Chuyên đề hàm số luỹ thừa, hàm số mũ và hàm số logarit – Trần Quốc Nghĩa

Tài liệu phân dạng, hướng dẫn phương pháp giải kèm bài tập mẫu và bài tập trắc nghiệm có đáp án chuyên đề hàm số luỹ thừa, hàm số mũ và hàm số logarit trong chương trình Giải tích 12. Nội dung tài liệu gồm các phần

77 39 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit (KNTT)

Môn: Toán 11

Thông tin:

118 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Kim Oanh
GV. TR
GV. TRGV. TR
GV. TRẦ
ẦẦ
ẦN QU
N QUN QU
N QUỐ
ỐỐ
ỐC NGH
C NGHC NGH
C NGHĨA
ĨAĨA
ĨA
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầ
ầầ
ầm & biên t
m & biên tm & biên t
m & biên tậ
ậậ
ập)
p)p)
p)
1
11
1
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2
HÀM SỐ LUỸ THỪA
HÀM SỐ MŨ - HÀM SỐ LÔGARIT
Vấn đề 1. LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ HỮU TỈ - SỐ MŨ THỰC
1. Lũythừavớisốmũnguyên
Cho
n
là một số nguyên dương. Với
a
là số thực tùy ý, lũy thừa bậc
n
của
a
là tích của n
thừa số a.
①
①①
① = …
. . .
n
nthöøasoá
a a a a
với
a
: cơ số;
n
: số mũ
Quy ước: Với
0
a
thì: ②
②②
②
0
1;
a = ③
③③
③
1
n
n
a
a
−
= . Chú ý:
0
0
và
0
−
n
không có nghĩa.
2. Cănbậcn
a. Khái niệm:
• Cho số thực
b
và số nguyên dương
2
n
. Số
a
được gọi là căn bậc
n
của số
b
nếu
n
a b
=
• Với
n
lẻ,
b
∈
ℝ
thì phương trình có duy nhất một căn bậc
n
của
b
, kí hiệu:
n
b
.
• Với n chẵn:
0
b
: Không tồn tại căn bậc
n
của
b
.
0
b
: Có một căn bậc
n
của
b
là số
0
.
0
b
: Có hai căn trái dấu là
n
b
và –
n
b
.
b. Tính chất của căn bậc n:
④
④④
④ .
n n n
a b ab
= ⑤
⑤⑤
⑤
(
)
m
n
m
n
a a
= ⑥
⑥⑥
⑥
.
n
m m n
a a
= ⑦
⑦⑦
⑦
n
n
n
a a
b
b
=
⑧
⑧⑧
⑧
n
n
a khi n leû
a
a khi n chaün
=
⑨
⑨⑨
⑨ .
n n n
p q p q
a a a
+
= ⑩
⑩⑩
⑩
n p
n
p q
n q
a
a
a
−
=
3. Lũythừavớisốhữutỉ
Cho số thực
a
dương và số hữu tỉ
m
r
n
=
trong đó
m
∈
ℤ
,
*
n∈
ℕ
.
Lũy thừa của
a
với số mũ
r
là
r
a
xác định bởi:
m
n
r m
n
a a a
= = ⑪
⑪⑪
⑪
4. Lũythừavớisốvôtỉ
Cho
a
là một số dương,
α
là một số vô tỉ. Ta thừa nhận rằng luôn có một dãy số hữu tỉ
(
)
n
r
có gới hạn là
α
và dãy số tương ứng
(
)
α
n
r
có giới hạn không phụ thuộc vào việc chọn dãy
số
(
)
n
r
.
Ta gọi giới hạn của dãy số
(
)
α
n
r
là lũy thừa của
a
với số mũ
α
. Kí hiệu là
α
a
.
lim
α
→+∞
=
n
r
x
a a
với
lim
α
→+∞
=
n
x
r
2
Chủđề
TÀI LI
TÀI LITÀI LI
TÀI LIỆ
ỆỆ
ỆU H
U HU H
U HỌ
ỌỌ
ỌC T
C TC T
C TẬ
ẬẬ
ẬP TOÁN 1
P TOÁN 1P TOÁN 1
P TOÁN 12
22
2
–
––
–
M
MM
MŨ
Ũ Ũ
Ũ -
--
-
LOGARIT
LOGARITLOGARIT
LOGARIT
2
22
2
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2
5. Tínhchấtcủalũythừavớisốmũthực
⑫
⑫⑫
⑫ .
a a a
α β α β
+
= ⑬
⑬⑬
⑬
a
a
a
α
α β
β
−
= ⑭
⑭⑭
⑭
.
( )
a a
α β α β
= ⑮
⑮⑮
⑮
( . ) .
a b a b
α α α
= ⑯
⑯⑯
⑯
a a b
b b a
α α
α
α
−
= =
⑰
⑰⑰
⑰ Nếu
1
a
>
thì a a
α β
α β
> ⇔ >
⑱
⑱⑱
⑱ Nếu
0 1
a
< <
thì a a
α β
α β
> ⇔ <
6. Côngthứclãikép
a. Định nghĩa: Lãi kép là phần lãi của kì sau được tính trên số tiền gốc kì trước cộng với
phần lãi của kì trước.
b. Công thức: Giả sử số tiền gốc là
A
; lãi suất
%
r
/kì hạn gửi (có thể là tháng, quý hay
năm).
● Số tiền nhận được cả gốc và lãi sau
n
kì hạn gửi là
( )
1
n
A r
+
● Số tiền lãi nhận được sau
n
kì hạn gửi là
( ) ( )
1 1 1
n n
A r A A r
+ − = + −
Dạng1.Tínhtoán–Rútgọnbiểuthứclũythừa
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Áp dụng các tính chất của lũy thừa để tính giá trị của biểu thức, rút gọn một biểu thức,
chứng minh một biểu thức không phụ thuộc tham số, …
B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 1: Tính giá trị của các biểu thức sau:
a)
3 2 1 2 4 3
4 .2 .2A
+ − − −
=
b)
( )
3 1 3 4
0
3 2
2 .2 5 .5
10 :10 0,25
− −
− −
+
=
−
B
c)
( ) ( ) ( )
0,75
5 2
1,5
2 3
1
0,25 0,04 0,125
16
−
− − −
= + + −
C d)
( )
5
5
1 2 3 1 3
5 4 .16
G
− +
= +
e)
3 3
847 847
6 6
27 27
E = + + − f)
7
3 3
0
12
5
0
12
3. 3 3
9
. 3
9
F
e
π
= ⋅ + ⋅
g)
( ) ( )
1
1
2
4 3
0,25
1
0,5 625 2 19. 3
4
−
− −
= − − + −
D h)
( )
( )
3
3
2 2
2
0
3 2
1
2 : 4 3 .
9
1
5 .25 0,7 .
2
H
−
− −
−
−
+
=
+
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
GV. TR
GV. TRGV. TR
GV. TRẦ
ẦẦ
ẦN QU
N QUN QU
N QUỐ
ỐỐ
ỐC NGH
C NGHC NGH
C NGHĨA
ĨAĨA
ĨA
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầ
ầầ
ầm & biên t
m & biên tm & biên t
m & biên tậ
ậậ
ập)
p)p)
p)
3
33
3
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
Ví dụ 2: Đơn giản các biểu thức sau:
a)
1 7 1 5
3 3 3 3
1 4 2 1
3 3 3 3
a a a a
A
a a a a
−
−
− −
= −
− +
b)
(
)
( )
4 1 2
3 3 3
1 3 1
4 4 4
a a a
B
a a a
−
−
+
=
+
c)
1 1
3 3
6 6
a b b a
C
a b
+
=
+
d)
4
4 4 4 4
a b a ab
D
a b a b
− +
= −
− +
e)
5 2
2 5
5
1
5 2
a
a
E
b
b
+
− −
−
−
= ⋅
f)
(
)
1
2
( )
4 . .
F x y
x y
π
π π
π
= + − g)
1 9 1 3
14
4 4 2 2
6
3
1 5 1 1
4 2
4 4 2 2
: .
a a b b a b
I
b a
a a b b
−
−
− −
=
− +
h)
5 7
2 5 5 7 2 7
3 3 3 3
a b
H
a a b b
−
=
+ +
i)
(
)
(
)
2 3 2 3 3 3 3
4 3 3
1− + +
=
−
a a a a
G
a a
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
TÀI LI
TÀI LITÀI LI
TÀI LIỆ
ỆỆ
ỆU H
U HU H
U HỌ
ỌỌ
ỌC T
C TC T
C TẬ
ẬẬ
ẬP TOÁN 1
P TOÁN 1P TOÁN 1
P TOÁN 12
22
2
–
––
–
M
MM
MŨ
Ũ Ũ
Ũ -
--
-
LOGARIT
LOGARITLOGARIT
LOGARIT
4
44
4
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
GV. TR
GV. TRGV. TR
GV. TRẦ
ẦẦ
ẦN QU
N QUN QU
N QUỐ
ỐỐ
ỐC NGH
C NGHC NGH
C NGHĨA
ĨAĨA
ĨA
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầ
ầầ
ầm & biên t
m & biên tm & biên t
m & biên tậ
ậậ
ập)
p)p)
p)
5
55
5
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2
Dạng2.Sosánhcáclũythừahaycănsố
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
So sánh hai lũy thừa cùng cơ số
a
ta áp dụng kết quả sau:
Với
1
a
>
thì
1 2
1 2
x x
a a x x
> ⇔ >
Với
0 1
a
< <
thì
1 2
1 2
x x
a a x x
> ⇔ <
So sánh hai lũy thừa có cùng só mũ x, ta áp dụng kết quả sau:
Với
, 1
a b
≠
và
0
0
0
x x
x x
x x
x b a
b a
x b a
> ⇔ <
< < ⇔
< ⇔ >
Với hai biểu thức chứa căn, ta cần đưa về các căn cùng bậc.
B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 3: So sánh các số sau (không dùng máy tính bỏ túi):
a)
600
3
=a và
400
5
=b b)
3
7 15
= +x và
3
10 28
= +y
c)
( )
1
4
3 1
= −
p và
( )
2
2
3 1
= −q d)
2
3
5
−
=
u và
2
2
2
−
=
v
e)
2
2
π
=
m và
3
5
π
−
=
n f)
2
3
5
−
=
h và
5
2
2
=
k
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
TÀI LI
TÀI LITÀI LI
TÀI LIỆ
ỆỆ
ỆU H
U HU H
U HỌ
ỌỌ
ỌC T
C TC T
C TẬ
ẬẬ
ẬP TOÁN 1
P TOÁN 1P TOÁN 1
P TOÁN 12
22
2
–
––
–
M
MM
MŨ
Ũ Ũ
Ũ -
--
-
LOGARIT
LOGARITLOGARIT
LOGARIT
6
66
6
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2
Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
ⓐ
2
sin
1
2
x
y
=
ⓑ
1 3
2 2
x x
y
− −
= + ⓒ
2 2
sin s
3 3
x co x
y = +
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
Dạng3.Bàitoánlãikép
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
a. Định nghĩa: Lãi kép là phần lãi của kì sau được tính trên số tiền gốc kì trước cộng với
phần lãi của kì trước.
b. Công thức: Giả sử số tiền gốc là
A
; lãi suất
%
r
/kì hạn gửi (có thể là tháng, quý hay
năm).
● Số tiền nhận được cả gốc và lãi sau
n
kì hạn gửi là
( )
1
n
A r
+
● Số tiền lãi nhận được sau
n
kì hạn gửi là
( ) ( )
1 1 1
n n
A r A A r
+ − = + −
B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 5: Bà Mai gửi 50 triệu vào tài khoản định kỳ tính lãi kép với lãi suất là 8%/năm. Tính số tiền lãi
thu được sau 15 năm.
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
GV. TR
GV. TRGV. TR
GV. TRẦ
ẦẦ
ẦN QU
N QUN QU
N QUỐ
ỐỐ
ỐC NGH
C NGHC NGH
C NGHĨA
ĨAĨA
ĨA
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầ
ầầ
ầm & biên t
m & biên tm & biên t
m & biên tậ
ậậ
ập)
p)p)
p)
7
77
7
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2
Ví dụ 6: Một người lần đầu gửi vào ngân hàng 100 triệu đồng với kì hạn 3 tháng, lãi suất 2% một quý.
Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi quý số tiền lãi sẽ được nhập vào
gốc để tính lãi cho quý tiếp theo. Sau đúng 6 tháng, người đó gửi thêm 100 triệu đồng với kỳ
hạn và lãi suất như trước đó. Tổng số tiền người đó nhận được 1 năm sau khi gửi tiền (cả vốn
lẫn lãi) gần nhất với kết quả nào sau đây?
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
Ví dụ 7: Bác An đem gửi tổng số tiền 320 triệu đồng ở hai loại kỳ hạn khác nhau. Bác gửi 140 triệu
đồng theo kỳ hạn ba tháng với lãi suất
2,1%
một quý. Số tiền còn lại bác An gửi theo kỳ hạn
một tháng với lãi suất
0,73%
một tháng. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ
sau mỗi kỳ hạn số tiền lãi sẽ được nhập vào gốc để tính lãi cho kỳ hạn tiếp theo. Sau 15 tháng
kể từ ngày gửi bác An đi rút tiền. Tính gần đúng đến hàng đơn vị tổng số tiền lãi thu được của
bác An.
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
BÀI TẬP TỔNG HỢP VẤN ĐỀ 1
Bài 1. Cho:
2 4 2 2 4 2
3 3
x x y y y x a
+ + + =
. Chứng minh
2 2 2
3 3 3
x y a
+ =
.
Bài 2. Đơn giản các biểu thức sau:
ⓐ
( ) ( )
( )
4 2
2 1 2 1
3
2 2 1 1
. .
. .
ab a b ab
A
a b a b a b
− − −
− − − −
=
ⓑ
( )
( )
( )
3
3
2 2
2 2
2
3 3
6 4 2 2 4 6
3
32
2 2
2 2
3 3
2
1
3 3
2
a b
b a
B
a a b a b b
a
a b
b a
−
− −
−
= +
+ + +
+ +
−
ⓒ
( )
8
11
3 24
11
3
18 12
16
a
a b
C
a b
a
= − (
0
a
) ⓓ
5 2
2 3 2 5
4 5 5
5 23 5
1a b
D a b
aa b
+
−
− −
−
= + −
−
Đáp số:
8 5
A a b
= ;
1
B
=
;
3 9
C a a
= +
;
3 2
1
D a b
= −
TÀI LI
TÀI LITÀI LI
TÀI LIỆ
ỆỆ
ỆU H
U HU H
U HỌ
ỌỌ
ỌC T
C TC T
C TẬ
ẬẬ
ẬP TOÁN 1
P TOÁN 1P TOÁN 1
P TOÁN 12
22
2
–
––
–
M
MM
MŨ
Ũ Ũ
Ũ -
--
-
LOGARIT
LOGARITLOGARIT
LOGARIT
8
88
8
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2
Bài 3. Tính giá trị của các biểu thức sau:
ⓐ
2 0,75 0
1
4
1 1 1
64 9
255 81 2
A
− −
−
= + − − +
ⓑ
1
1 2
1
5
3
2
1 1
(0,25) 2 ( 5)
32 9
B
− −
−
−
= + − + −
ⓒ
(
)
( )
0
13 7
3 3
4 12
5 0
3
12
4
3. 3 5
16
9
. 5
C
e
π
−
−
= ⋅ + ⋅ ⓓ
1
5 13 7 1 1
2
3 3
2 4 4 2
3 .5 : 2 :16 : 5 .2 .3D
−
=
ⓔ
1
3
0,75 0 5
1
256 (9 )
125
E
−
− −
= − −
ⓕ
3 3
7 5 2 7 5 2
F = + + −
Bài 4. Tính giá trị của các biểu thức sau:
ⓐ
3 3
7 5 2 7 5 2
A = + + − ⓑ
3
1
3
27
2 3 2 5
2
3 3
81
4 9 .3
9
B
− +
= + −
Bài 5. Đơn giản các biểu thức sau:
ⓐ
1 1 2 2 2
2
1 1
( )
1 ( )
( ) 2
x y z z y x
A x y z
x y z yz
− −
−
− −
+ + + −
= ⋅ + ⋅ + +
− +
ⓑ
3 6
2 2
3 2
2 . 1 2
1
a a a a
B
a
+ − − −
=
−
Bài 6. Chứng minh nếu
1 2
x
≤ ≤
thì
2 1 2 1 2
x x x x
+ + + − − =
.
Bài 7. So sánh các số sau:
ⓐ
7
3
7
9
a
−
=
và
0
4
2
13
b
=
ⓑ
3
126 26
x = + và
3
170 82
y = −
Bài 8. So sánh các số sau:
ⓐ
( )
5
6
5
−
=a và
1
3
1
4
1
5
5
−
−
=
b ⓑ
5
2
3
π
=
x và
10
3
3
π
=
y
ⓒ
5
3
2
=
p và
3
3
6
−
=
q ⓓ
1
2
3
π
=
u và
3
2
3
π
−
=
v
ⓔ
( )
1
4
5 2
= −m và
( )
3
2
5 2
−
= +n ⓕ
6
65 37
= +h và
3
97 10
= −k
Bài 9. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
ⓐ
2
1
5
x x
y
− + +
= ⓑ
1 cos2
x
e
y
π
−
=
ⓒ
6 6
cos sin
5
3
x x
y
+
=
Bài 10. Một người lần đầu gửi vào ngân hàng 100 triệu đồng với kì hạn 3 tháng, lãi suất 2% một quý
theo hình thức lãi kép. Sau đúng 6 tháng, người đó gửi thêm 100 triệu đồng với kỳ hạn và lãi
suất như trước đó. Tổng số tiền người đó nhận được 1 năm sau khi gửi tiền là bao nhiêu?
GV. TR
GV. TRGV. TR
GV. TRẦ
ẦẦ
ẦN QU
N QUN QU
N QUỐ
ỐỐ
ỐC NGH
C NGHC NGH
C NGHĨA
ĨAĨA
ĨA
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầ
ầầ
ầm & biên t
m & biên tm & biên t
m & biên tậ
ậậ
ập)
p)p)
p)
9
99
9
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2
Vấn đề 2. LÔGARIT
1.
1.1.
1. Địnhnghĩa
Cho hai số dương
a
,
b
với
1
a
≠
. Số
α
thỏa mãn đẳng thức
a b
α
=
được gọi là lôgarit cơ số
a
của
b
và kí hiệu là
a
log b
.
①
①①
① log
a
b a b
α
α
= ⇔ =
(với
a
,
0
b
;
1
a
≠
)
Chú ý:
Không có lôgarit của số âm và số
0
.
Cơ số của lôgarit phải dương và khác
1
.
Cho hai số dương
1
a
≠
và
b
, ta có các tính chất sau:
②
②②
②
log 1 0
a
=
③
③③
③
log 1
a
a
=
④
④④
④
log
ln lg
; ;10
= = =
a
b
b b
a b e b b
⑤
⑤⑤
⑤
(
)
log
α
α
=
a
a
2.
2.2.
2. Tínhchất
a. So sánh hai lôgarit có cùng cơ số: Cho các số dương
b
và
c
:
Khi
1
a
>
thì log log
a a
b c b c
> ⇔ >
Với
0 1
a
< ≠
và các số
b
,
c
dương:
Khi
0 1
a
< <
thì log log
a a
b c b c
> ⇔ <
Khi
1
a
>
thì
log 0 1
a
b b
> ⇔ >
Khi
0 1
a
< <
thì
log 0 1
a
b b
> ⇔ <
log log
a a
b c b c
= ⇔ =
b. Các quy tắc tính lôgarit: Cho ba số dương
1
a
≠
,
b
,
c
:
⑥
⑥⑥
⑥
log ( . ) log log
a a a
b c b c
= + ⑦
⑦⑦
⑦
log log log
a a a
b
b c
c
= − ⑧
⑧⑧
⑧
log log
a a
b b
α
α
=
Các hệ quả:
⑨
⑨⑨
⑨
1 2 1 2
log ( ) log log log
a n a a a n
b b b b b b
= + + +
… …
(
0 1
a
< ≠
,
1
b
,
2
b
, …,
0
n
b
>
, n
+
∈
ℤ
)
⑩
⑩⑩
⑩
1
log log
a a
b
b
= − ,
0 1
a
< ≠
,
0
b
⑪
⑪⑪
⑪
1
log log
n
a a
b b
n
= ,
0 1
a
< ≠
,
0
b
, n
+
∈
ℤ
.
Chú ý: Nếu
0 1
a
< ≠
,
0
bc
>
thì:
⑫
⑫⑫
⑫
log ( . ) log log
a a a
b c b c
= + ⑬
⑬⑬
⑬
log log log
a a a
b
b c
c
= −
⑭
⑭⑭
⑭
2
log 2 log
k
a a
b k b
= ,
0
b
, k
+
∈
ℤ
.
3.
3.3.
3. Đổicơsốcủalogarit
a. Cho ba số dương
a
,
b
,
1
c
≠
, ta có:
⑮
⑮⑮
⑮
log
log
log
a
b
a
c
c
b
=
⇔
⑯
⑯⑯
⑯
log .log log
a b a
b c c
= ⑰
⑰⑰
⑰
log
log
c
c
b
a
a b=
b. Hệ quả: cho (
0 . 1
a b
< ≠
,
0
b
,
α
,
m
,
0
n
)
⑱
⑱⑱
⑱
1
log log .log 1
log
a a b
b
b b a
a
= ⇔ =
⑲
⑲⑲
⑲
1
log log
a
a
b b
α
α
= ⑳
⑳⑳
⑳
log log
n
m
a
a
m
b b
n
=
4.
4.4.
4. Lôgaritthậpphân,lôgarittựnhiên
a. Lôgarit thập phân: là lôgarit cơ số
10
:
10
log
b
thường được viết là
log
b
hay
lg
b
.
b. Lôgarit tự nhiên:
Người ta chứng minh được dãy số
(
)
n
u
với
1
1
n
n
u
n
= +
có giới hạn là một số vô tỉ và
gọi giới hạn đó là
e
:
1
lim 1
n
n
e
n
→+∞
= +
Một giá trị gần đúng của
e
là:
2,718281828459045
e
≈ …
Lôgarit tự nhiên: là lôgarit cơ số
e
:
log
e
b
hay
ln
b
.
c. Chú ý công thức đổi cơ số:
lg ln
log
lg ln
a
b b
b
a a
= =
(
0 1
a
< ≠
,
0
b
)
TÀI LI
TÀI LITÀI LI
TÀI LIỆ
ỆỆ
ỆU H
U HU H
U HỌ
ỌỌ
ỌC T
C TC T
C TẬ
ẬẬ
ẬP TOÁN 1
P TOÁN 1P TOÁN 1
P TOÁN 12
22
2
–
––
–
M
MM
MŨ
Ũ Ũ
Ũ -
--
-
LOGARIT
LOGARITLOGARIT
LOGARIT
10
1010
10
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2
Dạng1.Tínhtoán–Rútgọnbiểuthứccóchứalôgarit
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Áp dụng định nghĩa, các tính chất và các công thức đổi cơ số để rút gọn, tính toán các biểu
thức lôgarit…
B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 8: Tính giá trị của các biểu thức sau:
ⓐ
3
7 7 7
1
log 36 log 14 3log 21
2
A = − − ⓑ
5 5
5
log 36 log 12
log 9
B
−
=
ⓒ
6
log 5
1 lg2 ln27
36 10
C e
−
= + − ⓓ
3 9
2
log 5 log 36
2 log 3
81 27 4D
−
= + −
ⓔ
(
)
(
)
3lg 2 1 lg 5 2 7
= − + +
E
ⓕ
(
)
(
)
2017 2017
ln 3 2 ln 2 3= + + −F
ⓖ
2 2
log 2sin log cos
8 8
π π
= +
G ⓗ
(
)
(
)
3 3 3 3 3
4 4
log 5 3 log 25 15 9
H = + + − +
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
Ví dụ 9: Tìm
log
a
x
biết
log 5
a
b
=
,
log 4
a
c
= −
và ⓐ
5 5
3
x a b c
= ⓑ
5 3
4
6
a b
x
c
=
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
GV. TR
GV. TRGV. TR
GV. TRẦ
ẦẦ
ẦN QU
N QUN QU
N QUỐ
ỐỐ
ỐC NGH
C NGHC NGH
C NGHĨA
ĨAĨA
ĨA
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầ
ầầ
ầm & biên t
m & biên tm & biên t
m & biên tậ
ậậ
ập)
p)p)
p)
11
1111
11
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2
Dạng2.Sosánhhailôgarit
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Để so sánh hai lôgarit ta áp dụng các kết quả sau:
1) Nếu
1
a
>
thì
log log 0
a a
M N M N
> ⇔ > >
2) Nếu
0 1
a
< <
thì log log 0
a a
M N M N
> ⇔ < <
3) Nếu
0 1
a b
< < <
hay
1
a b
< <
thì:
log log 1
a b
x x x
> ⇔ >
log log 0 1
a b
x x x
< ⇔ < <
4)
log 0
a
b
> ⇔
a
và
b
cùng lớn hơn
1
hoặc cùng nhỏ hơn
1
B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 10: So sánh hai số sau:
ⓐ
3
3
log
5
m = và
3
7
log
9
n = ⓑ
1
3
log 8
m = và
115
log 2
n =
ⓒ
3
log 4
m = và
2
log 3
n = ⓓ
2
l g log3
m o= + và
log5
n
=
ⓔ
7
log 29
m = và
3
log 5
n = ⓕ
0,3
log 0,8
m = và
0,2
log 0,3
n =
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
TÀI LI
TÀI LITÀI LI
TÀI LIỆ
ỆỆ
ỆU H
U HU H
U HỌ
ỌỌ
ỌC T
C TC T
C TẬ
ẬẬ
ẬP TOÁN 1
P TOÁN 1P TOÁN 1
P TOÁN 12
22
2
–
––
–
M
MM
MŨ
Ũ Ũ
Ũ -
--
-
LOGARIT
LOGARITLOGARIT
LOGARIT
12
1212
12
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2
Dạng3.Biểudiễnmộtlôgarittheocáclôgaritkhác
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Để biểu diễn
a
log b
theo
c
log d
ta đưa
a
log b
về lôgarit theo cơ số
c
sau đó viết
a
và
b
thành tích hay thương của dãy các lũy thừa theo cơ số
c
và
d
.
Áp dụng tính chất lôgarit của tích và của thương ta suy ra kết quả.
B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 11: ⓐ Cho
2
log 3
α
= và
2
log 5
β
= . Tính
225
log 2700
theo
α
và
β
ⓑ Cho
ln 2
a
=
. Tính
ln16
;
ln0,125
;
1 1 1 1
ln ln
8 4 4 8
− theo
a
ⓒ Cho
3
log 15
a = và
3
log 10
b = . Tính
3
log 50
theo
a
và
b
.
ⓓ Cho
log 3
a
=
và
log5
b
=
. Tính
15
log 30
theo
a
và
b
.
ⓔ Cho
2
log 3
a = ,
3
log 5
b = và
7
log 2
c = . Tính
140
log 63
theo
a
,
b
và
c
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
GV. TR
GV. TRGV. TR
GV. TRẦ
ẦẦ
ẦN QU
N QUN QU
N QUỐ
ỐỐ
ỐC NGH
C NGHC NGH
C NGHĨA
ĨAĨA
ĨA
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầ
ầầ
ầm & biên t
m & biên tm & biên t
m & biên tậ
ậậ
ập)
p)p)
p)
13
1313
13
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2
Dạng4.Chứngminhđẳngthứcchứalôgarit
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Áp dụng các công thức biến đổi lôgarit, công thức đổi cơ số để biến đổi vế này thành vế kia
hoặc hai vế cùng bằng một đại lượng thứ ba, …
B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 12: ⓐ Cho
a
,
b
,
c
là ba số dương và
1
c
≠
. Chứng minh:
log log
c c
b a
a b=
ⓑ Cho
a
,
b
,
c
là ba số dương khác
1
. Chứng minh:
log
1 log
log
a
a
ab
c
b
c
= +
ⓒ Cho
0
a
<
,
1
b
≠
. Chứng minh:
(
)
2 3
1
1 1 1 1
...
log log log log 2log
+
+ + + + =
n
a a
a a a
n n
b b b b b
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
Ví dụ 13: Trong điều kiện có nghĩa, chứng minh rằng:
ⓐ Nếu
2 2
7
a b ab
+ = thì
( )
7 7 7
1
log log log
3 2
a b
a b
+
= +
ⓑ Nếu
2 2 2
a c b
+ =
thì log log 2log .log
b c b c b c b c
a a a a
+ − + −
+ =
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
TÀI LI
TÀI LITÀI LI
TÀI LIỆ
ỆỆ
ỆU H
U HU H
U HỌ
ỌỌ
ỌC T
C TC T
C TẬ
ẬẬ
ẬP TOÁN 1
P TOÁN 1P TOÁN 1
P TOÁN 12
22
2
–
––
–
M
MM
MŨ
Ũ Ũ
Ũ -
--
-
LOGARIT
LOGARITLOGARIT
LOGARIT
14
1414
14
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2
Dạng5.Bàitoánlãikép
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
a. Định nghĩa: Lãi kép là phần lãi của kì sau được tính trên số tiền gốc kì trước cộng với
phần lãi của kì trước.
b. Công thức: Giả sử số tiền gốc là
A
; lãi suất
%
r
/kì hạn gửi (có thể là tháng, quý hay
năm).
● Số tiền nhận được cả gốc và lãi sau
n
kì hạn gửi là
( )
1
n
A r
+
● Số tiền lãi nhận được sau
n
kì hạn gửi là
( ) ( )
1 1 1
n n
A r A A r
+ − = + −
B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 14: [ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017] Một người gửi 50 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất
6% /
năm. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ
được nhập vào gốc để tính lãi cho năm tiếp theo. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm người đó nhận
được số tiền nhiều hơn 100 triệu đồng bao gồm cả gốc và lãi? Giả sử trong suốt thời gian gửi
lãi suất không đổi và người đó không rút tiền ra.
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
Ví dụ 15: [ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017] Đầu năm 2016, ông
A
thành lập một công ty. Tổng số tiền
ông
A
dùng để trả lương cho nhân viên trong năm 2016 là 1 tỷ đồng. Biết rằng cứ sau mỗi năm
thì tổng số tiền dùng để trả lương cho nhân viên trong cả năm đó tăng thêm
15%
so với năm
trước. Hỏi năm nào dưới đây là năm đầu tiên mà tổng số tiền ông
A
dùng để trả lương cho
nhân viên trong cả năm lớn hơn 2 tỷ đồng?
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
GV. TR
GV. TRGV. TR
GV. TRẦ
ẦẦ
ẦN QU
N QUN QU
N QUỐ
ỐỐ
ỐC NGH
C NGHC NGH
C NGHĨA
ĨAĨA
ĨA
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầ
ầầ
ầm & biên t
m & biên tm & biên t
m & biên tậ
ậậ
ập)
p)p)
p)
15
1515
15
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2
BÀI TẬP TỔNG HỢP VẤN ĐỀ 2
Bài 11. So sánh các số sau:
ⓐ
2
log 10
=a và
4
log 63
=b ⓑ
0,5
log 3
=x và
7
log 2
=y
ⓒ
6 6
3log 2 log 3
= +m và
6
2log 5
=n ⓓ
6
log 1,05
5=u và
6
log 0,995
7=v
ⓔ
7
log 36
=x và
8
log 25
=y ⓕ
3
0,4
log 2
=u và
0,2
log 0,34
=v
Bài 12. ⓐ Biết
log 5
a
b = . Tìm
5
log
a
b
a b
ĐS:
(
)
6 12 2 5 / 5
− +
ⓑ Biết
log ;log ;log ( 1)
a b c
x m x n x p abc
= = = ≠
. Tìm log
abc
x
ĐS:
mnp
np pm mn
+ +
ⓒ Biết
6 12
log 15 ; log 18
m n
= =
. Tìm
25
log 24
. ĐS:
5
2 ( 1) 4 2
n
m n n
−
+ − +
Bài 13. Tính giá trị của các biểu thức sau:
ⓐ
1
5
3
27
log
9
A = ⓑ
6 6
1 1
log 3 log 2
9 4B = +
ⓒ
3 4 5 2
log 2.log 3.log 4.log 5
C =
ⓓ
6 8
1 1
log 5 log 7
25 49E = + ⓔ
log log
a b
b a
D a b= −
ⓕ
(
)
(
)
4 4
log 6 35 log 6 35
F
π π
= + + −
Bài 14. Đơn giản các biểu thức sau:
ⓐ
( )
2
2
2
lg
ln log ln
lg
a
e
A a e a
a
= + + −
ⓑ
(
)
(
)
5 5
log tan 6 log cot 6 .
B = +
ⓒ
3 2
2lg 3log 10
lg log 10
a
a
C a
a
= + − − ⓓ
( )
3
1 log
log log 1 .log
a
a b a
b
D
a
b a
b
−
=
+ +
Bài 15. ⓐ Biết
2 2
log 3 ; log 5 .
= =
m n
Tìm
5
2 2
log 0,3; log 135
ⓑ Biết
27 8 2
log 5 ;log 7 ;log 3 .
= = =
a b c
Tìm
6
log 35
.
ⓒ Biết
7 12
log 12 ;log 24 .
= =
a b
Tìm
54
log 168
.
ⓓ Biết
12 24
log 18 ;log 54 .
= =
a b
Chứng minh:
(
)
5 – 1
+ =
ab a b .
Bài 16. Chứng minh các đẳng thức sau:
ⓒ
( )
log log
log
1 log
+
=
+
a a
ax
a
b x
bx
x
với
0 , , , 1
< ≠
a b x ax
.
ⓔ
log .log .log
log .log log .log log .log
log
+ + =
a b c
a b b c a c
abc
d d d
d d d d d d
d
, với
0 , , , , 1
< ≠
a b c d abc
Bài 17. Cho
2 2
9 10
+ =
x y xy
(
, 0
>
x y ;
0 1
< ≠
a
). CM:
( ) ( )
1
log 3 2log 2 log log
2
+ − = +
a a a a
x y x y
Bài 18. Cho
1 1
1 lg 1 lg
10 ; 10
− −
= =
x y
y z (
, , 0
>
x y z ). Chứng minh:
1
1 lg
10
−
=
z
x
.
Bài 19. Chứng minh: ⓐ
1 5
3
1
log 5 log 2
3
+ < −
ⓑ
5 9
log 6561 log 5 4
+ >
TÀI LI
TÀI LITÀI LI
TÀI LIỆ
ỆỆ
ỆU H
U HU H
U HỌ
ỌỌ
ỌC T
C TC T
C TẬ
ẬẬ
ẬP TOÁN 1
P TOÁN 1P TOÁN 1
P TOÁN 12
22
2
–
––
–
M
MM
MŨ
Ũ Ũ
Ũ -
--
-
LOGARIT
LOGARITLOGARIT
LOGARIT
16
1616
16
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2
Bài 20. Tìm
x
biết:
ⓐ
1
lg lg5 4lg 7lg
3
x a b c
= − + . ⓑ
(
)
(
)
(
)
7 25
ln ln 3 2 2 4ln 2 1 ln 2 1
16 8
x
= + − + − −
.
ⓒ
ln 5ln 2ln 6ln
x a b c
= − +
. ⓓ
1 3 3
3
3
1 1
log log 125 log 4 log 2
3 2
x = − + .
Bài 21. Anh Nam mong muốn rằng sau
6
năm sẽ có
2
tỷ để mua nhà. Hỏi anh Nam phải gửi vào ngân
hàng một khoản tiền tiền tiết kiệm như nhau hàng năm gần nhất với giá trị nào sau đây, biết
rằng lãi suất của ngân hàng là
8%
/năm và lãi hàng năm được nhập vào vốn.
Bài 22. Ông A muốn sau 5 năm có 1.000.000.000 đồng để mua ô tô Camry. Hỏi rằng ông A phải gửi
ngân hàng mỗi tháng (số tiền như nhau) là bao nhiêu? Biết lãi suất hằng tháng là
0.5%
và tiền
lãi sinh ra hằng tháng được nhập vào tiền vốn.
Bài 23. [ĐỀ MINH HỌA 2016 – 2017] Ông Việt vay ngắn hạn ngân hàng 100 triệu đồng, với lãi suất
12%
/năm. Ông muốn hoàn nợ cho ngân hàng theo cách: Sau đúng một tháng kể từ ngày vay,
ông bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ liên tiếp cách nhau đúng một tháng, số tiền hoàn nợ ở mỗi
lần là như nhau và trả hết tiền nợ sau đúng 3 tháng kể từ ngày vay. Hỏi, theo cách đó, số tiền
m
mà ông Việt sẽ phải trả cho ngân hàng trong mỗi lần hoàn nợ là bao nhiêu? Biết rằng, lãi
suất ngân hàng không thay đổi trong thời gian ông Việt hoàn nợ.
Bài 24. Một người đàn ông vay vốn ngân hàng với số tiền
100000000
đồng. Người đó dự định sau
đúng
5
năm thì trả hết nợ; Sau đúng một tháng kể từ ngày vay, ông bắt đầu hoàn nợ; hai lần
hoàn nợ liên tiếp cách nhau đúng một tháng, số tiền hoàn nợ ở mỗi lần là như nhau. Hỏi, theo
cách đó, số tiền
a
mà ông sẽ phải trả cho ngân hàng trong mỗi lần hoàn nợ là bao nhiêu? Biết
lãi suất hàng tháng là
1, 2%
và không thay đổi trong thời gian ông hoàn nợ.
Bài 25. Biết rằng năm 2001, dân số Việt Nam là 78685800 người và tỉ lệ tăng dân số năm đó là
1,7%
.
Cho biết sự tăng dân số được ước tính theo công thức
.
.
N r
S Ae
= (trong đó
A
: là dân số của
năm lấy làm mốc tính,
S
là dân số sau
N
năm,
r
là tỉ lệ tăng dân số hàng năm). Cứ tăng dân
số với tỉ lệ như vậy thì đến năm nào dân số nước ta ở mức 120 triệu người?
Bài 26. Các khí thải gây hiệu ứng nhà kính là nguyên nhân chủ yếu làm trái đất nóng lên. Theo OECD
(Tổ chức hợp tác và phát triển kinh tế thế giới), khi nhiệt độ trái đất tăng lên thì tổng giá trị
kinh tế toàn cầu giảm. Người ta ước tính rằng khi nhiệt độ trái đất tăng thêm
2
C
°
thì tổng giá
trị kinh tế toàn cầu giảm 3%, còn khi nhiệt độ trái đất tăng thêm
5
C
°
thì tổng giá trị kinh tế
toàn cầu giảm
10%
. Biết rằng nếu nhiệt độ trái đất tăng thêm
t C
°
, tổng giá trị kinh tế toàn cầu
giảm
(
)
f t
% thì
(
)
.
t
f t k a
= (trong đó
,
a k
là các hằng số dương). Nhiệt độ trái đất tăng thêm
bao nhiêu độ
C
thì tổng giá trị kinh tế toàn cầu giảm
20%
?
Bài 27. Một người đã thả một lượng bèo hoa dâu chiếm 4% diện tích mặt hồ. Biết rằng cứ sau đúng
một tuần bèo phát triển thành 3 lần lượng đã có và tốc độ phát triển của bèo ở mọi thời điểm
như nhau. Sau bao nhiêu ngày, lượng bèo sẽ vừa phủ kín mặt hồ?
GV. TR
GV. TRGV. TR
GV. TRẦ
ẦẦ
ẦN QU
N QUN QU
N QUỐ
ỐỐ
ỐC NGH
C NGHC NGH
C NGHĨA
ĨAĨA
ĨA
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầ
ầầ
ầm & biên t
m & biên tm & biên t
m & biên tậ
ậậ
ập)
p)p)
p)
17
1717
17
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2
Vấn đề 3. HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LÔGARIT
1. Địnhnghĩa
①
①①
① Hàm số mũ: Cho
a
là số thực dương, khác
1
.
Hàm số
x
y = a
được gọi là hàm số mũ cơ số
a
.
②
②②
② Hàm số lôgarit: Cho
a
là số thực dương, khác
1
.
Hàm số
a
y = log x
được gọi là hàm số lôgarit cơ số
a
.
③
③③
③ Hàm số lũy thừa: Hàm số
y = x
α
αα
α
với
α
∈
ℝ
được gọi là hàm số lũy thừa.
2. Tậpxácđịnh
① Hàm số mũ
x
y = a
(
0 1
a
< ≠
) có tập xác định
D
=
ℝ
② Hàm số lôgarit
log
a
y x
=
==
= (
0 1
a
< ≠
) có txđ
(
)
0;D
= +∞
③ Hàm số lũy thừa
y = x
α
αα
α
với
α
∈
ℝ
có tập xác định tùy thuộc
α
:
Với
α
nguyên dương:
D
=
ℝ
Với
α
nguyên âm hoặc bằng
0
:
{
}
\ 0
D =
ℝ
Với
α
không nguyên:
(
)
0;D
= +∞
3. Mộtsốgiớihạncóliênquan
①
①①
①
0
0
lim
x
x
x x
a a
→
= ②
②②
②
(
)
0
0
lim log log
a a
x x
x x
→
= (
0
x
∈
ℝ
) ③
③③
③
1
lim 1
x
x
e
x
→+∞
+ =
④
④④
④
( )
1
0
lim 1
x
x
x e
→
+ =
⑤
⑤⑤
⑤
0
1
lim 1
x
x
e
x
→
−
=
⑥
⑥⑥
⑥
(
)
0
ln 1
lim 1
x
x
x
→
+
=
⑦
⑦⑦
⑦
0
0
lim
x x
x x
α α
→
=
(
0
0 x
< ∈
ℝ
,
α
∈
ℝ
)
⑧
⑧⑧
⑧ Khi
0
α
:
0
lim 0, lim
x
x
x x
α α
+
→+∞
→
= = +∞
⑨
⑨⑨
⑨ Khi
0
α
<
:
0
lim , lim 0
x
x
x x
α α
+
→+∞
→
= +∞ =
4. Đạohàm
Hàm sơ cấp
Hàm hợp (
(
((
(
)
))
)
u u x
=
==
= )
( )
x x
e e
′
=
( )
.
u u
e u e
′
′
=
( )
.ln
x x
a a a
′
=
( )
. .ln
u u
a u a a
′
′
=
( )
1
ln x
x
′
=
( )
ln
u
u
u
′
′
=
( )
1
log
ln
a
x
x a
′
=
( )
log
ln
a
u
u
u a
′
′
=
( )
1
x x
α α
α
−
′
=
( )
1
.
u u u
α α
α
−
′
′
=
( )
1
1
n
n n
x
n x
−
′
=
( )
1
n
n n
u
u
n u
−
′
′
=
5. Sựbiếnthiênvàđồthị
a. Hàm số mũ
x
y = a
:
1
a
>
>>
>
0 1
a
< <
< << <
< <
① Tập xác định:
D
=
ℝ
① Tập xác định:
D
=
ℝ
TÀI LI
TÀI LITÀI LI
TÀI LIỆ
ỆỆ
ỆU H
U HU H
U HỌ
ỌỌ
ỌC T
C TC T
C TẬ
ẬẬ
ẬP TOÁN 1
P TOÁN 1P TOÁN 1
P TOÁN 12
22
2
–
––
–
M
MM
MŨ
Ũ Ũ
Ũ -
--
-
LOGARIT
LOGARITLOGARIT
LOGARIT
18
1818
18
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2
② Sự biến thiện:
.ln 0
x
y a a
′
= >
Giới hạn đặc biệt:
lim 0; lim
x x
x x
a a
→−∞ →+∞
= = +∞
Tiệm cận: Trục Ox là TCN.
③ Bảng biến thiên:
④ Đồ thị:
② Sự biến thiện:
.ln 0
x
y a a
′
= <
Giới hạn đặc biệt:
lim ; lim 0
x x
x x
a a
→−∞ →+∞
= +∞ =
Tiệm cận: Trục Ox là TCN.
③ Bảng biến thiên:
④ Đồ thị:
b. Hàm số lôgarit
log
a
y x
=
==
= .
1
a
>
>>
>
0 1
a
< <
< << <
< <
① Tập xác định:
(
)
0;D
= +∞
② Sự biến thiện:
1
0
.ln
y
x a
′
= >
Giới hạn đặc biệt:
0
lim log ; lim log
a a
x
x
x x
+
→+∞
→
= −∞ = +∞
Tiệm cận: Trục Oy là TCĐ.
③ Bảng biến thiên:
④ Đồ thị:
① Tập xác định:
(
)
0;D
= +∞
② Sự biến thiện:
1
0
.ln
y
x a
′
= <
Giới hạn đặc biệt:
0
lim log ; lim log
a a
x
x
x x
+
→+∞
→
= +∞ = −∞
Tiệm cận: Trục Oy là TCĐ.
③ Bảng biến thiên:
④ Đồ thị:
c. Hàm số lũy thừa
y = x
α
αα
α
.
1
α
αα
α
>
>>
>
0
α
αα
α
<
<<
<
① Tập khảo sát:
(
)
0;D
= +∞
② Sự biến thiện:
1
0
y x
α
α
−
′
= >
Giới hạn đặc biệt:
① Tập khảo sát:
(
)
0;D
= +∞
② Sự biến thiện:
1
0
y x
α
α
−
′
= <
Giới hạn đặc biệt:
x
y
O
=
x
y a
< <
(0 1 )
a
1
a
1
x
y
O
=
x
y a
>
( 1)
a
1
a
x
y
O
=
x
y a
< <
(0 1)
a
1
a
x
y
O
=
log
a
y x
>
( 1)
a
1
a
1
x
y
−∞
+∞
0
1
0
+∞
1
a
x
y
−∞
+∞
0
1
0
+∞
1
a
x
y
+∞
0
1
−∞
0
a
1
+∞
x
y
+∞
0
1
−∞
0
a
1
+∞
GV. TR
GV. TRGV. TR
GV. TRẦ
ẦẦ
ẦN QU
N QUN QU
N QUỐ
ỐỐ
ỐC NGH
C NGHC NGH
C NGHĨA
ĨAĨA
ĨA
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầ
ầầ
ầm & biên t
m & biên tm & biên t
m & biên tậ
ậậ
ập)
p)p)
p)
19
1919
19
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2
0
lim 0; lim
x
x
x x
α α
+
→+∞
→
= = +∞
Tiệm cận: Không có.
③ Bảng biến thiên:
0
lim ; lim 0
x
x
x x
α α
+
→+∞
→
= +∞ =
Tiệm cận: Ox: TCN; Oy: TCĐ.
③ Bảng biến thiên:
④ Đồ thị:
Dạng1.Tìmtậpxácđịnhcủahàmsố
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1.
y b
=
(
b
∈
ℝ
)(hàm hằng). Hàm số xác định với mọi
x
∈
ℝ
.
D
=
ℝ
2.
(
)
y P x
= (
(
)
P x
đa thức) Hàm số xác định với mọi
x
∈
ℝ
.
D
=
ℝ
3.
( )
y A x
= Hàm số xác định
(
)
0
A x⇔
≥
.
Mở rộng:
( )
2k
y A x
= (
*
k ∈
ℕ
) xác định
(
)
0
A x⇔
≥
.
4.
( )
3
y A x
= Hàm số xác định
(
)
A x
⇔ xác định.
Mở rộng
( )
2 1k
y A x
+
= (
*
k ∈
ℕ
) xác định
(
)
A x
⇔ xác định.
5.
(
)
( )
A x
y
B x
= Hàm số xác định
(
)
0
B x⇔
≠
.
6.
( )
( )
A x
y
B x
= Hàm số xác định
⇔
(
)
( )
0
0
A x
B x
≠
7.
(
)
( )
A x
y
B x
= Hàm số xác định
(
)
0
B x⇔
>
.
8.
( )
( )
A x
y
B x
= Hàm số xác định
⇔
(
)
( )
0
0
A x
B x
>
9.
(
)
( ) ( )
k x
y
A x B x
=
±
Hàm số xác định
⇔
( )
( )
( )
( )
0
0
0
A x
B x
A x B x
≥
≥
± ≠
10.
(
)
tan
y f x
= Hàm số xác định
( )
,
2
f x k k
π
π
⇔ ≠ + ∈
ℤ
11.
(
)
cot
y f x
= Hàm số xác định
(
)
,f x k k
π
⇔ ≠ ∈
ℤ
x
y
O
1
1
<
0
α
=
0
α
< <
0 1
α
=
1
α
>
1
α
x
y
+∞
0
0
+∞
x
y
+∞
0
0
+∞
TÀI LI
TÀI LITÀI LI
TÀI LIỆ
ỆỆ
ỆU H
U HU H
U HỌ
ỌỌ
ỌC T
C TC T
C TẬ
ẬẬ
ẬP TOÁN 1
P TOÁN 1P TOÁN 1
P TOÁN 12
22
2
–
––
–
M
MM
MŨ
Ũ Ũ
Ũ -
--
-
LOGARIT
LOGARITLOGARIT
LOGARIT
20
2020
20
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2
12.
(
)
( )
log
a x
y f x
= Hàm số xác định
(
)
( )
0 1
0
a x
f x
< ≠
⇔
>
(
)
lg
y f x
= Hàm số xác định
(
)
0
f x
⇔ >
(
)
ln
y f x
= Hàm số xác định
(
)
0
f x
⇔ >
13.
( )
f x
y a
= Hàm số xác định
( )
0 1
0
< ≠
⇔
a
f x
.
14.
(
)
(
)
y f x g x
= ± Hàm số xác định
(
)
( )
f x xaùc ñònh
g x xaùc ñònh
⇔
15.
(
)
(
)
.=
y f x g x
Hàm số xác định
(
)
( )
f x xaùc ñònh
g x xaùc ñònh
⇔
16. Hàm số lũy thừa
y = x
α
αα
α
với
α
∈
ℝ
có tập xác định tùy thuộc
α
:
Với
α
nguyên dương:
D
=
ℝ
Với
α
nguyên âm hoặc bằng
0
:
{
}
\ 0
D =
ℝ
Với
α
không nguyên:
(
)
0;D
= +∞
17.
(
)
( )
≠
=
=
g x khi x a
y
h x khi x a
(TXĐ D)
- Khi
x a
≠
,
(
)
y g x
= . Ta tìm được tập xác định
1
D
.
- Khi
x a
=
,
(
)
y h x
= . Ta tìm được tập xác định
2
D
.
Khi đó
1 2
D D D
= ∪ .
B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 16: Tìm tập xác định của hàm số:
ⓐ
3 2 2
12 2
3 2 2
y x
+
−
+
= ⓑ
( )
2
3
1
3 2
x x
x
y
−
−
= + ⓒ
1
lg
2 3
x
y
x
−
=
− −
ⓓ
2
ln 4 12
y x x
= − −
ⓔ
3 8
2
x x
y
− − −
= ⓕ
(
)
2 2
3
2.log 9= + − −
y x x x
ⓖ
( )
0,3
2
log 1
2 8
− −
=
− −
x
y
x x
ⓗ
2
1
2
3 2
log
2
x x
y
x
− −
=
+
ⓖ
3
2
1
log
2
x
y
x x
+
=
− −
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
GV. TR
GV. TRGV. TR
GV. TRẦ
ẦẦ
ẦN QU
N QUN QU
N QUỐ
ỐỐ
ỐC NGH
C NGHC NGH
C NGHĨA
ĨAĨA
ĨA
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầ
ầầ
ầm & biên t
m & biên tm & biên t
m & biên tậ
ậậ
ập)
p)p)
p)
21
2121
21
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 28. Tìm tập xác định của hàm số:
ⓐ
2
2 3
log ( 1)
2 1
x
x
y
−
+
=
−
ⓑ
2
2
2 3
1
2
x x
x
y
−
+
=
ⓒ
(
)
2
3
y x
= ⓓ
(
)
2
2 1
log 1
−
= −
x
y x
Dạng2.Đạohàmcủahàmsốmũvàlogarit
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Sử dụng các công thức:
Hàm sơ cấp
Hàm hợp (
(
((
(
)
))
)
u u x
=
==
= )
( )
x x
e e
′
=
( )
.
u u
e u e
′
′
=
( )
.ln
x x
a a a
′
=
( )
. .ln
u u
a u a a
′
′
=
( )
1
ln x
x
′
=
( )
ln
u
u
u
′
′
=
( )
1
log
ln
a
x
x a
′
=
( )
log
ln
a
u
u
u a
′
′
=
( )
1
x x
α α
α
−
′
=
( )
1
.
u u u
α α
α
−
′
′
=
( )
1
1
n
n n
x
n x
−
′
=
( )
1
n
n n
u
u
n u
−
′
′
=
TÀI LI
TÀI LITÀI LI
TÀI LIỆ
ỆỆ
ỆU H
U HU H
U HỌ
ỌỌ
ỌC T
C TC T
C TẬ
ẬẬ
ẬP TOÁN 1
P TOÁN 1P TOÁN 1
P TOÁN 12
22
2
–
––
–
M
MM
MŨ
Ũ Ũ
Ũ -
--
-
LOGARIT
LOGARITLOGARIT
LOGARIT
22
2222
22
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2
B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 17: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
ⓐ
(
)
2
1 2 1
= − − +
x
y x x e
ⓑ
(
)
3 2 1 .2
= − +
x x
y x ⓒ
ln 2
1
−
=
+
x
y
x
ⓓ
(
)
4 log
= −
y x x
ⓔ
(
)
2
log 1
= +
y x x ⓕ
(
)
3
2 2
log .ln 3= −
y x x
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 29. Tính đạo hàm của các hàm số sau:
ⓐ
(
)
2 3
2 1 .
= −
x
y x e
ⓑ
2
3
1
= +
x
y x e ⓒ
−
−
+
=
−
x x
x x
e e
y
e e
ⓓ
3
3 2
= − +
x x
y e ⓔ
(
)
3 2
ln 2
= + −
y x x x
ⓕ
(
)
(
)
2 2
3 ln 2
= + +
y x x
ⓖ
(
)
3 2
4
ln 3 1
= +
y x
ⓗ
3
sin cos
=
y x x
ⓘ
(
)
1 2 3 3
= − +
x
y x
ⓚ
2
2 .sin
= −
x
y e x
ⓛ
sin
4
2 3
π
= − +
x x
y e ⓜ
1
1
+
=
−
x
x
e
y
e
ⓝ
ln 1
= +
y x x
ⓞ
2
1 2ln
= + −
y x x
ⓟ
(
)
(
)
2 2
3 ln 2
= + +
y x x
ⓠ
2
1 2ln ln
= − +
y x x
ⓡ
2 3
log 3log
= −
y x x
ⓢ
(
)
2
log 1 ln 2
= + −
y x x
Bài 30. Tính đạo hàm của các hàm số sau:
ⓐ
(sin cos )
= −
x
y e x x
ⓑ
.
π
π
=
x
y x ⓒ
5
ln 4 5
= −
y x
ⓓ
(
)
2
ln 1
= + +
y x x ⓔ
(
)
sin
2
3= +
x
y x ⓕ
1 1 1 1 1 1
cos
2 2 2 2 2 2
= + + +
y x
Bài 31. Cho hàm số
(
)
log 2 (0 1)
= < ≠
x
f x x x . Tính đạo hàm
(
)
′
f x
và giải bất phương trình
(
)
0
′
≤
f x .
Bài 32. Chứng minh hàm số
(
)
(
)
3cos ln 4sin ln= +
y x x x
thỏa mãn:
2
2 0
′′ ′
− + =
x y xy y .
GV. TR
GV. TRGV. TR
GV. TRẦ
ẦẦ
ẦN QU
N QUN QU
N QUỐ
ỐỐ
ỐC NGH
C NGHC NGH
C NGHĨA
ĨAĨA
ĨA
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầ
ầầ
ầm & biên t
m & biên tm & biên t
m & biên tậ
ậậ
ập)
p)p)
p)
23
2323
23
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2
Bài 33. Cho hàm số:
.
=
x
y x e
ⓐ Tính đạo hàm cấp một
y
′
, đạo hàm cấp hai
y
′′
của hàm số rồi suy ra đạo hàm cấp
n
của
hàm số.
ⓑ Chứng minh rằng:
2 0
′′ ′
− + =
y y y
Bài 34. Tìm
a
để hàm số sau đây có đạo hàm trên
ℝ
:
( )
2
khi 0
1 khi 0
≥
= =
+ + <
x
e x
y f x
x ax x
Bài 35. Tìm
a
để hàm số sau đây có đạo hàm tại
0
x
=
:
( )
(
)
2
1 khi 0
1 khi 0
−
+ >
= =
− − + ≤
x
x e x
y f x
x ax x
Bài 36. Tính đạo hàm cấp
n
của hàm số
(
)
ln 2 1
= +
y x .
Dạng3.GTLNvàGTNNcủahàmsốmũvàlogarit
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Tính
y
′
.
Giải phương trình
0
y
′
=
và chỉ nhận những nghệm
0
x
thuộc
[
]
;
a b
.
Tính
(
)
(
)
,
f a f b
và
(
)
0
f x
.
Khi đó:
[ ]
(
)
(
)
(
)
(
)
{
}
0
;
min min , ,
a b
f x f a f b f x
= ;
[ ]
(
)
(
)
(
)
(
)
{
}
0
;
max max , ,
a b
f x f a f b f x
=
Chú ý:
Nếu hàm số
(
)
y f x
=
tăng trên
[
]
;
a b
thì:
[ ]
(
)
(
)
;
min
x a b
f x f a
∈
= và
[ ]
(
)
(
)
;
max
x a b
f x f b
∈
=
Nếu hàm số
(
)
y f x
=
giảm trên
[
]
;
a b
thì:
[ ]
(
)
(
)
;
min
x a b
f x f b
∈
= và
[ ]
(
)
(
)
;
max
x a b
f x f a
∈
=
Nếu bài toán phải đặt ẩn phụ thì phải có điều kiện cho ẩn phụ đó.
B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 18: Tìm giá trị lớn nhất và giá tị nhỏ nhất của hàm số
2
ln
1
x
y
x
= −
trên đoạn
2
1;
e
.
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 37. Tìm giá trị lớn nhất và giá tị nhỏ nhất của hàm số
ⓐ
2
1
= +
x
y x e trên
[
]
3;2
− ⓑ
2
ln ln
= −
y x x
trên
2
1;
e
ⓒ
(
)
2
3 1
= − +
x
y x x e
trên
[
]
3;0
− ⓓ
ln 1
= −
y x x
trên
2
1;
e
ⓔ
(
)
2
ln 1 2
= − −
y x x
trên
[
]
2;0
− ⓕ
TÀI LI
TÀI LITÀI LI
TÀI LIỆ
ỆỆ
ỆU H
U HU H
U HỌ
ỌỌ
ỌC T
C TC T
C TẬ
ẬẬ
ẬP TOÁN 1
P TOÁN 1P TOÁN 1
P TOÁN 12
22
2
–
––
–
M
MM
MŨ
Ũ Ũ
Ũ -
--
-
LOGARIT
LOGARITLOGARIT
LOGARIT
24
2424
24
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2
Dạng4.Khảosátsựbiếnthiênvàvẽđồthịhàmsố
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
① Hàm số mũ
x
y = a
:
1
a
>
: Hàm số đồng biến trên
ℝ
0 1
a
< <
: Hàm số nghịch biến trên
ℝ
② Hàm số mũ
log
a
y x
=
==
= (
0 1
a
< ≠
) có tập xác định
(
)
0;D
= +∞
1
a
>
: Hàm số đồng biến trên
(
)
0;
+∞
0 1
a
< <
: Hàm số nghịch biến trên
(
)
0;
+∞
③ Hàm số mũ
y = x
α
αα
α
với
α
∈
ℝ
.
*
0
x
>
:
1
α
>
: Hàm số đồng biến trên
(
)
0;
+∞
1
α
<
: Hàm số nghịch biến trên
(
)
0;
+∞
*
0
x
<
:
0
α
: Hàm số nghịch biến trên
(
)
;0
−∞
0
α
<
: Hàm số đồng biến trên
(
)
;0
−∞
B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 19: Vẽ đồ thị của các hàm số sau:
ⓐ
1
3 ; 3 ; 3
x
x x
y y y
−
= = =
ⓑ Chứng minh các hàm số
1
;
x
x
y a y
a
= =
có đồ thị đối xứng qua trục
Oy
.
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
GV. TR
GV. TRGV. TR
GV. TRẦ
ẦẦ
ẦN QU
N QUN QU
N QUỐ
ỐỐ
ỐC NGH
C NGHC NGH
C NGHĨA
ĨAĨA
ĨA
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầ
ầầ
ầm & biên t
m & biên tm & biên t
m & biên tậ
ậậ
ập)
p)p)
p)
25
2525
25
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 38. Vẽ đồ thị của các hàm số sau:
ⓐ
3 1 3
3
log ; log ; log
y x y x y x
= = = .
ⓑ Chứng minh các hàm số
; log
x
a
y a y x
= = có đồ thị đối xứng qua
y x
.
Bài 39. Vẽ đồ thị của các hàm số sau:
ⓐ
1
3
x
y
=
ⓑ
(
)
2
lg 1
y x
= −
ⓒ
4
1
y
x
=
. ⓓ
(
)
2
3
log 2
y x x
= −
Bài 40. Xét sự biến thiên của các hàm số sau:
ⓐ
π
=
x
e
y ⓑ
1
3
6 5
−
=
−
x
x
y
ⓒ
2
log
π
=
e
y x
ⓓ
(
)
2
ln 3
=
y x
ⓔ
( )( )
3 3 3
1
3 1 9 3 1
2
− + +
=y x ⓕ =
y x x x
ⓖ
( )
2
2
2
5 2 6
−
= −
x
y ⓗ
( )
2
3 2 3
log
−
=
y x
Dạng5.Tìmgiớihạncủacáchàmsốmũvàlôgarit
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
① Biến đổi đưa về các giới hạn cơ bản.
② Một số công thức mở rộng:
0
1
lim ln ( 0)
x
x
a
a a
x
→
−
= >
;
(
)
0
log 1
1
lim (0 1)
ln
→
+
= < ≠
a
x
x
a
x a
③ Đặc biệt ta có thể áp dụng quy tắc L’hopitan: Nếu
(
)
( )
0
lim
→x x
f x
g x
có dạng vô định
0
0
hay
∞
∞
và
(
)
f x
,
(
)
g x
có đạo hàm tại một lân cận của điểm x
0
, trừ điểm
0
x
thì:
(
)
( )
(
)
( )
(
)
( )
0 0 0
lim lim lim ...
→ → →
′ ′′
= = =
′ ′′
x x x x x x
f x f x f x
g x g x g x
④ Các công thức tính giới hạn lượng giác:
0 0
sin
lim lim 1
sin
x x
x x
x x
→ →
= =
0 0
tan
lim lim 1
tan
→ →
= =
x x
x x
x x
B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 20: Tìm các giới hạn sau
ⓐ
2 1
1
lim
x
x
x
e
+
+
→+∞
ⓑ
3
0
1
lim
2
x
x
e
x
→
−
ⓒ
( )
2
1
0
lim cos 2
x
x
x
→
ⓓ
3
lim
1
x
x
x
x
+
→+∞
+
+
ⓔ
2
8
limlog
x
x
→
ⓕ
0
sin10
limlog
x
x
x
→
ⓖ
(
)
0
ln 1 sin 2
lim
x
x
x
→
+
ⓗ
(
)
2
0
ln 1
lim
x
x
x
→
+
ⓘ
(
)
(
)
0
ln 3 1 ln 2 1
lim
x
x x
x
→
+ − +
................................................................................................................................................................................
TÀI LI
TÀI LITÀI LI
TÀI LIỆ
ỆỆ
ỆU H
U HU H
U HỌ
ỌỌ
ỌC T
C TC T
C TẬ
ẬẬ
ẬP TOÁN 1
P TOÁN 1P TOÁN 1
P TOÁN 12
22
2
–
––
–
M
MM
MŨ
Ũ Ũ
Ũ -
--
-
LOGARIT
LOGARITLOGARIT
LOGARIT
26
2626
26
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 41. Tìm các giới hạn sau:
ⓐ
3 4 3
0
lim
x
x
e e
x
+
→
−
ⓑ
3
lim .
x
x
x e x
→+∞
−
ⓒ
(
)
3 5
2
0
.sin
lim
→
−
x x
x
e e x
x
ⓓ
1
1
lim
1
1 1
x
x
e
x
→+∞
−
+ −
ⓔ
sin2 sin
0
lim
sin
x x
x
e e
x
→
−
ⓕ
2
2
0
3 cos
lim
x
x
x
x
→
−
ⓖ
(
)
0
ln 1 4
lim
→
+
x
x
x
ⓗ
(
)
2
0
ln 1
lim
3
→
+
x
x
x
ⓘ
( )
2
3
2 2
2
0
1
lim
ln 1
−
→
− +
+
x
x
e x
x
ⓙ
(
)
0
ln 1 4
lim
sin3
→
+
x
x
x
ⓚ
2 1
2
lim
1
x
x
x
x
+
→+∞
+
+
ⓛ
(
)
2
0
log 1 3
lim
sin3
→
+
x
x
x
ⓜ
3
1
2
2 2 6
lim
2 2
x x
x x
x
−
− −
→
+ −
−
ⓝ
(
)
2
2
0
ln 1
lim
2 tan
→
+
x
x
x
ⓞ
3
0
1
lim
1 1 2
x
x
e
x x
→
−
+ − −
ⓟ
(
)
5
3
2
ln 1
lim
3
→
+
x
x
x
Đáp số: ⓐ
3
4
e
−
; ⓑ
3
; ⓒ
2
−
; ⓓ
2
; ⓔ
1
; ⓕln3 + 1/2
ⓖ
4
ⓗ
0
ⓘ – 7 /3 ⓙ4/3 ⓚ
2
e
ⓛ1/ln2 ⓜ
8
ⓝ1/2 ⓞ
2
Dạng6.Dùngtínhđơnđiệuđểchứngminhbấtđẳng
thứcchứmũlogarit
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Chứng minh bất đẳng thức:
(
((
(
)
))
)
(
((
(
)
))
)
f x g x
≥
≥≥
≥ hoặc
( , , )
≤ > <
① Chuyển bất đẳng thức đã cho về dạng:
(
)
≥
h x 0
hoặc
( , , )
≤ > <
.
② Tìm tập xác định của hàm số
(
)
y h x
= .
③ Tính đạo hàm
(
)
y h x
′ ′
= giải phương trình
(
)
0
h x
′
⇒
nghiệm
④ Lập bảng biến thiên. Dựa vào bảng biến thiên suy ra chiều biến thiên của
(
)
h x
. Từ đó
suy ra được bất đẳng thức cần chứng minh.
GV. TR
GV. TRGV. TR
GV. TRẦ
ẦẦ
ẦN QU
N QUN QU
N QUỐ
ỐỐ
ỐC NGH
C NGHC NGH
C NGHĨA
ĨAĨA
ĨA
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầ
ầầ
ầm & biên t
m & biên tm & biên t
m & biên tậ
ậậ
ập)
p)p)
p)
27
2727
27
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2
B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 21: Chứng minh các bất đẳng thức sau:
ⓐ
2
cos 2 ,
2
+ ≥ + − ∀ ∈
ℝ
x
x
e x x x ⓑ
( )
2
ln 1 , 0
2
+ > − ∀ >
x
x x x
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 42. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
ⓐ 1 ,
≥ + ∀ ∈
ℝ
x
e x x ⓑ
2
1, 0
2
> + + ∀ >
x
x
e x x
ⓒ
1
1 ln 1 , 1
− > > − ∀ >
x x x
x
ⓓ
(
)
(
)
1 ln 2 1 , 1
+ > − ∀ >
x x x x
Bài 43. Chứng minh rằng:
2 2
ln ln ln ln , (0 1)
− > − < < <
a b b a a b a b . Cao Đẳng Khối A, B, D - 2009
BÀI TẬP TỔNG HỢP VẤN ĐỀ 3
Bài 44. Tìm tập xác định của hàm số:
ⓐ
2
2 3
log ( 1)
2 1
−
+
=
−
x
x
y ⓑ
2
2
2 3
1
2
−
+
=
x x
x
y ⓒ
(
)
2
3
=
y x
ⓓ
2
2 1
log ( 1)
−
= −
x
y x
Bài 45. Xét sự biến thiên của các hàm số sau:
ⓐ
ln
=
x
y
x
ⓑ
2
2
2
1
2
−
=
x x
y ⓒ
2
ln( 1)
ln 3
+
=
x
y ⓓ
.
=
x
y x e
TÀI LI
TÀI LITÀI LI
TÀI LIỆ
ỆỆ
ỆU H
U HU H
U HỌ
ỌỌ
ỌC T
C TC T
C TẬ
ẬẬ
ẬP TOÁN 1
P TOÁN 1P TOÁN 1
P TOÁN 12
22
2
–
––
–
M
MM
MŨ
Ũ Ũ
Ũ -
--
-
LOGARIT
LOGARITLOGARIT
LOGARIT
28
2828
28
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2
Bài 46. Cho hàm số ln=
+
x
y
x m
(1) (
m
là tham số). Tìm
m
để hàm số (1):
ⓐ Nghịch biến trên trừng khoảng xác định. ⓑ Nghịch biến trên khoảng
(2 ; )
+ ∞
.
Bài 47. Cho hàm số
ln
= +
m
y x
x
. Tìm
m
để hàm số đồng biến trên
(
)
1 ;
+ ∞
.
Bài 48. Vẽ đồ thị của các hàm số sau:
ⓐ
1
3
=
x
y ⓑ
(
)
2
lg 1
= −
y x
Bài 49. Tìm các giới hạn sau:
ⓐ
2
3 5
lim
3 1
→+∞
+
−
x
x
x
x
ⓑ
( )
1
2
sin
0
lim 1 tan
→
+
x
x
x ⓒ
32 2
0
1
lim
sin 3
→
− +
x
x
e x
x
ⓓ
( )
1
0
lim 1 sin 3
→
+
x
x
x
ⓔ
(
)
2
0
lg 1
lim
1 cos 2
→
+
−
x
x
x
ⓕ
(
)
2
2
0
ln 1
lim
5 5
→
+
+ −
x
x
x
Bài 50. Tính đạo hàm của các hàm số sau:
ⓐ
2
2
+
=
x
x
x e
y
e
ⓑ
(
)
2 3 1
2 .
+
= +
x
y x e
ⓒ
(
)
2
ln 3 2
= +
y x
ⓓ
(
)
2
ln 2
= + +
y x x
Bài 51. Cho hàm số:
.sin
=
x
y e x
. Chứng minh:
2 2 0
′′ ′
− + =
y y y .
Bài 52. Cho hàm số:
.ln
=
y x x
. Chứng minh:
2
0
′′ ′
− + =
x y xy y .
Bài 53. Tính đạo hàm của hàm số sau tại
0
x
=
:
( )
(
)
ln cos
khi 0
0 khi 0
≠
= =
=
x
x
y f x
x
x
Bài 54. Tính đạo hàm của hàm số sau tại
x
∀ ∈
ℝ
:
( )
3 2 2
4 8 8 4
khi 0
sin 2
0 khi 0
+ − +
= =
x x
x
y f x
x
x
Bài 55. Tính đạo hàm của hàm số sau:
( )
2 2
ln khi 0
2 4
0 khi 0
− ≠
= =
=
x x
x x
y f x
x
Bài 56. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
ⓐ
1
1 1
1 1
+
+ < < +
x x
e
x x
ⓑ
( )
2
ln 1 , ( 0)
2
− < + < >
x
x x x x
ⓒ
3
1
2sin tan
2
2 2 2
+
+ >
x
x x
ⓓ
(
)
2 2
2 , ( 0)
> + >
x
e x x x
GV. TR
GV. TRGV. TR
GV. TRẦ
ẦẦ
ẦN QU
N QUN QU
N QUỐ
ỐỐ
ỐC NGH
C NGHC NGH
C NGHĨA
ĨAĨA
ĨA
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầ
ầầ
ầm & biên t
m & biên tm & biên t
m & biên tậ
ậậ
ập)
p)p)
p)
29
2929
29
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2
Vấn đề 4. PHƯƠNG TRÌNH MŨ
1. Dạngcơbản.
Phương trình mũ cơ bản có dạng:
x
a = b
(
0 1
a
< ≠
)
Cách giải: * Khi
0
b
thì
log
x
a
a b x b
= ⇔ =
* Khi
0
b
thì
x
a b
=
vô nghiệm.
2. Cácphươngphápgiải
a. Phương pháp đưa về cùng cơ số.
b. Phương pháp đặt ẩn phụ.
c. Phương pháp lôgarit hóa.
d. Đưa về phương trình tích
e. Phương pháp sử dụng bất đẳng thức, tính đơn điệu của hàm số.
Dạng1.Phươngphápđưavềcùngcơsố
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Sử dụng quy tắc biến đổi lũy thừa để đưa phương trình đã cho về phương trình mà hai
vế là hai lũy thừa có cùng cơ số. Áp dụng kết quả:
0 1
a
< ≠
thì
(
)
(
)
(
)
(
)
= ⇔ =
f x g x
a a f x g x
ta sẽ đưa phương trình đã cho về phương trình không còn ẩn ở mũ.
B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 22: Giải các phương trình sau:
ⓐ
ⓐⓐ
ⓐ
2 1 1
2 4 72
x x− +
+ =
ⓑ
ⓑⓑ
ⓑ
2
3 2 2
9 27
x x
+ +
=
ⓒ
ⓒⓒ
ⓒ
1
2
5 625
x
=
ⓓ
ⓓⓓ
ⓓ
2
2 9
4 64
x x
− −
=
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
TÀI LI
TÀI LITÀI LI
TÀI LIỆ
ỆỆ
ỆU H
U HU H
U HỌ
ỌỌ
ỌC T
C TC T
C TẬ
ẬẬ
ẬP TOÁN 1
P TOÁN 1P TOÁN 1
P TOÁN 12
22
2
–
––
–
M
MM
MŨ
Ũ Ũ
Ũ -
--
-
LOGARIT
LOGARITLOGARIT
LOGARIT
30
3030
30
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2
Ví dụ 23: Giải các phương trình sau:
ⓐ
ⓐⓐ
ⓐ
1 2 1 2
3 3 3 2 2 2
x x x x x x
− − − −
− + = + + ⓑ
ⓑⓑ
ⓑ
1 2 3 1 2
3 3 3 9.5 5 5
x x x x x x
+ + + + +
+ + = + +
ⓒ
ⓒⓒ
ⓒ
2 2
5 7 5 .17 7 .17 0
x x x x
− − + =
ⓓ
ⓓⓓ
ⓓ
1 1
2.3 6.3 3 9
x x x+ −
− − =
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
Ví dụ 24: Giải các phương trình sau:
ⓐ
ⓐⓐ
ⓐ
(
)
(
)
2
5 2 3
7 4 3 7 4 3
x x x
− − +
+ = − ⓑ
ⓑⓑ
ⓑ
(
)
(
)
2
4 6
3 2 2 3 2 2
x x x
− −
− = +
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
GV. TR
GV. TRGV. TR
GV. TRẦ
ẦẦ
ẦN QU
N QUN QU
N QUỐ
ỐỐ
ỐC NGH
C NGHC NGH
C NGHĨA
ĨAĨA
ĨA
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầ
ầầ
ầm & biên t
m & biên tm & biên t
m & biên tậ
ậậ
ập)
p)p)
p)
31
3131
31
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2
Ví dụ 25: Giải các phương trình sau:
ⓐ
ⓐⓐ
ⓐ
2 3
5 10 .2 .5
x x x x
− − +
= ⓑ
ⓑⓑ
ⓑ
( )
16 20
1
2 4
x
x x
+
−
=
ⓒ
ⓒⓒ
ⓒ
3 2 1
2 .3 .5 4000
x x x+ − +
= ⓓ
ⓓⓓ
ⓓ
1
3
5 .8 500
x
x
−
=
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 57. Giải các phương trình sau:
ⓐ
( )
1
5 7
2
1,5
3
+
−
=
x
x
ⓑ
( )
5
2 3
1
0,75 1
3
−
−
=
x
x
ⓒ
1
7 2
x x
−
=
ⓓ
2
5 6
5 1
x x− −
=
ⓔ
2
2 3
1
1
7
7
x x
x
− −
+
=
ⓕ
(
)
3
3 2 2 3 2 2
x
− = +
ĐS: ⓐ
1
x
=
; ⓑ
2
x
= −
; ⓒ
7/2
log 7
x = ; ⓓ
1 6
x x
= − ∨ =
; ⓔ
1 2
x x
= − ∨ =
; ⓕ
1/3
x
= −
Bài 58. Giải các phương trình sau:
ⓐ
1 1
5 6.5 3.5 52
x x x+ −
+ − =
ⓑ
1 1
2.3 6.3 3 9
x x x+ −
− − =
ĐS: ⓐ
1
x
=
; ⓑ
1
x
=
;
ⓒ
1
3 .2 72
x x+
=
ⓓ
4 2 1
2 2 5 3.5
x x x x
+ + +
+ = + ĐS: ⓒ
2
x
; ⓓ
1
x
=
Bài 59. Giải các phương trình sau:
ⓐ
17
3
5
7
32 0,25.128
x
x
x
x
+
−
+
−
= ⓑ
( ) ( )
3 1
1 3
10 3 10 3
x x
x x
− +
− +
+ = −
ⓒ
2 2 2
3 2 6 5 2 3 7
4 4 4 1
x x x x x x− + + + + +
+ = +
ⓓ
( )
2
4
2
2 2 1
−
− + =
x
x x
ĐS: ⓐ
10
x
=
; ⓑ
5
x = ± ⓒ
5 1 2
x x x
= − ∨ = ± ∨ =
ⓓ
2 1
x x
= ± ∨ =
Bài 60. Giải các phương trình sau:
ⓐ
1 2 3 1
6 6 6 5 5 5
x x x x x x
+ + + +
+ + = + − ⓑ
1 2
2 .3 .5 37500
x x x+ +
= ĐS: ⓐ
1
x
=
; ⓑ
1
x
=
;
ⓒ
2 5
3 4 9
.
4 5 16
x
x
−
=
ⓓ
1
2
1
125
25
x
x
+
=
ĐS: ⓒ
5
x
=
; ⓓ
1
4
x
= −
TÀI LI
TÀI LITÀI LI
TÀI LIỆ
ỆỆ
ỆU H
U HU H
U HỌ
ỌỌ
ỌC T
C TC T
C TẬ
ẬẬ
ẬP TOÁN 1
P TOÁN 1P TOÁN 1
P TOÁN 12
22
2
–
––
–
M
MM
MŨ
Ũ Ũ
Ũ -
--
-
LOGARIT
LOGARITLOGARIT
LOGARIT
32
3232
32
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2
Dạng2.Phươngphápđặtẩnphụ
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Tìm một lũy thừa chung, đặt làm ẩn phụ t để đưa phương trình về phương trình đơn giản
hơn.
Khi đặt ẩn phụ cần lưu ý:
1. Nếu đặt
x
t a
=
, điều kiện là
0
t
>
thì:
(
)
(
)
2
2 2 2
x
x x
a a a t
= = =
;
3 3
x
a t
=
;
1
x
a
t
−
=
, …
2. Lưu ý khác:
(
)
1
2 1 2 1
−
− = + ;
(
)
1
2 3 2 3
−
− = + ;
(
)
1
7 48 7 48
−
− = + ; …
3. Gặp phương trình dạng
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2
. . . 0
+
+ + =
f x f x g x g x
m a n a p a ta chia 2 vế cho
(
)
2
g x
a
và
đặt
(
)
(
)
−
=
f x g x
t a
4. Gặp phương trình dạng
( )
( )
(
)
( )
2 2
. . . 0
+ + =
f x
f x f x
m a n ab p b ta chia 2 vế cho
(
)
2
f x
a
và
đặt
(
)
=
f x
a
t
b
(
a b
)
B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 26: Giải các phương trình sau:
ⓐ
ⓐⓐ
ⓐ
4 2
2 3.
x x
e e
+ = ⓑ
ⓑⓑ
ⓑ
9 4.3 45 0
x x
− − =
ⓒ
ⓒⓒ
ⓒ
2 5 2
3 3 2
x x+ +
= +
ⓓ
ⓓⓓ
ⓓ
2 2
1 1
9 3 6 0
x x+ +
+ − =
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
GV. TR
GV. TRGV. TR
GV. TRẦ
ẦẦ
ẦN QU
N QUN QU
N QUỐ
ỐỐ
ỐC NGH
C NGHC NGH
C NGHĨA
ĨAĨA
ĨA
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầ
ầầ
ầm & biên t
m & biên tm & biên t
m & biên tậ
ậậ
ập)
p)p)
p)
33
3333
33
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2
Ví dụ 27: Giải các phương trình sau:
ⓐ
ⓐⓐ
ⓐ
(
)
(
)
2 3 2 3 4
x x
+ + − =
ⓑ
ⓑⓑ
ⓑ
(
)
(
)
2 1 2 1 2 2
x x
− + + =
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
Ví dụ 28: Giải các phương trình sau:
ⓐ
ⓐⓐ
ⓐ
1 1
5 5 26
x x+ −
+ =
ⓑ
ⓑⓑ
ⓑ
2 2
2
2 2 3
x x x x− + −
− =
ⓒ
ⓒⓒ
ⓒ
2 2
sin os
2 4.2 6
x c x
+ =
ⓓ
ⓓⓓ
ⓓ
1
3 18.3 29
x x+ −
+ =
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
TÀI LI
TÀI LITÀI LI
TÀI LIỆ
ỆỆ
ỆU H
U HU H
U HỌ
ỌỌ
ỌC T
C TC T
C TẬ
ẬẬ
ẬP TOÁN 1
P TOÁN 1P TOÁN 1
P TOÁN 12
22
2
–
––
–
M
MM
MŨ
Ũ Ũ
Ũ -
--
-
LOGARIT
LOGARITLOGARIT
LOGARIT
34
3434
34
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2
Ví dụ 29: Giải các phương trình sau:
ⓐ
ⓐⓐ
ⓐ
1 1 1
4 6 9
x x x
− − −
+ =
ⓑ
ⓑⓑ
ⓑ
1 1 1
49 35 25
x x x
− =
ⓒ
ⓒⓒ
ⓒ
1
2 1
2 1
7 74.35 25 0
x
xx x
+ +
− − =
ⓓ
ⓓⓓ
ⓓ
2 2 2
2 6 9 3 5 2 6 9
3 4.15 3
x x x x x x
+ − + − + −
+ =
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
Ví dụ 30: Giải các phương trình sau:
ⓐ
ⓐⓐ
ⓐ
3.8 4.12 18 2.27
x x x x
+ = + ⓑ
ⓑⓑ
ⓑ
2 2
2
2 4.2 2 4 0
x x x x x+ −
− − + =
ⓒ
ⓒⓒ
ⓒ
8 2.4 2 2 0
x x x
− − + =
ⓓ
ⓓⓓ
ⓓ
3.8 4.12 18 2.27 0
x x x x
+ − − =
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
GV. TR
GV. TRGV. TR
GV. TRẦ
ẦẦ
ẦN QU
N QUN QU
N QUỐ
ỐỐ
ỐC NGH
C NGHC NGH
C NGHĨA
ĨAĨA
ĨA
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầ
ầầ
ầm & biên t
m & biên tm & biên t
m & biên tậ
ậậ
ập)
p)p)
p)
35
3535
35
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 61. Giải các phương trình sau:
ⓐ
2 2
2 3.2 32 0
x x+
− + =
(
2 3
x x
= ∨ =
) ⓑ
8 2.4 2 2 0
x x x
− + + − =
(
0 1
x x
= ∨ =
)
ⓒ
3 1 2
2 7.2 7.2 2 0
x x x+
− + − =
(
1 0
x x
= ± ∨ =
) ⓓ
2 2
1 2
9 10.3 1 0
x x x x+ + + −
− + =
(
1 0 2
x x x
= ± ∨ = ∨ =
)
Bài 62. Giải các phương trình sau:
ⓐ
1 1
4 6.2 8 0
x x+ +
− + =
(
)
0 1
x x
= ∨ =
ⓑ
4 8 2 5
3 4.3 27 0
x x+ +
− + =
(
)
3/2 1
x x
= − ∨ = −
ⓒ
4 3.2 10 0
x x
+ − =
(
)
1
x
=
ⓓ
2 2
1 1
9 3 6 0
x x+ +
− − =
(
)
7
x
=
Bài 63. Giải các phương trình sau:
ⓐ
2 2
1 1
10 10 99
x x+ −
− =
(
)
1 1
x x
= ∨ = −
ⓑ
3
3( 1)
1 12
2 6.2 1
2 2
x x
x x−
− − + =
(
)
1
x
=
ⓒ
1
2 2 1
x x−
− =
(
)
1
x
=
ⓓ
2 2
2 1 2 2
2 9.2 2 0
x x x x+ + +
− + =
(
)
2 1
x x
= ∨ = −
Bài 64. Giải các phương trình sau:
ⓐ
6.4 13.6 6.9 0
x x x
− + =
(
)
1 1
x x
= ∨ = −
ⓑ
27 12 2.8
x x x
+ =
(
)
0
x
=
ⓒ
4.9 12 3.16 0
x x x
+ − =
(
)
1
x
=
ⓓ
3.25 2.49 5.35
x x
x
+ =
5
7
2
log 0
3
x x
= ∨ =
Bài 65. Giải các phương trình sau:
ⓐ
2 2
sin cos
9 9 10
x x
+ =
ⓑ
2 2
sin cos
2 4.2 6
x x
+ =
ⓒ
1
3 2cos2 1 cos2
2
4 7.4 4
x x+ +
− =
ⓓ
15
cos sin log 8
2sin 2cos 1 2sin 2cos 1
1
3 5 0
15
x x
x x x x
− − −
+ + + +
− + =
ĐS
:
ⓒ
3
x k
π
π
= ± + ⓐ
2
x k
π
= ; ⓑ
2
x k
π
π
= + ; ⓓ
3
2 2
4 2
x k x k x k
π π
π π π π
= + ∨ = − + ∨ = +
Bài 66. Giải các phương trình sau:
ⓐ
(
)
(
)
2 3 2 3 14
x x
− + + =
ĐS
:
2 2
x x
= ∨ = −
ⓑ
(
)
(
)
6 35 6 35 12
x x
+ + − =
ĐS
:
2 2
x x
= ∨ = −
ⓒ
(
)
(
)
3
5 21 7 5 21 2
x x
x
+
− + + = ĐS:
5 21
2
0 log 7
x x
−
= ∨ =
ⓓ
(
)
(
)
cos cos
7 4 3 7 4 3 4
x x
+ + − =
ĐS:
x k
π
=
ⓓ
(
)
(
)
tan tan
8 3 7 8 3 7 16
x x
+ + − =
ĐS: π/4
x k
π
= ± +
TÀI LI
TÀI LITÀI LI
TÀI LIỆ
ỆỆ
ỆU H
U HU H
U HỌ
ỌỌ
ỌC T
C TC T
C TẬ
ẬẬ
ẬP TOÁN 1
P TOÁN 1P TOÁN 1
P TOÁN 12
22
2
–
––
–
M
MM
MŨ
Ũ Ũ
Ũ -
--
-
LOGARIT
LOGARITLOGARIT
LOGARIT
36
3636
36
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2
Dạng3.Phươngpháplôgarithóa
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Với phương trình không cùng cơ số dạng
(
)
(
)
=
f x g x
a b
(
a
,
b
dương, khác
1
và nguyên tố
cùng nhau), lấy lôgarit cơ số
a
(hoặc
b
) cho hai vế, ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
log log log
= ⇔ = ⇔ =
f x g x f x g x
a a a
a b a b f x g x b
B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 31: Giải các phương trình sau:
ⓐ
ⓐⓐ
ⓐ
2
2 1
50.2 5
x x
− +
=
ⓑ
ⓑⓑ
ⓑ
2
1
3
1 7
3 .5 15
x
x x
x
−
⋅
− −
=
ⓒ
ⓒⓒ
ⓒ
1
5 .8 500 0
x
x
x
−
− =
ⓓ
ⓓⓓ
ⓓ
4 3
3 4
x x
=
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 67. Giải các phương trình sau:
ⓐ
1
1
3 .2 72
x
x
x
+
−
=
ⓑ
7 5
5 7
x x
=
ⓒ
1
5 .8 500
x
x
x
−
=
ⓓ
5
3 log
5 25
x
x
−
= ⓔ
log 3
6 5
.3 3
x
x
−
− −
= ⓕ
2
2
3
2 .3
2
x x x−
=
ĐS: ⓕ
2
1 1 log 3
x x= ∨ = − ⓐ
lg12
2
lg13
= ∨ =x x
;ⓑ
7 5
5
log (log 7)
x = ;
ⓒ
5
3 log 2
x x= ∨ = − ; ⓓ
5
x = ; ⓔ
3
3 3
x x= ∨ = ;
Bài 68. Giải các phương trình sau:
ⓐ
(
)
5
1
2 .5 0,2. 10
−
=
x x x
ⓑ
5 7
7 5
x x
=
ⓒ
2
4 2
3 5
x x
− −
=
ⓓ
4
log
2
4.
x
x x
=
ĐS: ⓐ
3 1
lg 2
2 4
x = − ; ⓑ
(
)
4 3
3
log log 4
=x ;ⓒ
3
5
2 log
9
x x= ∨ = ; ⓓ
4
x
;
GV. TR
GV. TRGV. TR
GV. TRẦ
ẦẦ
ẦN QU
N QUN QU
N QUỐ
ỐỐ
ỐC NGH
C NGHC NGH
C NGHĨA
ĨAĨA
ĨA
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầ
ầầ
ầm & biên t
m & biên tm & biên t
m & biên tậ
ậậ
ập)
p)p)
p)
37
3737
37
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2
Dạng4.Phươngphápđưavềphươngtrìnhtích
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Biến đổi phương trình đã cho về dạng phương trình tích:
0
. 0
0
A
A B
B
=
= ⇔
=
B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 32: Giải phương trình:
ⓐ
8.3 3.2 24 6
x x x
+ = +
ⓑ
1
6 3 9.2 27
x x x+
+ = +
ⓒ
2 1
12 16.3 32 2 0
x x x+
− + − =
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 69. Giải các phương trình sau:
ⓐ
1
3.12 16.3 16 4 0
x x x+
− + − =
ⓑ
1
12.3 3.15 5 20
x x x+
+ − =
ⓒ
1 1 4 1
2 2 2 2
x x x+ 3 + +
+ − =
ⓓ
1
6 2 3 2 0
x x x+
− + − =
ⓔ
1
2 3 6 2
x x x+
+ = +
ⓕ
15 3.5 3 3
x x x
− + =
ⓖ
1 2 3
2 3.2 6 2
x x x
+
+ = + ⓗ
4 3 2 5 7
3 3 9 3
x x x
− − −
+ = + .
Bài 70. Giải các phương trình sau:
ⓐ
7 4 7 6
2 1 1 2
.2 2 .2 2 0
x x
x x
x x
− + − +
− +
− − + =
ⓑ
(
)
2 1 2 2 2 1
2 2 3 3 2 2
x x x x
x x
− − − −
− + = + +
ⓒ
(
)
3 4 3 2
2 1 1
2 2 2 2 0
x x
x x
x
− + − +
+ −
− + − =
ⓓ
3 3
2 2 2 2 4 4
4 2 4 2
x x x x x x
+ + + + + −
+ = +
ⓔ
2 2 2
3 2 6 5 2 3 7
4 4 4 1
x x x x x x− + + + + +
+ = +
ⓕ
3 3
2 2 2 2 4 4
4 2 4 2
x x x x x x
+ + + + + −
+ = +
ĐS: ⓐ
2 2 6
x x x
= − ∨ = ∨ =
ⓑ
1 2
x x
= ± ∨ =
ⓒ
1/2 3
x x
= ± ∨ ≥
ⓓ
1 2
x x
= ∨ =
ⓔ
1 2 5
x x x
= ± ∨ = ∨ =
ⓕ
0 1 3
x x x
= ∨ = ∨ =
TÀI LI
TÀI LITÀI LI
TÀI LIỆ
ỆỆ
ỆU H
U HU H
U HỌ
ỌỌ
ỌC T
C TC T
C TẬ
ẬẬ
ẬP TOÁN 1
P TOÁN 1P TOÁN 1
P TOÁN 12
22
2
–
––
–
M
MM
MŨ
Ũ Ũ
Ũ -
--
-
LOGARIT
LOGARITLOGARIT
LOGARIT
38
3838
38
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2
Dạng5.Phươngphápsửdụngbấtđẳngthức,tínhđơnđiệucủahàmsố
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Định lí: Nếu
(
)
y f x
= là hàm số liên tục và đồng biến trên
(
)
;
a b
,
(
)
y g x
= là hàm số
liên tục và nghịch biến trên
(
)
;
a b
thì phương trình
(
)
(
)
f x g x
= có tối đa một nghiệm
trong khoảng
(
)
;
a b
.
Hướng 1: Biến đổi hai vế của phương trình sao cho một vế là một hàm số đồng biến (hoặc
là hàm hằng) và một vế là một hàm số nghịch biến (hoặc là hàm hằng)
Bước 1: Nhẩm và chứng minh
0
x
là nghiệm
Bước 2: Chứng minh
0
x
là nghiệm duy nhất (bằng cách chứng minh
0
x x
≠
không
là nghiệm)
Hướng 2: Đưa phương trình về dạng
(
)
(
)
f u f v
= mà
f
là hàm số tăng hay giảm. Khi đó
ta có:
(
((
(
)
))
)
(
((
(
)
))
)
f u f v u v
=
==
= ⇔
⇔⇔
⇔
=
==
=
.
Chú ý:
• Nếu
(
)
f x
hoặc
(
)
g x
là hằng số thì định lí trên vẫn đúng.
• Nếu
(
)
h x
và
(
)
k x
là hai hàm số liên tục và đồng biến trên
(
)
;
a b
thì
(
)
(
)
h x k x
+
cũng đồng biến trên
(
)
;
a b
.
• Nếu
(
)
h x
và
(
)
k x
là hai hàm số liên tục và nghịch biến trên
(
)
;
a b
thì
(
)
(
)
h x k x
+
cũng nghịch biến trên
(
)
;
a b
.
• Hàm số
x
y a
=
đồng biến trên
ℝ
khi
1
a
>
và nghịch biến trên
ℝ
khi
0 1
a
< <
.
B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 33: Giải các phương trình sau:
ⓐ
ⓐⓐ
ⓐ
2 3 5 0
x
x
+ − =
ⓑ
ⓑⓑ
ⓑ
3 4 5
x x x
+ =
ⓒ
ⓒⓒ
ⓒ
(
)
2
3 2 3 1 4.3 5 0
x x x
x
+ + − − =
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
GV. TR
GV. TRGV. TR
GV. TRẦ
ẦẦ
ẦN QU
N QUN QU
N QUỐ
ỐỐ
ỐC NGH
C NGHC NGH
C NGHĨA
ĨAĨA
ĨA
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầ
ầầ
ầm & biên t
m & biên tm & biên t
m & biên tậ
ậậ
ập)
p)p)
p)
39
3939
39
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 71. Giải các phương trình sau:
ⓐ
2
2 1 3
x
x
= +
ⓑ
( )
2
2
1
2 2 1
− −
− = −
x x x
x ⓒ
2 3
x x
−
= ⓓ
(
)
2 6 1 5
x
x
+ =
ⓔ
6 8 10
x x x
+ = ⓕ
5 12 13
x x x
+ = ⓖ
3 4 5
x x x
+ =
ⓗ
2 3 5
x x x
+ =
ĐS: ⓐ
2
x
; ⓑ
1
x
=
; ⓒ
1
x
=
; ⓓ
2
x
ⓔ
2
x
ⓕ
2
x
ⓖ
2
x
ⓗ
1
x
=
Bài 72. Giải các phương trình sau:
ⓐ
(
)
(
)
7 4 3 7 4 3 14
x x
x
+ + − = ⓑ
(
)
(
)
5 2 6 5 2 6 10
x x
x
+ + − =
ⓒ
(
)
(
)
2 3 2 3 2
x x
x
+ + − =
ⓓ
(
)
(
)
2 3 2 3 4
x x
x
− + + =
ĐS: ⓐ
2
x
ⓑ
2
x
ⓒ
2
x
ⓓ
2
x
Bài 73. Giải các phương trình sau:
ⓐ
(
)
9 2 2 .3 2 5 0
+ − + − =
x x
x x ⓑ
(
)
(
)
.2 3 2 2 1
= − + −
x x
x x x
ⓒ
(
)
2 1 1
3 3 3 7 2 0
− −
+ − − + =
x x
x x ⓓ
(
)
5 5
25 2.5 2 3 2 0
− −
− − + − =
x x
x x
ⓔ
(
)
2 2
3.25 3 10 .5 3 0
− −
+ − + − =
x x
x x ⓕ
(
)
3.2 6 2 3 3 10 .2
+ − = − − −
x x
x x x
ĐS: ⓐ x = 1ⓑ
2 0
x x
= ∨ =
ⓒ
1 0
x x
= ∨ =
ⓓ
4
x
ⓔ
5
2 2 log 3
x x= ∨ = − ⓕ
2
1 log 3
x x= ∨ = −
BÀI TẬP TỔNG HỢP VẤN ĐỀ 4
Bài 74. Giải các phương trình sau:
ⓐ
2 2
1 1
5 5 24
x x+ −
− =
ⓑ
2 2
1 1
9 3 6 0
x x+ +
− − =
ⓒ
9 9 3
log log log 27
4 6.2 2 0
x x
− + =
ⓓ
3 3 3
log log log 9
4 5.2 2 0
x x
− + =
ĐS: ⓐ
1
x
= ±
; ⓑ
0
x
; ⓒ
9 81
x x
= ∨ =
; ⓓ
9 1
x x
= ∨ =
Bài 75. Giải các phương trình sau:
ⓐ
1 1 1
2.4 6 3.9
x x x
− − −
− =
ⓑ
1 1 1
49 35 25
x x x
− =
ⓒ
8 18 2.27
x x x
+ = ⓓ
2 2 2
2 1 2 1 2
25 9 34.15
x x x x x x
− + − + −
+ =
ĐS:ⓐ
1
x
=
ⓑ
1 2
2
7
log
5
x
+
= ; ⓒ
0
x
; ⓓ
0 2 1 3 1 3
x x x x= ∨ = ∨ = + ∨ = −
TÀI LI
TÀI LITÀI LI
TÀI LIỆ
ỆỆ
ỆU H
U HU H
U HỌ
ỌỌ
ỌC T
C TC T
C TẬ
ẬẬ
ẬP TOÁN 1
P TOÁN 1P TOÁN 1
P TOÁN 12
22
2
–
––
–
M
MM
MŨ
Ũ Ũ
Ũ -
--
-
LOGARIT
LOGARITLOGARIT
LOGARIT
40
4040
40
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2
Vấn đề 5. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
1. Dạngcơbản
• Dạng:
x
a > b
(
0 1
a
< ≠
)(hoặc
≥ ≤
x x x
a b, a < b, a b
)
• Cách giải: Xét bất phương trình:
x
a > b
- Nếu
0
b
≤
, bất phương trình có vô số nghiệm
- Nếu
0
b
>
:
Với
1
a
>
:
log
log
a
b
x
a
a x b
⇔ > ⇔ >
x
a > b a
Với
0 1
a
< <
:
log
log
a
b
x
a
a x b
⇔ > ⇔ <
x
a > b a
2. Cácphươngphápgiải
a. Phương pháp đưa về cùng cơ số.
b. Phương pháp đặt ẩn phụ.
c. Phương pháp mũ hóa hay lôgarit hóa.
Dạng1.Phươngphápđưavềcùngcơsố
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Với
0 1
a
< ≠
thì:
•
( ) ( )
( ) ( ) 1
( ) ( ) 0 1
f x g x
f x g x khi a
a a
f x g x khi a
> >
> ⇔
< < <
•
( ) ( )
( ) ( ) 1
( ) ( ) 0 1
f x g x
f x g x khi a
a a
f x g x khi a
≥ >
≥ ⇔
≤ < <
B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 34: Giải các bất phương trình sau:
ⓐ
ⓐⓐ
ⓐ
3 81
x
>
(
4
x
) ⓑ
ⓑⓑ
ⓑ
1
32
2
x
>
(
5
x
< −
)
ⓒ
ⓒⓒ
ⓒ
1 1 1 1
3 3 3 5 5 5
x x x x x x
+ − + −
+ + < + + (
3
log (93/65)
x > ) ⓓ
ⓓⓓ
ⓓ
2
3
2 log 5
3 5
x x− +
>
(
0 2
x x
< ∨ >
)
ⓔ
ⓔⓔ
ⓔ
2
3
1
8.4 1
x
x
−
+
<
(
1 0
x
− < <
) ⓕ
ⓕⓕ
ⓕ
2
3
2 4
x x− +
<
(
1 2
x x
< ∨ >
)
ⓕ
ⓕⓕ
ⓕ
3
2
log
5 1
x
x
−
<
(
2
x
) ⓖ
ⓖⓖ
ⓖ
2
2 3
7 9
9 7
x x−
≥
(
1/2 1
x
≤ ≤
)
ⓗ
ⓗⓗ
ⓗ
2 1
3 3 29
x x+ −
+ ≤
(
1
x
≤
) ⓘ
ⓘⓘ
ⓘ
1
3
27
x
≤ (
1/ 6
x
≥
)
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
GV. TR
GV. TRGV. TR
GV. TRẦ
ẦẦ
ẦN QU
N QUN QU
N QUỐ
ỐỐ
ỐC NGH
C NGHC NGH
C NGHĨA
ĨAĨA
ĨA
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầ
ầầ
ầm & biên t
m & biên tm & biên t
m & biên tậ
ậậ
ập)
p)p)
p)
41
4141
41
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
Ví dụ 35: Giải các phương trình sau:
ⓐ
ⓐⓐ
ⓐ
2
2
3 3
x x−
<
(
)
1 2 1 2
x− < < +
ⓑ
ⓑⓑ
ⓑ
2 1
2 4
x x
− +
>
(
)
4 0
x
− < <
ⓒ
ⓒⓒ
ⓒ
2
1 3 1
3 3
7 7
x x
+ −
≥
(
)
1 2
x
≤ ≤
ⓓ
ⓓⓓ
ⓓ
2
2 5 2
1 ( 0)
x x
x x
− +
≥ >
(
)
2 1/2 1
x x
≥ ∨ ≤ ≤
ⓔ
ⓔⓔ
ⓔ
3 1
2 1
1 1
2
2
x
x
−
−
>
(
)
2/5
x > ⓕ
ⓕⓕ
ⓕ
( ) ( )
6 6
1
2 1 2 1
x
x
x
−
−
+
+ ≤ −
(
)
1 2 3
x x
− < ≤ ∨ ≥
ⓖ
ⓖⓖ
ⓖ
2
1
2
1
3
3
x x
x x
− −
−
≥
(
)
2
x
≤
ⓗ
ⓗⓗ
ⓗ
( ) ( )
3 1
1 3
10 3 10 3
x x
x x
− +
− +
+ < −
3 5 1 5
x x− < < − ∨ < <
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
TÀI LI
TÀI LITÀI LI
TÀI LIỆ
ỆỆ
ỆU H
U HU H
U HỌ
ỌỌ
ỌC T
C TC T
C TẬ
ẬẬ
ẬP TOÁN 1
P TOÁN 1P TOÁN 1
P TOÁN 12
22
2
–
––
–
M
MM
MŨ
Ũ Ũ
Ũ -
--
-
LOGARIT
LOGARITLOGARIT
LOGARIT
42
4242
42
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 76. Giải các bất phương trình sau:
ⓐ
2
2 2
5 5
x x
−
>
ⓑ
2
2 3
7 9
9 7
x x−
≥
ⓒ
2
3 9
x−
<
ⓓ
1
4 16
x+
>
ⓔ
2
3
2 4
x x− +
<
ⓕ
3 6
2 1
x−
>
ⓖ
6
11 11
x x
+
≥
ⓗ
16 0,125
x
≥
ⓘ
2
3
1
(8,4) 1
x
x
−
+
<
ⓙ
2 1
2 4
x x
− +
>
ⓚ
2
5 4
(0,5) 4
x x− +
>
ⓛ
2 5
3 1
x+
>
ĐS: ⓐ
1 2
x
< ≤
ⓑ
1/2 1
x
≤ ≤
ⓒ
0 4
x
< <
ⓓ
3 1
x x
< − ∨ >
ⓔ
1 2
x x
< ∨ >
ⓕ
x
<
ⓖ
6 3
x
− ≤ ≤
ⓗ
3/4
x
> −
ⓘ
3
x
<
ⓙ
4 0
x
− < <
ⓚ
2 3
x
< <
ⓛ
5/2
x
> −
Bài 77. Giải các bất phương trình sau:
ⓐ
2 3 3 1 5
15 5 .3
x x x
+ + +
>
(
)
2
x
<
ⓑ
2 3 7 3 1
6 5 .3
x x x
+ + −
<
(
)
4
x
>
ⓒ
2 1
1
5 .2 50
x
x
x
−
+
<
(
)
5
log 10 1 2
x x
< − ∨ − < <
ⓓ
2 2 2
3 2 3 3 3 4
2 .3 .5 12
x x x x x x− − − − − −
≥
(
)
1 4
x x
≤ − ∨ ≥
Bài 78. Giải các bất phương trình sau:
ⓐ
2 1 1
7 2 5.7 2
x x x x
+ − −
− ≤ −
(
)
2
x
≤
ⓑ
3 2 1
2 5 7.2 3.5
x x x x
+ − −
− < −
(
)
3
x
>
ⓒ
2 1 1
3 7 4.7 34.3
x x x x
+ − −
+ ≤ +
(
)
2
x
≤
ⓓ
2 1 1
7 5 2.7 118.5
x x x x
+ − −
− < −
(
)
2
x
<
Bài 79. Giải các bất phương trình sau:
ⓐ
( )
1
2
1
2 3 1
x
x
x x
−
+
+ + ≥
ⓑ
(
)
2
1 1
x
x x
+ + <
ⓒ
( )
2
2 7
2 1
x x
x
−
− >
ⓓ
( )
1
2
1
2 1 1
x
x
x x
−
+
+ + ≤
ĐS:ⓐ
1 1
x x
< − ∨ ≥
ⓑ
1
x
< −
ⓒ
2 3 7/2
x x
< < ∨ >
ⓓ
2 1 0 1
x x
− ≤ < − ∨ ≤ ≤
GV. TR
GV. TRGV. TR
GV. TRẦ
ẦẦ
ẦN QU
N QUN QU
N QUỐ
ỐỐ
ỐC NGH
C NGHC NGH
C NGHĨA
ĨAĨA
ĨA
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầ
ầầ
ầm & biên t
m & biên tm & biên t
m & biên tậ
ậậ
ập)
p)p)
p)
43
4343
43
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2
Dạng2.Phươngphápđặtẩnphụ
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Tìm một lũy thừa chung, đặt làm ẩn phụ t để đưa bất phương trình về bất phương trình đơn
giản hơn.
Khi đặt ẩn phụ cần lưu ý:
1. Nếu đặt
x
t a
=
, điều kiện là
0
t
>
thì:
(
)
(
)
2
2 2 2
x
x x
a a a t
= = =
;
3 3
x
a t
=
;
1
x
a
t
−
=
, …
2. Lưu ý khác:
(
)
1
2 1 2 1
−
− = + ;
(
)
1
2 3 2 3
−
− = + ;
(
)
1
7 48 7 48
−
− = + ; …
3. Gặp bất phương trình dạng
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2
. . . 0
f x f x g x g x
m a n a p a
+
+ + >
ta chia 2 vế cho
(
)
2
g x
a
và đặt
(
)
(
)
−
=
f x g x
t a
4. Gặp phương trình dạng
( )
( )
(
)
( )
2 2
. . . 0
f x
f x f x
m a n ab p b
+ + >
ta chia 2 vế cho
2 ( )
f x
a và
đặt
(
)
=
f x
a
t
b
(
a b
)
B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 36: Giải các bất phương trình sau:
ⓐ
ⓐⓐ
ⓐ
4 2.5 10
x x x
− < (
5/2
log 2
x > − ) ⓑ
ⓑⓑ
ⓑ
(
)
(
)
2 2
2
1
5 1 2 3. 5 1
x x x x
x x
− −
− + +
+ + < − (
0 1
x x
< ∨ >
)
ⓒ
ⓒⓒ
ⓒ
4 3.2 2 0
x x
− + >
(
0 1
x x
< ∨ >
) ⓓ
ⓓⓓ
ⓓ
2 1
1 1
12
3 3
x x
+ >
(
1 0
x
− < <
)
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
TÀI LI
TÀI LITÀI LI
TÀI LIỆ
ỆỆ
ỆU H
U HU H
U HỌ
ỌỌ
ỌC T
C TC T
C TẬ
ẬẬ
ẬP TOÁN 1
P TOÁN 1P TOÁN 1
P TOÁN 12
22
2
–
––
–
M
MM
MŨ
Ũ Ũ
Ũ -
--
-
LOGARIT
LOGARITLOGARIT
LOGARIT
44
4444
44
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2
Ví dụ 37: Giải các bất phương trình sau:
ⓐ
ⓐⓐ
ⓐ
2 2
3 3 1
9 3 28.3
x x x x
− − −
+ <
(
4 0
x
− < ≤
) ⓑ
ⓑⓑ
ⓑ
3
3 1
8 1
2 6 2 1
2 2
x x
x x−
− − − ≤
(
1
x
≤
)
ⓒ
ⓒⓒ
ⓒ
2 4 4
3 8.3 9.9 0
x x x x+ + +
− − >
(
5
x
>
) ⓓ
ⓓⓓ
ⓓ
2 3 6 3 5
2 15.2 2
x x x x
+ − − + −
+ <
(
1
x
>
)
ⓔ
ⓔⓔ
ⓔ
2 2 2
1 2 1 2 2
25 9 34.15
x x x x x x
+ − + − −
+ ≥
(
1 3 1 3 0 2
x x x
≤ − ∨ > + ∨ ≤ ≤
)
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
GV. TR
GV. TRGV. TR
GV. TRẦ
ẦẦ
ẦN QU
N QUN QU
N QUỐ
ỐỐ
ỐC NGH
C NGHC NGH
C NGHĨA
ĨAĨA
ĨA
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầ
ầầ
ầm & biên t
m & biên tm & biên t
m & biên tậ
ậậ
ập)
p)p)
p)
45
4545
45
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 80. Giải các bất phương trình sau:
ⓐ
1
9 3 4
x x+
< +
ⓑ
16 4 6 0
x x
− − ≤
ⓒ
49 6.7 7 0
x x
− − <
ⓓ
2
2
2
2
1
9 2. 3
3
x x
x x
−
−
− ≤
ⓔ
2 1
1
1 1
3. 12
3 3
x x
+
+ >
ⓕ
2 1
5 5 4
x x−
> +
ⓖ
4 10.2 16 0
x x
− + <
ⓗ
4 2 2 0
x x
− − <
ⓘ
2 1
5 26.5 5 0
x x+
− + >
ⓙ
9 2.3 3
x x
− <
ⓚ
1 2
4 2 3
x x− −
− <
ⓛ
2 2
3 3 1
9 3 28.3
x x
− − −
+ >
ĐS: ⓐ
3
log 4
x < ⓑ
4
log 3
x < ⓒ
1
x
<
ⓓ
1 2 1 2
x− ≤ ≤ +
ⓔ
1 3
x
− < <
ⓕ
0
x
ⓖ
1 3
x
< <
ⓗ
1
x
<
ⓘ
1 1
x x
< − ∨ >
ⓙ
1
x
<
ⓚ
2
x
ⓛ
7 3 3 7
x x− < ≤ − ∨ ≤ <
Bài 81. Giải các bất phương trình sau:
ⓐ
1 2 1
2
3 2 12 0
x
x x+ +
− − <
ⓑ
1 1 1
6.9 13.6 6.4 0
x x x
− + ≤
ⓒ
2 4 4
3 8.3 9.9 0
x x x x+ + +
− − >
ⓓ
(
)
(
)
2 2
2
1
5 1 2 3. 5 1
x x x x
x x
− + − +
− + +
+ + < −
ⓔ
5.36 2.81 3.16 0
x x x
− − ≤
ⓕ
2 2 2
2 1 2 1 2
25 9 34.15
x x x x x x
− + − + −
+ ≥
ĐS: ⓐ
0
x
ⓑ
1 1
x x
≤ − ∨ ≥
ⓒ
5
x
>
ⓓ
0 1
x x
< ∨ >
ⓔ
0 1/2
x x
≤ ∨ ≥
ⓕ
1 3 0 2 1 3
x x x≤ − ∨ ≤ ≤ ∨ ≤ +
Bài 82. Giải các bất phương trình sau:
ⓐ
1
1
4 2 8
8
2
x x
x
x
+
−
− +
<
ⓑ
1
1 1
3 5 3 1
x x+
<
+ −
ⓒ
2
2.3 2
1
3 2
x x
x x
+
−
≤
−
ⓓ
1
1
11.3 31
5
4.9 11.3 5
x
x x
−
−
−
≥
− −
ĐS ⓐ
1
x
>
ⓑ
1 1
x
− < ≤
ⓒ
3/2
0 log 3
x< ≤ ⓓ
3 3 3
log (1/2) log (3/5) log (5/3)
x x≤ ∨ ≤ <
Bài 83. Giải các bất phương trình sau:
ⓐ
2
3 3 8 0
x x− +
− + >
ⓑ
1
(0,4) (2,5) 1,5
x x+
− > ⓒ
1
2 2 3 0
x x− +
+ − <
ⓓ
1 1
5 5 24
x x+ −
− >
ⓔ
1
7 3.7 4
x x− +
− >
ⓕ
3
5 5 20
x x−
− >
ⓖ
2 3
4 3
1
3 35 6 0
3
x
x
−
−
+ + ≥
ⓗ
2 3
2 1
1
2 21 2 0
2
x
x
+
+
− + ≥
ĐS: ⓐ
0
x
ⓑ
1
x
< −
ⓒ
0 1
x
< <
ⓓ
1
x
>
ⓔ
1
x
< −
ⓕ
2
x
ⓖ
3
3
3
log
5
x <
ⓗ
2
1
log 3 1
2
x
≥ −
TÀI LI
TÀI LITÀI LI
TÀI LIỆ
ỆỆ
ỆU H
U HU H
U HỌ
ỌỌ
ỌC T
C TC T
C TẬ
ẬẬ
ẬP TOÁN 1
P TOÁN 1P TOÁN 1
P TOÁN 12
22
2
–
––
–
M
MM
MŨ
Ũ Ũ
Ũ -
--
-
LOGARIT
LOGARITLOGARIT
LOGARIT
46
4646
46
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2
Dạng3.Phươngpháplôgarithóa
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Với bất phương trình mũ mà cả hai vế là tích hay thương của nhiều lũy thừa với các cơ sơ
khác nhau thì ta có thể lấy lôgarit hai vế, ta có:
• Dạng 1:
( ) ( )
f x g x
a b>
Nếu
1
a
>
:
(
)
(
)
(
)
(
)
.log
f x g x
a
a b f x g x b
> ⇔ >
Nếu
0 1
a
< <
:
(
)
(
)
(
)
(
)
.log
f x g x
a
a b f x g x b
> ⇔ <
• Dạng 2:
( ) ( )
f x g x
a b≥
Nếu
1
a
>
:
(
)
(
)
(
)
(
)
.log
f x g x
a
a b f x g x b
> ⇔ ≥
Nếu
0 1
a
< <
:
(
)
(
)
(
)
(
)
.log
f x g x
a
a b f x g x b
> ⇔ ≤
• Dạng 3, 4:
( ) ( )
f x g x
a b< ,
( ) ( )
f x g x
a b≤ : tương tự.
B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 38: Giải các bất phương trình sau:
ⓐ
ⓐⓐ
ⓐ
2 1 3
3 11
x x
− −
<
3
3
3log 11 11
2 log 11
x
+
<
+
ⓑ
ⓑⓑ
ⓑ
( )
2
6 8
2 1
x x
x
− +
− >
(với
2 3
x
< ≠
)
(
)
2 3 4
x x
< < ∨ >
ⓒ
ⓒⓒ
ⓒ
2
3 .2 1
x x
≤
(
)
3
log 2 0
x
− ≤ ≤
ⓓ
ⓓⓓ
ⓓ
2
4 3 3 3
5 5.3
x x
− −
>
5
3log 3 4
1
4
x x
−
< ∨ >
ⓔ
ⓔⓔ
ⓔ
1
5 .8 500
x
x
x
−
>
(
)
5
log 2 0 3
x x
− < < ∨ >
ⓕ
ⓕⓕ
ⓕ
2 2
1 1
5 5 7 7
x x x x
− −
+ ≥ −
(
)
5
log (5/7) 1
x x
≤ ∨ ≥
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
GV. TR
GV. TRGV. TR
GV. TRẦ
ẦẦ
ẦN QU
N QUN QU
N QUỐ
ỐỐ
ỐC NGH
C NGHC NGH
C NGHĨA
ĨAĨA
ĨA
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầ
ầầ
ầm & biên t
m & biên tm & biên t
m & biên tậ
ậậ
ập)
p)p)
p)
47
4747
47
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 84. Giải các bất phương trình sau:
ⓐ
1
4 .27 576
x
x
x
−
>
ⓑ
2
2
125 225.3
x
x
x
−
+
≤
ⓒ
5 3
3 5
x x
<
ⓓ
2
4 2
2 3
x x
− −
≥
ⓔ
log 5
6 5
.5 5
x
x
−
−
>
ⓕ
5
log
2
5.
x
x x
≥
ⓖ
log 6
4 3
.6 6
x
x < ⓗ
(
)
5
1
2 .5 0, 2. 10
x x x−
≤
ĐS: ⓐ
1/2 3
x x
< − ∨ >
ⓑ
3
2 log 45 4
x x
< − ∨ ≤ ≤
ⓒ
(
)
5/3 3
log log 5
x <
ⓓ
2
log (3/4) 2
x x
< ∨ >
ⓔ
6
0 1/5 5
x x< < ∨ > ⓕ
0
x
ⓖ
4
1/6 1 1 6
x x< < ∨ < <
ⓗ
3/2 (lg 2)/4
x
≥ −
TÀI LI
TÀI LITÀI LI
TÀI LIỆ
ỆỆ
ỆU H
U HU H
U HỌ
ỌỌ
ỌC T
C TC T
C TẬ
ẬẬ
ẬP TOÁN 1
P TOÁN 1P TOÁN 1
P TOÁN 12
22
2
–
––
–
M
MM
MŨ
Ũ Ũ
Ũ -
--
-
LOGARIT
LOGARITLOGARIT
LOGARIT
48
4848
48
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2
BÀI TẬP TỔNG HỢP VẤN ĐỀ 5
Bài 85. Giải các bất phương trình sau:
ⓐ
2
2 16
1 1
3 9
x x x
− −
<
ĐS:
8 4
x x
< − ∨ >
ⓑ
1
2
1
1
2
16
x
x
+
+
>
ĐS:
0 2
x
< <
ⓒ
2
1
2
1
3
3
x x
x x
− −
−
>
ĐS:
2
x
ⓓ
( ) ( )
1
1
1
5 2 5 2
x
x
x
−
−
+
+ > −
ĐS:
2 1 1
x x
− < < − ∨ >
ⓔ
( ) ( )
3 1
1 3
10 3 10 3
x x
x x
− +
− +
+ < +
ĐS:
3 5 1 5
x x− < < − ∨ < <
ⓕ
2 2 2
2 2
3 3 3 1
x x x x x x− + +
+ > +
ĐS:
2 0 0 1
x x
− < < ∨ < <
Bài 86. Giải các bất phương trình sau:
ⓐ
2 2
lg lg 3
1 1
x x
x x
−
− ≥ −
ĐS:
1
2 1000
10
x x≤ < ∨ ≥
ⓑ
2
2
1
x x
x
−
≥
ĐS:
1 0 1 2
x x x
< − ∨ < < ∨ ≥
Bài 87. Giải các bất phương trình sau:
ⓐ
2.2 3.3 6 1
x x x
+ > −
ĐS:
2
x
ⓑ
2
3 3 2
0
4 2
x
x
x
−
+ −
≤
−
ĐS:
1
2
2
x
< ≤
GV. TR
GV. TRGV. TR
GV. TRẦ
ẦẦ
ẦN QU
N QUN QU
N QUỐ
ỐỐ
ỐC NGH
C NGHC NGH
C NGHĨA
ĨAĨA
ĨA
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầ
ầầ
ầm & biên t
m & biên tm & biên t
m & biên tậ
ậậ
ập)
p)p)
p)
49
4949
49
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2
Vấn đề 6. PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
1. Dạngcơbản.
Phương trình lôgarit cơ bản có dạng:
a
log x = b
(
0 1
a
< ≠
,
0
x
)
Cách giải: log
b
a
x b x a
= ⇔ =
2. Cácphươngphápgiải
a. Phương pháp đưa về cùng cơ số.
b. Phương pháp đặt ẩn phụ.
c. Phương pháp mũ hóa.
d. Đưa về phương trình tích
e. Phương pháp sử dụng bất đẳng thức, tính đơn điệu của hàm số.
Dạng1.Phươngphápđưavềcùngcơsố
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Với
0 1
a
< ≠
thì:
•
( ) ( )
( ) ( )
(
)
( ) ( )
0 0
log log
a a
f x hay g x
f x g x
f x g x
> >
= ⇔
=
•
(
)
(
)
log
m
a
f x m f x a
= ⇔ =
B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 39: Giải các phương trình sau:
ⓐ
ⓐⓐ
ⓐ
(
)
3
log log 2 1
x
x x
+ + =
(
1
x
=
) ⓑ
ⓑⓑ
ⓑ
(
)
2
log 2 3 2
x
x
− + =
(
2
x
)
ⓒ
ⓒⓒ
ⓒ
( )
2
2 1
2
1
log log 3
x x
x
= − −
(
3
x
=
) ⓓ
ⓓⓓ
ⓓ
(
)
4
log 12 .log 2 1
x
x
+ =
(
4
x
)
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
TÀI LI
TÀI LITÀI LI
TÀI LIỆ
ỆỆ
ỆU H
U HU H
U HỌ
ỌỌ
ỌC T
C TC T
C TẬ
ẬẬ
ẬP TOÁN 1
P TOÁN 1P TOÁN 1
P TOÁN 12
22
2
–
––
–
M
MM
MŨ
Ũ Ũ
Ũ -
--
-
LOGARIT
LOGARITLOGARIT
LOGARIT
50
5050
50
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2
Ví dụ 40: Giải các phương trình sau:
ⓐ
ⓐⓐ
ⓐ
(
)
3
log 1 1 3log 40 0
x x
+ + − − =
ⓑ
ⓑⓑ
ⓑ
(
)
(
)
2 log 9 log 2 1 0
x x
− − − − =
ⓒ
ⓒⓒ
ⓒ
(
)
(
)
2 2
2 2 2
log 3 2 log 7 12 log 3 3 0
x x x x
+ + + − + − − =
ⓓ
ⓓⓓ
ⓓ
4 4
1 1
log log
2 2
3 3 4
x x
x
+ −
+ =
ĐS: ⓐ
48
x
=
; ⓑ
13
x
=
; ⓒ
0; 2; 1 2 3
x x x= = = ± ; ⓓ
9/4
log 4
3x =
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 88. Giải các phương trình sau:
ⓐ
(
)
3
log 2 1
x x
+ =
ⓑ
(
)
3 3
log log 2 1
x x
+ + =
ⓒ
(
)
(
)
2
2 2
log 3 log 6 10 1 0
x x
− − − + =
ⓓ
(
)
1
2
log 2 5
x
x
+
− =
ĐS: ⓐ
1 3
x x
= ∨ = −
; ⓑ
1
x
=
; ⓒ
2
x
; ⓓ
2
log 5
x =
Bài 89. Giải các phương trình sau:
ⓐ
(
)
2
2lg 2 lg 75
x x= + ⓑ
( )
2
1
lg 10 lg 2 lg 4
2
x x+ + = −
ⓒ
(
)
3
log 3 8 2
x
x
+ = +
ⓓ
(
)
3
log 1 1
x x
− =
ĐS: ⓐ
5
x
=
; ⓑ
1/4
x
= −
; ⓒ
0
x
; ⓓ
1 2
x x
= − ∨ =
GV. TR
GV. TRGV. TR
GV. TRẦ
ẦẦ
ẦN QU
N QUN QU
N QUỐ
ỐỐ
ỐC NGH
C NGHC NGH
C NGHĨA
ĨAĨA
ĨA
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầ
ầầ
ầm & biên t
m & biên tm & biên t
m & biên tậ
ậậ
ập)
p)p)
p)
51
5151
51
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2
Bài 90. Giải các phương trình sau:
ⓐ
(
)
ln ln 1 0
x x
+ + =
ⓑ
(
)
(
)
(
)
ln 1 ln 3 ln 7
x x x
+ + + = +
ⓒ
2
lg lg lg9
x x x
+ = ⓓ
4 3
lg lg 4 2 lg
x x x
+ = +
ⓔ
( )( )
4 4
2
log 2 3 log 2
3
x
x x
x
−
+ + + =
+
ⓕ
(
)
(
)
5 3
3
log 2 log 2log 2
x x x
− = −
ĐS: ⓐ
( 5 1)/2
x = − ; ⓑ
1
x
=
; ⓒ
3
x
=
; ⓓ
5
x
=
ⓔ
2 5 2 5
x x= ∨ = − ⓕ
3 5
x x
= ∨ =
Bài 91. Giải các phương trình sau:
ⓐ
(
)
(
)
(
)
1 1 1
2 2
2
log 1 log 1 log 7 1
x x x
− + + − − =
ĐS:
3
x
=
ⓑ
( ) ( ) ( )
2 3 3
1 1 1
4 4 4
3
log 2 3 log 4 log 6
2
x x x+ − = − + + ĐS:
2 1 33
x x= ∨ = −
ⓒ
3
3 2 3 2
3 1
log log log log
2
3
x
x x
x
⋅ − = +
ĐS:
1 3/8
x x= ∨ =
ⓓ
2 16
log 2.log 2 log 2
x x x
= ĐS:
4 1/4
x x
= ∨ =
Dạng2.Phươngphápđặtẩnphụ
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Tìm một
(
)
log
a
f x
chung trong phương trình, đặt bằng
t
để đưa phương trình về phương
trình theo ẩn t, giải phương trình này tìm
t
sau đó tìm
x
.
Khi đặt ẩn phụ cần lưu ý: Nếu đặt
log
a
t x
= thì:
( )
2
2
2 2
1
1 1
log ; log ; log log ; log
2
a a x
a
a
x t x t x x t a
t
= − = = = =
B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 41: Giải các phương trình sau:
ⓐ
ⓐⓐ
ⓐ
2
2 2
log 3log 2 0
x x
− + =
(
1
x
=
) ⓑ
ⓑⓑ
ⓑ
2
1 2
2
log log 2
x x
+ =
(
4; 1/2
x x
= =
)
ⓒ
ⓒⓒ
ⓒ
1 2
1
5 log 1 log
x x
+ =
− +
(
100; 1000
x x
= =
) ⓓ
ⓓⓓ
ⓓ
2
2 2
6 4
3
log 2 logx x
+ =
(
3
4; 4/2
x x= = )
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
TÀI LI
TÀI LITÀI LI
TÀI LIỆ
ỆỆ
ỆU H
U HU H
U HỌ
ỌỌ
ỌC T
C TC T
C TẬ
ẬẬ
ẬP TOÁN 1
P TOÁN 1P TOÁN 1
P TOÁN 12
22
2
–
––
–
M
MM
MŨ
Ũ Ũ
Ũ -
--
-
LOGARIT
LOGARITLOGARIT
LOGARIT
52
5252
52
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
Ví dụ 42: Giải các phương trình sau:
ⓐ
ⓐⓐ
ⓐ
(
)
3 2 1
log 2 1 2log 3 1 0
x
x
+
+ − − =
(
)
1/3; 4
x x
= − =
ⓑ
ⓑⓑ
ⓑ
(
)
1 2
log 4 1 log 1
x
x
−
= + −
(
)
3; 5/4
x x= =
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
Ví dụ 43: Giải các phương trình sau:
ⓐ
ⓐⓐ
ⓐ
2 2 3
2 2
log 4log 8 0
x x
− + =
(
)
2; 4
x x
= =
ⓑ
ⓑⓑ
ⓑ
2
2 2
6 4
2
log 16 logx x
+ =
(
)
4; 1/4
x x= =
ⓒ
ⓒⓒ
ⓒ
2 2
3 3
log log 1 5 0
x
+ + − =
(
)
3 3
3 ; 3x x
−
= = ⓓ
ⓓⓓ
ⓓ
2
2 2
log ( ) log
x x
− = (
25
2; 2
x x
= − = −
)
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
GV. TR
GV. TRGV. TR
GV. TRẦ
ẦẦ
ẦN QU
N QUN QU
N QUỐ
ỐỐ
ỐC NGH
C NGHC NGH
C NGHĨA
ĨAĨA
ĨA
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầ
ầầ
ầm & biên t
m & biên tm & biên t
m & biên tậ
ậậ
ập)
p)p)
p)
53
5353
53
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 92. Giải các phương trình sau:
ⓐ ⓑ
4 2 9
log 8 log 2 log 243 0
x x
− + =
ⓒ
3 3
3 log log 3 1 0
x x
− − =
ⓓ
2 3
lg lg 1 0
x x
− + =
ⓔ
3 27
9 81
1 log 1 log
1 log 1 log
x x
x x
+ +
=
+ +
ⓕ
8
2
4 16
log 4
log
log 2 log 8
x
x
x x
=
ĐS: ⓐ
7/4
3 1 2
x x
−
= ∨ = + ;ⓑ
3 4/5
2 2
x x
− −
= ∨ = ; ⓒ
3 81
x x
= ∨ =
;
ⓓ
9
10 10
x x= ∨ = ; ⓔ
5
3 1
x x
−
= ∨ =
; ⓕ
2 1/16
x x
= ∨ =
Bài 93. Giải các phương trình sau:
ⓐ
9
4log log 3 3
x
x
+ =
ⓑ
4
7
log 2 log 0
6
x
x
− + =
ⓒ
2 2
log 2 log 4 3
x
x
+ =
ⓓ
2
5
log log 2
2
x
x
+ =
ⓔ
2
2
2
2 5
log (2 5) log 4 3
x
x
−
− + =
ⓕ
2 1
log 1 log 64 1
x
x
+
+ − =
ĐS: ⓐ
3 3
x x= ∨ = ; ⓑ
2/3
2 8
x x
−
= ∨ =
; ⓒ
1 4
x x
= ∨ =
;
ⓓ
2 4
x x
= ∨ =
; ⓔ
7/2 9/2
x x= ± ∨ = ± ⓕ
7 3/4
x x
= ∨ = −
Dạng3.Phươngphápmũhóa
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Với các phương trình dạng
(
)
(
)
log
a
f x g x
= , ta thường sử dụng phương pháp mũ hóa để
đưa về phương trình mũ:
(
)
(
)
(
)
(
)
log
g x
a
f x g x f x a
= ⇔ =
B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 44: Giải các phương trình sau:
ⓐ
ⓐⓐ
ⓐ
(
)
7
log 6 7 1
x
x
−
+ = +
(
)
0
x
=
ⓑ
ⓑⓑ
ⓑ
(
)
1
3
log 4.3 1 2 1
x
x
−
− = −
(
)
0; 1
x x
= =
ⓒ
ⓒⓒ
ⓒ
(
)
2
log 3.2 1 2 1 0
x
x
− − − =
(
)
0; 1
x x
= = −
ⓓ
ⓓⓓ
ⓓ
(
)
5
log (3 )
2
log 9 2 5
x
x
−
− =
(
)
0
x
=
TÀI LI
TÀI LITÀI LI
TÀI LIỆ
ỆỆ
ỆU H
U HU H
U HỌ
ỌỌ
ỌC T
C TC T
C TẬ
ẬẬ
ẬP TOÁN 1
P TOÁN 1P TOÁN 1
P TOÁN 12
22
2
–
––
–
M
MM
MŨ
Ũ Ũ
Ũ -
--
-
LOGARIT
LOGARITLOGARIT
LOGARIT
54
5454
54
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 94. Giải các phương trình sau:
ⓐ
(
)
2
1
log 3 1 1
x
x x
+
− + =
ⓑ
(
)
2
log 3.2 1 2 1
x
x
− = +
ⓒ
(
)
3 2
1
log 2 2 3 1 3
x
x x x
+
+ − + =
ⓓ
(
)
2
log 9 2 3
x
x
− = −
ⓔ
2 3
log 2
x
x
−
=
ⓕ
2 3
log 16 2
x−
=
ĐS: ⓐ
4
x
; ⓑ
0 1
x x
= ∨ = −
; ⓒ
3
x
=
; ⓓ
0 3
x x
= ∨ =
ⓔ
9/4
x
=
; ⓕ
7/2
x
=
GV. TR
GV. TRGV. TR
GV. TRẦ
ẦẦ
ẦN QU
N QUN QU
N QUỐ
ỐỐ
ỐC NGH
C NGHC NGH
C NGHĨA
ĨAĨA
ĨA
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầ
ầầ
ầm & biên t
m & biên tm & biên t
m & biên tậ
ậậ
ập)
p)p)
p)
55
5555
55
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2
Dạng4.Phươngphápđưavềphươngtrìnhtích
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Biến đổi phương trình đã cho về dạng phương trình tích:
0
. 0
0
A
A B
B
=
= ⇔
=
B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 45: Giải phương trình:
(
)
2
9 3 3
2log log .log 2 1 1
x x x
= + −
ĐS:
1 4 2 5
x x= ∨ = +
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 95. Giải các phương trình sau:
ⓐ
2 7 2 7
log 2log 2 log .log
x x x x
+ = + ⓑ
(
)
(
)
(
)
2
2 1
2
2 log 4 4 2 1 log 2
x x x x x
+ − + = − + −
ⓒ
2
2 2
1 4
log log 2
1 1
x x
x x
+ + =
− −
ⓓ
2 5 2 5
2log .log log 10log 5
x x x x
+ − =
ĐS: ⓐ
4 7
x x
= ∨ =
ⓑ
1 2
x x
= ∨ = −
ⓒ
1/4 2
x x
= ∨ =
ⓓ
32 1/ 5
x x= ∨ =
TÀI LI
TÀI LITÀI LI
TÀI LIỆ
ỆỆ
ỆU H
U HU H
U HỌ
ỌỌ
ỌC T
C TC T
C TẬ
ẬẬ
ẬP TOÁN 1
P TOÁN 1P TOÁN 1
P TOÁN 12
22
2
–
––
–
M
MM
MŨ
Ũ Ũ
Ũ -
--
-
LOGARIT
LOGARITLOGARIT
LOGARIT
56
5656
56
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2
Dạng5.Phươngphápsửdụngbấtđẳngthức,tínhđơnđiệucủahàmsố
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Định lí: Nếu
(
)
y f x
= là hàm số liên tục và đồng biến trên
(
)
;
a b
,
(
)
y g x
= là hàm số
liên tục và nghịch biến trên
(
)
;
a b
thì phương trình
(
)
(
)
f x g x
= có tối đa một nghiệm
trong khoảng
(
)
;
a b
.
Hướng 1: Biến đổi hai vế của phương trình sao cho một vế là một hàm số đồng biến (hoặc
là hàm hằng) và một vế là một hàm số nghịch biến (hoặc là hàm hằng)
Bước 1: Nhẩm và chứng minh
0
x
là nghiệm
Bước 2: Chứng minh
0
x
là nghiệm duy nhất (bằng cách chứng minh
0
x x
≠
không
là nghiệm)
Hướng 2: Đưa phương trình về dạng
(
)
(
)
f u f v
= mà
f
là hàm số tăng hay giảm. Khi đó
ta có:
(
((
(
)
))
)
(
((
(
)
))
)
f u f v u v
=
==
= ⇔
⇔⇔
⇔
=
==
=
.
Chú ý:
• Nếu
(
)
f x
hoặc
(
)
g x
là hằng số thì định lí trên vẫn đúng.
• Nếu
(
)
h x
và
(
)
k x
là hai hàm số liên tục và đồng biến trên
(
)
;
a b
thì
(
)
(
)
h x k x
+
cũng đồng biến trên
(
)
;
a b
.
• Nếu
(
)
h x
và
(
)
k x
là hai hàm số liên tục và nghịch biến trên
(
)
;
a b
thì
(
)
(
)
h x k x
+
cũng nghịch biến trên
(
)
;
a b
.
• Hàm số
x
y a
=
đồng biến trên
ℝ
khi
1
a
>
và nghịch biến trên
ℝ
khi
0 1
a
< <
.
B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 46: Giải các phương trình sau:
ⓐ
ⓐⓐ
ⓐ
3
11 log
x x
− =
(
)
1
x
=
ⓑ
ⓑⓑ
ⓑ
(
)
(
)
2
3 3
log 1 2 log
x x x x x
+ + = − +
(
)
1
x
=
ⓒ
ⓒⓒ
ⓒ
5
log ( 3)
2 0
x
x
+
− =
(
)
4
x
=
ⓓ
ⓓⓓ
ⓓ
(
)
2 3
log 1 log 0
x x
+ − =
(
)
9
x
=
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
GV. TR
GV. TRGV. TR
GV. TRẦ
ẦẦ
ẦN QU
N QUN QU
N QUỐ
ỐỐ
ỐC NGH
C NGHC NGH
C NGHĨA
ĨAĨA
ĨA
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầ
ầầ
ầm & biên t
m & biên tm & biên t
m & biên tậ
ậậ
ập)
p)p)
p)
57
5757
57
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 96. Giải các phương trình sau:
ⓐ
(
)
2
2 2
log 1 log 6 2
x x x x
+ − = −
ⓑ
2
2
3
2
3
log 3 2
2 4 5
x x
x x
x x
+ +
= + +
+ +
ⓒ
(
)
2 2
3 3
log 1 log 2
x x x x x
+ + − = −
ⓓ
(
)
(
)
2
lg 6 lg 2 4
x x x x
− − + = + +
ⓔ
(
)
2 3 2
2 2
3 2 log 1 log
x x x x
− = + −
ĐS: ⓐ
1/4 2
x x
= ∨ =
ⓑ
1 2
x x
= − ∨ = −
ⓒ
1
x
=
ⓓ
4
x
ⓔ
1
x
=
Bài 97. Giải các phương trình sau:
ⓐ
(
)
5 7
log log 2
x x
= +
ⓑ
(
)
2 3
log 1 log
x x
+ =
ⓒ
(
)
8
4
6 4
2log log
x x x
+ =
ⓓ
(
)
(
)
2 2
2 5
log 2 3 log 4 2
x x x x
+ + = + −
ĐS: ⓐ
5
x
=
ⓑ
9
x
ⓒ
256
x
=
ⓓ
1
x
= −
BÀI TẬP TỔNG HỢP VẤN ĐỀ 6
Bài 98. Giải các phương trình sau:
ⓐ
(
)
(
)
2 2
2 3
log 2 3 log 4 2 0
x x x x
+ + − + − =
ĐS:
1
x
= −
ⓑ
(
)
2
log 2 7 12 2
x
x x
− + =
ĐS:
3 4
x x
= ∨ =
ⓒ
(
)
2
log 9 2 3
x
x
− = −
ĐS:
3 0
x x
= ∨ =
ⓓ
4
7
log 2 log 0
6
x
x
− + =
ĐS:
3
1
8
4
x x= ∨ =
ⓔ
( )
2 8
1
log 5 2log 3 1
3
x x
− + − =
ĐS:
1
x
=
ⓕ
(
)
(
)
(
)
lg5 lg 10 1 lg 2 1 lg 21 20
x x x+ + = − − + − ĐS:
3
10
2
x x
= ∨ =
ⓖ
(
)
(
)
2 2
2 2 2
log 3 2 log 7 12 3 log 3
x x x x+ + + + + = + ĐS:
0 5
x x
= ∨ =
ⓗ
(
)
(
)
2
2
1 1 2 .log 0
x x x x
− + + − − =
ĐS:
1 5
2
x
−
=
TÀI LI
TÀI LITÀI LI
TÀI LIỆ
ỆỆ
ỆU H
U HU H
U HỌ
ỌỌ
ỌC T
C TC T
C TẬ
ẬẬ
ẬP TOÁN 1
P TOÁN 1P TOÁN 1
P TOÁN 12
22
2
–
––
–
M
MM
MŨ
Ũ Ũ
Ũ -
--
-
LOGARIT
LOGARITLOGARIT
LOGARIT
58
5858
58
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2
Vấn đề 7. BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
1. Dạngcơbản
• Dạng: log
a
x b
>
>>
>
(
0 1
a
< ≠
) (hoặc log , log , log
a a a
x b x b x b
≥ < ≤
≥ < ≤≥ < ≤
≥ < ≤
)
• Cách giải: Xét bất phương trình: log
a
x b
>
>>
>
Nếu
1
a
>
: log
b
a
x b x a
> ⇔ >
> ⇔ >> ⇔ >
> ⇔ >
Nếu
0 1
a
< <
: log 0
b
a
x b x a
> ⇔ < <
> ⇔ < <> ⇔ < <
> ⇔ < <
2. Cácphươngphápgiải
a. Phương pháp đưa về cùng cơ số.
b. Phương pháp đặt ẩn phụ.
Dạng1.Phươngphápđưavềcùngcơsố
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Xét dạng:
( ) ( )
log log
a a
f x g x
≥
:
• Nếu
1
a
>
:
( ) ( )
(
)
( ) ( )
0
log log
a a
g x
f x g x
f x g x
>
≥ ⇔
≥
• Nếu
0 1
a
< <
:
( ) ( )
(
)
( ) ( )
0
log log
a a
g x
f x g x
f x g x
>
≥ ⇔
≤
Tổng quát:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0 1
log log 0, 0
1 0
a a
a
f x g x f x g x
a f x g x
< ≠
≥ ⇔ > >
− − ≥
B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 47: Giải các bất phương trình sau:
ⓐ
ⓐⓐ
ⓐ
(
)
2
2
log 2 3
x x
− >
(
2 4
x x
< − ∨ >
) ⓑ
ⓑⓑ
ⓑ
(
)
2
1
3
log 6 3
x x
− > −
(
3 0 6 9
x x
− < < ∨ < <
)
ⓒ
ⓒⓒ
ⓒ
2
3
4
log 1
2 3
x x
x
+
<
−
(
4 0
x
− < <
) ⓓ
ⓓⓓ
ⓓ
(
)
8
log 4 2 2
x
− ≥
(
30
x
≤ −
)
ⓔ
ⓔⓔ
ⓔ
(
)
2
2
log 2 1 1
x x
− − − <
(
1 5/4
x
≤ <
) ⓕ
ⓕⓕ
ⓕ
2 3
3
log log 3 0
x
− ≥
(
4 6 0 2
x x
< ≤ ∨ ≤ <
)
ⓖ
ⓖⓖ
ⓖ
(
)
1
5
log 6 36 2
x x+
− ≤
(
6
0 log 5 1
x x
≤ ∨ ≤ <
) ⓗ
ⓗⓗ
ⓗ
2
0,7 6
log log 0
4
x x
x
+
<
+
(
4 3 8
x x
− < < − ∨ >
)
ⓘ
ⓘⓘ
ⓘ
2
1
2
3 2
log 0
x x
x
− +
≥
(
2 2 1 2 2 2
x x− ≤ < ∨ < ≤ +
)
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
GV. TR
GV. TRGV. TR
GV. TRẦ
ẦẦ
ẦN QU
N QUN QU
N QUỐ
ỐỐ
ỐC NGH
C NGHC NGH
C NGHĨA
ĨAĨA
ĨA
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầ
ầầ
ầm & biên t
m & biên tm & biên t
m & biên tậ
ậậ
ập)
p)p)
p)
59
5959
59
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
TÀI LI
TÀI LITÀI LI
TÀI LIỆ
ỆỆ
ỆU H
U HU H
U HỌ
ỌỌ
ỌC T
C TC T
C TẬ
ẬẬ
ẬP TOÁN 1
P TOÁN 1P TOÁN 1
P TOÁN 12
22
2
–
––
–
M
MM
MŨ
Ũ Ũ
Ũ -
--
-
LOGARIT
LOGARITLOGARIT
LOGARIT
60
6060
60
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2
Ví dụ 48: Giải các bất phương trình sau:
ⓐ
ⓐⓐ
ⓐ
(
)
(
)
2
0,5 0,5
log 5 10 log 6 8
x x x
+ < + +
ⓑ
ⓑⓑ
ⓑ
(
)
(
)
2 2
log 3 log 2 1
x x
− + − ≤
ⓒ
ⓒⓒ
ⓒ
(
)
(
)
1 3
3
log 1 log 2
x x
+ ≤ −
ⓓ
ⓓⓓ
ⓓ
( )
2
1 7
7
6 9
log log 1
2( 1)
x x
x
x
+ +
< − +
+
ⓔ
ⓔⓔ
ⓔ
(
)
(
)
1 1
2 2
log 9 7 log 3 1 2
x x− −
+ > + +
ⓕ
ⓕⓕ
ⓕ
(
)
(
)
3 1
3
2log 4 3 log 2 3 2
x x
− + + ≤
ĐS: ⓐ
ⓐⓐ
ⓐ
2 1
x
− < <
ⓑ
ⓑⓑ
ⓑ
3 4
x
< ≤
ⓒ
ⓒⓒ
ⓒ
(1 5) / 2 (1 5) / 2
x− < < + ⓓ
ⓓⓓ
ⓓ
1 2 2 1 2 2 1
x x
− < < + ∨ > −
ⓔ
ⓔⓔ
ⓔ
1 2
x x
< ∨ >
ⓕ
ⓕⓕ
ⓕ
3/4 3
x
< ≤
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
GV. TR
GV. TRGV. TR
GV. TRẦ
ẦẦ
ẦN QU
N QUN QU
N QUỐ
ỐỐ
ỐC NGH
C NGHC NGH
C NGHĨA
ĨAĨA
ĨA
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầ
ầầ
ầm & biên t
m & biên tm & biên t
m & biên tậ
ậậ
ập)
p)p)
p)
61
6161
61
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 99. Giải các bất phương trình sau:
ⓐ
(
)
2
1
2
log 2 8 4
x x
+ − ≥ −
ⓑ
(
)
1
3
log 1 2
x
− ≥ −
ⓒ
(
)
1
2
log 5 1 5
x
+ < −
ⓓ
(
)
1
3
log 5 1 0
x
− >
ⓔ
(
)
2
0,5
log 5 6 1
x x
− + ≥ −
ⓕ
(
)
5
log 3 1 1
x
− <
ⓖ
4
2 1 1
log
1 2
x
x
−
< −
+
ⓗ
2
0,5
3 2
log 0
x x
x
− +
ⓘ
3
1 2
log 0
x
x
−
≤
ⓙ
4
1 3
log 0
1
x
x
+
≥
−
ĐS:ⓐ
6 4 2 4
x x
− ≤ < − ∨ < ≤
ⓑ
1 10
x
< ≤
ⓒ
31/5
x
>
ⓓ
1/5 2/5
x
< <
ⓔ
1 2 3 4
x x
≤ < ∨ < ≤
ⓕ
1/3 2
x
< <
ⓖ
1/2 1
x
< <
ⓗ
2 2 1 2 2 2
x x− < < ∨ < < +
ⓘ
1/3 1/2
x
≤ <
ⓙ
1 1
x x
≤ − ∨ >
Bài 100. Giải các bất phương trình sau:
ⓐ
(
)
1 1
3 3
log 6 log 4
x x
+ ≤ +
ⓑ
( ) ( )
1 1
5 5
1
log 8 log 4
2
x x
+ ≥ −
ⓒ
( )
2
3 3
3
log 2 log 1
2
x x
− < −
ⓓ
( )
(
)
2
1 1
2 2
log 4 log 6 3
x x
− > −
ⓔ
( )
2
4 4
7
log 5 log 3
3
x x
− < −
ⓕ
(
)
(
)
2
1 1
3 3
log 3 log 4 2
x x
− > −
ⓖ
(
)
(
)
2
0,6 0,6
log 4 11 log 6 8
x x x
+ < + +
ⓗ
(
)
(
)
2
0,8 0,8
log 1 log 2 5
x x x
+ + < +
ⓘ
(
)
1 1
2 2
log 5 log 3
x x
− < −
ⓙ
(
)
(
)
2
0,1 0,1
log 2 log 3
x x x
+ − > +
ⓚ
( )
2
3
3
1 1
log 20
log 7 12x x
<
− +
ĐS: ⓐ
4 2
x
− < ≤
ⓑ
8
x
≥
ⓒ
2 2 2 2
x x
− < < − ∨ < <
ⓓ
(7 30)/2 (7 30)/2
x− < < +
ⓔ
3 5 5 3
x x
− < < − ∨ < <
ⓕ
3 1 1 3
x x− < < − ∨ < < ⓖ
2 1
x
− < <
ⓗ
(1 17)/2 5/2 (1 17)/2
x x> + ∨ − < < − ⓘ
1 3
x
< <
ⓙ
5 2 1 5
x x− < < − ∨ < <
ⓚ
1 (7 5)/2 3 4 (7 5)/2 8
x x x x
< − ∨ − < < ∨ < < + ∨ >
TÀI LI
TÀI LITÀI LI
TÀI LIỆ
ỆỆ
ỆU H
U HU H
U HỌ
ỌỌ
ỌC T
C TC T
C TẬ
ẬẬ
ẬP TOÁN 1
P TOÁN 1P TOÁN 1
P TOÁN 12
22
2
–
––
–
M
MM
MŨ
Ũ Ũ
Ũ -
--
-
LOGARIT
LOGARITLOGARIT
LOGARIT
62
6262
62
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2
Bài 101. Giải các bất phương trình sau:
ⓐ
(
)
(
)
2
0,1 0,1
log 2 log 3
x x x
+ − > +
ⓑ
(
)
(
)
2
1 3
3
log 6 5 2log 2 0
x x x
− + + − ≥
ⓒ
(
)
(
)
2
1 5
5
log 6 18 2log 4 0
x x x
− + + − <
ⓓ
2 2
2
3 1
log log 0
1
x
x
x
−
+ >
+
ⓔ
(
)
(
)
2
lg 2 2lg 3
x x x
− − < −
ⓕ
ln 2 ln 4 3ln 2
x x− + + ≤
ⓖ
( )
2
3 1 1
3 3
1
log 5 6 log 2 log 3
2
x x x x
− + + − > +
ⓗ
(
)
(
)
1 1 1
2 2 2
log 4 log 2 log 1
x x
− ≥ − −
ⓘ
( )
1 1
2 2
1
log log 1 1
2
x x
− + − ≤
ⓙ
1 1
2 2
1
log log 1
2
x x
+ + ≥
ĐS: ⓐ
5 2 1 5
x x− < < − ∨ < < ⓑ
1/2 1
x
≤ <
ⓒ
4
x
ⓓ
1
x
>
ⓔ
1 2 11/5
x x
< − ∨ < <
ⓕ
1 17 2 0 1 17
x x− − ≤ ≤ − ∨ ≤ ≤ − + ⓖ
10
x > ⓗ
1 2 3 4
x x
< ≤ ∨ ≤ <
ⓘ
1 3/2
x
< ≤
ⓙ
0 1/2
x
< <
Bài 102. Giải các bất phương trì nh sau:
ⓐ
1 1
3 3
1 1
log 1 log 3
2 4
x x
− < −
ⓑ
(
)
1
1
5
log 6 36 2
x x+
− ≥ −
ⓒ
(
)
5
log 26 3 2
x
− >
ⓓ
(
)
3
log 13 4 2
x
− >
ⓔ
(
)
1
1
6
log 5 25 2
x x+
− ≥ −
ĐS: ⓐ
1
x
> −
ⓑ
6
0 log 5 1
x x
≤ ∨ ≤ <
ⓒ
0
x
ⓓ
1
x
<
ⓔ
5 5
log 2 log 3 1
x x
≤ ∨ ≤ <
Bài 103. Giải các bất phương trình sau:
ⓐ
(
)
2
2
1
log 6 4
x
x x
+
+ − ≥
ⓑ
( )
2
2
9
1
log 6 2
2
x
x x
+ − ≤
ⓒ
2
1
log 1
2
x
x x
− >
ⓓ
2
2 1
log
3 2
x
x
x
≤
−
ⓔ
(
)
2
log 3 2 1
x
x
− >
ⓕ
3
log 2
8 2
x
x
> −
−
ĐS: ⓐ
0 1
x
< ≤
ⓑ
1 7 1 1/3 0 0 1/3 2 2 7
x x x x− < ≤ − ∨ − < < ∨ < < ∨ ≤ < +
ⓒ
1 1/2 0 1/2 1 3/2
x x x x
< ∨ − < < ∨ < < ∨ >
ⓓ
5
x
≥
ⓔ
3 1
x
− < < −
ⓕ
0 1 4/3 4
x x
< < ∨ < <
Bài 104. Giải các bất phương trình sau:
ⓐ
1 2
3
1 2
log log 0
1
x
x
+
+
ⓑ
(
)
3 3
log log 3 0
e
x
− ≥
ⓒ
(
)
2
3 9
16
log log 4 3 0
x x
− + ≤
ⓓ
(
)
2
2
4
log log 2 0
x x x
π
+ − <
ⓔ
(
)
2
8 1
3 2
log log 6 0
x x
− − ≥
ⓕ
(
)
2
3 1
2
log log 1 1
x
− <
ĐS: ⓐ
0
x
ⓑ
0 2 4 6
x x
≤ < ∨ < ≤
ⓒ
2 2 3/4 13/4 2 2
x x− < ≤ ∨ ≤ < +
ⓓ
4 1
x x
< − ∨ >
ⓔ
(1 3 3)/2 2 3 (1 3 3)/2
x x− ≤ < − ∨ < ≤ + ⓕ
2 3/2 2 3/2 2 2
x x− < < − ∨ < <
Bài 105. Tìm tập xác định của các hàm số sau:
ⓐ
0,8
2 5
log 2
5
x
y
x
+
= −
+
ⓑ
( )
1
2
log 2 1
y x
= + +
ⓒ
0,3
3 1
log 3
2
x
y
x
−
= −
+
ⓓ
(
)
2
2 2
log 2 .log 2 2
x
y x
−
= + −
ⓔ
(
)
2
1
log 6 5 2
x
y x x
+
= + − −
ⓕ
( )
2
0,5
2
1
log 6
2
y x x
x x
= − + + +
+
ĐS: ⓐ
1 55
;
2 34
D
= −
ⓑ
(
]
2;4
D = ⓒ
1 10
;
3 23
D
=
ⓓ
1
;1
2
D
=
ⓔ
5
0;
2
D
=
ⓕ
1 21 1 21
2; ;3
2 2
D
− +
= − ∪
GV. TR
GV. TRGV. TR
GV. TRẦ
ẦẦ
ẦN QU
N QUN QU
N QUỐ
ỐỐ
ỐC NGH
C NGHC NGH
C NGHĨA
ĨAĨA
ĨA
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầ
ầầ
ầm & biên t
m & biên tm & biên t
m & biên tậ
ậậ
ập)
p)p)
p)
63
6363
63
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2
Dạng2.Phươngphápđặtẩnphụ
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Tìm một
(
)
log
a
f x
chung trong bất phương trình, đặt bằng t để đưa bất phương trình về
bất phương trình theo ẩn t, giải bất phương trình này tìm
t
sau đó tìm
x
.
Khi đặt ẩn phụ cần lưu ý: Nếu đặt
log
a
t x
= thì:
( )
2
2
2 2
1
1 1
log ; log ; log log ; log
2
a a x
a
a
x t x t x x t a
t
= − = = = =
B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 49: Giải các bất phương trình sau:
ⓐ
ⓐⓐ
ⓐ
(
)
(
)
2
2 2
log 2 1 .log 2 2 2
x x+
− − <
ⓑ
ⓑⓑ
ⓑ
5
2log log 125 1
x
x
− <
ⓒ
ⓒⓒ
ⓒ
2
16
1
log 2.log 2
log 6
x x
x
>
ⓓ
ⓓⓓ
ⓓ
2
log 2 log 5
3 3 2 0
x x+ +
− + <
ⓔ
ⓔⓔ
ⓔ
2
6 6
log log
6 12
x x
x
+ ≤
ⓕ
ⓕⓕ
ⓕ
2
3 3 3
log 4log 9 log 3
x x x
− + ≥ −
ⓖ
ⓖⓖ
ⓖ
(
)
(
)
1
2 2
log 2 1 .log 2 2 2
x x+
− − <
ⓗ
ⓗⓗ
ⓗ
(
)
(
)
2
5 5 5
log 4 144 4log 2 1 log 2 1
x x−
+ − < + +
ĐS: ⓐ
ⓐⓐ
ⓐ
2
log 5 2 1
x
− < <
ⓑ
ⓑⓑ
ⓑ
1 5 5 0 1/5
x x< < ∨ < < ⓒ
ⓒⓒ
ⓒ
0 1 4 8 16 64
x x x
< < ∨ < < ∨ < <
ⓓ
ⓓⓓ
ⓓ
1/100
x
>
ⓔ
ⓔⓔ
ⓔ
1/6 6
x
≤ ≤
ⓕ
ⓕⓕ
ⓕ
3
0 9 9
x< < ⓖ
ⓖⓖ
ⓖ
2 2
log (5/4) log 3
x< < ⓗ
ⓗⓗ
ⓗ
2 4
x
< <
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
TÀI LI
TÀI LITÀI LI
TÀI LIỆ
ỆỆ
ỆU H
U HU H
U HỌ
ỌỌ
ỌC T
C TC T
C TẬ
ẬẬ
ẬP TOÁN 1
P TOÁN 1P TOÁN 1
P TOÁN 12
22
2
–
––
–
M
MM
MŨ
Ũ Ũ
Ũ -
--
-
LOGARIT
LOGARITLOGARIT
LOGARIT
64
6464
64
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 106. Giải các bất phương trình sau:
ⓐ
2
2 2
log log 4 4 0
x x
+ − ≥
ⓑ
2
0,2 0,2
log 5log 6
x x
− < −
ⓒ
2
0,5 0,5
log log 6 0
x x
− − ≤
ⓓ
2
0,2 0,2
log log 3 0
x x
+ − ≤
ⓔ
3 2
2 2 2
2log 5log log 2 0
x x x
+ + − ≥
ⓕ
3
4 2 2
2 1 2 1
2
2 2
32
log log 9log 4log
8
x
x x
x
− + <
ⓖ
(
)
(
)
2
2 1
4
log 2 8log 2 5
x x
− − − ≥
ⓗ
(
)
(
)
2 2 2
2 1
2
log 2 3log 2 2 0
x x x x
+ − + + − + ≤
ⓘ
(
)
(
)
2
5 1 3
5
log 6 2log 6 log 27 0
x x
− + − + ≥
ⓙ
(
)
2 2 2
2 1 4
2
log log 3 5 log 3
x x x
+ − > −
ĐS: ⓐ
1/4 2
x x
≤ ∨ ≥
ⓑ
6 4 2 4
x x
− ≤ < − ∨ < ≤
ⓒ
3
(0,2) 25
x
≤ ≤
ⓓ
1/2 4
x
≤ ≤
ⓔ
1/4 1/2 2
x x≤ ≤ ∨ ≥
ⓕ
1/8 1/4 4 8
x x
< < ∨ < <
ⓖ
0 63/32 2
x x
≤ ∨ ≤ <
ⓗ
0 1
x
≤ ≤
ⓘ
119 1 6
x x
≤ − ∨ ≤ <
ⓙ
0 1/2 8 16
x x
< ≤ ∨ < <
Bài 107. Giải các bất phương trình sau:
ⓐ
(
)
2 1
log 1 log 64 1
x
x
+
+ − <
ⓑ
2
log 2 log 8 4
x x
+ ≤
ⓒ
2
3
3
log (3 ) log 11
x
x x
+ <
ĐS: ⓐ
1 3/4 0 7
x x
− < < − ∨ < <
ⓑ
3 13 3 13
2 2
0 1/2 2 2x x
− +
< < ∨ ≤ ≤
ⓒ
1 5 1 5
3 3 3 27
x x
− − − +
< < ∨ < <
Bài 108. Giải các bất phương trình sau:
ⓐ
3
log 3 log 3 0
x x
− <
ⓑ
4 16
3log 4 2log 4 3log 4 0
x x x
+ + ≤
ⓒ
2
2
log 64 log 16 3
x
x
+ ≥
ⓓ
2 4
log 2.log 2 log 2
x x x
>
ĐS: ⓐ
0 1 3
x x
< < ∨ >
ⓑ
1 1 1 1
1
16 8 4 2
x x x
< ∨ < ≤ ∨ ≤ <
ⓒ
3
1 1
1 4
2
2
x x
< ≤ ∨ < ≤
ⓓ
2
2
1 1 1
0 1 2
4 2
2
x x x< < ∨ < < ∨ < <
Bài 109. Giải các bất phương trình sau:
ⓐ
4 3 1 1
4 3
1 1
log log log log
1 1
x x
x x
− +
<
+ −
ĐS:
2 1 2
x x
< − ∨ < <
ⓑ
3 4 1 1
3 4
3 1 1
log log log log
1 3 1
x x
x x
− +
<
+ −
ĐS:
5 1
x x
≤ − ∨ >
GV. TR
GV. TRGV. TR
GV. TRẦ
ẦẦ
ẦN QU
N QUN QU
N QUỐ
ỐỐ
ỐC NGH
C NGHC NGH
C NGHĨA
ĨAĨA
ĨA
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầ
ầầ
ầm & biên t
m & biên tm & biên t
m & biên tậ
ậậ
ập)
p)p)
p)
65
6565
65
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2
BÀI TẬP TỔNG HỢP VẤN ĐỀ 7
Bài 110. Giải các bất phương trình sau:
ⓐ
3
2
log
5 1
x
x
−
<
ĐS:
2
x
ⓑ
2 2 2
log log 1 log 2
2 .3 .5 12
x x x− −
≥
ĐS:
4
x
ⓒ
2 0,5
31
log log 2 2
16
x
− ≤
ĐS
2
47
1 log
16
x≤ ≤ :
ⓓ
2
2
8 1
log 2
1
x x
x
+ −
≤
+
ĐS:
4 17 5 4 17 1
x x
− − < ≤ − ∨ − + < ≤
ⓔ
2 3 2 3
log log 1 log .log
x x x x
+ < + ĐS:
0 2 3
x x
< < ∨ >
ⓕ
(
)
(
)
2
3
4 16 7 .log 3 0
x x x
− + − >
ĐS:
7
3 4
2
x x
< < ∨ >
ⓖ
( )
( )
2
2
4 2
2
1
log 7 12 log 2 log 4 1
2
x x x x
− + < − + − −
ĐS:
8
3 3 4
3
x x
< < ∨ < <
ⓗ
(
)
(
)
(
)
2
2 0,5
2 log 4 4 2 1 log 2
x x x x x
+ − + > − + −
ĐS:
2 1 2
x x
< − ∨ < <
Bài 111. Giải các bất phương trình sau:
ⓐ
(
)
2
sin
3
log 3 2 2
x x
π
− + ≥
ĐS:
1 5
1 2
2 2
x x
≤ < ∨ < ≤
ⓑ
(
)
2
sin
6
log 4 3 3
x x
π
− + ≥ −
ĐS:
1 1 3 5
x x
− ≤ < ∨ < ≤
ⓒ
2
sin
12
1 35
log 0
6 24
x x
π
− + ≥
ĐS:
2 5 7 2
3 3
2 2 2 2
x x− ≤ < ∨ < ≤ +
ⓓ
(
)
2
1
sin
2 4
log 4 16 15 2
x x
π
− + ≥ −
ĐS:
1 3 5 7
2 2 2 2
x x
≤ < ∨ < ≤
Bài 112. Giải các bất phương trình sau:
ⓐ
(
)
2
3
log 5 6 1 0
x x
+ + ≤
ĐS:
6 1
1 0
5 5
x x
− ≤ < − ∨ − < ≤
ⓑ
(
)
2
12
log 6 48 54 2
x x
− + ≤
ĐS:
4 7 4 31 4 31 4 7
x x+ < ≤ + ∨ − ≤ < −
ⓒ
(
)
2
21
log 2 3 1
x x
+ − ≤
ĐS:
6 3 1 4
x x
− ≤ < − ∨ < ≤
ⓓ
(
)
2
4
log 4 5 4
x x
− − ≤
ĐS:
3 1 5 7
x x
− ≤ < − ∨ < ≤
Bài 113. Giải các bất phương trình sau:
ⓐ
1
log 2
4
x
x
− ≥
ĐS:
1
1
4
x
< <
ⓑ
(
)
2
3
log 5 18 16 2
x
x x
− + >
ĐS:
3
1 8
3
x x
< < ∨ >
ⓒ
(
)
2
2
1
1
log 2 2 1
2
x x
x x
+ +
− − <
ĐS:
1 3 1 3
1 2
2 2
x x
− +
− < < ∨ < <
TÀI LI
TÀI LITÀI LI
TÀI LIỆ
ỆỆ
ỆU H
U HU H
U HỌ
ỌỌ
ỌC T
C TC T
C TẬ
ẬẬ
ẬP TOÁN 1
P TOÁN 1P TOÁN 1
P TOÁN 12
22
2
–
––
–
M
MM
MŨ
Ũ Ũ
Ũ -
--
-
LOGARIT
LOGARITLOGARIT
LOGARIT
66
6666
66
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2
ⓓ
(
)
( )
2
2
2
log 9 8
2
log 3
x x
x
− +
<
−
ĐS:
1
1
3
x
− < <
ⓔ
(
)
( )
3
log 35
3 (0 1)
log 5
a
a
x
a
x
−
> < ≠
−
ĐS:
2 3
x
< <
ⓕ
( ) ( )
4 2
3 4
2
log 1 log 1
0
2 3
x x
x x
− − −
− +
ĐS:
1 0 2 3
x x
− < < ∨ < <
ⓖ
(
)
(
)
2 3
2 2
5 11
2
log 4 11 log 4 11
0
2 5 3
x x x x
x x
− − − − −
≥
− −
ĐS:
2 2 2 15 6
x x x
< − ∨ − < < − ∨ ≥
ⓗ
( ) ( )
2 3
2 3
2
log 1 log 1
0
3 4
x x
x x
+ − +
>
− −
ĐS:
1 0 4
x x
− < < ∨ >
ⓘ
( )
2
1
2
2
1 1
0
log 2 1
log 3 2
x
x x
+ >
−
− +
ĐS:
3 13 3 15
1
6 2
x x
+ +
< < ∨ >
ⓙ
2
log 1
2
3 1
2 3
log log 2 3
2
3 1
x
x
−
+ +
≥
ĐS:
1 73 1 217
2 2
x
− + − +
≤ <
ⓚ
(
)
3
log 3 1
1
1
x
x
−
≥
−
ĐS:
3
0 1 log 2 1
x x
< ≤ − ∨ >
GV. TR
GV. TRGV. TR
GV. TRẦ
ẦẦ
ẦN QU
N QUN QU
N QUỐ
ỐỐ
ỐC NGH
C NGHC NGH
C NGHĨA
ĨAĨA
ĨA
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầ
ầầ
ầm & biên t
m & biên tm & biên t
m & biên tậ
ậậ
ập)
p)p)
p)
67
6767
67
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2
Vấn đề 8. HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ - LÔGARIT
1.
Hệ phương trình mũ – lôgarit là hệ phương trình trong đó có chứa các phương trình mũ –
lôgarit.
2. Phươngphápgiải
Để giải hệ phương trình mũ và lôgarit, ta cũng dùng các phương pháp giải hệ phương
trình quen thuộc như: phương pháp thế, phương pháp cộng đại số, phương pháp đặt ẩn phụ,
… Cần chú ý ta rất hay dùng phương pháp đặt ẩn phụ đưa hệ đã cho về hệ đại số đã biết
cách giải, từ đó suy ra các phương trình mũ và lôgarit cơ bản, đặc biệt có mốt số bài phức
tạp ta cần sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải.
Bài 114. Giải các hệ phương trình sau:
ⓐ
4 4 4
20
log log 1 log 9
x y
x y
+ =
+ = +
ⓑ
2 2
1
4 4 0,5
x y
x y
− −
+ =
+ =
ⓒ
( )
5
3 .2 1152
log 2
x y
x y
−
=
+ =
ⓓ
( ) ( )
2 2
2 3
2
log log 1
x y
x y x y
− =
+ − − =
ⓔ
3.2 2.3 2,75
2 3 0,75
x y
x y
+ =
− = −
ⓕ
(
)
(
)
2 2
log 5 log
lg lg 4
1
lg lg3
x y x y
x
y
− = − +
−
= −
−
ⓖ
( )
5 5 7 5
2 2 5
log log 7.log 1 log 2
3 log log 5 1 3log
x y
y x
+ = +
+ = +
ⓗ
2
1
2 2
2log 3 15
3 .log 2log 3
y
y y
x
x x
+
− =
= +
ĐS: ⓐ
(
)
(
)
2;18 , 18;2
;ⓑ
(
)
1/2;1/2
;ⓒ
(
)
2;7
− ;ⓓ
(
)
3/2;1/2
; ⓔ
(
)
2;0
− ;ⓕ
(
)
2;5
;ⓖ
(
)
6;2
;
ⓗ
(
)
512;1
Bài 115. Giải các hệ phương trình sau:
ⓐ
2 2 2
11
log log 1 log 15
x y
x y
+ =
+ = +
ⓑ
(
)
( ) ( )
2 2
lg 1 lg8
lg lg lg3
x y
x y x y
+ = +
+ − − =
ⓒ
( )
3
3 .2 972
log 2
x y
x y
=
− =
ⓓ
2 2
25
log log 2
x y
x y
+ =
− =
ⓔ
3 3 4
x y
x y
+ =
+ =
ⓕ
4
3 3
9
3
x y
x y
− −
+ =
+ =
ⓖ
1
2 5 7
2 .5 5
x x y
x x y
y
+
− +
+ =
=
ⓗ
( ) ( )
2 2
3 5
3
log log 1
x y
x y x y
− =
+ − − =
ĐS: ⓐ;
(
)
(
)
5;6 , 6;5
ⓑ;
(
)
8;4
ⓒ
(
)
5;2
ⓓ
(
)
20;5
ⓔ;
(
)
(
)
0;1 , 1;0
ⓕ;
(
)
(
)
1;2 , 2;1
ⓖ
(
)
(
)
2 5 2
log 5;log 2 log 5 , 1;0
− ⓗ
(
)
2;1
Bài 116. Giải các hệ phương trình sau:
ⓐ
( )
2 2 2
2
lg lg lg
lg lg .lg 0
x y xy
x y x y
= +
− + =
ⓑ
( ) ( )
lg lg
lg4 lg3
3 4
4 3
x y
x y
=
=
TÀI LI
TÀI LITÀI LI
TÀI LIỆ
ỆỆ
ỆU H
U HU H
U HỌ
ỌỌ
ỌC T
C TC T
C TẬ
ẬẬ
ẬP TOÁN 1
P TOÁN 1P TOÁN 1
P TOÁN 12
22
2
–
––
–
M
MM
MŨ
Ũ Ũ
Ũ -
--
-
LOGARIT
LOGARITLOGARIT
LOGARIT
68
6868
68
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2
ⓒ
( )
3
3
log 2
l g
2 2
4 2
3 3 12
o xy
xy
x y x y
= +
+ − − =
ⓓ
2
1 log
64
y
y x
x
= +
=
ⓔ
( ) ( )
ln ln
ln6 ln5
5 6
6 5
x y
x y
=
=
ⓕ
( ) ( )
2 2
5 3
9 4 5
log 3 2 log 3 2 1
x y
x y x y
− =
+ − − =
ⓖ
( )
2
5 .2 500
log 2 4
x y
x y
=
− =
ⓗ
27 27 27
3
3
3
log 3log .log
3log
log
4log
xy x y
xx
y y
=
=
ĐS: ⓐ
( )
(
)
2;1 , 2;1/ 2
ⓑ
(
)
1/4;1/3
ⓒ
(
)
(
)
3 6;3 6 , 3 6;3 6
− + + −
ⓓ
(
)
(
)
4;3 , 1/8; 2
−
ⓔ
(
)
1/6;1/5
ⓕ
(
)
1;1
ⓖ
(
)
3;2
ⓗ
(
)
(
)
1/3; 3 , 27;3 3
Bài 117. Giải các hệ phương trình sau:
ⓐ
(
)
(
)
2 2
ln 1 ln 1
12 20 0
x y x y
x xy y
+ − + = −
− + =
ⓑ
(
)
(
)
2 2
3 3
log log 2
16
x y y x xy
x y
− = − +
+ =
ⓒ
(
)
(
)
2 2
2 2 2
2
x y
y x xy
x y
− = − +
+ =
ĐS: ⓐ
(
)
0;0
ⓑ
(
)
2;2
ⓒ
(
)
(
)
1;1 , 1; 1
− −
Bài 118. Giải các hệ phương trình sau:
ⓐ
1 2 1
4
4 3.4 2
3 2 log 3
x y y
x y
+ − −
+ ≤
+ ≥ −
ⓑ
(
)
( ) ( )
1 1
2 2 2
log 2 2
log 2 log 2 1 log 7.2 12
x
x x x
x
− +
+ >
+ + < +
ⓒ
( )
2
3
2 3 log 5
( 4)
2
3 5
4 1 3 8
x x
y
y y y
− − −
− +
=
− − + + ≤
ⓓ
(
)
( )
1
2
log 5 0
log 4 0
x
y
y
x
−
+
+ <
− <
ĐS: ⓐ
4 4
2
log 2 3;log
3
ⓑ
1 2
x
< <
ⓒ
(
)
(
)
1; 3 , 3; 3
− − −
ⓓ
1 2
2 1
x
y
< <
− < < −
BÀI TẬP TỔNG HỢP VẤN ĐỀ 8
Bài 119. Giải các hệ phương trình sau:
ⓐ
6 2.3 2
6 .3 12
x y
x y
− =
=
ⓑ
2
3
5
2(1 )
2 2 .2
3 3.3
x
y
y
x
y
y
y
x
−
=
=
ⓒ
2 2
1
4 4
2
1
x y
x y
− −
+ =
+ =
ⓓ
2
2
2 2
3 2 77
3 2 7
x y
x y
− =
− =
ⓔ
2 2
64 64 12
64 4 2
x y
x y+
+ =
=
ⓕ
3 2
1
2 5 4
4 2
2 2
x
x x
x
y y
y
+
= −
+
=
+
ĐS: ⓐ
(
)
3
1;log 2
ⓑ
( )
3 1
; , 2;4
2 2
−
ⓒ
1 1
;
2 2
ⓓ
(
)
(
)
4; 2 , 4; 2
−
ⓔ
1 1 1 1
; , ;
6 4 4 6
ⓕ
(
)
(
)
0;1 , 2;4
GV. TR
GV. TRGV. TR
GV. TRẦ
ẦẦ
ẦN QU
N QUN QU
N QUỐ
ỐỐ
ỐC NGH
C NGHC NGH
C NGHĨA
ĨAĨA
ĨA
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầ
ầầ
ầm & biên t
m & biên tm & biên t
m & biên tậ
ậậ
ập)
p)p)
p)
69
6969
69
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2
Bài 120. Giải các hệ phương trình sau:
ⓐ
2 2
1
lg lg 2
xy
x y
=
+ =
ⓑ
( )
1 4
4
2 5
1
log log 1
25
y x
y
x y
− − =
+ =
ⓒ
4 2
4 3 0
log log 0
x y
x y
− + =
− =
ⓓ
3 3 3
log log 1 log 2
10
x y
x y
+ = +
− =
Bài 121. Giải các hệ phương trình sau:
ⓐ
(
)
( )
log 11 14 3
log 11 14 3
x
y
x y
y x
+ =
+ =
ĐS:
(
)
5;5
ⓑ
(
)
( )
3 2
3 2
log 2 3 5 3
log 2 3 5 3
x
y
x x x y
y y y x
+ − − =
+ − − =
ĐS:
(
)
4;4
ⓒ
(
)
(
)
( ) ( )
log 3 5 log 3 5 4
log 3 5 .log 3 5 4
x y
x y
x y y x
x y y x
+ + + =
+ + =
ĐS:
(
)
8;8
ⓓ
(
)
( ) ( )
( )
( )
2 2
4 4 4
2
4 4 4
log log 2 1 log 3
log 1 log 4 2 2 4 1 log 1
x y x x y
x
xy y y x
y
+ − + = +
+ − + − + + = −
ĐS:
(
)
(
)
2;1 ; ;
t t
với t > 0
ⓔ
( )
( )
2
2
log 3
log
2 2
9 3 2
3 3 6
xy
xy
x y x y
− +
+ = + +
ĐS:
5 17 5 17 5 17 5 17
; , ;
2 2 2 2
− + + −
Bài 122. Giải các hệ bất phương trình sau:
ⓐ
( )
2
2
2 3 log 3 4
2
2 3
4 1 3 8
x x y
y y y
− + − − −
=
− − + + ≤
ĐS:
1 3
3 3
x x
y y
= − =
∨
= − = −
ⓑ
2 2
2 2
3
2
log log 0
3 5 9 0
3
x x
x
x x
− <
− + + >
ĐS:
1 4
x
< <
ⓒ
( )
(
)
(
)
( )
1
1 lg 2 lg 2 1 lg 7.2 12
log 2 2
x x
x
x
x
+
− + + < +
+ >
ĐS:
1 2
x
< <
Bài 123. Tìm
a
để hệ bất phương trình sau có nghiệm
( )
( )
2
4
2 2
3 4 5
1 log log 1
x
x
a x x
− ≥
+ − ≥ +
ĐS:
21
2
a ≥
TÀI LI
TÀI LITÀI LI
TÀI LIỆ
ỆỆ
ỆU H
U HU H
U HỌ
ỌỌ
ỌC T
C TC T
C TẬ
ẬẬ
ẬP TOÁN 1
P TOÁN 1P TOÁN 1
P TOÁN 12
22
2
–
––
–
M
MM
MŨ
Ũ Ũ
Ũ -
--
-
LOGARIT
LOGARITLOGARIT
LOGARIT
70
7070
70
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2
Vấn đề 9. PHƯƠNG TRÌNH
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ – LÔGARIT CÓ THAM SỐ
Phươngphápgiải
Đặt ẩn phụ.
Dựa vào điều kiện của biến suy ra miền giá trị của ẩn phụ.
Bài 124. Tìm điều kiện của
m
để mỗi hàm số sau xác định với mọi
x
:
ⓐ
(
)
2
5
log 2
y x mx m
= − + +
ⓑ
( )
2
3
1
log 2 3
y
x x m
=
− +
ĐS: ⓐ
2 2 3 2 2 3
m− < < + ⓑ
m
>
Bài 125. Cho phương trình:
1
4 .2 2 0
x x
m m
+
− + =
ⓐ Giải phương trình khi
2
m
=
. ĐS: ⓐ
1
x
=
; ⓑ
4
m
=
ⓑ Tìm tất cả các giá trị của
m
để phương trình có hai nghiệm phân biệt
1
x
,
2
x
sao cho
1 2
3
x x
+ =
.
Bài 126. Tìm
m
để phương trình sau có nghiệm:
( ) ( )
2 2
1 1
2 4 1 2 2 6 0
x x
m m m
+ +
− − + + − =
ĐS:
2 4
m
< ≤
Bài 127. Tìm
m
để phương trình:
9 .3 2 1 0
x x
m m
− + + =
có nghiệm. ĐS:
1/2 4 2 5
m m< − ∨ ≥ +
Bài 128. Tìm
m
để phương trình:
(
)
2
2 1
2
4 log log 0
x x m
− + =
có nghiệm thuộc
(
)
0;1
. ĐS:
1/4
m
≤
Bài 129. Cho phương trình:
(
)
(
)
2 3 2 3
x x
m
+ + − =
ⓐ Giải phương trình khi
4
m
=
.
ⓑ Tìm
m
để phương trình có hai nghiệm phân biệt. ĐS: ⓐ
1
x
=
; ⓑ
4
m
=
Bài 130. Cho phương trình:
.16 2.81 5.36
x x x
m + =
ⓐ Giải phương trình khi
3
m
=
. ĐS: ⓐ
0 1/2
x x
= ∨ =
; ⓑ
0 25/28
m m
≤ ∨ =
ⓑ Tìm tất cả các giá trị của
m
để phương trình có nghiệm duy nhất.
Bài 131. Cho phương trình:
(
)
4 4 2 1 0
x x
m
− − =
ⓐ Giải phương trình khi
1
m
=
.
ⓑ Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có nghiệm. ĐS: ⓐ
vn
; ⓑ
0 1
m m
< ∨ >
Bài 132. Tìm
m
để phương trình:
1
4 2 0
x x
m
+
+ + =
có nghiệm. ĐS:
1
m
≤
Bài 133. Cho hệ phương trình:
2
3 3
3
2
1
log log 0
2
0
x y
x y my
− =
+ − =
ⓐ Giải hệ khi
2
m
=
.
ⓑ Định
m
để hệ phương trình có nghiệm. ĐS: a.
(
)
(
)
1;1 , 1;1
− ; b.
0
m
>
GV. TR
GV. TRGV. TR
GV. TRẦ
ẦẦ
ẦN QU
N QUN QU
N QUỐ
ỐỐ
ỐC NGH
C NGHC NGH
C NGHĨA
ĨAĨA
ĨA
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầ
ầầ
ầm & biên t
m & biên tm & biên t
m & biên tậ
ậậ
ập)
p)p)
p)
71
7171
71
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2
Bài 134. Cho hệ phương trình:
( ) ( )
2 2
3
9 4 5
log 3 2 log 3 2 1
m
x y
x y x y
− =
+ − − =
ĐS: a.
(
)
1;1
; b.
5
m
=
ⓐ Giải hệ khi
5
m
=
.
ⓑ Tìm giá trị lớn nhất của
m
sao cho hệ phương trình trên có nghiệm
(
)
;
x y
thỏa mãn:
3 2 5
x y
+ ≤
.
Bài 135. Tìm
m
để hệ bất phương trình sau có nghiệm:
( )
2 1 2 1
2
7 7 2009 2009
2 2 3 0
x x x
x
x m x m
+ + + +
− + ≤
− + + + ≥
ĐS:
2
m
≥ −
BÀI TẬP TỔNG HỢP VẤN ĐỀ 9
Bài 136. Cho phương trình:
(
)
4 4 2 1 0
x x
m
− − =
ⓐ Giải phương trình khi
1
m
=
.
ⓑ Tìm tất cả các giá trị của
m
để phương trình có nghiệm. ĐS: ⓐ
vn
; ⓑ
0 1
m m
< ∨ >
Bài 137. Tìm m để phương trình:
1
4 2 0
x x
m
+
+ + =
có nghiệm. ĐS:
1
m
≤
Bài 138. Cho phương trình:
( )
2 2 2
1 2 2 2
25 .9 3 7 .15
x x x x x x
m m
+ − − −
+ = +
ⓐ Giải phương trình khi
9
m
=
.
ⓑ Tìm tất cả các giá trị của
m
để phương trình có nghiệm
[
]
0; 2
x ∈ .
ĐS: ⓐ
0 2 1 3
x x x= ∨ = ∨ = ± ; ⓑ
130
9
9
m≤ ≤
Bài 139. Cho phương trình:
(
)
(
)
5 1 5 1 2
x x
x
a
+ + − =
ĐS: ⓐ
5 1
2
log 2
x
+
= − ; ⓑ
1
0
4
a a
≤ ∨ =
ⓐ Giải phương trình khi
1
4
a
=
.
ⓑ Tìm tất cả các giá trị của
m
để phương trình có nghiệm duy nhất.
Bài 140. Cho phương trình:
(
)
(
)
tan tan
3 2 2 3 2 2
x x
m
+ + − =
ⓐ Giải phương trình khi
6
m
=
. ĐS: ⓐ ,
4
x k k
π
π
= ± + ∈
ℤ
; ⓑ
2
m
>
ⓑ Tìm
m
để phương trình có đúng 2 nghiệm trong khoảng
;
2 2
π π
−
.
Bài 141. Với giá trị nào của
m
thì các phương trình sau có nghiệm duy nhất:
ⓐ
(
)
(
)
2
2 3 2 3
log 2 1 log 2 2 0
x m x x m
+ −
− + + + − =
ĐS:
2 17 5
2
5 2
x m
−
− ≤ ≤ ∨ =
ⓑ
(
)
( )
lg
2
lg 1
mx
x
=
+
ĐS:
0 4
m m
< ∨ =
TÀI LI
TÀI LITÀI LI
TÀI LIỆ
ỆỆ
ỆU H
U HU H
U HỌ
ỌỌ
ỌC T
C TC T
C TẬ
ẬẬ
ẬP TOÁN 1
P TOÁN 1P TOÁN 1
P TOÁN 12
22
2
–
––
–
M
MM
MŨ
Ũ Ũ
Ũ -
--
-
LOGARIT
LOGARITLOGARIT
LOGARIT
72
7272
72
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2
ⓒ
(
)
(
)
2
3 1
3
log 4 log 2 2 1 0
x mx x m
+ + − − =
ĐS:
1 1
0
2 10
m m
− ≤ ≤ − ∨ =
ⓓ
(
)
(
)
2
lg 2 lg 8 6 3 0
x mx x m
+ − − − =
ĐS:
1 3
1
2 22
m m
− ≤ ≤ ∨ =
Bài 142. Tìm
m
để bất phương trình sau đây có nghiệm:
(
)
(
)
2 1
3 3 3 2 3 0
x x
m m
+
− + − + <
ĐS:
3
m
> −
Bài 143. Tìm tất cả các giá trị của
m
để bất phương trình thỏa với mọi
x
.
ⓐ
(
)
9 2 1 3 2 3 0
x x
m m
− + − − >
ĐS:
3
2
m
≤ −
ⓑ
(
)
2
.4 1 2 1 0
x x
m m m
+
+ − + − >
ĐS:
1
m
≥
ⓒ
(
)
.25 4 1 5 1 0
x x
m m m
+ − + − >
ĐS:
1
m
≥
ⓓ
(
)
1
1 4 2 1 0
x x
m m
+
− + + + >
ĐS:
1
m
≥
ⓔ
(
)
1 1
2 4 2 .2 3 1 0
x x
m m m
− −
+ − + + >
ĐS:
3
2
m
> −
ⓕ
(
)
2
4 2 2 .2 2 2 0
x x
m m m
− + + + + >
ĐS:
1
m
< −
Bài 144. Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương:
ⓐ
(
)
(
)
3 1 .12 2 .6 3 0
x x x
m m
+ + − + <
thỏa
0
x
∀ >
ĐS:
2
m
≤ −
ⓑ
(
)
.9 2 1 .6 .4 0
x x x
m m m
− + + ≤
thỏa
[
]
0;1
x∀ ∈ ĐS:
6
m
≤
ⓒ
( )
2 2 2
2 2 2
.9 2 1 .6 .4 0
x x x x x x
m m m
− − −
− + + ≤
1 1
;
2 2
x
∀ ∉ −
ĐS:
0
m
≤
Bài 145. Cho bất phương trình:
(
)
1
.9 4 1 3 1
x x
a a a
+
+ − + >
ⓐ Giải bất phương trình khi
2
a
=
.
ⓑ Tìm tất cả các giá trị của
a
để bất phương trì thỏa với mọi
x
. ĐS:a.
x R
∈
; b.
1
a
≥
Bài 146. Tìm
m
để mọi nghiệm của bất phương trình
2 1
2 9.2 4 0
x x+
− + ≤
cũng là nghiệm của bất
phương trình
(
)
2
1 3 1 0
m m x x
+ + + + >
ĐS:
0 2
m
< <
Bài 147. Tìm
m
để mọi nghiệm của bất phương trình
2 1
1
2 2 8
x x
+
− >
cũng là nghiệm của bất phương trình
( )
2
2
4 2 1 0
x mx m
− + + <
ĐS:
0 1
m m
≤ ∨ ≥
Bài 148. Tìm
m
để mọi nghiệm của bất phương trình
2 2
1 1
2 4
log log 0
x x
+ <
cũng là nghiệm của bất
phương trình
2 2
6 0
x mx m m
+ + + <
ĐS:
7 3 5
4 2 3
2
m
− −
< < − +
Bài 149. Tìm
m
để mọi nghiệm của bất phương trình
5
log 3 4.log 5 1
x
x
+ >
cũng là nghiệm của bất
phương trình
(
)
(
)
2 2
5 1
5
1 log 1 log 4 2 0
x x x m
+ + + + + >
ĐS:
5 5
2 2
m
− ≤ ≤
Bài 150. Tìm tất cả các giá trị của
m
để bất phương trình thỏa với mọi
x
.
ⓐ
(
)
(
)
2 2
2 2
log 7 7 log 4
x mx x m
+ ≥ + + ĐS:
2 5
m
< ≤
ⓑ
(
)
2
log 2 1 0
m
x x m
− + + >
ĐS:
1
m
>
Bài 151. Tìm các giá trị của
m
để bất phương trình thỏa với mọi
(
)
2;3
x ∈ .
(
)
(
)
2 2
5 5
log 4 log 1 1
x x m x
+ + − + <
ĐS:
12 13
m
− ≤ ≤
GV. TR
GV. TRGV. TR
GV. TRẦ
ẦẦ
ẦN QU
N QUN QU
N QUỐ
ỐỐ
ỐC NGH
C NGHC NGH
C NGHĨA
ĨAĨA
ĨA
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầ
ầầ
ầm & biên t
m & biên tm & biên t
m & biên tậ
ậậ
ập)
p)p)
p)
73
7373
73
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
(trích từ bộ BTN – 387 câu + 7 đề của BGD – 68 câu)
Vấn đề 1. LŨY THỪA
Câu 1. Khẳng định nào sau đây đúng :
A.
n
a
−
xác định với mọi
{
}
\ 0 ;a n
∀ ∈ ∀ ∈
ℝ ℕ
. B. ;
m
n m
n
a a a
= ∀ ∈
ℝ
.
C.
0
1;a a
= ∀ ∈
ℝ
. D. ; ; ,
m
n m
n
a a a m n
= ∀ ∈ ∀ ∈
ℝ ℤ
.
Câu 2. Tìm
x
để biểu thức
( )
2
2 1
x
−
− có nghĩa.
A.
1
2
x
∀ ≠
. B.
1
2
x
∀ >
. C.
1
;2
2
x
∀ ∈
. D.
1
2
x
∀ ≥
.
Câu 3. Tìm
x
để biểu thức
( )
1
2
3
1
x
−
có nghĩa.
A.
(
]
[
)
;1 1;x
∀ ∈ −∞ ∪ +∞
. B.
(
)
(
)
; 1 1;x
∀ ∈ −∞ − ∪ +∞
.
C.
(
)
1;1
x∀ ∈ − . D.
{
}
\ 1
x
∀ ∈ ±
ℝ
.
Câu 4. Tìm
x
để biểu thức
( )
2
2
3
1
x x
−
+ + có nghĩa.
A.
x
∀ ∈
ℝ
. B. Không tồn tại
x
. C.
1
x
∀ >
. D.
{
}
\ 0
x∀ ∈
ℝ
Câu 5. Các căn bậc hai của
4
là
A.
2
−
. B.
2
. C.
2
±
. D.
16
Câu 6. Cho
a
∈
ℝ
và
*
2 ( )
n k k= ∈
ℕ
,
n
a
có căn bậc
n
là
A.
a
. B.
| |
a
. C.
a
−
. D.
2
n
a
.
Câu 7. Cho
a
∈
ℝ
và
*
2 1( )
n k k= + ∈
ℕ
,
n
a
có căn bậc
n
là
A.
2 1
n
n
a
+
. B.
| |
a
. C.
a
−
. D.
a
.
Câu 8. Phương trình
2016
2017
x = có tập nghiệm trong
ℝ
là
A.
2017
T={ 2016}
± B.
2016
T={ 2017}
± . C.
2016
T={ 2017}
. D.
2016
T={ 2017}
−
Câu 9. Các căn bậc bốn của
81
là
A.
3
. B.
3
±
. C.
3
−
. D.
9
±
Câu 10. Khẳng định nào sau đây sai?
A. Có một căn bậc
n
của số 0 là 0. B.
1
3
−
là căn bậc 5 của
1
243
− .
C. 4 có một căn bậc hai. D. Các căn bậc 8 của 2 được viết là
8
2
±
.
Câu 11. Tính giá trị biểu thức
4
0,75
3
1 1
16 8
− −
+
, ta được :
A.
12
. B.
16
. C.
18
. D.
24
Câu 12. Viết biểu thức
a a
(
)
0
a
>
về dạng lũy thừa của
a
, ta được:
A.
5
4
a
. B.
1
4
a
. C.
3
4
a
. D.
1
2
a
TÀI LI
TÀI LITÀI LI
TÀI LIỆ
ỆỆ
ỆU H
U HU H
U HỌ
ỌỌ
ỌC T
C TC T
C TẬ
ẬẬ
ẬP TOÁN 1
P TOÁN 1P TOÁN 1
P TOÁN 12
22
2
–
––
–
M
MM
MŨ
Ũ Ũ
Ũ -
--
-
LOGARIT
LOGARITLOGARIT
LOGARIT
74
7474
74
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2
Câu 13. Viết biểu thức
3
0,75
2 4
16
về dạng lũy thừa
2
m
với giá trị của
m
là
A.
13
6
−
. B.
13
6
. C.
5
6
. D.
5
6
−
.
Câu 14. Các căn bậc bảy của 128 là
A.
2
−
. B.
2
±
. C.
2
. D.
8
Câu 15. Viết biểu thức
( )
5
3
, , 0
b a
a b
a b
>
về dạng lũy thừa
m
a
b
, với giá trị của
m
là
A.
2
15
. B.
4
15
. C.
2
5
. D.
2
15
−
.
Câu 16. Cho
0
a
>
;
0
b
>
. Viết biểu thức
2
3
a a
về dạng
m
a
và biểu thức
2
3
:
b b
về dạng
n
b
. Ta có
?
m n
+ =
A.
1
3
. B.
1
−
. C.
1
. D.
1
2
Câu 17. Cho
0
x
;
0
y
>
. Viết biểu thức
4
56
5
.
x x x
về dạng
m
x
và biểu thức
4
5
65
:
y y y
về dạng
n
y
.
Giá trị của biểu thức
m n
−
là
A.
11
6
−
. B.
11
6
. C.
8
5
. D.
8
5
−
Câu 18. Viết biểu thức
4
2 2
8
về dạng
2
x
và biểu thức
3
2 8
4
về dạng
2
y
. Ta có
2 2
?
x y
+ =
A.
2017
567
. B.
11
6
. C.
53
24
. D.
2017
576
Câu 19. Cho
3 6
( ) .
f x x x
= khi đó
(0,09)
f bằng :
A.
0,09
. B.
0,9
. C.
0,03
. D.
0,3
Câu 20. Cho
( )
3
2
6
x x
f x
x
= khi đó
(
)
1,3
f bằng:
A.
0,13
. B.
1,3
. C.
0,013
. D.
13
.
Câu 21. Cho
( )
5
12
3 4
f x x x x
= . Khi đó
(2,7)
f bằng
A.
0,027
. B.
0,27
. C.
2,7
. D.
27
.
Câu 22. Đơn giản biểu thức
4 2
81
a b
, ta được:
A.
2
9
a b
− . B.
2
9
a b
. C.
2
9
a b
. D.
2
3
a b
.
Câu 23. Đơn giản biểu thức
( )
4
8
4
x x + , ta được:
A.
(
)
2
1
x x
+
. B.
(
)
2
1
x x
− +
. C.
(
)
2
1
x x
−
. D.
2
1
x x
+
.
Câu 24. Đơn giản biểu thức
( )
9
3
3
x x + , ta được:
A.
( )
3
1
x x
− +
. B.
( )
3
1
x x
+
. C.
( )
3
1
x x + . D.
( )
3
1
x x + .
Câu 25. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
0
1,
a a
= ∀
. B.
2
1 1
a a
> ⇔ >
. C.
2 3 3 2
< . D.
1 2
1 1
4 4
−
<
.
GV. TR
GV. TRGV. TR
GV. TRẦ
ẦẦ
ẦN QU
N QUN QU
N QUỐ
ỐỐ
ỐC NGH
C NGHC NGH
C NGHĨA
ĨAĨA
ĨA
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầ
ầầ
ầm & biên t
m & biên tm & biên t
m & biên tậ
ậậ
ập)
p)p)
p)
75
7575
75
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2
Câu 26. Nếu
(
)
2
2 3 1 2 3 1
a+
− < −
thì
A.
1
a
< −
. B.
1
a
<
. C.
1
a
> −
. D.
1
a
≥ −
.
Câu 27. Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào sai?
A.
( )
( )
2 2
0,01 10
− −
> . B.
( )
( )
2 2
0,01 10
− −
< .
C.
( )
( )
2 2
0,01 10
− −
= . D.
0
1, 0
a a
= ∀ ≠
.
Câu 28. Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào đúng?
A.
(
)
(
)
3 4
2 2 2 2
− < − . B.
(
)
(
)
6
11 2 11 2
7
− > − .
C.
(
)
(
)
3 4
4 2 4 2
− < − . D.
(
)
(
)
4
3 2 3 2
5
− < − .
Câu 29. Nếu
(
)
2 2
3 2 3 2
m−
− < + thì
A.
3
2
m
>
. B.
1
2
m
<
. C.
1
2
m
>
. D.
3
2
m
≠
.
Câu 30. Cho
n
nguyên dương thở mãn
2,
n
≥
khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A.
1
n
n
a a
=
0
a
∀ >
.
B.
1
n
n
a a
=
0
a
∀ ≠
. C.
1
n
n
a a
=
0
a
∀ ≥
.
D.
1
n
n
a a
=
a
∀ ∈
ℝ
.
Câu 31. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
A.
ab a b
=
,
a b
∀
. B.
2 2
0
n n
a
≥
a
∀
,
n
nguyên dương
(
)
1
n
≥
.
C.
2 2n n
a a
=
a
∀
,
n
nguyên dương
(
)
1
n
≥
. D.
24
a a
=
0
a
∀ ≥
.
Câu 32. Cho
0, 0
a b
> <
, khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
A.
4 44
a b ab
=
.
B.
3 3 3
a b ab
=
. C.
2 2
a b ab
= .
D.
4 2 2
a b a b
= − .
Câu 33. Tìm điều kiện của
a
để khẳng định
2
(3 ) 3
a a
− = −
là khẳng định đúng ?
A.
a
∀ ∈
ℝ
. B.
3
a
≤
. C.
3
a
>
. D.
3
a
≥
.
Câu 34. Cho
a
là số thực dương,
,
m n
tùy ý. Phát biểu nào sau đây là phát biểu sai ?
A. .
m n m n
a a a
+
= . B.
n
n m
m
a
a
a
−
= . C.
(
)
n
m m n
a a
+
= . D.
(
)
.
n
m m n
a a
= .
Câu 35. Bạn An trong quá trình biến đổi đã làm như sau:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1 2 3 4
1 2
2
3
6
3 6
27 27 27 27 3
− = − = − = − =
bạn
đã sai ở bước nào?
A.
(
)
4
. B.
(
)
2
. C.
(
)
3
. D.
(
)
1
.
Câu 36. Nếu
(
)
3 2 3 2
x
− > + thì
A.
x
∀ ∈
ℝ
. B.
1
x
<
. C.
1
x
> −
. D.
1
x
< −
.
Câu 37. Với giá trị nào của
a
thì phương trình
( )
2
4 2
4
1
2
2
ax x a− −
−
= có hai nghiệm thực phân biệt.
A.
0
a
≠
. B.
a
∀ ∈
ℝ
. C.
0
a
. D.
0
a
>
Câu 38. Tìm biểu thức không có nghĩa trong các biểu thức sau:
A.
( )
4
3
−
− . B.
( )
1
3
3
−
− . C.
4
0
. D.
0
3
1
2
−
.
TÀI LI
TÀI LITÀI LI
TÀI LIỆ
ỆỆ
ỆU H
U HU H
U HỌ
ỌỌ
ỌC T
C TC T
C TẬ
ẬẬ
ẬP TOÁN 1
P TOÁN 1P TOÁN 1
P TOÁN 12
22
2
–
––
–
M
MM
MŨ
Ũ Ũ
Ũ -
--
-
LOGARIT
LOGARITLOGARIT
LOGARIT
76
7676
76
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2
Câu 39. Đơn giản biểu thức
2 1
2
1
.P a
a
−
=
được kết quả là
A.
2
a
. B.
2 2 1
a
−
. C.
1 2
a
−
. D.
a
.
Câu 40. Biểu thức
( )
a
π
+ có nghĩa với :
A.
2
a
> −
. B.
a
∀ ∈
ℝ
. C.
0
a
>
. D.
2
a
< −
Câu 41. Ch
2
2
2
, 0, 0
n
n
n
a a
ab b
b
b
= ∀ ≥ ≠
khẳng định nào sau đây đúng?
A.
1
n
n
a a
= ,
0
a
∀ ≠
. B.
1
n
n
a a
= ,
0
a
∀ >
. C.
1
n
n
a a
= ,
0
a
∀ ≥
. D.
1
n
n
a a
= ,
a
∀ ∈
ℝ
.
Câu 42. Nếu
1
1
6
2
a a
>
và
2 3
b b
>
thì
A.
1;0 1
a b
> < <
. B.
1; 1
a b
> <
. C.
0 1; 1
a b
< < <
. D.
1;0 1
a b
< < <
Câu 43. Cho
a
,
b
là các số dương. Rút gọn biểu thức
(
)
4
3 24
3
12 6
.
.
a b
P
a b
= được kết quả là
A.
2
ab
. B.
2
a b
. C.
ab
. D.
2 2
a b
.
Câu 44. Cho
3 27
α
<
. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A.
3
3
α
α
< −
>
. B.
3
α
>
. C.
3
α
<
. D.
3 3
α
− < <
.
Câu 45. Giá trị của biểu thức
( ) ( )
1 1
1 1
A a b
− −
= + + + với
(
)
1
2 3
a
−
= + và
(
)
1
2 3
b
−
= −
A. 3. B. 2. C. 1. D. 4.
Câu 46. Với giá trị nào của
x
thì đẳng thức
2016 2016
x x
= −
đúng
A. Không có giá trị
x
nào. B.
0
x
.
C.
0
x
. D.
0
x
.
Câu 47. Với giá trị nào của
x
thì đẳng thức
2017
2017
=
x x
đúng
A.
0
x
. B. x
∀ ∈
ℝ
.
C.
0
x
. D. Không có giá trị
x
nào.
Câu 48. Với giá trị nào của
x
thì đẳng thức
44
1
x
x
=
đúng
A.
0
x
. B.
0
x
.
C.
1
x
≠ ±
. D. Không có giá trị
x
nào.
Câu 49. Căn bậc 4 của 3 là
A.
3
4
. B.
4
3
. C.
4
3
−
. D.
4
3
±
.
Câu 50. Căn bậc 3 của – 4 là
A.
3
4
± −
. B.
3
4
−
. C.
3
4
− −
. D. Không có.
Câu 51. Căn bậc
2017
của
2017
−
là
A.
2016
2016
− . B. Không có. C.
2016
2016
− . D.
2016
2016
.
Câu 52. Trong các biểu thức sau biểu thức nào không có nghĩa
A.
( )
0
2016
−
. B.
( )
2016
2016−
. C.
2016
0
−
. D.
( )
2016
2016
−
−
.
GV. TR
GV. TRGV. TR
GV. TRẦ
ẦẦ
ẦN QU
N QUN QU
N QUỐ
ỐỐ
ỐC NGH
C NGHC NGH
C NGHĨA
ĨAĨA
ĨA
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầ
ầầ
ầm & biên t
m & biên tm & biên t
m & biên tậ
ậậ
ập)
p)p)
p)
77
7777
77
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2
Câu 53. Với giá trị nào của
x
thì biểu thức
( )
1
2
3
4 −
x
sau có nghĩa
A.
2
≥
x . B.
2 2
x
− < <
.
C.
2
≤ −
x . D. Không có giá trị
x
nào.
Câu 54. Cho số thực dương
a
. Rút gọn biểu thức
2
1 1
1 1 1 1
2 2 2 2
4 9 4 3
2 3
− −
− −
− − +
+
− −
a a a a
a a a a
A.
1
2
9
a
. B.
9
a
. C.
3
a
. D.
1
2
3
a
.
Câu 55. Cho số thực dương
,
a b
. Rút gọn biểu thức
( )
2 2
3 3 3
3 3
a b a b ab
+ + −
A.
1 1
3 3
−
a b
. B.
−
a b
. C.
+
a b
. D.
1 1
3 3
+
a b
.
Câu 56. Cho số thực dương
a
. Rút gọn biểu thức
11
16
:a a a a a
A.
3
4
a
. B.
1
2
a
. C.
a
. D.
1
4
a
.
Câu 57. Cho
1
+ =
a b
thì
4 4
4 2 4 2
+
+ +
a b
a b
bằng
A. 4. B. 2. C. 3. D. 1.
Câu 58. Có bao nhiêu giá trị
x
thỏa mãn
( )
2
6
2
3 3 1
− −
− + =
x x
x x
A.
2
. B.
3
. C.
4
. D.
1
.
Câu 59. Có bao nhiêu giá trị
x
thỏa mãn
(
)
(
)
2
3 2 2
5 2 5 2
− −
+ = −
x x x
đúng
A. 3. B. 3. C. 2. D. 1.
Câu 60. Biết
4 4 23
x x−
+ =
tính giá trị của biểu thức
2 2
x x
P
−
= +
ta được kết quả là
A.
5
. B.
27
. C.
23
. D.
25
.
Câu 61. Cho
a
là số thực dương. Biểu thức
4
3
8
a
được viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ là
A.
3
2
a
. B.
2
3
a
. C.
3
4
a
. D.
4
3
a
.
Câu 62. Cho
x
là số thực dương. Biểu thức
24
3
x x
được viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ là
A.
7
12
x
. B.
5
6
x
. C.
12
7
x
. D.
6
5
x
.
Câu 63. Cho
b
là số thực dương. Biểu thức
2
5
3
b b
b b
được viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ là
A. – 2. B. – 1. C. 2. D. 1.
Câu 64. Cho
x
là số thực dương. Biểu thức
x x x x x x x x
được viết dưới dạng lũy thừa với
số mũ hữu tỉ là
A.
256
255
x
. B.
255
256
x
. C.
127
128
x
. D.
128
127
x
.
TÀI LI
TÀI LITÀI LI
TÀI LIỆ
ỆỆ
ỆU H
U HU H
U HỌ
ỌỌ
ỌC T
C TC T
C TẬ
ẬẬ
ẬP TOÁN 1
P TOÁN 1P TOÁN 1
P TOÁN 12
22
2
–
––
–
M
MM
MŨ
Ũ Ũ
Ũ -
--
-
LOGARIT
LOGARITLOGARIT
LOGARIT
78
7878
78
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2
Câu 65. Cho hai số thực dương
a
và
b
. Biểu thức
5
3
a b a
b a b
được viết dưới dạng lũy thừa với số mũ
hữu tỉ là
A.
7
30
x
. B.
31
30
a
b
. C.
30
31
a
b
. D.
1
6
a
b
.
Câu 66. Cho các số thực dương
a
và
b
. Rút gọn biểu thức
(
)
(
)
1 2 2 1 2 4
3 3 3 3 3 3
.
P a b a a b b
= − ⋅ + + được kết
quả là
A.
a b
−
. B.
2
a b
−
. C.
b a
−
. D.
3 3
a b
−
.
Câu 67. Cho các số thực dương
a
và
b
. Rút gọn biểu thức
4
4 4 4 4
a b a ab
P
a b a b
− +
= −
− +
được kết quả là
A.
4
b
. B.
4 4
a b
− . C.
b a
−
. D.
4
a
.
Câu 68. Cho các số thực dương
a
và
b
. Rút gọn biểu thức
( )
2
3 3 3
3 3
:
a b
P ab a b
a b
+
= − −
+
được
kết quả là
A.
1
−
. B.
1
. C.
2
. D.
2
−
.
Câu 69. Cho các số thực dương
a
và
b
. Biểu thức thu gọn của biểu thức
1 1
3 3
3
6 6
a b b a
P ab
a b
+
= −
+
là
A.
0
. B.
1
−
. C.
1
. D.
2
−
.
Câu 70. Cho số thực dương
a
. Biểu thức thu gọn của biểu thức
(
)
( )
4 1 2
3 3 3
1 3 1
4 4 4
a a a
P
a a a
−
−
+
=
+
là
A.
1
. B.
1
a
+
. C.
2
a
. D.
a
.
Câu 71. Cho
0, 0
a b
> >
. Biểu thức thu gọn của biểu thức
(
)
(
)
(
)
1 1 1 1 1 1
4 4 4 4 2 2
P a b a b a b
= − ⋅ + ⋅ + là
A.
10 10
a b
− . B.
a b
− . C.
a b
−
. D.
8 8
a b
− .
Câu 72. Cho
0, 0
a b
> >
.Biểu thức thu gọn của biểu thức
(
)
1 1
3 3
3 3
: 2
a b
P a b
b a
= + + +
là
A.
3
ab
. B.
3
3 3
ab
a b
+
. C.
( )
3
3
3 3
ab
a b
+
. D.
(
)
3 3 3
ab a b
+ .
Câu 73. Cho
0, 0
a b
> >
và
a b
≠
. Biểu thức thu gọn của biểu thức
3 3
6 6
a b
P
a b
−
=
−
là
A.
6 6
a b
+ . B.
6 6
a b
− . C.
3 3
b a
− . D.
3 3
a b
+ .
Câu 74. So sánh hai số
m
và
n
nếu
3,2 3,2
m n
< thì:
A.
m n
>
. B.
m n
=
.
C.
m n
<
. D. Không so sánh được.
GV. TR
GV. TRGV. TR
GV. TRẦ
ẦẦ
ẦN QU
N QUN QU
N QUỐ
ỐỐ
ỐC NGH
C NGHC NGH
C NGHĨA
ĨAĨA
ĨA
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầ
ầầ
ầm & biên t
m & biên tm & biên t
m & biên tậ
ậậ
ập)
p)p)
p)
79
7979
79
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2
Câu 75. So sánh hai số
m
và
n
nếu
( ) ( )
2 2
m n
<
A
m n
>
. B.
m n
=
.
C.
m n
<
. D. Không so sánh được.
Câu 76. So sánh hai số
m
và
n
nếu
1 1
9 9
m n
>
.
A. Không so sánh được. B.
m n
=
.
C.
m n
>
. D.
m n
<
.
Câu 77. So sánh hai số
m
và
n
nếu
3 3
2 2
m n
>
.
A.
m n
<
. B.
m n
=
.
C.
m n
>
. D. Không so sánh được.
Câu 78. So sánh hai số
m
và
n
nếu
( ) ( )
5 1 5 1
m n
− < −
.
A.
m n
=
. B.
m n
<
.
C.
m n
>
. D. Không so sánh được.
Câu 79. So sánh hai số
m
và
n
nếu
( ) ( )
2 1 2 1
m n
− < −
.
A.
m n
>
. B.
m n
=
.
C.
m n
<
. D. Không so sánh được.
Câu 80. Kết luận nào đúng về số thực
a
nếu
2 1
3 3
( 1) ( 1)
a a
− −
− < − ?
A.
2
a
>
. B.
0
a
>
. C.
1
a
>
. D.
1 2
a
< <
.
Câu 81. Kết luận nào đúng về số thực
a
nếu
3 1
(2 1) (2 1)
a a
− −
+ > + ?
A.
1
0
2
1
a
a
− < <
< −
. B.
1
0
2
a
− < <
. C.
0 1
1
a
a
< <
< −
. D.
1
a
< −
.
Câu 82. Kết luận nào đúng về số thực
a
nếu
0,2
2
1
a
a
−
<
?
A.
0 1
a
< <
. B.
0
a
>
. C.
1
a
>
. D.
0
a
.
Câu 83. Kết luận nào đúng về số thực
a
nếu
( ) ( )
1
1
3
2
1 1a a
−
−
− > − ?
A.
1
a
<
. B.
0
a
>
. C.
0 1
a
< <
. D.
1
a
>
.
Câu 84. Kết luận nào đúng về số thực
a
nếu
( ) ( )
3
2
4
2 2
a a
− > − ?
A.
1
a
>
. B.
0 1
a
< <
. C.
1 2
a
< <
. D.
1
a
<
.
Câu 85. Kết luận nào đúng về số thực
a
nếu
1 1
2 2
1 1
a a
−
>
?
A.
1 2
a
< <
. B.
1
a
<
. C.
1
a
>
. D.
0 1
a
< <
.
Câu 86. Kết luận nào đúng về số thực
a
nếu
3 7
a a
>
?
A.
1
a
<
. B.
0 1
a
< <
. C.
1
a
>
. D.
1 2
a
< <
.
Câu 87. Kết luận nào đúng về số thực
a
nếu
1 1
17 8
a a
− −
>
?
A.
1
a
>
. B.
1
a
<
. C.
0 1
a
< <
. D.
1 2
a
< <
.
TÀI LI
TÀI LITÀI LI
TÀI LIỆ
ỆỆ
ỆU H
U HU H
U HỌ
ỌỌ
ỌC T
C TC T
C TẬ
ẬẬ
ẬP TOÁN 1
P TOÁN 1P TOÁN 1
P TOÁN 12
22
2
–
––
–
M
MM
MŨ
Ũ Ũ
Ũ -
--
-
LOGARIT
LOGARITLOGARIT
LOGARIT
80
8080
80
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2
Câu 88. Kết luận nào đúng về số thực
a
nếu
0,25 3
a a
− −
>
?
A.
1 2
a
< <
. B.
1
a
<
. C.
0 1
a
< <
. D.
1
a
>
.
Câu 89. Rút gọn biểu thức
1,5 1,5
0,5 0,5
0,5 0,5
0.5 0.5
a b
a b
a b
a b
+
−
+
−
ta được:
A.
a b
+
. B.
a b
− . C.
a b
+ . D.
a b
−
.
Câu 90. Rút gọn biểu thức
1 1 1 1 3 1
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1
2 2 2 2
2
.
x y x y x y y
x y x y
xy x y xy x y
− +
+ −
+ −
+ −
được kết quả là
A.
x y
. B.
x y
+
. C.
2
. D.
2
xy
.
Câu 91. Biểu thức
(
)
2 3
( 3 2) 2
f x x x x
−
= − + − xác định với :
A.
(0; ) \{1; 2}
x
∀ ∈ +∞
. B.
[0; )
x
∀ ∈ +∞
.
C.
[0; ) \{1;2}
x
∀ ∈ +∞
. D.
[0; ) \{1}
x
∀ ∈ +∞
.
Câu 92. Biểu thức
( )
2
2
3
2
4 3
2 3 1
x x
f x
x x
−
−
=
+ +
xác định khi:
A.
1 4
1; 0;
2 3
x
∈ − − ∪
. . B.
1 4
( ; 1) ;0 ;
2 3
x
∈ −∞ − ∪ − ∪ +∞
.
C.
1 4
1; 0;
2 3
x
∈ − − ∪
. D.
4
1;
3
x
∈ −
.
Câu 93. Biểu thức
( )
( )
1
3 2
4
3 2
f x x x= − +
chỉ xác định với :
A.
(
)
1 3;x
∈ + +∞
. B.
(
)
(
)
;1 3 1;1 3
x∈ −∞ − ∪ + .
C.
(
)
1 3;1
x∈ − . D.
(
)
(
)
1 3;1 1 3;x
∈ − ∪ + +∞
.
Câu 94. Tìm giá trị
x
thỏa mãn
( )
2
5 6
2
3 2 1
x x
x x
− +
− + =
.
A.
2
x
=
. B.
3
x
=
. C.
2; 3
x x
= =
. D. Không tồn tại
x
.
Câu 95. Với giá trị nào của
x
thì
(
)
5 3
2 5 2
( 4) 4
x
x
x x
−
−
+ > +
?
A.
1
2
x
> −
. B.
1
2
x
<
. C.
1
2
x
< −
. D.
1
2
x
>
.
Câu 96. Cho
( ) ( )
2 1
3 3
1 1
a a
− −
− < −
khi đó
A.
2
a
>
. B.
1
a
<
. C.
1
a
>
. D.
2
a
<
.
Câu 97. Cho
1 2
x
a
−
= +
,
1 2
x
b
= +
. Biểu thức biểu diễn
b
theo
a
là
A.
2
1
a
a
−
−
. B.
1
a
a
−
. C.
2
1
a
a
+
−
. D.
1
a
a
−
.
Câu 98. Cho số thực dương
a
. Biểu thức thu gọn của biểu thức
(
)
( )
4 1 2
3 3 3
1 3 1
4 4 4
a a a
P
a a a
−
−
+
=
+
là
A.
a
. B.
1
a
+
. C.
2
a
. D.
1
.
GV. TR
GV. TRGV. TR
GV. TRẦ
ẦẦ
ẦN QU
N QUN QU
N QUỐ
ỐỐ
ỐC NGH
C NGHC NGH
C NGHĨA
ĨAĨA
ĨA
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầ
ầầ
ầm & biên t
m & biên tm & biên t
m & biên tậ
ậậ
ập)
p)p)
p)
81
8181
81
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2
Câu 99. Cho các số thực dương
a
và
b
. Biểu thức thu gọn của biểu thức
(
)
(
)
(
)
1 1 1 1 1 1
4 4 4 4 2 2
2 3 2 3 4 9
P a b a b a b
= − ⋅ + ⋅ +
có dạng là
P xa yb
= +
. Tính
x y
+
.
A.
97
x y
+ =
. B.
65
x y
+ = −
. C.
56
x y
− =
. D.
97
y x
− = −
.
Câu 100. Cho các số thực dương
a
và
b
. Biểu thức thu gọn của biểu thức
1 1
3 3
3
6 6
a b b a
P ab
a b
+
= −
+
là
A.
2
−
. B.
1
−
. C.
1
. D.
0
.
Câu 101. Cho các số thực dương
a
và
b
. Biểu thức thu gọn của biểu thức
( )
2
3 3 3
3 3
:
a b
P ab a b
a b
+
= − −
+
A.
1
−
. B.
1
. C.
2
. D.
2
−
.
Câu 102. Cho các số thực dương phân biệt
a
và
b
. Biểu thức thu gọn của biểu thức
4
4 4 4 4
4 16
a b a ab
P
a b a b
− +
= −
− +
có dạng
4 4
P m a n b
= + . Khi đó biểu thức liên hệ giữa
m
và
n
là
A.
2 3
m n
− = −
. B.
2
m n
+ = −
. C.
0
m n
− =
. D.
3 1
m n
+ = −
.
Câu 103. Biểu thức thu gọn của biểu thức
(
)
1 1 1
2 2 2
1 1
2 2
2 2 1
,( 0, 1),
1
2 1
a a a
P a a
a
a a a
+ − +
= − ⋅ > ≠ ±
−
+ +
có dạng
m
P
a n
= ⋅
+
Khi đó biểu thức liên hệ giữa
m
và
n
là
A.
3 1
m n
+ =
. B.
2
m n
+ = −
. C.
0
m n
− =
. D.
2 5
m n
− =
.
Câu 104. Một người gửi số tiền 2 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất
0,65% /
tháng. Biết rằng nếu
người đó không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi tháng, số tiền lãi sẽ được nhập vào
vốn ban đầu (người ta gọi đó là lãi kép). Số tiền người đó lãnh được sau hai năm, nếu trong
khoảng thời gian này không rút tiền ra và lãi suất không đổi là
A.
24
(2,0065)
triệu đồng. B.
24
(1,0065)
triệu đồng.
C.
24
2.(1,0065)
triệu đồng. D.
24
2.(2,0065)
triệu đồng.
Câu 105. Một người gửi số tiền
M
triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất
0,7% /
tháng. Biết rằng
nếu người đó không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi tháng, số tiền lãi sẽ được nhập
vào vốn ban đầu (người ta gọi đó là lãi kép). Sau ba năm, người đó muốn lãnh được số tiền là 5
triệu đồng, nếu trong khoảng thời gian này không rút tiền ra và lãi suất không đổi, thì người đó
cần gửi số tiền
M
là
A.
3
triệu
600
ngàn đồng. B.
3
triệu
800
ngàn đồng.
C.
3
triệu
700
ngàn đồng. D.
3
triệu
900
ngàn đồng.
Câu 106. Lãi suất gửi tiết kiệm của các ngân hàng trong thời gian qua liên tục thay đổi. Bác An gửi vào
một ngân hàng số tiền 5 triệu đồng với lãi suất
0,7% /
tháng. Sau sáu tháng gửi tiền, lãi suất
tăng lên
0,9% /
tháng. Đến tháng thứ 10 sau khi gửi tiền, lãi suất giảm xuống
0,6% /
tháng và
giữ ổn định. Biết rằng nếu bác An không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi tháng, số
tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu (người ta gọi đó là lãi kép). Sau một năm gửi tiền, bác
An rút được số tiền là (biết trong khoảng thời gian này bác An không rút tiền ra):
A.
5436521,164
≈
đồng. B.
5468994,09
≈
đồng.
C.
5452733,453
≈
đồng. D.
5452771,729
≈
đồng.
TÀI LI
TÀI LITÀI LI
TÀI LIỆ
ỆỆ
ỆU H
U HU H
U HỌ
ỌỌ
ỌC T
C TC T
C TẬ
ẬẬ
ẬP TOÁN 1
P TOÁN 1P TOÁN 1
P TOÁN 12
22
2
–
––
–
M
MM
MŨ
Ũ Ũ
Ũ -
--
-
LOGARIT
LOGARITLOGARIT
LOGARIT
82
8282
82
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2
Vấn đề 2. LOGARIT
Câu 1. Với giá trị nào của
x
thì biểu thức
2
( ) log (2 1)
f x x
= −
xác định?
A.
1
;
2
x
∈ +∞
. B.
1
;
2
x
∈ −∞
. C.
1
\
2
x
∈
ℝ . D.
x ( 1; )
∈ − +∞
.
Câu 2. Với giá trị nào của
x
thì biểu thức
2
( ) ln(4 )
f x x
= − xác định?
A.
( 2;2)
x
∈ −
. B.
[ 2;2]
x
∈ −
. C.
\[ 2;2]
x
∈ −
ℝ
. D.
\ ( 2;2)
x
∈ −
ℝ
.
Câu 3. Với giá trị nào của
x
thì biểu thức
1
2
1
( ) log
3
x
f x
x
−
=
+
xác định?
A.
[ 3;1]
x
∈ −
. B.
\[ 3;1]
x
∈ −
ℝ
. C.
\ ( 3;1)
x
∈ −
ℝ
. D.
( 3;1)
x
∈ −
.
Câu 4. Với giá trị nào của
x
thì biểu thức:
2
6
( ) log (2 )
f x x x
= − xác định?
A.
0 2
x
< <
. B.
2
x
. C.
1 1
x
− < <
. D.
3
x
<
.
Câu 5. Với giá trị nào của
x
thì biểu thức:
3 2
5
( ) log ( 2 )
f x x x x
= − − xác định?
A.
(0;1)
x
∈
. B.
(1; )
x
∈ +∞
.
C.
( 1;0) (2; )
x
∈ − ∪ +∞
. D.
(0;2) (4; )
x
∈ ∪ +∞
.
Câu 6. Cho
0, 1
a a
> ≠
, giá trị của biểu thức
log 4
a
A a=
bằng bao nhiêu?
A. 8. B. 16. C. 4. D. 2.
Câu 7. Giá trị của biểu thức
2 2 2 2
2log 12 3log 5 log 15 log 150
B = + − −
bằng bao nhiêu?
A. 5. B. 2. C. 4. D. 3.
Câu 8. Giá trị của biểu thức
2 2 2 2
22log 12 3log 5 log 15 log 150
P = + − − bằng bao nhiêu?
A. 2 . B. 3. C. 4 . D. 5.
Câu 9. Cho
0, 1
a a
> ≠
, biểu thức
3
log
a
D a
= có giá trị bằng bao nhiêu?
A. 3. B.
1
3
. C.
3
−
. D.
1
3
−
.
Câu 10. Giá trị của biểu thức
3
7 7 7
1
log 36 log 14 3log 21
2
C = − − bằng bao nhiêu ?
A.
2
−
. B. 2. C.
1
2
−
. D.
1
2
.
Câu 11. Cho
0, 1
a a
> ≠
, biểu thức
2
4log 5
a
E a=
có giá trị bằng bao nhiêu?
A.
5
. B.
625
. C.
25
. D.
8
5
.
Câu 12. Trong các số sau, số nào lớn nhất?
A.
3
5
log
6
. B.
3
5
log
6
. C.
1
3
6
log
5
. D.
3
6
log
5
.
Câu 13. Trong các số sau, số nào nhỏ nhất ?
A.
5
1
log
12
. B.
1
5
log 9
. C.
1
5
log 17
. D.
5
1
log
15
.
Câu 14. Cho
0, 1
a a
> ≠
, biểu thức
2 2 2
(ln log ) ln log
a a
A a e a e
= + + − có giá trị bằng
A.
2
2ln 2
a
+
. B.
4ln 2
a
+
. C.
2
2ln 2
a
−
. D.
2
ln 2
a
+
.
GV. TR
GV. TRGV. TR
GV. TRẦ
ẦẦ
ẦN QU
N QUN QU
N QUỐ
ỐỐ
ỐC NGH
C NGHC NGH
C NGHĨA
ĨAĨA
ĨA
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầ
ầầ
ầm & biên t
m & biên tm & biên t
m & biên tậ
ậậ
ập)
p)p)
p)
83
8383
83
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2
Câu 15. Cho
0, 1
a a
> ≠
, biểu thức
3 2
2ln 3log
ln log
a
a
B a e
a e
= + − − có giá trị bằng
A.
4ln 6log 4
a
a + . B.
4ln
a
. C.
3
3ln
log
a
a
e
− . D.
6log
a
e
.
Câu 16. Cho
0, 0
a b
> >
, nếu viết
(
)
2
3
5
3
3 3 3
log log log
5 15
x y
a b a b
= + thì
x y
+
bằng bao nhiêu?
A. 3. B. 5. C. 2. D. 4.
Câu 17. Cho
0, 0
a b
> >
, nếu viết
0,2
10
5 5 5
6 5
log log log
a
x a y b
b
−
= +
thì
xy
bằng bao nhiêu ?
A.
3
. B.
1
3
. C.
1
3
−
. D.
3
−
.
Câu 18. Cho
3 3 9
3
log 3log 2 log 25 log 3
x = + − . Khi đó giá trị của
x
là :
A.
200
3
. B.
40
9
. C.
20
3
. D.
25
9
.
Câu 19. Cho
7 7 49
1
log 2log 6 log
a b
x
= − . Khi đó giá trị của
x
là :
A.
2 6
a b
−
. B.
2
3
a
x
b
= . C.
2 3
x a b
= . D.
3
2
b
x
a
= .
Câu 20. Cho
, , 0; 1
a b c a
> ≠
và số
α
∈
ℝ
, Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. log
c
a
a c
=
. B.
log 1
a
a
=
.
C.
log log
a a
b b
α
α
= . D.
log ( ) log log
a a a
b c b c
− = − .
Câu 21. Cho
, , 0; 1
a b c a
> ≠
, Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A.
1
log
log
a
b
b
a
= . B.
log .log log
a b a
b c c
= .
C.
log log
c
a
a
b c b
= . D.
log ( . ) log log
a a a
b c b c
= + .
Câu 22. Cho
, , 0
a b c
>
và
, 1
a b
≠
, Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A.
log
a
b
a b
=
. B. log log
a a
b c b c
= ⇔ =
.
C.
log
log
log
a
b
a
c
c
b
= . D. log log
a a
b c b c
> ⇔ >
.
Câu 23. Cho
, , 0
a b c
>
và
1
a
>
. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. log log
a a
b c b c
< ⇔ <
. B. log log
a a
b c b c
> ⇔ >
.
C. log
a
b c b c
> ⇔ >
. D.
b c
a a b c
> ⇔ >
.
Câu 24. Cho
, , 0
a b c
>
và
1
a
<
.Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. log log
a a
b c b c
> ⇔ <
. B.
2 3
a a
<
.
C. log log
a a
b c b c
< ⇔ >
. D.
log 0 1
a
b b
> ⇔ <
.
Câu 25. Số thực
a
thỏa điều kiện
3 2
log (log ) 0
a
=
là
A.
1
3
. B. 3. C.
1
2
. D. 2.
TÀI LI
TÀI LITÀI LI
TÀI LIỆ
ỆỆ
ỆU H
U HU H
U HỌ
ỌỌ
ỌC T
C TC T
C TẬ
ẬẬ
ẬP TOÁN 1
P TOÁN 1P TOÁN 1
P TOÁN 12
22
2
–
––
–
M
MM
MŨ
Ũ Ũ
Ũ -
--
-
LOGARIT
LOGARITLOGARIT
LOGARIT
84
8484
84
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2
Câu 26. Biết các logarit sau đều có nghĩa. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ?
A. log log
a a
b c b c
= ⇔ =
. B. log log
a a
b c b c
> ⇔ >
C. log log
a a
b c b c
> ⇔ <
. D.
log log 0 0
a a
b c b c
+ < ⇔ + <
.
Câu 27. Cho
, , 0
a b c
>
và
1
a
≠
. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai ?
A.
log ( ) log log
a a a
bc b c
= + . B.
log ( ) log log
a a a
b
b c
c
= − .
C. log
c
a
b c b a
= ⇔ =
. D.
log ( ) log log
a a a
b c b c
+ = + .
Câu 28. Số thực
x
thỏa mãn điều kiện
2 4 8
log log log 11
x x x
+ + =
là :.
A. 64. B.
11
6
2
. C. 8. D. 4.
Câu 29. Số thực
x
thỏa mãn điều kiện
3
log 2 2 4
x
=
là
A.
3
2
. B. .
3
1
2
C. 4. D. 2.
Câu 30. Cho
, 0
a b
>
và
, 1
a b
≠
. Biểu thức
2
2
2
log
log
a
a
b
P b
a
= +
có giá trị bằng bao nhiêu?
A. 6. B. 3. C. 4. D. 2.
Câu 31. Cho
, 0
a b
>
và
, 1
a b
≠
, biểu thức
3 4
log .log
b
a
P b a
= có giá trị bằng bao nhiêu?
A. 6. B. 24. C. 12. D. 18.
Câu 32. Giá trị của biểu thức
8 16
3log 3 2log 5
4
+
là
A. 20. B. 40. C. 45. D. 25 .
Câu 33. Giá trị của biểu thức
(
)
3
5
log
a
P a a a
=
là
A.
53
30
. B.
37
10
. C. 20. D.
1
15
.
Câu 34. Giá trị của biểu thức
3 4 5 16
log 2.log 3.log 4...log 15
A = là
A.
1
2
. B.
3
4
. C.
1
. D.
1
4
.
Câu 35. Giá trị của biểu thức
3 53 2 3
1
4
log
a
a a a
a a
là.
A.
1
5
. B.
3
4
. C.
211
− . D.
91
60
.
Câu 36. Trong 2 số
3
log 2
và
2
log 3
, số nào lớn hơn 1?
A.
2
log 3
. B.
3
log 2
.
C. Cả hai số . D. Đáp án khác.
Câu 37. Cho 2 số
1999
log 2000
và
2000
log 2001
. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A.
1999 2000
log 2000 log 2001
> . B. Hai số trên nhỏ hơn 1.
C. Hai số trên lớn hơn 2. D.
1999 2000
log 2000 log 2001
≥ .
Câu 38. Các số
3
log 2
,
2
log 3
,
3
log 11
được sắp xếp theo thứ tự tăng dần là
A.
3 3 2
log 2, log 11, log 3
. B.
3 2 3
log 2, log 3, log 11
.
C.
2 3 3
log 3, log 2, log 11
. D.
3 3 2
log 11, log 2, log 3
.
GV. TR
GV. TRGV. TR
GV. TRẦ
ẦẦ
ẦN QU
N QUN QU
N QUỐ
ỐỐ
ỐC NGH
C NGHC NGH
C NGHĨA
ĨAĨA
ĨA
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầ
ầầ
ầm & biên t
m & biên tm & biên t
m & biên tậ
ậậ
ập)
p)p)
p)
85
8585
85
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2
Câu 39. Số thực
x
thỏa mãn điều kiện
(
)
3
log 2 3
x
+ =
là
A.
5
. B.
25
−
. C.
25
. D.
3
−
.
Câu 40. Số thực
x
thỏa mãn điều kiện
3 9
3
log log
2
x x
+ =
là :
A.
3
−
. B.
25
. C.
3
. D.
9
.
Câu 41. Cho
(
)
3 3 3
log 4log 7 log , 0
x a b a b
= + >
. Giá trị của
x
tính theo
,
a b
là
A.
ab
. B.
4
a b
. C.
4 7
a b
. D.
7
b
.
Câu 42. Cho
(
)
(
)
2 2
2 2
log 1 log 0
x y xy xy
+ = + >
. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau ?
A.
x y
>
. B.
x y
=
.
C.
x y
<
. D.
2
x y
=
.
Câu 43. Cho
( ) ( )
1 4
4
1
log log =1 0,
y x y y x
y
− − > >
. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
A.
3 4
x y
=
. B.
3
4
x y
= − . C.
3
4
x y
= . D.
3 4
x y
= −
.
Câu 44. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
A.
(
)
2 2
log 2log 0
a a
x x x
= >
. B.
log log log
a a a
xy x y
= + .
C.
(
)
log log log 0
a a a
xy x y xy
= + >
. D.
(
)
log log log 0
a a a
xy x y xy
= + >
.
Câu 45. Cho
, 0
>
x y và
2 2
4 12
+ =
x y xy
. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ?
A.
2 2 2
2
log log log
4
+
= −
x y
x y
. B.
2 2 2
1
log ( 2 ) 2 (log log )
2
+ = + +
x y x y
.
C.
2 2 2
log ( 2 ) log log 1
+ = + +
x y x y
. D.
2 2 2
4log ( 2 ) log log
+ = +
x y x y
.
Câu 46. Cho
, 0
a b
và
2 2
7
+ =
a b ab
. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ?
A.
2log( ) log log
a b a b
+ = +
. B.
4log log log
6
+
= +
a b
a b
.
C.
1
log (log log )
3 2
+
= +
a b
a b
. D.
log 3(log log )
3
+
= +
a b
a b
.
Câu 47. Cho
2
log 6
=
a
. Khi đó giá trị của
3
log 18
được tính theo
a
là
A.
a
. B.
1
a
a
+
. C.
2 3
+
a
. D.
2 1
1
a
a
−
−
.
Câu 48. Cho
2
log 5
a
. Khi đó giá trị của
4
log 1250
được tính theo
a
là :
A.
1 4
2
−
a
. B.
2(1 4 )
+
a
. C.
1 4
+
a
. D.
1 4
2
+
a
.
Câu 49. Biết
7
log 2
=
m
, khi đó giá trị của
49
log 28
được tính theo
m
là
A.
2
4
+
m
. B.
1
2
+
m
. C.
1 4
2
+
m
. D.
1 2
2
+
m
.
Câu 50. Biết
2 5
log 5, log 3
= =a b ; khi đó giá trị của
10
log 15
được tính theo
a
là
A.
1
+
+
a b
a
. B.
1
1
+
+
ab
a
. C.
1
1
−
+
ab
a
. D.
( 1)
1
+
+
a b
a
.
TÀI LI
TÀI LITÀI LI
TÀI LIỆ
ỆỆ
ỆU H
U HU H
U HỌ
ỌỌ
ỌC T
C TC T
C TẬ
ẬẬ
ẬP TOÁN 1
P TOÁN 1P TOÁN 1
P TOÁN 12
22
2
–
––
–
M
MM
MŨ
Ũ Ũ
Ũ -
--
-
LOGARIT
LOGARITLOGARIT
LOGARIT
86
8686
86
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2
Câu 51. Cho
3 3
log 15; log 10
= =a b . Khi đó giá trị của
3
log 50
được tính theo
,
a b
là :
A.
2( 1)
a b
− −
. B.
2( 1)
a b
+ −
. C.
2( 1)
a b
+ +
. D.
2( 1)
a b
− +
.
Câu 52. Biết
5
log 3
=
a
, khi đó giá trị của
15
log 75
được tính theo
a
là
A.
2
1
+
+
a
a
. B.
1 2
1
+
+
a
a
. C.
1
2
+
+
a
a
. D.
2
.
Câu 53. Biết
4
log 7
=
a
, khi đó giá trị của
2
log 7
được tính theo
a
là
A.
2
a
. B.
1
2
a
. C.
1
4
a
. D.
4
a
.
Câu 54. Biết
5
log 3
=
a
, khi đó giá trị của
3
27
log
25
được tính theo
a
là
A.
3
2
a
. B.
3
2
a
. C.
3 2
a
a
. D.
3 2
a
a
.
Câu 55. Biết
2 5
log 5, log 3
= =a b . Khi đó giá trị của
24
log 15
được tính theo
a
là :
A.
1
+
ab
b
. B.
1
1
+
+
ab
a
. C.
1
1
+
+
b
a
. D.
( 1)
3
+
+
a b
ab
.
Câu 56. Cho
12
log 27
=
a
. Khi đó giá trị của
6
log 16
được tính theo
a
là
A.
(
)
4 3
3
+
−
a
a
. B.
(
)
4 3
3
−
+
a
a
. C.
4
3
−
a
a
. D.
2
3
+
a
a
.
Câu 57. Cho
lg3 , lg2
= =
a b
. Khi đó giá trị của
125
log 30
được tính theo
a
là
A.
( )
1
3 1
+
−
a
b
. B.
(
)
4 3
3
−
−
a
b
. C.
3
+
a
b
. D.
3
+
a
a
.
Câu 58. Cho
log 3
=
a
b
. Giá trị của biểu thức
3
log=
b
a
b
A
a
được tính theo
a
là
A.
3
3
− . B.
3
4
. C.
1
3
D.
3
4
− .
Câu 59. Cho
27 8 2
log 5 , log 7 , log 3
= = =
a b c
. Giá trị của
6
log 35
được tính theo
, ,
a b c
là
A.
1
−
ac
c
. B.
1
+
ac
b
. C.
(
)
3
1
ac b
c
+
+
. D.
3 3
3
+
+
ac b
a
.
Câu 60. Cho
2000!
=
x . Giá trị của biểu thức
2 3 2000
1 1 1
...
log log log
= + + +A
x x x
là
A.
1
. B.
1
−
. C.
1
5
. D.
2000
.
Câu 61. Biết
7 12
log 12, log 24
= =a b . Khi đó giá trị của
54
log 168
được tính theo
a
là
A.
(8 5 )
1
−
+ −
a b
ab a
. B.
1
(8 5 )
+ −
−
ab a
a b
. C.
(8 5 )
1
−
+
a b
ab
. D.
1
(8 5 )
+
−
ab
a b
.
Câu 62. Biết
log 2,log 3
= = −
a a
b c . Khi đó giá trị của bieeur thức
2 3
4
a
log
a
b
c
bằng:
A.
20
. B.
2
3
−
. C.
1
−
. D.
3
2
.
GV. TR
GV. TRGV. TR
GV. TRẦ
ẦẦ
ẦN QU
N QUN QU
N QUỐ
ỐỐ
ỐC NGH
C NGHC NGH
C NGHĨA
ĨAĨA
ĨA
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầ
ầầ
ầm & biên t
m & biên tm & biên t
m & biên tậ
ậậ
ập)
p)p)
p)
87
8787
87
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2
Câu 63. Biết
log 3,log 4
= = −
a a
b c . Khi đó giá trị của biểu thức
(
)
2 2
3
log
a
a bc
bằng:
A.
16 3
3
− . B.
5
−
. C.
16
−
. D.
48
−
.
Câu 64. Rút gọn biểu thức
3
5
log=
a
A a a a
, ta được kết quả là
A.
37
10
. B.
35
10
. C.
3
10
. D.
1
10
.
Câu 65. Rút gọn biểu thức
5 3
3 2
1
4
log=
a
a a a
B
a a
, ta được kết quả là :
A.
91
60
−
. B.
60
91
. C.
16
5
. D.
5
16
−
.
Câu 66. Biết
2 3
log 5, log 5
= =a b . Khi đó giá trị của
6
log 5
được tính theo
,
a b
là :
A.
+
ab
a b
. B.
1
+
a b
. C.
+
a b
. D.
2 2
+
a b
.
Câu 67. Cho
2 3 7
log 3; log 5; log 2
= = =a b c . Khi đó giá trị của biểu thức
140
log 63
được tính theo
, ,
a b c
là
A.
2 1
2 1
−
+ +
ac
abc c
. B.
2 1
2 1
+ +
+
abc c
ac
. C.
2 1
2 1
+
+ +
ac
abc c
. D.
1
2 1
+
+ +
ac
abc c
.
Câu 68. Cho
5 5
log 2; log 3
= =a b . Khi đó giá trị của
5
log 72
được tính theo
,
a b
là :
A.
3 2
+
a b
. B.
3 2
+
a b
. C.
3 2
−
a b
. D.
6
ab
.
Câu 69. Biết
12 24
log 18, log 54
= =a b . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A.
5( ) 1
+ − = −
ab a b
. B.
5 1
+ + =
ab a b .
C.
5( ) 1
+ − =
ab a b
. D.
5 0
+ − =
ab a b .
Câu 70. Biết
(
)
(
)
3 4 2
log log log 0
=
y
, khi đó giá trị của biểu thức
2 1
A y
= +
là
A. 33. B. 17. C. 65. D. 133.
Câu 71. Cho
5
log 0
>
x . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A.
log 5 log 4
x x
≤ . B.
log 5 log 6
x x
> . C.
5
log log 5
x
x = . D.
5 6
log log
x x
> .
Câu 72. Cho
0 1
< <
x
. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A.
3
3
1
2
log 5 log 5 0
+ <
x
B.
3
1
log 5 log
2
>
x x
C.
5
1 1
log log .
2 2
<
x
D.
3
1
log . log 5 0
2
>
x x
Câu 73. Trong bốn số
2 0 ,5
3 3
log 5 log 2
log 4 2log 2
1 1
3 , 3 , ,
4 16
số nào nhỏ hơn 1?
A.
0,5
log 2
1
16
. B.
3
2log 2
3 . C.
3
log 4
3
. D.
2
log 5
1
4
.
Câu 74. Gọi
0,5 0,5
log 4 log 13
3 ; N = 3=M
. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A.
1
M N
< <
. B.
1
N M
< <
.
C.
1
M N
< <
. D.
1
N M
< <
.
TÀI LI
TÀI LITÀI LI
TÀI LIỆ
ỆỆ
ỆU H
U HU H
U HỌ
ỌỌ
ỌC T
C TC T
C TẬ
ẬẬ
ẬP TOÁN 1
P TOÁN 1P TOÁN 1
P TOÁN 12
22
2
–
––
–
M
MM
MŨ
Ũ Ũ
Ũ -
--
-
LOGARIT
LOGARITLOGARIT
LOGARIT
88
8888
88
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2
Câu 75. Biểu thức
2 2
log 2sin log cos
12 12
π π
+
có giá trị bằng:
A.
2
−
. B.
1
−
. C. 1. D.
2
log 3 1
−
.
Câu 76. Với giá trị nào của
m
thì biểu thức
5
( ) log ( )
= −
f x x m
xác định với mọi
( 3; )
∈ − +∞
x
?
A.
3
> −
m . B.
3
< −
m .
C.
3
≤ −
m . D.
3
≥ −
m .
Câu 77. Với giá trị nào của
m
thì biểu thức
1
2
( ) log (3 )( 2 )
= − +
f x x x m
xác định với mọi
[ 4;2]
∈ −
x
?
A.
2
≥
m . B.
3
2
≥
m
. C.
2
>
m . D.
1
≥ −
m .
Câu 78. Với giá trị nào của
m
thì biểu thức
3
( ) log ( )( 3 )
= − −
f x m x x m
xác định với mọi
( 5;4]
∈ −
x
?
A.
0
≠
m . B.
4
3
>
m
.
C.
5
3
< −
m
. D.
∈∅
m .
Câu 79. Với mọi số tự nhiên n, Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A.
2 2
log log ... 2
n
n =
c¨n bËc hai
. B.
2 2
log log ... 2
n
n = −

c¨n bËc hai
.
C.
2 2
2 log log ... 2
n căn
n = +

bËc hai
. D.
2 2
2 log log ... 2
n căn
n = −

bËc hai
.
Câu 80. Cho các số thực
, ,
a b c
thỏa mãn:
3 7 11
log 7 log 11 log 25
27, 49, 11
= = =a b c
. Giá trị của biểu thức
2
2
2 (log 11)
(log 25)
7
11
3
(log 7)
= + +A a b c
là
A. 519. B. 729. C. 469. D. 129.
Câu 81. Kết quả rút gọn của biểu thức
(
)
log log 2 log log log
= + + −
a b a ab a
C b a b b b
là
A.
3
log
a
b
. B.
. log
a
b
.
C.
(
)
3
log
a
b
. D.
log
a
b
.
Câu 82. Cho
, , 0
a b c
>
đôi một khác nhau và khác 1, Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A.
2 2 2
log ;log ;log 1
=
a b c
b c a
c a b
b c a
. B.
2 2 2
log ;log ;log 1
>
a b c
b c a
c a b
b c a
.
C.
2 2 2
log ;log ;log 1
> −
a b c
b c a
c a b
b c a
. D.
2 2 2
log ;log ;log 1
<
a b c
b c a
c a b
b c a
.
Câu 83. Gọi
( ; )
x y
là nghiệm nguyên của phương trình
2 3
+ =
x y
sao cho
P x y
= +
là số dương nhỏ
nhất. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
2 3
log log
+
x y
không xác định. B.
2
log ( ) 1
+ =
x y .
C.
2
log ( ) 1
+ >
x y . D.
2
log ( ) 0
+ >
x y .
Câu 84. Có tất cả bao nhiêu số dương
a
thỏa mãn đẳng thức
2 3 5 2 3 5
log log log log .log .log
+ + =
a a a a a a
A. 3. B. 1. C. 2. D. 0.
GV. TR
GV. TRGV. TR
GV. TRẦ
ẦẦ
ẦN QU
N QUN QU
N QUỐ
ỐỐ
ỐC NGH
C NGHC NGH
C NGHĨA
ĨAĨA
ĨA
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầ
ầầ
ầm & biên t
m & biên tm & biên t
m & biên tậ
ậậ
ập)
p)p)
p)
89
8989
89
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2
Vấn đề 3. HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT – HÀM SỐ LŨY THỪA
Câu 1. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A. Đồ thị hàm số
=
x
y a
và đồ thị hàm số
log
=
a
y x
đối xứng nhau qua đường thẳng
=
y x
.
B. Hàm số
=
x
y a
với
0 1
< <
a
đồng biến trên khoảng
( ; )
−∞ +∞
.
C. Hàm số
=
x
y a
với
1
>
a nghịch biến trên khoảng
( ; )
−∞ +∞
.
D. Đồ thị hàm số
=
x
y a
với
0
>
a và
1
≠
a luôn đi qua điểm
( ;1)
M a
.
Câu 2. Tập giá trị của hàm số
( 0; 1)
x
y a a a
= > ≠
là:
A.
(0; )
+∞
. B.
[0; )
+∞
. C.
\{0}
ℝ
. D.
ℝ
.
Câu 3. Với
0
a
>
và
1
a
≠
. Phát biểu nào sau đây không đúng?
A. Hai hàm số
x
y a
=
và
log
a
y x
= có cùng tính đơn điệu.
B. Hai hàm số
x
y a
=
và
log
a
y x
= có cùng tập giá trị.
C. Đồ thị hai hàm số
x
y a
=
và
log
a
y x
= đối xứng nhau qua đường thẳng
y x
=
.
D. Đồ thị hai hàm số
x
y a
=
và
log
a
y x
= đều có đường tiệm cận.
Câu 4. Cho hàm số
(
)
2 1
x
y
= −
. Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng
( ; )
−∞ +∞
.
B. Hàm số đồng biến trên khoảng
(0; )
+∞
C. Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là trục tung.
D. Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là trục hoành.
Câu 5. Tập xác định của hàm số
2017
(2 1)
y x= − là:
A.
1
;
2
D
= +∞
. B.
1
;
2
D
= +∞
. C.
D
=
ℝ
. D.
1
\
2
D
=
ℝ .
Câu 6. Tập xác định của hàm số
2 2
(3 1)
y x
−
= − là:
A.
1
3
D
= ±
. B.
1
\
3
D
= ±
ℝ .
C.
1 1
; ;
3 3
D
= −∞ − ∪ +∞
. D.
1 1
;
3 3
−
.
Câu 7. Tập xác định của hàm số
2
( 3 2)
e
y x x
−
= − + là:
A.
(1;2)
D
=
. B.
\{1;2}
D
=
ℝ
.
C.
(0; )
D
= +∞
. D.
( ;1) (2; )
D
= −∞ ∪ +∞
.
Câu 8. Tập xác định của hàm số
0,5
log ( 1)
y x
= +
là:
A.
\{ 1}
D
= −
ℝ
. B.
( 1; )
D
= − +∞
. C.
(0; )
D
= +∞
. D.
( ; 1)
−∞ −
.
Câu 9. Tìm x để hàm số
2
log 12
y x x
= + −
có nghĩA.
A.
( 4;3)
x
∈ −
. B.
( ; 4) (3; )
x
∈ −∞ − ∪ +∞
.
C.
4
3
x
x
≠ −
≠
. D.
x R
∈
.
Câu 10. Tập xác định của hàm số
2
3
log
2
x
y
x
+
=
là:
A.
( 3;2)
D
= −
. B.
\{ 3;2}
= −
ℝ
D . C.
( ; 3) (2; )
= −∞ − ∪ +∞
D . D.
[ 3;2]
= −
D .
TÀI LI
TÀI LITÀI LI
TÀI LIỆ
ỆỆ
ỆU H
U HU H
U HỌ
ỌỌ
ỌC T
C TC T
C TẬ
ẬẬ
ẬP TOÁN 1
P TOÁN 1P TOÁN 1
P TOÁN 12
22
2
–
––
–
M
MM
MŨ
Ũ Ũ
Ũ -
--
-
LOGARIT
LOGARITLOGARIT
LOGARIT
90
9090
90
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2
Câu 11. Tập xác định của hàm số
1
ln( 1)
2
y x
x
= + −
−
là:
A.
(0; )
D
= +∞
. B.
(1; )
D
= +∞
. C.
(1;2)
D
=
. D.
[1;2]
D
=
.
Câu 12. Tập xác định của hàm số
1
x
x
e
y
e
=
−
là:
A.
( ; )
D e
= +∞
. B.
(0; )
+∞
. C.
\{1}
ℝ
. D.
\{0}
D
=
ℝ
.
Câu 13. Tập xác định
2
2
1
2 5 2 ln
1
y x x
x
= − + − +
−
là:
A.
( 1;1)
D
= −
. B.
[1;2]
D
=
. C.
(1;2]
D
=
. D.
( 1;2)
D
= −
.
Câu 14. Tập xác định của hàm số
ln(ln )
y x
=
là :
A.
(1; )
D
= +∞
. B.
(0; )
D
= +∞
. C.
( ; )
D e
= +∞
. D.
[1; )
D
= +∞
.
Câu 15. Tập xác định của hàm số
2
(3 9)
x
y
−
= − là
A.
(2; )
D
= +∞
. B.
\{0}
D
=
ℝ
. C.
\{2}
D
=
ℝ
. D.
(0; )
D
= +∞
.
Câu 16. Hàm số
1
log
x
y x
−
= xác định khi và chỉ khi :
A.
2
x
≠
. B.
1
x
>
. C.
0
x
>
. D.
1
2
x
x
>
≠
.
Câu 17. Đường cong trong hình bên là đồ
thị của một hàm số trong bốn
hàm số được liệt kê ở bốn
phương án A, B, C, D dưới đây.
Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
A.
2
x
y
=
. B.
y x
=
.
C.
(
)
x
y =
. D.
(
)
2
x
y
−
=
.
Câu 18. Hàm số
1
3
( 1)
y x
= −
có đạo hàm là:
A.
3
1
'
3 ( 1)
y
x
=
−
. B.
2
3
1
'
3 ( 1)
y
x
=
−
. C.
2
3
( 1)
'
3
x
y
−
= . D.
3
( 1)
'
3
x
y
−
= .
Câu 19. Đạo hàm của hàm số
2
4
x
y = là:
A.
2
' 2.4 ln 2
x
y = . B.
2
' 4 .ln 2
x
y = . C.
2
' 4 ln 4
x
y = . D.
2
' 2.4 ln 4
x
y = .
Câu 20. Đạo hàm của hàm số
5
log , 0
y x x
= >
là:
A.
1
'
5 ln5
x
y = . B.
' ln5
y x
=
. C.
' 5 ln 5
x
y = . D.
1
'
ln5
y
x
= .
Câu 21. Hàm số
2
0,5
log ( 0)
y x x
= ≠
có công thức đạo hàm là:
A.
2
2
'
ln0,5
y
x
=
. B.
2
1
'
ln0,5
y
x
=
. C.
2
'
ln0,5
y
x
=
. D.
1
ln0,5
x
.
Câu 22. Đạo hàm của hàm số
3
3
sin log ( 0)
y x x x
= + >
là:
A.
3
1
' cos
ln3
y x
x
= − + . B.
' cos
ln3
y x
x
= − + .
C.
3
1
' cos
ln3
y x
x
= + . D.
3
' cos
ln3
y x
x
= + .
x
y
2
1
2
O
GV. TR
GV. TRGV. TR
GV. TRẦ
ẦẦ
ẦN QU
N QUN QU
N QUỐ
ỐỐ
ỐC NGH
C NGHC NGH
C NGHĨA
ĨAĨA
ĨA
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầ
ầầ
ầm & biên t
m & biên tm & biên t
m & biên tậ
ậậ
ập)
p)p)
p)
91
9191
91
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2
Câu 23. Cho hàm số
(
)
4
( ) ln 1
f x x
= +
. Đạo hàm
(
)
/
0
f
bằng:
A.
2
. B.
1
. C.
0
. D.
3
.
Câu 24. Cho hàm số
2
2017
( )
x
f x e=
. Đạo hàm
(
)
/
0
f
bằng:
A.
1
. B.
0
. C.
e
. D.
2017
e
.
Câu 25. Cho hàm số ( )
x
f x xe
= . Gọi
(
)
/ /
f x
là đạo hàm cấp hai của
(
)
f x
. Ta có
(
)
/ /
1
f
bằng:
A.
2
e
− . B.
2
3
e
−
. C.
3
e
. D.
3
e
.
Câu 26. Đường cong trong hình bên là đồ thị của
một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở
bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi
hàm số đó là hàm số nào?
A.
2
log
y x
= . B.
1
2
log
y x
=
.
C.
2
log
y x
=
. D.
(
)
2
log 2
y x
=
.
Câu 27. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề sai?
A. Đồ thị hàm số
y x
α
=
với
0
α
<
có hai tiệm cận.
B. Đồ thị hàm số
y x
α
=
với
0
α
không có tiệm cận.
C. Hàm số
y x
α
=
với
0
α
<
nghịch biến trên khoảng
(0; )
+∞
.
D. Hàm số
y x
α
=
có tập xác định là
D
=
ℝ
.
Câu 28. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?
A. Đồ thị hàm số lôgarit nằm bên phải trục tung.
B. Đồ thị hàm số lôgarit nằm bên trái trục tung.
C. Đồ thị hàm số mũ nằm bên phải trục tung.
D. Đồ thị hàm số mũ nằm bên trái trục tung.
Câu 29. Chọn phát biểu sai trong các phát biểu sau?
A. Đồ thị hàm số logarit nằm bên trên trục hoành.
B. Đồ thị hàm số mũ không nằm bên dưới trục hoành.
C. Đồ thị hàm số lôgarit nằm bên phải trục tung.
D. Đồ thị hàm số mũ với số mũ âm luôn có hai tiệm cận.
Câu 30. Đường cong trong hình bên là đồ thị của
một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở
bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi
hàm số đó là hàm số nào?
A.
3 1
y x
= − +
. B.
2
log
y x
= .
C.
1 1
3 3
y x
= − −
. D.
0,5
log
y x
= .
Câu 31. Tìm a để hàm số
log
a
y x
=
(
)
0 1
a
< ≠
có đồ thị là hình bên dưới:
A.
2
a
=
. B.
2
a = .
C.
1
2
a
=
. D.
1
2
a =
.
Câu 32. Tìm tập xác định
D
của hàm số
3
2
10
log
3 2
x
y
x x
−
=
− +
.
A.
( ;10)
D
= −∞
. B.
(1; )
D
= +∞
. C.
( ;1) (2;10)
D
= −∞ ∪
. D.
(2;10)
D
=
.
x
y
1
2
1
O
x
y
1
1
2
O
x
y
1
2
2
O
TÀI LI
TÀI LITÀI LI
TÀI LIỆ
ỆỆ
ỆU H
U HU H
U HỌ
ỌỌ
ỌC T
C TC T
C TẬ
ẬẬ
ẬP TOÁN 1
P TOÁN 1P TOÁN 1
P TOÁN 12
22
2
–
––
–
M
MM
MŨ
Ũ Ũ
Ũ -
--
-
LOGARIT
LOGARITLOGARIT
LOGARIT
92
9292
92
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2
x
y
1
O
Câu 33. Tìm tập xác định
D
của hàm số
3
log ( 2) 3
y x
= − −
?
A.
(29; )
D
= +∞
. B.
[29; )
D
= +∞
. C.
(2;29)
D
=
. D.
(2; )
D
= +∞
.
Câu 34. Tính đạo hàm của hàm số
2
( 2 )
x
y x x e
−
= + ?
A.
' (2 2)
x
y x e
= − . B.
2
' ( 2)
x
y x e
−
= + . C. '
x
y xe
−
= . D.
2
' ( 2)
x
y x e
−
= − + .
Câu 35. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
m
để hàm số
2
ln( 2 4)
y x mx
= − +
có tập xác định
D
=
ℝ
?
A.
2
2
m
m
>
< −
. B.
2 2
m
− < <
. C.
2
m
> −
. D.
2 2
m
− ≤ ≤
.
Câu 36. Cho tập
(3;4)
D
=
và các hàm số
2
2017
( )
7 12
f x
x x
=
− +
,
3
( ) log (4 )
x
g x x
−
= −
,
2
7 12
( ) 3
x x
h x
− +
=
D là tập xác định của hàm số nào?
A.
( )
f x
và
( ) ( )
f x g x
+
. B.
( )
f x
và
h x
.
C.
( )
g x
và
h x
. D.
( ) ( )
f x h x
+
và
h x
.
Câu 37. Biết hàm số
2
x
y
=
có đồ thị là hình bên.
Khi đó, hàm số
2
x
y
=
có đồ thị là hình nào trong bốn hình
được liệt kê ở bốn A, B, C, D dưới đây ?
Hình 1
Hình 2
Hình 3
Hình 4
A. Hình 1. B. Hình 2.
C. Hình 3. D. Hình 4.
Câu 38. Cho hàm số
x
y ex e
−
= + . Nghiệm của phương trình
' 0
y
=
?
A.
1
x
=
. B.
1
x
= −
. C.
0
x
=
. D.
ln 2
x
=
.
x
y
O
1
x
y
1
O
x
y
1
O
x
y
y =
2
x
1
O
GV. TR
GV. TRGV. TR
GV. TRẦ
ẦẦ
ẦN QU
N QUN QU
N QUỐ
ỐỐ
ỐC NGH
C NGHC NGH
C NGHĨA
ĨAĨA
ĨA
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầ
ầầ
ầm & biên t
m & biên tm & biên t
m & biên tậ
ậậ
ập)
p)p)
p)
93
9393
93
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2
Câu 39. Tìm tất cả các giá trị thực của a để hàm số
log
a
y x
=
(
)
0 1
a
< ≠
có đồ thị là hình bên ?
A.
1
2
a
=
. B.
2
a = .
C.
2
a = . D.
1
2
a =
.
Câu 40. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
2
( )
x
f x x e
= trên đoạn
[
]
1;1
−
?
A.
2
e
. B.
1
e
.
C.
e
. D.
0
.
Câu 41. Cho hàm số
(
)
2
log 2
y x
=
. Khi đó, hàm số
(
)
2
log 2
y x
= có đồ thị là hình nào trong bốn hình
được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây:
x
y
O
Hình 1
Hình 2
Hình 3
Hình 4
A. Hình 1. B. Hình 2. C. Hình 3. D. Hình 4.
Câu 42. Tìm điều kiện xác định của phương trình
4 2 2
log ( 1) log ( 1) 25
x x
− + − =
?
A.
1
x
≠
. B.
1
x
>
. C.
1
x
≥
. D. x
∈
ℝ
.
Câu 43. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
| |
2
x
y
=
trên
[
]
2;2
−
?
A.
1
max 4;miny
4
y
= =
. B.
1
max 4;min
4
y y
= = −
.
C.
1
max 1;miny
4
y
= =
. D.
max 4;miny 1
y
= =
.
x
y
O
x
y
1
O
x
y
O
x
y
1
2
2
O
TÀI LI
TÀI LITÀI LI
TÀI LIỆ
ỆỆ
ỆU H
U HU H
U HỌ
ỌỌ
ỌC T
C TC T
C TẬ
ẬẬ
ẬP TOÁN 1
P TOÁN 1P TOÁN 1
P TOÁN 12
22
2
–
––
–
M
MM
MŨ
Ũ Ũ
Ũ -
--
-
LOGARIT
LOGARITLOGARIT
LOGARIT
94
9494
94
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2
Câu 44. Chọn khẳng định đúng khi nói về hàm số
ln
x
y
x
=
A. Hàm số không có cực trị.
B. Hàm số có một điểm cực đại.
C. Hàm số có một điểm cực tiểu.
D. Hàm số có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu.
Câu 45. Hình bên là đồ thị của ba hàm số
log
a
y x
= ,
log
b
y x
= ,
log
c
y x
=
(
)
0 , , 1
a b c
< ≠
được vẽ
trên cùng một hệ trục tọa độ. Khẳng định nào
sau đây là khẳng định đúng?
A.
a b c
> >
. B.
b a c
> >
. C.
b c a
> >
. D.
a c b
> >
.
Câu 46. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số
3
1
log
2 1
y x m
m x
= + −
+ −
xác định
trên
(
)
2;3
.
A.
1 2
m
− < <
. B.
1 2
m
< ≤
. C.
1 2
m
≤ ≤
. D.
1 2
m
− ≤ ≤
.
Câu 47. Cho hàm số
(
)
2 2
ln 1 1
y x x x x
= + + − +
. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Hàm số có đạo hàm
(
)
2
' ln 1
y x x
= + +
. B. Hàm số tăng trên khoảng
(0; )
+∞
.
C. Tập xác định của hàm số là
D
=
ℝ
. D. Hàm số giảm trên khoảng
(0; )
+∞
.
Câu 48. Đối với hàm số
1
ln
1
y
x
=
+
, Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. ' 1
y
xy e
− =
. B. ' 1
y
xy e
− = −
. C. ' 1
y
xy e
+ = −
. D. ' 1
y
xy e
+ =
.
Câu 49. Đạo hàm của hàm số
x x
x x
e e
y
e e
−
−
−
=
+
là:
A.
2
2 2
3
'
( 1)
x
x
e
y
e
=
+
. B.
2
2 2
'
( 1)
x
x
e
y
e
=
+
. C.
2
2 2
2
'
( 1)
x
x
e
y
e
=
+
. D.
2
2 2
4
'
( 1)
x
x
e
y
e
=
+
.
Câu 50. Cho hàm
s
ố
sin
y x x
=
. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A.
'' ' 2cos sin
xy y xy x x
+ − = +
. B.
' '' ' 2sin
xy yy xy x
+ − =
.
C.
' ' ' 2sin
xy yy xy x
+ − =
. D.
'' 2 ' 2sin
xy y xy x
− + =−
Câu 51. Hình bên là đồ thị của ba hàm số
x
y a
=
,
x
y b
=
,
x
y c
=
(
)
0 , , 1
a b c
< ≠
được vẽ trên cùng một
hệ trục tọa độ. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
x
y
y =
c
x
y =
b
x
y =
a
x
O
A.
a b c
> >
. B.
b a c
> >
. C.
a c b
> >
. D.
c b a
> >
.
x
y
y = log
c
x
y = log
b
x
y = log
a
x
O
1
GV. TR
GV. TRGV. TR
GV. TRẦ
ẦẦ
ẦN QU
N QUN QU
N QUỐ
ỐỐ
ỐC NGH
C NGHC NGH
C NGHĨA
ĨAĨA
ĨA
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầ
ầầ
ầm & biên t
m & biên tm & biên t
m & biên tậ
ậậ
ập)
p)p)
p)
95
9595
95
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2
Vấn đề 4. PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
Câu 1. Cho phương trình
2
4 5
3 9
x x− +
=
tổng lập phương các nghiệm thực của phương trình là
A.
26.
B.
27.
C.
28.
D.
25.
Câu 2. Cho phương trình :
2
3 8 2x 1
3 9
x x
− + −
=
, khi đó tập nghiệm của phương trình là
A.
{
}
2;5
S = . B.
{
}
2; 5
S
= − −
.
C.
5 61 5 61
;
2 2
S
− +
=
. D.
5 61 5 61
;
2 2
S
− − − +
=
.
Câu 3. Phương trình
1
1
3 2
9
x
x−
= +
có bao nhiêu nghiệm âm?
A. 1. B. 3. C. 2. D. 0.
Câu 4. Số nghiệm của phương trình
2 2
2
1
9 9. 4 0
3
x
x
+
+ − =
là
A. 4. B. 2. C. 1. D. 0.
Câu 5. Cho phương trình :
2
28
4
x 1
3
2 16
x+
−
=
. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ?
A. Phương trình vô nghiệm.
B. Tổng các nghiệm của phương tình là một số nguyên .
C. Nghiệm của phương trình là các số vô tỉ.
D. Tích các nghiệm của phương trình là một số âm.
Câu 6. Phương trình
(
)
2 2
1
8 8 5
2 .5 0,001. 10
x
x x
−
− −
= có tổng các nghiệm là
A. 5. B. 7. C.
7
−
. D. – 5 .
Câu 7. Phương trình
9 5.3 6 0
x x
− + =
có nghiệm là
A.
3
1, log 2
x x= − = . B.
3
1, log 2
x x= = .
C.
2
1, log 3
x x= = . D.
3
1, log 2
x x= − = − .
Câu 8. Cho phương trình
1
4.4 9.2 8 0
x x+
− + =
. Gọi
1 2
,
x x
là hai nghiệm của phương trình trên. Khi đó,
tích
1 2
.
x x
bằng:
A.
1
−
. B.
2
. C.
2
−
. D.
1
.
Câu 9. Cho phương trình
1
4 4 3
x x−
− =
. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
A. Phương trình có một nghiệm.
B. Phương trình vô nghiệm.
C. Nghiệm của phương trình là luôn lớn hơn 0.
D. Phương trình đã cho tương đương với phương trình:
2x
4 3.4 4 0
x
− − =
.
Câu 10. Cho phương trình
2 2
1 1
9 10.3 1 0.
x x x x+ − + −
− + =
Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình.
A.
0
. B.
2
. C.
1
.
D.
2
−
.
Câu 11. Nghiệm của phương trình
1 1
2 2 3 3
x x x x
+ +
+ = + là
A.
3
2
3
log
4
x = . B.
1
x
=
. C.
0
x
. D.
4
3
2
log
3
x = .
Câu 12. Tập nghiệm của phương trình
2 2
2 3.2 32 0
x x+
− + =
là
A.
{
}
2;3
S = . B.
{
}
4;8
S = . C.
{
}
2;8
S = . D.
{
}
3;4
S = .
TÀI LI
TÀI LITÀI LI
TÀI LIỆ
ỆỆ
ỆU H
U HU H
U HỌ
ỌỌ
ỌC T
C TC T
C TẬ
ẬẬ
ẬP TOÁN 1
P TOÁN 1P TOÁN 1
P TOÁN 12
22
2
–
––
–
M
MM
MŨ
Ũ Ũ
Ũ -
--
-
LOGARIT
LOGARITLOGARIT
LOGARIT
96
9696
96
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2
Câu 13. Tập nghiệm của phương trình
6.4 13.6 6.9 0
x x x
− + =
là
A.
{
}
1;0
S = − . B.
2 3
;
3 2
S
=
. C.
{
}
1; 1
S
= −
. D.
{
}
0;1
S = .
Câu 14. Nghiệm của phương trình
1
12.3 3.15 5 20
x x x+
+ − =
là
A.
3
log 5
x = . B.
3
log 5 1
x
= −
. C.
3
log 5 1
x
= +
. D.
5
log 3 1
x
= −
.
Câu 15. Phương trình
9 5.3 6 0
x x
− + =
có tổng các nghiệm là
A.
3
log 6
. B.
3
2
log
3
. C.
3
3
log
2
. D.
3
log 6
− .
Câu 16. Cho phương trình
(
)
1 2
2 15.2 8 0 1
x x+
+ − = , khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A.
(
)
1
vô nghiệm. B.
(
)
1
có một nghiệm.
C.
(
)
1
có hai nghiệm dương. D.
(
)
1
có hai nghiệm âm.
Câu 17. Phương trình
1
5 25 6
x x−
+ =
có tích các nghiệm là :
A.
5
1 21
log
2
+
. B.
5
1 21
log
2
−
. C. 5. D.
5
1 21
5log
2
+
.
Câu 18. Phương trình
(
)
(
)
7 4 3 2 3 6
x x
+ + + =
có nghiệm là
A.
2
log 3
x = . B.
( )
2 3
log 2
x
+
= . C.
(
)
2
log 2 3
x = +
. D.
1
x
=
.
Câu 19. Tập nghiệm của bất phương trình
1
32
2
x
>
là
A.
(
)
5;S
= +∞
. B.
(
)
;5
S = −∞ . C.
(
)
5;S
= − +∞
. D.
(
)
; 5
S
= −∞ −
.
Câu 20. Cho hàm số
( )
2
2 sin
2 .3
x x
f x = . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ?
A.
(
)
2
3
1 log 2 sin 0
f x x x
< ⇔ + <
. B.
(
)
2
1 2 2sin log 3 0
f x x x
< ⇔ + <
.
C.
(
)
2
1 ln 4 sin x ln 3 0
f x x
< ⇔ + <
. D.
(
)
2
2
1 2 log 3 0
f x x
< ⇔ + <
.
Câu 21. Tập nghiệm của bất phương trình
1 1
2 2 3 3
x x x x
+ −
+ ≤ +
A.
[
)
2;S
= +∞
. B.
(
)
2;S
= +∞
. C.
(
)
;2
S = −∞ . D.
(
)
2;S
= +∞
.
Câu 22. nghiệm của bất phương trình
2
1
1
3
9
x
x
x
+
>
là
A.
1 0
x
− ≤ <
. B.
2
x
< −
. C.
1 0
x
− < <
. D.
2
1 0
x
x
< −
− < <
.
Câu 23. Nghiệm của bất phương trình
16 4 6 0
x x
− − ≤
là
A.
4
log 3.
x > B.
4
log 3.
x ≤ C.
x 1.
≥
D.
3
x
≥
Câu 24. Nghiệm của bất phương trình
3
3
3 2
x
x
<
−
là
A.
3
1
log 2
x
x
>
<
. B.
3
log 2
x > . C.
1
x
<
. D.
3
log 2 1
x
< <
.
Câu 25. Nghiệm của bất phương trình
6
11 11
x x
+
≥
là
A.
3
x
>
. B.
6
x
< −
.
C.
6 3.
x
− ≤ ≤
D.
∅
.
GV. TR
GV. TRGV. TR
GV. TRẦ
ẦẦ
ẦN QU
N QUN QU
N QUỐ
ỐỐ
ỐC NGH
C NGHC NGH
C NGHĨA
ĨAĨA
ĨA
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầ
ầầ
ầm & biên t
m & biên tm & biên t
m & biên tậ
ậậ
ập)
p)p)
p)
97
9797
97
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2
Câu 26. Nghiệm của bất phương trình
1
1 1
3 5 3 1
x x+
≤
+ −
là
A.
1 1.
x
− < ≤
B.
1.
x
≤ −
C.
1.
x
>
D.
1 2.
x
< <
Câu 27. Cho bất phương trình
2
1 2x 1
5 5
7 7
x x
− + −
>
, tập nghiệm của bất phương trình có dạng
(
)
;
S a b
= .
Giá trị của biểu thức
A b a
= −
nhận giá trị nào sau đây?
A.
1.
B.
1.
−
C.
2.
D.
2.
−
Câu 28. Tập nghiệm của bất phương trình
4 3.2 2 0
x x
− + >
là
A.
(
)
1;2 .
S = B.
(
)
(
)
;1 2; .
S
= −∞ ∪ +∞
C.
(
)
0;1 .
S = D.
(
)
(
)
;0 1; .
S
= −∞ ∪ +∞
Câu 29. Tập nghiệm của bất phương trình
1
3 .2 72
x x+
≥
là
A.
[
)
2; .
S
= +∞
B.
(
)
2; .
S
= +∞
C.
(
)
;2 .
S = −∞ D.
(
]
;2 .
S = −∞
Câu 30. Tập nghiệm của bất phương trình
1 2 1
2
3 2 12 0
x
x x+ +
− − <
là
A.
(
)
0; .
S
= +∞
B.
(
)
1; .
S
= +∞
C.
(
)
;0 .
S = −∞ D.
(
)
;1 .
S = −∞
Câu 31. Tập nghiệm của bất phương trình
2
2.3 2
1
3 2
x x
x x
+
−
≤
−
là
A.
(
]
1;3 .
S = B.
(
)
1;3 .
S = C.
3
2
0;log 3 .
S
=
D.
3
2
0;log 3 .
S
=
Câu 32. Tập nghiệm của bất phương trình
1
3
2 2
5 5
x
≤
là
A.
1
0; .
B.
1
0; .
C.
1
; .
3
−∞
D.
( )
1
; 0; .
3
−∞ ∪ +∞
Câu 33. Nghiệm của bất phương trình
2 4.5 4 10
x x x
+ − < là
A.
0.
x
<
B.
0
.
2
x
x
<
>
C.
2.
x
>
D.
0 2.
x
< <
Câu 34. Tập nghiệm của bất phương trình
1
2 2 1
x x−
− <
là
A.
[
]
1; 1 .
− B.
(
)
8;0 .
− C.
(
)
1;9 .
D.
(
]
0;1 .
Câu 35. Tìm tất cả các nghiệm của phương trình
2 2 2
3 2 6 5 2 3 7
4 4 4 1
x x x x x x− + + + + +
+ = +
.
A.
{
}
5; 1;1;3 .
x∈ − −
B.
{
}
5; 1;1;2 .
x∈ − −
C.
{
}
5; 1;1; 2 .
x
∈ − − −
D.
{
}
5; 1;1;2 .
x∈ −
Câu 36. Phương trình
(
)
(
)
(
)
3 2 3 2 10
x x x
− + + = có tất cả bao nhiêu nghiệm thực ?
A. 4. B.
2.
C. 3. D.
1
.
Câu 37. Phương trình
(
)
2
3 2 3 1 4.3 5 0
x x x
x
+ + − − =
có tất cả bao nhiêu nghiệm không âm ?
A.
3.
B.
2.
C.
0.
D.
1.
TÀI LI
TÀI LITÀI LI
TÀI LIỆ
ỆỆ
ỆU H
U HU H
U HỌ
ỌỌ
ỌC T
C TC T
C TẬ
ẬẬ
ẬP TOÁN 1
P TOÁN 1P TOÁN 1
P TOÁN 12
22
2
–
––
–
M
MM
MŨ
Ũ Ũ
Ũ -
--
-
LOGARIT
LOGARITLOGARIT
LOGARIT
98
9898
98
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2
Câu 38. Phương trình
2
3 5 6
2 3
x x x
− − +
=
có hai nghiệm
1 2
,
x x
trong đó
1 2
x x
<
, hãy chọn phát biểu đúng?
A.
1 2 3
3 2 log 8
x x− = . B.
1 2 3
2 3 log 8
x x− = .
C.
1 2 3
2 3 log 54.
x x+ = D.
1 2 3
3 2 log 54.
x x+ =
Câu 39. Cho phương trình
(
)
(
)
7 4 3 2 3 6
x x
+ + + =
. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Tích của hai nghiệm bằng
6
−
B. Phương trình có một nghiệm hữu tỉ.
C. Phương trình có hai nghiệm trái dấu. D. Phương trình có một nghiệm vô tỉ.
Câu 40. Phương trình
3 3 3 3 4 4 3
3 3 3 3 10
x x x x+ − + −
+ + + =
có tổng các nghiệm là ?
A. 2. B. 0. C. 3. D. 4 .
Câu 41. Phương trình
2 2
sin cos
9 9 6
x x
+ =
có họ nghiệm là ?
A.
( )
, .
4 2
π kπ
x k= + ∈
ℤ
B.
( )
, .
2 2
π kπ
x k= + ∈
ℤ
C.
( )
, .
6 2
π kπ
x k= + ∈
ℤ
D.
( )
, .
3 2
π kπ
x k= + ∈
ℤ
Câu 42. Tìm tất cả các giá trị của tham số
m
thì phương trình
(
)
(
)
2 3 2 3
x x
m
+ + − = vô nghiệm?
A.
2
m
<
. B.
2
m
>
. C.
2
m
=
. D.
2
m
≤
.
Câu 43. Tìm tất cả các giá trị của tham số
m
thì phương trình
(
)
(
)
2 3 2 3
x x
m
+ + − = có hai
nghiệm phân biệt?
A.
2
m
=
. B.
2
m
<
. C.
2
m
>
. D.
2
m
≤
.
Câu 44. Gọi
1 2
,
x x
là hai nghiệm thực phân biệt của phương trình
( ) ( )
2 2
2 2
2 1 2 2
4 3
2 2 2 2 1
x x
x x
+ +
+ +
= + − +
.
Khi đó, tổng hai nghiệm bằng?
A.
1.
B.
2.
C.
2.
D.
0.
Câu 45. Tìm tất cả các giá trị của tham số
m
thì phương trình
(
)
(
)
1 16 2 2 3 4 6 5 0
x x
m m m
+ − − + + =
có
hai nghiệm trái dấu?
A. Không tồn tại
m
. B.
4 1.
m
− < < −
C.
3
1
2
m
− < <
. D.
5
1
6
m
− < < −
.
Câu 46. Cho bất phương trình:
1
1 1
5 1 5 5
x x
+
≥
− −
. Tìm tập nghiệm của bất phương trình.
A.
(
]
(
)
1;0 1; .
S
= − ∪ +∞
B.
(
]
(
)
1;0 1; .
S
= − ∩ +∞
C.
(
]
;0 .
S = −∞
D.
(
)
;0 .
S = −∞
Câu 47. Bất phương trình
2 2 2
2 1 2 1 2
25 9 34.15
x x x x x x
− + + − + + − +
+ ≥
có tập nghiệm là
A.
(
[
]
)
;1 3 0;2 1 3; .
S
= −∞ − ∪ ∪ + +∞
B.
(
)
0; .
S
= +∞
C.
(
)
2; .
S
= +∞
D.
(
)
1 3;0 .
S = −
Câu 48. Cho phương trình
1
4 .2 2 0
x x
m m
+
− + =
có hai nghiệm phân biệt
1 2
,
x x
(trong đó
m
là tham số).
Tìm tất cả các giá trị thực của
m
để
1 2
3
x x
+ =
.
A.
4
m
=
. B.
2
m
=
. C.
1
m
=
. D.
3
m
=
.
GV. TR
GV. TRGV. TR
GV. TRẦ
ẦẦ
ẦN QU
N QUN QU
N QUỐ
ỐỐ
ỐC NGH
C NGHC NGH
C NGHĨA
ĨAĨA
ĨA
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầ
ầầ
ầm & biên t
m & biên tm & biên t
m & biên tậ
ậậ
ập)
p)p)
p)
99
9999
99
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2
Câu 49. Cho bất phương trình
( )
2 2 2
sin cos sin
2 3 .3 1
x x x
m+ ≥ (trong đó
m
là tham số). Tìm tất cả các giá trị
thực của
m
để
(
)
1
có nghiệm.
A.
4.
m
≥
B.
4.
m
≤
C.
1.
m
≤
D.
1.
m
≥
Câu 50. phương trình
(
)
1
nghiệm đúng
1
x
∀ >
.
A.
3 2 2.
m > +
B.
3
.
2
m
> −
C.
3
.
2
m
≥ −
D.
3 2 2.
m ≥ +
Vấn đề 5. PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
Câu 1. Điều kiện xác định của phươg trình
2 3
log 16 2
x−
=
là:
A.
3
\ ;2
2
x
∈
ℝ . B.
2
x
. C.
3
2
2
x
< ≠
. D.
3
2
x
>
.
Câu 2. Điều kiện xác định của phươg trình
2
log (2 7 12) 2
x
x x
− + =
là:
A.
(
)
(
)
0;1 1;x
∈ ∪ +∞
. B.
(
)
;0
x ∈ −∞ . C.
(
)
0;1
x ∈ . D.
(
)
0;x
∈ +∞
.
Câu 3. Điều kiện xác định của phương trình
5 5
log ( 1) log
1
x
x
x
− =
+
là:
A.
(
)
1;x
∈ +∞
. B.
(
)
1;0
x ∈ − . C.
\[ 1;0]
x
∈ −
ℝ
. D.
(
)
;1
x
∈ −∞
.
Câu 4. Điều kiện xác định của phươg trình
9
2 1
log
1 2
x
x
=
+
là:
A.
(
)
1;x
∈ − +∞
. B.
\[ 1;0]
x
∈ −
ℝ
. C.
(
)
1;0
x ∈ − . D.
(
)
;1
x
∈ −∞
.
Câu 5. Phương trình
2
log (3 2) 2
x
− =
có nghiệm là:
A.
4
3
x
=
. B.
2
3
x
=
. C.
1
x
=
. D.
2
x
.
Câu 6. Phương trình
2 2 2
log ( 3) log ( 1) log 5
x x+ + − = có nghiệm là:
A.
2
x
. B.
1
x
=
. C.
3
x
=
. D.
0
x
.
Câu 7. Phương trình
2
3 3
log ( 6) log ( 2) 1
x x
− = − +
có tập nghiệm là:
A.
{0;3}
T
=
. B.
T
= ∅
. C.
{3}
T
=
. D.
{1;3}
T
=
.
Câu 8. Phương trình
2 2
log log ( 1) 1
x x
+ − =
có tập nghiệm là:
A.
{
}
1;3
− . B.
{
}
1;3
. C.
{
}
2
. D.
{
}
1
.
Câu 9. Phương trình
2
2 2
log ( 1) 6log 1 2 0
x x
+ − + + =
có tập nghiệm là:
A.
{
}
3;15
. B.
{
}
1;3
. C.
{
}
1;2
. D.
{
}
1;5
.
Câu 10. Số nghiệm của phương trình
(
)
(
)
4 2 2 4
log log log log 2
x x
+ =
là:
A. 0. B. 2. C. 3. D. 1.
Câu 11. Số nghiệm của phương trình
2 3 2
log .log (2 1) 2log
x x x
− = là:
A. 2. B. 0. C. 1. D. 3.
Câu 12. Số nghiệm của phương trình
3 2
2 2 2
log ( 1) log ( 1) 2log 0
x x x x
+ − − + − =
là:
A. 0. B. 2. C. 3. D. 1.
Câu 13. Số nghiệm của phương trình
(
)
(
)
5 25
log 5 log 5 3 0
x x
− − =
là :
A. 3. B. 4. C. 1. D. 2.
TÀI LI
TÀI LITÀI LI
TÀI LIỆ
ỆỆ
ỆU H
U HU H
U HỌ
ỌỌ
ỌC T
C TC T
C TẬ
ẬẬ
ẬP TOÁN 1
P TOÁN 1P TOÁN 1
P TOÁN 12
22
2
–
––
–
M
MM
MŨ
Ũ Ũ
Ũ -
--
-
LOGARIT
LOGARITLOGARIT
LOGARIT
100
100100
100
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2
Câu 14. Phương trình
2
3 1
3
log (5 3) log ( 1) 0
x x
− + + =
có 2 nghiệm
1 2
,
x x
trong đó
1 2
x x
<
.Giá trị của
1 2
2 3
P x x
= + là
A. 5. B. 14. C. 3. D. 13.
Câu 15. Hai phương trình
3
5
5
2log (3 1) 1 log (2 1)
x x
− + = +
và
2
2 1
2
log ( 2 8) 1 log ( 2)
x x x
− − = − +
lần lượt
có 2 nghiệm duy nhất là
1 2
,
x x
. Tổng
1 2
x x
+
là?
A. 8. B. 6. C. 4. D. 10.
Câu 16. Gọi
1 2
,
x x
là nghiệm của phương trình
16
log 2 log 0
x
x
− =
. Khi đó tích
1 2
.
x x
bằng:
A.
1
−
. B. 1. C. 2. D.
2
−
.
Câu 17. Nếu đặt
2
log
t x
= thì phương trình
2 2
1 2
1
5 log 1 logx x
+ =
− +
trở thành phương trình nào?
A.
2
5 6 0
t t
− + =
. B.
2
5 6 0
t t
+ + =
.
C.
2
6 5 0
t t
− + =
. D.
2
6 5 0
t t
+ + =
.
Câu 18. Nếu đặt
lg
t x
=
thì phương trình
1 2
1
4 lg 2 lg
x x
+ =
− +
trở thành phương trình nào?
A.
2
2 3 0
t t
+ + =
. B.
2
3 2 0
t t
− + =
.
C.
2
2 3 0
t t
− + =
. D.
2
3 2 0
t t
+ + =
.
Câu 19. Nghiệm bé nhất của phương trình
3 2
2 2 2
log 2 log log 2
x x x
− = −
là:
A.
4
x
. B.
1
4
x
=
. C.
2
x
. D.
1
2
x
=
.
Câu 20. Điều kiện xác định của bất phương trình
1 1 1
2 2 2
log (4 2) log ( 1) log
x x x
+ − − > là:
A.
1
2
x
> −
. B.
0
x
. C.
1
x
>
. D.
1
x
> −
.
Câu 21. Điều kiện xác định của bất phương trình
2 4 2
log ( 1) 2log (5 ) 1 log ( 2)
x x x
+ − − < − −
là:
A.
2 5
x
< <
. B.
1 2
x
< <
. C.
2 3
x
< <
. D.
4 3
x
− < <
.
Câu 22. Điều kiện xác định của bất phương trình
2
1 2
2
log log (2 ) 0
x
− >
là:
A.
[ 1;1]
x
∈ −
. B.
(
)
(
)
1;0 0;1
x ∈ − ∪ .
C.
(
)
(
)
1;1 2;x
∈ − ∪ +∞
. D.
(
)
1;1
x ∈ − .
Câu 23. Bất phương trình
2 3
log (2 1) log (4 2) 2
x x
+ + + ≤
có tập nghiệm là:
A.
[0; )
+∞
. B.
( ;0)
−∞
. C.
( ;0]
−∞
. D.
(
)
0;
+∞
.
Câu 24. Bất phương trình
(
)
(
)
2
2 0,5
log 2 log 1 1
x x x
− − ≥ − +
có tập nghiệm là:
A.
)
1 2;
+ +∞
. B.
)
1 2;
− +∞
.
C.
(
;1 2
−∞ +
. D.
(
;1 2
−∞ −
.
Câu 25. Nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình
(
)
(
)
2 4 4 2
log log log log
x x
≥ là:
A. 16. B. 10. C. 8. D. 9.
Câu 26. Nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình
(
)
(
)
2
3 1
3
log 1 log 1
x x
− ≤ −
là:
A.
0
x
. B.
1
x
=
. C.
1 5
2
x
−
= . D.
1 5
2
x
+
= .
GV. TR
GV. TRGV. TR
GV. TRẦ
ẦẦ
ẦN QU
N QUN QU
N QUỐ
ỐỐ
ỐC NGH
C NGHC NGH
C NGHĨA
ĨAĨA
ĨA
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầ
ầầ
ầm & biên t
m & biên tm & biên t
m & biên tậ
ậậ
ập)
p)p)
p)
101
101101
101
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2
Câu 27. Tập nghiệm của bất phương trình
2
2
log ( 3 1) 0
x x
− + ≤
là:
A.
3 5 3 5
0; ;3
2 2
S
− +
= ∪
. B.
3 5 3 5
0; ;3
2 2
S
− +
= ∪
.
C.
3 5 3 5
;
2 2
S
− +
=
. D.
S
= ∅
.
Câu 28. Điều kiện xác định của phương trình
2 3
log ( 5) log ( 2) 3
x x
− + + =
là:
A.
5
x
≥
. B.
2
x
> −
. C.
2 5
x
− < <
. D.
5
x
>
.
Câu 29. Điều kiện xác định của phương trình
2
log( 6 7) 5 log( 3)
x x x x
− + + − = −
là:
A.
3 2
x > +
. B.
3
x
>
. C.
3 2
3 2
x
x
> +
< −
. D.
3 2
x < −
.
Câu 30. Phương trình
3 1
3
3
log log log 6
x x x
+ + =
có nghiệm là:
A.
27
x
=
. B.
9
x
. C.
12
3
x
=
. D. .
3
log 6
x = ..
Câu 31. Phương trình
8
ln ln
1
x
x
x
+
=
−
có nghiệm là:
A.
2
x
= −
. B.
4
2
x
x
=
= −
. C.
4
x
=
. D.
1
x
=
.
Câu 32. Phương trình
2
2 2
log 4 log 3 0
x x
− + =
có tập nghiệm là:
A.
{
}
8;2
. B.
{
}
1;3
. C.
{
}
6;2
. D.
{
}
6;8
.
Câu 33. Tập nghiệm của phương trình
( )
2
2
1
log 2 1 0
2
x
+ − =
là:
A.
{
}
0
. B.
{
}
0; 4
−
. C.
{
}
4
−
. D.
{
}
1;0
− .
Câu 34. Tập nghiệm của phương trình
( )
2
2 1
2
1
log log 1
x x
x
= − −
là:
A.
{
}
1 2
+
. B.
{
}
1 2;1 2
+ −
. C.
1 5 1 5
;
2 2
+ −
. D.
{
}
1 2
−
.
Câu 35. Phương trình
(
)
2
log 3.2 1 2 1
x
x
− = +
có bao nhiêu nghiệm?
A. 1. B. 2. C. 3. D. 0.
Câu 36. Số nghiệm của phương trình
(
)
(
)
2
ln 6x 7 ln 3
x x
− + = −
là:
A. 0. B. 2. C. 3. D. 1.
Câu 37. Nghiệm nhỏ nhất của phương trình
(
)
(
)
5 3
3
log 2 .log 2log 2
x x x
− − = −
là:
A.
1
5
. B. 3. C. 2. D. 1.
Câu 38. Nghiệm lớn nhất của phương trình
3 2
log 2log 2 log
x x x
− + = − là :
A. 100. B. 2. C. 10. D. 1000.
Câu 39. Gọi
1 2
,
x x
là 2 nghiệm của phương trình
(
)
(
)
2
3 3
log 5 log 2 5
x x x
− − = +
.
Khi đó
1 2
x x
−
bằng:
A. 5. B. 3. C.
2
−
. D. 7.
TÀI LI
TÀI LITÀI LI
TÀI LIỆ
ỆỆ
ỆU H
U HU H
U HỌ
ỌỌ
ỌC T
C TC T
C TẬ
ẬẬ
ẬP TOÁN 1
P TOÁN 1P TOÁN 1
P TOÁN 12
22
2
–
––
–
M
MM
MŨ
Ũ Ũ
Ũ -
--
-
LOGARIT
LOGARITLOGARIT
LOGARIT
102
102102
102
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2
Câu 40. Gọi
1 2
,
x x
là 2 nghiệm của phương trình
2 2
1 2
1
4 log 2 log
x x
+ =
+ −
. Khi đó
1 2
.
x x
bằng:
A.
1
2
. B.
1
8
. C.
1
4
. D.
3
4
.
Câu 41. Gọi
1 2
,
x x
là 2 nghiệm của phương trình
(
)
2
log 3 1
x x
+ =
. Khi đó
1 2
x x
+
bằng:
A.
3
−
. B.
2
−
. C.
17
. D.
3 17
2
− +
.
Câu 42. Nếu đặt
2
log
t x
= thì phương trình
(
)
2
log 4 log 2 3
x
x
− =
trở thành phương trình nào?
A.
2
1 0
t t
− − =
. B.
2
4 3 1 0
t t
− − =
. C.
1
1
t
t
+ =
. D.
1
2 3
t
t
− =
.
Câu 43. Nếu đặt
log
t x
=
thì phương trình
2 3
log 20log 1 0
x x
− + =
trở thành phương trình nào?
A.
2
9 20 1 0
t t
− + =
. B.
2
3 20 1 0
t t
− + =
. C.
2
9 10 1 0
t t
− + =
. D.
2
3 10 1 0
t t
− + =
.
Câu 44. Cho bất phương trình
9
3
1 log
1
1 log 2
x
x
−
≤
+
.
Nếu đặt
3
log
t x
= thì bất phương trình trở thành:
A.
(
)
2 1 2 1
t t
− ≤ +
. B.
1 2 1
1 2
t
t
−
≤
+
. C.
( )
1 1
1 1
2 2
t t
− ≤ +
. D.
2 1
0
1
t
t
−
≥
+
.
Câu 45. Điều kiện xác định của bất phương trình
5 1 5
5
log ( 2) log ( 2) log 3
x x x
− + + > −
là:
A.
3
x
>
. B.
2
x
>
. C.
2
x
> −
. D.
0
x
>
.
Câu 46. Điều kiện xác định của bất phương trình
(
)
2
0,5 0,5
log (5x 15) log 6x 8
x
+ ≤ + +
là:
A.
2
x
> −
. B.
4
2
x
x
< −
> −
. C.
3
x
> −
. D.
4 2
x
− < < −
.
Câu 47. Điều kiện xác định của bất phương trình
2
1
ln 0
x
x
−
<
là:
A.
1 0
1
x
x
− < <
>
. B.
1
x
> −
. C.
0
x
>
. D.
1
1
x
x
< −
>
.
Câu 48. Bất phương trình
2
0,2 0,2
log 5log 6
x x
− < −
có tập nghiệm là:
A.
1 1
;
125 25
=
S . B.
(
)
2;3
=S . C.
1
0;
25
=
S . D.
(
)
0;3
=S .
Câu 49. Tập nghiệm của bất phương trình
(
)
(
)
2
1 3
3
log 6 5 log 1 0
x x x
− + + − ≥
là:
A.
[
]
1;6
=S . B.
(
]
5;6
=S . C.
(
)
5;
= +∞
S . D.
(
)
1;
= +∞
S .
Câu 50. Bất phương trình
(
)
2
2
3
log 2 1 0
x x
− + <
có tập nghiệm là:
A.
3
0;
2
=
S . B.
3
1;
2
= −
S .
C.
( )
1
;0 ;
2
= −∞ ∪ +∞
S . D.
( )
3
;1 ;
2
= −∞ ∪ +∞
S .
Câu 51. Tập nghiệm của bất phương trình
3
4 6
log 0
x
x
+
là:
A.
3
2;
2
= − −
S . B.
[
)
2;0
= −S . C.
(
]
;2
= −∞S . D.
3
\ ;0
2
= −
ℝS .
GV. TR
GV. TRGV. TR
GV. TRẦ
ẦẦ
ẦN QU
N QUN QU
N QUỐ
ỐỐ
ỐC NGH
C NGHC NGH
C NGHĨA
ĨAĨA
ĨA
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầ
ầầ
ầm & biên t
m & biên tm & biên t
m & biên tậ
ậậ
ập)
p)p)
p)
103
103103
103
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2
Câu 52. Nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình
(
)
0,2 5 0,2
log log 2 log 3
x x− − < là:
A.
6
x
. B.
3
x
=
. C.
5
x
=
. D.
4
x
.
Câu 53. Nghiệm nguyên lớn nhất của bất phương trình
(
)
1
3
log 4.3 2 1
x
x
−
> −
là:
A.
3
x
=
. B.
2
x
. C.
1
x
=
. D.
1
x
= −
.
Câu 54. Điều kiện xác định của phương trình
(
)
2 2
log 3log 3 1 1
x x
− − =
là:
A.
3
2 1
3
x
+
> . B.
1
3
≥
x . C.
0
x
>
. D.
(0; ) \{1}
∈ +∞
x .
Câu 55. Điều kiện xác định của phương trình
(
)
(
)
2 2 2
2 3 6
log 1 .log 1 log 1
x x x x x x
− − + − = − −
là:
A.
1
x
≤ −
. B.
1
x
≥
. C.
0, 1
x x
> ≠
. D.
1
x
≤ −
hoặc
1
x
≥
.
Câu 56. Nghiệm nguyên của phương trình
(
)
(
)
2 2 2
2 3 6
log 1 .log 1 log 1
x x x x x x
− − + − = − −
là:
A.
1
x
=
. B.
1
x
= −
. C.
2
x
=
. D.
3
x
=
.
Câu 57. Nếu đặt
2
log
t x
= thì bất phương trình
( )
1
3
4 2 2
2 1 2
2
2
2
32
log log 9log 4log
8
x
x x
x
−
− + <
trở thành
bất phương trình nào?
A.
4 2
13 36 0
t t
+ + <
. B.
4 2
5 9 0
t t
− + <
.
C.
4 2
13 36 0
t t
− + <
. D.
4 2
13 36 0
t t
− − <
.
Câu 58. Nghiệm nguyên lớn nhất của bất phương trình
( )
1
3
4 2 2
2 1 2
2
2
2
32
log log 9log 4log
8
x
x x
x
−
− + <
là:
A.
7
x
=
. B.
8
x
=
. C.
4
x
=
. D.
1
x
=
.
Câu 59. Bất phương trình
(
)
(
)
3
log log 9 72 1
x
x
− ≤
có tập nghiệm là:
A.
3
log 73;2
=
S
. B.
(
3
log 72;2
=
S
.
C.
(
3
log 73;2
=
S
. D.
(
]
;2
= −∞S .
Câu 60. Gọi
1 2
,
x x
là nghiệm của phương trình
(
)
2
log 1 1
x x
− =
. Khi đó tích
1 2
.
x x
bằng:
A.
2
−
. B. 1. C.
1
−
. D. 2.
Câu 61. Nếu đặt
(
)
2
log 5 1
x
t
= −
thì phương trình
(
)
(
)
2 4
log 5 1 .log 2.5 2 1
x x
− − =
trở thành phương trình
nào?
A.
2
2 0
t t
+ − =
. B.
2
2 1
t
=
. C.
2
2 0
t t
− − =
. D.
2
1
t
=
.
Câu 62. Số nghiệm của phương trình
(
)
4
log 12 .log 2 1
x
x
+ =
là:
A. 0. B. 2. C. 3. D. 1.
Câu 63. Phương trình
2
5 5
log (2 1) 8log 2 1 3 0
x x
− − − + =
có tập nghiệm là:
A.
{
}
1; 3
− −
. B.
{
}
1;3
. C.
{
}
3;63
. D.
{
}
1;2
.
Câu 64. Nếu đặt
3
1
log
1
x
t
x
−
=
+
thì bất phương trình
4 3 1 1
4 3
1 1
log log log log
1 1
x x
x x
− +
<
+ −
trở thành bất phương
trình nào?
A.
2
1
0
t
t
−
<
. B.
2
1 0
t
− <
. C.
2
1
0
t
t
−
>
. D.
2
1
0
t
t
+
<
.
TÀI LI
TÀI LITÀI LI
TÀI LIỆ
ỆỆ
ỆU H
U HU H
U HỌ
ỌỌ
ỌC T
C TC T
C TẬ
ẬẬ
ẬP TOÁN 1
P TOÁN 1P TOÁN 1
P TOÁN 12
22
2
–
––
–
M
MM
MŨ
Ũ Ũ
Ũ -
--
-
LOGARIT
LOGARITLOGARIT
LOGARIT
104
104104
104
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2
Câu 65. Phương trình
(
)
2
2 3
log 3 7 3 2 0
x
x x
−
− + − =
có nghiệm là:
A.
2; 3
x x
= =
. B.
2
x
=
. C.
3
x
=
. D.
1; 5
x x
= =
.
Câu 66. Nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình
(
)
(
)
2 4 4 2
log log log log
x x
> là:
A.
18
. B.
16
. C.
15
. D.
17
.
Câu 67. Phương trình
1 2
1
4 ln 2 ln
x x
+ =
− +
có tích các nghiệm là:
A.
3
e
. B.
1
e
. C.
e
. D.
2
.
Câu 68. Phương trình
9
log
2
9
x
x x
=
có bao nhiêu nghiệm?
A. 1. B. 0. C. 2. D. 3.
Câu 69. Nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình
3
log 3 log 3 0
x x
− <
là:
A.
3
x
=
. B.
1
x
=
. C.
2
x
. D.
4
x
.
Câu 70. Phương trình
ln7 ln
7 98
x
x
+ =
có nghiệm là:
A.
x e
=
. B.
2
x
=
. C.
2
x e
=
. D.
x e
= .
Câu 71. Bất phương trình
(
)
(
)
2
2 0,5
log 2 log 1 1
x x x
− − ≥ − +
có tập nghiệm là:
A.
)
1 2;
= − +∞
S
. B.
)
1 2;
= + +∞
S
. C.
(
;1 2
= −∞ +
S
. D.
(
;1 2
= −∞ −
S
.
Câu 72. Biết phương trình
2
2
1 1 7
log 0
log 2 6
x
x
− + =
có hai nghiệm
1 2
,
x x
. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A.
3 3
1 2
2049
4
+ =x x . B.
3 3
1 2
2047
4
+ = −x x . C.
3 3
1 2
2049
4
+ = −x x . D.
3 3
1 2
2047
4
+ =x x .
Câu 73. Số nghiệm nguyên dương của phương trình
(
)
(
)
1
2 1
2
log 4 4 log 2 3
x x
x
+
+ = − −
là:
A. 2. B. 1. C. 3. D. 0.
Câu 74. Tập nghiệm của bất phương trình
(
)
(
)
1 2
2
log log 2 1 0
x
− >
là:
A.
3
1;
2
S
=
. B.
3
0;
2
S
=
. C.
(
)
0;1
S = . D.
3
;2
2
S
=
.
Câu 75. Tập nghiệm của bất phương trình
(
)
(
)
2
4 2
log 2 3 1 log 2 1
x x x
+ + > +
là:
A.
1
;1
2
S
=
. B.
1
0;
2
S
=
. C.
1
;1
2
S
= −
. D.
1
;0
2
S
= −
.
Câu 76. Tập nghiệm của bất phương trình
( )
2
25 5
3
log 125 .log log
2
x
x x x
> + là:
A.
(
)
1; 5
S =
. B.
(
)
1; 5
S = −
. C.
(
)
5;1
S = −
. D.
(
)
5; 1
S
= − −
.
Câu 77. Tích các nghiệm của phương trình
2 4 8 16
81
log .log .log .log
24
x x x x = là :
A.
1
2
. B.
2
. C.
1
. D.
3
.
Câu 78. Phương trình
3
log 1 2
x
+ =
có bao nhiêu nghiệm ?
A.
2
. B.
0
. C.
1
. D.
3
.
GV. TR
GV. TRGV. TR
GV. TRẦ
ẦẦ
ẦN QU
N QUN QU
N QUỐ
ỐỐ
ỐC NGH
C NGHC NGH
C NGHĨA
ĨAĨA
ĨA
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầ
ầầ
ầm & biên t
m & biên tm & biên t
m & biên tậ
ậậ
ập)
p)p)
p)
105
105105
105
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2
Câu 79. Biết phương trình
9 9 3
log log log 27
4 6.2 2 0
x x
− + =
có hai nghiệm
1 2
,
x x
. Khi đó
2 2
1 2
x x
+
bằng :
A.
6642
. B.
82
6561
. C.
20
. D.
90
.
Câu 80. Tập nghiệm của bất phương trình
2
2
2
1
log
log
2 10 3 0
x
x
x
− + >
là:
A.
( )
1
0; 2;
2
S
= ∪ +∞
. B.
( )
1
2;0 ;
2
S
= − ∪ +∞
.
C.
( )
1
;0 ;2
2
S
= −∞ ∪
. D.
( )
1
; 2;
2
S
= −∞ ∪ +∞
.
Câu 81. Tập nghiệm của phương trình
2
2 2 2
log 2 log 6 log 4
4 2.3
x x
x− =
là:
A.
4
9
S
=
. B.
1
2
S
= −
. C.
1
4
S
=
. D.
{
}
2
S
= −
.
Câu 82. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
m
để phương trình
(
)
3 3
3
log log 2 log
x x m
− − = có
nghiệm?
A.
1
m
>
. B.
1
m
≥
. C.
1
m
<
. D.
1
m
≤
.
Câu 83. Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để bất phương trình
(
)
2
3
log 4 1
x x m
+ + ≥
nghiệm đúng
với mọi x
∈
ℝ
?
A.
7
m
≥
. B.
7
m
. C.
4
m
<
. D.
4 7
m
< ≤
.
Câu 84. Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để bất phương trình
(
)
2
1 1
5 5
log log 4
mx x− ≤ vô nghiệm?
A.
4 4
m
− ≤ ≤
. B.
4
4
m
m
>
< −
. C.
4
m
<
. D.
4 4
m
− < <
.
Câu 85. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình
(
)
2
2
log 2
mx x
− =
vô nghiệm?
A.
4
m
<
. B.
4 4
m
− < <
. C.
4
4
m
m
>
< −
. D.
4
m
> −
.
Câu 86. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình
2
4 4
log 3log 2 1 0
x x m
+ + − =
có 2
nghiệm phân biệt?
A.
13
8
m
<
. B.
13
8
m
>
. C.
13
8
m
≤
. D.
13
0
8
m
< <
.
Câu 87. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
m
để bất phương trình
2 2
log (5 1).log (2.5 2)
x x
m
− − ≤
có nghiệm
1
x
≥
?
A.
6
m
≥
. B.
6
m
>
. C.
6
m
≤
. D.
6
m
<
.
Câu 88. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
m
để phương trình
2
3 3
log 2log 1 0
x x m
+ + − =
có
nghiệm?
A.
2
m
<
. B.
2
m
≤
. C.
2
m
≥
. D.
2
m
.
Câu 89. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
m
để bất phương trình
2
log (5 1)
x
m
− ≤
có nghiệm
1
x
≥
?
A.
2
m
≥
. B.
2
m
. C.
2
m
≤
. D.
2
m
<
.
Câu 90. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
m
để phương trình
2 2
3 3
log log 1 2 1 0
x x m
+ + − − =
có ít
nhất một nghiệm thuộc đoạn
3
1;3
?
A.
[0; 2]
m
∈
. B.
(0;2)
m
∈
. C.
(0;2]
m
∈
. D.
[0;2)
m
∈
.
TÀI LI
TÀI LITÀI LI
TÀI LIỆ
ỆỆ
ỆU H
U HU H
U HỌ
ỌỌ
ỌC T
C TC T
C TẬ
ẬẬ
ẬP TOÁN 1
P TOÁN 1P TOÁN 1
P TOÁN 12
22
2
–
––
–
M
MM
MŨ
Ũ Ũ
Ũ -
--
-
LOGARIT
LOGARITLOGARIT
LOGARIT
106
106106
106
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2
Câu 91. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
m
để phương trình
(
)
(
)
2 4
log 5 1 .log 2.5 2
x x
m
− − =
có
nghiệm
1.
x
≥
?
A.
[
)
2;m
∈ +∞
. B.
[
)
3;m
∈ +∞
. C.
( ;2]
m
∈ −∞
. D.
(
]
;3
m
∈ −∞
.
Câu 92. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
m
để phương trình
(
)
2
3 3
log 2 log 3 1 0
x m x m
− + + − =
có
hai nghiệm
1 2
,
x x
thỏa mãn
1 2
. 27.
x x = ?
A.
2
m
= −
. B.
1
m
= −
. C.
1
m
=
. D.
2
m
.
Câu 93. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
m
để phương trình
(
)
2 2 2
2 1 4
2
log log 3 log 3
x x m x
+ − = −
có nghiệm thuộc
[
)
32;
+∞
?
A.
(
1; 3
m
∈
. B.
)
1; 3
m
∈
. C.
)
1; 3
m
∈ −
. D.
(
3;1
m
∈ −
.
Câu 94. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
m
sao cho khoảng
(
)
2;3
thuộc tập nghiệm của bất
phương trình
(
)
(
)
2 2
5 5
log 1 log 4 1 (1)
x x x m+ > + + − .
A.
[
]
12;13
m∈ − . B.
[
]
12;13
m∈ . C.
[
]
13;12
m∈ − . D.
[
]
13; 12
m∈ − − .
Câu 95. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
m
để bất phương trình
(
)
(
)
2 2
2 2
log 7 7 log 4 , .
x mx x m x
+ ≥ + + ∀ ∈
ℝ
A.
(
]
2;5
m∈ . B.
(
]
2;5
m∈ − . C.
[
)
2;5
m∈ . D.
[
)
2;5
m∈ − .
Câu 96. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
m
để bất phương trình
(
)
(
)
2 2
5 5
1 log 1 log 4
x mx x m
+ + ≥ + +
có nghiệm đúng
.
x
∀
A.
(
]
2;3
m∈ . B.
(
]
2;3
m∈ − . C.
[
)
2;3
m∈ . D.
[
)
2;3
m∈ − .
Vấn đề 6. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM (trích từ 7 đề của BGD)
Câu 1: [2D2-1-MH1] Giải phương trình
(
)
4
log 1 3.
x
− =
A.
63
x
=
. B.
65
x
=
. C.
80
x
=
. D.
82
x
=
.
Câu 2: [2D2-1-MH1] Tính đạo hàm của hàm số
x
y = .
A.
1
.13
x
y x
−
′
= . B.
13 ln13
x
y
′
= . C.
13
x
y
′
= . D.
13
.
ln13
x
y
′
=
Câu 3: [2D2-1-MH2] Với các số thực dương
a
,
b
bất kì. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
(
)
ln ln ln
ab a b
= + . B.
(
)
ln ln .ln
ab a b
= . C.
ln
ln
ln
a a
b b
= . D.
ln ln ln
a
b a
b
= − .
Câu 4: [2D2-1-MH2] Tìm nghiệm của phương trình
1
3 27
x−
=
.
A.
9
x
. B.
3
x
=
. C.
4
x
. D.
10
x
=
.
Câu 5: [2D2-1-MH3] Tìm đạo hàm của hàm số
log
y x
=
.
A.
1
y
x
′
=
. B.
ln10
y
x
′
= . C.
1
ln10
y
x
′
= . D.
1
10ln
y
x
′
= .
Câu 6: [2D2-1-MH3] Tìm tập nghiệm
S
của bất phương trình
1
1
5 0
5
x+
− >
.
A.
(
)
1;S
= + ∞
. B.
(
)
1;S
= − + ∞
. C.
(
)
2;S
= − + ∞
. D.
(
)
; 2
S
= −∞ −
.
Câu 7: [2D2-1-MH3] Tính giá trị của biểu thức
(
)
(
)
2017 2016
7 4 3 4 3 7P = + − .
A.
1
P
=
. B.
7 4 3
P = − . C.
7 4 3
+ . D.
(
)
2016
7 4 3P = + .
GV. TR
GV. TRGV. TR
GV. TRẦ
ẦẦ
ẦN QU
N QUN QU
N QUỐ
ỐỐ
ỐC NGH
C NGHC NGH
C NGHĨA
ĨAĨA
ĨA
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầ
ầầ
ầm & biên t
m & biên tm & biên t
m & biên tậ
ậậ
ập)
p)p)
p)
107
107107
107
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2
Câu 8: [2D2-1-MH3] Cho
a
là số thực dương,
1
a
≠
và
3
3
log
a
P a
= . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
3
P
=
. B.
1
P
=
. C.
9
P
=
. D.
1
3
P
=
.
Câu 9: [2D2-1-101] Cho phương trình
1
4 2 3 0
x x+
+ − =
. Khi đặt
2
x
t
=
, ta được phương trình nào dưới
đây?
A.
2
2 3 0
t
− =
B.
2
3 0
t t
+ − =
. C.
4 3 0
t
− =
. D.
2
2 3 0
t t
+ − =
.
Câu 10: [2D2-1-101] Cho
a
là số thực dương khác.
1
Tính log
a
I a
= .
A.
1
2
I
=
. B.
0
I
=
. C.
2
I
= −
. D.
2
I
=
.
Câu 11: [2D2-1-101] Với
a
,
b
là các số thực dương tùy ý và
a
khác
1
, đặt
2
3 6
log log
a
a
P b b
= + .
Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A.
9log
a
P b
= . B.
27log
a
P b
= . C.
15log
a
P b
= . D.
6log
a
P b
= .
Câu 12: [2D2-1-102] Cho
a
là số thực dương khác
1
. Mệnh đề nào dưới đây đúng với mọi số thực
dương
x
,
y
?
A.
log log log
a a a
x
x y
y
= −
. B.
log log log
a a a
x
x y
y
= +
.
C.
( )
log log
a a
x
x y
y
= −
. D.
log
log
log
a
a
a
x
x
y y
= .
Câu 13: [2D2-1-102] Tìm nghiệm của phương trình
(
)
2
log 1 2
x
− =
.
A.
4
x
= −
. B.
3
x
= −
. C.
3
x
=
. D.
5
x
=
.
Câu 14: [2D2-1-103] Tìm nghiệm của phương trình
( )
25
1
log 1
2
x
+ =
.
A.
6
x
= −
. B.
6
x
. C.
4
x
. D.
23
2
x = .
Câu 15: [2D2-1-104] Tìm nghiệm của phương trình
(
)
2
log 5 4
x
− =
.
A.
21
x
=
. B.
3
x
=
. C.
11
x
=
. D.
13
x
=
.
Câu 16: [2D2-1-104] Cho
a
là số thực dương tùy ý khác
1
. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A.
2
log log 2.
a
a = B.
2
2
1
log .
log
a
a
=
C.
2
1
log .
log 2
a
a =
D.
2
log log 2.
a
a = −
Câu 17: [2D2-2-MH1] Giải bất phương trình
(
)
2
log 3 1 3.
x
− >
A.
3
x
>
. B.
1
3
3
x
< <
. C.
3
x
<
. D.
10
3
x
>
.
Câu 18: [2D2-2-MH1] Tìm tập xác định D của hàm số
(
)
2
2
log 2 3
y x x
= − −
.
A.
(
]
[
)
; 1 3;D
= −∞ − ∪ +∞
. B.
[
]
1;3
D = − .
C.
(
)
(
)
; 1 3;D
= −∞ − ∪ +∞
. D.
(
)
1;3
D = − .
Câu 19: [2D2-2-MH1] Cho hàm số
( )
2
2 .7 .
x x
f x = Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
A.
(
)
2
2
1 log 7 0.
f x x x
< ⇔ + <
B.
(
)
2
1 ln 2 ln 7 0.
f x x x
< ⇔ + <
C.
(
)
2
7
1 log 2 0.
f x x x
< ⇔ + <
D.
(
)
2
1 1 log 7 0.
f x x
< ⇔ + <
TÀI LI
TÀI LITÀI LI
TÀI LIỆ
ỆỆ
ỆU H
U HU H
U HỌ
ỌỌ
ỌC T
C TC T
C TẬ
ẬẬ
ẬP TOÁN 1
P TOÁN 1P TOÁN 1
P TOÁN 12
22
2
–
––
–
M
MM
MŨ
Ũ Ũ
Ũ -
--
-
LOGARIT
LOGARITLOGARIT
LOGARIT
108
108108
108
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2
Câu 20: [2D2-2-MH2] Số lượng của loại vi khuẩn A trong một phòng thí nghiệm được tính theo công thức
(
)
(
)
0 .2 ,
t
s t s= trong đó
(
)
0
s
là số lượng vi khuẩn A lúc ban đầu,
(
)
s t
là số lượng vi khuẩn A
có sau t phút. Biết sau 3 phút thì số lượng vi khuẩn A là 625 nghìn con. Hỏi sau bao lâu, kể từ
lúc ban đầu, số lượng vi khuẩn A là 10 triệu con?
A. 48 phút. B. 19 phút. C. 7 phút. D. 12 phút.
Câu 21: [2D2-2-MH2] Cho biểu thức
4
3
2 3
. .
P x x x
= , với
0
x
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
1
2
P x
=
. B.
13
24
P x
=
. C.
1
4
P x
=
. D.
2
3
P x
=
.
Câu 22: [2D2-2-MH2] Với các số thực dương
, b
a
bất kì. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
3
2 2 2
2
log 1 3log log
a
a b
b
= + −
. B.
3
2 2 2
2 1
log 1 log log
3
a
a b
b
= + −
.
C.
3
2 2 2
2
log 1 3log log
a
a b
b
= + +
. D.
3
2 2 2
2 1
log 1 log log
3
a
a b
b
= + +
.
Câu 23: [2D2-2-MH3] Cho hàm số
(
)
ln
f x x x
= . Một trong bốn đồ thị cho trong bốn phương án A, B,
C, D dưới đây là đồ thị của hàm số
(
)
y f x
′
= . Tìm đồ thị đó?
A. . B. . C. . D. .
Câu 24: [2D2-2-MH3] Tập nghiệm
S
của phương trình
(
)
(
)
2 2
log 1 log 1 3
x x
− + + =
.
A.
{
}
3;3
S = − . B.
{
}
4
S = . C.
{
}
3
S = . D.
{
}
10; 10
S = −
.
Câu 25: [2D2-2-MH3] Cho
,
a b
là các số thực dương thỏa mãn
1
a
≠
,
a b
≠ và
log 3
a
b = . Tính
P log
b
a
b
a
= .
A.
5 3 3
P = − + . B.
1 3
P = − + . C.
1 3
P = − − . D.
5 3 3
P = − − .
Câu 26: [2D2-2-101] Tìm tập xác định của hàm số
5
3
log
2
x
y
x
−
=
.
A.
{
}
\ 2
D
= −
ℝ
. B.
(
)
[
)
; 2 3;D
= −∞ − ∪ + ∞
.
C.
(
)
2;3
D = − . D.
(
)
(
)
; 2 3;D
= −∞ − ∪ + ∞
.
Câu 27: [2D2-2-102] Rút gọn biểu thức
1
6
3
.
P x x
= với
0
x
.
A.
1
8
P x
=
. B.
2
P x
=
. C.
P x
= . D.
2
9
P x
=
.
Câu 28: [2D2-2-102] Tính đạo hàm của hàm số
(
)
2
log 2 1
y x
= +
.
A.
( )
1
2 1 ln 2
y
x
′
=
+
. B.
( )
2
2 1 ln 2
y
x
′
=
+
. C.
2
2 1
y
x
′
=
+
. D.
1
2 1
y
x
′
=
+
.
O
x
y
1
O
x
y
1
O
x
y
1
O
x
y
1
1
GV. TR
GV. TRGV. TR
GV. TRẦ
ẦẦ
ẦN QU
N QUN QU
N QUỐ
ỐỐ
ỐC NGH
C NGHC NGH
C NGHĨA
ĨAĨA
ĨA
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầ
ầầ
ầm & biên t
m & biên tm & biên t
m & biên tậ
ậậ
ập)
p)p)
p)
109
109109
109
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2
Câu 29: [2D2-2-102] Cho
log 2
a
b
và
log 3
a
c
=
. Tính
(
)
2 3
log
a
P b c
= .
A.
31
P
=
. B.
13
P
=
. C.
30
P
=
. D.
108
P
=
.
Câu 30: [2D2-2-102] Tìm tập nghiệm
S
của phương trình
(
)
(
)
1
2
2
log 1 log 1 1
x x
− + + =
.
A.
{
}
2 5
S = +
. B.
{
}
2 5;2 5
S = − +
.
C.
{
}
3
S = . D.
3 13
2
S
+
=
.
Câu 31: [2D2-2-103] Cho
a
là số thực dương khác
2
. Tính
2
2
log
a
a
I
=
.
A.
1
2
I
=
. B.
2
I
=
. C.
1
2
I
= −
. D.
2
I
= −
.
Câu 32: [2D2-2-103] Tìm tập nghiệm
S
của phương trình
(
)
(
)
3 3
log 2 1 log 1 1
x x
+ − − =
.
A.
{
}
4 .
S = B.
{
}
3 .
S =
C.
{
}
2 .
S
= −
D.
{
}
1 .
S =
Câu 33: [2D3-2-103] Cho hai hàm số
x
y a
=
,
x
y b
=
với
a
,
b
là
2
số thực dương khác
1
, lần lượt có đồ thị là
(
)
1
C
và
(
)
2
C
như
hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
0 1
a b
< < <
.
B. 0 1
b a
< < <
.
C. 0 1
a b
< < <
.
D.
0 1
b a
< < <
.
Câu 34: [2D2-2-103] Cho
3
log 2
a
=
và
2
1
log
2
b
=
. Tính
(
)
2
3 3 1
4
2log log 3 log
I a b
= +
.
A.
5
4
I
=
. B.
4
I
=
. C.
0
I
=
. D.
3
2
I
=
.
Câu 35: [2D2-2-103] Rút gọn biểu thức
5
3
3
:
Q b b
= với
0
b
>
A.
2
Q b
=
. B.
5
9
Q b
=
. C.
4
3
Q b
−
= . D.
4
3
Q b
=
.
Câu 36: [2D2-2-103] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
m
để hàm số
(
)
2
log 2 1
= − − +
y x x m có
tập xác định là
ℝ
.
A.
0
≥
m . B.
0
<
m . C.
2
≤
m . D.
2
>
m .
Câu 37: [2D2-2-104] Tìm tập xác định
D
của hàm số
(
)
3
2
2
y x x
−
= − − .
A.
D
=
ℝ
. B.
(
)
0;D
= +∞
.
C.
(
)
(
)
; 1 2;D
= −∞ − ∪ +∞
. D.
{
}
\ 1;2
D = −
ℝ
.
Câu 38: [2D2-1-104] Tìm tất cả các giá trị thực của
m
để phương trình
3
x
m
=
có nghiệm thực.
A.
1
m
≥
. B.
0
m
≥
C.
0
m
>
D.
0
m
TÀI LI
TÀI LITÀI LI
TÀI LIỆ
ỆỆ
ỆU H
U HU H
U HỌ
ỌỌ
ỌC T
C TC T
C TẬ
ẬẬ
ẬP TOÁN 1
P TOÁN 1P TOÁN 1
P TOÁN 12
22
2
–
––
–
M
MM
MŨ
Ũ Ũ
Ũ -
--
-
LOGARIT
LOGARITLOGARIT
LOGARIT
110
110110
110
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2
Câu 39: [2D2-1-104] Tìm tập xác định
D
của hàm số
(
)
2
3
log 4 3
y x x
= − +
A.
(
)
(
)
2 2;1 3;2 2
D = − ∪ +
. B.
(
)
1;3
D =
.
C.
(
)
(
)
;1 3;D
= −∞ ∪ +∞
. D.
(
)
(
)
;2 2 2 2;D
= −∞ − ∪ + +∞
.
Câu 40: [2D2-2-104] Với mọi
, ,
a b x
là các số thực dương thoả mãn
2 2 2
log 5log 3log
x a b
= + . Mệnh
đề nào dưới đây đúng ?
A.
3 5
x a b
= +
. B.
5 3
x a b
= +
. C.
5 3
x a b
= +
. D.
5 3
x a b
=
.
Câu 41: [2D2-2-104] Tìm giá trị thực của tham số
m
để phương trình
1
9 2.3 0
x x
m
+
− + =
có hai nghiệm
thực
1
x
,
2
x
thỏa mãn
1 2
1.
x x
+ =
A.
6.
m
=
B.
3.
m
= −
C.
3.
m
=
D.
1.
m
=
Câu 42: [2D2-2-104] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
m
để hàm số
2
ln( 2 1)
y x x m
= − + +
có tập
xác định là
ℝ
. 400000
A.
0.
m
=
B.
0 3
m
< <
. C.
1
m
< −
hoặc
0
m
>
. D.
0
m
>
.
Câu 43: [2D2-2-104] Vơ
i ca
c sô
thư
c dương
x
,
y
tu
y y
, đă
t
3
log x
α
=
,
3
log y
β
=
. Mê
nh đê
na
o dươ
i
đây đu
ng?
A.
3
27
log 9
2
x
y
α
β
= −
. B.
3
27
log
2
x
y
α
β
= +
C.
3
27
log 9
2
x
y
α
β
= +
. D.
3
27
log
2
x
y
α
β
= −
.
Câu 44: [2D2-2-MH2] Tính đạo hàm của hàm số
(
)
ln 1 1
y x
= + +
.
A.
( )
1
2 1 1 1
y
x x
′
=
+ + +
. B.
1
1 1
y
x
′
=
+ +
.
C.
( )
1
1 1 1
y
x x
′
=
+ + +
. D.
( )
2
1 1 1
y
x x
′
=
+ + +
.
Câu 45: [2D2-2-101] Tìm tập xác định
D
của hàm số
( )
1
3
1
y x
= −
.
A.
(
)
;1
D
= −∞
. B.
(
)
1;D
= +∞
. C.
D
=
ℝ
. D.
{
}
\ 1
D =
ℝ
.
Câu 46: [2D2-2-103] Với mọi số thực dương
a
và
b
thỏa mãn
2 2
8
a b ab
+ =
, mệnh đề nào dưới đây
đúng?
A.
( ) ( )
1
log log log .
2
a b a b
+ = + B.
(
)
log 1 log log .
a b a b
+ = + +
C.
( ) ( )
1
log 1 log log .
2
a b a b
+ = + + D.
( )
1
log log log .
2
a b a b
+ = + +
Câu 47: [2D2-3-MH1] Cho các số thực dương
a
,
b
với
1
a
≠
. Khẳng định nào sau đây là khẳng định
đúng?
A.
( )
2
1
log log
2
a
a
ab b
= . B.
(
)
2
log 2 log
a
a
ab b
= + .
C.
( )
2
1
log log
4
a
a
ab b
= . D.
( )
2
1 1
log log
2 2
a
a
ab b
= + .
GV. TR
GV. TRGV. TR
GV. TRẦ
ẦẦ
ẦN QU
N QUN QU
N QUỐ
ỐỐ
ỐC NGH
C NGHC NGH
C NGHĨA
ĨAĨA
ĨA
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầ
ầầ
ầm & biên t
m & biên tm & biên t
m & biên tậ
ậậ
ập)
p)p)
p)
111
111111
111
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2
Câu 48: [2D2-3-MH1] Tính đạo hàm của hàm số
1
.
4
x
x
y
+
=
A.
(
)
2
1 2 1 ln 2
2
x
x
y
− +
′
= . B.
(
)
2
1 2 1 ln 2
2
x
x
y
+ +
′
= .
C.
(
)
2
1 2 1 ln 2
2
x
x
y
− +
′
= . D.
(
)
2
1 2 1 ln 2
2
x
x
y
+ +
′
= .
Câu 49: [2D2-3-MH1] Đặt
2 5
log 3, log 3.
a b= = Hãy biểu diễn
6
log 45
theo
a
và
b
.
A.
6
2
log 45
a ab
ab
+
= . B.
2
6
2 2
log 45
a ab
ab
−
= .
C.
6
2
log 45
a ab
ab b
+
=
+
. D.
2
6
2 2
log 45
a ab
ab b
−
=
+
.
Câu 50: [2D2-3-MH1] Cho hai số thực
a
và
b
, với
1
a b
< <
. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định
đúng?
A.
log 1 log
a b
b a
< < . B.
1 log log
a b
b a
< < .
C.
log log 1
b a
a b
< <
. D.
log 1 log
b a
a b
< < .
Câu 51: [2D2-3-MH2] Tìm tập nghiệm
S
của bất phương trình
(
)
(
)
1 1
2 2
log 1 log 2 1
x x
+ < −
A.
(
)
2;S
= +∞
. B.
(
)
;2
S = −∞ . C.
1
;2
2
S
=
. D.
(
)
1;2
S = − .
Câu 52: [2D2-3-MH2] Cho ba số thực dương
, ,
a b c
khác
1
. Đồ thị các hàm số
x
y a
=
,
x
y b
=
,
x
y c
=
được cho trong
hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây
đúng?
A.
a b c
< <
.
B.
a c b
< <
.
C.
b c a
< <
.
D.
c a b
< <
.
Câu 53: [2D2-3-MH3] Cho hàm số
ln
x
y
x
= , mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
2
1
2y xy
x
′ ′′
+ = −
. B.
2
1
y xy
x
′ ′′
+ = . C.
2
1
y xy
x
′ ′′
+ = −
. D.
2
1
2y xy
x
′ ′′
+ = .
Câu 54: [2D2-3-101] Tìm tập nghiệm
S
của bất phương trình
2
2 2
log 5log 4 0
x x
− + ≥
.
A.
(
]
[
)
;2 16;S
= −∞ ∪ +∞
. B.
[
]
2;16
S = .
C.
(
]
[
)
0; 2 16;S
= ∪ +∞
. D.
(
]
[
)
;1 4;S
= −∞ ∪ +∞
.
Câu 55: [2D2-3-101] Một người gửi
50
triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất
6%
/năm. Biết rằng
nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào gốc để
tính lãi cho năm tiếp theo. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm, người đó nhận được số tiền hơn
100
triệu đồng bao gồm gốc và lãi ? Giả định trong suốt thời gian gửi, lãi suất không đổi và người
đó không rút tiền ra.
A.
13
năm. B.
14
năm. C.
12
năm. D.
11
năm.
O
x
y
x
y a
=
x
y b
=
x
y c
=
1
TÀI LI
TÀI LITÀI LI
TÀI LIỆ
ỆỆ
ỆU H
U HU H
U HỌ
ỌỌ
ỌC T
C TC T
C TẬ
ẬẬ
ẬP TOÁN 1
P TOÁN 1P TOÁN 1
P TOÁN 12
22
2
–
––
–
M
MM
MŨ
Ũ Ũ
Ũ -
--
-
LOGARIT
LOGARITLOGARIT
LOGARIT
112
112112
112
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2
Câu 56: [2D2-3-101] Tìm các giá trị thực của tham số
m
để phương trình
2
3 3
log log 2 7 0
x m x m
− + − =
có hai nghiệm thực
1
x
,
2
x
thỏa mãn
1 2
81
x x
=
.
A.
4
m
= −
. B.
4
m
=
. C.
81
m
=
. D.
44
m
=
.
Câu 57: [2D2-3-101] Cho
log 3
a
x
=
,
log 4
b
x
với
a
,
b
là các số thực lớn hơn
1
. Tính log
ab
P x
= .
A.
7
12
P
=
. B.
1
12
P
=
. C.
12
P
=
. D.
12
7
P
=
.
Câu 58: [2D2-3-102] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
m
để phương trình
1
4 2 0
x x
m
+
− + =
có hai
nghiệm thực phân biệt.
A.
(
)
;1
m
∈ −∞
. B.
(
)
0;m
∈ +∞
. C.
(
]
0;1
m∈ . D.
(
)
0;1
m∈ .
Câu 59: [2D2-3-102] Cho
x
,
y
là các số thực lớn hơn
1
thoả mãn
2 2
9 6
x y xy
+ = . Tính
( )
12 12
12
1 log log
2log 3
x y
M
x y
+ +
=
+
.
A.
1
4
M
=
. B.
1
M
=
. C.
1
2
M
=
. D.
1
3
M
=
.
Câu 60: [2D2-3-102] Đầu năm
2016
, ông A thành lập một công ty. Tổng số tiền ông A dùng để trả
lương cho nhân viên trong năm
2016
là
1
tỷ đồng. Biết rằng cứ sau mỗi năm thì tổng số tiền
dùng để trả cho nhân viên trong cả năm đó tăng thêm
15%
so với năm trước. Hỏi năm nào
dưới đây là năm đầu tiên mà tổng số tiền ông A dùng để trả lương cho nhân viên trong cả
5
năm lớn hơn
2
tỷ đồng?
A. Năm
2023
. B. Năm
2022
. C. Năm
2021
. D. Năm
2020
.
Câu 61: [2D2-3-103] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
m
để bất phương trình
2
2 2
log 2log 3 2 0
x x m
− + − <
có nghiệm thực.
A.
1.
m
<
B.
2
.
3
m
<
C.
0.
m
<
D.
1.
m
≤
Câu 62: [2D2-4-MH2] Tìm tập hợp các giá trị của tham số thực
m
để phương trình
(
)
6 3 2 0
x x
m m
+ − − =
có nghiệm thuộc khoảng
(
)
0;1
.
A.
[
]
3;4
. B.
[
]
2; 4
. C.
(
)
2; 4
. D.
(
)
3;4
.
Câu 63: [2D2-4-MH2] Xét các số thực
a
,
b
thỏa mãn
1
a b
> >
. Tìm giá trị nhỏ nhất
min
P
của biểu
thức
( )
2 2
log 3log
ba
b
a
P a
b
= +
.
A.
min
19
P
=
. B.
min
13
P
=
. C.
min
14
P
=
. D.
min
15
P
=
.
Câu 64: [2D2-4-MH3] Hỏi có bao nhiêu giá trị
m
nguyên trong
[
]
2017;2017
− để phương trình
(
)
(
)
log 2log 1
mx x
= +
có nghiệm duy nhất?
A.
2017
. B.
4014.
C.
2018.
D.
4015.
Câu 65: [2D2-4-101] Xét các số thực dương
x
,
y
thỏa mãn
3
1
log 3 2 4
2
xy
xy x y
x y
−
= + + −
+
. Tìm giá trị
nhỏ nhất
min
P
của
P x y
= +
.
A.
min
9 11 19
9
P
−
= . B.
min
9 11 19
9
P
+
= . C.
min
18 11 29
9
P
−
= . D.
min
2 11 3
3
P
−
= .
GV. TR
GV. TRGV. TR
GV. TRẦ
ẦẦ
ẦN QU
N QUN QU
N QUỐ
ỐỐ
ỐC NGH
C NGHC NGH
C NGHĨA
ĨAĨA
ĨA
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầ
ầầ
ầm & biên t
m & biên tm & biên t
m & biên tậ
ậậ
ập)
p)p)
p)
113
113113
113
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2
Câu 66: [2D2-4-102] Xét các số thực dương
a
,
b
thỏa mãn
2
1
log 2 3
ab
ab a b
a b
−
= + + −
+
. Tìm giá trị
nhỏ nhất
min
P
của
2
P a b
= +
.
A.
min
2 10 3
2
P
−
= . B.
min
3 10 7
2
P
−
= . C.
min
2 10 1
2
P
−
= . D.
min
2 10 5
2
P
−
= .
Câu 67: [2D2-4-103] Xét hàm số
( )
2
9
9
t
t
f t
m
=
+
với
m
là tham số thực. Gọi
S
là tập hợp tất cả các
giá trị của
m
sao cho
(
)
(
)
1
f x f y
+ =
với mọi
,
x y
thỏa mãn
(
)
x y
e e x y
+
≤ +
. Tìm số phần tử
của
S
.
A.
0.
B.
1.
C. Vô số. D.
2.
Câu 68: [2D2-4-104] Xét các số nguyên dương
,
a
b
sao cho phương trình
2
ln ln 5 0
a x b x
+ + =
có hai
nghiệm phân biệt
1
,
x
2
x
và phương trình
2
5log log 0
x b x a
+ + =
có hai nghiệm phân biệt
3
,
x
4
x
thỏa mãn
1 2 3 4
x x x x
> . Tính giá trị nhỏ nhất
min
S
của
2 3
S a b
= +
.
BẢNG ĐÁP ÁN BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Vấn đề 1. LŨY THỪA
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
A A B A C B D B B C D C A B D C B C D B
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
C B D B C A B C C A A A D C D D A B D A
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
B A C D C D B A D B B A A A C D D C C A
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
B A D B D B A B A D C B A C C D A B A A
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
A C D C D B A D B C C C D A C A D A B D
101
102
103
104
105
106
B A D C D C
Vấn đề 2. LOGARIT
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
A A B A C B D B B A C D C A C D C B D D
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
C D C B D A D A A D B C B D B A A B C C
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
C B B C B C D D D D B A A C D B A A C A
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
D A B A A A C A C D B A D B B C C D B C
81
82
83
84
C A A A
TÀI LI
TÀI LITÀI LI
TÀI LIỆ
ỆỆ
ỆU H
U HU H
U HỌ
ỌỌ
ỌC T
C TC T
C TẬ
ẬẬ
ẬP TOÁN 1
P TOÁN 1P TOÁN 1
P TOÁN 12
22
2
–
––
–
M
MM
MŨ
Ũ Ũ
Ũ -
--
-
LOGARIT
LOGARITLOGARIT
LOGARIT
114
114114
114
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2
Vấn đề 3. HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT – HÀM SỐ LŨY THỪA
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
A A B A C B D B B A C D C A C D C B D D
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
C D C B D A D A A D B C B D B A A B C C
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
A B B C B C D D D D B
Vấn đề 4. PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
C A A B D A B C C D A A C B A B A B D C
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
A D C A C A A D A A C A B A B D B A D B
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
A A C D B A A A B C
Vấn đề 5. PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
C A A B D A C C B D A A C B A B A B D C
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
A D C A A A A D A A C A B A B D B A D B
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
A A C D B A A A B C A D C A B A C A C A
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
A D C A C D A A D C B A B A D A C A A A
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
C A A D B A C B A A B C A A A A
Vấn đề 6. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM (trích từ 7 đề của BGD)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
B B A C C C C C D D D A B C A C A C D C
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
B A C C C D C B B A B A B D D B D C C D
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
C D D A D C D A C D C B A C C B D D B C
61
62
63
64
65
66
67
68
D C D C D A D A
GV. TR
GV. TRGV. TR
GV. TRẦ
ẦẦ
ẦN QU
N QUN QU
N QUỐ
ỐỐ
ỐC NGH
C NGHC NGH
C NGHĨA
ĨAĨA
ĨA
(S
(S(S
(Sưu t
ưu tưu t
ưu tầ
ầầ
ầm & biên t
m & biên tm & biên t
m & biên tậ
ậậ
ập)
p)p)
p)
115
115115
115
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2
GHI CHÉP THÊM
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
TÀI LI
TÀI LITÀI LI
TÀI LIỆ
ỆỆ
ỆU H
U HU H
U HỌ
ỌỌ
ỌC T
C TC T
C TẬ
ẬẬ
ẬP TOÁN 1
P TOÁN 1P TOÁN 1
P TOÁN 12
22
2
–
––
–
M
MM
MŨ
Ũ Ũ
Ũ -
--
-
LOGARIT
LOGARITLOGARIT
LOGARIT
116
116116
116
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2
MỤC LỤC
HÀM SỐ LUỸ THỪA - HÀM SỐ MŨ - HÀM SỐ LÔGARIT
Vấn đề 1. LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ HỮU TỈ - SỐ MŨ THỰC ....................................................................................... 1
Dạng 1. Tính toán – Rút gọn biểu thức lũy thừa ....................................................................................................... 2
Dạng 2. So sánh các lũy thừa hay căn số ................................................................................................................... 5
Dạng 3. Bài toán lãi kép .............................................................................................................................................. 6
Vấn đề 2. LÔGARIT............................................................................................................................................................ 9
Dạng 1. Tính toán – Rút gọn biểu thức có chứa lôgarit .......................................................................................... 10
Dạng 2. So sánh hai lôgarit ....................................................................................................................................... 11
Dạng 3. Biểu diễn một lôgarit theo các lôgarit khác ............................................................................................... 12
Dạng 4. Chứng minh đẳng thức chứa lôgarit ......................................................................................................... 13
Dạng 5. Bài toán lãi kép ............................................................................................................................................ 14
Vấn đề 3. HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LÔGARIT............................................................................................................. 17
Dạng 1. Tìm tập xác định của hàm số ...................................................................................................................... 19
Dạng 2. Đạo hàm của hàm số mũ và logarit ........................................................................................................... 21
Dạng 3. GTLN và GTNN của hàm số mũ và logarit .............................................................................................. 23
Dạng 4. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ............................................................................................... 24
Dạng 5. Tìm giới hạn của các hàm số mũ và lôgarit ............................................................................................... 25
Dạng 6. Dùng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức chứ mũ logarit ........................................................ 26
Vấn đề 4. PHƯƠNG TRÌNH MŨ .................................................................................................................................... 29
Dạng 1. Phương pháp đưa về cùng cơ số ................................................................................................................ 29
Dạng 2. Phương pháp đặt ẩn phụ ............................................................................................................................ 32
Dạng 3. Phương pháp lôgarit hóa ............................................................................................................................ 36
Dạng 4. Phương pháp đưa về phương trình tích .................................................................................................... 37
Dạng 5. Phương pháp sử dụng bất đẳng thức, tính đơn điệu của hàm số ........................................................... 38
Vấn đề 5. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ ........................................................................................................................... 40
Dạng 1. Phương pháp đưa về cùng cơ số ................................................................................................................ 40
Dạng 2. Phương pháp đặt ẩn phụ ............................................................................................................................ 43
Dạng 3. Phương pháp lôgarit hóa ............................................................................................................................ 46
Vấn đề 6. PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT......................................................................................................................... 49
Dạng 1. Phương pháp đưa về cùng cơ số ................................................................................................................ 49
Dạng 2. Phương pháp đặt ẩn phụ ............................................................................................................................ 51
Dạng 3. Phương pháp mũ hóa ................................................................................................................................. 53
Dạng 4. Phương pháp đưa về phương trình tích .................................................................................................... 55
Dạng 5. Phương pháp sử dụng bất đẳng thức, tính đơn điệu của hàm số ........................................................... 56
Vấn đề 7. BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT ................................................................................................................ 58
Dạng 1. Phương pháp đưa về cùng cơ số ................................................................................................................ 58
Dạng 2. Phương pháp đặt ẩn phụ ............................................................................................................................ 63
Vấn đề 8. HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ - LÔGARIT ........................................................................................................ 67
Vấn đề 9. PHƯƠNG TRÌNH
HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẤT PHƯƠNG TRÌNH CÓ THAM SỐ ............................ 70
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM (trích từ bộ BTN – 387 câu + 7 đề của BGD – 68 câu)....................................................... 73
Vấn đề 1. LŨY THỪA .............................................................................................................................................. 73
Vấn đề 2. LOGARIT ................................................................................................................................................ 82
Vấn đề 3. HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT – HÀM SỐ LŨY THỪA .......................................................... 89
Vấn đề 4. PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ .............................................................................. 95
Vấn đề 5. PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT ................................................................... 99
Vấn đề 6. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM (trích từ 7 đề của BGD)........................................................................... 106
BẢNG ĐÁP ÁN BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ................................................................................................................ 113
MỤC LỤC ..................................................................................................................................................................... 115
| 1/118
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

GV G . V TR T ẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm & & biê i n n tập) p 1 Chủđề 2 HÀM SỐ LUỸ THỪA
HÀM SỐ MŨ - HÀM SỐ LÔGARIT
Vấn đề 1. LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ HỮU TỈ - SỐ MŨ THỰC
1. Lũythừavớisốmũnguyên
Cho n là một số nguyên dương. Với a là số thực tùy ý, lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số a. ① n a = . a .
a … .a với a : cơ số; n : số mũ n thöøa soá Quy −
ước: Với a ≠ 0 thì: ② 0 a = 1; ③ n 1 a = . Chú ý: 0
0 và 0−n không có nghĩa. n a 2. Cănbậcn
a. Khái niệm:
• Cho số thực b và số nguyên dương n ≥ 2 . Số a được gọi là căn bậc n của số b nếu n a = b
• Với n lẻ, b∈ℝ thì phương trình có duy nhất một căn bậc n của b , kí hiệu: n b .
• Với n chẵn:
b < 0 : Không tồn tại căn bậc n của b .
b = 0 : Có một căn bậc n của b là số 0 .
b > 0 : Có hai căn trái dấu là n b và – n b .
b. Tính chất của căn bậc n: n ④ a a n .n n a b = ab
⑤ ( n a)m n m = a ⑥ n m m.n a = a ⑦ n = n b b a khi n leû n p ⑧ a n n a = 
⑨ n p .n q n p q a a a + = ⑩ n p−q = a a khi n chaünn q a
3. Lũythừavớisốhữutỉ m
Cho số thực a dương và số hữu tỉ r =
trong đó m ∈ ℤ , * n ∈ ℕ . n m
Lũy thừa của a với số mũ r là r a xác định bởi: r n n m
a = a = a ⑪ 4. Lũythừavớisốvôtỉ
Cho a là một số dương, α là một số vô tỉ. Ta thừa nhận rằng luôn có một dãy số hữu tỉ (r n )
có gới hạn là α và dãy số tương ứng (α nr ) có giới hạn không phụ thuộc vào việc chọn dãy số (r . n )
Ta gọi giới hạn của dãy số (α nr ) là lũy thừa của a với số mũ α . Kí hiệu là α a . α a = lim nr
a với α = lim r n x→+∞ x→+∞
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2 TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 12 – MŨ Ũ - LOGA G R A IT I 2
5. Tínhchấtcủalũythừavớisốmũthực α ⑫ a α −β
aα .aβ = aα +β ⑬ = a ⑭ α β α. (a ) a β = ⑮ ( . a b)α aα .bα = ⑯ aβ  a α  ab −α α    = =   b bα  a
⑰ Nếu a >1 thì aα > aβ ⇔ α > β ⑱ Nếu 0 < a <1 thì aα > aβ ⇔ α < β 6. Côngthứclãikép
a. Định nghĩa: Lãi kép là phần lãi của kì sau được tính trên số tiền gốc kì trước cộng với
phần lãi của kì trước.
b. Công thức: Giả sử số tiền gốc là A ; lãi suất r% /kì hạn gửi (có thể là tháng, quý hay năm).
● Số tiền nhận được n
cả gốc và lãi sau n kì hạn gửi là A(1+ r ) ● Số n n
tiền lãi nhận được sau n kì hạn gửi là A(1 r )
A A (1 r) 1 + − = + −  
Dạng1.Tínhtoán–Rútgọnbiểuthứclũythừa
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Áp dụng các tính chất của lũy thừa để tính giá trị của biểu thức, rút gọn một biểu thức,
chứng minh một biểu thức không phụ thuộc tham số, … B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 1: Tính giá trị của các biểu thức sau: 3 −1 −3 4 2 .2 + 5 .5 a) 3+ 2 1− 2 −4− 3 A = 4 .2 .2 b) B = 10− :10− − (0,25)0 3 2 −0,75 5 2  1    c) C = − +   + (0,25)− + (0,04) 1−,5 − 2
− (0,125) 3 d)G = ( ) 5 5 1 2 3 1 3 5  + 4 .16  16    847 847 3 3 7 3. 3 3 e) 3 3 E = 6 + + 6 − f) 0 12 F = ⋅π + ⋅9 27 27 5 0 e . 3 12 9 −3 3 − −  1  1 2 2 : 4 + ( 2 3 ) −1 .    2 − 1  9 g)  D = (0,5) 4 − 625 −  2  +19.( 3 − )−3 0,25 h) H =  4  −2   5− .25 + (0,7)0 1 3 2 .   2 
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2 GV G . V TR T ẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm & & biê i n n tập) p 3
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
Ví dụ 2: Đơn giản các biểu thức sau: 1 7 1 5 − 4 − 1 1 a ( 1 2 3 3 3 a + a ) 3 3 3 3 a − a a − a 3 3 a b + b a a) A = − b) B = c) C = 1 4 2 1 − 1 − 6 6 a + b a ( 3 1 4 4 4 a + a ) 3 3 3 3 a − a a + a 5 +2 4 a − b a + ab 5 2 − − 5  aa d) D = − e) E =   ⋅ 4 4 4 4 a − b a + b 1 5 −2   b− b 1 9 1 3  −  14 1 π 4 4 2 2  a − a
b − b a b f) π π 2
F = (x + y ) − (4π. .xy) g) 3 6 I = : .  1 5 1 1  4 2 −   b a 4 4 2 2  a − a b + b  2 3 2 3 3 3 3 5 7
(a − )1(a +a +a ) a − b h) H = i) G = 2 5 5 7 2 7 4 3 3 a − a 3 3 3 3 a + a b + b
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2 TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 12 – MŨ Ũ - LOGA G R A IT I 4
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2 GV G . V TR T ẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm & & biê i n n tập) p 5
Dạng2.Sosánhcáclũythừahaycănsố
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
So sánh hai lũy thừa cùng cơ số a ta áp dụng kết quả sau:
Với a >1 thì 1x 2 x
a > a ⇔ x > x 1 2
Với 0 < a <1 thì 1x 2 x
a > a ⇔ x < x 1 2
So sánh hai lũy thừa có cùng só mũ x, ta áp dụng kết quả sau: x > 0 x x ⇔ b < a Với , a b ≠ 1 và 0 x x
< b < a ⇔  x < 0 x x ⇔ b > a
Với hai biểu thức chứa căn, ta cần đưa về các căn cùng bậc. B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 3: So sánh các số sau (không dùng máy tính bỏ túi): a) 600 a = 3 và 400 b = 5 b) 3 x = 7 + 15 và 3 y = 10 + 28 − 2  − 2 3   2  c) p = ( − )14 3 1 và q = ( − ) 22 3 1 d) u =   và v =    5   2  2 − 2 5  π  3 π −    3   2 
e) m =   và n =   f) h =   và k =    2   5   5   2 
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2 TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 12 – MŨ Ũ - LOGA G R A IT I 6
Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: 2 sin x ⓐ  1  y =   ⓑ x 1 3 2 2 x y − − = + ⓒ 2 2 sin x cos 3 3 x y = +  2 
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................. Dạng3.Bàitoánlãikép
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
a. Định nghĩa: Lãi kép là phần lãi của kì sau được tính trên số tiền gốc kì trước cộng với
phần lãi của kì trước.
b. Công thức: Giả sử số tiền gốc là A ; lãi suất r% /kì hạn gửi (có thể là tháng, quý hay năm).
● Số tiền nhận được n
cả gốc và lãi sau n kì hạn gửi là A(1+ r ) ● Số n n
tiền lãi nhận được sau n kì hạn gửi là A(1 r )
A A (1 r) 1 + − = + −   B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 5: Bà Mai gửi 50 triệu vào tài khoản định kỳ tính lãi kép với lãi suất là 8%/năm. Tính số tiền lãi thu được sau 15 năm.
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2 GV G . V TR T ẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm & & biê i n n tập) p 7
Ví dụ 6: Một người lần đầu gửi vào ngân hàng 100 triệu đồng với kì hạn 3 tháng, lãi suất 2% một quý.
Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi quý số tiền lãi sẽ được nhập vào
gốc để tính lãi cho quý tiếp theo. Sau đúng 6 tháng, người đó gửi thêm 100 triệu đồng với kỳ
hạn và lãi suất như trước đó. Tổng số tiền người đó nhận được 1 năm sau khi gửi tiền (cả vốn
lẫn lãi) gần nhất với kết quả nào sau đây?
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
Ví dụ 7: Bác An đem gửi tổng số tiền 320 triệu đồng ở hai loại kỳ hạn khác nhau. Bác gửi 140 triệu
đồng theo kỳ hạn ba tháng với lãi suất 2,1% một quý. Số tiền còn lại bác An gửi theo kỳ hạn
một tháng với lãi suất 0,73% một tháng. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ
sau mỗi kỳ hạn số tiền lãi sẽ được nhập vào gốc để tính lãi cho kỳ hạn tiếp theo. Sau 15 tháng
kể từ ngày gửi bác An đi rút tiền. Tính gần đúng đến hàng đơn vị tổng số tiền lãi thu được của bác An.
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
BÀI TẬP TỔNG HỢP VẤN ĐỀ 1 2 2 2 Bài 1. Cho: 2 3 4 2 2 3 4 2
x + x y + y + y x = a . Chứng minh 3 3 3
x + y = a . Bài 2.
Đơn giản các biểu thức sau:
ab− .(a− b )4 .(ab− )2 2 1 2 1 ⓐ A = a− .
b (a− b− )3 2 2 1 1 .a− b −   1 ( − −  b − a ) 3 3 2 2 2 2 2 2a b 3 3  ⓑ B = ( 6 4 2 2 4 6
a + 3a b + 3a b + b )3 + 2 a    a +  ( 2 2 2 + b a )3 2 2b 3 3  −  (4 + a b )8 11 3 2 a 5 2 2 3 2 5 ⓒ a − b −  1  C = − ( a > 0 ) ⓓ 4 5 5 D = + a   − b 11 3 − − 18 12 3 5 5 2 a b a − ba  16 a Đáp số: 8 5
A = a b ; B = 1 ; 3 9
C = a + a ; 3 2
D = a b −1
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2 TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 12 – MŨ Ũ - LOGA G R A IT I 8 Bài 3.
Tính giá trị của các biểu thức sau: 1 1 −2 0 − ,75 0 1 −1 2 − ⓐ −  1   1   1  −   5 1  1  4 A = 64 + −   −  −  + 9  ⓑ 3 2 B = (0, 25) +   −  2  + (−5)  255   81  2   32   9  1 3 3. 3 − 3 5 −7 1 1 1    2  C = ⋅( 5 4 π )0 13 3 7 ⓒ + ⋅ ⓓ 2 3 4 3 4 2
D = 3 .5 : 2  :16 : 5 .2 .3  − 9 (     e ) 12 16 5 0 3 12 4 . 5 1 − ⓔ   3 − 1 0,75 0 −5 E = 256 −   − (9 ) ⓕ 3 3
F = 7 + 5 2 + 7 − 5 2 125  Bài 4.
Tính giá trị của các biểu thức sau: 3 3 1   ⓐ 81 27 3 3
A = 7 + 5 2 + 7 − 5 2 ⓑ 2− 3 2+ 5 2 B = +  4  − 9 .3 3 3 9   Bài 5.
Đơn giản các biểu thức sau: −1 −1 2 2 2 + +  + −  3 2 6 2 ⓐ x ( y z) z y x
a + 2 − a . 1− a 2 − a −2 A = ⋅1+
 ⋅ (x + y + z) ⓑ B = −1 −1
x − ( y + z)  2yz  3 2 1− a Bài 6.
Chứng minh nếu 1 ≤ x ≤ 2 thì x + 2 x +1 + x − 2 x −1 = 2 . Bài 7. So sánh các số sau: 7 − 0 ⓐ   3 7  4  a =   và b =  2  ⓑ 3 x = 126 + 26 và 3 y = 170 − 82  9   13  Bài 8. So sánh các số sau: 1 − 5 10   3  π  π ⓐ − − 1  2  3 a = ( ) 56 5 và 1 4 b =  5 
ⓑ x =   và y =    5   3   3  5 1 3   − 3    π − ⓒ 3 3 2   2 3 p =   và q =  
ⓓ u =   và v =    2   6   3   π  ⓔ − m = ( − )14 5 2 và n = ( + ) 32 5 2 ⓕ 6 h = 65 + 37 và 3 k = 97 − 10 Bài 9.
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: 6 6 1−cos2 x cos x+sin x   ⓐ  e  5 2 1 5 x x y − + + = ⓑ y =  ⓒ y = π       3   
Bài 10. Một người lần đầu gửi vào ngân hàng 100 triệu đồng với kì hạn 3 tháng, lãi suất 2% một quý
theo hình thức lãi kép. Sau đúng 6 tháng, người đó gửi thêm 100 triệu đồng với kỳ hạn và lãi
suất như trước đó. Tổng số tiền người đó nhận được 1 năm sau khi gửi tiền là bao nhiêu?
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2 GV G . V TR T ẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm & & biê i n n tập) p 9
Vấn đề 2. LÔGARIT 1. 1 Địnhnghĩa
Cho hai số dương a , b với a ≠ 1. Số α thỏa mãn đẳng thức aα = b được gọi là lôgarit cơ số
a của b và kí hiệu là log b . a ① ① log b aα α = ⇔
= b (với a , b > 0 ; a ≠ 1) a
Chú ý: Không có lôgarit của số âm và số 0 .
Cơ số của lôgarit phải dương và khác 1.
Cho hai số dương a ≠ 1 và b , ta có các tính chất sau:
② log 1= 0 ③ log a =1 ④ log lnb lg α a b = ; = ;10 b a b e b = b ⑤ log a a ( ) =α a a 2. 2 Tínhchất
a. So sánh hai lôgarit có cùng cơ số: Cho các số dương b và c :
Khi a > 1 thì log b > log c ⇔ b > c
< a ≠ và các số b , c dương: a a Với 0 1
Khi 0 < a <1 thì log b > log c ⇔ b < c
a > thì log b > 0 ⇔ b > 1 a a Khi 1 a
Khi 0 < a <1 thì log b > 0 ⇔ b <1 a
log b = log c ⇔ b = c a a
b. Các quy tắc tính lôgarit: Cho ba số dương a ≠ 1, b , c : ⑥ ⑥ b log ( .
b c) = log b + log c ⑦ log
= log b − log c
⑧ log bα = α log b a a a a a a c a a Các hệ quả:
⑨ log (b b …b ) = log b + log b +…+ log b (0 < a ≠1, b , b , …, b > 0 , n + ∈ a 1 2 n a 1 a 2 a n 1 2 ℤ ) n ⑩ 1 n 1 log
= − log b , 0 < a ≠ 1, b > 0 ⑪ log b = log b , 0 < a ≠1, b > 0 , n + ∈ a a ℤ . b a a n
Chú ý: Nếu 0 < a ≠ 1, bc > 0 thì: ⑫ b log ( .
b c) = log b + log c ⑬ log
= log b − log c a a a a a a c ⑭ 2 log k
b = 2k log b , b ≠ 0 , k + ∈ a a ℤ . 3.
3 Đổicơsốcủalogarit
a. Cho ba số dương a , b , c ≠ 1, ta có: ⑮ ⑮ log c log a c = ⇔ ⑯log .
b log c = log c ⑰ logcb logc a a = b b log b a b a a
b. Hệ quả: cho (0 < .
a b ≠ 1, b > 0 , α , m , n ≠ 0 ) ⑱ 1 m log b = ⇔ log .
b log a = 1 ⑲ 1 log = ⑳ log m b = b n log α b log b a log a b a a a α a a n b 4.
4 Lôgaritthậpphân,lôgarittựnhiên
a. Lôgarit thập phân: là lôgarit cơ số 10: log10 b thường được viết là log b hay lg b .
b. Lôgarit tự nhiên:  1 n
Người ta chứng minh được dãy số (u với u = 1+
có giới hạn là một số vô tỉ và n ) n   n   1 n
gọi giới hạn đó là e : e = lim 1+  n→+∞  n
Một giá trị gần đúng của e là: e ≈ 2,718281828459045…
Lôgarit tự nhiên: là lôgarit cơ số e : log b hay ln b . e lg b ln b
c. Chú ý công thức đổi cơ số: log b = =
( 0 < a ≠ 1, b > 0 ) a lg a ln a
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2 TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 12 – MŨ Ũ - LOGA G R A IT I 10 1
Dạng1.Tínhtoán–Rútgọnbiểuthứccóchứalôgarit
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Áp dụng định nghĩa, các tính chất và các công thức đổi cơ số để rút gọn, tính toán các biểu thức lôgarit… B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 8: Tính giá trị của các biểu thức sau: ⓐ 1 log 36 − log 12 3
A = log 36 − log 14 − 3log 21 ⓑ 5 5 B = 7 7 7 2 log 9 5 ⓒ log6 5 1−lg 2 ln 27 C = 36 +10 − e ⓓ log3 5 log9 36 2−log2 3 D = 81 + 27 − 4 ⓔ 2017 2017 E = 3lg ( 2 − ) 1 + lg (5 2 + 7)
ⓕ F = ln( 3 + 2) + ln(2− 3)  π   π 
ⓖ G = log 2sin  + log cos ⓗ H = log ( 3 3 5 + 3) + log ( 3 3 3 25 − 15 + 9 ) 2 2   8   8  4 4
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................. 5 4 3 a b
Ví dụ 9: Tìm log x biết log b = 5 , log c = −4 và ⓐ 5 5 3
x = a b c ⓑ x = a a a 6 c
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2 GV G . V TR T ẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm & & biê i n n tập) p 11 1 Dạng2.Sosánhhailôgarit
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Để so sánh hai lôgarit ta áp dụng các kết quả sau:
1) Nếu a > 1 thì log M > log N ⇔ M > N > 0 a a
2) Nếu 0 < a < 1 thì log M > log N ⇔ 0 < M < N a a
3) Nếu 0 < a < b < 1 hay 1 < a < b thì:
log x > log x ⇔ x > 1 a b
log x < log x ⇔ 0 < x < 1 a b
4) log b > 0 ⇔ a và b cùng lớn hơn 1 hoặc cùng nhỏ hơn 1 a B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 10: So sánh hai số sau: 3 7 ⓐ m = log và n = log
ⓑ m = log 8 và n = log 2 3 5 3 9 1 115 3
ⓒ m = log 4 và n = log 3
ⓓ m = log + log3 và n = log5 3 2 2
ⓔ m = log 29 và n = log 5
ⓕ m = log 0,8và n = log 0,3 7 3 0,3 0,2
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2 TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 12 – MŨ Ũ - LOGA G R A IT I 12 1
Dạng3.Biểudiễnmộtlôgarittheocáclôgaritkhác
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Để biểu diễn log b theo log d ta đưa log b về lôgarit theo cơ số c sau đó viết a và b a c a
thành tích hay thương của dãy các lũy thừa theo cơ số c và d .
Áp dụng tính chất lôgarit của tích và của thương ta suy ra kết quả. B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 11: ⓐ Cho α = log 3 và β = log 5 . Tính log 2700 theo α và β 2 2 225 1 1 1 1
ⓑ Cho a = ln 2 . Tính ln16; ln 0,125; ln − ln theo a 8 4 4 8
ⓒ Cho a = log 15 và b = log 10 . Tính log 50 theo a và b . 3 3 3
ⓓ Cho a = log3 và b = log5 . Tính log 30 theo a và b . 15
ⓔ Cho a = log 3, b = log 5 và c = log 2. Tính log 63 theo a , b và c 2 3 7 140
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2 GV G . V TR T ẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm & & biê i n n tập) p 13 1
Dạng4.Chứngminhđẳngthứcchứalôgarit
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Áp dụng các công thức biến đổi lôgarit, công thức đổi cơ số để biến đổi vế này thành vế kia
hoặc hai vế cùng bằng một đại lượng thứ ba, … B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 12: ⓐ Cho a , b , c là ba số dương và c ≠ 1. Chứng minh: log b log c c a a = b log c
ⓑ Cho a , b , c là ba số dương khác 1. Chứng minh: a = 1+ log b log a c ab 1 1 1 1 n(n + ) 1
ⓒ Cho 0 < a , b ≠1. Chứng minh: + + + ...+ =
log b log b log b log b b n 2 log 2 3 a a a a a
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
Ví dụ 13: Trong điều kiện có nghĩa, chứng minh rằng: a + b 1 ⓐ Nếu 2 2
a + b = 7ab thì log = log a + log b 7 ( 7 7 ) 3 2 ⓑ Nếu 2 2 2
a + c = b thì log a + log a = 2log . a log a b+c b−c b+c b−c
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2 TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 12 – MŨ Ũ - LOGA G R A IT I 14 1 Dạng5.Bàitoánlãikép
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
a. Định nghĩa: Lãi kép là phần lãi của kì sau được tính trên số tiền gốc kì trước cộng với
phần lãi của kì trước.
b. Công thức: Giả sử số tiền gốc là A ; lãi suất r% /kì hạn gửi (có thể là tháng, quý hay năm).
● Số tiền nhận được n
cả gốc và lãi sau n kì hạn gửi là A(1+ r ) ● Số n n
tiền lãi nhận được sau n kì hạn gửi là A(1 r )
A A (1 r) 1 + − = + −   B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 14: [ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017] Một người gửi 50 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất
6% / năm. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ
được nhập vào gốc để tính lãi cho năm tiếp theo. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm người đó nhận
được số tiền nhiều hơn 100 triệu đồng bao gồm cả gốc và lãi? Giả sử trong suốt thời gian gửi
lãi suất không đổi và người đó không rút tiền ra.
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
Ví dụ 15: [ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017] Đầu năm 2016, ông A thành lập một công ty. Tổng số tiền
ông A dùng để trả lương cho nhân viên trong năm 2016 là 1 tỷ đồng. Biết rằng cứ sau mỗi năm
thì tổng số tiền dùng để trả lương cho nhân viên trong cả năm đó tăng thêm 15% so với năm
trước. Hỏi năm nào dưới đây là năm đầu tiên mà tổng số tiền ông A dùng để trả lương cho
nhân viên trong cả năm lớn hơn 2 tỷ đồng?
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2 GV G . V TR T ẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm & & biê i n n tập) p 15 1
BÀI TẬP TỔNG HỢP VẤN ĐỀ 2
Bài 11. So sánh các số sau:
ⓐ a = log 10 và b = log 63
ⓑ x = log 3 và y = log 2 2 4 0,5 7
ⓒ m = 3log 2+ log 3 và n = 2log 5 ⓓ log61,05 u = 5 và log6 0,995 v = 7 6 6 6
ⓔ x = log 36 và y = log 25 ⓕ 3 u = log 2 và v = log 0,34 7 8 0,4 0,2
Bài 12. ⓐ Biết log b = 5 . Tìm 5 3 6 log a b ĐS: 6 − (12+ 2 5) / 5 a a b ⓑ mnp Biết log x = ; m log x = ;
n log x = p (abc ≠ 1) . Tìm log x ĐS: a b c abc
np + pm + mn ⓒ 5 − n Biết log 15 = ;
m log 18 = n . Tìm log 24 . ĐS: 6 12 25
2m(n +1) − 4n + 2
Bài 13. Tính giá trị của các biểu thức sau: 1 1 ⓐ 27 A = log ⓑ log6 3 log6 2 B = 9 + 4
ⓒ C = log 2.log 3.log 4.log 5 1 5 9 3 4 5 2 3 1 1 4 4 log 5 log 7 + b a = + + − ⓓ 6 8 E = 25 49 ⓔ log log a b D = a − b ⓕ F logπ (6 35) logπ (6 35 )
Bài 14. Đơn giản các biểu thức sau: 2   ⓐ lg e
A = (ln a + log e + a −
ⓑ B = log tan 6 + log cot 6 . 5 ( ) 5 ( ) a )2 2 ln    lg a  3 ⓒ 3 2 1− log b
C = 2lg a + 3log 10 − − ⓓ a D = a lg a log 10 a a (log b+ log a + a b ) 1 .loga b
Bài 15. ⓐ Biết log 3 = ; m log 5 = . n Tìm 5 log 0,3; log 135 2 2 2 2 ⓑ Biết log 5 = ; a log 7 = ; b log 3 = . c Tìm log 35 . 27 8 2 6 ⓒ Biết log 12 = ; a log 24 = . b Tìm log 168. 7 12 54 ⓓ Biết log 18 = ; a log 54 = .
b Chứng minh: ab + 5(a – b) =1. 12 24
Bài 16. Chứng minh các đẳng thức sau: ⓒ
(bx) log b+ log x log = a a với 0 < a, , b x, ax ≠ 1 . ax 1+ log x a ⓔ
log d.log d.log d
log d.log d + log d.log d + log d.log d = a b c , với 0 < a, ,
b c, d, abc ≠ 1 a b b c a c log d abc 1 Bài 17. Cho 2 2
x + 9y = 10xy ( x, y > 0 ; 0 < a ≠ 1 ). CM: log x y x y a ( + 3 ) − 2log 2 = a (log + log a a ) 2 1 1 1 Bài 18. Cho 1−lg x 1−lg = 10 ; = 10 y y z
( x, y, z > 0 ). Chứng minh: 1 lg 10 − = z x . 1
Bài 19. Chứng minh: ⓐ log 5 + log < 2 − ⓑ log 6561+ log 5 > 4 1 5 3 5 9 3
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2 TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 12 – MŨ Ũ - LOGA G R A IT I 16 1
Bài 20. Tìm x biết: ⓐ 1 7 25
lg x = lg 5a − 4lg b + 7 lg c . ⓑ ln x = ln (3+ 2 2) − 4ln( 2 + ) 1 − ln ( 2 − ) 1 . 3 16 8 ⓒ 1 1
ln x = 5ln a − 2ln b + 6ln c .
ⓓ log x = log 125− log 4 + log 2 . 1 3 3 3 3 2 3
Bài 21. Anh Nam mong muốn rằng sau 6 năm sẽ có 2 tỷ để mua nhà. Hỏi anh Nam phải gửi vào ngân
hàng một khoản tiền tiền tiết kiệm như nhau hàng năm gần nhất với giá trị nào sau đây, biết
rằng lãi suất của ngân hàng là 8% /năm và lãi hàng năm được nhập vào vốn.
Bài 22. Ông A muốn sau 5 năm có 1.000.000.000 đồng để mua ô tô Camry. Hỏi rằng ông A phải gửi
ngân hàng mỗi tháng (số tiền như nhau) là bao nhiêu? Biết lãi suất hằng tháng là 0.5% và tiền
lãi sinh ra hằng tháng được nhập vào tiền vốn.
Bài 23. [ĐỀ MINH HỌA 2016 – 2017] Ông Việt vay ngắn hạn ngân hàng 100 triệu đồng, với lãi suất
12% /năm. Ông muốn hoàn nợ cho ngân hàng theo cách: Sau đúng một tháng kể từ ngày vay,
ông bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ liên tiếp cách nhau đúng một tháng, số tiền hoàn nợ ở mỗi
lần là như nhau và trả hết tiền nợ sau đúng 3 tháng kể từ ngày vay. Hỏi, theo cách đó, số tiền
m mà ông Việt sẽ phải trả cho ngân hàng trong mỗi lần hoàn nợ là bao nhiêu? Biết rằng, lãi
suất ngân hàng không thay đổi trong thời gian ông Việt hoàn nợ.
Bài 24. Một người đàn ông vay vốn ngân hàng với số tiền 100 000000 đồng. Người đó dự định sau
đúng 5 năm thì trả hết nợ; Sau đúng một tháng kể từ ngày vay, ông bắt đầu hoàn nợ; hai lần
hoàn nợ liên tiếp cách nhau đúng một tháng, số tiền hoàn nợ ở mỗi lần là như nhau. Hỏi, theo
cách đó, số tiền a mà ông sẽ phải trả cho ngân hàng trong mỗi lần hoàn nợ là bao nhiêu? Biết
lãi suất hàng tháng là 1, 2% và không thay đổi trong thời gian ông hoàn nợ.
Bài 25. Biết rằng năm 2001, dân số Việt Nam là 78685800 người và tỉ lệ tăng dân số năm đó là 1,7% .
Cho biết sự tăng dân số được ước tính theo công thức . = . N r S A e
(trong đó A : là dân số của
năm lấy làm mốc tính, S là dân số sau N năm, r là tỉ lệ tăng dân số hàng năm). Cứ tăng dân
số với tỉ lệ như vậy thì đến năm nào dân số nước ta ở mức 120 triệu người?
Bài 26. Các khí thải gây hiệu ứng nhà kính là nguyên nhân chủ yếu làm trái đất nóng lên. Theo OECD
(Tổ chức hợp tác và phát triển kinh tế thế giới), khi nhiệt độ trái đất tăng lên thì tổng giá trị
kinh tế toàn cầu giảm. Người ta ước tính rằng khi nhiệt độ trái đất tăng thêm 2 C ° thì tổng giá
trị kinh tế toàn cầu giảm 3%, còn khi nhiệt độ trái đất tăng thêm 5 C
° thì tổng giá trị kinh tế
toàn cầu giảm 10% . Biết rằng nếu nhiệt độ trái đất tăng thêm t C
° , tổng giá trị kinh tế toàn cầu
giảm f (t) % thì ( ) = . t f t k a (trong đó ,
a k là các hằng số dương). Nhiệt độ trái đất tăng thêm
bao nhiêu độ C thì tổng giá trị kinh tế toàn cầu giảm 20% ?
Bài 27. Một người đã thả một lượng bèo hoa dâu chiếm 4% diện tích mặt hồ. Biết rằng cứ sau đúng
một tuần bèo phát triển thành 3 lần lượng đã có và tốc độ phát triển của bèo ở mọi thời điểm
như nhau. Sau bao nhiêu ngày, lượng bèo sẽ vừa phủ kín mặt hồ?
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2 GV G . V TR T ẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm & & biê i n n tập) p 17 1
Vấn đề 3. HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LÔGARIT 1. Địnhnghĩa
① Hàm số mũ: Cho a là số thực dương, khác 1. Hàm số x
y = a được gọi là hàm số mũ cơ số a . ②
② Hàm số lôgarit: Cho a là số thực dương, khác 1.
Hàm số y = log x được gọi là hàm số lôgarit cơ số a . a ③
③ Hàm số lũy thừa: Hàm số y = xα với α ∈ℝ được gọi là hàm số lũy thừa. 2. Tậpxácđịnh ① Hàm số mũ x
y = a ( 0 < a ≠ 1 ) có tập xác định D = ℝ
② Hàm số lôgarit y = log x (0 < a ≠ 1) có txđ D = (0;+∞) a
③ Hàm số lũy thừa y = xα với α ∈ℝ có tập xác định tùy thuộc α :
Với α nguyên dương: D = ℝ
Với α nguyên âm hoặc bằng 0 : D = ℝ \ { } 0
Với α không nguyên: D = (0;+∞)
3. Mộtsốgiớihạncóliênquan x ①  1  x 0 lim x a = a
② lim (log x) = log x ( x ∈ lim 1+  = e a a 0 0 ℝ ) ③ x→ → →+∞ 0 x x 0 x xx x ln (1+ x) ④ − ④ e 1 lim (1+ x)1 α α
x = e ⑤ lim = 1 ⑥ lim
= 1 ⑦ lim x = x (0 < x ∈ 0 0
ℝ , α ∈ ℝ ) x→0 x→0 x x→0 x x→ 0 x
⑧ Khi α > 0 : lim xα = 0, lim xα = +∞
⑨ Khi α < 0: lim xα = +∞, lim xα = 0 x→0+ x→+∞ x→0+ x→+∞ 4. Đạohàm Hàm sơ cấp
Hàm hợp ( u = u ( x ) ) ( x)′ x e = e ( u)′ = . u e u′ e ( x)′ x a = a .ln a ′ ( u ) = . u a
u′ a .ln a ( )′ 1 ′ u′ ln x = (ln u ) = x u ( ′ u′ x ′ = (log u = a ) a ) 1 log x ln a u ln a ( α )′ α 1 x = α x − (uα )′ α 1
= αu − .u′ ( ′ ′ u′ n x ) 1 = (n u) = n n 1 n x − n n 1 n u −
5. Sựbiếnthiênvàđồthị
a. Hàm số mũ x y = a :
a > 1
0 < a < 1
① Tập xác định: D = ℝ
① Tập xác định: D = ℝ
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2 TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 12 – MŨ Ũ - LOGA G R A IT I 18 1
② Sự biến thiện: x
y′ = a .ln a > 0
② Sự biến thiện: x
y′ = a .ln a < 0
Giới hạn đặc biệt:
Giới hạn đặc biệt: lim x a = 0; lim x a = +∞ lim x a = + ; ∞ lim x a = 0 x→−∞ x→+∞ x→−∞ x→+∞
Tiệm cận: Trục Ox là TCN.
Tiệm cận: Trục Ox là TCN.
③ Bảng biến thiên:
③ Bảng biến thiên: x −∞ 0 1 +∞ x −∞ 0 1 +∞ +∞ +∞ y y 0 1 a 1 a 0 ④ Đồ thị: ④ Đồ thị: y y = x y a = x y a ( a > 1 )
( 0 < a < 1 ) a 1 1 a x O x O
b. Hàm số lôgarit y = log x . a
a > 1
0 < a < 1
① Tập xác định: D = (0;+∞)
① Tập xác định: D = (0;+∞) ② 1 1
Sự biến thiện: y′ = > 0
② Sự biến thiện: y′ = < 0 . x ln a . x ln a
Giới hạn đặc biệt:
Giới hạn đặc biệt: lim log x = − ; ∞ lim log x = +∞ lim log x = + ; ∞ lim log x = −∞ + a a + a a x→0 x→+∞ x→0 x→+∞
Tiệm cận: Trục Oy là TCĐ.
Tiệm cận: Trục Oy là TCĐ.
③ Bảng biến thiên:
③ Bảng biến thiên: x 0 1 a +∞ x 0 a 1 +∞ +∞ +∞ y 1 0 −∞ y 0 1 −∞ ④ Đồ thị: ④ Đồ thị: y y y = log x a = x y a ( a > 1 )
( 0 < a < 1 ) 1 1 a x 1 O 1 a x O
c. Hàm số lũy thừa y = xα . α > 1 α < 0
① Tập khảo sát: D = (0;+∞)
① Tập khảo sát: D = (0;+∞)
② Sự biến thiện: 1 y xα α − ′ = > 0
② Sự biến thiện: 1 y xα α − ′ = < 0
Giới hạn đặc biệt:
Giới hạn đặc biệt:
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2 GV G . V TR T ẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm & & biê i n n tập) p 19 1
lim xα = 0; lim xα = +∞ lim xα = + ; ∞ lim xα = 0 x→0+ x→+∞ x→0+ x→+∞
Tiệm cận: Không có.
Tiệm cận: Ox: TCN; Oy: TCĐ.
③ Bảng biến thiên:
③ Bảng biến thiên: x 0 +∞ x 0 +∞ +∞ +∞ y y 0 0 ④ Đồ thị: y α > 1 α = 1 0 < α < 1 1 α = 0 1 α < 0 O x
Dạng1.Tìmtậpxácđịnhcủahàmsố
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1. y = b ( b ∈ ℝ )(hàm hằng).
Hàm số xác định với mọi x ∈ ℝ . D = ℝ
2. y = P ( x) ( P ( x) đa thức)
Hàm số xác định với mọi x ∈ ℝ . D = ℝ
3. y = A( x) Hàm số xác định ⇔ A( x) ≥ 0 . Mở rộng: 2k y = A( x) ( *
k ∈ ℕ ) xác định ⇔ A( x) ≥ 0 . 4. 3
y = A( x) Hàm số xác định ⇔ A( x) xác định. Mở rộng 2k 1 y + = A( x) ( *
k ∈ ℕ ) xác định ⇔ A( x) xác định. A( x) 5. y =
Hàm số xác định ⇔ B ( x) ≠ 0 . B ( x) A( x)
A( x) ≥ 0 6. y =
Hàm số xác định ⇔ B ( x) B  ( x) ≠ 0 A( x) 7. y =
Hàm số xác định ⇔ B ( x) > 0 . B ( x) A( x)
A( x) ≥ 0 8. y =
Hàm số xác định ⇔ B ( x) B  ( x) > 0  A(x) ≥ 0 k ( x)  9. y =
Hàm số xác định ⇔ B ( x) ≥ 0
A( x) ± B ( x)   A
(x) ± B(x) ≠ 0 π
10. y = tan f ( x)
Hàm số xác định ⇔ f ( x) ≠ + kπ , k ∈ℤ 2
11. y = cot f ( x)
Hàm số xác định ⇔ f ( x) ≠ kπ , k ∈ℤ
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2 TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 12 – MŨ Ũ - LOGA G R A IT I 20 2
0 < a( x) ≠ 1 12. y = log
f x Hàm số xác định ⇔ a( x) ( )   f  ( x) > 0
y = lg f ( x)
Hàm số xác định ⇔ f ( x) > 0
y = ln f ( x)
Hàm số xác định ⇔ f ( x) > 0 0 < a ≠ 1 13. f ( x) y = a
Hàm số xác định ⇔  .
 f ( x) > 0
 f ( x) xaùc ñònh
14. y = f ( x) ± g ( x) Hàm số xác định ⇔  g
 ( x) xaùc ñònh
 f ( x) xaùc ñònh
15. y = f ( x ).g( x ) Hàm số xác định ⇔  g
 ( x) xaùc ñònh
16. Hàm số lũy thừa y = xα với α ∈ ℝ có tập xác định tùy thuộc α :
Với α nguyên dương: D = ℝ
Với α nguyên âm hoặc bằng 0 : D = ℝ \ { } 0
Với α không nguyên: D = (0;+∞)
g ( x) khi x ≠ a 17. y =  (TXĐ D)
h ( x) khi x = a
- Khi x ≠ a , y = g( x) . Ta tìm được tập xác định D . 1
- Khi x = a , y = h( x) . Ta tìm được tập xác định D . 2
Khi đó D = D ∪ D . 1 2 B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 16: Tìm tập xác định của hàm số: 3+2 2 − x − x ⓐ 12 2 x −1 3+2 2 y = x ⓑ y ( ) 2 3x1 3 2 − = + ⓒ y = lg 2 − x − 3 ⓓ 2
y = ln x − 4x −12 ⓔ 3 8 2 x x y − − − = ⓕ 2
y = x + x − 2.log ( 2 9 − x 3 ) − log x −1 2 − − + 0,3 ( ) ⓖ 3 2x x x 1 y = ⓗ y = log ⓖ y = log 2 1 3 x − 2x − 8 x + 2 2 2 x − x − 2
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2 GV G . V TR T ẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm & & biê i n n tập) p 21 2
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 28. Tìm tập xác định của hàm số: 2 x −2 x log (x +1) ⓐ   2x+3 1 2 y = ⓑ y = ⓒ = ( ) 2 3 y x ⓓ y = log x − x− ( 2 1 2 1 ) 2x−3   2 −1  2 
Dạng2.Đạohàmcủahàmsốmũvàlogarit
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Sử dụng các công thức: Hàm sơ cấp
Hàm hợp ( u = u ( x ) ) ( x)′ x e = e ( u)′ = . u e u′ e ( x)′ x a = a .ln a ′ ( u ) = . u a
u′ a .ln a ( )′ 1 ′ u′ ln x = (ln u ) = x u ( ′ u′ x ′ = (log u = a ) a ) 1 log x ln a u ln a ( α )′ α 1 x = α x − (uα )′ α 1
= αu − .u′ ( ′ ′ u′ n x ) 1 = (n u) = n n 1 n x − n n 1 n u −
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2 TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 12 – MŨ Ũ - LOGA G R A IT I 22 2 B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 17: Tính đạo hàm của các hàm số sau: ⓐ ln x − 2 = − ( 2 1 − 2 + ) 1 x y x x e ⓑ = 3x −(2 + ) 1 .2x y x ⓒ y = x +1
ⓓ y = (x − 4)log x
ⓔ y = xlog x +1 ⓕ 3 2 y = x ( 2 log .ln 3 − x ) 2 ( )
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 29. Tính đạo hàm của các hàm số sau: x − x ⓐ e + e = ( 2 − ) 3 2 1 . x y x e ⓑ 2 3 = x y x e +1 ⓒ y = x − e − x e ⓓ x 3 = 3 − x y e + 2 ⓔ y = ( 3 2
ln x + 2x − x) ⓕ y = ( 2 x + ) ( 2 3 ln x + 2) ⓖ 3 y = ( 2 4 ln 3x + ) 1 ⓗ 3
y = sin x cos x ⓘ =1−(2 + 3)3x y x π x ⓚ sin e +1 2 = 2 − x y e .sin x ⓛ x x 4 y = 2 − e + 3 ⓜ y = x e −1
ⓝ y = xln x +1 ⓞ 2
y = 1+ x − 2 ln x ⓟ y = ( 2 x + ) ( 2 3 ln x + 2) ⓠ 2
y = 1− 2ln x + ln x
ⓡ y = log x −3log x ⓢ y = ( 2 log x + ) 1 − ln 2x 2 3
Bài 30. Tính đạo hàm của các hàm số sau: ⓐ = x
y e (sin x − cos x) ⓑ π = .π x y x ⓒ 5 y = ln 4x − 5 x ⓓ y = ( 2 ln x + x +1)
ⓔ y = (x + )sin 2 3 ⓕ 1 1 1 1 1 1 y = + + + cos x 2 2 2 2 2 2
Bài 31. Cho hàm số f ( x) = xlog 2 (0 < x ≠ 1) . Tính đạo hàm f ′( x) và giải bất phương trình x
f ′( x) ≤ 0 .
Bài 32. Chứng minh hàm số y = x 3cos(ln x) + 4sin (ln x)   thỏa mãn: 2
x y′ − xy′ + 2 y = 0 .
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2 GV G . V TR T ẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm & & biê i n n tập) p 23 2
Bài 33. Cho hàm số: = . x y x e
ⓐ Tính đạo hàm cấp một y′ , đạo hàm cấp hai y′ của hàm số rồi suy ra đạo hàm cấp n của hàm số.
ⓑ Chứng minh rằng: y′ − 2y′ + y = 0  x e khi x ≥ 0
Bài 34. Tìm a để hàm số sau đây có đạo hàm trên ℝ : y = f ( x) =  2
x + ax +1 khi x < 0 1 −  + x x e khi x > 0
Bài 35. Tìm a để hàm số sau đây có đạo hàm tại x = 0 : y = f ( x) ( ) =  2
−x − ax +1 khi x ≤ 0
Bài 36. Tính đạo hàm cấp n của hàm số y = ln (2x + ) 1 .
Dạng3.GTLNvàGTNNcủahàmsốmũvàlogarit
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI Tính y′.
Giải phương trình y′ = 0 và chỉ nhận những nghệm x0 thuộc [a;b] .
Tính f (a), f (b) và f ( x . 0 )
Khi đó: min f ( x) = min{ f (a), f (b), f ( x
; max f ( x) = max{ f (a), f (b), f ( x 0 )} 0 )} [a;b] [a;b] Chú ý:
Nếu hàm số y = f ( x) tăng trên [a;b] thì: min f ( x) = f (a) và max f ( x) = f (b) x [ ∈ a;b] x [ ∈ a;b]
Nếu hàm số y = f ( x) giảm trên [a;b] thì:
min f ( x) = f (b) và max f ( x) = f (a) x [ ∈ a;b] x [ ∈ a;b]
Nếu bài toán phải đặt ẩn phụ thì phải có điều kiện cho ẩn phụ đó. B. BÀI TẬP MẪU 2 ln x
Ví dụ 18: Tìm giá trị lớn nhất và giá tị nhỏ nhất của hàm số y = −1 trên đoạn 2 1  ;e    . x
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 37. Tìm giá trị lớn nhất và giá tị nhỏ nhất của hàm số ⓐ 2 = x y x e +1 trên [ 3 − ;2] ⓑ 2
y = ln x − ln x trên 2 1  ;e    ⓒ = ( 2 −3 + ) 1 x y x x e trên [ 3 − ;0]
ⓓ y = xln x −1 trên 2 1  ;e    ⓔ 2
y = x − ln (1− 2x) trên [ 2 − ;0] ⓕ
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2 TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 12 – MŨ Ũ - LOGA G R A IT I 24 2
Dạng4.Khảosátsựbiếnthiênvàvẽđồthịhàmsố
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI ① Hàm số mũ x y = a : a > 1:
Hàm số đồng biến trên ℝ
0 < a < 1: Hàm số nghịch biến trên ℝ
② Hàm số mũ y = log x ( 0 < a ≠1) có tập xác định D = (0;+∞) a a > 1:
Hàm số đồng biến trên (0;+∞)
0 < a < 1: Hàm số nghịch biến trên (0; +∞)
③ Hàm số mũ y = xα với α ∈ℝ .
* x > 0 : α > 1 : Hàm số đồng biến trên (0;+∞)
α < 1: Hàm số nghịch biến trên (0; +∞)
* x < 0 : α > 0 : Hàm số nghịch biến trên (− ; ∞ 0)
α < 0 : Hàm số đồng biến trên (− ; ∞ 0) B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 19: Vẽ đồ thị của các hàm số sau: ⓐ x x 1 y 3 ; y 3 − = = ; y = 3x x ⓑ   x 1
Chứng minh các hàm số y = a ; y =   có đồ thị đối xứng qua trục Oy .  a
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2 GV G . V TR T ẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm & & biê i n n tập) p 25 2
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 38. Vẽ đồ thị của các hàm số sau: ⓐ y = log ; x y = log ; x y = log x . 3 1 3 3
ⓑ Chứng minh các hàm số x
y = a ; y = log x có đồ thị đối xứng qua y = x . a
Bài 39. Vẽ đồ thị của các hàm số sau: x ⓐ  1  1 y =   ⓑ y = ( 2 lg x − ) 1 ⓒ y = . ⓓ y = log ( 2 x − 2x 3 )  3  4 x
Bài 40. Xét sự biến thiên của các hàm số sau: x x ⓐ  e  −  x 1  y =  ⓑ y = 3 ⓒ y = log x ⓓ 2 y = ln (3x) π      π  6 − 5  2 e 1 x − 3 3 3 ⓔ ( 3− )1( 9+ 3+ )1 2 y = x ⓕ y = x x x ⓖ y = ( − ) 2 22 5 2 6 ⓗ y = log x 2 (32− 3)
Dạng5.Tìmgiớihạncủacáchàmsốmũvàlôgarit
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
① Biến đổi đưa về các giới hạn cơ bản.
② Một số công thức mở rộng: x a −1 log x a (1 + ) 1 lim
= ln a (a > 0) ; lim =
(0 < a ≠ 1) x→0 x x→0 x ln a f ( x) ③ 0 ∞
Đặc biệt ta có thể áp dụng quy tắc L’hopitan: Nếu lim
có dạng vô định hay x→ 0 x g ( x) 0 ∞
và f ( x) , g( x) có đạo hàm tại một lân cận của điểm x0, trừ điểm x thì: 0 f ( x) f ′( x) f ′ ( x) lim = lim = lim = ... x→x x→x x→ g x g′ x x g′ 0 ( ) 0 ( ) 0 (x)
④ Các công thức tính giới hạn lượng giác: sin x x tan x x lim = lim = 1 lim = lim = 1 x→0 x→0 x sin x x→0 x→0 x tan x B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 20: Tìm các giới hạn sau 2 x 1 + 3 x 1 ⓐ e −1 x 1 lim e + ⓑ lim
ⓒ lim(cos2x) 2x x→+∞ x→0 2x x→0 4 x+3  x + 3  sin10x ⓓ lim   ⓔ limlog x ⓕ limlog 2
x→+∞  x +1  x→8 x→0 x ln (1+ sin 2x) ln ( 2 1+ x ) ln (3x + ) 1 − ln (2x + ) 1 ⓖ lim ⓗ lim ⓘ lim x→0 x x→0 x x→0 x
................................................................................................................................................................................
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2 TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 12 – MŨ Ũ - LOGA G R A IT I 26 2
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 41. Tìm các giới hạn sau: 1 3 4 x+3 3   ( 3x 5 e − x e ).sin x x ⓐ e − e e −1 lim ⓑ lim  . x x e − x  ⓒ lim ⓓ lim x→0 x x→+∞ 2   x→0 x x→+∞ 1 +1−1 x sin2x sin x e − e 2 3x − cos x ln (1+ 4x) ln ( 2 1+ x ) ⓔ lim ⓕ lim ⓖ lim ⓗ lim x→0 sin x 2 x→0 x x→0 x x→0 3x 2 −2 x 3 2 e − 1+ x ln (1+ 4x) 2 x 1  x + 2 +  log 1+ 3x 2 ( ) ⓘ lim ⓙ lim ⓚ lim   ⓛ lim x→ ln ( 2 0 1+ x ) x→0 sin 3x
x→+∞  x +1  x→0 sin 3x x 3 2 + 2 −x − 6 ln ( 2 1+ x ) 3x e −1 ln ( 5 1+ x ) ⓜ lim ⓝ lim ⓞ lim ⓟ lim x→2 − x 1 2 − 2 −x 2 x→0 2 tan x x→0 x +1 − 1− 2x 3 x→2 3x Đáp số: ⓐ 3 4 − e ; ⓑ3 ; ⓒ 2 − ; ⓓ 2 ; ⓔ 1; ⓕln3 + 1/2 ⓖ 4 ⓗ 0
ⓘ – 7 /3 ⓙ4/3 ⓚ 2 e ⓛ1/ln2 ⓜ 8 ⓝ1/2 ⓞ 2
Dạng6.Dùngtínhđơnđiệuđểchứngminhbấtđẳng thứcchứmũlogarit
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Chứng minh bất đẳng thức: f ( x) ≥ g ( x) hoặc ( , ≤ >,<)
① Chuyển bất đẳng thức đã cho về dạng: h( x) ≥ 0 hoặc ( , ≤ >,<) .
② Tìm tập xác định của hàm số y = h(x).
③ Tính đạo hàm y′ = h′(x) giải phương trình h′(x) = 0 ⇒ nghiệm
④ Lập bảng biến thiên. Dựa vào bảng biến thiên suy ra chiều biến thiên của h(x) . Từ đó
suy ra được bất đẳng thức cần chứng minh.
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2 GV G . V TR T ẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm & & biê i n n tập) p 27 2 B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 21: Chứng minh các bất đẳng thức sau: 2 2 ⓐ x x x
e + cos x ≥ 2 + x − , ∀x ∈ ℝ
ⓑ ln (1+ x) > x − , ∀x > 0 2 2
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 42. Chứng minh các bất đẳng thức sau: 2 ⓐ x x e ≥ 1+ , x ∀x ∈ ℝ ⓑ x e >
+ x +1, ∀x > 0 2 ⓒ 1
x −1 > ln x > 1− , ∀x > 1 ⓓ (x + )
1 ln x > 2( x − ) 1 , ∀x > 1 x
Bài 43. Chứng minh rằng: 2 2
a ln b − b ln a > ln a − ln ,
b (0 < a < b < 1) . Cao Đẳng Khối A, B, D - 2009
BÀI TẬP TỔNG HỢP VẤN ĐỀ 3
Bài 44. Tìm tập xác định của hàm số: 2 x −2 x log (x +1) ⓐ   2x+3 1 2 y = ⓑ y =   ⓒ y ( x) 2 3 = ⓓ 2 y = log (x −1) 2x−3 2 −1  2  2 x 1 −
Bài 45. Xét sự biến thiên của các hàm số sau: 2 x −2 x 2 ⓐ   2 1 ln( +1) = x y ⓑ y =   ⓒ = x y ⓓ = . x y x e ln x  2  ln 3
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2 TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 12 – MŨ Ũ - LOGA G R A IT I 28 2 x
Bài 46. Cho hàm số y = ln
(1) ( m là tham số). Tìm m để hàm số (1): x + m
ⓐ Nghịch biến trên trừng khoảng xác định.
ⓑ Nghịch biến trên khoảng (2 ; + ∞) . m
Bài 47. Cho hàm số y =
+ ln x . Tìm m để hàm số đồng biến trên (1 ; + ∞). x
Bài 48. Vẽ đồ thị của các hàm số sau: x ⓐ  1  y =   ⓑ y = ( 2 lg x − ) 1  3 
Bài 49. Tìm các giới hạn sau: 2x 2 x 3 2 ⓐ  3x + 5  e − x +1 lim   ⓑ lim(1+ tan x) 1 2 sin x ⓒ lim
x→+∞  3x −1  x→0 x→0 sin 3x lg ( 2 1+ x ) ln ( 2 1+ x )
ⓓ lim(1+ sin3x)1x ⓔ lim ⓕ lim x→0
x→0 1− cos 2x x→0 2 x + 5 − 5
Bài 50. Tính đạo hàm của các hàm số sau: 2 x ⓐ x + e y = ⓑ ( 2 ) 3 1 2 . + = + x y x e ⓒ y = ( 2
ln 3 + 2x ) ⓓ y = ( 2 ln x + x + 2 ) 2 x e
Bài 51. Cho hàm số: = x
y e .sin x . Chứng minh: y′ − 2 y′ + 2 y = 0 .
Bài 52. Cho hàm số: y = .
x ln x . Chứng minh: 2
x y′ − xy′ + y = 0 . ln (cos x)  khi x ≠ 0
Bài 53. Tính đạo hàm của hàm số sau tại x = 0 : y = f ( x) =  x  0 khi x = 0  3 2 2
4x + 8 − 8x + 4  Bài 54. x ≠
Tính đạo hàm của hàm số sau tại khi 0 x
∀ ∈ ℝ : y = f (x) =  sin 2x  0 khi x = 0 2 2  x x  ln x − khi x ≠ 0
Bài 55. Tính đạo hàm của hàm số sau: y = f ( x) =  2 4  0 khi x = 0
Bài 56. Chứng minh các bất đẳng thức sau: x x 1 + 2 ⓐ  1   1  x
1+  < e < 1+  ⓑ x −
< ln (1+ x) < x, (x > 0)  x   x  2 3x ⓒ 1 + 2sinx tan x 2 2 + 2 > 2 ⓓ 2x e > ( 2
2 x + x), (x > 0)
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2 GV G . V TR T ẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm & & biê i n n tập) p 29 2
Vấn đề 4. PHƯƠNG TRÌNH MŨ 1. Dạngcơbản.
Phương trình mũ cơ bản có dạng: x
a = b ( 0 < a ≠ 1 )
Cách giải: * Khi b > 0 thì x
a = b ⇔ x = log b a
* Khi b < 0 thì x
a = b vô nghiệm. 2. Cácphươngphápgiải
a. Phương pháp đưa về cùng cơ số.
b. Phương pháp đặt ẩn phụ.
c. Phương pháp lôgarit hóa.
d. Đưa về phương trình tích
e. Phương pháp sử dụng bất đẳng thức, tính đơn điệu của hàm số.
Dạng1.Phươngphápđưavềcùngcơsố
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Sử dụng quy tắc biến đổi lũy thừa để đưa phương trình đã cho về phương trình mà hai
vế là hai lũy thừa có cùng cơ số. Áp dụng kết quả:
0 < a ≠ 1 thì f (x) g(x) a = a
⇔ f (x) = g (x)
ta sẽ đưa phương trình đã cho về phương trình không còn ẩn ở mũ. B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 22: Giải các phương trình sau: 1 ⓐ 2x 1− x 1 2 4 + + = 72 ⓑ 2x+3 2 x+2 9 = 27 ⓒ 2 5 x = 625 ⓓ 2 2 − x x−9 4 = 64
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2 TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 12 – MŨ Ũ - LOGA G R A IT I 30 3
Ví dụ 23: Giải các phương trình sau: ⓐ x x 1 − x−2 x x 1 − x−2 3 − 3 + 3 = 2 + 2 + 2 ⓑ x 1+ x+2 x+3 x x 1 + x+2 3 + 3 + 3 = 9.5 + 5 + 5 ⓒ 2x x 2 5 7 5 x.17 7x − − + .17 = 0 ⓓ x 1+ x 1 2.3 6.3 − − − 3x = 9
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
Ví dụ 24: Giải các phương trình sau: 2 2 − − + − − ⓐ x x 5 2 x 3 x 4 x 6 x (7 + 4 3) = (7− 4 3) ⓑ (3− 2 2) = (3+ 2 2)
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2 GV G . V TR T ẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm & & biê i n n tập) p 31 3
Ví dụ 25: Giải các phương trình sau: 16x +20 x 1 − ⓐ x−2 x − x x+3 5 =10 .2 .5
ⓑ x( x− )1 2 = 4
ⓒ x+3 x−2 x 1
2 .3 .5 + = 4000 ⓓ x 3 5 .8 = 500
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 57. Giải các phương trình sau: x 1 + 5−x ⓐ x   x   ( )5 −7 2 1,5 = 2 −3 1 −   ⓑ (0,75) = 1  ⓒ x 1 7 = 2x  3   3  2 x −2 x−3 ⓓ  1  x 2x−5x−6 5 = 1 ⓔ x 1   = 7 + ⓕ ( − )3 3 2 2 = 3 + 2 2  7 
ĐS: ⓐ x = 1; ⓑ x = 2
− ; ⓒ x = log 7 ; ⓓ x = 1
− ∨ x = 6 ; ⓔ x = 1
− ∨ x = 2 ; ⓕ x = −1/3 7/2
Bài 58. Giải các phương trình sau: ⓐ x 1+ x x 1 5 6.5 3.5 − + − = 52 ⓑ x 1+ x 1 2.3 6.3 − − − 3x = 9
ĐS: ⓐ x = 1; ⓑ x = 1; ⓒ x x 1 3 .2 + = 72 ⓓ x+4 x+2 x 1 2 2 5 + + = + 3.5x
ĐS: ⓒ x = 2 ; ⓓ x = 1
Bài 59. Giải các phương trình sau: x+5 x 1 + 7 x−3 x 1 + ⓐ x−3 x−7 32 = 0, 25.128 ⓑ( + )x 1− = ( − )x+3 10 3 10 3 ⓒ −x 2 2 2 x −3x+2 x +6 x+5 2 x +3x+7 4 + 4 = 4 +1
ⓓ(x − x + ) 2 4 2 2 2 =1
ĐS: ⓐ x = 10 ; ⓑ x = ± 5 ⓒ x = −5 ∨ x = 1
± ∨ x = 2 ⓓ x = ±2 ∨ x = 1
Bài 60. Giải các phương trình sau: ⓐ x x 1 + x+2 x x+3 x 1 6 6 6 5 5 5 + + + = + − ⓑ x x 1+ x+2 2 .3 .5 = 37500
ĐS: ⓐ x = 1; ⓑ x = 1; x−2 5 x 1 + ⓒ  3   4  9  1  2 x   .x   = ⓓ   =125
ĐS: ⓒ x = 5 ; ⓓ 1 x = −  4   5  16  25  4
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2 TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 12 – MŨ Ũ - LOGA G R A IT I 32 3
Dạng2.Phươngphápđặtẩnphụ
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Tìm một lũy thừa chung, đặt làm ẩn phụ t để đưa phương trình về phương trình đơn giản hơn.
Khi đặt ẩn phụ cần lưu ý: 1. Nếu đặt x
t = a , điều kiện là t > 0 thì: = ( )x x = ( x − x 1 a a a )2 2 2 2 = t ; 3x 3
a = t ; a = , … t
2. Lưu ý khác: − − − = ( + ) 1− 2 1 2 1 ; − = ( + ) 1 2 3 2 3 ; − = ( + ) 1 7 48 7 48 ; … f x f x +
3. Gặp phương trình dạng 2 ( ) ( ) g(x) 2g(x) . m a + . n a + . p a
= 0 ta chia 2 vế cho 2g(x) a và − đặt ( ) ( ) = f x g x t a f x f x 4. G 2 2
ặp phương trình dạng ( ) . m a + . n (ab) ( ) f (x) + . p b
= 0 ta chia 2 vế cho 2 f (x) a và f (x)  a đặt t =   ( a > b ) b B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 26: Giải các phương trình sau: ⓐ 4x 2 + 2 = 3. x e e
ⓑ 9x 4.3x −
− 45 = 0 ⓒ 2x+5 x+2 3 = 3 + 2 ⓓ 2 2 x 1 + x 1 9 3 + + − 6 = 0
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2 GV G . V TR T ẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm & & biê i n n tập) p 33 3
Ví dụ 27: Giải các phương trình sau: x x ⓐ x x
( 2+ 3 ) +( 2− 3 ) = 4
ⓑ ( 2 − )1 +( 2 + )1 = 2 2
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
Ví dụ 28: Giải các phương trình sau: ⓐ x 1+ 1 5 + 5 −x = 26 ⓑ 2 2 x −x 2 2
− 2 +x−x = 3 ⓒ 2 2 sin x o c s 2 4.2 x +
= 6 ⓓ x 1
3 + +18.3−x = 29
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2 TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 12 – MŨ Ũ - LOGA G R A IT I 34 3
Ví dụ 29: Giải các phương trình sau: 1 1 1 1 1 1 ⓐ − − −
4 x + 6 x = 9 x
ⓑ 49x 35x 25x − = 2 1 1 +2 1 + ⓒ 7 − 74.35x xx − 25x = 0 ⓓ 2 2 2 2x +6 x−9 x +3x−5 2x +6 x−9 3 + 4.15 = 3
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
Ví dụ 30: Giải các phương trình sau:
ⓐ 3.8x 4.12x 18x 2.27x + = + ⓑ 2 2 x +x x −x 2 2 − 4.2
− 2 x + 4 = 0
ⓒ 8x 2.4x 2x − − + 2 = 0
ⓓ 3.8x 4.12x 18x 2.27x + − − = 0
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2 GV G . V TR T ẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm & & biê i n n tập) p 35 3
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 61. Giải các phương trình sau: ⓐ 2x x+2 2 − 3.2
+ 32 = 0 ( x = 2 ∨ x = 3 )
ⓑ 8x 2.4x 2x − + + − 2 = 0
( x = 0 ∨ x = 1) ⓒ 3x 1+ 2 2
− 7.2 x + 7.2x − 2 = 0 ( x = 1
± ∨ x = 0 ) ⓓ 2 2 x +x 1 + x +x−2 9 −10.3 +1 = 0
( x = ±1∨ x = 0 ∨ x = 2 )
Bài 62. Giải các phương trình sau: ⓐ x 1+ x 1 4 6.2 + −
+ 8 = 0 (x = 0 ∨ x = ) 1 ⓑ 4x+8 2 x+5 3 − 4.3 + 27 = 0 (x = 3 − /2 ∨ x = − ) 1 ⓒ 4x 3.2x + −10 = 0 (x = ) 1 ⓓ 2 2 x 1 + x 1 9 3 + − − 6 = 0 (x = 7)
Bài 63. Giải các phương trình sau: ⓐ x x 1 12 2 2 x 1 + 1 10
−10 −x = 99 (x =1∨ x = − ) 1 ⓑ 3 2 − 6.2 − + = 1 (x = ) 1 3( x 1 − ) 2 2x ⓒ x 1 2 − 2 − x = 1 (x = ) 1 ⓓ 2 2 2 x 1 + x +x 2 x+2 2 − 9.2 + 2
= 0 (x = 2 ∨ x = − ) 1
Bài 64. Giải các phương trình sau:
ⓐ 6.4x 13.6x 6.9x − +
= 0 (x =1∨ x = − ) 1
ⓑ 27x 12x 2.8x + = (x = 0)   ⓒ 2
4.9x 12x 3.16x + − = 0 (x = ) 1
ⓓ 3.25x + 2.49x = 5.35x x = log ∨ x = 0 5   3 7 
Bài 65. Giải các phương trình sau: ⓐ 2 2 sin x cos 9 9 x + = 10 ⓑ 2 2 sin x cos 2 4.2 x + = 6 1
−cos x−sin x−lo 1 g 5 8 ⓒ   x+ x+ 1 3+2cos2x 1+cos2 x 2 4 − 7.4 = 4 ⓓ 2sin 2cos 1 2sin x+2cos x 1 3 −   + 5 + = 0 15  π π π π π ĐS: ⓒ x = ±
+ kπ ⓐ x = k ; ⓑ x = + kπ ; ⓓ 3 x =
+ kπ ∨ x = − + k2π ∨ x = π + k2π 3 2 2 4 2
Bài 66. Giải các phương trình sau: ⓐ x x
(2− 3) + (2 + 3) =14ĐS:
x = 2 ∨ x = −2 x x
ⓑ ( 6+ 35 ) +( 6− 35 ) =12
ĐS: x = 2 ∨ x = −2 ⓒ x x ( − ) + ( + ) x+3 5 21 7 5 21 = 2
ĐS: x = 0 ∨ x = log 7 5− 21 2 cos x cos x ⓓ ( 7+ 4 3) +( 7−4 3) = 4
ĐS: x = kπ ⓓ tan x tan x (8+ 3 7) + (8−3 7) =16
ĐS: x = ± π/4 + kπ
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2 TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 12 – MŨ Ũ - LOGA G R A IT I 36 3
Dạng3.Phươngpháplôgarithóa
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Với phương trình không cùng cơ số dạng f (x) g(x) a = b
( a , b dương, khác 1 và nguyên tố
cùng nhau), lấy lôgarit cơ số a (hoặc b ) cho hai vế, ta có: f (x) g(x) f (x) g(x) a b log   a log   = ⇔ = b ⇔ f x g x b a a ( ) = ( )log     a B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 31: Giải các phương trình sau: x 1 − x 1 − ⓐ 3⋅ 2 x −2 x 1 50.2 5 + = ⓑ 2 x 1 − x −7 3 .5 x x x =15
ⓒ 5x.8 x − 500 = 0 ⓓ 4 3 3 = 4
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 67. Giải các phương trình sau: x 1 + x 1 − ⓐ x x x x 1 3 .2 − = 72 ⓑ 7 5 5 = 7
ⓒ 5x.8 x = 500 ⓓ x − x x 3 3−log5 5 x = 25x ⓔ −6 log 3 −5 .3 x x − = 3 ⓕ 2 2 2 .3 = 2
ĐS: ⓕ x = 1∨ x = 1− log 3 ⓐ lg12 x = 2 ∨ x =
;ⓑ x = log (log 7) ; 2 lg13 7 5 5
ⓒ x = 3∨ x = −log 2 ; ⓓ x = 5 ; ⓔ 3
x = 3 ∨ x = 3 ; 5
Bài 68. Giải các phương trình sau: ⓐ x x ( x )5 1 2 .5 0,2. 10 − = ⓑ 5x 7 7 5 x = ⓒ 2x−4 x−2 3 = 5 ⓓ log4 2 4. x x = x 5 ĐS: ⓐ 3 1
x = − lg 2 ; ⓑ x = log log 4 ;ⓒ x = 2 ∨ x = log
; ⓓ x = 4 ; 4 ( 3 ) 2 4 3 9 3
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2 GV G . V TR T ẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm & & biê i n n tập) p 37 3
Dạng4.Phươngphápđưavềphươngtrìnhtích
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI A = 0
Biến đổi phương trình đã cho về dạng phương trình tích: . A B = 0 ⇔  B = 0 B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 32: Giải phương trình:
ⓐ 8.3x 3.2x 24 6x + = + ⓑ x x 1 6 3 + + = 9.2x + 27 ⓒ x x 2 x 1 12 16.3 32 2 + − + − = 0
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 69. Giải các phương trình sau: ⓐ x x 1 3.12 16.3 + − +16 − 4x = 0 ⓑ x x x 1 12.3 3.15 5 + + − = 20 ⓒ x 1+ 3x 1 + 4 x 1 2 2 2 + + − = 2 ⓓ x x 1 6 2 + − + 3x − 2 = 0 ⓔ x 1
2 + + 3x = 6x + 2
ⓕ 15x 3.5x 3x − + = 3 ⓖ x 1+ 2 x 3 2 + 3.2 = 6 + 2 x ⓗ 4x−3 x−2 5x−7 3 + 3 = 9 + 3 .
Bài 70. Giải các phương trình sau: ⓐ 2 x 1− x 1 + 2 x−7 +4 x−7 +6 x .2 − 2 − x .2 + 2 = 0 ⓑ 2 x ( x 1− 2−x ) 2 2−x x 1 2 2 3 3x 2 2 − − + = + + ⓒ 2 x ( x 1+
x−3 +4 ) x−3+2 x 1 2 2 2 2 − − + − = 0 ⓓ 3 3 2x+ x+2 x 2+ x+2 x +4 x−4 4 + 2 = 4 + 2 ⓔ 2 2 2 x −3x+2 x +6 x+5 2 x +3x+7 4 + 4 = 4 +1 ⓕ 3 3 2x+ x+2 x 2+ x+2 x +4 x−4 4 + 2 = 4 + 2
ĐS: ⓐ x = −2 ∨ x = 2 ∨ x = 6 ⓑ x = 1
± ∨ x = 2 ⓒ x = ±1/2 ∨ x ≥ 3ⓓ x = 1∨ x = 2
ⓔ x = ±1∨ x = 2 ∨ x = 5 ⓕ x = 0 ∨ x =1∨ x = 3
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2 TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 12 – MŨ Ũ - LOGA G R A IT I 38 3
Dạng5.Phươngphápsửdụngbấtđẳngthức,tínhđơnđiệucủahàmsố
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Định lí: Nếu y = f ( x) là hàm số liên tục và đồng biến trên (a;b) , y = g ( x) là hàm số
liên tục và nghịch biến trên (a;b) thì phương trình f ( x) = g ( x) có tối đa một nghiệm
trong khoảng (a;b) .
Hướng 1: Biến đổi hai vế của phương trình sao cho một vế là một hàm số đồng biến (hoặc
là hàm hằng) và một vế là một hàm số nghịch biến (hoặc là hàm hằng)
Bước 1: Nhẩm và chứng minh x là nghiệm 0
Bước 2: Chứng minh x là nghiệm duy nhất (bằng cách chứng minh x ≠ x không 0 0 là nghiệm)
Hướng 2: Đưa phương trình về dạng f (u) = f (v) mà f là hàm số tăng hay giảm. Khi đó
ta có: f (u) = f (v ) ⇔ u = v . Chú ý:
• Nếu f ( x) hoặc g (x) là hằng số thì định lí trên vẫn đúng.
• Nếu h(x) và k (x) là hai hàm số liên tục và đồng biến trên (a;b) thì h(x) + k (x)
cũng đồng biến trên (a;b) .
• Nếu h(x) và k (x) là hai hàm số liên tục và nghịch biến trên (a;b) thì h(x) + k (x)
cũng nghịch biến trên (a;b) . • Hàm số x
y = a đồng biến trên ℝ khi a >1 và nghịch biến trên ℝ khi 0 < a <1. B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 33: Giải các phương trình sau:
ⓐ 2x + 3x −5 = 0
ⓑ 3x 4x 5x + = ⓒ 2 3 x + 2 (3x + ) 1 − 4.3x x − 5 = 0
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2 GV G . V TR T ẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm & & biê i n n tập) p 39 3
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 71. Giải các phương trình sau: x ⓐ x x 2 2 2 = 1+ 3 ⓑ x− x − − x = (x − )2 1 2 2
1 ⓒ 2x = 3−x ⓓ (2 6) 1 5x + =
ⓔ 6x 8x 10x + =
ⓕ 5x 12x 13x + =
ⓖ 3x 4x 5x + = ⓗ 2x 3x 5x + =
ĐS: ⓐ x = 2 ; ⓑ x = 1; ⓒ x = 1; ⓓ x = 2 ⓔ x = 2 ⓕ x = 2 ⓖ x = 2 ⓗ x = 1
Bài 72. Giải các phương trình sau: x x x x ⓐ ( 7 4 3) ( 7 4 3) 14x + + − = ⓑ ( 5 2 6 ) ( 5 2 6 ) 10x + + − = x x ⓒ x x ( 2 3 ) ( 2 3 ) 2x + + − = ⓓ (2 3) (2 3) 4x − + + =
ĐS: ⓐ x = 2 ⓑ x = 2 ⓒ x = 2 ⓓ x = 2
Bài 73. Giải các phương trình sau:
ⓐ 9x + 2( − 2).3x x + 2x − 5 = 0
ⓑ .2x = (3− ) + 2(2x x x x − ) 1 ⓒ 2x 1− x 1 3 3 − +
(3x −7)− x + 2 = 0 ⓓ 5−x 5 25 2.5 − −
x ( x − 2) + 3− 2x = 0 ⓔ
x−2 + ( x − ) x−2 3.25 3 10 .5 + 3− x = 0
ⓕ 3.2x + 6 − 2 = 3 − − (3 −10).2x x x x
ĐS: ⓐ x = 1ⓑ x = 2 ∨ x = 0 ⓒ x = 1∨ x = 0 ⓓ x = 4 ⓔ x = 2 ∨ x = 2 − log 3 ⓕ x = 1∨ x = − log 3 5 2
BÀI TẬP TỔNG HỢP VẤN ĐỀ 4
Bài 74. Giải các phương trình sau: ⓐ 2 2 1+x 1 5 − 5 −x = 24 ⓑ 2 2 1+x x 1 9 3 + − − 6 = 0 ⓒ log9 x log9 x log3 27 4 − 6.2 + 2 = 0 ⓓ log3x log3 x log3 9 4 − 5.2 + 2 = 0 ĐS: ⓐ x = 1
± ; ⓑ x = 0 ; ⓒ x = 9 ∨ x = 81; ⓓ x = 9 ∨ x = 1
Bài 75. Giải các phương trình sau: 1 1 1 1 1 1 ⓐ − − −
2.4 x − 6 x = 3.9 x
ⓑ 49x 35x 25x − =
ⓒ 8x 18x 2.27x + = ⓓ 2 2 2 2 x−x 1 + 2 x−x 1 + 2 25 + 9 = 34.15 x−x 7
ĐS:ⓐ x = 1 ⓑ x = log
; ⓒ x = 0 ; ⓓ x = 0 ∨ x = 2 ∨ x = 1+ 3 ∨ x = 1− 3 1+ 2 5 2
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2 TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 12 – MŨ Ũ - LOGA G R A IT I 40 4
Vấn đề 5. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ 1. Dạngcơbản • Dạng: x
a > b ( 0 < a ≠ 1 )(hoặc x ≥ x x a
b, a < b, a ≤ b )
• Cách giải: Xét bất phương trình: x a > b
- Nếu b ≤ 0 , bất phương trình có vô số nghiệm
- Nếu b > 0 :
Với a > 1: x x loga b
a > b ⇔ a > a
⇔ x > log b a
Với 0 < a < 1: x x loga b
a > b ⇔ a > a
⇔ x < log b a 2. Cácphươngphápgiải
a. Phương pháp đưa về cùng cơ số.
b. Phương pháp đặt ẩn phụ.
c. Phương pháp mũ hóa hay lôgarit hóa.
Dạng1.Phươngphápđưavềcùngcơsố
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Với 0 < a ≠ 1 thì:
f (x) > g(x) khi a >1 • f ( x) g ( x) a > a ⇔ 
f (x) < g(x) khi 0 < a < 1
f (x) ≥ g(x) khi a > 1 • f ( x) g ( x) a ≥ a ⇔ 
f (x) ≤ g(x) khi 0 < a < 1 B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 34: Giải các bất phương trình sau: x ⓐ  
3x > 81 ( x > 4 ) ⓑ 1
  > 32 ( x < 5 − )  2  ⓒ x x 1 + x 1 − x x 1 + x 1 3 3 3 5 5 5 − + + < + + ( x > log (93/65) )
ⓓ 2x−2x+log35 3
> 5 ( x < 0 ∨ x > 2 ) 3 x−3 ⓔ 2 x 1 8.4 + < 1 ( 1 − < x < 0 ) ⓕ 2 −x +3 2
x < 4 ( x < 1∨ x > 2 ) 2 x−2 2 x −3x log  7  9 ⓕ 3 5 x
< 1 ( x > 2 ) ⓖ  
≥ (1/2 ≤ x ≤1)  9  7 ⓗ x+2 x 1 3 3 − +
≤ 29 ( x ≤ 1)
ⓘ 1 ≤ 3 ( x ≥1/ 6 ) 27x
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2 GV G . V TR T ẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm & & biê i n n tập) p 41 4
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
Ví dụ 35: Giải các phương trình sau: ⓐ 2x−2 3
x < 3 (1− 2 < x <1+ 2) ⓑ x−2 x 1 2 4 + > ( 4
− < x < 0) 2 x 1 + 3x 1 3 3 −     ⓒ − +   ≥  
(1 ≤ x ≤ 2) ⓓ 2 2x 5 x 2 x
≥1 (x > 0) (x ≥ 2 ∨1/2 ≤ x ≤ ) 1  7   7  6x−6 − ⓔ 1 1 x >
( x > 2/5) ⓕ ( ) x 1 2 1 + + ≤ ( 2 − ) 1 ( 1
− < x ≤ 2 ∨ x ≥ 3) 2 x 1 − 3x 1 2 2 − x− x 1 − x−3 x 1 + x −   x 1 ⓖ 2 2 3 ≥  
( x ≤ 2) ⓗ ( + )x 1− < ( − )x+3 10 3 10 3 3
− < x < − 5 ∨1 < x < 5  3 
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2 TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 12 – MŨ Ũ - LOGA G R A IT I 42 4
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 76. Giải các bất phương trình sau: 2−x x 2 2 x −3x ⓐ  2   2   7  9 x− x+   >   ⓑ   ≥ ⓒ 2 3 < 9 ⓓ 1 4 > 16  5   5   9  7 ⓔ 2 −x +3 2 x < 4 ⓕ 3−6 2 x >1 ⓖ x+6 11 ≥ 11x ⓗ 16x ≥ 0,125 x−3 ⓘ 2 x 1 (8, 4) + <1 ⓙ x−2 x 1 2 4 + > ⓚ 2 x −5x+4 (0,5) > 4 ⓛ 2x+5 3 >1 ĐS:
ⓐ1< x ≤ 2 ⓑ1/2 ≤ x ≤1 ⓒ 0 < x < 4 ⓓ x < 3
− ∨ x >1 ⓔ x < 1∨ x > 2 ⓕ x <1/2 ⓖ 6
− ≤ x ≤ 3 ⓗ x > −3/4 ⓘ x < 3 ⓙ 4
− < x < 0 ⓚ 2 < x < 3 ⓛ x > −5/2
Bài 77. Giải các bất phương trình sau: ⓐ 2x+3 3x 1 + x+5 15 > 5 .3 (x < 2) ⓑ 2x+3 x+7 3x 1 6 5 .3 − < (x > 4) 2 x 1 − ⓒ x x 1
5 .2 + < 50 ( x < −log 10 ∨ 1 − < x < 2 ⓓ 2 2 2 x −3x−2 x −3x−3 x −3x−4 2 .3 .5 ≥ 12 (x ≤ 1 − ∨ x ≥ 4) 5 )
Bài 78. Giải các bất phương trình sau: ⓐ x x+2 x 1 − x 1 7 2 5.7 2 − − ≤ − (x ≤ 2) ⓑ x+3 x x−2 x 1 2 5 7.2 3.5 − − < − (x > 3) ⓒ x+2 x x 1 − x 1 3 7 4.7 34.3 − + ≤ + (x ≤ 2) ⓓ x x+2 x 1 − x 1 7 5 2.7 118.5 − − < − (x < 2)
Bài 79. Giải các bất phương trình sau: x− x− ⓐ x (x x ) 1 2 x − x x 1 2 3 + + + ≥ 1 ⓑ ( 2 x + x + ) 1 < 1 ⓒ (x − ) 2 2 7 2 > 1 ⓓ (x x ) 1 2 x 1 2 1 + + + ≤ 1 ĐS:ⓐ x < 1
− ∨ x ≥1 ⓑ x < 1
− ⓒ 2 < x < 3∨ x > 7/2 ⓓ 2 − ≤ x < 1
− ∨ 0 ≤ x ≤1
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2 GV G . V TR T ẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm & & biê i n n tập) p 43 4
Dạng2.Phươngphápđặtẩnphụ
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Tìm một lũy thừa chung, đặt làm ẩn phụ t để đưa bất phương trình về bất phương trình đơn giản hơn.
Khi đặt ẩn phụ cần lưu ý: 1. Nếu đặt x
t = a , điều kiện là t > 0 thì: = ( )x x = ( x − x 1 a a a )2 2 2 2 = t ; 3x 3
a = t ; a = , … t
2. Lưu ý khác: − − − = ( + ) 1− 2 1 2 1 ; − = ( + ) 1 2 3 2 3 ; − = ( + ) 1 7 48 7 48 ; … +
3. Gặp bất phương trình dạng 2 f (x)
f (x) g(x) 2g(x) . m a + . n a + . p a
> 0 ta chia 2 vế cho 2g(x) a và − đặt ( ) ( ) = f x g x t a f x f x 4. G 2 2 f x
ặp phương trình dạng ( ) . m a + . n (ab) ( ) ( ) + . p b
> 0 ta chia 2 vế cho 2 f (x) a và f (x)  a đặt t =   ( a > b ) b B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 36: Giải các bất phương trình sau: 2 2 − − ⓐ x x x x
4x 2.5x 10x − <
( x > −log 2 ) ⓑ ( ) 2 −x + x 1 5 1 2 + + +
< 3.( 5 − )1 ( x < 0∨ x >1) 5/2 2 1
 1 x  1 x
ⓒ 4x 3.2x −
+ 2 > 0 ( x < 0 ∨ x > 1)
ⓓ   +   >12 ( 1
− < x < 0 )  3   3 
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2 TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 12 – MŨ Ũ - LOGA G R A IT I 44 4
Ví dụ 37: Giải các bất phương trình sau: ⓐ   x 8 x 1 2 2 x −3x x −3x 1 9 3 28.3 − + < ( 4
− < x ≤ 0 ) ⓑ 3 2 − − 62 −  ≤ 1 ( x ≤ 1) 3x x 1 2  2 −  ⓒ 2x x+ x+4 x+4 3 − 8.3 − 9.9 > 0 ( x > 5)
ⓓ 2 x+3−x−6 x+3−5 2 +15.2
< 2x ( x > 1) ⓔ 2 2 2 1+2 x−x 1+2x−x 2 25 + 9
≥ 34.15 x−x ( x ≤1− 3 ∨ x > 1+ 3 ∨ 0 ≤ x ≤ 2)
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2 GV G . V TR T ẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm & & biê i n n tập) p 45 4
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 80. Giải các bất phương trình sau: ⓐ x x 1 9 3 + < + 4 ⓑ 16x 4x − − 6 ≤ 0 ⓒ 49x 6.7x − − 7 < 0 2 2 1 2 x−x 1 + ⓓ  1 x  1  x x −   x 1 2 2 9 − 2. −   ≤ 3
ⓔ   + 3.  >12 ⓕ 2x 1 5 > 5x + 4  3   3   3  ⓖ 4x 10.2x − +16 < 0 ⓗ 4x 2x − − 2 < 0 ⓘ 2x 1
5 + − 26.5x + 5 > 0 ⓙ9x 2.3x − < 3 ⓚ x 1− x−2 4 − 2 < 3 ⓛ 2 2 x −3 x −3 1 9 3 28.3 − + > ĐS:
ⓐ x < log 4 ⓑ x < log 3 ⓒ x <1ⓓ 1− 2 ≤ x ≤1+ 2 ⓔ 1
− < x < 3 ⓕ x > 0 3 4
ⓖ 1< x < 3 ⓗ x <1 ⓘ x < 1
− ∨ x > 1 ⓙ x < 1 ⓚ x < 2 ⓛ − 7 < x ≤ − 3 ∨ 3 ≤ x < 7
Bài 81. Giải các bất phương trình sau: x 1 1 1 ⓐ x 1+ 2 x 1 + 2 3 − 2 −12 < 0
ⓑ 6.9x 13.6x 6.4x − + ≤ 0 2 2 ⓒ − x +x −x + x 2x x+ x+4 x+4 3 − 8.3 − 9.9 > 0 ⓓ ( ) 2 − x +x 1 5 1 2 + + + < 3.( 5 − )1
ⓔ 5.36x 2.81x 3.16x − − ≤ 0 ⓕ 2 2 2 2 x−x 1 + 2 x−x 1 + 2 25 + 9
≥ 34.15 x−x
ĐS: ⓐ x > 0 ⓑ x ≤ 1
− ∨ x ≥1ⓒ x > 5ⓓ x < 0 ∨ x > 1
ⓔ x ≤ 0 ∨ x ≥1/2 ⓕ x ≤1− 3 ∨ 0 ≤ x ≤ 2∨ x ≤1+ 3
Bài 82. Giải các bất phương trình sau: x x 1 + x x+2 x 1 − ⓐ 4 − 2 +8 1 1 2.3 − 2 11.3 − 31 < 8x ⓑ < ⓒ ≤ 1 ⓓ ≥ 5 1 2 −x x x 1 3 + 5 3 + −1 3x − 2x x x 1 4.9 −11.3 − − 5
ĐS ⓐ x > 1 ⓑ 1
− < x ≤ 1 ⓒ0 < x ≤ log 3 ⓓ x ≤ log (1/2) ∨ log (3/5) ≤ x < log (5/3) 3/2 3 3 3
Bài 83. Giải các bất phương trình sau: ⓐ x −x+2 3 − 3 + 8 > 0 ⓑ x x 1 (0, 4) (2,5) + − >1,5 ⓒ x − x 1 2 2 + + − 3 < 0 ⓓ 1+x 1 5 − 5 −x > 24 ⓔ −x 1 7 − 3.7 +x > 4 ⓕ x 3 5 − 5 −x > 20 2−3x 2 x+3 ⓖ −    x+  1 x 1 4 3 3 + 35  + 6 ≥ 0 ⓗ 2 1 2 − 21  + 2 ≥ 0  3   2  ĐS:
ⓐ x > 0 ⓑ x < 1
− ⓒ 0 < x <1 ⓓ x > 1 ⓔ x < 1 − ⓕ 3 1
x > 2 ⓖ x < log
ⓗ x ≥ log 3 −1 3 3 5 2 2
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2 TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 12 – MŨ Ũ - LOGA G R A IT I 46 4
Dạng3.Phươngpháplôgarithóa
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Với bất phương trình mũ mà cả hai vế là tích hay thương của nhiều lũy thừa với các cơ sơ
khác nhau thì ta có thể lấy lôgarit hai vế, ta có: • D f x g x ạng 1: ( ) ( ) a > b N f x g x ếu a > 1 : ( ) ( ) a > b
⇔ f ( x) > g (x).log b a N f x g x
ếu 0 < a < 1: ( ) ( ) a > b
⇔ f ( x) < g (x).log b a • D f x g x ạng 2: ( ) ( ) a ≥ b N f x g x ếu a > 1 : ( ) ( ) a > b
⇔ f ( x) ≥ g (x).log b a N f x g x
ếu 0 < a < 1: ( ) ( ) a > b
⇔ f ( x) ≤ g (x).log b a • D f x g x f x g x ạng 3, 4: ( ) ( ) a < b , ( ) ( ) a ≤ b : tương tự. B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 38: Giải các bất phương trình sau:  +  ⓐ 3log 11 11 2x 1 − 3 3 <11 −x 3 x − x+  x < 
ⓑ (x − ) 2 6 8 2
> 1 (với 2 < x ≠ 3) (2 < x < 3∨ x > 4)  2 + log 11 3   3log 3 − 4  ⓒ 2
3x .2x ≤1 (−log 2 ≤ x ≤ 0 ⓓ 2 4 x −3 3x−3 5 > 5.3 5  x < ∨ x >1 3 )   4  x 1 −
ⓔ 5x.8 x > 500 (−log 2 < x < 0∨ x > 3 ⓕ 2 2 x 1 − x x x 1 5 5 7 7 − + ≥ −
( x ≤ log (5/7) ∨ x ≥ 1 5 ) 5 )
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2 GV G . V TR T ẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm & & biê i n n tập) p 47 4
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 84. Giải các bất phương trình sau: x 1 − x ⓐ 4x.27 x x x > 576 ⓑ 2 +2 125 ≤ 225.3 x x − ⓒ 5 3 3 < 5 ⓓ 2x−4 x−2 2 ≥ 3 ⓔ 6 log 5 −5 .5 x x − > 5 ⓕ log5 2 5. x x ≥ x ⓖ 4 3 log 6 .6 6 x x < ⓗ x x ( x− ≤ )5 1 2 .5 0, 2. 10 ĐS: ⓐ x < 1
− /2 ∨ x > 3 ⓑ x < 2
− ∨ log 45 ≤ x ≤ 4 ⓒ x < log log 5 5/3 ( 3 ) 3
ⓓ x < log (3/4) ∨ x > 2 ⓔ 6
0 < x <1/5 ∨ x > 5 ⓕ x > 0 2 ⓖ 4
1/6 < x < 1∨1 < x < 6 ⓗ x ≥ 3/2 − (lg 2)/4
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2 TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 12 – MŨ Ũ - LOGA G R A IT I 48 4
BÀI TẬP TỔNG HỢP VẤN ĐỀ 5
Bài 85. Giải các bất phương trình sau: 2 x −2x 16−x ⓐ  1   1    <   ĐS: x < 8 − ∨ x > 4  3   9  1 ⓑ x+2 x+  1 1 2 >  
ĐS: 0 < x < 2 16  x− x 1 − ⓒ x −   x 1 2 2 3 >   ĐS: x ≥ 2  3  x− ⓓ x− ( ) ( ) 1 1 x 1 5 2 5 2 + + > − ĐS: 2 − < x < 1 − ∨ x > 1 x−3 x 1 + ⓔ ( + )x 1− < ( + )x+3 10 3 10 3 ĐS: 3
− < x < − 5 ∨1 < x < 5 ⓕ 2 2 2 x −x x +2 x 2 3 + 3 > 3 x +x +1 ĐS: 2
− < x < 0 ∨ 0 < x < 1
Bài 86. Giải các bất phương trình sau: ⓐ 2 2 1 lg x−lg x 3 x −1 ≥ x −1 ĐS:
≤ x < 2 ∨ x ≥1000 10 ⓑ 2 x 2x x − ≥1 ĐS: x < 1
− ∨ 0 < x < 1∨ x ≥ 2
Bài 87. Giải các bất phương trình sau:
ⓐ 2.2x 3.3x 6x + > −1 ĐS: x < 2 2−x ⓑ 3 + 3− 2x 1 ≤ 0 ĐS: < x ≤ 2 4x − 2 2
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2 GV G . V TR T ẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm & & biê i n n tập) p 49 4
Vấn đề 6. PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT 1. Dạngcơbản.
Phương trình lôgarit cơ bản có dạng: log x = b ( 0 < a ≠ 1, x > 0 ) a
Cách giải: log b
x = b ⇔ x = a a 2. Cácphươngphápgiải
a. Phương pháp đưa về cùng cơ số.
b. Phương pháp đặt ẩn phụ.
c. Phương pháp mũ hóa.
d. Đưa về phương trình tích
e. Phương pháp sử dụng bất đẳng thức, tính đơn điệu của hàm số.
Dạng1.Phươngphápđưavềcùngcơsố
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Với 0 < a ≠ 1 thì:
 f (x) > 0 (hay g (x) > 0) • log  f
 ( x) = log g x    ⇔ a a ( )   f
 ( x) = g ( x)
• log f (x) = m ⇔ f (x) m = a a B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 39: Giải các phương trình sau:
ⓐ log x + log x + 2 =1 ( x =1)
ⓑ log 2x − 3 + x = 2 ( x = 2 ) 2 ( ) 3 x ( ) 1 ⓒ log = log ( 2
x − x − 3 ( x = 3 )
ⓓ log x +12 .log 2 =1 ( x = 4 ) 4 ( ) 2 1 ) x x 2
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2 TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 12 – MŨ Ũ - LOGA G R A IT I 50 5
Ví dụ 40: Giải các phương trình sau: ⓐ ( x+ + ) 3 log
1 1 − 3log x − 40 = 0
ⓑ 2 − log(x − 9) − log(2x − ) 1 = 0 1 1 log x+ log x− ⓒ log ( 2
x + 3x + 2) + log ( 2
x − 7x +12 − log 3 − 3 = 0 ⓓ 4 4 2 2 3 + 3 = 4 x 2 2 ) 2
ĐS: ⓐ x = 48 ; ⓑ x = 13; ⓒ x = 0; x = 2; x = 1± 2 3 ; ⓓ log9/4 4 x = 3
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 88. Giải các phương trình sau: ⓐ log x x + 2    = 1 ⓑ
log x + log x + 2 = 1 3 3 ( ) 3 ( ) ⓒ log ( 2
x − 3 − log 6x −10 +1 = 0 ⓓ log ( x 1 2 + − 5 = x 2 ) 2 ) 2 ( )
ĐS: ⓐ x = 1∨ x = 3
− ; ⓑ x = 1; ⓒ x = 2 ; ⓓ x = log 5 2
Bài 89. Giải các phương trình sau: ⓐ 1 x = ( 2 2lg 2 lg x + 75) ⓑ lg(x +10) 2 + lg x = 2 − lg 4 2
ⓒ log 3x + 8 = 2 + x ⓓ log x x −1    = 1 3 ( ) 3 ( )
ĐS: ⓐ x = 5 ; ⓑ x = −1/4 ; ⓒ x = 0 ; ⓓ x = 1 − ∨ x = 2
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2 GV G . V TR T ẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm & & biê i n n tập) p 51 5
Bài 90. Giải các phương trình sau:
ⓐ ln x + ln (x + ) 1 = 0 ⓑ ln (x + )
1 + ln ( x + 3) = ln ( x + 7) ⓒ 2
lg x + lg x = lg 9x ⓓ 4 3
lg x + lg 4x = 2 + lg x ⓔ x − 2
log  x + 2 x + 3    + log
= 2 ⓕ log (x − 2)log x = 2log x − 2 5 3 ( ) 4 ( )( ) 4 x + 3 3
ĐS: ⓐ x = ( 5 −1)/2 ; ⓑ x = 1; ⓒ x = 3 ; ⓓ x = 5 ⓔ x = 2 5 ∨ x = 2
− 5 ⓕ x = 3∨ x = 5
Bài 91. Giải các phương trình sau:
ⓐ log x −1 + log x +1 − log 7 − x =1 ĐS: x = 3 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 2 2 2 3
ⓑ log (x + 2)2 −3 = log (4 − x)3 + log (x + 6)3
ĐS: x = 2 ∨ x = 1− 33 1 1 1 2 4 4 4 3 ⓒ  3  x 1 log  ⋅ log x − log = + log x
ĐS: x = 1∨ x = 3/8 3 2 3 2  x  3 2 ⓓ log 2.log 2 = log 2
ĐS: x = 4 ∨ x = 1/4 x 2 x 16x
Dạng2.Phươngphápđặtẩnphụ
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Tìm một log f x chung trong phương trình, đặt bằng t để đưa phương trình về phương a ( )
trình theo ẩn t, giải phương trình này tìm t sau đó tìm x .
Khi đặt ẩn phụ cần lưu ý: Nếu đặt t = log x thì: a 1 2 1 2 2
log x = −t; log x = t; log x = log x = t ; log a = 2 1 ( ) 2 a a x a t a B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 41: Giải các phương trình sau: ⓐ 2
log x − 3log x + 2 = 0 ( x = 1) ⓑ 2
log x + log x = 2
( x = 4; x = 1/2 ) 2 2 1 2 2 1 2 6 4 ⓒ +
= 1( x = 100; x =1000 ) ⓓ + = 3 ( 3
x = 4; x = 4 /2 )
5 − log x 1+ log x 2 log 2x log x 2 2
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2 TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 12 – MŨ Ũ - LOGA G R A IT I 52 5
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
Ví dụ 42: Giải các phương trình sau:
ⓐ log 2x +1 − 2log 3 −1 = 0 ( x = 1
− /3; x = 4) ⓑ log 4 =1+ log x −1 (x = 3; x = 5/4) x 1 − 2 ( ) 3 ( ) 2x 1 +
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
Ví dụ 43: Giải các phương trình sau: ⓐ 6 4 2 2 3
log x − 4log x + 8 = 0 ( x = 2; x = 4) ⓑ +
= 2 (x = 4; x =1/4) 2 2 2 log 16x log x 2 2 ⓒ 2 2
log x + log +1 − 5 = 0 ( 3 − 3 x = 3 ; x = 3 ) ⓓ 2 log (−x) = log x ( 25 x = −2; x = 2 − ) 3 3 2 2
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2 GV G . V TR T ẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm & & biê i n n tập) p 53 5
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 92. Giải các phương trình sau: ⓐ
ⓑ log 8− log 2 + log 243 = 0 4 x 2x 9
ⓒ 3 log x − log 3x −1= 0 ⓓ 2 3
lg x − lg x +1 = 0 3 3
1+ log x 1+ log x log x log 4x ⓔ 3 27 = ⓕ 2 8 =
1+ log x 1+ log x log 2x log 8x 9 81 4 16 ĐS: ⓐ −7/4 x = 3∨ x =1+ 2 ;ⓑ −3 −4/5 x = 2 ∨ x = 2
; ⓒ x = 3∨ x = 81; ⓓ 9
x = 10 ∨ x = 10 ; ⓔ 5 x 3− =
∨ x =1; ⓕ x = 2 ∨ x =1/16
Bài 93. Giải các phương trình sau: ⓐ 7 4log x + log 3 = 3
ⓑ log 2 − log x + = 0 ⓒ log 2 + log 4x = 3 9 x x 4 6 2 2 x ⓓ 5 log x + log 2 = ⓔ 2 log (2x − 5) + log
4 = 3 ⓕ log x +1 − log 64 =1 2 x 2 2 2 2 x −5 2 x 1 + ĐS:
ⓐ x = 3∨ x = 3 ; ⓑ 2 − /3 x = 2
∨ x = 8 ; ⓒ x =1∨ x = 4 ;
ⓓ x = 2 ∨ x = 4; ⓔ x = ± 7/2 ∨ x = ± 9/2 ⓕ x = 7 ∨ x = 3 − /4 Dạng3.Phươngphápmũhóa
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Với các phương trình dạng log f x = g x , ta thường sử dụng phương pháp mũ hóa để a ( ) ( )
đưa về phương trình mũ:
f ( x) = g ( x) ⇔ f ( x) ( ) log g x = a a B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 44: Giải các phương trình sau:
ⓐ log 6+ 7−x =1+ x (x = 0) ⓑ log ( x 1
4.3 − −1 = 2x −1 ( x = 0; x = ) 1 3 ) 7 ( )
ⓒ log 3.2x −1 − 2x −1= 0 (x = 0; x = − )
1 ⓓ log 9 − 2x = 5
−x (x = 0) 2 ( ) log5(3 ) 2 ( )
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2 TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 12 – MŨ Ũ - LOGA G R A IT I 54 5
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 94. Giải các phương trình sau: ⓐ log −
+ = ⓑ log 3.2x −1 = 2x +1 ⓒ log + − + = + ( 3 2 2x 2x 3x 1 3 x 1 ) 2 ( ) + ( 2 x 3x 1 1 x 1 )
ⓓ log 9− 2x = 3− x ⓔ log x = 2 ⓕ log 16 = 2 2 ( ) 2x−3 2 x−3 ĐS:
ⓐ x = 4 ; ⓑ x = 0 ∨ x = 1
− ; ⓒ x = 3; ⓓ x = 0 ∨ x = 3 ⓔ x = 9/4 ; ⓕ x = 7/2
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2 GV G . V TR T ẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm & & biê i n n tập) p 55 5
Dạng4.Phươngphápđưavềphươngtrìnhtích
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI A = 0
Biến đổi phương trình đã cho về dạng phương trình tích: . A B = 0 ⇔  B = 0 B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 45: Giải phương trình: 2 2log x = log . x log 2x +1 −1
ĐS: x = 1∨ x = 4 + 2 5 9 3 3 ( )
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 95. Giải các phương trình sau:
ⓐ log x + 2log x = 2 + log .xlog x
ⓑ 2x + log ( 2x − 4x + 4 = 2 − x +1 log 2 − x 2 ) ( ) 1 ( ) 2 7 2 7 2 ⓒ 1 4 2
log x + log x + 2 =
ⓓ 2log .xlog x + log x −10log x = 5 2 2 x −1 x −1 2 5 2 5
ĐS: ⓐ x = 4 ∨ x = 7 ⓑ x = 1∨ x = −2 ⓒ x = 1/4 ∨ x = 2 ⓓ x = 32 ∨ x = 1/ 5
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2 TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 12 – MŨ Ũ - LOGA G R A IT I 56 5
Dạng5.Phươngphápsửdụngbấtđẳngthức,tínhđơnđiệucủahàmsố
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Định lí: Nếu y = f ( x) là hàm số liên tục và đồng biến trên (a;b) , y = g ( x) là hàm số
liên tục và nghịch biến trên (a;b) thì phương trình f ( x) = g ( x) có tối đa một nghiệm
trong khoảng (a;b) .
Hướng 1: Biến đổi hai vế của phương trình sao cho một vế là một hàm số đồng biến (hoặc
là hàm hằng) và một vế là một hàm số nghịch biến (hoặc là hàm hằng)
Bước 1: Nhẩm và chứng minh x là nghiệm 0
Bước 2: Chứng minh x là nghiệm duy nhất (bằng cách chứng minh x ≠ x không 0 0 là nghiệm)
Hướng 2: Đưa phương trình về dạng f (u) = f (v) mà f là hàm số tăng hay giảm. Khi đó
ta có: f (u) = f (v ) ⇔ u = v . Chú ý:
• Nếu f ( x) hoặc g (x) là hằng số thì định lí trên vẫn đúng.
• Nếu h(x) và k (x) là hai hàm số liên tục và đồng biến trên (a;b) thì h(x) + k (x)
cũng đồng biến trên (a;b) .
• Nếu h(x) và k (x) là hai hàm số liên tục và nghịch biến trên (a;b) thì h(x) + k (x)
cũng nghịch biến trên (a;b) . • Hàm số x
y = a đồng biến trên ℝ khi a >1 và nghịch biến trên ℝ khi 0 < a <1. B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 46: Giải các phương trình sau:
ⓐ 11− x = log x (x = ) 1 ⓑ log ( 2
x + x +1 = x 2 − x + log x ( x = ) 1 3 ) ( ) 3 3 ⓒ log + 5 ( x 3) x − 2
= 0 (x = 4) ⓓ log
x +1 − log x = 0 ( x = 9) 2 ( ) 3
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2 GV G . V TR T ẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm & & biê i n n tập) p 57 5
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 96. Giải các phương trình sau: 2 ⓐ x + x + 3 2
log x + x −1 log x = 6 − 2x ⓑ 2 log = x + 3x + 2 2 ( ) 2 3 2 2x + 4x + 5 ⓒ log ( 2 x + x + ) 2
1 − log x = 2x − x ⓓ ( 2
lg x − x − 6) + x = lg(x + 2) + 4 3 3 ⓔ 2 3
3x − 2x = log ( 2 x +1 − log x 2 ) 2
ĐS: ⓐ x = 1/4 ∨ x = 2 ⓑ x = −1∨ x = 2
− ⓒ x = 1ⓓ x = 4 ⓔ x = 1
Bài 97. Giải các phương trình sau:
ⓐ log x = log x + 2
ⓑ log 1+ x = log x 2 ( ) 5 7 ( ) 3 ⓒ 2log x + x = log x ⓓ log ( 2
x + 2x + 3) = log ( 2
4 + 2 x − x 2 5 ) 6 ( 4 8 ) 4
ĐS: ⓐ x = 5 ⓑ x = 9 ⓒ x = 256 ⓓ x = 1 −
BÀI TẬP TỔNG HỢP VẤN ĐỀ 6
Bài 98. Giải các phương trình sau: ⓐ log ( 2
x + 2x + 3) − log ( 2
4 + 2 x − x = 0 ĐS: x = 1 − 2 3 ) ⓑ ( 2
log 2x − 7x +12) = 2
ĐS: x = 3 ∨ x = 4 x
ⓒ log 9− 2x = 3− x
ĐS: x = 3 ∨ x = 0 2 ( ) ⓓ 7 1 log 2 − log x + = 0
ĐS: x = 8 ∨ x = x 4 6 3 4 ⓔ 1 log 5 − x + 2log 3 − x = 1 ĐS: x = 1 2 ( ) 8 3 ⓕ 3
lg 5 + lg ( x +10) = 1− lg (2x − ) 1 + lg (21x − 20)
ĐS: x = 10 ∨ x = 2 ⓖ log ( 2
x + 3x + 2) + log ( 2
x + 7x +12 = 3 + log 3
ĐS: x = 0 ∨ x = 5 2 2 ) 2 ⓗ 1− 5
( 1− x + 1+ x − 2).log ( 2 x − x = 0 ĐS: x = 2 ) 2
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2 TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 12 – MŨ Ũ - LOGA G R A IT I 58 5
Vấn đề 7. BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT 1. Dạngcơbản
• Dạng: log x > b (0 < a ≠ 1) (hoặc log x ≥ b, log x < ,
b log x ≤ b ) a a a a
• Cách giải: Xét bất phương trình: log x > b a
Nếu a > 1: log b
x > b ⇔ x > a a
Nếu 0 < a < 1:
log x > b ⇔ 0 b
< x < a a 2. Cácphươngphápgiải
a. Phương pháp đưa về cùng cơ số.
b. Phương pháp đặt ẩn phụ.
Dạng1.Phươngphápđưavềcùngcơsố
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Xét dạng: log f ( x) ≥ log g x : a a ( )
g ( x) > 0
• Nếu a >1:
log f ( x) ≥ log g x ⇔ a a
( ) f (x)≥ g(x)
g ( x) > 0
• Nếu 0 < a <1: log f (x) ≥ log g x ⇔ a a
( ) f (x)≤ g(x) 0 < a ≠ 1 
Tổng quát: log f x ≥
g x ⇔  f x > g x > a ( ) loga ( ) ( ) 0, ( ) 0  (a − )
1  f ( x) − g ( x)    ≥ 0 B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 47: Giải các bất phương trình sau: ⓐ log ( 2
x − 2x > 3 ( x < 2
− ∨ x > 4 ) ⓑ log ( 2 x − 6x > 3 − ( 3
− < x < 0 ∨ 6 < x < 9 ) 1 ) 2 ) 3 2 x + 4x ⓒ log < 1 ( 4
− < x < 0 )
ⓓ log 4 − 2x ≥ 2 ( x ≤ 3 − 0 ) 8 ( ) 3 2x − 3 ⓔ log ( 2
2 − x − x −1 < 1 (1 ≤ x < 5/4 )
ⓕ log log x −3 ≥ 0 ( 4 < x ≤ 6 ∨ 0 ≤ x < 2 ) 2 ) 2 3 3 2  x + x  ⓖ log ( x 1
6 + − 36x ≤ 2 ( x ≤ 0 ∨ log 5 ≤ x < 1) ⓗ log log  < 0 ( 4
− < x < −3∨ x > 8 ) 5 ) 6 0,7 6  x + 4  2 − + x 3x 2 ⓘ log
≥ 0 ( 2 − 2 ≤ x < 1∨ 2 < x ≤ 2 + 2 ) 1 x 2
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2 GV G . V TR T ẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm & & biê i n n tập) p 59 5
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2 TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 12 – MŨ Ũ - LOGA G R A IT I 60 6
Ví dụ 48: Giải các bất phương trình sau:
ⓐ log (5x +10) < log ( 2
x + 6x + 8
ⓑ log x − 3 + log x − 2 ≤ 1 2 ( ) 2 ( ) 0,5 0,5 ) 2 x + 6x + 9
ⓒlog x +1 ≤ log 2 − x ⓓ log < −log x +1 1 7 ( ) 1 ( ) 3 ( ) 2(x +1) 3 7 ⓔ log ( x 1 9 − 7) log ( x 1 3 − + > +1 + 2
ⓕ 2log 4x − 3 + log 2x + 3 ≤ 2 3 ( ) 1 ( ) 2 2 ) 3 ĐS: ⓐ 2
− < x <1ⓑ3 < x ≤ 4 ⓒ(1− 5) / 2 < x < (1+ 5) / 2 ⓓ1− 2 2 < x <1+ 2 2 ∨ x > 1 −
ⓔ x < 1∨ x > 2 ⓕ3/4 < x ≤ 3
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2 GV G . V TR T ẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm & & biê i n n tập) p 61 6
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 99. Giải các bất phương trình sau:
ⓐ log ( 2x + 2x −8 ≥ −4 ⓑlog x −1 ≥ 2 − ⓒ log 5x +1 < 5 − 1 ( ) 1 ( ) 1 ) 2 3 2 ⓓ log 5x −1 > 0 ⓔ log ( 2
x − 5x + 6 ≥ 1
− ⓕ log 3x −1 <1 5 ( ) 0,5 ) 1 ( ) 3 2 ⓖ 2x −1 1 x − 3x + 2 1− 2x 1+ 3x log < − ⓗ log ≥ 0 ⓘ log ≤ 0 ⓙlog ≥ 0 4 x +1 2 0,5 x 3 x 4 x −1 ĐS:ⓐ 6
− ≤ x < −4 ∨ 2 < x ≤ 4 ⓑ1< x ≤ 10 ⓒ x > 31/5 ⓓ 1/5 < x < 2/5 ⓔ 1≤ x < 2 ∨ 3 < x ≤ 4
ⓕ1/3 < x < 2 ⓖ 1/2 < x <1 ⓗ 2− 2 < x <1∨ 2 < x < 2 + 2 ⓘ1/3 ≤ x <1/2 ⓙ x ≤ 1
− ∨ x > 1
Bài 100. Giải các bất phương trình sau: ⓐ 1 log
x + 6 ≤ log x + 4
ⓑ log x +8 ≥ log x − 4 1 ( ) 1 ( ) 1 1 ( ) 2 3 3 5 5 ⓒ  3  log ( 2 x − 2 < log 2  x −1
ⓓ log 4 − x > log 6 x − 3 1 ( ) 1 ( ) 3 ) 3   2  2 2 ⓔ  7  log ( 2
x − 5 < log  x − 3 ⓕ log ( 2
3 − x > log 4 x − 2 1 ) 1 ( ) 4 ) 4   3  3 3 ⓖ log (4x +1 ) 1 < log ( 2 x + 6x + 8 ⓗ log ( 2
x + x +1 < log 2x + 5 0,8 ) 0,8 ( ) 0,6 0,6 )
ⓘ log 5− x < log 3− x ⓙ log ( 2
x + x − 2 > log x + 3 0,1 ) 0,1 ( ) 1 1 ( ) 2 2 ⓚ 1 1 < log x − 7x +12 log 20 3 ( 2 ) 3 ĐS: ⓐ 4
− < x ≤ 2 ⓑ x ≥ 8 ⓒ 2
− < x < − 2 ∨ 2 < x < 2 ⓓ (7 − 30)/2 < x < (7 + 30)/2 ⓔ 3
− < x < − 5 ∨ 5 < x < 3 ⓕ − 3 < x < −1∨1< x < 3 ⓖ 2
− < x <1
ⓗ x > (1+ 17)/2 ∨ −5/2 < x < (1− 17)/2 ⓘ1< x < 3 ⓙ − 5 < x < 2
− ∨1< x < 5 ⓚ x < 1
− ∨ (7 − 5)/2 < x < 3∨ 4 < x < (7 + 5)/2 ∨ x > 8
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2 TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 12 – MŨ Ũ - LOGA G R A IT I 62 6
Bài 101. Giải các bất phương trình sau: ⓐ log ( 2
x + x − 2 > log x + 3 ⓑ log ( 2
x − 6x + 5 + 2log 2 − x ≥ 0 1 ) 3 ( ) 0,1 ) 0,1 ( ) 3 ⓒ 3x −1 log ( 2
x − 6x +18 + 2log x − 4 < 0 ⓓ log x + log > 0 1 ) 5 ( ) 2 2 2 x +1 5 ⓔ ( 2
lg x − x − 2) < 2lg(3− x)
ⓕ ln x − 2 + ln x + 4 ≤ 3ln 2 ⓖ 1 2 log
x − 5x + 6 + log
x − 2 > log x + 3 ⓗ log 4 − x ≥ log 2 − log x −1 1 ( ) 1 1 ( ) 3 1 1 ( ) 2 3 3 2 2 2 ⓘ  1   1 
log  x −  + log x −1 ≤ 1
ⓙ log  x +  + log x ≥1 1 1 ( )  2  1 1  2  2 2 2 2
ĐS: ⓐ − 5 < x < 2
− ∨1< x < 5 ⓑ1/2 ≤ x <1ⓒ x > 4 ⓓ x >1ⓔ x < 1
− ∨ 2 < x < 11/5 ⓕ 1
− − 17 ≤ x ≤ −2 ∨ 0 ≤ x ≤ 1
− + 17 ⓖ x > 10 ⓗ 1< x ≤ 2 ∨ 3 ≤ x < 4 ⓘ 1< x ≤ 3/2 ⓙ 0 < x <1/2
Bài 102. Giải các bất phương trì nh sau: x x     ⓐ  1   1  log  +
  −1 < log   − 3 ⓑ log ( x 1 6 − 36x ≥ 2 − 1 ) 1 1   2       4  3 3   5 ⓒ log 26 3x − > 2 ⓓ log 13 4x − > 2 ⓔ log ( x 1 5 + − 25x ≥ 2 − 1 ) 3 ( ) 5 ( ) 6
ĐS: ⓐ x > 1
− ⓑ x ≤ 0 ∨ log 5 ≤ x <1ⓒ x < 0 ⓓ x < 1ⓔ x ≤ log 2 ∨ log 3 ≤ x <1 6 5 5
Bài 103. Giải các bất phương trình sau: ⓐ 1  1  log + − ≥ ⓑ 2 log
6 + 2x − x ≤ ⓒ 2
log  x − x >1 2 9 x ( ) + ( x x 6)2 2 4 x 1 2 x  2  ⓓ 2x 1 3 log ≤ ⓔ log 3− 2x >1 ⓕ log > 2 − 2 ( ) 2 x x − 3 2 x x 8 − 2x
ĐS: ⓐ 0 < x ≤ 1ⓑ1− 7 < x ≤ 1
− ∨ −1/3 < x < 0 ∨ 0 < x <1/3∨ 2 ≤ x < 2 + 7 ⓒ x <1∨ 1
− /2 < x < 0 ∨1/2 < x <1∨ x > 3/2 ⓓ x ≥ 5 ⓔ 3 − < x < 1
− ⓕ 0 < x < 1∨ 4/3 < x < 4
Bài 104. Giải các bất phương trình sau: ⓐ  1+ 2x  log log  > 0
ⓑ log log x −3 ≥ 0
ⓒ log log ( 2x − 4x + 3 ≤ 0 3 9 ) 3 ( 3 ) 1 2  1+ x  3 e 16 ⓓ log log + − < ⓔ log log ( 2
x − x − 6 ≥ 0 ⓕ log log ( 2 x −1 < 1 3 1 ) 8 1 ) π ( 2 x 2x x 0 2 ) 4 3 2 2
ĐS: ⓐ x > 0 ⓑ 0 ≤ x < 2 ∨ 4 < x ≤ 6 ⓒ 2 − 2 < x ≤ 3/4 ∨13/4 ≤ x < 2 + 2 ⓓ x < 4
− ∨ x > 1
ⓔ (1− 3 3)/2 ≤ x < −2 ∨ 3 < x ≤ (1+ 3 3)/2ⓕ − 2 < x < 3
− /2 2 ∨ 3/2 2 < x < 2
Bài 105. Tìm tập xác định của các hàm số sau: ⓐ 2x + 5 y = log − 2
ⓑ y = log x + 2 +1 1 ( ) 0,8 x + 5 2 ⓒ 3x −1 y = log − 3 ⓓ y = log ( 2 x + 2 .log 2 − 2 2 ) 0,3 x + 2 2−x ⓔ 1 y = log + − − ⓕ y = log ( 2 −x + x + 6 + 0,5 ) + ( 2 6 5x x 2 x 1 ) 2 x + 2x             − + ĐS: ⓐ 1 55 D =  − ;
ⓑ D = (2;4] ⓒ 1 10 D =  ; ⓓ 1 D = ;1   ⓔ 5 D = 0; ⓕ 1 21 1 21 D =  −2;  ∪  ;3 2 34       3 23  2   2   2 2     
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2 GV G . V TR T ẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm & & biê i n n tập) p 63 6
Dạng2.Phươngphápđặtẩnphụ
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Tìm một log f x chung trong bất phương trình, đặt bằng t để đưa bất phương trình về a ( )
bất phương trình theo ẩn t, giải bất phương trình này tìm t sau đó tìm x .
Khi đặt ẩn phụ cần lưu ý: Nếu đặt t = log x thì: a 1 2 1 2 2
log x = −t; log x = t; log x = log x = t ; log a = 2 1 ( ) 2 a a x a t a B. BÀI TẬP MẪU
Ví dụ 49: Giải các bất phương trình sau:
ⓐ log (2x − ) 1 .log ( x+2 2 − 2 < 2
ⓑ 2log x − log 125 <1 2 2 ) 5 x 1 ⓒ log 2.log 2 > ⓓ 2 log x+2 log x +5 3 − 3 + 2 < 0 x x log x − 6 16 2 ⓔ 2 log6 x log6 6 x + x ≤ 12 ⓕ 2
log x − 4 log x + 9 ≥ log x − 3 3 3 3 ⓖ log (2x ) 1 .log ( x 1 2 + − − 2 < 2
ⓗ log (4x +144) − 4log 2 <1+ log ( x−2 2 +1 5 5 5 ) 2 2 )
ĐS: ⓐ log 5 − 2 < x < 1ⓑ1 < x < 5 5 ∨ 0 < x < 1/5 ⓒ 0 < x < 1∨ 4 < x < 8 ∨16 < x < 64 2
ⓓ x > 1/100 ⓔ1/6 ≤ x ≤ 6 ⓕ 3
0 < x < 9 9 ⓖlog (5/4) < x < log 3 ⓗ 2 < x < 4 2 2
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2 TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 12 – MŨ Ũ - LOGA G R A IT I 64 6
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 106. Giải các bất phương trình sau: ⓐ 2
log x + log 4x − 4 ≥ 0 ⓑ 2
log x − 5log x < 6 − 2 2 0,2 0,2 ⓒ 2
log x − log x − 6 ≤ 0 ⓓ 2
log x + log x − 3 ≤ 0 0,5 0,5 0,2 0,2 3   ⓔ x  32  3 2
2log x + 5log x + log x − 2 ≥ 0 ⓕ 4 2 2 log x − log   + 9 log   < 4 log x 2 2 2 2 1 2 2 1  8   x  2 2 ⓖ 2
log 2 − x − 8log 2 − x ≥ 5 ⓗ 2 log ( 2
2 + x − x ) + 3log ( 2
2 + x − x + 2 ≤ 0 2 1 ) 2 ( ) 1 ( ) 4 2 ⓘ 2 log 6 − x + 2log
6 − x + log 27 ≥ 0 ⓙ 2 2
log x + log x − 3 > 5 ( 2 log x − 3 2 1 4 ) 5 ( ) 1 ( ) 3 5 2
ĐS: ⓐ x ≤ 1/4 ∨ x ≥ 2 ⓑ 6
− ≤ x < −4 ∨ 2 < x ≤ 4 ⓒ 3
(0, 2) ≤ x ≤ 25 ⓓ 1/2 ≤ x ≤ 4
ⓔ 1/4 ≤ x ≤1/2∨ x ≥ 2 ⓕ 1/8 < x <1/4 ∨ 4 < x < 8 ⓖ x ≤ 0 ∨ 63/32 ≤ x < 2
ⓗ 0 ≤ x ≤1ⓘ x ≤ 1
− 19 ∨1 ≤ x < 6 ⓙ 0 < x ≤1/2 ∨ 8 < x < 16
Bài 107. Giải các bất phương trình sau:
ⓐ log x +1 − log 64 <1 ⓑ log 2 + log 8 ≤ 4 ⓒ 2
log (3x) + log x < 11 2 ( ) x 1 + x 2 x x 3 3 3− 13 3+ 13 ĐS: ⓐ 1
− < x < −3/4 ∨ 0 < x < 7 ⓑ 2 2 0 < x < 1/2 ∨ 2 ≤ x ≤ 2 ⓒ 1−− 5 −1+ 5 3 < x < 3∨ 3 < x < 27
Bài 108. Giải các bất phương trình sau: ⓐ log 3− log 3 < 0
ⓑ 3log 4 + 2log 4 + 3log 4 ≤ 0 x x x 4 x 16x 3 ⓒ log 64 + log 16 ≥ 3
ⓓ log 2.log 2 > log 2 2 2 x x x 2 x 4x
ĐS: ⓐ 0 < x < 1∨ x > 3 ⓑ 1 1 1 1 x <
∨ < x ≤ ∨ ≤ x <1 16 8 4 2 ⓒ 1 1 < 1 1 1 x ≤ ∨1 < x ≤ 4 ⓓ 2 0 < x < ∨
< x < ∨1< x < 2 3 2 2 2 4 2 2
Bài 109. Giải các bất phương trình sau: ⓐ x −1 x +1 log log < log log ĐS: x < 2 − ∨1 < x < 2 4 3 1 1 x +1 x −1 4 3 ⓑ 3x −1 x +1 log log < log log ĐS: x ≤ 5 − ∨ x >1 3 4 1 1 x +1 3x −1 3 4
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2 GV G . V TR T ẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm & & biê i n n tập) p 65 6
BÀI TẬP TỔNG HỢP VẤN ĐỀ 7
Bài 110. Giải các bất phương trình sau:  x−2  ⓐ log   3 5  x  < 1 ĐS: x > 2
ⓑ log2 x log2 x 1− log2 x−2 2 .3 .5 ≥ 12 ĐS: x ≥ 4 ⓒ   x 31 47 log log  2 −  ≤ 2 1 ≤ x ≤ log : 2 0,5 ĐS  16  2 16 2  + −  ⓓ x 8x 1 log   ≤ 2 ĐS: 4
− − 17 < x ≤ −5∨ 4 − + 17 < x ≤ 1 2  x +1 
ⓔ log x + log x <1+ log .xlog x
ĐS: 0 < x < 2 ∨ x > 3 2 3 2 3 ⓕ 7 ( 2
4x −16x + 7).log x −3 > 0
ĐS: 3 < x < ∨ x > 4 3 ( ) 2 ⓖ 2 1 8 log ( 2
x − 7x +12 < log
x − 2 + log x − 4 −1
ĐS: < x < 3 ∨ 3 < x < 4 4 ) ( ) 2 2 2 3 ⓗ 2x + log ( 2
x − 4x + 4 > 2 − x +1 log 2 − x ĐS: x < 2 − ∨1 < x < 2 2 ) ( ) 0,5 ( )
Bài 111. Giải các bất phương trình sau: ⓐ 1 5 log − + ≥ ≤ < ∨ < ≤ π ( 2 x 3x 2) 2 ĐS: x 1 2 x sin 2 2 3 ⓑ log − + ≥ − − ≤ < ∨ < ≤ π ( 2 x 4x 3) 3 ĐS: 1 x 1 3 x 5 sin 6 ⓒ  1 35  2 5 7 2 2 log  x − x +  ≥ 0 − ≤ < ∨ < ≤ + π ĐS: 3 x x 3 sin  6 24  2 2 2 2 12 ⓓ 1 3 5 7 log − + ≥ − ≤ < ∨ < ≤ π ( 2 4x 16x 15 2 ĐS: x x 1 ) sin 2 2 2 2 2 4
Bài 112. Giải các bất phương trình sau: ⓐ 6 1 log ( 2
5x + 6x +1 ≤ 0 ĐS: −
≤ x < −1∨ − < x ≤ 0 3 ) 5 5 ⓑ log ( 2
6x − 48x + 54 ≤ 2
ĐS: 4 + 7 < x ≤ 4 + 31 ∨ 4 − 31 ≤ x < 4 − 7 12 ) ⓒ log ( 2
x + 2x − 3 ≤ 1 ĐS: 6 − ≤ x < 3 − ∨1< x ≤ 4 21 ) ⓓ log ( 2
x − 4x − 5 ≤ 4 ĐS: 3
− ≤ x < −1∨ 5 < x ≤ 7 4 )
Bài 113. Giải các bất phương trình sau: ⓐ  1  1
log  x −  ≥ 2 ĐS: < x < 1 x  4  4 ⓑ 3 log ( 2
5x −18x +16 > 2 ĐS:
< x < 1∨ x > 8 x 3 ) 3 ⓒ 1 1− 3 1+ 3 2 log
2x − 2x −1 < ĐS: 1 − < x < ∨ < x < 2 2 x +x 1 + ( ) 2 2 2
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2 TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 12 – MŨ Ũ - LOGA G R A IT I 66 6 log ( 2 x − 9x + 8 2 ) ⓓ 1 < 2 ĐS: − < x < 1 log 3 − x 3 2 ( ) − x a ( 3 log 35 ) ⓔ > < a ≠
ĐS: 2 < x < 3 − x a ( ) 3 (0 1) log 5
log x −1 − log x −1 3 ( )4 4 ( )2 ⓕ < 0 ĐS: 1
− < x < 0 ∨ 2 < x < 3 2 x − 2x + 3
log x − 4x −11 − log x − 4x −11 5 ( )2 11 ( )3 2 2 ⓖ ≥ 0 ĐS: x < 2
− ∨ −2 < x < 2 − 15 ∨ x ≥ 6 2 2 − 5x − 3x
log x +1 − log x +1 2 ( )2 3 ( )3 ⓗ > 0 ĐS: 1
− < x < 0 ∨ x > 4 2 x − 3x − 4 ⓘ 1 1 3 + 13 3 + 15 + > ĐS:
< x < 1∨ x > log (2x − ) 0 2 1 6 2 1 log x − 3x + 2 2 2  2 x  log x 1 2 log log  +2 − +3 ⓙ 3 1   −1+ 73 1 − + 217 2 2 3 3   ≥ 1 ĐS: ≤ x < 2 2 log 3x −1 3 ( ) ⓚ ≥ 1
ĐS: 0 < x ≤ 1− log 2 ∨ x > 1 x −1 3
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2 GV G . V TR T ẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm & & biê i n n tập) p 67 6
Vấn đề 8. HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ - LÔGARIT
1. Hệ phương trình mũ – lôgarit là hệ phương trình trong đó có chứa các phương trình mũ – lôgarit. 2. Phươngphápgiải
Để giải hệ phương trình mũ và lôgarit, ta cũng dùng các phương pháp giải hệ phương
trình quen thuộc như: phương pháp thế, phương pháp cộng đại số, phương pháp đặt ẩn phụ,
… Cần chú ý ta rất hay dùng phương pháp đặt ẩn phụ đưa hệ đã cho về hệ đại số đã biết
cách giải, từ đó suy ra các phương trình mũ và lôgarit cơ bản, đặc biệt có mốt số bài phức
tạp ta cần sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải.
Bài 114. Giải các hệ phương trình sau: x + y = 20 x + y = 1 ⓐ  ⓑ 
log x + log y = 1+ log 9 −2x −2 4 + 4 y = 0,5 4 4 4 3−x  .2y =1152 2 2
x − y = 2 ⓒ  ⓓ  log  (x + y) = 2
log x + y − log x − y = 1 2 ( ) 3 ( ) 5
log x − y = 5 − log x + y 2 ( ) 2 ( ) 3
 .2x + 2.3y = 2,75  ⓔ  ⓕ lg x − lg 4
2x − 3y = −0,75  = 1 − lg y − lg 3
log x + log 7.log y = 1+ log 2
2log x − 3y = 15 ⓖ 5 5 7 5  ⓗ 2  3
 + log y = log 5 1+ 3log xy y 1 +  = + 2 2 ( 5 )
3 .log x 2 log x 3 2 2
ĐS: ⓐ(2;18) ,(18;2) ;ⓑ (1/2;1/2) ;ⓒ ( 2
− ;7) ;ⓓ(3/2;1/2); ⓔ( 2
− ;0) ;ⓕ(2;5) ;ⓖ (6;2) ;ⓗ(512; ) 1
Bài 115. Giải các hệ phương trình sau: x + y = 11  ( 2 2
lg x + y ) =1+ lg8 ⓐ  ⓑ 
log x + log y = 1+ log 15 2 2 2 lg
 ( x + y) − lg ( x − y) = lg 3 3x  .2y = 972 x + y = 25 ⓒ  ⓓ  log  (x − y) = 2
log x − log y = 2 3 2 2  −x − y 4 3x  + 3y = 4 3  + 3 = ⓔ  ⓕ  9 x + y = 1 x + y = 3
2x + 5x+y = 7 2 2
x − y = 3 ⓖ  ⓗ  x 1
2 − .5 x+y y = 5
log x + y − log x − y = 1 3 ( ) 5 ( )
ĐS: ⓐ; (5;6), (6;5) ⓑ; (8; 4) ⓒ (5;2) ⓓ (20;5) ⓔ; (0; ) 1 ,(1;0) ⓕ; (1;2),(2; )
1 ⓖ (log 5;log 2 − log 5 , 1;0 ⓗ (2; ) 1 2 5 2 ) ( )
Bài 116. Giải các hệ phương trình sau: 2 2 2
lg x = lg y + lg xy lg x lg 3  = 4 y ⓐ  ⓑ  2  lg 4 lg3
lg ( x − y) + lg . x lg y = 0 (
 4x) = (3y)
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2 TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 12 – MŨ Ũ - LOGA G R A IT I 68 6 lo g
4 xy = 2 + (xy)log32 3  y = 1+ log x ⓒ  ⓓ 2  2 2  y
x + y − 3x − 3y = 12 x = 64 ln x ln 5  = 6 y 2 2 9
 x − 4y = 5 ⓔ ( ⓕ 
 6x)ln6 = (5y)ln5
log 3x + 2y − log 3x − 2y = 1 5 ( ) 3 ( ) log xy = 3log . x log y 5x  .2y = 500 27 27 27 ⓖ   ⓗ  x 3log x log 3  (2x − y) = 4 log = 2  3  y 4log y 3 ĐS: ⓐ (2; )
1 ,( 2;1/ 2) ⓑ(1/4;1/3) ⓒ (3− 6;3+ 6),(3+ 6;3− 6) ⓓ (4;3),(1/8; 2
− ) ⓔ(1/6;1/5) ⓕ (1; )
1 ⓖ (3;2) ⓗ (1/3; 3),(27;3 3)
Bài 117. Giải các hệ phương trình sau:
ln (1+ x) − ln (1+ y) = x − y
x − y = (log y − log x 2 + xy 2 2 )( ) ⓐ  ⓑ  2 2
x −12xy + 20y = 0 3 3 x + y =16
2x − 2y = ( y − x)(xy + 2) ⓒ 
ĐS: ⓐ (0;0) ⓑ (2; 2) ⓒ (1; ) 1 ,( 1 − ;− ) 1 2 2 x + y = 2
Bài 118. Giải các hệ phương trình sau: x+ y 1 − 2 y 1 −  + ≤ log x + >  x ( 2) 2 ⓐ 4 3.4 2  ⓑ 
x + 3y ≥ 2 − log 3 x 1 log 2 − + log  ( x 1
2 + +1 < log 7.2x +12 2 2 ) 2 ( ) 4 2
x −2x−3 −log35 −( y+4)  = log y + 5 < 0 x 1 − ( ) ⓒ 3 5  ⓓ 
4 y − y −1 + log 4 − x < 0  y +2 ( )  ( y +3)2 ≤ 8  2  1  < x < 2
ĐS: ⓐ  log 2 3;log
ⓑ1 < x < 2 ⓒ ( 1
− ;−3),(3;−3) ⓓ 4 4    3   2 − < y < −1
BÀI TẬP TỔNG HỢP VẤN ĐỀ 8
Bài 119. Giải các hệ phương trình sau: 2 x 3 y    − x − y 1
6x − 2.3y = 2 y 5 2 = 2 .2 x 2 2  + = ⓐ 4 4  ⓑ  ⓒ  2 6x.3y =12 y 2(1− y)   3x  + =  = 3.3 y x y 1 2 3x 2 3x  − 2y = 77 2 = 5y − 4y  2 x 2 64 + 64 y = 12  ⓓ  2 ⓔ ⓕ x x 1 + x y   4 + 2  x+ y  =  = 2 2 3 64 4 2 y  − 2 = 7  2x + 2  3 1   1 1 
ĐS: ⓐ(1;log 2 ⓑ  ;  ,(−2; 4) ⓒ  ; 3 )   2 2   2 2  ⓓ  1 1   1 1 
(4; 2),(4;− 2)ⓔ  ; , ;  ⓕ (0; ) 1 ,(2;4)  6 4   4 6 
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2 GV G . V TR T ẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm & & biê i n n tập) p 69 6
Bài 120. Giải các hệ phương trình sau:  1 xy = 1 log y − x − log =1 1 ( ) ⓐ 4  ⓑ  y 2 2 4
lg x + lg y = 2  2 5 x + y = 25
x − 4 y + 3 = 0
log x + log y = 1+ log 2 ⓒ  ⓓ 3 3 3 
 log x − log y = 0 x − y = 10 4 2
Bài 121. Giải các hệ phương trình sau: log x + y = x (11 14 ) 3 ⓐ  ĐS: (5;5) log y + x =  y (11 14 ) 3
log x + x − x − y =  x ( 3 2 2 3 5 ) 3 ⓑ  ĐS: (4; 4) log
y + y − y − x =  y ( 3 2 2 3 5 ) 3 log x + y + y + x = x (3 5 ) logy (3 5 ) 4 ⓒ  ĐS: (8;8) log x + y y + x =  x (3 5 ).logy (3 5 ) 4 log ( 2 2
x + y − log 2x +1 = log x + 3y 4 ) 4 ( ) 4 ( )  ⓓ   x ĐS: (2; )
1 ;(t;t) với t > 0 log ( xy + ) 1 − log ( 2
4 y + 2y − 2x + 4 +1 = log   −1 4 4 ) 4   y  log  (xy) 9  − 3 + 2(xy)log23 2     ⓔ 5 − 17 5 + 17 5 + 17 5 − 17  ĐS:  ; , ;      2 2
x + y = 3x + 3y + 6  2 2   2 2 
Bài 122. Giải các hệ bất phương trình sau: 2 x −2 x+3−log  2 3 − y−4 2 = 3 x = 1 − x = 3 ⓐ  ĐS:  ∨  4 y  = −  = − 
− y −1 + ( y + 3)2 ≤ 8 y 3 y 3 2 2
log x − log x < 0 2 2 ⓑ  3  x
ĐS: 1 < x < 4 2 
− 3x + 5x + 9 > 0  3 (  x ) ( x 1 1 lg 2 lg 2 +  − + + ) 1 < lg (7.2x +12) ⓒ 
ĐS: 1 < x < 2 log x  + > x ( 2) 2 xx 2  − ≥ 21 Bài 123. 3 4 5
Tìm a để hệ bất phương trình sau có nghiệm  ĐS: a ≥ 1  + log 2 
(a − x) ≥ log ( 4x +1 2 2 )
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2 TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 12 – MŨ Ũ - LOGA G R A IT I 70 7
Vấn đề 9. PHƯƠNG TRÌNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH
BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ – LÔGARIT CÓ THAM SỐ Phươngphápgiải Đặt ẩn phụ.
Dựa vào điều kiện của biến suy ra miền giá trị của ẩn phụ.
Bài 124. Tìm điều kiện của m để mỗi hàm số sau xác định với mọi x : ⓐ 1 y = log ( 2
x − mx + m + 2 ⓑ y = 5 ) log ( 2
x − 2x + 3m 3 )
ĐS: ⓐ 2 − 2 3 < m < 2 + 2 3 ⓑ m > 2/3
Bài 125. Cho phương trình: x x 1 4 . m 2 + − + 2m = 0
ⓐ Giải phương trình khi m = 2 .
ĐS: ⓐ x = 1; ⓑ m = 4
ⓑ Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x , x sao cho 1 2 x + x = 3 . 1 2
Bài 126. Tìm m để phương trình sau có nghiệm: (m ) 2x+ (m ) 2 1 x 1 2 4 1 2 + − − +
+ 2m − 6 = 0 ĐS: 2 < m ≤ 4
Bài 127. Tìm m để phương trình: 9x − .3x m
+ 2m +1 = 0 có nghiệm.
ĐS: m < −1/2 ∨ m ≥ 4 + 2 5
Bài 128. Tìm m để phương trình: 4(log x )2 −log x + m = 0 có nghiệm thuộc (0; ) 1 . ĐS: m ≤ 1/4 2 1 2 x x
Bài 129. Cho phương trình: (2+ 3) +(2 − 3) = m
ⓐ Giải phương trình khi m = 4 .
ⓑ Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
ĐS: ⓐ x = 1; ⓑ m = 4
Bài 130. Cho phương trình: .16x 2.81x 5.36x m + =
ⓐ Giải phương trình khi m = 3 .
ĐS: ⓐ x = 0 ∨ x = 1/2 ; ⓑ m ≤ 0 ∨ m = 25/28
ⓑ Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có nghiệm duy nhất.
Bài 131. Cho phương trình: 4x − 4 (2x m − ) 1 = 0
ⓐ Giải phương trình khi m =1.
ⓑ Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có nghiệm.
ĐS: ⓐ vn ; ⓑ m < 0 ∨ m > 1
Bài 132. Tìm m để phương trình: x x 1 4 2 + +
+ m = 0 có nghiệm. ĐS: m ≤1 1 2
 log x − log y = 0
Bài 133. Cho hệ phương trình: 3 3  2 3  2 x  + y − my = 0
ⓐ Giải hệ khi m = 2 .
ⓑ Định m để hệ phương trình có nghiệm. ĐS: a. (1; ) 1 ,( 1 − ; ) 1 ; b. m > 0
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2 GV G . V TR T ẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm & & biê i n n tập) p 71 7 2 2 9
 x − 4y = 5
Bài 134. Cho hệ phương trình:  ĐS: a. (1; ) 1 ; b. m = 5
log (3x + 2y) − log 3x − 2y = 1 m 3 ( )
ⓐ Giải hệ khi m = 5 .
ⓑ Tìm giá trị lớn nhất của m sao cho hệ phương trình trên có nghiệm ( ; x y) thỏa mãn: 3x + 2 y ≤ 5. 2x+ x 1 + 2+ x 1 7 7 +  − + 2009x ≤ 2009
Bài 135. Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm:  ĐS: m ≥ −2 2 x
− (m + 2) x + 2m + 3 ≥ 0
BÀI TẬP TỔNG HỢP VẤN ĐỀ 9
Bài 136. Cho phương trình: 4x − 4 (2x m − ) 1 = 0
ⓐ Giải phương trình khi m =1.
ⓑ Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có nghiệm.
ĐS: ⓐ vn ; ⓑ m < 0 ∨ m > 1
Bài 137. Tìm m để phương trình: x x 1 4 2 + + + m = 0 có nghiệm. ĐS: m ≤ 1
Bài 138. Cho phương trình: 2 2 + x−x x−x + = ( + ) 2 1 2 2 2 25 .9 3 7 .15 x−x m m
ⓐ Giải phương trình khi m = 9 .
ⓑ Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có nghiệm x∈[0; 2] .
ĐS: ⓐ x = 0 ∨ x = 2 ∨ x = 1± 3 ; ⓑ 130 9 ≤ m ≤ 9 x x
Bài 139. Cho phương trình: ( 5 + ) 1 + ( 5 − ) 1 = 2x a
ĐS: ⓐ x = − log 2 ; ⓑ 1 a ≤ 0 ∨ a = 5 1 + 4 2 ⓐ 1
Giải phương trình khi a = . 4
ⓑ Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có nghiệm duy nhất. tan x tan x
Bài 140. Cho phương trình: (3+ 2 2) +(3− 2 2) = m ⓐ π
Giải phương trình khi m = 6 . ĐS: ⓐ x = ±
+ kπ , k ∈ℤ ; ⓑ m > 2 4  π π ⓑ 
Tìm m để phương trình có đúng 2 nghiệm trong khoảng  − ; .  2 2 
Bài 141. Với giá trị nào của m thì các phương trình sau có nghiệm duy nhất: ⓐ 2 17 − 5 2 log x − 2 
(m + )1 x + log 
(2x + m− 2) = 0 ĐS: −
≤ x ≤ 2 ∨ m = 2+ 3 2− 3 5 2 lg (mx) ⓑ ( =
ĐS: m < 0 ∨ m = 4 x + ) 2 lg 1
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2 TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 12 – MŨ Ũ - LOGA G R A IT I 72 7 ⓒ 1 1 log ( 2
x + 4mx + log 2x − 2m −1 = 0 ĐS: − ≤ m ≤ − ∨ m = 0 3 ) 1 ( ) 2 10 3 ⓓ 1 3 ( 2
lg x + 2mx) − lg(8x − 6m −3) = 0 ĐS: − ≤ m ≤ ∨ m = 1 2 22
Bài 142. Tìm m để bất phương trình sau đây có nghiệm: 2x 1 3 + − ( + 3)3x m − 2(m + 3) < 0 ĐS: m > −3
Bài 143. Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình thỏa với mọi x . ⓐ 3 9x − 2( + ) 1 3x m − 2m − 3 > 0 ĐS: m ≤ − 2 ⓑ x m + (m − ) x+2 .4 1 2 + m −1 > 0 ĐS: m ≥ 1 ⓒ .25x + 4( − ) 1 5x m m + m −1 > 0 ĐS: m ≥ 1 ⓓ (m ) x x 1 1 4 2 + − + + m +1 > 0 ĐS: m ≥ 1 ⓔ 3 (m ) x 1− x 1 2 4 2 . m 2 − + − + 3m +1 > 0 ĐS: m > − 2
ⓕ x − (m + ) x 2 4 2
2 .2 + m + 2m + 2 > 0 ĐS: m < 1 −
Bài 144. Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương: ⓐ (3 + )
1 .12x + (2 − ).6x + 3x m m < 0 thỏa x ∀ > 0 ĐS: m ≤ −2 ⓑ .9x −(2 + ) 1 .6x + .4x m m m ≤ 0 thỏa x ∀ ∈[0; ] 1 ĐS: m ≤ 6 ⓒ   2 x −x − ( + ) 2 2 2 2 x −x 2 .9 2 1 .6 + .4 x −x m m m ≤ 1 1 0 x ∀ ∉− ;  ĐS: m ≤ 0  2 2 
Bài 145. Cho bất phương trình: x a (a ) x 1 .9 4 1 3 + + − + a > 1
ⓐ Giải bất phương trình khi a = 2 .
ⓑ Tìm tất cả các giá trị của a để bất phương trì thỏa với mọi x .
ĐS:a. x ∈ R ; b. a ≥ 1
Bài 146. Tìm m để mọi nghiệm của bất phương trình 2x 1
2 + − 9.2x + 4 ≤ 0 cũng là nghiệm của bất phương trình ( 2 m + m + )
1 x + 3x +1 > 0
ĐS: 0 < m < 2 2 1 1+
Bài 147. Tìm m để mọi nghiệm của bất phương trình 2x − 2 x > 8 cũng là nghiệm của bất phương trình
x − mx + (m + )2 2 4 2 1 < 0
ĐS: m ≤ 0 ∨ m ≥ 1
Bài 148. Tìm m để mọi nghiệm của bất phương trình 2 2
log x + log x < 0 cũng là nghiệm của bất 1 1 2 4 −7 − 3 5 phương trình 2 2
x + mx + m + 6m < 0 ĐS: < m < 4 − + 2 3 2
Bài 149. Tìm m để mọi nghiệm của bất phương trình log
3x + 4.log 5 > 1 cũng là nghiệm của bất 5 x 5 5 phương trình 1+ log ( 2 x + ) 1 + log ( 2
x + 4x + 2m > 0 ĐS: − ≤ m ≤ 5 1 ) 2 2 5
Bài 150. Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình thỏa với mọi x . ⓐ log ( 2 7x + 7) ≥ log ( 2
mx + 4x + m
ĐS: 2 < m ≤ 5 2 2 ) ⓑ ( 2 log
x − 2x + m + ) 1 > 0 ĐS: m > 1 m
Bài 151. Tìm các giá trị của m để bất phương trình thỏa với mọi x ∈(2;3) . log ( 2
x + 4x + m) − log ( 2 x +1 < 1 ĐS: 1 − 2 ≤ m ≤ 13 5 5 )
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2 GV G . V TR T ẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm & & biê i n n tập) p 73 7
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
(trích từ bộ BTN – 387 câu + 7 đề của BGD – 68 câu)
Vấn đề 1. LŨY THỪA
Câu 1. Khẳng định nào sau đây đúng : m A. n
a− xác định với mọi a ∀ ∈ ℝ \{ } 0 ; n ∀ ∈ ℕ . B. n m n a = a ; a ∀ ∈ ℝ . m C. 0 a = 1; a ∀ ∈ ℝ . D. n m n
a = a ;∀a ∈ ; ℝ ∀ , m n ∈ℤ .
Câu 2. Tìm x để biểu thức ( x − )−2 2 1 có nghĩa. 1 1  1  1 A. x ∀ ≠ . B. x ∀ > . C. x ∀ ∈ ;2 . D. x ∀ ≥ . 2 2  2  2
Câu 3. Tìm x để biểu thức (x − )1 2 3 1 có nghĩa. A. x ∀ ∈(− ; ∞ ] 1 ∪[1;+∞) . B. x ∀ ∈(− ; ∞ − ) 1 ∪ (1;+∞) . C. x ∀ ∈( 1 − ; ) 1 . D. x ∀ ∈ ℝ \{± } 1 . −
Câu 4. Tìm x để biểu thức (x + x + ) 2 2 3 1 có nghĩa. A. x ∀ ∈ ℝ .
B. Không tồn tại x . C. x ∀ > 1. D. x ∀ ∈ ℝ \{ } 0
Câu 5. Các căn bậc hai của 4 là A. 2 − . B. 2 . C. 2 ± . D. 16
Câu 6. Cho a ∈ ℝ và *
n = 2k(k ∈ ℕ ) , n
a có căn bậc n là n A. a . B. | a | . C. −a . D. 2 a .
Câu 7. Cho a ∈ ℝ và *
n = 2k +1(k ∈ ℕ ) , n
a có căn bậc n là n A. 2n 1 a + . B. | a | . C. −a . D. a .
Câu 8. Phương trình 2016 x
= 2017 có tập nghiệm trong ℝ là A. 2017 T={ ± 2016} B. 2016 T={ ± 2017} . C. 2016 T={ 2017}. D. 2016 T={ − 2017}
Câu 9. Các căn bậc bốn của 81 là A. 3 . B. 3 ± . C. 3 − . D. 9 ±
Câu 10. Khẳng định nào sau đây sai? 1 1
A. Có một căn bậc n của số 0 là 0.
B. − là căn bậc 5 của − . 3 243
C. 4 có một căn bậc hai.
D. Các căn bậc 8 của 2 được viết là 8 ± 2 . 4 −0,75 −     3 1 1
Câu 11. Tính giá trị biểu thức   +   , ta được : 16   8  A. 12 . B. 16 . C. 18 . D. 24
Câu 12. Viết biểu thức a a (a > 0) về dạng lũy thừa của a , ta được: 5 1 3 1 A. 4 a . B. 4 a . C. 4 a . D. 2 a
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2 TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 12 – MŨ Ũ - LOGA G R A IT I 74 7 3 2 4
Câu 13. Viết biểu thức
về dạng lũy thừa 2m với giá trị của m là 0,75 16 13 13 5 5 A. − . B. . C. . D. − . 6 6 6 6
Câu 14. Các căn bậc bảy của 128 là A. 2 − . B. 2 ± . C. 2 . D. 8 b a ma
Câu 15. Viết biểu thức 5 3
, (a,b > 0) về dạng lũy thừa   , với giá trị của m là a bb  2 4 2 −2 A. . B. . C. . D. . 15 15 5 15 2 2
Câu 16. Cho a > 0 ; b > 0 . Viết biểu thức 3 a a về dạng m a và biểu thức 3
b : b về dạng n b . Ta có m + n = ? 1 1 A. . B. 1 − . C. 1 . D. 3 2 4 4
Câu 17. Cho x > 0 ; y > 0. Viết biểu thức 6 5 5 x . x x về dạng m x và biểu thức 5 5 6 y : y y về dạng n y .
Giá trị của biểu thức m − n là 11 11 8 8 A. − . B. . C. . D. − 6 6 5 5 2 2 2 8
Câu 18. Viết biểu thức
về dạng 2x và biểu thức
về dạng 2y . Ta có 2 2 x + y = ? 4 8 3 4 2017 11 53 2017 A. . B. . C. . D. 567 6 24 576 Câu 19. Cho 3 6
f (x) = x. x khi đó f (0,09) bằng : A. 0,09 . B. 0,9 . C. 0,03. D. 0,3 3 2 x x
Câu 20. Cho f ( x) =
khi đó f (1,3) bằng: 6 x A. 0,13 . B. 1,3 . C. 0,013. D. 13 .
Câu 21. Cho f ( x) 3 4 12 5
= x x x . Khi đó f (2,7) bằng A. 0,027 . B. 0, 27 . C. 2,7 . D. 27 .
Câu 22. Đơn giản biểu thức 4 2 81a b , ta được: A. 2 9 − a b . B. 2 9a b . C. 2 9a b . D. 2 3a b .
Câu 23. Đơn giản biểu thức x ( x + )4 8 4 1 , ta được: A. 2 x ( x + ) 1 . B. 2 −x (x + ) 1 . C. 2 x ( x − ) 1 . D. 2 x x +1 .
Câu 24. Đơn giản biểu thức x ( x + )9 3 3 1 , ta được:
A. −x ( x + )3 1 .
B. x ( x + )3 1 .
C. x ( x + )3 1 .
D. x ( x + )3 1 .
Câu 25. Khẳng định nào sau đây đúng? −1 2  1   1  A. 0 a = 1, a ∀ . B. 2
a > 1 ⇔ a > 1. C. 2 3 < 3 2 .
D.   <   .  4   4 
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2 GV G . V TR T ẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm & & biê i n n tập) p 75 7 a+ Câu 26. Nếu ( − ) 2 2 3 1 < 2 3 −1 thì A. a < 1 − . B. a < 1. C. a > −1. D. a ≥ 1 − .
Câu 27. Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào sai? A. ( )− 2 > ( )− 2 0,01 10 . B. ( )− 2 < ( )− 2 0,01 10 . C. ( )− 2 = ( )− 2 0,01 10 . D. 0 a =1, a ∀ ≠ 0 .
Câu 28. Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào đúng? 3 4 6 7
A. (2− 2) < (2 − 2) .
B. ( 11 − 2) > ( 11 − 2) . 3 4 4 5
C. (4− 2) < (4 − 2) .
D. ( 3 − 2) < ( 3 − 2) . m−
Câu 29. Nếu ( − )2 2 3 2 < 3 + 2 thì 3 1 1 3 A. m > . B. m < . C. m > . D. m ≠ . 2 2 2 2
Câu 30. Cho n nguyên dương thở mãn n ≥ 2, khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? 1 1 1 1 A. n n a = a a ∀ > 0 . B. n n a = a a ∀ ≠ 0 . C. n n a = a a
∀ ≥ 0 . D. n n a = a a ∀ ∈ ℝ .
Câu 31. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
A. ab = a b a ∀ ,b . B. 2n 2n a ≥ 0 a
∀ , n nguyên dương (n ≥ ) 1 . C. 2n 2n a = a a
∀ , n nguyên dương (n ≥ ) 1 . D. 4 2 a = a a ∀ ≥ 0 .
Câu 32. Cho a > 0,b < 0 , khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? A. 4 4 4 a b = ab . 3 3 3 4 2 2
B. a b = ab . C. 2 2 a b = ab . a b = −a b . D.
Câu 33. Tìm điều kiện của a để khẳng định 2
(3 − a) = a − 3 là khẳng định đúng ? A. a ∀ ∈ ℝ . B. a ≤ 3 . C. a > 3. D. a ≥ 3 .
Câu 34. Cho a là số thực dương, ,
m n tùy ý. Phát biểu nào sau đây là phát biểu sai ? n a n A. m. n m n a a a + = . B. n−m = a . C. ( )n m m n a a + = . D. ( m ) m.n a = a . m a ( )1 1 (2) 2 (3) (4)
Câu 35. Bạn An trong quá trình biến đổi đã làm như sau: − = (− ) = (− ) = (− )2 3 6 3 6 27 27 27 27 = 3 bạn
đã sai ở bước nào? A. (4) . B. (2) . C. (3) . D. ( ) 1 . x
Câu 36. Nếu ( 3 − 2) > 3 + 2 thì A. x ∀ ∈ ℝ . B. x < 1. C. x > 1 − . D. x < 1 − .
ax − x− a 1
Câu 37. Với giá trị nào của a thì phương trình 2 4 2 2
= ( có hai nghiệm thực phân biệt. − 2 ) 4 A. a ≠ 0 . B. a ∀ ∈ ℝ . C. a ≥ 0 . D. a > 0
Câu 38. Tìm biểu thức không có nghĩa trong các biểu thức sau: 0  1  A. ( ) 4 3 − − . B. ( ) 13 3 − − . C. 4 0 . D.  . 3   2− 
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2 TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 12 – MŨ Ũ - LOGA G R A IT I 76 7 2 1 1 −  
Câu 39. Đơn giản biểu thức 2 P = a .  được kết quả là  a A. 2 a . B. 2 2 1 a − . C. 1 2 a − . D. a .
Câu 40. Biểu thức (a 2)π + có nghĩa với :
A. a > −2 . B. a ∀ ∈ ℝ . C. a > 0 . D. a < 2 − 2n a a  Câu 41. Ch 2n = , a
∀ b ≥ 0,b ≠ 0 khẳng định nào sau đây đúng? b 2n b  1 1 1 1 A. n n a = a , a ∀ ≠ 0 . B. n n a = a , a
∀ > 0 . C. n n a = a , a ∀ ≥ 0 . D. n n a = a , a ∀ ∈ ℝ . 1 1 Câu 42. Nếu 2 6 a > a và 2 3 b > b thì
A. a > 1;0 < b < 1.
B. a > 1;b < 1 .
C. 0 < a < 1;b < 1.
D. a < 1;0 < b < 1 (4 a .b )4 3 2
Câu 43. Cho a , b là các số dương. Rút gọn biểu thức P = được kết quả là 3 12 6 a .b A. 2 ab . B. 2 a b . C. ab . D. 2 2 a b .
Câu 44. Cho 3α < 27 . Mệnh đề nào sau đây là đúng? α  < 3 − A. . B. α > 3 . C. α < 3 . D. 3 − < α < 3 . α   > 3 − −
Câu 45. Giá trị của biểu thức A = (a + )−1 + (b + )−1 1 1 với a = ( + ) 1 2 3 và b = ( − ) 1 2 3 A. 3. B. 2. C. 1. D. 4.
Câu 46. Với giá trị nào của x thì đẳng thức 2016 2016 x = −x đúng
A. Không có giá trị x nào. B. x ≥ 0 . C. x = 0 . D. x ≤ 0 .
Câu 47. Với giá trị nào của x thì đẳng thức 2017 2017 x = x đúng A. x ≥ 0 . B. x ∀ ∈ℝ . C. x = 0 .
D. Không có giá trị x nào. 1
Câu 48. Với giá trị nào của x thì đẳng thức 4 4 x = đúng x A. x ≠ 0 . B. x ≥ 0 . C. x ≠ ±1.
D. Không có giá trị x nào.
Câu 49. Căn bậc 4 của 3 là A. 3 4 . B. 4 3 . C. 4 − 3 . D. 4 ± 3 .
Câu 50. Căn bậc 3 của – 4 là A. 3 ± −4 . B. 3 −4 . C. 3 − −4 . D. Không có.
Câu 51. Căn bậc 2017 của 2 − 017 là A. 2016 − 2016 . B. Không có. C. 2016 2 − 016 . D. 2016 2016 .
Câu 52. Trong các biểu thức sau biểu thức nào không có nghĩa A. (− )0 2016 . B. (− )2016 2016 . C. 2016 0− . D. ( ) 2016 2016 − − .
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2 GV G . V TR T ẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm & & biê i n n tập) p 77 7
Câu 53. Với giá trị nào của x thì biểu thức ( )1 2 3 4 − x sau có nghĩa A. x ≥ 2 . B. 2 − < x < 2 . C. x ≤ 2 − .
D. Không có giá trị x nào. 2  1 − 1  4a − 9a a − 4 + 3 − a
Câu 54. Cho số thực dương a . Rút gọn biểu thức   + 1 1 1 1  − −  2 2 2 2  2a − 3a a − a  1 1 A. 2 9a . B. 9a . C. 3a . D. 2 3a .  
Câu 55. Cho số thực dương ,
a b . Rút gọn biểu thức( a + b) 2 2 3 3 3 3 3
a + b − ab    1 1 1 1 A. 3 3 a −b .
B. a −b.
C. a + b . D. 3 3 a + b . 11
Câu 56. Cho số thực dương a . Rút gọn biểu thức 16 a a a a : a 3 1 1 A. 4 a . B. 2 a . C. a . D. 4 a . 4a 4b
Câu 57. Cho a + b =1 thì + bằng 4a + 2 4b + 2 A. 4. B. 2. C. 3. D. 1. Câu 58. x − x−
Có bao nhiêu giá trị x thỏa mãn (x − x + ) 2 6 2 3 3 = 1 A. 2 . B. 3. C. 4 . D. 1. 2 x −3x 2 x−2
Câu 59. Có bao nhiêu giá trị x thỏa mãn ( 5 + 2) = ( 5 −2) đúng A. 3. B. 3. C. 2. D. 1.
Câu 60. Biết 4x + 4−x = 23 tính giá trị của biểu thức 2x 2 x P − = + ta được kết quả là A. 5 . B. 27 . C. 23 . D. 25 .
Câu 61. Cho a là số thực dương. Biểu thức 4 3 8
a được viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ là 3 2 3 4 A. 2 a . B. 3 a . C. 4 a . D. 3 a .
Câu 62. Cho x là số thực dương. Biểu thức 4 2 3 x
x được viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ là 7 5 12 6 A. 12 x . B. 6 x . C. 7 x . D. 5 x . 5 2 b b
Câu 63. Cho b là số thực dương. Biểu thức
được viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ là 3 b b A. – 2. B. – 1. C. 2. D. 1.
Câu 64. Cho x là số thực dương. Biểu thức x x x x x x x x được viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ là 256 255 127 128 A. 255 x . B. 256 x . C. 128 x . D. 127 x .
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2 TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 12 – MŨ Ũ - LOGA G R A IT I 78 7 a b a
Câu 65. Cho hai số thực dương a và b . Biểu thức 5 3
được viết dưới dạng lũy thừa với số mũ b a b hữu tỉ là 31 30 1 7  30 a  31 a  6 a A. 30 x . B.   . C.   . D.   .  b   b   b P = ( 1 2 a − b ) ⋅( 2 1 2 4 3 3 3 3 3 3
a + a .b + b )
Câu 66. Cho các số thực dương a và b . Rút gọn biểu thức được kết quả là
A. a − b . B. 2 a − b .
C. b − a . D. 3 3 a − b . 4 a − b a + ab
Câu 67. Cho các số thực dương a và b . Rút gọn biểu thức P = − được kết quả là 4 4 4 4 a − b a + b A. 4 b . B. 4 4 a − b .
C. b − a . D. 4 a .  a + b
Câu 68. Cho các số thực dương a và b . Rút gọn biểu thức P = 
− ab :( a − b)2 3 3 3 được 3 3  a + b  kết quả là A. 1 − . B. 1. C. 2 . D. 2 − . 1 1 3 3 a b + b a
Câu 69. Cho các số thực dương a và b . Biểu thức thu gọn của biểu thức 3 P = − ab là 6 6 a + b A. 0 . B. 1 − . C. 1. D. 2 − . 4 − a ( 1 2 3 3 3 a + a )
Câu 70. Cho số thực dương a . Biểu thức thu gọn của biểu thức P = là 1 − a ( 3 1 4 4 4 a + a ) A. 1. B. a +1 . C. 2a . D. a . = ( 1 1 − )⋅( 1 1 + )⋅( 1 1 4 4 4 4 2 2 P a b a b a + b )
Câu 71. Cho a > 0,b > 0 . Biểu thức thu gọn của biểu thức là A. 10 10 a − b .
B. a − b .
C. a − b . D. 8 8 a − b .   P = ( 1 1 a b 3 3 a + b )
Câu 72. Cho a > 0,b > 0 .Biểu thức thu gọn của biểu thức 3 3 :  2 + +  là  b a  3 ab 3 ab A. 3 ab . B. . C. . D. 3 ( 3 3 ab a + b ) . 3 3 a + b ( a + b)3 3 3 3 3 a − b
Câu 73. Cho a > 0,b > 0 và a ≠ b . Biểu thức thu gọn của biểu thức P = là 6 6 a − b A. 6 6 a + b . B. 6 6 a − b . C. 3 3 b − a . D. 3 3 a + b .
Câu 74. So sánh hai số m và n nếu 3, 2m 3, 2n < thì:
A. m > n .
B. m = n .
C. m < n .
D. Không so sánh được.
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2 GV G . V TR T ẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm & & biê i n n tập) p 79 7 m n
Câu 75. So sánh hai số m và n nếu ( 2 ) < ( 2 )
A m > n .
B. m = n .
C. m < n .
D. Không so sánh được. 1 m 1 n    
Câu 76. So sánh hai số m và n nếu   >   .  9   9 
A. Không so sánh được.
B. m = n .
C. m > n .
D. m < n . m n  3   3 
Câu 77. So sánh hai số m và n nếu   >   .  2   2 
A. m < n .
B. m = n .
C. m > n .
D. Không so sánh được. m n
Câu 78. So sánh hai số m và n nếu ( 5 − ) 1 < ( 5 − ) 1 .
A. m = n .
B. m < n .
C. m > n .
D. Không so sánh được. m n
Câu 79. So sánh hai số m và n nếu ( 2 − ) 1 < ( 2 − ) 1 .
A. m > n .
B. m = n .
C. m < n .
D. Không so sánh được. 2 1 − −
Câu 80. Kết luận nào đúng về số thực a nếu 3 3
(a −1) < (a −1) ? A. a > 2 . B. a > 0 . C. a > 1.
D. 1 < a < 2 .
Câu 81. Kết luận nào đúng về số thực a nếu 3 − 1 (2a 1) (2a 1)− + > + ?  1 − < a < 0 1 0 < a <1 A.  2 .
B. − < a < 0 . C. . D. a < 1 − .   2 a < −1 a < −1 −0,2  1 
Câu 82. Kết luận nào đúng về số thực a nếu 2   < a ?  a
A. 0 < a < 1. B. a > 0 . C. a > 1. D. a < 0 . 1 1 − −
Câu 83. Kết luận nào đúng về số thực a nếu ( − a) 3> ( − a) 2 1 1 ? A. a < 1. B. a > 0 .
C. 0 < a < 1. D. a > 1. 3
Câu 84. Kết luận nào đúng về số thực a nếu ( − a) > ( − a)2 4 2 2 ? A. a > 1.
B. 0 < a < 1.
C. 1 < a < 2 . D. a < 1. 1 1 −  2   2 1 1
Câu 85. Kết luận nào đúng về số thực a nếu   >   ?  a   a
A. 1 < a < 2 . B. a < 1. C. a > 1.
D. 0 < a < 1.
Câu 86. Kết luận nào đúng về số thực a nếu 3 7 a > a ? A. a < 1 .
B. 0 < a < 1. C. a > 1.
D. 1 < a < 2. 1 1 − −
Câu 87. Kết luận nào đúng về số thực a nếu 17 8 a > a ? A. a > 1. B. a < 1 .
C. 0 < a < 1.
D. 1 < a < 2.
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2 TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 12 – MŨ Ũ - LOGA G R A IT I 80 8
Câu 88. Kết luận nào đúng về số thực a nếu 0 − ,25 − 3 a > a ?
A. 1 < a < 2. B. a < 1 .
C. 0 < a < 1. D. a > 1. 1,5 1,5 a + b 0,5 0,5 − a b 0,5 0,5
Câu 89. Rút gọn biểu thức a + b ta được: 0.5 0.5 a − b
A. a + b .
B. a − b .
C. a + b .
D. a − b .  1 1 1 1  3 1  2 2 2 2  2 2 x − y x + y x y 2 y
Câu 90. Rút gọn biểu thức  + . − được kết quả là 1 1 1 1 x + y x − y   2 2 2 2  xy + x y xy − x y  2
A. x − y .
B. x + y . C. 2 . D. . xy
Câu 91. Biểu thức f ( x) 2 3 (x 3x 2)− = − +
− 2 x xác định với : A. x ∀ ∈ (0; +∞) \{1; 2}. B. x ∀ ∈[0; +∞) . C. x ∀ ∈[0;+∞) \{1;2}. D. x ∀ ∈[0; +∞) \{1} . 2 − 2  −  3 4x 3x
Câu 92. Biểu thức f ( x) =   xác định khi: 2
 2x + 3x +1  1   4   1   4  A. x ∈ 1 − ;− ∪ 0;  . .
B. x ∈ (−∞;−1) ∪  − ;0 ∪  ;+∞  . 2   3      2   3   1   4   4 
C. x ∈  −1;−  ∪ 0;  . D. x ∈  1 − ;  .  2   3   3 
Câu 93. Biểu thức f ( x) = (x − x + )1 3 2 4 3 2 chỉ xác định với :
A. x∈(1+ 3;+∞) . B. x ∈(− ; ∞ 1− 3)∪(1;1+ 3) .
C. x ∈(1− 3; ) 1 .
D. x ∈(1− 3; ) 1 ∪(1+ 3;+∞) . x − x+
Câu 94. Tìm giá trị x thỏa mãn (x − x + ) 2 5 6 2 3 2 =1. A. x = 2 . B. x = 3 .
C. x = 2; x = 3 .
D. Không tồn tại x . Câu 95. −
Với giá trị nào của x thì x x − + > (x + )5x 3 2 5 2 ( 4) 4 ? 1 1 1 1 A. x > − . B. x < . C. x < − . D. x > . 2 2 2 2 2 1 Câu 96. Cho (a ) 1 − − − 3 < ( a − ) 1 3 khi đó A. a > 2 . B. a < 1 . C. a > 1. D. a < 2 . Câu 97. Cho 1 2 x a − = + , 1 2x b = +
. Biểu thức biểu diễn b theo a là a − 2 a − 1 a + 2 a A. . B. . C. . D. . a − 1 a a − 1 a − 1 4 − a ( 1 2 3 3 3 a + a )
Câu 98. Cho số thực dương a . Biểu thức thu gọn của biểu thức P = là 1 − a ( 3 1 4 4 4 a + a ) A. a . B. a +1. C. 2a . D. 1.
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2 GV G . V TR T ẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm & & biê i n n tập) p 81 8
Câu 99. Cho các số thực dương a và b . Biểu thức thu gọn của biểu thức P = ( 1 1 a − b ) ⋅ ( 1 1 a + b ) ⋅ ( 1 1 4 4 4 4 2 2 2 3 2 3
4a + 9b ) có dạng là P = xa + yb . Tính x + y .
A. x + y = 97 .
B. x + y = −65 .
C. x − y = 56 .
D. y − x = 9 − 7 . 1 1 3 3 + Câu 100. a b b a
Cho các số thực dương a và b . Biểu thức thu gọn của biểu thức 3 P = − ab là 6 6 a + b A. −2 . B. −1. C. 1. D. 0 .
Câu 101. Cho các số thực dương a và b . Biểu thức thu gọn của biểu thức  a + bP = 
− ab :( a − b )2 3 3 3 3 3  a + bA. −1. B. 1. C. 2 . D. −2 .
Câu 102. Cho các số thực dương phân biệt a và b . Biểu thức thu gọn của biểu thức 4 a − b 4a + 16ab P = − có dạng 4 4
P = m a + n b . Khi đó biểu thức liên hệ giữa m và n là 4 4 4 4 a − b a + b
A. 2m − n = −3.
B. m + n = −2 .
C. m − n = 0 .
D. m + 3n = −1 . 1 1    a + 2 a − 2 ( 1 2 2 2  a + ) 1
Câu 103. Biểu thức thu gọn của biểu thức P = − ⋅
,(a > 0, a ≠ 1 ± ), có dạng 1 1  a 1  − 2 2  a + 2a + 1  a m P =
⋅ Khi đó biểu thức liên hệ giữa m và n là a + n
A. m + 3n = 1 .
B. m + n = −2 .
C. m − n = 0 .
D. 2m − n = 5 .
Câu 104. Một người gửi số tiền 2 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất 0,65% / tháng. Biết rằng nếu
người đó không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi tháng, số tiền lãi sẽ được nhập vào
vốn ban đầu (người ta gọi đó là lãi kép). Số tiền người đó lãnh được sau hai năm, nếu trong
khoảng thời gian này không rút tiền ra và lãi suất không đổi là A. 24 (2,0065) triệu đồng. B. 24 (1,0065) triệu đồng. C. 24 2.(1,0065) triệu đồng. D. 24 2.(2,0065) triệu đồng.
Câu 105. Một người gửi số tiền M triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất 0,7% / tháng. Biết rằng
nếu người đó không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi tháng, số tiền lãi sẽ được nhập
vào vốn ban đầu (người ta gọi đó là lãi kép). Sau ba năm, người đó muốn lãnh được số tiền là 5
triệu đồng, nếu trong khoảng thời gian này không rút tiền ra và lãi suất không đổi, thì người đó
cần gửi số tiền M là
A. 3 triệu 600 ngàn đồng.
B. 3 triệu 800 ngàn đồng.
C. 3 triệu 700 ngàn đồng.
D. 3 triệu 900 ngàn đồng.
Câu 106. Lãi suất gửi tiết kiệm của các ngân hàng trong thời gian qua liên tục thay đổi. Bác An gửi vào
một ngân hàng số tiền 5 triệu đồng với lãi suất 0,7% / tháng. Sau sáu tháng gửi tiền, lãi suất
tăng lên 0,9% / tháng. Đến tháng thứ 10 sau khi gửi tiền, lãi suất giảm xuống 0,6% / tháng và
giữ ổn định. Biết rằng nếu bác An không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi tháng, số
tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu (người ta gọi đó là lãi kép). Sau một năm gửi tiền, bác
An rút được số tiền là (biết trong khoảng thời gian này bác An không rút tiền ra):
A. ≈ 5436521,164 đồng.
B. ≈ 5468994,09 đồng.
C. ≈ 5452733,453 đồng.
D. ≈ 5452771,729 đồng.
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2 TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 12 – MŨ Ũ - LOGA G R A IT I 82 8 Vấn đề 2. LOGARIT
Câu 1. Với giá trị nào của x thì biểu thức f (x) = log (2x −1) xác định? 2  1   1  1 
A. x ∈ ;+∞ .
B. x ∈ − ; ∞  .
C. x ∈ ℝ \  .
D. x ∈ (−1; +∞) .  2   2  2 
Câu 2. Với giá trị nào của x thì biểu thức 2
f (x) = ln(4 − x ) xác định?
A. x ∈(−2; 2) .
B. x ∈[ − 2; 2] .
C. x ∈ ℝ \ [ − 2; 2] .
D. x ∈ ℝ \ ( 2 − ;2) . x −1
Câu 3. Với giá trị nào của x thì biểu thức f (x) = log xác định? 1 3+ x 2
A. x ∈[ − 3;1] .
B. x ∈ ℝ \ [ − 3;1] .
C. x ∈ ℝ \ ( 3 − ;1) . D. x ∈( 3 − ;1) .
Câu 4. Với giá trị nào của x thì biểu thức: 2
f (x) = log (2x − x ) xác định? 6
A. 0 < x < 2 . B. x > 2 . C. 1 − < x < 1. D. x < 3 .
Câu 5. Với giá trị nào của x thì biểu thức: 3 2
f (x) = log (x − x − 2x) xác định? 5 A. x ∈(0;1) .
B. x ∈(1; +∞) . C. x ∈( 1 − ;0) ∪(2;+∞) .
D. x ∈(0;2) ∪ (4; +∞) .
Câu 6. Cho a > 0, a ≠ 1, giá trị của biểu thức log 4 a A = a bằng bao nhiêu? A. 8. B. 16. C. 4. D. 2.
Câu 7. Giá trị của biểu thức B = 2 log 12 + 3log 5 − log 15 − log 150 bằng bao nhiêu? 2 2 2 2 A. 5. B. 2. C. 4. D. 3.
Câu 8. Giá trị của biểu thức P = 22log 12 + 3log 5 − log 15 − log 150 bằng bao nhiêu? 2 2 2 2 A. 2 . B. 3. C. 4 . D. 5.
Câu 9. Cho a > 0, a ≠ 1, biểu thức D = log a có giá trị bằng bao nhiêu? 3 a 1 1 A. 3. B. . C. 3 − . D. − . 3 3 1
Câu 10. Giá trị của biểu thức 3
C = log 36 − log 14 − 3log 21 bằng bao nhiêu ? 7 7 7 2 1 1 A. 2 − . B. 2. C. − . D. . 2 2
Câu 11. Cho a > 0, a ≠ 1, biểu thức 4log 2 5 a E = a
có giá trị bằng bao nhiêu? A. 5 . B. 625 . C. 25 . D. 8 5 .
Câu 12. Trong các số sau, số nào lớn nhất? 5 5 6 6 A. log . B. log . C. log . D. log . 3 6 3 6 1 5 3 5 3
Câu 13. Trong các số sau, số nào nhỏ nhất ? 1 1 A. log . B. log 9 . C. log 17 . D. log . 5 12 1 1 5 15 5 5
Câu 14. Cho a > 0, a ≠ 1, biểu thức 2 2 2
A = (ln a + log e) + ln a − log e có giá trị bằng a a A. 2 2ln a + 2. B. 4ln a + 2 . C. 2 2ln a − 2 . D. 2 ln a + 2 .
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2 GV G . V TR T ẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm & & biê i n n tập) p 83 8 3 2
Câu 15. Cho a > 0, a ≠ 1, biểu thức B = 2ln a + 3log e − − có giá trị bằng a ln a log e a 3
A. 4ln a + 6log 4 . B. 4ln a . C. 3ln a − . D. 6log e . a log e a a x y
Câu 16. Cho a > 0,b > 0 , nếu viết log (5 3 a b = log a +
log b thì x + y bằng bao nhiêu? 3 )23 3 3 5 15 A. 3. B. 5. C. 2. D. 4. 0 − ,2 10  a
Câu 17. Cho a > 0,b > 0 , nếu viết log  
= x log a + y log b thì xy bằng bao nhiêu ? 5 5 5 6 5  b  1 1 A. 3 . B. . C. − . D. 3 − . 3 3
Câu 18. Cho log x = 3log 2 + log 25 − log 3. Khi đó giá trị của x là : 3 3 9 3 200 40 20 25 A. . B. . C. . D. . 3 9 3 9 1 Câu 19. Cho log
= 2log a − 6 log b . Khi đó giá trị của x là : 7 7 49 x 2 a 3 b
A. 2a − 6b . B. x = . C. 2 3 x = a b . D. x = . 3 b 2 a Câu 20. Cho , a ,
b c > 0; a ≠ 1 và số α ∈ ℝ , Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A. log c a = c . B. log a =1. a a
C. log bα = α log b .
D. log (b − c) = log b − log c . a a a a a Câu 21. Cho , a ,
b c > 0; a ≠ 1, Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? 1 A. log b = . B. log .
b log c = log c . a log a a b a b
C. log b = c b . D. log ( .
b c) = log b + log c . c loga a a a a Câu 22. Cho , a , b c > 0 và ,
a b ≠ 1, Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A. loga b a = b .
B. log b = log c ⇔ b = c . a a log c C. log a c = .
D. log b > log c ⇔ b > c . b log b a a a Câu 23. Cho , a ,
b c > 0 và a > 1. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. log b < log c ⇔ b < c .
B. log b > log c ⇔ b > c . a a a a
C. log b > c ⇔ b > c . D. b c
a > a ⇔ b > c . a Câu 24. Cho , a ,
b c > 0 và a < 1.Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. log b > log c ⇔ b < c . B. 2 3 a < a . a a
C. log b < log c ⇔ b > c .
D. log b > 0 ⇔ b <1. a a a
Câu 25. Số thực a thỏa điều kiện log (log a) = 0 là 3 2 1 1 A. . B. 3. C. . D. 2. 3 2
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2 TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 12 – MŨ Ũ - LOGA G R A IT I 84 8
Câu 26. Biết các logarit sau đều có nghĩa. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ?
A. log b = log c ⇔ b = c .
B. log b > log c ⇔ b > c a a a a
C. log b > log c ⇔ b < c .
D. log b + log c < 0 ⇔ b + c < 0. a a a a Câu 27. Cho , a ,
b c > 0 và a ≠ 1. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai ? b
A. log (bc) = log b + log c .
B. log ( ) = log b − log c . a a a a a a c C. log c
b = c ⇔ b = a .
D. log (b + c) = log b + log c . a a a a
Câu 28. Số thực x thỏa mãn điều kiện log x + log x + log x = 11 là :. 2 4 8 11 A. 64. B. 6 2 . C. 8. D. 4.
Câu 29. Số thực x thỏa mãn điều kiện 3 log 2 2 = 4 là x 1 A. 3 2 . B. . C. 4. D. 2. 3 2 2 Câu 30. Cho , a b > 0 và ,
a b ≠ 1. Biểu thức 2 P = log b +
có giá trị bằng bao nhiêu? a log a a 2 b A. 6. B. 3. C. 4. D. 2. Câu 31. Cho , a b > 0 và ,
a b ≠ 1, biểu thức 3 4
P = log b .log a có giá trị bằng bao nhiêu? b a A. 6. B. 24. C. 12. D. 18.
Câu 32. Giá trị của biểu thức 3log83 2lo 1g65 4 + là A. 20. B. 40. C. 45. D. 25 .
Câu 33. Giá trị của biểu thức P = ( 3 5 log a a a là a ) 53 37 1 A. . B. . C. 20. D. . 30 10 15
Câu 34. Giá trị của biểu thức A = log 2.log 3.log 4...log 15 là 3 4 5 16 1 3 1 A. . B. . C. 1. D. . 2 4 4  3 3 2 5 3 a a a
Câu 35. Giá trị của biểu thức log   là. 1  4 a aa   1 3 211 91 A. . B. . C. − . D. . 5 4 60 60
Câu 36. Trong 2 số log 2 và log 3 , số nào lớn hơn 1? 3 2 A. log 3 . B. log 2 . 2 3 C. Cả hai số .
D. Đáp án khác. Câu 37. Cho 2 số log 2000 và log
2001. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? 1999 2000 A. log 2000 > log 2001.
B. Hai số trên nhỏ hơn 1. 1999 2000
C. Hai số trên lớn hơn 2. D. log 2000 ≥ log 2001 . 1999 2000
Câu 38. Các số log 2 , log 3 , log 11 được sắp xếp theo thứ tự tăng dần là 3 2 3
A. log 2, log 11, log 3 .
B. log 2, log 3, log 11. 3 3 2 3 2 3
C. log 3, log 2, log 11.
D. log 11, log 2, log 3 . 2 3 3 3 3 2
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2 GV G . V TR T ẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm & & biê i n n tập) p 85 8
Câu 39. Số thực x thỏa mãn điều kiện log x + 2 = 3 là 3 ( ) A. 5 . B. 2 − 5 . C. 25 . D. 3 − . 3
Câu 40. Số thực x thỏa mãn điều kiện log x + log x = là : 3 9 2 A. 3 − . B. 25 . C. 3 . D. 9 .
Câu 41. Cho log x = 4 log a + 7 log b a,b > 0 . Giá trị của x tính theo , a b là 3 3 3 ( ) A. ab . B. 4 a b . C. 4 7 a b . D. 7 b . Câu 42. Cho log ( 2 2
x + y =1+ log xy xy > 0 . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau ? 2 ) 2 ( )
A. x > y .
B. x = y .
C. x < y . D. 2 x = y . 1
Câu 43. Cho log y − x − log
=1 y > 0, y > x . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau? 1 ( ) 4 ( ) y 4 3 3
A. 3x = 4 y .
B. x = − y .
C. x = y . D. 3x = 4 − y . 4 4
Câu 44. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau? A. 2 x = x ( 2 log 2 log x > 0 .
B. log xy = log x + log y . a a ) a a a
C. log xy = log x + log y ( xy > 0 .
D. log xy = log x + log y ( xy > 0 . a a a ) a a a )
Câu 45. Cho x, y > 0 và 2 2
x + 4 y = 12xy . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ?  x + 2y  1 A. log 
 = log x − log y .
B. log (x + 2y) = 2 + (log x + log y) . 2 2 2  4  2 2 2 2
C. log (x + 2y) = log x + log y +1.
D. 4log (x + 2y) = log x + log y . 2 2 2 2 2 2
Câu 46. Cho a,b > 0 và 2 2
a + b = 7ab . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ?  a + b
A. 2log(a + b) = log a + log b . B. 4log
 = log a + logb .  6   a + b  1  a + b C. log
 = (log a + log b) . D. log
 = 3(log a + logb) .  3  2  3 
Câu 47. Cho log 6 = a . Khi đó giá trị của log 18 được tính theo a là 2 3 a 2a −1 A. a . B. . C. 2a + 3. D. . a +1 a −1
Câu 48. Cho log 5 = a . Khi đó giá trị của log 1250 được tính theo a là : 2 4 1− 4a 1+ 4a A. . B. 2(1+ 4a) . C. 1+ 4a . D. . 2 2
Câu 49. Biết log 2 = m , khi đó giá trị của log 28 được tính theo m là 7 49 m + 2 1+ m 1+ 4m 1+ 2m A. . B. . C. . D. . 4 2 2 2
Câu 50. Biết a = log 5,b = log 3 ; khi đó giá trị của log 15 được tính theo a là 2 5 10 a + b ab +1 ab −1 a(b +1) A. . B. . C. . D. . a +1 a +1 a +1 a +1
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2 TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 12 – MŨ Ũ - LOGA G R A IT I 86 8
Câu 51. Cho a = log 15;b = log 10 . Khi đó giá trị của log 50 được tính theo a,b là : 3 3 3
A. 2(a − b −1) .
B. 2(a + b −1) .
C. 2(a + b +1) .
D. 2(a − b +1) .
Câu 52. Biết log 3 = a , khi đó giá trị của log 75 được tính theo a là 5 15 2 + a 1+ 2a 1+ a A. . B. . C. . D. 2 . 1+ a a +1 2 + a
Câu 53. Biết log 7 = a , khi đó giá trị của log 7 được tính theo a là 4 2 1 1 A. 2a . B. a . C. a . D. 4a . 2 4 27
Câu 54. Biết log 3 = a , khi đó giá trị của log
được tính theo a là 5 3 25 3 3a 3a − 2 a A. . B. . C. . D. . 2a 2 a 3a − 2
Câu 55. Biết a = log 5,b = log 3 . Khi đó giá trị của log 15 được tính theo a là : 2 5 24 ab +1 ab +1 b +1 a(b +1) A. . B. . C. . D. . b a +1 a +1 3 + ab
Câu 56. Cho log 27 = a . Khi đó giá trị của log 16 được tính theo a là 12 6 4(3+ a) 4(3− a) 4a 2a A. . B. . C. . D. . 3 − a 3 + a 3 − a 3 + a
Câu 57. Cho lg3 = a, lg 2 = b . Khi đó giá trị của log 30 được tính theo a là 125 1+ a 4(3− a) a a A. . B. . C. . D. . 3(1−b) 3 − b 3 + b 3 + a 3 b
Câu 58. Cho log b = 3 . Giá trị của biểu thức A = log
được tính theo a là a b a a 3 3 1 3 A. − . B. . C. D. − . 3 4 3 4 Câu 59. Cho log 5 = , a log 7 = ,
b log 3 = c . Giá trị của log 35 được tính theo a b c là 27 8 2 6 , , ac ac 3(ac + b) 3ac + 3b A. . B. . C. . D. . 1− c 1+ b 1+ c 3 + a 1 1 1
Câu 60. Cho x = 2000!. Giá trị của biểu thức A = + +...+ là log x log x log x 2 3 2000 1 A. 1. B. −1. C. . D. 2000 . 5
Câu 61. Biết a = log 12,b = log 24 . Khi đó giá trị của log 168 được tính theo a là 7 12 54 a(8 − 5 ) b ab +1− a a(8 − 5 ) b ab +1 A. . B. . C. . D. . 1+ ab − a a(8 − 5 ) b 1+ ab a(8 − 5 ) b 2 3 a b
Câu 62. Biết log b = 2,log c = 3
− . Khi đó giá trị của bieeur thức log bằng: a a a 4 c 2 3 A. 20 . B. − . C. −1. D. . 3 2
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2 GV G . V TR T ẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm & & biê i n n tập) p 87 8
Câu 63. Biết log b = 3,log c = 4
− . Khi đó giá trị của biểu thức log a bc bằng: a ( 2 3 2 ) a a 16 3 A. − . B. −5 . C. 1 − 6 . D. 4 − 8 . 3
Câu 64. Rút gọn biểu thức 3 5 A = log a
a a , ta được kết quả là a 37 35 3 1 A. . B. . C. . D. . 10 10 10 10 5 3 3 2 a a a
Câu 65. Rút gọn biểu thức B = log
, ta được kết quả là : 1 4 a a a 91 60 16 5 A. − . B. . C. . D. − . 60 91 5 16
Câu 66. Biết a = log 5,b = log 5 . Khi đó giá trị của log 5 được tính theo a b là : 2 3 6 , ab 1 A. . B. .
C. a + b . D. 2 2 a + b . a + b a + b
Câu 67. Cho a = log 3;b = log 5;c = log 2 . Khi đó giá trị của biểu thức log 63 được tính theo a,b,c là 2 3 7 140 2ac −1 abc + 2c +1 2ac +1 ac +1 A. . B. . C. . D. . abc + 2c +1 2ac +1 abc + 2c +1 abc + 2c +1
Câu 68. Cho a = log 2;b = log 3 . Khi đó giá trị của log 72 được tính theo a,b là : 5 5 5
A. 3a + 2b . B. 3 2 a + b .
C. 3a − 2b . D. 6ab .
Câu 69. Biết a = log 18,b = log 54 . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? 12 24
A. ab + 5(a − ) b = 1 − .
B. 5ab + a + b =1.
C. ab + 5(a −b) =1.
D. 5ab + a − b = 0 .
Câu 70. Biết log log log y = 0 , khi đó giá trị của biểu thức A = 2y +1 là 3 ( 4 ( 2 )) A. 33. B. 17. C. 65. D. 133.
Câu 71. Cho log x > 0 . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? 5 A. log 5 ≤ log 4 . B. log 5 > log 6 .
C. log x = log 5 .
D. log x > log x . x x x x 5 x 5 6
Câu 72. Cho 0 < x < 1. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? 1
A. 3 log 5 + log 5 < 0 B. 3 log 5 > log x 3 1 x x 2 2 1 1 1 C. log < log . D. 3 log . log 5 > 0 x 5 2 2 x 2 x log2 5 log0,5 2    
Câu 73. Trong bốn số log34 2log32 1 1 3 , 3 ,   ,  
số nào nhỏ hơn 1?  4  16  log0,5 2  1  log2 5  1  A. 2log 2 log 4   . B. 3 3 . C. 3 3 . D.   . 16   4  Câu 74. Gọi log0,5 4 log0,513 M = 3 ; N = 3
. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. M <1 < N .
B. N < M < 1.
C. M < N < 1.
D. N < 1 < M .
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2 TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 12 – MŨ Ũ - LOGA G R A IT I 88 8  π   π 
Câu 75. Biểu thức log  2sin  + log  cos có giá trị bằng: 2 2   12   12  A. 2 − . B. 1 − . C. 1. D. log 3 −1 . 2
Câu 76. Với giá trị nào của m thì biểu thức f (x) = log (x − m) xác định với mọi x ∈( 3 − ;+∞) ? 5 A. m > 3 − . B. m < 3 − . C. m ≤ 3 − . D. m ≥ 3 − .
Câu 77. Với giá trị nào của m thì biểu thức f (x) = log (3 − x)(x + 2m) xác định với mọi x ∈[ − 4;2] ? 1 2 3 A. m ≥ 2 . B. m ≥ . C. m > 2 . D. m ≥ 1 − . 2
Câu 78. Với giá trị nào của m thì biểu thức f (x) = log
(m − x)(x − 3m) xác định với mọi x ∈( 5 − ;4] ? 3 4 A. m ≠ 0 . B. m > . 3 5 C. m < − . D. m ∈∅ . 3
Câu 79. Với mọi số tự nhiên n, Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? A. n = log log ... 2 .
B. n = − log log ... 2 . 2 2 2 2 n c¨n bËc hai n c¨n bËc hai
C. n = 2 + log log ... 2 .
D. n = 2 − log log ... 2 . 2 2 2 2 n căn bËc hai n căn bËc hai
Câu 80. Cho các số thực a, ,
b c thỏa mãn: log3 7 log711 lo 1 g 125 a = 27,b = 49,c
= 11 . Giá trị của biểu thức 2 2 2 (log 11) (log 25) 7 11 (log3 7) A = a + b + c là A. 519. B. 729. C. 469. D. 129.
Câu 81. Kết quả rút gọn của biểu thức C = log b + log a + 2 b b b là a b (log −log a ab ) loga A. 3 log b . B. . log b . a a C. ( b )3 log . D. log b . a a
Câu 82. Cho a, ,
b c > 0 đôi một khác nhau và khác 1, Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? c a b c a b A. 2 2 2 log ;log ;log = 1. B. 2 2 2 log ;log ;log > 1. a b c b c a a b c b c a b c a b c a c a b c a b C. 2 2 2 log ;log ;log > 1 − . D. 2 2 2 log ;log ;log < 1. a b c b c a a b c b c a b c a b c a Câu 83. Gọi ( ;
x y) là nghiệm nguyên của phương trình 2x + y = 3 sao cho P = x + y là số dương nhỏ
nhất. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. log x + log y không xác định.
B. log (x + y) = 1. 2 3 2
C. log (x + y) > 1.
D. log (x + y) > 0 . 2 2
Câu 84. Có tất cả bao nhiêu số dương a thỏa mãn đẳng thức
log a + log a + log a = log . a log . a log a 2 3 5 2 3 5 A. 3. B. 1. C. 2. D. 0.
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2 GV G . V TR T ẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm & & biê i n n tập) p 89 8
Vấn đề 3. HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT – HÀM SỐ LŨY THỪA
Câu 1. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A. Đồ thị hàm số = x
y a và đồ thị hàm số y = log x đối xứng nhau qua đường thẳng y = x . a
B. Hàm số = x
y a với 0 < a < 1 đồng biến trên khoảng (−∞; +∞) . C. Hàm số = x
y a với a > 1 nghịch biến trên khoảng (−∞; +∞) .
D. Đồ thị hàm số = x
y a với a > 0 và a ≠ 1 luôn đi qua điểm M (a;1) .
Câu 2. Tập giá trị của hàm số x
y = a (a > 0;a ≠ 1) là: A. (0;+∞) . B. [0;+∞) . C. ℝ \{0}. D. ℝ .
Câu 3. Với a > 0 và a ≠1. Phát biểu nào sau đây không đúng? A. Hai hàm số x
y = a và y = log x có cùng tính đơn điệu. a B. Hai hàm số x
y = a và y = log x có cùng tập giá trị. a
C. Đồ thị hai hàm số x
y = a và y = log x đối xứng nhau qua đường thẳng y = x . a
D. Đồ thị hai hàm số x
y = a và y = log x đều có đường tiệm cận. a x
Câu 4. Cho hàm số y = ( 2 − )
1 . Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (− ; ∞ + ) ∞ .
B. Hàm số đồng biến trên khoảng (0;+∞)
C. Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là trục tung.
D. Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là trục hoành.
Câu 5. Tập xác định của hàm số 2017 y = (2x −1) là:  1   1  1  A. D = ;+∞  .
B. D =  ;+∞ . C. D = ℝ .
D. D = ℝ \   . 2     2  2 
Câu 6. Tập xác định của hàm số 2 2 y (3x 1)− = − là:  1   1  A. D = ±  .
B. D = ℝ \ ±  .  3   3   1   1   1 1  C. D =  − ; ∞ −  ∪  ; +∞  . D.  − ;  .  3   3   3 3 
Câu 7. Tập xác định của hàm số 2 ( 3 2) e y x x − = − + là:
A. D = (1;2) .
B. D = ℝ \{1;2}.
C. D = (0;+∞) . D. D = (− ; ∞ 1) ∪ (2;+∞).
Câu 8. Tập xác định của hàm số y = log (x +1) là: 0,5
A. D = ℝ \{−1}. B. D = ( 1 − ;+ ) ∞ .
C. D = (0;+∞) . D. (− ; ∞ 1 − ) .
Câu 9. Tìm x để hàm số 2
y = log x + x −12 có nghĩA. A. x∈( 4 − ;3) . B. x∈(− ; ∞ 4 − ) ∪(3;+ ) ∞ . x ≠ 4 − C.  .
D. x ∈ R . x ≠ 3 x + 3
Câu 10. Tập xác định của hàm số y = log là: 2 2 − x A. D = ( 3 − ;2) .
B. D = ℝ \{− 3;2}. C. D = (− ; ∞ 3 − ) ∪(2;+ ) ∞ .
D. D = [ − 3;2] .
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2 TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 12 – MŨ Ũ - LOGA G R A IT I 90 9 1
Câu 11. Tập xác định của hàm số y = + ln(x −1) là: 2 − x
A. D = (0;+∞) .
B. D = (1;+∞) .
C. D = (1;2) .
D. D = [1;2]. x e
Câu 12. Tập xác định của hàm số y = là: x e −1 A. D = ( ; e + ) ∞ . B. (0;+∞) . C. ℝ \{1}.
D. D = ℝ \{0}. 1
Câu 13. Tập xác định 2
y = −2x + 5x − 2 + ln là: 2 x −1 A. D = ( 1 − ;1) .
B. D = [1;2].
C. D = (1;2] . D. D = ( 1 − ;2) .
Câu 14. Tập xác định của hàm số y = ln(ln x) là :
A. D = (1;+∞) .
B. D = (0;+∞) . C. D = ( ; e + ) ∞ . D. D = [1;+ ) ∞ .
Câu 15. Tập xác định của hàm số x 2 y (3 9)− = − là
A. D = (2;+∞) .
B. D = ℝ \{0}.
C. D = ℝ \{2}.
D. D = (0;+∞) .
Câu 16. Hàm số y = log
x xác định khi và chỉ khi : x 1 − x > 1 A. x ≠ 2 .
B. x >1.
C. x > 0 . D.  . x ≠ 2 y
Câu 17. Đường cong trong hình bên là đồ
thị của một hàm số trong bốn
hàm số được liệt kê ở bốn 2
phương án A, B, C, D dưới đây.
Hỏi hàm số đó là hàm số nào? 1 A. 2x y = .
B. y = x . x −x
C. y = ( 2) . D. y = ( 2) . O 2 x 1 Câu 18. Hàm số 3
y = (x −1) có đạo hàm là: 1 1 3 2 (x −1) 3 (x −1) A. y ' = . B. y ' = . C. y ' = . D. y ' = . 3 3 (x −1) 3 2 3 (x −1) 3 3
Câu 19. Đạo hàm của hàm số 2 4 x y = là: A. 2 ' 2.4 x y = ln 2 . B. 2 ' 4 .x y = ln 2 . C. 2 ' 4 x y = ln 4 . D. 2 ' 2.4 x y = ln 4 .
Câu 20. Đạo hàm của hàm số y = log x, x > 0 là: 5 1 1 A. y ' = .
B. y ' = x ln 5 . C. ' 5x y = ln 5. D. y ' = . 5x ln 5 x ln 5 Câu 21. Hàm số 2 y = log
x (x ≠ 0) có công thức đạo hàm là: 0,5 2 1 2 1 A. y ' = . B. y ' = . C. y ' = . D. . 2 x ln 0,5 2 x ln 0,5 x ln 0,5 x ln 0,5
Câu 22. Đạo hàm của hàm số 3
y = sin x + log x (x > 0) là: 3 1 3
A. y ' = −cos x + .
B. y ' = −cos x + . 3 x ln 3 x ln 3 1 3
C. y ' = cos x + .
D. y ' = cos x + . 3 x ln 3 x ln 3
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2 GV G . V TR T ẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm & & biê i n n tập) p 91 9
Câu 23. Cho hàm số f x = ( 4 ( ) ln x + ) 1 . Đạo hàm / f (0) bằng: A. 2 . B. 1. C. 0 . D. 3. Câu 24. Cho hàm số 2 2017 ( ) x f x = e . Đạo hàm / f (0) bằng: A. 1. B. 0 . C. e . D. 2017 e .
Câu 25. Cho hàm số ( ) x
f x = xe . Gọi //
f ( x) là đạo hàm cấp hai của f ( x) . Ta có // f ( ) 1 bằng: A. 2 5 − e . B. 2 3 − e . C. 3 e . D. 3e .
Câu 26. Đường cong trong hình bên là đồ thị của y
một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở
bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi 1
hàm số đó là hàm số nào? O x 2
A. y = log x .
B. y = log x . 2 1 2
C. y = log x .
D. y = log 2x . 1 2 ( ) 2
Câu 27. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề sai?
A. Đồ thị hàm số y xα =
với α < 0 có hai tiệm cận.
B. Đồ thị hàm số y xα =
với α > 0 không có tiệm cận.
C. Hàm số y xα =
với α < 0 nghịch biến trên khoảng (0; +∞) .
D. Hàm số y xα =
có tập xác định là D = ℝ .
Câu 28. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?
A. Đồ thị hàm số lôgarit nằm bên phải trục tung.
B. Đồ thị hàm số lôgarit nằm bên trái trục tung.
C. Đồ thị hàm số mũ nằm bên phải trục tung.
D. Đồ thị hàm số mũ nằm bên trái trục tung.
Câu 29. Chọn phát biểu sai trong các phát biểu sau?
A. Đồ thị hàm số logarit nằm bên trên trục hoành.
B. Đồ thị hàm số mũ không nằm bên dưới trục hoành. y
C. Đồ thị hàm số lôgarit nằm bên phải trục tung.
D. Đồ thị hàm số mũ với số mũ âm luôn có hai tiệm cận.
Câu 30. Đường cong trong hình bên là đồ thị của O 1 2 x
một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở
bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi
hàm số đó là hàm số nào? 1 1 1 A. y = 3 − x +1.
B. y = log x .
y = − x − .
D. y = log x . 2 C. 3 3 0,5 y
Câu 31. Tìm a để hàm số y = log x (0 < a ≠ )
1 có đồ thị là hình bên dưới: a 2 A. a = 2 . B. a = 2 . 1 1 C. a = . D. a = . O x 2 2 1 2 10 − x
Câu 32. Tìm tập xác định D của hàm số y = log . 3 2 x − 3x + 2 A. D = (− ; ∞ 10) .
B. D = (1;+∞) . C. D = (− ; ∞ 1) ∪ (2;10) . D. D = (2;10) .
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2 TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 12 – MŨ Ũ - LOGA G R A IT I 92 9
Câu 33. Tìm tập xác định D của hàm số y = log (x − 2) − 3 ? 3
A. D = (29;+∞) . B. D = [29;+ ) ∞ .
C. D = (2;29) .
D. D = (2;+∞) .
Câu 34. Tính đạo hàm của hàm số 2 ( 2 ) x y x x e− = + ?
A. ' = (2 − 2) x y x e . B. 2 ' ( 2) x y x e− = + . C. ' x y xe− = . D. 2 ' ( 2) x y x e− = − + .
Câu 35. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 2
y = ln(x − 2mx + 4) có tập xác định D = ℝ ? m > 2 A.  . B. 2
− < m < 2 . C. m > 2 − . D. 2 − ≤ m ≤ 2 . m < 2 − 2017
Câu 36. Cho tập D = (3;4) và các hàm số f (x) =
, g(x) = log (4 − x) , 2 7 12 − ( ) 3x x h x − + = 2 x 3 x − 7x +12
D là tập xác định của hàm số nào? y
A. f (x) và f (x) + g(x) .
B. f (x) và h(x) . y = 2x
C. g(x) và h(x) .
D. f (x) + h(x) và h(x) .
Câu 37. Biết hàm số 2x y =
có đồ thị là hình bên. 1 Khi đó, hàm số 2 x y =
có đồ thị là hình nào trong bốn hình
được liệt kê ở bốn A, B, C, D dưới đây ? O x y y 1 1 O x O x Hình 1 Hình 2 y y 1 O 1 x x O Hình 3 Hình 4 A. Hình 1. B. Hình 2. C. Hình 3. D. Hình 4. Câu 38. Cho hàm số x y ex e− = +
. Nghiệm của phương trình y ' = 0 ? A. x =1. B. x = 1 − .
C. x = 0 . D. x = ln 2 .
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2 GV G . V TR T ẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm & & biê i n n tập) p 93 9
Câu 39. Tìm tất cả các giá trị thực của a để hàm số y
y = log x (0 < a ≠ )
1 có đồ thị là hình bên ? a 2 1 A. a = . B. a = 2 . 2 O x 1 2 1
C. a = 2 . D. a = . 2
Câu 40. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số 2 ( ) x
f x = x e trên đoạn [−1; ] 1 ? 1 A. 2e . B. . C. e . D. 0 . e
Câu 41. Cho hàm số y = log 2x . Khi đó, hàm số y = log 2x có đồ thị là hình nào trong bốn hình 2 ( ) 2 ( )
được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây: y y 1 x O O x Hình 1 Hình 2 y y x O O x Hình 3 Hình 4 A. Hình 1. B. Hình 2. C. Hình 3. D. Hình 4.
Câu 42. Tìm điều kiện xác định của phương trình 4 2 2
log (x −1) + log (x −1) = 25 ?
A. x ≠1.
B. x >1.
C. x ≥1.
D. x ∈ℝ .
Câu 43. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số | | 2 x y = trên [−2;2]? 1 1
A. max y = 4;miny = .
B. max y = 4;min y = − . 4 4 1
C. max y =1; miny = .
D. max y = 4;miny =1. 4
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2 TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 12 – MŨ Ũ - LOGA G R A IT I 94 9 ln x
Câu 44. Chọn khẳng định đúng khi nói về hàm số y = x y y = log
A. Hàm số không có cực trị. ax
B. Hàm số có một điểm cực đại.
C. Hàm số có một điểm cực tiểu. y = log
D. Hàm số có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu. bx
Câu 45. Hình bên là đồ thị của ba hàm số y = log x , a O 1 x
y = log x , y = log x (0 < a, , b c ≠ ) 1 được vẽ b c
trên cùng một hệ trục tọa độ. Khẳng định nào y = logcx
sau đây là khẳng định đúng?
A. a > b > c .
B. b > a > c .
C. b > c > a .
D. a > c > b . 1
Câu 46. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = + log
x − m xác định 3 2m +1− x trên (2;3). A. 1 − < m < 2 .
B. 1 < m ≤ 2 .
C. 1 ≤ m ≤ 2 . D. 1 − ≤ m ≤ 2 .
Câu 47. Cho hàm số y = x ( 2 x + + x ) 2 ln 1
− 1+ x . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Hàm số có đạo hàm y = ( 2
' ln x + 1+ x ) . B. Hàm số tăng trên khoảng (0;+∞).
C. Tập xác định của hàm số là D = ℝ .
D. Hàm số giảm trên khoảng (0;+∞) . 1
Câu 48. Đối với hàm số y = ln
, Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? x +1 A. '−1 y xy = e . B. '−1 y xy = −e . C. '+1 y xy = −e . D. '+1 y xy = e . x −x e − e
Câu 49. Đạo hàm của hàm số y = là: x − x e + e 2 3 x e 2 x e 2 2 x e 2 4 x e A. y ' = . B. y ' = . C. y ' = . D. y ' = . 2 x 2 (e +1) 2 x 2 (e +1) 2 x 2 (e +1) 2 x 2 (e +1)
Câu 50. Cho hàm số y = xsin x . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. xy '+ y '− xy = 2cos x + sin x .
B. xy ' + yy ' − xy ' = 2sin x .
C. xy ' + yy ' − xy ' = 2sin x .
D. xy '− 2y '+ xy = 2 − sin x
Câu 51. Hình bên là đồ thị của ba hàm số x y = a , x y = b , x
y = c (0 < a, , b c ≠ )
1 được vẽ trên cùng một
hệ trục tọa độ. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? y y = bx y = cx y = ax O x
A. a > b > c .
B. b > a > c .
C. a > c > b .
D. c > b > a .
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2 GV G . V TR T ẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm & & biê i n n tập) p 95 9
Vấn đề 4. PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
Câu 1. Cho phương trình 2x−4x+5 3
= 9 tổng lập phương các nghiệm thực của phương trình là A. 26. B. 27. C. 28. D. 25.
Câu 2. Cho phương trình : 2x−3x+8 2x 1 3 9 − =
, khi đó tập nghiệm của phương trình là A. S = {2; } 5 . B. S = { 2 − ;− } 5 . 5 61 5 61  − +   5 61 5 61  − − − +  C. S =  ;  . D. S =  ;  .  2 2   2 2  −   x 1 x
Câu 3. Phương trình 1 3
= 2 +   có bao nhiêu nghiệm âm?  9  A. 1. B. 3. C. 2. D. 0. 2x 2 x +  1 
Câu 4. Số nghiệm của phương trình 2 9 + 9.  − 4 = 0 là  3  A. 4. B. 2. C. 1. D. 0. 28 x+4
Câu 5. Cho phương trình : 2 3 x 1 2 16 − =
. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ?
A. Phương trình vô nghiệm.
B. Tổng các nghiệm của phương tình là một số nguyên .
C. Nghiệm của phương trình là các số vô tỉ.
D. Tích các nghiệm của phương trình là một số âm. 1−x
Câu 6. Phương trình 2 2 8− x 8− x = ( 5 2 .5
0,001. 10 ) có tổng các nghiệm là A. 5. B. 7. C. 7 − . D. – 5 .
Câu 7. Phương trình 9x 5.3x − + 6 = 0 có nghiệm là
A. x = −1, x = log 2 .
B. x = 1, x = log 2 . 3 3
C. x = 1, x = log 3.
D. x = −1, x = − log 2 . 2 3
Câu 8. Cho phương trình x x 1 4.4 9.2 + −
+ 8 = 0 . Gọi x , x là hai nghiệm của phương trình trên. Khi đó, 1 2
tích x .x bằng: 1 2 A. 1 − . B. 2 . C. 2 − . D. 1.
Câu 9. Cho phương trình x 1
4 − 4 −x = 3 . Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
A. Phương trình có một nghiệm.
B. Phương trình vô nghiệm.
C. Nghiệm của phương trình là luôn lớn hơn 0.
D. Phương trình đã cho tương đương với phương trình: 2x 4 3.4x − − 4 = 0 .
Câu 10. Cho phương trình 2 2 x + x 1 − x + x 1 9 10.3 − −
+1 = 0. Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình. A. 0 . B. 2 . C. 1. D. 2 − .
Câu 11. Nghiệm của phương trình x x 1 + x x 1 2 2 3 3 + + = + là 3 2 A. x = log . B. x = 1. C. x = 0 . D. x = log . 3 4 4 3 2 3
Câu 12. Tập nghiệm của phương trình 2x x+2 2 − 3.2 + 32 = 0 là A. S = {2; } 3 . B. S = {4; } 8 . C. S = {2; } 8 . D. S = {3; } 4 .
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2 TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 12 – MŨ Ũ - LOGA G R A IT I 96 9
Câu 13. Tập nghiệm của phương trình 6.4x 13.6x 6.9x − + = 0 là  2 3 A. S = { 1 − ; } 0 .
B. S =  ;  . C. S = {1;− } 1 . D. S = {0; } 1 .  3 2
Câu 14. Nghiệm của phương trình x x x 1 12.3 3.15 5 + + − = 20 là A. x = log 5 .
B. x = log 5 −1.
C. x = log 5 +1.
D. x = log 3 −1. 3 3 3 5
Câu 15. Phương trình 9x 5.3x −
+ 6 = 0 có tổng các nghiệm là 2 3 A. log 6 . B. log . C. log . D. −log 6 . 3 3 3 3 2 3
Câu 16. Cho phương trình 1+2
2 x +15.2x − 8 = 0 ( )
1 , khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? A. ( ) 1 vô nghiệm. B. ( ) 1 có một nghiệm. C. ( ) 1 có hai nghiệm dương. D. ( ) 1 có hai nghiệm âm.
Câu 17. Phương trình x 1
5 + 25 −x = 6 có tích các nghiệm là :  1 21  +  1 21  −  1 21  + A. log   . B. log   . C. 5. D. 5log   . 5  2  5   5      2   2  x x
Câu 18. Phương trình (7 + 4 3) +(2 + 3) = 6 có nghiệm là A. x = log 3 . B. x = log 2 .
C. x = log 2 + 3 . D. x = 1. 2 ( ) 2 (2+ 3) 1 x  
Câu 19. Tập nghiệm của bất phương trình   > 32 là  2 
A. S = (5;+∞) . B. S = (− ; ∞ 5).
C. S = (−5;+∞) . D. S = (− ; ∞ −5).
Câu 20. Cho hàm số ( ) 2 2 x sin 2 .3 x f x =
. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ? A. f ( x) 2
< 1 ⇔ x log 2 + sin x < 0 .
B. f ( x) < 1 ⇔ 2x + 2sin x log 3 < 0 . 3 2 C. f ( x) 2
< 1 ⇔ x ln 4 + sin x ln 3 < 0 . D. f ( x) 2
< 1 ⇔ 2 + x log 3 < 0 . 2
Câu 21. Tập nghiệm của bất phương trình x x 1 + x x 1 2 2 3 3 − + ≤ +
A. S = [2;+∞) .
B. S = (2;+∞) . C. S = (− ; ∞ 2) .
D. S = (2;+∞) . x 2  1 x
Câu 22. nghiệm của bất phương trình x 1   > 3 + là  9  x < 2 − A. 1 − ≤ x < 0 . B. x < 2 − . C. 1 − < x < 0 . D.  .  1 − < x < 0
Câu 23. Nghiệm của bất phương trình 16x 4x − − 6 ≤ 0 là
A. x > log 3. B. x ≤ log 3. C. x ≥ 1. x ≥ 4 4 D. 3 3x
Câu 24. Nghiệm của bất phương trình < 3 là 3x − 2 x > 1 A.  .
B. x > log 2 . C. x < 1.
D. log 2 < x <1. 3 3 x < log 2 3
Câu 25. Nghiệm của bất phương trình x+6 11 ≥ 11x là A. x > 3 . B. x < 6 − . C. 6 − ≤ x ≤ 3. D. ∅ .
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2 GV G . V TR T ẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm & & biê i n n tập) p 97 9 1 1
Câu 26. Nghiệm của bất phương trình ≤ là x x 1 3 + 5 3 + −1 A. 1 − < x ≤ 1. B. x ≤ −1. C. x > 1.
D. 1 < x < 2. 2 x − x 1 + 2x 1 5 5 −    
Câu 27. Cho bất phương trình   >  
, tập nghiệm của bất phương trình có dạng S = (a;b) .  7   7 
Giá trị của biểu thức A = b − a nhận giá trị nào sau đây? A. 1. B. 1 − . C. 2. D. 2 − .
Câu 28. Tập nghiệm của bất phương trình 4x 3.2x − + 2 > 0 là A. S = (1;2). B. S = (− ; ∞ ) 1 ∪ (2;+∞). C. S = (0; ) 1 . D. S = (− ; ∞ 0) ∪(1;+∞).
Câu 29. Tập nghiệm của bất phương trình x x 1 3 .2 + ≥ 72 là
A. S = [2;+∞).
B. S = (2;+∞).
C. S = (−∞;2). D. S = (− ; ∞ 2]. x
Câu 30. Tập nghiệm của bất phương trình x 1+ 2 x 1 + 2 3 − 2 −12 < 0 là
A. S = (0;+∞).
B. S = (1;+∞).
C. S = (−∞;0). D. S = (− ; ∞ ) 1 . x x+2 2.3 − 2
Câu 31. Tập nghiệm của bất phương trình ≤ 1 là 3x − 2x     A. S = (1;3]. B. S = (1;3).
C. S = 0;log 3.
D. S = 0;log 3. 3 3  2   2  1 3  2 x  2 
Câu 32. Tập nghiệm của bất phương trình   ≤   là  5   5   1  1   1  1 A. 0; . B. 0; . C.  − ; ∞ . D.  −∞; ∪  (0;+∞). 3    3  3    3
Câu 33. Nghiệm của bất phương trình 2x 4.5x 4 10x + − < là x < 0 A. x < 0. B.  . C. x > 2.
D. 0 < x < 2. x > 2
Câu 34. Tập nghiệm của bất phương trình x 1
2 − 2 − x < 1 là A. [ 1 − ; ] 1 . B. ( 8 − ;0). C. (1;9). D. (0; ] 1 .
Câu 35. Tìm tất cả các nghiệm của phương trình 2 2 2 x −3x+2 x +6x+5 2x +3x+7 4 + 4 = 4 +1. A. x ∈{ 5 − ; 1 − ;1; } 3 . B. x ∈{ 5 − ; 1 − ;1; } 2 . C. x ∈{ 5 − ; 1 − ;1;− } 2 . D. x ∈{5; 1 − ;1; } 2 . x x x
Câu 36. Phương trình ( 3 − 2) +( 3 + 2) = ( 10) có tất cả bao nhiêu nghiệm thực ? A. 4. B. 2. C. 3. D. 1.
Câu 37. Phương trình 2 3 x + 2 (3x + ) 1 − 4.3x x
− 5 = 0 có tất cả bao nhiêu nghiệm không âm ? A. 3. B. 2. C. 0. D. 1.
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2 TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 12 – MŨ Ũ - LOGA G R A IT I 98 9
Câu 38. Phương trình 2 x−3 x −5x+6 2 = 3
có hai nghiệm x , x trong đó x < x , hãy chọn phát biểu đúng? 1 2 1 2
A. 3x − 2x = log 8 .
B. 2x − 3x = log 8 . 1 2 3 1 2 3
C. 2x + 3x = log 54.
D. 3x + 2x = log 54. 1 2 3 1 2 3 x x
Câu 39. Cho phương trình (7 + 4 3) +(2 + 3) = 6 . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Tích của hai nghiệm bằng −6
B. Phương trình có một nghiệm hữu tỉ.
C. Phương trình có hai nghiệm trái dấu.
D. Phương trình có một nghiệm vô tỉ.
Câu 40. Phương trình 3+3x 3−3x 4+x 4−x 3 3 + 3
+ 3 + 3 =10 có tổng các nghiệm là ? A. 2. B. 0. C. 3. D. 4 .
Câu 41. Phương trình 2 2 sin x cos 9 9 x + = 6 có họ nghiệm là ? A. π kπ π kπ x = + , (k ∈ℤ). B. x = + , (k ∈ℤ). 4 2 2 2 C. π kπ π kπ x = + , (k ∈ℤ). D. x = + , (k ∈ℤ). 6 2 3 2 x x
Câu 42. Tìm tất cả các giá trị của tham số m thì phương trình (2 + 3) +(2 − 3) = m vô nghiệm? A. m < 2 . B. m > 2 . C. m = 2 . D. m ≤ 2 . x x
Câu 43. Tìm tất cả các giá trị của tham số m thì phương trình (2 + 3) +(2 − 3) = m có hai nghiệm phân biệt? A. m = 2 . B. m < 2 . C. m > 2 . D. m ≤ 2 . 2 x + ( 2x+ )1 ( 2 2 2 x +2 4 )
Câu 44. Gọi x , x là hai nghiệm thực phân biệt của phương trình 2 x +3 2 = 2 + 2 − 2 +1 . 1 2
Khi đó, tổng hai nghiệm bằng? A. 1. B. 2. C. 2 − . D. 0.
Câu 45. Tìm tất cả các giá trị của tham số m thì phương trình ( + )
1 16x − 2(2 −3) 4x m m + 6m + 5 = 0 có hai nghiệm trái dấu? 3 5
A. Không tồn tại m .
B. −4 < m < −1. C. 1 − < m < . D. 1 − < m < − . 2 6 1 1
Câu 46. Cho bất phương trình: ≥
. Tìm tập nghiệm của bất phương trình. x 1 5 + −1 5 − 5x A. S = ( 1 − ;0]∪(1;+∞). B. S = ( 1 − ;0]∩(1;+∞). C. S = (− ; ∞ 0]. D. S = (− ; ∞ 0).
Câu 47. Bất phương trình 2 2 2 − x +2 x 1 + − x +2x 1 + − x +2 25 + 9 ≥ 34.15
x có tập nghiệm là
A. S ( ;1 3 [0;2] 1  = −∞ − ∪ ∪ + 3;+∞  
). B. S = (0;+∞).
C. S = (2; +∞).
D. S = (1− 3;0).
Câu 48. Cho phương trình x x 1 4 . m 2 + −
+ 2m = 0 có hai nghiệm phân biệt x , x (trong đó m là tham số). 1 2
Tìm tất cả các giá trị thực của m để x + x = 3 . 1 2 A. m = 4 . B. m = 2 . C. m = 1. D. m = 3 .
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2 GV G . V TR T ẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm & & biê i n n tập) p 99 9
Câu 49. Cho bất phương trình 2 2 2 sin x cos x sin 2 + 3 ≥ .3 x m
( )1 (trong đó m là tham số). Tìm tất cả các giá trị
thực của m để ( ) 1 có nghiệm. A. m ≥ 4. B. m ≤ 4. C. m ≤ 1. D. m ≥ 1.
Câu 50. phương trình ( )
1 nghiệm đúng ∀x > 1. 3 3
A. m > 3+ 2 2. B. m > − . C. m ≥ − .
D. m ≥ 3+ 2 2. 2 2
Vấn đề 5. PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
Câu 1. Điều kiện xác định của phươg trình log 16 = 2 là: 2 x−3  3  3 3 A. x ∈ ℝ \ ; 2  . B. x ≠ 2 .
C. < x ≠ 2 . D. x > . 2    2 2
Câu 2. Điều kiện xác định của phươg trình 2
log (2x − 7x +12) = 2 là: x A. x ∈(0; )
1 ∪ (1; +∞) . B. x ∈(− ; ∞ 0) . C. x ∈(0; ) 1 .
D. x ∈(0;+∞) . x
Câu 3. Điều kiện xác định của phương trình log (x −1) = log là: 5 5 x +1
A. x ∈(1; +∞) .
B. x ∈ (−1;0) .
C. x ∈ ℝ \ [ −1;0]. D. x ∈(− ; ∞ ) 1 . 2x 1
Câu 4. Điều kiện xác định của phươg trình log = là: 9 x +1 2 A. x ∈( 1 − ;+∞) .
B. x ∈ ℝ \ [ −1;0].
C. x ∈ (−1;0) . D. x ∈(− ; ∞ ) 1 .
Câu 5. Phương trình log (3x − 2) = 2 có nghiệm là: 2 4 2 A. x = . B. x = . C. x = 1. D. x = 2 . 3 3
Câu 6. Phương trình log (x + 3) + log (x −1) = log 5 có nghiệm là: 2 2 2 A. x = 2 . B. x = 1. C. x = 3 . D. x = 0 .
Câu 7. Phương trình 2
log (x − 6) = log (x − 2) +1 có tập nghiệm là: 3 3 A. T = {0;3}. B. T = ∅ . C. T = {3}. D. T = {1;3}.
Câu 8. Phương trình log x + log (x −1) = 1 có tập nghiệm là: 2 2 A. { 1 − ; } 3 . B. {1; } 3 . C. { } 2 . D. { } 1 .
Câu 9. Phương trình 2 log (x +1) − 6log
x +1 + 2 = 0 có tập nghiệm là: 2 2 A. {3;1 } 5 . B. {1; } 3 . C. {1; } 2 . D. {1; } 5 .
Câu 10. Số nghiệm của phương trình log log x + log log x = 2 là: 4 ( 2 ) 2 ( 4 ) A. 0. B. 2. C. 3. D. 1.
Câu 11. Số nghiệm của phương trình log .
x log (2x −1) = 2 log x là: 2 3 2 A. 2. B. 0. C. 1. D. 3.
Câu 12. Số nghiệm của phương trình 3 2
log (x +1) − log (x − x +1) − 2log x = 0 là: 2 2 2 A. 0. B. 2. C. 3. D. 1.
Câu 13. Số nghiệm của phương trình log 5x − log 5x − 3 = 0 là : 5 ( ) 25 ( ) A. 3. B. 4. C. 1. D. 2.
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2 TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 12 – MŨ Ũ - LOGA G R A IT I 100
Câu 14. Phương trình 2
log (5x − 3) + log (x +1) = 0 có 2 nghiệm x , x trong đó x < x .Giá trị của 3 1 1 2 1 2 3
P = 2x + 3x là 1 2 A. 5. B. 14. C. 3. D. 13.
Câu 15. Hai phương trình 2log (3x −1) +1 = log (2x +1) và 2
log (x − 2x − 8) =1− log (x + 2) lần lượt 3 5 5 2 1 2
có 2 nghiệm duy nhất là x , x . Tổng x + x là? 1 2 1 2 A. 8. B. 6. C. 4. D. 10.
Câu 16. Gọi x , x là nghiệm của phương trình log 2 − log x = 0 . Khi đó tích x .x bằng: 1 2 x 16 1 2 A. 1 − . B. 1. C. 2. D. 2 − . 1 2
Câu 17. Nếu đặt t = log x thì phương trình +
=1 trở thành phương trình nào? 2
5 − log x 1+ log x 2 2 A. 2
t − 5t + 6 = 0 . B. 2
t + 5t + 6 = 0 . C. 2
t − 6t + 5 = 0 . D. 2
t + 6t + 5 = 0 . 1 2
Câu 18. Nếu đặt t = lg x thì phương trình +
= 1 trở thành phương trình nào?
4 − lg x 2 + lg x A. 2
t + 2t + 3 = 0 . B. 2
t − 3t + 2 = 0 . C. 2
t − 2t + 3 = 0 . D. 2
t + 3t + 2 = 0 .
Câu 19. Nghiệm bé nhất của phương trình 3 2
log x − 2 log x = log x − 2 là: 2 2 2 1 1 A. x = 4 . B. x = . C. x = 2 . D. x = . 4 2
Câu 20. Điều kiện xác định của bất phương trình log (4x + 2) − log (x −1) > log x là: 1 1 1 2 2 2 1 A. x > − . B. x > 0 . C. x > 1. D. x > 1 − . 2
Câu 21. Điều kiện xác định của bất phương trình log (x +1) − 2log (5 − x) <1− log (x − 2) là: 2 4 2
A. 2 < x < 5 .
B. 1 < x < 2 .
C. 2 < x < 3 . D. 4 − < x < 3.
Câu 22. Điều kiện xác định của bất phương trình 2
log log (2 − x ) > 0 1  2  là: 2
A. x ∈[ −1;1].
B. x ∈ (−1;0) ∪ (0; ) 1 . C. x ∈( 1 − ; ) 1 ∪ (2;+∞) . D. x ∈( 1 − ; ) 1 .
Câu 23. Bất phương trình log (2x 1) log (4x + +
+ 2) ≤ 2 có tập nghiệm là: 2 3 A. [0; +∞) . B. (− ; ∞ 0) . C. (− ; ∞ 0] . D. (0; +∞) .
Câu 24. Bất phương trình log ( 2
x − x − 2 ≥ log
x −1 +1 có tập nghiệm là: 2 ) 0,5 ( ) A. 1  + 2;+∞   ). B. 1− 2;+∞  ). C. ( ;1 2  −∞ +  . D. ( ;1 2  −∞ −  .
Câu 25. Nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình log log x ≥ log log x là: 2 ( 4 ) 4 ( 2 ) A. 16. B. 10. C. 8. D. 9.
Câu 26. Nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình log ( 2
1− x ≤ log 1− x là: 3 ) 1 ( ) 3 1− 5 1+ 5 A. x = 0 . B. x = 1. C. x = . D. x = . 2 2
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2 GV G . V TR T ẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm & & biê i n n tập) p 101
Câu 27. Tập nghiệm của bất phương trình 2
log (x − 3x +1) ≤ 0 là: 2  3 5   3 5  − +  3 5   3 5  − + A. S = 0;  ∪  ;3 . B. S =  0;  ∪  ;3 . 2          2   2   2  3 5 3 5  − + C. S =  ;  .
D. S = ∅ .  2 2 
Câu 28. Điều kiện xác định của phương trình log (x − 5) + log (x + 2) = 3 là: 2 3 A. x ≥ 5 . B. x > 2 − . C. 2 − < x < 5 . D. x > 5 .
Câu 29. Điều kiện xác định của phương trình 2
log(x − 6x + 7) + x − 5 = log(x − 3) là: x > 3+ 2
A. x > 3 + 2 . B. x > 3 . C.  .
D. x < 3 − 2 . x < 3 − 2
Câu 30. Phương trình log x + log x + log x = 6 có nghiệm là: 3 3 1 3 A. x = 27 . B. x = 9 . C. 12 x = 3 .
D. . x = log 6 .. 3 x + 8
Câu 31. Phương trình ln
= ln x có nghiệm là: x −1 x = 4 A. x = 2 − . B.  . C. x = 4 . D. x = 1 . x = 2 −
Câu 32. Phương trình 2
log x − 4 log x + 3 = 0 có tập nghiệm là: 2 2 A. {8; } 2 . B. {1; } 3 . C. {6; } 2 . D. {6; } 8 . 1
Câu 33. Tập nghiệm của phương trình log ( x + 2)2 −1 = 0 là: 2 2 A. { } 0 . B. {0; } 4 − . C. { } 4 − . D. { 1 − ; } 0 . 1
Câu 34. Tập nghiệm của phương trình log = log ( 2
x − x −1 là: 2 1 ) x 2 1  5 1 5  + −  A. {1+ 2} .
B. {1+ 2;1− 2}. C.  ;  . D. {1− 2} .  2 2  
Câu 35. Phương trình log 3.2x −1 = 2x +1có bao nhiêu nghiệm? 2 ( ) A. 1. B. 2. C. 3. D. 0.
Câu 36. Số nghiệm của phương trình ( 2
ln x − 6x + 7) = ln (x − 3)là: A. 0. B. 2. C. 3. D. 1.
Câu 37. Nghiệm nhỏ nhất của phương trình −log ( x − 2).log x = 2log x − 2 là: 5 3 ( ) 3 1 A. . B. 3. C. 2. D. 1. 5
Câu 38. Nghiệm lớn nhất của phương trình 3 2
−log x + 2log x = 2 − log x là : A. 100. B. 2. C. 10. D. 1000.
Câu 39. Gọi x , x là 2 nghiệm của phương trình log ( 2
x − x − 5 = log 2x + 5 . 3 ) 3 ( ) 1 2
Khi đó x − x bằng: 1 2 A. 5. B. 3. C. −2 . D. 7.
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2 TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 12 – MŨ Ũ - LOGA G R A IT I 102 1 2
Câu 40. Gọi x , x là 2 nghiệm của phương trình +
= 1. Khi đó x .x bằng: 1 2
4 + log x 2 − log x 1 2 2 2 1 1 1 3 A. . B. . C. . D. . 2 8 4 4
Câu 41. Gọi x , x là 2 nghiệm của phương trình log x x + 3  = 1 x + x bằng: 2  ( ) 1 2  . Khi đó 1 2 −3 + 17 A. 3 − . B. −2 . C. 17 . D. . 2
Câu 42. Nếu đặt t = log x thì phương trình log 4x − log 2 = 3 trở thành phương trình nào? 2 ( ) 2 x 1 1 A. 2
t − t −1 = 0 . B. 2
4t − 3t −1 = 0 . C. t + = 1 . D. 2t − = 3 . t t
Câu 43. Nếu đặt t = log x thì phương trình 2 3
log x − 20log x +1 = 0 trở thành phương trình nào? A. 2
9t − 20 t +1 = 0 . B. 2
3t − 20t +1 = 0 . C. 2
9t −10t +1 = 0 . D. 2
3t −10t +1 = 0 . 1− log x 1
Câu 44. Cho bất phương trình 9 ≤
t = log x thì bất phương trình trở thành: 1+ . Nếu đặt log x 2 3 3 1− 2t 1 1 1 2t −1
A. 2(1− 2t) ≤ 1+ t . B. ≤ .
C. 1− t ≤ (1+ t ) . D. ≥ 0 . 1+ t 2 2 2 1+ t
Câu 45. Điều kiện xác định của bất phương trình log (x − 2) + log (x + 2) > log x − 3 là: 5 1 5 5 A. x > 3 . B. x > 2 . C. x > 2 − . D. x > 0 .
Câu 46. Điều kiện xác định của bất phương trình log (5x +15) ≤ log ( 2 x + 6x + 8 là: 0,5 0,5 ) x < −4 A. x > 2 − . B.  . C. x > 3 − . D. 4 − < x < 2 − . x > 2 − 2 x −1
Câu 47. Điều kiện xác định của bất phương trình ln < 0 là: x  1 − < x < 0 x < 1 − A.  . B. x > 1 − . C. x > 0 . D.  . x > 1 x > 1
Câu 48. Bất phương trình 2 log
x − 5log x < 6 − có tập nghiệm là: 0,2 0,2  1 1   1  A. S =  ;  . B. S = (2;3) . C. S = 0;  . D. S = (0;3) .  125 25   25 
Câu 49. Tập nghiệm của bất phương trình log ( 2
x − 6x + 5 + log x −1 ≥ 0 là: 1 ) 3 ( ) 3 A. S = [1;6]. B. S = (5;6] .
C. S = (5;+∞) .
D. S = (1;+∞).
Câu 50. Bất phương trình log ( 2
2x − x +1 < 0 có tập nghiệm là: 2 ) 3  3   3 
A. S = 0;  . B. S =  1 − ;  .  2   2      C. S = (−∞ ) 1 ;0 ∪  ;+∞  . D. S = (−∞ ) 3 ;1 ∪  ;+∞ .  2   2  4x + 6
Câu 51. Tập nghiệm của bất phương trình log ≤ 0 là: 3 x  3   3  A. S = 2 − ;−   . B. S = [ 2 − ;0) . C. S = (− ; ∞ 2].
D. S = ℝ \ − ;0   .  2   2 
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2 GV G . V TR T ẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm & & biê i n n tập) p 103
Câu 52. Nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình log x − log x − 2 < log 3 là: 0,2 5 ( ) 0,2 A. x = 6 . B. x = 3 . C. x = 5 . D. x = 4 .
Câu 53. Nghiệm nguyên lớn nhất của bất phương trình log ( x 1
4.3 − > 2x −1 là: 3 ) A. x = 3 . B. x = 2 . C. x = 1. D. x = 1 − .
Câu 54. Điều kiện xác định của phương trình log 3
 log 3x −1 −1 = x 2  2 ( )  là: 3 2 +1 1 A. x > . B. x ≥ . C. x > 0 .
D. x ∈ (0;+∞) \{1} . 3 3
Câu 55. Điều kiện xác định của phương trình log ( 2
x − x −1).log ( 2 x + x −1) 2
= log x − x −1 là: 2 3 6 A. x ≤ 1 − . B. x ≥1.
C. x > 0, x ≠ 1. D. x ≤ 1 − hoặc x ≥1.
Câu 56. Nghiệm nguyên của phương trình log ( 2
x − x −1).log ( 2 x + x −1) 2
= log x − x −1 là: 2 3 6 A. x =1 . B. x = 1 − . C. x = 2 . D. x = 3 . 3  x   32 
Câu 57. Nếu đặt t = log x thì bất phương trình 4 2 2 log x − log   + 9log   < 4log x trở thành 1 2 1 2 2 ( ) 2 2  8   x −  2 bất phương trình nào? A. 4 2
t +13t + 36 < 0 . B. 4 2
t − 5t + 9 < 0 . C. 4 2
t −13t + 36 < 0 . D. 4 2
t −13t − 36 < 0 . 3  x   32 
Câu 58. Nghiệm nguyên lớn nhất của bất phương trình 4 2 2 log x − log   + 9log   < 4log x là: 1 2 1 2 2 ( ) 2  8   x −  2 A. x = 7 . B. x = 8 . C. x = 4 . D. x =1 .
Câu 59. Bất phương trình log − ≤ có tập nghiệm là: x (log 9x 72 1 3 ( ) A. S log 73;2 =  .
B. S (log 72;2 = . 3  3 
C. S (log 73;2 = . D. S = (− ; ∞ 2]. 3 
Câu 60. Gọi x , x là nghiệm của phương trình log x x −1  = 1 x .x bằng: 2  ( ) 1 2  . Khi đó tích 1 2 A. −2 . B. 1. C. −1. D. 2. Câu 61. Nếu đặt log 5x t =
−1 thì phương trình log 5x 1 .log 2.5x −
− 2 = 1 trở thành phương trình 2 ( ) 4( ) 2 ( ) nào? A. 2
t + t − 2 = 0 . B. 2 2t = 1 . C. 2
t − t − 2 = 0 . D. 2 t = 1.
Câu 62. Số nghiệm của phương trình log x +12 .log 2 = 1 là: 4 ( ) x A. 0. B. 2. C. 3. D. 1.
Câu 63. Phương trình 2 log (2x −1) −8log
2x −1 + 3 = 0 có tập nghiệm là: 5 5 A. { 1 − ;− } 3 . B. {1; } 3 . C. {3;6 } 3 . D. {1; } 2 . x −1 x −1 x +1
Câu 64. Nếu đặt t = log
thì bất phương trình log log < log log trở thành bất phương 3 x +1 4 3 1 1 x +1 x −1 4 3 trình nào? 2 t −1 2 t −1 2 t +1 A. < 0. B. 2 t −1 < 0 . C. > 0 . D. < 0 . t t t
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2 TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 12 – MŨ Ũ - LOGA G R A IT I 104
Câu 65. Phương trình log x − x + − = có nghiệm là: x− ( 2 3 7 3 2 0 2 3 )
A. x = 2; x = 3 . B. x = 2 . C. x = 3 .
D. x = 1; x = 5 .
Câu 66. Nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình log log x > log log x là: 2 ( 4 ) 4 ( 2 ) A. 18 . B. 16 . C. 15 . D. 17 . 1 2
Câu 67. Phương trình +
=1 có tích các nghiệm là:
4 − ln x 2 + ln x 1 A. 3 e . B. . C. e . D. 2 . e
Câu 68. Phương trình log9 2 9 x x
= x có bao nhiêu nghiệm? A. 1. B. 0. C. 2. D. 3.
Câu 69. Nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình log 3 − log 3 < 0 là: x x 3 A. x = 3 . B. x = 1. C. x = 2 . D. x = 4 .
Câu 70. Phương trình ln7 ln 7 x x + = 98 có nghiệm là:
A. x = e . B. x = 2 . C. 2 x = e .
D. x = e .
Câu 71. Bất phương trình log ( 2
x − x − 2 ≥ log
x −1 +1 có tập nghiệm là: 2 ) 0,5 ( ) A. S 1  = − 2;+∞  
). B. S = 1+ 2;+∞ 
). C. S ( ;1 2 = −∞ +  . D. S ( ;1 2  = −∞ −  . 1 1 7
Câu 72. Biết phương trình
− log x + = 0 có hai nghiệm x , x . Khẳng định nào sau đây là đúng? 2 log x 2 6 1 2 2 2049 2047 2049 2047 A. 3 3 x + x = . B. 3 3 x + x = − . C. 3 3 x + x = − . D. 3 3 x + x = . 1 2 4 1 2 4 1 2 4 1 2 4
Câu 73. Số nghiệm nguyên dương của phương trình log (4x 4) x log ( x 1 2 + + = − − 3 là: 2 1 ) 2 A. 2. B. 1. C. 3. D. 0.
Câu 74. Tập nghiệm của bất phương trình log log 2x −1 > 0 là: 1 ( 2 ( )) 2  3   3   3 
A. S = 1;  .
B. S = 0;  . C. S = (0; ) 1 .
D. S =  ; 2 .  2   2   2 
Câu 75. Tập nghiệm của bất phương trình log ( 2
2x + 3x +1 > log 2x +1 là: 4 ) 2 ( )  1   1   1   1 
A. S =  ;1 .
B. S = 0;  .
C. S =  − ;1 .
D. S =  − ;0 .  2   2   2   2  3
Câu 76. Tập nghiệm của bất phương trình log x x > + x là: x (125 ) 2 .log log 25 5 2 A. S = (1; 5) .
B. S = (−1; 5) . C. S = (− 5; ) 1 .
D. S = (− 5;− ) 1 . 81
Câu 77. Tích các nghiệm của phương trình log . x log . x log . x log x = là : 2 4 8 16 24 1 A. . B. 2 . C. 1. D. 3 . 2
Câu 78. Phương trình log
x +1 = 2 có bao nhiêu nghiệm ? 3 A. 2 . B. 0 . C. 1. D. 3 .
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2 GV G . V TR T ẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm & & biê i n n tập) p 105
Câu 79. Biết phương trình log9 x log9 x log3 27 4 − 6.2 + 2
= 0 có hai nghiệm x ,x . Khi đó 2 2 x + x bằng : 1 2 1 2 82 A. 6642 . B. . C. 20 . D. 90 . 6561 1 log
Câu 80. Tập nghiệm của bất phương trình 2 2 log2 2 x −10 x x + 3 > 0 là:  1   
A. S =  0;  ∪ (2; +∞) . B. S = (− ) 1 2;0 ∪  ; +∞  .  2   2     1  C. S = (−∞ ) 1 ;0 ∪  ;2 . D. S =  − ; ∞  ∪ (2;+∞) .  2   2 
Câu 81. Tập nghiệm của phương trình 2 log2 2x log2 6 log2 4 4 − = 2.3 x x là:  4   1  1  A. S =  .
B. S = −  . C. S =  . D. S = {− } 2 . 9   2   4 
Câu 82. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình log x − log x − 2 = log m có 3 3 ( ) 3 nghiệm? A. m >1. B. m ≥ 1. C. m < 1. D. m ≤ 1.
Câu 83. Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để bất phương trình log ( 2
x + 4x + m ≥ 1 nghiệm đúng 3 )
với mọi x ∈ ℝ ? A. m ≥ 7 . B. m > 7 . C. m < 4 .
D. 4 < m ≤ 7 .
Câu 84. Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để bất phương trình log ( 2
mx − x ≤ log 4 vô nghiệm? 1 ) 1 5 5 m > 4 A. 4 − ≤ m ≤ 4 . B.  . C. m < 4 . D. 4 − < m < 4 . m < 4 −
Câu 85. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình log ( 2
mx − x = 2 vô nghiệm? 2 ) m > 4 A. m < 4 . B. 4 − < m < 4 . C.  . D. m > 4 − . m < 4 −
Câu 86. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 2
log x + 3log x + 2m −1 = 0 có 2 4 4 nghiệm phân biệt? 13 13 13 13 A. m < . B. m > . C. m ≤ . D. 0 < m < . 8 8 8 8
Câu 87. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình log (5x −1).log (2.5x − 2) ≤ m 2 2 có nghiệm x ≥1? A. m ≥ 6 . B. m > 6 . C. m ≤ 6 . D. m < 6 .
Câu 88. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 2
log x + 2log x + m −1 = 0 có 3 3 nghiệm? A. m < 2 . B. m ≤ 2 . C. m ≥ 2 . D. m > 2 .
Câu 89. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình log (5x −1) ≤ m có nghiệm 2 x ≥1? A. m ≥ 2 . B. m > 2 . C. m ≤ 2 . D. m < 2 .
Câu 90. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 2 2
log x + log x +1 − 2m −1 = 0 có ít 3 3
nhất một nghiệm thuộc đoạn 3 1  ;3    ?
A. m ∈[0; 2] .
B. m ∈ (0;2) .
C. m ∈ (0;2] . D. m ∈[0;2) .
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2 TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 12 – MŨ Ũ - LOGA G R A IT I 106
Câu 91. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình log 5x −1 .log 2.5x − 2 = m có 2 ( ) 4( ) nghiệm x ≥ 1. ?
A. m ∈[2;+∞) .
B. m ∈[3;+∞) . C. m ∈ (− ; ∞ 2]. D. m ∈(− ; ∞ ] 3 .
Câu 92. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 2
log x − m + 2 log x + 3m −1 = 0 có 3 ( ) 3
hai nghiệm x , x thỏa mãn x .x = 27.? 1 2 1 2 A. m = 2 − . B. m = −1. C. m =1. D. m = 2 . Câu 93. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 2 2
log x + log x − 3 = m( 2
log x − 3 có nghiệm thuộc [32;+∞) ? 2 1 4 ) 2 A. m (1; 3 ∈    . B. m ∈ 1; 3  ). C. m  ∈ 1 − ; 3  ).
D. m ∈(− 3;1 .
Câu 94. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho khoảng (2;3) thuộc tập nghiệm của bất phương trình log ( 2 x + ) 1 > log ( 2
x + 4x + m −1 (1) . 5 5 )
A. m ∈[−12;1 ] 3 . B. m ∈[12;1 ] 3 .
C. m ∈[−13;12] . D. m ∈[ 1 − 3; 1 − 2] .
Câu 95. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình log ( 2 7x + 7) ≥ log ( 2
mx + 4x + m , x ∀ ∈ . 2 2 ) ℝ A. m ∈(2; ] 5 . B. m ∈( 2 − ; ] 5 . C. m ∈[2;5) .
D. m ∈[−2;5) .
Câu 96. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình 1+ log ( 2 x + ) 1 ≥ log ( 2
mx + 4x + m có nghiệm đúng . x ∀ 5 5 ) A. m ∈(2; ] 3 . B. m ∈( 2 − ; ] 3 . C. m ∈[2;3) .
D. m ∈[−2;3) .
Vấn đề 6. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM (trích từ 7 đề của BGD)
Câu 1: [2D2-1-MH1] Giải phương trình log x −1 = 3. 4 ( ) A. x = 63. B. x = 65 . C. x = 80 .
D. x = 82 .
Câu 2: [2D2-1-MH1] Tính đạo hàm của hàm số 13x y = . 13x A. 1 .13x y x − ′ = . B. 13x y′ = ln13 . C. 13x y′ = . D. y′ = . ln13
Câu 3: [2D2-1-MH2] Với các số thực dương a , b bất kì. Mệnh đề nào dưới đây đúng? a ln a a
A. ln (ab) = ln a + ln b . B. ln (ab) = ln .
a ln b . C. ln = . D. ln
= ln b − ln a . b ln b b
Câu 4: [2D2-1-MH2] Tìm nghiệm của phương trình x 1 3 − = 27 . A. x = 9 . B. x = 3 . C. x = 4 . D. x = 10 .
Câu 5: [2D2-1-MH3] Tìm đạo hàm của hàm số y = log x . 1 ln10 1 1 A. y′ = . B. y′ = . C. y′ = . D. y′ = . x x x ln10 10 ln x
Câu 6: [2D2-1-MH3] Tìm tập nghiệm S của bất phương trình x 1+ 1 5 − > 0 . 5
A. S = (1; + ∞) .
B. S = (−1; + ∞) .
C. S = (−2;+ ∞) .
D. S = (−∞;− 2) . 2017 2016
Câu 7: [2D2-1-MH3] Tính giá trị của biểu thức P = (7 + 4 3) (4 3 −7) . A. P = 1 .
B. P = 7 − 4 3 . C. 7 + 4 3 . D. P = ( + )2016 7 4 3 .
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2 GV G . V TR T ẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm & & biê i n n tập) p 107
Câu 8: [2D2-1-MH3] Cho a là số thực dương, a ≠ 1 và 3
P = log a . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 3 a 1 A. P = 3 . B. P = 1 . C. P = 9 . D. P = . 3
Câu 9: [2D2-1-101] Cho phương trình x x 1 4 2 + + − 3 = 0 . Khi đặt 2x t =
, ta được phương trình nào dưới đây? A. 2 2t − 3 = 0 B. 2
t + t − 3 = 0 .
C. 4t − 3 = 0 . D. 2
t + 2t − 3 = 0 .
Câu 10: [2D2-1-101] Cho a là số thực dương khác. 1 Tính I = log a . a 1 A. I = .
B. I = 0 .
C. I = −2 .
D. I = 2 . 2
Câu 11: [2D2-1-101] Với a , b là các số thực dương tùy ý và a khác 1, đặt 3 6
P = log b + log b . 2 a a
Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A. P = 9log b .
B. P = 27 log b .
C. P = 15log b .
D. P = 6 log b . a a a a
Câu 12: [2D2-1-102] Cho a là số thực dương khác 1. Mệnh đề nào dưới đây đúng với mọi số thực dương x , y ? x x A. log
= log x − log y . B. log
= log x + log y . a a a y a a a y x x log x C. log = log x − y . D. log a = . a a ( ) y a y log y a
Câu 13: [2D2-1-102] Tìm nghiệm của phương trình log 1− x = 2 . 2 ( ) A. x = −4 . B. x = −3 . C. x = 3 . D. x = 5 . 1
Câu 14: [2D2-1-103] Tìm nghiệm của phương trình log x +1 = . 25 ( ) 2 23
A. x = −6 .
B. x = 6 .
C. x = 4 . D. x = . 2
Câu 15: [2D2-1-104] Tìm nghiệm của phương trình log x − 5 = 4 . 2 ( )
A. x = 21.
B. x = 3 .
C. x =11 .
D. x =13 .
Câu 16: [2D2-1-104] Cho a là số thực dương tùy ý khác 1. Mệnh đề nào dưới đây đúng ? 1 1
A. log a = log 2. B. log a = . C. log a = .
D. log a = − log 2. 2 a 2 log a 2 log 2 2 a 2 a
Câu 17: [2D2-2-MH1] Giải bất phương trình log 3x −1 > 3. 2 ( ) 1 10
A. x > 3 .
B. < x < 3 . C. x < 3 . D. x > . 3 3
Câu 18: [2D2-2-MH1] Tìm tập xác định D của hàm số y = log ( 2
x − 2x − 3 . 2 ) A. D = (− ; ∞ − ] 1 ∪[3; +∞) . B. D = [−1; ] 3 . C. D = (− ; ∞ − ) 1 ∪ (3; +∞) .
D. D = (−1;3).
Câu 19: [2D2-2-MH1] Cho hàm số ( ) 2 2x.7x f x =
. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? A. f ( x) 2
< 1 ⇔ x + x log 7 < 0. B. f ( x) 2
< 1 ⇔ x ln 2 + x ln 7 < 0. 2 C. f ( x) 2
< 1 ⇔ x log 2 + x < 0.
D. f ( x) < 1 ⇔ 1+ x log 7 < 0. 7 2
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2 TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 12 – MŨ Ũ - LOGA G R A IT I 108
Câu 20: [2D2-2-MH2] Số lượng của loại vi khuẩn A trong một phòng thí nghiệm được tính theo công thức ( ) = (0).2t s t s
, trong đó s (0) là số lượng vi khuẩn A lúc ban đầu, s (t ) là số lượng vi khuẩn A
có sau t phút. Biết sau 3 phút thì số lượng vi khuẩn A là 625 nghìn con. Hỏi sau bao lâu, kể từ
lúc ban đầu, số lượng vi khuẩn A là 10 triệu con? A. 48 phút. B. 19 phút. C. 7 phút. D. 12 phút.
Câu 21: [2D2-2-MH2] Cho biểu thức 4 3 2 3
P = x. x . x , với x > 0 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 1 13 1 2 A. 2 P = x . B. 24 P = x . C. 4 P = x . D. 3 P = x .
Câu 22: [2D2-2-MH2] Với các số thực dương ,
a b bất kì. Mệnh đề nào dưới đây đúng? 3  2a  3  2a  1 A. log 
 = 1+ 3log a − log b . B. log 
 = 1+ log a − log b . 2 2 2 2 2 2  b   b  3 3  2a  3  2a  1 C. log 
 = 1+ 3log a + log b . D. log 
 = 1+ log a + log b . 2 2 2 2 2 2  b   b  3
Câu 23: [2D2-2-MH3] Cho hàm số f ( x) = x ln x . Một trong bốn đồ thị cho trong bốn phương án A, B,
C, D dưới đây là đồ thị của hàm số y = f ′( x) . Tìm đồ thị đó? y y y y 1 1 O 1 x O 1 x O 1 x O x A. . B. . C. . D. .
Câu 24: [2D2-2-MH3] Tập nghiệm S của phương trình log x −1 + log x +1 = 3 . 2 ( ) 2 ( ) A. S = {−3; } 3 . B. S = { } 4 . C. S = { } 3 .
D. S = {− 10; 10}.
Câu 25: [2D2-2-MH3] Cho ,
a b là các số thực dương thỏa mãn a ≠ 1, a ≠ b và log b = 3 . Tính a b P = log . b a a A. P = 5 − + 3 3 .
B. P = −1+ 3 .
C. P = −1− 3 .
D. P = −5 − 3 3 . x − 3
Câu 26: [2D2-2-101] Tìm tập xác định của hàm số y = log . 5 x + 2
A. D = ℝ \{− } 2 . B. D = (− ; ∞ − 2)∪[3;+ ∞) .
C. D = (−2;3) . D. D = (− ; ∞ − 2)∪ (3;+ ∞) . 1
Câu 27: [2D2-2-102] Rút gọn biểu thức 3 6
P = x . x với x > 0 . 1 2 A. 8 P = x . B. 2 P = x .
C. P = x . D. 9 P = x .
Câu 28: [2D2-2-102] Tính đạo hàm của hàm số y = log 2x +1 . 2 ( ) 1 2 2 1 A. y′ = ( . B. y′ = . C. y′ = . D. y′ = . 2x + ) 1 ln 2 (2x + ) 1 ln 2 2x +1 2x +1
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2 GV G . V TR T ẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm & & biê i n n tập) p 109
Câu 29: [2D2-2-102] Cho log b = 2 và log c = 3 . Tính P = ( 2 3 log b c . a ) a a A. P = 31. B. P = 13 . C. P = 30 . D. P = 108 .
Câu 30: [2D2-2-102] Tìm tập nghiệm S của phương trình log ( x − ) 1 + log x +1 =1. 2 1 ( ) 2
A. S = {2 + 5} .
B. S = {2 − 5;2 + 5}. 3 13  +  C. S = { } 3 . D. S =   .  2  2  a
Câu 31: [2D2-2-103] Cho a là số thực dương khác 2 . Tính I = log . a    4 2  1 1 A. I = .
B. I = 2 .
C. I = − . D. I = −2 . 2 2
Câu 32: [2D2-2-103] Tìm tập nghiệm S của phương trình log 2x +1 − log x −1 = 1. 3 ( ) 3 ( ) A. S = { } 4 . B. S = { } 3 . C. S = {− } 2 . D. S = { } 1 .
Câu 33: [2D3-2-103] Cho hai hàm số x y = a , x
y = b với a , b là 2 số thực dương khác
1, lần lượt có đồ thị là (C và (C như 2 ) 1 )
hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. 0 < a < b <1.
B. 0 < b < 1 < a .
C. 0 < a <1 < b .
D. 0 < b < a <1. 1
Câu 34: [2D2-2-103] Cho log a = 2 và log b = . Tính I = 2log log 3a    + log b . 3 3 ( ) 2 3 2 2 1 4 5 3 A. I = . B. I = 4 . C. I = 0 . D. I = . 4 2 5
Câu 35: [2D2-2-103] Rút gọn biểu thức 3 3
Q = b : b với b > 0 5 4 − 4 A. 2 Q = b . B. 9 Q = b . C. 3 Q = b . D. 3 Q = b .
Câu 36: [2D2-2-103] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = ( 2
log x − 2x − m + ) 1 có tập xác định là ℝ . A. m ≥ 0 . B. m < 0 . C. m ≤ 2 . D. m > 2 . −
Câu 37: [2D2-2-104] Tìm tập xác định D của hàm số y = (x − x − ) 3 2 2 .
A. D = ℝ .
B. D = (0; +∞) .
C. D = (−∞;− ) 1 ∪ (2;+∞) .
D. D = ℝ \ {−1; } 2 .
Câu 38: [2D2-1-104] Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình 3x = m có nghiệm thực. A. m ≥ 1. B. m ≥ 0 C. m > 0 D. m ≠ 0
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2 TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 12 – MŨ Ũ - LOGA G R A IT I 110
Câu 39: [2D2-1-104] Tìm tập xác định D của hàm số y = log ( 2
x − 4x + 3 3 )
A. D = (2 − 2; ) 1 ∪(3;2 + 2) . B. D = (1;3) .
C. D = (−∞; ) 1 ∪ (3;+∞) . D. D = (− ; ∞ 2 − 2)∪(2+ 2;+∞) .
Câu 40: [2D2-2-104] Với mọi a,b, x là các số thực dương thoả mãn log x = 5log a + 3log b . Mệnh 2 2 2
đề nào dưới đây đúng ?
A. x = 3a + 5b .
B. x = 5a + 3b . C. 5 3
x = a + b . D. 5 3 x = a b .
Câu 41: [2D2-2-104] Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình x x 1 9 2.3 + −
+ m = 0 có hai nghiệm
thực x , x thỏa mãn x + x = 1. 1 2 1 2 A. m = 6. B. m = 3 − . C. m = 3. D. m = 1.
Câu 42: [2D2-2-104] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 2
y = ln(x − 2x + m +1) có tập
xác định là ℝ . 400000 A. m = 0.
B. 0 < m < 3 . C. m < 1
− hoặc m > 0. D. m > 0.
Câu 43: [2D2-2-104] Với các số thực dương x , y tùy ý, đă ̣t log x = α , log y = β . Mê ̣nh đề na 3 3 ̀o dưới đây đúng? 3  3 x   α   x  α A. log   = 9 − β . B. log   = + β 27   y   2  27     y   2 3  3 x   α   x  α C. log   = 9 + β . D. log   = − β . 27   y   2  27     y   2
Câu 44: [2D2-2-MH2] Tính đạo hàm của hàm số y = ln (1+ x +1). 1 1 A. y′ = . B. y′ = . 2 x +1(1+ x +1) 1+ x +1 1 2 C. y′ = . D. y′ = . x +1(1+ x +1) x +1(1+ x +1)
Câu 45: [2D2-2-101] Tìm tập xác định D của hàm số y = ( x − )13 1 .
A. D = (−∞; ) 1 .
B. D = (1; +∞) .
C. D = ℝ . D. D = ℝ \{ } 1 .
Câu 46: [2D2-2-103] Với mọi số thực dương a và b thỏa mãn 2 2
a + b = 8ab , mệnh đề nào dưới đây đúng? 1
A. log (a + b) = (log a + log b).
B. log (a + b) = 1+ log a + log . b 2 1
C. log (a + b) = (1+ log a + log b). D. (a + b) 1 log = + log a + log . b 2 2
Câu 47: [2D2-3-MH1] Cho các số thực dương a , b với a ≠ 1. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? 1 A. log ab = log b . B. log
ab = 2 + log b . 2 ( ) 2 ( ) 2 a a a a 1 1 1 C. log ab = log b . D. log ab = + log b . 2 ( ) 2 ( ) 4 a a 2 2 a a
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2 GV G . V TR T ẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm & & biê i n n tập) p 111 x +1
Câu 48: [2D2-3-MH1] Tính đạo hàm của hàm số y = . 4x 1− 2( x + ) 1 ln 2 1+ 2( x + ) 1 ln 2 A. y′ = . B. y′ = . 2 2 x 2 2 x 1− 2( x + ) 1 ln 2 1+ 2( x + ) 1 ln 2 C. y′ = . D. y′ = . 2 2x 2 2x
Câu 49: [2D2-3-MH1] Đặt a = log 3,b = log 3. Hãy biểu diễn log 45 theo a và b . 2 5 6 a + 2ab 2 2a − 2ab A. log 45 = . B. log 45 = . 6 ab 6 ab a + 2ab 2 2a − 2ab C. log 45 = . D. log 45 = . 6 ab + b 6 ab + b
Câu 50: [2D2-3-MH1] Cho hai số thực a và b , với 1 < a < b . Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?
A. log b < 1 < log a .
B. 1 < log b < log a . a b a b
C. log a < log b < 1.
D. log a < 1 < log b . b a b a
Câu 51: [2D2-3-MH2] Tìm tập nghiệm S của bất phương trình log x +1 < log 2x −1 1 ( ) 1 ( ) 2 2  1 
A. S = (2;+∞) . B. S = (− ; ∞ 2) .
C. S =  ;2 .
D. S = (−1;2) .  2  y x =
Câu 52: [2D2-3-MH2] Cho ba số thực dương y b x x y = a y = c , a ,
b c khác 1. Đồ thị các hàm số x y = a , x y = b , x
y = c được cho trong
hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. a < b < c .
B. a < c < b . 1
C. b < c < a .
D. c < a < b . O x ln x
Câu 53: [2D2-3-MH3] Cho hàm số y =
, mệnh đề nào dưới đây đúng? x 1 1 1 1
A. 2y′ + xy′ = − .
B. y′ + xy′ = .
C. y′ + xy′ = − .
D. 2y′ + xy′ = . 2 x 2 x 2 x 2 x
Câu 54: [2D2-3-101] Tìm tập nghiệm S của bất phương trình 2
log x − 5log x + 4 ≥ 0 . 2 2
A. S = (−∞;2]∪[16; +∞) . B. S = [2;16] .
C. S = (0; 2]∪[16;+∞) . D. S = (− ; ∞ ] 1 ∪[4; +∞) .
Câu 55: [2D2-3-101] Một người gửi 50 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất 6% /năm. Biết rằng
nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào gốc để
tính lãi cho năm tiếp theo. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm, người đó nhận được số tiền hơn 100
triệu đồng bao gồm gốc và lãi ? Giả định trong suốt thời gian gửi, lãi suất không đổi và người đó không rút tiền ra. A. 13 năm. B. 14 năm. C. 12 năm. D. 11 năm.
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2 TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 12 – MŨ Ũ - LOGA G R A IT I 112
Câu 56: [2D2-3-101] Tìm các giá trị thực của tham số m để phương trình 2
log x − m log x + 2m − 7 = 0 3 3
có hai nghiệm thực x , x thỏa mãn x x = 81. 1 2 1 2 A. m = −4 . B. m = 4 . C. m = 81. D. m = 44 .
Câu 57: [2D2-3-101] Cho log x = 3, log x = 4 với a , b là các số thực lớn hơn 1. Tính P = log x . a b ab 7 1 12 A. P = . B. P = . C. P = 12 . D. P = . 12 12 7
Câu 58: [2D2-3-102] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình x x 1 4 2 + − + m = 0 có hai nghiệm thực phân biệt. A. m ∈ (− ; ∞ ) 1 .
B. m ∈(0;+∞) . C. m ∈ (0; ] 1 . D. m ∈(0; ) 1 .
Câu 59: [2D2-3-102] Cho x , y là các số thực lớn hơn 1 thoả mãn 2 2
x + 9y = 6xy . Tính 1+ log x + log y 12 12 M = . 2log x + 3y 12 ( ) 1 1 1 A. M = . B. M = 1 . C. M = . D. M = . 4 2 3
Câu 60: [2D2-3-102] Đầu năm 2016 , ông A thành lập một công ty. Tổng số tiền ông A dùng để trả
lương cho nhân viên trong năm 2016 là 1 tỷ đồng. Biết rằng cứ sau mỗi năm thì tổng số tiền
dùng để trả cho nhân viên trong cả năm đó tăng thêm 15% so với năm trước. Hỏi năm nào
dưới đây là năm đầu tiên mà tổng số tiền ông A dùng để trả lương cho nhân viên trong cả 5
năm lớn hơn 2 tỷ đồng? A. Năm 2023. B. Năm 2022 . C. Năm 2021. D. Năm 2020 .
Câu 61: [2D2-3-103] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình 2
log x − 2 log x + 3m − 2 < 0 có nghiệm thực. 2 2 2 A. m < 1. B. m < . C. m < 0. D. m ≤ 1. 3
Câu 62: [2D2-4-MH2] Tìm tập hợp các giá trị của tham số thực m để phương trình 6x + (3 − ) 2x m
− m = 0 có nghiệm thuộc khoảng (0; ) 1 . A. [3; 4] . B. [2; 4] . C. (2; 4) . D. (3; 4) .
Câu 63: [2D2-4-MH2] Xét các số thực a , b thỏa mãn a > b > 1. Tìm giá trị nhỏ nhất P của biểu min  a  thức 2 P = a +   . a ( 2 log ) 3logb bb A. P =19 . B. P = 13. C. P =14 . D. P = 15. min min min min
Câu 64: [2D2-4-MH3] Hỏi có bao nhiêu giá trị m nguyên trong [−2017;2017] để phương trình
log (mx) = 2 log ( x + ) 1 có nghiệm duy nhất? A. 2017 . B. 4014. C. 2018. D. 4015. 1− xy
Câu 65: [2D2-4-101] Xét các số thực dương x , y thỏa mãn log
= 3xy + x + 2y − 4. Tìm giá trị 3 x + 2y
nhỏ nhất P của P = x + y . min 9 11 −19 9 11 +19 18 11 − 29 2 11 − 3 A. P = . B. P = . C. P = . D. P = . min 9 min 9 min 9 min 3
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2 GV G . V TR T ẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm & & biê i n n tập) p 113 1− ab
Câu 66: [2D2-4-102] Xét các số thực dương a , b thỏa mãn log
= 2ab + a + b − 3 . Tìm giá trị 2 a + b
nhỏ nhất P của P = a + 2b . min 2 10 − 3 3 10 − 7 2 10 −1 2 10 − 5 A. P = . B. P = . C. P = . D. P = . min 2 min 2 min 2 min 2 9t
Câu 67: [2D2-4-103] Xét hàm số f (t) =
với m là tham số thực. Gọi S là tập hợp tất cả các t 2 9 + m
giá trị của m sao cho f ( x) + f ( y) = 1 với mọi x, y thỏa mãn x+y e
≤ e (x + y) . Tìm số phần tử của S . A. 0. B. 1. C. Vô số. D. 2.
Câu 68: [2D2-4-104] Xét các số nguyên dương a, b sao cho phương trình 2
a ln x + b ln x + 5 = 0 có hai
nghiệm phân biệt x , x và phương trình 2
5log x + b log x + a = 0 có hai nghiệm phân biệt 1 2
x , x thỏa mãn x x > x x . Tính giá trị nhỏ nhất S
của S = 2a + 3b . 3 4 1 2 3 4 min
BẢNG ĐÁP ÁN BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Vấn đề 1. LŨY THỪA 1 2 3 4 5 6 7 8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
A A B A C B D B B C D C A B D C B C D B
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
C B D B C A B C C A A A D C D D A B D A
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
B A C D C D B A D B B A A A C D D C C A
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
B A D B D B A B A D C B A C C D A B A A
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
A C D C D B A D B C C C D A C A D A B D 101 102 103 104 105 106 B A D C D C Vấn đề 2. LOGARIT 1 2 3 4 5 6 7 8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
A A B A C B D B B A C D C A C D C B D D
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
C D C B D A D A A D B C B D B A A B C C
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
C B B C B C D D D D B A A C D B A A C A
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
D A B A A A C A C D B A D B B C C D B C 81 82 83 84 C A A A
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2 TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 12 – MŨ Ũ - LOGA G R A IT I 114
Vấn đề 3. HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT – HÀM SỐ LŨY THỪA 1 2 3 4 5 6 7 8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
A A B A C B D B B A C D C A C D C B D D
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
C D C B D A D A A D B C B D B A A B C C
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 A B B C B C D D D D B
Vấn đề 4. PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ 1 2 3 4 5 6 7 8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
C A A B D A B C C D A A C B A B A B D C
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
A D C A C A A D A A C A B A B D B A D B
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 A A C D B A A A B C
Vấn đề 5. PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 1 2 3 4 5 6 7 8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
C A A B D A C C B D A A C B A B A B D C
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
A D C A A A A D A A C A B A B D B A D B
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
A A C D B A A A B C A D C A B A C A C A
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
A D C A C D A A D C B A B A D A C A A A
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96
C A A D B A C B A A B C A A A A
Vấn đề 6. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM (trích từ 7 đề của BGD) 1 2 3 4 5 6 7 8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
B B A C C C C C D D D A B C A C A C D C
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
B A C C C D C B B A B A B D D B D C C D
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
C D D A D C D A C D C B A C C B D D B C
61 62 63 64 65 66 67 68 D C D C D A D A
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2 GV G . V TR T ẦN N QUỐC NGH G ĨA Ĩ (S ( ưu u tầm & & biê i n n tập) p 115 GHI CHÉP THÊM
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2 TÀ T I ILIỆU U HỌC TẬP TO T ÁN Á 12 – MŨ Ũ - LOGA G R A IT I 116 MỤC LỤC
HÀM SỐ LUỸ THỪA - HÀM SỐ MŨ - HÀM SỐ LÔGARIT
Vấn đề 1. LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ HỮU TỈ - SỐ MŨ THỰC ....................................................................................... 1
Dạng 1. Tính toán – Rút gọn biểu thức lũy thừa ....................................................................................................... 2
Dạng 2. So sánh các lũy thừa hay căn số ................................................................................................................... 5
Dạng 3. Bài toán lãi kép .............................................................................................................................................. 6
Vấn đề 2. LÔGARIT............................................................................................................................................................ 9
Dạng 1. Tính toán – Rút gọn biểu thức có chứa lôgarit .......................................................................................... 10
Dạng 2. So sánh hai lôgarit ....................................................................................................................................... 11
Dạng 3. Biểu diễn một lôgarit theo các lôgarit khác ............................................................................................... 12
Dạng 4. Chứng minh đẳng thức chứa lôgarit ......................................................................................................... 13
Dạng 5. Bài toán lãi kép ............................................................................................................................................ 14
Vấn đề 3. HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LÔGARIT............................................................................................................. 17
Dạng 1. Tìm tập xác định của hàm số ...................................................................................................................... 19
Dạng 2. Đạo hàm của hàm số mũ và logarit ........................................................................................................... 21
Dạng 3. GTLN và GTNN của hàm số mũ và logarit .............................................................................................. 23
Dạng 4. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ............................................................................................... 24
Dạng 5. Tìm giới hạn của các hàm số mũ và lôgarit ............................................................................................... 25
Dạng 6. Dùng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức chứ mũ logarit ........................................................ 26
Vấn đề 4. PHƯƠNG TRÌNH MŨ .................................................................................................................................... 29
Dạng 1. Phương pháp đưa về cùng cơ số ................................................................................................................ 29
Dạng 2. Phương pháp đặt ẩn phụ ............................................................................................................................ 32
Dạng 3. Phương pháp lôgarit hóa ............................................................................................................................ 36
Dạng 4. Phương pháp đưa về phương trình tích .................................................................................................... 37
Dạng 5. Phương pháp sử dụng bất đẳng thức, tính đơn điệu của hàm số ........................................................... 38
Vấn đề 5. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ ........................................................................................................................... 40
Dạng 1. Phương pháp đưa về cùng cơ số ................................................................................................................ 40
Dạng 2. Phương pháp đặt ẩn phụ ............................................................................................................................ 43
Dạng 3. Phương pháp lôgarit hóa ............................................................................................................................ 46
Vấn đề 6. PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT......................................................................................................................... 49
Dạng 1. Phương pháp đưa về cùng cơ số ................................................................................................................ 49
Dạng 2. Phương pháp đặt ẩn phụ ............................................................................................................................ 51
Dạng 3. Phương pháp mũ hóa ................................................................................................................................. 53
Dạng 4. Phương pháp đưa về phương trình tích .................................................................................................... 55
Dạng 5. Phương pháp sử dụng bất đẳng thức, tính đơn điệu của hàm số ........................................................... 56
Vấn đề 7. BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT ................................................................................................................ 58
Dạng 1. Phương pháp đưa về cùng cơ số ................................................................................................................ 58
Dạng 2. Phương pháp đặt ẩn phụ ............................................................................................................................ 63
Vấn đề 8. HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ - LÔGARIT ........................................................................................................ 67
Vấn đề 9. PHƯƠNG TRÌNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẤT PHƯƠNG TRÌNH CÓ THAM SỐ ............................ 70
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM (trích từ bộ BTN – 387 câu + 7 đề của BGD – 68 câu)....................................................... 73
Vấn đề 1. LŨY THỪA .............................................................................................................................................. 73
Vấn đề 2. LOGARIT ................................................................................................................................................ 82
Vấn đề 3. HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT – HÀM SỐ LŨY THỪA .......................................................... 89
Vấn đề 4. PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ .............................................................................. 95
Vấn đề 5. PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT ................................................................... 99
Vấn đề 6. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM (trích từ 7 đề của BGD)........................................................................... 106
BẢNG ĐÁP ÁN BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ................................................................................................................ 113
MỤC LỤC ..................................................................................................................................................................... 115
File word liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com MS: GT12-C2