Chuyên đề hàm số mũ và hàm số lôgarit Toán 11 KNTTVCS

Tài liệu gồm 266 trang, bao gồm lý thuyết, hướng dẫn giải bài tập trong sách giáo khoa, các dạng bài tập tự luận và hệ thống bài tập trắc nghiệm chuyên đề hàm số mũ và hàm số lôgarit trong chương trình SGK Toán 11 Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống 

CHUYÊN Đ VITOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 1
Sưu tm và biên son
BÀI 18: LŨY THA VI S MŨ THC
1. Lũy thừa vi s mũ nguyên
Cho
n
mt s nguyên dương. Ta định nghĩa:
Vi
a
là s thcy ý:
. ...
n
a aa a=
(
n
tha s
a
).
Vi
a
là s thc khác
0
:
0
1
1;
n
n
aa
a
= =
.
Trong biu thc
m
a
,
a
gi là cơ s,
m
gi là s mũ.
Chú ý:
1)
0
0
không có nghĩa.
2) Nếu
1a >
thì
mn
aa>
khi và ch khi
mn>
.
3) Nếu
01a<<
thì
mn
aa>
khi và ch khi
mn<
.
2. Lũy thừa vi s hữu tỉ
- Cho s thc
a
và s nguyên dương
2n
. S
b
được gọi là căn bậc
n
ca s
a
nếu
n
ba=
.
Chú ý:
- Khi
n
l,
a
: Có duy nhất một căn bậc
n
ca
a
, ký hiu là
n
a
.
- Khi
n
chn mi s thực dương có đúng hai căn bậc
n
n
a
n
a
.
CHƯƠNG
VI
HÀM S
VÀ HÀM S LOGARIT
LÝ THUYT.
I
CHUYÊN Đ VITOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 2
Sưu tm và biên son
Cho s thc
0a >
và s hu t
m
r
n
=
, trong đó
*
,mn∈∈
. y tha ca
a
vi s
r
, kí
hiu là
r
a
, xác định bi
m
n
rm
n
aa a
= =
.
3. Lũy thừa vi s thc:
a) Khái niệm lũy thừa vi s mũ thc:
Cho s thc
0a >
,
α
là mt s vô t. Xét dãy s hu t
( )
n
r
lim
n
n
r
α
+∞
=
. Khi đó, dãy s
n
r
a
có gii hạn xác định và không ph thuc vào dãy s hu t
( )
n
r
đã chọn. Giới hạn đó gọi là
lũy tha ca
a
vi s
α
. Kí hiệu là:
a
α
.
lim
n
r
n
aa
α
+∞
=
.
b) Tính lũy tha vi s mũ thc bằng máy tính cầm tay
CHUYÊN Đ VITOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 3
Sưu tm và biên son
SƠ ĐỒ HỆ THNG HÓA LŨY THA
Căn bậc n ca b
n l
n chn
Có duy nht
Không tn ti
Định nghĩa
Tính cht
CHUYÊN Đ VITOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 4
Sưu tm và biên son
Dạng 1: Tính giá trị ca biu thc
Câu 1: Tính giá tr ca biu thc
5
5
4. 8P =
Câu 2: Tính giá tr ca
1
3
27
bng
Câu 3: Cho
1
256
a =
1
27
b =
. Tính
4
3
3
4
Aa b
= +
Câu 4: Giá tr ca
2
1,25
3
11
27 16
A
−−

= +


bng:
Câu 5: Giá tr ca
42 54
43 5 4
3 .3 2 .2
2 .2 2.3 .3
A
−−
+
=
bng:
Câu 6: Giá tr ca
( )
34
3
52
01
32
11
3. 2
34
31
5 .25
2 25
A

+


=

+


bng:
Câu 7: Cho
44 7
xx
+=
. Biu thc
52 2
8 4.2 4.2
xx
xx
P
++
=
−−
có giá tr bng
Câu 8: Cho
a
là một số thực dương. Giá trị của biểu thức
(
)
4
2
a
a
P =
bằng
Câu 9: Cho
9 9 23
xx
+=
. Khi đó biểu thc
53 3
13 3
xx
xx
a
A
b
++
= =
−−
vi
a
b
là phân s ti gin và
,ab
.
Tích
bng
Câu 10: Biết
4 4 14
xx
+=
, tính giá tr ca biu thc
22
xx
P
= +
.
Câu 11: Cho
44 7
xx
+=
. Khi đó biểu thc
11
52 2
32 2
xx
xx
a
P
b
+−
−−
= =
++
vi
a
b
ti gin và
,ab
+
∈∈
. Tính
tng
ab+
có giá tr bng
DNG 2: BIN ĐỔI, RÚT GỌN, BIU DIN CÁC BIU THC
Câu 12: Rút gn biu thc vi .
Câu 13: Đơn giản biu thc
21
2
1
.Pa
a

=


vi
0a >
, được kết qu
Câu 14: t gn biu thc
7
3
3
:Qa a=
vi
0a >
Câu 15: Rút gn biu thc
1
6
3
4
xx
P
x
, vi
0x
.
Câu 16: Rút gọn biểu thức
1
6
3
., 0A x xx= >
ta được
Câu 17: Cho
a
là mt s thực dương tùy ý. Viết
2
3
.aa
dưới dạng lũy thừa ca
a
vi s mũ hữu t.
2
6
5
.Px x=
0x >
HỆ THỐNG BÀI TP TỰ LUN.
II
CHUYÊN Đ VITOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 5
Sưu tm và biên son
Câu 18: Cho
a
là mt s thực dương. Viết biu thc
3
3
2
5
.Pa a=
dưới dạng lũy thừa vi s mũ hữu t.
Câu 19: Viết biu thc
3
4
.P xx=
(
0x >
) dưới dng lu tha vi s mũ hữu t.
Câu 20: Rút gn biu thc
3
P aaa
=
,
( )
0a >
ta được kết qu
Câu 21: Rút gn biu thc
1
6
3
5
3
.
Px x=
vi
0x
>
.
Câu 22: Cho
44 7
xx
+=
. Biu thc
52 2
8 4.2 4.2
xx
xx
P
++
=
−−
có giá tr bng
DNG 3: BÀI TOÁN LÃI SUT KÉP DÂN S
Câu 23: Mt ngưi gi 100 triệu đồng vào ngân hàng vi lãi sut 0,4% / tháng. Biết rng nếu không rút
tin ta khi ngân hàng thì c sau mi tháng, s tin lãi s được lp vào vốn ban đầu để tính lãi
cho tháng tiếp theo. Hỏi sau 6 tháng, người đó được lĩnh s tin bao nhiêu, nếu trong khong thi
gian này người đó không rút tiền ra và lãi xuất không thay đổi?
Câu 24: Mt ngưi gi s tin
300
triu đng vào mt ngân hàng vi lãi sut kép
mt năm. Biết rng
nếu không rút tin ra khi ngân hàng thì c sau mỗi năm, s tin lãi sut s được nhp vào vn
ban đầu. Hỏi sau 3 năm không rút tiền gc và lãi, s tin trong ngân hàng ca nời đó là bao
nhiêu?
Câu 25: Mt học sinh A khi đủ 18 tuổi được cha m cho
200000000
VNĐ. S tiền này được bo qun
trong ngân hàng MSB vi kì hn thanh toán 1 năm và hc sinh A ch nhận được s tin này khi
học xong 4 năm đại hc. Biết rằng khi đủ 22 tui, s tin mà hc sinh A đưc nhn s
243 101 250
VNĐ. Vy lãi sut kì hn một năm của ngân hàng MSB là bao nhiêu?
Câu 26: Mt ngưi gi
50
triu đng vào ngân hàng theo th thc lãi kép vi lãi sut
5,5% /
năm, kì hn
1
năm. Hỏi sau
4
năm, người đó rút cả vn lẫn lãi được s tin bao nhiêu?
Câu 27: Ông A gi 200 triu vào mt ngân hàng theo hình thc lãi kép, vi lãi sut là 6,5% mt năm và
lãi suất không đổi trong sut thi gian gửi. Sau 6 năm, số tin lãi ca ông bng bao nhiêu?
Câu 28: Mt học sinh A khi đủ 18 tuổi được cha m cho
200000000
VNĐ. S tiền này được bo qun
trong ngân hàng MSB vi kì hn thanh toán 1 năm và hc sinh A ch nhận được s tin này khi
học xong 4 năm đại hc. Biết rằng khi đủ 22 tui, s tin mà hc sinh A đưc nhn s
243 101 250
VNĐ. Vy lãi sut kì hn một năm của ngân hàng MSB là bao nhiêu?
Câu 29: Mt ni gi
200
vào ngân hàng vi lãi sut
0, 2% /
tháng. Biết rng nếu không rút tin khi
ngân hàng thì c sau mi tháng s tin lãi s được nhp vào vn ban đu đ tính lãi cho tháng
tiếp theo. Hỏi sau đúng
10
tháng người đó được lĩnh số tin bao nhiêu?
Câu 30: Ông Đi mới xin được vic làm nên gi tiết kim vào ngân hàng vi hình thc c mi đu tháng
đóng vào 5 triệu đồng vi lãi sut 0,33%/ tháng. Tính s tiền mà ông Đại thu được t ngân hàng
sau 5 năm.
Câu 31: Ông Bình vay vn ngân hàng vi s tin
100000000
đồng. Ông d định sau đúng
5
năm thì tr
hết n theo hình thc: sau đúng một tháng k t ngày vay, ông bắt đầu hoàn n, hai ln hoàn n
liên tiếp cách nhau đúng một tháng, s tin hoàn n mi lần là như nhau. Hỏi theo cách đó, số
tin
a
mà ông s phi tr cho ngân hàng trong mi ln hoàn n là bao nhiêu? Biết lãi sut hàng
tháng là
1, 2%
không thay đổi trong thi gian ông hoàn n.
CHUYÊN Đ VITOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 6
Sưu tm và biên son
Câu 32: Lãi sut cho vay ti PVcomBank trong tháng 5/2022 rt ưu đãi, mc 5%/năm, được áp dng
trong 6 tháng đầu, t tháng th 7 tr đi ấn định mc lãi 12%/năm. Tại ngân hàng này, thi hn
cho vay mua nhà ti đa 20 năm, mc vay ti đa 85% giá tr tài sn đm bo. Mt ngưi có kh
năng trả c định hng tng là 15 triệu. Giả s người đó thể ợn người thân
15%
giá tr
căn nhà, nếu được s dng gói vay trên vi thi hn ti đa và mc vay ti đa thì th mua
được căn nhà có giá trị tối đa khoảng
Câu 33: S ngưi trong cng đồng sinh viên đã nghe mt tin đồn nào đó
(
)
0,15
1e
d
NP
=
trong đó
P
là tng s sinh viên ca cng đng và
d
là s ngày trôi qua k t khi tin đồn bt đu. Trong mt
cộng đồng 1000 sinh viên, cần bao nhiêu ngày để 450 sinh viên nghe được tin đồn?
CHUYÊN Đ VITOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 1
Sưu tm và biên son
BÀI 18: LŨY THA VI S MŨ THC
1. Lũy thừa vi s mũ nguyên
Cho
n
mt s nguyên dương. Ta định nghĩa:
Vi
a
là s thcy ý:
. ...
n
a aa a=
(
n
tha s
a
).
Vi
a
là s thc khác
0
:
0
1
1;
n
n
aa
a
= =
.
Trong biu thc
m
a
,
a
gi là cơ s,
m
gi là s mũ.
Chú ý:
1)
0
0
không có nghĩa.
2) Nếu
1a >
thì
mn
aa>
khi và ch khi
mn>
.
3) Nếu
01a<<
thì
mn
aa>
khi và ch khi
mn<
.
2. Lũy thừa vi s hữu tỉ
- Cho s thc
a
và s nguyên dương
2n
. S
b
được gọi là căn bậc
n
ca s
a
nếu
n
ba=
.
Chú ý:
- Khi
n
l,
a
: Có duy nhất một căn bậc
n
ca
a
, ký hiu là
n
a
.
- Khi
n
chn mi s thực dương có đúng hai căn bậc
n
n
a
n
a
.
CHƯƠNG
VI
HÀM S
VÀ HÀM S LOGARIT
LÝ THUYT.
I
CHUYÊN Đ VITOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 2
Sưu tm và biên son
Cho s thc
0a >
và s hu t
m
r
n
=
, trong đó
*
,mn∈∈
. y tha ca
a
vi s
r
, kí
hiu là
r
a
, xác định bi
m
n
rm
n
aa a
= =
.
3. Lũy thừa vi s thc:
a) Khái niệm lũy thừa vi s mũ thc:
Cho s thc
0a >
,
α
là mt s vô t. Xét dãy s hu t
( )
n
r
lim
n
n
r
α
+∞
=
. Khi đó, dãy s
n
r
a
có gii hạn xác định và không ph thuc vào dãy s hu t
( )
n
r
đã chọn. Giới hạn đó gọi là
lũy tha ca
a
vi s
α
. Kí hiệu là:
a
α
.
lim
n
r
n
aa
α
+∞
=
.
b) Tính lũy tha vi s mũ thc bằng máy tính cầm tay
CHUYÊN Đ VITOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 3
Sưu tm và biên son
SƠ ĐỒ HỆ THNG HÓA LŨY THA
Căn bậc n ca b
n l
n chn
Có duy nht
Không tn ti
Định nghĩa
Tính cht
CHUYÊN Đ VITOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 4
Sưu tm và biên son
Dạng 1: Tính giá trị ca biu thc
Câu 1: Tính giá tr ca biu thc
5
5
4. 8
P =
Lời giải
Ta có
( )
5
5
5
4. 8 32 2P
= =−=
.
Câu 2: Tính giá tr ca
1
3
27
bng
Li gii
Ta có
3
3
1
27 3
27 = =
.
Câu 3: Cho
1
256
a =
1
27
b =
. Tính
4
3
3
4
Aa b
= +
Li gii
Thay
1
256
a
=
,
1
27
b =
vào
4
3
3
4
Aa b
= +
ta được
( ) ( )
34
4
3
34
43
4 3 34
3
4
43
11
4 3 4 3 145
256 27
Aa b
−−
−−
−−

= + = + = + =+=


.
Câu 4: Giá tr ca
2
1,25
3
11
27 16
A
−−

= +


bng:
Li gii
2
1,25
2
5
3
3 34
2 5 6 20 2 5
4
3
4
11
27 16 27 16 3 2 3 2 41
27 16
A
−−

= + = + = + = + =+=


Câu 5: Giá tr ca
42 54
43 5 4
3 .3 2 .2
2 .2 2.3 .3
A
−−
+
=
bng:
Li gii
42 54 2
43 5 4 7
3 .3 2 .2 3 2 11
2 .2 2.3 .3 2 2.3 122
A
−−
++
= = =
−−
Câu 6: Giá tr ca
( )
34
3
52
01
32
11
3. 2
34
31
5 .25
2 25
A

+


=

+


bng:
Li gii
HỆ THỐNG BÀI TP TỰ LUN.
II
CHUYÊN Đ VITOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 5
Sưu tm và biên son
( )
34
3
52
22
01
2
32
11
3. 2
3 2 13
34
5 5 30
31
5 .25
2 25
A

+

+

= = =
+

+


Câu 7: Cho
44 7
xx
+=
. Biu thc
52 2
8 4.2 4.2
xx
xx
P
++
=
−−
có giá tr bng
Li gii
(
)
2
44 7 22 9 22 3.
xx xx xx
−−
+=+ =+=
Suy ra
52 2 53
2.
8 4.2 4.2 8 12
xx
xx
P
++ +
= = =
−−
.
Câu 8: Cho
a
là một số thực dương. Giá trị của biểu thức
(
)
4
2
a
a
P
=
bằng
Lời giải
Ta có
(
)
4
.
2
4
4
2
2
2 2 2 24
a
a
a
a
a
a
P

= = = = =


.
Câu 9: Cho
9 9 23
xx
+=
. Khi đó biểu thc
53 3
13 3
xx
xx
a
A
b
++
= =
−−
vi
a
b
là phân s ti gin và
,ab
.
Tích
bng
Li gii
Ta có:
( )
2
9 9 23 3 3 25
xx xx−−
+=⇔+ =
33 5
xx
⇔+ =
3 3 0,
xx
x
+ > ∀∈
53 3 55 5
13 3 15 2
xx
xx
A
++ +
= = =
−−
.
Vy
. 10ab=
.
Câu 10: Biết
4 4 14
xx
+=
, tính giá tr ca biu thc
22
xx
P
= +
.
Li gii
Ta có
4 4 14
xx
+=
( ) ( )
22
2 2 2 16
xx
+ +=
( )
2
2 2 16
xx
⇔+ =
22 4
22 4
xx
xx
+=
+=
22 4
xx
⇔+ =
.
Vy
4P =
.
Câu 11: Cho
44 7
xx
+=
. Khi đó biểu thc
11
52 2
32 2
xx
xx
a
P
b
+−
−−
= =
++
vi
a
b
ti gin và
,ab
+
∈∈
. Tính
tng
ab+
có giá tr bng
Li gii
CHUYÊN Đ VITOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 6
Sưu tm và biên son
Ta có:
( )
2
2 2 4 4 2.2 .2
xx xx xx −−
+ =++
72= +
9=
. Suy ra:
22 3
xx
+=
.
( )
( )
11
522
52 2
32 2
3 22 2
xx
xx
xx
xx
P
+−
−+
−−
= =
++
++
53
3 2.3
=
+
2
9
=
Suy ra:
2a =
,
9 11b ab=⇒+=
.
DNG 2: Biến đổi, rút gọn, biểu diễn các biểu thc
Câu 12: Rút gn biu thc vi .
Li gii
.
Câu 13: Đơn giản biu thc
21
2
1
.Pa
a

=


vi
0a >
, được kết qu
Li gii
Ta có:
( )
21
21
2 2 1 2 21
2 21 1
1
.. .Pa a a aa a a a
a
−+
+

= = = = =
=


.
Câu 14: t gn biu thc
7
3
3
:Qa a=
vi
0a >
Li gii
Ta có:
7 7 1 71
2
3
3 3 3 33
::Qa aaa a a
= = = =
.
Câu 15: Rút gn biu thc
1
6
3
4
xx
P
x
, vi
0x
.
Lời giải
Ta có
1 11
111 1
6
3 36
4
364 4
1
4
4
.x x xx
P x xx
x
x


.
Câu 16: Rút gọn biểu thức
1
6
3
., 0A x xx= >
ta được
Lời giải
Ta có:
1
1
6
3
2
.Ax x x x= = =
.
Câu 17: Cho
a
là mt s thực dương tùy ý. Viết
2
3
.aa
dưới dạng lũy thừa ca
a
vi s mũ hữu t.
Li gii
Ta có:
2 2 21 7
1
3 3 32 6
2
..a a aa a a
+
= = =
.
Câu 18: Cho
a
là mt s thực dương. Viết biu thc
3
3
2
5
.Pa a=
dưới dạng lũy thừa vi s mũ hữu t.
2
6
5
.Px x=
0x >
2 2 1 2 1 17
6
5 5 6 5
6 30
..P x x xx x x
+
= = = =
CHUYÊN Đ VITOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 7
Sưu tm và biên son
Li gii
Ta có
3 3 2 3 2 19
3
2
5 5 3 5 3 15
..
P a a aa a a
+
= = = =
.
Câu 19: Viết biu thc
3
4
.
P xx=
(
0x >
) dưới dng lu tha vi s mũ hữu t.
Li gii
1
15 5
3
3
3
4
4 4 12
..P x x xx x x

= = = =


.
Câu 20: Rút gn biu thc
3
P aaa=
,
( )
0a >
ta được kết qu
Lời giải
Ta có
3
P aaa=
1 11 5
1
1
6 26 3
2
..aa a a a
++
= = =
.
Câu 21: Rút gn biu thc
1
6
3
5
3
.Px x=
vi
0x >
.
Li gii
Ta có
1 5 1 5 11
3 18 3 18 18
.
P xx x x

.
Câu 22: Cho
44 7
xx
+=
. Biu thc
52 2
8 4.2 4.2
xx
xx
P
++
=
−−
có giá tr bng
Li gii
( ) ( )
2
44 7 22 22.2 7
xx xx xx −−
+=+ =
( )
2
2 2 27
xx
+ −=
( )
2
22 9
xx
⇔+ =
22 3
xx
⇔+ =
.
Khi đó:
( )
( )
522
52 2 53
2
8 4.2 4.2 8 4.3
8 4. 2 2
xx
xx
xx
xx
P
++
++ +
= = = =
−−
−+
.
DNG 3: BÀI TOÁN LÃI SUT KÉP DÂN S
Câu 23: Mt ngưi gi 100 triệu đồng vào ngân hàng vi lãi sut 0,4% / tháng. Biết rng nếu không rút
tin ta khi ngân hàng thì c sau mi tháng, s tin lãi s được lp vào vốn ban đầu để tính lãi
cho tháng tiếp theo. Hỏi sau 6 tháng, người đó được lĩnh s tin bao nhiêu, nếu trong khong thi
gian này người đó không rút tiền ra và lãi xuất không thay đổi?
Li gii
Áp dng công thức lãi kép ta có sau đúng 6 tháng, người đó lĩnh được s tiền:
Ta có:
6
0
0, 4
(1 ) 100.000.000 1 102.424.128
100
n
n
AA r

= += + =


Câu 24: Mt ngưi gi s tin
300
triu đng vào mt ngân hàng vi lãi sut kép
mt năm. Biết rng
nếu không rút tin ra khi ngân hàng thì c sau mỗi năm, s tin lãi sut s được nhp vào vn
ban đầu. Hỏi sau 3 năm không rút tiền gc và lãi, s tin trong ngân hàng ca nời đó là bao
CHUYÊN Đ VITOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 8
Sưu tm và biên son
nhiêu?
Li gii
Áp dng công thc tính lãi sut theo hình thc lãi kép:
(
)
1
n
PA r
= +
.
Trong đó:
P
là s tin gm vn ln lãi ti thi đim
n
tính t thi đim gi;
A
là s tin gi vào
ban đầu và
(
)
%
r
là lãi sut.
Vi
300.000.000
3
6%
A
n
r
=
=
=
, suy ra
( )
3
300.000.000 1 6% 357.304.800 357.305.000P = +=
.
Câu 25: Mt học sinh A khi đủ 18 tuổi được cha m cho
200000000
VNĐ. S tiền này được bo qun
trong ngân hàng MSB vi kì hn thanh toán 1 năm và hc sinh A ch nhận được s tin này khi
học xong 4 năm đại hc. Biết rằng khi đủ 22 tui, s tin mà hc sinh A đưc nhn s
243 101 250
VNĐ. Vy lãi sut kì hn một năm của ngân hàng MSB là bao nhiêu?
Li gii
Gọi lãi sut k hn một năm của ngân hàng MSB là r. Áp dng công thc lãi sut kép
(
)
1
n
Pa r
= +
trong đó ta có :
(
) (
)
44
0
2
0
43101250 200
2
0000
43101250
1
200 0
01
0
0
00
r
r⇔== +
+
44
243101250 243101250
1 1 0,05
200000000 200000000
rr r+= ⇔= ⇔=
.
Câu 26: Mt ngưi gi
50
triu đng vào ngân hàng theo th thc lãi kép vi lãi sut
5,5% /
năm, kì hn
1
năm. Hỏi sau
4
năm, người đó rút cả vn lẫn lãi được s tin bao nhiêu?
Li gii
Gọi s tiền ban đầu
A
. Lãi suất tính theo năm là
r
.
S tin c vn ln lãi sau
n
năm được tính theo công thc:
( )
1
n
n
AA r
= +
.
Thay s vi
50; 5,5%, 4Ar n= = =
ta được s tiền là:
4
4
5,5
50. 1 61,94
100
A

=+=


Câu 27: Ông A gi 200 triu vào mt ngân hàng theo hình thc lãi kép, vi lãi sut là 6,5% mt năm và
lãi suất không đổi trong sut thi gian gửi. Sau 6 năm, số tin lãi ca ông bng bao nhiêu?
Li gii
Ta có
( ) ( )
6
1 200. 1 6,5% 292
n
TA r
= += +
triu.
Vy s tin lãi là
292 200 92−=
triu.
Câu 28: Mt học sinh A khi đủ 18 tuổi được cha m cho
200000000
VNĐ. S tiền này được bo qun
trong ngân hàng MSB vi kì hn thanh toán 1 năm và hc sinh A ch nhận được s tin này khi
học xong 4 năm đại hc. Biết rằng khi đủ 22 tui, s tin mà hc sinh A đưc nhn s
243 101 250
VNĐ. Vy lãi sut kì hn một năm của ngân hàng MSB là bao nhiêu?
CHUYÊN Đ VITOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 9
Sưu tm và biên son
Li gii
Gọi lãi sut k hn một năm của ngân hàng MSB là r. Áp dng công thc lãi sut kép
(
)
1
n
Pa r
= +
trong đó ta có :
( )
( )
44
0
2
0
43101250 200
2
0000
43101250
1
200 0
01
0
0
00
r r⇔== + +
44
243101250 243101250
1 1 0,05
200000000 200000000
rr r
+= ⇔= ⇔=
.
Câu 29: Mt ni gi
200
vào ngân hàng vi lãi sut
0, 2% /
tháng. Biết rng nếu không rút tin khi
ngân hàng thì c sau mi tháng s tin lãi s được nhp vào vn ban đu đ tính lãi cho tháng
tiếp theo. Hỏi sau đúng
10
tháng người đó được lĩnh số tin bao nhiêu?
Li gii
Theo công thc lãi kép ta có s tin c lãi và vốn sau 10 tháng là:
( ) ( )
10
1 200 1 0.2% 204,036
n
TX r= += +
triệu đồng.
Câu 30: Ông Đi mới xin được vic làm nên gi tiết kim vào ngân hàng vi hình thc c mi đu tháng
đóng vào 5 triệu đồng vi lãi sut 0,33%/ tháng. Tính s tiền mà ông Đại thu được t ngân hàng
sau 5 năm.
Li gii
Vi
a
là s tiền ông Đại đóng vào hằng tháng,
%r
lãi suất ông Đại gi tiết kim hng tháng.
Gọi
n
P
là s tiền mà ông Đại thu được sau
n
tháng
( )
1n
.
Suy ra
( )
1
.1 %= +Pa r
.
(
)( )
( ) ( )
2
21
1% .1% .1%
=+ + =+ ++PPa r ar ar
( )( ) (
) (
) ( )
32
32
1% .1% .1% .1%=+ + =+ ++ ++PPa r ar ar ar
……………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………
( )( )
( ) ( ) ( )
1
1
1% .1% .1% ....1%
= + + =+ ++ +++
nn
nn
PPa r ar ar ar
Xét cp s nhân có s hạng đầu là
( )
1
.1 %= +ua r
và công bi
1%= +qr
thì
12 1
1
...
1
= + ++ =
n
nn
q
Puu u u
q
.
Vy s tiền ông Đại nhận được t ngân hàng sau 5 năm
CHUYÊN Đ VITOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 10
Sưu tm và biên son
( )
( )
60
60
60 1
1 1,0033
1
5. 1,0033 . 332
1 0,0033
= =
q
Pu
q
triệu đồng.
Câu 31: Ông Bình vay vn ngân hàng vi s tin
100000000
đồng. Ông d định sau đúng
5
năm thì tr
hết n theo hình thc: sau đúng một tháng k t ngày vay, ông bắt đầu hoàn n, hai ln hoàn n
liên tiếp cách nhau đúng một tháng, s tin hoàn n mi lần là như nhau. Hỏi theo cách đó, số
tin
a
mà ông s phi tr cho ngân hàng trong mi ln hoàn n là bao nhiêu? Biết lãi sut hàng
tháng là
1, 2%
không thay đổi trong thi gian ông hoàn n.
Li gii
Gọi
, , ,
n
mrT a
lần lượt là s tin vay ngân hàng, lãi sut hàng tháng, tng s tin vay còn li
sau
n
tháng, s tin tr đều đặn mi tháng.
Sau khi hết tháng th nht
( )
1n =
thì còn li:
( )
1
1.T mr a= +−
Sau khi hết tháng th hai
( )
2n =
thì còn li:
( ) ( )
2
11Tmrara= +− +−


( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 22
1 1 1 2 1 1 1.
a
mr ar a mr ar mr r
r

= +− += +− += +− +

Sau khi hết tháng th ba
( )
3n =
thì còn:
( ) (
) ( )
22
3
1 11 1
a
T mr r r a
r


= +− +− +



( )
( )
33
1 1 1.
a
mr r
r

= +− +−

Sau khi hết tháng th
n
thì còn li:
( ) ( )
1 11
nn
n
a
T mr r
r

= +− +−

Áp dng công thc trên, ta có
( )
( )
60
5
60
1, 2
12.10 1
1
100
0
11
1, 2
11
100
n
n
n
mr r
Ta
r

+

+

=⇔= =
+−

+−


.
Câu 32: Lãi sut cho vay ti PVcomBank trong tháng 5/2022 rt ưu đãi, mc 5%/năm, được áp dng
trong 6 tháng đầu, t tháng th 7 tr đi ấn định mc lãi 12%/năm. Tại ngân hàng này, thi hn
cho vay mua nhà ti đa 20 năm, mc vay ti đa 85% giá tr tài sn đm bo. Mt ngưi có kh
năng trả c định hng tng là 15 triệu. Giả s nời đó thể ợn người thân
15%
giá tr
căn nhà, nếu được s dng gói vay trên vi thi hn ti đa và mc vay ti đa thì th mua
được căn nhà có giá trị tối đa khoảng
Li gii
Gọi
A
là s tin tối đa người này có th vay,
i
A
là s tin n sau tháng th
i
.
1
5%
12
r =
là lãi sut/1 tháng, trong
6
tháng đầu
CHUYÊN Đ VITOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 11
Sưu tm và biên son
2
12%
1%
12
r
= =
là lãi sut/1 tháng, t tháng th 7 tr đi.
Sau 1 tháng, s tin gc và lãi
( )
1Ar+
, người đó trả
15
triu nên còn nợ:
( )
1
1 15AA r= +−
Sau tháng th 2:
(
)
(
)
(
)
( )
(
)
2
2
21 1 1 1 1 1
1
15
1 15 1 15 1 15 1 (1 ) 1
AA r Ar r Ar r
r

= +−= +− +−= + +

Sau tháng th 3:
( )
3
3
31 1
1
15
1 (1 ) 1
AA r r
r

= + +−

…….
Sau tháng th 6:
( )
6
6
61 1
1
15
1 (1 ) 1AA r r
r

= + +−

.
Sau tháng th 7:
( )
76 2
1 15AA r= +−
Sau tháng th 8:
( )
2
2
86 2 2
2
15
1 (1 ) 1AA r r
r

= + +−

………
Sau tháng th
240
:
( )
234
234
240 6 2 2
2
15
1 (1 ) 1AAr r
r

=+ +−

Vì phi tr hết n sau
20
năm nên
(
)
234
2
240 6
234
22
15 (1 ) 1
0 1353,819328
1
r
AA
rr

+−

=⇔=
+
(
)
6
61
1
6
1
15
(1 ) 1
1409,163992
1
Ar
r
A
r

+ +−

⇒=
+
.
Vy ni này có th mua được căn nhà giá tr ti đa
1657,83999
85%
A
triệu đồng
1,65784
t đồng.dd
Câu 33: S ngưi trong cng đồng sinh viên đã nghe một tin đồn nào đó là
( )
0,15
1e
d
NP
=
trong đó
P
là tng s sinh viên ca cng đng và
d
là s ngày trôi qua k t khi tin đồn bt đu. Trong mt
cộng đồng 1000 sinh viên, cần bao nhiêu ngày để 450 sinh viên nghe được tin đồn?
Li gii
Ta có:
CHUYÊN Đ VITOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 12
Sưu tm và biên son
( ) (
)
0,15 0,15
0,15
1 e 450 1000. 1
11
ln 3, 98
20
dd
d
NP e
ed
−−
= ⇔=
⇔=
Vy cần 4 ngày để 450 sinh viên nghe được tin đồn.
CHUYÊN Đ VITOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 7
Sưu tm và biên son
BÀI 18: LŨY THA VI S MŨ THC
DẠNG 1. RÚT GỌN BIỂU THỨC LŨY THỪA
Câu 1: Cho
0, ,
a mn
>∈
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
.
m n mn
aaa
+
+=
B.
..
m n mn
aa a
=
C.
( ) ( ).
mn nm
aa=
D.
.
m
nm
n
a
a
a
=
Câu 2: Vi
a
là s thực dương tùy ý,
1
4
2
.
aa
bng
A.
8
a
. B.
2
a
. C.
7
2
a
. D.
9
2
a
.
Câu 3: Cho s thực dương
a
và s nguyên dương
n
tùy ý. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
2+
=
nn
aa
. B.
2
=
nn
aa
. C.
2
=
n
n
aa
. D.
2
=
n
n
aa
.
Câu 4: Cho
a
là s thực dương. Biểu thc
3
32
.aa
được viết dưới dạng lũy thừa vi s mũ hữu t
A.
11
3
a
B.
2
a
C.
5
3
a
D.
8
3
a
Câu 5: Viết biểu thức
( )
3
4
., 0P xx x= >
dưới dạng lũy thừa vi s mũ hữu t
A.
5
4
Px=
. B.
1
12
Px=
. C.
1
7
Px=
. D.
5
12
Px=
.
Câu 6: Cho
a
là một số thực dương. Giá trị của biểu thức
(
)
4
2
a
a
P =
bằng
A.
4
. B.
2
. C.
8
. D.
1
.
Câu 7: Với
a
là s thực dương, biểu thc
1
3
.Pa a
=
bằng
A.
1
6
a
. B.
2
5
a
. C.
5
6
a
. D.
4
3
a
.
Câu 8: Cho
1a
số thực dương. Viết và rút gọn biểu thức
3
2022
2022
aa
dưới dạng lũy thừa với số
hữu tỉ. Tìm số mũ của biểu thức rút gọn đó.
A.
1
1011
. B.
2
3
2022
. C.
2
1011
. D.
3
1011
.
CHƯƠNG
VI
HÀM S
VÀ HÀM S LOGARIT
HỆ THỐNG BÀI TP TRẮC NGHIỆM.
III
CHUYÊN Đ VITOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 8
Sưu tm và biên son
Câu 9: Rút gọn biu thc vi .
A. . B. . C. . D. .
Câu 10: Đơn giản biu thc
21
2
1
.Pa
a

=


vi
0a >
, được kết qu
A.
2
a
.
B.
221
a
.
C.
12
a
. D.
a
.
Câu 11: Rút gn biu thc
7
3
3
:Qa a=
vi
0a >
A.
4
3
Qa
=
. B.
2
Qa=
. C.
8
3
Qa=
. D.
4
Qa=
.
Câu 12: Vi
a
là s thực dương tùy ý,
5
3
a
bng
A.
5
3
a
. B.
3
5
a
. C.
8
a
. D.
2
a
.
Câu 13: Vi
a
là s thực dương tùy ý khi đó
2
5
.aa
bng
A.
11
10
a
. B.
1
10
a
. C.
22
5
a
. D.
10
11
a
.
Câu 14: Vi
a
là s thực dương tuỳ ý,
3
a
bng
A.
1
6
a
. B.
2
3
a
. C.
6
a
. D.
3
2
a
.
Câu 15: Rút gọn biu thc
1
6
3
4
xx
P
x
, vi
0x
.
A.
4
Px
. B.
1
6
Px
. C.
Px
. D.
1
6
Px
.
Câu 16: Rút gọn biểu thức
1
6
3
., 0A x xx= >
ta được
A.
Ax=
. B.
2
9
Ax=
. C.
2
Ax=
. D.
81
Ax=
.
Câu 17: Vi
0x
thì
2
xxx
bng
A.
x
. B.
2
x
. C.
x
. D.
4
x
.
Câu 18: Vi
a
là s thực dương tùy ý,
3
1
a
bng?
A.
3
a
. B.
3
2
a
. C.
1
6
a
. D.
3
2
a
.
Câu 19: Cho
0a >
, khi đó
4
a
bng
A.
4
1
a
. B.
4
a
. C.
4
1
a
. D.
.
Câu 20: Vi
a
là s thực dương tuỳ ý,
3
4
aa
bng
A.
17
6
a
. B.
13
8
a
. C.
13
6
a
. D.
17
4
a
.
2
6
5
.Px x=
0x >
1
15
Px=
17
15
Px=
17
30
Px=
Px=
CHUYÊN Đ VITOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 9
Sưu tm và biên son
Câu 21: Cho s thc
a
dương tùy ý. Đặt
5
3
4
p
a aa a⋅=
. Khng định đúng là:
A.
19
12
p =
. B.
23
12
p =
. C.
13
12
p =
. D.
23
24
p
=
.
Câu 22: Cho
x
là s thực dương. Biết
3
3
.
b
a
x xxx x
=
vi
a
,
b
các s t nhiên
a
b
phân số
ti giản. Tính
ab
+
.
A.
16
. B.
15
. C.
14
. D.
17
.
Câu 23: Cho
x
là số thực dương. Biểu thức
2
4
3
xx
được viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ là
A.
12
7
x
. B.
5
6
x
. C.
. D.
6
5
x
.
Câu 24: Cho hai s thực dương
,ab
. Rút gọn biu thc
11
33
44
12 12
a bb a
A
ab
+
=
+
ta thu được
.
mn
A ab=
. Tích
ca
.mn
A.
1
9
. B.
1
16
. C.
1
18
. D.
1
8
.
Câu 25: Biết biu thc
( )
6
32
3
0
P xxxx= >
được viết i dng y tha vi s hữu t
x
α
.
Khi đó, giá trị ca
α
bng
A.
37
15
. B.
23
36
. C.
23
30
. D.
53
30
.
Câu 26: Cho hàm s
( )
(
)
(
)
2
3
2
3
3
1
88
31
8
aa a
fa
aa a
=
vi
0, 1aa>≠
. Giá trị ca
( )
2022
2021Mf=
A.
1011
2021
B.
1011
2021 1+
C.
1011
2021 1−+
D.
1011
2021 1−−
Câu 27: Cho
a
là s thực dương. Rút gọn biu thc
3
A aa aa=
v dng
m
n
a
trong đó
m
n
phân
s ti gin và
,mn
. Tính giá trị ca biu thc
22
Tm n
= +
.
A.
2425
. B.
539
. C.
593
. D.
1369
.
Câu 28: Rút gn biu thc
7
3
5
3
7
42
.
.
aa
A
aa
=
vi
0a >
ta đưc kết qu
m
n
Aa=
, trong đó
*
,mn
m
n
phân số ti gin. Khng định nào sau đây đúng?
A.
2
3 22mn−=
. B.
22
43mn+=
. C.
2
2 15mn+=
. D.
22
25mn+=
.
Câu 29: Biết biu thc
(
)
6
3
32
0P xxxx= >
được viết dưi dng lũy tha vi s hu t
x
α
. Khi
đó, giá trị ca
α
bng
A.
37
15
. B.
23
36
. C.
23
30
. D.
53
30
.
CHUYÊN Đ VITOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 10
Sưu tm và biên son
Câu 30: Vi
α
là s thc bất kì, mệnh đề nào sau đây sai?
A.
( )
10 10
α
α
=
. B.
2
10 10
α
α
=
. C.
( )
(
)
2
10 100
α
α
=
. D.
( )
( )
2
2
10 10
α
α
=
.
Câu 31: Rút gọn biu thc
=
5
3
3
:Qb b
vi
> 0
b
.
A.
=
4
3
Qb
B.
=
4
3
Qb
C.
=
5
9
Qb
D.
=
2
Qb
Câu 32: Rút gọn biu thc
1
6
3
.Px x=
vi
0
x >
.
A.
Px=
B.
1
8
Px
=
C.
2
9
Px=
D.
2
Px=
Câu 33: Cho biu thc
4
3
23
..P xx x=
, vi
0x >
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
2
3
Px=
B.
1
2
Px=
C.
13
24
Px=
D.
1
4
Px=
Câu 34: Cho biu thc
1
1
6
3
2
. .xP xx
=
vi
0x >
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
Px=
B.
11
6
Px=
C.
7
6
Px=
D.
5
6
Px=
Câu 35: Rút gọn biu thc
1
3
6
Px x=
vi
0x >
.
A.
1
8
Px=
B.
Px=
C.
2
9
Px=
D.
2
Px=
Câu 36: Viết biu thc
3
4
.P xx=
(
0x >
) dưới dng lu tha vi s mũ hữu t.
A.
5
4
Px=
. B.
5
12
Px=
. C.
1
7
Px=
. D.
1
12
Px=
.
Câu 37: Cho biu thc
6
4
5 3
.. ,P xx x=
vi
0x >
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
15
16
Px=
. B.
7
16
Px=
. C.
5
42
Px=
. D.
47
48
Px=
.
Câu 38: Cho biu thc
4
3
23
..P xx x=
, vi
0
x
>
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
2
3
Px=
. B.
1
4
Px=
. C.
13
24
Px=
. D.
1
2
Px=
.
Câu 39: Gi s
a
là s thực dương, khác
1
. Biểu thc
3
aa
được viết dưới dng
a
α
. Khi đó
A.
2
3
α
=
. B.
5
3
α
=
. C.
1
6
α
=
. D.
11
6
α
=
.
Câu 40: Biu thc
3
22K
=
viết dưới dạng lũy thừa vi s mũ hữu t
A.
4
3
2
. B.
5
3
2
. C.
1
3
2
. D.
2
3
2
.
Câu 41: Biu thc
6
5
3
. . ( 0)xxxx>
viết dưới dng lu tha vi s mũ hữu t
A.
2
3
x
. B.
5
2
x
. C.
7
3
x
. D.
5
3
x
.
CHUYÊN Đ VITOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 11
Sưu tm và biên son
Câu 42: Cho biu thc
(
)
71 2 7
22
22
.
aa
P
a
+−
+
=
vi
0a >
. Rút gọn biu thc
P
được kết qu
A.
5
Pa=
. B.
3
Pa=
. C.
Pa=
. D.
4
Pa=
.
Câu 43: Cho a là s thực dương. Viết và rút gọn biu thc
3
2018
2018
.aa
dưới dạng lũy thừa vi s mũ hữu
tỉ. Tìm số mũ của biu thức rút gọn đó.
A.
2
1009
. B.
1
1009
. C.
3
1009
. D.
2
3
2018
.
Câu 44: Rút gọn biu thc
31 2 3
22
22
.
aa
P
a

vi
0a
.
A.
Pa
. B.
3
Pa
. C.
4
Pa
. D.
5
Pa
.
Câu 45: Biu thc
3
2
5
P xx x x
α
= =
, giá tr ca
α
A.
1
2
. B.
5
2
. C.
9
2
. D.
3
2
.
Câu 46: Cho
a
là s thực dương khác
1
. Khi đó
2
4
3
a
bng
A.
3
2
a
. B.
8
3
a
. C.
3
8
a
. D.
6
a
.
Câu 47: Rút gọn biu thc
31 2 3
22
22
.aa
P
a

vi
0a
A.
Pa=
B.
3
Pa=
C.
4
Pa
=
D.
5
Pa=
Câu 48: Cho biu thc
3
5
4
.Px x
=
,
0x
>
. Khng định nào sau đây là đúng?
A.
2
Px
=
B.
1
2
Px
=
C.
1
2
Px=
D.
2
Px=
Câu 49:
Cho biu thc
3
3
4
.P xx x=
, vi
0.x
>
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
1
2
.Px=
B.
7
12
.Px=
C.
5
8
.
Px=
D.
7
24
.Px=
Câu 50: Cho hai s thc dương
,ab
. Rút gọn biu thc
11
33
66
a bb a
A
ab
+
=
+
ta thu được
.
mn
A ab=
. Tích
ca
.
mn
A.
1
8
B.
1
21
C.
1
9
D.
1
18
Câu 51: Rút gọn biu thc
11
3
7
3
7
45
.
.
aa
A
aa
=
vi
0
a >
ta đưc kết qu
m
n
Aa=
trong đó
,mn
*
N
m
n
phân số ti gin. Khng định nào sau đây đúng?
A.
22
312mn−=
. B.
22
543mn+=
. C.
22
312mn−=
. D.
22
409.mn+=
CHUYÊN Đ VITOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 12
Sưu tm và biên son
Câu 52: Cho
a
là s thực dương. Đơn giản biu thc
41 2
33 3
13 1
44 4
aa a
P
aa a




.
A.
( )
1P aa= +
. B.
1Pa=
. C.
Pa=
. D.
1
Pa= +
.
Câu 53: Cho
,
ab
là các s thực dương. Rút gọn
44
33
33
a b ab
P
ab
ta được
A.
P ab
. B.
P ab

. C.
44
P a b ab
. D.
P ab a b

.
Câu 54: Cho biu thc
5
3
822 2
m
n
=
, trong đó
m
n
phân số ti gin. Gi
22
Pm n
= +
. Khng đnh nào
sau đây đúng?
A.
( )
330;340P
. B.
( )
350;360P
. C.
( )
260;370P
. D.
( )
340;350P
.
Câu 55: Cho
0>a
,
0>b
, giá trị ca biu thc
( ) ( )
1
2
2
1
1
2
1
2 . .1
4



=+ +−





ab
T a b ab
ba
bng
A.
1
. B.
1
2
. C.
2
3
. D.
1
3
.
DẠNG 2. TÍNH GIÁ TRỊ BIU THC
Câu 56: Biu thc
5
5
4. 8P
=
có giá tr bng
A.
42
. B.
2
. C. 2. D.
42
.
Câu 57: Giá tr
35
2021. 2021
viết dưới dng lũy tha vi s mũ hữu t
A.
2
5
2021
. B.
1
15
2021
. C.
8
15
2021
. D.
1
10
2021
Câu 58: Giá tr ca
1
3
27
bng
A. 6. B. 81. C. 9. D. 3.
Câu 59: Cho
1
256
a =
1
27
b =
. Tính
4
3
3
4
Aa b
= +
A.
23
. B.
89
. C.
145
. D.
26
.
Câu 60: Cho
44 7
xx
+=
. Biểu thc
52 2
8 4.2 4.2
xx
xx
P
++
=
−−
có giá trị bng
A.
3
2
P =
. B.
5
2
P =
. C.
2P =
. D.
2P =
.
Câu 61: Cho
9 9 23
xx
+=
. Khi đó biểu thc
53 3
13 3
xx
xx
a
A
b
++
= =
−−
vi
a
b
là phân số ti gin
,ab
.
Tích
bng
A.
10
. B.
10
. C.
8
. D.
8
.
CHUYÊN Đ VITOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 13
Sưu tm và biên son
Câu 62: Cho biu thc
1
2
2
1
1
3. 2 4
2
x
x
x
T
−−
=+−
. Khi
23
x
=
thì giá trị ca biu thc
T
A.
93
2
. B.
53
2
. C.
33
2
. D.
73
2
.
Câu 63: Biết
4 4 14
xx
+=
, tính giá trị ca biu thc
22
xx
P
= +
.
A.
4
. B.
16
. C.
17
. D.
.
Câu 64: Cho
44 7
xx
+=
. Khi đó biểu thc
11
52 2
32 2
xx
xx
a
P
b
+−
−−
= =
++
vi
a
b
ti gin và
,ab
+
∈∈
. Tính
tng
ab+
có giá trị bng
A.
8
. B.
11
. C.
17
. D.
4
.
Câu 65: Tính giá trị ca biu thc
( ) ( )
2017 2016
7 43 43 7P
=+−
A.
( )
2016
7 43P
= +
B.
1
P
=
C.
7 43P =
D.
7 43P = +
Câu 66: Cho biu thc
3
3
222
333
P =
. Mệnh đề nào trong các mệnh đề sau là đúng?
A.
1
8
2
3
P

=


. B.
18
2
3
P

=


. C.
1
18
2
3
P

=


. D.
1
2
2
3
P

=


.
Câu 67: Cho hàm s
( )
(
)
(
)
1
3
4
3
3
1
88
31
8
a aa
fa
aa a
=
vi
0, 1
aa>≠
. Tính giá trị
( )
2016
2017Mf=
A.
1008
2017 1M
=
B.
1008
2017 1
M =−−
C.
2016
2017 1M =
D.
2016
1 2017M
=
Câu 68: Giá tr ca biu thc
( )
3 1 34
0
32
2 .2 5 .5
10 :10 0,1
P
−−
−−
+
=
A.
9
. B.
10
. C.
10
. D.
9
.
Câu 69: Cho hàm s
( )
(
)
(
)
2
3
2
3
3
1
88
31
8
aa a
fa
aa a
=
vi
0, 1aa>≠
. Tính giá trị
( )
2018
2017Mf=
.
A.
2018
2017 1.+
B.
1009
2017 1.−−
C.
1009
2017 .
D.
1009
2017 1.+
DẠNG 3. SO SÁNH CÁC BIỂU THỨC CHỨA LŨY THỪA
Câu 70: Nếu
11
3 6
aa>
35
bb>
thì
A.
1; 0 1ab< <<
. B.
1; 1ab><
. C.
0 1; 1ab<< <
D.
1; 0 1ab> <<
.
Câu 71: Cho
1a >
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
2016 2017
11
aa
<
. B.
1
3
aa>
. C.
3
5
1
a
a
>
. D.
3
2
1
a
a
>
.
CHUYÊN Đ VITOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 14
Sưu tm và biên son
Câu 72: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề o SAI?
A.
( ) ( )
2018 2017
31 31 >−
. B.
+
>
3
21
22
.
C.
( )
( )
2017 2018
21 21 >−
. D.
2019 2018
22
11
22

<−



.
Câu 73: Khng định nào sau đây đúng?
A.
2017 2018
( 5 2) ( 5 2)
−−
+ <+
. B.
2018 2019
( 5 2) ( 5 2)+ >+
.
C.
2018 2019
( 5 2) ( 5 2) >−
. D.
2018 2019
( 5 2) ( 5 2) <−
.
Câu 74: Khng định nào dưới đây là đúng?
A.
33
35
.
78

>


B.
11
23
ππ
−−

<


. C.
2
2
1
3
5

<


. D.
( )
50
100
1
2
4

<


.
Câu 75: Trong các khẳng đnh sau, khẳng định nào sai?
A.
2018 2017
22
11
22

<−



. B.
( ) ( )
2017 2018
21 21 >−
.
C.
( ) ( )
2018 2017
31 31 >−
. D.
21 3
22
+
>
.
Câu 76: Tìm tp tt c các giá tr ca
a
để
7
52
21
aa>
?
A.
0a >
.
B.
01a
<<
.
C.
1a >
. D.
52
21 7
a<<
.
DẠNG 4. BÀI TOÁN LÃI SUT DÂN S
Câu 77: Anh An gi s tiền 58 triệu đồng vào một ngân hàng theo hình thức lãip và n định trong 9
tháng thì lĩnh về được 61758000đ. Hỏi lãi suất ngân hàng hàng tháng là bao nhiêu? Biết rằng lãi
suất không thay đổi trong thời gian gi.
A.
0,8 %
B.
0,6 %
C.
0,7 %
D.
0,5 %
Câu 78: Ông An gi tiết kim
50
triệu đồng vào ngân hàng với k hn
3
tháng, lãi suất
8, 4%
mt năm
theo hình thức lãi kép. Ông gi được đúng
3
k hạn thì ngân hàng thay đổi lãi sut, ông gi tiếp
12
tháng nữa vi k hạn như cũ và lãi suất trong thi gian này là
12%
mt năm thì ông rút tin
v. S tin ông An nhận được c gc ln lãi là:
A.
62255910
đồng. B.
59895767
đồng. C.
59993756
đồng. C.
63545193
đồng.
Câu 79: Một hc sinh
A
khi
15
tuổi được hưng tài sn tha kế
200 000 000
VNĐ. S tiền y được
bo quản trong ngân hàng
B
vi hạn thanh toán
1
năm hc sinh
A
ch nhận được s tin
này khi
18
tui. Biết rng khi
18
tui, s tin mà hc sinh
A
được nhn s là
231 525 000
VNĐ. Vậy lãi suất kì hạn một năm của ngân hàng
B
là bao nhiêu?
A.
8% /
năm. B.
7% /
năm. C.
6% /
năm. D.
5% /
năm.
Câu 80: Ông Anh gửi vào ngân hàng
60
triu đồng theo hình thức lãi kép. Lãi suất ngân hàng
8%
trên
năm. Sau
5
năm ông An tiếp tc gi thêm
60
triu đng na. Hi sau
10
năm k t ln gi đu
tiên ông An đến rút toàn bộ tin gc và tiền lãi được là bao nhiêu?.
A.
231,815
. B.
197,201
. C.
217,695
. D.
190,271
.
CHUYÊN Đ VITOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 15
Sưu tm và biên son
Câu 81: Anh Nam gửi 100 triệu đồng vào ngân hàng theo th thc lãi kép hn là mt quý vi lãi sut
3% một quý. Sau đúng 6 tháng anh Nam gửi thêm 100 triệu đng vi hn và lãi sut như trưc
đó.Hỏi sau 1 năm số tin anh Nam nhận được là bao nhiêu?.
A.
218,64
triệu đồng. B.
208, 25
triệu đồng. C.
210,45
triệu đồng. D.
209,25
triệu đồng.
Câu 82: Ông tun gi 100 triu vào ngân hàng với hình thc lãi kép, k hn 1 năm vi lãi sut
8%
. Sau
5 năm ông rút toàn b tin và dùng mt na đ sa nhà, s tin còn li ông tiếp tc gi ngân hàng
vi lãi suất như lần trưc. S tin lãi ông tun nhận được sau 10 năm gi gn nht vi giá tr nào
dưới đây?
A.
46,933
triu. B.
34,480
triu. C.
81,413
triu. D.
107,946
triu.
Câu 83: Dân s thế giới được ước tính theo công thức
.
ni
S Ae=
, trong đó
A
là dân s ca năm ly làm
mc,
S
dân s sau
n
năm,
i
là t l tăng dân số hằng năm. Dân số Việt Nam năm 2019
95,5
triu ngưi, t l ng dân s hằng năm t 2009 đến nay
1,14%
. Hi dân s Vit Nam
năm 2009 gần vi s nào nhất trong các số sau?
A.
94, 4
triệu người. B.
85, 2
triệu người. C.
86, 2
triệu người. D.
83, 9
triệu người.
Câu 84: Để d báo dân số ca mt quốc gia, người ta s dng công thc
;
nr
S Ae=
trong đó
A
là dân số
ca năm ly làm mốc tính,
S
dân s sau
n
năm,
r
là t l tăng dân số hàng năm. Năm 2017,
dân số Vit nam là
93.671.600
ni. Gi s t l tăng dân số hàng năm không đổi
0,81%,
d báo dân số Việt nam năm 2035 là bao nhiêu người?
A.
109.256.100
. B.
108.374.700
. C.
107.500.500
. D.
108.311.100
.
Câu 85: COVID19 là mt loi bệnh viêm đường hô hp cp do chng mi của virus corona bt ngun t
Trung Quốc gây ra vi tc đ truyn bnh rất nhanh. Gi s ban đầu 1 người b nhim bnh
và c sau 1 ngày s lây sang 4 ngưi khác. Tt c những người nhim bnh li tiếp tc lây sang
nhng ngưi khác vi tc đ như trên. Hỏi sau 7 ngày sẽ tng cộng bao nhiêu người nhim
bệnh?.
A. ngưi. B. ni. C. ni. D. ni.
Câu 86: Ông An gửi 100 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi sut 0,8%/ tháng. Biết rằng nếu không rút
tin ra khi nn ng thì c sau mi tháng s tin lãi s được nhp vào gc đ tính lãi cho tháng
tiếp theo từ tháng th hai tr đi, mỗi tháng ông gi them vào tài khon vi s tin 2 triu đng.
Hỏi sau đúng 2 năm s tin ông An nhận được c gc lẫn lãi là bao nhiêu? Biết rng trong sut
thi gian gi lãi suất không thay đổi và ông An không rút tiền ra.
A.
169.871.000
đồng. B.
171.761.000
đồng. C.
173.807.000
đồng. D.
169.675.000
đồng.
Câu 87: Ông Chính gửi 200 triệu đồng vào mt ngân hàng vi lãi sut
7%
năm. Biết rng nếu không rút
tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mi năm s tin lãi s được nhp vào gc đ tính lãi cho năm
tiếp theo từ năm th 2 tr đi, mỗi năm ông gửi thêm vào tài khoản vi s tiền 20 triệu đồng.
Hỏi sau 18 năm số tiền ông Chính nhận được c gc lẫn lãi là bao nhiêu? Giả định trong suốt
thi gian gi lãi suất không thay đổi và ông Chính không rút tiền ra.
A.
1.686.898.000
VNĐ. B.
743.585.000
VNĐ.
C.
739.163.000
VNĐ. D.
1.335.967.000
VNĐ.
Câu 88: Một ngưi gi tiết kim s tin
80000000
đồng vi lãi sut
6,9%
/ năm. Biết rng tin lãi hàng
năm được nhp vào tin gc, hỏi sau đúng 5 năm người đó rút được c tin gc ln tin lãi gn
vi con s nào sau đây?
A.
105370000
đồng B.
111680000
đồng C.
107667000
đồng D.
116570000
đồng
77760
16384
62500
78125
CHUYÊN Đ VITOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 16
Sưu tm và biên son
Câu 89: Ngày 01 tháng 01năm 2017, ông An đem 800 triệu đng gi vào mt ngân hàng vi lãi sut 0,5%
một tháng. Từ đó, cứ tròn mỗi tháng, ông đến ngân hàng rút 6 triệu để chi tiêu cho gia đình. Hỏi
đến ngày 01tháng 01 năm 2018, sau khi rút tiền, s tin tiết kim ca ông An còn lại bao nhiêu?
Biết rằng lãi suất trong suốt thi gian ông An gửi không thay đổi
A.
11
800.(1,005) 72
B.
12
1200 400.(1,005)
C.
12
800.(1,005) 72
D.
11
1200 400.(1,005)
Câu 90: Vào ngày
15
hàng tháng ông An đều đến gi tiết kim tại ngân hàng
SHB
s tin
5
triệu đồng
theo hình thức lãi kép với kì hạn một tháng, lãi suất tiết kiệm không đổi trong suốt quá trình gửi
7, 2% /
năm. Hỏi sau đúng
3
m k t ny bt đu gửi ông An thu được s tin c gc và lãi
là bao nhiêu?.
A.
195251000
B.
201453000
C.
195252000
D.
201452000
CHUYÊN Đ VITOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 1
Sưu tm và biên son
BÀI 18: LŨY THA VI S MŨ THC
DẠNG 1. RÚT GỌN BIỂU THỨC LŨY THỪA
Câu 1: Cho
0, ,
a mn
>∈
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
.
m n mn
aaa
+
+=
B.
..
m n mn
aa a
=
C.
( ) ( ).
mn nm
aa=
D.
.
m
nm
n
a
a
a
=
Li gii
Tính cht lũy tha
Câu 2: Vi
a
là s thực dương tùy ý,
1
4
2
.
aa
bng
A.
8
a
. B.
2
a
. C.
7
2
a
. D.
9
2
a
.
Lời giải
Ta có
1 19
4
4
2 22
.aa a a
+
= =
.
Câu 3: Cho s thực dương
a
và s nguyên dương
n
tùy ý. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
2+
=
nn
aa
. B.
2
=
nn
aa
. C.
2
=
n
n
aa
. D.
2
=
n
n
aa
.
Li gii
Ta có:
2
=
n
n
aa
.
Câu 4: Cho
a
là s thực dương. Biểu thc
3
32
.aa
được viết dưới dạng lũy thừa vi s mũ hữu t
A.
11
3
a
B.
2
a
C.
5
3
a
D.
8
3
a
Li gii
2 2 11
3
3
32 3
3 33
.. .a a aa a a
+
= = =
Câu 5: Viết biểu thức
( )
3
4
., 0P xx x= >
dưới dạng lũy thừa vi s mũ hữu t
A.
5
4
Px=
. B.
1
12
Px=
. C.
1
7
Px=
. D.
5
12
Px=
.
Lời giải
CHƯƠNG
VI
HÀM S
VÀ HÀM S LOGARIT
HỆ THỐNG BÀI TP TRẮC NGHIỆM.
III
CHUYÊN Đ VITOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 2
Sưu tm và biên son
Ta có
1 55
33
3
4
4 4 12
..P x x xx x x= = = =
.
Câu 6: Cho
a
là một số thực dương. Giá trị của biểu thức
(
)
4
2
a
a
P =
bằng
A.
4
. B.
2
. C.
8
. D.
1
.
Lời giải
Ta có
(
)
4
.
2
4
4
2
2
2 2 2 24
a
a
a
a
a
a
P

= = = = =


.
Câu 7: Với
a
là s thực dương, biểu thc
1
3
.Pa a=
bằng
A.
1
6
a
. B.
2
5
a
. C.
5
6
a
. D.
4
3
a
.
Lời giải
1 15
1
3 36
2
..P a a aa a= = =
.
Câu 8: Cho
1a
số thực dương. Viết và rút gọn biểu thức
3
2022
2022
aa
dưới dạng lũy thừa với số
hữu tỉ. Tìm số mũ của biểu thức rút gọn đó.
A.
1
1011
. B.
2
3
2022
. C.
2
1011
. D.
3
1011
.
Li gii
Ta có:
3 3 1 31 2
2022
2022 2022 2022 2022 2022 1011
a aa a a a
+
=⋅= =
.
Câu 9: Rút gọn biu thc vi .
A. . B. . C. . D. .
Li gii
.
Câu 10: Đơn giản biu thc
21
2
1
.Pa
a

=


vi
0a >
, được kết qu
A.
2
a
.
B.
221
a
.
C.
12
a
. D.
a
.
Li gii
Ta có:
( )
21
21
2 2 1 2 21 2 21 1
1
.. .Pa a a aa a a a
a
+ −+

= = = = = =


.
Vy
.Pa=
Câu 11: Rút gn biu thc
7
3
3
:Qa a=
vi
0a >
2
6
5
.Px x=
0x >
1
15
Px=
17
15
Px=
17
30
Px=
Px=
2 2 1 2 1 17
6
5 5 6 5 6 30
..P x x xx x x
+
= = = =
CHUYÊN Đ VITOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 3
Sưu tm và biên son
A.
4
3
Qa
=
. B.
2
Qa=
. C.
8
3
Qa=
. D.
4
Qa
=
.
Li gii
Ta có:
7 7 1 71
2
3
3 3 3 33
::Qa aaa a a
= = = =
.
Câu 12: Vi
a
là s thực dương tùy ý,
5
3
a
bng
A.
5
3
a
. B.
3
5
a
. C.
8
a
. D.
2
a
.
Li gii
Vi
0a >
ta có:
5
3
5
3
aa=
.
Câu 13: Vi
a
là s thực dương tùy ý khi đó
2
5
.aa
bng
A.
11
10
a
. B.
1
10
a
. C.
22
5
a
. D.
10
11
a
.
Li gii
Vi
0a >
ta có
1 11 11
22
5
5 5 10
..a a aa a a= = =
.
Câu 14: Vi
a
là s thực dương tuỳ ý,
3
a
bng
A.
1
6
a
. B.
2
3
a
. C.
6
a
. D.
3
2
a
.
Lời giải
Ta có
3
3
2
aa=
.
Câu 15: Rút gọn biu thc
1
6
3
4
xx
P
x
, vi
0x
.
A.
4
Px
. B.
1
6
Px
. C.
Px
. D.
1
6
Px
.
Lời giải
Ta có
1 11
111 1
6
3 36
4
364 4
1
4
4
.x x xx
P x xx
x
x


.
Câu 16: Rút gọn biểu thức
1
6
3
., 0A x xx= >
ta được
A.
Ax=
. B.
2
9
Ax=
. C.
2
Ax=
. D.
81
Ax=
.
Lời giải
Ta có:
1
1
6
3
2
.Ax x x x= = =
.
Câu 17: Vi
0x
thì
2
xxx
bng
A.
x
. B.
2
x
. C.
x
. D.
4
x
.
Li gii
CHUYÊN Đ VITOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 4
Sưu tm và biên son
Ta có
2
..xxx xxx xx x 
Câu 18: Vi
a
là s thực dương tùy ý,
3
1
a
bng?
A.
3
a
. B.
3
2
a
. C.
1
6
a
. D.
3
2
a
.
Li gii
Ta có:
( )
1
3
1
2
3
2
2
33
11
aa
aa

= = =


.
Câu 19: Cho
0a >
, khi đó
4
a
bng
A.
4
1
a
. B.
4
a
. C.
4
1
a
. D.
.
Lời giải
Ta có
1
4
4
aa=
.
Câu 20: Vi
a
là s thực dương tuỳ ý,
3
4
aa
bng
A.
17
6
a
. B.
13
8
a
. C.
13
6
a
. D.
17
4
a
.
Lời giải
Ta có
13
1 13
33
4
8
44
.a a aa a a
= = =
.
Câu 21: Cho s thc
a
dương tùy ý. Đặt
5
3
4
p
a aa a⋅=
. Khng định đúng là:
A.
19
12
p =
. B.
23
12
p =
. C.
13
12
p =
. D.
23
24
p =
.
Li gii
Ta có
3
55
3
44
1
1
2.
2
..a aa aaa⋅=
2
511
1
426
23
a a
++
= =
.
Suy ra
23
12
p =
.
Câu 22: Cho
x
là s thực dương. Biết
3
3
.
b
a
x xxx x=
vi
a
,
b
các s t nhiên
a
b
phân số
ti gin. Tính
ab+
.
A.
16
. B.
15
. C.
14
. D.
17
.
Li gii
Ta có
1 2 57
3
3
3
3
3 3 99
. . ..x xxx xxxx xxx xx x= = = =
.
Khi đó
7
a =
;
7b =
nên
16ab+=
.
Câu 23: Cho
x
là số thực dương. Biểu thức
2
4
3
xx
được viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ là
CHUYÊN Đ VITOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 5
Sưu tm và biên son
A.
12
7
x
. B.
5
6
x
. C.
. D.
6
5
x
.
Li gii
Ta có:
17
7
44
22
4
3
33
12
.
x x xx x x= = =
vi
0
x >
.
Câu 24: Cho hai s thực dương
,
ab
. Rút gọn biu thc
11
33
44
12 12
a bb a
A
ab
+
=
+
ta thu được
.
mn
A ab
=
. Tích
ca
.mn
A.
1
9
. B.
1
16
. C.
1
18
. D.
1
8
.
Li gii
Ta có
11 1 1
4 4 12 12
11
11
33
44
44
11
12 12
12 12
ab b a
a bb a
A ab
ab
ab

+

+

= = =

+
+


Suy ra
11 1
..
4 4 16
mn
= =
Câu 25: Biết biu thc
( )
6
32
3
0
P xxxx= >
được viết i dng y tha vi s hữu t
x
α
.
Khi đó, giá trị ca
α
bng
A.
37
15
. B.
23
36
. C.
23
30
. D.
53
30
.
Li gii
Ta có
5 23
1
6
6
3
6
32 32 3
3
6 36
2
..P xxx xxx xx x= = = =
.
Câu 26: Cho hàm s
( )
(
)
(
)
2
3
2
3
3
1
88
31
8
aa a
fa
aa a
=
vi
0, 1aa>≠
. Giá trị ca
( )
2022
2021Mf=
A.
1011
2021
B.
1011
2021 1+
C.
1011
2021 1−+
D.
1011
2021 1−−
Li gii
Ta có:
( )
(
)
(
)
2 21
11
2
33 3
22
3
2
3
3
1
2
1 11
13 1
88
31
8 22
88 8
11
1
1
11
aa a
aa
aa a
a
fa a
aa
aa a
aa a


−− +



= = = = =−−

−−


Khi đó
( ) ( )
1
2022 2022 1011
2
2021 2021 1 2021 1Mf= = −=
.
CHUYÊN Đ VITOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 6
Sưu tm và biên son
Câu 27: Cho
a
là s thực dương. Rút gọn biu thc
3
A aa aa=
v dng
m
n
a
trong đó
m
n
phân
s ti gin và
,
mn
. Tính giá trị ca biu thc
22
Tm n= +
.
A.
2425
. B.
539
. C.
593
. D.
1369
.
Li gii
Ta có
1 3 1 1 23
31
1
3
8 248 8
24
...A aa aa aaaa a a
+++
= = = =
23; 8mn
⇒= =
22 22
23 8 593Tm n⇒= + = + =
.
Câu 28: Rút gn biu thc
7
3
5
3
7
42
.
.
aa
A
aa
=
vi
0a >
ta đưc kết qu
m
n
Aa=
, trong đó
*
,mn
m
n
phân số ti gin. Khng định nào sau đây đúng?
A.
2
3 22mn−=
. B.
22
43mn
+=
. C.
2
2 15
mn+=
. D.
22
25mn
+=
.
Li gii
Ta có:
7 5 7 57
26 2
54
3
3 3 3 33
4
77
2 2 26
42
7
4
4
7 77
..
.
.
aa aa a a
A aa
aa
aa a a
+
= = = = = =
2
2; 7 2 15m n mn = = +=
.
Câu 29: Biết biu thc
(
)
6
3
32
0P xxxx= >
được viết dưi dng lũy tha vi s hu t
x
α
. Khi
đó, giá trị ca
α
bng
A.
37
15
. B.
23
36
. C.
23
30
. D.
53
30
.
Li gii
3 2 1 23
6
3
32
6 18 36 36
P xxx x x
++
= = =
.
Câu 30: Vi
α
là s thc bất kì, mệnh đề nào sau đây sai?
A.
( )
10 10
α
α
=
. B.
2
10 10
α
α
=
.
C.
( )
( )
2
10 100
α
α
=
. D.
( )
( )
2
2
10 10
α
α
=
.
Li gii
Theo định nghĩa và các tính chất của lũy thừa, ta thấy A, B, C là các mệnh đề đúng.
Xét mệnh đề D: vi
1
α
=
, ta có:
( )
( )
2
2
1
1
10 100 10 10=≠=
nên mệnh đề D sai.
Câu 31: Rút gọn biu thc
=
5
3
3
:Qb b
vi
> 0b
.
A.
=
4
3
Qb
B.
=
4
3
Qb
C.
=
5
9
Qb
D.
=
2
Qb
CHUYÊN Đ VITOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 7
Sưu tm và biên son
Li gii
= = =
5 51 4
3
3 33 3
::Qb bbb b
Câu 32: Rút gọn biu thc
1
6
3
.Px x
=
vi
0x
>
.
A.
Px=
B.
1
8
Px
=
C.
2
9
Px=
D.
2
Px=
Li gii
Ta có:
1 1 1 11
1
6
3 3 6 36
2
..P x x xx x x x
+
= = = = =
Câu 33: Cho biu thc
4
3
23
..P xx x=
, vi
0
x
>
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
2
3
Px=
B.
1
2
Px=
C.
13
24
Px=
D.
1
4
Px=
Li gii
Ta có, vi
0:
>x
7 13
3 7 13
44
33
44
4
3
23 2
66
2 2 24
.. .. . .= = = = = =P xx x xxx xx xx x x
.
Câu 34: Cho biu thc
1
1
6
3
2
. .x
P xx=
vi
0x
>
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
Px=
B.
11
6
Px=
C.
7
6
Px=
D.
5
6
Px=
Li gii
1 111
1
6
3 236
2
. .xP xx x x
++
= = =
Câu 35: Rút gọn biu thc
1
3
6
Px x=
vi
0x
>
.
A.
1
8
Px=
B.
Px=
C.
2
9
Px=
D.
2
Px=
Li gii
Vi
1 1 11
1
6 3 63
2
0; .x P xx x x x
+
>= = ==
Câu 36: Viết biu thc
3
4
.P xx=
(
0x >
) dưới dng lu tha vi s mũ hữu t.
A.
5
4
Px=
. B.
5
12
Px=
. C.
1
7
Px=
. D.
1
12
Px=
.
Li gii
Ta có
11
1 55
33
4 4 12
.P xx x x

= = =


.
Câu 37: Cho biu thc
6
4
5 3
.. ,P xx x=
vi
0x >
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
15
16
Px=
. B.
7
16
Px=
. C.
5
42
Px=
. D.
47
48
Px=
.
Li gii
CHUYÊN Đ VITOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 8
Sưu tm và biên son
3 11
7
51
6
4
2 46
5
16
3
..
P xx x x x


++




= = =
.
Câu 38: Cho biu thc
4
3
23
..
P xx x=
, vi
0
x >
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
2
3
Px=
. B.
1
4
Px=
. C.
13
24
Px=
. D.
1
2
Px=
.
Li gii
Chn C
Ta có
7 13
3 7 13
44
33
44
4
3
23 2
66
2 2 24
.. .. . .P xx x xxx xx xx x x= = = = = =
.
Câu 39: Gi s
a
là s thực dương, khác
1
. Biểu thc
3
aa
được viết dưới dng
a
α
. Khi đó
A.
2
3
α
=
. B.
5
3
α
=
. C.
1
6
α
=
. D.
11
6
α
=
.
Li gii
12
1
3
33
2
3
aa a a a
α
α
+
= = = ⇒=
.
Câu 40: Biu thc
3
22
K =
viết dưới dạng lũy thừa vi s mũ hữu t
A.
4
3
2
. B.
5
3
2
. C.
1
3
2
. D.
2
3
2
.
Li gii
1
1 44 2
2
3
3 33 3
2 2 2.2 2 2 2K

= = = = =


.
Câu 41: Biu thc
6
5
3
. . ( 0)xxxx>
viết dưới dng lu tha vi s mũ hữu t
A.
2
3
x
. B.
5
2
x
. C.
7
3
x
. D.
5
3
x
.
Li gii
1 5 10 5
1
6
5
3
36 6 3
2
. . ..xxx xxx x x= = =
.
Câu 42: Cho biu thc
( )
71 2 7
22
22
.aa
P
a
+−
+
=
vi
0a >
. Rút gọn biu thc
P
được kết qu
A.
5
Pa=
. B.
3
Pa=
. C.
Pa=
. D.
4
Pa=
.
Li gii
( )
71 2 7 3
5
2
22
22
.aa a
Pa
a
a
+−
+
= = =
.
CHUYÊN Đ VITOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 9
Sưu tm và biên son
Câu 43: Cho a là s thực dương. Viết và rút gọn biu thc
3
2018
2018
.aa
dưới dạng lũy thừa vi s mũ hữu
tỉ. Tìm số mũ của biu thức rút gọn đó.
A.
2
1009
. B.
1
1009
. C.
3
1009
. D.
2
3
2018
.
Li gii
3 31 4 2
2018
2018 2018 2018 2018 1009
..= = =
a aaaaa
. Vy s mũ của biu thc rút gọn bng
2
1009
.
Câu 44: Rút gọn biu thc
31 2 3
22
22
.aa
P
a

vi
0
a
.
A.
Pa
. B.
3
Pa
. C.
4
Pa
. D.
5
Pa
.
Li gii
31 2 3 312 3 3
5
2
22
22 22
22
.aa a a
Pa
a
a
a



.
Câu 45: Biu thc
3
2
5
P xx x x
α
= =
, giá tr ca
α
A.
1
2
. B.
5
2
. C.
9
2
. D.
3
2
.
Li gii
11
1 5 31
53
3
5
3
22
5
2 2 22
3
1
.. .
2
P xx x xxx xx x x
α
 
= = = = = ⇒=
 
 
Câu 46: Cho
a
là s thực dương khác
1
. Khi đó
2
4
3
a
bng
A.
3
2
a
. B.
8
3
a
. C.
3
8
a
. D.
6
a
.
Li gii
Ta có:
1
2 2 21 1
4
.
4
6
3 3 34 6
aa aa a

= = = =


Câu 47: Rút gọn biu thc
31 2 3
22
22
.aa
P
a

vi
0a
A.
Pa=
B.
3
Pa=
C.
4
Pa
=
D.
5
Pa=
Li gii
Ta có
31 2 3 3
5
24
22
22
.aa a
Pa
a
a


Câu 48: Cho biu thc
3
5
4
.Px x
=
,
0x >
. Khng định nào sau đây là đúng?
CHUYÊN Đ VITOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 10
Sưu tm và biên son
A.
2
Px
=
B.
1
2
Px
=
C.
1
2
Px=
D.
2
Px=
Li gii
Ta có
3
5
4
.
Px x
=
3 5 35 1
4 4 44 2
.
xx x x
−+
= = =
.
Câu 49:
Cho biu thc
3
3
4
.P xx x=
, vi
0.x
>
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
1
2
.Px=
B.
7
12
.Px=
C.
5
8
.Px=
D.
7
24
.Px=
Li gii
Ta có:
5
3
3
4
8
.P xx x x= =
Câu 50: Cho hai s thc dương
,ab
. Rút gọn biu thc
11
33
66
a bb a
A
ab
+
=
+
ta thu được
.
mn
A ab=
. Tích
ca
.mn
A.
1
8
B.
1
21
C.
1
9
D.
1
18
Li gii
11 1 1
33 6 6
1 1 11
11
11
3 3 33
22
33
11 11
66
66 66
.
..
.
ab b a
a b b a ab ba
A ab
ab
ab ab

+

++

= = = =
+
++
1
3
m⇒=
,
1
3
n =
1
.
9
mn⇒=
.
Câu 51: Rút gọn biu thc
11
3
7
3
7
45
.
.
aa
A
aa
=
vi
0a >
ta đưc kết qu
m
n
Aa=
trong đó
,mn
*
N
m
n
phân số ti gin. Khng định nào sau đây đúng?
A.
22
312mn−=
. B.
22
543mn+=
. C.
22
312mn−=
. D.
22
409.mn+=
Li gii
Ta có:
11 7 11
19
3
76
3 33
7
5 23
7
45
4
77
..
.
.
aa aa a
Aa
aa
aa a
= = = =
m
n
Aa=
,
,mn
*
N
m
n
là phân số ti gin
22
19, 7
312
mn
mn
⇒= =
−=
Câu 52: Cho
a
là s thực dương. Đơn giản biu thc
41 2
33 3
13 1
44 4
aa a
P
aa a




.
CHUYÊN Đ VITOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 11
Sưu tm và biên son
A.
( )
1P aa
= +
. B.
1
Pa=
. C.
Pa
=
. D.
1Pa= +
.
Li gii
41 2
33 3
4 1 42
2
3 3 33
13 1 1
13 1
44 4 4
44 4
1
11
.
..
aa a
aa
a a aa a a
Pa
aa
aa aa
aa a







.
Câu 53: Cho
,
ab
là các s thực dương. Rút gọn
44
33
33
a b ab
P
ab
ta được
A.
P ab
. B.
P ab

. C.
44
P a b ab
. D.
P ab a b
.
Li gii
11
33
441 1
333 3
11 11
33
33 33
..
.
ab a b
a b ab a a b ab b
P ab
ab
ab ab





Câu 54: Cho biu thc
5
3
822 2
m
n
=
, trong đó
m
n
phân số ti gin. Gi
22
Pm n
= +
. Khng đnh nào
sau đây đúng?
A.
( )
330;340P
. B.
( )
350;360P
. C.
( )
260;370P
. D.
( )
340;350P
.
Li gii
Chn D
Ta có
3 1 1 3 1 1 11
55
3
33
5 10 30 5 10 30 15
8 2 2 2 2 2 2 .2 .2 2 2
++
= = = =
22 2 2
11
11
11 15 346
15
15
m
m
Pm n
n
n
=
= ⇒= + = + =
=
.
Câu 55: Cho
0>a
,
0>b
, giá trị ca biu thc
( ) ( )
1
2
2
1
1
2
1
2 . .1
4



=+ +−





ab
T a b ab
ba
bng
A.
1
. B.
1
2
. C.
2
3
. D.
1
3
.
Li gii
Cách 2:
Ta có
( ) ( )
1
2
2
1
1
2
1
2 . .1
4



=+ +−





ab
T a b ab
ba
CHUYÊN Đ VITOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 12
Sưu tm và biên son
(
) (
)
1
2
2
1
1
2
1
2 . .1
4


=++





ab
a b ab
ab
( ) ( )
( )
1
2
2
1
1
2
2 . .1
4

=++



ab
a b ab
ab
( ) ( )
( )
1
2
2
1
1
2
2 ..
4

+
= +



ab
a b ab
ab
(
)
( )
( )
1
2
1
2
1
2. . 1
2
+
= =
+
ab
ab
ab
ab
.
DẠNG 2. TÍNH GIÁ TRỊ BIU THC
Câu 56: Biu thc
5
5
4. 8P =
có giá tr bng
A.
42
. B.
2
. C. 2. D.
42
.
Lời giải
Ta có
( )
5
5
5
4. 8 32 2P = =−=
.
Câu 57: Giá tr
35
2021. 2021
viết dưới dng lũy tha vi s mũ hữu t
A.
2
5
2021
. B.
1
15
2021
. C.
8
15
2021
. D.
1
10
2021
Li gii
1 1 11 8
35
3 5 3 5 15
2021. 2021 2021 .2021 2021 2021 .
+
= = =
Câu 58: Giá tr ca
1
3
27
bng
A. 6. B. 81. C. 9. D. 3.
Li gii
Ta có
3
3
1
27 327
= =
.
Câu 59: Cho
1
256
a =
1
27
b =
. Tính
4
3
3
4
Aa b
= +
A.
23
. B.
89
. C.
145
. D.
26
.
Li gii
Thay
1
256
a =
,
1
27
b
=
vào
4
3
3
4
Aa b
= +
ta được
(
) ( )
34
4
3
34
43
4 3 34
3
4
43
11
4 3 4 3 145
256 27
Aa b
−−
−−
−−

= + = + = + =+=


.
Câu 60: Cho
44 7
xx
+=
. Biểu thc
52 2
8 4.2 4.2
xx
xx
P
++
=
−−
có giá trị bng
A.
3
2
P =
. B.
5
2
P =
. C.
2P =
. D.
2P =
.
Li gii
( )
2
44 7 22 9 22 3.
xx xx xx−−
+=+ =+=
CHUYÊN Đ VITOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 13
Sưu tm và biên son
Suy ra
52 2 53
2.
8 4.2 4.2 8 12
xx
xx
P
++ +
= = =
−−
.
Câu 61: Cho
9 9 23
xx
+=
. Khi đó biểu thc
53 3
13 3
xx
xx
a
A
b
++
= =
−−
vi
a
b
là phân số ti gin
,ab
.
Tích
bng
A.
10
. B.
10
. C.
8
. D.
8
.
Li gii
Ta có:
(
)
2
9 9 23 3 3 25
xx xx
−−
+=⇔+ =
33 5
xx
⇔+ =
3 3 0,
xx
x
+ > ∀∈
53 3 55 5
13 3 15 2
xx
xx
A
++ +
= = =
−−
.
Vy
. 10ab=
.
Câu 62: Cho biu thc
1
2
2
1
1
3. 2 4
2
x
x
x
T
−−
=+−
. Khi
23
x
=
thì giá trị ca biu thc
T
A.
93
2
. B.
53
2
. C.
33
2
. D.
73
2
.
Li gii
Ta có:
(
)
1
11
22
1
22
1
1 1 9 93
3. 2 4 2 3. 2 4 2.2 3.2 .2 .2
2 22 2
x
x
x
x
x xx x x
x
T
+
−−

= + −=+ =+ = =


.
Câu 63: Biết
4 4 14
xx
+=
, tính giá trị ca biu thc
22
xx
P
= +
.
A.
4
. B.
16
. C.
17
. D.
.
Li gii
Ta có
4 4 14
xx
+=
( ) ( )
22
2 2 2 16
xx
+ +=
( )
2
2 2 16
xx
⇔+ =
22 4
22 4
xx
xx
+=
+=
22 4
xx
⇔+ =
.
Vy
4P =
.
Câu 64: Cho
44 7
xx
+=
. Khi đó biểu thc
11
52 2
32 2
xx
xx
a
P
b
+−
−−
= =
++
vi
a
b
ti gin và
,ab
+
∈∈
. Tính
tng
ab+
có giá trị bng
A.
8
. B.
11
. C.
17
. D.
4
.
Li gii
Ta có:
( )
2
2 2 4 4 2.2 .2
xx xx xx −−
+ =++
72= +
9=
. Suy ra:
22 3
xx
+=
.
CHUYÊN Đ VITOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 14
Sưu tm và biên son
( )
( )
11
522
52 2
32 2
3 22 2
xx
xx
xx
xx
P
+−
−+
−−
= =
++
++
53
3 2.3
=
+
2
9
=
Suy ra:
2a =
,
9 11b ab
=⇒+=
.
Câu 65: Tính giá trị ca biu thc
( ) ( )
2017 2016
7 43 43 7P
=+−
A.
(
)
2016
7 43P = +
B.
1
P
=
C.
7 43P =
D.
7 43P = +
Li gii
( )
( ) ( ) ( )( )
( )
( )
2016
2017 2016
2016
7 43 43 7 7 43. 7 43 43 7
7 43 1 7 43.
P

=+ −=+ +

=+ −=+
Câu 66: Cho biu thc
3
3
222
333
P =
. Mệnh đề nào trong các mệnh đề sau là đúng?
A.
1
8
2
3
P

=


. B.
18
2
3
P

=


. C.
1
18
2
3
P

=


. D.
1
2
2
3
P

=


.
Li gii
Cách 1:
Ta có:
3
3
222
333
P =
3
2
3
3
22
33

=


31 3 1
.1
23 2 2
33
2 22
3 33
+
  
= = =
  
  
.
Câu 67: Cho hàm s
(
)
(
)
(
)
1
3
4
3
3
1
88
31
8
a aa
fa
aa a
=
vi
0, 1aa>≠
. Tính giá trị
( )
2016
2017Mf=
A.
1008
2017 1M =
B.
1008
2017 1M
=−−
C.
2016
2017 1M =
D.
2016
1 2017M =
Li gii
( )
(
)
(
)
1
3
4
3
3
1
88
31
8
1
1
1
a aa
a
fa a
a
aa a
= = =−−
nên
(
)
2016 2016 1008
2017 1 2017 1 2017Mf
= =−− =−−
Câu 68: Giá tr ca biu thc
( )
3 1 34
0
32
2 .2 5 .5
10 :10 0,1
P
−−
−−
+
=
A.
9
. B.
10
. C.
10
. D.
9
.
Li gii
Ta có
( )
3134 3134
0
32 1
32
2 .2 5 .5 2 5 4 5 9
10.
1
10 1 10 1
10 :10 0,1
1
10
P
−+
−+
−−
+ ++
= = = = =
−−
.
CHUYÊN Đ VITOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 15
Sưu tm và biên son
Câu 69: Cho hàm s
( )
(
)
(
)
2
3
2
3
3
1
88
31
8
aa a
fa
aa a
=
vi
0, 1aa>≠
. Tính giá trị
( )
2018
2017
Mf=
.
A.
2018
2017 1.
+
B.
1009
2017 1.
−−
C.
1009
2017 .
D.
1009
2017 1.+
Li gii
Ta có
( )
2 21
3 33
1
2
1
13 1
2
88 8
1
1
1
aa a
a
fa a
a
aa a



= = =−−



.
Do đó
( )
( )
1
2018 2018 1009
2
2017 1 2017 1 2017Mf= =−− =−−
.
DẠNG 3. SO SÁNH CÁC BIỂU THỨC CHỨA LŨY THỪA
Câu 70: Nếu
11
3 6
aa>
35
bb>
thì
A.
1; 0 1ab< <<
. B.
1; 1
ab><
. C.
0 1; 1ab<< <
D.
1; 0 1ab> <<
.
Li gii
Ta có:
11
36
>
, lại có
11
3
6
aa>
1a⇒>
.
Ta có:
35<
, lại có
35
bb>
01b⇒<<
.
Câu 71: Cho
1a
>
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
2016 2017
11
aa
<
. B.
1
3
aa>
. C.
3
5
1
a
a
>
. D.
3
2
1
a
a
>
.
Lời giải
1
a >
nên
35
35
11
aa
aa
<⇒ >
3
5
1
a
a
>
.
Câu 72: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề o SAI?
A.
( ) ( )
2018 2017
31 31 >−
. B.
+
>
3
21
22
.
C.
(
)
(
)
2017 2018
21 21 >−
. D.
2019 2018
22
11
22

<−



.
Li gii
A.
( )
( )
2018 2017
31 31
>−
. Cùngsố,
0 311< −<
, hàm nghch biến, s lớn hơn nên
hơn. Sai
B.
+
>
3
21
22
. Cùng cơ s,
21>
, hàm đng biến, s
( ) ( )
22
21 322 3 3+=+ > =
nên lớn
hơn. Đúng
CHUYÊN Đ VITOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 16
Sưu tm và biên son
C.
( )
( )
2017 2018
21 21 >−
. Cùng cơ s,
0 211< −<
, hàm nghch biến, s mũ bé hơn nên ln
hơn. Đúng.
D.
2019 2018
22
11
22

<−



. Cùng cơ số,
2
01 1
2
<− <
, hàm nghch biến, s mũ lớn hơn nên
bé hơn. Đúng
Câu 73: Khng định nào sau đây đúng?
A.
2017 2018
( 5 2) ( 5 2)
−−
+ <+
. B.
2018 2019
( 5 2) ( 5 2)+ >+
.
C.
2018 2019
( 5 2) ( 5 2) >−
. D.
2018 2019
( 5 2) ( 5 2) <−
.
Li gii
2018 2019
0 521
( 5 2) ( 5 2)
2018 2019
C
< −<
⇒− >−
<
đúng.
2017 2018
521
( 5 2) ( 5 2)
2017 2018
A
−−
+>
⇒+ >+
>−
sai
2018 2019
521
( 5 2) ( 5 2)
2018 2019
B
+>
⇒+ <+
<
sai
2018 2019
0 521
( 5 2) ( 5 2)
2018 2019
D
< −<
⇒− >−
<
sai.
Câu 74: Khng định nào dưới đây là đúng?
A.
33
35
.
78

>


B.
11
23
ππ
−−

<


. C.
2
2
1
3
5

<


. D.
( )
50
100
1
2
4

<


.
Li gii
Ta có:
33
35 3 5
78 7 8
 
<⇒ <
 
 
. Phương án A Sai.
11 1 1
23 2 3
ππ
−−

>⇒ <


. Phương án B Đúng.
2
22 2
1
35 3 5 3
5
−−

<⇒>⇒>


. Phương án C Sai.
( )
( )
( )
50
100
50
100
2 100 100
1
2 2 2 22
4

< < ⇒<


. Phương án D Sai.
Câu 75: Trong các khẳng đnh sau, khẳng định nào sai?
CHUYÊN Đ VITOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 17
Sưu tm và biên son
A.
2018 2017
22
11
22

<−



. B.
( ) ( )
2017 2018
21 21 >−
.
C.
( ) ( )
2018 2017
31 31 >−
. D.
21 3
22
+
>
.
Li gii
+)
0 211
2017 2018
< −<
<
( )
( )
2017 2018
21 21⇒− >−
nên A đúng.
+)
0 311
2018 2017
< −<
>
( ) ( )
2018 2017
31 31⇒− <−
nên B sai.
+)
21
21 3
>
+>
21 3
22
+
⇒>
nên C đúng.
+)
2
01 1
2
2018 2017
<− <
>
2018 2017
22
11
22

⇒− <−



nên D đúng.
Câu 76: Tìm tp tt c các giá tr ca
a
để
7
52
21
aa>
?
A.
0a >
.
B.
01
a
<<
.
C.
1a >
. D.
52
21 7
a<<
.
Li gii
7
26
21
aa=
.
Ta có
7
52 5 6
21 21 21
aa aa>⇔>
56<
vy
01a<<
.
DẠNG 4. BÀI TOÁN LÃI SUẤT DÂN S
Câu 77: Anh An gửi s tiền 58 triệu đồng vào một ngân hàng theo hình thức lãi kép và n định trong 9
tháng thì lĩnh về được 61758000đ. Hỏi lãi suất ngân hàng hàng tháng là bao nhiêu? Biết rằng lãi
suất không thay đổi trong thời gian gi.
A.
0,8 %
B.
0,6 %
C.
0,7 %
D.
0,5 %
Li gii
Áp dng công thc
( )
0
1= +
n
n
AA r
vi
n
là s k hn,
0
A
là s tin ban đu,
n
A
là s tin có
được sau
n
k hn,
r
là lãi sut.
Suy ra
( )
9
9
9
90
0
1 1 0,7%= + = −=
A
AA r r
A
.
Câu 78: Ông An gi tiết kim
50
triệu đồng vào ngân hàng với k hn
3
tháng, lãi suất
8, 4%
mt năm
theo hình thức lãi kép. Ông gi được đúng
3
k hạn thì ngân hàng thay đổi lãi sut, ông gi tiếp
12
tháng nữa vi k hạn như cũ và lãi suất trong thi gian này là
12%
mt năm thì ông rút tin
v. S tiền ông An nhận được c gc ln lãi là:
A.
62255910
đồng. B.
59895767
đồng. C.
59993756
đồng. C.
63545193
đồng.
Li gii
CHUYÊN Đ VITOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 18
Sưu tm và biên son
Đợt I, ông An gửi s tin
0
50P =
triu, lãi sut
8, 4%
một năm tức là
2,1%
mi k hn. S
tin c gốc và lãi ông thu được sau
3
k hn là:
( )
3
3
50000000. 1.021P =
.
Đợt II, do ông không rút ra nên số tin
3
P
được xem là s tin gửi ban đầu của đợt II, lãi suất
đợt II là
3%
mi k hn. Ông gi tiếp
12
tháng bằng
4
k hạn nên số tiền thu được cui cùng
là:
(
) ( ) ( )
4 34
3
1.03 50000000. 1.021 . 1.03 59895767PP= =
đồng.
Câu 79: Một hc sinh
A
khi
15
tuổi được hưng tài sn tha kế
200 000 000
VNĐ. S tiền y được
bo quản trong ngân hàng
B
vi hạn thanh toán
1
năm hc sinh
A
ch nhận được s tin
này khi
18
tui. Biết rng khi
18
tui, s tin mà hc sinh
A
được nhn s là
231 525 000
VNĐ. Vậy lãi suất kì hạn một năm của ngân hàng
B
là bao nhiêu?
A.
8% /
năm. B.
7% /
năm. C.
6% /
năm. D.
5% /
năm.
Li gii
Ta có: s tin nhận được ca gc và lãi là:
( )
3
200 000 000 1 231 525 000r+=
5%
r⇔=
/năm
Câu 80: Ông Anh gửi vào ngân hàng
60
triu đồng theo hình thức lãi kép. Lãi suất ngân hàng
8%
trên
năm. Sau
5
năm ông An tiếp tc gi thêm
60
triu đng na. Hi sau
10
năm k t ln gi đu
tiên ông An đến rút toàn bộ tin gc và tiền lãi được là bao nhiêu?.
A.
231,815
. B.
197,201
.
C.
217,695
. D.
190,271
.
Li gii
S tiền ông An nhận được sau
5
năm đầu là:
( )
5
60 1 8% 88,160+=
S tiền ông An nhận được sau
10
năm là:
(
)( )
5
88,16 60 1 8% 217,695
++=
.
Câu 81: Anh Nam gửi 100 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thcip hn là mt quý vi lãi sut
3% một quý. Sau đúng 6 tháng anh Nam gửi thêm 100 triệu đng vi hn và lãi sut như trưc
đó.Hỏi sau 1 năm số tin anh Nam nhận được là bao nhiêu?.
A.
218,64
triệu đồng. B.
208, 25
triệu đồng.
C.
210,45
triệu đồng. D.
209,25
triệu đồng.
Li gii
• S tiền anh Nam nhận được sau 6 tháng là:
(
)
2
0
10
100 1 3 / 106,09T =+=
triệu đồng.
• S tiền anh Nam nhận được sau một năm là:
( )
( )
2
0
20
106,09 100 1 3 / 218,64T = ++
triệu đồng.
CHUYÊN Đ VITOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 19
Sưu tm và biên son
Câu 82: Ông tun gi 100 triu vào ngân hàng với hình thc lãi kép, k hn 1 năm vi lãi sut
8%
. Sau
5 năm ông rút toàn b tin và dùng mt na đ sa nhà, s tin còn li ông tiếp tc gi ngân hàng
vi lãi suất như lần trưc. S tin lãi ông tun nhận được sau 10 năm gi gn nht vi giá tr nào
dưới đây?
A.
46,933
triu. B.
34,480
triu. C.
81, 413
triu. D.
107,946
triu.
Li gii
Năm năm đầu ông Tun có s tin c gc và lãi là
( )
5
1
100. 1 0.08 146,933T =+=
Sau khi sa nhà s tin còn li gửi vào ngân hàng trong 5 năm thì số tin c gc và lãi là
( )
5
2
146,932
1 0.08 107,946.
2
T = +=
S tiền lãi trong 10 năm là
( ) ( )
146,933 100 107,946 73,466 81,413.L = −+ =
Câu 83: Dân s thế giới được ưc tính theo công thc
.
ni
S Ae=
, trong đó
A
là dân s ca năm ly làm
mc,
S
dân s sau
n
năm,
i
là t l tăng dân số hằng năm. Dân số Việt Nam năm 2019
95,5
triu ngưi, t l ng dân s hằng năm t 2009 đến nay
1,14%
. Hi dân s Vit Nam
năm 2009 gần vi s nào nhất trong các số sau?
A.
94, 4
triệu người. B.
85, 2
triệu người. C.
86, 2
triệu người. D.
83, 9
triệu người.
Li gii
Áp dng công thc
.
ni
S Ae=
trong đó:
95,5S =
triệu người,
10n =
năm,
1,14%i =
Ta có s dân Việt Nam năm 2009 là:
10.1,14%
95,5
85, 2
ni
S
A
ee
= =
triệu người
Câu 84: Để d báo dân số ca mt quốc gia, người ta s dng công thc
;
nr
S Ae=
trong đó
A
là dân số
ca năm ly làm mc tính,
S
dân s sau
n
năm,
r
là t l tăng dân số hàng năm. Năm 2017,
dân số Vit nam là
93.671.600
ni. Gi s t l tăng dân số hàng năm không đổi
0,81%,
d báo dân số Việt nam năm 2035 là bao nhiêu người?
A.
109.256.100
. B.
108.374.700
. C.
107.500.500
. D.
108.311.100
.
Li gii
Lấy năm 2017 làm mốc, ta có
93.671.600; 2035 2017 18An= =−=
Dân số Việt Nam vào năm 2035 là
.
0,
1
81
100
8
93.671.600. 108.374.700Se=
Câu 85: COVID19 là mt loi bệnh viêm đường hô hp cp do chng mi của virus corona bt ngun t
Trung Quốc gây ra vi tc đ truyn bnh rất nhanh. Gi s ban đầu 1 người b nhim bnh
và c sau 1 ngày s lây sang 4 ngưi khác. Tt c những người nhim bnh li tiếp tc lây sang
nhng ngưi khác vi tc đ như trên. Hỏi sau 7 ngày sẽ có tng cộng bao nhiêu người nhim
bệnh?.
A. ngưi. B. ni. C. ni. D. ngưi.
Li gii
Sau 1 ngày, tổng s ni nhim bnh là người.
Sau 2 ngày, tổng s ni nhim bnh là người.
77760
16384
62500
78125
14 5+=
( ) ( ) ( )
2
14 14.4 14+ ++ =+
CHUYÊN Đ VITOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 20
Sưu tm và biên son
Sau 3 ngày, tổng s ni nhim bnh là người.
Sau 7 ngày, tổng s ni nhim bnh là ngưi.
Ngoài ra chúng ta có thể áp dụng công thức lãi kép để tính nhanh:
, vi , , .
Câu 86: Ông An gửi 100 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi sut 0,8%/ tháng. Biết rằng nếu không rút
tin ra khi nn ng thì c sau mi tháng s tin lãi s được nhp vào gc đ tính lãi cho tháng
tiếp theo và t tháng th hai tr đi, mỗi tháng ông gi them vào tài khon vi s tin 2 triu đng.
Hỏi sau đúng 2 năm s tiền ông An nhận được c gc lẫn lãi bao nhiêu? Biết rng trong sut
thi gian gi lãi suất không thay đổi và ông An không rút tiền ra.
A.
169.871.000
đồng. B.
171.761.000
đồng. C.
173.807.000
đồng. D.
169.675.000
đồng.
Li gii
Với 100 triệu ban đầu s tin c lãi và gốc thu được sau hai năm là
( )
24
6
1
100. 1 0,8% .10 121074524T =+=
Mỗi tháng tiếp theo gửi 2 triệu thì tổng s tin c lãi và gc là
( ) ( )
23
6
2
2
. 1 0,008 1 . 1 0,008 10 50686310
0,008
T

= + −+ =

Vy tng s tin là
12
171.761.000TTT=+=
Câu 87: Ông Chính gửi 200 triệu đồng vào mt ngân hàng vi lãi sut
7%
năm. Biết rng nếu không rút
tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mi năm s tin lãi s được nhp vào gc đ tính lãi cho năm
tiếp theo và t năm th 2 tr đi, mỗi năm ông gửi thêm vào tài khoản vi s tiền 20 triệu đồng.
Hỏi sau 18 năm số tin ông Chính nhận được c gc lẫn lãi bao nhiêu? Giả định trong suốt
thi gian gi lãi suất không thay đổi và ông Chính không rút tiền ra.
A.
1.686.898.000
VNĐ. B.
743.585.000
VNĐ.
C.
739.163.000
VNĐ. D.
1.335.967.000
VNĐ.
Li gii
Gọi
200a =
triu;
20b =
triu;
7%
α
=
.
S tiền sau 1 năm:
( )
1a
α
+
.
S tiền sau 2 năm:
( ) ( )
2
11ab
αα
+ ++
.
S tiền sau 3 năm:
( ) ( ) ( )
32
111abb
ααα
+++ ++
.
……………………
S tiền sau 18 năm:
( ) ( ) ( ) ( )
18 17 16
1 1 1 ... 1ab
α αα α

+ + + ++ +++

( ) ( )
( )
17
18
11
1 1.ab
α
αα
α

+−
=+++



Vy s tin ông Chính nhận sau 18 năm là:
1.335.967.000
VNĐ.
Câu 88: Một ngưi gi tiết kim s tin
80000000
đồng vi lãi sut
6,9%
/ năm. Biết rng tin lãi hàng
năm được nhp vào tin gc, hỏi sau đúng 5 năm người đó rút được c tin gc ln tin lãi gn
vi con s nào sau đây?
( ) ( ) ( )
22 3
14 14.4 14+ ++ =+
( )
7
1 4 78125+=
( ) ( )
7
1 1. 1 4 78125
n
n
SA r= +=+=
1A =
4r =
7n =
CHUYÊN Đ VITOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 21
Sưu tm và biên son
A.
105370000
đồng B.
111680000
đồng C.
107667000
đồng D.
116570000
đồng
Li gii
Gọi
0
P
là s tin gửi ban đầu,
r
là lãi suất / năm.
S tin gốc và lãi sau năm thứ nht:
( )
100 0
.1P P Pr P r=+= +
.
S tin gốc và lãi sau năm thứ hai:
( )
2
2 11 0
.1P P Pr P r
=+= +
.
….
S tin gốc và lãi người đó rút ra được sau 5 năm là
( ) ( )
55
50
. 1 80000000. 1 6,9% 111680799PP r= += +
.
Câu 89: Ngày 01 tháng 01năm 2017, ông An đem 800 triệu đng gi vào mt ngân hàng vi lãi sut 0,5%
một tháng. Từ đó, cứ tròn mỗi tháng, ông đến ngân hàng rút 6 triệu để chi tiêu cho gia đình. Hỏi
đến ngày 01tháng 01 năm 2018, sau khi rút tiền, s tin tiết kim của ông An còn lại là bao nhiêu?
Biết rằng lãi suất trong suốt thời gian ông An gửi không thay đổi
A.
11
800.(1,005) 72
B.
12
1200 400.(1,005)
C.
12
800.(1,005) 72
D.
11
1200 400.(1,005)
Li gii
Gửi ngân hàng số tiền là A đồng vi lãi sut
%r
./tháng. Mỗi tháng vào ngày ngân hàng tính
lãi, rút ra số tiền là X đồng. Sô tin còn lại sau n tháng đươc tính theo công thức:
( )
( )
( )
( )
12
1
12
2
1 1 1,005 1
1 800 1,005 6. 775.3288753
0
1200 400.(1,0
%
5
,5
0)
n
n
n
r
SA r X
r
+−
= +− = = =
Câu 90: Vào ngày
15
hàng tháng ông An đều đến gi tiết kim tại ngân hàng
SHB
s tin
5
triệu đồng
theo hình thức lãi kép với kì hạn một tháng, lãi suất tiết kiệm không đổi trong suốt quá trình gửi
7, 2% /
năm. Hỏi sau đúng
3
m k t ny bt đu gửi ông An thu được s tin c gc và lãi
là bao nhiêu?.
A.
195251000
B.
201453000
C.
195252000
D.
201452000
Li gii
Gọi
n
T
là s tin c gc ln lãi sau
n
tháng,
a
là s tin gc,
r
là lãi xut, ta có:
Cuối tháng thứ
1
ông An có số tin là:
( )
1
1= +Ta r
Đầu tháng thứ
2
ông An có số tin là:
( )
2
1= ++Ta ra
Cuối tháng thứ
2
ông An có số tin là:
(
) ( )
(
)
( ) (
)
2
2
1 1 11= +++ ++ = ++ +Taraarararar
……………………………………………………………
Cuối tháng thứ
n
ông An có số tin là::
( )
( ) ( )
2
1 1 ... 1=++++++
n
n
Tarar ar
( ) ( ) ( )
( )
( ) (
)
( )
( ) ( )
( )
( )
2
11 111 1
1 1 ... 1 . 1
11
+ +− + +−
= + ++ +++ = =
+−
nn
n
rr arr
ar r r a
rr
.
CHUYÊN Đ VITOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 22
Sưu tm và biên son
Với kì hạn một tháng, suy ra 3 năm có 36 kỳ. Lãi xut ca một năm là
7, 2%
, suy ra lãi xuất
của 1 tháng là:
7, 2
% 0.6%
12
=
. Áp dng
( )
1
ta có:
5000000; 0.6% 0.072; 36= = = =ar n
( ) ( )
( )
36
36
5000000 1 0.6% 1 0.6% 1
201453000
0.6%
+ +−
=>= T
CHUYÊN Đ VITOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 17
Sưu tm và biên son
BÀI 19: LOGARIT
1. KHÁI NIM LOGARIT
Cho
a
s dương
1a
M
là s thực dương. S thc
α
để
aM
α
=
được gi là logarit
cơ s
a
ca
M
và kí hiu là
log
a
M
.
Như vy
log .
a
MaM
α
α
= ⇔=
Chú ý:
°
Không có logarit của s
0
và s âm vì
0, a
α
α
>∀
.
Cơ số của logarit phải dương và khác 1
(
)
a<≠
01
°
Theo định nghĩa của logarit, ta có:
1) log 1 0
2) log 1
a
a
a
=
=
.
log
3) , , 0
a
M
a MM M= ∀∈ >
4) log ,
a
a
α
αα
= ∀∈
.
2. TÍNH CHT CA LOGARIT
a) Quy tc tính logarit: Vi
;, ;a MN
α
<≠ >
01 0
, khi đó:
(
)
)log . log log
)log log log
)log .log
a aa
a aa
aa
MN M N
M
MN
N
MM
α
α
= +

=


=
1
2
3
b) Đi cơ s ca logarit:
CHƯƠNG
VI
HÀM S
VÀ HÀM S LOGARIT
LÝ THUYT.
I
CHUYÊN Đ VITOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 18
Sưu tm và biên son
Chú ý:
3. LOGARIT THP PHÂN VÀ LOGARIT T NHIÊN
a) Logarit thp phân:
b) S
e
và logarit t nhiên:
Câu 1: Tính
( )
2
log 243
5
8
Câu 2: Cho s thc
01a<≠
. Tính giá trị của biểu thc
( )
2
3
log
a
aa
.
Câu 3: Cho
0a >
,
1a
. Tính giá trị của biểu thc
3
3
1
log
a
P
a

=


.
Câu 4: Xét các s thực dương
,ab
tha mãn
5
log 5a =
và
3
2
log
3
b =
. Tính giá trị biểu thc
(
)
3
65 1
9
2log log 5 logI ab= +


.
Câu 5: Cho s thực dương
a
khác
1
. Tính giá trị của biểu thc
( )
2
log 4a
Câu 6: Tính giá tr ca biu thc
3
36
log log
a
a
Pb b= +
trong đó
,ab
là các s thcơng tùy ý và
1a
.
Câu 7: Tính giá trị của biểu thc
2
3
log 8 log 9P = +
Câu 8: Cho
log 3, log 4.
aa
bc= =
Khi đó, tính giá trị của biểu thc
3
2
log
a
ac
P
b

=



?
Câu 9: Cho các s thc
tha mãn
1ab>>
11
2022.
log log
ba
ab
+=
Tính giá tr ca biu thc
11
.
log log
ab ab
P
ba
=
Câu 10: Cho các s thc dương
1, 1xy≠≠
tha mãn
2
log log 16
y
x =
và tích
64xy =
. Tính giá trị ca
biểu thc
2
2
log
y
x



Câu 11: Gọi
,
ab
các số thực lớn hơn 1 sao cho biểu thức
( )
3
3
log log
b
a
T ba= +
đạt giá trị nhỏ nhất.
Tính giá trị của biểu thức
4
log
a
P ab=
bằng
H THNG BÀI TP T LUN.
II
CHUYÊN Đ VITOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 19
Sưu tm và biên son
Câu 12: Cho
, ab
là hai số thực dương thỏa mãn
2
2
log ( . )
3
43
ab
a=
. Giá trị của
2
ab
bằng
Câu 13: Vi mi s thc
a
dương thoả mãn
3
log 5a =
. Khi đó
( )
3
log 3a
bằng
Câu 14: Cho
2
log 3 a=
. Hãy tính
9
log 2
theo
a
.
Câu 15: Biết
2
log 3a =
,
3
log 5b =
. Tính
2
log 5
theo
a
b
Câu 16: Cho
,xy
hai s thực dương,
1x
tha mãn
25
25
log ,log .
52
x
y
yx
y
= =
Tính giá trị ca
22
2.Py x=
Câu 17: Cho , Khi đó bằng:
Câu 18: Tính
81
log 25
theo
5
log 3 b=
:
Câu 19: Vi mi s
,ab
tha mãn:
log 3
a
b =
. Tính giá tr của biểu thc
( )
32
log
a
ab
Câu 20: Cho
35
log 5 ;log 7ab= =
, khi đó
45
log 175
bằng.
Câu 21: Cho hai số dương
,, 1aba
, tha mãn
2
2
log log 2
a
a
bb+=
. Tính
log
a
b
.
Câu 22: Cho
2
log 3 a=
. Giá trị của biểu thức
6
log 12P =
bằng
Câu 23: Cho
73
log 5, log 5ab= =
. Biu thc
21
log 5M =
bằng
Câu 24: Cho s thực dương
,ab
tha mãn
16 20 25
2
log log log
3
ab
ab
= =
. T s
a
b
thuc khoảng nào sau
đây?
Câu 25: Cho biết
2
log 5a =
5
log 7.b =
Tính
3
5
49
log
8
theo
a
.b
Câu 26: Đặt
2
log 3a =
, khi đó
6
log 72
bằng
Câu 27: Biết
x
y
là hai số thc tha mãn
( )
496
log log log 2x y xy= =
. Giá trị ca
x
y
bằng
Câu 28: Cho
942
log 5 ,log 7 ,log 3abc= = =
. Biết
24
log 175
mb nac
pc q
+
=
+
vi
,, ,mn pq
q
là s
nguyên tố. Tính
A mnpq=
.
Câu 29: Cho ba số thực dương
,,abc
đều khác
1
tho mãn
log 2log 4log= =
abc
bca
2 3 48++=abc
. Khi đó
=P abc
bằng bao nhiêu?
Câu 30: Cho
a
b
là hai số thực dương thỏa mãn
2
9ab =
. Giá trị của biểu thc
33
log 2logab+
bằng
Câu 31: Cho
,ab
các s thực dương
a
khác
1
, tha mãn
2
3
5
3
log 3
a
a
b

=


. Giá tr ca biu thc
log
a
b
bằng
Câu 32: Cho
log 2, log 3
ab
xx= =
vi
,ab
là các s thc lớn hơn 1. Tính
2
log
a
b
Px=
?
Câu 33: Cho
,,0,1abc a>≠
log 2022
a
b =
. Tính
6
7
6
4
log . .
a
ab



Câu 34: Cho
25
log 7a =
;
2
log 5b =
. Tính
5
49
log
8
theo
a
,
b
.
2
log 3 a=
2
log 5 .b=
15
log 8
CHUYÊN Đ VITOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 20
Sưu tm và biên son
Câu 35: Cho
, ab
là các s thực dương khác
1
tha mãn
log 3.=
a
b
Giá tr ca
3
log




b
a
b
a
Câu 36: Cho
a,b
các s thc dương lớn hơn
1
tha mãn
log 3
a
b =
. Tính gái trị biểu thc
22
3
4
log 3log 2.log
ab a
a
Pa
b

=


.
Câu 37: Cho
a
b
là hai số thực dương thỏa mãn
32
32ab =
. Giá trị ca
22
3log 2logab+
bằng
Câu 38: Tính giá trị biểu thc:
2 3 2021
11 1
...
log 2021! log 2021! log 2021!
P = + ++
Câu 39: Cho các s dương
,ab
khác
1
sao cho
2
39
16
log log log 2
b
a
ab= =
. Tính gtr của biểu thc
3
b
a
:
Câu 40: Cho
,xy
là hai số thực dương,
1x
tha mãn
25
25
log , log .
52
x
y
yx
y
= =
Tính giá trị của
22
2.Py x=
Câu 41: Cho các s thc ơng
1, 1xy≠≠
tha mãn
2
log log 16
y
x =
và tích
64xy =
. Tính giá trị ca
biểu thc
2
2
log
y
x



Câu 42: Cho các s thc
tha mãn
1ab>>
11
2022.
log log
ba
ab
+=
Tính gtr ca biu thc
11
.
log log
ab ab
P
ba
=
Câu 43: Cho ba s thực dương theo th t lập thành một cấp số nhân . Tính giá
tr của biểu thc
Câu 44: Cho là ba số thực dương khác và . Biết . Khi
đó giá trị ca bằng bao nhiêu?
,,abc
64abc++=
( ) ( )
22
3log logP ab bc ca abc= ++
,,ab c
1
1abc
10
log 5 3,log 5 4,log 5
17
a b abc
= = =
log 5
c
CHUYÊN Đ VITOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 1
Sưu tm và biên son
BÀI 19: LOGARIT
1. KHÁI NIM LOGARIT
Cho
a
s dương
1a
M
là s thực dương. S thc
α
để
aM
α
=
được gi là logarit
cơ s
a
ca
M
và kí hiu là
log
a
M
.
Như vy
log .
a
MaM
α
α
= ⇔=
Chú ý:
°
Không có logarit của s
0
và s âm vì
0, a
α
α
>∀
.
Cơ số của logarit phải dương và khác 1
(
)
a<≠
01
°
Theo định nghĩa của logarit, ta có:
1) log 1 0
2) log 1
a
a
a
=
=
.
log
3) , , 0
a
M
a MM M= ∀∈ >
4) log ,
a
a
α
αα
= ∀∈
.
2. TÍNH CHT CA LOGARIT
a) Quy tc tính logarit: Vi
;, ;a MN
α
<≠ >
01 0
, khi đó:
(
)
)log . log log
)log log log
)log .log
a aa
a aa
aa
MN M N
M
MN
N
MM
α
α
= +

=


=
1
2
3
b) Đi cơ s ca logarit:
Chú ý:
CHƯƠNG
VI
HÀM S
VÀ HÀM S LOGARIT
LÝ THUYT.
I
CHUYÊN Đ VITOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 2
Sưu tm và biên son
3. LOGARIT THP PHÂN VÀ LOGARIT T NHIÊN
a) Logarit thp phân:
b) S
e
và logarit t nhiên:
Câu 1: Tính
( )
2
log 243
5
8
Lời giải
Ta có:
( )
( )
5
2
2
22
1
log 243
.log 3
3
log 3 log 3
3
5
5
8 8 8 2 3 27= = = = =
Câu 2: Cho s thc
01a<≠
. Tính giá trị của biểu thc
( )
2
3
log
a
aa
.
Li gii
( )
11
22
17
22
3
33
7
14
3
log log . log
1
3
2
a
aa
a a aa a

= = = =


.
Câu 3: Cho
0a >
,
1a
. Tính giá trị của biểu thc
3
3
1
log
a
P
a

=


.
Li gii
T lun :
1
3
3
3
3
1
log log 9log 9
a
a
a
P aa
a

= = =−=


.
Trc nghim : S dụng máy tính, thay rồi nhập biểu thc vào máy
bấm = ta đưc kết qu .
Câu 4: Xét các s thực dương
,ab
tha mãn
5
log 5a =
và
3
2
log
3
b =
. Tính giá trị biểu thc
( )
3
65 1
9
2log log 5 logI ab= +


.
Li gii
2a =
3
3
1
log
a
a



9P =
H THNG BÀI TP T LUN.
II
CHUYÊN Đ VITOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 3
Sưu tm và biên son
Ta có:
( ) ( )
3
65 1 6 5 3
9
3
2log log 5 log 2log 1 log log
2
I ab a b= + = +−


6
32
2log 6 . 2 1 1
23
= = −=
.
Câu 5: Cho s thực dương
a
khác
1
. Tính giá trị của biểu thc
( )
2
log 4a
Lời giải
Ta có
( )
2 22 2
log 4 log 4 log 2 loga aa=+=+
.
Câu 6: Tính giá tr ca biu thc
3
36
log log
a
a
Pb b= +
trong đó
,ab
là các s thcơng tùy ý và
1a
.
Lời giải
Ta có:
3
36
1
log log 3log 6. log 5.log
3
a a aa
a
Pb b b b b=+=+ =
.
Câu 7: Tính giá trị của biểu thc
2
3
log 8 log 9P = +
Li gii
Ta có
1
2
32
2 2 23
3
3
log 8 log 9 log 2 log 3 3log 2 4log 3 3 4 7P
= + = + = + =+=
.
Câu 8: Cho
log 3, log 4.
a
a
bc
= =
Khi đó, tính giá trị của biểu thc
3
2
log
a
ac
P
b

=



?
Li gii
1
3
3 23 2
2
2
log log log log log log log 2log
1
3
2
a a a aaa a a
ac
P ac b a c b c b
b

== −−

+

= = +
( )
4 2.3 5
1
3
2
−−+ = =
.
Câu 9: Cho các s thc
tha mãn
1ab>>
11
2022.
log log
ba
ab
+=
Tính giá tr ca biu thc
11
.
log log
ab ab
P
ba
=
Li gii
11
2022 log log 2022 (*).
log log
ab
ba
ba
ab
+ = ⇔+=
11
log ( ) log ( ) log log .
log log
b a ba
ab ab
P ab ab a b
ba
=−= =
Đặt
log
a
tb=
thì
tr thành:
CHUYÊN Đ VITOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 4
Sưu tm và biên son
2
2022 2018 1
2018
1
2
2022 2022 1 0 .
2022 2018 1
2018
2
t Pt
t
t tt
t
t Pt
t
+
= = −=
+ = +=
= = −=
1 0 log 1
a
ab b> >⇔ < <
nên
11
0 1 1 0 2018.t Pt P
tt
<<⇒ >⇒ =−> =
Câu 10: Cho các s thc dương
1, 1xy≠≠
tha mãn
2
log log 16
y
x =
và tích
64xy =
. Tính giá trị ca
biểu thc
2
2
log
y
x



Lời giải
Đặt
2
log log 16
y
xt
= =
. Suy ra
4
2
2
2
2
2
4
4log 2
log
log 2
2
4
t
t
t
t
t
y
y
x
x
x
x
t
t
y
y
t
=
=
=
=

⇔⇔

=
=
=
=

.
Ta có
4
6
4
64 2 .2 2 6
t
t
xy t
t
= = ⇔+ =
.
Ta có
( )
2 22
2
22
2 22
2
4 16 4
log log log 8 16 6 16 20
y
y x t tt
x tt t

= = = +=+ −=−=


.
Câu 11: Gọi
,ab
các số thực lớn hơn 1 sao cho biểu thức
(
)
3
3
log log
b
a
T ba
= +
đạt giá trị nhỏ nhất.
Tính giá trị của biểu thức
4
log
a
P ab=
bằng
Li gii
Do
,ab
lớn hơn 1 nên
log 0
a
b >
. Khi đó:
( )
3
3
3
111
log log 27log
3log 3log 3log
ba
a
aaa
T ba b
bbb
= += +++
Do đó
3
4
111
4 27 log . . . 4
3log 3log 3log
a
aaa
Tb
bbb
≥=
.
Dấu bằng xảy ra khi
3
1
log
3
a
b ab=⇔=
Khi đó
3
4
2
log log
3
a
b
P ab b= = =
.
Câu 12: Cho
,
ab
là hai số thực dương thỏa mãn
2
2
log ( . )
3
43
ab
a=
. Giá trị của
2
ab
bằng
Lời giải
Ta có
( )
2
2
2
log ( . )
32 3 2
4 3 .3 3
ab
a a b a ab= =⇔=
.
Câu 13: Vi mi s thc
a
dương thoả mãn
3
log 5a =
. Khi đó
( )
3
log 3a
bằng
Lời giải
CHUYÊN Đ VITOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 5
Sưu tm và biên son
( )
3 33 3
log 3 log 3 log 1 log 6a aa=+=+=
.
Câu 14: Cho
2
log 3 a=
. Hãy tính
9
log 2
theo
a
.
Li gii
Ta có:
2
93
3
2
1 11
log 2 log log 2
2 2log 3 2
a
a
= = = =
.
Câu 15: Biết
2
log 3a =
,
3
log 5b =
. Tính
2
log 5
theo
a
b
Lời giải
Ta có
2 23
log 5 log 3.log 5 ab= =
.
Câu 16: Cho
,xy
hai s thực dương,
1x
tha mãn
25
25
log ,log .
52
x
y
yx
y
= =
Tính giá trị ca
22
2.Py x=
Lời giải
Ta có:
2
2
25
25
25
2
2
log
25
5
log
5
5
5
5
1
5
log
25
log
log
log 25
2
2
2
5
x
x
x
y
y
y
y
y
y
y
x
yx
x
x
y
y
=
=
=
=
=

⇔⇔

=
=
=

=
=
Vy
22
2 25.Py x=−=
Câu 17: Cho , Khi đó bằng:
Li gii
Ta có: .
Vy .
Câu 18: Tính
81
log 25
theo
5
log 3 b=
:
Lời giải
Ta có
2
55
81
4
55
log 25 log 5
log 25
log 81 log 3
= =
.
5
21
4log 3 2b
= =
.
Câu 19: Vi mi s
,ab
tha mãn:
log 3
a
b =
. Tính giá tr của biểu thc
( )
32
log
a
ab
Li gii
2
log 3 a=
2
log 5 .b=
15
log 8
( )
( )
3
15
8 22
2
22
11 1 3 3
log 8
1
log 15 log 3.5 log 3 log 5
log 3 log 5
3
ab
= = = = =
++
+
15
3
log 8
ab
=
+
CHUYÊN Đ VITOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 6
Sưu tm và biên son
T gi thiết:
log 3
a
b =
1
log 3
2
a
b
⇔=
log 6
a
b⇔=
.
Khi đó:
( )
32 3 2
log log log 3 2log 15
a aa a
ab a b b=+=+ =
.
Câu 20: Cho
35
log 5 ;log 7ab= =
, khi đó
45
log 175
bằng.
Li gii
Ta có
2
5
45
2
55
log 5 .7
2 2 (2 )
log 175 .
2
log 3 .5 1 2log 3 2
1
b ba b
a
a
+ ++
= = = =
++
+
Câu 21: Cho hai số dương
,, 1aba
, tha mãn
2
2
log log 2
a
a
bb+=
. Tính
log
a
b
.
Lời giải
Ta có:
2
2
14
log log 2 log 2log 2 log
25
a aa a
a
bb b b b+ = + =⇔=
Câu 22: Cho
2
log 3
a=
. Giá trị của biểu thức
6
log 12P =
bằng
Lời giải
Ta có
( )
66 6
22
1 1 12
log 12 log 6.2 1 log 2 1 1 1
log 6 1 log 3 1 1
a
P
aa
+
= = =+ =+ =+ =+=
+ ++
.
Câu 23: Cho
73
log 5, log 5ab= =
. Biu thc
21
log 5M =
bằng
Lời giải
Ta có
21
log 5M
=
5
1
log 21
=
55
1
log 3 log 7
=
+
37
1
11
log 5 log 5
=
+
73
73
1
log 5 log 5
log 5.log 5.
=
+
73
73
log 5.log 5
log 5 log 5.
=
+
ab
ab
=
+
.
Câu 24: Cho s thực dương
,ab
tha mãn
16 20 25
2
log log log
3
ab
ab
= =
. T s
a
b
thuc khoảng nào sau
đây?
Li gii
Đặt
16 20 25
16
2
log log log 20
3
2 3.25
x
x
x
a
ab
a b xb
ab
=
= = =⇔=
−=
Suy ra
16 25
2.16 20 3.25 2. 3. 1 0
20 20
xx
xx x
 
= −=
 
 
CHUYÊN Đ VITOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 7
Sưu tm và biên son
2
4
1( )
5
4 5 44
2. 3. 1 0 2. 3 0
5 4 55
43
52
x
x x xx
x
PTVN

=


   
−= =
   
   

=


Vy
( )
16 4 3
1; 2
20 5 2
x
x
x
a
b

= = =


Câu 25: Cho biết
2
log 5a =
5
log 7.b =
Tính
3
5
49
log
8
theo
a
.b
Li gii
Ta có
3
5 55
5
49 49 9 3
log 3log 6 log 7 9log 2 6 3 2 .
88
bb
aa

= = = −=


Câu 26: Đặt
2
log 3a =
, khi đó
6
log 72
bằng
Lời giải
Ta có
( )
(
)
32
2
2 22
6
2 2 22
log 2 .3
log 72 3log 2 2log 3
23
log 72
log 6 log 2.3 log 2 log 3 1
a
a
+
+
= = = =
++
.
Vậy
6
23
log 72
1
+
=
+
a
a
.
Câu 27: Biết
x
y
là hai số thc tha mãn
( )
496
log log log 2x y xy= =
. Giá trị ca
x
y
bằng
Li gii
Đặt
( )
2
496
4
2
log log log 2 9
3
26
t
t
t
t
x
x
x y x yt y
y
xy
=

= = = = ⇒=


−=
Khi đó:
( )
2
2
1
3
22
4 2.9 6 2 0
33
2
2
3
t
tt
t tt
t
loai

=


 
= −=
 
 

=


.
Suy ra
2
2
2
2 4.
3
t
x
y

= = =


Câu 28: Cho
942
log 5 ,log 7 ,log 3abc= = =
. Biết
24
log 175
mb nac
pc q
+
=
+
vi
,, ,mn pq
q
là s
nguyên tố. Tính
A mnpq=
.
Li gii
Ta có
3 33
22
24
2 .3 2 .3 2 .3
log 175 log 5 .7 log 5 log 7= = +
CHUYÊN Đ VITOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 8
Sưu tm và biên son
33
5 7 55 77
21 2 1
log 2 .3 log 2 .3 3.log 2 log 3 3log 2 log 3
=+= +
++
Theo giả thiết ta có:
7
93
42 5
2
5
log 3
2
log 5 log 5 2
1
log 7 log 7 2 log 3
2
log 3
1
log 2
2
c
b
aa
bb
a
c
ac
=
=⇒=

=⇒= =


=
=
.
Suy ra:
24
2 1 2 1 4 2 42
log 175
313 3 3
33 3
2 2 22 2 2
ac b ac b
c cc
c cc
ac a b b ac b
+
= + = + =+=
++
++ +
++
.
Vậy ta có:
2
4
24
1
3
m
n
mnpq
p
q
=
=
⇒=
=
=
.
Câu 29: Cho ba số thực dương
,,abc
đều khác
1
tho mãn
log 2log 4log= =
abc
bca
2 3 48++=abc
. Khi đó
=P abc
bằng bao nhiêu?
Lời giải
Do
,,abc
đều khác
1
nên
log , log , log
abc
bca
đều khác
0
.
Ta có:
2
log 2log log .log 2log log 2log
a bac ba b
bccbccc
= = ⇔=
.
2
log 4log log .log 4log log 4log
= = ⇔=
acacccc
bacbaba
.
Nên
22
log .log 8log .log
ac bc
cb ca=
2
log 8log
ab
ba⇔=
3
log 8
a
b⇔=
2
log 2
a
b ba =⇔=
.
2
log 2log log 2log
= = ⇔=
a ba
a
b c b c bc
.
Ta lại có
2 3 48abc++=
22
2 3 48aa a++=
2
5 48 0aa +− =
16
5
3
a
a
=
=
.
Do
,,abc
đều là s thực dương nên
39a bc=⇒==
.
Vy
243P abc= =
.
Câu 30: Cho
a
b
là hai số thực dương thỏa mãn
2
9ab =
. Giá trị của biểu thc
33
log 2logab+
bằng
Li gii
Ta có
( )
22
3 33 2
9 log log 9 log 2log 2ab ab a b= =⇒+ =
.
Câu 31: Cho
,ab
các s thực dương
a
khác
1
, tha mãn
2
3
5
3
log 3
a
a
b

=


. Giá tr ca biu thc
log
a
b
bằng
Li gii
CHUYÊN Đ VITOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 9
Sưu tm và biên son
Ta có
2
3
5
3
log 3
a
a
b

=


3
3
5
13
log log 3 3 log 6
25
aa a
ab b

=⇔− =


log 5
a
b⇔=
.
Câu 32: Cho
log 2, log 3
ab
xx= =
vi
,ab
là các s thc lớn hơn 1. Tính
2
log
a
b
Px=
?
Li gii
Vi
,ab
là các s thc lớn hơn 1 và
0, 1xx>≠
, ta có:
2
2
11
log
log 2log
log
a
xx
b
x
Px
a
ab
b
= = =
11
6.
1 2 12
log log 2 3
ab
P
xx
⇔= = =
−−
Câu 33: Cho
,,0,1abc a>≠
log 2022
a
b =
. Tính
6
7
6
4
log . .
a
ab



Li gii
Ta có:
6 66
77
66
44
7 21
log . log log 6. 2022 2022.
42
a aa
ab a b

= + =+=+


Câu 34: Cho
25
log 7a =
;
2
log 5b =
. Tính
5
49
log
8
theo
a
,
b
.
Li gii
Ta có:
2
25 5 5
5
1
log 7 log 7 log 7 log 7 2
2
aa= = = ⇒=
25
1
log 5 log 2b
b
=⇒=
23
5 5 55 5 5 5
49 1 4 3
log log 49 log 8 log 7 log 2 2log 7 3log 2 2.2 3.
8
ab
a
bb
= = = = −=
Câu 35: Cho
, ab
là các s thực dương khác
1
tha mãn
log 3.=
a
b
Giá tr ca
3
log




b
a
b
a
Li gii
Ta có:
3
log 3= ⇔=
a
b ba
3
2
3
3
3
1
2
31
1
32
log log .
33
1
2



= = =






b
a
a
a
ba
a
a
Câu 36: Cho
a,b
các s thc dương lớn hơn
1
tha mãn
log 3
a
b =
. Tính gái trị biểu thc
22
3
4
log 3log 2.log
ab a
a
Pa
b

=


.
CHUYÊN Đ VITOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 10
Sưu tm và biên son
Li gii
Ta có:
3
log 3
a
b ba=⇔=
2 2 52
33
44
3
log 3log 2.log log 3log 2.log
ab a a a
aa
Pa a
ba

=−=


2
2
2
31 1
3. .log 2.log
52
a
a

=


.
2
22
3 1 1 33 33 21
3. .log 2. .log .log 2.log
5 2 2 52 5210
aa
aa
= =+ =+=
.
Câu 37: Cho
a
b
là hai số thực dương thỏa mãn
32
32ab =
. Giá trị ca
22
3log 2logab+
bằng
Li gii
32 32 3 2
2 2 22 2 2
32 log ( ) log 32 log log 5 3log 2log 5.ab ab a b a b= =+= + =
Câu 38: Tính giá trị biểu thc:
2 3 2021
11 1
...
log 2021! log 2021! log 2021!
P
= + ++
Li gii
Ta có:
2 3 2021
11 1
...
log 2021! log 2021! log 2021!
P
= + ++
2021! 2021! 2021!
log 2 log 3 ...log 2021P⇔= + +
2021! 2021!
log 2.3...2021 log 2021! 1P⇔= = =
Câu 39: Cho các s dương
,ab
khác
1
sao cho
2
39
16
log log log 2
b
a
ab
= =
. Tính gtr của biểu thc
3
b
a
:
Li gii
Đặt
2
39
16
log log log 2
b
a
ab t= = =
2
3
3
3
18 54
54
16
16
16
2
2 16
t
t
tt
t
t
a
a
ba b
b
=
=
⇔= ⇔=


=
=
.
T
suy ra
3
216 3
1
2 2 216 1
6
t
tt= =⇔=
. Suy ra
3
3
4, 4 1
b
ab
a
= =⇒=
.
Câu 40: Cho
,xy
là hai số thực dương,
1x
tha mãn
25
25
log ,log .
52
x
y
yx
y
= =
Tính giá trị của
22
2.Py x
=
Li gii
CHUYÊN Đ VITOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 11
Sưu tm và biên son
Ta có:
2
2
25
25
25
2
2
log
25
5
log
5
5
5
5
1
5
log
25
log
log
log 25
2
2
2
5
x
x
x
y
y
y
y
y
y
y
x
yx
x
x
y
y
=
=
=
=
=

⇔⇔

=
=
=

=
=
Vy
22
2 25.Py x=−=
Câu 41: Cho các s thc ơng
1, 1xy≠≠
tha mãn
2
log log 16
y
x =
và tích
64xy =
. Tính giá trị ca
biểu thc
2
2
log
y
x



Li gii
Đặt
2
log log 16
y
xt= =
. Suy ra
4
2
2
2
2
2
4
4log 2
log
log 2
2
4
t
t
t
t
t
y
y
x
x
x
x
t
t
y
y
t
=
=
=
=

⇔⇔

=
=
=
=

.
Ta có
4
6
4
64 2 .2 2 6
t
t
xy t
t
= = ⇔+ =
.
Ta có
( )
2 22
2
22
2 22
2
4 16 4
log log log 8 16 6 16 20
y
y x t tt
x tt t

= = = +=+ −=−=


.
Câu 42: Cho các s thc
tha mãn
1ab>>
11
2022.
log log
ba
ab
+=
Tính gtr ca biu thc
11
.
log log
ab ab
P
ba
=
Li gii
11
2022 log log 2022 (*).
log log
ab
ba
ba
ab
+ = ⇔+=
11
log ( ) log ( ) log log .
log log
b a ba
ab ab
P ab ab a b
ba
=−= =
Đặt
log
a
tb=
thì
tr thành:
2
2022 2018 1
2018
1
2
2022 2022 1 0 .
2022 2018 1
2018
2
t Pt
t
t tt
t
t Pt
t
+
=
= −=
+ = +=
=
= −=
1 0 log 1
a
ab b> >⇔ < <
nên
11
0 1 1 0 2018.t
Pt P
tt
<<⇒ >⇒ =−> =
Câu 43: Cho ba s thực dương theo th t lập thành một cấp số nhân . Tính giá
tr của biểu thc
,,abc
64abc++=
( ) ( )
22
3log logP ab bc ca abc= ++
CHUYÊN Đ VITOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 12
Sưu tm và biên son
Li gii
Ta có: theo th t lập thành một cp số nhân .
.
Câu 44: Cho là ba số thực dương khác và . Biết . Khi
đó giá trị ca bằng bao nhiêu?
Li gii
Ta có
Khi đó:
Vy: .
,,abc
2
ac b⇒=
( ) ( )
22
3log logP ab bc ca abc= ++
( ) ( )
22
22
3log log .ab bc b b b= ++
( )
( )
3
22
3log logbabc b= ++
( )
3
22
3log 64 logbb=
( )
( )
3
3
22
log 64 logbb=
( )
3
6
2
3
2.
log
b
b
=
18 3
2
3
2.
log
b
b
=
18
2
log 2 18= =
,,ab c
1
1abc
10
log 5 3,log 5 4,log 5
17
a b abc
= = =
log 5
c
5
1
log 5 3 log .
3
a
a=⇒=
5
1
log 5 4 log .
4
b
b=⇒=
5
10 17
log 5 log .
17 10
abc
abc=⇒=
5 555 5 5 55
17 1 1 67
log log log log log log log log
10 3 4 60
abc a b c c abc a b=++⇒= ==
60
log 5
67
c
=
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 21
Sưu tm và biên son
BÀI 19: LOGARIT
Câu 1: Cho
,,abc
là các s thực dương và
,1ab
. Khng định nào sau đây là sai?
A.
log .log 1
ab
ba=
. B.
log log
ac
ca=
. C.
log
log
log
b
a
b
c
c
a
=
. D.
log log .log
a ab
c bc=
.
Câu 2: Cho
0 1, 0
<≠ >ax
. Mệnh đề nào sau đây là sai?
A.
log 1=
a
a
. B.
log =
x
a
ax
. C.
log 1 0=
a
. D.
log
=
a
x
xx
.
Câu 3: Cho ba số thực dương
,,abc
1a
. Khng định nào sau đây là sai?
A.
(
)
log log log
a aa
bc b c= +
. B.
log
a
b
ab=
.
C.
log log
aa
bb
α
α
=
. D.
ln
log
ln
a
a
b
b
=
.
Câu 4: Cho
a
,
b
là các s thực dương tùy ý. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A.
( )
ln ln lnab a b= +
. B.
( )
ln ln lnab a b+= +
.
C.
( )
ln ln .lnab a b
=
. D.
( )
ln ln .lnab a b+=
.
Câu 5: Cho
a
là s thực dương khác 1. Mệnh đề nào sau đây đúng với mi s thực dương
,?xy
A.
log log log
a aa
x
xy
y
= +
. B.
( )
log log
aa
x
xy
y
=
.
C.
log log log
a aa
x
xy
y
=
. D.
log
log
log
a
a
a
x
x
yy
=
.
Câu 6: Có bao nhiêu số thực dương
1n
để
log 265
n
là một số nguyên?
A.
2
. B.
4
. C.
6
. D.
8
.
Câu 7: Cho ba số thực dương
,,abc
đều khác
1
tho mãn
log 2log 4log= =
abc
bca
2 3 48++=abc
. Khi đó
=P abc
bằng bao nhiêu?
A.
243
. B.
521
. C.
512
. D.
324
.
Câu 8: Giá tr của biểu thức
log 3
2
4
bằng
A.
3
. B.
3
. C.
3
2
. D.
23
.
CHƯƠNG
VI
HÀM S
M S LOGARIT
H THNG BÀI TP TRC NGHIM.
III
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 22
Sưu tm và biên son
Câu 9: Giá trị của
2
1
log
16
bằng
A.
4.
B.
1
.
4
C.
1
.
8
D.
4.
Câu 10: Vi mi
,
ab
dương thỏa mãn
22
log log 3
ab
−=
, khẳng định nào dưới đây đúng?
A.
2
64ab=
. B.
2
64ab =
. C.
8ab
−=
. D.
3
a
b
=
.
Câu 11: Cho
0
>a
1
a
, khi đó
5
log
a
a
bằng
A.
1
5
. B.
5
. C. 5. D.
1
5
.
Câu 12: Cho
0a >
1a
, khi đó
2021
2022
log
a
a
bằng
A.
2021
. B.
2022
2021
. C.
2021
2022
. D.
2022
.
Câu 13: Cho
0
a
>
1a
, khi đó
3
log
a
a
bằng
A.
1
3
. B.
3
. C.
3
. D.
1
3
.
Câu 14: Vi
a
là s dương tùy ý khác 1,
log
a
a
bằng
A.
1
2
. B.
2a
. C.
2
. D.
1
2
a
.
Câu 15: Vi mi s thc
a
dương khác 1,
3
log
a
a
bằng
A.
1
3
. B.
3
. C.
3
. D.
0
.
Câu 16: Vi mi s thc
a
dương,
4
4
log
a
bằng
A.
4
. B.
4
4log a
. C.
4
1
log
4
a
. D.
1
4
.
Câu 17: Cho
a
s thực dương khác
2
. Tính
2
2
log
4
a
a
I

=


.
A.
1
2
I =
. B.
1
2
I =
. C.
2I =
. D.
2I =
.
Câu 18: Cho
a
là s thực dương khác
5
. Tính
3
5
log
125
a
a
I

=


.
A.
1
3
I 
. B.
3I

. C.
1
3
I
. D.
3I
.
Câu 19: Vi
a
là s thực dương tùy ý,
( )
4
log 4a
bằng
A.
4
1 log a
. B.
4
1 log a+
. C.
4
4 log a
. D.
4
4 log a+
.
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 23
Sưu tm và biên son
Câu 20: Vi
,
ab
là hai số dương tùy ý thì
( )
32
log ab
có giá trị bằng biểu thức nào sau đây?
A.
1
3log log
2
ab
+
. B.
2log 3logab+
. C.
3log 2logab+
. D.
1
3 log log
2
ab

+


.
Câu 21: Tính giá trị của biểu thức
( )
2
log
2 log
a
b
a
Pa= +
( )
0, 1aa>≠
.
A.
2
a
Pb
= +
. B.
P ab=
. C.
2P ab= +
. D.
P ab
= +
.
Câu 22: Cho
0, 1aa>≠
, biểu thức
3
log
a
Da=
có giá tr bằng bao nhiêu?
A.
1
3
. B.
3
. C.
1
3
. D.
3
.
Câu 23: Cho hàm s
2
( ) log
fx x
=
. Vi
0x >
, giá tr của biểu thức
68
3
x
Pf f
x

= +


bng
A.
2P =
. B.
1
P =
. C.
4P =
. D.
3P =
.
Câu 24: Giá tr ca
3
1
log
a
a
với
0
a
>
1a
bng
A.
3
2
. B.
3
2
. C.
2
3
. D.
2
3
.
Câu 25: Với
a
là số thực dương bất kỳ, mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
4
ln 4lnaa=
. B.
(
)
ln 4 4lnaa
=
. C.
( )
1
ln 4 ln
4
aa=
. D.
3
1
ln ln
3
aa=
.
Câu 26: Cho
,ab
là các s thực dương
a
khác
1
, tha mãn
2
3
5
3
log 3
a
a
b

=


. Giá tr ca biểu thức
log
a
b
bằng
A.
5.
B.
5.
C.
1
.
5
D.
1
.
5
Câu 27: Cho
25
log 5 ;log 3ab= =
. Tinh
5
log 24
theo
a
b
.
A.
5
3
log 24
ab
b
+
=
. B.
5
3
log 24
ab
a
+
=
. C.
5
3
log 24
ab
a
+
=
. D.
5
log 24
3
ab
ab
+
=
.
Câu 28: Cho
log 3,log 4
ab
xx
= =
với
,ab
là các s thc lớn hơn
1
. Tính
log
ab
Px=
.
A.
12
P =
. B.
7
12
P =
. C.
1
12
P =
. D.
12
7
.
Câu 29: Vi các s thực dương
a
,
b
bất kì. Mệnh đề nào dưới đây đúng
A.
3
2 22
2
log 1 3log log

=+−


a
ab
b
. B.
3
2 22
21
log 1 log log
3

=+−


a
ab
b
.
C.
3
2 22
2
log 1 3log log

=++


a
ab
b
. C.
3
2 22
21
log 1 log log
3

=++


a
ab
b
.
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 24
Sưu tm và biên son
Câu 30: Cho
2
log 5x =
. Giá tr của biểu thức
2
log
x
Px=
bng
A.
15P = +
. B.
5
51
P
=
+
. C.
1
5
. D.
5
15+
.
Câu 31: Cho các s thực dương
a
b
tha mãn
2
16 0ab−=
. Tính giá trị ca biểu thức
2
2
log logP ab=
.
A.
2P =
. B.
4P =
. C.
16
P =
. D.
2P
=
.
Câu 32: Cho
0a
1a
. Khi đó
2
log
a
a
bng
A.
1
. B.
1
4
. C. 4. D.
2
.
Câu 33: Cho
a
b
là hai số thực dương thỏa mãn
25
64ab =
. Giá tr ca
22
2log 5logP ab= +
A.
7
P =
. B.
64P =
. C.
6P =
. D.
2P =
.
Câu 34: Cho
,
xy
là các s thc lớn hơn
1
tha mãn
22
96x y xy+=
. Tính
(
)
12 12
12
1 log log
2log 3
xy
M
xy
++
=
+
.
A.
1
4
M =
. B.
1
2
M =
. C.
1
3
M =
. D.
1M =
.
Câu 35: Cho
0a >
1a
, khi đó
( )
log 2
3
a
a
bằng
A.
64
. B.
8
. C.
12
. D.
23
.
Câu 36: Cho
,ab
là các s thực dương
( , 1)ab
log 16
a
b =
. Tính giá trị của biểu thức
log
a
P b=
.
A.
256
. B.
4
. C.
23
. D.
8
.
Câu 37: Cho
,,0,1abc a>≠
log 2022
a
b =
. Tính
6
7
6
4
log . .
a
ab



A.
2022
42
6
+
. B.
7
6 2022
4
+
. C.
21
2022
2
+
. D.
2
2022
21
+
.
Câu 38: Cho
25
log 7a =
;
2
log 5b =
. Tính
5
49
log
8
theo
a
,
b
.
A.
43a
b
. B.
43ab
b
+
. C.
53ab
b
. D.
43ab
b
.
Câu 39: Cho
,
ab
là các s thực dương khác
1
tha mãn
log 3.=
a
b
Giá tr ca
3
log




b
a
b
a
A.
3.
B.
2 3.
C.
3.
D.
1
.
3
Câu 40: Cho
a
,
b
là các s thc dương tha mãn
log 2
a
b =
. Tính giá tr ca biu thc
( )
3
log .
a
b
P ab=
.
A.
2
15
P =
. B.
2
9
P =
. C.
10
9
P =
. D.
2
3
P =
.
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 25
Sưu tm và biên son
Câu 41: Cho
log 2;log 3
aa
bc
= =
. Tính
( )
3
log
a
Q bc=
.
A.
4Q
=
. B.
9Q =
. C.
10Q =
. D.
12Q
=
.
Câu 42: Cho
log 2
=
a
x
,
log 3
=
b
x
với
a
,
b
là các s thc lớn hơn
1
. Tính
2
log=
a
b
Px
.
A.
6
. B.
6
. C.
1
6
. D.
1
6
.
Câu 43: Cho các s thực dương
a
,
b
tha mãn
3log 2log 1ab+=
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
32
1
ab+=
. B.
3 2 10ab
+=
. C.
32
10ab =
. D.
32
10ab+=
.
Câu 44: Cho
,,abc
là các s thực dương, trong đó
,1ab
>
tha mãn
log 3,
a
c =
log 4
b
c =
. Tính giá
tr biểu thức
log ?
ab
Pc=
A.
12
.
7
P =
B.
7
.
12
P =
C.
1
.
12
P =
D.
12.P =
Câu 45: Cho
,ab
là các s thc dương lớn hơn
1
tha mãn
log 3
a
b =
.Tính giá trị biu thc
22
3
4
log 3log 2.log
ab a
a
Pa
b

=


.
A.
21
10
P =
. B.
7
5
P =
. C.
18
25
P =
. D.
15
8
P =
.
Câu 46: Cho
log 2
a
b =
với
a
,
b
là các s thc dương và
a
khác
1
. Giá tr biểu thc
2
6
log log
a
a
Tb b= +
bằng
A.
8
. B.
7
. C.
5
. D.
6
.
Câu 47: Cho
a,b
là các s thc dương lớn hơn
1
tha mãn
log 3
a
b
=
. Tính gái trị biểu thức
22
3
4
log 3log 2.log
ab a
a
Pa
b

=


.
A.
15
8
P =
. B.
18
25
P =
. C.
21
10
P =
. D.
7
5
P =
.
Câu 48: Cho
,ab
là các s thực dương và
1a
tho mãn
( )
2
1
log
2
a
ab =
. Giá tr ca
2
log
a
b
bng
A.
3
4
. B.
3
2
. C.
3
. D.
3
4
.
Câu 49: Vi mi
,ab
tha mãn
( )
23
33
log 3 log 4ab
+=
, khẳng định nào dưới đây đúng?
A.
23
81ab =
. B.
33
1 81ab+ +=
. C.
23
27ab
=
. D.
23
27ab+=
.
Câu 50: Cho s thc
0a >
;
1
1,
27
aa≠≠
và số thc
x
tha mãn
log 3
a
x=
. Tính
27
log 9
a
theo
x
.
A.
2
3
x
x +
. B.
2
31
x
x +
. C.
( )
23 1x +
. D.
2
31x +
.
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 26
Sưu tm và biên son
Câu 51: Cho
a
,
b
là các s thực dương khác
1
tho mãn
2
log 2a
=
4
log 3b
=
. Giá tr biểu thức
(
)
2
log
a
P ab=
bằng
A.
10
P
=
. B.
5P =
. C.
2P =
. D.
1P =
.
Câu 52: Cho
,ab
là các s thcơng và
a
khác
1
, tha mãn
3
4
5
log 2
a
a
b
=
. Giá tr ca biu thc
log
a
b
bằng
A.
4
. B.
1
4
. C.
1
4
. D.
4
.
Câu 53: Cho
a
,
b
là các s thc dương tha mãn
log 2
a
b =
. Tính giá tr ca biu thc
( )
3
log .
a
b
P ab=
.
A.
2
15
P
=
. B.
2
9
P
=
. C.
10
9
P =
. D.
2
3
P
=
.
Câu 54: Cho các s dương
,
ab
khác
1
sao cho
2
39
16
log log log 2
b
a
ab= =
. Giá tr ca
3
b
a
bng:
A.
1
. B.
2
. C.
4
. D.
8
.
Câu 55: Giá tr của biểu thức
log 3
2
4
bằng
A.
3
. B.
3
. C.
3
2
. D.
23
.
Câu 56: Cho
10
5
2
3 27 243P =
. Tính
3
log P
.
A.
45
28
. B.
21
100
. C.
45
56
. D.
13
100
Câu 57: Cho
,xy
hai s thực dương,
1x
tha mãn
25
25
log , log .
52
x
y
yx
y
= =
Tính g tr ca
22
2.Py x=
A.
1P =
. B.
0P =
. C.
25P =
. D.
25
P =
.
Câu 58: Cho
,xy
hai s thực dương,
1
x
tha mãn
3
2
3 32
log ,log .
8
x
y
yx
y
= =
Tính giá trị ca
22
Px y=
.
A.
120
P =
. B.
132P =
. C.
240P
=
. D.
340P =
.
Câu 59: Có bao nhiêu số thực dương
1n
để
log 265
n
là mt s ngun?
A.
2
. B.
4
. C.
6
. D.
8
.
Câu 60: Cho các s thc
tha mãn
1ab>>
11
2022.
log log
ba
ab
+=
Giá tr ca biểu thức
11
.
log log
ab ab
P
ba
=
A.
2018.
B.
2020.
C.
2016.
D.
2022.
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 27
Sưu tm và biên son
Câu 61: Vi
,ab
là các s thực dương tùy ý và
1a
. Ta có
( )
3
log
a
ab
bằng
A.
3.log
a
b
. B.
1
.log
3
a
b
. C.
1
log
3
a
b+
. D.
3 log
a
b+
.
Câu 62: Vi
a
,
b
là hai số dương tùy ý,
(
)
23
log
ab
bng:
A.
11
log log
23
ab+
. B.
2log log
ab+
. C.
2log 3logab+
. D.
log 3logab
+
.
Câu 63: Cho
0a >
,
1a
, khi đó
( )
3
log .
a
aa
bằng
A.
4
. B.
4
3
. C.
4
3
. D.
1
3
.
Câu 64: Cho
0a
>
1a
, khi đó
2
3
4
log
a
a
bằng
A.
3
8
. B.
3
4
. C.
3
8
. D.
3
2
.
Câu 65: Cho
a
là s thực dương,
1a
, khi đó
log 5
a
a
bằng
A.
5
log a
. B.
log 5
a
. C.
5
a
. D.
5
.
Câu 66: Vi
,ab
là hai số thực dương tùy ý, khi đó
( )
32
ln ea b
bằng:
A.
2ln 3lnab
+
. B.
3ln 2lnab+
. C.
1 3ln 2lnab++
. D.
1 6 ln .lnab+
.
Câu 67: Vi
a
,
b
là các s thực dương bất kỳ,
2
4
log
a
b
bng
A.
( )
22
log log 4ab
. B.
2
1
log
4
a
b
. C.
2
2log
a
b
. D.
22
log 4logab
.
Câu 68: Cho
a
là s thực dương. Khi đó
3
4
log 8a
bằng
A.
2
3
log
2
a
+
. B.
2
33
log
22
a+
. C.
2
2 3log a+
. D.
2
6 6log a+
.
Câu 69: Vi mi s thc
a
dương,
( )
5
log 5a
bằng
A.
5
1 log a
+
. B.
5
log
a
. C.
5
5log a
. D.
5
1 log a
.
Câu 70: Vi
a
là s thực dương tùy ý,
( )
3
4
log a
bằng
A.
3
3log a
. B.
2
2
log
3
a
. C.
2
3
log
2
a
. D.
4
3 log a
+
.
Câu 71: Vi mi s thc
a
dương,
2
2
log
4
a
bằng
A.
( )
2
2 log 1a
. B.
2
log 2a
. C.
2
log 1a
. D.
2
2log 1a
.
Câu 72: Cho
0a >
1a
, khi đó
3
log
a
a
bằng
A.
1
3
. B.
3
. C.
1
3
. D.
3
.
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 28
Sưu tm và biên son
Câu 73: Vi mi s thc
a
dương,
22
2
log a
bằng
A.
2
2
2log a
. B.
2
2
4log
a
. C.
2
2
2log a
. D.
2
4log
a
.
Câu 74: Vi
,
ab
là các s thực dương tùy ý và
1a
,
3
log
a
b
A.
3 log+
a
b
. B.
3
log
a
b
. C.
1
3
log+
a
b
. D.
1
3
log
a
b
.
Câu 75: Vi
a
là s thực dương tùy ý,
3
3
log



a
bằng
A.
3
1 log
a
. B.
3
3 log a
. C.
3
1
log a
. D.
3
1 log
+
a
.
Câu 76: Vi
a
là s thực dương tùy ý,
( )
5
log 5a
bằng
A.
5
5 log+ a
. B.
5
5 log a
. C.
5
1 log+ a
. D.
5
1 log a
.
Câu 77: Gi s
,ab
là các s thực dương tùy ý thỏa mãn
23 4
4ab =
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
22
2log 3log 8ab+=
. B.
22
2log 3log 8ab−=
.
C.
22
2log 3log 4ab−=
. D.
22
2log 3log 4ab+=
.
Câu 78: Vi
,ab
là hai số thực dương tùy ý,
(
)
3
3
log
ab
bằng
A.
33
1
log log
3
ab+
. B.
( )
33
3 log logab+
. C.
33
log 3logab+
. D.
33
3log logab+
.
Câu 79: Vi
a
là s thực dương tùy ý,
2
log 2
a
bằng
A.
2
1 log a+
. B.
2
1 log a
. C.
2
2 log a
. D.
2
2 log a+
.
Câu 80: Vi mi s thc
a
dương,
2
3
log
9
a



bằng
A.
( )
3
2 log 1
a
B.
3
1
log
2
a
C.
3
log 1a
D.
3
log 2a +
Câu 81: Vi
a
là s thực dương tùy ý,
( )
2
3
log 3a
bằng
A.
3
3 2log a+
. B.
3
1
1 log
2
a+
. C.
3
1 2log a+
. D.
3
1 2log a
.
Câu 82: Vi
a
là s thực dương tùy ý,
( )
3
log 100a
bằng
A.
6log a
. B.
2 3log a+
. C.
11
log
23
a+
. D.
3 3log a+
.
Câu 83: Vi mi s thc
a
dương và
1a
,
( )
3
log 3
a
a
bng
A.
log 3 1
a
. B.
1
. C.
( )
3 log 3 1
a
+
. D.
( )
1
log 3 1
3
a
+
.
Câu 84: Vi
a
là s thực dương tùy ý,
5
2
log a
bằng
A.
2
5 log a+
B.
2
1
log
5
a+
C.
2
1
log
5
a
D.
2
5log a
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 29
Sưu tm và biên son
Câu 85: Vi
a
là s thực dương tùy ý,
5
25
log
a
bằng
A.
5
2 log a
. B.
5
5
log a
. C.
5
5 log a
. D.
5
2
log a
.
Câu 86: Vi mi
,ab
tha mãn
2
33
log log 5
ab+=
, khẳng định nào sau đây đúng?
A.
2
9
ab=
. B.
2
243ab=
. C.
2
243
ab
+=
. D.
3
15ab+=
.
Câu 87: Vi
a
là s thực dương tùy ý,
( )
1
2
log 8a
bằng
A.
2
1
log .
2
a+
B.
2
3 log .a
−+
C.
( )
3
2
log .a
D.
2
3 log a−−
.
Câu 88: Cho các s thực dương
,ab
tha mãn
log 2log 1ab+=
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
2
1ab+=
. B.
2 10ab+=
. C.
2
10ab =
. D.
2
10
ab
+=
.
Câu 89: Gi s
a
,
b
là các s thực dương tùy ý thỏa mãn
23 4
4ab =
. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A.
22
2log 3log 4ab+=
. B.
22
2log 3log 8ab+=
.
C.
22
2log 3log 32ab+=
. D.
22
2log 3log 16ab+=
.
Câu 90: Vi mi
,ab
tha mãn
2
33
log log 5ab+=
, khẳng định nào sau đây đúng?
A.
2
9ab=
. B.
2
243ab=
. C.
2
243ab+=
. D.
3
15ab+=
.
Câu 91: Vi mi
a
,
b
tha mãn
23
33
log 3 log 4
ab+=
, khẳng định nào dưới đây đúng?
A.
23
1 81ab+ +=
. B.
23
27ab =
. C.
23
27ab+=
. D.
23
81ab
=
.
Câu 92: Vi mi s thực dương
a
,
b
tho mãn
5
33
1
log log 2
a
b
−=
. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A.
5
3ab
=
. B.
5
3ab=
. C.
5
1
3a
b
−=
. D.
5
1
9a
b
−=
.
Câu 93: Cho
x
,
y
là các s thc dương tha mãn điều kiện
22
9ln 4ln 12ln .lnx y xy+=
. Đng thc nào
sau đây đúng?
A.
32
xy=
. B.
xy=
. C.
32xy
=
. D.
33
xy=
.
Câu 94: Vi
,ab
là các s thc dương tùy ý tha mãn
39
log 2log 2ab−=
, mệnh đ nào dưới đây đúng?
A.
2
9ab
=
. B.
9ab=
. C.
6ab=
. D.
9ba=
.
Câu 95: Vi mi
tha mãn
3
22
log log 5ab
+=
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
3
32
ab+=
. B.
3
25ab+=
. C.
3
32ab=
. D.
3
25ab=
.
Câu 96: Cho các s thc âm
a
,
b
tha mãn
2
3
3
log log 2ba −=
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
2
9
a
b
=
. B.
3
a
b
=
. C.
2
3
a
b
=
. D.
3
a
b
=
.
Câu 97: Vi mi
,
ab
tha mãn
( )
( )
9
8
2
log 2 log 3+=ab
. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A.
9
8+=ab
. B.
23
2=ab
. C.
3
4=
ab
. D.
9
8=ab
.
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 30
Sưu tm và biên son
Câu 98: Cho
,ab
là các s dương thỏa mãn
33
4log 7log 2ab
+=
. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A.
472ab+=
. B.
47
2ab
=
. C.
47
9ab =
. D.
479ab+=
.
Câu 99: Vi mi s thực dương
a
,
b
,
c
tha mãn
2
log log log 0a bc+−=
, khẳng định nào sau đây
đúng?
A.
2
0a bc+−=
. B.
2
0
bc
a
−=
. C.
2
1a bc+−=
. D.
2
1ab c−=
.
Câu 100: Vi
,ab
là các s thc ơng tùy ý tha mãn
4
22
log 2 log 5ab+=
, khẳng định nào sau đây đúng?
A.
4
32ab=
. B.
4
32ab+=
. C.
4
16ab+=
. D.
4
16ab=
.
Câu 101: Cho
,ab
là hai số thực dương thỏa mãn
25
39
log log 4ab =
, khẳng định nào dưới đây đúng?
A.
5
27ab−=
. B.
5
27
a
b
=
. C.
52
81ab−=
. D.
5
81
a
b
=
.
Câu 102: Biết
2 42 1
2
log 6log 4log log
x a bc=−−
. Tìm kết luận đúng.
A.
3
2
ac
x
b
=
. B.
32
xa b c=−+
. C.
3
2
ac
x
b
=
. D.
3
2
a
x
bc
=
.
Câu 103: Đặt
2
log 3a =
5
log 3b =
. Hãy biểu diễn
6
log 45
theo
a
b
.
A.
6
2
log 45
a ab
ab b
+
=
+
. B.
2
6
22
log 45
a ab
ab
=
.
C.
6
2
log 45
a ab
ab
+
=
. D.
2
6
22
log 45
a ab
ab b
=
+
.
Câu 104: Cho các s thc dương
,ab
tha mãn
32
3
2log 2.log 3log 4
ab−=
, mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
3
9
a
b
=
. B.
4ab
=
. C.
4
ab =
. D.
3
9
ab=
.
Câu 105: Vi mi
a
,
b
tha mãn
32
2
log .log 3
log 1
1 log 5
a
b+=
+
. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A.
1ab+=
. B.
2
1 log 5ab=
. C.
10ab =
. D.
2
log 5 1ab+=
.
Câu 106: Nếu
222
log 5log 4logxab= +
(
,0
ab>
) thì
x
bằng
A.
45
ab
. B.
54ab+
. C.
45ab
+
. D.
54
ab
.
Câu 107: Cho hai số thực dương
,ab
bt tha mãn
22
4ln 9ln 12ln .lna b ab+=
. Khng đnh nào dưới
đây đúng?
A.
32ab=
. B.
23
ab=
. C.
23ab=
. D.
32
ab=
.
Câu 108: Vi mi
a
,
b
,
x
là các s thực dương thỏa mãn
3 33
log 2 log 3logx ab= +
, mệnh đề nào dưới
đây đúng?
A.
23x ab= +
. B.
32xab= +
. C.
23
x ab=
. D.
23
xa b= +
.
Câu 109: Vi mi
,ab
tho mãn
32
2
log
log 1
.log 3
51 log
b
a
+=
+
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
2
1 log 5ab=
. B.
10ab =
. C.
2
log 5 1ab+=
. D.
1ab+=
.
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 31
Sưu tm và biên son
Câu 110: Xét tt c các s ơng
a
b
tha mãn
(
)
339
log log log
a b ab
+=
. Tính giá trị ca
ab
.
A.
1
ab
=
. B.
2ab
=
. C.
1
2
ab =
. D.
0ab =
.
Câu 111: Cho
25
log 5 ; log 3 .ab= =
Tính
5
log 24
theo
a
b
.
A.
5
3
log 24 .
ab
a
+
=
B.
5
3
log 24 .
ab
a
+
=
C.
5
log 24 .
3
ab
ab
+
=
D.
5
3
log 24 .
ab
b
+
=
Câu 112: Cho
,ab
là các s thực dương và
1a
tha mãn
( )
22
log 1
a
ab =
. Giá tr ca
3
log
a
b
bng
A.
1
6
. B.
1
3
. C.
1
6
. D.
1
.
Câu 113: Cho
73
log 5, log 5ab= =
. Biểu thức
21
log 5
M =
bằng
A.
ab
ab+
. B.
ab
. C.
. D.
ab
ab
+
.
Câu 114: Cho
2
log 3 a=
. Giá tr của biểu thức
6
log 12P =
tính theo
a
bng
A.
2
a
a+
. B.
1
2
a
a
+
+
. C.
1
a
a+
. D.
2
1
a
a
+
+
.
Câu 115: Cho hai số t nhiên
,xy
tha mãn
28 28
log 2 log 7 2xy+=
. Giá tr ca
xy+
bng
A.
5
. B.
6
. C.
4
. D.
8
.
Câu 116: Cho
15
1 log 3
log 30
log 3 log 5
a
bc
+
=
+
, với
,,abc
là các s nguyên. Giá trị ca
.ab c+
bằng
A.
4
. B.
3
. C.
1
. D.
2
.
Câu 117: Biết
x
y
là hai số thc tha mãn
( )
496
log log log 2 .x y xy= =
Giá tr ca
x
y
bằng
A.
2
2
3
log 2
. B.
1
. C.
4
. D.
2
.
Câu 118: Vi hai s thc dương
,ab
tùy ý và
35
6
3
log 5log
log 2
1 log 2
a
b−=
+
. Khng đnh nào dưới đây là khẳng
định đúng?
A.
6
log 2ab=
. B.
36ab=
. C.
230ab+=
. D.
6
log 3ab=
.
Câu 119: Ba s
248
log 3; log 3; log 3aaa+++
theo th t lập thành cấp s nhân. Công bội ca cp s
nhân này bằng
A.
1
4
. B.
1
. C.
1
3
. D.
1
2
.
Câu 120: Đặt
25
log 3 , log 3ab= =
. Nếu biểu diễn
( )
6
log 45
()
a m nb
ba p
+
=
+
thì
mn p++
bng:
A.
3
. B.
3
. C.
6
. D.
4
.
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 1
Sưu tm và biên son
BÀI 19: LOGARIT
Câu 1: Cho
,,abc
là các s thực dương và
,1ab
. Khng định nào sau đây là sai?
A.
log .log 1
ab
ba=
. B.
log log
ac
ca=
. C.
log
log
log
b
a
b
c
c
a
=
. D.
log log .log
a ab
c bc=
.
Li gii
Ta có
1
log log
log
ac
c
ca
a
= ≠−
. Suy ra đáp án B sai.
Câu 2: Cho
0 1, 0<≠ >ax
. Mệnh đề nào sau đây là sai?
A.
log 1=
a
a
. B.
log
=
x
a
ax
. C.
log 1 0
=
a
. D.
log
=
a
x
xx
.
Li gii
Vi
0 1, 0<≠ >
ax
ta có:
log 1
=
a
a
Phương án
A
đúng.
log =
x
a
ax
Phương án
B
đúng.
log 1 0=
a
Phương án
C
đúng.
log
=
a
x
ax
log
=
a
x
xx
sai
Phương án
D
sai.
Câu 3: Cho ba số thực dương
,,abc
1a
. Khng định nào sau đây là sai?
A.
(
)
log log log
a aa
bc b c= +
. B.
log
a
b
ab=
.
C.
log log
aa
bb
α
α
=
. D.
ln
log
ln
a
a
b
b
=
.
Lời giải
Ta có
ln
log
ln
a
b
b
a
=
, nên đáp án D sai.
Câu 4: Cho
a
,
b
là các s thực dương tùy ý. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A.
( )
ln ln lnab a b= +
. B.
( )
ln ln lnab a b+= +
.
C.
( )
ln ln .lnab a b=
. D.
( )
ln ln .lnab a b+=
.
CHƯƠNG
VI
HÀM S
M S LOGARIT
H THNG BÀI TP TRC NGHIM.
III
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 2
Sưu tm và biên son
Li gii
Theo quy tắc logarit ta có:
(
)
ln ln ln
ab a b
= +
.
Câu 5: Cho
a
là s thực dương khác 1. Mệnh đề nào sau đây đúng với mọi số thực dương
,?xy
A.
log log log
a aa
x
xy
y
= +
. B.
( )
log log
aa
x
xy
y
=
.
C.
log log log
a aa
x
xy
y
=
. D.
log
log
log
a
a
a
x
x
yy
=
.
Lời giải
Theo quy tắc tính logarit của một thương ta có
log log log , 0, 0
a aa
x
x yx y
y
= ∀> >
.
Câu 6: Có bao nhiêu số thực dương
1n
để
log 265
n
là một số nguyên?
A.
2
. B.
4
. C.
6
. D.
8
.
Lời giải
Ta có:
8
2
8
log 256 log 2 8log 2
log
nnn
n
= = =
.
Để
log 265
n
là một số nguyên thì
2
log { 1; 2; 4; 8}n ±±±±
11 1 1
; 2; ;4; ;16; ; 256
2 4 16 256
n

⇔∈


Vậy có tất c 8 số thực dương
1n
thỏa mãn điều kiện bài toán.
Câu 7: Cho ba số thực dương
,,
abc
đều khác
1
tho mãn
log 2log 4log= =
abc
bca
2 3 48
++=abc
. Khi đó
=P abc
bằng bao nhiêu?
A.
243
. B.
521
. C.
512
. D.
324
.
Lời giải
Do
,,abc
đều khác
1
nên
log , log , log
abc
bca
đều khác
0
ta có:
2
log 2log log .log 2log log 2 log= = ⇔=
a bac ba b
bccbccc
.
2
log 4log log .log 4log log 4log= = ⇔=
acacccc
bacbaba
.
Nên
22 2 3 2
log .log 8log .log log 8log log 8 log 2= ⇔= ⇔=⇔==
ac bc a b a a
cb cabab bba
.
2
log 2log log 2log= = ⇔=
a ba
a
b c b c bc
.
Ta lại có
22 2
16
2 3 48 2 3 48 5 48 0
5
3
=
++=++=+=
=
a
abc aa a aa
a
Do
,,abc
đều là số thực dương
3 9, 9 243=⇒= = = =a b c P abc
.
Câu 8: Giá tr của biểu thức
log 3
2
4
bằng
A.
3
. B.
3
. C.
3
2
. D.
23
.
Li gii
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 3
Sưu tm và biên son
(
)
( )
2
log 3
2
2
2 log 3
2
2 2 33
log 3
2
4

= = = =


.
Câu 9: Giá trị của
2
1
log
16
bằng
A.
4.
B.
1
.
4
C.
1
.
8
D.
4.
Li gii
4
22
1
log log 2 4.
16
= =
Câu 10: Với mọi
,
ab
dương thỏa mãn
22
log log 3
ab−=
, khẳng định nào dưới đây đúng?
A.
2
64ab
=
. B.
2
64ab
=
. C.
8ab−=
. D.
3
a
b
=
.
Li gii
Ta có
22 2
log log 3 log 3
a
ab
b
−= =
32
2 64
a
ab
b
= ⇔=
.
Câu 11: Cho
0>a
1a
, khi đó
5
log
a
a
bằng
A.
1
5
. B.
5
. C. 5. D.
1
5
.
Li gii
Ta có:
5
log
a
a
=
( )
1
5
log
a
a
=
1
5
Câu 12: Cho
0
a >
1a
, khi đó
2021
2022
log
a
a
bằng
A.
2021
. B.
2022
2021
. C.
2021
2022
. D.
2022
.
Li gii
Vi
0
a >
1a
ta có:
2022
2021
2022
2021
2022 2022
log log log
2021 2021
aa a
aa a= = =
.
Câu 13: Cho
0a >
1a
, khi đó
3
log
a
a
bằng
A.
1
3
. B.
3
. C.
3
. D.
1
3
.
Li gii
Ta có:
31
3
log log 3log 3
a
a
a
aaa= = =
Câu 14: Vi
a
là s dương tùy ý khác 1,
log
a
a
bằng
A.
1
2
. B.
2a
. C.
2
. D.
1
2
a
.
Li gii
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 4
Sưu tm và biên son
Ta có
1
2
1
log log
2
aa
aa
= =
.
Câu 15: Với mọi số thc
a
dương khác 1,
3
log
a
a
bằng
A.
1
3
. B.
3
. C.
3
. D.
0
.
Li gii
Ta có
1
3
3
11
log log log
33
aa a
aa a= = =
.
Câu 16: Với mọi số thc
a
dương,
4
4
log a
bằng
A.
4
. B.
4
4log a
. C.
4
1
log
4
a
. D.
1
4
.
Li gii
4
4 44
log 4log 4loga aa
= =
.
Câu 17: Cho
a
s thực dương khác
2
. Tính
2
2
log
4
a
a
I

=


.
A.
1
2
I =
. B.
1
2
I =
. C.
2I =
. D.
2I =
.
Li gii
2
2
22 2
log log 2log 2
42 2
aa a
aa a
I

 
= = = =

 
 

.
Câu 18: Cho
a
là s thực dương khác
5
. Tính
3
5
log
125
a
a
I

=


.
A.
1
3
I 
. B.
3I

. C.
1
3
I
. D.
3I
.
Li gii
Ta có:
3
3
55
log log 3
125 5
aa
aa
I





.
Câu 19: Vi
a
là s thực dương tùy ý,
( )
4
log 4a
bằng
A.
4
1 log
a
. B.
4
1 log a+
. C.
4
4 log a
. D.
4
4 log a+
.
Li gii
Vi
0a >
ta có:
( )
4
log 4a
44
log 4 log a
= +
4
1 log a= +
.
Câu 20: Với
,ab
là hai số dương tùy ý thì
( )
32
log ab
có giá trị bằng biểu thức nào sau đây?
A.
1
3log log
2
ab+
. B.
2log 3logab+
. C.
3log 2logab+
. D.
1
3 log log
2
ab

+


.
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 5
Sưu tm và biên son
Li gii
Do
,
ab
là hai số dương nên ta có :
(
)
32 3 2
log log log 3log 2logab a b a b=+=+
.
Câu 21: Tính giá trị của biểu thức
(
)
2
log
2 log
a
b
a
Pa= +
( )
0, 1aa>≠
.
A.
2
a
Pb= +
. B.
P ab=
. C.
2P ab= +
. D.
P ab= +
.
Li gii
Ta có
( )
2
log
2 log
a
b
a
P a ab=+=+
.
Câu 22: Cho
0, 1
aa>≠
, biểu thức
3
log
a
Da=
có giá tr bằng bao nhiêu?
A.
1
3
. B.
3
. C.
1
3
. D.
3
.
Li gii
3
11
log log
33
a
a
Da a
= = =
Câu 23: Cho hàm số
2
( ) logfx x=
. Vi
0x
>
, giá tr của biểu thức
68
3
x
Pf f
x

= +


bng
A.
2P
=
. B.
1
P =
. C.
4P =
. D.
3P =
.
Li gii
6 8 68
. (16) 4
33
xx
Pf f f f
xx

=+= ==


.
Câu 24: Giá tr ca
3
1
log
a
a
với
0a >
1a
bng
A.
3
2
. B.
3
2
. C.
2
3
. D.
2
3
.
Li gii
Ta có:
3
2
3
13
log log
2
aa
a
a
= =
.
Câu 25: Với
a
là số thực dương bất kỳ, mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
4
ln 4ln
aa=
. B.
( )
ln 4 4lnaa=
. C.
( )
1
ln 4 ln
4
aa=
. D.
3
1
ln ln
3
aa=
.
Li gii
Mệnh đề đúng là
4
ln 4ln
aa=
.
Câu 26: Cho
,ab
là các s thực dương
a
khác
1
, tha mãn
2
3
5
3
log 3
a
a
b

=


. Giá tr ca biểu thức
log
a
b
bằng
A.
5.
B.
5.
C.
1
.
5
D.
1
.
5
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 6
Sưu tm và biên son
Li gii
Ta có
2
3
5
3
log 3
a
a
b

=


3
3
5
13
log log 3 3 log 6
25
aa a
ab b

=⇔− =


log 5
a
b
⇔=
.
Câu 27: Cho
25
log 5 ;log 3ab= =
. Tinh
5
log 24
theo
a
b
.
A.
5
3
log 24
ab
b
+
=
. B.
5
3
log 24
ab
a
+
=
. C.
5
3
log 24
ab
a
+
=
. D.
5
log 24
3
ab
ab
+
=
.
Li gii
5 555
log 24 log 8.3 log 8 log 3= = +
55 5
2
3 33
3.log 2 log 3 log 3
log 5
ab
b
aa
+
= += +=+=
Câu 28: Cho
log 3,log 4
ab
xx= =
với
,ab
là các s thc lớn hơn
1
. Tính
log
ab
Px=
.
A.
12P =
. B.
7
12
P =
. C.
1
12
P =
. D.
12
7
.
Li gii
Ta có :
log .log
1 1 1 12
log
11
log log log log log 7
log log
ab
ab
x xx ab
ab
xx
Px
ab a b x x
xx
= = = = = =
++
+
Vậy :
12
7
P =
.
Câu 29: Vi các s thực dương
a
,
b
bất kì. Mệnh đề nào dưới đây đúng
A.
3
2 22
2
log 1 3log log

=+−


a
ab
b
. B.
3
2 22
21
log 1 log log
3

=+−


a
ab
b
.
C.
3
2 22
2
log 1 3log log

=++


a
ab
b
. C.
3
2 22
21
log 1 log log
3

=++


a
ab
b
.
Li gii
( )
3
33
2 2 2 22 2 22
2
log log 2 log log 2 log log 1 3log log

= −=+ −=+


a
a b a b ab
b
.
Câu 30: Cho
2
log 5x =
. Giá trị của biểu thức
2
log
x
Px=
bng
A.
15P = +
. B.
5
51
P =
+
. C.
1
5
. D.
5
15+
.
Li gii
Ta có:
5
2
log 5 2 1xx= ⇔= >
nên
log 2
x
,
log
x
x
,
log 2
x
x
đều xác định và
log 02
x
x
Cách 1.
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 7
Sưu tm và biên son
2
2
1
11
2 2l
1 1 1 15
log
1
o
og
1
l g log
5
log
5
x
x
xx
Px
xx
x
+
+
=
+
= = = = =
+
.
Cách 2.
22
2
2 22
log log
5
log
log 2 log 2 log
15
x
xx
Px
xx
= = = =
+
+
.
Câu 31: Cho các s thực dương
a
b
tha mãn
2
16 0
ab
−=
. Tính giá trị ca biểu thức
2
2
log logP ab=
.
A.
2P =
. B.
4
P
=
. C.
16
P =
. D.
2P =
.
Li gii
2
2 2 22 2
2
log log 2log 2log log 16 log 16 4
16
a
Pa aa= = +==
.
Câu 32: Cho
0a
1a
. Khi đó
2
log
a
a
bng
A.
1
. B.
1
4
. C. 4. D.
2
.
Li gii
Vi
0a
1a
, ta có:
4
2
log log log 4.14. 4
aa a
aa a
.
Câu 33: Cho
a
b
là hai số thực dương thỏa mãn
25
64ab =
. Giá trị ca
22
2log 5log
P ab= +
A.
7P =
. B.
64P =
. C.
6P
=
. D.
2P =
.
Li gii
Theo bài ra:
,0ab>
;
( )
25 25
2 2 22
64 log log 64 2log 5log 6ab ab a b= =+=
.
Vy
6P =
.
Câu 34: Cho
,xy
là các s thc lớn hơn
1
tha mãn
22
96
x y xy
+=
. Tính
( )
12 12
12
1 log log
2log 3
xy
M
xy
++
=
+
.
A.
1
4
M =
. B.
1
2
M
=
. C.
1
3
M =
. D.
1M =
.
Li gii
Ta có
( )
2
22
96 3 0 3x y xy x y x y+ = =⇔=
.
Suy ra
( )
2
12 12 12
2
12 12
1 log 3 log log 36
1
2log 6 log 36
yy y
M
yy
++
= = =
.
Câu 35: Cho
0a >
1a
, khi đó
(
)
log 2
3
a
a
bằng
A.
64
. B.
. C.
12
. D.
23
.
Li gii
Ta có
( ) ( )
( )
6
log 2 2log 2
6log 2 log 2
33 6
2 64
a
a
aa
a a aa= = = = =
.
Câu 36: Cho
,ab
là các s thực dương
( , 1)ab
log 16
a
b =
. Tính giá trị của biểu thức
log
a
P b=
.
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 8
Sưu tm và biên son
A.
256
. B.
4
. C.
23
. D.
8
.
Li gii
Theo tính chất của logarit ta có
(
)
1
2
11
.16 8
log log log
22
aa a
P bb b
= =
= = =
.
Câu 37: Cho
,,0,1abc a
>≠
log 2022
a
b =
. Tính
6
7
6
4
log . .
a
ab



A.
2022
42
6
+
. B.
7
6 2022
4
+
. C.
21
2022
2
+
. D.
2
2022
21
+
.
Li gii
Ta có:
6 66
77
66
44
7 21
log . log log 6. 2022 2022.
42
a aa
ab a b

= + =+=+


Câu 38: Cho
25
log 7a =
;
2
log 5
b =
. Tính
5
49
log
8
theo
a
,
b
.
A.
43
a
b
. B.
43
ab
b
+
. C.
53
ab
b
. D.
43
ab
b
.
Li gii
Ta có:
2
25 5 5
5
1
log 7 log 7 log 7 log 7 2
2
aa= = = ⇒=
25
1
log 5 log 2b
b
=⇒=
23
5 5 55 5 5 5
49 1 4 3
log log 49 log 8 log 7 log 2 2log 7 3log 2 2.2 3.
8
ab
a
bb
= = = = −=
Câu 39: Cho
, ab
là các s thực dương khác
1
tha mãn
log 3.=
a
b
Giá tr ca
3
log




b
a
b
a
A.
3.
B.
2 3.
C.
3.
D.
1
.
3
Li gii
Ta có:
3
log 3= ⇔=
a
b ba
3
2
3
3
3
1
2
31
1
32
log log .
33
1
2



= = =






b
a
a
a
ba
a
a
Câu 40: Cho
a
,
b
là các s thc dương tha mãn
log 2
a
b =
. Tính giá tr ca biu thc
( )
3
log .
a
b
P ab=
.
A.
2
15
P =
. B.
2
9
P =
. C.
10
9
P =
. D.
2
3
P =
.
Li gii
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 9
Sưu tm và biên son
Ta có
( )
( )
1
3
3
3
1
2
11
1 log 1 .2
log .
log log
10
33
log .
11
9
log 2
log log
log
22
a
a
aa
a
b
a
aa
a
b
ab
ab
P ab
a
b
ab
b
++
+
= = = = = =

−−


.
Câu 41: Cho
log 2;log 3
aa
bc= =
. Tính
( )
3
log
a
Q bc=
.
A.
4Q =
. B.
9
Q =
. C.
10Q =
. D.
12Q =
.
Li gii
Ta có
( )
3
log 3log log 3.2 3 9.
a aa
Q bc b c= = + = +=
Câu 42: Cho
log 2=
a
x
,
log 3=
b
x
với
a
,
b
là các s thc lớn hơn
1
. Tính
2
log=
a
b
Px
.
A.
6
. B.
6
. C.
1
6
. D.
1
6
.
Li gii
a
,
b
là các s thc lớn hơn
1
nên ta có:
2
3
23 3
2
3
log 2
log 3
=
=
= ⇔= ⇔=

=
=
a
b
x
xa
a b a b ab
x
xb
.
31
22
2
2
log log log 2log 6
=== =−=
ab
bb
b
b
Pxx x x
.
Câu 43: Cho các s thực dương
a
,
b
tha mãn
3log 2log 1
ab+=
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
32
1ab+=
. B.
3 2 10
ab+=
. C.
32
10ab
=
. D.
32
10ab+=
.
Li gii
Ta có:
3log 2 log 1ab
+=
32
log log 1ab⇔+=
( )
32
log 1ab⇔=
32
10
ab
⇔=
.
Câu 44: Cho
,,
abc
là các s thực dương, trong đó
,1ab>
tha mãn
log 3,
a
c =
log 4
b
c =
. Tính giá
tr biểu thức
log ?
ab
Pc=
A.
12
.
7
P =
B.
7
.
12
P =
C.
1
.
12
P =
D.
12.P =
Li gii
T gi thiết ta suy ra
1
c
11 11
log ; log
log 3 log 4
cc
ab
ab
cc
= = = =
.
Khi đó,
( )
1 1 1 12
log .
11
log log log 7
34
ab
c cc
Pc
ab a b
= = = = =
+
+
Câu 45: Cho
,ab
là các s thc dương lớn hơn
1
tha mãn
log 3
a
b =
.Tính giá trị biểu thc
22
3
4
log 3log 2.log
ab a
a
Pa
b

=


.
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 10
Sưu tm và biên son
A.
21
10
P
=
. B.
7
5
P
=
. C.
18
25
P
=
. D.
15
8
P =
.
Li gii
T
log 3
a
b =
suy ra
3
ba=
( )
1, 1ab>>
.
Thay vào biểu thức cần tính ta được:
( )
52
32
4
log 3log 2.log
aa
Pa a
=
2
33
.log .log 2
52
a
a= +
3 3 21
5 2 10
=+=
.
Câu 46: Cho
log 2
a
b =
với
a
,
b
là các s thc dương và
a
khác
1
. Giá tr biểu thc
2
6
log log
a
a
Tb b= +
bằng
A.
8
. B.
7
. C.
5
. D.
6
.
Li gii
2
6
log log
a
a
Tb b= +
1
3log log
2
aa
bb= +
7
log
2
a
b=
7=
.
Câu 47: Cho
a,b
là các s thc dương lớn hơn
1
tha mãn
log 3
a
b =
. Tính gái trị biểu thức
22
3
4
log 3log 2.log
ab a
a
Pa
b

=


.
A.
15
8
P =
. B.
18
25
P =
. C.
21
10
P =
. D.
7
5
P =
.
Li gii
Ta có:
3
log 3
a
b ba=⇔=
2 2 52
33
44
3
log 3log 2.log log 3log 2.log
ab a a a
aa
Pa a
ba

=−=


2
2
2
31 1
3. .log 2.log
52
a
a

=


.
2
22
3 1 1 33 33 21
3. .log 2. .log .log 2.log
5 2 2 52 5210
aa
aa
= =+ =+=
.
Câu 48: Cho
,ab
là các s thực dương và
1a
tho mãn
( )
2
1
log
2
a
ab =
. Giá trị ca
2
log
a
b
bng
A.
3
4
. B.
3
2
. C.
3
. D.
3
4
.
Li gii
T gi thiết ta
( )
22
1 1 13
log log log log 2
2 2 22
a aa a
ab a b b
= + = = −=
.
Vy giá tr ca
2
1 13 3
log log .
2 22 4
a
a
bb

= = −=


.
Câu 49: Với mọi
,ab
tha mãn
( )
23
33
log 3 log 4ab+=
, khẳng định nào dưới đây đúng?
A.
23
81ab =
. B.
33
1 81ab+ +=
. C.
23
27ab =
. D.
23
27
ab+=
.
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 11
Sưu tm và biên son
Li gii
( )
2 3 2 3 23 23
33 3
log 3 log 4 log 3 . 4 3 81 27
a b a b ab ab+ = = =⇔=
.
Câu 50: Cho s thc
0a
>
;
1
1,
27
aa≠≠
và số thc
x
tha mãn
log 3
a
x=
. Tính
27
log 9
a
theo
x
.
A.
2
3
x
x
+
. B.
2
31
x
x
+
. C.
( )
23 1x +
. D.
2
31x +
.
Li gii
Ta có:
3
27
3 33 3
log 9
2 2 2 22
log 9
11
log 27 log 27 log 3 log 3 1
33
log 3
a
a
x
a aa x
x
= = = = = =
++ +
++
.
Câu 51: Cho
a
,
b
là các s thực dương khác
1
tho mãn
2
log 2a =
4
log 3b =
. Giá tr biểu thức
( )
2
log
a
P ab=
bằng
A.
10P =
. B.
5P =
. C.
2
P =
. D.
1P =
.
Li gii
Vi
a
,
b
là các s thực dương khác
1
ta có:
2
2
log 2 2 4aa=⇔= =
.
3
4
log 3 4bb=⇔=
Vy
( ) ( )
2 23
4
log log 4 .4 5
a
P ab= = =
.
Câu 52: Cho
,ab
là các s thcơng và
a
khác
1
, tha mãn
3
4
5
log 2
a
a
b
=
. Giá tr ca biu thc
log
a
b
bằng
A.
4
. B.
1
4
. C.
1
4
. D.
4
.
Li gii
Ta có:
3
5
1
4
5
4
1
2 log log
3
a
a
aa
b
b
= =
1
5
4
1
log log
3
aa
ab

=


11
5 log
34
a
b

=


6
1
5 log
4
a
b =
4log
a
b =
.
Câu 53: Cho
a
,
b
là các s thc dương tha mãn
log 2
a
b =
. Tính giá tr ca biu thc
( )
3
log .
a
b
P ab=
.
A.
2
15
P =
. B.
2
9
P =
. C.
10
9
P =
. D.
2
3
P =
.
Li gii
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 12
Sưu tm và biên son
Ta có
( )
( )
1
3
3
3
1
2
11
1 log 1 .2
log .
log log
10
33
log .
11
9
log 2
log log
log
22
a
a
aa
a
b
a
aa
a
b
ab
ab
P ab
a
b
ab
b
++
+
= = = = = =

−−


.
Câu 54: Cho các s dương
,ab
khác
1
sao cho
2
39
16
log log log 2
b
a
ab= =
. Giá trị ca
3
b
a
bng:
A.
1
. B.
2
. C.
4
. D.
8
.
Li gii
Đặt
2
39
16
log log log 2
b
a
ab t= = =
2
3
3
3
18 54
54
16
16
16
2
2 16
t
t
tt
t
t
a
a
ba b
b
=
=
⇔= ⇔=


=
=
.
T
suy ra
3
216 3
1
2 2 216 1
6
t
tt= =⇔=
. Suy ra
3
3
4, 4 1
b
ab
a
= =⇒=
.
Câu 55: Giá tr của biểu thức
log 3
2
4
bằng
A.
3
. B.
3
. C.
3
2
. D.
23
.
Li gii
(
)
( )
2
log 3
2
2
2 log 3
2
2 2 33
log 3
2
4

= = = =


.
Câu 56: Cho
10
5
2
3 27 243P =
. Tính
3
log
P
.
A.
45
28
. B.
21
100
. C.
45
56
. D.
13
100
Li gii
Ta có:
10
5
2
3 27 243P =
1 11 111 21
. ..
10 10 5 10 5 2 100
3 .27 .243 3P⇒= =
21
100
33
21
log log 3
100
P⇒= =
.
Câu 57: Cho
,
xy
hai s thực dương,
1x
tha mãn
25
25
log , log .
52
x
y
yx
y
= =
Tính g tr ca
22
2.Py x=
A.
1P =
. B.
0P =
. C.
25P =
. D.
25P =
.
Li gii
Ta có:
2
2
25
25
25
2
2
log
25
5
log
5
5
5
5
1
5
log
25
log
log
log 25
2
2
2
5
x
x
x
y
y
y
y
y
y
y
x
yx
x
x
y
y
=
=
=
=
=

⇔⇔

=
=
=

=
=
Vy
22
2 25.
Py x=−=
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 13
Sưu tm và biên son
Câu 58: Cho
,xy
hai s thực dương,
1x
tha mãn
3
2
3 32
log ,log .
8
x
y
yx
y
= =
Tính giá trị ca
22
Px y=
.
A.
120
P
=
. B.
132P =
. C.
240
P =
. D.
340
P =
.
Li gii
Ta có:
2
2
2
32 32 16
log 2log 16log 2 (*).
log
x
x xy
y yx
= = ⇔= =
( )
3
33
log 3log log log 16log 2 2log 2
8 88
x x xx x
x
y yy
y yy= =⇔= =
( )
2
log 16log 2 log 2
xx x
⇔=
2
1
16log 2 4 log 2 log 4 16.
4
xx
xx = = =⇔=
T
(*)
suy ra
4y =
.
Vy
22 22
16 4 240.Px y== −=
Câu 59: Có bao nhiêu số thực dương
1n
để
log 265
n
là mt s ngun?
A.
2
. B.
4
. C.
6
. D.
8
.
Li gii
Ta có:
8
2
8
log 256 log 2 8log 2
log
nnn
n
= = =
.
Để
log 265
n
là mt s ngun thì
2
log { 1; 2; 4; 8}n ±±±±
11 1 1
; 2; ; 4; ;16; ; 256
2 4 16 256
n

⇔∈


Vậy có tất c 8 s thực dương
1n
thỏa mãn điều kiện bài toán.
Câu 60: Cho các s thc
tha mãn
1ab>>
11
2022.
log log
ba
ab
+=
Giá tr ca biểu thức
11
.
log log
ab ab
P
ba
=
A.
2018.
B.
2020.
C.
2016.
D.
2022.
Li gii
11
2022 log log 2022 (*).
log log
ab
ba
ba
ab
+ = ⇔+=
11
log ( ) log ( ) log log .
log log
b a ba
ab ab
P ab ab a b
ba
=−= =
Đặt
log
a
tb
=
thì
tr thành:
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 14
Sưu tm và biên son
2
2022 2018 1
2018
1
2
2022 2022 1 0 .
2022 2018 1
2018
2
t Pt
t
t tt
t
t Pt
t
+
= = −=
+ = +=
= = −=
1 0 log 1
a
ab b> >⇔ < <
nên
11
0 1 1 0 2018.t Pt P
tt
<<⇒ >⇒ =−> =
Câu 61: Vi
,
ab
là các s thực dương tùy ý và
1
a
. Ta có
( )
3
log
a
ab
bằng
A.
3.log
a
b
. B.
1
.log
3
a
b
. C.
1
log
3
a
b+
. D.
3 log
a
b+
.
Li gii
Ta có:
(
)
(
)
33
log log log 3 log , 0; 1
a aa a
ab a b b ab a= + =+ >≠
.
Câu 62: Vi
a
,
b
là hai số dương tùy ý,
( )
23
log ab
bng:
A.
11
log log
23
ab
+
. B.
2log logab+
. C.
2log 3logab
+
. D.
log 3log
ab+
.
Li gii
Ta có
( )
23 2 3
log log log 2 log 3log 2 log 3logab a b a b a b=+= + = +
.
Câu 63: Cho
0a >
,
1a
, khi đó
( )
3
log .
a
aa
bằng
A.
4
. B.
4
3
. C.
4
3
. D.
1
3
.
Li gii
Với
0a
>
,
1a
nên ta có
(
)
33
14
log . log log 1 .
33
a aa
aa a a= + =+=
Vy
( )
3
4
log .
3
a
aa=
.
Câu 64: Cho
0a >
1a
, khi đó
2
3
4
log
a
a
bằng
A.
3
8
. B.
3
4
. C.
3
8
. D.
3
2
.
Li gii
Ta có
2
3
3
4
4
1 13 3
log .log . .log
2 24 8
aa
a
aa a= = =
.
Câu 65: Cho
a
là s thực dương,
1a
, khi đó
log 5
a
a
bằng
A.
5
log a
. B.
log 5
a
. C.
5
a
. D.
5
.
Li gii
Áp dụng công thức
log
a
b
ab=
ta có
log 5
5
a
a =
.
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 15
Sưu tm và biên son
Câu 66: Vi
,ab
là hai số thực dương tùy ý, khi đó
(
)
32
ln ea b
bằng:
A.
2ln 3lnab+
. B.
3ln 2lnab+
. C.
1 3ln 2lnab++
. D.
1 6 ln .lnab
+
.
Li gii
Ta có:
(
)
( )
( )
( )
32 3 2
ln ln ln ln 1 3ln 2ln
ea b e a b a b
= + + =++
.
Câu 67: Với
a
,
b
là các s thực dương bất kỳ,
2
4
log
a
b
bng
A.
( )
22
log log 4ab
. B.
2
1
log
4
a
b
. C.
2
2log
a
b
. D.
22
log 4logab
.
Li gii
4
2 22 2 2
4
log log log log 4log
a
ab a b
b
=−=
.
Câu 68: Cho
a
là s thực dương. Khi đó
3
4
log 8
a
bằng
A.
2
3
log
2
a+
. B.
2
33
log
22
a+
. C.
2
2 3log a+
. D.
2
6 6log a+
.
Li gii
Ta có
22
3 33
4 44 2
22
33
log 8 log 8 log log 2 3log log
22
a a aa
=+= + =+
.
Câu 69: Với mọi số thc
a
dương,
( )
5
log 5a
bằng
A.
5
1 log
a+
. B.
5
log a
. C.
5
5log a
. D.
5
1 log
a
.
Li gii
Suy ra
( )
5 55 5
log 5 log 5 log 1 loga aa
=+=+
.
Câu 70: Vi
a
là s thực dương tùy ý,
(
)
3
4
log a
bằng
A.
3
3log a
. B.
2
2
log
3
a
. C.
2
3
log
2
a
. D.
4
3 log a
+
.
Li gii
( ) ( )
2
33
42
2
3
log log log .
2
aa a= =
Câu 71: Với mọi số thc
a
dương,
2
2
log
4
a
bằng
A.
( )
2
2 log 1a
. B.
2
log 2a
. C.
2
log 1a
. D.
2
2log 1a
.
Li gii
Ta có
( )
2
2
2 22 2 2
log log log 4 2log 2 2 log 1
4
a
a aa= = −=
.
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 16
Sưu tm và biên son
Câu 72: Cho
0a >
1a
, khi đó
3
log
a
a
bằng
A.
1
3
. B.
3
. C.
1
3
. D.
3
.
Li gii
Vi
0
a
>
1
a
ta có:
1
3
3
log log 3log 3= = =
a
a
a
aa a
.
Câu 73: Với mọi số thc
a
dương,
22
2
log a
bằng
A.
2
2
2log
a
. B.
2
2
4log
a
. C.
2
2
2log
a
. D.
2
4log a
.
Li gii
(
)
2
22 2
222
log 2log 4logaaa
= =
Câu 74: Vi
,ab
là các s thực dương tùy ý và
1
a
,
3
log
a
b
A.
3 log+
a
b
. B.
3log
a
b
. C.
1
3
log+
a
b
. D.
1
3
log
a
b
.
Li gii
Ta có:
3
1
log log .
3
=
a
a
bb
Câu 75: Vi
a
là s thực dương tùy ý,
3
3
log



a
bằng
A.
3
1 log a
. B.
3
3 log
a
. C.
3
1
log a
. D.
3
1 log+ a
.
Li gii
Ta có
3 33
3
log log 3 log

=


a
a
3
1 log= a
.
Câu 76: Vi
a
là s thực dương tùy ý,
( )
5
log 5
a
bằng
A.
5
5 log+ a
. B.
5
5 log a
. C.
5
1 log+ a
. D.
5
1 log a
.
Li gii
Ta có
( )
5 55 5
log 5 log 5 log 1 log=+=+a aa
.
Câu 77: Gi s
,ab
là các s thực dương tùy ý thỏa mãn
23 4
4ab =
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
22
2log 3log 8ab+=
. B.
22
2log 3log 8ab−=
.
C.
22
2log 3log 4ab−=
. D.
22
2log 3log 4ab+=
.
Li gii
Ta có
23 4
2 2 22
log log 4 2log 3log 8ab a b= +=
.
Câu 78: Vi
,ab
là hai số thực dương tùy ý,
( )
3
3
log ab
bằng
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 17
Sưu tm và biên son
A.
33
1
log log
3
ab+
. B.
( )
33
3 log logab+
. C.
33
log 3log
ab+
. D.
33
3log logab+
.
Li gii
Ta có:
( )
33
3 33 3 3
log log log log 3log
ab a b a b
=+=+
.
Câu 79: Vi
a
là s thực dương tùy ý,
2
log 2a
bằng
A.
2
1 log a+
. B.
2
1 log a
. C.
2
2 log a
. D.
2
2 log a+
.
Li gii
2 22 2
log 2 log 2 log 1 log
a aa=+=+
.
Câu 80: Với mọi số thc
a
dương,
2
3
log
9
a



bằng
A.
( )
3
2 log 1a
B.
3
1
log
2
a
C.
3
log 1a
D.
3
log 2a
+
Li gii
Câu 81: Vi
a
là s thực dương tùy ý,
( )
2
3
log 3a
bằng
A.
3
3 2log a+
. B.
3
1
1 log
2
a+
. C.
3
1 2log a+
. D.
3
1 2log a
.
Li gii
Ta có:
(
)
22
3 33
log 3 log 3 logaa= +
3
1 2log
a= +
.
Câu 82: Vi
a
là s thực dương tùy ý,
( )
3
log 100
a
bằng
A.
6log
a
. B.
2 3log a+
. C.
11
log
23
a+
. D.
3 3log a+
.
Li gii
Ta có
( )
3 3 23
log 100 log100 log log10 log 2 3loga a aa= += +=+
.
Câu 83: Với mọi số thc
a
dương và
1a
,
( )
3
log 3
a
a
bng
A.
log 3 1
a
. B.
1
. C.
( )
3 log 3 1
a
+
. D.
( )
1
log 3 1
3
a
+
.
Li gii
( ) ( ) ( ) ( )
3
11 1
log 3 log 3 log 3 log log 3 1
33 3
a aa a
a
aa a= = += +
Câu 84: Vi
a
là s thực dương tùy ý,
5
2
log a
bằng
A.
2
5 log a+
B.
2
1
log
5
a+
C.
2
1
log
5
a
D.
2
5log a
Li gii
Ta có:
5
22
log 5logaa=
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 18
Sưu tm và biên son
Câu 85: Vi
a
là s thực dương tùy ý,
5
25
log
a
bằng
A.
5
2 log a
. B.
5
5
log a
. C.
5
5 log a
. D.
5
2
log a
.
Li gii
Ta có
2
5 5 55 5 5
25
log log 25 log log 5 log 2 log
a aa
a
= −= −=
.
Câu 86: Với mọi
,ab
tha mãn
2
33
log log 5ab+=
, khẳng định nào sau đây đúng?
A.
2
9
ab=
. B.
2
243
ab
=
. C.
2
243ab+=
. D.
3
15ab
+=
.
Li gii
Ta có:
2 2 252
33 3
log log 5 log ( . ) 5 . 3 . 243
a b ab ab ab+ = =⇔=⇔=
.
Câu 87: Vi
a
là s thực dương tùy ý,
( )
1
2
log 8
a
bằng
A.
2
1
log .
2
a+
B.
2
3 log .a−+
C.
( )
3
2
log .
a
D.
2
3 log a−−
.
Li gii
Ta có:
(
) ( )
( )
3
1 22 2 2 2
2
log 8 log 8 log log 2 log 3 loga a aa
= + = + =−−
.
Câu 88: Cho các s thực dương
,ab
tha mãn
log 2log 1ab
+=
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
2
1ab+=
. B.
2 10ab+=
. C.
2
10ab =
. D.
2
10ab+=
.
Li gii
2 22
log 2log 1 log log 1 log 1 10
a b a b ab ab+ = + = =⇔=
.
Câu 89: Gi s
a
,
b
là các s thực dương tùy ý thỏa mãn
23 4
4ab =
. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A.
22
2log 3log 4
ab+=
. B.
22
2log 3log 8ab+=
.
C.
22
2log 3log 32ab+=
. D.
22
2log 3log 16ab+=
.
Li gii
Ta có
( )
23 4 23 4 2 3 8
2 2 222 2 2
4 log log 4 log log log 2 2log 3log 8ab ab a b a b= =+= + =
Câu 90: Với mọi
,ab
tha mãn
2
33
log log 5ab+=
, khẳng định nào sau đây đúng?
A.
2
9ab=
. B.
2
243ab=
. C.
2
243ab+=
. D.
3
15ab
+=
.
Li gii
Ta có:
2 2 252
33 3
log log 5 log ( . ) 5 . 3 . 243a b ab ab ab+ = =⇔=⇔=
.
Câu 91: Với mọi
a
,
b
tha mãn
23
33
log 3 log 4ab+=
, khẳng định nào dưới đây đúng?
A.
23
1 81ab+ +=
. B.
23
27
ab =
. C.
23
27ab+=
. D.
23
81ab =
.
Li gii
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 19
Sưu tm và biên son
Ta có
23
33
log 3 log 4ab
+=
23
33
1 log log 4
ab
⇔+ + =
23
33
log log 3ab+=
23
3
log 3
ab
⇔=
23
27.ab⇔=
Câu 92: Với mọi số thực dương
a
,
b
tho mãn
5
33
1
log log 2
a
b
−=
. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A.
5
3
ab=
. B.
5
3ab=
. C.
5
1
3
a
b
−=
. D.
5
1
9a
b
−=
.
Li gii
Ta có
( )
( )
2
5 5 55
33 33 3
1
log log 2 log log 2 log 2 3 3.
a a b ab ab
b
= + = =⇔= =
Câu 93: Cho
x
,
y
là các s thc dương tha mãn điều kiện
22
9ln 4ln 12ln .lnx y xy+=
. Đng thc nào
sau đây đúng?
A.
32
xy
=
. B.
xy=
. C.
32xy=
. D.
33
xy
=
.
Li gii
Ta có
(
)
2
22
9ln 4ln 12ln .ln 3ln 2 ln 0x y xy x y
+ = ⇔− =
32
3ln 2lnx yxy = ⇔=
.
Câu 94: Vi
,ab
là các s thc dương tùy ý tha mãn
39
log 2log 2ab
−=
, mệnh đề nào dưi đây đúng?
A.
2
9
ab
=
. B.
9ab=
. C.
6ab=
. D.
9ba=
.
Li gii
Ta có:
39
log 2log 2ab−=
33
log log 2ab−=
3
log 2
a
b

⇔=


9ab⇔=
.
Câu 95: Với mọi
tha mãn
3
22
log log 5ab+=
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
3
32ab+=
. B.
3
25ab+=
. C.
3
32ab=
. D.
3
25ab=
.
Li gii
Ta có:
(
)
3 33
22 2
log log 5 log 5 32a b ab ab
+ = =⇔=
.
Câu 96: Cho các s thc âm
a
,
b
tha mãn
2
3
3
log log 2ba −=
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
2
9
a
b
=
. B.
3
a
b
=
. C.
2
3
a
b
=
. D.
3
a
b
=
.
Li gii
Ta có
2
2 22
3 33
3
log log 2 log log 2 9
a
b ab
b
a

−=−==


.
Theo giả thiết
a
,
b
là các s thực âm nên
0
a
b
>
. Khi đó
2
93
aa
bb

=⇔=


.
Câu 97: Với mọi
,ab
tha mãn
( )
(
)
9
8
2
log 2 log 3+=ab
. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A.
9
8+=ab
. B.
23
2=ab
. C.
3
4=ab
. D.
9
8=ab
.
Li gii
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 20
Sưu tm và biên son
Ta có:
( ) (
)
2
9 3 23 23
8 22
2
log 2 log 3 log 2 log 3 4 8 2+ = + = =⇔=a b a b ab ab
.
Câu 98: Cho
,ab
là các s dương thỏa mãn
33
4log 7log 2ab+=
. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A.
472ab+=
. B.
47
2
ab
=
. C.
47
9ab =
. D.
479ab
+=
.
Li gii
Ta có:
4 7 47 47
3 3 33 3
4log 7log 2 log log 2 log 2 9a b a b ab ab+ = + = =⇔=
.
Câu 99: Vi mi s thực dương
a
,
b
,
c
tha mãn
2
log log log 0a bc+−=
, khẳng định nào sau đây
đúng?
A.
2
0
a bc+−=
. B.
2
0bc
a
−=
. C.
2
1a bc+−=
. D.
2
1ab c
−=
.
Li gii
Ta có:
( )
2 2 22
log log log 0 log log 0a b c ab c ab c ab c+ = = = −=
Câu 100: Vi
,
ab
là các s thc ơng tùy ý tha mãn
4
22
log 2 log 5ab
+=
, khẳng định nào sau đây đúng?
A.
4
32ab
=
. B.
4
32ab+=
. C.
4
16
ab
+=
. D.
4
16ab=
.
Li gii
( )
4 4 5 44
22
log 2 log 5 2 2 2 16a b ab ab
+ = =⇔==
Câu 101: Cho
,ab
là hai số thực dương thỏa mãn
25
39
log log 4ab =
, khẳng định nào dưới đây đúng?
A.
5
27ab−=
. B.
5
27
a
b
=
. C.
52
81ab−=
. D.
5
81
a
b
=
.
Li gii
Ta có:
2
55
55 5
39 3 3 3
3
2
3
2
log log 4 log log 4 log log 4 log 4 81
aa
ababab
bb
=⇔= =−− =⇔=
.
Câu 102: Biết
2 42 1
2
log 6log 4log logx a bc
=−−
. Tìm kết luận đúng.
A.
3
2
ac
x
b
=
. B.
32
xa b c=−+
. C.
3
2
ac
x
b
=
. D.
3
2
a
x
bc
=
.
Li gii
2 42 1
2
log 6log 4log logx a bc
=−−
32
22 2 2
log log log logxa b c⇔= +
3
22
2
log log
ac
x
b
⇔=
3
2
ac
x
b
⇔=
.
Câu 103: Đặt
2
log 3a =
5
log 3b =
. Hãy biểu diễn
6
log 45
theo
a
b
.
A.
6
2
log 45
a ab
ab b
+
=
+
. B.
2
6
22
log 45
a ab
ab
=
.
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 21
Sưu tm và biên son
C.
6
2
log 45
a ab
ab
+
=
. D.
2
6
22
log 45
a ab
ab b
=
+
.
Li gii
(
)
(
)
2
3
6
3
log 5.3
log 45
log 2.3
=
3
3
log 5 2
log 2 1
+
=
+
1
2
1
1
b
a
+
=
+
2a ab
ab b
+
=
+
.
Câu 104: Cho các s thc dương
,ab
tha mãn
32
3
2log 2.log 3log 4
ab
−=
, mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
3
9
a
b
=
. B.
4ab=
. C.
4ab =
. D.
3
9ab=
.
Li gii
Ta có
32
3
2log 2.log 3log 4ab−=
1
2
3 33
3
2log 3log 4 log 3log 2a b ab =⇔− =
3 23
33 3
33
log log 2 log 2 3 9
aa
a b ab
bb
= = = ⇔=
Câu 105: Với mọi
a
,
b
tha mãn
32
2
log .log 3
log 1
1 log 5
a
b+=
+
. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A.
1ab
+=
. B.
2
1 log 5ab=
. C.
10ab =
. D.
2
log 5 1ab+=
.
Li gii
Ta có
32
2
log .log 3
log 1
1 log 5
a
b+=
+
2
2
log
log 1
log 10
a
b +=
log log 1
ab+=
log 1ab
⇔=
10
ab⇔=
.
Câu 106: Nếu
222
log 5log 4logxab= +
(
,0ab>
) thì
x
bằng
A.
45
ab
. B.
54
ab
+
. C.
45ab+
. D.
54
ab
.
Li gii
Ta có
54 54
2 2 2 22
log 5log 4log log logx a b x ab x ab= + = ⇔=
.
Câu 107: Cho hai số thực dương
,
ab
bt tha mãn
22
4ln 9ln 12ln .lna b ab
+=
. Khng đnh nào dưới
đây đúng?
A.
32ab=
. B.
23
ab=
. C.
23ab=
. D.
32
ab
=
.
Li gii
Ta có:
22
4ln 9ln 12ln .ln
a b ab+=
( )
2
2ln 3ln 0ab⇔− =
2ln 3lnab⇔=
23
ab⇔=
.
Câu 108: Vi mi
a
,
b
,
x
là các s thực dương thỏa mãn
3 33
log 2 log 3logx ab= +
, mệnh đề nào dưới
đây đúng?
A.
23x ab= +
. B.
32xab= +
. C.
23
x ab=
. D.
23
xa b= +
.
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 22
Sưu tm và biên son
Li gii
T gi thiết ta
( )
2 3 23 23
3 3 3 33 3 33
log 2 log 3log log log log log logx a b x a b x ab x ab= + = + = ⇔=
Câu 109: Với mọi
,ab
tho mãn
32
2
log
log 1
.log 3
51 log
b
a
+=
+
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
2
1 log 5ab=
. B.
10ab =
. C.
2
log 5 1ab+=
. D.
1
ab+=
.
Li gii
Ta có:
32
22
2
log
log
log 1 log 1
o
1l
.l g 3
g 51
lo
0og
b
a
b
a
+= +=
+
log 1log
ab+=
( )
log 1 10ab ab =⇔=
.
Câu 110: Xét tt c các s ơng
a
b
tha mãn
( )
339
log log loga b ab+=
. Tính giá trị ca
ab
.
A.
1ab =
. B.
2ab =
. C.
1
2
ab =
. D.
0
ab =
.
Li gii
Ta có:
( )
( ) ( )
( ) (
)
2
339 3 3 3
3
1
log log log log log log log
2
a b ab ab ab ab ab+=⇔= ⇔=
( )
3
1
log 0 1.
2
ab ab =⇔=
Câu 111: Cho
25
log 5 ; log 3 .ab= =
Tính
5
log 24
theo
a
b
.
A.
5
3
log 24 .
ab
a
+
=
B.
5
3
log 24 .
ab
a
+
=
C.
5
log 24 .
3
ab
ab
+
=
D.
5
3
log 24 .
ab
b
+
=
Li gii
Ta có
(
)
3
5 5 55
log 24 log 3.2 log 3 3log 2= = +
5
2
3 33
log 3
log 5
ab
b
aa
+
= + =+=
.
Câu 112: Cho
,ab
là các s thực dương và
1
a
tha mãn
(
)
22
log 1
a
ab =
. Giá trị ca
3
log
a
b
bng
A.
1
6
. B.
1
3
. C.
1
6
. D.
1
.
Li gii
Ta có:
( )
22 2 2
1
log 1 log log 1 2 2 log 1 log
2
a aa a a
ab a b b b= + =⇔+ = =
Vy:
3
11
log log
36
a
a
bb= =
.
Câu 113: Cho
73
log 5, log 5ab= =
. Biểu thức
21
log 5M =
bằng
A.
ab
ab+
. B.
ab
. C.
. D.
ab
ab
+
.
Li gii
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 23
Sưu tm và biên son
Ta có:
(
)
21
5 5 55
73
11 1 1 1
log 5
1 1 11
log 21 log 7.3 log 7 log 3
log 5 log 5
ab
M
ab
ab
= = = = = = =
++
++
.
Câu 114: Cho
2
log 3 a=
. Giá trị của biểu thức
6
log 12P =
tính theo
a
bng
A.
2
a
a+
. B.
1
2
a
a
+
+
. C.
1
a
a+
. D.
2
1
a
a
+
+
.
Li gii
Ta có
( )
22 2
6
22 2
log 12 log (4.3) 2 log 3
log 12
log 6 log 2.3 1 log 3
P
+
= = = =
+
2
1
a
a
+
=
+
.
Câu 115: Cho hai số t nhiên
,xy
tha mãn
28 28
log 2 log 7 2xy+=
. Giá trị ca
xy+
bng
A.
5
. B.
6
. C.
4
. D.
8
.
Li gii
Ta có:
( )
2
28 28 28
log 2 log 7 2 log 2 7 2 2 7 28
xy xy
xy+ = =⇔=
( )
2
2 42
27 27 27 27
xy xy
⇔= ⇔=
,
xy
là s t nhiên nên
4, 2 6.x y xy= =⇒+=
Câu 116: Cho
15
1 log 3
log 30
log 3 log 5
a
bc
+
=
+
, với
,,abc
là các s nguyên. Giá trị ca
.ab c+
bằng
A.
4
. B.
3
. C.
1
. D.
2
.
Li gii
Ta có:
15
log30 log10 log3 1 log3
log 30
log15 log3 log5 log3 log5
++
= = =
++
.
Suy ra:
1, 1, 1 . 2abc abc= = = +=
Câu 117: Biết
x
y
là hai số thc tha mãn
( )
496
log log log 2 .x y xy= =
Giá tr ca
x
y
bằng
A.
2
2
3
log 2
. B.
1
. C.
4
. D.
2
.
Li gii
Đk
0
0
2
x
y
xy
>
>
>
Đặt
( )
496
log log log 2x y x yt= = −=
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 24
Sưu tm và biên son
( )
2
4
1
3
42
9 4 2.9 6 2
0
93
2
26
2
3
t
t
tt
t t tt
t
t
x
loai
y
xy

=
=


 
= = −=
 
 

−=
=


Khi đó .
Câu 118: Vi hai s thc dương
,ab
tùy ý và
35
6
3
log 5log
log 2
1 log 2
a
b−=
+
. Khng đnh nào dưới đây là khẳng
định đúng?
A.
6
log 2ab=
. B.
36ab=
. C.
230ab+=
. D.
6
log 3ab=
.
Li gii
Ta có
35
6
3
log 5log
log 2
1 log 2
a
b−=
+
3
6
3
log
log 2
log 6
a
b −=
66
log log 2ab−=
6
log 2 36 36
aa
ab
bb
= = ⇔=
.
Câu 119: Ba s
248
log 3; log 3; log 3aaa+++
theo th t lập thành cấp số nhân. Công bi ca cấp số
nhân này bằng
A.
1
4
. B.
1
. C.
1
3
. D.
1
2
.
Li gii
Theo giả thiết, ta có:
( ) ( )( )
( )
( )
2
22
4 2 8 2 2 22
2
22
1 41
log 3 log 3 log 3 log 3 log 3 log 3 log 3
2 33
11
log 3 log 3
3 12
a aa a a
a

+ =+ +⇔ + = +


⇔=
2
1
log 3
4
a⇔=
Vy:
22
4
2
22
11
log 3 log 3
log 3
1
42
1
log 3 3
log 3 log 3
4
a
q
a
−+
+
= = =
+
−+
Câu 120: Đặt
25
log 3 , log 3ab= =
. Nếu biểu diễn
( )
6
log 45
()
a m nb
ba p
+
=
+
thì
mn p++
bng:
A.
3
. B.
3
. C.
6
. D.
4
.
Li gii
Ta có:
2
42
4
93
tt
x
y

 
= = =

 
 


CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 25
Sưu tm và biên son
3 33
6
3 33
log 45 log 9 log 5
log 45
log 6 log 2 log 3
+
= =
+
2
3
5
3
2
1
1
log 3
2
log 3
(1 2 )
11
( 1)
log 3 1
log 3
ab
b
ba
a
+
+
+
= = =
+
++
.
Theo bài ra:
( )
6
log 45
()
a m nb
ba p
+
=
+
.
T và ta có:
1, 2, 1mn p= = =
.
Vy
4mn p++ =
.
CHUYÊN Đ VITOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 32
Sưu tm và biên son
BÀI 20: HÀM S M S LOGARIT
m s mũ
m s logarit
Định nghĩa
m s được gi là
m s mũ cơ s a.
m s được gi là
m s lôgarit cơ s a.
Tập xác định
Tập giá trị
Tính đơn
điệu
: Hàm s đồng biến trên
.
: Hàm số nghịch biến
trên .
: Hàm s đồng biến trên
.
: Hàm s nghịch biến
trên .
Đồ th:
- Đi qua điểm
(
)
;a
1
.
- Liên tục trên
.
- Nm phía trên trục hoành.
Đồ th:
- Đi qua điểm
( )
;a 1
.
- Liên tục trên
( )
;+∞0
.
- Nm bên phải trục tung.
Đồ th
, ( 0, 1)
x
ya a a= >≠
log , ( 0, 1)
a
y xa a= >≠
D =
(0, ).D = +∞
(0; )T
= +∞
= T
1a >
x
ya=
01a<<
x
ya=
1a >
log
a
yx=
D
01a<<
log
a
yx=
D
( )
0;1
( )
1; 0
CHƯƠNG
VI
HÀM S
VÀ HÀM S LOGARIT
LÝ THUYT.
I
CHUYÊN Đ VITOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 33
Sưu tm và biên son
DNG 1: TÌM TP XÁC ĐNH CA HÀM S MŨLOGARIT
Câu 1: Tìm tập xác định của hàm số
( )
2
2
log 9= yx
Câu 2: Tìm tập xác định của hàm
( )
2021
log 3yx=
Câu 3: Tìm tập xác định của hàm
( )
2
log 2 3yx=
Câu 4: Tìm tập xác định của hàm
3
7
x
y
=
Câu 5: Tìm tập xác định của hàm
3
log (2 )
yx=
Câu 6: Tìm tập xác định của hàm
(
)
2022
y log 3 1x
= +
Câu 7: Tìm tập xác định của hàm s
( )
2
ln 3yx
= −+
Câu 8: Tìm tập xác định
D
của hàm số
5
3
log
2
x
y
x
=
+
.
Câu 9: Tìm tập xác định của hàm số
1
ln 1
2
yx
x

Câu 10: Tìm tập xác định của hàm số
( )
2
5
log 4= y xx
Câu 11: Tìm tất cả các giá tr thc của tham số
m
để hàm số
2
1
1x mx
ye
++
=
có tập xác định là
.
Câu 12: Tìm tập xác định của hàm số
2
1
log 1
y
x
=
Câu 13: Tìm tập xác định của hàm số
( )
2
2022
log 3= y xx
.
Câu 14: Tìm tập xác định của hàm số
(
)
2
3
log 4 3y xx
= −+
là:
Câu 15: Tìm tập xác định của hàm số
2021
3
log
2
x
y
x
+
=
là:
Câu 16: Tất cả các giá tr thc của tham số
m
để hàm số
( )
2
log 2 1
y x xm= −+
có tập xác định là
.
Câu 17: Có bao nhiêu gtrị nguyên của
m
thuộc đoạn
[ ]
2021;2021
để hàm số
( )
2
log 2 2y x xm
= −+
có tập xác định
.
DNG 2: BÀI TOÁN LÃI SUT KÉP
Câu 18: i sut gi tin tiết kim ca các ngân hàng trong thi gian qua liên tục thay đổi. Bác Mạnh gi
o một ngân hàng s tiền 5 triệu đồng vi lãi suất 0,7%/tháng. Sau sáu tháng gi tiền, lãi sut
tăng lên 0,9%/tháng. Đến tháng th 10 sau khi gửi tiền, lãi sut gim xuống 0,6%/tháng và gi
ổn định. Biết rằng nếu bác Mạnh không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì c sau mỗi tháng, số tin
i s được nhp vào vốn ban đầu. Sau mtm gi tiền, bác Mạnh rút đưc s tin là bao nhiêu?
Câu 19: Ông
A
gi tiền tiết kiệm vi lãi suất
8,1%
/ năm và lãi sut hằng năm được nhập vào vốn. Hi
sau bao nhiêu năm Ông
A
được s tiền gấp đôi số tiền ban đầu?
Câu 20: Một người gửi
100
triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất
6%
/ năm. Biết rằng nếu không rút
tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào gốc để tính lãi cho năm
tiếp theo. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm người đó nhận được số tiền nhiều hơn
300
triệu đồng
bao gồm cả gốc lẫn lãi?.
H
TH
NG BÀI T
P.
II
CHUYÊN Đ VITOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 34
Sưu tm và biên son
Câu 21: Mt ngưi gi s tiền
300
triu đng vào mt ngân hàng vi lãi suất kép
mt năm. Biết rằng
nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm, số tin lãi sut s được nhập vào vốn
ban đầu. Hỏi sau 3 năm không rút tiền gc và lãi, s tiền trong ngân hàng của người đó gần nhất
vi s nào sau đây?
Câu 22: Ti thời điểm ban đầu nếu đầu
P
đô la với t l lãi suất được tính gộp liên tục hàng năm
không đổi là
r
thì giá tr tương lai của khoản đầu tư này sau
t
năm là
( )
.
rt
B t Pe
=
đô la. Giả s
tỷ l lãi sut tính gộp hàng năm
8%
. Hỏi sau bao nhiêu năm thì số tiền đầu ban đầu tăng
thêm ít nhất
50%
.
Câu 23: Một người gởi 60 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất
6%
một năm. Biết rng nếu không rút
tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mi năm s tin lãi s nhập vào gốc đ tính lãi cho năm tiếp
theo. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm người đó nhận được s tiền nhiều hơn 100 triệu đồng gm
c gc lẫn lãi?
Câu 24: Một người gửi 100 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 0,4% / tháng. Biết rằng nếu không rút
tiền ta khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi tháng, số tiền lãi sẽ được lập vào vốn ban đầu để tính lãi
cho tháng tiếp theo. Hỏi sau 6 tháng, người đó được lĩnh số tiền gần nhất với số tiền nào dưới
đây, nếu trong khoảng thời gian này người đó không rút tiền ra và lãi xuất không thay đổi?
Câu 25: Một người gửi
50
triu đồng vào ngân hàng theo th thc lãip vi lãi sut
5,5% /
năm, hn
1
năm. Hỏi sau
4
năm, người đó rút cả vốn lẫn lãi được s tiền gần với s nào nhất trong các số
tiền sau?
Câu 26: Mt ni gi
200
vào ngân hàng với lãi sut
0, 2% /
tháng. Biết rng nếu không rút tiền khỏi
ngân hàng thì cứ sau mỗi tháng số tin lãi s được nhập vào vốn ban đu đ tính lãi cho tháng
tiếp theo. Hỏi sau đúng
10
tháng người đó được lĩnh số tiền gần nhất với s tiền nào dưới đây?
Câu 27: Mt ngưi gi
100
triu đồng vào một ngân hàng với lãi sut
0,7%/ thaùng
. Biết rng nếu không
rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi tháng, số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu để tính
lãi cho tháng tiếp theo. Hỏi sau đúng
5
tháng, người đó được lĩnh số tiền gần nhất vi s tin
nào dưới đây, nếu trong khoảng thời gian này người đó không rút tiền ra lãi suất không thay
đổi?
Câu 28: Ông A gửi 200 triệu vào một ngân hàng theo hình thc lãi kép, vi lãi suất là 6,5% một năm
lãi suất không đổi trong suốt thời gian gửi. Sau 6 năm, số tiền lãi của ông bằng bao nhiêu?
Câu 29: Ông A vay ngân hàng
100
triệu đồng vi lãi sut
1%
một tháng. Cứ sau mỗi tháng kể từ ny
vay ông tr góp s tiền
5
triệu đồng. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu tháng thì ông A tr hết nợ, biết
tháng cuối cùng ông có thể tr s tiền ít hơn 5 triệu đồng?
Câu 30: Ông Bình vay vốn ngân hàng với s tiền
100000000
đồng. Ông d định sau đúng
5
năm thì tr
hết nợ theo hình thức: sau đúng một tháng kể từ ngày vay, ông bắt đầu hoàn nợ, hai lần hoàn nợ
liên tiếp cách nhau đúng một tháng, số tiền hoàn nợ mi lần là như nhau. Hỏi theo cách đó, số
tiền
a
mà ông sẽ phải tr cho ngân hàng trong mi lần hoàn nợ là bao nhiêu? Biết lãi suất hàng
tháng là
1, 2%
không thay đổi trong thời gian ông hoàn nợ.
Câu 31: Anh Nam vay tiền ngân hàng
1
tỷ đồng theo phương thức tr p vi lãi sut
0
0
0,5
/ tháng. Nếu
cui mỗi tháng bắt đầu từ tháng thứ nhất anh Nam tr
30
triệu đồng. Hỏi sau bao nhiêu tháng
anh Nam trả hết nợ?
Câu 32: Một nhóm bạn thc hiện dự án khởi nghip làm tinh du t nhiên từ y x. Trong bn kế hoạch
nhóm đề ra vay ngân hàng
300
triệu đồng theo phương thức tr góp vi lãi sut
0
0
0,5
/ tháng.
Nếu cui mi tháng bt đầu từ tháng thứ chín nhóm bắt đu tr tr
10
triệu đồng. Hỏi sau bao
nhiêu tháng kể từ ngày vay nhóm trả hết nợ?
CHUYÊN Đ VITOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 35
Sưu tm và biên son
Câu 33: Anh A vay ngân hàng
600.000.000
đồng để mua xe ô tô với i suât
7, 8%
một năm. Anh A bắt
đầu trả nợ cho ngân hàng theo cách: sau đúng 1 năm kể từ ngày vay anh bắt đầu trả nợ và hai lần
trả nợ liên tiếp cách nhau đúng 1 năm. Số tiền trả nợ như nhau mỗi lần sau đúng 8 năm
thì anh A trả hết nợ. Biết rằng lãi suất ngân hàng không thay đổi trong suốt thời gian anh A trả
nợ. Số tiền anh A trả nợ ngân hàng trong mỗi lần là:
Câu 34: Hai anh em An và Bình cùng vay tiền ở ngân hàng với lãi sut
0,7%
một tháng với tổng số tiền
vay
200
triu đng. Sau đúng
1
tháng kể từ khi vay, mỗi ngưi bt đu tr nợ cho ngân hàng
khoản vay của mình. Mỗi tháng hai người tr s tiền bằng nhau cho ngân hàng đ tr vào tiền
gc lãi. Đ tr hết gốc lãi cho ngân hàng tAn cần
10
tháng, Bình cần
15
tháng. Hỏi s
tiền mà mỗi người tr cho ngân hàng mỗi tháng là bao nhiêu?
CHUYÊN Đ VITOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 1
Sưu tm và biên son
BÀI 20: HÀM S M S LOGARIT
m s mũ
m s logarit
Định nghĩa
m s được gi là
m s mũ cơ s a.
m s được gi là
m s lôgarit cơ s a.
Tập xác định
Tập giá trị
Tính đơn
điệu
: Hàm s đồng biến trên
.
: Hàm số nghịch biến
trên .
: Hàm s đồng biến trên
.
: Hàm s nghịch biến
trên .
Đồ th:
- Đi qua điểm
(
)
;a
1
.
- Liên tục trên
.
- Nm phía trên trục hoành.
Đồ th:
- Đi qua điểm
( )
;a 1
.
- Liên tục trên
( )
;+∞0
.
- Nm bên phải trục tung.
Đồ th
, ( 0, 1)
x
ya a a= >≠
log , ( 0, 1)
a
y xa a= >≠
D =
(0, ).D = +∞
(0; )T
= +∞
= T
1a >
x
ya=
01a<<
x
ya=
1a >
log
a
yx=
D
01a<<
log
a
yx=
D
( )
0;1
( )
1; 0
CHƯƠNG
VI
HÀM S
VÀ HÀM S LOGARIT
LÝ THUYT.
I
CHUYÊN Đ VITOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 2
Sưu tm và biên son
DNG 1: TÌM TP XÁC ĐNH CA HÀM S MŨLOGARIT
Câu 1: Tìm tập xác định của hàm số
( )
2
2
log 9= yx
Lời giải
Điều kiện
2
3
90
3
>
−>
<−
x
x
x
.
Câu 2: Tìm tập xác định của hàm
(
)
2021
log 3yx=
Lời giải
Điều kiện xác định là:
30 3
xx
−><
.
Vậy hàm số có TXĐ:
(
)
;3D
= −∞
.
Câu 3: Tìm tập xác định của hàm
( )
2
log 2 3yx=
Li gii
Hàm s
( )
2
log 2 3yx=
xác định
3
2 30
2
xx −> >
.
Vy tập xác định của hàm số là:
3
;
2
D

= +∞


.
Câu 4: Tìm tập xác định của hàm
3
7
x
y
=
Li gii
Điều kiện:
30x −≥
3x⇔≥
.
Vy tập xác định là
[
)
3;D = +∞
.
Câu 5: Tìm tập xác định của hàm
3
log (2 )yx=
Li gii
Điều kiện:
2 0 2.xx−>⇔<
Vy tập xác định
( ;2).D
= −∞
Câu 6: Tìm tập xác định của hàm
( )
2022
y log 3 1x= +
Li gii
Điều kiện:
1
3 10
3
xx
+> >
.
Câu 7: Tìm tập xác định của hàm s
( )
2
ln 3yx= −+
Lời giải
Điều kiện xác định:
2
30 3 3
xx + > ⇔− < <
.
H
TH
NG BÀI T
P.
II
CHUYÊN Đ VITOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 3
Sưu tm và biên son
Câu 8: Tìm tập xác định
D
của hàm số
5
3
log
2
x
y
x
=
+
.
Li gii
Điều kiện
3
3
0
2
2
x
x
x
x
>
>⇔
<−
+
Vy tập xác định
( ; 2) (3; )D
= −∞ +∞
Câu 9: Tìm tập xác định của hàm số
1
ln 1
2
yx
x

Lời giải
Hàm số xác định khi
20 2
12
10 1
xx
x
xx










.
Vậy
1; 2D
.
Câu 10: Tìm tập xác định của hàm số
( )
2
5
log 4= y xx
Li gii
Điều kiện xác định của hàm s trên là
2
4 00 4
>⇔<<xx x
.
Câu 11: Tìm tất cả các giá tr thc của tham số
m
để hàm số
2
1
1x mx
ye
++
=
có tập xác định là
.
Li gii
Hàm s có tập xác định là
khi và chỉ khi
+ + > ∀∈
2
1 0,x mx x
∆<0
2
40m −<
22m
⇔− < <
.
Câu 12: Tìm tập xác định của hàm số
2
1
log 1
y
x
=
Lời giải
Hàm số xác định khi
22
00
0
log 1 0 log 1
2
xx
x
xx
x
>>
>

⇔⇔

−≠

Vậy tập xác định
( ) { }
0; \ 2D = +∞
.
Câu 13: Tìm tập xác định của hàm số
( )
2
2022
log 3= y xx
.
Li gii
Hàm s xác định khi:
( )
2
3 0 0; 3xx x >⇔∈
Vy
( )
0; 3D =
Câu 14: Tìm tập xác định của hàm số
( )
2
3
log 4 3y xx= −+
là:
Li gii
CHUYÊN Đ VITOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 4
Sưu tm và biên son
Điều kiện
2
1
4 30
3
x
xx
x
<
+>
>
. Vy tập xác định của hàm số:
( ) ( )
;1 3;−∞ +∞
.
Câu 15: Tìm tập xác định của hàm số
2021
3
log
2
x
y
x
+
=
là:
Li gii
Hàm s
2021
3
log
2
x
y
x
+
=
xác định khi
3
0
2
x
x
+
>
32x
⇔− < <
.
Suy ra tập xác định của hàm s:
( )
3; 2
D
=
.
Câu 16: Tất cả các giá tr thc của tham số
m
để hàm số
( )
2
log 2 1y x xm= −+
có tập xác định là
.
Li gii
Điều kiện:
2
2 10x xm +>
.
Để hàm số có tập xác định là
2
2 10x xm x + > ∀∈
( )
( )
2
1 10 0mm −− + < <
.
Câu 17: Có bao nhiêu gtrị nguyên của
m
thuộc đoạn
[
]
2021;2021
để hàm số
( )
2
log 2 2y x xm
= −+
có tập xác định
.
Li gii
Điều kiện:
2
2 20x xm +>
.
Hàm số
( )
2
ln 2 2y x xm= −+
có tập xác định
2
2 2 0,x xm x + > ∀∈
.
'1 20 1mm⇔∆ = + < <
.
Do
m
nguyên thuộc đoạn
[ ]
2021;2021
nên có 2022 giá trị
m
thỏa yêu cầu bài toán.
DNG 2: BÀI TOÁN LÃI SUT KÉP
Câu 18: i sut gi tin tiết kim ca các ngân hàng trong thi gian qua liên tục thay đổi. Bác Mạnh gi
o một ngân hàng s tiền 5 triệu đồng vi lãi suất 0,7%/tháng. Sau sáu tháng gi tiền, lãi sut
tăng lên 0,9%/tháng. Đến tháng th 10 sau khi gửi tiền, lãi sut gim xuống 0,6%/tháng và gi
ổn định. Biết rằng nếu bác Mạnh không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì c sau mỗi tháng, số tin
i s được nhp vào vốn ban đầu. Sau mtm gi tiền, bác Mạnh rút đưc s tin là bao nhiêu?
Li gii
S tiền bác Mạnh thu được:
( ) (
) ( )
633
5 1 0,007 1 0,009 1 0,006 5,452733453+ + +=
triệu
đồng.
Câu 19: Ông
A
gi tiền tiết kiệm vi lãi sut
8,1%
/ năm và lãi sut hằng năm được nhập vào vốn. Hi
sau bao nhiêu năm Ông
A
được s tiền gấp đôi số tiền ban đầu?
Li gii
Gọi s tiền ban đầu ông
A
gi tiết kiệm là
B
.
CHUYÊN Đ VITOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 5
Sưu tm và biên son
Theo công thức lãi kép ta có số tiền sau
n
năm là:
(
)
1 0,081
n
B
+
.
Để s tiền tăng gấp đôi thì
n
phải thỏa mãn phương trình:
(
)
1 0,081 2
n
BB+=
( )
1,081
1,081 2 log 2 8,899
n
nn =⇔= ⇔=
.
Như vậy sau 9 năm Ông
A
s thu được s tiền gấp đôi số tiền ban đầu.
Câu 20: Một người gửi
100
triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất
6%
/ năm. Biết rằng nếu không rút
tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào gốc để tính lãi cho năm
tiếp theo. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm người đó nhận được số tiền nhiều hơn
300
triệu đồng
bao gồm cả gốc lẫn lãi?.
Li gii
Theo công thức tính lãi suất kép, ta có vốn tích luỹ sau
n
năm là
( )
1
n
n
P =P r+
vi
P
là vn
ban đầu,
r
là lãi suất.
1 06
6
300 100 1 log 3 19
100
n
,
n=

⇒= +


.
Câu 21: Mt ngưi gi s tiền
300
triu đng vào mt ngân hàng vi lãi suất kép
mt năm. Biết rằng
nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm, số tin lãi sut s được nhập vào vốn
ban đầu. Hỏi sau 3 năm không rút tiền gc và lãi, s tiền trong ngân hàng của người đó gần nhất
vi s nào sau đây?
Lời giải
Áp dụng công thức tính lãi suất theo hình thức lãi kép:
( )
1
n
PA r
= +
.
Trong đó:
P
số tiền gồm vốn lẫn lãi tại thời điểm
n
tính từ thời điểm gửi;
A
là số tin gửi vào
ban đầu và
( )
%r
là lãi suất.
Với
300.000.000
3
6%
A
n
r
=
=
=
, suy ra
( )
3
300.000.000 1 6% 357.304.800 357.305.000P = +=
.
Câu 22: Ti thời điểm ban đầu nếu đầu
P
đô la với t l lãi suất được tính gộp liên tục hàng năm
không đổi là
r
thì giá tr tương lai của khoản đầu tư này sau
t
năm là
( )
.
rt
B t Pe=
đô la. Giả s
tỷ l lãi sut tính gộp hàng năm
8%
. Hỏi sau bao nhiêu năm thì số tiền đầu ban đầu tăng
thêm ít nhất
50%
.
Li gii
Theo đề ra ta có:
0,08.
. 1, 5
t
Pe P>
0,08
ln 1, 5
1, 5 0, 08 ln 1, 5 5, 06
0,08
t
e tt > > ⇒>
.
Câu 23: Một người gởi 60 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất
6%
một năm. Biết rng nếu không rút
tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mi năm s tin lãi s nhập vào gốc đ tính lãi cho năm tiếp
theo. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm người đó nhận được s tiền nhiều hơn 100 triệu đồng gm
c gc lẫn lãi?
Lời giải
CHUYÊN Đ VITOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 6
Sưu tm và biên son
Ta có:
( )
.1
n
SA r= +
. Để số tiền cả gốc lẫn lãi lớn hơn 100 triệu
1 1 6%
100
log log 8,766
60
r
S
n
A
++

⇒> =


.
Câu 24: Một người gửi 100 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 0,4% / tháng. Biết rằng nếu không rút
tiền ta khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi tháng, số tiền lãi sẽ được lập vào vốn ban đầu để tính lãi
cho tháng tiếp theo. Hỏi sau 6 tháng, người đó được lĩnh số tiền gần nhất với số tiền nào dưới
đây, nếu trong khoảng thời gian này người đó không rút tiền ra và lãi xuất không thay đổi?
Lời giải
Áp dụng công thức lãi kép ta có sau đúng 6 tháng, người đó lĩnh được số tiền:
Ta có:
6
0
0, 4
(1 ) 100.000.000 1 102.424.128
100
n
n
AA r

= += + =


Câu 25: Một người gửi
50
triu đồng vào ngân hàng theo th thc lãip vi lãi sut
5,5% /
năm, hn
1
năm. Hỏi sau
4
năm, người đó rút cả vốn lẫn lãi được s tiền gần với s nào nhất trong các số
tiền sau?
Lời giải
Gọi s tiền ban đầu
A
. Lãi suất tính theo năm là
r
.
S tiền cả vốn lẫn lãi sau
n
năm được tính theo công thức:
( )
1
n
n
AA r= +
.
Thay số vi
50; 5,5%, 4Ar n= = =
ta được s tiền là:
4
4
5,5
50. 1 61,94
100
A

=+=


Câu 26: Mt ni gi
200
vào ngân hàng với lãi sut
0, 2% /
tháng. Biết rng nếu không rút tiền khỏi
ngân hàng thì cứ sau mỗi tháng số tin lãi s được nhập vào vốn ban đu đ tính lãi cho tháng
tiếp theo. Hỏi sau đúng
10
tháng người đó được lĩnh số tiền gần nhất với s tiền nào dưới đây?
Li gii
Theo công thức lãi kép ta có số tiền cả lãi và vốn sau 10 tháng là:
( ) ( )
10
1 200 1 0.2% 204,036
n
TX r= += +
triệu đồng.
Câu 27: Mt ngưi gi
100
triu đồng vào một ngân hàng với lãi sut
0,7%/ thaùng
. Biết rng nếu không
rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi tháng, số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu để tính
lãi cho tháng tiếp theo. Hỏi sau đúng
5
tháng, người đó được lĩnh số tiền gần nhất vi s tin
nào dưới đây, nếu trong khoảng thời gian này người đó không rút tiền ra lãi suất không thay
đổi?
Li gii
Sau
5
tháng, người đó được lĩnh số tiền
( )
5
6
100.10 . 1 0,7% 103.549.000S = +=
đồng.
Câu 28: Ông A gửi 200 triệu vào một ngân hàng theo hình thc lãi kép, vi lãi suất là 6,5% một m và
lãi suất không đổi trong suốt thời gian gửi. Sau 6 năm, số tiền lãi của ông bằng bao nhiêu?
Li gii
CHUYÊN Đ VITOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 7
Sưu tm và biên son
Ta có
(
)
(
)
6
1 200. 1 6,5% 292
n
TA r= += +
triệu.
Vy s tiền lãi là
292 200 92−=
triệu.
Câu 29: Ông A vay ngân hàng
100
triệu đồng vi lãi sut
1%
một tháng. Cứ sau mỗi tháng kể từ ny
vay ông tr góp số tiền
5
triệu đồng. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu tháng thì ông A trả hết nợ, biết
tháng cuối cùng ông có thể tr s tiền ít hơn 5 triệu đồng?
Li gii
Sau
n
tháng, ông A còn vay số tiền là:
(
) (
) ( ) ( )
( )
12
11
100 1 5 1 1 ... 1 100 1 5 .
n
n nn n
r
r rr r
r
−−
+−

+− + ++ ++= +−

vi
r
là lãi suất/1 tháng.
Để tháng thứ n ông trả hết nợ thì:
(
)
( )
(
)
1, 01 1
5
100 1,01 5 0 1,01 23
0,01 4
n
nn
n
= =⇔≈
tháng.
Câu 30: Ông Bình vay vốn ngân hàng với s tiền
100000000
đồng. Ông d định sau đúng
5
năm thì tr
hết nợ theo hình thức: sau đúng một tháng kể từ ngày vay, ông bắt đầu hoàn nợ, hai lần hoàn nợ
liên tiếp cách nhau đúng một tháng, số tiền hoàn nợ mi lần là như nhau. Hỏi theo cách đó, số
tiền
a
mà ông sẽ phải tr cho ngân hàng trong mi lần hoàn nợ là bao nhiêu? Biết lãi suất hàng
tháng là
1, 2%
không thay đổi trong thời gian ông hoàn nợ.
Li gii
Gọi
, , ,
n
mrT a
lần lượt s tiền vay ngân hàng, lãi suất hàng tháng, tổng s tiền vay còn li
sau
n
tháng, số tiền trả đều đặn mỗi tháng.
Sau khi hết tháng thứ nht
(
)
1
n
=
thì còn lại:
( )
1
1.T mr a= +−
Sau khi hết tháng thứ hai
( )
2n =
thì còn lại:
( ) ( )
2
11Tmrara= +− +−


( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
2 2 22
1 1 1 2 1 1 1.
a
mr ar a mr ar mr r
r

= +− += +− += +− +−

Sau khi hết tháng thứ ba
(
)
3n =
thì còn:
( )
( ) ( )
22
3
1 11 1
a
T mr r r a
r


= +− +− +



( ) ( )
33
1 1 1.
a
mr r
r

= +− +−

Sau khi hết tháng thứ
n
thì còn lại:
( ) ( )
1 11
nn
n
a
T mr r
r

= +− +−

CHUYÊN Đ VITOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 8
Sưu tm và biên son
Áp dụng công thức trên, ta có
( )
( )
60
5
60
1, 2
12.10 1
1
100
0
11
1, 2
11
100
n
n
n
mr r
Ta
r

+

+

=⇔= =
+−

+−


.
Câu 31: Anh Nam vay tiền ngân hàng
1
tỷ đồng theo phương thức tr p vi lãi sut
0
0
0,5
/ tháng. Nếu
cui mỗi tháng bắt đầu từ tháng thứ nhất anh Nam tr
30
triệu đồng. Hỏi sau bao nhiêu tháng
anh Nam trả hết nợ?
Gọi
a
là s tiền vay,
r
là lãi suất,
m
là s tiền hàng tháng trả.
S tiền nợ sau tháng thứ nhất là:
( )
1
1Na rm= +−
.
S tiền nợ sau tháng thứ hai là:
(
) (
)
2
11
N a rm a rmrm
= + + −−


(
)
( )
2
1 11arm r= + ++


….
S tiền nợ sau
n
tháng là:
(
) ( ) ( ) ( )
( )
12
11
1 1 1 ... 1 1
n
n nn n
n
r
Narm r r arm
r
−−
+−

=+− + ++ ++=+−

.
Sau
n
tháng anh Nam trả hết nợ:
( )
( )
11
10
n
n
n
r
Na r m
r
+−
=+− =
( )
(
)
1 0,005 1
1000 1 0,005 30 0
0,005
36,55
n
n
n
+−
⇔+ =
⇔=
Vy
37
tháng thì anh Nam trả hết nợ.
Câu 32: Một nhóm bạn thc hiện dự án khởi nghip làm tinh du t nhiên từ y x. Trong bn kế hoạch
nhóm đề ra vay ngân hàng
300
triệu đồng theo phương thức tr góp với lãi sut
0
0
0,5
/ tháng.
Nếu cui mi tháng bt đầu từ tháng thứ chín nhóm bắt đu tr tr
10
triệu đồng. Hỏi sau bao
nhiêu tháng kể từ ngày vay nhóm trả hết nợ?
Li gii
Gọi
a
là tổng số tiền vay số tiền vay ngân hàng sau
8
tháng,
r
là lãi,
m
là s tiền hàng
tháng trả.
Ta có:
( )
8
300 1 0,5%
a = +
S tiền nợ sau tháng thứ chín là:
( )
1
1
= +−Na rm
.
S tiền nợ sau tháng thứ i là:
(
) ( )
( ) ( )
2
2
11
1 11
= +− + −−


= + ++


N a rm a rmrm
arm r
….
S tiền nợ sau tháng thứ
9
n +
là:
( )
( )
11
1
+−
=+−
n
n
n
r
Na r m
r
.
Sau
9n +
tháng trả hết nợ:
( )
( )
11
10
+−
=+− =
n
n
n
r
Na r m
r
.
CHUYÊN Đ VITOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 9
Sưu tm và biên son
( ) (
)
( )
8
1 0,5% 1
300. 1 0,5% 1 0,5% 10. 0 23
0,5%
n
n
n
+−

+ + =⇒≈

.
Vy
31
tháng thì nhóm bạn trả hết nợ.
Câu 33: Anh A vay ngân hàng
600.000.000
đồng để mua xe ô tô với i suât
7, 8%
một năm. Anh A bắt
đầu trả nợ cho ngân hàng theo cách: sau đúng 1 năm kể từ ngày vay anh bắt đầu trả nợ và hai lần
trả nợ liên tiếp cách nhau đúng 1 năm. Số tiền trả nợ như nhau mỗi lần sau đúng 8 năm
thì anh A trả hết nợ. Biết rằng lãi suất ngân hàng không thay đổi trong suốt thời gian anh A trả
nợ. Số tiền anh A trả nợ ngân hàng trong mỗi lần là:
Lời giải
Đặt
7, 8%r
Gọi
M
là s tiền anh A trả hàng năm.
Sau năm thứ 1, s tiền còn lại:
( )
1
600 1V rM= +−
.
Sau năm thứ 2, s tiền còn lại:
( )
21
1VV rM= +−
( ) ( )
2
600 1 1r M rM
= + +−
.
………
Sau năm thứ
n
, s tiền còn lại:
(
) ( )
( )
1
600 1 1 ... 1
nn
n
V rMr MrM
= +−+−−+
.
Vậy sau 8 năm anh A trả hết nợ, ta có:
( )
( )
8
8
11
600 1 0
r
rM
r
+−
+− =
( )
( )
8
8
600 1 .
11
rr
M
r
+
⇔=
+−
( )
( )
8
8
600 1 7,8% .7,8%
1 7,8% 1
M
+
⇔=
+−
103,618
triệu đồng.
Câu 34: Hai anh em An và Bình cùng vay tiền ở ngân hàng với lãi sut
0,7%
một tháng với tổng số tiền
vay là
200
triu đồng. Sau đúng
1
tháng kể từ khi vay, mỗi ngưi bt đu tr nợ cho ngân hàng
khoản vay của mình. Mỗi tháng hai người tr s tiền bằng nhau cho ngân hàng đ tr vào tiền
gc lãi. Đ tr hết gốc lãi cho ngân hàng tAn cần
10
tháng, Bình cần
15
tháng. Hỏi s
tiền mà mỗi người tr cho ngân hàng mỗi tháng là bao nhiêu?
Li gii
Gọi s tiền vay ban đầu là
0
u
, tiền trả hàng tháng là
x
, lãi suất hàng tháng là
0,7%
.
S tiền còn lại sau
1
tháng:
10
1,007uu x
=
.
S tiền còn lại sau
2
tháng:
( )
22
21 0 0
1,007 1,007 1,007 1,007 1 1,007u u xu xxu x= −= −= +
.
S tiền còn lại sau
n
tháng:
CHUYÊN Đ VITOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 10
Sưu tm và biên son
(
)
21
0
1,007 1 1,007 1,007 ... 1,007
nn
n
uu x
= + + ++
0
1,007 1
1,007
0,007
n
n
ux
=
.
Sau
n
tháng thì hết nợ
( )
0
1,007 1
0
0,007.1,007
n
n
n
x
uu
⇒=⇔=
.
Để tr hết nợ thì An cần
10
tháng và Bình cần
15
tháng, ta được:
( ) (
)
10 15
8
10 15
1,007 1 1,007 1
2.10 8397068,067
0,007.1,007 0,007.1,007
xx
x
−−
+ = ⇔=
.
CHUYÊN Đ VITOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 36
Sưu tm và biên son
BÀI 20: HÀM S HÀM S LOGARIT
BÀI TP TRC NGHIM TRÍCH T ĐỀ THAM KHẢO VÀ ĐỀ CHÍNH THC
CA B GIÁO DC T NĂM 2017 ĐẾN NAY
Câu 1: (MĐ 103-2022) Cho
5
3a =
,
2
3b =
6
3c =
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
a cb<<
. B.
abc<<
. C.
bac<<
. D.
cab<<
.
Câu 2: (MĐ 104-2022) Cho
5
3a =
,
2
3b =
6
3c =
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
abc<<
. B.
acb<<
. C.
cab<<
. D.
bac<<
.
Câu 3: (MĐ 101-2022) Tp xác đnh ca hàm s
( )
3
log 4x
A.
( )
5; +∞
. B.
( )
;−∞ +∞
. C.
( )
4;
+∞
. D.
( )
;4−∞
.
Câu 4: (MĐ 103-2022) Tp xác đnh ca hàm s
( )
2
log 1yx=
A.
( )
2; +∞
. B.
( )
;−∞ +∞
. C.
( )
1; +∞
. D.
( )
;1−∞
.
Câu 5: (MĐ 101-2022) Có bao nhiêu s nguyên thuộc tp xác đnh ca hàm s
( )( )
log 6 2y xx= −+


?
A.
7
. B.
8
. C.
9
. D. Vô s.
Câu 6: (MĐ 101-2022) Vi mi s thc
a
dương tuỳ ý
4log a
bằng
A.
2log a
. B.
2log a
. C.
4log a
. D.
8log a
.
Câu 7: (MĐ 103-2022) Vi
a
là s thực dương tùy ý,
( )
log 100a
bng
A.
1 log a
. B.
2 log a+
. C.
2 log a
. D.
1 log a+
.
Câu 8: (MĐ 103-2022) Vi
,ab
là các s thực dương tùy ý và
1a
,
1
3
1
log
a
b
bng
A.
3log
a
b
. B.
log
a
b
. C.
3log
a
b
. D.
1
log
3
a
b
.
Câu 9: (MĐ 104-2022) Vi
,ab
là các s thực dương tuỳ ý và
1
3
1
1, log
a
a
b
bng
A.
log
a
b
. B.
3log
a
b
. C.
1
log
3
a
b
. D.
3log
a
b
.
CHƯƠNG
VI
HÀM S
VÀ HÀM S LOGARIT
H THNG BÀI TP TRC NGHIM.
III
CHUYÊN Đ VITOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 37
Sưu tm và biên son
Câu 10: (TK 2020-2021) Vi
a
là s thực dương tùy ý,
3
a
bng
A.
6
.a
B.
3
2
.a
C.
2
3
.
a
D.
1
6
.
a
Câu 11: (TK 2020-2021) Vi
a
là s thực dương tùy ý,
( )
3
log 9a
bng
A.
3
1
log .
2
a+
B.
3
2log a
C.
(
)
2
3
log .a
D.
3
2 log .a
+
Câu 12: Cho
0a >
1a
, khi đó
4
log
a
a
bằng
A.
4
. B.
1
4
. C.
1
4
. D.
4
.
Câu 13: (MĐ 102 2020-2021 ĐỢT 1) Cho
0
a >
1a
, khi đó
3
log
a
a
bằng
A.
3
. B.
1
3
. C.
1
3
. D.
3
.
Câu 14: (MĐ 103 2020-2021 ĐỢT 1) Cho
0a >
1
a
, khi đó
log
a
a
bằng
A.
2
. B.
2
. C.
1
2
. D.
1
2
.
Câu 15: (MĐ 104 2020-2021 ĐỢT 1) Cho
0
a
>
a1
, khi đó
5
log
a
a
bằng
A.
1
5
. B.
1
5
. C.
5
. D.
5
Câu 16: Với mọi
,
ab
thỏa mãn
3
22
log log 6ab+=
, khẳng định nào sau đây đúng?
A.
3
64
ab=
. B.
3
36
ab=
. C.
3
64ab+=
. D.
3
36ab+=
.
Câu 17: (MĐ 102 2020-2021 ĐT 1) Vi mi
,ab
tha mãn
3
22
log log 8ab+=
. Khng định nào dưới
đây đúng?
A.
3
64ab+=
. B.
3
256ab=
. C.
3
64ab
=
. D.
3
256ab+=
.
Câu 18: (MĐ 103 2020-2021 ĐỢT 1) Vi mi
a
,
b
tha mãn
3
22
log log 7ab+=
. Khng đnh nào
dưới đây đúng?
A.
3
49
ab+=
. B.
3
128
ab=
. C.
3
128ab
+=
. D.
3
49ab=
.
Câu 19: (MĐ 104 2020-2021 ĐT 1) Với mọi
,ab
thỏa mãn
3
22
log log 5ab+=
, khẳng định nào dưới
đây là đúng?
A.
3
32ab=
. B.
3
25ab
=
. C.
3
25ab+=
. D.
3
32ab+=
.
Câu 20: Vi
0
a >
đặt
( )
2
log 2ab=
, khi đó
( )
4
2
log 8a
bằng
A.
47b +
. B.
43b +
. C.
4b
. D.
41b
.
Câu 21: Vi
0a >
, đặt
( )
2
log 2ab=
, khi đó
( )
3
2
log 4
a
bằng
A.
35b +
. B.
3b
. C.
32b +
. D.
31b
.
Câu 22: (MĐ 103 2020-2021 ĐỢT 2) Vi
0a >
, đặt
( )
3
log 3
ab=
, khi đó
( )
3
3
log 9a
bằng
A.
3b
. B.
31b
. C.
32b +
. D.
35b +
.
CHUYÊN Đ VITOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 38
Sưu tm và biên son
Câu 23: (MĐ 104 2020-2021 ĐỢT 2) Vi
0a >
, đặt
( )
3
log 3ab=
khi đó
( )
4
3
log 27a
bằng
A.
43b +
. B.
4b
. C.
41b
. D.
47b +
.
Câu 24: (Mã 105 2017) Rút gọn biểu thức
5
3
3
:Qb b=
vi
0b >
.
A.
4
3
Qb
=
B.
4
3
Qb=
C.
5
9
Qb=
D.
2
Qb=
Câu 25: (Mã 110 2017) Rút gọn biểu thức
1
6
3
.Px x=
vi
0x >
.
A.
Px=
B.
1
8
Px=
C.
2
9
Px=
D.
2
Px=
Câu 26: (Mã 102 2017) Cho biểu thức
4
3
23
..P xx x=
, vi
0x >
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
2
3
Px=
B.
1
2
Px=
C.
13
24
Px=
D.
1
4
Px=
Câu 27: Tham Kho 2017) Tính giá trị ca biểu thức
( ) ( )
2017 2016
7 43 43 7P =+−
A.
( )
2016
7 43P = +
B.
1P =
C.
7 43P =
D.
7 43P = +
Câu 28: (Mã 101 - 2020 Lần 1) Vi
,ab
là các s thực dương tùy ý và
1a
,
5
log
a
b
bng:
A.
5log
a
b
. B.
1
log
5
a
b+
. C.
5 log
a
b+
. D.
1
log
5
a
b
.
Câu 29: (Mã 102 - 2020 Lần 1) Vi , là các s thực dương tùy ý và , bng
A. . B. . C. . D. .
Câu 30: (Mã 103 - 2020 Lần 1) Vi a,b là các s thực dương tùy ý và
1a
,
3
log
a
b
bằng
A.
3 log
a
b+
B.
3log
a
b
C.
1
3
log
a
b+
D.
1
3
log
a
b
Câu 31: (Mã 103 2018) Vi
a
là s thực dương tùy ý,
( ) ( )
ln 7 ln 3aa
bng
A.
ln 7
ln 3
B.
7
ln
3
C.
( )
ln 4a
D.
( )
( )
ln 7
ln 3
a
a
Câu 32: (Mã 101 2018) Vi
a
là s thực dương tùy ý,
( ) ( )
ln 5 ln 3aa
bng:
A.
5
ln
3
B.
ln 5
ln 3
C.
( )
( )
ln 5
ln 3
a
a
D.
( )
ln 2a
Câu 33: (Mã 110 2017) Cho
log 2
a
b =
log 3
a
c =
. Tính
( )
23
log
a
P bc=
.
A.
13P =
B.
31P =
C.
30P =
D.
108P =
Câu 34: (Mã 102 2019) Cho
a
b
là hai s thực ơng thỏa mãn
32
32ab =
. Giá tr ca
22
3log 2 logab+
bằng
A.
4
. B.
5
. C.
2
. D.
32
.
a
b
1a
2
log
a
b
1
log
2
a
b+
1
log
2
a
b
2 log
a
b+
2log
a
b
CHUYÊN Đ VITOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 39
Sưu tm và biên son
Câu 35: Tham Khảo 2017) Cho
,ab
là các s thực dương thỏa mãn
1a
,
ab
log 3
a
b =
.
Tính
P log
b
a
b
a
=
.
A.
5 33P =−+
B.
13P =−+
C.
13P =−−
D.
5 33P =−−
Câu 36: (Mã 103 2019) Cho
a
b
là hai s thực dương thỏa mãn
23
16ab =
. Giá tr ca
22
2log 3logab+
bằng
A.
2
. B.
8
. C.
16
. D.
4
.
Câu 37: (Mã 101 2019) Cho
a
và
b
là hai s thcơng tha mãn
4
16ab=
.
Giá tr ca
22
4log logab+
bằng
A.
4
. B.
2
. C.
16
. D.
8
.
Câu 38: (Mã 123 2017) Vi
a
,
b
là các s thc dương tùy ý
a
khác
1
, đặt
2
36
log log
a
a
Pb b= +
.
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
6log
a
Pb=
B.
27log
a
Pb=
C.
15log
a
Pb=
D.
9log
a
Pb=
Câu 39: (Mã 105 2017) Cho
3
log 2a =
2
1
log
2
b =
. Tính
( )
2
33 1
4
2log log 3 logI ab

= +

.
A.
5
4
I =
B.
0I =
C.
4I =
D.
3
2
I =
Câu 40: (Mã 104 2017) Vi mi
a
,
b
,
x
là các s thực dương thoả mãn
2 22
gl lo 5lo gg 3oabx +=
.
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
53x ab= +
B.
53
xa b= +
C.
53
x ab=
D.
35x ab= +
Câu 41: (Mã 104 2019) Cho
a
b
là hai s thc dương tha mãn
3
8ab =
. Giá tr ca
22
log 3logab+
bằng
A.
6
. B.
2
. C.
3
. D.
8
.
Câu 42: (Mã 123 2017) Cho
log 3, log 4
ab
xx= =
vi $a,b$ là các s thc lớn hơn 1. Tính
log .
ab
Px=
A.
12P =
B.
12
7
P =
C.
7
12
P =
D.
1
12
P =
Câu 43: (Mã 110 2017) Cho
, xy
là các s thc ln hơn
1
thoả mãn
22
96x y xy+=
. Tính
( )
12 12
12
1 log log
2log 3
xy
M
xy
++
=
+
.
A.
1
2
M =
. B.
1
3
M =
. C.
1
4
M =
. D.
1M =
Câu 44: Tham Khảo 2020 Lần 2) Xét s thc
a
b
tha mãn
( )
39
log 3 .9 log 3
ab
=
. Mệnh đề nào
dưới đây đúng
A.
22ab+=
. B.
421ab+=
. C.
41ab =
. D.
241ab+=
.
Câu 45: (Mã 102 - 2020 Lần 1) Cho
a
và
b
là hai s thc dương tha mãn
2
log ( )
43
ab
a=
. Giá tr ca
2
ab
bằng
A. . B. . C. . D. .
3
6
2
12
CHUYÊN Đ VITOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 40
Sưu tm và biên son
Câu 46: (Mã 102 - 2020 Lần 2) Vi
,
ab
là các s thcơngy ý tha mãn
39
log 2log 2ab
−=
, mnh
đề nào dưới đây đúng?
A.
2
9ab=
. B.
9ab=
. C.
6ab=
. D.
2
9ab=
.
Câu 47: (Mã 103 - 2020 Lần 2) Vi
,ab
là các s thcơngy ý tha mãn
39
log 2log 3ab−=
, mnh
đề nào dưới đây đúng?
A.
27ab=
. B.
9ab=
. C.
4
27
ab
=
. D.
2
27
ab
=
.
Câu 48: (Mã 104 - 2020 Lần 2) Vi
,
ab
là các s thc dươngy ý tha mãn
24
log 2log 4ab−=
, mnh
đề nào dưới đây đúng?
A.
2
16ab
=
. B.
8ab=
. C.
16ab=
. D.
4
16ab=
.
Câu 49: Tham Kho 2019) Đặt
3
log 2 a=
khi đó
16
log 27
bng
A.
3
4
a
B.
3
4a
C.
4
3a
D.
4
3
a
Câu 50: Minh Ha 2017) Đặt
25
log 3, log 3.ab= =
Hãy biểu din
6
log 45
theo
a
b
.
A.
2
6
22
log 45
a ab
ab
=
B.
6
2
log 45
a ab
ab b
+
=
+
C.
2
6
22
log 45
a ab
ab b
=
+
D.
6
2
log 45
a ab
ab
+
=
CHUYÊN Đ VITOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 1
Sưu tm và biên son
BÀI 20: HÀM S HÀM S LOGARIT
BÀI TP TRC NGHIM TRÍCH T ĐỀ THAM KHẢO VÀ ĐỀ CHÍNH THC
CA B GIÁO DC T NĂM 2017 ĐẾN NAY
Câu 1: (MĐ 103-2022) Cho
5
3a =
,
2
3b =
6
3c =
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
a cb<<
. B.
abc<<
. C.
bac<<
. D.
cab<<
.
Li gii
Chọn C
256<<
nên
256
33 3<<
hay
bac<<
.
Câu 2: (MĐ 104-2022) Cho
5
3a =
,
2
3b
=
6
3c =
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
abc
<<
. B.
acb<<
. C.
cab<<
. D.
bac<<
.
Li gii
Chọn D
Ta có
24
33
b = =
. Vì
456<<
31>
nên
456
333<<
. Vy
bac<<
.
Câu 3: (MĐ 101-2022) Tập xác định ca hàm s
( )
3
log 4x
A.
( )
5; +∞
. B.
( )
;−∞ +∞
. C.
( )
4; +∞
. D.
( )
;4−∞
.
Li gii
Chọn C
Hàm s đã cho xác định
40 4xx−>>
Vy tập xác định ca hàm s là
( )
4; .
D = +∞
Câu 4: (MĐ 103-2022) Tập xác định ca hàm s
( )
2
log 1yx=
A.
( )
2; +∞
. B.
( )
;−∞ +∞
. C.
(
)
1; +∞
. D.
( )
;1−∞
.
Li gii
Chọn C
Điu kiện xác định:
10 1xx−> >
.
CHƯƠNG
VI
HÀM S
VÀ HÀM S LOGARIT
H THNG BÀI TP TRC NGHIM.
III
CHUYÊN Đ VITOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 2
Sưu tm và biên son
Vy tập xác định ca hàm s
( )
2
log 1yx=
(
)
1;
+∞
.
Câu 5: (MĐ 101-2022) Có bao nhiêu s nguyên thuộc tpc đnh ca hàm s
(
)( )
log 6 2y xx= −+


?
A.
7
. B.
8
. C.
9
. D. Vô s.
Li gii
Chọn A
Điu kin:
( )( )
6 20 2 6xx x + > ⇔− < <
( ) { }
,
: 2; 6 1; 0;1; 2;3;4;5
x Dx
TXÐ D x
∈∈
= →
có 7 giá trị ca
x
thỏa mãn bài toán.
Câu 6: (MĐ 101-2022) Vi mi s thc
a
dương tuỳ ý
4log a
bằng
A.
2log
a
. B.
2log a
. C.
4log a
. D.
8log
a
.
Li gii
Chọn B
Ta có
1
2
1
4log 4log 4. log 2log .
2
aa aa= = =
.
Câu 7: (MĐ 103-2022) Vi
a
là s thực dương tùy ý,
( )
log 100a
bng
A.
1 log
a
. B.
2 log a+
. C.
2 log a
. D.
1 log a+
.
Li gii
Chọn B
Ta có
( )
log 100 log100 log 2 loga aa= +=+
.
Câu 8: (MĐ 103-2022) Vi
,ab
là các s thc dương tùy ý
1a
,
1
3
1
log
a
b
bng
A.
3log
a
b
. B.
log
a
b
. C.
3log
a
b
. D.
1
log
3
a
b
.
Li gii
Chọn A
Ta có
1
3
1
3
1
log log 3log
a
a
a
bb
b
= =
.
Câu 9: (MĐ 104-2022) Vi
,ab
là các s thực dương tuỳ ý và
1
3
1
1, log
a
a
b
bng
A.
log
a
b
. B.
3log
a
b
. C.
1
log
3
a
b
. D.
3log
a
b
.
Li gii
Chọn D
- Ta có
1
3
1
3
1
log log 1.( 3)log 3log
aa
a
a
b bb
b
= =−− =
Câu 10: (TK 2020-2021) Vi
a
là s thực dương tùy ý,
3
a
bng
CHUYÊN Đ VITOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 3
Sưu tm và biên son
A.
6
.a
B.
3
2
.a
C.
2
3
.a
D.
1
6
.a
Li gii
Ta có
n
n
m
m
aa
vi mi
0a
3
3
2
,.mn a a

Câu 11: (TK 2020-2021) Vi
a
là s thực dương tùy ý,
( )
3
log 9a
bng
A.
3
1
log .
2
a+
B.
3
2log a
C.
( )
2
3
log .a
D.
3
2 log .a+
Li gii
Ta có
3 33 3
log (9 ) log 9 log 2 log .a aa 
Câu 12: Cho
0a
>
1a
, khi đó
4
log
a
a
bằng
A.
4
. B.
1
4
. C.
1
4
. D.
4
.
Lời giải
Với
0
a >
1
a
ta có:
1
4
4
11
log log log
44
aa a
aa a= = =
.
Câu 13: (MĐ 102 2020-2021 ĐỢT 1) Cho
0a >
1a
, khi đó
3
log
a
a
bằng
A.
3
. B.
1
3
. C.
1
3
. D.
3
.
Li gii
Vi
0a >
1a
, ta có
1
3
3
11
log log log
33
aa a
aa a= = =
.
Câu 14: (MĐ 103 2020-2021 ĐỢT 1) Cho
0a >
1a
, khi đó
log
a
a
bằng
A.
2
. B.
2
. C.
1
2
. D.
1
2
.
Li gii
Vi
0
a >
1a
, ta có:
1
2
11
log log log
22
aa a
aa a= = =
.
Câu 15: (MĐ 104 2020-2021 ĐỢT 1) Cho
0a >
a1
, khi đó
5
log
a
a
bằng
A.
1
5
. B.
1
5
. C.
5
. D.
5
Li gii
Ta có
1
5
5
1
log log
5
aa
aa= =
.
Câu 16: Với mọi
,ab
thỏa mãn
3
22
log log 6ab+=
, khẳng định nào sau đây đúng?
A.
3
64ab=
. B.
3
36ab=
. C.
3
64ab+=
. D.
3
36ab+=
.
Lời giải
CHUYÊN Đ VITOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 4
Sưu tm và biên son
Ta có:
(
)
3 3 36
22 2
log log 6 log 6 2 64a b ab ab+ = =⇔==
.
Câu 17: (MĐ 102 2020-2021 ĐỢT 1) Vi mi
,ab
tha mãn
3
22
log log 8
ab
+=
. Khng đnh nào
dưới đây đúng?
A.
3
64ab+=
. B.
3
256ab=
. C.
3
64
ab
=
. D.
3
256ab+=
.
Li gii
( )
3 3 38 3
22 2
log log 8 log 8 2 256a b ab ab ab+ = =⇔=⇔=
Câu 18: (MĐ 103 2020-2021 ĐỢT 1) Vi mi
a
,
b
tha mãn
3
22
log log 7
ab+=
. Khẳng định nào
dưới đây đúng?
A.
3
49ab+=
. B.
3
128ab=
. C.
3
128ab+=
. D.
3
49ab=
.
Li gii
Điu kin:
0, 0ab
>>
. Ta có:
( )
3 3 37 3
22 2
log log 7 log 7 2 128a b ab ab ab+ = =⇔=⇔=
.
Câu 19: (MĐ 104 2020-2021 ĐT 1) Với mọi
,ab
thỏa mãn
3
22
log log 5ab+=
, khẳng định nào dưới
đây là đúng?
A.
3
32ab=
. B.
3
25
ab=
. C.
3
25ab+=
. D.
3
32ab+=
.
Lời giải
Ta có:
(
)
3 33
22 2
log log 5 log 5 32
a b ab ab+ = =⇔=
.
Câu 20: Vi
0a >
đặt
( )
2
log 2
ab
=
, khi đó
( )
4
2
log 8
a
bằng
A.
47b +
. B.
43b +
. C.
4b
. D.
41b
.
Li gii
Ta có
( )
2 22
log 2 1 log log 1a b ab ab= ⇔+ = =
.
Khi đó
( )
( )
44
2 22
log 8 3 log 3 4log 3 4 1 4 1a a a bb
=+ =+ =+ −=
.
Vy
( )
4
2
log 8 4 1ab=
.
Câu 21: Vi
0a >
, đặt
( )
2
log 2ab=
, khi đó
(
)
3
2
log 4a
bằng
A.
35b +
. B.
3b
. C.
32b +
. D.
31b
.
Li gii
Ta có:
( )
2 22 2
log 2 log 2 log 1 loga aa=+=+
2
log 1ab
⇒=
( )
( ) (
)
22
3
22 22
log 4 log 2 . log 2 log 2 1 3 1a a a a a bb b

= = + = +−=

.
Câu 22: (MĐ 103 2020-2021 ĐỢT 2) Vi
0a >
, đặt
( )
3
log 3ab=
, khi đó
( )
3
3
log 9a
bằng
A.
3b
. B.
31b
. C.
32b +
. D.
35b +
.
Li gii
CHUYÊN Đ VITOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 5
Sưu tm và biên son
Ta có
( )
3 33
log 3 1 log log 1a b ab ab= ⇒+ = =
Suy ra
( )
( )
2
33
log 9 2 3log 2 3 1 3 1a a bb
=+ =+ −=
.
Câu 23: (MĐ 104 2020-2021 ĐỢT 2) Vi
0a >
, đặt
( )
3
log 3ab=
khi đó
(
)
4
3
log 27
a
bằng
A.
43b +
. B.
4b
. C.
41b
. D.
47b +
.
Li gii
Ta có
(
)
33
log 3 1 loga b ab= ⇔+ =
3
log 1
ab⇒=
( )
44
3 33 3
log 27 log 27 log 3 4log 3 4( 1) 4 1a a a bb= + =+ =+ −=
Câu 24: (Mã 105 2017) Rút gọn biểu thức
5
3
3
:Qb b=
vi
0b >
.
A.
4
3
Qb
=
B.
4
3
Qb=
C.
5
9
Qb=
D.
2
Qb=
Li gii
Chọn B
5 51 4
3
3 33 3
::Qb bbb b= = =
Câu 25: (Mã 110 2017) Rút gọn biểu thức
1
6
3
.
Px x=
vi
0x >
.
A.
Px=
B.
1
8
Px=
C.
2
9
Px=
D.
2
Px=
Li gii
Chọn A
Ta có:
1 1 1 11
1
6
3 3 6 36
2
..P x x xx x x x
+
= = = = =
Câu 26: (Mã 102 2017) Cho biểu thức
4
3
23
..P xx x=
, vi
0x
>
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
2
3
Px=
B.
1
2
Px=
C.
13
24
Px=
D.
1
4
Px=
Li gii
Chọn C
Ta có, vi
0:x >
7 13
3 7 13
44
33
44
4
3
23 2
66
2 2 24
.. .. . .P xx x xxx xx xx x x= = = = = =
.
Câu 27: Tham Kho 2017) Tính giá trị ca biểu thức
( ) ( )
2017 2016
7 43 43 7
P =+−
A.
( )
2016
7 43P = +
B.
1P =
C.
7 43P =
D.
7 43P = +
Li gii
Chọn D
CHUYÊN Đ VITOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 6
Sưu tm và biên son
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2016
2017 2016
2016
7 43 43 7 7 43. 7 43 43 7
7 43 1 7 43.
P

=+ −=+ +

=+ −=+
Câu 28: (Mã 101 - 2020 Lần 1) Vi
,ab
là các s thực dương tùy ý và
1a
,
5
log
a
b
bng:
A.
5log
a
b
. B.
1
log
5
a
b+
. C.
5 log
a
b+
. D.
1
log
5
a
b
.
Li gii
Chọn D
Câu 29: (Mã 102 - 2020 Lần 1) Vi , là các s thực dương tùy ý và , bng
A. . B. . C. . D. .
Li gii
Chọn B
Ta có .
Câu 30: (Mã 103 - 2020 Lần 1) Vi a,b là các s thực dương tùy ý và
1a
,
3
log
a
b
bằng
A.
3 log
a
b+
B.
3log
a
b
C.
1
3
log
a
b+
D.
1
3
log
a
b
Li gii
Chọn D
Ta có:
3
1
log log .
3
a
a
bb=
Câu 31: (Mã 103 2018) Vi
a
là s thực dương tùy ý,
( ) ( )
ln 7 ln 3aa
bng
A.
ln 7
ln 3
B.
7
ln
3
C.
( )
ln 4a
D.
( )
( )
ln 7
ln 3
a
a
Li gii
Chọn B
( ) ( )
ln 7 ln 3aa
7
ln
3
a
a

=


7
ln
3
=
.
Câu 32: (Mã 101 2018) Vi
a
là s thực dương tùy ý,
( ) ( )
ln 5 ln 3aa
bng:
A.
5
ln
3
B.
ln 5
ln 3
C.
( )
( )
ln 5
ln 3
a
a
D.
( )
ln 2a
Li gii
Chọn A
( ) ( )
ln 5 ln 3aa
5
ln
3
=
.
Câu 33: (Mã 110 2017) Cho
log 2
a
b =
log 3
a
c =
. Tính
( )
23
log
a
P bc=
.
a
b
1a
2
log
a
b
1
log
2
a
b+
1
log
2
a
b
2 log
a
b+
2log
a
b
2
1
log log
2
a
a
bb=
CHUYÊN Đ VITOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 7
Sưu tm và biên son
A.
13
P =
B.
31P =
C.
30P =
D.
108
P
=
Li gii
Chọn A
Ta có:
(
)
23
log 2log 3log 2.2 3.3 13
a aa
bc b c
= + =+=
.
Câu 34: (Mã 102 2019) Cho
a
b
là hai s thực dương thỏa mãn
32
32ab
=
. Giá tr ca
22
3log 2 logab+
bằng
A.
4
. B.
5
. C.
2
. D.
32
.
Li gii
Chọn B
Ta có:
32
2 2 22
log log 32 3log 2log 5ab a b
=⇔+=
Câu 35: Tham Khảo 2017) Cho
,ab
là các s thực dương thỏa mãn
1a
,
ab
log 3
a
b =
. Tính
P log
b
a
b
a
=
.
A.
5 33P =−+
B.
13P
=−+
C.
13P =−−
D.
5 33P =−−
Li gii
Chọn C
Cách 1: Phương pháp t lun.
( )
( )
11
log
log 1 3 1
31
22
1
log 1 3 2
log 1
log
2
a
a
a
a
a
b
b
a
P
bb
b
a
−−
= = = =
−−
13=−−
.
Cách 2: Phương pháp trc nghim.
Chn
2a =
,
3
2b =
. Bấm máy tính ta được
13P =−−
.
Câu 36: (Mã 103 2019) Cho
a
b
là hai s thc dương tha mãn
23
16ab
=
. Giá tr ca
22
2log 3logab+
bằng
A.
2
. B.
8
. C.
16
. D.
4
.
Li gii
Chọn D
Ta có
( )
23
2 22 2
2log 3log log log 16 4a b ab
+= ==
Câu 37: (Mã 101 2019) Cho
a
b
là hai s thc dương tha mãn
4
16ab=
.
Giá tr ca
22
4log logab+
bằng
A.
4
. B.
2
. C.
16
. D.
8
.
Li gii
Chọn A
(
)
44 4
222 22 2 2
4log log log log log log 16 log 2 4a b a b ab+= += = = =
.
CHUYÊN Đ VITOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 8
Sưu tm và biên son
Câu 38: (Mã 123 2017) Vi
a
,
b
là các s thc dương tùy ý và
a
khác
1
, đặt
2
36
log log
a
a
Pb b= +
.
Mnh đề nào dưới đây đúng?
A.
6log
a
Pb=
B.
27log
a
Pb=
C.
15log
a
Pb=
D.
9log
a
Pb=
Li gii
Chọn A
2
36
6
log log 3log log 6 log
2
a aaa
a
Pb b b b b=+=+=
.
Câu 39: (Mã 105 2017) Cho
3
log 2a =
2
1
log
2
b =
. Tính
( )
2
33 1
4
2log log 3 logI ab

= +

.
A.
5
4
I
=
B.
0
I =
C.
4I =
D.
3
2
I
=
Li gii
Chọn D
( ) (
)
2
2
33 1 33 3
2
4
2log log 3 log 2 log log 3 log 2logI ab a b
== + ++


13
2
22
=−=
.
Câu 40: (Mã 104 2017) Vi mi
a
,
b
,
x
là các s thực dương thoả mãn
2 22
gl
lo 5lo gg 3oabx +=
.
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
53x ab= +
B.
53
xa b= +
C.
53
x ab=
D.
35
x ab= +
Li gii
Chọn C
5 3 53 53
2 2 22 2 2
log 5log 3log log log logx a b a b ab x ab= + = + = ⇔=
.
Câu 41: (Mã 104 2019) Cho
a
b
là hai s thc dương tha mãn
3
8ab =
. Giá tr ca
22
log 3log
ab+
bằng
A.
6
. B.
2
. C.
3
. D.
8
.
Li gii
Chọn C
Ta có
( )
33
2 222 2 2
log 3log log log log log 8 3a b a b ab+ =+= ==
.
Câu 42: (Mã 123 2017) Cho
log 3, log 4
ab
xx= =
vi $a,b$ là các s thc ln hơn 1. Tính
log .
ab
Px=
A.
12P =
B.
12
7
P =
C.
7
12
P =
D.
1
12
P
=
Li gii
Chọn B
1 1 1 12
log
11
log log log 7
34
ab
x xx
Px
ab a b
= = = = =
+
+
CHUYÊN Đ VITOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 9
Sưu tm và biên son
Câu 43: (Mã 110 2017) Cho
, xy
là các s thc lớn hơn
1
thoả mãn
22
96x y xy+=
. Tính
( )
12 12
12
1 log log
2log 3
xy
M
xy
++
=
+
.
A.
1
2
M =
. B.
1
3
M =
. C.
1
4
M =
. D.
1M =
Li gii
Chọn D
Ta có
( )
2
22
96 3 0 3x y xy x y x y+ = =⇔=
.
Khi đó
( )
( )
( )
( )
( )
2
12
12
12 12
2
2
12
12
12
log 36
log 12
1 log log
1
2log 3
log 36
log 3
y
xy
xy
M
xy
y
xy
++
= = = =
+
+
.
Câu 44: Tham Khảo 2020 Lần 2) Xét s thc
a
b
tha mãn
( )
39
log 3 .9 log 3
ab
=
. Mệnh đề nào
dưới đây đúng
A.
22ab+=
. B.
421ab+=
. C.
41ab =
. D.
241ab+=
.
Li gii
Chọn D
Ta có:
( ) ( )
2
2
3 93
3
1
2
2
33
log 3 .9 log 3 log 3 .3 log 3
1
log 3 log 3 2 2 4 1.
2
ab a b
ab
ab ab
+
=⇔=
= +=+=
Câu 45: (Mã 102 - 2020 Lần 1) Cho
a
b
là hai s thực dương thỏa mãn
2
log ( )
43
ab
a=
. Giá tr ca
2
ab
bằng
A. . B. . C. . D. .
Li gii
Chọn A
T gi thiết ta :
Câu 46: (Mã 102 - 2020 Lần 2) Vi
,ab
các s thc ơng tùy ý tha mãn
39
log 2log 2ab−=
, mnh
đề nào dưới đây đúng?
A.
2
9ab=
. B.
9ab=
. C.
6ab=
. D.
2
9ab=
.
3
6
2
12
2
log ( )
43
ab
a=
2 22
log ( ).log 4 log (3 )ab a⇔=
22 22
2(log log ) log log 3ab a +=+
2 22
log 2log log 3ab⇔+ =
2
22
log ( ) log 3ab⇔=
2
3ab⇔=
CHUYÊN Đ VITOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 10
Sưu tm và biên son
Li gii
Chọn B
Ta có:
39
log 2log 2ab−=
33
log log 2ab−=
3
log 2
a
b

⇔=


9ab⇔=
.
Câu 47: (Mã 103 - 2020 Lần 2) Vi
,ab
các s thc ơng tùy ý tha mãn
39
log 2log 3ab−=
, mnh
đề nào dưới đây đúng?
A.
27ab=
. B.
9ab=
. C.
4
27ab=
. D.
2
27ab=
.
Li gii
Chn A
Ta có:
3 9 33 3
log 2log 3 log log 3 log 3 27 27
aa
a b a b ab
bb
= = = = ⇔=
.
Câu 48: (Mã 104 - 2020 Lần 2) Vi
,ab
là các s thc dương tùy ý tha mãn
24
log 2log 4
ab
−=
, mnh
đề nào dưới đây đúng?
A.
2
16ab=
. B.
8ab=
. C.
16ab=
. D.
4
16ab=
.
Li gii
Chọn C
Ta có
24
log 2log 4ab−=
2
2
2
22
22
2
4
log 2 log 4
1
log 2. log 4
2
log log 4
log 4
2
16
ab
ab
ab
a
b
a
b
ab
⇔− =
⇔− =
−=
⇔=
⇔=
⇔=
Câu 49: Tham Kho 2019) Đặt
3
log 2
a=
khi đó
16
log 27
bng
A.
3
4
a
B.
3
4a
C.
4
3a
D.
4
3
a
Li gii
Chọn B
Ta có
16 2
3
3 33
log 27 log 3
4 4.log 2 4a
= = =
Câu 50: Minh Ha 2017) Đặt
25
log 3, log 3.ab= =
Hãy biểu din
6
log 45
theo
a
b
.
A.
2
6
22
log 45
a ab
ab
=
B.
6
2
log 45
a ab
ab b
+
=
+
C.
2
6
22
log 45
a ab
ab b
=
+
D.
6
2
log 45
a ab
ab
+
=
CHUYÊN Đ VITOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 11
Sưu tm và biên son
Li gii
Chọn B
( )
( )
2
2
2
23 5
22
6
22
log 3
2
2
log 3 .5
2 log 3.log 5 log 3
2log 3 log 5
2
log 45
log 2.3 1 log 3 1 1 1
a
a
a
a
a ab
b
a a a ab b
+
+
+
+
+
= = = = = =
+ + + ++
CASIO: Sto\Gán
25
log 3, log 3AB
= =
bằng cách: Nhập
2
log 3
\shift\Sto\
A
tương tự
B
Th từng đáp án A:
6
2
log 45 1,34
A AB
AB
+
−≈
( Loi)
Th đáp án C:
6
2
log 45 0
A AB
AB
+
−=
( chọn ).
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 41
Sưu tm và biên son
BÀI 20: HÀM S M S LOGARIT
DNG 1: TP XÁC ĐỊNH
Câu 1: Tập xác định ca hàm s
3
log 2yx
=
A.
( )
;0−∞
. B.
( )
0; +∞
. C.
. D.
( )
1; +∞
.
Câu 2: Tập xác định ca hàm s
8=
x
y
A.
. B.
[
)
0;+∞
. C.
(
)
0;
+∞
. D.
{ }
\0
.
Câu 3: Tập xác định ca hàm s
( )
3
x
y =
A.
. B.
[
)
0;+∞
. C.
\ {0}
. D.
( )
0;
+∞
.
Câu 4: Tập xác định ca hàm s
( )
0,5
log 1yx= +
là:
A.
( )
1;D = +∞
. B.
{
}
\1
D =
. C.
( )
0;D = +∞
. D.
(
)
;1D = −∞
.
Câu 5: Tập xác định ca hàm s
lnyx=
A.
( )
0; +∞
. B.
. C.
[
)
0;+∞
. D.
{ }
\0
.
Câu 6: Tập xác định ca hàm s
log( 1)
yx=
A.
[ 1; ) +∞
. B.
(1; )+∞
. C.
[1; )+∞
. D.
( 1; ) +∞
.
Câu 7: Tập xác định
D
ca hàm s
(
)
ln 1
yx=
A.
\ {1}D =
. B.
D =
. C.
( ;1)D = −∞
. D.
(1; )D = +∞
.
Câu 8: Tập xác định ca hàm s
( )
2
log 2
yx=
là:
A.
( )
2; +∞
. B.
)
2;
+∞
. C.
( )
;2
−∞
. D.
.
Câu 9: Tìm tập xác định ca hàm s
( )
3
log 3yx= +
.
A.
( )
3;D = +∞
. B.
[
)
3;D = +∞
. C.
( )
0;D = +∞
. D.
{ }
\3D =
.
Câu 10: Tập xác định
D
ca hàm s
4
log=yx
A.
( )
0;= +∞D
. B.
( )
;0= −∞D
. C.
= D
. D.
{ }
\0= D
.
CHƯƠNG
VI
HÀM S
M S LOGARIT
H THNG BÀI TP TRC NGHIM.
III
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 42
Sưu tm và biên son
Câu 11: Tập xác định ca hàm s
( )
2
2
log 1yx=
A.
(
)
1; +∞
. B.
{ }
\1
. C.
. D.
( )
1;+∞
.
Câu 12: Có bao nhiêu s nguyên thuc tập xác định ca hàm s
( )
2
ln 15yx=
?
A.
7
. B.
6
. C.
5
. D.
8
.
Câu 13: Tập xác định ca hàm s
( )
2
log 3yx=
A.
( )
;−∞ +∞
. B.
( )
3; +∞
. C.
(
]
;3−∞
. D.
( )
;3−∞
.
Câu 14: Tập xác định ca hàm s
( )
ln 2 9yx x= −+
A.
[
)
9; +
. B.
[ ]
2;9
. C.
( )
2;9
. D.
(
]
2;9
.
Câu 15: Tập xác định ca hàm s
( )
2
ln 1x
là:
A.
{ }
\1D =
. B.
( )
1;D = +∞
. C.
. D.
[
)
1;D = +∞
Câu 16: Tìm tt c các giá tr thc ca tham s
m
để hàm s
( )
2
3
log 4 1y x xm= −+
xác đnh vi mi
x
.
A.
3m
<−
. B.
3m >
. C.
3m >−
. D.
3m <
.
Câu 17: Tập xác định ca hàm s
2
1
log 1
y
x
=
A.
{ }
\2R
. B.
( )
0; +∞
. C.
(
) { }
0; \ 2+∞
. D.
( ) { }
0; \ 1+∞
.
Câu 18: tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số
m
để hàm số
( )
2
2
log 2 2022
y xx m= −+
có tập xác định là
?
A.
2022
. B.
2021
. C.
2020
. D.
2019
.
DNG 2: S BIN THIÊN
Câu 19: Trong bn hàm s sau, hàm s nào nghch biến trên
?
A.
2022
x
y =
. B.
2022
2021
x
y

=


. C.
2022
logyx=
. D.
2021
2022
x
y

=


.
Câu 20: Hàm s nào sau đây đồng biến trên
?
A.
2
5
x
y

=


. B.
1
3
x
y

=


. C.
2005
x
y =
. D.
2022y =
.
Câu 21: Hàm s nào sau đây luôn đồng biến trên tp xác đnh.
A.
0.3=
x
y
. B.
1
3
log=yx
. C.
3
2
y log x=
. D.
2
3

=


x
y
.
Câu 22: Hàm s nào sau đây đồng biến trên
?
A.
( )
2 2.
x
y =
B.
( )
31
x
y =
. C.
3
x
y
π

=


. D.
4
x
e



.
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 43
Sưu tm và biên son
Câu 23: Hàm số nào trong các hàm số sau đây nghịch biến trên
?
A.
5
logyx=
. B.
5
x
y
=
. C.
(
)
0,5
x
y
=
. D.
0,5
logyx=
.
Câu 24: Hàm s nào sau đây nghịch biến trên
?
A.
4
π

=


x
y
. B.
=
x
ye
. C.
2022=
x
y
. D.
2=
x
y
.
Câu 25: Trong các hàm s dưới đây, hàm số nào nghch biến trên
?
A.
( )
52
x
y =
. B.
x
y
π
=
. C.
2021
x
y =
. D.
x
e
.
Câu 26: Hàm s nào sau đây nghịch biến trên tập xác định ca nó.
A.
3
log .=yx
B.
2
log .=yx
C.
log .
e
yx=
π
D.
log .
π
=yx
Câu 27: Hàm s nào đồng biến trên toàn tập xác định ca nó?
A.
2
logyx=
. B.
( )
22
x
y
=
. C.
1
2
logyx=
. D.
x
e
y
π

=


.
Câu 28: Hàm số nào trong các hàm số sau đây đồng biến trên
( )
0; +∞
A.
( )
21
x
y =
. B.
9
logyx=
. C.
( )
0,6
x
y
=
. D.
0.7
log x
.
Câu 29: Cho hàm s
( )
6
x
ya=
vi a là tham s. Có bao nhiêu s t nhiên a để hàm s đã cho đồng
biến trên
?
A.
3
. B.
6
. C.
5
. D.
4
.
DẠNG 3: ĐỒ TH
Câu 30: Đồ th sau là đồ th ca hàm s nào?
A.
2
log 1yx
= +
. B.
2
log ( 1)yx= +
.
C.
3
logyx=
. D.
3
log ( 1)x +
.
Câu 31: Đồ th hình bên dưới là đồ th ca hàm s nào?
A.
2
x
y =
. B.
1
2
x
y

=


. C.
1
3
x
y

=


. D.
3
x
y =
.
x
y
3
O
1
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 44
Sưu tm và biên son
Câu 32: Đồ th sau đây là đ th ca mt trong bn hàm s cho các phương án A, B, C, D. Hỏi đó
hàm s nào?
A.
2
logyx=
. B.
1
2
x
y =
. C.
1
2
logyx=
. D.
2
x
y =
.
Câu 33: Đưng cong trong hình bên là ca đ th hàm s nào sau đây?
A.
2
logyx=
. B.
( )
0,8
x
y =
. C.
0,4
logyx=
. D.
( )
2
x
y
=
.
Câu 34: Cho đồ th hàm s
( )
y fx=
như hình vẽ bên. Hàm s
( )
y fx=
có th là hàm s nào dưới đây?
A.
x
ye
=
. B.
logyx=
. C.
lnyx=
. D.
x
ye=
.
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 45
Sưu tm và biên son
Câu 35: Cho các đ th hàm s
, log ,
xc
b
y a y xy x
hình v sau đây.
Khng định nào sau đây đúng?
A.
01 .c ab
B.
0 1.
cab
C.
0 1.c ab

D.
0 1.cab
Câu 36: Đồ thị của hàm số sau là đồ thị của hàm số nào?
A.
2
yx=
. B.
3
x
y =
. C.
3
logyx=
. D.
2
x
y =
.
Câu 37: Hình bên là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số sau đây?
A.
(
)
0, 4
x
. B.
( )
2
x
y
=
. C.
2
logyx=
. D.
0,4
logyx=
.
Câu 38: Đồ th hình bên dưới là đồ th ca hàm s nào?
A.
2
x
y =
. B.
1
2
x
y

=


. C.
1
3
x
y

=


. D.
3
x
y =
.
x
y
3
O
1
O
x
y
1
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 46
Sưu tm và biên son
Câu 39: Cho các hàm s
,=
x
ya
log ,=
b
yx
log=
c
yx
có đ th như hình vẽ bên. Chn khng đnh đúng?
A.
>>bca
. B.
>>bac
. C.
>>
abc
D.
>>
cba
.
Câu 40: Đồ th sau là đồ th ca hàm s nào?
A.
2
log 1.yx= +
B.
( )
2
log 1 .yx= +
C.
3
log .yx=
D.
( )
3
log 1 .yx= +
Câu 41: Cho các hàm s
log
a
yx=
,
log
b
yx=
,
log
c
yx=
có đ th như
hình v dưới đây. Chọn mệnh đề đúng.
A.
acb
>>
. B.
abc>>
. C.
cab
>>
. D.
bca
>>
.
Câu 42: Cho đồ th hàm s
x
ya=
;
x
yb
=
;
log
c
yx=
như hình vẽ. Tìm mi liên h ca
,,abc
.
A.
cba<<
. B.
bac<<
.
C.
abc<<
. D.
cab<<
.
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 47
Sưu tm và biên son
Câu 43: Đường cong trong hình dưới đây là đồ th ca hàm s nào trong bn hàm s sau?
A.
2
logyx=
. B.
2
2
logyx=
. C.
2
log 2yx=
. D.
1
2
logyx=
.
Câu 44: Cho
a
,
b
,
c
là ba s thực dương khác
1
. Đ th hàm s
x
ya=
,
x
yb=
,
x
yc
=
đưc cho hình
v dưới đây. Mệnh nào nào sau đây đúng?
A.
abc
<<
. B.
bca<<
. C.
cab<<
. D.
acb<<
.
Câu 45: Trong hình v dưới đây có đồ th ca các hàm s
, , log
xx
c
y ay by x= = =
.
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
abc<<
.
B.
abc<=
.
C.
bca<<
.
D.
a cb<<
.
x
y
1
-1
1
2
O
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 48
Sưu tm và biên son
Câu 46: Cho đồ th hàm s
x
ya=
;
x
yb=
;
log
c
yx=
như hình vẽ. Tìm mi liên h ca
,a
,b
c
.
A.
cba<<
. B.
bac<<
. C.
abc<<
. D.
cab<<
.
Câu 47: Cho hàm s
log
a
yx=
(
)
0, 1
aa
>≠
có đồ th như hình vẽ.
Giá tr ca
a
bng
A.
2a =
. B.
1
2
a =
. C.
1
2
a =
. D.
2a =
.
Câu 48: Cho
,ab
là các s thực dương khác
1
, đưng thng
d
song song trc hoành ct trục tung, đồ th
hàm s
x
ya
=
, đồ th hàm s
x
yb
=
lần lượt ti
H
,
M
,
N
. Biết
3HM MN=
. Mệnh đề nào
sau đây đúng?
A.
43ab=
. B.
43
ba=
. C.
34
ba=
. D.
34ab=
.
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 49
Sưu tm và biên son
Câu 49: Cho số thực dương
a
khác
1
. Biết rng bất đường thng nào song song vi trc
mà ct
các đ th
4,
xx
y ya
= =
, trc tung lần lượt ti
,
MN
A
thì
2AN AM=
. Giá trị ca
a
bng
A.
1
3
. B.
2
2
. C.
1
4
. D.
1
2
.
Câu 50: Biết đ th hàm s
( )
y fx=
đối xng vi đ th hàm s
(
)
0, 1
x
ya a a
= >≠
qua điểm
( )
1;1I
.
Giá tr ca biu thc
1
2 log
2022
a
f

+


bng
A.
2022
. B.
2021
. C.
2022
. D.
2020
.
Câu 51: Cho các hàm s
x
ya=
x
yb=
vi
,
ab
là nhng s thực dương khác 1, đồ th như hình
v. Đưng thng
3y =
ct trục tung, đồ th hàm s
x
ya=
x
yb=
lần lượt ti
,,HMN
. Biết
rng
23HM MN=
, khẳng định nào sau đây đúng?
A.
53
ab=
B.
35
ab=
C.
23
ab=
D.
35
ab=
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 50
Sưu tm và biên son
DNG 4: BÀI TOÁN LÃI SUT
Câu 52: Một ngưi gi 100 triu đng vào mt ngân hàng vi lãi sut
6%
/ năm. Biết rng nếu không rút
tin ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mi năm s tin lãi s được nhp vào gc đ tính lãi cho năm
tiếp theo. Hi ít nhất bao nhiêu năm người đó nhận đưc s tin nhiều hơn 300 triệu bao gm c
gc lẫn lãi?.
A.
20
năm. B.
18
năm. C.
21
năm. D.
19
năm.
Câu 53: Ông
A
gi
100
triu vào ngân hàng theo hình thức lãi kép trong một thời gian khá lâu với lãi
sut ổn định trong sut thi gian tiết kim là
10%
/1 năm. Tết năm nay do dịch bệnh nên ông rút
hết tin trong ngân ng ra đ gia đình chi tiêu. Sau khi rút cả vn ln lãi, ông trích ra 10 triu để
sm sa đ Tết thì ông còn 240 triệu. Hỏi ông đã gửi tiết kiệm trong bao nhiêu năm?
A.
9
năm. B.
20
năm. C.
12
năm. D.
10
năm.
Câu 54: Ông Nguyễn Văn B thương binh hạng
4/4
, được hưng tr cp hàng tháng là
2082000
đồng.
Do tình hình dch bnh Covid-19 din biến phc tp nên t tháng 4 năm 2021 ông không đi lĩnh
tin mà nh th qu lp mt s tiết kim ngân hàng để gi s tiền hàng tháng vào đó với lãi
sut
0,5% /
tháng. Hi đến đầu tháng 4 năm 2022 ông đến ngân hàng nhận được s tin là bao
nhiêu?
A.
25 811054
đồng. B.
2 210 413
đồng. C.
25 682 641
đồng. D.
27 893 054
đồng.
Câu 55: Ông Nguyễn Văn B thương binh hạng
4/4
, được hưng tr cp hàng tháng là
2082000
đồng.
Do tình hình dch bnh Covid-19 din biến phc tp nên t tháng 4 năm 2021 ông không đi lĩnh
tin mà nh th qu lp mt s tiết kim ngân hàng để gi s tin hàng tháng vào đó với lãi
sut
0,5% /
tháng. Hi đến đầu tháng 4 năm 2022 ông đến ngân hàng nhận được s tin là bao
nhiêu?
A.
25 811054
đồng. B.
2 210 413
đồng. C.
25 682 641
đồng. D.
27 893 054
đồng.
Câu 56: Đầu mi tháng, anh Hiếu gi tiết kiệm ngân hàng số tin 10 triệu đồng vi hình thức lãi kép, lãi
sut là 0,5%/ tháng. Hỏi sau đúng 5 năm thì anh Hiếu nhận được s tin c gc lãi gn nht
vi s tiền nào dưới đây, gi s rng trong sut quá trình gi, anh Hiếu không rút tiền ra lãi
sut của ngân hàng không thay đổi.
A.
60
600 10.1,005+
. B.
60
1,005 1
10.1,005.
0,005
.
C.
60
10.1,005
. D.
60
1,005 1
10.
0,005
.
Câu 57: Gia đình nhà bác Long Thắm gi s tin 100 triệu đồng vào ngân hàng với lãi sut
7%
/năm.
Biết rng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm, số tin lãi s được nhp vào
vốn ban đầu. Sau 10 năm, nếu không rút lãi lần nào thì s tin nhà bác Long Thm nhn đưc
gm c gc lẫn lãi tính theo công thức nào dưới đây?
A.
( )
9
8
10 . 1 0,07+
. B.
( )
10
8
10 1 0,7+
. C.
( )
10
8
10 . 1 0,07+
. D.
8 10
10 .0,07
.
Câu 58: c Minh gi
60
triu vào nn hàng kì hn 1 năm vi lãi sut
5, 6%
/năm. Biết rng nếu không
rút tin ra khi ngân hàng thì c sau mi năm s tin lãi s nhp vào gc đ tính lãi cho năm tiếp
theo. Hi sau ít nht bao nhiêu năm bác Minh nhận được s tin nhiều hơn
120
triệu đồng bao
gm c gc và lãi?
A.
11
năm. B.
12
năm. C.
13
năm. D.
14
năm.
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 51
Sưu tm và biên son
Câu 59: Một học sinh A khi đủ 18 tuổi được cha m cho
200000000
VNĐ. S tiền này được bo qun
trong ngân hàng MSB vi kì hn thanh toán 1 năm và hc sinh A ch nhận được s tin này khi
học xong 4 năm đại hc. Biết rằng khi đủ 22 tui, s tin mà hc sinh A đưc nhn s
243 101 250
VNĐ. Vậy lãi suất kì hn một năm của ngân hàng MSB là bao nhiêu?
A.
8%
. B.
7%
. C.
6%
D.
5%
.
Câu 60: Một người gửi số tiền
3
triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất
0,55% /
tháng. Biết rằng nếu
người đó không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi tháng, số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn
ban đầu. Số tiền người đó lãnh được sau hai năm, nếu trong khoảng thời gian này không rút tiền
ra và lãi suất không đổi là:
A.
( )
2
3. 1.0055
triệu đồng. B.
(
)
24
3. 1,0055
triệu đồng.
C.
( )
24
3. 1,055
triệu đồng. D.
( )
24
3,0055
triệu đồng.
Câu 61: o ny
15
hàng tháng, ông An đều đến gi tiết kim ti ngân hàng vi s tin
5
triệu đồng
theo hình thc lãi kép vi lãi suất không đổi trong sut quá trình gi là
0,6% /
tháng. Hi sau
đúng ba năm, ông An thu được s tin c gc lẫn lãi là bao nhiêu?
A.
195251000
. B.
195252000
. C.
201450000
. D.
201453000
.
Câu 62: Một người gi s tin
100
triệu đồng vào ngân hàng với lãi sut
0
0
7
/ năm. Biết rng nếu không
rút tin ra khi ngân hàng thì c sau mi năm s tin lãi s được nhp vào vốn để tính lãi cho
năm tiếp theo. Hi sau ít nhất bao nhiêu năm người đó lĩnh được s tin nhiều hơn
200
triu
đồng, nếu trong khong thời gian này người đó không rút tin ra và lãi suất không đổi?
A.
11
năm. B.
12
năm. C.
10
năm. D.
9
năm.
Câu 63: V chng nhà ch Thơm vay ngân hàng 400 triệu đồng để mua nhà vi hình thc tr góp, ch
chn gói lãi sut ưu đãi c định
0,5%
tháng trong 12 tháng đầu và sang tháng th 13 tr đi thì
ngân hàng tính lãi suất th ni theo quy định. Gia đình chị hoàn n cho nn hàng theoch: sau
đúng một tháng k t ngà y vay thì bt
đầu
hoàn n; hai ln hoàn n liên tiếp cách nhau đúng một
tháng, s tin hoàn n mi tháng là 15 triệu đồng. Sau khi hết 12 tháng ưu đãi tchị Thơm
phi tr lãi sut th nổi là 1%tháng. Biết rng mỗi tháng ngân hàng chỉ tính lãi trên s n thc
tế ca tháng đó và lãi sut th ni của ngân hàng không thay đổi trong thi gian ch Thơm hoàn
n. Hi ch Thơm cần bao nhiêu tháng để tr hết n ngân hàng kể t khi vay?
A.
17
tháng. B.
29
tháng. C.
30
tháng. D.
18
tháng.
Câu 64: Bạn Bình được gia đình gi vào s tiết kim 200 triệu đồng vi lãi sut 0,45% mt tháng theo
hình thc lãi kép. Nếu mỗi tháng Bình rút ra một s tiền như nhau vào ngày ngân hàng trả lãi thì
hàng tháng Bình rút ra số tin gn nht vi s nào sau đây để đúng 4 năm va hết s tin trong
s tiết kim?
A.
4620000
. B.
4529000
. C.
4756000
. D.
4642000
.
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 1
Sưu tm và biên son
BÀI 20: HÀM S M S LOGARIT
DNG 1: TP XÁC ĐỊNH
Câu 1: Tập xác định ca hàm s
3
log 2yx
=
A.
( )
;0−∞
. B.
( )
0; +∞
. C.
. D.
( )
1; +∞
.
Li gii
Hàm s
3
log 2
yx=
xác đnh khi
20 0xx>⇔>
.
Câu 2: Tập xác định ca hàm s
8=
x
y
A.
. B.
[
)
0;+∞
. C.
(
)
0;+∞
. D.
{ }
\0
.
Li gii
Hàm s
8=
x
y
có tập xác định
Câu 3: Tập xác định ca hàm s
( )
3
x
y =
A.
. B.
[
)
0;
+∞
. C.
\ {0}
. D.
( )
0;+∞
.
Li gii
Tập xác định hàm s
( )
3
x
y =
.
Câu 4: Tập xác định ca hàm s
( )
0,5
log 1yx= +
là:
A.
( )
1;D = +∞
. B.
{ }
\1D =
. C.
( )
0;D = +∞
. D.
( )
;1D = −∞
.
Li gii
Hàm s
( )
0,5
log 1x +
xác đnh khi và ch khi
10 1xx+ > >−
.
Vy tập xác định ca hàm s là:
( )
1;D = +∞
.
Câu 5: Tập xác định ca hàm s
lnyx=
A.
( )
0; +∞
. B.
. C.
[
)
0;+∞
. D.
{ }
\0
.
Li gii
Hàm s
lnyx=
có tập xác định là
( )
0;D = +∞
.
CHƯƠNG
VI
HÀM S
M S LOGARIT
H THNG BÀI TP TRC NGHIM.
III
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 2
Sưu tm và biên son
Câu 6: Tập xác định ca hàm s
log( 1)yx
=
A.
[ 1; )
+∞
. B.
(1; )+∞
. C.
[1; )+∞
. D.
( 1; ) +∞
.
Li gii
Hàm s xác đnh
10 1xx −> >
.
Câu 7: Tập xác định
D
ca hàm s
( )
ln 1yx=
A.
\ {1}D =
. B.
D
=
. C.
( ;1)D = −∞
. D.
(1; )D = +∞
.
Li gii
Hàm s xác đnh
10 1
xx
⇔− > <
.
Câu 8: Tập xác định ca hàm s
( )
2
log 2yx
=
là:
A.
( )
2; +∞
. B.
)
2;
+∞
. C.
( )
;2
−∞
. D.
.
Li gii
Điu kin:
20 2xx−>>
Vy tập xác định ca hàm s
( )
2
log 2yx=
( )
2; +∞
.
Câu 9: Tìm tập xác định ca hàm s
(
)
3
log 3yx
= +
.
A.
( )
3;D = +∞
. B.
[
)
3;D = +∞
. C.
( )
0;D = +∞
. D.
{ }
\3D =
.
Li gii
Hàm s xác đnh khi và ch khi
3 0 3.xx+ > >−
Vy TXĐ ca hàm s
(
)
3;D = +∞
.
Câu 10: Tập xác định
D
ca hàm s
4
log
=yx
A.
( )
0;= +∞
D
. B.
( )
;0= −∞D
. C.
= D
. D.
{ }
\0= D
.
Li gii
Điu kiện xác định
4
00>⇔x
x
.
Vy tập xác định ca hàm s là
{ }
\0=
D
.
Câu 11: Tập xác định ca hàm s
( )
2
2
log 1yx=
A.
( )
1; +∞
. B.
{ }
\1
. C.
. D.
(
)
1;+∞
.
Li gii
Điu kin xác đnh:
( )
2
10 1xx >⇔
.
Vy tập xác định ca hàm s đã cho là
{ }
\1= D
.
Câu 12: Có bao nhiêu s nguyên thuc tập xác định ca hàm s
( )
2
ln 15yx=
?
A.
7
. B.
6
. C.
5
. D.
8
.
Li gii
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 3
Sưu tm và biên son
ĐKXĐ:
2
15 0 15 15xx > ⇔− < <
. Do
{ }
3;2;1;0xx =±±±
.
Câu 13: Tập xác định ca hàm s
( )
2
log 3yx=
A.
( )
;
−∞ +∞
. B.
( )
3; +∞
. C.
(
]
;3−∞
. D.
( )
;3−∞
.
Li gii
A.
{ }
\2
. B.
( )
0; +∞
. C.
( ) { }
0; \ 2+∞
. D.
( ) { }
0; \ 1+∞
.
Câu 14: Tập xác định ca hàm s
( )
ln 2 9yx x= −+
A.
[
)
9; +
. B.
[ ]
2;9
. C.
( )
2;9
. D.
(
]
2;9
.
Li gii
Ta có điều kiện xác định ca hàm s
(
]
20
2;9
90
x
x
x
−>
⇔∈
−≥
.
Câu 15: Tập xác định ca hàm s
( )
2
ln 1x
là:
A.
{ }
\1D =
. B.
( )
1;D = +∞
. C.
. D.
[
)
1;D = +∞
Li gii
Điu kin hàm s có nghĩa là
(
)
2
10 1
xx >⇔
.
Vy tập xác định ca hàm s là:
{ }
\1D =
.
Câu 16: Tìm tt c các giá tr thc ca tham s
m
để hàm s
( )
2
3
log 4 1
y x xm= −+
xác đnh vi mi
x
.
A.
3m <−
. B.
3m >
. C.
3m >−
. D.
3
m <
.
Li gii
Hàm s
( )
2
3
log 4 1y x xm= −+
xác đnh vi mi
x
2
4 1,x xm x + ∀∈
0 10
3
'0 4 10
a
m
m










Câu 17: Tập xác định ca hàm s
2
1
log 1
y
x
=
A.
{
}
\2
R
. B.
( )
0; +∞
. C.
( ) { }
0; \ 2+∞
. D.
( ) { }
0; \ 1+∞
.
Li gii
Tập xác định ca hàm s
( ) { }
2
0
0
0; \ 1
log 0
1
x
x
x
x
x
>
>
+∞

Câu 18: tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số
m
để hàm số
( )
2
2
log 2 2022y xx m= −+
có tập xác định là
?
A.
2022
. B.
2021
. C.
2020
. D.
2019
.
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 4
Sưu tm và biên son
Lời giải
Điều kiện xác định:
2
2 2022 0xx m + −>
.
Hàm số
(
)
2
2
log 2 2022
y xx m= −+
có tập xác định là
khi và chỉ khi
2
2 2022 0,xx m x + > ∀∈
( )
'
1 2022 0m⇔∆ = <
2021.m⇔<
Vy có
2020
giá tr ca
m
thỏa mãn bài toán.
DNG 2: S BIN THIÊN
Câu 19: Trong bn hàm s sau, hàm s nào nghch biến trên
?
A.
2022
x
y =
. B.
2022
2021
x
y

=


. C.
2022
logyx=
. D.
2021
2022
x
y

=


.
Li gii
Hàm s
x
ya=
nghch biến trên
khi
01a<<
.
Câu 20: Hàm s nào sau đây đồng biến trên
?
A.
2
5
x
y

=


. B.
1
3
x
y

=


. C.
2005
x
y =
. D.
2022y =
.
Lời giải
Ta có
2005
x
y =
2005 1>
nên hàm s đồng biến trên
.
Câu 21: Hàm s nào sau đây luôn đồng biến trên tập xác định.
A.
0.3=
x
y
. B.
1
3
log=yx
. C.
3
2
y log x=
. D.
2
3

=


x
y
.
Li gii
Ta có
3
1
2
>
suy ra hàm s
3
2
y log .
x=
đồng biến trên tập xác định ca nó.
Câu 22: Hàm s nào sau đây đồng biến trên
?
A.
( )
2 2.
x
y =
B.
( )
31
x
y =
. C.
3
x
y
π

=


. D.
4
x
e



.
Li gii
Xét hàm s
3
x
y
π

=


vi
1
3
a
π
= >
nên hàm s
3
x
y
π

=


đồng biến trên
.
Câu 23: Hàm số nào trong các hàm số sau đây nghịch biến trên
?
A.
5
logyx=
. B.
5
x
y =
. C.
( )
0,5
x
y =
. D.
0,5
logyx=
.
Lời giải
Hàm số
( )
0,5
x
y =
nghịch biến trên
0 0,5 1<<
.
Câu 24: Hàm s nào sau đây nghịch biến trên
?
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 5
Sưu tm và biên son
A.
4
π

=


x
y
. B.
=
x
ye
. C.
2022=
x
y
. D.
2=
x
y
.
Li gii
Hàm s
=
x
ya
đồng biến trên
khi
1
>
a
, nghch biến trên
khi
01
<<
a
.
Câu 25: Trong các hàm s dưới đây, hàm số nào nghch biến trên
?
A.
( )
52
x
y =
. B.
x
y
π
=
. C.
2021
x
y =
. D.
x
e
.
Li gii
Ta có
0 521< −<
nên hàm s
( )
52
x
y =
nghch biến trên
.
Câu 26: Hàm s nào sau đây nghịch biến trên tập xác định ca nó.
A.
3
log .
=
yx
B.
2
log .=yx
C.
log .
e
yx=
π
D.
log .
π
=yx
Lời giải
Hàm s logarit
log
e
yx=
π
vi cơ s
,0 1
e
aa= <<
π
là hàm s nghch biến trên tp xác đnh, các
hàm s logarit
3
log ,yx=
2
logyx=
logyx=
π
có cơ số lớn hơn 1 là các hàm số đồng biến
trên tập xác định của nó.
Câu 27: Hàm s nào đồng biến trên toàn tập xác định ca nó?
A.
2
logyx=
. B.
(
)
22
x
y
=
. C.
1
2
logyx=
. D.
x
e
y
π

=


.
Lời giải
Hàm số
2
logyx=
có cơ số
21
a = >
nên đồng biến trên tập xác định ca nó là
(
)
0; +∞
.
Hàm số
( )
1
22
22
x
x
y

= =


có cơ s
1
01
22
a<= <
nên nghch biến trên tp xác đnh ca
nó là
.
Hàm số
1
2
logyx=
có cơ số
1
01
2
a
<=<
nên nghch biến trên tập xác định ca nó là
( )
0; +∞
.
Hàm số
x
e
y
π

=


có cơ số
01
e
a
π
<= <
nên nghch biến trên tập xác định ca nó là
.
Câu 28: Hàm số nào trong các hàm số sau đây đồng biến trên
( )
0; +∞
A.
( )
21
x
y =
. B.
9
logyx=
. C.
( )
0,6
x
y =
. D.
0.7
log x
.
Lời giải
Ta có
9
logyx=
đồng biến trên
(
)
0; +∞
, vì cơ số
91a = >
.
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 6
Sưu tm và biên son
Câu 29: Cho hàm s
( )
6
x
ya=
vi a là tham s. Có bao nhiêu s t nhiên a để hàm s đã cho đồng
biến trên
?
A.
3
. B.
6
. C.
5
. D.
4
.
Li gii
Hàm s
( )
6
x
ya
=
đồng biến trên
61 5aa >⇔ <
{
}
0;1; 2;3;4aa
⇒∈
Vy có
5
giá tr ca
a
tha mãn.
DẠNG 3: ĐỒ TH
Câu 30: Đồ th sau là đồ th ca hàm s nào?
A.
2
log 1yx= +
. B.
2
log ( 1)yx= +
. C.
3
logyx=
. D.
3
log ( 1)x +
.
Li gii
Đồ th hàm s đi qua
(2;1)
, chn hàm s
3
log ( 1)yx= +
.
Câu 31: Đồ th hình bên dưới là đồ th ca hàm s nào?
A.
2
x
y =
. B.
1
2
x
y

=


. C.
1
3
x
y

=


. D.
3
x
y =
.
Li gii
Đồ th hàm s “đi lên” và qua điểm có ta đ
( )
1;3
.
Câu 32: Đồ th sau đây là đồ th ca mt trong bn hàm s cho các phương án A, B, C, D. Hi
đó là hàm số nào?
x
y
3
O
1
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 7
Sưu tm và biên son
A.
2
logyx=
. B.
1
2
x
y =
. C.
1
2
logyx=
. D.
2
x
y =
.
Lời giải
Câu 33: Đưng cong trong hình bên là ca đ th hàm s nào sau đây?
A.
2
logyx=
. B.
( )
0,8
x
y =
. C.
0,4
logyx=
. D.
( )
2
x
y =
.
Lời giải
Dựa vào đồ thị, ta có hàm số có tập xác định
và hàm s nghch biến suy ra
( )
0,8
x
y =
.
Câu 34: Cho đồ th hàm s
( )
y fx=
như hình vẽ bên. Hàm s
( )
y fx=
có th là hàm s nào dưới đây?
A.
x
ye
=
. B.
logyx=
. C.
lnyx=
. D.
x
ye=
.
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 8
Sưu tm và biên son
Li gii
Nhn xét hàm s
(
)
y fx
=
có min giá tr
nên ta loại phương án
,AD
Mặt khác quan sát đò thị hàm s
( )
y fx=
( )
0fx
>
nên
logyx=
.
Câu 35: Cho các đồ th hàm s
, log ,
xc
b
y a y xy x
hình v sau đây.
Khng định nào sau đây đúng?
A.
01 .c ab
B.
0 1.cab 
C.
0 1.
c ab
D.
0 1.
cab
Li gii
Ta thy đ th
c
yx
đi xuống nên
0
c
, đồ th
x
ya
đi xuống nên
01a
, đồ th
log
b
yx
đi lên nên
1.b
Câu 36: Đồ thị của hàm số sau là đồ thị của hàm số nào?
A.
2
yx=
. B.
3
x
y
=
. C.
3
logyx=
. D.
2
x
y =
.
Lời giải
Nhận thấy đồ thị hàm số đi qua hai điểm
( )
0;1
( )
2;4
, đối chiếu với các hàm số ta chọn hàm
số
2
x
y =
.
Câu 37: Hình bên là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số sau đây?
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 9
Sưu tm và biên son
A.
( )
0, 4
x
. B.
( )
2
x
y =
. C.
2
logyx=
. D.
0,4
log
yx
=
.
Li gii
Hình bên là đồ thị của hàm mũ có cơ số
:0 1aa<<
.
Câu 38: Đồ th hình bên dưới là đồ th ca hàm s nào?
A.
2
x
y =
. B.
1
2
x
y

=


. C.
1
3
x
y

=


. D.
3
x
y =
.
Li gii
Đồ th hàm s “đi lên” và qua điểm có ta đ
( )
1;3
.
Câu 39: Cho các hàm s
,=
x
ya
log ,=
b
yx
log=
c
yx
có đ th như hình vẽ bên. Chn khng đnh đúng?
A.
>>bca
. B.
>>bac
. C.
>>abc
D.
>>cba
.
Li gii
Hàm
=
x
ya
nghch biến nên
01<<a
.
x
y
3
O
1
O
x
y
1
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 10
Sưu tm và biên son
Hàm
log ,=
b
yx
log=
c
yx
đồng biến nên
,1
>
bc
Đưng thng
1y
=
ct ĐTHS
log
c
yx=
,
log
b
yx=
ti các điểm hoành độ lần lượt là
c
b
. Ta thy
bc<
.
Câu 40: Đồ th sau là đồ th ca hàm s nào?
A.
2
log 1.yx= +
B.
( )
2
log 1 .yx= +
C.
3
log .
yx=
D.
( )
3
log 1 .yx= +
Li gii
Dựa vào đồ th, ta thy
Hàm s xác đnh trên khong
( )
1; +∞
loại A và C
Đồ th hàm s đi qua điểm
( )
2;1
Chn D
Câu 41: Cho các hàm s
log
a
yx=
,
log
b
yx=
,
log
c
yx=
đ th như hình vẽ dưới đây. Chn mnh
đề đúng.
A.
acb>>
. B.
abc>>
. C.
cab>>
. D.
bca>>
.
Li gii
Da vào đ th ta có hàm s
log
b
yx=
là mt hàm s nghch biến trên tp xác đnh ca nó nên
01b<<
; hàm s
log
a
yx=
,
log
c
yx=
là các hàm s đồng biến trên tp xác đnh ca nó nên
,1ac>
.
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 11
Sưu tm và biên son
Kẻ đường thng
1y
=
ct đ th hàm s
log
c
yx=
,
log
a
yx=
lần lượt tại điểm
(
)
;1Ac
( )
;1Ba
.
Dựa vào đồ th ta thy
AB
x x ca< ⇔<
.
Vy
acb>>
.
Câu 42: Cho đồ th hàm s
x
ya=
;
x
yb=
;
log
c
yx=
như hình vẽ. Tìm mi liên h ca
,a
,
b
c
.
A.
cba<<
. B.
bac<<
. C.
abc<<
. D.
cab
<<
.
Li gii
Nhìn đồ th ta thy hàm s
x
ya=
là hàm s đồng biến nên
1
a >
;
x
yb=
là hàm s đồng biến
nên
1b >
;
log
c
yx=
là hàm s nghch biến nên
01c<<
do vy ta có
0
0
ca
cb
<<
<<
Khi thay
1x =
vào hai hàm s
;
xx
y ayb= =
ta thu được
ab>
vy
.cba<<
Câu 43: Đường cong trong hình dưới đây là đồ th ca hàm s nào trong bn hàm s sau?
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 12
Sưu tm và biên son
A.
2
logyx=
. B.
2
2
logyx=
. C.
2
log 2yx=
. D.
1
2
logyx=
.
Li gii
Da vào hình dng đ th, loại đáp án
D
.
Do đồ th hàm s đi qua điểm
( )
1; 0
nên loại đáp án
C
.
Do đồ th hàm s đi qua điểm
1
;1
2



nên loại đáp án
B
.
Câu 44: Cho
a
,
b
,
c
là ba s thực dương khác
1
. Đ th hàm s
x
ya=
,
x
yb=
,
x
yc
=
đưc cho hình
v dưới đây. Mệnh nào nào sau đây đúng?
A.
abc<<
. B.
bca<<
. C.
cab<<
. D.
acb<<
.
Lời giải
Dựa vào đồ thị, dễ thấy
01
,1
a
bc
<<
>
.
Đường thẳng
1
x =
cắt hai đồ thị
x
yb=
,
x
yc=
lần lượt tại
b
,
c
và ta thấy
bc>
.
Vậy
acb<<
.
Câu 45: Trong hình v dưới đây có đồ th ca các hàm s
, , log
xx
c
y ay by x= = =
.
x
y
1
-1
1
2
O
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 13
Sưu tm và biên son
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
abc<<
.
B.
abc<=
.
C.
bca<<
.
D.
a cb<<
.
Li gii
- Hàm s
x
ya=
nghch biến trên
nên
01
a<<
.
- Các hàm s
, log
x
c
yby x= =
đồng biến biến trên tp xác định ca nó nên
,1bc>
.
Suy ra
0 ,1a bc<< <
- Xét đ th hàm s
log
c
yx=
, ta có
log 2 1 2
c
c>⇔<
.
- Xét đ th hàm s
x
yb=
, ta có
1
22bb>⇔>
.
Do đó:
0 acb<<<
.
Câu 46: Cho đồ th hàm s
x
ya=
;
x
yb=
;
log
c
yx=
như hình vẽ. Tìm mi liên h ca
,a
,b
c
.
A.
cba<<
. B.
bac<<
. C.
abc<<
. D.
cab<<
.
Li gii
Nhìn đồ th ta thy hàm s
x
ya=
là hàm s đồng biến nên
1a >
;
x
yb=
là hàm s đồng biến
nên
1b >
;
log
c
yx=
là hàm s nghch biến nên
01c<<
do vy ta có
0
0
ca
cb
<<
<<
Khi thay
1x =
vào hai hàm s
;
xx
y ayb= =
ta thu được
ab>
vy
.cba<<
Câu 47: Cho hàm s
log
a
yx=
( )
0, 1aa>≠
có đồ th như hình vẽ.
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 14
Sưu tm và biên son
Giá tr ca
a
bng
A.
2
a =
. B.
1
2
a =
. C.
1
2
a
=
. D.
2a =
.
Li gii
Đồ th hàm s
log
a
yx=
đi qua điểm
(
)
2; 1
nên
log 2 1
a
=
.
Khi đó
1
11
22
2
aa
a
= =⇔=
.
Câu 48: Cho
,ab
là các s thực dương khác
1
, đưng thng
d
song song trc hoành ct trục tung, đồ th
hàm s
x
ya=
, đồ th hàm s
x
yb
=
lần lượt ti
H
,
M
,
N
. Biết
3HM MN
=
. Mệnh đề nào
sau đây đúng?
A.
43ab=
. B.
43
ba=
. C.
34
ba=
. D.
34ab=
.
Li gii
Đưng thng
d
cắt đồ th hàm s
x
ya=
tại điểm
( )
;
MM
Mx y
M
x
M
ya⇒=
.
Đưng thng
d
cắt đồ th hàm s
x
yb=
tại điểm
( )
;
NN
Nx y
N
x
N
yb⇒=
.
MN
yy=
N
M
x
x
ab
⇒=
.
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 15
Sưu tm và biên son
Ta có:
3HM MN=
3
4
HM HN⇒=
3
4
MN
xx
⇒=
3
4
N
N
x
x
ab⇒=
3
4
ab⇔=
34
ab⇔=
.
Câu 49: Cho số thực dương
a
khác
1
. Biết rng bất đường thng nào song song vi trc
mà ct
các đ th
4,
xx
y ya
= =
, trc tung lần lượt ti
,
MN
A
thì
2AN AM=
. Giá trị ca
a
bng
A.
1
3
. B.
2
2
. C.
1
4
. D.
1
2
.
Lời giải
Giả sử:
( ) ( ) ( )
4
0; , log ; , log ;
a
A t N tt M tt
. Thì:
4
log , log
a
AN t AM t
=−=
.
Theo giả thiết:
1
42
1
2 log 2log log log
2
a
a
AN AM t t t t a
= ⇒− = = =
Câu 50: Biết đ th hàm s
( )
y fx=
đối xng vi đ th hàm s
( )
0, 1
x
ya a a= >≠
qua điểm
( )
1;1I
.
Giá tr ca biu thc
1
2 log
2022
a
f

+


bng
A.
2022
. B.
2021
. C.
2022
. D.
2020
.
Li gii
Đồ th đối xng với đồ th hàm s
( )
1
x
ya C=
là đồ thị hàm số
( )
2
log
a
y xC=
.
Gọi
( ) ( ) ( ) ( )
12
;;
AA BB
Axy C Bxy C∈⇒
là điểm đối xng với điểm
A
qua điểm
( )
1;1I
.
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 16
Sưu tm và biên son
Ta có
( )
( )
1
21
2
22
1
2
AB
AB
AB
AB
xx
xx
yy
yy
+
=
+=


+
+=
=
.
Vi
1
2 log 2 log 1 log 2022 2 log 2022
2022
B a aa a
x
=+ =+− =
.
T ta có
2 log 2022
AB A a
xx x+==
. Suy ra
log 2022
2022
a
A
ya= =
.
T ta có
2 2 2022 2020
AB B
yy y+== =
.
Vy
( )
1
2 log 2020
2022
Ba B
y f fx

=+==


.
Câu 51: Cho các hàm s
x
ya
=
x
yb=
vi
,ab
là nhng s thực dương khác 1, đồ th như hình
v. Đưng thng
3
y =
ct trục tung, đồ th hàm s
x
ya=
x
yb=
lần lượt ti
,,
HMN
. Biết
rng
23
HM MN=
, khẳng định nào sau đây đúng?
A.
53
ab=
B.
35ab
=
C.
23
ab=
D.
35
ab
=
Li gii
3
23
5
HM MN HM HN= ⇒=
.
Gọi
( )
11
;3 log 3
x
a
Mx y a x∈= =
.
(
)
12
;3 log 3
x
b
Nx y b x
∈= =
.
Khi đó
5
35
3
33
33
3 3 13 5
log 3 log 3 log log
5 5 log 5log 3
ab
HM HN a b a b a b
ab
= = = = ⇔= =
.
DNG 4: BÀI TOÁN LÃI SUT
Câu 52: Mt ngưi gi 100 triu đng vào mt ngân hàng vi lãi sut
6%
/ năm. Biết rng nếu không rút
tin ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mi năm s tin lãi s được nhp vào gc đ tính lãi cho năm
tiếp theo. Hi ít nhất bao nhiêu năm người đó nhn đưc s tin nhiều hơn 300 triệu bao gm c
gc lẫn lãi?.
A.
20
năm. B.
18
năm. C.
21
năm. D.
19
năm.
Li gii
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 17
Sưu tm và biên son
Áp dụng công thức lãi kép thì sau
n
năm, số tiền người gi nhn được là
8
10 .1,06
n
A =
.
Để nhận được s tiền hơn 300 triệu thì
88 8
1,06
3.10 10 .1,06 3.10 1,06 3 log 3 18,85
nn
An>⇔ >⇔>>
.
Vy ít nhất sau 18 năm thì người đó nhận được s tin nhiều hơn 300 triệu.
Câu 53: Ông
A
gi
100
triu vào ngân hàng theo hình thức lãi kép trong một thời gian khá lâu với lãi
sut ổn định trong sut thi gian tiết kim là
10%
/1 năm. Tết năm nay do dịch bệnh nên ông rút
hết tin trong nnng ra đ gia đình chi tiêu. Sau khi rút cả vn ln lãi, ông trích ra 10 triu để
sm sa đ Tết thì ông còn 240 triệu. Hỏi ông đã gửi tiết kiệm trong bao nhiêu năm?
A.
9
năm. B.
20
năm. C.
12
năm. D.
10
năm.
Li gii
Gi s ông
A
đã gửi tiết kim trong
n
năm.
Số tiền ông đã nhận được là 250 triu.
Theo công thức lãi sut kép, ta có
( )
66
1,1
250.10 100.10 1 0,1 log 2,5 9,61
n
nn= + ⇔= ⇔≈
Vậy, ông
A
đã gửi tiết kiệm trong 10 năm.
Câu 54: Ông Nguyễn Văn B thương binh hạng
4/4
, được hưng tr cp hàng tháng là
2082000
đồng.
Do tình hình dch bnh Covid-19 din biến phc tp nên t tháng 4 năm 2021 ông không đi lĩnh
tin mà nh th quỹ lp mt s tiết kim ngân hàng để gi s tiền hàng tháng vào đó với lãi
sut
0,5% /
tháng. Hi đến đầu tháng 4 năm 2022 ông đến ngân hàng nhận được s tin là bao
nhiêu?
A.
25 811054
đồng. B.
2 210 413
đồng. C.
25 682 641
đồng. D.
27 893 054
đồng.
Li gii
Ta có
( )
( )
( )
12
1 1 1 0,5% 1
(1 ). 2 082 000 1 0,5% . 25811054,06
0,5%
n
r
TA r
r
+− +
= + −= + =
là s
tiền ông B sẽ nhận được.
Câu 55: Ông Nguyễn Văn B thương binh hạng
4/4
, được hưng tr cp hàng tháng là
2082000
đồng.
Do tình hình dch bnh Covid-19 din biến phc tp nên t tháng 4 năm 2021 ông không đi lĩnh
tin mà nh th quỹ lp mt s tiết kim ngân hàng để gi s tiền hàng tháng vào đó với lãi
sut
0,5% /
tháng. Hi đến đầu tháng 4 năm 2022 ông đến ngân hàng nhận được s tin là bao
nhiêu?
A.
25 811054
đồng. B.
2 210 413
đồng. C.
25 682 641
đồng. D.
27 893 054
đồng.
Li gii
Ta có
( )
( )
( )
12
1 1 1 0,5% 1
(1 ). 2 082 000 1 0,5% . 25811054,06
0,5%
n
r
TA r
r
+− +
= + −= + =
là s
tiền ông B sẽ nhận được.
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 18
Sưu tm và biên son
Câu 56: Đầu mi tháng, anh Hiếu gi tiết kiệm ngân hàng số tin 10 triệu đồng vi hình thức lãi kép, lãi
sut là 0,5%/ tháng. Hỏi sau đúng 5 năm thì anh Hiếu nhận được s tin c gc lãi gn nht
vi s tiền nào dưới đây, gi s rng trong suốt quá trình gửi, anh Hiếu không rút tiền ra i
sut của ngân hàng không thay đổi.
A.
60
600 10.1,005+
. B.
60
1,005 1
10.1,005.
0,005
.
C.
60
10.1,005
. D.
60
1,005 1
10.
0,005
.
Li gii
Sau đúng 5 năm thì anh Hiếu nhận được s tin c gốc và lãi là
( )
(
)
60
60
76
60
1 0,5% 1
1,005 1
10 . 1 0,5% 10.1,005. .10
0,5% 0,005
T

+−
=+=



60
1,005 1
10.1,005.
0,005
=
.
Câu 57: Gia đình nhà bác Long Thắm gi s tin 100 triệu đồng vào ngân hàng với lãi sut
7%
/năm.
Biết rng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm, số tin lãi s được nhp vào
vốn ban đầu. Sau 10 năm, nếu không rút lãi lần nào thì s tin mà nhà bác Long Thm nhn đưc
gm c gc lẫn lãi tính theo công thức nào dưới đây?
A.
( )
9
8
10 . 1 0,07+
. B.
( )
10
8
10 1 0,7+
.
C.
( )
10
8
10 . 1 0,07+
. D.
8 10
10 .0,07
.
Li gii
Áp dụng công thức lãi kép thì số tin mà nhà bác Long Thắm nhận được gm c gc lẫn lãi là
( ) (
)
10 10
88
10 . 1 7% 10 . 1 0,07+=+
.
Câu 58: c Minh gi
60
triu vào nn hàng kì hn 1 năm vi lãi sut
5, 6%
/năm. Biết rng nếu không
rút tin ra khi ngân hàng thì c sau mi năm s tin lãi s nhp vào gc đ tính lãi cho năm tiếp
theo. Hi sau ít nht bao nhiêu năm bác Minh nhận được s tin nhiều hơn
120
triệu đồng bao
gm c gốc và lãi?
A.
11
năm. B.
12
năm. C.
13
năm. D.
14
năm.
Li gii
Sau
n
năm số tin bác Minh nhận được c gc và lãi là:
( )
60 1 5,6%
n
+
.
Vy bác Minh nhận được s tin nhiều hơn
120
triệu đồng bao gm c gốc và lãi khi:
( )
60 1 5,6% 120
n
+>
1,056
log 2 12,7n⇔>
.
Vy bác Minh cn gi ít nhất 13 năm.
Câu 59: Mt học sinh A khi đủ 18 tuổi được cha m cho
200000000
VNĐ. S tiền này được bảo quản
trong ngân hàng MSB vi kì hn thanh toán 1 năm và hc sinh A ch nhận được s tin này khi
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 19
Sưu tm và biên son
học xong 4 năm đại hc. Biết rằng khi đủ 22 tui, s tin mà hc sinh A đưc nhn s
243 101 250
VNĐ. Vậy lãi suất kì hn một năm của ngân hàng MSB là bao nhiêu?
A.
8%
. B.
7%
. C.
6%
D.
5%
.
Li gii
Gọi lãi sut k hn một năm của ngân hàng MSB là r. Áp dụng công thức lãi suất kép
( )
1
n
Pa r= +
trong đó ta có :
( ) ( )
44
0
2
0
43101250 200
2
0000
43101250
1
200 0
01
0
0
00
r r⇔== + +
44
243101250 243101250
1 1 0,05
200000000 200000000
rr r+= ⇔= ⇔=
.
Câu 60: Một người gửi số tiền
3
triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất
0,55% /
tháng. Biết rằng nếu
người đó không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi tháng, số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn
ban đầu. Số tiền người đó lãnh được sau hai năm, nếu trong khoảng thời gian này không rút tiền
ra và lãi suất không đổi là:
A.
( )
2
3. 1.0055
triệu đồng. B.
( )
24
3. 1,0055
triệu đồng.
C.
( )
24
3. 1,055
triệu đồng. D.
( )
24
3,0055
triệu đồng.
Li gii
+) Áp dụng công thức lãi kép:
( )
0
1
n
n
TT r= +
trong đó:
0
T
là s tin gửi ban đầu.
n
T
là s tin c gc lẫn lãi sau
n
kì.
r
là lãi sut mt kì.
+) Thi gian gi là
2
năm với chu kì
1
tháng nên s chu kì là
24=n
.
Suy ra số tiền người đó lãnh được sau hai năm là:
( )
( )
24 24
3 0,55 1,00. 51 % 3. 5=+=
n
T
triu
đồng.
Câu 61: o ny
15
hàng tháng, ông An đều đến gi tiết kim ti ngân hàng vi s tin
5
triệu đồng
theo hình thc lãi kép vi lãi suất không đổi trong suốt quá trình gửi là
0,6% /
tháng. Hi sau
đúng ba năm, ông An thu được s tin c gc lẫn lãi là bao nhiêu?
A.
195251000
. B.
195252000
.
C.
201450000
. D.
201453000
.
Li gii
Đặt
5A =
triu,
0,6%r =
.
Sau một tháng ông An có số tin c vốn và lãi là
( )
1Ar+
, tiếp tc gửi vào ngân hàng
A
đồng
nên s tiền trong ngân hàng lúc này là
( ) (
)
1
1 11T A r AA r= ++= ++


.
Sau hai tháng ông An có số tin c vốn và lãi là
( ) ( ) ( )
2
21
1 1 11T T r AA r r

= ++= + +++

.
….
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 20
Sưu tm và biên son
Sau
36
tháng ông An có số tin c vốn và lãi là
( ) (
) (
)
( )
37
36 35
36
11
1 1 ... 1 1 . 201453000
r
T A r r r AA A
r
+−

= + ++ ++++= −≈

đồng.
Câu 62: Một người gi s tin
100
triệu đồng vào ngân hàng với lãi sut
0
0
7
/ năm. Biết rng nếu không
rút tin ra khi ngân hàng thì c sau mi năm s tin lãi s được nhp vào vốn để tính lãi cho
năm tiếp theo. Hi sau ít nhất bao nhiêu năm người đó lĩnh được s tin nhiều hơn
200
triu
đồng, nếu trong khong thời gian này người đó không rút tin ra và lãi suất không đổi?
A.
11
năm. B.
12
năm. C.
10
năm. D.
9
năm.
Li gii
Áp dụng công thức lãi kép gửi 1 ln:
( )
1= +
n
NA r
, vi
6
100.10
A =
0
0
7r =
.
Theo đề bài ta tìm
n
bé nht sao cho:
( )
86
10 1 7% 200.10
n
+>
( )
1 7% 2
n
⇔+ >
107
100
log 2 10,245n⇔>
.
Câu 63: V chng nhà ch Thơm vay ngân hàng 400 triệu đồng để mua nhà vi hình thc tr góp, ch
chn gói lãi sut ưu đãi c định
0,5%
tháng trong 12 tháng đầu và sang tháng th 13 tr đi thì
ngân hàng tính lãi suất th ni theo quy định. Gia đình chị hoàn n cho nn hàng theoch: sau
đúng một tháng k t ngà y vay thì bt
đầu
hoàn n; hai ln hoàn n liên tiếp cách nhau đúng một
tháng, s tin hoàn n mi tháng là 15 triệu đồng. Sau khi hết 12 tháng ưu đãi tchị Thơm
phi tr lãi sut th nổi là 1%tháng. Biết rng mỗi tháng ngân hàng chỉ tính lãi trên s n thc
tế ca tháng đó và lãi sut th ni của ngân hàng không thay đổi trong thi gian ch Thơm hoàn
n. Hi ch Thơm cần bao nhiêu tháng để tr hết n ngân hàng kể t khi vay?
A.
17
tháng. B.
29
tháng. C.
30
tháng. D.
18
tháng.
Li gii
Số tin ch Thơm nợ sau mt tháng là
400 400.0,5% 400(1 0,5%)+=+
.
Sau 1 tháng thì số tin ch Thơm phải tr
400(1 0,5%) 15+−
.
Sau 2 tháng thì số tin ch Thơm phải tr
400(1 0,5%) 15 [400(1 0,5%) 15] 0,5% 15+−++−
2
400(1 0,5%) 15[(1 0,5%) 1]= + −+ +
.
Sau 12 tháng thì s tin ch Thơm phải trà
12 11 10
400(1 0,5%) 15 (1 0,5%) (1 0,5%) (1 0,5%) 1A

= + + ++ +++ +

12
12 12 12
(1 0,5%) 1 15
400(1 0,5%) 15 400(1 0,5%) (1 0,5%) 1
(1 0,5%) 1 0,5%
+−

=+− =+− +−

+−
.
239,637=
.
Gọi
n
là s tháng tiếp theo mà ch Thơm cần đề tr hết nợ, tương tự như trên ta được
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 21
Sưu tm và biên son
1 1%
15 (1 1%) 1
15
(1 1%) 0 log 17.49
1% .1% 15
n
n
An
A
+

+−

+ =⇔=
.
Tc là ch Thơm cần thêm 18 tháng để tr hết n.
Vy ch Thơm cần
12 18 30+=
tháng để trà hết n ngân hàng k t khi vay.
Câu 64: Bạn Bình được gia đình gi vào s tiết kim 200 triệu đồng vi lãi sut 0,45% mt tháng theo
hình thc lãi kép. Nếu mỗi tháng Bình rút ra một s tiền như nhau vào ngày ngân hàng trả lãi thì
hàng tháng Bình rút ra số tin gn nht vi s nào sau đây để đúng 4 năm vừa hết s tin trong
s tiết kim?
A.
4620000
. B.
4529000
. C.
4756000
. D.
4642000
.
Li gii
Gọi s tin bạn Bình rút ra hàng tháng là
x
x 0
, s tiền ban đầu là
P
,
P 0
, lãi suất
tin gi hàng tháng là
r
,
r 0
.
Lãi sut nhận được sau tháng th nht là:
.Pr
.
Số tin cui tháng th nhất sau khi rút còn lại:
PP rx 
1
1
.
Lãi sut nhận được sau tháng th nht là:
.Pr
1
.
Số tin cui tháng th nhất sau khi rút còn lại:
PP rxP r x rx  
2
21
1 11
.
C như thế, s tiền còn lại sau
n
tháng là:
....
nn n
n
PPrxr xr xrx

  
12
11 1 1
.
n
n
n
r
PP r x
r


11
1
.
Sau 48 tháng, s va hết khi và ch khi
n
P
0
.
r
Pr x
r


48
48
11
10
,
,.
,
x

48
48
1 0045 1
200 1 0045 0
0 0045
,x4 642
.
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 52
Sưu tm và biên son
BÀI 21: PHƯƠNG TRÌNH – BT PHƯƠNG TRÌNH HÀM S LOGARIT
1. PHƯƠNG TRÌNH
Phương trình mũ cơ bản có dạng:
( )
0, 1
x
a ba a= >≠
.
● Phương trình có một nghiệm duy nhất khi và chỉ khi
0
b >
.
( )
log 0, 1, 0
x
a
a b x ba a b=⇔= > >
● Phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi
0b
.
Ví d:
Câu 1: Giải phương trình
1
39
x
=
.
Câu 2: Giải phương trình
1
1
5
25
x
x

=


.
Câu 3: Giải phương trình
42
3
3 81
xx
=
.
Câu 4: Giải phương trình
2
2 54
7 49
++
=
xx
.
CHƯƠNG
VI
HÀM S
M S LOGARIT
I
LÝ THUYẾT.
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 53
Sưu tm và biên son
Câu 5: Giải phương trình
2
5 23
32
23
xx x−− +
 
=
 
 
.
Câu 6: Giải phương trình
sin 2
91
x
=
.
Câu 7: Giải phương trình
2
24 4
24
xx x + +−+
=
.
Câu 8: Tìm
m
để phương trình
2
22
2020 1
mx x m +−
=
có hai nghiệm trái dấu.
Câu 9: Tính tổng các nghiệm của phương trình
2
22
28
xx x+−
=
.
Câu 10: Giải phương trình:
1 13
5 52 2
x xx x
+ ++
−= +
Câu 11: Giải phương trình:
3
3
3
2 . 4 . 0.125 4 2
xx
x
=
.
Câu 12: Giải phương trình:
222
32 2 65 3 37
44 4 1
xx xx xx−+ ++ ++
+=+
.
Câu 13: Tìm
m
để phương trình
2
2 32
55
mx x m m x
+ ++ +
=
có hai nghiệm trái dấu
Câu 14: Tìm
m
để phương trình
2
22
77
mx x mx m+−
=
có hai nghiệm
12
;xx
tha mãn
Câu 15: Tìm
m
để phương trình:
(
)
22
5 6 1 65
.2 2 2.2 1
xx x x
mm
−+
+= +
có 4 nghiệm phân biệt.
2. PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
Phương trình cơ bản có dạng:
( )
log 0, 0, 1
a
x bx a a=>>≠
luôn có nghiệm duy nhất
b
xa=
với mọi
b
.
Ví d:
Câu 16: Giải phương trình sau:
3
log 4x
=
.
Câu 17: Giải phương trình sau:
(
)
2
log 2 2 3x −=
.
Câu 18: Giải phương trình sau:
( )
2
4
log 5 10 2xx++ =
.
Câu 19: Giải phương trình sau:
( )
2
log 1 2x −=
.
Câu 20: Giải phương trình sau:
2
5
log 3 1 1xx +=
.
22
12
22
21
2
xx
xx
+≤
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 54
Sưu tm và biên son
Câu 21: Giải phương trình sau:
(
)
( )
2
22
log 1 1 log 2
xx x x++ + = +
.
Câu 22: Giải phương trình sau:
( )
(
)
22
log 5 log 2 3
xx
−+ +=
.
Câu 23: Giải phương trình:
(
)
2
25 5 3
log 4 5 log log 27xx++ =
.
Câu 24: Giải phương trình:
234 20
log log log logxxx x++=
Câu 25: Tìm tập nghiệm S của phương trình
33
log (2 1) log ( 1) 1xx+− =
.
Câu 26: Gọi
12
,xx
là nghiệm của phương trình
16
log 2 log 0
x
x−=
. Tính
12
.xx
.
Câu 27: Tổng tất cả các nghiệm thực ca phương trình
22
log .log (32 ) 4 0xx+=
bằng
Câu 28: Cho phương trình
2
31
3
3
log 2 log 2log 3 0x xx −=
có hai nghiệm phân biệt là
1
x
,
2
x
. Tính giá
tr của biểu thức
3 1 27 2
log logP
xx+=
biết
12
x x<
.
Câu 29: Tổng tất cả các nghiệm của phương trình:
(
)
(
)
( )
8
93
3
11
log 3 log 1 log 4
24
xxx++ =
Câu 30: Giải phương trình:
( )
2
3
3
2
log 2 log 0
33
x
x
xx
−+ =
−+
.
Câu 31: Giải phương trình:
( )
( )
2
21
2
log 8 log 1 1 2 0x xx + ++ −=
.
3. BT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
CHÚ Ý:
Nếu
1a >
,
0b >
thì
( ) ( )
() ()f x gx
a a f x gx>⇔ >
( )
()
log
fx
a
a b fx b>⇔ >
Nếu
01a<<
,
0b >
thì
( ) ( )
() ()f x gx
a a f x gx>⇔ <
( )
()
log
fx
a
a b fx b>⇔ <
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 55
Sưu tm và biên son
u ý:
0b
thì
(x)
f
ab
>
đúng với mọi
x
thỏa mãn điều kiện xác đnh của
( )
fx
, còn
(x)f
ab
vô nghiệm.
4. BT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
CHÚ Ý:
Nếu
1a >
thì
( ) ( )
( )
( ) ( )
0
log log
aa
gx
f x gx
f x gx
>
>⇔
>
Nếu
01a
<<
thì
( ) (
)
( )
( ) ( )
0
log log
aa
fx
f x gx
f x gx
>
>⇔
<
Ví d:
Câu 32: Giải bất phương trình
2
4
4
3
1
x



.
Câu 33: Có bao nhiêu số nguyên
10x
là nghiệm ca bất phương trình
2
1
3
3
x
x
+



?
Câu 34: Tìm s nghiệm nguyên của bất phương trình
( )
11
22
log 3 log 4−≥x
.
Câu 35: Giải bất phương trình:
( ) ( )
log 3 2 log 1xx−≥ +
.
Câu 36: Giải bất phương trình
( )
2
1
2
log 5 7 0xx−+>
.
Câu 37: Bất phương trình
( ) ( )
33
log 3 1 log 7xx+< +
có bao nhiêu nghiệm ngun?
Câu 38: Tìm tập nghiệm
S
của bất phương trình
( )
0,5 0,5
log 1 log 2xx+>
Câu 39: Tìm tập nghiệm
S
của bất phương trình
3
log 3 log 3
xx
<
Câu 40: bao nhiêu giá trị nguyên ca tham s
m
để bất phương trình
( ) ( )
22
55
log 1 1 log 4x mx x m+ +≥ + +
nghiệm đúng với mọi
x
?
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 1
Sưu tm và biên son
BÀI 21: PHƯƠNG TRÌNH – BT PHƯƠNG TRÌNH HÀM S LOGARIT
1. PHƯƠNG TRÌNH
Phương trình mũ cơ bản có dạng:
( )
0, 1
x
a ba a= >≠
.
● Phương trình có một nghiệm duy nhất khi và chỉ khi
0
b >
.
( )
log 0, 1, 0
x
a
a b x ba a b=⇔= > >
● Phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi
0b
.
Ví d:
Câu 1: Giải phương trình
1
39
x
=
.
Li gii
1
39
x
=
12
33
x
⇔=
3x
⇔=
.
Câu 2: Giải phương trình
1
1
5
25
x
x

=


.
Li gii
CHƯƠNG
VI
HÀM S
M S LOGARIT
I
LÝ THUYẾT.
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 2
Sưu tm và biên son
1 12
11
5 5 5 12
25 3
x
x xx
x xx
−−

= = −= =


.
Câu 3: Giải phương trình
42
3
3 81
xx
=
.
Li gii
42
2
3 42 42 2
2
1
3 81 3 4 3 4 0 4 2
4
xx
x
xx xx x x
x
=
=⇔− =⇔− = ==±
=
.
Câu 4: Giải phương trình
2
2 54
7 49
++
=
xx
.
Li gii
2
2 54
7 49
++
=
xx
2
2 54 2
77
++
⇔=
xx
2
2 5 42
+ +=xx
2
2 5 20
+ +=
xx
2
1
2
=
=
x
x
.
Câu 5: Giải phương trình
2
5 23
32
23
xx x−− +
 
=
 
 
.
Li gii
Ta có
2
5 23
32
23
xx x−− +
 
=
 
 
2
5 23
33
22
xx x−−
 
⇔=
 
 
2
5 23xx x −−=
2
1
20
2
x
xx
x
=
+−=
=
.
Câu 6: Giải phương trình
sin 2
91
x
=
.
Li gii
Ta có
( )
sin 2
9 1sin202 2 ,
x
x xk xk k
ππ
= = = ⇔=
.
Câu 7: Giải phương trình
2
24 4
24
xx x + +−+
=
.
Li gii
Ta có
2
24 4 2 2
2 4 24 42 24 2
xx x
xx x xx x
+ +−+
=⇔− + +−+=⇔− + +=−
.
( )
2
2
20
24 2
x
xx x
−≥
+ +=
2
2
2 60
x
xx
−=
2
3
0
3
x
x
x
x
⇔=
=
=
.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là
3x =
.
Câu 8: Tìm
m
để phương trình
2
22
2020 1
mx x m +−
=
có hai nghiệm trái dấu.
Li gii
2
22 2
2020 1 2 2 0
mx x m
mx x m
+−
= + −=
.
Phương trình đã cho có hai nghiêm trái dấu khi và chỉ khi
( )
20 0 2mm m <⇔< <
.
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 3
Sưu tm và biên son
Câu 9: Tính tổng các nghiệm của phương trình
2
22
28
xx x+−
=
.
Li gii
( )
22 2
2
2 2 2 3 2 63 2 2
1
2 8 2 2 2 2 2 63 5 60
6
x
xx x xx xx x
x
x x xx x
x
+− + +
=
= = = ⇔+=−⇔+=
=
Vy tổng các nghiệm của phương trình
2
22
28
xx x
+−
=
bng
( )
16 5+− =
Câu 10: Giải phương trình:
1 13
5 52 2
x xx x+ ++
−= +
Li gii
1 13 3
5 5 2 2 5.5 5 2.2 2 .2
x x x x xx x x+ ++
−= + −= +
5 10 5
4.5 10.2 1
2 42
x
xx
x

= = =⇔=


Vậy phương trình cho có nghiệm
1.x =
Câu 11: Giải phương trình:
3
3
3
2 . 4 . 0.125 4 2
xx
x
=
.
Li gii
Điều kiện:
1
3
3
x
x
.
Phương trình đã cho tương đương với phương trình:
1
1 17
2.
3
2
3 3 32 3
2
1
2 .2 . 2 .2 2 .2 2 2
8
xx
x
x
x
x

=⇔=


17
2
232 3
1
17
2 2 5 14 3 0
5
232 3
3
xx
x
x
xx
xx
x
x
+−
=
= + = −=
=
.
Kết hợp với điều kiện ta có
3x =
là nghiệm của phương trình.
Câu 12: Giải phương trình:
222
32 2 65 3 37
44 4 1
xx xx xx−+ ++ ++
+=+
.
Li gii
Phương trình đã cho tương đương với phương trình:
2 2 22
32 2 65 322 65
4 4 4 .4 1
xx xx xx xx−+ ++ −+ ++
+= +
2 2 22
32 2 65 322 65
4 1 4 4 .4 0
xx xx xx xx−+ ++ −+ ++
−+ =
( )( )
22
32 2 65
4 14 1 0
xx xx−+ ++
−=
2
32 2
1
4 1 3 20
2
xx
x
xx
x
−+
=
= +=
=
.
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 4
Sưu tm và biên son
2
2 65 2
4 1 2 6 50
xx
xx
++
= + +=
, phương trình này vô nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có
2
nghiệm
1
2
x
x
=
=
.
Câu 13: Tìm
m
để phương trình
2
2 32
55
mx x m m x+ ++ +
=
có hai nghiệm trái dấu
Li gii
(
) ( )
2
2 32 2 2
5 5 1 2 3 2 3 0 2
mx x m m x
mx x m m x mx x m
+ ++ +
= + ++ = + +++ =
Phương trình
( )
1
2
nghiệm trái dấu
phương trình
( )
2
2
nghim trái dấu
(
)
0 3 03 0
ac m m m<⇔ + <⇔< <
Vy
{ }
3;2;1
m =−−
tha mãn yêu cầu bài toán.
Câu 14: Tìm
m
để phương trình
2
22
77
mx x mx m+−
=
có hai nghiệm
12
;xx
tha mãn
Li gii
( ) ( ) ( )
2
22 2 2
7 7 1 2 2 2 1 0 2
mx x mx m
mx x mx m mx m x m
+−
= ⇔+=⇔−+=
Phương trình
( )
1
2
nghiệm
12
;xx
phương trình
(
)
2
2
nghiệm
12
;xx
( )
0
0
*
1
'12 0
2
m
m
m
m

∆=
( )
(
)( )
22
2
44 22 22 22
12
12 12 12 12 1212
22
21
22 00 0
xx
xx xx xx xx xxxx
xx
+ +≤ −= + =
'0
1
2
0
1
m
b
m
a
∆=
=
−=
=
Kết hợp điều kiện
( )
*
ta suy ra
1
2
m
=
tha mãn yêu cầu bài toán
Câu 15: Tìm
m
để phương trình:
( )
22
5 6 1 65
.2 2 2.2 1
xx x x
mm
−+
+= +
có 4 nghiệm phân biệt.
Li gii
Viết lại phương trình
( )
1
dưới dạng:
(
)
(
)
22
561
22 22
56 1 75 56 1
.2 2 2 .2 2 2
xx x
xx x x xx x
m mm m
+ +−
−+ −+
+=+ += +
2 22 2
56 1 561
.2 2 2 .2
xx x xx x
mm
−+ −+
+= +
22
12
22
21
2
xx
xx
+≤
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 5
Sưu tm và biên son
(
)(
)
22
56 1
2 12 0
xx x
m
−+
−=
( )
2
56
2
1
2
1
3
21
2
2
2
xx
x
x
x
x
m
m
−+
=
=
⇔=
=
=
.
( )
22
22
00
1 log 1 log
mm
x mx m
>>


∗⇔

−= =


( )
1
4
nghiệmphânbiệt
( )
⇔∗
2
nghiệmphânbiệtkhác
2
3
.
( )
2
2
2
0
0
2
1 log 0
11
1
0; 2 \ ;
1 log 4
8 256
8
1
1 log 9
256
m
m
m
m
m
m
m
m
m
>
>
<
−>


⇔∈

−≠



−≠
.
2. PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
Phương trình cơ bản có dạng:
( )
log 0, 0, 1
a
x bx a a= >>≠
luôn có nghiệm duy nhất
b
xa
=
với mọi
b
.
Ví d:
Câu 16: Giải phương trình sau:
3
log 4x =
.
Li gii
Điều kiện:
0x >
Ta có:
4
3
log 4 3 81xx x=⇔= ⇔=
.
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 6
Sưu tm và biên son
Vậy nghiệm của phương trình là
81x =
.
Câu 17: Giải phương trình sau:
( )
2
log 2 2 3x −=
.
Li gii
Điều kiện:
2 20 1xx−>>
Ta có:
( )
2
log 2 2 3 2 2 8 2 10 5x x xx
=⇔ −=⇔ = =
(nhn).
Vậy nghiệm của phương trình là
5x =
.
Câu 18: Giải phương trình sau:
( )
2
4
log 5 10 2xx++ =
.
Li gii
2
2
5 15
5 10 0,
24
xx x x

+ + = + + > ∀∈


nên tập xác định
D
.
Ta có:
(
)
222
4
1
log 5 10 2 5 10 16 5 6 0
6
x
xx xx xx
x
=
++ =++=+−=
=
.
Vậy nghiệm của phương trình là
1x =
hay
6x =
.
Câu 19: Giải phương trình sau:
( )
2
log 1 2
x −=
.
Li gii
Điều kiện:
(
)
2
10 1
xx >⇔
Ta có:
( ) ( )
22
1 10 11
log 1 2 1 100 1 10
1 10 9
xx
xx x
xx
−= =
−=−= =
−= =
(nhn).
Vậy nghiệm của phương trình là
11x =
hay
9x =
.
Câu 20: Giải phương trình sau:
2
5
log 3 1 1xx
+=
.
Li gii
Điều kiện:
2
35
2
3 10
35
2
x
xx
x
<
+>
+
>
.
Pt
22 2
3 1 5 3 1 25 3 24 0xx xx xx −+=−+= −−=
3 105
2
3 105
2
x
x
=
+
=
(nhận)
Vậy nghiệm của phương trình là
3 105
2
x
=
hay
3 105
2
x
+
=
.
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 7
Sưu tm và biên son
Câu 21: Giải phương trình sau:
(
)
( )
2
22
log 1 1 log 2
xx x x++ + = +
.
Li gii
Điều kiện:
2
2
10
10
1
1
2
1 10
20
xx
x
x
x
x
xx x
x
+≥
+≥
≥−
≥−

>−
++ +>
+>
( )
1
.
(
)
( )
2
22
log 1 1 log 2xx x x++ + = +
2
1 12xx x x ++ += +
( )
( )
2 22
1 12 1 1 4 4xx x xx x x x ++ ++ + + = + +
33
2 14 2 12 1xx xx += + += +
3 2 32
1
2
11
0
0
22
2 22
2 22
14 4 1 4 4 0
2 22
x
x
xx
x
x
x
x xx xxx
x
≥−
=
≥− ≥−

=
⇔⇔

= +

= +
+= + + =


=
(tha
( )
1
).
Vậy nghiệm của phương trình là
0x =
hay
2 22x = +
.
Câu 22: Giải phương trình sau:
( )
( )
22
log 5 log 2 3xx−+ +=
.
Li gii
Điều kiện:
50 5
5
20 2
xx
x
xx
−> >
⇔>

+ > >−
Ta có:
( )
( ) ( )( )
(
)(
)
22 2
log 5 log 2 3 log 5 2 3 5 2 8
x x xx xx+ += +=⇔− +=
2
3
3 18 0
6
x
xx
x
=
−=
=
.
Kết hợp với điều kiện, ta được nghiệm của phương trình là
6x =
.
Câu 23: Giải phương trình:
( )
2
25 5 3
log 4 5 log log 27xx++ =
.
Li gii
Điều kiện:
0.x
>
Phương trình đã cho trở thành:
( )
55
log 4 5 log 3xx++ =
2
5
4 5 125 0
25
4
x
xx
x
=
+− =
=
.
Câu 24: Giải phương trình:
234 20
log log log logxxx x++=
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 8
Sưu tm và biên son
Li gii
Điều kiện:
0.x >
Phương trình đã cho tương đương với phương trình:
22 2
2
22 2
log log log
log
log 3 log 4 log 20
xx x
x ++=
22
222
11 1
log 1 0 log 0 1
log 3 log 4 log 20
x xx

+ + = =⇔=


Vậy phương trình đã cho có nghiệm
1.x =
Câu 25: Tìm tập nghiệm S của phương trình
33
log (2 1) log ( 1) 1xx+− =
.
Li gii
+ Ta có: Điều kiện xác định
2 10
10
x
x
+>
−>
1x⇔>
.
+
33
log (2 1) log ( 1) 1xx+− =
3
21
log 1
1
x
x
+

⇔=


33
21
log log 3
1
x
x
+

⇔=


21 21 4
3 3 0 0 4.
11 1
xx x
x
xx x
+ + −+
= −= = =
−−
Thamãnđiềukiệnxácđịnh.
Câu 26: Gọi
12
,xx
là nghiệm ca phương trình
16
log 2 log 0
x
x−=
. Tính
12
.xx
.
Li gii
Điều kiện:
01x
<≠
.
16
log 2 log 0
x
x−=
4
2
2
2
11
log 2 log 0 log 0
log 4
x
xx
x
⇔− = =
1
2
2
2
2
2
4
4
log 2
(log ) 4
1
1
log 2
4
4
x
x
x
x
x
x
x
=
=
=
= ⇔⇒
=
=
=
(nhn).
Vy tích
12
1
. 4. 1
4
xx= =
.
Câu 27: Tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình
22
log .log (32 ) 4 0xx+=
bằng
Li gii
Điều kiện xác định:
0x >
.
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 9
Sưu tm và biên son
Khi đó
22
log .log (32 ) 4 0xx+=
22
log .(log 5) 4 0xx + +=
2
22
log 5.log 4 0xx + +=
2
2
1
log 1
2
1
log 4
16
x
x
x
x
=
=
⇔⇔
=
=
.
Do đó tổng tất cả các nghiệm của phương trình đã cho bằng .
Câu 28: Cho phương trình
2
31
3
3
log 2 log 2log 3 0x xx −=
có hai nghiệm phân biệt là
1
x
,
2
x
. Tính giá
tr của biểu thức
3 1 27 2
log logP xx+=
biết
12
x x<
.
Li gii
Điều kiện
0x >
.
2
31
3
3
log 2log 2 log 3 0x xx −=
2
333
log 4 log 2 log 3 0xxx + −=
2
33
log 2log 3 0xx −=
3
3
1
log 1
3
log 3
27
x
x
x
x
=
=
⇔⇔
=
=
.
Do
12
xx<
nên
1
1
3
x =
2
27x =
.
Vậy
3 1 27 2 3 27
1
log log log log 27 0
3
xxP = =+ +=
.
Câu 29: Tổng tất cả các nghiệm của phương trình:
( ) ( ) ( )
8
93
3
11
log 3 log 1 log 4
24
xxx++ =
Lời giải
Điều kiện:
1
0
x
x
>
.
Ta có:
( ) ( ) ( )
8
93
3
11
log 3 log 1 log 4
24
xxx++ =
( ) ( )
3 33
log 3 log 1 log 4xx x + + −=
( ) ( )
33
log 3 . 1 log 4xx x + =

( )
3. 1 4xx x + −=
( )
1
.
+ Nếu
01x<<
thì phương trình
( )
1
tr thành
( ) ( )
( )
( )
2
3 23
3.1 4 6 3 0
3 23
x tm
x xx xx
xl
=−+
+ = ⇔− + =
=−−
.
9
16
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 10
Sưu tm và biên son
+ Nếu
1
x >
thì phương trình
( )
1
tr thành
(
) (
)
(
)
( )
2
3
3. 1 4 2 3 0
1
x tm
x x xx x
xl
=
+ = −=
=
.
Phương trình đã cho có tập nghiệm là
{
}
3 2 3;3
S
=−+
.
Vy tổng tất cả các nghim của phương trình là
23
.
Câu 30: Giải phương trình:
( )
2
3
3
2
log 2 log 0
33
x
x
xx
−+ =
−+
.
Li gii
Điều kiện:
0 2.x<≠
Phương trình cho tương đương với phương trình:
( )
2
2
33
2
log 2 log 0
33
x
x
xx

−+ =

−+

( )
2
2
3
2
log 2 . 0
33
x
x
xx


⇔− =



−+


( )
2
2
2
2. 1
33
x
x
xx

⇔− =

−+

32
1
2 11 18 9 0 3
3
2
x
xxx x
x
=
+ −= =
=
.
Câu 31: Giải phương trình:
(
)
( )
2
21
2
log 8 log 1 1 2 0
x xx + ++ −=
.
Li gii
Điều kiện:
1 1.x−≤
Phương trình đã cho tương đương với phương trình:
( )
( )
2
22
log 8 2 log 1 1x xx =+ ++
( )
2
8 41 1x xx⇔− = ++
( )
Đặt
11
txx= ++
, phươngtrình
( )
trởthành:
( )
(
)
2
2
2 48 0 2t tt t
+ + = ⇔=
.
1 12 0xx x++ =⇔=
.
3. BT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 11
Sưu tm và biên son
CHÚ Ý:
Nếu
1a >
,
0b >
thì
(
) ( )
() ()f x gx
a a f x gx>⇔ >
( )
()
log
fx
a
a b fx b>⇔ >
Nếu
01a<<
,
0b >
thì
( ) ( )
() ()f x gx
a a f x gx>⇔ <
( )
()
log
fx
a
a b fx b>⇔ <
u ý:
0b
thì
(x)
f
ab>
đúng với mọi
x
thỏa mãn điều kiện xác đnh của
( )
fx
, còn
(x)f
ab
vô nghiệm.
4. BT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
CHÚ Ý:
Nếu
1a >
thì
( ) (
)
( )
( ) ( )
0
log log
aa
gx
f x gx
f x gx
>
>⇔
>
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 12
Sưu tm và biên son
Nếu
01a<<
thì
(
) (
)
(
)
(
) (
)
0
log log
aa
fx
f x gx
f x gx
>
>⇔
<
Ví d:
Câu 32: Giải bất phương trình
2
4
4
3
1
x



.
Li gii
Bất phương trình
2
4
2
2
14
4
.
3
0
2
x
x
x
x
≤−

≥⇔


Vy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là
(
] [
)
; 2 2;S = −∞ +∞
.
Câu 33: Có bao nhiêu số nguyên
10x
là nghiệm ca bất phương trình
2
1
3
3
x
x
+



?
Li gii
22
2
00
1 11
3 2 20 2 2
3 33
2
2
1
x xx
x
xx
x xx x x
x
xx
x
++
≥≥

  
> +≤⇔ + ⇔≥

  
  

+≤
≤−
Theo giả thiết số nguyên
10x
[ ]
2;10x⇒∈
.
Vậy có
9
s nguyên
x
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 34: Tìm s nghiệm nguyên của bất phương trình
(
)
11
22
log 3 log 4−≥
x
.
Li gii
Bất phương trình
( )
11
22
log 3 log 4−≥
x
34
30
−≤
−>
x
x
7
37
3
x
x
x
⇔<
>
.
37
<≤
x
x
{ }
4;5;6;7⇒∈x
.
Vy bất phương trình đã cho có tất cả
4
nghiệm nguyên.
Câu 35: Giải bất phương trình:
( ) ( )
log 3 2 log 1xx−≥ +
.
Li gii
( ) ( )
1
10
2
log 3 2 log 1 1
2
32 1
3
3
x
x
xx x
xx
x
>−
+>
+ ⇔− <

≥+
.
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 13
Sưu tm và biên son
Vy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là
2
1;
3
S

=

.
Câu 36: Giải bất phương trình
( )
2
1
2
log 5 7 0xx
+>
.
Li gii
( )
22
1
2
log 5700 571xx xx−+><−+<
.
2
2
5 60
5 70
xx
xx
+<
+>
23
x<<
.
Vy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là
( )
2;3S =
.
Câu 37: Bất phương trình
( ) ( )
33
log 3 1 log 7xx+< +
có bao nhiêu nghiệm ngun?
Li gii
Ta có:
( ) ( )
33
31 7
log 3 1 log 7
3 10
xx
xx
x
+< +
+< +
+>
3
1
3
x
x
<
>−
1
3
3
x⇔− < <
.
x
là s nguyên nên
{ }
0;1; 2x
. Vy bất phương trình có 3 nghiệm nguyên.
Câu 38: Tìm tập nghiệm
S
của bất phương trình
( )
0,5 0,5
log 1 log 2xx+>
Li gii
Điều kiện:
10
0
20
x
x
x
+>
⇔>
>
.
Ta có:
( )
0,5 0,5
log 1 log 2 1 2 1x xx xx+ > +< >
, kết hợp điều kiện ta được
1x >
.
Vy tập nghiệm của bất phương trình là
(
)
1;S = +∞
.
Câu 39: Tìm tập nghiệm
S
của bất phương trình
3
log 3 log 3
xx
<
Li gii
Điều kiện:
0
1
3
x
x
x
>
.
Ta có:
3
log 3 log 3
xx
<
3
3
11
log
log
3
x
x
⇔<
33
11
0
log log 1xx
⇔− <
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 14
Sưu tm và biên son
( )
33
1
0
log . log 1xx
⇔<
(
)
3
3
3
33
3
3
3
log 0
log 1 0
log 0
log . log 1 0
log 1
log 0
log 1 0
x
x
x
xx
x
x
x
<
−<
<
>⇔
>
>
−>
1
3
x
x
<
>
,
kết hợp điều kiện ta được
01x<<
hoặc
3x >
.
Vy tập nghiệm của bất phương trình là
( ) ( )
0; 1 3;S = +∞
.
Câu 40: bao nhiêu giá trị nguyên ca tham s
m
để bất phương trình
(
)
( )
22
55
log 1 1 log 4
x mx x m+ +≥ + +
nghiệm đúng với mọi
x
?
Li gii
Bất phương trình nghiệm đúng với mọi
( )
2
22
40
,
51 4
mx x m
xx
x mx x m
+ +>
∀∈
+≥ + +

(d thy
m=0 không thỏa mãn hệ)
(
)
( )
( )
2
1
2
2
0
16 4 0
50
16 4 5 0
m
m
m
m
>
∆= <
−>
∆=
0
22
5
37
m
mm
m
mm
>
<− >
<
≤∨
23
m⇔<
.
Do
m
nên
3m =
.
Vậy có 1 giá trị nguyên ca
m
thoả mãn.
CHUYÊN Đ VITOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 56
Sưu tm và biên son
BÀI 21: PHƯƠNG TRÌNH – BT PHƯƠNG TRÌNH M S LOGARIT
BÀI TP TRC NGHIM TRÍCH T ĐỀ THAM KHẢO VÀ ĐỀ CHÍNH THC
CA B GIÁO DC T NĂM 2017 ĐẾN NAY
Câu 1: (MĐ 101-2022) Nghim của phương trình
21 2
33
xx+−
=
A.
1
3
x =
. B.
0
. C.
1x =
. D.
1x =
.
Câu 2: (MĐ 102-2022) Nghiệm của phương trình
21 2
33
xx+−
=
A.
1
3
x =
. B.
0x =
. C.
1x =
. D.
1x =
.
Câu 3: (MĐ 103-2022) S nghiệm thc của phương trình
2
1
24
x +
=
A.
1
. B.
2
. C.
3
. D.
0
.
Câu 4: (MĐ 104-2022) S nghiệm thc của phương trình
2
1
24
x +
=
A.
1
. B.
2
. C.
0
. D.
3
.
Câu 5: (MĐ 103-2022) Nghim của phương trình
( )
1
2
log 2 1 0x −=
A.
3
4
x =
. B.
1x =
. C.
1
2
x =
. D.
2
3
x =
Câu 6: (MĐ 104-2022) Nghiệm của phương trình
( )
1
2
log 2 1 0x −=
A.
1x =
. B.
3
4
x =
. C.
2
3
x =
. D.
1
2
x =
.
Câu 7: (TK 2020-2021) Nghim của phương trình
24
5 25
x
=
là:
A.
3.x =
B.
2.x =
C.
1.x =
D.
1.x =
Câu 8: (TK 2020-2021) Nghim của phương trình
( )
2
log 3 3x =
là:
A.
3.x =
B.
2.x =
C.
8
.
3
x =
D.
1
.
2
x =
CHƯƠNG
VI
HÀM S
VÀ HÀM S LOGARIT
H THNG BÀI TP TRC NGHIM.
III
CHUYÊN Đ VITOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 57
Sưu tm và biên son
Câu 9: (MĐ 102 2020-2021 ĐỢT 1) Nghim của phương trình
( )
5
log 3 2x =
A.
25x =
. B.
32
3
x =
. C.
32x =
. D.
25
3
x =
.
Câu 10: (MĐ 103 2020-2021 ĐỢT 1) Nghiệm của phương trình
( )
3
log 2 2x =
A.
9
2
x =
. B.
9x =
. C.
4x =
. D.
8x =
.
Câu 11: (MĐ 104 2020-2021 ĐỢT 1) Nghim của phương trình
( )
2
log 5 3x =
là:
A.
8
5
x =
. B.
9
5
x =
. C.
8x =
. D.
9x =
.
Câu 12: Nghim của phương trình
53
x
=
là:
A.
3
5x =
. B.
3
5
x =
. C.
3
log 5x =
. D.
5
log 3x =
.
Câu 13: Nghiệm của phương trình
52=
x
là:
A.
2
log 5=x
. B.
5
log 2=x
. C.
2
5
=x
. D.
5
=
x
Câu 14: (MĐ 103 2020-2021 ĐỢT 2) Nghim của phương trình
72
x
A.
2
log 7x
. B.
7
log 2x
. C.
2
7
x
. D.
7x
.
Câu 15: (MĐ 104 2020-2021 ĐỢT 2) Nghim của phương trình
73
x
A.
3
7
x
. B.
3
7x
. C.
7
log 3x
. D.
3
log 7x
.
Câu 16: Minh Ha 2020 Ln 1) Nghim của phương trình
( )
3
log 2 1 2x −=
là:
A.
3x =
. B.
5x =
. C.
9
2
x =
. D.
7
2
x =
.
Câu 17: (Mã 101 - 2020 Ln 1) Nghim của phương trình
( )
3
log 1 2x −=
A.
8x =
. B.
9x =
. C.
7x =
. D.
10x =
.
Câu 18: (Mã 102 - 2020 Ln 1) Nghim của phương trình
A. . B. . C. . D. .
Câu 19: (Mã 103 - 2020 Ln 1) Nghim của phương trình
( )
2
log 2 3x −=
là:
A.
6x =
. B.
8x =
. C.
11x =
. D.
10x =
.
Câu 20: (Mã 104 - 2020 Ln 1) Nghim của phương trình
( )
3
log 2 2x −=
A.
11x =
. B.
10x =
. C.
7x =
. D.
8
.
Câu 21: (Mã 102 - 2020 Ln 2) Nghim của phương trình
( )
2
log 9 5x +=
A.
41x =
. B.
23x =
. C.
1x =
. D.
16x =
.
Câu 22: (Mã 103 - 2020 Ln 2) Nghim của phương trình
( )
2
log 6 5x +=
là:
A.
4x =
. B.
19x =
. C.
38x =
. D.
26x =
.
( )
2
log 1 3x −=
10x =
8x =
9x =
7x =
CHUYÊN Đ VITOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 58
Sưu tm và biên son
Câu 23: (Mã 104 - 2020 Ln 2) Nghim của phương trình
( )
2
log 7 5x +=
A.
18x =
. B.
25x =
. C.
39x =
. D.
3x =
.
Câu 24: (Mã 101 - 2020 Ln 2) Nghim của phương trình
2
log ( 8) 5x +=
bằng
A.
17x =
. B.
24x
=
. C.
2x =
. D.
40
x
=
.
Câu 25: Tham Kho 2019) Tập nghiệm của phương trình
( )
2
2
log 2 1xx
−+ =
:
A.
{ }
0
B.
{
}
0;1
C.
{ }
1; 0
D.
{ }
1
Câu 26: Minh Ha 2017) Giải phương trình
4
log ( 1) 3.
−=x
A.
65=x
B.
80=x
C.
82=x
D.
63=x
Câu 27: (Mã 110 2017) Tìm nghiệm của phương trình
(
)
2
log 1 2x−=
.
A.
5x =
. B.
3x =
. C.
4x =
. D.
3x =
.
Câu 28: (Mã 102 2018) Tập nghiệm của phương trình
( )
2
2
log 1 3x −=
A.
{
}
10; 10
B.
{ }
3; 3
C.
{ }
3
D.
{ }
3
Câu 29: (Mã 104 2017) Tìm nghiệm của phương trình
( )
2
log 5 4x −=
.
A.
11x =
B.
13
x =
C.
21x =
D.
3x =
Câu 30: (Mã 103 2018) Tập nghiệm của phương trình
2
3
log ( 7) 2
x −=
A.
{ }
4
B.
{ }
4
C.
{ 15; 15}
D.
{ 4;4}
Câu 31: (Mã 105 2017) Tìm nghiệm của phương trình
(
)
+=
25
1
log 1
2
x
.
A.
= 6x
B.
= 4x
C.
=
23
2
x
D.
= 6x
Câu 32: Tham Kho 2017) Tìm tập nghiệm
S
của phương trình
( ) ( )
22
log 1 log 1 3xx−+ +=
.
A.
{ }
3S =
B.
{
}
10; 10S =
C.
{
}
3; 3
S =
D.
{ }
4S =
Câu 33: (Mã 103 - 2019) Nghim của phương trình
( ) ( )
22
log 1 1 log 3 1xx+ +=
A.
1x =
. B.
2x =
. C.
1x
=
. D.
3
x =
.
Câu 34: (Mã 105 2017) Tìm tập nghiệm
S
của phương trình
( ) (
)
+− =
33
log 2 1 log 1 1xx
.
A.
{ }
= 3S
B.
{
}
=
4S
C.
{ }
= 1S
D.
{ }
= 2S
Câu 35: (Mã 101 - 2019) Nghim của phương trình
(
) ( )
33
log 1 1 log 4 1xx
+ += +
A.
4x =
. B.
2x =
. C.
3
x =
. D.
3x =
.
Câu 36: (Mã 104 - 2019) Nghim của phương trình
( ) ( )
33
log 2 1 1 log 1xx+=+
A.
4x =
. B.
2x =
. C.
1x =
. D.
2x =
.
Câu 37: (Mã 102 -2019) Nghim của phương trình
( ) ( )
22
log 1 1 log 1xx+=+
A.
3x =
. B.
2x =
. C.
1x =
. D.
2x =
.
CHUYÊN Đ VITOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 59
Sưu tm và biên son
Câu 38: (Mã 110 2017) Tìm tập nghiệm
S
của phương trình
( ) ( )
1
2
2
log 1 log 1 1.xx−+ +=
A.
{ }
3S =
B.
{ }
2 5;2 5
S =−+
C.
{ }
25
S = +
D.
3 13
2
S

+

=



Câu 39: Tham Kho 2018) Tng giá tr tất c các nghim ca phương trình
3 9 27 81
2
log .log .log .log
3
xx x x=
bằng
A.
0.
B.
80
.
9
C.
9.
D.
82
.
9
Câu 40: (Mã 110 2017) Tìm tập nghiệm
S
của phương trình
( ) (
)
1
2
2
log 1 log 1 1.xx−+ +=
A.
{
}
3S =
B.
{ }
2 5;2 5S =−+
C.
{ }
25S = +
D.
3 13
2
S

+

=



Câu 41: (Mã 104 2017) Xét các s nguyên dương
a
,
b
sao cho phương trình
2
ln ln 5 0a xb x+ +=
hai nghiệm phân biệt
1
x
,
2
x
phương trình
2
5log log 0xb xa+ +=
hai nghiệm phân biệt
3
x
,
4
x
tha mãn
12 34
xx xx
>
. Tính giá trị nhỏ nhất
min
S
ca
23S ab= +
.
A.
min
17S =
B.
min
30
S
=
C.
min
25S =
D.
min
33S =
Câu 42: Minh Họa 2020 Lần 1) Cho phương trình
( ) ( )
2
22
log 2 2 log 2 0x m xm + + −=
(
m
là tham
số thc). Tp hợp tất cả các giá tr ca
m
để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thuộc
đoạn
[
]
1; 2
A.
( )
1; 2
. B.
[ ]
1; 2
. C.
[
)
1; 2
. D.
[
)
2; +∞
.
Câu 43: (Mã 102 2019) Cho phương trình
( )
2
93 3
log log 6 1 logxx m −=
(
m
tham s thc). Có tt
c bao nhiêu giá trị nguyên của
m
để phương trình đã cho có nghiệm?
A.
7
. B.
6
. C.
5
. D. Vô số.
Câu 44: (MĐ 101-2022) Tập nghiệm ca bất phương trình
( )
5
log 1 2x +>
là:
A.
( )
9 ;+∞
. B.
( )
25 ; .+∞
C.
( )
31 ; +∞
. D.
( )
24 ;+∞
.
Câu 45: (MĐ 102-2022) Tập nghiệm của bất phương trình
( )
5
log 1 2x +>
A.
( )
24; +∞
. B.
( )
9; +∞
. C.
(
)
25; +∞
. D.
( )
31; +∞
.
Câu 46: (MĐ 101-2022) bao nhiêu số nguyên dương
a
sao cho ng vi mi
a
đúng ba số ngun
b
tha mãn
( )( )
3 3 .2 18 0
bb
a −<
?
A.
B.
73
C.
71
D.
74
CHUYÊN Đ VITOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 60
Sưu tm và biên son
Câu 47: (MĐ 102-2022) bao nhiêu số nguyên dương
a
sao cho ng vi mi
a
có đúng hai s ngun
b
tha mãn
( )( )
5 1 .2 5 0
bb
a −<
A.
20
. B.
21
. C.
22
. D.
19
.
Câu 48: (MĐ 103-2022) bao nhiêu số nguyên dương
a
sao cho ng vi mi
a
có đúng hai s ngun
b
tha mãn
( )( )
4 1 .3 10 0?
bb
a −<
A.
182
. B.
179
. C.
180
. D.
181
.
Câu 49: (MĐ 104-2022) bao nhiêu số nguyên dương
a
sao cho ng vi mi
a
có đúng hai số nguyên
b
thoả mãn
( )( )
3 3 .2 16 0?
bb
a −<
A.
34
. B.
32
. C.
31
. D.
33
.
Câu 50: (2020-2021 ĐỢT 1) Tập nghiệm của bất phương trình
32
x
<
A.
( )
3
;log 2−∞
. B.
( )
3
log 2; +∞
. C.
( )
2
;log 3−∞
. D.
( )
2
log 3; +∞
.
Câu 51: (2020-2021 ĐỢT 1) Tp nghiệm của bất phương trình
25
x
>
A.
2
( ; log 5)−∞
. B.
5
(log 2; )+∞
. C.
5
( ;log 2)−∞
. D.
2
(log 5; )+∞
Câu 52: (2020-2021 ĐỢT 1) Tập nghiệm ca bất phương trình
( )
2
log 3 5x >
A.
32
0;
3



. B.
32
;
3

+∞


. C.
25
0;
3



. D.
25
;
3

+∞


.
Câu 53: (2020-2021 ĐỢT 2) Tập nghiệm ca bất phương trình
( )
2
log 3 3x >
A.
( )
3; +∞
. B.
8
;
3

+∞


. C.
8
0;
3



. D.
( )
0;3
.
Câu 54: (2020-2021 ĐỢT 2) Tập nghiệm ca bất phương trình
( )
3
log 2 4x >
A.
( )
0;32
. B.
81
0;
2



. C.
( )
32; +∞
. D.
81
;
2

+∞


.
Câu 55: Minh Họa 2020 Lần 1) Tập nghiệm ca bất phương trình
2
19
55
x xx −−
A.
[ ]
2; 4
. B.
[ ]
4; 2
.
C.
(
] [
)
; 2 4;−∞ +∞
. D.
(
] [
)
; 4 2;−∞ +∞
.
Câu 56: Tham Khảo 2020 Lần 2) Tập nghiệm ca bt phương trình
9 2.3 3 0
xx
+ −>
A.
[
)
0;+∞
. B.
( )
0;+∞
. C.
( )
1;+∞
. D.
[
)
1;+∞
.
Vy tập nghiệm ca bất phương trình đã cho là
( )
0;+∞
.
Câu 57: (Mã 101 - 2020 Lần 1) Tập nghiệm ca bất phương trình
2
13
3 27
x
<
A.
( )
4;+∞
. B.
( )
4;4
. C.
( )
;4−∞
. D.
( )
0;4
.
Câu 58: (Mã 102 - 2020 Lần 1) Tập nghiệm ca bất phương trình
A. . B. . C. . D. .
2
23
39
x
<
( )
5;5
( )
;5−∞
( )
5; +∞
( )
0;5
CHUYÊN Đ VITOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 61
Sưu tm và biên son
Câu 59: (Mã 103 - 2020 Lần 1) Tập nghiệm ca bất phương trình
2
7
24
x
<
A.
( 3; 3)
. B.
(0;3)
. C.
( ;3)−∞
. D.
(3; )+∞
.
Câu 60: (Mã 104 - 2020 Lần 1) Tập nghiệm ca bất phương trình
2
1
28
x
<
A.
( )
0; 2
. B.
( )
;2−∞
. C.
( )
2; 2
. D.
( )
2; +∞
.
Câu 61: Tham Kho 2018) Tập nghiệm ca bất phương trình
26
22
xx
là:
A.
;6
B.
0; 64
C.
6;
D.
0;6
Câu 62: Tham Khảo 2019) Tập nghiệm ca bất phương trình
2
2
3 27
xx
<
A.
( )
3; +∞
B.
( )
1; 3
C.
( ) ( )
; 1 3;−∞ +∞
D.
( )
;1−∞
Câu 63: Tham Kho 2017) Tìm tập nghiệm
S
ca bất phương trình
1
1
50
5
x+
−>
.
A.
( )
;2S = −∞
. B.
( )
1;S = +∞
. C.
( )
1;S = +∞
. D.
( )
2;S
= +∞
.
Câu 64: Tham Kho 2019) Tập nghiệm ca bất phương trình
2
2
3 27
xx
<
A.
( )
;1−∞
B.
( )
3; +∞
C.
(
)
1; 3
D.
(
) ( )
; 1 3;
−∞ +∞
Câu 65: Tham Khảo 2020 Lần 2) Tập nghiệm ca bt phương trình
log 1
x
A.
( )
10; +∞
. B.
( )
0; +∞
. C.
[
)
10; +∞
. D.
( )
;10−∞
.
Câu 66: (Mã 102 - 2020 Lần 2) Tập nghiệm ca bất phương trình
( )
2
3
log 13 2x−≥
A.
(
]
[
)
; 2 2:
−∞ +∞
. B.
(
]
;2−∞
.
C.
(
]
0; 2
. D.
[ ]
2; 2
.
Câu 67: (Mã 103 - 2020 Lần 2) Tập nghiệm của bất phương trình
( )
2
3
log 36 3x−≥
A.
(
] [
)
; 3 3;−∞ +∞
. B.
(
]
;3−∞
. C.
[ ]
3; 3
. D.
(
]
0;3
.
Câu 68: (Mã 101 - 2020 Lần 2) Tập nghiệm ca bất phương trình
( )
2
3
log 18 2x−≥
A.
(
]
;3−∞
. B.
(
]
0;3
.
C.
[ ]
3;3
. D.
(
]
[
)
; 3 3;−∞ +
.
Câu 69: (Mã 104 - 2020 Lần 2) Tập nghiệm ca bất phương trình
( )
2
3
log 31 3x−≥
A.
(
]
;2−∞
. B.
[ ]
2; 2
. C.
(
] [
)
; 2 2;−∞ +∞
. D.
(
]
0; 2
.
Câu 70: Minh Ha 2017) Gii bất phương trình
( )
2
log 3 1 3x −>
.
A.
3x >
B.
1
3
3
x<<
C.
3x <
D.
10
3
x >
Câu 71: (Mã 123 2017) Tìm tập nghiệm
S
ca bất phương trình
+≥
2
22
log 5log 4 0xx
.
A.
= −∞ +∞( ; 1] [4 ;) S
B.
= [2;16]S
C.
= +∞(0 ; 2] [16
;) S
D.
−∞ +∞
( ; 2] [ 6 1; )
CHUYÊN Đ VITOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 62
Sưu tm và biên son
Câu 72: Có bao nhiêu số nguyên
x
thỏa mãn
( )
( )
2
3
3 9 . log 25 3 0?
xx
x + −≤


A.
24.
B. Vô số. C.
26.
D.
25.
Câu 73: (MĐ 102 2020-2021 ĐỢT 1) bao nhiêu số ngun
x
tha n
(
)
( )
2
2
3 9 log 30 5 0
xx
x + −≤


A.
30
. B. Vô số. C.
31
. D.
29
.
Câu 74: (MĐ 103 2020-2021 ĐỢT 1) bao nhiêu số ngun
x
thoả mãn
( )
( )
2
2
2 4 log 14 4 0
xx
x + −≤


?
A.
14
. B.
13
. C. Vô số. D.
15
.
Câu 75: (MĐ 104 2020-2021 ĐỢT 1) Có bao nhiêu số nguyên
x
thỏa mãn
(
)
( )
2
3
2 4 log 25 3 0
xx
x + −≤


?
A.
24
. B. Vô số. C.
25
. D.
26
.
Câu 76: Có bao nhiêu số nguyên
x
tha mãn
( )
( )
( )
21
22
log 1 log 31 32 2 0
x
xx

+− +

?
A. 27. B. Vô số. C. 26. D. 28.
Câu 77: Có bao nhiêu số nguyên
x
thoả mãn
( )
( )
( )
21
33
log 1 log 21 . 16 2 0?
x
xx

+− +

A.
17
. B.
18
. C.
16
. D. Vô số.
Câu 78: (MĐ 103 2020-2021 ĐỢT 2) bao nhiêu số nguyên
x
tha mãn
21
22
log ( 1) log ( 21) (16 2 ) 0?
x
xx

+− +

A. Vô số. B.
17
. C.
16
. D.
18
.
Câu 79: (MĐ 104 2020-2021 ĐỢT 2) bao nhiêu số ngun
x
tha n
( ) ( )
21
33
log 1 log ( 31) 32 2 0?
x
xx

+− +

A.
27
. B.
26
. C. Vô số. D.
28
.
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 1
Sưu tm và biên son
BÀI 21: PHƯƠNG TRÌNH – BT PHƯƠNG TRÌNH M S LOGARIT
BÀI TP TRC NGHIM TRÍCH T ĐỀ THAM KHẢO VÀ ĐỀ CHÍNH THC
CA B GIÁO DC T NĂM 2017 ĐẾN NAY
Câu 1: (MĐ 101-2022) Nghim của phương trình
21 2
33
xx+−
=
A.
1
3
x =
. B.
0
. C.
1x =
. D.
1x =
.
Li gii
Chn A
Ta có:
21 2
1
3 3 2 12 3 1
3
xx
x xx x
+−
= ⇔+=⇔==
.
Câu 2: (MĐ 102-2022) Nghiệm của phương trình
21 2
33
xx+−
=
A.
1
3
x
=
. B.
0x =
. C.
1x
=
. D.
1x =
.
Lời giải
Chọn A
Ta có:
21 2
1
3 3 2 12
3
xx
x xx
+−
= += =
.
Câu 3: (MĐ 103-2022) S nghiệm thc của phương trình
2
1
24
x +
=
A.
1
. B.
2
. C.
3
. D.
0
.
Li gii
Chn B
Ta có
2
12 2
1
2 4 12 1
1.
x
x
xx
x
+
=
= += =
=
Vy s nghim thc của phương trình
2
1
24
x +
=
2
.
Câu 4: (MĐ 104-2022) S nghiệm thc của phương trình
2
1
24
x +
=
A.
1
. B.
2
. C.
0
. D.
3
.
Li gii
Chn B
CHƯƠNG
VI
HÀM S
M S LOGARIT
H THNG BÀI TP TRC NGHIM.
III
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 2
Sưu tm và biên son
Ta có:
22
1 12 2
2422 12 1
xx
xx
++
= = += =±
.
Câu 5: (MĐ 103-2022) Nghim của phương trình
( )
1
2
log 2 1 0x −=
A.
3
4
x =
. B.
1x =
. C.
1
2
x =
. D.
2
3
x =
Li gii
Chn B
Điu kiện:
( )
1
2 10 *
2
xx−> >
.
Với điều kiện
phương trình tương đương:
( )
1
2
log210 2112 1 1x x xx = −= = =
(tha mãn).
Câu 6: (MĐ 104-2022) Nghiệm của phương trình
( )
1
2
log 2 1 0x −=
A.
1x =
. B.
3
4
x =
. C.
2
3
x =
. D.
1
2
x =
.
Lời giải
Chọn A
Ta có:
( )
1
2
log210 211 1x xx = −= =
.
Câu 7: (TK 2020-2021) Nghim của phương trình
24
5 25
x
=
là:
A.
3.x =
B.
2.x =
C.
1.x =
D.
1.x =
Li gii
Ta có
24 24 2
5 25 5 5 2 4 2 3.
xx
xx


Câu 8: (TK 2020-2021) Nghim của phương trình
( )
2
log 3 3x =
là:
A.
3.x =
B.
2.x =
C.
8
.
3
x =
D.
1
.
2
x
=
Li gii
Ta có
3
2
8
log (3 ) 3 3 2 .
3
x xx
Câu 9: (MĐ 102 2020-2021 ĐỢT 1) Nghim của phương trình
( )
5
log 3 2x =
A.
25x =
. B.
32
3
x =
. C.
32x =
. D.
25
3
x =
.
Li gii
Ta có
( )
5
2
30
25
log 3 2
3
35
x
xx
x
>
= ⇔=
=
.
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 3
Sưu tm và biên son
Câu 10: (MĐ 103 2020-2021 ĐỢT 1) Nghiệm của phương trình
( )
3
log 2 2
x =
A.
9
2
x =
. B.
9x =
. C.
4x =
. D.
8
x =
.
Lời giải
Điều kiện:
0
x >
. Với điều kiện phương trình đã cho tương đương
2
239
x = =
9
2
x
⇔=
.
Câu 11: (MĐ 104 2020-2021 ĐỢT 1) Nghim của phương trình
( )
2
log 5 3x =
là:
A.
8
5
x =
. B.
9
5
x =
. C.
8x =
. D.
9x =
.
Li gii
Điu kiện
0x >
( )
2
log 5 3x =
3
52x⇔=
58x⇔=
8
5
x
⇔=
(nhn).
Câu 12: Nghim của phương trình
53
x
=
là:
A.
3
5x
=
. B.
3
5
x =
. C.
3
log 5x =
. D.
5
log 3x =
.
Li gii
Ta có
5
5 3 log 3
x
x=⇔=
.
Vậy nghiệm của phương trình
53
x
=
5
log 3x =
.
Câu 13: Nghiệm của phương trình
52=
x
là:
A.
2
log 5=x
. B.
5
log 2=
x
. C.
2
5
=x
. D.
5=
x
Lời giải
Ta có:
5
5 2 log 2=⇔=
x
x
. Chọn B
Câu 14: (MĐ 103 2020-2021 ĐỢT 2) Nghim của phương trình
72
x
A.
2
log 7x
. B.
7
log 2x
. C.
2
7
x
. D.
7x
.
Li gii
Ta có
7
7 2 log 2
x
x
.
Câu 15: (MĐ 104 2020-2021 ĐỢT 2) Nghim của phương trình
73
x
A.
3
7
x
. B.
3
7x
. C.
7
log 3x
. D.
3
log 7x
.
Li gii
Ta có
7
7 3 log 3
x
x
Câu 16: Minh Ha 2020 Ln 1) Nghim của phương trình
( )
3
log 2 1 2x −=
là:
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 4
Sưu tm và biên son
A.
3x =
. B.
5x =
. C.
9
2
x =
. D.
7
2
x =
.
Li gii
Chn B
Điu kiện:
1
2 10
2
xx−> >
Ta có
( )
3
2
1
log 2 1 2
2
2 13
x
x
x
>
−=
−=
1
2
5
x
x
>
=
5x⇔=
.
Vậy phương trình có nghiệm
5x =
.
Câu 17: (Mã 101 - 2020 Ln 1) Nghim của phương trình
( )
3
log 1 2x −=
A.
8x =
. B.
9x =
. C.
7x =
. D.
10x =
.
Li gii
Chn D
TXĐ:
( )
1;D = +∞
( )
2
3
log 1 2 1 3 10xxx = −= =
Câu 18: (Mã 102 - 2020 Ln 1) Nghim của phương trình
A. . B. . C. . D. .
Li gii
Chn C
Ta có .
Câu 19: (Mã 103 - 2020 Ln 1) Nghim của phương trình
( )
2
log 2 3x −=
là:
A.
6x =
. B.
8x =
. C.
11x =
. D.
10x =
.
Li gii
Chn D
Điu kiện:
20 2xx−>>
.
( )
2
log 2 3 2 8 10x xx =⇔−=⇔=
(tha).
Vậy phương trình có nghiệm
10x =
.
Câu 20: (Mã 104 - 2020 Ln 1) Nghim của phương trình
( )
3
log 2 2x −=
A.
11x =
. B.
10x =
. C.
7x =
. D.
8
.
Li gii
Chn A
Điu kiện:
2x >
Phương trình tương đương với
2
2 3 11xx−= =
Câu 21: (Mã 102 - 2020 Ln 2) Nghim của phương trình
( )
2
log 9 5x +=
( )
2
log 1 3x −=
10x =
8x =
9x =
7x =
( )
2
log 1 3x −=
3
10
12
x
x
−>
−=
1
9
x
x
>
=
9x =
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 5
Sưu tm và biên son
A.
41
x
=
. B.
23x =
. C.
1x =
. D.
16x =
.
Li gii
Chn B
ĐK:
9x >−
Ta có:
( )
5
2
log 9 5 9 2xx
+ =+=
23x⇔=
.
Câu 22: (Mã 103 - 2020 Ln 2) Nghim của phương trình
( )
2
log 6 5x +=
là:
A.
4x
=
. B.
19x =
. C.
38x =
. D.
26x =
.
Li gii
Chn D
Điu kiện
60 6xx+ > >−
Ta có:
( )
2
log 6 5x +=
( )
5
22
log 6 log 2x +=
( )
6 32x+=
32 6x⇔=
( )
26xTM⇔=
Vậy nghiệm của phương trình:
26x =
Câu 23: (Mã 104 - 2020 Ln 2) Nghim của phương trình
( )
2
log 7 5x +=
A.
18x =
. B.
25x =
. C.
39x
=
. D.
3x
=
.
Li gii
Chn B
( )
5
2
log 7 5 7 2xx+ =⇔+=
25x⇔=
.
Câu 24: (Mã 101 - 2020 Ln 2) Nghim của phương trình
2
log ( 8) 5x +=
bằng
A.
17x =
. B.
24x =
. C.
2x =
. D.
40
x
=
.
Li gii
Chn B
Ta có
5
2
log ( 8) 5 8 2 24xxx+ =+= =
.
Câu 25: Tham Kho 2019) Tập nghiệm của phương trình
( )
2
2
log 2 1xx−+ =
:
A.
{ }
0
B.
{ }
0;1
C.
{ }
1; 0
D.
{ }
1
Li gii
Chn B
( )
22
2
0
log 2 1 2 2
1
x
xx xx
x
=
−+ = −+=
=
Câu 26: Minh Ha 2017) Giải phương trình
4
log ( 1) 3.−=x
A.
65=x
B.
80=x
C.
82=x
D.
63=x
Li gii
Chn A
ĐK:
10 1 −> >
xx
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 6
Sưu tm và biên son
Phương trình
( )
4
log 1 3−=
x
3
1 4 65
−= =xx
.
Câu 27: (Mã 110 2017) Tìm nghim của phương trình
( )
2
log 1 2x−=
.
A.
5x =
. B.
3
x =
. C.
4x =
. D.
3x =
.
Li gii
Chn B
Ta có
( )
2
log 1 2x
−=
14x⇔− =
3x
⇔=
.
Câu 28: (Mã 102 2018) Tập nghiệm của phương trình
( )
2
2
log 1 3x −=
A.
{ }
10; 10
B.
{ }
3; 3
C.
{
}
3
D.
{ }
3
Li gii
Chn B
( )
2
2
log 1 3x −=
2
18x −=
2
9x⇔=
3
x
⇔=±
.
Câu 29: (Mã 104 2017) Tìm nghim của phương trình
( )
2
log 5 4x
−=
.
A.
11x =
B.
13x =
C.
21x =
D.
3x =
Li gii
Chn C
ĐK:
50 5xx−> >
Khi đó
( )
2
log 5 4x −=
5 16 21xx−= =
.
Câu 30: (Mã 103 2018) Tập nghiệm của phương trình
2
3
log ( 7) 2x −=
A.
{ }
4
B.
{ }
4
C.
{ 15; 15}
D.
{ 4;4}
Li gii
Chn D
2
3
log ( 7) 2x −=
2
79x −=
4
4
x
x
=
=
Câu 31: (Mã 105 2017) Tìm nghim của phương trình
( )
+=
25
1
log 1
2
x
.
A.
=
6x
B.
= 4
x
C.
=
23
2
x
D.
= 6x
Li gii
Chn B
Điu kiện:
>−1x
Xét phương trình
( ) ( )
+= +=
25 5
1
log 1 log 1 1
2
xx
+= =15 4
xx
.
Câu 32: Tham Kho 2017) Tìm tập nghiệm
S
của phương trình
(
) ( )
22
log 1 log 1 3xx−+ +=
.
A.
{ }
3S =
B.
{ }
10; 10S =
C.
{ }
3; 3S =
D.
{ }
4S =
Li gii
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 7
Sưu tm và biên son
Chn A
Điu kiện
> 1x
. Phương trình đã cho trở thành
( )
−=
2
2
log 1 3x
−=
2
18x
⇔=±3x
Đối chiếu điều kiện, ta được nghiệm duy nhất của phương trình là
{ }
=⇒=33xS
Câu 33: (Mã 103 - 2019) Nghim của phương trình
( )
(
)
22
log 1 1 log 3 1xx
+ +=
A.
1x
=
. B.
2x =
. C.
1x =
. D.
3x =
.
Li gii
Chn D
Điu kiện phương trình:
1
3
x >
.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 22 2
log 1 1 log 3 1 log 1 .2 log 3 1 2 1 3 1 3x x x x x xx++= −⇔ + = −⇔ += =


.
Ta có
3x =
( Thỏa mãn điều kiện phương trình)
Vậy nghiệm phương trình là
3x =
.
Câu 34: (Mã 105 2017) Tìm tập nghiệm
S
của phương trình
( ) ( )
+− =
33
log 2 1 log 1 1xx
.
A.
{ }
= 3S
B.
{
}
= 4S
C.
{ }
= 1S
D.
{
}
= 2S
Li gii
Chn B
ĐK:
−
+>
>
⇔>

−>
>
1
2 10
1.
2
10
1
x
x
x
x
x
Ta có
( ) ( )
+− =
33
log 2 1 log 1 1xx
++
= =⇔=
−−
3
21 21
log 1 3 4
11
xx
x
xx
(tha)
Câu 35: (Mã 101 - 2019) Nghim của phương trình
( ) (
)
33
log 1 1 log 4 1xx+ += +
A.
4x
=
. B.
2
x =
. C.
3x
=
. D.
3
x =
.
Li gii
Chn B
Điu kiện:
1
.
4
x >−
Ta có:
( ) ( )
( )
33
log 1 1 log 4 1
1
1
4
2.
4
3 141
2
xx
x
x
x
xx
x
+ += +
>
>

⇔=


+= +
=
Vy: Nghim của phương trình là
2.x =
Câu 36: (Mã 104 - 2019) Nghim của phương trình
( ) ( )
33
log 2 1 1 log 1xx+=+
A.
4x =
. B.
2x
=
. C.
1x =
. D.
2x =
.
Li gii
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 8
Sưu tm và biên son
Chn A
Điu kiện:
2 10
1
10
x
x
x
+>
⇔>
−>
.
Ta có:
( ) ( )
33
log 2 1 1 log 1xx+=+
( )
( )
33
log 2 1 log 3 1
xx
+=


2 13 3
xx +=
4x⇔=
(nhn).
Câu 37: (Mã 102 -2019) Nghim của phương trình
(
) ( )
22
log 1 1 log 1xx+=+
A.
3x =
. B.
2x
=
. C.
1x =
. D.
2
x
=
.
Li gii
Chn A
Điu kiện:
1
1
1
x
x
x
>−
⇔>
>
.
Phương trình đã cho tương đương với
( ) ( )
22
log 1 1 log 1xx+=+
.
( ) (
)
22
log 1 log 2. 1
xx +=
12 2 3xx x += =
(Tha mãn).
Câu 38: (Mã 110 2017) Tìm tập nghiệm
S
của phương trình
( )
( )
1
2
2
log 1 log 1 1.xx−+ +=
A.
{ }
3S =
B.
{ }
2 5;2 5S =−+
C.
{ }
25
S = +
D.
3 13
2
S

+

=



Li gii
Chn C
Điu kiện
10
1 (*)
10
x
x
x
−>
⇔>
+>
.
Phương trình
( ) ( )
22
2log 1 log 1 1xx −− +=
( ) ( )
2 22
2log 1 log 1 log 2xx = ++
( ) ( )
2
22
log 1 log 2 1xx −= +


2
2 12 2xx x += +
( )
2
25
4 10
25
xL
xx
x
=
−=
= +
. Vy tập nghiệm phương trình
{ }
25S = +
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 9
Sưu tm và biên son
Câu 39: Tham Kho 2018) Tng giá tr tất c các nghim của phương trình
3 9 27 81
2
log .log .log .log
3
xx x x=
bằng
A.
0.
B.
80
.
9
C.
9.
D.
82
.
9
Li gii
Chn D
Điu kiện
0x
>
.
Phương trình đã cho tương đương với
3
4
33 3 3 3
3
9
log 2
1 11 2
log . .log . log . log (log ) 16
1
log 2
2 34 3
9
=
=
=⇔=
=
=
x
x
xxx x
x
x
Câu 40: (Mã 110 2017) Tìm tập nghiệm
S
của phương trình
( ) ( )
1
2
2
log 1 log 1 1.xx−+ +=
A.
{ }
3S
=
B.
{ }
2 5;2 5S =−+
C.
{ }
25S = +
D.
3 13
2
S

+

=



Li gii
Chn C
Điu kiện
10
1 (*)
10
x
x
x
−>
⇔>
+>
.
Phương trình
( ) ( )
22
2log 1 log 1 1xx −− +=
(
) ( )
2 22
2log 1 log 1 log 2xx = ++
( ) ( )
2
22
log 1 log 2 1xx −= +


2
2 12 2xx x += +
(
)
2
25
4 10
25
xL
xx
x
=
−=
= +
. Vy tập nghiệm phương trình
{ }
25S = +
Câu 41: (Mã 104 2017) Xét các s nguyên dương
a
,
b
sao cho phương trình
2
ln ln 5 0a xb x+ +=
hai nghiệm phân biệt
1
x
,
2
x
phương trình
2
5log log 0xb xa+ +=
hai nghiệm phân biệt
3
x
,
4
x
tha mãn
12 34
xx xx>
. Tính giá trị nhỏ nhất
min
S
ca
23S ab= +
.
A.
min
17S =
B.
min
30S =
C.
min
25S =
D.
min
33S =
Li gii
Chn B
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 10
Sưu tm và biên son
Điu kiện
0x >
, điều kiện mỗi phương trình có 2 nghiệm phân biệt là
2
20ba>
.
Đặt
ln , log
t xu x
= =
khi đó ta được
( )
2
5 01
at bt+ +=
,
( )
2
5 02t bt a+ +=
.
Ta thy vi mi một nghiệm
t
thì có một nghiệm
x
, một
u
thì có một
x
.
Ta có
1 2 12
12
..
b
t t tt
a
xx e e e e
+
= = =
,
12
5
34
. 10 10
b
uu
xx
+
= =
, lại có
5
12 34
10
bb
a
xx xx e
−−
> ⇔>
5
ln10 3
5 ln10
bb
aa
a
⇒− >− >
( do
,ab
nguyên dương), suy ra
2
60 8bb
> ⇒≥
.
Vy
2 3 2.3 3.8 30
S ab
=+≥+=
, suy ra
min
30S
=
đạt được
3, 8
ab= =
.
Câu 42: Minh Họa 2020 Lần 1) Cho phương trình
( ) ( )
2
22
log 2 2 log 2 0x m xm + + −=
(
m
tham
s thực). Tập hợp tất cả các giá tr ca
m
để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thuộc
đoạn
[ ]
1; 2
A.
( )
1; 2
. B.
[ ]
1; 2
. C.
[
)
1; 2
. D.
[
)
2; +∞
.
Li gii
Chn C
( ) ( )
2
22
log 2 2 log 2 0x m xm + + −=
( ) ( )
2
2
1 log 2 log 2 0x m xm + + + −=


Đặt
( )
2
logt x gx= =
01t
≤≤
và mỗi giá trị ca
x
s cho một giá trị ca
t
tr thành
( ) (
)
2
1 2 20t m tm+ + + −=
2
21 2 20t t mt t m + +− + =
( )
2
11t mt −=
( )(
)
11 0ttm +− =
(
)
( )
11
12
tm
t
=
=
Vi
1t =
thì phương trình có một nghiệm
2x
=
Vy đ phương trình ban đầu có hai nghiệm phân biệt thì phương trình
( )
1
phi có một nghiệm
1t
0 11m
−<
12m
⇔≤ <
Vy
[
)
1; 2
m
để thoả mãn yêu cầu bài toán.
Câu 43: (Mã 102 2019) Cho phương trình
(
)
2
93 3
log log 6 1 logxx m −=
(
m
tham s thực). Có tất
c bao nhiêu giá trị nguyên của
m
để phương trình đã cho có nghiệm?
A.
7
. B.
6
. C.
5
. D. Vô s.
Li gii
Chn C
Xét phương trình
( )
2
93 3
log log 6 1 logxx m −=
.
Điu kiện:
1
6
0
x
m
>
>
.
Khi đó
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 11
Sưu tm và biên son
(
) ( )
( ) ( )
2
9 3 3 33 3
log log 6 1 log log log log 6 1
6 1 6 11
x x m xm x
mx x x m
−= + =
= −⇔ =
+) Vi
6m =
, phương trình (1) trở thành
01=
(vô lý).
+) Vi
6m
, phương trình (1) có nghiệm
1
6
x
m
=
11 11
0
6 66 6
mm
> −>
−−
00 6
6
m
m
m
>⇔< <
.
Vy
06m
<<
. Mà
{
}
1;2;3;4;5mm∈⇒
. Vậy có 5 giá trị nguyên của
m
tha mãn.
Câu 44: (MĐ 101-2022) Tập nghiệm ca bất phương trình
( )
5
log 1 2x +>
là:
A.
( )
9 ;+∞
. B.
( )
25 ; .+∞
C.
( )
31 ; +∞
. D.
(
)
24 ;+∞
.
Li gii
Chn D
Ta có:
( )
2
5
log 1 2 1 5 25 1 24xxxx+>+> ⇔> ⇔>
.
Vy tập nghiệm ca bất phương trình là:
( )
24 ;S = +∞
.
Câu 45: (MĐ 102-2022) Tập nghiệm của bất phương trình
( )
5
log 1 2x
+>
A.
( )
24; +∞
. B.
( )
9; +∞
. C.
( )
25; +∞
. D.
(
)
31;
+∞
.
Lời giải
Chọn A
Ta có
( )
5
2
1
log 1 2 24
15
x
xx
x
>−
+ >⇔ >
+>
.
Câu 46: (MĐ 101-2022) bao nhiêu số nguyên dương
a
sao cho ng vi mi
a
có đúng ba s nguyên
b
tha mãn
( )( )
3 3 .2 18 0
bb
a −<
?
A.
B.
73
C.
71
D.
74
Li gii
Chn B
Xét
( )( )
2
1
3 30
3 3 .2 18 0
18
log
.2 18 0
b
bb
b
b
a
b
a
a
=
−=
−=
=
−=
.
TH1: Nếu
2
18
log 1 0 9.a
a
>⇔ < <
Khi đó ta có bảng xét dấu vế trái BPT như sau:
Để với mi
a
có đúng ba số nguyên
b
thì
{ }
2; 3; 4b
nên
2
18 18 9 9
4 log 5 16 32
16 8
a
aa
< ≤⇔ < <
.
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 12
Sưu tm và biên son
Vy
1a =
.TH này có 1 giá trị
a
tha mãn.
TH2: Nếu
2
18
log 1 9.
a
a
<⇔ >
Khi đó ta có bảng xét dấu vế trái BPT như sau:
Để với mi
a
có đúng ba số nguyên
b
thì
{ }
2; 1; 0b ∈−
nên
32
2
18 18
3 log 2 2 2 72 144
a
aa
−−
<− < <
.
Vy
{
}
73;74;...;144a
. TH này có 72 giá trị ca
a
tha mãn.
Gom cả hai trường hợp ta có 73 giá trị ca
a
tha.
Câu 47: (MĐ 102-2022) bao nhiêu số nguyên dương
a
sao cho ng vi mi
a
đúng hai số ngun
b
tha mãn
(
)( )
5 1 .2 5 0
bb
a
−<
A.
20
. B.
21
. C.
22
. D.
19
.
Li gii
Chn B
( )
( )
5 1 .2 5 0
bb
a −<
TH1:
2
2
0
5 10
5
0 log
5
log
.2 5 0
b
b
b
b
b
a
a
a
>
−>


<<



<
−<



Để có đúng hai số ngun
b
thỏa mãn thì
2
5 55
2 log 3
84
a
a

< ≤⇔ <


1a⇒=
(có 1 giá trị
a
).
TH2:
2
2
0
5 10
5
log 0
5
log
.2 5 0
b
b
b
b
b
a
a
a
<
−<


<<



>
−>



Để có đúng hai số ngun
b
thỏa mãn thì
2
5 151
3 log 2 20 40
84
a
aa

<− < <


{ }
21;22;...;40a⇒∈
(có 20 giá trị
a
).
Vậy có tất cả 21 giá trị a thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 48: (MĐ 103-2022) bao nhiêu số nguyên dương
a
sao cho ng vi mi
a
đúng hai số ngun
b
tha mãn
( )( )
4 1 .3 10 0?
bb
a −<
A.
182
. B.
179
. C.
180
. D.
181
.
Li gii
Chn D
Ta có
1,ab≥∈
.
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 13
Sưu tm và biên son
( )( )
3
0
4 1 .3 10 0
10
log
bb
b
a
b
a
=
−=

=


Trưng hp 1:
10
1 10a
a
>⇔ <
.
Tập nghiệm bất phương trình
3
10
0;logS
a


=




.
Yêu cầu bài toán
3
10
10
9
2 log 3 1
10
27
a
a
a
a
<

< ≤⇔ =


.
Trưng hợp 2:
10
0 1 10a
a
< <⇔ >
Tập nghiệm bất phương trình
3
10
log ;0S
a


=




.
Yêu cầu bài toán
3
270
10
3 log 2 90 270
90
a
a
a
a

<− <

>

.
C 2 trường hợp có tất cả 181 giá trị nguyên ca
a
thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 49: (MĐ 104-2022) bao nhiêu số nguyên dương
a
sao cho ng vi mi
a
đúng hai số ngun
b
thoả mãn
( )(
)
3 3 .2 16 0?
bb
a
−<
A.
34
. B.
32
. C.
31
. D.
33
.
Li gii
Chn D
Do
a
+
nên ta có
( )( )
3 3 .2 16 0
bb
a −<
( )
( )
1
3 30
16
2
.2 16 0
1
3 30
16
.2 16 0
2
b
b
b
b
b
b
b
I
a
a
b
II
a
a
<
−<
>
−>

⇔⇔
>

−>
−<
<
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 14
Sưu tm và biên son
Trường hợp 1: Nếu
b
thoả mãn
16
2
b
a
>
. Khi đó hệ
( )
II
vô nghiệm.
Do đó để có đúng hai giá trị
b
thoả mãn yêu cầu bài toán khi và chỉ khi
{ }
0;1b =
thoả mãn
( )
I
{ }
2
1 16
32
2
33;34;.....;64
16 64
2
a
a
a
a
a
>
>
⇒=

Trường hợp 2: Nếu
b
thoả mãn
16
2
b
a
<
. Khi đó hệ
( )
I
vô nghiệm
Do đó để có đúng hai giá trị
b
thoả mãn yêu cầu bài toán khi và chỉ khi
{ }
2;3b =
thoả mãn
u cầu bài toán
16
8
2
1
16 1
16
a
a
a
a
a
>
<
⇒=

Vy có
33
giá tr
a
thoả mãn yêu cầu bài toán
Câu 50: (2020-2021 ĐỢT 1) Tập nghiệm của bất phương trình
32
x
<
A.
( )
3
;log 2−∞
. B.
( )
3
log 2; +∞
. C.
( )
2
;log 3−∞
. D.
(
)
2
log 3;
+∞
.
Lời giải
Ta có
3
3 2 log 2
x
x<⇔<
.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là
( )
3
;log 2S = −∞
.
Câu 51: (2020-2021 ĐỢT 1) Tp nghiệm của bất phương trình
25
x
>
A.
2
( ; log 5)−∞
. B.
5
(log 2; )+∞
. C.
5
( ;log 2)−∞
. D.
2
(log 5; )+∞
Lời giải
Ta có:
2
2 5 log 5.
x
x>⇔>
Tập nghiệm của bất phương trình là:
2
(log 5; )+∞
Câu 52: (2020-2021 ĐỢT 1) Tập nghiệm ca bất phương trình
( )
2
log 3 5x >
A.
32
0;
3



. B.
32
;
3

+∞


. C.
25
0;
3



. D.
25
;
3

+∞


.
Li gii
Ta có
( )
5
2
32
log 3 5 3 2
3
x xx>⇔ > >
.
Vy tập nghiệm ca bất phương trình đã cho là:
32
;
3

+∞


.
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 15
Sưu tm và biên son
Câu 53: (2020-2021 ĐỢT 2) Tập nghiệm ca bất phương trình
( )
2
log 3 3x >
A.
( )
3; +∞
. B.
8
;
3

+∞


. C.
8
0;
3



. D.
( )
0;3
.
Li gii
Ta có :
( )
3
2
8
log3 332 38
3
x x xx>⇔ > >⇔>
Câu 54: (2020-2021 ĐỢT 2) Tập nghiệm ca bất phương trình
( )
3
log 2 4x >
A.
( )
0;32
. B.
81
0;
2



. C.
( )
32; +∞
. D.
81
;
2

+∞


.
Lời giải
Ta có:
( )
3
log 2 4x >
4
81
23
2
xx > ⇔>
Câu 55: Minh Họa 2020 Lần 1) Tập nghiệm ca bất phương trình
2
19
55
x xx −−
A.
[ ]
2; 4
. B.
[ ]
4; 2
.
C.
(
] [
)
; 2 4;−∞ +∞
. D.
(
] [
)
; 4 2;−∞ +∞
.
Li gii
Chn A
2
19 2 2
5 5 1 9 2 80 2 4
x xx
x xx x x x
−−
⇔−
.
Vy Tập nghiệm ca bất phương trình là
[ ]
2; 4
.
Câu 56: Tham Khảo 2020 Lần 2) Tập nghiệm ca bất phương trình
9 2.3 3 0
xx
+ −>
A.
[
)
0;+∞
. B.
( )
0;+∞
. C.
( )
1;+∞
. D.
[
)
1;+∞
.
Li gii
Chn B
( )( )
9 2.3 3 0 3 1 3 3 0 3 1
xx x x x
+ >⇔ + >⇔ >
(vì
3 0,
x
x> ∀∈
)
0x⇔>
.
Vy tập nghiệm ca bất phương trình đã cho là
( )
0;+∞
.
Câu 57: (Mã 101 - 2020 Lần 1) Tập nghiệm ca bất phương trình
2
13
3 27
x
<
A.
( )
4;+∞
. B.
( )
4;4
. C.
( )
;4−∞
. D.
( )
0;4
.
Li gii
Chn B
Ta có:
22
13 13 3 2 2
3 27 3 3 13 3 16 4 4 4
xx
x xx x
−−
< < < < <⇔<<
.
Vy tập nghiệm ca bất phương trình đã cho là
( )
4;4S =
.
Câu 58: (Mã 102 - 2020 Lần 1) Tập nghiệm ca bất phương trình
A. . B. . C. . D. .
2
23
39
x
<
( )
5;5
( )
;5−∞
( )
5; +∞
( )
0;5
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 16
Sưu tm và biên son
Li gii
Chn A
Ta có .
Vậy nghiệm ca bất phương trình .
Câu 59: (Mã 103 - 2020 Lần 1) Tập nghiệm ca bất phương trình
2
7
24
x
<
A.
( 3; 3)
. B.
(0;3)
. C.
( ;3)−∞
. D.
(3; )+∞
.
Li gii
Chn A
Ta có :
2
7
24
x
2
72
22

x
2
72 x
2
9x
3; 3 . x
Câu 60: (Mã 104 - 2020 Lần 1) Tập nghiệm ca bất phương trình
2
1
28
x
<
A.
( )
0; 2
. B.
( )
;2−∞
. C.
( )
2; 2
. D.
( )
2; +∞
.
Li gii
Chn C
T phương trình ta có
2
13 2 2xx < ⇔− < <
.
Câu 61: Tham Kho 2018) Tập nghiệm ca bất phương trình
26
22
xx
là:
A.
;6
B.
0; 64
C.
6;
D.
0;6
Li gii:
Chn A
Cách 1:
26
22 2 6 6
xx
xx x

Cách 2:
Đặt
2
x
t
,
0t
Bất phương trình trở thành:
2
64 0tt
0 64t 
0 2 64 6
x
x
.
Câu 62: Tham Khảo 2019) Tập nghiệm ca bất phương trình
2
2
3 27
xx
<
A.
( )
3; +∞
B.
( )
1; 3
C.
( ) ( )
; 1 3;−∞ +∞
D.
( )
;1−∞
Li gii
Chn B
Ta có
2
22 2
3 27 2 3 2 3 0 1 3
xx
xx xx x
<⇔−<⇔−−<<<
.
Câu 63: Tham Kho 2017) Tìm tập nghiệm
S
ca bất phương trình
1
1
50
5
x+
−>
.
A.
( )
;2S = −∞
. B.
( )
1;S = +∞
. C.
( )
1;S = +∞
. D.
( )
2;S = +∞
.
Li gii
2
23 2 2
3 9 23 2 25 5 5
x
xx x
< <⇔ < <<
2
23
39
x
<
( )
5;5
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 17
Sưu tm và biên son
Bất phương trình tương đương
11
5 5 1 1 2.
x
xx
+−
> + >− >−
Câu 64: Tham Kho 2019) Tập nghiệm ca bất phương trình
2
2
3 27
xx
<
A.
( )
;1−∞
B.
(
)
3;
+∞
C.
( )
1; 3
D.
( ) ( )
; 1 3;−∞ +∞
Li gii
Chn C
Ta có
2
22 2
3 27 2 3 2 3 0 1 3
xx
xx xx x
<⇔−<⇔−−<<<
.
Câu 65: Tham Khảo 2020 Lần 2) Tập nghiệm ca bất phương trình
log 1x
A.
( )
10; +∞
. B.
( )
0; +∞
. C.
[
)
10; +∞
. D.
( )
;10−∞
.
Li gii
Chn C
{
0
log 1 10.
10
x
xx
x
>
≥⇔
Vy bất phương trình đã cho có tập nghiệm là
[
)
10; .+∞
Câu 66: (Mã 102 - 2020 Lần 2) Tập nghiệm ca bất phương trình
( )
2
3
log 13 2x−≥
A.
(
]
[
)
; 2 2:
−∞ +∞
. B.
(
]
;2−∞
.
C.
(
]
0; 2
. D.
[ ]
2; 2
.
Li gii
Chn D
Bất phương trình
( )
22
2
3
22
13 0 13
log 13 2
13 9 4
xx
x
xx

−> <
≥⇔

−≥

13 13
22
22
x
x
x
<<
⇔−
−≤
.
Vậy, tập nghiệm ca bất phương trình
( )
2
3
log 13 2x−≥
[ ]
2; 2
.
Câu 67: (Mã 103 - 2020 Lần 2) Tập nghiệm của bất phương trình
( )
2
3
log 36 3x−≥
A.
(
] [
)
; 3 3;−∞ +∞
. B.
(
]
;3
−∞
. C.
[ ]
3; 3
. D.
(
]
0;3
.
Li gii
Chn C
Ta có:
( )
2 22
3
log 36 3 36 27 9 0 3 3x xx x −≥ −≥
.
Câu 68: (Mã 101 - 2020 Lần 2) Tập nghiệm ca bất phương trình
( )
2
3
log 18 2x−≥
A.
(
]
;3−∞
. B.
(
]
0;3
.
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 18
Sưu tm và biên son
C.
[ ]
3;3
. D.
(
] [
)
; 3 3;−∞ +
.
Li gii
Chn C
Điu kiện:
( )
2
18 0 32;32xx > ∈−
(*).
Khi đó ta có:
(
)
2
3
log 18 2x−≥
2
18 9x⇔−
33x⇔−
.
Kết hợp với điều kiện (*) ta được tập ngiệm ca bất phương trình đã cho là
[
]
3;3
.
Câu 69: (Mã 104 - 2020 Lần 2) Tập nghiệm ca bất phương trình
(
)
2
3
log 31 3
x−≥
A.
(
]
;2−∞
. B.
[ ]
2; 2
. C.
(
] [
)
; 2 2;−∞ +∞
. D.
(
]
0; 2
.
Li gii
Chn B
(
)
[ ]
2 22
3
log 31 3 31 27 4 0 2;2x xx x ∈−
.
Câu 70: Minh Ha 2017) Gii bất phương trình
( )
2
log 3 1 3x −>
.
A.
3x
>
B.
1
3
3
x
<<
C.
3x <
D.
10
3
x >
Li gii
Chn A
Đkxđ:
1
3 10
3
xx−> >
Bất phương trình
3
3 12 3 9 3
x xx −> > >
(t/m đk).
Vậy bpt có nghiệm
3x
.
Câu 71: (Mã 123 2017) Tìm tập nghiệm
S
ca bất phương trình
+≥
2
22
log 5log 4 0xx
.
A.
= −∞ +∞( ; 1] [4 ;) S
B.
= [2;16]S
C.
= +∞
(0 ; 2] [16
;)
S
D.
−∞ +∞
( ; 2] [ 6 1; )
Li gii
Chn C
Điu kiện
> 0x
Bpt
≥
≥
⇔⇔
≤≤
2
2
log 4
16
log 1 2
x
x
xx
Kết hợp điều kiện ta có
( )
= +∞

0;2 16;S
.
Câu 72: Có bao nhiêu số nguyên
x
thỏa mãn
( )
( )
2
3
3 9 . log 25 3 0?
xx
x + −≤


CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 19
Sưu tm và biên son
A.
24.
B. Vô số. C.
26.
D.
25.
Lời giải
Điều kiện:
(
)
25 * .x
>−
Trường hợp 1:
( ) ( )
22
2
2
33
0
0
390 3 3
2
.
2
2
25 27
log 25 3 0 log 25 3
2
xx x x
x
x
xx
x
x
x
xx
x
≤

−≥

⇔⇔

=
+≤
+ −≤ +


Kết hợp với điều kiện
( )
*
ta được
(
]
{ }
25; 0 2 .x ∈−
{ }
24; 23;...;1;0;2xx ∈−
có 26 giá trị nguyên của
x
thỏa mãn.
Trường hợp 2:
( ) ( )
( )
22
2
2
33
02
390 3 3
2
2.
2
25 27
log 25 3 0 log 25 3
xx x x
x
xx
x tm
x
x
xx

≤≤
−≤

⇔=

+≥
+ −≥ +


Kết hợp các trường hợp, ta có tất cả 26 giá trị nguyên của của
x
thỏa mãn đề.
Câu 73: (MĐ 102 2020-2021 ĐỢT 1) bao nhiêu số ngun
x
tha mãn
( )
( )
2
2
3 9 log 30 5 0
xx
x + −≤


A.
30
. B. Vô s. C.
31
. D.
29
.
Li gii
Điu kiện:
30x >−
Trưng hp 1:
( ) ( )
22
2
2
22
0
0
390 3 3
2
2
2
30 32
log 30 5 0 log 30 5
2
xx x x
x
x
xx
x
x
x
xx
x
≤

−≥

⇔⇔

=
+≤
+ −≤ +


Kết hợp điều kiện ta có:
30 0
2
x
x
<≤
=
. Nên
{ }
29, 28,...0,2x ∈−
nên có
31
s ngun
Trưng hợp 2:
( ) ( )
22
2
2
22
02
390 3 3
2
2
2
30 32
log 30 5 0 log 30 5
xx x x
x
xx
x
x
x
xx

≤≤
−≤

⇔=

+≥
+ −≥ +


Vy tng cộng có
31
s nguyên thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 74: (MĐ 103 2020-2021 ĐỢT 1) bao nhiêu số ngun
x
thoả mãn
( )
( )
2
2
2 4 log 14 4 0
xx
x + −≤


?
A.
14
. B.
13
. C. Vô s. D.
15
.
Li gii
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 20
Sưu tm và biên son
Ta có:
( )
( )
2
2
2 4 log 14 4 0
xx
x + −≤


( )
( )
2
2
2
2
2 40
log 14 4 0
2 40
log 14 4 0
xx
xx
x
x
−≥
+ −≤
−≤
+ −≥
( )
( )
2
2
2
2
2
2
22
log 14 4
22
log 14 4
xx
xx
x
x
+≤
+≥
2
2
2
0 14 16
2
14 16
xx
x
xx
x
<+
+≥
2
0
14 2
02
2
x
x
x
x
x
≥
<≤
≤≤
2
14 0
2
x
x
x
=
⇔− <
=
2
14 0
x
x
=
<≤
.
x
nguyên nên
{
}
13; 12;...;0;2x ∈−
. Vy có
15
s nguyên
x
tha mãn yêu cầu bài toán.
Câu 75: (MĐ 104 2020-2021 ĐỢT 1) Có bao nhiêu số nguyên
x
thỏa mãn
( )
(
)
2
3
2 4 log 25 3 0
xx
x + −≤


?
A.
24
. B. Vô s. C.
25
. D.
26
.
Li gii
ĐK:
25x >−
+) Ta có
( )
( )
2
2
3
0
2
2 4 log 25 3 0
2
25 27
xx
x
xx
x
x
x
=
=
+ −=


=
+=
Ta có bảng xét dấu
( )
( )
( )
2
3
2 4 log 25 3
xx
fx x= +−


+) Suy ra:
( )
25 0
0
2
x
fx
x
<≤
≤⇔
=
+) Vì
x
nên ta có
{ }
24; 23;...; 1;0;2x ∈−
. Vy có
26
giá tr
x
nguyên thỏa bài toán.
Câu 76: Có bao nhiêu số nguyên
x
tha mãn
( )
( )
( )
21
22
log 1 log 31 32 2 0
x
xx

+− +

?
A. 27. B. Vô s. C. 26. D. 28.
Li gii
Ta có
( )
( )
( )
21
22
log 1 log 31 32 2 0
x
xx

+− +

CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 21
Sưu tm và biên son
( )
( )
( )
( )
[ ]
2
2
22
1
2
2
22
1
31
31
31
5
log 1 log 31
30 0
6
15
32 2
6
31
31
31
30 0
log 1 log 31
5; 6
15
32 2
6
x
x
x
x
x
x
xx
xx
x
x
x
x
x
x
xx
xx
x
x
x
>−
>−
>−
≤−
+≥ +
−−
−≤

⇔⇔
>−

>−
>−

−−
+≤ +
∈−
−≥
31 5
6
x
x
< ≤−
=
Do
x
nguyên nên
{ }
30; 29; 28;...; 5;6x −−−
.
Vậy có 27 giá trị nguyên ca
x
thỏa mãn bất phương trình đã cho.
Câu 77: Có bao nhiêu số nguyên
x
thoả mãn
( )
( )
( )
21
33
log 1 log 21 . 16 2 0?
x
xx

+− +

A.
17
. B.
18
. C.
16
. D. Vô s.
Lời giải
Điu kiện:
21.x
>−
Khi đó
( )
(
)
( )
( )
(
)
( )
( )
21
33
2
33
1
2
33
1
log 1 log 21 . 16 2 0
log 1 log 21 0
()
16 2 0
log 1 log 21 0
()
16 2 0
x
x
x
xx
xx
I
xx
II

+− +

+− +
−≥
⇔
+− +
−≤
Gii
(
)
I
ta có
( )
( )
(
)
( )
22
33 3 3
1 14
log 1 log 21 0 log 1 log 21
16 2 0 2 2
xx
xx x x
−−

+− + + +


−≥


22
4
4
1 21 20 0
.
5
5
14 5
5
x
x
x x xx
x
x
xx
x
≤−
≤−

+≥ +
⇔⇔

=
−≤

Kết hợp điều kiện ta được
21 4
5
x
x
< ≤−
=
( )
1
.
Gii
( )
II
ta có
( )
( )
( )
( )
22
33 3 3
1 14
log 1 log 21 0 log 1 log 21
16 2 0 2 2
xx
xx x x
−−

+− + + +


−≤


CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 22
Sưu tm và biên son
( )
22
45
1 21 20 0
5 2.
5
14 5
x
x x xx
x
x
xx
−≤

+≤ +
⇔=

−≥

T
( )
1
( )
2
ta có các giá tr ca
x
thoả mãn bất phương trình đã cho là
21 4
5
x
x
< ≤−
=
.
x ∈Ζ
nên suy ra
{ }
20; 19;...; 4;5
x ∈−
. Vậy có tất c 18 s ngun
x
thoả mãn đề bài.
Câu 78: (MĐ 103 2020-2021 ĐỢT 2) Có bao nhiêu số nguyên
x
tha mãn
21
22
log ( 1) log ( 21) (16 2 ) 0?
x
xx

+− +

A. Vô s. B.
17
. C.
16
. D.
18
.
Li gii
Điu kiện:
21 0 21
xx+ > >−
Đặt
21
22
( ) log ( 1) log ( 21) (16 2 )
x
fx x x

= +− +

Ta có:
22
22 2 2
log ( 1) log ( 21) 0 log ( 1) log ( 21)
xx x x
+− + = += +
22
21
21 21
5
5
4
1 21 20 0
4
x
xx
x
x
x
x x xx
x
>−
>− >−
=

⇔⇔
=

=
+= + =

=
1 1 14
16 2 0 2 16 2 2 1 4 5
xx x
xx
−−
=⇔=⇔===
Bảng xét dấu:
T bảng xét dấu ta có:
( ) 0 21 4fx x < ≤−
{ }
20; 19; 18...; 4xx−−−
Vậy, có
17
s nguyên
x
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 79: (MĐ 104 2020-2021 ĐỢT 2) bao nhiêu số ngun
x
tha mãn
( ) ( )
21
33
log 1 log ( 31) 32 2 0?
x
xx

+− +

A.
27
. B.
26
. C. Vô s. D.
28
.
Li gii
Đặt
( )
( ) ( )
21
33
log 1 log ( 31) 32 2
x
hx x x

= +− +

.
Điu kiện:
31x
>−
.
Ta có:
( )
( ) ( )
22
33 3 3
11
log 1 log ( 31) 0 log 1 log ( 31)
0
32 2 0 2 32
xx
xx xx
hx
−−
+− + = += +
=⇔⇔
−= =
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 23
Sưu tm và biên son
22
5
1 31 30 0
6
66
x
x x xx
x
xx
=
+= + =
⇔⇔
=
= =
Bảng xét dấu
( )
hx
T bảng xét dấu ca
( )
hx
ta suy ra
( ) ( )
21
33
log 1 log ( 31) 32 2 0 ( 31; 5] {6}
x
xx x

+ + ∈−

Vy có 27 s nguyên
x
tha mãn.
CHUYÊN Đ VITOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 63
Sưu tm và biên son
BÀI 21: PHƯƠNG TRÌNH – BT PHƯƠNG TRÌNH HÀM S LOGARIT
DNG 1: PHƯƠNG TRÌNH MŨ
Câu 1: Nghim của phương trình
35
2 16
x
=
A.
3x =
. B.
2x
=
. C.
7x =
. D.
1
3
x =
.
Câu 2: Tập nghiệm ca bất phương trình
2
23
21
xx−−
=
A.
{ }
1; 3S =
. B.
{
}
2S =
. C.
{ }
1; 3S =
. D.
{ }
0S =
.
Câu 3:
2x
=
là nghiệm của phương trình nào sau đây?
A.
38
x
=
. B.
4 16
x
=
. C.
3
9x =
. D.
16 4
x
=
.
Câu 4: Tìm tất cả các giá tr ca tham s
m
để phương trình
1
1
3
x
m

=


có nghiệm
A.
0
m
<
hoặc
1m =
. B.
1m
>
. C.
0
m
. D.
01m<≤
.
Câu 5: Phương trình nào sau đây vô nghiệm?
A.
21=
x
. B.
23=
x
. C.
20=
x
. D.
23=
xx
.
Câu 6: Nghim của phương trình
31
x
=
A.
0x =
. B.
1x
=
. C.
2x =
. D.
1x =
.
Câu 7: Phương trình
( )
36
31
x
=
có nghiệm là:
A.
0x =
. B.
2x =
. C.
7
3
x =
. D.
6x =
.
Câu 8: Nghim của phương trình
2
35
x
=
A.
5
log 3
2
. B.
3
log 5
2
. C.
125
2
. D.
5
2log 3
.
Câu 9: S nghiệm của phương trình
2
2
31
xx
=
A.
0
. B.
2
. C.
3
. D. 4.
Câu 10: Nghim của phương trình
1
3 27
x
=
A.
5x =
. B.
4x =
. C.
3x =
. D.
2x =
.
CHƯƠNG
VI
HÀM S
VÀ HÀM S LOGARIT
H THỐNG BÀI TP TRẮC NGHIỆM.
III
CHUYÊN Đ VITOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 64
Sưu tm và biên son
Câu 11: Nghim của phương trình
3
2 64
x
=
A.
2
. B.
4
. C.
3
. D.
5
.
Câu 12: Nghim của phương trình
23 7
22
xx++
=
là:
A.
10
3
x =
. B.
4
3
x
=
. C.
4x =
. D.
10x =
.
Câu 13: Nghim của phương trình
1
1
5
25
x
A.
3
. B.
1
. C.
. D.
.
Câu 14: Tổng bình phương các nghiệm của phương trình
2
45
39
xx−+
=
A.
B.
10
C.
11
D.
9
Câu 15: Nghim của phương trình
72
x
=
A.
7
log 2x =
. B.
2
log 7x =
. C.
2
7
x =
. D.
7x =
.
Câu 16: Nghiệm của phương trình
21
4 64
x+
=
A.
2x =
. B.
15
2
x =
. C.
15x =
. D.
1
x
=
.
Câu 17: Nghim của phương trình
5 10
x
=
A.
5
log 10x =
. B.
10
log 5
x =
. C.
2x =
. D.
1
2
x =
.
Câu 18: Tìm tất cả các giá tr thc ca
m
để phương trình
3
x
m=
có nghiệm thc.
A.
0m
>
. B.
1m
. C.
0m
. D.
0m
.
Câu 19: Nghim của phương trình
2
1
1
3
9
x
x
+

=


là:
A.
1x =
. B.
1x =
. C.
1
5
x =
. D.
1
5
x =
.
Câu 20: Tổng tất cả các nghim của phương trình
2
22
28
xx x+−
=
bng
A.
5
. B.
6
. C.
5
. D.
6
.
Câu 21: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
m
để phương trình
2
59
x
m=
có nghiệm thực?
A.
6
. B.
5
. C.
4
. D.
7
.
Câu 22: Tập nghiệm của phương trình:
2
32
31
xx−+
=
là:
A.
3I =
. B.
{ }
1; 2S =
. C.
{ }
1S =
. D.
{
}
2S =
.
Câu 23: Tất cả các giá tr của tham số
m
để phương trình
2
1
31
x
m
+
=
có nghiệm là
A.
4m
. B.
4m >
. C.
1m >
. D.
1m
.
Câu 24: S nghiệm thc của phương trình
2
22
xx
=
:
A.
1
. B.
3
. C.
2
. D.
0
.
CHUYÊN Đ VITOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 65
Sưu tm và biên son
Câu 25: Phương trình
2
11
5 25
xx
−+
=
có tập nghiệm là
A.
{ }
1; 3
. B.
{ }
1; 3
. C.
{ }
3;1
. D.
{ }
3; 1−−
.
Câu 26: Tổng các nghiệm của phương trình
2
2
24
xx
là:
A.
0
. B.
4
. C.
1
. D.
2
.
Câu 27: Phương trình
2
3
3 81
xx
=
có tổng các nghiệm là
A.
3
. B.
3
. C.
4
. D.
5
.
Câu 28: S nghiệm dương của phương trình
2
4
1
9
3
xx

=


A.
2
. B.
1
. C.
3
. D.
0
.
Câu 29: Giải phương trình
( )
1
57
2
2,5
5
x
x
+

=


.
A.
1x
. B.
1x =
. C.
1x <
. D.
2x =
.
Câu 30: Nghim của phương trình
( )
9
31
5
2, 4
12
x
x
+

=


A.
2x
=
B.
5x
=
C.
5x
=
D.
2x =
Câu 31: Gọi
12
,
xx
là hai nghiệm của phương trình
2
23
1
1
7
7
xx
x
−−
+

=


. Khi đó
12
xx
+
bng:
A.
2
. B.
1
. C.
2
. D.
1
.
Câu 32: Cho phương trình
2
8 13
2 40
xx x
−+
−=
có hai nghiệm
12
;xx
. Tính
12
Sxx= +
.
A.
2S =
. B.
1S =
. C.
4S =
. D.
5.
S =
Câu 33: Gọi S là tng các nghim của phương trình
22 2
32 65 2 37
222 1
xx xx xx−+ ++ ++
+= +
. Khi đó S có giá tr
là:
A.
3
. B.
6
. C.
3
. D.
5
.
DNG 2: PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
Câu 34: Giải phương trình
( )
3
log 1 2x −=
.
A.
7x
=
. B.
9x =
. C.
8x =
. D.
10x =
.
Câu 35: Nghim của phương trình
( )
2
log 5 3x −=
A.
21.x =
B.
11.x =
C.
13.x =
D.
14.x =
Câu 36: Phương trình
( )
3
log 1 2x +=
có nghiệm là
A.
7.x =
B.
8.x =
C.
5.x =
D.
9.x =
Câu 37: Tập nghiệm
S
của phương trình
(
)
3
log 2 3 1x +=
A.
{ }
1.S =
B.
{ }
3.S =
C.
{ }
0.S =
D.
{ }
1.S =
Câu 38: Nghim của phương trình
( )
2
log 3 4 1x −=
là:
A.
2x =
. B.
3
2
x
=
. C.
7
6
x =
. D.
5
3
x =
.
CHUYÊN Đ VITOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 66
Sưu tm và biên son
Câu 39: Nghim của phương trình
2
log ( 1) 3x
+=
A.
5
x =
. B.
7x =
. C.
9x =
. D.
8
x =
.
Câu 40: Nghim của phương trình
(
)
ln 3 2x
=
A.
3
ex
=
. B.
3
e
2
x =
. C.
3
ex =
. D.
2
e
3
x =
.
Câu 41: Nghim của phương trình
( )
9
1
log 2
2
x =
A.
2x =
. B.
1
2
x =
. C.
1x
=
. D.
3
2
x =
.
Câu 42: Nghim của phương trình
(
)
3
log 2 1 2
x
+=
là:
A.
2x =
. B.
4x =
. C.
1
2
x =
. D.
2x =
.
Câu 43: Nghim của phương trình
2
log 1x =
A.
2x =
. B.
1
2
x =
. C.
2x
=
D.
1
2
x
=
.
Câu 44: Nghim của phương trình
( )
2
log 1 3x −=
A.
9x =
. B.
5x =
. C.
1x
=
. D.
10x =
.
Câu 45: Tập nghiệm của phương trình
( )
2
ln 2 1 0
xx
−+ =
A.
{ }
0
. B.
1
0;
2



. C.
1
2



. D.
.
Câu 46: Nghim của phương trình
( )
2
log 2 3x −=
A.
6x =
. B.
11x =
. C.
8x =
. D.
10
x =
.
Câu 47: Số nghiệm của phương trình
(
)
2
3
log 2 3
x
+=
A.
0
. B.
2
. C.
1
. D.
3
.
Câu 48: Nghim của phương trình
22
log log 3 0x +=
A.
3x =
. B.
1
8
x =
. C.
1
3
x =
. D.
3x =
.
Câu 49: Phương trình
( ) (
)
55
log 2 3 log 2xx+= +
A.
1x =
. B.
5x =
. C.
1x
=
. D.
5x =
.
Câu 50: Nghiệm của phương trình
( )
5
5
321log log
x =
A.
62x =
. B.
12x =
. C.
1x =
. D.
2x =
.
Câu 51: Phương trình
2
5
log ( 2 1) 2xx
+ +=
có tập nghiệm là.
A.
{ }
4
. B.
{ }
6; 4
. C.
{ }
4;6
. D.
{ }
2; 4
.
CHUYÊN Đ VITOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 67
Sưu tm và biên son
Câu 52: Tập nghiệm
S
của phương trình
( ) ( )
22
log 1 log 2 1xx−= +
A.
{ }
0S =
. B.
{ }
2S =
. C.
{ }
2S =
. D.
S =
.
Câu 53: S nghiệm của phương trình
( )
22
log log 1 1xx+ −=
A.
1
. B.
2
. C.
0
. D.
3
.
Câu 54: Tổng các nghiệm thc của phương trình
2
22
log (2 5) 2log ( 2)xx−=
bng
A.
1
. B.
7
3
. C.
3
. D.
16
3
.
Câu 55: Gọi
S
là tập nghiệm của phương trình
( ) ( )
2
22
2log 2 2 log 3 2xx−+ =
trên
. Tng các phn
tử ca
S
bằng
A.
42+
. B.
8
. C.
82+
. D.
62+
.
Câu 56: tất c bao nhiêu giá trị ca tham s
m
để phương trình
22
33
log ( 2) log ( 1) 6 2
x x m xm m

+= + +

có hai nghiệm trái dấu?
A.
4
. B.
3
. C. vô số. D.
5
.
Câu 57: Tìm tất cả các giá tr ca tham s
m
để phương trình
( ) ( )
ln 2 lnx mx−=
có nghiệm
A.
01m<<
. B.
1m >
. C.
1
2
m <
. D.
1
0
2
m
<<
.
Câu 58:
Nghim của phương trình
22
log (2 3) log ( 1)xx−= +
A.
2x =
.
B.
2x =
.
C.
4
x =
.
D.
4x =
.
Câu 59: S nghiệm thc của phương trình
( )
( )
3
31
3
3log 1 log 5 3xx−− =
A.
3
. B.
1
. C.
2
. D.
0
.
Câu 60: S nghiệm của phương trình
2
22
log 2log (3 4)
xx= +
A.
2
. B.
0
. C.
1
. D.
3
.
Câu 61: Nghim của phương trình
(
)
21
2
log log 2 1 0
xx+ −=
thuộc khoảng nào sau đây?
A.
( )
6; +∞
. B.
( )
4;6
. C.
( )
0; 2
. D.
( )
2; 4
.
Câu 62: Biết nghiệm lớn nhất của phương trình
( )
1
2
2
log log 2 1 1xx+ −=
là
2xab= +
(
, ab
hai s
nguyên). Giá trị ca
2ab+
bằng
A.
4
. B.
6
. C.
0
. D.
1
.
Câu 63: Tập nghiệm của phương trình
(
)
2
22
5
log 4 3 1 log
2
xx x

+ −=


A.
{ }
2; 4
. B.
{ }
4
. C.
{ }
2;3
. D.
{ }
2
.
CHUYÊN Đ VITOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 68
Sưu tm và biên son
Câu 64: Gọi
S
là tp nghim của phương trình
(
)
(
)
22
log 3 log 1 3
xx
+ −=
. Tng tt c các phn t ca
S
bằng
A.
4
. B.
5
. C.
6
. D.
2
.
Câu 65: S nghiệm của phương trình
( ) ( ) ( )
log 1 log 3 log 3xx x−+ = +
A.
0
. B.
3
. C.
2
. D.
1
.
Câu 66: S nghiệm của phương trình
(
)
( )
2
ln 6x 7 ln 3+= xx
là:
A.
2
. B.
0
. C.
3
. D.
1
.
Câu 67: Tổng tất cả các nghim của phương trình
( )
2
22
log 1 2 logxx x++ =+
bng
A.
1
. B.
4
. C.
2
. D.
3
.
Câu 68: Biết nghiệm của phương trình
(
)
(
)
33
log 1 log 5 1
xx
−+ =
có dng
( )
,x a b ab
=+∈
. Tính
giá tr biểu thức
T ab= +
.
A.
5
T
=
. B.
4T
=
. C.
10T =
. D.
2T =
.
Câu 69: S nghiệm của phương trình
(
)
( )
33
log 2 1 log 3 2
xx++ =
A.
0
B.
1
. C.
2
. D.
3
.
Câu 70: S nghiệm ca phương trình
( )
( )
2
13
3
log 3 1 log 2 0xx x −+ =
A.
1
. B.
3
. C.
2
. D.
0
.
Câu 71: Tổng các nghiệm của phương trình
8
42
2
11
log 3 log 1 log 4
42
x xx 
A.
4 23
. B.
3 23
. C.
6
. D.
4
.
Câu 72: Phương trình
( ) ( )
2
3
3
log 2 log 4 0xx−+ =
có hai nghiệm
12
,xx
. Khi đó
(
)
2
12
= S xx
bng
A. 1. B. 9. C. 7. D. 2.
DẠNG 3: BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
Câu 73: Tập nghiệm ca bất phương trình
24
x
là:
A.
(
]
;2−∞
B.
[ ]
0; 2
C.
( )
;2−∞
D.
( )
0; 2
Câu 74: Nghim của phương trình
35
x
<
A.
3
log 5x
>
. B.
3
log 3x >
. C.
3
log 5x <
. D.
3
log 3
x <
.
Câu 75: Tập nghiệm của phương trình:
1
2 .3 72
xx+
là:
A.
( )
2; +∞
. B.
( )
;2−∞
. C.
(
]
;2−∞
. D.
[
)
2; +∞
.
Câu 76: Tập nghiệm ca bất phương trình
24
22
xx+
<
A.
( )
;4−∞
. B.
( )
0; 4
. C.
( )
0;16
. D.
( )
4; +∞
.
Câu 77: Tập nghiệm ca bất phương trình
39
x
>
A.
( )
2;+∞
. B.
( )
0;2
. C.
( )
0;+∞
. D.
( )
2; +∞
.
CHUYÊN Đ VITOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 69
Sưu tm và biên son
Câu 78: Tập các nghiệm ca bất phương trình
26
x
>
A.
( )
2
log 6; +∞
. B.
( )
;3−∞
. C.
( )
3; +∞
. D.
( )
2
;log 6−∞
.
Câu 79: Tập nghiệm ca bất phương trình
23
1
5
25
x
+
>
là:
A.
5
;
2

+∞


. B.
5
;
2

−∞


. C.
( )
0; +∞
. D.
1
;
2

+∞


.
Câu 80: Tập nghiệm ca bất phương trình
32
x
<
A.
( )
3
;log 2−∞
. B.
(
)
2
;log 3−∞
. C.
( )
3
log 2; +∞
. D.
( )
2
log 3; +∞
.
Câu 81: Tập nghiệm ca bất phương trình
42
x
A.
1
;.
4

+∞


B.
1
;.
4

+∞

C.
1
;.
2

+∞

D.
1
;.
2

+∞


Câu 82: Tập nghiệm của phương trình
2
1
5
5
x
A.
[
)
1; +∞
. B.
(
)
;0−∞
. C.
[
)
2;
+∞
. D.
(
]
;1
−∞
.
Câu 83: Tập nghiệm ca bất phương trình
1
1
2
16
x+
A.
(
]
;5−∞
. B.
[
)
3; +∞
. C.
[
)
3; +∞
. D.
[
)
5;
+∞
.
Câu 84: Tập nghiệm ca bất phương trình
( )
0,8 3
x
<
A.
( )
0,8
;log 3−∞
. B.
( )
3
log 2;+∞
. C.
( )
( )
3
;log 0,8−∞
. D.
( )
0,8
log 3; +∞
.
Câu 85: Tập nghiệm ca bất phương trình
2
11
7 49
xx+

>


A.
(
)
;1−∞
. B.
( ) ( )
; 2 1;−∞ +∞
. C.
( )
1;
+∞
. D.
( )
2;1
.
Câu 86: Tập nghiệm ca bất phương trình
2
1
9
3
x+



A.
[
)
0;
+∞
. B.
[
)
4;
+∞
. C.
(
]
;4−∞
. D.
(
]
;4−∞
.
Câu 87: Tập nghiệm ca bất phương trình
1
2
3

<


x
A.
2
1
log ;
3

+∞


. B.
2
1
;log
3

−∞


. C.
1
3
;log 2

−∞


. D.
1
3
log 2;

+∞


.
Câu 88: Tập nghiệm ca bất phương trình
0,6 3
x
>
A.
( )
0,6
;log 3−∞
. B.
( )
0,6
log 3; +∞
. C.
( )
3
;log 0,6
−∞
. D.
( )
3
log 0, 6; +∞
.
Câu 89: Tập nghiệm ca bất phương trình
1
5
2
x



A.
(
]
2
; log 5−∞
. B.
[
)
2
log 5; +∞
. C.
[
)
5
log 2; +∞
. D.
(
]
5
; log 2−∞
.
CHUYÊN Đ VITOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 70
Sưu tm và biên son
Câu 90: Tập nghiệm ca bất phương trình
1
9
3
x

>


A.
( )
2;+∞
. B.
( )
;2−∞
. C.
(
)
2;
+∞
. D.
( )
;2−∞
Câu 91: Tập nghiệm ca bất phương trình
1
2
2
x



A.
(
]
;1−∞
. B.
[
)
1; +∞
. C.
( )
;1
−∞
. D.
( )
1; +∞
.
Câu 92: Tập nghiệm
S
ca bất phương trình
1
8
2
x

<


A.
( )
;3S = −∞
. B.
( )
3;S = +∞
. C.
( )
3;S = +∞
. D.
( )
1; 3S =
.
Câu 93: Tập nghiệm ca bất phương trình
1
8
3
x



A.
1
3
;log 8

−∞

. B.
(
]
;2−∞
. C.
[
)
2;+∞
. D.
1
3
log 8;

+∞

.
Câu 94: Tập nghiệm ca bất phương trình
0.5 4
x
A.
;2
. B.
;2
. C.
2; 
. D.
2;
.
Câu 95: Tìm s nghiệm nguyên của bất phương trình
2
16
3 81
x
.
A. 9. B. 4. C. 7. D. 5.
Câu 96: Tập nghiệm ca bất phương trình
21
5 125
x
A.
3;

. B.
1
;
2



. C.
1
;
3



. D.
2;
.
Câu 97: Tập nghiệm ca bất phương trình
2
2
4 64
xx
<
A.
( )
1; 3
. B.
( ) ( )
; 1 3;−∞ +∞
.
C.
( )
;1−∞
. D.
( )
3; +∞
.
Câu 98: Tập nghiệm ca bất phương trình
12
1
3. 1
2
x

<


A.
1
2
11 1
; log
22 3


−∞ +




. B.
1
2
11 1
log ;
22 3


+∞




.
C.
1
2
11 1
; log
22 3


−∞




. D.
1
2
11
; log
23


−∞




.
Câu 99: Gii bất phương trình
2
4
3
1
4
x



ta đưc tập nghiệm
T
. Tìm
T
.
A.
[ ]
2; 2T =
. B.
[
)
2;T = +∞
.
C.
(
]
;2T = −∞
. D.
(
] [
)
; 2 2;T = −∞ +∞
CHUYÊN Đ VITOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 71
Sưu tm và biên son
Câu 100: Bất phương trình
23
xx
>
có tập nghiệm là
A.
( )
0;1S =
. B.
( )
;0S = −∞
. C.
( )
1;S = +∞
. D.
( )
1;1S =
.
Câu 101: Tập nghiệm
S
ca bất phương trình
1
8
2
x
>
A.
( )
3; .S = +∞
B.
( )
3; .S = +∞
C.
( )
; 3.S = −∞
D.
( )
;3 .S = −∞
Câu 102: Tập nghiệm ca bất phương trình
1
25
52
x

<


A.
( )
0; +∞
. B.
(
)
;0−∞
. C.
( )
;2−∞
. D.
( )
2; +∞
.
Câu 103: Tập nghiệm ca bất phương trình
11
28
x

<


A.
( )
3; +∞
. B.
( )
;3−∞
. C.
[
)
3; +∞
. D.
(
]
;3−∞
.
Câu 104: Tập nghiệm ca bất phương trình
13
33
44
xx −+
 
>
 
 
A.
( )
2; +∞
. B.
( )
;2−∞
. C.
[
)
2;
+∞
. D.
(
]
;2−∞
.
Câu 105: Tập nghiệm ca bất phương trình
1
11
5 125
x



A.
( )
3; +∞
. B.
[
)
4; +∞
. C.
(
]
;4−∞
. D.
( )
;4−∞
.
Câu 106: Tìm tập nghiệm ca bất phương trình
2
4
1
2
2
xx
x

>


bằng
A.
( )
2; +∞
. B.
( ) (
)
; 2 2;−∞ +∞
. C.
( )
2; +∞
. D.
( )
2; 2
Câu 107: S nghiệm nguyên ca bất phương trình
2
3x
52
1
5
5
x
+

<


A.
3
. B.
1
. C.
2
. D.
4
.
Câu 108: Tập nghiệm ca bất phương trình
2 27
39
xx++
<
A.
( )
;4−∞
. B.
( )
4; +∞
. C.
( )
;5−∞
. D.
(
)
5: +∞
.
Câu 109: Tập nghiệm ca bất phương trình
2
1
1
e
e
xx−−
<
A.
( )
1; +∞
. B.
( )
1; 2
. C.
( )
0;1
. D.
( )
;0−∞
.
Câu 110: Tìm tập nghiệm
S
ca bất phương trình
1 3x
2 25
54



.
A.
(
]
,1S = −∞
. B.
1
,
3
S

= +∞

. C.
1
,
3
S

= −∞

. D.
[
)
1,S = +∞
.
CHUYÊN Đ VITOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 72
Sưu tm và biên son
Câu 111: Tập nghiệm
S
ca bất phương trình
2
1
5
25
x
x
+



A.
( )
1;S = +∞
. B.
(
]
;2S = −∞
. C.
[
)
2;
S = +∞
. D.
( )
;2S = −∞
.
Câu 112: Bất phương trình
3
31
29
34
−−
 
<
 
 
xx x
tương đương với bất phương trình nào sau đây?
A.
3
5 20
−<
xx
. B.
3
5 20
+<
xx
. C.
3
20 ++<xx
. D.
3
20 −<xx
.
Câu 113: Tập nghiệm của phương trình
22
2
1
5
5
x
x
+

>


là:
A.
( )
;4 .−∞
B.
( )
0; .+∞
C.
( )
4; .+∞
D.
(
)
; 4.−∞
Câu 114: Tập nghiệm ca bất phương trình
2021
1
2
2
x

>


A.
( )
;2021−∞
B.
(
)
; 2021−∞
C.
( )
2021; +∞
D.
( )
2021;+∞
Câu 115: Tập nghiệm ca bất phương trình
1
4
1
11
22
x
 
<
 
 
A.
( )
2;
S = +∞
. B.
5
1;
4
S

=


. C.
( )
0;1S =
. D.
( )
;0S = −∞
.
Câu 116: Tìm tập nghiệm
S
ca bất phương trình
2
3
11
24
xx−+

<


.
A.
[ ]
1;2S =
. B.
( )
;1S = −∞
. C.
( )
1;2S =
. D.
( )
2;S = +∞
.
Câu 117: Bất phương trình
2
4
11
2 32
xx+

>


có tập nghiệm là
( )
;S ab=
, khi đó
ba
là?
A.
4
. B.
2
. C.
6
. D.
8
.
Câu 118: Tp hp tt c các giá tr thc ca tham s
m
để bất phương trình
( ) ( )
( )
2
31 2 1
23 23
x x mx−− +
+ >−
đúng
x∀∈
có dng
( )
,ab
. Tính
S ab= +
?
A.
2
. B.
5
2
. C.
2
. D.
3
.
Câu 119: Tập nghiệm ca bất phương trình
21
1
(3 9)(3 ) 3 1 0
27
xx x+
−≤
chứa bao nhiêu số nguyên ?
A. 2. B. 3. C. 4. D. 5.
DẠNG 4: BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
Câu 120: Nghim ca bất phương trình
( )
2
log 1 3x −>
A.
9x >
. B.
19x<<
. C.
10x >
. D.
1 10x<<
.
CHUYÊN Đ VITOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 73
Sưu tm và biên son
Câu 121: Tập nghiệm ca bất phương trình
2
log 3x
A.
(
]
0;8
. B.
(
]
;8
−∞
. C.
(
]
0;9
. D.
( )
0;8
.
Câu 122: Tập nghiệm ca bất phương trình
( )
2
log x 1 3+<
A.
( )
;8S = −∞
. B.
(
)
;7
S
= −∞
. C.
( )
1; 8S =
. D.
( )
1; 7S =
.
Câu 123: Bất phương trình
2
log 3x <
có tập nghiệm là
A.
(
)
8; +∞
. B.
( )
;8−∞
. C.
( )
0;8
. D.
( )
;6−∞
.
Câu 124: Tìm tập nghiệm ca bất phương trình
( )
2
5
log 4 1 0x +>
A.
13
4;
2



. B.
13
4;
2


. C.
13
;
2

−∞


. D.
13
;
2

+∞


.
Câu 125: Tập nghiệm ca bất phương trình
3
log 1 1
x 
A.
;4

. B.
;4

. C.
1; 4
. D.
0; 4
.
Câu 126: Tập nghiệm ca bất phương trình
( )
2
log 3 1 3x −<
A.
( )
;3−∞
. B.
1
;3
3



. C.
1
;3
3



. D.
( )
3; +∞
.
Câu 127: Tập nghiệm ca bất phương trình
3
log 2x
A.
( )
;9
−∞
. B.
(
)
0;6
. C.
( )
;6−∞
. D.
(
]
0;9
.
Câu 128: Bất phương trình
( )
2021
log 1 0x −≤
có bao nhiêu nghiệm nguyên?
A.
1
. B.
2022
. C.
2
. D.
0
.
Câu 129: Gii bất phương trình
2
log ( 1) 5.x
−>
A.
33.x >
B.
33.x <
C.
11.x <
D.
11.x >
Câu 130: Tập nghiệm ca bất phương trình
2
3
log 2x >
A.
4
0;
9



. B.
4
;
9

+∞


. C.
( )
3
4;+∞
. D.
4
;
9

−∞


.
Câu 131: Tập nghiệm ca bất phương trình
1
2
log ( 2) 1x −>
A.
5
2;
2


. B.
5
;
2

+∞


. C.
5
2;
2



. D.
5
;
2

−∞


Câu 132: Tập nghiệm ca bất phương trình
( )
1
3
log 3 2x <−
.
A.
( )
;12−∞
. B.
( )
12;+∞
. C.
( )
3;12
. D.
7
;
3

−∞


.
CHUYÊN Đ VITOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 74
Sưu tm và biên son
Câu 133: Tìm tp nghiệm
S
ca bất phương trình
( )
( )
11
33
log 1 log 2 3xx−> +
.
A.
2
;
3
S

= −∞


. B.
2
;
3
S

= +∞


. C.
2
;1
3
S

=


. D.
( )
1;S = +∞
.
Câu 134: Tập nghiệm ca bất phương trình
( )
( )
11
22
log 3 2 log 4xx−>
A.
2
;3
3
S

=


. B.
3
;
2
S

= −∞


. C.
23
;
32
S

=


. D.
3
;4
2
S

=


.
Câu 135: Tập nghiệm ca bất phương trình
( )
2
1
2
log 5 7 0xx+>
A.
( )
(
)
; 2 3;
−∞ +
. B.
( )
3; +∞
. C.
( )
;2−∞
. D.
( )
2;3
.
Câu 136: Tập nghiệm ca bất phương trình
(
) ( )
log 2 log 6xx
<+
là:
A.
( )
6; +∞
. B.
(0; 6)
. C.
[0; 6)
. D.
( )
;6−∞
.
Câu 137: Tập nghiệm ca bất phương trình
( )
1
2
log 1 0x +≥
A.
[
)
0; +∞
. B.
(
]
;0−∞
. C.
1
1;
2


. D.
(
]
1; 0
.
Câu 138: Tập nghiệm
S
ca bất phương trình
( ) ( )
11
55
log 1 log 2 1xx+<
A.
1
;2
2
S

=


. B.
(
)
;2S = −∞
. C.
( )
2;S = +∞
. D.
( )
1; 2S
=
.
Câu 139: Tập nghiệm
S
ca bất phương trình
( )
22
log 2 1 logxx
−>
A.
1
;
2
S

= +∞


. B.
( )
0;1S =
. C.
( )
0;S = +∞
. D.
( )
1;S = +∞
.
Câu 140: Có bao nhiêu số nguyên dương thuộc tập nghim ca bất phương trình
( )
2
3
log 31 3x−≥
?
A.
5
. B.
4
. C.
3
. D.
2
.
Câu 141: Tập nghiệm ca bất phương trình
( )
2
1
2
log 3 2xx ≤−
A.
(
] [
)
; 1 4;
−∞ +∞
. B.
( ) ( )
; 0 3;−∞ +∞
. C.
[ ]
1; 4
. D.
[
) (
]
1; 0 3; 4−∪
.
Câu 142: Bất phương trình
( ) (
)
11
22
log 2 3 log 5 2
xx−<
có tập nghiệm là
( )
;ab
. Tính giá trị
S ab= +
.
A.
=
11
2
S
. B.
=
7
2
S
. C.
=
13
2
S
. D.
=
9
2
S
.
Câu 143: Tập nghiệm ca bất phương trình
( )
( )
2
13
3
log 6 5 log 1 0xx x ++ −≤
A.
(
]
5; 6S =
. B.
( )
1;S
= +∞
. C.
[ ]
1; 6
S =
. D.
[
)
6;S = +∞
.
CHUYÊN Đ VITOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 75
Sưu tm và biên son
Câu 144: Bất phương trình
( )
(
)
22
log 3 2 log 6 5
xx−>
có tập nghiệm là
A.
1
;3 .
2



B.
(
)
3;1 .
C.
( )
0; .+∞
D.
6
1; .
5



Câu 145: Tập nghiệm ca bất phương trình
( ) ( )
66
log 2 log 7 2
ππ
−> xx
A.
( )
3; .+∞
B.
( )
2;3 .
C.
(
)
;3 .−∞
D.
7
3; .
2



Câu 146: Tập nghiệm của bất phương trình
( )
2
2
2
log 2 logxx x−≤
A.
1
;1
2



. B.
(0;1)
. C.
[ ]
0;1
. D.
1
;1
2


.
Câu 147: Tập nghiệm ca bất phương trình
( ) ( )
12
2
log 1 log 5 2 0xx
++
là:
A.
4
1;
3



. B.
4
;
3

−∞

C.
45
;
32


. D.
4
1;
3


.
Câu 148: Bất phương trình
2
22
1 log ( 2) log ( 3 2)x xx
+ −> +
có tập nghiệm là
A.
( )
3; .
S = +∞
B.
(
)
2;3 .S =
C.
( )
2; .S = +∞
D.
( )
1; 3 .S =
Câu 149: Bất phương trình
( )
( )
2
42
log 4 log 8xx x−>
có bao nhiêu nghiệm nguyên?
A. vô số. B.
2
. C.
3
. D.
1
.
Câu 150: Tập nghiệm
S
ca bất phương trình
( ) ( )
28
log 11 5 3log 1 0xx
−≥
A.
5
1;
3
S

=

. B.
(
]
1; 2S =
. C.
11
2;
5
S

=

. D.
5 11
;
35
S

=

.
Câu 151: Tập nghiệm ca bất phương trình
( ) ( )
13
3
log 1 log 11 2 0xx−+
A.
(
]
1; 4S =
. B.
11
3;
2
S

=


. C.
(
]
;4S
= −∞
. D.
(
)
1; 4
S =
.
Câu 152: Tập nghiệm
S
ca bất phương trình
( )
(
)
2
0,5 2
log 8 3 log 0x xx
+ −≤
A.
[ ]
4; 2
. B.
[
)
8
4;1 2;
3
S

=−∪

. C.
( )
0;1
S =
. D.
[
) (
]
4; 0 1; 2S =−∪
.
Câu 153: Bất phương trình
21
3
37
log log 0
3
x
x


+

có tập nghiệm là
(
]
;ab
. Tính giá trị
3P ab=
.
A.
4P =
B.
5P =
C.
7P =
D.
10P =
Câu 154: Bất phương trình
( )
2
2
3
log 2 1 0xx−+ <
có tập nghiệm là
A.
3
0;
2
S

=


. B.
( )
1
;0 ; .
2
S

= −∞ +∞


C.
( )
3
;1 ;
2
S

= −∞ +∞


. D.
3
1;
2
S

=


.
CHUYÊN Đ VITOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 76
Sưu tm và biên son
Câu 155: S nghiệm nguyên ca bất phương trình
21
5
log log 0x

−≤


A. Vô số. B.
4
. C.
3
. D.
2
.
Câu 156: Tìm tập nghiệm ca bất phương trình
( )
2
2
log 4 6 1+>xx
A.
.
D.
{ }
2.
C.
.
D.
{ }
\2.
Câu 157: Có bao nhiêu số nguyên
x
không vượt quá
30
thoả mãn
( )
( )
2
1
5
9 3 log 23 2 0?
x xx
x
++
+ −≤


A.
30
. B.
15
. C.
32
. D.
16
.
Câu 158: Có bao nhiêu số nguyên
x
tha mãn
( )
( )
2
3
2 4 log 25 3 0
xx
x + −≤


?
A.
. B.
26
. C.
. D. Vô số.
Câu 159: S nghiệm nguyên ca bất phương trình
( )
2
log log (4 6) 1
x
x
−≤
A. 1. B. 0. C. 4. D. Vô số.
Câu 160: Có bao nhiêu số nguyên dương
y
sao cho ứng vi mi
y
đều có nhưng không quá
5
số nguyên
x
tha mãn
( )( )
10
2 2 2 11 0
xx
y yx −<
?
A.
992
. B.
961
. C.
481
. D.
1921
.
Câu 161: Có bao nhiêu số nguyên
x
tha mãn
(
)
( )
2
3
2 4 log 25 3 0
xx
x + −≤


?
A.
24
. B. Vô số. C.
25
. D.
26
.
Câu 162: Bất phương trình
(
)
(
)
3
9 ln 5 0
xxx
+≤
có bao nhiêu nghiệm nguyên dương?
A.
3
. B.
7
. C.
6
. D. Vô số.
Câu 163: bao nhiêu giá trị nguyên dương của
y
để tập nghiệm ca bất phương trình
( )
( )
2
log 2 2 0
x
xy −<
có ít nhất
1
số nguyên và không quá
6
số nguyên?
A.
2048
. B.
2016
. C.
1012
. D.
2023
.
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 1
Sưu tm và biên son
BÀI 21: PHƯƠNG TRÌNH – BT PHƯƠNG TRÌNH HÀM S LOGARIT
DNG 1: PHƯƠNG TRÌNH MŨ
Câu 1: Nghim của phương trình
35
2 16
x
=
A.
3x =
. B.
2x
=
. C.
7x =
. D.
1
3
x =
.
Li gii
Ta có
35 35 4
2 16 2 2 3 5 4 3
xx
xx
−−
= = −= =
.
Câu 2: Tập nghiệm ca bất phương trình
2
23
21
xx−−
=
A.
{ }
1; 3S =
. B.
{ }
2S =
. C.
{ }
1; 3S =
. D.
{ }
0S =
.
Lời giải
Ta có
2
23 2
1
2 1 2 30
3
xx
x
xx
x
−−
=
= −=
=
.
Tập nghiệm ca bất phương trình
2
23
21
xx−−
=
{ }
1; 3S =
.
Câu 3:
2x =
là nghiệm của phương trình nào sau đây?
A.
38
x
=
. B.
4 16
x
=
. C.
3
9x =
. D.
16 4
x
=
.
Li gii
2
4 16 4 4 2.
xx
x= = ⇔=
Câu 4: Tìm tất cả các giá tr ca tham s
m
để phương trình
1
1
3
x
m

=


có nghiệm
A.
0m <
hoặc
1m =
. B.
1m >
. C.
0m
. D.
01m<≤
.
Li gii
Phương trình có nghiệm
10 1mm −> >
.
Câu 5: Phương trình nào sau đây vô nghiệm?
A.
21=
x
. B.
23=
x
. C.
20=
x
. D.
23=
xx
.
Li gii
Ta có: hàm số mũ luôn dương
CHƯƠNG
VI
HÀM S
M S LOGARIT
H THỐNG BÀI TP TRẮC NGHIỆM.
III
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 2
Sưu tm và biên son
Vy
20=
x
vô nghiệm.
Câu 6: Nghim của phương trình
31
x
=
A.
0x =
. B.
1x
=
. C.
2x =
. D.
1
x
=
.
Li gii
Ta có
0
3133 0
xx
x
= = ⇔=
.
Câu 7: Phương trình
(
)
36
31
x
=
có nghiệm là:
A.
0
x =
. B.
2
x
=
. C.
7
3
x =
. D.
6x =
.
Li gii
Phương trình
( )
36
3 1 3 60 2
x
xx
= −==
.
Câu 8: Nghim của phương trình
2
35
x
=
A.
5
log 3
2
. B.
3
log 5
2
. C.
125
2
. D.
5
2log 3
.
Li gii
Ta có
2
3
3
log 5
3 5 2 log 5
2
x
xx
= = ⇔=
.
Câu 9: S nghiệm của phương trình
2
2
31
xx
=
A.
0
. B.
2
. C.
3
. D. 4.
Li gii
Ta có:
2
2
31
xx
=
2
20
33
xx
⇔=
2
20xx⇔−=
0
2
x
x
=
=
.
Câu 10: Nghim của phương trình
1
3 27
x
=
A.
5x =
. B.
4
x =
. C.
3x =
. D.
2x =
.
Li gii
Ta có
1
3 27 1 3 4.
x
xx
= −= =
Vy
4x =
là nghiệm của phương trình.
Câu 11: Nghim của phương trình
3
2 64
x
=
A.
2
. B.
4
. C.
3
. D.
5
.
Li gii
Ta có
3 36
2 64 2 2 3 6 2
xx
xx= = =⇔=
.
Câu 12: Nghim của phương trình
23 7
22
xx++
=
là:
A.
10
3
x =
. B.
4
3
x =
. C.
4x =
. D.
10x
=
.
Li gii
Ta có
23 7
2 2 23 7 4
xx
xx x
++
= +=+=
.
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 3
Sưu tm và biên son
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất
4x =
.
Câu 13: Nghim của phương trình
1
1
5
25
x
A.
3
. B.
1
. C.
. D.
.
Lời giải
Ta có
1 12
1
5 5 5 12 1
25
xx
xx

 
.
Câu 14: Tổng bình phương các nghiệm của phương trình
2
45
39
xx−+
=
A.
B.
10
C.
11
D.
9
Li gii
Ta có:
2
45
39
xx
−+
=
2
3
2
1
22
12
2
4 5 log 9
4 30
1
10.
3
xx
xx
x
xx
x
+=
+=
=
⇒+=
=
Câu 15: Nghim của phương trình
72
x
=
A.
7
log 2x
=
. B.
2
log 7x =
. C.
2
7
x
=
. D.
7x =
.
Li gii
7
7 2 log 2
x
x=⇔=
.
Câu 16: Nghiệm của phương trình
21
4 64
x+
=
A.
2x =
. B.
15
2
x =
. C.
15x =
. D.
1
x =
.
Lời giải
Ta có
21 21 3
4 64 4 4 2 1 3 1
xx
xx
++
= = += =
.
Câu 17: Nghim của phương trình
5 10
x
=
A.
5
log 10
x =
. B.
10
log 5x =
. C.
2x =
. D.
1
2
x =
.
Li gii
5 10
x
=
5
log 10.x
⇔=
Câu 18: Tìm tất cả các giá tr thc ca
m
để phương trình
3
x
m=
có nghiệm thc.
A.
0m >
. B.
1m
. C.
0m
. D.
0m
.
Li gii
Để phương trình
3
x
m=
có nghiệm thực thì
0m >
.
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 4
Sưu tm và biên son
Câu 19: Nghim của phương trình
2
1
1
3
9
x
x+

=


là:
A.
1
x
=
. B.
1x =
. C.
1
5
x =
. D.
1
5
x =
.
Li gii
2
1
14
1
3
9
33
1
14
5
x
x
xx
x xx
+
+−

=


⇔=
+= =
Câu 20: Tổng tất cả các nghim của phương trình
2
22
28
xx x+−
=
bng
A.
5
. B.
6
. C.
5
. D.
6
.
Lời giải
Ta có
2
22
28
xx x
+−
=
2
2 63
22
xx x+−
⇔=
2
2 63xx x⇔+=
2
5 60xx + −=
1
6
x
x
=
=
.
Tổng tất cả các nghiệm của phương trình là:
( )
16 5+− =
.
Câu 21: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
m
để phương trình
2
59
x
m=
có nghiệm thực?
A.
6
. B.
5
. C.
4
. D.
7
.
Lời giải
YCBT
2
9 03 3mm > ⇔− < <
.
Do
m
nên
{ 2; 1; 0;1; 2}m ∈−
.
Câu 22: Tập nghiệm của phương trình:
2
32
31
xx−+
=
là:
A.
3
I =
. B.
{ }
1; 2
S =
. C.
{ }
1S =
. D.
{ }
2S =
.
Li gii
Ta có:
2
32 2
1
3 1 3 20
2
xx
x
xx
x
+
=
= +=
=
.
Vy tập nghiệm của phương trình là:
{ }
1; 2S =
Câu 23: Tất cả các giá tr của tham số
m
để phương trình
2
1
31
x
m
+
=
có nghiệm là
A.
4m
. B.
4m >
. C.
1m >
. D.
1m
.
Lời giải
Ta có:
22
01
33 3 3
xx+
≥⇔
.
Phương trình
2
1
31
x
m
+
=
có nghiệm khi và chỉ khi
13 4
mm−≥
.
Câu 24: S nghiệm thc của phương trình
2
22
xx
=
:
A.
1
. B.
3
. C.
2
. D.
0
.
Li gii
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 5
Sưu tm và biên son
Ta có :
2
22
xx
=
0
2
x
xx
=
1x⇔=
.
Câu 25: Phương trình
2
11
5 25
xx−+
=
có tập nghiệm là
A.
{ }
1; 3
. B.
{
}
1; 3
. C.
{ }
3;1
. D.
{ }
3; 1−−
.
Lời giải
Ta có
22
1 1 1 22 2
3
5 25 5 5 1 2 2
1
x xx x
x
xx
x
+ −+
=
= = −= +
=
Vậy tập nghiệm của phương trình
{ }
3; 1S =
.
Câu 26: Tổng các nghiệm của phương trình
2
2
24
xx
là:
A.
0
. B.
4
. C.
1
. D.
2
.
Li gii
Ta có
22
2 42
0
24 22 40
4
xxxx
x
xx
x

.
Vy tổng các nghiệm của phương trình là
404
.
Câu 27: Phương trình
2
3
3 81
xx
=
có tổng các nghiệm là
A.
3
. B.
3
. C.
4
. D.
5
.
Li gii
Ta có:
2
3
3 81
xx
=
2
1
34
4
x
xx
x
=
⇔−=
=
.
Vy tổng các nghiệm của phương trình là
3
.
Câu 28: S nghiệm dương của phương trình
2
4
1
9
3
xx

=


A.
2
. B.
1
. C.
3
. D.
0
.
Li gii
Ta có
2
4
22
1
94242022
3
xx
xx xx x

=⇔−=⇔−+==±


.
Câu 29: Giải phương trình
( )
1
57
2
2,5
5
x
x
+

=


.
A.
1
x
. B.
1x =
. C.
1x <
. D.
2x =
.
Li gii
Ta có
( )
1 57 1
57
255
2,5 5 7 1 1
522
x xx
x
x xx
+ −−
  
= = =−−⇔ =
  
  
.
Câu 30: Nghim của phương trình
( )
9
31
5
2, 4
12
x
x
+

=


CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 6
Sưu tm và biên son
A.
2x =
B.
5x =
C.
5x =
D.
2x =
Li gii
Ta có:
( )
9319 319
31
5 12 5 5 5
2, 4
12 5 12 12 12
x xx xx
x
+ −−
+
    
=⇔= =
    
    
31 9 4 8 2xx x x⇔− = = =
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất một nghiệm
2x =
.
Câu 31: Gọi
12
,
xx
là hai nghiệm của phương trình
2
23
1
1
7
7
xx
x
−−
+

=


. Khi đó
12
xx+
bng:
A.
2
. B.
1
. C.
2
. D.
1
.
Li gii
( )
2
2
23
23
1
1 1 22
2
1
1
7 7 7 1 2 3 20 .
2
7
xx
xx
xx
x
x x x xx
x
−−
−−
++
=

= = += + +⇔ −−=

=

Vy
12
1xx+=
.
Câu 32: Cho phương trình
2
8 13
2 40
xx x
−+
−=
có hai nghiệm
12
;xx
. Tính
12
Sxx= +
.
A.
2S =
. B.
1S =
. C.
4S =
. D.
5.
S =
Li gii
Phương trình:
2
8 13
2 40
xx x−+
−=
22
8 13 8 2(13)
22
2422
826 5 60
xx x xx x
xx x x x
−+ −+
⇔=⇔=
−+= + +=
Vy
12
5Sxx=+=
.
Câu 33: Gọi S là tng các nghim của phương trình
22 2
32 65 2 37
222 1
xx xx xx−+ ++ ++
+= +
. Khi đó S có giá tr
là:
A.
3
. B.
6
. C.
3
. D.
5
.
Li gii
Ta có
( ) ( )
22 2
2 37 32 65xx xx xx+ += + + + +
. Khi đó
.
( ) ( )
( ) ( )
22 2
2
2 2 32 2
2 22
2
22
2
32 65 2 37
32 65 65
32 65 32
32
32 65
65
222 1
2 2 2 .2 1
212210
2 10
2 1.1 2 0
12 0
xx
xx xx xx
xx xx xx
xx xx xx
xx
xx xx
xx
−+
−+ ++ ++
+ ++ ++
−+ ++ −+
−+
−+ ++
++
+= +
⇔+= +
−− =
−=
−− =
−=
2
2
32 2
2
65
1
2 1 3 20 2
1
6 50
21
5
xx
xx
x
xx x
x
xx
x
−+
++
=
= += =
⇔⇔
=
+ +=
=
=
.
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 7
Sưu tm và biên son
Vy
3
S =
.
DNG 2: PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
Câu 34: Giải phương trình
( )
3
log 1 2
x −=
.
A.
7x
=
. B.
9
x
=
. C.
8x =
. D.
10x =
.
Lời giải
Điều kiện:
1.x
>
( )
2
3
log 1 2 1 3 10.
xxx = −= =
Câu 35: Nghim của phương trình
( )
2
log 5 3x −=
A.
21.
x
=
B.
11.x =
C.
13.x =
D.
14.x =
Li gii
Điều kiện xác định:
5x >
.
Phương trình
( )
2
log 5 3 5 8 13x xx =−= =
.
Vậy phương trình có nghiệm
13x =
.
Câu 36: Phương trình
( )
3
log 1 2x +=
có nghiệm là
A.
7.x
=
B.
8.x =
C.
5.x
=
D.
9.x =
Li gii
( )
3
2
log 1 2
13
8.
x
x
x
+=
+=
⇔=
Câu 37: Tập nghiệm
S
của phương trình
(
)
3
log 2 3 1x
+=
A.
{ }
1.S =
B.
{
}
3.
S =
C.
{
}
0.S
=
D.
{ }
1.S =
Li gii
Điều kiện:
3
2 30 .
2
xx+ > >−
Ta có:
( )
3
log231233 0
x xx+ = += =
Vy Tập nghiệm của phương trình
( )
3
log 2 3 1
x +=
{ }
0.S =
Câu 38: Nghim của phương trình
( )
2
log 3 4 1x −=
là:
A.
2x =
. B.
3
2
x =
. C.
7
6
x =
. D.
5
3
x =
.
Li gii
( )
1
2
13
log34 1342
22
xx x
=−⇔ = = =
.
Câu 39: Nghim của phương trình
2
log ( 1) 3x +=
A.
5x =
. B.
7x =
. C.
9x =
. D.
8x =
.
Li gii
Điều kiện:
1x >−
.
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 8
Sưu tm và biên son
Với điều kiện đó, ta có
3
2
log ( 1) 3 1 2 8 7 (tm)
xx x
+ = += = =
.
Câu 40: Nghim của phương trình
( )
ln 3 2x =
A.
3
e
x
=
. B.
3
e
2
x =
. C.
3
ex =
. D.
2
e
3
x =
.
Li gii
( )
2
2
e
ln3 23e
3
x xx= = ⇔=
.
Câu 41: Nghim của phương trình
( )
9
1
log 2
2
x =
A.
2x =
. B.
1
2
x =
. C.
1
x
=
. D.
3
2
x =
.
Li gii
Điều kiện:
0
x >
.
Ta có:
(
)
1
2
9
13
log 2 2 9
22
x xx= = ⇔=
.
Vậy phương trình có nghiệm là
3
2
x =
.
Câu 42: Nghim của phương trình
( )
3
log 2 1 2
x +=
là:
A.
2x =
. B.
4x =
. C.
1
2
x =
. D.
2x =
.
Li gii
Điều kiện:
1
2
x >−
.
Ta có
( )
3
log212219 4x xx+ = += =
Vậy phương trình có nghiệm là:
4x =
.
Câu 43: Nghim của phương trình
2
log 1
x =
A.
2x
=
. B.
1
2
x =
. C.
2x =
D.
1
2
x =
.
Li gii
Ta có
1
2
1
log 1 2
2
xx
=−⇔ = =
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là
1
2
x
=
Câu 44: Nghim của phương trình
( )
2
log 1 3x −=
A.
9x =
. B.
5x =
. C.
1x =
. D.
10x =
.
Li gii
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 9
Sưu tm và biên son
Điều kiện:
1
x >
Ta có:
(
)
( )
3
2
log 1 3 1 2 9 TMxxx = −= =
.
Câu 45: Tập nghiệm của phương trình
( )
2
ln 2 1 0
xx−+ =
A.
{
}
0
. B.
1
0;
2



. C.
1
2



. D.
.
Li gii
Phương trình đã cho tương đương với
22
0
2 11 2 0
1
2
x
xx xx
x
=
+= =
=
.
Do đó tập nghiệm
1
0;
2
S

=


Câu 46: Nghim của phương trình
( )
2
log 2 3x −=
A.
6x =
. B.
11x =
. C.
8x =
. D.
10x =
.
Li gii
Ta có
( )
3
2
log 2 3 2 2 2 8 10x x xx =⇔−= −=⇔=
.
Câu 47: Số nghiệm của phương trình
( )
2
3
log 2 3
x +=
A.
0
. B.
2
. C.
1
. D.
3
.
Lời giải
Điều kiện xác định của phương trình :
x
(
)
2 2 32
3
5
log 2 3 2 3 25 ( )
5
x
x x x tm
x
=
+ =⇔ += =
=
Vậy, phương trình trên có hai nghiệm.
Câu 48: Nghim của phương trình
22
log log 3 0
x +=
A.
3x =
. B.
1
8
x =
. C.
1
3
x =
. D.
3x
=
.
Li gii
Ta có:
22 2 2
log log 3 0 log log 3
xx+==
22
11
log log
33
xx = ⇔=
.
Câu 49: Phương trình
( ) ( )
55
log 2 3 log 2
xx+= +
A.
1x =
. B.
5x =
. C.
1x =
. D.
5x =
.
Lời giải
Điều kiện:
3
2 30
3
2
20
2
2
x
x
x
x
x
+>
>−
>−

+>
>−
.
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 10
Sưu tm và biên son
Phương trình
( ) ( )
55
log 2 3 log 2xx+= +
23 2xx+=+
1x =
.
Vậy nghiệm của phương trình là
1x =
.
Câu 50: Nghiệm của phương trình
( )
5 5
321log logx =
A.
62x =
. B.
12x
=
. C.
1x =
. D.
2x =
.
Lời giải
( )
55
log log 3 221 213
xx
x−−⇔⇔== =
.
Câu 51: Phương trình
2
5
log ( 2 1) 2
xx+ +=
có tập nghiệm là.
A.
{ }
4
. B.
{ }
6; 4
. C.
{ }
4;6
. D.
{ }
2; 4
.
Li gii
Điều kiện:
22
2 1 0 ( 1) 0 1xx x x+ +>⇔ + >⇔
.
Ta có:
1
22 2
5
2
6
log ( 2 1) 2 2 1 25 2 24 0 ( )
4
x
xx xx xx tm
x
=
++=++=⇔+−=
=
Vy tập nghiệm của phương trình
{ }
6; 4 .S =
Câu 52: Tập nghiệm
S
của phương trình
( ) ( )
22
log 1 log 2 1xx−= +
A.
{ }
0S =
. B.
{ }
2S =
. C.
{ }
2S =
. D.
S =
.
Li gii
Ta có:
( ) ( )
22
log 1 log 2 1xx−= +
10
12 1
x
xx
−>
−= +
1
2
x
x
>
=
Vy phương trình vô nghiệm hay
S
=
.
Câu 53: S nghiệm của phương trình
( )
22
log log 1 1xx+ −=
A.
1
. B.
2
. C.
0
. D.
3
.
Li gii
Điêì kiện:
1x >
.
( )
22
log log 1 1xx+ −=
( )
2
log 1 1xx −=


( )
12xx −=
2
20xx −−=
1
2
x
x
=
=
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 11
Sưu tm và biên son
Đối chiếu đk chỉ
2x =
tha mãn
Vy tập nghiệm của phương trình là
{ }
2S =
Câu 54: Tổng các nghiệm thc của phương trình
2
22
log (2 5) 2log ( 2)xx−=
bng
A.
1
. B.
7
3
. C.
3
. D.
16
3
.
Lời giải
Điều kiện xác định:
2
5
2
x
x
>
.
2 22
2 22 2
2 22
log (2 5) 2log ( 2) log (2 5) log ( 2)
3
(2 5) ( 2) 3 16 21 0 .
7
3
x x xx
x
x x xx
x
−= −=
=
= +=
=
So sánh điều kiện suy ra phương trình có các nghiệm
1 2 12
7 16
3; .
33
x x xx
= =⇒+=
Câu 55: Gọi
S
là tập nghiệm của phương trình
( ) ( )
2
22
2log 2 2 log 3 2
xx−+ =
trên
. Tng các phn
tử ca
S
bằng
A.
42+
. B.
8
. C.
82+
. D.
62
+
.
Lời giải
Điều kiện:
( )
2
2 20
1
3
30
x
x
x
x
−>
>

−>
.
Phương trình đã cho tương đương với:
( ) ( )
22
22
log 2 2 log 3 2xx−+ −=
( )
(
)
22
2
log 4 8 4 6 9 2
xx xx

−+ + =

432
4 32 88 96 32 0
xxxx + +=
22
2
22
x
x
x
= +
⇔=
=
. So với điều kiện, nhận
2x =
22x = +
.
Do đó, tập nghiệm của phương trình đã cho là:
{ }
2;2 2S = +
.
Vậy tổng các phần tử của tập
S
là:
42+
.
Câu 56: tất c bao nhiêu giá trị ca tham s
m
để phương trình
22
33
log ( 2) log ( 1) 6 2x x m xm m

+= + +

có hai nghiệm trái dấu?
A.
4
. B.
3
. C. vô số. D.
5
.
Li gii
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 12
Sưu tm và biên son
Phương trình đã cho tương đương:
22
2
( 1) 6 2 2
x
x m xm m x
>−
+ +=+
.
(
)
22
2
6 0*
x
x mx m m
>−
+−=
Yêu cầu đề bài khi và chỉ khi phương trình
có hai nghiệm
12
,xx
tha
12
20xx−< < <
.
( )( ) ( )
2
12 12
2
1 2 12 1 2
.0 .0
60 0 6
2 2 0 2 40
2
4 40
xx xx
mm m
x x xx x x
m
mm
<<

< <<

⇔⇔

+ + > + + +>
+>


.
m
nên
{ }
1;3;4;5m
.
Suy ra có
4
giá tr của tham số
m
thoả mãn điều kiện bài toán.
Câu 57: Tìm tất cả các giá tr ca tham s
m
để phương trình
( )
(
)
ln 2 lnx mx−=
có nghiệm
A.
01m<<
. B.
1m >
. C.
1
2
m <
. D.
1
0
2
m<<
.
Li gii
(
)
( )
(
)
2
20
ln 2 ln
12
2
x
x
x mx
mx
x mx
>
−>
−=

−=
−=
.
Phương trình
( ) ( )
ln 2 lnx mx−=
có nghiệm
phương trình
( )
12mx−=
có nghiệm
2x >
.
Xét phương trình
( )
12mx−=
Nếu
1m =
, vô nghiệm.
Nếu
1m
,
2
1
x
m
⇔=
có nghiệm
2
x >
21
21 0 00 1
1 11
m
m
m mm
>⇔+ <⇔ <⇔< <
−−
.
Vy
01m<<
tha mãn yêu cầu bài toán.
Câu 58:
Nghim của phương trình
22
log (2 3) log ( 1)xx−= +
A.
2x =
.
B.
2x =
.
C.
4x =
.
D.
4x =
.
Li gii
Điều kiện
3
2
x >
PT tương đương:
2 3 1 4( / )x x x tm= +⇔ =
Vậy phương trình có nghiệm
4x =
.
Câu 59: S nghiệm thc của phương trình
( ) ( )
3
31
3
3log 1 log 5 3xx−− =
A.
3
. B.
1
. C.
2
. D.
0
.
Li gii
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 13
Sưu tm và biên son
Điều kiện:
5x >
.
( )
( )
3
31
3
3log 1 log 5 3xx−− =
(
) (
)
33
3log 1 3log 5 3xx −+ =
(
) ( )
33
log 1 log 5 1xx −+ =
(
)(
)
3
log 1 5 1xx
−=


( )( )
1 53xx
−=
2
6 20 3 7xx x +==±
Đối chiếu điều kiện suy ra phương trình có
1
nghiệm
37x = +
Câu 60: S nghiệm của phương trình
2
22
log 2log (3 4)xx= +
A.
2
. B.
0
. C.
1
. D.
3
.
Lời giải
Điều kiện:
2
0
0
4
3 40
3
x
x
x
x
>

>−
+>
.
2
22
log 2log (3 4)
xx= +
( )
2
22
1
3 4 8 24 16 0
2
x
xx xx
x
=
= + + +=
=
.
So điều kiện
1x⇒=
.
Câu 61: Nghim của phương trình
( )
21
2
log log 2 1 0xx+ −=
thuộc khoảng nào sau đây?
A.
( )
6; +∞
. B.
( )
4;6
. C.
( )
0; 2
. D.
( )
2; 4
.
Li gii
( ) ( )
21 2 2
2
0
log log 2 1 0 log log 2 1 1
21
x
xx xx x
xx
>
+ −= = −⇔ =
=
.
Câu 62: Biết nghiệm lớn nhất của phương trình
( )
1
2
2
log log 2 1 1xx+ −=
là
2xab= +
(
, ab
hai s
nguyên). Giá trị ca
2ab+
bằng
A.
4
. B.
6
. C.
0
. D.
1
.
Li gii
Điều kiện
1
2
x >
.
( ) ( )
2
2
1 22 2
2
2
log log 2 1 1 2log log 2 1 1 log 1 4 2 0
21
x
x x x x xx
x
+ −= −= = +=
.
Nghim lớn nhất của phương trình là
22 2,1 24x a b ab=+ = =⇒+ =
.
Câu 63: Tập nghiệm của phương trình
( )
2
22
5
log 4 3 1 log
2
xx x

+ −=


A.
{ }
2; 4
. B.
{ }
4
. C.
{ }
2;3
. D.
{ }
2
.
Li gii
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 14
Sưu tm và biên son
ĐKXĐ:
2
4 30
5
0
2
xx
x
+ −>
−>
13
5
2
x
x
<<
<
5
1
2
x⇔< <
.
Ta có:
(
)
2
22
5
log 4 3 1 log
2
xx x

+ −=


( )
2
2 22
5
log 4 3 log log 2
2
xx x

−+ = +


.
22
4352 680x x xx x⇔− + = + =
( )
( )
2
4
xn
xl
=
=
.
Nghim của phương trình là:
2x =
.
Câu 64: Gọi
S
là tp nghim của phương trình
( ) ( )
22
log 3 log 1 3
xx+ −=
. Tng tt c các phn t ca
S
bằng
A.
4
. B.
5
. C.
6
. D.
2
.
Li gii
Đkxđ:
3
x
>
.
Khi đó:
( ) (
) (
)
( )
22 2
log 3 log 1 3 log 1 3 3x x xx+ −= =


( )
( )
22
1
4 38 4 50
5
x ktm
xx xx
x tm
=
+= −=
=
.
Vy tập nghiệm của phương trình là
{ }
5S =
.
Câu 65: S nghiệm của phương trình
( ) ( ) ( )
log 1 log 3 log 3xx x−+ = +
A.
0
. B.
3
. C.
2
. D.
1
.
Li gii
TXĐ:
( )
3;D = +∞
.
Khi đó:
( ) (
) (
)
log 1 log 3 log 3−+ = +xx x
(
)( ) ( )
log 1 3 log 3 −= +


xx x
( )
( )
13 3 −=+
xx x
2
50
⇔−=xx
0
5
=
=
x
x
Kết hợp với TXĐ, phương trình có nghiệm
5
x =
.
Câu 66: S nghiệm của phương trình
( )
( )
2
ln 6x 7 ln 3+= xx
là:
A.
2
. B.
0
. C.
3
. D.
1
.
Li gii
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 15
Sưu tm và biên son
( )
( )
2
22
3
30 3
ln 6 7 ln 3 5
5
6 7 3 7 10 0
2
>
−> >

+ = ⇔=
=

+=− + =

=
x
xx
xx x x
x
xx x xx
x
Câu 67: Tổng tất cả các nghim của phương trình
( )
2
22
log 1 2 logxx x++ =+
bng
A.
1
. B.
4
. C.
2
. D.
3
.
Li gii
Đk:
0x >
.
( ) ( )
( )
( )
22
2 22 2
22
log 1 2 log log 1 log 4
35
2
14 3 10
35
2
xx x xx x
x tm
xx x x x
x tm
++ =+ ++ =
+
=
+ += +=
=
.
Vy tổng các nghiệm bng
3
.
Câu 68: Biết nghiệm của phương trình
( )
( )
33
log 1 log 5 1
xx−+ =
dng
( )
,
x a b ab=+∈
. Tính
giá tr biểu thức
T ab= +
.
A.
5T =
. B.
4T =
. C.
10
T
=
. D.
2T =
.
Li gii
+ Điều kiện:
5x >
.
+ Phương trình đã cho tương đương với
( )( )
33
log 1 5 log 3xx −=


.
( )
22
33
log 6 5 log 3 6 5 3xx xx −+= −+=
.
( )
( )
2
37
6 20
37
x KTM
xx
x TM
=
+=
= +
.
Suy ra
3
10
7
a
T ab
b
=
=+=
=
.
Câu 69: S nghiệm của phương trình
( ) ( )
33
log 2 1 log 3 2xx++ =
A.
0
B.
1
. C.
2
. D.
3
.
Lời giải
Điều kiện xác định của phương trình là
3x >
.
Ta có:
( ) ( ) (
)( )
33 3
log 2 1 log 3 2 log 2 1 3 2x x xx++ = + =


(
)( )
2
21 33xx + −=
2
4( )
2 5 12 0
3
()
2
x TM
xx
xL
=
−=
=
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 16
Sưu tm và biên son
Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất
4x =
.
Câu 70: S nghiệm ca phương trình
( )
( )
2
13
3
log 3 1 log 2 0xx x −+ =
A.
1
. B.
3
. C.
2
. D.
0
.
Li gii
ĐK:
2
3 10
20
xx
x
−>
−>
( )
( )
( )
( )
( )
( )
22
13 33
3
22
33
log 3 1 log 2 0 log 3 1 log 2 0
1
log 3 1 log 2 2 3 0
3
xx x xx x
x
xx x xx
x
−+ = −+ =
=
= −=
=
Đối chiếu với đk thì
1x =
là nghiệm của phương trình.
Câu 71: Tổng các nghiệm của phương trình
8
42
2
11
log 3 log 1 log 4
42
x xx 
A.
4 23
. B.
3 23
. C.
6
. D.
4
.
Li gii
Ta có
8
42
2
11
log 3 log 1 log 4
42
x xx

22 2
0, 3
log 3 log 1 log 4
xx
xx x


22
0, 3
4
log 3 log
1
xx
x
x
x


0, 3
4
30
1
xx
x
x
x


2
2
0, 3
0, 3
4
3
6 30
1
4
2 30
3
1
xx
xx
x
x
xx
x
x
xx
x
x













1
3 23
x
x

Vậy tổng các nghiệm của phương trình là:
4 23
Câu 72: Phương trình
( ) ( )
2
3
3
log 2 log 4 0xx
−+ =
có hai nghiệm
12
,xx
. Khi đó
( )
2
12
=
S xx
bng
A. 1. B. 9. C. 7. D. 2.
Li gii
Điều kiện:
24x<≠
.
Với điều kiện trên, phương trình đã cho trở thành
( ) ( )
( )
33 3
2log 2 2log 4 0 log 2 4 0 2 4 1x x xx xx
+ −= −= −=
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 17
Sưu tm và biên son
( )( )
( )( )
2
2
4
4
2 41
6 70
32
4
4
3
2 41
6 90
≥
−=
+=
= +

⇔⇔
<
<
=

−=
+=
x
x
xx
xx
x
x
x
x
xx
xx
Kết hợp điều kiện, PT có nghiệm
12
3 2; 3=+=xx
. Vy
2=S
.
DẠNG 3: BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
Câu 73: Tập nghiệm ca bất phương trình
24
x
là:
A.
(
]
;2
−∞
B.
[
]
0; 2
C.
( )
;2
−∞
D.
(
)
0; 2
Li gii
Ta có
24 2
x
x≤⇒
Tập nghiệm ca bất phương trình là
(
]
;2−∞
.
Câu 74: Nghim của phương trình
35
x
<
A.
3
log 5x >
. B.
3
log 3x >
. C.
3
log 5x <
. D.
3
log 3x <
.
Li gii
Ta có
3
3 5 log 5
x
x<⇔<
.
Câu 75: Tập nghiệm của phương trình:
1
2 .3 72
xx+
là:
A.
( )
2; +∞
. B.
( )
;2−∞
. C.
(
]
;2−∞
. D.
[
)
2; +∞
.
Li gii
Ta có:
1
2 .3 72 2 .3 .2 72 6 36 2
x x xx x
x
+
≤⇔ ≤⇔≤⇔
.
Vy tập nghiệm ca bất phương trình là:
(
]
;2−∞
.
Câu 76: Tập nghiệm ca bất phương trình
24
22
xx+
<
A.
( )
;4−∞
. B.
( )
0; 4
. C.
( )
0;16
. D.
( )
4; +∞
.
Li gii
Ta có
24
22 2 4 4
xx
xx x
+
< <+⇔<
.
Tập nghiệm ca bất phương trình
( )
;4S = −∞
.
Câu 77: Tập nghiệm ca bất phương trình
39
x
>
A.
( )
2;+∞
. B.
( )
0;2
. C.
( )
0;+∞
. D.
( )
2; +∞
.
Li gii
Ta có
( )
2
3933 2 2;
xx
xx> > > +∞
.
Tập nghiệm ca bất phương trình
39
x
>
( )
2;+∞
.
Câu 78: Tập các nghiệm ca bất phương trình
26
x
>
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 18
Sưu tm và biên son
A.
( )
2
log 6; +∞
. B.
( )
;3−∞
. C.
( )
3; +∞
. D.
( )
2
;log 6−∞
.
Li gii
26
x
>
2
log 6x
⇔>
(
)
2
log 6;
x
+∞
.
Câu 79: Tập nghiệm ca bất phương trình
23
1
5
25
x+
>
là:
A.
5
;
2

+∞


. B.
5
;
2

−∞


. C.
( )
0;
+∞
. D.
1
;
2

+∞


.
Li gii
Ta có:
23 23 2
15
5 5 5 232
25 2
xx
xx
+ +−
> > + >− >−
.
Vy tập nghiệm ca bất phương trình đã cho là:
5
;
2
S

= +∞


.
Câu 80: Tập nghiệm ca bất phương trình
32
x
<
A.
( )
3
;log 2−∞
. B.
( )
2
;log 3−∞
. C.
(
)
3
log 2;
+∞
. D.
( )
2
log 3; +∞
.
Li gii
Ta có
3
3 2 log 2
x
x
<⇔<
. Do đó tập nghiệm
(
)
3
;log 2S = −∞
.
Câu 81: Tập nghiệm ca bất phương trình
42
x
A.
1
;.
4

+∞


B.
1
;.
4

+∞

C.
1
;.
2

+∞

D.
1
;.
2

+∞


Li gii
Ta có:
21
1
422 2 21
2
xx
xx ≥⇔
Vy
1
;.
2
S

= +∞

Câu 82: Tập nghiệm của phương trình
2
1
5
5
x
A.
[
)
1;
+∞
. B.
(
)
;0−∞
. C.
[
)
2; +∞
. D.
(
]
;1−∞
.
Li gii
Chn D
Ta có
2
1
5 21 1
5
≤−
x
xx
Tập nghiệm của phương trình là
(
]
;1−∞
.
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 19
Sưu tm và biên son
Câu 83: Tập nghiệm ca bất phương trình
1
1
2
16
x
+
A.
(
]
;5−∞
. B.
[
)
3; +∞
. C.
[
)
3; +∞
. D.
[
)
5; +∞
.
Li gii
Vy tập nghiệm ca bất phương trình là
[
)
5;
+∞
.
Câu 84: Tập nghiệm ca bất phương trình
( )
0,8 3
x
<
A.
( )
0,8
;log 3−∞
. B.
( )
3
log 2;+∞
. C.
( )
( )
3
;log 0,8−∞
. D.
( )
0,8
log 3; +∞
.
Li gii
( )
( )
0,8 0,8
0,8 3 log 3 log 3;
x
xx<⇒> ⇒∈ +
.
Câu 85: Tập nghiệm ca bất phương trình
2
11
7 49
xx
+

>


A.
(
)
;1
−∞
. B.
( ) ( )
; 2 1;−∞ +∞
. C.
( )
1; +∞
. D.
( )
2;1
.
Li gii
Ta có:
2
22
11
2 20 2 1
7 49
xx
xx xx x
+

> +<⇔ +<⇔<<


Câu 86: Tập nghiệm ca bất phương trình
2
1
9
3
x+



A.
[
)
0; +∞
. B.
[
)
4;
+∞
. C.
(
]
;4−∞
. D.
(
]
;4−∞
.
Li gii
2
22
1
9 3 3 2 2 4.
3
x
x
xx
+
−−

≤−


Vy tập nghiệm ca bất phương trình là
(
]
;4S = −∞
Câu 87: Tập nghiệm ca bất phương trình
1
2
3

<


x
A.
2
1
log ;
3

+∞


. B.
2
1
;log
3

−∞


. C.
1
3
;log 2

−∞


. D.
1
3
log 2;

+∞


.
Li gii
1
3
1
2 log 2
3

<⇔>


x
x
.
Vy tập nghiệm
1
3
log 2;

= +∞


S
.
Câu 88: Tập nghiệm ca bất phương trình
0,6 3
x
>
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 20
Sưu tm và biên son
A.
( )
0,6
;log 3
−∞
. B.
( )
0,6
log 3; +∞
. C.
( )
3
;log 0,6−∞
. D.
( )
3
log 0, 6; +∞
.
Li gii
Ta có
0,6
0,6 3 log 3
x
x>⇔<
.
Vy tập nghiệm ca bất phương trình đã cho là
( )
0,6
;log 3S = −∞
.
Câu 89: Tập nghiệm ca bất phương trình
1
5
2
x



A.
(
]
2
; log 5
−∞
. B.
[
)
2
log 5; +∞
. C.
[
)
5
log 2; +∞
. D.
(
]
5
; log 2−∞
.
Li gii
Ta có
12
2
1
5 log 5 log 5
2
x
xx

⇔≤ ⇔≤


.
Vy tập nghiệm ca bất phương trình là
(
]
2
; log 5S = −∞
.
Câu 90: Tập nghiệm ca bất phương trình
1
9
3
x

>


A.
( )
2;+∞
. B.
(
)
;2−∞
. C.
( )
2; +∞
. D.
( )
;2−∞
Li gii
Ta có
1
9
3
x

>


2
33
x
>
22xx
> <−
Vy tập nghiệm ca bất phương trình là:
( )
;2−∞
Câu 91: Tập nghiệm ca bất phương trình
1
2
2
x



A.
(
]
;1−∞
. B.
[
)
1; +∞
. C.
( )
;1−∞
. D.
( )
1; +∞
.
Li gii
Ta có :
1
2
2
x



22
x
⇔≥
1x ≤−
.
Câu 92: Tập nghiệm
S
ca bất phương trình
1
8
2
x

<


A.
( )
;3S
= −∞
. B.
( )
3;S = +∞
. C.
( )
3;S = +∞
. D.
(
)
1; 3
S =
.
Li gii
Ta có
3
1 11
83
2 22
xx
x
  
< < >−
  
  
.
Vy
( )
3;S = +∞
.
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 21
Sưu tm và biên son
Câu 93: Tập nghiệm ca bất phương trình
1
8
3
x



A.
1
3
;log 8

−∞

. B.
(
]
;2−∞
. C.
[
)
2;+∞
. D.
1
3
log 8;

+∞

.
Li gii
Áp dụng tính chất:
( )
0 1, 0 log
x
a
ab a b x b << > ⇔≥
.
Do đó
1
3
1
8 log 8
3
x
x

≤⇔


. Vì vậy tập nghiệm ca bất phương trình là
1
3
log 8;

+∞

Câu 94: Tập nghiệm ca bất phương trình
0.5 4
x
A.
;2
. B.
;2
. C.
2; 
. D.
2;
.
Li gii
Ta có
0.5
0.5 4 log 4 2
x
xx 
. Vy tập nghim ca bất phương trình là
2;

.
Câu 95: Tìm s nghiệm nguyên của bất phương trình
2
16
3 81
x
.
A. 9. B. 4. C. 7. D. 5.
Li gii
22
16 16 4 2
3 81 3 3 12 0 2 3 2 3
xx
xx
−−
≥⇔ ≥⇔−≥
Các nghiệm nguyên thỏa mãn là
{ }
3; 2; 1; 0;1; 2;3
x ∈−
.
Câu 96: Tập nghiệm ca bất phương trình
21
5 125
x
A.
3;

. B.
1
;
2



. C.
1
;
3



. D.
2;
.
Li gii
Ta có
21 21 3
5 125 5 5 2 1 3 2
xx
xx


.
Vy tập nghiệm ca bất phương trình đã cho là
2;
.
Câu 97: Tập nghiệm ca bất phương trình
2
2
4 64
xx
<
A.
( )
1; 3
. B.
( ) (
)
; 1 3;−∞ +∞
.
C.
( )
;1−∞
. D.
(
)
3; +∞
.
Li gii
Ta có:
22
2 23 2 2
4 64 4 4 2 3 2 3 0 1 3
xx xx
xx xx x
−−
< <⇔−<⇔−−<<<
.
Vy tập nghiệm ca bất phương trình là
( )
1; 3S =
.
Câu 98: Tập nghiệm ca bất phương trình
12
1
3. 1
2
x

<


CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 22
Sưu tm và biên son
A.
1
2
11 1
; log
22 3


−∞ +




. B.
1
2
11 1
log ;
22 3


+∞




.
C.
1
2
11 1
; log
22 3


−∞




. D.
1
2
11
; log
23


−∞




.
Li gii
Ta có:
12 12
11
22
1 1 1 1 11 1
3. 1 1 2 log log
2 2 3 3 22 3
xx
xx
−−
 
< <⇔ > <−
 
 
.
Câu 99: Gii bất phương trình
2
4
3
1
4
x



ta đưc tập nghiệm
T
. Tìm
T
.
A.
[ ]
2; 2T =
. B.
[
)
2;
T = +∞
.
C.
(
]
;2T = −∞
. D.
(
] [
)
; 2 2;T = −∞ +∞
Li gii
Bất phương trình
[ ]
2
4
2
3
1 4 0 2; 2
4
x
xx

∈−


Vy tập nghiệm
[ ]
2; 2= T
.
Câu 100: Bất phương trình
23
xx
>
có tập nghiệm là
A.
( )
0;1S =
. B.
( )
;0S = −∞
. C.
( )
1;S
= +∞
. D.
( )
1;1S =
.
Li gii
Ta có
2
103
3
2
x
xx
x

>⇔ <


>
.
Câu 101: Tập nghiệm
S
ca bất phương trình
1
8
2
x
>
A.
( )
3; .S = +∞
B.
( )
3; .S = +∞
C.
(
)
; 3.S = −∞
D.
( )
;3 .S = −∞
Li gii
Ta có
3
1
8 2 2 3 3.
2
x
x
xx
>⇔ > >⇔<
Vy tập nghiệm ca bất phương trình là
( )
; 3.S = −∞
Câu 102: Tập nghiệm ca bất phương trình
1
25
52
x

<


A.
( )
0; +∞
. B.
( )
;0−∞
. C.
( )
;2−∞
. D.
( )
2; +∞
.
Li gii
1 11
2 52 2
11 0
5 25 5
xx
xx
−−
  
< < >− >
  
  
.
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 23
Sưu tm và biên son
Vy tập nghiệm ca bất phương trình đã cho là
( )
0; +∞
.
Câu 103: Tập nghiệm ca bất phương trình
11
28
x

<


A.
( )
3; +∞
. B.
(
)
;3
−∞
. C.
[
)
3; +∞
. D.
(
]
;3−∞
.
Li gii
Ta có
3
111 1
3
282 2
xx
x
  
< < ⇔>
  
  
.
Vy tập nghiệm ca bất phương trình là
( )
3;S = +∞
.
Câu 104: Tập nghiệm ca bất phương trình
13
33
44
xx −+
 
>
 
 
A.
( )
2; +∞
. B.
( )
;2−∞
. C.
[
)
2; +∞
. D.
(
]
;2−∞
.
Li gii
Vì cơ số
3
1
4
<
nên
13
33
1 324 2
44
xx
xx x x
−+
 
> <− + < <
 
 
.
Vy tập nghiệm ca bất phương trình đã cho là
( )
;2−∞
.
Câu 105: Tập nghiệm ca bất phương trình
1
11
5 125
x



A.
(
)
3; +∞
. B.
[
)
4;
+∞
. C.
(
]
;4−∞
. D.
( )
;4
−∞
.
Li gii
Ta có:
1 13
1 11 1
13 4
5 125 5 5
xx
xx
−−
  
−≥
  
  
.
Câu 106: Tìm tập nghiệm ca bất phương trình
2
4
1
2
2
xx
x

>


bằng
A.
(
)
2; +∞
. B.
( ) ( )
; 2 2;−∞ +∞
. C.
( )
2; +∞
. D.
( )
2; 2
Li gii
2
2
44
1
22 2
2
xx
x xx x
−+

>⇔ >


2
4
x xx⇔− + >
2
40x⇔− + >
22x⇔− < <
Câu 107: S nghiệm nguyên ca bất phương trình
2
3x
52
1
5
5
x
+

<


A.
3
. B.
1
. C.
2
. D.
4
.
Li gii
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 24
Sưu tm và biên son
Bất phương trình
2
2
3
52 3 52 2
1
555352
5
x
x xx
xx
++

<⇔<⇔<+


2
1
3 5 20 2
3
xx x <⇔−<<
.
x
nên
{
}
0;1x
. Vy bất phương trình có
2
nghiệm nguyên.
Câu 108: Tập nghiệm ca bất phương trình
2 27
39
xx++
<
A.
( )
;4−∞
. B.
(
)
4; +∞
. C.
( )
;5−∞
. D.
( )
5: +∞
.
Li gii
2 27
39
xx++
<
2 4 14
33
xx++
⇔<
2 4 14xx+< +
3 12x⇔− <
4x >−
.
Câu 109: Tập nghiệm ca bất phương trình
2
1
1
e
e
xx−−
<
A.
( )
1; +∞
. B.
( )
1; 2
. C.
( )
0;1
. D.
( )
;0−∞
.
Li gii
Ta có
22
1 11 2 2
1
e e e 11 00 1
e
xx xx
xx xx x
−− −−
< < ⇔−<⇔−<<<
.
Vy tập nghiệm ca bất phương trình là
( )
0;1=S
.
Câu 110: Tìm tập nghiệm
S
ca bất phương trình
1 3x
2 25
54



.
A.
(
]
,1S = −∞
. B.
1
,
3
S

= +∞

. C.
1
,
3
S

= −∞

. D.
[
)
1,S = +∞
.
Li gii
1 3x 1 3x 2
2 25 2 2
1 3x 2 1
5 45 5
x
−−
  
≤−
  
  
.
Vy tập nghiệm ca bất phương trình là
[
)
1,S = +∞
.
Câu 111: Tập nghiệm
S
ca bất phương trình
2
1
5
25
x
x
+



A.
( )
1;S = +∞
. B.
(
]
;2S = −∞
. C.
[
)
2;S = +∞
. D.
( )
;2S = −∞
.
Li gii
Ta có
2 22
1
5 5 5 22 2
25
x
x xx
x xx
++

+≥


.
Câu 112: Bất phương trình
3
31
29
34
−−
 
<
 
 
xx x
tương đương với bất phương trình nào sau đây?
A.
3
5 20 −<xx
. B.
3
5 20 +<
xx
. C.
3
20 ++<xx
. D.
3
20 −<xx
.
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 25
Sưu tm và biên son
Li gii
Ta có
33
3 1 3 22
33
2 922
3 2 2 20
3 433
x x x xx x
x x x xx
−+
   
< < >− + + + <
   
   
.
Câu 113: Tập nghiệm của phương trình
22
2
1
5
5
x
x
+

>


là:
A.
( )
;4 .−∞
B.
( )
0; .+∞
C.
( )
4; .+∞
D.
( )
; 4.−∞
Li gii
22
2
1
5
5
x
x
+

>


( )
22
21
55
x
x
+−
⇔>
2 22
55
xx
+−
⇔>
22 2xx+>
4.x⇔<
Vy tập nghiệm ca bất phương trình là
( )
;4 .−∞
Câu 114: Tập nghiệm ca bất phương trình
2021
1
2
2
x

>


A.
( )
;2021−∞
B.
( )
; 2021
−∞
C.
( )
2021; +∞
D.
( )
2021;
+∞
Li gii
Ta có
( )
2021 2021
1
2 2 2 2021 hay ; 2021 .
2
x
x
xx

>⇔>⇔<


Câu 115: Tập nghiệm ca bất phương trình
1
4
1
11
22
x
 
<
 
 
A.
( )
2;S
= +∞
. B.
5
1;
4
S

=


. C.
( )
0;1S =
. D.
(
)
;0S = −∞
.
Li gii
Điều kiện:
1x
.
1
4
1
1 1 1 54 5
4 01
22 1 1 4
x
x
x
xx
 
< >⇔ >⇔<<
 
−−
 
.
Câu 116: Tìm tập nghiệm
S
ca bất phương trình
2
3
11
24
xx−+

<


.
A.
[ ]
1;2S =
. B.
( )
;1S = −∞
. C.
( )
1;2S =
. D.
( )
2;
S = +∞
.
Li gii
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 26
Sưu tm và biên son
Ta có:
22
3 32
22
1 11 1
3 2 3 20 1 2
2 42 2
xx xx
xx xx x
−+ −+
  
< < + >⇔ +<⇔<<
  
  
.
Vy tập nghiệm ca bất phương trình đã cho là
( )
1;2S =
.
Câu 117: Bất phương trình
2
4
11
2 32
xx+

>


có tập nghiệm là
( )
;S ab=
, khi đó
ba
là?
A.
4
. B.
2
. C.
6
. D.
8
.
Li gii
Bất phương trình tương đương
2
45
2
11
45 5 1
22
xx
xx x
+
 
> + < ⇔− < <
 
 
.
Vy
( )
5;1 6S ba= ⇒−=
.
Câu 118: Tp hp tt c các giá tr thc ca tham s
m
để bất phương trình
( ) ( )
( )
2
31 2 1
23 23
x x mx−− +
+ >−
đúng
x
∀∈
có dạng
( )
,ab
. Tính
S ab= +
?
A.
2
. B.
5
2
. C.
2
. D.
3
.
Li gii
Ta có:
( )
( )
( )
2
31 2 1
23 23
x x mx−− +
+ >−
(
) ( )
( )
2
31 2 1
23 23
x x mx−− +
+ >+
2
31 2 2
x x mx >−
( )
2
2 3 10x mx + +>
.
Bất phương trình
( )
2
2 3 10x mx+ +>
, x∀∈
2
10
0
0
4 12 5 0
a
mm
>
>
⇔⇔

∆<
+<
15
22
m⇔<<
.
15
3
22
S ab =+= + =
.
Câu 119: Tập nghiệm ca bất phương trình
21
1
(3 9)(3 ) 3 1 0
27
xx x+
−≤
chứa bao nhiêu số nguyên ?
A. 2. B. 3. C. 4. D. 5.
Li gii
Điều kiện
11
3 10 3 1 1
xx
x
++
≥−
.
Ta có
1x =
là một nghiệm ca bất phương trình.
Vi
1x >−
, bất phương trình tương đương với
2
1
(3 9)(3 ) 0
27
xx
−≤
.
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 27
Sưu tm và biên son
Đặt
30
x
t = >
, ta
2
1
( 9)( ) 0
27
tt−−
1
( 3)( 3)( ) 0
27
ttt
⇔− +
3
1
3
27
t
t
≤−
≤≤
. Kết
hợp điều kiện
30
x
t = >
ta được nghiệm
1
3
27
t≤≤
1
33 3 1
27
x
x ⇔−
. Kết hp
điều kiện
1
x >−
ta đưc
11x
−<
suy ra trưng hp này bất phương trình 2 nghiệm
nguyên.
Vy bất phương trình đã cho có tất cả 3 nghiệm ngun.
DẠNG 4: BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
Câu 120: Nghim ca bất phương trình
( )
2
log 1 3x −>
A.
9x >
. B.
19x<<
. C.
10
x >
. D.
1 10
x
<<
.
Li gii
Điều kiện:
1x >
( )
2
log 1 3 1 8 9x xx >⇔>⇔>
.
Vy tập nghiệm ca bất phương trình là
9x >
.
Câu 121: Tập nghiệm ca bất phương trình
2
log 3x
A.
(
]
0;8
. B.
(
]
;8−∞
. C.
(
]
0;9
. D.
( )
0;8
.
Li gii
Ta có:
3
2
log 3 0 2 0 8xx x⇔< ⇔<
nên tập nghiệm của bpt là
(
]
0;8
.
Câu 122: Tập nghiệm ca bất phương trình
( )
2
log x 1 3+<
A.
( )
;8S = −∞
. B.
( )
;7S = −∞
. C.
( )
1; 8S =
. D.
( )
1; 7S =
.
Li gii
Ta có:
( )
2
13log x +<
3
0 12x < +<
17x
⇔− < <
Vy tp nghim ca bất phương trình
( )
2
13log x
+<
( )
1; 7S =
Câu 123: Bất phương trình
2
log 3x <
có tập nghiệm là
A.
( )
8; +∞
. B.
( )
;8−∞
. C.
( )
0;8
. D.
( )
;6−∞
.
Li gii
Ta có
3
2
log 3 0 2 0 8xx x<⇔<< ⇔<<
.
Tập nghiệm ca bất phương trình là
( )
0;8
.
Câu 124: Tìm tập nghiệm ca bất phương trình
(
)
2
5
log 4 1 0x +>
A.
13
4;
2



. B.
13
4;
2


. C.
13
;
2

−∞


. D.
13
;
2

+∞


.
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 28
Sưu tm và biên son
Li gii
Điều kiện:
40x −>
4x⇔>
.
( )
2
5
log 4 1x >−
5
4
2
x
−<
13
2
x⇔<
.
Vy
13
4;
2
S

=


.
Câu 125: Tập nghiệm ca bất phương trình
3
log 1 1x

A.
;4

. B.
;4

. C.
1; 4
. D.
0; 4
.
Li gii
Ta
( )
3
log 1 1 0 1 3 1 4x xx < −≤ <
.
Câu 126: Tập nghiệm ca bất phương trình
( )
2
log 3 1 3x −<
A.
( )
;3−∞
. B.
1
;3
3



. C.
1
;3
3



. D.
( )
3; +∞
.
Li gii
ĐK:
1
3
x >
( )
2
log313318 3
x xx <⇔ <⇔<
KHĐK:
1
3
x >
1
3
3
x<<
Vy tập nghiệm ca bất phương trình là
1
;3
3



Câu 127: Tập nghiệm ca bất phương trình
3
log 2x
A.
( )
;9−∞
. B.
( )
0;6
. C.
(
)
;6−∞
. D.
(
]
0;9
.
Li gii
Ta có
3
2
0
log 2 0 9
3
x
xx
x
>
≤⇔ ⇔<≤
.
Tập nghiệm ca bất phương trình
3
log 2x
(
]
0;9S =
.
Câu 128: Bất phương trình
( )
2021
log 1 0x −≤
có bao nhiêu nghiệm nguyên?
A.
1
. B.
2022
. C.
2
. D.
0
.
Li gii
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 29
Sưu tm và biên son
( )
2021
0
10
1
log 1 0 1 2
2
1 2021
x
x
xx
x
x
−>
>
⇔<

−≤
.
x
12x
<≤
nên
2x =
.
Câu 129: Gii bất phương trình
2
log ( 1) 5.x −>
A.
33.x >
B.
33.
x
<
C.
11.x
<
D.
11.x
>
Li gii
Ta có:
2
2
10
1
log ( 1) 5 33
log ( 1) 5
1 32
x
x
xx
x
x
−>
>
>⇔ >

−>
−>
.
Câu 130: Tập nghiệm ca bất phương trình
2
3
log 2x >
A.
4
0;
9



. B.
4
;
9

+∞


. C.
( )
3
4;+∞
. D.
4
;
9

−∞


.
Li gii
Chn A
Điều kiện:
0x >
Ta có
2
3
log 2x >
2
22
33
2
log log
3
x

⇔>


2
2
3
x

⇔<


4
9
x⇔<
Vy tập nghiệm ca bất phương trình là
4
0;
9



.
Câu 131: Tập nghiệm ca bất phương trình
1
2
log ( 2) 1x −>
A.
5
2;
2


. B.
5
;
2

+∞


. C.
5
2;
2



. D.
5
;
2

−∞


Li gii
Ta có:
1
2
log ( 2) 1
20
5
2
1
2
2
2
x
x
x
x
−>
−>
<<
−<
Câu 132: Tập nghiệm ca bất phương trình
(
)
1
3
log 3 2x <−
.
A.
( )
;12−∞
. B.
( )
12;+∞
. C.
( )
3;12
. D.
7
;
3

−∞


.
Li gii
Điều kiện
30 3xx
−> >
( )
2
1
3
1
log 3 2 3 3 9 12
3
x x xx

<−> −> >


.
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 30
Sưu tm và biên son
Vy tập nghiệm ca bất phương trình đã cho là:
( )
12;S = +∞
Câu 133: Tìm tp nghiệm
S
ca bất phương trình
(
)
(
)
11
33
log 1 log 2 3
xx−> +
.
A.
2
;
3
S

= −∞


. B.
2
;
3
S

= +∞


. C.
2
;1
3
S

=


. D.
( )
1;
S
= +∞
.
Li gii
Bt phương trình tương đương với
10
1 23
x
xx
−>
−< +
1
2
3
x
x
<
>−
2
1
3
x⇔− < <
.
Vy tập nghiệm ca bất phương trình là:
2
;1
3
S

=


.
Câu 134: Tập nghiệm ca bất phương trình
( ) ( )
11
22
log 3 2 log 4xx−>
A.
2
;3
3
S

=


. B.
3
;
2
S

= −∞


. C.
23
;
32
S

=


. D.
3
;4
2
S

=


.
Li gii
Điều kiện:
2
3 20
2
4
3
40
3
4
x
x
x
x
x
−>
>
<<

−>
<
.
Trong điều kiện trên, ta có
( ) ( )
11
22
3
log 3 2 log 4 3 2 4
2
x x x xx
> −<− <
.
So với điều kiện ta được
23
32
x<<
.
Vy tập nghiệm ca bất phương trình:
23
32
x<<
.
Câu 135: Tập nghiệm ca bất phương trình
( )
2
1
2
log 5 7 0xx+>
A.
( ) ( )
; 2 3;−∞ +
. B.
( )
3; +∞
. C.
( )
;2−∞
. D.
( )
2;3
.
Li gii
(
)
22
1
2
log 570 0 571
xx xx−+><−+<
2
2
5 60
5 70
xx
xx
+<
+>
23x⇔<<
.
Câu 136: Tập nghiệm ca bất phương trình
(
) ( )
log 2 log 6xx<+
là:
A.
(
)
6; +∞
. B.
(0; 6)
. C.
[0; 6)
. D.
( )
;6−∞
.
Li gii
Điều kiện xác định:
0.x >
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 31
Sưu tm và biên son
Bất phương trình
266xx x
<+⇔<
. Vy tập nghiệm ca bất phương trình là:
( )
0;6
Câu 137: Tập nghiệm ca bất phương trình
( )
1
2
log 1 0
x
+≥
A.
[
)
0; +∞
. B.
(
]
;0−∞
. C.
1
1;
2


. D.
(
]
1; 0
.
Li gii
Điều kiện
10 1
xx+ > >−
.
Ta có
(
)
1
2
log 1 0x
+≥
0
1
1 11 0
2
x xx

+≤ +≤


.
So điều kiện, tập nghiệm ca bất phương trình là
(
]
1; 0S =
.
Câu 138: Tập nghiệm
S
ca bất phương trình
( ) ( )
11
55
log 1 log 2 1xx+<
A.
1
;2
2
S

=


. B.
( )
;2S = −∞
. C.
( )
2;S = +∞
. D.
( )
1; 2
S
=
.
Li gii
ĐKXĐ:
1
2
x >
( )
(
)
11
55
log 1 log 2 1 1 2 1 2x x xxx
+< −⇔+> <
Kết hợp ĐKXĐ ta có
1
;2
2
S

=


Câu 139: Tập nghiệm
S
ca bất phương trình
( )
22
log 2 1 logxx
−>
A.
1
;
2
S

= +∞


. B.
( )
0;1S
=
. C.
( )
0;S = +∞
. D.
( )
1;S = +∞
.
Li gii
Điều kiện xác định:
1
2
x >
.
Ta có
( )
22
log 2 1 log 2 1 1x x x xx > −> >
.
Kết hợp với điều kiện xác định, ta được tập nghiệm ca bất phương trình là
( )
1;S = +∞
.
Câu 140: Có bao nhiêu số nguyên dương thuộc tập nghim ca bất phương trình
( )
2
3
log 31 3x−≥
?
A.
5
. B.
4
. C.
3
. D.
2
.
Li gii
Ta có
( )
2 22
3
log 31 3 31 27 4 0 2 2x xx x −≥ −≥
.
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 32
Sưu tm và biên son
x
nguyên dương nên
{
}
1; 2x
.
Câu 141: Tập nghiệm ca bất phương trình
( )
2
1
2
log 3 2xx ≤−
A.
(
] [
)
; 1 4;−∞ +∞
. B.
( ) ( )
; 0 3;
−∞ +∞
. C.
[
]
1; 4
. D.
[
)
(
]
1; 0 3; 4−∪
.
Li gii
ĐK:
2
3
30
0
x
xx
x
>
>⇔
<
( )
2 22
1
2
4
log3234340
1
x
xx xx xx
x
⇔−≥⇔−−
≤−
Vy tập nghiệm ca bất phương trình là
(
] [
)
; 1 4;S = −∞ +∞
.
Câu 142: Bất phương trình
(
) (
)
11
22
log 2 3 log 5 2
xx−<
có tập nghiệm là
( )
;ab
. Tính giá trị
S ab= +
.
A.
=
11
2
S
. B.
=
7
2
S
. C.
=
13
2
S
. D.
=
9
2
S
.
Li gii
Ta có:
( )
( )
11
22
5
52 0
5
log 2 3 log 5 2 2
2
2 352
2
2
x
x
xx x
xx
x
−>
<
< ⇔<<

−>−
>
Suy ra tập nghiệm ca bất phương trình là
5
2;
2



.
Khi đó:
5
2;
2
ab= =
. Vy:
59
2
22
S
=+=
.
Câu 143: Tập nghiệm ca bất phương trình
( )
( )
2
13
3
log 6 5 log 1 0xx x ++ −≤
A.
(
]
5; 6S =
. B.
( )
1;S = +∞
. C.
[ ]
1; 6S =
. D.
[
)
6;S = +∞
.
Li gii
Bất phương trình
( )
( )
2
33
log 6 5 log 1 0xx x⇔− + +
( )
( )
2
33
log 6 5 log 1xx x +≥
2
65 1
10
xx x
x
+≥
−>
2
1
7 60
6
6
1
1
x
xx
x
x
x
x
+≥
⇔≥

>
>
.
Tập nghiệm ca bất phương trình
[
)
6;S = +∞
.
Câu 144: Bất phương trình
( ) ( )
22
log 3 2 log 6 5xx−>
có tập nghiệm là
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 33
Sưu tm và biên son
A.
1
;3 .
2



B.
( )
3;1 .
C.
( )
0; .+∞
D.
6
1; .
5



Li gii
Ta có
( ) ( )
22
2
3
3 20
66
log 3 2 log 6 5 6 5 0 1
55
3 265
1
x
x
x xx x x
xx
x
>
−>

> > < ⇔< <


−>−
>
Vy tập nghiệm ca bất phương trình là
6
1; .
5
S

=


Câu 145: Tập nghiệm ca bất phương trình
( ) ( )
66
log 2 log 7 2
ππ
−> xx
A.
( )
3; .+∞
B.
( )
2;3 .
C.
( )
;3 .−∞
D.
7
3; .
2



Li gii
Ta có
( ) ( )
66
20 2
log 2 log 7 2 2 3
272 3 9
xx
xx x
x xx
ππ
−> >

> ⇔<<

−<− <

.
Câu 146: Tập nghiệm của bất phương trình
( )
2
2
2
log 2 logxx x−≤
A.
1
;1
2



. B.
(0;1)
. C.
[ ]
0;1
. D.
1
;1
2


.
Li gii
ĐK:
2
20
1
2
0
xx
x
x
−>
⇔>
>
.
( )
2
2
2
log 2 logxx x−≤
( )
22
22
log 2 logxx x −≤
2 22
2 00 1xxx xx x −≤ −≤<
Vy tập nghiệm là:
1
;1
2


Câu 147: Tập nghiệm ca bất phương trình
( ) (
)
12
2
log 1 log 5 2 0xx++
là:
A.
4
1;
3



. B.
4
;
3

−∞

C.
45
;
32


. D.
4
1;
3


.
Li gii
Điều kiện:
5
1
2
x−< <
.
Với điều kiện trên bất phương trình
( ) ( )
12
2
log 1 log 5 2 0xx++
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 34
Sưu tm và biên son
( )
( )
22
log 5 2 log 1
52 1
4
3
xx
xx
x
−≥ +
⇔− +
⇔≤
Kết hợp với điều kiện ta được
4
1
3
x−<
.
Câu 148: Bất phương trình
2
22
1 log ( 2) log ( 3 2)
x xx
+ −> +
có tập nghiệm là
A.
( )
3; .S = +∞
B.
( )
2;3 .S =
C.
( )
2; .S = +∞
D.
( )
1; 3 .S =
Li gii
ĐK:
2
20
2
2
12
3 20
x
x
x
xx
xx
−>
>
⇔>

<∨ >
+>
.
2
22
1 log ( 2) log ( 3 2)x xx+ −> +
( )
( )
2
22
log 2 2 log 3 2x xx −> +
2
24 32x xx −> +
2
5 60xx +<
23x⇔<<
.
So điều kiện
( )
2;3 .x⇒∈
Câu 149: Bất phương trình
( )
( )
2
42
log 4 log 8xx x−>
có bao nhiêu nghiệm nguyên?
A. vô số. B.
2
. C.
3
. D.
1
.
Li gii
Điều kiện
2
48
40
0
80
x
xx
x
x
<<
−>
<
−>
.
Bất phương trình tương đương
22
4 16 64
x xx x>− +
16
12 64
3
xx
> ⇔>
.
Đối chiếu điều kiện ta được
16
8
3
x
<<
suy ra có 2 nghiệm nguyên.
Câu 150: Tập nghiệm
S
ca bất phương trình
( ) ( )
28
log 11 5 3log 1 0xx −≥
A.
5
1;
3
S

=

. B.
(
]
1; 2S =
. C.
11
2;
5
S

=

. D.
5 11
;
35
S

=

.
Li gii
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 35
Sưu tm và biên son
Đk:
(
)
11
11 5 0
11
1*
5
10
5
1
x
x
x
x
x
−>
<
⇔< <

−>
>
Bất phương trình:
( ) (
) ( ) ( )
(
) ( )
( ) ( )
3
28 2
2
22
22
log 11 5 3log 1 0 log 11 5 3log 1 0
log 11 5 log 1 0
log 11 5 log 1
11 5 1
5 1 11
6 12
2
xx x x
xx
xx
xx
xx
x
x
−≥ −≥
−≥
−≥
≥−
≥−
≥−
⇔≤
Kết hợp điều kiện
( )
*1 2x⇒<
Vy tập nghiệm
(
]
1; 2S
=
Câu 151: Tập nghiệm ca bất phương trình
( ) ( )
13
3
log 1 log 11 2 0xx−+
A.
(
]
1; 4S =
. B.
11
3;
2
S

=


. C.
(
]
;4S = −∞
. D.
( )
1; 4S =
.
Li gii
Điều kiện xác định
11 2 0
10
x
x
−>
−>
Ta có:
( ) ( )
13
3
log 1 log 11 2 0xx−+
( ) ( )
1
3
3
log 1 log 11 2 0xx
−+
( )
( )
3
3
log 1 log 11 2 0
xx
⇔− +
(
)
( )
3
3
log 11 2 log 1xx
−≥
11 2 1
10
xx
x
≥−
−>
3 12
10
x
x
≥−
−>
4
1
x
x
>
1 4.x⇔<
Câu 152: Tập nghiệm
S
ca bất phương trình
( )
( )
2
0,5 2
log 8 3 log 0x xx + −≤
A.
[ ]
4; 2
. B.
[
)
8
4;1 2;
3
S

=−∪

.
C.
( )
0;1S =
. D.
[
) (
]
4; 0 1; 2S =−∪
.
Li gii
ĐKXĐ:
2
8
8
83 0
3
1
3
1
0
0
0
x
x
x
x
xx
x
x
<
−>
<<
⇔⇔

>
−>
<
<
.
( )
1
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 36
Sưu tm và biên son
Ta có:
(
)
( )
2
0,5 2
log 8 3 log 0x xx
+ −≤
( )
( )
2
11
22
log 8 3 log 0x xx −≤
( )
( )
2
11
22
log 8 3 logx xx −≤
2
83xx x ≤−
2
2 80
xx
+ −≤
42x⇔−
(
)
2
T
( )
1
(
)
2
ta có tập nghiệm ca bất phương trình trên là
[
) (
]
4; 0 1; 2S =−∪
.
Câu 153: Bất phương trình
21
3
37
log log 0
3
x
x


+

có tập nghiệm là
(
]
;ab
. Tính giá trị
3
P ab=
.
A.
4P =
B.
5P =
C.
7P =
D.
10P =
Li gii
Điều kiện:
37 7
01 5
33
x
x
x
< <⇔ < <
+
.
Khi đó ta có:
21 2 1 1
3 33
37 37 1 371
log log 0 log 1 log 1 log
3 3 3 33
3 7 1 8 24
0 03 3
33 3 9
x xx
x xx
xx
x
xx

−−
= ≥=

+ ++

−−
≤⇔ ≤⇔<
++
Kết hợp với điều kiện ta có:
7
7
3 34
3
3
3
a
x P ab
b
=
<≤⇔ = −=
=
Câu 154: Bất phương trình
( )
2
2
3
log 2 1 0xx−+ <
có tập nghiệm là
A.
3
0;
2
S

=


. B.
( )
1
;0 ; .
2
S

= −∞ +∞


C.
( )
3
;1 ;
2
S

= −∞ +∞


. D.
3
1;
2
S

=


.
Li gii
Ta có
( )
22
2
3
0
log210211
1
2
x
xx xx
x
<
−+ < −+>
>
.
Câu 155: S nghiệm nguyên ca bất phương trình
21
5
log log 0x

−≤


A. Vô số. B.
4
. C.
3
. D.
2
.
Li gii
Ta có
21 1 1
5 55
log log 0 0 log 1 1 log 0 5 1 1 5x x x xx

< ≤⇔ < >⇔<


.
Vậy có 4 nghiệm nguyên.
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 37
Sưu tm và biên son
Câu 156: Tìm tập nghiệm ca bất phương trình
( )
2
2
log 4 6 1+>xx
A.
.
D.
{
}
2.
C.
.
D.
{ }
\2.
Li gii
( )
( )
2
2 2 12
2
log 461 462 440 2 0 2−+>⇔−+>⇔−+> >xx xx xx x x
.
Vy tập nghiệm
{ }
\2= S
.
Câu 157: Có bao nhiêu số nguyên
x
không vượt quá
30
thoả mãn
( )
( )
2
1
5
9 3 log 23 2 0?
x xx
x
++
+ −≤


A.
30
. B.
15
. C.
32
. D.
16
.
Li gii
Điều kiện:
23
x >−
.
Trưng hp 1:
(
)
( )
2
2
2
1
22
5
1
20
9 3 0
33
21
2
2
log 23 2 0
23 25
2
x xx
x xx
x
xx
x
x
x
x
x
x
++
++
≤−
−−
−≤

⇔≥

+ −≥
+≥
Trưng hp 2:
( )
( )
2
2
2
1
22
5
12
20
9 3 0
33
1 22
2
2
log 23 2 0
23 25
x xx
x xx
x
xx
x
x
x
x
x
++
++
−≤
−−
−≥

⇔−

+ −≤
+≤
T
(
)
( )
1&2
và kết hợp điều kiện
23x >−
ta có
1x ≥−
.
, 30
xx∈≤
nên có
32
số nguyên
x
thỏa yêu cầu đề bài.
Câu 158: Có bao nhiêu số nguyên
x
tha mãn
( )
( )
2
3
2 4 log 25 3 0
xx
x + −≤


?
A.
. B.
26
. C.
. D. Vô số.
Li gii
Điều kiện:
25x >−
.
Đặt
( )
( )
( )
2
3
2 4 log 25 3
xx
fx x= +−


.
22
22
0
2 402 2 2
2
xx x x
x
xx
x
=
−= = =
=
.
( ) ( )
3
33
log 25 3 0 log 25 3 25 3 2x xxx+ −= + =+ = =
.
Bảng xét dấu
T bảng xét dấu,
( )
25 0
0
2
x
fx
x
<≤
≤⇔
=
.
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 38
Sưu tm và biên son
Vậy có 26 số nguyên
x
thỏa yêu cầu.
Câu 159: S nghiệm nguyên ca bất phương trình
( )
2
log log (4 6) 1
x
x
−≤
A. 1. B. 0. C. 4. D. Vô số.
Li gii
Điều kiện:
( )
4 44
4
2
0, 1 0, 1 0, 1
4 6 0 log 6 log 6 log 7
4 6 1 log 7
log 4 6 0
x
x
x
xx xx xx
x xx
x
>≠ >≠ >≠


> ⇔> ⇔> >


−> >
−>

.
Ta có:
( )
22
2
log log (4 6) 1 log (4 6)
462 4260
2 3 log 3
xx
x
x x xx
x
x
x
≤⇔
−≤ −≤
≤⇔
Kết hợp với điều kiện ta có:
42
log 7 log 3x<≤
x
nên bất phương trình không có nghiệm nguyên.
Câu 160: Có bao nhiêu số nguyên dương
y
sao cho ứng vi mi
y
đều có nhưng không quá
5
số nguyên
x
tha mãn
( )( )
10
2 2 2 11 0
xx
y yx −<
?
A.
992
. B.
961
. C.
481
. D.
1921
.
Li gii
Điều kiện xác định
11 0 11xx
−≥
.
Theo giả thiết ta có
( )
(
)
10
2 2 2 11 0
xx
y yx −<
( )(
)
10
10
22
11 0
11
11
log 10 log
22
2 22 0
x
xx
x
x
x
yx y
yy
yy
−>
<
<
⇔⇔

<< +
<<
−<
.
Yêu cầu bài toán được thỏa mãn khi và chỉ khi
5 10
2
5 log 10 2 2 < ≤<yy
.
Do
y
, nên số giá tr nguyên dương
y
thỏa mãn yêu cầu bài toán là
992
.
Câu 161: Có bao nhiêu số nguyên
x
tha mãn
( )
( )
2
3
2 4 log 25 3 0
xx
x + −≤


?
A.
24
. B. Vô số. C.
25
. D.
26
.
Li gii
Ta xét:
22
22
2402 2 20
xx x x
xx−= = =
0
2
x
x
=
=
.
( ) ( )
33
25
log 25 3 0 log 25 3 2
25 27
x
xx x
x
>−
+ −= + = =
+=
.
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 39
Sưu tm và biên son
Bảng xét dấu:
Suy ra
0
VT
(
]
{ }
25; 0 2x ∈−
. Vậy có 26 số thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 162: Bất phương trình
( )
( )
3
9 ln 5 0xxx +≤
có bao nhiêu nghiệm nguyên dương?
A.
3
. B.
7
. C.
6
. D. Vô số.
Li gii
Điều kiện:
5
x >−
.
Đặt
(
)
( )
( )
3
9 ln 5fx x x x
=−+
.
( )
( )
3
3
90
0
0
3
ln 5 0
4
x
xx
x
fx
x
x
x
=
−=
=
=⇔⇔
=
+=
=
Bảng xét dấu:
Dựa vào bảng xét dấu ta thấy
( )
43
0
03
x
fx
x
≤−
≤⇔
≤≤
.
{ }
1;2;3xx
+
⇒∈
.
Câu 163: bao nhiêu giá trị nguyên dương của
y
để tập nghiệm ca bất phương trình
(
)
( )
2
log 2 2 0
x
xy −<
có ít nhất
1
số nguyên và không quá
6
số nguyên?
A.
2048
. B.
2016
. C.
1012
. D.
2023
.
Li gii
Điều kiện:
0.x >
Ta có
( )
( )
2
2
2
2
2
log 2 0
4
log
20
log 2 2 0 .
log 2 0
4
log
20
x
x
x
x
x
xy
y
xy
x
x
xy
y
−<
<
>
−>

<⇔
−>
>

<
−<
TH1. Nếu
2
4
.
log
x
xy
<
>
Để bất phương trình ít nhất
1
số nguyên không quá
6
số nguyên
CHUYÊN Đ VI – TOÁN – 11 – HÀM S HÀM S LOGARIT
Page 40
Sưu tm và biên son
thì
2
1
3 log 3 8.
8
yy
−≤ < <
Suy ra có
7
giá tr nguyên dương của
y
tha mãn.
TH2. Nếu
2
4
.
log
x
xy
>
<
Để bất phương trình ít nhất
1
số nguyên không quá
6
số nguyên
thì
2
5 log 11 32 2048.yy< <≤
Suy ra có
2048 33
1 2016
1
+=
giá tr nguyên dương của
y
tha mãn.
T, suy ra có
2023
giá tr nguyên dương của
y
tha mãn yêu cầu bài toán.
| 1/266