Chuyên đề mặt nón – mặt trụ – mặt cầu – Đặng Việt Đông Toán 12
Giới thiệu đến thầy, cô và các bạn tài liệu chuyên đề mặt nón – mặt trụ – mặt cầu (phiên bản đặc biệt) do thầy Đặng Việt Đông biên soạn.Mời các bạn đón xem.
72
36 lượt tải
Tải xuống
Chủ đề: Chương 2: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu
Môn: Toán 12
Thông tin:
569 trang
6 tháng trước
Tác giả:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 0
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 1
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
MẶT NÓN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU
CHỦ ĐỀ 1: HÌNH NÓN KHỐI NÓN
Dạng 1: Tính độ dài đường sinh, bán kính đáy, đường cao
Dạng 2: Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần
Dạng 3: Tính thể tích khối nón, khối liên quan nón
Dạng 4: Bài toán liên quan thiết diện với khối nón
Dạng 5: Hình nón nội tiếp-ngoại tiếp khối chóp
CHỦ ĐỀ 2: HÌNH TRỤ KHỐI TRỤ
Dạng 1: Tính độ dài đường sinh, bán kính đáy, đường cao
Dạng 2: Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần
Dạng 3: Tính thể tích khối trụ, khối liên quan trụ
Dạng 4: Bài toán liên quan thiết diện
Dạng 5: Hình trụ nội tiếp-ngoại tiếp khối lăng trụ
CHỦ ĐỀ 3: KHỐI CẦU
Dạng 1: Tính bán kính khối cầu
Dạng 2: Tính diện tích mặt cầu
Dạng 3: Tính thể tích khối cầu
Dạng 4: Bài toán liên quan thiết diện, dây cung
Dạng 5: Mặt cầu nội tiếp-ngoại tiếp đa diện
CHỦ ĐỀ 4: TỔNG HỢP NÓN-TRỤ-CẦU
Dạng 1: Toán tổng hợp nón-trụ-cầu
CHỦ ĐỀ 5: MIN-MAX NÓN-TRỤ-CẦU
Dạng 1: Toán Max-Min liên quan khối nón
Dạng 2: Toán Max-Min liên quan khối trụ
Dạng 3: Toán Max-Min liên quan khối cầu
CHỦ ĐỀ 6: TOÁN THỰC TẾ
Dạng 1: Toán thực tế liên quan mặt và khối nón
Dạng 2: Toán thực tế liên quan mặt và khối trụ
Dạng 3: Toán thực tế liên quan mặt và khối cầu
Dạng 4: Toán thực tế tổng hợp
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 1
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
MẶT NÓN, KHỐI NÓN
A – KIẾN THỨC CHUNG
1) Mặt nón tròn xoay
Trong mặt phẳng
P
, cho 2 đường thẳng
d
,
cắt nhau tại
O
và chúng tạo thành góc
với
0 0
0 90
. Khi quay
mp P
xung quanh trục
với góc
không thay đổi được gọi là mặt nón tròn
xoay đỉnh
O
(hình 1).
Người ta thường gọi tắt mặt nón tròn xoay là mặt nón.
Đường thẳng
gọi là trục, đường thẳng
d
được gọi là đường sinh và góc
2
gọi là góc ở đỉnh.
2) Hình nón tròn xoay
Cho
OIM
vuông tại
I
quay quanh cạnh góc vuông
OI
thì đường gấp khúc
OIM
tạo thành một hình,
gọi là hình nón tròn xoay (gọi tắt là hình nón) (hình 2).
Đường thẳng
OI
gọi là trục,
O
là đỉnh,
OI
gọi là đường cao và
OM
gọi là đường sinh của hình nón.
Hình tròn tâm
I
, bán kính
r IM
là đáy của hình nón.
3) Công thức diện tích và thể tích của hình nón
Cho hình nón có chiều cao là
h
, bán kính đáy
r
và đường sinh là
l
thì có:
Diện tích xung quanh:
. .
xq
S r l
Diện tích đáy (hình tròn):
2
.
ð
S r
Thể tích khối nón:
2
1 1
. . .
3 3
non ð
V S h r h
.
4) Tính chất:
TH1: Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi
( )
mp P
đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra:
+ Nếu
( )
mp P
cắt mặt nón theo 2 đường sinh
Thiết diện là tam giác cân.
+ Nếu
( )
mp P
tiếp xúc với mặt nón theo một đường sinh. Trong trường hợp này, người ta gọi đó là
mặt phẳng tiếp diện của mặt nón.
TH2: Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mp
( )
Q
không đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra:
+ Nếu
( )
mp Q
vuông góc với trục hình nón
giao tuyến là một đường tròn.
Diện tích toàn phần hình nón: .
Hình 1
Hình 2
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 2
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
+ Nếu
( )
mp Q
song song với 2 đường sinh hình nón
giao tuyến là 2 nhánh của 1 hypebol.
+ Nếu
( )
mp Q
song song với 1 đường sinh hình nón
giao tuyến là 1 đường parabol.
B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
DẠNG 1: TÍNH ĐỘ DÀI ĐƯỜNG SINH, BÁN KÍNH ĐÁY, ĐƯỜNG CAO, GÓC Ở ĐỈNH
Câu 1: Cho hình nón có đường sinh bằng
4 ,
a
diện tích xung quanh bằng
2
8 .
a
Tính chiều cao của hình
nón đó theo
.
a
A.
2 .
a
B.
2 3
.
3
a
C.
3.
a
D.
2 3.
a
Câu 2: Một hình nón có đường sinh bằng
l
và bằng đường kính đáy. Bán kính hình cầu nội tiếp hình nón
bằng:
A.
3
4
l
. B.
1
3
l
. C.
3
6
l
. D.
2
6
l
.
Câu 3: Một khối nón có diện tích xung quanh bằng
2
2
cm
và bán kính đáy
1
2
cm
. Khi đó độ dài
đường sinh là
A.
2
cm
. B.
3
cm
. C.
1
cm
. D.
4
cm
.
Câu 4: Một hình nón tròn xoay có đường sinh bằng đường kính đáy. Diện tích đáy hình nón bằng
9
.
Khi đó đường cao hình nón bằng
A.
3 3
. B.
3
2
. C.
3
. D.
3
3
.
Câu 5: Cho hình chóp .
S ABC
có đáy
ABC
là tam giác vuông tại
B
và
BA BC a
. Cạnh bên
2
SA a
và vuông góc với mặt phẳng
ABC
. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp .
S ABC
là:
A.
6
a
. B.
2
6a
. C.
3
a
. D.
2
2
a
.
Câu 6: Cho hình nón đỉnh
S
có đáy là đường tròn tâm
O
, bán kính
R
. Biết
SO h
. Độ dài đường sinh
của hình nón bằng
A.
2 2
h R
. B.
2 2
2
h R
. C.
2 2
2
h R
. D.
2 2
h R
.
Câu 7: Một hình nón có bán kính đáy
1
r
, chiều cao
4
3
h
. Kí hiệu góc ở đỉnh của hình nón là
2
.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng ?
A.
3
cos
5
. B.
3
sin
5
. C.
3
cot
5
. D.
3
tan
5
.
Câu 8: Cho hình nón có diện tích xung quanh là
xq
S
và bán kính đáy là
r
. Công thức nào dưới đây dùng
để tính đường sinh
l
của hình nón đã cho.
A.
π
xq
S
l
r
. B.
2
π
xq
S
l
r
. C. 2π
xq
l S r
. D.
2
π
xq
S
l
r
.
Câu 9: Cho hình nón có độ dài đường sinh bằng đường kính đáy. Diện tích đáy của hình nón bằng
.
Chiều cao của hình nón bằng
A.
2
. B.
5
. C.
1
. D.
3
.
Câu 10: Khối nón có bán kính đáy bằng
2
, chiều cao bằng
2 3
thì có đường sinh bằng:
A.
4
B.
3
C.
16
D.
2
Câu 11: Cho hình nón tròn xoay có bán kính đường tròn đáy
r
, chiều cao
h
và đường sinh
l
.
Kết luận nào sau đây sai?
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 3
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
2
tp
S rl r
. B.
2 2 2
h r l
. C.
xq
S rl
. D.
2
1
3
V r h
.
Câu 12: Cho hình nón có độ dài đường sinh bằng
6cm
, góc ở đỉnh bằng
60
. Thể tích khối nón là:
A.
3
27
cm
. B.
3
9
cm
. C.
3
9 3
cm
. D.
3
27
cm
.
Câu 13: Cho hình nón có bán kính đường tròn đáy bằng
R
, chiều cao bằng
h
, độ dài đường sinh bằng
l
.
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A.
2 2
l R h
. B.
2 2
R l h
. C.
2 2
h R l
. D.
2 2
l R h
.
Câu 14: Trong không gian, cho tam giác
ABC
vuông tại
A
,
3
AB a
và
4
AC a
. Độ dài đường sinh
l
của hình nón nhận được khi quay
ABC
xung quanh trục
AC
bằng
A.
l a
. B.
2
l a
. C.
3
l a
. D.
5
l a
.
Câu 15: Một hình nón có đường sinh bằng đường kính đáy. Diện tích đáy của hình nón bằng
9
. Tính
đường cao
h
của hình nón.
A.
3
.
2
h B.
3
.
3
h C.
3 3.
h
D.
3.
h
Câu 16: Cho nửa hình tròn tâm
O
, đường kính
AB
. Người ta ghép hai bán kính
OA
,
OB
lại tạo thành
mặt xung quanh của hình nón. Tính góc ở đỉnh của hình nón đó.
A.
45
. B.
60
. C.
90
. D.
30
.
Câu 17: Người ta cắt hết một miếng tôn hình tròn ra làm
3
miếng hình quạt bằng nhau. Sau đó quấn và gò
3
miếng tôn để được
3
hình nón. Tính góc ở đỉnh của hình nón.
A.
1
2 2 arcsin
2
. B.
1
2 2 arcsin
3
. C.
2 120
. D.
2 60
.
DẠNG 2: TÍNH DIỆN TÍCH XUNG QUANH, DIỆN TÍCH TOÀN PHẦN
Câu 18: Viết công thức tính diện tích xung quanh của hình nón có đường sinh
l
và bán kính đường tròn
đáy
r
.
A.
2
xq
S r l
. B.
2
2
xq
S r l
. C.
xq
S rl
. D. 2
xq
S rl
.
Câu 19: Một hình nón có đường cao
20
h cm
, bán kính đáy
25
r cm
. Tính diện tích xung quanh của
hình nón đó.
A.
5 41
. B.
25 41
. C.
. D.
125 41
.
Câu 20: Cho tam giác đều
ABC
cạnh
a
quay xung quanh đường cao
AH
tạo nên một hình nón. Diện tích
xung quanh của hình nón đó là:
A.
2
a
. B.
2
2
a
. C.
2
1
2
a
. D.
2
3
4
a
.
Câu 21: Cho tam giác
ABC
vuông tại
A
,
AB a
,
2
AC a
. Quay tam giác
ABC
(kể cả các điểm bên
trong tam giác) quanh
BC
, ta thu được khối tròn xoay. Tính diện tích bề mặt của khối tròn xoay
đó.
A.
2
6
5
a
. B.
2
3
5
a
. C.
2
4
a
. D.
2
2
a
.
Câu 22: Diện tích xung quanh của hình trụ có bán kính đáy
2
R
và đường sinh
3
l
bằng:
A.
24
. B.
12
. C.
6
. D.
4
.
Câu 23: Cho tam giác đều
ABC
quay quanh đường cao
AH
tạo ra hình nón có chiều cao bằng
2
a
. Tính
diện tích xung quanh
xq
S
của hình nón này
A.
2
6
xq
S a
. B.
2
3
4
xq
a
S
. C.
2
8
3
xq
a
S
. D.
2
2 3
3
xq
a
S
.
Câu 24: Một hình nón có góc ở đỉnh bằng
60
, đường sinh bằng
2
a
, diện tích xung quanh của hình nón
là:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 4
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
2
2
xq
S a
. B.
2
xq
S a
. C.
2
8
xq
S a
. D.
2
4
xq
S a
.
Câu 25: Cho tam giác
ABC
vuông tại
A
,
3
AB a
,
4
AC a
. Gọi
M
là trung điểm của
AC
. Khi qua
quanh
,
AB
các đường gấp khúc
AMB
,
ACB
sinh ra các hình nón có diện tích xung quanh lần lượt
là
1
S
,
2
S
. Tính tỉ số
1
2
S
S
.
A.
1
2
13
10
S
S
. B.
1
2
1
4
S
S
. C.
1
2
2
5
S
S
. D.
1
2
1
2
S
S
.
Câu 26: Cho hình nón có thiết diện qua trục là tam giác vuông có cạnh huyền bằng
2
a
. Tính diện tích
xung quanh
xq
S
của hình nón đó.
A.
2
2
2
xq
a
S
B.
2
2
6
xq
a
S
C.
2
2
3
xq
a
S
D.
2
3
3
xq
a
S
Câu 27: Cho hình nón có độ dài đường sinh bằng
2
a
và chu vi đáy bằng
2
a
. Tính diện tích xung quanh
S
của hình nón.
A.
2
3
a
S
. B.
2
S a
. C.
S a
. D.
2
2
S a
.
Câu 28: Cho một hình phẳng gồm nửa đường tròn đường kính
2
AB
, hai cạnh
BC
,
DA
của hình vuông
ABCD
và hai cạnh
ED
,
EC
của tam giác đều
DCE
(như hình vẽ bên). Tính diện tích
S
của mặt
tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng trên quanh trục đối xứng của nó.
A.
6
S . B.
3
6
2
S
. C.
8
S . D.
20 3
6
S
.
Câu 29: Một hình nón tròn xoay có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân có cạnh bằng
a
. Tính
diện tích
tp
S
toàn phần của hình nón đó:
A.
2
2 8
2
tp
a
S
. B.
2
2
2
tp
a
S
.
C.
2
2 1
2
tp
a
S
. D.
2
2 4
2
tp
a
S
.
Câu 30: Một hình nón có thiết diện qua trục là tam giác vuông cân cạnh bằng
a
. Diện tích hình nón là.
A.
2
2 .
a
. B.
2 2
2
2
a
S
a
. C.
2
2
S
a
. D.
2 2
2
2
2
a a
.
Câu 31: Cho hình nón có đường sinh là
a
, góc giữa đường sinh và mặt đáy là
, diện tích xung quanh của
hình nón là:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 5
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
2
cos
a
B.
2 sin
a
C.
2
sin
a
D.
2 cos
a
Câu 32: Trong không gian, cho tam giác
ABC
vuông tại cân
A
, gọi
I
là trung điểm của
BC
,
2
BC
.Tính
diện tích xung quanh của hình nón, nhận được khi quay tam giác
ABC
xung quanh trục
AI
.
A.
2 2
xq
S
. B.
4
xq
S
. C.
2
xq
S
. D.
2
xq
S
.
Câu 33: Một hình nón có đường cao
20 cm
h
, bán kính đáy
25 cm
r
. Tính diện tích xung quanh của
hình nón đó:
A.
75 41
. B.
5 41
. C.
125 41
. D.
25 41
.
Câu 34: Trong không gian, cho tam giác
ABC
vuông cân tại
A
, gọi
I
là trung điểm của
BC
,
2
BC
. Tính
diện tích xung quanh của hình nón nhận được khi quay tam giác
ABC
xung quanh trục
AI
.
A.
2 2 .
B.
2 .
C.
2 .
D.
4 .
Câu 35: Cho tam giác
ABC
vuông tại
A
có
3
AB a
,
AC a
. Diện tích xung quanh của hình nón tròn
xoay tạo thành khi quay tam giác quanh đường thẳng
AB
là:
A.
2
2
xq
S a
. B.
2
4
xq
S a
. C.
2
3
2
xq
a
S
. D.
2
3
xq
S a
.
Câu 36: Một hình nón có đường cao , bán kính đáy . Tính diện tích xung quanh của hình
nón đó.
A. . B. . C. . D. .
Câu 37: – 2017] Một hình nón đỉnh
S
, đáy hình tròn tâm
O
và
SO h
. Một mặt phẳng
P
qua đỉnh
S
cắt đường tròn
O
theo dây cung
AB
sao cho góc
90
AOB
, biết khoảng cách từ
O
đến
P
bằng
2
h
. Khi đó diện tích xung quanh hình nón bằng.
A.
2
10
3
h
. B.
2
10
3 3
h
. C.
2
2 10
3
h
. D.
2
10
6
h
.
Câu 38: Cho hình nón
N
có đường kính đáy bằng
4
a
, đường sinh bằng
5
a
. Tính diện tích xung quanh
S
của hình nón
N
.
A.
2
10
S a
. B.
2
14
S a
. C.
2
36
S a
. D.
2
20
S a
.
Câu 39: Cho tam giác ABC
vuông tại ,A ,aBC
.,, cbcABbAC
Khi quay tam giác vuông ABC
một vòng quanh cạnh ,BC quanh cạnh ,AC quanh cạnh ,AB ta được các hình có diện tích toàn
phần theo thứ tự bằng
.,,
cba
SSS
Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
c a b
S S S
. B.
a c b
S S S
. C.
b c a
S S S
. D.
b a c
S S S
.
Câu 40: Cho tam giác đều
ABC
quay quanh đường cao
AH
tạo ra hình nón có chiều cao bằng
2
a
. Tính
diện tích xung quanh
xq
S
của hình nón này.
A.
2
6
xq
S a
. B.
2
8
3
xq
a
S
. C.
2
3
4
xq
a
S
. D.
2
2 3
3
xq
a
S
.
Câu 41: Một hình trụ có bán kính đáy
r a
, độ dài đường sinh
2
l a
. Tính diện tích xung quanh của hình
trụ.
A.
2
6
a
. B.
2
4
a
. C.
2
2
a
. D.
2
5
a
.
Câu 42: Một hình nón có chiều cao bằng
3
a
và bán kính đáy bằng
a
. Tính diện tích xung quanh
xq
S
của
hình nón.
A.
2
2
xq
S a
. B.
2
2
xq
S a
. C.
2
3
xq
S a
. D.
2
xq
S a
.
Câu 43: Một hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng
a
. Diện
tích xung quanh của hình nón bằng
4
h cm
5
r cm
20
15
4 41
5 41
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 6
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
2
π 2
2
a
B.
2
π 2
a C.
2
π 2
4
a
D.
2
2
π 2
3
a
Câu 44: – 2017] Cho tam giác đều
ABC
cạnh
a
quay quanh đường cao
AH
tạo nên một hình nón Diện
tích xung quanh
S
của hình nón đó là:
A.
2
3
4
a
S
. B.
2
S a
.
C.
2
2
a
S
.
D.
2
2
S a
.
Câu 45: Cho hình chóp tứ giác đều .
S ABCD
có cạnh đáy bằng
a
, cạnh bên hợp với đáy một góc
60
.
Hinh nón có đỉnh là
S
, đáy là đường tròn nội tiếp tứ giác
ABCD
có diện tích xung quanh là:
A.
2
S a
B.
2
7 1
4
a
S
C.
2
7
4
a
S
D.
2
3
2
S a
Câu 46: Cho hình nón có bán kính đáy bằng
3
và chiều cao bằng
4
. Tính diện tích xung quanh
S
của hình
nón đó.
A.
25
S . B.
20
S . C.
15
S . D.
60
S .
Câu 47: Cho hình nón có đường sinh
2
l a
và hợp với đáy một góc
60
. Diện tích xung quanh
xq
S
của
khối nón bằng.
A.
2
2
xq
S a
. B.
2
xq
S a
. C.
2
3
2
xq
S a
. D.
2
2
xq
S a
.
Câu 48: Cho hình nón có bán kính đáy bằng
3
và chiều cao bằng
4
. Tính diện tích xung quanh của hình
nón.
A.
9
. B.
30
. C.
15
. D.
12
.
Câu 49: Một hình nón có chiều cao bằng
3
a
và bán kính đáy bằng
a
. Diện tích xung quanh của hình nón
bằng:
A.
2
3
a
. B.
2
3
a
. C.
2
a
. D.
2
2
a
.
Câu 50: Cho hình nón có độ dài đường sinh bằng
2cm
, góc ở đỉnh bằng
o
60
. Diện tích xung quanh của
hình nón là
A.
2
3
cm
. B.
2
6
cm
. C.
2
cm
. D.
2
2
cm
.
Câu 51: Cho hình lập phương .
ABCD A B C D
có cạnh bằng
1
. Tính diện tích xung quanh của hình tròn
xoay sinh bởi đường gấp khúc
ACA
khi quay quanh trục
AA
.
A.
6
. B.
3
. C.
2
. D.
5
.
Câu 52: Cho hình nón đỉnh
S
biết rằng nếu cắt hình nón bởi một mặt phẳng đi qua trục ta được một tam
giác vuông cân có cạnh huyền bằng
2
a
. Diện tích xung quanh của hình nón là:
A.
2
2
xq
a
S
. B.
2
2
2
xq
a
S
. C.
2
xq
S a
. D.
2
2
xq
S a
.
Câu 53: Cho hình nón có bán kính đáy bằng
3
và chiều cao bằng
4
. Tính diện tích xung quanh của hình
nón.
A.
30
. B.
15
. C.
12
. D.
9
.
Câu 54: Cho tam giác
ABC
có
3
AB
,
4
AC
,
5
BC
. Cho tam giác quay quanh
AB
và
AC
ta được
2
hình nón tròn xoay có diện tích xung quanh tương ứng là
1
S
và
2
S
. Chọn câu đúng.
A.
1
2
3
5
S
S
. B.
1
2
4
5
S
S
. C.
1
2
3
4
S
S
. D.
1
2
4
3
S
S
.
Câu 55: Hình trụ
T
được sinh ra khi quay hình chữ nhật
ABCD
quanh cạnh
AB
. Biết
2 2
AC a ,
45
ACB
. Diện tích toàn phần của hình trụ
T
là:
A.
2
8
TP
S a
. B.
2
16
TP
S a
. C.
2
10
TP
S a
. D.
2
12
TP
S a
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 7
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 56: Cho hình tam giác
ABC
vuông tại
A
có
30
ABC
và cạnh góc vuông
2
AC a
quay quanh
cạnh
AC
tạo thành hình nón tròn xoay có diện tích xung quanh bằng:
A.
2
4
3
3
a
. B.
2
8 3
a
. C.
2
16 3
a
. D.
2
2
a
.
Câu 57: Cho hình nón có độ dài đường sinh bằng
2
a
và chu vi đáy bằng
2
a
. Tính diện tích xung quanh
S
của hình nón.
A.
2
π
3
a
S B.
2
π
S a
C.
π
S a
D.
2
2
π
S a
Câu 58: Trong không gian cho tam giác
OIM
vuông tại
I
, góc
45
IOM
và cạnh
IM a
. Khi quay
tam giác
OIM
quanh cạnh góc vuông
OI
thì đường gấp khúc
OMI
tạo thành một hình nón tròn
xoay. Khi đó, diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay đó bằng
A.
2
2
2
a
. B.
2
3
a
. C.
2
a
. D.
2
2
a
.
Câu 59: Một tứ diện đều cạnh
a
có một đỉnh trùng với đỉnh hình nón, ba đỉnh còn lại nằm trên đường tròn
đáy của hình nón. Khi đó diện tích xung quanh của hình nón bằng:
A.
2
3
3
a
. B.
2
3
a
. C.
2
3
2
a
. D.
2
2 3
3
a
.
Câu 60: Hình nón
N
có đỉnh
S
, tâm đường tròn đáy là
O
, góc ở đỉnh bằng
120
. Một mặt phẳng qua
S
cắt hình nón
N
theo thiết diện là tam giác vuông
SAB
. Biết rằng khoảng cách giữa hai đường
thẳng
AB
và
SO
bằng
3
. Tính diện tích xung quanh
xq
S
của hình nón
N
A.
27 3
xq
S
. B.
18 3
xq
S
. C.
9 3
xq
S
. D.
36 3
xq
S
.
Câu 61: Cho hình nón có bán kính đáy là , chiều cao là . Diện tích xung quanh hình nón bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 62: Cho khối nón có bán kính đáy
1
r cm
và góc ở đỉnh
60
. Tính diện tích xung quanh
xq
S
của
hình nón.
A.
2
2
cm
. B.
2
2
cm
. C.
2
3
cm
. D.
2
cm
.
Câu 63: Cho hình nón có bán kính đáy
3
r và độ dài đường sinh
4
l
. Tính diện tích xung quanh
S
của hình nón đã cho.
A.
16 3
S
. B.
4 3
S
. C.
8 3
S
. D.
24
S
.
Câu 64: Cho hình chóp tam giác đều .
S ABC
có cạnh
AB a
, góc tạo bởi
SAB
và
ABC
bằng
60
.
Diện tích xung quanh của hình nón đỉnh
S
và có đường tròn đáy ngoại tiếp tam giác
ABC
bằng
A.
2
7
3
a
. B.
2
7
6
a
. C.
2
3
2
a
. D.
2
3
6
a
.
Câu 65: Cho tam giác
ABC
vuông tại
A
có
6, 8.
AB AC
Tính diện tích xung quanh của hình nón tròn
xoay tạo thành khi quay tam giác
ABC
quanh cạnh
.
AC
A.
160 .
xq
S
B.
80 .
xq
S
C.
120 .
xq
S
D.
60 .
xq
S
Câu 66: Hình nón có góc ở đỉnh bằng
60
, độ dài đường sinh bằng
a
. Khi đó, diện tích xung quanh của
hình nón là.
A.
2 2
2 4
a a
. B.
2 2
4 4
a a
. C.
2
2
a
. D.
2
2
4
a
.
Câu 67: Cho tam giác
ABC
vuông cân tại
A
biết
2
BC a
. Gọi
I
là trung điểm của
BC
. Tính diện tích
toàn phần của khối nón tròn xoay sinh ra khi cho
ABC
quay quanh
AI
một góc
360
.
4
a
3
a
2
24
a
2
20
a
2
40
a
2
12
a
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 8
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
2
2 2 1
a
. B.
2
2 2 1
2
a
. C.
2
2
2
a
. D.
2
2 1
2
a
.
Câu 68: Cho hình nón có thiết diện qua trục của hình nón là tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng
2
a
. Diện tích xung quanh của hình nón bằng:
A.
2
2
3
a
. B.
2
2
2
a
. C.
2
2 2
a
. D.
2
2
a
.
Câu 69: Cho tam giác
AOB
vuông tại
O
, có
30
OAB
và
AB a
. Quay tam giác
AOB
quanh trục
AO
ta được một hình nón. Tính diện tích xung quanh
xq
S
của hình nón đó.
A.
2
2
xq
S a
. B. . C.
2
xq
S a
. D.
2
4
xq
a
S
.
Câu 70: Hình nón tròn xoay ngoại tiếp tứ diện đều cạnh bằng
a
, có diện tích xung quanh là:
A.
2
2
3
xq
a
S
. B.
2
3
xq
a
S
. C.
2
3
6
xq
a
S
. D.
2
3
3
xq
a
S
.
Câu 71: Cho hình nón có góc ở đỉnh bằng
60
, bán kính đáy bằng
a
. Diện tích xung quanh của hình nón
bằng
A.
2
2
a
. B.
2
a
. C.
2
3
a
. D.
2
4
a
.
Câu 72: Một hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng
a
. Diện
tích xung quanh của hình nón bằng:
A.
2
2
a
.
.
B. .
. C.
2
2
2
a
.
D.
2
a
.
Câu 73: Cho hình nón đỉnh
S
và đường tròn đáy có tâm là
O
. điểm
A
thuộc đường tròn đáy. Tỉ số giữa
diện tích xung quanh và diện tích đáy là
2
. Số đo của góc
SAO
là?
A.
0
45
.
B.
0
30
. C.
0
120
. D.
0
60
.
Câu 74: C ho tam giác
OAB
vuông tại
O
có
3
OA
,
4
OB
. Tính diện tích toàn phần của hình nón tạo
thành khi quay tam giác
OAB
quanh
OA
.
A.
36
S
. B.
20
S
. C.
26
S
. D.
52
S
.
Câu 75: Cho tam giác
ABC
vuông cân tại
A
biết
2
BC a
. Gọi
I
là trung điểm của
BC
. Tính diện tích
toàn phần của khối nón tròn xoay sinh ra khi cho
ABC
quay quanh
AI
một góc
360
.
A.
2
2 1
2
a
. B.
2
2 2 1
2
a
. C.
2
2
2
a
. D.
2
2 2 1
a
.
Câu 76: Hình lập phương D.
ABC A B C D
có cạnh bằng
,
a
Một hình nón tròn xoay có đỉnh là tâm của hinh
vuông
D
ABC
và có đường tròn đáy ngoại tiếp hình vuông
.
A B C D
Diện tích xung quanh của
hình nón đó là:
A.
2
6
2
a
. B.
2
3
2
a
. C.
2
2
2
a
. D.
2
3
3
a
.
Câu 77: Cho tam giác
ABO
vuông tại
O
có góc
30
BAO
,
AB a
.Quay tam giác
ABO
quanh trục
AO
ta được một hình nón có diện tích xung quanh bằng.
A.
2
2
a
. B.
2
4
a
. C.
2
2
a
. D.
2
a
.
Câu 78: Trong không gian, cho tam giác
ABC
là tam giác vuông cân tại
A
, gọi
I
là trung điểm của
BC
,
2
BC
. Tính diện tích xung quanh của hình nón nhận được khi quay tam giác
ABC
quanh trục
AI
.
A.
2
xq
S
. B.
2
xq
S
. C.
2 2
xq
S
. D.
4
xq
S
.
2
2
xq
a
S
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 9
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 79: Cho khối nón
có bán kính đáy bằng
3
và thể tích bằng
12
. Tính diện tích xung quanh của
khối nón
.
A.
36
. B.
15
. C.
3
. D.
5
.
Câu 80: Tính diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay ngoại tiếp tứ diện đều cạnh bằng
a
.
A.
2
3
3
xq
a
S
. B.
2
3
xq
a
S
. C.
2
2
3
xq
a
S
. D.
2
3
6
xq
a
S
.
Câu 81: Cho hình chóp tứ giác đều .
S ABCD
có cạnh đáy bằng
2
a
, góc giữa cạnh bên với mặt đáy bằng
45
. Tính diện tích xung quanh của khối nón đỉnh
S
, đáy là đường tròn ngoại tiếp
ABCD
.
A.
2
2 2
a
. B.
2
4 2
a
. C.
2
2
2
a
. D.
2
2
a
.
Câu 82: Hình nón có đường sinh
2
l a
và bán kính đáy bằng
a
. Diện tích xung quanh của hình nón bằng
bao nhiêu?
A.
2
a
. B.
2
2
a
. C.
2
2
a
. D.
2
4
a
.
Câu 83: Trong không gian cho tam giác
ABC
vuông tại
A
với
3 ,
AC a
4
AB a
. Tính theo
a
diện tích
xung quanh
S
của hình nón khi quay tam giác
ABC
quanh trục
AC
.
A.
2
15
S a
B.
2
30
S a
C.
2
40
S a
D.
2
20
S a
Câu 84: Cho hình nón có chiều cao
3
a
và bán kính đáy
a
. Tính diện tích xung quanh
xq
S
của hình nón.
A.
2
xq
S a
. B.
2
2
xq
S a
. C.
2
2
xq
a
S
. D.
2
xq
S a
.
Câu 85: Cho hình nón có đường sinh
5
l
, bán kính đáy
3
r
. Diện tích toàn phần của hình nón đó là:
A.
24 .
tp
S
B.
20 .
tp
S
C.
22 .
tp
S
D.
15 .
tp
S
Câu 86: Cho hình nón đỉnh
S
, đường cao
SO
. Gọi
A
và
B
là hai điểm thuộc đường tròn đáy của hình
nón sao cho khoảng cách từ
O
đến
AB
bằng
a
và
30
SAO
,
60
SAB
. Diện tích xung quanh
của hình nón bằng
A.
2
2 3
xq
S a
. B.
2
3
xq
S a
. C.
2
3
3
xq
a
S
. D.
2
2 3
3
xq
a
S
.
Câu 87: Hình nón đường sinh
l
, thiết diện qua trục của hình nón là tam giác vuông cân. Diện tích xung
quanh của hình nón là.
A.
2
4
l
. B.
2
2 2
l
. C.
2
2
l
. D.
2
2
l
.
Câu 88: Trong không gian cho tam giác
ABC
vuông tại
A
với
3
AC a
,
4
AB a
. Tính theo
a
diện tích xung
quanh
S
của hình nón khi quay tam giác
ABC
quanh trục
AC
.
A.
2
40
S a
. B.
2
30
S a
. C.
2
20
S a
. D.
2
15
S a
.
Câu 89: Cho khối nón
có bán kính đáy bằng
3
và thể tích bằng
12
. Tính diện tích xung quanh của
khối nón
.
A.
3
. B.
5
. C.
36
. D.
15
.
Câu 90: Cho hình nón có bán kính đáy là
3
r
và độ dài đường sinh
4
l
. Diện tích xung quanh của
hình nón đã cho là
A.
24
S
. B.
8 3
S
. C.
16 3
S
. D.
4 3
S
.
Câu 91: Cho tam giác
ABC
vuông tại
B
có 2 ,
AC a BC a
, khi quay tam giác
ABC
quay quanh cạnh
góc vuông
AB
thì đường gấp khúc
ABC
tạo thành một hình nón tròn xoay có diện tích xung
quanh bằng:
A.
2
4
a
. B.
2
2
a
. C.
2
a
. D.
2
3
a
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 10
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 92: Đường cao của một hình nón bằng
0
a a
. Thiết diện qua trục của nó là một tam giác cân có
góc ở đỉnh bằng
0
120
. Diện tích toàn phần của hình nón là:
A.
2
3 3
a
. B.
2
3 3 3
a
. C.
2
3 2 3
a
. D.
2
2 3
a
.
Câu 93: Diện tích toàn phần của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến đường sinh bằng
3
và thiết
diện qua trục là tam giác đều bằng:
A.
8
. B.
20
. C.
12
. D.
16
.
Câu 94: Hình nón đường sinh
l
, thiết diện qua trục của hình nón là tam giác vuông cân. Diện tích xung
quanh của hình nón là.
A.
2
.
2
l
B.
2
.
2 2
l
C.
2
.
4
l
D.
2
.
2
l
Câu 95: Một hình nón có bán kính đáy bằng
1
và có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân. Tính
diện tích xung quanh của hình nón.
A.
2
. B.
1
2
. C.
2 2
. D.
.
Câu 96: Trong không gian, cho tam giác
ABC
vuông tại
,
A
cạnh
,
AB a
3.
AC a Tính diện tích xung
quanh của hình nón nhận được khi quay tam giác
ABC
xung quanh trục
AC
.
A.
2
2
xq
S a
. B.
2
3
xq
S a
. C.
2
2
xq
S a
. D.
2
xq
S a
.
Câu 97: Cho hình lập phương .
ABCD A B C D
có cạnh bằng
a
, một hình nón có đỉnh là tâm của hình
vuông
ABCD
và có đường tròn đáy ngoại tiếp hình vuông
A B C D
. Diện tích xung quanh của
hình nón đó là.
A.
2
3
3
a
. B.
2
3
2
a
. C.
2
5
4
a
. D.
2
2
2
a
.
Câu 98: Thiết diện qua trục của một hình nón
N
là một tam giác vuông cân, có cạnh góc vuông bằng
a
, diện tích toàn phần của hình nón
N
bằng:
A.
2
2
a
. B.
2
2
2
a
. C.
2
1 2
2
a
. D.
2
1 3
2
a
.
Câu 99: Cho hình nón có bán kính đáy là
2
r và độ dài đường sinh
4
l
. Tính diện tích xung quanh
S
của hình nón đã cho.
A.
4 2
S
. B.
8 2
S
. C.
16 2
S
. D.
16
S
.
Câu 100: Cắt hình nón
N
bởi một mặt phẳng chứa trục của
N
thu được thiết diện là một tam giác vuông
có diện tích bằng
2
4 cm
. Tính diện tích xung quanh
xq
S
của hình nón
N
.
A.
2
8 2 cm
xq
S
. B.
2
4 cm
xq
S
. C.
2
4 2 cm
xq
S
. D.
2
8 cm
xq
S
.
Câu 101: Cho hình nón
( )
N
có bán kính đường tròn đáy
2
R
và độ dài đường sinh
4.
l
Tính diện tích
xung quanh
xq
S
của hình nón
( ).
N
A.
8
xq
S
. B.
4
xq
S
. C.
8
xq
S
. D.
16
xq
S
.
Câu 102: Cho hình lập phương .
ABCD A B C D
cạnh
a
. Tính diện tích xung quanh của khối nón có đỉnh là
tâm
O
của hình vuông
ABCD
và đáy là hình tròn nội tiếp hình vuông
A B C D
.
A.
2
5
8
xq
a
S
. B.
2
5
16
xq
a
S
. C.
2
5
4
xq
a
S
. D.
2
5
2
xq
a
S
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 11
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 103: Cho hình lập phương
.
ABCD A B C D
có cạnh
a
. Một khối nón có đỉnh là tâm của hình vuông
ABCD
và đáy là hình tròn nội tiếp hình vuông
A B C D
. Kết quả tính diện tích toàn phần
tp
S
của
khối nón đó có dạng bằng
2
4
a
b c
với
b
và
c
là hai số nguyên dương và
1
b
. Tính
bc
.
A.
7
bc
. B.
8
bc
. C.
15
bc
. D.
5
bc
.
Câu 104: Cho tam giác
ABC
nội tiếp trong đường tròn tâm
,
O
bán kính
R
có
75 , 60 .
BAC ACB
Kẻ
.
BH AC
Quay
ABC
quanh
AC
thì
BHC
tạo thành hình nón xoay
N
. Tính diện tích xung
quanh của hình nón tròn xoay
N
theo
.
R
.
A.
2
3 3 1
4
R
. B.
2
3 2 2
2
R
. C.
2
3 2 1
4
R
. D.
2
3 2 3
2
R
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 1
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
HÌNH NÓN KHỐI NÓN
DẠNG 1: TÍNH ĐỘ DÀI ĐƯỜNG SINH, BÁN KÍNH ĐÁY, ĐƯỜNG CAO, GÓC Ở ĐỈNH
Câu 1: Cho hình nón có đường sinh bằng
4 ,
a
diện tích xung quanh bằng
2
8 .
a
Tính chiều cao của hình
nón đó theo
.
a
A.
2 .
a
B.
2 3
.
3
a
C.
3.
a
D.
2 3.
a
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có:
2 2
2 2
2
8 8
8 2 4 2 2 3
4
xq
a a
S rl a r a h a a a
l a
.
Câu 2: Một hình nón có đường sinh bằng
l
và bằng đường kính đáy. Bán kính hình cầu nội tiếp hình
nón bằng:
A.
3
4
l
. B.
1
3
l
. C.
3
6
l
. D.
2
6
l
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Dễ thấy thiết diện qua trục hình nón là một tam giác đều cạnh
l
.
Bán kính hình cầu nội tiếp hình nón chính là bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác đều nói
trên:
3
6
R l
.
Câu 3: Một khối nón có diện tích xung quanh bằng
2
2
cm
và bán kính đáy
1
2
cm
. Khi đó độ dài
đường sinh là
A.
2
cm
. B.
3
cm
. C.
1
cm
. D.
4
cm
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có:
2
4
1
.
2
xq
xq
S
S Rl l
R
.
Câu 4: Một hình nón tròn xoay có đường sinh bằng đường kính đáy. Diện tích đáy hình nón bằng
9
.
Khi đó đường cao hình nón bằng
A.
3 3
. B.
3
2
. C.
3
. D.
3
3
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
2
l R
;
2
9
S R
3
R
;
2 2
3 3 3
h l R R .
Câu 5: Cho hình chóp .
S ABC
có đáy
ABC
là tam giác vuông tại
B
và
BA BC a
. Cạnh bên
2
SA a
và vuông góc với mặt phẳng
ABC
. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp .
S ABC
là:
A.
6
a
. B.
2
6a
. C.
3
a
. D.
2
2
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 2
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Gọi
I
là trung điểm cạnh
SC
.
SA ABC SA AC SAC
vuông tại
A
. Suy ra:
IA IC IS
.
SA ABC SA BC
và
BC AB
(do
ABC
vuông tại
B
).
Suy ra:
BC SAB
nên
BC SB SBC
vuông tại
B
. Do đó
IB IC IS
.
Vậy
I
là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .
S ABC
.
Khi đó
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 6
4
2 2 2 2 2
a
R IS SC SA AC SA AB BC a a a
.
Câu 6: Cho hình nón đỉnh
S
có đáy là đường tròn tâm
O
, bán kính
R
. Biết
SO h
. Độ dài đường sinh
của hình nón bằng
A.
2 2
h R
. B.
2 2
2
h R
. C.
2 2
2
h R
. D.
2 2
h R
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có đường sinh
2 2
l h R
.
Câu 7: Một hình nón có bán kính đáy
1
r
, chiều cao
4
3
h
. Kí hiệu góc ở đỉnh của hình nón là
2
.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng ?
A.
3
cos
5
. B.
3
sin
5
. C.
3
cot
5
. D.
3
tan
5
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Hình nón có bán kính đáy
1
r
, chiều cao
4
3
h
đường sinh
5
3
l
.
Ta có :
3
sin
5
.
Câu 8: Cho hình nón có diện tích xung quanh là
xq
S
và bán kính đáy là
r
. Công thức nào dưới đây dùng
để tính đường sinh
l
của hình nón đã cho.
A.
π
xq
S
l
r
. B.
2
π
xq
S
l
r
. C.
2π
xq
l S r
. D.
2
π
xq
S
l
r
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 3
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Ta có
π
xq
S rl
π
xq
S
l
r
.
Câu 9: Cho hình nón có độ dài đường sinh bằng đường kính đáy. Diện tích đáy của hình nón bằng
.
Chiều cao của hình nón bằng
A.
2
. B.
5
. C.
1
. D.
3
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Theo đề bài, ta có
2
BC AC R
.
Mà
2
day
1
S R R
.
Do đó
2
BC
.
Tam giác
MBC
vuông tại
M
nên chiều cao hình nón
2 2
4 1 3
BM BC MC .
Câu 10: Khối nón có bán kính đáy bằng
2
, chiều cao bằng
2 3
thì có đường sinh bằng:
A.
4
B.
3
C.
16
D.
2
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có
2 2
l r h
2
2
2 2 3
4
.
Câu 11: Cho hình nón tròn xoay có bán kính đường tròn đáy
r
, chiều cao
h
và đường sinh
l
.
Kết luận nào sau đây sai?
A.
2
tp
S rl r
. B.
2 2 2
h r l
. C.
xq
S rl
. D.
2
1
3
V r h
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
h
r
O
l
S
A
B
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 4
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Ta có tam giác SOB vuông tại O nên:
2 2 2 2 2 2
h r l h l r
.
Câu 12: Cho hình nón có độ dài đường sinh bằng 6cm, góc ở đỉnh bằng
60
. Thể tích khối nón là:
A.
3
27 cm
. B.
3
9 cm
. C.
3
9 3 cm
. D.
3
27cm
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Hình nón có góc ở đỉnh bằng
60
nên thiết diện chứa trục của hình nón là tam giác đều có độ dài
cạnh bằng 6cm.
Thể tích khối nón là:
2 3
1
.3 . .3 3 9 3 cm
3
V
Câu 13: Cho hình nón có bán kính đường tròn đáy bằng R , chiều cao bằng h , độ dài đường sinh bằng l .
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A.
2 2
l R h . B.
2 2
R l h
. C.
2 2
h R l . D.
2 2
l R h .
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có:
2 2 2
l R h
2 2
l R h
.
Câu 14: Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tại A , 3AB a và 4AC a . Độ dài đường sinh l
của hình nón nhận được khi quay ABC xung quanh trục AC bằng
A. l a . B. 2l a . C.
3l a
. D. 5l a .
Hướng dẫn giải
Chọn D
Đường sinh của hình nón có độ dài bằng đoạn
2 2
5
BC AB AC a
.
Câu 15: Một hình nón có đường sinh bằng đường kính đáy. Diện tích đáy của hình nón bằng 9
. Tính
đường cao h của hình nón.
A.
3
.
2
h
B.
3
.
3
h
C.
3 3.h
D.
3.h
Hướng dẫn giải
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 5
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Chọn C
Ta có
2
l R
và
2
9 9 3
S R R
2 2
6 3 3 3
h AO .
Câu 16: Cho nửa hình tròn tâm
O
, đường kính
AB
. Người ta ghép hai bán kính
OA
,
OB
lại tạo thành
mặt xung quanh của hình nón. Tính góc ở đỉnh của hình nón đó.
A.
45
. B.
60
. C.
90
. D.
30
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Gọi
R
,
r
lần lượt là bán kính của nửa hình tròn tâm
O
và hình nón.
Hình nón có đường sinh
l OA R
và chu vi đường tròn đáy bằng nửa chu vi hình tròn tâm
O
,
đường kính
AB
. Do đó 2
r R
2
R
r
.
Gọi
I
là tâm đường tròn đáy của hình nón.
Xét
OAI
vuông tại
I
có :
1
2
sin
2
R
AI
AOI
OA R
30
AOI
.
Do đó góc ở đỉnh của hình nón bằng
60
.
Câu 17: Người ta cắt hết một miếng tôn hình tròn ra làm
3
miếng hình quạt bằng nhau. Sau đó quấn và
gò
3
miếng tôn để được
3
hình nón. Tính góc ở đỉnh của hình nón.
A.
1
2 2 arcsin
2
. B.
1
2 2 arcsin
3
. C.
2 120
. D.
2 60
.
Hướng dẫn giải
O
A
B
I
B
O
A
c
b
C
A
B
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 6
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Chọn B
Chu vi đường tròn lớn:
2
R
.
Chu vi hình nón:
1
.2
3
R
nên bán kính của hình nón là:
3
R
.
sin
r
l
3
R
R
1
3
nên
1
arcsin
3
1
2 2arcsin
3
.
DẠNG 2: TÍNH DIỆN TÍCH XUNG QUANH, DIỆN TÍCH TOÀN PHẦN
Câu 18: Viết công thức tính diện tích xung quanh của hình nón có đường sinh
l
và bán kính đường tròn
đáy
r
.
A.
2
xq
S r l
. B.
2
2
xq
S r l
. C.
xq
S rl
. D.
2
xq
S rl
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Công thức.
Câu 19: Một hình nón có đường cao
20
h cm
, bán kính đáy
25
r cm
. Tính diện tích xung quanh của
hình nón đó.
A.
5 41
. B.
25 41
. C.
. D.
125 41
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có:
2 2
5 41
l h r .
Diện tích xung quanh:
125 41
xq
S rl
.
Câu 20: Cho tam giác đều
ABC
cạnh
a
quay xung quanh đường cao
AH
tạo nên một hình nón. Diện
tích xung quanh của hình nón đó là:
A.
2
a
. B.
2
2
a
. C.
2
1
2
a
. D.
2
3
4
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Khi quay tam giác đều
ABC
xung quanh đường cao
AH
tạo nên một hình nón có.
Đường sinh
l a
; bán kính đáy
2 2
BC a
r
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 7
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
.
Khi đó
2
2
xq
a
S rl
.
Câu 21: Cho tam giác
ABC
vuông tại
A
,
AB a
,
2
AC a
. Quay tam giác
ABC
(kể cả các điểm bên
trong tam giác) quanh
BC
, ta thu được khối tròn xoay. Tính diện tích bề mặt của khối tròn xoay
đó.
A.
2
6
5
a
. B.
2
3
5
a
. C.
2
4
a
. D.
2
2
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Gọi
H
là chân đường cao kẻ từ đỉnh
A
của
ABC
.Ta có
ABC
vuông tại
A
2 2 2 2
. . .2 2
. .
5
4
AB AC AB AC a a a
AH BC AB AC AH
BC
AB AC a a
Khi quay
ABC
quanh cạnh
BC
ta được vật thể là hai khối nón tròn xoay có chung đáy là
đường tròn tâm
H
, bán kính
2
5
a
R AH
Diện tích bề mặt của vật thể tròn xoay đó là:
2
2 6
. . 2
5 5
a a
S R AB AC a a
.
Câu 22: Diện tích xung quanh của hình trụ có bán kính đáy
2
R
và đường sinh
3
l
bằng:
A.
24
. B.
12
. C.
6
. D.
4
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có
2 2 .2.3 12
xq
S Rl
.
Câu 23: Cho tam giác đều
ABC
quay quanh đường cao
AH
tạo ra hình nón có chiều cao bằng
2
a
. Tính
diện tích xung quanh
xq
S
của hình nón này
a
2
H
C
B
A
a
a
H
E
A
B
C
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 8
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
2
6
xq
S a
. B.
2
3
4
xq
a
S
. C.
2
8
3
xq
a
S
. D.
2
2 3
3
xq
a
S
.
Hướng dẫn giải.
Chọn C
.
Xét
ABH
có
2
2
2 2 2 2
3
4 4
BC AB
AH AB BH AB
.
2 3 4 3
3 3
AH a
AB
. Khi đó
2 2
8
. . .
2 3
xq
AB a
S BH AB
.
Câu 24: Một hình nón có góc ở đỉnh bằng
60
, đường sinh bằng
2
a
, diện tích xung quanh của hình nón
là:
A.
2
2
xq
S a
. B.
2
xq
S a
. C.
2
8
xq
S a
. D.
2
4
xq
S a
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
.
Ta có hình nón có góc ở đỉnh bằng
0
60 60 30
ASB ISB
.
Đường sinh bằng
2
a
suy ra
2
SB SA a
.
Bán kính đáy của hình nón là
.sin 2 sin30
R IB SB ISB a a
.
Diện tích xung quanh của hình nón là
2
2 . 2
S Rl a a a
.
Câu 25: Cho tam giác
ABC
vuông tại
A
,
3
AB a
,
4
AC a
. Gọi
M
là trung điểm của
AC
. Khi qua
quanh
,
AB
các đường gấp khúc
AMB
,
ACB
sinh ra các hình nón có diện tích xung quanh lần
lượt là
1
S
,
2
S
. Tính tỉ số
1
2
S
S
.
A.
1
2
13
10
S
S
. B.
1
2
1
4
S
S
. C.
1
2
2
5
S
S
. D.
1
2
1
2
S
S
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
I
A
B
S
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 9
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
2
2
1 1 1
. . 2 13
2 2
AC AC
S rl AB
;
2 2
2 2 2
. . 20
S r l AC AB AC
.
Do đó
1
2
13
10
S
S
.
Câu 26: Cho hình nón có thiết diện qua trục là tam giác vuông có cạnh huyền bằng
2
a
. Tính diện tích
xung quanh
xq
S
của hình nón đó.
A.
2
2
2
xq
a
S
B.
2
2
6
xq
a
S
C.
2
2
3
xq
a
S
D.
2
3
3
xq
a
S
Hướng dẫn giải
Chọn A
Gọi
S
là đỉnh hình nón, thiết diện qua trục là tam giác
SAB
.
Ta có 2
AB a SA a
, suy ra
l SA a
;
2
2 2
AB a
r
.
Vậy
2
2 2
. .
2 2
xq
a a
S rl a
.
Câu 27: Cho hình nón có độ dài đường sinh bằng
2
a
và chu vi đáy bằng
2
a
. Tính diện tích xung quanh
S
của hình nón.
A.
2
3
a
S
. B.
2
S a
. C.
S a
. D.
2
2
S a
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có
2 2
R a
R a
.
Diện tích xung quanh
xq
S
của hình nón là:
2
2
xq
S Rl a
.
A
S
B
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 10
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 28: Cho một hình phẳng gồm nửa đường tròn đường kính
2
AB
, hai cạnh
BC
,
DA
của hình
vuông
ABCD
và hai cạnh
ED
,
EC
của tam giác đều
DCE
(như hình vẽ bên). Tính diện tích
S
của mặt tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng trên quanh trục đối xứng của nó.
A.
6
S . B.
3
6
2
S
. C.
8
S . D.
20 3
6
S
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Gọi
1
S
là diện tích của mặt cầu khi quay nửa đường tròn đường kính
2
AB
khi quay quanh
trục đối xứng của nó
1
2
S
.
Gọi
2
S
là diện tích xung quanh của hình trụ khi quay hình vuông
ABCD
cạnh
2
AB
quanh
trục đối xứng của nó
2
4
S
.
Gọi
3
S
là diện tích hình xung quanh của hình nón khi quay tam giác đều
DCE
cạnh
2
EC
quanh trục đối xứng của nó
3
2
S
.
Vậy diện tích của mặt tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng trên quanh trục đối xứng của nó
là
1 2 3
S S S S
8
.
Câu 29: Một hình nón tròn xoay có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân có cạnh bằng
a
. Tính
diện tích
tp
S
toàn phần của hình nón đó:
A.
2
2 8
2
tp
a
S
. B.
2
2
2
tp
a
S
.
C.
2
2 1
2
tp
a
S
. D.
2
2 4
2
tp
a
S
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 11
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
.
Theo đề suy ra đường sinh
l a
, và đường tròn đáy có bán kính
2
2
a
r
. Khi đó
2
2
2
xq
a
S
, diện tích đáy
2
2
a
S
.
Vậy
2
2 1
2
tp
a
S
.
Câu 30: Một hình nón có thiết diện qua trục là tam giác vuông cân cạnh bằng
a
. Diện tích hình nón là.
A.
2
2 .
a
. B.
2 2
2
2
a
S
a
. C.
2
2
S
a
. D.
2 2
2
2
2
a a
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
2 2
2
2 2
2
xq d
a a a
a Rl S S S
.
Câu 31: Cho hình nón có đường sinh là
a
, góc giữa đường sinh và mặt đáy là
, diện tích xung quanh
của hình nón là:
A.
2
cos
a
B.
2 sin
a
C.
2
sin
a
D.
2 cos
a
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có:
a
;
cos cos
r a
.
Khi đó diện tích xung quanh của hình nón là
2
cos
xq
S r a
.
Câu 32: Trong không gian, cho tam giác
ABC
vuông tại cân
A
, gọi
I
là trung điểm của
BC
,
2
BC
.Tính diện tích xung quanh của hình nón, nhận được khi quay tam giác
ABC
xung quanh
trục
AI
.
A.
2 2
xq
S
. B.
4
xq
S
. C.
2
xq
S
. D.
2
xq
S
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
l
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 12
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
1
2
BC
R
,
2
2.
2
l AB AC
2
xq
S R
Câu 33: Một hình nón có đường cao
20 cm
h
, bán kính đáy
25 cm
r
. Tính diện tích xung quanh của
hình nón đó:
A.
75 41
. B.
5 41
. C.
125 41
. D.
25 41
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Đường sinh của hình nón
2 2
5 41
h r cm
.
Diện tích xung quanh:
2
125 41
xq
S r cm
.
Câu 34: Trong không gian, cho tam giác
ABC
vuông cân tại
A
, gọi
I
là trung điểm của
BC
,
2
BC
.
Tính diện tích xung quanh của hình nón nhận được khi quay tam giác
ABC
xung quanh trục
AI
.
A.
2 2 .
B.
2 .
C.
2 .
D.
4 .
Hướng dẫn giải
Chọn B
Tam giác
ABC
vuông cân tại
A
và
2
BC
nên
2
AB AC và
1
AI
.
Quay tam giác quanh
AI
ta có hình nón với độ dài đường sinh là
2
AB , bán kính
1
IB
.
Diện tích xung quanh của hình nón
. . .1. 2 2
xq
S IB AB
.
Câu 35: Cho tam giác
ABC
vuông tại
A
có
3
AB a
,
AC a
. Diện tích xung quanh của hình nón
tròn xoay tạo thành khi quay tam giác quanh đường thẳng
AB
là:
A.
2
2
xq
S a
. B.
2
4
xq
S a
. C.
2
3
2
xq
a
S
. D.
2
3
xq
S a
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Khi quay tam giác
ABC
quanh cạnh
AB
ta thu được hình nón có:
r AC a
;
2
l BC a
.
IB C
A
1
I
C
B
A
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 13
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Ta có
2
2
xq
S rl a
.
Câu 36: Một hình nón có đường cao , bán kính đáy . Tính diện tích xung quanh của hình
nón đó.
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Chọn D
Hình nón có đường sinh .
Diện tích xung quanh của hình nón là .
Câu 37: – 2017] Một hình nón đỉnh
S
, đáy hình tròn tâm
O
và
SO h
. Một mặt phẳng
P
qua đỉnh
S
cắt đường tròn
O
theo dây cung
AB
sao cho góc
90
AOB
, biết khoảng cách từ
O
đến
P
bằng
2
h
. Khi đó diện tích xung quanh hình nón bằng.
A.
2
10
3
h
. B.
2
10
3 3
h
. C.
2
2 10
3
h
. D.
2
10
6
h
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
.
Gọi
I
là trung điểm của
AB
.
4
h cm
5
r cm
20
15
4 41
5 41
2 2
l h r
2 2
4 5
41
xq
S rl
5 41
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 14
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 4 1 3
OH SO OI OI h h h
3
3
h
OI
.
Tam giác
OAB
vuông cân tại
O
nên:
2 3
2
3
h
AB OI
,
6
3
h
R OA OB
.
Suy ra:
2
2 2 2
6 15
3 3
h h
SB SO OB h
.
Diện tích xung quanh của hình nón:
2
6 15 10
. . .
3 3 3
xq
h h h
S R SB
.
Câu 38: Cho hình nón
N
có đường kính đáy bằng
4
a
, đường sinh bằng
5
a
. Tính diện tích xung quanh
S
của hình nón
N
.
A.
2
10
S a
. B.
2
14
S a
. C.
2
36
S a
. D.
2
20
S a
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Diện tích xung quanh của hình nón
N
là:
S rl
.2 .5
a a
2
10
a
.
Câu 39: Cho tam giác ABC
vuông tại ,A ,aBC
.,, cbcABbAC
Khi quay tam giác vuông ABC
một vòng quanh cạnh ,BC quanh cạnh ,AC quanh cạnh ,AB ta được các hình có diện tích toàn
phần theo thứ tự bằng
.,,
cba
SSS
Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
c a b
S S S
. B.
a c b
S S S
. C.
b c a
S S S
. D.
b a c
S S S
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Gọi
H
là chân đường vuông góc kẻ từ
A
của tam giác, đặt
AH h
Ta có
. . . . ( )
a
S BA AH CA AH h c b
2
. . . ( )
b
S BC BA BA c a c
2
. . . ( )
c
S CB CA CA b a b
Do
b c
nên hiển nhiên
.
c b
S S
5a
2a
a
b
c
h
H
C
B
A
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 15
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Do bhac
, nên hiển nhiên
.
a c
S S
Vậy
.
a c b
S S S
.
Câu 40: Cho tam giác đều
ABC
quay quanh đường cao
AH
tạo ra hình nón có chiều cao bằng
2
a
. Tính
diện tích xung quanh
xq
S
của hình nón này.
A.
2
6
xq
S a
. B.
2
8
3
xq
a
S
. C.
2
3
4
xq
a
S
. D.
2
2 3
3
xq
a
S
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
.
Xét
ABH
có
2
2
2 2 2 2
3
4 4
BC AB
AH AB BH AB
.
2 3 4 3
3 3
AH a
AB
.
Khi đó
2 2
8
. . .
2 3
xq
AB a
S BH AB
.
Câu 41: Một hình trụ có bán kính đáy
r a
, độ dài đường sinh
2
l a
. Tính diện tích xung quanh của
hình trụ.
A.
2
6
a
. B.
2
4
a
. C.
2
2
a
. D.
2
5
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Diện tích xung quanh của hình trụ là
2
2 2 .2 4
xq
S rh a a a
Câu 42: Một hình nón có chiều cao bằng
3
a
và bán kính đáy bằng
a
. Tính diện tích xung quanh
xq
S
của hình nón.
A.
2
2
xq
S a
. B.
2
2
xq
S a
. C.
2
3
xq
S a
. D.
2
xq
S a
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Đường sinh:
2 2
2
l h r a
. Diện tích xung quanh là
2
2
xq
S rl a
.
Câu 43: Một hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng
a
. Diện
tích xung quanh của hình nón bằng
A.
2
π 2
2
a
B.
2
π 2
a C.
2
π 2
4
a
D.
2
2
π 2
3
a
Hướng dẫn giải
Chọn A
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 16
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Ta có l AB a ,
2
2 2
BC a
r
,
π
xq
S rl
2
π. .
2
a
a
2
π 2
2
a
.
Câu 44: – 2017] Cho tam giác đều ABC cạnh a quay quanh đường cao AH tạo nên một hình nón Diện
tích xung quanh S của hình nón đó là:
A.
2
3
4
a
S
. B.
2
S a
.
C.
2
2
a
S
.
D.
2
2S a
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
.
Hình nón có bán kính đáy
2
a
R và độ dài đường sinh nên có diện tích xung quanh là.
2
2 2
a a
S Rl a
.l a
Câu 45: Cho hình chóp tứ giác đều .S ABCD có cạnh đáy bằng
a
, cạnh bên hợp với đáy một góc 60 .
Hinh nón có đỉnh là S , đáy là đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD có diện tích xung quanh là:
A.
2
S a
B.
2
7 1
4
a
S
C.
2
7
4
a
S
D.
2
3
2
S a
Hướng dẫn giải
Chọn C
A
B
C
H
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 17
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Gọi
O
là tâm của đáy
ABCD
,
M
là trung điểm của
BC
.
Hình nón có đỉnh là
S
, đáy là đường tròn nội tiếp tứ giác
ABCD
là hình nón tròn xoay tạo thành
khi quay tam giác
SOM
quanh
SO
. Ta có:
.tan60
SO OB
2 6
. 3
2 2
a a
.
2
a
OM r
.
2 2 2
SM SO OM
2
2
2
6 7
2 2 4
a a a
7
2
a
l
Khi đó diện tích xung quanh của hình nón là:
7
.
2 2
xq
a a
S rl
2
7
4
a
.
Câu 46: Cho hình nón có bán kính đáy bằng
3
và chiều cao bằng
4
. Tính diện tích xung quanh
S
của
hình nón đó.
A.
25
S . B.
20
S . C.
15
S . D.
60
S .
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có
2 2 2 2
4 3 5
l h r .
Vậy diện tích xung quanh của hình nón đó là
3.5 15
S rl .
Câu 47: Cho hình nón có đường sinh
2
l a
và hợp với đáy một góc
60
. Diện tích xung quanh
xq
S
của
khối nón bằng.
A.
2
2
xq
S a
. B.
2
xq
S a
. C.
2
3
2
xq
S a
. D.
2
2
xq
S a
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Đường sinh
2
l a
hợp với đáy một góc
60
R a
.
Ta có:
2
2
xq
S Rl a
.
Câu 48: Cho hình nón có bán kính đáy bằng
3
và chiều cao bằng
4
. Tính diện tích xung quanh của hình
nón.
A.
9
. B.
30
. C.
15
. D.
12
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
l
r
60°
M
O
D
C
A
B
S
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 18
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Ta có
2 2
l r h
2 2
3 4 5
.
Diện tích xung quanh của hình nón đã cho là
xq
.3.5 15
S rl
.
Câu 49: Một hình nón có chiều cao bằng
3
a
và bán kính đáy bằng
a
. Diện tích xung quanh của hình
nón bằng:
A.
2
3
a
. B.
2
3
a
. C.
2
a
. D.
2
2
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Hình nón có đường sinh
2 2
l h r
2
2
3
a a
2
a
.
Diện tích xung quanh của hình nón là
xq
S rl
2
2
a
.
Câu 50: Cho hình nón có độ dài đường sinh bằng
2cm
, góc ở đỉnh bằng
o
60
. Diện tích xung quanh của
hình nón là
A.
2
3
cm
. B.
2
6
cm
. C.
2
cm
. D.
2
2
cm
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Do góc ở đỉnh bằng
o
60
suy ra thiết diện dọc trục của hình nón là tam giác đều.
Ta có
3
2, 1, .2 3
2
l r h
.
Diện tích xung quanh của hình nón là
2
2
xq
S rl cm
.
Câu 51: Cho hình lập phương .
ABCD A B C D
có cạnh bằng
1
. Tính diện tích xung quanh của hình tròn
xoay sinh bởi đường gấp khúc
ACA
khi quay quanh trục
AA
.
A.
6
. B.
3
. C.
2
. D.
5
.
r
h
60
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 19
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Hướng dẫn giải
Chọn A
Tam giác ACA
vuông tại A , hình nón tròn xoay sinh ra có bán kính đường tròn đáy
2r AC , độ dài đường sinh 3l A C
nên
xq
S rl
6
.
Câu 52: Cho hình nón đỉnh S biết rằng nếu cắt hình nón bởi một mặt phẳng đi qua trục ta được một tam
giác vuông cân có cạnh huyền bằng 2a . Diện tích xung quanh của hình nón là:
A.
2
2
xq
a
S
. B.
2
2
2
xq
a
S
. C.
2
xq
S a
. D.
2
2
xq
S a
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có SAB vuông cân tại S
2
2 2
l SA SB a
AB a
r
.
Vậy
2
2 2
. .
2 2
xq
a a
S rl a
.
Câu 53: Cho hình nón có bán kính đáy bằng 3 và chiều cao bằng 4 . Tính diện tích xung quanh của hình
nón.
A. 30
. B. 15
. C. 12
. D. 9
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Gọi
l
là đường sinh của hình nón thì
2 2 2 2
3 4 5l r h
.
Diện tích xung quanh của hình nón là
3.5 15
xq
S rl
.
Câu 54: Cho tam giác ABC có 3AB , 4AC , 5BC . Cho tam giác quay quanh AB và AC ta được
2 hình nón tròn xoay có diện tích xung quanh tương ứng là
1
S
và
2
S
. Chọn câu đúng.
A.
1
2
3
5
S
S
. B.
1
2
4
5
S
S
. C.
1
2
3
4
S
S
. D.
1
2
4
3
S
S
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 20
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Nhận xét : tam giác
ABC
vuông tại
A
.
Khi quay quanh
AB
ta được hình nón có bán kính là
AC
, đường sinh là
BC
1
.
S AC BC
.
Khi quay quanh
AC
ta được hình nón có bán kính là
AB
, đường sinh là
BC
2
.
S AB BC
.
1
2
4
3
S AC
S AB
.
Câu 55: Hình trụ
T
được sinh ra khi quay hình chữ nhật
ABCD
quanh cạnh
AB
. Biết
2 2
AC a
,
45
ACB
. Diện tích toàn phần của hình trụ
T
là:
A.
2
8
TP
S a
. B.
2
16
TP
S a
. C.
2
10
TP
S a
. D.
2
12
TP
S a
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Hình chữ nhật
ABCD
có
2 2
AC a
,
45
ACB
nên
ABCD
là hình vuông cạnh
2
a
.
Khi đó hình trụ
T
có chiều cao là
2
h a
, bán kính đáy
2
R a
.
Vậy
2 2
2 2 16
TP
S Rh R a
.
Câu 56: Cho hình tam giác
ABC
vuông tại
A
có
30
ABC
và cạnh góc vuông
2
AC a
quay quanh
cạnh
AC
tạo thành hình nón tròn xoay có diện tích xung quanh bằng:
A.
2
4
3
3
a
. B.
2
8 3
a
. C.
2
16 3
a
. D.
2
2
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
.
2
AC a
; Suy ra
2 3 ; 4
AB a BC a
.
Khi quay quanh cạnh
AC
ta được một hình nón.
Có đường sinh
4
l a
và bán kính đáy là
2 3
a
.
Áp dụng công thức tính diện tích xung quanh của hình nón:
2 2
4.2 3 8 3
xq
S Rl a a
.
Câu 57: Cho hình nón có độ dài đường sinh bằng
2
a
và chu vi đáy bằng
2
a
. Tính diện tích xung quanh
S
của hình nón.
A.
2
π
3
a
S
B.
2
π
S a
C.
π
S a
D.
2
2
π
S a
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có
2 2
R a
R a
.
Diện tích xung quanh
xq
S
của hình nón là:
2
π 2 π
xq
S Rl a
.
Câu 58: Trong không gian cho tam giác
OIM
vuông tại
I
, góc
45
IOM
và cạnh
IM a
. Khi quay
tam giác
OIM
quanh cạnh góc vuông
OI
thì đường gấp khúc
OMI
tạo thành một hình nón tròn
xoay. Khi đó, diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay đó bằng
A.
2
2
2
a
. B.
2
3
a
. C.
2
a
. D.
2
2
a
.
Hướng dẫn giải
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 21
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Chọn D
Dựa vào hình vẽ ta thấy đường gấp khúc quay quanh
OI
sẽ tạo hình nón tròn xoay có bán kính
đáy và chiều cao lần lượt là
IM a
và
h IO a
và độ dài đường sinh bằng
2
l a
.
Diện tích xung quanh của hình nón bằng:
2
2
xq
S rl a
.
Câu 59: Một tứ diện đều cạnh
a
có một đỉnh trùng với đỉnh hình nón, ba đỉnh còn lại nằm trên đường
tròn đáy của hình nón. Khi đó diện tích xung quanh của hình nón bằng:
A.
2
3
3
a
. B.
2
3
a
. C.
2
3
2
a
. D.
2
2 3
3
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Gọi tứ diện đều cạnh
a
là
ABCD
,
O
là tâm đường tròn đáy của hình nón.
Diện tích xung quanh của hình nón là:
xq
S rl
. .
BO AD
2 3
. . .
3 2
a
a
2
3
3
a
.
Câu 60: Hình nón
N
có đỉnh
S
, tâm đường tròn đáy là
O
, góc ở đỉnh bằng
120
. Một mặt phẳng qua
S
cắt hình nón
N
theo thiết diện là tam giác vuông
SAB
. Biết rằng khoảng cách giữa hai
đường thẳng
AB
và
SO
bằng
3
. Tính diện tích xung quanh
xq
S
của hình nón
N
A.
27 3
xq
S
. B.
18 3
xq
S
. C.
9 3
xq
S
. D.
36 3
xq
S
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
l
O
A
B
C
D
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 22
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Theo bài ra ta có tam giác
SAB
vuông tại
S
và
3
OH
; và
60
BSO
.
Gọi
r
là bán kính đường tròn đáy của hình nón thì đường sinh
2
sin 60
3
r r
l SB l
.
Suy ra
1 6
2 3
r
BH AB
.
Xét tam giác
OBH
vuông tại
H
, ta có
2
2
6
9 3 3
9
r
r r
.
Diện tích xung quanh
xq
S
của hình nón
N
là
6 3
. . .3 3. 18 3
3
xq
S r l
.
Câu 61: Cho hình nón có bán kính đáy là , chiều cao là . Diện tích xung quanh hình nón bằng
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Chọn B
Câu 62: Cho khối nón có bán kính đáy
1
r cm
và góc ở đỉnh
60
. Tính diện tích xung quanh
xq
S
của
hình nón.
A.
2
2
cm
. B.
2
2
cm
. C.
2
3
cm
. D.
2
cm
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Gọi
SO
và
SA
lần lượt là đường cao và đường sinh của hình nón. Ta có
30
ASO
.
Trong tam giác
SAO
ta có:
sin
OA
ASO
SA
sin 60
r
l
sin30
r
l
2 2
l r
.
xq
S rl
2
(cm
2
).
Câu 63: Cho hình nón có bán kính đáy
3
r và độ dài đường sinh
4
l
. Tính diện tích xung quanh
S
của hình nón đã cho.
A.
16 3
S
. B.
4 3
S
. C.
8 3
S
. D.
24
S
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
4
a
3
a
2
24
a
2
20
a
2
40
a
2
12
a
2 2 2 2 2
; (3 ) (4 ) (5 ) 5 20 .
xq xq
S rl l a a a l a S a
O
S
A
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 23
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Ta có
4 3
S rl
.
Câu 64: Cho hình chóp tam giác đều .
S ABC
có cạnh
AB a
, góc tạo bởi
SAB
và
ABC
bằng
60
.
Diện tích xung quanh của hình nón đỉnh
S
và có đường tròn đáy ngoại tiếp tam giác
ABC
bằng
A.
2
7
3
a
. B.
2
7
6
a
. C.
2
3
2
a
. D.
2
3
6
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Gọi
M
là trung điểm
AB
và gọi
O
là tâm của tam giác
ABC
ta có :
AB CM
AB SO
AB SCM
AB SM
và
AB CM
Do đó góc giữa
SAB
và
ABC
là
60
SMO
.
Mặt khác tam giác
ABC
đều cạnh
a
nên
3
2
a
CM
. Suy ra
1 3
3 6
a
OM CM
.
.tan60
SO OM
3
. 3
6
a
2
a
.
Hình nón đã cho có chiều cao
2
a
h SO
, bán kính đáy
3
3
a
R OA
, độ dài đường sinh
2 2
21
6
a
l h R
.
Diện tích xung quanh hình nón là:
2
3 21 7
. . . .
3 6 6
xq
a a a
S R l
Câu 65: Cho tam giác
ABC
vuông tại
A
có
6, 8.
AB AC
Tính diện tích xung quanh của hình nón
tròn xoay tạo thành khi quay tam giác
ABC
quanh cạnh
.
AC
A.
160 .
xq
S
B.
80 .
xq
S
C.
120 .
xq
S
D.
60 .
xq
S
Hướng dẫn giải
Chọn D
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 24
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Ta có
xq
S Rl
.
Với
2 2
10
l BC AB AC
,
6
R AB
.
Vậy
.6.10 60
xq
S dvdt
.
Câu 66: Hình nón có góc ở đỉnh bằng
60
, độ dài đường sinh bằng
a
. Khi đó, diện tích xung quanh của
hình nón là.
A.
2 2
2 4
a a
. B.
2 2
4 4
a a
. C.
2
2
a
. D.
2
2
4
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Giả sử thiết diện của mặt phẳng đi qua trục của hình nón với hình nón là tam giác
ABC
, theo giả
thuyết bài toán, ta có
ABC
là tam giác đều cạnh
a
. Do đó hình nón có.
.
Độ dài đường sinh
l AC a
.
Bán kính đáy
2 2
AC a
R
.
Diện tích xung quanh cần tìm.
2
. .a
2 2
xq
a a
S Rl
.
Câu 67: Cho tam giác
ABC
vuông cân tại
A
biết
2
BC a
. Gọi
I
là trung điểm của
BC
. Tính diện
tích toàn phần của khối nón tròn xoay sinh ra khi cho
ABC
quay quanh
AI
một góc
360
.
A.
2
2 2 1
a
. B.
2
2 2 1
2
a
. C.
2
2
2
a
. D.
2
2 1
2
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
.
Có
2
2
a
IC r
.
Và
l AC a
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 25
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Vậy
2
đáytp xq
S S S rl r
.
2
2
2 2 2 1
.
2 2 2 2
a a
a a
.
Vậy
2
2 1
2
tp
a
S
.
Câu 68: Cho hình nón có thiết diện qua trục của hình nón là tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng
2
a
. Diện tích xung quanh của hình nón bằng:
A.
2
2
3
a
. B.
2
2
2
a
. C.
2
2 2
a
. D.
2
2
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Tam giác
SAB
vuông cân tại
S
nên
45
ASO
.
Suy ra tam giác
SAO
vuông cân tại
O
.
Khi đó:
AO
2
SA
a
.
Diện tích xung quanh của hình nón:
. .
S OASA
. . 2
a a
2
2
a
.
Câu 69: Cho tam giác
AOB
vuông tại
O
, có
30
OAB
và
AB a
. Quay tam giác
AOB
quanh trục
AO
ta được một hình nón. Tính diện tích xung quanh
xq
S
của hình nón đó.
A.
2
2
xq
S a
. B. . C.
2
xq
S a
. D.
2
4
xq
a
S
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
xq
S Rl
trong đó
R OB
,
l AB
. Trong tam giác vuông
OAB
ta có
.sin30
OB AB
hay
2 2
AB a
R
. Vậy .
Câu 70: Hình nón tròn xoay ngoại tiếp tứ diện đều cạnh bằng
a
, có diện tích xung quanh là:
A.
2
2
3
xq
a
S
. B.
2
3
xq
a
S
. C.
2
3
6
xq
a
S
. D.
2
3
3
xq
a
S
.
2
2
xq
a
S
A
O
B
2
2
xq
a
S
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 26
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Hướng dẫn giải
Chọn D
Kẻ
,
SO ABC SH BC OH BC
.
Ta có
2 2 3 3
.
3 3 3 3
a a
OA AH
.
3
. . . .
3
xq
a
S OA SA a
.
2
3
3
xq
a
S
.
Câu 71: Cho hình nón có góc ở đỉnh bằng
60
, bán kính đáy bằng
a
. Diện tích xung quanh của hình nón
bằng
A.
2
2
a
. B.
2
a
. C.
2
3
a
. D.
2
4
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Hình nón có bán kính đáy bằng
a
nên đường kính bằng
2
a
. Do đó hình nón này có góc ở đỉnh
bằng
60
thì độ dài đường sinh là
2
l a
.
Vậy diện tích xung quanh của hình nón bằng
2
. .2 2
xq
S rl a a a
.
Câu 72: Một hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng
a
. Diện
tích xung quanh của hình nón bằng:
A.
2
2
a
.
.
B. .
. C.
2
2
2
a
.
D.
2
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
.
Giả sử
SAB
là thiết diện qua trục của hình nón (như hình vẽ).
Tam giác
SAB
cân tại
S
và là tam giác cân nên
SA SB a
.
Do đó,
2 2
2
AB SA SB a
và
1 2
2 2
a
SO OA AB
.
Vậy, diện tích xung quanh của hình nón:
2
2 2
. .
2 2
xq
a a
S rl a
.
Câu 73: Cho hình nón đỉnh
S
và đường tròn đáy có tâm là
O
. điểm
A
thuộc đường tròn đáy. Tỉ số giữa
diện tích xung quanh và diện tích đáy là
2
. Số đo của góc
SAO
là?
A.
0
45
.
B.
0
30
. C.
0
120
. D.
0
60
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 27
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
.
Ta có diện tích xung quanh của hình nón là
. .
S OASA
.
Diện tích đáy của hình nón là
2
S OA
.
Khi đó:
1
2
2
S SA OA
S OA SA
.
Mà tam giác
SAO
vuông tại
O
nên
1
cos 60
2
OA
SAO SAO
SA
.
Câu 74: C ho tam giác
OAB
vuông tại
O
có
3
OA
,
4
OB
. Tính diện tích toàn phần của hình nón tạo
thành khi quay tam giác
OAB
quanh
OA
.
A.
36
S
. B.
20
S
. C.
26
S
. D.
52
S
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Vì tam giác
OAB
vuông tại
O
có
3, 4
OA OB
nên
5
AB
.
Ta có
. . .4.5 20
xq
S Rl OB AB
.
Và diện tích đáy là
2 2 2
. .4 16
S R OB
.
Vậy
36
tp xq
S S S
.
Câu 75: Cho tam giác
ABC
vuông cân tại
A
biết
2
BC a
. Gọi
I
là trung điểm của
BC
. Tính diện
tích toàn phần của khối nón tròn xoay sinh ra khi cho
ABC
quay quanh
AI
một góc
360
.
A.
2
2 1
2
a
. B.
2
2 2 1
2
a
. C.
2
2
2
a
. D.
2
2 2 1
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
.
Có
2
2
a
IC r
.
Và
l AC a
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 28
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Vậy
2
đáytp xq
S S S rl r
.
2
2
2 2 2 1
.
2 2 2 2
a a
a a
.
Vậy
2
2 1
2
tp
a
S
.
Câu 76: Hình lập phương D.
ABC A B C D
có cạnh bằng
,
a
Một hình nón tròn xoay có đỉnh là tâm của
hinh vuông
D
ABC
và có đường tròn đáy ngoại tiếp hình vuông
.
A B C D
Diện tích xung quanh
của hình nón đó là:
A.
2
6
2
a
. B.
2
3
2
a
. C.
2
2
2
a
. D.
2
3
3
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có
,
xq
S rl
2
,
2
a
r
2 2
2 2 2 2
3
2 2
a a
l a r a
6
2
a
l
2
2 6 3
2 2 2
xq
a a a
S
.
Câu 77: Cho tam giác
ABO
vuông tại
O
có góc
30
BAO
,
AB a
.Quay tam giác
ABO
quanh trục
AO
ta được một hình nón có diện tích xung quanh bằng.
A.
2
2
a
. B.
2
4
a
. C.
2
2
a
. D.
2
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
0
.sin30
2
a
OB AB
.
2
2
xq
a
S
.
Câu 78: Trong không gian, cho tam giác
ABC
là tam giác vuông cân tại
A
, gọi
I
là trung điểm của
BC
,
2
BC
. Tính diện tích xung quanh của hình nón nhận được khi quay tam giác
ABC
quanh trục
AI
.
A.
2
xq
S
. B.
2
xq
S
. C.
2 2
xq
S
. D.
4
xq
S
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Hình nón nhận được khi quay
ABC
quanh trục
AI
có bán kính
IB
và đường sinh
AB
.
ABC
vuông cân tại
A
nên:
1
AI BI cm
và
. 2 2
AB AI .
. . .1. 2 2
xq
S r l
.
Câu 79: Cho khối nón
có bán kính đáy bằng
3
và thể tích bằng
12
. Tính diện tích xung quanh của
khối nón
.
A.
36
. B.
15
. C.
3
. D.
5
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 29
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
.
Ta có:
V
N
2
1 1 12
. . 3 12 4
3 3 3
B h h h
.
Từ đó suy ra:
2 2
4 3 5
l
.
Diện tích xung quanh bằng:
.3.5 15
xq
S rl
.
Câu 80: Tính diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay ngoại tiếp tứ diện đều cạnh bằng
a
.
A.
2
3
3
xq
a
S
. B.
2
3
xq
a
S
. C.
2
2
3
xq
a
S
. D.
2
3
6
xq
a
S
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Hình nón tròn xoay ngoại tiếp tứ diện đều có đáy là đường tròn ngoại tiếp đáy của tứ diện có bán
kính
3
3
a
R
và đường sinh bằng
a
.
Vậy diện tích xung quanh của hình nón là
2
3 3
. .
3 3
xq
a a
S Rl a
.
Câu 81: Cho hình chóp tứ giác đều .
S ABCD
có cạnh đáy bằng
2
a
, góc giữa cạnh bên với mặt đáy bằng
45
. Tính diện tích xung quanh của khối nón đỉnh
S
, đáy là đường tròn ngoại tiếp
ABCD
.
A.
2
2 2
a
. B.
2
4 2
a
. C.
2
2
2
a
. D.
2
2
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Gọi
O AC BD
. Khi đó
( )
SO ABCD
và trong
SOA
vuông tại
O
có
(2 ) 2
45 ,OA 2.
2 2
AC a
SAO a
Suy ra
2
cos45
OA
SA a
.
Vậy diện tích xung quanh của khối nón đỉnh
S
, đáy là đường tròn ngoại tiếp
ABCD
là
2
rl= . . . 2.2 2 2
xq
S OA SA a a a
.
Câu 82: Hình nón có đường sinh
2
l a
và bán kính đáy bằng
a
. Diện tích xung quanh của hình nón
bằng bao nhiêu?
A.
2
a
. B.
2
2
a
. C.
2
2
a
. D.
2
4
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Diện tích xung quanh của hình nón là
xq
S rl
2
2
a
.
Câu 83: Trong không gian cho tam giác
ABC
vuông tại
A
với
3 ,
AC a
4
AB a
. Tính theo
a
diện tích
xung quanh
S
của hình nón khi quay tam giác
ABC
quanh trục
AC
.
A.
2
15
S a
B.
2
30
S a
C.
2
40
S a
D.
2
20
S a
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 30
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có : Đường sinh
2 2
5l BC AB AC a . Bán kính đáy 4r AB a . Diện tích xung
quanh
2
.4 .5 20S rl a a a
.
Câu 84: Cho hình nón có chiều cao 3a và bán kính đáy
a
. Tính diện tích xung quanh
xq
S
của hình
nón.
A.
2
xq
S a
. B.
2
2
xq
S a
. C.
2
2
xq
a
S
. D.
2
xq
S a
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Gọi l là đường sinh của hình nón ta có
2 2
l r h
2 2
3a a 2a .
Áp dụng công thức tính diện tích xung quanh của hình nón ta có:
xq
S rl
2
2 a
Câu 85: Cho hình nón có đường sinh 5l , bán kính đáy 3r . Diện tích toàn phần của hình nón đó là:
A.
24 .
tp
S
B.
20 .
tp
S
C.
22 .
tp
S
D.
15 .
tp
S
Hướng dẫn giải
Chọn A
Áp dụng công thức tính diện tích toàn phàn của hình nón ta có
2
tp
S rl r
15 9
24
.
Câu 86: Cho hình nón đỉnh S , đường cao SO . Gọi A và B là hai điểm thuộc đường tròn đáy của hình
nón sao cho khoảng cách từ O đến AB bằng
a
và
30SAO ,
60SAB . Diện tích xung
quanh của hình nón bằng
A.
2
2 3
xq
S a
. B.
2
3
xq
S a
. C.
2
3
3
xq
a
S
. D.
2
2 3
3
xq
a
S
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có OH a . Đặt OA x thì .cos30OA SA
2
3
x
SA .
Do góc
60SAB nên tam giác SAB đều
2
3
x
AB SA
3
x
AH .
Do
2 2 2
AH OH OA
2
2 2
3
x
a x
6
2
a
x
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 31
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Vậy
6
2
a
OA
;
2
SA a
nên diện tích xung quanh là
2
6
. . 2 3
2
xq
a
S a a
.
Câu 87: Hình nón đường sinh
l
, thiết diện qua trục của hình nón là tam giác vuông cân. Diện tích xung
quanh của hình nón là.
A.
2
4
l
. B.
2
2 2
l
. C.
2
2
l
. D.
2
2
l
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Do thiết diện qua trục là tam giác vuông nên
2
2
l
r .
Vậy diện tích xung quanh của nón bằng
2
2
xq
l
S .
Câu 88: Trong không gian cho tam giác
ABC
vuông tại
A
với
3
AC a
,
4
AB a
. Tính theo
a
diện tích xung
quanh
S
của hình nón khi quay tam giác
ABC
quanh trục
AC
.
A.
2
40
S a
. B.
2
30
S a
. C.
2
20
S a
. D.
2
15
S a
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
.
Đường sinh
2 2
5
l BC AB AC a
.
Bán kính đáy
4
r AB a
.
Diện tích xung quanh
2
.4 .5 20
S rl a a a
.
Câu 89: Cho khối nón
có bán kính đáy bằng
3
và thể tích bằng
12
. Tính diện tích xung quanh của
khối nón
.
A.
3
. B.
5
. C.
36
. D.
15
.
Hướng dẫn giải
ChọnD
.
Ta có:
V
N
2
1 1 12
. . 3 12 4
3 3 3
B h h h
.
r
h
l
4a
3a
C
B
A
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 32
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Từ đó suy ra:
2 2
4 3 5l .
Diện tích xung quanh bằng:
.3.5 15
xq
S rl .
Câu 90: Cho hình nón có bán kính đáy là
3r
và độ dài đường sinh
4l
. Diện tích xung quanh của
hình nón đã cho là
A. 24S
. B. 8 3S
. C. 16 3S
. D. 4 3S
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Diện tích xung quanh của hình nón 4 3
xq
S rl
.
Câu 91: Cho tam giác ABC vuông tại B có 2 ,AC a BC a , khi quay tam giác ABC quay quanh cạnh
góc vuông AB thì đường gấp khúc ABC tạo thành một hình nón tròn xoay có diện tích xung
quanh bằng:
A.
2
4 a
. B.
2
2 a
. C.
2
a
. D.
2
3 a
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Vậy
2
. .2 2
xq
S a a a
.
Câu 92: Đường cao của một hình nón bằng
0
a a
. Thiết diện qua trục của nó là một tam giác cân có
góc ở đỉnh bằng
0
120
. Diện tích toàn phần của hình nón là:
A.
2
3 3a
. B.
2
3 3 3a
. C.
2
3 2 3a
. D.
2
2 3a
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
.
Gọi thiết diện qua trục là SAB , S là đỉnh, AB là đường kính đáy, O là tâm đáy.
Theo giả thiết
0
, 60SO a ASO . Trong tam giác SAO vuông tại O ,
0
60ASO .
Ta có
0
0
tan60 3, 2
cos60
SO
OA SO a SA a .
Hình vẽ mô phỏng thiết diện qua trục của hình nón.
Gọi , ,
tp d xq
S S S theo thứ tự là diện tích toàn phần, diện.
tích đáy, diện tích xung quanh của hình nón ta có:
A
B
C
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 33
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
2
2
.
. 3 3 2
3 2 3
tp d xq
S S S R Rl R R l OA OA SA
a a a
a
.
Vậy diện tích toàn phần của hình tròn là
2
3 2 3
tp
S a
.
Câu 93: Diện tích toàn phần của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến đường sinh bằng
3
và
thiết diện qua trục là tam giác đều bằng:
A.
8
. B.
20
. C.
12
. D.
16
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Giả sử thiết diện qua trục là tam giác đều
SAB
và
OH
là khoảng cách từ tâm mặt đáy đến
đường sinh
SA
.
Ta có :
3
OH ,
sin60
OH
OA
2
OA
4
AB
và
4
AB
.
Khi đó diện tích toàn phần của hình nón là
2
tp
S r r
12
.
Câu 94: Hình nón đường sinh
l
, thiết diện qua trục của hình nón là tam giác vuông cân. Diện tích xung
quanh của hình nón là.
A.
2
.
2
l
B.
2
.
2 2
l
C.
2
.
4
l
D.
2
.
2
l
Hướng dẫn giải
Chọn D
Do thiết diện qua trục là tam giác vuông nên
2
2
l
r
.
Vậy diện tích xung quanh của nón bằng
2
2
xq
l
S
.
Câu 95: Một hình nón có bán kính đáy bằng
1
và có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân. Tính
diện tích xung quanh của hình nón.
A.
2
. B.
1
2
. C.
2 2
. D.
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
S
A
O
B
H
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 34
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
.
S
Theo đề ta có tam giác
SAB
vuông cân tại và
2 2
AB r
nên
2
2
AB
l SA .
2
xq
S rl
.
Câu 96: Trong không gian, cho tam giác
ABC
vuông tại
,
A
cạnh
,
AB a
3.
AC a Tính diện tích
xung quanh của hình nón nhận được khi quay tam giác
ABC
xung quanh trục
AC
.
A.
2
2
xq
S a
. B.
2
3
xq
S a
. C.
2
2
xq
S a
. D.
2
xq
S a
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
.
Diện tích xung quanh của hình nón là:
. .
xq
S r l
.
2 2
2
l BC AB AC a
.
r AB a
.
2
. .2 2
xq
S a a a
.
Câu 97: Cho hình lập phương .
ABCD A B C D
có cạnh bằng
a
, một hình nón có đỉnh là tâm của hình
vuông
ABCD
và có đường tròn đáy ngoại tiếp hình vuông
A B C D
. Diện tích xung quanh của
hình nón đó là.
A.
2
3
3
a
. B.
2
3
2
a
. C.
2
5
4
a
. D.
2
2
2
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Hình nón có
h a
,
2
2
a
r
,
2
2 2 2 2
2 6
2 2
a
l h r a a
.
2
2 6 3
. .
2 2 2
xp
a a
S rl
.
O
B
A
S
a
A
C
B
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 35
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 98: Thiết diện qua trục của một hình nón
N
là một tam giác vuông cân, có cạnh góc vuông bằng
a
, diện tích toàn phần của hình nón
N
bằng:
A.
2
2
a
. B.
2
2
2
a
. C.
2
1 2
2
a
. D.
2
1 3
2
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có
2
tp
S Rl R
, trong đó
2
2
a
R
,
l a
nên
2
2 2
. . .
2 2
tp
a a
S a
2
1 2
2
a
.
Câu 99: Cho hình nón có bán kính đáy là
2
r và độ dài đường sinh
4
l
. Tính diện tích xung quanh
S
của hình nón đã cho.
A.
4 2
S
. B.
8 2
S
. C.
16 2
S
. D.
16
S
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Áp dụng công thức tính diện tích xung quanh của hình nón ta có
S rl
4 2
.
Câu 100: Cắt hình nón
N
bởi một mặt phẳng chứa trục của
N
thu được thiết diện là một tam giác
vuông có diện tích bằng
2
4 cm
. Tính diện tích xung quanh
xq
S
của hình nón
N
.
A.
2
8 2 cm
xq
S
. B.
2
4 cm
xq
S
. C.
2
4 2 cm
xq
S
. D.
2
8 cm
xq
S
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
.
Giả sử thiết diện là
SAB
, ta có
SAB
vuông cân tại
S
.
Vì thiết diện có diện tích bằng
2
4 cm
nên ta có
2
1
4 2 2
2
SA SA , bán kính đáy
1 1
2 .2 2. 2 2
2 2
R SA
.
Vậy
2
. . .2.2 2 4 2 cm
xq
S R SA
.
Câu 101: Cho hình nón
( )
N
có bán kính đường tròn đáy
2
R
và độ dài đường sinh
4.
l
Tính diện tích
xung quanh
xq
S
của hình nón
( ).
N
A.
8
xq
S
. B.
4
xq
S
. C.
8
xq
S
. D.
16
xq
S
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
O
B
A
S
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 36
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Ta có diện tích xung quanh của hình nón là . . 8S R l
.
Câu 102: Cho hình lập phương .ABCD A B C D
cạnh a. Tính diện tích xung quanh của khối nón có đỉnh
là tâm O của hình vuông ABCDvà đáy là hình tròn nội tiếp hình vuông A B C D
.
A.
2
5
8
xq
a
S
. B.
2
5
16
xq
a
S
. C.
2
5
4
xq
a
S
. D.
2
5
2
xq
a
S
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
.
Khối nón có chiều cao là a và có bán kính đáy là
2
a
r .
Do đó diện tích xung quanh của khối nón được tính theo.
công thức:
xq
S rl
với
2
2
5
4 2
a a
l a .
Vậy
2
5 5
. .
2 2 4
xq
a a a
S
.
Câu 103: Cho hình lập phương
.ABCD A B C D
có cạnh
a
. Một khối nón có đỉnh là tâm của hình vuông
ABCD
và đáy là hình tròn nội tiếp hình vuông
A B C D
. Kết quả tính diện tích toàn phần
tp
S
của khối nón đó có dạng bằng
2
4
a
b c
với
b
và
c
là hai số nguyên dương và
1b
. Tính
bc
.
A. 7bc . B. 8bc . C. 15bc . D. 5bc .
Hướng dẫn giải
Chọn D
z
Ta có bán kính hình nón
2
a
r
, đường cao
h a
, đường sinh
5
2
a
l
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 37
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Diện tích toàn phần
tp
S
2
rl r
2 2
5
4 4
a a
2
5 1
4
a
5, 1
b c
.
Vậy
5
bc
.
Câu 104: Cho tam giác
ABC
nội tiếp trong đường tròn tâm
,
O
bán kính
R
có
75 , 60 .
BAC ACB
Kẻ
.
BH AC
Quay
ABC
quanh
AC
thì
BHC
tạo thành hình nón xoay
N
. Tính diện tích
xung quanh của hình nón tròn xoay
N
theo
.
R
.
A.
2
3 3 1
4
R
. B.
2
3 2 2
2
R
. C.
2
3 2 1
4
R
. D.
2
3 2 3
2
R
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
.
Hình nón
N
có đường sinh là đoạn
l BC
, đường cao
h CH
và bán kính
r BH
.
Trong
ABC
ta có
2 sin 75
BC R
.
Trong
BHC
ta có
3
.sin 60
2
BH BC BC
.
Diện tích xung quanh hình nón (N):
2 2
33
.
2
2 3
2
.
xq
rl BC B
S R
H BC
.
75
°
60
°
O
C
A
B
H
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 1
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
DẠNG 3: TÍNH THỂ TÍCH KHỐI NÓN, KHỐI LIÊN QUAN NÓN
Câu 105: Thể tích của khối nón có chiều cao bằng
h
và bán kính đáy bằng
R
là
A.
2
V R h
. B.
1
3
V Rh
. C.
1
2
3
V Rh
. D.
2
1
3
V R h
.
Câu 106: Cắt hình nón bởi một mặt phẳng đi qua trục ta được thiết diện là một tam giác vuông cân có cạnh
huyền bằng
6
a
. Thể tích
V
của khối nón đó bằng:
A.
3
6
2
a
V
. B.
3
6
4
a
V
. C.
3
6
3
a
V
. D.
3
6
6
a
V
.
Câu 107: Cho Hình nón
N
có bán kính đáy bằng
3
và diện tích xung quanh bằng
15
. Tính thể tích
V
của khối nón
N
là:
A.
60
. B.
12
. C.
20
. D.
36
.
Câu 108: Hình nón có đường kính đáy bằng
8
, chiều cao bằng
3
thì diện tích xung quanh bằng
A.
24
. B.
20
. C.
12
. D.
15
.
Câu 109: Tam giác
ABC
vuông cân đỉnh
A
có cạnh huyền là 2. Quay tam giác
ABC
quanh trục
BC
thì
được khối tròn xoay có thể tích là
A.
2 2
3
. B.
4
3
. C.
2
3
. D.
1
3
.
Câu 110: Tính thể tích
V
của khối nón có bán kính đáy bằng
3
và chiều cao bằng
6
.
A.
108
V
. B.
54
V
. C.
36
V
. D.
18
V
.
Câu 111: Người ta đặt được một tam giác đều
ABC
cạnh là
2
a
vào một hình nón sao cho
A
trùng với đỉnh
của hình nón, còn
BC
đi qua tâm của mặt đáy hình nón. Tính thể tích hình nón.
A.
3
3
3
a
. B.
3
2 3
3
a
. C.
3
3
6
a
. D.
3
3
a
.
Câu 112: Cho hình nón
1
N
có chiều cao bằng
40
cm. Người ta cắt hình nón
1
N
bằng một mặt phẳng song
song với mặt đáy của nó để được một hình nón nhỏ
2
N
có thể tích bằng
1
8
thể tích
1
N
. Tính chiều
cao
h
của hình nón
2
N
?
A.
10
cm. B.
20
cm. C.
5
cm. D.
40
cm.
Câu 113: Tam giác
ABC
vuông cân đỉnh
A
có cạnh huyền là 2. Quay tam giác
ABC
quanh trục
BC
thì
được khối tròn xoay có thể tích là
A.
1
3
. B.
2 2
3
. C.
4
3
. D.
2
3
.
Câu 114: Mặt phẳng trung trực của đường cao của một khối nón chia nó ra thành hai phần. Tỉ số thể tích của
chúng là:
A.
1
5
B.
1
7
C.
1
4
D.
1
8
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 2
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 115: Một hình nón có đường kính đáy là
2
a
, chiều cao của hình nón bằng
3
a
.Thể tích của khối nón là.
A.
2
6
V a
. B.
3
3
V a
. C.
3
4
V a
. D.
3
V a
.
Câu 116: Cho khối nón có bán kính đáy
,
R
độ dài đường sinh
.
l
Thể tích khối nón là:
A.
2 2 2
1
3
R l R
. B.
2 2 2
R l R
. C.
2
1
3
R l
. D.
2
R l
.
Câu 117: Gọi
r
,
h
,
l
lần lượt là bán kính đáy, chiều cao và đường sinh của hình nón.
xq
S
,
tp
S
,
V
lần lượt
là diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình nón và thể tích khối nón. Chọn phát biểu sai.
A.
xq
S rl
. B.
1
3
V rh
. C.
2 2 2
l h r
. D.
tp
S r l r
.
Câu 118: Cho hình nón có bán kính đáy bằng
2
(cm), góc ở đỉnh bằng
o
60
. Thể tích khối nón là
A.
3
8 3
cm
2
V
. B.
3
8 3 cm
V
. C.
3
8 3
cm
3
V
. D.
3
8 3
cm
9
V
.
Câu 119: Tính thể tích
V
của khối tròn xoay thu được khi quay hình thang
ABCD
quanh trục
'
OO
, biết
' 200
OO
,
' 20
O D
,
' 10
O C
,
10
OA
,
5
OB
.
A.
40000
. B.
35000
. C.
37500
. D.
75000
.
Câu 120: Cho hình nón
N
có bán kính đáy bằng
6
và diện tích xung quanh bằng
60
. Tính thể tích
V
của khối nón
N
.
A.
96
V
. B.
432 6
V
. C.
144 6
V
. D.
288
V
.
Câu 121: Một hình nón
N
có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân với cạnh góc vuông bằng
2
a
. Thể tích của khối nón
N
bằng:
A.
3
6
a
. B.
3
3
a
. C.
3
2
a
. D.
3
a
.
Câu 122: Một hình nón có diện tích đáy bằng
2
16 dm
và diện tích xung quanh bằng
2
20 dm
. Thể tích
khối nón là
A.
3
8 dm
. B.
3
32 dm
. C.
3
16 dm
. D.
3
16
dm
3
.
Câu 123: Cho hình lập phương .
ABCD A B C D
có cạnh bằng
2
a
. Tính thể tích khối nón tròn xoay có đỉnh
là tâm hình vuông
A B C D
và đáy là đường tròn nội tiếp hình vuông
ABCD
.
A.
3
2
V a
. B.
3
2
3
V a
. C.
3
1
3
V a
. D.
3
4
3
V a
.
Câu 124: Cắt hình nón bởi một mặt phẳng đi qua trục ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng
2
a
. Thể tích của khối nón bằng
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 3
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
3
2
12
a
. B.
3
7
3
a
. C.
3
12
a
. D.
3
2
4
a
.
Câu 125: Cho tam giác
ABC
vuông tại
A
có độ dài cạnh
3
AB a
,
4
AC a
, quay quanh cạnh
AC
. Thể
tích của khối nón tròn xoay được tạo thành là
A.
3
12 .
a
B.
3
36 .
a
C.
3
100
.
3
a
D.
3
16 .
a
Câu 126: Tính thể tích
V
của khối nón tròn xoay có chiều cao
h
và đáy là hình tròn bán kính
r
.
A.
2
3
V rh
. B.
2
1
3
V r h
. C.
2
V r h
. D.
V rh
.
Câu 127: Cho hình nón
N
có chiều cao bằng
3
a
. Thiết diện song song với đáy cách đáy một đoạn bằng
a
có diện tích bằng
2
64
9
a
. Thể tích khối nón
N
là
A.
3
16
3
a
B.
3
48
a
C.
3
16
a
D.
3
25
3
a
Câu 128: Cho hình hộp chữ nhật .
ABCD A B C D
có các kích thước là
2
AB
,
3
AD
,
4
AA
. Gọi
N
là hình nón có đỉnh là tâm của mặt
ABB A
và đường tròn đáy là đường tròn ngoại tiếp hình chữ
nhật
CDD C
. Tính thể tích
V
của hình nón
N
.
A.
5
. B.
8
. C.
25
6
. D.
13
3
.
Câu 129: Thể tích
V
của khối tròn xoay thu được khi quay hình thang
ABCD
quanh trục
OO
, biết
80,
OO
24,
O D
12,
O C
12,
OA
6
OB
.
A.
21600 .
V
B.
20160 .
V
C.
45000 .
V
D.
43200 .
V
Câu 130: Cho khối nón có bán kính
5
r và chiều cao
3
h
. Tính thể tích
V
của khối nón.
A.
9 5
V
. B.
3 5
V
. C.
5
V
. D.
5
V
.
Câu 131: Thể tích
V
của mặt cầu ngoại tiếp hình nón, biết rằng hình nón có bán kính đáy bằng
5
và thiết
diện qua trục hình nón là tam giác vuông cân là:
A.
2
175
3
V
. B.
2
500
3
V
. C.
2
5
V
. D.
2
125
V
.
Câu 132: Trong không gian cho tam giác
ABC
vuông tại
A
có
3
AB và
30
ACB
. Tính thể tích
V
của khối nón nhận được khi quay tam giác
ABC
quanh cạnh
AC
.
A.
9
V
. B.
3
V
. C.
2
V
. D.
5
V
.
Câu 133: Cho hình nón
N
có đường sinh tạo với đáy góc
0
60
. Mặt phẳng qua trục của
N
cắt
N
được
thiết diện là một tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp bằng 1. Tính thể tích
V
của khối nón
giới hạn bởi
N
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 4
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
9
V
. B.
3 3
V
. C.
9 3
V
. D.
3
V
.
Câu 134: Cho khối nón có độ dài đường sinh bằng
6
và diện tích xung quanh bằng
30
. Thể tích của khối
nón là
A.
4 11
.
3
B.
6 11
.
3
C.
25 11
.
3
D.
5 11
.
3
Câu 135: Cho hình chóp đều
.
S ABCD
có cạnh đáy bằng
a
, diện tích mỗi mặt bên bằng
2
a
. Thể tích khối
nón có đỉnh
S
và đường tròn đáy nội tiếp hình vuông
ABCD
bằng
A.
3
15
18
a
. B.
3
15
24
a
. C.
3
15
8
a
. D.
3
15
12
a
.
Câu 136: Cho khối nón có chiều cao bằng
24
cm
, độ dài đường sinh bằng
26
cm
. Tính thể tích
V
của khối
nón tương ứng.
A.
1600
V
3
cm
. B.
1600
3
V
3
cm
. C.
800
3
V
3
cm
. D.
800
V
3
cm
.
Câu 137: Tính thể tích của khối nón tròn xoay có chiều cao bằng
6
và đường kính đường tròn đáy bằng
16
.
A.
120
. B.
144
. C.
160
. D.
128
.
Câu 138: Tính thể tích khối nón có bán kính đáy
3
cm
và độ dài đường sinh
5
cm
.
A.
12
3
cm
. B.
15
3
cm
. C.
36
3
cm
. D.
45
3
cm
.
Câu 139: Cho hình chóp tứ giác đều .
S ABCD
có các cạnh đều bằng
2
a
. Tính thể tích
V
của khối nón
đỉnh
S
và đường tròn đáy là đường tròn nội tiếp tứ giác
ABCD
.
A.
3
2
a
V
. B.
3
2
6
a
V
. C.
3
2
2
a
V
. D.
3
6
a
V
.
Câu 140: Cắt hình nón đỉnh
S
bởi mặt phẳng đi qua trục ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền
bằng
2
a
. Thể tích của khối nón theo
a
là.
A.
3
7
3
a
. B.
3
4
a
. C.
3
2
12
a
. D.
3
2
4
a
.
Câu 141: Cho hình chóp tứ giác đều .
S ABCD
có các cạnh đều bằng
2
a
. Tính thể tích của khối nón có
đỉnh
S
và đường tròn đáy là đường tròn nội tiếp tứ giác
ABCD
.
A.
3
2
π
6
a
V . B.
3
2
π
2
a
V . C.
3
π
2
a
V . D.
3
π
6
a
V .
Câu 142: Một khối nón có thiết diện qua trục là tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng
2
a
. Thể tích
khối nón bằng
A.
3
6
a
. B.
3
3
a
. C.
3
2
a
. D.
3
a
.
Câu 143: Cắt một hình nón bằng một mặt phẳng qua trục của nó được thiết diện là tam giác đều cạnh bằng
a
. Tính thể tích
V
của khối nón theo
a
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 5
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
3
3
V
a
. B.
3
12
3
V
a
. C.
3
6
3
V
a
. D.
3
24
3
V
a
.
Câu 144: Cho tam giác
ABC
đều cạnh
a
, gọi
M
là trung điểm
BC
. Tính thể tích
V
của khối nón tạo thành
khi cho tam giác
ABC
quay quanh
AM
.
A.
3
3
a
V
. B.
3
3
8
a
V
. C.
3
3
24
a
V
. D.
3
3
6
a
V
.
Câu 145: Khối nón tròn xoay có chiều cao bằng
6
cm
và độ dài đường sinh bằng
10
cm
. Thể tích của
khối nón là.
A.
3
640
cm
. B.
3
128
cm
. C.
3
96
cm
. D.
3
384
cm
.
Câu 146: Cho tam giác
ABC
vuông tại
A
,
6cm
AB
,
8cm
AC
. Gọi
1
V
là thể tích khối nón tạo thành khi
quay tam giác
ABC
quanh cạnh
AB
và
2
V
là thể tích khối nón tạo thành khi quay tam giác
ABC
quanh cạnh
AC
. Khi đó, tỷ số
1
2
V
V
bằng:
A.
3
4
. B.
9
16
. C.
16
9
. D.
4
3
.
Câu 147: Cho khối nón có đường cao
h
và bán kính đáy
r
. Tính thể tích của khối nón.
A.
2
1
3
r h
. B.
2 2
r h r
. C.
2
r h
. D.
2 2
2
r h r
.
Câu 148: Cho hình nón tròn xoay có đỉnh là
S
,
O
là tâm của đường tròn đáy, đường sinh bằng
2
a
và góc
giữa đường sinh và mặt phẳng đáy bằng
60
. Diện tích xung quanh
xq
S
của hình nón và thể tích
V
của khối nón tương ứng là
A.
2
xq
S a
,
3
6
4
a
V
. B.
2
2
xq
a
S
,
3
3
12
a
V
.
C.
2
2
xq
S a
,
3
6
4
a
V
. D.
2
xq
S a
,
3
6
12
a
V
.
Câu 149: Cho hình nón có chiều cao bằng
3
(cm), góc giữa trục và đường sinh bằng
o
60
. Thể tích khối nón
bằng
A.
27
V
3
cm
B.
54
V
3
cm
C.
18
V
3
cm
D.
9
V
3
cm
Câu 150: Thể tích khối nón có chiều cao
h
, bán kính đường tròn đáy
r
là:
A.
2
1
3
V r h
. B.
2
V r h
. C.
2
4
3
V r h
. D.
2
1
2
V r h
.
Câu 151: Hình chữ nhật
ABCD
có
6, 4
AB AD . Gọi
, , ,
M N P Q
lần lượt là trung điểm bốn cạnh
, , ,
AB BC CD DA
. Cho hình chữ nhật
ABCD
quay quanh
QN
, khi đó tứ giác
MNPQ
tạo thành
vật tròn xoay có thể tích bằng:
A.
4
V . B.
8
V . C.
6
V . D.
2
V .
Câu 152: Cho tam giác
ABC
vuông tại
A
có
3, 4
AB AC
. Quay tam giác
ABC
quanh trục
AC
, ta
được một hình nón tròn xoay. Tính thể tích
V
khối nón tròn xoay.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 6
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
16
V
. B.
12
V
. C.
3
4
V
. D. V
.
Câu 153: Xác định thể tích khối nón có thiết diện qua trục là tam giác đều cạnh
m
.
A.
3
3
8
m
. B.
3
3
12
m
. C.
3
3
48
m
. D.
3
3
24
m
.
Câu 154: Một hình nón có bán kính đường tròn đáy bằng
40
cm
, độ dài đường sinh bằng
44
cm
. Thể tích
khối nón này có giá trị gần đúng là:
A.
3
73722
cm
. B.
3
30712
cm
.
C.
3
30713
cm
.
D.
3
92138
cm
.
Câu 155: Cho tam giác
ABC
vuông cân tại
A
,
2
AB a
. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay
tam giác
ABC
quanh cạnh
AB
bằng
A.
3
4
3
a
. B.
3
8 2
3
a
. C.
3
3
a
. D.
3
8
3
a
.
Câu 156: Cho hình cầu bán kính bằng
5
cm, cắt hình cầu này bằng một mặt phẳng sao cho thiết diện tạo
thành là một đường tròn đường kính
4
cm. Tính thể tích khối nón có đáy là thiết diện vừa tạo và
đỉnh là tâm của hình cầu đã cho.
A.
19,21
ml B.
19,18
ml C.
19,20
ml D.
19,19
ml
Câu 157: Thể tích khối nón có chiều cao bằng
h
, đường sinh bằng
l
là:
A.
2 2
1
3
l h h
B.
2 2
l l h
C.
2 2
l h h
D.
2
1
3
l h
Câu 158: Một hình nón có bán kính đường tròn đáy bằng , độ dài đường sinh bằng . Thể tích
khối nón này có giá trị gần đúng là
A. B. C. D.
Câu 159: Cho tam giác
SOA
vuông tại
O
có
3 cm
OA
,
5 cm
SA
, quay tam giác
SOA
xung quanh cạnh
SO
được hình nón. Thể tích của khối nón tương ứng là:
A.
3
36 cm
. B.
3
12 cm
. C.
3
15 cm
. D.
3
80
cm
3
.
Câu 160: Thể tích của khối nón tròn xoay biết khoảng cách từ tâm của đáy đến đường sinh bằng
3
và thiết
diện qua trục là một tam giác đều là.
A.
8 3
3
. B.
3
3
. C.
2 3
3
. D.
4 3
3
.
Câu 161: Cho khối nón có bán kính đáy
2
r
, chiều cao
3
h (hình vẽ). Thể tích của khối nón là:
40 cm
44 cm
3
30 712 cm .
3
30 713 cm .
3
92 138 cm .
3
73 722 cm .
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 7
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
4
3
. B.
2 3
3
. C. 4 3
. D.
4 3
3
.
Câu 162: Tính thể tích V của khối nón có diện tích hình tròn đáy là S và chiều cao là h .
A.
4
3
V Sh
. B.
2
1
3
V Sh
. C.
V Sh
. D.
1
3
V Sh
.
Câu 163: Một hình nón có bán kính mặt đáy bằng 3cm, độ dài đường sinh bằng 5cm . Tính thể tích V của
khối nón được giới hạn bởi hình nón.
A.
3
12 cmV
. B.
3
16 cmV
. C.
3
75 cmV
. D.
3
45 cmV
.
Câu 164: Cho khối nón đỉnh S só độ dài đường sinh là a , góc giữa đường sinh và mặt đáy là 60 . Thể tích
khối nón là
A.
3
3
24
a
V
. B.
3
3
8
a
V
. C.
3
8
a
V
. D.
3
3
8
a
V
.
Câu 165: Cho khối nón có đường sinh bằng 5 và diện tích đáy bằng 9
. Tính thể tích V của khối nón.
A. 36V
. B. 45V
. C. 12V
. D. 24V
.
Câu 166: Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tại A , AB a và
30 ACB . Tính thể tích V của
khối nón nhân được khi quay tam giác ABC quay quanh cạnh AC .
A.
3
3
9
a
V
. B.
3
3
V a . C.
3
V a . D.
3
3
3
a
V
.
Câu 167: Thể tích của khối nón có độ dài đường sinh 2l a và bán kính đáy r a bằng
A.
3
2
3
a
. B.
3
3a
. C.
3
2 a
. D.
3
3
3
a
.
Câu 168: Cho hình nón
N
có chiều cao bằng 3a . Thiết diện song song với đáy cách đáy một đoạn bằng
a
có diện tích bằng
2
64
9
a
. Thể tích khối nón
N
là
A.
3
16
3
a
B.
3
48 a
C.
3
16 a
D.
3
25
3
a
Câu 169: Hình nón có bán kính đáy 8 cmr , đường sinh 10 cml . Thể tích khối nón là:
A.
3
128 cmV
. B.
3
128
cm
3
V
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 8
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
C.
3
192 cm
V
. D.
3
192
cm
3
V
.
Câu 170: Cho hình chóp đều
.
S ABCD
có cạnh đáy bằng
a
, diện tích mỗi mặt bên bằng
2
a
. Thể tích khối
nón có đỉnh
S
và đường tròn đáy nội tiếp hình vuông
ABCD
bằng
A.
3
π 15
18
a
. B.
3
π 15
24
a
. C.
3
π 15
8
a
. D.
3
π 15
12
a
.
Câu 171: Khi quay một tam giác đều cạnh bằng
a
(bao gồm cả điểm trong tam giác) quanh một cạnh của
nó ta được một khối tròn xoay. Tính thể tích
V
của khối tròn xoay đó theo
a
.
A.
3
3
4
a
. B.
3
3
24
a
. C.
3
4
a
. D.
3
3
8
a
.
Câu 172: Cho khối nón
N
có bán kính đáy bằng
3
và diện tích xung quanh bằng
15
. Tính thể tích
V
của khối nón
.
N
A.
36
V . B.
60
V . C.
12
V . D.
20
V .
Câu 173: Cho khối nón có bán kính đáy
3
r
và chiều cao
4
h
.
Tính thể tích
V
của khối nón.
A.
4
V
. B.
16 3
V
. C.
12
V
. D.
16 3
3
V
.
Câu 174: Cho tam giác
ABC
vuông tại
A
, góc
60
ABC
. Tính thể tích
V
của khối tròn xoay sinh bởi
khi quay
ABC
quanh trục
AB
, biết
2
BC a
.
A.
3
.
V a
B.
3
3 .
V a
C.
3
.
V a
D.
3
3
.
3
a
V
Câu 175: Cho tam giác
ABC
vuông tại
A
,
AH
vuông góc với
BC
tại
H
,
3,6cm
HB
,
6,4cm
HC
.
Quay miền tam giác
ABC
quanh đường thẳng
AH
ta thu được khối nón có thể tích bằng bao
nhiêu?
A.
3
205,89cm
. B.
3
617,66cm
. C.
3
65,14cm
. D.
3
65,54cm
.
Câu 176: Thể tích của khối nón có chiều cao bằng
4
và đường sinh bằng
5
bằng
A.
12
. B.
36
. C.
16
. D.
48
.
Câu 177: Cho hình nón đỉnh
S
, đáy là đường tròn nội tiếp tam giác
ABC
. Biết rằng
10
AB BC a
,
12
AC a
, góc tạo bởi hai mặt phẳng
SAB
và
ABC
bằng
45
. Tính thể tích
V
của khối nón
đã cho.
A.
3
9
V a
. B.
3
27
V a
. C.
3
12
V a
. D.
3
3
V a
.
Câu 178: Cho
V
là thể tích khối nón tròn xoay có bán kính đáy
r
và chiều cao
h
.
V
được cho bởi công
thức nào sau đây:
A.
2
4
3
V r h
. B.
2
V r h
. C.
2
1
3
V r h
. D.
2 2
4
3
V r h
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 9
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 179: Một hình nón
N
có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân với cạnh góc vuông bằng
2
a
. Thể tích của khối nón
N
bằng:
A.
3
6
a
. B.
3
3
a
. C.
3
2
a
. D.
3
a
.
Câu 180: Cho hình nón có góc ở đỉnh bằng
60 ,
diện tích xung quanh bằng
2
6
a
. Tính thể tích
V
của khối
nón đã cho.
A.
3
3 2
4
a
V
. B.
3
2
4
a
V
. C.
3
3
V a
. D.
3
V a
.
Câu 181: Cho tam giác
ABC
vuông tại
A
. Tính thể tích
V
của khối tròn xoay sinh bởi khi quay quanh trục
AC
, biết
6
AB
,
10
BC
?
A.
120
V
. B.
128
V
. C.
200
V
. D.
96
V
.
Câu 182: Cho tam giác
ABC
cân tại
A
có
10cm
BC
,
6cm
AB
. Quay tam giác
ABC
xung quanh cạnh
AB
ta được một khối tròn xoay có thể tích bằng
A.
3
325
cm
2
. B.
3
4216
cm
27
. C.
3
550
cm
9
. D.
3
200 cm
.
Câu 183: Cho hình nón
N
có thiết diện qua trục là tam giác vuông cân, cạnh bên bằng
2
a
. Tính thể tích
của khối nón
N
theo
a
.
A.
3
2 2
3
a
. B.
3
3
a
. C.
3
a
. D.
3
2 2
a
.
Câu 184: Nếu tăng bán kính đáy của một hình nón lên
4
lần và giảm chiều cao của hình nón đó đi
8
lần, thì
thể tích khối nón tăng hay giảm bao nhiêu lần?
A. tăng
2
lần. B. tăng
16
lần. C. giảm
16
lần. D. giảm
2
lần.
Câu 185: Cho một hình nón đỉnh
S
có chiều cao bằng
8cm
, bán kính đáy bằng
6cm
. Cắt hình nón đã cho
bởi một mặt phẳng song song với mặt phẳng chứa đáy được một hình nón
N
đỉnh
S
có đường
sinh bằng
4cm
. Tính thể tích của khối nón
N
.
A.
3
2304
cm
125
V
B.
3
2358
cm
125
V
C.
3
768
cm
125
V
D.
3
786
cm
125
V
DẠNG 4: BÀI TOÁN LIÊN QUAN THIẾT DIỆN VỚI KHỐI NÓN
Câu 186: Cho tam giác nhọn
ABC
, biết rằng khi quay tam giác này quanh các cạnh
AB
,
BC
,
CA
ta lần
lượt được các hình tròn xoay có thể tích là
672
,
3136
5
,
9408
13
.Tính diện tích tam giác
ABC
.
A.
84
S
. B.
96
S
. C.
1979
S
. D.
364
S
.
Câu 187: Cho hình nón tròn xoay có chiều cao
20 cm
h , bán kính đáy
25 cm
r . Một thiết diện đi qua
đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là
12 cm
. Tính diện
tích của thiết diện đó.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 10
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
2
500 cm .
S B.
2
400 cm .
S C.
2
300 cm .
S D.
2
406 cm .
S
Câu 188: Cho hình nón đỉnh S, đáy là hình tròn tâm O, thiết diện qua trục là tam giác đều cạnh a, thể tích
của khối nón là
A.
3
1
3
6
a
. B.
3
1
3
24
a
. C.
3
1
3
12
a
. D.
3
1
3
8
a
.
Câu 189: Thiết diện qua trục của hình nón
N
là tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng
a
. Tính diện
tích toàn phần của hình nón
N
?
A.
2
2 2
2
tp
a
S
. B.
2
2 1
2
tp
a
S
.
C.
2
2 1
tp
S a
. D.
2
1 2 2
2
tp
a
S
.
Câu 190: Thiết diện qua trục hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng
a
. Tính thể tích
hình nón theo
a
.
A.
3
2 2
3
a
. B.
3
2
a
. C.
3
2
3
a
. D.
3
2
12
a
.
Câu 191: Cho hình nón đỉnh , góc ở đỉnh bằng
120
, đáy là hình tròn
;3
O R
. Cắt hình nón bởi mặt phẳng
qua
S
và tạo với đáy góc
60
. Diện tích thiết diện là
A.
2
2 2
R
B.
2
4 2
R
C.
2
6 2
R
D.
2
8 2
R
Câu 192: Cắt khối nón có bán kính đáy bằng
2
và chiều cao bằng
3
bởi một mặt phẳng song song và cách
trục một khoảng bằng
1
. Diện tích thiết diện là
A.
2 2
B.
3 2
C.
3
D.
2 3
Câu 193: Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh huyền là
2 3
. Thể tích
của khối nón này bằng
A.
3 3
. B.
3
. C.
3 2
. D.
3
.
Câu 194: Khi cắt khối nón
N
bằng một mặt phẳng qua trục của nó ta được thiết diện là một tam giác
vuông cân có cạnh huyền bằng
2 3
a
. Tính thể tích
V
của khối nón
N
?
A.
3
3 6
V a
. B.
3
6
V a
. C.
3
3
V a
. D.
3
3 3
V a
.
Câu 195: Thiết diện chứa trục của hình nón là tam giác đều cạnh
a
. Tính thể tích khối nón theo
a
.
A.
3
3
12
a
. B.
3
3
6
a
. C.
3
3
24
a
. D.
3
3
8
a
.
Câu 196: Cắt hình nón đỉnh S bởi mặt phẳng đi qua trục ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng
2
a
. Gọi
BC
là dây cung của đường tròn đáy hình nón sao cho mặt phẳng
SBC
tạo với mặt
phẳng đáy một góc
0
60
. Tính diện tích tam giác
SBC
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 11
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
2
2
.
3
a
S
B.
2
.
3
a
S
C.
2
2
.
2
a
S
D.
2
3
.
3
a
S
Câu 197: Cho một khối nón có bán kính đáy là
9cm
, góc giữa đường sinh và mặt đáy là
30
. Tính diện tích
thiết diện của khối nón cắt bởi mặt phẳng đi qua hai đường sinh vuông góc với nhau.
A.
2
162 cm
. B.
2
27
cm
2
. C.
2
54 cm
. D.
2
27 cm
.
Câu 198: Cắt một khối nón tròn xoay có bán kính đáy bằng R, đường sinh 2R bởi một mặt phẳng
( )
qua
tâm đáy và tạo với mặt đáy một góc
0
60
tính tỷ số thể tích của hai phần khối nón chia bởi mặt
phẳng
( )
?
A.
3 4
6
. B.
1
2 1
. C.
2
3
. D.
2
.
Câu 199: Mặt phẳng chứa trục của một hình nón cắt hình nón theo thiết diện là:
A. một hình chữ nhật. B. một tam giác cân.
C. một đường elip. D. một đường tròn.
Câu 200: Cắt một hình nón bằng một mặt phẳng đi qua trục của nó ta được thiết diện là một tam giác vuông
cân có cạnh huyền bằng
a
, diện tích xung quanh của hình nón đó là:
A.
2
2
a
. B.
2
2
2
xq
a
S
. C.
2
xq
S a
. D.
2
2
4
xq
a
S
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 1
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
DẠNG 3: TÍNH THỂ TÍCH KHỐI NÓN, KHỐI LIÊN QUAN NÓN
Câu 105: Thể tích của khối nón có chiều cao bằng
h
và bán kính đáy bằng
R
là
A.
2
V R h
. B.
1
3
V Rh
. C.
1
2
3
V Rh
. D.
2
1
3
V R h
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Thể tích của khối nón có chiều cao bằng
h
và bán kính đáy bằng
R
là
2
1
3
V R h
.
Câu 106: Cắt hình nón bởi một mặt phẳng đi qua trục ta được thiết diện là một tam giác vuông cân có cạnh
huyền bằng
6
a
. Thể tích
V
của khối nón đó bằng:
A.
3
6
2
a
V
. B.
3
6
4
a
V
. C.
3
6
3
a
V
. D.
3
6
6
a
V
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Theo bài ra ta có
6
2
a
AH .
Lại có
SAB
vuông cân tại
S
nên
2
AB
SH
6
2
a
AH .
Thể tích khối nón là
2
1
. .
3
V SH AH
2
1 6 6
. .
3 2 2
a a
3
6
4
a
.
Câu 107: Cho Hình nón
N
có bán kính đáy bằng
3
và diện tích xung quanh bằng
15
. Tính thể tích
V
của khối nón
N
là:
A.
60
. B.
12
. C.
20
. D.
36
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có diện tích xung quanh của hình nón là
xq
S rl
15 .3.
l
5
l
.
Chiều cao của khối nón là
2 2
h l r
2 2
5 3
4
.
Thể tích của khối nón là
2
1
3
V r h
2
1
.3 .4
3
12
.
Câu 108: Hình nón có đường kính đáy bằng
8
, chiều cao bằng
3
thì diện tích xung quanh bằng
A.
24
. B.
20
. C.
12
. D.
15
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 2
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Ta có đường kính đáy bằng
8
nên bán kính đáy là
4
r
đường sinh
2 2
3 4 5
l
Áp dụng công thức tính diện tích xung quanh của hình nón ta có
20
xq
S rl
.
Câu 109: Tam giác
ABC
vuông cân đỉnh
A
có cạnh huyền là 2. Quay tam giác
ABC
quanh trục
BC
thì
được khối tròn xoay có thể tích là
A.
2 2
3
. B.
4
3
. C.
2
3
. D.
1
3
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có:
2
AB AC
.
Gọi
H
là trung điểm của cạnh
AB
thì
AH BC
và
1
AH
.
Quay tam giác
ABC
quanh trục
BC
thì được khối tròn xoay có thể tích là:
2
1
2. .
3
V HB AH
2
3
.
Câu 110: Tính thể tích
V
của khối nón có bán kính đáy bằng
3
và chiều cao bằng
6
.
A.
108
V
. B.
54
V
. C.
36
V
. D.
18
V
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có
2
1
3
V R h
2
1
.3 .6
3
18
.
Câu 111: Người ta đặt được một tam giác đều
ABC
cạnh là
2
a
vào một hình nón sao cho
A
trùng với
đỉnh của hình nón, còn
BC
đi qua tâm của mặt đáy hình nón. Tính thể tích hình nón.
A.
3
3
3
a
. B.
3
2 3
3
a
. C.
3
3
6
a
. D.
3
3
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Gọi
H
là trung điểm của
BC
.
Chiều cao hình nón
3
h AH a
.
Bán kính đáy của hình nón
R BH a
.
Vậy thể tích khối nón
3
2 2
1 1 3
. 3
3 3 3
a
V R h a a
.
2
A
B
C
H
A
C
B
H
2
a
2
a
2
a
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 3
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 112: Cho hình nón
1
N
có chiều cao bằng
40
cm. Người ta cắt hình nón
1
N
bằng một mặt phẳng song
song với mặt đáy của nó để được một hình nón nhỏ
2
N
có thể tích bằng
1
8
thể tích
1
N
. Tính
chiều cao
h
của hình nón
2
N
?
A.
10
cm. B.
20
cm. C.
5
cm. D.
40
cm.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Gọi
1
R
,
2
R
,
1
h
,
h
lần lượt là bán kính và chiều cao của các khối nón
1
N
,
2
N
. Gọi
1
V
,
2
V
thể tích
của các khối nón
1
N
,
2
N
và gọi
2
là góc ở đỉnh của hình nón.
Ta có:
2
1 1 1
1
3
V R h
;
2
2 2
1
3
V R h
.
Theo đề bài ta có
2
1
1
8
V
V
2
2
2
1 1
1
1
3
1
8
3
R h
R h
2
2
2
1 1
1
8
R h
R h
.
Mặt khác ta lại có
1 1
tan
R h
,
2
tan
R h
1
3 2
3 2
tan 1
tan 8
h
h
1
1
2
h
h
1
1
2
h h
20
h
.
Câu 113: Tam giác
ABC
vuông cân đỉnh
A
có cạnh huyền là 2. Quay tam giác
ABC
quanh trục
BC
thì
được khối tròn xoay có thể tích là
A.
1
3
. B.
2 2
3
. C.
4
3
. D.
2
3
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có:
2
AB AC
.
Gọi
H
là trung điểm của cạnh
AB
thì
AH BC
và
1
AH
.
Quay tam giác
ABC
quanh trục
BC
thì được khối tròn xoay có thể tích là:
2
1
2. .
3
V HB AH
2
3
.
α
O
A'
I
B
A
I'
B'
2
A
B
C
H
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 4
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 114: Mặt phẳng trung trực của đường cao của một khối nón chia nó ra thành hai phần. Tỉ số thể tích
của chúng là:
A.
1
5
B.
1
7
C.
1
4
D.
1
8
Hướng dẫn giải
Chọn B
Gọi
r
là bán kính đáy của khối nón và
h
là chiều cao của khối nón, khi đó khối nón có thể tích
là
2
1
.
3
V r h
Cắt khối nón bằng mặt phẳng trung trực của đường cao thì ta được hai phần, trong đó có một
phần là khối nón có thể tích là:
2
2
1
. . .
3 2 2
r h
V
2
1 1
. .
8 3
r h
1
8
V
.
Vậy tỉ số thể tích của hai phần sau khi bị cắt là:
1
1
1
7
V
V V
.
Câu 115: Một hình nón có đường kính đáy là
2
a
, chiều cao của hình nón bằng
3
a
.Thể tích của khối nón
là.
A.
2
6
V a
. B.
3
3
V a
. C.
3
4
V a
. D.
3
V a
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
2
2 3
1 1 2
. .3 .
3 3 2
a
V r h a a
.
Câu 116: Cho khối nón có bán kính đáy
,
R
độ dài đường sinh
.
l
Thể tích khối nón là:
A.
2 2 2
1
3
R l R
. B.
2 2 2
R l R
. C.
2
1
3
R l
. D.
2
R l
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Đường cao khối nón
2 2
h l R
Thể tích khối nón
1
3
V Sh
2 2 2
1
3
R l R
.
Câu 117: Gọi
r
,
h
,
l
lần lượt là bán kính đáy, chiều cao và đường sinh của hình nón.
xq
S
,
tp
S
,
V
lần lượt
là diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình nón và thể tích khối nón. Chọn phát biểu
sai.
A.
xq
S rl
. B.
1
3
V rh
. C.
2 2 2
l h r
. D.
tp
S r l r
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 5
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Hướng dẫn giải
Chọn B
2
1
3
V r h
nên D sai.
Câu 118: Cho hình nón có bán kính đáy bằng 2 (cm), góc ở đỉnh bằng
o
60
. Thể tích khối nón là
A.
3
8 3
cm
2
V
. B.
3
8 3 cmV
. C.
3
8 3
cm
3
V
. D.
3
8 3
cm
9
V
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có bán kính đáy 2r , đường cao
o
tan30
r
h 2 3h .
Vậy thể tích khối nón
2
1
3
V r h
1
.4.2 3
3
3
8 3
cm
3
.
Câu 119: Tính thể tích
V
của khối tròn xoay thu được khi quay hình thang
ABCD
quanh trục
'
OO
, biết
' 200OO , ' 20O D , ' 10O C , 10OA , 5OB .
A. 40000
. B. 35000
. C. 37500
. D. 75000
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Dùng công thức tính thể tích khối nón cụt
2 2
3
h
V R r Rr
.
Khi đó thể tích của khối tròn xoay cần tìm là:
2 2 2 2
200
20 10 20.10 10 5 10.5 35000
3
V
.
Câu 120: Cho hình nón
N có bán kính đáy bằng 6 và diện tích xung quanh bằng 60. Tính thể tích V
của khối nón
N .
O
A
B
O
C
D
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 6
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A. 96V . B. 432 6V . C. 144 6V . D. 288V .
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có
2
1
3
V R h .
Lại có
2 2
6
60
xq
R
S Rl R h R
6
8
R
h
96V .
Câu 121: Một hình nón
N có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân với cạnh góc vuông bằng
2a
. Thể tích của khối nón
N bằng:
A.
3
6
a
. B.
3
3
a
. C.
3
2
a
. D.
3
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có hình nón
N có thiết diện qua trục
là một tam giác vuông cân với cạnh góc
vuông bằng
2a
nên đáy của hình nón là
đường tròn có đường kính 2a, chiều cao
của hình nón bằng
a
nên thể tích của khối
nón bằng:
3
3
a
.
Câu 122: Một hình nón có diện tích đáy bằng
2
16 dm
và diện tích xung quanh bằng
2
20 dm
. Thể tích
khối nón là
A.
3
8 dm
. B.
3
32 dm
. C.
3
16 dm
. D.
3
16
dm
3
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Gọi r là bán kính mặt đáy.
2
16 16 4
đáy
S r r
.
20 20
xq
S rl
.4. 20 5l l
.
Suy ra đường cao h của hình nón:
2 2 2 2
5 4 3h l r .
Vậy thể tích của khối nón:
1 1
. 16 .3 16
3 3
đáy
V S h
3
dm .
Câu 123: Cho hình lập phương .ABCD A B C D
có cạnh bằng 2a . Tính thể tích khối nón tròn xoay có
đỉnh là tâm hình vuông A B C D
và đáy là đường tròn nội tiếp hình vuông ABCD .
A.
3
2V a
. B.
3
2
3
V a
. C.
3
1
3
V a
. D.
3
4
3
V a
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 7
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Khối nón tròn xoay có đỉnh là tâm hình vuông
A B C D
và đáy là đường tròn nội tiếp hình
vuông
ABCD
nên có
2
BC
r
a
;
h SO
BB
2
a
Ta có:
2
1
3
V r h
3
2
3
a
.
Câu 124: Cắt hình nón bởi một mặt phẳng đi qua trục ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng
2
a
. Thể tích của khối nón bằng
A.
3
2
12
a
. B.
3
7
3
a
. C.
3
12
a
. D.
3
2
4
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có:
SAB
vuông cân tại
S
và
2
AB a
2
2
a
SO OB .
Vậy thể tích của khối nón là:
3
3
2
1 1 2 2
. . . . .
3 3 2 12
a a
V OB SO
.
Câu 125: Cho tam giác
ABC
vuông tại
A
có độ dài cạnh
3
AB a
,
4
AC a
, quay quanh cạnh
AC
. Thể
tích của khối nón tròn xoay được tạo thành là
A.
3
12 .
a
B.
3
36 .
a
C.
3
100
.
3
a
D.
3
16 .
a
Hướng dẫn giải
Chọn A
O'
O
D
C
B
A
D
'
C
'
B
'
A
'
2a
O
A
B
S
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 8
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Ta có :
3
r AB a
,
4
h AC a
2
1
.
3
V r h
2
1
3 .4
3
a a
3
12
a
.
Câu 126: Tính thể tích
V
của khối nón tròn xoay có chiều cao
h
và đáy là hình tròn bán kính
r
.
A.
2
3
V rh
. B.
2
1
3
V r h
. C.
2
V r h
. D.
V rh
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có
2
1 1
.
3 3
V B h r h
.
Câu 127: Cho hình nón
N
có chiều cao bằng
3
a
. Thiết diện song song với đáy cách đáy một đoạn bằng
a
có diện tích bằng
2
64
9
a
. Thể tích khối nón
N
là
A.
3
16
3
a
B.
3
48
a
C.
3
16
a
D.
3
25
3
a
Hướng dẫn giải
Chọn C
Gọi
h
,
r
lần lượt là chiều cao và bán kính đáy của khối nón
N
.
Gọi
', '
h r
lần lượt là chiều cao và bán kính đáy của khối nón có đỉnh là đỉnh của
N
và đáy là
thiết diện đáy cách đáy của
N
một đoạn bằng
a
.
Ta có
3 , 2
h a h a
.
Hơn nữa,
2
2 2
64 64 8
'
9 9 3
td
a
S a r a r
.
Theo định lý Talet, ta có chiều cao và bán kính đáy
' '
h r
h r
hay
. '
4
'
h r
r a
h
.
Vậy thể tích của khối nón
N
là
2 2 3
1 1
. . .16 .3 16
3 3
V r h a a a
.
3a
4a
B
A
C
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 9
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 128: Cho hình hộp chữ nhật .
ABCD A B C D
có các kích thước là
2
AB
,
3
AD
,
4
AA
. Gọi
N
là hình nón có đỉnh là tâm của mặt
ABB A
và đường tròn đáy là đường tròn ngoại tiếp hình
chữ nhật
CDD C
. Tính thể tích
V
của hình nón
N
.
A.
5
. B.
8
. C.
25
6
. D.
13
3
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có:
2 2 2 2 2 2
4 2 2 5
D C DD DC AA AB
Đường tròn đáy là đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật
' '
CDD C
nên có đường kính là
D C
.
Suy ra bán kính đáy
5
2
D C
r
.
Chiều cao của hình nón là
SO
(với
O
là tâm của hình chữ nhật
' '
CDD C
).
3
h SO AD
Vậy
2
1
. 5 .
3
V r h
Câu 129: Thể tích
V
của khối tròn xoay thu được khi quay hình thang
ABCD
quanh trục
OO
, biết
80,
OO
24,
O D
12,
O C
12,
OA
6
OB
.
A.
21600 .
V
B.
20160 .
V
C.
45000 .
V
D.
43200 .
V
Hướng dẫn giải
Chọn B
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 10
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Công thức tính thể tích khối nón cụt
2 2
1 2 1 2
1
3
V h R R R R
.
Trong đó
h
là độ dài đường cao,
1 2
;
R R
lần lượt là bán
kính hai đáy.
Gọi
1
V
là thể tích khối nón cụt khi quay hình thang
AOO D
quanh trục
OO
.
Gọi
2
V
là thể tích khối nón cụt khi quay hình thang
BOO C
quanh trục
OO
.
Khi đó
1 2
V V V
.
Ta có
2 2
1
1
. . . 26880
3
V OO O D OA O D OA
và
2 2
2
1
. . . 6720
3
V OO O C OB O C OB
.
Vậy
1 2
26880 6720 20160
V V V
.
Câu 130: Cho khối nón có bán kính
5
r và chiều cao
3
h
. Tính thể tích
V
của khối nón.
A.
9 5
V
. B.
3 5
V
. C.
5
V
. D.
5
V
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Thể tích
V
của khối nón là :
2
1 1
3 3
5.3 5
hV r
.
Câu 131: Thể tích
V
của mặt cầu ngoại tiếp hình nón, biết rằng hình nón có bán kính đáy bằng
5
và thiết
diện qua trục hình nón là tam giác vuông cân là:
A.
2
175
3
V
. B.
2
500
3
V
. C.
2
5
V
. D.
2
125
V
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Vì thiết diện qua trục hình nón là tam giác vuông cân nên mặt cầu có bán kính mặt cầu ngoại tiếp
hình nón bằng
5
. Vậy
3
2
4 500
3 3
V R
.
Câu 132: Trong không gian cho tam giác
ABC
vuông tại
A
có
3
AB và
30
ACB
. Tính thể tích
V
của khối nón nhận được khi quay tam giác
ABC
quanh cạnh
AC
.
A.
9
V
. B.
3
V
. C.
2
V
. D.
5
V
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Xét tam giác vuông
ABC
ta có
3
tan30
AB
AC
.
Thể tích của khối nón nhận được khi quay tam giác
ABC
quanh cạnh
AC
là
2
1
. 3
3
V AB AC
.
Câu 133: Cho hình nón
N
có đường sinh tạo với đáy góc
0
60
. Mặt phẳng qua trục của
N
cắt
N
được thiết diện là một tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp bằng 1. Tính thể tích
V
của khối
nón giới hạn bởi
N
.
A.
9
V
. B.
3 3
V
. C.
9 3
V
. D.
3
V
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 11
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có: Góc giữa đường sinh tạo với đáy là
SAO
0
60
0
tan 60 3
h
h R
R
1
Mặt khác:
2 2
1
. .
2
.
2
ABC
ABC
S SO AB R h
SA SB AB
S p r l R h R R
2 2
.
R h h R R
2
Thế
1
vào
2
ta được:
2
0
3 3
3
R L
R R
R N
. Suy ra:
3
h
.
Vậy
2
1
3
3
V R h
.
Câu 134: Cho khối nón có độ dài đường sinh bằng
6
và diện tích xung quanh bằng
30
. Thể tích của khối
nón là
A.
4 11
.
3
B.
6 11
.
3
C.
25 11
.
3
D.
5 11
.
3
Hướng dẫn giải
Chọn C
Gọi
, ,
r h l
lần lượt là bán kính đáy, chiều cao và độ dài đường sinh của khối nón.
Ta có
2 2 2 2
30
5 6 5 11.
6
xq
xq
S
S rl r h l r
l
Thể tích khối nón
2
1 1 25 11
.25. 11
3 3 3
V r h
.
Câu 135: Cho hình chóp đều
.
S ABCD
có cạnh đáy bằng
a
, diện tích mỗi mặt bên bằng
2
a
. Thể tích khối
nón có đỉnh
S
và đường tròn đáy nội tiếp hình vuông
ABCD
bằng
A.
3
15
18
a
. B.
3
15
24
a
. C.
3
15
8
a
. D.
3
15
12
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
h
R
O
S
B
A
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 12
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Bán kính hình nón là
2
a
r .
Gọi I là trung điểm AD . Ta có
2 2
1
. . 2
2
SAD
S a SI AD a SI a
Chiều cao hình nón là
2
2
2 2
15
2
2 2
a a
h SO SI IO a
Vậy thể tích khối nón là
2
3
2
1 1 15 15
. . .
3 3 2 2 24
a a a
V r h
.
Câu 136: Cho khối nón có chiều cao bằng 24 cm, độ dài đường sinh bằng 26 cm. Tính thể tích V của
khối nón tương ứng.
A. 1600V
3
cm
. B.
1600
3
V
3
cm
. C.
800
3
V
3
cm
. D. 800V
3
cm
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Bán kính đáy của hình nón:
2 2
10R l h cm.
Vậy thể tích khối nón tương ứng là:
2
1 1 800
. .100.24
3 3 3
V R h
.
Câu 137: Tính thể tích của khối nón tròn xoay có chiều cao bằng 6 và đường kính đường tròn đáy bằng
16.
A. 120
. B. 144
. C. 160
. D. 128
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 13
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Bán kính đáy
16
8
2
R
Thể tích khối nón
2
1
128
3
V R h
.
Câu 138: Tính thể tích khối nón có bán kính đáy
3
cm
và độ dài đường sinh
5
cm
.
A.
12
3
cm
. B.
15
3
cm
. C.
36
3
cm
. D.
45
3
cm
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có
2 2
5 3 4
SH
.
Vậy thể tích khối nón là:
1
3
V Bh
1
.4. .9 12
3
3
cm
.
Câu 139: Cho hình chóp tứ giác đều .
S ABCD
có các cạnh đều bằng
2
a
. Tính thể tích
V
của khối nón
đỉnh
S
và đường tròn đáy là đường tròn nội tiếp tứ giác
ABCD
.
A.
3
2
a
V
. B.
3
2
6
a
V
. C.
3
2
2
a
V
. D.
3
6
a
V
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Gọi
O AC BD
.
Đường tròn đáy của hình chóp là đường tròn nội tiếp hình vuông
ABCD
có bán kính
2
2
a
r
.
Chiều cao của hình chóp là chiều cao của hình nón và bằng
2
2 2 2
2
h SO SA AO a a a
.
Thể tích
V
của khối nón đỉnh
S
và đường tròn đáy là đường tròn nội tiếp tứ giác
ABCD
bằng
2
3
2
1 1 2
. . . . . .
3 3 2 6
a a
V r h a
.
Câu 140: Cắt hình nón đỉnh
S
bởi mặt phẳng đi qua trục ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền
bằng
2
a
. Thể tích của khối nón theo
a
là.
A.
3
7
3
a
. B.
3
4
a
. C.
3
2
12
a
. D.
3
2
4
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 14
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Đường kính đáy
2
d a
.
2
2
2
2 2
đáy
a a
S
.
Chiều cao của hình nón:
2
2
a
h
.
2 3
1 1 2 2
. . .
3 3 2 2 12
đáy
a a a
V S h
.
Câu 141: Cho hình chóp tứ giác đều .
S ABCD
có các cạnh đều bằng
2
a
. Tính thể tích của khối nón có
đỉnh
S
và đường tròn đáy là đường tròn nội tiếp tứ giác
ABCD
.
A.
3
2
π
6
a
V . B.
3
2
π
2
a
V . C.
3
π
2
a
V . D.
3
π
6
a
V .
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có:
2
2
2 2
2
SO SA OA a a a
.
Gọi
R
là bán kính đường tròn nội tiếp tứ giác
ABCD
suy ra
2
2 2
AB a
R .
2
3
2
1 1 2
. . .
3 3 2 6
a a
V R h a
.
Câu 142: Một khối nón có thiết diện qua trục là tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng
2
a
. Thể
tích khối nón bằng
S
A
B
C
D
O
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 15
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
3
6
a
. B.
3
3
a
. C.
3
2
a
. D.
3
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Thiết diện qua trục là tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng
2
a
nên đường sinh
2
l a
và đường kính đường tròn đáy bằng
2
a
, bán kính
r a
.
Chiều cao
2
2
2
h a a
a
.
Thể tích khối nón là
2
1
3
V r h
1
. .
3
a a
3
3
a
.
Câu 143: Cắt một hình nón bằng một mặt phẳng qua trục của nó được thiết diện là tam giác đều cạnh bằng
a
. Tính thể tích
V
của khối nón theo
a
.
A.
3
3
V
a
. B.
3
12
3
V
a
. C.
3
6
3
V
a
. D.
3
24
3
V
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
.
Thiết diện qua trục là tam giác đều nên chiều cao của khối nón
3
2
a
h
(đường cao tam giác
đều); Bán kính của đáy
2
a
r
.
Thể tích khối nón là .
2 3
2
1 1 3 3
3 3 4 2 24
a a a
V r h
.
.
Câu 144: Cho tam giác
ABC
đều cạnh
a
, gọi
M
là trung điểm
BC
. Tính thể tích
V
của khối nón tạo
thành khi cho tam giác
ABC
quay quanh
AM
.
A.
3
3
a
V
. B.
3
3
8
a
V
. C.
3
3
24
a
V
. D.
3
3
6
a
V
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có
3
2
3 1 3
, .
2 2 3 24
a a a
R MB h AM V R h
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 16
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 145: Khối nón tròn xoay có chiều cao bằng
6
cm
và độ dài đường sinh bằng
10
cm
. Thể tích của
khối nón là.
A.
3
640
cm
. B.
3
128
cm
. C.
3
96
cm
. D.
3
384
cm
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Công thức
2 2 2
l h r
ta có bán kính đáy
8
r cm
.
2 3
1
128 cm
3
V r h
.
Câu 146: Cho tam giác
ABC
vuông tại
A
,
6cm
AB
,
8cm
AC
. Gọi
1
V
là thể tích khối nón tạo thành
khi quay tam giác
ABC
quanh cạnh
AB
và
2
V
là thể tích khối nón tạo thành khi quay tam giác
ABC
quanh cạnh
AC
. Khi đó, tỷ số
1
2
V
V
bằng:
A.
3
4
. B.
9
16
. C.
16
9
. D.
4
3
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Khi quay tam giác
ABC
quanh cạnh
AB
ta có:
h AB
,
r AC
2
1
1
. .
3
V r h
2
1
.8 .6
3
3
128 cm
.
Khi quay tam giác
ABC
quanh cạnh
AC
ta có:
h AC
,
r AB
2
2
1
. .
3
V r h
2
1
.6 .8
3
3
96 cm
.
Vậy
1
2
128 4
96 3
V
V
.
Câu 147: Cho khối nón có đường cao
h
và bán kính đáy
r
. Tính thể tích của khối nón.
A.
2
1
3
r h
. B.
2 2
r h r
. C.
2
r h
. D.
2 2
2
r h r
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có thể tích khối nón là
2
1
3
V r h
.
Câu 148: Cho hình nón tròn xoay có đỉnh là
S
,
O
là tâm của đường tròn đáy, đường sinh bằng
2
a
và
góc giữa đường sinh và mặt phẳng đáy bằng
60
. Diện tích xung quanh
xq
S
của hình nón và thể
tích
V
của khối nón tương ứng là
A.
2
xq
S a
,
3
6
4
a
V
. B.
2
2
xq
a
S
,
3
3
12
a
V
.
C.
2
2
xq
S a
,
3
6
4
a
V
. D.
2
xq
S a
,
3
6
12
a
V
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 17
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Dựa vào hình vẽ ta có: góc giữa đường sinh và mặt đáy là
60
SAO
.
Tam giác
SAO
vuông tại
O
:
2
.cos 2.cos60
2
a
R OA SA SAO a .
6
.sin 2.sin60
2
a
h SO SA SAO a .
Vậy
2
xq
S Rl a
và
3
2
1 6
3 12
a
V R h
.
Câu 149: Cho hình nón có chiều cao bằng
3
(cm), góc giữa trục và đường sinh bằng
o
60
. Thể tích khối
nón bằng
A.
27
V
3
cm
B.
54
V
3
cm
C.
18
V
3
cm
D.
9
V
3
cm
Hướng dẫn giải
Chọn A
Gọi
R
là bán kính của hình nón. Khi đó, ta có
o o
tan 60 3.tan60 3 3
3
R
R .
Vậy thể tích khối nón bằng
2
2
1 1
3 3 3 27
3 3
V R h
3
cm
.
Câu 150: Thể tích khối nón có chiều cao
h
, bán kính đường tròn đáy
r
là:
A.
2
1
3
V r h
. B.
2
V r h
. C.
2
4
3
V r h
. D.
2
1
2
V r h
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có
2
1
3
V r h
.
Câu 151: Hình chữ nhật
ABCD
có
6, 4
AB AD . Gọi
, , ,
M N P Q
lần lượt là trung điểm bốn cạnh
, , ,
AB BC CD DA
. Cho hình chữ nhật
ABCD
quay quanh
QN
, khi đó tứ giác
MNPQ
tạo thành
vật tròn xoay có thể tích bằng:
A.
4
V . B.
8
V . C.
6
V . D.
2
V .
Hướng dẫn giải
Chọn B
A
O
S
60
0
a
2
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 18
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Khi đó tứ giác
MNPQ
tạo thành vật tròn xoay gồm hai khối nón có chung đáy (hình vẽ)
Gọi
1
V
là thể tích khối nón có bán kính đáy là
1 1
2, 3
2 2
AD AB
R MH h QH
2
1 1 1
1 1
. 4.3 4 2 8
3 3
V R h V V .
Câu 152: Cho tam giác
ABC
vuông tại
A
có
3, 4
AB AC
. Quay tam giác
ABC
quanh trục
AC
, ta
được một hình nón tròn xoay. Tính thể tích
V
khối nón tròn xoay.
A.
16
V
. B.
12
V
. C.
3
4
V
. D. V
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có:
2
1
. 12
3
V AB AC
.
.
Câu 153: Xác định thể tích khối nón có thiết diện qua trục là tam giác đều cạnh
m
.
A.
3
3
8
m
. B.
3
3
12
m
. C.
3
3
48
m
. D.
3
3
24
m
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Bán kính đáy của khối nón là
2
m
; đường cao của khối nón là
3
2
m
.
Thể tích của khối nón là
2 3
1 3 3
.
3 4 2 24
m m m
V
.
Câu 154: Một hình nón có bán kính đường tròn đáy bằng
40
cm
, độ dài đường sinh bằng
44
cm
. Thể tích
khối nón này có giá trị gần đúng là:
A.
3
73722
cm
. B.
3
30712
cm
.
C.
3
30713
cm
.
D.
3
92138
cm
.
Hướng dẫn giải
B
C
D
A
N
H
M
P
Q
4
3
A
D
B
C
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 19
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Chọn C
Chiều cao của hình nón là
2 2
44 40 4 21
h .
Vậy thể tích khối nón là
2 2 3
1 1
.40 .4 21 30713
3 3
V r h cm
.
Câu 155: Cho tam giác
ABC
vuông cân tại
A
,
2
AB a
. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay
tam giác
ABC
quanh cạnh
AB
bằng
A.
3
4
3
a
. B.
3
8 2
3
a
. C.
3
3
a
. D.
3
8
3
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Khi quay tam giác
ABC
quanh cạnh
AB
ta được một hình nón có bán kính đáy
2
r a
và chiều
cao là
2
h a
.
Áp dụng công thức tính thể tích khối nón ta có
3
2
2
1 1 8
2 2
3 3 3
a
V r h a a
.
Câu 156: Cho hình cầu bán kính bằng
5
cm, cắt hình cầu này bằng một mặt phẳng sao cho thiết diện tạo
thành là một đường tròn đường kính
4
cm. Tính thể tích khối nón có đáy là thiết diện vừa tạo và
đỉnh là tâm của hình cầu đã cho.
A.
19,21
ml B.
19,18
ml C.
19,20
ml D.
19,19
ml
Hướng dẫn giải
Chọn C
Chiều cao của khối nón:
2 2
h R r
2 2
5 2
21
.
Thể tích của khối nón
2
1 4 21
19,20
3 3
V r h
.
Câu 157: Thể tích khối nón có chiều cao bằng
h
, đường sinh bằng
l
là:
A.
2 2
1
3
l h h
B.
2 2
l l h
C.
2 2
l h h
D.
2
1
3
l h
Hướng dẫn giải
A
C
B
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 20
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Chọn A
Ta có :
2 2
r l h
. Vậy
2 2 2
1 1
3 3
V r h l h h
.
Câu 158: Một hình nón có bán kính đường tròn đáy bằng , độ dài đường sinh bằng . Thể tích
khối nón này có giá trị gần đúng là
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Chiều cao của hình nón là .
Vậy thể tích khối nón là
Câu 159: Cho tam giác
SOA
vuông tại
O
có
3 cm
OA
,
5 cm
SA
, quay tam giác
SOA
xung quanh
cạnh
SO
được hình nón. Thể tích của khối nón tương ứng là:
A.
3
36 cm
. B.
3
12 cm
. C.
3
15 cm
. D.
3
80
cm
3
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
2 2
4
SO SA OA
;
2
1
3
V r h
2
1
.3 .4
3
12
3
cm
.
Câu 160: Thể tích của khối nón tròn xoay biết khoảng cách từ tâm của đáy đến đường sinh bằng
3
và
thiết diện qua trục là một tam giác đều là.
A.
8 3
3
. B.
3
3
. C.
2 3
3
. D.
4 3
3
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Bán kính hình nón:
3
2
sin 60
R
, chiều cao hình nón:
.tan60 2 3
h R .
2
8 3
3 3
R h
V
.
Câu 161: Cho khối nón có bán kính đáy
2
r
, chiều cao
3
h (hình vẽ). Thể tích của khối nón là:
40 cm
44 cm
3
30 712 cm .
3
30 713 cm .
3
92 138 cm .
3
73 722 cm .
2 2
44 40 4 21
h
2 2 3
1 1
.40 .4 21 30713 .
3 3
V r h cm
O
A
S
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 21
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
4
3
. B.
2 3
3
. C. 4 3
. D.
4 3
3
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có
2
1
3
V r h
2
1
.2 . 3
3
4 3
3
.
Câu 162: Tính thể tích V của khối nón có diện tích hình tròn đáy là S và chiều cao là h .
A.
4
3
V Sh
. B.
2
1
3
V Sh
. C.
V Sh
. D.
1
3
V Sh
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Câu 163: Một hình nón có bán kính mặt đáy bằng 3cm, độ dài đường sinh bằng 5cm . Tính thể tích V của
khối nón được giới hạn bởi hình nón.
A.
3
12 cmV
. B.
3
16 cmV
. C.
3
75 cmV
. D.
3
45 cmV
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Hình nón có bán kính mặt đáy 3cmr , độ dài đường sinh 5cml nên độ dài đường cao
4cmh . Vậy
2
1
. .
3
V r h
2
1
.3 .4
3
3
12 cm
.
Câu 164: Cho khối nón đỉnh S só độ dài đường sinh là a , góc giữa đường sinh và mặt đáy là 60. Thể
tích khối nón là
A.
3
3
24
a
V
. B.
3
3
8
a
V
. C.
3
8
a
V
. D.
3
3
8
a
V
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 22
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Ta có:
1
cos60
2 2
r a
r
a
và
3 3
sin 60
2 2
h a
h
a
.
Vậy
2 3
2
1 1 3 3
.
3 3 4 2 24
a a a
V r h
.
Câu 165: Cho khối nón có đường sinh bằng 5 và diện tích đáy bằng
9
. Tính thể tích
V
của khối nón.
A.
36
V
. B.
45
V
. C.
12
V
. D.
24
V
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Gọi diện tích đáy là
S
, ta có:
2
9 3
S r r
.
Gọi
h
là chiều cao khối nón
2 2 2 2
5 3 4
h l r
.
Vậy thể tích
1 1
9 .4 12 .
3 3
V Bh
Câu 166: Trong không gian, cho tam giác
ABC
vuông tại
A
,
AB a
và
30
ACB
. Tính thể tích
V
của
khối nón nhân được khi quay tam giác
ABC
quay quanh cạnh
AC
.
A.
3
3
9
a
V
. B.
3
3
V a
. C.
3
V a
. D.
3
3
3
a
V
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có:
3
tan30
AB
AC a
.
Vậy
3
2
1 3
.
3 3
a
V AC AB
.
Câu 167: Thể tích của khối nón có độ dài đường sinh
2
l a
và bán kính đáy
r a
bằng
A.
3
2
3
a
. B.
3
3
a
. C.
3
2
a
. D.
3
3
3
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
a
60°
O
A
S
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 23
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Ta có
2
1
3
V r h
. Lại có
2 2
h l r
2 2
4 3
a a a
.
Vậy
3
2
1 3
3
3 3
a
V a a
.
Câu 168: Cho hình nón
N
có chiều cao bằng
3
a
. Thiết diện song song với đáy cách đáy một đoạn bằng
a
có diện tích bằng
2
64
9
a
. Thể tích khối nón
N
là
A.
3
16
3
a
B.
3
48
a
C.
3
16
a
D.
3
25
3
a
Hướng dẫn giải
Chọn C
Gọi
h
,
r
lần lượt là chiều cao và bán kính đáy của khối nón
N
.
Gọi
', '
h r
lần lượt là chiều cao và bán kính đáy của khối nón có đỉnh là đỉnh của
N
và đáy là
thiết diện đáy cách đáy của
N
một đoạn bằng
a
.
Ta có
3 , 2
h a h a
.
Hơn nữa,
2
2 2
64 64 8
'
9 9 3
td
a
S a r a r
.
Theo định lý Talet, ta có chiều cao và bán kính đáy
' '
h r
h r
hay
. '
4
'
h r
r a
h
.
Vậy thể tích của khối nón
N
là
2 2 3
1 1
. . .16 .3 16
3 3
V r h a a a
.
Câu 169: Hình nón có bán kính đáy
8 cm
r
, đường sinh
10 cm
l
. Thể tích khối nón là:
A.
3
128 cm
V
. B.
3
128
cm
3
V
.
C.
3
192 cm
V
. D.
3
192
cm
3
V
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Áp dụng công thức tính thể tích khối nón ta có
1
.h
3
V B
với
2
64
B r
,
2a
a
O
A
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 24
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Gọi I là tâm đường tròn đáy ta có:
2 2 2 2
10 8 6h OI l r .
Vậy
3
1
.64 .6 128 cm
3
V
.
Câu 170: Cho hình chóp đều
.S ABCD
có cạnh đáy bằng
a
, diện tích mỗi mặt bên bằng
2
a
. Thể tích khối
nón có đỉnh
S
và đường tròn đáy nội tiếp hình vuông
ABCD
bằng
A.
3
π 15
18
a
. B.
3
π 15
24
a
. C.
3
π 15
8
a
. D.
3
π 15
12
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có .
SAD
S SM AM
2
2
2
a
SM a
a
,
2 2
SO SM OM
15
2
a
Đường tròn đáy nội tiếp hình vuông có bán kính
2
a
r
.
Thể tích khối nón cần tìm
2
1
π
3
V r h
2
1 15
π .
3 4 2
a a
3
π 15
24
a
.
Câu 171: Khi quay một tam giác đều cạnh bằng a (bao gồm cả điểm trong tam giác) quanh một cạnh của
nó ta được một khối tròn xoay. Tính thể tích V của khối tròn xoay đó theo a .
A.
3
3
4
a
. B.
3
3
24
a
. C.
3
4
a
. D.
3
3
8
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
A
B
l
O
I
r
h
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 25
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Khối tròn xoay có được là hai khối nón giống nhau úp hai đáy lại với nhau.
Mỗi khối nón có đường cao
2
a
h
, bán kính đường tròn đáy
3
2
a
r .
Vậy thể tích khối tròn xoay là
2
1
2. . . .
3
V h r
2
2 3
3 2 2
a a
3
4
a
.
Câu 172: Cho khối nón
N
có bán kính đáy bằng
3
và diện tích xung quanh bằng
15
. Tính thể tích
V
của khối nón
.
N
A.
36
V . B.
60
V . C.
12
V . D.
20
V .
Hướng dẫn giải
Chọn C
Gọi
l
là đường sinh của hình nón, ta có
2 2
l R
h
.
Diện tích xung quanh của hình nón là
15
, suy ra
2 2
15 3. 31
4
5
Rl h h .
Thể tích khối nón là
2 2
1
.3 .4 12
3
1
3
R hV (đvtt).
Câu 173: Cho khối nón có bán kính đáy
3
r
và chiều cao
4
h
.
Tính thể tích
V
của khối nón.
A.
4
V
. B.
16 3
V
. C.
12
V
. D.
16 3
3
V
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
2
1
4
3
V r h
.
Câu 174: Cho tam giác
ABC
vuông tại
A
, góc
60
ABC
. Tính thể tích
V
của khối tròn xoay sinh bởi
khi quay
ABC
quanh trục
AB
, biết
2
BC a
.
A.
3
.
V a
B.
3
3 .
V a
C.
3
.
V a
D.
3
3
.
3
a
V
Hướng dẫn giải
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 26
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Chọn C
Khối tròn xoay sinh bởi khi quay
ABC
quanh trục
AB
là khối nón có trục là
AB
và đường
sinh là
BC
.
Trong
ABC
có
. 3
AC BC sinABC a
,
.
AB BC cosABC a
.
Vậy thể tích khối nón là
2 3
1
. . .
3
V AC AB a
Câu 175: Cho tam giác
ABC
vuông tại
A
,
AH
vuông góc với
BC
tại
H
,
3,6cm
HB
,
6,4cm
HC
.
Quay miền tam giác
ABC
quanh đường thẳng
AH
ta thu được khối nón có thể tích bằng bao
nhiêu?
A.
3
205,89cm
. B.
3
617,66cm
. C.
3
65,14cm
. D.
3
65,54cm
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có
2
.
AH HB HC
3,6.6,4 23,04
nên
4,8cm
AH
.
Quay miền tam giác
ABC
quanh đường thẳng
AH
ta thu được khối nón có bán kính đáy
6,4cm
r HC
, chiều cao
4,8cm
h AH
.
Thể tích của khối nón tạo thành là
2
1
3
V r h
2
1
. .6,4 .4,8
3
3
205,89 cm
.
Câu 176: Thể tích của khối nón có chiều cao bằng
4
và đường sinh bằng
5
bằng
A.
12
. B.
36
. C.
16
. D.
48
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Giả sử khối nón đề cho có hình vẽ như sau:
6,4 cm
3,6 cm
H
C
B
A
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 27
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Bán kính đường tròn đáy là:
2 2 2 2
5 4 3
R SA SO
.
Vậy thể tích khối nón cần tìm là:
2
1 1
. .9.4 12
3 3
V R SO
.
Câu 177: Cho hình nón đỉnh
S
, đáy là đường tròn nội tiếp tam giác
ABC
. Biết rằng
10
AB BC a
,
12
AC a
, góc tạo bởi hai mặt phẳng
SAB
và
ABC
bằng
45
. Tính thể tích
V
của khối nón
đã cho.
A.
3
9
V a
. B.
3
27
V a
. C.
3
12
V a
. D.
3
3
V a
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
R
4
5
A
O
S
B
D
C
I
S
A
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 28
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Hạ ID AB , khi đó góc tạo bởi hai mặt phẳng
SAB và
ABC chính là
45SDI
nên
ID SI r h .
Lại có
.
ABC
ABC
S
S p r r
p
.
Tính được 16p a ,
2
48
ABC
S p p a p b p c a
.
Suy ra 3r a . Vậy
3
2 3
1 1
3 9
3 3
V r h a a
.
Câu 178: Cho V là thể tích khối nón tròn xoay có bán kính đáy r và chiều cao h . V được cho bởi công
thức nào sau đây:
A.
2
4
3
V r h
. B.
2
V r h
. C.
2
1
3
V r h
. D.
2 2
4
3
V r h
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Theo định nghĩa ta có công thức tính thể tích khối nón tròn xoay là:
2
1 1
.
3 3
V S h r h
.
Câu 179: Một hình nón
N có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân với cạnh góc vuông bằng
2a
. Thể tích của khối nón
N bằng:
A.
3
6
a
. B.
3
3
a
. C.
3
2
a
. D.
3
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
B
D
C
I
S
A
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 29
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Ta có hình nón
N
có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân với cạnh góc vuông bằng
2
a
nên đáy của hình nón là đường tròn có đường kính
2
a
, chiều cao của hình nón bằng
a
nên
thể tích của khối nón bằng:
3
3
a
.
Câu 180: Cho hình nón có góc ở đỉnh bằng
60 ,
diện tích xung quanh bằng
2
6
a
. Tính thể tích
V
của
khối nón đã cho.
A.
3
3 2
4
a
V
. B.
3
2
4
a
V
. C.
3
3
V a
. D.
3
V a
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Thể tích
2 2
1 1
. . .
3 3
V R h OA SO
Ta có
60 30
ASB ASO
1
tan30 3.
3
OA
SO OA
SO
Lại có
2 2 2
. . . 6
xq
S Rl OA SA OA OA SO a
2 2 2 2 2
3 6 2 6
OA OA OA a OA a
2 3
1
3 3 .3 .3 3 .
3
OA a SO a V a a a
Câu 181: Cho tam giác
ABC
vuông tại
A
. Tính thể tích
V
của khối tròn xoay sinh bởi khi quay quanh
trục
AC
, biết
6
AB
,
10
BC
?
A.
120
V
. B.
128
V
. C.
200
V
. D.
96
V
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
.
Ta có:
2 2
8
AC BC AB
.
2
1 1
. 96
3 3
V Bh AB AC
.
Câu 182: Cho tam giác
ABC
cân tại
A
có
10cm
BC
,
6cm
AB
. Quay tam giác
ABC
xung quanh cạnh
AB
ta được một khối tròn xoay có thể tích bằng
B
A
C
O
O
S
A
B
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 30
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
3
325
cm
2
. B.
3
4216
cm
27
. C.
3
550
cm
9
. D.
3
200 cm
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Gọi C
là điểm đối xứng của C qua AB . Khi đó khối tròn xoay tạo thành khi quay tam giác
ABC xung quanh cạnh AB gồm hai hình nón đỉnh A , B có chung đáy CC
. Khi đó ta có:
2 2
1 2
1 1
. .
3 3
V r h h CI AB
.
Ta có
1 1
, . , .
2 2
ABC
S d C AB AB d A BC BC
, .d A BC BC
CI
AB
,
2
2
1 5 11
, 11
2 3
d A BC AB BC CI
.
Vậy
2
3
1 5 11 550
. .6 cm
3 3 9
V
.
Câu 183: Cho hình nón
N có thiết diện qua trục là tam giác vuông cân, cạnh bên bằng 2a . Tính thể tích
của khối nón
N theo a .
A.
3
2 2
3
a
. B.
3
3
a
. C.
3
a
. D.
3
2 2a
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Vì hình nón
N có thiết diện qua trục là tam giác vuông cân, cạnh bên bằng 2a nên chiều cao
và bán kính đáy của hình nón là:
2
r h a
.
Khi đó thể tích của khối nón đã cho là:
3
2
2
1 1 2 2
2 . 2
3 3 3
a
V r h a a
.
Câu 184: Nếu tăng bán kính đáy của một hình nón lên 4 lần và giảm chiều cao của hình nón đó đi
8
lần,
thì thể tích khối nón tăng hay giảm bao nhiêu lần?
A. tăng 2 lần. B. tăng
16
lần. C. giảm
16
lần. D. giảm 2 lần.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Thể tích ban đầu của hình nón là
2
1
1
3
V R h
.
Do đó, khi tăng bán kính đáy của hình nón lên 4 lần và giảm chiều cao của hình nón đó đi
8
lần
thì thể tích của nó là
2
2
1
4
3 8
h
V R
2
1
1
.2. 2
3
R h V
.
Vậy thể tích của hình nón đó tăng 2 lần.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 31
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 185: Cho một hình nón đỉnh
S
có chiều cao bằng
8cm
, bán kính đáy bằng
6cm
. Cắt hình nón đã cho
bởi một mặt phẳng song song với mặt phẳng chứa đáy được một hình nón
N
đỉnh
S
có đường
sinh bằng
4cm
. Tính thể tích của khối nón
N
.
A.
3
2304
cm
125
V
B.
3
2358
cm
125
V
C.
3
768
cm
125
V
D.
3
786
cm
125
V
Hướng dẫn giải
Chọn C
Đường sinh của hình nón lớn là:
l SB
2 2
h r
2 2
8 6
10cm
.
Gọi
2
l
,
2
r
,
2
h
lần lượt là đường sinh, bán kính đáy và chiều cao của hình nón
N
.
2
4cm
l SK
Ta có:
SOB
và
SIK
đồng dạng nên:
4 2
10 5
SI IK SK
SO OB SB
.
2 2 2
4 2
10 5
h r l
h r l
2
2
2 16
5 5
2 12
.
5 5
h h
r r
.
Thể tích khối nón
N
là:
2
( ) 2 2
1
. . .
3
N
V r h
2
1 12 16
. . .
3 5 5
3
768
cm
125
.
DẠNG 4: BÀI TOÁN LIÊN QUAN THIẾT DIỆN VỚI KHỐI NÓN
Câu 186: Cho tam giác nhọn
ABC
, biết rằng khi quay tam giác này quanh các cạnh
AB
,
BC
,
CA
ta lần
lượt được các hình tròn xoay có thể tích là
672
,
3136
5
,
9408
13
.Tính diện tích tam giác
ABC
.
A.
84
S
. B.
96
S
. C.
1979
S
. D.
364
S
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Vì tam giác
ABC
nhọn nên các chân đường cao nằm trong tam giác.
Gọi
a
h
,
b
h
,
c
h
lần lượt là đường cao từ đỉnh
A
,
B
,
C
của tam giác
ABC
, và
a
,
b
,
c
lần lượt
là độ dài các cạnh
BC
,
CA
,
AB
.
Khi đó
+ Thể tích khối tròn xoay khi quay tam giác quanh
AB
là
2
1
. . . 672
3
c
h c
.
+ Thể tích khối tròn xoay khi quay tam giác quanh
BC
là
2
1 3136
. . .
3 5
a
h a
.
+ Thể tích khối tròn xoay khi quay tam giác quanh
CA
là
2
1 9408
. . .
3 13
b
h b
.
(N)
K
M
I
O
A
B
S
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 32
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Do đó
2
2
2
1
. 672
3
1 3136
.
3 5
1 9408
.
3 13
c
a
b
c h
a h
b h
2
2
2
4
672
3
4 3136
3 5
4 9408
3 13
S
c
S
a
S
b
2
2
2
4
3.672
20
3.3136
52
3.9408
S
c
S
a
S
b
8
4
1 1 1
. . .
3 9408 28812
a b c a b c b c a c a b S
2 8
4
1 1 1
16 . . .
3 9408 28812
S S
6
16.81.9408.28812
S
84
S
.
Câu 187: Cho hình nón tròn xoay có chiều cao
20 cm
h , bán kính đáy
25 cm
r . Một thiết diện đi
qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là
12 cm
.
Tính diện tích của thiết diện đó.
A.
2
500 cm .
S B.
2
400 cm .
S C.
2
300 cm .
S D.
2
406 cm .
S
Hướng dẫn giải
Chọn A
Theo bài ra ta có
25;
AO r
20;
SO h
12
OK
(Hình vẽ).
Lại có
2 2 2
1 1 1
15 cm
OI
OK OI OS
2 2 2 2 2
1
2 25 15 40 cm ; 25 cm .25.40 500 cm .
2
SAB
AB AI SI SO OI S
Câu 188: Cho hình nón đỉnh S, đáy là hình tròn tâm O, thiết diện qua trục là tam giác đều cạnh a, thể tích
của khối nón là
A.
3
1
3
6
a
. B.
3
1
3
24
a
. C.
3
1
3
12
a
. D.
3
1
3
8
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Thiết diện qua trục là tam giác đều nên chiều cao của khối nón
3
2
a
h (đường cao tam giác
đều); Bán kính của đáy
2
a
r
.
Thể tích khối nón là
2 3
2
1 1 3 3
3 3 4 2 24
a a a
V r h
.
Câu 189: Thiết diện qua trục của hình nón
N
là tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng
a
. Tính
diện tích toàn phần của hình nón
N
?
S
K
O
B
A
I
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 33
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
2
2 2
2
tp
a
S
. B.
2
2 1
2
tp
a
S
.
C.
2
2 1
tp
S a
. D.
2
1 2 2
2
tp
a
S
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Giả sử SAB là thiết diện qua trục của hình nón (như hình vẽ).
Theo giả thiết ta có tam giác SAB vuông cân tại S và SA SB a .
Do đó
2 2
2AB SA SB a và
1 2
2 2
a
SO OA AB .
Diện tích xung quanh của hình nón:
2
2 2
. . . .
2 2
xq
a a
S OA SA a
.
Diện tích đáy
2
2
a
S
.
Vậy diện tích toàn phần của hình nón
N là:
2
2 2
2 1
2
2 2 2
tp
a
a a
S
.
Câu 190: Thiết diện qua trục hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a . Tính thể tích
hình nón theo a .
A.
3
2 2
3
a
. B.
3
2 a
. C.
3
2
3
a
. D.
3
2
12
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Xét tam giác OAB vuông cân tại O có I là trung điểm AB nên
2
2
a
h IO IA IB R .
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 34
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Thể tích hình nón là
2
3
1 2 2 2
.
3 2 2 12
a a a
V
.
Câu 191: Cho hình nón đỉnh , góc ở đỉnh bằng 120, đáy là hình tròn
;3O R . Cắt hình nón bởi mặt phẳng
qua S và tạo với đáy góc 60. Diện tích thiết diện là
A.
2
2 2R B.
2
4 2R C.
2
6 2R D.
2
8 2R
Hướng dẫn giải
Chọn B
Thiết diện là tam giác SAB , gọi M là trung điểm AB OM AB
,SAB OAB
,OM SM
60SMO
.
Góc ở đỉnh hình nón bằng 120
60OSA
,
o
tan 60
OA
SO
3
3
3
R
R
.
Ta có
sin 60
SO
SM
3
2
3
2
R
R ,
2
SM
OM R ,
2 2
2 2AM OA OM R .
Vậy .
SAB
S SM AM
2
2 .2 2 4 2R R R .
Câu 192: Cắt khối nón có bán kính đáy bằng 2 và chiều cao bằng 3 bởi một mặt phẳng song song và cách
trục một khoảng bằng 1. Diện tích thiết diện là
A. 2 2 B. 3 2 C. 3 D. 2 3
Hướng dẫn giải
Chọn D
Khi cắt khối nón bởi một mặt phẳng song song với trục ta sẽ được thiết diện là một Parabol.
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ
Theo đề bài ta có 1IO , 2IM 3OM ON .
x
y
I
A
S
P
N
O
M
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 35
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Ta cũng có
3
3
2
IS OP
. Phương trình của Parabol là
2
1 3
2 2
y x
.
Diện tích của thiết diện được tính theo công thức
3
2
3
1 3
d
2 2
x x
3
3
3
1 3
6 2
x x
2 3
.
Câu 193: Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh huyền là
2 3
. Thể tích
của khối nón này bằng
A.
3 3
. B.
3
. C.
3 2
. D.
3
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
2 3
h
l
Ta có thể tích khối nón
2
1
.
3
V r h
: Trong đó đường sinh
2
2
2 2 3l
6
l
6 3 3
h ,
3
r suy ra
1
.3. 3 3
3
V
.
Câu 194: Khi cắt khối nón
N
bằng một mặt phẳng qua trục của nó ta được thiết diện là một tam giác
vuông cân có cạnh huyền bằng
2 3
a
. Tính thể tích
V
của khối nón
N
?
A.
3
3 6
V a
. B.
3
6
V a
. C.
3
3
V a
. D.
3
3 3
V a
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Thiết diện là tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng
2 3
a
nên bán kính đáy bằng
3
r a
,
chiều cao
3
h a
.
Vậy thể tích của khối nón bằng
3
2 3
1 1
3 3
3 3
V r h a a
.
Câu 195: Thiết diện chứa trục của hình nón là tam giác đều cạnh
a
. Tính thể tích khối nón theo
a
.
A.
3
3
12
a
. B.
3
3
6
a
. C.
3
3
24
a
. D.
3
3
8
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 36
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
2
3
2
1 1 3 3
. .
3 3 2 2 24
a a a
V OB SO
.
Câu 196: Cắt hình nón đỉnh S bởi mặt phẳng đi qua trục ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền
bằng
2
a
. Gọi
BC
là dây cung của đường tròn đáy hình nón sao cho mặt phẳng
SBC
tạo với
mặt phẳng đáy một góc
0
60
. Tính diện tích tam giác
SBC
.
A.
2
2
.
3
a
S B.
2
.
3
a
S C.
2
2
.
2
a
S D.
2
3
.
3
a
S
Hướng dẫn giải
Chọn A
Dựng
OM BC
(
M
là trung điểm của
BC
).
Vì
BC SO
nên
BC SM
, từ đó ta có
; , 60
SBC SM OM SMđáy O
.
Vì
1 2
2 2
a
SO IJ nên
6
sin 60 3
SO a
SM
.
Vậy
2
2 2 2
6 3
3 3
a a
CM SC SM a
.
Vậy
2
1 1 6 2 3 2
. .
2 2 3 3 3
SBC
a a a
S SM BC
.
Câu 197: Cho một khối nón có bán kính đáy là
9cm
, góc giữa đường sinh và mặt đáy là
30
. Tính diện
tích thiết diện của khối nón cắt bởi mặt phẳng đi qua hai đường sinh vuông góc với nhau.
A.
2
162 cm
. B.
2
27
cm
2
. C.
2
54 cm
. D.
2
27 cm
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Mặt phẳng đi qua hai đường sinh vuông góc là
SA
và
AM
cắt khối nón theo thiết diện là tam
giác
SAM
.
Góc giữa đường sinh và mặt đáy là
30
SAO
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 37
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Ta có
cos30
r
SM SA
9
6 3
3
2
.
Vì
SA AM
nên tam giác
SAM
vuông tại
S
.
Do đó diện tích tam giác
SAM
là:
1
.
2
S SA SM
2
54 cm
.
Câu 198: Cắt một khối nón tròn xoay có bán kính đáy bằng R, đường sinh 2R bởi một mặt phẳng
( )
qua
tâm đáy và tạo với mặt đáy một góc
0
60
tính tỷ số thể tích của hai phần khối nón chia bởi mặt
phẳng
( )
?
A.
3 4
6
. B.
1
2 1
. C.
2
3
. D.
2
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Không mất tính tổng quát ta giả sử
1
R
.
Khi cắt một khối nón tròn xoay có bán kính đáy bằng R, đường sinh 2R bởi một mặt phẳng
( )
qua tâm đáy và tạo với mặt đáy một góc
0
60
thì ta được thiết diện là một đường parabol có đỉnh
là gốc
0;0
O và đỉnh còn lại là
1;1
A , do đó thiết diện sẽ có diện tích là
4
3
S
. Xét mặt
phẳng đi qua cạnh đáy của thiết diện vuông góc với hình tròn đáy của hình nón cắt hình nón làm
đôi.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 38
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Gọi đa diện chứa mặt thiết diện đó là
H
. Gọi
K
là đa diện chứa đỉnh
O
của hình nón được
sinh bởi khi cắt thiết diện Parabol với đa diện
H
.
Khi đó khoảng cách từ
O
đến mặt thiết diện là
3
2
h .
Suy ra thể tích của đa diện
K
là
1 3 4 2 3
. .
3 2 3 9
K
V .
Mặt khác thể tích của nửa khối nón là
1 1 3
. 3
2 3 6
.
Do đó thể tích của đa diện nhỏ tạo bởi thiết diện và khối nón là
3 4 3
3 2 3
6 9 18
V
.
Vậy tỉ số thể tích của hai phần khối nón chia bởi mặt phẳng
là
3 4 3
3 4
18
6
3
3
.
Câu 199: Mặt phẳng chứa trục của một hình nón cắt hình nón theo thiết diện là:
A. một hình chữ nhật. B. một tam giác cân.
C. một đường elip. D. một đường tròn.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Mặt phẳng chứa trục của một hình nón cắt hình nón theo thiết diện là một tam giác cân.
Câu 200: Cắt một hình nón bằng một mặt phẳng đi qua trục của nó ta được thiết diện là một tam giác
vuông cân có cạnh huyền bằng
a
, diện tích xung quanh của hình nón đó là:
A.
2
2
a
. B.
2
2
2
xq
a
S
. C.
2
xq
S a
. D.
2
2
4
xq
a
S
.
Hướng dẫn giải
Chọn
A
.
Thiết diện qua trục của hình nón là tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng
a
bán kính
đường tròn đáy là
2
a
R
, đường sinh là
2
2
a
.
Vậy diện tích xung quanh của hình nón là
2
2
4
xq
a
S Rl
.
A
B
S
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 1
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
DẠNG 5: HÌNH NÓN NỘI TIẾP-NGOẠI TIẾP KHỐI CHÓP
Câu 201: Cho hình nón
N
có bán kính đáy bằng
a
và diện tích xung quanh
2
2
xp
S a
. Tính thể tích
V
của khối chóp tứ giác đều .
S ABCD
có đáy
ABCD
nội tiếp đáy của khối nón
N
và đỉnh
S
trùng
với đỉnh của khối nón
N
.
A.
3
2 3
3
a
V
. B.
3
2 2
3
a
V
. C.
3
2 3
V a
. D.
3
2 5
3
a
V
.
Câu 202: Diện tích xung quanh của hình nón ngoại tiếp hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng
a
và cạnh
bên bằng
4
a
là:
A.
2
2
S a
. B.
2
4
S a
. C.
2
3
S a
. D.
2
2 2
S a
.
Câu 203: Một hình tứ diện đều cạnh
a
có một đỉnh trùng với đỉnh của hình nón, ba đỉnh còn lại nằm trên
đường tròn đáy của hình nón. Khi đó diện tích xung quanh của hinh nón là
A.
2
1
3
2
a
. B.
2
3
a
. C.
2
1
3
3
a
. D.
2
1
2
3
a
.
Câu 204: Cho .
S ABCD
là hình chóp tứ giác đều, cạnh đáy bằng
a
, cạnh bên hợp với đáy góc
45
. Hình
tròn xoay đỉnh
S
, đáy là đường tròn nội tiếp hình vuông
ABCD
, có diện tích xung quanh là:
A.
2
4
xq
a
S
. B.
2
2
xq
S a
. C.
2
xq
S a
. D.
2
2
xq
a
S
.
Câu 205: Cho hình chóp tứ giác đều .
S ABCD
có cạnh đáy bằng
a
. Tam giác
SAB
có diện tích bằng
2
2
a
.
Thể tích của khối nón có đỉnh
S
và đường tròn đáy nội tiếp tứ giác
ABCD
.
A.
3
15
24
a
. B.
3
7
7
a
. C.
3
7
4
a
. D.
3
7
8
a
.
Câu 206: Cho hình chóp tứ giác đều .
S ABCD
có cạnh đáy bằng
2
a
. Mặt phẳng qua
AB
và trung điểm
M
của
SC
cắt hình chóp theo thiết diện có chu vi bằng
7
a
. Thể tích của khối nón có đỉnh là
S
và
đường tròn đáy ngoại tiếp tứ giác
ABCD
bằng
A.
3
2 3
3
a
. B.
3
2 6
3
a
. C.
3
2 6
9
a
. D.
3
6
3
a
.
Câu 207: Cho hình chóp .
S ABC
có
4
SA SB SC
,
3
AB BC CA
. Tính thể tích khối nón giới hạn
bởi hình nón có đỉnh là
S
và đáy là đường tròn ngoại tiếp
ABC
.
A.
2 2
B.
3
C.
13
D.
4
Câu 208: Cho khối chóp đều .
S ABCD
có cạnh
AB a
, gọi
O
là tâm của đáy,
60
SAO
. Tính thể tích
khối chóp .
S ABCD
theo
a
. Tính diện tích xung quanh của hình nón đỉnh
S
, đáy là đường tròn
ngoại tiếp hình vuông
ABCD
.
A.
3
2
6
;
6
a
a
. B.
3
2
6
;2
6
a
a
. C.
3
2
6
; 3
6
a
a
. D.
3
2
6
;
16
a
a
.
Câu 209: Cho hình chóp đều .
S ABC
có cạnh bằng
a
, chiều cao bằng
2 .
a
Hình nón ngoại tiếp hình chóp
.
S ABC
có diện tích xung quanh là
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 2
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
2
11
3
a
. B.
2
15
3
a
. C.
2
13
3
a
.
D.
2
17
3
a
.
Câu 210: Cho hình chóp tứ giác đều .
S ABCD
có cạnh đáy bằng
2
a
, góc giữa cạnh bên với mặt đáy bằng
45
. Tính diện tích xung quanh của khối nón đỉnh
S
, đáy là đường tròn ngoại tiếp
ABCD
.
A.
2
2 2
a
. B.
2
2
2
a
. C.
2
4 2
a
. D.
2
2
a
.
Câu 211: Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng
a
và đường cao bằng
6 .
a
Thể tích khối nón ngoại
tiếp hình chóp đó (hình nón ngoại tiếp hình chóp là hình nón có đỉnh trùng với đỉnh hình chóp và
có đường tròn đáy ngoại tiếp đa giác đáy hình chóp, khối nón tương ứng gọi là khối nón ngoại tiếp
hình chóp) bằng
A.
3
.
2
a
B.
3
2
.
3
a
C.
3
.
3
a
D.
3
.
4
a
Câu 212: Cho hình chóp tứ giác đều .
S ABCD
có tất cả các cạnh bằng
3
. Tính diện tích xung quanh của
hình nón có đáy là đường tròn ngoại tiếp tứ giác
ABCD
và chiều cao bằng chiều cao của hình
chóp.
A.
9 2
4
xq
S
. B.
9
xq
S
. C.
9 2
2
xq
S
. D.
9
2
xq
S
.
Câu 213: Hình nón tròn xoay ngoại tiếp tứ diện đều cạnh bằng
a
, có diện tích xung quanh là:
A.
2
2
3
xq
a
S
. B.
2
3
xq
a
S
. C.
2
3
6
xq
a
S
. D.
2
3
3
xq
a
S
.
Câu 214: Diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay ngoại tiếp tứ diện đều cạnh
a
là:
A.
2
3
xq
a
S
. B.
2
3
3
a
. C.
3
AH a
. D.
ABC
.
Câu 215: Cho hình chóp đều .
S ABC
có cạnh đáy bằng
a
, góc giữa mặt bên và đáy bằng
60
. Tính diện tích
xung quanh
xq
S
của hình nón đỉnh
S
, có đáy là hình tròn ngoại tiếp tam giác
ABC
.
A.
2
7
6
xq
a
S
. B.
2
10
8
xq
a
S
. C.
2
7
4
xq
a
S
. D.
2
3
3
xq
a
S
.
Câu 216: Cho hình chóp tứ giác đều .
S ABCD
có các cạnh đều bằng
2
a
. Tính thể tích
V
của khối nón có
đỉnh
S
và đường tròn đáy là đường tròn nội tiếp tứ giác
ABCD
.
A.
3
3
6
a
V
. B.
3
2
3
a
V
. C.
3
2
6
a
V
. D.
3
3
3
a
V
.
Câu 217: Cho hình chóp tứ giác đều .
S ABCD
có cạnh đáy bằng
a
. Cạnh bên hợp với mặt đáy một góc
45
. Hình nón có đỉnh là
S
, có đáy là đường tròn nội tiếp tứ giác
ABCD
có diện tích xung quanh là.
A.
2
4
a
S
. B.
2
2
a
S
. C.
2
3
2
a
S
. D.
2
3
4
a
S
.
Câu 218: Cho hình chóp tứ giác đều .
S ABCD
có cạnh đáy bằng
a
. Tam giác
SAB
có diện tích bằng
2
2
a
.
Thể tích của khối nón có đỉnh
S
và đường tròn đáy nội tiếp tứ giác
ABCD
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 3
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
3
7
8
a
. B.
3
7
7
a
. C.
3
7
4
a
. D.
3
15
24
a
.
Câu 219: Cho hình nón
N
có đỉnh là
S
, đường tròn đáy là
O
có bán kính
,
R
góc ở đỉnh của hình nón là
120 .
Hình chóp đều .
S ABCD
có các đỉnh
, , ,
A B C D
thuộc đường tròn
O
có thể tích là
A.
3
2
.
9
R
B.
3
2 3
.
3
R
C.
3
2 3
.
9
R
D.
3
3
.
3
R
Câu 220: Cho hình chóp đều .
S ABC
có cạnh đáy bằng
a
, góc giữa mặt bên và đáy bằng
60
. Tính diện
tích xung quanh
xq
S
của hình nón đỉnh
S
, có đáy là hình tròn ngoại tiếp tam giác
ABC
.
A.
2
7
4
xq
a
S
. B.
2
7
6
xq
a
S
C.
2
3
3
xq
a
S
. D.
2
10
8
xq
a
S
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 1
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
DẠNG 5: HÌNH NÓN NỘI TIẾP-NGOẠI TIẾP KHỐI CHÓP
Câu 201: Cho hình nón
N
có bán kính đáy bằng
a
và diện tích xung quanh
2
2
xp
S a
. Tính thể tích
V
của khối chóp tứ giác đều .
S ABCD
có đáy
ABCD
nội tiếp đáy của khối nón
N
và đỉnh
S
trùng với đỉnh của khối nón
N
.
A.
3
2 3
3
a
V . B.
3
2 2
3
a
V . C.
3
2 3
V a
. D.
3
2 5
3
a
V .
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có: Diện tích xung quanh
2
2
xp
S a
2
2
rl a
2
l a
2 2
3
h l r a
.
Đáy
ABCD
nội tiếp đáy của khối nón
N
có bán kính đáy bằng
a
2
AB a .
Vậy:
3
1 2 3
3 3
ABCD
a
V S h .
Câu 202: Diện tích xung quanh của hình nón ngoại tiếp hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng
a
và cạnh
bên bằng
4
a
là:
A.
2
2
S a
. B.
2
4
S a
. C.
2
3
S a
. D.
2
2 2
S a
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 2
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Hình nón có đường sinh 4l SA a và bán kính đáy
2
2
a
r OB .
Diện tích xung quanh của hình nón là
2
2 2
xq
S rl a
.
Câu 203: Một hình tứ diện đều cạnh a có một đỉnh trùng với đỉnh của hình nón, ba đỉnh còn lại nằm trên
đường tròn đáy của hình nón. Khi đó diện tích xung quanh của hinh nón là
A.
2
1
3
2
a
. B.
2
3a
. C.
2
1
3
3
a
. D.
2
1
2
3
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có:
3
;
3
a
r BH l SA a
2
3
3
xq
a
S rl
.
Câu 204: Cho .S ABCD là hình chóp tứ giác đều, cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với đáy góc 45. Hình
tròn xoay đỉnh S , đáy là đường tròn nội tiếp hình vuông ABCD , có diện tích xung quanh là:
A.
2
4
xq
a
S
. B.
2
2
xq
S a
. C.
2
xq
S a
. D.
2
2
xq
a
S
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Hình tròn xoay này là hình nón. Kẻ
SO ABCD thì O là tâm của hình vuông ABCD. Do
SOA vuông cân tại O nên.
2
2 . 2
2
a
SA OA a
.
2
. . .
2 2 2
xq
AB a a
S SA a
.
Câu 205: Cho hình chóp tứ giác đều
.S ABCD
có cạnh đáy bằng a . Tam giác
SAB
có diện tích bằng
2
2a .
Thể tích của khối nón có đỉnh
S
và đường tròn đáy nội tiếp tứ giác
ABCD
.
A.
3
15
24
a
. B.
3
7
7
a
. C.
3
7
4
a
. D.
3
7
8
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 3
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Gọi
O AC BD
và M là trung điểm AB . Hình nón có đỉnh
S
và đường tròn đáy nội tiếp tứ
giác
ABCD
có bán kính đáy là
2
a
R OM và có chiều cao là
h SO
.
Thể tích khối nón
1
3
V Bh trong đó
2
2
4
a
B R
.
Diện tích tam giác
SAB
là
2
2a nên
2
1
. 2
2
SM AB a
4SM a
.
Trong tam giác vuông
SOM
ta có
2
2 2 2
3 7
16
4 2
a a
SO SM OM a hay
3 7
2
a
h .
Vậy thể tích của khối nón
3
7
8
a
V
.
Câu 206: Cho hình chóp tứ giác đều .S ABCD có cạnh đáy bằng 2a . Mặt phẳng qua AB và trung điểm M
của SC cắt hình chóp theo thiết diện có chu vi bằng 7a . Thể tích của khối nón có đỉnh là S và
đường tròn đáy ngoại tiếp tứ giác ABCDbằng
A.
3
2 3
3
a
. B.
3
2 6
3
a
. C.
3
2 6
9
a
. D.
3
6
3
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Gọi E là trung điểm SD
/ /ME AB
suy ra
ABM cắt hình chóp .S ABCD theo thiết diện là
hình thang ABME .
Gọi độ dài cạnh bên của hình chóp là x . Do chóp .S ABCD là chóp đều nên
SAD SBC AE BM .
M
O
B
D
A
C
S
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 4
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Áp dụng hệ thức trung tuyến ta có:
2 2 2
2
2 4
SB BC SC
BM
2 2
8
4
x a
.
Suy ra
AE BM
2 2
8
4
x a
Mặt khác dễ thấy
EM a
,
2
AB a
mà chu vi thiết diện bằng
7
a
nên ta có:
2 2
8
2 2 7
4
x a
a a a
2 2
x a
.
Suy ra chiều cao của hình chóp:
2
2 2
4
AC
SH SA
2
6
a
6
SH a
.
Khối nón có đỉnh là
S
và đường tròn đáy ngoại tiếp tứ giác
ABCD
chiều cao là
6
SH a
và
bán kính đường tròn đáy là
2
2
AC
a
nên thể tích khối nón là:
2
1
2 6
3
V a a
3
2 6
3
a
.
Câu 207: Cho hình chóp .
S ABC
có
4
SA SB SC
,
3
AB BC CA
. Tính thể tích khối nón giới hạn
bởi hình nón có đỉnh là
S
và đáy là đường tròn ngoại tiếp
ABC
.
A.
2 2
B.
3
C.
13
D.
4
Hướng dẫn giải
Chọn C
Đường cao hình chóp là đường cao hình nón:
2
2 2 2
2 3 3
4 . 13
3 2
h SO SA OA
.
Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC
:
3
R OA .
Vậy thể tích khối nón cần tìm:
2
1
13
3
V h R
.
Câu 208: Cho khối chóp đều .
S ABCD
có cạnh
AB a
, gọi
O
là tâm của đáy,
60
SAO
. Tính thể tích
khối chóp .
S ABCD
theo
a
. Tính diện tích xung quanh của hình nón đỉnh
S
, đáy là đường tròn
ngoại tiếp hình vuông
ABCD
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 5
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
3
2
6
;
6
a
a
. B.
3
2
6
;2
6
a
a
. C.
3
2
6
; 3
6
a
a
. D.
3
2
6
;
16
a
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
.
Ta có diện tích đáy
2 o
2 6
; . 60 . 3
2 2
ABCD
S a SO OAtan a a
.
2 3
.
1 1 6 6
. . .
3 3 2 6
S ABCD ABCD
V SO S a a a
.
2 2
2 2
6 2
2
2 2
l SA SO AO a a a
.
2
2
. . 2
2
xq
S rl a a a
.
Câu 209: Cho hình chóp đều .
S ABC
có cạnh bằng
a
, chiều cao bằng
2 .
a
Hình nón ngoại tiếp hình chóp
.
S ABC
có diện tích xung quanh là
A.
2
11
3
a
. B.
2
15
3
a
. C.
2
13
3
a
.
D.
2
17
3
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có
3
2
a
CM
.
2 3
3 3
a
r CO CM
.
2
2 2 2
39
4
3 3
a
l SC SO OC a a
.
Diện tích xung quanh hình nón:
O
M
N
A
C
B
S
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 6
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
2
3 39 13
. .
3 3 3
xq
a a
S rl a
.
Câu 210: Cho hình chóp tứ giác đều .
S ABCD
có cạnh đáy bằng
2
a
, góc giữa cạnh bên với mặt đáy bằng
45
. Tính diện tích xung quanh của khối nón đỉnh
S
, đáy là đường tròn ngoại tiếp
ABCD
.
A.
2
2 2
a
. B.
2
2
2
a
. C.
2
4 2
a
. D.
2
2
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Gọi
O AC BD
. Khi đó
( )
SO ABCD
và trong
SOA
vuông tại
O
có
(2 ) 2
45 ,OA 2.
2 2
AC a
SAO a
Suy ra
2
cos45
OA
SA a
.
Vậy diện tích xung quanh của khối nón đỉnh
S
, đáy là đường tròn ngoại tiếp
ABCD
là
2
rl= . . . 2.2 2 2 .
xq
S OASA a a a
Câu 211: Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng
a
và đường cao bằng
6 .
a
Thể tích khối nón ngoại
tiếp hình chóp đó (hình nón ngoại tiếp hình chóp là hình nón có đỉnh trùng với đỉnh hình chóp và
có đường tròn đáy ngoại tiếp đa giác đáy hình chóp, khối nón tương ứng gọi là khối nón ngoại
tiếp hình chóp) bằng
A.
3
.
2
a
B.
3
2
.
3
a
C.
3
.
3
a
D.
3
.
4
a
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có khối nón cần tìm có chiều cao
6
h a
và bán kính đáy
2 3 3
3 2 3
a a
R .
Vậy thể tích của khối nón là:
2
3
2
1 1 3 2
6
3 3 3 3
a a
V h R a .
Câu 212: Cho hình chóp tứ giác đều .
S ABCD
có tất cả các cạnh bằng
3
. Tính diện tích xung quanh của
hình nón có đáy là đường tròn ngoại tiếp tứ giác
ABCD
và chiều cao bằng chiều cao của hình
chóp.
A.
9 2
4
xq
S
. B.
9
xq
S
. C.
9 2
2
xq
S
. D.
9
2
xq
S
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Hình nón có bán kính đáy là
1 3 2
2 2
r AC .
Độ dài đường sinh của hình nón là
3
l SA
. Do đó
9 2
2
xq
S rl
.
Câu 213: Hình nón tròn xoay ngoại tiếp tứ diện đều cạnh bằng
a
, có diện tích xung quanh là:
B
A
C
D
S
O
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 7
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
2
2
3
xq
a
S
. B.
2
3
xq
a
S
. C.
2
3
6
xq
a
S
. D.
2
3
3
xq
a
S
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Kẻ
,
SO ABC SH BC OH BC
.
Ta có
2 2 3 3
.
3 3 3 3
a a
OA AH
.
3
. . . .
3
xq
a
S OA SA a
.
2
3
3
xq
a
S
.
Câu 214: Diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay ngoại tiếp tứ diện đều cạnh
a
là:
A.
2
3
xq
a
S
. B.
2
3
3
a
. C.
3
AH a
. D.
ABC
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có:
2
3 3
;
3 3
xq
a a
R l a S Rl
.
Câu 215: Cho hình chóp đều .
S ABC
có cạnh đáy bằng
a
, góc giữa mặt bên và đáy bằng
60
. Tính diện tích
xung quanh
xq
S
của hình nón đỉnh
S
, có đáy là hình tròn ngoại tiếp tam giác
ABC
.
A.
2
7
6
xq
a
S
. B.
2
10
8
xq
a
S
. C.
2
7
4
xq
a
S
. D.
2
3
3
xq
a
S
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
.
1 3 3
3 2 6
AB a
GM
.
2 3 3
3 2 3
AB a
AG
.
Ta có:
60
SMG
Xét tam giác vuông
SGM
:
tan
SG
SMG
GM
.
Suy ra:
3
.tan 60 . 3
6 2
a a
SG GM
.
Xét tam giác vuông
SAG
:
2 2
2 2
21
4 3 6
a a a
SA SG AG .
2
3 21 7
. .
3 6 6
xq
a a a
S AG SA
.
Câu 216: Cho hình chóp tứ giác đều .
S ABCD
có các cạnh đều bằng
2
a
. Tính thể tích
V
của khối nón có
đỉnh
S
và đường tròn đáy là đường tròn nội tiếp tứ giác
ABCD
.
M
G
B
A
C
S
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 8
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
3
3
6
a
V
. B.
3
2
3
a
V
. C.
3
2
6
a
V
. D.
3
3
3
a
V
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Gọi
M
là trung điểm của
,
BC
ta có
OM a
.
Vì hình chóp .
S ABCD
là hình chóp tứ giác đều có các cạnh đều bằng
2
a
.
Do đó
2 2
AC BD a
. Khi đó
2 2
SO SA AO
2 2
4 2 2
a a a .
Khối nón có đỉnh
S
và đường tròn đáy là đường tròn nội tiếp tứ giác
ABCD
nên có chiều cao
2
h SO a
và
r OM a
.
Thể tích khối nón là:
2
1
3
V r h
2
1
2
3
a a
3
1
2
3
a
.
Câu 217: Cho hình chóp tứ giác đều .
S ABCD
có cạnh đáy bằng
a
. Cạnh bên hợp với mặt đáy một góc
45
. Hình nón có đỉnh là
S
, có đáy là đường tròn nội tiếp tứ giác
ABCD
có diện tích xung
quanh là.
A.
2
4
a
S
. B.
2
2
a
S
. C.
2
3
2
a
S
. D.
2
3
4
a
S
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
.
Gọi
O AC BD
và
I
là trung điểm
BC
. Khi đó
2
2
OC a
.
Ta có
2
tan 45
2
SO OC a
.
Trong
SOH
vuông tại
O
thì
2 2 2
3
2
a
SH SO OH SH
.
Khi đó
2
xq
3 3
. .
2 2 4
a a
S rl a
.
Câu 218: Cho hình chóp tứ giác đều .
S ABCD
có cạnh đáy bằng
a
. Tam giác
SAB
có diện tích bằng
2
2
a
.
Thể tích của khối nón có đỉnh
S
và đường tròn đáy nội tiếp tứ giác
ABCD
.
l
r
O
D
C
S
B
A
I
A
B
C
D
S
M
O
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 9
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
3
7
8
a
. B.
3
7
7
a
. C.
3
7
4
a
. D.
3
15
24
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Gọi
O AC BD
và
M
là trung điểm
AB
. Hình nón có đỉnh
S
và đường tròn đáy nội tiếp tứ
giác
ABCD
có bán kính đáy là
2
a
R OM
và có chiều cao là
h SO
.
Thể tích khối nón
1
3
V Bh
trong đó
2
2
4
a
B R
.
Diện tích tam giác
SAB
là
2
2
a
nên
2
1
. 2
2
SM AB a
4
SM a
.
Trong tam giác vuông
SOM
ta có
2
2 2 2
3 7
16
4 2
a a
SO SM OM a hay
3 7
2
a
h .
Vậy thể tích của khối nón
3
7
8
a
V
.
Câu 219: Cho hình nón
N
có đỉnh là
S
, đường tròn đáy là
O
có bán kính
,
R
góc ở đỉnh của hình nón là
120 .
Hình chóp đều .
S ABCD
có các đỉnh
, , ,
A B C D
thuộc đường tròn
O
có thể tích là
A.
3
2
.
9
R
B.
3
2 3
.
3
R
C.
3
2 3
.
9
R
D.
3
3
.
3
R
Hướng dẫn giải
Chọn C
Do hình chóp đều .
S ABCD
nội tiếp hình nón
SO
là đường cao của hình chóp đều .
S ABCD
và đáy
ABCD
là hình vuông nội tiếp đường
tròn
,
O R
R
120°
A
B
O
D
S
C
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 10
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
3
tan60 3
R R
SO
và
2 2
AC R AB R
Ta có
3
2
.
1 1 3 2 3
. . .2
3 3 3 9
S ABCD ABCD
R R
V SO S R
Câu 220: Cho hình chóp đều .
S ABC
có cạnh đáy bằng
a
, góc giữa mặt bên và đáy bằng
60
. Tính diện
tích xung quanh
xq
S
của hình nón đỉnh
S
, có đáy là hình tròn ngoại tiếp tam giác
ABC
.
A.
2
7
4
xq
a
S
. B.
2
7
6
xq
a
S
C.
2
3
3
xq
a
S
. D.
2
10
8
xq
a
S
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Hình nón đỉnh
S
và đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC
có:
Bán kính đường tròn đáy
2 3
3 3
a
r AG AN
.
Đường sinh
2
2 2 2
tan 60
l SA SG AG GN AG
2 2
3 3 7
3
6 3 12
a a
a
.
Diện tích xung quanh:
2
7
6
xq
S l
a
r
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 1
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
MẶT TRỤ - KHỐI TRỤ
A – LÝ THUYẾT
1) Mặt trụ tròn xoay
Trong
mp P
cho hai đường thẳng
và
l
song song nhau, cách
nhau một khoảng
r
. Khi quay
mp P
quanh trục cố định
thì
đường thẳng
l
sinh ra một mặt tròn xoay được gọi là mặt trụ tròn
xoay hay gọi tắt là mặt trụ.
Đường thẳng
được gọi là trục.
Đường thẳng
l
được gọi là đường sinh.
Khoảng cách
r
được gọi là bán kính của mặt trụ.
2) Hình trụ tròn xoay
Khi quay hình chữ nhật
ABCD
xung quanh đường thẳng chứa một
cạnh, chẳng hạn cạnh
AB
thì đường gấp khúc
ABCD
tạo thành một
hình, hình đó được gọi là hình trụ tròn xoay hay gọi tắt là hình trụ.
Đường thẳng
AB
được gọi là trục.
Đoạn thẳng
CD
được gọi là đường sinh.
Độ dài đoạn thẳng
AB CD h
được gọi là chiều cao của hình
trụ.
Hình tròn tâm
A
, bán kính
r AD
và hình tròn tâm
B
, bán kính
r BC
được gọi là 2 đáy của
hình trụ.
Khối trụ tròn xoay, gọi tắt là khối trụ, là phần không gian giới hạn bởi hình trụ tròn xoay kể cả hình
trụ.
3) Công thức tính diện tích và thể tích của hình trụ
Cho hình trụ có chiều cao là
h
và bán kính đáy bằng
r
, khi đó:
Diện tích xung quanh của hình trụ: 2
xq
S rh
Diện tích toàn phần của hình trụ:
2
2. 2 2
tp xq Ðay
S S S rh r
Thể tích khối trụ:
2
.
V B h r h
4) Tính chất:
Nếu cắt mặt trụ tròn xoay (có bán kính là
r
) bởi một
mp
vuông góc với trục
thì ta được
đường tròn có tâm trên
và có bán kính bằng
r
với
r
cũng chính là bán kính của mặt trụ đó.
Nếu cắt mặt trụ tròn xoay (có bán kính là
r
) bởi một
mp
không vuông góc với trục
nhưng
cắt tất cả các đường sinh, ta được giao tuyến là một đường elíp có trụ nhỏ bằng
2
r
và trục lớn bằng
2
sin
r
, trong đó
là góc giữa trục
và
mp
với
0 0
0 90
.
Cho
mp
song song với trục
của mặt trụ tròn xoay và cách
một khoảng
d
.
+ Nếu
d r
thì
mp
cắt mặt trụ theo hai đường sinh
thiết diện là hình chữ nhật.
+ Nếu
d r
thì
mp
tiếp xúc với mặt trụ theo một đường sinh.
+ Nếu
d r
thì
mp
không cắt mặt trụ.
B - BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
DẠNG 1: TÍNH ĐỘ DÀI ĐƯỜNG SINH, BÁN KÍNH ĐÁY, ĐƯỜNG CAO
Câu 1: Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng qua trục ta được thiết diện là hình chữ nhật
ABCD
có
AB
và
CD
thuộc hai đáy của hình trụ,
4
AB a
,
5
AC a
. Tính thể tích khối trụ.
∆
A
D
B
C
r
r
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 2
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
3
16
V a
. B.
3
12
V a
. C.
3
4
V a
. D.
3
8
V a
.
Câu 2: Gọi
l
,
h
,
R
lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính đáy của hình trụ. Đẳng thức luôn
đúng là
A.
l h
. B.
R h
. C.
2 2 2
l h R
. D.
2 2 2
R h l
.
Câu 3: Cho hình trụ có bán kính đáy bằng
a
, diện tích toàn phần bằng
2
8
a
. Chiều cao của hình trụ bằng
A.
8
a
. B.
4
a
. C.
3
a
. D.
2
a
.
Câu 4: Cho hình trụ có diện tích xung quanh bằng
2
2
π
a
và bán kính đáy bằng
a
. Độ dài đường sinh của
hình trụ đã cho bằng
A.
2
a
. B.
a
. C.
2
a
. D.
2
a
.
Câu 5: Cho hình trụ có diện tích xung quanh bằng
2
3
π
a
và bán kính đáy bằng
a
. Chiều cao của hình trụ
đã cho bằng
A.
3
2
a
. B.
2
3
a
. C.
3
a
. D.
2
a
.
Câu 6: Một cái cốc hình trụ cao
15 cm
đựng được
0,5
lít nước. Hỏi bán kính đường tròn đáy của cái cốc
xấp xỉ bằng bao nhiêu (làm tròn đến hàng thập phân thứ hai)?
A.
3,28cm.
B.
3,26 cm
C.
3,27cm
D.
3,25cm
Câu 7: Một khối trụ có thể tích bằng
25 .
Nếu chiều cao khối trụ tăng lên năm lần và giữ nguyên bán
kính đáy thì được khối trụ mới có diện tích xung quanh bằng
25 .
Bán kính đáy của khối trụ ban
đầu là
A.
15
r
. B.
10
r
. C.
5
r
. D.
2
r
.
Câu 8: Một hình trụ có bán kính đáy bằng với chiều cao của nó. Biết thể tích của khối trụ đó bằng
8
,
tính chiều cao
h
của hình trụ.
A.
2
h
. B.
2 2
h . C.
3
32
h
. D.
3
4
h .
Câu 9: Trong không gian, cho hình chữ nhật
ABCD
có
AD a
,
2
AC a
. Tính theo
a
độ dài đường
sinh
l
của hình trụ, nhận được khi quay hình chữ nhật
ABCD
xung quanh trục
AB
.
A.
l a
. B.
5
l a
. C.
2
l a
. D.
3
l a
.
Câu 10: Cho hình trụ có bán kính đáy bằng 4. Một mặt phẳng không vuông góc với đáy và cắt hai đáy của
hình trụ theo hai dây cung song song ,
MN M N
thỏa mãn
6
MN M N
. Biết rằng tứ giác
MNN M
có diện tích bằng
60
. Tính chiều cao
h
của hình trụ.
A.
4 2
h . B.
4 5
h . C.
6 5
h . D.
6 2
h .
Câu 11: Số mặt cầu chứa một đường tròn cho trước là
A. Vô số. B.
2
. C.
0
. D.
1
.
Câu 12: Một hình trụ có diện tích xung quanh bằng
2
4
a
và bán kính đáy là
a
. Tính độ dài đường cao của
hình trụ đó.
A.
a
B.
3
a
C.
4
a
D.
2
a
Câu 13: Bán kính đáy của khối trụ tròn xoay có thể tích bằng
V
và chiều cao bằng
h
là:
A.
3
V
r
h
B.
3
2
V
r
h
C.
V
r
h
D.
2
V
r
h
Câu 14: Cho hình trụ có diện tích xung quang bằng
2
8
a
và bán kính đáy bằng
a
. Độ dài đường sinh của
hình trụ bằng:
A.
2
a
. B.
6
a
. C.
4
a
. D.
8
a
.
Câu 15: Cho hình trụ có bán kính đáy bằng
R
, chiều cao bằng
h
. Biết rằng hình trụ đó có diện tích toàn
phần gấp đôi diện tích xung quanh. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
2
h R
. B.
2
R h
. C.
2
h R
. D.
R h
.
Câu 16: Cho hình trụ có diện tích xung quanh bằng
50
và có độ dài đường sinh bằng đường kính của
đường tròn đáy. Tính bán kính
r
của đường tròn đáy
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 3
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A. 5r
. B.
5 2
2
r
. C.
5 2
2
r
. D.
5
r
.
Câu 17: Một hình trụ có diện tích toàn phần là
2
10
a
và bán kính đáy bằng
a
. Chiều cao của hình trụ đó
là
A.
4
a
. B.
2
a
. C.
6
a
. D.
3
a
.
Câu 18: Một khối trụ có thể tích bằng
16 .
Nếu chiều cao khối trụ tăng lên hai lần và giữ nguyên bán kính
đáy thì được khối trụ mới có diện tích xung quanh bằng
16 .
Bán kính đáy của khối trụ ban đầu
là
A.
4
r
. B.
3
r
. C.
8
r
. D.
1
r
.
Câu 19: Cho hình trụ có diện tích xung quanh bằng
2
16
a
và độ dài đường sinh bằng
2
a
. Tính bán kính
r
của đường tròn đáy của hình trụ đã cho.
A.
4
r
. B.
8
r a
. C.
4
r a
. D.
6
r a
.
Câu 20: Cho hình trụ có tỉ số diện tích xung quanh và diện tích toàn phần bằng
1
3
. Biết thể tích khối trụ
bằng
4
. Bán kính đáy của hình trụ là
A.
2
. B.
2
. C.
3
. D.
3
.
Câu 21: Cho hình trụ có hai đường tròn đáy là
;
O R
và
;
O R
,
OO h
. Gọi
AB
là một đường kính của
đường tròn
;
O R
. Biết rằng tam giác
O AB
đều. Tỉ số
h
R
bằng:
A.
1
. B.
4 3
. C.
3
3
. D.
3
.
Câu 22: Cho hình trụ có hai đường tròn đáy là
;
O R
và
;
O R
,
OO h
. Biết
AB
là một đường kính
của đường tròn
;
O R
và
O AB
đều. Tỉ số
h
R
bằng
A.
4 3
. B.
3
. C.
3
2
. D.
2 3
.
DẠNG 2: TÍNH DIỆN TÍCH XUNG QUANH, DIỆN TÍCH TOÀN PHẦN
Câu 23: Cho hình trụ có bán kính đáy bằng
a
, mặt phẳng qua trục và cắt hình trụ theo một thiết diện có
diện tích bằng
2
6
a
. Diện tích toàn phần của hình trụ là.
A.
2
8
a
. B.
2
6
a
. C.
2
12
a
. D.
2
7
a
.
Câu 24: Cho hình trụ có bán kính đáy
5 cm
r và khoảng cách giữa hai đáy bằng
7 cm
. Diện tích xung
quanh của hình trụ là
A.
2
70
π cm
B.
2
120
π cm
C.
2
60
π cm
D.
2
35
π cm
Câu 25: Tính diện tích xung quanh
S
của hình trụ có bán kính bằng
3
và chiều cao bằng
4
.
A.
36
S
. B.
24
S
. C.
12
S
. D.
42
S
.
Câu 26: Cắt hình trụ
T
bằng một mặt phẳng đi qua trục được thiết diện là một hình chữ nhật có diện tích
bằng
2
20cm
và chu vi bằng
18cm
. Biết chiều dài của hình chữ nhật lớn hơn đường kính mặt đáy
của hình trụ
T
. Diện tích toàn phần của hình trụ là:
A.
2
30 cm
. B.
2
28 cm
. C.
2
24 cm
. D.
2
26 cm
.
Câu 27: Một hình trụ có diện tích xung quanh bằng 4
π
và có thiết diện qua trục là hình vuông. Diện tích
toàn phần của hình trụ bằng:
A. 12
π
. B. 10
π
. C. 8
π
. D. 6
π
.
Câu 28: Cho hình lập phương .
ABCD A B C D
có cạnh bằng
a
. Gọi
S
là diện tích xung quanh của hình
trụ có hai đường tròn đáy ngoại tiếp hai hình vuông
ABCD
và
A B C D
. Diện tích
S
là
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 4
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
2
3
a
. B.
2
2
2
a
. C.
2
a
. D.
2
2
a
.
Câu 29: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a,
3
AD a
, SA vuông góc với mặt
phẳng đáy và mặt phẳng (SBC) tạo với mặt đáy một góc
0
60
. Tính diện tích S của mặt cầu ngoại
tiếp khối chóp S.ABCD.
A.
2
16 .
S a
B.
2
7 .
S a
C.
2
7 .
S a
D.
2
16 .
S a
Câu 30: Một hình nón có bán kính đáy
R
và chiều cao bằng
4
R
. Tính diện tích toàn phần của hình trụ nội
tiếp hình nón, biết rằng bán kính đáy hình trụ bằng
r
. (Hình trụ được goi là nội tiếp hình nón nếu
một đường tròn đáy của hình trụ nằm trên mặt xung quanh của hình nón, đáy còn lại nằm trên mặt
đáy của hình nón). Kết quả là :
A.
2
8 6 r
r R
. B.
2
6 4 r
r R
. C.
2
6 8 r
r R
. D.
2
4 8 r
r R
.
Câu 31: Cho lăng trụ đứng .
ABC A B C
, có đáy
ABC
là tam giác vuông tại
B
Tính diện tích toàn phần
S
của hình trụ tròn ngoại tiếp lăng trụ đứng .
ABC A B C
(như hình vẽ bên), biết rằng
2
A A AC a
.
.
A.
2
12
S a
. B.
2
3
S a
. C.
2
9
S a
. D.
2
6
S a
.
Câu 32: Trong không gian, cho hình chữ nhật
ABCD
có
1
AB
và
3
AD
. Gọi
,
M N
lần lượt thuộc
,
AD BC
sao cho
2 ; 2
AM MD BN NC
. Quay hình chữ nhật này quanh trục
MN
, ta được hai
hình trụ. Tính tổng diện tích xung quanh
xq
S
của hai hình trụ đó.
A.
6
xq
S
. B.
5
xq
S
. C.
9
xq
S
. D.
4
xq
S
.
Câu 33: Một hình trụ có bán kính đáy bằng
50
r cm
và có chiều cao
50
h cm
. Diện tích xung quanh của
hình trụ bằng:
A.
2
5000
cm
. B.
2
2500
cm
. C.
2
2500
cm
. D.
2
5000
cm
.
Câu 34: Một hình trụ có hai đường tròn đáy nằm trên một mặt cầu bán kính
R
và có đường cao bằng bán
kính mặt cầu. Diện tích toàn phần hình trụ đó bằng:
A.
2
3 2 3
2
R
. B.
2
3 2 2
2
R
. C.
2
3 2 2
3
R
. D.
2
3 2 3
3
R
.
Câu 35: Cho hình trụ có đường kính đáy là
a
, mặt phẳng qua trục của hình trụ cắt hình trụ theo một thiết
diện có diện tích là
2
3
a
. Tính diện tích toàn phần của hình trụ.
A.
2
7
2
a
. B.
2
5
a
. C.
2
2
a
. D.
2
3
2
a
.
Câu 36: Cho hình lập phương
. ' ' ' '
ABCD A B C D
có cạnh bằng
a
. Gọi
S
là diện tích xung quanh của hình
trụ có hai đường tròn đáy ngoại tiếp hai hình vuông
ABCD
và
' ' ' '
A B C D
. Tính
S
.
A.
2
3.
a
B.
2
2
.
2
a
C.
2
.
a
D.
2
2.
a
Câu 37: Cho hình trụ có chiều cao bằng
2
a
, bán kính đáy bằng
a
. Tính diện tích xung quanh của hình trụ.
A.
2
2
a
. B.
2
4
a
. C.
2
a
. D.
2
2
a
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 5
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 38: Thiết diện qua trục của một hình trụ
T
là hình vuông
ABCD
có đường chéo
2
AC a
. Diện tích
xung quanh của hình trụ
T
là
A.
2
4 .
a
B.
2
2 2.
a
C.
2
2 .
a
D.
2
2 .
a
Câu 39: Cho hình trụ có bán kính đáy bằng
3
và thể tích bằng
18
. Tính diện tích xung quanh
xq
S
của
hình trụ.
A.
36
xq
S
. B.
12
xq
S
. C.
6
xq
S
. D.
18
xq
S
.
Câu 40: Trong không gian cho hình chữ nhật
ABCD
có
AB a
và
2
AD a
. Gọi
H
,
K
lần lượt là trung
điểm của
AD
và
BC
. Quay hình chữ nhật đó quanh trục
HK
, ta được một hình trụ. Diện tích
toàn phần của hình trụ là:
A.
8
tp
S
. B.
2
8
tp
S a
. C.
2
4
tp
S a
. D.
4
tp
S
.
Câu 41: Cho một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn
;
O R
, với
3
OO R
và một hình nón có đỉnh
O
và đáy là hình tròn
;
O R
. Kí hiệu
1
S
,
2
S
lần lượt là diện tích xung quanh của hình trụ và hình
nón. Tính
1
2
S
k
S
.
A. . B. . C. . D. .
Câu 42: Trong không gian cho hình chữ nhật
ABCD
có
4
AB
và
2
BC
. Gọi
,
P Q
lần lượt là các điểm
trên cạnh
AB
và
CD
sao cho:
1,
BP
3
QD QC
. Quay hình chữ nhật
APQD
xung quanh trục
PQ
ta được một hình trụ. Tính diện tích xung quanh của hình trụ đó.
A.
4
. B.
12
. C.
6
. D.
10
.
Câu 43: Lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng
a
. Diện tích toàn phần của hình trụ có hai đáy ngoại
tiếp hai đáy của lăng trụ là.
A.
2
2
3
a
. B.
2
2 2 3
3
a
. C.
2
2 3
3
a
. D.
2
2 3 1
3
a
.
Câu 44: Cho hình lăng trụ đứng
ABCDA B C D
có đáy là hình chữ nhật,
3
AB a
,
4
BC a
. Đường chéo
AC
tạo với đáy
ABCD
một góc
o
45
. Gọi
T
là hình trụ có đường sinh là cạnh bên của lăng
trụ, đáy là hai đường tròn ngoại tiếp hai đáy của lăng trụ. Diện tích toàn phần của
T
là.
A.
2
75
4
a
. B.
2
25
a
. C.
2
125
4
a
. D.
2
75
2
a
.
Câu 45: Thiết diện qua trung của một hình trụ là một hình vuông cạnh
,
a
diện tích toàn phần của hình trụ
là.
A.
2
3
5
a
. B.
2
3
a
. C.
2
3
2
a
. D. Kết quả khác.
Câu 46: Cho hình vuông
ABCD
biết cạnh bằng
a
. Gọi
,
I K
lần lượt là trung điểm của
,
AB CD
. Tính
diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay khi cho hình vuông
ABCD
quay quanh
IK
một góc
o
360
.
A.
2
3
a
. B.
2
a
. C.
2
2
a
. D.
2
2
3
a
.
Câu 47: Trong không gian cho hình chữ nhật
ABCD
có
4
AB
và
2
BC
. Gọi
,
P Q
lần lượt là các điểm
trên cạnh
AB
và
CD
sao cho:
1,
BP
3
QD QC
. Quay hình chữ nhật
APQD
xung quanh trục
PQ
ta được một hình trụ. Tính diện tích xung quanh của hình trụ đó.
A.
4
. B.
12
. C.
6
. D.
10
.
2
k
3
k
1
2
k
1
3
k
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 6
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 48: - 2017] Cho hình lập phương
.
ABCD A B C D
có đường chéo
3
BD x
. Gọi
S
là diện tích xung
quanh của hình trụ có hai đường tròn đáy ngoại tiếp hai hình vuông
ABCD
và
A B C D
. Diện tích
S
là.
A.
2
2
2
x
. B.
2
3
x
. C.
2
2
x
. D.
2
x
.
Câu 49: Cho hình chữ nhật
ABCD
có
2
AB a
,
3
BC a
. Gọi
M
,
N
là các điểm trên các cạnh
AD
,
BC
sao cho
2
MA MD
,
2
NB NC
. Khi quay quanh
AB
, các đường gấp khúc
AMNB
,
ADCB
sinh
ra các hình trụ có diện tích toàn phần lần lượt là
1
S
,
2
S
. Tính tỉ số
1
2
S
S
A.
1
2
8
15
S
S
. B.
1
2
2
3
S
S
. C.
1
2
4
9
S
S
. D.
1
2
12
21
S
S
.
Câu 50: Tính diện tích xung quanh của một hình trụ có chiều cao
20 m
, chu vi đáy bằng
5 m
.
A.
2
50 m
. B.
2
100 m
. C.
2
100 m
. D.
2
50 m
.
Câu 51: Cho hình trụ có độ dài đường sinh là
l
và bán kính đường tròn đáy là
r
. Diện tích toàn phần của
hình trụ là
A.
2 2
tp
S r l r
. B.
tp
S r l r
.
C.
2
tp
S r l r
. D.
2
tp
S r l r
.
Câu 52: Cho hình lăng trụ đứng .
ABC A B C
có tam giác
ABC
vuông cân tại
B
,
2
AB a
và cạnh bên
6
AA a
. Khi đó, diện tích xung quanh của hình trụ ngoại tiếp hình lăng trụ đã cho bằng bao
nhiêu?
A.
2
2 6
a
. B.
2
4
a
. C.
2
6
a
. D.
2
4 6
a
.
Câu 53: Cho hình chữ nhật
ABCD
có
2
AB a
,
3
BC a
. Gọi
E
,
F
lần lượt là các điểm trên các cạnh
AB
,
BC
sao cho
2
EA ED
, 2
FB FC
. Khi quay quanh
AB
các đường gấp khúc
AEFB
,
ADCB
sinh ra hình trụ có diện tích toàn phần lần lượt là
1
S
,
2
S
. Tính tỉ số
1
2
S
S
.
A.
1
2
12
21
S
S
. B.
1
2
2
3
S
S
. C.
1
2
4
9
S
S
. D.
1
2
8
15
S
S
.
Câu 54: Cắt một khối trụ bởi một mặt phẳng qua trục của nó, ta được thiết diện là một hình vuông có cạnh
bằng
3
a
Diện tích toàn phần của khối trụ là:
A.
2
27
2
a
. B.
2
9
a
. C.
2
13
6
a
. D.
2
9
2
a
.
Câu 55: Hình trụ tròn xoay có độ dài đường sinh bằng
l
và bán kính đáy bằng
r
có diện tích xung quanh
xq
S
cho bởi công thức
A.
2
2
xq
S r
B.
2
4
xq
S r
C. 2
xq
S rl
D.
xq
S rl
Câu 56: Hình trụ có bán kính đáy bằng
a
và chiều cao bằng
3
a
. Khi đó diện tích toàn phần của hình trụ
bằng
A.
2
2 1 3
a
B.
2
1 3
a
C.
2
3
a
D.
2
2 3 1
a
Câu 57: Diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay có độ dài đường sinh
l
và bán kính đáy
r
được tính
bằng công thức nào dưới đây?
A.
xq
S rl
B.
2
xq
S r l
C. 2
xq
S rl
D. 4
xq
S rl
Câu 58: Cắt một hình trụ bởi một mặt phẳng qua trục của nó, ta được thiết diện là một hình vuông có cạnh
bằng
3
a
. Tính diện tích toàn phần của hình trụ đã cho.
A.
2
27
2
a
. B.
2
9
2
a
. C.
2
13
6
a
. D.
2
9
a
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 7
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 59: Một hình trụ có bán kính đáy
5cm
r
, chiều cao
7cm
h
. Tính diện tích xung quang của hình
trụ.
A.
2
35
π cm
S . B.
2
70
π cm
S . C.
2
70
π cm
3
S . D.
2
35
π cm
3
S .
Câu 60: Cho tứ diện
ABCD
cạnh bằng
a
. Tính diện tích
xq
S
xung quanh của hình trụ có đáy là đường tròn
ngoại tiếp
BCD
và có chiều cao bằng chiều cao tứ diện
ABCD
.
A.
2
2
3
xq
a
S
. B.
2
2 2
3
xq
a
S
. C.
2
3
2
xq
a
S
. D.
2
3
xq
S a
.
Câu 61: Hình trụ có bán kính đáy bằng
a
và thiết diện qua trục là hình vuông, diện tích xung quanh hình
trụ đó bằng
A.
2
2
a
. B.
2
a
. C.
2
3
a
. D.
2
4
a
.
Câu 62: Một hình trụ có hai đường tròn đáy nằm trên một mặt cầu bán kính
R
và có đường cao bằng bán
kính mặt cầu. Diện tích toàn phần hình trụ đó bằng:
A.
2
3 2 3
3
R
. B.
2
3 2 2
3
R
. C.
2
3 2 2
2
R
. D.
2
3 2 3
2
R
.
Câu 63: Một hình trụ
T
có bán kính đáy
R
và có thiết diện qua trục là hình vuông. Tính diện tích xung
quanh của khối trụ
T
.
A.
2
R
. B.
2
2
R
. C.
2
4
3
R
. D.
2
4
R
.
Câu 64: Cắt một khối trụ bởi một mặt phẳng qua trục của nó, ta được thiết diện là một hình vuông có cạnh
bằng
3
a
. Tính diện tích toàn phần
tp
S
của khối trụ.
A.
2
3
2
tp
a
S
. B.
2
13
6
tp
a
S
. C.
2
3
tp
S a
. D.
2
27
2
tp
a
S
.
Câu 65: Trong không gian cho hình chữ nhật
ABCD
có
4
AB
và
2
BC
. Gọi
P
,
Q
lần lượt là các
điểm trên cạnh
AB
và
CD
sao cho
1
BP
, 3
QD QC
. Quay hình chữ nhật
APQD
xung quanh
trục
PQ
ta được một hình trụ. Diện tích xung quanh của hình trụ là
A.
12
B.
4
C.
6
D.
10
Câu 66: Hình trụ có hai đường tròn đáy ngoại tiếp hai mặt của một hình lập phương cạnh
a
thì có diện tích
xung quanh bằng bao nhiêu?
A.
2
2
a
. B.
2
2 2
a
. C.
2
a
. D.
2
2
a
.
Câu 67: Diện tích xung quanh của mặt trụ có bán kính đáy
R
, chiều cao
h
là
A. 4
xq
S Rh
. B. 2
xq
S Rh
. C.
xq
S Rh
. D. 3
xq
S Rh
.
Câu 68: Một hình trụ ngoại tiếp hình lăng trụ tam giác đều với tất cả các cạnh bằng
a
có diện tích xung
quanh bằng bao nhiêu?
A.
2
2 3
3
a
. B.
2
3
3
a
. C.
2
3
a
. D.
2
4 3
3
a
.
Câu 69: Tính diện tích toàn phần của một hình trụ, biết thiết diện của hình trụ cắt bởi mặt phẳng qua trục
là một hình vuông có diện tích bằng
36
.
A.
54
B.
50
C.
18
D.
36
Câu 70: Cho hình trụ có bán kính đường tròn đáy bằng chiều cao và bằng
2cm
. Diện tích xung quanh của
hình trụ là
A.
2
8
cm
. B.
2
4
cm
. C.
2
2
cm
. D.
2
8
3
cm
.
Câu 71: Biết thiết diện qua trục của một hình trụ là hình vuông cạnh
a
, tính diện tích toàn phần
S
của hình
trụ đó.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 8
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
2
3
S a
. B.
2
5
4
S a
. C.
2
S a
. D.
2
3
2
S a
.
Câu 72: Một hình trụ có tâm các đáy là
, .
A B
Biết rằng mặt cầu đường kính
AB
tiếp xúc với các mặt đáy
của hình trụ tại
A
,
,
B
và tiếp xúc với mặt xung quanh của hình trụ đó. Diện tích của mặt cầu này
là
16 .
Tính diện tích xung quanh của hình trụ đã cho.
A.
8
3
. B.
8
. C.
16
. D.
16
3
.
Câu 73: Gọi
, ,
l h R
lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính đáy của hình trụ
T
. Diện tích
toàn phần
tp
S
của hình trụ là
A.
2
tp
S Rh R
. B.
2
2
tp
S Rl R
.
C.
2
tp
S Rl R
. D.
2
2 2
tp
S Rl R
.
Câu 74: Cho lăng trụ đứng .
ABC A B C
, có đáy
ABC
là tam giác vuông tại
B
. Tính diện tích toàn phần
S
của hình trụ tròn ngoại tiếp lăng trụ đứng .
ABC A B C
(như hình vẽ bên), biết rằng
2
A A AC a
.
A.
2
9
S a
. B.
2
3
S a
. C.
2
6
S a
. D.
2
12
S a
.
Câu 75: Cắt một hình trụ bằng một mặt phẳng qua trục của nó, ta được thiết diện là một hình vuông cạnh
2
a
. Diện tích xung quanh của hình trụ bằng
A.
2
4
a
. B.
2
16
a
. C.
2
2
a
. D.
2
8
a
.
Câu 76: Diện tích xung quanh hình trụ có bán kính đáy
3
R
và đường sinh
6
l
bằng
A.
108
. B.
18
. C.
36
. D.
54
.
Câu 77: Tính diện tích toàn phần của hình trụ có bán kính đáy
a
và đường cao
3
a
.
A.
2
3
a
. B.
2
3 1
a
. C.
2
2 3 1
a
. D.
2
2 3 1
a
.
Câu 78: Diện tích xung quanh của hình trụ có bán kính đáy
2
R
và đường sinh
3
l
bằng:
A.
24
. B.
12
. C.
4
. D.
6
.
Câu 79: Viết công thức tính diện tích xung quanh của hình trụ có chiều cao
h
bán kính đáy là
R
A.
4
xq
S Rh
. B. 2
xq
S Rh
. C.
2
xq
S Rh
. D.
xq
S Rh
.
Câu 80: Cho hình chữ nhật
ABCD
có
, 3
AB a AD a
. Tính diện tích xung quanh của hình tròn xoay
sinh ra khi quay hình chữ nhật
ABCD
quanh cạnh
AB
.
A.
2
12 3
a
B.
2
6 3
a C.
2
2 3
a
D.
2
12
a
Câu 81: Một hình trụ có bán kính đáy bằng
5
và khoảng cách giữa hai đáy bằng
7
. Cắt khối trụ bởi một
mặt phẳng song song với trục và cách trục một khoảng bằng
3
. Tính diện tích
S
của thiết diện
được tạo thành.
A.
7 34
S B.
14 34
S C.
56
S
D.
28
S
Câu 82: Một hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông cạnh
a
, diện tích toàn phần của hình trụ đó bằng:
A.
2
4
a
. B.
2
3
4
a
. C.
2
3
a
. D.
2
3
2
a
.
Câu 83: Cho hình trụ tròn xoay có độ dài đường sinh là
l
, độ dài đường cao là
h
và
r
là bán kính đáy.
Công thức diện tích xung qunh của hình trụ tròn xoay là
A.
2
xq
S r h
. B.
xq
S rh
. C. 2
xq
S rh
. D.
xq
S rl
.
Câu 84: Một hình trụ có đường kính đáy bằng chiều cao và nội tiếp trong mặt cầu bán kính R. Diện tích
xung quanh của hình trụ bằng:
A.
2
2
R
. B.
2
4
R
. C.
2
2
R
. D.
2
2 2
R
.
Câu 85: Cho hình hộp chữ nhật .
ABCD A B C D
có
D 2a
AB A
,
3 2
AA a
. Tính diện tích toàn phần
S
của hình trụ có hai đáy lần lượt ngoại tiếp hai đáy của hình hộp chữ nhật đã cho.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 9
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
2
7
S a
. B.
2
16
S a
. C.
2
12
S a
. D.
2
20
S a
.
Câu 86: Cho hình nón có đường sinh bằng đường kính của đường tròn đáy và đều bằng
2
, nội tiếp trong
một hình trụ (đỉnh của hình nón nằm trên
1
mặt đáy của hình trụ, đáy của hình nón là đáy của hình
trụ). Tính diện tích toàn phần
tp
S
của hình trụ đó?
A.
2 3 1
. B.
3
. C.
3 1
. D.
6
.
Câu 87: Trong không gian, cho hình chữ nhật
ABCD
có
1, 2
AB AD
. Gọi
M
,
N
lần lượt là trung
điểm của
AD
,
BC
. Quay hình chữ nhật đó xung quanh trụ
MN
, ta được một hình trụ. Tính diện
tích toàn phần của hình trụ đó.
A.
10
tp
S
. B.
6
tp
S
. C.
2
tp
S
. D.
4
tp
S
.
Câu 88: Một hình trụ có bán kính đáy
a
, thiết diện qua trục là một hình vuông. Diện tích xung quanh của
hình trụ đó bằng:
A.
2
a
. B.
2
3
a
. C.
2
2
a
. D.
2
4
a
.
Câu 89: Cho một hình trụ tròn xoay và hình vuông
ABCD
cạnh
a
có hai đỉnh liên tiếp
,
A B
nằm trên
đường tròn đáy thứ nhất của hình trụ, hai đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy thứ hai của hình
trụ. Mặt phẳng
ABCD
tạo với đáy hình trụ góc
o
45
. Diện tích xung quanh hình trụ là.
A.
2
3
2
a
. B.
2
2
3
a
. C.
2
2
2
a
. D.
2
3
4
a
.
Câu 90: Cho hình trụ có bán kính đáy chiều cao . Diện tích toàn phần của hình trụ này là
A. . B. . C. . D. .
Câu 91: Cho hình trụ bán kính đáy
5 cm
r và khoảng cách giữa hai đáy bằng
7 cm
. Diện tích xung
quanh của hình trụ là:
A.
2
60 cm
B.
2
35 cm
C.
2
70 cm
D.
2
120 cm
Câu 92: Một hình trụ có đường kính đáy bằng chiều cao và nội tiếp trong mặt cầu bán kính
.
R
Diện tích
xung quanh của hình trụ bằng:
A.
2
4
R
. B.
2
2 2
R
. C.
2
2
R
. D.
2
2
R
.
5
cm
4
cm
2
90 ( )
cm
2
92 ( )
cm
2
40 ( )
cm
2
96 ( )
cm
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 1
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
MẶT TRỤ, KHỐI TRỤ
DẠNG 1: TÍNH ĐỘ DÀI ĐƯỜNG SINH, BÁN KÍNH ĐÁY, ĐƯỜNG CAO
Câu 1: Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng qua trục ta được thiết diện là hình chữ nhật
ABCD
có
AB
và
CD
thuộc hai đáy của hình trụ,
4
AB a
,
5
AC a
. Tính thể tích khối trụ.
A.
3
16
V a
. B.
3
12
V a
. C.
3
4
V a
. D.
3
8
V a
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có
+ Bán kính đường tròn đáy là:
2
2
AB
r a
.
+ Chiều cao khối trụ:
2 2
h AD AC CD
2 2
5 4
a a
3
a
.
+ Thể tích khối trụ:
2
. .
V r h
2
.(2 ) .3
a a
3
12
a
.
Câu 2: Gọi
l
,
h
,
R
lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính đáy của hình trụ. Đẳng thức
luôn đúng là
A.
l h
. B.
R h
. C.
2 2 2
l h R
. D.
2 2 2
R h l
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Trong hình trụ ta luôn có
l h
.
Câu 3: Cho hình trụ có bán kính đáy bằng
a
, diện tích toàn phần bằng
2
8
a
. Chiều cao của hình trụ
bằng
A.
8
a
. B.
4
a
. C.
3
a
. D.
2
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Gọi
h
là chiều cao của hình trụ
Ta có
2
2 2
tp
S ah a
2 2
8 2 2
a ah a
3
h a
.
Câu 4: Cho hình trụ có diện tích xung quanh bằng
2
2
π
a
và bán kính đáy bằng
a
. Độ dài đường sinh của
hình trụ đã cho bằng
A.
2
a
. B.
a
. C.
2
a
. D.
2
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
2
π
xq
S rl
2
π
xq
S
l
r
2
2
π
2
π
a
a
a
.
Câu 5: Cho hình trụ có diện tích xung quanh bằng
2
3
π
a
và bán kính đáy bằng
a
. Chiều cao của hình trụ
đã cho bằng
5a
4a
B
C
A
D
H
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 2
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
3
2
a
. B.
2
3
a
. C.
3
a
. D.
2
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có:
2π
xq
S rl
2
3
π
a
2
3
π
2
π
a
h l
a
3
2
h a
.
Câu 6: Một cái cốc hình trụ cao
15 cm
đựng được
0,5
lít nước. Hỏi bán kính đường tròn đáy của cái
cốc xấp xỉ bằng bao nhiêu (làm tròn đến hàng thập phân thứ hai)?
A.
3,28cm.
B.
3,26 cm
C.
3,27cm
D.
3,25cm
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có:
0,5
lít
0,5
3 3
dm 500 cm
.
Gọi
R
là bán kính đường tròn đáy, ta có:
2
500 500
. 500 3,26 cm
15
πR h R
πh π
.
Câu 7: Một khối trụ có thể tích bằng
25 .
Nếu chiều cao khối trụ tăng lên năm lần và giữ nguyên bán
kính đáy thì được khối trụ mới có diện tích xung quanh bằng
25 .
Bán kính đáy của khối trụ ban
đầu là
A.
15
r
. B.
10
r
. C.
5
r
. D.
2
r
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Khối trụ ban đầu có :
25
V
2
25
r h
2
25 1
r h .
Khối trụ lúc sau có:
25
xq
S
5 25
r h
5 2
rh .
Từ (1) và (2) suy ra
5
r
.
Câu 8: Một hình trụ có bán kính đáy bằng với chiều cao của nó. Biết thể tích của khối trụ đó bằng
8
,
tính chiều cao
h
của hình trụ.
A.
2
h
. B.
2 2
h . C.
3
32
h
. D.
3
4
h .
Hướng dẫn giải
Chọn A
Gọi
r
và
h
lần lượt là bán kính và chiều cao của hình trụ. Theo đề bài ta có
h r
.
Thể tích của khối trụ là
2
.
V r h
3
h
. Theo đề bài thể tích của khối trụ là
8
nên ta có
phương trình
3
8
h
2
h
.
Câu 9: Trong không gian, cho hình chữ nhật
ABCD
có
AD a
,
2
AC a
. Tính theo
a
độ dài đường
sinh
l
của hình trụ, nhận được khi quay hình chữ nhật
ABCD
xung quanh trục
AB
.
A.
l a
. B.
5
l a
. C.
2
l a
. D.
3
l a
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Theo đề bài, đường sinh của hình trụ là
CD
. Áp dụng công thức Pitago vào tam giác
ACD
(vuông tại
D
), ta có
2 2
3
CD AC AD a
.
Câu 10: Cho hình trụ có bán kính đáy bằng 4. Một mặt phẳng không vuông góc với đáy và cắt hai đáy của
hình trụ theo hai dây cung song song ,
MN M N
thỏa mãn
6
MN M N
. Biết rằng tứ
giác
MNN M
có diện tích bằng
60
. Tính chiều cao
h
của hình trụ.
A.
4 2
h . B.
4 5
h . C.
6 5
h . D.
6 2
h .
Hướng dẫn giải
Chọn D
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 3
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Dựng đường kính
NH
của đường tròn đáy tâm
O
. Ta có
MN MH
MN MM
MN HM
. Suy ra
tứ giác
MNN M
là hình chữ nhật. Do đó
60
10
6
MM
.
Mặt khác
2 2
64 36 2 7
HM NH MN suy ra
2 2
6 2
M H M M MH
.
Vậy chiều cao của hình trụ là
6 2
h .
Câu 11: Số mặt cầu chứa một đường tròn cho trước là
A. Vô số. B.
2
. C.
0
. D.
1
.
Hướng dẫn giải:
Chọn A
Câu hỏi lí thuyết.
Câu 12: Một hình trụ có diện tích xung quanh bằng
2
4
a
và bán kính đáy là
a
. Tính độ dài đường cao
của hình trụ đó.
A.
a
B.
3
a
C.
4
a
D.
2
a
Hướng dẫn giải
Chọn D
Diện tích xung quanh hình trụ là
2
xq
S Rh
Theo đề bài ta có
2
4 2 2
a Rh h a
.
Câu 13: Bán kính đáy của khối trụ tròn xoay có thể tích bằng
V
và chiều cao bằng
h
là:
A.
3
V
r
h
B.
3
2
V
r
h
C.
V
r
h
D.
2
V
r
h
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có:
2
V r h
2
V
r
h
V
r
h
.
Câu 14: Cho hình trụ có diện tích xung quang bằng
2
8
a
và bán kính đáy bằng
a
. Độ dài đường sinh của
hình trụ bằng:
A.
2
a
. B.
6
a
. C.
4
a
. D.
8
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có:
2
π
xq
S Rl
2
π
xq
S
l
R
2
8
π
2
π
a
a
4
a
.
Câu 15: Cho hình trụ có bán kính đáy bằng
R
, chiều cao bằng
h
. Biết rằng hình trụ đó có diện tích toàn
phần gấp đôi diện tích xung quanh. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
2
h R
. B.
2
R h
. C.
2
h R
. D.
R h
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
O
H
6
N'
M'
N
M
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 4
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Ta có:
2
tp xq
S S
2
2 2 2.2
R Rh Rh
R h
.
Câu 16: Cho hình trụ có diện tích xung quanh bằng
50
và có độ dài đường sinh bằng đường kính của
đường tròn đáy. Tính bán kính
r
của đường tròn đáy
A. 5r
. B.
5 2
2
r . C.
5 2
2
r
. D.
5
r
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Đường sinh của hình trụ là:
2
l r
.
Ta có:
50
xq
S
2 50
rl
2
4 50
r
2
25
2
r
5 2
2
r .
Câu 17: Một hình trụ có diện tích toàn phần là
2
10
a
và bán kính đáy bằng
a
. Chiều cao của hình trụ đó
là
A.
4
a
. B.
2
a
. C.
6
a
. D.
3
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Gọi
r
,
h
lần lượt là bán kính đường tròn đáy và chiều cao của hình trụ.
Ta có:
2
2 . 2
tp
S r h r
2
2 . 2
a h a
2
10
a
2
2 . 8
a h a
4
h a
.
Câu 18: Một khối trụ có thể tích bằng
16 .
Nếu chiều cao khối trụ tăng lên hai lần và giữ nguyên bán
kính đáy thì được khối trụ mới có diện tích xung quanh bằng
16 .
Bán kính đáy của khối trụ ban
đầu là
A.
4
r
. B.
3
r
. C.
8
r
. D.
1
r
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Thể tích khối trụ:
2
16
V r h
2
16
h
r
.
Nếu chiều cao khối trụ tăng lên hai lần và giữ nguyên bán kính đáy, suy ra:
Diện tích xung quanh:
2
2.16
2 . 16
A r
r
2.2.16
4
16
r
.
Câu 19: Cho hình trụ có diện tích xung quanh bằng
2
16
a
và độ dài đường sinh bằng
2
a
. Tính bán kính
r
của đường tròn đáy của hình trụ đã cho.
A.
4
r
. B.
8
r a
. C.
4
r a
. D.
6
r a
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Theo giả thiết ta có
2
16
2 4
2 2 .2
xq
xq
S
a
S rl r a
l a
.
Câu 20: Cho hình trụ có tỉ số diện tích xung quanh và diện tích toàn phần bằng
1
3
. Biết thể tích khối trụ
bằng
4
. Bán kính đáy của hình trụ là
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 5
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
2
. B.
2
. C.
3
. D.
3
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Gọi bán kính của hình trụ là
R
.
2
2
4
4 . 4V h R h
R
1
.
1 1
2 2 3
3 3 2
XQ TP
R
S S Rh R R h h R h h
2
.
Từ
1
và
2
suy ra:
2
4
2
2
R
R
R
Câu 21: Cho hình trụ có hai đường tròn đáy là
;
O R
và
;
O R
,
OO h
. Gọi
AB
là một đường kính
của đường tròn
;
O R
. Biết rằng tam giác
O AB
đều. Tỉ số
h
R
bằng:
A.
1
. B.
4 3
. C.
3
3
. D.
3
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
2
AB R
. Tam giác
O AB
đều
3
3
2
h OO AB R
. Vậy
3
3
h R
R R
.
Câu 22: Cho hình trụ có hai đường tròn đáy là
;
O R
và
;
O R
,
OO h
. Biết
AB
là một đường kính
của đường tròn
;
O R
và
O AB
đều. Tỉ số
h
R
bằng
A.
4 3
. B.
3
. C.
3
2
. D.
2 3
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có:
o
tan tan60 3
h OO
O AO
R OA
DẠNG 2: TÍNH DIỆN TÍCH XUNG QUANH, DIỆN TÍCH TOÀN PHẦN
Câu 23: Cho hình trụ có bán kính đáy bằng
a
, mặt phẳng qua trục và cắt hình trụ theo một thiết diện có
diện tích bằng
2
6
a
. Diện tích toàn phần của hình trụ là.
A.
2
8
a
. B.
2
6
a
. C.
2
12
a
. D.
2
7
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 6
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
.
Ta có: thiết diện là hình chữ nhật nên
2
2 6 3
al a l a
.
Diện tích toàn phần là :
2 2 2
2 2 2 . .3 2 8
S rl r a a a a
.
Câu 24: Cho hình trụ có bán kính đáy
5 cm
r và khoảng cách giữa hai đáy bằng
7 cm
. Diện tích
xung quanh của hình trụ là
A.
2
70
π cm
B.
2
120
π cm
C.
2
60
π cm
D.
2
35
π cm
Hướng dẫn giải
Chọn A
Diện tích xung quanh của hình trụ
2
π
xq
S rh
2
π5.7 70π
2
cm
.
Câu 25: Tính diện tích xung quanh
S
của hình trụ có bán kính bằng
3
và chiều cao bằng
4
.
A.
36
S
. B.
24
S
. C.
12
S
. D.
42
S
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Diện tích xung quanh của hình trụ
2 24
S rh
.
Câu 26: Cắt hình trụ
T
bằng một mặt phẳng đi qua trục được thiết diện là một hình chữ nhật có diện
tích bằng
2
20cm
và chu vi bằng
18cm
. Biết chiều dài của hình chữ nhật lớn hơn đường kính mặt
đáy của hình trụ
T
. Diện tích toàn phần của hình trụ là:
A.
2
30 cm
. B.
2
28 cm
. C.
2
24 cm
. D.
2
26 cm
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Gọi
h
và
r
là chiều cao và bán kính của hình trụ
2
h r
. Ta có
2 20
2 9
rh
r h
5
2
h
r
.
2
2 2
tp
S rh r
20 8
28
.
Câu 27: Một hình trụ có diện tích xung quanh bằng 4
π
và có thiết diện qua trục là hình vuông. Diện tích
toàn phần của hình trụ bằng:
A. 12
π
. B. 10
π
. C. 8
π
. D. 6
π
.
r
h
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 7
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có: thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông nên:
2
l R
.
2
π
xq
S Rl
4
π
2
π .2 4π
R R
1
R
.
2
π π
đ
S R
.
2
tp x
đ
q
S S S
6
π
.
Câu 28: Cho hình lập phương .
ABCD A B C D
có cạnh bằng
a
. Gọi
S
là diện tích xung quanh của hình
trụ có hai đường tròn đáy ngoại tiếp hai hình vuông
ABCD
và
A B C D
. Diện tích
S
là
A.
2
3
a
. B.
2
2
2
a
. C.
2
a
. D.
2
2
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Bán kính hình trụ
2
2
a
R nên
2
2
2 2 2
2
a
S Rl a a .
Câu 29: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a,
3
AD a
, SA vuông góc với
mặt phẳng đáy và mặt phẳng (SBC) tạo với mặt đáy một góc
0
60
. Tính diện tích S của mặt cầu
ngoại tiếp khối chóp S.ABCD.
A.
2
16 .
S a
B.
2
7 .
S a
C.
2
7 .
S a
D.
2
16 .
S a
Hướng dẫn giải
Chọn C
- Ta có: Ba đỉnh A, B, D đều nhìn đoạn SC dưới một góc
0
90 .
Do đó năm điểm A, B, C, D và S cùng thuộc mặt cầu tâm I
đường kính SC.
- Mà
2 2
SC SA AC
2 2 2
SA AB BC
7
a
7
2 2
SC a
R
-
Suy ra:
2 2
4 7 .
S R a
Câu 30: Một hình nón có bán kính đáy
R
và chiều cao bằng
4
R
. Tính diện tích toàn phần của hình trụ
nội tiếp hình nón, biết rằng bán kính đáy hình trụ bằng
r
. (Hình trụ được goi là nội tiếp hình nón
nếu một đường tròn đáy của hình trụ nằm trên mặt xung quanh của hình nón, đáy còn lại nằm
trên mặt đáy của hình nón). Kết quả là :
A.
2
8 6 r
r R
. B.
2
6 4 r
r R
. C.
2
6 8 r
r R
. D.
2
4 8 r
r R
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 8
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Hướng dẫn giải
Chọn C
.
Ta có
1 1
1 1
4r; 4( )
4R
SH SH
r
SH HH R r
R SH
.
Diện tích toàn phần của hình trụ là:
2 2
2 2 .4( ) 6 8 r
tp
S r r R r r R
.
Câu 31: Cho lăng trụ đứng .
ABC A B C
, có đáy
ABC
là tam giác vuông tại
B
Tính diện tích toàn phần
S
của hình trụ tròn ngoại tiếp lăng trụ đứng .
ABC A B C
(như hình vẽ bên), biết rằng
2
A A AC a
.
.
A.
2
12
S a
. B.
2
3
S a
. C.
2
9
S a
. D.
2
6
S a
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Gọi
O
là trung điểm
AC
.
Ta có đường sinh hình trụ
2
l AA a
.
Vì tam giác
ABC
vuông tại
B
nên bán kính đáy của hình trụ là
2
2 2
AC a
r OB
.
Khi đó diện tích toàn phần của hình trụ là
2 2
2 2 3
S r rl a
.
Câu 32: Trong không gian, cho hình chữ nhật
ABCD
có
1
AB
và
3
AD
. Gọi
,
M N
lần lượt thuộc
,
AD BC
sao cho
2 ; 2
AM MD BN NC
. Quay hình chữ nhật này quanh trục
MN
, ta được hai
hình trụ. Tính tổng diện tích xung quanh
xq
S
của hai hình trụ đó.
A.
6
xq
S
. B.
5
xq
S
. C.
9
xq
S
. D.
4
xq
S
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Khi quay hình ta sẽ thu được hai hình trụ gồm: hình trụ tạo bởi khi quay hình vuông
MNCD
,
hình trụ nằm bên trong hình trụ tạo bởi khi quay hình chữ nhật
MNBA
.
Hình trụ tạo bởi khi quay hình vuông
MNCD
có diện tích xung quanh là:
1
S
.
Hình trụ tạo bởi khi quay hình chữ nhật
MNBA
có diện tích xung quanh là:
2
4
S
.
Vậy tổng diện tích xung quanh của hai hình trụ là
5
.
Câu 33: Một hình trụ có bán kính đáy bằng
50
r cm
và có chiều cao
50
h cm
. Diện tích xung quanh
của hình trụ bằng:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 9
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
2
5000 cm
. B.
2
2500 cm
. C.
2
2500 cm
. D.
2
5000 cm
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Diện tích xung quanh của hình trụ được tính theo công thức:
2
xq
S r
với
50 , 50r cm h cm
.
Vậy
2
2 .50.50 5000 .
xq
S cm
.
Câu 34: Một hình trụ có hai đường tròn đáy nằm trên một mặt cầu bán kính R và có đường cao bằng bán
kính mặt cầu. Diện tích toàn phần hình trụ đó bằng:
A.
2
3 2 3
2
R
. B.
2
3 2 2
2
R
. C.
2
3 2 2
3
R
. D.
2
3 2 3
3
R
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Đường cao hình trụ h R nên ta có bán kính của đáy hình trụ
2
2
3
4 2
R R
r R
.
2
3
2 2 3
2
xq
R
S rh R R
.
Vậy
2
2
2
3 2 3
3
2 3 2
2 2
t đáq yp x
R
R
S S S R .
Câu 35: Cho hình trụ có đường kính đáy là
a
, mặt phẳng qua trục của hình trụ cắt hình trụ theo một thiết
diện có diện tích là
2
3a . Tính diện tích toàn phần của hình trụ.
A.
2
7
2
a
. B.
2
5 a
. C.
2
2 a
. D.
2
3
2
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Gọi R là bán kính đáy của hình trụ
2
a
R .
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 10
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giả sử mặt phẳng qua trục cắt hình trụ theo thiết diện là hình chữ nhật
ABB A
Có:
2 ,
AB R a AA h
là chiều cao của hình trụ.
2
. 3 . 3
ABB A
S AB AA a a h h a
2
2
2 2 2 2 .3 2
2 4
tp xq đ
a a
S S S Rh R a
2
7
2
a
.
Câu 36: Cho hình lập phương
. ' ' ' '
ABCD A B C D
có cạnh bằng
a
. Gọi
S
là diện tích xung quanh của
hình trụ có hai đường tròn đáy ngoại tiếp hai hình vuông
ABCD
và
' ' ' '
A B C D
. Tính
S
.
A.
2
3.
a
B.
2
2
.
2
a
C.
2
.
a
D.
2
2.
a
Hướng dẫn giải
Chọn D
Vì đường tròn đáy của hình trụ ngoại tiếp hai hình vuông ABCD và
' ' ' '
A B C D
2
2
a
R
Vậy:
2
2 2
xq
S Rh a
.
Câu 37: Cho hình trụ có chiều cao bằng
2
a
, bán kính đáy bằng
a
. Tính diện tích xung quanh của hình
trụ.
A.
2
2
a
. B.
2
4
a
. C.
2
a
. D.
2
2
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Diện tích xung quanh:
2
2 . 2 . .2 4S
πR h π a a πa
.
Câu 38: Thiết diện qua trục của một hình trụ
T
là hình vuông
ABCD
có đường chéo
2
AC a
. Diện
tích xung quanh của hình trụ
T
là
A.
2
4 .
a
B.
2
2 2.
a
C.
2
2 .
a
D.
2
2 .
a
Hướng dẫn giải
Chọn C
Do tam giác
ABC
là tam giác vuông cân có cạnh
2
AC a
nên
2
AB BC a
.
Vậy diện tích xung quanh của hình trụ
T
là :
2
xq
S rl
2
2 . 2
2
a
a
2
2
a
.
Câu 39: Cho hình trụ có bán kính đáy bằng
3
và thể tích bằng
18
. Tính diện tích xung quanh
xq
S
của
hình trụ.
A.
36
xq
S
. B.
12
xq
S
. C.
6
xq
S
. D.
18
xq
S
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có
2 2
18 3 2
V r h h h
.
2a
D C
B
A
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 11
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Vậy
2 12
xq
S rh
.
Câu 40: Trong không gian cho hình chữ nhật
ABCD
có
AB a
và
2
AD a
. Gọi
H
,
K
lần lượt là
trung điểm của
AD
và
BC
. Quay hình chữ nhật đó quanh trục
HK
, ta được một hình trụ. Diện
tích toàn phần của hình trụ là:
A.
8
tp
S
. B.
2
8
tp
S a
. C.
2
4
tp
S a
. D.
4
tp
S
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Quay hình chữ nhật
ABCD
quanh trục
HK
ta được hình trụ có đường cao là
h AB a
, bán
kính đường tròn đáy là
1
2
R BK BC a
.
Vậy diện tích toàn phần của hình trụ là:
2 2
2 2 4
tp
S Rh R a
.
Câu 41: Cho một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn
;
O R
, với
3
OO R
và một hình nón có đỉnh
O
và đáy là hình tròn
;
O R
. Kí hiệu
1
S
,
2
S
lần lượt là diện tích xung quanh của hình trụ và
hình nón. Tính
1
2
S
k
S
.
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có
2
1
2 . 3 2 3 S
πR R πR
.
2 2 2
2
3 2 S
πR R R πR
. Vậy
1
2
3
S
S
.
Câu 42: Trong không gian cho hình chữ nhật
ABCD
có
4
AB
và
2
BC
. Gọi
,
P Q
lần lượt là các
điểm trên cạnh
AB
và
CD
sao cho:
1,
BP
3
QD QC
. Quay hình chữ nhật
APQD
xung
quanh trục
PQ
ta được một hình trụ. Tính diện tích xung quanh của hình trụ đó.
A.
4
. B.
12
. C.
6
. D.
10
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có
3, 2
AP AD
.
Khi quay hcn
APQD
xung quanh trục
PQ
.
ta được hình trụ có bán kính đáy
3
r
và đường sinh
2
l
.
Diện tích xung quanh
2 . . 2 .3.2 12
xq
S r l .
Câu 43: Lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng
a
. Diện tích toàn phần của hình trụ có hai đáy
ngoại tiếp hai đáy của lăng trụ là.
A.
2
2
3
a
. B.
2
2 2 3
3
a
. C.
2
2 3
3
a
. D.
2
2 3 1
3
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
2
k
3
k
1
2
k
1
3
k
A
B
C
D
H
K
a
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 12
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Bán kính đường tròn ngoại tiếp mặt đáy là:
2 3 3
3 2 3
a a
r
.
Diện tích toàn phần:
2
day
2. 2 . 2.
tp xq
S S S r l r
.
=
2
2
2 3 1
3 3
2 . . 2
3 3 3
a
a a
a
.
Câu 44: Cho hình lăng trụ đứng
ABCDA B C D
có đáy là hình chữ nhật,
3
AB a
,
4
BC a
. Đường chéo
AC
tạo với đáy
ABCD
một góc
o
45
. Gọi
T
là hình trụ có đường sinh là cạnh bên của lăng
trụ, đáy là hai đường tròn ngoại tiếp hai đáy của lăng trụ. Diện tích toàn phần của
T
là.
A.
2
75
4
a
. B.
2
25
a
. C.
2
125
4
a
. D.
2
75
2
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Đáp án đúng là
2
75
2
a
S
.
Câu 45: Thiết diện qua trung của một hình trụ là một hình vuông cạnh
,
a
diện tích toàn phần của hình trụ
là.
A.
2
3
5
a
. B.
2
3
a
. C.
2
3
2
a
. D. Kết quả khác.
Hướng dẫn giải
Chọn B
.
Mặt cắt của hình trụ như hình bên.
Tính được bán kính của mặt đáy khối trụ
1
2
r a
.
2 2 2
2 2 3
tp xq đay
S S S r r a
.
(
S
xung quanh là một hình vuông có cạnh bằng
a
).
Câu 46: Cho hình vuông
ABCD
biết cạnh bằng
a
. Gọi
,
I K
lần lượt là trung điểm của
,
AB CD
. Tính
diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay khi cho hình vuông
ABCD
quay quanh
IK
một góc
o
360
.
A.
2
3
a
. B.
2
a
. C.
2
2
a
. D.
2
2
3
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 13
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
.
Hình trụ có đường sinh
;
l BC a
.
Bán kính đáy
2
a
r IB
.
Diện tích xung quanh của hình trụ là
2
2
xq
S rl a
.
Câu 47: Trong không gian cho hình chữ nhật
ABCD
có
4
AB
và
2
BC
. Gọi
,
P Q
lần lượt là các
điểm trên cạnh
AB
và
CD
sao cho:
1,
BP
3
QD QC
. Quay hình chữ nhật
APQD
xung
quanh trục
PQ
ta được một hình trụ. Tính diện tích xung quanh của hình trụ đó.
A.
4
. B.
12
. C.
6
. D.
10
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có
3, 2
AP AD
.
Khi quay hcn
APQD
xung quanh trục
PQ
ta được hình trụ có bán kính đáy
3
r
và đường sinh
2
l
.
Diện tích xung quanh
2 . . 2 .3.2 12
xq
S r l .
Câu 48: - 2017] Cho hình lập phương
.
ABCD A B C D
có đường chéo
3
BD x
. Gọi
S
là diện tích xung
quanh của hình trụ có hai đường tròn đáy ngoại tiếp hai hình vuông
ABCD
và
A B C D
. Diện tích
S
là.
A.
2
2
2
x
. B.
2
3
x
. C.
2
2
x
. D.
2
x
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
.
Ta có:
3 3
BD AB x
AB x
.
Do hình trụ có hai đáy là đường tròn ngoại tiếp hình vuông nên
2 2
2 2
AB x
R .
Vậy diện tích hình trụ cần tìm là:
2
2
2 . 2 . . 2
2
x
S R h x x
.
I
K
D
B
A
C
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 14
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 49: Cho hình chữ nhật
ABCD
có
2
AB a
,
3
BC a
. Gọi
M
,
N
là các điểm trên các cạnh
AD
,
BC
sao cho
2
MA MD
,
2
NB NC
. Khi quay quanh
AB
, các đường gấp khúc
AMNB
,
ADCB
sinh ra các hình trụ có diện tích toàn phần lần lượt là
1
S
,
2
S
. Tính tỉ số
1
2
S
S
A.
1
2
8
15
S
S
. B.
1
2
2
3
S
S
. C.
1
2
4
9
S
S
. D.
1
2
12
21
S
S
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Hình trụ có diện tích toàn phần
1
S
, đường sinh
2
MN a
và bán kính đường tròn đáy là
2
AM a
Diện tích toàn phần
2 2
1
2 . . 2 16
S AM MN AM a
Hình trụ có diện tích toàn phần
2
S
, đường sinh
2
DC a
và bán kính đường tròn đáy là
3
AD a
Diện tích toàn phần
2 2
2
2 . . 2 30
S AD DC AD a
. Vậy
1
2
16 8
30 15
S
S
.
Câu 50: Tính diện tích xung quanh của một hình trụ có chiều cao
20 m
, chu vi đáy bằng
5 m
.
A.
2
50 m
. B.
2
100 m
. C.
2
100 m
. D.
2
50 m
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có chu vi đáy
2 5
C R .
Diện tích xung quanh của hình trụ là
2
2 5.20 100 m
xq
S Rl .
Câu 51: Cho hình trụ có độ dài đường sinh là
l
và bán kính đường tròn đáy là
r
. Diện tích toàn phần của
hình trụ là
A.
2 2
tp
S r l r
. B.
tp
S r l r
.
C.
2
tp
S r l r
. D.
2
tp
S r l r
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Diện tích toàn phần của hình trụ là
2
tp
S r l r
.
Câu 52: Cho hình lăng trụ đứng .
ABC A B C
có tam giác
ABC
vuông cân tại
B
,
2
AB a
và cạnh
bên
6
AA a
. Khi đó, diện tích xung quanh của hình trụ ngoại tiếp hình lăng trụ đã cho bằng
bao nhiêu?
A.
2
2 6
a
. B.
2
4
a
. C.
2
6
a
. D.
2
4 6
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
.
a 6
a 2
B
I
C
A'
C'
A
B'
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 15
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Vì tam giác
ABC
vuông cân tại
B
nên tam giác
ABC
nội tiếp trong đường tròn bán kính
R
bằng:
1 1
2
2 2
R AC AB a
.
Hình trụ ngoại tiếp hình lăng trụ đã cho có chiều cao
6
h l AA a
.
Vậy diện tích xung quanh của hình trụ là
2
2 . . 2 . . 6 2 6
xq
S r l a a a
.
Câu 53: Cho hình chữ nhật
ABCD
có
2
AB a
,
3
BC a
. Gọi
E
,
F
lần lượt là các điểm trên các cạnh
AB
,
BC
sao cho
2
EA ED
, 2
FB FC
. Khi quay quanh
AB
các đường gấp khúc
AEFB
,
ADCB
sinh ra hình trụ có diện tích toàn phần lần lượt là
1
S
,
2
S
. Tính tỉ số
1
2
S
S
.
A.
1
2
12
21
S
S
. B.
1
2
2
3
S
S
. C.
1
2
4
9
S
S
. D.
1
2
8
15
S
S
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có
2 2
EA ED a
,
2 2
FB FC a
,
2
EF AB a
.
Khi quay quanh
AB
đường gấp khúc
AEFB
sinh ra hình trụ có bán kính đáy
1
2
R EA a
,
chiều cao
2
h a
Diện tích toàn phần của khối trụ này là:
2
2
1
2 2 2 2 2 16
S a a a a
.
Khi quay quanh
AB
đường gấp khúc
ADCB
sinh ra hình trụ có bán kính đáy
2
3
R AD a
,
chiều cao
2
h a
diện tích toàn phần của khối trụ này là:
2
2
2
2 2 3 2 3 30
S a a a a
.
1
2
8
15
S
S
.
Câu 54: Cắt một khối trụ bởi một mặt phẳng qua trục của nó, ta được thiết diện là một hình vuông có
cạnh bằng
3
a
Diện tích toàn phần của khối trụ là:
A.
2
27
2
a
. B.
2
9
a
. C.
2
13
6
a
. D.
2
9
2
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
.
Vì thiết diện là hình vuông cạnh bằng
3
a
nên:
Bán kính đáy
3
.
2
a
r .
Đường sinh
3 .
l h a
.
Ta có diện tích toàn phần là:
2
2
27
2 2 2
2
tp xq d
a
S S S rl r
.
Câu 55: Hình trụ tròn xoay có độ dài đường sinh bằng
l
và bán kính đáy bằng
r
có diện tích xung quanh
xq
S
cho bởi công thức
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 16
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
2
2
xq
S r
B.
2
4
xq
S r
C.
2
xq
S rl
D.
xq
S rl
Hướng dẫn giải
Chọn C
Câu 56: Hình trụ có bán kính đáy bằng
a
và chiều cao bằng
3
a
. Khi đó diện tích toàn phần của hình
trụ bằng
A.
2
2 1 3
a
B.
2
1 3
a
C.
2
3
a
D.
2
2 3 1
a
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có: Diện tích toàn phần của hình trụ = Diện tích xung quanh + 2 lần diện tích đáy.
Suy ra
2
2 2
tp
S rh r
2
2 . . 3 2
a a a
2
2 . . 3 1
a
.
Câu 57: Diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay có độ dài đường sinh
l
và bán kính đáy
r
được tính
bằng công thức nào dưới đây?
A.
xq
S rl
B.
2
xq
S r l
C.
2
xq
S rl
D.
4
xq
S rl
Hướng dẫn giải
Chọn C
Diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay là
2
xq
S rl
Câu 58: Cắt một hình trụ bởi một mặt phẳng qua trục của nó, ta được thiết diện là một hình vuông có
cạnh bằng
3
a
. Tính diện tích toàn phần của hình trụ đã cho.
A.
2
27
2
a
. B.
2
9
2
a
. C.
2
13
6
a
. D.
2
9
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Do mặt phẳng cắt hình trụ đi qua trục của nó nên ta có:
Đường sinh
3
l a
và bán kính đáy
3
2
a
r .
Vậy diện tích toàn phần của hình trụ:
2
27
2
2
tp
a
S r r l
.
Câu 59: Một hình trụ có bán kính đáy
5cm
r
, chiều cao
7cm
h
. Tính diện tích xung quang của hình
trụ.
A.
2
35
π cm
S . B.
2
70
π cm
S . C.
2
70
π cm
3
S . D.
2
35
π cm
3
S .
Hướng dẫn giải
Chọn B
Theo công thức tính diện tích xung quanh ta có
2
2 70 cm
xq
S rh
.
Câu 60: Cho tứ diện
ABCD
cạnh bằng
a
. Tính diện tích
xq
S
xung quanh của hình trụ có đáy là đường
tròn ngoại tiếp
BCD
và có chiều cao bằng chiều cao tứ diện
ABCD
.
A.
2
2
3
xq
a
S
. B.
2
2 2
3
xq
a
S
. C.
2
3
2
xq
a
S
. D.
2
3
xq
S a
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
.
A
B
C
S
H
K
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 17
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Đường tròn ngoại tiếp
BCD
bán kính
3
3
a
r
,.
chiều cao của hình chóp là:
6
3
a
l
.
Vậy
2
2 2
2
3
xq
a
S rl
.
Câu 61: Hình trụ có bán kính đáy bằng
a
và thiết diện qua trục là hình vuông, diện tích xung quanh hình
trụ đó bằng
A.
2
2
a
. B.
2
a
. C.
2
3
a
. D.
2
4
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Hình trụ có bán kính đáy bằng
a
và thiết diện qua trục là hình vuông nên độ dài đường sinh của
hình trụ là
2
l a
.
Diện tích xung quanh của hình trụ bằng
2
2 2 . .2 4
S rl a a a
.
Câu 62: Một hình trụ có hai đường tròn đáy nằm trên một mặt cầu bán kính
R
và có đường cao bằng bán
kính mặt cầu. Diện tích toàn phần hình trụ đó bằng:
A.
2
3 2 3
3
R
. B.
2
3 2 2
3
R
. C.
2
3 2 2
2
R
. D.
2
3 2 3
2
R
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
.
Đường cao hình trụ
h R
nên ta có bán kính của đáy hình trụ
2
2
3
4 2
R R
r R
.
r a
2
a
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 18
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
2
3
2 2 3
2
xq
R
S rh R R
.
Vậy
2
2
2
3 2 3
3
2 3 2
2 3
đáytp xq
R
R
S S S R
.
Câu 63: Một hình trụ
T
có bán kính đáy
R
và có thiết diện qua trục là hình vuông. Tính diện tích xung
quanh của khối trụ
T
.
A.
2
R
. B.
2
2
R
. C.
2
4
3
R
. D.
2
4
R
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Thiết diện qua trục là hình vuông nên đường sinh của hình trụ là
2
l R
Vậy diện tích xung quanh của hình trụ là:
2
2 2 .2 4 .
xq
S Rl R R R
.
Câu 64: Cắt một khối trụ bởi một mặt phẳng qua trục của nó, ta được thiết diện là một hình vuông có
cạnh bằng
3
a
. Tính diện tích toàn phần
tp
S
của khối trụ.
A.
2
3
2
tp
a
S
. B.
2
13
6
tp
a
S
. C.
2
3
tp
S a
. D.
2
27
2
tp
a
S
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Theo đề bài ta có
ABCD
là hình vuông cạnh
3
a
nên ta có
3
2
a
r và
3
h a
.
Diện tích toàn phần của hình trụ là
2
2 2
tp
S r rh
2
3 3
2 2 3
2 2
a a
a
2
27
2
a
.
Câu 65: Trong không gian cho hình chữ nhật
ABCD
có
4
AB
và
2
BC
. Gọi
P
,
Q
lần lượt là các
điểm trên cạnh
AB
và
CD
sao cho
1
BP
, 3
QD QC
. Quay hình chữ nhật
APQD
xung
quanh trục
PQ
ta được một hình trụ. Diện tích xung quanh của hình trụ là
A.
12
B.
4
C.
6
D.
10
Hướng dẫn giải
Chọn A
B
A
C
O'
O
D
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 19
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Ta có
1
3
BP
QD QC
3
PA QD
.
Khi đó khối trụ thu được có bán kính đáy
r PA
QD
3
và đường sinh
l AD
2
.
Nên diện tích xung quanh của hình trụ là:
2 . .
xq
S r l
2 .3.2
12
.
Câu 66: Hình trụ có hai đường tròn đáy ngoại tiếp hai mặt của một hình lập phương cạnh
a
thì có diện
tích xung quanh bằng bao nhiêu?
A.
2
2
a
. B.
2
2 2
a
. C.
2
a
. D.
2
2
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Gọi
r
là bán kính đường tròn đáy thì
2
2
a
r
,
l a
.
2
xq
S rl
2
2
2 . 2
2
a
a a
.
Câu 67: Diện tích xung quanh của mặt trụ có bán kính đáy
R
, chiều cao
h
là
A.
4
xq
S Rh
. B.
2
xq
S Rh
. C.
xq
S Rh
. D.
3
xq
S Rh
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Câu 68: Một hình trụ ngoại tiếp hình lăng trụ tam giác đều với tất cả các cạnh bằng
a
có diện tích xung
quanh bằng bao nhiêu?
A.
2
2 3
3
a
. B.
2
3
3
a
. C.
2
3
a
. D.
2
4 3
3
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Bán kính đáy hình trụ là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đều cạnh
a
, do đó
2 3 3
.
3 2 3
a a
r
. Chiều cao hình trụ bằng chiều cao khối lăng trụ và bằng
a
.
Diện tích xung quanh hình trụ là
2
3 2 3
2 . .
3 3
a a
S a
.
.
Câu 69: Tính diện tích toàn phần của một hình trụ, biết thiết diện của hình trụ cắt bởi mặt phẳng qua trục
là một hình vuông có diện tích bằng
36
.
A.
54
B.
50
C.
18
D.
36
Hướng dẫn giải
Chọn A
a
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 20
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Ta có:
ABCD
là hình vuông có diện tích bằng
36
nên
2
36
ABCD
S AB
36 6 6, 3
2
BC
AB BC h l AB r
.
Diện tích toàn phần của một hình trụ là:
2 54 .
Stp r r l
Câu 70: Cho hình trụ có bán kính đường tròn đáy bằng chiều cao và bằng
2cm
. Diện tích xung quanh
của hình trụ là
A.
2
8
cm
. B.
2
4
cm
. C.
2
2
cm
. D.
2
8
3
cm
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có
2
r l h cm
Diện tích xung quanh của hình trụ là
2
2 8
xq
S rl cm
.
Câu 71: Biết thiết diện qua trục của một hình trụ là hình vuông cạnh
a
, tính diện tích toàn phần
S
của
hình trụ đó.
A.
2
3
S a
. B.
2
5
4
S a
. C.
2
S a
. D.
2
3
2
S a
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có
2 2
3
2 2 2
2 2 2
tp
h a
R S R Rh R R h a
.
Câu 72: Một hình trụ có tâm các đáy là
, .
A B
Biết rằng mặt cầu đường kính
AB
tiếp xúc với các mặt đáy
của hình trụ tại
A
,
,
B
và tiếp xúc với mặt xung quanh của hình trụ đó. Diện tích của mặt cầu
này là
16 .
Tính diện tích xung quanh của hình trụ đã cho.
A.
8
3
. B.
8
. C.
16
. D.
16
3
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có mặt cầu tiếp xúc với
2
đáy và mặt xung quanh.
đường kính mặt cầu bằng chiều cao trụ:
Lại có:
2
4 2
2
mc A B
AB
S r r r r
.
4
AB
.
2 . 16
xq A
S r h
.
h
l
r
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 21
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
.
Câu 73: Gọi
, ,
l h R
lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính đáy của hình trụ
T
. Diện tích
toàn phần
tp
S
của hình trụ là
A.
2
tp
S Rh R
. B.
2
2
tp
S Rl R
.
C.
2
tp
S Rl R
. D.
2
2 2
tp
S Rl R
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Câu 74: Cho lăng trụ đứng .
ABC A B C
, có đáy
ABC
là tam giác vuông tại
B
. Tính diện tích toàn phần
S
của hình trụ tròn ngoại tiếp lăng trụ đứng .
ABC A B C
(như hình vẽ bên), biết rằng
2
A A AC a
.
A.
2
9
S a
. B.
2
3
S a
. C.
2
6
S a
. D.
2
12
S a
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
.
Ta có tam giác
ABC
vuông tại
B
suy ra bán kính đường tròn hai đáy là
OA
và đường cao
OO
.
Ta có
' ' 2,
OO AA a
2
OA
2 2
AC a
.
Vậy
2
2 2
2 2
2 . .AA' 2 OA 2 . . 2 2 . 3
2 2
a a
S OA a a
.
Câu 75: Cắt một hình trụ bằng một mặt phẳng qua trục của nó, ta được thiết diện là một hình vuông cạnh
2
a
. Diện tích xung quanh của hình trụ bằng
A.
2
4
a
. B.
2
16
a
. C.
2
2
a
. D.
2
8
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
B
A
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 22
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Dựa vào hình vẽ ta có bán kính và chiều cao của hình trụ lần lượt là
a
và
2
a
.
Do đó,
2
2 2 . .2 4
xq
S Rh a a a
.
Câu 76: Diện tích xung quanh hình trụ có bán kính đáy
3
R
và đường sinh
6
l
bằng
A.
108
. B.
18
. C.
36
. D.
54
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Diện tích xung quanh
2 36
xq
S Rl
.
Câu 77: Tính diện tích toàn phần của hình trụ có bán kính đáy
a
và đường cao
3
a
.
A.
2
3
a
. B.
2
3 1
a
. C.
2
2 3 1
a
. D.
2
2 3 1
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có diện tích toàn phần của hình trụ là:
2
tp xq
đáy
S S S
2
2 2
Rh R
2 2
2 3 2
a a
2
2 3 1
a
.
Câu 78: Diện tích xung quanh của hình trụ có bán kính đáy
2
R
và đường sinh
3
l
bằng:
A.
24
. B.
12
. C.
4
. D.
6
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Diện tích xung quanh của hình trụ là:
2 2 .2.3 12
xq
S Rl
.
Câu 79: Viết công thức tính diện tích xung quanh của hình trụ có chiều cao
h
bán kính đáy là
R
A. 4
xq
S Rh
. B.
2
xq
S Rh
. C.
2
xq
S Rh
. D.
xq
S Rh
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Câu 80: Cho hình chữ nhật
ABCD
có
, 3
AB a AD a
. Tính diện tích xung quanh của hình tròn xoay
sinh ra khi quay hình chữ nhật
ABCD
quanh cạnh
AB
.
A.
2
12 3
a
B.
2
6 3
a C.
2
2 3
a
D.
2
12
a
Hướng dẫn giải
Chọn C
Khi quay hình chữ nhật
ABCD
quanh cạnh
AB
ta thu được khối nón có các thông số:
, 3
l h AB a r AD a
Diện tích xung quanh khối trụ là:
2
2 2 3.
xq
S rl a
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 23
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 81: Một hình trụ có bán kính đáy bằng
5
và khoảng cách giữa hai đáy bằng
7
. Cắt khối trụ bởi một
mặt phẳng song song với trục và cách trục một khoảng bằng
3
. Tính diện tích
S
của thiết diện
được tạo thành.
A.
7 34
S B.
14 34
S C.
56
S
D.
28
S
Hướng dẫn giải
Chọn C
Gọi
ABCD
là thiết diện qua trục của hình trụ và
I
là trung điểm cạnh
AB
.
Ta có:
Tam giác
OAI
vuông tại
I
có:
3
OI
;
5
OA
4
IA
2. 8
AB IA
.
Khi đó
.
ABCD
S AB AD
, với
7
AD OO
56
ABCD
S
.
Câu 82: Một hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông cạnh
a
, diện tích toàn phần của hình trụ đó bằng:
A.
2
4
a
. B.
2
3
4
a
. C.
2
3
a
. D.
2
3
2
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Vì hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông cạnh
a
nên có bán kính
2
a
R
, chiều cao
.
h a
.
Diện tích toàn phần là:
2 2 2
2
3
2 2 2
4 2 2
TP
a a a
S R Rh
.
Câu 83: Cho hình trụ tròn xoay có độ dài đường sinh là
l
, độ dài đường cao là
h
và
r
là bán kính đáy.
Công thức diện tích xung qunh của hình trụ tròn xoay là
A.
2
xq
S r h
. B.
xq
S rh
. C.
2
xq
S rh
. D.
xq
S rl
.
Hướng dẫn giải
Chọn C (Câu hỏi lý thuyết)
Câu 84: Một hình trụ có đường kính đáy bằng chiều cao và nội tiếp trong mặt cầu bán kính R. Diện tích
xung quanh của hình trụ bằng:
A.
2
2
R
. B.
2
4
R
. C.
2
2
R
. D.
2
2 2
R
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Gọi
h
là chiều cao của hình trụ thì bán kính đáy của hình
trụ là
2
h
.
Gọi
,
O O
là tâm của hai đáy hình trụ thì tâm
I
của mặt cầu
là trung điểm của
OO
hay
2
h
IO
.
Ta có hình trụ nội tiếp mặt cầu nên
2
2 2 2
2 2 2
4
h
IO R R h R
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 24
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
2
2 . . 2
2
xq
h
S h R
.
Câu 85: Cho hình hộp chữ nhật .ABCD A B C D
có D 2aAB A , 3 2AA a
. Tính diện tích toàn
phần S của hình trụ có hai đáy lần lượt ngoại tiếp hai đáy của hình hộp chữ nhật đã cho.
A.
2
7S a
. B.
2
16S a
. C.
2
12S a
. D.
2
20S a
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có:
2 2
2 2 16
tp
S rl r a
với 3 2 , 2l a r a .
Câu 86: Cho hình nón có đường sinh bằng đường kính của đường tròn đáy và đều bằng 2, nội tiếp trong
một hình trụ (đỉnh của hình nón nằm trên 1 mặt đáy của hình trụ, đáy của hình nón là đáy của
hình trụ). Tính diện tích toàn phần
tp
S của hình trụ đó?
A.
2 3 1
. B. 3
. C.
3 1
. D. 6
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Hình nón có
2 2 2 2
2 2
1
2 1 3
l r
r
h l r
. Hình trụ có
1
3
R r
h h
.
Vậy
2
2 2 2 2 2 3 2 1 3S S S R Rh
truï
tp ñaùy xq
.
Câu 87: Trong không gian, cho hình chữ nhật ABCD có
1, 2AB AD
. Gọi M , N lần lượt là trung
điểm của AD , BC . Quay hình chữ nhật đó xung quanh trụ MN , ta được một hình trụ. Tính diện
tích toàn phần của hình trụ đó.
A. 10
tp
S
. B. 6
tp
S
. C. 2
tp
S
. D. 4
tp
S
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
.
Ta có 2S
tp xq d
S S . Ta có bán kính đường tròn D 1r M , chiều cao D 1C .
Suy ra
2
2 r =2 ,S r
xq d
S
suy ra 4
tp
S
.
Câu 88: Một hình trụ có bán kính đáy a , thiết diện qua trục là một hình vuông. Diện tích xung quanh của
hình trụ đó bằng:
A.
2
a
. B.
2
3 a
. C.
2
2 a
. D.
2
4 a
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 25
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
.
Theo giả thiết ta rcó
r a
,
2
l h a
.
Diện tích xung quanh là
2
2 4
xq
S rl a
.
Câu 89: Cho một hình trụ tròn xoay và hình vuông
ABCD
cạnh
a
có hai đỉnh liên tiếp
,
A B
nằm trên
đường tròn đáy thứ nhất của hình trụ, hai đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy thứ hai của hình
trụ. Mặt phẳng
ABCD
tạo với đáy hình trụ góc
o
45
. Diện tích xung quanh hình trụ là.
A.
2
3
2
a
. B.
2
2
3
a
. C.
2
2
2
a
. D.
2
3
4
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có: Gọi
O
là tâm đường tròn đáy chứa 2 đỉnh
,
A B
. Gọi
,
I M
là trung điểm đoạn nối 2 tâm
đường tròn đáy và
AB
. Khi đó, ta có thể chứng minh được
0
45
IMO .
Do đó,
2 2
2 6
4 4
2 2 2
IM a a a
OM R OC OM MC
và
2
2
2
a
h IO
.
Vậy
2
3
2
2
a
V Rh
.
Câu 90: Cho hình trụ có bán kính đáy chiều cao . Diện tích toàn phần của hình trụ này là
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Chọn A
Hình trụ có bán kính đáy và chiều cao
Diện tích toàn phần của hình trụ này là:
Câu 91: Cho hình trụ bán kính đáy
5 cm
r và khoảng cách giữa hai đáy bằng
7 cm
. Diện tích xung
quanh của hình trụ là:
A.
2
60 cm
B.
2
35 cm
C.
2
70 cm
D.
2
120 cm
Hướng dẫn giải
Chọn C
Diện tích xung quanh hình trụ:
2
2 2 .5.7 70 cm
xq
S rh
.
Câu 92: Một hình trụ có đường kính đáy bằng chiều cao và nội tiếp trong mặt cầu bán kính
.
R
Diện tích
xung quanh của hình trụ bằng:
A.
2
4
R
. B.
2
2 2
R
. C.
2
2
R
. D.
2
2
R
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Diện tích xung quanh của hình trụ chính là một hình vuông có 1 cạnh
2
a R .
5
cm
4
cm
2
90 ( )
cm
2
92 ( )
cm
2
40 ( )
cm
2
96 ( )
cm
5
R cm
4 .
h cm
2 2
2 2 2 .25 2 .5.4 90 .
tp
S R Rh cm
S
A
B
O
C
D
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 26
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Cạnh còn lại là chiều cao của khối trụ bằng
2
R .
2
2 2 2
2
R
S R R
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 1
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
DẠNG 3: TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TRỤ, KHỐI LIÊN QUAN TRỤ
Câu 93: Cho một hình trụ có chiều cao bằng 2 và bán kính đáy bằng 3. Thể tích của khối trụ đã cho bằng
A. 15
. B. 9
. C. 6
. D. 18
.
Câu 94: Cho khối trụ có chu vi đáy bằng 4 a
và độ dài đường cao bằng
a
. Thể tích của khối trụ đã cho
bằng
A.
3
16 a
. B.
2
a
. C.
3
4
3
a
. D.
3
4 a
.
Câu 95: Một hình trụ có chiều cao bằng 3, chu vi đáy bằng 4
. Tính thể tích của khối trụ?
A. 18
. B. 10
. C. 12
. D. 40
.
Câu 96: Cho hình trụ có chiều cao h và bán kính đáy R công thức thể tích của khối trụ đó là.
A.
2
1
3
R h
. B.
2
Rh
. C.
2
R h
. D.
2
1
3
Rh
.
Câu 97: Cắt một khối trụ bởi một mặt phẳng ta được một khối
H như hình vẽ bên. Biết rằng thiết diện
là một hình elip có độ dài trục lớn bằng 8, khoảng cách từ điểm thuộc thiết diện gần mặt đáy nhất
và điểm thuộc thiết diện xa mặt đáy nhất tới mặt đáy lần lượt là 8 và 14 (xem hình vẽ).Tính thể
tích của
H .
A.
( )
176
H
V
. B.
( )
275
H
V
.
C.
( )
704
H
V
. D.
( )
192
H
V
.
Câu 98: Cho hình trụ có bán kính đường tròn đáy bằng 4 , diện tích xung quanh bằng 48
. Thể tích của
hình trụ đó bằng
A. 32
. B. 72
. C. 24
. D. 96
.
Câu 99: Cho hình chữ nhật ABCD có 4AB và 3AD . Thể tích của khối trụ được tạo thành khi quay
hình chữ nhật ABCD quanh cạnh AB bằng
A. 48
. B. 36
. C. 12
. D. 24
.
Câu 100: Một khối trụ có thể tích là
20
. Nếu tăng bán kính đáy lên 2 lần thì thể tích của khối trụ mới bằng
bao nhiêu?
A.
80
. B.
40
. C.
60
. D.
120
.
Câu 101: Cho khối trụ có bán kính 3a và chiều cao 2 3a . Thể tích của khối trụ đó là :
A.
3
9 3a . B.
3
6 3a
. C.
2
6 3a
. D.
3
4 2a
.
Câu 102: Cho một hình chữ nhật có đường chéo có độ dài 5, một cạnh có độ dài 3. Quay hình chữ nhật đó
(kể cả các điểm bên trong) quanh trục chứa cạnh có độ dài lớn hơn, ta thu được một khối trụ . Tính
thể tích khối thu được.
A.
12
. B.
48
. C.
36
. D.
45
.
Câu 103: Cho hình trụ có hai đường tròn đáy
O;R và
;O R
, chiều cao 3h R . Đoạn thẳng AB có
hai đầu mút nằm trên hai đường tròn đáy hình trụ sao cho góc hợp bởi AB và trục của hình trụ là
30
. Thể tích tứ diện ABOO
là:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 2
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
3
2
R
. B.
3
3
2
R
. C.
3
3
4
R
. D.
3
4
R
.
Câu 104: Thể tích
V
của khối trụ có bán kính đáy
R
và độ dài đường sinh
l
được tính theo công thức nào
dưới đây?
A.
2
4
3
V R l
. B.
3
4
3
V R l
. C.
2
V R l
. D.
2
1
3
V R l
.
Câu 105: Ba chiếc bình hình trụ cùng chứa
1
lượng nước như nhau, độ cao mực nước trong bình
II
gấp đôi
bình
I
và trong bình
III
gấp đôi bình
II
. Chọn nhận xét đúng về bán kính đáy
1
r
,
2
r
,
3
r
của ba
bình
I
,
Ox
,
III
.
A.
1
r
,
2
r
,
3
r
theo thứ tự lập thành cấp số nhân công bội
1
2
.
B.
1
r
,
2
r
,
3
r
theo thứ tự lập thành cấp số nhân công bội
1
2
.
C.
1
r
,
2
r
,
3
r
theo thứ tự lập thành cấp số nhân công bội
2
.
D.
1
r
,
2
r
,
3
r
theo thứ tự lập thành cấp số nhân công bội
2
.
Câu 106: Trong không gian, cho hình chữ nhật
ABCD
có
1
AB
và
2
AD
. Gọi
M
,
N
lần lượt là trung
điểm của
AB
và
CD
. Quay hình chữ nhật đó xung quanh trục
MN
, ta được một hình trụ. Tính
thể tích
V
của khối trụ tạo bởi hình trụ đó
A.
2
. B.
4
. C.
2
. D.
.
Câu 107: Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng qua trục ta được thiết diện là hình chữ nhật
ABCD
có
AB
và
CD
thuộc hai đáy của hình trụ,
4
AB a
,
5
AC a
. Tính thể tích khối trụ.
A.
3
8
π
V a
B.
3
16
π
V a
C.
3
12
π
V a
D.
3
4
π
V a
Câu 108: Tính thể tích khối trụ biết bán kính đáy
4
r
cm
và chiều cao
2
h
cm
.
A.
32
3
cm
. B.
8
3
cm
. C.
16
3
cm
.
D.
32
3
3
cm
.
Câu 109: Cho hình chữ nhật
ABCD
biết
1
AB
,
3
AD . Khi quay hình chữ nhật
ABCD
xung quanh
trục
AB
thì cạnh
CD
tạo nên hình trụ tròn xoay. Thể tích của khối trụ là.
A.
. B.
3
. C.
3
3
. D.
3
.
Câu 110: Cho hình trụ có bán kính đáy là
R a
, mặt phẳng qua trục cắt hình trụ theo một thiết diện có diện
tích bằng
2
8
a
. Diện tích xung quanh của hình trụ và thể tích của khối trụ lần lượt là:
A.
2
6
a
,
3
3
a
. B.
2
8
a
,
3
4
a
. C.
2
6
a
,
3
6
a
. D.
2
16
a
,
3
16
a
.
Câu 111: Cho một khối trụ có diện tích xung quanh của khối trụ bằng . Tính thể tích của khối trụ biết
khoảng cách giữa hai đáy bằng .
A. . B. . C. . D. .
Câu 112: Cho khối trụ tròn xoay có độ dài đường cao là
h
, bán kính đáy là
r
. Thể tích khối trụ tròn xoay là.
A.
rh
. B.
2
1
3
rh
. C.
2
r h
. D.
2
1
3
r h
.
Câu 113: Công thức tính thể tích khối trụ có chiều cao
h
và bán kính đáy
R
là
A.
2
V hR
. B.
2
1
3
V hR
. C.
2
1
3
V hR
. D.
2
V hR
.
Câu 114: Thể tích khối trụ tròn xoay sinh ra khi quay hình chữ nhật
ABCD
quay quanh cạnh
AD
biết
3
AB
,
4
AD
là
A.
12
. B.
72
. C.
48
. D.
36
.
80
10
40
64
160
400
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 3
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 115: Một hình trụ có diện tích xung quanh bằng
4
, diện tích đáy bằng diện tích của mặt cầu có bán kính
bằng
1
. Tính thể tích
V
khối trụ đó.
A.
8
V
. B.
10
V
. C.
4
V
. D.
6
V
.
Câu 116: Khối trụ tròn xoay có đường cao và bán kính đáy cùng bằng
1
thì thể tích bằng.
A.
. B.
2
. C.
2
. D.
1
3
.
Câu 117: Cho hình chữ nhật
ABCD
có
4
AB
và
3
AD
. Thể tích của khối trụ được tạo thành khi quay
hình chữ nhật
ABCD
quanh cạnh
AB
bằng
A.
12
. B.
24
. C.
48
. D.
36
.
Câu 118: Cho hình trụ có bán kính đáy
3
r
và diện tích xung quanh
6
π
S
. Tính thể tích
V
của khối trụ.
A.
3
π
V
. B.
9
π
V
. C.
18
π
V
. D.
6
π
V
.
Câu 119: Cho hình trụ có diện tích toàn phần là
4
và có thiết diện cắt bởi mặt phẳng qua trục là hình
vuông. Tính thể tích khối trụ?
A.
4
9
. B.
6
9
. C.
4 6
9
. D.
6
12
.
Câu 120: Một hình trụ có đường kính đáy bằng chiều cao hình trụ. Thiết diện qua trục của hình trụ có diện
tích là
S
. Thể tích của khối trụ đó là:
A.
4
S S
. B.
6
S S
. C.
24
S S
. D.
12
S S
.
Câu 121: Cho hình trụ có diện tích toàn phần là
4
và có thiết diện cắt bởi mặt phẳng qua trục là hình
vuông. Tính thể tích khối trụ?
A.
6
9
. B.
4 6
9
. C.
6
12
. D.
4
9
.
Câu 122: Một hình trụ có bán kính đáy bằng
2
và có chiều cao bằng
4
. Thể tích của hình trụ bằng:
A.
8
. B.
16
. C.
24
. D.
32
.
Câu 123: Cho hai mặt trụ có cùng bán kính bằng
4
được đặt lồng vào nhau như hình vẽ. Tính thể tích phần
chung của chúng biết hai trục của hai mặt trụ vuông góc và cắt nhau.
.
A.
1024
3
. B.
512
. C.
256
3
. D.
256
.
Câu 124: Cho hình lập phương
. ' ' ' '
ABCD A B C D
có cạnh đáy bằng
a
với
O
và
'
O
là tâm của hình vuông
ABCD
và
' ' ' '
A B C D
. Gọi
T
là hình trụ tròn xoay tại thành khi quay hình chữ nhật
'C'C
AA quanh
trục
'
OO
.Thể tích của khối trụ
T
bằng
A.
3
1
3
a
. B.
3
1
2
a
. C.
3
1
6
a
. D.
3
2
a
.
Câu 125: Hình bên cho ta hình ảnh của một đồng hồ cát với các kích thước kèm theo
OA OB
. Khi đó tỉ số
tổng thể tích của hai hình nón
n
V
và thể tích hình trụ
t
V
bằng:
A.
1
2
. B.
1
3
. C.
1
4
. D.
2
5
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 4
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 126: Cho hình trụ có khoảng cách giữa hai đáy bằng
10
, diện tích của xung quanh của hình trụ bằng
80
. Tính thể tích khối trụ.
A.
164
. B.
160
. C.
144
. D.
64
.
Câu 127: Một khối trụ có bán kính đáy bằng
2,
chiều cao bằng
3.
Tính thể tích của khối trụ.
A.
4
. B.
18
. C.
12 .
D.
6 .
Câu 128: Một khối trụ có bán kính đáy bằng
3
a
, chiều cao bằng
2 3
a
. Tính thể tích
V
của khối cầu ngoại
tiếp khối trụ.
A.
3
4 3
V a
. B.
3
4
6
3
a
. C.
3
6 6
V a
. D.
3
8 6
V a
.
Câu 129: Một hình trụ có hai đường tròn đáy nội tiếp hai mặt của hình lập phương cạnh bằng Thể tích
của khối trụ đó là:
A. . B. . C. . D. .
Câu 130: Khi cắt khối trụ
T
bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục của trụ
T
một khoảng
bằng
3
a
ta được thiết diện là hình vuông có diện tích bằng
2
4
a
. Tính thể tích
V
của khối trụ
T
.
A.
3
7 7
3
V a
. B.
3
8
3
V a
. C.
3
8
V a
. D.
3
7 7
V a
.
Câu 131: Thiết diện qua trục của hình trụ là một hình vuông có cạnh bằng
2
a
. Khiđó thể tích khối trụ là.
A.
3
8
a
. B.
3
4
a
. C.
3
a
. D.
3
2
a
.
Câu 132: Tính thể tích khối lăng trụ tam giác đều
.
ABC A B C
biết tất cả các cạnh của lăng trụ đều bằng
a
.
A.
3
3
4
a
. B.
3
3
12
a
. C.
3
3
a
. D.
3
a
.
Câu 133: Cắt một khối trụ bởi một mặt phẳng qua trục ta được thiết diện là hình chữ nhật
ABCD
có cạnh
AB
và cạnh
CD
nằm trên hai đáy của khối trụ. Biết
2
AC a
,
30
DCA
. Tính thể tích khối
trụ.
A.
3
3 2
16
a
. B.
3
3 6
16
a
. C.
8
n
. D.
3
3 2
48
a
.
Câu 134: Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm
O
và
O
, bán kính đáy bằng chiều cao và bằng
4
cm
. Trên đường tròn đáy tâm
O
lấy điểm
A
, trên đường tròn đáy tâm
O
lấy điểm
B
, sao cho
4 3
AB cm
. Thể tích khối tứ diện
ABOO
là
A.
3
32
3
cm
. B.
3
32
cm
. C.
3
64
cm
. D.
3
64
3
cm
.
Câu 135: Khối trụ có chiều cao bằng bán kính đáy và diện tích xung quanh bằng
2
. Thể tích khối trụ là.
A.
4
. B.
2
. C.
3
. D.
.
Câu 136: Cho khối trụ có độ dài đường sinh bằng
a
và bán kính đáy bằng
R
. Tính thể tích của khối trụ đã cho.
A.
2
aR
. B.
2
2
aR
. C.
2
1
3
aR
. D.
2
aR
.
Câu 137: Cho hình chữ nhật
ABCD
với
AB AD
và có diện tích bằng
2,
chu vi bằng
6.
cho hình chữ nhật đó
lần lượt quay quanh
,
AB
AD
ta được hai khối tròn xoạy có thể tích là
1
,
V
2
V
. Tính tỉ số
1
2
V
V
.
A.
2
.
B.
1
3
.
C.
3
.
D.
1
2
.
Câu 138:
Cho khối trụ
T
có bán kính đáy
R
và diện tích toàn phần
2
8
R
. Tính thể tích của khối trụ
T
.
2 .
a
3
1
2
a
3
1
3
a
3
2
3
a
3
2
a
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 5
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
3
6
R
. B.
3
8
R
. C.
3
4
R
. D.
3
3
R
.
Câu 139: Cho hình chữ nhật
ABCD
có cạnh
2 , 4
AB a AD a
. Gọi 1
,
M N
lần lượt là trung điểm của
,
AB CD
. Quay hình chữ nhật
ABCD
quanh trục
MN
ta được khối trụ tròn xoay. Thể tích khối
trụ là:
A.
3
8
a
. B.
3
4
a
. C.
3
2
a
. D.
3
16
a
.
Câu 140: Cho hình trụ có diện tích xung quanh
2
24
cm
, bán kính đường tròn đáy bằng
4
cm
. Tính thể tích
của khối trụ ?
A.
3
12
cm
. B.
3
24
cm
. C.
3
48
cm
. D.
3
86
cm
.
Câu 141: Một hình trụ có diện tích xung quanh bằng
4
, diện tích đáy bằng diện tích mặt cầu bán kính bằng
1
. Tính thể tích
V
của khối trụ đó.
A.
8.
V B.
6.
V . C.
10.
V . D.
4.
V .
Câu 142: Cho hình lăng trụ tam giác đều .
ABC A B C
có độ dài cạnh đáy bằng
a
và chiều cao bằng
h
. Tính
thể tích
V
của khối trụ ngoại tiếp lăng trụ đã cho.
A.
2
3
a h
V
. B.
2
9
a h
V
. C.
2
3
V a h
. D.
2
9
a h
V
.
Câu 143: Cắt một khối trụ bởi một mặt phẳng qua trục ta được thiết diện là hình chữ nhật
ABCD
có
AB
và
CD
thuộc hai đáy của khối trụ. Biết
4 ,
AB a
3
BC a
. Tính thể tích của khối trụ.
A.
3
12
a
. B.
3
8
a
. C.
3
4
a
. D.
3
16
a
.
Câu 144: Cho hình lập phương
. ' ' ' '
ABCD A B C D
có cạnh đáy bằng
a
với
O
và
'
O
là tâm của hình vuông
ABCD
và
' ' ' '
A B C D
. Gọi
T
là hình trụ tròn xoay tại thành khi quay hình chữ nhật
'C'C
AA quanh
trục
'
OO
.Thể tích của khối trụ
T
bằng
A.
3
1
6
a
. B.
3
2
a
. C.
3
1
3
a
. D.
3
1
2
a
.
Câu 145: Thiết diện qua trục của hình trụ là một hình vuông có cạnh bằng
2
a
. Khi đó thể tích khối trụ là.
A.
3
4
a
. B.
3
2
a
. C.
3
8
a
. D.
3
a
.
Câu 146: Giả sử viên phấn viết bảng có dạng khối trụ tròn xoay đường kính đáy bằng
1 cm
, chiều dài
6 cm
. Người ta làm hộp carton đựng phấn hình dạng hình hộp chữ nhật có kích thước
6 cm , 5 cm , 6 cm
. Muốn xếp
350
viên phấn vào
12
hộp, ta được kết quả nào trong các kết quả sau.
A. Thừa
10
viên. B. Thiếu
10
viên. C. Không xếp được. D. Vừa đủ.
Câu 147: Cho một khối trụ
S
có bán kính đáy bằng
a
. Biết thiết diện của hình trụ qua trục là hình vuông
có chu vi bằng
8
. Thể tích của khối trụ sẽ bằng
A.
8
. B.
4
. C.
2
. D.
16
.
Câu 148: Cho hình chữ nhật
ABCD
có
3
AB
,
4
AD
quay xung xung quanh cạnh
AB
tạo ra một hình
trụ. Thể tích của khối trụ đó là.
A.
48
V
. B.
24
V
. C.
36
V
. D.
12
V
.
Câu 149: Khối trụ tròn xoay có đường cao và bán kính đáy cùng bằng
1
thì thể tích bằng:
A.
2
B.
2
C.
D.
1
3
Câu 150: Cho hình chóp .
S ABCD
có đáy là hình vuông cạnh bằng
2
, cạnh bên
SA
vuông góc với đáy, góc
giữa cạnh bên
SC
và đáy bằng
60
. Tính thể tích của khối trụ có một đáy là đường tròn ngoại tiếp
hình vuông
ABCD
và chiều cao bằng chiều cao của khối chóp .
S ABCD
.
A. 4 6
π
V . B.
2 6
π
3
V
. C. 2 6
π
V . D.
4 3
π
3
V
.
Câu 151: Hình trụ có bán kính đáy bằng chu vi của thiết diện qua trục bằng Thể tích của khối trụ
đã cho bằng.
A.
3
3
a
. B.
3
5
a
. C.
3
4
a
. D.
3
a
.
,
a
10 .
a
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 6
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 152: Cho hình chữ nhật
ABCD
có
AB a
,
2
AD a
. Gọi
M
,
N
lần lượt là trung điểm của các cạnh
BC
và
AD
. Khi quay hình chữ nhật trên (kể cả các điểm bên trong của nó) quanh đường thẳng
MN
ta nhận được một khối tròn xoay
T
. Tính thể tích của
T
theo
a
.
A.
3
4
3
a
B.
3
3
a
C.
3
a
D.
3
4
a
Câu 153: Cho hình trụ
T
có
C
và
C
là hai đường tròn đáy nội tiếp hai mặt đối diện của một hình lập
phương. Biết rằng, trong tam giác cong tạo bởi đường tròn
C
và hình vuông ngoại tiếp của
C
có một hình chữ nhật kích thước
2
a a
(như hình vẽ dưới đây). Tính thể tích
V
của khối trụ
T
theo
a
.
A.
3
100
a
. B.
3
100
3
a
. C.
3
250
a
. D.
3
250
3
a
.
Câu 154: Cho hình trụ có hai đường tròn đáy lần lượt ngoại tiếp hai hình vuông đối diện của một hình lập
phương có cạnh
10cm
. Tính thể tích khối trụ.
A.
3
300 cm
. B.
3
500 cm
. C.
3
250 cm
. D.
3
1000 cm
.
Câu 155: Cho hình chữ nhật
ABCD
có cạnh
4
AB
,
2
AD
. Gọi
M
,
N
là trung điểm các cạnh
AB
và
CD
. Cho hình chữ nhật quay quanh
MN
, ta được hình trụ tròn xoay có thể tích bằng
A.
32
V
. B.
16
V
. C.
8
V
. D.
4
V
.
Câu 156: Một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn nội tiếp hai mặt của một hình lập phương cạnh bằng
1
.
Tính thể tích của khối trụ đó.
A.
. B.
2
. C.
4
. D.
3
.
Câu 157: Một hình vuông
ABCD
có AD
. Cho hình vuông đó quay quanh
CD
, ta được vật thể tròn
xoay có thể tích bằng.
A.
3
2
. B.
4
. C.
4
2
. D.
3
.
Câu 158: Cho hình trụ có các đáy là
2
hình tròn tâm
O
và
O
, bán kính đáy bằng chiều cao và bằng
a
.
Trên đường tròn đáy tâm
O
lấy điểm
A
, trên đường tròn đáy tâm
O
lấy điểm
B
sao cho
2
AB a
. Thể tích khối tứ diện
OO AB
theo
a
là.
A.
3
3
12
a
V
. B.
3
3
8
a
V
. C.
3
3
4
a
V
. D.
3
3
6
a
V
.
Câu 159: Gọi
T
là một hình trụ có diện tích xung quanh bằng 4
π
và có chiều cao bằng đường kính đáy.
Thể tích khối trụ
T
bằng:
A. 4
π
. B. 2
π
. C.
π
. D. 3
π
.
Câu 160: Cho hình vuông
ABCD
quay quanh cạnh
AB
tạo ra hình trụ có độ dài của đường tròn đáy bằng
4 .
a
Tính theo
a
thể tích
V
của hình trụ này.
A.
3
8
V a
. B.
3
4
V a
. C.
3
2
V a
. D.
3
8
3
a
V
.
Câu 161: Một khối trụ có hai đáy là hai hình tròn ngoại tiếp hai mặt của một hình lập phương cạnh
a
. Tính
theo
a
thể tích
V
của khối trụ đó.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 7
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
3
2
a
V
B.
3
4
a
V
C.
3
V a
D.
3
2
V a
Câu 162: Khối trụ có chiều cao bằng bán kính đáy và diện tích xung quanh bằng
2
. Thể tích khối trụ là:
A.
. B.
2
. C.
4
. D.
3
.
Câu 163: Cho hình trụ có bán kính đáy bằng
2
a
. Một mặt phẳng đi qua trục của hình trụ và cắt hình trụ theo
thiết diện là hình vuông. Tính thể tích khối trụ đã cho.
A.
3
8
a
B.
3
16
a
C.
3
18
a
D.
3
4
a
Câu 164: Cho hình vuông
ABCD
quay quanh cạnh
AB
tạo ra hình trụ có độ dài của đường tròn đáy bằng
4 .
a
Tính theo
a
thể tích
V
của hình trụ này
A.
3
4 .
V a
. B.
3
8 .
V a
. C.
3
8
.
3
a
V
D.
3
2 .
V a
.
Câu 165: - 2017] Thiết diện qua trục của một khối trụ là hình chữ nhật
ABCD
có
4
AB a
,
5
AC a
(
AB
và
CD
thuộc hai đáy của khối trụ). Thể tích của khối trụ là.
A.
3
16
a
. B.
3
4
a
. C.
3
8
a
. D.
3
12
a
.
Câu 166: Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng qua trục ta được thiết diện là một hình vuông có cạnh bằng
2
. Thể
tích của khối trụ đó là.
A.
2
4
3
V
. B.
2
2
V
. C.
2
V
. D.
2
3
V
.
Câu 167: Tính thể tích
V
của khối trụ có bán kính đáy
4
r
và chiều cao
4 2
h
.
A.
32 2
V
. B.
32
V
. C.
128
V
. D.
64 2
V
.
DẠNG 4: BÀI TOÁN LIÊN QUAN THIẾT DIỆN
Câu 168: Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:
A. Cắt hình nón tròn xoay bằng một mặt phẳng đi qua trục thu được thiết diện là tam giác cân.
B. Cắt hình trụ tròn xoay bằng một mặt phẳng vuông góc với trục thu được thiết diện là hình tròn.
C. Hình cầu có vô số mặt phẳng đối xứng.
D. Mặt cầu là mặt tròn xoay sinh bởi một đường tròn khi quay quanh một đường kính của nó.
Câu 169: Một hình trụ có bán kính đáy
a
, có thiết diện qua trục là một hình vuông. Tính theo
a
diện tích
xung quanh của hình trụ.
A.
2
4
a
. B.
2
2
a
. C.
2
3
a
. D.
2
a
.
Câu 170: Một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn tâm
O
và
O
có bán kính
R
và chiều cao
2
R . Mặt
phẳng
P
đi qua
OO
và cắt hình trụ theo một thiết diện có diện tích bằng bao nhiêu?
A.
2
2
R
. B.
2
2
R
. C.
2
2 2
R
. D.
2
4 2
R
.
Câu 171: Cho hình trụ (H) có bán kính đáy bằng chiều cao và bằng
10.
Một hình vuông ABCD có hai cạnh
AB và CD lần lượt là dây cung của hai đường tròn đáy, các cạnh AD và BC không là đường sinh
của hình trụ. Độ dài cạnh của hình vuông ABCD bằng?
A.
10
. B.
20
. C.
10
. D.
5
.
Câu 172: Xét hình trụ có thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông có cạnh bằng . Tính diện tích
toàn phần của hình trụ.
A. . B. . C. . D. .
Câu 173: Tính thể tích của khối trụ biết bán kính đáy của hình trụ đó bằng
a
và thiết diện đi qua trục là một
hình vuông.
A.
3
4
a
. B.
3
a
. C.
3
2
a
. D.
3
2
3
a
.
T
a
S
2
3
2
a
S
2
2
a
S
2
4
S a
2
S a
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 8
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 174: Một khối trụ có bán kính đáy
10cm
, thiết diện qua trục là một hình vuông. Cắt khối trụ bởi một
mặt phẳng đi qua một đường kính đáy và tạo với đáy góc
45
để tạo ra một hình nêm (khối có thể
tích nhỏ hơn trong hai khối tạo ra). Thể tích của hình nêm bằng.
A.
3
1000
cm
9
. B.
3
2000
cm
3
. C.
3
2000
cm
9
. D.
3
1000
cm
3
.
Câu 175: Một hình trụ có đường cao
10( )
cm
và bán kính đáy bằng
5( )
cm
.Gọi
( )
P
là mặt phẳng song song
với trục của hình trụ và cách trục
4( )
cm
. Tính diện tích thiết diện của hình trụ khi cắt bởi
( )
P
.
A.
2
30( ).
cm
B.
2
80( ).
cm
C.
2
60( ).
cm
D.
2
40( ).
cm
Câu 176: Cho hình trụ có đường cao bằng
8
a
. Một mặt phẳng song song với trục và cách trục hình trụ
3
a
,
cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông. Diện tích xung quanh và thể tích khối trụ bằng.
A.
2 3
60 ,180
a a
. B.
2 3
80 ,200
a a
. C.
2 3
80 ,180
a a
. D.
2 3
60 ,200
a a
.
Câu 177: Một hình trụ có bán kính đáy bằng
a
, mặt phẳng qua trục cắt hình trụ theo một thiết diện có diện
tích bằng
2
8
a
. Tính diện tích xung quanh của hình trụ?
A.
2
8
a
. B.
2
16
a
. C.
2
2
a
. D.
2
4
a
.
Câu 178: Cho hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông, diện tích xung quanh bằng
20
. Khi đó thể tích
của khối trụ là:
A.
20
V
. B.
10 2
V
. C.
10
V
. D.
10 5
V
.
Câu 179: Cho hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông
ABCD
cạnh bằng
2 3 cm
với
AB
là đường
kính của đường tròn đáy tâm
O
. Gọi
M
là điểm thuộc cung
AB
của đường tròn đáy sao cho
60
ABM
. Thể tích của khối tứ diện
ACDM
là:
A.
3
7 cm .
V B.
3
4 cm .
V C.
3
6 cm .
V D.
3
3 cm .
V
Câu 180: Cho hình trụ có bán kính đáy bằng , mặt phẳng qua trục và cắt hình trụ theo một thiết diện có
diện tích bằng . Diện tích toàn phần của hình trụ là
A. . B. . C. . D. .
Câu 181: Bán kính đáy hình trụ bằng
4cm
, chiều cao bằng
6cm
. Độ dài đường chéo của thiết diện qua trục
bằng:
A.
6cm
. B.
10cm.
C.
5cm
. D.
8cm
.
Câu 182: Cho hình trụ có bán kính đáy bằng
R
và chiều cao bằng
3
2
R
. Mặt phẳng
song song với trục
của hình trụ và cách trục một khoảng bằng
2
R
. Tính diện tích thiết diện của hình trụ cắt bởi mặt
phẳng
.
A.
2
2 2
3
R
. B.
2
2 3
3
R
. C.
2
3 3
2
R
. D.
2
3 2
2
R
.
Câu 183: Cho khối trụ có thiết diện qua trục
OO
là một hình vuông cạnh bằng
2
. Mặt phẳng
P
qua trung
điểm
I
của
OO
và tạo với mặt phẳng chứa đáy góc
30
. Diện tích của thiết diện do
P
cắt khối
trụ gần số nào sau đây nhất?
A.
3,6
. B.
3,8
. C.
3,5
. D.
3,7
.
Câu 184: Cho hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông cạnh
2
a
. Mặt phẳng
P
song song với trục và
cách trục một khoảng
2
a
. Tính diện tích thiết diện của hình trụ cắt bởi mặt phẳng
P
.
A.
2
4
a
. B.
2
a
. C.
2
2 3
a
. D.
2
a
.
Câu 185: Một khối trụ có hai đáy hình tròn
;
I r
và
;
I r
. Mặt phẳng
đi qua
I
và
I
đồng thời cắt
hình trụ theo thiết diện là hình vuông có cạnh bằng
18
. Tính thể tích khối trụ đã cho.
a
2
6
a
2
6
a
2
7
a
2
12
a
2
8
a
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 9
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
486
V
. B.
486
. C.
1458
V
. D.
1458
V
.
Câu 186: Một hình trụ có bán kính đáy bằng
R
và thiết diện qua trục là một hình vuông. Diện tích xung
quanh của hình trụ và thể tích của khối trụ lần lượt bằng?
A.
2 3
6 ;2
R R
.
B.
2 3
4 ;
R R
.
C.
2 3
4 ;2
R R
. D.
2 3
2 ;2
R R
.
Câu 187: Cắt một hình trụ bằng mặt phẳng
vuông góc mặt đáy, ta được thiết diện là một hình vuông có
diện tích bằng
16
. Biết khoảng cách từ tâm đáy hình trụ đến mặt phẳng
bằng
3
. Tính thể tích
khối trụ.
A.
52
. B.
13
. C.
2 3
. D.
52
3
.
Câu 188: Cho hình trụ có hai đáy là hai đường tròn
O
và
O
, chiều cao bằng
2
R
và bán kính đáy bằng
R
. Một mặt phẳng
( )
đi qua trung điểm của
OO
và tạo với
OO
một góc bằng
30 ,
( )
cắt
đường tròn đáy theo một dây cung. Tính độ dài dây cung đó theo
.
R
.
A.
2
3
R
. B.
2
3
R
. C.
2 2
3
R
. D.
4
3 3
R
.
Câu 189: Một hình trụ có diện tích xung quanh bằng
4
, thiết diện qua trục là hình vuông. Một mặt phẳng
song song với trục, cắt hình trụ theo thiết diện là tứ giác
ABB A
, biết một cạnh của thiết diện
là một dây cung của đường tròn đáy của hình trụ và căng một cung
120
. Tính diện tích thiết diện
ABB A
.
A.
2 3
. B.
2 2
. C.
3 2
. D.
3
.
Câu 190: Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn và , chiềcao bằng và bán kính đáy bằng .
Một mặt phẳng đi qua trung điểm của và tạo với một góc bằng cắt hình
tròn đáy theo một đoạn thẳng có độ dài . Tính theo .
A. . B. . C. . D. .
Câu 191: Cho hình trụ có đường cao bằng
8
a
. Một mặt phẳng song song với trục và cách trục hình trụ
3
a
,
cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông. Diện tích xung quanh và thể tích khối trụ bằng
A.
2 3
60 ,180
a a
. B.
2 3
80 ,200
a a
. C.
2 3
60 ,200
a a
. D.
2 3
80 ,180
a a
.
Câu 192: Cho một khối trụ có chiều cao bằng
8
cm
, bán kính đường tròn đáy bằng
6
cm
. Cắt khối trụ bởi
một mặt phẳng song song với trục và cách trục
4
cm
. Diện tích của thiết diện được tạo thành là:
A.
2
32 5
cm
. B.
2
16 3
cm
. C.
2
16 3
cm
. D.
2
32 3
cm
.
Câu 193: Cho khối trụ có thiết diện qua trục
OO
là một hình vuông cạnh bằng
2
. Mặt phẳng
P
qua trung
điểm
I
của
OO
và tạo với mặt phẳng chứa đáy góc
30
. Diện tích của thiết diện do
P
cắt khối
trụ gần số nào sau đây nhất? (trùng câu 7137)
A.
3,5
. B.
3,7
. C.
3,6
. D.
3,8
.
Câu 194: Cho hình trụ
T
có đáy là các đường tròn tâm
O
và
O
, bán kính bằng
1
, chiều cao hình trụ bằng
2
. Các điểm
A
,
B
lần lượt nằm trên hai đường tròn
O
và
O
sao cho góc
, 60
OA O B
.
Tính diện tích toàn phần của tứ diện
OAO B
.
A.
4 19
2
S
B.
4 19
4
S
C.
3 19
2
S
D.
1 2 19
2
S
Câu 195: Một hình trụ có chiều cao gấp 3 lần bán kính đáy, biết rằng thể tích của khối trụ đó bằng
3
đơn
vị thể tích. Tính diện tích của thiết diện qua trục của hình trụ?
A.
3
6 9
. B.
3
. C.
3
3 9
. D.
6
.
O
O
2
R
R
OO
OO
30 ,
l
l
R
4
3 3
R
l
2 2
3
R
l
2
3
R
l
2
3
R
l
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 10
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 196: Cắt một khối trụ bởi một mặt phẳng qua trục ta được thiết diện là hình chữ nhật
ABCD
có
AB
và
CD
thuộc hai đáy của khối trụ. Biết
6
AD
và góc
CAD
bằng
60 .
Thể tích của khối trụ là
A.
126 .
. B.
162 .
C.
24 .
. D.
112 .
Câu 197: Biết thiết diện qua trục của một hình trụ là hình vuông cạnh
a
, tính diện tích toàn phần
S
của hình
trụ đó.
A.
2
3
S a
. B.
2
S a
. C.
2
5
4
S a
. D.
2
3
2
S a
.
Câu 198: Cho hình trụ có trục
'
OO
, thiết diện qua trục là một hình vuông cạnh
2
a
. Mặt phẳng
P
song
song với trục và cách trục một khoảng
2
a
. Tính diện tích thiết diện của trụ cắt bởi
P
.
A.
2
2 3
a . B.
2
a
. C.
2
3
a . D.
2
a
.
Câu 199: Một hình trụ có bán kính đáy
5cm
r
và khoảng cách giữa hai đáy
7cm
h
. Cắt khối trụ bởi một
mặt phẳng song song với trục và cách trục
3cm
. Diện tích của thiết diện được tạo thành là:
A.
2
46 cm
S . B.
2
55 cm
S . C.
2
53 cm
S . D.
2
56 cm
S .
Câu 200: Cho một khối trụ có chiều cao
8
a
, bán kính đường tròn đáy bằng
6
a
. Cắt khối trụ bởi một mặt
phẳng song song với trục và cách trục
4
a
. Tính diện tích
S
của thiết diện được tạo thành.
A.
2
32 5
a
. B.
2
16 5
a
. C.
2
16 3
a
. D.
2
32 3
a
.
Câu 201: Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn
O
và
O
, chiều cao
2
R
và bán kính đáy
R
. Một mặt
phẳng
đi qua trung điểm của
OO
và tạo với
OO
một góc
30
. Hỏi
cắt đường tròn đáy
theo một dây cung có độ dài bằng bao nhiêu?
A.
2
3
R
. B.
2 2
3
R
. C.
4
3 3
R
. D.
2
3
R
.
Câu 202: Cho hình trụ có thiết diện qua trục là một hình vuông, diện tích mỗi mặt đáy bằng
2
9 cm
S
.
Tính diện tích xung quanh hình trụ đó.
A.
2
36 cm
xq
S
. B.
2
18 cm
xq
S
. C.
2
72 cm
xq
S
. D.
2
9 cm
xq
S
.
Câu 203: Hình trụ có bán kính đáy bằng
,
a
chu vi của thiết diện qua trục bằng
10 .
a
Thể tích của khối trụ đã
cho bằng.
A.
3
a
. B.
3
3
a
. C.
3
4
a
. D.
3
5
a
.
Câu 204: Một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn tâm
O
,
O
và có bán kính
5
r
. Khoảng cách giữa hai
đáy là
6
OO
. Gọi
là mặt phẳng qua trung điểm của đoạn
OO
và tạo với đường thẳng
OO
một góc
45
. Tính diện tích
S
của thiết diện tạo với mặt phẳng
và hình trụ.
A.
36
S
. B.
48 2
S . C.
24 2
S . D.
36 2
S .
Câu 205: Cắt một khối trụ bởi một mặt phẳng qua trục ta được thiết diện là hình chữ nhật
ABCD
có cạnh
AB
và cạnh
CD
nằm trên hai đáy của khối trụ. Biết
2
BD a
,
60
DAC
. Tính thể tích khối
trụ.
A.
3
3 2
32
a
. B.
3
3 2
48
a
. C.
3
3 6
16
a
. D.
3
3 2
16
a
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 1
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
DẠNG 3: TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TRỤ, KHỐI LIÊN QUAN TRỤ
Câu 93: Cho một hình trụ có chiều cao bằng 2 và bán kính đáy bằng 3. Thể tích của khối trụ đã cho
bằng
A. 15
. B. 9
. C. 6
. D. 18
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
2 2
.3 .2 18 V R h
.
Câu 94: Cho khối trụ có chu vi đáy bằng 4 a
và độ dài đường cao bằng
a
. Thể tích của khối trụ đã cho
bằng
A.
3
16 a
. B.
2
a
. C.
3
4
3
a
. D.
3
4 a
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Gọi chu vi đáy là P . Ta có: 2P R
4 2a R
2R a
Khi đó thể tích khối trụ:
2
V R h
2
2 .
a a
3
4 a
.
Câu 95: Một hình trụ có chiều cao bằng 3, chu vi đáy bằng 4
. Tính thể tích của khối trụ?
A. 18
. B. 10
. C. 12
. D. 40
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có: 2 4R
2R .
Thể tích khối trụ là:
2
V R h
2
.2 .3
12
.
Câu 96: Cho hình trụ có chiều cao h và bán kính đáy R công thức thể tích của khối trụ đó là.
A.
2
1
3
R h
. B.
2
Rh
. C.
2
R h
. D.
2
1
3
Rh
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có
2
.
tru
V B h R h
.
Câu 97: Cắt một khối trụ bởi một mặt phẳng ta được một khối
H như hình vẽ bên. Biết rằng thiết diện
là một hình elip có độ dài trục lớn bằng 8, khoảng cách từ điểm thuộc thiết diện gần mặt đáy nhất
và điểm thuộc thiết diện xa mặt đáy nhất tới mặt đáy lần lượt là 8 và 14 (xem hình vẽ).Tính thể
tích của
H .
A.
( )
176
H
V
. B.
( )
275
H
V
.
C.
( )
704
H
V
. D.
( )
192
H
V
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Đường kính đáy của khối trụ là
2 2
10 6 8
Bán kính đáy của khối trụ là 4R
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 2
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Thể tích của khối trụ
1
H
là
2 2
1 1
. . .4 .8 128
V R h
.
Thể tích của khối trụ
2
H
là
2 2
2 2
. . .4 .6 96
V R h
.
Thể tích của H là
1 2
1 1
128 .96 176
2 2
V V V
.
Câu 98: Cho hình trụ có bán kính đường tròn đáy bằng
4
, diện tích xung quanh bằng
48
. Thể tích của
hình trụ đó bằng
A.
32
. B.
72
. C.
24
. D.
96
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Gọi
R
,
h
lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của hình trụ.
Theo giả thiết ta có
48
xq
S
2 . 48
R h
48 48
6
2 2 .4
h
R
.
Vậy thể tích của hình trụ đó là
2 2
. .4 .6 96
V R h
.
Câu 99: Cho hình chữ nhật
ABCD
có
4
AB
và
3
AD
. Thể tích của khối trụ được tạo thành khi quay
hình chữ nhật
ABCD
quanh cạnh
AB
bằng
A.
48
. B.
36
. C.
12
. D.
24
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Dựa vào giả thiết ta có khối trụ có chiều cao
4
h
và bán kính đáy
3
R
nên có thể tích:
2
. .
V h R
2
.4.3
36 .
Câu 100: Một khối trụ có thể tích là
20
. Nếu tăng bán kính đáy lên 2 lần thì thể tích của khối trụ mới bằng
bao nhiêu?
A.
80
. B.
40
. C.
60
. D.
120
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Thể tích của khối trụ
2
20
V R h
.
Khi tăng bán kính đáy lên hai lần thì khối trụ mới có thể tích:
2
2
1
2 4 80
V R h R h .
Câu 101: Cho khối trụ có bán kính
3
a
và chiều cao
2 3
a
. Thể tích của khối trụ đó là :
A.
3
9 3
a . B.
3
6 3
a
. C.
2
6 3
a
. D.
3
4 2
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Thể tích khối trụ:
2 3
6 3
V R h a
.
Câu 102: Cho một hình chữ nhật có đường chéo có độ dài
5
, một cạnh có độ dài
3
. Quay hình chữ nhật đó
(kể cả các điểm bên trong) quanh trục chứa cạnh có độ dài lớn hơn, ta thu được một khối trụ .
Tính thể tích khối thu được.
A.
12
. B.
48
. C.
36
. D.
45
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Gọi hình chữ nhật
ABCD
có đường chéo
5
AC
, cạnh bên
3
AB
suy ra
4
BC
.
A
B
D
C
3
4
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 3
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Quay hình chữ nhật
ABCD
(cùng với phần bên trong của nó) quanh trục
BC
ta được một khối
trụ có bán kính
3
R
, chiều cao
4
h
.
Thể tích khối trụ này là:
2 2
.3 .4 36
V R h
.
Câu 103: Cho hình trụ có hai đường tròn đáy
O;
R
và
;
O R
, chiều cao
3
h R
. Đoạn thẳng
AB
có
hai đầu mút nằm trên hai đường tròn đáy hình trụ sao cho góc hợp bởi
AB
và trục của hình trụ là
30
. Thể tích tứ diện
ABOO
là:
A.
3
2
R
. B.
3
3
2
R
. C.
3
3
4
R
. D.
3
4
R
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có hình vẽ như sau:
.
Ta có:
' '
OO BB
nên
, ' , ' ' 30
AB OO AB BB ABB
.
Đặt
' . ' '
OA B O AB
V V
.
Ta có:
' . ' ' . ' ' . ' . '
1
3
OA B O AB B O AB B OA AO B OA AO
V V V V V
. '
2
3
B OA AO
V V
.
Mà
',
'
1
', '
d A OBA
IA
d O OBA IO
nên
'. '
1
3
A OAB O OAB
V V V
.
Ta có '
OB R
,
'
AB R
nên tam giác
' '
O AB
đều nên có diện tích bằng
2
3
4
R
.
Vậy ta có
2 3
'
1 1 3
3
3 3 4 4
O OAB
R R
V V R
.
Câu 104: Thể tích
V
của khối trụ có bán kính đáy
R
và độ dài đường sinh
l
được tính theo công thức nào
dưới đây?
A.
2
4
3
V R l
. B.
3
4
3
V R l
. C.
2
V R l
. D.
2
1
3
V R l
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Câu 105: Ba chiếc bình hình trụ cùng chứa
1
lượng nước như nhau, độ cao mực nước trong bình
II
gấp
đôi bình
I
và trong bình
III
gấp đôi bình
II
. Chọn nhận xét đúng về bán kính đáy
1
r
,
2
r
,
3
r
của
ba bình
I
,
Ox
,
III
.
A.
1
r
,
2
r
,
3
r
theo thứ tự lập thành cấp số nhân công bội
1
2
.
B.
1
r
,
2
r
,
3
r
theo thứ tự lập thành cấp số nhân công bội
1
2
.
R
30°
h
R
h= 3R
H
B'
A
O
O'
A'
B
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 4
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
C.
1
r
,
2
r
,
3
r
theo thứ tự lập thành cấp số nhân công bội
2
.
D.
1
r
,
2
r
,
3
r
theo thứ tự lập thành cấp số nhân công bội
2
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Gọi
1
V
,
2
V
,
3
V
lần lượt là thể tích của bình
I
,
II
,
III
.
Ta có
1 2
V V
2 2
1 1 2 2
r h r h
2 2
1 1 2 1
2
r h r h
1
2
1
2
r
r .
2 3
V V
2 2
2 2 3 3
r h r h
2 2
2 2 3 2
2
r h r h
2
3
2
2
r
r .
Từ
1
và
2
ta có
1
r
,
2
r
,
3
r
theo thứ tự lập thành cấp số nhân công bội
1
2
.
Câu 106: Trong không gian, cho hình chữ nhật
ABCD
có
1
AB
và
2
AD
. Gọi
M
,
N
lần lượt là
trung điểm của
AB
và
CD
. Quay hình chữ nhật đó xung quanh trục
MN
, ta được một hình trụ.
Tính thể tích
V
của khối trụ tạo bởi hình trụ đó
A.
2
. B.
4
. C.
2
. D.
.
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Quay hình chữ nhật xung quanh trục
MN
ta được hình trụ có bán kính đáy
1
2
r AM
, chiều
cao
2
h AD
. Thể tích khối trụ tương ứng bằng
2
2
1
. .2
2 2
V r h
.
Câu 107: Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng qua trục ta được thiết diện là hình chữ nhật
ABCD
có
AB
và
CD
thuộc hai đáy của hình trụ,
4
AB a
,
5
AC a
. Tính thể tích khối trụ.
A.
3
8
π
V a
B.
3
16
π
V a
C.
3
12
π
V a
D.
3
4
π
V a
Hướng dẫn giải
Chọn C
M
N
A
D
B
C
r
h
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 5
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Ta có
+ Bán kính đường tròn đáy là:
2
2
AB
r a
.
+ Chiều cao khối trụ:
2 2
h AD AC CD
2 2
5 4
a a
3
a
.
+ Thể tích khối trụ:
2
π. .
V r h
2
π.(2 ) .3
a a
3
12
π
a
.
Câu 108: Tính thể tích khối trụ biết bán kính đáy
4
r
cm
và chiều cao
2
h
cm
.
A.
32
3
cm
. B.
8
3
cm
. C.
16
3
cm
.
D.
32
3
3
cm
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Áp dụng công thức tính thể tích của khối trụ ta có
2 2
.4 .2 32
V r h
3
cm
.
Câu 109: Cho hình chữ nhật
ABCD
biết
1
AB
,
3
AD . Khi quay hình chữ nhật
ABCD
xung quanh
trục
AB
thì cạnh
CD
tạo nên hình trụ tròn xoay. Thể tích của khối trụ là.
A.
. B.
3
. C.
3
3
. D.
3
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có
1
h AB
;
3
R AD .
2
3
V R h
.
Câu 110: Cho hình trụ có bán kính đáy là
R a
, mặt phẳng qua trục cắt hình trụ theo một thiết diện có
diện tích bằng
2
8
a
. Diện tích xung quanh của hình trụ và thể tích của khối trụ lần lượt là:
A.
2
6
a
,
3
3
a
. B.
2
8
a
,
3
4
a
. C.
2
6
a
,
3
6
a
. D.
2
16
a
,
3
16
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Hình vẽ thiết diện:
Theo giả thiết hình trụ có bán kính đáy là
R a
suy ra
IB R a
. Vì mặt phẳng qua trục cắt
5a
4a
B
C
A
D
H
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 6
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
hình trụ theo một thiết diện có diện tích bằng
2
8
a
nên
2
8
4
2
a
h BC a
a
.
Vậy diện tích xung quanh của hình trụ và thể tích của khối trụ lần lượt là:
2
2 8
xq
S Rh a
,
2 3
4
V R h a
.
Câu 111: Cho một khối trụ có diện tích xung quanh của khối trụ bằng . Tính thể tích của khối trụ biết
khoảng cách giữa hai đáy bằng .
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có: khoảng cách giữa hai đáy bằng nên .
.
Vậy thể tích của khối trụ bằng .
Câu 112: Cho khối trụ tròn xoay có độ dài đường cao là
h
, bán kính đáy là
r
. Thể tích khối trụ tròn xoay là.
A.
rh
. B.
2
1
3
rh
. C.
2
r h
. D.
2
1
3
r h
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Câu 113: Công thức tính thể tích khối trụ có chiều cao
h
và bán kính đáy
R
là
A.
2
V hR
. B.
2
1
3
V hR
. C.
2
1
3
V hR
. D.
2
V hR
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Câu 114: Thể tích khối trụ tròn xoay sinh ra khi quay hình chữ nhật
ABCD
quay quanh cạnh
AD
biết
3
AB
,
4
AD
là
A.
12
. B.
72
. C.
48
. D.
36
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có
3
r
,
4
h
nên thể tích khối trụ tròn xoay sinh ra khi quay hình chữ nhật
ABCD
quay
quanh cạnh
AD
là
2
V r h
2
.3 .4
36
.
Câu 115: Một hình trụ có diện tích xung quanh bằng
4
, diện tích đáy bằng diện tích của mặt cầu có bán
kính bằng
1
. Tính thể tích
V
khối trụ đó.
A.
8
V
. B.
10
V
. C.
4
V
. D.
6
V
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
80
10
40
64
160
400
10
h l
10
80
xq
S
2 80
rl
4
r
2
.4 .10
V
160
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 7
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
,
B D
nhìn
AC
dưới một góc
90
.
2 2
5; ;
5 5
AD a a
SD a KD
SD
a
2 2
6
SC SA AC a
.
Ta có:
2 2 2
1 1 1 2
1
5
a
AK
SA AD AK
.
2 2 2
SC SD CD
tam giác
SCD
vuông tại
D
.
Khi đó tam giác
KDC
vuông tại
D
.
2 2
6
5
a
KC CD KD
.
Ta có:
2 2 2
AK KC AC
. Vậy
90
AKC
. Tương tự
0
90
AHC
.
Vậy
AC
chính là đường kính mặt cầu ngoại tiếp khối
ABCDEHK
.
2
2
a
AC a OA
.
3
3 3
4 4 2
3 3 3
2 2
a
V OA a
Câu 116: Khối trụ tròn xoay có đường cao và bán kính đáy cùng bằng
1
thì thể tích bằng.
A.
. B.
2
. C.
2
. D.
1
3
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
2
1. .1 .
V h S
.
Câu 117: Cho hình chữ nhật
ABCD
có
4
AB
và
3
AD
. Thể tích của khối trụ được tạo thành khi quay
hình chữ nhật
ABCD
quanh cạnh
AB
bằng
A.
12
. B.
24
. C.
48
. D.
36
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Dựa vào giả thiết ta có khối trụ có chiều cao
4
h
và bán kính đáy
3
R
nên có thể tích:
2
. .
V h R
2
.4.3
36 .
Câu 118: Cho hình trụ có bán kính đáy
3
r
và diện tích xung quanh
6
π
S
. Tính thể tích
V
của khối
trụ.
A.
3
π
V
. B.
9
π
V
. C.
18
π
V
. D.
6
π
V
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
E
O
A
B
C
D
S
H
K
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 8
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
2
π
xq
S rl
6
π 2π.3.
l
1
l
1
h
.
Thể tích khối trụ là
2
π
V r h
2
π.3 .1
9
π
.
Câu 119: Cho hình trụ có diện tích toàn phần là
4
và có thiết diện cắt bởi mặt phẳng qua trục là hình
vuông. Tính thể tích khối trụ?
A.
4
9
. B.
6
9
. C.
4 6
9
. D.
6
12
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Vì thiết diện cắt bởi mặt phẳng qua trục là hình vuông nên khối trụ có chiều cao bằng
2
r
.
Ta có:
4
tp
S
2
2 2 4
r rl
2
6 4
r
.
2
3
r
Tính thể tích khối trụ là:
2
V r h
3
2
r
2 2
2
3 3
4 6
9
.
Câu 120: Một hình trụ có đường kính đáy bằng chiều cao hình trụ. Thiết diện qua trục của hình trụ có diện
tích là
S
. Thể tích của khối trụ đó là:
A.
4
S S
. B.
6
S S
. C.
24
S S
. D.
12
S S
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
.
Gọi
h
là chiều cao hình trụ ta có
2
S h h S
, khi đó
2 2
h S
r
.
Vậy
2
4
V h
S S
r
.
Câu 121: Cho hình trụ có diện tích toàn phần là
4
và có thiết diện cắt bởi mặt phẳng qua trục là hình
vuông. Tính thể tích khối trụ?
A.
6
9
. B.
4 6
9
. C.
6
12
. D.
4
9
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Vì thiết diện cắt bởi mặt phẳng qua trục là hình vuông nên khối trụ có chiều cao bằng
2
r
.
Ta có:
4
tp
S
2
2 2 4
r rl
2
6 4
r
.
2
3
r
Tính thể tích khối trụ là:
2
V r h
3
2
r
2 2
2
3 3
4 6
9
.
Câu 122: Một hình trụ có bán kính đáy bằng
2
và có chiều cao bằng
4
. Thể tích của hình trụ bằng:
A.
8
. B.
16
. C.
24
. D.
32
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 9
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Hướng dẫn giải
Chọn B
2
.4.4 16V R h
.
Câu 123: Cho hai mặt trụ có cùng bán kính bằng 4 được đặt lồng vào nhau như hình vẽ. Tính thể tích
phần chung của chúng biết hai trục của hai mặt trụ vuông góc và cắt nhau.
.
A.
1024
3
. B. 512. C.
256
3
. D. 256
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Cách1. Ta xét
1
8
phần giao của hai trụ như hình.
.
Ta gọi trục tọa độ Oxyz như hình vẽ.
.
Khi đó phần giao
H là một vật thể có đáy là một phần tư hình tròn tâm O bán kính 4 , thiết
diện của mặt phẳng vuông góc với trục Ox là một hình vuông có diện tích
2 2
4
S x x
.
Thể tích khối
H là
4
2
4
0 0
12
d16
8
d
3
xS x x x
. Vậy thể tích phần giao là
1024
3
.
Cách2.Dùng công thức tổng quát giao hai trụ
3
16 1024
3 3
V R
.
Câu 124: Cho hình lập phương . ' ' ' 'ABCD A B C D có cạnh đáy bằng
a
với O và 'O là tâm của hình vuông
ABCDvà ' ' ' 'A B C D . Gọi
T là hình trụ tròn xoay tại thành khi quay hình chữ nhật 'C'CAA
quanh trục 'OO .Thể tích của khối trụ
T
bằng
A.
3
1
3
a
. B.
3
1
2
a
. C.
3
1
6
a
. D.
3
2 a
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 10
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Hướng dẫn giải
Chọn B
Bán kính hình trụ
2
2 2
AC a
r
.
Chiều cao hình trụ
h OO a
Thể tích khối trụ là
2
3
2
2
. . .
2 2
a a
V h r a
.
Câu 125: Hình bên cho ta hình ảnh của một đồng hồ cát với các kích thước kèm theo
OA OB
. Khi đó tỉ
số tổng thể tích của hai hình nón
n
V
và thể tích hình trụ
t
V
bằng:
A.
1
2
. B.
1
3
. C.
1
4
. D.
2
5
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Thể tích của mỗi khối nón là
2
2
1
1
. .
3 2 6
h R h
V R
Tổng thể tích của hai khối nón là
2 2
2.
6 3
n
R h R h
V
Thể tích của khối trụ là
2
t
V R h
. Vậy
1
3
n
t
V
V
.
Câu 126: Cho hình trụ có khoảng cách giữa hai đáy bằng
10
, diện tích của xung quanh của hình trụ bằng
80
. Tính thể tích khối trụ.
A.
164
. B.
160
. C.
144
. D.
64
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có 2
xq
S rh
4
r
.
2
V r h
160
V
.
Câu 127: Một khối trụ có bán kính đáy bằng
2,
chiều cao bằng
3.
Tính thể tích của khối trụ.
A.
4
. B.
18
. C.
12 .
D.
6 .
Hướng dẫn giải
Chọn C
O
O'
D
C
A
B
B'
A'
C'
D'
2
O'
3
O
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 11
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Ta có:
2 2
. . .2 .3 12V r h
.
Câu 128: Một khối trụ có bán kính đáy bằng
3a
, chiều cao bằng
2 3a
. Tính thể tích V của khối cầu
ngoại tiếp khối trụ.
A.
3
4 3V a
. B.
3
4
6
3
a
. C.
3
6 6V a
. D.
3
8 6V a
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Gọi
I
là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình trụ.
Khoảng cách từ tâm
I
đến mặt đáy là:
2 3
3
2
a
h a
.
Bán kính đường tròn giao tuyến là:
3
r a
.
Bán kính mặt cầu là
2 2
6R h r a
.
Thể tích khối cầu là:
3 3
4
8 6
3
V R a
.
Câu 129: Một hình trụ có hai đường tròn đáy nội tiếp hai mặt của hình lập phương cạnh bằng Thể tích
của khối trụ đó là:
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Chọn D
Bán kính đường tròn đáy là , chiều cao .
Thể tích khối trụ là: .
Câu 130: Khi cắt khối trụ
T bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục của trụ
T một khoảng
bằng 3a ta được thiết diện là hình vuông có diện tích bằng
2
4a
. Tính thể tích V của khối trụ
T .
A.
3
7 7
3
V a
. B.
3
8
3
V a
. C.
3
8V a
. D.
3
7 7V a
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Thiết diện là hình vuông ABCD.
2
4 2
ABCD
S a AD CD a
2 .
a
3
1
2
a
3
1
3
a
3
2
3
a
3
2
a
2
2
a
R a
2
h a
2 3
. 2
V R h a
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 12
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Gọi
H
là trung điểm
CD
3
OH CD OH ABCD OH a
2 2 2 2
3 2
OD DH OH a a a
.
2 3
2 , 2 8
h AD a r OD a V r h a
.
Câu 131: Thiết diện qua trục của hình trụ là một hình vuông có cạnh bằng
2
a
. Khiđó thể tích khối trụ là.
A.
3
8
a
. B.
3
4
a
. C.
3
a
. D.
3
2
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Chiều cao trụ bằng
2
a
, bán kính trụ bằng
a
nên
2 3
2
V R h a
.
Câu 132: Tính thể tích khối lăng trụ tam giác đều
.
ABC A B C
biết tất cả các cạnh của lăng trụ đều bằng
a
.
A.
3
3
4
a
. B.
3
3
12
a
. C.
3
3
a
. D.
3
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Lăng trụ tam giác đều là hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều.
Ta có:
2 2
1 3 3
. .sin .
2 2 2 4
ABC
a a
S AB AC A
.
Vậy:
2 3
.
3 3
. .
4 4
ABC A B C ABC
a a
V S AA a
.
Câu 133: Cắt một khối trụ bởi một mặt phẳng qua trục ta được thiết diện là hình chữ nhật
ABCD
có cạnh
AB
và cạnh
CD
nằm trên hai đáy của khối trụ. Biết
2
AC a
,
30
DCA
. Tính thể tích khối
trụ.
A.
3
3 2
16
a
. B.
3
3 6
16
a
. C.
8
n
. D.
3
3 2
48
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Tam giác
ADC
vuông tại
D
có:
.cos30
DC AC
6
2
a
DC
.
.sin30
AD AC
2
2
a
AD
.
Khi đó hình trụ đã cho có
h AD
,
1
2
r DC
.
Vậy thể tích khối trụ
2 3
3 2
16
V r h a
.
Câu 134: Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm
O
và
O
, bán kính đáy bằng chiều cao và bằng
4
cm
. Trên đường tròn đáy tâm
O
lấy điểm
A
, trên đường tròn đáy tâm
O
lấy điểm
B
, sao cho
4 3
AB cm
. Thể tích khối tứ diện
ABOO
là
A
B
D
C
30
O
O
2
a
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 13
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
3
32
3
cm
. B.
3
32
cm
. C.
3
64
cm
. D.
3
64
3
cm
.
Lời giải
Chọn A
Tam giác
OAO
vuông cân tại
O
4 2
O A
.
Tam giác
O AB
có
2 2 2
AB O B O A
O AB
vuông tại
O
O B AO
Lại có
OO O B
O B OAO
.
Tam giác
OAO
vuông cân tại
O
2
8
OAO
cm
S
'
3
.
1 1 32
. . .4.8
3 3 3
B OAO OAO
V O cB S
m
Câu 135: Khối trụ có chiều cao bằng bán kính đáy và diện tích xung quanh bằng
2
. Thể tích khối trụ là.
A.
4
. B.
2
. C.
3
. D.
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Gọi
h
và
R
là chiều cao và bán kính đáy của khối trụ. Khi đó
h R
.
Ta có:
2 2 . 2 1
xq
S Rh R h
.
Thể tích khối trụ:
2
.
V R h
.
Câu 136: Cho khối trụ có độ dài đường sinh bằng
a
và bán kính đáy bằng
R
. Tính thể tích của khối trụ đã cho.
A.
2
aR
. B.
2
2
aR
. C.
2
1
3
aR
. D.
2
aR
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có:
2
V aR
.
Câu 137: Cho hình chữ nhật
ABCD
với
AB AD
và có diện tích bằng
2,
chu vi bằng
6.
cho hình chữ nhật đó
lần lượt quay quanh
,
AB
AD
ta được hai khối tròn xoạy có thể tích là
1
,
V
2
V
. Tính tỉ số
1
2
V
V
.
A.
2
.
B.
1
3
.
C.
3
.
D.
1
2
.
Hướng dẫn giải
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 14
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Chọn D
.
Gọi
AB x
điều kiện
x 1,5
.
Suy ra 3
AD x
.
Ta có:
2( )
(3 ) 2
1( )
x n
x x
x l
.
Ta được:
2
1
.1 .2 2
V
,
2
2
.2 .1 4
V
,
1
2
1
2
V
V
.
Câu 138:
Cho khối trụ
T
có bán kính đáy
R
và diện tích toàn phần
2
8
R
. Tính thể tích của khối trụ
T
.
A.
3
6
R
. B.
3
8
R
. C.
3
4
R
. D.
3
3
R
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Gọi chiều cao của khối trụ là
h
.
2 2 2
8 2 2 8 3
TP
S R R Rh R h R
.
Vậy thể tích phải tìm là:
2 3
3
V R h R
.
Câu 139: Cho hình chữ nhật
ABCD
có cạnh
2 , 4
AB a AD a
. Gọi 1
,
M N
lần lượt là trung điểm của
,
AB CD
. Quay hình chữ nhật
ABCD
quanh trục
MN
ta được khối trụ tròn xoay. Thể tích khối
trụ là:
A.
3
8
a
. B.
3
4
a
. C.
3
2
a
. D.
3
16
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Do
2
AB a
là đường kính của đường tròn đáy
r a
.
2 2 3
. .4 4
V r h a a a
.
Câu 140: Cho hình trụ có diện tích xung quanh
2
24
cm
, bán kính đường tròn đáy bằng
4
cm
. Tính thể tích
của khối trụ ?
A.
3
12
cm
. B.
3
24
cm
. C.
3
48
cm
. D.
3
86
cm
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Áp dụng công thức
2
π
xq
S rl
khi đó ta có 24 2
π.4.
l
3
π
l
2 3
3
π π.16. 48
π
V r h cm
.
Câu 141: Một hình trụ có diện tích xung quanh bằng
4
, diện tích đáy bằng diện tích mặt cầu bán kính bằng
1
. Tính thể tích
V
của khối trụ đó.
A.
8.
V B.
6.
V . C.
10.
V . D.
4.
V .
Hướng dẫn giải
Chọn D
Gọi
R
là bán kính đáy. Ta có diện tích đáy bằng diện tích mặt cầu bán kính bằng
1
2 2
4 .1 2.
R R
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 15
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Hình trụ có diện tích xung quanh bằng 4
2
1 1
2 . 4 4 4 4.
R l l l h V R .
Câu 142: Cho hình lăng trụ tam giác đều .ABC A B C
có độ dài cạnh đáy bằng
a
và chiều cao bằng h.
Tính thể tích V của khối trụ ngoại tiếp lăng trụ đã cho.
A.
2
3
a h
V
. B.
2
9
a h
V
. C.
2
3V a h
. D.
2
9
a h
V
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Khối trụ ngoại tiếp lăng trụ tam giác đều có hình tròn đáy là hình tròn ngoại tiếp tam giác đáy
của lăng trụ, và chiều cao bằng chiều cao lăng trụ.
.
Tam giác đều cạnh
a
có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng
3
3
a
. Vậy thể tích của khối trụ
cần tìm là
2
2
3
. .
3 3
.h
a ha
V h S
(đvtt).
Câu 143: Cắt một khối trụ bởi một mặt phẳng qua trục ta được thiết diện là hình chữ nhật ABCD có AB
và CD thuộc hai đáy của khối trụ. Biết 4 ,AB a 3BC a . Tính thể tích của khối trụ.
A.
3
12 a
. B.
3
8 a
. C.
3
4 a
. D.
3
16 a
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
.
Vì 4AB a diện tích đáy
2
2
S a
.
Vậy thể tích khối trụ
2 3
3 .4 12V a a a
.
Câu 144: Cho hình lập phương . ' ' ' 'ABCD A B C D có cạnh đáy bằng
a
với Ovà 'O là tâm của hình vuông
ABCDvà ' ' ' 'A B C D . Gọi
T là hình trụ tròn xoay tại thành khi quay hình chữ nhật 'C'CAA
quanh trục 'OO .Thể tích của khối trụ
T
bằng
A.
3
1
6
a
. B.
3
2 a
. C.
3
1
3
a
. D.
3
1
2
a
.
D
C
B
A
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 16
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Hướng dẫn giải
Chọn D
Bán kính hình trụ
2
2 2
AC a
r
.
Chiều cao hình trụ
h OO a
Thể tích khối trụ là
2
3
2
2
. . .
2 2
a a
V h r a
.
Câu 145: Thiết diện qua trục của hình trụ là một hình vuông có cạnh bằng
2
a
. Khi đó thể tích khối trụ là.
A.
3
4
a
. B.
3
2
a
. C.
3
8
a
. D.
3
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông có cạnh bằng
2
a
nên chiều cao của khối trụ bằng
2
a
và bán kính đáy của khối trụ bằng
a
. Vì vậy thể tích khối trụ
2 2 3
.2 2
V r h a a a
.
Câu 146: Giả sử viên phấn viết bảng có dạng khối trụ tròn xoay đường kính đáy bằng
1 cm
, chiều dài
6 cm
. Người ta làm hộp carton đựng phấn hình dạng hình hộp chữ nhật có kích thước
6 cm , 5 cm , 6 cm
. Muốn xếp
350
viên phấn vào
12
hộp, ta được kết quả nào trong các kết quả
sau.
A. Thừa
10
viên. B. Thiếu
10
viên. C. Không xếp được. D. Vừa đủ.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Lấy hình vuông
6.6
làm đáy hộp, sẽ xếp vừa đủ
6
viên phấn lên hình vuông đó.
Tiếp tục xếp như vậy thành
5
tầng, cho vừa đủ với chiều cao
5cm
còn lại của hộp, ta được tất cả
30
viên phấn cho
1
hộp.
Vậy, có tất cả
12.30 360
viên sẽ được xếp đủ vào
12
hộp.
Câu 147: Cho một khối trụ
S
có bán kính đáy bằng
a
. Biết thiết diện của hình trụ qua trục là hình
vuông có chu vi bằng
8
. Thể tích của khối trụ sẽ bằng
A.
8
. B.
4
. C.
2
. D.
16
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
* Ta có chiều cao của khối trụ:
2 2
h r a
.
* Theo giả thiết ta có:
4.2 8 1
a a
.
* Thể tích khối trụ:
2 2
. .2 2
V r h a a
.
Câu 148: Cho hình chữ nhật
ABCD
có
3
AB
,
4
AD
quay xung xung quanh cạnh
AB
tạo ra một hình
trụ. Thể tích của khối trụ đó là.
A.
48
V
. B.
24
V
. C.
36
V
. D.
12
V
.
O
O'
D
C
A
B
B'
A'
C'
D'
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 17
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Hướng dẫn giải
Chọn A
4
R
,
3
h
48
V
.
Câu 149: Khối trụ tròn xoay có đường cao và bán kính đáy cùng bằng
1
thì thể tích bằng:
A.
2
B.
2
C.
D.
1
3
Hướng dẫn giải
Chọn C
2
V r h
2
.1 .1
.
Câu 150: Cho hình chóp .
S ABCD
có đáy là hình vuông cạnh bằng
2
, cạnh bên
SA
vuông góc với đáy,
góc giữa cạnh bên
SC
và đáy bằng
60
. Tính thể tích của khối trụ có một đáy là đường tròn
ngoại tiếp hình vuông
ABCD
và chiều cao bằng chiều cao của khối chóp .
S ABCD
.
A. 4 6
π
V . B.
2 6
π
3
V
. C. 2 6
π
V . D.
4 3
π
3
V
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
2 2
AC .
Góc giữa
SC
với đáy là góc
60
SCA
Suy ra
.tan60
SA AC
2 2. 3 2 6
.
Bán kính đường tròn nội tiếp hình vuông
ABCD
bằng
2
2
AC
.
V Sh
2
π 2 .2 6 4 6π
.
Câu 151: Hình trụ có bán kính đáy bằng chu vi của thiết diện qua trục bằng Thể tích của khối trụ
đã cho bằng.
A.
3
3
a
. B.
3
5
a
. C.
3
4
a
. D.
3
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
.
Thiết diện qua trục là 1 hình chữ nhật.
B
A
D
C
S
,
a
10 .
a
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 18
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giả sử chiều cao của khối trụ là .
Theo đề ra .
Thể tích khối trụ là .
Câu 152: Cho hình chữ nhật
ABCD
có
AB a
,
2
AD a
. Gọi
M
,
N
lần lượt là trung điểm của các
cạnh
BC
và
AD
. Khi quay hình chữ nhật trên (kể cả các điểm bên trong của nó) quanh đường
thẳng
MN
ta nhận được một khối tròn xoay
T
. Tính thể tích của
T
theo
a
.
A.
3
4
3
a
B.
3
3
a
C.
3
a
D.
3
4
a
Hướng dẫn giải
Chọn C
Thể tích khối tròn xoay
T
là:
2
.
V a a
3
a
.
Câu 153: Cho hình trụ
T
có
C
và
C
là hai đường tròn đáy nội tiếp hai mặt đối diện của một hình
lập phương. Biết rằng, trong tam giác cong tạo bởi đường tròn
C
và hình vuông ngoại tiếp của
C
có một hình chữ nhật kích thước
2
a a
(như hình vẽ dưới đây). Tính thể tích
V
của khối
trụ
T
theo
a
.
A.
3
100
a
. B.
3
100
3
a
. C.
3
250
a
. D.
3
250
3
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
.
b
2 2 10 3 .
a b a b a
2 3
. .3 3
V S h a a a
M
N
A
D
B
C
C
D
A
B
O
I
H
K
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 19
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Ta có
2BK a
, KI a nên 5BI a
1
cos
5
KBI và
2
sin
5
KBI .
Khi đó
cos cosOBI KBI KBO
cos .cos45 sin .sin45KBI KBI
1 2 2 2 3 2
. .
2 2
5 5 2 5
.
Kí hiệu 2AB x thì
, 2OI x OB x
.
Ta có
2 2 2
2. . .cosOI BO BI BO BI OBI
2 2
3 2
2 5 2. 2. 5.
2 5
x a x a
2 2
2 5 6x a xa
2 2 2
2 5 6x x a xa
2 2
6 5 0x xa a
5
x a
x a
.
Vì
x a
nên 5x a hay 5r OI a .
Vậy thể tích khối trụ
T là
2
3
5 .10 250V a a a
.
Câu 154: Cho hình trụ có hai đường tròn đáy lần lượt ngoại tiếp hai hình vuông đối diện của một hình lập
phương có cạnh 10cm . Tính thể tích khối trụ.
A.
3
300 cm
. B.
3
500 cm
. C.
3
250 cm
. D.
3
1000 cm
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Hình trụ tròn xoay cần tìm có chiều cao 10 cmh .
Bán kính 2 đáy của hình trụ bằng nhau và bằng
10 2
5 2 cm
2
R
.
Vậy thể tích của khối trụ là
2 3
500 cmV R h
.
Câu 155: Cho hình chữ nhật ABCD có cạnh 4AB , 2AD . Gọi M , N là trung điểm các cạnh AB và
CD . Cho hình chữ nhật quay quanh MN , ta được hình trụ tròn xoay có thể tích bằng
A. 32V
. B. 16V
. C. 8V
. D. 4V
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Hình trụ có đường cao 2h MN AD , bán kính đáy
1
2
2
R AB
.
Thể tích khối tròn xoay đã cho:
2
8V R h
.
Câu 156: Một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn nội tiếp hai mặt của một hình lập phương cạnh bằng 1.
Tính thể tích của khối trụ đó.
A.
. B.
2
. C.
4
. D.
3
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 20
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Theo giả thiết ta suy ra hình trụ có bán kính đáy
1
2
R
và chiều cao
1
h
.
Vậy thể tích hình trụ là:
2
4
V R h
.
Câu 157: Một hình vuông
ABCD
có AD
. Cho hình vuông đó quay quanh
CD
, ta được vật thể tròn
xoay có thể tích bằng.
A.
3
2
. B.
4
. C.
4
2
. D.
3
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
.
Vật thể tròn xoay tạo thành là một khối trụ có bán kính
r
và chiều cao h
do đó thể tích
của nó bằng:
2 2 4
. .V r h
(đvtt).
Câu 158: Cho hình trụ có các đáy là
2
hình tròn tâm
O
và
O
, bán kính đáy bằng chiều cao và bằng
a
.
Trên đường tròn đáy tâm
O
lấy điểm
A
, trên đường tròn đáy tâm
O
lấy điểm
B
sao cho
2
AB a
. Thể tích khối tứ diện
OO AB
theo
a
là.
A.
3
3
12
a
V
. B.
3
3
8
a
V
. C.
3
3
4
a
V
. D.
3
3
6
a
V
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
.
Kẻ đường sinh
AA
. Gọi
D
là điểm đối xứng với
A
qua
O
và
H
là hình chiếu của
B
trên
đường thẳng
A D
.
Do
, ( )
BH A D BH AA BH AOO A
.
2 2 2 2
3
A B AB A A a BD A D A B a
.
π
π
G
A
D
B
C
E
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 21
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
O BD
đều nên
3
2
a
BH
.
2
2
AOO
a
S
. Suy ra thể tích khối tứ diện
OO AB
là:
3
3
12
a
V
.
Câu 159: Gọi
T
là một hình trụ có diện tích xung quanh bằng 4
π
và có chiều cao bằng đường kính đáy.
Thể tích khối trụ
T
bằng:
A. 4
π
. B. 2
π
. C.
π
. D. 3
π
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có
2
π
xq
S rh
4
π 2π .2
r r
1
r
.
Thể tích khối trụ là
2
π
V r h
2
π1 .2.1 2π
.
Câu 160: Cho hình vuông
ABCD
quay quanh cạnh
AB
tạo ra hình trụ có độ dài của đường tròn đáy bằng
4 .
a
Tính theo
a
thể tích
V
của hình trụ này.
A.
3
8
V a
. B.
3
4
V a
. C.
3
2
V a
. D.
3
8
3
a
V
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
.
Theo giả thiết chu vi đáy
2 4 2
R a R a
.
2
h AB a
.
2 3
8
V R h a
.
Câu 161: Một khối trụ có hai đáy là hai hình tròn ngoại tiếp hai mặt của một hình lập phương cạnh
a
. Tính
theo
a
thể tích
V
của khối trụ đó.
A.
3
2
a
V
B.
3
4
a
V
C.
3
V a
D.
3
2
V a
Hướng dẫn giải
Chọn A
A
B
D
C
R
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 22
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Bán kính khối trụ bằng
2
2
a
R
.
Thể tích khối trụ bằng
2 3
2
. .
2 2
a a
V R h a
.
Câu 162: Khối trụ có chiều cao bằng bán kính đáy và diện tích xung quanh bằng 2
. Thể tích khối trụ là:
A.
. B. 2
. C. 4
. D. 3
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Gọi h và R là chiều cao và bán kính đáy của khối trụ. Khi đó h R .
Ta có:
2 2 . 2 1
xq
S R h R h
.
Thể tích khối trụ:
2
.V R h
.
Câu 163: Cho hình trụ có bán kính đáy bằng 2a . Một mặt phẳng đi qua trục của hình trụ và cắt hình trụ
theo thiết diện là hình vuông. Tính thể tích khối trụ đã cho.
A.
3
8 a
B.
3
16 a
C.
3
18 a
D.
3
4 a
Hướng dẫn giải
Chọn B
Thiết diện qua trục là hình vuông nên 2 4AB AA R a
.
Nên thể tích khối trụ:
2 2 3
. . .4 .4 16V B h R AA a a a
.
Câu 164: Cho hình vuông ABCD quay quanh cạnh AB tạo ra hình trụ có độ dài của đường tròn đáy bằng
4 .a
Tính theo
a
thể tích V của hình trụ này
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 23
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
3
4 .
V a
. B.
3
8 .
V a
. C.
3
8
.
3
a
V
D.
3
2 .
V a
.
Hướng dẫn giải.
.
Chọn B
Theo giả thiết chu vi đáy
2 4 2
R a R a
.
2
h AB a
.
2 3
8
V R h a
.
Câu 165: - 2017] Thiết diện qua trục của một khối trụ là hình chữ nhật
ABCD
có
4
AB a
,
5
AC a
(
AB
và
CD
thuộc hai đáy của khối trụ). Thể tích của khối trụ là.
A.
3
16
a
. B.
3
4
a
. C.
3
8
a
. D.
3
12
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
.
5
AC a
,
4
AB a
3
AD a
;
2
R a
.
2
2 3
2 3 12
V R h a a a
.
Câu 166: Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng qua trục ta được thiết diện là một hình vuông có cạnh bằng
2
.
Thể tích của khối trụ đó là.
A.
2
4
3
V
. B.
2
2
V
. C.
2
V
. D.
2
3
V
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Vì thiết diện qua trục là hình vuông có cạnh bằng.
2 nên ta có:
2r 2 2r 1
h r
2
2 .
V Bh r h
.
Câu 167: Tính thể tích
V
của khối trụ có bán kính đáy
4
r
và chiều cao
4 2
h
.
A.
32 2
V
. B.
32
V
. C.
128
V
. D.
64 2
V
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
2 2
4 .4 2 64 2
V r h
.
DẠNG 4: BÀI TOÁN LIÊN QUAN THIẾT DIỆN
Câu 168: Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:
A. Cắt hình nón tròn xoay bằng một mặt phẳng đi qua trục thu được thiết diện là tam giác cân.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 24
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
B. Cắt hình trụ tròn xoay bằng một mặt phẳng vuông góc với trục thu được thiết diện là hình
tròn.
C. Hình cầu có vô số mặt phẳng đối xứng.
D. Mặt cầu là mặt tròn xoay sinh bởi một đường tròn khi quay quanh một đường kính của nó.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Hình nón có các đường sinh bằng nhau nên khi cắt bằng một mặt phẳng đi qua trục thu được
thiết diện là tam giác cân. Vậy A đúng.
Mỗi mặt phẳng đi qua tâm của mặt cầu, khối cầu đều là một mặt phẳng đói xứng của mặt cầu,
khối cầu đó. Vậy C đúng.
Mặt cầu là mặt tròn xoay sinh bởi một đường tròn khi quay quanh một đường kính của nó. Vậy
D đúng.
Vậy Chọn B
Câu 169: Một hình trụ có bán kính đáy
a
, có thiết diện qua trục là một hình vuông. Tính theo
a
diện tích
xung quanh của hình trụ.
A.
2
4
a
. B.
2
2
a
. C.
2
3
a
. D.
2
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Vì hình trụ có bán kính đáy
a
, có thiết diện qua trục là một hình vuông nên có chiều cao
2
h a
.
Vậy diện tích xung quanh của hình trụ là:
2
2 2 . .2 4
xq
S rh a a a
.
Câu 170: Một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn tâm
O
và
O
có bán kính
R
và chiều cao
2
R . Mặt
phẳng
P
đi qua
OO
và cắt hình trụ theo một thiết diện có diện tích bằng bao nhiêu?
A.
2
2
R
. B.
2
2
R
. C.
2
2 2
R
. D.
2
4 2
R
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Gỉa sử
ABCD
là thiết diện của
P
với hình trụ.
Do
P
đi qua
OO
nên
ABCD
là hình chữ nhật.
2
. 2 . 2 2 2
ABCD
S AB AD R R R
.
Câu 171: Cho hình trụ (H) có bán kính đáy bằng chiều cao và bằng
10.
Một hình vuông ABCD có hai
cạnh AB và CD lần lượt là dây cung của hai đường tròn đáy, các cạnh AD và BC không là đường
sinh của hình trụ. Độ dài cạnh của hình vuông ABCD bằng?
A.
10
. B.
20
. C.
10
. D.
5
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 25
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
.
Gọi kích thước của hình vuông là
a
.
Kẻ
AH
vuông góc với mặt phẳng đáy. Ta có.
CD AD
CD HD
CD AH
nên
HC
là đường kính của đường tròn đáy.
Ta có hệ
2 2 2 2 2
2
2 2 2 2 2
40
25 5
10
DH DC HC DH a
a a
DH AH AD DH a
.
Câu 172: Xét hình trụ có thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông có cạnh bằng . Tính diện tích
toàn phần của hình trụ.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Biết thiết diện qua trục là hình vuông cạnh , vậy chiều cao hình trụ bằng , bán kính trụ
. Diện tích toàn phần của hình trụ là: .
Câu 173: Tính thể tích của khối trụ biết bán kính đáy của hình trụ đó bằng
a
và thiết diện đi qua trục là
một hình vuông.
A.
3
4
a
. B.
3
a
. C.
3
2
a
. D.
3
2
3
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Gọi
B
là diện tích đường tròn đáy của hình trụ,
h
là chiều cao của hình trụ.
Vì thiết diện đi qua trục là hình vuông nên ta có
2
h a
.
Vậy thể tích của khối trụ là:
.
V B h
2
.2
a a
3
2
a
.
Câu 174: Một khối trụ có bán kính đáy
10cm
, thiết diện qua trục là một hình vuông. Cắt khối trụ bởi một
mặt phẳng đi qua một đường kính đáy và tạo với đáy góc
45
để tạo ra một hình nêm (khối có
thể tích nhỏ hơn trong hai khối tạo ra). Thể tích của hình nêm bằng.
B
C
H
A
D
T
a
S
2
3
2
a
S
2
2
a
S
2
4
S a
2
S a
a
h a
2
a
r
2
2
2
3
2 2 2 2 .
2 2 2
tp
a a a
S r rh a
a
h
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 26
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
3
1000
cm
9
. B.
3
2000
cm
3
. C.
3
2000
cm
9
. D.
3
1000
cm
3
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có
3 3 0 3
2 2 2000
tan .10 tan45 cm
3 3 3
nem
V R
.
Câu 175: Một hình trụ có đường cao
10( )
cm
và bán kính đáy bằng
5( )
cm
.Gọi
( )
P
là mặt phẳng song song
với trục của hình trụ và cách trục
4( )
cm
. Tính diện tích thiết diện của hình trụ khi cắt bởi
( )
P
.
A.
2
30( ).
cm
B.
2
80( ).
cm
C.
2
60( ).
cm
D.
2
40( ).
cm
Hướng dẫn giải
Chọn C
AA' 10 .
cm
OA 5 .
cm
4 .
OI cm
2A 2 25 16 6 .
AB I cm
Câu 176: Cho hình trụ có đường cao bằng
8
a
. Một mặt phẳng song song với trục và cách trục hình trụ
3
a
,
cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông. Diện tích xung quanh và thể tích khối trụ bằng.
A.
2 3
60 ,180
a a
. B.
2 3
80 ,200
a a
. C.
2 3
80 ,180
a a
. D.
2 3
60 ,200
a a
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
.
Thiết diện
ABCD
là hình vuông có cạnh là
8
a
8
h a
.
Khoảng cách từ trục đến mặt phẳng
ABCD
là
3
d a
.
Suy ra bán kính đường tròn đáy
2
2
5
2
h
r d
.
Vậy
2
2 80
xq
S rh a
,
2 3
200
tr
V r h a
.
H
D
C
B
A
O'
O
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 27
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 177: Một hình trụ có bán kính đáy bằng
a
, mặt phẳng qua trục cắt hình trụ theo một thiết diện có diện
tích bằng
2
8a
. Tính diện tích xung quanh của hình trụ?
A.
2
8 a
. B.
2
16 a
. C.
2
2 a
. D.
2
4 a
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Thiết diện qua trục của hình trụ là hình chữ nhật, có độ dài một cạnh là 2a , có diện tích là
2
8a
,
suy ra chiều cao của hình trụ là
2
8
4
2
a
h a
a
.
Vậy diện tích xung quanh của hình trụ là:
2
xq
S rh
2. . .4a a
2
8 a
.
Câu 178: Cho hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông, diện tích xung quanh bằng
20
. Khi đó thể
tích của khối trụ là:
A.
20V
. B. 10 2V
. C.
10V
. D. 10 5V
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Do thiết diện qua trục là hình vuông nên
2h R
.
Ta có:
2
xq
S Rh
2 .2 20R R
2
5R 5R 2 5h .
Khi đó
2
2
. 2 5. . 5 10 5
V h R
.
Câu 179: Cho hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông ABCD cạnh bằng
2 3 cm với AB là đường
kính của đường tròn đáy tâm O. Gọi M là điểm thuộc cung
AB của đường tròn đáy sao cho
60
ABM
. Thể tích của khối tứ diện ACDM là:
A.
3
7 cm .V B.
3
4 cm .V C.
3
6 cm .V D.
3
3 cm .V
Hướng dẫn giải
Chọn D
C
O
O
D
A
H
M
B
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 28
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Ta có:
MAB
vuông tại
M
có
60
B
nên
3;
MB
3
MA
.
Gọi
H
là hình chiếu của
M
lên
AB
, suy ra
MH ACD
và
. 3
.
2
MB MA
MH
AB
Vậy
3
.
1 1 3
. . .6 3 cm .
3 3 2
M ACD ACD
V MH S
Câu 180: Cho hình trụ có bán kính đáy bằng , mặt phẳng qua trục và cắt hình trụ theo một thiết diện có
diện tích bằng . Diện tích toàn phần của hình trụ là
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Chọn D
Gọi là độ dài đường sinh của hình trụ.
Thiết diện qua trục của hình trụ là hình chữ nhật nên
Diện tích toàn phần là :
Câu 181: Bán kính đáy hình trụ bằng
4cm
, chiều cao bằng
6cm
. Độ dài đường chéo của thiết diện qua
trục bằng:
A.
6cm
. B.
10cm.
C.
5cm
. D.
8cm
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Theo đề bài ta có bán kính hình trụ la
4cm
R
, chiều cao bằng
6cm
h
. Giả sử thiết diện qua
trục là
ABCD
khi đó
ABCD
là hình chữ nhật có
2 8cm
AB R
,
6cm
AD h
.
Ta có:
2 2 2 2 2
6 8 100
AC AB AD
10
AC
.
Câu 182: Cho hình trụ có bán kính đáy bằng
R
và chiều cao bằng
3
2
R
. Mặt phẳng
song song với trục
của hình trụ và cách trục một khoảng bằng
2
R
. Tính diện tích thiết diện của hình trụ cắt bởi mặt
phẳng
.
A.
2
2 2
3
R
. B.
2
2 3
3
R
. C.
2
3 3
2
R
. D.
2
3 2
2
R
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
a
2
6
a
2
6
a
2
7
a
2
12
a
2
8
a
l
2
2 6 3
al a l a
2 2 2
2 2 2 3 2 8 .
S rl r a a a a
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 29
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Thiết diện của hình trụ cắt bởi mặt phẳng
là hình chữ nhật
ABCD
với
3
2
R
BC .
Gọi
H
là trung điểm
AB
, ta có
2
R
AH
2 2
2 2 3
AB HB R AH R .
Vậy diện tích thiết diện là:
2
3 3 3
. 3.
2 2
R R
S AB CD R .
Câu 183: Cho khối trụ có thiết diện qua trục
OO
là một hình vuông cạnh bằng
2
. Mặt phẳng
P
qua
trung điểm
I
của
OO
và tạo với mặt phẳng chứa đáy góc
30
. Diện tích của thiết diện do
P
cắt khối trụ gần số nào sau đây nhất?
A.
3,6
. B.
3,8
. C.
3,5
. D.
3,7
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Do thiết diện qua trục là một hình vuông cạnh bằng
2
nên chiều cao của hình trụ là
2
h
và bán kính đáy là
1
R
.
Giả sử giao tuyến của mặt phẳng
P
và đáy chứa tâm
O
là đường thẳng
d
. Gọi
E
là hình
chiếu của
O
trên
d
. Khi đó góc giữa
P
và mặt phẳng chứa đáy là góc
30
OEI
.
Trong tam giác vuông
IOE
có
2
tan 3 1
3
3
OI
OEI OE
OE
. Do đó điểm
E
nằm ngoài
đường tròn đáy nên thiết diện là Elip.
Trong tam giác vuông có.
2 4 3
cos
3
3
2
HM
AMH AM
AM
.
Hay .
Mà .
Thiết diện là hình elip nên diện tích bằng .
Câu 184: Cho hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông cạnh
2
a
. Mặt phẳng
P
song song với trục và
cách trục một khoảng
2
a
. Tính diện tích thiết diện của hình trụ cắt bởi mặt phẳng
P
.
OO
AHM
4 3 2 3
2
3 3
a a
2 2 1
CD b b
2 3
3,62
3
ab
O
I
M
H
A
C
D
O
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 30
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
2
4a
. B.
2
a
. C.
2
2 3a . D.
2
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
2h OO a
,
2
AB
r a
.
2
2
2 3
4
a
MN a a , 2NP a .
Diện tích thiết diện của hình trụ cắt bởi mặt phẳng
P là
2
3.2 2 3S a a a .
Câu 185: Một khối trụ có hai đáy hình tròn
;I r và
;I r
. Mặt phẳng
đi qua I và I
đồng thời cắt
hình trụ theo thiết diện là hình vuông có cạnh bằng 18. Tính thể tích khối trụ đã cho.
A. 486V . B. 486
. C. 1458V
. D. 1458V .
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có
18
18, 9
2
h r suy ra
2 2
. . . .9 .18 1458V S h r h
.
Câu 186: Một hình trụ có bán kính đáy bằng
R
và thiết diện qua trục là một hình vuông. Diện tích xung
quanh của hình trụ và thể tích của khối trụ lần lượt bằng?
A.
2 3
6 ;2
R R
.
B.
2 3
4 ;
R R .
C.
2 3
4 ;2
R R
. D.
2 3
2 ;2
R R
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
2 h l R
.
2
2 2 2 4
xp
S Rl R R R
.
2 3
.2 2
V Bh R R R
.
Câu 187: Cắt một hình trụ bằng mặt phẳng
vuông góc mặt đáy, ta được thiết diện là một hình vuông
có diện tích bằng 16. Biết khoảng cách từ tâm đáy hình trụ đến mặt phẳng
bằng 3. Tính thể
tích khối trụ.
A. 52 . B. 13 . C. 2 3 . D.
52
3
.
Hướng dẫn giải
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 31
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Chọn A
.
Dựng các dữ kiện bài toán theo hình vẽ trên.
Mặt phẳng
vuông góc mặt đáy, ta được thiết diện là một hình vuông
ABCD
có diện tích
bằng
16
Cạnh hình vuông bằng
4
.
Khoảng cách từ tâm
I
đáy hình trụ đến mặt phẳng
bằng
3
3
IO
.
Ta có
2 2
9 4 13
IA IO OA
.
Vậy thể tích khối trụ trên là:
2
. 13 .4 52
V dvtt
.
Câu 188: Cho hình trụ có hai đáy là hai đường tròn
O
và
O
, chiều cao bằng
2
R
và bán kính đáy
bằng
R
. Một mặt phẳng
( )
đi qua trung điểm của
OO
và tạo với
OO
một góc bằng
30 ,
( )
cắt đường tròn đáy theo một dây cung. Tính độ dài dây cung đó theo
.
R
.
A.
2
3
R
. B.
2
3
R
. C.
2 2
3
R
. D.
4
3 3
R
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Gọi
H
là hình chiếu vuông góc của
O
lên dây cung
AB
.
Ta có:
3
a
OH suy ra:
2
2
2 2
2
3
3
R R
AB R .
Câu 189: Một hình trụ có diện tích xung quanh bằng
4
, thiết diện qua trục là hình vuông. Một mặt phẳng
song song với trục, cắt hình trụ theo thiết diện là tứ giác
ABB A
, biết một cạnh của thiết
diện là một dây cung của đường tròn đáy của hình trụ và căng một cung
120
. Tính diện tích
thiết diện
ABB A
.
A.
2 3
. B.
2 2
. C.
3 2
. D.
3
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
O'
O
C
N
M
I
I'
A
B
D
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 32
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Gọi
R
,
h
,
l
lần lượt là bán kính, chiều cao, đường sinh của hình trụ.
Ta có
4
xq
S
2 . . 4
R l
. 2
R l
.
Giả sử
AB
là một dây cung của đường tròn đáy của hình trụ và căng một cung
120
.
Ta có
ABB A
là hình chữ nhật có
AA h l
.
Xét tam giác
OAB
cân tại
O
,
OA OB R
,
120
AOB
3
AB R
.
.
ABB A
S AB AA
3.
R l
. 3
Rl
2 3
.
Câu 190: Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn và , chiềcao bằng và bán kính đáy bằng
. Một mặt phẳng đi qua trung điểm của và tạo với một góc bằng cắt
hình tròn đáy theo một đoạn thẳng có độ dài . Tính theo .
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Chọn B
Giả sử cắt hình tròn theo dây cung
Gọi là trung điểm là trung điểm dây cung
Ta có từ đó suy ra được
Ta có: . Suy ra
Câu 191: Cho hình trụ có đường cao bằng
8
a
. Một mặt phẳng song song với trục và cách trục hình trụ
3
a
, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông. Diện tích xung quanh và thể tích khối trụ bằng
A.
2 3
60 ,180
a a
. B.
2 3
80 ,200
a a
. C.
2 3
60 ,200
a a
. D.
2 3
80 ,180
a a
.
O
O
2
R
R
OO
OO
30 ,
l
l
R
4
3 3
R
l
2 2
3
R
l
2
3
R
l
2
3
R
l
H
I
O'
O
A
B
( )
( , )
O R
.
AB
I
,
OO H
AB
AB OIH
( ,( ))
OO OIH
30
OIH
.tan
3
a
OH OI OIH
2
2
2 2
2
3
3
R R
AB R
O
O
A
B
A
B
R
l
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 33
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Hướng dẫn giải
Chọn B
Thiết diện
ABCD
là hình vuông có cạnh là
8
a
8
h a
.
Khoảng cách từ trục đến mặt phẳng
ABCD
là
3
d a
Suy ra bán kính đường tròn đáy
2
2
5
2
h
r d
Vậy
2
2 80
xq
S rh a
,
2 3
200
tr
V r h a
.
Câu 192: Cho một khối trụ có chiều cao bằng
8
cm
, bán kính đường tròn đáy bằng
6
cm
. Cắt khối trụ bởi
một mặt phẳng song song với trục và cách trục
4
cm
. Diện tích của thiết diện được tạo thành là:
A.
2
32 5
cm
. B.
2
16 3
cm
. C.
2
16 3
cm
. D.
2
32 3
cm
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
.
Ta có mặt phẳng
//
A AB O O
.
Kẻ
//
A B AB
thiết diện tạo thành là hình chữ nhật
ABB A
.
Kẻ ,
OH AB OH A A
OH A AB
.
, , 4
d O O A AB d O A ABB OH
.
Mà:
2 2
2 5 4 5 32 5
ABB A
AH OA OH AB S
.
Câu 193: Cho khối trụ có thiết diện qua trục
OO
là một hình vuông cạnh bằng
2
. Mặt phẳng
P
qua
trung điểm
I
của
OO
và tạo với mặt phẳng chứa đáy góc
30
. Diện tích của thiết diện do
P
cắt khối trụ gần số nào sau đây nhất? (trùng câu 7137)
A.
3,5
. B.
3,7
. C.
3,6
. D.
3,8
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
6cm
8cm
H
B
A
O
O'
A'
B'
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 34
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Do thiết diện qua trục là một hình vuông cạnh bằng
2
nên chiều cao của hình trụ là
2
h
và bán kính đáy là
1
R
.
Giả sử giao tuyến của mặt phẳng
P
và đáy chứa tâm
O
là đường thẳng
d
. Gọi
E
là hình
chiếu của
O
trên
d
. Khi đó góc giữa
P
và mặt phẳng chứa đáy là góc
30
OEI
.
Trong tam giác vuông
IOE
có
2
tan 3 1
3
3
OI
OEI OE
OE
. Do đó điểm
E
nằm ngoài
đường tròn đáy nên thiết diện là Elip.
Trong tam giác vuông có.
2 4 3
cos
3
3
2
HM
AMH AM
AM
.
Hay .
Mà .
Thiết diện là hình elip nên diện tích bằng .
Câu 194: Cho hình trụ
T
có đáy là các đường tròn tâm
O
và
O
, bán kính bằng
1
, chiều cao hình trụ
bằng
2
. Các điểm
A
,
B
lần lượt nằm trên hai đường tròn
O
và
O
sao cho góc
, 60
OA O B
. Tính diện tích toàn phần của tứ diện
OAO B
.
A.
4 19
2
S
B.
4 19
4
S
C.
3 19
2
S
D.
1 2 19
2
S
Hướng dẫn giải
Chọn A
OO
AHM
4 3 2 3
2
3 3
a a
2 2 1
CD b b
2 3
3,62
3
ab
O
I
M
H
A
C
D
O
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 35
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Gọi
B
là hình chiếu của
B
trên mặt phẳng chứa đường tròn
O
, khi đó
, , 60
OA O B OA OB
AOB
là tam giác đều cạnh
1
.
Gọi
H
là là hình chiếu của
B
trên
OA
thì
3
2
HB
19
2
BH
.
Gọi
S
là diện tích toàn phần của tứ diện
OAO B
thì
AOO AO B AOB BOO
S S S S S
2
AOO AOB
S S
1 1
2 . .
2 2
OAOO OA BH
1 1 19
2 .1.2 .1.
2 2 2
4 19
2
.
Câu 195: Một hình trụ có chiều cao gấp 3 lần bán kính đáy, biết rằng thể tích của khối trụ đó bằng
3
đơn
vị thể tích. Tính diện tích của thiết diện qua trục của hình trụ?
A.
3
6 9
. B.
3
. C.
3
3 9
. D.
6
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Gọi chiều cao hình trụ là
h
1
3
R h
.
Theo bài ra:
2
1
3 3
3
V h h h
.
Diện tích của thiết diện qua trục của hình trụ là
2 6.
S h R
.
Câu 196: Cắt một khối trụ bởi một mặt phẳng qua trục ta được thiết diện là hình chữ nhật
ABCD
có
AB
và
CD
thuộc hai đáy của khối trụ. Biết
6
AD
và góc
CAD
bằng
60 .
Thể tích của khối trụ là
A.
126 .
. B.
162 .
C.
24 .
. D.
112 .
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có xét tam giác
ACD
có:
tan
DC
DAC
AD
.tan
DC AD DAC
0
6.tan 60
6 3
Vì
DC
là đường kính của khối trụ nên suy ra bán kính khối trụ là
1
2
R DC
3 3
diện tích đáy khối trụ là
2
S R
2
3 3
27
Suy ra thể tích khối trụ là
.
V h S
6.27
162
.
Câu 197: Biết thiết diện qua trục của một hình trụ là hình vuông cạnh
a
, tính diện tích toàn phần
S
của
hình trụ đó.
O
A
B
B
H
O
60
0
D
C
B
A
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 36
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
2
3
S a
. B.
2
S a
. C.
2
5
4
S a
. D.
2
3
2
S a
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Vì thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông cạnh
a
nên ta có
2 2
h a
R
. Vậy
2 2
3
2 2 2
2
S R Rh R R h a
.
Câu 198: Cho hình trụ có trục
'
OO
, thiết diện qua trục là một hình vuông cạnh
2
a
. Mặt phẳng
P
song
song với trục và cách trục một khoảng
2
a
. Tính diện tích thiết diện của trụ cắt bởi
P
.
A.
2
2 3
a . B.
2
a
. C.
2
3
a . D.
2
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Mặt phẳng
P
song song với trục nên cắt hình trụ theo thiết diện là hình chữ nhật có một kích
thước là
2
a
. Kích thước còn lại là
2
2 2 2
2 2 3
2
a
r d a a
, trong đó
r a
bán kính
đáy và
2
a
d là khoảng cách từ trục đến mặt phẳng
P
.
Diện tích thiết diện là
2
2 3
a .
Câu 199: Một hình trụ có bán kính đáy
5cm
r
và khoảng cách giữa hai đáy
7cm
h
. Cắt khối trụ bởi
một mặt phẳng song song với trục và cách trục
3cm
. Diện tích của thiết diện được tạo thành là:
A.
2
46 cm
S . B.
2
55 cm
S . C.
2
53 cm
S . D.
2
56 cm
S .
Hướng dẫn giải
Chọn D
Gọi
,
O O
là tâm của hai đáy của hình trụ và
P
là mặt phẳng song song với trục và cách trục
OO
một khoảng
3cm
.
Mp
P
cắt hai hình tròn đáy
,
O O
theo hai dây cung lần lượt là
,
AB CD
và cắt mặt xung
quanh theo hai đường sinh là
,
AD BC
. Khi đó
ABCD
là hình chữ nhật.
Gọi
H
là trung điểm của
AB
. Ta có
;
OH AB OH AD OH ABCD
, , 3cm
d OO P d O ABCD OH
.
Khi đó:
2 2 2 2
2 2 2 5 3 8
AB AH OA OH
;
' 7cm
AD OO h
.
A
B
O
O
D
C
H
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 37
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Diện tích hình chữ nhật
ABCD
là:
2
. 56
ABCD
S AB AD cm
.
Câu 200: Cho một khối trụ có chiều cao
8
a
, bán kính đường tròn đáy bằng
6
a
. Cắt khối trụ bởi một mặt
phẳng song song với trục và cách trục
4
a
. Tính diện tích
S
của thiết diện được tạo thành.
A.
2
32 5
a
. B.
2
16 5
a
. C.
2
16 3
a
. D.
2
32 3
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
.
Ta có thiết diện là hình chữ nhật
CDEF
.
M
là trung điểm
CD
nên.
2 2
2 2
8 4 2 5
4 5
CM CA AM a a a
CD a
.
Diện tích thiết diện là.
2
8 .4 5 32 5
CDEF
S a a a
.
Câu 201: Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn
O
và
O
, chiều cao
2
R
và bán kính đáy
R
. Một
mặt phẳng
đi qua trung điểm của
OO
và tạo với
OO
một góc
30
. Hỏi
cắt đường
tròn đáy theo một dây cung có độ dài bằng bao nhiêu?
A.
2
3
R
. B.
2 2
3
R
. C.
4
3 3
R
. D.
2
3
R
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Gọi
M
là trung điểm của
OO
. Gọi
A
,
B
là giao điểm của mặt phẳng
và đường tròn
O
và
H
là hình chiếu của
O
trên
AB
AB MHO
.
Trong mặt phẳng
MHO
kẻ
OK MH
,
K MH
khi đó góc giữa
OO
và mặt phẳng
là
góc
30
OMK
.
H
M
O'
O
A
D
C
B
K
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 38
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Xét tam giác vuông
MHO
ta có
tan30
HO OM
tan30
R
3
3
R
.
Xét tam giác vuông
AHO
ta có
2 2
AH OA OH
2
2
3
R
R
2
3
R
.
Do
H
là trung điểm của
AB
nên
2 2
3
R
AB .
Câu 202: Cho hình trụ có thiết diện qua trục là một hình vuông, diện tích mỗi mặt đáy bằng
2
9 cm
S
.
Tính diện tích xung quanh hình trụ đó.
A.
2
36 cm
xq
S
. B.
2
18 cm
xq
S
. C.
2
72 cm
xq
S
. D.
2
9 cm
xq
S
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Thiết diện qua trục là một hình vuông nên
2
h r
.
Diện tích đáy
2
9 cm
S
2
9
r
3 cm
r
6 cm
h .
Vậy diện tích xung quanh
2
2 36 cm
xq
S r h
.
Câu 203: Hình trụ có bán kính đáy bằng
,
a
chu vi của thiết diện qua trục bằng
10 .
a
Thể tích của khối trụ
đã cho bằng.
A.
3
a
. B.
3
3
a
. C.
3
4
a
. D.
3
5
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
.
Thiết diện qua trục là 1 hình chữ nhật.
Giả sử chiều cao của khối trụ là
.
b
.
Theo đề ra
2 2 10 3 .
a b a b a
.
Thể tích khối trụ là
2 3
. .3 3
V S h a a a
.
Câu 204: Một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn tâm
O
,
O
và có bán kính
5
r
. Khoảng cách giữa hai
đáy là
6
OO
. Gọi
là mặt phẳng qua trung điểm của đoạn
OO
và tạo với đường thẳng
OO
một góc
45
. Tính diện tích
S
của thiết diện tạo với mặt phẳng
và hình trụ.
A.
36
S
. B.
48 2
S . C.
24 2
S . D.
36 2
S .
Hướng dẫn giải
Chọn B
Gọi
I
là trung điểm của đoạn
OO
.
a
b
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 39
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Do
1
6 3
2
IO
nên mặt phẳng cắt hình trụ theo một hình chữ nhật.
Ta có
2 2
.tan 45 3 ; 5 5 3 4 8
OC OI O A r AC AB
Nên chiều rộng của
nó là
8
AB
.
Chiều dài của hình chữ nhật là:
2 2 2 2
2 2 2 3 3 6 2
IC O C O I
.
Vậy diện tích là:
6 2.8 48 2
.
Câu 205: Cắt một khối trụ bởi một mặt phẳng qua trục ta được thiết diện là hình chữ nhật
ABCD
có cạnh
AB
và cạnh
CD
nằm trên hai đáy của khối trụ. Biết
2
BD a
,
60
DAC
. Tính thể tích
khối trụ.
A.
3
3 2
32
a
. B.
3
3 2
48
a
. C.
3
3 6
16
a
. D.
3
3 2
16
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có
ABCD
là hình chữ nhật nên tam giác
ADC
vuông tại
D
và
2
BD AC a
.
Xét tam giác vuông
ADC
có
sin
DC
DAC
AC
sin
DC AC DAC
2.sin60
DC a
6
2
a
DC
bán kính mặt đáy
của hình trụ là
6
4
a
r
.
cos
AD
DAC
AC
cos
AD AC DAC
2cos60
AD a
2
2
a
AD
chiều cao của
hình trụ là
2
2
a
h
.
Thể tích khối trụ là
2
V r h
2
6 2
4 2
a a
3
3 2
16
a
.
60
0
D
C
B
A
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 1
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
DẠNG 5: HÌNH TRỤ NỘI TIẾP-NGOẠI TIẾP KHỐI LĂNG TRỤ
Câu 206: Một hình trụ có bán kính đáy là
R
, thiết diện qua trục là một hình vuông. Thể tích của hình lăng
trụ tứ giác đều nội tiếp trong hình trụ đã cho là
A.
3
4 2
R
. B.
3
8
R
. C.
3
4
R
. D.
3
2
R
.
Câu 207: Cho hình lập phương
H
có cạnh bằng
a
. Hình trụ có hai đường tròn đáy nội tiếp hai đáy của
H
có diện tích xung quanh là:
A.
2
3
4
a
B.
2
2
a
C.
2
a
D.
2
3
a
Câu 208: Cho lập phương có cạnh bằng
a
và một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn nội tiếp hai mặt đối
diện của hình lập phương. Gọi
1
S
là diện tích
6
mặt của hình lập phương,
2
S
là diện tích xung
quanh của hình trụ. Hãy tính tỉ số
2
1
S
S
.
A.
2
1
6
S
S
B.
2
1
2
S
S
C.
2
1
S
S
D.
2
1
1
2
S
S
Câu 209: Cho tứ diện
ABCD
cạnh
a
. Diện tích xung quanh hình trụ có đáy là đường tròn ngoại tiếp tam
giác
BCD
và có chiều cao bằng chiếu cao tứ diện
ABCD
là:
A.
2
3
2
a
B.
2
2 2
3
a
. C.
2
2
3
a
. D.
2
2 3
2
a
.
Câu 210: Một hình trụ có bán kính đáy bằng
R
và thiết diện đi qua trục là hình vuông. Tính thể tích
V
của
khối lăng trụ tứ giác đều nội tiếp hình trụ.
A.
3
2
V R
. B.
3
5
V R
. C.
3
3
V R
. D.
3
4
V R
.
Câu 211: Cho hình lăng trụ tam giác đều .
ABC A B C
có độ dài cạnh đáy bằng
a
và chiều cao bằng
h
. Tính
thể tích
V
của khối trụ ngoại tiếp lăng trụ đã cho.
A.
2
9
a h
V
. B.
2
3
a h
V
. C.
2
3
V a h
. D.
2
9
a h
V
.
Câu 212: Cho lăng trụ đứng .
ABC A B C
có cạnh bên
2
AA a
. Tam giác ABC vuông tại A có
2 3
BC a
. Thể tích của khối trụ ngoại tiếp khối lăng trụ này là
A.
3
6
a
B.
3
4
a
. C.
3
8
a
. D.
3
2
a
.
Câu 213: Một hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông, diện tích xung quanh bằng
2
36
a
. Tính thể tích
V
của lăng trụ lục giác đều nội tiếp hình trụ.
A.
3
24 3
V a
. B.
3
36 3
V a
. C.
3
27 3
V a
. D.
3
81 3
V a
.
Câu 214: Cho hình lăng trụ đều .
ABC A B C
, biết góc giữa hai mặt phẳng
A BC
và
ABC
bằng
45
,
diện tích tam giác
A BC
bằng
2
6
a . Tính diện tích xung quanh của hình trụ ngoại tiếp hình lăng
trụ .
ABC A B C
.
A.
2
8 3
3
a
. B.
2
4 3
3
a
. C.
2
2
a
. D.
2
4
a
.
Câu 215: Cho lăng trụ đứng
.
ABC A B C
có độ dài cạnh bên bằng
2
a
, đáy
ABC
là tam giác vuông cân tại
A
, góc giữa
AC
và mặt phẳng
BCC B
bằng
30
(tham khảo hình vẽ). Thể tích của khối trụ ngoại
tiếp lăng trụ
.
ABC A B C
bằng
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 2
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
3
4
a
. B.
3
3
a
. C.
3
a
. D.
3
2
a
.
Câu 216: Tính diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay ngoại tiếp một hình lăng trụ tam giác đều có tất
cả các cạnh đáy bằng
1
.
A.
3.
xq
S
B.
2 3
3
xq
S
. C.
2 3
3
xq
S
D.
3
xq
S
.
Câu 217: Cho hình lăng trụ tam giác đều .
ABC A B C
có độ dài cạnh đáy bằng
a
và chiều cao bằng
h
. Tính
thể tích
V
của khối trụ ngoại tiếp lăng trụ đã cho.
A.
2
3
a h
V
. B.
2
3
V a h
. C.
2
V a h
. D.
2
9
a h
V
.
Câu 218: Cho hình lăng trụ tam giác đều .
ABC A B C
có độ dài cạnh đáy bằng
a
, chiều cao là
h
. Tính thể tích
V
của khối trụ ngoại tiếp hình lăng trụ.
A.
2
V a h
. B.
2
9
a h
V
. C.
2
3
a h
V
. D.
2
3
V a h
.
Câu 219: Cho hình lập phương .
ABCD ABC D
có cạnh bằng
a
. Gọi
S
là diện tích xung quanh của hình
trụ có hai đường tròn đáy ngoại tiếp hai hình vuông
ABCD
và
ABC D
. Tính
S
.
A.
2
2
2
a
. B.
2
a
. C.
2
2
a
. D.
2
3
a
.
Câu 220: Cho hình trụ có chiều cao bằng
6 2
cm
. Biết rằng một mặt phẳng không vuông góc với đáy và cắt
hai mặt đáy theo hai dây cung song song
AB
,
A B
mà
6
AB A B cm
, diện tích tứ giác
ABB A
bằng
2
60
cm
. Tính bán kính đáy của hình trụ.
A.
5 2
cm
B.
5
cm
C.
3 2
cm
D.
4
cm
C'
B'
B
A
C
A'
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 1
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
DẠNG 5: HÌNH TRỤ NỘI TIẾP-NGOẠI TIẾP KHỐI LĂNG TRỤ
Câu 206: Một hình trụ có bán kính đáy là
R
, thiết diện qua trục là một hình vuông. Thể tích của hình lăng
trụ tứ giác đều nội tiếp trong hình trụ đã cho là
A.
3
4 2
R
. B.
3
8
R
. C.
3
4
R
. D.
3
2
R
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Do thiết diện qua trục là hình vuông nên chiều cao của hình trụ là
2
R
.
Hình vuông nội tiếp đường tròn đáy có cạnh là
2
R , do đó có diện tích
2
2
R
.
Thể tích cần tìm là
3
4
R
.
Câu 207: Cho hình lập phương
H
có cạnh bằng
a
. Hình trụ có hai đường tròn đáy nội tiếp hai đáy của
H
có diện tích xung quanh là:
A.
2
3
4
a
B.
2
2
a
C.
2
a
D.
2
3
a
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có
2
2 2
2
a
V rl a a
.
Câu 208: Cho lập phương có cạnh bằng
a
và một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn nội tiếp hai mặt đối
diện của hình lập phương. Gọi
1
S
là diện tích
6
mặt của hình lập phương,
2
S
là diện tích xung
quanh của hình trụ. Hãy tính tỉ số
2
1
S
S
.
A.
2
1
6
S
S
B.
2
1
2
S
S
C.
2
1
S
S
D.
2
1
1
2
S
S
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có
2
1
6
S a
,
2
2
S rh
2
a
Vậy
2
1
2
2
6 6
S a
S a
2
1
6
S
S
Câu 209: Cho tứ diện
ABCD
cạnh
a
. Diện tích xung quanh hình trụ có đáy là đường tròn ngoại tiếp tam
giác
BCD
và có chiều cao bằng chiếu cao tứ diện
ABCD
là:
A.
2
3
2
a
B.
2
2 2
3
a
. C.
2
2
3
a
. D.
2
2 3
2
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
2
a
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 2
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Ta có
3 2 3
.
2 3 3
a a
R OB .
2
2 2 2
6
3 3
a a
l OA AB OB a
Diện tích xung quanh hình trụ là
2
3 6 2 2
2 2
3 3 3
xq
a a a
S Rl
.
Câu 210: Một hình trụ có bán kính đáy bằng
R
và thiết diện đi qua trục là hình vuông. Tính thể tích
V
của khối lăng trụ tứ giác đều nội tiếp hình trụ.
A.
3
2
V R
. B.
3
5
V R
. C.
3
3
V R
. D.
3
4
V R
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
.
Do thiết diện quểntục là hình vuông nên đường sinh của hình trụ là: 2
l R h
.
Do lăng trụ tứ giác đều nội tiếp hình trụ, nên đáy của lăng trụ là hình vuông có đường chéo:
2 2 2
AC R AB AB R
2
3
2 2 4
LT
V Bh R R R
.
Câu 211: Cho hình lăng trụ tam giác đều .
ABC A B C
có độ dài cạnh đáy bằng
a
và chiều cao bằng
h
.
Tính thể tích
V
của khối trụ ngoại tiếp lăng trụ đã cho.
A.
2
9
a h
V
. B.
2
3
a h
V
. C.
2
3
V a h
. D.
2
9
a h
V
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đều cạnh
a
là
3
3
a
R .
Chiều cao khối trụ bằng chiều cao khối lăng trụ bằng
h
.
a
a
O
M
B
D
C
A
R
2R
O'
O
B'
C'
D'
A'
D
C
B
A
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 3
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Thể tích khối trụ là:
2
V R h
2
2
3 3
3
ha
V h
a
.
Câu 212: Cho lăng trụ đứng .ABC A B C
có cạnh bên 2AA a
. Tam giác ABC vuông tại A có
2 3BC a
. Thể tích của khối trụ ngoại tiếp khối lăng trụ này là
A.
3
6
a
B.
3
4
a
. C.
3
8
a
. D.
3
2
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có
2
V r h
trong đó 3
2
BC
r AI a và 2h AA a
.
Vậy
2
3
3 2 6V a a a
.
Câu 213: Một hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông, diện tích xung quanh bằng
2
36
a
. Tính thể
tích V của lăng trụ lục giác đều nội tiếp hình trụ.
A.
3
24 3V a . B.
3
36 3V a . C.
3
27 3V a . D.
3
81 3V a .
Hướng dẫn giải
Chọn D
Diện tích xung quanh hình trụ 2
xq
S rl
2
2 .2 36r r a
3r a
Lăng trụ lục giác đều có đường cao 6h l a
Lục giác đều nội tiếp đường tròn có cạnh bằng bán kính của đường tròn
Suy ra diện tích lục giác đều
2
3 3
6.
4
a
S
2
27 3
2
a
.
Vậy thể tích
3
. 81 3V S h a .
Câu 214: Cho hình lăng trụ đều .ABC A B C
, biết góc giữa hai mặt phẳng
A BC
và
ABC bằng 45,
diện tích tam giác A BC
bằng
2
6a . Tính diện tích xung quanh của hình trụ ngoại tiếp hình
lăng trụ .ABC A B C
.
A.
2
8 3
3
a
. B.
2
4 3
3
a
. C.
2
2 a
. D.
2
4 a
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 4
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Gọi
M
là trung điểm
BC
. Khi đó ta có
BC AM
,
BC A M
Suy ra:
, 45
A BC ABC A MA
A A AM
. Gọi
O
là trọng tâm tam giác
ABC
.
Đặt
BC x
,
0
x
. Ta có
3
2
x
AM A A
6
2
x
A M
.
Nên
2
2
1 6
. . 6
2 4
A BC
x
S A M BC a
2
x a
.
Khi đó:
2 2 2 3 2 3
.
3 3 2 3
a a
AO AM và
3
A A a
.
Suy ra diện tích xung quang khối trụ là:
2 . .
xq
S OA A A
2
2 3
2 . . 3 4
3
a
a a
.
Câu 215: Cho lăng trụ đứng
.
ABC A B C
có độ dài cạnh bên bằng
2
a
, đáy
ABC
là tam giác vuông cân tại
A
, góc giữa
AC
và mặt phẳng
BCC B
bằng
30
(tham khảo hình vẽ). Thể tích của khối trụ
ngoại tiếp lăng trụ
.
ABC A B C
bằng
A.
3
4
a
. B.
3
3
a
. C.
3
a
. D.
3
2
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
45°
C'
B'
O
M
A
C
B
A'
C'
B'
B
A
C
A'
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 5
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Gọi bán kính của hình trụ là
R
.
Ta có:
CC ABC
CC AI
.
Lại có tam giác
ABC
là tam giác vuông cân tại
A
nên
AI BC
do đó
AI BCC B
hay góc
giữa
AC
và mặt phẳng
BCC B
là
IC A
.
Xét tam giác
AIC
ta có:
tan
AI
IC
IC A
3
R .
Xét tam giác
CIC
ta có:
2 2 2
IC IC CC
2 2 2
3 4
R R a
2
R a
.
Thể tích khối trụ ngoại tiếp lăng trụ .
ABC A B C
là:
2
.
V R h
3
4
a
.
Câu 216: Tính diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay ngoại tiếp một hình lăng trụ tam giác đều có tất
cả các cạnh đáy bằng
1
.
A.
3.
xq
S
B.
2 3
3
xq
S
. C.
2 3
3
xq
S
D.
3
xq
S
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Bán kính đường tròn đáy của hình trụ:
2 3 3
3 2 3
R
Diện tích xung quanh của hình trụ:
2 3
2
3
xq
S Rl
.
Câu 217: Cho hình lăng trụ tam giác đều .
ABC A B C
có độ dài cạnh đáy bằng
a
và chiều cao bằng
h
.
Tính thể tích
V
của khối trụ ngoại tiếp lăng trụ đã cho.
A.
2
3
a h
V . B.
2
3
V a h
. C.
2
V a h
. D.
2
9
a h
V .
Hướng dẫn giải
Chọn A
Khối trụ ngoại tiếp lăng trụ tam giác đều có hình tròn đáy là hình tròn ngoại tiếp tam giác đáy
của lăng trụ, và chiều cao bằng chiều cao lăng trụ.
Tam giác đều cạnh
a
có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng
3
3
a
.
Vậy thể tích của khối trụ cần tìm là
2
2
3
. ..
3 3
a
V h S
a h
h (đvtt).
Câu 218: Cho hình lăng trụ tam giác đều .
ABC A B C
có độ dài cạnh đáy bằng
a
, chiều cao là
I
C'
B'
B
A
C
A'
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 6
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
h
. Tính thể tích
V
của khối trụ ngoại tiếp hình lăng trụ.
A.
2
V a h
. B.
2
9
a h
V
. C.
2
3
a h
V
. D.
2
3
V a h
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Gọi
G
là trọng tâm của tam giác
ABC
. Do
ABC
là tam giác đều nên
G
là tâm đường tròn
ngoại tiếp tam giác
ABC
.
Ta có
2
3
AG AM
2 3
.
3 2
a
3
3
a
.
Vậy thể tích của khối trụ ngoại tiếp hình lăng trụ là
2
V R h
2
3
a h
.
Câu 219: Cho hình lập phương .
ABCD AB CD
có cạnh bằng
a
. Gọi
S
là diện tích xung quanh của hình
trụ có hai đường tròn đáy ngoại tiếp hai hình vuông
ABCD
và
ABC D
. Tính
S
.
A.
2
2
2
a
. B.
2
a
. C.
2
2
a
. D.
2
3
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Theo đề bài, ta suy ra hình trụ có
Độ dài đường sinh
l AA a
.
Bán kính đáy
2
2 2
AC a
R
Diện tích xung quanh của hình trụ là
2
2
2 2 . . 2
2
a
S Rl a a
.
Câu 220: Cho hình trụ có chiều cao bằng
6 2
cm
. Biết rằng một mặt phẳng không vuông góc với đáy và
cắt hai mặt đáy theo hai dây cung song song
AB
,
A B
mà
6
AB A B cm
, diện tích tứ giác
ABB A
bằng
2
60
cm
. Tính bán kính đáy của hình trụ.
A.
5 2
cm
B.
5
cm
C.
3 2
cm
D.
4
cm
Hướng dẫn giải
Chọn D
Gọi
O
,
O
là tâm các đáy hình trụ (hình vẽ).
Vì
AB A B
nên
ABB A
đi qua trung điểm của đoạn
OO
và
ABB A
là hình chữ nhật.
Ta có
.
ABB A
S AB AA
60 6.
AA
10
AA cm
.
A'
C'
B'
G
B
C
A
M
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 7
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Gọi
1
A
,
1
B
lần lượt là hình chiếu của
A
,
B
trên mặt đáy chứa
A
và
B
1 1
A B B A
là hình chữ nhật có
6
A B cm
,
2 2
1 1
B B BB BB
2
2
10 6 2
2 7
cm
Gọi
R
là bán kính đáy của hình trụ, ta có
2 2
1 1
2 8
R A B B B A B
4
R cm
.
O
O
A
B
A
B
1
A
1
B
6 2
6
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 1
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
MẶT CẦU, KHỐI CẦU
A – KIẾN THỨC CHUNG
1/ Định nghĩa
Tập hợp các điểm trong không gian cách điểm cố định một khoảng gọi là mặt cầu tâm , bán
kính , kí hiệu là: . Khi đó
2/ Vị trí tương đối của một điểm đối với mặt cầu
Cho mặt cầu và một điểm bất kì, khi đó:
Nếu . Khi đó gọi là bán kính mặt cầu. Nếu và là hai bán
kính sao cho thì đoạn thẳng gọi là một đường kính của
mặt cầu.
Nếu nằm trong mặt cầu.
Nếu nằm ngoài mặt cầu.
Khối cầu là tập hợp tất cả các điểm sao cho .
3/ Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu
Cho mặt cầu và một . Gọi là khoảng cách từ tâm của mặt cầu đến và là
hình chiếu của trên .
Nếu cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn nằm trên có
tâm là và bán kính (hình a).
Nếu không cắt mặt cầu (hình b).
Nếu có một điểm chung duy nhất. Ta nói mặt cầu tiếp xúc .
Do đó, điều kiện cần và đủ để tiếp xúc với mặt cầu là (hình c).
Hình a Hình b Hình c
4/ Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu
Cho mặt cầu và một đường thẳng . Gọi là hình chiếu của trên đường thẳng và là
khoảng cách từ tâm của mặt cầu đến đường thẳng . Khi đó:
Nếu không cắt mặt cầu .
M
O
R
O
R
;R
S O
;R |
S O M OM R
;R
S O
A
R ;R
OA A S O
OA
OA
OB
OA OB
AB
R
OA A
R
OA A
;R
S O
M
R
OM
;R
S O
mp P
d
O
mp P
H
O
mp P d OH
d R
mp P
;R
S O
mp P
H
2 2 2 2
r HM R d R OH
d R mp P
;R
S O
d R mp P
;R
S O
mp P
mp P
;R
S O
,
d O P R
;R
S O
H
O
d OH
O
d R
;R
S O
A
A
A
B
O
d
d
=
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 2
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Nếu cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt.
Nếu và mặt cầu tiếp xúc nhau (tại một điểm duy nhất). Do đó: điều kiện cần và đủ để
đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu là .
Định lí: Nếu điểm nằm ngoài mặt cầu thì:
Qua có vô số tiếp tuyến với mặt cầu .
Độ dài đoạn thẳng nối với các tiếp điểm đều bằng nhau.
Tập hợp các điểm này là một đường tròn nằm trên mặt cầu .
5/ Diện tích và thể tích mặt cầu
• Diện tích mặt cầu: . • Thể tích mặt cầu: .
*MẶT CẦU NGOẠI TIẾP KHỐI ĐA DIỆN
1/ Các khái niệm cơ bản
Trục của đa giác đáy: là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp của đa giác đáy và vuông
góc với mặt phẳng chứa đa giác đáy.
Bất kì một điểm nào nằm trên trục của đa giác thì cách đều các đỉnh của đa giác đó.
Đường trung trực của đoạn thẳng: là đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc
với đoạn thẳng đó.
Bất kì một điểm nào nằm trên đường trung trực thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng.
Mặt trung trực của đoạn thẳng: là mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với
đoạn thẳng đó.
Bất kì một điểm nào nằm trên mặt trung trực thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng.
2/ Tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp: là điểm cách đều các đỉnh của hình chóp. Hay nói cách khác, nó
chính là giao điểm I của trục đường tròn ngoại tiếp mặt phẳng đáy và mặt phẳng trung trực của một
cạnh bên hình chóp.
Bán kính: là khoảng cách từ I đến các đỉnh của hình chóp.
3/ Cách xác định tâm và bán kính mặt cầu của một số hình đa diện cơ bản
a/ Hình hộp chữ nhật, hình lập phương.
- Tâm: trùng với tâm đối xứng của hình hộp chữ nhật (hình lập phương).
Tâm là , là trung điểm của .
- Bán kính: bằng nửa độ dài đường chéo hình hộp
chữ nhật (hình lập phương).
Bán kính: .
b/ Hình lăng trụ đứng có đáy nội tiếp đường tròn.
Xét hình lăng trụ đứng , trong đó có 2 đáy
và nội tiếp đường tròn và . Lúc đó,
mặt cầu nội tiếp hình lăng trụ đứng có:
- Tâm: với là trung điểm của .
d R
;R
S O
d R
,
d d O R
A
;R
S O
A
;R
S O
A
;R
S O
2
4
C
S R
3
4
3
C
V R
I
'
AC
'
2
AC
R
' ' ' '
1 2 3 1 2 3
... . ...
n n
A A A A A A A A
1 2 3
...
n
A A A A
' ' ' '
1 2 3
...
n
A A A A
O
'
O
I
I
'
OO
C’
A B
D
D’
B’
I
A’
C
A
C’
I
O
O’
I
A
1
A
2
A
3
A
n
A’
1
A’
2
A’
3
A’
n
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 3
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
- Bán kính: .
c/ Hình chóp có các đỉnh nhìn đoạn thẳng nối 2 đỉnh còn lại dưới 1 góc vuông.
- Hình chóp có .
+ Tâm: là trung điểm của .
+ Bán kính: .
- Hình chóp có
.
+ Tâm: là trung điểm của .
+ Bán kính: .
d/ Hình chóp đều.
Cho hình chóp đều
- Gọi là tâm của đáy là trục của đáy.
- Trong mặt phẳng xác định bởi và một cạnh bên,
chẳng hạn như , ta vẽ đường trung trực của cạnh
là cắt tại và cắt tại là tâm của mặt cầu.
- Bán kính:
Ta có: Bán kính là:
e/ Hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy.
Cho hình chóp có cạnh bên đáy và đáy nội tiếp được trong đường tròn
tâm . Tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp được xác định như sau:
- Từ tâm ngoại tiếp của đường tròn đáy, ta vẽ đường thẳng vuông góc với tại .
- Trong , ta dựng đường trung trực của cạnh , cắt tại , cắt tại .
là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
và bán kính
- Tìm bán kính:
Ta có: là hình chữ nhật.
Xét vuông tại có:
.
f/ Hình chóp khác.
- Dựng trục của đáy.
- Dựng mặt phẳng trung trực của một cạnh bên bất kì.
'
1 2
...
n
R IA IA IA
.
S ABC
0
90
SAC SBC
I
SC
2
SC
R IA IB IC
.
S ABCD
0
90
SAC SBC SDC
I
SC
2
SC
R IA IB IC ID
. ...
S ABC
O
SO
SO
mp SAO
SA
SA
M
SO
I
I
SM SI
SMI SOA
SO SA
2
.
...
2
SM SA SA
R IS IA IB IC
SO SO
. ...
S ABC
SA
...
ABC
...
ABC
O
. ...
S ABC
O
d
...
mp ABC
O
,
mp d SA
SA
SA
M
d
I
I
...
R IA IB IC IS
MIOB
MAI
M
2
2 2 2
2
SA
R AI MI MA AO
S
A
I
C
B
S
A
B
C
I
S
A
B
C
D
O
I
∆
M
A
S
M
∆
I
O
B
C
d
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 4
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
- là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
- Bán kính: khoảng cách từ đến các đỉnh của hình chóp.
g/ Đường tròn ngoại tiếp một số đa giác thường gặp.
Khi xác định tâm mặt cầu, ta cần xác định trục của mặt phẳng đáy, đó chính là đường thẳng vuông góc với
mặt phẳng đáy tại tâm O của đường tròn ngoại tiếp đáy. Do đó, việc xác định tâm ngoại O là yếu tố rất
quan trọng của bài toán.
KỸ THUẬT XÁC ĐỊNH MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHÓP.
Cho hình chóp (thoả mãn điều kiện tồn tại mặt cầu ngoại tiếp). Thông thường, để xác định
mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ta thực hiện theo hai bước:
Bước 1: Xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. Dựng : trục đường tròn ngoại tiếp đa
giác đáy.
Bước 2: Lập mặt phẳng trung trực của một cạnh bên.
Lúc đó : - Tâm O của mặt cầu:
- Bán kính: . Tuỳ vào từng trường hợp.
Lưu ý: Kỹ năng xác định trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.
I I
I
1 2
. ...
n
S A A A
( )
mp( )
O
R SA SO
H
O
I
D
C
B
A
S
∆ vuông: O là trung điểm
của cạnh huyền.
O
Hình vuông: O là giao
điểm 2 đường chéo.
O
Hình chữ nhật: O là giao
điểm
của hai đường chéo.
O
O
∆ đều: O là giao điểm của 2
đường trung tuyến (trọng
∆ thường: O là giao điểm của
hai đường trung trực của hai
cạnh ∆.
O
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 5
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
1. Trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy: là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp đáy và
vuông góc với mặt phẳng đáy.
Tính chất:
Suy ra:
2. Các bước xác định trục:
- Bước 1: Xác định tâm H của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.
- Bước 2: Qua H dựng vuông góc với mặt phẳng đáy.
VD: Một số trường hợp đặc biệt
A. Tam giác vuông B. Tam giác đều
C. Tam giác bất kì
3. Lưu ý: Kỹ năng tam giác đồng dạng
đồng dạng với .
4. Nhận xét quan trọng:
là trục đường tròn ngoại tiếp .
5. Ví dụ: Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Dạng 1: Chóp có các điểm cùng nhìn một đoạn dưới một góc vuông.
Ví dụ: Cho . Theo đề bài:
BC
(SAB)
BC
SB
Ta có B và A nhìn SC dưới một góc vuông
nên B và A cùng nằm trên một mặt cầu có đường kính là SC.
Gọi là trung điểm là tâm MCNT khối chóp và bán kính .
Dạng 2: Chóp có các cạnh bên bằng nhau.
Ví dụ: Cho hình chóp tam giác đều .
+ Vẽ thì là tâm đường tròn ngoại tiếp .
+ Trên mặt phẳng , vẽ đường trung trực của , đường này cắt
tại thì là tâm mặt cầu ngoại tiếp và bán kính .
+ Ta có
Dạng 3: Chóp có một mặt bên vuông góc với đáy.
:
M MA MB MC
MA MB MC M
SMO
SO SM
SIA
SA SI
, : SM
MA MB MC
M S
SA SB SC
ABC
. :
SA ABC
S ABC
ABC B
BC AB gt
BC SA SA ABC
I
SC
I
.
S ABC
R SI
.
S ABC
SG ABC
G
ABC
SGC
SC
SG
I
I
.
S ABC
R IS
2
.
2
SG SC SC SK SC
SGC SKI g g R
SK SI SG SG
H
M
C
B
A
H
A
B
C
C
B
A
H
B
A
C
H
A
M
I
O
S
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 6
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Ví dụ: Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại . Mặt bên và
đều. Gọi lần lượt là trung điểm của .
Ta có là tâm đường tròn ngoại tiếp (do ).
Dựng là trục đường tròn ngoại tiếp ( qua và song song ).
Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp và là trục đường tròn ngoại tiếp
, cắt tại là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp
Bán kính . Xét .
B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
DẠNG 1: TÍNH BÁN KÍNH KHỐI CẦU
Câu 1.Cho hình chóp
.
S ABC
có
SA a
,
SB b
,
SC c
và 3 cạnh
SA
,
SB
,
SC
đôi một vuông góc.
Xác định bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
A.
2 2 2
2
a b c
. B.
2 2 2
a b c
. C.
2 2 2
3
a b c
. D.
2 2 2
4
a b c
.
Câu 2. Một khối cầu có thể tích bằng
32
3
. Bán kính
R
của khối cầu đó là
A.
2 2
3
R B.
2
R
C.
32
R
D.
4
R
Câu 3. Cho bốn điểm
, , ,
A B C D
cùng thuộc một mặt cầu và
DA
,
DB
,
DC
đôi một vuông góc,
G
là
trọng tâm tam giác
ABC
,
D
là điểm thỏa mãn 3
DD DG
. Một đường kính của mặt cầu đó là
A.
DD
. B.
BC
. C.
AB
. D.
AC
.
Câu 4. Cho khối chóp có
SA
vuông góc với mặt phẳng
ABC
và
SA a
. Đáy
ABC
nội tiếp trong
đường tròn tâm
I
có bán kính bằng
2
a
(tham khảo hình vẽ). Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp
khối chóp .
S ABC
.
A.
5
a
. B.
5
3
a
. C.
5
2
a
. D.
17
2
a
.
Câu 5. Trong mặt phẳng
P
cho tam giác
OAB
cân tại
O
,
2 ,
OA OB a
120
AOB
. Trên đường thẳng
vuông góc với
P
tại
O
lấy hai điểm
,
C D
nằm về hai phía của mặt phẳng
P
sao cho tam
giác
ABC
vuông tại
C
và tam giác
ABD
đều. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
ABCD
.
.
S ABC
ABC
A
SAB ABC
SAB
,
H M
,
AB AC
M
ABC
MA MB MC
1
d
ABC
1
d
M
SH
G
SAB
2
d
SAB
2
d
1
d
I I
.
S ABC
R SI
2 2
SGI SI GI SG
.
S ABC
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 7
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
5 2
3
a
. B.
2
3
a
. C.
5 2
2
a
. D.
3 2
2
a
.
Câu 6.Cho hình chóp .
S ABC
, có
SA
vuông góc mặt phẳng
( )
ABC
; tam giác
ABC
vuông tại
B
. Biết
2
SA a
,
AB a
,
3
BC a
. Khi đó bán kính
R
của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là.
A.
2
a
. B.
2 2
a
. C.
a
.
D.
2
a
.
Câu 7. Hình chóp .
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình thoi cạnh bằng 1,
60 ,
BAD
SCD
và
SAD
cùng
vuông góc với
,
ABCD
SC
tạo với
ABCD
góc
45 .
Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp khối
chóp
. .
S ABC
A.
4
3
. B.
2
. C.
2
3
. D.
8
3
.
Câu 8.Cho hình chóp .
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh bằng
1
. Mặt bên
SAB
là tam giác đều
và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Hỏi bán kính
R
của mặt cầu ngoại tiếp
hình chóp .
S ABCD
bằng bao nhiêu?
A.
11
4
R
. B.
1
3
R
. C.
7
4
R
. D.
21
6
R
.
Câu 9.Cho hình lăng trụ đứng .
ABC A B C
có đáy
ABC
là tam giác vuông tại
A
. Biết rằng
, .
AB AA a AC a
2
Gọi
M
là trung điểm của
AC
. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
MA B C
bằng.
A.
a
3
2
. B.
a
2
2
. C.
a
. D.
a
5
2
.
Câu 10.Cho hình chóp
SABCD
có tất cả các cạnh đều bằng
a
. Xác định bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình
chóp
SABCD
.
A.
2
a
. B.
3
2
a
. C.
2
2
a
. D.
4
2
a
.
Câu 11. Cho hình chóp tam giác đều .
S ABC
có cạnh đáy bằng
a
và mỗi cạnh bên bằng
2
a
. Khi đó bán
kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .
S ABC
là:
A.
3
5
a
. B.
6
4
a
. C.
15
5
a
. D.
3
5
a
.
Câu 12. Cho hình chóp .
S ABC
có
4
SA SB SC
, đường cao
3
SH
. Tính bán kính
r
của mặt cầu ngoại
tiếp hình chóp .
S ABC
.
A.
2
r
. B.
7
3
r
. C.
8
3
r
. D.
3
r
.
Câu 13.Cho tứ diện
SABC
, đáy
ABC
là tam giác vuông tại
B
với
3, 4
AB BC
. Hai mặt bên
SAB
và
SAC
cùng vuông góc với
ABC
và
SC
hợp với
ABC
góc
45
. Thể tích hình cầu ngoại
tiếp tứ diện
SABC
là:
A.
125 3
3
V
. B.
25 2
3
V
.
C.
125 2
3
V
.
D.
5 2
3
V
.
Câu 14. Cho hình chóp tứ giác .
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình thang vuông tại
A
và
B
,
AB BC a
,
2
AD a
,
SA ABCD
và
2
SA a
. Gọi
E
là trung điểm của
AD
. Kẻ
EK SD
tại
K
. Bán
kính mặt cầu đi qua sáu điểm
S
,
A
,
B
,
C
,
E
,
K
là:
A.
1
2
R a
. B.
3
2
R a
. C.
R a
. D.
6
2
R a
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 8
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 15.Cho hình chóp .
S ABC
,
SA ABC
. Tam giác
ABC
vuông tại
A
,
2
SA BC a
. Bán kính mặt
cầu ngoại tiếp khối chóp.
A.
2
a
.
B.
2
2
a
. C.
a
. D.
2
a
.
Câu 16. Cho hình hộp chữ nhật .
ABCD A B C D
có
, 2 , 3
AB a AD a AA a
. Tính bán kính
R
của mặt
cầu ngoại tiếp tứ diện
ACB D
A.
3
4
a
R . B.
3
2
a
R C.
6
2
a
R . D.
14
2
a
R .
Câu 17. Cho hình chóp .
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình chữ nhật với độ dài đường chéo bằng
2
a
, cạnh
SA
có độ dài bằng
2
a
và vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình
chóp .
S ABCD
?
A.
6
2
a
. B.
2 6
3
a
. C.
6
12
a
. D.
6
4
a
.
Câu 18. Tính bán kính
r
của khối cầu có thể tích là
3
36 cm
V
.
A.
3 cm
r . B.
6 cm
r . C.
4 cm
r . D.
9 cm
r .
Câu 19. Một hình hộp hình chữ nhật nội tiếp mặt cầu và có ba kích thước là
a
,
b
,
c
. Tính bán kính của mặt
cầu.
A.
2 2 2
a b c
. B.
2 2 2
2
a b c
.
C.
2 2 2
3
a b c
. D.
2 2 2
1
2
a b c
.
Câu 20. Một mặt cầu có diện tích 16
π
thì bán kính mặt cầu bằng
A.
2 2
B.
4
C.
2
D.
4 2
Câu 21. Tính bán kính mặt cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh của một hình lập phương cạnh
a
.
A.
2
a
. B.
2
2
a
. C.
3
2
a
. D.
2
a
.
Câu 22. Mặt cầu
S
có diện tích bằng
2
100 cm
thì có bán kính là:
A.
5 cm
. B.
4cm
. C.
5cm
. D.
3cm
.
Câu 23. Cho hình chóp tam giác đều
.
S ABC
có đáy
ABC
là tam giác đều cạnh
,
a
cạnh
2 3
.
3
a
SA
Gọi
D
là điểm đối xứng của
B
qua
.
C
Tính bán kính
R
của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
. .
S ABD
.
A.
39
7
a
R
. B.
37
6
a
R
. C.
35
7
a
R
. D.
39
7
a
R
.
Câu 24. Cho hình chóp tam giác đều .
S ABC
. Biết
SA a
và
90
o
ASB . Tính theo
a
bán kính
R
của mặt
cầu ngoại tiếp hình chóp .
S ABC
.
A.
3
2
a
R . B.
2 3
3
a
R . C.
3
3
a
R . D.
3
R a
.
Câu 25.Cho hình chóp .
S ABCD
có đáy hình vuông cạnh
1
, tam giác
SAD
là tam giác đều và nằm trong
mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Gọi
M
,
N
lần lượt là trung điểm của
BC
và
CD
. Tính bán
kính
R
của khối cầu ngoại tiếp hình chóp .
S CMN
.
A.
5 3
12
R
. B.
93
12
R
. C.
37
6
R
. D.
29
8
R
.
Câu 26. Cho khối tứ diện
OABC
với
OA
,
OB
,
OC
từng đôi một vuông góc và
6
OA OB OC
. Tính
bán kính
R
của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
OABC
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 9
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
3 3
R . B.
2
R
. C.
3
R
. D.
4 2
R .
Câu 27.Cho hình chóp .
S ABC
có
4
SA SB SC
, đường cao
3
SH
. Tính bán kính
r
của mặt cầu ngoại
tiếp hình chóp .
S ABC
.
A.
2
r
. B.
7
3
r
. C.
8
3
r
. D.
3
r
.
Câu 28. Cho tam giác đều
ABC
cạnh
a
. Gọi
P
là mặt phẳng chứa đường thẳng
BC
và vuông góc với
mặt phẳng
ABC
. Trong
P
, xét đường tròn
C
đường kính
BC
. Tính bán kính của mặt cầu
chứa đường tròn
C
và đi qua điểm
A
.
A.
3
4
a
. B.
3
a
. C.
3
2
a
. D.
3
3
a
.
Câu 29. Cho hình chóp .
S ABC
có cạnh bên
SA
vuông góc với đáy,
2
AB a
,
BC a
,
2
SC a
và
30
SCA
. Tính bán kính
R
của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện .
S ABC
.
A.
3
2
a
R . B.
R a
. C.
2
a
R
. d D.
3
R a
.
Câu 30. Cho hình chóp .
S ABCD
có
5
SA SB SC SD ,
ABCD
nội tiếp đường tròn có bán kính
1
r
. Mặt cầu ngoại tiếp .
S ABCD
có bán kính là:
A.
1
2
. B.
5
4
. C.
1
4
. D.
3
4
.
Câu 31. Cho hình chóp .
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh
a
, cạnh bên
SA
vuông góc với mặt
phẳng đáy, biết
3.
SB a
Khi đó bán kính mặt cầu tâm
A
và tiếp xúc với mặt phẳng
SBD
là:
A.
2
5
R a
. B.
R a
. C.
2
5
R a
. D.
2 5
5
R a .
Câu 32. Tính bán kính
R
của mặt cầu ngoại tiếp một hình lập phương có cạnh bằng
2
a
.
A.
2 3
R a
. B.
3
R a
. C.
3
3
a
R
. D.
R a
.
Câu 33. Cho lăng trụ
.
ABC A B C
có
, 3
AB AC a BC a
. Cạnh bên
2
AA a
. Bán kính mặt cầu
ngoại tiếp tứ diện
AB C C
bằng
A.
a
. B.
2
a
. C.
5
a
. D.
3
a
.
Câu 34.-2017]Cho hình chóp .
S ABC
có
4
SA SB SC
, đường cao
SH 3
Tính bán kính r của mặt cầu
ngoại tiếp hình chóp
S.ABC
.
A.
3
r
. B.
2
r
. C.
8
3
r
. D.
7
3
r
.
Câu 35. Bán kính hình cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh của một hình lập phương cạnh
a
là.
A.
2
2
a
. B.
2
a
. C.
2
a
. D.
3
2
a
.
Câu 36. Cho quả địa cầu có độ dài đường kinh tuyến
30
Đông là
40
(cm). Độ dài đường xích đạo là:
A.
40 3
(cm). B.
40
(cm). C.
80
(cm). D.
80
3
(cm).
Câu 37.Cho hình chóp .
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình chữ nhật,
, ,
AB a AD a
2
tam giác
SAB
đều và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi
,
M N
lần lượt là trung điểm các cạnh
, .
AD DC
Tính bán
kính
R
của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .
S DMN
.
A.
a
R
39
13
. B.
a
R
102
6
. C.
a
R
31
4
. D.
a
R
39
6
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 10
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 38.Cho hình chóp tam giác đều
.
S ABC
có cạnh đáy bằng
a
và cạnh bên bằng
21
6
a
. Gọi
h
là chiều cao
của khối chóp và
R
là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp. Tỉ số
R
h
bằng:
A.
7
.
6
B.
1
.
2
C.
7
12
D.
7
.
24
Câu 39. - 2017] Cho tứ diện đều
ABCD
cạnh bằng
x
. Mặt cầu tiếp xúc với
6
cạnh của tứ diện đều
ABCD
có bán kính bằng.
A.
3 2
4
x
. B.
2
4
x
. C.
3 2
2
x
. D.
3 2
6
x
.
Câu 40.Cho hình chóp .
S ABCD
có
; 2 ; 120
SA a AB BC a ABC
và cạnh bên
SA
vuông góc với mặt
phẳng đáy. Tính theo
a
bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.
A.
17
2
a
. B.
17
4
a
. C.
17
3
a
. D.
17
5
a
.
Câu 41. Cho hình chóp
SABC
có đáy là tam giác đều cạnh bằng
6
cm
và
4 3
SA SB SC cm
.Gọi
D
là điểm đối xứng của
B
qua
C
. Khi đó bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
SABD
bằng
A.
5
cm
. B.
3 2
cm
. C.
26
cm
. D.
37
cm
.
Câu 42.Cho hình chóp .
S ABC
có đáy
ABC
là tam giác vuông tại
B
và
3
BA BC . Cạnh bên
6
SA
và vuông góc với mặt phẳng đáy. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là?
A.
9
. B.
3 2
2
. C.
3 6
. D.
3 6
2
.
DẠNG 2: TÍNH DIỆN TÍCH MẶT CẦU
Câu 43. Cho hình lăng trụ đứng .
ABC A B C
có đáy
ABC
là tam giác vuông tại
A
. Biết
AB AA a
,
2
AC a
. Gọi
M
là trung điểm của
AC
. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
MA B C
bằng
A.
2
2
a
. B.
2
5
a
. C.
2
3
a
. D.
2
4
a
.
Câu 44. Cho hình chóp .
S ABC
có
SA ABC
,
2
SA a
. Biết tam giác
ABC
cân tại
A
có
2 2
BC a
,
1
cos
3
ACB
, tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .
S ABC
.
A.
2
65
4
a
S
. B.
2
13
S a
. C.
2
97
4
a
S
. D.
2
4
S a
.
Câu 45. Cho hình chóp .
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình chữ nhật,
3 , ,
AB a AD a SAB
là tam giác
đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính theo
a
diện tích
S
của mặt cầu ngoại tiếp
hình chóp .
S ABCD
.
A.
2
5
S a
. B.
2
10
S a
. C.
2
4
S a
. D.
2
2
S a
.
Câu 46. Cho hình lăng trụ lục giác đều có cạnh đáy bằng
2
a
, cạnh bên bằng
2 2
a . Tính diện tích mặt
cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đã cho.
A.
2
2
a
. B.
2
16
a
. C.
2
8
a
. D.
2
4
a
.
Câu 47.Cắt hình nón đỉnh
S
cho trước bởi mặt phẳng đi qua trục
SO
của nó ta được một tam giác vuông
cân có cạnh bên độ dài bằng
a
. Tính diện tích của mặt cầu nội tiếp hình nón đã cho.
A.
2
2
a
. B.
2
4
3
a
. C.
2
2 3 2 2
a
. D.
2
2 3 2 2
a
.
Câu 48. Một mặt cầu
S
có độ dài bán kính bằng
2
a
. Tính diện tích
mc
S
của mặt cầu
S
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 11
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
2
16
3
mc
S a
. B.
2
4
mc
S a
. C.
2
8
mc
S a
. D.
2
16
mc
S a
.
Câu 49. Biết rằng khi quay 1 đường tròn có bán kính bằng 1 quay quanh một đường kính của nó ta được 1
mặt cầu. Tính diện tích mặt cầu đó.
A.
2
. B.
. C.
4
. D.
4
3
.
Câu 50. Diện tích mặt cầu bán kính
2
r
là.
A.
2
4
r
. B.
2
8
r
. C.
2
16
r
. D.
2
4
3
r
.
Câu 51.Mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương có cạnh bằng
1
cm
có diện tích bằng.
A.
2
4
3
cm
. B.
2
1
cm
. C.
2
3
cm
. D.
2
12 3
cm
.
Câu 52. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp một hình lăng trụ tam giác đều có các cạnh đều bằng
a
.
A.
2
7
3
a
. B.
2
7
6
a
. C.
2
7
5
a
. D.
2
3
7
a
.
Câu 53. Biết rằng khi quay một đường tròn có bán kính bằng 1 quay quanh một đường kính của nó ta được
một mặt cầu. Tính diện tích mặt cầu đó.
A.
. B.
4
3
V
. C.
2
. D.
4
.
Câu 54. Cho tứ diện
ABCD
có tam giác
BCD
vuông tại
C
,
AB
vuông góc với mặt phẳng
BCD
,
5
AB a
,
3
BC a
và
4
CD a
. Tính bán kính
R
của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
ABCD
.
A.
5 3
3
a
R
. B.
5 2
2
a
R
. C.
5 2
3
a
R
. D.
5 3
2
a
R
.
Câu 55. Cho hình chóp .
S ABC
có đáy
ABC
là tam giác vuông cân tại đỉnh
B
. Biết
3
AB BC a
,
90
SAB SCB
và khoảng cách từ
A
đến mặt phẳng
SBC
bằng
2
a
. Tính diện tích mặt cầu
ngoại tiếp hình chóp .
S ABC
.
A.
2
16
a
. B.
2
12
a
. C.
2
8
a
. D.
2
2
a
.
Câu 56.Một mặt cầu
S
ngoại tiếp tứ diện đều cạnh
a
. Diện tích mặt cầu
S
là.
A.
2
3
2
a
. B.
2
3
a
. C.
2
6
a
. D.
2
3
4
a
.
Câu 57. Cho hình chóp .
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình thoi cạnh
a
,
60
ABC
. Mặt bên
SAB
là tam giác
đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính diện tích
S
của mặt cầu ngoại
tiếp hình chóp .
S ABCD
.
A.
2
13
12
a
S
. B.
2
5
3
a
S
. C.
2
13
36
a
S
. D.
2
5
9
a
S
.
Câu 58. Cho mặt cầu
S
tâm
O
; đường kính
R
. Khi đó diện tích mặt cầu là:
A.
2
2
R
. B.
2
4
3
R
. C.
2
R
. D.
2
4
R
.
Câu 59. Một hình trụ có bán kính đáy bằng
3
, chiều cao bằng
2 3
và gọi
S
là mặt cầu đi qua hai đường
tròn đáy của hình trụ. Tính diện tích mặt cầu
S
.
A.
6 3
. B.
8 6
. C.
6
. D.
24
.
Câu 60. Một hình cầu có bán kính bằng
2
(m). Hỏi diện tích của mặt cầu bằng bao nhiêu?
A.
8
(m
2
). B.
(m
2
). C.
4
(m
2
). D.
16
(m
2
).
Câu 61. Công thức tính diện tích mặt cầu bán kính
R
là
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 12
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
3
4
3
S R
. B.
2
3
4
S R
. C.
2
4 .
S R
D.
2
.
S R
Câu 62. Khinh khí cầu của Mông–gôn–fie (Montgolfier) (người Pháp) nhà phát minh ra khinh khí cầu dùng
khí nóng. Coi khinh khí cầu này là một mặt cầu có đường kính
11m
thì diện tích của mặt khinh
khí cầu là bao nhiêu? (lấy
22
7
và làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).
A.
2
380,29 m
. B.
2
697,19 m
. C.
2
190,14 m
. D.
2
95,07 m
.
Câu 63. Diện tích
S
của mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương cạnh bằng
2
là
A.
12
. B.
2 3
. C.
8 3
. D.
48
.
Câu 64. Cho khối cầu
S
có thể tích bằng
36
(
3
cm
). Diện tích mặt cầu
S
bằng bao nhiêu?
A.
2
36 cm
. B.
2
27 cm
. C.
2
64 cm
. D.
2
18 cm
.
Câu 65. Cho khối lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng
a
. Góc giữa đường chéo của mặt bên và đáy của
lăng trụ là
60
. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đó.
A.
2
13
π
3
a
. B.
2
5
π
3
a
. C.
2
13
π
9
a
. D.
2
5
π
9
a
.
Câu 66. Cho mặt cầu
1
S
bán kính
1
R
, mặt cầu
2
S
bán kính
2
R
. Biết rằng
2 1
2
R R
, tính tỉ số diện tích
mặt cầu
2
S
và mặt cầu
1
S
.
A.
3
. B.
2
. C.
4
. D.
1
2
.
Câu 67. Diện tích của mặt cầu có bán kính
R
bằng
A.
2
R
. B.
2
2
R
. C.
2
R
. D.
2
4
R
.
Câu 68. Tình diện tích mặt cầu
S
khi biết nửa chu vi đường tròn lớn của nó bằng
4
.
A.
32
S
. B.
64
S
. C.
8
S
. D.
16
S
.
Câu 69. Gọi
, ,
R S V
lần lượt là bán kính, diện tích và thể tích của khối cầu. Công thức nào sau đây sai?
A.
3
4
3
V R
B.
2
S R
C.
3 .
V S R
D.
2
4
S R
Câu 70. Cho hình chóp .
S ABC
có đáy
ABC
là tam giác vuông tại
B
với
AB a
,
3
BC a
. Cạnh
SA
vuông góc với mặt phẳng đáy và
2 3
SA a
.Tính bán kính
R
của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
. .
S ABC
A.
4 .
R a
B.
2 .
R a
C.
.
R a
D.
3 .
R a
Câu 71. Cho hình chóp .
S ABCD
có đáy là hình chữ nhật
2
AB a
,
3
AD a
, cạnh bên
SA
vuông góc
với mặt phẳng đáy, góc giữa đường thẳng
SD
và mặt phẳng đáy bằng
0
30
. Diện tích mặt cầu
ngoại tiếp hình chóp là.
A.
2
4
3
a
. B.
2
4
a
. C.
2
8
a
. D.
2
8
3
a
.
Câu 72. Cho hình chóp đều .
S ABCD
có cạnh đáy
2
a
và cạnh bên
6
a
.Tính diện tích của mặt cầu ngoại
tiếp hình chóp .
S ABCD
.
A.
2
18
a
. B.
2
18
a
. C.
2
9
a
. D.
2
9
a
.
Câu 73. Cho hình chóp .
S ABC
có
ABC
là tam giác vuông cân tại
B
,
2
AB BC a
, cạnh
SA
vuông góc
với mặt phẳng
ABC
,
2 2
SA a
. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp .
S ABC
theo
a
.
A.
2
16
a
. B.
2
8
a
. C.
2
64
a
. D.
2
4
a
.
Câu 74. Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng
a
và góc giữa mặt bên và cạnh đáy là
0
60
. Hỏi diện
tích mặt cầu
S
có tâm
O
và tiếp xúc với các cạnh bên bằng bao nhiêu? (
O
là tâm mặt đáy):
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 13
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
2
2
3
a
. B.
2
3
2
a
. C.
2
2
3
a
. D.
2
a
.
DẠNG 3: TÍNH THỂ TÍCH KHỐI CẦU
Câu 75. Cho hình chóp tam giác đều .
S ABC
có đáy bằng
3
a
, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng
45
. Thể
tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp .
S ABC
bằng.
A.
3
4 2
a
. B.
3
4 3
3
a
. C.
3
4 3
a
. D.
3
4 2
3
a
.
Câu 76.Cho hình chóp .
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh
a
, tam giác
SAB
đều và nằm trong mặt
phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích
V
của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.
A.
3
7 21
18
a
V
. B.
3
4 3
81
a
V
. C.
3
7 21
54
a
V
. D.
3
4 3
27
a
V
.
Câu 77. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC đều, đường cao SH với
H
nằm trong
ABC và
2SH=BC,
SBC
tạo với mặt phẳng
ABC
một góc . Biết có một điểm O nằm trên đường
cao SH sao cho
; ; ; 1
d O AB d O AC d O SBC
. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình
chóp đã cho.
A.
500
81
. B.
48
343
C.
256
81
. D.
125
162
.
Câu 78. Công thức tính thể tích khối cầu bán kính
R
là
A.
3
4
V R
. B.
3
4
3
V R
. C.
3
1
3
V R
. D.
3
V R
.
Câu 79. Cho khối cầu có bán kính
R
. Thể tích của khối cầu đó là
A.
3
1
3
V R
. B.
2
4
3
V R
. C.
3
4
V R
D.
3
4
3
V R
.
Câu 80. Thể tích của khối cầu ngoại tiếp bát diện đều có cạnh bằng
a
là:
A.
3
2
6
a
. B.
3
2
3
a
. C.
3
8 2
3
a
. D.
3
3
3
a
Câu 81. Cho hình chóp .
S ABCD
có
SA ABCD
, đáy
ABCD
là hình chữ nhật,
, 2 ,
AB a AD a
góc
giữa đường thẳng
SC
và đáy bằng
45
. Tính theo
a
thể tích
V
của khối cầu ngoại tiếp hình chóp
.
S ABCD
A.
3
5 10
.
3
a
V
B.
3
10
.
3
a
V
C.
3
5
.
6
a
V
D.
3
6 .
V a
Câu 82. Khối cầu
S
có diện tích mặt cầu bằng
16
(đvdt). Tính thể tích khối cầu.
A.
32 3
9
đvdt
. B.
32 3
3
đvdt
. C.
32
9
đvdt
. D.
32
3
đvdt
.
Câu 83. Quay một miếng bìa hình tròn có diện tích
2
16
a
quanh một trong những đường kính, ta được khối
tròn xoay có thể tích là
A.
3
256
3
a
B.
3
32
3
a
C.
3
64
3
a
D.
3
128
3
a
Câu 84. Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh bằng
a
,
SA
vuông góc với đáy. Biết
SC
tạo với mặt phẳng
ABCD
một góc
o
45
. Tính Thể tích
V
của khối cầu ngoại tiếp hình chóp
.
S ABCD
.
A.
3
2
π
3
V a
. B.
3
π
V a
. C.
3
4
π
3
V a
. D.
3
1
π
3
V a
.
0
60
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 14
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 85. Bán kính
R
của khối cầu có thể tích
3
32
3
a
V
là:
A.
3
7
a
. B.
2
R a
. C.
2 2
R a
. D.
2
a
.
Câu 86. Cho hình lăng trụ tam giác đều .
ABC A B C
có độ dài cạnh đáy bằng
a
và chiều cao bằng
2
a
. Tính
thể tích
V
của khối cầu ngoại tiếp hình lăng trụ
. .
ABC A B C
A.
3
32 3
81
a
V
. B.
3
32 3
9
a
V
. C.
3
8 3
27
a
V
. D.
3
32 3
27
a
V
.
Câu 87.Cho hình chóp .
S ABC
có đáy
ABC
là tam giác đều cạnh bằng 1, mặt bên
SAB
là tam giác đều và
nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp .
S ABC
là.
A.
5
3
. B.
5 15
54
. C.
4 3
27
. D.
5 15
8
.
Câu 88.Cho hình chóp .
S ABC
có đáy
ABC
là tam giác đều có cạnh bằng
1
, mặt bên
SAB
là tam giác đều và
nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.
A.
5
3
V
. B.
5 15
54
V
. C.
4 3
27
V
. D.
5 15
18
V
.
Câu 89.Cho hình lập phương .
ABCD A B C D
có cạnh bằng
a
. Gọi
1 2 3
, ,
V V V
lần lượt là thể tích của khối trụ
ngoại tiếp, khối cầu nội tiếp, khối cầu ngoại tiếp hình lập phương .
ABCD A B C D
. Tính giá trị
1 2
3
V V
P
V
.
A.
2 3
3
P
. B.
4 3
9
P
. C.
3
3
P
. D.
4 3
3
P
.
Câu 90. Thể tích của khối cầu có bán kính bằng
a
là:
A.
3
2
V a
B.
3
V a
C.
3
4
3
a
V
. D.
3
4
V a
Câu 91. Cho hình lăng trụ đứng .
ABC A B C
có đáy
ABC
là tam giác vuông tại
A
. Biết
AB AA a
,
2
AC a
. Gọi
M
là trung điểm của
AC
. Thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện
MA B C
bằng
A.
3
5 5
6
a
. B.
3
2
3
a
. C.
3
4
3
a
. D.
3
3
3
a
.
Câu 92. Một hình cầu có thể tích bằng ngoại tiếp một hình lập phương. Thể tích của khối lập phương
đó là
A. . B. . C. . D. .
Câu 93.Mặt cầu
S
có diện tích bằng
20
, thể tích khối cầu
S
bằng
A.
4 5
3
. B.
20 5
. C.
20
3
. D.
20 5
3
.
Câu 94. Cho hình chóp .
S ABCD
có
SA ABCD
, đáy
ABCD
là hình chữ nhật,
, 2 ,
AB a AD a
góc
giữa đường thẳng
SC
và đáy bằng
45
. Tính theo
a
thể tích
V
của khối cầu ngoại tiếp hình
chóp .
S ABCD
.
A.
3
10
3
a
V
. B.
3
5 10
3
a
V
. C.
3
6
V a
. D.
3
5
6
a
V
.
Câu 95. Cho hình nón
N
có góc ở đỉnh bằng
o
60 ,
độ dài đường sinh bằng
a
. Dãy hình cầu
4
3
8 3
9
1
8
3
3
2
a
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 15
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
1
,
S
2
,
S
3
,...,
S
,...
n
S thỏa mãn:
1
S
tiếp xúc với mặt đáy và các đường sinh của hình nón
;
N
2
S
tiếp xúc ngoài với
1
S
và tiếp xúc với các đường sinh của hình nón
;
N
3
S
tiếp
xúc ngoài với
2
S
và tiếp xúc với các đường sinh của hình nón
N
. Tính tổng thể tích các khối
cầu
1
,
S
2
,
S
3
,...,
S
,...
n
S theo
a
.
A.
3
3
.
48
a
B.
3
9 3
.
16
a
C.
3
3
.
52
a
D.
3
27 3
.
52
a
Câu 96. Một khối cầu có bán kính
2
R
thì có thể tích
V
bằng bao nhiêu?
A.
3
32
3
R
V
. B.
3
24
3
R
V
.
C.
2
4
V R
.
D.
3
4
3
R
V
.
Câu 97. Cho hình chóp .
S ABCD
có đáy là hình chữ nhật,
3
AB a
và
AD a
. Đường thẳng
SA
vuông góc
với đáy và
SA a
. Thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp .
S BCD
bằng
A.
3
3 5
25
a
. B.
3
3 5
8
a
. C.
3
5 5
6
a
. D.
3
5 5
24
a
.
Câu 98. Người ta chế tạo ra một món đồ chơi cho trẻ em theo các công đoạn như sau: Trước tiên, chế tạo ra
một hình nón tròn xoay có góc ở đỉnh là
2 60
bằng thủy tinh trong suốt. Sau đó đặt hai quả
cầu nhỏ bằng thủy tinh có bán kính lớn, nhỏ khác nhau sao cho hai mặt cầu tiếp xúc với nhau và
đều tiếp xúc với mặt nón, quả cầu lớn tiếp xúc với cả mặt đáy của hình nón (hình vẽ).
Biết rằng chiều cao của hình nón bằng 9
cm
. Bỏ qua bề dày của các lớp vỏ thủy tinh, tổng thể tích
của hai khối cầu bằng
A.
3
100
cm
3
. B.
3
112
cm
3
. C.
3
40
cm
3
. D.
3
38
cm
3
.
Câu 99. Một khối cầu bán kính
6dm
người ta cắt bỏ hai phần của khối cầu bằng hai mặt phẳng
P
và
Q
song song với nhau (tâm của khối cầu nằm giữa hai mặt phẳng
P
,
Q
), biết mặt phẳng
P
cách tâm
3dm
và mặt phẳng
Q
cách tâm
4dm
để làm một chiếc lu đựng nước. Tính thể tích
của chiếc lu.
A.
656
3
. B.
565
3
. C.
655
3
. D.
665
3
.
Câu 100.Cho hình chóp .
S ABC
, đáy là tam giác vuông tại
A
,
3
AB
,
4
AC
.
SA
vuông góc với đáy,
2 14.
SA
Thể tích
V
của khối cầu ngoại tiếp hình chóp .
S ABC
là.
A.
13
8
V
. B.
36
V
. C.
81
V
. D.
243
2
V
.
Câu 101. Thể tích
V
của khối cầu có bán kính
4
R
bằng
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 16
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
36
V
. B.
256
3
V
. C.
64
V
. D.
48
V
.
Câu 102. Thể tích của khối cầu có bán kính bằng
a
là
A.
3
4
3
a
V
. B.
3
4
V a
. C.
3
2
V a
. D.
3
V a
.
Câu 103. Cho hình chóp .
S ABC
có đáy
ABC
là tam giác đều cạnh bằng
1
, mặt bên
SAB
là tam giác đều và
nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích
V
của khối cầu ngoại tiếp hình
chóp đã cho.
A.
5 15
18
V
. B.
5
3
V
. C.
5 15
54
V
. D.
4 3
27
V
.
Câu 104. Công thức tính thể tích
V
của khối cầu có bán kính bằng
R
là
A.
3
V R
. B.
2
4
V R
. C.
2
4
3
V R
. D.
3
4
3
V R
.
Câu 105.Cho hình hộp
.
ABCD A B C D
nội tiếp hình trụ cho trước, khoảng cách từ tâm hình trụ đến
ABB A
là
3
, góc giữa
DB
và
ABB A
bằng
o
30
. Biết bán kính hình trụ bằng
5
, tỉ số thể
tích khối hộp và khối cầu ngoại tiếp hình hộp là?
A.
12
3
. B.
10
3
. C.
11
3
. D.
13
3
.
Câu 106. Cho hình chóp .
S ABCD
có đáy là hình vuông cạnh bằng
a
. Cạnh bên
SA
vuông góc với mặt đáy
và
2
SA a
. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp .
S ABCD
theo
a
.
A.
3
4
3
a
. B.
3
8
a
. C.
3
8 2
3
a
. D.
3
4
a
.
Câu 107. Cho mặt cầu
S
tâm
O
và các điểm
A
,
B
,
C
nằm trên mặt cầu
S
sao cho
3
AB
,
4
AC
,
5
BC
và khoảng cách từ
O
đến mặt phẳng
ABC
bằng
1
. Thể tích của khối cầu
S
bằng
A.
7 21
2
. B.
ABD
. C.
20 5
3
. D.
29 29
6
.
Câu 108.Cho hình chóp .
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh
a
và
2 ,
SA a
SA ABCD
. Kẻ
AH
vuông góc với
SB
và
AK
vuông góc với
SD
. Mặt phẳng
AHK
cắt
SC
tại
E
. Tính thể tích
khối cầu ngoại tiếp
ABCDEHK
.
A.
3
2
3
a
. B.
3
8 2
3
a
. C.
3
8 2
3
a
. D.
3
2
3
a
.
Câu 109. Một khối cầu có bán kính
5dm
, người ta cắt bỏ hai phần phía trên và phía dưới khối cầu bằng hai
mặt phẳng vuông góc với bán kính và cách tâm bằng
3dm
để làm chiếc lu đựng nước. Thể tích
chiếc lu đựng nước là:
A.
3
100
dm
3
. B.
3
132 dm
. C.
3
43 dm
. D.
3
41 dm
.
Câu 110. Khối cầu có bán kính
R
có thể tích là
A.
2
4
3
R
. B.
3
4
3
R
. C.
2
4
R
. D.
3
R
.
Câu 111. Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, cho
1;2;3
A ;
4;2;3
B ;
4;5;3
C . Diện tích mặt cầu
nhận đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC
làm đường tròn lớn là:
A.
9
. B.
36
. C.
18
. D.
72
.
Câu 112. Thể tích của khối cầu có diện tích mặt ngoài bằng
36
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 17
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
36
B.
9
C.
3
D.
9
Câu 113. Khối cầu bán kính
2
R a
có thể tích là:
A.
3
8
3
a
. B.
2
16
a
. C.
3
32
3
a
. D.
3
6
a
.
Câu 114. Cho hình chóp .
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh
a
, tam giác
SAB
đều và nằm trong mặt
phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích
V
của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.
A.
3
4 3
27
a
V
. B.
3
7 21
18
a
V
. C.
3
4 3
81
a
V
. D.
3
7 21
54
a
V
.
Câu 115. Cho hình chóp .
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh
a
, tam giác
SAB
đều và nằm trong
mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp
SABCD
.
A.
3
7 21
54
a
. B.
3
7 21
162
a
. C.
3
7 21
216
a
. D.
3
49 21
36
a
.
Câu 116. Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng
5 2 .
cm
Tính thể tích
V
của khối cầu ngoại
tiếp khối chóp trên.
A.
3
250
cm
3
V
. B.
3
100 cm
V
.
C.
3
500
cm
3
V
. D.
3
125 2
cm
3
V
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 1
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
MẶT CẦU, KHỐI CẦU
DẠNG 1: TÍNH BÁN KÍNH KHỐI CẦU
Câu 1.Cho hình chóp
.
S ABC
có
SA a
,
SB b
,
SC c
và 3 cạnh
SA
,
SB
,
SC
đôi một vuông
góc. Xác định bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
A.
2 2 2
2
a b c
. B.
2 2 2
a b c
. C.
2 2 2
3
a b c
. D.
2 2 2
4
a b c
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Gọi
H
là trung điểm của
BC
, gọi
I
là trung điểm của
SA
..
Vẽ
đi qua
H
và vuông góc
.
SBC
.
Vẽ đường trung trực d của SA cắt
tại O. Ta có
..
OA OB OC OS
.
2 2 2
2 2
2
a b c
R OI AI
.
Câu 2. Một khối cầu có thể tích bằng
32
3
. Bán kính
R
của khối cầu đó là
A.
2 2
3
R
B.
2
R
C.
32
R
D.
4
R
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có thể tích khối cầu có bán kính
R
là
3
4 32
3 3
V R
2
R
.
Câu 3. Cho bốn điểm
, , ,
A B C D
cùng thuộc một mặt cầu và
DA
,
DB
,
DC
đôi một vuông góc,
G
là
trọng tâm tam giác
ABC
,
D
là điểm thỏa mãn 3
DD DG
. Một đường kính của mặt cầu đó là
A.
DD
. B.
BC
. C.
AB
. D.
AC
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Gọi
M
là trung điểm của
BC
.
Dựng
d
qua
M
và vuông góc với mặt phẳng
BCD
.
Khi đó //
d AD
Gọi
J
là trung điểm
AD
. Dựng mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng
AD
cắt
d
tại
I
, khi đó
I
là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
ABCD
.
Ta có:
d
I
J
D'
G
M
D
C
B
A
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 2
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ID IJ IM
1
.
IG IM MG
1
3
IM MA
1
3
IM MD DA
1 1
.2
3 3
IM MD IM
1 1
3 3
IM MD
1 1
3 3
IM IJ
1
3
IM IJ
3
IM IJ IG
2
.
Từ (1), (2) suy ra:
3
ID IG
hay ba điểm
D
,
I
,
G
thẳng hàng.
Mặt khác:
//
IM AD
(cùng vuông góc với mặt phẳng đáy)
2
DG AG
GI GM
2
DG GI
2
DG DI DG
3 2
DG DI
2
DD DI
I
là trung điểm của
DD
.
Câu 4. Cho khối chóp có
SA
vuông góc với mặt phẳng
ABC
và
SA a
. Đáy
ABC
nội tiếp
trong đường tròn tâm
I
có bán kính bằng
2
a
(tham khảo hình vẽ). Tính bán kính mặt cầu ngoại
tiếp khối chóp .
S ABC
.
A.
5
a
. B.
5
3
a
. C.
5
2
a
. D.
17
2
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Gọi
là đường thẳng qua
I
và
ABC
.
Gọi
M
là trung điểm của
SA
, mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng
SA
cắt
tại
O
.
Khi đó
O
là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .
S ABC
, bán kính
R OA
.
2 2
OA AI OI
2
2
4
4
a
a
17
2
a
.
Câu 5. Trong mặt phẳng
P
cho tam giác
OAB
cân tại
O
,
2 ,
OA OB a
120
AOB
. Trên đường
thẳng vuông góc với
P
tại
O
lấy hai điểm
,
C D
nằm về hai phía của mặt phẳng
P
sao cho
.
S ABC
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 3
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
tam giác
ABC
vuông tại
C
và tam giác
ABD
đều. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
ABCD
.
A.
5 2
3
a
. B.
2
3
a
. C.
5 2
2
a
. D.
3 2
2
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Gọi
I
là trung điểm của
AB
, ta có
.sin60 3
AI OA a
2 2 3
AB AI a
, .cos60
OI OA a
,
3
2
AB
CI a
,
3
3
2
AB
DI a
.
Cạnh
2 2
2
OC CI OI a
,
2 2
2 2
OD DI OI a
3 2
CD CO OD a
.
Do
CID
là mặt phẳng đối xứng của tứ diện
ABCD
nên đường tròn ngoại tiếp tam giác
CID
là
đường tròn lớn của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
ABCD
, bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
ABCD
được tính theo công thức
. . . . 3 . 3 3 3
4 2 . 2. 2
CID
CD CI DI CD CI DI a a a
R
S CD OI a
.
Câu 6.Cho hình chóp .
S ABC
, có
SA
vuông góc mặt phẳng
( )
ABC
; tam giác
ABC
vuông tại
B
. Biết
2
SA a
,
AB a
,
3
BC a
. Khi đó bán kính
R
của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là.
A.
2
a
. B.
2 2
a
. C.
a
.
D.
2
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
.
Ta có:
SAC
và
SBC
là hai tam giác vuông tại
A
và
B
.
I
C
D
A
B
O
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 4
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Nên tâm mặt cầu là
I
trung điểm
SC
2
SC
R
.
Có
2 2
2
AC AB BC a
,
2
SA a
2 2 2
SC a R a
.
Câu 7. Hình chóp .
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình thoi cạnh bằng 1,
60 ,
BAD
SCD
và
SAD
cùng
vuông góc với
,
ABCD
SC
tạo với
ABCD
góc
45 .
Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp khối
chóp
. .
S ABC
A.
4
3
. B.
2
. C.
2
3
. D.
8
3
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
.
SCD ABCD
SAD ABCD SD ABCD
SCD SAD SD
.
Hình chiếu của
SC
lên
ABCD
là
CD
.
0
, 45
SC ABCD SCD
.
.tan45 1
SD CD
.
Tam giác
ABD
có
1
AB AD
,
60
BAD
.
Nên tam giác
ABD
là tam giác đều.
Ta có :
1
DA DB DC DS
.
Nên
D
là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp .
S ABC
. Khi đó
3
4 4
3 3
V R
.
Câu 8.Cho hình chóp .
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh bằng
1
. Mặt bên
SAB
là tam giác đều
và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Hỏi bán kính
R
của mặt cầu ngoại tiếp
hình chóp .
S ABCD
bằng bao nhiêu?
A.
11
4
R
. B.
1
3
R
. C.
7
4
R
. D.
21
6
R
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 5
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
.
Gọi
O
là tâm của đáy,
là trục của đáy
ABCD
. Gọi
G
là trọng tâm tam giác
SAB
và
d
là
trục của mặt bên
SAB
.
Gọi
I
là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .
S ABCD
. Ta có
I
là giao điểm của
và
d
.
Ta có
2
2
2 2
3 1 1 21
2 3 4 3 6
AD AB
R IS IG SG
.
Câu 9.Cho hình lăng trụ đứng .
ABC A B C
có đáy
ABC
là tam giác vuông tại
A
. Biết rằng
, .
AB AA a AC a
2
Gọi
M
là trung điểm của
AC
. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
MA B C
bằng.
A.
a
3
2
. B.
a
2
2
. C.
a
. D.
a
5
2
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Cách 1:
Ta có
BC AC AB a
2 2
5
.
Gọi
I
là trung điểm của
BC
, suy ra
I
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
A B C
.
Gọi
O
là trung điểm của
A C
.
Tam giác
MA C
vuông cân tại
.
M
Suy ra
O
là tâm đường tròn ngoại tiếp
MA C
.
Ta có
//OI A C OI A B
OI ACC A
OI MO
.
Suy ra
OI
là trục của tam giác
MA C
.
Suy ra
IA IC IM IB
.
Suy ra
I
là tâm mặt cầu ngoại tiếp tự diện
MA B C
bán kính
a
R BC BC
1 1 5
2 2 2
.
Cách 2:
.
I
N
M
H
A
B
D
C
S
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 6
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Do tam giác
A B C
vuông tại
A
nên tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
A B C
là trung
điểm
1
O
của đoạn
BC
. Dựng mặt phẳng trung trực của cạnh
MC
cắt
1
OE
tại
O
suy ra
O
là
tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp .
M A B C
. Dựng
1
OH
song song với
BA
suy ra tứ giác
1
MHOE
là hình chữ nhật.
Ta có:
2 2 2
MO ME OE
.
2
2
2 2 2 2 2
1 1 1 1
OO '
MO ME EO ME EO MO O B
.
2
2 2
2 2
5 5
4 4 2
a a a
MO a MO MO
.
Câu 10.Cho hình chóp
SABCD
có tất cả các cạnh đều bằng
a
. Xác định bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình
chóp
SABCD
.
A.
2
a
. B.
3
2
a
. C.
2
2
a
. D.
4
2
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Gọi
O AC BD
.
Ta có
ABCD
là hình vuông nên
O
là tâm đường tròn ngoại tiếp hình vuông
ABCD
. Nên ta có
2
2
a
OA OB OC OD
.
Mặt khác, ta có
SAC
vuông cân tại
S
nên
2
2
a
SO
. Vậy
O
cách đều 4 điểm
, , , ,
A B C D O
Vậy
O
là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
SABCD
, bán kính
2
2
a
R OA
.
Câu 11. Cho hình chóp tam giác đều .
S ABC
có cạnh đáy bằng
a
và mỗi cạnh bên bằng
2
a
. Khi đó bán
kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .
S ABC
là:
A.
3
5
a
. B.
6
4
a
. C.
15
5
a
. D.
3
5
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Gọi
H
là trọng tâm tam giác đều
ABC
, khi đó
SH ABC
và là trục đường tròn ngoại tiếp
mặt đáy.
I
N
M
H
C
B
A
S
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 7
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Gọi
N
là trung điểm
SA
, mặt phẳng trung trực của cạnh
SA
cắt
SH
tại
I
. Khi đó
IS IA IB IC
nên
I
là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .
S ABC
.
Bán kính mặt cầu là
.
SN SA
R SI
SH
2
2
2 2 2
2
1
2
1 15
2
2 5
2 3
2
3 2
SA
a
a
SA AH
a
a
.
Câu 12. Cho hình chóp .
S ABC
có
4
SA SB SC
, đường cao
3
SH
. Tính bán kính
r
của mặt cầu
ngoại tiếp hình chóp .
S ABC
.
A.
2
r
. B.
7
3
r
. C.
8
3
r
. D.
3
r
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
.
Gọi các điểm như hình vẽ bên. Trong đó
H
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều suy ra
SH ABC
, và
7
HA HB HC
. Điểm
I
là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .
S ABC
.
Trong tam giác vuông
IHB
ta có
2
7
IH r
.
Khi đó.
2
2 2
3 0
7 3
7 6 9
r
SH SI IH r r
r r r
.
3
8
8
3
3
r
r
r
.
Câu 13.Cho tứ diện
SABC
, đáy
ABC
là tam giác vuông tại
B
với
3, 4
AB BC
. Hai mặt bên
SAB
và
SAC
cùng vuông góc với
ABC
và
SC
hợp với
ABC
góc
45
. Thể tích hình cầu
ngoại tiếp tứ diện
SABC
là:
A.
125 3
3
V
. B.
25 2
3
V
.
C.
125 2
3
V
.
D.
5 2
3
V
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
:AC 9 16 5
ABC
.
,
SAB ABC SAC ABC SA ABC
.
45 5
SAC SA SC
.
3
3
4 4 5 2 125 2
3 2 3 2 3
SC
V
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 8
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 14. Cho hình chóp tứ giác .
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình thang vuông tại
A
và
B
,
AB BC a
,
2
AD a
,
SA ABCD
và
2
SA a
. Gọi
E
là trung điểm của
AD
. Kẻ
EK SD
tại
K
.
Bán kính mặt cầu đi qua sáu điểm
S
,
A
,
B
,
C
,
E
,
K
là:
A.
1
2
R a
. B.
3
2
R a
. C.
R a
. D.
6
2
R a
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
S
A
B
C
D
E
K
Vì
E
là trung điểm của
AD
,
ABCD
là hình thang vuông tại
A
và
B
và
AB BC a
,
2
AD a
nên
AB BC CE AE ED a
và
//
CE AB
. Khi đó
CE AD
,
CE SA
nên
CE SE
hay
90
SEC
và
CE SD
. Mặt khác
EK SD
do đó
SD CEK
suy ra
CK SD
hay
90
SCK
.
Ta có
CB AB
,
CB SA
nên
CB SB
hay
90
SBC
. Ta cũng có
CA SA
nên
90
SAC
Vậy các góc
SEC
,
SCK
,
SBC
,
SAC
cùng nhìn cạnh
SC
dưới một góc không đổi
90
nên các
điểm
S
,
A
,
B
,
C
,
E
,
K
nằm trên mặt cầu tâm
I
là trung điểm của
SC
bán kính
2
SC
R .
Ta có
2 2
2
AC AB BC a
;
2 2
2
SC AC SA a
suy ra
R a
.
Câu 15.Cho hình chóp .
S ABC
,
SA ABC
. Tam giác
ABC
vuông tại
A
,
2
SA BC a
. Bán kính mặt
cầu ngoại tiếp khối chóp.
A.
2
a
.
B.
2
2
a
. C.
a
. D.
2
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Gọi
M
là trung điểm
BC
. Gọi
là đường thẳng đi qua
M
và vuông góc với
ABC
. Khi đó,
là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC
1
.
Gọi
N
là trung điểm
SA
, dựng đường thẳng đi qua
N
song song với
AM
và cắt
tại
I
. Khi
đó,
NI
là đường trung trực của đoạn
SA
2
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 9
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
.
Từ
1
và
2
, suy ra
IA IB IC ID
hay
I
là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .
S ABC
,
bán kính mặt cầu ngoại tiếp là.
2 2
2 2 2 2
2
4 4
SA BC
IA NA AM a a a
.
Câu 16. Cho hình hộp chữ nhật .
ABCD A B C D
có
, 2 , 3
AB a AD a AA a
. Tính bán kính
R
của mặt
cầu ngoại tiếp tứ diện
ACB D
A.
3
4
a
R
. B.
3
2
a
R
C.
6
2
a
R
. D.
14
2
a
R
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Vì mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
ACB D
cũng là mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật
.
ABCD A B C D
.
Nên bán kính
R
của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
ACB D
là
2 2 2
14
2 2 2
AC AB AA AD a
R
.
Câu 17. Cho hình chóp .
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình chữ nhật với độ dài đường chéo bằng
2
a
, cạnh
SA
có độ dài bằng
2
a
và vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình
chóp .
S ABCD
?
A.
6
2
a
. B.
2 6
3
a
. C.
6
12
a
. D.
6
4
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
B
A
C
D
A'
D'
C'
B'
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 10
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Gọi
I
là trung điểm của
SC
, ta có các tam giác
SAC
,
SBC
,
SCD
là các tam giác vuông có
cạnh huyền
SC
nên các đỉnh
S
,
A
,
B
,
C
,
D
cùng nằm trên mặt cầu đường kính
SC
có tâm
I
, bán kính
1
2
R SC
2 2
1
2
SA AC
2 2
1
2 4
2
a a
6
2
a
.
Câu 18. Tính bán kính
r
của khối cầu có thể tích là
3
36 cm
V
.
A.
3 cm
r . B.
6 cm
r . C.
4 cm
r . D.
9 cm
r .
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có
3
4
3
V r
3
3
4
V
r
3
27
r
3
r
. Vậy
3 cm
r .
Câu 19. Một hình hộp hình chữ nhật nội tiếp mặt cầu và có ba kích thước là
a
,
b
,
c
. Tính bán kính của
mặt cầu.
A.
2 2 2
a b c
. B.
2 2 2
2
a b c
.
C.
2 2 2
3
a b c
. D.
2 2 2
1
2
a b c
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Đường kính của mặt cầu chính là đường chéo của hình hộp chữ nhật, nên mặt cầu có bán kính
2 2 2
1
2
R a b c
.
Câu 20. Một mặt cầu có diện tích 16
π
thì bán kính mặt cầu bằng
A.
2 2
B.
4
C.
2
D.
4 2
Hướng dẫn giải
Chọn C
Diện tích mặt cầu bán kính
R
là
2
4
π
S R
16
π
2
R
.
I
D
A
B
C
S
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 11
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 21. Tính bán kính mặt cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh của một hình lập phương cạnh
a
.
A.
2
a
. B.
2
2
a
. C.
3
2
a
. D.
2
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Gọi
I
là giao của hai đường chéo của hình lập phương .
ABCD A B C D
;
H
là trung điểm của
AA
.
Gọi
S
là mặt cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh của hình lập phương .
ABCD A B C D
. Khi đó
mặt cầu
S
có tâm là điểm
I
và bán kính
R IH
1
2
A C
2
2
a
.
Câu 22. Mặt cầu
S
có diện tích bằng
2
100 cm
thì có bán kính là:
A.
5 cm
. B.
4cm
. C.
5cm
. D.
3cm
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có
2 2
5
4 100 cm cm
RS R
.
Câu 23. Cho hình chóp tam giác đều
.
S ABC
có đáy
ABC
là tam giác đều cạnh
,
a
cạnh
2 3
.
3
a
SA
Gọi
D
là điểm đối xứng của
B
qua
.
C
Tính bán kính
R
của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
. .
S ABD
.
A.
39
7
a
R
. B.
37
6
a
R
. C.
35
7
a
R
. D.
39
7
a
R
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
.
Gọi
G
là trọng tâm tam giác
ABC
thì
.
SG ABC
.
Do
CB CA CD
nên
C
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABD
.
Qua
C
kẻ đường thẳng
d
song song
SG
thì
d
là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác
.
ABD
.
I
A
A'
D
D'
C'
C
B
B'
H
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 12
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Gọi
I d
là tâm mặt cầu cần tìm, đặt
.
IC x SK SG x
.
Kẻ
IK SG
.
2 2
2 3 3
. , .
3 2 3
a a
IK CG AG SG SA AG a
.
Ta có
2
2
2 2 2 2 2 2
.
3 6
a a
IS ID IK SK IC CD a x x a x
.
Vậy tâm cầu
I
được xác định, bán kính mặt cầu là
2 2
37
.
6
a
R x a
.
Câu 24. Cho hình chóp tam giác đều .
S ABC
. Biết
SA a
và
90
o
ASB . Tính theo
a
bán kính
R
của mặt
cầu ngoại tiếp hình chóp .
S ABC
.
A.
3
2
a
R
. B.
2 3
3
a
R
. C.
3
3
a
R
. D.
3
R a
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
.
Gọi
H
là trọng tâm tam giác
ABC
.
Do .
S ABC
là hình chóp đều nên
SH ABC
và
SH
là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC
.
Trong mặt phẳng
SHA
kẻ trung trực của
SA
cắt
SH
tại
I
. Khi đó
I
chính là tâm mặt cầu
ngoại tiếp hình chóp .
S ABC
.
Ta có
ASAB
vuông cân tại
S
có
SA a
.
2
AB a
6
2
a
AM
6
3
a
AH
.
2 2
3
3
a
SH SA AH
.
Lại có
SA SH
SHA SEI
SI SE
2
. 3 3
:
2 3 2
SE SA a a a
SI
SH
.
Câu 25.Cho hình chóp .
S ABCD
có đáy hình vuông cạnh
1
, tam giác
SAD
là tam giác đều và nằm trong
mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Gọi
M
,
N
lần lượt là trung điểm của
BC
và
CD
. Tính bán
kính
R
của khối cầu ngoại tiếp hình chóp .
S CMN
.
A.
5 3
12
R
. B.
93
12
R
. C.
37
6
R
. D.
29
8
R
.
Hướng dẫn giải
S
A
B
C
M
H
E
I
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 13
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Chọn B
.
Gọi
O
là trung điểm
AD
. Khi đó,
SO
vuông góc với
ABCD
.
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có:
0;0;0
O
,
1
;0;0
2
D
,
0;1;0
M
,
1
;1;0
2
C
,
1 1
; ;0
2 2
N
,
3
0;0;
2
S
.
Gọi
S
là phương trình mặt cầu đi qua
S
,
M
,
N
,
C
. Ta có hệ phương trình:
3
3 0
4
1 2 0
5
2 0
4
1
0
2
c d
b d
a b d
a b d
4
3
4
5 3
12
1
2
a
b
c
d
nên
2 2 2
93
12
R a b c d
.
Câu 26. Cho khối tứ diện
OABC
với
OA
,
OB
,
OC
từng đôi một vuông góc và
6
OA OB OC
. Tính
bán kính
R
của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
OABC
.
A.
3 3
R . B.
2
R
. C.
3
R
. D.
4 2
R .
Hướng dẫn giải
Chọn A
Gọi
M
là trung điểm của
BC
, do tam giác
OBC
vuông tại
O
nên
M
là tâm đường tròn ngoại
tiếp tam giác
OBC
.
Qua
M
dựng đường thẳng
d
song song với
OA
khi đó
d
là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác
I
N
M
A
O
C
B
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 14
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
OBC
.Gọi
là đường trung trực của cạnh
OA
và
I
là giao điểm của
và
d
. Khi đó
I
là tâm
mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
OABC
.
Ta có
1
2
OM BC
2 2
1
2
OB OC
3 2
;
ON IM
1
2
OA
3
.
Tam giác
OMI
vuông tại
M
nên
2 2
IM OM IM
2
2
3 2 3
3 3
.
Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
OABC
là
3 3
R .
Câu 27.Cho hình chóp .
S ABC
có
4
SA SB SC
, đường cao
3
SH
. Tính bán kính
r
của mặt cầu
ngoại tiếp hình chóp .
S ABC
.
A.
2
r
. B.
7
3
r
. C.
8
3
r
. D.
3
r
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
.
Gọi các điểm như hình vẽ bên. Trong đó
H
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều suy ra
SH ABC
, và
7
HA HB HC
. Điểm
I
là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .
S ABC
.
Trong tam giác vuông
IHB
ta có
2
7
IH r
.
Khi đó.
2
2 2
3 0
7 3
7 6 9
r
SH SI IH r r
r r r
.
3
8
8
3
3
r
r
r
.
Câu 28. Cho tam giác đều
ABC
cạnh
a
. Gọi
P
là mặt phẳng chứa đường thẳng
BC
và vuông góc với
mặt phẳng
ABC
. Trong
P
, xét đường tròn
C
đường kính
BC
. Tính bán kính của mặt cầu
chứa đường tròn
C
và đi qua điểm
A
.
A.
3
4
a
. B.
3
a
. C.
3
2
a
. D.
3
3
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 15
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Gọi
S
là mặt cầu chứa đường tròn
C
và đi qua điểm
A
;
H
là đường cao tam giác đều
ABC
;
I
là trọng tâm của tam giác
ABC
thì
I
cũng là tâm của mặt cấu
S
.
Ta có
1 3
3 6
a
IH AH
, bán kính của đường tròn
C
là
2 2
BC a
R
Bán kính của mặt cầu
S
là
2 2
3
3
a
r IB BH IH
.
Câu 29. Cho hình chóp .
S ABC
có cạnh bên
SA
vuông góc với đáy,
2
AB a
,
BC a
,
2
SC a
và
30
SCA
. Tính bán kính
R
của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện .
S ABC
.
A.
3
2
a
R
. B.
R a
. C.
2
a
R
. d D.
3
R a
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có:
.cos30
AC SC
3
a
.
2 2 2 2
2
AB BC a a
2
3
a
2
AC
ABC
là tam giác vuông ở
B
.
Gọi
H
,
I
lần lượt là trung điểm của
AC
,
SC
. Khi đó ta có:
H
là tâm đường tròn ngoại tiếp
ABC
.
IH ABC
.
Do đó
I
là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
SABC
. Suy ra
1
2
R SC
a
.
Vậy
R a
.
Câu 30. Cho hình chóp .
S ABCD
có
5
SA SB SC SD ,
ABCD
nội tiếp đường tròn có bán kính
1
r
. Mặt cầu ngoại tiếp .
S ABCD
có bán kính là:
2a
a
30°
a 2
I
H
A
C
B
S
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 16
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
1
2
. B.
5
4
. C.
1
4
. D.
3
4
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Gọi
O
là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác
ABCD
thì
1
OA r
, do
5
SA SB SC SD
SO ABCD
,
2 2
2
SO SA OA
.
Gọi
M
là trung điểm
SA
, Trong
SOA
trung trực
SA
cắt
SO
tại
I
thì
IS IA IB IC ID
.
Nên
I
là tâm mặt cầu ngoại tiếp .
S ABCD
.
. 5
I
4
SM SA
S M SAO SI
SO
.
Câu 31. Cho hình chóp .
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh
a
, cạnh bên
SA
vuông góc với mặt
phẳng đáy, biết
3.
SB a
Khi đó bán kính mặt cầu tâm
A
và tiếp xúc với mặt phẳng
SBD
là:
A.
2
5
R a . B.
R a
. C.
2
5
R a
. D.
2 5
5
R a
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Câu 32. Tính bán kính
R
của mặt cầu ngoại tiếp một hình lập phương có cạnh bằng
2
a
.
A.
2 3
R a
. B.
3
R a
. C.
3
3
a
R . D.
R a
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có:
2 3
3
2 2
A C a
R a
.
Câu 33. Cho lăng trụ .
ABC A B C
có
, 3
AB AC a BC a
. Cạnh bên
2
AA a
. Bán kính mặt cầu
ngoại tiếp tứ diện
AB C C
bằng
A.
a
. B.
2
a
. C.
5
a
. D.
3
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
I
D'
C'
B'
A'
D
C
B
A
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 17
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Dễ thấy tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
AB C C
cũng là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối lăng trụ
đứng đã cho.
Gọi
O
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC
.
Đường thẳng qua
O
vuông góc với
ABC
cắt mặt phẳng trung trực của
AA
tại
I
. Khi đó
I
là tâm mặt cầu ngoại tiếp.
Mặt khác
2 2 2
1
cos
2. . 2
AB AC BC
A
AB AC
Ta có:
0
3
2sinA 2sin120
ABC
BC a
R a
do đó
2 2 2 2
2
R IA OI OA a a a
.
Câu 34.-2017]Cho hình chóp .
S ABC
có
4
SA SB SC
, đường cao
SH 3
Tính bán kính r của mặt
cầu ngoại tiếp hình chóp
S.ABC
.
A.
3
r
. B.
2
r
. C.
8
3
r
. D.
7
3
r
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Vì
SH
là đường cao của hình chóp và
SA SB SC
nên
H
là tâm đường tròn ngoại tiếp
ABC
.
Khi đó tâm
I
của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp chính là giao điểm của
SH
và mặt phẳng trung
trực cạnh
SA
.
.
2
8
cos
2 3
SJ SH SA
ASH SI
SI SA SH
.
Câu 35. Bán kính hình cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh của một hình lập phương cạnh
a
là.
A.
2
2
a
. B.
2
a
. C.
2
a
. D.
3
2
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
J
I
H
C
B
A
S
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 18
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
.
Hình cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh của hình lập phương có đường kính bằng đường chéo của
một mặt hình lập phương đó nên đường kính là
2
a
do đó bán kính của nó bằng
2
a
.
Câu 36. Cho quả địa cầu có độ dài đường kinh tuyến
30
Đông là
40
(cm). Độ dài đường xích đạo là:
A.
40 3
(cm). B.
40
(cm). C.
80
(cm). D.
80
3
(cm).
Hướng dẫn giải
Chọn C
Đường xích đạo là đường vĩ tuyến lớn nhất. Độ dài đường xích đạo gấp hai lần đường kinh tuyến
30
Đông.
Vậy độ dài đường xích đạo là:
2.40 80
(cm).
Câu 37.Cho hình chóp .
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình chữ nhật,
, ,
AB a AD a
2
tam giác
SAB
đều và
nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi
,
M N
lần lượt là trung điểm các cạnh
, .
AD DC
Tính bán kính
R
của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .
S DMN
.
A.
a
R
39
13
. B.
a
R
102
6
. C.
a
R
31
4
. D.
a
R
39
6
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 19
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Gọi
I
là trung điểm của
MN
. Suy ra
I
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
.
DMN
.
d
là đường thẳng qua
I
và vuông góc với mặt đáy.
E
là hình chiếu của
I
lên
.
AB
.
O
là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện .
S DMN
.
K
là hình chiếu của
O
lên
.
SH
.
Đặt
OI x
.
Ta có
.
a
DI MN
1 5
2 4
Suy ra
.
a
OD ID OI x
2
2 2 2
5
16
.
;
.
a
SK SH x x KO HI
AM HN a
EI
3
2
3
2 2
.
.
a a a
HI EI HE
2 2
2 2
9 37
4 16 4
.
Suy ra
a
SO SK KO a x x
2
2 2 2
49
3
16
.
Vì
O
là tâm mặt cầu ngoại tiếp nên:
.
a a
SO DO a x x x a x
a
R OD
2
2 2
49 11
3 5
16
4 3
102
6
.
Câu 38.Cho hình chóp tam giác đều
.
S ABC
có cạnh đáy bằng
a
và cạnh bên bằng
21
6
a
. Gọi
h
là chiều
cao của khối chóp và
R
là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp. Tỉ số
R
h
bằng:
A.
7
.
6
B.
1
.
2
C.
7
12
D.
7
.
24
Hướng dẫn giải
Chọn A
d
x
K
E
I
H
N
M
B
A
D
C
S
O
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 20
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Gọi O là tâm ABC , suy ra
SO ABC và
3
.
3
a
AO
Trong SOA, ta có
2 2
.
2
a
h SO SA AO
Trong mặt phẳng SOA, kẻ trung trực d của đoạn SA
cắt SO tại I , suy ra
● I d nên IS IA .
● I SO nên IA IB IC .
Do đó IA IB IC IS nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp .S ABC .
Gọi M là tung điểm SA, ta có
SMI SOA ÿ
nên
2
. 7a
.
2 12
SM SA SA
R SI
SO SO
Vậy
7
.
6
R
h
Câu 39. - 2017] Cho tứ diện đều ABCD cạnh bằng
x
. Mặt cầu tiếp xúc với 6cạnh của tứ diện đều ABCD
có bán kính bằng.
A.
3 2
4
x
. B.
2
4
x
. C.
3 2
2
x
. D.
3 2
6
x
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
.
Gọi
H
là trọng tâm tam giác BCD suy ra
( )AH BCD
.
Mặt trung trực của
AB
cắt
AH
tại
I
suy ra IA IB IC ID hay
I
là tâm của mặt cầu ngoại
tiếp tứ diện ABCD .
Vì ABCD là tứ diện đều nên tâm
I
của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện cũng chính là tâm của mặt cầu
tiếp xúc với 6 cạnh của tứ diện. Suy ra bán kính mặt cầu tiếp xúc với 6 cạnh của tứ diện là
( , )d I AB IM
(
M
là trung điểm của
AB
).
M
H
B
C
D
A
I
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 21
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Do
AMI
và
AHB
đồng dạng
2
2
3
.
. 2
2 3
4
3
9
x x
AM HB x
MI
AH
x
x
.
Câu 40.Cho hình chóp .
S ABCD
có
; 2 ; 120
SA a AB BC a ABC
và cạnh bên
SA
vuông góc với mặt
phẳng đáy. Tính theo
a
bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.
A.
17
2
a
. B.
17
4
a
. C.
17
3
a
. D.
17
5
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Trong
,
ABC
gọi
D
là điểm đối xứng của
B
qua
.
AC
Do tam giác
ABC
cân tại
B
và
120
ABC
nên các tam giác
,
ABD DBC
là các tam giác đều.
Suy ra:
2 .
DA DB DC a
Do đó
D
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
.
ABC
.
* Dựng đường thẳng
qua
D
và song song
SA
ABC
là trục của đường tròn là
ngoại tiếp tam giác
.
ABC
.
Gọi
M
là trung điểm của
,
SA
trong
, ,
SA
kẻ đường thẳng
d
qua
M
và song song
,
AD
suy
ra
d SA d
là trung trực của đoạn
.
SA
.
Trong
, ,
SA
gọi
.
O d
Suy ra
O
là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
. .
S ABC
.
Xét tam giác
,
OAD
ta có
2
2 2 2
17
4 .
4 2
a a
R OA AD AM a
.
Câu 41. Cho hình chóp
SABC
có đáy là tam giác đều cạnh bằng
6
cm
và
4 3
SA SB SC cm
.Gọi
D
là điểm đối xứng của
B
qua
C
. Khi đó bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
SABD
bằng
A.
5
cm
. B.
3 2
cm
. C.
26
cm
. D.
37
cm
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
2a
a
2a
D
A
H
C
S
B
M
O
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 22
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Cách 1: Dựng
CG
vuông góc với
ABC
, Qua
E
dựng mặt phẳng vuông góc với
SB
, mặt
phẳng này cắt
CG
tại
F
. Suy ra
F
là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .
S ABD
. Đặt
SF R
Xét hình chữ nhật:
2 2
1
CGSH FC SH FG SH R CH
Lại có:
2 2
2
FC R CB
.Từ (1) và (2) suy ra
2 2 2 2
SH R CH R CB
2 2 2
6 12 36 5 12 0 37
R R R R cm
Cách 2:
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.
Ta có:
0;0;0 , 3 3; 3;0 , 3 3;3;0 , 2 3;0;6
C A B S
2
2
0;0; 36 12 6
F CG F t FA FS t t
1 37
t SC cm
Câu 42.Cho hình chóp .
S ABC
có đáy
ABC
là tam giác vuông tại
B
và
3
BA BC . Cạnh bên
6
SA
và vuông góc với mặt phẳng đáy. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là?
A.
9
. B.
3 2
2
. C.
3 6
. D.
3 6
2
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Gọi
M
là trung điểm
AC
, suy ra
M
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC
.
Gọi
I
là trung điểm
SC
, suy ra
// SA
IM
nên
IM ABC
.
Do đó
IM
là trục của
ABC
suy ra
IA IB IC
(1).
Hơn nữa, tam giác
SAC
vuông tại
A
có
I
là trung điểm
SC
nên
IS IC IA
(2).
Từ (1) và (2), ta có
IS IA IB IC
hay
I
là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .
S ABC
.
Vậy bán kính
2 2
3 6
.
2 2 2
SC SA AC
R IS
DẠNG 2: TÍNH DIỆN TÍCH MẶT CẦU
Câu 43. Cho hình lăng trụ đứng .
ABC A B C
có đáy
ABC
là tam giác vuông tại
A
. Biết
AB AA a
,
2
AC a
. Gọi
M
là trung điểm của
AC
. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
MA B C
bằng
A.
2
2
a
. B.
2
5
a
. C.
2
3
a
. D.
2
4
a
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 23
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Hướng dẫn giải
Chọn B
Gọi
I
là trung điểm của cạnh
B C
. Khi đó
I
là tâm đường tròn ngoại tiếp
A B C
.
Gọi
M
là trung điểm của cạnh
A C
. Khi đó
MM A B C
.
Do
2
MA MC a
nên
MA C
vuông tại
M
. Do đó
M
là tâm đường tròn ngoại tiếp
MA C
.
Do đó
I
là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
MA B C
. Bán kính mặt cầu là
5
2 2
BC a
r IB
.
Do đó diện tích mặt cầu là
2 2
4 5
S r a
.
Câu 44. Cho hình chóp .
S ABC
có
SA ABC
,
2
SA a
. Biết tam giác
ABC
cân tại
A
có
2 2
BC a
,
1
cos
3
ACB
, tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .
S ABC
.
A.
2
65
4
a
S
. B.
2
13
S a
. C.
2
97
4
a
S
. D.
2
4
S a
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Gọi
M
,
N
lần lượt là trung điểm
BC
và
SA
;
O
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC
.
Do
ABC
cân tại
A
nên
O AM
.
Qua
O
dựng
là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC
//
SA
.
Trong
SAM
, kẻ đường thẳng qua
N
vuông góc với
SA
cắt
tại
I
. Khi đó
IS IA IB IC
nên
I
là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .
S ABC
I
M'
M
B
C
A
A'
C'
B'
O
M
I
N
d
C
B
A
S
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 24
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
AMC
có
cos
MC
ACM
AC
3 2
AB AC a
.
1
. .sin
2
ABC
S CACB ACB
2
1 1
3 2.2 2. 1
2 3
a a
2
4 2
a .
Mà
. . 9
4. 4
ABC
AB AC BC
S OA a
OA
.
Tứ giác
NAOI
là hình chữ nhật nên
2 2
97
4
a
AI NA AO
.
Suy ra bán kính mặt cầu
97
4
a
R
.
Vậy diện tích mặt cầu là
2
2
97
4
4
a
S R
.
Câu 45. Cho hình chóp .
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình chữ nhật,
3 , ,
AB a AD a SAB
là tam giác
đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính theo
a
diện tích
S
của mặt cầu ngoại tiếp
hình chóp .
S ABCD
.
A.
2
5
S a
. B.
2
10
S a
. C.
2
4
S a
. D.
2
2
S a
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Gọi
H
là trung điểm
AB SH AB
(vì
SAB
đều).
Mặt khác
SAB ABCD SH ABCD
.
Gọi
O
là giao điểm của ,
AC BD O
là tâm đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật
ABCD
.
Gọi
G
là trọng tâm
SBC G
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều
SBC
.
Qua
O
dựng đường thẳng //
d SH d
là trục của đường tròn
,
O
qua
G
dựng đường thẳng
//OH
là trục của đường tròn
H
.
d I IA IB IC ID IS I
là tâm của
mặt cầu ngoại tiếp chóp .
S ABCD
.
Xét tam giác đều
SAB
có cạnh là
3
3
2
a
a SH SG a
.
Mặt khác
2 2
AD a
IG OH
.
Xét tam giác vuông
2 2
2 2 2 2
5 5
:
4 4 4
a a a
SIG IS SG IG a IS
.
Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp chóp .
S ABCD
là:
2 2
4 5
S R a
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 25
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 46. Cho hình lăng trụ lục giác đều có cạnh đáy bằng
2
a
, cạnh bên bằng
2 2
a . Tính diện tích mặt
cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đã cho.
A.
2
2
a
. B.
2
16
a
. C.
2
8
a
. D.
2
4
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Gọi
O
,
O
là tâm lục giác đều
ABCDEF
và
A B C D E F
Ta có
2
OA OB OC OD OE OF a
OO
là trục của mặt phẳng
ABCDEF
và
A B C D E F
Trong mặt phẳng
,
AA OO
, dựng đường trung trực
d
của cạnh
AA
thì
d
cắt
OO
tại
I
I
là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ, bán kính
R IA
.
Xét tam giác
OIA
vuông tại
O
có:
2 2
2
IA OI OA a
Khi đó diện tích mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ là:
2 2
4 16
S R a
.
Câu 47.Cắt hình nón đỉnh
S
cho trước bởi mặt phẳng đi qua trục
SO
của nó ta được một tam giác vuông
cân có cạnh bên độ dài bằng
a
. Tính diện tích của mặt cầu nội tiếp hình nón đã cho.
A.
2
2
a
. B.
2
4
3
a
. C.
2
2 3 2 2
a
. D.
2
2 3 2 2
a
.
Hướng dẫn giải
ChọnA
.
Ta thấy
SIH SAO
-
g g
.
SI IH
SA AO
SO IO IO
SA AO
Vì
IO IH
1
.
Vì
SAB
vuông cân tại
S
và
O
là trung điểm của
AB
2
2 2
AB a
SO AO
2
.
I
O
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 26
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Từ
1
và
2
2
2
2
2
a
IO
IO
a
a
2 2
2
a
IO
.
Vậy diện tích mặt cầu nội tiếp hình nón là
2 2
4 . 2 3 2 2
S IO a
.
Câu 48. Một mặt cầu
S
có độ dài bán kính bằng
2
a
. Tính diện tích
mc
S
của mặt cầu
S
.
A.
2
16
3
mc
S a
. B.
2
4
mc
S a
. C.
2
8
mc
S a
. D.
2
16
mc
S a
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có diện tích
mc
S
của mặt cầu là
2 2
4
mc
S R a
.
Câu 49. Biết rằng khi quay 1 đường tròn có bán kính bằng 1 quay quanh một đường kính của nó ta được 1
mặt cầu. Tính diện tích mặt cầu đó.
A.
2
. B.
. C.
4
. D.
4
3
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
2
4 4
mc
S R
.
Câu 50. Diện tích mặt cầu bán kính
2
r
là.
A.
2
4
r
. B.
2
8
r
. C.
2
16
r
. D.
2
4
3
r
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Theo công thức tính diện tích mặt cầu
2
2
4 2 16
S r r
.
Câu 51.Mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương có cạnh bằng
1
cm
có diện tích bằng.
A.
2
4
3
cm
. B.
2
1
cm
. C.
2
3
cm
. D.
2
12 3
cm
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
.
Ta có.
2 2
2 2
2
3
1 3
.
2 2
BD DC BC
DF DB BF
R ID DF
.
Suy ra
2
4 3
S R
.
Câu 52. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp một hình lăng trụ tam giác đều có các cạnh đều bằng
a
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 27
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
2
7
3
a
. B.
2
7
6
a
. C.
2
7
5
a
. D.
2
3
7
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ tam giác đều là tâm của hình lăng trụ tam giác đều đó.
Khi đó, bán kính mặt cầu là:
2
2
3
2 3
a a
R
21
6
a
.
Diện tích mặt cầu:
2
4
S R
2
21
4
6
a
2
7
3
a
.
Câu 53. Biết rằng khi quay một đường tròn có bán kính bằng 1 quay quanh một đường kính của nó ta được
một mặt cầu. Tính diện tích mặt cầu đó.
A.
. B.
4
3
V
. C.
2
. D.
4
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Theo đề bài ta suy ra bán kính của đường tròn bằng bán kính của mặt cầu.
Vậy diện tích của mặt cầu là
2
4 4
V R
(đvtt)
Câu 54. Cho tứ diện
ABCD
có tam giác
BCD
vuông tại
C
,
AB
vuông góc với mặt phẳng
BCD
,
5
AB a
,
3
BC a
và
4
CD a
. Tính bán kính
R
của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
ABCD
.
A.
5 3
3
a
R . B.
5 2
2
a
R . C.
5 2
3
a
R . D.
5 3
2
a
R .
Hướng dẫn giải
Chọn B
R
a 3
3
a
2
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 28
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Vì
CD BC
CD AB
CD AC
, gọi
I
là trung điểm của
AD
.
Khi đó ta có tam giác
ACD
và
ABD
vuông cùng có cạnh huyền
AD
nên bốn điểm
A
,
B
,
C
và
D
cùng thuộc mặt cầu tâm
I
đường kính
AD
.
Bám kính mặt cầu là:
1
2
R AD
2 2
1
2
AB BD
2 2 2
1
2
AB BC CD
5 2
2
a
.
Câu 55. Cho hình chóp .
S ABC
có đáy
ABC
là tam giác vuông cân tại đỉnh
B
. Biết
3
AB BC a
,
90
SAB SCB
và khoảng cách từ
A
đến mặt phẳng
SBC
bằng
2
a
. Tính diện tích mặt
cầu ngoại tiếp hình chóp .
S ABC
.
A.
2
16
a
. B.
2
12
a
. C.
2
8
a
. D.
2
2
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Gọi
D
là hình chiếu của
S
trên
ABCD
.
Do
SA AB DA AB
, và
SC CB DC CB
. Vậy suy ra
ABCD
là hình vuông.
Trong
SCD
kẻ
DH SC
tại
H
.
Ta có
// , ,
AD SBC d A SBC d D SBC DH
.
Ta có
2 2 2
1 1 1
6
SD a
DH DC SD
. Suy ra
2 3
SB a
.
I
A
B
C
D
I
B
D
C
A
S
H
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 29
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Gọi I là trung điểm SB suy ra I là tâm mặt cầu và 3
2
SB
R a .
Vậy diện tích mặt cầu bằng
2 2
4 12S R a
.
Câu 56.Một mặt cầu
S
ngoại tiếp tứ diện đều cạnh
a
. Diện tích mặt cầu
S
là.
A.
2
3
2
a
. B.
2
3 a
. C.
2
6 a
. D.
2
3
4
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
.
Gọi
O
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
BCD
.
Trong mặt phẳng
ABO dựng đường trung trực của
AB
cắt
AO
tại
I
. Khi đó
I
là tâm mặt cầu
ngoại tiếp tứ diện
ABCD
.
Ta có:
2
2 2 2
2
3 3
a
AO AB BO a a ,
2 2
3
2 8
2
2
3
AB a
R IA a
AO
a
.
Diện tích mặt cầu
S là:
2
2 2
3 3
4 4 .
8 2
a
S R a
.
Câu 57. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh
a
,
60ABC
. Mặt bên SAB là tam
giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính diện tích S của mặt cầu
ngoại tiếp hình chóp .S ABCD .
A.
2
13
12
a
S
. B.
2
5
3
a
S
. C.
2
13
36
a
S
. D.
2
5
9
a
S
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Gọi H là trung điểm của cạnh AB . Vì SAB
là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông
góc với mặt phẳng đáy nên
SH ABCD .
Gọi O, G lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABC và SAB .
S
H
G
I
O
D
C
B
A
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 30
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Ta có
CH AB
CH SH
CH SAB
.
Từ
O
kẻ đường thẳng
1
ABC
1
//
SH
.
Trong mặt phẳng
1
;
SH
từ
G
kẻ đường thẳng
2
//
CH
và
2 1
I
.
Do
2
//
CH
2
SAB
.
Vì
1
I
IA IB IC
1
. Vì
2
I
IA IB IS
2
. Từ
1
,
2
có
I
là tâm của mặt
cầu ngoại tiếp hình chóp .
S ABC
.
Các tam giác
ABC
và
SAB
đều cạnh
a
nên
3
3
a
SG
và
3
6
a
GI OH
.
Bán kính của mặt cầu là
R SI
2 2
SG GI
2 2
3 3
9 36
a a
15
6
a
.
Do đó diện tích
S
của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .
S ABC
là:
2
4
S R
2
5
3
a
.
Câu 58. Cho mặt cầu
S
tâm
O
; đường kính
R
. Khi đó diện tích mặt cầu là:
A.
2
2
R
. B.
2
4
3
R
. C.
2
R
. D.
2
4
R
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
2
2
4
2
R
S R
.
Câu 59. Một hình trụ có bán kính đáy bằng
3
, chiều cao bằng
2 3
và gọi
S
là mặt cầu đi qua hai
đường tròn đáy của hình trụ. Tính diện tích mặt cầu
S
.
A.
6 3
. B.
8 6
. C.
6
. D.
24
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Mặt cầu
S
đi qua hai đường tròn đáy của hình trụ nên khối trụ nội tiếp khối cầu.
Mặt cầu
S
có tâm
I
là trung điểm của
OO
và bán kính
R IA IB IC ID
.
Ta có
2 2
ID O I O D
2
2
2 3
3 6
2
6
R
2
4 24
S R
.
Câu 60. Một hình cầu có bán kính bằng
2
(m). Hỏi diện tích của mặt cầu bằng bao nhiêu?
A.
8
(m
2
). B.
(m
2
). C.
4
(m
2
). D.
16
(m
2
).
O'
O
I
D
C
B
A
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 31
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Hướng dẫn giải
Chọn D
Diện tích mặt cầu
2
4
S R
16
(m
2
).
Câu 61. Công thức tính diện tích mặt cầu bán kính
R
là
A.
3
4
3
S R
. B.
2
3
4
S R
. C.
2
4 .
S R
D.
2
.
S R
Hướng dẫn giải
Chọn C
Công thức tính diện tích mặt cầu bán kính
R
là
2
4 .
S R
Câu 62. Khinh khí cầu của Mông–gôn–fie (Montgolfier) (người Pháp) nhà phát minh ra khinh khí cầu
dùng khí nóng. Coi khinh khí cầu này là một mặt cầu có đường kính
11m
thì diện tích của mặt
khinh khí cầu là bao nhiêu? (lấy
22
7
và làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).
A.
2
380,29 m
. B.
2
697,19 m
. C.
2
190,14 m
. D.
2
95,07 m
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Bán kính của khi khí cầu là
11
m
2
R .
Diện tích mặt cầu là
2
4
S R
2
121 380.29 m
.
Câu 63. Diện tích
S
của mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương cạnh bằng
2
là
A.
12
. B.
2 3
. C.
8 3
. D.
48
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương cạnh
a
có tâm là giao điểm các đường chéo của hình lập
phương, có bán kính
3
2
a
R
.
Do đó mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương cạnh bằng
2
có bán kính
3
R .
Vậy diện tích mặt cầu là:
2
4 12
S R
.
Câu 64. Cho khối cầu
S
có thể tích bằng
36
(
3
cm
). Diện tích mặt cầu
S
bằng bao nhiêu?
A.
2
36 cm
. B.
2
27 cm
. C.
2
64 cm
. D.
2
18 cm
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Thể tích khối cầu bằng
36
3
4
36
3
r
3
27
r
3
r
.
Vậy diện tích mặt cầu
S
là:
2 2 2
4 4 .3 36 cm
S r
.
Câu 65. Cho khối lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng
a
. Góc giữa đường chéo của mặt bên và đáy của
lăng trụ là
60
. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đó.
A.
2
13
π
3
a
. B.
2
5
π
3
a
. C.
2
13
π
9
a
. D.
2
5
π
9
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 32
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Gọi
H
là tâm ABC thì
3
3
a
AH .
Ta có
,A B ABC
,A B AB
60A BA
.tan60AA AB
3a .
Gọi
M
là trung điểm
AA
thì
3
2
a
AM . Mặt phẳng trung trực của đoạn
AA
cắt trục của
đường tròn ngoại tiếp ABC tại
I
thì
I
là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ.
Ta có
2 2 2 2
R IA IM AM
2 2
AH AM
2 2
3
4 3
a a
2
13
12
a
.
Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ
2
4πS R
2
2
13 13
4π π
12 3
a
a
.
Câu 66. Cho mặt cầu
1
S bán kính
1
R
, mặt cầu
2
S bán kính
2
R
. Biết rằng
2 1
2R R
, tính tỉ số diện tích
mặt cầu
2
S
và mặt cầu
1
S
.
A. 3. B. 2 . C. 4 . D.
1
2
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có:
2 2
2 2 1 1
4 4
. .4. 4
3 3
V R R V
.
Câu 67. Diện tích của mặt cầu có bán kính R bằng
A. 2 R
. B.
2
2 R
. C.
2
R
. D.
2
4 R
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Diện tích của mặt cầu có bán kính R bằng
2
4 R
.
Câu 68. Tình diện tích mặt cầu
S khi biết nửa chu vi đường tròn lớn của nó bằng 4
.
A. 32S
. B. 64S
. C. 8S
. D. 16S
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Gọi R là bán kính mặt cầu
S
Chu vi đường tròn lớn là 4 2 4 2R R
Vậy diện tích mặt cầu là:
2
4 16S R
.
Câu 69. Gọi , , R S V lần lượt là bán kính, diện tích và thể tích của khối cầu. Công thức nào sau đây sai?
A.
3
4
3
V R
B.
2
S R
C. 3 .V S R D.
2
4S R
Hướng dẫn giải
Chọn B
Công thức tính diện tích mặt cầu là:
2
4 .S R
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 33
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 70. Cho hình chóp .
S ABC
có đáy
ABC
là tam giác vuông tại
B
với
AB a
,
3
BC a
. Cạnh
SA
vuông góc với mặt phẳng đáy và
2 3
SA a
.Tính bán kính
R
của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
. .
S ABC
A.
4 .
R a
B.
2 .
R a
C.
.
R a
D.
3 .
R a
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có
SA ABC
nên tam giác
SAC
vuông tại
A
điểm
A
thuộc mặt cầu tâm
I
đường
kính
SC
(1).
Mặt khác ta lại có:
BC AB
BC SA
BC SAB
BC SB
hay tam giác
SBC
vuông tại
B
điểm
B
thuộc mặt
cầu tâm
I
đường kính
SC
(2).
Từ (1) và (2) ta có bốn điểm
, , ,
A B S C
cùng thuộc mặt cầu tâm
I
đường kính
BC
.
Xét tam giác vuông
ABC
ta có
2 2 2
2
AC AB BC a
.
Xét tam giác vuông
SAC
có
2 2 2 2
16
SC SA AC a
4
SC a
.
Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .
S ABC
là
2
2
BC
R a
.
Câu 71. Cho hình chóp .
S ABCD
có đáy là hình chữ nhật
2
AB a
,
3
AD a
, cạnh bên
SA
vuông góc
với mặt phẳng đáy, góc giữa đường thẳng
SD
và mặt phẳng đáy bằng
0
30
. Diện tích mặt cầu
ngoại tiếp hình chóp là.
A.
2
4
3
a
. B.
2
4
a
. C.
2
8
a
. D.
2
8
3
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
.
2
. 2 . 3 2 3
ABCD
S AD AB a a a
;
, 30
SD ABCD SDA
.
I
A
C
S
B
O
B
C
A
D
S
I
M
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 34
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
0
3
tan30 .tan30 3
3
SA
SA AD a a
AD
;
Gọi
O
là giao điểm của hai đường chéo
AC
và
BD
, cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp ,
là
đường thẳng đi qua
O
và song song với
SA
. Mặt phẳng trung trực của
SA
cắt
tại
I
là trung
điểm của
SC
. Vậy
I
là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .
S ABCD
.
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1
4 3 2
2 2 2 2
r IA SC SA AC SA AB BC a a a a
.
2
2 2
4 4 2 8
S r a a
.
Câu 72. Cho hình chóp đều .
S ABCD
có cạnh đáy
2
a
và cạnh bên
6
a
.Tính diện tích của mặt cầu ngoại
tiếp hình chóp .
S ABCD
.
A.
2
18
a
. B.
2
18
a
. C.
2
9
a
. D.
2
9
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Gọi
463,51
là tâm hình vuông
ABCD
,
M
là trung điểm của
SC
. Trong mặt phẳng
SOC
dựng đường thẳng qua
M
và vuông góc với
SC
cắt
SO
tại
I
. Khi đó
I
là tâm mặt cầu ngoại
tiếp hình chóp .
S ABCD
và bán kính
r SI
.
Xét tam giác vuông
ABC
ta có:
2 2
AC a
.
Xét tam giác vuông
SOC
ta có:
2 2
2
SO SC OC a
.
Xét
SMI SOC
∽ ta có:
SM SI
SO SC
.
SM SC
SI
SO
3
2
a
.
Vậy diện tích mặt cầu cần tìm là:
2
3
4
2
a
S
2
9
a
.
Câu 73. Cho hình chóp .
S ABC
có
ABC
là tam giác vuông cân tại
B
,
2
AB BC a
, cạnh
SA
vuông góc
với mặt phẳng
ABC
,
2 2
SA a
. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp .
S ABC
theo
a
.
A.
2
16
a
. B.
2
8
a
. C.
2
64
a
. D.
2
4
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Có
90
CB AB
CB SAB CB SB SBC
CB SA
.
Mặt khác:
90
SA AC SAC
.
Suy ra:
90
SBC SAC
do đó mặt cầu đường kính
SC
là mặt cầu ngoại tiếp .
S ABC
.
Xét tam giác vuông
ABC
ta có:
2 2 2 2
8
AC AB BC a
.
Xét tam giác vuông
SAC
ta có:
2 2 2 2 2 2
8 8 16 4
SC SA AC a a a SC a
.
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp .
S ABC
là:
2
2
SC
R a
.
M
I
B
C
O
S
D
A
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 35
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Diện tích mặt cầu là:
2 2
4 16
S R a
.
Câu 74. Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng
a
và góc giữa mặt bên và cạnh đáy là
0
60
. Hỏi
diện tích mặt cầu
S
có tâm
O
và tiếp xúc với các cạnh bên bằng bao nhiêu? (
O
là tâm mặt
đáy):
A.
2
2
3
a
. B.
2
3
2
a
. C.
2
2
3
a
. D.
2
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
.
Ta có
0
60
SAO (Góc giữa cạnh bên
SA
và đáy
ABC
).
0
2 3
.tan . .tan60
3 2
a
SO AO SAO a
2
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 4
3
3
OH SO OA a a
a
.
Bán kính mặt cầu
S
là
2
a
R OH
.
Vậy diện tích mặt cầu
S
là:
2
2 2
4 4
2
C
a
S R a
.
DẠNG 3: TÍNH THỂ TÍCH KHỐI CẦU
Câu 75. Cho hình chóp tam giác đều .
S ABC
có đáy bằng
3
a
, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng
45
.
Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp .
S ABC
bằng.
A.
3
4 2
a
. B.
3
4 3
3
a
. C.
3
4 3
a
. D.
3
4 2
3
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 36
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Ta có:
2 3 3
. 3
3 2
a
AH a
;
SAH
vuông cân
3
SH AH a
.
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp .
S ABC
là:
2
2
SA
R
SH
2
6
2 3
a
a
3
a
.
Vậy
3
4
3
V R
3
4
3
3
a
3
4 3
a
.
Câu 76.Cho hình chóp .
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh
a
, tam giác
SAB
đều và nằm trong mặt
phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích
V
của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.
A.
3
7 21
18
a
V
. B.
3
4 3
81
a
V
. C.
3
7 21
54
a
V
. D.
3
4 3
27
a
V
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
.
Gọi
O AC BD
.
Dựng đường thẳng p đi qua điểm
O
và vuông góc với mặt phẳng
ABCD
.
p
là trục đường tròn ngoại tiếp hình vuông
ABCD
.
Gọi
G
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều
SAB
.
Dựng đường thẳng
q
đi qua
G
và vuông góc với mặt phẳng
SAB
cắt
p
tại
I
.
q
là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác
SAB
.
Khi đó,
I
là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .
S ABCD
.
Thật vậy,
D 1
I p IA IB IC I
.
2
I q IA IB IS
.
Từ (1) và (2) suy ra
D
IA IB IC I
nên
I
là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .
S ABCD
.
OH
là đường trung bình của tam giác
ABC
nên
2 2
BC a
OH GI
.
Vì
G
là trọng tâm của tam giác
SAC
nên
2 2 3 3
.
3 3 2 3
a a
SG SH
.
a
a
a
a
q
p
O
B
A
D
S
C
I
H
G
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 37
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Tam giác
SGI
vuông tại
G
nên
2
2
2
2 2 2 2
3 7a 21
3 2 12 6
a a a
SI SG IG R R
.
Vậy thể tích khối cầu là
3
3
3
4 4 21 7 21
R
3 3 6 54
a a
V
.
Câu 77. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC đều, đường cao SH với
H
nằm trong
ABC và
2SH=BC,
SBC
tạo với mặt phẳng
ABC
một góc . Biết có một điểm O nằm trên đường
cao SH sao cho
; ; ; 1
d O AB d O AC d O SBC
. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình
chóp đã cho.
A.
500
81
. B.
48
343
C.
256
81
. D.
125
162
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Giả sử
,
E F
là chân đường vuông góc hạ từ
O
xuống
,
AB AC
. Khi đó ta có
,
HE AB HF AC
. Do
1
OE OF
nên
HE HF
. Do đó
AH
là phân giác của góc
BAC
.
Khi đó
AH BC D
là trung điểm của
BC
.
Do
BC AD BC SAD
. Kẻ
OK SD
thì
OK SBC
. Do đó
1
OK
và
60
SDA
.
Đặt
2 0
AB BC CA a a
thì , .cot60
3
a
SH a HD a .
Do đó 3 3
AD a HD
nên
H
là tâm tam giác đều
ABC
.
S ABC
là hình chóp tam giác đều
và
,
E F
là trung điểm
,
AB AC
.
Mặt khác trong tam giác
SOK
có :
2
sin30
OK
SO
. Do
DEF
đều có
OH DFE
nên
1
OE OF OD
K D
.
Khi đó
DSO
vuông tại
D
và có
DH SO
. Từ đó
2
.
DH HS HO
2
2
3
a
a a
3
2
a
3
3,
2
AB SH
.
0
60
D
F
E
A
C
B
S
H
O
K
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 38
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Gọi
R
là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .
S ABC
thì
2
7
2 4
SA
R
SH
.
3
/
4 7 343
.
3 4 48
m c
V
.
Câu 78. Công thức tính thể tích khối cầu bán kính
R
là
A.
3
4
V R
. B.
3
4
3
V R
. C.
3
1
3
V R
. D.
3
V R
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Câu 79. Cho khối cầu có bán kính
R
. Thể tích của khối cầu đó là
A.
3
1
3
V R
. B.
2
4
3
V R
. C.
3
4
V R
D.
3
4
3
V R
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
- Công thức tính thể tích khối cầu bán kính
R
là:
3
4
3
V R
.
Câu 80. Thể tích của khối cầu ngoại tiếp bát diện đều có cạnh bằng
a
là:
A.
3
2
6
a
. B.
3
2
3
a
. C.
3
8 2
3
a
. D.
3
3
3
a
Hướng dẫn giải
Chọn B
Giả sử hình bát diện đều như hình vẽ. khi đó Bán kính mặt cầu
R SO
2 2
SA OA
.
2
2
2
4
a
R a
2
2
a
.
Thể tích của khối cầu
3
4
3
V R
3
2
3
a
.
Câu 81. Cho hình chóp .
S ABCD
có
SA ABCD
, đáy
ABCD
là hình chữ nhật,
, 2 ,
AB a AD a
góc
giữa đường thẳng
SC
và đáy bằng
45
. Tính theo
a
thể tích
V
của khối cầu ngoại tiếp hình
chóp .
S ABCD
A.
3
5 10
.
3
a
V
B.
3
10
.
3
a
V
C.
3
5
.
6
a
V
D.
3
6 .
V a
Hướng dẫn giải
O
D
B
A
C
S
S'
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 39
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Chọn A
.
Gọi O AC BD và I là trung điểm SC .
Khi đó OI là trục của hình chữ nhật ABCD nên IA IB IC ID .
Mặt khác do và I là trung điểm
SC
nên
IS IC
.
Vậy I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .S ABCD .
Do
SA ABCD nên AC là hình chiếu của SC lên
ABCD . Vậy
, 45SCA SC ABCD .
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .S ABCD là
1 1 5
.
2 2
2 2 2
AC a
R SC
.
Thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp .S ABCD là
3
3
4 5 5 10
3 3
2 2
a a
V
.
Câu 82. Khối cầu
S có diện tích mặt cầu bằng 16
(đvdt). Tính thể tích khối cầu.
A.
32 3
9
đvdt
. B.
32 3
3
đvdt
. C.
32
9
đvdt
. D.
32
3
đvdt
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
2 2
16
4 16 4 2
4
S R R R
.
3 3
4 4 32
.2
3 3 3
đvdt
V R
.
Câu 83. Quay một miếng bìa hình tròn có diện tích
2
16 a
quanh một trong những đường kính, ta được
khối tròn xoay có thể tích là
A.
3
256
3
a
B.
3
32
3
a
C.
3
64
3
a
D.
3
128
3
a
Hướng dẫn giải
Chọn A
Gọi R là bán kính đường tròn. Theo giả thiết, ta có
2 2
16 4S R a R a
.
Khi quay miếng bìa hình tròn quanh một trong những đường kính của nó thì ta được một hình
cầu. Thể tích hình cầu này là
3
3 3
4 4 256
4
3 3 3
V R a a
.
Câu 84. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh bằng
a
,
SA
vuông góc với đáy. Biết
SC
tạo với mặt phẳng
ABCD
một góc
o
45 . Tính Thể tích
V
của khối cầu ngoại tiếp hình
chóp
.S ABCD
.
A.
3
2
π
3
V a . B.
3
πV a . C.
3
4
π
3
V a . D.
3
1
π
3
V a .
Hướng dẫn giải
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 40
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Chọn C
Góc giữa
SC
và
ABCD
là góc
SCA bằng
o
45 nên tam giác
SAC
vuông cân tại A nên
2SC a
.
Ta có
CB SAB CB SB SBC
vuông tại B .
CD SAD CD SD SCD
vuông tại D .
Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
.S ABCD
là trung điểm
SC
, bán kính
2
SC
R a .
Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp
.S ABCD
là
3
4
π
3
V a .
Câu 85. Bán kính R của khối cầu có thể tích
3
32
3
a
V
là:
A.
3
7a
. B.
2R a
. C.
2 2R a
. D.
2a
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Thể tích khối cầu
3 3
3
32 4 32
3 3 3
a a
V R
2R a .
Câu 86. Cho hình lăng trụ tam giác đều .ABC A B C
có độ dài cạnh đáy bằng
a
và chiều cao bằng 2a .
Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình lăng trụ . .ABC A B C
A.
3
32 3
81
a
V
. B.
3
32 3
9
a
V
. C.
3
8 3
27
a
V
. D.
3
32 3
27
a
V
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
I
O
O'
C
B
A'
B'
C'
A
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 41
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Dựng trục
OO
của hai đáy và gọi
I
là trung điểm của
OO
. Khi đó
I
là tâm của mặt cầu và bán
kính mặt cầu
R IA
.
Trong tam giác vuông
IO A
ta có
2 2
R O A O I
với
3
3
a
O A
và
2
O I a
ta có
2 3
3
a
R
. Thể tích khối cầu
3
4
3
V R
3
32 3
27
a
V
.
Câu 87.Cho hình chóp .
S ABC
có đáy
ABC
là tam giác đều cạnh bằng 1, mặt bên
SAB
là tam giác đều và
nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp
.
S ABC
là.
A.
5
3
. B.
5 15
54
. C.
4 3
27
. D.
5 15
8
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
.
Dựng trục đường tròn
Gx
ngoại tiếp tam giác
ABC
.
Dựng trục đường tròn
K y
ngoại tiếp tam giác
SAB
.
Gọi
I
là giao điểm
Gx
và
K y
.
Ta có
I
cách đều các điểm
, , ,
S A B C IS IA IB IC R
.
Ta có:
2 2 3 3
.
3 3 2 3
SK SM
.
1 1 3 3
3 3 2 6
KI MG MC
.
Xét tam giác
SKI
vuông tại
K
ta có:
2 2
15
6
R SI SK IK
.
Vậy thể tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .
S ABC
là:
3
3
4 4 15 5 15
3 3 6 54
V R
.
Câu 88.Cho hình chóp .
S ABC
có đáy
ABC
là tam giác đều có cạnh bằng
1
, mặt bên
SAB
là tam giác đều
và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã
cho.
x
y
G
M
A
B
C
S
K
I
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 42
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
5
3
V
. B.
5 15
54
V
. C.
4 3
27
V
. D.
5 15
18
V
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
.
Gọi
,
G K
lần lượt là trọng tâm tam giác
,
ABC SAB
.
Dựng
,
d d
lần lượt là hai đường thẳng qua
,
G K
và vuông góc với
,
ABC SAB
Dễ thấy
,
d d
đồng phẳng. Gọi
I d d
. Tứ giác
GIKH
là hình vuông.
3 3
;
6 3
GH GC
15
6
R IC
.
3
4 15 15 5 15
.
3 6 54
V
.
Câu 89.Cho hình lập phương .
ABCD A B C D
có cạnh bằng
a
. Gọi
1 2 3
, ,
V V V
lần lượt là thể tích của khối
trụ ngoại tiếp, khối cầu nội tiếp, khối cầu ngoại tiếp hình lập phương .
ABCD A B C D
. Tính giá
trị
1 2
3
V V
P
V
.
A.
2 3
3
P
. B.
4 3
9
P
. C.
3
3
P
. D.
4 3
3
P
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
.
I
K
G
H
A
C
B
S
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 43
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Khối trụ ngoại tiếp hình lập phương có bán kính bằng đáy bằng
2
2
a
và chiều cao bằng
a
nên
có thể tích
2
3
1
2
.
2 2
a a
V a
.
Khối cầu nội tiếp hình lập phương có bán kính bằng
2
a
nên có thể tích
3
3
2
4
3 2 6
a a
V
.
Khối cầu ngoại tiếp hình lập phương có bán kính bằng
3
2
a
.
nên có thể tích
3
3
3
4 3 3
3 2 2
a a
V
.
Từ đó suy ra
3
1 2
2
3
a
V V
. Vậy
3 3
1 2
3
2 3 4 3
:
3 2 9
V V a a
P
V
.
Câu 90. Thể tích của khối cầu có bán kính bằng
a
là:
A.
3
2
V a
B.
3
V a
C.
3
4
3
a
V
. D.
3
4
V a
Câu 91. Cho hình lăng trụ đứng .
ABC A B C
có đáy
ABC
là tam giác vuông tại
A
. Biết
AB AA a
,
2
AC a
. Gọi
M
là trung điểm của
AC
. Thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện
MA B C
bằng
A.
3
5 5
6
a
. B.
3
2
3
a
. C.
3
4
3
a
. D.
3
3
3
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Gọi
I
là trung điểm của cạnh
B C
. Khi đó
I
là tâm đường tròn ngoại tiếp
A B C
.
Gọi
M
là trung điểm của cạnh
A C
. Khi đó
MM A B C
.
Do
2
MA MC a
nên
MA C
vuông tại
M
. Do đó
M
là tâm đường tròn ngoại tiếp
MA C
.
Do đó
I
là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
MA B C
. Bán kính mặt cầu là
r IB
5
2 2
BC a
.
Do đó thể tích khối cầu là
3
3
4 5 5
3 6
a
V r
.
I
M'
M
B
C
A
A'
C'
B'
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 44
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 92. Một hình cầu có thể tích bằng ngoại tiếp một hình lập phương. Thể tích của khối lập phương
đó là
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Chọn A
Kí hiệu độ dài là cạnh của hình lập phương .
Khi đó, bán kính của hình cầu ngoại tiếp hình lập phương là .
Do thể tích hình cầu là nên ta có .
Vậy thể tích khối lập phương là
Câu 93.Mặt cầu
S có diện tích bằng 20
, thể tích khối cầu
S bằng
A.
4 5
3
. B. 20 5
. C.
20
3
. D.
20 5
3
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Diện tích mặt cầu
S :
2
4π 20πR
5R .
Thể tích khối cầu
S là
3
4
π
3
V R
3
4
π 5
3
20 5
3
.
Câu 94. Cho hình chóp .S ABCD có
SA ABCD
, đáy ABCD là hình chữ nhật,
, 2 ,AB a AD a
góc
giữa đường thẳng SC và đáy bằng 45 . Tính theo
a
thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình
chóp .S ABCD.
A.
3
10
3
a
V
. B.
3
5 10
3
a
V
. C.
3
6V a
. D.
3
5
6
a
V
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
.
Gọi O AC BD và
I
là trung điểm SC .
Khi đó OI là trục của hình chữ nhật ABCD nên IA IB IC ID .
Mặt khác do và
I
là trung điểm SC nên IS IC .
Vậy
I
là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .S ABCD.
Do
SA ABCD
nên AC là hình chiếu của SC lên
ABCD
. Vậy
, 45
SCA SC ABCD
.
4
3
8 3
9
1
8
3
3
2
a
a
0
a
3
2
a
R
4
3
3
4 4 2
1
3 3
3
R R a
3
8 3
9
V a
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 45
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .
S ABCD
là
1 1 5
.
2 2
2 2 2
AC a
R SC
.
Thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp .
S ABCD
là
3
3
4 5 5 10
3 3
2 2
a a
V
.
Câu 95. Cho hình nón
N
có góc ở đỉnh bằng
o
60 ,
độ dài đường sinh bằng
a
. Dãy hình cầu
1
,
S
2
,
S
3
,...,
S
,...
n
S thỏa mãn:
1
S
tiếp xúc với mặt đáy và các đường sinh của hình
nón
;
N
2
S
tiếp xúc ngoài với
1
S
và tiếp xúc với các đường sinh của hình nón
;
N
3
S
tiếp xúc ngoài với
2
S
và tiếp xúc với các đường sinh của hình nón
N
. Tính tổng thể tích các
khối cầu
1
,
S
2
,
S
3
,...,
S
,...
n
S theo
a
.
A.
3
3
.
48
a
B.
3
9 3
.
16
a
C.
3
3
.
52
a
D.
3
27 3
.
52
a
Hướng dẫn giải
Chọn C
Gọi
1 2
,
I I
lần lượt là tâm của mặt cầu
1
S
và
2
S
.
Gọi
H
là trung điểm của
AB
. Khi đó ta có
SAB
đều và
1
1 1 3 3
.
3 3 2 6
a a
R SH
.
Hạ
1 1
I M SA
,
2 2
I M SA
.
Xét
2 2
SI M
có
ο
2 2
2
sin 30
I M
SI
2 2 2
2
SI I M
. Khi đó ta có
2 2
SH SI I E EH
1 2 1
3 3 2
r r r
1 2
3
r r
.
Chứng minh tương tự ta có
2 3
3
r r
,….,
1
3
n n
r r
.
Do đó dãy bán kính
1
r
,
2
r
,…,
n
r
,. lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn với
1
3
6
a
r
và công bội
1
3
q
.
Suy ra dãy thể tích của các khối cầu
1
S
,
2
S
, …,
n
S
,… lập thành một cấp số nhân lùi vô
hạn với
3
3
1
4 3 3
.
3 6 54
a
V a
và công bội
1
1
27
q .
M
2
M
1
E
I
1
H
S
B
A
I
2
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 46
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Vậy tổng thể tích của các khối cầu
1 2
, ,..., ,...
n
S S S là:
3
1
3
1 52
V
V a
q
.
Câu 96. Một khối cầu có bán kính
2
R
thì có thể tích
V
bằng bao nhiêu?
A.
3
32
3
R
V
. B.
3
24
3
R
V
.
C.
2
4
V R
.
D.
3
4
3
R
V
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Thể tích của khối cầu
3
3
4 32
2
3 3
R
V R
.
Câu 97. Cho hình chóp .
S ABCD
có đáy là hình chữ nhật,
3
AB a
và
AD a
. Đường thẳng
SA
vuông góc
với đáy và
SA a
. Thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp .
S BCD
bằng
A.
3
3 5
25
a
. B.
3
3 5
8
a
. C.
3
5 5
6
a
. D.
3
5 5
24
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Dễ thấy các tam giác
SAC
,
SBC
,
SDC
là tam giác vuông (
SC
là cạnh huyền ). Suy ra mặt cầu
ngoại tiếp khối chóp .
S ABCD
có tâm là trung điểm của SC và bán kính là
2
SC
R
2 2
2
SA AC
2 2 2
2
SA AB AD
2 2 2
3
2
a a a
5
2
a
.
Do đó, thể tích khối cầu là:
3
4
3
V R
3
4 5
.
3 2
a
3
5 5
6
a
.
Câu 98. Người ta chế tạo ra một món đồ chơi cho trẻ em theo các công đoạn như sau: Trước tiên, chế tạo ra
một hình nón tròn xoay có góc ở đỉnh là
2 60
bằng thủy tinh trong suốt. Sau đó đặt hai quả
cầu nhỏ bằng thủy tinh có bán kính lớn, nhỏ khác nhau sao cho hai mặt cầu tiếp xúc với nhau và
đều tiếp xúc với mặt nón, quả cầu lớn tiếp xúc với cả mặt đáy của hình nón (hình vẽ).
I
B
C
A
S
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 47
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Biết rằng chiều cao của hình nón bằng 9
cm
. Bỏ qua bề dày của các lớp vỏ thủy tinh, tổng thể
tích của hai khối cầu bằng
A.
3
100
cm
3
. B.
3
112
cm
3
. C.
3
40
cm
3
. D.
3
38
cm
3
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Gọi
AB
là đường kính mặt nón,
O
là đỉnh,
M
,
N
lần lượt là giao điểm của tiếp tuyến chung
của hai mặt cầu và
OA
,
OB
(hình vẽ).
Ta có tam giác
OAB
đều nên bán kính đường tròn nội tiếp bằng
1
3
3
r h
.
Tương tự, tam giác
OMN
đều, có chiều cao
9 2 3
h r
nên có bán kính đường tròn nội tiếp
1
.3 1
3
r
.
Thể tích hai khối cầu bằng
3 3
4 4 112
. .
3 3 3
V r r
.
Câu 99. Một khối cầu bán kính
6dm
người ta cắt bỏ hai phần của khối cầu bằng hai mặt phẳng
P
và
Q
song song với nhau (tâm của khối cầu nằm giữa hai mặt phẳng
P
,
Q
), biết mặt phẳng
P
cách tâm
3dm
và mặt phẳng
Q
cách tâm
4dm
để làm một chiếc lu đựng nước. Tính thể
tích của chiếc lu.
A.
656
3
. B.
565
3
. C.
655
3
. D.
665
3
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
N
M
B
A
O
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 48
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
.
Chọn trục
Ox
như hình vẽ,
O
là tâm của hình cầu.
Cắt mặt cầu bởi một mặt phẳng vuông góc với trục
Ox
ta được đường tròn tâm
I
bán kính.
2 2 2
36
r R OI x
với
x OI
.
Diện tích của đường tròn trên là
2 2
36
x
S r x
.
Thể tích cần tìm là:
3
3 3
3
2
4 4
4
665
d 36 d 36
3 3
x
x
V S x x x x
.
Câu 100.Cho hình chóp .
S ABC
, đáy là tam giác vuông tại
A
,
3
AB
,
4
AC
.
SA
vuông góc với đáy,
2 14.
SA
Thể tích
V
của khối cầu ngoại tiếp hình chóp .
S ABC
là.
A.
13
8
V
. B.
36
V
. C.
81
V
. D.
243
2
V
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
.
Lấy
H
là trung điểm của
BC
, ta có
H
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC
.
Do đó trục đường tròn ngoại tiếp của hình chóp .
S ABC
chính là đường thẳng
d
qua
H
và
vuông góc với mặt phẳng
ABC
.
Mặt phẳng trung trực của cạnh bên
SA
chính là mặt phẳng đi qua trung điểm
I
của
SA
và song
song với mặt phẳng
ABC
. Mặt phẳng này cắt trục
d
tại điểm
J
. Ta có
J
là tâm mặt cầu
ngoại tiếp hình chóp .
S ABC
.
Nhận xét: ta có
IJAH
là hình chữ nhật nên
2
2
2 2
5 9
14
2 2
JA IH AI AH
.
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .
S ABC
là:
9
2
R
.
J
I
H
A
C
B
S
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 49
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Thể tích khối cầu là:
3
3
4 4 9 243
3 3 2 2
V R
(đvtt).
Câu 101. Thể tích
V
của khối cầu có bán kính
4
R
bằng
A.
36
V
. B.
256
3
V
. C.
64
V
. D.
48
V
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Thể tích của khối cầu là:
3
4
3
V R
3
4
.4
3
256
3
.
Câu 102. Thể tích của khối cầu có bán kính bằng
a
là
A.
3
4
3
a
V
. B.
3
4
V a
. C.
3
2
V a
. D.
3
V a
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
3 3
4 4
3 3
r a
V
.
Câu 103. Cho hình chóp .
S ABC
có đáy
ABC
là tam giác đều cạnh bằng
1
, mặt bên
SAB
là tam giác đều
và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích
V
của khối cầu ngoại tiếp
hình chóp đã cho.
A.
5 15
18
V
. B.
5
3
V
. C.
5 15
54
V
. D.
4 3
27
V
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
.
Gọi
O
là tâm đường tròn tam giác
ABC
suy ra
O
là trọng tâm,
H
là trung điểm
AB
, kẻ
đường thẳng qua
O
song song
SH
cắt
SC
tại
N
ta được
NO ABC
, gọi
M
là trung
điểm
SC
,
HM
cắt
NO
tại
.
I
.
Ta có
HS HC
nên
HM SC IS IC IA IB r
.
0
2 2 6 6 6 1
45 , ,
3 3 2 3 4
6
CN CO
NIM HCS CN SM SN
CS CH
Suy ra
6
12
NM SM SN
.
Ta có
NMI
vuông tại
M
0
6
tan45
12
NM
IM NM
IM
.
Suy ra
2 2
5
12
r IC IM MC
.
M
I
N
H
O
A
C
B
S
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 50
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Vậy
3
4 5 15
3 54
V r
.
Cách khác:
Gọi
,
P Q
lần lượt là trọng tâm các tam giác
SAB và ABC
.
Do các tam giác
SAB và ABC
là các tam giác đều cạnh bằng
1
nên
,
P Q
lần lượt tâm đường
tròn ngoại tiếp tam giác đó.
+ Qua
P
đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
,
SAB
qua
O
dựng đường thẳng vuông góc
với mặt phẳng
.
ABC
Hai trục này cắt nhau tại
,
I
suy ra
IA IB IC IS
. Vậy
I
là tâm mặt
cầu ngoại tiếp hình chóp .
S ABC
và
R IC
.
+ Xét
2 2
2 2
1 3 2 3 15
: IC . .
3 2 3 2 6
IQC IG GC
.
Vậy
3
4 5 15
3 54
V R
.
Câu 104. Công thức tính thể tích
V
của khối cầu có bán kính bằng
R
là
A.
3
V R
. B.
2
4
V R
. C.
2
4
3
V R
. D.
3
4
3
V R
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Thể tích
V
của khối cầu có bán kính bằng
R
là
3
4
3
V R
.
Câu 105.Cho hình hộp
.
ABCD A B C D
nội tiếp hình trụ cho trước, khoảng cách từ tâm hình trụ đến
ABB A
là
3
, góc giữa
DB
và
ABB A
bằng
o
30
. Biết bán kính hình trụ bằng
5
, tỉ số thể
tích khối hộp và khối cầu ngoại tiếp hình hộp là?
A.
12
3
. B.
10
3
. C.
11
3
. D.
13
3
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
.
Hình hộp
.
ABCD A B C D
nội tiếp trong hình trụ nên là hình hộp chữ nhật. Gọi
O
là tâm
ABC D
,
E
là trung điểm
AB
.
Ta có:
3
OE
,
5 6
OA AD
.
Xét
AEO
vuông tạo
E
, có:
2 2
4 8
AE OA OE AB
.
Vì
AD ABB A
nên
AB
là hình chiếu vuông góc của
DB
lên
o
60
ABB A DB A
.
Xét tam giác
ABD
vuông tại
A
có:
o
tan60 6 3
AB AD
,
2 2
12
B D AD AB
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 51
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Xét tam giác
ABB
vuông tại
B
có:
2 2
2 11
BB AB AB
.
Thể tích khối hộp là
.
. 2 11.8.6 96 11
ABCD A B C D ABCD
V BB S
.
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình hộp là
6
2
B D
R
.
Thể tích khối cầu là
3
4
288
3
V R
.
Vậy tỉ số thể tích khối hộp và khối cầu ngoại tiếp hình hộp là
11
3
.
Câu 106. Cho hình chóp .
S ABCD
có đáy là hình vuông cạnh bằng
a
. Cạnh bên
SA
vuông góc với mặt
đáy và
2
SA a
. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp .
S ABCD
theo
a
.
A.
3
4
3
a
. B.
3
8
a
. C.
3
8 2
3
a
. D.
3
4
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta chứng minh được các tam giác
SBC
,
SAC
và
SCD
là các tam giác vuông lần lượt tại
, ,
B A D
.
Suy ra các điểm
, ,
B A D
nhìn cạnh
SC
dưới một góc vuông.
Gọi
I
là trung điểm
SC
I
là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .
S ABCD
.
Khi đó bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .
S ABCD
là:
2 2
2 2
1 1
2 2
2 2
R AI SA AC a a a
.
Vậy thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp .
S ABCD
là:
3
3 3
4 4 4
.
3 3 3
a
V R a
.
Câu 107. Cho mặt cầu
S
tâm
O
và các điểm
A
,
B
,
C
nằm trên mặt cầu
S
sao cho
3
AB
,
4
AC
,
5
BC
và khoảng cách từ
O
đến mặt phẳng
ABC
bằng
1
. Thể tích của khối cầu
S
bằng
A.
7 21
2
. B.
ABD
. C.
20 5
3
. D.
29 29
6
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
I
D
A
B
C
S
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 52
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Ta có
2 2
AB AC
2 2
3 4 25
2
BC
ABC
vuông tại
A
.
Gọi
H
là hình chiếu của
O
trên mặt phẳng
ABC
H
là tâm đường tròn ngoại tiếp
ABC
.
Vì
ABC
vuông tại
A
nên
H
là trung điểm của
BC
.
Vì khoảng cách từ
O
đến mặt phẳng
ABC
bằng
1
nên
1
OH
.
OHB
vuông tại
H
có:
2 2
OB OH BH
2
2
5
1
2
29
2
.
Vậy mặt cầu
S
có bán kính
29
2
R OB
.
Do đó thể tích khối cầu
S
là:
3
4
3
V R
3
4 29
3 2
29 29
6
.
Câu 108.Cho hình chóp .
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh
a
và
2 ,
SA a
SA ABCD
. Kẻ
AH
vuông góc với
SB
và
AK
vuông góc với
SD
. Mặt phẳng
AHK
cắt
SC
tại
E
. Tính thể tích
khối cầu ngoại tiếp
ABCDEHK
.
A.
3
2
3
a
. B.
3
8 2
3
a
. C.
3
8 2
3
a
. D.
3
2
3
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
.
,
B D
nhìn
AC
dưới một góc
90
.
2 2
5; ;
5 5
AD a a
SD a KD
SD
a
2 2
6
SC SA AC a
.
Ta có:
2 2 2
1 1 1 2
5
a
AK
SA AD AK
1
.
2 2 2
SC SD CD
tam giác
SCD
vuông tại
D
.
Khi đó tam giác
KDC
vuông tại
D
.
2 2
6
5
a
KC CD KD
.
K
O
B
A
D
C
S
H
E
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 53
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Ta có:
2 2 2
AK KC AC
. Vậy
90
AKC
.
Tương tự
90
AHC
.
Vậy
AC
chính là đường kính mặt cầu ngoại tiếp khối
ABCDEHK
.
2
2
a
AC a OA
.
3
3 3
4 4 2
3 3 3
2 2
a
V OA a
.
Câu 109. Một khối cầu có bán kính
5dm
, người ta cắt bỏ hai phần phía trên và phía dưới khối cầu bằng
hai mặt phẳng vuông góc với bán kính và cách tâm bằng
3dm
để làm chiếc lu đựng nước. Thể
tích chiếc lu đựng nước là:
A.
3
100
dm
3
. B.
3
132 dm
. C.
3
43 dm
. D.
3
41 dm
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Cách1:
.
Trong mặt phẳng
Oxy
,cho đường tròn
2 2
: 25
C x y
, xét
2
: 25
T y x
, khi đó
T
là nửa đường tròn. Nếu xoay
T
quanh trục
Ox
ta được hình cầu có bán kính là
5
.
Thể tích cái lu cần tìm chính là thể tích hình giới hạn bởi trục
Ox
,
T
và hai đường thẳng
3
x
,
3
x
khi quay quanh trục
Ox
.
Vậy
3
2
2 3
3
25 d 132 dm
V x x
.
Cách2:
Sử dụng công thức
2
3
h
V h R
để tính thể tích phần thể tích chỏm cầu.
Với bài này,
2dm
h
2 3
2 52
.2 5 dm
3 3
V
.
Vậy
3 3
lu
52
2. . 2. 132 dm
3
S
V V V R
.
Câu 110. Khối cầu có bán kính
R
có thể tích là
A.
2
4
3
R
. B.
3
4
3
R
. C.
2
4
R
. D.
3
R
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
y
x
O
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 54
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 111. Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, cho
1;2;3
A ;
4;2;3
B ;
4;5;3
C . Diện tích mặt cầu
nhận đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC
làm đường tròn lớn là:
A.
9
. B.
36
. C.
18
. D.
72
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có:
3
AB
;
3
BC
;
3 2
AC nên tam giác
ABC
vuông cân tại
B
. Bán kính đường tròn
ngoại tiếp tam giác
ABC
là
3 2
2
R
.
Diện tích mặt cầu cần tìm là:
2
4
S r
18
.
Câu 112. Thể tích của khối cầu có diện tích mặt ngoài bằng
36
.
A.
36
B.
9
C.
3
D.
9
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có:
•
2
4 36
C
S R
2
9 3
R R
.
3 3
4 4
.3 36
3 3
C
V R
.
Câu 113. Khối cầu bán kính
2
R a
có thể tích là:
A.
3
8
3
a
. B.
2
16
a
. C.
3
32
3
a
. D.
3
6
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có thể tích khối cầu là
3
4
.
3
S R
3
4
.8
3
a
3
32
3
a
.
Câu 114. Cho hình chóp .
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh
a
, tam giác
SAB
đều và nằm trong
mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích
V
của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã
cho.
A.
3
4 3
27
a
V
. B.
3
7 21
18
a
V
. C.
3
4 3
81
a
V
. D.
3
7 21
54
a
V
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
.
Gọi
O AC BD
.
Dựng đường thẳng p đi qua điểm
O
và vuông góc với mặt phẳng
ABCD
.
=>
p
là trục đường tròn ngoại tiếp hình vuông
ABCD
.
Gọi
G
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều
SAB
.
Dựng đường thẳng
q
đi qua
G
và vuông góc với mặt phẳng
SAB
cắt
p
tại
I
.
a
a
a
a
q
p
O
B
A
D
S
C
I
H
G
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 55
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
=>
q
là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác
SAB
.
Khi đó,
I
là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .
S ABCD
.
Thật vậy,
D 1
I p IA IB IC I
.
2
I q IA IB IS
.
Từ (1) và (2) suy ra
D
IA IB IC I
nên
I
là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .
S ABCD
.
OH
là đường trung bình của tam giác
ABC
nên
2 2
BC a
OH GI
.
Vì
G
là trọng tâm của tam giác
SAC
nên
2 2 3 3
.
3 3 2 3
a a
SG SH
.
Tam giác
SGI
vuông tại
G
nên
2
2
2
2 2 2 2
3 7a 21
3 2 12 6
a a a
SI SG IG R R
.
Vậy thể tích khối cầu là
3
3
3
4 4 21 7 21
R
3 3 6 54
a a
V
.
Câu 115. Cho hình chóp .
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh
a
, tam giác
SAB
đều và nằm trong
mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp
SABCD
.
A.
3
7 21
54
a
. B.
3
7 21
162
a
. C.
3
7 21
216
a
. D.
3
49 21
36
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Gọi
H
là trung điểm của
AB
, suy ra
AH ABCD
.
Gọi
G
là trọng tâm tam giác
SAB
và
O
là tâm hình vuông
ABCD
.
Từ
G
kẻ //
GI HO
suy ra
GI
là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác
SAB
và từ
O
kẻ
//
OI SH
thì
OI
là trục đường tròn ngoại tiếp hình vuông
ABCD
.
Ta có hai đường này cùng nằm trong mặt phẳng và cắt nhau tại
I
.
Suy ra
I
là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .
S ABCD
.
2 2
21
6
a
R SI SG GI
.
Suy ra thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp
SABCD
là
3 3
4 7 21
3 54
V R a
.
Câu 116. Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng
5 2 .
cm
Tính thể tích
V
của khối cầu ngoại
tiếp khối chóp trên.
A.
3
250
cm
3
V
. B.
3
100 cm
V
.
I
G
O
K
H
B
A
D
C
S
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 56
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
C.
3
500
cm
3
V
. D.
3
125 2
cm
3
V
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
.
Gọi
M
là trung điểm của
SC
, từ
M
vẽ đường thẳng vuông góc
SC
cắt
SO
tại I.
Vì
I SO
nên
IA IB IC ID
.
Vì
I
nằm trên mặt phẳng trung trực SC nên
IS IC
.
Vậy I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .
S ABCD
.
Ta có:
. 2 10cm 5cm
AC AB OC
;
5
cm
2
2
SC
SM
.
Ta có:
2
2
5
.5 2
.
2
cos 5cm
5 2 5
SM SO SM SC
MSI R SI
SI SC SO
.
Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp là:
3 3
4 500
.5 cm
3 3
V
.
C
O
A
B
D
S
M
E
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 1
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
DẠNG 4: BÀI TOÁN LIÊN QUAN THIẾT DIỆN, DÂY CUNG
Câu 117: Cho mặt cầu tâm
O
, bán kính
3
R
. Mặt phẳng
cách tâm
O
của mặt cầu một khoảng bằng
1
, cắt mặt cầu theo một đường tròn. Gọi
P
là chu vi đường tròn này, tính
P
.
A.
4
P
. B.
8
P
. C.
2 2
P
. D.
4 2
P
.
Câu 118: Cho khối cầu tâm
O
bán kính
R
. Mặt phẳng
P
cách
O
một khoảng
2
R
chia khối cầu thành hai
phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó.
A.
5
27
. B.
5
24
. C.
5
19
. D.
5
32
.
Câu 119: Cho hai đường tròn
1
C
,
2
C
lần lượt chứa trong hai mặt phẳng phân biệt
P
,
Q
.
1
C
,
2
C
có hai điểm chung
A
,
B
. Hỏi có bao nhiêu mặt cầu có thể đi qua
1
C
và
2
C
?
A. Có đúng
2
mặt cầu phân biệt.
B. Có duy nhất
1
mặt cầu.
C. Không có mặt cầu nào.
D. Có
2
hoặc
3
mặt cầu phân biệt tùy thuộc vào vị trí của
P
,
Q
.
Câu 120: Cho ba điểm
, ,
A B C
cùng thuộc một mặt cầu và biết rằng
0
90
ACB . Trong các khẳng định sau
khẳng định nào đúng?
A.
AB
là đường kính của một đường tròn lớn trên mặt cầu đã cho.
B.
AB
là một đường kính của mặt cầu đã cho.
C. Luôn luôn có một đường tròn thuộc mặt cầu ngoại tiếp tam giác
ABC
.
D.
ABC
là một tam giác vuông cân tại
C
.
Câu 121: Cho hình cầu đường kính
2 3
a
. Mặt phẳng
P
cắt hình cầu theo thiết diện là hình tròn có bán
kính bằng
2
a
. Tính khoảng cách từ tâm hình cầu đến mặt phẳng
P
.
A.
a
. B.
2
a
. C.
10
a . D.
10
2
a
.
Câu 122: Diện tích hình tròn lớn của hình cầu là
S
, một mặt phẳng
P
cắt hình cầu theo một đường tròn
có bán kính là
r
và có diện tích bằng
1
2
S
. Biết bán kính hình cầu là
R
. Khi đó
r
bằng
A.
3
3
R
. B.
2
2
R
. C.
2
4
R
. D.
3
6
R
.
Câu 123: Một khối cầu tâm
I
bán kính
R
bị cắt bởi một mặt phẳng
P
theo đường tròn giao tuyến
C
,
tạo thành hai khối chỏm cầu. Gọi
M
là điểm bất kỳ thuộc đường tròn
C
, biết rằng góc giữa
đường thẳng
IM
và mặt phẳng
P
bằng
30
. Tính theo
R
thể tích khối chỏm cầu nhỏ tạo thành.
A.
3
5
24
R
. B.
3
5
12
R
. C.
3
15
12
R
. D.
3
15
24
R
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 2
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 124: Khối cầu
S
có tâm, đường kính
2
AB R
. Cắt
S
bởi một mặt phẳng vuông góc với đường
kính
AB
ta được thiết diện là hình tròn
C
rồi bỏ đi phần lớn hơn. Tính thể tích phần còn lại theo
R
, biết hình nón đỉnh
I
và đáy là hình tròn
C
có góc ở đỉnh bằng
120
.
A.
3
5
12
R
B.
3
5
8
R
C.
3
5
32
R
D.
3
5
24
R
Câu 125: Cho mặt cầu
;
S O R
,
A
là một điểm ở trên mặt cầu
S
và
P
là mặt phẳng qua
A
sao cho
góc giữa
OA
và
P
bằng
60
. Diện tích của hình tròn giao tuyến giữa khối cầu
;
S O R
và mặt
phẳng
P
bằng
A.
2
8
R
. B.
2
R
. C.
2
4
R
. D.
2
2
R
.
DẠNG 5: MẶT CẦU NỘI TIẾP-NGOẠI TIẾP ĐA DIỆN
Câu 126: Cho hình chóp đều .
S ABCD
có tất cả các cạnh bằng a. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp
.
S ABCD
.
A.
3
2
3 2
a
. B.
3
8
3
a
. C.
3
a
. D.
3
8 2
.
3
a
.
Câu 127: Cho hình hộp chữ nhật
.
ABCD A B C D
có
AB a
,
2
AD a
,
3
AA a
. Tính bán kính mặt cầu
ngoại tiếp tứ diện
ACB D
.
A.
14
2
a
. B.
3
2
a
. C.
6
2
a
. D.
3
4
a
.
Câu 128: Cho hình chóp .
S ABC
có đáy là tam giác vuông cân tại
B
,
AB a
. Cạnh bên
SA
vuông góc với
(ABC)
mp và
SC
hợp với đáy một góc bằng
60
. Gọi
(S)
là mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .
S ABC
. Thể tích của khối cầu
(S)
bằng.
A.
3
4 2
3
a
. B.
3
5 2
3
a
. C.
3
8 2
3
a
. D.
3
2 2
3
a
.
Câu 129: Tỉ số thể tích giữa khối lập phương và khối cầu ngoại tiếp khối lập phương đó là:
A.
3
.
2 3
B.
2
.
3
C.
3
.
2
D.
2 3
.
3
Câu 130: Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh bằng 6, mặt bên
SAB
là tam giác
cân tại S nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy và có góc
120
ASB
. Tính diện tích mặt cầu
ngoại tiếp hình chóp
.
S ABCD
.
A.
14
.
B.
42
.
C.
84
. D.
28
.
Câu 131: Cho hình chóp .
S ABCD
. Đáy
ABCD
là hình vuông cạnh bằng
a
tâm
O
,
SAB
là tam giác đều
có trọng tâm
G
và nằm trên mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng
ABCD
. Tính bán kính
R
của
mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 3
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
2
a
R
. B.
3
3
R a
. C.
3
6
R a
. D.
21
6
R a
.
Câu 132: Cho tứ diện
ABCD
có
ABC
và
DBC
là 2 tam giác đều cạnh chung
2
BC
. Cho biết mặt bên
DBC
tạo với mặt đáy
ABC
góc
2
mà
1
cos
3
. Hãy xác định tâm
O
của mặt cầu
ngoại tiếp tứ diện đó.
A.
O
là trung điểm của
BD
. B.
O
là trung điểm của
AD
.
C.
O
là trung điểm của
AB
. D.
O
thuộc mặt phẳng
ADB
.
Câu 133: Cho hình chóp .
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình chữ nhật,
3
AB
,
4
AD
và các cạnh bên của
hình chóp tạo với đáy một góc
60
. Tính thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.
A.
500 3
27
V
B.
50 3
27
V
C.
250 3
3
V
D.
125 3
6
V
Câu 134: Cho hình lập phương
' ' ' '
.
ABCD A B C D
có cạnh bằng
a
. Diện tích
S
của mặt cầu ngoại tiếp hình
lập phương đó là:
A.
2
S a
. B.
2
12
S a
. C.
2
3
S a
. D.
2
3
4
a
S
.
Câu 135: Cho tứ diện .
S ABC
có đáy
ABC
là tam giác vuông tại
A
với
3
AB a
,
4
AC a
. Hình chiếu
H
của
S
trùng với tâm đường tròn nội tiếp tam giác
ABC
. Biết
2
SA a
, bán kính mặt cầu ngoại
tiếp hình chóp .
S ABC
là.
A.
. 118
R a . B.
118
.
4
R a
. C.
118
.
2
R a
. D.
118
.
8
R a
.
Câu 136: Cho hình chóp .
S ABCD
có đáy là hình chữ nhật,
AB a
,
2
AD a . Hình chiếu của
S
lên mặt
phẳng
ABCD
là trung điểm
H
của
BC
,
2
2
a
SH
. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình
chóp .
S BHD
.
A.
2
2
a
. B.
5
2
a
. C.
17
4
a
. D.
11
4
a
.
Câu 137: Cho tứ
diện .
S ABCD
có tứ giác
ABCD
là hình vuông cạnh
.
a
Mặt bên
SAB
là tam giác đều và vuông góc với đáy.
Tính thể tích của khối cầu ngoại tiếp chóp
. .
S ABCD
A.
3
7
.
3
a
B.
3
7
.
3
a
Câu 138: C.
3
7 21
.
54
a
D.
3
7 21
.
54
a
Cho lăng trụ đứng có chiều cao bằng
h
không đổi, một đáy là tứ giác
ABCD
với
A
,
B
,
C
,
D
di
động. Gọi
I
là giao của hai đường chéo
AC
và
BD
của tứ giác đó. Cho biết
2
. .
IA IC IB ID h
.
Tính giá trị nhỏ nhất bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đã cho.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 4
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
h
. B.
3
2
h
. C.
2
h
. D.
5
2
h
.
Câu 139: Cho hình chóp .
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình chữ nhật. Tam giác
SAB
nằm trong mặt phẳng
vuông góc với mặt phẳng
ABCD
.Biết rằng
AB a
, và
60
ASB
. Tính diện tích của khối cầu
ngoại tiếp hình chóp .
S ABCD
.
A.
2
11
2
a
S
. B.
2
11
3
a
S
. C.
2
13
2
a
S
. D.
2
13
3
a
S
.
Câu 140: Cho lăng trụ tam giác đều .
ABC A B C
có
,
AB a
góc giữa đường thẳng
A C
và mặt phẳng
AA B B
bằng
30 .
Gọi
H
là trung điểm của
.
AB
Tính theo
a
bán kính
R
của mặt cầu ngoại
tiếp hình chóp
. .
A ABC
A.
3
.
6
a
R
B.
2
.
2
a
R
C.
6
.
6
a
R
D.
30
.
6
a
R
Câu 141: Cho hình lăng trụ đứng
.
ABC A B C
có đáy
ABC
là tam giác vuông tại
A
. Biết
2
BC a
. Tính
theo
a
thể tích của khối cầu ngoại tiếp lăng trụ trên.
A.
3
32
3
V a
. B.
3
4
3
V a
. C.
2
4
V a
. D.
3
4
3
V a
.
Câu 142: Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy là hình chữ nhật,
2
AB a
,
BC a
, hình chiếu của
S
lên
ABCD
là trung điểm
H
của
AD
,
3
2
a
SH . Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
.
S ABCD
bằng bao nhiêu?
A.
2
16
3
a
. B.
2
16
9
a
. C.
3
4
3
a
. D.
2
4
3
a
.
Câu 143: Cho hình hộp chữ nhật .
ABCD A B C D
có
AB a
,
2
AD a
và
2
AA a
. Tính bán kính
R
của
mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
ABB C
.
A.
3
4
a
R . B.
3
2
a
R . C.
2
R a
. D.
3
R a
.
Câu 144: Cho hình chóp S.ABC có
, 2 ,
AB a AC a
o
60
BAC ,
SA ABC
và
3
SA a
. Bán kính
R
của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .
S ABC
bằng
A.
10
2
a
R
. B.
11
2
a
R
. C.
55
6
a
R
. D.
7
2
a
R
.
Câu 145: Cho lăng trụ đứng .
ABC A B C
có đáy là tam giác vuông cân,
AB AC a
. Góc giữa
A B
và
mặt đáy bằng
45
o
. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
BCC A
là
A.
3
2
a
. B.
2
a
. C.
a
. D.
2
2
a
.
Câu 146: Cho tứ diện
ABCD
có
AD
vuông góc với mặt phẳng
ABC
, tam giác
ABC
vuông cân tại
A
,
2
AD a
,
AB a
. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
ABCD
bằng
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 5
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
2
2
a
. B.
6
3
a
. C.
6
2
a
. D.
6
4
a
.
Câu 147: Cho hình chóp .
S ABC
có
SA ABC
;
SA a
đáy
ABC
là tam giác vuông tại
B
,
60
BAC
và
2
a
AB
. Gọi
S
là mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .
S ABC
. Tìm mệnh đề sai.
A.
S
có bán kính
2
2
a
. B. Tâm của
S
là trung điểm
SC
.
C. Diện tích của
S
là
2
2
3
a
. D. Thể tích khối cầu là
3
2
3
a
.
Câu 148: Cho khối chóp .
S ABC
có đáy là tam giác vuông tại
B
,
1
AB
,
2
BC , cạnh bên
SA
vuông
góc với đáy và
3
SA . Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .
S ABC
bằng:
A.
6
. B.
3
2
. C.
12
. D.
2
.
Câu 149: Cho hình chóp .
S ABC
có đáy
ABC
là tam giác đều cạnh bằng
a
, mặt bên
SAB
là tam giác đều
và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích
V
của khối cầu ngoại tiếp
hình chóp đã cho.
A.
3
4 3
27
a
V
. B.
3
5 15
54
a
V
. C.
3
5
3
a
V
. D.
3
5 15
18
a
V
.
Câu 150: Cho hình lập phương .
ABCD A B C D
cạnh
a
. Tính diện tích
S
của mặt cầu ngoại tiếp hình lập
phương .
ABCD A B C D
.
A.
2
3
2
a
S
. B.
2
4
3
a
S
. C.
2
S a
. D.
2
3
S a
.
Câu 151: Cho hình lăng trụ đứng .
ABC A B C
có đáy
ABC
là tam giác vuông tại
.
A
Biết rằng
, 2 .
AB AA a AC a
Gọi
M
là trung điểm của
.
AC
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
MA B C
bằng
A.
3
.
2
a
B.
2
.
2
a
C.
5
.
2
a
D.
.
a
Câu 152: Cho hình chóp .
S ABC
có
SA ABC
,
AC b
,
AB c
,
BAC
. Gọi
B
,
C
lần lượt là hình
chiếu vuông góc của
A
lên
SB
,
SC
. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .
A BCC B
theo
b
,
c
,
.
.
A.
2 2
2 cos
2sin
b c bc
R
. B.
2 2
2 2 cos
R b c bc
.
C.
2 2
2 cos
sin 2
b c bc
R
. D.
2 2
2 2 cos
sin
b c bc
R
.
Câu 153: Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Mặt cầu là mặt được tạo thành khi quay một đường tròn quanh một đường kính bất kì của nó.
B. Có ít nhất hai hình trụ không bằng nhau cùng ngoại tiếp một hình cầu.
C. Tâm mặt cầu ngoại tiếp một hình hộp là giao điểm bốn đường chéo của hình hộp đó.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 6
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
D. Các đỉnh của một hình chóp tứ giác cùng nằm trên một mặt cầu nào đó.
Câu 154: Cho hình chóp
.
S ABC
có
SA SB SC a
và
90
ASB
,
60
BSC
,
120
CSA
. Diện tích
mặt cầu ngoại tiếp của hình chóp
.
S ABC
là .
A.
2
a
. B.
3
4
3
a
. C.
2
4
a
. D.
2
2
a
.
Câu 155: Cho hình lập phương có cạnh bằng 1. Diện tích mặt cầu đi qua các đỉnh của hình lập phương là
A.
6
. B.
. C.
2
. D.
3
.
Câu 156: Cho hình lập phương có thể tích bằng
3
64
a
. Thể tích của khối cầu nội tiếp của hình lập phương đó bằng
A.
3
16
3
a
V
. B.
3
64
3
a
V
. C.
3
32
3
a
V
. D.
3
8
3
a
V
.
Câu 157: Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy là hình chữ nhật,
7 , 7
AC a SA a
và
SA ABCD
. Tính bán
kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
.
S ABCD
.
A.
56
2
a
R
. B.
7
a
. C.
14
R a
. D.
7
2
a
R
.
Câu 158: Cho lăng trụ đứng .
ABC A B C
có đáy là tam giác vuông cân đỉnh
A
,
AB AC a
,
2
AA a
.
Diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
A BB C
là
A.
2
12
a
. B.
2
4 3
a
. C.
2
4
3
a
. D.
2
4
a
.
Câu 159: Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình chữ nhật,
SA
vuông góc với đáy,
AB a
,
2
AD a
. Mặt phẳng đi qua
A
và vuông góc với
SC
cắt các cạnh
, ,
SB SC SD
lần lượt tại
, ,
B C D
. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .
B B C D
.
A.
2
7
a
. B.
2
5
a
. C.
2
14
a
. D.
2
3
a
.
Câu 160: Biết rằng tổng diện tích tất cả các mặt của hình bát diện đều bằng
8 3
. Tính diện tích
S
mặt cầu
ngoại tiếp hình bát diện đều.
A.
8 3
B.
8
C.
16
D.
4 3
Câu 161: Cho hình chóp .
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình chữ nhật với
2
AB a
,
AD a
. Cạnh bên
SA
vuông góc với đáy và góc giữa
SC
với đáy là
45
. Gọi
N
là điểm thuộc cạnh
SA
sao cho
4
SA SN
,
h
là chiều cao của khối chóp .
S ABCD
và
R
là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp
.
N ABC
. Biểu thức liên hệ giữa
R
và
h
là
A.
4
5 5
R h
. B.
8 5
R h
. C.
5 4
R h
. D.
2 5
R h
.
Câu 162: Cho hình chóp .
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình chữ nhật,
AB a
,
AD a
2
tam giác
SAB
đều và
nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi
,
M N
lần lượt là trung điểm các cạnh
, .
AD DC
Tính
bán kính
R
của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .
S DMN
.
A.
.
a
R
31
4
B.
.
a
R
102
6
C.
.
a
R
39
13
D.
.
a
R
39
6
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 7
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 163: Ba đoạn thẳng
, ,
SA SB SC
đôi một vuông góc tạo với nhau thành một tứ diện
.
S ABC
với
, 2 , 3
SA a SB a SC a
. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình tứ diện đó là.
A.
3
6
a
. B.
14
2
a
. C.
14
6
a
. D.
6
2
a
.
Câu 164: Cho hình chóp .
S ABC
có tam giác
ABC
đều cạnh
a
,
SA ABC
,
SA a
. Bán kính mặt cầu
ngoại tiếp hình chóp bằng
A.
21
6
a
. B.
2 3
3
a
. C.
2
a
. D.
6
3
a
.
Câu 165: Cho hình chóp đều
.
S ABC
có cạnh đáy bằng
a
, góc tạo bởi cạnh bên và đáy bằng
60
. Tính bán
kính
R
của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
.
S ABC
.
A.
4
3
a
R . B.
3
a
R
. C.
2
3
a
R . D.
3
3
a
R
.
Câu 166: Cho hình chóp .
S ABCD
có
ABCD
là hình chữ nhật
12
SA a
,
SA ABCD
và
3
AB a
,
4
AD a
. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .
S ABCD
.
A.
6
R a
. B.
6,5
R a
. C.
13
R a
. D.
12
R a
.
Câu 167: Cho hình chóp đều .
S ABC
có cạnh bằng
a
, chiều cao bằng
2 .
a
Hình nón ngoại tiếp hình chóp
.
S ABC
có diện tích xung quanh là.
A.
2
15
3
a
.
B.
2
17
3
a
.
C.
2
11
3
a
. D.
2
13
3
a
.
Câu 168: Cho hình chóp .
S ABC
, tam giác
ABC
vuông tại đỉnh
, 1 , 3
A AB cm AC cm
. Tam giác
SAB
,
SAC
lần lượt vuông tại
B
và
C
. Khoảng cách từ
C
đến mặt phẳng
SAB
bằng
3
2
cm
.
Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .
S ABC
bằng
A.
2
5
4
cm
. B.
2
20
cm
. C.
2
5 5
6
cm
. D.
2
5
cm
.
Câu 169: Cho hình lập phương có cạnh bằng
a
. Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương là
2
a
.
B. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương là
2
2
a
.
C. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương là
3
a
.
D. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương là
3
2
a
.
Câu 170: Cho hình chóp
.
S ABC
có cạnh bên
SA
vuông góc với đáy,
AB a
,
2
BC a
,
2
SC a
và
60
ASC
. Tính bán kính
R
của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
.
S ABC
.
A.
2
a
R
. B.
3
2
a
R
. C.
3
R a
. D.
R a
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 8
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 171: Cho hình chóp .
S ABC
có đáy là tam giác
ABC
vuông tại
B
,
3
AB
,
4
BC
. Hai mặt phẳng
SAB
,
SAC
cùng vuông góc với mặt phẳng đáy, đường thẳng
SC
hợp với mặt phẳng đáy một
góc
45
. Thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .
S ABC
là:
A.
5 2
3
V
. B.
25 2
3
V
. C.
125 3
3
V
. D.
125 2
3
V
.
Câu 172: Trong không gian
Oxyz
, cho hình hộp chữ nhật .
ABCD A B C D
có
3;1; 2
A
,
1;5;4
C . Biết
rằng tâm hình chữ nhật
A B C D
thuộc trục hoành, tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ
nhật .
ABCD A B C D
.
A.
7 3
2
. B.
5 3
2
. C.
74
2
. D.
91
2
.
Câu 173: Cho hình chóp .
S ABC
có đáy
ABC
là tam giác vuông cân tại
B
,
3
AB BC a
,
90
SAB SCB
và khoảng cách từ
A
đến mặt phẳng
SBC
bằng
2
a
. Tính diện tích mặt cầu
ngoại tiếp hình chóp .
S ABC
theo
a
.
A.
2
16
S a
. B.
2
2
S a
. C.
2
12
S a
. D.
2
3
S a
.
Câu 174: Cho hình lăng trụ tam giác đều .
ABC A B C
có
,
AB a
góc giữa hai mặt phẳng
A BC
và
ABC
bằng
60 .
Gọi
G
là trọng tâm tam giác
.
A BC
Thể tích của hình cầu ngoại tiếp tứ diện
GABC
là
A.
3
343
432
a
. B.
3
49
108
a
. C.
3
343
5184
a
. D.
3
343
1296
a
.
Câu 175: Cho tứ diện
ABCD
có
2
AB BC CD
,
1
AC BD
,
3
AD . Tính bán kính của mặt cầu
ngoại tiếp tứ diện đã cho.
A.
7
3
B.
39
6
C.
2 3
3
D.
1
Câu 176: Cho hình chóp .
S ABC
có đáy
ABC
là tam giác vuông cân tại
B
với
3
AB
a
BC
, góc
90
SAB SCB
và khoảng cách từ
A
đến mặt phẳng
SBC
bằng
2
a
. Tính diện tích mặt cầu
ngoại tiếp hình chóp .
S ABC
.
A.
2
8
a
. B.
2
12
a
. C.
2
2
a
. D.
2
16
a
.
Câu 177: Cho hình chóp đều có đáy là hình vuông cạnh , cạnh bên hợp với đáy một góc
bằng . Gọi là mặt cầu ngoại tiếp hình chóp . Tính thể tích của khối cầu
.
A. . B. . C. . D. .
Câu 178: Cho
S
là mặt cầu ngoại tiếp một hình tứ diện đều cạnh
2
a
. Tính bán kính
R
của mặt cầu
S
.
A.
6
2
a
R
. B.
2
a
R
. C.
6
4
a
R
. D.
3
4
a
R
.
.
S ABCD
ABCD
a
60
S
.
S ABCD
V
S
3
8 6
27
a
V
3
4 6
9
a
V
3
4 3
27
a
V
3
8 6
9
a
V
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 9
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 179: Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng
6
và chiều cao
1
h
. Diện tích của mặt cầu ngoại
tiếp của hình chóp đó là:
A.
27
S
. B.
6
S
. C.
5
S
. D.
9
S
.
Câu 180: Cho hình chóp tứ giác đều
.
S ABCD
có cạnh đáy bằng
a
, cạnh bên hợp với mặt đáy một góc
0
60
. Thể tích của khối cầu ngoại tiếp khối chóp
.
S ABCD
là:
A.
3
8 6
.
9
a
B.
3
8 6
.
27
a
C.
3
4
.
3
a
D.
3
2 6
.
9
a
Câu 181: Cho hình chóp .
S ABCD
đều có
2
AB
và
3 2
SA . Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
đã cho bằng
A.
33
4
. B.
7
4
. C.
2
. D.
9
4
.
Câu 182: Cho hình chóp đều
.
S ABCD
có tam giác
SAC
đều cạnh
a
. Bán kính
R
của mặt cầu ngoại tiếp
hình chóp là
A.
3
3
a
R . B.
3
2
a
R . C.
2
2
a
R . D.
R a
.
Câu 183: Cho lăng trụ tam giác đều .
ABC A B C
có
,
AB a
góc giữa đường thẳng
A C
và mặt phẳng
AA B B
bằng
30 .
Gọi
H
là trung điểm của
.
AB
Tính theo
a
bán kính
R
của mặt cầu ngoại
tiếp hình chóp
. .
A ABC
.
A.
6
6
a
R
. B.
2
2
a
R
. C.
3
6
a
R
. D.
30
6
a
R
.
Câu 184: Hình chóp .
S ABCD
có đáy là hình vuông cạnh
a
,
SA
vuông góc với mặt phẳng
ABCD
và
2
SA a
. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .
S ABCD
bằng:
A.
2
3
a
. B.
2
6
a
. C.
2
2
a
. D.
2
a
.
Câu 185: Một hình hộp chữ nhật
P
nội tiếp trong một hình cầu có bán kính
R
. Tổng diện tích các mặt của
P
là
384
và tổng độ dài các cạnh của
P
là
112
. Bán kính
R
của hình cầu là.
A.
12
. B.
8
. C.
14
. D.
10
.
Câu 186: Cho hình chóp .
S ABCD
có đáy là hình chữ nhật. Biết
SA AB a
,
2
AD a
,
SA ABCD
.
Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .
S ABCD
.
A.
3
2
a
. B.
3 3
4
a
. C.
6
2
a
. D.
2 39
13
a
.
Câu 187: Một hình cầu có thể tích bằng
4
3
ngoại tiếp một hình lập phương. Thể tích của khối lập phương
đó là
A.
1
. B.
3
2
a
. C.
8 3
9
. D.
8
3
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 10
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 188: Cho tứ diện đều
ABCD
có cạnh bằng
.
a
Gọi
H
là hình chiếu của
A
trên
BCD
và
I
là trung
điểm
AH
. Tính bán kính
R
của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
IBCD
.
A.
3
2
a
R
. B.
6
2
a
R
. C.
3
4
a
R
. D.
6
4
a
R
.
Câu 189: Cho tứ diện đều
ABCD
có một đường cao
1
AA
. Gọi
I
là trung điểm
1
AA
. Mặt phẳng
BCI
chia
tứ diện
ABCD
thành hai tứ diện. Tính tỉ số hai bán kính của hai mặt cầu ngoại tiếp hai tứ diện đó.
A.
43
51
B.
1
2
C.
1
4
D.
48
153
Câu 190: Cho hình chóp .
S ABCD
có
ABCD
là hình vuông cạnh
a
,
SA ABCD
và
2
SA a
. Thể tích
khối cầu ngoại tiếp hình chóp là:
A.
3
3
a
. B.
3
4
a
. C.
3
4
3
a
. D.
3
6
a
.
Câu 191: Cho khối chóp .
S ABCD
có đáy là hình vuông, tam giác
SAB
đều và nằm trong mặt phẳng vuông
góc với đáy. Mặt cầu ngoại tiếp khối chóp .
S ABCD
có diện tích
2
84 cm
. Khoảng cách giữa
hai đường thẳng
SA
và
BD
.
A.
3 21
7
cm
. B.
21
7
cm
. C.
6 21
7
cm
.
D.
2 21
7
cm
.
Câu 192: Cho hình chóp .
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh
a
. Mặt bên
SAB
là tam giác đều và
nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .
S ABCD
A.
3
6
a
B.
7
3
a
C.
21
6
a
D.
11
6
a
Câu 193: Cho hình chóp .
S ABCD
có đáy là hình thang vuông tại
A
và
B
,
AB BC a
,
2
AD a
,
SA ABCD
và
2
SA a
. Gọi
E
là trung điểm của
AD
. Kẻ
EK SD
tại
K
. Bán kính mặt
cầu đi qua sáu điểm
, , , , ,
S A B C E K
bằng:
A.
a
. B.
6
2
a
. C.
3
2
a
. D.
1
2
a
.
Câu 194: Cho hình chóp .
S ABCD
có đáy là hình thang cân,
0
2 , , 60
AB a CD a ABC
. Mặt bên
SAB
là
tam giác đều nằm trên mặt phẳng vuông góc với
( )
ABCD
. Tính bán kính
R
của mặt cầu ngoại
tiếp hình chóp .
S ABC
?
A.
3
3
a
R
. B.
R a
. C.
2
3
a
R . D.
2 3
3
a
R
.
Câu 195: Cho
S
là mặt cầu ngoại tiếp một hình tứ diện đều cạnh
2
a
. Tính bán kính
R
của mặt cầu
S
.
A.
2
a
R
. B.
3
4
a
R
. C.
6
4
a
R
. D.
6
2
a
R
.
Câu 196: Cho hình chóp .
S ABC
có đáy
ABC
là tam giác đều cạnh bằng
1
, mặt bên
SAB
là tam giác đều
và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích của khối cầu ngoại tiếp chóp .
S ABC
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 11
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
15
18
V
. B.
5 15
54
V
. C.
5 15
18
V
. D.
5 5
54
V
.
Câu 197: Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng
1
và chiều cao
3
h (hình vẽ). Diện tích mặt cầu
ngoại tiếp hình chóp là
A.
100
27
. B.
100
. C.
100
3
. D.
25
3
.
Câu 198: Cho hình chóp .
S ABC
có đáy là tam giác
ABC
đều cạnh
3
a
, cạnh bên
2
SC a
và
SC
vuông góc
với mặt phẳng đáy. Tính bán kính
R
của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .
S ABC
.
A.
2
3
a
R . B.
2
R a
. C.
13
2
a
R
. D.
3
R a
.
Câu 199: Cho hình chóp
.
S ABC
có đáy
ABC
là tam giác vuông cân tại
B
và
BC a
. Cạnh bên
SA
vuông
góc với đáy
ABC
. Gọi
,
H K
lần lượt là hình chiếu vuông góc của
A
lên cạnh bên
SB
và
SC
.
Thể tích của khối cầu tạo bởi mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
.
A HKB
là:
A.
3
2
a
. B.
3
2
3
a
. C.
3
2
a
. D.
3
6
a
.
Câu 200: Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy là hình thang cân,
4,
AB
2
BC CD DA
. Mặt bên
SAB
là
tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với
ABCD
. Tính bán kính
R
của mặt cầu
ngoại tiếp hình chóp
.
S ABC
.
A.
4 3
3
R
. B.
2 3
3
R
. C.
2 3
R . D.
2
R
.
Câu 201: Tính bán kính
R
của mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương có cạnh bằng
a
.
A.
3
R a
. B.
2
R a
. C.
3
2
a
R
. D.
6
2
a
R
.
Câu 202: Hình chóp .
S ABC
có
SA ABC
, tam giác
ABC
vuông cân tại
B
,
AB a
và góc giữa
SC
với
ABC
bằng
45
. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .
S ABC
là.
A.
a
. B.
2
2
a
. C.
3
2
a
. D.
2
a
.
M
A
B
C
S
H
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 12
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 203: Tính bán kính
R
của mặt cầu ngoại tiếp một hình lập phương có cạnh
2
a
.
A.
R a
. B.
2 3
R a
. C.
3
3
a
R
. D.
3
R a
.
Câu 204: Cho tứ diện đều
ABCD
cạnh
a
. Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện này có diện tích tính theo
a
là.
A.
2
3
2
a
. B.
2
4
3
a
. C.
2
3
4
a
. D.
2
5
2
a
.
Câu 205: Cho hình chóp .
S ABC
có đáy
ABC
là tam giác đều cạnh bằng
1
, mặt bên
SAB
là tam giác cân
tại
S
và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích V của khối cầu ngoại
tiếp hình chóp đã cho biết
120
ASB
.
A.
13 78
27
V
. B.
5 15
54
V
. C.
4 3
27
V
. D.
5
3
V
.
Câu 206: Tính theo
a
bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác đều .
S ABC
, biết các cạnh đáy có
độ dài bằng
a
, cạnh bên
3
SA a
.
A.
3
8
a
. B.
3 6
8
a
. C.
3 3
2 2
a
. D.
2 3
2
a
.
Câu 207: Một hình hộp chữ nhật có độ dài
3
cạnh lần lượt là
2
,
2
,
1
. Tính bán kính
R
mặt cầu ngoại tiếp
hình hộp nói trên.
A.
3
2
R
B.
9
2
R
C.
9
R
D.
3
R
Câu 208: Trong các hình đa diện sau, hình nào không nội tiếp được trong một mặt cầu?
A. Hình hộp chữ nhật. B. Hình chóp ngũ giác đều.
C. Hình chóp có đáy là hình thang vuông. D. Hình tứ diện.
Câu 209: Cho tứ diện
ABCD
đều có cạnh
a
, tỉ số thể tích của khối cầu ngoại tiếp tứ diện
ABCD
và thể
tích khối cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh của tứ diện là.
A.
3
. B.
3
. C.
3
2
. D.
3 3
.
Câu 210: Cho hình chóp tam giác .
S ABC
, đáy
ABC
là tam giác vuông tại
A
và
4
BC a
. Cạnh bên
3
SA a
và vuông góc với đáy. Diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp đó
(Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là mặt cầu chứa đỉnh hình chóp và tất cả các đỉnh của đa giác đáy
của hình chóp, khối cầu tương ứng gọi là khối cầu ngoại tiếp hình chóp) bằng
A.
2 3
25 125
;
4 6
a a
. B.
3
2
125
25 ;
6
a
a
. C.
3 3
25 125
;
4 6
a a
. D.
3
2
125
25 ;
3
a
a
.
Câu 211: Cho tứ diện
ABCD
có tam giác
ABC
là tam giác cân với
120
BAC ,
AB AC a
. Hình chiếu
của
D
trên mặt phẳng
ABC
là trung điểm
BC
. Tính bán kính
R
của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
ABCD
biết thể tích của tứ diện
ABCD
là
3
16
a
V
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 13
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
13
2
a
R . B.
6
R a
. C.
91
8
a
R
. D.
13
4
a
R
.
Câu 212: Hình chóp đều .
S ABCD
tất cả các cạnh bằng
a
. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là:
A.
2
2
a
. B.
2
a
. C.
2
2
a
. D.
2
4
a
.
Câu 213: Hình lập phương .
ABCD A B C D
cạnh
a
. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình lập phương này.
A.
3
4
3
a
. B.
3
2
3
a
. C.
3
3
2
a
. D.
3
3
a
.
Câu 214: Cho hình chóp .
S ABC
có
ABC
là tam giác vuông cân tại
B
,
2
AB BC a
, cạnh
SA
vuông góc
với mặt phẳng
ABC
,
2 2
SA a
. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp .
S ABC
theo
a
.
A.
2
8
a
. B.
2
4
a
. C.
2
64
a
. D.
2
16
a
.
Câu 215: Cho hình chóp có đáy .
S ABCD
là hình vuông cạnh
a
. Tam giác
SAB
đều và nằm trong mặt
phẳng vuông góc với
ABCD
. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .
S ABCD
bằng:
A.
2
7
3
a
. B.
2
3
2
a
. C.
2
2
3
a
. D.
2
5
3
a
.
Câu 216: Cho tứ diện
OABC
có
OA
,
OB
,
OC
đôi một vuông góc nhau và
,
OA a
2 ,
OB a
3 .
OC a
Diện tích của mặt cầu
S
ngoại tiếp hình chóp .
S ABC
bằng
A.
2
14 .
S a
B.
2
12 .
S a
C.
2
10 .
S a
D.
2
8 .
S a
Câu 217: Cho hình chóp .
S ABC
có đáy là tam giác vuông tại
A
,
AB a
,
2
AC a
. Mặt bên
SAB
,
SCA
lần lượt là các tam giác vuông tại
B
,
C
. Biết thể tích khối chóp .
S ABC
bằng
3
2
3
a
. Bán kính mặt
cầu ngoại tiếp hình chóp .
S ABC
?
A.
R a
. B.
3
2
a
R . C.
3
2
a
R
. D.
2
R a
.
Câu 218: Hình chóp tứ giác .
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh
a
. Tam giác
SAB
vuông cân tại
S
và tam giác
SCD
đều. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .
S ABCD
.
A.
7
12
R a . B.
3
a
R . C.
3
4
R a . D.
2
a
R
.
Câu 219: Cho hình chóp .
S ABC
có đáy
ABC
là tam giác đều cạnh
a
, cạnh bên
SA
vuông góc với mặt
phẳng đáy. Gọi
1
B
,
1
C
lần lượt là hình chiếu của
A
trên
SB
,
SC
. Tính theo
a
bán kính
R
của
mặt cầu đi qua năm điểm
A
,
B
,
C
,
1
B
,
1
C
.
A.
3
2
a
R
B.
3
4
a
R
C.
3
3
a
R
D.
3
6
a
R
Câu 220: Cho hình chóp
.
S ABC
có đáy
ABC
là tam giác vuông cân tại
B
với
3
AB BC a
, góc
0
90
SAB SCB
và khoảng cách từ
A
đến mặt phẳng
SBC
bằng
2
a
. Tính diện tích
mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
.
S ABC
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 14
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
2
8
a
.
B.
2
12
a
. C.
2
2
a
. D.
2
16
a
.
Câu 221: Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng
a
, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng
45
. Mặt
cầu ngoại tiếp hình chóp có bán kính là
A.
3
5
a
B.
3
2
a
C.
3
3
a
D.
3
4
a
Câu 222: Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?
A. Hình chóp có đáy là hình tứ giác thì có mặt cầu ngoại tiếp.
B. Hình chóp có đáy là hình thang thì có mặt cầu ngoại tiếp.
C. Hình chóp có đáy là hình thang cân thì có mặt cầu ngoại tiếp.
D. Hình chóp có đáy là hình bình hành thì có mặt cầu ngoại tiếp.
Câu 223: Cho hình chóp .
S ABC
có
3
AB
. Hình chiếu của
S
lên mặt phẳng
ABC
là điểm
H
thuộc
miền trong tam giác
ABC
sao cho
120
AHB
. Tính bán kính
R
của mặt cầu ngoại tiếp hình
chóp .
S HAB
, biết
4 3
SH .
A.
15
R . B.
2 3
R . C.
5
R . D.
3 5
R .
Câu 224: Cho hình lăng trụ tam giác đều .
ABC A B C
có
9
cạnh bằng nhau và bằng
2
a
. Tính diện tích
S
của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đã cho.
A.
2
7
9
a
S
. B.
2
28
9
a
S
. C.
2
28
3
a
S
. D.
2
7
3
a
S
.
Câu 225: Cho hình chóp tam giác .
S ABC
, đáy
ABC
là tam giác vuông tại
A
và
4
BC a
. Cạnh bên
3
SA a
và vuông góc với đáy. Diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp đó (Mặt
cầu ngoại tiếp hình chóp là mặt cầu chứa đỉnh hình chóp và tất cả các đỉnh của đa giác đáy của
hình chóp, khối cầu tương ứng gọi là khối cầu ngoại tiếp hình chóp) bằng
A.
2 3
25 125
;
4 6
a a
. B.
3 3
25 125
;
4 6
a a
. C.
3
2
125
25 ;
6
a
a
. D.
3
2
125
25 ;
3
a
a
.
Câu 226: Cho hình hộp chữ nhật .
ABCD A B C D
có
AB a
,
2
AD a
và
2
AA a
. Tính bán kính
R
của
mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
ABB C
.
A.
3
R a
. B.
3
4
a
R . C.
3
2
a
R
. D.
2
R a
.
Câu 227: Cho hình chóp .
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh bằng
a
,
SA
vuông góc với đáy. Biết
SC
tạo với mặt phẳng
ABCD
một góc
45
. Tính diện tích
S
của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
.
S ABCD
.
A.
2
4
S a
. B.
2
6
S a
. C.
2
12
S a
. D.
2
8
S a
.
Câu 228: Cho lăng trụ đứng .
ABC A B C
có cạnh bên bằng
a
, đáy
ABC
là tam giác cân tại
A
có
2
AB AC a
và
120
BAC
. Gọi
M
là trung điểm của
AC
,
D
là giao điểm khác
B
của
BM
với đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC
. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
.
A BCD
A.
5
2
a
. B.
7
2
a
.
C.
13
2
a
.
D.
17
2
a
.
Câu 229: Thể tích của một mặt cầu ngoại tiếp hình hộp lập phương có cạnh
2
a
là
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 15
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
3
4 3
a
. B.
3
3
2
a
. C.
3
3
a
. D.
3
3
a
.
Câu 230: Cho hình chóp .
S ABCD
có đáy là hình vuông cạnh
2 2
, cạnh bên
SA
vuông góc với mặt phẳng
đáy và
3
SA
. Mặt phẳng
qua
A
và vuông góc với
SC
cắt cạnh
SB
,
SC
,
SD
lần lượt tại
các điểm
M
,
N
,
P
. Thể tích
V
của khối cầu ngoại tiếp tứ diện
CMNP
.
A.
108
3
V
. B.
64 2
3
V
. C.
125
6
V
. D.
32
3
V
.
Câu 231: Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật có các kích thước
,2 ,4 0
a a a a
là
A.
2
21
a
. B.
2
843
a
. C.
2
7
a
. D.
2
21
4
a
.
Câu 232: Cho hình chóp đều .
S ABCD
có cạnh đáy bằng
2
a
, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng
o
45
.
Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp bằng
A.
2
6
π
a
B.
2
4
π
a
C.
2
4
π
3
a
D.
2
16
π
3
a
Câu 233: Tính thể tích của hình cầu ngoại tiếp hình lập phương .
ABCD A B C D
cạnh
a
.
A.
3
3
8
a
. B.
3
3
4
a
. C.
3
4
a
. D.
3
3
2
a
.
Câu 234: Cho hình chóp .
S ABCD
có đáy là hình vuông cạnh
2
a
, mặt bên
SAD
là tam giác cân tại
S
và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết thể tích khối chóp .
S ABCD
bằng
3
4
3
a
. Tính thể
tích
V
của khối cầu ngoại tiếp hình chóp .
S ABCD
.
A.
3
113
64
a
V
. B.
3
113 113
384
a
V
.
C.
3
113 113
84
a
V
. D.
3
113 113
48
a
V
.
Câu 235: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Hình chóp có đáy là hình bình hành thì có mặt cầu ngoại tiếp.
B. Hình chóp có đáy là tứ giác thì có mặt cầu ngoại tiếp.
C. Hình chóp có đáy là hình chữ nhật thì có mặt cầu ngoại tiếp.
D. Hình chóp có đáy là hình thang thì có mặt cầu ngoại tiếp.
Câu 236: Cho hình lăng trụ tam giác đều .
ABC A B C
có độ dài cạnh đáy bằng
a
và chiều cao bằng
.
h
Thể
tích
V
của khối cầu ngoại tiếp lăng trụ đã cho là
A.
2 2 2
2
4
3 3 4 3
a h a
h
. B.
3
2 2
3 4 3
h a
.
C.
2
2
4
3
a
h
. D.
2
3
a h
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 16
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 237: Tính diện tích
S
của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
.
S ABC
có
6
SA
,
8
SB
,
10
SC
và
SA
,
SB
,
SC
đôi một vuông góc.
A.
200
S
. B.
150
S
. C.
100
S
. D.
400
S
.
Câu 238: Cho hình chóp .
S ABC
có
, 2
SA ABC SA a
, tam giác
ABC
cân tại
A
,
2 2
BC a
,
1
cos .
3
ACB
Tính diện tích
S
của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
. .
S ABC
A.
2
97
.
5
a
S
B.
2
97
.
4
a
S
C.
2
97
.
2
a
S
D.
2
97
.
3
a
S
Câu 239: Cho hình lăng trụ tam giác đều .
ABC A B C
có các cạnh đều bằng
a
. Tính diện tích
S
của mặt
cầu đi qua
6
đỉnh của hình lăng trụ đó.
A.
2
7
3
a
S
. B.
2
7
3
a
S
. C.
2
49
144
a
S
. D.
2
49
144
a
S
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 1
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
DẠNG 4: BÀI TOÁN LIÊN QUAN THIẾT DIỆN, DÂY CUNG
Câu 117: Cho mặt cầu tâm
O
, bán kính
3
R
. Mặt phẳng
cách tâm
O
của mặt cầu một khoảng bằng
1
, cắt mặt cầu theo một đường tròn. Gọi
P
là chu vi đường tròn này, tính
P
.
A.
4
P
. B.
8
P
. C.
2 2
P
. D.
4 2
P
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Bán kính đường tròn
2 2 2 2
, 3 1 2 2
r R d O
.
Chu vi đường tròn là
2 4 2
P r
.
Câu 118: Cho khối cầu tâm
O
bán kính
R
. Mặt phẳng
P
cách
O
một khoảng
2
R
chia khối cầu thành
hai phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó.
A.
5
27
. B.
5
24
. C.
5
19
. D.
5
32
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Thể tích khối cầu là
3
4
3
V R
.
Thể tích chỏm cầu có chiều cao
2
R
h là
2 3
2
1
5 5
.
3 4 6 24
h R R R
V h R .
Do đó phần còn lại có thể tích
3
2 1
27
24
R
V V V
. Vậy
1
2
5
27
V
V
.
Câu 119: Cho hai đường tròn
1
C
,
2
C
lần lượt chứa trong hai mặt phẳng phân biệt
P
,
Q
.
1
C
,
2
C
có hai điểm chung
A
,
B
. Hỏi có bao nhiêu mặt cầu có thể đi qua
1
C
và
2
C
?
A. Có đúng
2
mặt cầu phân biệt.
B. Có duy nhất
1
mặt cầu.
C. Không có mặt cầu nào.
D. Có
2
hoặc
3
mặt cầu phân biệt tùy thuộc vào vị trí của
P
,
Q
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
.
Trên đường tròn
1
C
,
2
C
lần lượt lấy
M
,
N
sao cho hai điểm này không trùng với
A
,
B
.
Khi đó
4
điểm
A
,
B
,
M
,
N
không đồng phẳng nên tạo thành tứ diện
ABMN
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 2
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Mặt cầu
S
đi qua
1
C
và
2
C
khi đó mặt
S
đi qua
A
,
B
,
M
,
N
.
Do đó có duy nhất
1
mặt cầu.
Câu 120: Cho ba điểm
, ,
A B C
cùng thuộc một mặt cầu và biết rằng
0
90
ACB . Trong các khẳng định sau
khẳng định nào đúng?
A.
AB
là đường kính của một đường tròn lớn trên mặt cầu đã cho.
B.
AB
là một đường kính của mặt cầu đã cho.
C. Luôn luôn có một đường tròn thuộc mặt cầu ngoại tiếp tam giác
ABC
.
D.
ABC
là một tam giác vuông cân tại
C
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
-
AB
là một đường kính của mặt cầu đã cho Sai, xét một đường tròn trên mặt cầu không đi qua
tâm, lấy 3 điểm
, ,
A B C
trên đường tròn này sao cho
AB
là đường kính của đường tròn ta cũng
có
0
90
ACB
nhưng lúc này
AB
không phải là đường kính của mặt cầu.
- Rõ ràng
ABC
là một tam giác vuông cân tại
C
Sai, vuông thì có, chứ cân thì chưa khẳng định
được.
- Như phân tích thì
AB
có thể là đường kính của một đường tròn nhỏ trên mặt cầu.
Câu 121: Cho hình cầu đường kính
2 3
a
. Mặt phẳng
P
cắt hình cầu theo thiết diện là hình tròn có bán
kính bằng
2
a
. Tính khoảng cách từ tâm hình cầu đến mặt phẳng
P
.
A.
a
. B.
2
a
. C.
10
a . D.
10
2
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Bán kính hình cầu đã cho là
3
R a
.
Khoảng cách từ tâm hình cầu đến mặt phẳng
P
là
2 2
3 2
d a a a
.
Câu 122: Diện tích hình tròn lớn của hình cầu là
S
, một mặt phẳng
P
cắt hình cầu theo một đường tròn
có bán kính là
r
và có diện tích bằng
1
2
S
. Biết bán kính hình cầu là
R
. Khi đó
r
bằng
A.
3
3
R
. B.
2
2
R
. C.
2
4
R
. D.
3
6
R
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Bán kính hình tròn lớn của hình cầu là
R
. Khi đó ta có:
2
S R
.
Hình tròn giao tuyến của
P
và hình cầu có bán kính là
r
suy ra có diện tích là:
2
r
.
Theo giả thiết:
2
2 2
1 2
2 2 2
R R
r S r r
.
P
R
A
I
H
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 3
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 123: Một khối cầu tâm
I
bán kính
R
bị cắt bởi một mặt phẳng
P
theo đường tròn giao tuyến
C
,
tạo thành hai khối chỏm cầu. Gọi
M
là điểm bất kỳ thuộc đường tròn
C
, biết rằng góc giữa
đường thẳng
IM
và mặt phẳng
P
bằng
30
. Tính theo
R
thể tích khối chỏm cầu nhỏ tạo
thành.
A.
3
5
24
R
. B.
3
5
12
R
. C.
3
15
12
R
. D.
3
15
24
R
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Giả sử đường tròn giao tuyến (C) có tâm H, bán kính r. Khi đó
( )
IH P
HM r
.
Từ giả thiết góc giữa IM với mp (P) bằng
30
, suy ra
30
IMH
.
Tam giác IMH vuông tại H có .sin30
2
R
IH IM
.
Suy ra khối chỏm cầu nhỏ tạo thành có chiều cao
2
R
h
.
Vậy thể tích của khối chỏm cầu nhỏ cần tìm là:
2
3
2
5
3 4 6 24
h R R R
V h R R
.
Câu 124: Khối cầu
S
có tâm, đường kính
2
AB R
. Cắt
S
bởi một mặt phẳng vuông góc với đường
kính
AB
ta được thiết diện là hình tròn
C
rồi bỏ đi phần lớn hơn. Tính thể tích phần còn lại
theo
R
, biết hình nón đỉnh
I
và đáy là hình tròn
C
có góc ở đỉnh bằng
120
.
A.
3
5
12
R
B.
3
5
8
R
C.
3
5
32
R
D.
3
5
24
R
Hướng dẫn giải
Chọn D
Gọi mặt phẳng vuông góc với đường kính của khối cầu là mặt phẳng
P
Ta có mặt phẳng
P
cắt khối cầu theo một đường tròn
C
. Khi đó đường kính của đường tròn
C
bằng
3
R
. Suy ra khoảng cách từ tâm I đếm mặt phẳng
P
là
2
R
.
Mặt phẳng
P
cách tâm
I
một khoảng
2
R
chia khối cầu thành hai phần, phần lớn là phần chứa
tâm
I
còn phần nhỏ là phần không chứa tâm
I
gọi là chỏm cầu. Khi đó thể tích của chỏm cầu là
2
2 3
5 5
2 . .
2 2 3 2 4 3 24
R R R R R
V R R
.
Câu 125: Cho mặt cầu
;
S O R
,
A
là một điểm ở trên mặt cầu
S
và
P
là mặt phẳng qua
A
sao cho
góc giữa
OA
và
P
bằng
60
. Diện tích của hình tròn giao tuyến giữa khối cầu
;
S O R
và
mặt phẳng
P
bằng
A.
2
8
R
. B.
2
R
. C.
2
4
R
. D.
2
2
R
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 4
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Gọi H là hình chiếu vuông góc của
O
trên
P
thì.
* H là tâm của đường tròn giao tuyến
P
và
S
.
*
, , 60
OA P OA AH
.
Bán kính của đường tròn giao tuyến: .cos60
2
R
r HA OA
.
Suy ra diện tích đường tròn giao tuyến:
2
2
2
2 4
R R
r
.
DẠNG 5: MẶT CẦU NỘI TIẾP-NGOẠI TIẾP ĐA DIỆN
Câu 126: Cho hình chóp đều .
S ABCD
có tất cả các cạnh bằng a. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình
chóp .
S ABCD
.
A.
3
2
3 2
a
. B.
3
8
3
a
. C.
3
a
. D.
3
8 2
.
3
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Độ dài đường cao hình chóp là .
Ta có nên .
chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
.
Câu 127: Cho hình hộp chữ nhật
.
ABCD A B C D
có
AB a
,
2
AD a
,
3
AA a
. Tính bán kính mặt
cầu ngoại tiếp tứ diện
ACB D
.
A.
14
2
a
. B.
3
2
a
. C.
6
2
a
. D.
3
4
a
.
Hướng dẫn giải
2
2
2
2 2
a a
SO a
SO OA OB OC OD
O
3
3
4 2 2
3 2 3
a a
V
D
O
A
C
B
S
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 5
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Chọn A
Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
ACB D
cũng là mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ
nhật .
ABCD A B C D
.
Bán kính mặt cầu là
2 2
2
1 1 14
2 3
2 2 2
a
R AC a a a
.
Câu 128: Cho hình chóp .
S ABC
có đáy là tam giác vuông cân tại
B
,
AB a
. Cạnh bên
SA
vuông góc
với
(ABC)
mp và
SC
hợp với đáy một góc bằng
60
. Gọi
(S)
là mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
.
S ABC
. Thể tích của khối cầu
(S)
bằng.
A.
3
4 2
3
a
. B.
3
5 2
3
a
. C.
3
8 2
3
a
. D.
3
2 2
3
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có
3
3
4 8 2
2, 6, 2 2, 2
2 3 3
SC a
AC a SA a SC a R a V R
.
Câu 129: Tỉ số thể tích giữa khối lập phương và khối cầu ngoại tiếp khối lập phương đó là:
A.
3
.
2 3
B.
2
.
3
C.
3
.
2
D.
2 3
.
3
Hướng dẫn giải
Chọn D
Gọi
,
V V
lần lượt là thể tích khối lập phương và khối cầu ngoại tiếp khối lập phương.
Không mất tính tổng quát gọi độ dài cạnh của khối lập phương bằng
1
, khi đó bán kính khối cầu
ngoại tiếp khối lập phương là
2 2 2
1 1 1 3
2 2
R
.
Suy ra
3
4 3 3 2 3
1;
3 2 2 3
V
V V
V
.
Câu 130: Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh bằng 6, mặt bên
SAB
là tam giác
cân tại S nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy và có góc
120
ASB
. Tính diện tích mặt cầu
ngoại tiếp hình chóp
.
S ABCD
.
A.
14
.
B.
42
.
C.
84
. D.
28
.
Câu 131: Cho hình chóp .
S ABCD
. Đáy
ABCD
là hình vuông cạnh bằng
a
tâm
O
,
SAB
là tam giác đều
có trọng tâm
G
và nằm trên mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng
ABCD
. Tính bán kính
R
của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
A.
2
a
R
. B.
3
3
R a
. C.
3
6
R a
. D.
21
6
R a
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
G
O
I
B C
D
A
S
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 6
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Gọi
O
là giao điểm hai đường chéo à
AC v BD
.
Dựng trục
Ox
của đường tròn ngoại tiếp hình vuông
ABCD
,
Ox//SG
. Dựng trục
Gy
của đường
tròn ngoại tiếp tam giác đều
SAB
,
Gy//BC//AD
.
Ta có
Ox
cắt
Gy
tại
I
là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Bán kính
2
2
3 21
3 2 6
a a a
R SI
.
Câu 132: Cho tứ diện
ABCD
có
ABC
và
DBC
là 2 tam giác đều cạnh chung
2
BC
. Cho biết mặt bên
DBC
tạo với mặt đáy
ABC
góc
2
mà
1
cos
3
. Hãy xác định tâm
O
của mặt cầu
ngoại tiếp tứ diện đó.
A.
O
là trung điểm của
BD
. B.
O
là trung điểm của
AD
.
C.
O
là trung điểm của
AB
. D.
O
thuộc mặt phẳng
ADB
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Gọi
M
là trung điểm cạnh
.
BC
Vì
ABC
và
DBC
là 2 tam giác đều bằng nhau nên 2 trung
truyến
AM
và
DM
cùng vuông góc với
BC
và
3
2
a
AM DM
.
Trong
D
MA
:
2 2 2
D 2 . .cos 2
A AM DM AM DM
.
2 2
2
3 3 1
2.2. 2. . 2
4 4 3
a a
AD a
.
Ta có:
2 2 2 2 2 2
2
BA BD a a a AD
.
0
90
ABD
.
Tương tự:
2 2 2
CA CD AD
.
0
90
ACD
.
Vậy mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
ABCD
có tâm
O
là trung điểm cạnh
AD
.
Câu 133: Cho hình chóp .
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình chữ nhật,
3
AB
,
4
AD
và các cạnh bên của
hình chóp tạo với đáy một góc
60
. Tính thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.
A.
500 3
27
V
B.
50 3
27
V
C.
250 3
3
V
D.
125 3
6
V
Hướng dẫn giải
Chọn A
Gọi
O AC BD
. Do các cạnh bên của hình chóp tạo với đáy một góc
60
nên
SO ABCD
hay
SO
là trục của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.
M
O
C
B
A
D
S
I
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 7
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Gọi
M
là trung điểm của cạnh
SB
, trong mặt phẳng
SBC
kẻ đường thẳng qua
M
và vuông
góc với
SB
cắt
SO
tại
I
khi đó ta có
IA IB IC ID IS
hay
I
là tâm mặt cầu ngoại tiếp
hình chóp .
S ABCD
.
Theo giả thiết ta có
3
AB
,
4
AD
nên
5
2
BO
. Mà góc giữa
SB
và mặt phẳng
ABCD
bằng
60
hay
60
SBO
5
cos60
BO
SB
,
5 3
2
SO
.
Ta có
SMI SOB
nên
.
SM SB
SI
SO
5
5.
2
5 3
2
5 3
3
.
Vậy thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp .
S ABCD
là
3
4 5 3 500 3
3 3 27
V
.
Câu 134: Cho hình lập phương
' ' ' '
.
ABCD A B C D
có cạnh bằng
a
. Diện tích
S
của mặt cầu ngoại tiếp hình
lập phương đó là:
A.
2
S a
. B.
2
12
S a
. C.
2
3
S a
. D.
2
3
4
a
S
.
Câu 135: Cho tứ diện .
S ABC
có đáy
ABC
là tam giác vuông tại
A
với
3
AB a
,
4
AC a
. Hình chiếu
H
của
S
trùng với tâm đường tròn nội tiếp tam giác
ABC
. Biết
2
SA a
, bán kính mặt cầu
ngoại tiếp hình chóp .
S ABC
là.
A.
. 118
R a . B.
118
.
4
R a
. C.
118
.
2
R a
. D.
118
.
8
R a
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
.
Gọi
r
là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác
ABC
.
Tính được
.
AB AC
r a
AB AC BC
.
Tính được
2
AH a
và
5
2
a
MH .
Tam giác
SAH
vuông tại
H
suy ra
2 2
2.
SH SA AH a
.
Gọi
M
là trung điểm của
BC
và
là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 8
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Gọi
O
là tâm mặt cầu ngoại tiếp
.
S ABC
. Suy ra
O
.
Ta có:
2 2 2 2 2 2
OC OS OM MC SK OK
.
2 2
2 2
25 5 3 2
( 2)
4 4 4
a a
OM OM a OM a
.
Suy ra
118
4
R OC a
.
Câu 136: Cho hình chóp .
S ABCD
có đáy là hình chữ nhật,
AB a
,
2
AD a . Hình chiếu của
S
lên
mặt phẳng
ABCD
là trung điểm
H
của
BC
,
2
2
a
SH
. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp
hình chóp .
S BHD
.
A.
2
2
a
. B.
5
2
a
. C.
17
4
a
. D.
11
4
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Gọi
R
và
r
lần lượt là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .
S BHD
và tam giác
BHD
.
Ta có
2
2
a
HB
,
2
2 2 2
2 6
2 2
a a
HD HC DC a và
2
2 3
BD a a a
.
Áp dụng định lí Cô sin, ta có
2 2
2
3
3
1
2 2
cos
2 6 3
2 .
2 2
a a
a
BHD
a a
2
sin
3
BHD .
Diện tích tam giác
BHD
là
2
1 2 6 2 2
. . .
2 2 2 4
3
BHD
a a a
S .
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 9
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Do đó
2
2 6
. . 3
. . 3 2
2 2
4 2
2
a a
a
HB HD BD a
r
S
a
.
Gọi
O
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
BHD
và
M
là trung điểm
SH
. Mặt phẳng trung
trực của
SH
cắt trục đường tròn ngoại tiếp tam giác
BHD
tại
E
. Khi đó
E
là tâm mặt cầu cần
tìm.
Ta có
2
2 2 2
4
SH
R r MH r
2 2 2
2
9 17
4 2 8 4
SH a a a
r .
Câu 137: Cho tứ
diện .
S ABCD
có tứ giác
ABCD
là hình vuông cạnh
.
a
Mặt bên
SAB
là tam giác đều và vuông góc với đáy.
Tính thể tích của khối cầu ngoại tiếp chóp
. .
S ABCD
A.
3
7
.
3
a
B.
3
7
.
3
a
C.
3
7 21
.
54
a
D.
3
7 21
.
54
a
C.
3
7
.
3
a
Hướng dẫn giải
Chọn C
Gọi H là trung điểm của AB . Vậy
SH ABCD
Gọi O là tâm của hình vuông , G là trọng tâm
SAB
.
Dựng Ox là trục đường tròn ngoại tiếp hình vuông
ABCD
(
Ox / /
SH
) .
Dựng
Gy
là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác
SAB
/ /
Gy OH
Gọi
Ox Gy
I
. Khi đó , I là tâm mặt cầu ngoại tiếp
tứ diện
.
S ABCD
Có :
2
2
2 2
2 3 21
.
3 2 2 6
a a a
R SI SG GI
Thể tích của khối cầu ngoại tiếp chóp
. .
S ABCD
3
3 3
4 4 21 7 21
.
3 3 6 54
a
V R a
Câu 138: Cho lăng trụ đứng có chiều cao bằng
h
không đổi, một đáy là tứ giác
ABCD
với
A
,
B
,
C
,
D
di động. Gọi
I
là giao của hai đường chéo
AC
và
BD
của tứ giác đó. Cho biết
2
. .
IA IC IB ID h
. Tính giá trị nhỏ nhất bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đã cho.
A.
h
. B.
3
2
h
. C.
2
h
. D.
5
2
h
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 10
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Do lăng trụ nội tiếp mặt cầu nên gọi
;
K r
là đường tròn ngoại tiếp
ABCD
. Khi đó
2 2
. .
IA IC IB ID r IK
(theo phương tích của đường tròn). Suy ra
2 2 2 2 2 2
r IK h r h IK
.
Gọi
,
O R
là mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ ta có
2
2 2 2 2 2 2 2
5 5 5
4 4 4 2
h h
R OA OK r h IK h R
. Vậy
min
5
2
h
R
khi
I
là tâm đường
tròn ngoại tiếp
ABCD
.
Câu 139: Cho hình chóp .
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình chữ nhật. Tam giác
SAB
nằm trong mặt phẳng
vuông góc với mặt phẳng
ABCD
.Biết rằng
AB a
, và
60
ASB
. Tính diện tích của khối
cầu ngoại tiếp hình chóp .
S ABCD
.
A.
2
11
2
a
S
. B.
2
11
3
a
S
. C.
2
13
2
a
S
. D.
2
13
3
a
S
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Gọi
1 2
,
R R
là bán kính đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật
ABCD
và mặt bên
SAB
. Gọi
R
là
bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .
S ABCD
.
Khi đó
2 2
1
1 1
3
2 2
R AC a a a
và
2
2sin60
3
2sin
AB a a
R
ASB
.
Vì hình chóp đã cho có mặt bên
SAB
vuông góc với đáy
ABCD
nên bán kính mặt cầu hình
chóp .
S ABCD
được tính theo công thức:
d
O
A
D
B
C
S
A
B
C
D
A
B
C
D
K
r
I
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 11
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
2
2 2 2
1 2
4
AB
R R R
2 2 2
2
13
3 4 12
a a a
a
.
Diện tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho là:
2
2
13
4
3
a
S R
.
Câu 140: Cho lăng trụ tam giác đều .
ABC A B C
có
,
AB a
góc giữa đường thẳng
A C
và mặt phẳng
AA B B
bằng
30 .
Gọi
H
là trung điểm của
.
AB
Tính theo
a
bán kính
R
của mặt cầu ngoại
tiếp hình chóp
. .
A ABC
A.
3
.
6
a
R
B.
2
.
2
a
R
C.
6
.
6
a
R
D.
30
.
6
a
R
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có Tam giác
ABC
đều cạnh
a
CH AB
và
3
2
a
CH
.
Suy ra
CH ABC
, nên
; ; 30
A C ABC A C A H CA H
.
3
.cot30
2
a
A H CH
,
2 2
2
AA A H AH a
.
Dựng trục đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC
tại trọng tâm
G
.
Dựng đường trung trực của
AA
trong mặt phẳng
AA G
cắt trục đường tròn tại
I
I
là tâm
mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .
A ABC
có bán kính là
IA
.
Ta có
3
3
a
AG
,
2
2
a
AM
2 2
2 2
30
3 2 6
a a a
AI AM AG
Câu 141: Cho hình lăng trụ đứng
.
ABC A B C
có đáy
ABC
là tam giác vuông tại
A
. Biết
2
BC a
. Tính
theo
a
thể tích của khối cầu ngoại tiếp lăng trụ trên.
A.
3
32
3
V a
. B.
3
4
3
V a
. C.
2
4
V a
. D.
3
4
3
V a
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Gọi
,
M M
lần lượt là trung điểm
BC
và
B C
MM
là trục của đường tròn ngoại tiếp.
mặt đáy lăng trụ.
Gọi
O MM BC
O
cách đều các đỉnh của lăng trụ.
A
B
C
C
B
A
M
I
H
G
d
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 12
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Bán kính mặt cầu
2
BC
R a
. Do đó
3 3
4 4
3 3
V R a
.
Câu 142: Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy là hình chữ nhật,
2
AB a
,
BC a
, hình chiếu của
S
lên
ABCD
là trung điểm
H
của
AD
,
3
2
a
SH . Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
.
S ABCD
bằng bao nhiêu?
A.
2
16
3
a
. B.
2
16
9
a
. C.
3
4
3
a
. D.
2
4
3
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Gọi
I
là tâm đường tròn ngoại tiếp
SAD
O
là tâm đường tròn ngoại tiếp
ABCD
I
là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
.
S ABCD
Ta có
2 2
SD SA SH AH a
SAD
đều
2 2 2 2
2 3 3
3 2 3
2
3
I A a a
a
R IA I A I I I A HO
Vậy
2
2
16
4
3
a
S R
Câu 143: Cho hình hộp chữ nhật .
ABCD A B C D
có
AB a
,
2
AD a
và
2
AA a
. Tính bán kính
R
của
mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
ABB C
.
A.
3
4
a
R . B.
3
2
a
R . C.
2
R a
. D.
3
R a
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có
90
AB C ABC
nên mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
ABB C
có đường kính
AC
. Do đó
bán kính là
2 2
2
1 3
2 2
2 2
a
R a a a .
Câu 144: Cho hình chóp S.ABC có
, 2 ,
AB a AC a
o
60
BAC ,
SA ABC
và
3
SA a
. Bán kính
R
của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .
S ABC
bằng
A.
10
2
a
R
. B.
11
2
a
R
. C.
55
6
a
R
. D.
7
2
a
R
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 13
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Ta có
2 2
2 . .cos 3
BC AB AC AB AC A a
.
Gọi
O
là tâm đường tròn ngoại tiếp
ABC
và
ABC
tại
O
.
Trong mặt phẳng
,
SA
, đường trung trực của
SA
cắt
tại
I
. Ta có I là tâm mặt cầu ngoại
tiếp hình chóp .
S ABC
Gọi
r
là bán kính đường tròn ngoại tiếp
ABC
, ta có
r AO
Áp dụng đinh lý
sin
trong
ABC
ta có:
2 2
2 2
7 7
2
sin 4 4 2
BC SA a a
r AO r a R r R
A
.
Câu 145: Cho lăng trụ đứng .
ABC A B C
có đáy là tam giác vuông cân,
AB AC a
. Góc giữa
A B
và
mặt đáy bằng
45
o
. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
BCC A
là
A.
3
2
a
. B.
2
a
. C.
a
. D.
2
2
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có:
45
o
AA ABC ABA
nên
AA AB a BB CC
.
Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
BCC A
cũng là mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ .
ABC A B C
.
Mà lăng trụ đứng .
ABC A B C
có đáy hai đáy ngoại tiếp đường tròn tâm
O
và
O
nên tâm mặt
cầu ngoại tiếp .
ABC A B C
là trung điểm
I
của
OO
.
Mà
2 2
2
BC AB AC a
.
Khi đó:
2 2
1 1 3
2 2 2
a
R C I BC BB BC
.
Câu 146: Cho tứ diện
ABCD
có
AD
vuông góc với mặt phẳng
ABC
, tam giác
ABC
vuông cân tại
A
,
2
AD a
,
AB a
. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
ABCD
bằng
A.
2
2
a
. B.
6
3
a
. C.
6
2
a
. D.
6
4
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 14
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC
:
2
2 2
BC a
r
.
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
ABCD
:
2
2
2
AD
R r
2
2
6
2 2
a a
a .
Câu 147: Cho hình chóp .
S ABC
có
SA ABC
;
SA a
đáy
ABC
là tam giác vuông tại
B
,
60
BAC
và
2
a
AB
. Gọi
S
là mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .
S ABC
. Tìm mệnh đề sai.
A.
S
có bán kính
2
2
a
. B. Tâm của
S
là trung điểm
SC
.
C. Diện tích của
S
là
2
2
3
a
. D. Thể tích khối cầu là
3
2
3
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Gọi
,
N M
lần lượt là trung điểm
của
;
AC SC
.
NM
là đương
trung bình của tam giác
SAC
nên
/ /
NM SA NM ABC
MS=MC=MA=MB
M là tâm của
S
có bán kính
2
2
a
MC
3
3
4 2 2
3 2 3
S
a
a
V
.
Diện tích của
2
2 2
2
: 4 4 2 .
2
a
S S
r a
Câu 148: Cho khối chóp .
S ABC
có đáy là tam giác vuông tại
B
,
1
AB
,
2
BC , cạnh bên
SA
vuông
góc với đáy và
3
SA . Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .
S ABC
bằng:
A.
6
. B.
3
2
. C.
12
. D.
2
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
N
M
S
A
C
B
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 15
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Gọi
I
là trung điểm của
SC
.
Tam giác
SAC
vuông tại
A
1
2
IA IS IC SC
1
.
Dễ dàng chứng minh được
BC SAB BC SB
hay tam giác
SBC
vuông tại
B
1
2
IB IS IC SC
2
.
Từ
1
và
2
suy ra:
1
2
IA IB IC IS SC
hay
I
là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
.
S ABC
có bán kính
2 2 2 2 2
1 1 1 6
2 2 2 2
R SC SA AC SA AB BC
.
Vậy diện tích mặt cầu cần tìm là:
2
4 6
S R
.
Câu 149: Cho hình chóp .
S ABC
có đáy
ABC
là tam giác đều cạnh bằng
a
, mặt bên
SAB
là tam giác
đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích
V
của khối cầu ngoại
tiếp hình chóp đã cho.
A.
3
4 3
27
a
V
. B.
3
5 15
54
a
V
. C.
3
5
3
a
V
. D.
3
5 15
18
a
V
.
Câu 150: Cho hình lập phương .
ABCD A B C D
cạnh
a
. Tính diện tích
S
của mặt cầu ngoại tiếp hình lập
phương .
ABCD A B C D
.
A.
2
3
2
a
S
. B.
2
4
3
a
S
. C.
2
S a
. D.
2
3
S a
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Gọi
,
O O
lần lượt là tâm các hình vuông
ABCD
và
A B C D
.
I
là trung điểm đoạn
OO
.
Khi đó bán kính
r
của mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương .
ABCD A B C D
là:
2
2
2 2
2 3
2 2 2
a a a
r IA OA OI
.
I
S
C
B
A
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 16
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Vậy diện tích
S
của mặt cầu là
2
2 2
3
4 4 3 .
2
a
S r a
Câu 151: Cho hình lăng trụ đứng .
ABC A B C
có đáy
ABC
là tam giác vuông tại
.
A
Biết rằng
, 2 .
AB AA a AC a
Gọi
M
là trung điểm của
.
AC
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
MA B C
bằng
A.
3
.
2
a
B.
2
.
2
a
C.
5
.
2
a
D.
.
a
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có
2 2
5.
BC AC AB a
Gọi
I
là trung điểm của
B C
, suy ra
I
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
A B C
.
Gọi
O
là trung điểm của
A C
.
Tam giác
MA C
vuông cân tại
.
M
Suy ra
O
là tâm đường tròn ngoại tiếp
MA C
.
Ta có
OI A C OI A B
OI ACC A
OI MO
€
.
Suy ra
OI
là trục của tam giác
.
MA C
Suy ra
.
IA IC IM IB
Suy ra
I
là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
MA B C
bán kính
1 1 5
.
2 2 2
a
R B C BC
Câu 152: Cho hình chóp .
S ABC
có
SA ABC
,
AC b
,
AB c
,
BAC
. Gọi
B
,
C
lần lượt là
hình chiếu vuông góc của
A
lên
SB
,
SC
. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
.
A BCC B
theo
b
,
c
,
.
.
A.
2 2
2 cos
2sin
b c bc
R
. B.
2 2
2 2 cos
R b c bc
.
C.
2 2
2 cos
sin 2
b c bc
R
. D.
2 2
2 2 cos
sin
b c bc
R
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 17
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
.
Gọi
,
M N
lần lượt là trung điểm của
AB
và
AC
.
Tam giác
ABB
vuông tại
B
nên
M
chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABB
, suy ra
trục tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABB
chính là đường trung trực
của
AB
(xét trong
mp
ABC
).
Tam giác
ACC
vuông tại
C
nên
N
chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
ACC
, suy ra
trục tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
ACC
chính là đường trung trực
1
của
AC
(xét trong
mp
ABC
).
Gọi
1
I
thì
I
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC
và
I
cách đếu các điểm
, , ,B ,C
A B C
nên
I
là tâm mặt cầu ngoại tiếp
ABCB C
.
Gọi
R
là bán kính mặt cầu ngoại tiếp
ABCB C
thì
R
chính là bán kính đường tròn ngoại tiếp
tam giác
ABC
.
Ta có
. .
4.
ABC
AB AC BC
R
S
. .
1
4. .sin
2
c b BC
bc
2 2
2 .cos
2sin
b c bc
.
Câu 153: Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Mặt cầu là mặt được tạo thành khi quay một đường tròn quanh một đường kính bất kì của nó.
B. Có ít nhất hai hình trụ không bằng nhau cùng ngoại tiếp một hình cầu.
C. Tâm mặt cầu ngoại tiếp một hình hộp là giao điểm bốn đường chéo của hình hộp đó.
D. Các đỉnh của một hình chóp tứ giác cùng nằm trên một mặt cầu nào đó.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Mặt cầu là mặt được tạo thành khi quay một đường tròn quanh một đường kính bất kì của nó.
Câu 154: Cho hình chóp .
S ABC
có
SA SB SC a
và
90
ASB
,
60
BSC
,
120
CSA
. Diện
tích mặt cầu ngoại tiếp của hình chóp .
S ABC
là .
A.
2
a
. B.
3
4
3
a
. C.
2
4
a
. D.
2
2
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Xét tam giác
SAB
theo định lí cosin ta có :
2 2 2 2 2 2
2 . cos 2 . .cos90 2 2
AB SA SB SASB ASB a a a a a AB a
Xét tam giác
SAC
theo định lí cosin ta có :
2 2 2 2 2 2
2 . cos 2 . .cos120 3 3
AC SA SC SA SC ASC a a a a a AC a
Xét tam giác
SBC
theo định lí cosin ta có :
2 2 2 2 2 2
2 . cos 2 . .cos60
BC SC SB SC SB ASB a a a a a AB a
Vậy
2 2 2
AB BC AC ABC
vuông tại
B
.
Gọi
O
là hình chiếu của
S
lên mặt phẳng
ABC
. Vì
SA SB SC a
OA OB OC
Vậy
O
là tâm đường tròn ngoại tiếp
ABC
mà
ABC
vuông tại
B O
là trung điểm
AC
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 18
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
SO là trục của mặt phẳng đáy
ABC
Dựng mặt phẳng trung trực của SC cắt SO tại I I là tâm mặt cấu ngoại tiếp chóp .S ABC .
Xét
1
SI SE
SEI SOC g g
SC SO
∽
Với
2
a
SE , SC a
Mặt khác SOC vuôn tại O áp dụng định lí pitago
2
2 2 2
4 2
a a
SO SB BO SO
Thay vào
1
SI a vậy bán kính cầu ngoại tiếp chóp .S ABC là
a
diện tích của mặt cầu ngoại tiếp chóp .S ABC là
2
4 a
.
Câu 155: Cho hình lập phương có cạnh bằng 1. Diện tích mặt cầu đi qua các đỉnh của hình lập phương là
A. 6
. B.
. C. 2
. D. 3
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Gọi R là bán kính của mặt cầu.
Ta có
2
1
2
R A C
2 2
1
2
A A AC
2 2 2
1
2
A A AB BC
3
2
Diện tích mặt cầu là
2
4 3S R
Câu 156: Cho hình lập phương có thể tích bằng
3
64a
. Thể tích của khối cầu nội tiếp của hình lập phương đó
bằng
A.
3
16
3
a
V
. B.
3
64
3
a
V
. C.
3
32
3
a
V
. D.
3
8
3
a
V
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Khối lập phương có thể tích
3
64a
nên cạnh bằng 4a . Khối cầu nội tiếp hình lập phương có bán
kính
4
2
2
a
R a nên thể tích khối cầu
3
4
3
V R
3
4
2
3
a
3
32
3
a
.
A
B
C
D
O
A
B
C
D
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 19
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 157: Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy là hình chữ nhật,
7 , 7
AC a SA a
và
SA ABCD
. Tính
bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
.
S ABCD
.
A.
56
2
a
R
. B.
7
a
. C.
14
R a
. D.
7
2
a
R
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có các tam giác , ,
SAC SBC SDC
là các tam giác vuông có cạnh huyền là
SC
.
Gọi
I
là trung điểm của
SC
suy ra.
2
2
1 56
7 7
2 2 2
SC a
IA IB IC ID IS a a
.
Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là
56
2
a
R
.
Câu 158: Cho lăng trụ đứng .
ABC A B C
có đáy là tam giác vuông cân đỉnh
A
,
AB AC a
,
2
AA a
. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
A BB C
là
A.
2
12
a
. B.
2
4 3
a
. C.
2
4
3
a
. D.
2
4
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
A BB C
cũng là mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ đứng .
ABC A B C
.
Gọi
,
I I
lần lượt là trung điểm của
BC
và
B C
. Do tam giác
ABC
vuông cân đỉnh
A
nên
trung điểm
O
của
II
là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ đứng .
ABC A B C
.
Bán kính mặt cầu là
2 2 2 2
1 1
2 2
2 2
R BC C C a a a
.
Diện tích mặt cầu là
2
4
a
.
Câu 159: Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình chữ nhật,
SA
vuông góc với đáy,
AB a
,
2
AD a
. Mặt phẳng đi qua
A
và vuông góc với
SC
cắt các cạnh
, ,
SB SC SD
lần lượt tại
, ,
B C D
. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .
B B C D
.
A.
2
7
a
. B.
2
5
a
. C.
2
14
a
. D.
2
3
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
S
A
B
C
D
I
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 20
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
.
Ta có
1
AC C C
.
BC AB
BC AB
BC SA
. Mà
' 2
AB SC AB B C
.
.
CD AD
CD AD
CD SA
Mà
3
AD SC AD D C
.
4
AB BC .
Từ
1 , 2 , 3 , 4
suy ra
, , ,
B B C D
cùng nằm một mặt cầu đường kính
AC
(cùng nhìn
AC
dưới một góc vuông).
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .
B B C D
là
5
.
2 2
AC a
R
Diện tích mặt cầu là
2
2 2
5
4 4 5 .
4
a
S R a
Câu 160: Biết rằng tổng diện tích tất cả các mặt của hình bát diện đều bằng
8 3
. Tính diện tích
S
mặt cầu
ngoại tiếp hình bát diện đều.
A.
8 3
B.
8
C.
16
D.
4 3
Hướng dẫn giải
Chọn B
Gọi cạnh của bát diện đều là
a
. Hình bát diện đều có tất cả tám mặt đều nên tổng diện tích tất cả
các mặt của hình bát diện đều là:
2
1
8. .sin60 8 3
2
a
2
a
.
2a
a
3a
B
A
D
C
S
C'
B'
D'
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 21
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình bát diện đều là:
2 2
1 1
2 2 2
2 2
R IA AC .
Diện tích
S
mặt cầu ngoại tiếp hình bát diện đều là
2
2
4 4 . 2 8
S R
.
Câu 161: Cho hình chóp .
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình chữ nhật với
2
AB a
,
AD a
. Cạnh bên
SA
vuông góc với đáy và góc giữa
SC
với đáy là
45
. Gọi
N
là điểm thuộc cạnh
SA
sao cho
4
SA SN
,
h
là chiều cao của khối chóp .
S ABCD
và
R
là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp
.
N ABC
. Biểu thức liên hệ giữa
R
và
h
là
A.
4
5 5
R h
. B.
8 5
R h
. C.
5 4
R h
. D.
2 5
R h
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có
SA ABCD
tại
A
.
Suy ra góc giữa
SC
và
ABCD
là
SCA
. Theo giả thuyết
45
SCA
2 2
5
SA AC AB BC a
. Vậy
5
h a
.
Gọi
O
là trung điểm
AC
và
I
là trung điểm
NC
IN IC IA IB
nên
I
là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp .
N ABC
1
2
R IC NC
2
2
1 3 5 5
5 5
2 4 8
a
a a
.
F
I
D
E
A
B
C
N
O
I
D
C
B
A
S
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 22
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Suy ra
5
8
R
h
8 5
R h
.
Câu 162: Cho hình chóp .
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình chữ nhật,
AB a
,
AD a
2
tam giác
SAB
đều
và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi
,
M N
lần lượt là trung điểm các cạnh
, .
AD DC
Tính bán kính
R
của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .
S DMN
.
A.
.
a
R
31
4
B.
.
a
R
102
6
C.
.
a
R
39
13
D.
.
a
R
39
6
Hướng dẫn giải
Chọn B
Gọi
I
là trung điểm của
MN
. Suy ra
I
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
.
DMN
d
là đường thẳng qua
I
và vuông góc với mặt đáy.
E
là hình chiếu của
I
lên
.
AB
O
là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện .
S DMN
.
K
là hình chiếu của
O
lên
.
SH
Đặt
OI x
.
Ta có
1 5
.
2 4
a
DI MN
Suy ra
2
2 2 2
5
.
16
a
OD ID OI x
3 3
; ; .
2 2 2
a AM HN a
SK SH x x KO HI EI
2 2
2 2
9 37
.
4 16 4
a a a
HI EI HE
Suy ra
2
2 2 2
49
3
16
a
SO SK KO a x x
.
Vì
O
là tâm mặt cầu ngoại tiếp nên:
2
2 2
49 11 102
3 5 .
16 6
4 3
a a a
SO DO a x x x a x R OD
Câu 163: Ba đoạn thẳng
, ,
SA SB SC
đôi một vuông góc tạo với nhau thành một tứ diện
.
S ABC
với
, 2 , 3
SA a SB a SC a
. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình tứ diện đó là.
A.
3
6
a
. B.
14
2
a
. C.
14
6
a
. D.
6
2
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
d
x
K
E
I
H
N
M
B
A
D
C
S
O
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 23
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Tam giác
SAB
vuông tại
S
nên trung điểm
I
của
AB
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
SAB
.
Từ giả thiết ta suy ra SC vuông góc với
.
SAB
Do đó nếu qua I dựng đường thẳng
song song
với
SC
thì
vuông góc với
.
SAB
Suy ra
là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác
.
SAB
Dựng đường trung trực của
SC
, cắt
tại
O
thì
O
chính là tâm của mặt cầu ngoại tiếp .
S ABC
.
Gọi J là trung điểm của
.
SC
Khi đó ta có:
2 2
3 5
;
2 2 2 2 2
SC a AB SA SB a
IO SJ SI
.
Xét tam giác vuông
SIO
ta có:
2
2
2 2
3 5 14
.
2 2 2
a a a
SO SI IO .
Vậy bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .
S ABC
là
14
2
a
.
Câu 164: Cho hình chóp .
S ABC
có tam giác
ABC
đều cạnh
a
,
SA ABC
,
SA a
. Bán kính mặt cầu
ngoại tiếp hình chóp bằng
A.
21
6
a
. B.
2 3
3
a
. C.
2
a
. D.
6
3
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Gọi
G
là trọng tâm tam giác đều
ABC
, dựng trục
Gx
của đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC
,
khi đó
//
Gx SA
. Trong mặt phẳng
SAG
dựng đường trung trực cạnh
SA
, cắt
Gx
tại
I
.
Ta có
I
là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và bán kính là
2 2
R SM MI
.
Mà
2 3 3
.
3 2 3
a a
MI AG
;
1
2 2
a
SM SA
. Nên
2 2
3 21
9 4 6
a a a
R .
Câu 165: Cho hình chóp đều
.
S ABC
có cạnh đáy bằng
a
, góc tạo bởi cạnh bên và đáy bằng
60
. Tính
bán kính
R
của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
.
S ABC
.
A.
4
3
a
R . B.
3
a
R
. C.
2
3
a
R . D.
3
3
a
R
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
x
M
I
G
C
B
A
S
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 24
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Gọi
,M N
lần lượt là trung điểm
,SA BC
I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
.S ABC
.
Ta có
2 3
3 3
a
AG AN
; .tan60SG AG a
2 3
cos60 3
o
AG a
SA
SMI SGA #
2
. 1 2
2 3
SM SI SM SA SA a
R SI
SG SA SG SG
Câu 166: Cho hình chóp .S ABCD có ABCD là hình chữ nhật 12SA a ,
SA ABCD và
3AB a , 4AD a . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .S ABCD .
A. 6R a . B. 6,5R a . C. 13R a . D. 12R a .
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là trung điểm I của SC .
Ta có:
2 2
2 2
AS AC
AI
2 2
1
2
AS AC .
2 2 2
1
2
AI AS AB BC
2 2 2
1
12 3 4 6,5
2
a a .
Câu 167: Cho hình chóp đều .S ABC có cạnh bằng a, chiều cao bằng 2 .a Hình nón ngoại tiếp hình chóp
.S ABC có diện tích xung quanh là.
A.
2
15
3
a
.
B.
2
17
3
a
.
C.
2
11
3
a
. D.
2
13
3
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 25
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Ta có
3
2
a
CM
.
2 3
3 3
a
r CO CM
.
2
2 2 2
39
4
3 3
a
l SC SO OC a a
.
Diện tích xung quanh hình nón:
2
3 39 13
.
3 3 3
xq
a a
S rl a
.
Câu 168: Cho hình chóp .
S ABC
, tam giác
ABC
vuông tại đỉnh
, 1 , 3
A AB cm AC cm
. Tam giác
SAB
,
SAC
lần lượt vuông tại
B
và
C
. Khoảng cách từ
C
đến mặt phẳng
SAB
bằng
3
2
cm
.
Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .
S ABC
bằng
A.
2
5
4
cm
. B.
2
20
cm
. C.
2
5 5
6
cm
. D.
2
5
cm
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Gọi
I
là trung điểm của
SA
IA IB IC IS
I
là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
.
S ABC
.
Gọi
,
E H
lần lượt là trung điểm của
,
BC AB
Ta có :
,
AB AC EI AB AB SB IH AB
AB IHE SAB IHE
Kẻ
EK IH EK SAB
O
M
N
A
C
B
S
1
3
K
H
S
E
B
A
C
I
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 26
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
,
3
,
2 4
d C SAB
EK d E SAB
Do
IBC
cân tại
I
IE BC
Mà
IE AB
IE ABC IE EH
Xét
IHE
vuông tại
E
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 16 4
4
3 3
EK EH IE IE EK EH
2 2 2 2
1 5
4 4
IE IC IE EC
2
4 5
mc
S R
Câu 169: Cho hình lập phương có cạnh bằng
a
. Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương là
2
a
.
B. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương là
2
2
a
.
C. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương là
3
a
.
D. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương là
3
2
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có tâm mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương là giao của 2 đường chéo hình lập phương, bán
kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương bằng nửa đường chéo hình lập phương.
Do đó
3
2
a
R
.
Câu 170: Cho hình chóp .
S ABC
có cạnh bên
SA
vuông góc với đáy,
AB a
,
2
BC a
,
2
SC a
và
60
ASC
. Tính bán kính
R
của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện .
S ABC
.
A.
2
a
R
. B.
3
2
a
R
. C.
3
R a
. D.
R a
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
S
A
B
C
O
P
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 27
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Ta có
sin
ASC
AC
SC
2
AC
a
sin60
3
2
3
AC a
.
Do đó
2 2 2
AB BC AC
ABC
vuông tại
B
.
Gọi
P
là trung điểm của cạnh
AC
thì
P
là tâm đường tròn ngoại tiếp
ABC
.
Gọi
O
là trung điểm của cạnh
SC OS OC
.
Ta có
//
OP SA
mà
SA ABC
OP ABC
.
Do đó
OP
là trục đường tròn ngoại tiếp
ABC
OA OB OC
.
Như vậy
1
2
R OA OB OC OS SC a
.
Câu 171: Cho hình chóp .
S ABC
có đáy là tam giác
ABC
vuông tại
B
,
3
AB
,
4
BC
. Hai mặt phẳng
SAB
,
SAC
cùng vuông góc với mặt phẳng đáy, đường thẳng
SC
hợp với mặt phẳng đáy
một góc
45
. Thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .
S ABC
là:
A.
5 2
3
V
. B.
25 2
3
V
. C.
125 3
3
V
. D.
125 2
3
V
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Hai mặt phẳng
SAB
,
SAC
cùng vuông góc với mặt phẳng đáy nên
SA ABC
.
Ta cũng có
BC AB
BC SA
BC SB
.
Suy ra
SAC
và
SBC
là hai tam giác vuông tại
A
và
B
.
Gọi
I
là trung điểm của
SC
thì
IA IC IS
IB IC IS
IA IB IC IS
I
là tâm mặt cầu
S
ngoại tiếp hình chóp .
S ABC
.
Vì
SA ABC
nên
, 45
SC ABC SCA
.
Ta lần lượt tính được:
2 2
5
AC AB BC
;
5
SA AC
;
2 5 2
SC AC .
Suy ra bán kính mặt cầu
S
là
5 2
2 2
SC
R
.
Vậy thể tích khối cầu
S
là
3
4 5 2 125 2
. .
3 2 3
V
.
Câu 172: Trong không gian
Oxyz
, cho hình hộp chữ nhật .
ABCD A B C D
có
3;1; 2
A
,
1;5;4
C . Biết
rằng tâm hình chữ nhật
A B C D
thuộc trục hoành, tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình hộp
chữ nhật .
ABCD A B C D
.
A.
7 3
2
. B.
5 3
2
. C.
74
2
. D.
91
2
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 28
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Hướng dẫn giải
Chọn A
Gọi I là trung điểm của AC
Tọa độ điểm
2;3;1I
Gọi I
là tâm hình chữ nhật A B C D
;0;0I a
.
Ta có:
II ABCD
II AC
. 0II AC
2 2 3 .4 1 .6 0a
7a
7;0;0
I
.
Gọi E là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật .ABCD A B C D
E là trung điểm của
AC
5 3 1
; ;
2 2 2
E
.
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật .ABCD A B C D
là
7 3
2
R AI
.
Câu 173: Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , 3AB BC a ,
90SAB SCB và khoảng cách từ A đến mặt phẳng
SBC bằng 2a . Tính diện tích mặt
cầu ngoại tiếp hình chóp .S ABC theo a.
A.
2
16S a
. B.
2
2S a
. C.
2
12S a
. D.
2
3S a
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Gọi D là hình chiếu vuông góc của S trên ( )ABC . Ta có: , ( )AB SA AB SD AB SAD
AB AD . Tương tự ( )CB SCD BC DC . Suy ra ABCD là hình vuông.
Gọi H là hình chiếu của D trên SC ( ) ( ,( ) ( ,( ) 2DH SBC d A SBC d D SBC DH a .
2 2 2
1 1 1
6SD a
SD SH DC
.
Gọi I là trung điểm SB ta có IA IB IC IS nên I là tâm mặt cầu. Suy ra bán kính mặt cầu
3
2
SC
r a .
Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .S ABC là:
2 2
4 12S r a
.
Câu 174: Cho hình lăng trụ tam giác đều .ABC A B C
có ,AB a góc giữa hai mặt phẳng
A BC
và
ABC bằng 60 . Gọi G là trọng tâm tam giác .A BC
Thể tích của hình cầu ngoại tiếp tứ diện
GABC là
A.
3
343
432
a
. B.
3
49
108
a
. C.
3
343
5184
a
. D.
3
343
1296
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 29
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Gọi
D
là trung điểm của
BC
ta có:
60
BC AD BC A D ADA
.
Ta có
2
3 3
.tan ;
2 4
ABC
a a
AA AD ADA S
.
2
.
3 3
.
8
ABC A B C ABC
a
V AA S
.
Trong
:
AGH
gọi
I
là giao điểm của
GH
và trung trực của
AG
. Gọi
E
là trung điểm của
AG
.
2
2 2 2
3 3 7
; ;
3 2 3 12
AA a a
GH AH GA GH AH
2
. 7
2 12
GE GA GA a
R GI
GH GH
.
Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
GABC
có thể tích là:
3
3
3
4 4 7 343
3 3 12 1296
a a
V R
.
Câu 175: Cho tứ diện
ABCD
có
2
AB BC CD
,
1
AC BD
,
3
AD . Tính bán kính của mặt cầu
ngoại tiếp tứ diện đã cho.
A.
7
3
B.
39
6
C.
2 3
3
D.
1
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có
ACD
là tam giác vuông tại
A
và
ABD
là tam giác vuông tại
D
Dựng khối lăng trụ tam giác đều .
ACF DEB
như hình vẽ.
Gọi
G
và
G
lần lượt là trọng tâm của hai tam giác
ACF
và
DEB
;
I
là trung điểm của
GG
.
Khi đó
I
là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ .
ACF DEB
, đồng thời cũng là tâm mặt cầu ngoại
tiếp tứ diện
ABCD
.
2
3
1
I
G'
G
I
E
B
D
C
F
A
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 30
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp là
R
IF
2 2
IG GF
2 2
3 3
2 3
39
6
.
Câu 176: Cho hình chóp .
S ABC
có đáy
ABC
là tam giác vuông cân tại
B
với
3
AB
a
BC
, góc
90
SAB SCB
và khoảng cách từ
A
đến mặt phẳng
SBC
bằng
2
a
. Tính diện tích mặt
cầu ngoại tiếp hình chóp .
S ABC
.
A.
2
8
a
. B.
2
12
a
. C.
2
2
a
. D.
2
16
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Gọi D là hình chiếu vuông góc của S trên
( )
ABC
. Ta có:
, ( )
AB SA AB SD AB SAD
AB AD
. Tương tự
( )
CB SCD BC DC
. Suy ra ABCD là hình vuông
Gọi H là hình chiếu của D trên SC
( ) ( ,( ) ( ,( ) 2
DH SBC d A SBC d D SBC DH a
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác
SCD
, ta có
2 2 2
1 1 1
6
SD a
SD SH DC
.
Gọi I là trung điểm SB ta có
IA IB IC IS
nên
I
là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
.
S ABC
. Suy ra bán kính mặt cầu là
3
2
SC
r a
. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
.
S ABC
là
2 2
4 12
S r a
Câu 177: Cho hình chóp đều có đáy là hình vuông cạnh , cạnh bên hợp với đáy một
góc bằng . Gọi là mặt cầu ngoại tiếp hình chóp . Tính thể tích của khối cầu
.
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Chọn A
Gọi
O
là tâm của hình vuông
ABCD
. Do .
S ABCD
là hình chóp đều nên
SO ABCD
hay
SO
là trục của đường tròn ngoại tiếp đáy.
Trong mặt phẳng
SBO
kẻ đường trung trực
của cạnh
SB
và gọi
I SO
khi đó ta có
I
là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .
Theo giả thiết ta có là hình chóp đều và góc giữa cạnh bên với mặt phẳng đáy bằng
nên .
Ta có nên .
.
S ABCD
ABCD
a
60
S
.
S ABCD
V
S
3
8 6
27
a
V
3
4 6
9
a
V
3
4 3
27
a
V
3
8 6
9
a
V
M
O
C
B
A
D
S
I
.
S ABCD
.
S ABCD
60
60
SBO
SMI SOB
SM SI
SO SB
.
SM SB
SI
SO
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 31
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Với ; ;
Vậy .
Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp là .
Câu 178: Cho
S
là mặt cầu ngoại tiếp một hình tứ diện đều cạnh
2
a
. Tính bán kính
R
của mặt cầu
S
.
A.
6
2
a
R
. B.
2
a
R
. C.
6
4
a
R
. D.
3
4
a
R
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
.
S ABC
là tứ diện đều nên
SO
là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều
ABC
. Trong mặt
phẳng
SAO
, kẻ đường trung trực
d
của cạnh
SA
,
d
cắt
SO
tại
I
là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ
diện.
2
2 2
.
2
SN SA SA
SAO SIN SI
SO
SA AO
Vậy
2
2
2
4 6
2
2 2 3
2 4 .
3 2
a a
R SI
a
a
.
Câu 179: Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng
6
và chiều cao
1
h
. Diện tích của mặt cầu
ngoại tiếp của hình chóp đó là:
A.
27
S
. B.
6
S
. C.
5
S
. D.
9
S
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
tan60
SO OB
6
3
a
SO
cos60
SB OB
2
SB a
2
2
a
SM
.
SM SB
SI
SO
6
2
a
.
S ABCD
3
4
3
V R
3
4 6
3 2
a
3
8 6
27
a
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 32
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Gọi O là tâm của ABC suy ra
SO ABC và 1SO h ;
2 3
6 2
3 2
OA .
Trong tam giác vuông SAO, ta có
2 2
1 2 3SA SO OA .
Trong mặt phẳng
SAO kẻ trung trực của đoạn SA cắt SO tại I , suy ra IS IA IB IC nên
I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .S ABC .
Gọi H là trung điểm của SA, ta có SHI đồng dạng với SOA nên
3
3
. 3
2
1 2
SH SA
R IS
SO
. Vậy diện tích mặt cầu
2
4 9
mc
S R
.
Câu 180: Cho hình chóp tứ giác đều .S ABCD có cạnh đáy bằng a , cạnh bên hợp với mặt đáy một góc
0
60 . Thể tích của khối cầu ngoại tiếp khối chóp .S ABCD là:
A.
3
8 6
.
9
a
B.
3
8 6
.
27
a
C.
3
4
.
3
a
D.
3
2 6
.
9
a
Hướng dẫn giải
Chọn B
Gọi O AC BD , suy ra
SO ABCD
.
Ta có
0
60 = , ,SB ABCD SB OB SBO .
Trong SOB , ta có
6
.tan
2
a
SO OB SBO .
Ta có SO là trục của hình vuông ABCD .
Trong mặt phẳng SOB , kẻ đường trung trực d của đoạn SB .
Gọi
I SO IA IB IC ID
I SO d
I d IS IB
IA IB IC ID IS R .
S
A
B
C
M
O
I
H
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 33
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Xét
SBD
có
60
o
SB SD
SBD SBO
SBD
đều.
Do đó
d
cũng là đường trung tuyến của
SBD
. Suy ra
I
là trọng tâm
SBD
.
Bán kính mặt cầu
2 6
3 3
a
R SI SO . Suy ra
3
3
4 8 6
.
3 27
a
V R
Câu 181: Cho hình chóp .
S ABCD
đều có
2
AB
và
3 2
SA . Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình
chóp đã cho bằng
A.
33
4
. B.
7
4
. C.
2
. D.
9
4
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Cho hình chóp tứ giác đều .
S ABCD
. Gọi
H
là tâm đáy thì
SH
là trục của hình vuông
ABCD
.
Gọi
M
là trung điểm của
SD
, trong mp
( )
SDH
kẻ đường trung trực của đoạn
SD
cắt
SH
tại
O
thì
OS OA OB OC OD
nên
O
chính là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
.
S ABCD
. Bán kính mặt cầu là
R SO
.
Ta có
2
.
2
SO SM SD SM SD
SMO SHD R SO
SD SH SH SH
∽
.
Với
2 2 2
18 2 16
SH SD HD
4
SH
.
Vậy
2
9
2 4
SD
R
SH
.
Câu 182: Cho hình chóp đều
.
S ABCD
có tam giác
SAC
đều cạnh
a
. Bán kính
R
của mặt cầu ngoại tiếp
hình chóp là
A.
3
3
a
R . B.
3
2
a
R . C.
2
2
a
R . D.
R a
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 34
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Gọi
O AC BC
. Khi đó
SO
là trục của đường tròn ngoại tiếp hình vuông
ABCD
.
Gọi
là đường trung trực của cạnh
SA
và
I SO
thì
I
là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình
chóp
.
S ABCD
.
Ta có
SMI
và
SOA
đồng dạng nên
. 3
6
3
SM SI SM SA a a
SI OI
SO SA SO
.
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp
2 2
3
3
a
R IA AO IO
.
Câu 183: Cho lăng trụ tam giác đều .
ABC A B C
có
,
AB a
góc giữa đường thẳng
A C
và mặt phẳng
AA B B
bằng
30 .
Gọi
H
là trung điểm của
.
AB
Tính theo
a
bán kính
R
của mặt cầu ngoại
tiếp hình chóp
. .
A ABC
.
A.
6
6
a
R
. B.
2
2
a
R
. C.
3
6
a
R
. D.
30
6
a
R
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có Tam giác
ABC
đều cạnh
a
CH AB
và
3
2
a
CH
.
Suy ra
CH ABC
, nên
; ; 30
A C ABC A C A H CA H
.
3
.cot30
2
a
A H CH
,
2 2
2
AA A H AH a
.
Dựng trục đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC
tại trọng tâm
G
.
Dựng đường trung trực của
AA
trong mặt phẳng
AA G
cắt trục đường tròn tại
I
I
là tâm
mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .
A ABC
có bán kính là
IA
.
Ta có
3
3
a
AG
,
2
2
a
AM
2 2
2 2
30
3 2 6
a a a
AI AM AG .
Câu 184: Hình chóp .
S ABCD
có đáy là hình vuông cạnh
a
,
SA
vuông góc với mặt phẳng
ABCD
và
2
SA a
. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .
S ABCD
bằng:
A.
2
3
a
. B.
2
6
a
. C.
2
2
a
. D.
2
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Δ
M
I
O
D
C
B
A
S
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 35
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Ta chứng minh được:
Δ
BC SAB BC SB SBC
vuông tại
B
.
Δ
CD SAD CD SD SCD
vuông tại
D
.
Δ
SA ABCD SA AC SAC
vuông tại
A
.
Gọi
O
là trung điểm cạnh
SC
. Khi đó:
1
2
OA OC OD OB OS SC
.
Do đó
O
là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp .
S ABCD
.
Bán kính mặt cầu là:
2 2 2 2
1 1 1 6
4 2
2 2 2 2
a
R SC SA AC a a
.
Diện tích mặt cầu:
2
2 2
3
4 4 . 6
2
a
S
πR π πa
.
Câu 185: Một hình hộp chữ nhật
P
nội tiếp trong một hình cầu có bán kính
R
. Tổng diện tích các mặt của
P
là
384
và tổng độ dài các cạnh của
P
là
112
. Bán kính
R
của hình cầu là.
A.
12
. B.
8
. C.
14
. D.
10
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Gọi chiều dài, rộng, cao của hình hộp chữ nhật lần lượt là
, ,
a b c
.
Đường chéo hình hộp chữ nhật bằng:
2 2 2
a b c
.
Tổng diện tích các mặt của
P
là
384
nên
2 2 2 384
ab ac bc
.
Tổng độ dài các cạnh của
P
là
112
nên
4 4 4 112 28
a b c a b c
.
2
2 2 2 2
2 28 384 20
a b c a b c ab ac bc
.
Vậy bán kính mặt cầu bằng
10
.
Câu 186: Cho hình chóp .
S ABCD
có đáy là hình chữ nhật. Biết
SA AB a
,
2
AD a
,
SA ABCD
.
Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .
S ABCD
.
A.
3
2
a
. B.
3 3
4
a
. C.
6
2
a
. D.
2 39
13
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn.
D.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 36
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Dễ thấy
90
SAC SBC SDC
. Suy ra mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .
S ABCD
có đường kính
là cạnh
2 2
6
SC SA AC a
. Vậy bán kính
6
2
a
R
.
Câu 187: Một hình cầu có thể tích bằng
4
3
ngoại tiếp một hình lập phương. Thể tích của khối lập phương
đó là
A.
1
. B.
3
2
a
. C.
8 3
9
. D.
8
3
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Câu 188: Cho tứ diện đều
ABCD
có cạnh bằng
.
a
Gọi
H
là hình chiếu của
A
trên
BCD
và
I
là trung
điểm
AH
. Tính bán kính
R
của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
IBCD
.
A.
3
2
a
R
. B.
6
2
a
R
. C.
3
4
a
R
. D.
6
4
a
R
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
AHC
vuông tại
H
:
2
2 2 2
6
3 3
a a
AH AC CH a .
6
6
a
IH
.
IHC
vuông tại
H
:
2 2
2 2
2
6 3 2
a a a
IC IH CH .
IBCD
là hình chóp đều nên:
2
6
2 4
IC a
R
HI
.
a
2a
a
I
D
C
B
A
S
I
H
B
C
A
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 37
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 189: Cho tứ diện đều
ABCD
có một đường cao
1
AA
. Gọi
I
là trung điểm
1
AA
. Mặt phẳng
BCI
chia tứ diện
ABCD
thành hai tứ diện. Tính tỉ số hai bán kính của hai mặt cầu ngoại tiếp hai tứ
diện đó.
A.
43
51
B.
1
2
C.
1
4
D.
48
153
Hướng dẫn giải
Chọn A
Gọi cạnh của tứ diện đều là
a
.
Gọi
K
là trung điểm của
CD
và
E IK AB
. Qua
1
A
kẻ đường thẳng song song với
IK
cắt
AB
tại
J
.
Ta có:
1
2
3
BA
BJ
BE BK
và
1
1
AE AI
EJ IA
nên suy ra
1
4 4
a
AE AB
và
3
4
a
BE .
Gọi
M
là trung điểm của
BE
, trong mặt phẳng
ABK
dựng đường trung trực của
BE
cắt
1
AA
tại
O
. Ta dễ dàng chứng minh được
O
là tâm của mặt cầu ngoại tiếp
EBCD
.
Ta có:
1
3
3
a
BA
,
1
6
3
a
AA
. Đặt
BE x
.
Tam giác
1
ABA
đồng dạng với tam giác
AOM
nên suy ra
1 1
. 1
2 2
AM OM AM BH x
OM a
AA BH AA
.
Gọi
R
là bán kính mặt cầu ngoại tiếp
EBCD
ta suy ra:
2
2
2 2
1
4 2 2
x x
R OB OM MB a
.
Với
3
4
a
x ta có:
2
2
9 1 3 43
64 2 8 128
a a
R a a
.
Tương tự với
4
a
x
ta có bán kính
R
của mặt cầu ngoại tiếp
EACD
là
2
2
1 51
64 2 4 128
a a
R a a
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 38
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Do đó
43
' 51
R
R
.
Phương pháp trắc nghiệm:
Áp dụng công thức Crelle: Với mỗi khối tứ diện
ABCD
đều tồn tại ít nhất một tam giác mà số đo
các cạnh của nó bằng tích số đo các cặp đối của tứ diện đó. Hơn nữa nếu gọi
V
là thể tích,
R
là
bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
ABCD
thì ta có công thức:
6 .
S V R
.
Câu 190: Cho hình chóp .
S ABCD
có
ABCD
là hình vuông cạnh
a
,
SA ABCD
và
2
SA a
. Thể
tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp là:
A.
3
3
a
. B.
3
4
a
. C.
3
4
3
a
. D.
3
6
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có:
SA BC
BC SAB BC SB
AB BC
.
Tương tự
CD SD
.
Khi đó
90
SAC SBC SDC
.
Nên
SC
là đường kính của mặt cầu
S
ngoại tiếp khối chóp .
S ABCD
.
Bán kính của
S
là
2
SC
R .
Ta có:
2
AC a
nên
2 2
2
SC SA AC a
R a
.
Vậy
3 3
4 4
3 3
S
V R a
.
Câu 191: Cho khối chóp .
S ABCD
có đáy là hình vuông, tam giác
SAB
đều và nằm trong mặt phẳng vuông
góc với đáy. Mặt cầu ngoại tiếp khối chóp .
S ABCD
có diện tích
2
84 cm
. Khoảng cách giữa
hai đường thẳng
SA
và
BD
.
A.
3 21
7
cm
. B.
21
7
cm
. C.
6 21
7
cm
.
D.
2 21
7
cm
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
S
A
B
C
D
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 39
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Gọi
M
là trung điểm
AB
và
G
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều
SAB
,
O
là tâm của
hình vuông
ABCD
. Ta có
OM SAB
. Dựng trục của hình vuông
ABCD
và trục tam giác
SAB
, khi đó chúng đồng phẳng và cắt nhau tại
I
tức là
OI
,
GI
là các trục hình vuông
ABCD
và trục tam giác
SAB
.
Bán kính mặt cầu là
R SI
. Ta có
2 2
4 84 cm
R
21 cm
R . Đặt
AB x
cm
Trong tam giác vuông
SGI
ta có
2 2 2
SI SG GI
1
, ta có
2
x
GI
,
3
3
x
SG thay vào
1
tính được
6
x
.
Dựng hình bình hành
ABDE
. Khoảng cách
d
giữa
BD
và
SA
là
,
d d BD SAE
,
d d B SAE
2 ,
d M SAE
. Kẻ
MK AE
ta có
SAE SMK
.
, ,
d M SAE d M SK
2 2
.SM MK
SM MK
2
. Ta có
3
3 3
2
x
SM ,
2 3 2
4 2
x
MK
Thay các giá trị vào
2
tính được
3 21
,
7
d M SAE .
Vậy khoảng cách giữa
SA
và
BD
là
6 21
7
.
Câu 192: Cho hình chóp .
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh
a
. Mặt bên
SAB
là tam giác đều và
nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
.
S ABCD
A.
3
6
a
B.
7
3
a
C.
21
6
a
D.
11
6
a
Hướng dẫn giải
Chọn C
K
E
I
M
O
D
B
C
A
S
G
x
O
IG
H
D
C
B
A
S
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 40
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Gọi
H
là trung điểm
AB
, mặt bên
SAB
là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với
mặt đáy nên
SH ABCD
.
Gọi
O AC BD
, dựng
Ox ABCD
//
Ox SH
.
Gọi
G
là trọng tâm tam giác
SAB
. Dựng
Gy SAB
//
Gy HO
,
Gy Ox I
.
Ta có
I Ox IA IB IC
I Gy IS IA IB
suy ra
I
là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .
S ABCD
.
Bán kính mặt cầu là
2 2
SI SG GI
2 2
SG HO
2
2
2 3
.
3 2 2
a a
21
6
a
.
Câu 193: Cho hình chóp .
S ABCD
có đáy là hình thang vuông tại
A
và
B
,
AB BC a
,
2
AD a
,
SA ABCD
và
2
SA a
. Gọi
E
là trung điểm của
AD
. Kẻ
EK SD
tại
K
. Bán kính mặt
cầu đi qua sáu điểm
, , , , ,
S A B C E K
bằng:
A.
a
. B.
6
2
a
. C.
3
2
a
. D.
1
2
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có:
BC AB
BC SAB BC SB
BC SA
Tứ giác
ABCE
là hình bình hành
/ /
AB CE CE AD
Mà
CE SA
CE SAD
CE SD
mà
EK SD
SD CEK SK CK
Suy ra các điểm
, , ,
A B E K
cùng nhìn hai điểm
,
S C
dưới một góc vuông nên 6 điểm
, , , , ,
S A B C E K
cùng
thuộc mặt cầu đường kính
SC
.
Bán kính mặt cầu:
2 2 2 2
2 2
2 2 2
SC SA AC a a
R a
.
Câu 194: Cho hình chóp .
S ABCD
có đáy là hình thang cân,
0
2 , , 60
AB a CD a ABC
. Mặt bên
SAB
là tam giác đều nằm trên mặt phẳng vuông góc với
( )
ABCD
. Tính bán kính
R
của mặt cầu
ngoại tiếp hình chóp .
S ABC
?
A.
3
3
a
R
. B.
R a
. C.
2
3
a
R . D.
2 3
3
a
R
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Gọi
,
H M
lần lượt là trung điểm của
AB
và
SB
ta có
HCD
cân tại
H
.
Mà
0
60
ABC BDC nên
ABC
vuông tại
C
.
( )
SH ABC
, kẻ đường trung trực của
SB
cắt
SH
tại
I
suy ra
I
là tâm mặt cầu ngoại tiếp
hình chóp
.
S ABC
. Ta có :
. 2 3
. .
3
SM SB a
SI SH SM SB SI
SH
.
S
D
A
C
E
K
B
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 41
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
.
Câu 195: Cho
S
là mặt cầu ngoại tiếp một hình tứ diện đều cạnh
2
a
. Tính bán kính
R
của mặt cầu
S
.
A.
2
a
R
. B.
3
4
a
R
. C.
6
4
a
R
. D.
6
2
a
R
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
.
.
S ABC
là tứ diện đều nên
SO
là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều
ABC
. Trong mặt
phẳng
SAO
, kẻ đường trung trực
d
của cạnh
SA
,
d
cắt
SO
tại
I
là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ
diện.
2
2 2
.
2
SN SA SA
SAO SIN SI
SO
SA AO
.
Vậy
2
2
2
4 6
2
2 2 3
2 4 .
3 2
a a
R SI
a
a
.
Câu 196: Cho hình chóp .
S ABC
có đáy
ABC
là tam giác đều cạnh bằng
1
, mặt bên
SAB
là tam giác đều
và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích của khối cầu ngoại tiếp chóp .
S ABC
.
A.
15
18
V
. B.
5 15
54
V
. C.
5 15
18
V
. D.
5 5
54
V
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Gọi
M
là trung điểm
AB
,
G
và
H
lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp
ABC
,
SAB
.
I
M
C
H
B
A
D
S
O
N
B
C
A
S
I
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 42
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Đường thẳng qua
G
và vuông góc với
ABC
cắt đường thẳng qua
H
và vuông góc với
SAB
tại I
I
là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
2 2
2 2
3 3 15
6 3 6
R IB IG GB
3
4 5 15
3 54
V R
.
Câu 197: Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng
1
và chiều cao
3
h (hình vẽ). Diện tích mặt
cầu ngoại tiếp hình chóp là
A.
100
27
. B.
100
. C.
100
3
. D.
25
3
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
* Gọi
D
là điểm đối xứng của
A
qua tâm
H
khi đó
D
thuộc mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
* Do
SAD
là mặt phẳng đối xứng của hình chóp nên đường tròn ngoại tiếp tam giác
SAD
là
đường tròn lớn của mặt cầu.
* Ta có:
4
2 3
3
AD AM ,
2 2
10
3
SA SD SH AH , bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình
chóp là:
2
. . . . 5
4 2 . 2
3 3
SAD
SA SD AD SA SD AD SA
R
S AD SH SH
Diện tích mặt cầu là:
2
100
4
27
S R
.
Câu 198: Cho hình chóp .
S ABC
có đáy là tam giác
ABC
đều cạnh
3
a
, cạnh bên
2
SC a
và
SC
vuông
góc với mặt phẳng đáy. Tính bán kính
R
của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .
S ABC
.
M
A
B
C
S
H
M
A
B
C
S
D
H
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 43
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
2
3
a
R . B. 2R a . C.
13
2
a
R
. D. 3R a .
Hướng dẫn giải
Chọn B
.
Gọi G là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và M là trung điểm SC .
Dựng //IG SC và //IM CG . Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .S ABC .
Ta có:
2 2 2 2
3 2
R IC CM CG a a a
.
Câu 199: Cho hình chóp
.S ABC
có đáy
ABC
là tam giác vuông cân tại B và
BC a
. Cạnh bên
SA
vuông góc với đáy
ABC . Gọi
,H K
lần lượt là hình chiếu vuông góc của
A
lên cạnh bên
SB
và
SC
. Thể tích của khối cầu tạo bởi mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
.A HKB
là:
A.
3
2
a
. B.
3
2
3
a
. C.
3
2 a
. D.
3
6
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Cách 1: Nhận xét :
90AKC AHC ABC , nên 4 điểm , , , A H K B thuộc mặt cầu đường
kính
AC
. Bán kính
2
2
a
R OA
3
3
4 2
R
3 3
a
V
.
Cách 2: Dựng hình vuông
ABCD
. Gọi M là trung điểm
AB
.
Tam giác
AHB
vuông tại H và
MO HAB
suy ra
MO
là trục đường tròn ngoại tiếp tam
giác
HAB
.
Tam giác
AKC
vuông tại K suy ra
OA OK
. Suy ra
O
là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
AHKB
và bán kính
2
2
a
R OA
3
3
4 2
R
3 3
a
V
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 44
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 200: Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy là hình thang cân,
4,
AB
2
BC CD DA
. Mặt bên
SAB
là
tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với
ABCD
. Tính bán kính
R
của mặt cầu
ngoại tiếp hình chóp
.
S ABC
.
A.
4 3
3
R
. B.
2 3
3
R
. C.
2 3
R . D.
2
R
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
.
Gọi
H
là trung điểm
AB
SH AB
. Dễ thấy
2
HA HB HC HD
H
là tâm đường
tròn ngoại tiếp
ABCD
SH
là trục của tâm đường tròn ngoại tiếp
ABCD
.
Mặt khác tam giác
SAB
là tam giác đều nên trọng tâm
I
của tam giác
ABC
cách đều
A
và
B
.
Vậy
I
là tâm mặt cầu ngoại tiếp
.
S ABCD
. Bán kính
2 2 3
3 3
R IA SH
.
Câu 201: Tính bán kính
R
của mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương có cạnh bằng
a
.
A.
3
R a
. B.
2
R a
. C.
3
2
a
R
. D.
6
2
a
R
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Gọi
I
là giao điểm của
AC
và
A C
. Khi đó,
I
chính là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình lập
phương. Bán kính
R
được tính bởi
R IA
2
AC
2 2
2
AA A C
2 2 2
2
AA A B A D
2 2 2
2
a a a
3
2
a
.
Câu 202: Hình chóp .
S ABC
có
SA ABC
, tam giác
ABC
vuông cân tại
B
,
AB a
và góc giữa
SC
với
ABC
bằng
45
. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .
S ABC
là.
A.
a
. B.
2
2
a
. C.
3
2
a
. D.
2
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
A
B
C
D
D
C
B
A
I
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 45
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
.
Hình chiếu
SC
lên
ABC
là
AC
0
, 45
SC ABC SCA
.
Nên:
2
SA AC a
.
Gọi
I
là trung điểm của
SC
.
Có:
BC AB
BC SAB BC SB
BC SA
.
Tam giác vuông
,
SAC
SBC
có
AI
và
BI
là hai đường trung tuyến nên
IS
IA IB IC
. Hay
I là tâm đường tròn ngoại tiếp hình chóp .
S ABC
.
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp:
2
SC
R a
.
Câu 203: Tính bán kính
R
của mặt cầu ngoại tiếp một hình lập phương có cạnh
2
a
.
A.
R a
. B.
2 3
R a
. C.
3
3
a
R
. D.
3
R a
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Gọi
O
,
O
lần lượt là tâm của các hình vuông
ABCD
và
A B C D
và gọi
I
là trung điểm của
OO
khi đó ta có
I
là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương .
ABCD A B C D
.
Theo đề bài ta có
2
OO a
OI a
;
1
2
2
AO AC a
.
Xét tam giác vuông
AOI
có
2 2
IA AO IO
2 2
2
a a
3
a
.
Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương .
ABCD A B C D
là
3
R a
.
Câu 204: Cho tứ diện đều
ABCD
cạnh
a
. Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện này có diện tích tính theo
a
là.
A.
2
3
2
a
. B.
2
4
3
a
. C.
2
3
4
a
. D.
2
5
2
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
I
O'
O
C'
B'
A'
D'
D
A
B
C
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 46
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ABCD
là tứ diện đều nên
AH BCD (với H là trọng tâm của tam giác BCD).
Qua trung điểm J của AB , dựng mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB . Mặt phẳng này cắt
AH tại O .
Ta có O cách đều các đỉnh của tứ diện, nên O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
Ta có
2 2
2 2
AJ.
AJ
2
2
AB AB AB
O AHO AO
AH AH
AB BH
.
Vậy bán kính mặt cầu là
6
4
a
R AO
.
Diện tích của mặt cầu là
2
2
2
6 3
4
4 2
a a
S R
.
Câu 205: Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 1, mặt bên SAB là tam giác cân
tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích V của khối cầu ngoại
tiếp hình chóp đã cho biết
120
ASB
.
A.
13 78
27
V
. B.
5 15
54
V
. C.
4 3
27
V
. D.
5
3
V
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Gọi H là trung điểm AB , do
SAB ABC , tam giác ABC đều và tam giác SAB cân tại S
nên
SH ABC và
CH SAB .
Gọi I và J là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABC và tam giác SAB .
B
A
C
D
I
J
H
O
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 47
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Dựng đường thẳng
//
Ix SH
và
//
Jy CH
thì
Ix ABC
và
Jy SAB
nên
Ix
là trục của
đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC
và
Jy
là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác
SAB
. Khi đó
Ix Jy O
thì
O
là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Ta có
3
6
OJ IH
.
. . 3
1
3
3
4. . . .sin120
2
SAB
SA SB AB AB
R SJ
SA SB
.
Vậy
R SO
1 1
3 12
15
6
nên
3
4
3
V R
3
4 15
3 6
5 15
54
.
Câu 206: Tính theo
a
bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác đều .
S ABC
, biết các cạnh đáy
có độ dài bằng
a
, cạnh bên
3
SA a
.
A.
3
8
a
. B.
3 6
8
a
. C.
3 3
2 2
a
. D.
2 3
2
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Gọi
H
là trung điểm của
SA
. Trong mặt phẳng
SAO
kẻ đường thẳng qua
H
và vuông góc
với
SA
cắt
SO
tại
I
. Khi đó
IS IA IB IC
.
Ta có:
3
2
a
AM
;
3
3
a
AO
;
2 2
SO SA OA
2 6
3
a
Do
SHI SOA
∽ ta có:
SI SH
SA SO
.
SH SA
SI
SO
3 6
8
a
.
Câu 207: Một hình hộp chữ nhật có độ dài
3
cạnh lần lượt là
2
,
2
,
1
. Tính bán kính
R
mặt cầu ngoại tiếp
hình hộp nói trên.
A.
3
2
R
B.
9
2
R
C.
9
R
D.
3
R
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có đường chéo hình hộp
2 2 2
1 2 2 3
d
.
3
2 2
d
R
.
Câu 208: Trong các hình đa diện sau, hình nào không nội tiếp được trong một mặt cầu?
A. Hình hộp chữ nhật. B. Hình chóp ngũ giác đều.
C. Hình chóp có đáy là hình thang vuông. D. Hình tứ diện.
Hướng dẫn giải
Chọn C
H
M
O
I
B
C
S
A
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 48
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Vì hình thang vuông không nội tiếp được trong một đường tròn nên hình chóp có đáy là hình
thang vuông không nội tiếp được trong một mặt cầu.
Câu 209: Cho tứ diện
ABCD
đều có cạnh
a
, tỉ số thể tích của khối cầu ngoại tiếp tứ diện
ABCD
và thể
tích khối cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh của tứ diện là.
A.
3
. B.
3
. C.
3
2
. D.
3 3
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Câu 210: Cho hình chóp tam giác .
S ABC
, đáy
ABC
là tam giác vuông tại
A
và
4
BC a
. Cạnh bên
3
SA a
và vuông góc với đáy. Diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp đó
(Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là mặt cầu chứa đỉnh hình chóp và tất cả các đỉnh của đa giác đáy
của hình chóp, khối cầu tương ứng gọi là khối cầu ngoại tiếp hình chóp) bằng
A.
2 3
25 125
;
4 6
a a
. B.
3
2
125
25 ;
6
a
a
. C.
3 3
25 125
;
4 6
a a
. D.
3
2
125
25 ;
3
a
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Gọi
H
là trung điểm của
BC
,
K
là trung điểm của
SA
. Qua
H
dựng đường thẳng
ABC SA
. Qua
K
dựng đường thẳng
SA AH
.
Lúc đó tâm của mặt cầu ngoại tiếp là
I
.
Xét tam giác
IHA
vuông tại
H
ta có:
2 2
2 2
5
2 2 2
SA BC a
r IA IH AH .
Diện tích hình cầu:
2 2
4 25
S r a
.
Thể tích khối cầu:
3
3
4 125
3 6
a
V r
.
Câu 211: Cho tứ diện
ABCD
có tam giác
ABC
là tam giác cân với
120
BAC ,
AB AC a
. Hình
chiếu của
D
trên mặt phẳng
ABC
là trung điểm
BC
. Tính bán kính
R
của mặt cầu ngoại tiếp
tứ diện
ABCD
biết thể tích của tứ diện
ABCD
là
3
16
a
V
.
A.
13
2
a
R . B.
6
R a
. C.
91
8
a
R
. D.
13
4
a
R
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 49
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Gọi
H
là trung điểm
BC
.
Có
,
AB a
60
BAH
;
2
a
AH
3
2
a
BH
và
3
BC a
.
1
.
3
ABCD ABC
V DH S
3
2
1 1 3
.
16 3 2 2
a
DH a
3
4
a
DH
.
Vậy
2 2
7
4
a
DA AH DH
.
Gọi
O
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC
thì bán kính đường tròn đó là
2sin
BC
R AO a
A
. Vậy
H
là trung điểm
AO
.
Kẻ trục đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC
, đường thẳng này cắt
AD
tại
S
với
D
là trung
điểm
SA
. Vậy
3
2
2
a
SO DH
,
7
2
2
a
SA DA
và
3 3 7
4 8
a
SM SA
.
Từ trung điểm
M
của đoạn
AD
kẻ đường vuông góc với
AD
, cắt
SO
tại
I
.
Dễ dàng có
I
là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
ABCD
.
Hai tam giác vuông
SAO
và
SIM
đồng dạng nên
3 7 21
.
4
3
8.
2
MI SM a a
MI a
OA SO
a
.
Bán kính mặt cầu bằng
2 2
91
8
ABCD
a
R ID MI MD
.
Câu 212: Hình chóp đều .
S ABCD
tất cả các cạnh bằng
a
. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là:
A.
2
2
a
. B.
2
a
. C.
2
2
a
. D.
2
4
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 50
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Gọi
O
là tâm mặt đáy,
M
là trung điểm
SA
, kẻ
MI SA
,
I SO
.
.
S ABCD
là hình chóp đều nên
I
là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, bán kính
R IS
.
SMI
đồng dạng với
SOA
2
2
2 2 2
2
1
.
2 2
2
2
a
SA
SM SI SM SA a
SI
SO SA SO
SA OA a
a
.
Vậy
2 2
4 2
mc
S R a
.
Câu 213: Hình lập phương .
ABCD A B C D
cạnh
a
. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình lập phương này.
A.
3
4
3
a
. B.
3
2
3
a
. C.
3
3
2
a
. D.
3
3
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Gọi
O
là tâm của hình lập phương. Ta có
O
cách đều 8 đỉnh của hình lập phương, nên
O
là tâm
mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương.
Bán kính mặt cầu
2 2 2 2 2
1 1 3
2 2 2 2
AC a
R OA AA A C AA A B B C
Thể tích khối cầu
3
3
4 3
3 2
a
V R
.
Câu 214: Cho hình chóp .
S ABC
có
ABC
là tam giác vuông cân tại
B
,
2
AB BC a
, cạnh
SA
vuông
góc với mặt phẳng
ABC
,
2 2
SA a
. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp .
S ABC
theo
a
.
A.
2
8
a
. B.
2
4
a
. C.
2
64
a
. D.
2
16
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
O
I
M
D
C
B
A
S
O
A
B
D
C
D'
C'
B'A'
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 51
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Có
90
CB AB
CB SAB CB SB SBC
CB SA
Mặt khác:
90
SA AC SAC
Suy ra:
90
SBC SAC
do đó mặt cầu đường kính
SC
là mặt cầu ngoại tiếp .
S ABC
.
Xét tam giác vuông
ABC
ta có:
2 2 2 2
8
AC AB BC a
Xét tam giác vuông
SAC
ta có:
2 2 2 2 2 2
8 8 16 4
SC SA AC a a a SC a
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp .
S ABC
là:
2
2
SC
R a
.
Diện tích mặt cầu là:
2 2
4 16
S R a
Câu 215: Cho hình chóp có đáy .
S ABCD
là hình vuông cạnh
a
. Tam giác
SAB
đều và nằm trong mặt
phẳng vuông góc với
ABCD
. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .
S ABCD
bằng:
A.
2
7
3
a
. B.
2
3
2
a
. C.
2
2
3
a
. D.
2
5
3
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Gọi
O AC BD
,
H
là trung điểm của
AB
;
OI
và
IG
lần lượt là trục đường tròn ngoại tiếp
hình vuông
ABCD
và tam giác
SAB
.
3 3
, ,
2 6 3
a a a
OH HG IH ,
2 2
21
6
a
R AH IH .
Diện tích mặt cầu
2
2
7
4
3
a
S R
.
Câu 216: Cho tứ diện
OABC
có
OA
,
OB
,
OC
đôi một vuông góc nhau và
,
OA a
2 ,
OB a
3 .
OC a
Diện tích của mặt cầu
S
ngoại tiếp hình chóp .
S ABC
bằng
A.
2
14 .
S a
B.
2
12 .
S a
C.
2
10 .
S a
D.
2
8 .
S a
Hướng dẫn giải
Chọn A
Gọi
M
là trung điểm của
BC
.
I
O
H
B
A
C
D
S
G
A
B
C
S
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 52
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Khi đó ,
Mx
là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác
OBC
Gọi N là trung điểm của
AO
.
Trong
,
OA Mx
, dựng đường trung trực
Ny
của
OA
Gọi
I Ny Mx
.
Khi đó , I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ diện
OABC
.
Có :
1 13
2 2
a
OM BC
.
2 2
14
2
a
R OI OM ON
Diện tích của mặt cầu :
2 2
4 14
S R a
Câu 217: Cho hình chóp .
S ABC
có đáy là tam giác vuông tại
A
,
AB a
,
2
AC a
. Mặt bên
SAB
,
SCA
lần lượt là các tam giác vuông tại
B
,
C
. Biết thể tích khối chóp .
S ABC
bằng
3
2
3
a
. Bán
kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .
S ABC
?
A.
R a
. B.
3
2
a
R . C.
3
2
a
R
. D.
2
R a
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Gọi
H
là hình chiếu của
S
trên mặt phẳng
ABC
thì
SH
là đường cao của hình chóp.
Mặt khác thể tích khối chóp .
S ABC
bằng
3
2
3
a
nên ta có
1 1
.
3 2
AB SH
3
2
3
a
2
SH a
.
Dễ thấy năm điểm
A
,
B
,
H
,
C
,
S
cùng thuộc mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .
S ABC
.
Mặt khác
A
,
B
,
H
,
C
cùng thuộc một mặt phẳng nên tứ giác
ABHC
nội tiếp đường tròn.
Mà
0
90
BAC
0
90
BHC
5
2 2
BC a
HM
2 2
SM HM SH
21
2
a
.
Áp dụng công thức đường trung tuyến ta có:
2 2 2
2
2 4
SB SC BC
SM
2 2 2
2
2 4
SB SC BC
SM
2
13
2
a
.(1)
2 2 2
2 2
2 4
CA SC SA
R CI
2 2
2 2
4
2
a SC
R R
. (2)
2 2 2
2 2
2 4
BA SB SA
R BI
2 2
2 2
2
a SB
R R
. (3)
Từ(1), (2), (3) ta có
2 2 2 2
2
4
4
2 2
a SB a SC
R
2 2 2
5
2 2
a SB SC
2 2
5 13
2 2
a a
2
9
a
.
3
2
a
R .
M
H
I
C
B
A
S
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 53
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 218: Hình chóp tứ giác .
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh
a
. Tam giác
SAB
vuông cân tại
S
và tam giác
SCD
đều. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .
S ABCD
.
A.
7
12
R a . B.
3
a
R . C.
3
4
R a . D.
2
a
R
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Gọi
I
,
K
lần lượt là trung điểm của
AB
và
CD
,
O
là tâm của hình vuông
ABCD
,
H
là hình
chiếu của
S
trên
IK
. Ta có:
AB SI
AB SIK
AB IK
SH AB
SH ABCD
SH IK
.
Qua
O
dựng đường thẳng song song với
SH
cắt
SK
tại
J
.
Mặt khác ta có:
1
2 2
a
SI AB
,
3
2
a
SK
2 2 2 2
SK SI a HK
SIK
vuông ở
S
SK SAB
.
Qua
I
dựng đường thẳng song song với
SK
cắt
OJ
tại
M
. Khi đó, điểm
M
là tâm của mặt cầu
ngoại tiếp hình chóp .
S ABCD
.
Theo cách dựng ở trên thì tứ giác
IJKM
là hình bình hành
MB JB
.
Lại có:
1
tan
3
SI
OKJ
SK
.tan
2 3
a
JO OK OKJ .
2
2 2 2
7
12
a
JB JO OB
7
12
JB a .
Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp bằng
7
12
a .
M
J
H
K
O
I
D
C
B
A
S
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 54
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 219: Cho hình chóp .
S ABC
có đáy
ABC
là tam giác đều cạnh
a
, cạnh bên
SA
vuông góc với mặt
phẳng đáy. Gọi
1
B
,
1
C
lần lượt là hình chiếu của
A
trên
SB
,
SC
. Tính theo
a
bán kính
R
của
mặt cầu đi qua năm điểm
A
,
B
,
C
,
1
B
,
1
C
.
A.
3
2
a
R
B.
3
4
a
R
C.
3
3
a
R
D.
3
6
a
R
Hướng dẫn giải
Chọn C
Đặt
SA x
, gọi
I
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC
,
H
là hình chiếu của
1
B
trên
cạnh
AB
,
M
là trung điểm của
AB
.
Ta có
2
1
.
SA SB SB
2 2
1
2 2 2
SB SA x
SB SB a x
, tương tự ta cũng có
2 2
1
2 2 2
SC SA x
SC SC a x
.
Suy ra
1 1
/ /
BC BC
,
1
/ /
B H SA
nên
2
1 1
2 2
BB HB BH a
SB SA AB x a
,
2
2 2
.
a x
HB
x a
.
Ta chỉ cần chứng minh
1
3
3
a
IA IB
. Giả sử
x a
(
x a
ta làm tương tự).
Khi đó
2
2 2
.
2
a x a
HB BM
x a
, suy ra
2
2 2
.
2
a x a
HM
x a
2 2
2 2
2
a x a
x a
2 2 2
1 1
IB HI B H
2
2 2 2
1
3
a
HM IM B H
.
Vậy
1 1
3
3
a
IA IB IC IB IC
là bán kính mặt cầu đi qua năm điểm
A
,
B
,
C
,
1
B
,
1
C
.
Câu 220: Cho hình chóp
.
S ABC
có đáy
ABC
là tam giác vuông cân tại
B
với
3
AB BC a
,
góc
0
90
SAB SCB
và khoảng cách từ
A
đến mặt phẳng
SBC
bằng
2
a
. Tính diện
tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
.
S ABC
.
A.
2
8
a
.
B.
2
12
a
. C.
2
2
a
. D.
2
16
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Gọi
D
là điểm sao cho
ABCD
là hình vuông.
Có
AB SAD
nên
SD AB
.
H
I
M
S
B
C
A
B
1
C
1
2
1
2 2
xa
HB
x a
1
3
3
a
IB IA
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 55
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Có
BC SDC
nên
SD BC
.
Nên
SD ABCD
.
Kẻ
DH SC H SC
. Khi đó
, , 2
d A SBC d D SBC DH a
.
Trong
SDC
vuông có
DH
là đường cao:
2 2 2
1 1 1
DH SD DC
suy ra
6
SD a
.
Suy ra
2 2
3
SC SD DC a
và
2 2
2 3
SB SC BC a
.
Gọi
I
là trung điểm
SB
suy ra
3
2
SB
IS IA IB IC a r
.
Suy ra
2 2
4 12
S r a
.
Câu 221: Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng
a
, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng
45
. Mặt
cầu ngoại tiếp hình chóp có bán kính là
A.
3
5
a
B.
3
2
a
C.
3
3
a
D.
3
4
a
Hướng dẫn giải
Chọn B
Do .
S ABC
là hình chóp đều nên hình chiếu của
S
trên mặt đáy
ABC
là trọng tâm
H
của tam
giác đều
ABC
.
Suy ra, góc giữa cạnh bên
SA
và mặt đáy là góc
SAH
. Theo giả thuyết
45
SAH
nên
3
.
3
a
SH AH
Gọi
N
là trung điểm
SA
. Trong
SAH
, đường trung trực cạnh
SA
cắt
SH
tại
I
.
Suy ra
IS IA IB IC
nên
I
là tâm mặt cầu ngoại tiếp .
S ABC
.
Ta có :
. .
SN SA SI SH
bán kính mặt cầu
R SI
2
3
2 2
SA a
SH
.
Câu 222: Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?
A. Hình chóp có đáy là hình tứ giác thì có mặt cầu ngoại tiếp.
B. Hình chóp có đáy là hình thang thì có mặt cầu ngoại tiếp.
C. Hình chóp có đáy là hình thang cân thì có mặt cầu ngoại tiếp.
D. Hình chóp có đáy là hình bình hành thì có mặt cầu ngoại tiếp.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Một hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp khi và chỉ khi đáy của nó là một đa giác nội tiếp được
đường tròn.
45°
M
N
I
H
C
B
S
A
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 56
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Như vậy đáy là hình bình hành, hình tứ giác, hình thang bất kỳ chưa chắc đã nội tiếp được một
mặt cầu nên đáp án A, B,C (loại).
Câu 223: Cho hình chóp .
S ABC
có
3
AB
. Hình chiếu của
S
lên mặt phẳng
ABC
là điểm
H
thuộc
miền trong tam giác
ABC
sao cho
120
AHB
. Tính bán kính
R
của mặt cầu ngoại tiếp hình
chóp .
S HAB
, biết
4 3
SH .
A.
15
R . B.
2 3
R . C.
5
R . D.
3 5
R .
Hướng dẫn giải
Chọn A
Gọi
O
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
AHB
và
r
là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam
giác
AHB
. Áp dụng định lí sin trong tam giác
AHB
ta có
2
sin
AB
r
AHB
3
2sin
AB
r
AHB
.
Qua
O
dựng đường thẳng
d
vuông góc với mặt phẳng
AHB
. Gọi
M
là trung điểm của
SH
.
Trong mặt phẳng
SHO
đựng đường trung trực của đoạn
SH
cắt
d
tại
I
. Khi đó
I
là tâm của
mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .
S HAB
và có bán kính là
2 2
HI OI HO
2 2
2 3 3
15
.
Câu 224: Cho hình lăng trụ tam giác đều .
ABC A B C
có
9
cạnh bằng nhau và bằng
2
a
. Tính diện tích
S
của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đã cho.
A.
2
7
9
a
S
. B.
2
28
9
a
S
. C.
2
28
3
a
S
. D.
2
7
3
a
S
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 57
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
.
Gọi
,
G G
lần lượt là trọng tâm của 2 tam giác đều
ABC
và
.
A B C
Gọi
I
là trung điểm
GG
. Khi đó
I
là tâm của mặt cầu ngoại tiếp.
hình lăng trụ. Ta có
2
2 2 2
2 3 21
.
3 3
a a
R AI AG GI a
Vậy
2
2
21 28
4 .
3 3
a a
S
Câu 225: Cho hình chóp tam giác .
S ABC
, đáy
ABC
là tam giác vuông tại
A
và
4
BC a
. Cạnh bên
3
SA a
và vuông góc với đáy. Diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp đó
(Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là mặt cầu chứa đỉnh hình chóp và tất cả các đỉnh của đa giác đáy
của hình chóp, khối cầu tương ứng gọi là khối cầu ngoại tiếp hình chóp) bằng
A.
2 3
25 125
;
4 6
a a
. B.
3 3
25 125
;
4 6
a a
. C.
3
2
125
25 ;
6
a
a
. D.
3
2
125
25 ;
3
a
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Gọi
H
là trung điểm của
BC
,
K
là trung điểm của
SA
.
Qua
H
dựng đường thẳng
ABC SA
.
Qua
K
dựng đường thẳng
SA AH
.
Lúc đó tâm của mặt cầu ngoại tiếp là
I
.
Xét tam giác
IHA
vuông tại
H
ta có:
2 2
2 2
5
2 2 2
SA BC a
r IA IH AH
.
Diện tích hình cầu:
2 2
4 25
S r a
.
Thể tích khối cầu:
3
3
4 125
3 6
a
V r
.
Δ
/
K
H
Δ
3a
4a
I
C
B
A
S
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 58
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 226: Cho hình hộp chữ nhật .ABCD A B C D
có AB a , 2AD a và 2AA a
. Tính bán kính R
của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABB C
.
A. 3R a . B.
3
4
a
R . C.
3
2
a
R
. D. 2R a .
Hướng dẫn giải
Chọn C
.
Ta có
90AB C ABC
nên mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABB C
có đường kính AC
. Do đó
bán kính là
2 2
2
1 3
2 2
2 2
a
R a a a .
Câu 227: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng
a
, SA vuông góc với đáy.
Biết SC tạo với mặt phẳng
ABCD một góc 45. Tính diện tích S của mặt cầu ngoại tiếp hình
chóp .S ABCD .
A.
2
4S a
. B.
2
6S a
. C.
2
12S a
. D.
2
8S a
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Gọi
I
là trung điểm
SC
. Do
90SAC SBC SDC nên
I
là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình
chóp
.S ABCD
.
Ta có:
, 45SC ABCD SCA
.
Suy ra: 2SA AC a . Do đó bán kính mặt cầu
1
2
R IA SC a
.
Diện tích mặt cầu:
2 2
4 4S R a
.
Câu 228: Cho lăng trụ đứng .ABC A B C
có cạnh bên bằng a, đáy ABC là tam giác cân tại A có
2AB AC a và
120BAC . Gọi M là trung điểm của AC , D là giao điểm khác B của
BM với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện .A BCD
A.
5
2
a
. B.
7
2
a
.
C.
13
2
a
.
D.
17
2
a
.
Hướng dẫn giải
2
a
2
a
a
C'
D'
B'
D
A
B
C
A'
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 59
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Chọn D
.
Gọi
E
là trung điểm của
BC
,
A
là điểm đối xứng của
A
qua
E
.
Vì
ABC
cân tại
A
có
2
AB AC a
và
120
BAC
nên
2
AA a
và
A
là tâm đường tròn
ngoại tiếp tam giác ABC.
Gọi
H
là trung điểm
AA
,
I
là giao điểm mặt phẳng trung trực của
AA
với đường thẳng
d
qua
A
và vuông góc
ABC
.
I
chính là tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
.
A BCD
.
Vì
AA IH
là hình chữ nhật nên
A H AI
.
Xét
AA H
vuông tại A ta có:
2
2 2 2
17
4
4 2
a
A H AA AH a a
.
Vậy:
17
.
2
a
r
Câu 229: Thể tích của một mặt cầu ngoại tiếp hình hộp lập phương có cạnh
2
a
là
A.
3
4 3
a
. B.
3
3
2
a
. C.
3
3
a
. D.
3
3
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Gọi
C
là mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương .
ABCD A B C D
cạnh
2
a
.
Bán kính mặt cầu là
2 . 3
3
2 2
AC a
R a
.
3 3
4
. 4 3
3
C
V R a
.
Câu 230: Cho hình chóp .
S ABCD
có đáy là hình vuông cạnh
2 2
, cạnh bên
SA
vuông góc với mặt
phẳng đáy và
3
SA
. Mặt phẳng
qua
A
và vuông góc với
SC
cắt cạnh
SB
,
SC
,
SD
lần
lượt tại các điểm
M
,
N
,
P
. Thể tích
V
của khối cầu ngoại tiếp tứ diện
CMNP
.
A.
108
3
V
. B.
64 2
3
V
. C.
125
6
V
. D.
32
3
V
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 60
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Theo giả thiết mặt phẳng
vuông góc với SC nên ta có AN SC , AP SC , AM SC .
Mặt khác
BC SAB nên
BC AM AM SBC AM MC .
Tương tự ta cũng chứng minh được AP PC .
Từ đó ba điểm M , N , P cùng nhìn AC dưới góc vuông nên bốn điểm C , M , N , P nằm trên
mặt cầu đường kính 4AC . Vậy thể tích của khối cầu ngoại tiếp tứ diện CMNP là
32
3
V
.
Câu 231: Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật có các kích thước
,2 ,4 0a a a a là
A.
2
21 a
. B.
2
843 a
. C.
2
7 a
. D.
2
21
4
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Gọi d là độ dài đường chéo của hình hộp chữ nhật. Ta có
2 2
2 2 2
2 4 21d a a a a .
Gọi , R V theo thứ tự là bán kính và thể tích hình cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật cho. Rõ ràng
2 2
2 4d R d R
. Thể tích khối cầu là
2 2 2 2
4 1 1
.21. 7
3 3 3
V R d a a
.
Vậy
2
7V a
(đvtt).
Câu 232: Cho hình chóp đều .S ABCD có cạnh đáy bằng 2a , góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng
o
45
.
Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp bằng
A.
2
6πa
B.
2
4πa
C.
2
4π
3
a
D.
2
16π
3
a
Hướng dẫn giải
Chọn B
Gọi O là tâm hình vuông ABCD .
S
A
B
C
D
M
P
N
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 61
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Ta có góc giữa cạnh bên và mặt đáy là góc
o
45
SAO
SO OA
2
2 2
AC AB
a
.
OA OB OC OD OS
nên
O
là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .
S ABCD
.
R OA a
. Vậy
2
4
π
S R
2
4
π
a
.
Câu 233: Tính thể tích của hình cầu ngoại tiếp hình lập phương .
ABCD A B C D
cạnh
a
.
A.
3
3
8
a
. B.
3
3
4
a
. C.
3
4
a
. D.
3
3
2
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Bán kính mặt cầu là .
ABCD A B C D
là
2
2
2 2
2 3
.
2 2 2 2
A A AC
AC a a a
R
.
Thể tích cần tìm là:
3
3
3
4 4 3 3
.
3 3 2 2
a a
V R
.
Câu 234: Cho hình chóp .
S ABCD
có đáy là hình vuông cạnh
2
a
, mặt bên
SAD
là tam giác cân tại
S
và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết thể tích khối chóp .
S ABCD
bằng
3
4
3
a
. Tính
thể tích
V
của khối cầu ngoại tiếp hình chóp .
S ABCD
.
A.
3
113
64
a
V
. B.
3
113 113
384
a
V
.
C.
3
113 113
84
a
V
. D.
3
113 113
48
a
V
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Gọi
,
H K
lần lượt là trung điểm của
,
AB CD
.
O
là tâm hình vuông.
J
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
SAD
.
I
là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .
S ABCD
.
Ta có:
2
2
ABCD
S a
,
3
.
4
2
3
S ABCD
a
V SH a
.
2 3 2
2 2
a a
AH SA
.
90
SA AD ASD J
thuộc đoạn SH.
Ta có:
2 2
sin
3
SH
SAH
AH
.
Mà
9
2
8
sin
SD a
SJ SJ
SAH
(định lí sin).
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 62
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
7
8
a
OI JH SH SJ
113
2 8
BD a
OD a R ID
.
Vậy
3
113 113
384
KC
a
V
.
Câu 235: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Hình chóp có đáy là hình bình hành thì có mặt cầu ngoại tiếp.
B. Hình chóp có đáy là tứ giác thì có mặt cầu ngoại tiếp.
C. Hình chóp có đáy là hình chữ nhật thì có mặt cầu ngoại tiếp.
D. Hình chóp có đáy là hình thang thì có mặt cầu ngoại tiếp.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Chú ý: Hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp khi và chỉ khi đáy của hình chóp là một đa giác nội tiếp.
Suy ra phương án C: Hình chóp có đáy là hình chữ nhật thì có mặt cầu ngoại tiếp là phương án
đúng.
Câu 236: Cho hình lăng trụ tam giác đều .
ABC A B C
có độ dài cạnh đáy bằng
a
và chiều cao bằng
.
h
Thể tích
V
của khối cầu ngoại tiếp lăng trụ đã cho là
A.
2 2 2
2
4
3 3 4 3
a h a
h
. B.
3
2 2
3 4 3
h a
.
C.
2
2
4
3
a
h
. D.
2
3
a h
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Lăng trụ tam giác đều là lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều.
K
I
o
H
D
C
A
B
S
J
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 63
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Gọi
,
G G
lần lượt là trọng tâm tam giác
ABC
và
A B C
. Vậy
GG
là trục các đường tròn
ngoại tiếp của các tam giác đáy.
Trong mặt phẳng
AA G G
, kẻ đường trung trực
d
tại trung điểm
M
của
AA
và cắt
'
GG
tại
I
.
Khi đó ta có
IA IA
.
Mà
I GG IA IB IC IA IB IC
.
Do đó mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ có tâm là
I
là bán kính là
IA
.
2 3 3
3 2 3
a a
IM GA
,
2
h
MA
.
Ta có
2 2
2 2
3 4
a h
IA IM MA
.
Vậy thể tích khối cầu là
3
3 2 2 2 2
3 2
4 4 4
3 3 3 4 3 3 4 3
a h a h a
V IA h
.
Câu 237: Tính diện tích
S
của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .
S ABC
có
6
SA
,
8
SB
,
10
SC
và
SA
,
SB
,
SC
đôi một vuông góc.
A.
200
S
. B.
150
S
. C.
100
S
. D.
400
S
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
2 2 2
1
2
SO SA SB SC
5 2
.
Diện tích mặt cầu
2
4 200
S R
.
Câu 238: Cho hình chóp .
S ABC
có
, 2
SA ABC SA a
, tam giác
ABC
cân tại
A
,
2 2
BC a
,
1
cos .
3
ACB
Tính diện tích
S
của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
. .
S ABC
A.
2
97
.
5
a
S
B.
2
97
.
4
a
S
C.
2
97
.
2
a
S
D.
2
97
.
3
a
S
Hướng dẫn giải
Chọn B
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 64
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Gọi
H
là trung điểm của
BC
2
2
BC
HC a
.
Do
ABC
cân tại
A
AH BC
.
1
cos 3 3 2
3
ACB AC HC AC a
.
2 2 2 2
18 2 4
AH AC HC a a a
.
Gọi
M
là trung điểm
AC
, trong mp
ABC
vẽ đường trung trực
AC
cắt
AH
tại
O
O
là tâm đường tròn ngoại tiếp
ABC
.
Ta có
1 1 2 2
cos sin cos
3 3 3
ACH CAH CAH
.
Trong
AMO
vuông tại
M
2
3
9
2
4
2 2
cos
3
a
AM a
AO
CAH
Gọi
N
là trung điểm
SA
. Trong mp
SAH
vẽ trung trực
SA
cắt đường thẳng qua
O
và vuông
góc mp
ABC
tại
I
. Chứng minh được
I
là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
. .
S ABC
Ta có
ANIO
là hình chữ nhật
đường chéo
2 2
2 2 2
81 97 97
16 16 4
a a
AI AO AN a a
.
Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .
S ABC
là
2
2 2
97 97
4 4
16 4
a
S R a
(đvdt).
Câu 239: Cho hình lăng trụ tam giác đều .
ABC A B C
có các cạnh đều bằng
a
. Tính diện tích
S
của mặt
cầu đi qua
6
đỉnh của hình lăng trụ đó.
A.
2
7
3
a
S
. B.
2
7
3
a
S
. C.
2
49
144
a
S
. D.
2
49
144
a
S
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
M
S
B
C
A
I
O
N
H
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 65
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Gọi mặt cầu đi qua 6 đỉnh của lăng trụ là
S
tâm
I
, bán kính
R
.
Do
IA IB IC IA IB IC R
hình chiếu của
I
trên các mặt
ABC
,
A B C
lần
lượt là tâm
O
của
ABC
và tâm
O
của
A B C
.
Mà .
ABC A B C
là lăng trụ đều
I
là trung điểm của
OO
2 2 2
OO AA a
OI
.
Do
O
là tâm tam giác đều
ABC
cạnh
a
2 2 3 3
3 3 2 3
a a
AO AH
.
Trong tam giác vuông
OAI
có:
2
2
2 2
3 21
2 3 6
a a a
R IA IO OA
.
Diện tích của mặt cầu là:
2 2
2
21 7
4 4 .
36 3
a a
S R
.
A
C
B
H
I
O
O
A
C
B
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 1
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
TỔNG HỢP NÓN-TRỤ-CẦU
Câu 1: Cho hình thang cân
ABCD
có các cạnh đáy
2
AB a
,
4
CD a
và cạnh bên
3
AD BC a
. Tính
theo
a
thể tích
V
của khối tròn xoay thu được khi quay hình thang cân
ABCD
xung quanh trục
đối xứng của nó.
A.
3
4
3
V a
. B.
3
4 10 2
3
V a
.
C.
3
10 2
3
V a
. D.
3
14 2
3
V a
.
Câu 2: Bên trong hình vuông cạnh
a
, dựng hình sao bốn cánh đều như hình vẽ bên (các kích thước cần thiết
cho như ở trong hình). Tính thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình sao đó quanh trục
Oy
.
A.
3
8
a
. B.
3
5
16
a
. C.
3
6
a
. D.
3
5
48
a
.
Câu 3: Một hình trụ tròn xoay bán kính
1
R
. Trên hai đường tròn đáy
O
và.
O
. lấy
A
và
B
sao cho
2
AB
. Góc giữa
AB
và trục
OO
bằng
0
30
.
Xét hai khẳng định sau:
.
(I) Khoảng cách giữa
OO
và
AB
bằng
3
2
.
(II) Thể tích của khối trụ là
3
V
.
Kết luận nào sau đây là đúng?
A. Chỉ (I) đúng. B. Cả (I) và (II) đều sai.
C. Cả (I) và (II) đều đúng. D. Chỉ (II) đúng.
Câu 4: Cho hình trụ có hai đáy là các hình tròn
O
,
O
bán kính bằng
a
, chiều cao hình trụ gấp hai lần
bán kính đáy. Các điểm
A
,
B
tương ứng nằm trên hai đường tròn
O
,
O
sao cho
6.
AB a
Tính thể tích khối tứ diện
ABOO
theo
a
.
A.
3
.
3
a
B.
3
5
.
3
a
C.
3
2
3
a
D.
3
2 5
.
3
a
Câu 5: Trong không gian, cho hai điểm
A
,
B
cố định, phân biệt và điểm
M
thay đổi sao cho diện tích tam
giác
MAB
không đổi. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng ?
A. Tập hợp các điểm
M
là một mặt trụ. B. Tập hợp các điểm
M
là một mặt nón.
C. Tập hợp các điểm
M
là một mặt cầu. D. Tập hợp các điểm
M
là một mặt phẳng.
Câu 6: Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi quay mô hình (như hình vẽ) quanh trục
DF
.
R
1
2
O
'
O
B
A
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 2
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
.
A.
3
3
a
. B.
3
10
9
a
. C.
3
10
7
a
. D.
3
5
2
a
.
Câu 7: Cho hình thang vuông tại
A
và
B
với
2 2 2
AD AB BC a
. Quay hình thang và miền trong của
nó quanh đường thẳng chứa cạnh
BC
. Tính thể tích
V
của khối tròn xoay được tạo thành.
A.
3
5
3
a
V
B.
3
7
3
a
V
C.
3
4
3
a
V
D.
3
V a
Câu 8: Cho tam giác vuông cân
ABC
có
2
AB AC a
và hình chữ nhật
MNPQ
với 2
MQ MN
được
xếp chồng lên nhau sao cho
M
,
N
lần lượt là trung điểm của
AB
,
AC
(như hình vẽ). Tính thể
tích
V
của vật thể tròn xoay khi quay mô hình trên quanh trục
AI
, với
I
là trung điểm
PQ
.
A.
3
11
8
a
V
. B.
3
17
24
a
V
. C.
3
11
6
a
V
. D.
3
5
6
a
V
.
Câu 9: Trong mặt phẳng cho góc
xOy
. Một mặt phẳng
P
thay đổi và vuông góc với đường phân giác trong
của góc
xOy
cắt
,
Ox Oy
lần lượt tại
,
A B
. Trong
P
lấy điểm
M
sao cho
90
AMB . Mệnh
đề nào sau đây là đúng ?
A. Điểm
M
chạy trên một mặt nón. B. Điểm
M
chạy trên một mặt trụ.
C. Điểm
M
chạy trên một đường tròn. D. Điểm
M
chạy trên một mặt cầu.
Câu 10: Cho lục giác đều
ABCDEF
có cạnh bằng
4
. Quay lục giác đều đó quanh đường thẳng
AD
. Tính
thể tích
V
của khối tròn xoay được sinh ra
A.
64
V
. B.
128
V
. C.
32
V
. D.
16
V
.
Câu 11: Cho hình vuông
ABCD
cạnh
a
. Gọi
N
là điểm thuộc cạnh
AD
sao cho
2
AN DN
. Đường thẳng
qua
N
vuông góc với
BN
cắt
BC
tại
K
. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay tứ giác
ANKB
quanh trục
BK
bằng
A.
3
6
7
V a
B.
3
3
2
V a
C.
3
4
3
V a
D.
3
7
6
V a
Câu 12: Trong mặt phẳng cho một hình lục giác đều cạnh bằng
2
. Tính thể tích của hình tròn xoay có được
khi quay hình lục giác đó quanh đường thẳng đi qua hai đỉnh đối diện của nó.
A.
6
. B.
8
. C.
. D.
2
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 3
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 13: Cho hình trụ có bán kính
r
. Gọi
,
O,O
là tâm của hai đáy với
,
2
OO r
. Một mặt cầu
S
tiếp xúc
với hai đáy của hình trụ tại
,
O,O
. Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào sai?
A. Diện tích mặt cầu bằng diện tích xung quanh của hình trụ.
B. Diện tích mặt cầu bằng
2
3
diện tích toàn phần của hình trụ.
C. Thể tích khối cầu bằng
3
4
thể tích khối trụ.
D. Thể tích khối cầu bằng
2
3
thể tích khối trụ.
Câu 14: Cho khối cầu tâm
I
, bán kính
R
không đổi. Một khối nón có chiều cao
h
và bán kính đáy
r
, nội
tiếp khối cầu. Tính chiều cao
h
theo bán kính
R
sao cho khối nón có thể tích lớn nhất.
A.
4
h R
. B.
4
3
R
h . C.
4
R
h
. D.
3
4
R
h .
Câu 15: Cho hình trụ
T
có bán kính đáy
R
, trục
OO
bằng
2
R
và mặt cầu
S
đường kính
.
OO
Tỉ số
diện tích mặt cầu và diện tích xung quanh của hình trụ bằng:
A.
2
. B.
1
2
. C.
1
3
. D.
1
.
Câu 16: Cho một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn
;
O R
,
;
O R
với
3
OO R
và một hình nón có
đỉnh
O
là đáy là hình tròn
;
O R
. Kí hiệu
1
S
,
2
S
lần lượt là diện tích xung quanh của hình trụ
và hình nón. Tính
1
2
S
k
S
.
A.
1
3
k
. B.
1
2
k
. C.
2
k . D.
3
k .
Câu 17: Cho hình thang cân
ABCD
có đáy nhỏ
1
AB
, đáy lớn
3
CD
, cạnh bên
2
AD
quay quanh
đường thẳng
AB
. Tính thể tích
V
của khối tròn xoay tạo thành.
A.
5
3
V
. B.
3
V
. C.
4
3
V
. D.
7
3
V
.
Câu 18: Cho hình nón có độ dài đường kính đáy là
2
R
, độ dài đường sinh là
17
R
và hình trụ có chiều
cao và đường kính đáy đều bằng
2
R
, lồng vào nhau như hình vẽ.Tính thể tích phần khối trụ không
giao với khối nón
A.
3
1
3
R
. B.
3
4
3
R
. C.
3
5
6
R
. D.
3
5
12
R
.
Câu 19: Cho hình nón có bán kính đường tròn đáy bằng
a
. Thiết diện qua trục hình nón là một tam giác cân
có góc ở đáy bằng
45
. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình nón.
A.
3
1
3
a
B.
3
8
3
a
C.
3
4
3
a
D.
3
4
a
Câu 20: Cho một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn với và một hình nón có
đỉnh và đáy là hình tròn . Kí hiệu lần lượt là diện tích xung quanh của hình trụ và
hình nón. Tính .
A. . B. . C. . D. .
Câu 21: Cắt hình nón đỉnh
S
cho trước bởi mặtphẳng đi qua trục
SO
của nó ta được một tam giác vuông
cân có cạnh bên độ dài bằng
a
. Tính diện tích của mặt cầu nội tiếp hình nón đã cho.
; , ;
O R O R
3
OO R
O
;
O R
1 2
,
S S
1
2
S
k
S
2
k
3
k
1
3
k
1
2
k
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 4
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
2
2
a
. B.
2
4
3
a
. C.
2
2 3 2 2
a
. D.
2
2 3 2 2
a
.
Câu 22: Cho hình thang cân
ABCD
có
2
AB
,
4
CD
và diện tích bằng
6
. Quay hình thang và miền
trong của nó quanh đường thẳng chứa cạnh
CD
. Tính thể tích
V
của khối tròn xoay được tạo
thành.
A.
32
3
V
. B.
8
3
V
. C.
40
3
V
. D.
28
3
V
.
Câu 23: Cho hình trụ tròn xoay, đáy là 2 đường tròn
C
tâm
O
và
’
C
tâm
’
O
. Xét hình nón tròn xoay có
đỉnh
’
O
và đáy là đường tròn
C
. Xét hai mệnh đề sau:
(I) Nếu thiết diện qua trục của hình nón là tam giác đều
’
O AB
thì thiết diện qua trục của hình trụ
là hình vuông
’ ’
ABB A
.
(II) Nếu thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông
’ ’
ABB A
thì thiết diện qua trục của hình
nón là tam giác
’
O AB
vuông cân tại
’
O
.
Hãy Chọn Câu đúng.
A. Cả 2 Câu đúng. B. Cả 2 sai. C. Chỉ (I). D. Chỉ (II).
Câu 24: Cho hình trụ có bán kính đáy
1
r
nội tiếp trong hình cầu bán kính
r
không đổi. Xác định bán kính
1
r
theo
r
để hình trụ có thể tích lớn nhất.
A.
1
6
3
r r
. B.
1
2
3
r r
. C.
1
6
2
r r
. D.
1
6
6
r r
.
Câu 25: Một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn
,
O R
và
',
O R
;
' 3
OO a
Một hình nón có đỉnh là
'
O
và đáy là hình tròn
,
O R
. Gọi
1
S
,
2
S
lần lượt là diện tích xung quanh của hình trụ và hình nón.
Tính tỉ số
1
2
S
S
.
A.
1
2
3
3
S
S
. B.
1
2
3
S
S
. C.
1
2
1
3
S
S
. D.
1
2
3
S
S
.
Câu 26: Cho hình nón tròn xoay
N
có đỉnh
S
và đáy là hình tròn tâm
O
bán kính
r
nằm trên mặt phẳng
,
P
đường cao
.
SO h
Điểm
O
thay đổi trên đoạn
SO
sao cho
SO x
0 .
x h
Hình trụ
tròn xoay
T
có đáy thứ nhất là hình tròn tâm
O
bán kính
r
0
r r
nằm trên mặt phẳng
,
P
đáy thứ hai là hình tròn tâm
O
bán kính
r
nằm trên mặt phẳng
Q
,
Q
vuông góc với
SO
tại
O
(đường tròn đáy thứ hai của
T
là giao tuyến của
Q
với mặt xung quanh của
.
N
Hãy xác định giá trị của
x
để thể tích phần không gian nằm phía trong
N
nhưng phía ngoài của
T
đạt giá trị nhỏ nhất.
A.
2
3
x h
. B.
1
4
x h
. C.
1
3
x h
. D.
1
2
x h
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 5
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 27: Cho hai mặt cầu , có cùng bán kính thỏa mãn tính chất: tâm của thuộc và
ngược lại. Tính thể tích phần chung của hai khối cầu tạo bởi và .
A. . B. . C. . D. .
Câu 28: Một hình thang cân
ABCD
có đáy nhỏ
1
AB
, đáy lớn
3
CD
, cạnh bên
2
BC AD . Cho hình
thang
ABCD
quay quanh
AB
ta được khối tròn xoay có thể tích là:
A.
3
V
. B.
8
3
V
. C.
7
3
V
. D.
2
V
.
Câu 29: Một hình trụ có diện tích xung quanh bằng
S
, diện tích đáy bằng diện tích một mặt cầu bán kính
a
. Khi đó, thể tích của hình trụ bằng:
A.
1
2
Sa
. B.
1
3
Sa
. C.
Sa
. D.
1
4
Sa
.
Câu 30:
Khẳng định nào sau đây sai?
A. Khối trụ có chiều cao
h
, đường kính đáy
R
thì có thể tích bằng
2
R h
B. Khối nón có chiều cao
h
, bán kính đáy
R
thì có thể tích bằng
2
1
3
R h
C. Diện tích của mặt cầu có bán kính
R
bằng
2
4
R
D. Gọi
S
,
V
lần lượt là diện tích mặt cầu và thể tích của khối có bán kính
R
. Nếu coi
S
,
V
là
các hàm số của biến
R
thì
V
là một nguyên hàm của
S
trên khoảng
0;
Câu 31: Cho hình lập phương .
ABCD A B C D
có
O
và
O
lần lượt là tâm của hình vuông
ABCD
và
A B C D
. Gọi
1
V
là thể tích khối nón tròn xoay có đỉnh là trung điểm của
OO
và đáy là đường
tròn ngoại tiếp hình vuông
ABCD
;
2
V
là thể tích khối trụ tròn xoay có hai đáy là hai đường tròn
nội tiếp hình vuông
ABCD
và
A B C D
. Tỉ số thể tích
1
2
V
V
là
A.
1
3
B.
1
4
C.
1
6
D.
1
2
Câu 32: Một hình nón có góc ở đỉnh bằng
2 17
nội tiếp trong một hình cầu. Biết thể tích khối nón bằng
5 2
4
. Tính thể tích khối cầu.
A.
2
. B.
2
3
. C.
32
3
. D.
8
3
.
Câu 33: Thể tích khối chỏm cầu bán kính
R
, chiều cao
.
3
R
h bằng
A.
3
8
R .
9
h
B.
3
8
R .
27
h
C.
3
8
R .
81
h
D.
3
4
R .
3
h
Câu 34: Một hình trụ có đường kính đáy bằng chiều cao và nội tiếp trong mặt cầu bán kính
R
. Diện tích
xung quanh của hình trụ bằng:
A.
2
2
R
. B.
2
4
R
. C.
2
2 2
R
. D.
2
2
R
.
Câu 35: Cho hình cầu
S
tâm
I
, bán kính
R
không đổi. Một hình trụ có chiều cao
h
và bán kính đáy
r
thay đổi nội tiếp hình cầu. Tính chiều cao
h
theo
R
sao cho diện tích xung quanh của hình trụ lớn
nhất.
A.
2
h R . B.
h R
. C.
2
R
h
. D.
2
2
R
h
.
Câu 36: Xét hình trụ
T
có bán kính
R
, chiều cao
h
thoả mãn
2 3
R h
.
N
là hình nón có bán kính
1
S
2
S
R
1
S
2
S
V
1
( )
S
2
( )
S
3
2
5
R
V
3
V R
3
2
R
V
3
5
12
R
V
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 6
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
đáy
R
và chiều cao gấp đôi chiều cao của
T
. Gọi
1
S
và
2
S
lần lượt là diện tích xung quanh
của
T
và
N
, khi đó
1
2
S
S
bằng
A.
2
3
. B.
3
4
. C.
4
3
. D.
1
2
.
Câu 37: Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Đoạn thẳng nối hai điểm cùng thuộc một mặt cầu là một đường kính của mặt cầu đó.
B. Khoảng cách giữa hai đáy của một hình trụ bằng chiều cao của hình trụ đó.
C. Nếu mặt phẳng cắt mặt cầu thì giao tuyến của chúng là một đường tròn lớn của mặt cầu đó.
D. Độ dài đoạn thẳng nối hai điểm thuộc hai đường tròn đáy của một hình trụ bằng độ dài đường
sinh của hình trụ đó.
Câu 38: Khi cắt mặt cầu
,
S O R
bởi một mặt kính, ta được hai nửa mặt cầu và hình tròn lớn của mặt kính
đó gọi là mặt đáy của mỗi nửa mặt cầu. Một hình trụ gọi là nội tiếp nửa mặt cầu
,
S O R
nếu một
đáy của hình trụ nằm trong đáy của nửa mặt cầu, còn đường tròn đáy kia là giao tuyến của hình trụ
với nửa mặt cầu. Biết
1
R
,tính bán kính đáy
r
và chiều cao
h
của hình trụ nội tiếp nửa mặt cầu
,
S O R
để khối trụ có thể tích lớn nhất.
A.
6 3
,
3 3
r h
. B.
6 3
,
2 2
r h
. C.
3 6
,
3 3
r h
. D.
3 6
,
2 2
r h
.
Câu 39: Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi quay mô hình (như hình vẽ) quanh trục
DF
A.
3
5
2
a
. B.
3
3
a
. C.
3
10
9
a
. D.
3
10
7
a
.
Câu 40: Cho hình nón có bán kính đáy bằng
6
, chiều cao bằng
8
. Biết rằng có một mặt cầu tiếp xúc với tất
cả các đường sinh của hình nón, đồng thời tiếp xúc với mặt đáy của hình nón. Tính bán kính mặt
cầu đó.
A.
1,75
. B.
4,25
. C.
3
. D.
5
.
Câu 41: Một hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông, diện tích xung quanh bằng
4
. Diện tích mặt cầu
ngoại tiếp hình trụ là
A.
8
B.
10
C.
6
D.
12
Câu 42: Cho tam giác
ABC
có
45
ABC
,
30
ACB
,
2
2
AB
. Quay tam giác
ABC
xung quanh cạnh
BC
ta được khối tròn xoay có thể tích
V
bằng:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 7
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
3 1 3
2
V
. B.
1 3
24
V
.
C.
1 3
8
V
. D.
1 3
3
V
.
Câu 43: Cho hai hình vuông có cùng cạnh bằng 5 được xếp chồng lên nhau sao cho đỉnh
X
của một hình vuông là tâm của hình vuông còn lại (như hình vẽ). Tính thể
tích
V
của vật thể tròn xoay khi quay mô hình trên xung quanh trục
XY
.
A.
125 5 4 2
24
V . B.
125 2 2
4
V .
C.
125 1 2
6
V . D.
125 5 2 2
12
V .
Câu 44: Một hình trụ có chiều cao bằng bán kính đáy. Hình nón có đỉnh là tâm đáy trên của hình trụ
và đáy là hình trong đáy dưới của hình trụ. Gọi
1
V
là thể tích của hình trụ,
2
V
là thể tích của hình
nón. Tính tỉ số
1
2
V
V
.
A.
2
. B.
3
C.
2 2
. D.
2
2
Câu 45: Cho hình chữ nhật
ABCD
và nửa đường tròn đường kính
AB
như hình vẽ. Gọi
,
I J
lần lượt là
trung điểm của ,
AB CD
. Biết
4; 6
AB AD
Thể tích
V
của vật thể tròn xoay khi quay mô hình
trên quanh trục
IJ
là:
.
A.
88
3
V
. B.
104
3
V
. C.
40
3
V
. D.
56
3
V
.
Câu 46: Cho hình vuông
ABCD
cạnh
a
. Gọi
N
là điểm thuộc cạnh
AD
sao cho
2
AN DN
. Đường thẳng
qua
N
vuông góc với
BN
cắt
BC
tại
K
. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay tứ giác
ANKB
quanh trục
BK
bằng
A.
3
7
6
V a
B.
3
6
7
V a
C.
3
3
2
V a
D.
3
4
3
V a
Câu 47: Cho hình vuông
ABCD
có cạnh bằng
1 .
m
Gọi
M
là trung điểm của
,
AB
N
thuộc cạnh
BC
thỏa
mãn
2 .
NC NB
Gọi
V
là thể tích khối tròn xoay khi quay đa giác
ADCNM
quanh trục
.
BC
Tính
.
V
.
3
35
36
V m
.
A.
3
5
6
V m
. B.
3
17
18
V m
.
A
D
C
B
I
J
X
Y
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 8
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
C.
3
11
12
V m
. D. .
Câu 48: Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn
O
và
O
, chiều cao
3
R
và bán kính đáy
R
. Một hình nón có đỉnh là
O
và đáy là hình tròn
;
O R
. Tỷ số diện tích xung quanh của hình
trụ và hình nón bằng
A.
2
. B.
3
. C.
3
. D.
2
.
Câu 49: Có một hộp nhựa hình lập phương, người ta bỏ vào hộp đó 1 quả bóng đá. Tính tỉ số
1
2
V
V
, trong đó
1
V
là thể tích của quả bóng đá,
2
V
là thể tích của chiếc hộp đựng bóng. Biết các mặt của hình lập
phương tiếp xúc với quả bóng.
A.
1
2
8
V
V
.
B.
1
2
4
V
V
.
C.
1
2
2
V
V
.
D.
1
2
6
V
V
.
Câu 50: Cho một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn
;
O R
, với
3
OO R
và một hình nón có đỉnh
O
và đáy là hình tròn
;
O R
. Kí hiệu
1
S
,
2
S
lần lượt là diện tích xung quanh của hình trụ và hình
nón. Tính
1
2
S
k
S
.
A.
3
k
. B.
2
k
. C.
1
2
k
. D.
1
3
k
.
Câu 51: Trong mặt phẳng
P
cho hình vuông
MNPQ
có cạnh bằng 7 và hình tròn
C
có tâm
M
, đường
kính bằng
14
. Tính thể tích
V
của vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay mô hình trên quanh
trục là đường thẳng
PM
.
.
A.
343 6 2
6
V
. B.
343 4 3 2
6
V
.
C.
343 12 2
6
V
. D.
343 7 2
6
V
.
Câu 52: Một hình trụ có trục
OO
chứa tâm của một mặt cầu bán kính
R
, các đường tròn đáy của hình trụ
đều thuộc mặt cầu trên, đường cao của hình trụ đúng bằng
R
. Tính thể tích
V
của khối trụ?
M
C
D
A
B
N
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 9
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
3
3
4
R
V
. B.
3
V R
. C.
3
4
R
V
. D.
3
3
R
V
.
Câu 53: Cho hình trụ có hai đáy là hình tròn
O
và
O
, chiều cao
3
R
, bán kính đáy
R
và hình nón có
đỉnh là
O
, đáy là hình tròn
; .
O R
Tính tỉ số giữa diện tích xung quanh của hình trụ và diện tích
xung quanh của hình nón.
A.
2
. B.
3
. C.
2
. D.
3
.
Câu 54: Cho hình nón có chiều cao
h
. Tính chiều cao
x
của khối trụ có thể tích lớn nhất nội tiếp trong hình
nón theo
h
.
A.
2
h
x
. B.
3
h
x
. C.
2
3
h
x . D.
3
h
x .
Câu 55: Cho hình chữ nhật
ABCD
có
6
AB
,
8
AD
(như hình vẽ). Tính thể tích
V
của vật thể tròn xoay
được tạo thành khi cho hình chữ nhật
ABCD
quay quanh trục
AC
.
A.
110,525
V
. B.
106,725
V
. C.
100,425
V
. D.
105,625
V
.
Câu 56: Cho tam giác đều và hình vuông cùng có cạnh bằng
4
được xếp chồng lên nhau sao cho một đỉnh
của tam giác đều trùng với tâm của hình vuông, trục của tam giác đều trùng với trục của hình vuông
(như hình vẽ). Thể tích của vật thể tròn xoay sinh bởi hình đã cho khi quay quanh trục
AB
là.
A.
136 24 3
9
. B.
128 24 3
9
. C.
144 24 3
9
. D.
48 7 3
3
.
Câu 57: Một hộp nữ trang (xem hình vẽ) có mặt bên
ABCDE
với
ABCE
là hình chữ nhật, cạnh cong
CDE
là một cung của đường tròn có tâm là trung điểm
M
của đoạn thẳng
AB
. Biết
12 3 cm
AB
,
6cm
BC
và
18cm
BQ
. Hãy tính thể tích của hộp nữ trang.
A.
3
261 4 3 3 cm .
B.
3
216 4 3 3 cm .
C.
3
261 3 3 4 cm .
D.
3
216 3 3 4 cm .
Câu 58: Người ta thiết kế một bể chứa nước như hình 1 thể tích nước là
3
4
m
.
Khi đó h gần bằng với giá trị nào sau đây:
A.
1
B.
4
C.
1,5
D.
2
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 10
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 59: Cho tam giác đều
ABC
cạnh
1
và hình vuông
MNPQ
nội tiếp trong tam giác
ABC
(
M
thuộc
,
AB
N
thuộc
,
AC
P
,
Q
thuộc
).
BC
Gọi
S
là phần mặt phẳng chứa các điểm thuộc tam giác
ABC
nhưng không chứa các điểm thuộc hình vuông
.
MNPQ
Thể tích của vật thể tròn xoay khi
quay
S
quanh trục là đường thẳng qua
A
vuông góc với
BC
là
A.
810 467 3
24
. B.
4 3 3
96
. C.
4 3 3
96
. D.
54 31 3
12
.
Câu 60: Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn tâm
O
,
O
, bán kính đáy bằng chiều cao và bằng
a
, trên
đường tròn đáy tâm
O
lấy điểm
A
, trên đường tròn đáy tâm
O
lấy điểm
B
sao cho
2
AB a
.
Thể tích tứ diện
OO AB
là
A.
3
3
3
a
V
. B.
3
3
24
a
V
. C.
3
3
6
a
V
. D.
3
3
12
a
V
.
Câu 61: Cho hình thang vuông
ABCD
có độ dài hai đáy
2 , 4
AB a DC a
, đường cao
2
AD a
. Quay
hình thang
ABCD
quanh đường thẳng
AB
thu được khối tròn xoay
H
. Tính thể tích
V
của
khối
H
.
A.
3
16 .
V a
. B.
3
20
.
3
a
V
. C.
3
8 .
V a
. D.
3
40
.
3
a
V
.
Câu 62: Cho hình nón có đáy là hình tròn tâm
O
, bán kính
R
và có chiều cao
h
. Hãy tính chiều cao của
hình trụ có thể tích lớn nhất nội tiếp trong hình nón đã cho.
A.
4
h
. B.
2
h
. C.
3
h
. D.
3
4
h
.
Câu 63: Cho mặt cầu
S
có bán kính
R
không đổi, hình nón
H
bất kì nội tiếp mặt cầu
S
. Thể tích
khối nón
H
là
1
V
; và thể tích phần còn lại của khối cầu là
2
V
. Giá trị lớn nhất của
1
2
V
V
bằng:
A.
76
32
. B.
32
81
. C.
32
76
. D.
81
32
.
Câu 64: Hình trụ bán kính đáy
r
. Gọi
O
và
O
là tâm của hai đường tròn đáy với
2
OO r
. Một mặt cầu
tiếp xúc với hai đáy của hình trụ tại
O
và
O
. Gọi
C
V
và
T
V
lần lượt là thể tích của khối cầu và
khối trụ. Khi đó
C
T
V
V
là
A.
2
3
. B.
3
5
. C.
1
2
. D.
3
4
.
Câu 65: Thiết diện qua trục của một hình nón là tam giác đều cạnh bằng Một mặt cầu có diện tích bằng
diện tích toàn phần của hình nón. Tính bán kính của mặt cầu.
A.
2
. B.
3
. C.
3
2
. D.
2 3
.
Câu 66: Hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông cạnh
2
a
. Một mặt cầu tiếp xúc với các đường sinh của
hình trụ và hai đáy của hình trụ. Tỉ số thể tích của khối trụ và khối cầu là.
A.
2
.
B.
3
2
. C.
1
2
. D.
4
3
.
Câu 67: Cho hình thang
ABCD
có
90
A B
,
AB BC a
,
2
AD a
. Tính thể tích khối tròn xoay sinh
ra khi hình thang
ABCD
quay quanh
CD
.
A.
3
7 2
6
a
. B.
3
7 2
12
a
. C.
3
7
6
a
. D.
3
7
12
a
.
2.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 11
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 68: Từ một khối đất sét hình trụ tròn có chiều cao
20
cm
, đường tròn đáy có bán kính
8
cm
. Bạn Na
muốn chế tạo khối đất đó thành nhiều khối cầu và chúng có cùng bán kính
4
cm
. Hỏi bạn Na có
thể làm ra được tối đa bao nhiêu khối cầu?
A.
15
khối B.
30
khối C.
20
khối D.
45
khối
Câu 69: Bên trong một khối trụ có một khối cầu nội tiếp khối trụ như hình vẽ bên. Gọi
1
V
là thể tích của khối
trụ và
2
V
là thể tích của khối cầu. Tính tỷ số
1
2
V
V
?
A.
1
2
3
V
V
. B.
1
2
4
3
V
V
. C.
1
2
2
V
V
. D.
1
2
3
2
V
V
.
Câu 70: Cho hình nón có thiết diện qua trục là tam giác đều. Gọi
1
V
,
2
V
lần lượt là thể tích của khối cầu nội
tiếp và nội tiếp hình nón đã cho. Tính
1
2
V
V
.
A.
2
. B.
8
. C.
16
. D.
4
.
Câu 71: Hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông cạnh
2
a
. Một mặt cầu tiếp xúc với các đường sinh của
hình trụ và hai đáy của hình trụ. Tỉ số thể tích của khối trụ và khối cầu là.
A.
2
. B.
1
2
. C.
3
2
. D.
4
3
.
Câu 72: Cho khối trụ có chiều cao
16
h
và hai đáy là hai đường tròn tâm
O
,
O
với bán kính
12
R
. Gọi
I
là trung điểm của
OO
và
AB
là một dây cung của đường tròn
O
sao cho
12 3
AB . Tính
diện tích thiết diện của khối trụ với mặt phẳng
IAB
.
A.
120 3
. B. 48
π 24 3
. C. 60 3 40
π
. D. 120 3 80
π
.
Câu 73: Cho mặt cầu
S
có bán kính
3.
R a Gọi
T
là hình trụ có hai đường tròn đáy nằm trên
S
và có thiết diện qua trục của
T
lớn nhất. Tính diện tích toàn phần
tp
S
của
T
.
A.
2
6 3.
tp
S a
B.
2
6 .
tp
S a
C.
2
9 .
tp
S a
D.
2
9 3.
tp
S a
Câu 74: Cho hai hình vuông có cùng cạnh bằng 5 được xếp chồng lên nhau sao cho đỉnh
X
của một hình
vuông là tâm của hình vuông còn lại (như hình vẽ).
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 12
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Tính thể tích
V
của vật thể tròn xoay khi quay mô hình trên xung quanh trục
XY
.
A.
125 5 4 2
24
V . B.
125 2 2
4
V .
C.
125 1 2
6
V . D.
125 5 2 2
12
V .
Câu 75: Cho hình thang
ABCD
vuông tại
A
và
D
,
AD CD a
,
2
AB a
. Quay hình thang
ABCD
quanh đường thẳng
CD
. Thể tích khối tròn xoay thu được là:
A.
3
a
. B.
3
5
3
a
. C.
3
7
3
a
. D.
3
4
3
a
.
Câu 76: Cho mặt cầu
S
bán kính
R
. Hình nón
N
thay đổi có đỉnh và đường tròn đáy thuộc mặt cầu
S
. Thể tích lớn nhất của khối nón
N
là:
A.
3
32
27
R
. B.
3
32
27
R
. C.
3
32
81
R
. D.
3
32
81
R
.
Câu 77: Cho khối cầu
S
tâm
I
, bán kính
R
không đổi. Một khối trụ thay đổi có chiều cao
h
và bán kính
đáy
r
nội tiếp khối cầu. Tính chiều cao
h
theo
R
sao cho thể tích của khối trụ lớn nhất.
A.
2
h R . B.
2
2
R
h
. C.
3
2
R
h
. D.
2 3
3
R
h
.
Câu 78: Một hình trụ có diện tích xung quanh bằng
4
, diện tích đáy bằng diện tích của mặt cầu có bán kính
bằng
1
. Tính thể tích
V
khối trụ đó.
A.
10
V
. B.
8
V
. C.
4
V
. D.
6
V
.
Câu 79: Chỉ ra khẳng định sai trong các khẳng định sau.
A. Diện tích toàn phần của hình trụ có bán kính đường tròn đáy
r
và chiều cao của trụ
l
là
2
tp
S r l r
B. Khối lăng trụ có đáy có diện tích đáy là
B
, đường cao của lăng trụ là
h
, khi đó thể tích khối
lăng trụ là
V Bh
C. Diện tích xung quanh của mặt nón có bán kính đường tròn đáy
r
và đường sinh
l
là
S rl
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 13
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
D. Mặt cầu có bán kính là
R
thì thể tích khối cầu là
3
4
V R
Câu 80: Cho hình nón
N
có bán kính đáy
20( )
r cm
, chiều cao
60( )
h cm
và một hình trụ
T
nội tiếp
hình nón
N
(hình trụ
T
có một đáy thuộc đáy hình nón và một đáy nằm trên mặt xung quanh
của hình nón). Tính thể tích
V
của hình trụ
T
có diện tích xung quanh lớn nhất?
A.
3
4000 ( ).
V cm
B.
3
32000
( ).
9
V cm
C.
3
3600 ( ).
V cm
D.
3
3000 ( ).
V cm
Câu 81: Cho tam giác
ABC
vuông tại
A
có
2
BC a
,
AC a
. Quay tam giác này quanh trục
AB
, ta được
một hình nón đỉnh
B
. Gọi
1
S
là diện tích toàn phần của hình nón đó và
2
S
là diện tích mặt cầu có
đường kính
AB
. Khi đó, tỉ số
1
2
S
S
là:
A.
1
2
1
2
S
S
. B.
1
2
3
2
S
S
. C.
1
2
2
3
S
S
. D.
1
2
1
S
S
.
Câu 82: Cho hình chữ nhật
ABCD
và nửa đường tròn đường kính
AB
như hình vẽ. Gọi
,
I J
lần lượt là
trung điểm của
,
AB CD
. Biết
4; 6
AB AD
Thể tích
V
của vật thể tròn xoay khi quay mô hình
trên quanh trục
IJ
là:
.
A.
40
3
V
. B.
88
3
V
. C.
56
3
V
. D.
104
3
V
.
Câu 83: Một hình trụ có bán kính đáy bằng
r
và khoảng cách giữa hai đáy bằng
3
r
. Một hình nón có đỉnh
là tâm mặt đáy này và đáy trùng với mặt đáy kia của hình trụ. Tính tỉ số diện tích xung quanh của
hình trụ và hình nón.
A.
1
3
B. 3 C.
3
D.
1
3
Câu 84: Một hình trụ có chiều cao bằng
6
nội tiếp trong hình cầu có bán kính bằng
5
như hình vẽ. Thể tích
của khối trụ này bằng.
A.
192
. B.
48
. C.
36
. D.
96
.
A
D
C
B
I
J
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 1
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
TỔNG HỢP NÓN-TRỤ-CẦU
Câu 1: Cho hình thang cân
ABCD
có các cạnh đáy
2
AB a
,
4
CD a
và cạnh bên
3
AD BC a
. Tính
theo
a
thể tích
V
của khối tròn xoay thu được khi quay hình thang cân
ABCD
xung quanh trục
đối xứng của nó.
A.
3
4
3
V a
. B.
3
4 10 2
3
V a
.
C.
3
10 2
3
V a
. D.
3
14 2
3
V a
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Khi quay hình thang cân
ABCD
xung quanh trục đối xứng
d
của nó ta được khối nón cụt như
hình vẽ.
Áp dụng công thức tính thể tích khối nón cụt là
1
.
3
V h B B BB
.
Với
2 2
2 2
h BG BC CG a
và
2 2 2 2
4 2 7
B B BB a a a a
.
Do đó
3
1 14 2
.
3 3
V h B B BB a
.
Câu 2: Bên trong hình vuông cạnh
a
, dựng hình sao bốn cánh đều như hình vẽ bên (các kích thước cần
thiết cho như ở trong hình). Tính thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình sao đó quanh
trục
Oy
.
A.
3
8
a
. B.
3
5
16
a
. C.
3
6
a
. D.
3
5
48
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 2
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Khi quay hình sao đó quanh trục
Oy
sinh ra hai khối có thể tích bằng nhau.
Gọi:
V
là thể tích khối hình sao tròn xoay cần tính.
nón
V
lần lượt là thể tích khối nón có chiều cao
AH
C
V
là thể tích khối nón cụt có bán kính đáy lớn là
1
R
và bán kính đáy nhỏ là
2
R
.
Dễ thấy
nón
2
C
V VV
2 2 2
1 2 1 2 1
1 1
2. . . . . . .
3 3
OH R R R R R AH
2 2 2
1 1
2. . . . . 2. . . .
3 2 4 16 2 4 3 4 4
a a a a a a a
3 3 3
7 2 5
48 48 48
a a a
.
Câu 3: Một hình trụ tròn xoay bán kính
1
R
. Trên hai đường tròn đáy
O
và.
O
. lấy
A
và
B
sao cho
2
AB
. Góc giữa
AB
và trục
OO
bằng
0
30
.
Xét hai khẳng định sau:
.
(I) Khoảng cách giữa
OO
và
AB
bằng
3
2
.
(II) Thể tích của khối trụ là
3
V
.
Kết luận nào sau đây là đúng?
A. Chỉ (I) đúng. B. Cả (I) và (II) đều sai.
C. Cả (I) và (II) đều đúng. D. Chỉ (II) đúng.
Hướng dẫn giải
Chọn C
.
Kẻ đường sinh BC thì
OO ABC
€
. Vì
ABC
vuông góc với
OAC
nên kẻ
OH AC
thì
OH ABC
. Vậy
;
d OO AB OH
.
R
1
2
O
'
O
B
A
30°
C
H
R
1
2
O
'
O
B
A
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 3
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
ABC
có
0
.cos30 3
BC AB và
0
.sin 30 1
AC AB
.
OAC
là tam giác đều, có cạnh bằng
1
, nên
3
2
OH
. Vậy (I) đúng.
2
. .
V R h
nên (II) đúng.
Câu 4: Cho hình trụ có hai đáy là các hình tròn
O
,
O
bán kính bằng
a
, chiều cao hình trụ gấp hai lần
bán kính đáy. Các điểm
A
,
B
tương ứng nằm trên hai đường tròn
O
,
O
sao cho
6.
AB a Tính thể tích khối tứ diện
ABOO
theo
a
.
A.
3
.
3
a
B.
3
5
.
3
a
C.
3
2
3
a
D.
3
2 5
.
3
a
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có
2
OO a
,
2 2 2 2
6 4 2
A B AB AA a a a
.
Do đó
2 2 2 2
2
A B O B O A a
nên tam giác
O A B
vuông cân tại
O
hay
O A O B
OA O B
.
Khi đó
1
. . , .sin ,
6
OO AB
V OAO B d OA O B OA O B
3
1
. .2 .sin90
6 3
a
a a a
.
Câu 5: Trong không gian, cho hai điểm
A
,
B
cố định, phân biệt và điểm
M
thay đổi sao cho diện tích
tam giác
MAB
không đổi. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng ?
A. Tập hợp các điểm
M
là một mặt trụ. B. Tập hợp các điểm
M
là một mặt nón.
C. Tập hợp các điểm
M
là một mặt cầu. D. Tập hợp các điểm
M
là một mặt phẳng.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Do hai điểm
A
,
B
cố định nên khoảng cách giữa hai điểm
A
,
B
cố định.
Mà diện tích tam giác
MAB
không đổi nên khoảng cách từ
M
đến đoạn thẳng
AB
không
đổi
Tập hợp các điểm
M
trong không gian cách đoạn thẳng
AB
một khoảng không đổi là
một hình trụ.
Câu 6: Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi quay mô hình (như hình vẽ) quanh trục
DF
.
.
A
O
A
O
B
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 4
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
3
3
a
. B.
3
10
9
a
. C.
3
10
7
a
. D.
3
5
2
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có
3
.tan .tan30
3
a
EF AF a
.
Khi quay quanh trục
DF
, tam giác
AEF
tạo ra một hình nón có thể tích.
2
3
2
1
1 1 3
. . . .
3 3 3 9
a a
V EF AF a
.
Khi quay quanh trục
DF
, hình vuông
ABCD
tạo ra một hình trụ có thể tích.
2 2 3
2
. . . .
V DC BC a a a
.
Thể tích của vật thể tròn xoay khi quay mô hình (như hình vẽ) quanh trục
DF
là.
3
3 3
1 2
10
9 9
a
V V V a a
.
Câu 7: Cho hình thang vuông tại
A
và
B
với
2 2 2
AD AB BC a
. Quay hình thang và miền trong của
nó quanh đường thẳng chứa cạnh
BC
. Tính thể tích
V
của khối tròn xoay được tạo thành.
A.
3
5
3
a
V
B.
3
7
3
a
V
C.
3
4
3
a
V
D.
3
V a
Hướng dẫn giải
Chọn A
Khi quay hình thang thì khối tròn xoay tạo thành là hình trụ khuyết gồm hai phần . phần khối trụ
và khối nón bên trong.
Phần hình trụ có bán kính đường tròn đáy
1
R AB a
.
Thể tích hình trụ
2 3
1
2
T
V R h a
.
Phần hình nón có bán kính đáy
2
R AB a
.
Thể tích khối nón
2
2
1
3
N
V R h
3
1
3
a
.
Thể tích khối tròn xoay
3
5
3
T N
V V V a
.
Câu 8: Cho tam giác vuông cân
ABC
có
2
AB AC a
và hình chữ nhật
MNPQ
với 2
MQ MN
được
xếp chồng lên nhau sao cho
M
,
N
lần lượt là trung điểm của
AB
,
AC
(như hình vẽ). Tính thể
tích
V
của vật thể tròn xoay khi quay mô hình trên quanh trục
AI
, với
I
là trung điểm
PQ
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 5
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
3
11
8
a
V
. B.
3
17
24
a
V
. C.
3
11
6
a
V
. D.
3
5
6
a
V
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có:
2 2
2
BC AB AC a
MN a
,
2
MQ a
.
Gọi
E
,
F
lần lượt là trung điểm
MN
và
BC
. Ta có
AF a
,
3
2 2
a
EF IF a
.
Vậy, thể tích cần tìm
2
2 2 2 3
1 1 3 17
. . . . . . . .
3 3 2 2 24
a
V AF FB IF IQ a a a a
.
Câu 9: Trong mặt phẳng cho góc
xOy
. Một mặt phẳng
P
thay đổi và vuông góc với đường phân giác
trong của góc
xOy
cắt
,
Ox Oy
lần lượt tại
,
A B
. Trong
P
lấy điểm
M
sao cho
90
AMB .
Mệnh đề nào sau đây là đúng ?
A. Điểm
M
chạy trên một mặt nón. B. Điểm
M
chạy trên một mặt trụ.
C. Điểm
M
chạy trên một đường tròn. D. Điểm
M
chạy trên một mặt cầu.
Hướng dẫn giải
Chọn A
+) Xét mặt phẳng
P
tại một vị trí cụ thể thì tập hợp các điểm
M
là đường tròn đường
kính
AB
, chứa trong mặt phẳng
P
.
+) Gọi
Ot
là tia phân giác của góc
xOy
. Khi mặt phẳng
P
thay đổi, luôn vuông góc
Ot
thì
tập hợp các điểm
M
là mặt nón đỉnh
O
, trục
Ot
với
,
Ox Oy
là các đường sinh.
Câu 10: Cho lục giác đều
ABCDEF
có cạnh bằng
4
. Quay lục giác đều đó quanh đường thẳng
AD
. Tính
thể tích
V
của khối tròn xoay được sinh ra
A.
64
V
. B.
128
V
. C.
32
V
. D.
16
V
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 6
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Quay lục giác đều đó quanh đường thẳng
AD
ta thu được hai khối nón và một khối trụ.
Trong đó:
Hình nón có đường sinh
4
AB
, đường cao
h OA
1
2
AD OO
2
, bán kính
2 2
r h
2 3
.
Khi đó thể tích của hai khối nón là
2
2
16
3
N
V r h
.
Hình trụ có đường cao
h BC
4
OO
, bán kính
2 3
r .
Khi đó thể tích khối trụ là
2
48
T
V r h
.
Vậy thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay lục giác đều đó quanh
AD
là
64
V
.
Câu 11: Cho hình vuông
ABCD
cạnh
a
. Gọi
N
là điểm thuộc cạnh
AD
sao cho
2
AN DN
. Đường
thẳng qua
N
vuông góc với
BN
cắt
BC
tại
K
. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay tứ
giác
ANKB
quanh trục
BK
bằng
A.
3
6
7
V a
B.
3
3
2
V a
C.
3
4
3
V a
D.
3
7
6
V a
Hướng dẫn giải
Chọn D
Sau khi quay tứ giác
ANKB
quanh trục
BK
ta được khối tròn xoay gồm một khối nón và khối
trụ có chung đáy (hình vẽ).
Ta có
2
3
IB AN a
.
I
N
A
N
K
I
a
a
K
D
C
B
A
A
B
C
D
E
F
O
O
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 7
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Xét tam giác
NKB
vuông tại
N
,
cos
BN
BK
NBK
2
BN BN
BI
BI
BN
2 2
BI IN
BI
13
6
a
.
Do đó
3
2
a
KI BK BI .
Thể tích khối nón là
3
2 2
1
1 1 3
. . .
3 3 2 2
a
V NI KI a a
.
Thể tích khối trụ là
3
2 2
2
2 2
. . . .
3 3
a
V NI BI a a
.
Suy ra thể tích khối tròn xoay cần tìm là
3
1 2
7
6
a
V V V
.
Câu 12: Trong mặt phẳng cho một hình lục giác đều cạnh bằng
2
. Tính thể tích của hình tròn xoay có
được khi quay hình lục giác đó quanh đường thẳng đi qua hai đỉnh đối diện của nó.
A.
6
. B.
8
. C.
. D.
2
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
.
Thể tích
V
của hình tròn xoay bao gồm thể tích của khối trụ
ACFD
và 2 khối nón ,
BAC DEF
.
Có :
1
2
R AC
3
2. 3
2
.
Chiều cao
h
của khối trụ là
2
h
.
Chiều cao
h
của khối nón
2
1
2
h
.
Thể tích của khối tròn xoay :
2 2
1
. 2.
3
V R h R h
.
2 2
2
3 .2 3 .1
3
8
.
Câu 13: Cho hình trụ có bán kính
r
. Gọi
,
O,O
là tâm của hai đáy với
,
2
OO r
. Một mặt cầu
S
tiếp
xúc với hai đáy của hình trụ tại
,
O,O
. Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào sai?
A. Diện tích mặt cầu bằng diện tích xung quanh của hình trụ.
B. Diện tích mặt cầu bằng
2
3
diện tích toàn phần của hình trụ.
C. Thể tích khối cầu bằng
3
4
thể tích khối trụ.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 8
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
D. Thể tích khối cầu bằng
2
3
thể tích khối trụ.
Hướng dẫn giải
Chọn C
3 2 3
4
; 2 2 .
3
C T
V R V R R R
2 2 2 2 2
4 ; 2 2 4 ; 4 2 6
C xqT tpT
S R S R R R S R R R
.
Câu 14: Cho khối cầu tâm
I
, bán kính
R
không đổi. Một khối nón có chiều cao
h
và bán kính đáy
r
, nội
tiếp khối cầu. Tính chiều cao
h
theo bán kính
R
sao cho khối nón có thể tích lớn nhất.
A.
4
h R
. B.
4
3
R
h . C.
4
R
h
. D.
3
4
R
h .
Hướng dẫn giải
Chọn B
Gọi
H
là hình chiếu của
S
lên mặt đáy của nón thì
SH
đi qua tâm
I
, khi đó thể tích khối nón
có điểm
I
nằm giữa
S
và
H
sẽ lớn hơn thể tích của khối nón có
S
và
H
nằm cùng phía với
nhau so với điểm
I
.
Ta đặt Đặt
HI x
;
SH SI IH
R x
;
HA HB
2 2
IA IH
2 2
R x
.
Thể tích khối nón là
2
1
.
3
V HA SH
2 2
1
3
R x R x
2
2 2
6
R x R x
.
Áp dụng bất đẳng thức cô-si cho 3 số dương
2 2
R x
,
R x
và
R x
, ta được
2
2 2
6
V R x R x
2 2
6
R x R x R x
3
2 2
6 3
R x R x R x
3
4
6 3
R
.
R
2R
R
I
O
O'
H
I
B
A
S
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 9
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Dấu bằng xảy ra khi 2 2
3
R
R x R x x
.
Dấu bằng xảy ra khi
3
R
x
. Chiều cao khối nón là
h SH
4
3 3
R R
R .
Câu 15: Cho hình trụ
T
có bán kính đáy
R
, trục
OO
bằng
2
R
và mặt cầu
S
đường kính
.
OO
Tỉ số
diện tích mặt cầu và diện tích xung quanh của hình trụ bằng:
A.
2
. B.
1
2
. C.
1
3
. D.
1
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Diện tích mặt cầu :
2
1
4
S R
.
Diện tích xung quanh của hình trụ :
2
2
2 4
S Rl R
.
Vậy
1
2
1
S
S
.
Câu 16: Cho một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn
;
O R
,
;
O R
với
3
OO R
và một hình nón có
đỉnh
O
là đáy là hình tròn
;
O R
. Kí hiệu
1
S
,
2
S
lần lượt là diện tích xung quanh của hình trụ
và hình nón. Tính
1
2
S
k
S
.
A.
1
3
k
. B.
1
2
k
. C.
2
k . D.
3
k .
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có
1
2 . 3
S
πR R
2
2 3
πR
.
2 2
2
3S
πR R R
2
2
πR
. Vậy
1
2
3
S
S
.
Câu 17: Cho hình thang cân
ABCD
có đáy nhỏ
1
AB
, đáy lớn
3
CD
, cạnh bên
2
AD
quay quanh
đường thẳng
AB
. Tính thể tích
V
của khối tròn xoay tạo thành.
A.
5
3
V
. B.
3
V
. C.
4
3
V
. D.
7
3
V
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Theo hình vẽ:
1
AH HD
.
Thể tích khối tròn xoay tạo thành bằng thể
tích khối trụ có bán kính
1
r AH
, chiều
cao
3
CD
trừ đi thể tích hai khối nón bằng
nhau (khối nón đỉnh A, đỉnh B và đáy là đáy của hình trụ).
Vậy
2 2
1 2 7
. . 2. . . 3
3 3 3
V AH CD AH HD
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 10
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 18: Cho hình nón có độ dài đường kính đáy là 2R , độ dài đường sinh là
17
R
và hình trụ có chiều
cao và đường kính đáy đều bằng 2R , lồng vào nhau như hình vẽ.Tính thể tích phần khối trụ
không giao với khối nón
A.
3
1
3
R
. B.
3
4
3
R
. C.
3
5
6
R
. D.
3
5
12
R
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có
2 2 2 2
17 4 2 ,
2
R
SI SB IB R R R SE R EF
.
Thể tích khối nón lớn (có đường cao SI ) là
2 3
1
1 4
.4R
3 3
V R R
.
Thể tích khối nón nhỏ (có đường cao SE ) là
2
3
2
1 1
.2
3 2 6
R
V R R
Thể tích phần khối giao nhau giữ khối nón và khối trụ là
3
3 1 2 2
7
6
V V V V R
.
Thể tích khối trụ là là
2 3
4
.2 2V R R R
.
Vậy thể tích phần khối trụ không giao với khối nón là
3
4 3
5
6
V V V R
.
Câu 19: Cho hình nón có bán kính đường tròn đáy bằng
a
. Thiết diện qua trục hình nón là một tam giác
cân có góc ở đáy bằng 45. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình nón.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 11
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
3
1
3
a
B.
3
8
3
a
C.
3
4
3
a
D.
3
4
a
Hướng dẫn giải
Chọn C
Theo giả thiết, suy ra góc ở đỉnh của hình nón là
90
. Do đó khối cầu ngoại tiếp hình nón có tâm
là tâm của đường tròn đáy hình nón.
Vậy bán kính khối cầu là
r a
. Vậy thể tích khối cầu là
3
4
3
a
.
Câu 20: Cho một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn với và một hình nón có
đỉnh và đáy là hình tròn . Kí hiệu lần lượt là diện tích xung quanh của hình trụ và
hình nón. Tính .
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có
2
1
2 . 3 2 3 S
πR R πR
.
2 2 2
2
3 2 S
πR R R πR
. Vậy
1
2
3
S
S
.
Câu 21: Cắt hình nón đỉnh
S
cho trước bởi mặtphẳng đi qua trục
SO
của nó ta được một tam giác vuông
cân có cạnh bên độ dài bằng
a
. Tính diện tích của mặt cầu nội tiếp hình nón đã cho.
A.
2
2
a
. B.
2
4
3
a
. C.
2
2 3 2 2
a
. D.
2
2 3 2 2
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
.
Ta thấy
SIH SAO
-
g g
.
SI IH
SA AO
SO IO IO
SA AO
Vì
IO IH
(1).
Vì
SAB
vuông cân tại
S
và
O
là trung điểm của
AB
2
2 2
AB a
SO AO (2).
a
; , ;
O R O R
3
OO R
O
;
O R
1 2
,
S S
1
2
S
k
S
2
k
3
k
1
3
k
1
2
k
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 12
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Từ (1) và (2)
2
2
2
2
a
IO
IO
a
a
2 2
2
a
IO
.
Vậy diện tích mặt cầu nội tiếp hình nón là
2 2
4 . 2 3 2 2
S IO a
.
Câu 22: Cho hình thang cân
ABCD
có
2
AB
,
4
CD
và diện tích bằng
6
. Quay hình thang và miền
trong của nó quanh đường thẳng chứa cạnh
CD
. Tính thể tích
V
của khối tròn xoay được tạo
thành.
A.
32
3
V
. B.
8
3
V
. C.
40
3
V
. D.
28
3
V
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Thể tích khối tròn xoay tạo thành gồm hai khối nón và một khối trụ
Gọi
h
là chiều cao của hình thang, ta có
2
2
ABCD
S
h AH
AB CD
1
2
DC AB
DH
5
AD .
Hình nón có bán kính đáy
2
AH
và đường cao
1
DH
.
Hình trụ có bán kính đáy
2
AH
và đường cao
2
HK
.
Thể tích
V
của khối tròn xoay được tạo thành là
2 2
1 32
2 .2 .1 .2 .2
3 3
V
.
Câu 23: Cho hình trụ tròn xoay, đáy là 2 đường tròn
C
tâm
O
và
’
C
tâm
’
O
. Xét hình nón tròn xoay
có đỉnh
’
O
và đáy là đường tròn
C
. Xét hai mệnh đề sau:
(I) Nếu thiết diện qua trục của hình nón là tam giác đều
’
O AB
thì thiết diện qua trục của hình trụ
là hình vuông
’ ’
ABB A
.
(II) Nếu thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông
’ ’
ABB A
thì thiết diện qua trục của hình
nón là tam giác
’
O AB
vuông cân tại
’
O
.
Hãy Chọn Câu đúng.
A. Cả 2 Câu đúng. B. Cả 2 sai. C. Chỉ (I). D. Chỉ (II).
Hướng dẫn giải
Chọn B
Gọi
’
O AB
là thiết diện qua trục của hình nón.
’ ’
BB A
là thiết diện qua trục của hình trụ.
Xét (I): Nếu
’
O AB
là tam giác đều,
AB a
thì
’
O O
3
2
a
.
⟹
’ ’
A A O O
3
2
a
nên
’ ’
ABB A
chỉ là hình chữ nhật. Vậy (I) sai.
Xét (II): Nếu
’ ’
ABB A
là hình vuông,
AB a
, thì:
’
OO a
: Sai ( tam giác vuông thì đường trung
tuyến bằng nửa cạnh huyền).
Như vậy
’
O AB
không phải là tam giác vuông cân tại
’
O
: (II) sai.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 13
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 24: Cho hình trụ có bán kính đáy
1
r
nội tiếp trong hình cầu bán kính
r
không đổi. Xác định bán kính
1
r
theo
r
để hình trụ có thể tích lớn nhất.
A.
1
6
3
r r
. B.
1
2
3
r r
. C.
1
6
2
r r
. D.
1
6
6
r r
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
.
Chiều cao hình trụ
2 2
1
2 2
h IH r r
.
Thể tích khối trụ
2 2 2
1 1
2
V r r r
,
1
0 r r
.
Xét
2 2 2
1 1 1 1
0
f r r r r r r
.
2 3
1 1
1 1 1
2
1
2 3 6
0 0
3
1
rr r
f r r r r r
r
1
6
3
Max f r f
.
(Có thể thử chọn vào
).
Câu 25: Một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn
,
O R
và
',
O R
;
' 3
OO a
Một hình nón có đỉnh là
'
O
và đáy là hình tròn
,
O R
. Gọi
1
S
,
2
S
lần lượt là diện tích xung quanh của hình trụ và hình
nón. Tính tỉ số
1
2
S
S
.
A.
1
2
3
3
S
S
. B.
1
2
3
S
S
. C.
1
2
1
3
S
S
. D.
1
2
3
S
S
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
.
1
2
2S
Rh
S Rl
2 2
2 '
'
OO
R OO
2 3
3
2
R
R
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 14
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 26: Cho hình nón tròn xoay
N
có đỉnh
S
và đáy là hình tròn tâm
O
bán kính
r
nằm trên mặt
phẳng
,
P
đường cao
.
SO h
Điểm
O
thay đổi trên đoạn
SO
sao cho
SO x
0 .
x h
Hình trụ tròn xoay
T
có đáy thứ nhất là hình tròn tâm
O
bán kính
r
0
r r
nằm trên
mặt phẳng
,
P
đáy thứ hai là hình tròn tâm
O
bán kính
r
nằm trên mặt phẳng
Q
,
Q
vuông góc với
SO
tại
O
(đường tròn đáy thứ hai của
T
là giao tuyến của
Q
với mặt xung
quanh của
.
N Hãy xác định giá trị của
x
để thể tích phần không gian nằm phía trong
N
nhưng phía ngoài của
T
đạt giá trị nhỏ nhất.
A.
2
3
x h
. B.
1
4
x h
. C.
1
3
x h
. D.
1
2
x h
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
2
lt
V h x r
.
Áp dụng Talet vào
SOA
có
// .
O B OA
.
O B SO
OA SO
r x
r h
.
rx
r
h
2
2
lt
2
.
r
V h x x
h
.
Để thể tích phần trong
N
ngoài
T
nhỏ nhất.
lt
V
: lớn nhất
2
h x x
lớn nhất.
Xét hàm số
2
y f x h x x
.
2
2 3 2 3
y xh x x h x
0
0 .
2
3
x
y
h
x
.
.
Câu 27: Cho hai mặt cầu , có cùng bán kính thỏa mãn tính chất: tâm của thuộc và
ngược lại. Tính thể tích phần chung của hai khối cầu tạo bởi và .
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Chọn D
x
h
r'
r
O'
O
B
A
S
1
S
2
S
R
1
S
2
S
V
1
( )
S
2
( )
S
3
2
5
R
V
3
V R
3
2
R
V
3
5
12
R
V
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 15
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Gắn hệ trục như hình vẽ
Khối cầu chứa một đường tròn lớn là
Dựa vào hình vẽ, thể tích cần tính là
.
Câu 28: Một hình thang cân
ABCD
có đáy nhỏ
1
AB
, đáy lớn
3
CD
, cạnh bên
2
BC AD . Cho
hình thang
ABCD
quay quanh
AB
ta được khối tròn xoay có thể tích là:
A.
3
V
. B.
8
3
V
. C.
7
3
V
. D.
2
V
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Gọi
E
,
F
là hai điểm sao cho
CDEF
là hình chữ nhật và
E
,
A
,
B
,
F
thẳng hàng.
Ta có
1
EA AB BF
,
2
AD BC ,
3
CD
,
1
DE CF
.
Gọi
V
là thể tích cần tìm,
1
V
là thể tích khối trụ có được khi cho hình chữ nhật
CDEF
quay
quanh
EF
,
2
V
là thể tích của khối nón có được khi cho tam giác
AED
quay quanh
AE
,
3
V
là
thể tích của khối nón có được khi cho tam giác
BFC
quay quanh
BF
.
2 2 2
1 2 3
1 1 1 1 7
. . . 3
3 3 3 3 3
V V V V DE CD DE AE CF BF
.
Câu 29: Một hình trụ có diện tích xung quanh bằng
S
, diện tích đáy bằng diện tích một mặt cầu bán kính
a
. Khi đó, thể tích của hình trụ bằng:
A.
1
2
Sa
. B.
1
3
Sa
. C.
Sa
. D.
1
4
Sa
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Gọi
R
và
h
là bán kính đáy và chiều cao của hình trụ. Khi đó:
2 2 2
R R 4
d
S a
(
d
S
là diện tích mặt cầu)
2a
R
.
2 R
4
xq xq
S
S h S S S h
a
.
Oxy
,
S O R
2 2 2
:
C x y R
3 3
2 2 2
2
2
5
2 d 2
3 12
R
R
R
R
x R
V R x x R x
B
FE
A
D
C
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 16
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Vậy
2
. 4 .
4
d
S
V S h a Sa
a
.
Câu 30:
Khẳng định nào sau đây sai?
A. Khối trụ có chiều cao
h
, đường kính đáy
R
thì có thể tích bằng
2
R h
B. Khối nón có chiều cao
h
, bán kính đáy
R
thì có thể tích bằng
2
1
3
R h
C. Diện tích của mặt cầu có bán kính
R
bằng
2
4
R
D. Gọi
S
,
V
lần lượt là diện tích mặt cầu và thể tích của khối có bán kính
R
. Nếu coi
S
,
V
là
các hàm số của biến
R
thì
V
là một nguyên hàm của
S
trên khoảng
0;
Hướng dẫn giải
Chọn A
Khối trụ có chiều cao
h
, đường kính đáy
R
thì có thể tích bằng
2
2
2 4
R R h
h
.
Câu 31: Cho hình lập phương .
ABCD A B C D
có
O
và
O
lần lượt là tâm của hình vuông
ABCD
và
A B C D
. Gọi
1
V
là thể tích khối nón tròn xoay có đỉnh là trung điểm của
OO
và đáy là đường
tròn ngoại tiếp hình vuông
ABCD
;
2
V
là thể tích khối trụ tròn xoay có hai đáy là hai đường tròn
nội tiếp hình vuông
ABCD
và
A B C D
. Tỉ số thể tích
1
2
V
V
là
A.
1
3
B.
1
4
C.
1
6
D.
1
2
Hướng dẫn giải
Chọn A
Gọi hình lập phương .
ABCD A B C D
có cạnh bằng a. Khi đó
Ta có
2
3
1
1 2
.
3 2 2 12
a a a
V
;
2
3
2
.
2 4
a a
V a
suy ra
1
2
1
3
V
V
.
Câu 32: Một hình nón có góc ở đỉnh bằng
2 17
nội tiếp trong một hình cầu. Biết thể tích khối nón bằng
5 2
4
. Tính thể tích khối cầu.
A.
2
. B.
2
3
. C.
32
3
. D.
8
3
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
.
Thiết diện qua trục như hình sau:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 17
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Vì góc ở đỉnh là
;
;
MA u
d M d
u
2 2
2
2
5 5
1 2 1
5 2 5 3
3
6
nên ABC là tam giác
đều.
Ta có:
3
. . 3
2
AD BC DC
3
3
DC AD
.
3V
2
1
. 3
3
DC AD .
3
1 1
. . 3 3
3 3
AD AD .
Từ đó: Bán kính khối cầu là
2
2
3
R AD .
Thể tích khối cầu là:
3
4 32
3 3
C
V R
.
Câu 33: Thể tích khối chỏm cầu bán kính R , chiều cao .
3
R
h bằng
A.
3
8
R .
9
h
B.
3
8
R .
27
h
C.
3
8
R .
81
h
D.
3
4
R .
3
h
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có công thức
2
2 3
8
. .
3 3 9 81
h R R
V h R R R
Câu 34: Một hình trụ có đường kính đáy bằng chiều cao và nội tiếp trong mặt cầu bán kính
R
. Diện tích
xung quanh của hình trụ bằng:
A.
2
2 R
. B.
2
4 R
. C.
2
2 2 R
. D.
2
2 R
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 18
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Gọi
h
là chiều cao,
1
R
là bán kính đáy của hình trụ. Vì hình trụ nội tiếp trong mặt cầu bán kính
R
nên ta có:
2
2 2
2
h h R
2
h R ,
1
2
2
R
R
.
2
1
2
2 . . 2 . . 2 2
2
xq
R
S R h R R
.
Câu 35: Cho hình cầu
S
tâm
I
, bán kính
R
không đổi. Một hình trụ có chiều cao
h
và bán kính đáy
r
thay đổi nội tiếp hình cầu. Tính chiều cao
h
theo
R
sao cho diện tích xung quanh của hình trụ
lớn nhất.
A.
2
h R . B.
h R
. C.
2
R
h
. D.
2
2
R
h
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có
2
2 2
4
h
R r
2
2
4
h
r R .
Mà diện tích xung quanh hình trụ là
2
2
2 2
4
h
S rh h R
.
h
R
r
A
B
O
1
I
O
2
h
R
1
R
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 19
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Xét hàm số
2 2
4
2
h
f h R h
2 2 2 2
1
4
2
h R h R
, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
2
h R
.
Câu 36: Xét hình trụ
T
có bán kính
R
, chiều cao
h
thoả mãn
2 3
R h
.
N
là hình nón có bán kính
đáy
R
và chiều cao gấp đôi chiều cao của
T
. Gọi
1
S
và
2
S
lần lượt là diện tích xung
quanh của
T
và
N
, khi đó
1
2
S
S
bằng
A.
2
3
. B.
3
4
. C.
4
3
. D.
1
2
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Diện tích xung quanh hình trụ là
1
2 . .
S R h
2
2
2 3
R
2
3
R
.
Diện tích xung quanh hình nón là
2
. .
S R l
2 2
. .
R h R
2
2
. .
3
R
R R
2
2
3
R
.
Suy ra
1
2
1
2
S
S
.
Câu 37: Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Đoạn thẳng nối hai điểm cùng thuộc một mặt cầu là một đường kính của mặt cầu đó.
B. Khoảng cách giữa hai đáy của một hình trụ bằng chiều cao của hình trụ đó.
C. Nếu mặt phẳng cắt mặt cầu thì giao tuyến của chúng là một đường tròn lớn của mặt cầu đó.
D. Độ dài đoạn thẳng nối hai điểm thuộc hai đường tròn đáy của một hình trụ bằng độ dài đường
sinh của hình trụ đó.
Hướng dẫn giải.
Chọn B
Hai đáy của mặt trụ nằm trên hai mặt phẳng song song nên khoảng cách giữa hai đáy của hình trụ
bằng chiều cao của hình trụ đó.
Câu 38: Khi cắt mặt cầu
,
S O R
bởi một mặt kính, ta được hai nửa mặt cầu và hình tròn lớn của mặt kính
đó gọi là mặt đáy của mỗi nửa mặt cầu. Một hình trụ gọi là nội tiếp nửa mặt cầu
,
S O R
nếu một
đáy của hình trụ nằm trong đáy của nửa mặt cầu, còn đường tròn đáy kia là giao tuyến của hình
trụ với nửa mặt cầu. Biết
1
R
,tính bán kính đáy
r
và chiều cao
h
của hình trụ nội tiếp nửa mặt
cầu
,
S O R
để khối trụ có thể tích lớn nhất.
A.
6 3
,
3 3
r h
. B.
6 3
,
2 2
r h
. C.
3 6
,
3 3
r h
. D.
3 6
,
2 2
r h
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Hình trụ nội tiếp nửa mặt cầu, nên theo giả thiết đường tròn đáy trên có tâm O' có hình chiếu của.
O xuống mặt đáy (O'). Suy ra hình trụ và nửa mặt cầu cùng chung trục đối xứng và tâm của đáy.
dưới hình trụ trùng với tâm O của nửa mặt cầu.Ta có:
2 2 2
h r R
0 1
h R
2 2
1
r h
.
Thể tích khối trụ là:
2 2
(1 h )h (h)
V r h f
2
'(h) (1 3h ) 0
f
3
h
3
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 20
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
.
.
Vậy:
0;1
2 3
9
MaxV
(đvtt) khi
6
3
r
và
3
3
h
.
Câu 39: Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi quay mô hình (như hình vẽ) quanh trục
DF
A.
3
5
2
a
. B.
3
3
a
. C.
3
10
9
a
. D.
3
10
7
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có
3
.tan .tan30
3
a
EF AF a
Khi quay quanh trục
DF
, tam giác
AEF
tạo ra một hình nón có thể tích
2
3
2
1
1 1 3
. . . .
3 3 3 9
a a
V EF AF a
Khi quay quanh trục
DF
, hình vuông
ABCD
tạo ra một hình trụ có thể tích
2 2 3
2
. . . .
V DC BC a a a
Thể tích của vật thể tròn xoay khi quay mô hình (như hình vẽ) quanh trục
DF
là
3
3 3
1 2
10
9 9
a
V V V a a
Câu 40: Cho hình nón có bán kính đáy bằng
6
, chiều cao bằng
8
. Biết rằng có một mặt cầu tiếp xúc với
tất cả các đường sinh của hình nón, đồng thời tiếp xúc với mặt đáy của hình nón. Tính bán kính
mặt cầu đó.
A.
1,75
. B.
4,25
. C.
3
. D.
5
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 21
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Hướng dẫn giải
Chọn C
Đường phân giác của góc
SOA
cắt SO tại I
I là tâm mặt cầu cần tìm, bán kính r IO .
Ta có: 8SO , 6OA 10SA .
SI SA
IO OA
SO IO SA
IO OA
8 10
6
r
r
3r .
Câu 41: Một hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông, diện tích xung quanh bằng 4
. Diện tích mặt
cầu ngoại tiếp hình trụ là
A. 8
B. 10
C. 6
D. 12
Hướng dẫn giải
Chọn A
2
2 2 2 4 4 1
xq
S Rl R R R R
.
Mặt cầu ngoại tiếp hình trụ có bán kính là
2 2
2 2
2
R
R
.
Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình trụ là
2
4 2 8S
.
Câu 42: Cho tam giác ABC có
45ABC ,
30ACB ,
2
2
AB
. Quay tam giác ABC xung quanh
cạnh BC ta được khối tròn xoay có thể tích V bằng:
A.
3 1 3
2
V
. B.
1 3
24
V
.
C.
1 3
8
V
. D.
1 3
3
V
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
R
2R
I
O
O'
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 22
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
X
Y
Ta có
1
5 1 3
sin30 sin45 sin105
2 sin
12 2
AC
AB AC BC
BC
.
Gọi
H
là chân đường cao kẻ từ đỉnh
A
. Ta có
. . .sin105
AH BC AB AC
1
2
AH
.
Suy ra thể tích khối tròn xoay cần tìm là
2
1
. .
3
V AH BC
1 3
24
.
Câu 43: Cho hai hình vuông có cùng cạnh bằng 5 được xếp chồng lên nhau sao cho
đỉnh
X
của một hình vuông là tâm của hình vuông còn lại (như hình vẽ).
Tính thể tích
V
của vật thể tròn xoay khi quay mô hình trên xung quanh trục
XY
.
A.
125 5 4 2
24
V . B.
125 2 2
4
V .
C.
125 1 2
6
V . D.
125 5 2 2
12
V .
Hướng dẫn giải
Chọn A
Cách 1 :
Khối tròn xoay gồm 3 phần:
Phần 1: khối trụ có chiều cao bằng 5, bán kính đáy bằng
5
2
có thể tích
2
1
5 125
5
2 4
V .
Phần 2: khối nón có chiều cao và bán kính đáy bằng
5 2
2
có thể tích
2
2
1 5 2 5 2 125 2
3 2 2 12
V
Phần 3: khối nón cụt có thể tích là
2
2
3
5 2 1 125 2 2 1
1 5 2 5 5 2 5
3 2 2 2 2 2 24
V .
Vậy thể tích khối tròn xoay là
H
B
A
C
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 23
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
1 2 3
125 2 2 1 125 5 4 2
125 125 2
4 12 24 24
V V V V .
Cách 2 :
Thể tích hình trụ được tạo thành từ hình vuông
ABCD
là
2
125
4
T
V R h
Thể tích khối tròn xoay được tạo thành từ hình vuông
XEYF
là
2
2
2 125 2
3 6
N
V R h
Thể tích khối tròn xoay được tạo thành từ tam giác
XDC
là
2
1 125
3 24
N
V R h
Thể tích cần tìm
2
5 4 2
125
24
T N N
V V V V
.
Câu 44: Một hình trụ có chiều cao bằng bán kính đáy. Hình nón có đỉnh là tâm đáy trên của hình trụ và đáy
là hình trong đáy dưới của hình trụ. Gọi
1
V
là thể tích của hình trụ,
2
V
là thể tích của hình nón.
Tính tỉ số
1
2
V
V
.
A.
2
. B.
3
C.
2 2
. D.
2
2
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có:
1
2
3
1
3
V Bh
V
Bh
.
Câu 45: Cho hình chữ nhật
ABCD
và nửa đường tròn đường kính
AB
như hình vẽ. Gọi
,
I J
lần lượt là
trung điểm của ,
AB CD
. Biết
4; 6
AB AD
Thể tích
V
của vật thể tròn xoay khi quay mô
hình trên quanh trục
IJ
là:
.
A.
88
3
V
. B.
104
3
V
. C.
40
3
V
. D.
56
3
V
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Khi xoay mô hình quanh trục
IJ
thì nửa đường tròn tạo thành nửa mặt cầu có
2
R
; hình chữ.
nhật
ABCD
tạo thành hình trụ có
2; 6
r h
.
O'
r
h
O
A
D
C
B
I
J
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 24
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Thể tích nửa khối cầu là
3
1
1 4
.
2 3
V R
16
3
. Thể tích khối trụ là
2
2
V r h
24
.
1 2
88
3
V V V
.
Câu 46: Cho hình vuông
ABCD
cạnh
a
. Gọi
N
là điểm thuộc cạnh
AD
sao cho
2
AN DN
. Đường
thẳng qua
N
vuông góc với
BN
cắt
BC
tại
K
. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay tứ
giác
ANKB
quanh trục
BK
bằng
A.
3
7
6
V a
B.
3
6
7
V a
C.
3
3
2
V a
D.
3
4
3
V a
Hướng dẫn giải
Chọn A
Sau khi quay tứ giác
ANKB
quanh trục
BK
ta được khối tròn xoay gồm một khối nón và khối
trụ có chung đáy (hình vẽ).
Ta có
2
3
IB AN a
.
Xét tam giác
NKB
vuông tại
N
,
cos
BN
BK
NBK
2
BN BN
BI
BI
BN
2 2
BI IN
BI
13
6
a
.
Do đó
3
2
a
KI BK BI .
Thể tích khối nón là
3
2 2
1
1 1 3
. . .
3 3 2 2
a
V NI KI a a
.
Thể tích khối trụ là
3
2 2
2
2 2
. . . .
3 3
a
V NI BI a a
.
Suy ra thể tích khối tròn xoay cần tìm là
3
1 2
7
6
a
V V V
.
Câu 47: Cho hình vuông
ABCD
có cạnh bằng
1 .
m
Gọi
M
là trung điểm của
,
AB
N
thuộc cạnh
BC
thỏa mãn
2 .
NC NB
Gọi
V
là thể tích khối tròn xoay khi quay đa giác
ADCNM
quanh trục
.
BC
Tính
.
V
.
3
35
36
V m
.
A.
3
5
6
V m
. B.
3
17
18
V m
.
I
N
A
N
K
I
a
a
K
D
C
B
A
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 25
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
C.
3
11
12
V m
. D. .
Hướng dẫn giải
Chọn B
Gọi thể tích khối trụ tròn xoay khi quay hình vuông
ABCD
quanh trục
BC
là
1
V
.
Gọi thể tích khối nón tròn xoay khi quay tam giác
MBN
quanh trục
BC
là
2
V
.
2 2
1 2
2
2
2
1 1 1
. . .1 .1 ; ;
2 3 3
1 1 1 1
. . .
3 3 2 3 36
V r h MB r h BN BC
V r h
.
Vậy
1 2
35
36 36
V V V
.
Câu 48: Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn
O
và
O
, chiều cao
3
R
và bán kính đáy
R
. Một hình nón có đỉnh là
O
và đáy là hình tròn
;
O R
. Tỷ số diện tích xung quanh của hình
trụ và hình nón bằng
A.
2
. B.
3
. C.
3
. D.
2
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có diện tích xung quanh của hình trụ là
2
1
2 2 . 3 2 3.
S Rh R R R
Diện tích xung quanh của hình nón là
2
2 2
2
. 3 2 .
S Rl R R R R
Tỷ số diện tích xung quanh của hình trụ và hình nón bằng
2
1
2
2
2 3
3.
2
S R
S R
M
C
D
A
B
N
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 26
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 49: Có một hộp nhựa hình lập phương, người ta bỏ vào hộp đó 1 quả bóng đá. Tính tỉ số
1
2
V
V
, trong đó
1
V
là thể tích của quả bóng đá,
2
V
là thể tích của chiếc hộp đựng bóng. Biết các mặt của hình lập
phương tiếp xúc với quả bóng.
A.
1
2
8
V
V
.
B.
1
2
4
V
V
.
C.
1
2
2
V
V
.
D.
1
2
6
V
V
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Gọi
R
là bán kính của mặt cầu, khi đó cạnh của hình lập phương là
2
R
.
Ta được.
Thể tích hình lập phương là
3
2
8
V R
, thể tích quả bóng là
3
1
4
3
R
V
1
2
6
V
V
.
Câu 50: Cho một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn
;
O R
, với
3
OO R
và một hình nón có đỉnh
O
và đáy là hình tròn
;
O R
. Kí hiệu
1
S
,
2
S
lần lượt là diện tích xung quanh của hình trụ và hình
nón. Tính
1
2
S
k
S
.
A.
3
k
. B.
2
k
. C.
1
2
k
. D.
1
3
k
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có
2
1
2 . 3 2 3 S
πR R πR
.
2 2 2
2
3 2 S
πR R R πR
. Vậy
1
2
3
S
k
S
.
Câu 51: Trong mặt phẳng
P
cho hình vuông
MNPQ
có cạnh bằng 7 và hình tròn
C
có tâm
M
,
đường kính bằng
14
. Tính thể tích
V
của vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay mô hình
trên quanh trục là đường thẳng
PM
.
.
A.
343 6 2
6
V
. B.
343 4 3 2
6
V
.
C.
343 12 2
6
V
. D.
343 7 2
6
V
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 27
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
.
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó ta có thể tích khối tròn xoay gồm chỏm cầu sinh bởi
cung lớn
NQ
khi quay quanh
Ox
và khối nón đỉnh
P
, đường kính đáy là
NQ
.
Vậy thể tích được tính bằng:
2
7
2
7 2
2
1 7 2 7 2
49 . .
3 2 2
V x dx
343 4 3 2
6
.
Câu 52: Một hình trụ có trục
OO
chứa tâm của một mặt cầu bán kính
R
, các đường tròn đáy của hình trụ
đều thuộc mặt cầu trên, đường cao của hình trụ đúng bằng
R
. Tính thể tích
V
của khối trụ?
A.
3
3
4
R
V
. B.
3
V R
. C.
3
4
R
V
. D.
3
3
R
V
.
Lời giải
Chọn A
Đường kính đáy của khối trụ
2
2
2 2 3
r R R R
3
2
R
r
.
Thể tích của khối trụ
2
3
2
3 3
2 4
R R
V r h R
.
O
O'
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 28
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 53: Cho hình trụ có hai đáy là hình tròn
O
và
O
, chiều cao
3
R
, bán kính đáy
R
và hình nón có
đỉnh là
O
, đáy là hình tròn
; .
O R
Tính tỉ số giữa diện tích xung quanh của hình trụ và diện tích
xung quanh của hình nón.
A.
2
. B.
3
. C.
2
. D.
3
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Diện tích xung quanh hình trụ là
2
1
2 2 3 .
S Rh R
2 2
2
O A OA OO R
. Diện tích xung quanh hình nón là
2
2
2 .
S Rl R
Tỉ số:
2
1
2
2
2 3
3.
2
S R
S R
Câu 54: Cho hình nón có chiều cao
h
. Tính chiều cao
x
của khối trụ có thể tích lớn nhất nội tiếp trong
hình nón theo
h
.
A.
2
h
x
. B.
3
h
x
. C.
2
3
h
x . D.
3
h
x .
Hướng dẫn giải
Chọn B
Theo định lí Ta-Let ta có:
SO h x r
SO x h r
,
0
x h
.
Thể tích hình trụ là:
2
2
2
2
2 2
.
h x r
r
V r x x x h x
h h
.
R
R
3
O'
O
A
r
r'
O'
O
S
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 29
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Xét
3
3
2
4
2 2
4. . . 4
2 2 3 27
h x h x
x
h x h x h
M x x h x x
.
Dấu
" "
xảy ra khi
2 3
h x h
x x
.
Câu 55: Cho hình chữ nhật
ABCD
có
6
AB
,
8
AD
(như hình vẽ). Tính thể tích
V
của vật thể tròn
xoay được tạo thành khi cho hình chữ nhật
ABCD
quay quanh trục
AC
.
A.
110,525
V
. B.
106,725
V
. C.
100,425
V
. D.
105,625
V
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
.
Khi quay hình chữ nhật quanh trục
AC
, ta thấy vật thể tròn xoay được tạo thành gồm hai khối
nón có thể tích bằng nhau và hai khối nón cụt có thể tích bằng nhau (như hình vẽ trên).
Gọi
1
V
là thể tích của mỗi hình nón và
2
V
là thể tích của mỗi hình nón cụt thì ta có thể tích vật
thể tròn xoay cần tìm là
1 2
2
V V V
.
Hình chữ nhật
ABCD
có
6
AB
,
8
AD
nên
2 2
10
AC AB AD
.
+ Xét tam giác vuông
ABC
có
IB
là đường cao nên ta có:
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 25
6 8 576
IB AB BC
24
5
IB .
+ Vì tam giác ABC AD C
HAC
cân tại
H
nên
HO AC
(
O
là trung điểm của
AC
).
suy ra
5
2
AC
OA OC
.
+ Xét
ABC
có
2 2
2
6 18
.
10 5
AB
AB AI AC AI
AC
nên
18 7
5
5 5
OI OA AI
;
32
5
IC .
+ Dễ thấy hai tam giác vuông ,
COH CIB
đồng dạng nên ta có:
OH OC
IB IC
.
IB OC
OH
IC
24
.5
15
5
32
4
5
.
Thể tích của mỗi hình nón là
2
1
1
. .
3
V IB AI
2
1 24 18
. . 27,648
3 5 5
(đvtt).
Và thể tích của mỗi hình nón cụt là
2 2
2
1
. . .
3
V OI IB OH IB OH
.
2 2
1 7 24 15 24 15
. . .
3 5 5 4 5 4
25,7145
(đvtt).
Vậy thể tích cần tìm là
1 2
2
V V V
2 27,648 25,7145
106,725
(đvtt).
H
JI
O
D'
B'
D
B
C
A
R
R
r
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 30
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Ghi nhớ:
Thể
tích
khối
nón cụt
2 2
1
3
xq
S l R r
V h R r Rr
Câu 56: Cho tam giác đều và hình vuông cùng có cạnh bằng
4
được xếp chồng lên nhau sao cho một đỉnh
của tam giác đều trùng với tâm của hình vuông, trục của tam giác đều trùng với trục của hình
vuông (như hình vẽ). Thể tích của vật thể tròn xoay sinh bởi hình đã cho khi quay quanh trục
AB
là.
A.
136 24 3
9
. B.
128 24 3
9
. C.
144 24 3
9
. D.
48 7 3
3
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
.
Khi xoay quanh trục AB thì :
Phần hình vuông phía trên trở thành lăng trụ có bán kính R = 2, chiều cao h = 4.
2
1
2 .4 16
V
.
Phần dưới trở thành hình nón cụt với.
2 3 2 2 3 1
h HK AK AH
;
2
R
' 2 1
2 3 3
R AH
R AK
2
'
3 3
R
R
Áp dụng
2 2
24 3 8
' ' ...
1
3
...
9
h R RV RR
.
Vậy
1 2
24 3 136
9
V V V
.
Câu 57: Một hộp nữ trang (xem hình vẽ) có mặt bên
ABCDE
với
ABCE
là hình chữ nhật, cạnh cong
CDE
là một cung của đường tròn có tâm là trung điểm
M
của đoạn thẳng
AB
. Biết
12 3 cm
AB
,
6cm
BC
và
18cm
BQ
. Hãy tính thể tích của hộp nữ trang.
l
r
R
h
h
R'
R
H
C
A
K
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 31
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
3
261 4 3 3 cm .
B.
3
216 4 3 3 cm .
C.
3
261 3 3 4 cm .
D.
3
216 3 3 4 cm .
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có
.
ABCDE
V BQ S
.
Trong đó
ABCDE ABCE CDE ABCE MCDE MCE
S S S S S S
2
.12 .120 1
6.12 3 .6.12 3 12 3 3 4
360 2
.
Thể tích hộp nữ trang là
3
18.12 3 3 4 216 3 3 4
V cm
.
Câu 58: Người ta thiết kế một bể chứa nước như hình 1 thể tích nước là
3
4
m
.
Khi đó h gần bằng với giá trị nào sau đây:
A.
1
B.
4
C.
1,5
D.
2
Hướng dẫn giải
Chọn D
Câu 59: Cho tam giác đều
ABC
cạnh
1
và hình vuông
MNPQ
nội tiếp trong tam giác
ABC
(
M
thuộc
,
AB
N
thuộc
,
AC
P
,
Q
thuộc
).
BC
Gọi
S
là phần mặt phẳng chứa các điểm thuộc tam giác
ABC
nhưng không chứa các điểm thuộc hình vuông
.
MNPQ
Thể tích của vật thể tròn xoay khi
quay
S
quanh trục là đường thẳng qua
A
vuông góc với
BC
là
A.
810 467 3
24
. B.
4 3 3
96
. C.
4 3 3
96
. D.
54 31 3
12
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 32
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Thể tích của vật thể tròn xoay khi quay
S
quanh trục là đường thẳng
AH
bằng hiệu thể tích khối
nón khi quay tam giác
ABC
và thể tích khối trụ khi quay hình vuông
MNPQ
quanh trục là
đường thẳng
AH
.
Gọi độ dài cạnh hình vuông là
x
. Khi đó: 1 1
MN AN CN NP
BC AC CA AH
1 2 3 3
1
3
2
x x
x
2 2
1 1 3 810 467 3
. . .
3 2 2 2 24
x
V x
.
Câu 60: Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn tâm
O
,
O
, bán kính đáy bằng chiều cao và bằng
a
, trên
đường tròn đáy tâm
O
lấy điểm
A
, trên đường tròn đáy tâm
O
lấy điểm
B
sao cho
2
AB a
.
Thể tích tứ diện
OO AB
là
A.
3
3
3
a
V
. B.
3
3
24
a
V
. C.
3
3
6
a
V
. D.
3
3
12
a
V
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Dựng hình chữ nhật
ADBC
, ta có:
3
AD a
,
OA OD a
,
2
a
OE
.
.
1
3
OO AB OAD O CB
V V
1
.
3
OAD
S OO
1 1
. . . .
3 2
AD OE OO
1
. 3. .
6 2
a
a a
3
3
12
a
.
Câu 61: Cho hình thang vuông
ABCD
có độ dài hai đáy
2 , 4
AB a DC a
, đường cao
2
AD a
. Quay
hình thang
ABCD
quanh đường thẳng
AB
thu được khối tròn xoay
H
. Tính thể tích
V
của
khối
H
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 33
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
3
16 .
V a
. B.
3
20
.
3
a
V
. C.
3
8 .
V a
. D.
3
40
.
3
a
V
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
.
Thể tích
V
của khối
H
bằng thể tích của khối trụ
DCFE
trừ thể tích khối nón
BCF
.
Vậy thể tích cần tìm:
3
2 2
1 40
2 .4 2 .2
3 3
DCFE BCF
a
V V V a a a a
.
Câu 62: Cho hình nón có đáy là hình tròn tâm
O
, bán kính
R
và có chiều cao
h
. Hãy tính chiều cao của
hình trụ có thể tích lớn nhất nội tiếp trong hình nón đã cho.
A.
4
h
. B.
2
h
. C.
3
h
. D.
3
4
h
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Đặt
h
,
0 ,0
r h h r R
lần lượt là chiều cao và bán kính hình trụ.
Ta có thể tích khối trụ là
2
.
V h r
.
Lại có
NPB
đồng dạng
SOB
nên:
h R r hr
h h
h R R
.
Ta được
2
.
V h r
2
hr
r h
R
4
. .
2 2
h r r
R r
R
3
2
Cos
4 4
2 2
.
3 27
i
r r
R r
h hR
R
.
Vậy
2
max
4
27
hR
V
đạt được khi
2 1
2 3 3
r
R r r R h h
.
Câu 63: Cho mặt cầu
S
có bán kính
R
không đổi, hình nón
H
bất kì nội tiếp mặt cầu
S
. Thể tích
khối nón
H
là
1
V
; và thể tích phần còn lại của khối cầu là
2
V
. Giá trị lớn nhất của
1
2
V
V
bằng:
A.
76
32
. B.
32
81
. C.
32
76
. D.
81
32
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 34
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Gọi
I
,
S
là tâm mặt cầu và đỉnh hình nón.
Gọi
H
là tâm đường tròn đáy của hình nón và
AB
là một đường kính của đáy.
Ta có
1
2 1
1
V
V
V V V
. Do đó để
1
2
V
V
đạt GTLN thì
1
V
đạt GTLN.
TH 1: Xét trường hợp
SI R
Khi đó thể tích của hình nón đạt GTLN khi
SI R
Lúc đó
3
1
3
R
V
.
TH 2:
SI R I
nằm trong tam giác
SAB
như hình vẽ.
Đặt
0
IH x x
. Ta có
2
1
1
.
3
V HA SH
2 2
1
3
R x R x
2 2
6
R x R x R x
3
3
4 32
6 3 81
R
R
.
Dấu bằng xảy ra khi
3
R
x
.
Khi đó
1
2 1
1
V V
V V V
3
3 3
4
8
3
1
4 32
19
3 81
R
R R
.
Câu 64: Hình trụ bán kính đáy
r
. Gọi
O
và
O
là tâm của hai đường tròn đáy với
2
OO r
. Một mặt cầu
tiếp xúc với hai đáy của hình trụ tại
O
và
O
. Gọi
C
V
và
T
V
lần lượt là thể tích của khối cầu và
khối trụ. Khi đó
C
T
V
V
là
A.
2
3
. B.
3
5
. C.
1
2
. D.
3
4
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có thể tích của khối cầu là
3
4
3
C
V r
.
Thể tích của khối trụ là
2 3
2
T
V r l r
.
Khi đó
2
3
C
T
V
V
.
Câu 65: Thiết diện qua trục của một hình nón là tam giác đều cạnh bằng Một mặt cầu có diện tích bằng
diện tích toàn phần của hình nón. Tính bán kính của mặt cầu.
I
A
S
B
H
2.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 35
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
2
. B.
3
. C.
3
2
. D.
2 3
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Vì thiết diện qua trụ là tam giác đều cạnh bằng
2
nên hình nón có bán kính
1
r
, độ dài
đường sinh
2
l
.
Diện tích toàn phần của hình nón:
3
tp
r l rS
.
Mặt cầu có bán kính
R
thì có diện tích
2
4
mc
S
R
.
Theo đề bài thì
2
4
3
3
2
R R
.
Câu 66: Hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông cạnh
2
a
. Một mặt cầu tiếp xúc với các đường sinh
của hình trụ và hai đáy của hình trụ. Tỉ số thể tích của khối trụ và khối cầu là.
A.
2
.
B.
3
2
. C.
1
2
. D.
4
3
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
.
Do thiết diện đi qua trục của hình trụ là hình vuông cạnh
2
a
nên bán kính đáy, chiều cao của
hình trụ lần lượt là và mặt cầu nội tiếp khối trụ có bán kính là
a.
.
Thể tích khối trụ là:
2 3
2
T
V h. .R . .a .
.
Thể tích khối cầu là:
3 3
4 4
3 3
C
V R a .
.
Tỉ số thể tích là
3
2
T
C
V
.
V
.
Câu 67: Cho hình thang
ABCD
có
90
A B
,
AB BC a
,
2
AD a
. Tính thể tích khối tròn xoay
sinh ra khi hình thang
ABCD
quay quanh
CD
.
A.
3
7 2
6
a
. B.
3
7 2
12
a
. C.
3
7
6
a
. D.
3
7
12
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
B
C
A
D
O
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 36
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Khối nón đỉnh
D
, trục
CD
có chiều cao
2
CD a
, bán kính đáy
2
CA a
nên có thể tích
3
2
1
1 2 2
. .
3 3
a
V CD CA
.
Khối chóp cụt có trục
2
2
a
CH
, hai đáy có bán kính
2
CA a
và
2
2
a
HB
nên thể tích
khối chóp cụt là
3
2 2
2
1 7 2
. . .
3 12
a
V CH CA HB CA HB
Khối chóp đỉnh
C
, trục
CH
có thể tích
3
2
3
1 2
. .
3 12
a
V CH HB
Vậy thể tích khối tròn xoay cần tính là:
3
1 2 3
7 2
6
a
V V V V
.
Câu 68: Từ một khối đất sét hình trụ tròn có chiều cao
20
cm
, đường tròn đáy có bán kính
8
cm
. Bạn Na
muốn chế tạo khối đất đó thành nhiều khối cầu và chúng có cùng bán kính
4
cm
. Hỏi bạn Na có
thể làm ra được tối đa bao nhiêu khối cầu?
A.
15
khối B.
30
khối C.
20
khối D.
45
khối
Hướng dẫn giải
Chọn A
Gọi
1
V
là thể tích khối đất sét hình trụ tròn. Suy ra:
2
1
20 .8 1280
V
3
cm
.
Gọi
2
V
là thể tích một khối cầu. Suy ra:
3
2
4 256
.4
3 3
V
3
cm
.
Lập tỉ số
1
2
15
V
V
.
Vậy có thể làm ra tối đa
15
khối cầu.
Câu 69: Bên trong một khối trụ có một khối cầu nội tiếp khối trụ như hình vẽ bên. Gọi
1
V
là thể tích của
khối trụ và
2
V
là thể tích của khối cầu. Tính tỷ số
1
2
V
V
?
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 37
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
1
2
3
V
V
. B.
1
2
4
3
V
V
. C.
1
2
2
V
V
. D.
1
2
3
2
V
V
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Gọi bán kính mặt cầu là
R
khi đó bán kính trụ là
R
và chiều cao trụ là
2
h R
.
Ta có
2 3
1
2
V R h R
;
3
2
4
3
V R
.
Suy ra
3
1
3
2
2 3
4
2
3
V
R
V
R
.
Câu 70: Cho hình nón có thiết diện qua trục là tam giác đều. Gọi
1
V
,
2
V
lần lượt là thể tích của khối cầu
nội tiếp và nội tiếp hình nón đã cho. Tính
1
2
V
V
.
A.
2
. B.
8
. C.
16
. D.
4
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Giả sử cạnh của tam giác đều
SAB
bằng
1
.
Gọi thiết diện qua trục hình nón là tam giác đều
SAB
.
Gọi
I
là trọng tâm tam giác đều
SAB
, khi đó
I
là tâm mặt cầu nội tiếp hình nón cũng là tâm
mặt cầu ngoại tiếp hình nón.
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình nón là
2 2 3 3
.
3 3 2 3
R SI SO
.
Bán kính mặt cầu nội tiếp hình nón là
1 1 3 3
.
3 3 2 6
r IO SO
.
M
I
O
B
A
S
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 38
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình nón là
3
1
4 4 3
3 27
V R
.
Thể tích mặt cầu nội tiếp hình nón là
3
2
4 3
3 54
V r
.
Vậy
1
2
8
V
V
.
Câu 71: Hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông cạnh
2
a
. Một mặt cầu tiếp xúc với các đường sinh
của hình trụ và hai đáy của hình trụ. Tỉ số thể tích của khối trụ và khối cầu là.
A.
2
. B.
1
2
. C.
3
2
. D.
4
3
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
.
Do thiết diện đi qua trục của hình trụ là hình vuông cạnh
2
a
nên bán kính đáy, chiều cao của
hình trụ lần lượt là và mặt cầu nội tiếp khối trụ có bán kính là
a
.
Thể tích khối trụ là:
2 3
2
T
V h. .R . .a
.
Thể tích khối cầu là:
3 3
4 4
3 3
C
V R a
.
Tỉ số thể tích là
3
2
T
C
V
V
.
Câu 72: Cho khối trụ có chiều cao
16
h
và hai đáy là hai đường tròn tâm
O
,
O
với bán kính
12
R
.
Gọi
I
là trung điểm của
OO
và
AB
là một dây cung của đường tròn
O
sao cho
12 3
AB .
Tính diện tích thiết diện của khối trụ với mặt phẳng
IAB
.
A.
120 3
. B. 48
π 24 3
. C. 60 3 40
π
. D. 120 3 80
π
.
Hướng dẫn giải
Chọn D.
B
C
A
D
O
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 39
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Gọi
d
là khoảng cách từ
O
đến dây cung
AB
2
2
6
2
AB
d R
.
Gọi
là góc tạo bởi thiết diện với mặt đáy. Do đó
/ 2 8 4
tan
6 3
h
d
3
cos
5
.
Đưa hệ trục tọa độ
Oxy
vào mặt phẳng đáy, gốc trùng với tâm
O
, trục
Ox
vuông góc với
AB
,
trục
Oy
song song với
AB
.
Do đó
6
2 2
6
2 12 d
ABCD
S x x
144
π
72 3
3
.
Áp dụng công thức
cos
ABCD
thietdien
S
S
suy ra
cos
ABCD
thietdien
S
S
120 3 80
π
.
Câu 73: Cho mặt cầu
S
có bán kính
3.
R a Gọi
T
là hình trụ có hai đường tròn đáy nằm trên
S
và có thiết diện qua trục của
T
lớn nhất. Tính diện tích toàn phần
tp
S
của
T
.
A.
2
6 3.
tp
S a
B.
2
6 .
tp
S a
C.
2
9 .
tp
S a
D.
2
9 3.
tp
S a
Hướng dẫn giải
Chọn C
Hình vẽ thiết diện qua trục như sau:
Ta có:
2 2 3.
AC R a
Đặt
,
AD x
ta có:
2 2 2 2
12
CD AC AD a x
Vì thiết diện qua trục là lớn nhất nên
.
ADCD
lớn nhất.
Xét hàm số:
2 2
. 12 , 0;2 3 .
f x x a x x a
F
E
D
C
y
x
H
B
A
O'
O
I
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 40
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Ta có:
2 2
2 2
2 2 2 2
2 12 2
12 .
2 12 12
x a x
f x a x x
a x a x
2 2
2 2
12 2
0 0 6
12
a x
f x x a
a x
Ta có:
2
2 2
6 6. 12 6 6. 6 6
f a a a a a a a
;
2 3 0
f a
;
0 0
f
Vậy hình trụ có: bán kính đáy
6
;
2 2
CD a
R
chiều cao
6
h AD a
2
6 6
2 ( ) 2 . . 6 9
2 2
tp
a a
S r r h a a
.
Câu 74: Cho hai hình vuông có cùng cạnh bằng 5 được xếp chồng lên nhau sao cho đỉnh
X
của một hình
vuông là tâm của hình vuông còn lại (như hình vẽ).
Tính thể tích
V
của vật thể tròn xoay khi quay mô hình trên xung quanh trục
XY
.
A.
125 5 4 2
24
V . B.
125 2 2
4
V .
C.
125 1 2
6
V . D.
125 5 2 2
12
V .
Hướng dẫn giải
Chọn A
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 41
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Cách 1 :
Khối tròn xoay gồm 3 phần:
Phần 1: khối trụ có chiều cao bằng 5, bán kính đáy bằng
5
2
có thể tích
2
1
5 125
5
2 4
V .
Phần 2: khối nón có chiều cao và bán kính đáy bằng
5 2
2
có thể tích
2
2
1 5 2 5 2 125 2
3 2 2 12
V
Phần 3: khối nón cụt có thể tích là
2
2
3
5 2 1 125 2 2 1
1 5 2 5 5 2 5
3 2 2 2 2 2 24
V
.
Vậy thể tích khối tròn xoay là
1 2 3
125 2 2 1 125 5 4 2
125 125 2
4 12 24 24
V V V V .
Cách 2 :
Thể tích hình trụ được tạo thành từ hình vuông
ABCD
là
2
125
4
T
V R h
Thể tích khối tròn xoay được tạo thành từ hình vuông
XEYF
là
Y
X
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 42
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
2
2
2 125 2
3 6
N
V R h
Thể tích khối tròn xoay được tạo thành từ tam giác
XDC
là
2
1 125
3 24
N
V R h
Thể tích cần tìm
2
5 4 2
125
24
T N N
V V V V
.
Câu 75: Cho hình thang
ABCD
vuông tại
A
và
D
,
AD CD a
,
2
AB a
. Quay hình thang
ABCD
quanh đường thẳng
CD
. Thể tích khối tròn xoay thu được là:
A.
3
a
. B.
3
5
3
a
. C.
3
7
3
a
. D.
3
4
3
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Gọi
T
là khối trụ có đường cao là
2
a
, bán kính đường tròn đáy là
a
và
N
là khối nón có
đường cao là
a
, bán kính đường tròn đáy là
a
.
Ta có:
Thể tích khối trụ
T
là:
2
1
. .2
V a a
3
2 .
a
.
Thể tích khối nón
N
là:
2
2
1
. .
3
V a a
3
.
3
a
.
Thể tích khối tròn xoay thu được là:
1 2
V V V
3
3
.
2 .
3
a
a
3
5
3
a
.
Câu 76: Cho mặt cầu
S
bán kính
R
. Hình nón
N
thay đổi có đỉnh và đường tròn đáy thuộc mặt cầu
S
. Thể tích lớn nhất của khối nón
N
là:
A.
3
32
27
R
. B.
3
32
27
R
. C.
3
32
81
R
. D.
3
32
81
R
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 43
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Ta có thể tích khối nón đỉnh
S
lớn hơn hoặc bằng thể tích khối nón đỉnh
S
. Do đó chỉ cần xét
khối nón đỉnh
S
có bán kính đường tròn đáy là
r
và đường cao là
SI h
với
h R
.
Thể tích khối nón được tạo nên bởi
N
là:
1
.
3
C
V h S
2
1
. .
3
h r
2
2
1
. .
3
h R h R
3 2
1
2
3
h h R
.
Xét hàm số:
3 2
2
f h h h R
với
;2
h R R
.
Ta có
2
3 4
f h h hR
.
0
f h
2
3 4 0
h hR
0
h
(loại) hoặc
4
3
R
h .
Bảng biến thiên:
Ta có:
3
32
max
27
f h R
tại
4
3
R
h .
Vậy thể tích khối nón được tạo nên bởi
N
có giá trị lớn nhất là
3 3
1 32 32
3 27 81
V R R
khi
4
3
R
h .
Chú ý: Sau khi tính được
3 2
1
2
3
V h h R
ta có thể làm như sau:
3
3
3 2 2
1 1 4 2 32
2 2 . . 4 2
3 3 6 6 3 81
h h R h R
V h h R h R h h h R h
.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
4
4 2
3
R
h R h h .
Câu 77: Cho khối cầu
S
tâm
I
, bán kính
R
không đổi. Một khối trụ thay đổi có chiều cao
h
và bán
kính đáy
r
nội tiếp khối cầu. Tính chiều cao
h
theo
R
sao cho thể tích của khối trụ lớn nhất.
A.
2
h R . B.
2
2
R
h
. C.
3
2
R
h
. D.
2 3
3
R
h
.
Hướng dẫn giải.
Chọn D
Ta có
2
2 2
4
h
r R
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 44
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Thể tích của khối trụ:
2
2
4
h
V R h
3
2
4
h
V R h
.
Ta có
2 2
3
4
V R h
,
2 3
0
3
R
V h
.
Bảng biến thiên:
Vậy thể tích khối trụ lớn nhất khi
2 3
3
R
h
.
Câu 78: Một hình trụ có diện tích xung quanh bằng
4
, diện tích đáy bằng diện tích của mặt cầu có bán
kính bằng
1
. Tính thể tích
V
khối trụ đó.
A.
10
V
. B.
8
V
. C.
4
V
. D.
6
V
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Gọi
1
, , ,S
r h S
lần lượt là bán kính hay đáy, chiều cao, diện tích xung quanh và diện tích một đáy
của hình trụ.
Vì diện tích đáy bằng diện tích của mặt cầu có bán kính bằng 1 nên
1
4
S
, suy ra
2
4 2
r r
.
Hình trụ có diện tích xung quanh bằng 4 nên
2 4 2 1
S rh rh h
.
Vậy
2
4
V r h
.
Câu 79: Chỉ ra khẳng định sai trong các khẳng định sau.
A. Diện tích toàn phần của hình trụ có bán kính đường tròn đáy
r
và chiều cao của trụ
l
là
2
tp
S r l r
B. Khối lăng trụ có đáy có diện tích đáy là
B
, đường cao của lăng trụ là
h
, khi đó thể tích khối
lăng trụ là
V Bh
C. Diện tích xung quanh của mặt nón có bán kính đường tròn đáy
r
và đường sinh
l
là
S rl
D. Mặt cầu có bán kính là
R
thì thể tích khối cầu là
3
4
V R
Hướng dẫn giải
Chọn D
Mặt cầu có bán kính là
R
thì thể tích khối cầu là
3
4
3
V R
.
Câu 80: Cho hình nón
N
có bán kính đáy
20( )
r cm
, chiều cao
60( )
h cm
và một hình trụ
T
nội tiếp
hình nón
N
(hình trụ
T
có một đáy thuộc đáy hình nón và một đáy nằm trên mặt xung
quanh của hình nón). Tính thể tích
V
của hình trụ
T
có diện tích xung quanh lớn nhất?
A.
3
4000 ( ).
V cm
B.
3
32000
( ).
9
V cm
C.
3
3600 ( ).
V cm
D.
3
3000 ( ).
V cm
Hướng dẫn giải
Chọn D
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 45
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Gọi độ dài bán kính hình trụ là
0 20
xcm x , chiều cao của hình trụ là
'
h
.
Ta có:
h SI I K
h SI AI
SI II I K
SI AI
h h x
h r
60
60 20
h x
.
60 3
h x
60 3
h x
.
Diện tích xung quanh của hình trụ là:
2 .
S x h
2 60 3
x x
2
2 60 3
x x
2
2 100 3 10
x
200
.
Diện tích xung quanh của hình trụ lớn nhất khi
10
x
.
Khi đó thể tích khối trụ là:
2
.
V x h
2
.10 .30
3000
.
Câu 81: Cho tam giác
ABC
vuông tại
A
có
2
BC a
,
AC a
. Quay tam giác này quanh trục
AB
, ta
được một hình nón đỉnh
B
. Gọi
1
S
là diện tích toàn phần của hình nón đó và
2
S
là diện tích mặt
cầu có đường kính
AB
. Khi đó, tỉ số
1
2
S
S
là:
A.
1
2
1
2
S
S
. B.
1
2
3
2
S
S
. C.
1
2
2
3
S
S
. D.
1
2
1
S
S
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Hình nón có :
2 2
3
h AB BC AB a
Gọi
x m
là cạnh của tam giác đều,
20
0
3
x
.
2
l BC a
Suy ra cạnh hình vuông là
20 3
4
x
m
.
Diện tích toàn phần của hình nón
2 2
1
3
S Rl R a
Mặt cầu đường kính
AB
có bán kính
1 3
2 2
a
R AB
.
I'
K
I
A
B
K'
S
H'
H
C
B
A
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 46
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Diện tích mặt cầu
2
2 2
2
3
4 4 3
2
a
S R a
.
Vậy
1
2
1
S
S
.
Câu 82: Cho hình chữ nhật
ABCD
và nửa đường tròn đường kính
AB
như hình vẽ. Gọi
,
I J
lần lượt là
trung điểm của
,
AB CD
. Biết
4; 6
AB AD
Thể tích
V
của vật thể tròn xoay khi quay mô
hình trên quanh trục
IJ
là:
.
A.
40
3
V
. B.
88
3
V
. C.
56
3
V
. D.
104
3
V
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Khi xoay mô hình quanh trục
IJ
thì nửa đường tròn tạo thành nửa mặt cầu có
2
R
; hình chữ.
nhật
ABCD
tạo thành hình trụ có
2; 6
r h
.
Thể tích nửa khối cầu là
3
1
1 4 16
.
2 3 3
V R
. Thể tích khối trụ là
2
2
24
V r h
.
1 2
88
3
V V V
.
Câu 83: Một hình trụ có bán kính đáy bằng
r
và khoảng cách giữa hai đáy bằng
3
r
. Một hình nón có
đỉnh là tâm mặt đáy này và đáy trùng với mặt đáy kia của hình trụ. Tính tỉ số diện tích xung
quanh của hình trụ và hình nón.
A.
1
3
B. 3 C.
3
D.
1
3
Hướng dẫn giải
Chọn C
Đường sinh của hình nón:
2 2
3 2
l r r r
.
Diện tích xung quanh của hình nón:
2
1
2
S rl r
.
Diện tích xung quanh của hình trụ:
2
2
2 2 3
S rh r
.
Vậy tỉ số cần tìm là
3
.
Câu 84: Một hình trụ có chiều cao bằng
6
nội tiếp trong hình cầu có bán kính bằng
5
như hình vẽ. Thể tích
của khối trụ này bằng.
A.
192
. B.
48
. C.
36
. D.
96
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
A
D
C
B
I
J
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 47
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
.
Đường kính đáy hình trụ bằng
2 2
10 6 8
suy ra bán kính hình trụ là
4
r
. Thể tích khối trụ
là
2
.4 .6 96
V
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 1
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
TOÁN MAX-MIN LIÊN QUAM KHỐI NÓN
Câu 1: Cho hai mặt phẳng
P và
Q song song với nhau và cắt một mặt cầu tâm O bán kính R tạo
thành hai đường tròn có cùng bán kính. Xét hình nón có đỉnh trùng với tâm của một trong hai
đường tròn và đáy trùng với đường tròn còn lại. Tính khoảng cách giữa
P và
Q để diện tích
xung quanh hính nón đó là lớn nhất.
A.
2 3
3
R
. B. 2R . C. 2 3R . D. R .
Câu 2: Một công ty sản xuất một loại cốc giấy hình nón có thể tích
3
27cm với chiều cao là
h
và bán kính
đáy là r để lượng giấy tiêu thụ là ít nhất thì giá trị của r là:
A.
6
6
2
3
2
r
. B.
6
4
2
3
2
r
. C.
8
6
2
3
2
r
. D.
8
4
2
3
2
r
.
Câu 3: Bạn Hoàn có một tấm bìa hình tròn như hình vẽ, Hoàn muốn biến hình tròn đó thành một hình cái
phễu hình nón. Khi đó Hoàn phải cắt bỏ hình quạt tròn AOB rồi dán hai bán kính OA và OB lại
với nhau (diện tích chỗ dán nhỏ không đáng kể). Gọi
x
là góc ở tâm hình quạt tròn dùng làm phễu.
Tìm
x
để thể tích phễu lớn nhất?
A.
3
. B.
2 6
3
. C.
2
. D.
4
.
Câu 4: Cho mặt nón tròn xoay đỉnh S đáy là đường tròn tâm O có thiết diện qua trục là một tam giác đều
cạnh bằng
a
. A , B là hai điểm bất kỳ trên
O . Thể tích khối chóp .S OAB đạt giá trị lớn nhất
bằng
A.
3
3
48
a
B.
3
96
a
C.
3
3
24
a
D.
3
3
96
a
Câu 5: Trong các hình nón nội tiếp một hình cầu có bán kính bằng 3, tính bán kính mặt đáy của hình nón
có thể tích lớn nhất.
A. Đáp án khác. B.
4 2.R
C.
2.R
D.
2 2.R
Câu 6: Hình nón gọi là nội tiếp mặt cầu nếu đỉnh và đường tròn đáy của hình nón nằm trên mặt cầu. Tìm
chiều cao h của hình nón có thể tích lớn nhất nội tiếp mặt cầu có bán kính R cho trước.
A.
3
2
R
h B.
5
2
R
h C.
5
4
R
h D.
4
3
R
Câu 7: Giá trị lớn nhất của thể tích khối nón nội tiếp trong khối cầu có bán kính R là
A.
3
4 2
9
R
. B.
3
32
81
R
. C.
3
1
3
R
. D.
3
4
3
R
.
Câu 8: Cho hình nón
N
có đường cao SO h và bán kính đáy bằng R , gọi M là điểm trên đoạn SO ,
đặt OM x , 0 x h .
C là thiết diện của mặt phẳng
P vuông góc với trục SO tại M , với
hình nón
N . Tìm
x
để thể tích khối nón đỉnh O đáy là
C lớn nhất.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 2
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
3
h
. B.
2
2
h
. C.
3
2
h
. D.
2
h
.
Câu 9: Cho hình nón đỉnh
S
, đáy là hình tròn tâm
O
, góc ở đỉnh bằng
120
. Trên đường tròn đáy, lấy
điểm
A
cố định và điểm
M
di động. Có bao nhiêu vị trí điểm của điểm
M
để diện tích tam giác
SAM
đạt giá trị lớn nhất?
A. Có vô số vị trí. B. Có
3
vị trí. C. Có
1
vị trí. D. Có
2
vị trí.
Câu 10:
Một công ty sản xuất một loại cốc giấy hình nón có thể tích
3
27cm
, với chiều cao
h
và bán kính
đáy
r
. Giá trị
r
để lượng giấy tiêu thụ ít nhất:
A.
6
6
2
3
2
r
B.
6
4
2
3
2
r
C.
8
6
2
3
2
r
D.
8
4
2
3
2
r
Câu 11: Cho mặt nón tròn xoay đỉnh
S
đáy là đường tròn tâm
O
có thiết diện qua trục là một tam giác đều
cạnh bằng
a
.
A
,
B
là hai điểm bất kỳ trên
O
. Thể tích khối chóp .
S OAB
đạt giá trị lớn nhất
bằng
A.
3
3
48
a
. B.
3
96
a
. C.
3
3
24
a
. D.
3
3
96
a
.
Câu 12: Cho khối nón đỉnh O, chiều cao là h. Một khối nón khác có đỉnh là tâm
I
của đáy và đáy là một
thiết diện song song với đáy của hình nón đã cho. Để thể tích của khối nón đỉnh
I
lớn nhất thì
chiều cao của khối nón này bằng bao nhiêu?
A.
2
3
h
. B.
3
3
h
. C.
2
h
. D.
3
h
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 1
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
MAX-MIN LIÊN QUAN KHỐI NÓN
Câu 1: Cho hai mặt phẳng
P
và
Q
song song với nhau và cắt một mặt cầu tâm
O
bán kính
R
tạo
thành hai đường tròn có cùng bán kính. Xét hình nón có đỉnh trùng với tâm của một trong hai
đường tròn và đáy trùng với đường tròn còn lại. Tính khoảng cách giữa
P
và
Q
để diện tích
xung quanh hính nón đó là lớn nhất.
A.
2 3
3
R
. B.
2
R . C.
2 3
R
. D.
R
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
.
Ta có
2 2
2 2 2 2
3
,
4 4
h h
r R l r h R .
2 2 2
2 2 4 2 4
3 3
4 4 16 2
xq
h h R
S rl R R h h R
.
Xét
2
4 2 4
3
0 2
16 2
R
f h h h R h R
.
Ta có
3 2
3 2 3
, 0
4 3
R
f h h R h f h h
.
Bảng biến thiên:
Khi đó
f h
đạt giá trị lớn nhất tại
2 3
3
R
h
. Do đó
xq
S
đạt giá trị lớn nhất khi
2 3
3
R
h
.
Câu 2: Một công ty sản xuất một loại cốc giấy hình nón có thể tích
3
27
cm
với chiều cao là
h
và bán kính
đáy là
r
để lượng giấy tiêu thụ là ít nhất thì giá trị của
r
là:
A.
6
6
2
3
2
r
. B.
6
4
2
3
2
r
. C.
8
6
2
3
2
r
. D.
8
4
2
3
2
r
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
l
h
r
R
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 2
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Thể tích của cốc:
2 2
2
1 81 81 1
27 .V r h r h h
r
Lượng giấy tiêu thụ ít nhất khi và chỉ khi diện tích xung quanh nhỏ nhất.
2 2
2 2 2 4
2 4 2 2
81 1 81 1
2 2 2 2
xq
S rl r r h r r r
r r
2 2 2 2
4 4
3
2 2 2 2 2 2 2 2
81 1 81 1 81 1 81 1
2 2 3 . .
2 2 2 2
r r
r r r r
4
6
4
81
2 3
4
(theo BĐT Cauchy)
xq
S nhỏ nhất
2 8 8
4 6
6
2 2 2 2
81 1 3 3
2 2 2
r r r
r
.
Câu 3: Bạn Hoàn có một tấm bìa hình tròn như hình vẽ, Hoàn muốn biến hình tròn đó thành một hình cái
phễu hình nón. Khi đó Hoàn phải cắt bỏ hình quạt tròn AOB rồi dán hai bán kính OA và OB lại
với nhau (diện tích chỗ dán nhỏ không đáng kể). Gọi
x
là góc ở tâm hình quạt tròn dùng làm phễu.
Tìm
x
để thể tích phễu lớn nhất?
A.
3
. B.
2 6
3
. C.
2
. D.
4
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Dựa vào hình vẽ, độ dài cung AB lớn bằng Rx , bán kính hình nón
2
Rx
r
Đường cao của hình nón
2 2
h R r
2 2
2
2
4
R x
R
2 2
4
2
R
x
Thể tích khối nón (phễu)
2
1
3
V r h
2 2
2 2
2
1
. . 4
3 4 2
R x R
x
3
4 2 2
2
4
24
R
x x
Theo Cauchy ta có
3
2
2 2
2 2
4
. . 4
2 2 27
x x
x
3
2 3
27
R
V
.
Dấu bằng xảy ra khi
2
2 2
4
2
x
x
2 6
3
x
. Vậy thể tích phễu lớn nhất khi
2 6
3
x
.
Câu 4: Cho mặt nón tròn xoay đỉnh S đáy là đường tròn tâm O có thiết diện qua trục là một tam giác đều
cạnh bằng
a
. A , B là hai điểm bất kỳ trên
O . Thể tích khối chóp .S OAB đạt giá trị lớn nhất
bằng
A.
3
3
48
a
B.
3
96
a
C.
3
3
24
a
D.
3
3
96
a
Hướng dẫn giải
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 3
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Chọn A
Ta có
.
1
.
3
S OAB AOB
V S SO
. Lại có
1
. .sin
2
AOB
S OAOB AOB
.
Mặt khác
2
a
OA OB
,
3
2
a
SO h
.
Do đó thể tích khối chóp .
S OAB
đạt giá trị lớn nhất khi
sin 1
AOB
OA OB
.
Khi đó
3
max
1 1 3 3
.
3 2 2 2 2 48
a a a a
V
.
Câu 5: Trong các hình nón nội tiếp một hình cầu có bán kính bằng 3, tính bán kính mặt đáy của hình nón
có thể tích lớn nhất.
A. Đáp án khác. B.
4 2.
R
C.
2.
R
D.
2 2.
R
Hướng dẫn giải
Chọn D
Giả sử chóp đỉnh
A
như hình vẽ là hình chóp có thể tích lớn nhất.
AKM
vuông tại
.
K
Ta thấy
IK r
là bán kính đáy của chóp,
AI h
là chiều cao của chóp.
2 2
. 6 .
IK AI IM r h h
2 2
1 1
6 0 6 .
3 3
V r h h h h
2
max
1
6 max
3
V h h
3 2
6 max
y h h
trên
0;6
2
4 4 6 4 8 2 2.
h r r
Câu 6: Hình nón gọi là nội tiếp mặt cầu nếu đỉnh và đường tròn đáy của hình nón nằm trên mặt cầu. Tìm
chiều cao
h
của hình nón có thể tích lớn nhất nội tiếp mặt cầu có bán kính
R
cho trước.
A.
3
2
R
h B.
5
2
R
h C.
5
4
R
h D.
4
3
R
Hướng dẫn giải
Chọn D
a
/2
h
O
S
B
A
M
K
A
O
I
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 4
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Gọi chiều cao của hình nón là
x
,
0 2
x R
. Gọi bán kính đáy của hình nón là
r
ta có
2 2 2
r OM OH
2
2
R x R
2
2
Rx x
2
x R x
.
Thể tích của hình nón là
2
1
.
3
V r x
2
1
2
3
x R x
.
Mặt khác ta lại có
3
2
2 2
. . 2
2 2 3
x x
R x
x x
R x
2 3
8
2
4 27
x R
R x
3
2
1 32
2
3 27
R
V x R x
. Vậy
3
32
max
27
R
V
. Dấu
" "
xảy ra khi 2
2
x
R x
4
3
R
x
Câu 7: Giá trị lớn nhất của thể tích khối nón nội tiếp trong khối cầu có bán kính
R
là
A.
3
4 2
9
R
. B.
3
32
81
R
. C.
3
1
3
R
. D.
3
4
3
R
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Rõ ràng trong hai khối nón cùng bán kính đáy nội tiếp trong một khối cầu thì khối nón có chiều
cao lớn hơn thì thể tích lớn hơn, nên ta chỉ xét khối nón có chiều cao lớn hơn trong hai khối nón
đó.
Giả sử rằng khối nón có đáy là hình tròn
C
bán kính
r
. Gọi
x
với 0
x R
là khoảng cách
giữa tâm khối cầu đến đáy khối nón. Khi đó chiều cao lớn nhất của khối nón nội tiếp khối cầu với
đáy là hình tròn
C
sẽ là
h R x
. Khi đó bán kính đáy nón là
2 2
r R x
, suy ra thể tích khối
nón là
2 2 2
1 1 1 1
2 2
3 3 3 6
V r h R x R x R x R x R x R x R x R x
Áp dụng BĐT Cô-si ta có
3
3
2 2
1 32
6 27 81
R x R x R x
R
V
S
M
H
O
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 5
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 8: Cho hình nón
N
có đường cao SO h và bán kính đáy bằng R , gọi M là điểm trên đoạn SO ,
đặt OM x , 0 x h .
C là thiết diện của mặt phẳng
P vuông góc với trục SO tại M , với
hình nón
N . Tìm
x
để thể tích khối nón đỉnh O đáy là
C lớn nhất.
A.
3
h
. B.
2
2
h
. C.
3
2
h
. D.
2
h
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có BM là bán kính đường tròn
C .
Do tam giác SBM SAO ∽ nên
BM SM
AO SO
.AO SM
BM
SO
R h x
BM
h
.
Thể tích của khối nón đỉnh O đáy là
C là:
2
1
.
3
V BM OM
2
1
3
R h x
x
h
2
2
2
1
3
R
h x x
h
.
Xét hàm số
2
2
2
1
3
R
f x h x x
h
,
0 x h ta có
Ta có
2
2
1
3
3
R
f x h x h x
h
;
2
2
1
0 3
3 3
R h
f x h x h x x
h
.
Lập bảng biến thiên ta có
Từ bảng biến ta có thể tích khối nón đỉnh O đáy là
C lớn nhất khi
3
h
x .
Câu 9: Cho hình nón đỉnh S , đáy là hình tròn tâm O , góc ở đỉnh bằng 120 . Trên đường tròn đáy, lấy
điểm A cố định và điểm M di động. Có bao nhiêu vị trí điểm của điểm M để diện tích tam giác
SAM đạt giá trị lớn nhất?
A. Có vô số vị trí. B. Có 3 vị trí. C. Có 1 vị trí. D. Có 2 vị trí.
Hướng dẫn giải
Chọn D
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 6
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Gọi
r
là bán kính đáy của hình nón. Vì góc ở đỉnh
120 60
ASA ASO
.
Suy ra
.cot
3
r
SO OA ASO
. Gọi H là trung điểm của
AM
và đặt
x OH
.
Ta có:
2
2 2 2
3
r
SH SO OH x
,
2 2 2 2
2 2 2
AM AH OA OH r x
.
Diện tích tam giác
SAM
bằng
2
2 2 2 2
1 2
. . .
2 3 3
r
s SH AM x r x r
2
max
2
3
s r
đạt được khi
2 2
2 2 2 2
3 3
3
r r r
x r x x x
. Tức là
OH SO
.
Theo tính chất đối xứng của của đường tròn ta có hai vị trí của M thỏa yêu cầu.
Câu 10:
Một công ty sản xuất một loại cốc giấy hình nón có thể tích
3
27cm
, với chiều cao
h
và bán kính
đáy
r
. Giá trị
r
để lượng giấy tiêu thụ ít nhất:
A.
6
6
2
3
2
r
B.
6
4
2
3
2
r
C.
8
6
2
3
2
r
D.
8
4
2
3
2
r
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có thể tích cốc hình nón
2
1
. . 27
3
V r h
2
81
.
h
r
.
Khi đó
2
2
2
81
.
l r
r
. Suy ra
2
2
2
81
. .
.
xq
S r r
r
8
4
2 2
3
.
r
r
.
Để lượng giấy tiêu thụ ít nhất thì diện tích xung quanh phải nhỏ nhất.
Ta xét
8
4
2 2
3
.
f r r
r
8
3
2 3
8
4
2 2
2.3
4
.
3
2
.
r
r
f r
r
r
.
0
f r
8
6
0
2
3
2
r r
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 7
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Vậy để lượng giấy tiêu thụ ít nhất thì
8
6
2
3
2
r
.
Câu 11: Cho mặt nón tròn xoay đỉnh
S
đáy là đường tròn tâm
O
có thiết diện qua trục là một tam giác đều
cạnh bằng
a
.
A
,
B
là hai điểm bất kỳ trên
O
. Thể tích khối chóp .
S OAB
đạt giá trị lớn nhất
bằng
A.
3
3
48
a
. B.
3
96
a
. C.
3
3
24
a
. D.
3
3
96
a
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có
.
1
.
3
S OAB AOB
V S SO
. Lại có
1
. .sin
2
AOB
S OAOB AOB
.
Mặt khác
2
a
OA OB
,
3
2
a
SO h
.
Do đó thể tích khối chóp .
S OAB
đạt giá trị lớn nhất khi
sin 1
AOB
OA OB
.
Khi đó
3
max
1 1 3 3
3 2 2 2 2 48
a a a a
V
.
Câu 12: Cho khối nón đỉnh O, chiều cao là h. Một khối nón khác có đỉnh là tâm
I
của đáy và đáy là một
thiết diện song song với đáy của hình nón đã cho. Để thể tích của khối nón đỉnh
I
lớn nhất thì
chiều cao của khối nón này bằng bao nhiêu?
A.
2
3
h
. B.
3
3
h
. C.
2
h
. D.
3
h
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
a/2
h
O
S
B
A
h
x
O
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 8
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Gọi
x
là chiều cao cần tìm.
,
R r
lần lượt là chiều cao của khối nón lớn và bé. Khi đó
R h x
r h x
r
R h h
. Thể tích khối nón đỉnh
I
là
2
3
2 2 2
2
2 2
2
1
2
7
6
4
3 2 81
6
Cauchy
R h x h x h x x
h
V x h x x
h
h h
R R R
Dấu đẳng thức xảy ra khi 2
3
h
h x x x
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 1
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
TOÁN MAX-MIN LIÊN QUAN KHỐI TRỤ
Câu 1: Người ta cần sản xuất một thùng đựng sơn hình trụ có thể tích
4
. Hỏi cần xác định chiều cao và
bán kính đáy như thế nào để tốn ít nguyên vật liệu nhất?
A.
3 3
2; 2 2
R h
. B.
2; 1
R h
.
C.
2; 2
R h
. D.
3 3
4; 4
R h
.
Câu 2: Một công ty thiết kế các bồn chứa nước hình trụ bằng nhựa có thể tích
V
không đổi, chiều cao
h
và bán kính đáy
R
. Tính tỉ số
h
k
R
để nguyên vật liệu làm bồn nước là ít tốn kém nhất.
A.
3
2
k
. B.
2
k
. C.
2
3
k
. D.
1
2
k
.
Câu 3: Thiết diện qua trục của hình trụ là một hình chữ nhật có chu vi là
12
cm
. Giá trị lớn nhất của thể
tích khối trụ đó là:
A.
3
64 .
cm
B.
3
32
cm
. C.
3
8
cm
. D.
3
16
cm
.
Câu 4: Người ta muốn dùng vật liệu bằng kim loại để gò thành một thùng hình trụ tròn xoay có hai đáy
với thể tích
V
cho trước (hai đáy cũng dùng chính vật liệu đó). Hãy xác định chiều cao
h
và bán
kính
R
của hình trụ theo
V
để tốn ít vật liệu nhất.
A. 2 2
2
V
R h
. B. 2 2
2
V
h R
. C.
3
2 2
2
V
h R
. D.
3
2 2
2
V
R h
.
Câu 5: Cho hình lăng trụ đều .
ABC A B C
có
AB a
,
2
AB a
. Tính thể tích
V
của khối trụ ngoại tiếp
hình lăng trụ .
ABC A B C
. Biết rằng một mặt đáy của khối trụ nằm trên mặt phẳng
ABC
.
A.
3
3
9
a
V
. B.
3
3
3
a
V
. C.
3
3
a
V
. D.
3
9
a
V
.
Câu 6: Cho hình trụ có tính chất: Thiết diện của hình trụ và mặt phẳng chứa trục của hình trụ là hình chữ
nhật có chu vi là
12cm
. Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối trụ.
A.
16
3
cm
. B.
8
3
cm
. C.
32
3
cm
. D.
64
3
cm
.
Câu 7: Người ta cần làm một cái bồn chứa dạng hình trụ có thể tích
1000
lít bằng inox để chứa nước, tính
bán kính R của hình trụ đó sao cho diện tích toàn phần của bồn chứa đạt giá trị nhỏ nhất:
A.
3
1
R
. B.
3
3
2
R
. C.
3
1
2
R
. D.
3
2
R
.
Câu 8: Một nhà máy sản xuất cần thiết kế một thùng sơn dạng hình trụ có nắp đậy với dung tích
3
1000
cm
. Bán kính của nắp đậy để nhà sản xuất tiết kiệm nguyên vật liệu nhất bằng
A.
500
cm
. B.
5
10.
cm
. C.
3
500
cm
. D.
3
5
10.
cm
.
Câu 9: Cho tam giác
ABC
cân tại
A
,
5 ,
AB AC a
6
BC a
. Hình chữ nhật
MNPQ
có
,
M N
lần
lượt thuộc cạnh
,
AB AC
và
,
P Q
thuộc cạnh
BC
. Quay hình chữ nhật
MNPQ
(và miền trong
nó) quanh trục đối xứng của tam giác
ABC
được một khối tròn xoay. Tính độ dài đoạn
MN
để
thể tích khối tròn xoay lớn nhất.
A.
2
MN a
. B.
5
MN a
. C.
4
MN a
. D.
MN a
.
Câu 10: Cho hình chữ nhật
ABCD
có
2 2
AB AD
. Quay hình chữ nhật
ABCD
lần lượt quanh
AD
và
AB
ta được hai hình trụ tròn xoay có thể tích lần lượt là
1 2
,
V V
. Phát biểu nào sau đây là đúng?
A.
2 1
2
V V
. B.
1 2
V V
. C.
1 2
2 3
V V
. D.
1 2
2
V V
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 2
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 11: Xét hình trụ
T
nội tiếp một mặt cầu bán kính
R
và
S
là diện tích thiết diện qua trục của
T
.
Tính diện tích xung quanh của hình trụ
T
biết
S
đạt giá trị lớn nhất
A.
2
2
xq
S R
. B.
2
xq
S R
. C.
2
2
3
xq
R
S
. D.
2
3
xq
R
S
.
Câu 12: Khi cắt mặt cầu
,
S O R
bởi một mặt kính, ta được hai nửa mặt cầu và hình tròn lớn của mặt kính
đó gọi là mặt đáy của mỗi nửa mặt cầu. Một hình trụ gọi là nội tiếp nửa mặt cầu
,
S O R
nếu một
đáy của hình trụ nằm trong đáy của nửa mặt cầu, còn đường tròn đáy kia là giao tuyến của hình trụ
với nửa mặt cầu. Biết
1
R
, tính bán kính đáy
r
và chiều cao
h
của hình trụ nội tiếp nửa mặt cầu
,
S O R
để khối trụ có thể tích lớn nhất.
A.
6 3
,
3 3
r h
. B.
3 6
,
3 3
r h
. C.
3 6
,
2 2
r h
. D.
6 3
,
2 2
r h
.
Câu 13: Người ta muốn dùng vật liệu bằng kim loại để gò thành một thùng hình trụ tròn xoay có hai đáy
với thể tích
V
cho trước ( hai đáy cũng dùng chính vật liệu đó). Hãy xác định chiều cao
h
và bán
kính
R
của hình trụ theo
V
để tốn ít vật liệu nhất.
A. 2 2
2
V
h R
. B.
3
2 2
2
V
h R
. C.
3
2 2
2
V
R h
. D. 2 2
2
V
R h
.
Câu 14: Khi sản xuất vỏ lon nước ngọt hình trụ, các nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu sao cho chi phí nguyên
liệu làm vỏ lon là ít nhất, tức là diện tích toàn phần cua hình trụ là nhỏ nhất (với cùng
1
nguyên
liệu). Muốn thể tích khối trụ đó là
2
và diện tích toàn phần nhỏ nhất thì hình trụ đó có bán kính
đáy gần số nào nhất?
A.
0,5
. B.
0,6
. C.
0,8
. D.
0,7
.
Câu 15: Khi sản xuất vỏ lon sữa hình trụ, các nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu sao cho chi phí nguyên liệu
làm vỏ lon là ít nhất, tức là diện tích toàn phần của hình trụ là nhỏ nhất. Muốn thể tích khối trụ
bằng
V
và diện tích toàn phần nhỏ nhất thì bán kính đáy
R
bằng:
A.
3
2
V
R
. B.
3
27
4
V
R
. C.
2
V
R
. D.
3
V
R
.
Câu 16: Một đại lý xăng dầu cần làm một cái bồn dầu hình trụ bằng tôn có thể tích
3
16
m
. Tìm bán
kính đáy
r
của hình trụ sao cho hình trụ được làm ra ít tốn nguyên vật liệu nhất.
A.
2 .
m
B.
2,4 .
m
C.
0,8 .
m
D.
1,2 .
m
Câu 17: Cho hình trụ có đáy là hai đường tròn tâm
O
và
O
, bán kính đáy bằng chiều cao và bằng
2
a
.
Trên đường tròn đáy có tâm
O
lấy điểm
A
, trên đường tròn tâm
O
lấy điểm
B
. Đặt
là góc
giữa
AB
và đáy. Biết rằng thể tích khối tứ diện
OO AB
đạt giá trị lớn nhất. Khẳng định nào sau
đây đúng?
A.
tan 2
. B.
1
tan
2
. C.
1
tan
2
. D.
tan 1
.
Câu 18: Một nhà máy cần sản xuất các hộp hình trụ kín cả hai đầu có thể tích
V
cho trước Mối quan hệ
giữa bán kính đáy
R
và chiều cao
h
của hình trụ để diện tích toàn phần của hình trụ nhỏ nhất là?
A.
2
R h
. B.
3
h R
. C.
R h
. D.
2
h R
.
Câu 19: Cho hình trụ có đáy là hai đường tròn tâm
O
và
O
, bán kính đáy bằng chiều cao và bằng
2
a
.
Trên đường tròn đáy có tâm
O
lấy điểm
A
, trên đường tròn tâm
O
lấy điểm
B
. Đặt
là góc
giữa
AB
và đáy. Biết rằng thể tích khối tứ diện
OO AB
đạt giá trị lớn nhất. Khẳng định nào sau
đây đúng?
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 3
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
1
tan
2
. B.
1
tan
2
. C.
tan 1
. D.
tan 2
.
Câu 20: Cho mặt cầu
( )
S
có bán kính
3.
R a Gọi
( )
T
là hình trụ có hai đường tròn đáy nằm trên
( )
S
và có thiết diện qua trục của
( )
T
lớn nhất. Tính diện tích toàn phần
tp
S
của
( )
T
.
A.
2
6 3
tp
S a
. B.
2
9 3
tp
S a
. C.
2
6
tp
S a
. D.
2
9
tp
S a
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 1
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
TOÁN MAX-MIN LIÊN QUAN KHỐI TRỤ
Câu 1: Người ta cần sản xuất một thùng đựng sơn hình trụ có thể tích
4
. Hỏi cần xác định chiều cao và
bán kính đáy như thế nào để tốn ít nguyên vật liệu nhất?
A.
3 3
2; 2 2
R h
. B.
2; 1
R h
.
C.
2; 2
R h
. D.
3 3
4; 4
R h
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có: thể tích là đại lượng không đổi, ta đặt bán kính đáy là
0
x
. Khi đó
2 2
4
V
h
R x
.
Diện tích toàn phần của thùng là
2
2 2
tp
S R Rh
2
4
2 x
x
.
Áp dụng BĐT Cauchy 3 số ta có:
2 2
3
4 2 2
3 4
x x
x x x
.
Dấu
" "
xảy ra khi và chỉ khi
2
2
x
x
3
2
x
hay
3 3
2; 2 2
R h
.
Câu 2: Một công ty thiết kế các bồn chứa nước hình trụ bằng nhựa có thể tích
V
không đổi, chiều cao
h
và bán kính đáy
R
. Tính tỉ số
h
k
R
để nguyên vật liệu làm bồn nước là ít tốn kém nhất.
A.
3
2
k
. B.
2
k
. C.
2
3
k
. D.
1
2
k
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có:
2
V hR
2
V
h
R
.
Nguyên liệu làm bồn nước ít tốn kém nhất khi
tp
S
bé nhất.
2
2 2
tp
S hR R
2
2
2
V
R
R
2
2
V V
R
R R
2
3
3 . .2
V V
R
R R
3
2
3 2
V
.
Suy ra
tp
S
bé nhất bằng
3
2
3 2
V
khi
2
2
V
R
R
3
2
V R
3 2
2
R hR
2
h
R
.
Câu 3: Thiết diện qua trục của hình trụ là một hình chữ nhật có chu vi là
12
cm
. Giá trị lớn nhất của thể
tích khối trụ đó là:
A.
3
64 .
cm
B.
3
32
cm
. C.
3
8
cm
. D.
3
16
cm
.
Hướng dẫn giải.
Chọn C
Gọi
r
là bán kính hình trụ, chiều cao
h
Ta có:
2 6 6 2 , 0 3
r h h r r
Khi đó:
3
2 2
6 2
6 2 8
3
r r r
V r h r r
Vậy giá trị lớn nhất của thể tích khối trụ là
3
8
cm
.
Câu 4: Người ta muốn dùng vật liệu bằng kim loại để gò thành một thùng hình trụ tròn xoay có hai đáy
với thể tích
V
cho trước (hai đáy cũng dùng chính vật liệu đó). Hãy xác định chiều cao
h
và bán
kính
R
của hình trụ theo
V
để tốn ít vật liệu nhất.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 2
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A. 2 2
2
V
R h
. B. 2 2
2
V
h R
. C.
3
2 2
2
V
h R
. D.
3
2 2
2
V
R h
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Để vật liệu tốn ít nhất thì diện tích toàn phần của hình trụ nhỏ nhất.
Ta có:
2
2 2
tp
S R Rh
.
Do
2
V R h
nên
2
V
h
R
. Suy ra
3
2 2 2 2
3
2
2 2 . 2 3. 2 . . 3. 2
tp
V V V V V
S R R R R V
R R R R R
.
Đẳng thức xảy ra khi
2
3
2
2
V V
R R
R
. Khi đó
3
2
2
V
h
.
Câu 5: Cho hình lăng trụ đều .
ABC A B C
có
AB a
,
2
AB a
. Tính thể tích
V
của khối trụ ngoại tiếp
hình lăng trụ .
ABC A B C
. Biết rằng một mặt đáy của khối trụ nằm trên mặt phẳng
ABC
.
A.
3
3
9
a
V
. B.
3
3
3
a
V
. C.
3
3
a
V
. D.
3
9
a
V
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Gọi
F
,
G
lần lượt là trung điểm của
BC
và trọng tâm
ABC
.
ABB
vuông tại
B
, có:
2 2
BB AB AB
2 2
4 3
a a a
.
ABC
đều cạnh
a
nên
3
2
AF a
3
3
AG a
.
Gọi
h
,
R
lần lượt là chiều cao và bán kính của hình trụ.
Ta có
3
h BB a
,
3
3
R a GA
.
Vậy thể tích khối trụ ngoại tiếp .
ABC A B C
là:
2
3
2
3 3
3 .
3 3
a
V h R a a
.
Câu 6: Cho hình trụ có tính chất: Thiết diện của hình trụ và mặt phẳng chứa trục của hình trụ là hình chữ
nhật có chu vi là
12cm
. Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối trụ.
A.
16
3
cm
. B.
8
3
cm
. C.
32
3
cm
. D.
64
3
cm
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 3
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giả sử hình chữ nhật có chiều dài
0 6
a a
, chiều rộng
0 6
b b
.
Ta có chiều cao hình trụ bằng
a
, bán kính hình trụ bằng
2
b
.
Theo giả thiết ta có 6 6
a b a b
.
Ta có
2
. 6
4
b
V B h b
.
Đặt
2 3
6
4
f b b b
2
12 3
4
f b b b
0
0
4
b
f b
b
.
Lập bảng biến thiên ta thấy
f b
đạt giá trị lớn nhất khi
4 2
b a
.
Vậy
3
8 cm
V
.
Câu 7: Người ta cần làm một cái bồn chứa dạng hình trụ có thể tích
1000
lít bằng inox để chứa nước, tính
bán kính R của hình trụ đó sao cho diện tích toàn phần của bồn chứa đạt giá trị nhỏ nhất:
A.
3
1
R
. B.
3
3
2
R
. C.
3
1
2
R
. D.
3
2
R
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Gọi
h
và
R
lần lượt là chiều cao và bán kính đáy (đơn vị: mét).
Ta có:
2
2
1
1V h R h
R
.
2 2 2
2
1 2
2 2 2 2 2 0
tp
S R Rh R R R R
R R
.
Cách 1: Khảo sát hàm số, thu được
3
min
3
2
1 1
2
1
4
f R R h
.
Cách 2: Dùng bất đẳng thức:
2 2 2 2
3
3
2
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 3 2 . . 3 2
tp
S R Rh R R R R
R R R R R
.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
3
1
2
R
.
Câu 8: Một nhà máy sản xuất cần thiết kế một thùng sơn dạng hình trụ có nắp đậy với dung tích
3
1000
cm
. Bán kính của nắp đậy để nhà sản xuất tiết kiệm nguyên vật liệu nhất bằng
A.
500
cm
. B.
5
10.
cm
. C.
3
500
cm
. D.
3
5
10.
cm
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Gọi
h
cm
là chiều cao hình trụ và
R
cm
là bán kính nắp đậy.
Ta có:
2
1000
V R h
. Suy ra
2
1000
h
R
.
Để nhà sản xuất tiết kiệm nguyên vật liệu nhất thì diện tích toàn phần
tp
S
của
hình trụ nhỏ nhất.
Ta có:
2 2
2
1000
2 2 2 2 .
tp
S R Rh R R
R
3
2 2 2
3
1000 1000 1000 1000
2 3. 2 . . 3 2 .1000
R R
R R R R
R
O'
h
O
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 4
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
2
3
1000 500
2 R R
R
.
Câu 9: Cho tam giác
ABC
cân tại
A
,
5 ,
AB AC a
6
BC a
. Hình chữ nhật
MNPQ
có
,
M N
lần
lượt thuộc cạnh
,
AB AC
và
,
P Q
thuộc cạnh
BC
. Quay hình chữ nhật
MNPQ
(và miền trong
nó) quanh trục đối xứng của tam giác
ABC
được một khối tròn xoay. Tính độ dài đoạn
MN
để
thể tích khối tròn xoay lớn nhất.
A.
2
MN a
. B.
5
MN a
. C.
4
MN a
. D.
MN a
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
.
Ta có:
3 ; 4
BH a AH a
.
Đặt 3
HQ x BQ a x
0 3
x a
.
Ta có:
4 3
3
x
MQ BQ
MQ
AH BH
.
Khi đó:
3
2 2
4 3
. . 4 0 3
3 3
T
x
x
V x x x a
.
Xét hàm số
3
2
0 3
3
x
f x x x a
.
Hàm số
f x
đạt giá trị lớn nhất tại
2 4
x a MN a
.
Câu 10: Cho hình chữ nhật
ABCD
có
2 2
AB AD
. Quay hình chữ nhật
ABCD
lần lượt quanh
AD
và
AB
ta được hai hình trụ tròn xoay có thể tích lần lượt là
1 2
,
V V
. Phát biểu nào sau đây là đúng?
A.
2 1
2
V V
. B.
1 2
V V
. C.
1 2
2 3
V V
. D.
1 2
2
V V
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Quay quanh AD:
2
1
. . 4
V AB AD .
Quay quanh AB:
2
2
. . 2
V AD AB .
Câu 11: Xét hình trụ
T
nội tiếp một mặt cầu bán kính
R
và
S
là diện tích thiết diện qua trục của
T
.
Tính diện tích xung quanh của hình trụ
T
biết
S
đạt giá trị lớn nhất
A.
2
2
xq
S R
. B.
2
xq
S R
. C.
2
2
3
xq
R
S
. D.
2
3
xq
R
S
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 5
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Gọi
x
là bán kính của hình trụ 0
x R
. Diện tich thiết diện là
2 2 2 2
2 .2 4
S x R x x R x
.
Vì
2 2 2 2 2
4 2.
x R x x R x
nên
2
S R
. Vậy
max
2
S R
khi
2
2
2
R
x R x x
.
Vậy diện tích xung quanh của hình trụ là
2
2 2
2 .2 2
2 2
xq
R R
S R
.
Câu 12: Khi cắt mặt cầu
,
S O R
bởi một mặt kính, ta được hai nửa mặt cầu và hình tròn lớn của mặt kính
đó gọi là mặt đáy của mỗi nửa mặt cầu. Một hình trụ gọi là nội tiếp nửa mặt cầu
,
S O R
nếu một
đáy của hình trụ nằm trong đáy của nửa mặt cầu, còn đường tròn đáy kia là giao tuyến của hình trụ
với nửa mặt cầu. Biết
1
R
, tính bán kính đáy
r
và chiều cao
h
của hình trụ nội tiếp nửa mặt cầu
,
S O R
để khối trụ có thể tích lớn nhất.
A.
6 3
,
3 3
r h
. B.
3 6
,
3 3
r h
. C.
3 6
,
2 2
r h
. D.
6 3
,
2 2
r h
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Hình trụ nội tiếp nửa mặt cầu, nên theo giả thiết đường tròn đáy trên có tâm O' có hình chiếu của
O xuống mặt đáy (O'). Suy ra hình trụ và nửa mặt cầu cùng chung trục đối xứng và tâm của đáy
dưới hình trụ trùng với tâm O của nửa mặt cầu.Ta có:
2 2 2
h r R
0 1
h R
2 2
1
r h
Thể tích khối trụ là:
2 2
(1 h )h (h)
V r h f
2
3
'(h) (1 3h ) 0 h
3
f
h
0
3
3
1
f'(h)
+ 0
f(h)
2 3
9
0
0
Vậy:
0;1
2 3
9
MaxV
(đvtt) khi
6
3
r
và
3
3
h
Câu 13: Người ta muốn dùng vật liệu bằng kim loại để gò thành một thùng hình trụ tròn xoay có hai đáy
với thể tích
V
cho trước ( hai đáy cũng dùng chính vật liệu đó). Hãy xác định chiều cao
h
và bán
kính
R
của hình trụ theo
V
để tốn ít vật liệu nhất.
B
A
C
I
D
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 6
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A. 2 2
2
V
h R
. B.
3
2 2
2
V
h R
. C.
3
2 2
2
V
R h
. D. 2 2
2
V
R h
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Để vật liệu tốn ít nhất thì diện tích toàn phần của hình trụ nhỏ nhất.
Ta có:
2
2 2
tp
S R Rh
.
Do
2
V R h
nên
2
V
h
R
. Suy ra
3
2 2 2 2
3
2
2 2 . 2 3. 2 . . 3. 2
tp
V V V V V
S R R R R V
R R R R R
.
Câu 14: Khi sản xuất vỏ lon nước ngọt hình trụ, các nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu sao cho chi phí nguyên
liệu làm vỏ lon là ít nhất, tức là diện tích toàn phần cua hình trụ là nhỏ nhất (với cùng
1
nguyên
liệu). Muốn thể tích khối trụ đó là
2
và diện tích toàn phần nhỏ nhất thì hình trụ đó có bán kính
đáy gần số nào nhất?
A.
0,5
. B.
0,6
. C.
0,8
. D.
0,7
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Gọi chiều cao và bán kính đáy là
h
,
R
. Từ
2
V
2
2
R h
2
2
h
R
.
Diện tích toàn phần
2
2
2 ( ) 2 ( )
S R R h R R
R
có GTNN tại
3
1
0.6827
R
.
Câu 15: Khi sản xuất vỏ lon sữa hình trụ, các nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu sao cho chi phí nguyên liệu
làm vỏ lon là ít nhất, tức là diện tích toàn phần của hình trụ là nhỏ nhất. Muốn thể tích khối trụ
bằng
V
và diện tích toàn phần nhỏ nhất thì bán kính đáy
R
bằng:
A.
3
2
V
R
. B.
3
27
4
V
R
. C.
2
V
R
. D.
3
V
R
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có
2
V h R
2
V
h
R
.
2
2 2
TP
S Rh R
2
2
2
V
R
R
2
2
4
V
S R
R
3
' 0
2
V
S R
.
Lập bảng biến thiên ta có
min
TP
S
khi
3
2
V
R
.
Câu 16: Một đại lý xăng dầu cần làm một cái bồn dầu hình trụ bằng tôn có thể tích
3
16
m
. Tìm bán
kính đáy
r
của hình trụ sao cho hình trụ được làm ra ít tốn nguyên vật liệu nhất.
A.
2 .
m
B.
2,4 .
m
C.
0,8 .
m
D.
1,2 .
m
Hướng dẫn giải
Chọn A
Gọi
x m
là bán kính của hình trụ
0
x
. Ta có:
2
2
16
. .
V x h h
x
Diện tích toàn phần của hình trụ là:
2 2
32
2 2 2 , 0
S x x xh x x
x
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 7
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Khi đó:
2
32
' 4S x x
x
, cho
' 0 2
S x x
.
Lập bảng biến thiên, ta thấy diện tích đạt giá trị nhỏ nhất khi
2
x m
nghĩa là bán kính là
2
m
.
Câu 17: Cho hình trụ có đáy là hai đường tròn tâm
O
và
O
, bán kính đáy bằng chiều cao và bằng
2
a
.
Trên đường tròn đáy có tâm
O
lấy điểm
A
, trên đường tròn tâm
O
lấy điểm
B
. Đặt
là góc
giữa
AB
và đáy. Biết rằng thể tích khối tứ diện
OO AB
đạt giá trị lớn nhất. Khẳng định nào sau
đây đúng?
A.
tan 2
. B.
1
tan
2
. C.
1
tan
2
. D.
tan 1
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Gọi
A
là hình chiếu của
A
lên mặt phẳng chứa đường tròn tâm
O
.
Gọi
B
là hình chiếu của
B
lên mặt phẳng chứa đường tròn tâm
O
.
Gọi
R
là bán kính của đường tròn tâm
O
, suy ra:
2
R a
. Ta có:
BAB
.
Suy ra:
2 tan
AB R
. Gọi
I
là trung điểm của
AB
OI AB
.
Ta có:
2 2 2 2 2 2
tan 1 tan
OI OB IB R R R
.
Và:
2
1 1
. . 1 tan .2 tan
2 2
OAB
S OI AB R R
2 2
tan . 1 tan
R
.
Suy ra:
2 2
.
1 1 1
. .2 . tan . 1 tan
3 3 3
OO AB OAB O A B OAB
V V OO S R R
.
Ta có:
OO AB
V
đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi
2
tan . 1 tan
đạt giá trị lớn nhất.
Xét hàm số
2
. 1
f t t t
với
0;1
t có
2
2
2 2
.
1 2
1
1 1
t t
t
f t t
t t
với
0;1
t .
Xét
2
1
0 1 2 0
2
f t t t
.
Vì
0 90
nên
tan 0
1
2
t .
Bảng biến thiên:
I
A'
B'
O'
O
B
A
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 8
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Dựa vào bảng biến thiên, ta có
max
V
khi
1
2
t hay
1
tan
2
.
Câu 18: Một nhà máy cần sản xuất các hộp hình trụ kín cả hai đầu có thể tích
V
cho trước Mối quan hệ
giữa bán kính đáy
R
và chiều cao
h
của hình trụ để diện tích toàn phần của hình trụ nhỏ nhất là?
A.
2
R h
. B.
3
h R
. C.
R h
. D.
2
h R
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
2
2
V
V R h h
R
2
2 2
TP
S R Rh
2
2
2 2 .
V
R R
R
2 2
3
2 3. 2 . .
V V V V
R R
R R R R
3
2
3. 2
V
TP
S
đạt giá trị nhỏ nhất khi
2
2
V
R
R
2
2
2
R h
R
R
2
R h
Câu 19: Cho hình trụ có đáy là hai đường tròn tâm
O
và
O
, bán kính đáy bằng chiều cao và bằng
2
a
.
Trên đường tròn đáy có tâm
O
lấy điểm
A
, trên đường tròn tâm
O
lấy điểm
B
. Đặt
là góc
giữa
AB
và đáy. Biết rằng thể tích khối tứ diện
OO AB
đạt giá trị lớn nhất. Khẳng định nào sau
đây đúng?
A.
1
tan
2
. B.
1
tan
2
. C.
tan 1
. D.
tan 2
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Gọi
A
là hình chiếu của
A
lên mặt phẳng chứa đường tròn tâm
O
.
Gọi
B
là hình chiếu của
B
lên mặt phẳng chứa đường tròn tâm
O
.
Gọi
R
là bán kính của đường tròn tâm
O
, suy ra:
2
R a
. Ta có:
BAB
.
Suy ra:
2 tan
AB R
. Gọi
I
là trung điểm của
AB
OI AB
.
Ta có:
2 2 2 2 2 2
tan 1 tan
OI OB IB R R R
.
I
A'
B'
O'
O
B
A
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 9
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Và:
2
1 1
. . 1 tan .2 tan
2 2
OAB
S OI AB R R
2 2
tan . 1 tan
R
.
Suy ra:
2 2
.
1 1 1
. .2 . tan . 1 tan
3 3 3
OO AB OAB O A B OAB
V V OO S R R
.
Ta có:
OO AB
V
đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi
2
tan . 1 tan
đạt giá trị lớn nhất.
Xét hàm số
2
. 1
f t t t
với
0;1
t có
2
2
2 2
.
1 2
1
1 1
t t
t
f t t
t t
với
0;1
t .
Xét
2
1
0 1 2 0
2
f t t t
.
Vì
0 90
nên
tan 0
1
2
t .
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên, ta có
max
V
khi
1
2
t hay
1
tan
2
.
Câu 20: Cho mặt cầu
( )
S
có bán kính
3.
R a Gọi
( )
T
là hình trụ có hai đường tròn đáy nằm trên
( )
S
và có thiết diện qua trục của
( )
T
lớn nhất. Tính diện tích toàn phần
tp
S
của
( )
T
.
A.
2
6 3
tp
S a
. B.
2
9 3
tp
S a
. C.
2
6
tp
S a
. D.
2
9
tp
S a
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Hình vẽ thiết diện qua trục như sau:
Ta có:
2 2 3.
AC R a .
Đặt
,
AD x
ta có:
2 2 2 2
12
CD AC AD a x
.
Vì thiết diện qua trục là lớn nhất nên
.
ADCD
lớn nhất.
Xét hàm số:
2 2
( ) . 12 , 2 3;2 3 .
f x x a x x a a
.
Ta có:
2 2
2 2
2 2 2 2
2 12 2
'( ) 12 .
2 12 12
x a x
f x a x x
a x a x
.
2 2
2 2
12 2
'( ) 0 0 6
12
a x
f x x a
a x
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 10
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Ta có:
2
2 2
6 6. 12 6 6. 6 6
f a a a a a a a
.
2 3 0
f a
.
Vậy hình trụ có: bán kính đáy
6
;
2 2
CD a
R
chiều cao
6
h AD a
.
2
6 6
2 ( ) 2 . . 6 9
2 2
tp
a a
S r r h a a
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 1
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
TOÁN MAX-MIN LIÊN QUAN KHỐI CẦU
Câu 1: Cho tứ diện
ABCD
, biết tam giác
BCD
là tam giác đều cạnh
a
. Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
ABCD
nhận đường tròn ngoại tiếp tam giác
BCD
làm đường tròn lớn. Khi đó thể tích lớn nhất của tứ diện
ABCD
sẽ là:
A.
3
12
a
. B.
3
4
a
. C.
3
3
12
a
. D.
3
2
12
a
.
Câu 2: Cho ba tia
Ox
,
Oy
,
Oz
đôi một vuông góc với nhau. Gọi
C
là điểm cố định trên
Oz
, đặt
1
OC
,
các điểm
A
,
B
thay đổi trên
Ox
,
Oy
sao cho
.
OA OB OC
Tìm giá trị bé nhất của bán kính
mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
.
OABC
.
A.
6
3
. B.
6
4
. C.
6
2
. D.
6
.
Câu 3: Trong tất cả các hình chóp tứ giác đều nội tiếp hình cầu có bán kính bằng
9
. Tính thể tích
V
của khối
chóp có thể tích lớn nhất.
A.
576
. B.
144 2
. C.
144
. D.
576 2
.
Câu 4: Cho hình chóp .
S ABCD
nội tiếp mặt cầu bán kính
R
. Tìm giá trị lớn nhất của tổng:
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
T SA SB SC SD AB BC CD DA AC BD
.
A.
2
20
R
. B.
2
12
R
. C.
2
25
R
. D.
2
24
R
.
Câu 5: Trong tất cả các hình chóp tứ giác đều nội tiếp hình cầu có bán kính bằng
9
. Tính thể tích
V
của khối
chóp có thể tích lớn nhất.
A.
144 6
. B.
144
. C.
576
. D.
576 2
.
Câu 6: Cho hình chóp .
S ABCD
nội tiếp mặt cầu bán kính
R
. Tìm giá trị lớn nhất của tổng:
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
T SA SB SC SD AB BC CD DA AC BD
.
A.
2
24
R
. B.
2
12
R
. C.
2
20
R
. D.
2
25
R
.
Câu 7: Cho mặt cầu
S
có bán kính
5 cm
R . Mặt phẳng
P
cắt mặt cầu
S
theo giao tuyến là đường
tròn
C
có chu vi bằng
8 cm
. Bốn điểm
A
,
B
,
C
,
D
thay đổi sao cho
A
,
B
,
C
thuộc
đường tròn
C
, điểm
D
thuộc
S
(
D
không thuộc đường tròn
C
) và tam giác
ABC
là tam
giác đều. Tính thể tích lớn nhất của tứ diện
ABCD
.
A.
3
32 3 cm
. B.
3
60 3 cm
. C.
3
20 3 cm
. D.
3
96 3 cm
.
Câu 8: Cho một mặt cầu bán kính bằng
1
. Xét các hình chóp tam giác đều ngoại tiếp mặt cầu trên. Hỏi thể
tích nhỏ nhất của chúng là bao nhiêu?
A.
min 16 3
V
. B.
min 8 3
V
. C.
min 4 3
V
. D.
min 9 3
V
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 1
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
TOÁN MAX-MIN LIÊN QUAN KHỐI CẦU
Câu 1. Cho tứ diện
ABCD
, biết tam giác
BCD
là tam giác đều cạnh
a
. Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
ABCD
nhận đường tròn ngoại tiếp tam giác
BCD
làm đường tròn lớn. Khi đó thể tích lớn nhất của tứ
diện
ABCD
sẽ là:
A.
3
12
a
. B.
3
4
a
. C.
3
3
12
a
. D.
3
2
12
a
.
Lời giải
Chọn A
Gọi
G
là trọng tâm tam giác
BCD
,
M
là trung điểm
CD
và
H
là hình chiếu của
A
trên
BCD
.
Do mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
ABCD
nhận đường tròn ngoại tiếp tam giác
BCD
làm đường tròn
lớn nên
G
là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
ABCD
. Do đó
GB GC GD GA
.
Ta có
2
3
GB BM
2 2
2
3
BC CM
3
3
a
AG
.
Trong tam giác
ACH
có
AH AG
.Dấu bằng xảy ra khi
H G
.
2
1 3
. .sin
2 4
BCD
a
S BC BD CBD .
2
1 1 3
. . .
3 3 4
ABCD BCD
a
V AH S AG
2
1 3 3
. .
3 4 3
a a
3
12
a
.
Vậy thể tích lớn nhất của tứ diện
ABCD
sẽ là
3
12
a
.
Câu 2. Bề mặt một quả bóng được ghép từ
12
miếng da hình ngũ giác đều và
20
miếng da hình lục giác
đều cạnh
4,5cm
. Biết rằng giá thành của những miếng da này là
150
đồng/
2
cm
. Tính giá thành
của miếng da dùng để làm quả bóng (kết quả làm tròn tới hàng đơn vị)?
A.
252533
đồng B.
199218
đồng C.
121500
đồng D.
220545
đồng
Lời giải
Chọn D
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 2
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
* Ở miếng da hình ngũ giác, xét tam giác
OAB
có
o
72
AOB
,
4,5cm
AB
, trung tuyến
AM
,
o
36
BOM
. Do đó
o
tan36
BM
OM
o
tan 36
BM
OM
o
cm
2tan36
AB
.
2
o o
1 1 81
. . . cm
2 2 2tan36 16tan36
ABO
AB
S OM AB AB .
Diện tích miếng da hình ngũ giác là
2
o
405
5 cm
16tan36
ABO
S .
* Ở miếng da hình lục giác cạnh
4,5cm
có diện tích cả miếng da là
2
2
4,5 3
243 3
6. cm
4 8
.
Vậy giá thành của miếng da dùng làm quả bóng là
o
243 3 405
20. 12. .150 220545
8 16tan36
(đồng).
Câu 3. Cho ba tia
Ox
,
Oy
,
Oz
đôi một vuông góc với nhau. Gọi
C
là điểm cố định trên
Oz
, đặt
1
OC
,
các điểm
A
,
B
thay đổi trên
Ox
,
Oy
sao cho
.
OA OB OC
Tìm giá trị bé nhất của bán kính
mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
.
OABC
.
A.
6
3
. B.
6
4
. C.
6
2
. D.
6
.
Lời giải
Chọn B
Đặt
;0;0
A a ,
0; ;0
B b
. Không mất tính tổng quát, giả sử
, 0
a b
. Vì
1
OA OB OC a b
.
Gọi
;
I R
là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
OABC
và
H
là hình chiếu của
I
lên mặt phẳng
Oxy
.
Khi đó,
H
cách đều ba đỉnh
, ,
O A B
nên nó là tâm của đường tròn ngoại tiếp
OAB
.
Áp dụng định lý hàm số Sin cho
OAB
, có.
M
B
A
O
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 3
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
2 2 2 2
2
2sin90
2sin
AB AB AB
OH
AOB
AB OA OB a b
2 2
2
a b
OH
.
Gọi
M
là trung điểm của
SC
. Vì
IO IC
nên
IOC
cân tại
I
.
IM OC
IMOH
là hình chữ nhật.
Do đó
2
2 2
2 2
1
2 4
a b
R IM OM
(Do
OH IM
).
2 2
1 1 1 1 1 1 6
4 4 4 4 2 4 8 4
BCS
a b
a b
. Vậy
6
Min
4
R .
Câu 4. Trong tất cả các hình chóp tứ giác đều nội tiếp hình cầu có bán kính bằng
9
. Tính thể tích
V
của
khối chóp có thể tích lớn nhất.
A.
576
. B.
144 2
. C.
144
. D.
576 2
.
Lời giải
Chọn A
Gọi
S
là mặt cầu có tâm
I
và bán kính
9
R
.
Xét hình chóp tứ giác đều .
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông tâm
O
, cạnh
a
,
0 9 2
a
Ta có
2
AC
OA
2
2
a
2 2
OI IA OA
2
81
2
a
.
Mặt khác ta lại có
SO SI IO
2
9 81
2
a
.
Thể tích của khối chóp .
S ABCD
là
2
2
1
9 81
3 2
a
V a
2
2 2
1
3 81
3 2
a
a a .
Đặt
2
a t
, do
0 9 2
a nên
0 162
t
Xét hàm số
1
3 9 81
3 2
t
f t t t
, với
0 162
t
ta có
324 3
3
12 81
2
t
f t
t
;
0
f t
81 9
2 12
t t
2
108
81 9
2 12
t
t t
108
0
144
t
t
t
144
t
.
Ta có bảng biến thiên
S
D
O
I
A
C
B
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 4
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Từ bảng biến thiên ta có
max
576
V khi
144
t
hay
12
a
.
Câu 5. Cho hình chóp .
S ABCD
nội tiếp mặt cầu bán kính
R
. Tìm giá trị lớn nhất của tổng:
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
T SA SB SC SD AB BC CD DA AC BD
.
A.
2
20
R
. B.
2
12
R
. C.
2
25
R
. D.
2
24
R
.
Lời giải
Chọn C
Gọi
I
là tâm mặt cầu
IA IB IC ID IS R
Ta có:
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
T SA SB SC SD AB BC CD DA AC BD
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
IS IA IS IB IS IC IS ID
IB IA IC IB ID IC IA ID IC IA ID IB
2
2 2 2 2 2
5
IS IA IB IC ID IS IA IB IC ID
2 2 2 2 2 2
5 25
IS IA IB IC ID R
.
Câu 6. Trong tất cả các hình chóp tứ giác đều nội tiếp hình cầu có bán kính bằng
9
. Tính thể tích
V
của
khối chóp có thể tích lớn nhất.
A.
144 6
. B.
144
. C.
576
. D.
576 2
.
Lời giải
Chọn C
Gọi
S
là mặt cầu có tâm
I
và bán kính
9
R
.
Xét hình chóp tứ giác đều
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông tâm
O
, cạnh
a
0 9 2
a
.
Ta có
2
AC
OA
2
2
a
2 2
OI IA OA
2
81
2
a
.
Mặt khác ta lại có
SO SI IO
2
9 81
2
a
.
S
D
O
I
A
C
B
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 5
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Thể tích của khối chóp
.
S ABCD
là
2
2
1
9 81
3 2
a
V a
2
2 2
1
3 81
3 2
a
a a . Đặt
2
a t
, do
0 9 2
a
nên
0 162
t
. Xét hàm số
1
3 81
3 2
t
f t t t
, với
0 162
t
ta có
324 3
3
12 81
2
t
f t
t
;
Giải phương trình
0
f t
81 9
2 12
t t
2
108
81 9
2 12
t
t t
108
0
144
t
t
t
144
t
.
Ta có bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta có
max
576
V
khi
144
t
hay
12
a
.
Vậy thể tích lớn nhất của khối chóp nội tiếp hình cầu cầu có bán kính bằng
9
là
576.
V
Câu 7.Cho hình chóp .
S ABCD
nội tiếp mặt cầu bán kính
R
. Tìm giá trị lớn nhất của tổng:
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
T SA SB SC SD AB BC CD DA AC BD
.
A.
2
24
R
. B.
2
12
R
. C.
2
20
R
. D.
2
25
R
.
Lời giải
Chọn D
Gọi
I
là tâm mặt cầu
IA IB IC ID IS R
.
Ta có:
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
T SA SB SC SD AB BC CD DA AC BD
.
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
IS IA IS IB IS IC IS ID
IB IA IC IB ID IC IA ID IC IA ID IB
.
2
2 2 2 2 2
5
IS IA IB IC ID IS IA IB IC ID
.
2 2 2 2 2 2
5 25
IS IA IB IC ID R
.
Câu 8. Cho mặt cầu
S
có bán kính
5 cm
R . Mặt phẳng
P
cắt mặt cầu
S
theo giao tuyến là
đường tròn
C
có chu vi bằng
8 cm
. Bốn điểm
A
,
B
,
C
,
D
thay đổi sao cho
A
,
B
,
C
thuộc đường tròn
C
, điểm
D
thuộc
S
(
D
không thuộc đường tròn
C
) và tam giác
ABC
là tam giác đều. Tính thể tích lớn nhất của tứ diện
ABCD
.
A.
3
32 3 cm
. B.
3
60 3 cm
. C.
3
20 3 cm
. D.
3
96 3 cm
.
Lời giải
Chọn A
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 6
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Gọi I là tâm của mặt cầu
S và H là hình chiếu của I trên
P . Khi đó H là tâm của đường
tròn
C và là trọng tâm của tam giác ABC .
Đường tròn
C có chu vi bằng
8 cm
nên có bán kính 4 3r IH .
Và tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn
C nên có cạnh bằng 4 3 và có diện tích không
đổi. Do đó thể tích của tứ diện ABCD lớn nhất
khoảng cách từ D đến
ABC là lớn nhất
H , I , D thẳng hàng. Khi đó 8.DH
Vậy
2
max
1 1 3
. .8. 4 3 . 32 3
3 3 4
ABC
V DH S .
Câu 9. Cho một mặt cầu bán kính bằng 1. Xét các hình chóp tam giác đều ngoại tiếp mặt cầu trên. Hỏi thể
tích nhỏ nhất của chúng là bao nhiêu?
A.
min 16 3V
. B.
min 8 3V
. C.
min 4 3V
. D.
min 9 3V
.
Lời giải
Chọn B
Gọi cạnh đáy của hình chóp là a
Ta có SIJ SMH
~
2 2
2
2 2 2
2 2 2
2
2
2
1
12 2 0
2
12
12
SI IJ
MH SH IH IJ SH HM
SM MH
MH SH SH HM
a SH a SH
a
SH a
a
M
H
D
C
B
A
I
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 7
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
4
2
2 4
1 3 2 3 1
.
1 12
3 6 12 6
ABC
a
S S SH
a
a a
.Ta có
2 4
1 12 1
48
a a
8 3
S
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 1
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
TOÁN THỰC TẾ LIÊN QUAN MẶT VÀ KHỐI NÓN
Câu 1: Một chiếc ly hình nón chứa đầy rượu. Người ta uống đi một phần rượu sao cho chiều cao phần còn
lại bằng một nửa chiều cao ban đầu. Số phần rượu đã được uống là:
A.
3
4
. B.
1
2
. C.
2
3
. D.
7
8
.
Câu 2: Một bình đựng nước dạng hình nón (không đáy) đựng đầy nước. Biết rằng chiều cao của bình gấp 3
lần bán kính đáy của nó. Người ta thả vào đó một khối trụ và đo dược thể tích nước tràn ra ngoài
là
3
16
9
dm
. Biết rằng một mặt của khối trụ nằm trên mặt trên của hình nón, các điểm trên đường
tròn đáy còn lại đều thuộc các đường sinh của hình nón (như hình vẽ) và khối trụ có chiều cao bằng
đường kính đáy của hình nón. Diện tích xung quanh
xq
S
của bình nước là:
A.
2
4
xq
S dm
. B.
2
3
2
xq
S dm
.
C.
2
9 10
2
xq
S dm
. D.
2
4 10
xq
S dm
.
Câu 3: Với một đĩa tròn bằng thép tráng có bán kính
6
R m
phải làm một cái phễu bằng cách cắt đi một
hình quạt của đĩa này và gấp phần còn lại thành hình tròn. Cung tròn của hình quạt bị cắt đi phải
bằng bao nhiêu độ để hình nón có thể tích cực đại?
A.
2,8
B.
66
C.
294
D.
12,56
Câu 4: Cho một đồng hồ cát như hình bên dưới (gồm 2 hình nón chung đỉnh ghép lại), trong đó đường sinh
bất kỳ của hình nón tạo với đáy một góc
60
như hình bên. Biết rằng chiều cao của đồng hồ là
30
cm
và tổng thể tích của đồng hồ là
3
1000
cm
. Hỏi nếu cho đầy lượng cát vào phần trên thì khi
chảy hết xuống dưới, khi đó tỉ lệ thể tích lượng cát chiếm chỗ và thể tích phần phía dưới là bao
nhiêu?
A.
1
8
. B.
1
64
. C.
1
27
. D.
1
3 3
.
Câu 5: Một cái phễu có dạng hình nón. Người ta đổ một lượng nước vào phễu sao cho chiều cao của lượng
nước trong phễu bằng
1
3
chiều cao của phễu. Hỏi nếu bịt kín miệng phễu rồi lộn ngược phễu lên
thì chiều cao của nước xấp xỉ bằng bao nhiêu ? Biết rằng chiều cao của phễu là
15cm
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 2
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
0,188 cm
. B.
0,216 cm
. C.
0,5 cm
. D.
0,3 cm
.
Câu 6: Người thợ gia công của một cơ sở chất lượng cao X cắt một miếng tôn hình tròn với bán kính
60cm
thành ba miếng hình quạt bằng nhau. Sau đó người thợ ấy quấn và hàn ba miếng tôn đó để được
ba cái phễu hình nón. Hỏi thể tích
V
của mỗi cái phễu đó bằng bao nhiêu?
A.
16000 2
3
V
lít. B.
16 2
3
V
lít.
C.
16000 2
3
V
lít. D.
160 2
3
V
lít.
Câu 7: Có một miếng tôn hình tam giác
ABC
đều cạnh
3 dm
(như hình vẽ). Gọi
K
là trung điểm của
BC
. Người ta dùng compa có tâm là
A
và bán kính
AK
vạch cung tròn
MN
(
M
,
N
thứ tự thuộc
cạnh
AB
và
AC
) rồi cắt miếng tôn theo cung tròn đó. Lấy phần hình quạt người ta gò sao cho
cạnh
AM
và
AN
trùng nhau thành một cái phễu hình nón không đáy với đỉnh
A
. Tính thể tích
V
của cái phễu.
A.
3
141.
dm
64
V
. B.
3
3
dm
32
V .
r
N
M
A
K
B
C
A
O
h
l
r
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 3
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
C.
3
3 3.
dm
32
V
. D.
3
105.
dm
64
V
.
Câu 8: Có một cái cốc làm bằng giấy, được úp ngược như hình vẽ. Chiều cao của chiếc cốc là
20cm
, bán
kính đáy cốc là
4cm
, bán kính miệng cốc là
5cm
. Một con kiến đang đứng ở điểm
A
của miệng
cốc dự định sẽ bò hai vòng quanh thân cốc để lên đến đáy cốc ở điểm
B
. Quãng đường ngắn nhất
để con kiến có thể thực hiện được dự định của mình gần đúng nhất với kết quả nào dước đây?
.
A.
59,93cm
. B.
59,98cm
. C.
58,80cm
. D.
58,67cm
.
Câu 9: .Hai chiếc ly đựng chất lỏng giống hệt nhau, mỗi chiếc có phần chứa chất lỏng là một khối nón có
chiều cao 2 dm (mô tả như hình vẽ). Ban đầu chiếc ly thứ nhất chứa đầy chất lỏng, chiếc ly thứ hai
để rỗng. Người ta chuyển chất lỏng từ ly thứ nhất sang ly thứ hai sao cho độ cao của cột chất lỏng
trong ly thứ nhất còn 1dm. Tính chiều cao h của cột chất lỏng trong ly thứ hai sau khi chuyển (độ
cao của cột chất lỏng tính từ đỉnh của khối nón đến mặt chất lỏng - lượng chất lỏng coi như không
hao hụt khi chuyển. Tính gần đúng h với sai số không quá 0,01dm).
A.
1,73
h
m
d
. B.
1,89
h
m
d
. C.
1,91
h
m
d
. D.
1,41
h
m
d
.
Câu 10: Cho một đồng hồ cát như hình bên dưới (gồm
2
hình nón chung đỉnh khép lại) , trong đó đường
sinh bất kỳ của hình nón hợp với đáy một góc
60
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 4
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Biết rằng chiều cao của đồng hồ là
30cm
và tổng thể tích của đồng hồ là
3
1000 cm
. Hỏi nếu cho
đầy lượng cát vào phần trên thì khi chảy hết xuống dưới, tỉ lệ thể tích lượng cát chiếm chỗ và thể
tích phần bên dưới là bao nhiêu?
A.
1
64
. B.
1
27
. C.
1
3 3
. D.
1
8
.
Câu 11: Một cái ly có dạng hình nón được rót nước vào với chiều cao mực nước bằng
2
3
chiều cao hình
nón. Hỏi nếu bịch kính miệng ly rồi úp ngược ly xuống thì tỷ số chiều cao mực nước và chiều cao
hình nón xấp xỉ bằng bao nhiêu?
A.
0,11
. B.
0,21
. C.
0,08
D.
0,33
.
Câu 12: Một bể nước lớn của khu công nghiệp có phần chứa nước là một khối nón đỉnh
S
phía dưới (hình
vẽ), đường sinh
27
SA
mét. Có một lần lúc bể chứa đầy nước, người ta phát hiện nước trong bể
không đạt yêu cầu về vệ sinh nên lãnh đạo khu công nghiệp cho thoát hết nước để làm vệ sinh bể
chứa. Công nhân cho thoát nước ba lần qua một lổ ở đỉnh
S
. Lần thứ nhất khi mực nước tới điểm
M
thuộc
SA
thì dừng, lần thứ hai khi mực nước tới điểm
N
thuộc
SA
thì dừng, lần thứ ba mới
thoát hết nước. Biết rằng lượng nước mỗi lần thoát bằng nhau. Tính độ dài đoạn
MN
. (Hình vẽ 4:
Thiết diện qua trục của hình nón nước).
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 5
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
3
3
9 9 4 1
m
. B.
3
3
9 9 2 1
m
. C.
3
3
9 3 2 1
m
. D.
3
27 2 1
m
.
Câu 13: Một cái phễu có dạng hình nón, chiều cao của phễu là
20cm
. Người ta đổ một lượng nước vào phễu
sao cho chiều cao của cột nước trong phễu bằng
10cm
(hình H1). Nếu bịt kín miệng phễu rồi lật
ngược phễu lên (hình H2) thì chiều cao của cột nước trong phễu gần bằng với giá trị nào sau đây?
A.
0,87cm
. B.
10cm
. C.
1,07cm
. D.
1,35cm
.
Câu 14: Một cây thông Noel có dạnh hình nón với chiều dài đường sinh bằng
60
cm
và bán kính đáy
r 10
cm
. Một chú kiến bắt đầu xuất phát từ một đỉnh nằm trên mặt đáy hình nón và có dự định
bò một vòng quanh cây thông sau đó quay trở lại vị trí xuất phát ban đầu. Tính quãng đường ngắn
nhất mà chú kiến có thể đi được là bao nhiêu?
A.
60
. B.
63
. C.
125
. D.
45
.
Câu 15: Cho một chiếc cốc hình nón chứa đầy rượu như hình vẽ. Người
X
uống một phần rượu sao cho
chiều cao của nó giảm đi
1
3
so với chiều cao của rượu trong cốc. Người
Y
uống phần rượu còn lại
trong cốc. Khi đó khẳng định nào đúng.
O
N
M
A
S
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 6
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
.
A. Người
X
uống lượng rượu bằng
5,75
lần lượng rượu của người
Y
uống.
B. Hai người
X
và
Y
uống lượng rượu bằng nhau.
C. Người
X
uống lượng rượu bằng
2,375
lần lượng rượu của người
Y
uống.
D. Người
X
uống lượng rượu bằng một nửa lượng rượu của người
Y
uống.
Câu 16: Một chiếc thùng đựng nước có hình của một khối lập phương cạnh
1m
chứa đầy nước. Đặt vào
trong thùng đó một khối có dạng nón sao cho đỉnh trùng với tâm một mặt của lập phương, đáy khối
nón tiếp xúc với các cạnh của mặt đối diện. Tính tỉ số thể tích của lượng nước trào ra ngoài và
lượng nước còn lại ở trong thùng.
A.
11
12
. B.
1
11
. C.
12
. D.
12
.
Câu 17: Một cái ly có dạng hình nón như hình vẽ. Người ta đổ một lượng nước vào ly sao cho chiều cao của
lượng nước trong ly bằng
1
3
chiều cao của ly (không tính chân ly). Hỏi nếu bịt kín miệng ly rồi
lộn ngược ly lên thì tỷ lệ chiều cao của nước và chiều cao của ly bằng bao nhiêu?
A.
3
3 26
3
. B.
1
6
. C.
3 2 2
3
. D.
1
9
.
Câu 18: Một mảnh giấy hình quạt như hình vẽ. Người ta dán mép
AB
và
AC
lại với nhau để được một hình
nón đỉnh
.
A
Tính thể tích
V
của khối nón thu được (xem phần giấy dán không đáng kể).
A.
4 21 .
B.
20
.
3
C.
4 21
.
3
D.
20 .
Câu 19: Một công ty sản xuất một loại cốc giấy hình nón có thể tích
3
27
cm
với chiều cao là
h
và bán kính
đáy là
r
để lượng giấy tiêu thụ là ít nhất thì giá trị của
r
là:
A.
6
6
2
3
2
r
. B.
8
4
2
3
2
r
. C.
8
6
2
3
2
r
. D.
6
4
2
3
2
r
.
Câu 20: Với một đĩa phẳng hình tròn bằng thép bán kính
R
, phải làm một cái phễu bằng cách cắt đi một
hình quạt của đĩa này và gấp phần còn lại thành một hình nón. Gọi độ dài cung tròn của hình quạt
còn lại là
x
. Tìm
x
để thể tích khối nón tạo thành nhận giá trị lớn nhất.
A.
2 3
3
R
x
. B.
6
3
R
x
. C.
2 6
3
R
x
. D.
2 2
3
R
x
.
Câu 21: Một cơ sở sản xuất đồ gia dụng được đặt hàng làm các chiếc cốc hình nón không nắp bằng nhôm có
thể tích là
3
9
V a
. Để tiết kiệm sản suất và mang lại lợi nhuận cao nhất thì cơ sở sẽ sản suất
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 7
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
những chiếc cốc hình nón có bán kính miệng cốc là
R
sao cho diện tích nhôm cần sử dụng là ít
nhất. Tính
R
?
A.
3
3
2
a
R . B.
6
3
2
a
R . C.
3
9
R a
. D.
3
R a
.
Câu 22: Bạn A có một tấm bìa hình tròn (như hình vẽ), bạn ấy muốn dùng tấm bìa đó tạo thành một cái phễu
hình nón, vì vậy bạn phải cắt bỏ phần quạt tròn
AOB
rồi dán hai bán kính
OA
và
OB
lại với nhau.
Gọi
x
là góc ở tâm của hình quạt tròn dùng làm phễu. Giá trị của
x
để thể tích phễu lớn nhất là.
.
A.
2
. B.
3
. C.
2 6
3
. D.
6 2 6
3
.
Câu 23: Từ cùng một tấm kim loại dẻo hình quạt như hình vẽ có kích thước bán kính
5
R
và chu vi của
hình quạt là
8 10
P
, người ta gò tấm kim loại thành những chiếc phễu theo hai cách:
1- Gò tấm kim loại ban đầu thành mặt xung quanh của một cái phễu
2 - Chia đôi tấm kim loại thành hai phần bằng nhau rồi gò thành mặt xung quanh của hai cái phễu
Gọi
1
V
là thể tích của cái phễu thứ nhất,
2
V
là tổng thể tích của hai cái phễu ở cách 2. Tính
1
2
V
V
?
A.
1
2
21
7
V
V
B.
1
2
2 21
7
V
V
C.
1
2
2
6
V
V
D.
1
2
6
2
V
V
Câu 24: Một phễu đựng kem hình nón bằng giấy bạc có thể tích
12
(cm
3
) và chiều cao là 4cm. Muốn tăng
thể tích kem trong phễu hình nón lên 4 lần, nhưng chiều cao không thay đổi, diện tích miếng giấy
bạc cần thêm là.
A.
2
(12 13 15)
cm
. B.
2
12 13
cm
.
C.
2
12 13
15
cm
. D.
2
(12 13 15)
cm
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 8
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 25: Nhà Nam có một chiếc bàn tròn có bán kính bằng m. Nam muốn mắc một bóng điện ở phía
trên và chính giữa chiếc bàn sao cho mép bàn nhận được nhiều ánh sáng nhất. Biết rằng cường độ
sáng C của bóng điện được biểu thị bởi công thức ( là góc tạo bởi tia sáng tới mép
bàn và mặt bàn, c - hằng số tỷ lệ chỉ phụ thuộc vào nguồn sáng, l khoảng cách từ mép bàn tới bóng
điện). Khoảng cách nam cần treo bóng điện tính từ mặt bàn là
A. 1m B. 1,2m C. 1.5 m D. 2m
2
2
sin
C c
l
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 1
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
TOÁN THỰC TẾ LIÊN QUAN MẶT VÀ KHỐI NÓN
Câu 1: Một chiếc ly hình nón chứa đầy rượu. Người ta uống đi một phần rượu sao cho chiều cao phần còn
lại bằng một nửa chiều cao ban đầu. Số phần rượu đã được uống là:
A.
3
4
. B.
1
2
. C.
2
3
. D.
7
8
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Gọi
h
,
r
là chiều cao và bán kính ly rượu.Thể ly rượu khi đầy là
2
1
3
V h r
.
Sau khi uống phần còn lại có chiều cao là
2
h
nên thể tích phần rượu còn lại là
2
1
1
3 2 2
h r
V
2
1 1 1
.
3 8 8
h r V
. Vậy phần rượu được uống đi là
7
8
V
.
Câu 2: Một bình đựng nước dạng hình nón (không đáy) đựng đầy nước. Biết rằng chiều cao của bình gấp 3
lần bán kính đáy của nó. Người ta thả vào đó một khối trụ và đo dược thể tích nước tràn ra ngoài
là
3
16
9
dm
. Biết rằng một mặt của khối trụ nằm trên mặt trên của hình nón, các điểm trên đường
tròn đáy còn lại đều thuộc các đường sinh của hình nón (như hình vẽ) và khối trụ có chiều cao bằng
đường kính đáy của hình nón. Diện tích xung quanh
xq
S
của bình nước là:
A.
2
4
xq
S dm
. B.
2
3
2
xq
S dm
.
C.
2
9 10
2
xq
S dm
. D.
2
4 10
xq
S dm
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Xét hình nón:
3
h SO r
,
,
r OB l SA
. Xét hình trụ:
1
2
h r NQ
,
1
r ON QI
SQI SBO
1
1
3 3
QI SI r
r
BO SO
Thể tích khối trụ là:
3
2
1 1
2 16
2 6
9 9
t
r
V r h r h
2 2
2 10
l h r
2
4 10
xq
S rl dm
Câu 3: Với một đĩa tròn bằng thép tráng có bán kính
6
R m
phải làm một cái phễu bằng cách cắt đi một
hình quạt của đĩa này và gấp phần còn lại thành hình tròn. Cung tròn của hình quạt bị cắt đi phải
bằng bao nhiêu độ để hình nón có thể tích cực đại?
A.
2,8
B.
66
C.
294
D.
12,56
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có thể nhận thấy đường sinh của hình nón là bán kính của đĩa tròn. Còn chu vi đáy của hình
nón chính là chu vi của đĩa trừ đi độ dài cung tròn đã cắt. Như vậy ta tiến hành giải chi tiết như
sau:
Gọi
( )
x m
là độ dài đáy của hình nón (phần còn lại sau khi cắt cung hình quạt của dĩa).
Khi đó
2
2
x
x r r
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 2
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Chiều cao của hình nón tính theo định lí PITAGO là
2
2 2 2
2
4
x
h R r R
Thể tích khối nón sẽ là:
2 2
2 2
2 2
1 1
3 3
4 4
x x
V r h R
Đến đây các em đạo hàm hàm
( )
V x
tìm được GTLN của
( )
V x
đạt được khi
2
6 4
3
x R
Suy ra độ dài cung tròn bị cắt đi là:
2 4
R
0 0
2 6 4
360 66
2 6
Câu 4: Cho một đồng hồ cát như hình bên dưới (gồm 2 hình nón chung đỉnh ghép lại), trong đó đường sinh
bất kỳ của hình nón tạo với đáy một góc
60
như hình bên. Biết rằng chiều cao của đồng hồ là
30
cm
và tổng thể tích của đồng hồ là
3
1000
cm
. Hỏi nếu cho đầy lượng cát vào phần trên thì khi
chảy hết xuống dưới, khi đó tỉ lệ thể tích lượng cát chiếm chỗ và thể tích phần phía dưới là bao
nhiêu?
A.
1
8
. B.
1
64
. C.
1
27
. D.
1
3 3
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Gọi
, , ,
h h r r
30
15
2
h
lần lượt là chiều cao, bán kính của hình nón phía dưới và phía trên
của đồng hồ. Ta có:
30
; 30 ;
tan60
3 3 3
h h h h
r h h r
.
Khi đó: thể tích của đồng hồ:
2 2
2
1 1 1 30
30
3 3 3
3 3
h h
V r h r h h h
3 2 3
1 27000 2700 90
3 3
h h h h
2
1
90 2700 27000 1000
9
h h
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 3
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
2
20
30 200 0 20 10
10 15
h
h h h h
h
Do 2 hình nón đồng dạng nên
3
1
2
1
8
V h
V h
.
Câu 5: Một cái phễu có dạng hình nón. Người ta đổ một lượng nước vào phễu sao cho chiều cao của lượng
nước trong phễu bằng
1
3
chiều cao của phễu. Hỏi nếu bịt kín miệng phễu rồi lộn ngược phễu lên
thì chiều cao của nước xấp xỉ bằng bao nhiêu ? Biết rằng chiều cao của phễu là
15cm
.
A.
0,188 cm
. B.
0,216 cm
. C.
0,5 cm
. D.
0,3 cm
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Gọi
,
R
h
lần lượt là bán kính và chiều cao của phễu. Ta có
15
h SO
Gọi
1
,
h
1
R
lần lượt là chiều cao và bán kính đáy của khối nước lúc ban đầu.
Ta có
1
1
1 1
1
5
3
3
h
h
h SH
R
h R
R
h R
Thể tích khối nước
1
2
2
1
1
3 81
n
R h
V R h
Khi quay ngược phễu, nước trong phễu được biểu diễn như hình vẽ.
Đặt
1
0
SO x
,
1 1
O A R
thì chiều cao cột nước mới trong phễu là
h x
1
và
R x
R h
xR
R
h
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 4
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Gọi
1
V
là thể tích khối nón có chiều cao
h
, bán kính đáy
R
. Ta có
2
1
1
3
V R h
Gọi
2
V
là thể tích khối nón có chiều cao
x
, bán kính đáy
R
. Ta có
2 3
2
2
2
1
3 3
R x
V R x
h
Vì
1 2
n
V V V
nên
2 3
2 2
2
1 1
3 3 81
R x
R h R h
h
3
26
3
x h
Thay vào
1
ta được chiều cao cột nước mới trong phễu là
3
26
1 0,188
3
h
.
Câu 6: Người thợ gia công của một cơ sở chất lượng cao X cắt một miếng tôn hình tròn với bán kính
60cm
thành ba miếng hình quạt bằng nhau. Sau đó người thợ ấy quấn và hàn ba miếng tôn đó để được
ba cái phễu hình nón. Hỏi thể tích
V
của mỗi cái phễu đó bằng bao nhiêu?
A.
16000 2
3
V
lít. B.
16 2
3
V
lít.
C.
16000 2
3
V
lít. D.
160 2
3
V
lít.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Đổi
60cm 6dm
.
O
h
l
r
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 5
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Đường sinh của hình nón tạo thành là
6dm
l
.
Chu vi đường tròn ban đầu là
2 16
C R
.
Gọi
r
là bán kính đường tròn đáy của hình nón tạo thành.
Chu vi đường tròn đáy của hình nón tạo thành là
2 .6
2 . 4 dm
3
r
4
2dm
2
r
.
Đường cao của khối nón tạo thành là
2 2 2 2
6 2 4 2
h l r .
Thể tích của mỗi cái phễu là
2 2 3
1 1 16 2 16 2
.2 .4 2 dm
3 3 3 3
V r h
lít.
Câu 7: Có một miếng tôn hình tam giác
ABC
đều cạnh
3 dm
(như hình vẽ). Gọi
K
là trung điểm của
BC
. Người ta dùng compa có tâm là
A
và bán kính
AK
vạch cung tròn
MN
(
M
,
N
thứ tự thuộc
cạnh
AB
và
AC
) rồi cắt miếng tôn theo cung tròn đó. Lấy phần hình quạt người ta gò sao cho
cạnh
AM
và
AN
trùng nhau thành một cái phễu hình nón không đáy với đỉnh
A
. Tính thể tích
V
của cái phễu.
A.
3
141.
dm
64
V
. B.
3
3
dm
32
V .
C.
3
3 3.
dm
32
V
. D.
3
105.
dm
64
V
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có tam giác
ABC
đều có cạnh bằng
3
nên đường cao
3 3
2
AK
.
r
N
M
A
K
B
C
A
r
N
M
A
K
B
C
A
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 6
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Chu vi đường tròn đáy của cái phễu chính là chiều dài
x
của dây cung
MN
. Mặt khác số đo cung
MN
bằng số đo góc ở tâm nên sđ
60
MN suy ra độ dài dây cung
MN
bằng
1
6
độ dài đường
tròn, nghĩa là
1
.2 .
6
x AK
1 3 3 3
.2 .
6 2 2
.
Gọi
r
là bán kính của đường tròn đáy của cái phễu, ta có
2
x r
2
x
r
3
3
2
2 4
.
Chiều cao của cái phễu
2 2
h AK r
2 2
3 3 3
2 4
105
4
.
Vậy thể tích cái phễu
2
1
3
V r h
2
1 3 105
.
3 4 4
105
64
.
Câu 8: Có một cái cốc làm bằng giấy, được úp ngược như hình vẽ. Chiều cao của chiếc cốc là
20cm
, bán
kính đáy cốc là
4cm
, bán kính miệng cốc là
5cm
. Một con kiến đang đứng ở điểm
A
của miệng
cốc dự định sẽ bò hai vòng quanh thân cốc để lên đến đáy cốc ở điểm
B
. Quãng đường ngắn nhất
để con kiến có thể thực hiện được dự định của mình gần đúng nhất với kết quả nào dước đây?
.
A.
59,93cm
. B.
59,98cm
. C.
58,80cm
. D.
58,67cm
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Đặt
, ,
b a h
lần lượt là bán kính đáy cốc, miệng cốc và chiều cao của cốc,
là góc kí hiệu như
trên hình vẽ. Ta “trải” hai lần mặt xung quanh cốc lên mặt phẳng sẽ được một hình quạt của một
khuyên với cung nhỏ
4
BB b
và cung lớn
4
AA a
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 7
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
.
Độ dài ngắn nhất của đường đi của con kiến là độ dài đoạn thẳng
BA
. Áp dụng định lí hàm số
cosin ta được:
2 2
2 . .cos2 1
l BO OA BO OA
.
2
2
B A AB a b h
.
4
4
l BB
a a
b b
l AA
OA
OB
OB AB
OB
1
2
AB
b
.
1
2
AB
b
.
2
a b
AB
2
2
2 a b
a
a b h
.
1
AB a a b
OB b b
2
2
b a b h
OB b
a b
.
OA OB BA
2
2
2
2
b a b h
a b h c
a b
.
Thay
a
,
b
,
c
vào
1
ta tìm được
58,79609 58,80
l cm
.
Ghichú. Để tồn tại Hướng dẫn giải trên thì đoạn
BA
phải không cắt cung
BB
tại điểm nào
khác
B
, tức là
BA
nằm dưới tiếp tuyến của
BB
tại
B
Điều này tương đương với
1
2 cos .
b
a
Tuy nhiên, trong Hướng dẫn giải của thí sinh không yêu cầu phải trình bày
điều kiện này (và đề bài cũng đã cho thỏa mãn yêu cầu đó).
Câu 9: .Hai chiếc ly đựng chất lỏng giống hệt nhau, mỗi chiếc có phần chứa chất lỏng là một khối nón có
chiều cao 2 dm (mô tả như hình vẽ). Ban đầu chiếc ly thứ nhất chứa đầy chất lỏng, chiếc ly thứ hai
để rỗng. Người ta chuyển chất lỏng từ ly thứ nhất sang ly thứ hai sao cho độ cao của cột chất lỏng
trong ly thứ nhất còn 1dm. Tính chiều cao h của cột chất lỏng trong ly thứ hai sau khi chuyển (độ
cao của cột chất lỏng tính từ đỉnh của khối nón đến mặt chất lỏng - lượng chất lỏng coi như không
hao hụt khi chuyển. Tính gần đúng h với sai số không quá 0,01dm).
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 8
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A. 1,73h md . B. 1,89h md . C. 1,91h md . D. 1,41h md .
Hướng dẫn giải
Chọn C
Có chiều cao hình nón khi đựng đầy nước ở ly thứ nhất:
2AH
.
Chiều cao phần nước ở ly thứ nhất sau khi đổ sang ly thứ hai:
1AD
.
Chiều cao phần nước ở ly thứ hai sau khi đổ sang ly thứ hai: AF h .
Theo Ta let ta có:
1
2
R AD
R AH
,
2
R AF h
R AH
suy ra
2
R
R
,
2
Rh
R
.
Thể tích phần nước ban đầu ở ly thứ nhất :
2
2V R
.
Thể tích phần nước ở ly thứ hai :
2
1
V R h
2 3
4
R h
.
Thể tích phần nước còn lại ở ly thứ nhất:
2
2
4
R
V
.
Mà:
1 2
V V V
2 3 2
2
2
4 4
R h R
R
3
1
2
4 4
h
3
7h 1,91 .
Câu 10: Cho một đồng hồ cát như hình bên dưới (gồm 2 hình nón chung đỉnh khép lại) , trong đó đường
sinh bất kỳ của hình nón hợp với đáy một góc 60.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 9
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Biết rằng chiều cao của đồng hồ là
30cm
và tổng thể tích của đồng hồ là
3
1000 cm
. Hỏi nếu cho
đầy lượng cát vào phần trên thì khi chảy hết xuống dưới, tỉ lệ thể tích lượng cát chiếm chỗ và thể
tích phần bên dưới là bao nhiêu?
A.
1
64
. B.
1
27
. C.
1
3 3
. D.
1
8
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Gọi
x
là chiều cao của hình nón phía trên; 30
x
là chiều cao đáy dưới
Điều kiện:
0 15
x
.
Tam giác
OIM
vuông tại
O
có
60
IMO
,
3
.cot 60 30
3
OM OI x
Tam giác
O IM
vuông tại
O
có
60
IM O
,
3
.cot60
3
O M O I x
Theo giả thiết ta có pt:
M
O
I
O
M
x
30
–
M
O
I
O
M
x
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 10
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
2 2 2
. . 1000 3 90 600 0 10
3
OI OM O I O M x x x
(vì
15
x
)
Khi đó
Thể tích phần trên
3
1
1 1000
9 9
V x
Thể tích phần dưới
3
2
1 8000
30
9 9
V x
Vậy: tỉ lệ thể tích lượng cát chiếm chỗ và thể tích phần bên dưới là
1
2
1
8
V
V
.
Câu 11: Một cái ly có dạng hình nón được rót nước vào với chiều cao mực nước bằng
2
3
chiều cao hình
nón. Hỏi nếu bịch kính miệng ly rồi úp ngược ly xuống thì tỷ số chiều cao mực nước và chiều cao
hình nón xấp xỉ bằng bao nhiêu?
A.
0,11
. B.
0,21
. C.
0,08
D.
0,33
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Gọi chiều cao và bán kính đường tròn đáy của cái ly lần lượt là
h
và
R
.
Khi để cốc theo chiều xuôi thì lượng nước trong cốc là hình nón có chiều cao và bán kính đường
tròn đáy lần lượt là
2
3
h
và
2
3
R
Do đó thể tích lượng nước trong bình là
8
27
V
Phần không chứa nước chiếm
19
27
V
.
Khi úp ngược ly lại thì phần thể tích nước trong ly không đổi và lúc đó phần không chứa nước là
hình nón và ta gọi
'
h
và
'
R
lần lượt là chiều cao và bán kính đường tròn đáy của phần hình nón
không chứa nước đó.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 11
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Ta có
' '
R h
R h
và phần thể tích hình nón không chứa nước là
19
27
V
3
3
2 2
' 19 ' 19 ' 19
. ' .
3 27 3 27 3
h h h h
R R
h h
Do đó tỷ lệ chiều cao của phần chứa nước và chiều cao của cái ly trong trường hợp úp ngược ly
là
Câu 12: Một bể nước lớn của khu công nghiệp có phần chứa nước là một khối nón đỉnh
S
phía dưới (hình
vẽ), đường sinh
27
SA
mét. Có một lần lúc bể chứa đầy nước, người ta phát hiện nước trong bể
không đạt yêu cầu về vệ sinh nên lãnh đạo khu công nghiệp cho thoát hết nước để làm vệ sinh bể
chứa. Công nhân cho thoát nước ba lần qua một lổ ở đỉnh
S
. Lần thứ nhất khi mực nước tới điểm
M
thuộc
SA
thì dừng, lần thứ hai khi mực nước tới điểm
N
thuộc
SA
thì dừng, lần thứ ba mới
thoát hết nước. Biết rằng lượng nước mỗi lần thoát bằng nhau. Tính độ dài đoạn
MN
. (Hình vẽ 4:
Thiết diện qua trục của hình nón nước).
A.
3
3
9 9 4 1
m
. B.
3
3
9 9 2 1
m
. C.
3
3
9 3 2 1
m
. D.
3
27 2 1
m
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Gọi
1 2
, ,
V V V
là thể tích của khối nón có đường sinh
, ,
SA SM
SN
.
Theo đề bài ta suy ra
1 2
2
2
3
V V
V V
.
Lại có:
2
2
2
2
1 1 1
1 1
1
3
1
3
OA SO
V OA SO
V O M SO
O M SO
, mặt khác
1 1
OA SO SA
O M SO SM
nên
3
' 3 19
1 .
3
h
h
O
N
M
A
S
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 12
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Ta có tỉ số thể tích bằng lập phương tỉ số cạnh không cần chứng minh.
3 3
2
3
1 2
3
27 2
27
2 3
VV SA
SM
V SM V SM
.
Và
3 3
2
3
2 2
3
27 1
27
3
VV SA
SN
V SN V SM
Vậy
3
3
3 3
2 1
27 9 9 2 1
3 3
MN SM SN
.
Câu 13: Một cái phễu có dạng hình nón, chiều cao của phễu là
20cm
. Người ta đổ một lượng nước vào phễu
sao cho chiều cao của cột nước trong phễu bằng
10cm
(hình H1). Nếu bịt kín miệng phễu rồi lật
ngược phễu lên (hình H2) thì chiều cao của cột nước trong phễu gần bằng với giá trị nào sau đây?
A.
0,87cm
. B.
10cm
. C.
1,07cm
. D.
1,35cm
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Trước khi lật phễu lên:
Theo bài ra ta có
10cm
SE
,
20cm
SH
.
1
2
SE ED
SCD SAB
SH HB
∽
Suy ra
2
2
. 1 7
. 8 8
nuoc
khi pheu
pheu
V ED SE
V V
V HB SH
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 13
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Sau khi lật phễu lên:
SF FD
SMN SAB
SH HB
Do
2 3
3
7 7 7 7
.
8 8 8 2
khi pheu
FN SF SF
V V SF SH
HB SH SH
.
Vậy chiều cao của nước sau khi lật phễu là
3 3
7 7
1 20. 1 0,8706
2 2
FH SH HF SH
Câu 14: Một cây thông Noel có dạnh hình nón với chiều dài đường sinh bằng
60
cm
và bán kính đáy
r 10
cm
. Một chú kiến bắt đầu xuất phát từ một đỉnh nằm trên mặt đáy hình nón và có dự định
bò một vòng quanh cây thông sau đó quay trở lại vị trí xuất phát ban đầu. Tính quãng đường ngắn
nhất mà chú kiến có thể đi được là bao nhiêu?
A.
60
. B.
63
. C.
125
. D.
45
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta “cắt” hình nón theo cạnh
AE
và trải hình nón ra được một hình quạt như hình vẽ. Ta chú ý
rằng đường sinh của hình nón bằng bán kính quạt nên
60
R cm
. Gọi
r
là bán kính đáy nón và
và
là góc của cung tròn quạt. Khi đó chu vi của của cung tròn quạt là:
2
2 2
2 3
r
C R r
R
.
Vậy hình quạt của ta là một phần sáu hình tròn và tam giác
AEE
là tam giác đều. Quãng đường
ngắn nhất mà con kiến đi được chính bằng độ dài
60
EE cm
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 14
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 15: Cho một chiếc cốc hình nón chứa đầy rượu như hình vẽ. Người
X
uống một phần rượu sao cho
chiều cao của nó giảm đi
1
3
so với chiều cao của rượu trong cốc. Người
Y
uống phần rượu còn lại
trong cốc. Khi đó khẳng định nào đúng.
.
A. Người
X
uống lượng rượu bằng
5,75
lần lượng rượu của người
Y
uống.
B. Hai người
X
và
Y
uống lượng rượu bằng nhau.
C. Người
X
uống lượng rượu bằng
2,375
lần lượng rượu của người
Y
uống.
D. Người
X
uống lượng rượu bằng một nửa lượng rượu của người
Y
uống.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Gọi
2
1
3
V R h
là thể tích rượu có trong chiếc cốc hình nón đó ( với
R
là bán kính đáy hình nón
và
h
là chiều cao hình nón).
Sau khi người
X
uống thì lượng rượu còn lại người
Y
uống là
2
1 2 2
.
3 3 3
Y
R h
V
2
8
81
R h
.
Khi đó người
X
đã uống một lượng rượu bằng
X Y
V V V
2
19
81
R h
.
Vậy
19
2,375
8
X
Y
V
V
.
Câu 16: Một chiếc thùng đựng nước có hình của một khối lập phương cạnh
1m
chứa đầy nước. Đặt vào
trong thùng đó một khối có dạng nón sao cho đỉnh trùng với tâm một mặt của lập phương, đáy khối
nón tiếp xúc với các cạnh của mặt đối diện. Tính tỉ số thể tích của lượng nước trào ra ngoài và
lượng nước còn lại ở trong thùng.
A.
11
12
. B.
1
11
. C.
12
. D.
12
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Thể tích của chiếc thùng là
3
1m
.
Từ giả thiết ta thấy khối nón có chiều cao
h
bằng cạnh hình lập phương, bán kính đáy
r
bằng
bán kính đường tròn nội tiếp hình vuông cạnh bằng
1m
. Suy ra:
1m
h
,
1
m
2
r
.
Thể tích nước trào ra bằng thể tích nón và bằng
2 3
1
1
. m
3 12
V r h
. Thể tích lượng nước còn
lại là
2
1
12
V
12
12
1
2
12
V
V
.
Câu 17: Một cái ly có dạng hình nón như hình vẽ. Người ta đổ một lượng nước vào ly sao cho chiều cao của
lượng nước trong ly bằng
1
3
chiều cao của ly (không tính chân ly). Hỏi nếu bịt kín miệng ly rồi
lộn ngược ly lên thì tỷ lệ chiều cao của nước và chiều cao của ly bằng bao nhiêu?
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 15
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
3
3 26
3
. B.
1
6
. C.
3 2 2
3
. D.
1
9
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có
2
2
1
3 3
H O
h
V r
.
Mà
1
3
3
h
r
R h
3
R
r
. Suy ra
2
2
1
3 3 9
H O
h R
V
2
1 1
.
27 3
h R
1
27
V
.
Vậy thể tích khối còn lại:
1
26
27
V V
2 2
1 1
1 26 1
*
3 27 3
h r h R
.
Mặt khác
1 1
r h
R h
nên
2 2
1
2 2
1 1
26 26
*
27 27
h
R h
h r h
3
1
26
3
h
h
.
3
1
3 26
3
h h
h
2
3
3 26
3
H O
h
h
.
Câu 18: Một mảnh giấy hình quạt như hình vẽ. Người ta dán mép
AB
và
AC
lại với nhau để được một hình
nón đỉnh
.
A
Tính thể tích
V
của khối nón thu được (xem phần giấy dán không đáng kể).
A.
4 21 .
B.
20
.
3
C.
4 21
.
3
D.
20 .
Hướng dẫn giải
Chọn C
Gọi
,
R h
lần lượt là bán kính và chiều cao của hình nón
Đường sinh
5
l
.
Ta có :
2 4 2
R R
2 2
21
h l R
2
1 4 21
3 3
V R h
.
Câu 19: Một công ty sản xuất một loại cốc giấy hình nón có thể tích
3
27
cm
với chiều cao là
h
và bán kính
đáy là
r
để lượng giấy tiêu thụ là ít nhất thì giá trị của
r
là:
A.
6
6
2
3
2
r
. B.
8
4
2
3
2
r
. C.
8
6
2
3
2
r
. D.
6
4
2
3
2
r
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Thể tích của cốc:
2 2
2
1 81 81 1
27 .
V r h r h h
r
.
Lượng giấy tiêu thụ ít nhất khi và chỉ khi diện tích xung quanh nhỏ nhất.
2 2
2 2 2 4
2 4 2 2
81 1 81 1
2 2 2 2
xq
S rl r r h r r r
r r
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 16
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
2 2 2 2
4 4
3
2 2 2 2 2 2 2 2
81 1 81 1 81 1 81 1
2 2 3 . .
2 2 2 2
r r
r r r r
.
4
6
4
81
2 3
4
(theo BĐT Cauchy).
xq
S
nhỏ nhất
2 8 8
4 6
6
2 2 2 2
81 1 3 3
2 2 2
r r r
r
.
Câu 20: Với một đĩa phẳng hình tròn bằng thép bán kính
R
, phải làm một cái phễu bằng cách cắt đi một
hình quạt của đĩa này và gấp phần còn lại thành một hình nón. Gọi độ dài cung tròn của hình quạt
còn lại là
x
. Tìm
x
để thể tích khối nón tạo thành nhận giá trị lớn nhất.
A.
2 3
3
R
x
. B.
6
3
R
x
. C.
2 6
3
R
x
. D.
2 2
3
R
x
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Chu vi đường tròn đĩa là:
2
C R
.
Chu vi đường tròn đáy của hình nón là:
C x
Bán kính đường tròn đáy hình nón là:
2
x
r
.
Chiều cao của hình nón là:
2 2
h R r
2
2
2
4
x
R
.
Thể tích khối nón là:
2
1
. .
3
V r h
2 2
2
2 2
1
. .
3 4 4
x x
R
.
2 2
2
2
2 2
2
2
2
1
1 1
4
6 4 3 4
4
x
x x
V x R
x
R
3
2 2 2
2 2
2 2 2
1 1
4
12 24
4
x
x R x
R x
.
0
V
2 2 2 3
2 2
1 1
4
12 24
x R x x
2 2 2 2
2 4
R x x
2 2
2
8
3
R
x
2 6
3
R
x
.
Câu 21: Một cơ sở sản xuất đồ gia dụng được đặt hàng làm các chiếc cốc hình nón không nắp bằng nhôm có
thể tích là
3
9
V a
. Để tiết kiệm sản suất và mang lại lợi nhuận cao nhất thì cơ sở sẽ sản suất
những chiếc cốc hình nón có bán kính miệng cốc là
R
sao cho diện tích nhôm cần sử dụng là ít
nhất. Tính
R
?
A.
3
3
2
a
R . B.
6
3
2
a
R . C.
3
9
R a
. D.
3
R a
.
Hướng dẫn giải
r
R
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 17
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Chọn B
.
3 2
1
9 .
3
V a R h
3
2
27a
h
R
6
6
2 2
4
3a R
l h R
R
.
.
xq
S R l
6
6
4
3
. .
a R
R
R
6
6
2
3a R
R
6 6
4
2 2
3 3
2 2
a a
R
R R
6 6
4
6
2 2
3 3
. .
2 2
a a
R
R R
12
6
3
4
a
2
3
9
2
a
.
Dấu bằng xảy ra khi
6
4
2
3
2
a
R
R
6
6
3 2a R
6
3
2
a
R .
Câu 22: Bạn A có một tấm bìa hình tròn (như hình vẽ), bạn ấy muốn dùng tấm bìa đó tạo thành một cái phễu
hình nón, vì vậy bạn phải cắt bỏ phần quạt tròn AOB rồi dán hai bán kính OA và OB lại với nhau.
Gọi x là góc ở tâm của hình quạt tròn dùng làm phễu. Giá trị của x để thể tích phễu lớn nhất là.
.
A.
2
. B.
3
. C.
2 6
3
. D.
6 2 6
3
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Không mất tính tổng quát ta chọn 1R .
Khi đó, hình nón có đường sinh bằng 1 và chu vi đáy bằng 1.x (rad) nên có bán kính đáy bằng
2
x
r
và chiều cao bằng
2
2 2
2
1
4
x
h l r
.
Thế tích phễu bằng
2 2 2
2 2
2 2 2
1 1 1
. . 1 . 1
3 3 4 4 12 4
x x x
V r h x
.
Xét hàm số
2
2
2
1
. 1
12 4
x
f x x
với
0;2x
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 18
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Ta có:
2 3 2
2 3
2 2
2 2
2 3
2 2
1 1
2 1 8 1
12 4 4
4 1 48 1
4 4
x x x
f x x x x
x x
.
Cho
3 2
0
2 6
0 3 8 0
3
2 6
0;2
3
x
f x x x x
x
.
Tính
0 0
f
,
2 6 2 3
3 27
f
,
2 0
f
nên thể tích phễu lớn nhất khi
2 6
3
x
.
Câu 23: Từ cùng một tấm kim loại dẻo hình quạt như hình vẽ có kích thước bán kính
5
R
và chu vi của
hình quạt là
8 10
P
, người ta gò tấm kim loại thành những chiếc phễu theo hai cách:
1- Gò tấm kim loại ban đầu thành mặt xung quanh của một cái phễu
2 - Chia đôi tấm kim loại thành hai phần bằng nhau rồi gò thành mặt xung quanh của hai cái phễu
Gọi
1
V
là thể tích của cái phễu thứ nhất,
2
V
là tổng thể tích của hai cái phễu ở cách 2. Tính
1
2
V
V
?
A.
1
2
21
7
V
V
B.
1
2
2 21
7
V
V
C.
1
2
2
6
V
V
D.
1
2
6
2
V
V
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Do chu vi của hình quạt tròn là P = độ dài cung + 2R. Do đó độ dài cung tròn là
8
l
Theo cách thứ nhất:
8
chính là chu vi đường tròn đáy của cái phễu. Tức là
2 8 4
r r
Khi đó
2 2 2 2
5 4 3
h R r
2
1
1
.3 .4
3
V
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 19
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Theo cách thứ hai: Thì tổng chu vi của hai đường tròn đáy của hai cái phễu là
8
chu vi của
một đường tròn đáy là
4 4 2 r 2
r
Khi đó
2 2 2 2
5 2 21
h R r
2
2
1
2. 21.2 .
3
V
Khi đó
2
1
2
4 2 21
7
8 21
3
V
V
Câu 24: Một phễu đựng kem hình nón bằng giấy bạc có thể tích
12
(cm
3
) và chiều cao là 4cm. Muốn tăng
thể tích kem trong phễu hình nón lên 4 lần, nhưng chiều cao không thay đổi, diện tích miếng giấy
bạc cần thêm là.
A.
2
(12 13 15)
cm
. B.
2
12 13
cm
.
C.
2
12 13
15
cm
. D.
2
(12 13 15)
cm
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Gọi R
1
là bán kính đường tròn đáy hình nón lúc đầu; h
1
là chiều cao của hình nón lúc đầu.
Gọi R
2
là bán kính đường tròn đáy hình nón sau khi tăng thể tích; h
2
là chiều cao của hình nón sau
khi tăng thể tích.
Ta có:
2 2
1 1 1 1 1
1 1
12 4 3
3 3
V R h R R
2
1 1 1
2
2
2 2
2 2 2 2 1
2
1 1
2 1
1
3
1
4 2 6
3
V R h
V R
V R h R R
V R
h h
Diện tích xung quanh hình nón lúc đầu:
2
1 1 1
3 16 9 15
xp
S R l cm
Diện tích xung quanh hình nón sau khi tăng thể tích:
2
2 2 2
6 16 36 12 13
xp
S R l cm
Diện tích phần giấy bạc cần tăng thêm là:
2
12 13 15
S cm
Câu 25: Nhà Nam có một chiếc bàn tròn có bán kính bằng m. Nam muốn mắc một bóng điện ở phía
trên và chính giữa chiếc bàn sao cho mép bàn nhận được nhiều ánh sáng nhất. Biết rằng cường độ
sáng C của bóng điện được biểu thị bởi công thức ( là góc tạo bởi tia sáng tới mép
bàn và mặt bàn, c - hằng số tỷ lệ chỉ phụ thuộc vào nguồn sáng, l khoảng cách từ mép bàn tới bóng
điện). Khoảng cách nam cần treo bóng điện tính từ mặt bàn là
A. 1m B. 1,2m C. 1.5 m D. 2m
2
2
sin
C c
l
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 20
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Hướng dẫn giải
Gọi h là độ cao của bóng điện so với mặt bàn (h > 0); Đ là bóng điện; I là hình chiếu của Đ lên
mặt bàn. MN là đường kính của mặt bàn.( như hình vẽ)
Ta có và , suy ra cường độ sáng là: .
Lập bảng biến thiên ta thu được kết quả C lớn nhất khi , khi đó
2
α
l
N
M
Đ
I
h
sin
h
l
2 2
2
h l
2
3
2
( ) ( 2)
l
C l c l
l
2
4 2
6
' . 0 2
. 2
l
C l c l
l l
' 0 6 2
C l l l
6
l
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 1
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
TOÁN THỰC TẾ LIÊN QUAN MẶT VÀ KHỐI TRỤ
Câu 1: Một nhà máy sản xuất cần thiết kế một thùng sơn dạng hình trụ có nắp đậy với dung tích
3
1000
cm
. Bán
kính của nắp đậy để nhà sản xuất tiết kiệm nguyên vật liệu nhất bằng
A.
5
10.
cm
. B.
3
5
10.
cm
. C.
500
cm
. D.
3
500
cm
.
Câu 2: Một đội xây dựng cần hoàn thiện một hệ thống cột trụ tròn gồm
10
chiếc của một ngôi nhà. Trước khi
hoàn thiện mỗi chiếc cột là một khối bê tông cốt thép hình lăng trụ đều có đáy là tứ giác có cạnh
20
cm; sau khi hoàn thiện mỗi cột là một khối trụ tròn có đường kính đáy bằng
60
. Chiều cao mỗi cột
trước và sau khi hoàn thiện là
4
m. Biết lượng xi măng cần dùng chiếm
80%
lượng vữa và cứ một
bao xi măng
50
kg thì tương đương với
65000
cm
3
xi măng. Hỏi số bao xi măng loại
50
kg cần để
hoàn thiện toàn bộ hệ thống cột gần với số nào sau đây đây nhất?
A.
120
bao. B.
135
bao. C.
130
bao. D.
125
bao.
Câu 3: Một cái bồn chứa nước gồm hai nửa hình cầu và một hình trụ (như hình vẽ). Đường sinh của hình trụ
bằng hai lần đường kính của hình cầu. Biết thể tích của bồn chứa nước là
128
3
3
m
. Tính diện tích
xung quanh của cái bồn chứa nước theo đơn vị
2
m
.
A.
2
50 m
. B.
2
64 m
. C.
2
40 m
. D.
2
48 m
.
Câu 4: Một hộp đựng phấn hình hộp chữ nhật có chiều dài
30
cm
, chiều rộng
5
cm
và chiều cao
6
cm
. Người
ta xếp thẳng đứng vào đó các viên phấn giống nhau, mỗi viên phấn là một một khối trụ có chiều cao
6
h cm
và bán kính đáy
1
2
r cm
. Hỏi có thể xếp được tối đa bao nhiêu viên phấn?
A.
153
viên. B.
151
viên. C.
154
viên. D.
150
viên.
Câu 5: Một nhà máy sản xuất cần thiết kế một thùng sơn dạng hình trụ có nắp đậy với dung tích
3
1000cm .
Tính bán kính của nắp đậy sao cho nhà sản xuất tiết kiệm được nguyên liệu nhất.
A.
3
10
.
2
B.
10 5
.
C.
3
3
10 5
.
D.
3
5
.
Câu 6: Một ngôi biệt thự có
10
cây cột nhà hình trụ tròn, tất cả đều có chiều cao bằng
4,2
m
. Trong đó,
4
cây
cột trước đại sảnh có đường kính bằng
40
cm
,
6
cây cột còn lại bên thân nhà có đường kính bằng
26
cm
. Chủ nhà dùng loại sơn giả đá để sơn
10
cây cột đó. Nếu giá của một loại sơn giả đá là
2
380.000 /
đ m
(kể cả phần thi công) thì người chủ phải chi ít nhất bao nhiêu tiền để sơn
10
cây cột
nhà đó (đơn vị đồng)?
A.
14.647.000
. B.
15.844.000
. C.
13.627.000
. D.
16.459.000
.
Câu 7: Cho hai tấm tôn hình chữ nhật đều có kích thước
1,5m 8m
. Tấm tôn thứ nhất được chế tạo thành một
hình hộp chữ nhật không đáy, không nắp, có thiết diện ngang là một hình vuông (mặt phẳng vuông
góc với đường cao của hình hộp và cắt các mặt bên của hình hộp theo các đoạn giao tuyến tạo thành
một hình vuông) và có chiều cao
1,5m
; còn tấm tôn thứ hai được chế tạo thành một hình trụ không
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 2
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
đáy, không nắp và cũng có chiều cao
1,5m
. Gọi
1
V
,
2
V
theo thứ tự là thể tích của khối hộp chữ nhật
và thể tích của khối trụ. Tính tỉ số
1
2
V
V
.
A.
1
2
V
V
. B.
1
2
4
V
V
. C.
1
2
2
V
V
. D.
1
2
3
V
V
.
Câu 8: Một khối gỗ có hình trụ với bán kính đáy bằng 6 và chiều cao bằng 8. Trên một đường tròn đáy nào đó
ta lấy hai điểm A,B sao cho cung AB có số đo
0
120 .
Người ta cắt khúc gỗ bởi một mặt phẳng đi qua
A,B và tâm của hình trụ (tâm của hình trụ là trung điểm của đoạn nối tâm hai đáy) để được thiết diện
như hình vẽ. Tính diện tích S của thiết diện thu được. (trùng câu 7148)
.
A.
12 18 3
S
. B.
20 25 3
S
. C.
20
S
. D.
20 30 3
S
.
Câu 9: Cho một cái bể nước hình hộp chữ nhật có ba kích thước
2m
,
3cm
,
2cm
lần lượt là chiều dài, chiều
rộng, chiều cao của lòng trong đựng nước của bể. Hàng ngày nước ở trong bể được lấy ra bởi một
cái gáo hình trụ có chiều cao là
5cm
và bán kính đường tròn đáy là
4cm
. Trung bình một ngày được
múc ra
170
gáo nước để sử dụng (Biết mỗi lần múc là múc đầy gáo). Hỏi sau bao nhiều ngày thì bể
hết nước biết rằng ban đầu bể đầy nước?
.
A.
280
ngày. B.
282
ngày. C.
281
ngày. D.
283
ngày.
Câu 10: Một ngôi biệt thự nhỏ có
10
cây cột nhà hình trụ tròn, tất cả đều có chiều cao bằng
4,2
m
. Trong đó
có
4
cây cột trước đại sảnh có đường kính bằng
40
cm
,
6
cây cột còn lại bên thân nhà có đường kính
bằng
26
cm
. Chủ nhà dùng loại sơn giả đá để sơn
10
cây cột đó. Nếu giá của một loại sơn giả đá là
2
380.000 /
đ m
(kể cả phần thi công) thì người chủ phải chi ít nhất bao nhiêu tiền để sơn cột
10
cây
cột nhà đó (đơn vị đồng)?
A.
14.647.000.
B.
15.845.000.
C.
13.627.000.
D.
16.459.000.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 3
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 11: Một khối gỗ có hình trụ với bán kính đáy bằng 6 và chiều cao bằng 8. Trên một đường tròn đáy nào
đó ta lấy hai điểm A,B sao cho cung AB có số đo
0
120 .
Người ta cắt khúc gỗ bởi một mặt phẳng đi
qua A,B và tâm của hình trụ (tâm của hình trụ là trung điểm của đoạn nối tâm hai đáy) để được thiết
diện như hình vẽ. Tính diện tích S của thiết diện thu được.
.
A.
12 18 3
S
. B.
20 25 3
S
. C.
20
S
. D.
20 30 3
S
.
Câu 12: Một bồn hình trụ đang chứa dầu, được đặt nằm ngang, có chiều dài bồn là
5
m
, có bán kính đáy
1
m
,
với nắp bồn đặt trên mặt nằm ngang của mặt trụ. Người ta đã rút dầu trong bồn tương ứng với
0,5
m
của đường kính đáy. Tính thể tích gần đúng nhất của khối dầu còn lại trong bồn (theo đơn vị
3
m
).
.
A.
3
114,923
m
. B.
3
12,637
m
. C.
3
8,307
m
. D.
3
11,781
m
.
Câu 13: Một cái mũ bằng vải của nhà ảo thuật với kích thước như hình vẽ. Hãy tính tổng diện tích vải cần có
để làm nên cái mũ đó (không cần viền, mép, phần thừa).
.
A.
2
700
cm
. B.
2
750,25
cm
. C.
2
756,25
cm
. D.
2
754,25
cm
.
Câu 14: Khi sản xuất vỏ lon sữa bò hình trụ, các nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu sao cho chi phí nguyên liệu làm
vỏ lon là ít nhất, tức diện tích toàn phần của hình trụ là nhỏ nhất.Muốn thể tích khối trụ đó bằng
V
và diện tích toàn phần của hình trụ nhỏ nhất thì bán kính
R
bằng.
A.
3
V
R
. B.
3
2
V
R
. C.
2
V
R
. D.
V
R
.
Câu 15: Để chào mừng
20
năm thành lập thành phố A, Ban tổ chức quyết định trang trí cho cổng chào có hai
hình trụ. Các kỹ thuật viên đưa ra phương án quấn xoắn từ chân cột lên đỉnh cột đúng
20
vòng đèn
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 4
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Led cho mỗi cột, biết bán kính hình trụ cổng là
30
cm và chiều cao cổng là
5
m. Tính chiều dài
dây đèn Led tối thiểu để trang trí hai cột cổng.
A.
30 m
. B.
26 m
. C.
24 m
. D.
20 m
.
Câu 16: Từ một tấm tôn hình chữ nhật kích thước
50 cm
và
240 cm
, người ta làm các thùng đựng nước hình
trụ có chiều cao bằng
50 cm
, theo hai cách sau (xem hình minh họa dưới đây):
- Cách 1: Gò tấm tôn ban đầu thành mặt xung quanh của thùng.
- Cách 2: Cắt tấm tôn ban đầu thành hai tấm bằng nhau, rồi gò mỗi tấm đó thành mặt xung quanh
của một thùng.
Kí hiệu
1
V
là thể tích của thùng gò được theo cách 1 và
2
V
là tổng thể tích của hai thùng gò được
theo cách 2. Tính tỉ số
1
2
V
V
.
A.
1
2
1
2
V
V
. B.
1
2
4
V
V
. C.
1
2
1
V
V
. D.
1
2
2
V
V
.
Câu 17: Mặt tiền của một ngôi biệt thự có
8
cây cột hình trụ tròn, tất cả đều có chiều cao
4,2m
. Trong số các
cây đó có hai cây cột trước đại sảnh đường kính bằng
40cm
, sau cây cột còn lại phân bổ đều hai bên
đại sảnh và chúng đều có đường kính bằng
26cm
. Chủ nhà thuê nhân công để sơn các cây cột bằng
một loại sơn giả đá, biết giá thuê là
2
380000/1m
(kể cả vật liệu sơn và thi công). Hỏi người chủ phải
chi ít nhất bao nhiêu tiền để sơn hết các cây cột nhà đó (đơn vị đồng)? (lấy
3,14159
).
A.
10.400.000
. B.
15.642.000
. C.
11.833.000
. D.
12.521.000
.
Câu 18: Để chứa
3
7
m
nước ngọt người ta xây một bồn hình trụ có nắp. Hỏi bán kính
r
của đáy hình trụ
nhận giá trị nào sau đây để tiết kiệm vật liệu nhất.
A.
3
6
r
. B.
3
7
2
r
. C.
3
8
3
r
. D.
3
9
4
r
.
Câu 19: Một ngôi biệt thự có 10 cây cột nhà hình trụ tròn, tất cả đều có chiều cao bằng Trong đó,
cây cột trước đại sảnh có đường kính bằng , cây cột còn lại bên thân nhà có đường kính
bằng . Chủ nhà dùng loại sơn giả đá để sơn cây cột đó. Nếu giá của một loại sơn giả đá là
(kể cả phần thi công) thì người chủ phải chi ít nhất bao nhiêu tiền để sơn cột cây
cột nhà đó (làm tròn đến đơn vị nghìn đồng)?
A. . B. . C. . D. .
Câu 20: Một cốc nước hình trụ có chiều cao
9
cm
, đường kính
6
cm
. Mặt đáy phẳng và dày
1
cm
, thành cốc
dày
0,2
cm
. Đổ vào cốc
120
ml
nước sau đó thả vào cốc 5 viên bi có đường kính
2
cm
. Hỏi mặt nước
trong cốc cách mép cốc bao nhiêu
cm
. (Làm tròn đến hai chữ số sau dấu phẩy).
4,2 m.
4
40 cm
6
26 cm
10
2
380 000
đ/m
10
15 835 000
đ
15 844 000
đ
16 468 000
đ
31 688 000
đ
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 5
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
2,67cm
. B.
3,28cm
. C.
2,28cm
. D.
3,67cm
.
Câu 21: Một cốc nước hình trụ có chiều cao 9cm , đường kính 6cm.Mặt đáy phẳng dày 1cm , thành cốc dày
0,2cm . Đổ vào cốc 120 ml nước sau đó thả vào cốc 5 viên bi có đường kính 2cm . Mặt nước cách
mép cốc gần nhất với giá trị bằng
A.
2,28 cm . B.
2,62 cm . C.
3,67 cm . D.
3,08 cm .
Câu 22: Một bình đựng nước dạng hình nón (không có nắp đáy), đựng đầy nướC. Biết rằng chiều cao của bình
gấp 3 lần bán kính đáy của nó. Người ta thả vào bình đó một khối trụ và đo được thể tích nước trào
ra ngoài là
3
16
( )
9
dm
. Biết rằng một mặt của khối trụ nằm trên mặt đáy của hình nón và khối trụ có
chiều cao bằng đường kính đáy của hình nón (như hình vẽ dưới). Tính bán kính đáy
R
của bình
nước.
A.
5( ).R dm
B.
3( ).R dm
C.
4( ).R dm
D.
2( ).R dm
Câu 23: Cho hình lập phương có cạnh bằng 40
cm
và một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn nội tiếp hai mặt
đối diện của hình lập phương. Gọi
1
S
,
2
S
lần lượt là diện tích toàn phần của hình lập phương và diện
tích toàn phần của hình trụ. Tính
1 2
S S S
2
cm .
A.
4 2400 3S
. B.
4 2400S
.
C.
2400 4S
. D.
2400 4 3S
.
Câu 24: Một cái tục lăn sơn nước có dạng một hình trụ. Đường kính của đường tròn đáy là 5cm , chiều dài lăn
là 23cm (hình bên). Sau khi lăn trọn 15 vòng thì trục lăn tạo nên sân phẳng một diện diện tích là
A.
2
1725 .cm
. B.
2
3450 .cm
. C.
2
1725 .cm
. D.
2
862,5 .cm
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 6
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 25: Ông An làm lan can ban công của ngôi nhà bằng một miếng kính cường lực. Miếng kính này là một
phần của mặt xung quanh một hình trụ như hình bên dưới.
Biết 4mAB ,
150AEB ( E là điểm chính giữa cung
AB
) và 1,4mDA . Biết giá tiền loại kính
này là 500.000 đồng cho mỗi mét vuông. Số tiền (làm tròn đến hàng chục nghìn) mà ông An phải
trả là:
A. 2.840.000 đồng. B. 3.200.000 đồng. C. 2.930.000 đồng. D. 5.820.000 đồng.
Câu 26: Để làm một hình trụ có nắp, bằng tôn và có thể tích
3
2 mV
, cần ít nhất bao nhiêu mét vuông tôn?
A.
2
6 m
. B.
2
4 m
. C.
2
2 m
. D.
2
8 m
.
Câu 27: Người ta cho vào một chiếc hộp hình trụ 3 quả bóng tennis hình cầu. Biết đáy hình trụ bằng hình tròn
lớn trên quả bóng và chiều cao hình trụ bằng ba lần đường kính quả bóng. Gọi
1
S
là tổng diện tích
3 quả bóng và
2
S
là diện tích xung quanh của hình trụ. Tỉ số diện tích
1
2
S
S
là:
A.
2
. B. 5. C.
1
. D. 3.
Câu 28: Một cái nồi nấu nước người ta làm dạng hình trụ, chiều cao của nồi là 60 cm, diện tích đáy 900
cm
2
.
Hỏi người ta cần miếng kim loại hình chữ nhật có kích thước là bao nhiêu để làm thân nồi đó? (bỏ
qua kích thước các mép gấp) .
A. Chiều dài 60
cm, chiều rộng 60 cm. B. Chiều dài 900cm, chiều rộng 60 cm.
C. Chiều dài 180cm, chiều rộng 60 cm. D. Chiều dài 30
cm, chiều rộng 60 cm.
Câu 29: Một chiếc cốc hình trụ có đường kính đáy 6
cm
, chiều cao 15
cm
chứa đầy nước. Nghiêng cốc cho
nước chảy từ từ ra ngoài đến khi mép nước ngang với đường kính của đáy cốc. Khi đó diện tích của
bề mặt nước trong cốc bằng
A.
2
9 26
2
cm
. B.
2
9 26
5
cm
. C.
2
9 26
10
cm
. D.
2
9 26 cm
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 7
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 30: Một cốc nước có dạng hình trụ đựng nước chiều cao
12
cm
, đường kính đáy
4
cm
, lượng nước trong
cốc cao
8
cm
. Thả vào cốc nước 4 viên bi có cùng đường kính
2
cm
. Hỏi nước dâng cao cách mép
cốc bao nhiêu xăng-ti-mét? (làm tròn sau dấu phẩy 2 chữ số thập phân, bỏ qua độ dày của cốc).
A.
2,33
cm
. B.
2,25
cm
. C.
2,75
cm
. D.
2,67
cm
.
Câu 31: Từ một nguyên liệu cho trước, một công ty muốn thiết kế bao bì đựng sữa với thể tích
3
100
ml
. Bao
bì được thiết kế bởi một trong hai mô hình là: hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông và hình trụ.
Hỏi thiết kế theo mô hình nào tiết kiệm nguyên vật liệu nhất?
A. Hình trụ có chiều cao gấp hai lần bán kính đáy.
B. Hình trụ có chiều cao bằng bán kính đáy.
C. Hình hộp chữ nhật có cạnh bên bằng cạnh đáy.
D. Hình hộp chữ nhật có cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy.
Câu 32: Công ty X muốn thiết kế các hộp chứa sản phẩm dạng hình trụ có nắp với dung tích bằng
3
100
cm
,
bán kính đáy
x
cm
, chiều cao
h
cm
(xem hình bên). Khi thiết kế, công ty X luôn đặt mục tiêu
sao cho vật liệu làm vỏ hộp là ít nhất, nghĩa là diện tích toàn phần hình trụ là nhỏ nhất. Khi đó, kích
thước của
x
và
h
gần bằng số nào nhất trong các số dưới đây để công ty X tiết kiệm được vật liệu
nhất?
A.
6,476h
cm
và
2,217x
cm
. B.
3,261h
cm
và
3,124x
cm
.
C.
4,128h
cm
và
2,747x
cm
.
D.
5,031h
cm
và
2,515x
cm
.
Câu 33: Người ta cần đổ một ống thoát nước hình trụ với chiều cao
200
cm
, độ dày của thành ống là
15
cm
,
đường kính của ống là
80
cm
. Lượng bê tông cần phải đổ là
A.
3
m
. B.
3
0,195
m
. C.
3
0,18
m
. D.
3
0,14
m
.
Câu 34: Một nhà sản xuất sữa có hai phương án làm hộp sữa. Hộp sữa có dạng khối hộp chữ nhật hoặc hộp sữa
có dạng khối trụ. Nhà sản xuất muốn chi phí bao bì càng thấp càng tốt(tức diện tích toàn phần của
hộp nhỏ nhất), nhưng vẫn phải chứa được một thể tích xác định là
V
cho trước. Khi đó diện tích toàn
phần của hộp sữa bé nhất trong hai phương án là.
A.
3
2
6
V
. B.
3
2
3 6
V
. C.
3
2
2
V
.
D.
3
2
3 2
V
.
Câu 35: Một lọ trống miệng đựng nước là hình trụ tròn xoay có chiều cao bằng
1,6
dm
; đường kính đáy bằng
1
dm
; đáy (dưới) của lọ phẳng với bề dày không đổi bằng
0,2
dm
; thành lọ với bề dày không đổi
bằng
0,2
dm
; thiết diện qua trục của lọ như hình vẽ; đổ vào lọ
2,5
dl
nước (trước đó trong lọ không
có nước hoặc vật khác). Tính gần đúng khoảng cách
k
từ mặt nước trong lọ khi nước lặng yên đến
mép trên của lọ (quy tròn số đến hàng phần trăm, nghĩa là làm tròn số đến hai chữ số sau dấu phảy).
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 8
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
.
A.
0,51
k dm
. B.
0,53
k dm
. C.
1,18
k dm
. D.
0,52
k dm
.
Câu 36: Một tấm đề can hình chữ nhật được cuộn tròn lại theo chiều dài tạo thành một khối trụ có đường kính
50 (cm). Người ta trải ra 250 vòng để cắt chữ và in tranh cổ động, phần còn lại là một khối trụ có
đường kính 45 (cm). Hỏi phần đã trải ra dài bao nhiêu mét ?
A. 373 (m) . B. 187 (m). C. 384 (m). D. 192 (m) .
Câu 37: Trong một chiếc hộp hình trụ, người ta bỏ vào đấy ba quả banh tenis, biết rằng đáy của hình trụ bằng
hình tròn lớn trên quả banh và chiều cao của hình trụ bằng ba lần đường kính quả banh. Gọi
1
S
là
tổng diện tích của ba quả banh,
2
S
là diện tích xung quanh của hình trụ. Tỉ số diện tích
1
2
S
S
là:
A. 5. B. Là một số khác. C. 2. D. 1.
Câu 38: Một cái trục lăn sơn nước có dạng một hình trụ. Đường kính của đường tròn đáy là 6 cm, chiều dài
lăn là 25 cm (như hình dưới đây). Sau khi lăn trọn 10 vòng thì trục lăn tạo nên bức tường phẳng một
diện tích là:
A. 3000
2
cm . B. 300
2
cm . C. 1500
2
cm . D. 150
2
cm .
Câu 39: Đổ nước vào một thùng hình trụ có bán kính đáy 20cm . Nghiêng thùng sao cho mặt nước chạm vào
miệng cốc và đáy cốc như hình vẽ thì mặt nước tạo với đáy cốc một góc
45
Hỏi thể tích của thùng
là bao nhiêu
3
cm
?
.
A. 12000
. B. 16000
. C. 8000
. D. 6000
.
Câu 40: Một miếng tôn hình chữ nhật có chiều dài 10,2dm , chiều rộng 2 dm
được uốn lại thành mặt xung
quanh của một chiếc thùng đựng nước có chiều cao 2 dm
(như hình vẽ). Biết rằng chỗ ghép mất
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 9
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
2cm
. Hỏi thùng đựng được bao nhiêu lít nước?
A.
20,4
lít. B.
20
lít. C.
50
lít. D.
100
lít.
Câu 41: Bạn
A
muốn làm một chiếc thùng hình trụ không đáy từ nguyên liệu là mảnh tôn hình tam giác đều
ABC
có cạnh bằng
90 cm
. Bạn muốn cắt mảnh tôn hình chữ nhật
MNPQ
từ mảnh tôn nguyên
liệu (với
M
,
N
thuộc cạnh
BC
;
P
,
Q
tương ứng thuộc cạnh
AC
và
AB
) để tạo thành hình trụ có
chiều cao bằng
MQ
. Thể tích lớn nhất của chiếc thùng mà bạn A có thể làm được là
A.
3
91125
cm
2
. B.
3
13500. 3
cm
.
C.
3
108000 3
cm
. D.
3
91125
cm
4
.
Câu 42: Một tấm kim loại được khoan thủng bốn lỗ như hình vẽ (lỗ khoan dạng hình trụ), tấm kim loại dày
2 cm
, đáy của nó là hình vuông có cạnh
5 cm
. Đường kính của khoan là
8 mm
. Thể tích phần
còn lại của tấm kim loại là:
.
A.
3
5000 1280 mm
. B.
3
5000 1280 mm
.
C.
3
50000 1280 mm
. D.
3
50000 320 mm
.
Câu 43: Nghiêng một cốc nước hình trụ có đựng nước, người ta thấy bề mặt nước là hình Elip có độ dài trục
lớn là
10cm
, khoảng cách từ hai đỉnh trên trục lớn của Elip đến đáy cốc lần lượt là
5cm
và
11cm
.
Tính thể tích nước trong cốc.
2 dm
2 dm
A
B
C
M
N
Q
P
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 10
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
.
A.
3
128 cm
. B.
3
172 cm
. C.
3
96 cm
. D.
3
100 cm
.
Câu 44: Cắt một khối trụ cao
18cm
bởi một mặt phẳng, ta được khối hình dưới đây. Biết rằng thiết diện là một
elip, khoảng cách từ điểm thuộc thiết diện gần đáy nhất và điểm thuộc thiết diện xa mặt đáy nhất lần
lượt là
8cm
và
14cm
. Tính tỉ số thể tích của hai khối được chia ra (khối nhỏ chia khối lớn).
A.
2
11
. B.
1
2
. C.
5
11
. D.
7
11
.
Câu 45: Một khúc gỗ hình trụ có chiều cao
3m
, đường kính đáy
80cm
. Người ta cưa
4
tấm bìa để được một
khối lăng trụ đều nội tiếp trong khối trụ. Tính tổng thể tích của
4
tấm bìa bị cưa, xem mạch cưa
không đáng kể.
.
A.
3
0,12( 2)
m
. B.
3
0,48( 2)
m
. C.
3
1,92( 2)
m
. D.
3
0,4( 2)
m
.
Câu 46: Một đại lý xăng dầu cần làm một bồn chứa dầu hình trụ có đáy và nắp đậy bằng tôn với thể tích
3
16 m
. Biết rằng giá thành (cả vật liệu và tiền công) được tính theo mét vuông, tìm đường kính
đáy của bồn để đại lý phải trả ít chi phí nhất.
A.
1 m
. B.
2 m
. C.
8 m
. D.
4 m
.
Câu 47: Bạn A muốn làm một chiếc thùng hình trụ không đáy từ nguyên liệu là mảnh tôn hình tam giác đều
ABC
có cạnh bằng
90
cm
. Bạn muốn cắt mảnh tôn hình chữ nhật
MNPQ
từ mảnh tôn nguyên
liệu (với
M
,
N
thuộc cạnh
BC
;
P
và
Q
tương ứng thuộc cạnh
AC
và
AB
) để tạo thành hình trụ
có chiều cao bằng
MQ
. Thể tích lớn nhất của chiếc thùng mà bạn A có thể làm được là:
3m
A
Q
P
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 11
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
3
91125
2
cm
. B.
3
108000 3
cm
. C.
3
13500. 3
cm
. D.
3
91125
4
cm
.
Câu 48: Một thợ xây muốn sử dụng
1
tấm sắt có chiều dài là
4
m
, chiều rộng
1
m
để uốn thành
2
m
khung
đúc bê tông,
1
khung hình trụ có đáy là hình vuông và
1
khung hình trụ có đáy là hình tròn. Hỏi
phải chia tấm sắt thành
2
phần (theo chiều dài) như thế nào để tổng thể tích
2
khung là nhỏ nhất?
A. Khung có đáy là hình vuông, khung có đáy là hình tròn lần lượt có chiều dài là
4 2
,
4 4
.
B. Khung có đáy là hình vuông, khung có đáy là hình tròn lần lượt có chiều dài là
2 4
,
4 4
.
C. Khung có đáy là hình vuông, khung có đáy là hình tròn lần lượt có chiều dài là
2 4 14
,
4 4
.
D. Khung có đáy là hình vuông, khung có đáy là hình tròn lần lượt có chiều dài là
4 14 2
,
4 4
.
Câu 49: Người ta cần sản xuất một lon hình trụ bằng nhôm có thể tích
.
V
Để tiết kiệm nhôm nhất thì phải sản
xuất lon có bán kính đáy là:
A.
3
V
R
. B.
3
2
V
R
.
C.
3
V
R
.
D.
3
2
V
R
.
Câu 50: Khi thiết kế vỏ lon sữa hình trụ các nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu sao cho chi phí làm vỏ lon nhỏ nhất.
Muốn thể tích khối trụ là
V
mà diện tích toàn phần của hình trụ nhỏ nhất thì bán kính
R
của đường
tròn đáy khối trụ bằng?
A.
2
V
. B.
3
V
. C.
3
2
V
. D.
V
.
Câu 51: Ông An dự định làm một cái bể chứa nước hình trụ bằng inốc có nắp đậy với thể tích là
3
m
k
(
0
k
). Chi phí mỗi
2
m
đáy là
600
nghìn đồng, mỗi
2
m
nắp là
200
nghìn đồng và mỗi
2
m
mặt bên là
400
nghìn đồng. Hỏi ông An cần chọn bán kính đáy của bể là bao nhiêu để chi phí làm bể là ít nhất?
(Biết bề dày vỏ inốc không đáng kể).
A.
3
2
k
. B.
3
k
. C.
3
2
k
. D.
3
2
k
.
Câu 52: Một xưởng cơ khí nhận làm những chiếc thùng phi với thể tích là
2000
lít mỗi chiếc. Hỏi bán kính
đáy và chiều cao của thùng lần lượt bằng bao nhiêu để tiết kiệm nguyên liệu nhất.
A.
1
m
và
2
m
. B.
1
dm
và 2
dm
. C.
1
cm
và 2
cm
. D.
1
m
và
1
m
.
Câu 53: Gia đình An xây bể hình trụ có thể tích
3
150m
. Đáy bể làm bằng bê tông giá
2
100000
/
m
đ . Phần thân
làm bằng tôn giá
2
90000
/ m
đ , nắp bằng nhôm giá
2
120000
/ m
đ . Hỏi khi chi phí sản suất để bể đạt
mức thấp nhất thì tỷ số giữa chiều cao bể và bán kính đáy là bao nhiêu?
A.
31
22
. B.
9
22
. C.
21
32
. D.
22
9
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 12
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 54: Cần phải thiết kế các thùng dạng hình trụ có nắp đậy để đựng nước sạch có dung tích
3
cm
V . Hỏi
bán kính
(cm)
R của đáy hình trụ nhận giá trị nào sau đây để tiết kiệm vật liệu nhất?
A.
3
3
2
V
R
. B.
3
V
R
. C.
3
4
V
R
. D.
3
2
V
R
.
Câu 55: Một xưởng làm cơ khí nhận làm những chiếc thùng phi với thể tích theo yêu cầu là
2000
lít mỗi
chiếc. Hỏi bán kính đáy và chiều cao của thùng lần lượt bằng bao nhiêu để tiết kiệm vật liệu nhất?
A.
1
m và
2
m. B.
2
dm và
1
dm. C.
2
m và
1
m. D.
1
dm và
2
dm.
Câu 56: Một người có một dải ruy băng dài
130 ,
cm
người đó cần bọc dải ruy băng đó quanh một hộp quà
hình trụ. Khi bọc quà, người này dùng
10
cm
của dải ruy băng để thắt nơ ở trên nặp hộp (như hình
vẽ minh họa). Hỏi dải dây ruy băng bọc được hộp quà có thể tích lớn nhất là bao nhiêu?
.
A.
3
2000
cm
. B.
3
1000
cm
. C.
3
4000
cm
. D.
3
1600
cm
.
Câu 57: Một nhà máy sản xuất cần thiết kế một thùng sơn dạng hình trụ có nắp đậy với dung tích
3
1000cm .
Tính bán kính của nắp đậy sao cho nhà sản xuất tiết kiệm được nguyên liệu nhất.
A.
3
10
2
. B.
3
3
10 5
. C.
3
5
. D.
10 5
.
Câu 58: Một khúc gỗ có dạng hình khối nón có bán kính đáy bằng
2
r m
, chiều cao
6
h m
. Bác thợ mộc
chế tác từ khúc gỗ đó thành một khúc gỗ có dạng hình khối trụ như hình vẽ. Gọi
V
là thể tích lớn
nhất của khúc gỗ hình trụ sau khi chế tác. Tính
V
.
A.
3
32
9
V m
. B.
3
32
3
V m
. C.
3
32
3
V m
. D.
2
32
9
V m
.
Câu 59: Một công ty mỹ phẩm chuẩn bị ra một mẫu sản phẩm dưỡng da mới mang tên Ngọc Trai với thiết kế
một khối cầu như viên ngọc trai, bên trong là một khối trụ nằm trong nửa khối cầu để đựng kem
dưỡng như hình vẽ. Theo dự kiến, nhà sản xuất có dự định để khối cầu có bán kính là
3 3cm
R
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 13
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Tìm thể tích lớn nhất của khối trụ đựng kem để thể tích thực ghi trên bìa hộp là lớn nhất (với mục
đích thu hút khách hàng).
.
A.
3
108 cm
. B.
3
18 cm
. C.
3
54 cm
. D.
3
45 cm
.
Câu 60: Trong đời sống hàng ngày, ta thường gặp rất nhiều hộp kiểu hình trụ như: hộp sữa, lon nước ngọt,…
Cần làm những hộp đó (có nắp) như thế nào để tiết kiêm được nguyên liệu mà thể tích lại lớn nhất.
A. Hộp hình trụ có đường cao bằng một nửa bán kính đáy.
B. Hộp hình trụ có đường cao bằng đường kính đáy.
C. Hộp hình trụ có đường cao bằng hai lần đường kính đáy.
D. Hộp hình trụ có đường cao bằng bán kính đáy.
Câu 61: Một bác thợ gò hàn làm một chiếc thùng hình hộp chữ nhật (không nắp) bằng tôn thể tích
3
665,5
dm
.
Chiếc thùng này có đáy là hình vuông cạnh
( )
x dm
, chiều cao
( )
h dm
. Để làm chiếc thùng, bác thợ
phải cắt một miếng tôn như hình vẽ. Tìm
x
để bác thợ sử dụng ít nguyên liệu nhất.
A.
11( )
dm
. B.
12( )
dm
. C.
10,5( )
dm
. D.
9( )
dm
.
Câu 62: Một công ty sản xuất gỗ muốn thiết kế các thùng đựng hàng bên trong dạng hình lăng trụ tứ giác đều
không nắp có thể tích là
2
62,5
dm
. Để tiết kiệm vật liệu làm thùng, người ta cần thiết kế thùng sao
cho có tổng
S
diện tích xung quanh và diện tích mặt đáy là nhỏ nhất,
S
bằng
A.
2
50 5
dm
. B.
2
125
dm
. C.
2
106,25
dm
. D.
2
75
dm
.
Câu 63: Mặt tiền của một ngôi biệt thự có
8
cây cột hình trụ tròn, tất cả đều có chiều cao bằng
4,2
m. Trong
số các cây đó có
2
cây cột trước đại sảnh đường kính bằng
40
cm,
6
cây cột còn lại phân bố đều hai
bên đại sảnh và chúng đều có đường kính bằng
26
cm. Chủ nhà thuê nhân công để sơn các cây cột
bằng loại sơn giả đá, biết giá thuê là
2
380.000 / m
(kể cả vật liệu sơn và phần thi công). Hỏi người
chủ phải chi ít nhất bao nhiêu tiền để sơn hết các cây cột nhà đó (đơn vị đồng)?
(lấy
3,14159
)
A.
15.642.000
B.
10.400.000
C.
11.833.000
D.
12.521.000
Câu 64: Khi sản xuất vỏ lon bia hình trụ có chiều cao
h
và đường kính đáy
d
. Các nhà thiết kế luôn đặt mục
tiêu chi phí nguyên liệu vỏ lon (bằng nhôm) là ít nhất khi thể tích của lon bia là
V
không đổi. Khi
đó tỉ lệ
h
d
là:
A.
3
2
. B.
. C.
3
2
1
. D.
1
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 14
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 65: Công ty X muốn thiết kế các hộp chứa sản phẩm dạng hình trụ có nắp với dung tích bằng
3
100 cm ,
bán kính đáy
x cm , chiều cao
h cm (xem hình bên). Khi thiết kế, công ty X luôn đặt mục tiêu
sao cho vật liệu làm vỏ hộp là ít nhất, nghĩa là diện tích toàn phần hình trụ là nhỏ nhất. Khi đó, kích
thước của
x
và h
gần bằng số nào nhất trong các số dưới đây để công ty X tiết kiệm được vật liệu
nhất?
A.
6,476h cm và
2,217x cm . B.
3,261h cm và
3,124x cm .
C.
4,128h cm và
2,747x cm .
D.
5,031h cm
và
2,515x cm .
Câu 66: Một cái nồi hiệu Happycook dạng hình trụ không nắp chiều cao của nồi 11.4 cm, đường kính dáy là
20.8 cm. Hỏi nhà sản xuất cần miếng kim loại hình tròn có
bán kính R tối thiểu là bao nhiêu để làm cái nồi như vậy
(không kể quay nồi)
A. 18.58R cm. B. 19.58R cm.
C. 13.13R cm. D. 14.13R cm.
Câu 67: Một bang giấy dài được cuộn chặt lại
thành nhiều vòng xung quanh một ống
lõi
hình trụ rỗng có đường kính
12,5 .C mm
Biết độ dày của giấy cuộn là 0,6mm và
đường kính cả cuộn giấy là 44,9 .B mm
Tính chiều dài l của cuộn giấy.
A. 44L m B. 38L m C. 4L m D. 24L m
Câu 68: Có một miếng nhôm hình vuông, cạnh là 3 ,dm một người dự định tính tạo thành các hình trụ (không
đáy) theo hai cách sau:
Cách 1: Gò hai mép hình vuông để thành mặt xunng quanh của một hình trụ, gọi thể tích của khối
trụ đó là
1
.V
Cách 2: Cắt hình vuông ra làm ba và gò thành mặt xung quanh của ba hình trụ, gọi tổng thể tích
của chúng là
2
.V
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 15
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Khi đó, tỉ số
1
2
V
V
là:
A.
3
B.
2
C.
1
2
D.
1
3
Câu 69: Người ta cần cắt một tấm tôn có hình dạng một elip với độ dài trục lớn bằng
8
độ dài trục bé bằng
4
để được một tấm tôn có dạng hình chữ nhật nội tiếp elíp. Người ta gò tấm tôn hình chữ nhật thu
được thành một hình trụ không có đáy như hình bên. Tính thể tích lớn nhất có thể thu được của khối
trụ đó
A.
3
128 3
cm
B.
3
64
3 2
cm
C.
3
64
3 3
cm
D.
3
128
3 2
cm
x
B
A
H
C
B
2x
A
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 1
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
TOÁN THỰC TẾ LIÊN QUAN MẶT VÀ KHỐI TRỤ
Câu 1: Một nhà máy sản xuất cần thiết kế một thùng sơn dạng hình trụ có nắp đậy với dung tích
3
1000
cm
. Bán
kính của nắp đậy để nhà sản xuất tiết kiệm nguyên vật liệu nhất bằng
A.
5
10.
cm
. B.
3
5
10.
cm
. C.
500
cm
. D.
3
500
cm
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Gọi
h
cm
là chiều cao hình trụ và
R
cm
là bán kính nắp đậy.
Ta có:
2
1000
V R h
. Suy ra
2
1000
h
R
.
Để nhà sản xuất tiết kiệm nguyên vật liệu nhất thì diện tích toàn phần
tp
S
của hình trụ nhỏ nhất.
Ta có:
2 2
2
1000
2 2 2 2 .
tp
S R Rh R R
R
3
2 2 2
3
1000 1000 1000 1000
2 3. 2 . . 3 2 .1000
R R
R R R R
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
2
3
1000 500
2 R R
R
.
Câu 2: Một đội xây dựng cần hoàn thiện một hệ thống cột trụ tròn gồm
10
chiếc của một ngôi nhà. Trước khi
hoàn thiện mỗi chiếc cột là một khối bê tông cốt thép hình lăng trụ đều có đáy là tứ giác có cạnh
20
cm; sau khi hoàn thiện mỗi cột là một khối trụ tròn có đường kính đáy bằng
60
. Chiều cao mỗi cột
trước và sau khi hoàn thiện là
4
m. Biết lượng xi măng cần dùng chiếm
80%
lượng vữa và cứ một
bao xi măng
50
kg thì tương đương với
65000
cm
3
xi măng. Hỏi số bao xi măng loại
50
kg cần để
hoàn thiện toàn bộ hệ thống cột gần với số nào sau đây đây nhất?
A.
120
bao. B.
135
bao. C.
130
bao. D.
125
bao.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Thể tích mỗi khối lăng trụ là
1
20.20.400
V
.
Thể tích của mỗi khối trụ tròn là
2
2
30 .400.
V
.
Thể tích lượng vữa cần cho mỗi cột trụ tròn là
2 1
V V V
4 4
36.10 16.10
.
Số bao xi măng để hoàn thiện hệ thống cột là
0,8
65000
V
M
119.5044
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 2
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 3: Một cái bồn chứa nước gồm hai nửa hình cầu và một hình trụ (như hình vẽ). Đường sinh của hình trụ
bằng hai lần đường kính của hình cầu. Biết thể tích của bồn chứa nước là
128
3
3
m
. Tính diện tích
xung quanh của cái bồn chứa nước theo đơn vị
2
m
.
A.
2
50 m
. B.
2
64 m
. C.
2
40 m
. D.
2
48 m
.
Hướng dẫn giải
Chọn
D
.
Gọi
4 m
x là đường sinh hình trụ.
đường tròn đáy hình trụ và mặt cầu có bán kính là
m
x .
Thể tích bồn chứa nước này chính là thể tích của khối trụ có bán kính đáy
R x
đường sinh
4
l h x
và thể tích khối cầu có bán kính
R x
.
Do đó:
2 3
4 128
.4 2 m
3 3
x x x x
.
Vậy diện tích xung quanh bồn nước là:
2
4 2. .4 48
S x x x
2
m
.
Câu 4: Một hộp đựng phấn hình hộp chữ nhật có chiều dài
30
cm
, chiều rộng
5
cm
và chiều cao
6
cm
. Người
ta xếp thẳng đứng vào đó các viên phấn giống nhau, mỗi viên phấn là một một khối trụ có chiều cao
6
h cm
và bán kính đáy
1
2
r cm
. Hỏi có thể xếp được tối đa bao nhiêu viên phấn?
A.
153
viên. B.
151
viên. C.
154
viên. D.
150
viên.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Vì nếu xếp toàn bộ các hàng
5
viên thì chỉ xếp được
30
hàng nên số viên phẩn xếp được là
5.30 150
(viên).
Còn nếu xếp toàn bộ các hàng
4
viên thì cũng chỉ xếp được
30
hàng nên số viên phẩn xếp được là
4.30 120
(viên).
K
I
K
A
D
O
B
C
H
E
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 3
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Do đó để xếp được nhiều nhất ta xếp tối đa các viên phấn vào một cạnh chiều rộng của hộp thì
được
5
viên, để xếp nhiều nhất có thể thì hàng tiếp theo ta xếp xen kẽ
4
viên, rồi lại xen kẽ hàng
tiếp theo
5
viên như trên hình vẽ ( xét góc nhìn từ phía trên hộp xuống).
Khi đó ta có:
2 2 2
2 1 3
AB BD AD nên
1 1
3 3
2 2
HK AB AH BK .
Ta qui ước xếp hàng
5
viên và hàng
4
viên liên tiếp từ đầu là một cặp.
Do đó ta xếp
16
cặp trước thì diện tích khoảng trống còn lại sau khi xếp
16
cặp này là:
30 16. 3 2,287
.
Vì
1
3 2,23
2
KI OK OI HE OI
2,287
nên khoảng trống còn lại sau khi xếp
16
cặp
vừa đủ xếp cặp
17
.
Vậy số phấn nhiều nhất là
17.9 153
(viên).
Câu 5: Một nhà máy sản xuất cần thiết kế một thùng sơn dạng hình trụ có nắp đậy với dung tích
3
1000cm .
Tính bán kính của nắp đậy sao cho nhà sản xuất tiết kiệm được nguyên liệu nhất.
A.
3
10
.
2
B.
10 5
.
C.
3
3
10 5
.
D.
3
5
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Thể tích khối trụ có bán kính
R
chiều cao
h
là:
2
.
V R h
2 2 2 2
3
3
2000 1000 1000 1000 1000
2 2 2 2 3 . .2 300 2
S Rh R R R R
R R R R R
.
Đẳng thức xảy ra
2 3
3
1000 1000 10
2
2
2
R R R
R
Câu 6: Một ngôi biệt thự có
10
cây cột nhà hình trụ tròn, tất cả đều có chiều cao bằng
4,2
m
. Trong đó,
4
cây
cột trước đại sảnh có đường kính bằng
40
cm
,
6
cây cột còn lại bên thân nhà có đường kính bằng
26
cm
. Chủ nhà dùng loại sơn giả đá để sơn
10
cây cột đó. Nếu giá của một loại sơn giả đá là
2
380.000 /
đ m
(kể cả phần thi công) thì người chủ phải chi ít nhất bao nhiêu tiền để sơn
10
cây cột
nhà đó (đơn vị đồng)?
A.
14.647.000
. B.
15.844.000
. C.
13.627.000
. D.
16.459.000
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Diện tích xung quanh của một cái cột được tính bởi công thức: 2
xq
S Rh
Tổng diện tích xung quanh của 10 cái cột là:
4. 2 .0,2.4,2 6. 2 .0,13.4,2 13,272
Tổng số tiền cần chi là:
13,272 380.000 15.844.000
.
Câu 7: Cho hai tấm tôn hình chữ nhật đều có kích thước
1,5m 8m
. Tấm tôn thứ nhất được chế tạo thành một
hình hộp chữ nhật không đáy, không nắp, có thiết diện ngang là một hình vuông (mặt phẳng vuông
góc với đường cao của hình hộp và cắt các mặt bên của hình hộp theo các đoạn giao tuyến tạo thành
một hình vuông) và có chiều cao
1,5m
; còn tấm tôn thứ hai được chế tạo thành một hình trụ không
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 4
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
đáy, không nắp và cũng có chiều cao
1,5m
. Gọi
1
V
,
2
V
theo thứ tự là thể tích của khối hộp chữ nhật
và thể tích của khối trụ. Tính tỉ số
1
2
V
V
.
A.
1
2
V
V
. B.
1
2
4
V
V
. C.
1
2
2
V
V
. D.
1
2
3
V
V
.
Lờigiải
Chọn B
Thiết diện ngang của hình hộp chữ nhật là hình vuông nênhình hộp có đáy là hình vuông cạnh là
8
2 m
4
, chiều cao là
1,5 m
2 3
1
2 .1,5 6 m
V .
Hình trụ có đáy là hình tròn có chu vi là
8 m
.Suy ra bán kính hình tròn đáy là
4
.
Thể tích khối trụ là
2
2
4 24
. .1,5V
.
Vậy
1
2
V
V
6
24
4
.
Câu 8: Một khối gỗ có hình trụ với bán kính đáy bằng 6 và chiều cao bằng 8. Trên một đường tròn đáy nào đó
ta lấy hai điểm A,B sao cho cung AB có số đo
0
120 .
Người ta cắt khúc gỗ bởi một mặt phẳng đi qua
A,B và tâm của hình trụ (tâm của hình trụ là trung điểm của đoạn nối tâm hai đáy) để được thiết diện
như hình vẽ. Tính diện tích S của thiết diện thu được. (trùng câu 7148)
.
A.
12 18 3
S
. B.
20 25 3
S
. C.
20
S
. D.
20 30 3
S
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Gọi giao tuyến của mặt phẳng cắt với đáy còn lại là đoạn
CD
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 5
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Kẻ các đường sinh ,
CC DD
. Khi đó
ABD C
là hình chữ nhật.
Góc
0
120 6 3
OC D C D
;
6
BD
;
60
o
AOC
.
Gọi
là góc giữa mặt cắt và mặt đáy.
2 2
8 3
cos cos
5
8 6
DBD
.
Thiết diện cần tìm có hình chiếu xuống đường tròn đáy tâm
O
là phần hình nằm giữa cung
C D
và cung
AB
. Áp dụng công thức hình chiếu
cos
HChieu
S
S
; Và
1 3 60
2 2 .6.6. . .36
2 2 360
HChieu AOB
AOC
S S S
18 3 12
. Do đó
20 30 3.
S
.
.
Câu 9: Cho một cái bể nước hình hộp chữ nhật có ba kích thước
2m
,
3cm
,
2cm
lần lượt là chiều dài, chiều
rộng, chiều cao của lòng trong đựng nước của bể. Hàng ngày nước ở trong bể được lấy ra bởi một
cái gáo hình trụ có chiều cao là
5cm
và bán kính đường tròn đáy là
4cm
. Trung bình một ngày được
múc ra
170
gáo nước để sử dụng (Biết mỗi lần múc là múc đầy gáo). Hỏi sau bao nhiều ngày thì bể
hết nước biết rằng ban đầu bể đầy nước?
.
A.
280
ngày. B.
282
ngày. C.
281
ngày. D.
283
ngày.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Thể tích nước được đựng đầy trong hình bể là
3
2.3.2 12 m
V .
Thể tích nước đựng đầy trong gáo là
2 3 3
4 .5 80 cm m .
12500
g
V
.
Mội ngày bể được múc ra
170
gáo nước tức trong một ngày lượng được được lấy ra bằng.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 6
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
3
17
170. m
1250
m g
V V
.
Ta có
12
280,8616643
17
1250
m
V
V
sau
281
ngày bể sẽ hết nước.
Câu 10: Một ngôi biệt thự nhỏ có
10
cây cột nhà hình trụ tròn, tất cả đều có chiều cao bằng
4,2
m
. Trong đó
có
4
cây cột trước đại sảnh có đường kính bằng
40
cm
,
6
cây cột còn lại bên thân nhà có đường kính
bằng
26
cm
. Chủ nhà dùng loại sơn giả đá để sơn
10
cây cột đó. Nếu giá của một loại sơn giả đá là
2
380.000 /
đ m
(kể cả phần thi công) thì người chủ phải chi ít nhất bao nhiêu tiền để sơn cột
10
cây
cột nhà đó (đơn vị đồng)?
A.
14.647.000.
B.
15.845.000.
C.
13.627.000.
D.
16.459.000.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Diện tích xung quanh
4
cây cột trước đại sảnh có đường kính bằng
40
cm
:
1
4. 2 .0,2.4,2
S
.
Diện tích xung quanh 6 cây cột trước cây cột còn lại bên thân nhà có đường kính bằng
26
cm
:
2
6 2 .0,13.4,2
S
.
Số tiền để sơn mười cây cột nhà là
1 2
.380.000
S S
15.845.000.
Câu 11: Một khối gỗ có hình trụ với bán kính đáy bằng 6 và chiều cao bằng 8. Trên một đường tròn đáy nào
đó ta lấy hai điểm A,B sao cho cung AB có số đo
0
120 .
Người ta cắt khúc gỗ bởi một mặt phẳng đi
qua A,B và tâm của hình trụ (tâm của hình trụ là trung điểm của đoạn nối tâm hai đáy) để được thiết
diện như hình vẽ. Tính diện tích S của thiết diện thu được.
.
A.
12 18 3
S
. B.
20 25 3
S
. C.
20
S
. D.
20 30 3
S
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Gọi giao tuyến của mặt phẳng cắt với đáy còn lại là đoạn
CD
.
Kẻ các đường sinh ,
CC DD
. Khi đó
ABD C
là hình chữ nhật.
Góc
0
120 6 3
OC D C D
;
6
BD
;
60
o
AOC
.
Gọi
là góc giữa mặt cắt và mặt đáy.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 7
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
2 2
8 3
cos cos
5
8 6
DBD
.
Thiết diện cần tìm có hình chiếu xuống đường tròn đáy tâm
O
là phần hình nằm giữa cung
C D
và cung
AB
. Áp dụng công thức hình chiếu
cos
HChieu
S
S
; Và
1 3 60
2 2 .6.6. . .36
2 2 360
HChieu AOB
AOC
S S S
18 3 12
. Do đó
20 30 3.
S
.
.
Câu 12: Một bồn hình trụ đang chứa dầu, được đặt nằm ngang, có chiều dài bồn là
5
m
, có bán kính đáy
1
m
,
với nắp bồn đặt trên mặt nằm ngang của mặt trụ. Người ta đã rút dầu trong bồn tương ứng với
0,5
m
của đường kính đáy. Tính thể tích gần đúng nhất của khối dầu còn lại trong bồn (theo đơn vị
3
m
).
.
A.
3
114,923
m
. B.
3
12,637
m
. C.
3
8,307
m
. D.
3
11,781
m
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
.
Nhận xét 0,5
22 2
R OB
OH CH suy ra
OHB
là tam giác nửa đều.
60 120
HOB AOB
.
Suy ra diện tích hình quạt
OAB
là:
2
1 1
3 3
S R
.
B
A
H
O
C
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 8
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Mặt khác:
2
3 3
2
4 4
AOB HOB BOC
OB
S S S
(
BOC
đều).
Vậy diện tích hình viên phân cung AB là
1 3
3 4
.
Suy ra thể tích dầu được rút ra:
1
1 3
5.
3 4
V
.
Thể tích dầu ban đầu:
2
5. .1 5
V
.
Vậy thể tích còn lại:
3
2 1
12,637
V V V m
.
Câu 13: Một cái mũ bằng vải của nhà ảo thuật với kích thước như hình vẽ. Hãy tính tổng diện tích vải cần có
để làm nên cái mũ đó (không cần viền, mép, phần thừa).
.
A.
2
700
cm
. B.
2
750,25
cm
. C.
2
756,25
cm
. D.
2
754,25
cm
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Diện tích vành nón và đỉnh nón là diện tích hình tròn đường kính
35
cm
.
2
2
1
35
306,25
2
S cm
.
Diện tích thân nón là diện tích của hình trụ có bán kính đáy bằng
5
cm
và chiều cao bằng
30
cm
là:
2
2
15
.2 .30 450
2
S cm
.
Vậy tổng diện tích vải cần để làm nên cái mũ là:
2
1 2
756,25
S S S cm
.
Câu 14: Khi sản xuất vỏ lon sữa bò hình trụ, các nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu sao cho chi phí nguyên liệu làm
vỏ lon là ít nhất, tức diện tích toàn phần của hình trụ là nhỏ nhất.Muốn thể tích khối trụ đó bằng
V
và diện tích toàn phần của hình trụ nhỏ nhất thì bán kính
R
bằng.
A.
3
V
R
. B.
3
2
V
R
. C.
2
V
R
. D.
V
R
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Gọi
S
là diện tích toàn phần hình trụ, ta có:
2
V
h l
R
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 9
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Suy ra
2 2
2
2
V
S Rl R R
R
3
' ' 3
3
2
2 2
; 0 2 2 0
R V V
S S R V R
R
.
Lập bảng biến thiên suy ra
S
nhỏ nhất khi
3
V
R
.
Câu 15: Để chào mừng
20
năm thành lập thành phố A, Ban tổ chức quyết định trang trí cho cổng chào có hai
hình trụ. Các kỹ thuật viên đưa ra phương án quấn xoắn từ chân cột lên đỉnh cột đúng
20
vòng đèn
Led cho mỗi cột, biết bán kính hình trụ cổng là
30
cm và chiều cao cổng là
5
m. Tính chiều dài
dây đèn Led tối thiểu để trang trí hai cột cổng.
A.
30 m
. B.
26 m
. C.
24 m
. D.
20 m
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Cắt hình trụ theo đường sinh của nó rồi trải liên tiếp trên mặt phẳng
20
lần ta được hình chữ nhật
ABCD
có
5 m
AB
và
20.2 20.2 .0,3 12 m
BC r
.
Độ dài dây đèn Led ngắn nhất trang trí
1
cột là
2 2
2 2
5 12 13 m
AC AB BC
.
Chiều dài dây đèn Led tối thiểu để trang trí hai cột cổng là:
2.13 26 m
.
Câu 16: Từ một tấm tôn hình chữ nhật kích thước
50 cm
và
240 cm
, người ta làm các thùng đựng nước hình
trụ có chiều cao bằng
50 cm
, theo hai cách sau (xem hình minh họa dưới đây):
- Cách 1: Gò tấm tôn ban đầu thành mặt xung quanh của thùng.
- Cách 2: Cắt tấm tôn ban đầu thành hai tấm bằng nhau, rồi gò mỗi tấm đó thành mặt xung quanh
của một thùng.
Kí hiệu
1
V
là thể tích của thùng gò được theo cách 1 và
2
V
là tổng thể tích của hai thùng gò được
theo cách 2. Tính tỉ số
1
2
V
V
.
D
B
C
A
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 10
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
1
2
1
2
V
V
. B.
1
2
4
V
V
. C.
1
2
1
V
V
. D.
1
2
2
V
V
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Theo cách 1: Ta thu được hình trụ có chiều cao
50
h
,
2 240
R
120
R
.
Suy ra
2
1
120
. .50
V
3
cm
Theo cách 1: Ta thu được hai hình trụ có chiều cao
50
h
,
2 120
R
60
R
.
Suy ra
2
2
60
2 . .50
V
3
cm
.
Vậy
1
2
2
V
V
.
Câu 17: Mặt tiền của một ngôi biệt thự có
8
cây cột hình trụ tròn, tất cả đều có chiều cao
4,2m
. Trong số các
cây đó có hai cây cột trước đại sảnh đường kính bằng
40cm
, sau cây cột còn lại phân bổ đều hai bên
đại sảnh và chúng đều có đường kính bằng
26cm
. Chủ nhà thuê nhân công để sơn các cây cột bằng
một loại sơn giả đá, biết giá thuê là
2
380000/1m
(kể cả vật liệu sơn và thi công). Hỏi người chủ phải
chi ít nhất bao nhiêu tiền để sơn hết các cây cột nhà đó (đơn vị đồng)? (lấy
3,14159
).
A.
10.400.000
. B.
15.642.000
. C.
11.833.000
. D.
12.521.000
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Cột lớn dạng hình trụ có chiều cao
4,2m
h
, đáy là đường tròn có bán kính
1
0,2m
R
nên mỗi cột
lớn có diện tích xung quanh là:
1 1
2
S R h
2
1,68 m
.
Cột nhỏ dạng hình trụ có chiều cao
4,2m
h
, đáy là đường tròn có bán kính
2
0,13m
R
nên mỗi
cột lớn có diện tích xung quanh là:
2 2
2
S R h
2
273
m
250
.
Diện tích cần sơn cho hai cột lớn và sáu cột nhỏ là:
273
2.1,68 6. .
250
2
m
.
Vậy số tiền cần phải bỏ ra là: 380.000.
273
2.1,68 6. .
250
11.833.000
(đồng).
Câu 18: Để chứa
3
7
m
nước ngọt người ta xây một bồn hình trụ có nắp. Hỏi bán kính
r
của đáy hình trụ
nhận giá trị nào sau đây để tiết kiệm vật liệu nhất.
A.
3
6
r
. B.
3
7
2
r
. C.
3
8
3
r
. D.
3
9
4
r
.
Hướng dẫn giải
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 11
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Chọn B
Gọi
h
là chiều cao của khối trụ. Khi đó, thể tích của khối trụ là
2
V r h
2
7
h
r
.
Diện tích toàn phần của khối trụ là:
2
2 2
S rh r
2
2
7
2 2
r r
r
2
7
2
r
r
2
3
7 7 49
2 2.
2 2 4
r
r r
.
Vậy
3
49
Min 2.
4
S
tại
2
7
r
r
3
7
2
r
.
Câu 19: Một ngôi biệt thự có 10 cây cột nhà hình trụ tròn, tất cả đều có chiều cao bằng Trong đó,
cây cột trước đại sảnh có đường kính bằng , cây cột còn lại bên thân nhà có đường kính
bằng . Chủ nhà dùng loại sơn giả đá để sơn cây cột đó. Nếu giá của một loại sơn giả đá là
(kể cả phần thi công) thì người chủ phải chi ít nhất bao nhiêu tiền để sơn cột cây
cột nhà đó (làm tròn đến đơn vị nghìn đồng)?
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Chọn B
Diện tích xung quanh của mỗi một cây cột trước đại sảnh là .
Diện tích xung quanh của mỗi cây cột đường kính là:
Vậy số tiền cần có là .
Câu 20: Một cốc nước hình trụ có chiều cao
9
cm
, đường kính
6
cm
. Mặt đáy phẳng và dày
1
cm
, thành cốc
dày
0,2
cm
. Đổ vào cốc
120
ml
nước sau đó thả vào cốc 5 viên bi có đường kính
2
cm
. Hỏi mặt nước
trong cốc cách mép cốc bao nhiêu
cm
. (Làm tròn đến hai chữ số sau dấu phẩy).
A.
2,67
cm
. B.
3,28
cm
. C.
2,28
cm
. D.
3,67
cm
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Thành cốc dày
0,2
cm
nên bán kính đáy trụ bằng
2,8
cm
. Đáy cốc dày
1
cm
nên chiều cao hình trụ
bằng
8
cm
. Thể tích khối trụ là
2
3
. 2,8 .8 197,04
V cm
.
Đổ
120
ml
vào cốc, thể tích còn lại là
3
197,04 120 77,04
cm
.
Thả 5 viên bi vào cốc, thể tích 5 viên bi bằng
3 3
4
5. . .1 20,94 ( )
3
bi
V cm
.
Thể tích cốc còn lại
3
77,04 20,94 56,1
cm
.
Ta có
2
56,1 '. . 2,8 ' 2,28
h h cm
.
4,2 m.
4
40 cm
6
26 cm
10
2
380 000
đ/m
10
15 835 000
đ
15 844 000
đ
16 468 000
đ
31 688 000
đ
2
1
2 .0,2.4,2 1,68 m
S
26
cm
2
2
2 .0,13.4,2 1,092 m
S
1 2
4. 6. .380.000 15.844.182
T S S
đ
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 12
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Cách khác: Dùng tỉ số thể tích
2
8. 2,8 .
8
5,72
4
120 5. .
3
Tr coc
nuoc bi
nuoc bi nuoc bi nuoc bi
V h
h
V V h h
Chiều cao còn lại của trụ là
8 5,72 2,28
.
Vậy mặt nước trong cốc cách mép cốc là
2,28
cm
.
Câu 21: Một cốc nước hình trụ có chiều cao
9cm
, đường kính
6cm
.Mặt đáy phẳng dày
1cm
, thành cốc dày
0,2cm
. Đổ vào cốc
120 ml
nước sau đó thả vào cốc
5
viên bi có đường kính
2cm
. Mặt nước cách
mép cốc gần nhất với giá trị bằng
A.
2,28 cm
. B.
2,62 cm
. C.
3,67 cm
. D.
3,08 cm
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Thể tích của cốc nước là:
2
. 2,8 .8
V
3
62,72 cm
.
Thể tích của
5
viên bi là:
3
1
4
5. . .1
3
V
3
20
. cm
3
.
Thể tích còn lại sau khi đổ vào cốc
120 ml
nước và thả vào cốc
5
viên bi là:
2 1
120
V V V
20
62,72 . 120
3
3
56,10 cm
.
Chiều cao phần còn lại là:
2
2
.(2,8)
V
h
2
56,10
.(2,8)
2,28 cm
.
Câu 22: Một bình đựng nước dạng hình nón (không có nắp đáy), đựng đầy nướC. Biết rằng chiều cao của bình
gấp 3 lần bán kính đáy của nó. Người ta thả vào bình đó một khối trụ và đo được thể tích nước trào
ra ngoài là
3
16
( )
9
dm
. Biết rằng một mặt của khối trụ nằm trên mặt đáy của hình nón và khối trụ có
chiều cao bằng đường kính đáy của hình nón (như hình vẽ dưới). Tính bán kính đáy
R
của bình
nước.
A.
5( ).
R dm
B.
3( ).
R dm
C.
4( ).
R dm
D.
2( ).
R dm
Hướng dẫn giải
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 13
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Chọn D
Gọi
, '
h h
lần lượt là chiều cao của khối nón và khối trụ.
,
R r
lần lượt là bán kính của khối nón và khối trụ.
Theo đề ta có:
3 , ' 2 .
h R h R
Xét tam giác
SOA
ta có:
' 3 2 1
3 3
r IM SI h h R R
R OA SO h R
1
3
r R
. Ta lại có:
2 3
2
trô
2 16
' 2
9 9 9
R R
V r h R
3
8 2 .
R R dm
Câu 23: Cho hình lập phương có cạnh bằng
40
cm
và một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn nội tiếp hai mặt
đối diện của hình lập phương. Gọi
1
S
,
2
S
lần lượt là diện tích toàn phần của hình lập phương và diện
tích toàn phần của hình trụ. Tính
1 2
S S S
2
cm
.
A.
4 2400 3
S
. B.
4 2400S
.
C.
2400 4S
. D.
2400 4 3
S
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có:
2
1
6.40 9600
S
.
Bán kính đường tròn nội tiếp hai mặt đối diện của hình lập phương là:
20 cm
r
; hình trụ có
đường sinh
40 cm
h
Diện tích toàn phần của hình trụ là:
2
2
2. .20 2 .20.40 2400
S
.
Vậy:
1 2
9600 2400 2400 4S S S
.
Câu 24: Một cái tục lăn sơn nước có dạng một hình trụ. Đường kính của đường tròn đáy là
5
cm
, chiều dài lăn
là
23
cm
(hình bên). Sau khi lăn trọn
15
vòng thì trục lăn tạo nên sân phẳng một diện diện tích là
O
C'
D'
B
A
B'
A'
C
D
O'
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 14
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
2
1725 .cm
. B.
2
3450 .cm
. C.
2
1725 .cm
. D.
2
862,5 .cm
Hướng dẫn giải
Chọn B
Diện tích xung quanh của mặt trụ là
2
2 2 .5.23 230
xq
S Rl cm
.
Sau khi lăn 15 vòng thì diện tích phần sơn được là:
2
230 .15 3450S cm
.
Câu 25: Ông An làm lan can ban công của ngôi nhà bằng một miếng kính cường lực. Miếng kính này là một
phần của mặt xung quanh một hình trụ như hình bên dưới.
Biết 4mAB ,
150AEB ( E là điểm chính giữa cung
AB
) và 1,4mDA . Biết giá tiền loại kính
này là 500.000 đồng cho mỗi mét vuông. Số tiền (làm tròn đến hàng chục nghìn) mà ông An phải
trả là:
A. 2.840.000 đồng. B. 3.200.000 đồng. C. 2.930.000 đồng. D. 5.820.000 đồng.
Hướng dẫn giải
Chọn C
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 15
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Gọi
O
là tâm đường tròn đáy của hình trụ. Do
150 75
AEB OEA
30
AOE
60
AOB
. Khi đó
4
r OA AB
.
Diện tích xung quanh của hình trụ là
2 2 .4.1,4 11,2
xq
S rl
.
Mặt kính làm lan can có diện tích là
1 28
6 15
xq
S S
.
Vậy số tiền ông An phải trả là
2800.000
500.000. 2.930.000
3
S
đồng.
Câu 26: Để làm một hình trụ có nắp, bằng tôn và có thể tích
3
2 m
V
, cần ít nhất bao nhiêu mét vuông tôn?
A.
2
6 m
. B.
2
4 m
. C.
2
2 m
. D.
2
8 m
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có:
2
2
2
. 2V B h r h h
r
.
2 2 2
4 2 2
2 2 2 2 2
tp xq
S S B rh r r r
r r r
.
Suy ra:
2 2 2
3
2 2 2 2
2 . .2 2 m
tp
S r r
r r r r
.
Số mét vuông tôn cần ít nhất là
2
2 m
.
Câu 27: Người ta cho vào một chiếc hộp hình trụ
3
quả bóng tennis hình cầu. Biết đáy hình trụ bằng hình tròn
lớn trên quả bóng và chiều cao hình trụ bằng ba lần đường kính quả bóng. Gọi
1
S
là tổng diện tích
3
quả bóng và
2
S
là diện tích xung quanh của hình trụ. Tỉ số diện tích
1
2
S
S
là:
A.
2
. B.
5
. C.
1
. D.
3
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Giả sử bán kính quả bóng tennis là
r
khi đó bán kính hình trụ là
r
và đường cao của hình trụ là
6
r
.
E
O
A
B
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 16
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Tổng diện tích ba quả bóng là:
2 2
1
3.4 12
S r r
.
Diện tích xung quanh của hình trụ là:
2
2
2 .6 12
S r r r
.
Suy ra:
1
2
1
S
S
.
Câu 28: Một cái nồi nấu nước người ta làm dạng hình trụ, chiều cao của nồi là
60
cm, diện tích đáy
900
cm
2
.
Hỏi người ta cần miếng kim loại hình chữ nhật có kích thước là bao nhiêu để làm thân nồi đó? (bỏ
qua kích thước các mép gấp) .
A. Chiều dài
60
cm, chiều rộng
60
cm. B. Chiều dài
900
cm, chiều rộng
60
cm.
C. Chiều dài
180
cm, chiều rộng
60
cm. D. Chiều dài
30
cm, chiều rộng
60
cm.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Gọi
R
là bán kính mặt đáy. Ta có:
2 2 2
900 900 30
đáy
S R R R R
.
Suy ra chu vi đáy là:
2 60
R
.
Vậy cần miếng kim loại hình chữ nhật có chiều dài
60
cm, chiều rộng
60
cm để làm thân nồi đó.
Câu 29: Một chiếc cốc hình trụ có đường kính đáy
6
cm
, chiều cao
15
cm
chứa đầy nước. Nghiêng cốc cho
nước chảy từ từ ra ngoài đến khi mép nước ngang với đường kính của đáy cốc. Khi đó diện tích của
bề mặt nước trong cốc bằng
A.
2
9 26
2
cm
. B.
2
9 26
5
cm
. C.
2
9 26
10
cm
. D.
2
9 26
cm
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 17
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Ta có:
3
OH
,
2 2
3 26
OB OH HB ,
1
cos
26
HOB .
Áp dụng công thức hình chiếu về diện tích của hình phẳng ta có:
.cos
S S HOB
2
1
.3
2
1
cos
26
S
S
HOB
2
9 26
cm
2
.
Cách khác là dùng diện tích hình elip.
2 2
1 1 1
.3. 15 3
2 2 2
E
S S ab
2
1 9 26
.3.3 26 cm
2 2
.
Câu 30: Một cốc nước có dạng hình trụ đựng nước chiều cao
12
cm
, đường kính đáy
4
cm
, lượng nước trong
cốc cao
8
cm
. Thả vào cốc nước 4 viên bi có cùng đường kính
2
cm
. Hỏi nước dâng cao cách mép
cốc bao nhiêu xăng-ti-mét? (làm tròn sau dấu phẩy 2 chữ số thập phân, bỏ qua độ dày của cốc).
A.
2,33
cm
. B.
2,25
cm
. C.
2,75
cm
. D.
2,67
cm
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Lượng nước dâng lên chính là tổng thể tích của 4 viên bi thả vào bằng
3
4
4.
3
b b
V r
3
16
cm
3
.
Dễ thấy phần nước dâng lên là hình trụ có đáy bằng với đáy cốc nước và thể tích là
3
16
cm
3
.
Chiều cao của phần nước dâng lên là
d
h
thỏa mãn:
2
16
3
d
r h
nên
4
cm
3
d
h .
Vậy nước dâng cao cách mép cốc là
4 8
12 8 2,67
3 3
cm.
Câu 31: Từ một nguyên liệu cho trước, một công ty muốn thiết kế bao bì đựng sữa với thể tích
3
100
ml
. Bao
bì được thiết kế bởi một trong hai mô hình là: hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông và hình trụ.
Hỏi thiết kế theo mô hình nào tiết kiệm nguyên vật liệu nhất?
A. Hình trụ có chiều cao gấp hai lần bán kính đáy.
B. Hình trụ có chiều cao bằng bán kính đáy.
C. Hình hộp chữ nhật có cạnh bên bằng cạnh đáy.
D. Hình hộp chữ nhật có cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Gọi:
R
là bán kính đáy hình trụ,
l
là chiều cao hình trụ.
Khi đó hình trụ có thể tích là:
2
100
V R l ml
Diện tích toàn phần của hình trụ là:
2 2
2 2 2
tp
S Rl R Rl Rl R
Áp dụng BĐT Cô-si cho ba số không âm:
2
2
R
,
Rl
,
Rl
ta có:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 18
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
3 32 2 2 2
3
2 3 . .2 3 2 . . 3 2 .100.100 119.27 1
tp
S Rl Rl R Rl Rl R R l R l
Dấu
" "
xảy ra
2
2 2
Rl Rl R l R
Gọi
a
là độ dài cạnh đáy hình hộp chữ nhật
Gọi
h
là chiều cao hình hộp chữ nhật
Khi đó thể tích hình hộp chữ nhật là:
2
. 100ml
V a h
Diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật là:
2 2
2 4 . 2 2 . 2 .
tp
S a a h a a h a h
Áp dụng BĐT Cô-si cho ba số không âm là:
2
2
a
,
2 .
a h
,
2 .
a h
Ta có:
3 3 32 2 2 2 2
2 2 . 2 . 3 2 .2 . .2 . 3 8 . 3.2. 100 129.27 2
tp
S a a h a h a a h a h a h a h
Dấu
" "
xảy ra
2
2 2 2
ah ah a h a
Từ
1 , 2
Thiết kế hộp sữa hình trụ có chiều cao gấp hai lần bán kình đáy thì tốn ít nguyên vật
liệu nhất.
Câu 32: Công ty X muốn thiết kế các hộp chứa sản phẩm dạng hình trụ có nắp với dung tích bằng
3
100
cm
,
bán kính đáy
x
cm
, chiều cao
h
cm
(xem hình bên). Khi thiết kế, công ty X luôn đặt mục tiêu
sao cho vật liệu làm vỏ hộp là ít nhất, nghĩa là diện tích toàn phần hình trụ là nhỏ nhất. Khi đó, kích
thước của
x
và
h
gần bằng số nào nhất trong các số dưới đây để công ty X tiết kiệm được vật liệu
nhất?
A.
6,476h
cm
và
2,217x
cm
. B.
3,261h
cm
và
3,124x
cm
.
C.
4,128h
cm
và
2,747x
cm
.
D.
5,031h
cm
và
2,515x
cm
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có thể tích của hộp là
2
. 100
V x h
2
100
.
h
x
.
Ta có diện tích toàn phần của vỏ hộp là
2
2 2
tp
S xh x
2
200
2 .x
x
(với
0
x
).
Đặt
2
200
2f x x
x
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 19
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Ta có
2
200
4f x x
x
3
2
4 200
x
x
,
3
0 4 200 0
f x x
3
50
x
.
Bảng biến thiên.
.
Dựa vào bảng biến thiên ta có
f x
đạt giá trị nhỏ nhất khi
3
50
2,515 cm
x
suy ra
5,031 cm
h .
Câu 33: Người ta cần đổ một ống thoát nước hình trụ với chiều cao
200
cm
, độ dày của thành ống là
15
cm
,
đường kính của ống là
80
cm
. Lượng bê tông cần phải đổ là
A.
3
m
. B.
3
0,195
m
. C.
3
0,18
m
. D.
3
0,14
m
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Gọi
1 2
V ,V
lần lượt là thể tích của khối trụ bên ngoài và bên trong
Do đó lượng bê tông cần phải đổ là:
2 2 3 3
1 2
.40 .200 .25 .200 195000 0,195
V V V cm m
.
Câu 34: Một nhà sản xuất sữa có hai phương án làm hộp sữa. Hộp sữa có dạng khối hộp chữ nhật hoặc hộp sữa
có dạng khối trụ. Nhà sản xuất muốn chi phí bao bì càng thấp càng tốt(tức diện tích toàn phần của
hộp nhỏ nhất), nhưng vẫn phải chứa được một thể tích xác định là
V
cho trước. Khi đó diện tích toàn
phần của hộp sữa bé nhất trong hai phương án là.
A.
3
2
6
V
. B.
3
2
3 6
V
. C.
3
2
2
V
.
D.
3
2
3 2
V
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
x
0
3
5 0
0
f x
f x
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 20
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Trường hợp 1: Hộp sữa hình trụ.
Thể tích không đổi
2 2 2
2
2
, 2 2 2
tp
V V
V R h h S R Rh R
R R
.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho bộ ba số dương
2
2 , ,
V V
R
R R
.
Ta có
3
2 2 2
3
2 3 2 . . 3 2
tp
V V V V
S R R V
R R R R
(*).
Trường hợp 2: Hộp sữa hình hộp chữ nhật.
Thể tích không đổi.
; 2 2 2 2 . 2 . 2
tp
V V V V V
V abh h S ab a b h ab a b ab
ab ab ab b a
.
Áp dụng bất đẳng thức Cau chy cho bộ ba số dương
; ;
V V
ab
a b
.
Ta có
3
2
3
2.3 . . 6
tp
V V
S ab V
a b
(**).
Xét hai kết quả ta thấy (*) nhỏ hơn.
Vậy diện tích toàn phần của hộp sữa bé nhất là
3
2
3 2
tp
S V
(đvdt).
Câu 35: Một lọ trống miệng đựng nước là hình trụ tròn xoay có chiều cao bằng
1,6
dm
; đường kính đáy bằng
1
dm
; đáy (dưới) của lọ phẳng với bề dày không đổi bằng
0,2
dm
; thành lọ với bề dày không đổi
bằng
0,2
dm
; thiết diện qua trục của lọ như hình vẽ; đổ vào lọ
2,5
dl
nước (trước đó trong lọ không
có nước hoặc vật khác). Tính gần đúng khoảng cách
k
từ mặt nước trong lọ khi nước lặng yên đến
mép trên của lọ (quy tròn số đến hàng phần trăm, nghĩa là làm tròn số đến hai chữ số sau dấu phảy).
h
b
a
R
h
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 21
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
.
A.
0,51
k dm
. B.
0,53
k dm
. C.
1,18
k dm
. D.
0,52
k dm
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
.
Thể tích nước có thể chứa của lọ:
2
3
0,3 .1,4 3,96d 3,96 .
V m l
.
Thể tích nước đổ vào trong lọ là: 2,5 0,25V dl l
.
Phần thể tích không nước là 0,396 0,25 0,146V V V l
.
Vậy độ cao của phần không chứa nước là
2 2
0,146
0,52d
. 0,3 . 0,3
V
h m
.
Câu 36: Một tấm đề can hình chữ nhật được cuộn tròn lại theo chiều dài tạo thành một khối trụ có đường kính
50 (cm). Người ta trải ra 250 vòng để cắt chữ và in tranh cổ động, phần còn lại là một khối trụ có
đường kính 45 (cm). Hỏi phần đã trải ra dài bao nhiêu mét ?
A. 373 (m) . B. 187 (m). C. 384 (m). D. 192 (m) .
Hướng dẫn giải
Chọn A
Cách 1: Bề dày của tấm đề can là:
50 45
0,01(cm)
2 250
a
.
Gọi d là chiều dài đã trải ra và h là chiều rộng của tấm đề can. Khi đó ta có:
2 2
50 45
2 2
dha h h
2 2
50 45
4a
d
37306 (cm) 373 (m) .
Cách 2: Chiều dài của phần trải ra là tổng chu vi của 250 đường tròn có bán kính là một cấp số cộng
có số hạng đầu bằng $25$, công sai là 0,01a .
Do đó chiều dài là
250
2 (2.25 249.0,01) 37314 (cm)
2
l
373 (m) .
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 22
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 37: Trong một chiếc hộp hình trụ, người ta bỏ vào đấy ba quả banh tenis, biết rằng đáy của hình trụ bằng
hình tròn lớn trên quả banh và chiều cao của hình trụ bằng ba lần đường kính quả banh. Gọi
1
S
là
tổng diện tích của ba quả banh,
2
S
là diện tích xung quanh của hình trụ. Tỉ số diện tích
1
2
S
S
là:
A. 5. B. Là một số khác. C. 2. D. 1.
Hướng dẫn giải
Chọn D
.
Gọi
,S r
lần lượt là diện tích xung quanh của một quả banh và bán kính.
của quả banh. Khi đó
2
4S r
, suy ra
2
1
12S r
.
Vì đáy của hình trụ bằng hình tròn lớn trên quả banh và chiều cao của.
hình trụ bằng ba lần đường kính quả banh nên bán kính đáy hình trụ.
R r , và chiều cao 6l r .
Suy ra
2
2
2 12S Rl r
. Vậy
1
2
1
S
S
.
Câu 38: Một cái trục lăn sơn nước có dạng một hình trụ. Đường kính của đường tròn đáy là 6 cm, chiều dài
lăn là 25 cm (như hình dưới đây). Sau khi lăn trọn 10 vòng thì trục lăn tạo nên bức tường phẳng một
diện tích là:
A. 3000
2
cm . B. 300
2
cm . C. 1500
2
cm . D. 150
2
cm .
Hướng dẫn giải
Chọn C
Diện tích xung quanh của hình trụ là
2 .6.25 150
xq
S Rh
.
Khi lăn sơn quay một vòng sẽ quét được một diện tích bằng diện tích xung quanh của hình trụ. Do
đó trục lăn quay 10 vòng sẽ quét được diện tích là
10. 1500
xq
S S
2
cm
.
Câu 39: Đổ nước vào một thùng hình trụ có bán kính đáy 20cm . Nghiêng thùng sao cho mặt nước chạm vào
miệng cốc và đáy cốc như hình vẽ thì mặt nước tạo với đáy cốc một góc
45
Hỏi thể tích của thùng
là bao nhiêu
3
cm
?
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 23
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
12000
. B.
16000
. C.
8000
. D.
6000
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Từ giả thiết ta suy ra
2 40
h R
.
Vậy
.
V B h
2
.20 .40
3
16000 cm
.
Câu 40: Một miếng tôn hình chữ nhật có chiều dài
10,2dm
, chiều rộng
2 dm
được uốn lại thành mặt xung
quanh của một chiếc thùng đựng nước có chiều cao
2 dm
(như hình vẽ). Biết rằng chỗ ghép mất
2cm
. Hỏi thùng đựng được bao nhiêu lít nước?
A.
20,4
lít. B.
20
lít. C.
50
lít. D.
100
lít.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Vì chỗ ghép mất
2cm
nên chu vi đáy chiếc thùng là
10,2 0,2 10 dm
.
Gọi
dm
r là bán kính đáy, ta có
5
2 10 dm
r r
.
Thể tích chiếc thùng:
2
2 3
5
. .2 50 dm
V r h
.
Vậy thùng đựng được
50
lít nước.
Câu 41: Bạn
A
muốn làm một chiếc thùng hình trụ không đáy từ nguyên liệu là mảnh tôn hình tam giác đều
ABC
có cạnh bằng
90 cm
. Bạn muốn cắt mảnh tôn hình chữ nhật
MNPQ
từ mảnh tôn nguyên
liệu (với
M
,
N
thuộc cạnh
BC
;
P
,
Q
tương ứng thuộc cạnh
AC
và
AB
) để tạo thành hình trụ có
chiều cao bằng
MQ
. Thể tích lớn nhất của chiếc thùng mà bạn A có thể làm được là
A.
3
91125
cm
2
. B.
3
13500. 3
cm
.
C.
3
108000 3
cm
. D.
3
91125
cm
4
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
2 dm
2 dm
A
B
C
M
N
Q
P
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 24
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Gọi
I
là trung điểm
BC
. Suy ra
I
là trung điểm
MN
. Đặt
MN x
,
0 90
x .
Ta có:
MQ BM
AI BI
3
90
2
MQ x
; gọi
R
là bán kính của trụ
2
x
R
.
Thể tích của khối trụ là:
2
3 2
3 3
90 90
2 2 8
T
x
V x x x
Xét
3 2
3
90
8
f x x x
với
0 90
x
.
2
3
3 180
8
f x x x
,
0
0
60
x
f x
x
.
Khi đó suy ra
(0;90)
13500. 3
max 60
x
f x f
.
Câu 42: Một tấm kim loại được khoan thủng bốn lỗ như hình vẽ (lỗ khoan dạng hình trụ), tấm kim loại dày
2 cm
, đáy của nó là hình vuông có cạnh
5 cm
. Đường kính của khoan là
8 mm
. Thể tích phần
còn lại của tấm kim loại là:
.
A.
3
5000 1280 mm
. B.
3
5000 1280 mm
.
C.
3
50000 1280 mm
. D.
3
50000 320 mm
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Thể tích tấm kim loại khi chưa khoan là:
3
50.50.20 50000 mm
V .
Thể tích của mỗi lỗ thủng là:
2
3
.4 .20 320 mm
T
V
.
Thể tích phần tấm thép còn lại là:
3
4 50000 1280 mm
T
V V
.
Câu 43: Nghiêng một cốc nước hình trụ có đựng nước, người ta thấy bề mặt nước là hình Elip có độ dài trục
lớn là
10cm
, khoảng cách từ hai đỉnh trên trục lớn của Elip đến đáy cốc lần lượt là
5cm
và
11cm
.
Tính thể tích nước trong cốc.
N
P
Q
I
B
C
A
M
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 25
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
.
A.
3
128 cm
. B.
3
172 cm
. C.
3
96 cm
. D.
3
100 cm
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
.
Ta có
1 2
V V V
.
Xét mặt cắt như hình vẽ. Ta có
6cm
CE
,
2 2
8cm
CD DE CE
.
Do đó bán kính đáy hình trụ
4cm
r
.
2 2 3
1
.4 .5 80 cm
V r h
,
2 2 3
2
1 1
.4 .6 48 cm
2 2
V r l
.
Vậy
3
128 cm
V
.
Câu 44: Cắt một khối trụ cao
18cm
bởi một mặt phẳng, ta được khối hình dưới đây. Biết rằng thiết diện là một
elip, khoảng cách từ điểm thuộc thiết diện gần đáy nhất và điểm thuộc thiết diện xa mặt đáy nhất lần
lượt là
8cm
và
14cm
. Tính tỉ số thể tích của hai khối được chia ra (khối nhỏ chia khối lớn).
A.
2
11
. B.
1
2
. C.
5
11
. D.
7
11
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Gọi
1
V
,
2
V
lần lượt là thể tích khối nhỏ và khối lớn.
Ta có thể tích khối trụ là
2
. .18
V R
(với
R
là bán kính khối trụ).
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 26
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Thể tích
2
2
2
. 8 14
11
2
R
V R
.
Vậy
1 2
2 2
V V V
V V
2 2
2
18 11 7
11 11
R R
R
.
Câu 45: Một khúc gỗ hình trụ có chiều cao
3m
, đường kính đáy
80cm
. Người ta cưa
4
tấm bìa để được một
khối lăng trụ đều nội tiếp trong khối trụ. Tính tổng thể tích của
4
tấm bìa bị cưa, xem mạch cưa
không đáng kể.
.
A.
3
0,12( 2)
m
. B.
3
0,48( 2)
m
. C.
3
1,92( 2)
m
. D.
3
0,4( 2)
m
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Tổng thể tích của
4
tấm bìa bị cưa bằng hiệu thể tích của khối trụ và khối lăng trụ đều nội tiếp.
Khối trụ có chiều cao
3m
h
và bán kính đáy
0,4m
r
.
Khối lăng trụ đều có chiều cao
3m
h
và đường chéo đáy
0,8m
d
.
Vậy tổng thể tích của
4
tấm bìa bị cưa bằng.
2 2
1
2
h r d
3 0,16 0,32
3
0,48 2 m
.
Câu 46: Một đại lý xăng dầu cần làm một bồn chứa dầu hình trụ có đáy và nắp đậy bằng tôn với thể tích
3
16 m
. Biết rằng giá thành (cả vật liệu và tiền công) được tính theo mét vuông, tìm đường kính
đáy của bồn để đại lý phải trả ít chi phí nhất.
A.
1 m
. B.
2 m
. C.
8 m
. D.
4 m
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Gọi bán kính đáy là
m
r .
Từ thể tích bồn là
3
16 m
suy ra:
2
16
r h
2
16
h
r
.
Diện tích toàn phần hình trụ
2
đáy
tp xq
S S S
=
2
2 2
r rh
=
2
32
2 r
r
.
Chi phí nhỏ nhất khi diện tích toàn phần nhỏ nhất.
Đặt :
2
32
2f r r
r
, với
0
r
.
2
32
4f r r
r
3
2
4 32
r
r
,
0
f r
3
8 2
r r
.
Bảng biến thiên:
3m
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 27
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
.
Vậy chi phí nhỏ nhất khi đường kính đáy bồn bằng
4 m
.
Câu 47: Bạn A muốn làm một chiếc thùng hình trụ không đáy từ nguyên liệu là mảnh tôn hình tam giác đều
ABC
có cạnh bằng
90
cm
. Bạn muốn cắt mảnh tôn hình chữ nhật
MNPQ
từ mảnh tôn nguyên
liệu (với
M
,
N
thuộc cạnh
BC
;
P
và
Q
tương ứng thuộc cạnh
AC
và
AB
) để tạo thành hình trụ
có chiều cao bằng
MQ
. Thể tích lớn nhất của chiếc thùng mà bạn A có thể làm được là:
A.
3
91125
2
cm
. B.
3
108000 3
cm
. C.
3
13500. 3
cm
. D.
3
91125
4
cm
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Gọi I là trung điểm BC. Suy ra I là trung điểm MN
Đặt MN=x (
0 90
x
);
3
(90 )
2
MQ BM
MQ x
AI BI
Gọi R là bán kính của trụ
2
x
R
2 3 2
3 3
( ) (90 ) ( 90 )
2 2 8
T
x
V x x x
Xét
3 2
3
( ) ( 90 )
8
f x x x
với
0 90
x
. Khi đó:
(0;90)
13500. 3
max ( )
x
f x
khi x= 60.
Câu 48: Một thợ xây muốn sử dụng
1
tấm sắt có chiều dài là
4
m
, chiều rộng
1
m
để uốn thành
2
m
khung
đúc bê tông,
1
khung hình trụ có đáy là hình vuông và
1
khung hình trụ có đáy là hình tròn. Hỏi
phải chia tấm sắt thành
2
phần (theo chiều dài) như thế nào để tổng thể tích
2
khung là nhỏ nhất?
A. Khung có đáy là hình vuông, khung có đáy là hình tròn lần lượt có chiều dài là
4 2
,
4 4
.
B. Khung có đáy là hình vuông, khung có đáy là hình tròn lần lượt có chiều dài là
2 4
,
4 4
.
C. Khung có đáy là hình vuông, khung có đáy là hình tròn lần lượt có chiều dài là
2 4 14
,
4 4
.
D. Khung có đáy là hình vuông, khung có đáy là hình tròn lần lượt có chiều dài là
4 14 2
,
4 4
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
A
B
C
M
N
Q
P
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 28
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Gọi
1 2
,
V V
lần lượt là thể tích của khung hình trụ có đáy là hình vuông và khung hình trụ có đáy là
hình tròn. Gọi
a
là chiều dài của cạnh hình vuông và
r
là bán kính của hình tròn. Ta có:
2 2
1 2
V V a r
(đơn vị thể tích).
Mà
1 2
4 2 4 2 ,0
2
a r a r r
. Suy ra
2
2
1 2
1
2
4
V r V V r r
.
1 2
2 2 , 0
4
4
V r r r V r r
. Lập bảng biến thiên suy ra
min
4
4
V
.
Vậy, phải chia tấm sắt thành
2
phần: phần làm lăng trụ có đáy là hình vuông là
4
4
m
.
Câu 49: Người ta cần sản xuất một lon hình trụ bằng nhôm có thể tích
.
V
Để tiết kiệm nhôm nhất thì phải sản
xuất lon có bán kính đáy là:
A.
3
V
R
. B.
3
2
V
R
.
C.
3
V
R
.
D.
3
2
V
R
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có:
2
V Bh R h
2
V
h
R
2
2
tp xq
S S R
2
2
2 2
V
R R
R
2
2
2
V
R
R
.
Mặt khác:
2
2
4
tp
V
S R
R
3
2
2 4
V R
R
0
tp
S
3
2 4 0
V R
3
2
V
R
.
Dễ thấy hàm số
tp
S
ẩn
0
R
đạt giá trị nhỏ nhất tại
3
2
V
R
.
Câu 50: Khi thiết kế vỏ lon sữa hình trụ các nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu sao cho chi phí làm vỏ lon nhỏ nhất.
Muốn thể tích khối trụ là
V
mà diện tích toàn phần của hình trụ nhỏ nhất thì bán kính
R
của đường
tròn đáy khối trụ bằng?
A.
2
V
. B.
3
V
. C.
3
2
V
. D.
V
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Gọi chiều cao và bán kính đáy của lon sữa lần lượt là
h
và
R
.
, 0
h R
Ta có: Thể tích của lon sữa là
2
2
V
V R h h
R
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 29
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Khi đó: Diện tích toàn phần là
2 2 2
2
2
2 2 2 2 . 2
tp
V V
S R Rh R R R
R R
.
Xét hàm số
2
2
2
V
f R R
R
trên khoảng
0;
.
Ta có
3
2 2
2 4 2
4
V R V
f R R
R R
Cho
3
3
0 4 2 0
2
V
f R R V R
.
Lập bảng biến thiên suy ra bán kính cần tìm là
3
2
V
R
.
Câu 51: Ông An dự định làm một cái bể chứa nước hình trụ bằng inốc có nắp đậy với thể tích là
3
m
k
(
0
k
). Chi phí mỗi
2
m
đáy là
600
nghìn đồng, mỗi
2
m
nắp là
200
nghìn đồng và mỗi
2
m
mặt bên là
400
nghìn đồng. Hỏi ông An cần Chọn Bán kính đáy của bể là bao nhiêu để chi phí làm bể là ít
nhất? (Biết bề dày vỏ inốc không đáng kể).
A.
3
2
k
. B.
3
k
. C.
3
2
k
. D.
3
2
k
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
.
Gọi
, 0
r h
lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của hình trụ.
+ Thể tích khối trụ
2
2
.
k
V r h k h
r
.
+ Diện tích đáy và nắp là
2
nđ
S S r
; diện tích xung quanh là
2 .
xq
S rh
.
+ Khi đó chi phí làm bể là:
2 2 2
2
600 200 400.2 800 800 800
k k
C r rh r r r
r r
.
+ Đặt
2
( ) , 0
k
f r r r
r
3
2 2
2
( ) 2
k r k
f r r
r r
;
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 30
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
( ) 0
f r
3
2
k
r
,
( 0)
k
.
+ Bảng biến thiên:
.
Vậy: Chi phí làm bể ít nhất
( )
f r
đạt giá trị nhỏ nhất
3
2
k
r
.
Câu 52: Một xưởng cơ khí nhận làm những chiếc thùng phi với thể tích là
2000
lít mỗi chiếc. Hỏi bán kính
đáy và chiều cao của thùng lần lượt bằng bao nhiêu để tiết kiệm nguyên liệu nhất.
A.
1
m
và
2
m
. B.
1
dm
và 2
dm
. C.
1
cm
và 2
cm
. D.
1
m
và
1
m
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
.
Gọi
, 0
r h
lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của thùng phi.
Thể tích thùng phi:
2 3 3
2
2000
2000 2000 V r h dm hlít
dm
r
.
Diện tích toàn phần của thùng phi:
2
2 2
tp
S r rh
2
4000
2 r
r
2
2000
2 r
r
.
Đặt:
2
2000
( ) 0
f r r r
r
3
2 2
2000 2 2000
( ) 2
r
f r r
r r
;
( ) 0
f r
3
1000 10 dm
r
.
Bảng biến thiên:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 31
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
.
Để tiết kiệm nguyên liệu nhất thì diện tích toàn phần nhỏ nhất.
Khi đó:
tp
S
nhỏ nhất
f r
nhỏ nhất
10dm 1m
r
20dm 2m
h
.
Câu 53: Gia đình An xây bể hình trụ có thể tích
3
150m
. Đáy bể làm bằng bê tông giá
2
100000
/
m
đ . Phần thân
làm bằng tôn giá
2
90000
/ m
đ , nắp bằng nhôm giá
2
120000
/ m
đ . Hỏi khi chi phí sản suất để bể đạt
mức thấp nhất thì tỷ số giữa chiều cao bể và bán kính đáy là bao nhiêu?
A.
31
22
. B.
9
22
. C.
21
32
. D.
22
9
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
.
Ta có:
150
V
2
150
R h
2
150
h
R
.
Mà ta có:
2 2
100000 120000 180000
f R R R Rh
.
2
2
150
220000 180000f R R R
R
2
27000000
220000 R
R
.
Để chi phí thấp nhất thì hàm số
f R
đạt giá trị nhỏ nhất với mọi
0
R
.
2
27000000
440000f R R
R
3
2
440000 27000000
R
R
, cho
0
f R
3
30
440
R
.
Lập BBT, từ BBT suy ra
0
min
R
f R
khi
3
30
440
R
.
Nên
3
150 22
9
h
R R
.
Câu 54: Cần phải thiết kế các thùng dạng hình trụ có nắp đậy để đựng nước sạch có dung tích
3
cm
V . Hỏi
bán kính
(cm)
R của đáy hình trụ nhận giá trị nào sau đây để tiết kiệm vật liệu nhất?
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 32
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
3
3
2
V
R
. B.
3
V
R
. C.
3
4
V
R
. D.
3
2
V
R
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Để tiết kiệm vật liệu nhất thì diện tích toàn phần của thùng phải ít nhất.
Ta có
2
V R h
2
V
h
R
.
Diện tích toàn phần của hình trụ là
2
2 2
tp
S Rh R
2
2
2 . 2
V
R R
R
2
2
2
V
R
R
3
2 2
2 3 2
V V
R V
R R
.
Vậy
3
2
min
3 2
tp
S V
khi
2
2
V
R
R
3
2
V
R
.
Câu 55: Một xưởng làm cơ khí nhận làm những chiếc thùng phi với thể tích theo yêu cầu là
2000
lít mỗi
chiếc. Hỏi bán kính đáy và chiều cao của thùng lần lượt bằng bao nhiêu để tiết kiệm vật liệu nhất?
A.
1
m và
2
m. B.
2
dm và
1
dm. C.
2
m và
1
m. D.
1
dm và
2
dm.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Gọi
,
R h
lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của thùng.
Gọi
, S
tp
V lần lượt là thể tích và diện tích toàn phần của thùng.
2000
V
lít
3
2000 dm
=
3
2 m
.
2
2
2
2V R h h
R
.
2 2 2 2 2
3
2
2 2
2 2 = 2 2 = 2 2 2 . . 2
tp
S R Rh R R R R R
R R R R R R
Để
tiết kiệm vật liệu nhất thì
tp
S
nhỏ nhất
2
1
R R
R
2
h
.
Câu 56: Một người có một dải ruy băng dài
130 ,
cm
người đó cần bọc dải ruy băng đó quanh một hộp quà
hình trụ. Khi bọc quà, người này dùng
10
cm
của dải ruy băng để thắt nơ ở trên nặp hộp (như hình
vẽ minh họa). Hỏi dải dây ruy băng bọc được hộp quà có thể tích lớn nhất là bao nhiêu?
.
A.
3
2000
cm
. B.
3
1000
cm
. C.
3
4000
cm
. D.
3
1600
cm
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 33
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có
130 10 8 4 30 2
r h h r
.
2 2 2 3
2
max
30 2 30 2
60 6
0 10 10 1000 .
V r h r r r r
V r r
V r V V
.
Câu 57: Một nhà máy sản xuất cần thiết kế một thùng sơn dạng hình trụ có nắp đậy với dung tích
3
1000cm .
Tính bán kính của nắp đậy sao cho nhà sản xuất tiết kiệm được nguyên liệu nhất.
A.
3
10
2
. B.
3
3
10 5
. C.
3
5
. D.
10 5
.
Lờigiải
Chọn B
Thể tích khối trụ có bán kính
R
chiều cao
h
là:
2
.
V R h
.
Từ giả thiết suy ra
2
h R
3
1000 2
R
3
500
R
3
3
10 5
R
.
Câu 58: Một khúc gỗ có dạng hình khối nón có bán kính đáy bằng
2
r m
, chiều cao
6
h m
. Bác thợ mộc
chế tác từ khúc gỗ đó thành một khúc gỗ có dạng hình khối trụ như hình vẽ. Gọi
V
là thể tích lớn
nhất của khúc gỗ hình trụ sau khi chế tác. Tính
V
.
A.
3
32
9
V m
. B.
3
32
3
V m
. C.
3
32
3
V m
. D.
2
32
9
V m
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 34
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Giả sử khối trụ có bán kính đáy và đường cao lần lượt là
r
,
'
h
0 2;0 6
x h
Ta có:
2
6 3
6 2
h x
h x
Thể tích khối trụ:
2 2 2 3
6 3 6 3
V x h x x x x
2
( ) 12 9
V x x x
,
4
( ) 0 0
3
V x x x
Khi đó ta có thể suy ra được với
4
3
x
thì V đạt giá trị lớn nhất bằng
2
32
9
V m
Đẳng thức xảy ra khi
2
3
2
2
V V
R R
R
. Khi đó
3
2
2
V
h
.
Câu 59: Một công ty mỹ phẩm chuẩn bị ra một mẫu sản phẩm dưỡng da mới mang tên Ngọc Trai với thiết kế
một khối cầu như viên ngọc trai, bên trong là một khối trụ nằm trong nửa khối cầu để đựng kem
dưỡng như hình vẽ. Theo dự kiến, nhà sản xuất có dự định để khối cầu có bán kính là
3 3cm
R
Tìm thể tích lớn nhất của khối trụ đựng kem để thể tích thực ghi trên bìa hộp là lớn nhất (với mục
đích thu hút khách hàng).
.
A.
3
108 cm
. B.
3
18 cm
. C.
3
54 cm
. D.
3
45 cm
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Xét mặt cắt như hình vẽ.
Gọi
,
h r
lần lượt là chiều cao và bán kính đáy của khối trụ nằm trong nửa khối cầu.
Ta có
2 2
27
r h
2 2
27
r h
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 35
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Ta có
2
.
V h r
2
27
h h
3
27
h h
.
Vậy ta có
2
' 3 27
V h
;
' 0 3
V h
.
Vì hệ số
0
a
nên để
max
V
thì
2 3
3 18 3. .18 54 cm
h r V
.
Câu 60: Trong đời sống hàng ngày, ta thường gặp rất nhiều hộp kiểu hình trụ như: hộp sữa, lon nước ngọt,…
Cần làm những hộp đó (có nắp) như thế nào để tiết kiêm được nguyên liệu mà thể tích lại lớn nhất.
A. Hộp hình trụ có đường cao bằng một nửa bán kính đáy.
B. Hộp hình trụ có đường cao bằng đường kính đáy.
C. Hộp hình trụ có đường cao bằng hai lần đường kính đáy.
D. Hộp hình trụ có đường cao bằng bán kính đáy.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Gọi
h
,
r
,
S
lần lượt là đường cao, bán kính và diện tích toàn phần của hình trụ.
Ta có
2 2
2 2 2
S r rh r rh
2
2
2 2
rh rh
r
2
3
2 .3 . .
2 2
rh rh
r
4 2 2
3 3
2
3
6
2 .3
4
4
r h V
.
Thể tích khối trụ
3
2
3
4
6
S
V r h
. Dấu đẳng thức xảy ra khi
2
2 2
rh h
r r
.
Câu 61: Một bác thợ gò hàn làm một chiếc thùng hình hộp chữ nhật (không nắp) bằng tôn thể tích
3
665,5
dm
.
Chiếc thùng này có đáy là hình vuông cạnh
( )
x dm
, chiều cao
( )
h dm
. Để làm chiếc thùng, bác thợ
phải cắt một miếng tôn như hình vẽ. Tìm
x
để bác thợ sử dụng ít nguyên liệu nhất.
A.
11( )
dm
. B.
12( )
dm
. C.
10,5( )
dm
. D.
9( )
dm
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
r
h
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 36
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
.
Ta có thể tích hình hộp là:
2
665,5
V x h
2
665,5
h
x
.
Diện tích toàn phần là
2 2
2
2662 2662
4 2S x xh x S x
x x
;
0 11
S x
.
Lập bảng biến thiên ta thấy khi
11
x
thì
S
đạt giá trị nhỏ nhất.
Vậy để sử dụng ít nguyên liệu nhất thì bác thợ xây phải cắt một miếng tôn có đáy là hình vuông
cạnh
11( )
dm
.
Câu 62: Một công ty sản xuất gỗ muốn thiết kế các thùng đựng hàng bên trong dạng hình lăng trụ tứ giác đều
không nắp có thể tích là
2
62,5
dm
. Để tiết kiệm vật liệu làm thùng, người ta cần thiết kế thùng sao
cho có tổng
S
diện tích xung quanh và diện tích mặt đáy là nhỏ nhất,
S
bằng
A.
2
50 5
dm
. B.
2
125
dm
. C.
2
106,25
dm
. D.
2
75
dm
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Gọi
a
là độ dài cạnh đáy của hình lăng trụ.
Theo bài ta có chiều cao của lăng trụ là
2
62,5
a
. Suy ra
2 2 2 2
3
2
62.5 250 125 125 125 125
4. . 3 . . 75
S a a a a a
a a a a a a
. Dấu bằng xảy ra khi
3
125 5
a
. Vậy
S
là nhỏ nhất bằng
75
.
Câu 63: Mặt tiền của một ngôi biệt thự có
8
cây cột hình trụ tròn, tất cả đều có chiều cao bằng
4,2
m. Trong
số các cây đó có
2
cây cột trước đại sảnh đường kính bằng
40
cm,
6
cây cột còn lại phân bố đều hai
bên đại sảnh và chúng đều có đường kính bằng
26
cm. Chủ nhà thuê nhân công để sơn các cây cột
bằng loại sơn giả đá, biết giá thuê là
2
380.000 / m
(kể cả vật liệu sơn và phần thi công). Hỏi người
chủ phải chi ít nhất bao nhiêu tiền để sơn hết các cây cột nhà đó (đơn vị đồng)?
(lấy
3,14159
)
A.
15.642.000
B.
10.400.000
C.
11.833.000
D.
12.521.000
Hướng dẫn giải
Chọn C
Các cây cột có chiều cao là
4,2
h
m.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 37
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
2 cây cột trước đại sảnh bán kính bằng 0,2R m.
6 cây cột ở hai bên đại sảnh có bán kính bằng 0,13r m.
Diện tích xung quanh của 8 cây cột là: 4 12S Rh rh
4 3h R r
31.13944008 .
Số tiền ít nhất phải chi để sơn hết các cây cột là: .380000 11832987,23S .
Vậy số tiền cần chi là 11.833.000 đồng.
Câu 64: Khi sản xuất vỏ lon bia hình trụ có chiều cao h và đường kính đáy d . Các nhà thiết kế luôn đặt mục
tiêu chi phí nguyên liệu vỏ lon (bằng nhôm) là ít nhất khi thể tích của lon bia là V không đổi. Khi
đó tỉ lệ
h
d
là:
A.
3 2
. B.
. C.
3 2
1
. D.
1
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
.
Ta có
2 2
2
1 4
2 ;
2 4
d V
d R R V R h d h h
d
2
2
2
2 2
2 2
đ
d d
S R
;
2
1 4 4
2 2. .
2
xq
V V
S Rh d
d d
2 2 2
3
4 2 2 2
3
2 2
tp
d V d V V V
S
d d d
2
2 2 2
2
2 2
2
min
2 2
tp
d
h
d V d R h h
S
d d d d
.
Câu 65: Công ty X muốn thiết kế các hộp chứa sản phẩm dạng hình trụ có nắp với dung tích bằng
3
100
cm
,
bán kính đáy
x cm , chiều cao
h cm (xem hình bên). Khi thiết kế, công ty X luôn đặt mục tiêu
sao cho vật liệu làm vỏ hộp là ít nhất, nghĩa là diện tích toàn phần hình trụ là nhỏ nhất. Khi đó, kích
thước của
x
và h
gần bằng số nào nhất trong các số dưới đây để công ty X tiết kiệm được vật liệu
nhất?
A.
6,476h cm và
2,217x cm . B.
3,261h cm và
3,124x cm .
C.
4,128h cm và
2,747x cm .
D.
5,031h cm
và
2,515x cm .
h
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 38
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có thể tích của hộp là
2
. 100
V x h
2
100
.
h
x
.
Ta có diện tích toàn phần của vỏ hộp là
2
2 2
tp
S xh x
2
200
2 .x
x
(với
0
x
).
Đặt
2
200
2f x x
x
.
Ta có
2
200
4f x x
x
3
2
4 200
x
x
,
3
0 4 200 0
f x x
3
50
x
.
Bảng biến thiên.
.
Dựa vào bảng biến thiên ta có
f x
đạt giá trị nhỏ nhất khi
3
50
2,515 cm
x
suy ra
5,031 cm
h .
Câu 66: Một cái nồi hiệu Happycook dạng hình trụ không nắp chiều cao của nồi 11.4 cm, đường kính dáy là
20.8 cm. Hỏi nhà sản xuất cần miếng kim loại hình tròn có
bán kính
R
tối thiểu là bao nhiêu để làm cái nồi như vậy
(không kể quay nồi)
A.
18.58
R cm
. B.
19.58
R cm
.
C.
13.13
R cm
. D.
14.13
R cm
.
Hướng dẫn giải
Diện tích xung quanh của nồi là
1
5928
2 2 .10,4.11,4
25
S rl
Diện tích đáy nồi là
2
2
2704
25
S r
Suy ra diện tích tối thiểu miếng kim loại hình tròn là
2
1 2
8632
18.58
25
S S S R R cm
Chọn A.
x
0
3
5 0
0
f x
f x
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 39
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 67: Một bang giấy dài được cuộn chặt lại
thành nhiều vòng xung quanh một ống
lõi
hình trụ rỗng có đường kính
12,5 .C mm
Biết độ dày của giấy cuộn là 0,6mm và
đường kính cả cuộn giấy là 44,9 .B mm
Tính chiều dài l của cuộn giấy.
A. 44L m B. 38L m C. 4L m D. 24L m
Hướng dẫn giải
Gọi chiều rộng của băng giấy là r , chiều dài băng giấy là L độ dày của giấy là
m
khi đó ta có thể
tích của băng giấy:
. . 1V r m L
Khi cuộn lại ta cũng có thể tích:
2 2
2 2
. . 2
2 24 4
B C
V m m r B C
Từ
1 , 2 suy ra:
2 2 2 2
. .
4 4
m r L r B C L B C
m
Câu 68: Có một miếng nhôm hình vuông, cạnh là 3 ,dm một người dự định tính tạo thành các hình trụ (không
đáy) theo hai cách sau:
Cách 1: Gò hai mép hình vuông để thành mặt xunng quanh của một hình trụ, gọi thể tích của khối
trụ đó là
1
.V
Cách 2: Cắt hình vuông ra làm ba và gò thành mặt xung quanh của ba hình trụ, gọi tổng thể tích
của chúng là
2
.V
Khi đó, tỉ số
1
2
V
V
là:
A. 3 B. 2 C.
1
2
D.
1
3
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 40
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Hướng dẫn giải
Chọn A
Gọi
1
R
là bán kính đáy của khối trụ thứ nhất, có:
2
1 1 1 1
3 27
2 3
2 4
R R V R h
Gọi
2
R
là bán kính đáy của khối trụ thứ hai, có:
2
2 2 2 2
1 9
2 1
2 4
R R V R h
Câu 69: Người ta cần cắt một tấm tôn có hình dạng một elip với độ dài trục lớn bằng
8
độ dài trục bé bằng
4
để được một tấm tôn có dạng hình chữ nhật nội tiếp elíp. Người ta gò tấm tôn hình chữ nhật thu
được thành một hình trụ không có đáy như hình bên. Tính thể tích lớn nhất có thể thu được của khối
trụ đó
A.
3
128 3
cm
B.
3
64
3 2
cm
C.
3
64
3 3
cm
D.
3
128
3 2
cm
Hướng dẫn giải
Ta có
2 2
2
1
: 1 16
64 16 2
x y
E y x
. Chu vi 1 đáy của hình trụ 2 2
x
R x R
Ta có
2
2 2 2 2 2 2
1
16 16 . . . 16 16
2
tru
x
AH x h x V R h x x x
Đặt
3
2 2
2
0
32 32
16 4 4 ' ' 0
32
16
3
x
x x
f x x x x f x f x
x
x
max
32 128 3 128 3
max
3 9 9
f x f V
TỔNG QUÁT: Elip có độ dài trục lớn
2
a
, trục bé
2
b
khi đó
2
max
4
3 3
tru
a b
V
x
B
A
H
C
B
2x
A
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 1
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
TOÁN THỰC TẾ TỔNG HỢP
Câu 1: Người ta dự định thiết kế một cống ngầm thoát nước qua đường có chiều dài
30
m
, thiết diện thẳng
của cống có diện tích để thoát nước là
2
4
m
(gồm hai phần nửa hình tròn và hình chữ nhật) như
hình minh hoạ, phần đáy cống, thành cống và nắp cống (tô đậm như hình vẽ) được sử dụng vật
liệu bê tông. Tính bán kính
R
(tính gần đúng với đơn vị
m
, sai số không quá
0,01
) của nửa hình
tròn để khi thi công tốn ít vật liệu nhất?
A.
1,15
m
. B.
1,06
m
. C.
1,02
m
. D.
1,52
m
.
Câu 2: Một xưởng sản xuất muốn tạo ra những chiếc đồng hồ cát thủy tinh có dạng hình trụ, phần chứa cát
là hai nửa hình cầu bằng nhau. Hình vẽ bên với kích thước đã cho là bản thiết kế thiết diện qua trục
của chiếc đồng hồ này (phần giới hạn bởi hình trụ và phần hai nữa hình cầu chứa cát). Khi đó,
lượng thủy tinh làm chiếc đồng hồ cát gần nhất với giá trị nào trong các giá trị sau
A.
3
711,6 .
cm
B.
3
6021,3 .
cm
C.
3
1070,8 .
cm
D.
3
602,2 .
cm
Câu 3: Người ta xếp
9
viên bi có cùng bán kính
r
vào một cái bình hình trụ sao cho tất cả các viên bi đều
tiếp xúc với đáy, viên bi nằm chính giữa tiếp xúc với
8
viên bi xung quanh mỗi viên bi xung quanh
đều tiếp xúc với các đường sinh của bình hình trụ. Khi đó diện tích đáy của cái bình hình trụ là:
A.
2
18
r
. B.
2
9
r
. C.
2
16
r
. D.
2
36
r
.
Câu 4: Một cốc nước có dạng hình trụ chiều cao là
15
cm
, đường kính đáy là
6
cm
, lượng nước ban đầu trong
cốc cao
10
cm
. Thả vào cốc nước 5 viên bi hình cầu có cùng đường kính là
2
cm
. Hỏi sau khi thả
5 viên bi, mực nước trong cốc cách miệng cốc bao nhiêu
cm
? (Kết quả làm tròn sau dấu phẩy 2
chữ số).
A.
4,26
cm
. B.
4,25
cm
. C.
4,81
cm
. D.
3,52
cm
.
Câu 5: Một chiếc thùng đựng nước có hình của một khối lập phương cạnh
1
m
chứa đầy nước. Đặt vào trong
thùng đó một khối có dạng nón sao cho đỉnh trùng với tâm một mặt của lập phương, đáy khối nón
tiếp xúc với các cạnh của mặt đối diện. Tính tỉ số thể tích của lượng nước trào ra ngoài và lượng
nước còn lại ở trong thùng.
A.
12
. B.
12
. C.
11
12
. D.
1
11
.
Câu 6: Từ một nguyên liệu cho trước, một công ti muốn thiết kế bao bì đựng sữa với thể tích
3
100
ml
. Bao
bì được thiết kế bởi một trong hai mô hình là: hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông và hình trụ.
Hỏi thiết kế theo mô hình nào tiết kiệm nguyên vật liệu nhất ?
A. Hình trụ có chiều cao gấp hai lần bán kính đáy.
B. Hình trụ có chiều cao bằng bán kính đáy.
C. Hình hộp chữ nhật có cạnh bên bằng cạnh đáy.
D. Hình hộp chữ nhật có cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy.
Câu 7: Người ta sản xuất một chiếc cốc thủy tinh có dạng hình trụ không có nắp với đáy cốc và thành cốc
làm bằng thủy tinh đặc, phần đáy cốc dày đều
1,5cm
và thành xung quanh cốc dày đều
0,2cm
(hình vẽ). Biết rằng chiều cao của chiếc cốc là
15cm
và khi ta đổ
150ml
nước vào thì đầy cốc.
Nếu giá thủy tính thành phẩm được tính là
500
đ/cm
3
thì giá tiền thủy tính để sản xuất chiếc cốc
đó gần nhất với số nào sau đây?
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 2
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A. 25 nghìn đồng. B. 12 nghìn đồng. C. 28 nghìn đồng. D. 15 nghìn đồng
Câu 8: Một cái mũ bằng vải của nhà ảo thuật với các kích thước như hình vẽ dưới đây. Hãy tính tổng diện tích vải
cần có để làm nên cái mũ đó (không kể viền, mép, phần thừa).
A.
2
750,25 (cm )
B.
2
700 (cm )
C.
2
756,25 (cm )
D.
2
754,25 (cm )
Câu 9:
Ban đầu ta có một tam giác đều cạnh bằng 3 (hình 1). Tiếp đó ta chia mỗi cạnh của tam giác thành
3 đoạn bằng nhau và thay mỗi đoạn ở giữa bằng hai đoạn bằng nó sao cho chúng tạo với đoạn bỏ
đi một tam giác đều về phía bên ngoài ta được hình 2 . Khi quay hình 2 xung quanh trục d ta
được một khối tròn xoay. Tính thể tích khối tròn xoay đó.
30cm
10cm
35cm
r
O
Hình 1
d
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 3
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
5 3
2
. B.
5 3
3
. C.
9 3
8
. D.
5 3
6
.
Câu 10: Một chậu nước hình bán cầu bằng nhôm có bán kính
10 cmR . Trong chậu có chứa sẵn mọt khối
nước hình chõm cầu có chiều cao
4 cmh . Người ta bỏ vào chậu một viên bi hình cầu bằng kim
loại thì mặt nước dâng lên vừa phủ kín viên bi. Tính bán kinh của viên bi (kết quả làm tròn đến 2
chữ số lẻ thập phân).
A.
3,24 cm
. B.
2,09 cm
. C.
4,28 cm
. D.
4,03 cm
.
Câu 11: Có một cái cốc làm bằng giấy, được úp ngược như hình vẽ. Chiều cao của chiếc cốc là
20cm
, bán
kính đáy cốc là
4cm
, bán kính miệng cốc là
5cm
. Một con kiến đang đứng ở điểm
A
của miệng
cốc dự định sẽ bò hai vòng quanh than cốc để lên đến đáy cốc ở điểm
B
. Quãng đường ngắn nhất
để con kiến có thể thực hiện được dự định của mình gần đúng nhất với kết quả nào dước đây?
A.
59,98cm
B.
59,93cm
C.
58,67cm
D.
58,80cm
.
Câu 12: Viện Hải dương học dự định làm một bể cá bằng kính phục vụ khách tham quan (như hình vẽ), biết
rằng mặt cắt dành cho lối đi là nửa hình tròn
Tổng diện tích mặt kính của bể cá gần nhất với số nào sau đây?
A.
2
872m B.
2
914m C.
2
984m D.
2
949m
Câu 13: Trên bàn có một cốc nước hình trụ chứa đầy nước, có chiều cao bằng 3 lần đường kính của đáy ;
một viên bi và một khối nón đều bằng thủy tinh. Biết viên bi là một khối cầu có đường kính bằng
của cốc nước. Người ta từ từ thả vào cốc nước viên bi và khối nón đó ( như hình vẽ ) thì thấy nước
trong cốc tràn ra ngoài. Tính tỉ số thể tích của lượng nước còn lại trong cốc và lượng nước ban đầu
( bỏ qua bề dày của lớp vỏ thủy tinh).
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 4
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
5
9
. B.
2
3
. C.
1
2
. D.
4
9
.
Câu 14: Cho tam giác
SAB
vuông tại
A
,
60
ABS
, đường phân giác trong của
ABS
cắt
SA
tại điểm
I
.
Vẽ nửa đường tròn tâm
I
bán kính
IA
( như hình vẽ). Cho
SAB
và nửa đường tròn trên cùng
quay quanh
SA
tạo nên các khối cầu và khối nón có thể tích tương ứng
1
V
,
2
V
. Khẳng định nào
dưới đây đúng?
A.
1 2
2 3
V V
B.
1 2
4 9
V V
C.
1 2
9 4
V V
D.
1 2
3
V V
Câu 15: Một hộp bóng bàn hình trụ có bán kính
R
, chứa được
10
quả bóng sao cho các quả bóng tiếp xúc
với thành hộp theo một đường tròn và tiếp xúc với nhau. Quả trên cùng va quả dưới cùng tiếp xúc
với hai nắp hộp. Tính phần thể tích khối trụ mà thể tích của các quả bóng bàn không chiếm chỗ.
A.
3
20
3
R
. B.
3
40
3
R
. C.
3
R
. D.
0
.
Câu 16: Một hộp bóng bàn hình trụ chứa được
5
quả bóng sao cho các quả bóng tiếp xúc với thành hộp và
tiếp xúc với nhau, quả trên cùng tiếp xúc với nắp hộp. Tỉ lệ thể tích mà
5
quả bóng chiếm so với
thể tích của hộp là
A.
3
4
. B.
1
2
. C.
4
5
. D.
2
3
.
Câu 17: Cho một chiếc cốc có dạng hình nón cụt và một viên bi có đường kính bằng chiều cao của cốc. Đổ
đầy nước vào cốc rồi thả viên bi vào, ta thấy lượng nước tràn ra bằng một nửa lượng nước đổ vào
cốc lúc ban đầu. Biết viên bi tiếp xúc với đáy cốc và thành cốc. Tìm tỉ số bán kính của miệng cốc
và đáy cốc (bỏ qua độ dày của cốc).
A.
2
B.
3 5
2
C.
1 5
2
D.
3
Câu 18: Cho hai hình vuông có cùng cạnh bằng
5
được xếp chồng lên nhau sao cho đỉnh
X
của một hình
vuông là tâm của hình vuông còn lại (như hình vẽ). Tính thể tích
V
của vật thể tròn xoay khi quay
mô hình trên xung quanh trục
XY
.
A
S
I
B
30
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 5
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
125 2 2
4
V
. B.
125 5 2 2
12
V
.
C.
125 1 2
6
V
. D.
125 5 4 2
24
V
.
Câu 19: Cho tam giác
ABC
vuông ở
A
có 2
AB AC
.
M
là một điểm thay đổi trên cạnh
BC
. Gọi
H
,
K
lần lượt là hình chiếu vuông góc của
M
trên
AB
,
AC
. Gọi
V
và
V
tương ứng là thể tích của
vật thể tròn xoay tạo bởi tam giác
ABC
và hình chữ nhật
MHAK
khi quay quanh trục
AB
. Tỉ số
V
V
lớn nhất bằng
A.
1
2
. B.
4
9
. C.
2
3
. D.
3
4
.
Câu 20: Một xưởng sản xuất muốn tạo ra những chiếc đồng hồ cát thủy tinh có dạng hình trụ, phần chứa cát
là hai nửa hình cầu bằng nhau. Hình vẽ bên với kích thước đã cho là bản thiết kế thiết diện qua trục
của chiếc đồng hồ này (phần giới hạn bởi hình trụ và phần hai nữa hình cầu chứa cát).
.
Khi đó, lượng thủy tinh làm chiếc đồng hồ cát gần nhất với giá trị nào trong các giá trị sau.
A.
3
6021,3 cm
. B.
3
602,2 cm
. C.
3
711,6 cm
. D.
3
1070,8 cm
.
Câu 21: Một cái ống hình trụ tròn xoay bên trong rỗng, có chiều cao bằng
25cm
và đường kính đáy bằng
6cm
đặt trên cái bàn nằm ngang có mặt bàn phẳng sao cho một miệng ống nằm trên mặt bàn.
Người ta đặt lên trên miệng ống còn lại một quả bóng hình cầu có bán kính
5cm
. Tính khoảng
cách lớn nhất
h
có thể từ một điểm trên quả bóng tới mặt bàn nếu coi độ dày của thành ống là
không đáng kể.
A.
34cm
h
. B.
35cm
h
. C.
30cm
h
. D.
32cm
h
.
Câu 22: Một khối đá có hình là một khối cầu có bán kính
R
, người thợ thợ thủ công mỹ nghệ cần cắt và gọt
viên đá đó thành một viên đá cảnh có hình dạng là một khối trụ. Tính thể tích lớn nhất có thể của
viên đá cảnh sau khi đã hoàn thiện.
13,2
cm
13,2
cm
1
cm
1
cm
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 6
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
.
A.
3
4 3
9
R
. B.
3
3 3
12
R
. C.
3
4 3
6
R
. D.
3
4 3
3
R
.
Câu 23: Cho tấm tôn hình nón có bán kính đáy là
2
3
r , độ dài đường sinh 2l . Người ta cắt theo một
đường sinh và trải phẳng ra được một hình quạt. Gọi M , N thứ tự là trung điểm của OA, OB .
Hỏi khi cắt hình quạt theo hình chữ nhật MNPQ (hình vẽ) và tạo thành hình trụ đường PN trùng
MQ (2 đáy làm riêng) thì được khối trụ có thể tích bằng bao nhiêu?
A.
13 1
9
. B.
3 13 1
4
. C.
5 13 1
12
. D.
3 13 1
8
.
Câu 24: Một cái bồn gồm hai nửa hình cầu đường kính 18 dm, và một hình trụ có chiều cao 36 dm . Tính
thể tích V của cái bồn đó.
A. 9216V
3
dm
. B.
1024
9
V
3
dm
. C.
16
243
V
.
3
dm
. D. 3888V
3
dm
.
O
M
N
P
Q
A
B
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 7
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 25: Phần không gian bên trong của chai nước ngọt có hình dạng như hình bên. Biết bán kính đáy bằng
5 ,
R cm
bán kính cổ
2 , 3 ,
r cm AB cm
6 ,
BC cm
16 .
CD cm
Thể tích phần không gian bên trong
của chai nước ngọt đó bằng:
A.
3
495
cm
. B.
3
462
cm
. C.
3
490
cm
. D.
3
412
cm
.
Câu 26: Một chi tiết máy có hình dạng như hình vẽ 1, các kích thước được thể hiện trên hình vẽ 2 (hình chiếu
bằng và hình chiếu đứng).
.
Người ta mạ toàn phần chi tiết này bằng một loại hợp kim chống gỉ. Để mạ
2
1
m
bề mặt cần số
tiền
150000
đồng. Số tiền nhỏ nhất có thể dùng để mạ
10000
chi tiết máy là bao nhiêu? (làm tròn
đến hàng đơn vị nghìn đồng).
A.
48238
(nghìn đồng). B.
51239
(nghìn đồng).
C.
51238
(nghìn đồng). D.
37102
(nghìn đồng).
Câu 27: Xét một hộp bóng bàn có dạng hình hộp chữ nhật. Biết rằng hộp chứa vừa khít ba quả bóng bàn
được xếp theo chiều dọc, các quả bóng bàn có kích thước như nhau. Phần không gian còn trống
trong hộp chiếm:
A.
83,3%
. B.
65,09%
. C.
47,64%
. D.
82,55%
.
Câu 28: Quả bóng đá được dùng thi đấu tại các giải bóng đá Việt Nam tổ chức có chu vi của thiết diện qua
tâm là
68.5 cm
. Quả bóng được ghép nối bởi các miếng da hình lục giác đều màu trắng và đen,
mỗi miếng có diện tích
2
49.83 cm
. Hỏi cần ít nhất bao nhiêu miếng da để làm quả bóng trên?
A.
30
(miếng da). B.
20
(miếng da).
C.
35
(miếng da). D.
40
(miếng da).
Câu 29: Một cơ sở sản xuất kem chuẩn bị làm
1000
chiếc kem giống nhau theo đơn đặt hàng. Cốc đựng kem
có dạng hình tròn xoay được tạo thành khi quay hình thang
ABCD
vuông tại
A
và
D
xung quanh
trục
AD
(xem hình vẽ). Chiếc cốc có bề dày không đáng kể, chiều cao
7,2cm
; đường kính miệng
cốc bằng
6,4cm
; đường kính đáy cốc bằng
1,6cm
. Kem được bỏ đầy cốc và dư ra phía ngoài một
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 8
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
lượng có dạng nửa hình cầu, có bán kính bằng bán kính miệng cốc. Cơ sở đó cần dùng lượng kem
gần nhất với giá trị nào trong các giá trị sau?
A.
3
954 dm
. B.
3
293 dm
. C.
3
170 dm
. D.
3
132 dm
.
Câu 30: Cho hình thang
ABCD
vuông tại
A
và
B
với
2
AD
AB BC a
. Quay hình thang và miền trong
của nó quanh đường thẳng chứa cạnh
BC
. Tính thể tích
V
của khối tròn xoay được tạo thành
A.
3
4
3
a
V
. B.
3
5
3
a
V
. C.
3
V a
. D.
3
7
3
a
.
Câu 31: [THPT Hùng Vương-PT - 2017] Một con quạ muốn uống nước trong cốc có dạng hộp chữ nhật (
không có nắp ) với đáy là hình vuông cạnh bằng
5
cm
. Mực nước
trong cốc đang có chiều cao
5
cm
vì vậy con quạ chưa thể uống
được, để uống được nước thì con quạ cần thả các viên bi đá vào
cốc để mực nước dâng cao thêm
1
cm
nữa. Biết rằng các viên bi
là hình cầu có đường kính
1
cm
, chìm hoàn toàn trong nước và
có số lượng đủ dùng. Hỏi con quạ cần thả ít nhất mấy viên bi vào
cốc để có thể uống được nước ?
A. 24
viên
. B. 76
viên
. C. 48
viên
. D. 6
viên
.
Câu 32: Một xưởng sản xuất muốn tạo ra những chiếc đồng hồ cát thủy tinh có dạng hình trụ, phần chứa cát
là hai nửa hình cầu bằng nhau. Hình vẽ bên với kích thước đã cho là bản thiết kế thiết diện qua trục
của chiếc đồng hồ này (phần giới hạn bởi hình trụ và phần hai nữa hình cầu chứa cát). Khi đó,
lượng thủy tinh làm chiếc đồng hồ cát gần nhất với giá trị nào trong các giá trị sau
A.
3
6021,3 .
cm
B.
3
1070,8 .
cm
C.
3
602,2 .
cm
D.
3
711,6 .
cm
Câu 33: Ông Bình muốn thiết kế mái cho một xưởng may có diện tích
2
20000
m
có hai đồ án như sau:
- Công ty A thiết kế dạng hình vuông với mái là hình chóp tứ giác đều có chiều cao bằng
70
m
.
- Công ty B thiết kế dạng hình tròn với mái là nửa mặt cầu úp xuống.
Hỏi thiết kế của công ty A giúp tiết kiệm diện tích mái hơn bao nhiêu
2
m
?
A.
2
9000
.
m
B.
2
5000
.
m
C.
2
11857
.
m
D.
2
20000
.
m
Câu 34: Một người dùng một cái ca hình bán cầu có bán kính là
3cm
để múc nước đổ vào trong một thùng
hình trụ chiều cao
10cm
và bán kính đáy bằng
6cm
. Hỏi người ấy sau bao nhiêu lần đổ thì nước
đầy thùng? (Biết mỗi lần đổ, nước trong ca luôn đầy.).
A.
20
lần. B.
24
lần. C.
10
lần. D.
12
lần.
Câu 35: Một khúc gỗ có dạng hình khối nón có bán kính đáy bằng
2
r m
, chiều cao
6
h m
. Bác thợ mộc
chế tác từ khúc gỗ đó thành một khúc gỗ có dạng hình khối trụ như hình vẽ. Gọi
V
là thể tích lớn
nhất của khúc gỗ hình trụ sau khi chế tác. Tính
V
.
13,2
cm
13,2
cm
1
cm
1
cm
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 9
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
.
A.
2
32
9
V m
. B.
3
32
3
V m
. C.
3
32
3
V m
. D.
3
32
9
V m
.
Câu 36: Ông An đặt hàng cho một cơ sở sản xuất chai lọ thủy tinh chất lượng cao
X
để làm loại chai nước
có kích thước phần không gian bên trong của chai như hình vẽ, đáy dưới có bán kính
5
R cm
,
bán kính cổ chai
2
r cm
,
3
AB cm
,
6
BC cm
,
16
CD cm
. Tính thể tích
V
phần không gian
bên trong của chai nước.
A.
3
494
V cm
B.
3
490
V cm
C.
3
412
V cm
D.
3
464
V cm
Câu 37: Một cốc nước có dạng hình trụ chiều cao là
15
cm
, đường kính đáy là
6
cm
, lượng nước ban đầu
trong cốc cao
10
cm
. Thả vào cốc nước 5 viên bi hình cầu có cùng đường kính là
2
cm
. Hỏi sau khi
thả 5 viên bi, mực nước trong cốc cách miệng cốc bao nhiêu
cm
? (Kết quả làm tròn sau dấu phẩy
2 chữ số).
A.
3,52
cm
. B.
4,81
cm
. C.
4,25
cm
. D.
4,26
cm
.
Câu 38: Người ta bỏ ba quả bóng bàn cùng kích thước vào trong một chiếc hộp hình trụ có đáy bằng hình
tròn lớn của quả bóng bàn và chiều cao bằng ba lần đường kính của quả bóng bàn. Gọi
1
S
và tổng
diện tích của ba quả bóng bàn,
2
S
là diện tích xung quanh của hình trụ. Tỉ số
1
2
S
S
bằng:
A.
2
. B.
1
. C.
4
. D.
3
.
Câu 39: Từ một nguyên vật liệu cho trước, một công ty muốn thiết kế bao bì để đựng sữa với thể tích
3
1
dm
. Bao bì được thiết kế bởi một trong hai mô hình sau: hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông; hoặc
hình trụ. Hỏi thiết kế theo mô hình nào sẽ tiết kiệm được nguyên vật liệu nhất? Và thiết kế mô hình
đó theo kích thước như thế nào?
A. Hình trụ và chiều cao bằng đường kính đáy
B. Hình trụ và chiều cao bằng bán kính đáy
C. Hình hộp chữ nhật và cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy
D. Hình hộp chữ nhật và cạnh bên bằng cạnh đáy
Câu 40: Cho hai tấm tôn hình chữ nhật đều có kích thước
1,5m 8m.
Tấm tôn thứ nhất được chế tạo thành
một hình hộp chữ nhật không đáy, không nắp, có thiết diện ngang là một hình vuông (mặt phẳng
vuông góc với đường cao của hình hộp và cắt các mặt bên của hình hộp theo các đoạn giao tuyến
tạo thành một hình vuông) và có chiều cao
1,5m;
còn tấm tôn thứ hai được chế tạo thành một hình
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 10
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
trụ không đáy, không nắp và cũng có chiều cao
1,5m.
Gọi
1
V
,
2
V
theo thứ tự là thể tích của khối
hộp chữ nhật và thể tích của khối trụ. Tính tỉ số
1
2
.
V
V
A.
1
2
.
4
V
V
B.
1
2
.
2
V
V
C.
1
2
.
V
V
D.
1
2
.
3
V
V
Câu 41: Hai quả bóng hình cầu có kích thước khác nhau được đặt ở hai góc của một căn nhà hình hộp chữ
nhật. Mỗi quả bóng tiếp xúc với hai bức tường và nền của căn nhà đó. Trên bề mặt của mỗi quả
bóng, tồn tại một điểm có khoảng cách đến hai bức tường quả bóng tiếp xúc và đến nền nhà lần
lượt là 9, 10, 13. Tổng độ dài các đường kính của hai quả bóng đó là
A.
64
. B.
34
. C.
32
. D.
16
.
Câu 42: Một bình đựng nước dạng hình nón (không đáy) đựng đầy nướ.C. Biết rằng chiều cao của bình gấp
3 lần bán kính đáy của nó. Người ta thả vào đó một khối trụ và đo dược thể tích nước tràn ra ngoài
là
3
16
9
dm
. Biết rằng một mặt của khối trụ nằm trên mặt trên của hình nón, các điểm trên đường
tròn đáy còn lại đều thuộc các đường sinh của hình nón (như hình vẽ) và khối trụ có chiều cao bằng
đường kính đáy của hình nón. Diện tích xung quanh
xq
S
của bình nước là:
.
A.
2
4
xq
S dm
. B.
2
4 10
xq
S dm
.
C.
2
9 10
2
xq
S dm
. D.
2
3
2
xq
S dm
.
Câu 43: Người ta thả một viên billiards snooker có dạng hình cầu với bán kính nhỏ hơn
4,5cm
vào một
chiếc cốc hình trụ đang chứa nước thì viên billiards đó tiếp xúc với đáy cốc và tiếp xúc với mặt
nước sau khi dâng (tham khảo hình vẽ bên).
I
M
P
N
Q
S
B
A
O
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 11
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Biết rằng bán kính của phần trong đáy cốc bằng
5,4cm
và chiều cao của mực nước ban đầu trong
cốc bằng
4,5cm
. Bán kính của viên billiards đó bằng
A.
2,6cm
. B.
4,2cm
. C.
3,6cm
. D.
2,7cm
.
Câu 44: Từ một tấm tôn hình chữ nhật kích thước
80cm
x
360cm
, người ta làm các thùng đựng nước hình
trụ có chiều cao bằng
80cm
, theo hai cách sau (xem hình minh họa dưới đây):
* Cách 1: Gò tấm tôn ban đầu thành mặt xung quanh của thùng.
* Cách 2: Cắt tấm tôn ban đầu thành hai tấm bằng nhau, rồi gò mỗi tấm đó thành mặt xung quanh
của một thùng.
Kí hiệu
1
V
là thể tích của thùng gò được theo cách 1 và
3
5
10
C là tổng thể tích của hai thùng gò
được theo cách 2. Tính tỉ số
2
1
V
V
.
.
A.
2
1
1
2
V
V
. B.
2
1
1
V
V
. C.
2
1
2
V
V
. D.
2
1
4
V
V
.
Câu 45: Xét một hộp bóng bàn có dạng hình hộp chữ nhật. Biết rằng hộp chứa vừa khít ba quả bóng bàn
được xếp theo chiều dọc, các quả bóng bàn có kích thước như nhau. Phần không gian còn trống
trong hộp chiếm:
A.
65,09%
. B.
47,64%
. C.
82,55%
. D.
83,3%
.
Câu 46: Người ta xếp
7
viên bi có cùng bán kính
r
vào một cái lọ hình trụ sao cho tất cả các viên bi đều
tiếp xúc với đáy, viên bi nằm chính giữa tiếp xúc với
6
viên bi xung quanh và mỗi viên bi xung
quanh đều tiếp xúc với các đường sinh của lọ hình trụ. Khi đó diện tích đáy của cái lọ hình trụ là:
A.
2
16
r
. B.
2
36
r
. C.
2
9
r
. D.
2
18
r
.
Câu 47: Người ta bỏ ba quả bóng bàn cùng kích thước vào trong một chiếc hộp hình trụ có đáy bằng hình
tròn lớn của quả bóng bàn và chiều cao bằng ba lần đường kính quả bóng bàn Gọi
1
S
là tổng diện
tích của ba quả bóng bàn,
2
S
là diện tích xung quanh của hình trụ Tỉ số
1
2
S
S
bằng :
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 12
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
1,2
. B.
1
. C.
2
. D.
1,5
.
Câu 48: Một cái phễu rỗng phần trên có kích thước như hình vẽ. Diện tích xung quanh của phễu là:
.
A.
2
296
xq
S cm
. B.
2
424
xq
S cm
. C.
2
360
xq
S cm
. D.
2
960
xq
S cm
.
Câu 49: Có một khối cầu bằng gỗ bán kính
10cm
R
. Sau khi cưa bằng hai chỏm cầu có bán kính đáy bằng
1
2
R
đối xứng nhau qua tâm khối cầu, một người thợ khoan xuyên tâm khối cầu. Người thợ đã
khoan bỏ đi phần hình trụ có trục của nó trùng với trục hình cầu; mặt cắt của hình trụ vuông góc
với trục hình trụ là một hình tròn có bán kính bằng
1
2
R
. Tính thể tích V của phần còn lại của khối
cầu (làm tròn đến số thập phân thứ ba).
A.
3
2828,441cm
V . B.
3
2774,570cm
V .
C.
3
2811,293cm
V . D.
3
2720,699cm
V .
Câu 50: Một cốc nước có dạng hình trụ đựng nước chiều cao
12 cm
, đường kính đáy
4 cm
, lượng nước
trong cốc cao
10 cm
. Thả vào cốc nước
4
viên bi có cùng đường kính
2 cm
. Hỏi nước dâng
cao cách mép cốc bao nhiêu xăng-ti-mét? (Làm tròn sau dấu phẩy
2
chữ số thập phân).
A.
0,25
cm
. B.
0,75
cm
. C.
0,3
cm
. D.
0,67
cm
.
Câu 51: Một bình chứa Oxy sử dụng trong công nghiệp và trong y tế được thiết kế gồm hình trụ và nửa hình
cầu với thông số như hình vẽ. Thể tích
V
của bình này là bao nhiêu ?
A.
26
3
V
3
m
. B.
26
3
V
(lít). C.
23
6
V
3
m
. D.
23
6
V
(lít).
Câu 52: Một cơ sở sản xuất kem chuẩn bị làm
1000
chiếc kem giống nhau theo đơn đặt hàng. Cốc đựng kem
có dạng hình tròn xoay được tạo thành khi quay hình thang
ABCD
vuông tại
A
và
D
xung quanh
trục
AD
(xem hình vẽ).
10cm
8cm
17cm
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 13
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Chiếc cốc có bề dày không đáng kể, chiều cao
7, 2
cm
; đường kính miệng cốc bằng
6,4
cm
;
đường kính đáy cốc bằng
1,6
cm
. Kem được đỏ đầy cốc và dư ra phía ngoài một lượng có dạng
nửa hình cầu, có bán kính bằng bán kính miệng cốc. Cơ sở đó cần dùng lượng kem gần nhất với
giá trị nào trong các giá trị sau
A.
3
132 dm .
B.
3
954 dm .
C.
3
293 dm .
D.
3
170 dm .
Câu 53: Một người dùng một cái ca hình bán cầu có bán kính là
3
cm để múc nước đổ vào trong một thùng
hình trụ chiều cao
3cm
và bán kính đáy bằng
12
cm. Hỏi người ấy sau bao nhiêu lần đổ thì nước
đầy thùng? (Biết mỗi lần đổ, nước trong ca luôn đầy)
A.
24
lần. B.
12
lần. C.
10
lần. D.
20
lần.
Câu 54: Có một bể hình hộp chữ nhật chứa đầy nước. Người ta cho ba khối nón giống nhau có thiết diện qua
trục là một tam giác vuông cân vào bể sao cho ba đường tròn đáy của ba khối nón tiếp xúc với
nhau, một khối nón có đường tròn đáy chỉ tiếp xúc với một cạnh của đáy bể và hai khối nón còn
lại có đường tròn đáy tiếp xúc với hai cạnh của đáy bể. Sau đó người ta đặt lên đỉnh của ba khối
nón một khối cầu có bán kính bằng
4
3
lần bán kính đáy của khối nón. Biết khối cầu vừa đủ ngập
trong nước và lượng nước trào ra là
3
337
.
3
cm
Tính thể tích nước ban đầu ở trong bể.
A.
3
1174,2
cm
. B.
3
885,2
cm
. C.
3
1209,2
cm
. D.
3
1106,2
cm
.
Câu 55: Bạn An có một cốc giấy hình nón có đường kính đáy là
10
cm
và độ dài đường sinh là
8
cm
. Bạn
dự định đựng một viên kẹo hình cầu sao cho toàn bộ viên kẹo nằm trong cốc (không phần nào của
viên kẹo cao hơn miệng cốc). Hỏi bạn An có thể đựng được viên kẹo có đường kính lớn nhất bằng
bao nhiêu?
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 14
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
10 39
13
cm
B.
5 39
13
cm
C.
32
39
cm
D.
64
39
cm
Câu 56: Một cốc nước hình trụ có chiều cao
9
cm
, đường kính
6
cm
. Mặt đáy phẳng và dày
1
cm
, thành cốc
dày
0,2
cm
. Đổ vào cốc
120
ml
nước sau đó thả vào cốc 5 viên bi có đường kính
2
cm
. Hỏi mặt
nước trong cốc cách mép cốc bao nhiêu
cm
. (Làm tròn đến hai chữ số sau dấu phẩy).
A.
3,67
cm
. B.
2,28
cm
. C.
2,67
cm
. D.
3,28
cm
.
Câu 57: Một que kem ốc quế gồm hai phần: phần kem có dạng hình cầu, phần ốc quế có dạng hình nón. Giả
sử hình cầu và hình nón có bán kính bằng nhau; biết rằng nếu kem tan chảy hết thì sẽ làm đầy phần
ốc quế. Biết thể tích phần kem sau khi tan chảy chỉ bằng thể tích kem đóng băng ban đầu.
Gọi và lần lượt là chiều cao và bán kính của phần ốc quế. Tính tỉ số .
A. . B. . C. . D. .
Câu 58: Người ta chế tạo một món đồ chơi cho trẻ em theo các công đoạn như sau: Trước tiên chế tạo ra
hình nón tròn xoay có góc ở đỉnh là
2 60
bằng thủy tinh trong suốt. Sau đó đặt hai quả cầu
nhỏ bằng thủy tinh có bán kính lớn, nhỏ khác nhau sao cho hai mặt cầu tiếp xúc với nhau sao cho
hai mặt cầu tiếp xúc với nhau và đều tiếp xúc với mặt nón, quả cầu lớn tiếp xúc với mặt đáy của
hình nón (hình vẽ). Biết rằng chiều cao của hình nón bằng
9cm
. Bỏ qua bề dày các lớp vỏ thủy
tinh, tổng thể tích của hai khối cầu bằng
S
B
A
75%
h
r
h
r
4
3
h
r
16
3
h
r
3
h
r
2
h
r
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 15
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
38
3
. B.
100
3
. C.
112
3
. D.
40
3
.
Câu 59: Người ta bỏ 3 quả bóng bàn cùng kích thước vào trong một chiếc hộp hình trụ có đáy bằng hình tròn
lớn của quả bóng bàn và chiều cao bằng 3 lần đường kính của quả bóng bàn. Gọi
1
S
là tổng diện
tích của 3 quả bóng bàn,
2
S
là diện tích xung quanh của hình trụ. Tỉ số
1
2
S
S
bằng:
A.
3
2
. B.
6
5
. C. 2. D. 1.
Câu 60: Một công ty muốn thiết kế bao bì để đựng sữa với thể tích
3
1 dm . Bao bì được thiết kế bởi một
trong hai mô hình sau: dạng hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông hoặc dạng hình trụ và được
sản xuất cùng một nguyên vật liệu. Hỏi thiết kế theo mô hình nào sẽ tiết kiệm được nguyên vật
liệu nhất? Và thiết kế mô hình đó theo kích thước như thế nào?
A. Hình hộp chữ nhật và cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy.
B. Hình trụ và chiều cao bằng bán kính đáy.
C. Hình trụ và chiều cao bằng đường kính đáy.
D. Hình hộp chữ nhật và cạnh bên bằng cạnh đáy.
Câu 61: Trong một chiếc hộp hình trụ người ta bỏ vào đó ba quả bóng tennis, biết rằng đáy của hình trụ bằng
hình tròn lớn trên quả bóng và chiều cao của hình trụ bằng 3 lần đường kính của quả bóng. Gọi
1
S
là tổng diện tích của ba quả bóng và
2
S
là diện tích xung quanh của hình trụ. Giá trị biểu thức
1
2
2018
S
S
bằng:
A.
2
2018 . B. 1. C.
2018
. D. 2018 .
Câu 62: Có ba quả bóng với kích thước bằng nhau. Một miếng tôn hình chữ nhật được cuốn thành hình trụ
sao cho chiều cao của hình trụ gấp 3 lần đường kính quả bóng, đáy của hình trụ bằng hình tròn lớn
trên quả quả bóng. Gọi
1
S
là tổng diện tích của ba quả bóng,
2
S
là diện tích xung quanh của hình
trụ. Tính tỉ số
1
2
S
S
.
A.
1
2
1
2
S
S
. B.
1
2
1
S
S
. C.
1
2
2
S
S
. D.
1
2
5
S
S
.
Câu 63: Một nút chai thủy tinh là một khối tròn xoay
H , một mặt phẳng chứa trục của
H cắt
H
theo một thiết diện như trong hình vẽ bên. Tính thể tích của
H (đơn vị
3
cm ).
A.
13
H
V
. B.
41
3
H
V
. C.
17
H
V
. D.
23
H
V
.
Câu 64: Người ta chế tạo ra một món đồ chơi cho trẻ em theo các công đoạn như sau: Trước tiên, chế tạo tra
một mặt nón tròn xoay có góc ở đỉnh là
2 60
bằng thủy tinh trong suốt. Sau đó đặt hai quả
cầu nhỏ bằng thủy tinh có bán kính lớn, nhỏ khác nhau sao cho 2 mặt cầu tiếp xúc với nhau và đều
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 16
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
tiếp xúc với mặt nón. Quả cầu lớn tiếp xúc với cả mặt đáy của mặt nón. Cho biết chiều cao của mặt
nón bằng
9cm.
Bỏ qua bề dày của những lớp vỏ thủy tinh, hãy tính tổng thể tích của hai khối cầu.
A.
3
25
.
3
cm
B.
3
10
.
3
cm
C.
3
112
.
3
cm
D.
3
40
.
3
cm
Câu 65: Một khối đá có hình là một khối cầu có bán kính
R
, người thợ thợ thủ công mỹ nghệ cần cắt và gọt
viên đá đó thành một viên đá cảnh có hình dạng là một khối trụ. Tính thể tích lớn nhất có thể của
viên đá cảnh sau khi đã hoàn thiện.
A.
3
2 3
3
R
. B.
3
3
4
R
. C.
3
4 3
9
R
. D.
3
4 3
3
R
.
Câu 66: Có một chiếc cốc có dạng như hình vẽ, biết chiều cao của chiếc cốc là
8
cm
, bán kính đáy cốc là
3
cm
, bán kính miệng cốc là
6
cm
. Tính thể tích
V
của chiếc cốc.
A.
3
72
cm
. B.
3
48
cm
. C.
3
48
cm
. D.
3
36
cm
.
Câu 67: Một cái bồn chứa xăng gồm hai nửa hình cầu và một hình trụ như hình vẽ bên. Các kích thước được
ghi (cùng đơn vị
dm
). Tính thể tích của bồn chứa.
.
3 cm
8 cm
6 cm
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 17
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
2 5
4 .3
. B.
2
5
4
3
. C.
5 2
4 3
. D.
3
3
4
3
.
Câu 68: Một quả bóng bàn và một chiếc chén hình trụ có cùng chiều cao. Người ta đặt quả bóng lên chiếc
chén thấy phần ở ngoài của quả bóng có chiều cao bằng chiều cao của nó. Gọi , lần lượt
là thể tích của quả bóng và chiếc chén, khi đó:
A.
1 2
16 9
V V
. B.
1 2
27 8
V V
C.
1 2
9 8
V V
D.
1 2
3 2
V V
Câu 69: Người ta chế tạo ra một món đồ chơi cho trẻ em theo các công đoạn như sau: Trước tiên, chế tạo tra
một mặt nón tròn xoay có góc ở đỉnh là
2 60
bằng thủy tinh trong suốt. Sau đó đặt hai quả cầu
nhỏ bằng thủy tinh có bán kính lớn, nhỏ khác nhau sao cho 2 mặt cầu tiếp xúc với nhau và đều tiếp
xúc với mặt nón. Quả cầu lớn tiếp xúc với cả mặt đáy của mặt nón. Cho biết chiều cao của mặt nón
bằng
9cm
. Bỏ qua bề dày của những lớp vỏ thủy tinh, hãy tính tổng thể tích của hai khối cầu.
A.
3
40
cm
3
. B.
3
25
cm
3
. C.
3
112
cm
3
. D.
3
10
cm
3
.
Câu 70: Một quả bóng bàn được đặt tiếp xúc với tất cả các mặt của một cái hộp hình lập phương. Tỉ số thể
tích của phần không gian nằm trong hộp đó nhưng nằm ngoài quả bóng bàn và thể tích hình hộp
là:
A.
8
8
. B.
2
3
. C.
6
6
. D.
3
4
.
Câu 71: Một chiếc cốc hình nón có chiều cao
4
h
và bán kính đáy
2
R
đang chứa một lượng nước có
thể tích
V
. Người ta bỏ vào bên trong cốc một viên bi hình cầu có bán kính
1
r
thì lượng nước
dâng lên vừa phủ kín viên bi. Tính thể tích
V
của lượng nước có trong cốc.
A.
8 5 5
6
V
B.
4 4 5
3
V
C.
2 5
3
V
D.
16 5 5
12
V
Câu 72: Một khối gạch hình lập phương (không thấm nước) có cạnh bằng 2 được đặt vào trong một chiếu
phễu hình nón tròn xoay chứa đầy nước theo cách như sau: Một cạnh của viên gạch nằm trên mặt
3
4
1
V
2
V
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 18
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
nước (nằm trên một đường kính của mặt này); các đỉnh còn lại nằm trên mặt nón; tâm của viên
gạch nằm trên trục của hình nón. Tính thể tích nước còn lại ở trong phễu (làm tròn 2 chữ số thập
phân).
A. V =22,27 B. V =22,30 C. V =23.10 D. 20,64
Câu 73: Cho biết rằng hình chỏm cầu có công thức thể tích là
2 2
3
6
h r h
, trong đó
h
là chiều cao chỏm cầu và
r
là bán kính đường tròn bề
mặt chỏm cầu ( bán kính này khác vớibán kính hình cầu ). Bài hỏi
đặt ra là với một quả dưa hấu hình cầu, người ta dùng một cái ống
khoét thủng một lỗ hình trụ chưa rõ bán kính xuyên qua trái dưa
như hình vẽ ( trong hình có AB là đường kính trái dưa). Biết rằng
chiều cao của lỗ là
12
cm
( trong hình trên, chiều cao này chính là
độ dài HK ). Tính thể tích của phần
dưa còn lại.
A.
3
200
cm
B.
3
96
cm
C.
3
288
cm
D.
3
144
cm
Câu 74: Từ một khúc gỗ tròn hình trụ có đường kính bằng 40 cm, cần xả thành một chiếc xà có tiết diện
ngang là hình vuông và bốn miếng phụ được tô màu xám như hình vẽ dưới đây. Tìm chiều rộng x
của miếng phụ để diện tích sử dụng theo tiết diện ngang là lớn nhất.
A.
3 34 17 2
2
x cm
B.
3 34 19 2
2
x cm
C.
5 34 15 2
2
x cm
D.
5 34 13 2
2
x cm
Câu 75: Một viên phấn bảng có dạng một khối trụ với bán kính đáy bằng
0,5
cm
, chiều dài
6
cm
. Người ta
làm một hình hộp chữ nhật bằng carton đựng các viên phấn đó với kích thước
6 5 6
cm cm cm
.
Hỏi cần ít nhất bao nhiêu hộp kích thước như trên để xếp
460
viên phấn?
A.
17
. B.
15
. C.
16
. D.
18
.
A
BK
O
H
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 1
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
TOÁN THỰC TẾ TỔNG HỢP
Câu 1: Người ta dự định thiết kế một cống ngầm thoát nước qua đường có chiều dài
30
m
, thiết diện thẳng
của cống có diện tích để thoát nước là
2
4
m
(gồm hai phần nửa hình tròn và hình chữ nhật) như
hình minh hoạ, phần đáy cống, thành cống và nắp cống (tô đậm như hình vẽ) được sử dụng vật
liệu bê tông. Tính bán kính
R
(tính gần đúng với đơn vị
m
, sai số không quá
0,01
) của nửa hình
tròn để khi thi công tốn ít vật liệu nhất?
A.
1,15
m
. B.
1,06
m
. C.
1,02
m
. D.
1,52
m
.
Câu 2: Một xưởng sản xuất muốn tạo ra những chiếc đồng hồ cát thủy tinh có dạng hình trụ, phần chứa cát
là hai nửa hình cầu bằng nhau. Hình vẽ bên với kích thước đã cho là bản thiết kế thiết diện qua trục
của chiếc đồng hồ này (phần giới hạn bởi hình trụ và phần hai nữa hình cầu chứa cát). Khi đó,
lượng thủy tinh làm chiếc đồng hồ cát gần nhất với giá trị nào trong các giá trị sau
A.
3
711,6 .
cm
B.
3
6021,3 .
cm
C.
3
1070,8 .
cm
D.
3
602,2 .
cm
Câu 3: Người ta xếp
9
viên bi có cùng bán kính
r
vào một cái bình hình trụ sao cho tất cả các viên bi đều
tiếp xúc với đáy, viên bi nằm chính giữa tiếp xúc với
8
viên bi xung quanh mỗi viên bi xung quanh
đều tiếp xúc với các đường sinh của bình hình trụ. Khi đó diện tích đáy của cái bình hình trụ là:
A.
2
18
r
. B.
2
9
r
. C.
2
16
r
. D.
2
36
r
.
Câu 4: Một cốc nước có dạng hình trụ chiều cao là
15
cm
, đường kính đáy là
6
cm
, lượng nước ban đầu trong
cốc cao
10
cm
. Thả vào cốc nước 5 viên bi hình cầu có cùng đường kính là
2
cm
. Hỏi sau khi thả
5 viên bi, mực nước trong cốc cách miệng cốc bao nhiêu
cm
? (Kết quả làm tròn sau dấu phẩy 2
chữ số).
A.
4,26
cm
. B.
4,25
cm
. C.
4,81
cm
. D.
3,52
cm
.
Câu 5: Một chiếc thùng đựng nước có hình của một khối lập phương cạnh
1
m
chứa đầy nước. Đặt vào trong
thùng đó một khối có dạng nón sao cho đỉnh trùng với tâm một mặt của lập phương, đáy khối nón
tiếp xúc với các cạnh của mặt đối diện. Tính tỉ số thể tích của lượng nước trào ra ngoài và lượng
nước còn lại ở trong thùng.
A.
12
. B.
12
. C.
11
12
. D.
1
11
.
Câu 6: Từ một nguyên liệu cho trước, một công ti muốn thiết kế bao bì đựng sữa với thể tích
3
100
ml
. Bao
bì được thiết kế bởi một trong hai mô hình là: hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông và hình trụ.
Hỏi thiết kế theo mô hình nào tiết kiệm nguyên vật liệu nhất ?
A. Hình trụ có chiều cao gấp hai lần bán kính đáy.
B. Hình trụ có chiều cao bằng bán kính đáy.
C. Hình hộp chữ nhật có cạnh bên bằng cạnh đáy.
D. Hình hộp chữ nhật có cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy.
Câu 7: Người ta sản xuất một chiếc cốc thủy tinh có dạng hình trụ không có nắp với đáy cốc và thành cốc
làm bằng thủy tinh đặc, phần đáy cốc dày đều
1,5cm
và thành xung quanh cốc dày đều
0,2cm
(hình vẽ). Biết rằng chiều cao của chiếc cốc là
15cm
và khi ta đổ
150ml
nước vào thì đầy cốc.
Nếu giá thủy tính thành phẩm được tính là
500
đ/cm
3
thì giá tiền thủy tính để sản xuất chiếc cốc
đó gần nhất với số nào sau đây?
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 2
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A. 25 nghìn đồng. B. 12 nghìn đồng. C. 28 nghìn đồng. D. 15 nghìn đồng
Câu 8: Một cái mũ bằng vải của nhà ảo thuật với các kích thước như hình vẽ dưới đây. Hãy tính tổng diện tích vải
cần có để làm nên cái mũ đó (không kể viền, mép, phần thừa).
A.
2
750,25 (cm )
B.
2
700 (cm )
C.
2
756,25 (cm )
D.
2
754,25 (cm )
Câu 9:
Ban đầu ta có một tam giác đều cạnh bằng 3 (hình 1). Tiếp đó ta chia mỗi cạnh của tam giác thành
3 đoạn bằng nhau và thay mỗi đoạn ở giữa bằng hai đoạn bằng nó sao cho chúng tạo với đoạn bỏ
đi một tam giác đều về phía bên ngoài ta được hình 2 . Khi quay hình 2 xung quanh trục d ta
được một khối tròn xoay. Tính thể tích khối tròn xoay đó.
30cm
10cm
35cm
r
O
Hình 1
d
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 3
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
5 3
2
. B.
5 3
3
. C.
9 3
8
. D.
5 3
6
.
Câu 10: Một chậu nước hình bán cầu bằng nhôm có bán kính
10 cmR . Trong chậu có chứa sẵn mọt khối
nước hình chõm cầu có chiều cao
4 cmh . Người ta bỏ vào chậu một viên bi hình cầu bằng kim
loại thì mặt nước dâng lên vừa phủ kín viên bi. Tính bán kinh của viên bi (kết quả làm tròn đến 2
chữ số lẻ thập phân).
A.
3,24 cm
. B.
2,09 cm
. C.
4,28 cm
. D.
4,03 cm
.
Câu 11: Có một cái cốc làm bằng giấy, được úp ngược như hình vẽ. Chiều cao của chiếc cốc là
20cm
, bán
kính đáy cốc là
4cm
, bán kính miệng cốc là
5cm
. Một con kiến đang đứng ở điểm
A
của miệng
cốc dự định sẽ bò hai vòng quanh than cốc để lên đến đáy cốc ở điểm
B
. Quãng đường ngắn nhất
để con kiến có thể thực hiện được dự định của mình gần đúng nhất với kết quả nào dước đây?
A.
59,98cm
B.
59,93cm
C.
58,67cm
D.
58,80cm
.
Câu 12: Viện Hải dương học dự định làm một bể cá bằng kính phục vụ khách tham quan (như hình vẽ), biết
rằng mặt cắt dành cho lối đi là nửa hình tròn
Tổng diện tích mặt kính của bể cá gần nhất với số nào sau đây?
A.
2
872m B.
2
914m C.
2
984m D.
2
949m
Câu 13: Trên bàn có một cốc nước hình trụ chứa đầy nước, có chiều cao bằng 3 lần đường kính của đáy ;
một viên bi và một khối nón đều bằng thủy tinh. Biết viên bi là một khối cầu có đường kính bằng
của cốc nước. Người ta từ từ thả vào cốc nước viên bi và khối nón đó ( như hình vẽ ) thì thấy nước
trong cốc tràn ra ngoài. Tính tỉ số thể tích của lượng nước còn lại trong cốc và lượng nước ban đầu
( bỏ qua bề dày của lớp vỏ thủy tinh).
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 4
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
5
9
. B.
2
3
. C.
1
2
. D.
4
9
.
Câu 14: Cho tam giác
SAB
vuông tại
A
,
60
ABS
, đường phân giác trong của
ABS
cắt
SA
tại điểm
I
.
Vẽ nửa đường tròn tâm
I
bán kính
IA
( như hình vẽ). Cho
SAB
và nửa đường tròn trên cùng
quay quanh
SA
tạo nên các khối cầu và khối nón có thể tích tương ứng
1
V
,
2
V
. Khẳng định nào
dưới đây đúng?
A.
1 2
2 3
V V
B.
1 2
4 9
V V
C.
1 2
9 4
V V
D.
1 2
3
V V
Câu 15: Một hộp bóng bàn hình trụ có bán kính
R
, chứa được
10
quả bóng sao cho các quả bóng tiếp xúc
với thành hộp theo một đường tròn và tiếp xúc với nhau. Quả trên cùng va quả dưới cùng tiếp xúc
với hai nắp hộp. Tính phần thể tích khối trụ mà thể tích của các quả bóng bàn không chiếm chỗ.
A.
3
20
3
R
. B.
3
40
3
R
. C.
3
R
. D.
0
.
Câu 16: Một hộp bóng bàn hình trụ chứa được
5
quả bóng sao cho các quả bóng tiếp xúc với thành hộp và
tiếp xúc với nhau, quả trên cùng tiếp xúc với nắp hộp. Tỉ lệ thể tích mà
5
quả bóng chiếm so với
thể tích của hộp là
A.
3
4
. B.
1
2
. C.
4
5
. D.
2
3
.
Câu 17: Cho một chiếc cốc có dạng hình nón cụt và một viên bi có đường kính bằng chiều cao của cốc. Đổ
đầy nước vào cốc rồi thả viên bi vào, ta thấy lượng nước tràn ra bằng một nửa lượng nước đổ vào
cốc lúc ban đầu. Biết viên bi tiếp xúc với đáy cốc và thành cốc. Tìm tỉ số bán kính của miệng cốc
và đáy cốc (bỏ qua độ dày của cốc).
A.
2
B.
3 5
2
C.
1 5
2
D.
3
Câu 18: Cho hai hình vuông có cùng cạnh bằng
5
được xếp chồng lên nhau sao cho đỉnh
X
của một hình
vuông là tâm của hình vuông còn lại (như hình vẽ). Tính thể tích
V
của vật thể tròn xoay khi quay
mô hình trên xung quanh trục
XY
.
A
S
I
B
30
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 5
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
125 2 2
4
V
. B.
125 5 2 2
12
V
.
C.
125 1 2
6
V
. D.
125 5 4 2
24
V
.
Câu 19: Cho tam giác
ABC
vuông ở
A
có 2
AB AC
.
M
là một điểm thay đổi trên cạnh
BC
. Gọi
H
,
K
lần lượt là hình chiếu vuông góc của
M
trên
AB
,
AC
. Gọi
V
và
V
tương ứng là thể tích của
vật thể tròn xoay tạo bởi tam giác
ABC
và hình chữ nhật
MHAK
khi quay quanh trục
AB
. Tỉ số
V
V
lớn nhất bằng
A.
1
2
. B.
4
9
. C.
2
3
. D.
3
4
.
Câu 20: Một xưởng sản xuất muốn tạo ra những chiếc đồng hồ cát thủy tinh có dạng hình trụ, phần chứa cát
là hai nửa hình cầu bằng nhau. Hình vẽ bên với kích thước đã cho là bản thiết kế thiết diện qua trục
của chiếc đồng hồ này (phần giới hạn bởi hình trụ và phần hai nữa hình cầu chứa cát).
.
Khi đó, lượng thủy tinh làm chiếc đồng hồ cát gần nhất với giá trị nào trong các giá trị sau.
A.
3
6021,3 cm
. B.
3
602,2 cm
. C.
3
711,6 cm
. D.
3
1070,8 cm
.
Câu 21: Một cái ống hình trụ tròn xoay bên trong rỗng, có chiều cao bằng
25cm
và đường kính đáy bằng
6cm
đặt trên cái bàn nằm ngang có mặt bàn phẳng sao cho một miệng ống nằm trên mặt bàn.
Người ta đặt lên trên miệng ống còn lại một quả bóng hình cầu có bán kính
5cm
. Tính khoảng
cách lớn nhất
h
có thể từ một điểm trên quả bóng tới mặt bàn nếu coi độ dày của thành ống là
không đáng kể.
A.
34cm
h
. B.
35cm
h
. C.
30cm
h
. D.
32cm
h
.
Câu 22: Một khối đá có hình là một khối cầu có bán kính
R
, người thợ thợ thủ công mỹ nghệ cần cắt và gọt
viên đá đó thành một viên đá cảnh có hình dạng là một khối trụ. Tính thể tích lớn nhất có thể của
viên đá cảnh sau khi đã hoàn thiện.
13,2
cm
13,2
cm
1
cm
1
cm
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 6
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
.
A.
3
4 3
9
R
. B.
3
3 3
12
R
. C.
3
4 3
6
R
. D.
3
4 3
3
R
.
Câu 23: Cho tấm tôn hình nón có bán kính đáy là
2
3
r , độ dài đường sinh 2l . Người ta cắt theo một
đường sinh và trải phẳng ra được một hình quạt. Gọi M , N thứ tự là trung điểm của OA, OB .
Hỏi khi cắt hình quạt theo hình chữ nhật MNPQ (hình vẽ) và tạo thành hình trụ đường PN trùng
MQ (2 đáy làm riêng) thì được khối trụ có thể tích bằng bao nhiêu?
A.
13 1
9
. B.
3 13 1
4
. C.
5 13 1
12
. D.
3 13 1
8
.
Câu 24: Một cái bồn gồm hai nửa hình cầu đường kính 18 dm, và một hình trụ có chiều cao 36 dm . Tính
thể tích V của cái bồn đó.
A. 9216V
3
dm
. B.
1024
9
V
3
dm
. C.
16
243
V
.
3
dm
. D. 3888V
3
dm
.
O
M
N
P
Q
A
B
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 7
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Câu 25: Phần không gian bên trong của chai nước ngọt có hình dạng như hình bên. Biết bán kính đáy bằng
5 ,
R cm
bán kính cổ
2 , 3 ,
r cm AB cm
6 ,
BC cm
16 .
CD cm
Thể tích phần không gian bên trong
của chai nước ngọt đó bằng:
A.
3
495
cm
. B.
3
462
cm
. C.
3
490
cm
. D.
3
412
cm
.
Câu 26: Một chi tiết máy có hình dạng như hình vẽ 1, các kích thước được thể hiện trên hình vẽ 2 (hình chiếu
bằng và hình chiếu đứng).
.
Người ta mạ toàn phần chi tiết này bằng một loại hợp kim chống gỉ. Để mạ
2
1
m
bề mặt cần số
tiền
150000
đồng. Số tiền nhỏ nhất có thể dùng để mạ
10000
chi tiết máy là bao nhiêu? (làm tròn
đến hàng đơn vị nghìn đồng).
A.
48238
(nghìn đồng). B.
51239
(nghìn đồng).
C.
51238
(nghìn đồng). D.
37102
(nghìn đồng).
Câu 27: Xét một hộp bóng bàn có dạng hình hộp chữ nhật. Biết rằng hộp chứa vừa khít ba quả bóng bàn
được xếp theo chiều dọc, các quả bóng bàn có kích thước như nhau. Phần không gian còn trống
trong hộp chiếm:
A.
83,3%
. B.
65,09%
. C.
47,64%
. D.
82,55%
.
Câu 28: Quả bóng đá được dùng thi đấu tại các giải bóng đá Việt Nam tổ chức có chu vi của thiết diện qua
tâm là
68.5 cm
. Quả bóng được ghép nối bởi các miếng da hình lục giác đều màu trắng và đen,
mỗi miếng có diện tích
2
49.83 cm
. Hỏi cần ít nhất bao nhiêu miếng da để làm quả bóng trên?
A.
30
(miếng da). B.
20
(miếng da).
C.
35
(miếng da). D.
40
(miếng da).
Câu 29: Một cơ sở sản xuất kem chuẩn bị làm
1000
chiếc kem giống nhau theo đơn đặt hàng. Cốc đựng kem
có dạng hình tròn xoay được tạo thành khi quay hình thang
ABCD
vuông tại
A
và
D
xung quanh
trục
AD
(xem hình vẽ). Chiếc cốc có bề dày không đáng kể, chiều cao
7,2cm
; đường kính miệng
cốc bằng
6,4cm
; đường kính đáy cốc bằng
1,6cm
. Kem được bỏ đầy cốc và dư ra phía ngoài một
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 8
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
lượng có dạng nửa hình cầu, có bán kính bằng bán kính miệng cốc. Cơ sở đó cần dùng lượng kem
gần nhất với giá trị nào trong các giá trị sau?
A.
3
954 dm
. B.
3
293 dm
. C.
3
170 dm
. D.
3
132 dm
.
Câu 30: Cho hình thang
ABCD
vuông tại
A
và
B
với
2
AD
AB BC a
. Quay hình thang và miền trong
của nó quanh đường thẳng chứa cạnh
BC
. Tính thể tích
V
của khối tròn xoay được tạo thành
A.
3
4
3
a
V
. B.
3
5
3
a
V
. C.
3
V a
. D.
3
7
3
a
.
Câu 31: [THPT Hùng Vương-PT - 2017] Một con quạ muốn uống nước trong cốc có dạng hộp chữ nhật (
không có nắp ) với đáy là hình vuông cạnh bằng
5
cm
. Mực nước
trong cốc đang có chiều cao
5
cm
vì vậy con quạ chưa thể uống
được, để uống được nước thì con quạ cần thả các viên bi đá vào
cốc để mực nước dâng cao thêm
1
cm
nữa. Biết rằng các viên bi
là hình cầu có đường kính
1
cm
, chìm hoàn toàn trong nước và
có số lượng đủ dùng. Hỏi con quạ cần thả ít nhất mấy viên bi vào
cốc để có thể uống được nước ?
A. 24
viên
. B. 76
viên
. C. 48
viên
. D. 6
viên
.
Câu 32: Một xưởng sản xuất muốn tạo ra những chiếc đồng hồ cát thủy tinh có dạng hình trụ, phần chứa cát
là hai nửa hình cầu bằng nhau. Hình vẽ bên với kích thước đã cho là bản thiết kế thiết diện qua trục
của chiếc đồng hồ này (phần giới hạn bởi hình trụ và phần hai nữa hình cầu chứa cát). Khi đó,
lượng thủy tinh làm chiếc đồng hồ cát gần nhất với giá trị nào trong các giá trị sau
A.
3
6021,3 .
cm
B.
3
1070,8 .
cm
C.
3
602,2 .
cm
D.
3
711,6 .
cm
Câu 33: Ông Bình muốn thiết kế mái cho một xưởng may có diện tích
2
20000
m
có hai đồ án như sau:
- Công ty A thiết kế dạng hình vuông với mái là hình chóp tứ giác đều có chiều cao bằng
70
m
.
- Công ty B thiết kế dạng hình tròn với mái là nửa mặt cầu úp xuống.
Hỏi thiết kế của công ty A giúp tiết kiệm diện tích mái hơn bao nhiêu
2
m
?
A.
2
9000
.
m
B.
2
5000
.
m
C.
2
11857
.
m
D.
2
20000
.
m
Câu 34: Một người dùng một cái ca hình bán cầu có bán kính là
3cm
để múc nước đổ vào trong một thùng
hình trụ chiều cao
10cm
và bán kính đáy bằng
6cm
. Hỏi người ấy sau bao nhiêu lần đổ thì nước
đầy thùng? (Biết mỗi lần đổ, nước trong ca luôn đầy.).
A.
20
lần. B.
24
lần. C.
10
lần. D.
12
lần.
Câu 35: Một khúc gỗ có dạng hình khối nón có bán kính đáy bằng
2
r m
, chiều cao
6
h m
. Bác thợ mộc
chế tác từ khúc gỗ đó thành một khúc gỗ có dạng hình khối trụ như hình vẽ. Gọi
V
là thể tích lớn
nhất của khúc gỗ hình trụ sau khi chế tác. Tính
V
.
13,2
cm
13,2
cm
1
cm
1
cm
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 9
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
.
A.
2
32
9
V m
. B.
3
32
3
V m
. C.
3
32
3
V m
. D.
3
32
9
V m
.
Câu 36: Ông An đặt hàng cho một cơ sở sản xuất chai lọ thủy tinh chất lượng cao
X
để làm loại chai nước
có kích thước phần không gian bên trong của chai như hình vẽ, đáy dưới có bán kính
5
R cm
,
bán kính cổ chai
2
r cm
,
3
AB cm
,
6
BC cm
,
16
CD cm
. Tính thể tích
V
phần không gian
bên trong của chai nước.
A.
3
494
V cm
B.
3
490
V cm
C.
3
412
V cm
D.
3
464
V cm
Câu 37: Một cốc nước có dạng hình trụ chiều cao là
15
cm
, đường kính đáy là
6
cm
, lượng nước ban đầu
trong cốc cao
10
cm
. Thả vào cốc nước 5 viên bi hình cầu có cùng đường kính là
2
cm
. Hỏi sau khi
thả 5 viên bi, mực nước trong cốc cách miệng cốc bao nhiêu
cm
? (Kết quả làm tròn sau dấu phẩy
2 chữ số).
A.
3,52
cm
. B.
4,81
cm
. C.
4,25
cm
. D.
4,26
cm
.
Câu 38: Người ta bỏ ba quả bóng bàn cùng kích thước vào trong một chiếc hộp hình trụ có đáy bằng hình
tròn lớn của quả bóng bàn và chiều cao bằng ba lần đường kính của quả bóng bàn. Gọi
1
S
và tổng
diện tích của ba quả bóng bàn,
2
S
là diện tích xung quanh của hình trụ. Tỉ số
1
2
S
S
bằng:
A.
2
. B.
1
. C.
4
. D.
3
.
Câu 39: Từ một nguyên vật liệu cho trước, một công ty muốn thiết kế bao bì để đựng sữa với thể tích
3
1
dm
. Bao bì được thiết kế bởi một trong hai mô hình sau: hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông; hoặc
hình trụ. Hỏi thiết kế theo mô hình nào sẽ tiết kiệm được nguyên vật liệu nhất? Và thiết kế mô hình
đó theo kích thước như thế nào?
A. Hình trụ và chiều cao bằng đường kính đáy
B. Hình trụ và chiều cao bằng bán kính đáy
C. Hình hộp chữ nhật và cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy
D. Hình hộp chữ nhật và cạnh bên bằng cạnh đáy
Câu 40: Cho hai tấm tôn hình chữ nhật đều có kích thước
1,5m 8m.
Tấm tôn thứ nhất được chế tạo thành
một hình hộp chữ nhật không đáy, không nắp, có thiết diện ngang là một hình vuông (mặt phẳng
vuông góc với đường cao của hình hộp và cắt các mặt bên của hình hộp theo các đoạn giao tuyến
tạo thành một hình vuông) và có chiều cao
1,5m;
còn tấm tôn thứ hai được chế tạo thành một hình
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 10
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
trụ không đáy, không nắp và cũng có chiều cao
1,5m.
Gọi
1
V
,
2
V
theo thứ tự là thể tích của khối
hộp chữ nhật và thể tích của khối trụ. Tính tỉ số
1
2
.
V
V
A.
1
2
.
4
V
V
B.
1
2
.
2
V
V
C.
1
2
.
V
V
D.
1
2
.
3
V
V
Câu 41: Hai quả bóng hình cầu có kích thước khác nhau được đặt ở hai góc của một căn nhà hình hộp chữ
nhật. Mỗi quả bóng tiếp xúc với hai bức tường và nền của căn nhà đó. Trên bề mặt của mỗi quả
bóng, tồn tại một điểm có khoảng cách đến hai bức tường quả bóng tiếp xúc và đến nền nhà lần
lượt là 9, 10, 13. Tổng độ dài các đường kính của hai quả bóng đó là
A.
64
. B.
34
. C.
32
. D.
16
.
Câu 42: Một bình đựng nước dạng hình nón (không đáy) đựng đầy nướ.C. Biết rằng chiều cao của bình gấp
3 lần bán kính đáy của nó. Người ta thả vào đó một khối trụ và đo dược thể tích nước tràn ra ngoài
là
3
16
9
dm
. Biết rằng một mặt của khối trụ nằm trên mặt trên của hình nón, các điểm trên đường
tròn đáy còn lại đều thuộc các đường sinh của hình nón (như hình vẽ) và khối trụ có chiều cao bằng
đường kính đáy của hình nón. Diện tích xung quanh
xq
S
của bình nước là:
.
A.
2
4
xq
S dm
. B.
2
4 10
xq
S dm
.
C.
2
9 10
2
xq
S dm
. D.
2
3
2
xq
S dm
.
Câu 43: Người ta thả một viên billiards snooker có dạng hình cầu với bán kính nhỏ hơn
4,5cm
vào một
chiếc cốc hình trụ đang chứa nước thì viên billiards đó tiếp xúc với đáy cốc và tiếp xúc với mặt
nước sau khi dâng (tham khảo hình vẽ bên).
I
M
P
N
Q
S
B
A
O
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 11
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Biết rằng bán kính của phần trong đáy cốc bằng
5,4cm
và chiều cao của mực nước ban đầu trong
cốc bằng
4,5cm
. Bán kính của viên billiards đó bằng
A.
2,6cm
. B.
4,2cm
. C.
3,6cm
. D.
2,7cm
.
Câu 44: Từ một tấm tôn hình chữ nhật kích thước
80cm
x
360cm
, người ta làm các thùng đựng nước hình
trụ có chiều cao bằng
80cm
, theo hai cách sau (xem hình minh họa dưới đây):
* Cách 1: Gò tấm tôn ban đầu thành mặt xung quanh của thùng.
* Cách 2: Cắt tấm tôn ban đầu thành hai tấm bằng nhau, rồi gò mỗi tấm đó thành mặt xung quanh
của một thùng.
Kí hiệu
1
V
là thể tích của thùng gò được theo cách 1 và
3
5
10
C là tổng thể tích của hai thùng gò
được theo cách 2. Tính tỉ số
2
1
V
V
.
.
A.
2
1
1
2
V
V
. B.
2
1
1
V
V
. C.
2
1
2
V
V
. D.
2
1
4
V
V
.
Câu 45: Xét một hộp bóng bàn có dạng hình hộp chữ nhật. Biết rằng hộp chứa vừa khít ba quả bóng bàn
được xếp theo chiều dọc, các quả bóng bàn có kích thước như nhau. Phần không gian còn trống
trong hộp chiếm:
A.
65,09%
. B.
47,64%
. C.
82,55%
. D.
83,3%
.
Câu 46: Người ta xếp
7
viên bi có cùng bán kính
r
vào một cái lọ hình trụ sao cho tất cả các viên bi đều
tiếp xúc với đáy, viên bi nằm chính giữa tiếp xúc với
6
viên bi xung quanh và mỗi viên bi xung
quanh đều tiếp xúc với các đường sinh của lọ hình trụ. Khi đó diện tích đáy của cái lọ hình trụ là:
A.
2
16
r
. B.
2
36
r
. C.
2
9
r
. D.
2
18
r
.
Câu 47: Người ta bỏ ba quả bóng bàn cùng kích thước vào trong một chiếc hộp hình trụ có đáy bằng hình
tròn lớn của quả bóng bàn và chiều cao bằng ba lần đường kính quả bóng bàn Gọi
1
S
là tổng diện
tích của ba quả bóng bàn,
2
S
là diện tích xung quanh của hình trụ Tỉ số
1
2
S
S
bằng :
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 12
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
1,2
. B.
1
. C.
2
. D.
1,5
.
Câu 48: Một cái phễu rỗng phần trên có kích thước như hình vẽ. Diện tích xung quanh của phễu là:
.
A.
2
296
xq
S cm
. B.
2
424
xq
S cm
. C.
2
360
xq
S cm
. D.
2
960
xq
S cm
.
Câu 49: Có một khối cầu bằng gỗ bán kính
10cm
R
. Sau khi cưa bằng hai chỏm cầu có bán kính đáy bằng
1
2
R
đối xứng nhau qua tâm khối cầu, một người thợ khoan xuyên tâm khối cầu. Người thợ đã
khoan bỏ đi phần hình trụ có trục của nó trùng với trục hình cầu; mặt cắt của hình trụ vuông góc
với trục hình trụ là một hình tròn có bán kính bằng
1
2
R
. Tính thể tích V của phần còn lại của khối
cầu (làm tròn đến số thập phân thứ ba).
A.
3
2828,441cm
V . B.
3
2774,570cm
V .
C.
3
2811,293cm
V . D.
3
2720,699cm
V .
Câu 50: Một cốc nước có dạng hình trụ đựng nước chiều cao
12 cm
, đường kính đáy
4 cm
, lượng nước
trong cốc cao
10 cm
. Thả vào cốc nước
4
viên bi có cùng đường kính
2 cm
. Hỏi nước dâng
cao cách mép cốc bao nhiêu xăng-ti-mét? (Làm tròn sau dấu phẩy
2
chữ số thập phân).
A.
0,25
cm
. B.
0,75
cm
. C.
0,3
cm
. D.
0,67
cm
.
Câu 51: Một bình chứa Oxy sử dụng trong công nghiệp và trong y tế được thiết kế gồm hình trụ và nửa hình
cầu với thông số như hình vẽ. Thể tích
V
của bình này là bao nhiêu ?
A.
26
3
V
3
m
. B.
26
3
V
(lít). C.
23
6
V
3
m
. D.
23
6
V
(lít).
Câu 52: Một cơ sở sản xuất kem chuẩn bị làm
1000
chiếc kem giống nhau theo đơn đặt hàng. Cốc đựng kem
có dạng hình tròn xoay được tạo thành khi quay hình thang
ABCD
vuông tại
A
và
D
xung quanh
trục
AD
(xem hình vẽ).
10cm
8cm
17cm
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 13
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
Chiếc cốc có bề dày không đáng kể, chiều cao
7, 2
cm
; đường kính miệng cốc bằng
6,4
cm
;
đường kính đáy cốc bằng
1,6
cm
. Kem được đỏ đầy cốc và dư ra phía ngoài một lượng có dạng
nửa hình cầu, có bán kính bằng bán kính miệng cốc. Cơ sở đó cần dùng lượng kem gần nhất với
giá trị nào trong các giá trị sau
A.
3
132 dm .
B.
3
954 dm .
C.
3
293 dm .
D.
3
170 dm .
Câu 53: Một người dùng một cái ca hình bán cầu có bán kính là
3
cm để múc nước đổ vào trong một thùng
hình trụ chiều cao
3cm
và bán kính đáy bằng
12
cm. Hỏi người ấy sau bao nhiêu lần đổ thì nước
đầy thùng? (Biết mỗi lần đổ, nước trong ca luôn đầy)
A.
24
lần. B.
12
lần. C.
10
lần. D.
20
lần.
Câu 54: Có một bể hình hộp chữ nhật chứa đầy nước. Người ta cho ba khối nón giống nhau có thiết diện qua
trục là một tam giác vuông cân vào bể sao cho ba đường tròn đáy của ba khối nón tiếp xúc với
nhau, một khối nón có đường tròn đáy chỉ tiếp xúc với một cạnh của đáy bể và hai khối nón còn
lại có đường tròn đáy tiếp xúc với hai cạnh của đáy bể. Sau đó người ta đặt lên đỉnh của ba khối
nón một khối cầu có bán kính bằng
4
3
lần bán kính đáy của khối nón. Biết khối cầu vừa đủ ngập
trong nước và lượng nước trào ra là
3
337
.
3
cm
Tính thể tích nước ban đầu ở trong bể.
A.
3
1174,2
cm
. B.
3
885,2
cm
. C.
3
1209,2
cm
. D.
3
1106,2
cm
.
Câu 55: Bạn An có một cốc giấy hình nón có đường kính đáy là
10
cm
và độ dài đường sinh là
8
cm
. Bạn
dự định đựng một viên kẹo hình cầu sao cho toàn bộ viên kẹo nằm trong cốc (không phần nào của
viên kẹo cao hơn miệng cốc). Hỏi bạn An có thể đựng được viên kẹo có đường kính lớn nhất bằng
bao nhiêu?
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 14
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
10 39
13
cm
B.
5 39
13
cm
C.
32
39
cm
D.
64
39
cm
Câu 56: Một cốc nước hình trụ có chiều cao
9
cm
, đường kính
6
cm
. Mặt đáy phẳng và dày
1
cm
, thành cốc
dày
0,2
cm
. Đổ vào cốc
120
ml
nước sau đó thả vào cốc 5 viên bi có đường kính
2
cm
. Hỏi mặt
nước trong cốc cách mép cốc bao nhiêu
cm
. (Làm tròn đến hai chữ số sau dấu phẩy).
A.
3,67
cm
. B.
2,28
cm
. C.
2,67
cm
. D.
3,28
cm
.
Câu 57: Một que kem ốc quế gồm hai phần: phần kem có dạng hình cầu, phần ốc quế có dạng hình nón. Giả
sử hình cầu và hình nón có bán kính bằng nhau; biết rằng nếu kem tan chảy hết thì sẽ làm đầy phần
ốc quế. Biết thể tích phần kem sau khi tan chảy chỉ bằng thể tích kem đóng băng ban đầu.
Gọi và lần lượt là chiều cao và bán kính của phần ốc quế. Tính tỉ số .
A. . B. . C. . D. .
Câu 58: Người ta chế tạo một món đồ chơi cho trẻ em theo các công đoạn như sau: Trước tiên chế tạo ra
hình nón tròn xoay có góc ở đỉnh là
2 60
bằng thủy tinh trong suốt. Sau đó đặt hai quả cầu
nhỏ bằng thủy tinh có bán kính lớn, nhỏ khác nhau sao cho hai mặt cầu tiếp xúc với nhau sao cho
hai mặt cầu tiếp xúc với nhau và đều tiếp xúc với mặt nón, quả cầu lớn tiếp xúc với mặt đáy của
hình nón (hình vẽ). Biết rằng chiều cao của hình nón bằng
9cm
. Bỏ qua bề dày các lớp vỏ thủy
tinh, tổng thể tích của hai khối cầu bằng
S
B
A
75%
h
r
h
r
4
3
h
r
16
3
h
r
3
h
r
2
h
r
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 15
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
38
3
. B.
100
3
. C.
112
3
. D.
40
3
.
Câu 59: Người ta bỏ 3 quả bóng bàn cùng kích thước vào trong một chiếc hộp hình trụ có đáy bằng hình tròn
lớn của quả bóng bàn và chiều cao bằng 3 lần đường kính của quả bóng bàn. Gọi
1
S
là tổng diện
tích của 3 quả bóng bàn,
2
S
là diện tích xung quanh của hình trụ. Tỉ số
1
2
S
S
bằng:
A.
3
2
. B.
6
5
. C. 2. D. 1.
Câu 60: Một công ty muốn thiết kế bao bì để đựng sữa với thể tích
3
1 dm . Bao bì được thiết kế bởi một
trong hai mô hình sau: dạng hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông hoặc dạng hình trụ và được
sản xuất cùng một nguyên vật liệu. Hỏi thiết kế theo mô hình nào sẽ tiết kiệm được nguyên vật
liệu nhất? Và thiết kế mô hình đó theo kích thước như thế nào?
A. Hình hộp chữ nhật và cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy.
B. Hình trụ và chiều cao bằng bán kính đáy.
C. Hình trụ và chiều cao bằng đường kính đáy.
D. Hình hộp chữ nhật và cạnh bên bằng cạnh đáy.
Câu 61: Trong một chiếc hộp hình trụ người ta bỏ vào đó ba quả bóng tennis, biết rằng đáy của hình trụ bằng
hình tròn lớn trên quả bóng và chiều cao của hình trụ bằng 3 lần đường kính của quả bóng. Gọi
1
S
là tổng diện tích của ba quả bóng và
2
S
là diện tích xung quanh của hình trụ. Giá trị biểu thức
1
2
2018
S
S
bằng:
A.
2
2018 . B. 1. C.
2018
. D. 2018 .
Câu 62: Có ba quả bóng với kích thước bằng nhau. Một miếng tôn hình chữ nhật được cuốn thành hình trụ
sao cho chiều cao của hình trụ gấp 3 lần đường kính quả bóng, đáy của hình trụ bằng hình tròn lớn
trên quả quả bóng. Gọi
1
S
là tổng diện tích của ba quả bóng,
2
S
là diện tích xung quanh của hình
trụ. Tính tỉ số
1
2
S
S
.
A.
1
2
1
2
S
S
. B.
1
2
1
S
S
. C.
1
2
2
S
S
. D.
1
2
5
S
S
.
Câu 63: Một nút chai thủy tinh là một khối tròn xoay
H , một mặt phẳng chứa trục của
H cắt
H
theo một thiết diện như trong hình vẽ bên. Tính thể tích của
H (đơn vị
3
cm ).
A.
13
H
V
. B.
41
3
H
V
. C.
17
H
V
. D.
23
H
V
.
Câu 64: Người ta chế tạo ra một món đồ chơi cho trẻ em theo các công đoạn như sau: Trước tiên, chế tạo tra
một mặt nón tròn xoay có góc ở đỉnh là
2 60
bằng thủy tinh trong suốt. Sau đó đặt hai quả
cầu nhỏ bằng thủy tinh có bán kính lớn, nhỏ khác nhau sao cho 2 mặt cầu tiếp xúc với nhau và đều
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 16
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
tiếp xúc với mặt nón. Quả cầu lớn tiếp xúc với cả mặt đáy của mặt nón. Cho biết chiều cao của mặt
nón bằng
9cm.
Bỏ qua bề dày của những lớp vỏ thủy tinh, hãy tính tổng thể tích của hai khối cầu.
A.
3
25
.
3
cm
B.
3
10
.
3
cm
C.
3
112
.
3
cm
D.
3
40
.
3
cm
Câu 65: Một khối đá có hình là một khối cầu có bán kính
R
, người thợ thợ thủ công mỹ nghệ cần cắt và gọt
viên đá đó thành một viên đá cảnh có hình dạng là một khối trụ. Tính thể tích lớn nhất có thể của
viên đá cảnh sau khi đã hoàn thiện.
A.
3
2 3
3
R
. B.
3
3
4
R
. C.
3
4 3
9
R
. D.
3
4 3
3
R
.
Câu 66: Có một chiếc cốc có dạng như hình vẽ, biết chiều cao của chiếc cốc là
8
cm
, bán kính đáy cốc là
3
cm
, bán kính miệng cốc là
6
cm
. Tính thể tích
V
của chiếc cốc.
A.
3
72
cm
. B.
3
48
cm
. C.
3
48
cm
. D.
3
36
cm
.
Câu 67: Một cái bồn chứa xăng gồm hai nửa hình cầu và một hình trụ như hình vẽ bên. Các kích thước được
ghi (cùng đơn vị
dm
). Tính thể tích của bồn chứa.
.
3 cm
8 cm
6 cm
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 17
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
A.
2 5
4 .3
. B.
2
5
4
3
. C.
5 2
4 3
. D.
3
3
4
3
.
Câu 68: Một quả bóng bàn và một chiếc chén hình trụ có cùng chiều cao. Người ta đặt quả bóng lên chiếc
chén thấy phần ở ngoài của quả bóng có chiều cao bằng chiều cao của nó. Gọi , lần lượt
là thể tích của quả bóng và chiếc chén, khi đó:
A.
1 2
16 9
V V
. B.
1 2
27 8
V V
C.
1 2
9 8
V V
D.
1 2
3 2
V V
Câu 69: Người ta chế tạo ra một món đồ chơi cho trẻ em theo các công đoạn như sau: Trước tiên, chế tạo tra
một mặt nón tròn xoay có góc ở đỉnh là
2 60
bằng thủy tinh trong suốt. Sau đó đặt hai quả cầu
nhỏ bằng thủy tinh có bán kính lớn, nhỏ khác nhau sao cho 2 mặt cầu tiếp xúc với nhau và đều tiếp
xúc với mặt nón. Quả cầu lớn tiếp xúc với cả mặt đáy của mặt nón. Cho biết chiều cao của mặt nón
bằng
9cm
. Bỏ qua bề dày của những lớp vỏ thủy tinh, hãy tính tổng thể tích của hai khối cầu.
A.
3
40
cm
3
. B.
3
25
cm
3
. C.
3
112
cm
3
. D.
3
10
cm
3
.
Câu 70: Một quả bóng bàn được đặt tiếp xúc với tất cả các mặt của một cái hộp hình lập phương. Tỉ số thể
tích của phần không gian nằm trong hộp đó nhưng nằm ngoài quả bóng bàn và thể tích hình hộp
là:
A.
8
8
. B.
2
3
. C.
6
6
. D.
3
4
.
Câu 71: Một chiếc cốc hình nón có chiều cao
4
h
và bán kính đáy
2
R
đang chứa một lượng nước có
thể tích
V
. Người ta bỏ vào bên trong cốc một viên bi hình cầu có bán kính
1
r
thì lượng nước
dâng lên vừa phủ kín viên bi. Tính thể tích
V
của lượng nước có trong cốc.
A.
8 5 5
6
V
B.
4 4 5
3
V
C.
2 5
3
V
D.
16 5 5
12
V
Câu 72: Một khối gạch hình lập phương (không thấm nước) có cạnh bằng 2 được đặt vào trong một chiếu
phễu hình nón tròn xoay chứa đầy nước theo cách như sau: Một cạnh của viên gạch nằm trên mặt
3
4
1
V
2
V
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu - Hình Học 12
File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 18
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay
nước (nằm trên một đường kính của mặt này); các đỉnh còn lại nằm trên mặt nón; tâm của viên
gạch nằm trên trục của hình nón. Tính thể tích nước còn lại ở trong phễu (làm tròn 2 chữ số thập
phân).
A. V =22,27 B. V =22,30 C. V =23.10 D. 20,64
Câu 73: Cho biết rằng hình chỏm cầu có công thức thể tích là
2 2
3
6
h r h
, trong đó
h
là chiều cao chỏm cầu và
r
là bán kính đường tròn bề
mặt chỏm cầu ( bán kính này khác vớibán kính hình cầu ). Bài hỏi
đặt ra là với một quả dưa hấu hình cầu, người ta dùng một cái ống
khoét thủng một lỗ hình trụ chưa rõ bán kính xuyên qua trái dưa
như hình vẽ ( trong hình có AB là đường kính trái dưa). Biết rằng
chiều cao của lỗ là
12
cm
( trong hình trên, chiều cao này chính là
độ dài HK ). Tính thể tích của phần
dưa còn lại.
A.
3
200
cm
B.
3
96
cm
C.
3
288
cm
D.
3
144
cm
Câu 74: Từ một khúc gỗ tròn hình trụ có đường kính bằng 40 cm, cần xả thành một chiếc xà có tiết diện
ngang là hình vuông và bốn miếng phụ được tô màu xám như hình vẽ dưới đây. Tìm chiều rộng x
của miếng phụ để diện tích sử dụng theo tiết diện ngang là lớn nhất.
A.
3 34 17 2
2
x cm
B.
3 34 19 2
2
x cm
C.
5 34 15 2
2
x cm
D.
5 34 13 2
2
x cm
Câu 75: Một viên phấn bảng có dạng một khối trụ với bán kính đáy bằng
0,5
cm
, chiều dài
6
cm
. Người ta
làm một hình hộp chữ nhật bằng carton đựng các viên phấn đó với kích thước
6 5 6
cm cm cm
.
Hỏi cần ít nhất bao nhiêu hộp kích thước như trên để xếp
460
viên phấn?
A.
17
. B.
15
. C.
16
. D.
18
.
A
BK
O
H
Bấm Tải xuống để xem toàn bộ.
Tài liệu liên quan:
-
Chuyên đề mặt nón Toán12
125 63