Chuyên đề giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số | Tài liệu ôn thi THPTQG môn Toán
Tài liệu chuyên đề giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!
Tài liệu liên quan:
Preview text:
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
NG I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ƯƠ
ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ CH
BÀI 3: GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT VÀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA HÀM SỐ I LÝ THUYẾT.
1. Định nghĩa: Cho hàm số y = f (x) xác định trên miền D .
f (x) ≤ M , x ∀ ∈ D
• Số M gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f ( x) trên D nếu: .
∃ x ∈ D, f x = M 0 ( 0)
Kí hiệu: M = max f (x) hoặc M = max f (x). x D ∈ D
f (x) ≥ , m x ∀ ∈ D
• Số m gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f ( x) trên D nếu: .
∃x ∈ D, f x = m 0 ( 0)
Kí hiệu: m = min f (x)hoặc m = min f (x) x D ∈ D 2. Định lý
Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó.
Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm liên tục trên một đoạn
Giả sử hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [ ;
a b]. Khi đó, để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
nhất của hàm f trên đoạn [ ; a b] ta làm như sau:
Tìm các điểm x ; ; x ...; x thuộc ( ;
a b) sao cho tại đó hàm số 1 2 n
f có đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
Tính f (x ; f x ;. .; f x f a f b . n ; ; 1 ) ( 2) ( ) ( ) ( )
So sánh các giá trị tìm được.
Số lớn nhất trong các giá trị đó là giá trị lớn nhất của hàm f trên đoạn [ ;
a b], số nhỏ nhất trong
các giá trị đó là giá trị nhỏ nhất của hàm f trên đoạn [ ; a b]. * Nếu:
max f (x) = f (b)
1) y ' > 0, x ∀ ∈[ ;
a b] [a;b] ⇒ min f (x) = f (a) [a;b]
max f (x) = f (a)
2) y ' < 0, x ∀ ∈[ ;
a b] [a;b] ⇒ min f (x) = f (b) [a;b] Chú ý Page 126
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Quy tắc trên chỉ được sử dụng trong các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm
số trên một đoạn.
Đối với bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng (nửa
khoảng) thì ta phải tính đạo hàm, lập bảng biến thiên của hàm f rồi dựa vào nội dung của
bảng biến thiên để suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm f trên khoảng (nửa khoảng) đó.
Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng (nửa khoảng) có thể không tồn tại.
* Với bài toán đặt ẩn phụ ta phải tìm điều kiện của ẩn phụ.
II HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN
DẠNG 1. TÌM MAX-MIN TRÊN ĐOẠN BẰNG HÀM SỐ CỤ THỂ, BẢNG BIẾN THIÊN, ĐỒ
THỊ HÀM SỐ CHO TRÊN ĐOẠN VÀ KHOẢNG.
Câu 1. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên [ 3
− ;2] và có bảng biến thiên như hình dưới đây. Gọi M và
m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f (x)trên[ 1; − 2]. Giá trị của
M + m bằng bao nhiêu ?
Câu 2. a) Tìm GTLN, GTNN của hàm số 4 2
y = x + 2x −1 trên đoạn 1; 3 .
b) Tìm GTLN, GTNN của hàm số 3 2
y = −x + 3x + 2 trên đoạn[ 1; − 2]. 2 −x − 4 3
Câu 3. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f (x) = trên đoạn ;4 . x 2
Câu 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 3
y = x − 3x +1 trên đoạn [0;2] . 2 Câu 5. Gọi − +
M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số x 2x 2 y = trên x − 2 3;2 + 2 2
. Tính M − m . 2 Câu 6. + +
Kí hiệu m và M lần lượt là giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm số x x 4 y = trên x +1 đoạn [0; ]
3 . Tính giá trị của tỉ số M . m 2 −x − 4 3
Câu 7. Gọi giá trị lớn nhất của hàm số, giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) = trên đoạn ;4 x 2
lần lượt là M ,m . Tìm M − 3m Page 127
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Câu 8. Cho hàm số f (x) liên tục trên đoạn [ 2; −
]3 có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Gọi ,m M lần lượt
là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [ 2; −
]3. Giá trị của 2m−3M bằng bao nhiêu?
Câu 9. Cho hàm số f (x) liên tục trên [ 1;
− 5] và có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Gọi M và m lần
lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên [ 1;
− 5] . Giá trị của M − m bằng bao nhiêu? Page 128
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Câu 10. Cho hàm số f x liên tục trên [ 1; −
]3 và có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi M,m lần lượt là giá
trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f (x) trên [ 1; −
]3. Tính M − m.
Câu 11. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [ 2;
− 6] có đồ thị như hình vẽ. Gọi M , m lần lượt
là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của f (x) trên đoạn [ 2;
− 6]. Giá trị của 2M + 3m là Câu 12. Cho hàm số 2 2
y = −x + 4x + 21 − −x + 3x +10 , gọi y0 là GTNN của hàm số đã cho, đạt
được tại điểm x . Tính 4 6 + . 0 x y 0 0
Câu 13. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên và có đồ thị như hình dưới:
Tìm GTLN, GTNN của hàm số 2
y = f (x) + 3 trên đoạn[0;2] .
Câu 14. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên và có đồ thị như hình dưới:
Tìm GTLN, GTNN của hàm số 2
y =1− f (x) trên đoạn [ 2; − ] 1 . Page 129
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
DẠNG 2: TÌM MAX- MIN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN
Câu 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2
y = sin x − 4sin x + 2.
Câu 2. Cho hàm số y = f (x) có bảng xét dấu biến thiên như sau:
Giá trị lớn nhất của hàm số f (sin x − ) 1 bằng bao nhiêu?
Câu 3. Cho hàm số𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) xác định và liên tục trên R có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi M vàm lần lượt
là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(−𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑥𝑥 + 2). Giá trị của 𝑀𝑀 − 𝑚𝑚 bằng
Câu 4. Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình vẽ. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = f ( 2 2 − x ) trên đoạn 0; 2 . Page 130
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Câu 5. Cho hàm số f (x) liên tục trên [ 1;
− 5] và có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Tìm giá trị lớn nhất
và nhỏ nhất của hàm số y = f ( 2
x − 2x + 4) trên [0;2] .
Câu 6. Cho hàm số y f x liên tục trên tập và có bảng biến thiên như sau
Gọi M;m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y f 2
x 2x trên 3 7
đoạn ; . Tìm tổng M m . 2 2
Câu 7. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ:
Xét hàm số g (x) = f ( 3 2x + x − )
1 + m . Tìm m để maxg (x) = 1 − 0 . [0 ] ;1
DẠNG 3: MỘT SỐ BÀI TOÁN CÓ CHỨA THAM SỐ
Câu 1. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số 3 2
y = −x − 3x + m trên đoạn [ 1; − ] 1 bằng 0 . 2 Câu 2. −
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số x m y =
đạt giá trị lớn nhất bằng 3 trên x +1 [ 4; − 2 − ] . Page 131
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Câu 3. Tính tổng tất cả các giá trị của tham số m sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số y = (x − x + m)2 3 3 trên đoạn [ 1; − ]1 bằng 1.
Câu 4. Tìm tất cả các của tham số m đểGTNN của hàm số 2
y = x − 4x + m + 3 bằng 5.
Câu 5. Tìm tất cả các giá trị của m để GTNN của hàm số 2
y = x − 4x + m + 3 − 4x bằng −5.
Câu 6. Gọi S là tập tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số f (x) 3
= x − 3x + m trên đoạn [0; ]
3 bằng 16. Tổng tất cả các phần tử của S bằng
Câu 7: Gọi tập S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số 3
y = x − 3x + m trên đoạn [0;2] bằng 3. Số phần tử của S là
Câu 8: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số 2
y = x + x + m thỏa mãn
min y = 2. Tổng tất cả các phần tử của S bằng [ 2; − 2]
Câu 9: Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số f (x) 4 3 2
= 3x − 4x −12x + m trên đoạn [ 1; − ] 3 . Có bao
nhiêu số thực m để 59 M = ? 2 2
Câu 10: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số
x − m − m
m để hàm số y = thỏa max y =1 x + 2 [1;2]
. Tích các phần tử của S bằng
Câu 11: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số 2
x + mx + m y =
trên [1;2] bằng 2 . Số phần tử của S là x +1
Câu 12: Xét hàm số ( ) 2
f x = x + ax + b , với a , b là tham số. Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số trên [ 1; − ]
3 . Khi M nhận giá trị nhỏ nhất tính T = a + 2b . Câu 13: Cho hàm số 3 2
y = x − 3x + m (với m là tham số thực). Hỏi max y có giá trị nhỏ nhất bằng [1;2]
Câu 14: Cho hàm số f (x) 4 2
= 8x + ax + b , trong đó a , b là tham số thực. Tìm mối liên hệ giữa a và
b để giá trị lớn nhất của hàm số f (x) trên đoạn [ 1; − ]1 bằng 1.
Câu 15: Cho hàm số f (x) 4 3 2
= x − 4x + 4x + a . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
nhất của hàm số đã cho trên đoạn [0;2] . Có bao nhiêu số nguyên a thuộc đoạn [ 3 − ; ] 3 sao cho M ≤ 2m ? 4 Câu 16: Cho hàm số
x + ax + a y =
. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của x +1
hàm số trên đoạn [1;2]. Có bao nhiêu số nguyên a sao cho M ≥ 2m ? Câu 17: Cho hàm số 2
y = 2x − x − (x + )
1 (3− x) + m . Có tất cả bao nhiêu giá trị thực của tham số
m để max y = 3? Page 132
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Câu 18: Cho hàm số 2
y = 2x − x − (x + )
1 (3− x) + m . Khi giá trị lớn nhất của hàm số đạt giá trị nhỏ
nhất. Mệnh đề nào sau đây đúng? 1 19
Câu 19: Gọi S là tập hợp tất cả các số nguyên m để hàm số 4 2
y = x − x + 30x + m có giá trị lớn 4 2
nhất trên đoạn [0;2] không vượt quá 20 . Tổng các phần tử của S bằng Câu 20: Cho hàm số 3 2
y = 2x − 3x + m . Có bao nhiêu số nguyên m để min f (x) ≤ 3 ? [ 1; − ]3 Câu 21: Cho hàm số 2
f (x) = ax + bx + c, f (x) ≤1, x
∀ ∈[0;1]. Tìm giá trị lớn nhất của f (′0). Câu 22: Cho hàm số 4 3 2
y = x − 2x + x + a . Có bao nhiêu số thực a để min y + max y =10 ? [ 1; − 2] [ 1; − 2]
DẠNG 4: PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ ĐỂ GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN TÌM ĐIỀU KIỆN
CỦA THAM SỐ m SAO CHO PHƯƠNG TRÌNH f ( x,m) = 0 CÓ NGHIỆM
(CÓ ỨNG DỤNG GTLN, GTNN ) I. Phương pháp:
Bước 1. Tìm điều kiện xác định của phương trình đã cho.
Bước 2. Đặt t = u (x) hoặc x = u (t) . Tìm tập giá trị K của t . Chuyển bài toán về: tìm điều kiện
của m để phương trình g (t) = h(m) có nghiệm thuộc K .
Bước 3. Tìm GTLN, GTNN của g (t) hoặc tập giá trị của g (t) trên K để suy ra điều kiện của m .
Một số cách đặt ẩn phụ thường gặp:
ax + b ± cx + d
1. Xuất hiện biểu thức đối xứng
. PP: Đặt t = ax + b + cx + d .
(ax + b)(cx + d )
2. Xuất hiện a + bx và c − bx (a + c > 0). 2 2
a +bx = a + c sinα π
PP: Vì ( a +bx) +( c −bx) = a + c . Nên đặt , α ∈ 0; .
c −bx = a + c cosα 2 2 tan α 2 sinα = 2 1+ tan α
Và sử dụng hệ thức 2 α
, tiếp tục đặt t = tan , t ∈[0 ] ;1 . 2 1− tan α 2 2 cosα = 2 1+ tan α 2
Ta được một phương trình ẩn t .
Câu 1. Tìm các giá trị thực của tham số m để phương trình sau có nghiệm:
6 − x + 2 2(x − )
1 (4 − x) = m + 4 x −1 + 4 2. 4 − x .
Câu 2. Tìm các giá trị thực của tham số m để phương trình sau có nghiệm:
(2m − )1 x +3 +(m − 2) 1− x + m −1= 0 . Page 133
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
DẠNG 7: PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ ĐỂ GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN TÌM ĐIỀU KIỆN
CỦA THAM SỐ ĐỂ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM HOẶC NGHIỆM ĐÚNG VỚI
MỌI x∈ K (CÓ ỨNG DỤNG GTLN, GTNN) I. Phương pháp
1. Tìm điều kiện của tham số để bất phương trình chứa tham số có nghiệm hoặc nghiệm đúng với mọi x∈[ ; a b]
m > f ( x) x
∀ ∈[a;b] ⇔ m > max f ( x) [a;b]
m ≥ f ( x) x ∀ ∈[ ;
a b] ⇔ m ≥ max f ( x) [a;b]
m < f ( x) x
∀ ∈[a;b] ⇔ m < min f ( x) [a;b]
m ≤ f ( x) x
∀ ∈[a;b] ⇔ m ≤ min f ( x) [a;b]
m > f (x) có nghiệm x∈[ ;
a b] ⇔ m > min f ( x) [a;b]
m ≥ f (x) có nghiệm x∈[ ;
a b] ⇔ m ≥ min f ( x) [a;b]
m < f (x) có nghiệm x∈[ ;
a b] ⇔ m < max f ( x) [a;b]
m ≤ f (x) có nghiệm x∈[ ;
a b] ⇔ m ≤ max f ( x) [a;b]
2. Tìm điều kiện của tham số để bất phương trình chứa tham số có nghiệm hoặc nghiệm đúng
với mọi x ∈(a;b) MẸO NHỚ Nếu hàm chỉ có max min
ở biên và không tồn tại
thì: Loại ∀ luôn có dấu
=, loại có nghiệm luôn bỏ dấu =. Nếu hàm có max min tồn
tại thì đang có dấu gì thì giữ nguyên
m > f (x) x
∀ ∈(a;b)
→ m ≥ f (b)
m > max → m > f (d )
m ≥ f (x) x ∀ ∈( ; a b)
→ m ≥ f (b)
m ≥ max → m ≥ f (d )
m < f (x) x ∀ ∈( ; a b)
→ m ≤ f (a)
m < min → m < f (c)
m ≤ f (x) x ∀ ∈( ; a b)
→ m ≤ f (a)
m ≤ min → m ≤ f (c)
m > f (x) có nghiệm
→ m > f (a)
m > min → m > f (c)
m ≥ f (x) có nghiệm
→ m > f (a)
m ≥ min → m ≥ f (c)
m < f (x) có nghiệm
→ m < f (b)
m < max → m < f (d )
m ≤ f (x) có nghiệm
→ m < f (b)
m ≤ max → m ≤ f (d ) Page 134
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Câu 1. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình x + ( + x)( − x) 2 6 2 8 ≤ x + m −1
nghiệm đúng với mọi x∈[ 2; − 8].
Câu 2. Cho phương trình 2
4 6 + x − x − 3x ≤ m( x + 2 + 2 3− x) . Tìm m để bất phương trình đã cho có nghiệm thực?
Câu 3. Tìm m để bất phương trình 2
x + 9 − x ≥ −x + 9x + m ( ) 1 có nghiệm.
Câu 4. Cho hàm số f (x) liên tục trên . Hàm số y = f ′(x) có đồ thị như hình vẽ Tìm m − < ∈ π
sao cho bất phương trình f ( x) 2 2sin
2sin x m đúng với mọi x (0; )?
DẠNG 8: BÀI TOÁN THỰC TẾ: I. Phương pháp:
Đưa yêu cầu bài toán về mối quan hệ hàm số, lập bảng biến thiên để tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất
của hàm số với điều kiện ràng buộc cho trước. Chú ý:
Ta cũng có thể sử dụng các bất đẳng thức để tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của biểu thức. Một số
bất đẳng thức thường dùng.
1. Bất đẳng thức AM − GM : • Cho hai số thực +
a,b ≥ 0 ta có: a b ≥ ab hay a + b ≥ 2 ab . 2
Dấu ' = ' xãy ra khi và chỉ khi a = b . • Cho ba số thực + +
a,b,c ≥ 0 ta có: a b c 3 ≥ abc hay 3
a + b + c ≥ 3 abc . 3
Dấu ' = ' xãy ra khi và chỉ khi a = b = c .
2. Bất đẳng thức Bunhiacopxki :
• Cho hai bộ số thực (a;b),(x; y) ta có: + ≤ ( 2 2 + )( 2 2 ax by a b x + y ) .
Dấu ' = ' xãy ra khi và chỉ khi ay = bx .
• Cho hai bộ số thực (a;b;c),(x; y; z) ta có: + + ≤ ( 2 2 2 + + )( 2 2 2 ax by cz a b c
x + y + z ) .
Dấu ' = ' xãy ra khi và chỉ khi a :b : c = x : y : z . Page 135
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Câu 1. Một chất điểm chuyển động theo quy luật 2 3
S(t) = 3t − t . Tìm thời điểm t (giây) tại đó vận tốc
v(m/s) của chuyển động đạt giá trị lớn nhất?
Câu 2. Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình S (t) 1 4 2
= − t + 3t − 2t − 4 , trong đó t 4 tính
bằng giây (s) và S tính bằng mét (m). Tại thời điểm nào vận tốc của chuyển động đạt giá trị lớn nhất?
Câu 3. Hằng ngày mực nước của hồ thủy điện ở miền Trung lên và xuống theo lượng nước mưa và các
suối nước đổ về hồ. Từ lúc 8 giờ sáng, độ sâu của mực nước trong hồ tính theo mét và lên
xuống theo thời gian t (giờ) trong ngày cho bởi công thức: h(t) 1 3 2
= − t + 5t + 24t (t > 0) 3
Biết rằng phải thông báo cho các hộ dân phải di dời trước khi xả nước theo quy định trước 5
giờ. Hỏi cần thông báo cho hộ dân di dời trước khi xả nước mấy giờ. Biết rằng mực nước
trong hồ phải lên cao nhất mới xả nước.
Câu 4. Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được cho bởi công thức F (x) 1 2 =
x (30 − x) , trong đó 40
x là liều lượng thuốc tiêm cho bệnh nhân (x được tính bằng miligam). Tính liều lượng
thuốc cần tiêm cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều nhất.
Câu 5. Để thiết kế một chiếc bể cá hình hộp chữ nhật có chiều cao là 60cm , thể tích 3 96000cm . Người
thợ dùng loại kính để sử dụng làm mặt bên có giá thành 70000 2
VNĐ / m và loại kính để
làm mặt đáy có giá thành 100000 VNĐ 2
/m . Tính chi phí thấp nhất để hoàn thành bể cá .
Câu 6. Nhà xe khoán cho hai tài xế An và Bình mỗi người lần lượt nhận 32 lít và 72 lít xăng trong
một tháng. Biết rằng trong một ngày tổng số xăng cả hai người sử dụng là 10 lít. Tổng số
ngày ít nhất để hai tài xế sử dụng hết số xăng được khoán là bao nhiêu.
Câu 7. Người ta cần xây một bể chứa nước sản xuất dạng khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng 3
200 m . Đáy bể hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Chi phí để xây bể là 300 nghìn đồng 2
/m (chi phí được tính theo diện tích xây dựng, bao gồm diện tích đáy và
diện tích xung quanh không tính chiều dày của đáy và thành bên). Tính chi phí thấp nhất để
xây bể ( làm tròn số tiền đến đơn vị triệu đồng). Page 136
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
NG I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ƯƠ
ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ CH
BÀI 3: GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT VÀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA HÀM SỐ I LÝ THUYẾT.
1. Định nghĩa: Cho hàm số y = f (x) xác định trên miền D .
f (x) ≤ M , x ∀ ∈ D
• Số M gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f ( x) trên D nếu: .
∃ x ∈ D, f x = M 0 ( 0)
Kí hiệu: M = max f (x) hoặc M = max f (x). x D ∈ D
f (x) ≥ , m x ∀ ∈ D
• Số m gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f ( x) trên D nếu: .
∃x ∈ D, f x = m 0 ( 0)
Kí hiệu: m = min f (x)hoặc m = min f (x) x D ∈ D 2. Định lý
Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó.
Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm liên tục trên một đoạn
Giả sử hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [ ;
a b]. Khi đó, để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
nhất của hàm f trên đoạn [ ; a b] ta làm như sau:
Tìm các điểm x ; ; x ...; x thuộc ( ;
a b) sao cho tại đó hàm số 1 2 n
f có đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
Tính f (x ; f x ;. .; f x f a f b . n ; ; 1 ) ( 2) ( ) ( ) ( )
So sánh các giá trị tìm được.
Số lớn nhất trong các giá trị đó là giá trị lớn nhất của hàm f trên đoạn [ ;
a b], số nhỏ nhất trong
các giá trị đó là giá trị nhỏ nhất của hàm f trên đoạn [ ; a b]. * Nếu:
max f (x) = f (b)
1) y ' > 0, x ∀ ∈[ ;
a b] [a;b] ⇒ min f (x) = f (a) [a;b]
max f (x) = f (a)
2) y ' < 0, x ∀ ∈[ ;
a b] [a;b] ⇒ min f (x) = f (b) [a;b] Chú ý Page 1
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Quy tắc trên chỉ được sử dụng trong các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm
số trên một đoạn.
Đối với bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng (nửa
khoảng) thì ta phải tính đạo hàm, lập bảng biến thiên của hàm f rồi dựa vào nội dung của
bảng biến thiên để suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm f trên khoảng (nửa khoảng) đó.
Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng (nửa khoảng) có thể không tồn tại.
* Với bài toán đặt ẩn phụ ta phải tìm điều kiện của ẩn phụ.
II HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN
DẠNG 1. TÌM MAX-MIN TRÊN ĐOẠN BẰNG HÀM SỐ CỤ THỂ, BẢNG BIẾN THIÊN, ĐỒ
THỊ HÀM SỐ CHO TRÊN ĐOẠN VÀ KHOẢNG.
Câu 1. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên [ 3
− ;2] và có bảng biến thiên như hình dưới đây. Gọi M và
m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f (x)trên[ 1; − 2]. Giá trị của
M + m bằng bao nhiêu ? Lời giải
Ta có M = max f (x) = f (− )
1 = 3và m = min f (x) = f (0) = 0. [ 1 − ;2] [ 1 − ;2]
Vậy M + m = 3 .
Câu 2. a) Tìm GTLN, GTNN của hàm số 4 2
y = x + 2x −1 trên đoạn 1; 3 .
b) Tìm GTLN, GTNN của hàm số 3 2
y = −x + 3x + 2 trên đoạn[ 1; − 2]. Lời giải a) TXĐ: . 3
y ' = 4x + 4x . 3
y ' = 0 ⇔ 4x + 4x = 0 ⇔ x = 0∉ 1 ; 3 .
y (1) = 2; y ( 3) =14
⇒ max y =14 khi x = 3 và min y = 2 khi x =1. 1 ; 3 1; 3 x = 1 −
b) ĐS: max y = 6 khi
và min y = 2khi x = 0 . [ 1 − ;2] x = 2 [ 1 − ;2] Page 2
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ 2 −x − 4 3
Câu 3. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f (x) = trên đoạn ;4 . x 2 Lời giải 2 − − 2 − + Ta có f (x) x 4 4 = = −x − ⇒ ′( ) 4 4 = 1 x f x − + = . x x 2 2 x x x = 2 2 −x + 4 = 0 Trên khoảng 3 ;4 x = 2 −
: f ′(x) = 0 ⇔ 3 ⇔ ⇔ x = 2 . 2 < x < 4 3 2 < x < 4 2 − Ta có 3 25 f = f ( ; 2) = 4 − f ( ; 4) = 5 − . 2 6
Do hàm số f (x) xác định và liên tục trên 3 ;4
nên max f (x) = f (2) = 4 − . 2 3 x ;4 ∈2
Câu 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 3
y = x − 3x +1 trên đoạn [0;2] . Lời giải x =1∈[0;2] Ta có: 2
y ' = 3x − 3; y ' = 0 ⇔ . x = 1 − ∉ [0;2] y(0) =1; y( ) 1 = 1 − ; y (2) = 3 . Suy ra min y = 1 − . [0;2] 2 Câu 5. − + Gọi x 2x 2
M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = trên x − 2 3;2 + 2 2
. Tính M − m . Lời giải 2 − + Hàm số x 2x 2 y =
xác định và liên tục trên 3;2 + 2 2 x − 2 . Ta có 2 y 2 = x + ⇒ y′ =1− . x − 2 (x − 2)2 x = 2 − 2 ∉ 3;2 + 2 2 2 y 0 1 0 x 2 2 ′ = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ . 2 ( )2 (x 2) − x = 2 + 2 ∈ 3;2 + 2 2 +
Ta có : y (3) = 5; y(2+ 2) = 2+ 2 2 ; y( + ) 5 2 4 2 2 2 = . 2 Suy ra 5 2 4 M + = và m = 2 + 2 2 . 2 Vậy 5 2 4 M m + − = − ( + ) 2 2 2 2 = . 2 2 Page 3
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ 2 Câu 6. + +
Kí hiệu m và M lần lượt là giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm số x x 4 y = trên x +1 đoạn [0; ]
3 . Tính giá trị của tỉ số M . m Lời giải
Tập xác định D = \{− } 1 (2x + )1(x + ) 2 2
1 − x − x − 4 x + 2x −3 x∈[0; ] 3 y ' = = ; 1. ⇔ x = (x + )2 1 (x + )2 1 y ' = 0
Ta có f (0) = 4; f (1) = 3; f (3) = 4. Do đó M 4
m = min f (x) = 3; ma M = x f (x) = 4 ⇒ = . [0; ] 3 [0; ] 3 m 3 2 −x − 4 3
Câu 7. Gọi giá trị lớn nhất của hàm số, giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) = trên đoạn ;4 x 2
lần lượt là M ,m . Tìm M − 3m Lời giải 2 − − 2 − + Ta có f (x) x 4 4 = = −x − ⇒ ′( ) 4 4 = 1 x f x − + = . x x 2 2 x x x = 2 2 −x + 4 = 0 Trên khoảng 3 ;4 x = 2 −
: f ′(x) = 0 ⇔ 3 ⇔ ⇔ x = 2 . 2 < x < 4 3 2 < x < 4 2 − Ta có 3 25 f = f ( ; 2) = 4 − f ( ; 4) = 5 − . 2 6
Do hàm số f (x) xác định và liên tục trên 3 ;4
nên max f (x) = f (2) = 4 − . 2 3 x ;4 ∈2
min f (x) = f (4) = 5 − . Hay M = 4; − m = 5
− suy ra M − 3m =11. 3 x ;4 ∈2
Câu 8. Cho hàm số f (x) liên tục trên đoạn [ 2; −
]3 có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Gọi ,m M lần lượt
là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [ 2; −
]3. Giá trị của 2m−3M bằng bao nhiêu? Page 4
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Lời giải
Dựa vào đồ thị ta xác định được m = 3
− ; M = 4. Ta có 2m − 3M = 6 − −12 = 18 − .
Câu 9. Cho hàm số f (x) liên tục trên [ 1;
− 5] và có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Gọi M và m lần
lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên [ 1;
− 5] . Giá trị của M − m bằng bao nhiêu? Lời giải
Dựa vào hình vẽ, ta có M = 3;m = 2
− ⇒ M − m =5.
Câu 10. Cho hàm số f x liên tục trên [ 1; −
]3 và có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi M,m lần lượt là giá
trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f (x) trên [ 1; −
]3. Tính M − m. Lời giải
Quan sát đồ thị ta thấy hàm số y = f (x) đạt giá trị nhỏ nhất trên [ 1; − ] 3 là 1 − tại điểm x = 1
− và đạt giá trị lớn nhất trên [ 1; − ]
3 là 4 tại điểm x = 3. Do đó M = 4,m = 1 − .
Giá trị M − m = 4 − (− ) 1 = 5 .
Câu 11. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [ 2;
− 6] có đồ thị như hình vẽ. Gọi M , m lần lượt
là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của f (x) trên đoạn [ 2;
− 6]. Giá trị của 2M + 3m là Page 5
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Lời giải
Nhìn vào đồ thị ta thấy: M = 6 , m = 4 − .
Vậy giá trị 2M + 3m = 2.6 + 3.( 4 − ) = 0 . Câu 12. Cho hàm số 2 2
y = −x + 4x + 21 − −x + 3x +10 , gọi y0 là GTNN của hàm số đã cho, đạt
được tại điểm x . Tính 4 6x + y . 0 0 0 Lời giải TXĐ: D = [ 2; − 5].
Xét hàm số đã cho xác định và liên tục trên [ 2; − 5] − + − Ta có: x 2 2x 3 y′ = + ( 2 − < x < 5) . 2 2
−x + 4x + 21 2 −x + 3x +10 −x + 2 2x − 3 y'= 0 ⇔ + = 0 2 2
−x + 4x + 21 2 −x + 3x +10 2 2
⇔ (2x − 4) −x + 3x +10 = (2x − 3) −x + 4x + 21 2 − < x < 5
⇔ (2x − 4)(2x −3) ≥ 0 2 2 2 2
(2x − 4) (−x + 3x +10) = (2x − 3) (−x + 4x + 21) 3 x 2; ∈ − ∪ [2;5) 2 3 x 2; [2;5) ∈ − ∪ 1 1 ⇔ 2 ⇔ x = ⇒ x = ∈(−2;5) 25
(2x − 3)2 = 49( x − 2)2 3 3 29 x = 17 Xét: 1 y ( 2) 3; y − = = 2; y(5) = 1 4 ⇒ min y = y = 2 3 [ 2; − 5] 3 Suy ra, 1 x = , y = 2 4 ⇒ 6x + y =10 0 0 3 0 0
Câu 13. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên và có đồ thị như hình dưới:
Tìm GTLN, GTNN của hàm số 2
y = f (x) + 3 trên đoạn[0;2] . Lời giải Đặt 2
g(x) = f (x) + 3. Từ đồ thị đã cho ta có: x
∃ ∈ 0;1 để f (x ) = 0 . 0 ( ) 0 Và x ∀ ∈[0;2] thì 2 2 3
− ≤ f (x) ≤1 ⇒ 0 ≤ f (x) ≤ 9 ⇒ 3 ≤ f (x) + 3 ≤12 ⇒ 3 ≤ g(x) ≤12
⇒ max g(x) =12 khi f (x) = 3
− ⇔ x = 2∈[0;2] . [0;2] Page 6
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Và min g(x) = 3 khi f (x) = 0 ⇔ x = x ∈ 0;2 . 0 [ ] [0;2]
Câu 14. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên và có đồ thị như hình dưới:
Tìm GTLN, GTNN của hàm số 2
y =1− f (x) trên đoạn [ 2; − ] 1 . Lời giải GTNN là 8 − khi x = 1 − . x = x GTLN là 1 khi 1
(với x , x là các nghiệm của f (x) trên đoạn[ 2; − ] 1 ). x = 1 2 x2 khi 1 x = 1 ⇒ 4
⇒ x = , y = 2 ⇒ 6x + y = 8 . 3 0 0 0 0 3 Page 7
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
DẠNG 2: TÌM MAX- MIN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN
Câu 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2
y = sin x − 4sin x + 2. Lời giải
Đặt t = sin x điều kiện 1
− ≤ t ≤1 hàm số đã cho trở thành 2
y = f (t) = t − 4t + 2 .
Ta có f (′t) = 2t − 4 , f (′t) < 0 với t
∀ ∈[-1;1] nên hàm số f (t) nghịch biến trên [ 1; − ] 1 do đó
min f (t) = f (1) = 1
− và max f (t) = f ( 1) − = 7 . t [ ∈ 1 − ] ;1 t [ ∈ 1 − ] ;1
Vậy hàm số đã cho có GTLN là 7 và GTNN là 1 − .
Câu 2. Cho hàm số y = f (x) có bảng xét dấu biến thiên như sau:
Giá trị lớn nhất của hàm số f (sin x − ) 1 bằng bao nhiêu? Lời giải
Đặt sin x −1 = t,( 2 − ≤ t ≤ 0) .
Bài toán quy về tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = f (t) trên đoạn[ 2; − 0].
Từ bảng biến thiên ta có giá trị lớn nhất của hàm số y = f (t) trên đoạn[ 2; − 0]là 3khi t = 2 − hay π sinx 1 x − = − ⇔ =
+ k2π ,k ∈ Z . 2
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số f (sin x − ) 1 bằng 3.
Câu 3. Cho hàm số𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) xác định và liên tục trên R có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi M vàm lần lượt
là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(−𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑥𝑥 + 2). Giá trị của 𝑀𝑀 − 𝑚𝑚 bằng Lời giải
Đặt t = −sin x + 2 vì 1
− ≤ sin x ≤1⇒ t ∈[1;3]. Xét hàm số y = f (t) với t ∈[1; ] 3 , Page 8
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Từ đồ thị đã cho, ta có M = max f (t) = f (3) = 3;min f (t) = f (2) = 2
− ⇒ M − m = 5. [1;3] [1;3]
Câu 4. Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình vẽ. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = f ( 2 2 − x ) trên đoạn 0; 2 . Lời giải Đặt 2 t = 2 − x . Vì t′ = 2 − x ≤ 0 , x
∀ ∈ 0; 2 và t = ⇔ x = nên hàm số 2
t = 2 − x nghịch biến trên đoạn ' 0 0
0; 2 . Nên ta có x∈
⇔ t ∈[0;2] . Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm 0; 2
số y = f (t) trên đoạn [0;2] .
Từ đồ thị hàm số y = f (x) cho thấy : trên [0;2] hàm số y = f (t) nghịch biến.
Do đó max f (t) = f (0) = 4. [0;2]
Câu 5. Cho hàm số f (x) liên tục trên [ 1;
− 5] và có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Tìm giá trị lớn nhất
và nhỏ nhất của hàm số y = f ( 2
x − 2x + 4) trên [0;2] . Lời giải Đặt 2
t = x − 2x + 4, x∈[0;2].
Ta có t '(x) = 2x − 2.
t '(x) = 0 ⇔ x =1. Page 9
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ t (0) = 4;t ( )
1 = 3;t (2) = 4 ⇒ t ∈[3;4] . y = f ( 2
x − 2x + 4) = f (t),t ∈[3;4].
Dựa vào đồ thị ta có :
Max y = Max f (t) 3 = . x [ ∈ 0;2] t [ ∈ 3;4]
Min y = Min f (t) 1 = . x [ ∈ 0;2] t [ ∈ 3;4]
Câu 6. Cho hàm số y f x liên tục trên tập và có bảng biến thiên như sau
Gọi M;m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y f 2
x 2x trên 3 7
đoạn ; . Tìm tổng M m . 2 2 Lời giải Đặt 2
t = x − 2x với 3 7 x ; ∈ − . 2 2 Ta có 3 7 5 5 x∈ −
⇔ − ≤ x − ≤ ⇔ ≤ (x − )2 25 ; 1 0 1 ≤ 2 2 2 2 4 ⇔ − ≤ (x − )2 21 1 1 −1≤ nên 21 t ∈ 1; − . 4 4
Xét hàm số y f (t) 21 ;t 1; = ∈ − 4
Từ bảng biến thiên suy ra: m
f (t) f ( ) M f (t) 21 min 1 2, max f = = = = = = 5 . 21 21 t 1; t 1; ∈ − ∈ − 4 4 4
Do đó M + m = 2 + 5 = 7 . Page 10
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Câu 7. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ:
Xét hàm số g (x) = f ( 3 2x + x − )
1 + m . Tìm m để maxg (x) = 1 − 0 . [0 ] ;1 Lời giải Đặt t (x) 3
= 2x + x −1 với x ∈[0; ]
1 . Ta có t′(x) 2
= 6x +1 > 0, x ∀ ∈[ 0; ] 1 .
Suy ra hàm số t (x) đồng biến nên x∈[0; ] 1 ⇒ t ∈[ 1; − 2] .
Từ đồ thị hàm số ta có max f (t) = 3 ⇒ max f
(t) + m = 3 + m [ . 1 − ;2] [ 1 − ;2]
Theo yêu cầu bài toán ta cần có: 3+ m = 10 − ⇔ m = 13 − . Page 11
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
DẠNG 3: MỘT SỐ BÀI TOÁN CÓ CHỨA THAM SỐ
Câu 1. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số 3 2
y = −x − 3x + m trên đoạn [ 1; − ] 1 bằng 0 . Lời giải x = 0∈[ 1; − ] 1 y = f (x) 3 2
= −x − 3x + m. Ta có: 2 y′ = 3
− x − 6x . y′ = 0 ⇔ . x = 2 − ∉ [ 1; − ] 1 f (− )
1 = m − 2 ; f (0) = m; f ( ) 1 = m − 4 . Ta thấy min{ f (− ) 1 ; f (0); f ( )
1 } = m − 4 . Suy ra yêu cầu bài toán ⇔ m − 4 = 0 ⇔ m = 4. [ 1 − ] ;1 2
Câu 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số x − m y =
đạt giá trị lớn nhất bằng 3 trên x +1 [ 4; − 2 − ] . Lời giải
Tập xác định D = \{− } 1 . 2 2 Ta có: 1 − ' + m x m y = > 0, x ∀ ≠ 1
− . Suy ra hàm số y = đồng biến trên ( ; −∞ − ) 1 ,( 1; − +∞) (x + )2 1 x +1 . 2 − −
Do đó: max y = y( 2 − ) 2 m 2 = = 2 + m . [ 4; − 2 − ] 2 − +1 Theo giả thiết: 2
max y = 3 ⇔ 2 + m = 3 ⇔ m = 1 ± . [ 4; − 2 − ]
Câu 3. Tính tổng tất cả các giá trị của tham số m sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số y = (x − x + m)2 3 3 trên đoạn [ 1; − ]1 bằng 1. Lời giải
Xét hàm số f (x) 3
= x − 3x + m . Để GTNN của hàm số y = (x − + m)2 3 3x trên đoạn [ 1; − ] 1
bằng 1 thì min f (x) =1 hoặc max f (x) = 1 − . [ 1 − ] ;1 [ 1 − ] ;1 x = − Ta có f ′(x) 2
= 3x − 3 ; f ′(x) 1 = 0 ⇔
⇒ f (x) nghịch biến trên [ 1; − ] 1 . x = 1
Suy ra max f (x) = f (− )
1 = 2 + m và min f (x) = f ( ) 1 = 2 − + m . [ 1 − ] ;1 [ 1 − ] ;1
Trường hợp 1: min f (x) =1⇔ 2
− + m =1 ⇔ m = 3 . [ 1 − ] ;1
Trường hợp 2: max f (x) = 1 − ⇔ 2 + m = 1 − ⇔ m = 3 − . [ 1 − ] ;1
Vậy tổng các giá trị của tham số m là 0 . Page 12
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Câu 4. Tìm tất cả các của tham số m đểGTNN của hàm số 2
y = x − 4x + m + 3 bằng 5. Lời giải Đặt 2
f (x) = x − 4x + m + 3 ⇒ f (′x) = 2x − 4.
f (′x) = 0 ⇔ x = 2. Bảng biến thiên
TH1: Nếu m −1≥ 0 ⇔ m ≥1 thì GTNN của hàm số 2
y = x − 4x + m + 3 bằng
m −1 = 5 ⇔ m = 6(TM ) .
TH2: Nếu m −1< 0 ⇔ m <1
Ta có f (x) = 0 có hai nghiệm x = 2 − 1− m ; x = 2 + 1− m thỏa mãn < < 1 2 x 2 x 1 2 Ta có GTNN của hàm số 2
y = x − 4x + m + 3 bằng 0 (KTM) KL: m = 6 .
Câu 5. Tìm tất cả các giá trị của m để GTNN của hàm số 2
y = x − 4x + m + 3 − 4x bằng 5 − . Lờigiải Xét f (x) 2
= x − 4x + m + 3 có ∆′ =1− m .
TH1. m ≥1: f (x) 2 ≥ 0 x
∀ ⇔ y = x −8x + m + 3. min y = 5
− ⇔ m = 8 (TM).
TH2. m <1: f (x) = 0 có hai nghiệm x = 2 − 1− m ; x = 2 + 1− m . 1 2 − 2
x − 3 − m nÕu x ∈ [x ;x 1 2 ] Khiđó y = 2
x − 8x + 3 + m nÕu x ∉ [x ;x 1 2 ] Do đó Page 13
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
min y ≤ min y = min{y(x , y x
min 8 4 1 m, 8 4 1 m 8 4 1 m 8 1 ) ( 2 )} =
{− + − − − − }= − − − < − [ 1x;x2] (loại).
Vậy m = 8 là giá trị cần tìm.
Câu 6. Gọi S là tập tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số f (x) 3
= x − 3x + m trên đoạn [0; ]
3 bằng 16. Tổng tất cả các phần tử của S bằng
Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất hàm số trên đoạn [a;b] - Tìm nghiệm x i = của thuộc [ ; a b] i ( 1,2,...) y′ = 0
- Tính các giá trị f (x f a f b so sánh các giá trị, suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ i ) ; ( ); ( ) nhất.
3. HƯỚNG GIẢI: Tìm giá trị lớn nhất hàm số y = f (x) , ta xét hàm số y = f (x) .
B1: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = f (x) .
B2: Giá trị lớn nhất của hàm số y = f (x) tại max f (x) hoặc min f (x) .
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Đặt g (x) 3
= x − 3x + m . x = 1 − ∉[0; ] 3 g′(x) 2
= 3x − 3; g′(x) = 0 ⇒ . x = 1∈ [0; ]3 g (0) = ; m g ( ) 1 = 2 − + ;
m g (3) =18+ m .
Suy ra max g (x) =18+ m ; min g (x) = 2 − + m . [0; ] 3 [0; ] 3 18 + m =16 m = 2 − 2 − + m > 16 − m > 14 −
Để giá trị lớn nhất hàm số y = f (x) là 16 ⇔ ⇔ . 2 m 16 − + = − m = 14 − 18 m 16 + < m < 2 − Vậy S = { 2; − 1 − } 4 nên tổng là 2 − −14 = 16 − .
Câu 7: Gọi tập S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số 3
y = x − 3x + m trên đoạn [0;2] bằng 3. Số phần tử của S là Lời giải Xét 3
u = x − 3x + m . Ta có: 2
u ' = 3x − 3 ; u′ = 0 ⇔ x =1∈[0;2] . Khi đó:
A = max u = max{u(0),u( ) 1 ,u (2)} = max{ , m m − 2,m + } 2 = m + 2 . [0;2]
a = min u = min{u(0),u( ) 1 ,u (2)} = min{ , m m − 2,m + } 2 = m − 2 . [0;2] Page 14
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ m + 2 = 3
m + 2 ≥ m − 2 m =1
Ta có: max y = max{ A , a } = max{ m + 2 , m − 2} = 3 ⇔ ⇔ . [ 0;2] m − 2 = 3 m = 1 −
m−2 ≥ m+ 2 Vậy S = {± } 1 .
Câu 8: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số 2
y = x + x + m thỏa mãn
min y = 2. Tổng tất cả các phần tử của S bằng [ 2; − 2] Lời giải Xét hàm số 2
u = x + x + m trên đoạn [ 2; − 2], có: 1
u′ = 0 ⇔ 2x +1 = 0 ⇔ x = − . 2 u u 1 1 ( ) 1 max max 2 ,u = − −
,u (2) = m + 6 ; min u = min u ( 2 − ),u −
,u (2) = m − . [ 2; − 2] 2 [ 3 − ;2] 2 4 Nếu 1 m − ≥ 0 hay 1 m ≥ thì 1 9
min y = m − = 2 ⇔ m = (thỏa mãn). 4 4 [ 2; − 2] 4 4
Nếu m + 6 ≤ 0 hay m ≤ −6 thì min y = −m − 6 = 2 ⇔ m = 8 − (thỏa mãn). [ 2; − 2] Nếu 1 6
− < m < thì min y = 0 (không thỏa mãn). 4 [ 2; − 2] Ta có: 9 S 8; = −
. Vậy tổng các phần tử của S bằng 23 − . 8 4
Câu 9: Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số f (x) 4 3 2
= 3x − 4x −12x + m trên đoạn [ 1; − ] 3 . Có bao
nhiêu số thực m để 59 M = ? 2 Lời giải Xét hàm số: 4 3 2
u = 3x − 4x −12x + m . x = 0 Có 3 2
u′ =12x −12x − 24x
⇒ u′ = 0⇔ x = 1 − . x = 2
minu = min{u(− )
1 ,u (0),u(2),u(3)} = u(2) = m −32 Khi đó: [ 1−; ]3 .
max u = max{u (− )
1 ,u (0),u(2),u(3)} = u(3) = m + 27 [ 1−; ]3 Page 15
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ 59 m − 32 = 2
m−32 ≥ m+27 Do đó: M 5 = {m− m + } 59 max 32 , 27 = ⇔ ⇔ m = 2 . 59 2 m + 27 = 2
m+27 ≥ m− 32
Vậy có 1 số thực m để 59 M = 2 . 2
Câu 10: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số
x − m − m
m để hàm số y = thỏa max y =1 x + 2 [1;2]
. Tích các phần tử của S bằng Lời giải 2 2 Xét
x − m − m u = , ta có: 2 + m + m u′ = > 0 , x ∀ ∈ 1;2 , m ∀ ∈ . 2 [ ] x + 2 (x + 2) 2 2 Do đó A + − = u = u ( ) m + m − 2 max 2 = − ; a = u = u ( ) m m 1 min 1 = − . [1;2] 4 [1;2] 3 2 2
m + m − 2 m + m −1 max y max 1 17 , = =1 m − ± ⇔ = . [1;2] 4 3 2 − ± Ta có: 1 17 S =
. Vậy tích các phần tử của S bằng 4 − . 2
Câu 11: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số 2
x + mx + m y =
trên [1;2] bằng 2 . Số phần tử của S là x +1 Lời giải 2 + + Xét hàm số: x mx m u = . x +1 2 x + 2x 2 x = 0∉[1;2] u′ + = ; u′ = 0 x 2x ⇔ = 0 2
⇔ x + 2x = 0 ⇔ . ( x + )2 1 (x + )2 1 x = 2 − ∉ [1;2]
Ta có: u′ > 0 x ∀ ∈[1;2] nên 4 1 max y m , m = + . [1;2] 3 2 2 m = max y = 2 3 ⇔ . Vậy 2 10 S = ;− . [1;2] 10 m = − 3 3 3 Page 16
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Câu 12: Xét hàm số ( ) 2
f x = x + ax + b , với a , b là tham số. Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số trên [ 1; − ]
3 . Khi M nhận giá trị nhỏ nhất tính T = a + 2b . Lời giải A + B
Ta có: max{ A , B } ≥
( )1 . Dấu = xảy ra khi A = B . 2 A − B
Ta có: max{ A , B } ≥
(2) . Dấu = xảy ra khi A = −B . 2 Xét hàm số ( ) 2
g x = x + ax + b , có ′( ) = 0 a g x ⇔ x = − . 2
Trường hợp 1: a − ∉[ 1; − ] 3 ⇔ a ∉[ 6;
− 2] . Khi đó M = max{1− a + b , 9 + 3a + b}. 2
Áp dụng bất đẳng thức ( )
1 ta có M ≥ 4 + 2a > 8 . 2
Trường hợp 2: a a − ∈[ 1; − ] 3 ⇔ a ∈[ 6;
− 2] . Khi đó M = max 1− a + b , 9 + 3a + b , b − 2 4 . 2
Áp dụng bất đẳng thức ( ) 1 và (2) ta có M max 5 , a a b b ≥ + + − 4 1 2
⇔ M ≥ 20 + 4a + a 1
⇔ M ≥ 16 + (a + 2)2 . 8 8 Suy ra M ≥ 2 . a = 2 − 2 a = 2 − Ta có: −
M nhận giá trị nhỏ nhất có thể được là M = 2 khi 5 a + a + b = − b ⇔ . 2 b = 1 − 1
− a + b = 9 + 3a + b Vậy a + 2b = 4 − . Câu 13: Cho hàm số 3 2
y = x − 3x + m (với m là tham số thực). Hỏi max y có giá trị nhỏ nhất bằng [1;2] Lời giải Xét hàm số: 3 2
t = x − 3x với x ∈[1;2]. x = 0∉(1;2) Ta có 2
t′ = 3x − 6x = 0 ⇔ ; t ( ) 1 = 2 − , t (2) = 4 − . Nên maxt = 2 − và x = 2∉ (1;2) [1;2] min t = 4 − . [1;2]
Do đó max y = max m + t = max{ m − 4 ; m − 2} [1;2] [1;2] m − + − m m − + − m
= max{ m − 4 ; 2 − m} 4 2 ( 4) (2 ) ≥ ≥ =1. 2 2 Page 17
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Dấu bằng đạt tại m − 4 = 2 − m ⇔ m = 3 .
Câu 14: Cho hàm số f (x) 4 2
= 8x + ax + b , trong đó a , b là tham số thực. Tìm mối liên hệ giữa a và
b để giá trị lớn nhất của hàm số f (x) trên đoạn [ 1; − ]1 bằng 1. Lời giải Đặt 2
t = x , vì x ∈[ 1; − ] 1 nên t ∈[0; ] 1 . Ta có: g (t) 2
= 8t + at + b , đây là parabol có bề lõm quay lên và có tọa độ đỉnh là 2 a − ; a I − + b 6 32
Trường hợp 1: a − ∈[0; ]
1 . Theo yêu cầu bài toán ta có: 6 1 − ≤ g (0) ≤1 1 − ≤ b ≤1 1 − ≤ b ≤1 ( )1 1 − ≤ g ( ) 1 ≤1 ⇔ 1
− ≤ 8 + a + b ≤1 ⇔ 1
− ≤ 8 + a + b ≤1 (2) 2 2 2 32 −
≤ 32b − a ≤ 32 32
− ≤ a − 32b ≤ 32 (3) 1 a − ≤ − + b ≤1 32 Lấy ( ) 1 + 32(3) ta có : 2 64 − ≤ a ≤ 64 do đó 8 − ≤ a ≤ 8. Lấy (3) + 32(2) ta có : 2 64 −
≤ a + 32a + 256 ≤ 64 Suy ra : 2
a + 32a +192 ≤ 0 ⇔ 24 − ≤ a ≤ 8 − . Khi đó ta có : a = 8 − và b =1.
Thử lại: g (t) 2
= 8t −8t +1 = ( t − )2 2 2 1 −1 Vì 0 ≤ t ≤1 nên 1
− ≤ 2t −1≤1 ⇒ ≤ ( t − )2 0
2 1 ≤1 ⇒ − ≤ g (t) = ( t − )2 1 2 2 1 −1≤1.
Ta có: max g (t) =1 khi t =1⇒ x = 1 ± . Nên a = 8
− và b =1 (thỏa mãn).
Trường hợp 2 : a − ∉[0; ]
1 . Theo yêu cầu bài toán ta có: 6 1 − ≤ g (0) ≤1 1 − ≤ b ≤1 1 − ≤ b ≤1 ⇔ ⇔ 1 − ≤ g ( )1 ≤1 1
− ≤ 8 + a + b ≤1 1
− ≤ 8 + a + b ≤1 ⇒ 2
− ≤ a + 8 ≤ 2 ⇔ 10 − ≤ a ≤ 6 − (loại). Vậy a = 8 − và b =1.
Câu 15: Cho hàm số f (x) 4 3 2
= x − 4x + 4x + a . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
nhất của hàm số đã cho trên đoạn [0;2] . Có bao nhiêu số nguyên a thuộc đoạn [ 3 − ; ] 3 sao cho M ≤ 2m ? Lời giải Page 18
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Xét hàm số g (x) 4 3 2
= x − 4x + 4x + a . x = 0 g′(x) 3 2
= 4x −12x +8x ; g′(x) = 0 3 2
⇔ 4x −12x + 8x = 0 ⇔ x = 1 . x = 2 Bảng biến thiên ` TH1: a ≤ 1
− ⇒ m = −(a + )
1 ;M = −a ⇒− 2(a + )
1 ≥ −a ⇔ a ≤ 2 − ⇒ a∈{ 3 − ;− } 2 . TH2: 1
− < a < 0 ⇒ m = 0; M > 0 ⇒ M > 2m (loại ).
TH3: a ≥ 0 ⇒ m = a;M = a +1 ⇒2a ≥ a +1 ⇔ a ≥1⇒a ∈{1;2; } 3 .
Vậy có 5 giá trị của a thỏa mãn đề bài. 4 Câu 16: Cho hàm số
x + ax + a y =
. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của x +1
hàm số trên đoạn [1;2]. Có bao nhiêu số nguyên a sao cho M ≥ 2m ? Lời giải 4
x + ax + a 4 3 Xét u = trên đoạn [1;2], ta có 3x + 4x , x ∀ ∈[1;2] . x +1 u′ = > 0 (x + )2 1 Do đó, u = u ( ) 16 max 2 = a + , u = u ( ) 1 min 1 = a + . [1;2] 3 [1;2] 2 16 M = a + 1 a + ≥ 0 TH1: 1 a + ≥ 0 3 ⇒ 2 1 13 ⇒ ⇔ − ≤ a ≤ . 2 1 m = a + 16 1 a 2 2 3 a + ≥ + 2 3 2 1 16 M a = − + + ≤ 2 a 0 TH2: 16 a + ≤ 0 ⇒ 61 16 3 ⇒ ⇔ − ≤ a ≤ − . 3 16 m 1 16 6 3 = − a + − a + ≥ 2 − a + 3 2 3 1 16
TH3: a + . a + ≤ 0 ⇒ m = 0 , 1 16
M = max a + , a +
⇒ M > 2m ( thỏa mãn). 2 3 2 3 Ta có: 61 13 − ≤ a ≤ a ∈{ 10 − ;....; }
4 . Vậy có 15 số nguyên thỏa mãn. 6 3 Page 19
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Câu 17: Cho hàm số 2
y = 2x − x − (x + )
1 (3− x) + m . Có tất cả bao nhiêu giá trị thực của tham số
m để max y = 3? Lời giải
Hàm số xác định khi: (x + ) 1 (3− x) ≥ 0 ⇔ 1 − ≤ x ≤ 3 .
Đặt t = (x + )( − x) 2 1 3
= 3 + 2x − x (t ∈[0;2]) và 2 2
2x − x = t − 3.
Khi đó ta cần tìm giái trị lớn nhất của hàm số 2
y = t − t − 3+ m trên đoạn [0;2] . Với 2
u = t − t − 3 + m ta có: 13
max u = m −1;min u = m − . [0;2] [0;2] 4 Do đó 13 1
max y = max m −1 ; m − = 3 ⇔ m = 4;m = . 4 4 Câu 18: Cho hàm số 2
y = 2x − x − (x + )
1 (3− x) + m . Khi giá trị lớn nhất của hàm số đạt giá trị nhỏ
nhất. Mệnh đề nào sau đây đúng? Lời giải
Hàm số xác định khi: (x + ) 1 (3− x) ≥ 0 ⇔ 1 − ≤ x ≤ 3 .
Đặt t = (x + )( − x) 2 1 3
= 3 + 2x − x (t ∈[0;2]) và 2 2
2x − x = t − 3.
Khi đó ta cần tìm giái trị lớn nhất của hàm số 2
y = t − t − 3+ m trên đoạn [0;2] . Với 2
u = t − t − 3 + m ta có: 13
max u = m −1;min u = m − . [0;2] [0;2] 4 13 13 m −1 + − m m −1+ − m Do đó 13 4 4 9
max y = max m −1 ; m − ≥ ≥ = . 4 2 2 8 13 9 17
Dấu bằng xảy ra m −1 = − m = ⇔ m = . 4 8 8 1 19
Câu 19: Gọi S là tập hợp tất cả các số nguyên m để hàm số 4 2
y = x − x + 30x + m có giá trị lớn 4 2
nhất trên đoạn [0;2] không vượt quá 20 . Tổng các phần tử của S bằng Lời giải x = 5 − Xét 1 4 19 2 u = x −
x + 30x + m trên đoạn [0;2] có 3
u′ = x −19x + 30; u′ = 0 ⇔ x = 3 . 4 2 x = 2
Do đó: maxu = max{u(0);u(2)} = max{ ;
m m + 6} = m + 6;min u = . m [0;2] [0;2] Page 20
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Do đó:
m ≤ m + 6 ≤ 20 13 − ≤ m ≤ 6 −
max y = max{ m ; m + 6} ≤ 20 ⇔ ⇔ ⇔ 2 − 0 ≤ m ≤ 6 − . [0;2]
m + 6 ≤ m ≤ 20 20 − ≤ m ≤ 13 − 20
Mà m∈ nên m∈{− 20; 19 − ;..., 6
− }. Vậy S = −∑k = 195 − . 6 Câu 20: Cho hàm số 3 2
y = 2x − 3x + m . Có bao nhiêu số nguyên m để min f (x) ≤ 3 ? [ 1; − ]3 Lời giải x = 0 Xét 3 2
u = 2x − 3x + m , ta có: 2
u ' = 6x − 6x ; u′ = 0 ⇔ . x = 1
minu = min{u(− )1,u(3),u(0),u( )1} = min{m −5,m + 27, , m m − } 1 = m −5 [ 1−; ]3 Do đó: .
max u = max{u (− )
1 ,u(3),u(0),u( )
1 } = max{m −5,m + 27, , m m − } 1 = m + 27 [ 1−; ]3
TH1: m −5 ≥ 0 ⇔ m ≥ 5 ⇒ min f (x) = m −5 ≤ 3 ⇔ m ≤ 8 ⇒ m∈{5;6;7; } 8 . [ 1 − ; ] 3 TH2:
m + 27 ≤ 0 ⇔ m ≤ 27 −
⇒ min f ( x) = −(m + 27) ≤ 3 ⇔ m ≥ 30 − ⇒ m ∈{ 30 − ; 29 − ; 28 − ;− } 27 . [ 1 − ; ] 3
TH3: (m − 5)(m + 27) < 0 ⇔ 27
− < m < 5 ⇒ min = (thỏa mãn). − f x 0 1;3 ( ) [ ] Vậy m∈{ 30 − ; 29 − ;− 28;...;7; } 8 . Câu 21: Cho hàm số 2
f (x) = ax + bx + c, f (x) ≤1, x
∀ ∈[0;1]. Tìm giá trị lớn nhất của f (′0). Lời giải.
f (′x) = 2ax + b ⇒ f (′0) = b .
Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của b với điều kiện f (x) ≤1, x ∀ ∈[0;1].
a + b = f (1) − f (0) f (0) = c 1 1 Ta có. f ( ) 1 a b c
a 2b 4 f 4 f (0) b 4 f = + + ⇔ + = − ⇒ = −
f (1) − 3 f (0). 2 2 1 a b f = + + c c = f (0) 2 4 2 1 − ≤ f (0) ≤1 f x x f ( ) 1 ( ) 1, [0;1] 1 1 1 b 4 f ≤ ∀ ∈ ⇒ − ≤ ≤ ⇒ = +
(− f (1)) + 3(− f (0)) ≤ 4 +1+ 3 = 8. 2 1 1 f − ≤ ≤ 1 2 Page 21
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ 1 f 1 = 2 c = 1, − a = 8 − Đẳng thức xảy ra 2 ⇔ f (1) = 1
− ⇔ a + b + c = 1
− , ⇔ b = 8 ⇒ f (x) = 8
− x + 8x −1.
f (0) 1 a b = − c = 1 c 1 − + + = 4 2
Vậy giá trị lớn nhất của f (′0) bằng 8. Câu 22: Cho hàm số 4 3 2
y = x − 2x + x + a . Có bao nhiêu số thực a để min y + max y =10 ? [ 1; − 2] [ 1; − 2] Lời giải x = 0 Xét 4 3 2
u = x − 2x + x + a trên đoạn[ 1; − 2], ta có : 3 2
u ' = 4x − 6x + 2x ; u ' = 0 ⇔ x = 1 . 1 x = 2 M u u ( ) u ( ) 1 max max 1 , 0 , u = = − , u ( ) 1 = u(− ) 1 = u(2) = a + 4 [ 1 − ; 2] 2 Suy ra: . m = u = u (− ) u ( ) 1 min min 1 , 0 , u , u ( )
1 = u(0) = u( ) 1 = a [ 1 − ; 2] 2
TH1: m ≥ 0 ⇔ a ≥ 0. Khi đó: min y = ;
m max y = M [ 1 − ; 2] [ 1 − ; 2] a ≥ 0 Ta có điều kiện : ⇔ a = 3 .
a + a + 4 = 10
TH2: M ≤ 0 ⇔ a ≤ 4
− . Khi đó : min y = −M; max y = −m . [ 1 − ; 2] [ 1 − ; 2] ≤ −
Ta có điều kiện : a 4 . − ( ⇔ = − a + ) a 7 4 − a =10
TH3: m < 0 < M ⇔ 4 − < a < 0 .
Khi đó: min y = 0; max y = max{ a + 4 , a } = max{a + 4, − } a <10 . [ 1 − ; 2] [ 1 − ; 2]
Suy ra min y + max y < 0 +10 =10 (loại). [ 1 − ; 2] [ 1 − ; 2] Vậy a ∈{3;− } 7 . Page 22
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
DẠNG 4: PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ ĐỂ GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN TÌM ĐIỀU KIỆN
CỦA THAM SỐ m SAO CHO PHƯƠNG TRÌNH f ( x,m) = 0 CÓ NGHIỆM
(CÓ ỨNG DỤNG GTLN, GTNN ) I. Phương pháp:
Bước 1. Tìm điều kiện xác định của phương trình đã cho.
Bước 2. Đặt t = u (x) hoặc x = u (t) . Tìm tập giá trị K của t . Chuyển bài toán về: tìm điều kiện
của m để phương trình g (t) = h(m) có nghiệm thuộc K .
Bước 3. Tìm GTLN, GTNN của g (t) hoặc tập giá trị của g (t) trên K để suy ra điều kiện của m .
Một số cách đặt ẩn phụ thường gặp:
ax + b ± cx + d
1. Xuất hiện biểu thức đối xứng
. PP: Đặt t = ax + b + cx + d .
(ax + b)(cx + d )
2. Xuất hiện a + bx và c − bx (a + c > 0). 2 2
a +bx = a + c sinα π
PP: Vì ( a +bx) +( c −bx) = a + c . Nên đặt , α ∈ 0; .
c −bx = a + c cosα 2 2 tan α 2 sinα = 2 1+ tan α
Và sử dụng hệ thức 2 α
, tiếp tục đặt t = tan , t ∈[0 ] ;1 . 2 1− tan α 2 2 cosα = 2 1+ tan α 2
Ta được một phương trình ẩn t .
Câu 1. Tìm các giá trị thực của tham số m để phương trình sau có nghiệm:
6 − x + 2 2(x − )
1 (4 − x) = m + 4 x −1 + 4 2. 4 − x . Lời giải Đkxđ: 1≤ x ≤ 4 .
Phương trình đã cho tương đương: 6 − x + 2 (x − )
1 (8 − 2x) − 4( x −1 + 8− 2x ) = m (1).
Đặt t = x −1 + 8 − 2x .
Xét hàm số t (x) = x −1 + 8 − 2x liên tục trên đoạn [1;4] , có: t (x) 1 2 −
8 − 2x − 2 x −1 ' = + =
2 x −1 2 8 − 2x
2 x −1. 8 − 2x
Ta có: t '(x) = 0 ⇔ 8 − 2x = 2 x −1 ⇔ x = 2 .
min t (x) = t (4) = 3 Lại có: t ( )
1 = 6 , t (2) = 3, t (4) = 3 x [ ∈ 1;4] ⇒
max t ( x) = t (2) = 3 x [∈1;4] Vì 2 t = x − +
− x ⇒ t = − x + (x − )( − x) 2 1 8 2 7 2
1 8 2 ⇔ t −1 = 6 − x + 2 ( x − ) 1 (8 − 2x) Page 23
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Phương trình (1) trở thành: 2t − 4t −1= m (2).
Xét hàm số f (t) 2
= t − 4t −1 liên tục trên đoạn 3;3
f ' t = 2t − 4 , có: ( ) .
Ta có: f (t) = 0 ⇔ t = 2.
min f (t) = f (2) = 5 − Lại có: x ∈ 3;3
f ( 3) = 2 − 4 3 , f (2) = 5 − , f (3) = 4 − ⇒
max f (t) = f ( 3) = 4 − x ∈ 3;3
(1) có nghiệm x∈[1;4] ⇔ (2) có nghiệm t ∈ 3;3
⇔ min f (t) ≤ m ≤ max f (t) ⇔ 5 − ≤ m ≤ 4 − . t ∈ 3;3 t ∈ 3;3 Vậy 5 − ≤ m ≤ 4
− là các giá trị m cần tìm.
Câu 2. Tìm các giá trị thực của tham số m để phương trình sau có nghiệm:
(2m − )1 x +3 +(m − 2) 1− x + m −1= 0 . Lời giải Đkxđ: 3 − ≤ x ≤1.
Phương trình đã cho tương đương: + + − +
m( x + + − x + ) x 3 2 1 x 1 2 3 1
1 = x + 3 + 2 1− x +1 ⇔ = m (1).
2 x + 3 + 1− x +1 2 2
x +3 = 2sin a π
Ta có: ( x +3) +( 1− x) = 4 . Nên đặt: , a 0; ∈ .
1− x = 2cos a 2 2 tan a 2 sin a = 2 1+ tan a Sử dụng: 2 , và đặt tan a t = , t ∈[0 ] ;1 . 2 1− tan a 2 2 cos a = 2 1+ tan a 2 2 3 − t + 4t + 5
Phương trình (1) trở thành: = m t ∈ 0;1 2 , [ ]. t − + 8t + 3 2 3 − t + 4t + 5
Xét hàm số f (t) = 0;1 2 liên tục trên đoạn [ ]. t − + 8t + 3 2 20
− t −8t − 28 Ta có f '(t) = < 0 t ∀ ∈ 0;1 2 [ ] ( 2t − + 8t + 3)
f (t) = f ( ) 3 min 1 = ⇒
hàm số f (t) nghịch biến trên [0 ] ;1 t [∈0 ] ;1 5 ⇒
f (t) = f ( ) 5 max 0 = t [∈0 ] ;1 3
(1) có nghiệm x∈[ 3 − ]
;1 ⇔ (2) có nghiệm t ∈[0 ] ;1 ⇔
f (t) ≤ m ≤ f (t) 3 5 min max ⇔ ≤ m ≤ . t [ ∈ 0 ] ;1 t [ ∈ 0 ] ;1 5 3 Vậy 3 5
≤ m ≤ là các giá trị m cần tìm. 5 3 Page 24
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
DẠNG 7: PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ ĐỂ GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN TÌM ĐIỀU KIỆN
CỦA THAM SỐ ĐỂ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM HOẶC NGHIỆM ĐÚNG VỚI
MỌI x∈ K (CÓ ỨNG DỤNG GTLN, GTNN) I. Phương pháp
1. Tìm điều kiện của tham số để bất phương trình chứa tham số có nghiệm hoặc nghiệm đúng với mọi x∈[ ; a b]
m > f ( x) x
∀ ∈[a;b] ⇔ m > max f ( x) [a;b]
m ≥ f ( x) x ∀ ∈[ ;
a b] ⇔ m ≥ max f ( x) [a;b]
m < f ( x) x ∀ ∈[ ;
a b] ⇔ m < min f ( x) [a;b]
m ≤ f ( x) x ∀ ∈[ ;
a b] ⇔ m ≤ min f ( x) [a;b]
m > f (x) có nghiệm x∈[ ;
a b] ⇔ m > min f ( x) [a;b]
m ≥ f (x) có nghiệm x∈[ ;
a b] ⇔ m ≥ min f ( x) [a;b]
m < f (x) có nghiệm x∈[ ;
a b] ⇔ m < max f ( x) [a;b]
m ≤ f (x) có nghiệm x∈[ ;
a b] ⇔ m ≤ max f ( x) [a;b]
2. Tìm điều kiện của tham số để bất phương trình chứa tham số có nghiệm hoặc nghiệm đúng
với mọi x ∈(a;b) MẸO NHỚ Nếu hàm chỉ có max min
ở biên và không tồn tại
thì: Loại ∀ luôn có dấu
=, loại có nghiệm luôn bỏ dấu =. Nếu hàm có max min tồn
tại thì đang có dấu gì thì giữ nguyên
m > f (x) x
∀ ∈(a;b)
→ m ≥ f (b)
m > max → m > f (d )
m ≥ f (x) x
∀ ∈(a;b)
→ m ≥ f (b)
m ≥ max → m ≥ f (d )
m < f (x) x
∀ ∈(a;b)
→ m ≤ f (a)
m < min → m < f (c)
m ≤ f (x) x
∀ ∈(a;b)
→ m ≤ f (a)
m ≤ min → m ≤ f (c)
m > f (x) có nghiệm
→ m > f (a)
m > min → m > f (c)
m ≥ f (x) có nghiệm
→ m > f (a)
m ≥ min → m ≥ f (c)
m < f (x) có nghiệm
→ m < f (b)
m < max → m < f (d )
m ≤ f (x) có nghiệm
→ m < f (b)
m ≤ max → m ≤ f (d ) Page 25
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Câu 1. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình x + ( + x)( − x) 2 6 2 8 ≤ x + m −1
nghiệm đúng với mọi x∈[ 2; − 8]. Lời giải
Bất phương trình tương đương với 2
−x + 6x +16 + (2 + x)(8 − x) −15 ≤ m
Đặt t = (2 + x)(8− x) , với x∈[ 2;
− 8] thì t ∈[0;5].
Bất phương trình trở thành 2t + t −15 ≤ m .
Xét hàm số f (t) 2
= t + t −15 trên đoạn [0;5], ta có bảng biến thiên như hình sau
Suy ra bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi x∈[ 2; − 8] khi và chỉ khi
m ≥ max f (t) =15 [0;5]
Câu 2. Cho phương trình 2
4 6 + x − x − 3x ≤ m( x + 2 + 2 3− x) . Tìm m để bất phương trình đã cho có nghiệm thực? Lời giải + Điều kiện: 2 − ≤ x ≤ 3.
+ Đặt t = x + 2 + 2 3− x với x∈[ 2, − ]3 Ta có: 1 1
3− x − 2 x + 2 t ' = − =
; t ' = 0 ⇔ 3− x = 2 x + 2 ⇔ x = 1 − 2 x + 2 3− x 2 x + 2 3− x Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên suy ra: t ∈ 5,5 + Do 2 2
t = x + 2 + 2 3− x ⇔ 4 6 + x − x − 3x = t −14 nên bất phương trình đã cho trở thành: 2 2 −14 −14 t t ≤ mt ⇔ ≤ m t 2
+ Xét hàm số f (t) t −14 = với t ∈ 5,5 t , ta có: 2
f (t) t +14 ' = > 0, t
∀ ∈ 5,5 ⇒ f t 2 ( ) t đồng biến trên 5,5
Bất phương trình đã cho có nghiệm thực ⇔ m ≥
f (t) = f ( ) 9 5 min 5 ⇔ m ≥ − . 5;5 5 Page 26
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Câu 3. Tìm m để bất phương trình 2
x + 9 − x ≥ −x + 9x + m ( ) 1 có nghiệm. Lời giải
Điều kiện: 0 ≤ x ≤ 9 Ta có( ) 2
1 ⇔ x + 9 − x + 2 x(9 − x) ≥ −x + 9x + m 2 2
⇔ 9 + 2 −x + 9x ≥ −x + 9x + m (2) Đặt 2
t = −x + 9x do 0 ≤ x ≤ 9 suy ra 9 0 ≤ t ≤ 2 Nên (2) trở thành 2 2
9 + 2t ≥ t + m ⇔ t
− + 2t + 9 ≥ m (3) Xét hàm số 2 f (t) = t − + 2t + 9 , 9 0 ≤ t ≤ 2 Bảng biến thiên : Suy ra ( )
1 có nghiệm khi và chỉ khi (3) có nghiệm 9 t 0; ∈ , nên 9 − ≤ m ≤10 . 2 4
Câu 4. Cho hàm số f (x) liên tục trên . Hàm số y = f ′(x) có đồ thị như hình vẽ Tìm m − < ∈ π
sao cho bất phương trình f ( x) 2 2sin
2sin x m đúng với mọi x (0; )? Lời giải
Ta có: x∈(0;π ) ⇒ sin x∈(0; ] 1 .
Đặt t = 2sin x(t ∈(0;2]) ta có: f ( x) 2
2sin − 2sin x < m đúng với mọi x∈(0;π ) Page 27
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ ⇔ f (t) 1 2
− t < m đúng với mọi t ∈(0;2]. 2
Xét g (t) = f (t) 1 2
− t với t ∈(0;2]. 2
g′(t) = f ′(t) −t .
Từ đồ thị của hàm số y = f ′(x) và y = x (hình vẽ) ta có BBT của g (t) như sau:
Vậy Max g (t) = g ( ) = f ( ) 1 1 1 − . (0;2] 2
Vậy yêu cầu bài toán ⇔ m > g ( ) ⇔ m > f ( ) 1 1 1 − . 2 Page 28
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
DẠNG 8: BÀI TOÁN THỰC TẾ: I. Phương pháp:
Đưa yêu cầu bài toán về mối quan hệ hàm số, lập bảng biến thiên để tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất
của hàm số với điều kiện ràng buộc cho trước. Chú ý:
Ta cũng có thể sử dụng các bất đẳng thức để tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của biểu thức. Một số
bất đẳng thức thường dùng.
1. Bất đẳng thức AM − GM : • Cho hai số thực +
a,b ≥ 0 ta có: a b ≥ ab hay a + b ≥ 2 ab . 2
Dấu ' = ' xãy ra khi và chỉ khi a = b . • Cho ba số thực + +
a,b,c ≥ 0 ta có: a b c 3 ≥ abc hay 3
a + b + c ≥ 3 abc . 3
Dấu ' = ' xãy ra khi và chỉ khi a = b = c .
2. Bất đẳng thức Bunhiacopxki :
• Cho hai bộ số thực (a;b),(x; y) ta có: + ≤ ( 2 2 + )( 2 2 ax by a b x + y ) .
Dấu ' = ' xãy ra khi và chỉ khi ay = bx .
• Cho hai bộ số thực (a;b;c),(x; y; z) ta có: + + ≤ ( 2 2 2 + + )( 2 2 2 ax by cz a b c
x + y + z ) .
Dấu ' = ' xãy ra khi và chỉ khi a :b : c = x : y : z .
Câu 1. Một chất điểm chuyển động theo quy luật 2 3
S(t) = 3t − t . Tìm thời điểm t (giây) tại đó vận tốc
v(m/s) của chuyển động đạt giá trị lớn nhất? Lời giải Ta có 2
v = S (′t) = 6t − 3t = 3 − (t − )2 1 + 3 ≤ 3 , t
∀ ≥ 0 . Dấu ' = ' xảy ra khi t =1
Vậy vận tốc của chuyển động đạt giá trị lớn nhất bằng3 tại thời điểm t =1 (s) .
Câu 2. Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình S (t) 1 4 2
= − t + 3t − 2t − 4 , trong đó t 4 tính
bằng giây (s) và S tính bằng mét (m). Tại thời điểm nào vận tốc của chuyển động đạt giá trị lớn nhất? Lời giải
Vận tốc của chuyển động được xác định bởiv(t) = S′(t) 3 = t − + 6t − 2 . t = 2 Ta có: v′(t) 2 = 3 − t + 6 = 0 ⇔ . t = − 2
Do t > 0, nên ta có bảng biến thiên Page 29
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Dựa vào bảng biến thiên suy ra vận tốc của chuyển động đạt giá trị lớn nhất tạit = 2 .
Câu 3. Hằng ngày mực nước của hồ thủy điện ở miền Trung lên và xuống theo lượng nước mưa và các
suối nước đổ về hồ. Từ lúc 8 giờ sáng, độ sâu của mực nước trong hồ tính theo mét và lên
xuống theo thời gian t (giờ) trong ngày cho bởi công thức: h(t) 1 3 2
= − t + 5t + 24t (t > 0) 3
Biết rằng phải thông báo cho các hộ dân phải di dời trước khi xả nước theo quy định trước 5
giờ. Hỏi cần thông báo cho hộ dân di dời trước khi xả nước mấy giờ. Biết rằng mực nước
trong hồ phải lên cao nhất mới xả nước. Lời giải Xét : h(t) 1 3 2
= − t + 5t + 24t (t > 0) 3 Ta có: h′(t) 2 = t − +10t + 24 t = h'(t) 12 2 = 0 ⇔ t
− +10t + 24 = 0 ⇔ t = 2 − ∈(0;+∞ ) Bảng biến thiên:
Để mực nước lên cao nhất thì phải mất 12giờ. Vậy phải thông báo cho dân di dời vào 15giờ chiều cùng ngày.
Câu 4. Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được cho bởi công thức F (x) 1 2 =
x (30 − x) , trong đó 40
x là liều lượng thuốc tiêm cho bệnh nhân (x được tính bằng miligam). Tính liều lượng
thuốc cần tiêm cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều nhất. Lời giải
Xét hàm số : F (x) 1 2 = x (30 − x) (0 < x < 30) . 40 ⇒ F′(x) 1 = ( 2 3 − x + 60x) 40 x = 0∈(0;30) F′(x) 1 = 0 ⇔ ( 2 3
− x + 60x) = 0 ⇔ 40 x = 20 Page 30
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ BBT. x 0 20 +∞ F'(x) + 0 - 100 F(x)
Ta có huyết áp giảm nhiều nhất ⇔ F(x) lớn nhất trên (0;+∞). Dựa vào BBT ta thấy
Max F(x) = F(20) =100 nên liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân là x = 20 . (0;+∞)
Câu 5. Để thiết kế một chiếc bể cá hình hộp chữ nhật có chiều cao là 60cm , thể tích 3 96000cm . Người
thợ dùng loại kính để sử dụng làm mặt bên có giá thành 70000 2
VNĐ / m và loại kính để
làm mặt đáy có giá thành 100000 VNĐ 2
/m . Tính chi phí thấp nhất để hoàn thành bể cá . Lời giải
Gọi x, y(m) (x > 0, y > 0) là chiều dài và chiều rộng của đáy bể
Khi đó theo đề ta suy ra: 0,16
0,6xy = 0,096 hay y = . x
Giá thành của bể cá được xác định theo giá trị hàm số sau: f (x) 0,16 0,16 = 2.0,6 x + .70000 + 100000. .x x x Ta có f (x) 0,16 84000 x = + + 16000 x Suy ra f (x) 0,16 = 84000 1 ′ −
⇒ f ′ x = 0 ⇔ x = 0,4 2 ( ) x
Bảng biến thiên của hàm số f (x) trên ( 0;+ ∞) .
Dựa vào bảng biến thiên suy ra chi phí thấp nhất để hoàn thành bể
cá là f (0,4) = 83200 VNĐ
Câu 6. Nhà xe khoán cho hai tài xế An và Bình mỗi người lần lượt nhận 32 lít và 72 lít xăng trong
một tháng. Biết rằng trong một ngày tổng số xăng cả hai người sử dụng là 10 lít. Tổng số
ngày ít nhất để hai tài xế sử dụng hết số xăng được khoán là bao nhiêu. Lời giải
Gọi x (lít) (0 < x <10) là số xăng An sử dụng trong 1 ngày.
Khi đó: 10 − x (lít) là số xăng Bình sử dụng trong 1 ngày. Suy ra f (x) 32 72 = +
, x ∈(0;10) là tổng số ngày An và Bình sử dụng hết số xăng được x 10 − x khoán. Page 31
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Xét hàm số f (x) ta có: 'f (x) 32 72 = − + . 2 x (10− x)2 x = 4 'f (x) = 0 32 72 ⇔ − + = 0 ⇔ 2 x ( 10 − x)2 x = 20 − ∉ (0;10)
Bảng biến thiên của hàm số f (x) 32 72 = + , x ∈(0;10) x 10 − x
Dựa vào BBT ta có sau ít nhất 20 ngày thì An và Bình sử dụng hết lượng xăng được khoán.
Câu 7. Người ta cần xây một bể chứa nước sản xuất dạng khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng 3
200 m . Đáy bể hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Chi phí để xây bể là 300 nghìn đồng 2
/m (chi phí được tính theo diện tích xây dựng, bao gồm diện tích đáy và
diện tích xung quanh không tính chiều dày của đáy và thành bên). Tính chi phí thấp nhất để
xây bể ( làm tròn số tiền đến đơn vị triệu đồng). Lời giải x 2x
Gọi chiều rộng của khối hộp là x (m), x > 0 ⇒ chiều dài của khối hộp là 2x và
chiều cao của khối hộp là 200 100 = (m) . Ta có : 2 2 . x x x
Diện tích xung quanh của bể chứa là 100 100 S x x = + xq 2 . 2 . 2 2 x x
Diện tích mặt đáy của bể là S = 2 .xx 1
Do đó diện tích xây dựng của bể là 100 100 2 600 2
S = S + S = x + x + x x = x + xq 2 . 2 . 2 . 2 (m ) 1 2 2 x x x Chi phí xây dựng bể là 2 600 5
C(x) = 2x + .3.10 đồng. x Tìm GTNN của 2 600
f (x) = 2x + khi x > 0 . x
Vì x > 0 nên áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số không âm ta được Page 32
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ 2 600 2 300 300 3
f (x) = 2x + = 2x + + ≥ 3 2.300.300 . x x x 2 300 2 =
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x 3 x ⇔ x = 150. x > 0 Do đó 3 3
min f (x) = f ( 150) = 3 180000 . (0;+∞)
Chi phí thấp nhất để xây bể là min f (x).300 = 3
3 180000.300 ≈ 50,81595 triệu đồng. (0;+∞)
Vậy chi phí thấp nhất để xây bể xấp xỉ là 51triệu đồng. Page 33
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
NG I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ƯƠ
ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ CH
BÀI 3: GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT VÀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA HÀM SỐ
III BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TRÍCH TỪ ĐỀ THAM KHẢO VÀ ĐỀ CHÍNH THỨC
CỦA BỘ GIÁO DỤC TỪ NĂM 2017 ĐẾN NAY
Câu 1: (MĐ 101-2022) Giá trị lớn nhất của hàm số f (x) 3 2
= x − 3x − 9x +10 trên đoạn [ 2; − 2] bằng A. 12 − . B. 10. C. 15. D. 1 − .
Câu 2: (MĐ 102-2022) Giá trị lớn nhất của hàm số f (x) 3 2
= x − 3x − 9x +10 trên đoạn [ 2; − 2]bằng A. 15. B. 10. C. 1 − . D. 12 − .
Câu 3: (MĐ 101-2022) Cho hàm số f (x) = (m − ) 4 2
1 x − 2mx +1 với m là tham số thực. Nếu
min f (x) = f (2) thì max f (x) bằng [0; ]3 [0; ]3 A. 13 − . B. 4⋅ C. 14 − ⋅ D. 1⋅ 3 3
Câu 4: (MĐ 102-2022) Cho hàm số f (x) 4
= mx + (m − ) 2 2
1 x với m là tham số thực. Nếu
min f (x) = f ( )
1 thì max f (x) bằng [0;2] [0;2] A. 2 . B. 1 − . C. 4 . D. 0 .
Câu 5: (MĐ 103-2022) Cho hàm số f (x) 4 = ax + (a + ) 2 2
4 x −1 với a là tham số thực. Nếu
max f (x) = f (1) thì min f (x) bằng [0;2] [0;2] A. 17 − . B. 16 − . C. 1 − . D. 3.
Câu 6: (MĐ 104-2022) Cho hàm số f (x) = (a + ) 4 2
3 x − 2ax +1 với a là tham số thực. Nếu
max f (x) = f (2) thì min f (x) bằng [0 ] ;3 [0 ] ;3 A. 9 − . B. 4 . C. 1. D. 8 − .
Câu 7: (ĐTK 2020-2021) Gọi M ,m lần lượt là giá trị lớn nhât, giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) 4 2
= x − 2x + 3 trên đoạn [0;2]. Tổng M + m bằng? A. 11. B. 14. C. 5. D. 13. Page 137
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Câu 8: (MĐ 101 2020-2021 – ĐỢT 1) Trên đoạn [0; ] 3 , hàm số 3
y = −x +3x đạt giá trị lớn nhất tại điểm A. x = 0 . B. x = 3. C. x =1. D. x = 2 .
Câu 9: (MĐ 102 2020-2021 – ĐỢT 1) Trên đoạn [ 2; − ] 1 , hàm số 3 2
y = x − 3x −1 đạt giá trị lớn nhất tại điểm. A. x = 2 − . B. x = 0 . C. x = 1 − . D. x =1.
Câu 10: (MĐ 103 2020-2021 – ĐỢT 1) Trên đoạn [0; ] 3 , hàm số 3
y = x − 3x + 4 đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm A. x =1. B. x = 0 . C. x = 3. D. x = 2 .
Câu 11: (MĐ 104 2020-2021 – ĐỢT 1) Trên đoạn [ 1; − 2], hàm số 3 2
y = x + 3x +1 đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm A. x = 2. B. x = 0 . C. x = 1 − . D. x =1.
Câu 12: (MĐ 101 2020-2021 – ĐỢT 2) Trên đoạn [ 4 − ;− ] 1 , hàm số 4 2
y = x −8x +13 đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm A. x = 2 − . B. x = 1 − . C. x = 4 − . D. x = 3 − .
Câu 13: (MĐ 103 2020-2021 – ĐỢT 2) Trên đoạn [1;4] hàm số 4 2
y = x −8x +19 đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm A. x = 2 . B. x =1. C. x = 3. D. x = 4 .
Câu 14: (MĐ 104 2020-2021 – ĐỢT 2) Trên đoạn [1;4],hàm số 4 2
y = −x +8x −13đạt giá trị lớn nhất tại điểm A. x = 4 . B. x = 2 . C. x =1. D. x = 3. 2
Câu 15: (Đề minh họa 1, Năm 2017) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số x + 3 y = trên đoạn [2;4] . x −1 min y = 6 min y = 2 − min y = 3 − 19 min y = A. [2;4] B. [2;4] C. [2;4] . D. [2;4] 3
Câu 16: (Mã 101, Năm 2017) Giá trị lớn nhất của hàm số 4 2
y = x − 4x + 9 trên đoạn [ 2; − ]3 bằng A. 201 B. 2 C. 9 D. 54
Câu 17: (Mã 102, Năm 2017) Giá trị nhỏ nhất của hàm số 3 2
y = x + 2x − 7x trên đoạn [0;4] bằng A. 259 − B. 68 C. 0 D. 4 −
Câu 18: (Mã 102, Năm 2017) Ông A dự định sử dụng hết 2
6,7m kính để làm một bể cá bằng kính có
dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép có kích thước
không đáng kể). Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm). A. 3 1,57m B. 3 1,11m C. 3 1,23m D. 3 2,48m Page 138
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Câu 19: (Mã 103, Năm 2017) Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số 4 2
y = x − x +13 trên đoạn [ 2; − ]3. A. 51 m = B. 49 m = C. m =13 D. 51 m = 4 4 2
Câu 20: (Mã 104, Năm 2017) Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số 2 2 y
= x + trên đoạn 1 ;2 . x 2 A. 17 m = B. m =10 C. m = 5
D. m = 3 4
Câu 21: (Đề tham khảo, Năm 2018) Giá trị lớn nhất của hàm số f (x) 4 2
= x − 4x + 5 trêm đoạn [ 2; − ]3 bằng A. 50 B. 5 C. 1 D. 122
Câu 22: (Mã 101, Năm 2018) Giá trị lớn nhất của hàm số 4 2
y = x − 4x + 9 trên đoạn [ 2; − ]3 bằng A. 201 B. 2 C. 9 D. 54
Câu 23: (Mã 102, Năm 2018) Giá trị nhỏ nhất của hàm số 3 2
y = x + 2x − 7x trên đoạn [0;4] bằng A. 259 − B. 68 C. 0 D. 4 −
Câu 24: (Mã 102, Năm 2018) Ông A dự định sử dụng hết 2
6,7m kính để làm một bể cá bằng kính có
dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép có kích thước
không đáng kể). Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm). A. 3 1,57m B. 3 1,11m C. 3 1,23m D. 3 2,48m
Câu 25: (Mã 103, Năm 2018) Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số 4 2
y = x − x +13 trên đoạn [ 2; − ]3. A. 51 m = B. 49 m = C. m =13 D. 51 m = 4 4 2
Câu 26: (Mã 104, Năm 2018) Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số 2 2 y
= x + trên đoạn 1 ;2 . x 2 A. 17 m = B. m =10 C. m = 5
D. m = 3 4
Câu 27: (Đề minh họa, Năm 2019) Cho hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [ 1; − ] 3 và có đồ thị như
hình bên. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn [ 1; − ]
3 . Giá trị của M − m bằng y3 2 1 x 2 1 − O 3 2 − A. 0 B. 1 C. 4 D. 5 Page 139
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Câu 28: (Mã 101, Năm 2019) Giá trị lớn nhất của hàm số 3
f (x) = x − 3x + 2 trên đoạn [ − 3;3] bằng A. 16 − B. 20 C. 0 D. 4
Câu 29: (Mã 102, Năm 2019) Giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) 3
= x − 3x + 2 trên [ − 3;3] bằng A. 20 B. 4 C. 0 D. –16
Câu 30: (Mã 103, Năm 2019) Giá trị lớn nhất của hàm số f (x) 3
= x − 3x trên đoạn [ 3 − ; ] 3 bằng A. 18 B. 2 C. 18 − D. 2 −
Câu 31: (Mã 104, Năm 2019) Giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) 3
= x − 3x trên đoạn [ 3 − ; ] 3 bằng A. 18 B. 18 − C. 2 − D. 2
Câu 32: (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Giá trị lớn nhất của hàm số 4 2
f (x) = −x +12x +1 trên đoạn [ 1; − 2] bằng: A. 1. B. 37 . C. 33. D. 12.
Câu 33: (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) 4 2
= x −10x + 2 trên đoạn [ 1; − 2] bằng A. 2 . B. 23 − . C. 22 − . D. 7 − .
Câu 34: (Mã 101 - 2020 Lần 1) Giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) 3
= x − 24x trên đoạn [2;19] bằng A. 32 2 . B. 40 − . C. 32 − 2 . D. 45 − .
Câu 35: (Mã 102 - 2020 Lần 1) Giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) 3
= x − 21x trên đoạn [2;19] bằng A. 36 − . B. 14 − 7 . C. 14 7 . D. 34 − .
Câu 36: (Mã 103 - 2020 Lần 1) Giá trị nhỏ nhất của hàm số 3
f (x) = x − 30x trên đoạn [2;19] bằng A. 20 10. B. 63. − C. 20 − 10. D. 52. −
Câu 37: (Mã 104 - 2020 Lần 1) Giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) 3
= x − 33x trên đoạn [2;19] bằng A. 72 − . B. 22 − 11 . C. 58 − . D. 22 11 .
Câu 38: (Mã 101 – 2020 Lần 2) Giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) 4 2
= x −10x − 4 trên [0;9] bằng A. 28 − . B. 4 − . C. 13 − . D. 29 − .
Câu 39: (Mã 102 - 2020 Lần 2) Giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) 4 2
= x −12x − 4 trên đoạn [0;9] bằng A. 39 − . B. 40 − . C. 36 − . D. 4 − .
Câu 40: (Mã 103 - 2020 Lần 2) Giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) 4 2
= x −10x − 2 trên đoạn [0;9] bằng A. 2 − . B. 11 − . C. 26 − . D. 27 − .
Câu 41: (Mã 104 - 2020 Lần 2) Giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) 4 2
= x −12x −1 trên đoạn [0;9] bằng A. 28 − . B. 1 − . C. 36 − . D. 37 − . Page 140
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Câu 42: (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá
trị lớn nhất của hàm số f (x) 3
= x − 3x + m trên đoạn[0; ]
3 bằng 16. Tổng tất cả các phần tử của S là: A. 16 − . B. 16. C. 12 − . D. 2 − .
Câu 43: (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Cho hàm số ( ) x + m f x =
( m là tham số thực). Gọi S là tập x +1
hợp tất cả các giá trị của m sao cho max f (x) + min f (x) = 2 . Số phần tử của S là [0 ];1 [0 ] ;1 A. 6 . B. 2 . C. 1. D. 4 . Page 141
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
NG I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ƯƠ
ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ CH
BÀI 3: GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT VÀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA HÀM SỐ
III BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TRÍCH TỪ ĐỀ THAM KHẢO VÀ ĐỀ CHÍNH THỨC
CỦA BỘ GIÁO DỤC TỪ NĂM 2017 ĐẾN NAY
Câu 1: (MĐ 101-2022) Giá trị lớn nhất của hàm số f (x) 3 2
= x − 3x − 9x +10 trên đoạn [ 2; − 2] bằng A. 12 − . B. 10. C. 15. D. 1 − . Lời giải Chọn C
Hàm số liên tục trên đoạn [ 2; − 2]. x = 1 − ∈[ 2; − 2] Ta có: f ′(x) 2
= 3x − 6x − 9 ⇒ f ′(x) = 0 ⇔ . x = 3∉ [ 2; − 2] Mà: f (− ) 1 =15; f ( 2 − ) = 8; f (2) = 1
− 2 ⇒ max f (x) = f (− ) 1 =15. [ 2; − 2]
Câu 2: (MĐ 102-2022) Giá trị lớn nhất của hàm số f (x) 3 2
= x − 3x − 9x +10 trên đoạn [ 2; − 2]bằng A. 15. B. 10. C. 1 − . D. 12 − . Lời giải Chọn D f (x) 3 2
= x − x − x + ⇒ f ′(x) 2 3 9 10
= 3x − 6x − 9 x = f ′(x) 3 = 0 ⇔ do x∈[ 2; − 2] ⇒ x = 1 − . x = 1 − f ( 2 − ) = 8, f (− ) 1 =15, f (2) = 1 − 2 .
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số f (x) 3 2
= x − 3x − 9x +10 trên đoạn [ 2; − 2]bằng 15. Chọn. A.
Câu 3: (MĐ 101-2022) Cho hàm số f (x) = (m − ) 4 2
1 x − 2mx +1 với m là tham số thực. Nếu
min f (x) = f (2) thì max f (x) bằng [0; ]3 [0; ]3 Page 1
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ A. 13 − . B. 4⋅ C. 14 − ⋅ D. 1⋅ 3 3 Lời giải Chọn B
Có: f ′(x) = (m − ) 3 4 1 x − 4mx .
Nếu min f (x) = f (2) thì điều kiện cần là f ′(2) = 0 (Do f (x) là hàm đa thức) [0; ]3 Suy ra f ′( ) 4 2 = 0 ⇔ m = . 3
Điều kiện đủ: Với 4
m = , ta có f (x) 1 4 8 2
= x − x +1; f ′(x) 4 3 16 = x − x 3 3 3 3 3 x = 0 Nên f (x) 0 ′ = ⇔ x = 2 x = 2 − ∉ (0;3)
Ta có f ( ) = f ( ) = f ( ) 13
0 1; 3 4; 2 = − . Vậy min f (x) = f (2) ; max f (x) = 4 3 [0; ]3 [0; ]3
Câu 4: (MĐ 102-2022) Cho hàm số f (x) 4
= mx + (m − ) 2 2
1 x với m là tham số thực. Nếu
min f (x) = f ( )
1 thì max f (x) bằng [0;2] [0;2] A. 2 . B. 1 − . C. 4 . D. 0 . Lời giải Chọn C
Vì min f (x) = f ( ) 1 nên suy ra f ′( ) 1 = 0 [0;2] Ta có f ′(x) 3
= mx + (m − ) x ⇒ f ′( ) 1 4 4 1 1 = 0 ⇔ m = 2 Với 1
m = thì f (x) 1 4 2 = x − x 2 2 x = 0 Ta có f ′(x) 3 = 2x − 2 ;
x f ′(x) = 0 ⇔ x = 1 ± f ( ) = f ( ) 1 0
0; 1 = − ; f (2) = 4 . 2
Vậy max f (x) = 4 . [0;2]
Câu 5: (MĐ 103-2022) Cho hàm số f (x) 4 = ax + (a + ) 2 2
4 x −1 với a là tham số thực. Nếu
max f (x) = f (1) thì min f (x) bằng [0;2] [0;2] A. 17 − . B. 16 − . C. 1 − . D. 3. Lời giải Page 2
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Chọn A
Ta có f ′(x) 3
= 4ax + 4(a + 4) .
Theo giả thiết max f (x) = f (1) suy ra f ′( ) 1 = 0 . [0;2]
⇒ 4a + 4(a + 4) = 0 ⇔ a = 2 − . x =1 Khi đó f (x) 4 2 = 2
− x + 4x −1⇒ f (x) 3 = 8 − x + 8x = 0 ′ ⇔ x = 1 − ∉[0;2] . x = 0 Ta có f (0) = 1, − f ( ) 1 =1, f (2) = 1 − 7 .
Vậy, min f (x) = 1 − 7 . [0;2]
Câu 6: (MĐ 104-2022) Cho hàm số f (x) = (a + ) 4 2
3 x − 2ax +1 với a là tham số thực. Nếu
max f (x) = f (2) thì min f (x) bằng [0 ] ;3 [0 ] ;3 A. 9 − . B. 4 . C. 1. D. 8 − . Lời giải Chọn D
Ta có: f ′(x) = x (a + ) 2 4
3 x − a, x ∀ ∈ .
Do max f (x) = f (2) nên f ′(2) = 0 ⇒ 3a +12 = 0 ⇔ a = 4 − . [0 ] ;3 Kiểm tra lại: a = 4 − thì f (x) 4 2
= −x + 8x +1 liên tục trên [0; ] 3 . x = 0∈[0; ] 3 Ta có: f ′(x) 3 = 4
− x +16x và f ′(x) = 0 ⇔ x = 2∈[0; ] 3 . x = 2 − ∉ [0; ]3
Ta có: f (2) =17 , f (0) =1 và f (3) = 8 − .
Suy ra: max f (x) = f (2) =17 và min f (x) = f (3) = 8 − . [0 ] ;3 [0 ] ;3
***********************
Câu 7: (ĐTK 2020-2021) Gọi M ,m lần lượt là giá trị lớn nhât, giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) 4 2
= x − 2x + 3 trên đoạn [0;2]. Tổng M + m bằng? A. 11. B. 14. C. 5. D. 13. Lời giải Ta có 3
f (x) 4x 4x và f (x) 0 x 0, x 1
. Trên [0;2], ta xét các giá trị f (0) 3, ( f 1) 2, ( f 2) 11.
Do đó M 11,m 2 và M m 13. Page 3
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Câu 8: (MĐ 101 2020-2021 – ĐỢT 1) Trên đoạn [0; ] 3 , hàm số 3
y = −x +3x đạt giá trị lớn nhất tại điểm A. x = 0 . B. x = 3. C. x =1. D. x = 2 . Lời giải Hàm số 3
y = −x +3x xác định và liên tục trên đoạn [0; ]3. 2 y′ x =1∈[0; ] = 3 − x + 3 3 ; 2 y′ = 0 ⇔ 3 − x + 3 = 0 ⇔ . x = 1 − ∉ [0; ]3
Ta có: f (0) = 0; f (3) = 18 − ; f ( ) 1 = 2 .
Vậy max f (x) = 2 đạt tại x =1. [0; ] 3
Câu 9: (MĐ 102 2020-2021 – ĐỢT 1) Trên đoạn [ 2; − ] 1 , hàm số 3 2
y = x − 3x −1 đạt giá trị lớn nhất tại điểm. A. x = 2 − . B. x = 0 . C. x = 1 − . D. x =1. Lời giải 2
y′ = 3x − 6x x = 0 2
y′ = 0 ⇔ 3x − 6x = 0 ⇔ x = 2 Với x = 2 − ⇔ y( 2 − ) = 21 −
Với x = 0 ⇔ y(0) = 1 −
Với x =1 ⇔ y( 2 − ) = 3 − Vậy hàm số 3 2
y = x − 3x −1 đạt giá trị lớn nhất tại điểm x = 0 với y (0) = 1 − .
Câu 10: (MĐ 103 2020-2021 – ĐỢT 1) Trên đoạn [0; ] 3 , hàm số 3
y = x − 3x + 4 đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm A. x =1. B. x = 0 . C. x = 3. D. x = 2 . Lời giải x =1 (n) 2
y′ = 3x − 3 , x ∀ ∈(0;3); 2
y′ = 0 ⇔ 3x − 3 = 0 ⇔ x = 1 − (l)
Ta có: y(0) = 4; y( ) 1 = 2; y(3) = 22
Mà hàm số liên tục trên [0; ]
3 (hàm số liên tục trên ). Suy ra min y = y( ) 1 = 2 x [ ∈ 0; ] 3
Vậy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x =1. Page 4
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Câu 11: (MĐ 104 2020-2021 – ĐỢT 1) Trên đoạn [ 1; − 2], hàm số 3 2
y = x + 3x +1 đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm A. x = 2. B. x = 0 . C. x = 1 − . D. x =1. Lời giải
Xét hàm số y = f (x) 3 2 = x + 3x +1.
⇒ y′ = f ′(x) 2 = 3x + 6x . x = 0∈[ 1; − 2] + f ′(x) 2
= 0 ⇔ 3x + 6x = 0 ⇔ . x = 2 − ∉ [ 1; − 2] Ta có f (− )
1 = 3 , f (0) =1 và f (2) = 21.
Nên min f (x) =1 khi x = 0 . x [ ∈ 1 − ;2]
Câu 12: (MĐ 101 2020-2021 – ĐỢT 2) Trên đoạn [ 4 − ;− ] 1 , hàm số 4 2
y = x −8x +13 đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm A. x = 2 − . B. x = 1 − . C. x = 4 − . D. x = 3 − . Lời giải Hàm số 4 2
y = x −8x +13 xác định và liên tục trên đoạn [ 4 − ;− ] 1 . Ta có 3
y′ = 4x −16x ; x = 2 − (∈[ 4 − ;− ] 1 ) 3
y′ = 0 ⇔ 4x −16x = 0 ⇔ x = 0 (∉[ 4 − ;− ] 1 ) . x = 2 (∉[ 4 − ;− ] 1 ) Ta có f ( 4 − ) =141; f ( 2 − ) = 3 − ; f (− ) 1 = 6 . Vậy hàm số 4 2
y = x −8x +13 đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm x = 2 − .
Câu 13: (MĐ 103 2020-2021 – ĐỢT 2) Trên đoạn [1;4] hàm số 4 2
y = x −8x +19 đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm A. x = 2 . B. x =1. C. x = 3. D. x = 4 . Lời giải x = 0∉(1;4) Ta có: 3
y′ = x − x = x( 2 4 16
4 x − 4) . Do đó: y′ = 0 ⇔ 4x( 2
x − 4) = 0 ⇔ x = 2 − ∉(1;4) . x = 2∈ (1;4) Đặt f (x) 4 2
= x −8x +19 ta có: f ( )
1 =12; f (2) = 3; f (4) =147 . Suy ra trên đoạn [1;4] hàm số 4 2
y = x −8x +19 đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm x = 2 . Page 5
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Câu 14: (MĐ 104 2020-2021 – ĐỢT 2) Trên đoạn [1;4],hàm số 4 2
y = −x +8x −13đạt giá trị lớn nhất tại điểm A. x = 4 . B. x = 2 . C. x =1. D. x = 3. Lời giải Ta có 3 y' = 4 − x +16x , x = 0∉[1;4]
y ' = 0 ⇔ x = 2∈[1;4] x = 2 − ∉ [1;4] y ( ) 1 = 6
− , y (2) = 3, y(4) = 141 − .
⇒ max y = 3 ⇔ x = 2 . [1;4] 2
Câu 15: (Đề minh họa 1, Năm 2017) +
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số x 3 y = trên đoạn [2;4] . x −1 min y = 6 min y = 2 − min y = 3 − 19 min y = A. [2;4] B. [2;4] C. [2;4] . D. [2;4] 3 Lời giải Chọn A
Tập xác định D = \{ }
1 . Hàm số đã cho liên tục trên [2;4] . 2 Ta có x − 2x − 3 y ' = . (x − )2 1 x = 1 − ∉ 2;4 2 [ ]
y ' = 0 ⇔ x − 2x − 3 = 0 ⇔ . x = 3
Ta có y(2) = 7 , y(3) = 6, y( ) 19 4 =
. Vậy min y = 6 . 3 [2;4]
Câu 16: (Mã 101, Năm 2017) Giá trị lớn nhất của hàm số 4 2
y = x − 4x + 9 trên đoạn [ 2; − ]3 bằng A. 201 B. 2 C. 9 D. 54 Lời giải Chọn D
Hàm số đã cho liên tục trên [ 2; − ]3. x = 0 Ta có 3
y′ = 4x −8x ; y′ = 0 ⇔ . x = ± 2 Ta có y( 2
− ) = 9 ; y(3) = 54; y(0) = 9 ; y(± 2) = 5. Vậy max y = 54 . [ 2; − ] 3 Page 6
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Câu 17: (Mã 102, Năm 2017) Giá trị nhỏ nhất của hàm số 3 2
y = x + 2x − 7x trên đoạn [0;4] bằng A. 259 − B. 68 C. 0 D. 4 − Lời giải Chọn D
TXĐ D = . Hàm số liên tục trên đoạn [0;4] . x =1∈[0;4] Ta có 2
y′ = 3x + 4x − 7 . Ta có y′ = 0 ⇔ 7 x = − ∉[0;4] 3 y(0) = 0; y( ) 1 = 4;
− y(4) = 68 . Vậy min y = 4 − . [0;4]
Câu 18: (Mã 102, Năm 2017) Ông A dự định sử dụng hết 2
6,7m kính để làm một bể cá bằng kính có
dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép có kích thước
không đáng kể). Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm). A. 3 1,57m B. 3 1,11m C. 3 1,23m D. 3 2,48m Lời giải Chọn A
Gọi x là chiều rộng, ta có chiều dài là 2x 2
Do diện tích đáy và các mặt bên là 2
6,7m nên có chiều cao 6,7 − 2x h = , 6x Ta có h > 0 nên 6,7 x < . 2 3 2
Thể tích bể cá là ( ) 6,7x 2x V x − = và ( ) 6,7 6x V x − ′ = = 0 6,7 ⇔ x = 3 3 6 Bảng biến thiên
Bể cá có dung tích lớn nhất bằng 3 1,57m .
Câu 19: (Mã 103, Năm 2017) Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số 4 2
y = x − x +13 trên đoạn [ 2; − ]3. A. 51 m = B. 49 m = C. m =13 D. 51 m = 4 4 2 Lời giải Page 7
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Chọn A
Hàm số đã cho liên tục trên [ 2; − ]3. Ta có: 3
y′ = 4x − 2 .x x = 0 y 0 ′ = ⇔ 1 = − = = ; y(0) 13, 1 51 y ± =
, y( 2) 25 , y(3) 85 . x = ± 2 4 2 Vậy: 51 m = . 4
Câu 20: (Mã 104, Năm 2017) Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số 2 2 y
= x + trên đoạn 1 ;2 . x 2 A. 17 m = B. m =10 C. m = 5
D. m = 3 4 Lời giải Chọn D Đặt = ( ) 2 2
y f x = x + . Hàm số đã cho liên tục trên 1 ;2 . x 2 3 Ta có 2 2 − 2 ′ = 2 x y x − = , 1 y 0 x 1 ;2 ′ = ⇒ = ∈ 2 2 x x 2 Khi đó: f ( ) 1 = 3, 1 17 f = , f (2) = 5 2 4
Vậy m = min f (x) = f ( ) 1 = 3. 1;2 2
Câu 21: (Đề tham khảo, Năm 2018) Giá trị lớn nhất của hàm số f (x) 4 2
= x − 4x + 5 trêm đoạn [ 2; − ]3 bằng A. 50 B. 5 C. 1 D. 122 Lời giải Chọn A
Hàm số đã cho liên tục trên [ 2; − ]3. x = 0 3
f '(x) = 4x −8x = 0 ⇔ ∈[ 2 − ; ] 3 ; x = ± 2
f (0) = 5; f (± 2) =1; f ( 2
− ) = 5; f (3) = 50 Vậy Max y = 50 [ 2 − ; ] 3
Câu 22: (Mã 101, Năm 2018) Giá trị lớn nhất của hàm số 4 2
y = x − 4x + 9 trên đoạn [ 2; − ]3 bằng A. 201 B. 2 C. 9 D. 54 Page 8
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Lời giải Chọn D
Hàm số đã cho liên tục trên [ 2; − ]3. x = 0 Ta có 3
y′ = 4x −8x ; y′ = 0 ⇔ . x = ± 2 Ta có y( 2
− ) = 9 ; y(3) = 54; y(0) = 9 ; y(± 2) = 5.
Vậy max y = y(3) = 54 [ 2; − ] 3
Câu 23: (Mã 102, Năm 2018) Giá trị nhỏ nhất của hàm số 3 2
y = x + 2x − 7x trên đoạn [0;4] bằng A. 259 − B. 68 C. 0 D. 4 − Lời giải Chọn D
TXĐ D = . Hàm số liên tục trên đoạn [0;4] . x =1∈[0;4] Ta có 2
y′ = 3x + 4x − 7 . Ta có y′ = 0 ⇔ 7 x = − ∉[0;4] 3 y(0) = 0; y( ) 1 = 4;
− y(4) = 68 . Vậy min y = 4 − . [0;4]
Câu 24: (Mã 102, Năm 2018) Ông A dự định sử dụng hết 2
6,7m kính để làm một bể cá bằng kính có
dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép có kích thước
không đáng kể). Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm). A. 3 1,57m B. 3 1,11m C. 3 1,23m D. 3 2,48m Lời giải Chọn A
Gọi x là chiều rộng, ta có chiều dài là 2x 2 −
Do diện tích đáy và các mặt bên là 2
6,7m nên có chiều cao 6,7 2x h = , 6x Ta có h > 0 nên 6,7 x < . 2 3 2
Thể tích bể cá là ( ) 6,7x 2x V x − = và ( ) 6,7 6x V x − ′ = = 0 6,7 ⇔ x = 3 3 6 Bảng biến thiên Page 9
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Bể cá có dung tích lớn nhất bằng 3 1,57m .
Câu 25: (Mã 103, Năm 2018) Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số 4 2
y = x − x +13 trên đoạn [ 2; − ]3. A. 51 m = B. 49 m = C. m =13 D. 51 m = 4 4 2 Lời giải Chọn A
Hàm số đã cho liên tục trên [ 2; − ]3. Ta có: 3
y′ = 4x − 2 .x x = 0 y 0 ′ = ⇔ 1 = − = = ; y(0) 13, 1 51 y ± =
, y( 2) 25 , y(3) 85 . x = ± 2 4 2 Vậy: 51 m = . 4
Câu 26: (Mã 104, Năm 2018) Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số 2 2 y
= x + trên đoạn 1 ;2 . x 2 A. 17 m = B. m =10 C. m = 5
D. m = 3 4 Lời giải Chọn D Đặt = ( ) 2 2
y f x = x + . Hàm số đã cho liên tục trên 1 ;2 . x 2 3 Ta có 2 2 − 2 ′ = 2 x y x − = , 1 y 0 x 1 ;2 ′ = ⇒ = ∈ 2 2 x x 2 Khi đó: f ( ) 1 = 3, 1 17 f = , f (2) = 5 2 4
Vậy m = min f (x) = f ( ) 1 = 3. 1;2 2
Câu 27: (Đề minh họa, Năm 2019) Cho hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [ 1; − ] 3 và có đồ thị như
hình bên. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn [ 1; − ]
3 . Giá trị của M − m bằng Page 10
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ y3 2 1 x 2 1 − O 3 2 − A. 0 B. 1 C. 4 D. 5 Lời giải Chọn D
Từ đồ thị hàm số y = f (x) trên đoạn [ 1; − ] 3 ta có:
M = max y = f (3) = 3 và m = min y = f (2) = 2 − [ 1 − ; ] 3 [ 1 − ; ] 3
Khi đó M − m = 5 .
Câu 28: (Mã 101, Năm 2019) Giá trị lớn nhất của hàm số 3
f (x) = x − 3x + 2 trên đoạn [ − 3;3] bằng A. 16 − B. 20 C. 0 D. 4 Lời giải Chọn B
Hàm số đã cho liên tục trên [ 3 − ; ] 3 . Ta có: f (x) 3
= x − x + ⇒ f ′(x) 2 3 2 = 3x − 3 x =1 Có: f ′(x) 2
= 0 ⇔ 3x − 3 = 0 ⇔ x = 1 − Mặt khác: f ( 3 − ) = 1 − 6, f (− ) 1 = 4, f ( ) 1 = 0, f (3) = 20.
Vậy max f (x) = 20 . [ 3 − ; ] 3
Câu 29: (Mã 102, Năm 2019) Giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) 3
= x − 3x + 2 trên [ − 3;3] bằng A. 20 B. 4 C. 0 D. –16 Lời giải Chọn D
Hàm số đã cho liên tục trên [ 3 − ; ] 3 . f ′(x) 2 ⇒ f ′(x) Ta có: = 3x − 3 = 0 ⇔ x = 1 ± . f ( 3 − ) = 1 − 6; f (− ) 1 = 4; f ( ) 1 = 0; f (3) Ta có: = 20.
Do hàm số f (x) liên tục trên [ − 3;3] nên giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng –16.
Câu 30: (Mã 103, Năm 2019) Giá trị lớn nhất của hàm số f (x) 3
= x − 3x trên đoạn [ 3 − ; ] 3 bằng A. 18 B. 2 C. 18 − D. 2 − Lời giải Chọn A Page 11
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Hàm số đã cho liên tục trên [ 3 − ; ] 3 .
Tập xác định trên D = . Hàm số f (x) 3
= x − 3x liên tục trên đoạn [ 3 − ; ] 3 . Có f (x) 2 ' = 3x − 3 . x = Cho f (x) 1 ' = 0 ⇔ . Ta có f ( 3 − ) = 18 − , f (− ) 1 = 2, f ( ) 1 = 2 − và f (3) =18 . x = 1 −
Vậy max y =18 = f (3) [ 3 − ; ] 3
Câu 31: (Mã 104, Năm 2019) Giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) 3
= x − 3x trên đoạn [ 3 − ; ] 3 bằng A. 18 B. 18 − C. 2 − D. 2 Lời giải Chọn B
Hàm số đã cho liên tục trên [ 3 − ; ] 3 . Ta có: f ′(x) 2 = 3x − 3 x = 1 − ∈ 3 − ;3 Có: f ′(x) [ ] = 0 ⇔ x =1∈ [ 3 − ; ] 3 Mặt khác: f ( 3 − ) = 1
− 8; f (3) =18; f (− ) 1 = 2; f ( ) 1 = 2 − .
Vậy min f (x) = f ( 3 − ) = 1 − 8. [ 3 − ; ] 3
Câu 32: (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Giá trị lớn nhất của hàm số 4 2
f (x) = −x +12x +1 trên đoạn [ 1; − 2] bằng: A. 1. B. 37 . C. 33. D. 12. Lời giải Chọn C x = 0 4 2
f (x) = −x +12x +1 liên tục trên [ 1; − 2] và 3 2 f '(x) = 4
− x + 24x = 0 ⇔ x = 6 (L) x = − 6 (L) Ta có: f ( 1
− ) =12; f (2) = 33; f (0) =1
Vậy, giá trị lớn nhất của hàm số 4 2
f (x) = −x +12x +1 trên đoạn [ 1;
− 2]bằng 33 tại x = 2
Câu 33: (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) 4 2
= x −10x + 2 trên đoạn [ 1; − 2] bằng A. 2 . B. 23 − . C. 22 − . D. 7 − . Lời giải Chọn C
Hàm số đã cho liên tục trên đoạn [ 1; − 2]. Page 12
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ x = 0 Ta có: f ′(x) 3
= 4x − 20x, f ′(x) = 0 ⇔ . x = ± 5
Xét hàm số trên đoạn [ 1; − 2] có: f (− ) 1 = 7
− ; f (0) = 2; f (2) = 2 − 2.
Vậy min f (x) = 2 − 2 . x [ ∈ 1 − ;2]
Câu 34: (Mã 101 - 2020 Lần 1) Giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) 3
= x − 24x trên đoạn [2;19] bằng A. 32 2 . B. 40 − . C. 32 − 2 . D. 45 − . Lời giải Chọn C x = 2 2 ∈[2;19] Ta có f ′(x) 2 = 3x − 24 = 0 ⇔ . x = 2 − 2 ∉ [2;19] f ( ) 3 2 = 2 − 24.2 = 40 − ; f ( )=( )3 2 2 2 2 − 24.2 2 = 32 − 2 ; f ( ) 3
19 =19 − 24.19 = 6403 .
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) 3
= x − 24x trên đoạn [2;19] bằng 32 − 2 .
Câu 35: (Mã 102 - 2020 Lần 1) Giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) 3
= x − 21x trên đoạn [2;19] bằng A. 36 − . B. 14 − 7 . C. 14 7 . D. 34 − . Lời giải Chọn B x = − 7 ∉ 2;19 2 [ ]
Trên đoạn [2;19], ta có: y′ = 3x − 21⇒ y′ = 0 ⇔ . x = 7 ∈ [2;19] Ta có: y(2) = 34 − ; y ( 7) = 14 −
7; y(19) = 6460 . Vậy m = 14 − 7 .
Câu 36: (Mã 103 - 2020 Lần 1) Giá trị nhỏ nhất của hàm số 3
f (x) = x − 30x trên đoạn [2;19] bằng A. 20 10. B. 63. − C. 20 − 10. D. 52. − Lời giải Chọn C x = 10 (n) Ta có f ′(x) 2
= 3x − 30 ⇒ f ′(x) 2
= 0 ⇔ 3x − 30 = 0 ⇔ . x = − 10 (l) Khi đó f (2) = 52 − ; f ( 10) = 20 − 10 và f (19) = 6289.
Vậy min f (x) = f = − . ∈ ( 10) 20 10 x [2;19]
Câu 37: (Mã 104 - 2020 Lần 1) Giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) 3
= x − 33x trên đoạn [2;19] bằng A. 72 − . B. 22 − 11 . C. 58 − . D. 22 11 . Lời giải Page 13
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Chọn B x = 11∈[2;19] Ta có f ′(x) 2 = 3x − 33 = 0 ⇔ . x = − 11∉ [2;19]
Khi đó ta có f (2) = 58 − , f ( 11) = 22 −
11 , f (19) = 6232. Vậy f = f 11 = 22 − 11 . min ( )
Câu 38: (Mã 101 – 2020 Lần 2) Giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) 4 2
= x −10x − 4 trên [0;9] bằng A. 28 − . B. 4 − . C. 13 − . D. 29 − . Lời giải Chọn D
Hàm số y = f (x) liên tục trên [0;9]. x = 0 Có f ′(x) 3
= 4x − 20x , f ′(x) = 0 ⇔ x = 5 x = − 5∉ [0;9] Ta có f (0) = 4 − , f ( 5) = 29 − , f (9) = 5747
Do đó min f (x) = f 5 = 2 − 9 . 0;9 ( ) [ ]
Câu 39: (Mã 102 - 2020 Lần 2) Giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) 4 2
= x −12x − 4 trên đoạn [0;9] bằng A. 39 − . B. 40 − . C. 36 − . D. 4 − . Lời giải Chọn B x = Ta có: f ′(x) 3
= 4x − 24x ; f ′(x) 0 = 0 ⇔ x = ± 6
Tính được: f (0) = 4
− ; f (9) = 5585 và f ( 6) = 40 − .
Suy ra min f (x) = 4 − 0 . [0;9]
Câu 40: (Mã 103 - 2020 Lần 2) Giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) 4 2
= x −10x − 2 trên đoạn [0;9] bằng A. 2 − . B. 11 − . C. 26 − . D. 27 − . Lời giải Chọn D Ta có f (x) 3 ' = 4x − 20x x = 0∉(0;9) f '(x) = 0 3
⇔ 4x − 20x = 0 ⇔ x = 5 ∈(0;9) x = − 5 ∉ (0;9) Page 14
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ f (0) = 2 − ; f ( 5) = 27 − ; f (9) = 5749 .
Vậy min f (x) = 2 − 7 . [0;9]
Câu 41: (Mã 104 - 2020 Lần 2) Giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) 4 2
= x −12x −1 trên đoạn [0;9] bằng A. 28 − . B. 1 − . C. 36 − . D. 37 − . Lời giải Chọn D
Ta có f ′(x) 3 = 4x − 24x . x = 0∈[0;9] f ′(x) 3
= 0 ⇔ 4x − 24x = 0 ⇔ x = 6 ∈[0;9] . x = − 6 ∉ [0;9] f (0) = 1 − , f ( 6) = 37 − , f (9) = 5588
Câu 42: (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá
trị lớn nhất của hàm số f (x) 3
= x − 3x + m trên đoạn[0; ]
3 bằng 16. Tổng tất cả các phần tử của S là: A. 16 − . B. 16. C. 12 − . D. 2 − . Lời giải Chọn A Xét 3
u x 3x m trên đoạn 0; 3 có 2
u 0 3x 3 0 x 10; 3 . max u max
u0,u 1 ,u
3 maxm,m2,m1 8 m 18 Khi đó 0; 3 .
min u minu0,u 1,u
3 minm,m2,m1 8 m2 0; 3 m18 16
m18 m2 m 2
Suy ra M ax f x max m2 , m1816 . 0; 3 m2 16 m 14
m2 m18
Do đó tổng tất cả các phần tử của S bằng 16.
Câu 43: (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Cho hàm số ( ) x + m f x =
( m là tham số thực). Gọi S là tập x +1
hợp tất cả các giá trị của m sao cho max f (x) + min f (x) = 2 . Số phần tử của S là [0 ];1 [0 ] ;1 A. 6 . B. 2 . C. 1. D. 4 . Lời giải Chọn B
Do hàm số ( ) x + m f x = liên tục trên [0; ] 1 x +1 . Page 15
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Khi m =1 hàm số là hàm hằng nên max f (x) = min f (x) =1 [0 ] ;1 [0 ] ;1
Khi m ≠ 1 hàm số đơn điệu trên đoạn [0; ] 1 nên
+ Khi f (0); f ( ) 1 cùng dấu thì f (x) f (x) f ( ) f ( ) m 1 max min 0 1 m + + = + = + . [0 ] ;1 [0 ] ;1 2
+ Khi f (0); f ( )
1 trái dấu thì min f (x) = 0, [0 ] ;1 f (x) { f ( ) f ( )} m +1 max max 0 ; 1 max m ; = = . [0 ] ;1 2 m ≤ − TH1: f ( ) f ( ) 1
0 . 1 ≥ 0 ⇔ m(m +1) ≥ 0 ⇔ . m ≥ 0 m = 1 + f (x) f (x) m 1 max min 2 m 2 + = ⇔ + = ⇔ 5 (thoả mãn). [0 ] ;1 [0 ] ;1 2 m = − 3
TH2: f (0). f ( )
1 < 0 ⇔ m(m +1) < 0 ⇔ 1 − < m < 0 m = 2 m = 2 ±
max f (x) min f (x) 2 + = ⇒ m +1 ⇔ m = 5 − (không thoả mãn). [0 ] ;1 [0 ] ;1 2 = 2 m = 3
Số phần tử của S là 2 . Page 16
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ NG ƯƠ
I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM
ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ CH
BÀI 3: GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT VÀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA HÀM SỐ
III BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
DẠNG 1. XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ THÔNG
QUA ĐỒ THỊ, BẢNG BIẾN THIÊN
Giá trị lớn nhất của hàm số f ( x) trên đoạn [a;b]
Hàm số f (x) liên tục trên đoạn [a;b] và f ′(x = x ∈ a b . Khi đó giá trị lớn nhất của i ) 0, i [ ; ]
hàm số f (x) là M = max{ f (a), f (b), f (xi )}
Giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x) trên đoạn [a;b]
Hàm số f (x) liên tục trên đoạn [a;b] và f ′(x = x ∈ a b . Khi đó giá trị nhỏ nhất của i ) 0, i [ ; ]
hàm số f (x) là m = Min{ f (a), f (b), f (xi )}
Hàm số y = f ( x) đồng biến trên đoạn [a;b] thì Max f ( x) = f (b);Min f ( x) = f (a) [a;b] [a;b]
Hàm số y = f ( x) nghịch biến trên đoạn [a;b] thì Max f ( x) = f (a);Min f ( x) = f (b) [a;b] [a;b]
Câu 1: Cho hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [ 1; − ]
1 và có đồ thị như hình vẽ.
Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn [ 1; − ] 1 . Giá
trị của M − m bằng A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 3. Page 141
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Câu 2: Cho hàm số y = f (x) liên tục trên [ 3
− ;2] và có bảng biến thiên như sau. Gọi M ,m lần lượt là
giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f (x) trên đoạn [ 1;
− 2]. Tính M + m. A. 3. B. 2 . C. 1. D. 4 .
Câu 3: Cho hàm số y = f (x) xác định và liên tục trên có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm giá trị nhỏ
nhất m và giá trị lớn nhất M của hàm số y = f (x) trên đoạn [ 2; − 2] . A. m = 5 − ;M = 1 − . B. m = 2; − M = 2 . C. m = 1; − M = 0 . D. m = 5 − ;M = 0 .
Câu 4: Xét hàm số y = f (x) với x∈[ 1;
− 5]có bảng biến thiên như sau:
Khẳng định nào sau đây là đúng
A. Hàm số đã cho không tồn taị GTLN trên đoạn[ 1; − 5]
B. Hàm số đã cho đạt GTNN tại x = 1
− và x = 2 trên đoạn[ 1; − 5]
C. Hàm số đã cho đạt GTNN tại x = 1
− và đạt GTLN tại x = 5trên đoạn [ 1; − 5]
D. Hàm số đã cho đạt GTNN tại x = 0 trên đoạn[ 1; − 5] Page 142
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Câu 5: Cho hàm số y = f (x) liên tục trên , có bảng biến thiên như hình sau:
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. Hàm số có hai điểm cực trị.
B. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 2 và giá trị nhỏ nhất bằng 3 − .
C. Đồ thị hàm số có đúng một đường tiệm cận.
D. Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng ( ; −∞ − ) 1 , (2;+∞) .
Câu 6: Cho hàm số y = f (x) liên tục và có bảng biến thiên trên đoạn [ 1; − ]
3 như hình vẽ bên. Khẳng
định nào sau đây đúng?
A. max f (x) = f (0) . B. max f (x) = f (3) . C. max f (x) = f (2) . D. max f (x) = f (− ) 1 . [ 1 − ; ] 3 [ 1 − ; ] 3 [ 1 − ; ] 3 [ 1 − ; ] 3
Câu 7: Cho hàm số f (x) liên tục trên [ 1;
− 5] và có đồ thị trên đoạn [ 1;
− 5] như hình vẽ bên dưới. Tổng
giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) trên đoạn [ 1; − 5] bằng A. 1 − B. 4 C. 1 D. 2 Page 143
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Câu 8: Cho hàm số y
= f (x) xác định, liên tục trên 5 1, −
và có đồ thị là đường cong như hình vẽ. 2
Giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất
m của hàm số f ( x) trên 5 1, − là: 2
A. M = 4,m =1
B. M = 4,m = −1 C. 7 M = ,m = 1 − D. 7 M = ,m =1 2 2
Câu 9: Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình vẽ. Giá trị lớn nhất của hàm số f (x) trên đoạn [0;2] là:
A. Max f (x) = 2.
B. Max f (x) = 2 . C. Max f (x) = 4.
D. Max f (x) = 0 . [0;2] [0;2] [0;2] [0;2]
Câu 10: Cho hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [ 1; − ]
3 và có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi M ,m lần lượt
là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn [ 1; − ]
3 . Giá trị của M + m là A. 2 B. 6 − C. 5 − D. 2 −
Câu 11: Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên trên [ 5; − 7) như sau Page 144
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Min f (x) = 6 .
B. Min f (x) = 2 .
C. Max f (x) = 9 .
D. Max f (x) = 6 . [ 5 − ;7) [ 5 − ;7) [-5;7) [ 5 − ;7)
Câu 12: Cho hàm số f (x) liên tục trên đoạn [0; ]
3 và có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi M và m lần lượt
là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên [0; ]
3 . Giá trị của M + m bằng? A. 5. B. 3. C. 2 . D. 1.
Câu 13: Cho hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn 2;6 và có đồ thị như hình vẽ bên dưới.
Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn 2;6. Giá
trị của M m bằng A. 9. B. 8 − . C. 9 − . D. 8 .
Câu 14: Cho hàm số y = f (x) liên tục và có đồ thị trên đoạn [ 2;
− 4] như hình vẽ bên. Tổng giá trị lớn
nhất và nhỏ nhất của hàm số y = f (x) trên đoạn [ 2; − 4] bằng Page 145
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ A. 5 B. 3 C. 0 D. 2 −
Câu 15: Cho hàm số y = f (x) có bảng xét dấu đạo hàm như sau:
Mệnh đề nào sau đây đúng
A. max f (x) = f (0)
B. max f (x) = f ( )
1 C. min f (x) = f (− )
1 D. min f (x) = f (0) ( 1; − ] 1 (0;+∞) (−∞;− )1 ( 1; − +∞)
DẠNG 2. XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ TRÊN ĐOẠN
Bước 1: Hàm số đã cho y = f (x ) xác định và liên tục trên đoạn a;b .
Tìm các điểm x ,x ,...,x trên khoảng (a;b) , tại đó f ′(x ) = 0 hoặc f ′(x ) không xác định. 1 2 n
Bước 2: Tính f (a), f (x ), f (x ),..., f (x , f b . 1 2 n ) ( )
Bước 3: Khi đó:
max f (x ) = max
{f (x ),f (x ),...,f (x ,f a ,f b . 1 2 n ) ( ) ( )} a b ,
min f (x ) = min f x , f x ,..., f x , f a , f b . a b, { ( 1) ( 2) ( n ) ( ) ( )}
Câu 16: Tìm tập giá trị của hàm số y = x −1 + 9 − x A. T = [1; 9].
B. T = 2 2; 4 = . C. T = (1; 9) . D. T 0; 2 2 .
Câu 17: Giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 2
y = x + trên đoạn [2; ] 3 bằng x A. 15 . B. 5. C. 29 . D. 3. 2 3
Câu 18: Tìm giá trị lớn nhất − M của hàm số 3x 1 y = trên đoạn [0;2] x − 3 A. 1 M = . B. 1 M = − . C. M = 5. D. M = 5 − 3 3 Page 146
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Câu 19: Giá trị lớn nhất của hàm số 2 y = 4 − x là A. 2. B. 0. C. 4. D. 1.
Câu 20: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 2
y = sin x − 4sin x − 5 . A. 20 − . B. 8 − . C. 9 − . D. 0 .
Câu 21: Gọi m , M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số f (x) 1
= x − x +1 trên 2 đoạn [0; ]
3 . Tính tổng S = 2m + 3M . A. 7 S = − . B. 3 S = − . C. 3 − . D. S = 4 . 2 2
Câu 22: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f (x) = sin x + cos2x trên [ ; 0 π ] là A. 9 . B. 5 . C. 2 . D. 1. 8 4
Câu 23: Giá trị lớn nhất của hàm số 4 3 y = 2cos x − os c x trên [0;π ]. 3 A. 2 a m x y 2 2 = . B. 10 a m x y = . C. a m x y = . D. a m x y = 0. [0;π ] 3 [0;π ] 3 [0;π ] 3 [0;π ]
Câu 24: Gọi M ,m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 3sin x + 2 y = trên đoạn sin x +1 π 0; . Khi đó giá trị của 2 2
M + m là 2 A. 31. B. 11. C. 41 . D. 61. 2 2 4 4 Câu 25: Cho hàm số sin x +1 y =
. Gọi M là giá trị lớn nhất và m là giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 sin x + sin x +1
đã cho. Chọn mệnh đề đúng. A. 3 M = m + . B. 3 M = m .
C. M = m +1. D. 2
M = m + . 2 2 3 Page 147
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
DẠNG 3. XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ TRÊN
KHOẢNG (a;b).
Bước 1: Tính đạo hàm f ′ x ( ) .
Bước 2: Tìm tất cả các nghiệm x ∈ a
( ;b) của phương trình f ′ x
( ) = 0 và tất cả các điểm i α ∈ a
( ;b) làm cho f ′ x ( ) không xác định. i
Bước 3. Tính A = lim f x ( ), B = lim f x ( ), f x ( ), f (α ) . + i i x →a − x →b
Bước 4. So sánh các giá trị tính được và kết luận M = maxf x ( ), m = minf x ( ) . a ( b ; ) a ( b ; )
Nếu giá trị lớn nhất là A hoặc B thì ta kết luận không có giá trị lớn nhất.
Câu 26: Gọi m là giá trị nhỏ nhất của hàm số 4 y = x −1+
trên khoảng (1;+∞). Tìm m ? x −1
A. m = 5 .
B. m = 4 .
C. m = 2 .
D. m = 3 .
Câu 27: Giá trị nhỏ nhất của hàm số 1
y = x − 5 + trên khoảng (0;+∞) bằng bao nhiêu? x A. 0 B. 1 − C. 3 − D. 2 −
Câu 28: Gọi m là giá trị nhở nhất của hàm số 4
y = x + trên khoảng (0;+∞). Tìm m x A. m = 4 . B. m = 2 . C. m =1. D. m = 3 .
Câu 29: Giá trị nhỏ nhất của hàm số 1
f (x) = x + trên nửa khoảng [2;+∞) là: x A. 2 B. 5 C. 0 D. 7 2 2
Câu 30: Gọi m là giá trị nhỏ nhất của hàm số 4
y = x + trên khoảng (0;+∞). Tìm m . x A. m = 3 . B. m = 4 . C. m = 2 . D. m =1.
Câu 31: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 4 − x + 3 trên tập xác định của nó là A. 2 + 3. B. 2 3. C. 0. D. 3.
Câu 32: Với giá trị nào của x thì hàm số 2 1
y = x + đạt giá trị nhỏ nhất trên khoảng (0;+∞)? x 3 1 1 A. . B. . C. 1. D. . 3 4 2 3 2
Câu 33: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x + −( + )2 2 1 2 trên khoảng (0;+∞) x A. không tồn tại. B. 3 − . C. 1 − + 2 . D. 0 .
Câu 34: Mệnh đề nào sau đây là đúng về hàm số x 1 y
trên tập xác định của nó. 2 x 5
A. Hàm số không có giá trị lớn nhất và không có giá trị nhỏ nhất.
B. Hàm số không có giá trị lớn nhất và có giá trị nhỏ nhất.
C. Hàm số có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.
D. Hàm số có giá trị lớn nhất và không có giá trị nhỏ nhất. Page 148
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ NG ƯƠ
I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM
ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ CH
BÀI 3: GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT VÀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA HÀM SỐ
III BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
DẠNG 1. XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ THÔNG
QUA ĐỒ THỊ, BẢNG BIẾN THIÊN
Giá trị lớn nhất của hàm số f ( x) trên đoạn [a;b]
Hàm số f (x) liên tục trên đoạn [a;b] và f ′(x = x ∈ a b . Khi đó giá trị lớn nhất của i ) 0, i [ ; ]
hàm số f (x) là M = max{ f (a), f (b), f (xi )}
Giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x) trên đoạn [a;b]
Hàm số f (x) liên tục trên đoạn [a;b] và f ′(x = x ∈ a b . Khi đó giá trị nhỏ nhất của i ) 0, i [ ; ]
hàm số f (x) là m = Min{ f (a), f (b), f (xi )}
Hàm số y = f ( x) đồng biến trên đoạn [a;b] thì Max f ( x) = f (b);Min f ( x) = f (a) [a;b] [a;b]
Hàm số y = f ( x) nghịch biến trên đoạn [a;b] thì Max f ( x) = f (a);Min f ( x) = f (b) [a;b] [a;b]
Câu 1: Cho hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [ 1; − ]
1 và có đồ thị như hình vẽ.
Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn [ 1; − ] 1 . Giá
trị của M − m bằng A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 3. Lời giải
Từ đồ thị ta thấy M =1,m = 0 nên M − m =1. Page 1
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Câu 2: Cho hàm số y = f (x) liên tục trên [ 3
− ;2] và có bảng biến thiên như sau. Gọi M ,m lần lượt là
giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f (x) trên đoạn [ 1;
− 2]. Tính M + m. A. 3. B. 2 . C. 1. D. 4 . Lời giải Trên đoạn [ 1;
− 2] ta có giá trị lớn nhất M = 3 khi x = 1
− và giá trị nhỏ nhất m = 0 khi x = 0 .
Khi đó M + m = 3+ 0 = 3.
Câu 3: Cho hàm số y = f (x) xác định và liên tục trên có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm giá trị nhỏ
nhất m và giá trị lớn nhất M của hàm số y = f (x) trên đoạn [ 2; − 2] . A. m = 5 − ;M = 1 − . B. m = 2; − M = 2 . C. m = 1; − M = 0 . D. m = 5 − ;M = 0 . Lời giải
Nhìn vào đồ thị ta thấy:
M = max f (x) = 1 − khi x = 1 − hoặc x = 2 . [ 2; − 2]
m = min f (x) = 5 − khi x = 2
− hoặc x =1. [ 2; − 2]
Câu 4: Xét hàm số y = f (x) với x∈[ 1;
− 5]có bảng biến thiên như sau:
Khẳng định nào sau đây là đúng
A. Hàm số đã cho không tồn taị GTLN trên đoạn[ 1; − 5]
B. Hàm số đã cho đạt GTNN tại x = 1
− và x = 2 trên đoạn[ 1; − 5]
C. Hàm số đã cho đạt GTNN tại x = 1
− và đạt GTLN tại x = 5trên đoạn [ 1; − 5] Page 2
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
D. Hàm số đã cho đạt GTNN tại x = 0 trên đoạn[ 1; − 5] Lời giải
A. Đúng. Vì lim y = +∞ nên hàm số không có GTLN trên đoạn [ 1; − 5] . x 5− →
B. Sai. Hàm số đã cho chỉ đạt GTNN tại x = 2 trên đoạn[ 1; − 5] .
C. Sai. Hàm số đã cho chỉ đạt GTNN tại x = 2 trên đoạn[ 1;
− 5] và lim y = +∞ . x→5
D. Sai. Hàm số đã cho chỉ đạt GTNN tại x = 2 trên đoạn[ 1; − 5] .
Câu 5: Cho hàm số y = f (x) liên tục trên , có bảng biến thiên như hình sau:
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. Hàm số có hai điểm cực trị.
B. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 2 và giá trị nhỏ nhất bằng 3 − .
C. Đồ thị hàm số có đúng một đường tiệm cận.
D. Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng ( ; −∞ − ) 1 , (2;+∞) . Lời giải
Dựa vào BBT ta thấy hàm số không có GTLN, GTNN.
Câu 6: Cho hàm số y = f (x) liên tục và có bảng biến thiên trên đoạn [ 1; − ]
3 như hình vẽ bên. Khẳng
định nào sau đây đúng?
A. max f (x) = f (0) . B. max f (x) = f (3) . C. max f (x) = f (2) . D. max f (x) = f (− ) 1 . [ 1 − ; ] 3 [ 1 − ; ] 3 [ 1 − ; ] 3 [ 1 − ; ] 3 Lời giải
Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy max f (x) = f (0). [ 1 − ; ] 3
Câu 7: Cho hàm số f (x) liên tục trên [ 1;
− 5] và có đồ thị trên đoạn [ 1;
− 5] như hình vẽ bên dưới.
Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) trên đoạn [ 1; − 5] bằng Page 3
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ A. 1 − B. 4 C. 1 D. 2 Lời giải
M = max f (x) = 3
Từ đồ thị ta thấy: [ 1 − ;5] ⇒ + = n = f (x) M n 1. min = 2 − [ 1−;5]
Câu 8: Cho hàm số y
= f (x) xác định, liên tục trên 5 1, −
và có đồ thị là đường cong như hình vẽ. 2
Giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất
m của hàm số f ( x) trên 5 1, − là: 2
A. M = 4,m =1
B. M = 4,m = −1 C. 7 M = ,m = 1 − D. 7 M = ,m =1 2 2 Lời giải Chọn B
Dựa vào đồ thị M = 4, m = −1.
Câu 9: Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình vẽ. Giá trị lớn nhất của hàm số f (x) trên đoạn [0;2] là: Page 4
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
A. Max f (x) = 2.
B. Max f (x) = 2 . [0;2] [0;2]
C. Max f (x) = 4.
D. Max f (x) = 0 . [0;2] [0;2] Lời giải Chọn C
Dựa vào đồ thị ta thấy trên đoạn [0;2] hàm số f (x) có giá trị lớn nhất bằng 4 khi x = 2
Suy ra Max f (x) = 4 [0;2]
Câu 10: Cho hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [ 1; − ]
3 và có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi M ,m lần
lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn [ 1; − ]
3 . Giá trị của M + m là A. 2 B. 6 − C. 5 − D. 2 − Lời giải
Dựa vào đồ thị ta thấy GTLN của hàm số trên đoạn [ 1; − ]
3 là M = 2 đạt được tại x = 1 − và
GTNN của hàm số số trên đoạn [ 1; − ] 3 là m = 4
− đạt được tại x = 2
⇒ M + m = 2 + ( 4) − = 2 −
Câu 11: Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên trên [ 5; − 7) như sau
Mệnh đề nào dưới đây đúng? Page 5
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
A. Min f (x) = 6 .
B. Min f (x) = 2 .
C. Max f (x) = 9 .
D. Max f (x) = 6 . [ 5 − ;7) [ 5 − ;7) [-5;7) [ 5 − ;7) Lời giải
Dựa vào bảng biến thiên trên [ 5;
− 7) , ta có: Min f (x) = f ( ) 1 = 2 . [ 5 − ;7)
Câu 12: Cho hàm số f (x) liên tục trên đoạn [0; ]
3 và có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi M và m lần lượt
là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên [0; ]
3 . Giá trị của M + m bằng? A. 5. B. 3. C. 2 . D. 1. Lời giải
Dựa vào hình vẽ ta có: M = 3, m = 2
− nên M + m =1.
Câu 13: Cho hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn 2;6 và có đồ thị như hình vẽ bên dưới.
Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn 2;6. Giá
trị của M m bằng A. 9. B. 8 − . C. 9 − . D. 8 . Lời giải Từ đồ thị suy ra 4
− ≤ f (x) ≤ 5 x ∀ ∈[ 2; − 6]; f ( ) 1 = 4; − f (4) = 5 M = 5 ⇒
⇒ M − m = 9 . m = 4 − Page 6
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Câu 14: Cho hàm số y = f (x) liên tục và có đồ thị trên đoạn [ 2;
− 4] như hình vẽ bên. Tổng giá trị lớn
nhất và nhỏ nhất của hàm số y = f (x) trên đoạn [ 2; − 4] bằng A. 5 B. 3 C. 0 D. 2 − Lời giải Chọn B
Dựa vào đồ thị hàm số ta có
m = Min f (x) = 4
− , M = Max f (x) = 7 x [ ∈ 2; − 4] x [ ∈ 2; − 4]
Khi đó M + m = 3
Câu 15: Cho hàm số y = f (x) có bảng xét dấu đạo hàm như sau:
Mệnh đề nào sau đây đúng
A. max f (x) = f (0)
B. max f (x) = f ( )
1 C. min f (x) = f (− )
1 D. min f (x) = f (0) ( 1; − ] 1 (0;+∞) (−∞;− )1 ( 1; − +∞) Lời giải Chọn B
DẠNG 2. XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ TRÊN ĐOẠN
Bước 1: Hàm số đã cho y = f (x ) xác định và liên tục trên đoạn a;b .
Tìm các điểm x ,x ,...,x trên khoảng (a;b) , tại đó f ′(x ) = 0 hoặc f ′(x ) không xác định. 1 2 n Page 7
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Bước 2: Tính f (a), f (x ), f (x ),..., f (x , f b . 1 2 n ) ( )
Bước 3: Khi đó:
max f (x ) = max
{f (x ),f (x ),...,f (x ,f a ,f b . 1 2 n ) ( ) ( )} a b ,
min f (x ) = min f x , f x ,..., f x , f a , f b . a b, { ( 1) ( 2) ( n ) ( ) ( )}
Câu 16: Tìm tập giá trị của hàm số y = x −1 + 9 − x A. T = [1; 9].
B. T = 2 2; 4 = . C. T = (1; 9) . D. T 0; 2 2 . Lời giải
Tập xác định: D = [1; 9] 1 1 x ≥1 y′ = −
= 0 ⇔ 9 − x = x −1 ⇔ ⇔ x = 5 .
2 x −1 2 9 − x 9
− x = x −1 f ( )
1 = f (9) = 2 2 ; f (5) = 4
Vậy tập giá trị là T = 2 2; 4 .
Câu 17: Giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 2
y = x + trên đoạn [2; ] 3 bằng x A. 15 . B. 5. C. 29 . D. 3. 2 3 Lời giải Chọn B + Ta có hàm số 2 2
y = f (x) = x + xác định và liên tục trên [2; ] 3 . x + 2
y ' = f '(x) = 2x −
; f '(x) = 0 ⇔ x =1∉[2; ] 3 mà f (2) = 5 , 29 f (3) = . 2 x 3
+ Vậy min y = 5 tại x = 2 . [2; ]3
Câu 18: Tìm giá trị lớn nhất − M của hàm số 3x 1 y = trên đoạn [0;2] x − 3 A. 1 M = . B. 1 M = − . C. M = 5. D. M = 5 − 3 3 Lời giải Chọn A
Trên đoạn [0;2]ta luôn có 8 y′ = − < 0 ∀ x ∈ 0;2 ) 2 ( ) (x −3) Vì y ( ) 1 0 1
= , y (2)= − 5 nên M =max y = . 3 [0;2] 3 Page 8
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Câu 19: Giá trị lớn nhất của hàm số 2 y = 4 − x là A. 2. B. 0. C. 4. D. 1. Lời giải Chọn A
• Tập xác định: D = [ 2; − 2] • Ta có: ' −x y =
⇒ y′ = 0 ⇔ x = 0∈( 2; − 2) 2 4 − x y( 2 − ) = y(2) = 0 • Ta có: . ( ⇒ y = y 0) max 2 [ 2; − 2] = 2
Câu 20: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 2
y = sin x − 4sin x − 5 . A. 20 − . B. 8 − . C. 9 − . D. 0 . Lời giải
Đặt t = sin x,t ∈[ 1 − ] ;1 . Xét 2
f (t) = t − 4t − 5 ,t ∈[ 1; − ] 1 .
f (′t) = 2t − 4 = 0 ⇔ t = 2∉[ 1; − ] 1 . f ( ) 1 = 8, − f (− ) 1 = 0 .
Ta thấy min f (t) = f ( ) 1 = 8
− . Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là 8 − . [ 1 − ] ;1
Câu 21: Gọi m , M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số f (x) 1
= x − x +1 trên 2 đoạn [0; ]
3 . Tính tổng S = 2m + 3M . A. 7 S = − . B. 3 S = − . C. 3 − . D. S = 4 . 2 2 Lời giải Ta có: + − f ′(x) 1 1 x 1 1 = − =
, cho f ′(x) = 0 ⇒ x +1 =1 ⇔ x = 0∈[0; ] 3 . 2 2 x +1 2 x +1 Khi đó: f (0) = 1 − , f ( ) 1 3 = − nên m = 1 − và 1 M = − . 2 2 Vậy 7
S = 2m + 3M = − . 2
Câu 22: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f (x) = sin x + cos2x trên [ ; 0 π ] là A. 9 . B. 5 . C. 2 . D. 1. 8 4 Lời giải
f (x) = sin x + cos2x = sin x + − sin2 1 2 x Page 9
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Đặt sin x = t (0 ≤ t ≤ ) 1
f (t) = − t2
2 + t +1, f ′(t) = −4t +1
f ′(t) = 0 ⇔ t = 1 4 1 9 f (0) = 1, f ( ) 1 = 0 , f = 4 8
Vậy max f (x) = 9 . [0; ]1 8
Câu 23: Giá trị lớn nhất của hàm số 4 3 y = 2cos x − os c x trên [0;π ]. 3 A. 2 a 2 2 m x y = . B. 10 a m x y = . C. a m x y = . D. a m x y = 0. [0;π ] 3 [0;π ] 3 [0;π ] 3 [0;π ] Lời giải
Đặt: t = cos x 4 ⇒ t ∈[ 1; − ] 1 3
⇒ y = 2t − t . 3 1 x − = ∈[ 1; − ] 1 2
y ' = 2 − 4t y ' = 0 2 ⇔ . 1 x = ∈[ 1; − ] 1 2 Tính: y( ) 2 1 − − = , 1 2 2 y − − = , 1 2 2 y = , y( ) 2 1 = . 3 2 3 2 3 3 Vậy: 2 2 a m x y = . [0;π ] 3
Câu 24: Gọi M ,m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 3sin x + 2 y = trên đoạn sin x +1 π 0; . Khi đó giá trị của 2 2
M + m là 2 A. 31. B. 11. C. 41 . D. 61. 2 2 4 4 Lời giải Chọn C
Đặt t = sin x , t ∈[0 ] ;1 .
Xét hàm f (t) 3t + 2 =
liên tục trên đoạn [0 ] ;1 có f ′(t) 1 = > 0,t ∈ 0;1 . 2 [ ] t +1 (t + ) 1
Suy ra hàm số đồng biến trên [0 ] ;1 . 5
⇒ M = Max f (t) = f (1) = và m = Min f (t) = f (0) = 2 . [0 ] ;1 2 [0; ]1 Page 10
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ 2 Khi đó 2 2 5 2 41 M m + = + 2 = . 2 4 Câu 25: Cho hàm số sin x +1 y =
. Gọi M là giá trị lớn nhất và m là giá trị nhỏ nhất của hàm 2 sin x + sin x +1
số đã cho. Chọn mệnh đề đúng. A. 3 M = m + . B. 3 M = m .
C. M = m +1. D. 2
M = m + . 2 2 3 Lời giải Đặt t +1 sin x = t , ( 1 − ≤ t ≤ ) 1 ta được y = . 2 t + t +1 2 Xét hàm số t +1 y − − = trên đoạn [ 1; t 2t − ] 1 ta có y′ = . 2 t + t +1 (t +t + )2 2 1
t = 0 (t / m)
Giải phương trình y′ = 0 2 ⇔ t − − 2t = 0 ⇔ . t = 2 ( − loai) Vì y(− )
1 = 0 ; y (0) =1; y( ) 2 1 = nên 3
max y = y(0) =1 ⇒ M =1; min y = y(− ) 1 = 0 ⇒ m = 0 . [ 1 − ] ;1 [ 1 − ] ;1 Vậy M = m +1.
DẠNG 3. XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ TRÊN KHOẢNG ( ; a b).
Bước 1: Tính đạo hàm f ′ x ( ) .
Bước 2: Tìm tất cả các nghiệm x ∈ a
( ;b) của phương trình f ′ x
( ) = 0 và tất cả các điểm i α ∈ a
( ;b) làm cho f ′ x ( ) không xác định. i
Bước 3. Tính A = lim f x ( ), B = lim f x ( ), f x ( ), f (α ) . + i i x →a − x →b
Bước 4. So sánh các giá trị tính được và kết luận M = maxf x ( ), m = minf x ( ) . a ( b ; ) a ( b ; )
Nếu giá trị lớn nhất là A hoặc B thì ta kết luận không có giá trị lớn nhất .
Câu 26: Gọi m là giá trị nhỏ nhất của hàm số 4 y = x −1+
trên khoảng (1;+∞). Tìm m ? x −1
A. m = 5 .
B. m = 4 .
C. m = 2 .
D. m = 3 . Lời giải Chọn B
Tập xác định D = R \{ } 1 . 2 x − 2x − 3 x = 1 − y′ = , y′ = 0 ⇔ . (x − )2 1 x = 3 Bảng biến thiên: Page 11
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
⇒ m = min y = 4 khi x = 3 (1;+∞)
Câu 27: Giá trị nhỏ nhất của hàm số 1
y = x − 5 + trên khoảng (0;+∞) bằng bao nhiêu? x A. 0 B. 1 − C. 3 − D. 2 − Lời giải Chọn C
Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có: 1 1
y = x + − 5 ≥ 2 . x − 5 = 3 − x x Dấu bằng xảy ra khi 1 2
x = ⇔ x =1 ⇔ x =1 . x Vậy min y = 3 − (0;+∞)
Câu 28: Gọi m là giá trị nhở nhất của hàm số 4
y = x + trên khoảng (0;+∞). Tìm m x A. m = 4 . B. m = 2 . C. m =1. D. m = 3 . Lời giải 4 y ' =1− 2 x
y ' = 0 ⇔ x = 2; ± x = 2∈(0;+∞). Bảng biến thiên:
Suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng y(2) = 4 ⇒ m = 4.
Câu 29: Giá trị nhỏ nhất của hàm số 1
f (x) = x + trên nửa khoảng [2;+∞) là: x A. 2 B. 5 C. 0 D. 7 2 2 Lời giải Chọn B Page 12
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta được: 1 3x x 1 3.2 x 1 5
f (x) = x + = + + ≥ + 2 . = . x 4 4 x 4 4 x 2
Dấu bằng xảy ra khi x = 2 .
Câu 30: Gọi m là giá trị nhỏ nhất của hàm số 4
y = x + trên khoảng (0;+∞). Tìm m . x A. m = 3 . B. m = 4 . C. m = 2 . D. m =1. Lời giải Chọn B Cách 1: Hàm số 4
y = x + liên tục và xác định trên (0;+∞). x 2 4 x − 4 x = 2∈(0;+∞) Ta có y ' =1− = ⇒ y ' = 0 ⇔ . 2 2 x x x = 2 − ∉ (0;+∞) Bảng biến thiên
Vậy giá trị nhỏ nhất là m = 4 khi x = 2. Cách 2: Với x∈( + ∞) 4 0; ⇒ ;
x > 0. Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có: 4 4 x + ≥ 2 . x = 4. x x x x > 0
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
4 ⇔ x = 2. Vậy m = 4 khi x = 2. x = x
Câu 31: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 4 − x + 3 trên tập xác định của nó là A. 2 + 3. B. 2 3. C. 0. D. 3. Lời giải Chọn D
Tập xác định của hàm số là: D = ( ;4 −∞ ]. − Ta có 1 y ' = < 0, x ∀ ∈ D 2 4 − x Bảng biến thiên Page 13
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ x ∞ 4 y' +∞ y 3
Từ bảng biến thiên suy ra min y = 3 khi x = 4 .Vậy chọn D . (−∞;4]
Câu 32: Với giá trị nào của x thì hàm số 2 1
y = x + đạt giá trị nhỏ nhất trên khoảng (0;+∞)? x 3 1 1 A. . B. . C. 1. D. . 3 4 2 3 2 Lời giải Chọn D TXD: D = \{ } 0 . 1 1 y ' = 2x −
, y ' = 0 ⇔ x = . 2 x 3 2 Dựa vào BBT thì 1 x =
hàm số đạt giá trị nhỏ nhất trên (0;+∞). 3 2
Câu 33: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x + −( + )2 2 1 2 trên khoảng (0;+∞) x A. không tồn tại. B. 3 − . C. 1 − + 2 . D. 0 . Lời giải Chọn B
Hàm số xác định và liên tục trên khoảng (0;+∞). 2 2 x − 2 y′ = 1− = . 2 2 x x x = 2 y′ = 0 ⇔ . x = − 2 Bảng biến thiên: Page 14
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Vậy min y = f 2 = 3 − . 0;+∞ ( ) ( )
Câu 34: Mệnh đề nào sau đây là đúng về hàm số x 1 y
trên tập xác định của nó. 2 x 5
A. Hàm số không có giá trị lớn nhất và không có giá trị nhỏ nhất.
B. Hàm số không có giá trị lớn nhất và có giá trị nhỏ nhất.
C. Hàm số có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.
D. Hàm số có giá trị lớn nhất và không có giá trị nhỏ nhất. Lời giải Chọn D
Tập xác định: D . 2 2 5 1 x x x 2 2 2 2 x 5
x 5 x x 5 y ' x . 2 2 x 5 x 5 2 x 2 5 x 5 2 x 5 5 ' 0 x y
0 5 x 0 x 5 . 2 x 5 2 x 5 Bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên có y y 30 max 5 khi x 5. 5 Hàm số x 1 y
không có giá trị nhỏ nhất. 2 x 5
Vậy hàm số có giá trị lớn nhất và không có giá trị nhỏ nhất. Page 15
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ NG ƯƠ
I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM
ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ CH
BÀI 3: GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT VÀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA HÀM SỐ
III BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
DẠNG. ĐỊNH M ĐỂ GTLN-GTNN CỦA HÀM SỐ THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC
Bước 1. Tìm nghiệm x i = của thuộc [a;b] i ( 1,2,...) y′ = 0
Bước 2. Tính các giá trị f (x f a f b theo tham số i ) ; ( ); ( )
Bước 3. So sánh các giá trị, suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
Bước 4. Biện luận m theo giả thuyết đề để kết luận Lưu ý:
Hàm số y = f ( x) đồng biến trên đoạn [a;b] thì Max f ( x) = f (b);Min f ( x) = f (a) [a;b] [a;b]
Hàm số y = f ( x) nghịch biến trên đoạn [a;b] thì Max f ( x) = f (a);Min f ( x) = f (b) [a;b] [a;b] + Câu 1: x m
Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y =
trên đoạn [1;2] bằng 8 ( m là tham x +1
số thực). Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. m >10 .
B. 8 < m <10 .
C. 0 < m < 4 .
D. 4 < m < 8. 2
Câu 2: Có bao nhiêu giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số xm 2 y trên đoạn xm 0;4 bằng 1. A. 3. B. 2 . C. 1. D. 0 . Câu 3: Cho hàm số x +1 y = thỏa mãn 1
min y = . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 2 x − m [ 3 − ; 2 − ] 2
A. 3 < m ≤ 4. B. 2 − < m ≤ 3. C. m > 4 . D. m ≤ 2 − . 2
Câu 4: Tìm giá trị dương của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số m x −1 y = trên đoạn [1; ] 3 x + 2 bằng 1. A. m = 2 . B. m = 3 . C. m = 4 . D. m = 2 . Page 149
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ 2 Câu 5: Cho hàm số xm y
với m là tham số thực. Giả sử m là giá trị dương của tham số m để x 8 0
hàm số có giá trị nhỏ nhất trên đoạn 0;
3 bằng −3. Giá trị m thuộc khoảng nào trong các khoảng 0 cho dưới đây? A. 2; 5 . B. 1;4. C. 6;9. D. 20; 25 .
Câu 6: Tìm giá trị của tham số thực m để giá trị nhỏ nhất của hàm số 2x + m y = trên đoạn [0;4] bằng x +1 3. A. m = 3 . B. m =1. C. m = 7 .
D. m = 5 2
Câu 7: Tìm các giá trị của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số
x − m + m y = trên đoạn [0; ] 1 x +1 bằng 2 − . m = 1 − m =1 m =1 m = 1 − A. . B. . C. . D. . m = 2 − m = 2 m = 2 − m = 2 Câu 8: Cho hàm số x m y
(m là tham số thực) thỏa mãn miny 3 . Mệnh đề nào dưới đây x 1 0;1 đúng?
A. 1 m 3 B. m 6 C. m 1
D. 3 m 6
Câu 9: Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số x m y
trên 1;2 bằng 8 ( m là tham x 1
số thực). Khẳng định nào sau đây đúng? A. m >10 .
B. 8 < m <10 .
C. 0 < m < 4 .
D. 4 < m < 8. 2 + + Câu 10: x m m Gọi ,
A B lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số y = trên đoạn [2; ] 3 x −1
. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để 13 A + B = . 2
A. m =1;m = 2 − . B. m = 2 − . C. m = 2 ± . D. m = 1; − m = 2 . 2
Câu 11: Cho hàm số ( ) x − m f x =
với m là tham số thực. Giả sử m là giá trị dương của tham số m x + 8 0
để hàm số có giá trị nhỏ nhất trên đoạn [0; ] 3 bằng 3
− . Giá trị m thuộc khoảng nào trong các 0 khoảng cho dưới đây? A. (20;25). B. (5;6) . C. (6;9) . D. (2;5) .
Câu 12: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số 3 2
y = −x − 3x + m trên đoạn [ 1; − ] 1 bằng 0 .
A. m = 2.
B. m = 6.
C. m = 0.
D. m = 4.
Câu 13: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 3 2
y = x − 3x + m có giá trị nhỏ nhất trên đoạn [ 1; − ] 1 bằng 2 m 2 2 A. m 2 .
B. m 2 2 .
C. m 4 2 . D. . m 4 2 Page 150
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Câu 14: Có một giá trị m 3 2
0 của tham số m để hàm số y x m
1 x m 1 đạt giá trị nhỏ nhất
bằng 5 trên đoạn 0;
1 . Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. 2
2018m m 0 . B. 2m 1 0 . C. 2
6m m 0 .
D. 2m 1 0. 0 0 0 0 0 0
Câu 15: Nếu hàm số 2
y = x + m + 1− x có giá trị lớn nhất bằng 2 2 thì giá trị của m là A. 2 . B. − 2 . C. 2 . D. 2 − . 2 2 Câu 16: Cho hàm số 3 2
y = 2x − 3x − m . Trên [ 1; − ]
1 hàm số có giá trị nhỏ nhất là 1 − . Tính m ? A. m = 6 − . B. m = 3 − . C. m = 4 − . D. m = 5 − .
Câu 17: Biết S là tập giá trị của m để tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 4 2 3 2
y = x − m x − 2x − m trên đoạn [0; ] 1 bằng 16
− . Tính tích các phần tử của S . A. 2 . B. 2 − . C. 15 − . D. 17 − . 2
Câu 18: Tìm tất cả giá trị thực của tham số x + mx +1
m để hàm số y =
liên tục và đạt giá trị nhỏ nhất x + m
trên đoạn [0;2] tại một điểm x ∈ 0;2 . 0 ( )
A. 0 < m <1 B. m >1 C. m > 2 D. 1 − < m <1 Câu 19: Cho hàm số 1− msin x y =
. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [0;10] để cos x + 2
giá trị nhỏ nhất của hàm số nhỏ hơn 2 − ? A. 1. B. 9. C. 3. D. 6 . Câu 20: Cho hàm số 3
y = ax + cx + d, a ≠ 0 có min f (x) = f ( 2
− ) . Giá trị lớn nhất của hàm số x ( ∈ −∞;0)
y = f (x) trên đoạn [1; ] 3 bằng
A. d −11a .
B. d −16a .
C. d + 2a .
D. d + 8a .
Câu 21: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số x + m y =
có giá trị lớn nhất trên nhỏ hơn 2 x + x +1 hoặc bằng 1. A. m ≤1. B. m ≥1. C. m ≥ 1 − . D. m ≤ 1 − . 3 2
Câu 22: Giá trị lớn nhất của hàm số
x + x − m y =
trên [0;2] bằng 5. Tham số m nhận giá trị là x +1 A. 5 − . B. 1. C. 3 − . D. 8 − .
Câu 23: Cho hàm số y = (x − x + m)2 3 3
. Tổng tất cả các giá trị của tham số m sao cho giá trị nhỏ nhất
của hàm số trên đoạn [ 1; − ] 1 bằng 1 là A. 1. B. 4 − . C. 0 . D. 4 .
Câu 24: Tìm tất cả các giá trị của m > 0 để giá trị nhỏ nhất của hàm số 3
y = x − 3x +1 trên đoạn
[m +1;m + 2] luôn bé hơn 3. A. m∈(0;2). B. m∈(0; ) 1 .
C. m∈(1;+ ∞) .
D. m∈(0;+ ∞) . Page 151
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Câu 25: Biết rằng giá trị nhỏ nhất của hàm số 36 y = mx + trên [0; ]
3 bằng 20 . Mệnh đề nào sau đây x +1 đúng?
A. 0 < m ≤ 2 .
B. 4 < m ≤ 8.
C. 2 < m ≤ 4 . D. m > 8 . Câu 26: Cho hàm số 3 2
y = x − mx + ( 2 3 3 m − )
1 x + 2020 . Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m sao
cho hàm số có giá trị nhỏ nhất trên khoảng (0;+∞)? A. 2 . B. 1. C. Vô số. D. 3.
Câu 27: Cho hàm số f (x) = m x −1 . Gọi m ,m là hai giá trị của m thoả mãn 1 2 min f (x) + a m x f (x) 2
= m −10 . Giá trị của m + m bằng [2;5] [2;5] 1 2 A. 3. B. 5. C. 10. D. 2. Câu 28: Cho hàm số msin x +1 y =
có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [ 5; − 5] cosx + 2
để giá trị nhỏ nhất của y nhỏ hơn 1 − . A. 4 . B. 2 . C. 6 . D. 8 .
Câu 29: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) 34 = trên đoạn [0; ]
3 bằng 2. Tổng tất cả các phần tử của S bằng
(x −3x+2m)2 3 +1 A. 8 . B. 8 − . C. 6 − . D. 1 − .
Câu 30: Cho hàm số y = (x − x + m + )2 3 3
1 . Tổng tất cả các giá trị của tham số m sao cho giá trị nhỏ
nhất của hàm số trên đoạn [ 1; − ] 1 bằng 1 là A. 2 − . B. 4 . C. 4 − . D. 0 .
Câu 31: Cho hàm số y = f (x) 2
= m ( + x + − x ) 2 2 2
+ 4 4 − x + m +1. Tính tổng tất cả các giá trị của
m để hàm số y = f ( x) có giá trị nhỏ nhất bằng 4 . A. 7 − . B. 5 . C. 1 − . D. 1 . 2 2 2 2
Câu 32: Cho hàm số ( ) 2x − m f x = với m ≠ 2
− . Mệnh đề nào dưới đây sai? x +1 A. ( ) 2 m 6 max max ; m f x − − = 6 − m .
B. max f (x) = khi m < 2 − . [1; ]3 2 4 [1; ] 3 4 C. ( ) 2 m 6 min min ; m f x − − = 2 − m .
D. min f (x) = khi m > 2 − . [1; ]3 2 4 [1; ]3 2
Câu 33: Có bao nhiêu số nguyên x + m + m thuộc đoạn [ 20 −
; 20] để giá trị lớn nhất của hàm số 6 y = x − m trên đoạn [1 ; ] 3 là số dương? A. 9. B. 8. C. 11. D. 10. Page 152
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ NG ƯƠ
I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM
ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ CH
BÀI 3: GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT VÀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA HÀM SỐ
III BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
DẠNG. ĐỊNH M ĐỂ GTLN-GTNN CỦA HÀM SỐ THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC
Bước 1. Tìm nghiệm x i = của thuộc [a;b] i ( 1,2,...) y′ = 0
Bước 2. Tính các giá trị f (x f a f b theo tham số i ) ; ( ); ( )
Bước 3. So sánh các giá trị, suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
Bước 4. Biện luận m theo giả thuyết đề để kết luận Lưu ý:
Hàm số y = f ( x) đồng biến trên đoạn [a;b] thì Max f ( x) = f (b);Min f ( x) = f (a) [a;b] [a;b]
Hàm số y = f ( x) nghịch biến trên đoạn [a;b] thì Max f ( x) = f (a);Min f ( x) = f (b) [a;b] [a;b] + Câu 1: x m
Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y =
trên đoạn [1;2] bằng 8 ( m là tham x +1
số thực). Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. m >10 .
B. 8 < m <10 .
C. 0 < m < 4 .
D. 4 < m < 8. Lời giải Chọn B 1− m Ta có: y′ = ( . x + )2 1
- Nếu m =1⇒ y =1 .
- Nếu m ≠ 1khi đó y′ < 0,∀ x∈[1;2] hoặc y′ > 0,∀ x∈[1;2] nên hàm số đạt giá trị lớn nhất và
nhỏ nhất tại x =1, x = 2. Theo bài ra: y +
y = ⇔ y( ) + y( ) 1+ m 2 + m 41 max min 8 1 2 = + = 8 ⇔ m = ∈(8;10) . [1;2] [1;2] 2 3 5 2
Câu 2: Có bao nhiêu giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số xm 2 y trên đoạn xm 0;4 bằng 1. A. 3. B. 2 . C. 1. D. 0 . Page 1
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Lời giải Chọn C
Tập xác định: D \ m. 2 m m 2 y
0, x m . Do đó hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ; m và ; m xm2 .
Bảng biến thiên của hàm số: m 0
Từ bảng biến thiên suy ra, hàm số đạt giá trị lớn nhất trên đoạn 0;4 bằng 1 khi f 4 1 m 0 m 0 m 0 2 2 m m 3. 1 2
m m6 0
m 2,m 3 4m Câu 3: Cho hàm số x +1 y = thỏa mãn 1
min y = . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 2 x − m [ 3 − ; 2 − ] 2
A. 3 < m ≤ 4. B. 2 − < m ≤ 3. C. m > 4 . D. m ≤ 2 − . Lời giải Chọn B +TXĐ: D = { 2 \ m },[ 3 − ; 2 − ] ⊂ D . 2 + Ta có −m −1 y ' = (
< ∀ ∈ . Nên hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định.
x − m ) 0, x D 2 2 Nên 1 min y = = y ( 2 − ) 2 − +1 2 = ⇒ 2 − − m = 2 − ⇔ m = 0 ⇒ 2 − < m ≤ 3 . [− − ] 2 3; 2 2 2 − − m 2
Câu 4: Tìm giá trị dương của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số m x −1 y = trên đoạn [1; ] 3 x + 2 bằng 1. A. m = 2 . B. m = 3 . C. m = 4 . D. m = 2 . Lời giải Chọn A
Tập xác định: D = \{− } 2 . 2 Ta có: 2m +1 y′ = > 0, x ∀ ≠ 2 − . (x + 2)2 Page 2
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ 2
Hàm số đồng biến trên đoạn [1; ]
3 nên max y = y (3) 3m −1 ⇔ =1 ⇔ m = 2 . [1; ]3 5 2 Câu 5: Cho hàm số xm y
với m là tham số thực. Giả sử m là giá trị dương của tham số m để x 8 0
hàm số có giá trị nhỏ nhất trên đoạn 0;
3 bằng −3. Giá trị m thuộc khoảng nào trong các khoảng 0 cho dưới đây? A. 2; 5 . B. 1;4. C. 6;9. D. 20; 25 . Lời giải Chọn A
+ TXĐ: D \ 8 . 2 + ' 8 m y
0, x D x 2 8 2 Vậy hàm số xm y
đồng biến trên 0; 3 . x 8 2 min (0) m y y 0;3 8 2 Để min 3 m y
3 m 2 6. 0;3 8
m 2 6 2;5 . Vậy chọnA. 0
Câu 6: Tìm giá trị của tham số thực m để giá trị nhỏ nhất của hàm số 2x + m y = trên đoạn [0;4] bằng x +1 3. A. m = 3 . B. m =1. C. m = 7 .
D. m = 5 Lời giải Chọn C Ta có: 2 ' − m y = . (x + )2 1 + Xét m = 2 .
⇒ Hàm số trở thành: y = 2 là hàm số hằng nên không đạt giá trị nhỏ nhất bằng 3 ⇒ m = 2 + Xét m > 2 . 2 8 + m ⇒ ' − m y = < 0 ( x ∀ ≠ 1)
− ⇒ min y = y(4) = . (x + )2 1 [0;4] 5 8 + m ⇒ = 3 ⇔ m = 7 . 5 + Xét m < 2. Page 3
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ 2 ⇒ ' − m y = > 0 ( x ∀ ≠ 1)
− ⇒ min y = y(0) = m . (x + )2 1 [0;4] ⇒ m = 3. Vậy m = 7 . 2
Câu 7: Tìm các giá trị của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số
x − m + m y = trên đoạn [0; ] 1 x +1 bằng 2 − . m = 1 − m =1 m =1 m = 1 − A. . B. . C. . D. . m = 2 − m = 2 m = 2 − m = 2 Lời giải Chọn D
Tập xác định: D = \{− } 1 .
Hàm số đã cho liên tục trên [0; ] 1 . 1− ( 2 −m + m) 2 Ta có: m − m +1 y′ = = > 0 ; x ∀ ∈ D ( . x + )2 1 (x + )2 1
⇒ Hàm số đồng biến trên đoạn [0; ] 1 . Trên [0; ]
1 hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x = 0 . m = 1 − Ta có: y(0) 2 2 = 2
− ⇔ −m + m = 2
− ⇔ m − m − 2 = 0 ⇔ . m = 2 Câu 8: Cho hàm số x m y
(m là tham số thực) thỏa mãn miny 3 . Mệnh đề nào dưới đây x 1 0;1 đúng?
A. 1 m 3 B. m 6 C. m 1
D. 3 m 6 Lời giải Chọn D
Tập xác định: D \ 1 .
Với m 1 y 1, x 0;1
thì miny 3 . 0;1 Suy ra 1 m
m 1. Khi đó y
không đổi dấu trên từng khoảng xác định. x 2 1
TH 1: y 0 m 1 thì miny y 0 m 3 . 0;1
TH 2: y 0 m 1 thì miny y 1 m 5 . 0;1 Page 4
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Câu 9: Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số x m y
trên 1;2 bằng 8 ( m là tham x 1
số thực). Khẳng định nào sau đây đúng? A. m >10 .
B. 8 < m <10 .
C. 0 < m < 4 .
D. 4 < m < 8. Lời giải
Nếu m =1 thì y 1 Nếu 1m
m ≠ 1 thì hàm số đã cho liên tục trên 1;2 và y ' . x 2 1
Khi đó đạo hàm của hàm số không đổi dấu trên đoạn [1;2]. m +1 m + 2 41
Do vậy Min y + Max y = y( ) 1 + y(2) = + = 8 ⇔ m = . x [ ∈ 1;2] x [ ∈ 1;2] 2 3 5 2 + + Câu 10: x m m Gọi ,
A B lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số y = trên đoạn [2; ] 3 x −1
. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để 13 A + B = . 2
A. m =1;m = 2 − . B. m = 2 − . C. m = 2 ± . D. m = 1; − m = 2 . Lời giải 2 x + m + m Xét hàm số y = trên đoạn [2; ] 3 . x −1 2 2 2 −m − m −1 m + m + 3 m + m + 2 y ' = < 0 x
∀ ∈ 2;3 ⇒ A = f 3 = , B = f 2 = . 2 [ ] ( ) ( ) (x − )1 2 1 2 2 13
m + m + 3 m + m + 2 13 m =1 A + B = ⇔ + = ⇔ . 2 2 1 2 m = 2 − 2
Câu 11: Cho hàm số ( ) x − m f x =
với m là tham số thực. Giả sử m là giá trị dương của tham số m x + 8 0
để hàm số có giá trị nhỏ nhất trên đoạn [0; ] 3 bằng 3
− . Giá trị m thuộc khoảng nào trong các 0 khoảng cho dưới đây? A. (20;25). B. (5;6) . C. (6;9) . D. (2;5) . Lời giải Chọn D 2
Xét hàm số ( ) x − m f x = trên đoạn [0; ] 3 . x + 8 2 2 Ta có: 8 + m x − m y′ = > 0, x
∀ ∈ 0;3 ⇒ hàm số f (x) =
đồng biến trên đoạn [0; ] 3 2 [ ] (x +8) x + 8 2 min ( ) (0) m f x f − ⇒ = = . [0; ]3 8 Page 5
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ 2 −m m = 2 6
Theo giả thiết, ta có: min f (x) 2 = 3 − ⇔ = 3 − ⇔ m = 24 ⇔ . [0; ]3 8 m = 2 − 6
Mà m > 0, m∈ ⇒ m = 2 6 ≈ 4,9∈(2;5) .
Câu 12: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số 3 2
y = −x − 3x + m trên đoạn [ 1; − ] 1 bằng 0 .
A. m = 2.
B. m = 6.
C. m = 0.
D. m = 4. Lời giải Chọn D x = 0∈[ 1; − ] 1 Xét hàm số 3 2
y = −x − 3x + m trên đoạn [ 1; − ] 1 , ta có 2 y′ = 3 − x − 6 ; x y′ = 0 ⇔ x = 2 − ∉ [ 1; − ] 1 y (′ 1) − = m− 2 Mà y (′0) = m y (1 ′ ) = m− 4 Do đó min y = 4
− + m = 0 ⇔ m = 4. [ 1 − ] ;1
Vậy m = 4 thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 13: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 3 2
y = x − 3x + m có giá trị nhỏ nhất trên đoạn [ 1; − ] 1 bằng 2 m 2 2 A. m 2 .
B. m 2 2 .
C. m 4 2 . D. . m 4 2 Lời giải Chọn C 2
y ' 3x 6x x 0 y ' 0 x 2 Trên [ 1; − ]
1 thì y ' m4; y ' ; m y ' m2 1 0 1
nên Miny 2 m4 2 m 4 2 1 ;1
Câu 14: Có một giá trị m 3 2
0 của tham số m để hàm số y x m
1 x m 1 đạt giá trị nhỏ nhất
bằng 5 trên đoạn 0;
1 . Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. 2
2018m m 0 . B. 2m 1 0 . C. 2
6m m 0 .
D. 2m 1 0. 0 0 0 0 0 0 Lời giải
+ Đặt f x 3 x 2 m 1 x m1. Page 6
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ + Ta có: 2 2
y 3x m 1. Dễ thấy rằng y 0 với mọi x , m thuộc nên hàm số đồng biến
trên , suy ra hàm số đồng biến trên 0;
1 . Vì thế min y min f x f 0 m 1. 0 ;1 0 ;1
+ Theo bài ra ta có: m 1 5, suy ra m 4. + Như vậy m 4 0 và mệnh đề đúng là 2
2018m m 0 . 0 0
Câu 15: Nếu hàm số 2
y = x + m + 1− x có giá trị lớn nhất bằng 2 2 thì giá trị của m là A. 2 . B. − 2 . C. 2 . D. 2 − . 2 2 Lời giải Xét hàm số 2
y = x + m + 1− x
Tập xác định: D = [ 1; − ] 1 . Ta có: ′ =1 x y − 2 1− x 1 > x ≥ 0 1 1 > x ≥ 0 2 x = 1 1 > x ≥ 0 1 ′ = 0 − x = x y ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ x = ⇔ 2 2 2x = 1 2 . 2 1 − x > 0 2
1− x = x 1 x = − 2 Ta có: y( ) m y( ) 1 1 1 , 1 1 , m y − = − + = + = 2 + m . 2 Do hàm số 2
y = x + m + 1− x liên tục trên [ 1; − ]
1 nên Maxy = m+ 2 . [ 1 − ] ;1
Theo bài ra thì Maxy = 2 2 , suy ra m + 2 = 2 2 ⇔ m = 2 . [ 1 − ] ;1 Câu 16: Cho hàm số 3 2
y = 2x − 3x − m . Trên [ 1; − ]
1 hàm số có giá trị nhỏ nhất là 1 − . Tính m ? A. m = 6 − . B. m = 3 − . C. m = 4 − . D. m = 5 − . Lời giải Chọn C Xét [ 1; − ] 1 có 2
y′ = 6x − 6x . x = 0∈[ 1; − ] 1 y′ = 0 2
⇔ 6x − 6x = 0 ⇔ . x =1∈ [ 1; − ] 1 Khi đó y (− ) 1 = 5
− − m ; y (0) = −m ; y( ) 1 = 1 − − m Ta thấy 5 − − m < 1
− − m < −m nên min y = 5 − − m . [ 1 − ] ;1 Page 7
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Theo bài ra ta có min y = 1 − nên 5 − − m = 1 − ⇔ m = 4 − . [ 1 − ] ;1
Câu 17: Biết S là tập giá trị của m để tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 4 2 3 2
y = x − m x − 2x − m trên đoạn [0; ] 1 bằng 16
− . Tính tích các phần tử của S . A. 2 . B. 2 − . C. 15 − . D. 17 − . Lời giải TXĐ: D = . Ta có: 3 2 2
y′ = 4x − 3m x − 4x x = 0 3 2 2
y′ = 0 ⇔ 4x − 3m x − 4x = 0 ⇔ 2 2
4x − 3m x − 4 = 0 ( 2 ∆ = 9m + 64) x = 0 2 4 3m + 9m + 64 ⇔ x = > 1 8 2 4 3m − 9m + 64 x = < 0 8
Nên hàm số đơn điệu trên (0; ) 1 .
Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [0; ] 1 bằng 16 − nên
y( ) + y( ) = − ⇔ −m + ( 2 −m − m − ) 2 0 1 16 1 = 16
− ⇔ −m − 2m +15 = 0 . Vậy m .m = 15 − . 1 2 2
Câu 18: Tìm tất cả giá trị thực của tham số + + m để hàm số x mx 1 y =
liên tục và đạt giá trị nhỏ nhất x + m
trên đoạn [0;2] tại một điểm x ∈ 0;2 . 0 ( )
A. 0 < m <1 B. m >1 C. m > 2 D. 1 − < m <1 Lời giải Chọn A −m < 0 m > 0
Tập xác định: D = \ {− }
m . Hàm số liên tục trên [0;2] ⇔ ⇔ m 2 − > m < 2 −
x + 2mx + m −1 (x + m)2 2 2 −1 x = −m −1 Ta có y′ = = . Cho 1 y′ = 0 ⇔ . (x + m)2 (x + m)2 x = −m + 1 2 Ta có bảng biến thiên Page 8
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x ∈ 0;2 nên 0 < −m +1< 2 ⇔ 1 − < m <1 0 ( )
So với điều kiện hàm số liên tục trên đoạn [0;2]. Ta có 0 < m <1. CÓ THỂ GIẢI NHƯ SAU:
Điều kiện xác định x ≠ −m −m < 0 m > 0
Hàm số liên tục trên đoạn [0;2] nên −m ∈ [0;2] ⇒ ⇔ (*) −m > 2 m < 2 −
x + 2mx + m −1 (x + m)2 2 2 −1 y ' = = (x + m)2 (x + m)2 x = −m +1
y ' = 0 có hai nghiệm là 1 , x = −m − 1 2 x − x = 2 1 2
nên chỉ có nhiều nhất một nghiệm thuộc (0;2)
Ta thấy −m +1 > −m −1, m
∀ và do đó để hàm số liên tục và đạt giá trị nhỏ nhất trên [0;2] tại
một điểm x ∈ 0;2 thì 0 < −m +1< 2 ⇔ 1 − < m <1 (**) 0 ( )
Từ (*),(**) ta có 0 < m <1 Câu 19: Cho hàm số 1− msin x y =
. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [0;10] để cos x + 2
giá trị nhỏ nhất của hàm số nhỏ hơn 2 − ? A. 1. B. 9. C. 3. D. 6 . Lời giải
Tập xác định: D = . Ta có: 1− msin x y =
⇔ y cos x + msin x =1− 2y . cos x + 2
Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi: 2 2 2
y + m ≥1− 4y + 4y 2 2
⇔ 3y − 4y +1− m ≤ 0 2 2 2 − 1+ 3m 2 + 1+ 3m ⇔ ≤ y ≤ . 3 3 Page 9
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ 2 2 − 1+ 3 min m y = < 2 − 2 2 2 x∈ 3 1+ 3m > 8 3 m > 63 m > 21 Theo đề bài, ta có: m∈[0;10]
⇔ m∈[0;10] ⇔ m∈[0;10] ⇔ m∈[0;10] m∈ m∈ m∈ m∈ ⇔ m∈{5,6,7,8,9,1 } 0 .
Vậy có 6 giá trị nguyên của tham số m thỏa yêu cầu bài toán. Câu 20: Cho hàm số 3
y = ax + cx + d, a ≠ 0 có min f (x) = f ( 2
− ) . Giá trị lớn nhất của hàm số x ( ∈ −∞;0)
y = f (x) trên đoạn [1; ] 3 bằng
A. d −11a .
B. d −16a .
C. d + 2a .
D. d + 8a . Lời giải Vì 3
y = ax + cx + d, a ≠ 0là hàm số bậc ba và có min f (x) = f ( 2
− ) nên a < 0 và y ' = 0 có x ( ∈ −∞;0) hai nghiệm phân biệt. Ta có 2
y ' = 3ax + c = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ ac < 0 .
Vậy với a < 0, c > 0 thì y ' = 0 có hai nghiệm đối nhau c x = ± − 3a Từ đó suy ra min ( ) c f x = f c c − − ⇔ − − = 2 − ⇔ − = 2 ⇔ c = 12 − a x ( ∈ −∞;0) 3a 3a 3a Ta có bảng biến thiên
Ta suy ra max f (x) = f (2) = 8a + 2c + d = 1 − 6a + d . x [ ∈ 1; ] 3
Câu 21: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số x + m y =
có giá trị lớn nhất trên nhỏ hơn 2 x + x +1 hoặc bằng 1. A. m ≤1. B. m ≥1. C. m ≥ 1 − . D. m ≤ 1 − . Lời giải Chọn A + TXĐ: D = . + lim y = 0 x→∞ Page 10
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ 2 +
−x − 2mx +1− m y′ = ( . x + x + )2 2 1 2
y′ = 0 ⇔ −x − 2mx +1− m = 0 (*) 2
∆′ = m − m +1 > 0, m ∀ ∈
x < x , m ∀ ∈ (*)
nên có 2 nghiệm phân biệt 1 2 + BBT:
Vậy hàm số đạt giá trị lón nhất là f ( 1 x =
x = −m + m − m +1 2 ) với 2 2x +1 2 2 1 2 YCBT ⇔
≤1 ⇔ 1− 2m + 2 m − m +1 ≥1 2 2
− m + 2 m − m +1 +1 m < 0 2
⇔ m − m +1 ≥ m ⇔ m ≥ 0 ⇔ m ≤1 2 2
m − m +1 ≥ m 3 2
Câu 22: Giá trị lớn nhất của hàm số
x + x − m y =
trên [0;2] bằng 5. Tham số m nhận giá trị là x +1 A. 5 − . B. 1. C. 3 − . D. 8 − . Lời giải Chọn C Cách 1:
Tập xác định của hàm số: D = \{ } 1 ⇒ [0;2]⊂ D . 3 2 3 2 Ta có:
x + x − m
2x + 4x + 2x + m y = ⇒ y′ = . x +1 (x + )2 1 3 2
y′ = ⇔ x + x + x + m = ⇔ −( 3 2 0 2 4 2 0
2x + 4x + 2x) = m .
Ta có (0) = − ; (2) = 4 m y m y − 3
Đặt g (x) = −( 3 2
x + x + x) ⇒ g′(x) = −( 2 x + x + ) 1 2 4 2 6 8 2 = 0 ⇔ x = 1 − ∨ x = − . 3
Trên [0;2] ta có bảng biến thiên: Page 11
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Từ bảng biến thiên ta có g (x)∈[ 3 − 6;0], x ∀ ∈[0;2].
Trường hợp 1: m > 0 ⇒ phương trình vô nghiệm ⇔ phương trình y′ = 0 vô nghiệm.
Dễ thấy (0) = − < (2) = 4 m y m y − khi m > 0. 3
Khi đó Max = (2) = 4 m y y − = 5 ⇔ m = 3
− loại do m > 0. [0;2] 3
Trường hợp 2: m < 36
− ⇒ phương trình vô nghiệm ⇔ phương trình y′ = 0 vô nghiệm.
Dễ thấy (0) = − > (2) = 4 m y m y − khi m < 36 − . 3
Khi đó Max y = y(0) = −m = 5 ⇔ m = 5 − loại do m < 36 − . [0;2]
Trường hợp 3: m∈[ 3
− 6;0] ⇒ phương trình y′ = 0 có nghiệm duy nhất .
Trên [0;2] ta có bảng biến thiên:
Nhìn vào bảng biến thiên ta có:
+ x = x : g (x) = m ⇔ −( 3 2
2x + 4x + 2x) 3 2
= m ⇔ 2x + 4x + 2x + m = 0 ⇔ y′ = 0 . 0
+ x∈(0; x ) : g (x) > m ⇔ −( 3 2
2x + 4x + 2x) 3 2
> m ⇔ 2x + 4x + 2x + m < 0 ⇔ y′ < 0 . 0
+ x∈(x ;0) : g (x) < m ⇔ −( 3 2
2x + 4x + 2x) 3 2
< m ⇔ 2x + 4x + 2x + m > 0 ⇔ y′ > 0 . 0
Ta có bảng biến thiên sau:
Từ bảng biến thiên ta thấy Max y ∈{y(2); y(0)}. [0;2] Nếu m∈[ 3
− 6;− 6] ⇒ y(0) ≥ y(2) ⇒ Max y = y(0) = −m = 5 ⇔ m = 5 − (l) . [0;2] Nếu m∈[ 6;
− 0] ⇒ (0) ≤ (2) ⇒ Max = (2) = 4 m y y y y − = 5 ⇔ m = 3 − (n) . [0;2] 3 Page 12
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Vậy m = 3 − thỏa đề. Cách 2:
Tập xác định của hàm số: D = \{ } 1 ⇒ [0;2]⊂ D . 3 2 Ta có:
x + x − m 2 m = = − ⇒ ′ = 2 m y x y x + . x +1 x +1 (x + )2 1
Trường hợp 1: m ≥ 0 ⇒ y′ ≥ 0, x
∀ ∈[0;2] ⇒ Hàm số đồng biến trên [0;2] . ⇒ Max = (2) = 4 m y y − = 5 ⇔ m = 3
− loại do m > 0. [0;2] 3
Trường hợp 2: m < 0 , giả sử ⇒ Max y = y(x0 ) với x ∈ 0;2 . Do hàm số liên tục trên [0;2] 0 ( ) [0;2] y′(x ) m = 2 − x (x + )2 1 0 0 = 0 0 ⇒ ⇔ y ( x ) 3 2
x + x − m 0 0 = 5 0 = 5 x + 1 0 3 2 5 x x 2x x 1 5 x 1 x − ⇒ + + + = + ⇔ =
∨ x =1(n) ⇒ m = 8 − . 0 0 0 ( 0 )2 ( 0 ) 0 3 3 2 Khi đó: 8 −
2x + 4x + 2x −8 y′ = 2x + =
⇒ y′ = 0 ⇔ x =1. (x + )2 1 (x + )2 1 Ta có bảng biên thiên: ⇒ m = 8
− không thỏa yêu cầu đề.
Nên không tồn tại x ∈ 0;2 để Max y = y(x0 ) . 0 ( ) [0;2]
Max y = y (2) ⇒ m = 5 − [0;2] ⇒ .
Max y = y(0) ⇒ m = 3 − [0;2]
Nếu m = − ⇒ y( ) = y( ) 17 = ⇒ y = y ( ) 17 5 0 5; 2 Max 2 = ≠ 5 ⇒ m = 5 − (l) . 3 [0;2] 3 Nếu m = 3
− ⇒ y(0) = 3; y(2) = 5 ⇒ Max y = y(2) = 5 ⇒ m = − ( 3 n) . [0;2] Vậy m = 3 − thỏa đề.
Câu 23: Cho hàm số y = (x − x + m)2 3 3
. Tổng tất cả các giá trị của tham số m sao cho giá trị nhỏ nhất
của hàm số trên đoạn [ 1; − ] 1 bằng 1 là A. 1. B. 4 − . C. 0 . D. 4 . Lời giải Chọn C Page 13
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ D = . Đặt 3
t = x − 3x, x ∈[ 1; − ] 1 ⇒ t ∈[ 2 − ;2].
Khi đó ta có hàm số f (t) = (t + m)2 .
f ′(t) = 2(t + m); f ′(t) = 0 ⇔ t = − . m Trường hợp 1: 2
− < −m < 2 ⇔ 2 − < m < 2.
Từ bảng biến thiên ta thấy: min f (t) = f (−m) = 0 không thỏa mãn yêu cầu. [ 2; − 2]
Trường hợp 2: −m ≤ 2 − ⇔ m ≥ 2
Từ bảng biến thiên ta thấy: min f (t) = f ( 2 − ) = (m − 2)2 . [ 2; − 2] m = 3
Theo yêu cầu bài toán:(m − 2)2 m ≥ 2 =1 ⇔ →m = 3. m =1
Trường hợp 3: −m ≥ 2 ⇔ m ≤ 2 −
Từ bảng biến thiên ta thấy: min f (t) = f (2) = (m + 2)2 . [ 2; − 2] m = 3 −
Theo yêu cầu bài toán:(m + 2)2 m 2 =1 ≤− ⇔ →m = 3. − m = 1 −
Vậy tổng các giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu là: 3+ ( 3 − ) = 0.
Câu 24: Tìm tất cả các giá trị của m > 0 để giá trị nhỏ nhất của hàm số 3
y = x − 3x +1 trên đoạn
[m +1;m + 2] luôn bé hơn 3. A. m∈(0;2). B. m∈(0; ) 1 .
C. m∈(1;+ ∞) .
D. m∈(0;+ ∞) . Lời giải Ta có 2
y′ = 3x − 3 , y′ = 0 ⇔ x = 1 ± do đó y = y
= − và y = y − = . Đ 1 3 C ( ) CT ( ) 1 1
Thấy ngay với m > 0 thì trên đoạn [m +1;m + 2] hàm số luôn đồng biến.
Vậy GTNN của hàm số đã cho trên đoạn [m +1;m + 2] là y(m + ) = (m + )3 1 1 − 3(m + ) 1 +1. m +1 < 2 m <1
GTNN luôn bé hơn 3 ⇔ (m + )3 1 − 3(m + ) 1 − 2 < 0 ⇔ ⇔ . m +1 ≠ 1 − m ≠ 2 −
Kết hợp điều kiện m > 0 ta được m∈(0; ) 1 . Page 14
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Câu 25: Biết rằng giá trị nhỏ nhất của hàm số 36 y = mx + trên [0; ]
3 bằng 20 . Mệnh đề nào sau đây x +1 đúng?
A. 0 < m ≤ 2 .
B. 4 < m ≤ 8.
C. 2 < m ≤ 4 . D. m > 8 . Lời giải 36 y = mx + 36 ⇒ y′ = m − x +1 (x + )2 1 Trường hợp 1: 36
m = 0, ta có y′ = − < 0, x ∀ ≠ 1
− .Khi đó min y = y (3) = 9 . (x + )2 1 x [ ∈ 0; ] 3
Trường hợp 2: m ≠ 0 Nếu 11
m < 0 , ta có y′ < 0 , x ∀ ≠ 1
− Khi đó min y = y (3) ⇔ 20 = 3m + 9 ⇔ m = . x [ ∈ 0; ] 3 3 6 x = −1 Nếu 36 m m
> 0, khi đó y′ = 0 ⇔ m − = 0 ⇔ (x + )2 36 1 = ⇔ . (x + )2 1 m 6 x = − −1 (l) m 6 m = 4 6 4 0 <
−1≤ 3 ⇔ < m ≤ 36 , min y = y − 1 =
12 m − m = 20 ⇔ . m 9 x [ ∈ 0; ] 3 m m =100 (l) 6 9
−1 > 3 ⇔ m < , min y = y(3) 11
⇔ 20 = 3m + 9 ⇔ m = (l) . m 4 x [∈0; ]3 3 Câu 26: Cho hàm số 3 2
y = x − mx + ( 2 3 3 m − )
1 x + 2020 . Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m sao
cho hàm số có giá trị nhỏ nhất trên khoảng (0;+∞)? A. 2 . B. 1. C. Vô số. D. 3. Lời giải Chọn D x = m −1 Ta có: 2
y ' = 3x − 6mx + 3( 2 m − ) 1 1 = 0 ⇔ . x = m + 1 2
Để hàm số có giá trị nhỏ nhất trên khoảng (0;+∞) thì x ≤ 0 < x hoặc 0 < x < x . 1 2 1 2
TH1: x ≤ 0 < x ⇔ m −1≤ 0 < m +1 ⇔ 1
− < m ≤1. Do m∈ ⇒ m∈ 0;1 . 1 2 { } BBT của hàm số:
TH2: 0 < x < x . 1 2 Page 15
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ BBT của hàm số m −1 > 0
Hàm số có giá trị nhỏ nhất trên khoảng (0;+∞) khi và chỉ khi . y (m + ) 1 ≤ y(0) m >1 ⇔ ( m + )3 1 − 3m(m + )2 1 + 3 ( 2 m − ) 1 (m + ) 1 + 2020 ≤ 2020 m >1 ⇔ ( m + )2 1 (m − 2) ≤ 0 m >1
⇔ m ≤ 2 ⇔ 1< m ≤ 2. m = 1 −
Do m∈ ⇒ m = 2 . Vậy m∈{0;1; } 2 .
Câu 27: Cho hàm số f (x) = m x −1 . Gọi m ,m là hai giá trị của m thoả mãn 1 2 min f (x) + a m x f (x) 2
= m −10 . Giá trị của m + m bằng [2;5] [2;5] 1 2 A. 3. B. 5. C. 10. D. 2. Lời giải Chọn A
Ta có 'f (x) 1 = . m ; 2 x −1
Do m ≠ 0 nên 'f (x) khác 0 và có dấu không thay đổi với x ∀ ∈(1;+∞).
Nếu m > 0 thì 'f (x) > 0, x
∀ ∈[2;5]. Do đó min f (x) = f (2) = ; m a
m x f (x) = f (5) = 2 . m [2;5] [2;5] min f (x) + a m x f (x) 2 = m −10 [2;5] [2;5] 2
⇔ m + 2m = m −10 m = 2 − 2 1
⇔ m − 3m −10 = 0 ⇔ m = 5 2
Do m > 0 nên nhận m = 5. 2
Nếu m < 0 thì 'f (x) < 0, x
∀ ∈[2;5]. Do đó min f (x) = f (5) = 2 ; m a
m x f (x) = f (2) = . m [2;5] [2;5] Page 16
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ min f (x) + a m x f (x) 2 = m −10 [2;5] [2;5] 2
⇔ 2m + m = m −10 m = 2 − 2 1
⇔ m − 3m −10 = 0 ⇔ m = 5 2
Do m < 0 nên nhận m = 2. − 1
Vậy m + m = 3. 1 2 Câu 28: Cho hàm số msin x +1 y =
có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [ 5; − 5] cosx + 2
để giá trị nhỏ nhất của y nhỏ hơn 1 − . A. 4 . B. 2 . C. 6 . D. 8 . Lời giải Chọn C
Điều kiện: cosx + 2 ≠ 0 luôn đúng x ∀ ∈ . msin x +1 y =
⇔ y (cosx + 2) = msin x +1 cosx + 2 ⇔ msin x − c
y osx = 2y −1. Phương trình có nghiệm 2 2 2 2 ⇔ + ≥ ( − )2 2 2 2 − 1+ 3m 2 + 1+ 3 2 1 ⇔ 3 − 4 +1− ≤ 0 m m y y y y m ⇔ ≤ y ≤ . 3 3 2 Vậy 2 1 3m Min y − + = . 3 2 2 − 1+ 3m m > 2 2 ≈ 2,82 2 2 Min y < 1 − ⇔ < 1
− ⇔ 1+ 3m > 5 ⇔ m −8 > 0 ⇔ . 3 m < 2 − 2 ≈ 2, − 82
Mà m∈,m∈[ 5; − 5] nên m∈{ 5 − ; 4 − ; 3 − ;3;4; } 5 .
Câu 29: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) 34 = trên đoạn [0; ]
3 bằng 2. Tổng tất cả các phần tử của S bằng
(x −3x+2m)2 3 +1 A. 8 . B. 8 − . C. 6 − . D. 1 − . Lời giải Chọn B
Ta có (x − x + m)2 3 3 3 2
= x − 3x + 2m
Nhận thấy min f (x) = 2 3
⇔ max x − 3x + 2m =16 ( ) 1 . [0; ] 3 [0; ]3
Xét hàm số g (x) 3
= x − 3x + 2m trên [0; ] 3 , ta có: Page 17
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ x = 1∈(0;3) + g (x) 2 '
= 3x − 3 , g (x) 2 ' = 3x − 3 = 0 ⇔ x = 1 − ∉ (0;3) + g (0) = 2 , m g ( )
1 = 2m − 2, g (3) = 2m +18
Do đó 2m − 2 ≤ g (x) ≤ 2m +18, x ∀ ∈[0; ] 3 , tức 3
max x − 3x + 2m = max{ 2m − 2 ; 2m +18}. [0; ]3 [0; ]3 Từ đây ta có ( )
1 ⇔ max{ 2m − 2 ; 2m +18} =16 [0; ]3
2m +18 > 2m − 2 2m +18 =16 m = 1 − ⇔ ⇔ . Suy ra S = { 7; − − }
1 . Vậy, tổng các phần tử của S là 8 − .
2m +18 ≤ 2m − 2 m = 7 − 2m − 2 = 16
Câu 30: Cho hàm số y = (x − x + m + )2 3 3
1 . Tổng tất cả các giá trị của tham số m sao cho giá trị nhỏ
nhất của hàm số trên đoạn [ 1; − ] 1 bằng 1 là A. 2 − . B. 4 . C. 4 − . D. 0 . Lời giải Chọn A
Đặt y = f x = (x − x + m + )2 3 ( ) 3
1 là hàm số xác định và liên tục trên đoạn [ 1; − ] 1 .
Ta có y′ = f ′ x = ( 3
x − x + m + )( 2 ( ) 2 3 1 3x − 3) . x = 1 ±
f (′x) = 0 ⇔ . 3
m = −x + 3x −1 = g(x)
Ta khảo sát hàm số g(x) trên đoạn [ 1; − ] 1 .
Bảng biến thiên của g(x) Nếu m∈[ 3 − ; ]
1 thì luôn tồn tại x ∈ 1;
− 1 sao cho m = g(x ) hay f (x ) = 0 . Suy ra 0 [ ] 0 0
min y = 0 , tức là không tồn tại m thỏa mãn yêu cầu bài toán. [ 1 − ] ;1 Nếu m∉[ 3 − ; ]
1 thì f (′x) = 0 ⇔ x = 1 ± ∈[ 1; − ] 1 .
Ta có: min f (x) = min{ f (1); f (− } 1) = min{ 2 2
(m −1) ;(m + 3) } [ 1 − ] ;1 Page 18
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Trường hợp 1: m >1 tức là m + 3 > m −1 > 0 suy ra m = 2 (TM ) 2
min f (x) = (m −1) =1 ⇔ [ 1 − ] ;1 m = 0 (KTM )
Trường hợp 2: m < 3
− tức là m −1< m + 3 < 0 suy ra m = 4 − (TM ) 2
min f (x) = (m + 3) =1 ⇔ [ 1 − ] ;1 m = 2 − (KTM )
Vậy có hai giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán: m = 2;m = 4
− , từ đó tổng tất cả các giá trị của m là 2 − .
Câu 31: Cho hàm số y = f (x) 2
= m ( + x + − x ) 2 2 2
+ 4 4 − x + m +1. Tính tổng tất cả các giá trị của
m để hàm số y = f ( x) có giá trị nhỏ nhất bằng 4 . A. 7 − . B. 5 . C. 1 − . D. 1 . 2 2 2 2 Lời giải Chọn C TXĐ: D = [ 2; − 2].
Đặt t = 2 + x + 2 − x ; t ∈ 2;2 2 . 2 2
⇔ t = 4 + 2 4 − x 2 2
⇔ 2 4 − x = t − 4 .
⇒ y = g (t) 2 = m t + ( 2
2 t − 4) + m +1 2 2
= 2t + m t + m − 7 với t ∈ 2;2 2 . Ta có: g′(t) 2 = 4t + m . 2 ( ) 0 m g t t − ′ = ⇔ = < 0; m
∀ ∈ ⇒ g (t) đồng biến trên 2;2 2 ⇒ min g t = g 2 = 4 . 4 ( ) ( ) 2;2 2 m =1 Mà g ( ) 2 2 = 2m + m +1 2
⇔ 2m + m +1 = 4 3 . m = − 2 Tổng các giá trị của
m thỏa mãn ycbt là 3 1 S =1+ − = − . 2 2
Câu 32: Cho hàm số ( ) 2x − m f x = với m ≠ 2
− . Mệnh đề nào dưới đây sai? x +1 A. ( ) 2 m 6 max max ; m f x − − = 6 − m .
B. max f (x) = khi m < 2 − . [1; ]3 2 4 [1; ] 3 4 C. ( ) 2 m 6 min min ; m f x − − = 2 − m .
D. min f (x) = khi m > 2 − . [1; ]3 2 4 [1; ]3 2 Lời giải Chọn B Page 19
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Xét hàm số ( ) 2x − m f x = với m ≠ 2 − . x +1
Tập xác định x ≠ 1 − . Ta có ′( ) 2 + m f x =
suy đạo hàm không đổi dấu x∈[1; ] 3 suy ra (x + )2 1 ( ) { ( ) ( )} 2 m 6 max max 1 ; 3 max ; m f x f f − − = = ; [1; ]3 2 4 ( ) { ( ) ( )} 2 m 6 min min 1 ; 3 min ; m f x f f − − = = . [1; ]3 2 4 Xét với m < 2
− ⇒ f ′(x) < 0 x ∀ ∈[1; ] 3 . Vậy [ ] ( ) ( ) 2 1;3 1 m x f x f − ∀ ∈ ⇒ ≤ = 2 ( ) 2 max m f x − ⇒ = . [1; ] 3 2 Xét với m > 2
− ⇒ f ′(x) > 0 x ∀ ∈[1; ] 3 . Vậy [ ] ( ) ( ) 2 1;3 1 m x f x f − ∀ ∈ ⇒ ≥ = 2 ( ) 2 min m f x − ⇒ = . [1; ] 3 2
Câu 33: Có bao nhiêu số nguyên x + m + m thuộc đoạn [ 20 −
; 20] để giá trị lớn nhất của hàm số 6 y = x − m trên đoạn [1 ; ] 3 là số dương? A. 9. B. 8. C. 11. D. 10. Lời giải Chọn A
Tập xác định D = \{ } m .
Để hàm số có giá trị lớn nhất trên [1 ; ] 3 thì m∉[1 ; ] 3 . 2 − m − 6 y′ = . (x − m)2 Trường hợp 1: 2
− m − 6 > 0 ⇔ m < 3. − Khi đó
y = y ( ) m + 9 max 3 = . x [ ∈ 1 ; ] 3 3− m
Để giá trị lớn nhất trên đoạn [1 ; ]
3 là số dương thì m + 9 > 0 ⇔ m + 9 > 0 ⇔ m > 9. − 3− m
Vậy các số nguyên m thỏa là 8, − 7, − 6, − 5, − 4. − Trường hợp 2: 2
− m − 6 < 0 ⇔ m > 3. − Khi đó
y = y ( ) m + 7 max 1 = . x [ ∈ 1 ; ] 3 1− m Page 20
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Để giá trị lớn nhất trên đoạn [1 ; ]
3 là số dương thì m + 7 > 0 ⇔ 1− m > 0 ⇔ m <1. 1− m
Vậy các số nguyên m thỏa mãn là 2, − 1, − 0. Trường hợp 3: 2
− m − 6 = 0 ⇔ m = 3. −
Khi đó y =1. Nên max y =1. x [ ∈ 1 ; ] 3 Vậy m = 3 − thỏa.
Kết luận: có 9 số nguyên m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Page 21
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ NG ƯƠ
I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM
ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ CH
BÀI 3: GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT VÀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA HÀM SỐ
III BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. (MỨC 9 – 10)
DẠNG 1. ĐỊNH M ĐỂ GTLN-GTNN CỦA HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI THỎA
MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC
Dạng 1: Tìm m để max y = f (x) + m = a (a > 0). [α;β] Phương pháp:
Cách 1:Trước tiên tìm max f (x) = K;
min f (x) = k (K > k). [α;β] [α;β]
m + K + m + k
m + K − m − k K − k
Kiểm tra max{ m + K , m + k } ≥ ≥ = . 2 2 2 K − k
m + k = −a
m = −a − k TH1: ≤ .
a Để max y = a ⇔ ⇔
⇒ m∈{−a − k;a − K} . 2 [α;β]
m + K = a
m = a − K K − k TH2:
> a ⇒ m∈∅ . 2
Cách 2: Xét trường hợp m + K = a
TH1: Max = m + K ⇔
m + K ≥ m + k m + k = a
TH2: Max = m + k ⇔
m + k ≥ m + K
Dạng 2: Tìm m để min y = f (x) + m = a (a > 0). [α;β] Phương pháp:
Trước tiên tìm max f (x) = K;
min f (x) = k (K > k). [α;β] [α;β]
m + k = a m + K = −a
m = a − k m = −a − K
Để min y = a ⇔ ∨ ⇔ ∨
. Vậy m∈ S ∪ S . [α;β]
m + k > 0 m + K < 0 m > −k m < −K 1 2
Dạng 3: Tìm m để max y = f (x) + m không vượt quá giá trị M cho trước. [α;β] Page 153
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Phương pháp: Trước tiên tìm max f (x) = K;
min f (x) = k (K > k). [α;β] [α;β]
m + k ≥ −M
Để max y ≤ M ⇒
⇔ −M − k ≤ m ≤ M − K. [α;β]
m + K ≤ M
Dạng 4: Tìm m để min y = f (x) + m không vượt quá giá trị a cho trước. [α;β]
Phương pháp: Trước tiên tìm max f (x) = K;
min f (x) = k (K > k). [α;β] [α;β] Để
m + k ≤ a m + K ≥ −a
m ≤ a − k m ≥ −a − K
min y ≤ a ⇔ ∨
∨ (m + K )(m + k ) < 0 ⇔ ∨
∨ −K < m < −k. [α;β]
m + k ≥ 0 m + K ≤ 0 m ≥ −k m ≤ −K
Dang 5: Tìm m để max y = f (x) + m đạt min. [a;b] Phương pháp:
Trước tiên tìm max f (x) = K;
min f (x) = k (K > k). [a;b] [a;b] K k K − k Đề hỏi tìm m m + ⇒ = −
. Đề hỏi tìm min của max y ⇒ giá trị này là . 2 [a;b] 2
Dạng 6: Tìm m để min y = f (x) + m đạt min. [a;b]
Phương pháp: Trước tiên tìm max f (x) = K;
min f (x) = k (K > k). [a;b] [a;b]
Đề hỏi tìm m ⇒ (m + K )(m + k) ≤ 0 ⇔ −K ≤ m ≤ −k . Đề hỏi tìm min của min y ⇒ giá trị này là 0. [a;b]
Dạng 7: Cho hàm số y = f (x) + m .Tìm m để max y ≤ .hmin y(h > 0) hoặc Min + max = [a;b] [a;b]
Phương pháp: Trước tiên tìm max f (x) = K;
min f (x) = k (K > k). [a;b] [a;b] TH1:
K +m ≥ k +m
K + m ≤ h k + m → m ∈ S .
K +m cungdau k +m 1 TH2:
k +m ≥ K +m
k + m ≤ h K + m →m∈ S .
K +m cungdau k +m 2
Vậy m∈ S ∪ S . 1 2
Dạng 8: Cho hàm số y = f (x) + m .
Phương pháp: Trước tiên tìm max f (x) = K;
min f (x) = k (K > k). [a;b] [a;b]
BT1: Tìm m để min y + max y = α ⇔ m + K + m + k = α . [a;b] [a;b]
BT2: Tìm m để min y*max y = β ⇔ m + K * m + k = β . [a;b] [a;b]
Câu 1: Tìm m để giá trị lớn nhất của hàm số 3
y = x − 3x + 2m −1 trên đoạn [0;2] là nhỏ nhất. Giá trị
của m thuộc khoảng nào? Page 154
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ 3 2 A. ; 1 − − . B. ;2 . C. [ 1; − 0]. D. (0; ) 1 . 2 3
Câu 2: Tính tổng tất cả các giá trị của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số 2
y = x − 2x + m trên đoạn [ 1; − 2] bằng 5. A. 1 − . B. 2 . C. 2 − . D. 1. Câu 3: Cho hàm số 2
y = x + 2x + a − 4 ( a là tham số ). Tìm a để giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [ 2; − ]
1 đạt giá trị nhỏ nhất A. a =1. B. a = 3. C. a = 2 .
D. a = 5 .
Câu 4: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số 2
x + mx + m y =
trên [1;2] bằng 2 . Số phần tử của tập S . x +1 A. 3. B. 1. C. 4 . D. 2 .
Câu 5: Xét hàm số ( ) 2
f x = x + ax + b , với a , b là tham số. Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số trên [ 1; − ]
3 . Khi M nhận giá trị nhỏ nhất có thể được, tính a + 2b . A. 2 . B. 4 . C. 4 − . D. 3. Câu 6: Cho hàm số 3 2
y = x + x + ( 2 m + )
1 x + 27 . Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [ 3 − ;− ] 1 có giá
trị nhỏ nhất bằng A. 26 . B. 18. C. 28 . D. 16.
Câu 7: Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số 2
y = x + 2x + m − 4 trên đoạn [ 2; − ] 1 bằng 4 ? A. 1. B. 2 . C. 3. D. 4 .
Câu 8: Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số 1 4 19 2 y = x −
x + 30x + m − 20 trên đoạn [0;2] không vượt quá 20 . Tổng các phần tử của S 4 2 bằng A. 210 . B. 195 − . C. 105. D. 300. 4 Câu 9: Cho hàm số
x + ax + a y =
, với a là tham số thực. Gọi M ,m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá x +1
trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn [1;2]. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a để M ≥ 2m ? A. 10. B. 14. C. 5. D. 20 .
Câu 10: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số thực m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số 1 4 2
y = x −14x + 48x + m − 30 trên đoạn [0;2] 4
không vượt quá 30. Tổng giá trị các phần tử
của tập hợp S bằng bao nhiêu? A. 120. B. 210 . C. 108. D. 136. Page 155
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Câu 11: Cho hàm số 4 3 2
y = x − 2x + x + a . Có bao nhiêu số thực a để min y+ max y =10 ? [1;2] [1;2] A. 3. B. 5. C. 2. D. 1.
Câu 12: Biết giá trị lớn nhất của hàm số y = f (x) 3
= 2x −15x + m − 5 + 9x trên [0; ] 3 bằng 60 . Tính
tổng tất cả các giá trị của tham số thực m . A. 48 . B. 5. C. 6 . D. 62 .
Câu 13: Cho hàm số f (x) 4 3 2
= x − 2x + x + m ( m là tham số thực). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị
của m sao cho min f (x) + max f (x) =10 . Số phần tử của S là? [ 1 − ;2] [ 1 − ;2] A. 2 . B. 3. C. 5. D. 1. Câu 14: Cho hàm số 4 2
y = x − 2x + 3m với m là tham số. Biết rằng có đúng hai giá trị m ,m 1 2 của m
để giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên [ 1;
− 2] bằng 2021. Tính giá trị m − m 1 2 . 1 4052 8 4051 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3
Câu 15: Cho hàm số f (x) 3 2
= x − 3x + m +1( m là tham số thực). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị
nguyên của m thuộc đoạn [ 2020 −
;2020] sao cho max f (x) ≤ 3min f (x) . Số phần tử của S là [1;4] [1;4] A. 4003. B. 4002 . C. 4004 . D. 4001.
DẠNG 2. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT HÀM ẨN, HÀM HỢP
Câu 16: Cho hàm số y = f (x) xác định và liên tục trên , đồ thị của hàm số y = f ′(x) như hình vẽ.
Giá trị lớn nhất của hàm số y = f (x) trên đoạn [ 1; − 2] là A. f ( ) 1 . B. f (− ) 1 . C. f (2) . D. f (0) . Page 156
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Câu 17: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm là hàm f ′(x) . Đồ thị của hàm số y = f ′(x) được cho như
hình vẽ. Biết rằng f (0) + f (3) = f (2) + f (5) . Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của y = f (x)
trên đoạn [0;5] lần lượt là:
A. f (2) ; f (5).
B. f (0) ; f (5).
C. f (2) ; f (0) . D. f ( ) 1 ; f (5) .
Câu 18: Cho hàm số f (x) có đạo hàm là f ′(x) . Đồ thị của hàm số y = f ′(x) được cho như hình vẽ
bên. Biết rằng f (0) + f ( )
1 − 2 f (3) = f (5) − f (4). Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất
M của f (x) trên đoạn [0;5].
A. m = f (5),M = f (3) B. m = f (5),M = f ( ) 1
C. m = f (0),M = f (3) D. m = f ( ) 1 , M = f (3)
Câu 19: Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như hình dưới đây. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
g (x) = f ( 2 x − x ) 1 3 2 1 4
+ x − 3x + 8x + trên đoạn [1; ] 3 . 3 3 A. 15. B. 25 . C. 19 . D. 12. 3 3 Page 157
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Câu 20: Cho hàm số y = f (x) liên tục trên .
Đồ thị của hàm số y = f ′( x) như hình bên. Đặt
g (x) = f (x) −(x + )2 2
1 . Mệnh đề dưới đây đúng.
A. max g (x) = g (3). B. min g (x) = g ( )
1 . C. max g (x) = g (0). D. max g (x) = g ( ) 1 . [ 3 − ; ] 3 [ 3 − ; ] 3 [ 3 − ; ] 3 [ 3 − ; ] 3
Câu 21: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm cấp hai trên . Biết f ′(0) = 3 , f ′(2) = 2018 − và bảng xét
dấu của f ′′(x) như sau:
Hàm số y = f (x + 2017) + 2018x đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm x0 thuộc khoảng nào sau đây? A. ( ; −∞ − 2017) B. (2017;+∞) C. (0;2) D. ( 2017 − ;0)
Câu 22: Cho hàm số f (x) có đạo hàm là f ′(x) . Đồ thị của hàm số y = f ′(x) được cho như hình vẽ dưới đây: Biết rằng f (− )
1 + f (0) < f ( )
1 + f (2) . Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y = f (x) trên đoạn [ 1; − 2] lần lượt là: A. f ( ) 1 ; f (2) .
B. f (2) ; f (0) .
C. f (0) ; f (2) . D. f ( ) 1 ; f (− ) 1 . 7 Câu 23: Cho hàm số
y = f (x) liên tục trên đoạn 0;
có đồ thị hàm số y = f '(x) như hình vẽ. 2 Page 158
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ 7
Hàm số y = f (x) đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn 0;
tại điểm x nào dưới đây? 2 0 7 A. x = 0 x =1 x = 3 0 . B. x = 0 . C. . D. . 2 0 0
Câu 24: Cho hàm số y = f (x) . Đồ thị hàm y = f ′(x) như hình vẽ y 2 x - O 1 -1
Đặt h(x) = f (x) 3 3
− x + 3x . Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A. max h(x) = 3 f ( )
1 . B. max h(x) = 3 f (− 3) . [− 3; 3] [− 3; 3]
C. max h(x) = 3 f ( 3) . D. max h(x) = 3 f (0). [− 3; 3] [− 3; 3]
Câu 25: Cho hàm số y = f (x) có đồ thị y = f ′(x) ở hình vẽ bên. Xét hàm số
g (x) = f (x) 1 3 3 2 3
− x − x + x + 2018, mệnh đề nào dưới đây đúng? 3 4 2 g 3 − + g 1
A. min g (x) = g (− ) 1 .
B. min g (x) ( ) ( ) = . [ 3 − ] ;1 [ 3 − ] ;1 2
C. min g (x) = g ( 3 − ) .
D. min g (x) = g ( ) 1 . [ 3 − ] ;1 [ 3 − ] ;1
Câu 26: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên R . Hàm số y = f '(x) có đồ thị như hình sau: Page 159
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Cho bốn mệnh đề sau:
1) Hàm số y = f (x) có hai cực trị
2) Hàm số y = f (x) đồng biến trên khoảng (1;+∞) 3) f ( )
1 > f (2) > f (4). 4) Trên đoạn [ 1;
− 4], giá trị lớn nhất của hàm số y = f (x) là f ( ) 1 .
Số mệnh đề đúng trong bốn mệnh đề trên là: A. 3. B. 1. C. 4. D. 2.
Câu 27: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như hình dưới đây. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
gx f 2 x x 1 3 2 1 4
x 3x 8x trên đoạn 1; 3 . 3 3 A. 25. B. 15. C. 19. D. 12. 3 3
Câu 28: Cho hàm số y = f (x) . Hàm số y = f ′(x) có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Giá trị lớn nhất
của hàm số g (x) = f ( x) 2
2 − sin x trên đoạn [ 1; − ] 1 là A. f (− ) 1 . B. f (0). C. f (2) . D. f ( ) 1 . Page 160
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Câu 29: Cho hàm số y = f (x) liên tục trên sao cho max f (x) = 3. Xét hàm số g (x) = f (3x − ) 1 + m [ 1 − ;2]
. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để max g (x) = 1 − 0 . [0 ] ;1 A. 13. B. 7 − . C. 13 − . D. 1 − .
Câu 30: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm cấp 2 trên , hàm số y = f ′(x) có đồ thị như hình vẽ bên. + π π
Giá trị lớn nhất của hàm số sin x 3 cos x y = f trên đoạn 5 − ; bằng 2 6 6 π π π A. f − . B. f (0) . C. 5 f − . D. f . 3 6 6
Câu 31: Cho hàm số y = f (x) liên tục trên sao cho max f (x) = f (2) = 4 . Xét hàm số x [ ∈ 0;10]
g (x) = f ( 3 x + x) 2
− x + 2x + m . Giá trị của tham số m để max g (x) = 8 là x [ ∈ 0;2] A. 5. B. 4 . C. 1 − . D. 3.
Câu 32: Cho hai hàm số y = f (x) , y = g (x) có đạo hàm là f ′(x) , g′(x) . Đồ thị hàm số y = f ′(x) và
g′(x) được cho như hình vẽ bên dưới.
Biết rằng f (0) − f (6) < g (0) − g (6). Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
h(x) = f (x) − g (x) trên đoạn [0;6] lần lượt là:
A. h(6), h(2) .
B. h(2) , h(6).
C. h(0), h(2) .
D. h(2) , h(0). Page 161
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Câu 33: Cho hàm số f (x) liên tục trên , có đồ thị như hình vẽ
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số 8x y f = + m − 1 2 x +1
có giá trị lớn nhất không vượt quá 2020 ? A. 4029 . B. 4035. C. 4031. D. 4041.
Câu 34: Cho hàm số y = f (x) liên tục trên có đồ thị y = f ′(x)
như hình bên. Đặt g (x) = f (x) −(x − )2 2 1 .
Khi đó y = g (x) đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn [ 3 − ; ] 3 tại A. x = 3 − . B. x = 3. C. x = 0 . D. x =1.
Câu 35: Cho hàm số f (x) . Biết hàm số f ′(x) có đồ thị như hình dưới đây. Trên [ 4; − ]3, hàm số
g (x) = f (x) + ( − x)2 2 1
đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm A. x = 3 − . B. x = 4 − . C. x = 3. D. x = 1 − . Page 162
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Câu 36: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm cấp hai trên . Biết f ′(0) = 3, f ′(2) = f ′( 2018 − ) = 0 , và
bảng xét dấu của f ′′(x) như sau
Hàm số y = f ( x −1 − 2018) đạt giá trị nhỏ nhất tại x thuộc khoảng nào sau đây? 0 A. ( ; −∞ 2015 − ). B. (1;3). C. ( 1009 − ;2) . D. ( 2015 − ; ) 1 .
Câu 37: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm cấp hai trên . Biết f ′(0) = 3 , f ′(2) = 2020 − ,
lim f ′(x) = −∞ và bảng xét dấu của f ′′(x) như hình sau: x→−∞
Hàm số y = f (x + 2019) + 2020x đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm x thuộc khoảng nào sau đây? 0 A. ( ; −∞ 2019 − ). B. (0;2) . C. ( 2019 − ;0) . D. (2019;+∞) .
DẠNG 3. ỨNG DỤNG GTLN-GTNN GIẢI BÀI TOÁN THỰC TẾ
Câu 38: Cho số a > 0 . Trong số các tam giác vuông có tổng một cạnh góc vuông và cạnh huyền bằng a
, tam giác có diện tích lớn nhất bằng A. 3 2 a . B. 3 2 a . C. 3 2 a . D. 3 2 a . 3 6 9 18
Câu 39: Một loại thuốc được dùng cho một bệnh nhân và nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân được
giám sát bởi bác sĩ. Biết rằng nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân sau khi tiêm vào cơ thể
trong t giờ được cho bởi công thức ( ) t c t =
(mg / L) . Sau khi tiêm thuốc bao lâu thì nồng 2 t +1
độ thuốc trong máu của bệnh nhân cao nhất? A. 4 giờ. B. 1 giờ. C. 3 giờ. D. 2 giờ.
Câu 40: Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 12 cm. Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình
vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng x , rồi gập tấm nhôm lại như hình vẽ dưới đây
để được một cái hộp không nắp. Tìm x để hộp nhận được có thể tích lớn nhất. A. x = 3
B. x = 2
C. x = 4
D. x = 6 Page 163
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Câu 41: Một sợi dây có chiều dài 28m được cắt thành hai đoạn để làm thành một hình vuông và một
hình tròn. Tính chiều dài của đoạn dây làm thành hình vuông được cắt ra sao cho tổng diện tích
của hình vuông và hình tròn là nhỏ nhất? A. 56 . B. 112 . C. 84 . D. 92 . 4 +π 4 +π 4 +π 4 +π
Câu 42: Cho một tấm nhôm hình chữ nhật có chiều dài bằng 10cm và chiều rộng bằng 8cm . Người ta
cắt bỏ ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng
x(cm), rồi gập tấm nhôm lại để được một cái hộp không nắp. Tìm x để hộp nhận được có thể tích lớn nhất. A. 8 2 21 x − = B. 10 2 7 x − = C. 9 21 x + = . D. 9 21 x − = 3 3 9 3
Câu 43: Ông A dự định sử dụng hết 2
5 m kính để làm một bể cá bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật
không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng . Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu ? A. 3 1,01m . B. 3 0,96 m . C. 3 1,33 m . D. 3 1,51m .
Câu 44: Một người nông dân có 15.000.000 đồng muốn làm một cái hàng rào hình chữ E dọc theo một
con sông để làm một khu đất có hai phần chữ nhật để trồng rau. Đối với mặt hàng rào song song
với bờ sông thì chi phí nguyên vật liệu là 60.000 đồng một mét, còn đối với ba mặt hàng rào song
song nhau thì chi phí nguyên vật liệu là 50.000 đồng một mét. Tìm diện tích lớn nhất của đất rào thu được A. 2 3125m . B. 2 50m . C. 2 1250m . D. 2 6250m .
Câu 45: Ông Khoa muốn xây một cái bể chứa nước lớn dạng một khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng 3
288m . Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng, giá thuê nhân công
để xây bể là 500000 đồng/ 2
m . Nếu ông Khoa biết xác định các kích thước của bể hợp lí thì chi
phí thuê nhân công sẽ thấp nhất. Hỏi ông Khoa trả chi phí thấp nhất để xây dựng bể đó là bao nhiêu ? A. 90 triệu đồng.
B. 168 triệu đồng. C. 54 triệu đồng.
D. 108 triệu đồng.
Câu 46: Một người nông dân có 3 tấm lưới thép B40, mỗi tấm dài 12(m) và muốn rào một mảnh vườn
dọc bờ sông có dạng hình thang cân ABCD như hình vẽ . Hỏi ông ta có thể rào được mảnh vườn
có diện tích lớn nhất là bao nhiêu 2 m ? Page 164
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ B A C D A. 100 3 . B. 106 3 . C. 108 3 . D. 120 3 .
Câu 47: Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2 và hai điểm C , D thay đổi trên nửa đường tròn đó
sao cho ABCD là hình thang. Diện tích lớn nhất của hình thang ABCD bằng 3 3 3 3 A. 1 . B. . C. 1. D. . 2 4 2
Câu 48: Một người đàn ông muốn chèo thuyền ở vị trí A tới điểm B về phía hạ lưu bờ đối diện, càng
nhanh càng tốt, trên một bờ sông thẳng rộng 3 km . Anh có thể chèo thuyền của mình trực tiếp
qua sông để đến C và sau đó chạy đến B , hay có thể chèo trực tiếp đến B , hoặc anh ta có thể
chèo thuyền đến một điểm D giữa C và B và sau đó chạy đến B . Biết anh ấy có thể chèo
thuyền 6 km/ h , chạy 8 km/ h và quãng đường BC = 8 km . Biết tốc độ của dòng nước là không
đáng kể so với tốc độ chèo thuyền của người đàn ông. Tính khoảng thời gian ngắn nhất để người đàn ông đến B . A. 3 . B. 9 . C. 73 . D. 7 1+ . 2 7 6 8
DẠNG 4. DÙNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ
NHẤT CỦA BIỂU THỨC
Câu 49: Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥1, x + y + z = 2 .Biết giá trị lớn nhất của biểu
thức P = xyz bằng a với *
a,b∈ và a là phân số tối giản. Giá trị của 2a + b bằng b b A. 5. B. 43. C. 9. D. 6 . Câu 50: Cho 2 2
x − xy + y = 2 . Giá trị nhỏ nhất của 2 2
P = x + xy + y bằng: A. 2 B. 1 C. 1 D. 2 3 6 2
Câu 51: Cho x , y là các số thực thỏa mãn x + y = x −1 + 2y + 2 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của 2 2
P = x + y + 2(x + ) 1 ( y + )
1 +8 4 − x − y . Tính giá trị M + m A. 42 B. 41 C. 43 D. 44
Câu 52: Cho x , y > 0 thỏa mãn 3
x + y = và biểu thức 4 1 P = +
đạt giá trị nhỏ nhất. Tính 2 2 x + y . 2 x 4y Page 165
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ A. 153 . B. 5 . C. 2313 . D. 25 . 100 4 1156 16
Câu 53: Cho x, y > 0 và 5
x + y = sao cho biểu thức 4 1 P = +
đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó 4 x 4y A. 2 2 25 x + y = . B. 2 2 17 x + y = . C. 2 2 25 x + y = . D. 2 2 13 x + y = . 32 16 16 16
Câu 54: Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 4 và xy + yz + zx = 5 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( 3 3 3 + + ) 1 1 1 x y z + + bằng: x y z A. 20 . B. 25 . C. 15. D. 35.
Câu 55: Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn ( 2 2
2 x + y ) + xy = (x + y)(xy + 2) . Giá trị nhỏ nhất của 3 3 2 2 biểu thức = 4 x y + − 9 x y P + . 3 3 2 2 y x y x A. 25 − . B. 5. C. 23 − . D. 13 − . 4 4
Câu 56: Cho các số thực dương x , y thỏa mãn 5
2x + y = . Tìm giá trị nhỏ nhất P của biểu thức 4 min 2 1 P = + . x 4y A. 34 P = . B. 65 P = .
C. P không tồn tại. D. P = 5. min 5 min 4 min min Page 166
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ NG ƯƠ
I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM
ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ CH
BÀI 3: GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT VÀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA HÀM SỐ
III BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. (MỨC 9 – 10)
DẠNG 1. ĐỊNH M ĐỂ GTLN-GTNN CỦA HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI THỎA
MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC
Dạng 1: Tìm m để max y = f (x) + m = a (a > 0). [α;β] Phương pháp:
Cách 1:Trước tiên tìm max f (x) = K;
min f (x) = k (K > k). [α;β] [α;β]
m + K + m + k
m + K − m − k K − k
Kiểm tra max{ m + K , m + k } ≥ ≥ = . 2 2 2 K − k
m + k = −a
m = −a − k TH1: ≤ .
a Để max y = a ⇔ ⇔
⇒ m∈{−a − k;a − K} . 2 [α;β]
m + K = a
m = a − K K − k TH2:
> a ⇒ m∈∅ . 2
Cách 2: Xét trường hợp m + K = a
TH1: Max = m + K ⇔
m + K ≥ m + k m + k = a
TH2: Max = m + k ⇔
m + k ≥ m + K
Dạng 2: Tìm m để min y = f (x) + m = a (a > 0). [α;β] Phương pháp:
Trước tiên tìm max f (x) = K;
min f (x) = k (K > k). [α;β] [α;β]
m + k = a m + K = −a
m = a − k m = −a − K
Để min y = a ⇔ ∨ ⇔ ∨
. Vậy m∈ S ∪ S . [α;β]
m + k > 0 m + K < 0 m > −k m < −K 1 2
Dạng 3: Tìm m để max y = f (x) + m không vượt quá giá trị M cho trước. [α;β] Page 1
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Phương pháp: Trước tiên tìm max f (x) = K;
min f (x) = k (K > k). [α;β] [α;β]
m + k ≥ −M
Để max y ≤ M ⇒
⇔ −M − k ≤ m ≤ M − K. [α;β]
m + K ≤ M
Dạng 4: Tìm m để min y = f (x) + m không vượt quá giá trị a cho trước. [α;β]
Phương pháp: Trước tiên tìm max f (x) = K;
min f (x) = k (K > k). [α;β] [α;β] Để
m + k ≤ a m + K ≥ −a
m ≤ a − k m ≥ −a − K
min y ≤ a ⇔ ∨
∨ (m + K )(m + k ) < 0 ⇔ ∨
∨ −K < m < −k. [α;β]
m + k ≥ 0 m + K ≤ 0 m ≥ −k m ≤ −K
Dang 5: Tìm m để max y = f (x) + m đạt min. [a;b] Phương pháp:
Trước tiên tìm max f (x) = K;
min f (x) = k (K > k). [a;b] [a;b] K k K − k Đề hỏi tìm m m + ⇒ = −
. Đề hỏi tìm min của max y ⇒ giá trị này là . 2 [a;b] 2
Dạng 6: Tìm m để min y = f (x) + m đạt min. [a;b]
Phương pháp: Trước tiên tìm max f (x) = K;
min f (x) = k (K > k). [a;b] [a;b]
Đề hỏi tìm m ⇒ (m + K )(m + k) ≤ 0 ⇔ −K ≤ m ≤ −k . Đề hỏi tìm min của min y ⇒ giá trị này là 0. [a;b]
Dạng 7: Cho hàm số y = f (x) + m .Tìm m để max y ≤ .hmin y(h > 0) hoặc Min + max = [a;b] [a;b]
Phương pháp: Trước tiên tìm max f (x) = K;
min f (x) = k (K > k). [a;b] [a;b] TH1:
K +m ≥ k +m
K + m ≤ h k + m → m ∈ S .
K +m cungdau k +m 1 TH2:
k +m ≥ K +m
k + m ≤ h K + m →m∈ S .
K +m cungdau k +m 2
Vậy m∈ S ∪ S . 1 2
Dạng 8: Cho hàm số y = f (x) + m .
Phương pháp: Trước tiên tìm max f (x) = K;
min f (x) = k (K > k). [a;b] [a;b]
BT1: Tìm m để min y + max y = α ⇔ m + K + m + k = α . [a;b] [a;b]
BT2: Tìm m để min y*max y = β ⇔ m + K * m + k = β . [a;b] [a;b]
Câu 1: Tìm m để giá trị lớn nhất của hàm số 3
y = x − 3x + 2m −1 trên đoạn [0;2] là nhỏ nhất. Giá trị
của m thuộc khoảng nào? Page 2
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ 3 2 A. ; 1 − − . B. ;2 . C. [ 1; − 0]. D. (0; ) 1 . 2 3 Lời giải Chọn D
Xét hàm số y = f (x) 3
= x − 3x + 2m −1 trên đoạn [0;2] . x = 1 − ∉ 0;2 Ta có f '(x) 2 [ ] = 3x − 3 = 0 ⇔ . x =1
Ta có f (0) = 2m −1, f ( )
1 = 2m − 3 và f (2) = 2m +1
Suy ra max f (x) = max{ 2m −1 ; 2m −3 ; 2m +1} = max{ 2m −3 ; 2m +1} = P . [0;2]
Trường hợp 1: Xét m − ≥ m + ⇔ − ( m − ) 1 2 3 2 1 4 4 2 ≥ 0 ⇔ m ≤ . 2
Khi đó P = 2m − 3 ≥ 2 , 1 m ∀ ≤ . Suy ra 1 P = 2 ⇔ m = . 2 min 2
Trường hợp 2: Xét m − < m + ⇔ − ( m − ) 1 2 3 2 1 4 4 2 < 0 ⇔ m > . 2
Khi đó P = 2m +1 > 2 , 1 m
∀ > . Suy ra P không tồn tại. 2 min Vậy 1 m = . 2
Câu 2: Tính tổng tất cả các giá trị của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số 2
y = x − 2x + m trên đoạn [ 1; − 2] bằng 5. A. 1 − . B. 2 . C. −2. D. 1. Lời giải Ta có 2x − 2 y′ =
, y′ = 0 ⇒ x = 1. 2
x − 2x + m
Do đó yêu cầu bài toán tương đương max{y (− ) 1 , y (2), y ( ) 1 }= 5.
⇔ max{3+ m , m , m −1}= 5 .
+ Trường hợp m ≥ −1, ta có max{3+ m , m , m −1}= 5 ⇔ 3+ m = 5 ⇒ m = 2 .
+ Trường hợp m < −1 ta có max{3+ m , m , m −1}= 5 ⇔ m −1 = 5 ⇒ m = −4.
Vậy tổng các giá trị m bằng −2. Câu 3: Cho hàm số 2
y = x + 2x + a − 4 ( a là tham số ). Tìm a để giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [ 2; − ]
1 đạt giá trị nhỏ nhất A. a =1. B. a = 3. C. a = 2 .
D. a = 5 . Lời giải
Hàm số đã cho xác định và liên tục trên đoạn [ 2; − ] 1 . Page 3
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Ta có: 2
y = x + 2x + a − 4 = (x + )2 1 + a − 5 (∗)
Đặt t = (x + )2 1 , x ∈[ 2; − ] 1 ⇒ a ∈[0;4].
Lúc đó hàm số trở thành: f (t) = t + a −5 với t ∈[0;4] .
Nên max y = max f (t) = max { f (0); f (4 }
) = max { a −5 ; a −1} x∈ 2 − ;1 t ∈ 0;4 t ∈ 0;4 t∈ 0;4 a −1 + a − 5 a −1+ 5 − a ≥ ≥ = 2 2 2
Đẳng thức xảy ra khi a −1 = a − 5 = 2 ⇔ a = 3.
Do đó giá trị nhỏ nhất của max f (t) là 2 khi a = 3. t ∈ 0;4
Câu 4: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số 2
x + mx + m y =
trên [1;2] bằng 2 . Số phần tử của tập S x +1 A. 3. B. 1. C. 4 . D. 2 . Lời giải Chọn D 2 2 x = 0∉[1;2] Xét
x + mx + m x + 2 y x =
. Ta có: f ′(x) =
, f ′(x) = 0 ⇔ . x +1 (x + )2 1 x = 2 − ∉ [1;2]
Mà f ( ) 2m +1 ( ) 3m + 4 2m +1 3m + 4 1 ,f 2 max y ; = = ⇒ = . x [ ∈ 1;2] 2 3 2 3 3 m = + Trường hợp 1: 2m 1 2 max y = = 2 ⇒ . x [ ∈ 1;2] 2 5 m = − 2 • Với 3 3m 4 17 m + = ⇒ = > 2 2 3 6 5 3m 4 7 • Với m + = − ⇒ = < 2 2 3 6 2 = 3m + 4 3 + 4 = 6 m m Trường hợp 2: 3 max y = = 2 ⇒ ⇔ . x [ ∈ 1;2] 3 3m + 4 = 6 − 10 m = − 3 2 2m 1 7 • Với m + = ⇒ = < 2 3 2 6 Page 4
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ • Với 10 2m 1 17 m + = − ⇒ = > 2 3 2 6
Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn.
Câu 5: Xét hàm số ( ) 2
f x = x + ax + b , với a , b là tham số. Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số trên [ 1; − ]
3 . Khi M nhận giá trị nhỏ nhất có thể được, tính a + 2b . A. 2 . B. 4 . C. 4 − . D. 3. Lời giải Xét hàm số ( ) 2
f x = x + ax + b . Theo đề bài, M là giá trị lớn nhất của hàm số trên [ 1; − ] 3 .
M ≥ f (− ) 1
M ≥ 1− a + b Suy ra
M ≥ f (3) ⇔ M ≥ 9 + 3a + b ⇒ 4M ≥ 1− a + b + 9 + 3a + b + 2 1
− − a − b M ≥ f ( )1
M ≥ 1+ a + b
≥ 1− a + b + 9 + 3a + b + 2( 1
− − a − b) ⇒ 4M ≥ 8 ⇒ M ≥ 2 .
Nếu M = 2 thì điều kiện cần là 1− a + b = 9 + 3a + b = 1
− − a − b = 2 và 1− a + b , 9 + 3a + b ,
1− a + b = 9 + 3a + b = 1
− − a − b = 2 a = 2 − 1
− − a − b cùng dấu ⇔ ⇔ . 1
− a + b = 9 + 3a + b = 1
− − a − b = 2 − b = 1 − a = 2 − Ngược lại, khi
ta có, hàm số f (x) 2
= x − 2x −1 trên [ 1; − ] 3 . b = 1 −
Xét hàm số g (x) 2
= x − 2x −1 xác định và liên tục trên [ 1; − ] 3 .
g′(x) = 2x − 2 ; g′(x) = 0 ⇔ x =1∈[ 1; − ] 3
M là giá trị lớn nhất của hàm số f (x) trên [ 1; − ]
3 ⇒ M = max{ g (− )
1 ; g (3) ; g ( ) 1 } =2. a = 2 − Vậy
. Ta có: a + 2b = 4 − . b = 1 − Câu 6: Cho hàm số 3 2
y = x + x + ( 2 m + )
1 x + 27 . Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [ 3 − ;− ] 1 có giá
trị nhỏ nhất bằng A. 26 . B. 18. C. 28 . D. 16. Lời giải Chọn B Xét 3 2
u = x + x + ( 2 m + )
1 x + 27 trên đoạn [ 3 − ;− ] 1 ta có: 2 2
u′ = 3x + 2x + m +1 > 0, x ∀ .
Do đó A = max u = u (− ) 2
1 = 26 − m ; a = min u = u ( 3 − ) 2 = 6 − 3m . [ 3 − ;− ] 1 [ 3 − ;− ] 1 Do M = max y = max{ 2 2
26 − m , 6 −3m } và 2 2
4M ≥ 3 26 − m + 6 − 3m ≥ 72 . [ 3 − ;− ] 1 Vậy M ≥18. Dấu bằng xảy ra khi 2 2
26 − m = 6 − 3m =18 ⇔ m = 2 ± 2 . Page 5
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Câu 7: Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số 2
y = x + 2x + m − 4 trên đoạn [ 2; − ] 1 bằng 4 ? A. 1. B. 2 . C. 3. D. 4 . Lời giải f (x) 2
= x + 2x + m − 4 có f ′(x) = 2x + 2 , f ′(x) = 0 ⇔ x = 1 − . Do đó 2
max x + 2x + m − 4 = max{ m −1 ; m − 4 ; m −5} . [ 2 − ] ;1
Ta thấy m − 5 < m − 4 < m −1 với mọi m∈ , suy ra max y chỉ có thể là m −5 hoặc m −1 . [ 2 − ] ;1 m − 5 = 4
Nếu max y = m − 5 thì ⇔ m =1. [ 2 − ] ;1
m − 5 ≥ m −1 m −1 = 4
Nếu max y = m −1 thì ⇔ m = 5 . [ 2 − ] ;1
m −1 ≥ m − 5 Vậy m∈{1; } 5 .
Câu 8: Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số 1 4 19 2 y = x −
x + 30x + m − 20 trên đoạn [0;2] không vượt quá 20 . Tổng các phần tử của S 4 2 bằng A. 210 . B. 195 − . C. 105. D. 300. Lời giải
Xét hàm số g (x) 1 4 19 2 = x −
x + 30x + m − 20 trên đoạn [0;2] 4 2 x = 5 − ∉[0;2] Ta có g′(x) 3
= x −19x + 30; g′(x) = 0 ⇔ x = 2 x = 3∉ [0;2] Bảng biến thiên
g (0) = m − 20 ; g (2) = m + 6 . g (0) ≤ 20 m − 20 ≤ 20
Để max g (x) ≤ 20 thì ⇔ ⇔ 0 ≤ m ≤14 . [0;2] g (2) ≤ 20 m + 6 ≤ 20
Mà m∈ nên m∈{0;1;2;...; } 14 . Page 6
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Vậy tổng các phần tử của S là 105. 4 Câu 9: Cho hàm số
x + ax + a y =
, với a là tham số thực. Gọi M ,m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá x +1
trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn [1;2]. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a để M ≥ 2m ? A. 10. B. 14. C. 5. D. 20 . Lời giải Chọn B 4 4 Xét hàm số
x + ax + a x y = = + a . x +1 x +1 4 4 3 + = − Ta có 3x 4x x y′ = ⇒ y′ = 0 ⇔ . (x )2 3 1 + x = 0 Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên suy ra 1 16 M max a ; a = + + và 1 16
m = min a + ; a + . 2 3 2 3 16 16 M = a + = a + 3 3 Trường hợp 1. 1 1
a + ≥ 0 ⇔ a ≥ − ⇒ . 2 2 1 1
m = a + = a + 2 2 Khi đó 16 1 13
M ≥ 2m ⇔ a + ≥ 2a + ⇔ a ≤ . 3 2 3
Kết hợp điều kiện, ta có 1 13 − ≤ a ≤
⇒ có 5 giá trị nguyên thỏa mãn điều kiện. 2 3 1 1
M = a + = −a − 16 16 2 2 Trường hợp 2. a + ≤ 0 ⇔ a ≤ − ⇒ . 3 3 16 16 m = a + = −a − 3 3 1 16 61
M ≥ 2m ⇔ −a − ≥ 2 − a − ⇔ a ≥ − . 2 3 6
Kết hợp điều kiện ta có 61 16 − ≤ a ≤ −
. Suy ra có 5 giá trị nguyên của a thỏa mãn. 6 3 Page 7
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ 1 a + < 0 Trường hợp 3. 2 16 1 ⇔ − < a < − . 16 3 2 a + > 0 3 Nếu 1 16 1 16 35 a + > a +
⇔ −a − > a + ⇔ a < − thì 2 3 2 3 12 1 M = −a − 2 1 16 67
⇒ M ≥ 2m ⇔ −a − ≥ 2a + ⇔ a ≤ − . 16 2 3 18 m = a + 3
Kết hợp điều kiện, ta có 16 67 − < a ≤ −
. Suy ra có 2 giá trị nguyên của a thỏa mãn điều 3 18 kiện. Nếu 1 16 1 16 35 a + ≤ a +
⇔ −a − ≤ a + ⇔ a ≥ − thì 2 3 2 3 12 16 M = a + 3 16 1 19
⇒ M ≥ 2m ⇔ a + ≥ 2 − a − ⇔ a ≥ − . 1 3 2 9 m = −a − 2
Kết hợp điều kiện, ta có 19 1 −
≤ a < − . Suy ra có 2 giá trị nguyên của a thỏa mãn điều kiện. 9 2
Vậy có 14 giá trị nguyên của a thỏa mãn điều kiện.
Câu 10: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số thực m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số 1 4 2
y = x −14x + 48x + m − 30 trên đoạn [0;2] 4
không vượt quá 30. Tổng giá trị các phần tử
của tập hợp S bằng bao nhiêu? A. 120. B. 210 . C. 108. D. 136. Lời giải Chọn D Đặt 1 4 2
f (x) = x −14x + 48x + m − 30 là hàm số xác định và liên tục trên [0;2] . 4
Với mọi x∈[0;2] ta có 3
f '(x) = 0 ⇔ x − 28x + 48 = 0 ⇔ x = 2 .
Suy ra max f (x) = max{ f (0) ; f (2)}. [0;2] m −30 ≤ 30
m +14 ≤ m − 30 m − 30 ≤ 30
Theo đề max f (x) ≤ 30 ⇔ ⇔ [0;2] m +14 ≤ 30 m +14 ≤ 30
m − 30 ≤ m +14 30 − ≤ m − 30 ≤ 30 0 ≤ m ≤ 60 ⇔ ⇔ ⇔ 0 ≤ m ≤16 . 30 − ≤ m +14 ≤ 30 44 − ≤ m ≤16 Page 8
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Do m∈ ⇒ m∈ S = {0;1;2;...; }
16 .Vậy tổng tất cả 17 giá trị trong tập S là 136. Câu 11: Cho hàm số 4 3 2
y = x − 2x + x + a . Có bao nhiêu số thực a để min y+ max y =10 ? [1;2] [1;2] A. 3. B. 5. C. 2. D. 1. Lời giải. Chọn C. Đặt 4 3 2
y = x − 2x + x + a = f (x) .
Xét hàm số f (x) 4 3 2
= x − 2x + x + a Khi đó 3 2 2 1
f (x) 4x 6x
2x 2x(2x 3x 1) 0 x 0; ;1 ′ = − + = − + = ⇔ ∈ . 2
⇒ f ′(x) ≥ 0, x
∀ ∈[1;2] và f (1) = a; f (2) = a + 4 max y ∈ {a , a + 4} Ta có x ∀ ∈[1;2] thì . min y ∈ {a ,0, a + 4} Xét các trường hợp
+ a ≥ 0 ⇒ max y = a + 4;min y = a ⇒ 2a + 4 = 10 ⇒ a = 3, nhận. + a ≤ 4
− ⇒ max y = −a;min y = −a − 4 ⇒ −a − 4 − a =10 ⇒ a = 7 − , nhận. a < 0 + ⇔ 4
− < a < 0 ⇒ min y = 0;max y ∈{a + 4;− } a a + 4 > 0 a + 4 = 10 a = 6 ⇒ ⇒ . a 10 − = a = 10 −
Vậy tồn tại hai giá trị a thỏa mãn.
Câu 12: Biết giá trị lớn nhất của hàm số y = f (x) 3
= 2x −15x + m − 5 + 9x trên [0; ] 3 bằng 60 . Tính
tổng tất cả các giá trị của tham số thực m . A. 48 . B. 5. C. 6 . D. 62 . Lời giải Chọn C
Có max f (x) = 60 ⇔ f (x) ≤ 60, x ∀ ∈[0; ] 3 và x
∃ ∈ 0;3 sao cho f (x = 60. 0 ) 0 [ ] [0; ] 3 Có f (x) 3 3
≤ 60 ⇔ 2x −15x + m − 5 + 9x ≤ 60 ⇔ 2x −15x + m − 5 ≤ 60 − 9x 3 3 3
⇔ 9x − 60 ≤ 2x −15x + m − 5 ≤ 60 − 9x ⇔ 2
− x + 24x − 55 ≤ m ≤ 2
− x + 6x + 65, x ∀ ∈[0; ] 3 . Có 3 2
− x + 6x + 65 ≥ 29, x ∀ ∈[0; ] 3 nên 3 m ≤ 2
− x + 6x + 65, x ∀ ∈[0; ] 3 ⇔ m ≤ 29. Tương tự 3 2
− x + 24x − 55 ≤ 23 − nên 3 2
− x + 24x − 55 ≤ , m x ∀ ∈[0; ] 3 ⇔ m ≥ 23. − Page 9
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Vậy 23
− ≤ m ≤ 29 thì f (x) ≤ 60, x ∀ ∈[0; ] 3 . 3 2
− x + 24x − 55 = m Để x
∃ ∈ 0;3 sao cho f (x = 60 thì có nghiệm trên [0; ] 3 . 0 ) 0 [ ] 3 2
− x + 6x + 65 = m m ≥ 29 m = 29 Hay . Vậy
thì max f (x) = 60. m ≤ 23 − m = 23 − [0; ] 3
Khi đó tổng các giá trị của m là 29 − 23 = 6.
Câu 13: Cho hàm số f (x) 4 3 2
= x − 2x + x + m ( m là tham số thực). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị
của m sao cho min f (x) + max f (x) =10 . Số phần tử của S là? [ 1 − ;2] [ 1 − ;2] A. 2 . B. 3. C. 5. D. 1. Lời giải Chọn A x = 0 Đặt g (x) 4 3 2
= x − x + x + m ⇒ g′(x) 3 2 1 2
= 4x − 6x + 2x = 0 ⇔ x = 2 x =1
Bảng biến thiên của hàm g (x)
Dựa vào bảng biến thiên của g (x) ta suy ra bảng biến thiên của
f (x) = g (x) 4 3 2
= x − 2x + x + m . Ta có các trường hợp sau:
Trường hợp 1: m ≥ 0 . Bảng biến thiên của f (x) = g (x) 4 3 2
= x − 2x + x + m Page 10
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Dựa vào bảng biến thiên ta có min f (x) + max f (x) =10 ⇔ m + m + 4 =10 ⇔ m = 3 [ 1 − ;2] [ 1 − ;2] Trường hợp 2: 1 1
m < 0 < m + ⇔ −
< m < 0 . Bảng biến thiên: 16 16
Dựa vào bảng biến thiên ta có min f (x) + max f (x) =10 ⇔ 0 + m + 4 =10 ⇔ m = 6 [ 1 − ;2] [ 1 − ;2] Trường hợp 3: 1 1 m + = 0 ⇔ m = − . Tương tự ta có: 16 16
min f (x) + max f (x) =10 ⇔ 0 + m + 4 =10 ⇔ m = 6 [ 1 − ;2] [ 1 − ;2] Trường hợp 4: 1 1 m + < 0 < m + 4 ⇔ 4 − < m < − . Bảng biến thiên: 16 16
min f (x) + max f (x) =10 − − 0 + m + 4 = 10 m = 6
Dụa vào bảng biến thiên ta có [ 1;2] [ 1;2] ⇔ ⇔
min f (x) + max f (x) =10 0 ( m) 10 + − = m = 10 − [ 1−;2] [ 1 − ;2]
Trường hợp 5: m + 4 = 0 ⇔ m = 4 − . Ta có:
min f (x) + max f (x) =10 ⇔ 0 − m =10 ⇔ m = 10 − [ 1 − ;2] [ 1 − ;2]
Trường hợp 6: m + 4 < 0 ⇔ m < 4 − . Ta có:
min f (x) + max f (x) =10 ⇔ −m − m − 4 =10 ⇔ m = 7 − [ 1 − ;2] [ 1 − ;2] Vậy m∈{ 7; − } 3 . Câu 14: Cho hàm số 4 2
y = x − 2x + 3m với m là tham số. Biết rằng có đúng hai giá trị m ,m 1 2 của m
để giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên [ 1;
− 2] bằng 2021. Tính giá trị m − m 1 2 . Page 11
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ 1 4052 8 4051 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 Lời giải Chọn D
Xét hàm số f (x) 4 2
= x − 2x + 3m , ta có f ′(x) 3
= x − x = x( 2 4 4 4 x − ) 1 = f ′(x) x 0 = 0 ⇔ x = 1 ±
Bảng biến thiên của hàm số trên [ 1; − 2] :
Vì min y = 2021 ⇒ phương trình f (x) = 0 không có nghiệm thuộc [ 1; − 2] . [ 1; − 2] 1 2022
Trường hợp 1 : 3m −1 > 0 ⇔ m > . Ta có min y = 3m −1 = 3m −1 = 2021 ⇔ m = 3 [ 1; − 2] 3 8
Trường hợp 2 : 3m + 8 < 0 ⇔ m < − . Ta có min y = 3m + 8 = 3 − m −8 = 2021 3 [ 1; − 2] 2029 ⇔ m = − . 3 2022 2029 4051 Vậy m − m = + = 1 2 . 3 3 3
Câu 15: Cho hàm số f (x) 3 2
= x − 3x + m +1( m là tham số thực). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị
nguyên của m thuộc đoạn [ 2020 −
;2020] sao cho max f (x) ≤ 3min f (x) . Số phần tử của S là [1;4] [1;4] A. 4003. B. 4002 . C. 4004 . D. 4001. Lời giải Chọn B
Xét hàm số y = f (x) 3 2
= x − x + m + ⇒ y′ = f ′(x) 2 3 1 = 3x − 6x . = f ′(x) x 0 l 2 ( )
= 0 ⇔3x − 6x = 0 ⇔ . x = 2 f ( )
1 = m −1; f (2) = m − 3; f (4) =17 + m .
max f (x) = m +17; min f (x) = m − 3. [1;4] [1;4] Page 12
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
+Nếu m − 3 ≥ 0 ⇔ m ≥ 3 thì max f (x) = m +17 , min f (x) = m − 3. Khi đó: [1;4] [1;4]
max f (x) ≤ 3min f (x) ⇔ 17 + m ≤ 3(m − 3) ⇔ m ≥13 . [1;4] [1;4]
+Nếu m +17 ≤ 0 ⇔ m ≤ 17
− thì max f (x) = −m + 3, min f (x) = 1 − 7 − m . [1;4] [1;4]
Khi đó: max f (x) ≤ 3min f (x) ⇔ −m + 3 ≤ 3( 1
− 7 − m) ⇔ m ≤ 2 − 7 . [1;4] [1;4]
+Nếu (m − 3)(m +17) < 0 ⇔ 17 − < m < 3 thì
max f (x) = max{ m +17 , m − 3} = max{m +17,3 − }
m > 0;min f (x) = 0. [1;4] [1;4]
Khi đó, không thỏa điều kiện max f (x) ≤ 3min f (x) . [1;4] [1;4] m ≤ 27 − Do đó:
kết hợp với m∈[ 2020 −
;2020] ta có m∈[ 2020 − ; 27 − ]∪[13;2020] m ≥ 13
Vậy 4002 giá trị nguyên của m cần tìm.
DẠNG 2. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT HÀM ẨN, HÀM HỢP
Câu 16: Cho hàm số y = f (x) xác định và liên tục trên , đồ thị của hàm số y = f ′(x) như hình vẽ.
Giá trị lớn nhất của hàm số y = f (x) trên đoạn [ 1; − 2] là A. f ( ) 1 . B. f (− ) 1 . C. f (2) . D. f (0) . Lời giải x = 1 − f (x) 0 ′ = ⇔ x = 1 . x = 2
Từ đồ thị hàm y f x ta có bảng biến thiên
Từ đó suy ra giá trị lớn nhất của hàm số trên 1;2 là f 1 . Page 13
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Câu 17: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm là hàm f ′(x) . Đồ thị của hàm số y = f ′(x) được cho như
hình vẽ. Biết rằng f (0) + f (3) = f (2) + f (5) . Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của y = f (x)
trên đoạn [0;5] lần lượt là:
A. f (2) ; f (5).
B. f (0) ; f (5).
C. f (2) ; f (0) . D. f ( ) 1 ; f (5) . Lời giải
Dựa vào đồ thị hàm số f ′(x) ta có bảng biến thiên.
min f (x) = f (2) Khi đó: [0;5] , f (3) > f (2)
mà f (0) + f (3) = f (2) + f (5) ⇒ f (0) + f (2) < f (2) + f (5) ⇒ f (0) < f (5).
Vậy giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của y = f (x) trên đoạn [0;5] lần lượt là: f (2) ; f (5).
Câu 18: Cho hàm số f (x) có đạo hàm là f ′(x) . Đồ thị của hàm số y = f ′(x) được cho như hình vẽ
bên. Biết rằng f (0) + f ( )
1 − 2 f (3) = f (5) − f (4). Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất
M của f (x) trên đoạn [0;5].
A. m = f (5),M = f (3) B. m = f (5),M = f ( ) 1
C. m = f (0),M = f (3) D. m = f ( ) 1 , M = f (3) Lời giải Chọn A Page 14
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Từ đồ thị ta có bảng biến thiên của f (x) trên đoạn [0;5]
⇒ M = f (3) và f ( )
1 < f (3), f (4) < f (3)
f (5) − f (0) = f ( )
1 − f (3) + f (4) − f (3) < 0 ⇒ f (5) < f (0) ⇒ m = f (5) .
Câu 19: Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như hình dưới đây. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
g (x) = f ( 2 x − x ) 1 3 2 1 4
+ x − 3x + 8x + trên đoạn [1; ] 3 . 3 3 A. 15. B. 25 . C. 19 . D. 12. 3 3 Lời giải
g′(x) = ( − x) f ′( 2 x − x ) 2 4 2 4
+ x − 6x + 8 = ( − x) f ′ ( 2 2 2
4x − x ) + 4 − x . Với x∈[1; ] 3 2 thì 4 − x > 0 ; 2
3 ≤ 4x − x ≤ 4 nên f ′(4x − x ) > 0. Suy ra f ′( 2 2
4x − x ) + 4 − x > 0 , x ∀ ∈[1; ] 3 . Bảng biến thiên
Suy ra max g (x) = g (2) = f (4) + 7 =12 . [1; ] 3
Câu 20: Cho hàm số y = f (x) liên tục trên .
Đồ thị của hàm số y = f ′( x) như hình bên. Đặt
g (x) = f (x) −(x + )2 2
1 . Mệnh đề dưới đây đúng. Page 15
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
A. max g (x) = g (3). B. min g (x) = g ( )
1 . C. max g (x) = g (0). D. max g (x) = g ( ) 1 . [ 3 − ; ] 3 [ 3 − ; ] 3 [ 3 − ; ] 3 [ 3 − ; ] 3 Lời giải Chọn D
g (x) = f (x) −(x + )2 2
1 ⇒ g′(x) = 2 f ′(x) − 2(x + ) 1
Dựa vào đồ thị ta thấy x = 3 −
g (x) = 0 ⇔ f (x) = x +1 ′ ′ ⇔ x =1 x = 3 Và với x∈( ; −∞ 3
− ) : f ′(x) < x +1⇒ g′(x) < 0 với x∈( 3 − ; )
1 : f ′(x) > x +1⇒ g′(x) > 0 ,
với x∈(1;3) : f ′(x) < x +1⇒ g′(x) < 0
với x∈(3;+∞) : f ′(x) > x +1⇒ g′(x) > 0 Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên suy ra max g (x) = g ( ) 1 . [ 3 − ; ] 3
Câu 21: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm cấp hai trên . Biết f ′(0) = 3 , f ′(2) = 2018 − và bảng xét
dấu của f ′′(x) như sau:
Hàm số y = f (x + 2017) + 2018x đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm x0 thuộc khoảng nào sau đây? A. ( ; −∞ − 2017) B. (2017;+∞) C. (0;2) D. ( 2017 − ;0) Page 16
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Lời giải
Dựa vào bảng xét dấu của f ′ (x) ta có bảng biến thiên của hàm sồ f ′(x)
Đặt t = x + 2017 .
Ta có y = f (x + 2017) + 2018x = f (t) + 2018t − 2017.2018 = g (t).
g′(t) = f ′(t) + 2018 .
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số f ′(x) suy ra phương trình g′(t) có một nghiệm đơn α ∈( ;0
−∞ ) và một nghiệm kép t = 2 .
Ta có bảng biến thiên g (t)
Hàm số g (t) đạt giá trị nhỏ nhất tại t = α ∈ ;0 −∞ . 0 ( )
Suy ra hàm số y = f (x + 2017) + 2018x đạt giá trị nhỏ nhất tại x mà 0 x + 2017 ∈ ; −∞ 0 ⇔ x ∈ ; −∞ 2017 − . 0 ( ) 0 ( )
Câu 22: Cho hàm số f (x) có đạo hàm là f ′(x) . Đồ thị của hàm số y = f ′(x) được cho như hình vẽ dưới đây: Biết rằng f (− )
1 + f (0) < f ( )
1 + f (2) . Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y = f (x) trên đoạn [ 1; − 2] lần lượt là: A. f ( ) 1 ; f (2) .
B. f (2) ; f (0) .
C. f (0) ; f (2) . D. f ( ) 1 ; f (− ) 1 . Lời giải Page 17
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Từ đồ thị của hàm số y = f ′(x) ta có bảng biến thiên của hàm số y = f (x) trên đoạn [ 1; − 2] như sau Nhận thấy
min f (x) = f ( ) 1 [ 1−;2] .
Để tìm max f ( x) ta so sánh f (− ) 1 và f (2). [ 1 − ;2]
Theo giả thiết, f (− )
1 + f (0) < f ( )
1 + f (2) ⇔ f (2) − f (− )
1 > f (0) − f ( ) 1 .
Từ bảng biến thiên, ta có f (0) − f ( )
1 > 0 . Do đó f (2) − f (− )
1 > 0 ⇔ f (2) > f (− ) 1 .
Hay max f (x) = f (2) . [ 1 − ;2] 7 Câu 23: Cho hàm số
y = f (x) liên tục trên đoạn 0;
có đồ thị hàm số y = f '(x) như hình vẽ. 2 7
Hàm số y = f (x) đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn 0;
tại điểm x nào dưới đây? 2 0 7 A. x = 0 x =1 x = 3 0 . B. x = 0 . C. . D. . 2 0 0 Lời giải Chọn D 7
Dựa vào đồ thị hàm số y = f '(x) ta có bảng biến thiên trên đoạn 0; như sau: 2 Page 18
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Do đó hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x = 3 0 .
Câu 24: Cho hàm số y = f (x) . Đồ thị hàm y = f ′(x) như hình vẽ y 2 x - O 1 -1
Đặt h(x) = f (x) 3 3
− x + 3x . Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A. max h(x) = 3 f ( )
1 . B. max h(x) = 3 f (− 3) . [− 3; 3] [− 3; 3]
C. max h(x) = 3 f ( 3) . D. max h(x) = 3 f (0). [− 3; 3] [− 3; 3] Lời giải Chọn B
Ta có: h′(x) = f ′(x) 2 3
− 3x + 3 ⇔ h′(x) = f ′(x) −( 2 3 x − )1 . Đồ thị hàm số 2
y = x −1 là một parabol có toạ độ đỉnh C (0;− )
1 , đi qua A(− 3;2), B( 3;2).
Từ đồ thị hai hàm số y f x và 2
y = x −1 ta có bảng biến thiên của hàm số y = h(x) . x 0 h'(x) - 0 h(x) Page 19
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Với h(− 3) = 3 f (− 3) , h( 3) = 3 f ( 3) .
Vậy maxh(x) 3f 3. [ 3; 3 ]
Câu 25: Cho hàm số y = f (x) có đồ thị y = f ′(x) ở hình vẽ bên. Xét hàm số
g (x) = f (x) 1 3 3 2 3
− x − x + x + 2018, mệnh đề nào dưới đây đúng? 3 4 2 g 3 − + g 1
A. min g (x) = g (− )
1 . B. min g (x) ( ) ( ) = . [ 3 − ] ;1 [ 3 − ] ;1 2
C. min g (x) = g ( 3
− ) . D. min g (x) = g ( ) 1 . [ 3 − ] ;1 [ 3 − ] ;1 Lời giải Chọn A
Ta có g (x) = f (x) 2 3 3
− x − x + = f (x) 2 3 3 − x + x ′ ′ ′ − . 2 2 2 2 Vẽ parabol (P) 2 3 3
: y = x + x − . Ta thấy (P) đi qua các điểm có toạ độ ( 3; − 3) , ( 1; − 2) , (1; ) 1 . 2 2 Trên khoảng ( 3; − − )
1 đồ thị hàm số f ′(x) nằm phía dưới (P) nên f (x) 2 3 3 < x + x ′ − ⇒ g′(x) < 0 . 2 2 Trên khoảng ( 1; −
)1 đồ thị hàm số f ′(x) nằm phía trên (P) nên f (x) 2 3 3 > x + x ′ − ⇒ g′(x) > 0 . 2 2
Trên khoảng (1;+∞) đồ thị hàm số f ′(x) nằm phía dưới (P) nên f (x) 2 3 3 < x + x ′ − ⇒ g′(x) < 0 . 2 2 Page 20
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên, ta có min g (x) = g (− ) 1 . [ 3 − ] ;1
Câu 26: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên R . Hàm số y = f '(x) có đồ thị như hình sau: Cho bốn mệnh đề sau:
1) Hàm số y = f (x) có hai cực trị
2) Hàm số y = f (x) đồng biến trên khoảng (1;+∞) 3) f ( )
1 > f (2) > f (4). 4) Trên đoạn [ 1;
− 4], giá trị lớn nhất của hàm số y = f (x) là f ( ) 1 .
Số mệnh đề đúng trong bốn mệnh đề trên là: A. 3. B. 1. C. 4. D. 2. Lời giải Chọn D
Dựa vào đồ thị của hàm số y = f '(x) ta thấy: x = 1 − f '(x) 0 = ⇔ x =1 x = 4
f '(x) < 0 ⇔ x∈( ; −∞ − ) 1 ∪(1;4)
f '(x) > 0 ⇔ x∈( 1; − ) 1 ∪(4;+∞)
Ta có bảng biến thiên của hàm số y = f (x) Page 21
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Dựa vào bảng biến thiên đáp án đúng là mệnh đề số 3 và 4
Câu 27: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như hình dưới đây. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
gx f 2 x x 1 3 2 1 4
x 3x 8x trên đoạn 1; 3 . 3 3 A. 25. B. 15. C. 19. D. 12. 3 3 Lời giải Chọn D Ta có 2 2 2 4 4 .(4 2 x) x 6 8 2 2 (4 ) x g x f x x x x f x x 2
Xét thấy x 2 2
1;3 3 4x x 4 f (4x x ) 0
Mặt khác 4 x 0 x 1; 3 2
Suy ra gx 0 x 2 g 19 17 17 32 1 f (3) f (4) 5 3 3 3 3 19 19 19 34
g(3) f (3) f (4) 5 3 3 3 3 g(2) 5 7 12. g 1 g 3 g2
Vậy max gx12 tại x 2. 1; 3
Câu 28: Cho hàm số y = f (x) . Hàm số y = f ′(x) có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Giá trị lớn nhất
của hàm số g (x) = f ( x) 2
2 − sin x trên đoạn [ 1; − ] 1 là Page 22
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ A. f (− ) 1 . B. f (0). C. f (2) . D. f ( ) 1 . Lời giải Chọn B Ta có x ∈[ 1; − ] 1 ⇒ 2x ∈[ 2 − ;2] .
Từ bảng biến thiên của y = f '(x) thì bảng biến thiên y = f (x) như sau: f
(2x) ≤ f (0) Ta thấy x ∀ ∈[ 1; − ] 1 ta có
, do đó g (x) ≤ g (0) = f (0) . 2 −sin x ≤ 0 = sin (0)
Dấu “=” xảy ra khi x = 0 .
Câu 29: Cho hàm số y = f (x) liên tục trên sao cho max f (x) = 3. Xét hàm số g (x) = f (3x − ) 1 + m [ 1 − ;2]
. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để max g (x) = 1 − 0 . [0 ] ;1 A. 13. B. 7 − . C. 13 − . D. 1 − . Lời giải Chọn C
Đặt u = 3x −1 ⇒ g (x) = f (u) + m . x∈[0; ] 1 ⇒ u ∈[ 1; − 2] .
Do f (x) liên tục trên nên max g (x) = max( f (u) + m) = max f (u) + m = 3+ m . [0; ]1 [ 1 − ;2] [ 1 − ;2]
Để max g (x) =10 ⇔ m = 13 − . [0 ] ;1
Câu 30: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm cấp 2 trên , hàm số y = f ′(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Page 23
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ + π π
Giá trị lớn nhất của hàm số sin x 3 cos x y = f trên đoạn 5 − ; bằng 2 6 6 π π π A. f − . B. f (0) . C. 5 f − . D. f . 3 6 6 Lời giải Chọn A + π Đặt sin x 3 cos x t sin x = = + . 2 3 π π π π π Vì 5 x ; x ; ∈ − ⇒ + ∈ − ⇒ t ∈[ 1; − ] 1 . 6 6 3 2 2
Dựa vào đồ thị của hàm số f ′(x) , ta có bảng biến thiên + π π Ta có: sin x 3 cos max x f
= max f (t) ⇔ t = 0 ⇔ sin x + = 0 ⇔ x = − . 5π π [ 1−; ]1 − ; 2 3 3 6 6 + π Vậy sin x 3 cos max x f f = − . 5π ;π − 2 3 6 6
Câu 31: Cho hàm số y = f (x) liên tục trên sao cho max f (x) = f (2) = 4 . Xét hàm số x [ ∈ 0;10]
g (x) = f ( 3 x + x) 2
− x + 2x + m . Giá trị của tham số m để max g (x) = 8 là x [ ∈ 0;2] A. 5. B. 4 . C. 1 − . D. 3. Lời giải Chọn D Đặt 3
t = x + x . Vì x ∈[0;2] ⇒ t ∈[0;10].
Ta có: max g (x) = max f ( 3 x + x) 2
− x + 2x + m ≤ max f ( 3x + x) 2
+ max −x + 2x + m x [ ∈ 0;2] x [ ∈ 0;2] x [ ∈ 0;2] x [ ∈ 0;2] Page 24
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
= max f (t) +1+ m . t [ ∈ 0;10]
≤ max f (x) +1+ m = 4 +1+ m = 5 + m. x [ ∈ 0;10] x =1
Suy ra: max g (x) = 5+ m ⇔ ⇔ x =1. x [ ∈ 0;2] t = 2
Theo giả thiết, ta có: max g (x) = 8 ⇔ m + 5 = 8 ⇔ m = 3 . x [ ∈ 0;2]
Câu 32: Cho hai hàm số y = f (x) , y = g (x) có đạo hàm là f ′(x) , g′(x) . Đồ thị hàm số y = f ′(x) và
g′(x) được cho như hình vẽ bên dưới.
Biết rằng f (0) − f (6) < g (0) − g (6). Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số h(x) = f (x) − g (x)
trên đoạn [0;6] lần lượt là:
A. h(6), h(2) .
B. h(2) , h(6).
C. h(0), h(2) .
D. h(2) , h(0). Lời giải
Ta có h′(x) = f ′(x) − g′(x) .
h′(x) = 0 ⇔ x = 2
Từ đồ thị ta có bảng biến thiên:
Và f (0) − f (6) < g (0) − g (6) ⇔ f (0) − g (0) < f (6) − g (6) .
Hay h(0) < h(6) .
Vậy max h(x) = h(6) ; min h(x) = h(2). [0;6] [0;6]
Câu 33: Cho hàm số f (x) liên tục trên , có đồ thị như hình vẽ Page 25
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ 8x
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m
để hàm số y = f + m − 1 2 x +1 có giá trị lớn nhất
không vượt quá 2020 ? A. 4029 . B. 4035. C. 4031. D. 4041. Lời giải Chọn C 8x 2 −8x + 8 Đặt t = . Ta có: t′ =
; t′ = 0 ⇔ x = 1 ± . 2 x +1 (x + )2 2 1 BBT: ⇒ t ∈[−4;4] . 8x Hàm số y f = + m −
1 trở thành g (t) = f (t) + m −1 ,t ∈[−4;4]. 2 x +1
Đặt h(t) = f (t) + m −1,t ∈[−4;4] , ta có: h′(t) = f ′(t) . t = −4∈[−4;4]
h′(t) = 0 ⇔ f ′(t) = 0 ⇔ t = −2∈[−4;4]. t = 2∈ [−4;4]
Ta có: h(−4) ≈ 0,8 + m −1 = m − 0,2 ;
h(4) = 6 + m −1 = m + 5 ;
h(−2) ≈1,6 + m −1 = m + 0,6 ; Page 26
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
h(2) = −4 + m −1 = m − 5.
Max y = Max h(t) = Max{ m + 5 ; m −5}. [−4;4] m + 5 ≤ 2020 2020 − ≤ m + 5 ≤ 2020
− 2025 ≤ m ≤ 2015 Yêu cầu bài toán ⇔ ⇔ ⇔ m − 5 ≤ 2020 2020 − ≤ m − 5 ≤ 2020
− 2015 ≤ m ≤ 2025 ⇔ 2015 − ≤ m ≤ 2015 .
Vậy có tất cả 4031 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 34: Cho hàm số y = f (x) liên tục trên có đồ thị y = f ′(x) như hình bên. Đặt
g (x) = f (x) − (x − )2 2 1 .
Khi đó y = g (x) đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn [ 3 − ; ] 3 tại A. x = 3 − . B. x = 3. C. x = 0 . D. x =1. Lời giải. Chọn A
Ta có g (x) = f (x) −(x − )2 2
1 ⇒ g′(x) = 2( f ′(x) −(x − )
1 ). Vẽ đồ thị hàm số y = x −1 trên cùng hệ
trục tọa độ với đồ thị hàm số y = f ′(x) . Page 27
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Dựa vào đồ thị ta thấy 1 3 + g′
∫ (x)dx > 0 ⇒ g( )1 > g( 3 − ); g′
∫ (x)dx < 0 ⇒ g( )1 > g(3). Do đó y = g(x) đạt giá trị nhỏ nhất 3 − 1 trên đoạn [ 3 − ; ]
3 tại x = 3 hoặc x = 3 − .
+ Phần hình phẳng giới hạn bởi y = f ′(x); y = x −1; x = 3
− ; x =1 có diện tích lớn hơn phần hình phẳng 1 3
giới hạn bởi y = f ′(x); y = x −1; x =1; x = 3 nên g′(x) dx > g′(x) dx ⇒ g (3) > g ( 3 − ∫ ∫ ). 3 − 1
Vậy y = g (x) đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn [ 3 − ; ] 3 tại x = 3 − .
Câu 35: Cho hàm số f (x) . Biết hàm số f ′(x) có đồ thị như hình dưới đây. Trên [ 4; − ]3, hàm số
g (x) = f (x) + ( − x)2 2 1
đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm A. x = 3 − . B. x = 4 − . C. x = 3. D. x = 1 − . Lời giải Chọn D
Xét hàm số g (x) = f (x) + ( − x)2 2 1 trên [ 4; − ]3.
Ta có: g′(x) = 2 f ′(x) − 2(1− x).
g′(x) = 0 ⇔ f ′(x) =1− x . Trên đồ thị hàm số f ′(x) ta vẽ thêm đường thẳng y =1− x . x = 4 −
Từ đồ thị ta thấy f (x) 1 x ′ = − ⇔ x = 1 − . x = 3
Bảng biến thiên của hàm số g (x) như sau: Page 28
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Vậy min g (x) = g (− ) 1 ⇔ x = 1 − . [ 4; − ]3
Câu 36: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm cấp hai trên . Biết f ′(0) = 3, f ′(2) = f ′( 2018 − ) = 0 , và
bảng xét dấu của f ′′(x) như sau
Hàm số y = f ( x −1 − 2018) đạt giá trị nhỏ nhất tại x thuộc khoảng nào sau đây? 0 A. ( ; −∞ 2015 − ). B. (1;3). C. ( 1009 − ;2) . D. ( 2015 − ; ) 1 . Lời giải. Chọn C
Từ bảng xét dấu của f ′′(x) và giả thiết f ′(0) = 3, f ′(2) = f ′( 2018 −
) = 0 suy ra bảng biến thiên của
hàm số y = f ′(x) như sau
Từ đó suy ra bảng biến thiên của hàm số y = f (x) :
Hàm số y = f ( x −1 − 2018) đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi x −1 − 2018 = 2018 −
⇔ x −1 = 0 ⇔ x =1∈( 1009 − ;2) .
Câu 37: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm cấp hai trên . Biết f ′(0) = 3 , f ′(2) = 2020 − ,
lim f ′(x) = −∞ và bảng xét dấu của f ′′(x) như hình sau: x→−∞
Hàm số y = f (x + 2019) + 2020x đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm x thuộc khoảng nào sau đây? 0 Page 29
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ A. ( ; −∞ 2019 − ). B. (0;2) . C. ( 2019 − ;0) . D. (2019;+∞) . Lời giải Chọn A Theo giả thiết ta có
Ta có y′ = f ′(x + 2019) + 2020 ⇒ y′ = 0 ⇔ f ′(x + 2019) = 2020 − . x + 2019 = a
x = a − 2019
Từ bảng biến thiên trên ta có y′ = 0 ⇔ ⇔ , với a < 0 . x 2019 2 + = x = 2017 −
Từ đó ta có bảng biến thiên của hàm số y = f (x + 2019) + 2020x
Từ bảng biến thiên có hàm số y = f (x + 2019) + 2020x đạt giá trị nhỏ nhất tại x = a − 2019 . 0
Vì a < 0 nên x ∈ ; −∞ 2019 − . 0 ( )
DẠNG 3. ỨNG DỤNG GTLN-GTNN GIẢI BÀI TOÁN THỰC TẾ
Câu 38: Cho số a > 0 . Trong số các tam giác vuông có tổng một cạnh góc vuông và cạnh huyền bằng a
, tam giác có diện tích lớn nhất bằng A. 3 2 a . B. 3 2 a . C. 3 2 a . D. 3 2 a . 3 6 9 18 Lời giải Chọn D
Giả sử tam giác ABC vuông ở A thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Giả sử AB + BC = a ⇒ AB = a − BC
Đặt BC = x;0 < x < a .
⇒ AB = a − x và AC = x − (a − x)2 2 2 = 2ax − a
Diện tích tam giác ABC là 1 1 S = .
AB AC = (a − x) 2 2ax − a 2 2 Page 30
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Xét hàm số f (x) 1 = (a − x) 2 2ax − a 2 2 2 2
− ax + a + a − ax ′( ) 1 2 a − ax = 1 2 1 2 3 − 2 − + ( − ). a f x ax a a x = = . 2 2 2 ax − a 2 2 2 2 2 2x − a 2 2x − a ′( ) 2a f x = 0 ⇔ x = . 3
Vậy diện tích lớn nhất của tam giác ABC là 2a 3 2 S = f = a . 3 18
Câu 39: Một loại thuốc được dùng cho một bệnh nhân và nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân được
giám sát bởi bác sĩ. Biết rằng nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân sau khi tiêm vào cơ thể
trong t giờ được cho bởi công thức ( ) t c t =
(mg / L) . Sau khi tiêm thuốc bao lâu thì nồng 2 t +1
độ thuốc trong máu của bệnh nhân cao nhất? A. 4 giờ. B. 1 giờ. C. 3 giờ. D. 2 giờ. Lời giải Xét hàm số ( ) t c t = , (t > 0) . 2 t +1 2 ′( ) 1− t c t = ( . t + )2 2 1 = c′(t) t 1 = 0 ⇔ . t = 1 −
Với t =1 giờ thì nồng độ thuốc trong máu của bênh nhân cao nhất.
Câu 40: Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 12 cm. Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình
vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng x , rồi gập tấm nhôm lại như hình vẽ dưới đây
để được một cái hộp không nắp. Tìm x để hộp nhận được có thể tích lớn nhất. Page 31
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ A. x = 3
B. x = 2
C. x = 4
D. x = 6 Lời giải Chọn B
Ta có : h = x (cm) là đường cao hình hộp
Vì tấm nhôm được gấp lại tạo thành hình hộp nên cạnh đáy của hình hộp là: 12 − 2x (cm) x > 0 x > 0
Vậy diện tích đáy hình hộp S = ( − x)2 ( 2 12 2 cm ). Ta có: ⇔ ⇔ x ∈(0;6) 12 − 2x > 0 x < 6
Thể tích của hình hộp là: V = S.h = x ( 2 − 2x)2 . 1
Xét hàm số: y = x ( − x)2 . 12 2 x ∀ ∈(0;6)
Ta có : y = ( − x)2 ' 12 2
− 4x(12 − 2x) = (12 − 2x)(12 − 6x) ;
y ' = 0 ⇔ (12 − 2x).(12 − 6x) = 0 ⇔ x = 2 hoặc x = 6 .
Suy ra với x = 2 thì thể tích hộp là lớn nhất và giá trị lớn nhất đó là y(2) =128 .
Câu 41: Một sợi dây có chiều dài 28m được cắt thành hai đoạn để làm thành một hình vuông và một
hình tròn. Tính chiều dài của đoạn dây làm thành hình vuông được cắt ra sao cho tổng diện tích
của hình vuông và hình tròn là nhỏ nhất? A. 56 . B. 112 . C. 84 . D. 92 . 4 +π 4 +π 4 +π 4 +π Lời giải
Gọi chiều dài của đoạn dây làm thành hình vuông là x ( m )
=> chiều dài của đoạn dây làm thành hình tròn là 28 − x ( m ) 2 2
+) Diện tích hình vuông là: x x = 4 16
+) Bán kính hình tròn là: R = 28 − x 2π Page 32
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ 2 2
=> Diện tích hình tròn: 2 28 − x 784 − 56 π = π. x + x R = 2π 4π 2 2 − + π
+) Tổng diện tích hai hình: x 784 56x x + 4 2 14 196 + = x − x + 16 4π 16π π π π + 4 14 196 Xét 2 f (x) = x − x +
. Nhận thấy f (x) đạt giá trị nhỏ nhất tại 16π π π b 14 16π 112 x − = = . = 2a π 2(π + 4) π + 4
Vậy chiều dài của đoạn dây làm thành hình vuông để tổng diện tích của hai hình đạt giá trị nhỏ nhất là 112 m 4 +π
Câu 42: Cho một tấm nhôm hình chữ nhật có chiều dài bằng 10cm và chiều rộng bằng 8cm . Người ta
cắt bỏ ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng
x(cm), rồi gập tấm nhôm lại để được một cái hộp không nắp. Tìm x để hộp nhận được có thể tích lớn nhất. A. 8 2 21 x − = B. 10 2 7 x − = C. 9 21 x + = . D. 9 21 x − = 3 3 9 3 Lời giải Chọn D
Ta có : h = x (cm) là đường cao hình hộp
Vì tấm nhôm được gấp lại tạo thành hình hộp nên cạnh đáy của hình hộp là: 10 − 2x (cm) và 8 − 2x (cm) x > 0 x > 0
Vậy diện tích đáy hình hộp S = ( − x)( − x)( 2 10 2 8 2 cm ). Ta có: 1
0 − 2x > 0 ⇔ ⇔ x ∈(0;4) x < 4 8 − 2x > 0
Thể tích của hình hộp là: V = S.h = .x(10 − 2x).(8− 2x)
Xét hàm số: y = .x(10 − 2x).(8 − 2x) x ∀ ∈(0;4) Ta có : 2
y ' =12x − 72x + 80 ; Page 33
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ 9 + 21 x = > 4 (l) 3 y ' = 0 ⇔ . 9 − 21 x = (n) 3 Suy ra với 9 21 x − =
thì thể tích hộp là lớn nhất và giá trị lớn nhất. 3
Câu 43: Ông A dự định sử dụng hết 2
5 m kính để làm một bể cá bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật
không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng . Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu ? A. 3 1,01m . B. 3 0,96 m . C. 3 1,33 m . D. 3 1,51m . Lời giải Chọn A A' D' B' C' y A 2 x x D B C
Gọi x, y lần lượt là chiều rộng và chiều cao của bể cá . Ta có thể tích bể cá 2 V = 2x y . Theo đề bài ta có: 2
2xy + 2.2xy + 2x = 5 2
⇔ 6xy + 2x = 5 2 5 − 2 ⇔ = x y 6x 2 3 2 2 5 − 2x 5x − 2 − ⇒ = 2 = x V x 5 6 ⇒ ′ = x V 2
⇒ V ′ = 0 ⇔ 5 − 6x = 0 5 ⇔ x = 6x 3 3 6 5 30 3 ⇒ V = ≈ 1,01 m . x ma 27 Page 34
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Câu 44: Một người nông dân có 15.000.000 đồng muốn làm một cái hàng rào hình chữ E dọc theo một
con sông để làm một khu đất có hai phần chữ nhật để trồng rau. Đối với mặt hàng rào song song
với bờ sông thì chi phí nguyên vật liệu là 60.000 đồng một mét, còn đối với ba mặt hàng rào song
song nhau thì chi phí nguyên vật liệu là 50.000 đồng một mét. Tìm diện tích lớn nhất của đất rào thu được A. 2 3125m . B. 2 50m . C. 2 1250m . D. 2 6250m . Lời giải Chọn D
Gọi x là chiều dài 1 mặt hàng rào hình chữ E .
Gọi y là chiều dài mặt hàng rào hình chữ E song song với bờ sông ( y > 0). Số tiền phải làm là: 500 5 .3.50000 .60000 15.000.000 x x y y − + = ⇔ = . 2 Diện tích đất: 500 − 5x 5 2 S = . x y = . x = 250x − x 2 2
Ta có: S ' = 250 − 5x .
S ' = 0 ⇔ 250 − 5x ⇔ x = 50. Bảng biến thiên: x 0 50 + ∞ S' + 0 S 6250 0 -∞ Vậy: 2
max S = 6250 (m ) khi x = 50. (0;+∞)
Câu 45: Ông Khoa muốn xây một cái bể chứa nước lớn dạng một khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng 3
288m . Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng, giá thuê nhân công
để xây bể là 500000 đồng/ 2
m . Nếu ông Khoa biết xác định các kích thước của bể hợp lí thì chi
phí thuê nhân công sẽ thấp nhất. Hỏi ông Khoa trả chi phí thấp nhất để xây dựng bể đó là bao nhiêu ? A. 90 triệu đồng.
B. 168 triệu đồng. C. 54 triệu đồng.
D. 108 triệu đồng. Lời giải Chọn D
Theo bài ra ta có để chi phí thuê nhân công là thấp nhất thì ta phải xây dựng bể sao cho tổng diện tích
xung quanh và diện tích đáy là nhỏ nhất.
Gọi ba kích thước của bể là a , 2a , c (a(m) > 0,c(m) > 0) . Page 35
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Ta có diện tích cách mặt cần xây là 2 2
S = 2a + 4ac + 2ac = 2a + 6ac . Thể tích bể 2 V = .2 a .
a c = 2a c = 288 ⇒ 144 c = . 2 a Suy ra 2 144 2 864 2 432 432 2 432 432 = + = + = + + ≥ 3 S 2a 6 . a 2a 2a 3. 2a . . = 216 . 2 a a a a a a Vậy 2
S = 216m , khi đó chi phí thấp nhất là 216.500000 =108 triệu đồng. min
Câu 46: Một người nông dân có 3 tấm lưới thép B40, mỗi tấm dài 12(m) và muốn rào một mảnh vườn
dọc bờ sông có dạng hình thang cân ABCD như hình vẽ . Hỏi ông ta có thể rào được mảnh vườn
có diện tích lớn nhất là bao nhiêu 2 m ? B A C D A. 100 3 . B. 106 3 . C. 108 3 . D. 120 3 . Lời giải Chọn C
Kẻ đường cao BH , gọi số đo 2 góc ở đáy CD của hình thang là x, x∈(0 ;°90°) .
Diện tích mảnh vườn là: 1
S = BH ( AB + CD) 1
= BC.sin x(2.AB + 2BC.cos x) 1 2
= AB (2sin x + sin 2x) 2 2 2
Xét hàm số f (x) = 2sin x + sin 2x với x∈( 0 0
0 ;90 ) có f ′(x) = 2cos x + 2cos2x . 1 = Ta có: f ′(x) cos x 2
= 0 ⇔ 2cos x + 2cos 2x = 0 ⇔ 2cos x + cos x −1 = 0 ⇔ 2 cos x = 1 − Do x ∈( 0 0 0 ;90 ) nên ta nhận 1 0
cos x = ⇔ x = 60 . Ta có bảng biến thiên: 2 Page 36
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Từ bảng biến thiên ta thấy: f (x) 3 3 max ≤ đạt được tại 0 x = 60 . ( 0 0 0 ;90 ) 2 ⇒ S = ( 2 max
108 3 m ) khi góc ở đáy CD của hình thang bằng 0 60 = ( 0 C D = 60 ).
Câu 47: Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2 và hai điểm C , D thay đổi trên nửa đường tròn đó
sao cho ABCD là hình thang. Diện tích lớn nhất của hình thang ABCD bằng 3 3 3 3 A. 1 . B. . C. 1. D. . 2 4 2 Lời giải Chọn B
Gọi H là hình chiếu vuông góc của D lên AB , I là trung điểm của đoạn CD và O là trung điểm
của AB . Đặt DH = x , 0 < x <1. Ta có 2 2 2
DC = 2DI = 2OH = 2 OD − DH = 2 1− x . AB + CD DH
Diện tích của hình thang ABCD là S = f (x) ( ) = = ( 2 1+ 1− x )x. 2 2 2 Ta có ′( ) 1− x +1− 2x f x = . f ′(x) 2 2
= 0 ⇔ 1− x +1− 2x = 0 2 1− x t = 1 − Đặt 2
t = 1− x , khi đó phương trình trở thành 2 2t t 1 0 + − = ⇔ 1 . t = 2 t 1 3 3 = 1 − loại. 1 t = ta có 2 2
1− x = ⇔ x = ⇔ x = ± . 2 2 4 2 Bảng biến thiên Page 37
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Vậy diện tích lớn nhất của hình thang ABCD bằng 3 3 . 4
Câu 48: Một người đàn ông muốn chèo thuyền ở vị trí A tới điểm B về phía hạ lưu bờ đối diện, càng
nhanh càng tốt, trên một bờ sông thẳng rộng 3 km . Anh có thể chèo thuyền của mình trực tiếp
qua sông để đến C và sau đó chạy đến B , hay có thể chèo trực tiếp đến B , hoặc anh ta có thể
chèo thuyền đến một điểm D giữa C và B và sau đó chạy đến B . Biết anh ấy có thể chèo
thuyền 6 km/ h , chạy 8 km/ h và quãng đường BC = 8 km . Biết tốc độ của dòng nước là không
đáng kể so với tốc độ chèo thuyền của người đàn ông. Tính khoảng thời gian ngắn nhất để người đàn ông đến B . A. 3 . B. 9 . C. 73 . D. 7 1+ . 2 7 6 8 Lời giải
Cách 1: Anh chèo thuyền của mình trực tiếp qua sông để đến C và sau đó chạy đến B
Thời gian chèo thuyền trên quãng đường AC : 3 = 0,5 6
Thời gian chạy trên quãng đường CB : 8 =1 8
Tổng thời gian di chuyển từ A đến B là 1,5 . 73
Cách 2: chèo trực tiếp trên quãng đường 2 2 AB = 3 + 8 = 73 mất h ≈1 26′. 6 Cách 3: Page 38
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Gọi x (km) là độ dài quãng đường BD ; 8 − x (km) là độ dài quãng đường CD . 2
Thời gian chèo thuyền trên quãng đường 2
AD = x + 9 là: x + 9 6
Thời gian chạy trên quãng đường DB là: 8 − x 8 2
Tổng thời gian di chuyển từ A đến B là ( ) x 9 8 x f x + − = + 6 8 2 Xét hàm số ( ) x 9 8 x f x + − = + trên khoảng (0; 8) 6 8 Ta có f ′(x) x 1 = − ; f ′(x) 2 9
= 0 ⇔ 3 x + 9 = 4x ⇔ x = 2 6 x + 9 8 7 Bảng biến thiên
Dựa vào BBT ta thấy thời gian ngắn nhất để di chuyển từ A đến B là 7 h 1+ ≈1 20′. 8
Vậy khoảng thời gian ngắn nhất để người đàn ông đến B là 7 h 1+ ≈1 20′. 8
DẠNG 4. DÙNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ
NHẤT CỦA BIỂU THỨC
Câu 49: Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥1, x + y + z = 2 .Biết giá trị lớn nhất của biểu
thức P = xyz bằng a với *
a,b∈ và a là phân số tối giản. Giá trị của 2a + b bằng b b A. 5. B. 43. C. 9. D. 6 . Lời giải Page 39
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Chọn D 2 2 + − Ta có: x y 2 z 1 P = xyz ≤ .z = .z = ( 2 3 4z − 4z + z ). 2 2 4
Xét hàm số f (z) 1 = ( 2 3
4z − 4z + z ) trên [1;2]. 4 2 1 z = (loai)
Ta có: f ′(z) = ( 2
4 −8z + 3z ); f ′(z) = 0 ⇔ 3 4 z = 2 Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên, ta có: 1 P ≤ . 4 z =1 Vậy 1 P = khi
⇒ a =1;b = 4 ⇒ 2a + b = 6. max 4 1 x = y = 2 Câu 50: Cho 2 2
x − xy + y = 2 . Giá trị nhỏ nhất của 2 2
P = x + xy + y bằng: A. 2 B. 1 C. 1 D. 2 3 6 2 Lời giải Chọn A 2 2 2 2
Xét P x + xy + y
x + xy + y = = 2 2 2 2
x − xy + y +nếu y = 0 thì 2 x = 2 . Do đó 2
P = x = 2 suy ra min P = 2
+nếu y ≠ 0 ta chia tử mẫu cho 2 y ta được 2
1 x x + + 2 2 P x xy y
y y + + = = 2 2 2
2 x − xy + y
1 x x − +
y y 2 Đặt x + +
t = , khi đó P 1 t t = y 2 2 1− t + t 2 2 Xét + + − +
f (t) 1 t t 2t 2 = ⇒ f ' t = 2 ( ) 1− t + t ( 2 1− t + t )2 = f (t) t 1 ' = 0 ⇔ t = 1 − Bảng biến thiên Page 40
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Khi đó P 1 min = do đó 2 min P = . 2 3 3
Câu 51: Cho x , y là các số thực thỏa mãn x + y = x −1 + 2y + 2 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của 2 2
P = x + y + 2(x + ) 1 ( y + )
1 +8 4 − x − y . Tính giá trị M + m A. 42 B. 41 C. 43 D. 44 Lời giải Chọn C
(x + y) = ( x− + y + )2 2 1 2
1 ≤ 3(x + y) ⇔ 0 ≤ x + y ≤ 3 2 2
P = x + y + 2(x + ) 1 ( y + )
1 + 8 4 − x − y = (x + y)2 + 2(x + y) + 2 +8 4 −(x + y)
Đặt t = 4 − (x + y),t ∈[1;2].
Ta có: f (t) = ( −t )2 2 + ( 2 − t ) 4 2 4 2 4
+ 2 + 8t = t −10t + 8t + 26 . f ′(t) 3
= 4t − 20t + 8 t = 2∈[1;2] = f ′(t) t 2 = 0 ⇔ ⇔ t = 1 − + 2 ∈ [1;2] 2
t + 2t −1 = 0 t = 1 − − 2 ∈ [1;2] f ( ) 1 = 25; f (2) =18.
Suy ra m = min f (t) = f (2) =18;M = max f (t) = f ( ) 1 = 25. [1;2] [1;2]
Vậy M + m = 43.
Câu 52: Cho x , y > 0 thỏa mãn 3
x + y = và biểu thức 4 1 P = +
đạt giá trị nhỏ nhất. Tính 2 2 x + y . 2 x 4y A. 153 . B. 5 . C. 2313 . D. 25 . 100 4 1156 16 Page 41
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Lời giải Chọn A Từ 3 x + y = suy ra 3
y = − x . Ta có: 3
0 < x, y < . 2 2 2 Xét hàm P(x) 4 1 = + 4 1 = + trên khoảng 3 0; , ta có: x 3 4 x − x 6 − 4x 2 2 P (x) 4 4 − ′ = − − . 2 x (6 − 4x)2 6 x = 6 − 4x = P′(x) x = 0 4 4 ⇔ = 2
⇔ x = (6 − 4x)2 ⇔ ⇔ . ( 5 6 − 4x)2 2 x x = 4x − 6 x = 2
Bảng biến thiên của P(x) trên 3 0; : 2
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy P(x) 25 min = khi 6 x = . 3 0; 5 6 2 Với 6 x = thì 3 y = . 5 10 Như vậy 25 min P = khi 6 x = , 3 y = . 6 5 10 Khi đó, 2 2 153 x + y = . 100
Câu 53: Cho x, y > 0 và 5
x + y = sao cho biểu thức 4 1 P = +
đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó 4 x 4y A. 2 2 25 x + y = . B. 2 2 17 x + y = . C. 2 2 25 x + y = . D. 2 2 13 x + y = . 32 16 16 16 Lời giải Từ 5 5
x + y = ⇒ y = − x , nên 4 1 P = + . 4 4 x 5 − 4x Xét hàm số 4 1 P = + với 5 0 < x < . x 5 − 4x 4 5 x 1 0; = ∈ 4 4 4 P′ = − + ; 2
P′ = 0 ⇔ x = (5 − 4x)2 ⇔ . 2 x (5− 4x)2 5 5 x 0; = ∉ 3 4 Page 42
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Bảng biến thiên
Như vậy: min P = 5 khi x =1; 1 y = . 4 Khi đó 2 2 17 x + y = . 16
Câu 54: Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 4 và xy + yz + zx = 5 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( 3 3 3 + + ) 1 1 1 x y z + + bằng: x y z A. 20 . B. 25 . C. 15. D. 35. Lời giải
x + y + z = 4
x + y = 4 − z Ta có: ⇔ . xy yz zx 5 + + = xy = 5 − z (x + y) 2 = 5 − 4z + z Lại có: ( 2
x + y)2 ≥ 4xy ⇒ (4 − z)2 ≥ 4( 2
5 − 4z + z ) ⇒ ≤ z ≤ 2 . Dấu " = " xảy ra khi x = y . 3
Và (x + y + z)3 3 3 3
= x + y + z + 3(x + y + z)(x + y) z + 3xy (x + y) 3 3 3 3
⇒ x + y + z = 4 −12(x + y) z − 3xy(x + y) = − ( − z)( 2 64 3 4 5 + z ) . 5 Ta có: = ( 3 3 3 + + ) 1 1 1 P x y z + + = ( 3 2
3z −12z +15z + 4) . x y z 3 2
z − 4z + 5z Đặt 3 2
t = z − 4z + 5z , với 2 50 ≤ z ≤ 2 ⇒ ≤ t ≤ 2. 3 27
Do đó xét hàm số f (t) 4 5 3 = +
, với 50 ≤ t ≤ 2 . t 27 − Ta có f (t) 20 50 0, ; t 2 ′ = < ∀ ∈
nên hàm số f (t) liên tục và nghịch biến. 2 t 27 Do đó mi
P n = f (2) = 25 đạt tại x = y =1, z = 2 .
Câu 55: Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn ( 2 2
2 x + y ) + xy = (x + y)(xy + 2) . Giá trị nhỏ nhất của 3 3 2 2 biểu thức = 4 x y + − 9 x y P + . 3 3 2 2 y x y x Page 43
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ A. 25 − . B. 5. C. 23 − . D. 13 − . 4 4 Lời giải Ta có ( 2 2
2 x + y ) + xy = (x + y)(xy + 2) ≥ (x + y)2 2xy . Đặt 2 2
a = x + y ;b = xy ta được: ( a + b)2 ≥ b(a + b) 2 2 2 8
2 ⇔ 4a − 4ab −15b ≥ 0 a 5 2 2
⇒ ≥ . Suy ra: x + y 5 x y 5 ≥ ⇔ t = + ≥ . b 2 xy 2 y x 2 Ta có: 3 3 2 2 = 4 x y + − 9 x y P +
= ( 3t − t) − ( 2t − ) 3 2 4 3 9
2 = 4t − 9t −12t +18 = f (t) với 5 t ≥ . 3 3 2 2 y x y x 2
Khảo sát hàm số f (t) với 5
t ≥ ta được f (t) 23 ≥ − . Vậy chọn C 2 4
Câu 56: Cho các số thực dương x , y thỏa mãn 5
2x + y = . Tìm giá trị nhỏ nhất P của biểu thức 4 min 2 1 P = + . x 4y A. 34 P = . B. 65 P = .
C. P không tồn tại. D. P = 5. min 5 min 4 min min Lời giải Từ giả thiết ta có 5
y = − 2x . Vì y > 0 nên 5 5
− 2x > 0 ⇒ x < . Do đó 5 0 < x < . 4 4 8 8 Ta có 2 1 2 1 10 −15x P = + = + = với 5 0 < x < . 2 x 5 x 5 −8x 8 − x + 5 4 − 8 2 x x 4 15 − ( 2 8
− x + 5x) −( 16
− x + 5)(10 −15x) 2
120x − 75x − ( 2 160 −
x + 240x + 50 − 75x) P′ = ( = 8 − x + 5x)2 ( 8 − x + 5x)2 2 2 5 5 x 0; = ∉ 2 120 − x +160x − 50 6 8 P′ = ′ = ⇒ − + − = ⇒ ( . Có 2 P 0 120x 160x 50 0 . 8 − x + 5x)2 2 1 5 x 0; = ∈ 2 8 Bảng biến thiên Page 44
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Dựa vào bảng biến thiên ta có P = 5. min Page 45
Document Outline
- 001_01_07_GT12_BAI 3_GTNN_GTLN_TỰ LUẬN_DE
- * Với bài toán đặt ẩn phụ ta phải tìm điều kiện của ẩn phụ.
- DẠNG 4: PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ ĐỂ GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA THAM SỐ m SAO CHO PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM
- (CÓ ỨNG DỤNG GTLN, GTNN )
- DẠNG 7: PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ ĐỂ GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA THAM SỐ ĐỂ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM HOẶC NGHIỆM ĐÚNG VỚI MỌI (CÓ ỨNG DỤNG GTLN, GTNN)
- DẠNG 8: BÀI TOÁN THỰC TẾ:
- 001_01_07_GT12_BAI 3_GTNN_GTLN_TỰ LUẬN_HDG
- * Với bài toán đặt ẩn phụ ta phải tìm điều kiện của ẩn phụ.
- DẠNG 4: PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ ĐỂ GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA THAM SỐ m SAO CHO PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM
- (CÓ ỨNG DỤNG GTLN, GTNN )
- DẠNG 7: PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ ĐỂ GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA THAM SỐ ĐỂ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM HOẶC NGHIỆM ĐÚNG VỚI MỌI (CÓ ỨNG DỤNG GTLN, GTNN)
- DẠNG 8: BÀI TOÁN THỰC TẾ:
- 001_01_08_GT12_BAI 3_GTNN_GTLN_TRẮC NGHIỆM ĐỀ BỘ_DE
- 001_01_08_GT12_BAI 3_GTNN_GTLN_TRẮC NGHIỆM ĐỀ BỘ_HDG
- 001_01_09_GT12_BAI 3_GTNN_GTLN_BT TRẮC NGHIỆM(MỨC5-6)_DE
- DẠNG 1. XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ THÔNG QUA ĐỒ THỊ, BẢNG BIẾN THIÊN
- DẠNG 2. XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ TRÊN ĐOẠN
- DẠNG 3. XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ TRÊN KHOẢNG .
- 001_01_09_GT12_BAI 3_GTNN_GTLN_BT TRẮC NGHIỆM(MỨC5-6)_HDG
- DẠNG 1. XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ THÔNG QUA ĐỒ THỊ, BẢNG BIẾN THIÊN
- DẠNG 2. XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ TRÊN ĐOẠN
- DẠNG 3. XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ TRÊN KHOẢNG .
- 001_01_09_GT12_BAI 3_GTNN_GTLN_BT TRẮC NGHIỆM(MỨC7-8)_DE
- DẠNG. ĐỊNH M ĐỂ GTLN-GTNN CỦA HÀM SỐ THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC
- 001_01_09_GT12_BAI 3_GTNN_GTLN_BT TRẮC NGHIỆM(MỨC7-8)_HDG
- DẠNG. ĐỊNH M ĐỂ GTLN-GTNN CỦA HÀM SỐ THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC
- 001_01_09_GT12_BAI 3_GTNN_GTLN_BT TRẮC NGHIỆM(MỨC9-10)_DE
- DẠNG 1. ĐỊNH M ĐỂ GTLN-GTNN CỦA HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC
- DẠNG 2. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT HÀM ẨN, HÀM HỢP
- DẠNG 3. ỨNG DỤNG GTLN-GTNN GIẢI BÀI TOÁN THỰC TẾ
- DẠNG 4. DÙNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC
- 001_01_09_GT12_BAI 3_GTNN_GTLN_BT TRẮC NGHIỆM(MỨC9-10)_HDG
- DẠNG 1. ĐỊNH M ĐỂ GTLN-GTNN CỦA HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC
- DẠNG 2. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT HÀM ẨN, HÀM HỢP
- DẠNG 3. ỨNG DỤNG GTLN-GTNN GIẢI BÀI TOÁN THỰC TẾ
- DẠNG 4. DÙNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC