Chuyên đề hệ thức lượng trong tam giác Toán 10 Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống
Tài liệu gồm 108 trang, bao gồm lý thuyết, hướng dẫn giải bài tập trong sách giáo khoa, các dạng bài tập tự luận và hệ thống bài tập trắc nghiệm chuyên đề hệ thức lượng trong tam giác trong chương trình SGK Toán 10 Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống (KNTTvCS), có đáp án và lời giải chi tiết.
Chủ đề: Chương 3: Hệ thức lượng trong tam giác (KNTT)
Môn: Toán 10
Sách: Kết nối tri thức
Thông tin:
Tác giả:
Thông tin :
Chủ đề:
Chương 3: Hệ thức lượng trong tam giác (KNTT)
Môn:
Sách:
Tác giả:
Tài liệu liên quan:
Preview text:
CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC G N ƯƠ
III HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC CH
BÀI 5. GIÁ TRN LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC TỪ 0 ĐẾN 180 . I LÝ THUYẾT.
I. ĐNNH NGHĨA GIÁ TRN LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC (CUNG). 1. Định nghĩa.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy .Với góc o o
0 180 , ta xác định được duy nhất điểm M
trên trên đường nửa đường tròn đơn vị tâm O , sao cho
xOM , biết M ; x y. y x Khi đó: o o o sin y; cos ; x
tan ( 90 ); cot ( 0 ,180 ) x y
Các số sin ,cos ,tan ,cot được gọi là giá trị lượng giác của góc . y M(x;y) Q O P x Hình 2.1 Chú ý: Với o o
0 180 ta có 0 sin 1; 1 cos 1
2. Dấu của giá trị lượng giác. Góc a 0o o o 90 180 sin a + + cosa + - tan a + - cot a + - Page 73
CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
II. MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC GIÁ TRN LƯỢNG GIÁC CỦA HAI GÓC BÙ NHAU o
sin(180 -a) = sin a o
cos(180 -a) = -cos a o
tan(180 -a) = -tan a o
cot(180 -a) = -cot a
III. MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC GIÁ TRN LƯỢNG GIÁC CỦA HAI GÓC PHỤ NHAU (BỔ SUNG) o
sin(90 -a) = cos a o
cos(90 -a) = sin a o
tan(90 -a) = cot a o
cot(90 -a) = tan a
IV. GIÁ TRN LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC GÓC ĐẶC BIỆT Góc a 00 300 450 600 900 sin a 0 1 2 3 1 2 2 2 1 cosa 1 3 2 0 2 2 2 tan a 0 3 1 3 3 cot a 3 1 3 0 3
V. CÁC HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN (BỔ SUNG – KẾT QUẢ CỦA BÀI TẬP 3.3/TR37) sin tan ( 90o ) ; cos cos cot ( 0o; 180o ) sin
tan.cot 1 ( 0o; 90o; 180o ) 2 2 sin cos 1 1 2 1 tan ( 90o ) 2 cos 1 2 1 cot ( 0o; 180o ) 2 sin Page 74
CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA.
3.1. Không dùng bảng số hay máy tính cầm tay, tính giá trị của các biểu thức sau:
a) 2sin 30 cos135 3tan150cos180 cot 60 ; b) 2 2 2 2 2
sin 90 cos 120 cos 0 tan 60 cot 135 ; c) 2 cos60 . sin30 cos 30.
3.2. Đơn giản biểu thức sau:
a) sin100 sin 80 cos16 cos164 .
b) 2sin 180 .cot cos180 .tan.cot 180 với 0 90.
3.3. Chứng minh các hệ thức sau: a) 2 2 sin cos 1; 1 b) 2 1 tan 90 ; 2 cos 1 c) 2 1 cot 0 180 ; 2 sin 3.4. Cho góc
0 180 thỏa mãn tan 3 . 2sin 3cos
Tính giá trị của biểu thức P . 3sin 2cos Page 75
CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
HỆ THỐNG BÀI TẬP. II
DẠNG 1: TÍNH CÁC GIÁ TRN BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC PHƯƠNG PHÁP. 1
· Sử dụng định nghĩa giá trị lượng giác của một góc
· Sử dụng tính chất và bảng giá trị lượng giác đặc biệt
· Sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản
BÀI TẬP TỰ LUẬN. 2
Câu 1. Tính giá trị các biểu thức sau: a) 2 o 2 o 2 o
A a sin 90 b cos 90 c cos180 b) 2 o 2 o 2 o
B 3 sin 90 2 cos 60 3 tan 45 c) 2 0 2 o 2 o 2 o o o
C sin 45 2sin 50 3cos 45 2sin 40 4 tan 55 .tan 35
Câu 2. Tính giá trị các biểu thức sau: a) 2 o 2 o 2 o 2 o
A sin 3 sin 15 sin 75 sin 87 b) o o o o o
B cos 0 cos 20 cos 40 ... cos160 cos180 c) o o o o o
C tan 5 tan10 tan15 ...tan 80 tan 85
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. 3
Câu 1: Giá trị của o o
cos 60 sin 30 bằng bao nhiêu? 3 3 A. B. 3 C. D. 1. 2 3
Câu 2: Giá trị của o o
tan 30 cot 30 bằng bao nhiêu? 4 1 3 2 A. B. C. D. 2 3 3 3
Câu 3: Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào sai? A. o o sin 0 cos 0 1 B. o o sin 90 cos90 1 C. o o sin180 cos180 1 D. o o sin 60 cos60 1
Câu 4: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A. o o cos60 sin 30 . B. o o cos60 sin120 . C. o o cos30 sin120 . D. o o sin 60 cos120 .
Câu 5: Đẳng thức nào sau đây sai? A. o o sin 45 sin 45 2 . B. o o sin 30 cos60 1. C. o o sin 60 cos150 0 . D. o o sin120 cos30 0 . Câu 6: Giá trị o o
cos 45 sin 45 bằng bao nhiêu? A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 0 .
Câu 7: Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng? A. o
sin 180 cos . B. o
sin 180 sin . C. o
sin 180 sin . D. o
sin 180 cos . Page 76
CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
Câu 8: Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai? A. o o sin 0 cos 0 0 . B. o o sin 90 cos 90 1. 3 1 C. o o sin180 cos180 1. D. o o sin 60 cos 60 . 2
Câu 9: Cho là góc tù. Điều khẳng định nào sau đây là đúng? A. sin 0 . B. cos 0 . C. tan 0 . D. cot 0 .
Câu 10: Giá trị của o o o o
E sin 36 cos 6 sin126 cos84 là 1 3 A. . B. . C. 1. D. 1 . 2 2
Câu 11: Giá trị của biểu thức 2 o 2 o 2 o 2 o
A sin 51 sin 55 sin 39 sin 35 là A. 3. B. 4 . C. 1. D. 2 .
Câu 12: Giá trị của biểu thức o o o o o
A tan1 tan 2 tan 3 ...tan 88 tan 89 là A. 0 . B. 2 . C. 3. D. 1. Câu 13: Tổng 2 o 2 o 2 o 2 o 2 o 2 o
sin 2 sin 4 sin 6 ... sin 84 sin 86 sin 88 bằng A. 21. B. 23. C. 22 . D. 24 .
Câu 14: Giá trị của o o o o o
A tan 5 .tan10 .tan15 ...tan 80 .tan 85 là A. 2 . B. 1. C. 0 . D. 1 .
Câu 15: Giá trị của 2 2 2 2 B cos 73 cos 87 cos 3 cos 17 là A. 2 . B. 2 . C. 2 . D. 1.
DẠNG 2: TÍNH GIÁ TRN CỦA MỘT BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC , KHI BIẾT TRƯỚC MỘT GIÁ
TRN LƯỢNG GIÁC. PHƯƠNG PHÁP. 1
· Dựa vào các hệ thức lượng giác cơ bản
· Dựa vào dấu của giá trị lượng giác
· Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ
BÀI TẬP TỰ LUẬN. 2 1
Câu 1. Cho sin với 0 0
90 180 . Tính cos và tan 3 2
Câu 2. Cho cos và sin 0 . Tính sin và cot 3
Câu 3. Cho tan 2 2 tính giá trị lượng giác còn lại. 3 tan 3cot
Câu 4. Cho cos với 0 0
0 90 . Tính A . 4 tan cot sin cos
Câu 5. Cho tan 2 . Tính B 3 3
sin 3cos 2sin
Câu 6. Biết sin x cos x m a) Tìm 4 4
sin x cos x .
b) Chứng minh rằng m 2 . Page 77
CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. 3 1
Câu 1: Cho cos x . Tính biểu thức 2 2
P 3sin x 4 cos x 2 13 7 11 15 A. . B. . C. . D. . 4 4 4 4 1
Câu 2: Biết cos . Giá trị đúng của biểu thức 2 2
P sin 3cos là: 3 1 10 11 4 A. . B. . C. . D. . 3 9 9 3 1
Câu 3: Cho biết tan . Tính cot . 2 1 1 A. cot 2 . B. cot 2 . C. cot . D. cot . 4 2 2 cos 0 Câu 4: Cho biết 3 và 2 . Tính tan ? 5 5 5 5 A. . B. . C. . D. . 4 2 2 2 5
Câu 5: Cho là góc tù và sin
. Giá trị của biểu thức 3sin 2 cos là 13 9 9 A. 3. B. . C. 3 . D. . 13 13
Câu 6: Cho biết sin cos a . Giá trị của sin.cos bằng bao nhiêu? A. 2 sin .cos a .
B. sin.cos 2a . 2 1 a 2 a 1 C. sin .cos . D. sin.cos . 2 2 2 cot 3tan
Câu 7: Cho biết cos . Tính giá trị của biểu thức E ? 3 2 cot tan 19 19 25 25 A. . B. . C. . D. 13 13 13 13
Câu 8: Cho biết cot 5 . Tính giá trị của 2
E 2 cos 5sin cos 1? 10 100 50 101 A. . B. . C. . D. . 26 26 26 26 1 3sin 4 cos
Câu 9: Cho cot . Giá trị của biểu thức A là: 3 2sin 5cos 15 15 A. . B. 13 . C. . D. 13 . 13 13 2 cot 3 tan
Câu 10: Cho biết cos . Giá trị của biểu thức E bằng bao nhiêu? 3 2 cot tan 25 11 11 25 A. . B. . C. . D. . 3 13 3 13
Câu 11: Biết sin a cos a 2 . Hỏi giá trị của 4 4
sin a cos a bằng bao nhiêu? Page 78
CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC 3 1 A. . B. . C. 1. D. 0 . 2 2
Câu 12: Cho tan cot m . Tìm m để 2 2 tan cot 7 . A. m 9 . B. m 3 . C. m 3 . D. m 3 .
Câu 13: Cho biết 3cos sin 1, o o
0 90 Giá trị của tan bằng 4 3 4 5 A. tan B. tan C. tan D. tan 3 4 5 4
Câu 14: Cho biết 2 cos 2 sin 2 , 0 0
0 90 . Tính giá trị của cot. 5 3 2 2 A. cot B. cot C. cot D. cot 4 4 4 2 1
Câu 15: Cho biết cos sin . Giá trị của 2 2
P tan cot bằng bao nhiêu? 3 5 7 9 11
A. P .
B. P .
C. P . D. P . 4 4 4 4 1
Câu 16: Cho biết sin cos . Giá trị của 4 4
P sin cos bằng bao nhiêu? 5 15 17 19 21 A. P B. P C. P D. P 5 5 5 5
DẠNG 3: CHỨNG MINH CÁC ĐẲNG THỨC, RÚT GỌN CÁC BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC PHƯƠNG PHÁP. 1
· Sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản
· Sử dụng tính chất của giá trị lượng giác
· Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ .
BÀI TẬP TỰ LUẬN. 2
Câu 1. Chứng minh các đẳng thức sau(giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa) a) 4 4 2 2
sin x cos x 1 2 sin . x cos x 1 cot x tan x 1 b) 1 cot x tan x 1 cos x sin x c) 3 2
tan x tan x tan x 1 3 cos x 3 B 3 B sin cos cos 2 2 A C
Câu 2. Cho tam giác ABC . Chứng minh . tan B 2 A C A C sin B cos sin 2 2
Câu 3. Đơn giản các biểu thức sau(giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa) a) o o 2 2 2
A sin(90 x) cos(180 x) sin x(1 tan x) tan x 1 1 1 b) B . 2
sin x 1 cos x 1 cos x
Câu 4. Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x . Page 79
CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC 4 2 4 4 2 4
P sin x 6cos x 3cos x cos x 6sin x 3sin x
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. 3
Câu 1: Trong các hệ thức sau hệ thức nào đúng? A. 2 2 sin cos 1. B. 2 2 sin cos 1. 2 C. 2 2 sin cos 1. D. 2 2 sin 2 cos 2 1 .
Câu 2: Trong các hệ thức sau hệ thức nào đúng? A. 2 2
sin cos 1. B. 2 2 sin cos 1. C. 2 2
sin cos 1. D. 2 2 sin cos 1. 2
Câu 3: Trong các hệ thức sau hệ thức nào đúng?
A. sin 2 cos 2 1. B. 2 2
sin cos 1. C. 2 2
sin cos 1. D. 2 2 sin cos 1.
Câu 4: Rút gọn biểu thức sau A x x2 x x2 tan cot tan cot A. A 4 . B. A 1. C. A 2 . D. A 3
Câu 5: Đơn giản biểu thức G 2 x 2 2 1 sin
cot x 1 cot x . 1 A. 2 sin x . B. 2 cos x . C. . D. cos x . cos x
Câu 6: Khẳng định nào sau đây là sai? 1 A. 2 2 sin cos 1 . B. 2 1 cot sin 0 . 2 sin 1 C. tan.cot 1
sin.cos 0 . D. 2 1 tan cos 0 . 2 cos 2 1 sin x
Câu 7: Rút gọn biểu thức P ta được 2sin . x cos x 1 1
A. P tan x .
B. P cot x .
C. P 2 cot x .
D. P 2 tan x . 2 2
Câu 8: Đẳng thức nào sau đây là sai? A. x x2 x x2 cos sin cos sin 2, x . B. 2 2 2 2
tan x sin x tan x sin x, x 90 C. 4 4 2 2
sin x cos x 1 2 sin x cos x, x . D. 6 6 2 2
sin x cos x 1 3sin x cos x, x
Câu 9: Đẳng thức nào sau đây là sai? 1 cos x sin x A.
x 0,x 180. sin x 1 cos x 1
B. tan x cot x x 0,90,180 sin x cos x 1 C. 2 2 tan x cot x 2 x 0, 90,180 2 2 sin x cos x D. 2 2
sin 2x cos 2x 2 . Câu 10: Biểu thức 2 2 2 2
tan x sin x tan x sin x có giá trị bằng A. 1 . B. 0 . C. 2 . D. 1.
Câu 11: Biểu thức a a2 cot tan bằng Page 80
CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC 1 1 1 1 A. . B. 2 2
cot a tan a2 . C. . D. 2 2
cot a tan a 2 . 2 2 sin cos 2 2 sin cos sin x
Câu 12: Đơn giản biểu thức E cot x ta được 1 cos x 1 1 A. sin x . B. . C. . D. cos x . cos x sin x 2 2 cot x cos x sin . x cos x
Câu 13: Rút gọn biểu thức sau A . 2 cot x cot x A. A 1. B. A 2 . C. A 3 . D. A 4 .
Câu 14: Biểu thức f x 4 4 x x 6 6 3 sin cos
2 sin x cos x có giá trị bằng: A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 0 .
Câu 15: Biểu thức: f x 4 2 2 2
cos x cos xsin x sin x có giá trị bằng A. 1. B. 2 . C. 2 . D. 1 .
Câu 16: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. x x2 sin cos
12sin x cos x . B. 4 4 2 2
sin x cos x 12sin x cos x . C. x x2 sin cos
1 2sin x cos x . D. 6 6 2 2
sin x cos x 1sin x cos x . Page 81
CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC G N ƯƠ
III HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC CH
BÀI 5. GIÁ TRN LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC TỪ 0 ĐẾN 180 . I LÝ THUYẾT.
I. ĐNNH NGHĨA GIÁ TRN LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC (CUNG). 1. Định nghĩa.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy .Với góc o o
0 180 , ta xác định được duy nhất điểm M
trên trên đường nửa đường tròn đơn vị tâm O , sao cho
xOM , biết M ; x y. y x Khi đó: o o o sin y; cos ; x
tan ( 90 ); cot ( 0 ,180 ) x y
Các số sin ,cos,tan ,cot được gọi là giá trị lượng giác của góc . y M(x;y) Q O P x Hình 2.1 Chú ý: Với o o
0 180 ta có 0 sin 1; 1 cos 1
2. Dấu của giá trị lượng giác. Góc 0o o o 90 180 a sin a + + cosa + - tan a + - cot a + - Page 1
CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
II. MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC GIÁ TRN LƯỢNG GIÁC CỦA HAI GÓC BÙ NHAU o
sin(180 -a) = sin a o
cos(180 -a) = -cos a o
tan(180 -a) = -tan a o
cot(180 -a) = -cot a
III. MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC GIÁ TRN LƯỢNG GIÁC CỦA HAI GÓC PHỤ NHAU (BỔ SUNG) o
sin(90 -a) = cos a o
cos(90 -a) = sin a o
tan(90 -a) = cot a o
cot(90 -a) = tan a
IV. GIÁ TRN LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC GÓC ĐẶC BIỆT Góc a 00 300 450 600 900 sin a 0 1 2 3 1 2 2 2 1 cosa 1 3 2 0 2 2 2 tan a 0 3 1 3 3 cot a 3 1 3 0 3
V. CÁC HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN (BỔ SUNG – KẾT QUẢ CỦA BÀI TẬP 3.3/TR37) sin tan ( 90o ) ; cos cos cot ( 0o; 180o ) sin
tan.cot 1 ( 0o; 90o; 180o ) 2 2 sin cos 1 1 2 1 tan ( 90o ) 2 cos 1 2 1 cot ( 0o; 180o ) 2 sin Page 2
CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA.
3.1. Không dùng bảng số hay máy tính cầm tay, tính giá trị của các biểu thức sau:
a) 2sin 30 cos135 3tan150cos180 cot 60 ; b) 2 2 2 2 2
sin 90 cos 120 cos 0 tan 60 cot 135 ; c) 2 cos60 . sin30 cos 30. Chú ý: 2 2 2 2 2 2 2 2 sin sin ; cos cosx ; tan tan ; cot cot . Lời giải.
a) 2sin 30 cos135 3tan150cos180 cot 60
2sin 30 cos180 45 3tan 180 30cos180 cot 60
2sin30 cos45 3tan30 1 cot 60 1 2 1 1 2. 3. 1 2 2 3 3
2 2 2 3 3 1 . 2 3 b) 2 2 2 2 2
sin 90 cos 120 cos 0 tan 60 cot 135
sin 902 cos 1202 cos 02 tan 602 cot1352
1 cos180 60 1 32 2
cot180 452 2 2 2 1 1 cos 60 1 3 cot45 . 4 1 1 c) cos60 .
sin 30 cos 30 . cos302 2 1. 2 2
3.2. Đơn giản biểu thức sau:
a) sin100 sin 80 cos16 cos164 .
b) 2sin 180 .cot cos180 .tan.cot 180 với 0 90. Lời giải.
a) sin100 sin 80 cos16 cos164
sin 180 80 sin80 cos16 cos180 16
sin80 sin80 cos16 cos16 2sin80 .
b) 2sin 180 .cot cos180 .tan.cot 180 Page 3
CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC cos
2sin.cot cos.tan.cot 2sin. cos 3cos. sin
3.3. Chứng minh các hệ thức sau: a) 2 2 sin cos 1; 1 b) 2 1 tan 90 ; 2 cos 1 c) 2 1 cot 0 180 ; 2 sin Lời giải.
a) Xét nửa đường tròn tâm O bán kính 1. Ta có sin DO , cos =OC . Xét tam giác vuông OBC ta có 2 2 2 2
OD OC 1 sin cos 1. 1 b) 2 1 tan 90 2 cos 2 2 2 sin sin cos 1 Xét 2
VT 1 tan 1 = VP . 2 2 2 cos cos cos 1 c) 2 1 cot 0 180 2 sin 2 2 2 cos sin cos 1 Xét 2
VT 1 cot 1 VP . 2 2 2 sin sin sin 3.4. Cho góc
0 180 thỏa mãn tan 3 . 2sin 3cos
Tính giá trị của biểu thức P . 3sin 2cos Lời giải.
Ta có tan 3 cos 0 nên chia cả tử và mẫu của biểu thức P cho cos ta được 2sin 3cos 2 tan 3 3 P . 3sin 2cos 3tan 2 11 Page 4
CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
HỆ THỐNG BÀI TẬP. II
DẠNG 1: TÍNH CÁC GIÁ TRN BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC PHƯƠNG PHÁP. 1
· Sử dụng định nghĩa giá trị lượng giác của một góc
· Sử dụng tính chất và bảng giá trị lượng giác đặc biệt
· Sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản
BÀI TẬP TỰ LUẬN. 2
Câu 1. Tính giá trị các biểu thức sau: a) 2 o 2 o 2 o
A a sin 90 b cos 90 c cos180 b) 2 o 2 o 2 o
B 3 sin 90 2 cos 60 3 tan 45 c) 2 0 2 o 2 o 2 o o o
C sin 45 2sin 50 3cos 45 2sin 40 4 tan 55 .tan 35 Lời giải a) 2 o 2 o 2 o
A a sin 90 b cos 90 c cos180 2 2 2 a b c 2 2 .1 .0
. 1 a c . 2 2 b) 2 o 2 o 2 o
B 3 sin 90 2 cos 60 3 tan 45 2 1 2 3 1 2 3 1. 2 2 c) 2 0 2 o 2 o 2 o o o
C sin 45 2sin 50 3cos 45 2sin 40 4 tan 55 .tan 35 2 2 2 2 C 2 0 2 0 1 3 3 2 sin 50 cos 40 4 2 4 4 . 2 2 2 2
Câu 2. Tính giá trị các biểu thức sau: a) 2 o 2 o 2 o 2 o
A sin 3 sin 15 sin 75 sin 87 b) o o o o o
B cos 0 cos 20 cos 40 ... cos160 cos180 c) o o o o o
C tan 5 tan10 tan15 ...tan 80 tan 85 Lời giải: a) A 2 o 2 o
sin 3 sin 87 2 o 2 o sin 15 sin 75 2 o 2 o 2 o 2 o sin 3 cos 3
sin 15 cos 15 11 2 b) B o o o o o o cos 0 cos180 cos 20 cos160 ... cos80 cos100 o o o o o o cos 0 cos 0 cos 20 cos 20 ... cos80 cos80 0 Page 5
CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC c) C o o o o o o tan 5 tan 85
tan15 tan 75 ... tan 45 tan 45 o o o o o o tan 5 cot 5
tan15 cot 5 ... tan 45 cot 5 1
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. 3 Câu 1: Giá trị của o o
cos 60 sin 30 bằng bao nhiêu? 3 3 A. B. 3 C. D. 1. 2 3 Lời giải Chọn D Ta có o o 1 1
cos 60 sin 30 1. 2 2 Câu 2: Giá trị của o o
tan 30 cot 30 bằng bao nhiêu? 4 1 3 2 A. B. C. D. 2 3 3 3 Lời giải Chọn A o o 3 4 3 tan 30 cot 30 3 . 3 3 Câu 3:
Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào sai? A. o o sin 0 cos 0 1 B. o o sin 90 cos90 1 C. o o sin180 cos180 1 D. o o sin 60 cos60 1 Lời giải Chọn D
Giá trị lượng giác của góc đặc biệt. Câu 4:
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A. o o cos 60 sin 30 . B. o o cos 60 sin120 . C. o o cos30 sin120 . D. o o sin 60 cos120 . Lời giải Chọn B
Giá trị lượng giác của góc đặc biệt. Câu 5:
Đẳng thức nào sau đây sai? A. o o sin 45 sin 45 2 . B. o o sin 30 cos60 1. C. o o sin 60 cos150 0 . D. o o sin120 cos30 0 . Lời giải Page 6
CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Chọn D
Giá trị lượng giác của góc đặc biệt. Câu 6: Giá trị o o
cos 45 sin 45 bằng bao nhiêu? A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 0 . Lời giải Chọn B Ta có o o cos 45 sin 45 2 . Câu 7:
Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng? A. o
sin 180 cos . B. o
sin 180 sin . C. o
sin 180 sin . D. o
sin 180 cos . Lời giải Chọn C Câu 8:
Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai? A. o o
sin 0 cos 0 0 . B. o o sin 90 cos 90 1. 3 1 C. o o sin180 cos180 1. D. o o sin 60 cos 60 . 2 Lời giải Chọn A Ta có o o sin 0 cos 0 1. Câu 9:
Cho là góc tù. Điều khẳng định nào sau đây là đúng? A. sin 0 . B. cos 0 . C. tan 0 . D. cot 0 . Lời giải Chọn C
Góc tù có điểm biểu diễn thuộc góc phần tư thứ II, có giá trị sin 0 , còn cos , tan
và cot đều nhỏ hơn 0 .
Câu 10: Giá trị của o o o o
E sin 36 cos 6 sin126 cos84 là 1 3 A. . B. . C. 1. D. 1 . 2 2 Lời giải Chọn A 1 o o
E sin 36 cos 6 sin o o 90 36 cos o o 90 6 o o o o o
sin 36 cos6 cos36 sin 6 sin 30 2 Page 7
CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
Câu 11: Giá trị của biểu thức 2 o 2 o 2 o 2 o
A sin 51 sin 55 sin 39 sin 35 là A. 3. B. 4 . C. 1. D. 2 . Lời giải Chọn D A 2 o 2 o 2 o 2 o 2 o 2 o 2 o 2 o sin 51 sin 39 sin 55 sin 35 sin 51 cos 51 sin 55 cos 55 2 .
Câu 12: Giá trị của biểu thức o o o o o
A tan1 tan 2 tan 3 ...tan 88 tan 89 là A. 0 . B. 2 . C. 3. D. 1. Lời giải Chọn D A o o o o o o o
tan1 .tan 89 . tan 2 .tan 88 ... tan 44 .tan 46 .tan 45 1 . 2 o 2 o 2 o 2 o 2 o 2 o
Câu 13: Tổng sin 2 sin 4 sin 6 ... sin 84 sin 86 sin 88 bằng A. 21. B. 23. C. 22 . D. 24 . Lời giải Chọn C 2 o 2 o 2 o 2 o 2 o 2 o
S sin 2 sin 4 sin 6 ... sin 84 sin 86 sin 88 2 o 2 o 2 o 2 o sin 2 sin 88
sin 4 sin 86 ... 2 o 2 o sin 44 sin 46 2 o 2 o
sin 2 cos 2 2 o 2 o
sin 4 cos 4 ... 2 o 2 o
sin 44 cos 44 22 .
Câu 14: Giá trị của o o o o o
A tan 5 .tan10 .tan15 ...tan 80 .tan 85 là A. 2 . B. 1. C. 0 . D. 1 . Lời giải Chọn B
A tan 5 .tan85 .tan10 .tan80 ...tan 40 tan 50 .tan 45 1.
Câu 15: Giá trị của 2 2 2 2 B cos 73 cos 87 cos 3 cos 17 là A. 2 . B. 2 . C. 2 . D. 1. Lời giải Chọn B B 2 o 2 o cos 73 cos 17 2 o 2 o cos 87 cos 3 2 o 2 o cos 73 sin 73 2 o 2 o cos 87 sin 87 2 .
DẠNG 2: TÍNH GIÁ TRN CỦA MỘT BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC , KHI BIẾT TRƯỚC MỘT GIÁ
TRN LƯỢNG GIÁC. PHƯƠNG PHÁP. 1
· Dựa vào các hệ thức lượng giác cơ bản
· Dựa vào dấu của giá trị lượng giác Page 8
CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
· Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ
BÀI TẬP TỰ LUẬN. 2 1
Câu 1. Cho sin với 0 0
90 180 . Tính cos và tan 3 2
Câu 2. Cho cos và sin 0 . Tính sin và cot 3
Câu 3. Cho tan 2 2 tính giá trị lượng giác còn lại. Lời giải: Câu 1. Vì 0 0
90 180 nên cos 0 mặt khác 2 2
sin cos 1 suy ra 2 1 2 2
cos 1 sin 1 9 3 1 sin 1 Do đó 3 tan cos 2 2 2 2 3 Câu 2. Vì 2 2
sin cos 1 và sin 0 , nên 2 4 5
sin 1 cos 1 và 9 3 2 cos 2 3 cot sin 5 5 3 1
Câu 3. Vì tan 2 2 0 cos 0 mặt khác 2 tan 1 2 cos 1 1 1 Nên cos 2 tan 1 8 1 3 sin 1 2 2 Ta có tan
sin tan.cos 2 2. cos 3 3 1 cos 1 3 cot sin 2 2 2 2 3 3 tan 3cot
Câu 4. Cho cos với 0 0
0 90 . Tính A . 4 tan cot sin cos
Câu 5. Cho tan 2 . Tính B 3 3
sin 3cos 2sin Page 9
CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Lời giải: 1 1 tan 3 2 2 2 tan 3 Câu 4. tan cos Ta có 2 A 1 2 cos 2 1 tan 1 1 tan 2 tan cos 9 17 Suy ra A 1 2. 16 8 sin cos tan cos cos 2 tan 1 2 3 3 tan 1 Câu 5. B 3 3 3 sin 3cos 2 sin
tan 3 2 tan 2 tan 1 3 3 3 cos cos cos 2 2 1 2 1 3 2 1 Suy ra B . 2 2 3 2 2 2 1 3 8 2
Câu 6. Biết sin x cos x m a) Tìm 4 4
sin x cos x .
b) Chứng minh rằng m 2 . Lời giải: a) Ta có x x2 2 2 sin cos
sin x 2sin x cos x cos x 1 2sin x cos x (*) 2 m 1
Mặt khác sin x cos x m nên 2
m 1 2 sin cos hay sin cos 2 Đặt 4 4
A sin x cos x . Ta có A 2 2 x x 2 2 sin cos
sin x cos x sin x cos xsin x cos x A x x2 x x2 2 sin cos sin cos
1 2sin x cos x1 2sin x cos x 2 2 2 4 2 4 2 m 1 m 1 3 2m m 3 2m m A 1 1 .Vậy A 2 2 4 2 b) Ta có 2 2
2 sin x cos x sin x cos x 1
Kết hợp với (*) suy ra x x2 sin cos
2 sin x cos x 2
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. 3 1
Câu 1: Cho cos x . Tính biểu thức 2 2
P 3sin x 4 cos x 2 13 7 11 15 A. . B. . C. . D. . 4 4 4 4 Lời giải Chọn A Ta có P x x x x 2 2 2 2 2 2 1 13 3sin 4 cos 3 sin cos cos x 3 . 2 4 Page 10
CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC 1
Câu 2: Biết cos . Giá trị đúng của biểu thức 2 2
P sin 3cos là: 3 1 10 11 4 A. . B. . C. . D. . 3 9 9 3 Lời giải Chọn C 1 2 2 P c 2 2 2 2 11 cos sin 3 os sin cos
2cos 1 2cos . 3 9 1
Câu 3: Cho biết tan . Tính cot . 2 1 1 A. cot 2 . B. cot 2 . C. cot . D. cot . 4 2 Lời giải Chọn A 1
tan.cot 1 cot 2 . tan 2 cos 0 Câu 4: Cho biết 3 và 2 . Tính tan ? 5 5 5 5 A. . B. . C. . D. . 4 2 2 2 Lời giải Chọn D 1 Do 0 tan 0. Ta có: 2 1 tan 2 5 tan 5 tan . 2 2 cos 4 2 5
Câu 5: Cho là góc tù và sin
. Giá trị của biểu thức 3sin 2 cos là 13 9 9 A. 3. B. . C. 3 . D. . 13 13 Lời giải Chọn B Ta có 2 2 144 12 cos 1 sin cos 169 13 12
Do là góc tù nên cos 0 , từ đó cos 13 5 12 9 Như vậy 3sin 2 cos 3 2 . 13 13 13
Câu 6: Cho biết sin cos a . Giá trị của sin.cos bằng bao nhiêu? A. 2 sin .cos a .
B. sin.cos 2a . 2 1 a 2 a 1 C. sin .cos . D. sin.cos . 2 2 Page 11
CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Lời giải Chọn D 2 a 2 2 a 1 sin cos 1 2 sin cos sin cos . 2 2 cot 3tan
Câu 7: Cho biết cos . Tính giá trị của biểu thức E ? 3 2 cot tan 19 19 25 25 A. . B. . C. . D. 13 13 13 13 Lời giải Chọn B 3 cot 3 tan 1 3 tan 3 2 2 tan 2 2 1 2 2 3 2 cos 19 cos E . 2 2 cot tan 2 tan 1 2 1 tan 2 1 1 cos 13 1 2 cos
Câu 8: Cho biết cot 5 . Tính giá trị của 2
E 2 cos 5sin cos 1? 10 100 50 101 A. . B. . C. . D. . 26 26 26 26 Lời giải Chọn D 2 2 1 1 E 2 101 sin 2 cot 5 cot
3 cot 5 cot 1 . 2 2 sin 1 cot 26 1 3sin 4 cos
Câu 9: Cho cot . Giá trị của biểu thức A là: 3 2sin 5cos 15 15 A. . B. 13 . C. . D. 13 . 13 13 Lời giải Chọn D 3sin 4sin.cot 3 4 cot A 13 . 2sin 5sin.cot 2 5cot 2 cot 3 tan
Câu 10: Cho biết cos . Giá trị của biểu thức E bằng bao nhiêu? 3 2cot tan 25 11 11 25 A. . B. . C. . D. . 3 13 3 13 Lời giải Chọn C 4 3 cot 3 tan 1 3 tan 3 2 2 tan 4 2 1 2 4 cos 3 11 cos E . 2 2 cot tan 2 tan 3 2 1 tan 2 1 3cos 1 3 3 2 cos
Câu 11: Biết sin a cos a 2 . Hỏi giá trị của 4 4
sin a cos a bằng bao nhiêu? 3 1 A. . B. . C. 1. D. 0 . 2 2 Lời giải Chọn B Page 12
CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC 1
Ta có: sin a cos a 2 a a2 2 sin cos sin . a cos a . 2 a a a a 2 4 4 2 2 2 2 1 1 sin cos sin cos
2sin a cos a 1 2 . 2 2
Câu 12: Cho tan cot m . Tìm m để 2 2 tan cot 7 . A. m 9 . B. m 3 . C. m 3 . D. m 3 . Lời giải Chọn D 2 2 2 7 tan cot tan cot 2 2
m 9 m 3 .
Câu 13: Cho biết 3cos sin 1, o o
0 90 Giá trị của tan bằng 4 3 4 5 A. tan B. tan C. tan D. tan 3 4 5 4 Lời giải Chọn A Ta có 2 2 3cos sin 1 3cos sin 1 9 cos sin 1 2 2 2 2 9 cos sin 2 sin 1 9 1 sin sin 2sin 1 sin 1 2 10 sin 2 sin 8 0 4 .
: không thỏa mãn vì o o 0 90 • sin 1 sin 5 4 3 sin 4 • sin cos tan . 5 5 cos 3
Câu 14: Cho biết 2 cos 2 sin 2 , 0 0
0 90 . Tính giá trị của cot. 5 3 2 2 A. cot B. cot C. cot D. cot 4 4 4 2 Lời giải Chọn C Ta có 2 2 2 cos 2 sin 2 2 sin 2 2 cos 2 sin 2 2 cos 2 2
2sin 4 8cos 4cos 2 2 1 cos 2 4 8cos 4cos cos 1 2 6cos 8cos 2 0 1 . cos 3
• cos 1: không thỏa mãn vì o o 0 90 1 2 2 cos 2 • cos sin cot . 3 3 sin 4 Page 13
CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC 1
Câu 15: Cho biết cos sin . Giá trị của 2 2
P tan cot bằng bao nhiêu? 3 5 7 9 11
A. P .
B. P .
C. P . D. P . 4 4 4 4 Lời giải Chọn B 1 1
Ta có cos sin cos sin 2 1 4
1 2sin cos sin cos . 3 9 9 9 2 Ta có P 2 2 2 sin cos tan cot tan cot 2 tan cot 2 cos sin 2 2 2 2 2 sin cos 1 9 7 2 2 2 . sin cos sin cos 4 4 1
Câu 16: Cho biết sin cos . Giá trị của 4 4
P sin cos bằng bao nhiêu? 5 15 17 19 21 A. P B. P C. P D. P 5 5 5 5 Lời giải Chọn B 1 1 Ta có sin cos
sin cos 2 1 2
1 2sin cos sin cos . 5 5 5 5 P 2 4 4 2 2 2 2 sin cos sin cos 2sin cos cos 2 17 1 2 sin . 5 Page 14
CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
DẠNG 3: CHỨNG MINH CÁC ĐẲNG THỨC, RÚT GỌN CÁC BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC PHƯƠNG PHÁP. 1
· Sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản
· Sử dụng tính chất của giá trị lượng giác
· Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ .
BÀI TẬP TỰ LUẬN. 2
Câu 1. Chứng minh các đẳng thức sau(giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa) a) 4 4 2 2
sin x cos x 1 2 sin . x cos x 1 cot x tan x 1 b) 1 cot x tan x 1 cos x sin x c) 3 2
tan x tan x tan x 1 3 cos x Lời giải a) 4 4 4 4 2 2 2 2
sin x cos x sin x cos x 2 sin x cos x 2 sin x cos x
sin x cos x2 2 2 2 2
2sin x cos x 2 2
1 2sin x cos x 1 tan x 1 1 1 cot x tan x 1 b) t anx t anx 1 cot x 1 tan x 1 tan x 1 1 tan x tan x cos x sin x 1 sin x c) 2 x x 2 tan 1 tan tan x 1 3 2 3 cos x cos x cos x 3 2
tan x tan x tan x 1 3 B 3 B sin cos cos 2 2 A C
Câu 2. Cho tam giác ABC . Chứng minh . tan B 2 A C A C sin B cos sin 2 2 Lời giải: Vì 0
A B C 180 nên 3 B 3 B sin cos cos 0 180 2 2 B VT . tan B 0 0 180 B 180 B sin B cos sin 2 2 Page 15
CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC B B 3 3 sin cos cos 2 2 B 2 B 2 B .tan B sin cos 1 2 VP B B sin B 2 2 sin cos 2 2
Suy ra điều phải chứng minh.
Câu 3. Đơn giản các biểu thức sau(giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa) a) o o 2 2 2
A sin(90 x) cos(180 x) sin x(1 tan x) tan x 1 1 1 b) B . 2
sin x 1 cos x 1 cos x Lời giải: 1 a) 2 2
A cos x cos x sin . x tan x 0 2 cos x 1
1 cos x 1 cos x b) B . x x x 2 sin 1 cos 1 cos 1 2 1 2 . 2 . 2 2 2
sin x 1 cos x sin x sin x 1 2 2 1 2 cot x 2 sin x
Câu 4. Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x . 4 2 4 4 2 4
P sin x 6cos x 3cos x cos x 6sin x 3sin x Lời giải P x2 x x x2 2 2 4 2 2 4 1 cos 6 cos 3cos 1 sin
6sin x 3sin x
4cos x 4cos x 1 4sin x 4sin x 1 2cos x 2
1 2sin x 2 4 2 4 2 2 2 1 2 2
2cos x 1 2sin x 1 3
Vậy P không phụ thuộc vào x .
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. 3
Câu 1: Trong các hệ thức sau hệ thức nào đúng? A. 2 2
sin cos 1. B. 2 2 sin cos 1. 2 C. 2 2
sin cos 1. D. 2 2 sin 2 cos 2 1 . Lời giải Chọn D
Công thức lượng giác cơ bản. Page 16
CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
Câu 2: Trong các hệ thức sau hệ thức nào đúng? A. 2 2
sin cos 1. B. 2 2 sin cos 1. C. 2 2
sin cos 1. D. 2 2 sin cos 1. 2 Lời giải Chọn D
Công thức lượng giác cơ bản.
Câu 3: Trong các hệ thức sau hệ thức nào đúng?
A. sin 2 cos 2 1. B. 2 2
sin cos 1. C. 2 2
sin cos 1. D. 2 2 sin cos 1. Lời giải Chọn D
Công thức lượng giác cơ bản.
Câu 4: Rút gọn biểu thức sau A x x2 x x2 tan cot tan cot A. A 4 . B. A 1. C. A 2 . D. A 3 Lời giải Chọn A A 2 2 x x x x 2 2 tan 2 tan .cot cot tan x 2 tan .
x cot x cot x 4.
Câu 5: Đơn giản biểu thức G 2 x 2 2 1 sin
cot x 1 cot x . 1 A. 2 sin x . B. 2 cos x . C. . D. cos x . cos x Lời giải Chọn A G 2 x 2 2 2 2 2 1 sin
1 cot x 1 sin .
x cot x 1 1 cos x sin x .
Câu 6: Khẳng định nào sau đây là sai? 1 A. 2 2
sin cos 1. B. 2 1 cot sin 0 . 2 sin 1 C. tan.cot 1
sin.cos 0 . D. 2 1 tan cos 0 . 2 cos Lời giải Chọn C sin x cos x tan.cot . 1. cos x sin x 2 1 sin x
Câu 7: Rút gọn biểu thức P ta được 2sin . x cos x 1 1
A. P tan x .
B. P cot x .
C. P 2 cot x .
D. P 2 tan x . 2 2 Lời giải Chọn B 2 2 1 sin x cos x cos x 1 P cot x . 2sin . x cos x 2sin . x cos x 2sin x 2
Câu 8: Đẳng thức nào sau đây là sai? Page 17
CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC A. x x2 x x2 cos sin cos sin 2, x . B. 2 2 2 2
tan x sin x tan x sin x, x 90 C. 4 4 2 2
sin x cos x 1 2 sin x cos x, x . D. 6 6 2 2
sin x cos x 1 3sin x cos x, x Lời giải Chọn D 6 6 x x 2 2 x x 2 2 sin cos sin cos
1 sin x cos x .
Câu 9: Đẳng thức nào sau đây là sai? 1 cos x sin x A.
x 0,x 180. sin x 1 cos x 1
B. tan x cot x x 0,90,180 sin x cos x 1 C. 2 2 tan x cot x 2 x 0,90,180 2 2 sin x cos x D. 2 2
sin 2x cos 2x 2 . Lời giải Chọn D 2 2
sin 2x cos 2x 1. Câu 10: Biểu thức 2 2 2 2
tan x sin x tan x sin x có giá trị bằng A. 1 . B. 0 . C. 2 . D. 1. Lời giải Chọn B x x x x x x 2 2 2 2 2 2 2 2 sin x tan sin tan sin tan sin 1 sin x 2 cos x 2 sin x 0 . 2 cos x
Câu 11: Biểu thức a a2 cot tan bằng 1 1 1 1 A. . B. 2 2
cot a tan a2 . C. . D. 2 2
cot a tan a 2 . 2 2 sin cos 2 2 sin cos Lời giải Chọn C
cot a tan a2 1 1 2 2 cot a 2cot .
a tan a tan a 2 cot a 1 2 tan a 1 . 2 2 sin a cos a sin x
Câu 12: Đơn giản biểu thức E cot x ta được 1 cos x 1 1 A. sin x . B. . C. . D. cos x . cos x sin x Lời giải Chọn C sin x cos x sin x
cos x 1 cos x sin . x sin x E cot x 1 cos x sin x 1 cos x
sin x 1 cos x x x 2 cos 1 cos
1 cos x cos x1 cos x 1 cos x1 cos x 1 .
sin x 1 cos x
sin x 1 cos x sin x Page 18
CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC 2 2 cot x cos x sin . x cos x
Câu 13: Rút gọn biểu thức sau A . 2 cot x cot x A. A 1. B. A 2 . C. A 3 . D. A 4 . Lời giải Chọn A 2 2 2
cot x cos x sin . x cos x cos x sin . x cos x 2 2 A 1
1 sin x sin x 1. 2 2 cot x cot x cot x cot x
Câu 14: Biểu thức f x 4 4 x x 6 6 3 sin cos
2 sin x cos x có giá trị bằng: A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 0 . Lời giải Chọn A 4 4 2 2
sin x cos x 1 2 sin x cos x . 6 6 2 2
sin x cos x 1 3sin x cos x .
f x 2 2 x x 2 2 3 1 2 sin cos
2 1 3sin x cos x 1.
Câu 15: Biểu thức: f x 4 2 2 2
cos x cos xsin x sin x có giá trị bằng A. 1. B. 2 . C. 2 . D. 1 . Lời giải Chọn A f x 2 x 2 2 x x 2 2 2 cos cos sin
sin x cos x sin x 1.
Câu 16: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. x x2 sin cos
12sin x cos x . B. 4 4 2 2
sin x cos x 12sin x cos x . C. x x2 sin cos
1 2sin x cos x . D. 6 6 2 2
sin x cos x 1sin x cos x . Lời giải Chọn D x x x3 x3 x x3 6 6 2 2 2 2 2 2 x x 2 2 sin cos sin cos sin cos 3 sin cos .sin . x cos x 2 2 1 3sin . x cos x . Page 19
CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC G N ƯƠ
III HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC CH
BÀI 5. GIÁ TRN LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC TỪ 0 ĐẾN 180 .
HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. III
DẠNG 1. DẤU CỦA CÁC GIÁ TRN LƯỢNG GIÁC. GIÁ TRN LƯỢNG GIÁC
Câu 1: Cho góc 90 ;
180. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. sin và cot cùng dấu.
B. Tích sin.cot mang dấu âm.
C. Tích sin.cos mang dấu dương.
D. sin và tan cùng dấu.
Câu 2: Cho là góc tù. Mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề sau?
A. tan 0. B. cot 0. C. sin 0. D. cos 0.
Câu 3: Cho 0º 90º . Khẳng định nào sau đây đúng? A. cot 90º tan . B. cos 90º sin . C. sin90º
cos . D. tan 90º cot .
Câu 4: Đẳng thức nào sau đây đúng? A. o
tan 180 a tan a . B. o
cos 180 a cos a . C. o
sin 180 a sin a . D. o
cot 180 a cot a .
Câu 5: Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào đúng?
A. sin 180 sin .
B. cos 180 cos
C. tan 180 tan .
D. cot 180 cot
Câu 6: Cho và là hai góc khác nhau và bù nhau, trong các đẳng thức sau đây đẳng thức nào sai?
A. sin sin .
B. cos cos .
C. tan tan .
D. cot cot .
Câu 7: Cho góc tù. Điều khẳng định nào sau đây là đúng? A. sin 0 . B. cos 0 . C. tan 0 . D. cot 0 .
Câu 8: Hai góc nhọn và phụ nhau, hệ thức nào sau đây là sai? 1
A. sin cos .
B. tan cot . C. cot .
D. cos sin . cot
Câu 9: Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào đúng? 3 3 1 A. sin150 . B. cos150 . C. tan150 . D. cot150 3 2 2 3 Page 82
CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
Câu 10: Bất đẳng thức nào dưới đây là đúng? A. sin 90 sin100 . B. cos95 cos100 . C. tan85 tan125
. D. cos145 cos125 .
Câu 11: Giá trị của tan 45 cot135 bằng bao nhiêu? A. 2 . B. 0 . C. 3 . D. 1.
Câu 12: Giá trị của cos30 sin 60 bằng bao nhiêu? 3 3 A. . B. . C. 3 . D. 1. 3 2
Câu 13: Giá trị của cos 60 sin 30 bằng bao nhiêu? 3 3 A. . B. 3 . C. . D. 1 2 3
Câu 14: Giá trị của tan 30 cot 30 bằng bao nhiêu? 4 1 3 2 A. . B. . C. . D. 2 . 3 3 3
Câu 15: Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào sai? A. sin 0 cos 0 1. B. sin 90 cos90 1. C. sin180 cos180 1 . D. sin 60 cos 60 1.
Câu 16: Tính giá trị của biểu thức P sin 30cos 60 sin 60cos30.
A. P 1 . B. P 0 . C. P 3 . D. P 3 .
Câu 17: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A. cos 60 sin 30 . B. cos 60 sin120 . C. cos30 sin120 . D. sin 60 cos120 .
Câu 18: Đẳng thức nào sau đây sai? A. sin 45 sin 45 2 . B. sin 30 cos60 1. C. sin 60 cos150 0. D. sin120 cos30 0 .
Câu 19: Cho hai góc nhọn và ( ) . Khẳng định nào sau đây là sai?
A. cos cos .
B. sin sin .
C. tan tan 0. D. cot cot . Câu 20: Cho A
BC vuông tại A , góc B bằng 30 . Khẳng định nào sau đây là sai? 1 3 1 1 A. cos B . B. sin C . C. cosC . D. sin B 3 2 2 2
Câu 21: Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau: A. cos 75 cos50 . B. sin80 sin 50 . C. tan 45 tan 60 . D. cos30 sin 60 .
DẠNG 2. CHO BIẾT MỘT GIÁ TRN LƯỢNG GIÁC, TÍNH CÁC GIÁ TRN LƯỢNG GIÁC CÒN LẠI 1
Câu 22: Cho sin , với 90 180 . Tính cos . 3 2 2 2 2 2 2
A. cos . B. cos . C. cos . D. cos . 3 3 3 3 2
Câu 23: Cho biết cos . Tính tan ? 3 5 5 5 5 A. . B. . C. . D. . 4 2 2 2 Page 83
CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC 1
Câu 24: Cho biết tan . Tính cot . 2 1 1 A. cot 2 . B. cot 2 . C. cot . D. cot . 4 2 1
Câu 25: cos bằng bao nhiêu nếu cot ? 2 1 A. 5 . B. 5 . C. 5 . D. . 5 2 5 3
Câu 26: Nếu tan 3 thì cos bằng bao nhiêu? 1 A. 10 . B. . C. 10 . D. 10 . 10 3 10 10 5
Câu 27: Cho là góc tù và sin
. Giá trị của biểu thức 3sin 2cos là 13 9 9 A. . B. 3. C. . D. 3 . 13 13
Câu 28: Biết cot a , a 0 . Tính cos a 1 1 a A. cos . B. cos . C. cos . D. cos . 2 1 a 2 1 a 2 1 a 2 1 a 1
Câu 29: Cho cos x . Tính biểu thức 2 2
P 3sin x 4cos x 2 13 7 11 15 A. . B. . C. . D. . 4 4 4 4 4
Câu 30: Cho là góc tù và sin . Giá trị của biểu thức A 2sin cos bằng 5 7 7 11 A. . B. . C. 1. D. . 5 5 5 4 sin cos
Câu 31: Cho sin , với 90 180 . Tính giá trị của M 5 3 cos 25 175 35 25 A. M B. M . C. M . D. M . 27 27 27 27 2 cot 3tan
Câu 32: Cho biết cos . Tính giá trị của biểu thức E ? 3 2cot tan 19 19 25 25 A. . B. . C. . D. 13 13 13 13 2
Câu 33: Cho biết cot 5 . Tính giá trị của E 2cos 5sin cos 1? 10 100 50 101 A. . B. . C. . D. . 26 26 26 26 1 3sin 4cos
Câu 34: Cho cot . Giá trị của biểu thức A là: 3 2sin 5cos 15 15 A. . B. 13 . C. . D. 13 . 13 13 2 cot 3tan
Câu 35: Cho biết cos . Giá trị của biểu thức E bằng bao nhiêu? 3 2cot tan Page 84
CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC 25 11 11 25 A. . B. . C. . D. . 3 13 3 13 1
Câu 36: Biết cos . Giá trị đúng của biểu thức 2 2
P sin 3cos là: 3 11 4 1 10 A. . B. . C. . D. . 9 3 3 9
DẠNG 3. CHỨNG MINH, RÚT GỌN BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC
Câu 37: Đẳng thức nào sau đây là sai? A. x x2 x x2 cos sin cos sin 2, x . B. 2 2 2 2
tan x sin x tan xsin , x x 90 C. 4 4 2 2
sin x cos x 1 2sin x cos , x x . D. 6 6 2 2
sin x cos x 1 3sin xcos , x x
Câu 38: Đẳng thức nào sau đây là sai? 1 cos x sin x A.
x 0,x 180. sin x 1 cos x 1
B. tan x cot x x 0,90,180 sin x cos x 1 C. 2 2 tan x cot x 2 x 0,90,180 2 2 sin x cos x D. 2 2
sin 2x cos 2x 2 .
Câu 39: Trong các hệ thức sau hệ thức nào đúng? A. 2 2
sin cos 1. B. 2 2 sin cos 1. 2 2 2 C. 2 2
sin cos 1. D. sin 2 cos 2 1.
Câu 40: Trong các hệ thức sau hệ thức nào đúng? A. 2 2
sin cos 1. B. 2 2 sin cos 1. C. 2 2
sin cos 1. D. 2 2 sin cos 1. 2 2 2
cot x cos x sin . x cos x
Câu 41: Rút gọn biểu thức sau A 2 cot x cot x
A. A 4 . B. A 2 . C. A 1 . D. A 3 . a a2 cot tan Câu 42: Biểu thức bằng 1 1 1 1 A. . B. 2 2
cot a tan a2 . C. . D. 2 2
cot a tan a 2 . 2 2 sin cos 2 2 sin cos
Câu 43: Rút gọn biểu thức sau A x x2 x x2 tan cot tan cot A. A 4 . B. A 1. C. A 2 . D. A 3
Câu 44: Đơn giản biểu thức G 2 x 2 2 1 sin
cot x 1 cot x . 1 A. 2 sin x . B. 2 cos x . C. . D. cos x . cos x sin x
Câu 45: Đơn giản biểu thức E cot x ta được 1 cos x 1 1 A. sin x . B. . C. . D. cos x . cos x sin x Page 85
CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
Câu 46: Khẳng định nào sau đây là sai? 1 A. 2 2 sin cos 1. B. 2 1 cot sin 0 . 2 sin 1 C. tan.cot 1
sin.cos 0 . D. 2 1 tan cos 0 . 2 cos 2 1 sin x
Câu 47: Rút gọn biểu thức P ta được 2sin . x cos x 1 1
A. P tan x .
B. P cot x .
C. P 2cot x .
D. P 2 tan x . 2 2
DẠNG 4. TÍNH GIÁ TRN BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC
Câu 48: Biểu thức A cos 20 cos 40 cos 60 ... cos160 cos180 có giá trị bằng A. 1. B. 1 . C. 2 . D. 2 .
Câu 49: Cho tan cot 3. Tính giá trị của biểu thức sau: 2 2
A tan cot . A. A 12. B. A 11. C. A 13. D. A 5 .
Câu 50: Giá trị của biểu thức A tan1 tan 2 tan 3 ... tan88 tan89 là A. 0 . B. 2 . C. 3 . D. 1. 2 2 2 2 2 2
Câu 51: Tổng sin 2 sin 4 sin 6 ... sin 84 sin 86 sin 88 bằng A. 21. B. 23. C. 22 . D. 24 .
Câu 52: Biết sin a cos a 2 . Hỏi giá trị của 4 4
sin a cos a bằng bao nhiêu? 3 1 A. . B. . C. 1 . D. 0 . 2 2
Câu 53: Biểu thức f x 4 4 x x 6 6 3 sin cos
2 sin x cos x có giá trị bằng: A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 0 .
Câu 54: Biểu thức: f x 4 2 2 2
cos x cos xsin x sin x có giá trị bằng A. 1. B. 2 . C. 2 . D. 1 . Câu 55: Biểu thức 2 2 2 2
tan xsin x tan x sin x có giá trị bằng A. 1 . B. 0 . C. 2 . D. 1.
Câu 56: Giá trị của A tan 5 .tan10 .tan15 ... tan80 .tan85 là A. 2 . B. 1. C. 0 . D. 1 .
Câu 57: Giá trị của 2 2 2 2 B cos 73 cos 87 cos 3 cos 17 là A. 2 . B. 2 . C. 2 . D. 1.
Câu 58: Cho tan cot m . Tìm m để 2 2 tan cot 7 . A. m 9 . B. m 3 . C. m 3 . D. m 3 .
Câu 59: Giá trị của E sin 36 cos6 sin126 cos84 là 1 3 A. . B. . C. 1. D. 1 . 2 2
Câu 60: Giá trị của biểu thức 2 2 2 2 A sin 51 sin 55 sin 39 sin 35 là A. 3 . B. 4 . C. 1. D. 2 . Page 86
CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
Câu 61: Cho sin x cos x m . Tính theo m giá trị của M sin .
x cos x . 2 m 1 2 m 1 A. 2 m 1. B. . C. . D. 2 m 1. 2 2 Page 87
CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC G N ƯƠ
III HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC CH
BÀI 5. GIÁ TRN LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC TỪ 0 ĐẾN 180 .
HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. III
DẠNG 1. DẤU CỦA CÁC GIÁ TRN LƯỢNG GIÁC. GIÁ TRN LƯỢNG GIÁC
Câu 1: Cho góc 90 ;
180. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. sin và cot cùng dấu.
B. Tích sin.cot mang dấu âm.
C. Tích sin.cos mang dấu dương.
D. sin và tan cùng dấu. Lời giải Chọn B Với 90 ;
180, ta có sin 0,cos 0 suy ra: tan 0,cot 0 Vậy sin.cot 0
Câu 2: Cho là góc tù. Mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề sau?
A. tan 0. B. cot 0. C. sin 0. D. cos 0. Lời giải Chọn C tan 0.
Câu 3: Cho 0º 90º . Khẳng định nào sau đây đúng? A. cot 90º tan . B. cos 90º sin . C. sin90º
cos . D. tan 90º cot . Lời giải Chọn B Vì và 90º
là hai cung phụ nhau nên theo tính chất giá trị lượng giác của hai cung phụ
nhau ta có đáp án B đúng.
Câu 4: Đẳng thức nào sau đây đúng? Page 1
CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC A. o
tan 180 a tan a . B. o
cos 180 a cos a . C. o
sin 180 a sin a . D. o
cot 180 a cot a . Lời giải Chọn B
Lý thuyết “cung hơn kém 180 ”
Câu 5: Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào đúng?
A. sin 180 sin .
B. cos 180 cos
C. tan 180 tan .
D. cot 180 cot Lời giải Chọn D
Mối liên hệ hai cung bù nhau.
Câu 6: Cho và là hai góc khác nhau và bù nhau, trong các đẳng thức sau đây đẳng thức nào sai?
A. sin sin .
B. cos cos .
C. tan tan .
D. cot cot . Lời giải Chọn D
Mối liên hệ hai cung bù nhau.
Câu 7: Cho góc tù. Điều khẳng định nào sau đây là đúng? A. sin 0 . B. cos 0 . C. tan 0 . D. cot 0 . Lời giải Chọn D
Câu 8: Hai góc nhọn và phụ nhau, hệ thức nào sau đây là sai? 1
A. sin cos .
B. tan cot . C. cot .
D. cos sin . cot Lời giải Chọn D cos cos 90 sin .
Câu 9: Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào đúng? 3 3 1 A. sin150 . B. cos150 . C. tan150 . D. cot150 3 2 2 3 Lời giải Chọn C
Giá trị lượng giác của góc đặc biệt.
Câu 10: Bất đẳng thức nào dưới đây là đúng? A. sin 90 sin100 . B. cos95 cos100 . C. tan85 tan125
. D. cos145 cos125 . Lời giải Chọn B
Câu 11: Giá trị của tan 45 cot135 bằng bao nhiêu? A. 2 . B. 0 . C. 3 . D. 1. Lời giải Chọn B tan 45 cot135 11 0
Câu 12: Giá trị của cos30 sin 60 bằng bao nhiêu? Page 2
CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC 3 3 A. . B. . C. 3 . D. 1. 3 2 Lời giải Chọn C 3 3 cos30 sin 60 3 . 2 2
Câu 13: Giá trị của cos 60 sin 30 bằng bao nhiêu? 3 3 A. . B. 3 . C. . D. 1 2 3 Lời giải Chọn D 1 1
Ta có cos 60 sin 30 1. 2 2
Câu 14: Giá trị của tan 30 cot 30 bằng bao nhiêu? 4 1 3 2 A. . B. . C. . D. 2 . 3 3 3 Lời giải Chọn A 3 4 3 tan 30 cot 30 3 . 3 3
Câu 15: Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào sai? A. sin 0 cos 0 1. B. sin 90 cos90 1. C. sin180 cos180 1 . D. sin 60 cos 60 1. Lời giải Chọn D
Giá trị lượng giác của góc đặc biệt.
Câu 16: Tính giá trị của biểu thức P sin 30cos 60 sin 60cos30.
A. P 1 . B. P 0 . C. P 3 . D. P 3 . Lời giải Chọn A 1 1 3 3
Ta có: P sin 30cos 60 sin 60cos 30 . . 1. 2 2 2 2
Câu 17: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A. cos 60 sin 30 . B. cos 60 sin120 . C. cos30 sin120 . D. sin 60 cos120 . Lời giải Chọn B
Giá trị lượng giác của góc đặc biệt.
Câu 18: Đẳng thức nào sau đây sai? A. sin 45 sin 45 2 . B. sin 30 cos60 1. C. sin 60 cos150 0. D. sin120 cos30 0 . Lời giải Page 3
CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Chọn D
Giá trị lượng giác của góc đặc biệt.
Câu 19: Cho hai góc nhọn và ( ) . Khẳng định nào sau đây là sai?
A. cos cos .
B. sin sin .
C. tan tan 0. D. cot cot . Lời giải Chọn B
Biểu diễn lên đường tròn. Câu 20: Cho A
BC vuông tại A , góc B bằng 30 . Khẳng định nào sau đây là sai? 1 3 1 1 A. cos B . B. sin C . C. cosC . D. sin B 3 2 2 2 Lời giải Chọn A 3 cos B cos30 . 2
Câu 21: Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau: A. cos 75 cos50 . B. sin80 sin 50 . C. tan 45 tan 60 . D. cos30 sin 60 . Lời giải Chọn A Lý thuyết.
DẠNG 2. CHO BIẾT MỘT GIÁ TRN LƯỢNG GIÁC, TÍNH CÁC GIÁ TRN LƯỢNG GIÁC CÒN LẠI 1
Câu 22: Cho sin , với 90 180 . Tính cos . 3 2 2 2 2 2 2
A. cos . B. cos . C. cos . D. cos . 3 3 3 3 Lời giải Chọn D 2 1 8 Ta có 2 2
cos 1 sin 1 . 3 9 2 2
Mặt khác 90 180 nên cos . 3 2
Câu 23: Cho biết cos . Tính tan ? 3 5 5 5 5 A. . B. . C. . D. . 4 2 2 2 Lời giải Chọn D
Do cos 0 tan 0 . 1 5 Ta có: 2 1 tan 2 tan 5 tan . 2 cos 4 2 Page 4
CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC 1
Câu 24: Cho biết tan . Tính cot . 2 1 1 A. cot 2 . B. cot 2 . C. cot . D. cot . 4 2 Lời giải Chọn A 1
tan.cot 1 cot x 2 . tan x 1
Câu 25: cos bằng bao nhiêu nếu cot ? 2 1 A. 5 . B. 5 . C. 5 . D. . 5 2 5 3 Lời giải Chọn A 1
Ta có cot tan 2 . 2 1 1 1 1 2 2 1 tan cos 2 2 cos 1 tan . 1 22 5 Suy ra 5 cos . 5
Câu 26: Nếu tan 3 thì cos bằng bao nhiêu? 1 A. 10 . B. . C. 10 . D. 10 . 10 3 10 10 Lời giải Chọn C 1 1 1 1 Ta có 2 2 1 tan cos . 2 2 2 cos 1 tan 1 3 10 Suy ra 10 cos . 10 5
Câu 27: Cho là góc tù và sin
. Giá trị của biểu thức 3sin 2cos là 13 9 9 A. . B. 3. C. . D. 3 . 13 13 Lời giải Chọn C Ta có 2 144 12 cos 1 sin cos 169 13 Page 5
CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC 12
Do là góc tù nên cos 0 , từ đó cos 13 5 12 9 Như vậy 3sin 2cos 3 2 . 13 13 13
Câu 28: Biết cot a , a 0 . Tính cos a 1 1 a A. cos . B. cos . C. cos . D. cos . 2 1 a 2 1 a 2 1 a 2 1 a Lời giải Chọn D
Do cot a , a 0 nên 0 0
90 180 suy ra cos 0 . 1 1 Mặt khác, tan tan . cot a 1 1 2 a Mà ta lại có 2 1 tan 2 cos 2 cos . 2 cos 2 1 tan 2 1 a a a Khi đó cos
và do a 0 nên cos . 2 1 a 2 1 a 1
Câu 29: Cho cos x . Tính biểu thức 2 2
P 3sin x 4cos x 2 13 7 11 15 A. . B. . C. . D. . 4 4 4 4 Lời giải Chọn A Ta có P x x x x 2 2 2 2 2 2 1 13 3sin 4 cos 3 sin cos cos x 3 . 2 4 4
Câu 30: Cho là góc tù và sin . Giá trị của biểu thức A 2sin cos bằng 5 7 7 11 A. . B. . C. 1. D. . 5 5 5 Lời giải Chọn D 2 4 4 9 Ta có: 2 2 sin cos 1 sin 1 . 5 5 25 3
Do là góc tù nên cos 0 cos . 5 2.4 3 11 A 2sin cos . 5 5 5 Page 6
CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC 4 sin cos
Câu 31: Cho sin , với 90 180 . Tính giá trị của M 5 3 cos 25 175 35 25 A. M B. M . C. M . D. M . 27 27 27 27 Chọn D 2 4 9 Ta có 2 2 cos 1 sin 1 . 5 25 3 Mà 90 180 cos 0 cos . 5 sin cos 25 Từ đó M . 3 cos 27 2 cot 3tan
Câu 32: Cho biết cos . Tính giá trị của biểu thức E ? 3 2cot tan 19 19 25 25 A. . B. . C. . D. 13 13 13 13 Lời giải Chọn B 3 cot 3tan 1 3tan 3 2 2 tan 2 2 1 2 2 3 2cos 19 cos E . 2 2cot tan 2 tan 1 2 1 tan 2 1 1 cos 13 1 2 cos 2
Câu 33: Cho biết cot 5 . Tính giá trị của E 2cos 5sin cos 1? 10 100 50 101 A. . B. . C. . D. . 26 26 26 26 Lời giải Chọn D 1 1 101 2 2
E sin 2cot 5cot 2 3cot 5cot 1 . 2 2 sin 1 cot 26 1 3sin 4cos
Câu 34: Cho cot . Giá trị của biểu thức A là: 3 2sin 5cos 15 15 A. . B. 13 . C. . D. 13 . 13 13 Lời giải Chọn D 3sin 4sin.cot 3 4cot A 13 . 2sin 5sin.cot 2 5cot 2 cot 3tan
Câu 35: Cho biết cos . Giá trị của biểu thức E bằng bao nhiêu? 3 2cot tan 25 11 11 25 A. . B. . C. . D. . 3 13 3 13 Lời giải Chọn C Page 7
CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC 4 3 cot 3tan 1 3tan 3 2 2 tan 4 2 1 2 4cos 3 11 cos E . 2 2cot tan 2 tan 3 2 1 tan 2 1 3cos 1 3 3 2 cos 1
Câu 36: Biết cos . Giá trị đúng của biểu thức 2 2
P sin 3 cos là: 3 11 4 1 10 A. . B. . C. . D. . 9 3 3 9 Lời giải Chọn A 1 11 2 2
cos P sin 3 o c s 2 2 sin cos 2 2
2cos 1 2cos . 3 9
DẠNG 3. CHỨNG MINH, RÚT GỌN BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC
Câu 37: Đẳng thức nào sau đây là sai? A. x x2 x x2 cos sin cos sin 2, x . B. 2 2 2 2
tan x sin x tan xsin , x x 90 C. 4 4 2 2
sin x cos x 1 2sin x cos , x x . D. 6 6 2 2
sin x cos x 1 3sin xcos , x x Lời giải Chọn D 6 6 x x 2 2 x x 2 2 sin cos sin cos
1 sin x cos x.
Câu 38: Đẳng thức nào sau đây là sai? 1 cos x sin x A.
x 0,x 180. sin x 1 cos x 1
B. tan x cot x x 0,90,180 sin x cos x 1 C. 2 2 tan x cot x 2 x 0,90,180 2 2 sin x cos x D. 2 2
sin 2x cos 2x 2 . Lời giải Chọn D 2 2
sin 2x cos 2x 1.
Câu 39: Trong các hệ thức sau hệ thức nào đúng? A. 2 2
sin cos 1. B. 2 2 sin cos 1. 2 2 2 C. 2 2
sin cos 1. D. sin 2 cos 2 1. Lời giải Chọn D
Công thức lượng giác cơ bản.
Câu 40: Trong các hệ thức sau hệ thức nào đúng? A. 2 2
sin cos 1. B. 2 2 sin cos 1. C. 2 2
sin cos 1. D. 2 2 sin cos 1. 2 Lời giải Chọn D Page 8
CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
Công thức lượng giác cơ bản. 2 2
cot x cos x sin . x cos x
Câu 41: Rút gọn biểu thức sau A 2 cot x cot x
A. A 4 . B. A 2 . C. A 1 . D. A 3 . Lời giải Chọn C 2 cos x 2 2 2 cos x 2
cot x cos x sin . x cos x sin . x cos sin x x A 2 2 cot x cot x cos x cos x 2 sin x sin x 2 cos x 2 1 sin x 2 2 2
sin x 1sin x sin x 1. 2 cos x a a2 cot tan Câu 42: Biểu thức bằng 1 1 1 1 A. . B. 2 2
cot a tan a2 . C. . D. 2 2
cot a tan a 2. 2 2 sin cos 2 2 sin cos Lời giải Chọn C
cot a tan a2 1 1 2 2 cot a 2cot .
a tan a tan a 2 cot a 1 2 tan a 1 . 2 2 sin a cos a
Câu 43: Rút gọn biểu thức sau A x x2 x x2 tan cot tan cot A. A 4 . B. A 1. C. A 2 . D. A 3 Lời giải Chọn A A 2 2 x x x x 2 2 tan 2 tan .cot cot tan x 2 tan .
x cot x cot x 4.
Câu 44: Đơn giản biểu thức G 2 x 2 2 1 sin
cot x 1 cot x . 1 A. 2 sin x . B. 2 cos x. C. . D. cos x . cos x Lời giải Chọn A G 2 x 2 2 2 2 2 1 sin
1 cot x 1 sin .
x cot x 1 1 cos x sin x . sin x
Câu 45: Đơn giản biểu thức E cot x ta được 1 cos x 1 1 A. sin x . B. . C. . D. cos x . cos x sin x Lời giải Chọn C sin x cos x sin x
cos x 1 cos x sin . x sin x E cot x 1 cos x sin x 1 cos x
sin x 1 cos x x x 2 cos 1 cos
1 cos x cos x1 cos x 1 cos x1 cos x 1 .
sin x 1 cos x
sin x 1 cos x sin x Page 9
CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
Câu 46: Khẳng định nào sau đây là sai? 1 A. 2 2
sin cos 1. B. 2 1 cot sin 0 . 2 sin 1 C. tan.cot 1
sin.cos 0 . D. 2 1 tan cos 0 . 2 cos Lời giải Chọn C sin x cos x tan.cot . 1. cos x sin x 2 1 sin x
Câu 47: Rút gọn biểu thức P ta được 2sin . x cos x 1 1
A. P tan x .
B. P cot x .
C. P 2cot x .
D. P 2 tan x . 2 2 Lời giải Chọn B 2 2 1 sin x cos x cos x 1 P cot x . 2sin . x cos x 2sin . x cos x 2sin x 2
DẠNG 4. TÍNH GIÁ TRN BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC
Câu 48: Biểu thức A cos 20 cos 40 cos 60 ... cos160 cos180 có giá trị bằng A. 1. B. 1 . C. 2 . D. 2 . Lời giải Chọn B
Ta có cos cos180 0 180 nên suy ra cos cos180 0 .
Do đó: A cos 20 cos160 cos 40 cos140 cos 60 cos120
cos80 cos100 cos180 cos180 1 .
Câu 49: Cho tan cot 3. Tính giá trị của biểu thức sau: 2 2
A tan cot . A. A 12. B. A 11. C. A 13. D. A 5 . Lời giải Chọn B 2 2 2 tan cot 3 tan cot
9 tan cot 2 tan.cot 9 2 2 2 2
tan cot 2 9 tan cot 11.
Câu 50: Giá trị của biểu thức A tan1 tan 2 tan 3 ... tan 88 tan 89 là A. 0 . B. 2 . C. 3 . D. 1. Lời giải Chọn D
A tan1 .tan89 .tan 2 .tan88 ...tan 44 .tan 46 .tan 45 1. 2 2 2 2 2 2
Câu 51: Tổng sin 2 sin 4 sin 6 ... sin 84 sin 86 sin 88 bằng A. 21. B. 23. C. 22 . D. 24 . Page 10
CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Lời giải Chọn C 2 2 2 2 2 2 S sin 2 sin 4 sin 6 ... sin 84 sin 86 sin 88 2 2 2 2 2 2 sin 2 sin 88 sin 4 sin 86 ... sin 44 sin 46 2 2 2 2 2 2 sin 2 cos 2 sin 4 cos 4 ... sin 44 cos 44 22.
Câu 52: Biết sin a cos a 2 . Hỏi giá trị của 4 4
sin a cos a bằng bao nhiêu? 3 1 A. . B. . C. 1 . D. 0 . 2 2 Lời giải Chọn B 1
Ta có: sin a cos a 2 a a2 2 sin cos sin . a cos a . 2 a a a a 2 4 4 2 2 2 2 1 1 sin cos sin cos
2sin a cos a 1 2 . 2 2
Câu 53: Biểu thức f x 4 4 x x 6 6 3 sin cos
2 sin x cos x có giá trị bằng: A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 0 . Lời giải Chọn A 4 4 2 2
sin x cos x 1 2sin x cos x . 6 6 2 2
sin x cos x 1 3sin x cos x .
f x 2 2 x x 2 2 3 1 2sin cos
2 1 3sin x cos x 1.
Câu 54: Biểu thức: f x 4 2 2 2
cos x cos xsin x sin x có giá trị bằng A. 1. B. 2 . C. 2 . D. 1 . Lời giải Chọn A f x 2 x 2 2 x x 2 2 2 cos cos sin
sin x cos x sin x 1. Câu 55: Biểu thức 2 2 2 2
tan xsin x tan x sin x có giá trị bằng A. 1 . B. 0 . C. 2 . D. 1. Lời giải Chọn B x x x x x x 2 2 2 2 2 2 2 2 sin x tan sin tan sin tan sin 1 sin x 2 cos x 2 sin x 0 . 2 cos x
Câu 56: Giá trị của A tan 5 .tan10 .tan15 ... tan80 .tan85 là A. 2 . B. 1. C. 0 . D. 1 . Lời giải Chọn B
A tan 5 .tan85 .tan10 .tan80 ...tan 40 tan 50 .tan 45 1.
Câu 57: Giá trị của 2 2 2 2 B cos 73 cos 87 cos 3 cos 17 là A. 2 . B. 2 . C. 2 . D. 1. Lời giải Chọn B Page 11
CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC B 2 2 2 2 2 2 2 2 cos 73 cos 17 cos 87 cos 3 cos 73 sin 73 cos 87 sin 87 2.
Câu 58: Cho tan cot m . Tìm m để 2 2 tan cot 7 . A. m 9 . B. m 3 . C. m 3 . D. m 3 . Lời giải Chọn D 2 2 2 7 tan cot tan cot 2 2
m 9 m 3 .
Câu 59: Giá trị của E sin 36 cos6 sin126 cos84 là 1 3 A. . B. . C. 1. D. 1 . 2 2 Lời giải Chọn A E 1 sin 36 cos 6 sin 90 36 cos 90
6 sin 36 cos 6 cos36 sin 6 sin 30 2
Câu 60: Giá trị của biểu thức 2 2 2 2 A sin 51 sin 55 sin 39 sin 35 là A. 3 . B. 4 . C. 1. D. 2 . Lời giải Chọn D A 2 2 2 2 2 2 2 2 sin 51 sin 39 sin 55 sin 35 sin 51 cos 51 sin 55 cos 55 2.
Câu 61: Cho sin x cos x m . Tính theo m giá trị của M sin .
x cos x . 2 m 1 2 m 1 A. 2 m 1. B. . C. . D. 2 m 1. 2 2 Lời giải Chọn B x x m x x2 2 m 2 2 x x 2 sin cos sin cos sin cos 2sin .
x cos x m 2 m 1 2 1 2sin .
x cos x m sin . x cos x . 2 2 m 1 Vậy M . 2 Page 12
CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC NG ƯƠ
III HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC CH
BÀI 6. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC I LÝ THUYẾT. Cho tam giác ABC, BC a, CA , b
AB c, S là diện tích tam giác. Giả sử h , h , h lần a b c
lượt là độ dài các đường cao đi qua ba đỉnh ,
A B,C; m , m , m lần lượt là các đường trung a b c tuyến đi qua ba đỉnh ,
A B,C . R và r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nột tiếp của
tam giác ABC . Ta có kết quả sau đây: 1. Định lí côsin 2 2 2
a b c 2b . c cos , A 2 2 2
b c a 2c . a cos B, 2 2 2
c a b 2a . b cosC.
*Hệ quả của định lí côsin 2 2 2 2 2 2 2 2 2
b c a
a c b
b a c cos A , cos B , cos C . 2bc 2ac 2ab a b c
2. Định lí sin trong tam giác: 2 . R sin A sin B sinC
3. Công thức diện tích: 1 1 1
a) S ah bh ch . 2 a 2 b 2 c 1 1 1
b) S bc sin A ca sin B absin C 2 2 2 abc c) S 4R 1
d) S pr với p a b c 2
e) Công thức Hê- Rông S p p a p b p c
4. Công thức trung tuyến (bổ sung) 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2(b c ) a
2(a c ) b
2(a b ) c 2 2 2 m , m , m a 4 b 4 c 4 Page 88
CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA.
3.5. Cho tam giác ABC có a 6,b 5,c 8. Tính cos , A S, r.
3.6. Cho tam giác ABC có
a 10, A 45 , B 70 . Tính , R , b . c
3.7. Giải tam giác ABC và tính diện tích của tam giác đó, biết A 15 , B 130 , c 6.
3.8. Một tàu đánh cá xuất phát từ cảng , A đi theo
hướng S70E với vận tốc 70 km/h. Đi được 90
phút thì động cơ của tàu bị hỏng nên tàu trôi tự do
theo hướng nam với vận tốc 8 km/h. Sau 2 giờ kể
từ khi động cơ bị hỏng, tàu neo đậu được vào một hòn đảo.
a) Tính khoảng cách từ cảng A tới đảo nơi tàu neo đậu.
b) Xác định hướng từ cảng A tới đảo nơi tàu neo đậu.
3.9. Trên nóc một tòa nhà có một cột ăng-ten
cao 5 m. Từ một vị trí quan sát A cao 7 m so
với mặt đất có thể nhìn thấy đỉnh B và chân C của cột ăng-ten, với các góc tương ứng
là 50 và 40 so với phương nằm ngang (H.3.18).
a) Tính các góc của tam giác ABC.
b) Tính chiều cao của tòa nhà.
3.10. Từ bãi biển Vũng Chùa, Quảng Bình, ta có thể ngắm được Đảo Yến. Hãy đề xuất một cách
xác định bề rộng của hòn đảo (theo chiều ta ngắm được). Đảo Yến nhìn từ bãi biển Vũng Chùa, Quảng Bình Page 89
CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
3.11. Để tránh núi, đường giao thông hiện tại phải đi vòng như mô hình trong Hình 3.19.
Để rút ngắn khoảng cách và tránh sạt lở núi, người ta dự định làm đường hầm xuyên núi, nối thẳng
từ A tới D . Hỏi độ dài đường mới sẽ giảm bao nhiêu kilômét so với đường cũ?
HỆ THỐNG BÀI TẬP. II
DẠNG 1: GIẢI TAM GIÁC
{Tìm một số yếu tố của tam giác khi cho biết các yếu tố khác.} PHƯƠNG PHÁP. 1
+ Áp dụng các công thức sách giáo khoa như: định lí cosin, hệ quả của định lí cosin, định lí sin,
các công thức liên quan đến diện tích để vận dụng vào làm bài.
BÀI TẬP TỰ LUẬN. 2
Câu 1. Cho tam giác ABC có 0
AB 4, AC 6, A 120 . Tính độ dài cạnh BC
Câu 2. Cho tam giác ABC có a 7;b 8;c 5 . Tính , A S, h , . R a
Câu 3. Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là AB 2 , BC 5 , CA 6 . Tính độ dài đường trung tuyến
MA, với M là trung điểm của BC .
Câu 4. Tam giác ABC vuông tại A có AC 6 cm , BC 10 cm . Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC . 3
Câu 5. Cho tam giác ABC có b 7 , c 5 , cos A . Tính độ dài đường cao h của tam giác ABC . 5 a
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. 3
Câu 1: Cho ABC có BC a ,
BAC 120 . Bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC là a 3 a a 3 A. R . B. R . C. R .
D. R a . 2 2 3
Câu 2: Tam giác ABC có a 8 , c 3 , B 60 . Độ dài cạnh b bằng bao nhiêu? A. 49 . B. 97 . C. 7 . D. 61 .
Câu 3: Cho ABC có a 4 , c 5 , B 150 . Tính diện tích tam giác ABC . A. S 10 . B. S 10 3 . C. S 5 . D. S 5 3 .
Câu 4: Một tam giác có ba cạnh là 52 , 56 , 60 . Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đó là Page 90
CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC 65 A. . B. 40 . C. 32,5 . D. 65,8 . 4
Câu 5: Khoảng cách từ A đến B không thể đo trực tiếp được vì phải qua một đầm lầy. Người ta
xác định được một điểm C mà từ đó có thể nhìn được A và B dưới một góc 60 . Biết
CA 200m , CB 180m . Khoảng cách AB bằng bao nhiêu? A. 228m . B. 20 91m . C. 112m . D. 168m.
Câu 6: Tam giác ABC có góc A nhọn, AB 5 , AC 8 , diện tích bằng 12. Tính độ dài cạnh . BC A. 2 3 . B. 4 . C. 5 . D. 3 2 .
Câu 7: Tam giác ABC có AB 4 , AC 6 và trung tuyến BM 3 . Tính độ dài cạnh BC . A. 17 . B. 2 5 . C. 4 . D. 8 .
Câu 8: Tam giác ABC có AB 4 , AC 10 và đường trung tuyến AM 6 . Tính độ dài cạnh BC . A. 2 6 . B. 5 . C. 22 . D. 2 22 .
Câu 9: Tam giác ABC có A 75 ,
B 45, AC 2 . Tính cạnh AB . 2 6 6 A. . B. 6 . C. . D. . 2 2 3
Câu 10: Tam giác ABC có B 60 , C 45 , AB 3 . Tính cạnh AC . 3 6 3 2 2 6 A. . B. . C. 6 . D. . 2 2 3 AB
Câu 11: Tam giác ABC có các góc A 75 ,
B 45. Tính tỉ số . AC 6 6 A. . B. 6 . C. . D. 1, 2 . 3 2 1
Câu 12: Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết AB c và os( c A B) . 3 c 2 3c 2 9c 2 3c A. . B. . C. . D. . 2 8 8 2 AB
Câu 13: Tam giác ABC có các góc A 105 , B 45. Tính tỉ số . AC A. 2 . B. 2 . C. 2 . D. 6 . 2 2 3
Câu 14: Tam giác ABC có AB 4 , AC 5 , BC 6 . Tính cos(B C) . 1 1 A. . B. . C. –0,125 . D. 0, 75. 8 4
Câu 15: Tam giác có ba cạnh lần lượt là 2, 3, 4 . Góc bé nhất của tam giác có sin bằng bao nhiêu? 7 1 A. 15 . B. . C. . D. 14 . 8 8 2 8
Câu 16: Tam giác có ba cạnh lần lượt là 3, 8 , 9. Góc lớn nhất của tam giác có cosin bằng bao nhiêu? 1 1 4 A. . B. . C. 17 . D. . 6 6 4 25
Câu 17: Hình vuông ABCD có cạnh bằng a . Gọi E là trung điểm cạnh BC , F là trung điểm cạnh AE
. Tìm độ dài đoạn thẳng DF . Page 91
CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC 3a
A. a 13 . B. a 5 . C. a 3 . D. . 4 4 2 4
Câu 18: Tam giác ABC có BC 12 , CA 9 , AB 6. Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho BM 4 .
Tính độ dài đoạn thẳng AM A. 2 5 . B. 3 2 . C. 20 . D. 19 . BC
Câu 19: Tam giác ABC vuông tại A có AB AC a . Điểm M nằm trên cạnh BC sao cho BM . 3
Độ dài AM bằng bao nhiêu? 2a
A. a 17 . B. a 5 .
C. 2a 2 . D. . 3 3 3 3
Câu 20: Tam giác ABC có 1
cos A B , AC 4 , BC 5 . Tính cạnh AB 8 A. 46 . B. 11. C. 5 2 . D. 6 .
Câu 21: Tam giác ABC có AB 7 , AC 5 và B C 1 cos
. Tính BC 5 A. 2 15 . B. 4 22 . C. 4 15 . D. 2 22 .
Câu 22: Tam giác ABC có BC 5 , AC 3 và cot C 2 . Tính cạnh AB A. 6. B. 2 . C. 9 . D. 2 10 . 5
Câu 23: Tam giác ABC có AB 3, AC 4 và tan A 2 2 . Tính cạnh BC A. 3 2 . B. 4 3. C. 33. D. 7.
Câu 24: Cho tam giác ABC có cạnh BC a , cạnh CA b . Tam giác ABC có diện tích lớn nhất khi góc C bằng: A. o 60 . B. o 9 0 . C. o 150 . D. o 120 .
Câu 25: Cho tam giác MPQ vuông tại P . Trên cạnh MQ lấy hai điểm E , F sao cho các góc M PE , E P F ,
FPQ bằng nhau. Đặt MP q, PQ m, PE x,
PF y . Trong các hệ thức sau, hệ thức nào đúng?
A. ME EF FQ . B. 2 2 2
ME q x xq . C. 2 2 2
MF q y yq . D. 2 2 2
MQ q m 2qm .
Câu 26: Tính góc C của tam giác ABC biết a b và 2 2 2 2 a a c b b c .
A. C 150 .
B. C 120 .
C. C 60 .
D. C 30.
Câu 27: Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết AB 12 và 1
cot( A B) . 3 9 10 A. 2 10 . B. . C. 5 10 . D. 3 2 . 5
Câu 28: Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết AB 10 và 1
tan( A B) . 3 5 10 10 A. . B. 10 . C. . D. 5 10 . 9 3 5 Page 92
CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
Câu 29: Tam giác ABC có AB 4, AC 6 , 1 cos B , 3 cos C .Tính cạnh BC . 8 4 A. 7. B. 5. C. 3 3. D. 2.
Câu 30: Cho tam giác cân ABC có 0
A120 và AB AC a . Lấy điểm Mtrên cạnh BC sao cho 2BC BM
. Tính độ dài AM 5 a 3 a 7 a 6 A. . B. 11a . C. . D. . 3 5 5 4
DẠNG 2: HỆ THỨC LIÊN HỆ GIỮA CÁC YẾU TỐ TRONG TAM GIÁC, NHẬN DẠNG TAM GIÁC PHƯƠNG PHÁP. 1
Áp dụng các công thức sách giáo khoa như: định lí cosin, hệ quả của định lí cosin, định lí sin,
các công thức liên quan đến diện tích để vận dụng vào làm bài.
BÀI TẬP TỰ LUẬN. 2
Câu 1. Cho tam giác ABC thỏa sin A 2 cos C . Tam giác ABC là tam giác gì? sin B
Câu 2. Chứng minh trong tam giác ABC ta có: h 2 . R sin . B sin C a
Câu 3. Cho tam giác ABC . Chứng minh S . R .
r sin Asin BsinC . 3 3 3
b c a 2
Câu 4. Cho tam giác ABC thỏa a
b c a
. Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều.
a 2 .bcosC
Câu 5. Chứng minh trong tam giác ABC ta có: sin .
B cosC sin C.cos B sin A
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. 3
Câu 1: Cho tam giác ABC , chọn công thức đúng trong các đáp án sau: 2 2 2 b c a 2 2 2 a c b A. 2 m 2 m a . B. . 2 4 a 2 4 2 2 2
2c 2b a 2 2 2 a b c C. 2 m 2 m a . D. . 4 a 2 4
Câu 2: Trong tam giác ABC , câu nào sau đây đúng? A. 2 2 2
a b c 2bc.cos A . B. 2 2 2
a b c 2bc.cos A . C. 2 2 2
a b c bc.cos A . D. 2 2 2
a b c bc.cos A .
Câu 3: Nếu tam giác ABC có 2 2 2
a b c thì: A. A là góc tù. B.
A là góc vuông. C. A là góc nhọn. D.
A là góc nhỏ nhất.
Câu 4: Tam giác ABC có ba cạnh thoả mãn điều kiện a bca bc 3ab. Khi đó số đo của C là Page 93
CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC A. 120. B. 30 . C. 45 . D. 60 .
Câu 5: Cho tam giác ABC . Khẳng định nào sau đây là đúng? 2 4 A. 2 2 2
m m m
a b c 2 2 2 2 2 2
m m m
a b c a b c 2 2 2. B. a b c . 3 3 1 3 C. 2 2 2
m m m
a b c 2 2 2 2 2 2
m m m
a b c a b c 2 2 2. D. a b c . 3 4
Câu 6: Cho tam giác ABC thỏa mãn c .c
a os B . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Tam giác ABC là tam giác cân.
B. Tam giác ABC là tam giác nhọn.
C. Tam giác ABC là tam giác vuông.
D. Tam giác ABC là tam giác tù.
Câu 7: Diện tích S của tam giác sẽ thỏa mãn hệ thức nào trong hai hệ thức sau đây? I. 2
S p p a p b p c . II. 2
16S a bca bca bc a
b c . A. Chỉ I. B. Chỉ II. C. Cả I và II. D. Không có.
Câu 8: Cho tam giác ABC , các đường cao h , h , h
h h h a b
c thỏa mãn hệ thức 3 2 a b
c . Tìm hệ thức giữa
a, b, c . A. 3 2 1 .
B. 3a 2b c .
C. 3a 2b c . D. 3 2 1 . a b c a b c
Câu 9: Trong tam giác ABC , hệ thức nào sau đây sai? A. b.sin A c A a . B. .sin sin C . C. a 2 . R sin A . D. b .t R an B . sin B a
Câu 10: Cho tam giác ABC thỏa mãn hệ thức b c 2a . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. cos B cosC 2cos A .
B. sin B sin C 2sin A . C. 1
sin B sin C sin A .
D. sin B cosC 2sin A. 2
Câu 11: Tam giác ABC có A 120 thì câu nào sau đây đúng? A. 2 2 2
a b c 3bc . B. 2 2 2
a b c bc . C. 2 2 2
a b c 3bc . D. 2 2 2
a b c bc .
Câu 12: Trong tam giác ABC , điều kiện để hai trung tuyến vẽ từ A và B vuông góc với nhau là: A. 2 2 2
2a 2b 5c . B. 2 2 2
3a 3b 5c . C. 2 2 2
2a 2b 3c . D. 2 2 2
a b 5c .
Câu 13: Trong tam giác ABC , nếu có 2
a b.c thì : 1 1 1 1 1 1 1 2 2 A. . B. 2
h h .h . C. . D. . 2 h h h a b c 2 h h h 2 h h h a b c a b c a b c
Câu 14: Trong tam giác ABC , nếu có 2h h h a b c thì : A. 2 1 1 .
B. 2sin A sin B sin C . sin A sin B sin C
C. sin A 2sin B 2sin C . D. 2 1 1 . sin A sin B sin C
Câu 15: Trong tam giác ABC , câu nào sâu đây đúng? A. b c b c b c m . B. m . C. m .
D. m bc. a a 2 a 2 a 2
Câu 16: Tam giác ABC có các cạnh a, b, c thỏa mãn điều kiện a b ca bc 3ab. Tính số đo của góc C . A. 45 . B. 60 . C. 120. D. 30 . Page 94
CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
Câu 17: Cho tam giác ABC , xét các bất đẳng thức sau:
I. a b c .
II. a b c .
III. m m m a b c . a b c
Hỏi khẳng định nào sau đây đúng?
A. Chỉ I, II.
B. Chỉ II, III.
C. Chỉ I, III.
D. Cả I, II, III.
Câu 18: Tam giác ABC có các cạnh a , b , c thỏa mãn điều kiện 2 2 2
b c a 3bc . Tính số đo của góc A . A. 45 . B. 60 . C. 120 . D. 30 .
Câu 19: Tam giác ABC a.cos B .
b cos A . Tam giác ABC là tam giác gì? A. Tam giác vuông. B. Tam giác đều.
C. Tám giác vuông cân D. Tam giác cân.
Câu 20: Cho tam giác ABC vuông tại A , AC b , AB c . Lấy điểm M trên cạnh BC sao cho góc MB
BAM 30 Tính tỉ số . MC b 3 3c 3c b c A. . B. . C. . D. . 3c 3b b b c
Câu 21: Mệnh đề nào sau đây sai? A. Nếu 2 2 2
a b c thì A là góc tù.
B. Nếu tam giác ABC có một góc tù thì 2 2 2
a b c . C. Nếu 2 2 2
a b c thì A là góc nhọn. D. Nếu 2 2 2
a b c thì A là góc vuông.
DẠNG 3: ỨNG DỤNG THỰC TẾ PHƯƠNG PHÁP. 1
Áp dụng các công thức sách giáo khoa như: định lí cosin, hệ quả của định lí cosin, định lí sin,
các công thức liên quan đến diện tích để vận dụng vào làm bài.
BÀI TẬP TỰ LUẬN. 2
Câu 1: Hai chiếc tàu thuỷ cùng xuất phát từ vị trí A , đi thẳng theo hai hướng tạo với nhau một góc 0
60 . Tàu thứ nhất chạy với tốc độ 30km / h , tàu thứ hai chạy với tốc độ 40km / h . Hỏi sau 2 giờ
hai tàu cách nhau bao nhiêu km ?
Câu 2: Từ một đỉnh tháp chiều cao CD 80m , người ta nhìn hai điểm A và B trên mặt đất dưới các góc nhìn là 0 72 12' và 0
34 26 ' so với phương nằm ngang. Ba điểm ,
A B, D thẳng hàng. Tính
khoảng cách AB (chính xác đến hàng đơn vị)?
BÀI TẬP TỰ LUẬN TỔNG HỢP. Page 95
CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
Câu 3: Cho tam giác ABC có a 13,b 8, c 7 . Tính góc A, suy ra S, ha, R, r, ma. 3
Câu 4: Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = 5 và cos A =
. Tính cạnh BC, và độ dài đường cao 5 kẻ từ A .
Câu 5: Cho tam giác ABC có AB = , 10 AC = 4 và A = 0 60 .
a) Tính chu vi của tam giác b) Tính tanC
Câu 6: Giải tam giác ABC biết 0 A = B = 0 60 , 40 và c = 14 .
Câu 7: Giải tam giác ABC , biết: 0 b = A = C = 0 4, 5; 30 ; 75
Câu 8: Cho tam giác ABC cân tại A biết 0
a 3; B C 30 . Tính R, r, cạnh c, b, suy ra S
Câu 9: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn bán kính bằng 3, biết 0 0
A = 30 , B = 45 . Tính độ dài
trung tuyến kẻ từ A và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác.
Câu 10: Cho tam giác ABC thỏa mãn 2
sin A = sin B.sinC . Chứng minh rằng a) 2 a = bc 1 b) cos A ³ 2
Câu 11: Tam giác ABC có BC = , a CA = ,
b AB = c và trung tuyến AM = AB = c chứng minh rằng: 2 2 2 a)
a = 2(b - c ) 2 2 2 b)
sin A = 2(sin B - sin C )
Câu 12: Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để hai trung tuyến kẻ từ B và C vuông góc với nhau là 2 2 2
b + c = 5a .
Câu 13: Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta có; a) a = .c b osC + .c c os B
b) sin A = sin B cosC + sinC cos B
Câu 14: Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta có: h = 2R sin B sinC a
Câu 15: Tìm tính chất đặc biệt của tam giác ABC biết: 2a cos A . b cosC . c cos B a ìï = 2b cosC (1) ïï
Nhận dạng tam giác ABC biết: 3 3 3 í a -b -c 2 a ïï = (2) Câu 16: ïïî a -b -c
Câu 17: Nhận dạng tam giác ABC biết: a.sin A + b sin B + c sinC = h + h + h a b c
Câu 18: Cho tam giác ABC . Chứng minh tam giác ABC cân nếu h = .s c in A a Page 96
CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC NG ƯƠ
III HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC CH
BÀI 6. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC I LÝ THUYẾT. Cho tam giác ABC, BC a, CA , b
AB c, S là diện tích tam giác. Giả sử h , h , h lần a b c
lượt là độ dài các đường cao đi qua ba đỉnh ,
A B,C; m , m , m lần lượt là các đường trung a b c tuyến đi qua ba đỉnh ,
A B,C . R và r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nột tiếp của
tam giác ABC . Ta có kết quả sau đây: 1. Định lí côsin 2 2 2
a b c 2b . c cos , A 2 2 2
b c a 2c . a cos B, 2 2 2
c a b 2a . b cosC.
*Hệ quả của định lí côsin 2 2 2 2 2 2 2 2 2
b c a
a c b
b a c cos A , cos B , cos C . 2bc 2ac 2ab a b c
2. Định lí sin trong tam giác: 2 . R sin A sin B sinC
3. Công thức diện tích: 1 1 1
a) S ah bh ch . 2 a 2 b 2 c 1 1 1
b) S bc sin A ca sin B absin C 2 2 2 abc c) S 4R 1
d) S pr với p a b c 2
e) Công thức Hê- Rông S p p a p b p c
4. Công thức trung tuyến (bổ sung) 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2(b c ) a
2(a c ) b
2(a b ) c 2 2 2 m , m , m a 4 b 4 c 4 Page 1
CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA.
3.5. Cho tam giác ABC có a 6,b 5,c 8. Tính cos , A S, r. Lời giải 2 2 2 2 2 2
b c a 5 8 6 53 Ta có cos A 2bc 2.5.8 80
a b c 6 5 8 19 Nửa chu vi là P
. Áp dụng công thức Heron ta có: 2 2 2 19 19 19 19 3 399
S p( p a)( p b)( p c) 6 5 8 2 2 2 2 4 S 3 399 Do S . p r r . p 38
3.6. Cho tam giác ABC có
a 10, A 45 ,
B 70. Tính , R , b . c Lời giải a a 10
Áp dụng định lý sin ta có 2R R 5 2. sin A 2sin A 2.sin 45 a b
a sin B 10.sin 70 Ta có b 13, 289 sin A sin B sin A sin 45 a C Vì sin 10.sin 65
A B C 180 C 180 A B 65 c 12,82 sin A sin 45
3.7. Giải tam giác ABC và tính diện tích của tam giác đó, biết A 15 , B 130 , c 6. Lời giải Ta có
A B C 180 C 180 A B 35 c sin A 6sin15 a 2,71 a b c sin C sin 35
Áp dụng định lý sin ta có: sin A sin B sin C c sin B 6sin130 b 8,01 sin C sin 35 1 1
Diện tích của tam giác là: S . a .
c sin B .2,71.6.sin130 6, 228 2 2 Page 2
CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
3.8. Một tàu đánh cá xuất phát từ cảng , A đi theo hướng
S70E với vận tốc 70 km/h. Đi được 90 phút thì
động cơ của tàu bị hỏng nên tàu trôi tự do theo
hướng nam với vận tốc 8 km/h. Sau 2 giờ kể từ
khi động cơ bị hỏng, tàu neo đậu được vào một hòn đảo.
a) Tính khoảng cách từ cảng A tới đảo nơi tàu neo đậu.
b) Xác định hướng từ cảng A tới đảo nơi tàu neo đậu. Lời giải
a) Theo giả thiết ta có: AB 105 , km BC 16 , km Góc BAD 70 ,
ABD 20 ABC 160
Khoảng cách từ A tới đảo tàu neo đậu bằng đoạn AC.
Áp dụng định lý côsin ta có: 2 2
AC AB BC 2 . AB BC.cos B 2 2 105 16 2.105.16.cos160 120,16km 2 2 2
AB AC BC b) Ta có cos A 0,999 A 2 3
7 ' NAC 107 23 ' . Vậy hướng từ 2 . AB AC
cảng A tới đảo nơi tàu neo đậu là hướng Đông.
3.9. Trên nóc một tòa nhà có một cột ăng-ten
cao 5 m. Từ một vị trí quan sát A cao 7 m so
với mặt đất có thể nhìn thấy đỉnh B và chân C của cột ăng-
ten, với các góc tương ứng
là 50 và 40 so với phương nằm ngang (H.3.18).
a) Tính các góc của tam giác ABC.
b) Tính chiều cao của tòa nhà. Lời giải a) Ta có
BAC 50 40 10,
ABC 90 BAD 40 ACB 180 ABC BAC 130
b) Áp dụng định lý sin trong tam giác ABC ta có Page 3
CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC BC AC BC.sin B 5.sin 40 AC 18,51. sin A sin B sin A sin10
Xét tam giác ACD vuông tại D có CD . AC sin 40 11,9
Vậy chiều cao của tòa nhà là: 11,9 7 18,9 . m
3.10. Từ bãi biển Vũng Chùa, Quảng Bình, ta có thể ngắm được
Đảo Yến. Hãy đề xuất một cách xác định bề rộng của hòn
đảo (theo chiều ta ngắm được). Đảo Yến nhìn từ bãi biển
Vũng Chùa, Quảng Bình Lời giải Gọi ,
A B là hai vị trí ngoài cùng mà ta quan sát khi nhìn từ bãi biển
Từ một điểm C trên bãi biển dùng giác kế ta xác định được góc ACB .
Lấy điểm D trên bãi biển sao cho ,
A C, D thẳng hàng và
có độ dài đoạn CD a mét. Ta xác định được ADB .
Từ đó áp dụng định lí sin cho hai tam giác BCD và ABC ta xác định được bề rộng AB của hòn đảo.
3.11. Để tránh núi, đường giao thông hiện tại
phải đi vòng như mô hình trong Hình 3.19.
Để rút ngắn khoảng cách và tránh sạt lở núi,
người ta dự định làm đường hầm xuyên núi,
nối thẳng từ A tới D . Hỏi độ dài đường mới
sẽ giảm bao nhiêu kilômét so với đường cũ? Lời giải
Dựng CE, BF vuông góc với AD .
Xét tam giác CDE vuông tại E có
D C 45 DE C .s D in 45 6 2 . km
Xét tam giác ABF vuông tại F có B 15 AF A .s
B in15 2 6 2 2 . km Page 4
CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
Mặt khác EF BC 6km
AD DE EF FA 6 4 2 2 6 16,56 k . m
Vậy độ dài đường mới sẽ giảm 9, 44km so với đường cũ.
HỆ THỐNG BÀI TẬP. II
DẠNG 1: GIẢI TAM GIÁC
{Tìm một số yếu tố của tam giác khi cho biết các yếu tố khác.} PHƯƠNG PHÁP. 1
+ Áp dụng các công thức sách giáo khoa như: định lí cosin, hệ quả của định lí cosin, định lí sin,
các công thức liên quan đến diện tích để vận dụng vào làm bài.
BÀI TẬP TỰ LUẬN. 2
Câu 1. Cho tam giác ABC có 0
AB 4, AC 6, A 120 . Tính độ dài cạnh BC Lời giải 2 2 2 2 2 0
BC AB AC 2 .
AB AC.cosA 6 4 2.6.4.cos120 2 2 1 6 4 2.6.4.
76 BC 76 2 19. 2
Câu 2. Cho tam giác ABC có a 7;b 8;c 5 . Tính , A S, h , . R a Lời giải 2 2 2 2 2 2
b c a 8 5 7 1 + cos A A 60 . 2bc 2.8.5 2 1 1 + S . b .
c sin A .8.5.sin 60 10 3 . 2 2 1 2S 2.10 3 20 3 + Ta có: S . a h h . 2 a a a 7 7 . a . b c . a . b c 7.8.5 7 3 + Ta có: S R . 4R 4S 4.10 3 3
Câu 3. Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là AB 2 , BC 5 , CA 6 . Tính độ dài đường trung tuyến
MA, với M là trung điểm của BC . Lời giải
Áp dụng công thức tình độ dài trung tuyến ta có: Page 5
CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC 2 2 2 AB AC BC 2 2 2 2 6 5 55 MA . 2 4 2 4 2
Câu 4. Tam giác ABC vuông tại A có AC 6 cm , BC 10 cm . Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC . Lời giải
Do tam giác ABC vuông tại A có AC 6 cm , BC 10 cm nên 2 2
AB BC AC 2 2 10 6 8 . 1
Diện tích tam giác ABC là S A . B AC 24 . ABC 2 2S 2.24
Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là AB C r 2 .
AB BC CA 6 8 10 3
Câu 5. Cho tam giác ABC có b 7 , c 5 , cos A . Tính độ dài đường cao h của tam giác ABC . 5 a Lời giải A c b ha B C H a
Theo định lí hàm cos ta có 2 2 2
a b c 3
2bccos A 49 25 2.7.5. 32 a 4 2 . 5 3 Ta lại có: cos A 4 sin A . 5 5 1
Diện tích tam giác ABC là S 1 4
bc sin A .7.5. 14 . AB C 2 2 5 1 2S Vì S . a h nên A BC h 28 7 2 ABC 2 a a a 4 2 2 7 2 Vậy h . a 2
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. 3
Câu 1: Cho ABC có BC a , BAC 120 . Bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC là a 3 a a 3 A. R . B. R . C. R .
D. R a . 2 2 3 Lời giải Page 6
CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Chọn D BC a a
Theo định lý sin trong tam giác ta có 2R 1 3 R . . sin BAC 2 sin120 3
Câu 2: Tam giác ABC có a 8 , c 3 , B 60 . Độ dài cạnh b bằng bao nhiêu? A. 49 . B. 97 . C. 7 . D. 61 . Lời giải Chọn C 2 2 2
b a c 2ac cos B 2 2
8 3 2.8.3cos60 49 b 7 .
Câu 3: Cho ABC có a 4 , c 5 , B 150 . Tính diện tích tam giác ABC . A. S 10 . B. S 10 3 . C. S 5 . D. S 5 3 . Lời giải Chọn C 1
Diện tích tam giác ABC là S 1
ac sin B .4.5sin150 5 . 2 2
Câu 4: Một tam giác có ba cạnh là 52 , 56 , 60 . Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đó là 65 A. . B. 40 . C. 32,5 . D. 65,8 . 4 Lời giải Chọn C 52 56 60 Ta có: p 84 . 2
Áp dụng hệ thức Hê – rông ta có: S 8484 5284 5684 60 1344 . abc abc 52.56.60 Mặt khác S R 32,5. 4R 4S 4.1344
Câu 5: Khoảng cách từ A đến B không thể đo trực tiếp được vì phải qua một đầm lầy. Người ta
xác định được một điểm C mà từ đó có thể nhìn được A và B dưới một góc 60 . Biết
CA 200m , CB 180m . Khoảng cách AB bằng bao nhiêu? A. 228m . B. 20 91m . C. 112m . D. 168m. Lời giải Chọn B Page 7
CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC 2 2 2
AB CA CB 2 . CAC .
B cos60 36400 AB 20 91m .
Câu 6: Tam giác ABC có góc A nhọn, AB 5 , AC 8 , diện tích bằng 12. Tính độ dài cạnh . BC A. 2 3 . B. 4 . C. 5 . D. 3 2 . Lời giải Chọn C 1 2S 2.12 3 Ta có: S .A .
B AC.sin A sin A A 36 5 2 1 2 2 . AB AC 5.8 5 2 2 2 2 2
BC AB AC 2. .
AB AC.cos A 5 8 2.5.8.cos 36 52 12
25 BC 5 .
Câu 7: Tam giác ABC có AB 4 , AC 6 và trung tuyến BM 3 . Tính độ dài cạnh BC . A. 17 . B. 2 5 . C. 4 . D. 8 . Lời giải Chọn B B 4 3 A 6 M C 2 2 2 AB BC AC Ta có: 2 BM 2 4 2 AC 2 2 2 BC 2 BM AB 4 2 6 2 2 2 3
4 20 BC 2 5 . 4
Câu 8: Tam giác ABC có AB 4 , AC 10 và đường trung tuyến AM 6 . Tính độ dài cạnh BC . A. 2 6 . B. 5 . C. 22 . D. 2 22 . Lời giải Page 8
CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Chọn D A 4 10 6 B M C 2 2 2 AC AB BC Ta có: 2 AM 2 4 2 2 2 2 AC AB 10 4 2 2 2 BC 4 AM 4
6 88 BC 2 22 . 2 2
Câu 9: Tam giác ABC có A 75 ,
B 45, AC 2 . Tính cạnh AB . 2 6 6 A. . B. 6 . C. . D. . 2 2 3 Lời giải Chọn B b c . b sin C AC.sin C
2.sin(180 75 45) Ta có: AB c 6 . sin B sin C sin B sin B sin 45 .
Câu 10: Tam giác ABC có B 60 , C 45 , AB 3 . Tính cạnh AC . 3 6 3 2 2 6 A. . B. . C. 6 . D. . 2 2 3 Lời giải Chọn A b c .s c in B A .s B in B 3.sin 60 3. 6 Ta có: AC b . sin B sin C sin C sin C sin 45 2 AB
Câu 11: Tam giác ABC có các góc A 75 ,
B 45. Tính tỉ số . AC 6 6 A. . B. 6 . C. . D. 1, 2 . 3 2 Lời giải Chọn C b c AB c sin C sin(180 75 45 ) 6 Ta có: . sin B sin C AC b sin B sin 45 2 Page 9
CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC 1
Câu 12: Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết AB c và os( c A B) . 3 c 2 3c 2 9c 2 3c A. . B. . C. . D. . 2 8 8 2 Lời giải Chọn B 1
Ta có cos C cos(A B) . 3 2 1 2 2
Do đó sin C 1 . 3 3 AB AB 3 2c 2R R . sin C 2sin C 8 AB
Câu 13: Tam giác ABC có các góc A 105 , B 45. Tính tỉ số . AC A. 2 . B. 2 . C. 2 . D. 6 . 2 2 3 Lời giải. Chọn A Ta có: b c AB c sin C sin(180 105 45 ) 2 . sin B sin C AC b sin B sin 45 2
Câu 14: Tam giác ABC có AB 4 , AC 5 , BC 6 . Tính cos(B C) . 1 1 A. . B. . C. –0,125 . D. 0, 75. 8 4 Lời giải. Chọn C
Ta có c AB 4 , b AC 5 , a BC 6 . 2 2 2 b c Tính a 1 cos A . . 2 . b c 8 1
Để ý cos(B C) cos A 125 , 0 . 8
Câu 15: Tam giác có ba cạnh lần lượt là 2, 3, 4 . Góc bé nhất của tam giác có sin bằng bao nhiêu? 7 1 A. 15 . B. . C. . D. 14 . 8 8 2 8 Lời giải. Chọn A Page 10
CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
Góc bé nhất ứng với cạnh có số đo bé nhất. 2 2 2
b c a 7 Giả sử a , 2 b ,
3 c 4 . Ta có cos A . 2. . b c 8 2 Do đó 7 15 sin A 1 . 8 8
Câu 16: Tam giác có ba cạnh lần lượt là 3, 8 , 9. Góc lớn nhất của tam giác có cosin bằng bao nhiêu? 1 1 4 A. . B. . C. 17 . D. . 6 6 4 25 Lời giải Chọn B 2 2 2 3 8 9 1
Góc lớn nhất tương ứng với cạnh lớn nhất: cos . 2.3.8 6
Câu 17: Hình vuông ABCD có cạnh bằng a . Gọi E là trung điểm cạnh BC , F là trung điểm cạnh AE
. Tìm độ dài đoạn thẳng DF . 3a
A. a 13 . B. a 5 . C. a 3 . D. . 4 4 2 4 Lời giải Chọn A A B F E D C 2 Ta có: a a 5 2
AE DE a 2 2
Dùng công thức độ dài trung tuyến: 2 2 5a 2 2 2 a 2 2 DA DE AE 5a 13a a 13 2 4 . DF DF 2 4 2 16 16 4
Câu 18: Tam giác ABC có BC 12 , CA 9 , AB 6. Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho BM 4 .
Tính độ dài đoạn thẳng AM Page 11
CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC A. 2 5 . B. 3 2 . C. 20 . D. 19 . Lời giải Chọn D 2 2 2 2 2 2
AB BC AC 6 12 9 11 cos B 2 . AB BC 2.6.12 16 11 2 2 2 2
AM AB BM 2 .
AB BM .cosB 6 4 2.6.4. 19 . 16 BC
Câu 19: Tam giác ABC vuông tại A có AB AC a . Điểm M nằm trên cạnh BC sao cho BM . 3
Độ dài AM bằng bao nhiêu? 2a A a 17 . B. a 5 .
C. 2a 2 . D. . 3 3 3 3 Lời giải Chọn B A C M B 2 2 2 2
BC AB AC a a a 2 a 2
BC AB 2 a 2 BM 3 2 a 2 a 2 2 a 5 2 2 0 2
AM AB BM 2 .
AB BM .cos 45 a 2 . a . . 3 3 2 3
Câu 20: Tam giác ABC có 1
cos A B , AC 4 , BC 5 . Tính cạnh AB 8 A. 46 . B. 11. C. 5 2 . D. 6 . Lời giải Chọn A
Vì trong tam giác ABC ta có A B bù với góc C nên A B 1 1 cos cosC 8 8 1 2 2 2 2
AB AC BC 2 .
AB BC.cos C 4 5 2.4.5. 6 . 8 Page 12
CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
Câu 21: Tam giác ABC có AB 7 , AC 5 và B C 1 cos
. Tính BC 5 A. 2 15 . B. 4 22 . C. 4 15 . D. 2 22 . Lời giải Chọn A
Vì trong tam giác ABC ta có B C bù với góc A nên 1 cos B C 5 1 cos A 5 1 2 2 2 2
BC AB AC 2 . AB .
AC cosA 7 5 2.7.5. 2 15 . 5
Câu 22: Tam giác ABC có BC 5 , AC 3 và cot C 2 . Tính cạnh AB A. 6. B. 2 . C. 9 . D. 2 10 . 5 Lời giải Chọn B
Từ giả thiết cot C 2 , ta suy ra C là góc nhọn 1 1 1 4 2 2
cot C 2 tan C cos C cosC 2 2 2 1 tan C 1 5 5 1 2 2 2 2 2 2
AB AC BC 2 .
AB BC.cos C 3 5 2.3. 5. 2 . 5
Câu 23: Tam giác ABC có AB 3, AC 4 và tan A 2 2 . Tính cạnh BC A. 3 2 . B. 4 3. C. 33. D. 7. Lời giải Chọn C
Từ giả thiết tan A 2 2 , ta suy ra A là góc tù 1 1 1 1 2 tan A 2 2 cos A cos A 2 2 1 tan A 1 (2 2) 9 3 1 2 2 2 2
BC AB AC 2 AB.AC.cosA 3 4 2.3.4. 33 . 3
Câu 24: Cho tam giác ABC có cạnh BC a , cạnh CA b . Tam giác ABC có diện tích lớn nhất khi góc C bằng: A. o 60 . B. o 9 0 . C. o 150 . D. o 120 . Lờigiải Page 13
CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Chọn B
Diện tích của tam giác ABC là: 1 S a. . b sin C 2
S lớn nhất khi sin C lớn nhất, hay sin 1 90o C C .
Câu 25: Cho tam giác MPQ vuông tại P . Trên cạnh MQ lấy hai điểm E , F sao cho các góc M PE , E P F ,
FPQ bằng nhau. Đặt MP q, PQ m, PE x,
PF y . Trong các hệ thức sau, hệ thức nào đúng?
A. ME EF FQ . B. 2 2 2
ME q x xq. C. 2 2 2
MF q y yq. D. 2 2 2
MQ q m 2qm. Lờigiải Chọn C M E q x F y m P Q MPQ Từ giả thiết, suy ra
MPE EPF FPQ 30o 3
Tam giác MPF có 60o MPF MPE EPF ; 2 2 2
MF MP PF 2.M . PP . F cosMPF 2 2 1 2 2
q y 2.y.q. q y yq . 2
Câu 26: Tính góc C của tam giác ABC biết a b và 2 2 2 2 a a c b b c .
A. C 150 .
B. C 120 .
C. C 60 .
D. C 30. Lời giải Chọn C Ta có: 2 2 2 2 a a c b b c 3 3 2
a b c ab 0
a b 2 2
a ab b 2
c a b 0 2 2 2
a b c 2 2 2
a ab b c 0 cosC 1
. Do đó: C 120 . 2ab 2
Câu 27: Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết AB 12 và 1
cot( A B) . 3 9 10 A. 2 10 . B. . C. 5 10 . D. 3 2 . 5 Page 14
CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Lời giải Chọn A Ta có: 1
cot( A B) nên 1
cot C , suy ra 3cosC sin C . 3 3 3 3 10 Mà 2 2
sin C cos C 1 sin C . 10 10 AB AB 2R R 2 10 . sin C 2 sin C
Câu 28: Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết AB 10 và 1
tan( A B) . 3 5 10 10 A. . B. 10 . C. . D. 5 10 . 9 3 5 Lời giải Chọn D Ta có: 1
tan( A B) nên 1 tan C . 3 3 1 10
Do đó 3sin C cosC , mà 2 2
sin C cos C 1 sin C . 10 10 AB AB 2R R 5 10 . sin C 2 sin C
Câu 29: Tam giác ABC có AB 4, AC 6 , 1 cos B , 3 cos C .Tính cạnh BC . 8 4 A. 7. B. 5. C. 3 3. D. 2. Lời giải. Chọn B 2 63 2 7
sinB 1 cos B
, sinC 1 cos C . 8 4 9
cos A cos( B C ) sin B. sin C cos B. cos C . 16 Do đó 2 2
BC AB AC . 2 . AB . AC cosA 5.
Câu 30: Cho tam giác cân ABC có 0
A120 và AB AC a . Lấy điểm Mtrên cạnh BC sao cho 2BC BM
. Tính độ dài AM 5 a 3 a 7 a 6 A. . B. 11a . C. . D. . 3 5 5 4 Page 15
CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Lời giải Chọn C A a C a M 30 B 1 2a 3 2 2 0 2 2
BC AB AC 2 ABAC cos120 a a 2a.a. a 3 BM 2 5 2 2a 3 2a 3 3 a 7 2 2 0 2
AM AB BM 2 AB.BM .cos 30 a 2a. . . 5 5 2 5
DẠNG 2: HỆ THỨC LIÊN HỆ GIỮA CÁC YẾU TỐ TRONG TAM GIÁC, NHẬN DẠNG TAM GIÁC PHƯƠNG PHÁP. 1
Áp dụng các công thức sách giáo khoa như: định lí cosin, hệ quả của định lí cosin, định lí sin,
các công thức liên quan đến diện tích để vận dụng vào làm bài.
BÀI TẬP TỰ LUẬN. 2
Câu 1. Cho tam giác ABC thỏa sin A 2 cos C . Tam giác ABC là tam giác gì? sin B Lời giải 2 2 2
a b c Ta có: sin A a 2 cos C
2 cos C a 2 .
b cosC a 2 . b sin B b 2ab 2 2 2 2
a a b c b c
Tam giác ABC cân tại A.
Câu 2. Chứng minh trong tam giác ABC ta có: h 2 . R sin . B sin C a Lời giải
Áp dụng định lí sin trong tam giác ta có: b 2R 2R.sin B b sin B
Do đó: h 2 . R sin . B sinC h .s b inC a a ( đúng)
Câu 3. Cho tam giác ABC . Chứng minh S . R .
r sin Asin BsinC . Lời giải a b c
a b c Ta có : VP . R . r . r . r p S ( đpcm).
2R 2R 2R 2 3 3 3
b c a 2
Câu 4. Cho tam giác ABC thỏa a
b c a
. Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều.
a 2 .bcosC Page 16
CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Lời giải 3 3 3 3 3 3 2 2 3
b c a b
c a a b a c a 2 2 2 2
b cb bc c a a 0 Ta có: 2 2 2
b c a
a b c 2 2 2 a 2 .
a b c 2 .cos b a b C 2ab a a 1 bc 2b . c cosA 0 cos A A 60 2 2 2 b c b c b c
Vì tam giác ABC cân có 1 góc bằng 6 0 nên tam giác ABC là tam giác đều.
Câu 5. Chứng minh trong tam giác ABC ta có: sin .
B cosC sin C.cos B sin A Lời giải 2 2 2 2 2 2
b a b c
c a c b 2 2 2 2 2 2 2
a b c
a c b 2a a VT . . sin A 2R 2ab 2R 2ac 4aR 4aR 4aR 2R
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. 3
Câu 1: Cho tam giác ABC , chọn công thức đúng trong các đáp án sau: 2 2 2 b c a 2 2 2 a c b A. 2 m 2 m a . B. . 2 4 a 2 4 2 2 2
2c 2b a 2 2 2 a b c C. 2 m 2 m a . D. . 4 a 2 4 Lời giải Chọn C 2 2 2 2 2 2 b c a
2b 2c a
Theo công thức đường trung tuyến ta có 2 m a . 2 4 4
Câu 2: Trong tam giác ABC , câu nào sau đây đúng? A. 2 2 2
a b c 2bc.cos A . B. 2 2 2
a b c 2bc.cos A . C. 2 2 2
a b c bc.cos A . D. 2 2 2
a b c bc.cos A . Lời giải Chọn B
Áp dụng định lí hàm số cos tại đỉnh A ta có: 2 2 2
a b c 2bc.cos A .
Câu 3: Nếu tam giác ABC có 2 2 2
a b c thì: A. A là góc tù. B.
A là góc vuông. C. A là góc nhọn. D.
A là góc nhỏ nhất. Lời giải Chọn C 2 2 2
b c a Ta có 2 2 2
a b c 2bc cos A cos A nên cos A 0 2bc do 2 2 2 a b c
Câu 4: Tam giác ABC có ba cạnh thoả mãn điều kiện a b ca bc 3ab. Khi đó số đo của C là A. 120. B. 30 . C. 45 . D. 60 . Lời giải Page 17
CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Chọn D
Ta có: a b ca b c ab a b2 2 2 2 2 3
c 3ab a b c ab . 2 2 2
a b c ab 1
Theo hệ quả của định lí hàm cosin: cos C C 60 . 2ab 2ab 2
Câu 5: Cho tam giác ABC . Khẳng định nào sau đây là đúng? 2 4 A. 2 2 2
m m m
a b c 2 2 2 2 2 2
m m m
a b c a b c 2 2 2. B. a b c . 3 3 1 3 C. 2 2 2
m m m
a b c 2 2 2 2 2 2
m m m
a b c a b c 2 2 2. D. a b c . 3 4 Lời giải
Sử dụng công thức trung tuyến, ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2b 2c a 2c 2a b 2a 2b c 3
m m m
a b c a b c 2 2 2 4 4 4 4
Câu 6: Cho tam giác ABC thỏa mãn c .c
a os B . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Tam giác ABC là tam giác cân.
B. Tam giác ABC là tam giác nhọn.
C. Tam giác ABC là tam giác vuông.
D. Tam giác ABC là tam giác tù Lời giải 2 2 2 2 2 2
a c b
a c b Ta có: c .c
a os B c . a c 2ac 2c 2 2 2 c b a
Theo định lí pi ta go tam giác ABC vuông tại A .
Câu 7: Diện tích S của tam giác sẽ thỏa mãn hệ thức nào trong hai hệ thức sau đây? I. 2
S p p a p b p c . II. 2
16S a bca bca bc a
b c . A. Chỉ I. B. Chỉ II. C. Cả I và II. D. Không có. Lời giải Chọn C
Ta có: I. đúng vì là công thức Hê-rông tính diện tích tam giác. Khi đó: 2 a b c a b c a b c a b c S . . . 2 2 2 2 2
16S a bcabcabc a
b c . Do đó II. đúng
Câu 8: Cho tam giác ABC , các đường cao h , h , h
h h h a b
c thỏa mãn hệ thức 3 2 a b
c . Tìm hệ thức giữa
a, b, c . Page 18
CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC A. 3 2 1 .
B. 3a 2b c .
C. 3a 2b c . D. 3 2 1 . a b c a b c Lời giải Chọn D
Kí hiệu S SABC .
Ta có: 3h 2h h 3.2S 2.2S 2S a b c 3 2 1 . a b c a b c
Câu 9: Trong tam giác ABC , hệ thức nào sau đây sai? A. b.sin A c A a . B. .sin sin C . C. a 2 . R sin A . D. b .t R an B . sin B a Lời giải Chọn D
Theo định lí hàm số sin ta có: a b c 2R sin A sinB sinC Suy ra: + a b b.sin A a . sin A sinB sin B + a c c.sin A sin C . sin A sinC a
+ a 2R a 2R.sin A . sin A + b b b 2R R sin B R tan B . sinB 2 2 cosB
Câu 10: Cho tam giác ABC thỏa mãn hệ thức b c 2a . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. cos B cosC 2cos A .
B. sin B sin C 2sin A . C. 1
sin B sin C sin A .
D. sin B cosC 2sin A. 2 Lời giải Chọn B
a 2Rsin A a b c Ta có 2R b
2Rsin B . sin A sin B sin C
c 2RsinC
Mà b c 2a 2R sin B 2R sin C 4Rsin A sin B sin C 2sin A.
Câu 11: Tam giác ABC có A 120 thì câu nào sau đây đúng? A. 2 2 2
a b c 3bc . B. 2 2 2
a b c bc . C. 2 2 2
a b c 3bc . D. 2 2 2
a b c bc . Lời giải Chọn B
Áp dụng định lí hàm số cos tại đỉnh A ta có: 2 2 2
a b c 2bc.cos A . 2 2 2
a b c 2bc.cos120 2 2 2
a b c bc .
Câu 12: Trong tam giác ABC , điều kiện để hai trung tuyến vẽ từ A và B vuông góc với nhau là: Page 19
CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC A. 2 2 2
2a 2b 5c . B. 2 2 2
3a 3b 5c . C. 2 2 2
2a 2b 3c . D. 2 2 2
a b 5c . Lời giải Chọn D
Vì hai trung tuyến vẽ từ A và B vuông góc với nhau nên ABG vuông tại G với G là
trọng tâm tam giác ABC . 2 2 2 2 2 2 Khi đó: 4 b c a a c b 2 2 2
c G A G B 2 c 9 2 4 2 4 2 2 2 4 2 a b
c c 2 2 2
5c a b . 9 4 4
Câu 13: Trong tam giác ABC , nếu có 2
a b.c thì : 1 1 1 1 1 1 1 2 2 A. . B. 2
h h .h . C. . D. . 2 h h h a b c 2 h h h 2 h h h a b c a b c a b c Lời giải Chọn B 2 1 1 1 Ta có: 2 2 a b.c 2S 2S 2S . .
h h .h a b c . h h h 2 h h h a
b c a b c
Câu 14: Trong tam giác ABC , nếu có 2h h h a b c thì : A. 2 1 1 .
B. 2sin A sin B sin C . sin A sin B sin C
C. sin A 2sin B 2sin C . D. 2 1 1 . sin A sin B sin C Lời giải Chọn A Ta có :
2h h h 2S 2S 2S a b c 2. 2 1 1 2 1 1 a b c a b c 2R.sin A 2R.sin B 2R.sin C 2 1 1 . sin A sin B sin C
Câu 15: Trong tam giác ABC , câu nào sâu đây đúng? A. b c b c b c m . B. m . C. m .
D. m bc. a a 2 a 2 a 2 Lời giải Chọn C 2 2 2 b c a 2 2 2
b c b c a Ta có: 2 m a 2 4 4 b c 2 2 Vì 2 2 b c a
b c a m b c . a m 4 a 2
Câu 16: Tam giác ABC có các cạnh a, b, c thỏa mãn điều kiện a b ca bc 3ab. Tính số đo của góc C . A. 45 . B. 60 . C. 120. D. 30 . Lời giải Chọn B Page 20
CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
Ta có: a b ca bc 3ab a b2 2
c 3ab 2 2 2
a b c ab . 2 2 2
a b c 1 Mà cosC C 60 . 2ab 2
Câu 17: Cho tam giác ABC , xét các bất đẳng thức sau:
I. a b c .
II. a b c .
III. m m m a b c . a b c
Hỏi khẳng định nào sau đây đúng?
A. Chỉ I, II.
B. Chỉ II, III.
C. Chỉ I, III.
D. Cả I, II, III. Lời giải Chọn D
Ta có I. và II. đúng vì đây là bất đẳng thức tam giác 2 2 2 2 2 b c a
b c b c 2 a Ta có: 2 m . a 2 4 4 b c 2 2 b c Vì 2 2 b c a
b c a m m . a 4 a 2 a c a c
Tương tự ta có: m ; m . b 2 c 2
Do đó: m m m a b c . a b c Vậy III. Đúng.
Câu 18: Tam giác ABC có các cạnh a , b , c thỏa mãn điều kiện 2 2 2
b c a 3bc . Tính số đo của góc A . A. 45 . B. 60 . C. 120 . D. 30 . Lời giải Chọn D Ta có: 2 2 2
b c a 3bc 2bc cos A 3bc 3 cos A A 30 . 2 2 2 2
a b c 1 Mà cosC C 60 . 2ab 2
Câu 19: Tam giác ABC a.cos B .
b cos A . Tam giác ABC là tam giác gì? A. Tam giác vuông. B. Tam giác đều.
C. Tám giác vuông cân D. Tam giác cân. Lời giải Chọn D 2 2 2 2 2 2
a c b
b c a
Ta có: a.cos B . b cos A . a . b 2 2
a b a b . 2ac 2bc Vậy tam giác ABC cân. Page 21
CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
Câu 20: Cho tam giác ABC vuông tại A , AC b , AB c . Lấy điểm M trên cạnh BC sao cho góc MB
BAM 30 Tính tỉ số . MC b 3 3c 3c b c A. . B. . C. . D. . 3c 3b b b c Lời giải Chọn B B M 30° 60° A C . MB AM AM .sin 30 AM Ta có MB . sin 30 sin B sin B 2.sin B MC AM AM .sin 60 AM 3 MC . sin 60 sin C sin C 2.sin C MB sin C c 3c Do đó . MC 3 sin B 3b 3b
Câu 21: Mệnh đề nào sau đây sai? A. Nếu 2 2 2
a b c thì A là góc tù.
B. Nếu tam giác ABC có một góc tù thì 2 2 2
a b c . C. Nếu 2 2 2
a b c thì A là góc nhọn. D. Nếu 2 2 2
a b c thì A là góc vuông. Lời giải Chọn B 2 2 2
b c a Ta có : cos A . 2bc Do đó : * 2 2 2
a b c thì cos A 0 do đó A là góc tù nên A. đúng. * 2 2 2
a b c thì cos A 0 do đó A là góc nhọn nên C. đúng. * 2 2 2
a b c thì cos A 0 do đó A là góc vuông nên D. đúng.
* Nếu tam giác ABC có góc B tù thì 2 2 2
b a c ; nếu góc C tù thì 2 2 2
c a b do đó B. sai.
DẠNG 3: ỨNG DỤNG THỰC TẾ PHƯƠNG PHÁP. 1 Page 22
CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
Áp dụng các công thức sách giáo khoa như: định lí cosin, hệ quả của định lí cosin, định lí sin,
các công thức liên quan đến diện tích để vận dụng vào làm bài.
BÀI TẬP TỰ LUẬN. 2
Câu 1: Hai chiếc tàu thuỷ cùng xuất phát từ vị trí A , đi thẳng theo hai hướng tạo với nhau một góc 0
60 . Tàu thứ nhất chạy với tốc độ 30km / h , tàu thứ hai chạy với tốc độ 40 km / h . Hỏi sau 2 giờ
hai tàu cách nhau bao nhiêu km ? Lời giải
Ta có: Sau 2h quãng đường tàu thứ nhất chạy được là: 1
S 30.2 60 k . m
Sau 2h quãng đường tàu thứ hai chạy được là: S2 40.2 80k . m
Vậy: sau 2h hai tàu cách nhau là: 2 2 0 S 1 S S2 2 1
S .S2.cos60 20 13.
Câu 2: Từ một đỉnh tháp chiều cao CD 80m , người ta nhìn hai điểm A và B trên mặt đất dưới các góc nhìn là 0 72 12' và 0
34 26 ' so với phương nằm ngang. Ba điểm ,
A B, D thẳng hàng. Tính
khoảng cách AB (chính xác đến hàng đơn vị)? Lời giải
Ta có: Trong tam giác vuông CD CD 80 CDA : 0 tan 72 12' AD 25,7. 0 0 AD tan 72 12' tan 72 12' Trong tam giác vuông CD CD 80 CDB : 0 tan 34 26' BD 116,7. 0 0 BD tan 34 26' tan 34 26'
Suy ra: khoảng cách AB 116,7 25,7 91 . m
BÀI TẬP TỰ LUẬN TỔNG HỢP.
Câu 3: Cho tam giác ABC có a 13,b 8, c 7 . Tính góc A, suy ra S, ha, R, r, ma. Lời giải 2 2 2
b c a 1 2 2 2 0
a b c 2bc cos A cos A
A 120 2bc 2 1 1 3
S bc sin A 56. 14 3 2 2 2 1 2S 28 3 S . a h h 2 a a a 13 abc abc 7.8.13 13 3 S R 4R 4S 4.14 3 3 2S 2.14 3 S . p r r 3
a b c 7 8 13 Page 23
CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC 2 2 2 b c a 57 2 m m a 2 4 a 2 3
Câu 4: Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = 5 và cos A =
. Tính cạnh BC, và độ dài đường cao 5 kẻ từ A . Lời giải
Áp dụng định lí côsin ta có 3 2 2 2 2 2
BC = AB + AC - 2AB.AC.cos A = 4 + 5 - 2.4.5. = 17 Suy ra BC = 17 5 9 4 Vì 2 A + 2 sin
cos A = 1 nên sin A = 1 - 2 cos A = 1 - = 25 5 1 1 4
Theo công thức tính diện tích ta có S = AB A
. C.sin A = .4.5. = 8 (1) ABC 2 2 5 1 1 Mặt khác S
= a.h = . 17.h (2) ABC 2 a 2 a 1 16 17
Từ (1) và (2) suy ra . 17.h = 8 h = 2 a a 17 16 17
Vậy độ dài đường cao kẻ từ A là h = a 17
Câu 5: Cho tam giác ABC có AB = , 10 AC = 4 và A = 0 60 .
a) Tính chu vi của tam giác b) Tính tanC Lời giải
a) Theo định lí côsin ta có BC 2 = 2 + 2 - . . cos 0 10 4 2 10 4 60 = 76 BC » , 8 72
Suy ra chu vi tam giác là 2p » 10 + 4 + 8,72 = 2 , 2 72 b) (Hình 2.23a) A 10 4 C H B Hình 2.23a Kẻ đường cao BH ta có Page 24
CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC AH = AB cos 0 60 = 5 . HC = 5 - 4 = 1 HB BH = AB.sin 0 60 = 5 3 . Vậy
tanC = -tan BCH = - = -5 3 HC
Câu 6: Giải tam giác ABC biết 0 A = B = 0 60 , 40 và c = 14 . Lời giải Ta có 0 C = - A - B = 0 - 0 - 0 = 0 180 180 60 40 80 Theo định lí sin ta có c sin A 0 14.sin 60 a = = a » 12, 3 sinC 0 sin 80 c sin B 0 14.sin 40 b = = b » 9,1 sinC 0 sin 80
Câu 7: Giải tam giác ABC , biết: 0 b = A = C = 0 4, 5; 30 ; 75 Lời giải Ta có 0 0 0 0 0
B = 180 - A -C = 180 - 30 - 75 = 75 = C
suy ra tam giác ABC cận tại A c b 4,5 . Theo định lí sin ta có b sin A 0 4, 5.sin 30 a = = a » 2, 33 . sin B 0 sin 75
Câu 8: Cho tam giác ABC cân tại A biết 0
a 3; B C 30 . Tính R, r, cạnh c, b, suy ra S Lời giải Áp dụng định lí sin: a a 3 2R R 1 sin A 2sin A 3 2 2 0
b c 2R sin 30 1 1 3 S . b csin A 2 4 S 3 r (2 3) . p 2
Câu 9: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn bán kính bằng 3, biết 0 0
A = 30 , B = 45 . Tính độ dài
trung tuyến kẻ từ A và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác. Page 25
CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Lời giải Ta có 0 C = - A - B = 0 - 0 - 0 = 0 180 180 30 45 105
Theo định lí sin ta có a = R A = 0 2 sin 2.3.sin 30 = 3 , 2 b = R 2 sin B = 0 2.3.sin 45 = 6. = 3 2 2 c = R C = 0 2 sin 2.3.sin105 » 5,796
Theo công thức đường trung tuyến ta có
2(b2 + c2 ) - a2 2(18 + 2 5, 796 ) - 9 m2 = » = 23,547 a 4 4
Theo công thức tính diện tích tam giác ta có 1 bc sin A S
= pr = bc sin A r = ABC 2 2p 0 3 2.5, 796 sin 30 » » 0,943 3 + 3 2 + 5,796
Câu 10: Cho tam giác ABC thỏa mãn 2
sin A = sin B.sinC . Chứng minh rằng a) 2 a = bc 1 b) cos A ³ 2 Lời giải a b c
a) Áp dụng định lí sin ta có sin A = , sin B = , sinC = 2R 2R 2R 2 æ a ö ç ÷ b c Suy ra 2 2
sin A = sin B.sinC ç ÷ = . a = bc ç đpcm çè2R÷÷ø 2R 2R
b) Áp dụng định lí côsin và câu a) ta có 2 2 2 2 2 b + c -a b + c -bc 2bc -bc 1 cos A = = ³ = đpcm 2bc 2bc 2bc 2
Câu 11: Tam giác ABC có BC = , a CA = ,
b AB = c và trung tuyến AM = AB = c chứng minh rằng: 2 2 2 a)
a = 2(b - c ) 2 2 2 b)
sin A = 2(sin B - sin C ) Lời giải
a) Áp dụng công thức đường trung tuyến 2 2 a a Ta có 2 2 2 2 2 2 2 b + c = + 2AM =
+ 2c a = 2(b -c ) (*) 2 2 Page 26
CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
b) Theo định lí sin ta có a b c = = = 2R sin A sin B sinC ì 2 2 2 a ï = 4R sin A ïïï 2 2 2 b í = 4R sin B ïï 2 2 2 c ï = 4R sin C ïî Thay vào (*) ta có đpcm
Câu 12: Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để hai trung tuyến kẻ từ B và C vuông góc với nhau là 2 2 2
b + c = 5a . Lời giải
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC .
Khi đó hai trung tuyến kẻ từ B và C vuông góc với nhau khi và chỉ khi tam giác GBC vuông tại G 2 2 æ2 ö æ ç ÷ 2 ö 2 2 2 ç ÷ 2
GB +GC = BC ç m ÷ + ç m ÷ = a ç (*) çè3 b÷÷ ç ø è3 c ÷÷ø
Mặt khác theo công thức đường trung tuyến ta có 2 2 2 2 2 2
2(a + c ) -b
2(a + b ) -c 2 2 m = , m = b 4 c 4 4
Suy ra (*) (m2 + m2 = a2 b c ) 9 é2ê( 2 2 a + c ) 2 -b 2 ù 4 ( 2 2 a + b ) 2 -c ú 2 ê + ú = a 2 2 2 2
4a + b + c = 9a 2 2 2
b + c = 5a 9 ê 4 4 ú êë úû
Câu 13: Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta có; a) a = .c b osC + .c c os B
b) sin A = sin B cosC + sinC cos B Lời giải
a) Áp dụng định lí côsin ta có: 2 2 2 2 2 2 a + b - c c + a -b VP = . b + . c 2ab 2ca 2 2 2 2 2 2
a + b - c + c + a -b = = a =VT 2a a b c
b) sin A = sin B cosC + sinC cos B = .cosC + .cos B 2R 2R 2R
a = b.cosC + c.cos B Page 27
CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
Câu 14: Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta có: h = 2R sin B sinC a Lời giải 2S b
h = 2R sin B sinC = 2R sinC a a 2R 1
S = ab sinC (đúng) 2
Câu 15: Tìm tính chất đặc biệt của tam giác ABC biết: 2a cos A . b cosC . c cos B Lời giải
Yêu cầu bài toán tương đương với: 2(2R sin )
A cos A (2R sin B) cos C 2R sin C cos B 2sin .
A cos A sin(B C) sin A 1 0
cos A (do sin A 0) A 60 2 a ìï = 2b cosC (1) ïï
Nhận dạng tam giác ABC biết: 3 3 3 í a -b -c 2 a ïï = (2) Câu 16: ïïî a -b -c Lời giải
Áp dụng định lí cosin ở (1) và thế vào (2) 2 2 2 a + b -c (1) a = b = c a 2 2 2
(2) a = b + c -bc 1 0 cos A = A = 60 2 KL: Tam giác ABC đều.
Câu 17: Nhận dạng tam giác ABC biết: a.sin A + b sin B + c sinC = h + h + h a b c Lời giải 1 1
Áp dụng công thức diện tích ta có S = bc sin A = ah suy ra 2 2 a 2S 2S 2S 2S 2S 2S
a.sin A + b sin B + c sinC = h + h + h a. + . b + . c = + + a b c bc ca ab a b c 2 2 2
a + b + c = ab + bc + ca
(a -b)2 + (b -c)2 + (c -a)2 = 0
a = b = c
Vậy tam giác ABC đều.
Câu 18: Cho tam giác ABC . Chứng minh tam giác ABC cân nếu h = .s c in A a Page 28
CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Lời giải 1 1
Sử dụng công thức S = ah = bc sin A thay h = .s
c in A vào (*) được: a ( ) * 2 2 a
bh = ah a = b suy ra tam giác ABC cân tại C a a Page 29
CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC NG ƯƠ
III HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC CH
BÀI 6. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. III
DẠNG 1. ĐNNH LÝ COSIN, ÁP DỤNG ĐNNH LÝ COSIN ĐỂ GIẢI TOÁN
Câu 1: Cho tam giác ABC , mệnh đề nào sau đây đúng? A. 2 2 2
a b c 2bccos A . B. 2 2 2
a b c 2bccos A. C. 2 2 2
a b c 2bccosC . D. 2 2 2
a b c 2bccos B .
Câu 2: Cho tam giác ABC , có độ dài ba cạnh là BC a, AC ,
b AB c . Gọi m là độ dài đường a
trung tuyến kẻ từ đỉnh A, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác và S là diện tích tam
giác đó. Mệnh đề nào sau đây sai? 2 2 2 b c a A. 2 m . B. 2 2 2
a b c 2bc cos A. a 2 4 abc a b c C. S . D. 2R . 4R
sin A sin B sin C
Câu 3: Cho tam giác ABC có a 8,b 10 , góc C bằng 0
60 . Độ dài cạnh c là? A. c 3 21 . B. c 7 2 . C. c 2 11 . D. c 2 21.
Câu 4: Cho ABC có 0
b 6,c 8, A 60 . Độ dài cạnh a là: A. 2 13. B. 3 12. C. 2 37. D. 20.
Câu 5: Cho ABC có 0
B 60 , a 8, c 5. Độ dài cạnh b bằng: A. 7. B. 129. C. 49. D. 129 . 0
Câu 6: Cho ABC có AB 9 ; BC 8 ; B 60 . Tính độ dài AC . A. 73 . B. 217 . C. 8 . D. 113 .
Câu 7: Cho tam giác ABC có AB 2, AC 1 và 0
A 60 . Tính độ dài cạnh . BC A. BC 2. B. BC 1. C. BC 3. D. BC 2.
Câu 8: Tam giác ABC có 0
a 8,c 3, B 60 . Độ dài cạnh b bằng bao nhiêu? A. 49. B. 97 C. 7. D. 61.
Câu 9: Tam giác ABC có 0
C 150 , BC 3, AC 2. Tính cạnh AB ? A. 13 . B. 3. C. 10 . D. 1. Page 97
CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC 4 Câu 10: Cho ; a ;
b c là độ dài 3 cạnh của tam giác ABC . Biết b 7 ; c 5 ; cos A . Tính độ dài của a . 5 7 2 23 A. 3 2 . B. . C. . D. 6 . 2 8 Câu 11: Cho xOy 30 .Gọi ,
A B là 2 điểm di động lần lượt trên Ox,Oy sao cho AB 2 . Độ dài lớn
nhất của OB bằng bao nhiêu? A. 4. B. 3. C. 6. D. 2.
Câu 12: Cho a; ;
b c là độ dài 3cạnh của một tam giác. Mệnh đề nào sau đây không đúng? A. 2
a ab ac . B. 2 2 2
a c b 2ac . C. 2 2 2
b c a 2bc . D. 2
ab bc b .
Câu 13: Cho tam giác ABC có AB 4 cm, BC 7 cm, AC 9 cm. Tính cos A . 2 1 1 2
A. cos A . B. cos A . C. cos A . D. cos A . 3 2 3 3 2 2 2
Câu 14: Cho tam giác ABC có a b c 0 . Khi đó: A. Góc 0 C 90 B. Góc 0 C 90 C. Góc 0 C 90
D. Không thể kết luận được gì về góc C.
Câu 15: Cho tam giác ABC thoả mãn: 2 2 2
b c a 3bc . Khi đó: A. 0 A 30 . B. 0 A 45 . C. 0 A 60 . D. 0 A 75 .
Câu 16: Cho các điểm (1
A ;1), B(2;4),C(10; 2 ). Góc
BAC bằng bao nhiêu? A. 0 90 . B. 0 60 . C. 0 45 . D. 0 30 .
Câu 17: Cho tam giác ABC , biết a 24,b 13,c 15. Tính góc A ? A. 0 33 34'. B. 0 117 49'. C. 0 28 37'. D. 0 58 24'.
Câu 18: Cho tam giác ABC , biết a 13,b 14,c 15. Tính góc B ? A. 0 59 49'. B. 0 53 7'. C. 0 59 29'. D. 0 62 22'.
Câu 19: Cho tam giác ABC biết độ dài ba cạnh BC, C , A
AB lần lượt là a, b, c và thỏa mãn hệ thức 2 2 2 2 b b a
c c a với b c . Khi đó, góc BAC bằng A. 45 . B. 60 . C. 90 . D. 120 .
Câu 20: Tam giác ABC có AB , c BC ,
a CA b . Các cạnh , a ,
b c liên hệ với nhau bởi đẳng thức 2 2 2 2 b b a
c a c . Khi đó góc
BAC bằng bao nhiêu độ. A. 30 . B. 60 . C. 90 . D. 45 .
Câu 21: Cho tam giác ABC vuông cân tại A và M là điểm nằm trong tam giác ABC sao cho
MA : MB : MC 1: 2 : 3 khi đó góc AMB bằng bao nhiêu? A. 135 . B. 90 . C. 150 . D. 120 .
Câu 22: Cho tam giác ABC , chọn công thức đúng trong các đáp án sau: 2 2 2 b c a 2 2 2 a c b A. 2 m . B. 2 m . a 2 4 a 2 4 2 2 2 a b c 2 2 2
2c 2b a C. 2 m . D. 2 m . a 2 4 a 4
Câu 23: Tam giác ABC có AB 9 cm, BC 15 cm, AC 12 cm. Khi đó đường trung tuyến AM của
tam giác có độ dài là A. 10 cm . B. 9 cm . C. 7,5 cm . D. 8 cm . Page 98
CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
Câu 24: Cho tam giác ABC có AB 3, BC 5 và độ dài đường trung tuyến BM 13 . Tính độ dài AC . 9 A. 11 . B. 4 . C. . D. 10 . 2
Câu 25: Cho ABC vuông ở , A biết C 30 ,
AB 3. Tính độ dài trung tuyến AM ? 5 7 A. 3 B. 4 C. D. 2 2
Câu 26: Tam giác ABC có a 6,b 4 2,c 2. M là điểm trên cạnh BC sao cho BM 3. Độ dài đoạn AM bằng bao nhiêu? 1 A. 9 . B. 9. C. 3. D. 108 . 2 Câu 27: Gọi 2 2 2 S a m b m c
m là tổng bình phương độ dài ba trung tuyến của tam giác ABC . Trong các
mệnh đề sau mệnh đề nào đúng? 3 3 A. 2 2 2
S (a b c ) . B. 2 2 2
S a b c . C. 2 2 2
S (a b c ) . D. 2 2 2
S 3(a b c ) . 4 2
Câu 28: Cho ABC có AB 2 ; AC 3 ; 0
A 60 . Tính độ dài đường phân giác trong góc A của tam giác ABC . 12 6 2 6 3 6 A. . B. . C. . D. . 5 5 5 5
DẠNG 2. ĐNNH LÝ SIN, ÁP DỤNG ĐNNH LÝ SIN ĐỂ GIẢI TOÁN
Câu 29: Cho tam giác ABC . Tìm công thức sai: a a c sin A A. 2R. B. sin A .
C. bsin B 2R. D. sin C . sin A 2R a
Câu 30: Cho ABC với các cạnh AB c, AC b, BC a . Gọi R, r, S lần lượt là bán kính đường tròn
ngoại tiếp, nội tiếp và diện tích của tam giác ABC . Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai? abc a A. S . B. R . 4R sin A 1
C. S absin C . D. 2 2 2
a b c 2ab cos C . 2
Câu 31: Cho tam giác ABC có góc
BAC 60 và cạnh BC 3 . Tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . A. R 4 . B. R 1 . C. R 2 . D. R 3 .
Câu 32: Trong mặt phẳng, cho tam giác ABC có AC 4 cm , góc A 60 ,
B 45 . Độ dài cạnh BC là A. 2 6 . B. 2 2 3 . C. 2 3 2 . D. 6 .
Câu 33: Cho ABC có AB 5 ; A 40; B 60 . Độ dài BC gần nhất với kết quả nào? A. 3, 7 . B. 3,3 . C. 3,5 . D. 3,1.
Câu 34: Cho tam giác ABC thoả mãn hệ thức b c 2a . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. cos B cosC 2cos . A
B. sin B sin C 2sin . A 1
C. sin B sin C sin A .
D. sin B cosC 2sin . A 2 0 0
Câu 35: Tam giác ABC có a 16,8 ; B 56 13' ; C 71 . Cạnh c bằng bao nhiêu? Page 99
CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC A. 29,9. B. 14,1. C. 17,5. D. 19,9. 0 0
Câu 36: Tam giác ABC có A 68 12' , B 34 44' , AB 117. Tính AC ? A. 68. B. 168. C. 118. D. 200.
DẠNG 3. DIỆN TÍCH TAM GIÁC, BÁN KÍNH ĐƯỜNG TRÒN
Câu 37: Chọn công thức đúng trong các đáp án sau: 1 1 1 1
A. S bc sin A.
B. S ac sin A.
C. S bc sin B.
D. S bc sin B. 2 2 2 2
Câu 38: Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng a . Góc
BAD 30 . Diện tích hình thoi ABCD là 2 a 2 a 2 a 3 A. . B. . C. . D. 2 a . 4 2 2
Câu 39: Tính diện tích tam giác ABC biết AB 3, BC 5, CA 6 . A. 56 . B. 48 . C. 6 . D. 8 .
Câu 40: Cho ABC có a 6,b 8, c 10. Diện tích S của tam giác trên là: A. 48. B. 24. C. 12. D. 30.
Câu 41: Cho ABC có 0
a 4, c 5, B 150 .Diện tích của tam giác là: A. 5 3. B. 5. C. 10. D. 10 3.
Câu 42: Một tam giác có ba cạnh là 13,14,15 . Diện tích tam giác bằng bao nhiêu? A. 84. B. 84 . C. 42. D. 168 .
Câu 43: Cho các điểm ( A 1; 2 ), B( 2
;3),C(0;4). Diện tích ABC bằng bao nhiêu? 13 13 A. . B. 13. C. 26. D. . 2 4
Câu 44: Cho tam giác ABC có ( A 1; 1 ), B(3; 3
),C(6;0). Diện tích ABC là A. 12. B. 6. C. 6 2. D. 9.
Câu 45: Cho tam giác ABC có a 4,b 6,c 8 . Khi đó diện tích của tam giác là: 2 A. 9 15. B. 3 15. C. 105. D. 15. 3
Câu 46: Cho tam giác ABC . Biết AB 2 ; BC 3 và
ABC 60 . Tính chu vi và diện tích tam giác ABC . 3 3 3 3 3 3 A. 5 7 và . B. 5 7 và . C. 5 7 và . D. 5 19 và . 2 2 2 2
Câu 47: Tam giác ABC có các trung tuyến m 15 , m 12 , m 9.Diện tích S của tam giác ABC a b c bằng A. 72 . B. 144 . C. 54 . D. 108 . 3
Câu 48: Cho tam giác ABC có b 7;c 5;cos A . Độ dài đường cao h của tam giác ABC là. 5 a 7 2 A. . B. 8 . C. 8 3 D. 80 3 2
Câu 49: Cho tam giác ABC có AB 2 ;
a AC 4a và
BAC 120 . Tính diện tích tam giác ABC ? A. 2 S 8a . B. 2
S 2a 3 . C. 2 S a 3 . D. 2 S 4a .
Câu 50: Cho tam giác ABC đều cạnh a . Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng Page 100
CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC a 3 a 3 a 3 a 2 A. . B. . C. . D. . 2 3 4 2
Câu 51: Cho tam giác ABC có chu vi bằng 12 và bán kính đường tròn nội tiếp bằng 1. Diện tích của tam giác ABC bằng A. 12. B. 3 . C. 6 . D. 24 .
Câu 52: Cho tam giác ABC đều cạnh 2a . Tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . 2a 4a 8a 6a A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3
Câu 53: Cho tam giác ABC có BC 6 , AC 2 và AB 3 1. Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng: A. 5 . B. 3 . C. 2 . D. 2 .
Câu 54: Cho tam giác ABC có AB 3 , AC 4 , BC 5 . Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác bằng 8 4 3 A. 1. B. . C. . D. . 9 5 4
Câu 55: Cho ABC có S 84,a 13,b 14,c 15. Độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp R của tam giác trên là: A. 8,125. B. 130. C. 8. D. 8,5.
Câu 56: Cho ABC có S 10 3 , nửa chu vi p 10 . Độ dài bán kính đường tròn nội tiếp r của tam giác trên là: A. 3. B. 2. C. 2. D. 3.
Câu 57: Một tam giác có ba cạnh là 26,28,30. Bán kính đường tròn nội tiếp là: A. 16. B. 8. C. 4. D. 4 2.
Câu 58: Một tam giác có ba cạnh là 52,56,60. Bán kính đường tròn ngoại tiếp là: 65 65 A. . B. 40. C. 32,5. D. . 8 4
Câu 59: Tam giác với ba cạnh là 5;12;13 có bán kính đường tròn ngoại tiếp là? 13 11 A. 6. B. 8. C. . D. . 2 2
Câu 60: Tam giác với ba cạnh là 5;12;13 có bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đó bằng bao nhiêu? A. 2. B. 2 2. C. 2 3. D. 3.
Câu 61: Tam giác với ba cạnh là 6;8;10 có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng bao nhiêu? A. 5. B. 4 2. C. 5 2. D. 6 .
Câu 62: Cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB 4, BC 6 , M là trung điểm của BC, N là điểm trên
cạnh CD sao cho ND 3NC . Khi đó bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN bằng 3 5 5 2 A. 3 5 . B. . C. 5 2 . D. . 2 2
Câu 63: Cho tam giác đều ABC ;gọi D là điểm thỏa mãn DC 2BD . Gọi R và r lần lượt là bán kính R
đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của tam giác ADC. Tính tỉ số . r 5 5 7 7 7 5 5 7 5 7 A. . B. . C. . D. . 2 9 9 9
DẠNG 4. ỨNG DỤNG THỰC TẾ Page 101
CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
Câu 64: Khoảng cách từ A đến B không thể đo trực tiếp được vì phải qua một đầm lầy. Người ta
xác định được một điểm C mà từ đó có thể nhìn được A và B dưới một góc 78o24' . Biết CA 250 ,
m CB 120m . Khoảng cách AB bằng bao nhiêu? A. 266 . m B. 255 . m C. 166 . m D. 298 . m
Câu 65: Hai chiếc tàu thuỷ cùng xuất phát từ vị trí A , đi thẳng theo hai hướng tạo với nhau một góc 0
60 . Tàu thứ nhất chạy với tốc độ 30km / h , tàu thứ hai chạy với tốc độ 40km / h . Hỏi sau 2 giờ
hai tàu cách nhau bao nhiêu km ? A. 13. B. 20 13. C. 10 13. D. 15.
Câu 66: Từ một đỉnh tháp chiều cao CD 80m , người ta nhìn hai điểm A và B trên mặt đất dưới các góc nhìn là 0 72 12' và 0 34 26' . Ba điểm ,
A B, D thẳng hàng. Tính khoảng cách AB ? A. 71 . m B. 91 . m C. 79 . m D. 40 . m
Câu 67: Khoảng cách từ A đến B không thể đo trực tiếp được vì phải qua một đầm lầy. Người ta
xác định được một điểm C mà từ đó có thể nhìn được A và B dưới một góc 0 56 16' . Biết
CA 200m , CB 180 m . Khoảng cách AB bằng bao nhiêu? A. 180 . m B. 224 . m C. 112 . m D. 168 . m
Câu 68: Trong khi khai quật một ngôi mộ cổ, các nhà khảo cổ học đã tìm được một chiếc đĩa cổ hình
tròn bị vỡ, các nhà khảo cổ muốn khôi phục lại hình dạng chiếc đĩa này. Để xác định bán kính
của chiếc đĩa, các nhà khảo cổ lấy 3 điểm trên chiếc đĩa và tiến hành đo đạc thu được kết quả
như hình vẽ ( AB 4,3 cm; BC 3, 7 cm; CA 7,5 cm). Bán kính của chiếc đĩa này bằng.
A. 5,73 cm.
B. 6,01cm.
C. 5,85cm. D. 4,57cm.
Câu 69: Giả sử CD = h là chiều cao của tháp trong đó C là chân tháp. Chọn hai điểm A, B trên mặt đất
sao cho ba điểm A, B, C thẳng hàng. Ta đo được AB = 24m, 0 CAD 63 ; 0
CBD 48 . Chiều cao
h của khối tháp gần với giá trị nào sau đây? A. 61,4 m. B. 18,5 m. C. 60 m. D. 18 m. Page 102
CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC NG ƯƠ
III HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC CH
BÀI 6. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. III
DẠNG 1. ĐNNH LÝ COSIN, ÁP DỤNG ĐNNH LÝ COSIN ĐỂ GIẢI TOÁN
Câu 1: Cho tam giác ABC , mệnh đề nào sau đây đúng? A. 2 2 2
a b c 2bccos A . B. 2 2 2
a b c 2bccos A. C. 2 2 2
a b c 2bccosC . D. 2 2 2
a b c 2bccos B . Lời giải Chọn B
Theo định lý cosin trong tam giác ABC , ta có 2 2 2
a b c 2bccos A.
Câu 2: Cho tam giác ABC , có độ dài ba cạnh là BC a, AC ,
b AB c . Gọi m là độ dài đường a
trung tuyến kẻ từ đỉnh A, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác và S là diện tích tam
giác đó. Mệnh đề nào sau đây sai? 2 2 2 b c a A. 2 m . B. 2 2 2
a b c 2bc cos A. a 2 4 abc a b c C. S . D. 2R. 4R
sin A sin B sin C Lời giải Chọn B
Theo định lý hàm số cosin trong tam giác ta có 2 2 2
a b c 2bc cos A
Câu 3: Cho tam giác ABC có a 8,b 10 , góc C bằng 0
60 . Độ dài cạnh c là? A. c 3 21 . B. c 7 2 . C. c 2 11 . D. c 2 21. Lời giải Chọn D Ta có: 2 2 2 2 2 0
c a b 2 . a .
b cosC 8 10 2.8.10.cos60 84 c 2 21 .
Câu 4: Cho ABC có 0
b 6,c 8, A 60 . Độ dài cạnh a là: A. 2 13. B. 3 12. C. 2 37. D. 20. Lời giải Chọn A Ta có: 2 2 2 0
a b c 2bc cos A 36 64 2.6.8.cos60 52 a 2 13 .
Câu 5: Cho ABC có 0
B 60 , a 8, c 5. Độ dài cạnh b bằng: A. 7. B. 129. C. 49. D. 129 . Page 1
CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Lời giải Chọn A Ta có: 2 2 2 2 2 0
b a c 2accos B 8 5 2.8.5.cos60 49 b 7 . 0
Câu 6: Cho ABC có AB 9 ; BC 8 ; B 60 . Tính độ dài AC . A. 73 . B. 217 . C. 8 . D. 113 . Lời giải Chọn A
Theo định lý cosin có: 2 2 2
AC BA BC 2 . BA B .
C cos ABC 73 AC 73 . Vậy AC 73 .
Câu 7: Cho tam giác ABC có AB 2, AC 1 và 0
A 60 . Tính độ dài cạnh . BC A. BC 2. B. BC 1. C. BC 3. D. BC 2. Lời giải Chọn C
Theo định lý cosin ta có: 2 2 0
BC AB AC 2 . AB AC.cos 60 1 2 2 2 1 2.2.1. 3. 2
Câu 8: Tam giác ABC có 0
a 8,c 3, B 60 . Độ dài cạnh b bằng bao nhiêu? A. 49. B. 97 C. 7. D. 61. Lời giải Chọn C Ta có: 2 2 2 2 2 0
b a c 2ac cos B 8 3 2.8.3.cos 60 49 b 7 .
Câu 9: Tam giác ABC có 0
C 150 , BC 3, AC 2. Tính cạnh AB ? A. 13 . B. 3. C. 10 . D. 1. Lời giải Chọn A
Theo định lí cosin trong ABC ta có: 2 2 2
AB CA CB 2C . A C .
B cosC 13 AB 13 . Chọn A 4 Câu 10: Cho ; a ;
b c là độ dài 3 cạnh của tam giác ABC . Biết b 7 ; c 5 ; cos A . Tính độ dài của 5 a . 7 2 23 A. 3 2 . B. . C. . D. 6 . 2 8 Lời giải Chọn A
Áp dụng định lí cosin cho tam giác ABC ta có: 4 2 2 2 2 2
a b c 2b .
c cos A 7 5 2.7.5. 18 . 5
Suy ra: a 18 3 2 . Câu 11: Cho xOy 30 .Gọi ,
A B là 2 điểm di động lần lượt trên Ox,Oy sao cho AB 2 . Độ dài lớn
nhất của OB bằng bao nhiêu? Page 2
CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC A. 4. B. 3. C. 6. D. 2. Lời giải Chọn A 3 Áp dụng định lí cosin: 2 2 2 2 2
AB OA OB 2 . OA .
OB cos 30 4 OA OB 2O . A . OB 2 2 2 OA 3.O .
B OA OB 4 0 .
Coi phương trình là một phương trình bậc hai Nn OA . Để tồn tại giá trị lớn nhất của OB thì 2 2 2 0 ( 3 ) 4(OB 4) 0 16 4 (*) OB OB OB . Vậy max OB 4 . Câu 12: Cho ; a ;
b c là độ dài 3cạnh của một tam giác. Mệnh đề nào sau đây không đúng? A. 2
a ab ac . B. 2 2 2
a c b 2ac . C. 2 2 2
b c a 2bc . D. 2
ab bc b . Lời giải Chọn C Do 2 2 2
b c a 2b .
c cos A 2bc 2 2 2
b c a 2bc nên mệnh đề C sai.
Áp dụng bất đẳng thức tam giác ta có 2
a b c a ab ac ;đáp án A đúng. Tương tự 2
a c b ab bc b ;mệnh đề D đúng. Ta có: 2 2 2
a c b 2a .
c cos B 2ac 2 2 2
a c b 2ac ;mệnh đề B đúng.
Câu 13: Cho tam giác ABC có AB 4 cm, BC 7 cm, AC 9 cm. Tính cos A . 2 1 1 2
A. cos A . B. cos A . C. cos A . D. cos A . 3 2 3 3 Lời giải Chọn D 2 2 2
AB AC BC 2 2 2 4 9 7 2 Ta có cos A . 2. . AB AC 2.4.9 3 2 2 2
Câu 14: Cho tam giác ABC có a b c 0 . Khi đó: A. Góc 0 C 90 B. Góc 0 C 90 C. Góc 0 C 90
D. Không thể kết luận được gì về góc C. Lời giải Chọn B 2 2 2
a b c Ta có: cosC . 2ab Mà: 2 2 2
a b c 0 suy ra: 0
cosC 0 C 90 .
Câu 15: Cho tam giác ABC thoả mãn: 2 2 2
b c a 3bc . Khi đó: A. 0 A 30 . B. 0 A 45 . C. 0 A 60 . D. 0 A 75 . Lời giải Chọn A Page 3
CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC 2 2 2
b c a 3bc 3 Ta có: 0 cos A A 30 . 2bc 2bc 2
Câu 16: Cho các điểm (1
A ;1), B(2;4),C(10; 2 ). Góc
BAC bằng bao nhiêu? A. 0 90 . B. 0 60 . C. 0 45 . D. 0 30 . Lời giải Chọn A
Ta có: AB (1;3) , AC (9; 3 ) . . AB AC Suy ra: 0
cos BAC 0 BAC 90 . AB . AC
Câu 17: Cho tam giác ABC , biết a 24,b 13,c 15. Tính góc A ? A. 0 33 34'. B. 0 117 49'. C. 0 28 37'. D. 0 58 24'. Lời giải Chọn B 2 2 2 2 2 2 Ta có: b c a 13 15 24 7 0 cos A A 117 49'. 2bc 2.13.15 15
Câu 18: Cho tam giác ABC , biết a 13,b 14,c 15. Tính góc B ? A. 0 59 49'. B. 0 53 7'. C. 0 59 29'. D. 0 62 22'. Lời giải Chọn C 2 2 2 2 2 2 Ta có: a c b 13 15 14 33 0 cos B B 59 29'. 2ac 2.13.15 65
Câu 19: Cho tam giác ABC biết độ dài ba cạnh BC, C , A
AB lần lượt là a, ,
b c và thỏa mãn hệ thức 2 2 2 2 b b a
c c a với b c . Khi đó, góc BAC bằng A. 45 . B. 60 . C. 90 . D. 120 . Lời giải Chọn D Ta có b 2 2
b a c 2 2 c a 3 2 3 2 3 3 2
b ba c ca b c a b c 0
b c 2 2 2
b bc c a 2 2 2
0 b c a bc . 2 2 2
b c a b c 1 Mặt khác cos BAC
BAC 120. 2bc 2bc 2
Câu 20: Tam giác ABC có AB , c BC ,
a CA b . Các cạnh , a ,
b c liên hệ với nhau bởi đẳng thức 2 2 2 2 b b a
c a c . Khi đó góc
BAC bằng bao nhiêu độ. A. 30 . B. 60 . C. 90 . D. 45 . Lời giải Chọn B
Theo bài ra, ta có: b 2 2
b a c 2 2 a c 3 2 2 3 3 3 2 2
b a b a c c 0 b c a b a c 0
b c 2 2
b bc c 2
a b c b c 2 2 2
b bc c a 2 2 2 0
0 b bc c a 0 2 2 2
b c a 1 1 2 2 2
b c a bc
cos BAC BAC 60 . 2bc 2 2
Câu 21: Cho tam giác ABC vuông cân tại A và M là điểm nằm trong tam giác ABC sao cho Page 4
CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
MA : MB : MC 1: 2 : 3 khi đó góc AMB bằng bao nhiêu? A. 135 . B. 90 . C. 150 . D. 120 . Lời giải
MB x MA 2x ; MC 3x với 0 x BC 2 . 2 2 2 1 4x x 3x 1 Ta có cos BAM 2.1.2x 4x 2 2 2
1 4x 9x 1 5x cos MAC . 4x 4x 2 2 2 2 3x 1 1 5x 1 4 2 2 4
9x 6x 1110x 25x 16 . 4x 4x 5 2 2 1 2 x (l) 4 2
34x 20x 2 0 17 5 . 5 2 2 2 x 17 2 2 2 2 2
AM BM AB 4x x 1 cos AMB 2AM .BM 2.2 . x x 2 5x 1 25 10 2 20 8 2 2 1 : . 2 4x 17 17 2 Vậy
AMB 135 .
Câu 22: Cho tam giác ABC , chọn công thức đúng trong các đáp án sau: 2 2 2 b c a 2 2 2 a c b A. 2 m . B. 2 m . a 2 4 a 2 4 2 2 2 a b c 2 2 2
2c 2b a C. 2 m . D. 2 m . a 2 4 a 4 Lời giải Chọn D 2 2 2 2 2 2 b c a
b c a Ta có: 2 2 2 m . a 2 4 4
Câu 23: Tam giác ABC có AB 9 cm, BC 15 cm, AC 12 cm. Khi đó đường trung tuyến AM của
tam giác có độ dài là A. 10 cm . B. 9 cm . C. 7,5 cm . D. 8 cm . Lời giải Chọn C 2 2 2 AB AC BC 2 2 2 9 12 15 225 Ta có 2 AM 15 AM . 2 4 2 4 4 2
Câu 24: Cho tam giác ABC có AB 3, BC 5 và độ dài đường trung tuyến BM 13 . Tính độ dài AC . 9 A. 11 . B. 4 . C. . D. 10 . 2 Lời giải Chọn B Page 5
CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC A 3 M 13 B C 5
Theo công thức tính độ dài đường trung tuyến;ta có: 2 2 2 BA BC AC AC BM 13 2 2 2 2 3 5 2 AC 4 . 2 4 2 4
Câu 25: Cho ABC vuông ở , A biết C 30 ,
AB 3. Tính độ dài trung tuyến AM ? 5 7 A. 3 B. 4 C. D. 2 2 Lời giải Chọn A 1
AM là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên AM BC BM MC . 2
Xét BAC có B 90 30 60.
Xét tam giác ABM có BM AM và B 60 suy ra A
BM là tam giác đều.
AM AB 3.
Câu 26: Tam giác ABC có a 6,b 4 2,c 2. M là điểm trên cạnh BC sao cho BM 3. Độ dài đoạn AM bằng bao nhiêu? 1 A. 9 . B. 9. C. 3. D. 108 . 2 Lời giải Chọn C
Ta có: Trong tam giác ABC có a 6 BC 6 mà BM 3 suy ra M là trung điểm BC. 2 2 2 b c a Suy ra: 2 2 AM m 9 AM 3 a . 2 4 Câu 27: Gọi 2 2 2 S a m b m c
m là tổng bình phương độ dài ba trung tuyến của tam giác ABC . Trong các
mệnh đề sau mệnh đề nào đúng? 3 A. 2 2 2
S (a b c ) . B. 2 2 2
S a b c . 4 3 C. 2 2 2
S (a b c ) . D. 2 2 2
S 3(a b c ) . 2 Lời giải Chọn A 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b c a a c b a b c 3 Ta có: 2 2 2 2 2 2
S m m m
(a b c ). a b c 2 4 2 4 2 4 4
Câu 28: Cho ABC có AB 2 ; AC 3 ; 0
A 60 . Tính độ dài đường phân giác trong góc A của tam giác ABC . Page 6
CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC 12 6 2 6 3 6 A. . B. . C. . D. . 5 5 5 5 Lời giải Chọn C
Gọi M là chân đường phân giác góc A. Ta có 2 2 2
BC AB AC 2 . AB A .
C cos A 7 BC 7. BM AB 2 Lại có . CM AC 3 2 7 Suy ra BM . 5
Áp dụng định lý cosin trong tam giác ABM ta được: 2 2 2
AB BC AC 108 2 2 2 2 2
AM AB BM 2A .
B BM .cos ABC AB BM 2A . B BM . . 2. . AB BC 25 6 3 AM . 5 CÁ CH 2
Gọi M là chân đường phân giác trong của góc A .
Vì đoạn thẳng AM chia tam giác ABC thành hai phần nên ta có: 1 1 1 S S S A . B AC.sin BAC .
AB AM .sin BAM AC.AM .sin MAC ABC ABM ACM 2 2 2 . AB AC.sin 60
AM AB AC . .sin 30 6 3 AM . 5 6 3 Vậy AM . 5
DẠNG 2. ĐNNH LÝ SIN, ÁP DỤNG ĐNNH LÝ SIN ĐỂ GIẢI TOÁN
Câu 29: Cho tam giác ABC . Tìm công thức sai: a a c sin A A. 2R. B. sin A .
C. bsin B 2R. D. sin C . sin A 2R a Lời giải Chọn C a b c Ta có: 2 . R sin A sin B sin C Page 7
CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
Câu 30: Cho ABC với các cạnh AB c, AC b, BC a . Gọi R, r, S lần lượt là bán kính đường tròn
ngoại tiếp, nội tiếp và diện tích của tam giác ABC . Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai? abc a A. S . B. R . 4R sin A 1
C. S absin C . D. 2 2 2
a b c 2ab cos C . 2 Lời giải Chọn B a
Theo định lí Sin trong tam giác, ta có 2R . sin A
Câu 31: Cho tam giác ABC có góc
BAC 60 và cạnh BC 3 . Tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . A. R 4 . B. R 1 . C. R 2 . D. R 3 . Lời giải Chọn B BC BC 3 Ta có: 2R R 1. sin A 2sin A 3 2. 2
Câu 32: Trong mặt phẳng, cho tam giác ABC có AC 4 cm , góc A 60 ,
B 45 . Độ dài cạnh BC là A. 2 6 . B. 2 2 3 . C. 2 3 2 . D. 6 . Lời giải Chọn A 3 BC AC 4. Ta có 2 BC 2 6 . sin A sin B 2 2
Câu 33: Cho ABC có AB 5 ; A 40; B 60 . Độ dài BC gần nhất với kết quả nào? A. 3, 7 . B. 3,3 . C. 3,5 . D. 3,1. Lời giải Chọn B
C 180 A B 180 40 60 80 BC AB AB 5 Áp dụng định lý sin: BC .sin A sin 40 3,3 . sin A sin C sin C sin 80
Câu 34: Cho tam giác ABC thoả mãn hệ thức b c 2a . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. cos B cosC 2cos .
A B. sin B sin C 2sin . A 1
C. sin B sin C sin A .
D. sin B cosC 2sin . A 2 Lời giải Chọn B Ta có: b c a b c 2 b c b c b c 2R
sin B sinC 2sin . A sin A sin B sin C sin A sin B sin C
2sin A sin B sin C Page 8
CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
Câu 35: Tam giác ABC có 0 0
a 16,8 ; B 56 13' ; C 71 . Cạnh c bằng bao nhiêu? A. 29,9. B. 14,1. C. 17,5. D. 19,9. Lời giải Chọn D
Ta có: Trong tam giác ABC : 0 0 0 0 0
A B C 180 A 180 71 56 13' 52 47 ' . 0 a b c a c .s
a in C 16,8.sin 71 Mặt khác c 19,9. 0 sin A sin B sin C sin A sin C sin A sin 52 47'
Câu 36: Tam giác ABC có 0 A 68 12' , 0
B 34 44' , AB 117. Tính AC ? A. 68. B. 168. C. 118. D. 200. Lời giải Chọn A
Ta có: Trong tam giác ABC : 0 0 0 0 0
A B C 180 C 180 68 12' 34 44' 77 4' . 0 a b c AC AB A .
B sin B 117.sin 34 44' Mặt khác AC 68. 0 sin A sin B sin C sin B sin C sin C sin 77 4'
DẠNG 3. DIỆN TÍCH TAM GIÁC, BÁN KÍNH ĐƯỜNG TRÒN
Câu 37: Chọn công thức đúng trong các đáp án sau: 1 1 1 1
A. S bc sin A.
B. S ac sin A.
C. S bc sin B.
D. S bc sin B. 2 2 2 2 Lời giải Chọn A 1 1 1
Ta có: S bc sin A ac sin B absin C . 2 2 2
Câu 38: Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng a . Góc
BAD 30 . Diện tích hình thoi ABCD là 2 a 2 a 2 a 3 A. . B. . C. . D. 2 a . 4 2 2 Lời giải Chọn B 1 Ta có S A . B A . D sin BAD 2 . a .
a sin 30 a . ABCD 2
Câu 39: Tính diện tích tam giác ABC biết AB 3, BC 5, CA 6 . A. 56 . B. 48 . C. 6 . D. 8 . Lời giải Chọn A
AB AC BC 3 5 6 Ta có: p 7 . 2 2
Vậy diện tích tam giác ABC là:
S p p AB p AC p BC 77 37 67 5 56 .
Câu 40: Cho ABC có a 6,b 8, c 10. Diện tích S của tam giác trên là: A. 48. B. 24. C. 12. D. 30. Lời giải Chọn B
a b c
Ta có: Nửa chu vi ABC : p . 2 Page 9
CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
Áp dụng công thức Hê-rông: S p( p a)( p b)( p c) 12(12 6)(12 8)(12 10) 24 .
Câu 41: Cho ABC có 0
a 4,c 5, B 150 .Diện tích của tam giác là: A. 5 3. B. 5. C. 10. D. 10 3. Lời giải Chọn B 1 1 Ta có: 0 S . a . c sin B .4.5.sin150 5. ABC 2 2
Câu 42: Một tam giác có ba cạnh là 13,14,15 . Diện tích tam giác bằng bao nhiêu? A. 84. B. 84 . C. 42. D. 168 . Lời giải Chọn A
a b c 13 14 15 Ta có: p 21 . 2 2
Suy ra: S p( p a)( p b)( p c) 21(2113)(2114)(2115) 84 .
Câu 43: Cho các điểm ( A 1; 2 ), B( 2
;3),C(0;4). Diện tích ABC bằng bao nhiêu? 13 13 A. . B. 13. C. 26. D. . 2 4 Lời giải Chọn A Ta có: AB ( 3
;5) AB 34 , AC ( 1
;6) AC 37 , BC (2;1) BC 5 . Mặt khác AB AC BC 37 34 5 p . 2 2 13
Suy ra: S p( p AB)( p AC)( p BC) . 2
Câu 44: Cho tam giác ABC có ( A 1; 1 ), B(3; 3
),C(6;0). Diện tích ABC là A. 12. B. 6. C. 6 2. D. 9. Lời giải Chọn B Ta có: AB (2; 2
) AB 2 2 , AC (5;1) AC 26 , BC (3;3) BC 3 2 . Mặt khác A .
B BC 0 AB BC . 1 Suy ra: S A . B BC 6. AB C 2
Câu 45: Cho tam giác ABC có a 4,b 6,c 8 . Khi đó diện tích của tam giác là: 2 A. 9 15. B. 3 15. C. 105. D. 15. 3 Lời giải Chọn B
a b c 4 6 8 Ta có: p 9. 2 2
Suy ra: S p( p a)( p b)( p c) 3 15.
Câu 46: Cho tam giác ABC . Biết AB 2 ; BC 3 và
ABC 60 . Tính chu vi và diện tích tam giác ABC . Page 10
CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC 3 3 3 A. 5 7 và . B. 5 7 và . 2 2 3 3 3 C. 5 7 và . D. 5 19 và . 2 2 Lời giải A I K J C B Chọn B 2 2 2
Ta có: AC AB BC 2. .
AB BC.c os ABC 4 9 2.2.3.c os60 13 6 7 . Suy ra AC 7 .
Chu vi tam giác ABC là AB AC BC 2 3 7 . 1 1 3 3
Diện tích tam giác ABC là S A .
B BC.sin ABC .2.3.sin 60 . AB C 2 2 2
Câu 47: Tam giác ABC có các trung tuyến m 15 , m 12 , m 9 .Diện tích S của tam giác ABC a b c bằng A. 72 . B. 144 . C. 54 . D. 108 . Lời giải 1 Chọn A Theo bài toán ta có 2 2 2 b c a 2 2 m 15 a 2 4 2 2 2
2b 2c a 900 a 10 2 2 2 a c b 2 2 2 2 2 m
12 2a 2c b 576 b 4 13 b 2 4 2 2 2 2 2 2
2a 2b c 324 c 2 73 a b c 2 2 m 9 c 2 4
a b c Ta có p
5 2 13 73 , áp dụng công thức He-rong ta có 2 S
p( p a)( p b)( p c) 72 . ABC Cách 2:
Đặt BC a,CA , b AB c ,
Theo định lý trung tuyến có: 2 2
4m a 2 b c 2 2 2 2 2 a 2 2
a 2b 2c 900 a 100 a 100 a 10 2 2
4m b 2 a c 2 2 2
2a b 2c 576 2 b 208 2 b
208 b 4 13 b 2 2 2 2 2 2 2 2 2
4m c 2 b a
2a 2b c 324 c 291 c 292 c 2 73 c 2 2 1 Có S
p p a p b p c , p a b c Suy ra S 72 ABC 2 ABC Page 11
CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC 3
Câu 48: Cho tam giác ABC có b 7;c 5;cos A . Độ dài đường cao h của tam giác ABC là. 5 a 7 2 A. . B. 8 . C. 8 3 D. 80 3 2 Lời giải Chọn A 3 2 2 2 2
a b c 2bc cos A 7 5 2.7.5. 32 4 2 5 4 2 sin A 3 16 4 2 2
sin A 1 cos A 1 5 . Suy ra vì 0
0 A 180 nên sin A 5 25 4 5 sin A 5 1 1 4 1 1 7 2
S bcsin A .7.5. 14 mà S .
a h 14 .4 2.h h 2 2 5 2 a 2 a a 2
Câu 49: Cho tam giác ABC có AB 2 ;
a AC 4a và
BAC 120 . Tính diện tích tam giác ABC ? A. 2 S 8a . B. 2
S 2a 3 . C. 2 S a 3 . D. 2 S 4a . Lời giải Chọn B 1 1
Diện tích của tam giác ABC là 2 S A .
B AC.sin BAC .2 . a 4 .
a sin120 2a 3 . ABC 2 2
Câu 50: Cho tam giác ABC đều cạnh a . Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng a 3 a 3 a 3 a 2 A. . B. . C. . D. . 2 3 4 2 Lời giải Chọn B 2 a 3 a 3
Gọi G là trọng tâm ABC . Bán kính đường tròn ngoại tiếp R AG . 3 2 3
Câu 51: Cho tam giác ABC có chu vi bằng 12 và bán kính đường tròn nội tiếp bằng 1. Diện tích của tam giác ABC bằng A. 12. B. 3 . C. 6 . D. 24 . Lời giải Chọn C 12
Theo đề bài tam giác ABC có chu vi bằng 12 nên nửa chu vi là p ; bán kính đường tròn 2
nội tiếp bằng 1, tức là ta có: r 1.
Diện tích tam giác ABC là: S . p r 6.1 6 .
Câu 52: Cho tam giác ABC đều cạnh 2a . Tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . 2a 4a 8a 6a A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 Lời giải Chọn A Page 12
CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC A K I B H C
Gọi H, K lần lượt là trung điểm cạnh AB, BC;
I là giao điểm của AH và CK .
Lúc đó, I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 2a 3 Ta có: AH a 3 . 2 2 2 2a
Do đó: R AI AH a 3 . 3 3 3
Câu 53: Cho tam giác ABC có BC 6 , AC 2 và AB 3 1. Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng: A. 5 . B. 3 . C. 2 . D. 2 . Lời giải Chọn C 2 2 2
b c a 1
Áp dụng định lý cosin ta có cos A
suy ra A 60 . 2bc 2 a
Áp dụng định lý sin ta có R 2 . 2sin A
Câu 54: Cho tam giác ABC có AB 3 , AC 4 , BC 5 . Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác bằng 8 4 3 A. 1. B. . C. . D. . 9 5 4 Lời giải Chọn A Vì 2 2 2
AB AC BC nên tam giác ABC vuông tại A . 1 . AB AC S 3.4
Do đó bán kính đường tròn nội tiếp 2 r 1. p
1 AB AC BC 345 2
Câu 55: Cho ABC có S 84,a 13,b 14,c 15. Độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp R của tam giác trên là: A. 8,125. B. 130. C. 8. D. 8,5. Lời giải Chọn A . a . b c . a . b c 13.14.15 65 Ta có: S AB C R . 4R 4S 4.84 8 Page 13
CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
Câu 56: Cho ABC có S 10 3 , nửa chu vi p 10 . Độ dài bán kính đường tròn nội tiếp r của tam giác trên là: A. 3. B. 2. C. 2. D. 3. Lời giải Chọn D Ta có: S 10 3
S pr r 3. p 10
Câu 57: Một tam giác có ba cạnh là 26,28,30. Bán kính đường tròn nội tiếp là: A. 16. B. 8. C. 4. D. 4 2. Lời giải Chọn B
a b c 26 28 30 Ta có: p 42. 2 2 S
p( p a)( p b)( p c)
42(42 26)(42 28)(42 30)
S pr r 8. p p 42
Câu 58: Một tam giác có ba cạnh là 52,56,60. Bán kính đường tròn ngoại tiếp là: 65 65 A. . B. 40. C. 32,5. D. . 8 4 Lời giải Chọn C
a b c 52 56 60 Ta có: p 84. 2 2
Suy ra: S p( p a)( p b)( p c) 84(84 52)(84 56)(84 60) 1344 . abc abc 52.56.60 65 Mà S R . 4R 4S 4.1344 2
Câu 59: Tam giác với ba cạnh là 5;12;13 có bán kính đường tròn ngoại tiếp là? 13 11 A. 6. B. 8. C. . D. . 2 2 Lời giải Chọn C Ta có: 2 2 2 13 5 12 13 R . . 2
Câu 60: Tam giác với ba cạnh là 5;12;13 có bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đó bằng bao nhiêu? A. 2. B. 2 2. C. 2 3. D. 3. Lời giải Chọn A 5 12 13 Ta có: p 15 . Mà 2 2 2 1
5 12 13 S .5.12 30. 2 2 S Mặt khác S . p r r 2. p
Câu 61: Tam giác với ba cạnh là 6;8;10 có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng bao nhiêu? A. 5. B. 4 2. C. 5 2. D. 6 . Lời giải Chọn A Page 14
CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Ta có: 2 2 2 10 6 8 10 R 5. . 2
Câu 62: Cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB 4, BC 6 , M là trung điểm của BC, N là điểm trên
cạnh CD sao cho ND 3NC . Khi đó bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN bằng 3 5 5 2 A. 3 5 . B. . C. 5 2 . D. . 2 2 Lời giải Chọn D Ta có
MC 3, NC 1 MN 10
BM 3, AB 4 AM 5
AD 6, ND 3 AN 45
AM AN MN 10 5 45 p 2 2 S
p p AM p AN p MN AMN 152 AM .AN.MN 5 2
Bán kính của đường tròn ngoại tiếp của tam giác AMN là: R 4S 2 AMN
Câu 63: Cho tam giác đều ABC ;gọi D là điểm thỏa mãn DC 2BD . Gọi R và r lần lượt là bán kính R
đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của tam giác ADC. Tính tỉ số . r 5 5 7 7 7 5 5 7 5 7 A. . B. . C. . D. . 2 9 9 9 Lời giải Chọn D
Ta có DC 2BD DC 2
DB . Do đó DC 2DB . Page 15
CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
Gọi S là diện tích của tam giác ACD và E là trung điểm của BC . 2 2 2 2 a 3 a 3 S S . 3 ABC 3 4 6
Đặt AB a . Suy ra 2 . 2 a 3 a 2a 7 2 2
AD AE ED 2 6 6
AD DC AC 5 7 S .r . a r 5 7 ar.2a 7 7 5 7 2 6 a r 2 3 4 Hơn nữa S . 3 . AD DC.BC 2a 7 6.36R 108R S 4R 36R a 4 4 7 5 7 a r 7 R 5 7.12 7 R 5 7 Hay . 12 108R r 108 r 9
DẠNG 4. ỨNG DỤNG THỰC TẾ
Câu 64: Khoảng cách từ A đến B không thể đo trực tiếp được vì phải qua một đầm lầy. Người ta
xác định được một điểm C mà từ đó có thể nhìn được A và B dưới một góc 78o24' . Biết CA 250 ,
m CB 120m . Khoảng cách AB bằng bao nhiêu? A. 266 . m B. 255 . m C. 166 . m D. 298 . m Lời giải Chọn B Ta có: 2 2 2 2 2 2 .
.cos 250 120 2.250.120.cos78o AB CA CB CB CA C
24' 64835 AB 255.
Câu 65: Hai chiếc tàu thuỷ cùng xuất phát từ vị trí A , đi thẳng theo hai hướng tạo với nhau một góc 0
60 . Tàu thứ nhất chạy với tốc độ 30km / h , tàu thứ hai chạy với tốc độ 40km / h . Hỏi sau 2 giờ
hai tàu cách nhau bao nhiêu km ? A. 13. B. 20 13. C. 10 13. D. 15. Lời giải Chọn B
Ta có: Sau 2h quãng đường tàu thứ nhất chạy được là: 1
S 30.2 60 k . m
Sau 2h quãng đường tàu thứ hai chạy được là: S2 40.2 80k . m
Vậy: sau 2h hai tàu cách nhau là: 2 2 0 S 1 S S2 2 1
S .S2.cos60 20 13.
Câu 66: Từ một đỉnh tháp chiều cao CD 80m , người ta nhìn hai điểm A và B trên mặt đất dưới các góc nhìn là 0 72 12' và 0 34 26' . Ba điểm ,
A B, D thẳng hàng. Tính khoảng cách AB ? A. 71 . m B. 91 . m C. 79 . m D. 40 . m Lời giải Chọn B Page 16
CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
Ta có: Trong tam giác vuông CD CD 80 CDA : 0 tan 72 12' AD 25,7. 0 0 AD tan 72 12' tan 72 12' Trong tam giác vuông CD CD 80 CDB : 0 tan 34 26' BD 116,7. 0 0 BD tan 34 26' tan 34 26'
Suy ra: khoảng cách AB 116,7 25,7 91 . m
Câu 67: Khoảng cách từ A đến B không thể đo trực tiếp được vì phải qua một đầm lầy. Người ta
xác định được một điểm C mà từ đó có thể nhìn được A và B dưới một góc 0 56 16' . Biết
CA 200m , CB 180m . Khoảng cách AB bằng bao nhiêu? A. 180 . m B. 224 . m C. 112 . m D. 168 . m Lời giải Chọn A Ta có: 2 2 2 2 2 0
AB CA CB 2 . CB C .
A cosC 200 180 2.200.180.cos56 16' 32416 AB 180.
Câu 68: Trong khi khai quật một ngôi mộ cổ, các nhà khảo cổ học đã tìm được một chiếc đĩa cổ hình
tròn bị vỡ, các nhà khảo cổ muốn khôi phục lại hình dạng chiếc đĩa này. Để xác định bán kính
của chiếc đĩa, các nhà khảo cổ lấy 3 điểm trên chiếc đĩa và tiến hành đo đạc thu được kết quả
như hình vẽ ( AB 4,3 cm; BC 3, 7 cm; CA 7,5 cm). Bán kính của chiếc đĩa này bằng.
A. 5,73 cm.
B. 6,01cm.
C. 5,85cm. D. 4,57cm. Lời giải Chọn A
Bán kính R của chiếc đĩa bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .
AB BC CA 4,3 3,7 7,5 31
Nửa chu vi của tam giác ABC là: p cm. 2 2 4
Diện tích tam giác ABC là: S p p AB p BC p CA 5,2 cm2. . AB BC.CA . AB BC.CA Mà S R 5,73 cm. 4R 4S
Câu 69: Giả sử CD = h là chiều cao của tháp trong đó C là chân tháp. Chọn hai điểm A, B trên mặt đất
sao cho ba điểm A, B, C thẳng hàng. Ta đo được AB = 24m, 0 CAD 63 ; 0
CBD 48 . Chiều cao
h của khối tháp gần với giá trị nào sau đây? A. 61,4 m. B. 18,5 m. C. 60 m. D. 18 m. Lời giải Chọn A Page 17
CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Ta có 0 0 0 CAD BAD ADB 0 0 0 63 117 180 117 48 15 AB BD .s AB in BAD
Áp dụng định lý sin trong tam giác ABD ta có: BD sin ADB sin BAD sin ADB CD
Tam giác BCD vuông tại C nên có: sin CBD CD B . D sin CBD BD 0 0 . AB sin BA . D sin CBD 24.sin117 .sin 48 Vậy CD 61, 4m 0 sin ADB sin15 Page 18
Document Outline
- 003.05.1_TOAN-10_B5_C3_GIÁ-TRỊ-LƯỢNG-GIÁC-CỦA-MỘT-GÓC-BẤT-KÌ_TU-LUAN_DE_TR81
- 003.05.1_TOAN-10_B5_C3_GIÁ-TRỊ-LƯỢNG-GIÁC-CỦA-MỘT-GÓC-BẤT-KÌ_TU-LUAN_HDG
- 003.05.2_TOAN-10_B5_C3_GIÁ-TRỊ-LƯỢNG-GIÁC-CỦA-MỘT-GÓC-BẤT-KÌ_TRAC-NGHIEM_DE_TR87
- 003.05.2_TOAN-10_B5_C3_GIÁ-TRỊ-LƯỢNG-GIÁC-CỦA-MỘT-GÓC-BẤT-KÌ_TRAC-NGHIEM_HDG
- 003.06.1_TOAN-10_B6_C3_HE-THUC-LUONG-TRONG-TAM-GIAC_TU-LUAN_DE_TR96
- 003.06.1_TOAN-10_B6_C3_HE-THUC-LUONG-TRONG-TAM-GIAC_TU-LUAN_HDG
- 003.06.2_TOAN-10_B6_C3_HE-THUC-LUONG-TRONG-TAM-GIAC_TRAC-NGHIEM_DE_TR102
- 003.06.2_TOAN-10_B6_C3_HE-THUC-LUONG-TRONG-TAM-GIAC_TRAC-NGHIEM_HDG