHƯƠNG
I
NG DỤNG ĐẠO HÀM
ĐỂ KHẢO SÁT HÀM S
BÀI TP TRC NGHIM. (MC 9 10)
III
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 2
Phương pháp: Trưc tiên tìm
[ ]
( )
[ ]
( ) ( )
;
;
max ; min .fx K fx kK k
αβ
αβ
= = >
Để
[ ]
;
max .
mk M
yM MkmMK
mK M
αβ
+ ≥−
⇔−
+≤
Dng 4: Tìm
m
để
[ ]
( )
;
min y fx m
αβ
= +
không vượt quá giá tr
a
cho trước.
Phương pháp: Trưc tiên tìm
[
]
(
)
[ ]
(
)
( )
;
;
max ; min .fx K fx kK k
αβ
αβ
= = >
Để
[ ]
(
)(
)
;
min 0 .
00
mk a mK a mak m aK
y a mKmk K m k
mk mK m k m K
αβ
+ + ≥− ≥−
 
+ + < ∨− < <
 
+ + ≥− ≤−
 
Dang 5: Tìm
m
để
[
]
( )
;
max
ab
y fx m= +
đạt min.
Phương pháp:
Trưc tiên tìm
[ ]
( )
[ ]
( ) ( )
;
;
max ; min .
ab
ab
fx K fx kK k
= = >
Đề hi tìm
.
2
Kk
mm
+
⇒=
Đề hi tìm min ca
[ ]
;
max
ab
y
giá tr này là
.
2
Kk
Dng 6: Tìm
m
để
[ ]
( )
;
min
ab
y fx m= +
đạt min.
Phương pháp: Trưc tiên tìm
[
]
( )
[
]
( )
( )
;
;
max ; min .
ab
ab
fx K fx kK k
= = >
Đề hi tìm
( )( )
0m mKmk K m k + + ≤−
. Đề hi tìm min ca
[ ]
;
min
ab
y
giá tr này là
0.
Dng 7: Cho hàm s
( )
y fx m= +
.Tìm
m
để
[ ]
[ ]
( )
;
;
max .min 0
ab
ab
y h yh≤>
hoc
maxMin
+=
Phương pháp: Trưc tiên tìm
[
]
(
)
[
]
( )
( )
;
;
max ; min .
ab
ab
fx K fx kK k= = >
TH1:
1
cungdau
.
Km km
Km km
K m hk m m S
+ ≥+
++
+ + 
TH2:
2
cungdau
.
km Km
Km km
k m hK m m S
+≥+
++
+ + 
Vy
12
.mS S∈∪
Dng 8: Cho hàm s
( )
y fx m= +
.
Phương pháp: Trưc tiên tìm
[ ]
(
)
[ ]
(
) ( )
;
;
max ; min .
ab
ab
fx K fx kK k= = >
BT1: m
m
để
[ ]
[ ]
;
;
min max
ab
ab
y y mK mk
αα
+ = + + +=
.
BT2: m
m
để
[ ]
[ ]
;
;
min *max *
ab
ab
y y mK mk
ββ
= + +=
.
Câu 1: Tìm
m
để giá tr ln nht ca hàm s
3
321yx x m= −+
trên đoạn
[ ]
0; 2
là nh nht. Giá tr
ca
m
thuc khong nào?
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 3
A.
3
;1
2

−−


. B.
2
;2
3



. C.
[ ]
1; 0
. D.
( )
0;1
.
Li gii
Chọn D
Xét hàm s
( )
3
321
y fx x x m= =−+
trên đoạn
[
]
0; 2
.
Ta có
(
)
[ ]
2
1 0; 2
' 3 30
1
x
fx x
x
=−∉
= −=
=
.
Ta có
( )
021fm=
,
( )
22 1fm= +
Suy ra
[ ]
( )
{
} { }
0;2
2 1;2 3;2 1 2 3;2 1max f x max m m m max m m P= += +=
.
Trưng hp 1: Xét
( )
1
2 3 2 1 44 2 0
2
mm m m + ⇔−
.
Khi đó
2 32
Pm
= −≥
,
1
2
m∀≤
. Suy ra
min
1
2
2
Pm=⇔=
.
Trưng hp 2: Xét
( )
1
2 3 2 1 44 2 0
2
mm m m
< + ⇔− < >
.
Khi đó
2 12
Pm
= +>
,
1
2
m∀>
. Suy ra
min
P
không tn ti.
Vy
1
2
m =
.
Câu 2: Tính tng tt c các giá tr ca tham s
m
sao cho giá tr ln nht ca hàm s
2
2y x xm=−+
trên đoạn
[ ]
1; 2
bng
5
.
A.
1
. B.
2
. C.
2
. D.
1
.
Li gii
Ta có
2
22
2
x
y
x xm
=
−+
,
01yx
=⇒=
.
Do đó yêu cầu bài toán tương đương
( ) ( ) ( )
{ }
max 1 , 2 , 1 5y yy−=
.
{ }
max 3 , , 1 5
mmm + −=
.
+ Trưng hp
1m ≥−
, ta có
{ }
max 3 , , 1 5 3 5 2mmm m m+ =⇔+ = =
.
+ Trưng hp
1m <−
ta có
{ }
max 3 , , 1 5 1 5 4mmm m m+ =⇔ −=⇒ =
.
Vy tng các giá tr
m
bng
2
.
Câu 3: Cho hàm s
2
24y x xa= + +−
(
a
là tham s ). Tìm
a
để giá tr ln nht ca hàm s trên đoạn
[ ]
2;1
đạt giá tr nh nht
A.
1
a =
. B.
3a =
. C.
2a =
. D.
5a =
.
Li gii
m s đã cho xác định và liên tục trên đoạn
[ ]
2;1
.
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 4
Ta có:
( ) ( )
2
2
2 4 1 5 y x xa x a= + +− = + +−
Đặt
( )
[
]
[ ]
2
1 , 2;1 0; 4tx x a= + ∈−
.
c đó hàm s tr thành:
(
)
5ft t a=+−
vi
[ ]
0; 4t
.
Nên
( ) { }
{ }
0;4 0;4
2;1
0;4
max max max (0); (4) max 5 ; 1
tt
x
t
y ft f f a a
 


 


∈−
= = = −−
1 5 15
2
22
aa a a + −+
≥=
Đẳng thc xy ra khi
1 52 3aa a−= = =
.
Do đó giá tr nh nht ca
( )
0;4
max
t
ft


2
khi
3a =
.
Câu 4: Gi
S
là tp hp tt c các giá tr thc ca tham s
m
sao cho giá tr ln nht ca hàm s
2
1
x mx m
y
x
++
=
+
trên
[ ]
1; 2
bng
2
. S phn t ca tp
S
A.
3
. B.
1
. C.
4
. D.
2
.
Li gii
Chn D
Xét
2
1
x mx m
y
x
++
=
+
. Ta có:
( )
( )
2
2
2
1
xx
fx
x
+
=
+
,
( )
[ ]
[ ]
0 1; 2
0
2 1; 2
x
fx
x
=
=
=−∉
.
(
)
( )
[ ]
1;2
21 34 2134
1 ,f 2 max ;
2 3 23
x
m m mm
fy
+ + + +
= = ⇒=


.
Trưng hp 1:
[ ]
1;2
3
21
2
max 2
5
2
2
x
m
m
y
m
=
+
= =
=
.
• Vi
3 3 4 17
2
2 36
m
m
+
=⇒=>
• Vi
5 3 47
2
2 36
m
m
+
=−⇒ = <
Trưng hp 2:
[ ]
1;2
2
3 46
34
3
max 2
3 4 6 10
3
3
x
m
m
m
y
m
m
=
+=
+
==⇒⇔
+=
=
.
• Vi
2 2 17
2
3 26
m
m
+
=⇒=<
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 5
• Vi
10 2 1 17
2
3 26
m
m
+
=−⇒ =>
Vy có
2
giá tr ca
m
tha mãn.
Câu 5: Xét hàm s
( )
2
f x x ax b= ++
, vi
a
,
b
là tham s. Gi
M
là giá tr ln nht ca hàm s
trên
[ ]
1;3
. Khi
M
nhn giá tr nh nht có th được, tính
2ab+
.
A.
2
. B.
4
. C.
4
. D.
3
.
Li gii
Xét hàm s
( )
2
f x x ax b= ++
. Theo đề bài,
M
là giá tr ln nht ca hàm s trên
[ ]
1;3
.
Suy ra
(
)
(
)
(
)
1
3
1
Mf
Mf
Mf
≥−
1
93
1
M ab
M ab
M ab
≥−+
≥+ +
≥++
4 1 93 21M ab ab ab −+++ ++−−
1 9 3 2( 1 )ab ab ab
+++ ++
48M⇒≥
2M⇒≥
.
Nếu
2M =
thì điều kin cn là
1 93 1 2ab ab ab−+ = + + =−− =
1 ab−+
,
93ab++
,
1 ab
−−
cùng du
1 93 1 2
1 93 1 2
ab ab ab
ab ab ab
−+=+ +=−−=
−+=+ +=−−=
2
1
a
b
=
=
.
Ngưc li, khi
2
1
a
b
=
=
ta có, hàm s
( )
2
21fx x x= −−
trên
[ ]
1;3
.
Xét hàm s
(
)
2
21
gx x x
=−−
xác định và liên tc trên
[
]
1;3
.
( )
22gx x
=
;
( )
[ ]
0 1 1;3gx x
= =∈−
M
là giá tr ln nht ca hàm s
(
)
fx
trên
[ ]
1;3
( ) ( )
( )
{ }
max 1 ; 3 ; 1M g gg⇒=
=2
.
Vy
2
1
a
b
=
=
. Ta có:
24ab+=
.
Câu 6: Cho hàm s
(
)
32 2
1 27
yxx m x= ++ + +
. Giá tr ln nht ca hàm s trên đoạn
[ ]
3; 1
−−
có giá
tr nh nht bng
A.
26
. B.
18
. C.
28
. D.
16
.
Li gii
Chn B
Xét
( )
32 2
1 27ux x m x=++ + +
trên đoạn
[ ]
3; 1−−
ta có:
22
3 2 1 0,u x xm x
= + + +>
.
Do đó
[ ]
( )
2
3; 1
max 1 26A uu m
−−
= = −=
;
[ ]
( )
2
3; 1
min 3 6 3a uu m
−−
= = −=
.
Do
[ ]
{
}
22
3; 1
M max max 26 , 6 3y mm
−−
= = −−
22
4 3 26 6 3 72M mm +−
.
Vy
18M
.
Du bng xy ra khi
22
26 6 3 18 2 2mm m = =⇔=±
.
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 6
Câu 7: Có bao nhiêu giá tr thc ca tham s
m
để giá tr ln nht ca hàm s
2
24
y x xm
= + +−
trên đoạn
[
]
2;1
bng
4
?
A.
1
. B.
2
. C.
3
. D.
4
.
Li gii
( )
2
24fx x x m= + +−
( )
22fx x
= +
,
( )
01fx x
=⇔=
. Do đó
[
]
{
}
2
2;1
max 2 4 max 1 ; 4 ; 5x xm m m m
+ +−=
.
Ta thy
541mmm<−<−
vi mi
m
, suy ra
[ ]
2;1
max y
ch có th
5m
hoc
1m
.
Nếu
[ ]
2;1
max 5ym
=
thì
54
51
m
mm
−=
−≥
1m⇔=
.
Nếu
[
]
2;1
max 1ym
=
thì
14
15
m
mm
−=
−≥
5m⇔=
.
Vy
{ }
1; 5m
.
Câu 8: Gi
S
là tp tt c các giá tr nguyên ca tham s
m
sao cho giá tr ln nht ca hàm s
42
1 19
30 20
42
y x x xm= + +−
trên đoạn
[ ]
0; 2
không vượt quá
20
. Tng các phn t ca
S
bng
A.
210
. B.
195
. C.
105
. D.
300
.
Li gii
Xét hàm s
( )
42
1 19
30 20
42
gx x x x m= + +−
trên đoạn
[ ]
0; 2
Ta có
( )
3
19 30
gx x x
=−+
;
( )
[ ]
[ ]
5 0; 2
02
3 0; 2
x
gx x
x
=−∉
=⇔=
=
Bng biến thiên
( )
0 20gm=
;
(
)
26gm= +
.
Để
[ ]
( )
0;2
max 20gx
thì
( )
( )
0 20
2 20
g
g
20 20
6 20
m
m
−
+≤
0 14m⇔≤
.
m
nên
{ }
0;1;2;...;14m
.
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 7
Vy tng các phn t ca
S
105
.
Câu 9: Cho hàm s
4
1
x ax a
y
x
++
=
+
, vi
a
là tham s thc. Gi
,Mm
ln lưt là giá tr ln nht và giá
tr nh nht ca hàm s đã cho trên đoạn
[ ]
1; 2
. Có bao nhiêu giá tr nguyên ca tham s
a
để
2Mm
?
A.
10
. B.
14
. C.
5
. D.
20
.
Li gii
Chn B
Xét hàm s
44
11
x ax a x
ya
xx
++
= = +
++
.
Ta có
( )
43
2
4
34
0
3
1
0
x
xx
yy
x
x
=
+
′′
= ⇒=
+
=
.
Bng biến thiên
Da vào bng biến thiên suy ra
1 16
max ;
23
M aa

= ++


1 16
min ;
23
m aa

= ++


.
Trưng hp 1.
11
0
22
aa+ ≥−
16 16
33
11
22
Ma a
ma a
=+=+
=+=+
.
Khi đó
16 1 13
22
323
M ma a a

⇔+ +


.
Kết hợp điều kin, ta có
1 13
23
a≤≤
5
giá tr nguyên thỏa mãn điều kin.
Trưng hp 2.
11
22
16 16
0
33
16 16
33
Ma a
aa
ma a
= + =−−
+ ≤−
= + =−−
.
1 16 61
22
23 6
Mm a a a

−− −−


.
Kết hợp điều kin ta có
61 16
63
a ≤−
. Suy ra có
5
giá tr nguyên ca
a
tha mãn.
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 8
Trưng hp 3.
1
0
16 1
2
16
32
0
3
a
a
a
+<
< <−
+>
.
Nếu
1 16 1 16 35
2 3 2 3 12
a a aa a+ > + > + <−
thì
1
1 16 67
2
22
16
2 3 18
3
Ma
Mm a a a
ma
=−−

⇔− + ≤−


= +
.
Kết hợp điều kin, ta có
16 67
3 18
a < ≤−
. Suy ra có
2
giá tr nguyên ca
a
thỏa mãn điều
kin.
Nếu
1 16 1 16 35
2 3 2 3 12
a a aa a
+ + ⇔− + ≥−
thì
16
16 1 19
3
22
1
329
2
Ma
M ma a a
ma
= +

+ ≥−


=−−
.
Kết hợp điều kin, ta có
19 1
92
a <−
. Suy ra có
2
giá tr nguyên ca
a
thỏa mãn điều kin.
Vy có
14
giá tr nguyên ca
a
thỏa mãn điều kin.
Câu 10: Gi
S
là tp hp tt c các giá tr nguyên ca tham s thc
m
sao cho giá tr ln nht ca hàm
s
42
1
14 48 30
4
y x x xm= + +−
trên đoạn
[ ]
0; 2
không vượt quá
30
. Tng giá tr các phn t
ca tp hp
S
bng bao nhiêu?
A.
120
. B.
210
. C.
108
. D.
136
.
Li gii
Chn D
Đặt
42
1
( ) 14 48 30
4
fx x x x m
= + +−
là hàm s xác định và liên tc trên
[ ]
0; 2
.
Vi mi
[ ]
0; 2x
ta có
3
'( ) 0 28 48 0 2fx x x x= + =⇔=
.
Suy ra
[ ]
{ }
0;2
max ( ) max (0) ; (2)fx f f=
.
Theo đề
[
]
0;2
30 30
14 30
30 30
max ( ) 30
14 30
14 30
30 14
m
mm
m
fx
m
m
mm
−
+ ≤−
−

≤⇔
+≤
+

≤+
30 30 30 0 60
0 16
30 14 30 44 16
mm
m
mm
≤−

⇔≤

−≤+ −≤

.
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 9
Do
{ }
0;1;2;...;16 .m mS∈=
Vy tng tt c 17 giá tr trong tp
S
136
.
Câu 11: Cho hàm s
4 32
2yx xxa
= ++
. Có bao nhiêu s thc
a
để
[
]
[ ]
1;2 1;2
min max 10
yy
+=
?
A. 3. B. 5. C. 2. D. 1.
Li gii.
Chn C.
Đặt
4 32
2 ()
y x x x a fx= + +=
.
Xét hàm s
( )
4 32
2fx x x x a
= ++
Khi đó
32 2
1
( ) 4 6 2 2 (2 3 1) 0 0; ;1
2
fx x x x xx x x

= + = + =⇔∈


.
( )
[ ]
0, 1; 2
fx x
∀∈
(1) ; (2) 4f af a= = +
Ta có
[ ]
1; 2x∀∈
thì
{ }
{ }
max , 4
min ,0, 4
y aa
yaa
∈+
∈+
.
t các trưng hp
+
0 max 4;min 2 4 10 3a ya ya a a≥⇒ =+ = += =
, nhn.
+
4 max ;min 4 4 10 7a ya ya a a a = =−− −− = =
, nhn.
+
{
}
0
4 0 min 0; max 4;
40
a
a y ya a
a
<
⇔− < < = +
+>
4 10 6
10 10
aa
aa
+= =

⇒⇒

−= =

.
Vy tn ti hai giá tr
a
tha mãn.
Câu 12: Biết giá tr ln nht ca hàm s
( )
3
2 15 5 9y fx x x m x= = +−+
trên
[ ]
0;3
bng
60
. Tính
tng tt c các giá tr ca tham s thc
m
.
A.
48
. B.
5
. C.
6
. D.
62
.
Li gii
Chn C
[ ]
( ) ( )
[ ]
0;3
max 60 60, 0;3fx fx x
= ∀∈
[ ]
0
0;3x∃∈
sao cho
( )
0
60.
fx =
( )
33
60 2 15 5 9 60 2 15 5 60 9fx x xm x x xm x +−+ +−
[ ]
3 33
9 60 2 15 5 60 9 2 24 55 2 6 65, 0;3 .x x xm x x x m x x x−≤ + + −≤ ++
[ ]
3
2 6 65 29, 0;3xx x ++≥
nên
[ ]
3
2 6 65, 0;3 29.m xx x m≤− + +
Tương tự
3
2 24 55 23xx + ≤−
nên
[ ]
3
2 24 55 , 0;3 23.x x mx m + ≥−
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 10
Vy
23 29m
−≤≤
thì
( )
[ ]
60, 0;3 .
fx x ∀∈
Để
[ ]
0
0;3x
∃∈
sao cho
( )
0
60
fx =
thì
3
3
2 24 55
2 6 65
xx m
xx m
+ −=
++=
có nghim trên
[ ]
0;3 .
Hay
29
.
23
m
m
≤−
Vy
29
23
m
m
=
=
thì
[ ]
(
)
0;3
max 60.fx
=
Khi đó tổng các giá tr ca
m
29 23 6.−=
Câu 13: Cho hàm s
(
)
4 32
2
= ++fx x x x m
(
m
là tham s thc). Gi
S
là tp hp tt c các giá tr
ca
m
sao cho
[ ]
( )
[ ]
( )
1;2
1;2
min max 10
+=fx fx
. S phn t ca
S
là?
A.
2
. B.
3
. C.
5
. D.
1
.
Li gii
Chn A
Đặt
( )
( )
4 32 3 2
0
1
2 4 6 20
2
1
=
= + +⇒ = + = =
=
x
gx x x x m g x x x x x
x
Bng biến thiên ca hàm
(
)
gx
Da vào bng biến thiên ca
( )
gx
ta suy ra bng biến thiên ca
( ) ( )
4 32
2= = ++f x gx x x x m
. Ta có các trường hp sau:
Trưng hp 1:
0m
. Bng biến thiên ca
( ) ( )
4 32
2= = ++f x gx x x x m
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 11
Da vào bng biến thiên ta có
[ ]
( )
[ ]
( )
1;2
1;2
min max 10 4 10 3
+ = + += =fx fx m m m
Trưng hp 2:
11
00
16 16
< < + ⇔− < <mm m
. Bng biến thiên:
Da vào bng biến thiên ta có
[ ]
( )
[ ]
( )
1;2
1;2
min max 10 0 4 10 6
+ = ⇔+ += =fx fx m m
Trưng hp 3:
11
0
16 16
+ =⇔=
mm
. Tương tự ta có:
[
]
( )
[
]
( )
1;2
1;2
min max 10 0 4 10 6
+ = ⇔+ += =fx fx m m
Trưng hp 4:
11
0 44
16 16
+ < < + < <−mm m
. Bng biến thiên:
Da vào bng biến thiên ta có
[ ]
(
)
[ ]
( )
[
]
( )
[ ]
( )
( )
1;2
1;2
1;2
1;2
min max 10
0 4 10
6
0 10
10
min max 10
+=
+ +=
=
⇔⇔
+− =
=
+=
fx fx
m
m
m
m
fx fx
Trưng hp 5:
40 4+=⇔ =mm
. Ta có:
[ ]
( )
[ ]
( )
1;2
1;2
min max 10 0 10 10
+ = ⇔− = =fx fx m m
Trưng hp 6:
40 4+ < <−mm
. Ta có:
[ ]
( )
[ ]
( )
1;2
1;2
min max 10 4 10 7fx fx mm m
+ = ⇔− = =−
Vy
{ }
7;3m∈−
.
Câu 14: Cho hàm s
42
23yx x m=−+
vi
m
là tham s. Biết rằng có đúng hai giá trị
12
,mm
ca
m
để giá tr nh nht ca hàm s đã cho trên
[ ]
1; 2
bng 2021. Tính giá tr
12
mm
.
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 12
A.
1
3
. B.
4052
3
. C.
8
3
. D.
4051
3
.
Li gii
Chn D
Xét hàm s
( )
42
23fx x x m=−+
, ta có
( )
( )
32
4 44 1f x x x xx
= −=
(
)
0
0
1
x
fx
x
=
=
= ±
Bng biến thiên ca hàm s trên
[ ]
1; 2
:
[ ]
1;2
min 2021y
=
phương trình
( )
0
fx=
không có nghim thuc
[ ]
1; 2
.
Trưng hp 1 :
1
3 10
3
mm−> >
. Ta có
[ ]
1;2
min 3 1 3 1 2021ym m
= = −=
2022
3
m
⇔=
Trưng hp 2 :
8
3 80
3
mm+ < <−
. Ta có
[ ]
1;2
min 3 8 3 8 2021ym m
= + = −=
2029
3
m⇔=
.
Vy
12
2022 2029 4051
33 3
mm−= + =
.
Câu 15: Cho hàm s
( )
32
31fx x x m= ++
(
m
là tham s thc). Gi
S
là tp hp tt c các giá tr
nguyên ca
m
thuộc đoạn
[ ]
2020;2020
sao cho
[ ]
( )
[ ]
( )
1;4
1;4
max 3min
fx fx
. S phn t ca
S
A.
4003
. B.
4002
. C.
4004
. D.
4001
.
Li gii
Chn B
Xét hàm s
( ) ( )
32 2
3 1 36y fx x x m y f x x x
′′
= = + +⇒ = =
.
( )
( )
2
0
03 6 0
2
xl
fx x x
x
=
= −=
=
.
( ) ( ) ( )
1 1;2 3;417f mf m f m=−==+
.
[ ]
( )
[ ]
( )
1;4
1;4
max 17; min 3fx m fx m=+=
.
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 13
+Nếu
30 3mm
−≥
thì
[
]
( )
1;4
max 17
fx m
= +
,
[ ]
( )
1;4
min 3fx m=
. Khi đó:
[
]
(
)
[
]
(
)
(
)
1;4
1;4
max 3min 17 3 3 13fx fx m m m
+≤
.
+Nếu
17 0 17mm+ ≤−
thì
[ ]
( )
1;4
max 3fx m
=−+
,
[ ]
( )
1;4
min 17fx m=−−
.
Khi đó:
[
]
( )
[ ]
( ) ( )
1;4
1;4
max 3min 3 3 17 27fx fx m m m + ≤−
.
+Nếu
( )( )
3 17 0 17 3
mm m + < ⇔− < <
thì
[ ]
( )
{ }
{ }
[ ]
( )
1;4
1;4
max max 17 , 3 max 17,3 0;min 0fx m m m m fx= + −= + > =
.
Khi đó, không thỏa điều kin
[ ]
( )
[ ]
( )
1;4
1;4
max 3minfx fx
.
Do đó:
27
13
m
m
≤−
kết hp vi
[
]
2020;2020m ∈−
ta có
[ ] [ ]
2020; 27 13;2020m ∈−
Vy
4002
giá tr nguyên ca
m
cn tìm.
DẠNG 2. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT HÀM ẨN, HÀM HỢP
Câu 16: Cho hàm s
( )
y fx=
xác định và liên tc trên
, đồ th ca hàm s
( )
y fx
=
như hình vẽ.
Giá tr ln nht ca hàm s
(
)
y fx=
trên đoạn
[
]
1; 2
A.
( )
1f
. B.
( )
1f
. C.
( )
2f
. D.
(
)
0f
.
Li gii
( )
1
01
2
x
fx x
x
=
=⇔=
=
.
T đồ th hàm
y fx
ta có bng biến thiên
T đó suy ra giá trị ln nht ca hàm s trên
1; 2
1f
.
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 14
Câu 17: Cho hàm s
( )
y fx
=
đạo hàm là hàm
( )
fx
. Đồ th ca hàm s
(
)
y fx
=
được cho như
hình v. Biết rng
( )
( )
(
) (
)
0325
ffff+=+
. Giá tr nh nht, giá tr ln nht ca
( )
y fx=
trên đoạn
[ ]
0;5
lần lượt là:
A.
( )
2f
;
( )
5f
. B.
(
)
0
f
;
(
)
5
f
. C.
( )
2f
;
( )
0f
. D.
( )
1f
;
( )
5f
.
Li gii
Dựa vào đồ th hàm s
( )
fx
ta có bng biến thiên.
Khi đó:
( )
[
]
( )
( ) (
)
0;5
min 2
32
fx f
ff
=
>
,
( ) ( ) ( ) ( )
0325ffff+=+
( ) ( ) ( ) ( )
0225ffff⇒+<+
( ) ( )
05ff
⇒<
.
Vy giá tr nh nht, giá tr ln nht ca
( )
y fx=
trên đoạn
[ ]
0;5
lần lượt là:
( )
2f
;
(
)
5f
.
Câu 18: Cho hàm s
( )
fx
đạo hàm là
(
)
fx
. Đồ th ca hàm s
( )
y fx
=
được cho như hình vẽ
bên. Biết rng
( ) ( ) ( ) (
) ( )
0 123 5 4ff f ff+− =
. Tìm giá tr nh nht
m
và giá tr ln nht
M
ca
( )
fx
trên đoạn
[ ]
0;5
.
A.
( ) ( )
5, 3mf M f= =
B.
( ) ( )
5, 1mf M f= =
C.
(
) ( )
0, 3mf M f= =
D.
( ) ( )
1, 3mf M f= =
Li gii
Chn A
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 15
T đồ th ta có bng biến thiên ca
(
)
fx
trên đoạn
[ ]
0;5
( )
3
Mf⇒=
( ) ( ) ( ) ( )
1 3, 4 3f ff f<<
(
)
( )
( ) ( ) (
)
( )
(
) (
) (
)
5013430 50 5ff ffff f f mf
= + <⇒ < =
.
Câu 19: Cho hàm s
( )
y fx=
có bng biến thiên như hình dưới đây. Tìm giá tr ln nht ca hàm s
( )
( )
2 32
11
4 38
33
gx f x x x x x= + ++
trên đoạn
[ ]
1;3
.
A. 15. B.
25
3
. C.
19
3
. D. 12.
Li gii
( ) (
)
( )
22
42 4 6 8g x xf x x x x
′′
=− +−+
( )
( )
2
2 24 4x f xx x

= +−

.
Vi
[ ]
1;3x
thì
40x
−>
;
2
34 4xx−≤
nên
( )
2
40
f xx
−>
.
Suy ra
( )
2
24 4 0
f xx x
+−>
,
[ ]
1;3x∀∈
.
Bng biến thiên
Suy ra
[ ]
( ) ( )
1;3
max 2gx g=
( )
4 7 12f= +=
.
Câu 20: Cho hàm s
( )
y fx=
liên tc trên
.
Đồ th ca hàm s
( )
y fx
=
như hình bên. Đặt
( ) ( ) ( )
2
2 1.gx f x x= −+
Mệnh đề dưới đây đúng.
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 16
A.
[ ]
( ) ( )
3;3
max 3 .gx g
=
B.
[ ]
( ) ( )
3;3
min 1 .gx g
=
C.
[ ]
( ) ( )
3;3
max 0 .gx g
=
D.
[ ]
( ) ( )
3;3
max 1 .gx g
=
Li gii
Chn D
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
2 1 2 21gxfxx gxfx x
′′
= −+ = +
Dựa vào đồ th ta thy
( ) ( )
3
0 11
3
x
gx f x x x
x
=
′′
= = +⇔ =
=
vi
( ) ( ) ( )
; 3: 1 0x f x x gx
′′
−∞ < + <
vi
( ) ( ) ( )
3;1 : 1 0x f x x gx
′′
∈− > + >
,
vi
( ) ( ) ( )
1; 3 : 1 0x f x x gx
′′
< +⇒ <
vi
( ) ( ) ( )
3; : 1 0x f x x gx
′′
+∞ > + >
Bng biến thiên
Da vào bng biến thiên suy ra
[ ]
( ) ( )
3;3
max 1 .gx g
=
Câu 21: Cho hàm s đạo hàm cp hai trên . Biết , và bng xét
du ca như sau:
Hàm s đạt giá tr nh nht tại điểm thuc khoảng nào sau đây?
A.
( )
; 2017−∞
B.
( )
2017;+∞
C.
( )
0; 2
D.
( )
2017;0
( )
y fx=
( )
03f
=
( )
2 2018f
=
( )
fx
′′
( )
2017 2018y fx x=++
0
x
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 17
Li gii
Da vào bng xét du ca
( )
fx
′′
ta có bng biến thiên ca hàm s
(
)
fx
Đặt
2017tx= +
.
Ta có
( ) ( ) ( )
2017 2018 2018 2017.2018y f x x f t t gt=++ =+− =
.
( ) ( )
2018gt f t
′′
= +
.
Da vào bng biến thiên ca hàm s
( )
fx
suy ra phương trình
(
)
gt
có mt nghiệm đơn
( )
;0
α
−∞
và mt nghim kép
2t =
.
Ta có bng biến thiên
(
)
gt
Hàm s
( )
gt
đạt giá tr nh nht ti
( )
0
;0
t
α
= −∞
.
Suy ra hàm s đạt giá tr nh nht ti
0
x
( ) ( )
00
2017 ;0 ; 2017xx+ −∞ −∞
.
Câu 22: Cho hàm s
( )
fx
đạo hàm là
( )
fx
. Đồ th ca hàm s
(
)
y fx
=
được cho như hình vẽ
dưới đây:
Biết rng
(
) ( ) ( )
( )
1012f f ff−+ < +
. Giá tr nh nht và giá tr ln nht ca hàm s
( )
y fx=
trên đoạn
[ ]
1;2
lần lượt là:
A.
( )
1f
;
( )
2f
. B.
( )
2f
;
( )
0f
. C.
( )
0f
;
( )
2f
. D.
( )
1f
;
( )
1f
.
Li gii
(
)
2017 2018
y fx x=++
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 18
T đồ th ca hàm s
( )
y fx
=
ta có bng biến thiên ca hàm s
(
)
y fx=
trên đoạn
[ ]
1;2
như sau
Nhn thy
[ ]
( ) (
)
1;2
min 1fx f
=
.
Để tìm
[ ]
( )
1;2
max fx
ta so sánh
( )
1f
( )
2f
.
Theo gi thiết,
( ) (
)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1012 2 1 01
f f ff f f f f+<+>−
.
T bng biến thiên, ta có
(
)
( )
0 10
ff−>
. Do đó
( )
( ) ( ) ( )
2 10 2 1ff f f >⇔ >
.
Hay
[ ]
( ) ( )
1;2
max 2fx f
=
.
Câu 23: Cho hàm s
( )
y fx=
liên tục trên đoạn
7
0;
2



có đồ th hàm s
( )
'y fx=
như hình vẽ.
Hàm s
(
)
y fx=
đạt giá tr nh nhất trên đoạn
7
0;
2



ti đim
0
x
nào dưới đây?
A.
0
0x =
. B.
0
7
2
x =
. C.
0
1x =
. D.
0
3x =
.
Li gii
Chn D
Dựa vào đồ th hàm s
( )
'y fx=
ta có bng biến thiên trên đoạn
7
0;
2



như sau:
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 19
Do đó hàm số đạt giá tr nh nht ti
0
3x =
.
Câu 24: Cho hàm s
( )
y fx=
. Đồ th hàm
( )
y fx
=
như hình vẽ
Đặt
( ) ( )
3
33hx f x x x= −+
. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A.
( )
[ 3; 3]
max ( ) 3 1hx f
=
. B.
( )
[ 3; 3]
max ( ) 3 3hx f
=
.
C.
(
)
[ 3; 3]
max ( ) 3 3hx f
=
. D.
( )
[ 3; 3]
max ( ) 3 0hx f
=
.
Li gii
Chn B
Ta có:
( )
( )
2
3 33
hx f x x
′′
= −+
( ) ( )
( )
2
31hx f x x

′′
= −−

.
Đồ th hàm s
2
1yx=
là mt parabol có to đ đỉnh
( )
0; 1C
, đi qua
( )
3;2A
,
(
)
3;2
B
.
T đồ th hai hàm s
y fx
2
1yx=
ta có bng biến thiên ca hàm s
( )
y hx=
.
-
2
-1
1
y
x
O
-
h(x)
h
'
(x)
x
0
0
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 20
Vi
(
)
(
)
33 3
hf
−=
,
(
) (
)
33 3
hf
=
.
Vy
[ 3; 3]
max ( ) 3 3hx f

.
Câu 25: Cho hàm s
(
)
y fx
=
đ th
(
)
y fx
=
hình v bên. Xét hàm s
( ) ( )
32
133
2018,
342
gx f x x x x= ++
mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
[ ]
( ) ( )
3;1
min 1gx g
=
. B.
[ ]
( )
( ) ( )
3;1
31
min
2
gg
gx
−+
=
.
C.
[ ]
( ) ( )
3;1
min 3gx g
=
. D.
[ ]
( ) ( )
3;1
min 1gx g
=
.
Li gii
Chn A
Ta có
( ) ( ) ( )
22
33 33
22 22
gx fx x x fx x x

′′
= += +


.
V parabol
( )
2
33
:
22
Pyx x=+−
. Ta thy
( )
P
đi qua các điểm có to độ
(
)
3;3
,
(
)
1;2
,
( )
1;1
.
Trên khong
( )
3; 1−−
đồ th hàm s
( )
fx
nằm phía dưới
( )
P
nên
( ) ( )
2
33
0
22
f x x x gx

′′
< +−⇒ <


.
Trên khong
(
)
1;1
đồ th hàm s
( )
fx
nm phía trên
( )
P
nên
( ) ( )
2
33
0
22
f x x x gx

′′
> +−⇒ >


.
Trên khong
( )
1;+∞
đồ th hàm s
( )
fx
nằm phía dưới
( )
P
nên
( ) ( )
2
33
0
22
f x x x gx

′′
< +−⇒ <


.
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 21
Bng biến thiên
T bng biến thiên, ta có
[ ]
( ) ( )
3;1
min 1gx g
=
.
Câu 26: Cho hàm s
( )
y fx=
có đạo hàm liên tc trên
R
. Hàm s
( )
'y fx=
có đ th như hình sau:
Cho bn mệnh đề sau:
1) Hàm s
( )
y fx=
có hai cc tr
2) Hàm s
( )
y fx=
đồng biến trên khong
(
)
1; +∞
3)
( ) (
) ( )
1 2 4.ff f>>
4) Trên đoạn
[
]
1; 4
, giá tr ln nht ca hàm s
( )
y fx=
( )
1.f
S mệnh đề đúng trong bốn mệnh đề trên là:
A.
3.
B.
1.
C.
4.
D.
2.
Li gii
Chn D
Dựa vào đồ th ca hàm s
( )
'y fx=
ta thy:
( )
1
'0 1
4
x
fx x
x
=
=⇔=
=
( ) ( ) ( )
' 0 ; 1 1; 4fx x
< −∞
( ) ( ) ( )
' 0 1;1 4;fx x> +∞
Ta có bng biến thiên ca hàm s
( )
y fx=
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 22
Da vào bng biến thiên đáp án đúng là mệnh đề s
3
4
Câu 27: Cho hàm s
y fx
có bng biến thiên như hình dưới đây. Tìm giá trị ln nht ca hàm s
2 32
11
4 38
33
gx f x x x x x 
trên đoạn
1; 3 .
A.
25
.
3
B.
15.
C.
19
.
3
D.
12.
Li gii
Chn D
Ta có
22 2
4
4 .(4 2 x) x 6 8 2 2 (4 )
2
x
gx f xx x xf xx






Xét thy
22
1; 3 3 4 4 ( 4 ) 0x xx f xx

Mt khác
4
0
2
x
1; 3x

Suy ra
02
gx x

19 17 17 32
1 (3) (4) 5
3 3 33
19 19 19 34
(3) (3) (4) 5
3 3 33
(2) 5 7 12.
gf f
gf f
g
 
 

132gg g
Vy
1;3
max 12gx
ti
2.x
Câu 28: Cho hàm s
( )
y fx=
. Hàm s
( )
y fx
=
có bng biến thiên như hình vẽ bên. Giá tr ln nht
ca hàm s
( ) ( )
2
2 singx f x x=
trên đoạn
[
]
1;1
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 23
A.
(
)
1f
. B.
( )
0f
. C.
( )
2f
. D.
( )
1f
.
Li gii
Chn B
Ta có
[ ] [ ]
1;1 2 2; 2xx∈− ∈−
.
T bng biến thiên ca
( )
'y fx=
thì bng biến thiên
( )
y fx=
như sau:
Ta thy
[ ]
1;1x∈−
ta có
( ) ( )
( )
2
20
sin 0 sin 0
fx f
x
≤
≤=
, do đó
( ) ( ) ( )
00gx g f≤=
.
Du “=” xy ra khi
0x =
.
Câu 29: Cho hàm s
( )
y fx=
liên tc trên
sao cho
[
]
( )
1;2
max 3fx
=
. Xét hàm s
( ) ( )
31gx f x m= −+
. Tìm tt c các giá tr ca tham s
m
để
[
]
( )
0;1
max 10gx=
.
A.
13
. B.
7
. C.
13
. D.
1
.
Li gii
Chn C
Đặt
31ux
=
( ) ( )
gx fu m⇒=+
.
[
] [ ]
0;1 1;2xu ∈−
.
Do
( )
fx
liên tc trên
nên
[
]
(
)
[ ]
( )
( )
[
]
(
)
0;1 1; 2 1;2
max max max 3gx fu m fu m m
−−
= + = +=+
.
Để
[ ]
( )
0;1
max 10 13gx m= ⇔=
.
Câu 30: Cho hàm s
(
)
y fx=
có đạo hàm cp 2 trên
, hàm s
( )
y fx
=
có đồ th như hình vẽ bên.
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 24
Giá tr ln nht ca hàm s
sin 3 cos
2
xx
yf

+
=



trên đoạn
5
;
66
ππ



bng
A.
3
f
π



. B.
( )
0f
. C.
5
6
f
π



. D.
6
f
π



.
Li gii
Chn A
Đặt
sin 3 cos
sin
23
xx
tx
π
+

= = +


.
[ ]
5
; ; 1;1
6 6 3 22
xx t
ππ π ππ

∈− + ∈−


.
Dựa vào đồ th ca hàm s
( )
fx
, ta có bng biến thiên
Ta có:
[ ]
( )
5
1;1
;
66
sin 3 cos
max max
2
xx
f ft
ππ




+
=



0 sin 0
33
tx x
ππ

⇔= + = =


.
Vy
5
;
66
sin 3 cos
max
23
xx
ff
ππ
π




+

=





.
Câu 31: Cho hàm s
( )
y fx
=
liên tc trên
sao cho
[ ]
( ) ( )
0;10
max 2 4
x
fx f
= =
. Xét hàm s
( )
( )
32
2gx f x x x x m= +−++
. Giá tr ca tham s
m
để
A.
5
. B.
4
. C.
1
. D.
3
.
Li gii
Chn D
Đặt
3
tx x= +
. Vì
[ ] [ ]
0;2 0;10xt ⇒∈
.
Ta có:
[ ]
( )
[ ]
( )
[ ]
( )
[ ]
32 3 2
0;2 0;2 0;2 0;2
max max 2 max max 2
xx x x
gx fx x x xm fx x x x m
∈∈


= +−+ + ++ + +


CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 25
[ ]
( )
0;10
max 1
t
ft m
= ++
.
[
]
( )
0;10
max 1 4 1 5
x
fx m m m
++ = ++ = +
.
Suy ra:
[ ]
( )
0;2
1
max 5 1
2
x
x
gx m x
t
=
=+ ⇔=
=
.
Theo gi thiết, ta có:
[ ]
( )
0;2
max 8 5 8 3
x
gx m m
= += =
.
Câu 32: Cho hai hàm s
( )
y fx=
,
(
)
y gx=
có đo hàm là
( )
fx
,
(
)
gx
. Đ th hàm s
( )
y fx
=
( )
gx
được cho như hình vẽ bên dưới.
Biết rng
(
) (
)
( )
(
)
0606f f gg
<−
. Giá tr ln nht, giá tr nh nht ca hàm s
( ) (
)
( )
hx f x gx
=
trên đoạn
[
]
0;6
lần lượt là:
A.
( )
6h
,
( )
2h
. B.
(
)
2
h
,
( )
6h
. C.
( )
0h
,
(
)
2
h
. D.
(
)
2
h
,
( )
0
h
.
Li gii
Ta có
( )
( )
( )
hx f x gx
′′
=
.
( )
02
hx x
=⇔=
T đồ th ta có bng biến thiên:
( )
( ) ( )
( )
0606f f gg<−
( ) ( ) ( ) (
)
00 66fgfg−<
.
Hay
( ) ( )
06hh<
.
Vy
[ ]
( ) ( )
0;6
max 6hx h=
;
[ ]
( ) ( )
0;6
min 2hx h
=
.
Câu 33: Cho hàm s
( )
fx
liên tc trên
, có đồ th như hình vẽ
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 26
Có tt c bao nhiêu giá tr nguyên ca tham s
m
để hàm s
2
8
1
1
x
yf m
x

= +−

+

có giá tr ln nht
không vượt quá
2020
?
A.
4029
. B.
4035
. C.
4031
. D.
4041
.
Li gii
Chn C
Đặt
2
8
1
x
t
x
=
+
. Ta có:
( )
2
2
2
88
1
x
t
x
−+
=
+
;
01
tx
=⇔=±
.
BBT:
[ ]
4;4t ∈−
.
Hàm s
2
8
1
1
x
yf m
x

= +−

+

tr thành
(
) ( )
[ ]
1, 4;4gt f t m t= + ∈−
.
Đặt
( ) ( )
[
]
1, 4 ; 4ht f t m t= + ∈−
, ta có:
.
( ) ( )
00ht f t
′′
=⇔=
[ ]
[ ]
[ ]
4 4;4
2 4;4
2 4;4
t
t
t
= ∈−
= ∈−
= ∈−
.
Ta có:
( )
4 0,8 1 0,2h mm + −=
;
( )
46 1 5h mm
= + −= +
;
( )
2 1,6 1 0,6h mm + −= +
;
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 27
(
)
24 1 5
h mm=+ −=
.
[ ]
( )
4;4
Max Maxy ht
=
{ }
Max 5 ; 5
mm= +−
.
Yêu cu bài toán
5 2020
5 2020
m
m
+≤
−≤
2020 5 2020
2020 5 2020
m
m
+≤
−≤
2025 2015
2015 2025
m
m
≤≤
≤≤
2015 2015m⇔−
.
Vy có tt c
4031
giá tr nguyên ca tham s
m
tha mãn yêu cu bài toán.
Câu 34: Cho hàm s
( )
y fx=
liên tc trên
đồ th
( )
y fx
=
như hình bên. Đặt
(
) (
) (
)
2
21
gx f x x
= −−
.
Khi đó
(
)
y gx=
đạt giá tr nh nhất trên đoạn
[ ]
3; 3
ti
A.
3x =
. B.
3x =
. C.
0x =
. D.
1x =
.
Li gii.
Chn A
Ta có
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
2
21 2 1gx fxx gx fxx
′′
= −− = −−
. V đồ th hàm s
1yx=
trên cùng h
trc tọa độ với đồ th hàm s
( )
y fx
=
.
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 28
Dựa vào đồ th ta thy
+
(
)
( )
( ) ( ) (
)
( )
13
31
01 3; 013
dd
gx x g g gx x g g
′′
>⇒ > <⇒ >
∫∫
. Do đó
( )
y gx=
đạt giá tr nh nht
trên đoạn
[ ]
3; 3
ti
3x =
hoc
3x =
.
+ Phn hình phng gii hn bi
( )
; 1; 3; 1y fxy x x x
= =−=−=
có din tích lớn hơn phần hình phng
gii hn bi
( )
; 1; 1; 3y fxy x x x
= =−==
nên
( ) ( ) ( ) ( )
13
31
33ddgx x gx x g g
′′
> >−
∫∫
.
Vy
( )
y gx=
đạt giá tr nh nhất trên đoạn
[ ]
3; 3
ti
3x =
.
Câu 35: Cho hàm s
( )
fx
. Biết hàm s
( )
fx
đồ th như hình dưới đây. Trên
[ ]
4;3
, hàm s
( ) ( ) ( )
2
21gx f x x= +−
đạt giá tr nh nht ti đim
A.
3x =
. B.
4x =
. C.
3x =
. D.
1
x =
.
Li gii
Chn D
Xét hàm s
( ) ( ) ( )
2
21gx f x x= +−
trên
[ ]
4;3
.
Ta có:
( ) (
) ( )
2 21
gx f x x
′′
= −−
.
( ) ( )
01gx f x x
′′
=⇔=
. Trên đồ th hàm s
( )
fx
ta v thêm đường thng
1yx=
.
T đồ th ta thy
(
)
4
11
3
x
fx x x
x
=
=−⇔ =
=
.
Bng biến thiên ca hàm s
( )
gx
như sau:
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 29
Vy
[ ]
( ) ( )
4;3
min 1 1gx g x
= ⇔=
.
Câu 36: Cho hàm s
( )
y fx=
đạo hàm cp hai trên
. Biết
( ) ( ) ( )
0 3, 2 2018 0f ff
′′
= =−=
, và
bng xét du ca
( )
fx
′′
như sau
Hàm s
(
)
1 2018y fx= −−
đạt giá tr nh nht ti
0
x
thuc khoảng nào sau đây?
A.
(
)
; 2015−∞
. B.
( )
1; 3
. C.
( )
1009;2
. D.
( )
2015;1
.
Li gii.
Chn C
T bng xét du ca
( )
fx
′′
và gi thiết
( ) ( ) ( )
0 3, 2 2018 0f ff
′′
= =−=
suy ra bng biến thiên ca
hàm s
(
)
y fx
=
như sau
T đó suy ra bảng biến thiên ca hàm s
( )
y fx=
:
Hàm s
( )
1 2018y fx= −−
đạt giá tr nh nht khi và ch khi
1 2018 2018x −− =
( )
1 0 1 1009;2xx = = ∈−
.
Câu 37: Cho hàm s
( )
y fx=
đạo hàm cp hai trên
. Biết
( )
03f
=
,
( )
2 2020f
=
,
( )
lim
x
fx
−∞
= −∞
và bng xét du ca
(
)
fx
′′
như hình sau:
Hàm s
( )
2019 2020y fx x=++
đạt giá tr nh nht tại điểm
0
x
thuc khoảng nào sau đây?
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 30
A.
( )
; 2019
−∞
. B.
(
)
0; 2
. C.
( )
2019;0
. D.
( )
2019;
+∞
.
Li gii
Chn A
Theo gi thiết ta có
Ta có
(
)
2019 2020y fx
′′
=++
( )
0 2019 2020
y fx
′′
⇒= + =
.
T bng biến thiên trên ta có
2019 2019
0
2019 2 2017
x a xa
y
xx
+= =

=⇔⇔

+= =

, vi
0
a
<
.
T đó ta có bảng biến thiên ca hàm s
(
)
2019 2020
y fx x
=++
T bng biến thiên có hàm s
( )
2019 2020
y fx x=++
đạt giá tr nh nht ti
0
2019xa=
.
0a <
nên
( )
0
; 2019x −∞
.
DẠNG 3. ỨNG DỤNG GTLN-GTNN GIẢI BÀI TOÁN THỰC TẾ
Câu 38: Cho s
0>a
. Trong s các tam giác vuông có tng mt cnh góc vuông và cnh huyn bng
a
, tam giác có din tích ln nht bng
A.
2
3
3
a
. B.
2
3
6
a
. C.
2
3
9
a
. D.
2
3
18
a
.
Li gii
Chn D
Gi s tam giác
ABC
vuông
A
tha mãn yêu cầu đề bài.
Gi s
+=AB BC a
⇒=AB a BC
Đặt
0= <<;BC x x a
.
( )
2
22
2= −− = AC x a x ax a
Din tích tam giác
ABC
( )
2
11
2
22
= =−−.S AB AC a x ax a
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 31
Xét hàm s
(
)
(
)
2
1
2
2
=−−
f x a x ax a
( ) ( )
2
2
1
2
2
2

= +−



.
a
f x ax a a x
ax a
22 2
22 22
1 2 12 3
22
22

++−
= =


−−

.
ax a a ax a ax
xa xa
( )
2
0
3
=⇔=
a
fx x
.
Vy din tích ln nht ca tam giác
ABC
2
2a 3
3 18

= =


Sf a
.
Câu 39: Mt loi thuốc được dùng cho mt bệnh nhân và nồng độ thuc trong máu ca bệnh nhân được
giám sát bi bác sĩ. Biết rng nồng độ thuc trong máu ca bệnh nhân sau khi tiêm vào thể
trong
t
gi đưc cho bi công thc
( )
2
1
t
ct
t
=
+
( )
/mg L
. Sau khi tiêm thuốc bao lâu thì nồng
độ thuc trong máu ca bệnh nhân cao nhất?
A. 4 gi. B. 1 gi. C. 3 gi. D. 2 gi.
Li gii
Xét hàm s
( )
2
1
t
ct
t
=
+
,
( 0)t >
.
( )
(
)
2
2
2
1
1
t
ct
t
=
+
.
( )
1
0
1
t
ct
t
=
=
=
.
Vi
1t =
gi thì nồng độ thuc trong máu của bênh nhân cao nhất.
Câu 40: Cho mt tm nhôm hình vuông cnh
12
cm. Người ta ct bn góc ca tấm nhôm đó bốn hình
vuông bng nhau, mi hình vuông có cnh bng
x
, ri gp tm nm lại như hình vẽ dưới đây
để được mt cái hp không np. Tìm
x
để hp nhận được có th tích ln nht.
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 32
A.
3x
=
B.
2
x
=
C.
4x =
D.
6x =
Li gii
Chn B
Ta có :
( )
h x cm=
là đường cao hình hp
Vì tấm nhôm được gp li to thành hình hp nên cạnh đáy của hình hp là:
( )
12 2x cm
Vy diện tích đáy hình hộp
( )
( )
2
2
12 2S x cm
=
. Ta có:
( )
00
0;6
12 2 0 6
xx
x
xx
>>

⇔∈

−> <

Th tích ca hình hp là:
( )
2
.1
. 22VS x
h x= =
Xét hàm s:
( )
( )
2
. 12 2 0;6
yx x x= ∀∈
Ta có :
( )
( ) (
)(
)
2
' 12 2 4 12 2 12 2 12 6
y xx x x x= −=
;
( )
( )
' 0 12 2 . 12 6 0 2y xxx= =⇔=
hoc
6x =
.
Suy ra vi
2x =
thì th tích hp là ln nht và giá tr ln nhất đó là
( )
2 128y =
.
Câu 41: Mt si dây có chiu dài
28m
được cắt thành hai đoạn để làm thành mt hình vuông và mt
hình tròn. Tính chiu dài của đoạn dây làm thành hình vuông đưc ct ra sao cho tng din tích
ca hình vuông và hình tròn là nh nht?
A.
56
4
π
+
. B.
112
4
π
+
. C.
84
4
π
+
. D.
92
4
π
+
.
Li gii
Gi chiu dài của đoạn dây làm thành hình vuông là
x
(
m
)
=> chiu dài của đoạn dây làm thành hình tròn là
28 x
(
m
)
+) Din tích hình vuông là:
2
2
4 16
xx

=


+) Bán kính hình tròn là: R =
28
2
x
π
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 33
=> Din tích hình tròn:
2
2
2
28 784 56
.
24
x xx
R
ππ
ππ
−+

= =


+) Tng din tích hai hình:
22
2
784 56 4 14 196
16 4 16
x xx
xx
π
π π ππ
−+ +

+ = −+


Xét
2
4 14 196
()
16
fx x x
π
π ππ
+

= −+


. Nhn thy
()fx
đạt giá tr nh nht ti
2
b
x
a
= =
( )
14 16 112
.
24 4
π
ππ π
=
++
Vy chiu dài của đoạn dây làm thành hình vuông để tng din tích của hai hình đạt giá tr nh nht là
112
4
π
+
m
Câu 42: Cho mt tm nhôm hình ch nht có chiu dài bng
10cm
và chiu rng bng
8
cm
. Người ta
ct b bn góc ca tấm nhôm đó bốn hình vuông bng nhau, mi hình vuông có cnh bng
( )
x cm
, ri gp tm nhôm li đ được mt cái hp không np. Tìm
x
để hp nhận được có th
tích ln nht.
A.
8 2 21
3
x
=
B.
10 2 7
3
x
=
C.
9 21
9
x
+
=
. D.
9 21
3
x
=
Li gii
Chn D
Ta có :
(
)
h x cm=
là đường cao hình hp
Vì tấm nhôm được gp li to thành hình hp nên cạnh đáy của hình hp là:
( )
10 2
x cm
( )
82x cm
Vy diện tích đáy hình hộp
(
)( )
( )
2
10 2 8 2
S x x cm=−−
. Ta có:
( )
0
0
10 2 0 0;4
4
82 0
x
x
xx
x
x
>
>
> ⇔∈

<
−>
Th tích ca hình hp là:
(
) ( )
. 10 2 . 8 2.S
xV xxh −−= =
Xét hàm s:
( ) ( ) ( )
. 10 2 . 8 2 0; 4yx x xx= ∀∈
Ta có :
2
' 12 72 80yxx= −+
;
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 34
(
)
( )
9 21
4
3
'0
9 21
3
xl
y
xn
+
= >
=
=
.
Suy ra vi
9 21
3
x
=
thì th tích hp là ln nht và giá tr ln nht.
Câu 43: Ông A d định s dng hết
2
5 m
nh để làm mt b cá bng kính có dng hình hp ch nht
không np, chiu dài gấp đôi chiều rng . B cá có dung tích ln nht bng bao nhiêu ?
A.
3
1, 01
m
. B.
3
0,96 m
. C.
3
1, 33 m
. D.
3
1, 51 m
.
Li gii
Chn A
Gi
,xy
lần lượt là chiu rng và chiu cao ca b cá .
Ta có th tích b
2
2=V xy
.
Theo đề bài ta có:
2
2 2.2 2 5+ +=xy xy x
2
625+=xy x
2
52
6
⇔=
x
y
x
23
2
52 5 2
2
63
−−
⇒= =
x xx
Vx
x
2
56
3
⇒=
x
V
2
0 56 0
=⇔− =
Vx
5
6
⇔=x
x
3
ma
5 30
1, 01
27
⇒= mV
.
y
x
2
x
C
D
A
D'
B
C'
B'
A'
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 35
Câu 44: Một người nông dân 15.000.000 đồng mun làm mt cái hàng rào hình ch E dc theo mt
con sông để làm một khu đất có hai phn ch nht đ trồng rau. Đối vi mt hàng rào song song
vi b sông thì chi phí nguyên vt liệu là 60.000 đồng một mét, còn đối vi ba mt hàng rào song
song nhau thì chi phí nguyên vt liu là 50.000 đồng mt mét. Tìm din tích ln nht ca đt rào
thu được
A.
2
3125
m
. B.
2
50m
. C.
2
1250m
. D.
2
6250m
.
Li gii
Chn D
Gi
x
là chiu dài 1 mt hàng rào hình ch E .
Gi
y
là chiu dài mt hàng rào hình ch E song song vi b sông (
0y >
).
S tin phi làm là:
500 5
.3.50000 .60000 15.000.000
2
x
xy y
+ = ⇔=
.
Diện tích đất:
2
500 5 5
. . 250
22
x
S xy x x x
= = =
Ta có:
' 250 5Sx=
.
' 0 250 5 50.S xx= ⇔=
Bng biến thiên:
Vy:
( )
2
0;
max 6250 ( )Sm
+∞
=
khi
50.x =
Câu 45: Ông Khoa muốn xây một cái b chứa nước ln dng mt khi hp ch nht không np có th
tích bng
3
288m
. Đáy bể là hình ch nht có chiu dài gấp đôi chiều rộng, giá thuê nhân công
để xây bể
500000
đồng/
2
m
. Nếu ông Khoa biết xác định các kích thước ca b hp lí thì chi
phí thuê nhân công sẽ thp nht. Hi ông Khoa tr chi phí thp nht đ y dng b đó bao
nhiêu ?
A.
90
triệu đồng. B.
168
triệu đồng. C.
54
triệu đồng. D.
108
triệu đồng.
Li gii
Chn D
Theo bài ra ta có để chi phí thuê nhân công là thấp nht thì ta phải xây dựng b sao cho tng din tích
xung quanh và diện tích đáy là nhỏ nht.
Gọi ba kích thước ca b
a
,
2a
,
c
( ) ( )
( )
0, 0am cm>>
.
-
50
0
S'
S
0
x
+
+
0
6250
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 36
Ta có din tích cách mt cần xây là
22
24226S a ac ac a ac=++=+
.
Th tích b
2
.2 . 2 288V a ac a c= = =
2
144
c
a
=
.
Suy ra
2 22 2
3
2
144 864 432 432 432 432
2 6 . 2 2 3. 2 . . 216Sa a a a a
a a a a aa
=+ =+=++ =
.
Vy
2
min
216mS =
, khi đó chi phí thấp nht là
216.500000 108=
triệu đồng.
Câu 46: Một người nông dân có 3 tấm lưi thép B40, mi tm dài
( )
12 m
và mun rào mt mảnh vườn
dc b sông có dạng hình thang cân
ABCD
như hình vẽ . Hi ông ta có th rào được mảnh vườn
có din tích ln nht là bao nhiêu
2
m
?
A.
100 3
. B.
106 3
. C.
108 3
. D.
120 3
.
Li gii
Chn C
K đường cao
BH
, gi s đo 2 góc ở đáy
CD
ca hình thang là
( )
, 0 ;90xx∈° °
.
Din tích mảnh vườn là:
( )
(
) (
)
2
11 1
.sin 2. 2 .cos 2sin sin 2
22 2
S BH AB CD BC x AB BC x AB x x= += + = +
Xét hàm s
( )
2sin sin 2fx x x= +
vi
( )
00
0 ;90x
( )
2cos 2cos 2fx x x
= +
.
Ta có:
( )
2
1
cos
0 2cos 2cos 2 0 2cos cos 1 0
2
cos 1
x
fx x x x x
x
=
= + = + −=
=
Do
( )
00
0 ;90x
nên ta nhn
0
1
cos 60
2
xx=⇔=
. Ta có bng biến thiên:
C
D
B
A
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 37
T bng biến thiên ta thy:
( )
( )
00
0 ;90
33
max
2
fx
đạt được ti
0
60
x =
.
( )
2
max 108 3Sm⇒=
khi góc đáy
CD
ca hình thang bng
0
60
( )
0
60CD= =
.
Câu 47: Cho nửa đường tròn đường kính
2AB
=
hai điểm
C
,
D
thay đi trên nửa đường tròn đó
sao cho
ABCD
là hình thang. Din tích ln nht ca hình thang
ABCD
bng
A.
1
2
. B.
33
4
. C.
1
. D.
33
2
.
Li gii
Chn B
Gi
H
là hình chiếu vuông góc ca
D
lên
AB
,
I
là trung điểm của đoạn
CD
O
là trung điểm
ca
AB
. Đặt
DH x=
,
01x<<
. Ta có
22 2
2 2 2 21DC DI OH OD DH x
=== −=
.
Din tích ca hình thang
ABCD
( )
( )
(
)
2
11
2
AB CD DH
S fx x x
+
= = =+−
.
Ta có
( )
22
2
1 12
1
xx
fx
x
+−
=
.
( )
22
0 1 12 0fx x x
= +− =
Đặt
2
1tx
=
, khi đó phương trình trở thành
2
1
2 10
1
2
t
tt
t
=
+−=
=
.
1t =
loi.
1
2
t =
ta có
22
13 3
1
24 2
xxx = =⇔=±
.
Bng biến thiên
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 38
Vy din tích ln nht ca hình thang
ABCD
bng
33
4
.
Câu 48: Một người đàn ông muốn chèo thuyn v trí
A
ti đim
B
v phía h lưu b đối din, càng
nhanh càng tt, trên mt b sông thng rng
3 km
. Anh có th chèo thuyn ca mình trc tiếp
qua sông để đến
C
sau đó chạy đến
B
, hay có th chèo trc tiếp đến
B
, hoc anh ta có th
chèo thuyn đến một điểm
D
gia
C
B
sau đó chạy đến
B
. Biết anh y có th chèo
thuyn
6 km/ h
, chy
8 km/ h
và quãng đường
8 kmBC =
. Biết tc đ của dòng nước là không
đáng kể so vi tc đ chèo thuyn của người đàn ông. Tính khoảng thi gian ngn nht để người
đàn ông đến
B
.
A.
3
2
. B.
9
7
. C.
73
6
. D.
7
1
8
+
.
Li gii
Cách 1: Anh chèo thuyn ca mình trc tiếp qua sông để đến
C
và sau đó chạy đến
B
Thi gian chèo thuyền trên quãng đường
AC
:
3
0,5
6
=
Thi gian chạy trên quãng đường
CB
:
8
1
8
=
Tng thi gian di chuyn t
A
đến
B
1, 5
.
Cách 2: chèo trc tiếp trên quãng đường
22
3 8 73AB = +=
mt
h
73
1 26
6
.
Cách 3:
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 39
Gi
(
)
km
x
là độ dài quãng đường
BD
;
( )
8 kmx
là độ dài quãng đường
CD
.
Thi gian chèo thuyền trên quãng đường
2
9AD x= +
là:
2
9
6
x
+
Thi gian chạy trên quãng đường
DB
là:
8
8
x
Tng thi gian di chuyn t
A
đến
B
( )
2
98
68
xx
fx
+−
= +
Xét hàm s
(
)
2
98
68
xx
fx
+−
= +
trên khong
( )
0; 8
Ta có
( )
2
1
8
69
x
fx
x
=
+
;
( )
2
9
0 3 94
7
fx x x x
=⇔ += =
Bng biến thiên
Da vào BBT ta thy thi gian ngn nhất để di chuyn t
A
đến
B
h
7
1 1 20
8
+≈
.
Vy khong thi gian ngn nhất để người đàn ông đến
B
h
7
1 1 20
8
+≈
.
DẠNG 4. DÙNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ
NHẤT CỦA BIỂU THỨC
Câu 49: Cho ba s thc
,,xyz
tha mãn
0, 0, 1xyz≥≥
,
2xyz++=
.Biết giá tr ln nht ca biu
thc
P xyz=
bng
a
b
vi
*
,ab
a
b
là phân số ti gin. Giá tr ca
2ab+
bng
A.
5
. B.
43
. C.
9
. D.
6
.
Li gii
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 40
Chn D
Ta có:
( )
22
23
21
. .z 4 4
2 24
xy z
P xyz z z z z
+−

= = = −+


.
Xét hàm s
( )
( )
23
1
44
4
fz z z z= −+
trên
[
]
1;2
.
Ta có:
( )
(
)
( )
2
2
()
1
48 3 ; 0
3
4
2
z loai
fz z z fz
z
=
′′
= −+ =
=
Bng biến thiên:
Da vào bng biến thiên, ta có:
1
4
P
.
Vy
max
1
4
P
=
khi
1
1
2
z
xy
=
= =
1; 4 2 6a b ab= = +=
.
Câu 50: Cho
22
2x xy y−+=
. Giá tr nh nht ca
22
P x xy y=++
bng:
A.
2
3
B.
1
6
C.
1
2
D.
2
Li gii
Chn A
Xét
2222
22
22
P x xy y x xy y
x xy y
++ ++
= =
−+
+nếu
0y
=
thì
2
2x =
. Do đó
2
2Px= =
suy ra
min 2
P =
+nếu
0
y
ta chia t mu cho
2
y
ta được
2
22
2
22
1
2
1
xx
yy
P x xy y
x xy y
xx
yy

++

++

= =
−+

−+


Đặt
x
t
y
=
, khi đó
2
2
1
21
P tt
tt
++
=
−+
Xét
( ) ( )
( )
22
2
2
2
1 22
'
1
1
tt t
ft f t
tt
tt
++ +
= ⇒=
−+
−+
( )
1
'0
1
t
ft
t
=
=
=
Bng biến thiên
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 41
Khi đó
1
min
23
P
=
do đó
2
min
3
P =
.
Câu 51: Cho
x
,
y
là các s thc tha mãn
122
xy x y+ = −+ +
. Gi
M
,
m
ln t là giá tr ln
nht và nh nht ca
(
)(
)
22
2 1 1 84Px y x y xy
= + + + + + −−
. Tính giá tr
Mm+
A.
42
B.
41
C.
43
D.
44
Li gii
Chn C
( )
( )
( )
2
2
12 1 3 0 3
xy x y xy xy+ = −+ + + +
( )( ) ( ) ( ) ( )
2
22
2 1 1 84 2 2 84Px y x y xy xy xy xy= + + + + + −− = + + + ++ +
Đặt
( )
[ ]
4 , 1; 2
t x yt= −+
.
Ta có:
( )
( )
( )
2
2 2 42
4 2 4 2 8 10 8 26ft t t t t t t= + ++ = + +
.
( )
3
4 20 8ft t t
=−+
( )
[ ]
[ ]
[ ]
2
2 1; 2
2
0 1 2 1; 2
2 10
1 2 1; 2
t
t
ft t
tt
t
=
=
= =−+
+ −=
=−−
( ) ( )
1 25; 2 18ff= =
.
Suy ra
[ ]
( ) ( )
[ ]
( ) ( )
1;2
1;2
min 2 18; max 1 25m ft f M ft f= = = = = =
.
Vy
43Mm+=
.
Câu 52: Cho
x
,
0y >
tha mãn
3
2
xy+=
và biu thc
41
4
P
xy
= +
đạt giá tr nh nht. Tính
22
xy+
.
A.
153
100
. B.
5
4
. C.
2313
1156
. D.
25
16
.
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 42
Li gii
Chn A
T
3
2
xy
+=
suy ra
3
2
yx
=
. Ta có:
3
0,
2
xy
<<
.
Xét hàm
( )
41
3
4
2
Px
x
x
= +



41
64
xx
= +
trên khong
3
0;
2



, ta có:
( )
( )
2
2
44
64
Px
x
x
=−−
.
( )
0Px
=
( )
2
2
44
64
x
x
⇔=
( )
2
2
64xx⇔=
6
5
2
x
x
=
=
.
Bng biến thiên ca
( )
Px
trên
3
0;
2



:
Da vào bng biến thiên ta thy
( )
3
0;
2
25
min
6
Px



=
khi
6
5
x =
.
Vi
6
5
x =
thì
3
10
y
=
.
Như vy
25
min
6
P =
khi
6
5
x =
,
3
10
y =
.
Khi đó,
22
153
100
xy+=
.
Câu 53: Cho
,0xy>
5
4
xy+=
sao cho biu thc
41
4
P
xy
= +
đạt giá tr nh nhất. Khi đó
A.
22
25
32
xy+=
. B.
22
17
16
xy+=
. C.
22
25
16
xy+=
. D.
22
13
16
xy+=
.
Li gii
T
55
44
xy y x+==
, nên
41
54
P
xx
= +
.
Xét hàm s
41
54
P
xx
= +
vi
5
0
4
x<<
.
( )
2
2
44
54
P
x
x
=−+
;
( )
2
2
0 54Px x
=⇔=
5
1 0;
4
55
0;
34
x
x

=



=


.
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 43
Bng biến thiên
Như vy:
min 5
P =
khi
1x =
;
1
4
y =
.
Khi đó
22
17
16
xy+=
.
Câu 54: Xét các s thực dương
, ,
xyz
tha mãn
4xyz
++=
5xy yz zx++=
. Giá tr nh nht ca
biu thc
( )
3 33
111
xyz
xyz

+ + ++


bng:
A.
20
. B.
25
. C.
15
. D.
35
.
Li gii
Ta có:
( )
2
4
4
5
5 54
xy z
xyz
xy yz zx
xy z x y z z
+=
++=

++=
= +=−+
.
Li có:
( )
2
4x y xy+≥
( )
( )
2
2
2
4 45 4 2
3
z zz z + ≤≤
. Du
""
=
xy ra khi
xy=
.
( ) ( )( ) ( )
3
3 33
33xyz x y z xyzxyz xyxy++ = + + + ++ + + +
( ) ( )
3 33 3
4 12 3
x y z x yz xyx y⇒++=− + +
( )
( )
2
64 3 4 5
zz=−− +
.
Ta có:
( )
3 33
111
Pxyz
xyz

= + + ++


( )
32
32
5
3 12 15 4
45
zzz
zzz

= ++

−+

.
Đặt
32
45
tz z z=−+
, vi
2 50
22
3 27
zt≤≤⇒
.
Do đó xét hàm số
( )
4
53ft
t

= +


, vi
50
2
27
t≤≤
.
Ta có
( )
2
20 50
0, ;2
27
ft t
t

= < ∀∈


nên hàm s
( )
ft
liên tc và nghch biến.
Do đó
( )
min
2 25Pf= =
đạt ti
1xy= =
,
2z =
.
Câu 55: Cho
,xy
là các s thực dương thỏa mãn
( )
( )( )
22
22x y xy x y xy+ +=+ +
. Giá tr nh nht ca
biu thc
33 22
33 22
49
xy xy
P
yx yx

= +− +


.
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 44
A.
25
4
. B.
5
. C.
23
4
. D.
13
.
Li gii
Ta có
( )
( )( )
22
22x y xy x y xy+ +=+ +
(
)
22x y xy≥+
.
Đặt
22
;a x y b xy=+=
ta được:
( ) ( )
2
22
2 8 2 4 4 15 0
a b b a b a ab b+≥ +
5
2
a
b
⇒≥
. Suy ra:
22
55
22
x y xy
t
xy y x
+
⇔= +
.
Ta có:
33 22
33 22
49
xy xy
P
yx yx

= +− +


( ) ( )
( )
3 2 32
4 3 9 2 4 9 12 18t t t t t t ft= −= +=
vi
5
2
t
.
Kho sát hàm s
(
)
ft
vi
5
2
t
ta được
( )
23
4
ft≥−
. Vy chn C
Câu 56: Cho các s thực dương
x
,
y
tha mãn
5
2
4
xy
+=
. Tìm giá tr nh nht
min
P
ca biu thc
21
4
P
xy
= +
.
A.
min
34
5
P
=
. B.
min
65
4
P
=
. C.
min
P
không tn ti. D.
min
5P =
.
Li gii
T gi thiết ta có
5
2
4
yx=
. Vì
0y >
nên
55
20
48
xx >⇒<
. Do đó
5
0
8
x<<
.
Ta có
2
2 1 2 1 10 15
5
58 8 5
42
4
x
P
x x x xx
x
=+ =+=
−+



vi
5
0
8
x<<
.
( )
(
)(
)
( )
(
)
( )
2 22
22
22
15 8 5 16 5 10 15 120 75 160 240 50 75
85 85
xx x x x x x x x
P
xx xx
+ + −− + +
= =
−+ −+
( )
2
2
2
120 160 50
85
xx
P
xx
+−
=
−+
. Có
2
55
0;
68
0 120 160 50 0
15
0;
28
x
P xx
x

=


= ⇒− + =

=


.
Bng biến thiên
CHUYÊN Đ I GII TÍCH 12 - NG DNG ĐO HÀM ĐỂ KHO SÁT HÀM S
Page 45
Da vào bng biến thiên ta có
min
5P =
.
| 1/172

Preview text:

CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
NG
I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ƯƠ
ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ CH
BÀI 3: GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT VÀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA HÀM SỐ I LÝ THUYẾT.
1. Định nghĩa:
Cho hàm số y = f (x) xác định trên miền D .
 f (x) ≤ M , x ∀ ∈ D
• Số M gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f ( x) trên D nếu:  .
∃ x D, f x = M  0 ( 0)
Kí hiệu: M = max f (x) hoặc M = max f (x). x DD
 f (x) ≥ , m x ∀ ∈ D
• Số m gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f ( x) trên D nếu:  .
∃x D, f x = m  0 ( 0)
Kí hiệu: m = min f (x)hoặc m = min f (x) x DD 2. Định lý
Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó.
Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm liên tục trên một đoạn
Giả sử hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [ ;
a b]. Khi đó, để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
nhất của hàm f trên đoạn [ ; a b] ta làm như sau:
 Tìm các điểm x ; ; x ...; x thuộc ( ;
a b) sao cho tại đó hàm số 1 2 n
f có đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
 Tính f (x ; f x ;. .; f x f a f b . n ; ; 1 ) ( 2) ( ) ( ) ( )
 So sánh các giá trị tìm được.
Số lớn nhất trong các giá trị đó là giá trị lớn nhất của hàm f trên đoạn [ ;
a b], số nhỏ nhất trong
các giá trị đó là giá trị nhỏ nhất của hàm f trên đoạn [ ; a b]. * Nếu:
max f (x) = f (b)
1) y ' > 0, x ∀ ∈[ ;
a b]  [a;b] ⇒  min f (x) =  f (a)  [a;b]
max f (x) = f (a)
2) y ' < 0, x ∀ ∈[ ;
a b]  [a;b] ⇒  min f (x) =  f (b)  [a;b] Chú ý Page 126
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Quy tắc trên chỉ được sử dụng trong các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm
số trên một đoạn.
 Đối với bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng (nửa
khoảng) thì ta phải tính đạo hàm, lập bảng biến thiên của hàm f rồi dựa vào nội dung của
bảng biến thiên để suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm f trên khoảng (nửa khoảng) đó.
 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng (nửa khoảng) có thể không tồn tại.
* Với bài toán đặt ẩn phụ ta phải tìm điều kiện của ẩn phụ.
II HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN
DẠNG 1. TÌM MAX-MIN TRÊN ĐOẠN BẰNG HÀM SỐ CỤ THỂ, BẢNG BIẾN THIÊN, ĐỒ
THỊ HÀM SỐ CHO TRÊN ĐOẠN VÀ KHOẢNG.
Câu 1. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên [ 3
− ;2] và có bảng biến thiên như hình dưới đây. Gọi M
m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f (x)trên[ 1; − 2]. Giá trị của
M + m bằng bao nhiêu ?
Câu 2. a) Tìm GTLN, GTNN của hàm số 4 2
y = x + 2x −1 trên đoạn 1; 3   .
b) Tìm GTLN, GTNN của hàm số 3 2
y = −x + 3x + 2 trên đoạn[ 1; − 2]. 2 −x − 4 3 
Câu 3. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f (x) = trên đoạn ;4 . x 2   
Câu 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 3
y = x − 3x +1 trên đoạn [0;2] . 2 Câu 5. Gọi − +
M m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số x 2x 2 y = trên x − 2 3;2 + 2 2 
 . Tính M m . 2 Câu 6. + +
Kí hiệu m M lần lượt là giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm số x x 4 y = trên x +1 đoạn [0; ]
3 . Tính giá trị của tỉ số M . m 2 −x − 4 3 
Câu 7. Gọi giá trị lớn nhất của hàm số, giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) = trên đoạn ;4 x 2   
lần lượt là M ,m . Tìm M − 3m Page 127
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Câu 8. Cho hàm số f (x) liên tục trên đoạn [ 2; −
]3 có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Gọi ,m M lần lượt
là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [ 2; −
]3. Giá trị của 2m−3M bằng bao nhiêu?
Câu 9.
Cho hàm số f (x) liên tục trên [ 1;
− 5] và có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Gọi M m lần
lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên [ 1;
− 5] . Giá trị của M m bằng bao nhiêu? Page 128
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Câu 10. Cho hàm số f x liên tục trên [ 1; −
]3 và có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi M,m lần lượt là giá
trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f (x) trên [ 1; −
]3. Tính M m.
Câu 11. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [ 2;
− 6] có đồ thị như hình vẽ. Gọi M , m lần lượt
là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của f (x) trên đoạn [ 2;
− 6]. Giá trị của 2M + 3m Câu 12. Cho hàm số 2 2
y = −x + 4x + 21 − −x + 3x +10 , gọi y0 là GTNN của hàm số đã cho, đạt
được tại điểm x . Tính 4 6 + . 0 x y 0 0
Câu 13. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên  và có đồ thị như hình dưới:
Tìm GTLN, GTNN của hàm số 2
y = f (x) + 3 trên đoạn[0;2] .
Câu 14. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên  và có đồ thị như hình dưới:
Tìm GTLN, GTNN của hàm số 2
y =1− f (x) trên đoạn [ 2; − ] 1 . Page 129
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
DẠNG 2: TÌM MAX- MIN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN
Câu 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2
y = sin x − 4sin x + 2.
Câu 2. Cho hàm số y = f (x) có bảng xét dấu biến thiên như sau:
Giá trị lớn nhất của hàm số f (sin x − ) 1 bằng bao nhiêu?
Câu 3. Cho hàm số𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) xác định và liên tục trên R có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi M vàm lần lượt
là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(−𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑥𝑥 + 2). Giá trị của 𝑀𝑀 − 𝑚𝑚 bằng
Câu 4. Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình vẽ. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = f ( 2 2 − x ) trên đoạn 0; 2   . Page 130
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Câu 5. Cho hàm số f (x) liên tục trên [ 1;
− 5] và có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Tìm giá trị lớn nhất
và nhỏ nhất của hàm số y = f ( 2
x − 2x + 4) trên [0;2] .
Câu 6. Cho hàm số y f x liên tục trên tập  và có bảng biến thiên như sau
Gọi M;m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y f  2
x 2x trên  3 7
đoạn  ;  . Tìm tổng M m .  2 2  
Câu 7. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ:
Xét hàm số g (x) = f ( 3 2x + x − )
1 + m . Tìm m để maxg (x) = 1 − 0 . [0 ] ;1
DẠNG 3: MỘT SỐ BÀI TOÁN CÓ CHỨA THAM SỐ
Câu 1. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số 3 2
y = −x − 3x + m trên đoạn [ 1; − ] 1 bằng 0 . 2 Câu 2.
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số x m y =
đạt giá trị lớn nhất bằng 3 trên x +1 [ 4; − 2 − ] . Page 131
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Câu 3. Tính tổng tất cả các giá trị của tham số m sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số y = (x x + m)2 3 3 trên đoạn [ 1; − ]1 bằng 1.
Câu 4. Tìm tất cả các của tham số m đểGTNN của hàm số 2
y = x − 4x + m + 3 bằng 5.
Câu 5. Tìm tất cả các giá trị của m để GTNN của hàm số 2
y = x − 4x + m + 3 − 4x bằng −5.
Câu 6. Gọi S là tập tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số f (x) 3
= x − 3x + m trên đoạn [0; ]
3 bằng 16. Tổng tất cả các phần tử của S bằng
Câu 7: Gọi tập S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số 3
y = x − 3x + m trên đoạn [0;2] bằng 3. Số phần tử của S
Câu 8: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số 2
y = x + x + m thỏa mãn
min y = 2. Tổng tất cả các phần tử của S bằng [ 2; − 2]
Câu 9: Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số f (x) 4 3 2
= 3x − 4x −12x + m trên đoạn [ 1; − ] 3 . Có bao
nhiêu số thực m để 59 M = ? 2 2
Câu 10: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số
x m m
m để hàm số y = thỏa max y =1 x + 2 [1;2]
. Tích các phần tử của S bằng
Câu 11: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số 2
x + mx + m y =
trên [1;2] bằng 2 . Số phần tử của S x +1
Câu 12: Xét hàm số ( ) 2
f x = x + ax + b , với a , b là tham số. Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số trên [ 1; − ]
3 . Khi M nhận giá trị nhỏ nhất tính T = a + 2b . Câu 13: Cho hàm số 3 2
y = x − 3x + m (với m là tham số thực). Hỏi max y có giá trị nhỏ nhất bằng [1;2]
Câu 14: Cho hàm số f (x) 4 2
= 8x + ax + b , trong đó a , b là tham số thực. Tìm mối liên hệ giữa a
b để giá trị lớn nhất của hàm số f (x) trên đoạn [ 1; − ]1 bằng 1.
Câu 15: Cho hàm số f (x) 4 3 2
= x − 4x + 4x + a . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
nhất của hàm số đã cho trên đoạn [0;2] . Có bao nhiêu số nguyên a thuộc đoạn [ 3 − ; ] 3 sao cho M ≤ 2m ? 4 Câu 16: Cho hàm số
x + ax + a y =
. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của x +1
hàm số trên đoạn [1;2]. Có bao nhiêu số nguyên a sao cho M ≥ 2m ? Câu 17: Cho hàm số 2
y = 2x x − (x + )
1 (3− x) + m . Có tất cả bao nhiêu giá trị thực của tham số
m để max y = 3? Page 132
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Câu 18: Cho hàm số 2
y = 2x x − (x + )
1 (3− x) + m . Khi giá trị lớn nhất của hàm số đạt giá trị nhỏ
nhất. Mệnh đề nào sau đây đúng? 1 19
Câu 19: Gọi S là tập hợp tất cả các số nguyên m để hàm số 4 2
y = x x + 30x + m có giá trị lớn 4 2
nhất trên đoạn [0;2] không vượt quá 20 . Tổng các phần tử của S bằng Câu 20: Cho hàm số 3 2
y = 2x − 3x + m . Có bao nhiêu số nguyên m để min f (x) ≤ 3 ? [ 1; − ]3 Câu 21: Cho hàm số 2
f (x) = ax + bx + c, f (x) ≤1, x
∀ ∈[0;1]. Tìm giá trị lớn nhất của f (′0). Câu 22: Cho hàm số 4 3 2
y = x − 2x + x + a . Có bao nhiêu số thực a để min y + max y =10 ? [ 1; − 2] [ 1; − 2]
DẠNG 4: PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ ĐỂ GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN TÌM ĐIỀU KIỆN
CỦA THAM SỐ m SAO CHO PHƯƠNG TRÌNH f ( x,m) = 0 CÓ NGHIỆM
(CÓ ỨNG DỤNG GTLN, GTNN ) I. Phương pháp:
Bước 1. Tìm điều kiện xác định của phương trình đã cho.
Bước 2. Đặt t = u (x) hoặc x = u (t) . Tìm tập giá trị K của t . Chuyển bài toán về: tìm điều kiện
của m để phương trình g (t) = h(m) có nghiệm thuộc K .
Bước 3. Tìm GTLN, GTNN của g (t) hoặc tập giá trị của g (t) trên K để suy ra điều kiện của m .
Một số cách đặt ẩn phụ thường gặp:
ax + b ± cx +  d
1. Xuất hiện biểu thức đối xứng 
. PP: Đặt t = ax + b + cx + d .
 (ax + b)(cx + d ) 
2. Xuất hiện a + bx c bx (a + c > 0). 2 2
 a +bx = a + c sinα π 
PP: Vì ( a +bx) +( c bx) = a + c . Nên đặt  , α  ∈ 0;   .
 c bx = a + c cosα  2   2 tan α  2 sinα = 2  1+ tan α
Và sử dụng hệ thức  2 α 
, tiếp tục đặt t = tan , t ∈[0 ] ;1 .  2 1− tan α 2  2 cosα =  2  1+ tan α  2
Ta được một phương trình ẩn t .
Câu 1. Tìm các giá trị thực của tham số m để phương trình sau có nghiệm:
6 − x + 2 2(x − )
1 (4 − x) = m + 4 x −1 + 4 2. 4 − x .
Câu 2. Tìm các giá trị thực của tham số m để phương trình sau có nghiệm:
(2m − )1 x +3 +(m − 2) 1− x + m −1= 0 . Page 133
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
DẠNG 7: PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ ĐỂ GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN TÌM ĐIỀU KIỆN
CỦA THAM SỐ ĐỂ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM HOẶC NGHIỆM ĐÚNG VỚI
MỌI xK (CÓ ỨNG DỤNG GTLN, GTNN) I. Phương pháp
1. Tìm điều kiện của tham số để bất phương trình chứa tham số có nghiệm hoặc nghiệm đúng với mọi x∈[ ; a b]
m > f ( x) x
∀ ∈[a;b] ⇔ m > max f ( x) [a;b]
m f ( x) x ∀ ∈[ ;
a b] ⇔ m ≥ max f ( x) [a;b]
m < f ( x) x
∀ ∈[a;b] ⇔ m < min f ( x) [a;b]
m f ( x) x
∀ ∈[a;b] ⇔ m ≤ min f ( x) [a;b]
m > f (x) có nghiệm x∈[ ;
a b] ⇔ m > min f ( x) [a;b]
m f (x) có nghiệm x∈[ ;
a b] ⇔ m ≥ min f ( x) [a;b]
m < f (x) có nghiệm x∈[ ;
a b] ⇔ m < max f ( x) [a;b]
m f (x) có nghiệm x∈[ ;
a b] ⇔ m ≤ max f ( x) [a;b]
2. Tìm điều kiện của tham số để bất phương trình chứa tham số có nghiệm hoặc nghiệm đúng
với mọi
x ∈(a;b) MẸO NHỚ Nếu hàm chỉ có max min
ở biên và không tồn tại
thì: Loại ∀ luôn có dấu
=, loại có nghiệm luôn bỏ dấu =. Nếu hàm có max min tồn
tại thì đang có dấu gì thì giữ nguyên
m > f (x) x
∀ ∈(a;b)
m f (b)
m > max → m > f (d )
m f (x) x ∀ ∈( ; a b)
m f (b)
m ≥ max → m f (d )
m < f (x) x ∀ ∈( ; a b)
m f (a)
m < min → m < f (c)
m f (x) x ∀ ∈( ; a b)
m f (a)
m ≤ min → m f (c)
m > f (x) có nghiệm
m > f (a)
m > min → m > f (c)
m f (x) có nghiệm
m > f (a)
m ≥ min → m f (c)
m < f (x) có nghiệm
m < f (b)
m < max → m < f (d )
m f (x) có nghiệm
m < f (b)
m ≤ max → m f (d ) Page 134
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Câu 1. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình x + ( + x)( − x) 2 6 2 8 ≤ x + m −1
nghiệm đúng với mọi x∈[ 2; − 8].
Câu 2. Cho phương trình 2
4 6 + x x − 3x m( x + 2 + 2 3− x) . Tìm m để bất phương trình đã cho có nghiệm thực?
Câu 3. Tìm m để bất phương trình 2
x + 9 − x ≥ −x + 9x + m ( ) 1 có nghiệm.
Câu 4. Cho hàm số f (x) liên tục trên  . Hàm số y = f ′(x) có đồ thị như hình vẽ Tìm m − < ∈ π
sao cho bất phương trình f ( x) 2 2sin
2sin x m đúng với mọi x (0; )?
DẠNG 8: BÀI TOÁN THỰC TẾ: I. Phương pháp:
Đưa yêu cầu bài toán về mối quan hệ hàm số, lập bảng biến thiên để tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất
của hàm số với điều kiện ràng buộc cho trước. Chú ý:
Ta cũng có thể sử dụng các bất đẳng thức để tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của biểu thức. Một số
bất đẳng thức thường dùng.
1. Bất đẳng thức AM GM : • Cho hai số thực +
a,b ≥ 0 ta có: a b ab hay a + b ≥ 2 ab . 2
Dấu ' = ' xãy ra khi và chỉ khi a = b . • Cho ba số thực + +
a,b,c ≥ 0 ta có: a b c 3 ≥ abc hay 3
a + b + c ≥ 3 abc . 3
Dấu ' = ' xãy ra khi và chỉ khi a = b = c .
2. Bất đẳng thức Bunhiacopxki :
• Cho hai bộ số thực (a;b),(x; y) ta có: + ≤ ( 2 2 + )( 2 2 ax by a b x + y ) .
Dấu ' = ' xãy ra khi và chỉ khi ay = bx .
• Cho hai bộ số thực (a;b;c),(x; y; z) ta có: + + ≤ ( 2 2 2 + + )( 2 2 2 ax by cz a b c
x + y + z ) .
Dấu ' = ' xãy ra khi và chỉ khi a :b : c = x : y : z . Page 135
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Câu 1.
Một chất điểm chuyển động theo quy luật 2 3
S(t) = 3t t . Tìm thời điểm t (giây) tại đó vận tốc
v(m/s) của chuyển động đạt giá trị lớn nhất?
Câu 2. Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình S (t) 1 4 2
= − t + 3t − 2t − 4 , trong đó t 4 tính
bằng giây (s) và S tính bằng mét (m). Tại thời điểm nào vận tốc của chuyển động đạt giá trị lớn nhất?
Câu 3. Hằng ngày mực nước của hồ thủy điện ở miền Trung lên và xuống theo lượng nước mưa và các
suối nước đổ về hồ. Từ lúc 8 giờ sáng, độ sâu của mực nước trong hồ tính theo mét và lên
xuống theo thời gian t (giờ) trong ngày cho bởi công thức: h(t) 1 3 2
= − t + 5t + 24t (t > 0) 3
Biết rằng phải thông báo cho các hộ dân phải di dời trước khi xả nước theo quy định trước 5
giờ. Hỏi cần thông báo cho hộ dân di dời trước khi xả nước mấy giờ. Biết rằng mực nước
trong hồ phải lên cao nhất mới xả nước.
Câu 4. Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được cho bởi công thức F (x) 1 2 =
x (30 − x) , trong đó 40
x là liều lượng thuốc tiêm cho bệnh nhân (x được tính bằng miligam). Tính liều lượng
thuốc cần tiêm cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều nhất.
Câu 5. Để thiết kế một chiếc bể cá hình hộp chữ nhật có chiều cao là 60cm , thể tích 3 96000cm . Người
thợ dùng loại kính để sử dụng làm mặt bên có giá thành 70000 2
VNĐ / m và loại kính để
làm mặt đáy có giá thành 100000 VNĐ 2
/m . Tính chi phí thấp nhất để hoàn thành bể cá .
Câu 6. Nhà xe khoán cho hai tài xế An và Bình mỗi người lần lượt nhận 32 lít và 72 lít xăng trong
một tháng. Biết rằng trong một ngày tổng số xăng cả hai người sử dụng là 10 lít. Tổng số
ngày ít nhất để hai tài xế sử dụng hết số xăng được khoán là bao nhiêu.
Câu 7. Người ta cần xây một bể chứa nước sản xuất dạng khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng 3
200 m . Đáy bể hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Chi phí để xây bể là 300 nghìn đồng 2
/m (chi phí được tính theo diện tích xây dựng, bao gồm diện tích đáy và
diện tích xung quanh không tính chiều dày của đáy và thành bên). Tính chi phí thấp nhất để
xây bể ( làm tròn số tiền đến đơn vị triệu đồng). Page 136
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
NG
I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ƯƠ
ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ CH
BÀI 3: GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT VÀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA HÀM SỐ I LÝ THUYẾT.
1. Định nghĩa:
Cho hàm số y = f (x) xác định trên miền D .
 f (x) ≤ M , x ∀ ∈ D
• Số M gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f ( x) trên D nếu:  .
∃ x D, f x = M  0 ( 0)
Kí hiệu: M = max f (x) hoặc M = max f (x). x DD
 f (x) ≥ , m x ∀ ∈ D
• Số m gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f ( x) trên D nếu:  .
∃x D, f x = m  0 ( 0)
Kí hiệu: m = min f (x)hoặc m = min f (x) x DD 2. Định lý
Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó.
Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm liên tục trên một đoạn
Giả sử hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [ ;
a b]. Khi đó, để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
nhất của hàm f trên đoạn [ ; a b] ta làm như sau:
 Tìm các điểm x ; ; x ...; x thuộc ( ;
a b) sao cho tại đó hàm số 1 2 n
f có đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
 Tính f (x ; f x ;. .; f x f a f b . n ; ; 1 ) ( 2) ( ) ( ) ( )
 So sánh các giá trị tìm được.
Số lớn nhất trong các giá trị đó là giá trị lớn nhất của hàm f trên đoạn [ ;
a b], số nhỏ nhất trong
các giá trị đó là giá trị nhỏ nhất của hàm f trên đoạn [ ; a b]. * Nếu:
max f (x) = f (b)
1) y ' > 0, x ∀ ∈[ ;
a b]  [a;b] ⇒  min f (x) =  f (a)  [a;b]
max f (x) = f (a)
2) y ' < 0, x ∀ ∈[ ;
a b]  [a;b] ⇒  min f (x) =  f (b)  [a;b] Chú ý Page 1
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Quy tắc trên chỉ được sử dụng trong các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm
số trên một đoạn.
 Đối với bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng (nửa
khoảng) thì ta phải tính đạo hàm, lập bảng biến thiên của hàm f rồi dựa vào nội dung của
bảng biến thiên để suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm f trên khoảng (nửa khoảng) đó.
 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng (nửa khoảng) có thể không tồn tại.
* Với bài toán đặt ẩn phụ ta phải tìm điều kiện của ẩn phụ.
II HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN
DẠNG 1. TÌM MAX-MIN TRÊN ĐOẠN BẰNG HÀM SỐ CỤ THỂ, BẢNG BIẾN THIÊN, ĐỒ
THỊ HÀM SỐ CHO TRÊN ĐOẠN VÀ KHOẢNG.
Câu 1. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên [ 3
− ;2] và có bảng biến thiên như hình dưới đây. Gọi M
m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f (x)trên[ 1; − 2]. Giá trị của
M + m bằng bao nhiêu ? Lời giải
Ta có M = max f (x) = f (− )
1 = 3và m = min f (x) = f (0) = 0. [ 1 − ;2] [ 1 − ;2]
Vậy M + m = 3 .
Câu 2. a) Tìm GTLN, GTNN của hàm số 4 2
y = x + 2x −1 trên đoạn 1; 3   .
b) Tìm GTLN, GTNN của hàm số 3 2
y = −x + 3x + 2 trên đoạn[ 1; − 2]. Lời giải a) TXĐ:  . 3
y ' = 4x + 4x . 3
y ' = 0 ⇔ 4x + 4x = 0 ⇔ x = 0∉ 1  ; 3   .
y (1) = 2; y ( 3) =14
⇒ max y =14 khi x = 3 và min y = 2 khi x =1. 1  ; 3     1; 3   x = 1 −
b) ĐS: max y = 6 khi
và min y = 2khi x = 0 . [  1 − ;2] x = 2 [ 1 − ;2] Page 2
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ 2 −x − 4 3 
Câu 3. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f (x) = trên đoạn ;4 . x 2    Lời giải 2 − − 2 − + Ta có f (x) x 4 4 = = −x − ⇒ ′( ) 4 4 = 1 x f x − + = . x x 2 2 x x x = 2 2 −x + 4 = 0  Trên khoảng  3 ;4  x = 2 − 
: f ′(x) = 0 ⇔ 3 ⇔  ⇔ x = 2 . 2    < x <  4 3 2 < x < 4 2   − Ta có 3 25 f =  f ( ; 2) = 4 − f ( ; 4) = 5 −  .  2  6
Do hàm số f (x) xác định và liên tục trên 3 ;4 
nên max f (x) = f (2) = 4 − . 2    3 x ;4 ∈2   
Câu 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 3
y = x − 3x +1 trên đoạn [0;2] . Lời giải x =1∈[0;2] Ta có: 2
y ' = 3x − 3; y ' = 0 ⇔  . x = 1 − ∉  [0;2] y(0) =1; y( ) 1 = 1 − ; y (2) = 3 . Suy ra min y = 1 − . [0;2] 2 Câu 5. − + Gọi x 2x 2
M m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = trên x − 2 3;2 + 2 2 
 . Tính M m . Lời giải 2 − + Hàm số x 2x 2 y =
xác định và liên tục trên 3;2 + 2 2 x − 2   . Ta có 2 y 2 = x + ⇒ y′ =1− . x − 2 (x − 2)2 x = 2 − 2 ∉ 3;2 + 2 2 2  y 0 1 0 x 2 2    ′ = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ . 2 ( )2 (x 2)  − x = 2 + 2 ∈ 3;2 + 2 2    +
Ta có : y (3) = 5; y(2+ 2) = 2+ 2 2 ; y( + ) 5 2 4 2 2 2 = . 2 Suy ra 5 2 4 M + = và m = 2 + 2 2 . 2 Vậy 5 2 4 M m + − = − ( + ) 2 2 2 2 = . 2 2 Page 3
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ 2 Câu 6. + +
Kí hiệu m M lần lượt là giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm số x x 4 y = trên x +1 đoạn [0; ]
3 . Tính giá trị của tỉ số M . m Lời giải
Tập xác định D =  \{− } 1 (2x + )1(x + ) 2 2
1 − x x − 4 x + 2x −3 x∈[0; ] 3 y ' = = ; 1.  ⇔ x = (x + )2 1 (x + )2 1 y ' = 0
Ta có f (0) = 4; f (1) = 3; f (3) = 4. Do đó M 4
m = min f (x) = 3; ma M = x f (x) = 4 ⇒ = . [0; ] 3 [0; ] 3 m 3 2 −x − 4 3 
Câu 7. Gọi giá trị lớn nhất của hàm số, giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) = trên đoạn ;4 x 2   
lần lượt là M ,m . Tìm M − 3m Lời giải 2 − − 2 − + Ta có f (x) x 4 4 = = −x − ⇒ ′( ) 4 4 = 1 x f x − + = . x x 2 2 x x x = 2 2 −x + 4 = 0  Trên khoảng  3 ;4  x = 2 − 
: f ′(x) = 0 ⇔ 3 ⇔  ⇔ x = 2 . 2    < x <  4 3 2 < x < 4 2   − Ta có 3 25 f =  f ( ; 2) = 4 − f ( ; 4) = 5 −  .  2  6
Do hàm số f (x) xác định và liên tục trên 3 ;4 
nên max f (x) = f (2) = 4 − . 2    3 x ;4 ∈2   
min f (x) = f (4) = 5 − . Hay M = 4; − m = 5
− suy ra M − 3m =11. 3 x ;4 ∈2   
Câu 8. Cho hàm số f (x) liên tục trên đoạn [ 2; −
]3 có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Gọi ,m M lần lượt
là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [ 2; −
]3. Giá trị của 2m−3M bằng bao nhiêu? Page 4
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Lời giải
Dựa vào đồ thị ta xác định được m = 3
− ; M = 4. Ta có 2m − 3M = 6 − −12 = 18 − .
Câu 9. Cho hàm số f (x) liên tục trên [ 1;
− 5] và có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Gọi M m lần
lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên [ 1;
− 5] . Giá trị của M m bằng bao nhiêu? Lời giải
Dựa vào hình vẽ, ta có M = 3;m = 2
− ⇒ M m =5.
Câu 10. Cho hàm số f x liên tục trên [ 1; −
]3 và có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi M,m lần lượt là giá
trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f (x) trên [ 1; −
]3. Tính M m. Lời giải
Quan sát đồ thị ta thấy hàm số y = f (x) đạt giá trị nhỏ nhất trên [ 1; − ] 3 là 1 − tại điểm x = 1
− và đạt giá trị lớn nhất trên [ 1; − ]
3 là 4 tại điểm x = 3. Do đó M = 4,m = 1 − .
Giá trị M m = 4 − (− ) 1 = 5 .
Câu 11. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [ 2;
− 6] có đồ thị như hình vẽ. Gọi M , m lần lượt
là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của f (x) trên đoạn [ 2;
− 6]. Giá trị của 2M + 3m Page 5
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Lời giải
Nhìn vào đồ thị ta thấy: M = 6 , m = 4 − .
Vậy giá trị 2M + 3m = 2.6 + 3.( 4 − ) = 0 . Câu 12. Cho hàm số 2 2
y = −x + 4x + 21 − −x + 3x +10 , gọi y0 là GTNN của hàm số đã cho, đạt
được tại điểm x . Tính 4 6x + y . 0 0 0 Lời giải TXĐ: D = [ 2; − 5].
Xét hàm số đã cho xác định và liên tục trên [ 2; − 5] − + − Ta có: x 2 2x 3 y′ = + ( 2 − < x < 5) . 2 2
x + 4x + 21 2 −x + 3x +10 −x + 2 2x − 3 y'= 0 ⇔ + = 0 2 2
x + 4x + 21 2 −x + 3x +10 2 2
⇔ (2x − 4) −x + 3x +10 = (2x − 3) −x + 4x + 21  2 − < x < 5 
⇔ (2x − 4)(2x −3) ≥ 0  2 2 2 2
(2x − 4) (−x + 3x +10) = (2x − 3) (−x + 4x + 21)   3 x 2;  ∈ − ∪   [2;5)  2  3   x 2;  [2;5)  ∈ − ∪   1 1 ⇔   2 ⇔  x = ⇒ x = ∈(−2;5)  25
 (2x − 3)2 = 49( x − 2)2  3 3   29  x =   17 Xét:  1 y ( 2) 3; y  − = = 2; y(5) =  1    4 ⇒ min y = y =   2  3  [ 2; − 5]  3  Suy ra, 1 x = , y = 2 4 ⇒ 6x + y =10 0 0 3 0 0
Câu 13.
Cho hàm số y = f (x) liên tục trên  và có đồ thị như hình dưới:
Tìm GTLN, GTNN của hàm số 2
y = f (x) + 3 trên đoạn[0;2] . Lời giải Đặt 2
g(x) = f (x) + 3. Từ đồ thị đã cho ta có: x
∃ ∈ 0;1 để f (x ) = 0 . 0 ( ) 0 Và x ∀ ∈[0;2] thì 2 2 3
− ≤ f (x) ≤1 ⇒ 0 ≤ f (x) ≤ 9 ⇒ 3 ≤ f (x) + 3 ≤12 ⇒ 3 ≤ g(x) ≤12
⇒ max g(x) =12 khi f (x) = 3
− ⇔ x = 2∈[0;2] . [0;2] Page 6
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Và min g(x) = 3 khi f (x) = 0 ⇔ x = x ∈ 0;2 . 0 [ ] [0;2]
Câu 14. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên  và có đồ thị như hình dưới:
Tìm GTLN, GTNN của hàm số 2
y =1− f (x) trên đoạn [ 2; − ] 1 . Lời giải GTNN là 8 − khi x = 1 − . x = x GTLN là 1 khi 1 
(với x , x là các nghiệm của f (x) trên đoạn[ 2; − ] 1 ). x = 1 2  x2 khi 1 x = 1 ⇒ 4
x = , y = 2 ⇒ 6x + y = 8 . 3 0 0 0 0 3 Page 7
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
DẠNG 2: TÌM MAX- MIN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN
Câu 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2
y = sin x − 4sin x + 2. Lời giải
Đặt t = sin x điều kiện 1
− ≤ t ≤1 hàm số đã cho trở thành 2
y = f (t) = t − 4t + 2 .
Ta có f (′t) = 2t − 4 , f (′t) < 0 với t
∀ ∈[-1;1] nên hàm số f (t) nghịch biến trên [ 1; − ] 1 do đó
min f (t) = f (1) = 1
− và max f (t) = f ( 1) − = 7 . t [ ∈ 1 − ] ;1 t [ ∈ 1 − ] ;1
Vậy hàm số đã cho có GTLN là 7 và GTNN là 1 − .
Câu 2. Cho hàm số y = f (x) có bảng xét dấu biến thiên như sau:
Giá trị lớn nhất của hàm số f (sin x − ) 1 bằng bao nhiêu? Lời giải
Đặt sin x −1 = t,( 2 − ≤ t ≤ 0) .
Bài toán quy về tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = f (t) trên đoạn[ 2; − 0].
Từ bảng biến thiên ta có giá trị lớn nhất của hàm số y = f (t) trên đoạn[ 2; − 0]là 3khi t = 2 − hay π sinx 1 x − = − ⇔ =
+ k2π ,k Z . 2
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số f (sin x − ) 1 bằng 3.
Câu 3. Cho hàm số𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) xác định và liên tục trên R có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi M vàm lần lượt
là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(−𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑥𝑥 + 2). Giá trị của 𝑀𝑀 − 𝑚𝑚 bằng Lời giải
Đặt t = −sin x + 2 vì 1
− ≤ sin x ≤1⇒ t ∈[1;3]. Xét hàm số y = f (t) với t ∈[1; ] 3 , Page 8
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Từ đồ thị đã cho, ta có M = max f (t) = f (3) = 3;min f (t) = f (2) = 2
− ⇒ M m = 5. [1;3] [1;3]
Câu 4. Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình vẽ. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = f ( 2 2 − x ) trên đoạn 0; 2   . Lời giải Đặt 2 t = 2 − x . Vì t′ = 2 − x ≤ 0 , x
∀ ∈ 0; 2 và t = ⇔ x = nên hàm số 2
t = 2 − x nghịch biến trên đoạn   ' 0 0
0; 2 . Nên ta có x∈
 ⇔ t ∈[0;2] . Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm   0; 2  
số y = f (t) trên đoạn [0;2] .
Từ đồ thị hàm số y = f (x) cho thấy : trên [0;2] hàm số y = f (t) nghịch biến.
Do đó max f (t) = f (0) = 4. [0;2]
Câu 5. Cho hàm số f (x) liên tục trên [ 1;
− 5] và có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Tìm giá trị lớn nhất
và nhỏ nhất của hàm số y = f ( 2
x − 2x + 4) trên [0;2] . Lời giải Đặt 2
t = x − 2x + 4, x∈[0;2].
Ta có t '(x) = 2x − 2.
t '(x) = 0 ⇔ x =1. Page 9
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ t (0) = 4;t ( )
1 = 3;t (2) = 4 ⇒ t ∈[3;4] . y = f ( 2
x − 2x + 4) = f (t),t ∈[3;4].
Dựa vào đồ thị ta có :
Max y = Max f (t) 3 = . x [ ∈ 0;2] t [ ∈ 3;4]
Min y = Min f (t) 1 = . x [ ∈ 0;2] t [ ∈ 3;4]
Câu 6. Cho hàm số y f x liên tục trên tập  và có bảng biến thiên như sau
Gọi M;m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y f  2
x 2x trên  3 7
đoạn  ;  . Tìm tổng M m .  2 2   Lời giải Đặt 2
t = x − 2x với 3 7 x  ;  ∈ −  . 2 2   Ta có  3 7  5 5 x∈ −
⇔ − ≤ x − ≤ ⇔ ≤ (x − )2 25 ; 1 0 1 ≤  2 2   2 2 4  ⇔ − ≤ (x − )2 21 1 1 −1≤ nên 21 t  ∈ 1; − . 4  4   
Xét hàm số y f (t) 21 ;t  1;  = ∈ −  4   
Từ bảng biến thiên suy ra: m
f (t) f ( ) M f (t)  21 min 1 2, max f  = = = = = =   5 .  21  21 t 1; t 1;  ∈ − ∈ −  4   4   4     
Do đó M + m = 2 + 5 = 7 . Page 10
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Câu 7. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ:
Xét hàm số g (x) = f ( 3 2x + x − )
1 + m . Tìm m để maxg (x) = 1 − 0 . [0 ] ;1 Lời giải Đặt t (x) 3
= 2x + x −1 với x ∈[0; ]
1 . Ta có t′(x) 2
= 6x +1 > 0, x ∀ ∈[ 0; ] 1 .
Suy ra hàm số t (x) đồng biến nên x∈[0; ] 1 ⇒ t ∈[ 1; − 2] .
Từ đồ thị hàm số ta có max f (t) = 3 ⇒ max  f
 (t) + m = 3 + m [  . 1 − ;2] [ 1 − ;2]
Theo yêu cầu bài toán ta cần có: 3+ m = 10 − ⇔ m = 13 − . Page 11
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
DẠNG 3: MỘT SỐ BÀI TOÁN CÓ CHỨA THAM SỐ
Câu 1. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số 3 2
y = −x − 3x + m trên đoạn [ 1; − ] 1 bằng 0 . Lời giải x = 0∈[ 1; − ] 1 y = f (x) 3 2
= −x − 3x + m. Ta có: 2 y′ = 3
x − 6x . y′ = 0 ⇔  . x = 2 − ∉  [ 1; − ] 1 f (− )
1 = m − 2 ; f (0) = m; f ( ) 1 = m − 4 . Ta thấy min{ f (− ) 1 ; f (0); f ( )
1 } = m − 4 . Suy ra yêu cầu bài toán ⇔ m − 4 = 0 ⇔ m = 4. [ 1 − ] ;1 2
Câu 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số x m y =
đạt giá trị lớn nhất bằng 3 trên x +1 [ 4; − 2 − ] . Lời giải
Tập xác định D =  \{− } 1 . 2 2 Ta có: 1 − ' + m x m y = > 0, x ∀ ≠ 1
− . Suy ra hàm số y = đồng biến trên ( ; −∞ − ) 1 ,( 1; − +∞) (x + )2 1 x +1 . 2 − −
Do đó: max y = y( 2 − ) 2 m 2 = = 2 + m . [ 4; − 2 − ] 2 − +1 Theo giả thiết: 2
max y = 3 ⇔ 2 + m = 3 ⇔ m = 1 ± . [ 4; − 2 − ]
Câu 3. Tính tổng tất cả các giá trị của tham số m sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số y = (x x + m)2 3 3 trên đoạn [ 1; − ]1 bằng 1. Lời giải
Xét hàm số f (x) 3
= x − 3x + m . Để GTNN của hàm số y = (x − + m)2 3 3x trên đoạn [ 1; − ] 1
bằng 1 thì min f (x) =1 hoặc max f (x) = 1 − . [ 1 − ] ;1 [ 1 − ] ;1 x = − Ta có f ′(x) 2
= 3x − 3 ; f ′(x) 1 = 0 ⇔ 
f (x) nghịch biến trên [ 1; − ] 1 . x = 1
Suy ra max f (x) = f (− )
1 = 2 + m và min f (x) = f ( ) 1 = 2 − + m . [ 1 − ] ;1 [ 1 − ] ;1
Trường hợp 1: min f (x) =1⇔ 2
− + m =1 ⇔ m = 3 . [ 1 − ] ;1
Trường hợp 2: max f (x) = 1 − ⇔ 2 + m = 1 − ⇔ m = 3 − . [ 1 − ] ;1
Vậy tổng các giá trị của tham số m là 0 . Page 12
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Câu 4. Tìm tất cả các của tham số m đểGTNN của hàm số 2
y = x − 4x + m + 3 bằng 5. Lời giải Đặt 2
f (x) = x − 4x + m + 3 ⇒ f (′x) = 2x − 4.
f (′x) = 0 ⇔ x = 2. Bảng biến thiên
TH1: Nếu m −1≥ 0 ⇔ m ≥1 thì GTNN của hàm số 2
y = x − 4x + m + 3 bằng
m −1 = 5 ⇔ m = 6(TM ) .
TH2: Nếu m −1< 0 ⇔ m <1
Ta có f (x) = 0 có hai nghiệm x = 2 − 1− m ; x = 2 + 1− m thỏa mãn < < 1 2 x 2 x 1 2 Ta có GTNN của hàm số 2
y = x − 4x + m + 3 bằng 0 (KTM) KL: m = 6 .
Câu 5. Tìm tất cả các giá trị của m để GTNN của hàm số 2
y = x − 4x + m + 3 − 4x bằng 5 − . Lờigiải Xét f (x) 2
= x − 4x + m + 3 có ∆′ =1− m .
TH1. m ≥1: f (x) 2 ≥ 0 x
∀ ⇔ y = x −8x + m + 3. min y = 5
− ⇔ m = 8 (TM).
TH2. m <1: f (x) = 0 có hai nghiệm x = 2 − 1− m ; x = 2 + 1− m . 1 2 − 2
x − 3 − m nÕu x ∈  [x ;x 1 2 ] Khiđó y =   2
x − 8x + 3 + m nÕu x ∉  [x ;x 1 2 ] Do đó Page 13
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
min y ≤ min y = min{y(x , y x
min 8 4 1 m, 8 4 1 m 8 4 1 m 8 1 ) ( 2 )} =
{− + − − − − }= − − − < − [ 1x;x2] (loại).
Vậy m = 8 là giá trị cần tìm.
Câu 6. Gọi S là tập tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số f (x) 3
= x − 3x + m trên đoạn [0; ]
3 bằng 16. Tổng tất cả các phần tử của S bằng
Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất hàm số trên đoạn [a;b] - Tìm nghiệm x i = của thuộc [ ; a b] i ( 1,2,...) y′ = 0
- Tính các giá trị f (x f a f b so sánh các giá trị, suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ i ) ; ( ); ( ) nhất.
3. HƯỚNG GIẢI: Tìm giá trị lớn nhất hàm số y = f (x) , ta xét hàm số y = f (x) .
B1: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = f (x) .
B2: Giá trị lớn nhất của hàm số y = f (x) tại max f (x) hoặc min f (x) .
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Đặt g (x) 3
= x − 3x + m . x = 1 − ∉[0; ] 3 g′(x) 2
= 3x − 3; g′(x) = 0 ⇒  . x = 1∈  [0; ]3 g (0) = ; m g ( ) 1 = 2 − + ;
m g (3) =18+ m .
Suy ra max g (x) =18+ m ; min g (x) = 2 − + m . [0; ] 3 [0; ] 3  18  + m =16 m = 2 −   2 − + m > 16  − m > 14 −
Để giá trị lớn nhất hàm số y = f (x) là 16 ⇔ ⇔  .  2 m 16  − + = − m = 14 −    18  m 16  + < m < 2 − Vậy S = { 2; − 1 − } 4 nên tổng là 2 − −14 = 16 − .
Câu 7: Gọi tập S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số 3
y = x − 3x + m trên đoạn [0;2] bằng 3. Số phần tử của S Lời giải Xét 3
u = x − 3x + m . Ta có: 2
u ' = 3x − 3 ; u′ = 0 ⇔ x =1∈[0;2] . Khi đó:
A = max u = max{u(0),u( ) 1 ,u (2)} = max{ , m m − 2,m + } 2 = m + 2 . [0;2]
a = min u = min{u(0),u( ) 1 ,u (2)} = min{ , m m − 2,m + } 2 = m − 2 . [0;2] Page 14
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ  m + 2 = 3 
 m + 2 ≥ m − 2   m =1
Ta có: max y = max{ A , a } = max{ m + 2 , m − 2} = 3 ⇔ ⇔ . [   0;2]   m − 2 = 3 m = 1 − 
 m−2 ≥ m+ 2  Vậy S = {± } 1 .
Câu 8: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số 2
y = x + x + m thỏa mãn
min y = 2. Tổng tất cả các phần tử của S bằng [ 2; − 2] Lời giải Xét hàm số 2
u = x + x + m trên đoạn [ 2; − 2], có: 1
u′ = 0 ⇔ 2x +1 = 0 ⇔ x = − . 2 u u    1   1  ( )  1 max max 2 ,u  = − − 
,u (2) = m + 6 ; min u = min u  ( 2 − ),u − 
,u (2) = m − . [ 2; − 2]   2   [ 3 − ;2]   2   4 Nếu 1 m − ≥ 0 hay 1 m ≥ thì 1 9
min y = m − = 2 ⇔ m = (thỏa mãn). 4 4 [ 2; − 2] 4 4
Nếu m + 6 ≤ 0 hay m ≤ −6 thì min y = −m − 6 = 2 ⇔ m = 8 − (thỏa mãn). [ 2; − 2] Nếu 1 6
− < m < thì min y = 0 (không thỏa mãn). 4 [ 2; − 2] Ta có: 9 S  8;  = −
. Vậy tổng các phần tử của S bằng 23 − . 8   4
Câu 9: Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số f (x) 4 3 2
= 3x − 4x −12x + m trên đoạn [ 1; − ] 3 . Có bao
nhiêu số thực m để 59 M = ? 2 Lời giải Xét hàm số: 4 3 2
u = 3x − 4x −12x + m . x = 0 Có 3 2
u′ =12x −12x − 24x
u′ = 0⇔ x = 1 −  . x =  2
minu = min{u(− )
1 ,u (0),u(2),u(3)} = u(2) = m −32 Khi đó: [ 1−; ]3  .
max u = max{u (− )
1 ,u (0),u(2),u(3)} = u(3) = m + 27  [ 1−; ]3 Page 15
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ  59  m − 32 =  2
m−32 ≥ m+27 Do đó: M  5 = {mm + } 59 max 32 , 27 = ⇔  ⇔ m = 2 .  59 2  m + 27 =  2
 m+27 ≥ m−  32 
Vậy có 1 số thực m để 59 M = 2 . 2
Câu 10: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số
x m m
m để hàm số y = thỏa max y =1 x + 2 [1;2]
. Tích các phần tử của S bằng Lời giải 2 2 Xét
x m m u = , ta có: 2 + m + m u′ = > 0 , x ∀ ∈ 1;2 , m ∀ ∈  . 2 [ ] x + 2 (x + 2) 2 2 Do đó A + − = u = u ( ) m + m − 2 max 2 = − ; a = u = u ( ) m m 1 min 1 = − . [1;2] 4 [1;2] 3 2 2
 m + m − 2 m + m −1  max y max 1 17  ,  =  =1 m − ± ⇔ = . [1;2]  4 3  2 − ±  Ta có: 1 17 S  = 
. Vậy tích các phần tử của S bằng 4 − . 2   
Câu 11: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số 2
x + mx + m y =
trên [1;2] bằng 2 . Số phần tử của S x +1 Lời giải 2 + + Xét hàm số: x mx m u = . x +1 2 x + 2x 2 x = 0∉[1;2] u′ + = ; u′ = 0 x 2x ⇔ = 0 2
x + 2x = 0 ⇔ . (  x + )2 1 (x + )2 1 x = 2 − ∉  [1;2]
Ta có: u′ > 0 x ∀ ∈[1;2] nên  4 1 max y m , m  = +  . [1;2]  3 2   2 m =  max y  = 2 3 ⇔  . Vậy 2 10 S  =  ;− . [1;2]  10 m = − 3 3   3 Page 16
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Câu 12: Xét hàm số ( ) 2
f x = x + ax + b , với a , b là tham số. Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số trên [ 1; − ]
3 . Khi M nhận giá trị nhỏ nhất tính T = a + 2b . Lời giải A + B
Ta có: max{ A , B } ≥
( )1 . Dấu = xảy ra khi A = B . 2 A B
Ta có: max{ A , B } ≥
(2) . Dấu = xảy ra khi A = −B . 2 Xét hàm số ( ) 2
g x = x + ax + b , có ′( ) = 0 a g xx = − . 2
Trường hợp 1: a − ∉[ 1; − ] 3 ⇔ a ∉[ 6;
− 2] . Khi đó M = max{1− a + b , 9 + 3a + b}. 2
Áp dụng bất đẳng thức ( )
1 ta có M ≥ 4 + 2a > 8 . 2  
Trường hợp 2: a a  − ∈[ 1; − ] 3 ⇔ a ∈[ 6;
− 2] . Khi đó M = max 1− a + b , 9 + 3a + b , b −  2  4  . 2  
Áp dụng bất đẳng thức ( ) 1 và (2) ta có M max  5 , a a b b  ≥ + + −  4    1 2
⇔ M ≥ 20 + 4a + a 1
⇔ M ≥ 16 + (a + 2)2 . 8 8 Suy ra M ≥ 2 . a = 2 −  2 a = 2 − Ta có:  −
M nhận giá trị nhỏ nhất có thể được là M = 2 khi 5 a  + a + b = − b ⇔ . 2   b  = 1 − 1
 − a + b = 9 + 3a + b  Vậy a + 2b = 4 − . Câu 13: Cho hàm số 3 2
y = x − 3x + m (với m là tham số thực). Hỏi max y có giá trị nhỏ nhất bằng [1;2] Lời giải Xét hàm số: 3 2
t = x − 3x với x ∈[1;2]. x = 0∉(1;2) Ta có 2
t′ = 3x − 6x = 0 ⇔  ; t ( ) 1 = 2 − , t (2) = 4 − . Nên maxt = 2 − và x = 2∉  (1;2) [1;2] min t = 4 − . [1;2]
Do đó max y = max m + t = max{ m − 4 ; m − 2} [1;2] [1;2] m − + − m m − + − m
= max{ m − 4 ; 2 − m} 4 2 ( 4) (2 ) ≥ ≥ =1. 2 2 Page 17
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Dấu bằng đạt tại m − 4 = 2 − m m = 3 .
Câu 14: Cho hàm số f (x) 4 2
= 8x + ax + b , trong đó a , b là tham số thực. Tìm mối liên hệ giữa a
b để giá trị lớn nhất của hàm số f (x) trên đoạn [ 1; − ]1 bằng 1. Lời giải Đặt 2
t = x , vì x ∈[ 1; − ] 1 nên t ∈[0; ] 1 . Ta có: g (t) 2
= 8t + at + b , đây là parabol có bề lõm quay lên và có tọa độ đỉnh là 2  a   − ; a I − + b 6 32   
Trường hợp 1: a − ∈[0; ]
1 . Theo yêu cầu bài toán ta có: 6   1 − ≤ g (0) ≤1  1 − ≤ b ≤1  1 − ≤ b ≤1 ( )1     1 − ≤ g ( ) 1 ≤1 ⇔  1
− ≤ 8 + a + b ≤1 ⇔  1
− ≤ 8 + a + b ≤1 (2)   2  2 2   32 −
≤ 32b a ≤ 32 32
− ≤ a − 32b ≤ 32  (3) 1 a − ≤ − + b ≤1  32 Lấy ( ) 1 + 32(3) ta có : 2 64 − ≤ a ≤ 64 do đó 8 − ≤ a ≤ 8. Lấy (3) + 32(2) ta có : 2 64 −
a + 32a + 256 ≤ 64 Suy ra : 2
a + 32a +192 ≤ 0 ⇔ 24 − ≤ a ≤ 8 − . Khi đó ta có : a = 8 − và b =1.
Thử lại: g (t) 2
= 8t −8t +1 = ( t − )2 2 2 1 −1 Vì 0 ≤ t ≤1 nên 1
− ≤ 2t −1≤1 ⇒ ≤ ( t − )2 0
2 1 ≤1 ⇒ − ≤ g (t) = ( t − )2 1 2 2 1 −1≤1.
Ta có: max g (t) =1 khi t =1⇒ x = 1 ± . Nên a = 8
− và b =1 (thỏa mãn).
Trường hợp 2 : a − ∉[0; ]
1 . Theo yêu cầu bài toán ta có: 6  1 − ≤ g (0) ≤1  1 − ≤ b ≤1  1 − ≤ b ≤1  ⇔  ⇔   1 − ≤ g  ( )1 ≤1  1
− ≤ 8 + a + b ≤1  1
− ≤ 8 + a + b ≤1 ⇒ 2
− ≤ a + 8 ≤ 2 ⇔ 10 − ≤ a ≤ 6 − (loại). Vậy a = 8 − và b =1.
Câu 15: Cho hàm số f (x) 4 3 2
= x − 4x + 4x + a . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
nhất của hàm số đã cho trên đoạn [0;2] . Có bao nhiêu số nguyên a thuộc đoạn [ 3 − ; ] 3 sao cho M ≤ 2m ? Lời giải Page 18
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Xét hàm số g (x) 4 3 2
= x − 4x + 4x + a . x = 0 g′(x) 3 2
= 4x −12x +8x ; g′(x) = 0  3 2
⇔ 4x −12x + 8x = 0 ⇔ x = 1  . x =  2 Bảng biến thiên ` TH1: a ≤ 1
− ⇒ m = −(a + )
1 ;M = −a ⇒− 2(a + )
1 ≥ −a a ≤ 2 − ⇒ a∈{ 3 − ;− } 2 . TH2: 1
− < a < 0 ⇒ m = 0; M > 0 ⇒ M > 2m (loại ).
TH3: a ≥ 0 ⇒ m = a;M = a +1 ⇒2a a +1 ⇔ a ≥1⇒a ∈{1;2; } 3 .
Vậy có 5 giá trị của a thỏa mãn đề bài. 4 Câu 16: Cho hàm số
x + ax + a y =
. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của x +1
hàm số trên đoạn [1;2]. Có bao nhiêu số nguyên a sao cho M ≥ 2m ? Lời giải 4
x + ax + a 4 3 Xét u = trên đoạn [1;2], ta có 3x + 4x , x ∀ ∈[1;2] . x +1 u′ = > 0 (x + )2 1 Do đó, u = u ( ) 16 max 2 = a + , u = u ( ) 1 min 1 = a + . [1;2] 3 [1;2] 2  16 M = a +  1  a + ≥ 0  TH1: 1  a + ≥ 0 3 ⇒  2 1 13  ⇒ ⇔ − ≤ a ≤ . 2 1  m = a + 16  1 a 2 2 3  a   + ≥ +  2  3 2       1  16 M a  = − +  + ≤   2  a 0  TH2: 16  a + ≤ 0 ⇒ 61 16   3 ⇒ ⇔ − ≤ a ≤ − . 3    16 m  1   16 6 3 = − a  +   − a + ≥ 2 − a +      3       2   3   1   16 
TH3: a + . a + ≤       0 ⇒ m = 0 , 1 16
M = max  a + , a +
 ⇒ M > 2m ( thỏa mãn).  2   3   2 3  Ta có: 61 13 − ≤ a a ∈{ 10 − ;....; }
4 . Vậy có 15 số nguyên thỏa mãn. 6 3 Page 19
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Câu 17: Cho hàm số 2
y = 2x x − (x + )
1 (3− x) + m . Có tất cả bao nhiêu giá trị thực của tham số
m để max y = 3? Lời giải
Hàm số xác định khi: (x + ) 1 (3− x) ≥ 0 ⇔ 1 − ≤ x ≤ 3 .
Đặt t = (x + )( − x) 2 1 3
= 3 + 2x x (t ∈[0;2]) và 2 2
2x x = t − 3.
Khi đó ta cần tìm giái trị lớn nhất của hàm số 2
y = t t − 3+ m trên đoạn [0;2] . Với 2
u = t t − 3 + m ta có: 13
max u = m −1;min u = m − . [0;2] [0;2] 4 Do đó  13  1
max y = max  m −1 ; m −  = 3 ⇔ m = 4;m = .  4  4 Câu 18: Cho hàm số 2
y = 2x x − (x + )
1 (3− x) + m . Khi giá trị lớn nhất của hàm số đạt giá trị nhỏ
nhất. Mệnh đề nào sau đây đúng? Lời giải
Hàm số xác định khi: (x + ) 1 (3− x) ≥ 0 ⇔ 1 − ≤ x ≤ 3 .
Đặt t = (x + )( − x) 2 1 3
= 3 + 2x x (t ∈[0;2]) và 2 2
2x x = t − 3.
Khi đó ta cần tìm giái trị lớn nhất của hàm số 2
y = t t − 3+ m trên đoạn [0;2] . Với 2
u = t t − 3 + m ta có: 13
max u = m −1;min u = m − . [0;2] [0;2] 4 13 13 m −1 + − m m −1+ − m Do đó  13  4 4 9
max y = max  m −1 ; m −  ≥ ≥ = .  4  2 2 8 13 9 17
Dấu bằng xảy ra m −1 = − m = ⇔ m = . 4 8 8 1 19
Câu 19: Gọi S là tập hợp tất cả các số nguyên m để hàm số 4 2
y = x x + 30x + m có giá trị lớn 4 2
nhất trên đoạn [0;2] không vượt quá 20 . Tổng các phần tử của S bằng Lời giải x = 5 − Xét 1  4 19 2 u = x
x + 30x + m trên đoạn [0;2] có 3
u′ = x −19x + 30; u′ = 0 ⇔ x = 3 . 4 2  x =  2
Do đó: maxu = max{u(0);u(2)} = max{ ;
m m + 6} = m + 6;min u = . m [0;2] [0;2] Page 20
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Do đó:
m m + 6 ≤ 20  13 − ≤ m ≤ 6 −
max y = max{ m ; m + 6} ≤ 20 ⇔  ⇔ ⇔  2 − 0 ≤ m ≤ 6 − . [0;2]
m + 6 ≤ m ≤ 20   20 − ≤ m ≤ 13 − 20
m∈ nên m∈{− 20; 19 − ;..., 6
− }. Vậy S = −∑k = 195 − . 6 Câu 20: Cho hàm số 3 2
y = 2x − 3x + m . Có bao nhiêu số nguyên m để min f (x) ≤ 3 ? [ 1; − ]3 Lời giảix = 0 Xét 3 2
u = 2x − 3x + m , ta có: 2
u ' = 6x − 6x ; u′ = 0 ⇔  . x = 1
minu = min{u(− )1,u(3),u(0),u( )1} = min{m −5,m + 27, , m m − } 1 = m −5 [ 1−; ]3 Do đó:  .
max u = max{u (− )
1 ,u(3),u(0),u( )
1 } = max{m −5,m + 27, , m m − } 1 = m + 27  [ 1−; ]3
TH1: m −5 ≥ 0 ⇔ m ≥ 5 ⇒ min f (x) = m −5 ≤ 3 ⇔ m ≤ 8 ⇒ m∈{5;6;7; } 8 . [ 1 − ; ] 3 TH2:
m + 27 ≤ 0 ⇔ m ≤ 27 −
⇒ min f ( x) = −(m + 27) ≤ 3 ⇔ m ≥ 30 − ⇒ m ∈{ 30 − ; 29 − ; 28 − ;− } 27 . [ 1 − ; ] 3
TH3: (m − 5)(m + 27) < 0 ⇔ 27
− < m < 5 ⇒ min = (thỏa mãn). − f x 0 1;3 ( ) [ ] Vậy m∈{ 30 − ; 29 − ;− 28;...;7; } 8 . Câu 21: Cho hàm số 2
f (x) = ax + bx + c, f (x) ≤1, x
∀ ∈[0;1]. Tìm giá trị lớn nhất của f (′0). Lời giải.
f (′x) = 2ax + b f (′0) = b .
Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của b với điều kiện f (x) ≤1, x ∀ ∈[0;1].  
a + b = f (1) − f (0) f (0) = c      1   1 Ta có.  f ( ) 1 a b c
a 2b 4 f   4 f (0) b 4 f  = + + ⇔ + = − ⇒ = −
  f (1) − 3 f (0).    2   2   1  a bf = + +   c c = f (0)   2  4 2   1 − ≤ f (0) ≤1  f x x   f ( )  1 ( ) 1, [0;1] 1 1 1 b 4 f  ≤ ∀ ∈ ⇒ − ≤ ≤ ⇒ = +
  (− f (1)) + 3(− f (0)) ≤ 4 +1+ 3 = 8.   2   1 1 f  − ≤ ≤   1   2  Page 21
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ   1  f   1  =   2   c = 1, − a = 8 −    Đẳng thức xảy ra 2 ⇔  f (1) = 1
− ⇔ a + b + c = 1
− , ⇔  b = 8 ⇒ f (x) = 8
x + 8x −1.
f (0) 1 a b  = − c = 1 c 1 −    + + =    4 2
Vậy giá trị lớn nhất của f (′0) bằng 8. Câu 22: Cho hàm số 4 3 2
y = x − 2x + x + a . Có bao nhiêu số thực a để min y + max y =10 ? [ 1; − 2] [ 1; − 2] Lời giải  x = 0 Xét  4 3 2
u = x − 2x + x + a trên đoạn[ 1; − 2], ta có : 3 2
u ' = 4x − 6x + 2x ; u ' = 0 ⇔ x =  1 .  1 x =  2  M u u   ( ) u ( )  1 max max 1 , 0 , u  = = −  , u ( ) 1  = u(− ) 1 = u(2) = a + 4 [ 1 − ; 2]    2   Suy ra:  .  m = u = u   (− ) u ( )  1 min min 1 , 0 , u   , u ( )
1  = u(0) = u( ) 1 = a  [ 1 − ; 2]    2  
TH1: m ≥ 0 ⇔ a ≥ 0. Khi đó: min y = ;
m max y = M [ 1 − ; 2] [ 1 − ; 2]  a ≥ 0 Ta có điều kiện :  ⇔ a = 3 .
a + a + 4 = 10
TH2: M ≤ 0 ⇔ a ≤ 4
− . Khi đó : min y = −M; max y = −m . [ 1 − ; 2] [ 1 − ; 2]  ≤ −
Ta có điều kiện : a 4  . −  ( ⇔ = − a + ) a 7 4 − a =10
TH3: m < 0 < M ⇔ 4 − < a < 0 .
Khi đó: min y = 0; max y = max{ a + 4 , a } = max{a + 4, − } a <10 . [ 1 − ; 2] [ 1 − ; 2]
Suy ra min y + max y < 0 +10 =10 (loại). [ 1 − ; 2] [ 1 − ; 2] Vậy a ∈{3;− } 7 . Page 22
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
DẠNG 4: PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ ĐỂ GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN TÌM ĐIỀU KIỆN
CỦA THAM SỐ m SAO CHO PHƯƠNG TRÌNH f ( x,m) = 0 CÓ NGHIỆM
(CÓ ỨNG DỤNG GTLN, GTNN ) I. Phương pháp:
Bước 1. Tìm điều kiện xác định của phương trình đã cho.
Bước 2. Đặt t = u (x) hoặc x = u (t) . Tìm tập giá trị K của t . Chuyển bài toán về: tìm điều kiện
của m để phương trình g (t) = h(m) có nghiệm thuộc K .
Bước 3. Tìm GTLN, GTNN của g (t) hoặc tập giá trị của g (t) trên K để suy ra điều kiện của m .
Một số cách đặt ẩn phụ thường gặp:
ax + b ± cx +  d
1. Xuất hiện biểu thức đối xứng 
. PP: Đặt t = ax + b + cx + d .
 (ax + b)(cx + d ) 
2. Xuất hiện a + bx c bx (a + c > 0). 2 2
 a +bx = a + c sinα π 
PP: Vì ( a +bx) +( c bx) = a + c . Nên đặt  , α  ∈ 0;   .
 c bx = a + c cosα  2   2 tan α  2 sinα = 2  1+ tan α
Và sử dụng hệ thức  2 α 
, tiếp tục đặt t = tan , t ∈[0 ] ;1 .  2 1− tan α 2  2 cosα =  2  1+ tan α  2
Ta được một phương trình ẩn t .
Câu 1. Tìm các giá trị thực của tham số m để phương trình sau có nghiệm:
6 − x + 2 2(x − )
1 (4 − x) = m + 4 x −1 + 4 2. 4 − x . Lời giải Đkxđ: 1≤ x ≤ 4 .
Phương trình đã cho tương đương: 6 − x + 2 (x − )
1 (8 − 2x) − 4( x −1 + 8− 2x ) = m (1).
Đặt t = x −1 + 8 − 2x .
Xét hàm số t (x) = x −1 + 8 − 2x liên tục trên đoạn [1;4] , có: t (x) 1 2 −
8 − 2x − 2 x −1 ' = + =
2 x −1 2 8 − 2x
2 x −1. 8 − 2x
Ta có: t '(x) = 0 ⇔ 8 − 2x = 2 x −1 ⇔ x = 2 .
min t (x) = t (4) = 3  Lại có: t ( )
1 = 6 , t (2) = 3, t (4) = 3 x [ ∈ 1;4] ⇒ 
 max t ( x) = t (2) = 3  x [∈1;4] Vì 2 t = x − +
x t = − x + (x − )( − x) 2 1 8 2 7 2
1 8 2 ⇔ t −1 = 6 − x + 2 ( x − ) 1 (8 − 2x) Page 23
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Phương trình (1) trở thành: 2t − 4t −1= m (2).
Xét hàm số f (t) 2
= t − 4t −1 liên tục trên đoạn  3;3
f ' t = 2t − 4   , có: ( ) .
Ta có: f (t) = 0 ⇔ t = 2.
 min f (t) = f (2) = 5 − Lại có: x ∈ 3;3
f ( 3) = 2 − 4 3 , f (2) = 5 − , f (3) = 4 −   ⇒ 
 max f (t) = f ( 3) = 4 − x  ∈ 3;3   
(1) có nghiệm x∈[1;4] ⇔ (2) có nghiệm t ∈  3;3  
⇔ min f (t) ≤ m ≤ max f (t) ⇔ 5 − ≤ m ≤ 4 − . t  ∈ 3;3 t  ∈ 3;3     Vậy 5 − ≤ m ≤ 4
− là các giá trị m cần tìm.
Câu 2. Tìm các giá trị thực của tham số m để phương trình sau có nghiệm:
(2m − )1 x +3 +(m − 2) 1− x + m −1= 0 . Lời giải Đkxđ: 3 − ≤ x ≤1.
Phương trình đã cho tương đương: + + − +
m( x + + − x + ) x 3 2 1 x 1 2 3 1
1 = x + 3 + 2 1− x +1 ⇔ = m (1).
2 x + 3 + 1− x +1 2 2
 x +3 = 2sin a  π
Ta có: ( x +3) +( 1− x) = 4 . Nên đặt:  , a 0;  ∈ .
 1− x = 2cos a  2     2 tan a  2 sin a = 2  1+ tan a Sử dụng:  2  , và đặt tan a t = , t ∈[0 ] ;1 .  2 1− tan a 2  2 cos a =  2  1+ tan a  2 2 3 − t + 4t + 5
Phương trình (1) trở thành: = m t ∈ 0;1 2 , [ ]. t − + 8t + 3 2 3 − t + 4t + 5
Xét hàm số f (t) = 0;1 2 liên tục trên đoạn [ ]. t − + 8t + 3 2 20
t −8t − 28 Ta có f '(t) = < 0 t ∀ ∈ 0;1 2 [ ] ( 2t − + 8t + 3) 
f (t) = f ( ) 3 min 1 = ⇒ 
hàm số f (t) nghịch biến trên [0 ] ;1  t [∈0 ] ;1 5 ⇒  
f (t) = f ( ) 5 max 0 = t  [∈0 ] ;1 3
(1) có nghiệm x∈[ 3 − ]
;1 ⇔ (2) có nghiệm t ∈[0 ] ;1 ⇔
f (t) ≤ m f (t) 3 5 min max ⇔ ≤ m ≤ . t [ ∈ 0 ] ;1 t [ ∈ 0 ] ;1 5 3 Vậy 3 5
m ≤ là các giá trị m cần tìm. 5 3 Page 24
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
DẠNG 7: PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ ĐỂ GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN TÌM ĐIỀU KIỆN
CỦA THAM SỐ ĐỂ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM HOẶC NGHIỆM ĐÚNG VỚI
MỌI xK (CÓ ỨNG DỤNG GTLN, GTNN) I. Phương pháp
1. Tìm điều kiện của tham số để bất phương trình chứa tham số có nghiệm hoặc nghiệm đúng với mọi x∈[ ; a b]
m > f ( x) x
∀ ∈[a;b] ⇔ m > max f ( x) [a;b]
m f ( x) x ∀ ∈[ ;
a b] ⇔ m ≥ max f ( x) [a;b]
m < f ( x) x ∀ ∈[ ;
a b] ⇔ m < min f ( x) [a;b]
m f ( x) x ∀ ∈[ ;
a b] ⇔ m ≤ min f ( x) [a;b]
m > f (x) có nghiệm x∈[ ;
a b] ⇔ m > min f ( x) [a;b]
m f (x) có nghiệm x∈[ ;
a b] ⇔ m ≥ min f ( x) [a;b]
m < f (x) có nghiệm x∈[ ;
a b] ⇔ m < max f ( x) [a;b]
m f (x) có nghiệm x∈[ ;
a b] ⇔ m ≤ max f ( x) [a;b]
2. Tìm điều kiện của tham số để bất phương trình chứa tham số có nghiệm hoặc nghiệm đúng
với mọi
x ∈(a;b) MẸO NHỚ Nếu hàm chỉ có max min
ở biên và không tồn tại
thì: Loại ∀ luôn có dấu
=, loại có nghiệm luôn bỏ dấu =. Nếu hàm có max min tồn
tại thì đang có dấu gì thì giữ nguyên
m > f (x) x
∀ ∈(a;b)
m f (b)
m > max → m > f (d )
m f (x) x
∀ ∈(a;b)
m f (b)
m ≥ max → m f (d )
m < f (x) x
∀ ∈(a;b)
m f (a)
m < min → m < f (c)
m f (x) x
∀ ∈(a;b)
m f (a)
m ≤ min → m f (c)
m > f (x) có nghiệm
m > f (a)
m > min → m > f (c)
m f (x) có nghiệm
m > f (a)
m ≥ min → m f (c)
m < f (x) có nghiệm
m < f (b)
m < max → m < f (d )
m f (x) có nghiệm
m < f (b)
m ≤ max → m f (d ) Page 25
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Câu 1. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình x + ( + x)( − x) 2 6 2 8 ≤ x + m −1
nghiệm đúng với mọi x∈[ 2; − 8]. Lời giải
Bất phương trình tương đương với 2
x + 6x +16 + (2 + x)(8 − x) −15 ≤ m
Đặt t = (2 + x)(8− x) , với x∈[ 2;
− 8] thì t ∈[0;5].
Bất phương trình trở thành 2t + t −15 ≤ m .
Xét hàm số f (t) 2
= t + t −15 trên đoạn [0;5], ta có bảng biến thiên như hình sau
Suy ra bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi x∈[ 2; − 8] khi và chỉ khi
m ≥ max f (t) =15 [0;5]
Câu 2. Cho phương trình 2
4 6 + x x − 3x m( x + 2 + 2 3− x) . Tìm m để bất phương trình đã cho có nghiệm thực? Lời giải + Điều kiện: 2 − ≤ x ≤ 3.
+ Đặt t = x + 2 + 2 3− x với x∈[ 2, − ]3 Ta có: 1 1
3− x − 2 x + 2 t ' = − =
; t ' = 0 ⇔ 3− x = 2 x + 2 ⇔ x = 1 − 2 x + 2 3− x 2 x + 2 3− x Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên suy ra: t ∈  5,5   + Do 2 2
t = x + 2 + 2 3− x ⇔ 4 6 + x x − 3x = t −14 nên bất phương trình đã cho trở thành: 2 2 −14 −14 t tmt ⇔ ≤ m t 2
+ Xét hàm số f (t) t −14 = với t ∈  5,5 t   , ta có: 2
f (t) t +14 ' = > 0, t
∀ ∈  5,5 ⇒ f t   2 ( ) t   đồng biến trên 5,5  
Bất phương trình đã cho có nghiệm thực ⇔ m
f (t) = f ( ) 9 5 min 5 ⇔ m ≥ − .  5;5   5 Page 26
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Câu 3. Tìm m để bất phương trình 2
x + 9 − x ≥ −x + 9x + m ( ) 1 có nghiệm. Lời giải
Điều kiện: 0 ≤ x ≤ 9 Ta có( ) 2
1 ⇔ x + 9 − x + 2 x(9 − x) ≥ −x + 9x + m 2 2
⇔ 9 + 2 −x + 9x ≥ −x + 9x + m (2) Đặt 2
t = −x + 9x do 0 ≤ x ≤ 9 suy ra 9 0 ≤ t ≤ 2 Nên (2) trở thành 2 2
9 + 2t t + m t
− + 2t + 9 ≥ m (3) Xét hàm số 2 f (t) = t − + 2t + 9 , 9 0 ≤ t ≤ 2 Bảng biến thiên : Suy ra ( )
1 có nghiệm khi và chỉ khi (3) có nghiệm 9 t 0;  ∈  , nên 9 − ≤ m ≤10 . 2   4
Câu 4. Cho hàm số f (x) liên tục trên  . Hàm số y = f ′(x) có đồ thị như hình vẽ Tìm m − < ∈ π
sao cho bất phương trình f ( x) 2 2sin
2sin x m đúng với mọi x (0; )? Lời giải
Ta có: x∈(0;π ) ⇒ sin x∈(0; ] 1 .
Đặt t = 2sin x(t ∈(0;2]) ta có: f ( x) 2
2sin − 2sin x < m đúng với mọi x∈(0;π ) Page 27
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ f (t) 1 2
t < m đúng với mọi t ∈(0;2]. 2
Xét g (t) = f (t) 1 2
t với t ∈(0;2]. 2
g′(t) = f ′(t) −t .
Từ đồ thị của hàm số y = f ′(x) và y = x (hình vẽ) ta có BBT của g (t) như sau:
Vậy Max g (t) = g ( ) = f ( ) 1 1 1 − . (0;2] 2
Vậy yêu cầu bài toán ⇔ m > g ( ) ⇔ m > f ( ) 1 1 1 − . 2 Page 28
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
DẠNG 8: BÀI TOÁN THỰC TẾ: I. Phương pháp:
Đưa yêu cầu bài toán về mối quan hệ hàm số, lập bảng biến thiên để tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất
của hàm số với điều kiện ràng buộc cho trước. Chú ý:
Ta cũng có thể sử dụng các bất đẳng thức để tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của biểu thức. Một số
bất đẳng thức thường dùng.
1. Bất đẳng thức AM GM : • Cho hai số thực +
a,b ≥ 0 ta có: a b ab hay a + b ≥ 2 ab . 2
Dấu ' = ' xãy ra khi và chỉ khi a = b . • Cho ba số thực + +
a,b,c ≥ 0 ta có: a b c 3 ≥ abc hay 3
a + b + c ≥ 3 abc . 3
Dấu ' = ' xãy ra khi và chỉ khi a = b = c .
2. Bất đẳng thức Bunhiacopxki :
• Cho hai bộ số thực (a;b),(x; y) ta có: + ≤ ( 2 2 + )( 2 2 ax by a b x + y ) .
Dấu ' = ' xãy ra khi và chỉ khi ay = bx .
• Cho hai bộ số thực (a;b;c),(x; y; z) ta có: + + ≤ ( 2 2 2 + + )( 2 2 2 ax by cz a b c
x + y + z ) .
Dấu ' = ' xãy ra khi và chỉ khi a :b : c = x : y : z .
Câu 1.
Một chất điểm chuyển động theo quy luật 2 3
S(t) = 3t t . Tìm thời điểm t (giây) tại đó vận tốc
v(m/s) của chuyển động đạt giá trị lớn nhất? Lời giải Ta có 2
v = S (′t) = 6t − 3t = 3 − (t − )2 1 + 3 ≤ 3 , t
∀ ≥ 0 . Dấu ' = ' xảy ra khi t =1
Vậy vận tốc của chuyển động đạt giá trị lớn nhất bằng3 tại thời điểm t =1 (s) .
Câu 2. Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình S (t) 1 4 2
= − t + 3t − 2t − 4 , trong đó t 4 tính
bằng giây (s) và S tính bằng mét (m). Tại thời điểm nào vận tốc của chuyển động đạt giá trị lớn nhất? Lời giải
Vận tốc của chuyển động được xác định bởiv(t) = S′(t) 3 = t − + 6t − 2 . t = 2 Ta có: v′(t) 2 = 3 − t + 6 = 0 ⇔  . t = − 2
Do t > 0, nên ta có bảng biến thiên Page 29
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Dựa vào bảng biến thiên suy ra vận tốc của chuyển động đạt giá trị lớn nhất tạit = 2 .
Câu 3. Hằng ngày mực nước của hồ thủy điện ở miền Trung lên và xuống theo lượng nước mưa và các
suối nước đổ về hồ. Từ lúc 8 giờ sáng, độ sâu của mực nước trong hồ tính theo mét và lên
xuống theo thời gian t (giờ) trong ngày cho bởi công thức: h(t) 1 3 2
= − t + 5t + 24t (t > 0) 3
Biết rằng phải thông báo cho các hộ dân phải di dời trước khi xả nước theo quy định trước 5
giờ. Hỏi cần thông báo cho hộ dân di dời trước khi xả nước mấy giờ. Biết rằng mực nước
trong hồ phải lên cao nhất mới xả nước. Lời giải Xét : h(t) 1 3 2
= − t + 5t + 24t (t > 0) 3 Ta có: h′(t) 2 = t − +10t + 24 t = h'(t) 12 2 = 0 ⇔ t
− +10t + 24 = 0 ⇔  t = 2 − ∈(0;+∞  ) Bảng biến thiên:
Để mực nước lên cao nhất thì phải mất 12giờ. Vậy phải thông báo cho dân di dời vào 15giờ chiều cùng ngày.
Câu 4. Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được cho bởi công thức F (x) 1 2 =
x (30 − x) , trong đó 40
x là liều lượng thuốc tiêm cho bệnh nhân (x được tính bằng miligam). Tính liều lượng
thuốc cần tiêm cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều nhất. Lời giải
Xét hàm số : F (x) 1 2 = x (30 − x) (0 < x < 30) . 40 ⇒ F′(x) 1 = ( 2 3 − x + 60x) 40 x = 0∈(0;30) F′(x) 1 = 0 ⇔ ( 2 3
x + 60x) = 0 ⇔ 40  x = 20 Page 30
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ BBT. x 0 20 +∞ F'(x) + 0 - 100 F(x)
Ta có huyết áp giảm nhiều nhất ⇔ F(x) lớn nhất trên (0;+∞). Dựa vào BBT ta thấy
Max F(x) = F(20) =100 nên liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân là x = 20 . (0;+∞)
Câu 5. Để thiết kế một chiếc bể cá hình hộp chữ nhật có chiều cao là 60cm , thể tích 3 96000cm . Người
thợ dùng loại kính để sử dụng làm mặt bên có giá thành 70000 2
VNĐ / m và loại kính để
làm mặt đáy có giá thành 100000 VNĐ 2
/m . Tính chi phí thấp nhất để hoàn thành bể cá . Lời giải
Gọi x, y(m) (x > 0, y > 0) là chiều dài và chiều rộng của đáy bể
Khi đó theo đề ta suy ra: 0,16
0,6xy = 0,096 hay y = . x
Giá thành của bể cá được xác định theo giá trị hàm số sau: f (x)  0,16  0,16 = 2.0,6 x + .70000 +   100000. .xx x Ta có f (x)  0,16 84000 x  = + +   16000  x  Suy ra f (x)  0,16 = 84000 1  ′ −
f x = 0 ⇔ x =   0,4 2 ( )  x
Bảng biến thiên của hàm số f (x) trên ( 0;+ ∞) .
Dựa vào bảng biến thiên suy ra chi phí thấp nhất để hoàn thành bể
cá là f (0,4) = 83200 VNĐ
Câu 6. Nhà xe khoán cho hai tài xế An và Bình mỗi người lần lượt nhận 32 lít và 72 lít xăng trong
một tháng. Biết rằng trong một ngày tổng số xăng cả hai người sử dụng là 10 lít. Tổng số
ngày ít nhất để hai tài xế sử dụng hết số xăng được khoán là bao nhiêu. Lời giải
Gọi x (lít) (0 < x <10) là số xăng An sử dụng trong 1 ngày.
Khi đó: 10 − x (lít) là số xăng Bình sử dụng trong 1 ngày. Suy ra f (x) 32 72 = +
, x ∈(0;10) là tổng số ngày An và Bình sử dụng hết số xăng được x 10 − x khoán. Page 31
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Xét hàm số f (x) ta có: 'f (x) 32 72 = − + . 2 x (10− x)2 x = 4 'f (x) = 0 32 72 ⇔ − + = 0 ⇔ 2 x (  10 − x)2 x = 20 − ∉  (0;10)
Bảng biến thiên của hàm số f (x) 32 72 = + , x ∈(0;10) x 10 − x
Dựa vào BBT ta có sau ít nhất 20 ngày thì An và Bình sử dụng hết lượng xăng được khoán.
Câu 7. Người ta cần xây một bể chứa nước sản xuất dạng khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng 3
200 m . Đáy bể hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Chi phí để xây bể là 300 nghìn đồng 2
/m (chi phí được tính theo diện tích xây dựng, bao gồm diện tích đáy và
diện tích xung quanh không tính chiều dày của đáy và thành bên). Tính chi phí thấp nhất để
xây bể ( làm tròn số tiền đến đơn vị triệu đồng). Lời giải x 2x
Gọi chiều rộng của khối hộp là x (m), x > 0 ⇒ chiều dài của khối hộp là 2x
chiều cao của khối hộp là 200 100 = (m) . Ta có : 2 2 . x x x
Diện tích xung quanh của bể chứa là  100 100 Sx x  = + xq 2 . 2 . 2 2 x x   
Diện tích mặt đáy của bể là S = 2 .xx 1
Do đó diện tích xây dựng của bể là  100 100  2 600 2
S = S + S =  x + x +  x x = x + xq 2 . 2 . 2 . 2 (m ) 1 2 2  x x x Chi phí xây dựng bể là  2 600  5
C(x) = 2x +  .3.10 đồng.  x  Tìm GTNN của 2 600
f (x) = 2x + khi x > 0 . x
x > 0 nên áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số không âm ta được Page 32
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ 2 600 2 300 300 3
f (x) = 2x + = 2x + + ≥ 3 2.300.300 . x x x  2 300 2 =
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x 3  x x = 150. x > 0 Do đó 3 3
min f (x) = f ( 150) = 3 180000 . (0;+∞)
Chi phí thấp nhất để xây bể là min f (x).300 = 3
3 180000.300 ≈ 50,81595 triệu đồng. (0;+∞)
Vậy chi phí thấp nhất để xây bể xấp xỉ là 51triệu đồng. Page 33
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
NG
I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ƯƠ
ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ CH
BÀI 3: GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT VÀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA HÀM SỐ
III BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TRÍCH TỪ ĐỀ THAM KHẢO VÀ ĐỀ CHÍNH THỨC
CỦA BỘ GIÁO DỤC TỪ NĂM 2017 ĐẾN NAY
Câu 1: (MĐ 101-2022) Giá trị lớn nhất của hàm số f (x) 3 2
= x − 3x − 9x +10 trên đoạn [ 2; − 2] bằng A. 12 − . B. 10. C. 15. D. 1 − .
Câu 2: (MĐ 102-2022) Giá trị lớn nhất của hàm số f (x) 3 2
= x − 3x − 9x +10 trên đoạn [ 2; − 2]bằng A. 15. B. 10. C. 1 − . D. 12 − .
Câu 3: (MĐ 101-2022) Cho hàm số f (x) = (m − ) 4 2
1 x − 2mx +1 với m là tham số thực. Nếu
min f (x) = f (2) thì max f (x) bằng [0; ]3 [0; ]3 A. 13 − . B. 4⋅ C. 14 − ⋅ D. 1⋅ 3 3
Câu 4: (MĐ 102-2022) Cho hàm số f (x) 4
= mx + (m − ) 2 2
1 x với m là tham số thực. Nếu
min f (x) = f ( )
1 thì max f (x) bằng [0;2] [0;2] A. 2 . B. 1 − . C. 4 . D. 0 .
Câu 5: (MĐ 103-2022) Cho hàm số f (x) 4 = ax + (a + ) 2 2
4 x −1 với a là tham số thực. Nếu
max f (x) = f (1) thì min f (x) bằng [0;2] [0;2] A. 17 − . B. 16 − . C. 1 − . D. 3.
Câu 6: (MĐ 104-2022) Cho hàm số f (x) = (a + ) 4 2
3 x − 2ax +1 với a là tham số thực. Nếu
max f (x) = f (2) thì min f (x) bằng [0 ] ;3 [0 ] ;3 A. 9 − . B. 4 . C. 1. D. 8 − .
Câu 7: (ĐTK 2020-2021) Gọi M ,m lần lượt là giá trị lớn nhât, giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) 4 2
= x − 2x + 3 trên đoạn [0;2]. Tổng M + m bằng? A. 11. B. 14. C. 5. D. 13. Page 137
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Câu 8: (MĐ 101 2020-2021 – ĐỢT 1) Trên đoạn [0; ] 3 , hàm số 3
y = −x +3x đạt giá trị lớn nhất tại điểm A. x = 0 . B. x = 3. C. x =1. D. x = 2 .
Câu 9: (MĐ 102 2020-2021 – ĐỢT 1) Trên đoạn [ 2; − ] 1 , hàm số 3 2
y = x − 3x −1 đạt giá trị lớn nhất tại điểm. A. x = 2 − . B. x = 0 . C. x = 1 − . D. x =1.
Câu 10: (MĐ 103 2020-2021 – ĐỢT 1) Trên đoạn [0; ] 3 , hàm số 3
y = x − 3x + 4 đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm A. x =1. B. x = 0 . C. x = 3. D. x = 2 .
Câu 11: (MĐ 104 2020-2021 – ĐỢT 1) Trên đoạn [ 1; − 2], hàm số 3 2
y = x + 3x +1 đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm A. x = 2. B. x = 0 . C. x = 1 − . D. x =1.
Câu 12: (MĐ 101 2020-2021 – ĐỢT 2) Trên đoạn [ 4 − ;− ] 1 , hàm số 4 2
y = x −8x +13 đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm A. x = 2 − . B. x = 1 − . C. x = 4 − . D. x = 3 − .
Câu 13: (MĐ 103 2020-2021 – ĐỢT 2) Trên đoạn [1;4] hàm số 4 2
y = x −8x +19 đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm A. x = 2 . B. x =1. C. x = 3. D. x = 4 .
Câu 14: (MĐ 104 2020-2021 – ĐỢT 2) Trên đoạn [1;4],hàm số 4 2
y = −x +8x −13đạt giá trị lớn nhất tại điểm A. x = 4 . B. x = 2 . C. x =1. D. x = 3. 2
Câu 15: (Đề minh họa 1, Năm 2017) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số x + 3 y = trên đoạn [2;4] . x −1 min y = 6 min y = 2 − min y = 3 − 19 min y = A. [2;4] B. [2;4] C. [2;4] . D. [2;4] 3
Câu 16: (Mã 101, Năm 2017) Giá trị lớn nhất của hàm số 4 2
y = x − 4x + 9 trên đoạn [ 2; − ]3 bằng A. 201 B. 2 C. 9 D. 54
Câu 17: (Mã 102, Năm 2017) Giá trị nhỏ nhất của hàm số 3 2
y = x + 2x − 7x trên đoạn [0;4] bằng A. 259 − B. 68 C. 0 D. 4 −
Câu 18: (Mã 102, Năm 2017) Ông A dự định sử dụng hết 2
6,7m kính để làm một bể cá bằng kính có
dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép có kích thước
không đáng kể). Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm). A. 3 1,57m B. 3 1,11m C. 3 1,23m D. 3 2,48m Page 138
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Câu 19: (Mã 103, Năm 2017) Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số 4 2
y = x x +13 trên đoạn [ 2; − ]3. A. 51 m = B. 49 m = C. m =13 D. 51 m = 4 4 2
Câu 20: (Mã 104, Năm 2017) Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số 2 2 y  
= x + trên đoạn 1 ;2 . x 2    A. 17 m = B. m =10 C. m = 5
D. m = 3 4
Câu 21: (Đề tham khảo, Năm 2018) Giá trị lớn nhất của hàm số f (x) 4 2
= x − 4x + 5 trêm đoạn [ 2; − ]3 bằng A. 50 B. 5 C. 1 D. 122
Câu 22: (Mã 101, Năm 2018) Giá trị lớn nhất của hàm số 4 2
y = x − 4x + 9 trên đoạn [ 2; − ]3 bằng A. 201 B. 2 C. 9 D. 54
Câu 23: (Mã 102, Năm 2018) Giá trị nhỏ nhất của hàm số 3 2
y = x + 2x − 7x trên đoạn [0;4] bằng A. 259 − B. 68 C. 0 D. 4 −
Câu 24: (Mã 102, Năm 2018) Ông A dự định sử dụng hết 2
6,7m kính để làm một bể cá bằng kính có
dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép có kích thước
không đáng kể). Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm). A. 3 1,57m B. 3 1,11m C. 3 1,23m D. 3 2,48m
Câu 25: (Mã 103, Năm 2018) Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số 4 2
y = x x +13 trên đoạn [ 2; − ]3. A. 51 m = B. 49 m = C. m =13 D. 51 m = 4 4 2
Câu 26: (Mã 104, Năm 2018) Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số 2 2 y  
= x + trên đoạn 1 ;2 . x 2    A. 17 m = B. m =10 C. m = 5
D. m = 3 4
Câu 27: (Đề minh họa, Năm 2019) Cho hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [ 1; − ] 3 và có đồ thị như
hình bên. Gọi M m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn [ 1; − ]
3 . Giá trị của M m bằng y3 2 1 x 2 1 − O 3 2 − A. 0 B. 1 C. 4 D. 5 Page 139
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Câu 28: (Mã 101, Năm 2019) Giá trị lớn nhất của hàm số 3
f (x) = x − 3x + 2 trên đoạn [ − 3;3] bằng A. 16 − B. 20 C. 0 D. 4
Câu 29: (Mã 102, Năm 2019) Giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) 3
= x − 3x + 2 trên [ − 3;3] bằng A. 20 B. 4 C. 0 D. –16
Câu 30: (Mã 103, Năm 2019) Giá trị lớn nhất của hàm số f (x) 3
= x − 3x trên đoạn [ 3 − ; ] 3 bằng A. 18 B. 2 C. 18 − D. 2 −
Câu 31: (Mã 104, Năm 2019) Giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) 3
= x − 3x trên đoạn [ 3 − ; ] 3 bằng A. 18 B. 18 − C. 2 − D. 2
Câu 32: (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Giá trị lớn nhất của hàm số 4 2
f (x) = −x +12x +1 trên đoạn [ 1; − 2] bằng: A. 1. B. 37 . C. 33. D. 12.
Câu 33: (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) 4 2
= x −10x + 2 trên đoạn [ 1; − 2] bằng A. 2 . B. 23 − . C. 22 − . D. 7 − .
Câu 34: (Mã 101 - 2020 Lần 1) Giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) 3
= x − 24x trên đoạn [2;19] bằng A. 32 2 . B. 40 − . C. 32 − 2 . D. 45 − .
Câu 35: (Mã 102 - 2020 Lần 1) Giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) 3
= x − 21x trên đoạn [2;19] bằng A. 36 − . B. 14 − 7 . C. 14 7 . D. 34 − .
Câu 36: (Mã 103 - 2020 Lần 1) Giá trị nhỏ nhất của hàm số 3
f (x) = x − 30x trên đoạn [2;19] bằng A. 20 10. B. 63. − C. 20 − 10. D. 52. −
Câu 37: (Mã 104 - 2020 Lần 1) Giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) 3
= x − 33x trên đoạn [2;19] bằng A. 72 − . B. 22 − 11 . C. 58 − . D. 22 11 .
Câu 38: (Mã 101 – 2020 Lần 2) Giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) 4 2
= x −10x − 4 trên [0;9] bằng A. 28 − . B. 4 − . C. 13 − . D. 29 − .
Câu 39: (Mã 102 - 2020 Lần 2) Giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) 4 2
= x −12x − 4 trên đoạn [0;9] bằng A. 39 − . B. 40 − . C. 36 − . D. 4 − .
Câu 40: (Mã 103 - 2020 Lần 2) Giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) 4 2
= x −10x − 2 trên đoạn [0;9] bằng A. 2 − . B. 11 − . C. 26 − . D. 27 − .
Câu 41: (Mã 104 - 2020 Lần 2) Giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) 4 2
= x −12x −1 trên đoạn [0;9] bằng A. 28 − . B. 1 − . C. 36 − . D. 37 − . Page 140
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Câu 42: (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá
trị lớn nhất của hàm số f (x) 3
= x − 3x + m trên đoạn[0; ]
3 bằng 16. Tổng tất cả các phần tử của S là: A. 16 − . B. 16. C. 12 − . D. 2 − .
Câu 43: (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Cho hàm số ( ) x + m f x =
( m là tham số thực). Gọi S là tập x +1
hợp tất cả các giá trị của m sao cho max f (x) + min f (x) = 2 . Số phần tử của S [0 ];1 [0 ] ;1 A. 6 . B. 2 . C. 1. D. 4 . Page 141
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
NG
I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ƯƠ
ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ CH
BÀI 3: GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT VÀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA HÀM SỐ
III BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TRÍCH TỪ ĐỀ THAM KHẢO VÀ ĐỀ CHÍNH THỨC
CỦA BỘ GIÁO DỤC TỪ NĂM 2017 ĐẾN NAY
Câu 1: (MĐ 101-2022) Giá trị lớn nhất của hàm số f (x) 3 2
= x − 3x − 9x +10 trên đoạn [ 2; − 2] bằng A. 12 − . B. 10. C. 15. D. 1 − . Lời giải Chọn C
Hàm số liên tục trên đoạn [ 2; − 2]. x = 1 − ∈[ 2; − 2] Ta có: f ′(x) 2
= 3x − 6x − 9 ⇒ f ′(x) = 0 ⇔  . x = 3∉  [ 2; − 2] Mà: f (− ) 1 =15; f ( 2 − ) = 8; f (2) = 1
− 2 ⇒ max f (x) = f (− ) 1 =15. [ 2; − 2]
Câu 2: (MĐ 102-2022) Giá trị lớn nhất của hàm số f (x) 3 2
= x − 3x − 9x +10 trên đoạn [ 2; − 2]bằng A. 15. B. 10. C. 1 − . D. 12 − . Lời giải Chọn D f (x) 3 2
= x x x + ⇒ f ′(x) 2 3 9 10
= 3x − 6x − 9 x = f ′(x) 3 = 0 ⇔  do x∈[ 2; − 2] ⇒ x = 1 − . x = 1 − f ( 2 − ) = 8, f (− ) 1 =15, f (2) = 1 − 2 .
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số f (x) 3 2
= x − 3x − 9x +10 trên đoạn [ 2; − 2]bằng 15. Chọn. A.
Câu 3: (MĐ 101-2022) Cho hàm số f (x) = (m − ) 4 2
1 x − 2mx +1 với m là tham số thực. Nếu
min f (x) = f (2) thì max f (x) bằng [0; ]3 [0; ]3 Page 1
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ A. 13 − . B. 4⋅ C. 14 − ⋅ D. 1⋅ 3 3 Lời giải Chọn B
Có: f ′(x) = (m − ) 3 4 1 x − 4mx .
Nếu min f (x) = f (2) thì điều kiện cần là f ′(2) = 0 (Do f (x) là hàm đa thức) [0; ]3 Suy ra f ′( ) 4 2 = 0 ⇔ m = . 3
Điều kiện đủ: Với 4
m = , ta có f (x) 1 4 8 2
= x x +1; f ′(x) 4 3 16 = x x 3 3 3 3 3 x = 0 Nên f (x) 0  ′ = ⇔ x = 2  x = 2 − ∉  (0;3)
Ta có f ( ) = f ( ) = f ( ) 13
0 1; 3 4; 2 = − . Vậy min f (x) = f (2) ; max f (x) = 4 3 [0; ]3 [0; ]3
Câu 4: (MĐ 102-2022) Cho hàm số f (x) 4
= mx + (m − ) 2 2
1 x với m là tham số thực. Nếu
min f (x) = f ( )
1 thì max f (x) bằng [0;2] [0;2] A. 2 . B. 1 − . C. 4 . D. 0 . Lời giải Chọn C
Vì min f (x) = f ( ) 1 nên suy ra f ′( ) 1 = 0 [0;2] Ta có f ′(x) 3
= mx + (m − ) x f ′( ) 1 4 4 1 1 = 0 ⇔ m = 2 Với 1
m = thì f (x) 1 4 2 = x x 2 2 x = 0 Ta có f ′(x) 3 = 2x − 2 ;
x f ′(x) = 0 ⇔  x = 1 ± f ( ) = f ( ) 1 0
0; 1 = − ; f (2) = 4 . 2
Vậy max f (x) = 4 . [0;2]
Câu 5: (MĐ 103-2022) Cho hàm số f (x) 4 = ax + (a + ) 2 2
4 x −1 với a là tham số thực. Nếu
max f (x) = f (1) thì min f (x) bằng [0;2] [0;2] A. 17 − . B. 16 − . C. 1 − . D. 3. Lời giải Page 2
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Chọn A
Ta có f ′(x) 3
= 4ax + 4(a + 4) .
Theo giả thiết max f (x) = f (1) suy ra f ′( ) 1 = 0 . [0;2]
⇒ 4a + 4(a + 4) = 0 ⇔ a = 2 − . x =1 Khi đó f (x) 4 2 = 2
x + 4x −1⇒ f (x) 3 = 8 − x + 8x = 0  ′ ⇔ x = 1 − ∉[0;2]  . x = 0 Ta có f (0) = 1, − f ( ) 1 =1, f (2) = 1 − 7 .
Vậy, min f (x) = 1 − 7 . [0;2]
Câu 6: (MĐ 104-2022) Cho hàm số f (x) = (a + ) 4 2
3 x − 2ax +1 với a là tham số thực. Nếu
max f (x) = f (2) thì min f (x) bằng [0 ] ;3 [0 ] ;3 A. 9 − . B. 4 . C. 1. D. 8 − . Lời giải Chọn D
Ta có: f ′(x) = x (a + ) 2 4
3 x a, x ∀ ∈    .
Do max f (x) = f (2) nên f ′(2) = 0 ⇒ 3a +12 = 0 ⇔ a = 4 − . [0 ] ;3 Kiểm tra lại: a = 4 − thì f (x) 4 2
= −x + 8x +1 liên tục trên [0; ] 3 . x = 0∈[0; ] 3  Ta có: f ′(x) 3 = 4
x +16x f ′(x) = 0 ⇔ x = 2∈[0; ] 3 . x = 2 − ∉  [0; ]3
Ta có: f (2) =17 , f (0) =1 và f (3) = 8 − .
Suy ra: max f (x) = f (2) =17 và min f (x) = f (3) = 8 − . [0 ] ;3 [0 ] ;3
***********************
Câu 7: (ĐTK 2020-2021) Gọi M ,m lần lượt là giá trị lớn nhât, giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) 4 2
= x − 2x + 3 trên đoạn [0;2]. Tổng M + m bằng? A. 11. B. 14. C. 5. D. 13. Lời giải Ta có 3
f (x)  4x 4x f (x)  0  x  0, x  1
 . Trên [0;2], ta xét các giá trị f (0)  3, ( f 1)  2, ( f 2) 11.
Do đó M 11,m  2 và M m 13. Page 3
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Câu 8: (MĐ 101 2020-2021 – ĐỢT 1) Trên đoạn [0; ] 3 , hàm số 3
y = −x +3x đạt giá trị lớn nhất tại điểm A. x = 0 . B. x = 3. C. x =1. D. x = 2 . Lời giải Hàm số 3
y = −x +3x xác định và liên tục trên đoạn [0; ]3. 2 y′ x =1∈[0; ] = 3 − x + 3 3 ; 2 y′ = 0 ⇔ 3 − x + 3 = 0 ⇔  . x = 1 − ∉  [0; ]3
Ta có: f (0) = 0; f (3) = 18 − ; f ( ) 1 = 2 .
Vậy max f (x) = 2 đạt tại x =1. [0; ] 3
Câu 9: (MĐ 102 2020-2021 – ĐỢT 1) Trên đoạn [ 2; − ] 1 , hàm số 3 2
y = x − 3x −1 đạt giá trị lớn nhất tại điểm. A. x = 2 − . B. x = 0 . C. x = 1 − . D. x =1. Lời giải 2
y′ = 3x − 6xx = 0 2
y′ = 0 ⇔ 3x − 6x = 0 ⇔ x = 2 Với x = 2 − ⇔ y( 2 − ) = 21 −
Với x = 0 ⇔ y(0) = 1 −
Với x =1 ⇔ y( 2 − ) = 3 − Vậy hàm số 3 2
y = x − 3x −1 đạt giá trị lớn nhất tại điểm x = 0 với y (0) = 1 − .
Câu 10: (MĐ 103 2020-2021 – ĐỢT 1) Trên đoạn [0; ] 3 , hàm số 3
y = x − 3x + 4 đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm A. x =1. B. x = 0 . C. x = 3. D. x = 2 . Lời giải x =1 (n) 2
y′ = 3x − 3 , x ∀ ∈(0;3); 2
y′ = 0 ⇔ 3x − 3 = 0 ⇔  x = 1 −  (l)
Ta có: y(0) = 4; y( ) 1 = 2; y(3) = 22
Mà hàm số liên tục trên [0; ]
3 (hàm số liên tục trên  ). Suy ra min y = y( ) 1 = 2 x [ ∈ 0; ] 3
Vậy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x =1. Page 4
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Câu 11: (MĐ 104 2020-2021 – ĐỢT 1) Trên đoạn [ 1; − 2], hàm số 3 2
y = x + 3x +1 đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm A. x = 2. B. x = 0 . C. x = 1 − . D. x =1. Lời giải
Xét hàm số y = f (x) 3 2 = x + 3x +1.
y′ = f ′(x) 2 = 3x + 6x . x = 0∈[ 1; − 2] + f ′(x) 2
= 0 ⇔ 3x + 6x = 0 ⇔  . x = 2 − ∉  [ 1; − 2] Ta có f (− )
1 = 3 , f (0) =1 và f (2) = 21.
Nên min f (x) =1 khi x = 0 . x [ ∈ 1 − ;2]
Câu 12: (MĐ 101 2020-2021 – ĐỢT 2) Trên đoạn [ 4 − ;− ] 1 , hàm số 4 2
y = x −8x +13 đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm A. x = 2 − . B. x = 1 − . C. x = 4 − . D. x = 3 − . Lời giải Hàm số 4 2
y = x −8x +13 xác định và liên tục trên đoạn [ 4 − ;− ] 1 . Ta có 3
y′ = 4x −16x ; x = 2 − (∈[ 4 − ;− ] 1 )  3
y′ = 0 ⇔ 4x −16x = 0 ⇔ x = 0 (∉[ 4 − ;− ] 1 ) .  x = 2  (∉[ 4 − ;− ] 1 ) Ta có f ( 4 − ) =141; f ( 2 − ) = 3 − ; f (− ) 1 = 6 . Vậy hàm số 4 2
y = x −8x +13 đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm x = 2 − .
Câu 13: (MĐ 103 2020-2021 – ĐỢT 2) Trên đoạn [1;4] hàm số 4 2
y = x −8x +19 đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm A. x = 2 . B. x =1. C. x = 3. D. x = 4 . Lời giải x = 0∉(1;4)  Ta có: 3
y′ = x x = x( 2 4 16
4 x − 4) . Do đó: y′ = 0 ⇔ 4x( 2
x − 4) = 0 ⇔ x = 2 − ∉(1;4) . x = 2∈  (1;4) Đặt f (x) 4 2
= x −8x +19 ta có: f ( )
1 =12; f (2) = 3; f (4) =147 . Suy ra trên đoạn [1;4] hàm số 4 2
y = x −8x +19 đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm x = 2 . Page 5
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Câu 14: (MĐ 104 2020-2021 – ĐỢT 2) Trên đoạn [1;4],hàm số 4 2
y = −x +8x −13đạt giá trị lớn nhất tại điểm A. x = 4 . B. x = 2 . C. x =1. D. x = 3. Lời giải Ta có 3 y' = 4 − x +16x , x = 0∉[1;4] 
y ' = 0 ⇔ x = 2∈[1;4] x = 2 − ∉  [1;4] y ( ) 1 = 6
− , y (2) = 3, y(4) = 141 − .
⇒ max y = 3 ⇔ x = 2 . [1;4] 2
Câu 15: (Đề minh họa 1, Năm 2017) +
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số x 3 y = trên đoạn [2;4] . x −1 min y = 6 min y = 2 − min y = 3 − 19 min y = A. [2;4] B. [2;4] C. [2;4] . D. [2;4] 3 Lời giải Chọn A
Tập xác định D =  \{ }
1 . Hàm số đã cho liên tục trên [2;4] . 2 Ta có x − 2x − 3 y ' = . (x − )2 1 x = 1 − ∉ 2;4 2 [ ]
y ' = 0 ⇔ x − 2x − 3 = 0 ⇔  . x = 3
Ta có y(2) = 7 , y(3) = 6, y( ) 19 4 =
. Vậy min y = 6 . 3 [2;4]
Câu 16: (Mã 101, Năm 2017) Giá trị lớn nhất của hàm số 4 2
y = x − 4x + 9 trên đoạn [ 2; − ]3 bằng A. 201 B. 2 C. 9 D. 54 Lời giải Chọn D
Hàm số đã cho liên tục trên [ 2; − ]3. x = 0 Ta có 3
y′ = 4x −8x ; y′ = 0 ⇔  . x = ± 2 Ta có y( 2
− ) = 9 ; y(3) = 54; y(0) = 9 ; y(± 2) = 5. Vậy max y = 54 . [ 2; − ] 3 Page 6
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Câu 17: (Mã 102, Năm 2017) Giá trị nhỏ nhất của hàm số 3 2
y = x + 2x − 7x trên đoạn [0;4] bằng A. 259 − B. 68 C. 0 D. 4 − Lời giải Chọn D
TXĐ D = . Hàm số liên tục trên đoạn [0;4] . x =1∈[0;4] Ta có 2
y′ = 3x + 4x − 7 . Ta có y′ = 0  ⇔  7 x = − ∉[0;4]  3 y(0) = 0; y( ) 1 = 4;
y(4) = 68 . Vậy min y = 4 − . [0;4]
Câu 18: (Mã 102, Năm 2017) Ông A dự định sử dụng hết 2
6,7m kính để làm một bể cá bằng kính có
dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép có kích thước
không đáng kể). Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm). A. 3 1,57m B. 3 1,11m C. 3 1,23m D. 3 2,48m Lời giải Chọn A
Gọi x là chiều rộng, ta có chiều dài là 2x 2
Do diện tích đáy và các mặt bên là 2
6,7m nên có chiều cao 6,7 − 2x h = , 6x Ta có h > 0 nên 6,7 x < . 2 3 2
Thể tích bể cá là ( ) 6,7x 2x V x − = và ( ) 6,7 6x V x − ′ = = 0 6,7 ⇔ x = 3 3 6 Bảng biến thiên
Bể cá có dung tích lớn nhất bằng 3 1,57m .
Câu 19: (Mã 103, Năm 2017) Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số 4 2
y = x x +13 trên đoạn [ 2; − ]3. A. 51 m = B. 49 m = C. m =13 D. 51 m = 4 4 2 Lời giải Page 7
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Chọn A
Hàm số đã cho liên tục trên [ 2; − ]3. Ta có: 3
y′ = 4x − 2 .xx = 0 y 0  ′ = ⇔ 1 = − = =  ; y(0) 13, 1 51 y   ± =
, y( 2) 25 , y(3) 85 . x = ±  2    4  2 Vậy: 51 m = . 4
Câu 20: (Mã 104, Năm 2017) Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số 2 2 y  
= x + trên đoạn 1 ;2 . x 2    A. 17 m = B. m =10 C. m = 5
D. m = 3 4 Lời giải Chọn D Đặt   = ( ) 2 2
y f x = x + . Hàm số đã cho liên tục trên 1 ;2 . x 2    3 Ta có 2 2 − 2 ′ = 2 x y x − = , 1 y 0 x 1 ;2 ′ = ⇒ = ∈ 2 2 x x 2    Khi đó: f ( ) 1 = 3, 1 17 f   =   , f (2) = 5  2  4
Vậy m = min f (x) = f ( ) 1 = 3. 1;2 2   
Câu 21: (Đề tham khảo, Năm 2018) Giá trị lớn nhất của hàm số f (x) 4 2
= x − 4x + 5 trêm đoạn [ 2; − ]3 bằng A. 50 B. 5 C. 1 D. 122 Lời giải Chọn A
Hàm số đã cho liên tục trên [ 2; − ]3. x = 0 3
f '(x) = 4x −8x = 0 ⇔  ∈[ 2 − ; ] 3 ; x = ± 2
f (0) = 5; f (± 2) =1; f ( 2
− ) = 5; f (3) = 50 Vậy Max y = 50 [ 2 − ; ] 3
Câu 22: (Mã 101, Năm 2018) Giá trị lớn nhất của hàm số 4 2
y = x − 4x + 9 trên đoạn [ 2; − ]3 bằng A. 201 B. 2 C. 9 D. 54 Page 8
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Lời giải Chọn D
Hàm số đã cho liên tục trên [ 2; − ]3. x = 0 Ta có 3
y′ = 4x −8x ; y′ = 0 ⇔  . x = ± 2 Ta có y( 2
− ) = 9 ; y(3) = 54; y(0) = 9 ; y(± 2) = 5.
Vậy max y = y(3) = 54 [ 2; − ] 3
Câu 23: (Mã 102, Năm 2018) Giá trị nhỏ nhất của hàm số 3 2
y = x + 2x − 7x trên đoạn [0;4] bằng A. 259 − B. 68 C. 0 D. 4 − Lời giải Chọn D
TXĐ D = . Hàm số liên tục trên đoạn [0;4] . x =1∈[0;4] Ta có 2
y′ = 3x + 4x − 7 . Ta có y′ = 0  ⇔  7 x = − ∉[0;4]  3 y(0) = 0; y( ) 1 = 4;
y(4) = 68 . Vậy min y = 4 − . [0;4]
Câu 24: (Mã 102, Năm 2018) Ông A dự định sử dụng hết 2
6,7m kính để làm một bể cá bằng kính có
dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép có kích thước
không đáng kể). Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm). A. 3 1,57m B. 3 1,11m C. 3 1,23m D. 3 2,48m Lời giải Chọn A
Gọi x là chiều rộng, ta có chiều dài là 2x 2 −
Do diện tích đáy và các mặt bên là 2
6,7m nên có chiều cao 6,7 2x h = , 6x Ta có h > 0 nên 6,7 x < . 2 3 2
Thể tích bể cá là ( ) 6,7x 2x V x − = và ( ) 6,7 6x V x − ′ = = 0 6,7 ⇔ x = 3 3 6 Bảng biến thiên Page 9
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Bể cá có dung tích lớn nhất bằng 3 1,57m .
Câu 25: (Mã 103, Năm 2018) Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số 4 2
y = x x +13 trên đoạn [ 2; − ]3. A. 51 m = B. 49 m = C. m =13 D. 51 m = 4 4 2 Lời giải Chọn A
Hàm số đã cho liên tục trên [ 2; − ]3. Ta có: 3
y′ = 4x − 2 .xx = 0 y 0  ′ = ⇔ 1 = − = =  ; y(0) 13, 1 51 y   ± =
, y( 2) 25 , y(3) 85 . x = ±  2    4  2 Vậy: 51 m = . 4
Câu 26: (Mã 104, Năm 2018) Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số 2 2 y  
= x + trên đoạn 1 ;2 . x 2    A. 17 m = B. m =10 C. m = 5
D. m = 3 4 Lời giải Chọn D Đặt   = ( ) 2 2
y f x = x + . Hàm số đã cho liên tục trên 1 ;2 . x 2    3 Ta có 2 2 − 2 ′ = 2 x y x − = , 1 y 0 x 1 ;2 ′ = ⇒ = ∈ 2 2 x x 2    Khi đó: f ( ) 1 = 3, 1 17 f   =   , f (2) = 5  2  4
Vậy m = min f (x) = f ( ) 1 = 3. 1;2 2   
Câu 27: (Đề minh họa, Năm 2019) Cho hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [ 1; − ] 3 và có đồ thị như
hình bên. Gọi M m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn [ 1; − ]
3 . Giá trị của M m bằng Page 10
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ y3 2 1 x 2 1 − O 3 2 − A. 0 B. 1 C. 4 D. 5 Lời giải Chọn D
Từ đồ thị hàm số y = f (x) trên đoạn [ 1; − ] 3 ta có:
M = max y = f (3) = 3 và m = min y = f (2) = 2 − [ 1 − ; ] 3 [ 1 − ; ] 3
Khi đó M m = 5 .
Câu 28: (Mã 101, Năm 2019) Giá trị lớn nhất của hàm số 3
f (x) = x − 3x + 2 trên đoạn [ − 3;3] bằng A. 16 − B. 20 C. 0 D. 4 Lời giải Chọn B
Hàm số đã cho liên tục trên [ 3 − ; ] 3 . Ta có: f (x) 3
= x x + ⇒ f ′(x) 2 3 2 = 3x − 3  x =1 Có: f ′(x) 2
= 0 ⇔ 3x − 3 = 0 ⇔  x = 1 − Mặt khác: f ( 3 − ) = 1 − 6, f (− ) 1 = 4, f ( ) 1 = 0, f (3) = 20.
Vậy max f (x) = 20 . [ 3 − ; ] 3
Câu 29: (Mã 102, Năm 2019) Giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) 3
= x − 3x + 2 trên [ − 3;3] bằng A. 20 B. 4 C. 0 D. –16 Lời giải Chọn D
Hàm số đã cho liên tục trên [ 3 − ; ] 3 . f ′(x) 2 ⇒ f ′(x) Ta có: = 3x − 3 = 0 ⇔ x = 1 ± . f ( 3 − ) = 1 − 6; f (− ) 1 = 4; f ( ) 1 = 0; f (3) Ta có: = 20.
Do hàm số f (x) liên tục trên [ − 3;3] nên giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng –16.
Câu 30: (Mã 103, Năm 2019) Giá trị lớn nhất của hàm số f (x) 3
= x − 3x trên đoạn [ 3 − ; ] 3 bằng A. 18 B. 2 C. 18 − D. 2 − Lời giải Chọn A Page 11
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Hàm số đã cho liên tục trên [ 3 − ; ] 3 .
Tập xác định trên D =  . Hàm số f (x) 3
= x − 3x liên tục trên đoạn [ 3 − ; ] 3 . Có f (x) 2 ' = 3x − 3 . x = Cho f (x) 1 ' = 0 ⇔  . Ta có f ( 3 − ) = 18 − , f (− ) 1 = 2, f ( ) 1 = 2 − và f (3) =18 . x = 1 −
Vậy max y =18 = f (3) [ 3 − ; ] 3
Câu 31: (Mã 104, Năm 2019) Giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) 3
= x − 3x trên đoạn [ 3 − ; ] 3 bằng A. 18 B. 18 − C. 2 − D. 2 Lời giải Chọn B
Hàm số đã cho liên tục trên [ 3 − ; ] 3 . Ta có: f ′(x) 2 = 3x − 3 x = 1 − ∈ 3 − ;3 Có: f ′(x) [ ] = 0 ⇔  x =1∈  [ 3 − ; ] 3 Mặt khác: f ( 3 − ) = 1
− 8; f (3) =18; f (− ) 1 = 2; f ( ) 1 = 2 − .
Vậy min f (x) = f ( 3 − ) = 1 − 8. [ 3 − ; ] 3
Câu 32: (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Giá trị lớn nhất của hàm số 4 2
f (x) = −x +12x +1 trên đoạn [ 1; − 2] bằng: A. 1. B. 37 . C. 33. D. 12. Lời giải Chọn C x = 0 4 2 
f (x) = −x +12x +1 liên tục trên [ 1; − 2] và 3 2 f '(x) = 4
x + 24x = 0 ⇔ x =  6 (L) x = −  6 (L) Ta có: f ( 1
− ) =12; f (2) = 33; f (0) =1
Vậy, giá trị lớn nhất của hàm số 4 2
f (x) = −x +12x +1 trên đoạn [ 1;
− 2]bằng 33 tại x = 2
Câu 33: (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) 4 2
= x −10x + 2 trên đoạn [ 1; − 2] bằng A. 2 . B. 23 − . C. 22 − . D. 7 − . Lời giải Chọn C
Hàm số đã cho liên tục trên đoạn [ 1; − 2]. Page 12
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ x = 0 Ta có: f ′(x) 3
= 4x − 20x, f ′(x) = 0 ⇔  . x = ± 5
Xét hàm số trên đoạn [ 1; − 2] có: f (− ) 1 = 7
− ; f (0) = 2; f (2) = 2 − 2.
Vậy min f (x) = 2 − 2 . x [ ∈ 1 − ;2]
Câu 34: (Mã 101 - 2020 Lần 1) Giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) 3
= x − 24x trên đoạn [2;19] bằng A. 32 2 . B. 40 − . C. 32 − 2 . D. 45 − . Lời giải Chọn C x = 2 2 ∈[2;19] Ta có f ′(x) 2 = 3x − 24 = 0 ⇔  . x = 2 − 2 ∉  [2;19] f ( ) 3 2 = 2 − 24.2 = 40 − ; f ( )=( )3 2 2 2 2 − 24.2 2 = 32 − 2 ; f ( ) 3
19 =19 − 24.19 = 6403 .
Vậy g trị nhỏ nhất của hàm số f (x) 3
= x − 24x trên đoạn [2;19] bằng 32 − 2 .
Câu 35: (Mã 102 - 2020 Lần 1) Giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) 3
= x − 21x trên đoạn [2;19] bằng A. 36 − . B. 14 − 7 . C. 14 7 . D. 34 − . Lời giải Chọn B x = − 7 ∉ 2;19 2 [ ]
Trên đoạn [2;19], ta có: y′ = 3x − 21⇒ y′ = 0 ⇔  .  x = 7 ∈  [2;19] Ta có: y(2) = 34 − ; y ( 7) = 14 −
7; y(19) = 6460 . Vậy m = 14 − 7 .
Câu 36: (Mã 103 - 2020 Lần 1) Giá trị nhỏ nhất của hàm số 3
f (x) = x − 30x trên đoạn [2;19] bằng A. 20 10. B. 63. − C. 20 − 10. D. 52. − Lời giải Chọn C x = 10 (n) Ta có f ′(x) 2
= 3x − 30 ⇒ f ′(x) 2
= 0 ⇔ 3x − 30 = 0 ⇔  . x = − 10  (l) Khi đó f (2) = 52 − ; f ( 10) = 20 − 10 và f (19) = 6289.
Vậy min f (x) = f = − . ∈ ( 10) 20 10 x [2;19]
Câu 37: (Mã 104 - 2020 Lần 1) Giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) 3
= x − 33x trên đoạn [2;19] bằng A. 72 − . B. 22 − 11 . C. 58 − . D. 22 11 . Lời giải Page 13
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Chọn B x = 11∈[2;19] Ta có f ′(x) 2 = 3x − 33 = 0 ⇔  . x = − 11∉  [2;19]
Khi đó ta có f (2) = 58 − , f ( 11) = 22 −
11 , f (19) = 6232. Vậy f = f 11 = 22 − 11 . min ( )
Câu 38: (Mã 101 – 2020 Lần 2) Giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) 4 2
= x −10x − 4 trên [0;9] bằng A. 28 − . B. 4 − . C. 13 − . D. 29 − . Lời giải Chọn D
Hàm số y = f (x) liên tục trên [0;9]. x = 0  Có f ′(x) 3
= 4x − 20x , f ′(x) = 0 ⇔ x = 5 x = − 5∉  [0;9] Ta có f (0) = 4 − , f ( 5) = 29 − , f (9) = 5747
Do đó min f (x) = f 5 = 2 − 9 . 0;9 ( ) [ ]
Câu 39: (Mã 102 - 2020 Lần 2) Giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) 4 2
= x −12x − 4 trên đoạn [0;9] bằng A. 39 − . B. 40 − . C. 36 − . D. 4 − . Lời giải Chọn B x = Ta có: f ′(x) 3
= 4x − 24x ; f ′(x) 0 = 0 ⇔  x = ± 6
Tính được: f (0) = 4
− ; f (9) = 5585 và f ( 6) = 40 − .
Suy ra min f (x) = 4 − 0 . [0;9]
Câu 40: (Mã 103 - 2020 Lần 2) Giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) 4 2
= x −10x − 2 trên đoạn [0;9] bằng A. 2 − . B. 11 − . C. 26 − . D. 27 − . Lời giải Chọn D Ta có f (x) 3 ' = 4x − 20x x = 0∉(0;9)  f '(x) = 0 3
⇔ 4x − 20x = 0 ⇔ x = 5 ∈(0;9)  x = − 5 ∉  (0;9) Page 14
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ f (0) = 2 − ; f ( 5) = 27 − ; f (9) = 5749 .
Vậy min f (x) = 2 − 7 . [0;9]
Câu 41: (Mã 104 - 2020 Lần 2) Giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) 4 2
= x −12x −1 trên đoạn [0;9] bằng A. 28 − . B. 1 − . C. 36 − . D. 37 − . Lời giải Chọn D
Ta có f ′(x) 3 = 4x − 24x . x = 0∈[0;9]  f ′(x) 3
= 0 ⇔ 4x − 24x = 0 ⇔ x = 6 ∈[0;9] .  x = − 6 ∉  [0;9] f (0) = 1 − , f ( 6) = 37 − , f (9) = 5588
Câu 42: (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá
trị lớn nhất của hàm số f (x) 3
= x − 3x + m trên đoạn[0; ]
3 bằng 16. Tổng tất cả các phần tử của S là: A. 16 − . B. 16. C. 12 − . D. 2 − . Lời giải Chọn A Xét 3
u x 3x m trên đoạn 0;  3 có 2
u  0  3x 3  0  x 10;  3 . max u  max 
u0,u  1 ,u 
3  maxm,m2,m1  8  m 18 Khi đó 0; 3   .
min u  minu0,u 1,u 
3  minm,m2,m1  8  m2  0; 3   m18 16 
m18  m2   m  2
Suy ra M ax f x max m2 , m1816     . 0;  3  m2 16 m  14  
m2  m18  
Do đó tổng tất cả các phần tử của S bằng 16.
Câu 43: (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Cho hàm số ( ) x + m f x =
( m là tham số thực). Gọi S là tập x +1
hợp tất cả các giá trị của m sao cho max f (x) + min f (x) = 2 . Số phần tử của S [0 ];1 [0 ] ;1 A. 6 . B. 2 . C. 1. D. 4 . Lời giải Chọn B
Do hàm số ( ) x + m f x = liên tục trên [0; ] 1 x +1 . Page 15
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Khi m =1 hàm số là hàm hằng nên max f (x) = min f (x) =1 [0 ] ;1 [0 ] ;1
Khi m ≠ 1 hàm số đơn điệu trên đoạn [0; ] 1 nên
+ Khi f (0); f ( ) 1 cùng dấu thì f (x) f (x) f ( ) f ( ) m 1 max min 0 1 m + + = + = + . [0 ] ;1 [0 ] ;1 2
+ Khi f (0); f ( )
1 trái dấu thì min f (x) = 0, [0 ] ;1 f (x) { f ( ) f ( )}  m +1 max max 0 ; 1 max m ;  = =   . [0 ] ;1  2  m ≤ − TH1: f ( ) f ( ) 1
0 . 1 ≥ 0 ⇔ m(m +1) ≥ 0 ⇔  . m ≥ 0 m = 1 + f (x) f (x) m 1 max min 2 m 2  + = ⇔ + = ⇔ 5 (thoả mãn). [0 ] ;1 [0 ] ;1 2 m = −  3
TH2: f (0). f ( )
1 < 0 ⇔ m(m +1) < 0 ⇔ 1 − < m < 0  m = 2 m = 2 ±
max f (x) min f (x) 2   + = ⇒  m +1 ⇔ m = 5 − (không thoả mãn). [0 ] ;1 [0 ] ;1 2  =  2 m =  3
Số phần tử của S là 2 . Page 16
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ NG ƯƠ
I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM
ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ CH
BÀI 3: GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT VÀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA HÀM SỐ
III BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
DẠNG 1. XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ THÔNG
QUA ĐỒ THỊ, BẢNG BIẾN THIÊN
 Giá trị lớn nhất của hàm số f ( x) trên đoạn [a;b]
Hàm số f (x) liên tục trên đoạn [a;b] và f ′(x = x a b . Khi đó giá trị lớn nhất của i ) 0, i [ ; ]
hàm số f (x) là M = max{ f (a), f (b), f (xi )}
 Giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x) trên đoạn [a;b]
Hàm số f (x) liên tục trên đoạn [a;b] và f ′(x = x a b . Khi đó giá trị nhỏ nhất của i ) 0, i [ ; ]
hàm số f (x) là m = Min{ f (a), f (b), f (xi )}
 Hàm số y = f ( x) đồng biến trên đoạn [a;b] thì Max f ( x) = f (b);Min f ( x) = f (a) [a;b] [a;b]
 Hàm số y = f ( x) nghịch biến trên đoạn [a;b] thì Max f ( x) = f (a);Min f ( x) = f (b) [a;b] [a;b]
Câu 1:
Cho hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [ 1; − ]
1 và có đồ thị như hình vẽ.
Gọi M m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn [ 1; − ] 1 . Giá
trị của M m bằng A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 3. Page 141
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Câu 2: Cho hàm số y = f (x) liên tục trên [ 3
− ;2] và có bảng biến thiên như sau. Gọi M ,m lần lượt là
giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f (x) trên đoạn [ 1;
− 2]. Tính M + m. A. 3. B. 2 . C. 1. D. 4 .
Câu 3: Cho hàm số y = f (x) xác định và liên tục trên  có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm giá trị nhỏ
nhất m và giá trị lớn nhất M của hàm số y = f (x) trên đoạn [ 2; − 2] . A. m = 5 − ;M = 1 − . B. m = 2; − M = 2 . C. m = 1; − M = 0 . D. m = 5 − ;M = 0 .
Câu 4: Xét hàm số y = f (x) với x∈[ 1;
− 5]có bảng biến thiên như sau:
Khẳng định nào sau đây là đúng
A. Hàm số đã cho không tồn taị GTLN trên đoạn[ 1; − 5]
B. Hàm số đã cho đạt GTNN tại x = 1
− và x = 2 trên đoạn[ 1; − 5]
C. Hàm số đã cho đạt GTNN tại x = 1
− và đạt GTLN tại x = 5trên đoạn [ 1; − 5]
D. Hàm số đã cho đạt GTNN tại x = 0 trên đoạn[ 1; − 5] Page 142
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Câu 5: Cho hàm số y = f (x) liên tục trên  , có bảng biến thiên như hình sau:
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. Hàm số có hai điểm cực trị.
B. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 2 và giá trị nhỏ nhất bằng 3 − .
C. Đồ thị hàm số có đúng một đường tiệm cận.
D. Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng ( ; −∞ − ) 1 , (2;+∞) .
Câu 6: Cho hàm số y = f (x) liên tục và có bảng biến thiên trên đoạn [ 1; − ]
3 như hình vẽ bên. Khẳng
định nào sau đây đúng?
A. max f (x) = f (0) . B. max f (x) = f (3) . C. max f (x) = f (2) . D. max f (x) = f (− ) 1 . [ 1 − ; ] 3 [ 1 − ; ] 3 [ 1 − ; ] 3 [ 1 − ; ] 3
Câu 7: Cho hàm số f (x) liên tục trên [ 1;
− 5] và có đồ thị trên đoạn [ 1;
− 5] như hình vẽ bên dưới. Tổng
giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) trên đoạn [ 1; − 5] bằng A. 1 − B. 4 C. 1 D. 2 Page 143
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Câu 8: Cho hàm số y  
= f (x) xác định, liên tục trên 5 1, − 
và có đồ thị là đường cong như hình vẽ. 2  
Giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất  
m của hàm số f ( x) trên 5 1, −  là: 2  
A. M = 4,m =1
B. M = 4,m = −1 C. 7 M = ,m = 1 − D. 7 M = ,m =1 2 2
Câu 9: Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình vẽ. Giá trị lớn nhất của hàm số f (x) trên đoạn [0;2] là:
A. Max f (x) = 2.
B. Max f (x) = 2 . C. Max f (x) = 4.
D. Max f (x) = 0 . [0;2] [0;2] [0;2] [0;2]
Câu 10: Cho hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [ 1; − ]
3 và có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi M ,m lần lượt
là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn [ 1; − ]
3 . Giá trị của M + m A. 2 B. 6 − C. 5 − D. 2 −
Câu 11: Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên trên [ 5; − 7) như sau Page 144
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
Min f (x) = 6 .
B. Min f (x) = 2 .
C. Max f (x) = 9 .
D. Max f (x) = 6 . [ 5 − ;7) [ 5 − ;7) [-5;7) [ 5 − ;7)
Câu 12: Cho hàm số f (x) liên tục trên đoạn [0; ]
3 và có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi M m lần lượt
là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên [0; ]
3 . Giá trị của M + m bằng? A. 5. B. 3. C. 2 . D. 1.
Câu 13: Cho hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn 2;6 và có đồ thị như hình vẽ bên dưới.
Gọi M m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn 2;6. Giá
trị của M m bằng A. 9. B. 8 − . C. 9 − . D. 8 .
Câu 14: Cho hàm số y = f (x) liên tục và có đồ thị trên đoạn [ 2;
− 4] như hình vẽ bên. Tổng giá trị lớn
nhất và nhỏ nhất của hàm số y = f (x) trên đoạn [ 2; − 4] bằng Page 145
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ A. 5 B. 3 C. 0 D. 2 −
Câu 15: Cho hàm số y = f (x) có bảng xét dấu đạo hàm như sau:
Mệnh đề nào sau đây đúng
A. max f (x) = f (0)
B. max f (x) = f ( )
1 C. min f (x) = f (− )
1 D. min f (x) = f (0) ( 1; − ] 1 (0;+∞) (−∞;− )1 ( 1; − +∞)
DẠNG 2. XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ TRÊN ĐOẠN
Bước 1: Hàm số đã cho y = f (x ) xác định và liên tục trên đoạn a;b  .
Tìm các điểm x ,x ,...,x trên khoảng (a;b) , tại đó f ′(x ) = 0 hoặc f ′(x ) không xác định. 1 2 n
Bước 2: Tính f (a), f (x ), f (x ),..., f (x , f b . 1 2 n ) ( )
Bước 3: Khi đó:
max f (x ) = max  
{f (x ),f (x ),...,f (x ,f a ,f b . 1 2 n ) ( ) ( )} a b ,  
min f (x ) = min f x , f x ,..., f x , f a , f b . a b, { ( 1) ( 2) ( n ) ( ) ( )}  
Câu 16: Tìm tập giá trị của hàm số y = x −1 + 9 − x A. T = [1; 9].
B. T = 2 2; 4 =    . C. T = (1; 9) . D. T 0; 2 2   .
Câu 17: Giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 2
y = x + trên đoạn [2; ] 3 bằng x A. 15 . B. 5. C. 29 . D. 3. 2 3
Câu 18: Tìm giá trị lớn nhất − M của hàm số 3x 1 y = trên đoạn [0;2] x − 3 A. 1 M = . B. 1 M = − . C. M = 5. D. M = 5 − 3 3 Page 146
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Câu 19: Giá trị lớn nhất của hàm số 2 y = 4 − x A. 2. B. 0. C. 4. D. 1.
Câu 20: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 2
y = sin x − 4sin x − 5 . A. 20 − . B. 8 − . C. 9 − . D. 0 .
Câu 21: Gọi m , M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số f (x) 1
= x x +1 trên 2 đoạn [0; ]
3 . Tính tổng S = 2m + 3M . A. 7 S = − . B. 3 S = − . C. 3 − . D. S = 4 . 2 2
Câu 22: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f (x) = sin x + cos2x trên [ ; 0 π ] là A. 9 . B. 5 . C. 2 . D. 1. 8 4
Câu 23: Giá trị lớn nhất của hàm số 4 3 y = 2cos x − os c x trên [0;π ]. 3 A. 2 a m x y 2 2 = . B. 10 a m x y = . C. a m x y = . D. a m x y = 0. [0;π ] 3 [0;π ] 3 [0;π ] 3 [0;π ]
Câu 24: Gọi M ,m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 3sin x + 2 y = trên đoạn sin x +1  π 0;   . Khi đó giá trị của 2 2
M + m 2    A. 31. B. 11. C. 41 . D. 61. 2 2 4 4 Câu 25: Cho hàm số sin x +1 y =
. Gọi M là giá trị lớn nhất và m là giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 sin x + sin x +1
đã cho. Chọn mệnh đề đúng. A. 3 M = m + . B. 3 M = m .
C. M = m +1. D. 2
M = m + . 2 2 3 Page 147
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
DẠNG 3. XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ TRÊN
KHOẢNG (a;b).
Bước 1: Tính đạo hàm f x ( ) .
Bước 2: Tìm tất cả các nghiệm x a
( ;b) của phương trình f x
( ) = 0 và tất cả các điểm i α ∈ a
( ;b) làm cho f x ( ) không xác định. i
Bước 3. Tính A = lim f x ( ), B = lim f x ( ), f x ( ), f (α ) . + i i x ax b
Bước 4. So sánh các giá trị tính được và kết luận M = maxf x ( ), m = minf x ( ) . a ( b ; ) a ( b ; )
Nếu giá trị lớn nhất là A hoặc B thì ta kết luận không có giá trị lớn nhất.
Câu 26: Gọi m là giá trị nhỏ nhất của hàm số 4 y = x −1+
trên khoảng (1;+∞). Tìm m ? x −1
A. m = 5 .
B. m = 4 .
C. m = 2 .
D. m = 3 .
Câu 27: Giá trị nhỏ nhất của hàm số 1
y = x − 5 + trên khoảng (0;+∞) bằng bao nhiêu? x A. 0 B. 1 − C. 3 − D. 2 −
Câu 28: Gọi m là giá trị nhở nhất của hàm số 4
y = x + trên khoảng (0;+∞). Tìm m x A. m = 4 . B. m = 2 . C. m =1. D. m = 3 .
Câu 29: Giá trị nhỏ nhất của hàm số 1
f (x) = x + trên nửa khoảng [2;+∞) là: x A. 2 B. 5 C. 0 D. 7 2 2
Câu 30: Gọi m là giá trị nhỏ nhất của hàm số 4
y = x + trên khoảng (0;+∞). Tìm m . x A. m = 3 . B. m = 4 . C. m = 2 . D. m =1.
Câu 31: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 4 − x + 3 trên tập xác định của nó là A. 2 + 3. B. 2 3. C. 0. D. 3.
Câu 32: Với giá trị nào của x thì hàm số 2 1
y = x + đạt giá trị nhỏ nhất trên khoảng (0;+∞)? x 3 1 1 A. . B. . C. 1. D. . 3 4 2 3 2
Câu 33: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x + −( + )2 2 1 2 trên khoảng (0;+∞) x A. không tồn tại. B. 3 − . C. 1 − + 2 . D. 0 .
Câu 34: Mệnh đề nào sau đây là đúng về hàm số x 1 y
trên tập xác định của nó. 2 x 5
A. Hàm số không có giá trị lớn nhất và không có giá trị nhỏ nhất.
B. Hàm số không có giá trị lớn nhất và có giá trị nhỏ nhất.
C. Hàm số có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.
D. Hàm số có giá trị lớn nhất và không có giá trị nhỏ nhất. Page 148
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ NG ƯƠ
I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM
ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ CH
BÀI 3: GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT VÀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA HÀM SỐ
III BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
DẠNG 1. XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ THÔNG
QUA ĐỒ THỊ, BẢNG BIẾN THIÊN
 Giá trị lớn nhất của hàm số f ( x) trên đoạn [a;b]
Hàm số f (x) liên tục trên đoạn [a;b] và f ′(x = x a b . Khi đó giá trị lớn nhất của i ) 0, i [ ; ]
hàm số f (x) là M = max{ f (a), f (b), f (xi )}
 Giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x) trên đoạn [a;b]
Hàm số f (x) liên tục trên đoạn [a;b] và f ′(x = x a b . Khi đó giá trị nhỏ nhất của i ) 0, i [ ; ]
hàm số f (x) là m = Min{ f (a), f (b), f (xi )}
 Hàm số y = f ( x) đồng biến trên đoạn [a;b] thì Max f ( x) = f (b);Min f ( x) = f (a) [a;b] [a;b]
 Hàm số y = f ( x) nghịch biến trên đoạn [a;b] thì Max f ( x) = f (a);Min f ( x) = f (b) [a;b] [a;b]
Câu 1: Cho hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [ 1; − ]
1 và có đồ thị như hình vẽ.
Gọi M m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn [ 1; − ] 1 . Giá
trị của M m bằng A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 3. Lời giải
Từ đồ thị ta thấy M =1,m = 0 nên M m =1. Page 1
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Câu 2: Cho hàm số y = f (x) liên tục trên [ 3
− ;2] và có bảng biến thiên như sau. Gọi M ,m lần lượt là
giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f (x) trên đoạn [ 1;
− 2]. Tính M + m. A. 3. B. 2 . C. 1. D. 4 . Lời giải Trên đoạn [ 1;
− 2] ta có giá trị lớn nhất M = 3 khi x = 1
− và giá trị nhỏ nhất m = 0 khi x = 0 .
Khi đó M + m = 3+ 0 = 3.
Câu 3: Cho hàm số y = f (x) xác định và liên tục trên  có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm giá trị nhỏ
nhất m và giá trị lớn nhất M của hàm số y = f (x) trên đoạn [ 2; − 2] . A. m = 5 − ;M = 1 − . B. m = 2; − M = 2 . C. m = 1; − M = 0 . D. m = 5 − ;M = 0 . Lời giải
Nhìn vào đồ thị ta thấy:
M = max f (x) = 1 − khi x = 1 − hoặc x = 2 . [ 2; − 2]
m = min f (x) = 5 − khi x = 2
− hoặc x =1. [ 2; − 2]
Câu 4: Xét hàm số y = f (x) với x∈[ 1;
− 5]có bảng biến thiên như sau:
Khẳng định nào sau đây là đúng
A. Hàm số đã cho không tồn taị GTLN trên đoạn[ 1; − 5]
B. Hàm số đã cho đạt GTNN tại x = 1
− và x = 2 trên đoạn[ 1; − 5]
C. Hàm số đã cho đạt GTNN tại x = 1
− và đạt GTLN tại x = 5trên đoạn [ 1; − 5] Page 2
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
D. Hàm số đã cho đạt GTNN tại x = 0 trên đoạn[ 1; − 5] Lời giải
A. Đúng. Vì lim y = +∞ nên hàm số không có GTLN trên đoạn [ 1; − 5] . x 5− →
B. Sai. Hàm số đã cho chỉ đạt GTNN tại x = 2 trên đoạn[ 1; − 5] .
C. Sai. Hàm số đã cho chỉ đạt GTNN tại x = 2 trên đoạn[ 1;
− 5] và lim y = +∞ . x→5
D. Sai. Hàm số đã cho chỉ đạt GTNN tại x = 2 trên đoạn[ 1; − 5] .
Câu 5: Cho hàm số y = f (x) liên tục trên  , có bảng biến thiên như hình sau:
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. Hàm số có hai điểm cực trị.
B. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 2 và giá trị nhỏ nhất bằng 3 − .
C. Đồ thị hàm số có đúng một đường tiệm cận.
D. Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng ( ; −∞ − ) 1 , (2;+∞) . Lời giải
Dựa vào BBT ta thấy hàm số không có GTLN, GTNN.
Câu 6: Cho hàm số y = f (x) liên tục và có bảng biến thiên trên đoạn [ 1; − ]
3 như hình vẽ bên. Khẳng
định nào sau đây đúng?
A. max f (x) = f (0) . B. max f (x) = f (3) . C. max f (x) = f (2) . D. max f (x) = f (− ) 1 . [ 1 − ; ] 3 [ 1 − ; ] 3 [ 1 − ; ] 3 [ 1 − ; ] 3 Lời giải
Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy max f (x) = f (0). [ 1 − ; ] 3
Câu 7: Cho hàm số f (x) liên tục trên [ 1;
− 5] và có đồ thị trên đoạn [ 1;
− 5] như hình vẽ bên dưới.
Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) trên đoạn [ 1; − 5] bằng Page 3
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ A. 1 − B. 4 C. 1 D. 2 Lời giải
M = max f (x) = 3
Từ đồ thị ta thấy:  [ 1 − ;5]  ⇒ + = n = f (x) M n 1. min = 2 −  [ 1−;5]
Câu 8: Cho hàm số y  
= f (x) xác định, liên tục trên 5 1, − 
và có đồ thị là đường cong như hình vẽ. 2  
Giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất  
m của hàm số f ( x) trên 5 1, −  là: 2  
A. M = 4,m =1
B. M = 4,m = −1 C. 7 M = ,m = 1 − D. 7 M = ,m =1 2 2 Lời giải Chọn B
Dựa vào đồ thị M = 4, m = −1.
Câu 9: Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình vẽ. Giá trị lớn nhất của hàm số f (x) trên đoạn [0;2] là: Page 4
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
A. Max f (x) = 2.
B. Max f (x) = 2 . [0;2] [0;2]
C. Max f (x) = 4.
D. Max f (x) = 0 . [0;2] [0;2] Lời giải Chọn C
Dựa vào đồ thị ta thấy trên đoạn [0;2] hàm số f (x) có giá trị lớn nhất bằng 4 khi x = 2
Suy ra Max f (x) = 4 [0;2]
Câu 10: Cho hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [ 1; − ]
3 và có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi M ,m lần
lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn [ 1; − ]
3 . Giá trị của M + m A. 2 B. 6 − C. 5 − D. 2 − Lời giải
Dựa vào đồ thị ta thấy GTLN của hàm số trên đoạn [ 1; − ]
3 là M = 2 đạt được tại x = 1 − và
GTNN của hàm số số trên đoạn [ 1; − ] 3 là m = 4
− đạt được tại x = 2
M + m = 2 + ( 4) − = 2 −
Câu 11: Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên trên [ 5; − 7) như sau
Mệnh đề nào dưới đây đúng? Page 5
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
A. Min f (x) = 6 .
B. Min f (x) = 2 .
C. Max f (x) = 9 .
D. Max f (x) = 6 . [ 5 − ;7) [ 5 − ;7) [-5;7) [ 5 − ;7) Lời giải
Dựa vào bảng biến thiên trên [ 5;
− 7) , ta có: Min f (x) = f ( ) 1 = 2 . [ 5 − ;7)
Câu 12: Cho hàm số f (x) liên tục trên đoạn [0; ]
3 và có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi M m lần lượt
là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên [0; ]
3 . Giá trị của M + m bằng? A. 5. B. 3. C. 2 . D. 1. Lời giải
Dựa vào hình vẽ ta có: M = 3, m = 2
− nên M + m =1.
Câu 13: Cho hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn 2;6 và có đồ thị như hình vẽ bên dưới.
Gọi M m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn 2;6. Giá
trị của M m bằng A. 9. B. 8 − . C. 9 − . D. 8 . Lời giải Từ đồ thị suy ra 4
− ≤ f (x) ≤ 5 x ∀ ∈[ 2; − 6]; f ( ) 1 = 4; − f (4) = 5 M = 5 ⇒ 
M m = 9 . m = 4 − Page 6
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Câu 14: Cho hàm số y = f (x) liên tục và có đồ thị trên đoạn [ 2;
− 4] như hình vẽ bên. Tổng giá trị lớn
nhất và nhỏ nhất của hàm số y = f (x) trên đoạn [ 2; − 4] bằng A. 5 B. 3 C. 0 D. 2 − Lời giải Chọn B
Dựa vào đồ thị hàm số ta có
m = Min f (x) = 4
− , M = Max f (x) = 7 x [ ∈ 2; − 4] x [ ∈ 2; − 4]
Khi đó M + m = 3
Câu 15: Cho hàm số y = f (x) có bảng xét dấu đạo hàm như sau:
Mệnh đề nào sau đây đúng
A. max f (x) = f (0)
B. max f (x) = f ( )
1 C. min f (x) = f (− )
1 D. min f (x) = f (0) ( 1; − ] 1 (0;+∞) (−∞;− )1 ( 1; − +∞) Lời giải Chọn B
DẠNG 2. XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ TRÊN ĐOẠN
Bước 1: Hàm số đã cho y = f (x ) xác định và liên tục trên đoạn a;b  .
Tìm các điểm x ,x ,...,x trên khoảng (a;b) , tại đó f ′(x ) = 0 hoặc f ′(x ) không xác định. 1 2 n Page 7
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Bước 2: Tính f (a), f (x ), f (x ),..., f (x , f b . 1 2 n ) ( )
Bước 3: Khi đó:
max f (x ) = max  
{f (x ),f (x ),...,f (x ,f a ,f b . 1 2 n ) ( ) ( )} a b ,  
min f (x ) = min f x , f x ,..., f x , f a , f b . a b, { ( 1) ( 2) ( n ) ( ) ( )}  
Câu 16: Tìm tập giá trị của hàm số y = x −1 + 9 − x A. T = [1; 9].
B. T = 2 2; 4 =    . C. T = (1; 9) . D. T 0; 2 2   . Lời giải
Tập xác định: D = [1; 9] 1 1 x ≥1 y′ = −
= 0 ⇔ 9 − x = x −1 ⇔  ⇔ x = 5 .
2 x −1 2 9 − x 9
 − x = x −1 f ( )
1 = f (9) = 2 2 ; f (5) = 4
Vậy tập giá trị là T = 2 2; 4   .
Câu 17: Giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 2
y = x + trên đoạn [2; ] 3 bằng x A. 15 . B. 5. C. 29 . D. 3. 2 3 Lời giải Chọn B + Ta có hàm số 2 2
y = f (x) = x + xác định và liên tục trên [2; ] 3 . x + 2
y ' = f '(x) = 2x
; f '(x) = 0 ⇔ x =1∉[2; ] 3 mà f (2) = 5 , 29 f (3) = . 2 x 3
+ Vậy min y = 5 tại x = 2 . [2; ]3
Câu 18: Tìm giá trị lớn nhất − M của hàm số 3x 1 y = trên đoạn [0;2] x − 3 A. 1 M = . B. 1 M = − . C. M = 5. D. M = 5 − 3 3 Lời giải Chọn A
Trên đoạn [0;2]ta luôn có 8 y′ = − < 0 ∀ x ∈ 0;2 ) 2 ( ) (x −3) Vì y ( ) 1 0 1
= , y (2)= − 5 nên M =max y = . 3 [0;2] 3 Page 8
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Câu 19: Giá trị lớn nhất của hàm số 2 y = 4 − x A. 2. B. 0. C. 4. D. 1. Lời giải Chọn A
• Tập xác định: D = [ 2; − 2] • Ta có: ' −x y =
y′ = 0 ⇔ x = 0∈( 2; − 2) 2 4 − x y( 2 − ) = y(2) = 0 • Ta có:  .  ( ⇒ y = y 0) max 2 [ 2; − 2] = 2
Câu 20: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 2
y = sin x − 4sin x − 5 . A. 20 − . B. 8 − . C. 9 − . D. 0 . Lời giải
Đặt t = sin x,t ∈[ 1 − ] ;1 . Xét 2
f (t) = t − 4t − 5 ,t ∈[ 1; − ] 1 .
f (′t) = 2t − 4 = 0 ⇔ t = 2∉[ 1; − ] 1 . f ( ) 1 = 8, − f (− ) 1 = 0 .
Ta thấy min f (t) = f ( ) 1 = 8
− . Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là 8 − . [ 1 − ] ;1
Câu 21: Gọi m , M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số f (x) 1
= x x +1 trên 2 đoạn [0; ]
3 . Tính tổng S = 2m + 3M . A. 7 S = − . B. 3 S = − . C. 3 − . D. S = 4 . 2 2 Lời giải Ta có: + − f ′(x) 1 1 x 1 1 = − =
, cho f ′(x) = 0 ⇒ x +1 =1 ⇔ x = 0∈[0; ] 3 . 2 2 x +1 2 x +1 Khi đó: f (0) = 1 − , f ( ) 1 3 = − nên m = 1 − và 1 M = − . 2 2 Vậy 7
S = 2m + 3M = − . 2
Câu 22: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f (x) = sin x + cos2x trên [ ; 0 π ] là A. 9 . B. 5 . C. 2 . D. 1. 8 4 Lời giải
f (x) = sin x + cos2x = sin x + − sin2 1 2 x Page 9
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Đặt sin x = t (0 ≤ t ≤ ) 1
f (t) = − t2
2 + t +1, f ′(t) = −4t +1
f ′(t) = 0 ⇔ t = 1 4 1 9 f (0) = 1, f ( ) 1 = 0 , f   =    4  8
Vậy max f (x) = 9 . [0; ]1 8
Câu 23: Giá trị lớn nhất của hàm số 4 3 y = 2cos x − os c x trên [0;π ]. 3 A. 2 a 2 2 m x y = . B. 10 a m x y = . C. a m x y = . D. a m x y = 0. [0;π ] 3 [0;π ] 3 [0;π ] 3 [0;π ] Lời giải
Đặt: t = cos x 4 ⇒ t ∈[ 1; − ] 1 3
y = 2t t . 3  1 x − = ∈[ 1; − ] 1  2
y ' = 2 − 4t y ' = 0 2 ⇔  .  1 x = ∈[ 1; − ] 1  2 Tính: y( ) 2 1 − − = ,  1  2 2 y − − = , 1 2 2 y   = , y( ) 2 1 = . 3  2      3  2  3 3 Vậy: 2 2 a m x y = . [0;π ] 3
Câu 24: Gọi M ,m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 3sin x + 2 y = trên đoạn sin x +1  π 0;   . Khi đó giá trị của 2 2
M + m 2    A. 31. B. 11. C. 41 . D. 61. 2 2 4 4 Lời giải Chọn C
Đặt t = sin x , t ∈[0 ] ;1 .
Xét hàm f (t) 3t + 2 =
liên tục trên đoạn [0 ] ;1 có f ′(t) 1 = > 0,t ∈ 0;1 . 2 [ ] t +1 (t + ) 1
Suy ra hàm số đồng biến trên [0 ] ;1 . 5
M = Max f (t) = f (1) = và m = Min f (t) = f (0) = 2 . [0 ] ;1 2 [0; ]1 Page 10
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ 2 Khi đó 2 2 5 2 41 M m   + = +  2 =  .  2  4 Câu 25: Cho hàm số sin x +1 y =
. Gọi M là giá trị lớn nhất và m là giá trị nhỏ nhất của hàm 2 sin x + sin x +1
số đã cho. Chọn mệnh đề đúng. A. 3 M = m + . B. 3 M = m .
C. M = m +1. D. 2
M = m + . 2 2 3 Lời giải Đặt t +1 sin x = t , ( 1 − ≤ t ≤ ) 1 ta được y = . 2 t + t +1 2 Xét hàm số t +1 y − − = trên đoạn [ 1; t 2t − ] 1 ta có y′ = . 2 t + t +1 (t +t + )2 2 1
t = 0 (t / m)
Giải phương trình y′ = 0 2 ⇔ t − − 2t = 0 ⇔  . t = 2 ( − loai) Vì y(− )
1 = 0 ; y (0) =1; y( ) 2 1 = nên 3
max y = y(0) =1 ⇒ M =1; min y = y(− ) 1 = 0 ⇒ m = 0 . [ 1 − ] ;1 [ 1 − ] ;1 Vậy M = m +1.
DẠNG 3. XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ TRÊN KHOẢNG ( ; a b).
Bước 1: Tính đạo hàm f x ( ) .
Bước 2: Tìm tất cả các nghiệm x a
( ;b) của phương trình f x
( ) = 0 và tất cả các điểm i α ∈ a
( ;b) làm cho f x ( ) không xác định. i
Bước 3. Tính A = lim f x ( ), B = lim f x ( ), f x ( ), f (α ) . + i i x ax b
Bước 4. So sánh các giá trị tính được và kết luận M = maxf x ( ), m = minf x ( ) . a ( b ; ) a ( b ; )
Nếu giá trị lớn nhất là A hoặc B thì ta kết luận không có giá trị lớn nhất .
Câu 26: Gọi m là giá trị nhỏ nhất của hàm số 4 y = x −1+
trên khoảng (1;+∞). Tìm m ? x −1
A. m = 5 .
B. m = 4 .
C. m = 2 .
D. m = 3 . Lời giải Chọn B
Tập xác định D = R \{ } 1 . 2 x − 2x − 3 x = 1 − y′ = , y′ = 0 ⇔ . (x − )2 1  x = 3 Bảng biến thiên: Page 11
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
m = min y = 4 khi x = 3 (1;+∞)
Câu 27: Giá trị nhỏ nhất của hàm số 1
y = x − 5 + trên khoảng (0;+∞) bằng bao nhiêu? x A. 0 B. 1 − C. 3 − D. 2 − Lời giải Chọn C
Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có: 1 1
y = x + − 5 ≥ 2 . x − 5 = 3 − x x Dấu bằng xảy ra khi 1 2
x = ⇔ x =1 ⇔ x =1 . x Vậy min y = 3 − (0;+∞)
Câu 28: Gọi m là giá trị nhở nhất của hàm số 4
y = x + trên khoảng (0;+∞). Tìm m x A. m = 4 . B. m = 2 . C. m =1. D. m = 3 . Lời giải 4 y ' =1− 2 x
y ' = 0 ⇔ x = 2; ± x = 2∈(0;+∞). Bảng biến thiên:
Suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng y(2) = 4 ⇒ m = 4.
Câu 29: Giá trị nhỏ nhất của hàm số 1
f (x) = x + trên nửa khoảng [2;+∞) là: x A. 2 B. 5 C. 0 D. 7 2 2 Lời giải Chọn B Page 12
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta được: 1 3x x 1 3.2 x 1 5
f (x) = x + = + + ≥ + 2 . = . x 4 4 x 4 4 x 2
Dấu bằng xảy ra khi x = 2 .
Câu 30: Gọi m là giá trị nhỏ nhất của hàm số 4
y = x + trên khoảng (0;+∞). Tìm m . x A. m = 3 . B. m = 4 . C. m = 2 . D. m =1. Lời giải Chọn B Cách 1: Hàm số 4
y = x + liên tục và xác định trên (0;+∞). x 2 4 x − 4 x = 2∈(0;+∞) Ta có y ' =1− = ⇒ y ' = 0 ⇔  . 2 2 x xx = 2 − ∉  (0;+∞) Bảng biến thiên
Vậy giá trị nhỏ nhất là m = 4 khi x = 2. Cách 2: Với x∈( + ∞) 4 0; ⇒ ;
x > 0. Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có: 4 4 x + ≥ 2 . x = 4. x x xx > 0
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 
4 ⇔ x = 2. Vậy m = 4 khi x = 2. x =  x
Câu 31: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 4 − x + 3 trên tập xác định của nó là A. 2 + 3. B. 2 3. C. 0. D. 3. Lời giải Chọn D
Tập xác định của hàm số là: D = ( ;4 −∞ ]. − Ta có 1 y ' = < 0, x ∀ ∈ D 2 4 − x Bảng biến thiên Page 13
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ x ∞ 4 y' +∞ y 3
Từ bảng biến thiên suy ra min y = 3 khi x = 4 .Vậy chọn D . (−∞;4]
Câu 32: Với giá trị nào của x thì hàm số 2 1
y = x + đạt giá trị nhỏ nhất trên khoảng (0;+∞)? x 3 1 1 A. . B. . C. 1. D. . 3 4 2 3 2 Lời giải Chọn D TXD: D =  \{ } 0 . 1 1 y ' = 2x
, y ' = 0 ⇔ x = . 2 x 3 2 Dựa vào BBT thì 1 x =
hàm số đạt giá trị nhỏ nhất trên (0;+∞). 3 2
Câu 33: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x + −( + )2 2 1 2 trên khoảng (0;+∞) x A. không tồn tại. B. 3 − . C. 1 − + 2 . D. 0 . Lời giải Chọn B
Hàm số xác định và liên tục trên khoảng (0;+∞). 2 2 x − 2 y′ = 1− = . 2 2 x xx = 2 y′ = 0 ⇔  . x = − 2 Bảng biến thiên: Page 14
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Vậy min y = f 2 = 3 − . 0;+∞ ( ) ( )
Câu 34: Mệnh đề nào sau đây là đúng về hàm số x 1 y
trên tập xác định của nó. 2 x 5
A. Hàm số không có giá trị lớn nhất và không có giá trị nhỏ nhất.
B. Hàm số không có giá trị lớn nhất và có giá trị nhỏ nhất.
C. Hàm số có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.
D. Hàm số có giá trị lớn nhất và không có giá trị nhỏ nhất. Lời giải Chọn D
Tập xác định: D   . 2     2 5 1 x x x 2 2 2 2 x 5
x 5 x x 5 y '  x    . 2 2 x 5 x 5 2 x   2 5 x 5 2 x   5 5 '  0  x y
 0  5 x  0  x  5 . 2 x 5 2 x   5 Bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên có y y  30 max 5  khi x  5.  5 Hàm số x 1 y
không có giá trị nhỏ nhất. 2 x 5
Vậy hàm số có giá trị lớn nhất và không có giá trị nhỏ nhất. Page 15
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ NG ƯƠ
I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM
ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ CH
BÀI 3: GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT VÀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA HÀM SỐ
III BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
DẠNG. ĐỊNH M ĐỂ GTLN-GTNN CỦA HÀM SỐ THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC
Bước 1. Tìm nghiệm x i = của thuộc [a;b] i ( 1,2,...) y′ = 0
Bước 2. Tính các giá trị f (x f a f b theo tham số i ) ; ( ); ( )
Bước 3. So sánh các giá trị, suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
Bước 4. Biện luận m theo giả thuyết đề để kết luận Lưu ý:
 Hàm số y = f ( x) đồng biến trên đoạn [a;b] thì Max f ( x) = f (b);Min f ( x) = f (a) [a;b] [a;b]
 Hàm số y = f ( x) nghịch biến trên đoạn [a;b] thì Max f ( x) = f (a);Min f ( x) = f (b) [a;b] [a;b] + Câu 1: x m
Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y =
trên đoạn [1;2] bằng 8 ( m là tham x +1
số thực). Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. m >10 .
B. 8 < m <10 .
C. 0 < m < 4 .
D. 4 < m < 8. 2
Câu 2: Có bao nhiêu giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số xm 2 y  trên đoạn xm 0;4 bằng 1. A. 3. B. 2 . C. 1. D. 0 . Câu 3: Cho hàm số x +1 y = thỏa mãn 1
min y = . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 2 x m [ 3 − ; 2 − ] 2
A. 3 < m ≤ 4. B. 2 − < m ≤ 3. C. m > 4 . D. m ≤ 2 − . 2
Câu 4: Tìm giá trị dương của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số m x −1 y = trên đoạn [1; ] 3 x + 2 bằng 1. A. m = 2 . B. m = 3 . C. m = 4 . D. m = 2 . Page 149
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ 2 Câu 5: Cho hàm số xm y
với m là tham số thực. Giả sử m là giá trị dương của tham số m để x 8 0
hàm số có giá trị nhỏ nhất trên đoạn 0; 
3 bằng −3. Giá trị m thuộc khoảng nào trong các khoảng 0 cho dưới đây? A. 2;  5 . B. 1;4. C. 6;9. D. 20;  25 .
Câu 6: Tìm giá trị của tham số thực m để giá trị nhỏ nhất của hàm số 2x + m y = trên đoạn [0;4] bằng x +1 3. A. m = 3 . B. m =1. C. m = 7 .
D. m = 5 2
Câu 7: Tìm các giá trị của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số
x m + m y = trên đoạn [0; ] 1 x +1 bằng 2 − . m = 1 −  m =1  m =1 m = 1 − A.  . B.  . C.  . D.  . m = 2 − m = 2 m = 2 −  m = 2 Câu 8: Cho hàm số x m y
(m là tham số thực) thỏa mãn miny  3 . Mệnh đề nào dưới đây x  1 0;1   đúng?
A. 1  m  3 B. m  6 C. m  1
D. 3  m  6
Câu 9: Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số x m y
trên 1;2 bằng 8 ( m là tham x 1
số thực). Khẳng định nào sau đây đúng? A. m >10 .
B. 8 < m <10 .
C. 0 < m < 4 .
D. 4 < m < 8. 2 + + Câu 10: x m m Gọi ,
A B lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số y = trên đoạn [2; ] 3 x −1
. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để 13 A + B = . 2
A. m =1;m = 2 − . B. m = 2 − . C. m = 2 ± . D. m = 1; − m = 2 . 2
Câu 11: Cho hàm số ( ) x m f x =
với m là tham số thực. Giả sử m là giá trị dương của tham số m x + 8 0
để hàm số có giá trị nhỏ nhất trên đoạn [0; ] 3 bằng 3
− . Giá trị m thuộc khoảng nào trong các 0 khoảng cho dưới đây? A. (20;25). B. (5;6) . C. (6;9) . D. (2;5) .
Câu 12: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số 3 2
y = −x − 3x + m trên đoạn [ 1; − ] 1 bằng 0 .
A. m = 2.
B. m = 6.
C. m = 0.
D. m = 4.
Câu 13: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 3 2
y = x − 3x + m có giá trị nhỏ nhất trên đoạn [ 1; − ] 1 bằng 2 m  2 2 A. m  2 .
B. m  2 2 .
C. m  4 2 . D.  . m  4  2  Page 150
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Câu 14: Có một giá trị m 3 2
0 của tham số m để hàm số y x m  
1 x m 1 đạt giá trị nhỏ nhất
bằng 5 trên đoạn 0; 
1 . Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. 2
2018m m  0 . B. 2m 1 0 . C. 2
6m m  0 .
D. 2m 1 0. 0 0 0 0 0 0
Câu 15: Nếu hàm số 2
y = x + m + 1− x có giá trị lớn nhất bằng 2 2 thì giá trị của m A. 2 . B. − 2 . C. 2 . D. 2 − . 2 2 Câu 16: Cho hàm số 3 2
y = 2x − 3x m . Trên [ 1; − ]
1 hàm số có giá trị nhỏ nhất là 1 − . Tính m ? A. m = 6 − . B. m = 3 − . C. m = 4 − . D. m = 5 − .
Câu 17: Biết S là tập giá trị của m để tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 4 2 3 2
y = x m x − 2x m trên đoạn [0; ] 1 bằng 16
− . Tính tích các phần tử của S . A. 2 . B. 2 − . C. 15 − . D. 17 − . 2
Câu 18: Tìm tất cả giá trị thực của tham số x + mx +1
m để hàm số y =
liên tục và đạt giá trị nhỏ nhất x + m
trên đoạn [0;2] tại một điểm x ∈ 0;2 . 0 ( )
A. 0 < m <1 B. m >1 C. m > 2 D. 1 − < m <1 Câu 19: Cho hàm số 1− msin x y =
. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [0;10] để cos x + 2
giá trị nhỏ nhất của hàm số nhỏ hơn 2 − ? A. 1. B. 9. C. 3. D. 6 . Câu 20: Cho hàm số 3
y = ax + cx + d, a ≠ 0 có min f (x) = f ( 2
− ) . Giá trị lớn nhất của hàm số x ( ∈ −∞;0)
y = f (x) trên đoạn [1; ] 3 bằng
A. d −11a .
B. d −16a .
C. d + 2a .
D. d + 8a .
Câu 21: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số x + m y =
có giá trị lớn nhất trên  nhỏ hơn 2 x + x +1 hoặc bằng 1. A. m ≤1. B. m ≥1. C. m ≥ 1 − . D. m ≤ 1 − . 3 2
Câu 22: Giá trị lớn nhất của hàm số
x + x m y =
trên [0;2] bằng 5. Tham số m nhận giá trị là x +1 A. 5 − . B. 1. C. 3 − . D. 8 − .
Câu 23: Cho hàm số y = (x x + m)2 3 3
. Tổng tất cả các giá trị của tham số m sao cho giá trị nhỏ nhất
của hàm số trên đoạn [ 1; − ] 1 bằng 1 là A. 1. B. 4 − . C. 0 . D. 4 .
Câu 24: Tìm tất cả các giá trị của m > 0 để giá trị nhỏ nhất của hàm số 3
y = x − 3x +1 trên đoạn
[m +1;m + 2] luôn bé hơn 3. A. m∈(0;2). B. m∈(0; ) 1 .
C. m∈(1;+ ∞) .
D. m∈(0;+ ∞) . Page 151
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Câu 25: Biết rằng giá trị nhỏ nhất của hàm số 36 y = mx + trên [0; ]
3 bằng 20 . Mệnh đề nào sau đây x +1 đúng?
A. 0 < m ≤ 2 .
B. 4 < m ≤ 8.
C. 2 < m ≤ 4 . D. m > 8 . Câu 26: Cho hàm số 3 2
y = x mx + ( 2 3 3 m − )
1 x + 2020 . Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m sao
cho hàm số có giá trị nhỏ nhất trên khoảng (0;+∞)? A. 2 . B. 1. C. Vô số. D. 3.
Câu 27: Cho hàm số f (x) = m x −1 . Gọi m ,m là hai giá trị của m thoả mãn 1 2 min f (x) + a m x f (x) 2
= m −10 . Giá trị của m + m bằng [2;5] [2;5] 1 2 A. 3. B. 5. C. 10. D. 2. Câu 28: Cho hàm số msin x +1 y =
có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [ 5; − 5] cosx + 2
để giá trị nhỏ nhất của y nhỏ hơn 1 − . A. 4 . B. 2 . C. 6 . D. 8 .
Câu 29: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) 34 = trên đoạn [0; ]
3 bằng 2. Tổng tất cả các phần tử của S bằng
(x −3x+2m)2 3 +1 A. 8 . B. 8 − . C. 6 − . D. 1 − .
Câu 30: Cho hàm số y = (x x + m + )2 3 3
1 . Tổng tất cả các giá trị của tham số m sao cho giá trị nhỏ
nhất của hàm số trên đoạn [ 1; − ] 1 bằng 1 là A. 2 − . B. 4 . C. 4 − . D. 0 .
Câu 31: Cho hàm số y = f (x) 2
= m ( + x + − x ) 2 2 2
+ 4 4 − x + m +1. Tính tổng tất cả các giá trị của
m để hàm số y = f ( x) có giá trị nhỏ nhất bằng 4 . A. 7 − . B. 5 . C. 1 − . D. 1 . 2 2 2 2
Câu 32: Cho hàm số ( ) 2x m f x = với m ≠ 2
− . Mệnh đề nào dưới đây sai? x +1 A. ( ) 2 m 6 max max ; m f x − −  = 6 − m  .
B. max f (x) = khi m < 2 − . [1; ]3  2 4  [1; ] 3 4 C. ( ) 2 m 6 min min ; m f x − −  = 2 − m   .
D. min f (x) = khi m > 2 − . [1; ]3  2 4  [1; ]3 2
Câu 33: Có bao nhiêu số nguyên x + m + m thuộc đoạn [ 20 −
; 20] để giá trị lớn nhất của hàm số 6 y = x m trên đoạn [1 ; ] 3 là số dương? A. 9. B. 8. C. 11. D. 10. Page 152
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ NG ƯƠ
I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM
ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ CH
BÀI 3: GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT VÀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA HÀM SỐ
III BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
DẠNG. ĐỊNH M ĐỂ GTLN-GTNN CỦA HÀM SỐ THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC
Bước 1. Tìm nghiệm x i = của thuộc [a;b] i ( 1,2,...) y′ = 0
Bước 2. Tính các giá trị f (x f a f b theo tham số i ) ; ( ); ( )
Bước 3. So sánh các giá trị, suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
Bước 4. Biện luận m theo giả thuyết đề để kết luận Lưu ý:
 Hàm số y = f ( x) đồng biến trên đoạn [a;b] thì Max f ( x) = f (b);Min f ( x) = f (a) [a;b] [a;b]
 Hàm số y = f ( x) nghịch biến trên đoạn [a;b] thì Max f ( x) = f (a);Min f ( x) = f (b) [a;b] [a;b] + Câu 1: x m
Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y =
trên đoạn [1;2] bằng 8 ( m là tham x +1
số thực). Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. m >10 .
B. 8 < m <10 .
C. 0 < m < 4 .
D. 4 < m < 8. Lời giải Chọn B 1− m Ta có: y′ = ( . x + )2 1
- Nếu m =1⇒ y =1 .
- Nếu m ≠ 1khi đó y′ < 0,∀ x∈[1;2] hoặc y′ > 0,∀ x∈[1;2] nên hàm số đạt giá trị lớn nhất và
nhỏ nhất tại x =1, x = 2. Theo bài ra: y +
y = ⇔ y( ) + y( ) 1+ m 2 + m 41 max min 8 1 2 = + = 8 ⇔ m = ∈(8;10) . [1;2] [1;2] 2 3 5 2
Câu 2: Có bao nhiêu giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số xm 2 y  trên đoạn xm 0;4 bằng 1. A. 3. B. 2 . C. 1. D. 0 . Page 1
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Lời giải Chọn C
Tập xác định: D   \ m. 2 m m  2 y 
 0, x m . Do đó hàm số đồng biến trên mỗi khoảng  ;  m và  ; m  xm2 .
Bảng biến thiên của hàm số: m  0
Từ bảng biến thiên suy ra, hàm số đạt giá trị lớn nhất trên đoạn 0;4 bằng 1 khi   f 4 1  m  0  m  0 m  0 2  2   m    m  3.      1 2
m m6   0
m  2,m    3      4m Câu 3: Cho hàm số x +1 y = thỏa mãn 1
min y = . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 2 x m [ 3 − ; 2 − ] 2
A. 3 < m ≤ 4. B. 2 − < m ≤ 3. C. m > 4 . D. m ≤ 2 − . Lời giải Chọn B +TXĐ: D =  { 2 \ m },[ 3 − ; 2 − ] ⊂ D . 2 + Ta có −m −1 y ' = (
< ∀ ∈ . Nên hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định.
x m ) 0, x D 2 2 Nên 1 min y = = y ( 2 − ) 2 − +1 2 = ⇒ 2 − − m = 2 − ⇔ m = 0 ⇒ 2 − < m ≤ 3 . [− − ] 2 3; 2 2 2 − − m 2
Câu 4: Tìm giá trị dương của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số m x −1 y = trên đoạn [1; ] 3 x + 2 bằng 1. A. m = 2 . B. m = 3 . C. m = 4 . D. m = 2 . Lời giải Chọn A
Tập xác định: D =  \{− } 2 . 2 Ta có: 2m +1 y′ = > 0, x ∀ ≠ 2 − . (x + 2)2 Page 2
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ 2
Hàm số đồng biến trên đoạn [1; ]
3 nên max y = y (3) 3m −1 ⇔ =1 ⇔ m = 2 . [1; ]3 5 2 Câu 5: Cho hàm số xm y
với m là tham số thực. Giả sử m là giá trị dương của tham số m để x 8 0
hàm số có giá trị nhỏ nhất trên đoạn 0; 
3 bằng −3. Giá trị m thuộc khoảng nào trong các khoảng 0 cho dưới đây? A. 2;  5 . B. 1;4. C. 6;9. D. 20;  25 . Lời giải Chọn A
+ TXĐ: D   \  8 . 2 + ' 8 m y
 0, x D x  2 8 2 Vậy hàm số xm y
đồng biến trên 0;  3 . x 8 2 min (0) m y y     0;3 8 2 Để min 3 m y    
 3  m  2 6. 0;3 8
m  2 6  2;5 . Vậy chọnA. 0  
Câu 6: Tìm giá trị của tham số thực m để giá trị nhỏ nhất của hàm số 2x + m y = trên đoạn [0;4] bằng x +1 3. A. m = 3 . B. m =1. C. m = 7 .
D. m = 5 Lời giải Chọn C Ta có: 2 ' − m y = . (x + )2 1 + Xét m = 2 .
⇒ Hàm số trở thành: y = 2 là hàm số hằng nên không đạt giá trị nhỏ nhất bằng 3 ⇒ m = 2 + Xét m > 2 . 2 8 + m ⇒ ' − m y = < 0 ( x ∀ ≠ 1)
− ⇒ min y = y(4) = . (x + )2 1 [0;4] 5 8 + m ⇒ = 3 ⇔ m = 7 . 5 + Xét m < 2. Page 3
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ 2 ⇒ ' − m y = > 0 ( x ∀ ≠ 1)
− ⇒ min y = y(0) = m . (x + )2 1 [0;4] ⇒ m = 3. Vậy m = 7 . 2
Câu 7: Tìm các giá trị của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số
x m + m y = trên đoạn [0; ] 1 x +1 bằng 2 − . m = 1 −  m =1  m =1 m = 1 − A.  . B.  . C.  . D.  . m = 2 − m = 2 m = 2 −  m = 2 Lời giải Chọn D
Tập xác định: D = \{− } 1 .
Hàm số đã cho liên tục trên [0; ] 1 . 1− ( 2 −m + m) 2 Ta có: m m +1 y′ = = > 0 ; x ∀ ∈ D ( . x + )2 1 (x + )2 1
⇒ Hàm số đồng biến trên đoạn [0; ] 1 . Trên [0; ]
1 hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x = 0 . m = 1 − Ta có: y(0) 2 2 = 2
− ⇔ −m + m = 2
− ⇔ m m − 2 = 0 ⇔  . m = 2 Câu 8: Cho hàm số x m y
(m là tham số thực) thỏa mãn miny  3 . Mệnh đề nào dưới đây x  1 0;1   đúng?
A. 1  m  3 B. m  6 C. m  1
D. 3  m  6 Lời giải Chọn D
Tập xác định: D   \   1 .
Với m  1  y  1, x 0;1
    thì miny  3 . 0;1   Suy ra 1  m
m  1. Khi đó y 
không đổi dấu trên từng khoảng xác định. x  2 1
TH 1: y  0  m  1 thì miny y 0  m  3 . 0;1  
TH 2: y  0  m  1 thì miny y   1  m  5 . 0;1   Page 4
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Câu 9: Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số x m y
trên 1;2 bằng 8 ( m là tham x 1
số thực). Khẳng định nào sau đây đúng? A. m >10 .
B. 8 < m <10 .
C. 0 < m < 4 .
D. 4 < m < 8. Lời giải
Nếu m =1 thì y 1 Nếu 1m
m ≠ 1 thì hàm số đã cho liên tục trên 1;2 và y '  . x  2 1
Khi đó đạo hàm của hàm số không đổi dấu trên đoạn [1;2]. m +1 m + 2 41
Do vậy Min y + Max y = y( ) 1 + y(2) = + = 8 ⇔ m = . x [ ∈ 1;2] x [ ∈ 1;2] 2 3 5 2 + + Câu 10: x m m Gọi ,
A B lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số y = trên đoạn [2; ] 3 x −1
. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để 13 A + B = . 2
A. m =1;m = 2 − . B. m = 2 − . C. m = 2 ± . D. m = 1; − m = 2 . Lời giải 2 x + m + m Xét hàm số y = trên đoạn [2; ] 3 . x −1 2 2 2 −m m −1 m + m + 3 m + m + 2 y ' = < 0 x
∀ ∈ 2;3 ⇒ A = f 3 = , B = f 2 = . 2 [ ] ( ) ( ) (x − )1 2 1 2 2 13
m + m + 3 m + m + 2 13 m =1 A + B = ⇔ + = ⇔ . 2 2 1 2  m = 2 − 2
Câu 11: Cho hàm số ( ) x m f x =
với m là tham số thực. Giả sử m là giá trị dương của tham số m x + 8 0
để hàm số có giá trị nhỏ nhất trên đoạn [0; ] 3 bằng 3
− . Giá trị m thuộc khoảng nào trong các 0 khoảng cho dưới đây? A. (20;25). B. (5;6) . C. (6;9) . D. (2;5) . Lời giải Chọn D 2
Xét hàm số ( ) x m f x = trên đoạn [0; ] 3 . x + 8 2 2 Ta có: 8 + m x m y′ = > 0, x
∀ ∈ 0;3 ⇒ hàm số f (x) =
đồng biến trên đoạn [0; ] 3 2 [ ] (x +8) x + 8 2 min ( ) (0) m f x f − ⇒ = = . [0; ]3 8 Page 5
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ 2 −mm = 2 6
Theo giả thiết, ta có: min f (x) 2 = 3 − ⇔ = 3 − ⇔ m = 24 ⇔  . [0; ]3 8 m = 2 − 6
m > 0, m∈ ⇒ m = 2 6 ≈ 4,9∈(2;5) .
Câu 12: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số 3 2
y = −x − 3x + m trên đoạn [ 1; − ] 1 bằng 0 .
A. m = 2.
B. m = 6.
C. m = 0.
D. m = 4. Lời giải Chọn D x = 0∈[ 1; − ] 1 Xét hàm số 3 2
y = −x − 3x + m trên đoạn [ 1; − ] 1 , ta có 2 y′ = 3 − x − 6 ; x y′ = 0 ⇔  x = 2 − ∉  [ 1; − ] 1 y (′ 1) − = m− 2 Mà y (′0) = m y (1 ′ ) = m−  4 Do đó min y = 4
− + m = 0 ⇔ m = 4. [ 1 − ] ;1
Vậy m = 4 thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 13: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 3 2
y = x − 3x + m có giá trị nhỏ nhất trên đoạn [ 1; − ] 1 bằng 2 m  2 2 A. m  2 .
B. m  2 2 .
C. m  4 2 . D.  . m  4  2  Lời giải Chọn C 2
y '  3x 6x x  0 y '  0   x  2  Trên [ 1; − ]
1 thì y '  m4; y '  ; m y '  m2   1 0   1
nên Miny  2  m4  2  m  4 2 1  ;1
Câu 14: Có một giá trị m 3 2
0 của tham số m để hàm số y x m  
1 x m 1 đạt giá trị nhỏ nhất
bằng 5 trên đoạn 0; 
1 . Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. 2
2018m m  0 . B. 2m 1 0 . C. 2
6m m  0 .
D. 2m 1 0. 0 0 0 0 0 0 Lời giải
+ Đặt f x 3  x  2 m   1 x m1. Page 6
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ + Ta có: 2 2
y  3x m 1. Dễ thấy rằng y  0 với mọi x , m thuộc  nên hàm số đồng biến
trên  , suy ra hàm số đồng biến trên 0; 
1 . Vì thế min y  min f x  f 0  m 1. 0  ;1 0  ;1
+ Theo bài ra ta có: m 1 5, suy ra m  4. + Như vậy m  4 0 và mệnh đề đúng là 2
2018m m  0 . 0 0
Câu 15: Nếu hàm số 2
y = x + m + 1− x có giá trị lớn nhất bằng 2 2 thì giá trị của m A. 2 . B. − 2 . C. 2 . D. 2 − . 2 2 Lời giải Xét hàm số 2
y = x + m + 1− x
Tập xác định: D = [ 1; − ] 1 . Ta có: ′ =1 x y − 2 1− x 1  > x ≥ 0  1  1  > x ≥ 0  2  x =  1 1  >  x ≥ 0 1  ′ = 0 − x = x y ⇔ ⇔  ⇔  ⇔ x =  ⇔  2 2 2x = 1   2 . 2 1  − x > 0 2
 1− x = x  1  x = −   2 Ta có: y( ) m y( )  1 1 1 , 1 1 , m y  − = − + = + = 2 +   m .  2  Do hàm số 2
y = x + m + 1− x liên tục trên [ 1; − ]
1 nên Maxy = m+ 2 . [ 1 − ] ;1
Theo bài ra thì Maxy = 2 2 , suy ra m + 2 = 2 2 ⇔ m = 2 . [ 1 − ] ;1 Câu 16: Cho hàm số 3 2
y = 2x − 3x m . Trên [ 1; − ]
1 hàm số có giá trị nhỏ nhất là 1 − . Tính m ? A. m = 6 − . B. m = 3 − . C. m = 4 − . D. m = 5 − . Lời giải Chọn C Xét [ 1; − ] 1 có 2
y′ = 6x − 6x . x = 0∈[ 1; − ] 1 y′ = 0 2
⇔ 6x − 6x = 0 ⇔  . x =1∈  [ 1; − ] 1 Khi đó y (− ) 1 = 5
− − m ; y (0) = −m ; y( ) 1 = 1 − − m Ta thấy 5 − − m < 1
− − m < −m nên min y = 5 − − m . [ 1 − ] ;1 Page 7
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Theo bài ra ta có min y = 1 − nên 5 − − m = 1 − ⇔ m = 4 − . [ 1 − ] ;1
Câu 17: Biết S là tập giá trị của m để tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 4 2 3 2
y = x m x − 2x m trên đoạn [0; ] 1 bằng 16
− . Tính tích các phần tử của S . A. 2 . B. 2 − . C. 15 − . D. 17 − . Lời giải TXĐ: D =  . Ta có: 3 2 2
y′ = 4x − 3m x − 4x x = 0 3 2 2
y′ = 0 ⇔ 4x − 3m x − 4x = 0 ⇔  2 2
4x − 3m x − 4 = 0  ( 2 ∆ = 9m +  64)  x = 0  2 4  3m + 9m + 64 ⇔ x = > 1  8  2 4  3m − 9m + 64 x = < 0  8
Nên hàm số đơn điệu trên (0; ) 1 .
Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [0; ] 1 bằng 16 − nên
y( ) + y( ) = − ⇔ −m + ( 2 −m m − ) 2 0 1 16 1 = 16
− ⇔ −m − 2m +15 = 0 . Vậy m .m = 15 − . 1 2 2
Câu 18: Tìm tất cả giá trị thực của tham số + + m để hàm số x mx 1 y =
liên tục và đạt giá trị nhỏ nhất x + m
trên đoạn [0;2] tại một điểm x ∈ 0;2 . 0 ( )
A. 0 < m <1 B. m >1 C. m > 2 D. 1 − < m <1 Lời giải Chọn A −m < 0 m > 0
Tập xác định: D =  \ {− }
m . Hàm số liên tục trên [0;2] ⇔ ⇔   m 2  − > m < 2 −
x + 2mx + m −1 (x + m)2 2 2 −1 x = −m −1 Ta có y′ = = . Cho 1 y′ = 0 ⇔ . (x  + m)2 (x + m)2 x = −m +  1 2 Ta có bảng biến thiên Page 8
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x ∈ 0;2 nên 0 < −m +1< 2 ⇔ 1 − < m <1 0 ( )
So với điều kiện hàm số liên tục trên đoạn [0;2]. Ta có 0 < m <1. CÓ THỂ GIẢI NHƯ SAU:
Điều kiện xác định x ≠ −m −m < 0 m > 0
Hàm số liên tục trên đoạn [0;2] nên −m ∈ [0;2] ⇒ ⇔   (*) −m > 2 m < 2 −
x + 2mx + m −1 (x + m)2 2 2 −1 y ' = = (x + m)2 (x + m)2 x = −m +1
y ' = 0 có hai nghiệm là 1  , x = −m −  1 2 x x = 2 1 2
nên chỉ có nhiều nhất một nghiệm thuộc (0;2)
Ta thấy −m +1 > −m −1, m
∀ và do đó để hàm số liên tục và đạt giá trị nhỏ nhất trên [0;2] tại
một điểm x ∈ 0;2 thì 0 < −m +1< 2 ⇔ 1 − < m <1 (**) 0 ( )
Từ (*),(**) ta có 0 < m <1 Câu 19: Cho hàm số 1− msin x y =
. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [0;10] để cos x + 2
giá trị nhỏ nhất của hàm số nhỏ hơn 2 − ? A. 1. B. 9. C. 3. D. 6 . Lời giải
Tập xác định: D =  . Ta có: 1− msin x y =
y cos x + msin x =1− 2y . cos x + 2
Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi: 2 2 2
y + m ≥1− 4y + 4y 2 2
⇔ 3y − 4y +1− m ≤ 0 2 2 2 − 1+ 3m 2 + 1+ 3m ⇔ ≤ y ≤ . 3 3 Page 9
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ  2 2 − 1+ 3 min m y = < 2 −  2 2 2 x∈   3 1+ 3m > 8 3  m > 63 m > 21    Theo đề bài, ta có:   m∈[0;10]
⇔ m∈[0;10] ⇔ m∈[0;10] ⇔ m∈[0;10] m∈      m∈   m∈   m∈    ⇔ m∈{5,6,7,8,9,1 } 0 .
Vậy có 6 giá trị nguyên của tham số m thỏa yêu cầu bài toán. Câu 20: Cho hàm số 3
y = ax + cx + d, a ≠ 0 có min f (x) = f ( 2
− ) . Giá trị lớn nhất của hàm số x ( ∈ −∞;0)
y = f (x) trên đoạn [1; ] 3 bằng
A. d −11a .
B. d −16a .
C. d + 2a .
D. d + 8a . Lời giải Vì 3
y = ax + cx + d, a ≠ 0là hàm số bậc ba và có min f (x) = f ( 2
− ) nên a < 0 và y ' = 0 có x ( ∈ −∞;0) hai nghiệm phân biệt. Ta có 2
y ' = 3ax + c = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ ac < 0 .
Vậy với a < 0, c > 0 thì y ' = 0 có hai nghiệm đối nhau c x = ± − 3a   Từ đó suy ra min ( ) c f x = f c c  − −    ⇔ − − = 2 − ⇔ − = 2 ⇔ c = 12 − a x ( ∈ −∞;0) 3a   3a 3a Ta có bảng biến thiên
Ta suy ra max f (x) = f (2) = 8a + 2c + d = 1 − 6a + d . x [ ∈ 1; ] 3
Câu 21: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số x + m y =
có giá trị lớn nhất trên  nhỏ hơn 2 x + x +1 hoặc bằng 1. A. m ≤1. B. m ≥1. C. m ≥ 1 − . D. m ≤ 1 − . Lời giải Chọn A + TXĐ: D =  . + lim y = 0 x→∞ Page 10
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ 2 +
x − 2mx +1− m y′ = ( . x + x + )2 2 1 2
y′ = 0 ⇔ −x − 2mx +1− m = 0 (*) 2
∆′ = m m +1 > 0, m ∀ ∈
x < x , m ∀ ∈ (*)
 nên có 2 nghiệm phân biệt 1 2  + BBT:
Vậy hàm số đạt giá trị lón nhất là f ( 1 x =
x = −m + m m +1 2 ) với 2 2x +1 2 2 1 2 YCBT
≤1 ⇔ 1− 2m + 2 m m +1 ≥1 2 2
m + 2 m m +1 +1 m < 0 2
m m +1 ≥ m  ⇔ m ≥ 0 ⇔ m ≤1    2 2
m m +1 ≥ m 3 2
Câu 22: Giá trị lớn nhất của hàm số
x + x m y =
trên [0;2] bằng 5. Tham số m nhận giá trị là x +1 A. 5 − . B. 1. C. 3 − . D. 8 − . Lời giải Chọn C Cách 1:
Tập xác định của hàm số: D =  \{ } 1 ⇒ [0;2]⊂ D . 3 2 3 2 Ta có:
x + x m
2x + 4x + 2x + m y = ⇒ y′ = . x +1 (x + )2 1 3 2
y′ = ⇔ x + x + x + m = ⇔ −( 3 2 0 2 4 2 0
2x + 4x + 2x) = m .
Ta có (0) = − ; (2) = 4 m y m y − 3
Đặt g (x) = −( 3 2
x + x + x) ⇒ g′(x) = −( 2 x + x + ) 1 2 4 2 6 8 2 = 0 ⇔ x = 1 − ∨ x = − . 3
Trên [0;2] ta có bảng biến thiên: Page 11
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Từ bảng biến thiên ta có g (x)∈[ 3 − 6;0], x ∀ ∈[0;2].
Trường hợp 1: m > 0 ⇒ phương trình vô nghiệm ⇔ phương trình y′ = 0 vô nghiệm.
Dễ thấy (0) = − < (2) = 4 m y m ykhi m > 0. 3
Khi đó Max = (2) = 4 m y y − = 5 ⇔ m = 3
− loại do m > 0. [0;2] 3
Trường hợp 2: m < 36
− ⇒ phương trình vô nghiệm ⇔ phương trình y′ = 0 vô nghiệm.
Dễ thấy (0) = − > (2) = 4 m y m ykhi m < 36 − . 3
Khi đó Max y = y(0) = −m = 5 ⇔ m = 5 − loại do m < 36 − . [0;2]
Trường hợp 3: m∈[ 3
− 6;0] ⇒ phương trình y′ = 0 có nghiệm duy nhất .
Trên [0;2] ta có bảng biến thiên:
Nhìn vào bảng biến thiên ta có:
+ x = x : g (x) = m ⇔ −( 3 2
2x + 4x + 2x) 3 2
= m ⇔ 2x + 4x + 2x + m = 0 ⇔ y′ = 0 . 0
+ x∈(0; x ) : g (x) > m ⇔ −( 3 2
2x + 4x + 2x) 3 2
> m ⇔ 2x + 4x + 2x + m < 0 ⇔ y′ < 0 . 0
+ x∈(x ;0) : g (x) < m ⇔ −( 3 2
2x + 4x + 2x) 3 2
< m ⇔ 2x + 4x + 2x + m > 0 ⇔ y′ > 0 . 0
Ta có bảng biến thiên sau:
Từ bảng biến thiên ta thấy Max y ∈{y(2); y(0)}. [0;2] Nếu m∈[ 3
− 6;− 6] ⇒ y(0) ≥ y(2) ⇒ Max y = y(0) = −m = 5 ⇔ m = 5 − (l) . [0;2] Nếu m∈[ 6;
− 0] ⇒ (0) ≤ (2) ⇒ Max = (2) = 4 m y y y y − = 5 ⇔ m = 3 − (n) . [0;2] 3 Page 12
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Vậy m = 3 − thỏa đề. Cách 2:
Tập xác định của hàm số: D =  \{ } 1 ⇒ [0;2]⊂ D . 3 2 Ta có:
x + x m 2 m = = − ⇒ ′ = 2 m y x y x + . x +1 x +1 (x + )2 1
Trường hợp 1: m ≥ 0 ⇒ y′ ≥ 0, x
∀ ∈[0;2] ⇒ Hàm số đồng biến trên [0;2] . ⇒ Max = (2) = 4 m y y − = 5 ⇔ m = 3
− loại do m > 0. [0;2] 3
Trường hợp 2: m < 0 , giả sử ⇒ Max y = y(x0 ) với x ∈ 0;2 . Do hàm số liên tục trên [0;2] 0 ( ) [0;2]  y′(x ) m = 2 − x (x + )2 1 0 0 = 0 0  ⇒  ⇔  y  ( x ) 3 2
x + x m 0 0 = 5 0  = 5 x +  1 0 3 2 5 x x 2x x 1 5 x 1 x − ⇒ + + + = + ⇔ =
x =1(n) ⇒ m = 8 − . 0 0 0 ( 0 )2 ( 0 ) 0 3 3 2 Khi đó: 8 −
2x + 4x + 2x −8 y′ = 2x + =
y′ = 0 ⇔ x =1. (x + )2 1 (x + )2 1 Ta có bảng biên thiên: ⇒ m = 8
− không thỏa yêu cầu đề.
Nên không tồn tại x ∈ 0;2 để Max y = y(x0 ) . 0 ( ) [0;2]
Max y = y (2) ⇒ m = 5 − [0;2]  ⇒ .
Max y = y(0) ⇒ m = 3 −  [0;2]
Nếu m = − ⇒ y( ) = y( ) 17 = ⇒ y = y ( ) 17 5 0 5; 2 Max 2 = ≠ 5 ⇒ m = 5 − (l) . 3 [0;2] 3 Nếu m = 3
− ⇒ y(0) = 3; y(2) = 5 ⇒ Max y = y(2) = 5 ⇒ m = − ( 3 n) . [0;2] Vậy m = 3 − thỏa đề.
Câu 23: Cho hàm số y = (x x + m)2 3 3
. Tổng tất cả các giá trị của tham số m sao cho giá trị nhỏ nhất
của hàm số trên đoạn [ 1; − ] 1 bằng 1 là A. 1. B. 4 − . C. 0 . D. 4 . Lời giải Chọn C Page 13
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ D = .  Đặt 3
t = x − 3x, x ∈[ 1; − ] 1 ⇒ t ∈[ 2 − ;2].
Khi đó ta có hàm số f (t) = (t + m)2 .
f ′(t) = 2(t + m); f ′(t) = 0 ⇔ t = − . m Trường hợp 1: 2
− < −m < 2 ⇔ 2 − < m < 2.
Từ bảng biến thiên ta thấy: min f (t) = f (−m) = 0 không thỏa mãn yêu cầu. [ 2; − 2]
Trường hợp 2: −m ≤ 2 − ⇔ m ≥ 2
Từ bảng biến thiên ta thấy: min f (t) = f ( 2 − ) = (m − 2)2 . [ 2; − 2] m = 3
Theo yêu cầu bài toán:(m − 2)2 m ≥ 2 =1 ⇔ →m =  3. m =1
Trường hợp 3: −m ≥ 2 ⇔ m ≤ 2 −
Từ bảng biến thiên ta thấy: min f (t) = f (2) = (m + 2)2 . [ 2; − 2] m = 3 −
Theo yêu cầu bài toán:(m + 2)2 m 2 =1 ≤− ⇔ →m = 3. −  m = 1 −
Vậy tổng các giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu là: 3+ ( 3 − ) = 0.
Câu 24: Tìm tất cả các giá trị của m > 0 để giá trị nhỏ nhất của hàm số 3
y = x − 3x +1 trên đoạn
[m +1;m + 2] luôn bé hơn 3. A. m∈(0;2). B. m∈(0; ) 1 .
C. m∈(1;+ ∞) .
D. m∈(0;+ ∞) . Lời giải Ta có 2
y′ = 3x − 3 , y′ = 0 ⇔ x = 1 ± do đó y = y
= − và y = y − = . Đ 1 3 C ( ) CT ( ) 1 1
Thấy ngay với m > 0 thì trên đoạn [m +1;m + 2] hàm số luôn đồng biến.
Vậy GTNN của hàm số đã cho trên đoạn [m +1;m + 2] là y(m + ) = (m + )3 1 1 − 3(m + ) 1 +1. m +1 < 2 m <1
GTNN luôn bé hơn 3 ⇔ (m + )3 1 − 3(m + ) 1 − 2 < 0 ⇔  ⇔  . m +1 ≠ 1 − m ≠ 2 −
Kết hợp điều kiện m > 0 ta được m∈(0; ) 1 . Page 14
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Câu 25: Biết rằng giá trị nhỏ nhất của hàm số 36 y = mx + trên [0; ]
3 bằng 20 . Mệnh đề nào sau đây x +1 đúng?
A. 0 < m ≤ 2 .
B. 4 < m ≤ 8.
C. 2 < m ≤ 4 . D. m > 8 . Lời giải 36 y = mx + 36 ⇒ y′ = m x +1 (x + )2 1 Trường hợp 1: 36
m = 0, ta có y′ = − < 0, x ∀ ≠ 1
− .Khi đó min y = y (3) = 9 . (x + )2 1 x [ ∈ 0; ] 3
Trường hợp 2: m ≠ 0  Nếu 11
m < 0 , ta có y′ < 0 , x ∀ ≠ 1
− Khi đó min y = y (3) ⇔ 20 = 3m + 9 ⇔ m = . x [ ∈ 0; ] 3 3  6 x = −1   Nếu 36 m m
> 0, khi đó y′ = 0 ⇔ m − = 0 ⇔ (x + )2 36 1 = ⇔  . (x + )2 1 m  6 x = − −1 (l)  m  6  m = 4  6 4 0 <
−1≤ 3 ⇔ < m ≤ 36 , min y = y −  1 =
 12 m m = 20 ⇔  . m 9 x [ ∈ 0; ] 3  mm =100  (l)  6 9
−1 > 3 ⇔ m < , min y = y(3) 11
⇔ 20 = 3m + 9 ⇔ m = (l) . m 4 x [∈0; ]3 3 Câu 26: Cho hàm số 3 2
y = x mx + ( 2 3 3 m − )
1 x + 2020 . Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m sao
cho hàm số có giá trị nhỏ nhất trên khoảng (0;+∞)? A. 2 . B. 1. C. Vô số. D. 3. Lời giải Chọn D x = m −1 Ta có: 2
y ' = 3x − 6mx + 3( 2 m − ) 1 1 = 0 ⇔  . x = m +  1 2
Để hàm số có giá trị nhỏ nhất trên khoảng (0;+∞) thì x ≤ 0 < x hoặc 0 < x < x . 1 2 1 2
TH1: x ≤ 0 < x m −1≤ 0 < m +1 ⇔ 1
− < m ≤1. Do m∈ ⇒ m∈ 0;1 . 1 2  { } BBT của hàm số:
TH2: 0 < x < x . 1 2 Page 15
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ BBT của hàm số m −1 > 0
Hàm số có giá trị nhỏ nhất trên khoảng (0;+∞) khi và chỉ khi  . y  (m + ) 1 ≤ y(0) m >1  ⇔ ( m + )3 1 − 3m(m + )2 1 + 3  ( 2 m − ) 1 (m + ) 1 + 2020 ≤  2020 m >1  ⇔ (  m +  )2 1 (m − 2) ≤ 0 m >1 
⇔ m ≤ 2 ⇔ 1< m ≤ 2.  m = 1 −
Do m∈ ⇒ m = 2 . Vậy m∈{0;1; } 2 .
Câu 27: Cho hàm số f (x) = m x −1 . Gọi m ,m là hai giá trị của m thoả mãn 1 2 min f (x) + a m x f (x) 2
= m −10 . Giá trị của m + m bằng [2;5] [2;5] 1 2 A. 3. B. 5. C. 10. D. 2. Lời giải Chọn A
Ta có 'f (x) 1 = . m ; 2 x −1
Do m ≠ 0 nên 'f (x) khác 0 và có dấu không thay đổi với x ∀ ∈(1;+∞).
Nếu m > 0 thì 'f (x) > 0, x
∀ ∈[2;5]. Do đó min f (x) = f (2) = ; m a
m x f (x) = f (5) = 2 . m [2;5] [2;5] min f (x) + a m x f (x) 2 = m −10 [2;5] [2;5] 2
m + 2m = m −10 m = 2 − 2 1
m − 3m −10 = 0 ⇔ m =  5 2
Do m > 0 nên nhận m = 5. 2
Nếu m < 0 thì 'f (x) < 0, x
∀ ∈[2;5]. Do đó min f (x) = f (5) = 2 ; m a
m x f (x) = f (2) = . m [2;5] [2;5] Page 16
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ min f (x) + a m x f (x) 2 = m −10 [2;5] [2;5] 2
⇔ 2m + m = m −10 m = 2 − 2 1
m − 3m −10 = 0 ⇔ m =  5 2
Do m < 0 nên nhận m = 2. − 1
Vậy m + m = 3. 1 2 Câu 28: Cho hàm số msin x +1 y =
có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [ 5; − 5] cosx + 2
để giá trị nhỏ nhất của y nhỏ hơn 1 − . A. 4 . B. 2 . C. 6 . D. 8 . Lời giải Chọn C
Điều kiện: cosx + 2 ≠ 0 luôn đúng x ∀ ∈  . msin x +1 y =
y (cosx + 2) = msin x +1 cosx + 2 ⇔ msin x − c
y osx = 2y −1. Phương trình có nghiệm 2 2 2 2 ⇔ + ≥ ( − )2 2 2 2 − 1+ 3m 2 + 1+ 3 2 1 ⇔ 3 − 4 +1− ≤ 0 m m y y y y m ⇔ ≤ y ≤ . 3 3 2 Vậy 2 1 3m Min y − + = .  3 2 2 − 1+ 3mm > 2 2 ≈ 2,82 2 2 Min y < 1 − ⇔ < 1
− ⇔ 1+ 3m > 5 ⇔ m −8 > 0 ⇔  .  3 m < 2 − 2 ≈ 2, − 82
m∈,m∈[ 5; − 5] nên m∈{ 5 − ; 4 − ; 3 − ;3;4; } 5 .
Câu 29: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) 34 = trên đoạn [0; ]
3 bằng 2. Tổng tất cả các phần tử của S bằng
(x −3x+2m)2 3 +1 A. 8 . B. 8 − . C. 6 − . D. 1 − . Lời giải Chọn B
Ta có (x x + m)2 3 3 3 2
= x − 3x + 2m
Nhận thấy min f (x) = 2 3
⇔ max x − 3x + 2m =16 ( ) 1 . [0; ] 3 [0; ]3
Xét hàm số g (x) 3
= x − 3x + 2m trên [0; ] 3 , ta có: Page 17
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ x = 1∈(0;3) + g (x) 2 '
= 3x − 3 , g (x) 2 ' = 3x − 3 = 0 ⇔  x = 1 − ∉  (0;3) + g (0) = 2 , m g ( )
1 = 2m − 2, g (3) = 2m +18
Do đó 2m − 2 ≤ g (x) ≤ 2m +18, x ∀ ∈[0; ] 3 , tức 3
max x − 3x + 2m = max{ 2m − 2 ; 2m +18}. [0; ]3 [0; ]3 Từ đây ta có ( )
1 ⇔ max{ 2m − 2 ; 2m +18} =16 [0; ]3
 2m +18 > 2m −  2   2m +18 =16  m = 1 − ⇔  ⇔  . Suy ra S = { 7; − − }
1 . Vậy, tổng các phần tử của S là 8 − .
 2m +18 ≤ 2m − 2 m = 7 −   2m − 2 = 16 
Câu 30: Cho hàm số y = (x x + m + )2 3 3
1 . Tổng tất cả các giá trị của tham số m sao cho giá trị nhỏ
nhất của hàm số trên đoạn [ 1; − ] 1 bằng 1 là A. 2 − . B. 4 . C. 4 − . D. 0 . Lời giải Chọn A
Đặt y = f x = (x x + m + )2 3 ( ) 3
1 là hàm số xác định và liên tục trên đoạn [ 1; − ] 1 .
Ta có y′ = f x = ( 3
x x + m + )( 2 ( ) 2 3 1 3x − 3) . x = 1 ±
f (′x) = 0 ⇔  . 3
m = −x + 3x −1 = g(x)
Ta khảo sát hàm số g(x) trên đoạn [ 1; − ] 1 .
Bảng biến thiên của g(x) Nếu m∈[ 3 − ; ]
1 thì luôn tồn tại x ∈ 1;
− 1 sao cho m = g(x ) hay f (x ) = 0 . Suy ra 0 [ ] 0 0
min y = 0 , tức là không tồn tại m thỏa mãn yêu cầu bài toán. [ 1 − ] ;1 Nếu m∉[ 3 − ; ]
1 thì f (′x) = 0 ⇔ x = 1 ± ∈[ 1; − ] 1 .
Ta có: min f (x) = min{ f (1); f (− } 1) = min{ 2 2
(m −1) ;(m + 3) } [ 1 − ] ;1 Page 18
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Trường hợp 1: m >1 tức là m + 3 > m −1 > 0 suy ra m = 2 (TM ) 2
min f (x) = (m −1) =1 ⇔ [  1 − ] ;1 m = 0 (KTM )
Trường hợp 2: m < 3
− tức là m −1< m + 3 < 0 suy ra m = 4 − (TM ) 2
min f (x) = (m + 3) =1 ⇔ [  1 − ] ;1 m = 2 − (KTM )
Vậy có hai giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán: m = 2;m = 4
− , từ đó tổng tất cả các giá trị của m là 2 − .
Câu 31: Cho hàm số y = f (x) 2
= m ( + x + − x ) 2 2 2
+ 4 4 − x + m +1. Tính tổng tất cả các giá trị của
m để hàm số y = f ( x) có giá trị nhỏ nhất bằng 4 . A. 7 − . B. 5 . C. 1 − . D. 1 . 2 2 2 2 Lời giải Chọn C TXĐ: D = [ 2; − 2].
Đặt t = 2 + x + 2 − x ; t ∈ 2;2 2   . 2 2
t = 4 + 2 4 − x 2 2
⇔ 2 4 − x = t − 4 .
y = g (t) 2 = m t + ( 2
2 t − 4) + m +1 2 2
= 2t + m t + m − 7 với t ∈ 2;2 2   . Ta có: g′(t) 2 = 4t + m . 2 ( ) 0 m g t t − ′ = ⇔ = < 0; m
∀ ∈  ⇒ g (t) đồng biến trên 2;2 2 ⇒ min g t = g 2 = 4 . 4   ( ) ( ) 2;2 2   m =1 Mà g ( ) 2 2 = 2m + m +1 2
⇔ 2m + m +1 = 4  3 . m = −  2 Tổng các giá trị của  
m thỏa mãn ycbt là 3 1 S =1+ − = −  . 2    2
Câu 32: Cho hàm số ( ) 2x m f x = với m ≠ 2
− . Mệnh đề nào dưới đây sai? x +1 A. ( ) 2 m 6 max max ; m f x − −  = 6 − m  .
B. max f (x) = khi m < 2 − . [1; ]3  2 4  [1; ] 3 4 C. ( ) 2 m 6 min min ; m f x − −  = 2 − m   .
D. min f (x) = khi m > 2 − . [1; ]3  2 4  [1; ]3 2 Lời giải Chọn B Page 19
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Xét hàm số ( ) 2x m f x = với m ≠ 2 − . x +1
Tập xác định x ≠ 1 − . Ta có ′( ) 2 + m f x =
suy đạo hàm không đổi dấu x∈[1; ] 3 suy ra (x + )2 1 ( ) { ( ) ( )} 2 m 6 max max 1 ; 3 max ; m f x f f − −  = =   ; [1; ]3  2 4  ( ) { ( ) ( )} 2 m 6 min min 1 ; 3 min ; m f x f f − −  = =   . [1; ]3  2 4  Xét với m < 2
− ⇒ f ′(x) < 0 x ∀ ∈[1; ] 3 . Vậy [ ] ( ) ( ) 2 1;3 1 m x f x f − ∀ ∈ ⇒ ≤ = 2 ( ) 2 max m f x − ⇒ = . [1; ] 3 2 Xét với m > 2
− ⇒ f ′(x) > 0 x ∀ ∈[1; ] 3 . Vậy [ ] ( ) ( ) 2 1;3 1 m x f x f − ∀ ∈ ⇒ ≥ = 2 ( ) 2 min m f x − ⇒ = . [1; ] 3 2
Câu 33: Có bao nhiêu số nguyên x + m + m thuộc đoạn [ 20 −
; 20] để giá trị lớn nhất của hàm số 6 y = x m trên đoạn [1 ; ] 3 là số dương? A. 9. B. 8. C. 11. D. 10. Lời giải Chọn A
Tập xác định D =  \{ } m .
Để hàm số có giá trị lớn nhất trên [1 ; ] 3 thì m∉[1 ; ] 3 . 2 − m − 6 y′ = . (x m)2 Trường hợp 1: 2
m − 6 > 0 ⇔ m < 3. − Khi đó
y = y ( ) m + 9 max 3 = . x [ ∈ 1 ; ] 3 3− m
Để giá trị lớn nhất trên đoạn [1 ; ]
3 là số dương thì m + 9 > 0 ⇔ m + 9 > 0 ⇔ m > 9. − 3− m
Vậy các số nguyên m thỏa là 8, − 7, − 6, − 5, − 4. − Trường hợp 2: 2
m − 6 < 0 ⇔ m > 3. − Khi đó
y = y ( ) m + 7 max 1 = . x [ ∈ 1 ; ] 3 1− m Page 20
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Để giá trị lớn nhất trên đoạn [1 ; ]
3 là số dương thì m + 7 > 0 ⇔ 1− m > 0 ⇔ m <1. 1− m
Vậy các số nguyên m thỏa mãn là 2, − 1, − 0. Trường hợp 3: 2
m − 6 = 0 ⇔ m = 3. −
Khi đó y =1. Nên max y =1. x [ ∈ 1 ; ] 3 Vậy m = 3 − thỏa.
Kết luận: có 9 số nguyên m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Page 21
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ NG ƯƠ
I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM
ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ CH
BÀI 3: GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT VÀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA HÀM SỐ
III BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. (MỨC 9 – 10)
DẠNG 1. ĐỊNH M ĐỂ GTLN-GTNN CỦA HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI THỎA
MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC
Dạng 1: Tìm m để max y = f (x) + m = a (a > 0). [α;β] Phương pháp:
Cách 1:Trước tiên tìm max f (x) = K;
min f (x) = k (K > k). [α;β] [α;β]
m + K + m + k
m + K m k K k
Kiểm tra max{ m + K , m + k } ≥ ≥ = . 2 2 2 K k
m + k = −a
m = −a k TH1: ≤ .
a Để max y = a ⇔ ⇔
m∈{−a k;a −   K} . 2 [α;β]
m + K = a
m = a K K k TH2:
> a m∈∅ . 2
Cách 2: Xét trường hợp  m + K =  a
TH1: Max = m + K ⇔ 
m + K m + k   m + k =  a
TH2: Max = m + k ⇔ 
m + k m + K
Dạng 2: Tìm m để min y = f (x) + m = a (a > 0). [α;β] Phương pháp:
Trước tiên tìm max f (x) = K;
min f (x) = k (K > k). [α;β] [α;β]
m + k = a m + K = −a
m = a k m = −a K
Để min y = a ⇔  ∨  ⇔  ∨ 
. Vậy mS S . [α;β]
m + k > 0 m + K < 0 m > −km < −K 1 2
Dạng 3: Tìm m để max y = f (x) + m không vượt quá giá trị M cho trước. [α;β] Page 153
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Phương pháp: Trước tiên tìm max f (x) = K;
min f (x) = k (K > k). [α;β] [α;β]
m + k ≥ −M
Để max y M ⇒ 
⇔ −M k m M K. [α;β]
m + K M
Dạng 4: Tìm m để min y = f (x) + m không vượt quá giá trị a cho trước. [α;β]
Phương pháp: Trước tiên tìm max f (x) = K;
min f (x) = k (K > k). [α;β] [α;β] Để
m + k a m + K ≥ −a
m a k m ≥ −a K
min y a ⇔  ∨ 
∨ (m + K )(m + k ) < 0 ⇔  ∨ 
∨ −K < m < −k. [α;β]
m + k ≥ 0 m + K ≤ 0 m ≥ −km ≤ −K
Dang 5: Tìm m để max y = f (x) + m đạt min. [a;b] Phương pháp:
Trước tiên tìm max f (x) = K;
min f (x) = k (K > k). [a;b] [a;b] K k K k Đề hỏi tìm m m + ⇒ = −
. Đề hỏi tìm min của max y ⇒ giá trị này là . 2 [a;b] 2
Dạng 6: Tìm m để min y = f (x) + m đạt min. [a;b]
Phương pháp: Trước tiên tìm max f (x) = K;
min f (x) = k (K > k). [a;b] [a;b]
Đề hỏi tìm m ⇒ (m + K )(m + k) ≤ 0 ⇔ −K m ≤ −k . Đề hỏi tìm min của min y ⇒ giá trị này là 0. [a;b]
Dạng 7: Cho hàm số y = f (x) + m .Tìm m để max y ≤ .hmin y(h > 0) hoặc Min + max = [a;b] [a;b]
Phương pháp: Trước tiên tìm max f (x) = K;
min f (x) = k (K > k). [a;b] [a;b] TH1:
K +m k +m
K + m h k + m → m S .
K +m cungdau k +m 1 TH2:
k +m K +m
k + m h K + m →mS .
K +m cungdau k +m 2
Vậy mS S . 1 2
Dạng 8: Cho hàm số y = f (x) + m .
Phương pháp: Trước tiên tìm max f (x) = K;
min f (x) = k (K > k). [a;b] [a;b]
BT1: Tìm m để min y + max y = α ⇔ m + K + m + k = α . [a;b] [a;b]
BT2: Tìm m để min y*max y = β ⇔ m + K * m + k = β . [a;b] [a;b]
Câu 1: Tìm m để giá trị lớn nhất của hàm số 3
y = x − 3x + 2m −1 trên đoạn [0;2] là nhỏ nhất. Giá trị
của m thuộc khoảng nào? Page 154
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ  3  2 A. ; 1 − −   . B.  ;2 . C. [ 1; − 0]. D. (0; ) 1 . 2      3 
Câu 2: Tính tổng tất cả các giá trị của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số 2
y = x − 2x + m trên đoạn [ 1; − 2] bằng 5. A. 1 − . B. 2 . C. 2 − . D. 1. Câu 3: Cho hàm số 2
y = x + 2x + a − 4 ( a là tham số ). Tìm a để giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [ 2; − ]
1 đạt giá trị nhỏ nhất A. a =1. B. a = 3. C. a = 2 .
D. a = 5 .
Câu 4: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số 2
x + mx + m y =
trên [1;2] bằng 2 . Số phần tử của tập S . x +1 A. 3. B. 1. C. 4 . D. 2 .
Câu 5: Xét hàm số ( ) 2
f x = x + ax + b , với a , b là tham số. Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số trên [ 1; − ]
3 . Khi M nhận giá trị nhỏ nhất có thể được, tính a + 2b . A. 2 . B. 4 . C. 4 − . D. 3. Câu 6: Cho hàm số 3 2
y = x + x + ( 2 m + )
1 x + 27 . Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [ 3 − ;− ] 1 có giá
trị nhỏ nhất bằng A. 26 . B. 18. C. 28 . D. 16.
Câu 7: Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số 2
y = x + 2x + m − 4 trên đoạn [ 2; − ] 1 bằng 4 ? A. 1. B. 2 . C. 3. D. 4 .
Câu 8: Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số 1 4 19 2 y = x
x + 30x + m − 20 trên đoạn [0;2] không vượt quá 20 . Tổng các phần tử của S 4 2 bằng A. 210 . B. 195 − . C. 105. D. 300. 4 Câu 9: Cho hàm số
x + ax + a y =
, với a là tham số thực. Gọi M ,m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá x +1
trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn [1;2]. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a để M ≥ 2m ? A. 10. B. 14. C. 5. D. 20 .
Câu 10: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số thực m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số 1 4 2
y = x −14x + 48x + m − 30 trên đoạn [0;2] 4
không vượt quá 30. Tổng giá trị các phần tử
của tập hợp S bằng bao nhiêu? A. 120. B. 210 . C. 108. D. 136. Page 155
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Câu 11: Cho hàm số 4 3 2
y = x − 2x + x + a . Có bao nhiêu số thực a để min y+ max y =10 ? [1;2] [1;2] A. 3. B. 5. C. 2. D. 1.
Câu 12: Biết giá trị lớn nhất của hàm số y = f (x) 3
= 2x −15x + m − 5 + 9x trên [0; ] 3 bằng 60 . Tính
tổng tất cả các giá trị của tham số thực m . A. 48 . B. 5. C. 6 . D. 62 .
Câu 13: Cho hàm số f (x) 4 3 2
= x − 2x + x + m ( m là tham số thực). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị
của m sao cho min f (x) + max f (x) =10 . Số phần tử của S là? [ 1 − ;2] [ 1 − ;2] A. 2 . B. 3. C. 5. D. 1. Câu 14: Cho hàm số 4 2
y = x − 2x + 3m với m là tham số. Biết rằng có đúng hai giá trị m ,m 1 2 của m
để giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên [ 1;
− 2] bằng 2021. Tính giá trị m m 1 2 . 1 4052 8 4051 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3
Câu 15: Cho hàm số f (x) 3 2
= x − 3x + m +1( m là tham số thực). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị
nguyên của m thuộc đoạn [ 2020 −
;2020] sao cho max f (x) ≤ 3min f (x) . Số phần tử của S là [1;4] [1;4] A. 4003. B. 4002 . C. 4004 . D. 4001.
DẠNG 2. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT HÀM ẨN, HÀM HỢP
Câu 16:
Cho hàm số y = f (x) xác định và liên tục trên  , đồ thị của hàm số y = f ′(x) như hình vẽ.
Giá trị lớn nhất của hàm số y = f (x) trên đoạn [ 1; − 2] là A. f ( ) 1 . B. f (− ) 1 . C. f (2) . D. f (0) . Page 156
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Câu 17: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm là hàm f ′(x) . Đồ thị của hàm số y = f ′(x) được cho như
hình vẽ. Biết rằng f (0) + f (3) = f (2) + f (5) . Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của y = f (x)
trên đoạn [0;5] lần lượt là:
A. f (2) ; f (5).
B. f (0) ; f (5).
C. f (2) ; f (0) . D. f ( ) 1 ; f (5) .
Câu 18: Cho hàm số f (x) có đạo hàm là f ′(x) . Đồ thị của hàm số y = f ′(x) được cho như hình vẽ
bên. Biết rằng f (0) + f ( )
1 − 2 f (3) = f (5) − f (4). Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất
M của f (x) trên đoạn [0;5].
A. m = f (5),M = f (3) B. m = f (5),M = f ( ) 1
C. m = f (0),M = f (3) D. m = f ( ) 1 , M = f (3)
Câu 19: Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như hình dưới đây. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
g (x) = f ( 2 x x ) 1 3 2 1 4
+ x − 3x + 8x + trên đoạn [1; ] 3 . 3 3 A. 15. B. 25 . C. 19 . D. 12. 3 3 Page 157
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Câu 20: Cho hàm số y = f (x) liên tục trên .
 Đồ thị của hàm số y = f ′( x) như hình bên. Đặt
g (x) = f (x) −(x + )2 2
1 . Mệnh đề dưới đây đúng.
A. max g (x) = g (3). B. min g (x) = g ( )
1 . C. max g (x) = g (0). D. max g (x) = g ( ) 1 . [ 3 − ; ] 3 [ 3 − ; ] 3 [ 3 − ; ] 3 [ 3 − ; ] 3
Câu 21: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm cấp hai trên  . Biết f ′(0) = 3 , f ′(2) = 2018 − và bảng xét
dấu của f ′′(x) như sau:
Hàm số y = f (x + 2017) + 2018x đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm x0 thuộc khoảng nào sau đây? A. ( ; −∞ − 2017) B. (2017;+∞) C. (0;2) D. ( 2017 − ;0)
Câu 22: Cho hàm số f (x) có đạo hàm là f ′(x) . Đồ thị của hàm số y = f ′(x) được cho như hình vẽ dưới đây: Biết rằng f (− )
1 + f (0) < f ( )
1 + f (2) . Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y = f (x) trên đoạn [ 1; − 2] lần lượt là: A. f ( ) 1 ; f (2) .
B. f (2) ; f (0) .
C. f (0) ; f (2) . D. f ( ) 1 ; f (− ) 1 .  7 Câu 23: Cho hàm số 
y = f (x) liên tục trên đoạn 0; 
có đồ thị hàm số y = f '(x) như hình vẽ. 2   Page 158
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ  7
Hàm số y = f (x) đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn 0;  
tại điểm x nào dưới đây? 2   0 7 A. x = 0 x =1 x = 3 0 . B. x = 0 . C. . D. . 2 0 0
Câu 24: Cho hàm số y = f (x) . Đồ thị hàm y = f ′(x) như hình vẽ y 2 x - O 1 -1
Đặt h(x) = f (x) 3 3
x + 3x . Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A. max h(x) = 3 f ( )
1 . B. max h(x) = 3 f (− 3) . [− 3; 3] [− 3; 3]
C. max h(x) = 3 f ( 3) . D. max h(x) = 3 f (0). [− 3; 3] [− 3; 3]
Câu 25: Cho hàm số y = f (x) có đồ thị y = f ′(x) ở hình vẽ bên. Xét hàm số
g (x) = f (x) 1 3 3 2 3
x x + x + 2018, mệnh đề nào dưới đây đúng? 3 4 2 g 3 − + g 1
A. min g (x) = g (− ) 1 .
B. min g (x) ( ) ( ) = . [ 3 − ] ;1 [ 3 − ] ;1 2
C. min g (x) = g ( 3 − ) .
D. min g (x) = g ( ) 1 . [ 3 − ] ;1 [ 3 − ] ;1
Câu 26: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên R . Hàm số y = f '(x) có đồ thị như hình sau: Page 159
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Cho bốn mệnh đề sau:
1) Hàm số y = f (x) có hai cực trị
2) Hàm số y = f (x) đồng biến trên khoảng (1;+∞) 3) f ( )
1 > f (2) > f (4). 4) Trên đoạn [ 1;
− 4], giá trị lớn nhất của hàm số y = f (x) là f ( ) 1 .
Số mệnh đề đúng trong bốn mệnh đề trên là: A. 3. B. 1. C. 4. D. 2.
Câu 27: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như hình dưới đây. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
gx f  2 xx  1 3 2 1 4
x 3x 8x  trên đoạn 1;  3 . 3 3 A. 25. B. 15. C. 19. D. 12. 3 3
Câu 28: Cho hàm số y = f (x) . Hàm số y = f ′(x) có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Giá trị lớn nhất
của hàm số g (x) = f ( x) 2
2 − sin x trên đoạn [ 1; − ] 1 là A. f (− ) 1 . B. f (0). C. f (2) . D. f ( ) 1 . Page 160
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Câu 29: Cho hàm số y = f (x) liên tục trên  sao cho max f (x) = 3. Xét hàm số g (x) = f (3x − ) 1 + m [ 1 − ;2]
. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để max g (x) = 1 − 0 . [0 ] ;1 A. 13. B. 7 − . C. 13 − . D. 1 − .
Câu 30: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm cấp 2 trên  , hàm số y = f ′(x) có đồ thị như hình vẽ bên.  +   π π
Giá trị lớn nhất của hàm số sin x 3 cos x y = f   trên đoạn 5 − ; bằng 2         6 6   π  π  π A. f  −    . B. f (0) . C. 5 f − . D. f . 3         6   6 
Câu 31: Cho hàm số y = f (x) liên tục trên  sao cho max f (x) = f (2) = 4 . Xét hàm số x [ ∈ 0;10]
g (x) = f ( 3 x + x) 2
x + 2x + m . Giá trị của tham số m để max g (x) = 8 là x [ ∈ 0;2] A. 5. B. 4 . C. 1 − . D. 3.
Câu 32: Cho hai hàm số y = f (x) , y = g (x) có đạo hàm là f ′(x) , g′(x) . Đồ thị hàm số y = f ′(x) và
g′(x) được cho như hình vẽ bên dưới.
Biết rằng f (0) − f (6) < g (0) − g (6). Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
h(x) = f (x) − g (x) trên đoạn [0;6] lần lượt là:
A. h(6), h(2) .
B. h(2) , h(6).
C. h(0), h(2) .
D. h(2) , h(0). Page 161
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Câu 33: Cho hàm số f (x) liên tục trên  , có đồ thị như hình vẽ
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số  8x y f  = + m −   1 2  x +1
có giá trị lớn nhất không vượt quá 2020 ? A. 4029 . B. 4035. C. 4031. D. 4041.
Câu 34: Cho hàm số y = f (x) liên tục trên  có đồ thị y = f ′(x)
như hình bên. Đặt g (x) = f (x) −(x − )2 2 1 .
Khi đó y = g (x) đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn [ 3 − ; ] 3 tại A. x = 3 − . B. x = 3. C. x = 0 . D. x =1.
Câu 35: Cho hàm số f (x) . Biết hàm số f ′(x) có đồ thị như hình dưới đây. Trên [ 4; − ]3, hàm số
g (x) = f (x) + ( − x)2 2 1
đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm A. x = 3 − . B. x = 4 − . C. x = 3. D. x = 1 − . Page 162
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Câu 36: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm cấp hai trên  . Biết f ′(0) = 3, f ′(2) = f ′( 2018 − ) = 0 , và
bảng xét dấu của f ′′(x) như sau
Hàm số y = f ( x −1 − 2018) đạt giá trị nhỏ nhất tại x thuộc khoảng nào sau đây? 0 A. ( ; −∞ 2015 − ). B. (1;3). C. ( 1009 − ;2) . D. ( 2015 − ; ) 1 .
Câu 37: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm cấp hai trên  . Biết f ′(0) = 3 , f ′(2) = 2020 − ,
lim f ′(x) = −∞ và bảng xét dấu của f ′′(x) như hình sau: x→−∞
Hàm số y = f (x + 2019) + 2020x đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm x thuộc khoảng nào sau đây? 0 A. ( ; −∞ 2019 − ). B. (0;2) . C. ( 2019 − ;0) . D. (2019;+∞) .
DẠNG 3. ỨNG DỤNG GTLN-GTNN GIẢI BÀI TOÁN THỰC TẾ
Câu 38:
Cho số a > 0 . Trong số các tam giác vuông có tổng một cạnh góc vuông và cạnh huyền bằng a
, tam giác có diện tích lớn nhất bằng A. 3 2 a . B. 3 2 a . C. 3 2 a . D. 3 2 a . 3 6 9 18
Câu 39: Một loại thuốc được dùng cho một bệnh nhân và nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân được
giám sát bởi bác sĩ. Biết rằng nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân sau khi tiêm vào cơ thể
trong t giờ được cho bởi công thức ( ) t c t =
(mg / L) . Sau khi tiêm thuốc bao lâu thì nồng 2 t +1
độ thuốc trong máu của bệnh nhân cao nhất? A. 4 giờ. B. 1 giờ. C. 3 giờ. D. 2 giờ.
Câu 40: Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 12 cm. Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình
vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng x , rồi gập tấm nhôm lại như hình vẽ dưới đây
để được một cái hộp không nắp. Tìm x để hộp nhận được có thể tích lớn nhất. A. x = 3
B. x = 2
C. x = 4
D. x = 6 Page 163
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Câu 41: Một sợi dây có chiều dài 28m được cắt thành hai đoạn để làm thành một hình vuông và một
hình tròn. Tính chiều dài của đoạn dây làm thành hình vuông được cắt ra sao cho tổng diện tích
của hình vuông và hình tròn là nhỏ nhất? A. 56 . B. 112 . C. 84 . D. 92 . 4 +π 4 +π 4 +π 4 +π
Câu 42: Cho một tấm nhôm hình chữ nhật có chiều dài bằng 10cm và chiều rộng bằng 8cm . Người ta
cắt bỏ ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng
x(cm), rồi gập tấm nhôm lại để được một cái hộp không nắp. Tìm x để hộp nhận được có thể tích lớn nhất. A. 8 2 21 x − = B. 10 2 7 x − = C. 9 21 x + = . D. 9 21 x − = 3 3 9 3
Câu 43: Ông A dự định sử dụng hết 2
5 m kính để làm một bể cá bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật
không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng . Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu ? A. 3 1,01m . B. 3 0,96 m . C. 3 1,33 m . D. 3 1,51m .
Câu 44: Một người nông dân có 15.000.000 đồng muốn làm một cái hàng rào hình chữ E dọc theo một
con sông để làm một khu đất có hai phần chữ nhật để trồng rau. Đối với mặt hàng rào song song
với bờ sông thì chi phí nguyên vật liệu là 60.000 đồng một mét, còn đối với ba mặt hàng rào song
song nhau thì chi phí nguyên vật liệu là 50.000 đồng một mét. Tìm diện tích lớn nhất của đất rào thu được A. 2 3125m . B. 2 50m . C. 2 1250m . D. 2 6250m .
Câu 45: Ông Khoa muốn xây một cái bể chứa nước lớn dạng một khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng 3
288m . Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng, giá thuê nhân công
để xây bể là 500000 đồng/ 2
m . Nếu ông Khoa biết xác định các kích thước của bể hợp lí thì chi
phí thuê nhân công sẽ thấp nhất. Hỏi ông Khoa trả chi phí thấp nhất để xây dựng bể đó là bao nhiêu ? A. 90 triệu đồng.
B. 168 triệu đồng. C. 54 triệu đồng.
D. 108 triệu đồng.
Câu 46: Một người nông dân có 3 tấm lưới thép B40, mỗi tấm dài 12(m) và muốn rào một mảnh vườn
dọc bờ sông có dạng hình thang cân ABCD như hình vẽ . Hỏi ông ta có thể rào được mảnh vườn
có diện tích lớn nhất là bao nhiêu 2 m ? Page 164
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ B A C D A. 100 3 . B. 106 3 . C. 108 3 . D. 120 3 .
Câu 47: Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2 và hai điểm C , D thay đổi trên nửa đường tròn đó
sao cho ABCD là hình thang. Diện tích lớn nhất của hình thang ABCD bằng 3 3 3 3 A. 1 . B. . C. 1. D. . 2 4 2
Câu 48: Một người đàn ông muốn chèo thuyền ở vị trí A tới điểm B về phía hạ lưu bờ đối diện, càng
nhanh càng tốt, trên một bờ sông thẳng rộng 3 km . Anh có thể chèo thuyền của mình trực tiếp
qua sông để đến C và sau đó chạy đến B , hay có thể chèo trực tiếp đến B , hoặc anh ta có thể
chèo thuyền đến một điểm D giữa C B và sau đó chạy đến B . Biết anh ấy có thể chèo
thuyền 6 km/ h , chạy 8 km/ h và quãng đường BC = 8 km . Biết tốc độ của dòng nước là không
đáng kể so với tốc độ chèo thuyền của người đàn ông. Tính khoảng thời gian ngắn nhất để người đàn ông đến B . A. 3 . B. 9 . C. 73 . D. 7 1+ . 2 7 6 8
DẠNG 4. DÙNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ
NHẤT CỦA BIỂU THỨC
Câu 49: Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥1, x + y + z = 2 .Biết giá trị lớn nhất của biểu
thức P = xyz bằng a với *
a,b∈ và a là phân số tối giản. Giá trị của 2a + b bằng b b A. 5. B. 43. C. 9. D. 6 . Câu 50: Cho 2 2
x xy + y = 2 . Giá trị nhỏ nhất của 2 2
P = x + xy + y bằng: A. 2 B. 1 C. 1 D. 2 3 6 2
Câu 51: Cho x , y là các số thực thỏa mãn x + y = x −1 + 2y + 2 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của 2 2
P = x + y + 2(x + ) 1 ( y + )
1 +8 4 − x y . Tính giá trị M + m A. 42 B. 41 C. 43 D. 44
Câu 52: Cho x , y > 0 thỏa mãn 3
x + y = và biểu thức 4 1 P = +
đạt giá trị nhỏ nhất. Tính 2 2 x + y . 2 x 4y Page 165
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ A. 153 . B. 5 . C. 2313 . D. 25 . 100 4 1156 16
Câu 53: Cho x, y > 0 và 5
x + y = sao cho biểu thức 4 1 P = +
đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó 4 x 4y A. 2 2 25 x + y = . B. 2 2 17 x + y = . C. 2 2 25 x + y = . D. 2 2 13 x + y = . 32 16 16 16
Câu 54: Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 4 và xy + yz + zx = 5 . Giá trị nhỏ nhất của   biểu thức ( 3 3 3 + + ) 1 1 1 x y z + +  bằng: x y z    A. 20 . B. 25 . C. 15. D. 35.
Câu 55: Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn ( 2 2
2 x + y ) + xy = (x + y)(xy + 2) . Giá trị nhỏ nhất của 3 3 2 2 biểu thức     = 4 x y  +  − 9 x y P  + . 3 3 2 2 y x y x      A. 25 − . B. 5. C. 23 − . D. 13 − . 4 4
Câu 56: Cho các số thực dương x , y thỏa mãn 5
2x + y = . Tìm giá trị nhỏ nhất P của biểu thức 4 min 2 1 P = + . x 4y A. 34 P = . B. 65 P = .
C. P không tồn tại. D. P = 5. min 5 min 4 min min Page 166
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ NG ƯƠ
I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM
ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ CH
BÀI 3: GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT VÀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA HÀM SỐ
III BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. (MỨC 9 – 10)
DẠNG 1. ĐỊNH M ĐỂ GTLN-GTNN CỦA HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI THỎA
MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC
Dạng 1: Tìm m để max y = f (x) + m = a (a > 0). [α;β] Phương pháp:
Cách 1:Trước tiên tìm max f (x) = K;
min f (x) = k (K > k). [α;β] [α;β]
m + K + m + k
m + K m k K k
Kiểm tra max{ m + K , m + k } ≥ ≥ = . 2 2 2 K k
m + k = −a
m = −a k TH1: ≤ .
a Để max y = a ⇔ ⇔
m∈{−a k;a −   K} . 2 [α;β]
m + K = a
m = a K K k TH2:
> a m∈∅ . 2
Cách 2: Xét trường hợp  m + K =  a
TH1: Max = m + K ⇔ 
m + K m + k   m + k =  a
TH2: Max = m + k ⇔ 
m + k m + K
Dạng 2: Tìm m để min y = f (x) + m = a (a > 0). [α;β] Phương pháp:
Trước tiên tìm max f (x) = K;
min f (x) = k (K > k). [α;β] [α;β]
m + k = a m + K = −a
m = a k m = −a K
Để min y = a ⇔  ∨  ⇔  ∨ 
. Vậy mS S . [α;β]
m + k > 0 m + K < 0 m > −km < −K 1 2
Dạng 3: Tìm m để max y = f (x) + m không vượt quá giá trị M cho trước. [α;β] Page 1
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Phương pháp: Trước tiên tìm max f (x) = K;
min f (x) = k (K > k). [α;β] [α;β]
m + k ≥ −M
Để max y M ⇒ 
⇔ −M k m M K. [α;β]
m + K M
Dạng 4: Tìm m để min y = f (x) + m không vượt quá giá trị a cho trước. [α;β]
Phương pháp: Trước tiên tìm max f (x) = K;
min f (x) = k (K > k). [α;β] [α;β] Để
m + k a m + K ≥ −a
m a k m ≥ −a K
min y a ⇔  ∨ 
∨ (m + K )(m + k ) < 0 ⇔  ∨ 
∨ −K < m < −k. [α;β]
m + k ≥ 0 m + K ≤ 0 m ≥ −km ≤ −K
Dang 5: Tìm m để max y = f (x) + m đạt min. [a;b] Phương pháp:
Trước tiên tìm max f (x) = K;
min f (x) = k (K > k). [a;b] [a;b] K k K k Đề hỏi tìm m m + ⇒ = −
. Đề hỏi tìm min của max y ⇒ giá trị này là . 2 [a;b] 2
Dạng 6: Tìm m để min y = f (x) + m đạt min. [a;b]
Phương pháp: Trước tiên tìm max f (x) = K;
min f (x) = k (K > k). [a;b] [a;b]
Đề hỏi tìm m ⇒ (m + K )(m + k) ≤ 0 ⇔ −K m ≤ −k . Đề hỏi tìm min của min y ⇒ giá trị này là 0. [a;b]
Dạng 7: Cho hàm số y = f (x) + m .Tìm m để max y ≤ .hmin y(h > 0) hoặc Min + max = [a;b] [a;b]
Phương pháp: Trước tiên tìm max f (x) = K;
min f (x) = k (K > k). [a;b] [a;b] TH1:
K +m k +m
K + m h k + m → m S .
K +m cungdau k +m 1 TH2:
k +m K +m
k + m h K + m →mS .
K +m cungdau k +m 2
Vậy mS S . 1 2
Dạng 8: Cho hàm số y = f (x) + m .
Phương pháp: Trước tiên tìm max f (x) = K;
min f (x) = k (K > k). [a;b] [a;b]
BT1: Tìm m để min y + max y = α ⇔ m + K + m + k = α . [a;b] [a;b]
BT2: Tìm m để min y*max y = β ⇔ m + K * m + k = β . [a;b] [a;b]
Câu 1: Tìm m để giá trị lớn nhất của hàm số 3
y = x − 3x + 2m −1 trên đoạn [0;2] là nhỏ nhất. Giá trị
của m thuộc khoảng nào? Page 2
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ  3  2 A. ; 1 − −   . B.  ;2 . C. [ 1; − 0]. D. (0; ) 1 . 2      3  Lời giải Chọn D
Xét hàm số y = f (x) 3
= x − 3x + 2m −1 trên đoạn [0;2] . x = 1 − ∉ 0;2 Ta có f '(x) 2 [ ] = 3x − 3 = 0 ⇔  . x =1
Ta có f (0) = 2m −1, f ( )
1 = 2m − 3 và f (2) = 2m +1
Suy ra max f (x) = max{ 2m −1 ; 2m −3 ; 2m +1} = max{ 2m −3 ; 2m +1} = P . [0;2]
Trường hợp 1: Xét m − ≥ m + ⇔ − ( m − ) 1 2 3 2 1 4 4 2 ≥ 0 ⇔ m ≤ . 2
Khi đó P = 2m − 3 ≥ 2 , 1 m ∀ ≤ . Suy ra 1 P = 2 ⇔ m = . 2 min 2
Trường hợp 2: Xét m − < m + ⇔ − ( m − ) 1 2 3 2 1 4 4 2 < 0 ⇔ m > . 2
Khi đó P = 2m +1 > 2 , 1 m
∀ > . Suy ra P không tồn tại. 2 min Vậy 1 m = . 2
Câu 2: Tính tổng tất cả các giá trị của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số 2
y = x − 2x + m trên đoạn [ 1; − 2] bằng 5. A. 1 − . B. 2 . C. −2. D. 1. Lời giải Ta có 2x − 2 y′ =
, y′ = 0 ⇒ x = 1. 2
x − 2x + m
Do đó yêu cầu bài toán tương đương max{y (− ) 1 , y (2), y ( ) 1 }= 5.
⇔ max{3+ m , m , m −1}= 5 .
+ Trường hợp m ≥ −1, ta có max{3+ m , m , m −1}= 5 ⇔ 3+ m = 5 ⇒ m = 2 .
+ Trường hợp m < −1 ta có max{3+ m , m , m −1}= 5 ⇔ m −1 = 5 ⇒ m = −4.
Vậy tổng các giá trị m bằng −2. Câu 3: Cho hàm số 2
y = x + 2x + a − 4 ( a là tham số ). Tìm a để giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [ 2; − ]
1 đạt giá trị nhỏ nhất A. a =1. B. a = 3. C. a = 2 .
D. a = 5 . Lời giải
Hàm số đã cho xác định và liên tục trên đoạn [ 2; − ] 1 . Page 3
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Ta có: 2
y = x + 2x + a − 4 = (x + )2 1 + a − 5 (∗)
Đặt t = (x + )2 1 , x ∈[ 2; − ] 1 ⇒ a ∈[0;4].
Lúc đó hàm số trở thành: f (t) = t + a −5 với t ∈[0;4] .
Nên max y = max f (t) = max { f (0); f (4 }
) = max { a −5 ; a −1} x∈ 2 − ;1 t  ∈ 0;4 t  ∈ 0;4 t∈ 0;4              a −1 + a − 5 a −1+ 5 − a ≥ ≥ = 2 2 2
Đẳng thức xảy ra khi a −1 = a − 5 = 2 ⇔ a = 3.
Do đó giá trị nhỏ nhất của max f (t) là 2 khi a = 3. t  ∈ 0;4  
Câu 4: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số 2
x + mx + m y =
trên [1;2] bằng 2 . Số phần tử của tập S x +1 A. 3. B. 1. C. 4 . D. 2 . Lời giải Chọn D 2 2 x = 0∉[1;2] Xét
x + mx + m x + 2 y x =
. Ta có: f ′(x) =
, f ′(x) = 0 ⇔  . x +1 (x + )2 1 x = 2 − ∉  [1;2]
f ( ) 2m +1 ( ) 3m + 4  2m +1 3m + 4 1 ,f 2 max y ;  = = ⇒ =   . x [ ∈ 1;2] 2 3  2 3   3 m = +  Trường hợp 1: 2m 1 2 max y = = 2 ⇒  . x [ ∈ 1;2] 2  5 m = −  2 • Với 3 3m 4 17 m + = ⇒ = > 2 2 3 6 5 3m 4 7 • Với m + = − ⇒ = < 2 2 3 6  2 = 3m + 4 3 + 4 = 6 m m  Trường hợp 2: 3 max y = = 2 ⇒ ⇔   . x [ ∈ 1;2] 3 3m + 4 = 6 −  10 m = −  3 2 2m 1 7 • Với m + = ⇒ = < 2 3 2 6 Page 4
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ • Với 10 2m 1 17 m + = − ⇒ = > 2 3 2 6
Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn.
Câu 5: Xét hàm số ( ) 2
f x = x + ax + b , với a , b là tham số. Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số trên [ 1; − ]
3 . Khi M nhận giá trị nhỏ nhất có thể được, tính a + 2b . A. 2 . B. 4 . C. 4 − . D. 3. Lời giải Xét hàm số ( ) 2
f x = x + ax + b . Theo đề bài, M là giá trị lớn nhất của hàm số trên [ 1; − ] 3 .
M f (− ) 1
M ≥ 1− a + b Suy ra  
M f (3) ⇔ M ≥ 9 + 3a + b ⇒ 4M ≥ 1− a + b + 9 + 3a + b + 2 1
− − a b M f   ( )1
M ≥ 1+ a + b
≥ 1− a + b + 9 + 3a + b + 2( 1
− − a b) ⇒ 4M ≥ 8 ⇒ M ≥ 2 .
Nếu M = 2 thì điều kiện cần là 1− a + b = 9 + 3a + b = 1
− − a b = 2 và 1− a + b , 9 + 3a + b ,
 1− a + b = 9 + 3a + b = 1
− − a b = 2 a = 2 − 1
− − a b cùng dấu ⇔ ⇔ . 1  
 − a + b = 9 + 3a + b = 1
− − a b = 2 − b = 1 − a = 2 − Ngược lại, khi 
ta có, hàm số f (x) 2
= x − 2x −1 trên [ 1; − ] 3 . b = 1 −
Xét hàm số g (x) 2
= x − 2x −1 xác định và liên tục trên [ 1; − ] 3 .
g′(x) = 2x − 2 ; g′(x) = 0 ⇔ x =1∈[ 1; − ] 3
M là giá trị lớn nhất của hàm số f (x) trên [ 1; − ]
3 ⇒ M = max{ g (− )
1 ; g (3) ; g ( ) 1 } =2. a = 2 − Vậy 
. Ta có: a + 2b = 4 − . b = 1 − Câu 6: Cho hàm số 3 2
y = x + x + ( 2 m + )
1 x + 27 . Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [ 3 − ;− ] 1 có giá
trị nhỏ nhất bằng A. 26 . B. 18. C. 28 . D. 16. Lời giải Chọn B Xét 3 2
u = x + x + ( 2 m + )
1 x + 27 trên đoạn [ 3 − ;− ] 1 ta có: 2 2
u′ = 3x + 2x + m +1 > 0, x ∀ .
Do đó A = max u = u (− ) 2
1 = 26 − m ; a = min u = u ( 3 − ) 2 = 6 − 3m . [ 3 − ;− ] 1 [ 3 − ;− ] 1 Do M = max y = max{ 2 2
26 − m , 6 −3m } và 2 2
4M ≥ 3 26 − m + 6 − 3m ≥ 72 . [ 3 − ;− ] 1 Vậy M ≥18. Dấu bằng xảy ra khi 2 2
26 − m = 6 − 3m =18 ⇔ m = 2 ± 2 . Page 5
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Câu 7: Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số 2
y = x + 2x + m − 4 trên đoạn [ 2; − ] 1 bằng 4 ? A. 1. B. 2 . C. 3. D. 4 . Lời giải f (x) 2
= x + 2x + m − 4 có f ′(x) = 2x + 2 , f ′(x) = 0 ⇔ x = 1 − . Do đó 2
max x + 2x + m − 4 = max{ m −1 ; m − 4 ; m −5} . [ 2 − ] ;1
Ta thấy m − 5 < m − 4 < m −1 với mọi m∈ , suy ra max y chỉ có thể là m −5 hoặc m −1 . [ 2 − ] ;1  m − 5 =  4
Nếu max y = m − 5 thì  ⇔ m =1. [ 2 − ] ;1
m − 5 ≥ m −1   m −1 =  4
Nếu max y = m −1 thì  ⇔ m = 5 . [ 2 − ] ;1
m −1 ≥ m − 5  Vậy m∈{1; } 5 .
Câu 8: Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số 1 4 19 2 y = x
x + 30x + m − 20 trên đoạn [0;2] không vượt quá 20 . Tổng các phần tử của S 4 2 bằng A. 210 . B. 195 − . C. 105. D. 300. Lời giải
Xét hàm số g (x) 1 4 19 2 = x
x + 30x + m − 20 trên đoạn [0;2] 4 2 x = 5 − ∉[0;2] Ta có  g′(x) 3
= x −19x + 30; g′(x) = 0 ⇔ x =  2 x = 3∉  [0;2] Bảng biến thiên
g (0) = m − 20 ; g (2) = m + 6 . g (0) ≤ 20  m − 20 ≤  20
Để max g (x) ≤ 20 thì  ⇔  ⇔ 0 ≤ m ≤14 . [0;2] g  (2) ≤ 20  m + 6 ≤ 20 
m∈ nên m∈{0;1;2;...; } 14 . Page 6
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Vậy tổng các phần tử của S là 105. 4 Câu 9: Cho hàm số
x + ax + a y =
, với a là tham số thực. Gọi M ,m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá x +1
trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn [1;2]. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a để M ≥ 2m ? A. 10. B. 14. C. 5. D. 20 . Lời giải Chọn B 4 4 Xét hàm số
x + ax + a x y = = + a . x +1 x +1  4 4 3 + = − Ta có 3x 4x x y′ = ⇒ y′ = 0  ⇔ . (x )2 3 1  + x = 0 Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên suy ra  1 16 M max    a ; a  = + + và 1 16
m = min  a + ; a + . 2 3      2 3   16 16 M = a + = a +  3 3 Trường hợp 1. 1 1
a + ≥ 0 ⇔ a ≥ − ⇒ . 2 2   1 1
m = a + = a +  2 2 Khi đó 16  1  13
M ≥ 2m a + ≥ 2a + ⇔  a ≤ . 3  2  3
Kết hợp điều kiện, ta có 1 13 − ≤ a
⇒ có 5 giá trị nguyên thỏa mãn điều kiện. 2 3  1 1
M = a + = −a − 16 16  2 2 Trường hợp 2. a + ≤ 0 ⇔ a ≤ − ⇒ . 3 3   16 16 m = a + = −a −  3 3 1  16  61
M ≥ 2m ⇔ −a − ≥ 2 −  a − ⇔  a ≥ − . 2  3  6
Kết hợp điều kiện ta có 61 16 − ≤ a ≤ −
. Suy ra có 5 giá trị nguyên của a thỏa mãn. 6 3 Page 7
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ  1 a + < 0  Trường hợp 3.  2 16 1  ⇔ − < a < − . 16 3 2 a + > 0  3 Nếu 1 16 1 16 35 a + > a +
⇔ −a − > a + ⇔ a < − thì 2 3 2 3 12  1 M = −a −  2 1  16  67 
M ≥ 2m ⇔ −a − ≥ 2a + ⇔  a ≤ − . 16 2   3  18 m = a +  3
Kết hợp điều kiện, ta có 16 67 − < a ≤ −
. Suy ra có 2 giá trị nguyên của a thỏa mãn điều 3 18 kiện. Nếu 1 16 1 16 35 a + ≤ a +
⇔ −a − ≤ a + ⇔ a ≥ − thì 2 3 2 3 12  16 M = a +  3 16  1  19 
M ≥ 2m a + ≥ 2 −  a − ⇔  a ≥ − . 1 3   2  9 m = −a −  2
Kết hợp điều kiện, ta có 19 1 −
a < − . Suy ra có 2 giá trị nguyên của a thỏa mãn điều kiện. 9 2
Vậy có 14 giá trị nguyên của a thỏa mãn điều kiện.
Câu 10: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số thực m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số 1 4 2
y = x −14x + 48x + m − 30 trên đoạn [0;2] 4
không vượt quá 30. Tổng giá trị các phần tử
của tập hợp S bằng bao nhiêu? A. 120. B. 210 . C. 108. D. 136. Lời giải Chọn D Đặt 1 4 2
f (x) = x −14x + 48x + m − 30 là hàm số xác định và liên tục trên [0;2] . 4
Với mọi x∈[0;2] ta có 3
f '(x) = 0 ⇔ x − 28x + 48 = 0 ⇔ x = 2 .
Suy ra max f (x) = max{ f (0) ; f (2)}. [0;2]  m −30 ≤  30 
 m +14 ≤ m − 30    m − 30 ≤ 30
Theo đề max f (x) ≤ 30 ⇔  ⇔  [0;2]  m +14 ≤ 30  m +14 ≤ 30  
 m − 30 ≤ m +14   30 − ≤ m − 30 ≤ 30 0 ≤ m ≤ 60 ⇔  ⇔  ⇔ 0 ≤ m ≤16 .  30 − ≤ m +14 ≤ 30  44 − ≤ m ≤16 Page 8
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Do m∈ ⇒ mS = {0;1;2;...; }
16 .Vậy tổng tất cả 17 giá trị trong tập S là 136. Câu 11: Cho hàm số 4 3 2
y = x − 2x + x + a . Có bao nhiêu số thực a để min y+ max y =10 ? [1;2] [1;2] A. 3. B. 5. C. 2. D. 1. Lời giải. Chọn C. Đặt 4 3 2
y = x − 2x + x + a = f (x) .
Xét hàm số f (x) 4 3 2
= x − 2x + x + a Khi đó 3 2 2 1
f (x) 4x 6x
2x 2x(2x 3x 1) 0 x 0; ;1 ′ = − + = − + = ⇔ ∈  . 2   
f ′(x) ≥ 0, x
∀ ∈[1;2] và f (1) = a; f (2) = a + 4 max y ∈  {a , a + 4} Ta có x ∀ ∈[1;2] thì  . min y ∈  {a ,0, a + 4} Xét các trường hợp
+ a ≥ 0 ⇒ max y = a + 4;min y = a ⇒ 2a + 4 = 10 ⇒ a = 3, nhận. + a ≤ 4
− ⇒ max y = −a;min y = −a − 4 ⇒ −a − 4 − a =10 ⇒ a = 7 − , nhận. a < 0 +  ⇔ 4
− < a < 0 ⇒ min y = 0;max y ∈{a + 4;− } a a + 4 > 0 a + 4 = 10 a = 6 ⇒ ⇒  .  a 10  − = a = 10 −
Vậy tồn tại hai giá trị a thỏa mãn.
Câu 12: Biết giá trị lớn nhất của hàm số y = f (x) 3
= 2x −15x + m − 5 + 9x trên [0; ] 3 bằng 60 . Tính
tổng tất cả các giá trị của tham số thực m . A. 48 . B. 5. C. 6 . D. 62 . Lời giải Chọn C
Có max f (x) = 60 ⇔ f (x) ≤ 60, x ∀ ∈[0; ] 3 và x
∃ ∈ 0;3 sao cho f (x = 60. 0 ) 0 [ ] [0; ] 3 Có f (x) 3 3
≤ 60 ⇔ 2x −15x + m − 5 + 9x ≤ 60 ⇔ 2x −15x + m − 5 ≤ 60 − 9x 3 3 3
⇔ 9x − 60 ≤ 2x −15x + m − 5 ≤ 60 − 9x ⇔ 2
x + 24x − 55 ≤ m ≤ 2
x + 6x + 65, x ∀ ∈[0; ] 3 . Có 3 2
x + 6x + 65 ≥ 29, x ∀ ∈[0; ] 3 nên 3 m ≤ 2
x + 6x + 65, x ∀ ∈[0; ] 3 ⇔ m ≤ 29. Tương tự 3 2
x + 24x − 55 ≤ 23 − nên 3 2
x + 24x − 55 ≤ , m x ∀ ∈[0; ] 3 ⇔ m ≥ 23. − Page 9
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Vậy 23
− ≤ m ≤ 29 thì f (x) ≤ 60, x ∀ ∈[0; ] 3 . 3  2
x + 24x − 55 = m Để x
∃ ∈ 0;3 sao cho f (x = 60 thì có nghiệm trên [0; ] 3 . 0 ) 0 [ ]  3  2
x + 6x + 65 = mm ≥ 29 m = 29 Hay  . Vậy 
thì max f (x) = 60. m ≤ 23 − m = 23 − [0; ] 3
Khi đó tổng các giá trị của m là 29 − 23 = 6.
Câu 13: Cho hàm số f (x) 4 3 2
= x − 2x + x + m ( m là tham số thực). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị
của m sao cho min f (x) + max f (x) =10 . Số phần tử của S là? [ 1 − ;2] [ 1 − ;2] A. 2 . B. 3. C. 5. D. 1. Lời giải Chọn A x = 0  Đặt g (x) 4 3 2
= x x + x + m g′(x) 3 2 1 2
= 4x − 6x + 2x = 0 ⇔ x =  2 x =1 
Bảng biến thiên của hàm g (x)
Dựa vào bảng biến thiên của g (x) ta suy ra bảng biến thiên của
f (x) = g (x) 4 3 2
= x − 2x + x + m . Ta có các trường hợp sau:
Trường hợp 1: m ≥ 0 . Bảng biến thiên của f (x) = g (x) 4 3 2
= x − 2x + x + m Page 10
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Dựa vào bảng biến thiên ta có min f (x) + max f (x) =10 ⇔ m + m + 4 =10 ⇔ m = 3 [ 1 − ;2] [ 1 − ;2] Trường hợp 2: 1 1
m < 0 < m + ⇔ −
< m < 0 . Bảng biến thiên: 16 16
Dựa vào bảng biến thiên ta có min f (x) + max f (x) =10 ⇔ 0 + m + 4 =10 ⇔ m = 6 [ 1 − ;2] [ 1 − ;2] Trường hợp 3: 1 1 m + = 0 ⇔ m = − . Tương tự ta có: 16 16
min f (x) + max f (x) =10 ⇔ 0 + m + 4 =10 ⇔ m = 6 [ 1 − ;2] [ 1 − ;2] Trường hợp 4: 1 1 m + < 0 < m + 4 ⇔ 4 − < m < − . Bảng biến thiên: 16 16
min f (x) + max f (x) =10 − − 0 + m + 4 = 10 m = 6
Dụa vào bảng biến thiên ta có [ 1;2] [ 1;2]  ⇔  ⇔
min f (x) + max f (x) =10 0  ( m) 10   + − = m = 10 − [ 1−;2] [ 1 − ;2]
Trường hợp 5: m + 4 = 0 ⇔ m = 4 − . Ta có:
min f (x) + max f (x) =10 ⇔ 0 − m =10 ⇔ m = 10 − [ 1 − ;2] [ 1 − ;2]
Trường hợp 6: m + 4 < 0 ⇔ m < 4 − . Ta có:
min f (x) + max f (x) =10 ⇔ −m m − 4 =10 ⇔ m = 7 − [ 1 − ;2] [ 1 − ;2] Vậy m∈{ 7; − } 3 . Câu 14: Cho hàm số 4 2
y = x − 2x + 3m với m là tham số. Biết rằng có đúng hai giá trị m ,m 1 2 của m
để giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên [ 1;
− 2] bằng 2021. Tính giá trị m m 1 2 . Page 11
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ 1 4052 8 4051 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 Lời giải Chọn D
Xét hàm số f (x) 4 2
= x − 2x + 3m , ta có f ′(x) 3
= x x = x( 2 4 4 4 x − ) 1  = f ′(x) x 0 = 0 ⇔  x = 1 ±
Bảng biến thiên của hàm số trên [ 1; − 2] :
Vì min y = 2021 ⇒ phương trình f (x) = 0 không có nghiệm thuộc [ 1; − 2] . [ 1; − 2] 1 2022
Trường hợp 1 : 3m −1 > 0 ⇔ m > . Ta có min y = 3m −1 = 3m −1 = 2021 ⇔ m = 3 [ 1; − 2] 3 8
Trường hợp 2 : 3m + 8 < 0 ⇔ m < − . Ta có min y = 3m + 8 = 3 − m −8 = 2021 3 [ 1; − 2] 2029 ⇔ m = − . 3 2022 2029 4051 Vậy m m = + = 1 2 . 3 3 3
Câu 15: Cho hàm số f (x) 3 2
= x − 3x + m +1( m là tham số thực). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị
nguyên của m thuộc đoạn [ 2020 −
;2020] sao cho max f (x) ≤ 3min f (x) . Số phần tử của S là [1;4] [1;4] A. 4003. B. 4002 . C. 4004 . D. 4001. Lời giải Chọn B
Xét hàm số y = f (x) 3 2
= x x + m + ⇒ y′ = f ′(x) 2 3 1 = 3x − 6x .  = f ′(x) x 0 l 2 ( )
= 0 ⇔3x − 6x = 0 ⇔  . x = 2 f ( )
1 = m −1; f (2) = m − 3; f (4) =17 + m .
max f (x) = m +17; min f (x) = m − 3. [1;4] [1;4] Page 12
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
+Nếu m − 3 ≥ 0 ⇔ m ≥ 3 thì max f (x) = m +17 , min f (x) = m − 3. Khi đó: [1;4] [1;4]
max f (x) ≤ 3min f (x) ⇔ 17 + m ≤ 3(m − 3) ⇔ m ≥13 . [1;4] [1;4]
+Nếu m +17 ≤ 0 ⇔ m ≤ 17
− thì max f (x) = −m + 3, min f (x) = 1 − 7 − m . [1;4] [1;4]
Khi đó: max f (x) ≤ 3min f (x) ⇔ −m + 3 ≤ 3( 1
− 7 − m) ⇔ m ≤ 2 − 7 . [1;4] [1;4]
+Nếu (m − 3)(m +17) < 0 ⇔ 17 − < m < 3 thì
max f (x) = max{ m +17 , m − 3} = max{m +17,3 − }
m > 0;min f (x) = 0. [1;4] [1;4]
Khi đó, không thỏa điều kiện max f (x) ≤ 3min f (x) . [1;4] [1;4] m ≤ 27 − Do đó: 
kết hợp với m∈[ 2020 −
;2020] ta có m∈[ 2020 − ; 27 − ]∪[13;2020] m ≥ 13
Vậy 4002 giá trị nguyên của m cần tìm.
DẠNG 2. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT HÀM ẨN, HÀM HỢP
Câu 16:
Cho hàm số y = f (x) xác định và liên tục trên  , đồ thị của hàm số y = f ′(x) như hình vẽ.
Giá trị lớn nhất của hàm số y = f (x) trên đoạn [ 1; − 2] là A. f ( ) 1 . B. f (− ) 1 . C. f (2) . D. f (0) . Lời giải x = 1 − f (x) 0  ′ = ⇔ x = 1  . x =  2
Từ đồ thị hàm y f x ta có bảng biến thiên
Từ đó suy ra giá trị lớn nhất của hàm số trên 1;2 là f   1 . Page 13
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Câu 17: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm là hàm f ′(x) . Đồ thị của hàm số y = f ′(x) được cho như
hình vẽ. Biết rằng f (0) + f (3) = f (2) + f (5) . Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của y = f (x)
trên đoạn [0;5] lần lượt là:
A. f (2) ; f (5).
B. f (0) ; f (5).
C. f (2) ; f (0) . D. f ( ) 1 ; f (5) . Lời giải
Dựa vào đồ thị hàm số f ′(x) ta có bảng biến thiên.
min f (x) = f (2) Khi đó:  [0;5]  ,  f  (3) > f (2)
f (0) + f (3) = f (2) + f (5) ⇒ f (0) + f (2) < f (2) + f (5) ⇒ f (0) < f (5).
Vậy giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của y = f (x) trên đoạn [0;5] lần lượt là: f (2) ; f (5).
Câu 18: Cho hàm số f (x) có đạo hàm là f ′(x) . Đồ thị của hàm số y = f ′(x) được cho như hình vẽ
bên. Biết rằng f (0) + f ( )
1 − 2 f (3) = f (5) − f (4). Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất
M của f (x) trên đoạn [0;5].
A. m = f (5),M = f (3) B. m = f (5),M = f ( ) 1
C. m = f (0),M = f (3) D. m = f ( ) 1 , M = f (3) Lời giải Chọn A Page 14
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Từ đồ thị ta có bảng biến thiên của f (x) trên đoạn [0;5]
M = f (3) và f ( )
1 < f (3), f (4) < f (3)
f (5) − f (0) = f ( )
1 − f (3) + f (4) − f (3) < 0 ⇒ f (5) < f (0) ⇒ m = f (5) .
Câu 19: Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như hình dưới đây. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
g (x) = f ( 2 x x ) 1 3 2 1 4
+ x − 3x + 8x + trên đoạn [1; ] 3 . 3 3 A. 15. B. 25 . C. 19 . D. 12. 3 3 Lời giải
g′(x) = ( − x) f ′( 2 x x ) 2 4 2 4
+ x − 6x + 8 = ( − x)  f ′  ( 2 2 2
4x x ) + 4 − x . Với x∈[1; ] 3 2 thì 4 − x > 0 ; 2
3 ≤ 4x x ≤ 4 nên f ′(4x x ) > 0. Suy ra f ′( 2 2
4x x ) + 4 − x > 0 , x ∀ ∈[1; ] 3 . Bảng biến thiên
Suy ra max g (x) = g (2) = f (4) + 7 =12 . [1; ] 3
Câu 20: Cho hàm số y = f (x) liên tục trên .
 Đồ thị của hàm số y = f ′( x) như hình bên. Đặt
g (x) = f (x) −(x + )2 2
1 . Mệnh đề dưới đây đúng. Page 15
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
A. max g (x) = g (3). B. min g (x) = g ( )
1 . C. max g (x) = g (0). D. max g (x) = g ( ) 1 . [ 3 − ; ] 3 [ 3 − ; ] 3 [ 3 − ; ] 3 [ 3 − ; ] 3 Lời giải Chọn D
g (x) = f (x) −(x + )2 2
1 ⇒ g′(x) = 2 f ′(x) − 2(x + ) 1
Dựa vào đồ thị ta thấy x = 3 −
g (x) = 0 ⇔ f (x) = x +1  ′ ′ ⇔ x =1  x =  3 Và với x∈( ; −∞ 3
− ) : f ′(x) < x +1⇒ g′(x) < 0 với x∈( 3 − ; )
1 : f ′(x) > x +1⇒ g′(x) > 0 ,
với x∈(1;3) : f ′(x) < x +1⇒ g′(x) < 0
với x∈(3;+∞) : f ′(x) > x +1⇒ g′(x) > 0 Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên suy ra max g (x) = g ( ) 1 . [ 3 − ; ] 3
Câu 21: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm cấp hai trên  . Biết f ′(0) = 3 , f ′(2) = 2018 − và bảng xét
dấu của f ′′(x) như sau:
Hàm số y = f (x + 2017) + 2018x đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm x0 thuộc khoảng nào sau đây? A. ( ; −∞ − 2017) B. (2017;+∞) C. (0;2) D. ( 2017 − ;0) Page 16
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Lời giải
Dựa vào bảng xét dấu của f ′ (x) ta có bảng biến thiên của hàm sồ f ′(x)
Đặt t = x + 2017 .
Ta có y = f (x + 2017) + 2018x = f (t) + 2018t − 2017.2018 = g (t).
g′(t) = f ′(t) + 2018 .
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số f ′(x) suy ra phương trình g′(t) có một nghiệm đơn α ∈( ;0
−∞ ) và một nghiệm kép t = 2 .
Ta có bảng biến thiên g (t)
Hàm số g (t) đạt giá trị nhỏ nhất tại t = α ∈ ;0 −∞ . 0 ( )
Suy ra hàm số y = f (x + 2017) + 2018x đạt giá trị nhỏ nhất tại x mà 0 x + 2017 ∈ ; −∞ 0 ⇔ x ∈ ; −∞ 2017 − . 0 ( ) 0 ( )
Câu 22: Cho hàm số f (x) có đạo hàm là f ′(x) . Đồ thị của hàm số y = f ′(x) được cho như hình vẽ dưới đây: Biết rằng f (− )
1 + f (0) < f ( )
1 + f (2) . Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y = f (x) trên đoạn [ 1; − 2] lần lượt là: A. f ( ) 1 ; f (2) .
B. f (2) ; f (0) .
C. f (0) ; f (2) . D. f ( ) 1 ; f (− ) 1 . Lời giải Page 17
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Từ đồ thị của hàm số y = f ′(x) ta có bảng biến thiên của hàm số y = f (x) trên đoạn [ 1; − 2] như sau Nhận thấy
min f (x) = f ( ) 1  [ 1−;2] .
 Để tìm max f ( x) ta so sánh f (− ) 1 và f (2). [ 1 − ;2]
Theo giả thiết, f (− )
1 + f (0) < f ( )
1 + f (2) ⇔ f (2) − f (− )
1 > f (0) − f ( ) 1 .
Từ bảng biến thiên, ta có f (0) − f ( )
1 > 0 . Do đó f (2) − f (− )
1 > 0 ⇔ f (2) > f (− ) 1 .
Hay max f (x) = f (2) . [ 1 − ;2]  7 Câu 23: Cho hàm số 
y = f (x) liên tục trên đoạn 0; 
có đồ thị hàm số y = f '(x) như hình vẽ. 2    7
Hàm số y = f (x) đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn 0;  
tại điểm x nào dưới đây? 2   0 7 A. x = 0 x =1 x = 3 0 . B. x = 0 . C. . D. . 2 0 0 Lời giải Chọn D  7
Dựa vào đồ thị hàm số y = f '(x) ta có bảng biến thiên trên đoạn 0;   như sau: 2   Page 18
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Do đó hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x = 3 0 .
Câu 24: Cho hàm số y = f (x) . Đồ thị hàm y = f ′(x) như hình vẽ y 2 x - O 1 -1
Đặt h(x) = f (x) 3 3
x + 3x . Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A. max h(x) = 3 f ( )
1 . B. max h(x) = 3 f (− 3) . [− 3; 3] [− 3; 3]
C. max h(x) = 3 f ( 3) . D. max h(x) = 3 f (0). [− 3; 3] [− 3; 3] Lời giải Chọn B
Ta có: h′(x) = f ′(x) 2 3
− 3x + 3 ⇔ h′(x) =  f ′(x) −( 2 3 x −  )1 . Đồ thị hàm số 2
y = x −1 là một parabol có toạ độ đỉnh C (0;− )
1 , đi qua A(− 3;2), B( 3;2).
Từ đồ thị hai hàm số y f x và 2
y = x −1 ta có bảng biến thiên của hàm số y = h(x) . x 0 h'(x) - 0 h(x) Page 19
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Với h(− 3) = 3 f (− 3) , h( 3) = 3 f ( 3) .
Vậy maxh(x)  3f  3. [ 3; 3 ]
Câu 25: Cho hàm số y = f (x) có đồ thị y = f ′(x) ở hình vẽ bên. Xét hàm số
g (x) = f (x) 1 3 3 2 3
x x + x + 2018, mệnh đề nào dưới đây đúng? 3 4 2 g 3 − + g 1
A. min g (x) = g (− )
1 . B. min g (x) ( ) ( ) = . [ 3 − ] ;1 [ 3 − ] ;1 2
C. min g (x) = g ( 3
− ) . D. min g (x) = g ( ) 1 . [ 3 − ] ;1 [ 3 − ] ;1 Lời giải Chọn A
Ta có g (x) = f (x) 2 3 3
x x + = f (x)  2 3 3 −  x + x  ′ ′ ′ − . 2 2 2 2    Vẽ parabol (P) 2 3 3
: y = x + x − . Ta thấy (P) đi qua các điểm có toạ độ ( 3; − 3) , ( 1; − 2) , (1; ) 1 . 2 2  Trên khoảng ( 3; − − )
1 đồ thị hàm số f ′(x) nằm phía dưới (P) nên f (x)  2 3 3 < x + x  ′ − ⇒ g′(x) <   0 .  2 2   Trên khoảng ( 1; −
)1 đồ thị hàm số f ′(x) nằm phía trên (P) nên f (x)  2 3 3 > x + x  ′ − ⇒ g′(x) >   0 .  2 2 
 Trên khoảng (1;+∞) đồ thị hàm số f ′(x) nằm phía dưới (P) nên f (x)  2 3 3 < x + x  ′ − ⇒ g′(x) <   0 .  2 2  Page 20
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên, ta có min g (x) = g (− ) 1 . [ 3 − ] ;1
Câu 26: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên R . Hàm số y = f '(x) có đồ thị như hình sau: Cho bốn mệnh đề sau:
1) Hàm số y = f (x) có hai cực trị
2) Hàm số y = f (x) đồng biến trên khoảng (1;+∞) 3) f ( )
1 > f (2) > f (4). 4) Trên đoạn [ 1;
− 4], giá trị lớn nhất của hàm số y = f (x) là f ( ) 1 .
Số mệnh đề đúng trong bốn mệnh đề trên là: A. 3. B. 1. C. 4. D. 2. Lời giải Chọn D
Dựa vào đồ thị của hàm số y = f '(x) ta thấy: x = 1 − f '(x) 0  = ⇔ x =1  x =  4
f '(x) < 0 ⇔ x∈( ; −∞ − ) 1 ∪(1;4)
f '(x) > 0 ⇔ x∈( 1; − ) 1 ∪(4;+∞)
Ta có bảng biến thiên của hàm số y = f (x) Page 21
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Dựa vào bảng biến thiên đáp án đúng là mệnh đề số 3 và 4
Câu 27: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như hình dưới đây. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
gx f  2 xx  1 3 2 1 4
x 3x 8x  trên đoạn 1;  3 . 3 3 A. 25. B. 15. C. 19. D. 12. 3 3 Lời giải Chọn D Ta có       2   2         2 4 4 .(4 2 x) x 6 8 2 2  (4  ) x g x f x x x x f x x    2   
Xét thấy x   2 2
1;3  3  4xx  4  f (4xx )  0
Mặt khác 4 x  0 x 1; 3 2
Suy ra gx 0  x  2 g  19 17 17 32 1  f (3)   f (4)   5  3 3 3 3 19 19 19 34
g(3)  f (3)   f (4)   5  3 3 3 3 g(2)  5 7 12.  g  1  g  3  g2
Vậy max gx12 tại x  2. 1;  3
Câu 28: Cho hàm số y = f (x) . Hàm số y = f ′(x) có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Giá trị lớn nhất
của hàm số g (x) = f ( x) 2
2 − sin x trên đoạn [ 1; − ] 1 là Page 22
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ A. f (− ) 1 . B. f (0). C. f (2) . D. f ( ) 1 . Lời giải Chọn B Ta có x ∈[ 1; − ] 1 ⇒ 2x ∈[ 2 − ;2] .
Từ bảng biến thiên của y = f '(x) thì bảng biến thiên y = f (x) như sau:  f
 (2x) ≤ f (0) Ta thấy x ∀ ∈[ 1; − ] 1 ta có 
, do đó g (x) ≤ g (0) = f (0) . 2 −sin x ≤ 0 = sin  (0)
Dấu “=” xảy ra khi x = 0 .
Câu 29: Cho hàm số y = f (x) liên tục trên  sao cho max f (x) = 3. Xét hàm số g (x) = f (3x − ) 1 + m [ 1 − ;2]
. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để max g (x) = 1 − 0 . [0 ] ;1 A. 13. B. 7 − . C. 13 − . D. 1 − . Lời giải Chọn C
Đặt u = 3x −1 ⇒ g (x) = f (u) + m . x∈[0; ] 1 ⇒ u ∈[ 1; − 2] .
Do f (x) liên tục trên  nên max g (x) = max( f (u) + m) = max f (u) + m = 3+ m . [0; ]1 [ 1 − ;2] [ 1 − ;2]
Để max g (x) =10 ⇔ m = 13 − . [0 ] ;1
Câu 30: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm cấp 2 trên  , hàm số y = f ′(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Page 23
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ  +   π π
Giá trị lớn nhất của hàm số sin x 3 cos x y = f   trên đoạn 5 − ; bằng 2         6 6   π  π  π A. f  −    . B. f (0) . C. 5 f − . D. f . 3         6   6  Lời giải Chọn A +  π Đặt sin x 3 cos x t sin  x  = = + . 2 3     π π  π  π π Vì 5 x ; x ;  ∈ − ⇒ + ∈ − ⇒ t ∈[ 1; − ] 1  . 6 6  3  2 2     
Dựa vào đồ thị của hàm số f ′(x) , ta có bảng biến thiên  +   π  π Ta có: sin x 3 cos max x f
 = max f (t) ⇔ t = 0 ⇔ sin x + = 0 ⇔ x = −   .  5π π    [ 1−; ]1 − ; 2  3  3    6 6     +   π Vậy sin x 3 cos max x f   f  = −     .  5π ;π  − 2    3   6 6   
Câu 31: Cho hàm số y = f (x) liên tục trên  sao cho max f (x) = f (2) = 4 . Xét hàm số x [ ∈ 0;10]
g (x) = f ( 3 x + x) 2
x + 2x + m . Giá trị của tham số m để max g (x) = 8 là x [ ∈ 0;2] A. 5. B. 4 . C. 1 − . D. 3. Lời giải Chọn D Đặt 3
t = x + x . Vì x ∈[0;2] ⇒ t ∈[0;10].
Ta có: max g (x) = max  f  ( 3 x + x) 2
x + 2x + m ≤ max f  ( 3x + x) 2
+ max −x + 2x + m   x [ ∈ 0;2] x [ ∈ 0;2] x [ ∈ 0;2] x [ ∈ 0;2] Page 24
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
= max f (t) +1+ m . t [ ∈ 0;10]
≤ max f (x) +1+ m = 4 +1+ m = 5 + m. x [ ∈ 0;10] x =1
Suy ra: max g (x) = 5+ m ⇔  ⇔ x =1. x [ ∈ 0;2] t  = 2
Theo giả thiết, ta có: max g (x) = 8 ⇔ m + 5 = 8 ⇔ m = 3 . x [ ∈ 0;2]
Câu 32: Cho hai hàm số y = f (x) , y = g (x) có đạo hàm là f ′(x) , g′(x) . Đồ thị hàm số y = f ′(x) và
g′(x) được cho như hình vẽ bên dưới.
Biết rằng f (0) − f (6) < g (0) − g (6). Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số h(x) = f (x) − g (x)
trên đoạn [0;6] lần lượt là:
A. h(6), h(2) .
B. h(2) , h(6).
C. h(0), h(2) .
D. h(2) , h(0). Lời giải
Ta có h′(x) = f ′(x) − g′(x) .
h′(x) = 0 ⇔ x = 2
Từ đồ thị ta có bảng biến thiên:
f (0) − f (6) < g (0) − g (6) ⇔ f (0) − g (0) < f (6) − g (6) .
Hay h(0) < h(6) .
Vậy max h(x) = h(6) ; min h(x) = h(2). [0;6] [0;6]
Câu 33: Cho hàm số f (x) liên tục trên  , có đồ thị như hình vẽ Page 25
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ  8x
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m
để hàm số y = f + m −   1 2  x +1 có giá trị lớn nhất
không vượt quá 2020 ? A. 4029 . B. 4035. C. 4031. D. 4041. Lời giải Chọn C 8x 2 −8x + 8 Đặt t = . Ta có: t′ =
; t′ = 0 ⇔ x = 1 ± . 2 x +1 (x + )2 2 1 BBT: ⇒ t ∈[−4;4] .  8x Hàm số y f  = + m −  
1 trở thành g (t) = f (t) + m −1 ,t ∈[−4;4]. 2  x +1
Đặt h(t) = f (t) + m −1,t ∈[−4;4] , ta có: h′(t) = f ′(t) . t = −4∈[−4;4] 
h′(t) = 0 ⇔ f ′(t) = 0 ⇔ t = −2∈[−4;4]. t = 2∈  [−4;4]
Ta có: h(−4) ≈ 0,8 + m −1 = m − 0,2 ;
h(4) = 6 + m −1 = m + 5 ;
h(−2) ≈1,6 + m −1 = m + 0,6 ; Page 26
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
h(2) = −4 + m −1 = m − 5.
Max y = Max h(t) = Max{ m + 5 ; m −5}.  [−4;4]  m + 5 ≤  2020  2020 − ≤ m + 5 ≤ 2020
− 2025 ≤ m ≤ 2015 Yêu cầu bài toán ⇔  ⇔  ⇔   m − 5 ≤ 2020   2020 − ≤ m − 5 ≤ 2020
− 2015 ≤ m ≤ 2025 ⇔ 2015 − ≤ m ≤ 2015 .
Vậy có tất cả 4031 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 34: Cho hàm số y = f (x) liên tục trên  có đồ thị y = f ′(x) như hình bên. Đặt
g (x) = f (x) − (x − )2 2 1 .
Khi đó y = g (x) đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn [ 3 − ; ] 3 tại A. x = 3 − . B. x = 3. C. x = 0 . D. x =1. Lời giải. Chọn A
Ta có g (x) = f (x) −(x − )2 2
1 ⇒ g′(x) = 2( f ′(x) −(x − )
1 ). Vẽ đồ thị hàm số y = x −1 trên cùng hệ
trục tọa độ với đồ thị hàm số y = f ′(x) . Page 27
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Dựa vào đồ thị ta thấy 1 3 + g
∫ (x)dx > 0 ⇒ g( )1 > g( 3 − ); g
∫ (x)dx < 0 ⇒ g( )1 > g(3). Do đó y = g(x) đạt giá trị nhỏ nhất 3 − 1 trên đoạn [ 3 − ; ]
3 tại x = 3 hoặc x = 3 − .
+ Phần hình phẳng giới hạn bởi y = f ′(x); y = x −1; x = 3
− ; x =1 có diện tích lớn hơn phần hình phẳng 1 3
giới hạn bởi y = f ′(x); y = x −1; x =1; x = 3 nên g′(x) dx > g′(x) dx g (3) > g ( 3 − ∫ ∫ ). 3 − 1
Vậy y = g (x) đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn [ 3 − ; ] 3 tại x = 3 − .
Câu 35: Cho hàm số f (x) . Biết hàm số f ′(x) có đồ thị như hình dưới đây. Trên [ 4; − ]3, hàm số
g (x) = f (x) + ( − x)2 2 1
đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm A. x = 3 − . B. x = 4 − . C. x = 3. D. x = 1 − . Lời giải Chọn D
Xét hàm số g (x) = f (x) + ( − x)2 2 1 trên [ 4; − ]3.
Ta có: g′(x) = 2 f ′(x) − 2(1− x).
g′(x) = 0 ⇔ f ′(x) =1− x . Trên đồ thị hàm số f ′(x) ta vẽ thêm đường thẳng y =1− x . x = 4 −
Từ đồ thị ta thấy f (x) 1 x  ′ = − ⇔ x = 1 −  . x =  3
Bảng biến thiên của hàm số g (x) như sau: Page 28
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Vậy min g (x) = g (− ) 1 ⇔ x = 1 − . [ 4; − ]3
Câu 36: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm cấp hai trên  . Biết f ′(0) = 3, f ′(2) = f ′( 2018 − ) = 0 , và
bảng xét dấu của f ′′(x) như sau
Hàm số y = f ( x −1 − 2018) đạt giá trị nhỏ nhất tại x thuộc khoảng nào sau đây? 0 A. ( ; −∞ 2015 − ). B. (1;3). C. ( 1009 − ;2) . D. ( 2015 − ; ) 1 . Lời giải. Chọn C
Từ bảng xét dấu của f ′′(x) và giả thiết f ′(0) = 3, f ′(2) = f ′( 2018 −
) = 0 suy ra bảng biến thiên của
hàm số y = f ′(x) như sau
Từ đó suy ra bảng biến thiên của hàm số y = f (x) :
Hàm số y = f ( x −1 − 2018) đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi x −1 − 2018 = 2018 −
x −1 = 0 ⇔ x =1∈( 1009 − ;2) .
Câu 37: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm cấp hai trên  . Biết f ′(0) = 3 , f ′(2) = 2020 − ,
lim f ′(x) = −∞ và bảng xét dấu của f ′′(x) như hình sau: x→−∞
Hàm số y = f (x + 2019) + 2020x đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm x thuộc khoảng nào sau đây? 0 Page 29
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ A. ( ; −∞ 2019 − ). B. (0;2) . C. ( 2019 − ;0) . D. (2019;+∞) . Lời giải Chọn A Theo giả thiết ta có
Ta có y′ = f ′(x + 2019) + 2020 ⇒ y′ = 0 ⇔ f ′(x + 2019) = 2020 − . x + 2019 = a
x = a − 2019
Từ bảng biến thiên trên ta có y′ = 0 ⇔ ⇔  , với a < 0 . x 2019 2  + = x = 2017 −
Từ đó ta có bảng biến thiên của hàm số y = f (x + 2019) + 2020x
Từ bảng biến thiên có hàm số y = f (x + 2019) + 2020x đạt giá trị nhỏ nhất tại x = a − 2019 . 0
a < 0 nên x ∈ ; −∞ 2019 − . 0 ( )
DẠNG 3. ỨNG DỤNG GTLN-GTNN GIẢI BÀI TOÁN THỰC TẾ
Câu 38:
Cho số a > 0 . Trong số các tam giác vuông có tổng một cạnh góc vuông và cạnh huyền bằng a
, tam giác có diện tích lớn nhất bằng A. 3 2 a . B. 3 2 a . C. 3 2 a . D. 3 2 a . 3 6 9 18 Lời giải Chọn D
Giả sử tam giác ABC vuông ở A thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Giả sử AB + BC = a AB = a BC
Đặt BC = x;0 < x < a .
AB = a x AC = x − (a x)2 2 2 = 2ax a
Diện tích tam giác ABC là 1 1 S = .
AB AC = (a x) 2 2ax a 2 2 Page 30
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Xét hàm số f (x) 1 = (a x) 2 2ax a 2 2 2 2
 − ax + a + a ax  ′( ) 1   2 a ax = 1 2 1 2 3  − 2 − + ( − ). a f x ax a a x   =   = . 2 2    2  ax a  2 2 2 2 2  2x a 2  2x a ′( ) 2a f x = 0 ⇔ x = . 3
Vậy diện tích lớn nhất của tam giác ABC là  2a  3 2 S = f =  a . 3    18
Câu 39: Một loại thuốc được dùng cho một bệnh nhân và nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân được
giám sát bởi bác sĩ. Biết rằng nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân sau khi tiêm vào cơ thể
trong t giờ được cho bởi công thức ( ) t c t =
(mg / L) . Sau khi tiêm thuốc bao lâu thì nồng 2 t +1
độ thuốc trong máu của bệnh nhân cao nhất? A. 4 giờ. B. 1 giờ. C. 3 giờ. D. 2 giờ. Lời giải Xét hàm số ( ) t c t = , (t > 0) . 2 t +1 2 ′( ) 1− t c t = ( . t + )2 2 1  = c′(t) t 1 = 0 ⇔  . t = 1 −
Với t =1 giờ thì nồng độ thuốc trong máu của bênh nhân cao nhất.
Câu 40: Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 12 cm. Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình
vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng x , rồi gập tấm nhôm lại như hình vẽ dưới đây
để được một cái hộp không nắp. Tìm x để hộp nhận được có thể tích lớn nhất. Page 31
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ A. x = 3
B. x = 2
C. x = 4
D. x = 6 Lời giải Chọn B
Ta có : h = x (cm) là đường cao hình hộp
Vì tấm nhôm được gấp lại tạo thành hình hộp nên cạnh đáy của hình hộp là: 12 − 2x (cm) x > 0 x > 0
Vậy diện tích đáy hình hộp S = ( − x)2 ( 2 12 2 cm ). Ta có:  ⇔  ⇔ x ∈(0;6) 12  − 2x > 0 x < 6
Thể tích của hình hộp là: V = S.h = x ( 2 − 2x)2 . 1
Xét hàm số: y = x ( − x)2 . 12 2 x ∀ ∈(0;6)
Ta có : y = ( − x)2 ' 12 2
− 4x(12 − 2x) = (12 − 2x)(12 − 6x) ;
y ' = 0 ⇔ (12 − 2x).(12 − 6x) = 0 ⇔ x = 2 hoặc x = 6 .
Suy ra với x = 2 thì thể tích hộp là lớn nhất và giá trị lớn nhất đó là y(2) =128 .
Câu 41: Một sợi dây có chiều dài 28m được cắt thành hai đoạn để làm thành một hình vuông và một
hình tròn. Tính chiều dài của đoạn dây làm thành hình vuông được cắt ra sao cho tổng diện tích
của hình vuông và hình tròn là nhỏ nhất? A. 56 . B. 112 . C. 84 . D. 92 . 4 +π 4 +π 4 +π 4 +π Lời giải
Gọi chiều dài của đoạn dây làm thành hình vuông là x ( m )
=> chiều dài của đoạn dây làm thành hình tròn là 28 − x ( m ) 2 2
+) Diện tích hình vuông là:  x x =  4    16
+) Bán kính hình tròn là: R = 28 − x Page 32
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ 2 2
=> Diện tích hình tròn: 2  28 − x  784 − 56 π = π. x + x R =  2π    4π 2 2 − +  π
+) Tổng diện tích hai hình: x 784 56x x + 4  2 14 196 + =   x x + 16 4π  16π  π π  π + 4  14 196 Xét 2 f (x) =  x x + 
. Nhận thấy f (x) đạt giá trị nhỏ nhất tại  16π  π π b 14 16π 112 x − = = . = 2a π 2(π + 4) π + 4
Vậy chiều dài của đoạn dây làm thành hình vuông để tổng diện tích của hai hình đạt giá trị nhỏ nhất là 112 m 4 +π
Câu 42: Cho một tấm nhôm hình chữ nhật có chiều dài bằng 10cm và chiều rộng bằng 8cm . Người ta
cắt bỏ ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng
x(cm), rồi gập tấm nhôm lại để được một cái hộp không nắp. Tìm x để hộp nhận được có thể tích lớn nhất. A. 8 2 21 x − = B. 10 2 7 x − = C. 9 21 x + = . D. 9 21 x − = 3 3 9 3 Lời giải Chọn D
Ta có : h = x (cm) là đường cao hình hộp
Vì tấm nhôm được gấp lại tạo thành hình hộp nên cạnh đáy của hình hộp là: 10 − 2x (cm) và 8 − 2x (cm) x > 0  x > 0
Vậy diện tích đáy hình hộp S = ( − x)( − x)( 2 10 2 8 2 cm ). Ta có: 1
 0 − 2x > 0 ⇔  ⇔ x ∈(0;4)  x < 4 8 − 2x >  0
Thể tích của hình hộp là: V = S.h = .x(10 − 2x).(8− 2x)
Xét hàm số: y = .x(10 − 2x).(8 − 2x) x ∀ ∈(0;4) Ta có : 2
y ' =12x − 72x + 80 ; Page 33
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ  9 + 21 x = > 4 (l) 3 y ' = 0 ⇔  .  9 − 21 x = (n)  3 Suy ra với 9 21 x − =
thì thể tích hộp là lớn nhất và giá trị lớn nhất. 3
Câu 43: Ông A dự định sử dụng hết 2
5 m kính để làm một bể cá bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật
không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng . Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu ? A. 3 1,01m . B. 3 0,96 m . C. 3 1,33 m . D. 3 1,51m . Lời giải Chọn A A' D' B' C' y A 2 x x D B C
Gọi x, y lần lượt là chiều rộng và chiều cao của bể cá . Ta có thể tích bể cá 2 V = 2x y . Theo đề bài ta có: 2
2xy + 2.2xy + 2x = 5 2
⇔ 6xy + 2x = 5 2 5 − 2 ⇔ = x y 6x 2 3 2 2 5 − 2x 5x − 2 − ⇒ = 2 = x V x 5 6 ⇒ ′ = x V 2
V ′ = 0 ⇔ 5 − 6x = 0 5 ⇔ x = 6x 3 3 6 5 30 3 ⇒ V = ≈ 1,01 m . x ma 27 Page 34
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Câu 44: Một người nông dân có 15.000.000 đồng muốn làm một cái hàng rào hình chữ E dọc theo một
con sông để làm một khu đất có hai phần chữ nhật để trồng rau. Đối với mặt hàng rào song song
với bờ sông thì chi phí nguyên vật liệu là 60.000 đồng một mét, còn đối với ba mặt hàng rào song
song nhau thì chi phí nguyên vật liệu là 50.000 đồng một mét. Tìm diện tích lớn nhất của đất rào thu được A. 2 3125m . B. 2 50m . C. 2 1250m . D. 2 6250m . Lời giải Chọn D
Gọi x là chiều dài 1 mặt hàng rào hình chữ E .
Gọi y là chiều dài mặt hàng rào hình chữ E song song với bờ sông ( y > 0). Số tiền phải làm là: 500 5 .3.50000 .60000 15.000.000 x x y y − + = ⇔ = . 2 Diện tích đất: 500 − 5x 5 2 S = . x y = . x = 250x x 2 2
Ta có: S ' = 250 − 5x .
S ' = 0 ⇔ 250 − 5x x = 50. Bảng biến thiên: x 0 50 + ∞ S' + 0 S 6250 0 -∞ Vậy: 2
max S = 6250 (m ) khi x = 50. (0;+∞)
Câu 45: Ông Khoa muốn xây một cái bể chứa nước lớn dạng một khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng 3
288m . Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng, giá thuê nhân công
để xây bể là 500000 đồng/ 2
m . Nếu ông Khoa biết xác định các kích thước của bể hợp lí thì chi
phí thuê nhân công sẽ thấp nhất. Hỏi ông Khoa trả chi phí thấp nhất để xây dựng bể đó là bao nhiêu ? A. 90 triệu đồng.
B. 168 triệu đồng. C. 54 triệu đồng.
D. 108 triệu đồng. Lời giải Chọn D
Theo bài ra ta có để chi phí thuê nhân công là thấp nhất thì ta phải xây dựng bể sao cho tổng diện tích
xung quanh và diện tích đáy là nhỏ nhất.
Gọi ba kích thước của bể là a , 2a , c (a(m) > 0,c(m) > 0) . Page 35
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Ta có diện tích cách mặt cần xây là 2 2
S = 2a + 4ac + 2ac = 2a + 6ac . Thể tích bể 2 V = .2 a .
a c = 2a c = 288 ⇒ 144 c = . 2 a Suy ra 2 144 2 864 2 432 432 2 432 432 = + = + = + + ≥ 3 S 2a 6 . a 2a 2a 3. 2a . . = 216 . 2 a a a a a a Vậy 2
S = 216m , khi đó chi phí thấp nhất là 216.500000 =108 triệu đồng. min
Câu 46: Một người nông dân có 3 tấm lưới thép B40, mỗi tấm dài 12(m) và muốn rào một mảnh vườn
dọc bờ sông có dạng hình thang cân ABCD như hình vẽ . Hỏi ông ta có thể rào được mảnh vườn
có diện tích lớn nhất là bao nhiêu 2 m ? B A C D A. 100 3 . B. 106 3 . C. 108 3 . D. 120 3 . Lời giải Chọn C
Kẻ đường cao BH , gọi số đo 2 góc ở đáy CD của hình thang là x, x∈(0 ;°90°) .
Diện tích mảnh vườn là: 1
S = BH ( AB + CD) 1
= BC.sin x(2.AB + 2BC.cos x) 1 2
= AB (2sin x + sin 2x) 2 2 2
Xét hàm số f (x) = 2sin x + sin 2x với x∈( 0 0
0 ;90 ) có f ′(x) = 2cos x + 2cos2x .  1 = Ta có: f ′(x) cos x 2
= 0 ⇔ 2cos x + 2cos 2x = 0 ⇔ 2cos x + cos x −1 = 0  ⇔ 2  cos x = 1 − Do x ∈( 0 0 0 ;90 ) nên ta nhận 1 0
cos x = ⇔ x = 60 . Ta có bảng biến thiên: 2 Page 36
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Từ bảng biến thiên ta thấy: f (x) 3 3 max ≤ đạt được tại 0 x = 60 . ( 0 0 0 ;90 ) 2 ⇒ S = ( 2 max
108 3 m ) khi góc ở đáy CD của hình thang bằng 0 60  =  ( 0 C D = 60 ).
Câu 47: Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2 và hai điểm C , D thay đổi trên nửa đường tròn đó
sao cho ABCD là hình thang. Diện tích lớn nhất của hình thang ABCD bằng 3 3 3 3 A. 1 . B. . C. 1. D. . 2 4 2 Lời giải Chọn B
Gọi H là hình chiếu vuông góc của D lên AB , I là trung điểm của đoạn CD O là trung điểm
của AB . Đặt DH = x , 0 < x <1. Ta có 2 2 2
DC = 2DI = 2OH = 2 OD DH = 2 1− x . AB + CD DH
Diện tích của hình thang ABCD S = f (x) ( ) = = ( 2 1+ 1− x )x. 2 2 2 Ta có ′( ) 1− x +1− 2x f x = . f ′(x) 2 2
= 0 ⇔ 1− x +1− 2x = 0 2 1− xt = 1 − Đặt 2
t = 1− x , khi đó phương trình trở thành 2 2t t 1 0  + − = ⇔ 1 . t =  2 t 1 3 3 = 1 − loại. 1 t = ta có 2 2
1− x = ⇔ x = ⇔ x = ± . 2 2 4 2 Bảng biến thiên Page 37
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Vậy diện tích lớn nhất của hình thang ABCD bằng 3 3 . 4
Câu 48: Một người đàn ông muốn chèo thuyền ở vị trí A tới điểm B về phía hạ lưu bờ đối diện, càng
nhanh càng tốt, trên một bờ sông thẳng rộng 3 km . Anh có thể chèo thuyền của mình trực tiếp
qua sông để đến C và sau đó chạy đến B , hay có thể chèo trực tiếp đến B , hoặc anh ta có thể
chèo thuyền đến một điểm D giữa C B và sau đó chạy đến B . Biết anh ấy có thể chèo
thuyền 6 km/ h , chạy 8 km/ h và quãng đường BC = 8 km . Biết tốc độ của dòng nước là không
đáng kể so với tốc độ chèo thuyền của người đàn ông. Tính khoảng thời gian ngắn nhất để người đàn ông đến B . A. 3 . B. 9 . C. 73 . D. 7 1+ . 2 7 6 8 Lời giải
 Cách 1: Anh chèo thuyền của mình trực tiếp qua sông để đến C và sau đó chạy đến B
Thời gian chèo thuyền trên quãng đường AC : 3 = 0,5 6
Thời gian chạy trên quãng đường CB : 8 =1 8
Tổng thời gian di chuyển từ A đến B là 1,5 . 73
 Cách 2: chèo trực tiếp trên quãng đường 2 2 AB = 3 + 8 = 73 mất h ≈1 26′. 6  Cách 3: Page 38
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Gọi x (km) là độ dài quãng đường BD ; 8 − x (km) là độ dài quãng đường CD . 2
Thời gian chèo thuyền trên quãng đường 2
AD = x + 9 là: x + 9 6
Thời gian chạy trên quãng đường DB là: 8 − x 8 2
Tổng thời gian di chuyển từ A đến B là ( ) x 9 8 x f x + − = + 6 8 2 Xét hàm số ( ) x 9 8 x f x + − = + trên khoảng (0; 8) 6 8 Ta có f ′(x) x 1 = − ; f ′(x) 2 9
= 0 ⇔ 3 x + 9 = 4x x = 2 6 x + 9 8 7 Bảng biến thiên
Dựa vào BBT ta thấy thời gian ngắn nhất để di chuyển từ A đến B là 7 h 1+ ≈1 20′. 8
Vậy khoảng thời gian ngắn nhất để người đàn ông đến B là 7 h 1+ ≈1 20′. 8
DẠNG 4. DÙNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ
NHẤT CỦA BIỂU THỨC
Câu 49: Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥1, x + y + z = 2 .Biết giá trị lớn nhất của biểu
thức P = xyz bằng a với *
a,b∈ và a là phân số tối giản. Giá trị của 2a + b bằng b b A. 5. B. 43. C. 9. D. 6 . Lời giải Page 39
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Chọn D 2 2  +   − Ta có: x y 2 z  1 P = xyz ≤ .z = .z = ( 2 3 4z − 4z +     z ).  2   2  4
Xét hàm số f (z) 1 = ( 2 3
4z − 4z + z ) trên [1;2]. 4  2 1 z = (loai)
Ta có: f ′(z) = ( 2
4 −8z + 3z ); f ′(z) = 0  ⇔ 3 4  z = 2 Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên, ta có: 1 P ≤ . 4 z =1 Vậy 1 P = khi 
a =1;b = 4 ⇒ 2a + b = 6. max 4  1 x = y =  2 Câu 50: Cho 2 2
x xy + y = 2 . Giá trị nhỏ nhất của 2 2
P = x + xy + y bằng: A. 2 B. 1 C. 1 D. 2 3 6 2 Lời giải Chọn A 2 2 2 2
Xét P x + xy + y
x + xy + y = = 2 2 2 2
x xy + y +nếu y = 0 thì 2 x = 2 . Do đó 2
P = x = 2 suy ra min P = 2
+nếu y ≠ 0 ta chia tử mẫu cho 2 y ta được 2
1  x   x  + + 2 2 P x xy y
y   y  + +     = = 2 2 2
2 x xy + y
1  x   x  − +
y   y      2 Đặt x + +
t = , khi đó P 1 t t = y 2 2 1− t + t 2 2 Xét + + − +
f (t) 1 t t 2t 2 = ⇒ f ' t = 2 ( ) 1− t + t ( 2 1− t + t )2  = f (t) t 1 ' = 0 ⇔  t = 1 − Bảng biến thiên Page 40
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Khi đó P 1 min = do đó 2 min P = . 2 3 3
Câu 51: Cho x , y là các số thực thỏa mãn x + y = x −1 + 2y + 2 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của 2 2
P = x + y + 2(x + ) 1 ( y + )
1 +8 4 − x y . Tính giá trị M + m A. 42 B. 41 C. 43 D. 44 Lời giải Chọn C
(x + y) = ( x− + y + )2 2 1 2
1 ≤ 3(x + y) ⇔ 0 ≤ x + y ≤ 3 2 2
P = x + y + 2(x + ) 1 ( y + )
1 + 8 4 − x y = (x + y)2 + 2(x + y) + 2 +8 4 −(x + y)
Đặt t = 4 − (x + y),t ∈[1;2].
Ta có: f (t) = ( −t )2 2 + ( 2 − t ) 4 2 4 2 4
+ 2 + 8t = t −10t + 8t + 26 . f ′(t) 3
= 4t − 20t + 8 t = 2∈[1;2]  =  f ′(t) t 2 = 0 ⇔  ⇔ t = 1 − + 2 ∈ [1;2] 2
t + 2t −1 = 0  t = 1 − − 2 ∈  [1;2] f ( ) 1 = 25; f (2) =18.
Suy ra m = min f (t) = f (2) =18;M = max f (t) = f ( ) 1 = 25. [1;2] [1;2]
Vậy M + m = 43.
Câu 52: Cho x , y > 0 thỏa mãn 3
x + y = và biểu thức 4 1 P = +
đạt giá trị nhỏ nhất. Tính 2 2 x + y . 2 x 4y A. 153 . B. 5 . C. 2313 . D. 25 . 100 4 1156 16 Page 41
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Lời giải Chọn A Từ 3 x + y = suy ra 3
y = − x . Ta có: 3
0 < x, y < . 2 2 2 Xét hàm P(x) 4 1 = + 4 1 = + trên khoảng  3 0;  , ta có: x  3  4 x − x 6 − 4x  2   2    P (x) 4 4 − ′ = − − . 2 x (6 − 4x)2  6 x = 6 − 4x = P′(x) x = 0 4 4 ⇔ = 2
x = (6 − 4x)2 ⇔  ⇔ . ( 5 6  − 4x)2 2 xx = 4x − 6  x = 2
Bảng biến thiên của P(x) trên  3 0;   : 2   
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy P(x) 25 min = khi 6 x = .  3 0;  5   6  2  Với 6 x = thì 3 y = . 5 10 Như vậy 25 min P = khi 6 x = , 3 y = . 6 5 10 Khi đó, 2 2 153 x + y = . 100
Câu 53: Cho x, y > 0 và 5
x + y = sao cho biểu thức 4 1 P = +
đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó 4 x 4y A. 2 2 25 x + y = . B. 2 2 17 x + y = . C. 2 2 25 x + y = . D. 2 2 13 x + y = . 32 16 16 16 Lời giải Từ 5 5
x + y = ⇒ y = − x , nên 4 1 P = + . 4 4 x 5 − 4x Xét hàm số 4 1 P = + với 5 0 < x < . x 5 − 4x 4   5 x 1 0;  = ∈ 4 4  4  P′ = − + ; 2
P′ = 0 ⇔ x = (5 − 4x)2  ⇔  . 2 x (5− 4x)2  5  5 x 0;  = ∉   3 4    Page 42
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Bảng biến thiên
Như vậy: min P = 5 khi x =1; 1 y = . 4 Khi đó 2 2 17 x + y = . 16
Câu 54: Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 4 và xy + yz + zx = 5 . Giá trị nhỏ nhất của   biểu thức ( 3 3 3 + + ) 1 1 1 x y z + +  bằng: x y z    A. 20 . B. 25 . C. 15. D. 35. Lời giải
x + y + z = 4
x + y = 4 − z Ta có:  ⇔ . xy yz zx 5  + + = xy = 5 − z  (x + y) 2 = 5 − 4z + z Lại có: ( 2
x + y)2 ≥ 4xy ⇒ (4 − z)2 ≥ 4( 2
5 − 4z + z ) ⇒ ≤ z ≤ 2 . Dấu " = " xảy ra khi x = y . 3
Và (x + y + z)3 3 3 3
= x + y + z + 3(x + y + z)(x + y) z + 3xy (x + y) 3 3 3 3
x + y + z = 4 −12(x + y) z − 3xy(x + y) = − ( − z)( 2 64 3 4 5 + z ) .    5 Ta có: = ( 3 3 3 + + ) 1 1 1 P x y z + +   = ( 3 2
3z −12z +15z + 4) . x y z      3 2
z − 4z + 5z  Đặt 3 2
t = z − 4z + 5z , với 2 50 ≤ z ≤ 2 ⇒ ≤ t ≤ 2. 3 27
Do đó xét hàm số f (t)  4 5 3 = + 
, với 50 ≤ t ≤ 2 . t    27 − Ta có f (t) 20 50 0, ; t 2 ′ = < ∀ ∈
nên hàm số f (t) liên tục và nghịch biến. 2 t 27    Do đó mi
P n = f (2) = 25 đạt tại x = y =1, z = 2 .
Câu 55: Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn ( 2 2
2 x + y ) + xy = (x + y)(xy + 2) . Giá trị nhỏ nhất của 3 3 2 2 biểu thức     = 4 x y  +  − 9 x y P  + . 3 3 2 2 y x y x      Page 43
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ A. 25 − . B. 5. C. 23 − . D. 13 − . 4 4 Lời giải Ta có ( 2 2
2 x + y ) + xy = (x + y)(xy + 2) ≥ (x + y)2 2xy . Đặt 2 2
a = x + y ;b = xy ta được: ( a + b)2 ≥ b(a + b) 2 2 2 8
2 ⇔ 4a − 4ab −15b ≥ 0 a 5 2 2
⇒ ≥ . Suy ra: x + y 5 x y 5 ≥ ⇔ t = + ≥ . b 2 xy 2 y x 2 Ta có: 3 3 2 2     = 4 x y  +  − 9 x y P  +
= ( 3t t) − ( 2t − ) 3 2 4 3 9
2 = 4t − 9t −12t +18 = f (t) với 5 t ≥ . 3 3 2 2 y x y x      2
Khảo sát hàm số f (t) với 5
t ≥ ta được f (t) 23 ≥ − . Vậy chọn C 2 4
Câu 56: Cho các số thực dương x , y thỏa mãn 5
2x + y = . Tìm giá trị nhỏ nhất P của biểu thức 4 min 2 1 P = + . x 4y A. 34 P = . B. 65 P = .
C. P không tồn tại. D. P = 5. min 5 min 4 min min Lời giải Từ giả thiết ta có 5
y = − 2x . Vì y > 0 nên 5 5
− 2x > 0 ⇒ x < . Do đó 5 0 < x < . 4 4 8 8 Ta có 2 1 2 1 10 −15x P = + = + = với 5 0 < x < . 2 x  5  x 5 −8x 8 − x + 5 4 − 8  2 x x 4    15 − ( 2 8
x + 5x) −( 16
x + 5)(10 −15x) 2
120x − 75x − ( 2 160 −
x + 240x + 50 − 75x) P′ = ( = 8 − x + 5x)2 ( 8 − x + 5x)2 2 2  5  5 x 0;  = ∉ 2 120 − x +160x − 50 6  8  P′ =  ′ = ⇒ − + − = ⇒  ( . Có 2 P 0 120x 160x 50 0 . 8 − x + 5x)2 2  1  5 x 0;  = ∈   2 8    Bảng biến thiên Page 44
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Dựa vào bảng biến thiên ta có P = 5. min Page 45
Document Outline

  • 001_01_07_GT12_BAI 3_GTNN_GTLN_TỰ LUẬN_DE
    • * Với bài toán đặt ẩn phụ ta phải tìm điều kiện của ẩn phụ.
    • DẠNG 4: PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ ĐỂ GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA THAM SỐ m SAO CHO PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM
    • (CÓ ỨNG DỤNG GTLN, GTNN )
    • DẠNG 7: PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ ĐỂ GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA THAM SỐ ĐỂ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM HOẶC NGHIỆM ĐÚNG VỚI MỌI (CÓ ỨNG DỤNG GTLN, GTNN)
    • DẠNG 8: BÀI TOÁN THỰC TẾ:
  • 001_01_07_GT12_BAI 3_GTNN_GTLN_TỰ LUẬN_HDG
    • * Với bài toán đặt ẩn phụ ta phải tìm điều kiện của ẩn phụ.
    • DẠNG 4: PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ ĐỂ GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA THAM SỐ m SAO CHO PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM
    • (CÓ ỨNG DỤNG GTLN, GTNN )
    • DẠNG 7: PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ ĐỂ GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA THAM SỐ ĐỂ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM HOẶC NGHIỆM ĐÚNG VỚI MỌI (CÓ ỨNG DỤNG GTLN, GTNN)
    • DẠNG 8: BÀI TOÁN THỰC TẾ:
  • 001_01_08_GT12_BAI 3_GTNN_GTLN_TRẮC NGHIỆM ĐỀ BỘ_DE
  • 001_01_08_GT12_BAI 3_GTNN_GTLN_TRẮC NGHIỆM ĐỀ BỘ_HDG
  • 001_01_09_GT12_BAI 3_GTNN_GTLN_BT TRẮC NGHIỆM(MỨC5-6)_DE
    • DẠNG 1. XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ THÔNG QUA ĐỒ THỊ, BẢNG BIẾN THIÊN
    • DẠNG 2. XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ TRÊN ĐOẠN
    • DẠNG 3. XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ TRÊN KHOẢNG .
  • 001_01_09_GT12_BAI 3_GTNN_GTLN_BT TRẮC NGHIỆM(MỨC5-6)_HDG
    • DẠNG 1. XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ THÔNG QUA ĐỒ THỊ, BẢNG BIẾN THIÊN
    • DẠNG 2. XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ TRÊN ĐOẠN
    • DẠNG 3. XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ TRÊN KHOẢNG .
  • 001_01_09_GT12_BAI 3_GTNN_GTLN_BT TRẮC NGHIỆM(MỨC7-8)_DE
    • DẠNG. ĐỊNH M ĐỂ GTLN-GTNN CỦA HÀM SỐ THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC
  • 001_01_09_GT12_BAI 3_GTNN_GTLN_BT TRẮC NGHIỆM(MỨC7-8)_HDG
    • DẠNG. ĐỊNH M ĐỂ GTLN-GTNN CỦA HÀM SỐ THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC
  • 001_01_09_GT12_BAI 3_GTNN_GTLN_BT TRẮC NGHIỆM(MỨC9-10)_DE
    • DẠNG 1. ĐỊNH M ĐỂ GTLN-GTNN CỦA HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC
    • DẠNG 2. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT HÀM ẨN, HÀM HỢP
    • DẠNG 3. ỨNG DỤNG GTLN-GTNN GIẢI BÀI TOÁN THỰC TẾ
    • DẠNG 4. DÙNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC
  • 001_01_09_GT12_BAI 3_GTNN_GTLN_BT TRẮC NGHIỆM(MỨC9-10)_HDG
    • DẠNG 1. ĐỊNH M ĐỂ GTLN-GTNN CỦA HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC
    • DẠNG 2. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT HÀM ẨN, HÀM HỢP
    • DẠNG 3. ỨNG DỤNG GTLN-GTNN GIẢI BÀI TOÁN THỰC TẾ
    • DẠNG 4. DÙNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC