Thông tin
Hỏi đáp

Chuyên đề nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa thức

Tài liệu gồm 13 trang, tóm tắt lý thuyết trọng tâm cần đạt, phân dạng và hướng dẫn giải các dạng toán, tuyển chọn các bài tập từ cơ bản đến nâng cao chuyên đề nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa thức, có đáp án và lời giải chi tiết, hỗ trợ học sinh trong quá trình học tập chương trình Đại số 8 chương 1: Phép nhân và phép chia các đa thức.

Chủ đề:

Chương 1: Đa thức (KNTT) 40 tài liệu

Môn:

Toán 8 1.7 K tài liệu

Thông tin:

13 trang 10 tháng trước

Tác giả:

Mai Nguyệt

docx.com.vn

Bình luận

Vui lòng đăng nhập hoặc đăng ký để gửi bình luận.

Chuyên đề nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa thức

69 35 lượt tải Tải xuống

NHÂN ĐƠN THỨC VỚI ĐA THỨC - NHÂN ĐA THỨC VỚI ĐA THỨC

A.TRỌNG TÂM CẦN ĐẠT

I. Lý thuyết:

1. Nhân đơn thức với đa thức

Quy tắc: Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức đó với từng hạng tử của đa

thức rồi cộng các tích với nhau.





. . .

A B C A B AC

  

2. Nhân đa thức với đa thức

Quy tắc: Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng

hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau.









A B C D AC BC AD BD

     

II. Các dạng bài tập:

Dạng 1: Thực hiện phép tính

Phương pháp:

Áp dụng quy tắc nhân đơn thức với đa thức và quy tắc nhân đa thức với đa thức để thực hiện phép

tính.

Bài 1: Thực hiện phép tính:

  

2 2

2 2 3

x x x  

2 2

2 1

3 2 4

xy x y xy

  

  

  

  

 

2 1 2 2

x x x

 

   

 

 

 

2 2

1 3

2 2

x y x y xy

 

  

 

 

Giải

a) Ta có:





















2 2 2 2 2 2

2 2 3 2 2 2 2 3

x x x x x x x x

        

4 3 2

2 4 6

x x x

   

b) Ta có:

2 2

2 1

3 2 4

xy x y xy

  

  

  

  

2 2 2 2 2

2 2 2 2 1

3 3 3 2 3 4

xy x y xy xy xy xy

       

   

       

       

3 3 2 3 2 2 2

2 2 1 1

3 3 3 6

x y x y x y xy

   

c) Ta có:

 

2 2 2

1 1 1

2 1 2 2 2 . 2 2 1. 2 2

3 3 3

x x x x x x x x

     

          

     

     

3 2 2 3

2 1 8 13

4 4 2 2 4 2

3 3 3 3

x x

x x x x x x

           

d) Ta có:

 

2 2

1 3

2 2

x y x y xy

 

  

 

 

     

2 2 2 2

1 3

2 2

x y x x y y x y xy

     

2 2 2 2 2

1 1 3 3

. . . . . .

2 2 2 2

x x x y x y y y x xy y xy

     

3 2 3

3 2 2

3 3

2 2 2 2

xy y x y xy

x x y     

Bài 2: Thực hiện phép tính:

















2 2

1 3 2 3

x x x x x

  

























2 2 2

2 2

xy x xy x x y yx x xy

    













2 2 1

x x x x

   

 

2 3

x y x y

  

  

  

  

Giải

a) Ta có:

















2 2 2 2

1 3 2 3 . .1 3 .3 2 .3

x x x x x x x x x x x x

      

3 2 3 3 2

9 6 7 9

x x x x x x x

      

b) Ta có:

























2 2 2

2 2

xy x xy x x y yx x xy

    

2 2 2 2

. . . . .2 .2

xy x xy xy x x x y yx x yx xy

     

2 2 2 3 2 3 2 3

2 2

x y x y x xy x y x y

     

2 2 2 3 2 3

2 3

x y x xy x y x y

    

c) Ta có:





























2 2

2 2 1 .2 2 1

x x x x x x x x x

         

















2 2 2 2 2

2 2 1 2 1 2 1

x x x x x x x x x x

           

















2 2 2 2 2

2 2 2 2 . 2 . 2

x x x x x x x x x x

        

4 3 2 3 2 4

2 2 2 2 2 2 2 2

x x x x x x x x

         

d) Ta có:

 

2 3

x y x y

  

  

  

  

   

2 3

x x y y x y

  

    

  

  

2 2 3

xy y xy

x xy

 

    

 

 

2 2

2 2 3 2 2

xy y xy xy y

x xy x xy

   

       

   

   

2 2

. . . .

2 2 3 3 2 3 2 3

xy y xy xy xy xy y xy

x xy x xy

   

       

   

   

2 3 2 2 2 2 3

2 2 3 3 6 6

xy y x y x y x y xy

x xy

   

       

   

   

2 3 2 2 2 2 3

2 2 3 3 6 6

xy y x y x y x y xy

x xy       

2 3 2 2 3

2 2 3 2 6

xy y x y x y xy

x     

Bài 3: Tìm giá trị biểu thức









2 2 2

2 3 5 3

A x x x x x x

    

tại















2 2 2

B x y x xy x x y

    

tại



;

 













2 2 2

6 4 2 4 2 3

C x x x x x x x

      

tại

 









2 2 2 2

D x x xy y y x xy y

     

tại



;

 

Giải

a) Ta có:









2 2 2 2 2 2

2 3 5 3 2 .3 2 .5 .3 .

A x x x x x x x x x x x x x x

         

3 2 3 2 3 2

6 10 3 7 4 10

x x x x x x x x

       

Tại



thay vào ta được:

3 2

7.2 4.2 10.2 56 16 20 60

      

Vậy



b) Ta có:













2 2 2

B x y x xy x x y

    









2 2 2 2

. .2

x x xy y x xy x x x y

     

2 2 3 2

. . . . 2

x x x xy y x y xy x xy

     

3 2 2 2 3 2 2 2

2 2

x x y x y xy x xy x y xy

        

Tại



;

 

thay vào ta được:

   

2.2 . 3 2. 3 24 18 6

       

Vậy



c) Ta có:













2 2 2

6 4 2 4 2 3

C x x x x x x x

      

2 3 2 3 2

6 6 4 2 4 8 12

x x x x x x x

      

2 3 2 3 2

6 6 4 2 4 8 12 12 6 6

x x x x x x x x x x

         

Tại

 

thay vào ta được:





6 4 24

   

Vậy



d) Ta có:









2 2 2 2

D x x xy y y x xy y

     

3 2 2 2 2 3 3 3

x x y xy xy y x y

       

Tại



;

 

thay vào ta được:

   

5 1 125 1 126

D       

Vậy

126



Dạng 2: Tìm

với điều kiện cho trước

Phương pháp: Áp dụng quy tắc nhân đơn thức với đa thức và quy tắc nhân đa thức với đa thức để tìm giá

trị

Bài 1: Tìm

, biết:









2 3 2 1 10

x x x x

    

 

2 9 1

3 2 3

3 2 4

x x x

  

    

  

  

Giải

a) Ta có:









2 2

2 3 2 1 10 2 6 2 10

x x x x x x x x

          

5 10 2

x x

   

b) Ta có:

 

2 9 1

3 2 3

3 2 4

x x x

  

    

  

  

 

2 9 2 1

3 2 3

3 2 3 4

x x x x

    

     

    

    

2 2

5 5

3 3 2 3 2 3 5 6

6 6 6

x x x

x x x x

               

Bài 2: Tìm

, biết:

















1 2 3 1 2 1 14

x x x x

     





















3 2 2 1 2 4 5 5

x x x x x x

        

Giải

a) Ta có:

















1 2 3 1 2 1 14

x x x x

     

































1 3 2 3 2 1 1 2 1 14

x x x x x x

        

2 2

3 2 6 2 2 1 14 4 12 3

x x x x x x x x

              

Vậy

 

b) Ta có:





















3 2 2 1 2 4 5 5

x x x x x x

        

































3 2 2 2 1 2 5 4 5 5

x x x x x x x x

           













2 2 2

3 2 4 2 2 5 4 20 5

3 2 2 2 5 20 5

           

         

x x x x x x x x

x x x x x x

3 20 5 5

x x

     

Vậy



Bài 3: Tìm

, biết:













3 4 1 1 7 1 12

x x x x x x

      

























2 3 4 5 2 3 5 4

x x x x x x

       









3 3 3 3 6 6

n n n n n n

x y x y x y

     (với



)









2 2 2

2 2 4

n n n n n n n n

x x y y y x y y

    

(với



)

Giải

a) Ta có:













3 4 1 1 7 1 12

x x x x x x

      





2 2 2

3 4 1 7 7 12

x x x x x x x

        

2 2 2

3 4 4 4 4 7 7 12

x x x x x x x

        

4 7 12 6 16

x x x x

        

Vậy

x 

b) Ta có:

























2 3 4 5 2 3 5 4

x x x x x x

       

2 2 2

2 3 8 12 5 2 10 3 5 12 20

x x x x x x x x x

           

2 2

3 4 22 3 17 20

x x x x

     

2 2

3 4 22 3 17 20 0

x x x x

      

21 2 0

x x

     

Vậy

 

c) Ta có:









3 3 3 3 6 6

n n n n n n

x y x y x y

    





6 3 3 3 3 6 6 6

n n n n n n n n

x y x x y y x y

      

6 6 6 6 6 6

n n n n n n

x y x y x x

       

6 6

2 0 0 0

n n

x x x

    

Vậy



d) Ta có:









2 2 2

2 2 4

n n n n n n n n

x x y y y x y y

    

2 2 2 2

2 4 2 4

n n n n n n n n

x x y y y x y y

     

2 2 2 2

2 2 0 0

n n n n

x y y x x

      

Vậy



B.NÂNG CAO PHÁT TRIỂN TƯ DUY

Bài 1. Rút gọn các biểu thức sau:





















) 4 1 3 1 5 3 4 3

a A x x x x x x

       





















) 5 2 1 3 3 2 5 4

b B x x x x x x x x

        

Hướng dẫn

a) Ta có:

2 2 2

12 4 3 1 5 15 3 4 12

A x x x x x x x x

         

6 23 13

x x

  

b) Ta có:





















5 2 1 3 3 2 5 4

B x x x x x x x x

        





2 3 2 2

5 5 2 2 3 3 9 2 5 4 20

x x x x x x x x x x          

3 2 3 2

3 8 12 2 2 18 40

x x x x x x

       

3 2

5 26 28 2

x x x

    

Bài 2. Viết kết quả phép nhân sau dưới dạng lũy thừa giảm dần của biến x:









) 1 3

a x x x

  









) 3 1 2 4

b x x x

  









) 3 2 3 2

c x x x x

   

Hướng dẫn









) 1 3

a x x x

  

3 2 2 3 2

3 3 3 2 2 3

x x x x x x x x

         









) 3 1 2 4

b x x x

  

2 3 2 3 2

2 6 2 4 12 4 4 14 10 2

x x x x x x x x

          









) 3 2 3 2

c x x x x

   









2 2 3 2

3 2 3 3 9 6 3 2

x x x x x x x x

         

2 3 2 3

3 9 6 3 2 11 6

x x x x x x x

         

Bài 3. Chứng minh rằng giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến x:





















) 5 2 1 3 5 1 17 3

a C x x x x x

       





















) 6 5 8 3 1 2 3 9 4 3

b D x x x x x

       

Hướng dẫn

a) Ta có :

2 2

5 5 2 2 5 15 3 17 51

C x x x x x x x

         

  

Vậy biểu thức

 

không phụ thuộc vào x.

2 2

) 6 48 5 40 6 9 2 3 36 27

b D x x x x x x x

         

  

Vậy giá trị biểu thức

 

không phụ thuộc vào giá trị của biến x.

Bài 4. Tìm x, biết :

















)5 3 7 5 1 2 25

a x x x x

     

















)3 7 5 1 3 2 13

b x x x x

      

Hướng dẫn

2 2

)5 35 15 105 5 10 2 25

a x x x x x x

       

41 107 25

  

41 82

  



2 2

)3 15 21 105 3 3 2 13

b x x x x x

       

5 103 13

   

5 90

 

 

Bài 5. Rút gọn và tính giá trị biểu thức:

















) 4 5 3 2 3 2 2

a A x x x x

     

tại

 









) 5 4 4 5

b B x x y y y x

   

tại

1 1

;

5 2

x y

   

Hướng dẫn

a) Ta có :

2 2

12 8 15 10 3 6 2 4

A x x x x x x

       

17 29 14

x x

   

Với

 

, thay vào biểu thức ta có :

   

17 2 29 2 14

     

68 58 14

   

140

 

b) Ta có :









5 4 4 5

B x x y y y x

   

2 2

5 20 4 20

x xy y xy

   

2 2

5 4

x y

 

Thay

1 1

;

5 2

x y

   

vào biểu thức ta có ;

2 2

1 1 1 1 6

5 4. 5. 4.

5 2 25 4 5

   

      

   

   

Bài 6. Tính giá trị biểu thức:

6 5 4 3 2

) 2021 2021 2021 2021 2021 2021

a A x x x x x x      

tại

2020



10 9 8 2

) 20 20 ... 20 20 20

b B x x x x x

      

với

 

Hướng dẫn

a) Với

2020



nên ta thay

2021 1

 

vào biểu thức , ta có :





















6 5 4 3 2

1 1 1 1 1 1

A x x x x x x x x x x x x

            

6 6 5 5 4 4 3 3 2 2

1 1

x x x x x x x x x x x x

             

b) Với

 

nên ta thay

20 1

  

vào biểu thức, ta có :





















10 9 8 2

1 1 ... 1 1 1

B x x x x x x x x x x

                

10 10 9 9 8 8 2 2

... 1

x x x x x x x x x x

           



Bài 7. Tìm các hệ số a, b, c biết:





2 2 4 3 2

)2 2 4 6 20 8

a x ax bx c x x x

     đúng với mọi x;









2 3 2

) 2 2

b ax b x cx x x

     

đúng với mọi x.

Hướng dẫn





2 2 4 3 2

)2 2 4 6 20 8

a x ax bx c x x x

    





4 3 2 4 3 2

2 4 8 6 20 8 1

ax bx cx x x x     

(1) đúng với mọi x

2 6 3

4 20 5

8 8 1

a a

b b

c c

 

 

 

     

 

 

 

 









2 3 2

) 2 2

b ax b x cx x x

     

3 2 2 3 2

2 2 2

ax bx acx bcx b ax x x

        













3 2 3 2

2 2 2 2

ax b ac x a bc x b x x        

(2) đúng với mọi x

 

2 2

1 1. 1

2 1 0

2 0

b ac

a bc















 

  

    

  

  

 

  

 



 

  

 



Bài 8. Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì:













2 2

2 3 1 12 8

A n n n n n

      

chia hết cho 5

Hướng dẫn

Biến đổi đa thức, ta có :













2 2

2 3 1 . 12 8

A n n n n n

      

2 3 2 3

2 6 3 2 12 8

n n n n n n n

        

5 5 10 5

n n  



Bài 9. Đặt

x a b c

  

. Chứng minh rằng:

























x a x b x b x c x c x a ab bc ca x

           

Hướng dẫn

Xét vế trái:

























x a x b x b x c x c x a

       

2 2 2

x ax bx ab x bx cx bc x ax cx ca

           





3 2

ab bc ca x x a b c

      

3 2 .2

ab bc ca x x x

    

ab bc ca x

   

Vế trái bằng vế phải suy ra điều chứng minh.

Bài 10. Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn

ab bc ca abc

  

và

a b c

  

Chứng minh rằng :













1 1 1 0

a b c

   

Hướng dẫn

Ta có





















1 1 1 1 1

a b c a bc b c

       

abc ab ac a bc b c

       

abc ab bc ca a b c

       









abc ab bc ca a b c

       

1 1 0

abc abc

    

C.PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN

Dạng 1: Rút gọn biểu thức

Bài 1: Làm tính nhân









2 3 1 5 2

x x x

  









2 2

25 10 4 5 2

x xy y x y

  

Bài 2: Rút gọn biểu thức













5 5 3 7

x x x x

    













2 2

4 1 2 3

x x x x x

     

















5 3 2 1 3

x x x x

     

















1 2 5 2

x x x x

    

Bài 3: Rút gọn biểu thức













2 5 3 1 6 3

x x x x

   

















2 3 4 1 2

x x x x

     

















3 2 2 5 4 4

x x x x

    













2 2

1 1 5

x x x x x

    

Dạng 2: Tìm giá trị chưa biết

Bài 4: Tìm x biết













4 5 1 4 3 5

x x x x

    

















2 1 2 3 2 7 3

x x x x

     

















3 4 1 1 10

x x x x

     













8 3 8 1 1 20

x x x x

    

Bài 5: Tìm x biết













2 5 1 5 3 5

x x x x

    

















4 1 3 7 4 1 15

x x x x

     

















3 5 1 3 1 1 4

x x x x x

      









2 2 2

4 7 4 5 28 13

x x x x x

     

Dạng 3: Tính giá trị biểu thức

Bài 6: Tính nhanh giá trị biểu thức

44443.44448.44441 44445.44440.44447

 

Bài 7: Tính giá trị của biểu thức

















5 7 2 3 7 2 4

A x x x x

     

tại



















9 2 3 2 7 5

B x x x x

     

tại



















5 4 3 2 2 3 2

C x x x x

       

tại

 

Bài 8: Tính giá trị của biểu thức

















3 5 2 1 4 1 3 2

x x x x

      

tại



Bài 9: Tính giá trị biểu thức :

6 5 4 3 2

2021 2021 2021 2021 2021 2021

      A x x x x x x

tại

2020



10 9 8 2

20 20 20 20 20

     

B x x x x x

với

 

Dạng 4: Chứng minh giá trị biểu thức không phụ thuộc vào biến

Bài 10: Chứng tỏ rằng các đa thức sau không phụ thuộc vào biến:

















3 5 2 11 2 3 3 7

A x x x x

     













5 2 3 – 2 – 3 7

B x x x x x

    

















2 2

4 – 6 – 2 3 5 – 4 3 – 1

C x x x x x x x

   













x y z yz y z x zx z y x

      



Dạng 5: Bài toán nâng cao

Bài 11: Chứng minh đẳng thức





2 2 2

2  2 2

x y z x y z xy yz zx

     





2 2 2

x y z x y z xy yz zx

       









3 2 3

2 4 4

– –

x y x x y xy y x y

   









4 3 2 2 3 4 5 5

– –

x y x x y x y xy y x y

    

Bài 12: a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên

thì









2 2

(2 ). 3 1 12 8

      

A n n n n n chia

hết cho

b) Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn

  

ab bc ca abc

và

  

a b c

. Chứng minh rằng:

( 1).( 1).( 1) 0

a b c

   

HƯỚNG DẪN

Bài 1 a)









2 3 2

2 3 1 5 2 10 11 11 2

x x x x x x

      









2 2 3 3

25 10 4 5 2 125 8

x xy y x y x y

    

Bài 2: Rút gọn biểu thức













2 2 3 2 3 2

5 5 3 7 5 25 7 3 21 8 18 21

x x x x x x x x x x x x

               













2 2 3 2 3 2 3 2

4 1 2 3 4 4 4 3 2 6 3 6 6

x x x x x x x x x x x x x x

                

















2 2 2

5 3 2 1 3 3 5 15 2 6 3 7 12

x x x x x x x x x x x x

                 

















2 2

1 2 5 2 2 2 5 2 10 2 8

x x x x x x x x x x x

               

Bài 3: Rút gọn biểu thức













2 5 3 1 6 3 5 5

x x x x x

     

















2 3 4 1 2 8 14

x x x x x x

        

















3 2 2 5 4 4 2 68

x x x x x

       













2 2

1 1 5 5 1

x x x x x x

       

Bài 4: Tìm x biết













)4 5 1 4 3 5

13 8

a x x x x

    

  



 

















) 2 1 2 3 2 7 3

4 20 0

b x x x x

     

   

 

















) 3 4 1 1 10 23

c x x x x x

        

    

8 3 8 1 1 20 24 12

x x x x x x

          

Bài 5: Tìm x biết

    

2 5 1 5 3 5 4 3

x x x x x x

        

     

4 1 3 7 4 1 15 18 25

x x x x x x         

















3 5 1 3 1 1 4 4 5 4 0

x x x x x x x

            

 

2 2 2 2 2

4 7 4 5 28 13 28 20 28 13

x x x x x x x x x           

Bài 6: Đặt

44443



do đó





















5 2 2 3 4 24

A a a a a a a

       

Bài 7: Tính giá trị của biểu thức

















5 7 2 3 7 2 4 3 27 13

A x x x x x x

        

tại



ta có

3.2 27.2 13 53

   

















9 2 3 2 7 5 19 43

B x x x x x

        

tại



ta có

1 67

19. 43

2 2

B    

















5 4 3 2 2 3 2 17 29 14

C x x x x x x

           

tại

 

ta có

   

17. 2 29. 2 14 140

C        

Bài 8

2 2

6 3 10 5 12 8 3 2

18 12 7 (*)

x x x x x x

x x

        

  

2 2

x x

   

Thay

 

vào biểu thức (*) ta có:





18.2 12. 2 7 89 ; 41

     

Vậy GT của biểu thức A tại



là 89 hoặc 41

Bài 9: a) Với

2020



nên ta thay

2021 1

 

vào biểu thức, ta có:





















6 5 4 3 2

1 1 1 1 1 1 1

A x x x x x x x x x x x x

             

b) Tượng tự ta cũng tính được



Bài 10: Chứng tỏ rằng các đa thức sau không phụ thuộc vào biến:

















3 5 2 1 2

3 3

1 7A x x x x

   

 

 













5 2 3 – 2 – 3 7 15

B x x x x x

      

















2 2

4 – 6 – 2 3 5 – 4

3 – 1C x x x x x x x

   

 













x y z yz y zD x zx z y x

      

 

Bài 11: Hs biến đổi VT=VP

Bài 12: Biến đổi:

5 5 10 5

A n n

  



(t/c chia hết của một tổng)

( 1)( 1)

a bc b c

    

abc ab ac a bc b c

       

abc ab bc ca a b c

       

( ) ( ) 1

abc ab bc ca a b c

       

1 1 0

abc abc

    

========== TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ==========

Bấm Tải xuống để xem toàn bộ.

| 1/13

| | Tải xuống

Preview text:

NHÂN ĐƠN THỨC VỚI ĐA THỨC - NHÂN ĐA THỨC VỚI ĐA THỨC A.TRỌNG TÂM CẦN ĐẠT I. Lý thuyết:
1. Nhân đơn thức với đa thức
Quy tắc: Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức đó với từng hạng tử của đa
thức rồi cộng các tích với nhau. . A B  C  . A B  . A C
2. Nhân đa thức với đa thức
Quy tắc: Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng
hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau.
 A BC  D  AC  BC  AD  BD II. Các dạng bài tập:
Dạng 1: Thực hiện phép tính Phương pháp:
Áp dụng quy tắc nhân đơn thức với đa thức và quy tắc nhân đa thức với đa thức để thực hiện phép tính.
Bài 1: Thực hiện phép tính: 1  2  x 1  a)  2 2  x  2 x  2x  3 b) 2 2 xy x y  xy      2  3  2 4   1   1 3  c) 2x   2 1 2x  x  2   d)  2 x  y  2 x  y  xy    3   2 2  Giải a) Ta có:  2  x  2 x  x     2  x  2 x   2  x  x   2 2 2 3 2 2 2 2x 3 4 3 2  2  x  4x  6x .  2  x 1  b) Ta có: 2 2 xy x y  xy       3  2 4   2   2   2  x  2  1 2 2 2 2 2  xy x y  xy xy  xy  xy          3   3   3  2  3  4 2 2 1 1 3 3 2 3 2 2 2
 x y  x y  x y  xy 3 3 3 6 c) Ta có:        2x   1 1 1 2 2 2 1 2x  x  2  2  .
x 2x  x  2  1. 2x  x  2        3   3   3  2 2 1 8x 13x 3 2 2 3  4
 x  x  4x  2x  x  2  4x    2 3 3 3 3  1 3  d) Ta có:  2 x  y  2 x  y  xy    2 2    1 3 2 x  y  2 x   2 x  y  y   2 x  y  xy 2 2 1 1 3 3 2 2 2 2 2  . x x  x .y  . x y  y . y  . x xy  y . xy 2 2 2 2 3 2 3 xy y 3x y 3xy 3 2 2  x  x y     2 2 2 2
Bài 2: Thực hiện phép tính: a)  x 2 x     2 1 3x  2x 3x b)  2
xy  x  xy  x x  y   yx 2 2 2x  2xy 
c) x x   2 2 2 x  x   1   xy  d)  x  y 1 x  y 1     2  3  Giải a) Ta có:  x 2 x     2 x  x  x 2 2 1 3 2 3  . x x  . x 1 3 . x 3x  2x .3x 3 2 3 3 2
 x  x  9x  6x  7x  9x  x b) Ta có:  2
xy x  xy   xx  y   yx 2 2 2x  2xy  2 2 2 2  xy .x  xy .xy  . x x  . x y  y . x 2x  y . x 2xy 2 2 2 3 2 3 2 3
 x y  x y  x  xy  2x y  2x y 2 2 2 3 2 3
 x y  x  xy  2x y  3x y
c) Ta có: x x   2
x  x    x x  x  2 2 2 1 .2 2 x  x   1   2  x  x 2 x  x   2   x  2 x  x    x 2 2 2 1 2 1 2 x  x   1   2  x  2 x   2  x  x   2  x    2 2 2 2 2 . x x  2 . x x  2x 4 3 2 3 2 4  2
 x  2x  2x  2x  2x  2x  2  x  2x   xy  d) Ta có:  x  y 1 x  y 1     2  3      1     xy   x x y y x y 1      2  3  2  xy y  xy 2    x  xy    1    2 2  3  2 2  xy y  xy  xy y  2 2   x  xy      x  xy     2 2  3  2 2  2 2  xy y   xy xy xy xy y xy  2 2   x  xy      x .  x . y  .  .   2 2   3 3 2 3 2 3  2 3 2 2 2 2 3  xy y   x y x y x y xy  2   x  xy           2 2   3 3 6 6  2 3 2 2 2 2 3 xy y x y x y x y xy 2  x  xy       2 2 3 3 6 6 2 3 2 2 3 3xy y x y x y xy 2  x      2 2 3 2 6
Bài 3: Tìm giá trị biểu thức a) A  x 2 x    x 2 x  x  2 2 3 5 3  x tại x  2 . b) B   x  y 2 x  xy  x 2 2
x  2 y  tại x  2 ; y  3 . c) C   2 x  x 2  x  x    x 2 6 4 2
4 x  2x  3 tại x  4. d)   2 2     2 2 D x x xy y
y x  xy  y  tại x  5; y  1. Giải a) Ta có: A  x  2 x    x 2 x  x  2 2 2 2 2 3 5 3  x  2 . x 3x  2 . x 5  . x 3x  . x x  x 3 2 3 2 3 2
 6x 10x  3x  x  x  7x  4x 10x
Tại x  2 thay vào ta được: 3 2
A  7.2  4.2 10.2  56 16  20  60 Vậy A  60 .
b) Ta có: B   x  y 2 x  xy  x 2 2 x  2 y   x  2 x  xy  y  2 x  xy 2 2  . x x  . x 2y 2 2 3 2  . x x  .
x xy  y.x  y.xy  x  2xy 3 2 2 2 3 2 2 2
 x  x y  x y  xy  x  2xy  2  x y  xy
Tại x  2 ; y  3 thay vào ta được: B      2 2 2.2 . 3 2. 3  24 18  6 Vậy B  6 . c) Ta có: C   2 x  x 2  x  x    x 2 6 4 2 4 x  2x  3 2 3 2 3 2
 6x  6x  4x  2x  4x  8x 12x 2 3 2 3 2
 6x  6x  4x  2x  4x  8x 12x  12x  6x  6x
Tại x  4 thay vào ta được: C  6 4    2  4 Vậy C  24 . d) Ta có:   2 2     2 2 D x x xy y y x  xy  y  3 2 2 2 2 3 3 3
 x  x y  xy  yx  xy  y  x  y
Tại x  5 ; y  1 thay vào ta được: D    3 3 5 1  125    1  126 Vậy D  126 .
Dạng 2: Tìm x với điều kiện cho trước
Phương pháp: Áp dụng quy tắc nhân đơn thức với đa thức và quy tắc nhân đa thức với đa thức để tìm giá trị x . Bài 1: Tìm x , biết:  2  9x 1 
a) 2x x  3  x2x   1  10 b) x       2 3x  x  2  3  3  2 4  Giải
a) Ta có:  x x    x x   2 2 2 3 2
1  10  2x  6x  2x  x  10  5x  10  x  2  2  9x 1  b) Ta có: x       2 3x  x  2  3  3  2 4 
 2  9x   2  1  x  x        2 3x  x  2  3  3  2   3  4 x 5x 5x 2 2
 3x   3x  x  2  3    2  3    5  x  6 6 6 6 Bài 2: Tìm x , biết:
a) 1 2xx  3   x   1 2x   1  14 b)  2
3x  x  2  2x  
1 2  x   x  4 x  5  5 Giải
a) Ta có: 1 2xx  3   x   1 2x   1  14   
1  x  3  2x x  3   x2x   1    1 2x   1  14 2 2
 x  3  2x  6x  2x  x  2x 1  14  4  x  12  x  3  Vậy x  3. b) Ta có:  2
3x  x  2  2x  
1 2  x   x  4 x  5  5   2
3x  x  2  2x2  x 12  x  xx  5  4 x  5  5   2 3x  x  2   2
4x  2x  2  x   2
x  5x  4x  20  5 2 2 2
 3x  x  2  2x  2  5x  x  x  20  5
 3x  20  5  x  5 Vậy x  5 . Bài 3: Tìm x , biết: a) 2 3x  4 x   1 x   1  7x x   1  x 12
b) 2x  3 x  4   x  5 x  2  3x  5 x  4 c)  3n 3n   3n 3n   6n 6n x y x y
 x  y (với n  0 ) d)  2n n n 2n    n   n n   2 2 2 4 n x x y y y x y  y (với n  0 ) Giải a) Ta có: 2 3x  4 x   1 x   1  7x x   1  x 12 2  x   2 x  x  x   2 3 4 1  7x  7x  x  12 2 2 2
 3x  4x  4x  4x  4  7x  7x  x 12 16
 4  7x  x 12  6x  16  x  6 16 Vậy x  6
b) Ta có: 2x  3 x  4   x  5 x  2  3x  5 x  4 2 2 2
 2x  3x  8x 12  x  5x  2x 10  3x  5x 12x  20 2 2
 3x  4x  22  3x 17x  20 2 2
 3x  4x  22  3x 17x  20  0 2
 21x  2  0  x   21 2 Vậy x   . 21 c) Ta có:  3n 3n   3n 3n   6n 6n x y x y  x  y   6n 3n 3n 3n 3n 6n     6n 6n x y x x y y  x  y 6n 6n 6n 6n 6n 6n
 x  y  x  y  x  x  0 6n 6 2  0 n x  x  0  x  0 Vậy x  0 . d) Ta có:  2n n n 2n    n   n n   2 2 2 4 n x x y y y x y  y 2n n n 2n n n 2n 2  2  4  2  4 n x x y y y x  y  y 2n 2n 2n 2  2    2 n x y y x  0  x  0 Vậy x  0
B.NÂNG CAO PHÁT TRIỂN TƯ DUY
Bài 1. Rút gọn các biểu thức sau: a)A  4x   1 3x  
1  5x  x  3   x  4 x  3
b B   x   x    x  2 ) 5 2 1
3 x  x  3  2x x  5 x  4 Hướng dẫn a) Ta có: 2 2 2
A  12x  4x  3x 1  5x 15x  x  3x  4x 12 2  6x  23x 13 b) Ta có:
B   x   x    x  2 5 2 1
3 x  x  3  2xx  5x  4 2 3 2
 x  x  x   x  x  x  x  2 5 5 2 2 3 3 9 2 x  5x  4x  20 3 2 3 2  3
 x  8x 12x  2  2x 18x  40x 3 2  5  x  26x  28x  2
Bài 2. Viết kết quả phép nhân sau dưới dạng lũy thừa giảm dần của biến x: a  2 ) x  x   1  x  3 b  2 ) x  3x   1 2  4x c  2
) x  3x  23  x  2x Hướng dẫn a  2 ) x  x   1  x  3 3 2 2 3 2
 x  x  x  3x  3x  3  x  2x  2x  3 b  2 ) x  3x   1 2  4x 2 3 2 3 2
 2x  6x  2  4x 12x  4x  4  x 14x 10x  2 c  2
) x  3x  23  x  2x   2 x  x    x 2 3 2 3 2 3
 3x  9x  6  x  3x  2x 2 3 2 3
 3x  9x  6  x  3x  2x  x 11x  6
Bài 3. Chứng minh rằng giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến x:
a)C  5x  2 x  
1   x  35x   1 17x  3
b)D  6x  5 x  8  3x  
1 2x  3  94x  3 Hướng dẫn a) Ta có : 2 2
C  5x  5x  2x  2  5x  x  15x  3 17x  51  C  5  0
Vậy biểu thức C  50 không phụ thuộc vào x. 2 2
b)D  6x  48x  5x  40  6x  9x  2x  3  36x  27  D  13
Vậy giá trị biểu thức D  1
 3 không phụ thuộc vào giá trị của biến x. Bài 4. Tìm x, biết :
a)5 x  3 x  7  5x   1  x  2  25
b)3 x  7 x  5   x   1 3x  2  1  3 Hướng dẫn 2 2
a)5x  35x 15x 105  5x  10x  x  2  25 41x 107  25 41x  8  2 x  2 2 2
b)3x  15x  21x 105  3x  3x  2  13 5x 103  1  3 5x  90 x  18
Bài 5. Rút gọn và tính giá trị biểu thức:
a)A  4  5x3x  2  3  2xx  2 tại x  2 1 1
b)B  5x  x  4y  4y  y  5x tại x   ; y   5 2 Hướng dẫn a) Ta có : 2 2
A  12x  8 15x 10x  3x  6  2x  4x 2  1  7x  29x 14
Với x  2 , thay vào biểu thức ta có : A    2 17 2  29 2   14  6  8  58 14  1  40 b) Ta có :
B  5x x  4y  4y  y  5x 2 2
 5x  20xy  4y  20xy 2 2  5x  4y 1 1
Thay x   ; y   vào biểu thức ta có ; 5 2 2 2  1   1  1 1 6 B  5   4.   5.  4.       5   2  25 4 5
Bài 6. Tính giá trị biểu thức: 6 5 4 3 2
a)A  x  2021x  2021x  2021x  2021x  2021x  2021 tại x  2020 10 9 8 2
b)B  x  20x  20x  ...  20x  20x  20 với x  19 Hướng dẫn
a) Với x  2020 nên ta thay 2021  x  1 vào biểu thức , ta có : 6 A  x   x   5 x   x   4 x  x   3 x   x   2 1 1 1 1 x   x   1 x  x  1 6 6 5 5 4 4 3 3 2 2
 x  x  x  x  x  x  x  x  x  x  x  x 1  1
b) Với x  19 nên ta thay 20  x  1 vào biểu thức, ta có : 10 B  x  x   9 x  x   8 x   x   2 1 1 ... 1 x  x   1 x  x   1 10 10 9 9 8 8 2 2
 x  x  x  x  x  x  ...  x  x  x  x 1  1
Bài 7. Tìm các hệ số a, b, c biết: 2 a x  2 ax  bx  c 4 3 2 )2 2
4  6x  20x  8x đúng với mọi x; b ax  b 2 x  cx   3 2 )
2  x  x  2 đúng với mọi x. Hướng dẫn 2 a x  2 ax  bx  c 4 3 2 )2 2 4  6x  20x  8x 4 3 2 4 3 2
 2ax  4bx  8cx  6x  20x  8x   1 (1) đúng với mọi x 2a  6 a  3    4b  20  b   5  8  c 8   c  1   b ax  b 2 x  cx   3 2 ) 2  x  x  2 3 2 2 3 2
 ax  bx  acx  bcx  2b  2ax  x  x  2 3  ax  b  ac 2 x   a  bc 3 2 2
x  2b  x  x  22 (2) đúng với mọi x a  1 a  1   a  1 2b  2  b  1         b   1 b  ac  1 1  1.c  1   c    2a  bc  0      2 2 1 c  0
Bài 8. Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì: A    n 2 n  n    n 2 2 3 1
n 12  8 chia hết cho 5 Hướng dẫn
Biến đổi đa thức, ta có : A    n 2 n  n    n  2 2 3 1 . n  12  8 2 3 2 3
 2n  n  6n  3n  n  2  n 12n  8 2  5n  5n 105
Bài 9. Đặt 2x  a  b  c . Chứng minh rằng:
                 2 x a x b x b x c
x c x a  ab  bc  ca  x Hướng dẫn Xét vế trái:
x  ax  b  x  bx  c  x  cx  a 2 2 2
 x  ax  bx  ab  x  bx  cx  bc  x  ax  cx  ca 2
 ab  bc  ca  3x  2xa  b  c 2
 ab  bc  ca  3x  2 . x 2x 2  ab  bc  ca  x
Vế trái bằng vế phải suy ra điều chứng minh.
Bài 10. Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn ab  bc  ca  abc và a  b  c  1
Chứng minh rằng : a   1 b   1 c   1  0 Hướng dẫn Ta có a   1 b   1 c   1  a   1 bc  b  c   1
 abc  ab  ac  a  bc  b  c 1
 abc  ab  bc  ca  a  b  c 1
 abc  ab  bc  ca  a  b  c 1
 abc  abc 1 1  0 C.PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN
Dạng 1: Rút gọn biểu thức Bài 1: Làm tính nhân a)  2 2x  3x   1 5x  2 b)  2 2
25x 10xy  4 y 5x  2y
Bài 2: Rút gọn biểu thức
a)  x  x     x   2 5 5 3 x  7 b) x  2 x  x     2 4 1 x  2x  3
c) x  5 x  3  2x   1  x  3 d)  x  
1  x  2  x  5 x  2
Bài 3: Rút gọn biểu thức a) 2x  53x   1  6xx  3
b) 2x  3 x  4  x   1  x  2
c) 3 x  2 x  2  5 x  4 x  4 d)  x   2 x  x    x 2 1 1 x  5
Dạng 2: Tìm giá trị chưa biết Bài 4: Tìm x biết
a) 4x  x  5   x   1 4x  3  5 b) 2x  
1 x  2   x  32x  7  3
c)  x  3 x  4   x   1  x   1  10
d) 8x  x  3 8 x   1  x   1  20 Bài 5: Tìm x biết a)  x  25x   1  5x  x  3  5 b) 4x  
1  x  3  x  74x   1  15 c) 3x  5 x   1  3x   1  x   1  x  4 d) 2  x x    x 2 x   2 4 7 4 5  28x 13
Dạng 3: Tính giá trị biểu thức
Bài 6: Tính nhanh giá trị biểu thức A  44443.44448.44441 44445.44440.44447
Bài 7: Tính giá trị của biểu thức
a) A  5x  72x  3  7x  2 x  4 tại x  2 1
b) B   x  92x  3  2 x  7 x  5 tại x  2 c) C   5
 x  43x  2   2
 x  3x  2 tại x  2
Bài 8: Tính giá trị của biểu thức   3x  52x   1  4x  
1 3x  2 tại x  2
Bài 9: Tính giá trị biểu thức : a) 6 5 4 3 2
A  x  2021x  2021x  2021x  2021x  2021x  2021 tại x  2020 b) 10 9 8 2
B  x  20x  20x  20x  20x  20 với x  19
Dạng 4: Chứng minh giá trị biểu thức không phụ thuộc vào biến
Bài 10: Chứng tỏ rằng các đa thức sau không phụ thuộc vào biến: A 
 3x  52x 1 12x  33x  7
B  x  52x  3 – 2x x – 3x  7
C  x  2x   xx x  2 4 – 6 – 2 3 5 – 4  3x x – 1
D  x y z yzyz  x zxzy x.
Dạng 5: Bài toán nâng cao
Bài 11: Chứng minh đẳng thức a) x y  z2 2 2 2
 x  y  z  2xy  2yz  2zx b) x  y z2 2 2 2
 x  y  z  2xy 2yz 2zx 3 2 2 3 4 4 c) x –  y x x  y x  y y  x –y 4 3 2 2 3 4 5 5 d) x   y x –x y x  y –xy y  x y 
Bài 12: a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì A   n  2 n  n    n 2 (2 ). 3 1 n 12 8 chia hết cho 5
b) Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn ab  bc  ca  abc và a  b  c  1. Chứng minh rằng:
(a 1).(b 1).(c 1)  0 . HƯỚNG DẪN Bài 1 a)  2 x  x   x   3 2 2 3 1 5 2  10x 11x 11x  2 b)  2 2 x  xy  y  x  y 3 3 25 10 4 5 2  125x  8y
Bài 2: Rút gọn biểu thức
a)  x x     x   2 x   2 3 2 3 2 5 5 3 7  5
 x  25x  x  7x  3x  21  x 8x 18x  21 b) x 2 x  x     2 x  x   3 2 3 2 3 2 4 1 2
3  4x  4x  4x  x  3x  2x  6  3x  x  6x  6
c) x   x     x   x   2 2 2 5 3 2 1
3  x  3x  5x 15  2x  6x  3  x  x  7x 12
d)  x   x    x   x   2 2 1 2 5
2  x  x  2x  2  x  5x  2x 10  2x  8
Bài 3: Rút gọn biểu thức a) 2x  53x  
1  6xx  3  5x  5
b)  x   x    x   x   2 2 3 4 1 2  x  8x 14
c)  x   x     x   x   2 3 2 2 5 4 4  2x  68 d)  x   2 x  x    x 2 1 1 x  5  5  x 1 Bài 4: Tìm x biết
a)4x  x  5   x   1 4x  3  5  13x  8 8   x  13 b)2x  
1  x  2   x  32x  7  3  4x  20  0  x  5
c)x  3x  4   x   1  x   1 10  x  23
d) x  x     x   x   1 8 3 8 1
1  20  24x  12  x   2 Bài 5: Tìm x biết
a)  x   x    x  x   3 2 5 1 5
3  5  4x  3  x  4
b)  x   x     x   x   25 4 1 3 7 4
1  15  18x  25  x  18 c) 3x  5 x   1  3x   1  x  
1  x  4  4  5x  4  x  0 13 d) 2 4
 x x  7  4x 2 x  5 2 2 2
 28x 13  28x  20x  28x 13  x  20
Bài 6: Đặt a  44443 do đó
A  a a  5a  2  a  2a  3a  4  24
Bài 7: Tính giá trị của biểu thức
a) A   x   x    x   x   2 5 7 2 3 7 2 4  3x  27x 13 tại x  2 ta có 2
A  3.2  27.2 13  53
b) B   x  92x  3  2 x  7 x  5  1  9x  43 1 1 67
tại x  ta có B  19.  43  2 2 2
c) C   x   x     x   x   2 5 4 3 2 2 3 2  1  7x  29x 14
tại x  2 ta có C    2 17. 2  29. 2   14  1  40 Bài 8 2 2
  6x  3x 10x  5 12x  8x  3x  2 2 18x 12x  7 (*) x  2  x  2 
Thay x  2 vào biểu thức (*) ta có: 2  18.2 12. 2    7  89 ; 41
Vậy GT của biểu thức A tại x  2 là 89 hoặc 41
Bài 9: a) Với x  2020 nên ta thay 2021  x 1vào biểu thức, ta có: 6 A  x   x   5 x   x   4 x   x   3 x   x   2 1 1 1 1 x  x   1 x  x 1  1
b) Tượng tự ta cũng tính được B  1
Bài 10: Chứng tỏ rằng các đa thức sau không phụ thuộc vào biến:
A  3x  52x 1 12x  33x  7  7  2
B  x  52x  3 – 2xx – 3x  7  1  5
C  x  2x   xx x  2 4 – 6 – 2 3
5 – 4  3x x – 1  2  4
D  x y z yzyz x zxzy x  0
Bài 11: Hs biến đổi VT=VP Bài 12: Biến đổi: 2
A  5n  5n  105 (t/c chia hết của một tổng)
b) (a  1)(bc b  c  1)  abc  ab  ac  a bc  b  c  1
 abc  ab bc  ca  a  b  c  1  abc (ab  bc  ca)  (a  b  c)  1
 abc abc  1  1  0.
========== TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ==========