Chuyên đề phương trình, bất phương trình, hệ phương trình bồi dưỡng học sinh giỏi toán 11

Chuyên đề phương trình, bất phương trình, hệ phương trình bồi dưỡng học sinh giỏi toán 11 rất hay và có lời giải được viết dưới dạng PDF gồm 88 trang. Các bạn xem và download ở dưới.

33 17 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Tài liệu chung Toán 11

Môn: Toán 11

Thông tin:

88 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Thùy Dương (H)
1
I. PHƯƠNG TRÌNH
1. Không có tham số
Dạng 1: Biến đổi tương đương
Câu 1. Giải phương trình
Lời giải
+Biến đổi phương trình tương đương :
Câu 2. Giải phương trình
Lời giải
Điều kiện:
Nhận thấy là một nghiệm của phương trình.
Xét Khi đó phương trình đã cho tương đương với
Vì nên và Suy ra vì
vậy
Do đó phương trình
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là hoặc
Câu 3. [Đề thi hsg Bắc Sơn, Lạng Sơn] Giải phương trình sau :
Lời giải
35 3 5
42 52 4 5
223223xx xx x x x x++ ++= +-+ +
2
320xx-+=
1
2
x
x
=
é
Û
ê
=
ë
2
41223 1 2++ + = - -()( ).xxxx
1³- .x
1=-x
1>- .x
( ) ( )
32
4122233 212+- + + - = - - -xxxxx
( )
2
2
43 43
324
12 2 33
44
31301
12 2 33
--
Û+ =-++
++ + +
Û- + -+-=
++ + +
æö
ç÷
èø
() ()
()( )
() . ()
xx
xxx
xx
xx
xx
1>-x
231+>.x
44
3
12 2 33
+<
++ + +
,
xx
2
44
130
12 2 33
+-+-<
++ + +
() .x
xx
1303Û-=Û=() .xx
1=-x
3= .x
33
3
115xx x++ -=
2
Câu 4. Giải phương trình: ,với .
Hướng dẫn giải.
Câu 5. Giải phương trình .
Hướng dẫn giải.
Tìm được nghiệm duy nhất x=2/3
Câu 6. Tìm nghiệm nguyên của phương trình .
Hướng dẫn giải
Ta có:
Vì 7 là số nguyên tố nên ta có các trường hợp sau:
; ; ;
Giải ba hệ phương trình trên ta được: .
( )
3
2
33 33
3
115231115
5
3
23
3
15 4 5 0 0
2
5
2
++ -= Û + - ++ - =
Þ- =Þ-=Þ==±
±
xx xxx xx x
xxxxxx;x.
Thˆ lπi ta th y ph≠¨ ng tr◊nh c„ 3 nghi÷m: x = 0; x = .
( ) ( )
22
6121 231xx x xx++= + ++
xRÎ
( ) ( )
22
1232123420xx x xx xÛ++- + +++-=
(
)
(
)
22
2321 2320xx x xxÛ++-+ ++-=
2
2
2321
232
xx x
xx
é
++=-
ê
Û
ê
++=
ë
2
2
1
3 15
2321
2
3
3620
x
xx x x
xx
ì
³
+
ï
++=-Û Û=
í
ï
--=
î
2
32 12 3xxxx-- += --
2
23
32 12 3 (23)(x1)
32 1
x
xxxx x
xx
-
-- += --Û = - +
-+ +
22
3221040xyxyxy-+ --+=
( ) ( )
( )
22
2
22
3221040
21 14847
x y xy x y
xxy y yy
-+--+=
Û+ -+- - ++==
( ) ( )
22
122 7xy yÛ+- - + =-
( )( )
31 37yx yxÛ++ -+=
317
31
yy
yx
ì
++=
í
-+=
î
317
31
yy
yx
ì
++=-
í
-+=-
î
311
37
yy
yx
ì
++=
í
-+=
î
311
37
yy
yx
ì
++=-
í
-+=-
î
( ) ( ) ( ) ( )
{ }
;3;1,1;3,7;3xyα - -
3
Câu 7. (THPT Quảng Xương 2 – Thanh Hóa, 2009-2010) Giải phương trình:
Hướng dẫn giải
Đặt ta được
Giải ta được suy ra
Dạng 2: Đặt ẩn phụ
Bài 1. Giải phương trình trên tập số thực: (1).
Hướng dẫn giải
Điều kiện: .
không là nghiệm của phương trình.
.
Đặt .
Phương trình trở thành: .
Khi đó ta có: . Vậy .
Bài 2. Giải phương trình sau trên tập số thực: .
Hướng dẫn giải
Phương trình (1) .
Đặt . Ta có phương trình:
(*).
.
Phương trình (*)
.
2
2
156
15
xx
xx
=+ + -
-+ -
15tx x=-+-
( )
( )
2
2
24
12220
2
t
ttt
t
-
=+ Û - + + =
2t =
1, 5xx==
2
x+x+9=2 4 x+1x -+
x1³-
( ) ( ) ( )
2
2
92 4 1 2 5 1 2 2 1xx x x x x x xÛ++= -+ + - + + = - + +
1x =-!
2
22
1: (1) 5 2 1
11
xx
x pt
xx
æö
ç÷
èø
--
>- Û + = +
++
!
2
t=
1
x
x
-
+
2
t +5 = 2t +1
2
t=
3
Û
2x+1=3x 6-
20 + 4 7
x=
9
Û
20 4 7
9
S
ìü
+
ïï
=
íý
ïï
îþ
( )
22
237 521xx x x++=+ +
( )
22
21 521360xx x xÛ+-+ +++=
2
21tx=+
( )
2
5360txtx-+ ++=
( ) ( ) ( )
2
2
5436 1xxxD= - + - + = -
éù
ëû
t3
tx2
=
é
Û
ê
=+
ë
2
3213 2tx x=Û +=Û=±
2
221 2tx x x=+Û +=+
2
x20
x4x30
+>
ì
Û
í
--=
î
2
27
27
x
x
x
>-
ì
ï
ÛÛ=±
í
=±
ï
î
4
Vậy .
Bài 3. Giải phương trình sau trên tập số thực: .
Hướng dẫn giải
Đặt . Điều kiện:
Ta có:
Thay vào phương trình ta được:
+) : phương trình vô nghiệm do
Vậy là nghiệm phương trình.
Bài 4. Giải phương trình sau
Lời giải
Nhận xét rằng không là nghiệm của phương trình đã cho.
Suy ra . Chia cả hai vế của phương trình cho rồi đặt , ta có phương trình
Xét hàm số .
Ta có hàm số liên tục trên và .
Suy ra hàm số luôn đồng biến trên khoảng .
Khi đó phương trình đã cho có dạng
(do )
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là và .
( )
2; 2 7S =± ±
( ) ( )
22 2
25 22130xx xx xx x-- +++ ++ +=
2
2
3
axx
bx
ì
=++
ï
í
=+
ï
î
7
.
2
0
a
b
ì
³
ï
í
ï
³
î
222222
2523;212.xx a b xx ab--= - ++= -
( ) ( )
22 22
23 2 0abaabb-+-=
32
3220
bbb
aaa
æö æö æö
Û+ - -=
ç÷ ç÷ ç÷
èø èø èø
2
1
420
b
a
bb
aa
é
=
ê
ê
Û
ê
æö
++=
ç÷
ê
èø
ë
2
420
bb
aa
æö
++=
ç÷
èø
0.
b
a
³
2
1
)1 3 2 .
1
x
b
ba x x x
x
a
=
é
+=Û=Û+=++Û
ê
=-
ë
1; 1xx==-
3
32 2 3
21017825xxx xxx-+ - += -
0x =
0x ¹
3
x
1
,0tt
x
=¹
3
32 2
817102251ttt t-+-= -
( ) ( )
( )
( )
3
3
22
21 221 5 1 25 1 *ttt tÛ-+ -= -+ -
( )
3
2,ft t t t=+ "Î!
( )
ft
!
( )
2
'320,ft t t=+>"
( )
ft
( )
;-¥ +¥
( )
(
)
33
22
21 5 1 21 5 1ft f t t t-= -Û -= -
32
17 97
817 60
16
ttt t
±
Û- +=Û=
0t ¹
1
17 97
12
x
-
=
2
17 97
12
x
+
=
5
Bài 5. Giải phương trình sau :
Lời giải
Đặt .
Điều kiện xác định:
Đặt Ta có .
Phương trình đã cho trở thành
(tm đk).
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là
Bài 6. Giải phương trình: (1)
• Điều kiện:
• và do đó và .
• (1) Û
Û
• Đặt: a = 8 + 4 > 1, t = x
2
– 2x -12. Điều kiện: t > 0.
• Do đó: (1) Û ln
a + 1
(t + 1) = ln
a
t
Cách 1: (1) Û ln
a + 1
(t + 1) = ln
a
t .
• Từ (I) ta được:
• y = 1: là nghiệm của (2).
( )
2 2
41 2 211 xxxx+=-++
2222
11 1 2 (14) 2 10yx yx y xyx=+³Û=+Þ+- +-=
3
4
12 =Û-=Û xxy
2
3
32
52
51 .
6
-
+-=
x
xx
2
520.-³x
2
52
(0).
6
-
=³
x
tt
22
562=+xt
3
32 32 3
621 62(1)++-=Û++=+xt txt t
33
(1) 1 1Û=-Û=-Û=+xt xt tx
2
2
2
2
1
1
52
1
52
6
12 8 0
(1)
6
³-
ì
³-
ì
-
ï
Û=+Û Û
íí
-
++=
=+
î
ï
î
x
x
x
x
x
xx
x
628Û=-+x
628.=- +x
22
25
22 5
log ( 2 11) log ( 2 12)
+
+
-- = --xx xx
2
2
2120
(*)
2110
ì
-->
ï
í
-->
ï
î
xx
xx
2
(2 5 ) 9 4 5+=+
2
(2 2 5) 8 4 5+=+
25 945+=+
22 5 8 45+=+
22
945 845
log ( 2 11) log ( 2 12)
++
-- = --xx xx
22
945 845
log ( 2 11) log ( 2 12)
++
-- = --xx xx
5
(I)
1( 1)
ì
=
ï
Û
í
+= +
ï
î
y
y
ta
ta
a1
1 (2).
a +1 a +1
æöæö
+=
ç÷ç÷
èøèø
yy
6
• y < 1: , y < 1: .
• Nên (2) có nghiệm duy nhất: y = 1. Do đó: (1) t = a Û x
2
– 2x – 12 = 8 + 4 ( thỏa *)
Û x
2
– 2x – 20 - 4 = 0 Û x = 2 + 2 hoặc x = -2 .
• Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x = 2 + 2 hoặc x = -2 .
Cách 2: Xét hàm số y = f(t) = ln
a + 1
(t + 1) - ln
a
t (a >1
• Ta được: vì a > 1, nên hàm số giảm trên (0; +¥) và ta có f(t) = 0 có
nghiệm t = a nên f(t) có nghiệm duy nhất t = a.
• Vậy: (1) (1) Û ln
a + 1
(t + 1) = ln
a
t Û t = a x
2
– 2x – 12 = 8 + 4 ( thỏa *)
Û x
2
– 2x – 20 - 4 = 0 Û x = 2 + 2 hoặc x = -2 .
• Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x = 2 + 2 hoặc x = -2 .
Bài 7. Giải phương trình: (1).
• nên điều kiện là: x ³ -1.
• x
2
+ 2x + 2 = (x +1) + (x
2
+ x + 1), đặt ,
• Với điều kiện x ³ -1: (1) trở thành:
3(a
2
+ b
2
) = 10ab Û 3a
2
– 10ab + 3b
2
= 0 Û (a – 3b)(3a – b) = 0 Û a = 3b hay a = b/3.
• a = 3b Û =3 Û x + 1 = 9(x
2
+ x + 1) Û 9x
2
+ 8x + 8 = 0 (vô nghiệm)
• a = b/3 Û 3a = b Û3 = Û9(x + 1) = x
2
+ x + 1 Û x
2
- 8x - 8 = 0
Vậy phương trình có hai nghiệm: .
Bài 8. Giải phương trình :
Điều kiện: x -1
+) Nếu x > 3 thì:
x - 3x + 2 = (x – 1) - 3(x- 1) > 4(x – 1) – 3(x – 1) = x – 1 > Chứng tỏ x > 3 không
thỏa mãn
Với -1 x 3
Đặt x = 2cost + 1 ( 0 t )
Khi đó phương trình trở thành:
(2cost + 1) - 3(2cost + 1) + 2 =
8cos t – 6cost =
2cos3t = 2cos
a1a1
1
a +1 a +1 a +1 a +1
æöæö
+>+=
ç÷ç÷
èøèø
yy
a1a1
1
a +1 a +1 a +1 a +1
æöæö
+<+=
ç÷ç÷
èøèø
yy
5
5
5
5
5
5
11
'0
(1)ln( 1) ln
=-<
++
y
tata
5
5
5
5
5
5
232
3( 2 2) 10 2 2 1++= + ++xx xxx
32 2
221(1)( 1)+++=+ ++xxx x xx
1=+ax
2
1=++bxx
1+x
2
1++xx
1+x
2
1++xx
426Û=±x
426=±x
32
3 2 1-+=+xx x
³
3
2
3
1+x
£
£
£
£
p
3
2
2cos2 +t
Û
3
)1(cos2 +t
Û
2
t
7
cos3t = cos
Bài 9. Giải phương trình
Hướng dẫn giải
Điều kiện xác định:
Đặt Ta có .
Phương trình đã cho trở thành
.
Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm là
Bài 10. [Đề chọn hsg tỉnh Trà Vinh, 2014-2015] Giải phương trình :
Bài 11. [Đề thi hsg tỉnh Vĩnh Long, 2015-2016] Giải phương trình
Lời giải
Phương trình tương đương với
Đặt , ta có phương trình
Vì nên
Û
2
t
Û
ê
ê
ê
ê
ë
é
+-=
+=
p
p
k
t
t
k
t
t
2
2
3
2
2
3
Û
ê
ê
ê
ê
ë
é
=
=
7
4
5
4
p
p
k
t
k
t
2
33 2
52
51
6
-
+-=
x
xx
2
520.x -³
2
52
(0).
6
x
tt
-
=³
22
562xt=+
32 32 3
3
621 62(1)xt txt t++-=Û++=+
33
(1) 1 1xt xt txÛ=-Û=-Û=+
2
2
2
2
1
1
52
1628
52
6
12 8 0
(1)
6
x
x
x
xx
x
xx
x
³-
ì
³-
ì
-
ï
Û=+Û Û Û=-+
íí
-
++=
=+
î
ï
î
x628.=- +
( ) ( )
33
22
11 1 1 2 1xx x x
éù
+- + - - =+-
êú
ëû
3
3
122 1+= -xx
3
3
221221+=-+ -xxx x
3
21=-tx
33
22+=+xxtt
( )
( )
( )
( )
( )
( )
22
22
20
201
Û- ++ + -=
Û- +++=
xt x xtt xt
xt x xtt
2
2
22
3
220
24
æö
+++= + + +>
ç÷
èø
tt
xxtt x
(1) Û=xt
3
3
21 210Û= -Û - +=xx xx
( )
( )
2
1
110
15
2
=
é
ê
Û- +-=Û
-±
ê
=
ê
ë
x
xxx
x
8
Tập nghiệm
Bài 12. Giải phương trình: ,với
Hướng dẫn giải.
Từ pt ta thấy
(1)
Đặt:
Pt trở thành:
Giải phương trình
Bài 13. Giải phương trình: .
Hướng dẫn giải.
Đặt từ phương trình ta có
Như vậy: ngược hướng
Suy ra: (1)
Giải (1) và thử lại ta thấy phương trình đã cho có nghiệm là
Bài 14. Giải phương trình: ,với
Hướng dẫn giải.
Đk:
Đặt
Ta có:
15
1;
2
ìü
-±
ïï
=
íý
ïï
îþ
S
( )
42 2
13 133xx x x+++ +=
x Î !
0xñ
2
2
11
13 33xx
xx
æö
Û+++ +=
ç÷
èø
1
,2tx t
x
=+ ³
( )
2
133tt-= -
2
3
2
9140
t
t
tt
£
ì
ÛÛ=
í
-+ =
î
1
21xx
x
+=Û=
3
32 2
51262 1xx x xx-+-= -+
2
23 1 1.34xx xx x--+-= + -
( )
( )
;1 , 2 3 ; 1uxv x x==---
!!
..uv u v=-
!! ! !
,uv
!!
23 1
1
xx
x
---
=
15
2
x
--
=
10 10xx=+ +
xRÎ
0x ³
10 , 10uxu=+ ³
10
10
xu
ux
ì
=+
ï
í
=+
ï
î
9
Vậy phương trình có một nghiệm: ,
Giải phương trình: .
Bài 15. Giải phương trình:
Hướng dẫn giải.
Phương trình đã cho có điều kiện
Với điều kiện trên ta có:
Đặt ta có:
Với ta có :
So với điều kiện , phương trình đã cho có nghiệm
Bài 16. Giải phương trình sau trên tập số thực: .
Hướng dẫn giải.
Điều kiện: Đặt ( ),
ta thu được hệ
Suy ra
( ) ( )( )
010xu x u x u x u-- - =Û - + + =
10( )
xu
ux VL
=
é
Û
ê
++=
ë
2
10
21 41
10
2
21 100 0
x
xu x x x
xx
³
ì
+
=Û =- Û Û=
í
-+=
î
21 41
2
x
+
=
32
3
4
81 8 2 2
3
xxxx-= - + -
2
3
1
1
x
x
x
+=
+
01x<<
x
x
x
x
x
x
-
=+Û=
+
+
1
3
11
1
3
2
2
Û
22 2
(1 ) ( 1) 9xx x-+=
2
2
11
270xx
xx
æö
Û+ - + -=
ç÷
èø
)2(
1
³+= t
x
xt
2
1 10
2 9 0 1 10
1 10
t
tt t
t
é
=-
--=Û Û=+
ê
=+
ê
ë
110t =+
1
110x
x
+=+
1 10 5 2
2
1 10 5 2
2
x
x
é
+--
=
ê
ê
Û
ê
+++
=
ê
ë
10 << x
2
25101 --+
=x
1(2 1) 12xxx+= + ++
1
.
2
x ³-
12yx=++
2y >
2
12(1)
12
xyxy
yx
++ = +
ì
ï
í
-+=
ï
î
10
Do vậy
Thay vào, thử lại thấy thỏa mãn.
Đáp số:
Bài 17. Giải phương trình: .
Hướng dẫn giải.
= 0
(x = 0 không là nghiệm)
Đặt ta được
So với điều kiện ta được
So với điều kiện , ta được
Bài 18. Giải phương trình sau: với .
Hướng dẫn giải.
Đặt . Khi đó phương trình trở thành:
( )
( )( )
2
2
11(1)
11 1 1 0
xyyxxy
yx y x y x
++ = - + +
Û++++-+=
( )( )
11 2 1 0
21
yx y x
yx
Û++-+=
Û= +
15 33
12 2 1 .
32
xxx
-+
++ = +Û =
15 33
32
x
-+
=
15 33
.
32
x
-+
=
146
22
+=++ xxxx
ï
ï
ï
î
ï
ï
ï
í
ì
-+=+
+
££
-
³Ú-£
Û
ï
î
ï
í
ì
-+=+
³-+
³+
Û
)1()1(46
2
51
2
51
0
3
2
)1(46
01
046
222
222
2
2
xxxx
x
xx
xxxx
xx
xx
pt
234
221)1( xxxx ---+Û
07
1
2
1
2
2
=-
÷
ø
ö
ç
è
æ
+-+Û
x
x
x
x
)2(
1
³+= t
x
xt
ê
ê
ë
é
+=
-=
Û=--
101
101
092
2
t
t
tt
ê
ê
ê
ê
ë
é
+++
=
--+
=
Û+=
2
25101
2
25101
101
x
x
t
2
51
0
+
££ x
2
25101 --+
=x
2234
411542xx x x xx++=+ + - -
xRÎ
2
3
1,
2
txxt=++³
( )
42 42 2
47569440tt t t t t t=- + - Û - + - - + =
11
(*)
(*)
! Với thì có một nghiệm là
! Với thì có một nghiệm là
!
Khi thì
hoặc .
!
Khi thì
hoặc .
Bài 19. Giải phương trình .
Hướng dẫn giải.
Điều kiện
Đặt ta có
Phương trình đã cho trở thành
Ta có nên
Ta được phương trình
Với thì
Với thì
( )
( )
( )( )
2
2
222
320 1 50tt ttttÛ--- =Û-- +-=
2
2
10
50
tt
tt
é
--=
Û
ê
+- =
ê
ë
3
2
t ³
2
10tt--=
15
2
t
+
=
3
2
t ³
2
50tt+- =
1 21
2
t
-+
=
15
2
t
+
=
2
22
15
122150
2
xx x x
æö
+
++= Û + -- =
ç÷
ç÷
èø
1325
2
x
-- +
Û=
1325
2
x
-+ +
=
1 21
2
t
-+
=
2
22
1 21
1 2 2 9 21 0
2
xx x x
æö
-+
++= Û + -+ =
ç÷
ç÷
èø
119221
2
x
-- -
Û=
119221
2
x
-+ -
=
( ) ( )
2
3
3
2
13 3 9 3
2
x
xx
+
-= - + -
2x ³-
( )
3
93tx=-
( )
33 2
2
3
27 2 45
;;33
92 18 3
txt t
xx
++ +
==-=
32 3
2
45 45
133
18 3 2
tt t
ttt
++
=++Û =++
2
2
33
33 0
24
tt t
æö
++= + +>
ç÷
èø
( )
3
2
2
45
33
2
t
tt
+
=++
( )( )
( )
2
1
21 3 39 0 3
2
tt tt t t-+ ++=Û=Ú=-
1
2
t =
217
72
x =
3t =-
0x =
12
Bài 20. Giải phương trình .
Hướng dẫn giải.
Ta có phương trình tương đương với
Xét (1), đặt , suy ra và .
Ta được
. Từ đó suy ra .
Thử lại ta được nghiệm của phương trình là và .
Bài 21. Giải phương trình .
Hướng dẫn giải
Phương trình tương đương với .
Đặt , ta có phương trình
Vì nên
Tập nghiệm .
Bài 22. (Chuyên Hưng Yên ) Giải phương trình
22
2121 1xxxx+-+ - =
22
11221xxxx-=- - -
42 2 2 2 3 2
1144(1)441 81xxxxxxxxxfi- =+ + - - - - + -
22 2
22 2
(1 4 1 8 1 ) 0
0
141 8 1 0(1)
xxxx
x
xx x
€- -+ -=
È
=
Í
€
Í
Í
--+ -=
Î
2
1yx=-
0y ≥
22
1xy=-
23
14 8(1 ) 0 8 4 1 0yy y y y-+ - =€ --=
2
(2 1)(4 2 1) 0yyy€+ --=
15
4
y
+
€=
55
8
x
-
=±
0x =
55
8
x
-
=-
3
3
122 1+= -xx
3
3
221221+=-+ -xxx x
3
21=-tx
33
22+=+xxtt
( )
( )
( )
( )
( )
( )
22
22
20
201
Û- ++ + -=
Û- +++=
xt x xtt xt
xt x xtt
2
2
22
3
220
24
æö
+++= + + +>
ç÷
èø
tt
xxtt x
(1) Û=xt
3
3
21 210Û= -Û - +=xx xx
( )
( )
2
1
110
15
2
=
é
ê
Û- +-=Û
-±
ê
=
ê
ë
x
xxx
x
15
1;
2
ìü
-±
ïï
=
íý
ïï
îþ
S
22
3
1
81591 5 22xx xx
x
æö
-+=+ --
ç÷
èø
13
Hướng dẫn giải
Đặt , ta được hệ:
Trừ vế với vế hai phương trình trên, ta được:
TH1:
TH2:
phương trình vô nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm:
Bài 23. Giải phương trình : .
Hướng dẫn giải
Đặt .
Từ phương trình đã cho ta có : (*)
Ta có : (*)
Với ta có
Đặt từ phương trình (**) ta có : (***)
Dùng máy tính điện tử hoặc khảo sát hàm số trên ta thấy (***) có một
nghiệm duy nhất
Ta biểu diễn dưới dạng:
Ta có : nên có thể chọn sao cho :
22
3
32 2
3
32 2
3
1
81591 5 22
815 9(1)(1)(21)331(0)
(2 1) (3 3 1) ( 1) ( 1)(2 1) 3 3 1
xx xx
x
xxxx x x xxx
xxxxxxxx
æö
-+=+ --
ç÷
èø
Û- +=+ + -+--¹
Û-- --=+ + -+--
2
3
2 – 51, 2 2ux v xx--==
32
32
(3 3 1) ( 1)
(3 3 1) ( 1)
uxx xv
vxx xu
ì
---=+
ï
í
---=+
ï
î
( )
( )
( ) ( )
( )
22 22
1 () 10 uvuuvv uvu x vu uv v xÛ- +-++=+- +++=
232
3
21 5 2 2 8 17 810uv x x x x x x=Û -= - -Û - + +=
2
1
(1)(8 91)0
9113
16
x
xxx
x
=
é
ê
Û- --=Û
±
ê
=
ê
ë
22 2 2
3
10 ( ) (2 1) 10
24
u
uuvvx v x x++++=Û+ + - ++=
22
4( ) 12 8 7 0
2
u
vxxÛ++ -+=
22 2
4( ) 4 2(2 1) 5 0
2
u
vxxÛ+++ -+=
1;
9 113
16
xx
±
==
2
43 5xx x-+= +
5tx=+
( )
0t ³
42
14 48 0ttt--+=
( )
( )
32
335160ttttÛ- + -- =
32
3
35160(**)
t
ttt
=
é
Û
ê
+--=
ë
3t =
4x =
( )
11yt y=+ ³
3
890yy--=
( )
3
89fy y y=--
[
1; )+¥
0
y
0
y
000
yuv=+
( )( )
33
00 00 00
3890uv uv uv++ + --=
00
;uv
00
8
3
uv =
14
Vậy ta có :
Như vậy được chọn là nghiệm của phương trình :
Suy ra:
Ta tìm được nghiệm của (***) là
.Suy ra :
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm
;
Bài 24. Giải phương trình sau: .
Hướng dẫn giải:
Ta có:
Đặt , . Phương trình trở thành:
Dạng 3. Sử dụng hàm số
Câu 1. Giải các phương trình sau:
a)
b) .
Câu 2. Giải phương trình sau:
a)
b)
Câu 3. Giải phương trình .
33
00
33
00
512
27
9
uv
uv
ì
=
ï
í
ï
+=
î
33
00
;uv
2
512
90
27
zz+- =
3
0
3
0
9 139
2 108
9 139
2 108
u
v
ì
=+
ï
ï
í
ï
=-
ï
î
33
0
9139 9139
2108 2108
y =+ +-
2
33
9 139 9 139
15
2 108 2 108
x
æö
ç÷
=+ +- --
ç÷
èø
4x =
2
33
9 139 9 139
15
2 108 2 108
x
æö
ç÷
=+ +- --
ç÷
èø
-+=- ++
242
3
31 1
3
xx xx
( )( )
++= ++ +>
42 2 2
11ñ10xx xx xx
( ) ( )
€+= +++
222
ñ3 1 2 ñ 1 ñ 1xx xx xx
-+
=
++
2
2
1
1
xx
t
xx
> 0t
È
-
Í
=<
Í
Í
+-=€
Í
Í
=
Í
Î
2
3
0
3
23
210
1
3
3
t
tt
t
-+
€=
++
2
2
11
1
3
xx
xx
€=1x
( )
32
843ln4210.xx xx+-+ -+=
( )
232
610 3 4120ln xx xxx++ ++ ++=
(
)
2
42
2
2007
1
log 4 3 2006 2
2007
xx
xx
--
æö
-++ + =
ç÷
èø
2
42
2007
42
23
log 2
1
x
xx
xx
æö
+
=--
ç÷
++
èø
( )
1 sin
2007
log 1 sin 1 2007 1
x
x
-
-+= -
15
Giải phương trình:
• Phương trình đã cho tương đương với:
• Xét x = 0; x = ± 1: Thay vào (1) ta thấy đều thỏa nên phương trình có các nghiệm: x = 0; x = ± 1.
• Xét x ¹ 0; x ¹ ± 1: Khi đó (1) Û
Với t ¹ 0, xét hàm số: .
* Với t > 0 thì 3
t
– 1 > 0 Þf(t) > 0 và với t < 0 thì 3
t
– 1 < 0 Þ f(t) > 0, do đó:
Vì (2) Û f(x) + f(x
2
– 1) = 0 nên (2) vô nghiệm.
• Vậy phương trình đã cho có tất cả là 3 nghiệm: x = 0; x = ± 1.
Câu 4. [Đề chọn hsg tỉnh Trà Vinh, 2014-2015] Giải phương trình :
Câu 5. Giải phương trình: .
Ta có (1).
Đặt thì do đó đồng biến và liên tục trên . Từ đó:
.
.
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm.
Câu 6. Giải phương trình (1)
Hướng dẫn giải
Có không là nghiệm của (1)
Xét , chia hai vế cho , được
Đặt , khi đó có PT
Suy ra
Xét hàm số .Vì f(t) là hàm số đồng biến trên R
2
12 2
.3 ( 1).3 1 0
-
+- +--=
xx
xx xx
2
21
(1).(31).(3 1)0
-
--+ -=
xx
xx
2
1
2
313 1
0 (2)
1
-
--
+=
-
xx
xx
31
()
-
=
t
ft
t
32
3
358 36 5325xxxx-= - + -
3
32 2
817 102251xxx x-+-= -
33
32 2 3 2 2
817102251(21)2(21)(51)251xxx x x x x x-+-= -Û-+-=-+ -
3
() 2ft t t=+
2
'( ) 3 2 0,ft t t=+>"
f
!
(
)
33
22
(1) (2 1) 5 1 2 1 5 1fx f x x xÛ-= -Û-=-
2
0
(8 17 6) 0
17 97
16
x
xx x
x
=
é
ê
Û-+=Û
±
ê
=
ê
ë
32 23 3
21 017 825xx x xxx-+ - += -
0x =
0x ¹
3
x
3
23 2
10 17 8 5
221
xx x x
-+ - + = -
( )
1
0yy
x
=¹
32 2
3
817102251yyy y-+-= -
( ) ( )
3
21 221yy-+ -=
2
51y -+
2
3
25 1y -
( )
(
)
2
3
21 5 1fy f y-= -
( )
3
2ft t t=+
16
nên =
Giải tìm được y = 0 (loại);
Tính x theo
Tập nghiệm của phương trình (1) là
Câu 7. Giải phương trình .
Hướng dẫn giải.
Điều kiện:
Phương trình
Ta có: x = 0, x = 5 không là nghiệm phương trình.
Xét hàm số ; ta có: (*)
Áp dụng (*) với
Ta có:
. Vậy là nghiệm phương trình.
Câu 8. Giải phương trình .
Hướng dẫn giải.
Đặt ta được:
(*)
Xét hàm số trên có
Þ hàm số đồng biến trên ; (*)
( )
(
)
2
3
21 5 1 fy f y-= -
«
21y -
2
3
51y -
«
32
817 60yyy-+=
( )
2
817 60yy y«-+=
17 97
16
y
±
=
1
x
y
=
17 97 17 97
;
12 12
ìü
-+
ïï
íý
ïï
îþ
( )
44
44
510
5
33
xx
xx x
+-
+-= + Î!
05x££
44
44 4
2(5)2 2(5)
25 (1)
33 3
xx x x x x
xx
+-++-
Û+-= + +
() , 0fx x x
a
=>
12
'( ) ; ''( ) ( 1 )fx x f x x
aa
aaa
--
==-
1
4
a
=
44
44 4
2(5)2 2(5)
25
33 3
xx x x x x
xx
+-++-
+-£ + +
5
(1) 5
2
xxxÛ=-Û=
5
2
x =
3
32 3
52 3 5 4 13 2,( )xxx x x x---=-+- Î!
3
32
2354axxx=---
3
332
5132(1)
2354(2
ax x
axxx
ì
=- + -
ï
í
=---
ï
î
33
(1) (2) 5 ( 1) 5( 1)aax x+Þ+=-+ -
3
() 5ft t t=+
!
2
'( ) 3 5 0ft t t=+>"Î!
()ft
!
3
32
2354 1xxx xÛ---=-
17
Thử lại, ta được: là nghiệm phương trình.
Câu 9. Giải phương trình : trên .
Hướng dẫn giải
Đặt .Với ta có .
Phương trình đã cho trở thành : (*)
Với Ta có:
Vậy trên phương trình đã cho có nghiệm .
Câu 10. Giải phương trình: .
Lời giải
Biến đổi phương trình: (1)
Đa thức có tối đa 3 nghiệm và ta có: ; ;
; . liên tục trên khoảng và , ,
nên có 3 nghiệm trên khoảng .
Do có đúng 3 nghiệm trong khoảng , nên ta có thể đặt với .
Phương trình (1) trở thành:
(do )
(với )
3
2
3
3
35
830
2
310
35
2
x
x
xx x
xx
x
é
ê
=
ê
=
é
--
ê
Û--=Û Û=
ê
ê
++=
ë
ê
-+
ê
=
ê
ë
35 35
3; ;
22
xx x
-- -+
== =
32
322 2xx x x+--= +
[ ]
2; 2-
2 cosxt=
[ ]
2; 2x Î-
[ ]
0;t
p
Î
32
4cos 3cos 2cos 1 2cos
2
t
tt t
æö
-+ -=
ç÷
èø
[ ]
0;t
p
Î
( )
*cos3cos22cos
2
t
tt
æö
Û+=
ç÷
èø
cos 0
2
0
5
cos 1
4
2
5
t
t
t
t
t
p
p
é
é
æö
ê
=
=
ç÷
ê
ê
èø
ê
ÛÛ=
ê
ê
æö
ê
=
ê
ç÷
=
ê
èø
ë
ë
[ ]
2; 2-
4
2, 2, 2cos
5
xxx
p
=- = =
( )
2
21
21
16 2.4 0
xx
x
-
-
-=
( ) ( )
22
21 4 21
21 41 3 2
16 2.4 0 2 2 8 4 4 1 0
xx xx
xx
xxx
--
--
-=Û =Û--+=
( )
32
84410fx x x x=--+=
( )
17f -=-
( )
01f =
( )
11f =
( )
fx
( )
1;1-
( ) ( )
1. 0 0ff-<
( )
1
0. 0
2
ff
æö
<
ç÷
èø
( )
1
.1 0
2
ff
æö
<
ç÷
èø
( )
0fx=
( )
1;1-
( )
0fx=
( )
1;1-
cosxa=
0 a
p
<<
( ) ( )
32 2 2
8cos 4cos 4cos 1 0 4cos 2cos 1 4 1 sin 1aaa aa a--+=Û -=--
23
4cos .cos2 3 4sin 4sin .cos .cos2 3sin 4sinaa a aaa a aÛ=-Û =-
sin 0a >
( )
43 2
sin 4 sin 3
432
aak
aa k
aak
p
pp
=+
é
Û=Û Î
ê
=- +
ë
!
0 a
p
<<
18
hay hay .
Câu 11. Giải phương trình sau: .
Hướng dẫn giải
Điều kiện .
Đặt .
Từ phương trình đã cho ,ta có hệ phương trình:
Đặt S = x + y; P = xy đưa đến hệ phương trình:
Kết hợp với điều kiện, nghiệm pt đã cho là: .
Câu 12. Giải phương trình: .
(Chưa giải)
Câu 13. Giải phương trình:
(Chưa giải)
Dạng 3: Sử dụng hàm số
Bài 1. Cho phương trình: với . Chứng minh rằng với mỗi số nguyên
thì phương trình có một nghiệm dương duy nhất
Hướng dẫn giải:
Xét hàm số với nguyên, (1)
+) Ta có: . Do nên khi thì Vậy là hàm số đồng
biến trên .
7
a
p
Û=
3
7
a
p
=
5
7
a
p
=
2
11
2
2
x
x
+=
-
{ }
(2;2)\0x Î-
2
2 ;y>0yx=-
22
2
2
xy xy
xy
+=
ì
í
+=
î
2
2
22
SP
SP
=
ì
í
-=
î
2
1
20
2
S
SS
S
=-
é
Þ--=Û
ê
=
ë
2; P=1 =y=1Sx=Þ
1 3 -1- 3
x=
1
22
1; P=- ;
2
1 3 -1+ 3
y=
22
x
S
y
ìì
-+
=
ïï
ïï
=- Þ
íí
--
ïï
=
ïï
îî
-1- 3
1 và x=
2
x =
2
23 1322 5316.( )xxxxx x++ += + + +- Î!
2
32 14923 52.xxx xx-+ -= -+ - +
2
10
n
xxx---=
,2nnÎ>•
2,n >
n
x
( )
2
1
n
fx x x x=---
n
2 n >
( )
1
–2 –1
n
fx nx x
-
¢
=
2,n >
1x >
( )
0.fx
¢
>
( )
fx
( )
1; +¥
19
Lại có: ( vì nguyên và )
Ta có: và liên tục, đồng biến nên phương trình có nghiệm duy nhất
trên .
+) Mặt khác với thì suy ra với mọi
Như vậy ta đã chứng minh được (1) có nghiệm dương duy nhất với mọi nguyên,
Bài 2. Cho phương trình: .
1. Chứng tỏ phương trình (1) có đúng 5 nghiệm.
2. Với là nghiệm của phương trình nghiệm, tính tổng:
Hướng dẫn giải
1. Xét hàm số: .
* f(x) là hàm số xác định và liên tục trên R.
* Ta có:
;
Phương trình có 5 nghiệm phân biệt
sao cho:
* Ta có là nghiệm của (1) nên:
Do đó:
Xét biểu thức:
Đồng nhất thức ta được:
( ) ( )
120;22–70
n
ff=- < = >
n
23nn>Þ³
( ) ( )
120ff<
( )
fx
( )
0fx=
( )
1; +¥
01x<<
( )
2
2
n
xxdon<>
( )
0fx<
0 1.x<<
n
2.n >
( )
5432
1
5410 1
2
xxxxx--++-=
( )
1, 5
i
xi=
5
1
54
1
1
22
i
ii
x
S
xx
=
+
=
--
å
( )
543
1
541
2
fx x x x x=- - +-
( ) ( )
( ) ( )
3
25; 2;01;
2
1 5 1 175
;1 ;3
28 2 2
ff f
ff f
æö
-=- - = =-
ç÷
èø
æö
==- =
ç÷
èø
( )
3
2. 0
2
ff
æö
Þ- -<
ç÷
èø
( ) ( )
31
.0 0; 0. 0
22
ff ff
æö æö
-< <
ç÷ ç÷
èø èø
f
æö
ç÷
èø
( ) ( ) ( )
1
.1 0; 1.3 0
2
ff ff
æö
<<
ç÷
èø
Þ
( )
0fx=
1
,xx
12345
,,,,xx xx x
12345
31
2013
22
xxxxx
-
-< < < < < < < << <
i
x
543
1
5410
2
iiii
xxxx--+-=
( )
54 32
22254
ii ii i
xx xx xÛ--= --
( )
5
32
1
1
25 4
i
i
ii i
x
S
xx x
=
+
=
--
å
( )
( )( )
32
11
54 154
xx
gx
xx xxx x
++
==
-- - +
( )
( ) ( )
12 5
49 13654
gx
xx x
=- + +
-+
20
Do vậy:
Mặt khác:
Với ta được:
và
Do đó:
Vậy: .
Dạng 4: Đánh giá
Bài 1. Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình:
Hướng dẫn giải
Xem (1) là phương trình bậc hai ẩn x ta có: (1) .
* Để (1) có nghiệm x nguyên điều kiện cần là: ( k
nguyên, không âm)
* Lại xem là phương trình bậc hai ẩn y . Để có nghiệm nguyên y điều kiện cần
là là một số chính phương (m nguyên dương).
Do và 16 = 16.1 = 8.2 = 4.4 nên ta có các trường hợp.
+) TH1: suy ra phương trình (1) có nghiệm .
+) TH2: suy ra phương trình (1) có nghiệm .
+) TH3 : Loại.
55 5
11 1
111 1 1 1
4
89172
5
ii i
ii
i
S
xx
x
== =
=- + +
-
+
åå å
( ) ( )( )( )( )( )
12345
fx x x x x x x x x x x=- - - - -
( ) ( )( )( )( )
( )( )( )( )
2345
13 45
'
...
fx xx xx xx xx
xx xx xx xx
=- - - - +
--- -+
Þ
i
xx¹
( )
( )
5
1
'
1
i
i
fx
fx x x
=
=
-
å
( )
43 2
'521524fx x x x x=-- ++
( )
( )
( )
( )
55
11
'1 '1
11
12
11 1 1
ii
ii
ff
fxxf
==
=Þ =-=-
--
åå
( )
( )
( )
( )
55
11
'0 '0
11
4
00
ii
ii
ff
fxxf
==
=Þ=-=
-
åå
55
11
44
''
11 12900
55
44
44
4789
55
55
ii
ii
ff
xx
ff
==
æö æö
--
ç÷ ç÷
èø èø
=Þ=-=-
æö æö
-- +
-
ç÷ ç÷
èø èø
åå
8959
4789
S =-
22
2353230xyxyxy+-+--=
Û
( )
22
235 3230xyxyy+- + - -=
( )
( )
2
22 2
35 4.23 2 3 14 33yyyyykD= - - - - = - + =
22
14 33 0yy k-+-=
( )
222
'49 33 16kkm
d
=- - =+=
22
16mk-=
( )( )
16mkmkÛ+ -=
85
23
mk m
mk k
+= =
ìì
Û
íí
-= =
îî
( ) ( ) ( )
;15;12,1,2xy =
44
40
mk m
mk k
+= =
ìì
Û
íí
-= =
îî
( ) ( ) ( )
;13;11,3,3xy =
16
1
mk
mk
+=
ì
í
-=
î
21
Bài 2. [Đề xuất, Chuyên Hùng Vương Phú Thọ, DHĐBBB, 2015] Giải phương trình
Lời giải
Điều kiện:
Nhận thấy là một nghiệm của phương trình.
Xét Khi đó phương trình đã cho tương đương với
Vì nên và Suy ra
vì vậy
Do đó phương trình
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là hoặc
Bài 3. [Đề thi hsg tỉnh Nghệ An, bảng A, 2015-2016]
Bài 4. Ký hiệu là số nguyên lớn nhất không vượt quá x. Giải phương trình
Hướng dẫn giải
Ta có
pt
2
41223 1 2()( ).xxxx++ + = - -
1.x ³-
1x =-
1.x >-
( ) ( )
32
4122233 212xxxxx+- + + - = - - -
( )
2
2
43 43
324
12 2 33
44
31301
12 2 33
() ()
()( )
() . ()
xx
xxx
xx
xx
xx
--
Û+ =-++
++ ++
æö
Û- + -+-=
ç÷
++ ++
èø
1x >-
10x +>
231.x +>
44
3
12 2 33
,
xx
+<
++ + +
2
44
130
12 2 33
() .x
xx
+-+-<
++ + +
1303() .xxÛ-=Û=
1x =-
3.x =
2
32
3
52
51 .
6
x
xx
-
+-=
[ ]
x
[ ]
( )
2
120150.xxx-+ + =
0.x ¹
[ ]
22
2015 2015
x1 x x 2015.
xx xx
x
xx
-+ -+
Û= Û-< £Û³
[ ]
( ) ( )
( )
( )
2
2
2015 1 2015 0
1 1 8060
*
2
xa a x a x
aa
x
=Î ³ Þ - + + =
+± + -
Û=
!
22
Vậy .
2.
Có tham số
Bài 1. Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt
.(1)
Hướng dẫn giải
Đặt ; điều kiện:
.
Ta có:
(2)
Pt (2) có hai nghiệm phân biệt .Vậy
.
Thay vào phương trình ta được:
(3)
Đặt
.
Ta có: số giao điểm của (C) và (d) là số nghiệm phương trình (3).
Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi phương trình (2) có đúng 1 nghiệm .
Xét hàm số ;
.
Cho
.
Bảng biến thiên
t
1 2
+∞
y’
- 0 +
y
8
+∞
( )
( )
( ) ( )
( )
2
2
22
2015 1 2015 0
1 1 8060
2015 (t/ m);
2
1 1 8060 1 1 4
2015
22
Do a x a x
aa
x
aa aa a
loai
³Þ-++=
++ + -
Û= ³
+- + - +- + -
£<
( )
2
1 1 8060
; ; 2015
2
aa
Saa
ìü
++ + -
ïï
=γ
íý
ïï
îþ
!
( )
22
1222419,()mxxmxx x++++=++Î!
2
22tx x=++
1t ³
2
22tx x=++Û
2222
22 22 0xx t xx t++=Û++-=
( ) ( )
;1 1;tÛÎ-¥- È +¥
1t >
2
2
215
(1) 215
1
tt
mtmt m
t
-+
++= +Û=
+
2
215
()
1
()
tt
yC
t
ymd
ì
-+
=
ï
+
í
ï
=
î
1t >
18
23 ;([1; ))
1
yt t
t
=-+ Î+¥
+
2
18
'2
(1)
y
t
=-
+
'0 2 7;lim
x
yty y
®+¥
=Û=Þ= =+¥
23
7
Vậy phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
.
3.
Bài 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập thành
một cấp số nhân:
Hướng dẫn giải
Phương trình đã cho tương đương:
.
Phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (1) có hai nghiệm phân biệt khác
1, hay: (*).
Khi đó, PT đã cho có ba nghiệm và , trong đó là nghiệm của (1).
Theo định lý Viet ta có (2).
Xét các trường hợp sau:
*) Nếu (3). Từ (2) và (3) ta có hệ:
.
*) Nếu (4). Từ (2) và (4) ta có hệ: .
Vậy, có ba giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán là: .
Bài 3. Tìm các giá trị của tham số m để phương trình có
nghiệm
Hướng dẫn giải.
Lời giải:
Điều kiện:
PT (1)
(2)
Đặt
8
7
m
m
>
é
Û
ê
=
ë
m
32
7(6) 0.xxmxm-++-=
2
2
1
(1)( 6 )0
60(1)
x
xxxm
xxm
=
é
--+=Û
ê
-+=
ë
2
'9 0
9
5
16.1 0
m
m
m
m
D= - >
<
ì
ì
Û
íí
¹
-+¹
î
î
12
,xx
3
1x =
12
,xx
22
13 2 1 2
.xx x x x=Û=
2
22
12
21
2
12 1 2
21
23
12 2
60
6
2; 4; 8
.
3; 9; 27
xx
xx
xxm
xx m x x
xxm
xx mx
ì
+-=
ì
+=
===
ï
é
ï
=Û= Û
íí
ê
=- = =-
ë
ïï
==
î
î
2
12 3 12
..1xx x xx=Û =
1, 8, 27mm m== =-
2
99xxxxm+-=-++
09x££
2
92(9) 9xxxxxxm€+-+ - =-+ +
22
92 9 9xxxxm€+- + =- + +
2
9txx=- +
24
Ta có: ;
Do đó :
Phương trình (2) trở thành (3)
Xét hàm số ,
Ta có :
Bảng biến thiên :
Phương trình (1) có nghiệm phương trình (3) có nghiệm
Bài 4. Tìm để phương trình sau (ẩn ) chỉ có một nghiệm.
Bài 5. Cho hai phương trình sau:
(1)
'
2
29
29
x
t
xx
-+
=
-+
'
9
0
2
tx=€ =
9
0
2
t££
22
92 2 9tt m t t m+=+€-++=
2
() 2 9ft t t=- + +
9
0
2
t££
''
() 2 2; () 0 1ft t ft t=- + = € =
0; 9x
È˘
Œ€
Í˙
Î˚
9
0;
2
t
È˘
Í˙
Œ
Í˙
Î˚
9
10
4
m€- £ £
a
x
53 5(21)(1)
1
()(31)
aaa
xa xax a
-+-
+=
---+
25
(2)
(a là tham số, x là ẩn số)
Tìm a để số nghiệm của phương trình (1) không vượt quá số nghiệm của phương trình (2).
Bài 6. Cho phương trình: có một nghiệm không nhỏ hơn 4. Chứng
minh rằng phương trình có nghiệm.
Bài 7. Với mỗi số tự nhiên , gọi là số nghiệm của phương trình
.
Tính giới hạn sau
Lời giải
Giả sử là một nghiệm của phương trình , khi đó mọi nghiệm của
phương trình trên có dạng
Vì x ³ 0 và y ³ 0 nên .
Suy ra
Suy ra
Kết hợp với , ta có .
Vậy
Bài 8. Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có nghiệm
.
Hướng dẫn giải.
Điều kiện :
PT (1) (2)
( ) ( )
2
220ax b c x d e+++ +=
432
0ax bx cx dx e++++=
k
( )
Nk
2016 2017 , 0, 0xykxy+=³³
()
lim
k
Nk
L
k
®+¥
=
00
,xy
2016 2017xyk+=
00
2017 , 2016 ,xx tyy tt=+ =- Î!
00
2016 2017
yx
t³³
00
00
1
2016 2017
()
2016 2017
yx
Nk
yx
é-
éùéù
-+
ê
êúêú
ëûëû
ê
=
-
ê
éùéù
-
ê
êúêú
ëûëû
ë
00
() 3.
2016 2017
yx
Nk -- £
00
2016 2017xyk+=
() 1 3
2016.2017
Nk
kk
-£
() 1
lim
2016.2017
k
Nk
k
®+¥
=
4
2
31 12 1xmx x-+ += -
1x ≥
2
44
11
32
11
xx
m
xx
ʈ
-˜ -
Á
˜
Á
€+=
˜
Á
˜
Á
++
˜
Á
˯
26
Đặt , Do
Phương trình (2) trở thành : (3)
Xét hàm số ,
Ta có :
Bảng biến thiên :
Phương trình (1) có nghiệm phương trình (3) có nghiệm
Bài 9. Cho phương trình
.
Tìm m để phương trình có nghiệm thực.
Hướng dẫn giải.
Với tập xác định , Phương trình đã cho tương đương với
.
Đặt t = thì t Î [ 0; 3)
Xét hàm số ;
f’(t) = ; f’(t) = 0 Û t = - 4 hoặc t = 2.
Bảng biến thiên của hàm số f(t) trên đoạn [ 0; 3 ]
4
1
1
x
t
x
-
=
+
44
12
01101
11
x
t
xx
-
£=-<fi£<
++
22
32 32tm tm t t+= € =- +
2
() 3 2ft t t=- +
)
0; 1t
È
Œ
Í
Î
''
1
() 6 2 ; () 0
3
ft t ft t=- + = € =
)
1;x
È
Œ+• €
Í
Î
)
0; 1t
È
Œ
Í
Î
1
1
3
m€- < £
22
2
2 .( 4). 2 8 2 14 0
4
x
xxmx xx m
x
+
-+ - + +---=
-
)
2; 4D
È
=-
Í
Î
222
(28)82 282 6 0xx m xx xx m-- + + - + - + + - - - =
2
82xx+-
2
26
() ; 0;3
1
tt
ft t
t
-+-
È˘
=Œ
Í˙
Î˚
+
2
2
28
(1)
tt
t
-- +
+
27
Phương trình đã cho có nghiệm x Î [ - 2; 4) Û Đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số f(t), t
Î [ 0; 3 ] Û - 6 ≤ m ≤ - 2
Bài 10. Cho phương trình: , với m là tham số.
Tìm tham số m để phương trình có nghiệm thực.
Hướng dẫn giải.
Điều kiện: .Đặt với
Ta có: ;
suy ra:
Do nên phương trình trở thành:
Bài 11. Tìm m để pt sau có nghiệm .
Hướng dẫn giải.
. Ta đưa pt về dạng đẳng cấp
Từ pt suy ra
Chia hai vế pt cho , ta được
Đặt , lập bbt với tìm được
P t trở thành (1)
Phương trình ban đầu có nghiệm khi và chỉ khi pt (1) có nghiệm thuộc t thuộc (0;2).
( )
2
3
21 4 3 3 2 7
4
xx x m x x+-- += ++ -
37x-£ £
327tx x=++ -
[ ]
3, 7x Î-
11723
'
237 237
xx
t
xxxx
-- +
=-=
+- +-
'0 7 2 3 1yxxx=Û -= +Û=-
(3) 210,(7) 10,(1) 52ttt-= = -=
10,5 2t
éù
Î
ëû
2
2
319
327 214 3
44
t
tx x xx x
-
=++ -Û +--+=
22
19 19
44
tt
mt m
t
--
=Û =
222
8413 (21) 3xx mx x++= + +
222
8413 (21) 3xx mx x++= + +
222 2222
8413 (21) 3(21)4(3) (21) 3xx mx x x x mx x++= + +Û ++ += + +
1
2
x >
2
3x +
22 2 2
2
2
22
(2 1) 4( 3) (2 1) 3
21 21
40
33
xxmxx
xx
m
xx
++ += + +
æöæö
++
Û- +=
ç÷ç÷
++
èøèø
1
2
x
-
>
(0;2)t Î
2
4
tm
t
+=
28
Tìm được
Bài 12. (Chuyên Hưng Yên). Giả sử với hai số dương thì phương trình
có các nghiệm đều lớn hơn 1. Xác định giá trị của để biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất
và tìm giá trị nhỏ nhất đó ( là số nguyên dương cho trước).
Hướng dẫn giải
Gọi là các nghiệm của phương trình đã cho.
Theo định lý Vi-et ta có
Theo bất đẳng thức AM - GM ta được
hay
Theo bất đẳng thức
thì
hay
Suy ra , do (*)
Do đó ta có
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Khi đó phương trình có ba nghiệm trùng nhau
và đều bằng Vậy giá trị nhỏ nhất của là khi
Bài 13. Giải phương trình .
Bài 14. Tìm để BPT sau vô nghiệm:
Bài 15. Giải bất phương trình
Bài 16. Chứng minh phương trình: có ít nhất 2 nghiệm với
Hướng dẫn giải
Xét phương trình: (1)
Xét hàm số:
22mm>Ú <-
,ab
32
0,xaxbxa-+-=
,ab
3
nn
n
b
P
a
-
=
n
123
,,xx x
123
12 23 31
123
xx x a
xx x x xx b
xx x a
++=
ì
ï
++ =
í
ï
=
î
3
123 123
3xx x xxx++³
3
3aa³
Û
33 (*)a ³
2
()3( );,,xyz xyyzzx xyzR++ ³ + + " Î
22
12 23 31 123 1 2 3
()3()bxxxxxx xxxxxx=++ ³ ++
22
33.bab a³Û³
333 3 3
33
(3 3)
nn nnn n n
nn
nn n
n
ba
P
aa a
--
=³ =-³-
31
3
n
n
P
-
³
33; 3 9.aba===
3.
P
31
3
n
n
-
3 3; 9.ab==
42
42
11
0xx
xx
-+ - =
m
( )
( )
22
42210mxmx-+-+³
2
114
3
x
x
--
<
432
220110xmxnx px-+ + ++ =
,,mn p"Î!
432
220110xmxnx px-+ + ++ =
432
() 2 2011fx x mx nx px=- + + + +
29
sao cho
sao cho
Hàm số liên tục trên các đoạn và
phương trình có ít nhất 1 nghiệm và ít nhất 1 nghiệm
Vậy phương trình có ít nhất 2 nghiệm.
Bài 17. Cho các phương trình: (1)
(2)
trong đó x là ẩn số và m là tham số (0 < m < 1).
1) Chứng tỏ rằng phương trình (1) có đúng 2 nghiệm phân biệt và 1 nằm trong khoảng nghiệm.
2) Chứng minh phương trình (2) có nghiệm.
(Chưa giải)
Bài 18. Cho phương trình .
Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình trên có 3 nghiệm phân biệt thoả mãn điều kiện:
.
(Chưa giải)
Bài 19. Tìm điều kiện của tham số a, b để phương trình sau có các nghiệm lập thành cấp số cộng:
(Chưa giải)
Bài 20. Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất:
(Chưa giải)
Bài 21. Tìm các giá trị của a để phương trình sau chỉ có một nghiệm:
(Chưa giải)
Bài 22. Giả sử phương trình có 3 nghiệm phân biệt.
Hãy xét dấu của biểu thức:
Hướng dẫn giải
+ Tập xác định: R.
là tam thức bậc hai có biệt số
+ Pt: có 3 nghiệm phân biệt nên có 2 nghiệm phân biệt và
432
lim ( ) lim ( 2 2011)
xx
fx x mx nx px
®+¥ ®+¥
=-++++ =-¥
0bÞ$ >
( )
0fb<
432
lim ( ) lim ( 2 2011)
xx
fx x mx nx px
®-¥ ®-¥
=-++++ =-¥
0aÞ$ <
( )
0fa<
( )
020110f =>
( )
fx
[ ]
;0a
[ ]
0; ;b
( ). (0) 0
(0). ( ) 0
fa f
ffb
<
ì
í
<
î
Þ
( )
1
;0xaÎ
( )
2
0; .xbÎ
22
(1) 20xmxm-+ + -=
432 2
20xmxx xm+-++=
32
32 20;xxmxm mR++ -+= Î
123
,,xx x
12 3
1xx x<<<
32
3ax 0.xx b-++=
25(2)(5)xx xxm++ -- + - =
53 5(21)(1)
1.
()(31)
aaa
xa xax a
-+-
+=
---+
32
0xxaxb+++=
2
3.ab-
32
() 0.yfx x x axb==+++=
2
'3 2yx xa=++
'13.aD= -
32
0xxaxb+++=
'0y =
12
,xx
30
+ Suy ra: ( là hai nghiệm của phương trình ).
+ Thực hiện phép chia đa thức ta được:
Suy ra
+
+ Vì là 2 nghiệm của phương trình: nên
Do đó: .
suy ra:
+ Vì và nên
Bài 23. Cho phương trình: .
a/ Giải phương trình khi
b/ Tìm để phương trình có nghiệm.
Hướng dẫn giải
Câu a:
+Đặt u = v = .
+Ta có hệ
+Hàm số có nên f(u) tăng trên [1; +
¥).
+ và tăng nên hệ (I) chỉ có một nghiệm: từ đó ta có
nghiệm của phương trình là: .
Câu b:
+ ) tăng trên [1; + ¥) mà nên phương trình có nghiệm khi hay
Bài 24. Giải và biện luận phương trình theo tham số m:
Hướng dẫn giải
(1).
12
().() 0.fx fx <
12
13 0
().() 0
a
fx fx
Ï
->
Ô
Ô
Ì
Ô
<
Ô
Ó
12
,xx
2
32 0xxa++=
[ ]
32
11 1
() ' (6 2) 9 .
39 9
fx x x ax b x y a x b a
ʈ
˜
Á
=+++= + + - +-
˜
Á
˜
Á
˯
[ ] [ ]
112 2
11
() (6 2) 9 ;() (6 2) 9 .
99
fx a x b a fx a x b a=-+- =-+-
22
12 12 12
( ). ( ) 0 (6 2) (6 2)(9 )( ) (9 ) 0.fx fx a xx a b ax x b a<€ - + - - + + - <
12
,xx
2
32 0xxa++=
12 12
2
;. .
33
a
xx xx+=- =
22
2
(6 2) (6 2)(9 ) (9 ) 0
33
a
aababa-- - - +-<
22
4(3 1)( 3 ) (9 ) 0.aab ba--+-<
2
(9 ) 0ba-≥
310a -<
2
3 0.ab->
2
5
4
34 ( 1)( 33) 1xxaxx-+---=
64.a =
a
2
5
34xxa-+
4
(1)(33)xx--
54
(1) 33
(I).
10
uu a
vu
Ï
Ô
-- =-
Ô
Ì
Ô
=-≥
Ô
Ó
54
() ( 1)fu u u=- -
[ )
43
'( ) 5 4( 1) 0 1;fu u u u=-->"Œ+•
( ) ( )
64, 31 2afu f===
( )
fu
( )
2, 1uv==
17x =
257±
(fu
( )
11f =
– 33 1a ³
34.a ³
222
(lg cos ) log cos 2 0.xm xm--+=
222
(lg cos ) lo gcos 2 0xm xm--+=
31
+Điều kiện:
Đặt Phương trình trở thành: .
Xét tam thức bậc hai có:
+Trường hợp 1: t = 0 là nghiệm của (2).Khi đó ta có m = .
+ m = : (2) nên (1) Û lgcosx = 0 Û cosx = 1Ûx =2kp, kÎZ.
+ m =- : (2) nên (1)
Û
+Trường hợp 2: Phương trình (2) có 2 nghiệm t
1
, t
2
khác 0 (t
1
£ t
2
):
.
Với điều kiện (1) có nghiệm nên ta chỉ cần xét 2 trường hợp sau: a/ ; b/
a/ .
Khi đó (2) có hai nghiệm t
1
, t
2
âm nên (1) có các họ nghiệm: .
b/
Khi đó (1) Û .
+Kết quả:
+ : (1) có nghiệm: .
+ : (1) có nghiệm:
+ : (1) có nghiệm:
+ (1) có nghiệm .
+ : (1) vô nghiệm.
+ : (1) có nghiệm
+ : (1) có nghiệm: .
cos 0 2 2 , k Z.
22
xkxk
pp
pp>€- + << + Œ
lg cos .tx=
22
220 (2)
t0
tmtm
Ï
Ô
--+=
Ô
Ì
Ô
£
Ô
Ó
22
() 2 2 0ft t mt m=- - +=
22
1; , ' 2( 1), (0) 2.
2
S
ammfm==D= - =-+
2±
2
0 hay t = 2 2t€=
2
0 hay t = -2 2t€=
-2 2
2
lg cos 0
, k Z.
lg cos 2 2
ccos10 2
xk
x
x
xar k
p
p
È
È
=
=
Í
Í
€Œ
Í
Í
=-
=± +
Í
Î
Î
22
12
2( 1) ; 2( 1)tm m t m m=- - =+ -
12
0tt£<
12
0.tt<<
2
12
2
'0 2( 1)0
0/20 0 2 1
(0) 0
20
m
tt S m m
f
m
Ï
Ï
Ô
D≥ - ≥
Ô
Ô
Ô
Ô
Ô
ÔÔ
£<€ <€ < €- <£-
ÌÌ
ÔÔ
ÔÔ
>
ÔÔ
-->
Ô
Ó
Ô
Ó
2
2( 1)
arccos10 2 ,
mm
xkkZp
±-
=± + Œ
2
12
0(0)020 2 2.ttaf m m haym<< € <€- +<€ <- >
2
m- 2(m 1)
1
lg cos ccos10 2 ,xt x ar kkZp
-
=€ =± + Œ
2 m <-
2
m- 2(m 1)
ccos10 2 ,xar kkZp
-
=± + Œ
2 m =-
-2 2
2; ccos10 2 ,xk x ar kkZpp==± +Œ
2<m<-1 -
2
m2(m1)
ccos10 2 ,xar kkZp
±-
=± + Œ
1:m =-
ccos0,1 2 ,xar kkZp=± + Œ
1< m< 2 -
2 m =
2, .xk kZp=Œ
2 m >
2
m- 2(m 1)
ccos10 2 ,xar kkZp
-
=± + Œ
32
BÀI TẬP CHƯA CÓ LỜI GIẢI
1. Giải phương trình: .
2. Giải phương trình:
3. Cho trước các số nguyên dương Chứng minh rằng phương trình
có vô số nghiệm nguyên dương.
4. Giải phương trình: . Trong đó a là tham số.
5. Giải phương trình:
6. Giải các phương trình sau:
a) ; b) .
c)
7. Giải phương trình:
2. BẤT PHƯƠNG TRÌNH
1. Không có tham số
Dạng 1: Biến đổi tương đương
Bài 1. Giải bất phương trình: .
(Chưa giải)
Bài 2. Giải bất phương trình:
Lời giải
Điều kiện:
*) Nếu thì suy ra bất phương trình vô nghiệm.
*) Nếu nên bất phương trình tương đương với
22
21
3
x
xx
+
éù
éùé ù
-=-
ëûë û
êú
ëû
2
2
11
1
(4 3 )
x
x
+=
-
,.ab
( )
2222
244xaxyabybyz-+- +=
( ) ( )
43
–10 – 2 –11 2 5 6- 2 0xxa axaa++++=
1996 1995
1995 1996 1xx-+ -=
2
7
82 2 1
1
x
xx
x
+
++ = + -
+
32
1
3
xxx=++
22
12 2xxxx-= -
22
32 10xx xx-++ +-=
2
2
13
1
1
1
x
x
x
+>
-
-
99
9 xx
xx
-<- -
9
90
3
9
0
30
0
x
x
x
x
x
x
ì
-³
ï
ï
³
é
ï
-³Û
í
ê
-£ <
ë
ï
¹
ï
ï
î
30x-£ <
99
09xx
xx
--<<-
9
30xxx
x
³Þ- - >
22
999 9
92. 92. 0xxx x x xx x
xxx x
-< - -+-Û -- -+>
33
Vậy tập nghiệm là
Bài 3. Giải bất phương trình:
Hướng dẫn giải
Điều kiện:
(do )
+) Với thì (*) luôn đúng.
+) Với , bình phương 2 vế của (*) suy ra vô nghiệm.
Vậy, bất phương trình có nghiệm .
Bài 4. Giải bất phương trình: .
Hướng dẫn giải
+) Điều kiện:
+) Với x=1 BPT hiển nhiên đúng suy ra x=1 là nghiệm
+) Với suy ra BPT chỉ ra vô nghiệm
+) Với suy ra BPT .
Chỉ ra nghiệm
22
2
3
3
(9)0
137
9
2
x
x
xx
x
xx
³
ì
³
ì
ïï
-- >Û Û
íí
±
¹
-¹
ï
ï
î
î
137
[3;+ )\{ }
2
S
±
=¥
22
2( 1) 2 1 2 1. (1)xxxxx-+-£--
2
12
210 .
12
x
xx
x
é
³- +
+-³Û
ê
£- -
ê
ë
(
)
2
22
(1) 1 2 1 ( 1) 0xxx xÛ-- +- -+ ³
(
)
(
)
22
2212 210xx xxxÛ-- + - - + - ³
2
2210xx xÛ- +-£
2
2210xx-- + - <
2
221(*)xx xÛ£ +-
12x £- -
12x ³- +
12x £- -
22
43 2 33 1xx xx x-+- -+³-
2
2
3
430
1
2310
1
2
x
xx
x
xx
x
é
ê
³
ì
-+³
ê
ï
Û=
í
ê
-+³
ï
î
ê
£
ê
ë
3x ³
(3)(1) (1)(21) 1xx x x xÛ---- -³-
2x £
(1 )(1 2 ) (1 )(3 ) 1xx xx xÛ- --- -£-
1
2
x £
34
+) Kết luận: BPT có nghiệm
Bài 5. Giải bất phương trình sau:
Hướng dẫn giải
Điều kiện .
Với
suy ra
do đó và .
Kết luận tập nghiệm .
Dạng 2: Đặt ẩn phụ
Bài 1. Giải bất phương trình:
(Chưa giải)
Bài 2. Giải bất phương trình:
Hướng dẫn giải.
Điều kiện x ³ .
Biến đổi bất phương trình về dạng:
Đặt: Khi đó, bất phương trình có dạng: (1)
Ta có:
Dấu đẳng thức xảy ra khi
Vậy
Xét trường hợp , ta có:
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: .
Bài 3. Giải phương trình: .
1
1
2
x
x
=
é
ê
ê
£
ë
222
10 9 2 10 9.xx x x x x+-+>+ -+
( ;1] [9;+ )x Î-¥ È ¥
22
10 9 0 10 9xx x x x x+-+>Û-+>-
22
10 9( 10 9 2 2 ) 0xx xx x-+ -+-+>
2
10 9 0xx-+>
2
10 9 2 2xx x-+>-
5
( ;1) (9; )
3
S =- È +¥
3
1243 2.xx x++ + < -
2
24621 2, .xx x xx-+- ->- Î!
1
2
2
2( 2) 2(2 1) 221xxxx-+ ->-+ -
2
210
ux
vx
=-
=-³
ì
ï
í
ï
î
22
22uvuv+ >+
( )
( )
2
22
2 uv uv uvuv+³ +=+³+
uv=
(1) uvÛ¹
uv=
21 2
2
5
1
5
xx
x
x
x
x
-= -Û
³
ì
ï
Û=
=
é
í
ê
ï
=
ë
î
{ }
1
;\5
2
éö
+¥
÷
ê
ëø
2
35 818xxxx-+ - ³ - +
35
Dạng 3: Sử dụng hàm số
Bài 1. Chứng minh rằng: với x > 0 và y > 0.
• Đặt t =
• Vì x > 0 và y > 0 nên: t =
• Do đó: .
• Bài toán trở thành chứng minh: với mọi t > 1.
• Xét hàm số y = f(t) = với mọi t > 1.
• y’ = nên hàm số đồng biến trên khoảng (0; +¥).
• Do đó: t > 1 Þ f(t) > f(1) = 0 Þ >0.
• Cách giải khác: Đặt t = và đưa đến chứng minh: . Giải tương tự.
Bài 2. Giải bpt (1).
• (1đ) Biến đổi về dạng: a
y
+ b
y
³ 1: Chia hai vế của (1) cho (1 + x
2
)
cos4x + 3
> 0 ta được:
(1) Û (2).
• (4 đ) Tìm ra nghiệm của (1):
• Vì 0< x < 1 nên: và
• Và cos4x + 3 ³ 2 nên: .
• Dấu bằng xảy ra khi chỉ khi: cos4x + 3 = 2 Û cos4x = -1 Û x = (vì 0< x <1).
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất: x = .
Cách khác: Đặt x = tgt, t Î nên 0< x <1 Û 0 < t < .
(2) Û (sin2t)
cos4x + 3
+ (cos2t)
cos4x + 3
³ 1.
Dạng 4: Đánh giá
Bài 1. [Đề chọn HSG Sở Quảng Trị,2010] Giải bất phương trình : .
2. Có tham số
Bài 1. Tìm để bất phương trình sau có nghiệm duy nhất:
2
ln
2
+
æö
>
ç÷
+
èø
xy y
xxy
1
+
>
xy
x
(1)
+
Û=+Û= -
xy
tx x y y x t
x
22(1) 1
2
22(1)1
--
==
++-+
yxt t
xy xxt t
1
ln 2
1
-
-
+
t
t
t
( )
2
2
t1
0
t(t 1)
-
³
+
1
ln 2
1
-
-
+
t
t
t
y
x
cos 4 3 2 cos4 3 2 cos4 3
(2 ) (1 ) (1 ) , 0 < x < 1
++ +
+- ³+
xx x
xx x
os4x + 3
os4x + 3
2
22
21
1
11
æö
-
æö
+³
ç÷
ç÷
++
èø
èø
c
c
xx
xx
2
22
21
01,01
11
-
<<<<
++
xx
xx
2
2
2
22
21
1
11
æö
-
æö
+=
ç÷
ç÷
++
èø
èø
xx
xx
os4x + 3
os4x + 3
2
22
21
11
æö
-
æö
+
ç÷
ç÷
++
èø
èø
c
c
xx
xx
2
2
2
22
21
1
11
æö
-
æö
£+=
ç÷
ç÷
++
èø
èø
xx
xx
4
p
4
p
;
22
pp
æö
-
ç÷
èø
4
p
2
35 818xxxx-+ - ³ - +
m
36
.
Hướng dẫn giải.
Điều kiện: và
Bất phương trình đã cho tương đương với:
. (*)
Đặt
+ Với (*)
Ta thấy và là hàm đồng biến nên ta có:
Vì phương trình trên có với nên phương trình trên vô nghiệm Þ bất
phương trình đã cho vô nghiệm.
+ Với Ta có:
.
Xét phương trình có
Nếu Þ (2) vô nghiệm Þ bất phương trình đã cho vô nghiệm.
Nếu phương trình trên có 2 nghiệm đều thoả mãn (1) và (2) Þ bất phương trình
đã cho có nhiều hơn một nghiệm.
Nếu Þ (2) có nghiệm duy nhất Þ bất phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
Vậy giá trị cần tìm của m là:
Bài 2. Tìm m để bất phương trình đúng với mọi x .
Bài 3. [Đề hsg Dương Xá,2008-2009] Cho bất phương trình:
Xác định m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi .
Lời giải
Điều kiện
++++ ++≥
22
1
7
log 11 log ( 10 4) log ( 12) 0
mm
xmx xmx
0m >
1,m π
2
10 0.xmx++≥
-+++ ++
≥
22
711
11
1log( 10 4)log( 12)
0
log
xmx xmx
m
2
10 ,ux mx=+ +
0.u ≥
01:m<<
( )
( )
( )
7 11
log 4 log 2 1fu u u€= + +≥
( )
91f =
( )
fu
( ) ( )
22
99 109 10fu f u x mx x mx≥€ + + ≥€ + +€ ≥≥
2
40mD= - <
01m<<
1:m >
( ) ( )
190 9.fu f u£= € £ £
2
10 9xmx€£ + + £
Ï
Ô
++≥
Ô
€
Ì
Ô
++£
Ô
Ó
2
2
10 0 (1)
10(2)
xmx
xmx
2
10xmx++=
2
ñ 4.mD=
12m<<
0€D<
20m >fiD>fi
2m =
1x =-
1.x =-
2.m =-
( )( )
0182442
2
³+-+-+- mxxxx
[ ]
4;2-Î
2
44 3xxxxm+-£ -++
[ ]
0; 4x Î
22
04 04
430(2) 43(2)
xx
xx m m x x
££ ££
ìì
Û
íí
-++³ ³--
îî
37
Điều kiện cần để bpt (1) nghiệm đúng với thì (2) nghiệm đúng
Xét f(x)= x
2
-4x-3
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên (2) đúng với
PT
Đặt
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên suy ra
Bất phương trình trở thành
g(t)=-t
2
+2t+1 m (3)
Để bất phương trình đầu nghiệm đúng với thì (3) có nghiệm đúng với
.
[ ]
0; 4x"Î
[ ]
0; 4x"Î
x
0
2
4
f(x)
-3
-7
-3
[ ]
0; 4x"Î
Û
[0;4]
max ( ) 3mfxm³Û³-
Û
22
424 4 3xx xx m+-£-++
2
4txx=-
x
0
2
4
t
0
2
0
02t££
£
[ ]
0; 4x"Î
[ ]
0; 2t"Î
[0;2]
max ( )mgtÛ³
38
Từ BBT suy ra .
Kết luân thì bpt (1) nghiệm đúng .
III. HỆ PHƯƠNG TRINH
1. Không có tham số
Dạng 1: Biến đổi tương đương
Bài 25. Giải hệ phương trình:
Hướng dẫn giải
Điều kiện: .
Phương trình (3)
.
(vì (1;1) không thỏa phương trình(2))
Thay vào phương trình (2), ta được :
.
Vậy
.
Bài 26. Giải hệ phương trình sau trên tập số thực:
Hướng dẫn giải
t
0
1
2
g(t)
1
2
1
2m ³
2m ³
[ ]
0; 4x"Î
( ) ( )
3232
1 5 3 (2)
1 2 1 2 (3)
ì
ï
í
ï
î
-+ =
++ + =++ +
yx x
xx y yyyx xy
1³x
( )
( )
22
12 0Û-- - + =xy y yx
22
1
20
é
ê
ë
=-
Û
-+=
yx
yyx
( )
2
2
1
110
é
ê
ê
ë
=-
Û
-+-=
yx
yx
1
1
( ì x 1)
1
é
ê
ì
ê
í
ê
î
ë
=-
Û
=
³
=
yx
x
v
y
1Û=-yx
( )
( )
3
11
13 120
21 3
é
ê
ê
ë
-=
-- -+=Û
-= -
x
xx
xx
2
()
523
é
ê
ê
ë
=
Û
=+
x
n
x
( )
( )
( )
( )
,2;1;,523;423==++xy xy
22
2
3
62 3
322 5150
ì
--= -- +
ï
í
-- + + - =
ï
î
xy xy xy
xyxy
39
Đặt .
Điều kiện:
Thay vào (2) ta được:
Phương trình (*) vô nghiệm do:
.
Vậy x = 3 và y = 1 là nghiệm của hệ phương trình.
Câu 8. Giải hệ phương trình:
Câu 9. Giải hệ phương trình: .
Câu 10. Giải hệ phương trình:
Lời giải
Điều kiện: .
- Ta có (1).
Xét hàm số , suy ra hàm số g(t) đồng
biến trên khoảng . Kết hợp với (1) ta có
- Thế (2) vào phương trình còn lại của hệ đã cho ta được:
22
2
3
62 3 (1)
322 5150(2)
ì
--= -- +
ï
í
-- + + - =
ï
î
xy xy xy
xyxy
0
0.
2
-³
ì
ï
+³
í
ï
³
î
xy
xy
x
( )( )
(1) 2 3 0Û+- -+=xy xy
4Û=-yx
2
3
3224 550-- -+ - +=xxxx
2
3
3
33
32 (3)(2)0
21
(4 ) 4 1
æö
--
æö
ç÷
Û- +--=
ç÷
ç÷
-+
èø
-+-+
èø
xx
xx
x
xx
2
3
3
3
32
20(*)
21
(4 ) 4 1
=
é
ê
Û
ê
++-=
ê
-+
-+-+
ë
x
x
x
xx
220 0³Þ-³Þ >x x VT
322 3
22
(1 ) (2 ) 30 0
(1 ) 11 0
ì
++ ++ -=
í
+++ +-=
î
xy y xy y xy
xy x y y y
( )
24 5
,
1
ì
++ +=
ï
Î
í
-=
ï
î
!
xy xy
xy
xy
32 64
32
64
2
ln 0
83 4 3 24 16
++
ì
+
-+ =
ï
+
í
ï
-=+ -
î
xxy yy
xxy
ee
yy
yxx
( )
0>y
3
0; 0
4
><£xy
( ) ( )
32 64 32 64
32
32 64
64
ln 0 ln ln
++ + +
+
-+ =Û ++=++
+
xxy yy xxy yy
xxy
ee e xxye yy
yy
( ) ( )
'
1
ln ( t > 0 ) 0, t > 0=+ Þ =+> "
tt
ft e t f t e
t
( )
0; +¥
( ) ( )( )
( )
3264 362 2 22242 2
00 2+=+Û-+ -=Û- +++=Û=xxy yy xyyxy xyxxyyy xy
40
Xét hàm số
Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng , từ đó phương trình ( 3) có nghiệm duy
nhất , suy ra .
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất .
Bài 27. Giải hệ phương trình:
Điều kiện :
Thế vào pt đầu ta được
Bài 28. Giải hpt
( )
24 4 2
83 4 3 24 16 16 24 83 4 3 0 3-=+ - Û - + --=yyyyy y
( )
( )
( )
42
'3 2
16 24 8 3 4 3
16 16 3
64 48 16 4 3 0, 0< y
4
34 34
=-+--
Þ=-- = -- <"£
--
gy y y y
gy y y y y
yy
( )
gy
3
0;
4
æö
ç÷
èø
1
2
=y
1
2
=x
( )
11
,,
2
2
æö
=
ç÷
èø
xy
( )
2
2
4871
2624 1.
ì
-+ += + -
ï
í
-+-+-=+
ï
î
xy y x
xy y x x y
1
04
³-
ì
í
££
î
y
x
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
2
22
2
2
2
2624 1
242264 12 1
221 1 12 1
21 10
1
-+-+-=+
Û-+-++=+++ +
éù
Û-++++++= +
ëû
Û+-+-+=
Û=-
xy y x x y
xxyyxy xy xy
xxy y y x xy
yx xy
yx
( )
( )
2
2
2
475
33 1 4 2 7
11
331
14 2 7
-+ += +
Û+-++--++-+
æö
Û+- + +
ç÷
++ - + + +
èø
xx x x
xx x xx x
xx
xxxx
2
3 21
2
330
5 21
2
ì
-+
=
ï
ï
Û+-=Þ
í
-+
ï
=
ï
î
x
xx
y
2
3
22
()
(, ).
2( ) 3 2 1 11
ì
-+ =
ï
-
Î
í
ï
+- -=
î
!
y
xxy
xy
xy
xy x
41
Điều kiện x ≥
Từ phương trình thứ nhất dễ dàng suy ra được y > 0.
Ta có
Thay vào phương trình thứ hai ta được
Đặt t = ta được t
4
– 3t – 10 = 0 Û t = 2
Từ đó tìm được
Bài 29. Tìm tất cả các số thực thỏa hệ: .
Hướng dẫn giải
Ta chứng minh nếu các số thỏa mãn hai điều kiện đầu thì
Thay ,ta chứng minh
với
Ta có
Do đó nghịch biến trên hơn nữa nên nhận giá trị dương trên và âm
trên Suy ra với mọi
Từ đó,hệ phương trình có nghiệm
1
2
2
3
22
3
2
22
22
3
3
2
22
3
3
()
()( 1) () 0
()( 1)
()
0
() 1 ()
()
(1) 0
() 1 ()
10 1
-+ =
-
Û-+ --+-+-=
-+ --
-+-
Û+=
-+-+ -+-
æö
-+
+
ç÷
Û-- + =
ç÷
-+-+ -+-
èø
Û--=Û=-
y
xxy
xy
xxyxy xxyy
xxyxy
xxyy
xy xy x xy y
xxy
xy
xy
xy xy x xy y
xy yx
2
44232111-+- -=xx x
21-x
53
(, ) ( , )
22
=xy
,xy
11
,0
2
1
++
ì
>
ï
+=
í
ï
³
î
xy
xy
xy
xy
,xy
( ) ( )
11
11ln 1ln0
++
£Û + + + £
xy
xy x x y y
2=-yx
( ) ( ) ( ) ( )
1ln 3 ln 2 0=+ +- -£fx x x x x
02<<x
( ) ( )
11
'lnln2
2
=- -+ +
-
fx x x
xx
( )
( )
( )
( )
2
2
2
2
11 1 1
''
2
2
1
11111 11
0
222 2 2
éù
=+ - +
êú
-
-
êú
ëû
-
æö æö
£+ - + =- + £
ç÷ ç÷
----
èø èø
fx
xxx
x
x
xxxx xxxx
( )
'fx
( )
0; 2 ,
( )
'1 0=f
( )
'fx
( )
0;1
( )
1; 2 .
( ) ( )
10£=fx f
( )
0; 2 .Îx
1.==xy
42
Bài 30. Giải hệ phương trình sau:
Hướng dẫn giải
Bài 31. Giải hệ phương trình
Hướng dẫn giải
ĐK:
Từ (2) suy ra:
Do y 0 phương trình (1) tương đương với
.Đặt
43 3 22
33
99
()7
ì
++=+ +
ï
í
-=
ï
î
xxy yyxxy x
xy x
43 3 22 2 2
33 33 33
99()()9()()9
()7 ()7 ()7
ììì
++=+ + - +=- +=
ïïï
ÛÛ
ííí
-= -= -=
ïïï
îîî
xxy yyxxy x xxyxy xy xxy
xy x xy x xy x
33
33
34
3
3
3
3
() 7
()7
(3 ) 7
ì
=-
ì
ì
ï
=-
=-
ïï ï
ÛÛ Û
íí í
æö
ïï ï
-- =
-=
--=
ç÷
î
î
ï
èø
î
yx
yx
yx
x
x
x
xxx
xy x
xx x x x
x
43 43
33
2927727029277270
ìì
=- =-
ïï
ÛÛ
íí
ïï
-+ + -= -+ + -=
îî
yx yx
xx
xx x xx x xx x xx x
43 32 2
3
(1)(22 27 77 202027)0
ì
=-
ï
Û
í
ï
-+ +- --+++=
î
yx
x
xxxxxxxxxxx x
3
3
3
1
2
1
(1)(( 1)(27 20)7)0
ì
ì
=-
=-
=
ì
ïï
ÛÛÛ
ííí
=
î
ïï
=
-++ - ++=
î
î
yx
yx
x
x
x
y
x
xxx xxx
( )
22
22
9
5
.
53
65
ì
+-
=
ï
ï
--
í
+
ï
=
ï
-
î
xxy
x
xxy
xx
yy
22
22
0
5
.
0
¹
ì
ï
¹
ï
í
³
ï
ï
--¹
î
y
y
xy
xxy
9
61(2').
5
=-
x
x
y
¹
22
22
61(1')
-
+
=-
-
-
xy
x
x
yy
y
xy
x
yy
=
x
u
y
43
* Xét :phương trình (1')trở thành: .
Nhân liên hợp của mẫu số đưa về phương trình: được nghiệm
+ suy ra không thoả mãn loại.
+ .Thế vào (2') được
* Xét :phương trình trở thành: .Phương trình này có nghiệm u=0 suy ra
x=0 (Không thoả mãn điều kiện bài toán).
Vậy hệ đã cho có một nghiệm
Bài 32. Giải hệ phương trình : .
Hướng dẫn giải
Ta có:
Thế vào (2) ta có :
Vậy nghiệm của hệ PT là: và .
Bài 33. Giải hệ phương trình:
Hướng dẫn giải
0>y
2
2
1
61
1
--
=-
+-
uu
u
uu
(
)
2
310-- - =uu u
5
0; .
3
==uu
0=u
0=x
=>
5
3
=u
5
3
Û=
x
y
5; 3.==xy
0<y
( )
1'
2
2
1
61
1
+-
=-
--
uu
u
uu
( ) ( )
;5;3.=xy
( )
( )
32
22 2
22 1 1
2322
ì
+--= +
ï
í
-++=-++
ï
î
xxy xy
xx y y y x
22
22
(1) 2 ( 2) 2( 1) ( 1)
2( 2) ( 1)( 2) 2 1 2 1
Û+-+=+
Û+=++Û=+Û=-
xx y x y
xx y x x y y x
( )
22 2
22
2
222
2
2(21)213(21)22
261461
2612
2612612
261
--+-+=--++
Û- ++=- ++
é
-++=
ê
Û- ++=- ++- Û
ê
-++=-
ë
xx x x x x
xxx xx
xx x
xxx xx x
xx x
2
22
0
315 15
2612
66
2614
³
ì
+
-++=Û Û= Þ=
í
-++=
î
x
xx x x y
xx x
2
22
0
323 323
261
33
261
£
ì
--
-++=-Û Û= Þ=
í
-++=
î
x
xx x x y
xx x
31515
;
63
æö
+
ç÷
ç÷
èø
323323
;
33
æö
--
ç÷
ç÷
èø
( )
2
2
4871
2624 1.
ì
-+ += + -
ï
í
-+-+-=+
ï
î
xy y x
xy y x x y
44
Điều kiện : .
Thế vào pt đầu ta được :
Bài 34. Giải hệ phương trình:
(Chưa giải)
Bài 35. Giải hệ phương trình:
(Chưa giải)
Bài 36. Giải hệ phương trình:
(Chưa giải)
Bài 37. Giải hệ phương trình:
(Chưa giải)
Bài 38. Giải các hệ phương trình
a) b)
(Chưa giải)
Bài 39. Giải các hệ phương trình:
1
04
³-
ì
í
££
î
y
x
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
2
22
2
2
2
2624 1
242264 12 1
221 1 12 1
21 10
1
-+-+-=+
Û-+-++=+++ +
éù
Û-++++++= +
ëû
Û+-+-+=
Û=-
xy y x x y
xxyyxy xy xy
xxy y y x xy
yx xy
yx
( )
( )
2
2
2
475
33 1 4 2 7
11
331
14 2 7
-+ += +
Û+-++--++-+
æö
Û+- + +
ç÷
++ - + + +
èø
xx x x
xx x xx x
xx
xxxx
2
3 21
2
330
5 21
2
ì
-+
=
ï
ï
Û+-=Þ
í
-+
ï
=
ï
î
x
xx
y
22
22
24
22
ì
++=
ï
í
-+ =
ï
î
xyxy
xy xy
22
22
1118
112
ì
+++++ ++++ =
ï
í
+++-+ +++-=
ï
î
xxy x yxy y
xxy x yxy y
32
32
32
()2
( ) 30
( ) 16
ì
+- =
ï
+- =
í
ï
+- =
î
xyz
yzx
zxy
3
2
ì
-= -
ï
í
+= ++
ï
î
xy xy
xy xy
22
2
8
16
ì
++ =
ï
+
í
ï
+= -
î
xy
xy
xy
xy x y
32
32
32
9 27( 1)
9 27( 1)
9 27 ( 1)
ì
=- -
ï
=- -
í
ï
=- -
î
xz z
yx x
zy y
45
a) b) c)
(Chưa giải)
Bài 40. (Trại hè Hùng Vương 2013) Giải hệ phương trình
Hướng dẫn giải
Từ phương trình đầu của hệ ta có
Coi (*) là phương trình bậc 2 ẩn y ta có nên (*) vô nghiệm.
Do đó hệ phương trình tương đương với
Từ đó ta tìm được nghiệm của hệ là
Bài 41. (Thi cụm Quỳnh Lưu, năm 2016-2017) Giải hệ phương trình sau:
Hướng dẫn giải
Điều kiện:
(1) .
Thay vào (2) ta có phương trình
Xét thỏa mãn (3), suy ra
Xét : (3)
32
32
32
9 27 27 0
9 27 27 0
9 27 27 0
ì
-+ -=
ï
-+ -=
í
ï
-+ -=
î
xy y
yz z
zx x
222
22
23
21
ì
+++ --=
ï
í
++-- =-
ï
î
xyz xyzxzy
xyyzzxxy
3
3
3
21
21
21
ì
=-
ï
=-
í
ï
=-
î
xy
yz
zx
632 2
93028
23
ì
-+- -=
ï
í
++=
ï
î
xyx y y
xxy
( ) ( )
( )
22242
3 6 3 10 0-- + + + + + =xy yy x x x
( )
( )
2
2242
3
63100*
é
=+
Û
ê
+++++=
ê
ë
xy
yy x x x
4
340D=- - < "xx
2
2
3
23 3
23
ì
=+
ï
Þ++=-
í
++=
ï
î
xy
xxx
xxy
( )( )
23
23 1 230
1230
é
=+
Û- + ++ +=Û
ê
++ + =
ê
ë
xx
xx x x
xx
( )
( )
3; 6 , 2 ; 1--
32 32
2
2242(1)
4651214(2)
ì
++= + +
ï
í
++- + =-
ï
î
xxyx y xy y
xx y y
1
2
³-y
22
(2)(2 1)0 2Û- + +=Û=xyxy x y
2
462151(3)+++ =+ +xx x x
1=-x
1=-y
1>-x
2
2
1
46(12)51 1
4612
+
++- - = +Û = +
++
Û
+-
x
xx x x x
xx x
46
Kết hợp (3) và (4) ta được
Kết luận: Hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm:
Dạng 2: Đặt ẩn phụ
Bài 1. Giải hệ phương trình:
Hướng dẫn giải
Điều kiện: . Đặt với
HPT Û Û Û
Û Û Û Û (thỏa).
Kết luận: nghiệm hệ phương trình là .
Bài 2. Giải hệ phương trình:
Ta thấy y = 0 không là nghiệm của hệ phương trình đã cho,
ta xét các giá trị , chia hai vế của PT thứ nhất cho ta được
Đặt ta có hệ phương trình
2
4612
1
1
)
(
01(
4)+
+= Þ =-
é
++- +
Û
ê
ê
ë
=
xx
xx
i
x
l
x
oa
2
1
27
2121
2
2
4830
ì
³
+
ï
+= -Û Û=
í
ï
--=
î
x
xx x
xx
12 72 7
(; ) (1; );( ; )
22 4
++
=- -xy
( )( )
22
22 8
444
ì
ï
í
ï
î
-+=
-+ -=
xy
xyyx
;[2;2]Î-xy
2cos2
2cos2
=
ì
í
=
î
xu
yv
,[0;].
2
p
Îuv
(1 cos 2 )(1 cos 2 ) 2
cos 2 sin 2 cos 2 sin 2 1
-+=
ì
í
+=
î
uv
uv vu
22
sin cos 1/ 2
sin 2( ) 1
ì
=
í
+=
î
uv
uv
sin cos 1 / 2
4
p
ì
=
ï
í
+=
ï
î
uv
uv
sin( ) sin( ) 2
4
p
ì
++ -=
ï
í
+=
ï
î
uv uv
uv
sin( ) 1/ 2
4
p
ì
-=
ï
í
+=
ï
î
uv
uv
4
4
p
p
ì
-=
ï
ï
í
ï
+=
ï
î
uv
uv
4
0
p
ì
=
ï
í
ï
=
î
u
v
2 cos 0
2
2 cos 0 2
p
ì
==
ï
í
ï
==
î
x
y
22
2
14
2
1
ì
ï
í
ï
î
++ + =
+-=
+
xyxyy
y
xy
x
0¹y
0¹y
2
2
1
4
2
1
ì
+
++ =
ï
ï
í
ï
ï
î
+-=
+
x
xy
y
y
xy
x
2
1
,
+
==+
x
uvxy
y
47
Với ta có (*)
Giải hệ PT (*) ta được hai nghiệm (-2; 5) , (1; 2)
Vậy hệ PT ban đầu có hai nghiệm (-2; 5) , (1; 2)
Bài 3. Hệ phương trình tương đương với
+ Với y = -2 thì hệ phương trình vô nghiệm
+ Với , chia hai vế của hai phương trình cho y + 2 ta có
Đặt
Khi đó ta có hệ phương trình
Do đó
Kết hợp với điều kiện thì hệ phương trình có hai nghiệm (x; y): (1; -1), (-2; 2)
Bài 4. Giải hệ phương trình:
Điều kiện . Viết lại hệ dưới dạng:
Đặt
44 1
(2)1 (4 2)1 3
+= =- =
ìì ì
ÛÛ
íí í
-= --= =
îî î
uv v u u
uv u u v
1
3
=
ì
í
=
î
u
v
2
1
1
3
ì
+
=
ï
í
ï
+=
î
x
y
xy
( )
( ) ( )
( ) ( )( )
22
22
24 2
2220
ì
+++=+
ï
í
++ +++ -=
ï
î
xyxy y
xyxy y y
2¹-y
( )
22
22
24
2
20
2
ì
+
++ =
ï
+
ï
í
+
ï
++-=
ï
+
î
xy
xy
y
xy
xy
y
22
,2
2
+
==++
+
xy
abxy
y
( )
2
4
42
42
20
+=
ì
+= =
ìì
ï
ÛÛ
íí í
==
-=
îî
ï
î
ab
ab a
ab b
a
22
2
2
1, 1
2
2, 2
20
22
ì
+
=-
=
==-
ì
é
ï
ÛÛ
+
íí
ê
=- =
+-=
ë
î
ï
++=
î
xy
yx
xy
y
xy
xx
xy
( ) ( ) ( )( )
2 2 1 2 2 1 2. 2 2
(, ).
2
ì
+-++-=++
ï
Î
í
+=
ï
î
!
xxyy xy
xy
xy xy
( )
11
,,*
22
³³xy
( )( ) ( )( )
22 1 22 1
2
22
2
ì
+- +-
+=
ï
++
í
ï
+=
î
xx yy
yx
xy xy
( )( )
( )( )
( )( )
22 1
0
2
2 1 2 1 4 2( ) 1 1
22 1
0
2
ì
+-
=³
ï
+
ï
Þ= - -= - ++=
í
ï
+-
=³
ï
+
î
xx
u
y
uv x y xy x y
yy
v
x
48
Hệ phương trình trở thành :
hay
.
Kết hợp điều kiện (*) ta được nghiệm của hệ là:
Bài 5. Giải hệ phương trình sau:
Hướng dẫn giải
Đặt
Xét với
t
- ¥ -2 2 +¥
f’(t)
+
+ 0 - 0 +
+
f(t)
-11
+¥
1
2
1
1
+=
ì
Û==
í
=
î
uv
uv
uv
( )( )
( )( )
( )( )
2
2
2
22 1 2
20
234
22 1 2
234
234
+-=+
ì
ì- ++ =
ì
+-=
ïïï
ÛÛ
ííí
+-=+
+-=
+-=
ï
ï
ï
î
î
î
xxy
xyxy
xx y
yyx
yy x
xx y
( )
( ) ( ) ( )
{ }
2
0*
;1;1,2;2
234
ì- =
ï
ÛÛÎ--
í
+-=
ï
î
xy do
xy
xx y
( ) ( )
;1;1.=xy
( )
( ) ( )
44 22
44 22
4
32
15 30
21
27 1 24
ì
æö
+- + ++=-
ï
++ +
ç÷
èø
í
ï
-
î
=
xy xy xy
yx yx yx
yxx y
+=
xy
t
yx
( )
2³t
22
2
22
2Þ+=-
xy
t
yx
( )
44
2
242
44
224+=- =-+
xy
ttt
yx
( )
( )
42 2
1 42 2 20Û- +- - ++=tt t t
42
560Û- ++=ttt
( )
( )
32
22 30+- +=Û -tttt
32
20
230
+=
--
é
Û
ê
+
ë
=
t
ttt
( )
32
23=- -+ft t t t
ê
ë
é
-£
³
2
2
t
t
( )
2
’341=--ft t t
3
72 -
3
72 +
49
.
vô nghiệm .
.
, đk: .
Ta có : .
Do (t/m).
Bài 6. Giải hệ phương trình :
Hướng dẫn giải
+) Đặt
+) Đưa về hệ:
Giải hệ (I) ta được
Hệ (II) vô nghiệm
Vậy hệ có nghiệm .
Bài 7. [Đề xuất, Chyên Lào Cai, DHDDBBB, 2015] Giải hệ phương trình:
Lời giải
Hệ phương trình tương đương với
+ Với y = -2 thì hệ phương trình vô nghiệm
¥-
( ) (
] [
)
;11 1;ÞÎ-¥-È+¥ft
( )
0Þ=ft
2Þ=-t
Þ=-xy
( ) ( )
32
4
2127504 13 Û+- + = -xx yx
1³-x
( )
4
333 102 1471 ++++=£ +- xxy
32
15 30 10Þ+- + £+xx x x
( ) ( ) ( )
2
2503Û -+£xx
( )
150 30 2³- Þ + > Þ ³ Û =xx VT x
215
215
ì
+-=
ï
í
+-=
ï
î
xy
yx
2
2
10 1
10 1
ì
=-³Þ=+
ï
í
=-³Þ=+
ï
î
ux xu
vy yv
2
2
230
230
ì
+-=
ï
í
+-=
ï
î
uv
vu
2
2
230
2210
230
é
=
ì
ê
í
+-=
î
ê
ê
+-=
ì
ê
í
ê
+-=
î
ë
uv
uv
uv
uv
12==Þ= =uv xy
2==xy
( )
( )
3222
22
420
2240
ì
+++- +=
ï
í
+++-=
ï
î
xxy xy y
xyxyx
( )
( ) ( )
( ) ( )( )
22
22
24 2
2220
ì
+++=+
ï
í
++ +++ -=
ï
î
xyxy y
xyxy y y
50
+ Với , chia hai vế của hai phương trình cho y + 2 ta có
Đặt
Khi đó ta có hệ phương trình
Do đó
Kết hợp với điều kiện thì hệ phương trình có hai nghiệm (x; y): (1; -1), (-2; 2)
Bài 8.
[Đề thi hsg Ngô Gia Tự, Vp, 2012-2013] Giải hệ phương trình:
Lời giải
Đặt : khi đó ta có hpt : .
Bài 9. [Đề xuất, Chuyên Thái Bình, DHĐBBB,2015] Giải hệ phương trình sau:
Lời giải
ĐKXĐ:
Từ (1) ta được:
Trường hợp đầu suy ra x=y=0 nhưng ko là nghiệm của hệ
Do vậy ta được: x
2
= y + 1 (1 điểm).
Thay vào phương trình (2) ta được:
2¹-y
( )
22
22
24
2
20
2
ì
+
++ =
ï
+
ï
í
+
ï
++-=
ï
+
î
xy
xy
y
xy
xy
y
22
,2
2
+
==++
+
xy
abxy
y
( )
2
4
42
42
20
+=
ì
+= =
ìì
ï
ÛÛ
íí í
==
-=
îî
ï
î
ab
ab a
ab b
a
22
2
2
1, 1
2
2, 2
20
22
ì
+
=-
=
==-
ì
é
ï
ÛÛ
+
íí
ê
=- =
+-=
ë
î
ï
++=
î
xy
yx
xy
y
xy
xx
xy
2
310
22 25
ì
-= - +
ï
í
++-+=+
ï
î
xy xy
xxxyyxy xy
2=-
ì
ï
í
=+ +
ï
î
axy
bx xy
10
. 25
+=
ì
í
=
î
ab
ab
4222 32 2
5( 7 ( 1 ) 2x 8) 13(2x 1 )
ì
+-=++
ï
í
++ + ++ = +
ï
î
xxyy yxyx
xy x y
2x 8 0
70
++³
ì
í
+³
î
y
y
22
222
2
0
()( 1)0
1
é
+=
+--=Û
ê
=+
ë
xy
xyxy
xy
22
5( 6 ( 1 ) 2x 7) 13(2x 1)++ + + + = +xx x x
51
Thay
Dễ thấy nên trường hợp thứ ba bị loại.
Hai trường hợp đầu ta tính được x=-1/2
KL: Hệ có một nghiệm x=-1/2; y=-3/4
Bài 10. Giải hệ phương trình sau:
;
Hướng dẫn giải
Điều kiện: .
Đặt ( ).Hệ phương trình đã cho trở thành
Nhận xét: ; .Do đó là một nghiệm của hệ.
Bây giờ ta xét .Đặt .Với cách đặt này thì
Phương trình (1)trở thành:
(3)
Phương trình (2)trở thành:
(4)
Thay (3)vào (4)ta được: (5)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz cho vế trái của (5)ta được:
( ) ( )
( )
22
22 22
2
1
6; 2x 7 2x 1
2
5 26( ) 5 0 5
1
5
--
=+=++Þ+=-Þ=
é
ê
=
ê
Þ- + - ++=Þ+=
ê
ê
+=
ê
ë
ba
ax bx ba x
ab
ab ab ab ab
ab
26+³ab
( )( ) ( )
22
2
33 2
2
4 3 15 3 4
ì
+=
ï
í
++ += + +
ï
î
xxxyyy
xy xx xy xyyxy xx
, Î !xy
0, 0³³x y
,==axby
0, 0³³a b
( )
( )( ) ( )
( )
435
2
66 5 2 32 3
2 1
43153 4 2
ì
+=
ï
í
++ + = + +
ï
î
aabb
ab a ab abab a
00=Þ=ab
00=Þ=ba
( ) ( )
,0,0=ab
0, 0>>ab
0=Þ>bka k
5
5
12
12
+
+= Û=
k
kak a
k
( )( ) ( )
2
666 5 222 333 3
4315 3 4++ + = ++aak a aka akaak a
( )
5
2
63
3
312
45 4
12 3
æö
+
æö
++ + = ++
ç÷
ç÷
+
èø
èø
kk
kkk
kk
( )
2
55
66
33
312 312
4554 .
12 3 12 3
æö
æö
++
æö
++ + ³ + +
ç÷
ç÷
ç÷
ç÷
++
èø
èø
èø
kk kk
kk
kk kk
( )( )
(
)
( )
2
3
2
22 6
214 4=+++³++kk kk
52
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .Khi đó hay .
Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm là .
Bài 11. Giải hệ phương trình sau:
Hướng dẫn giải
+ Điều kiện:
+ Trừ vế với vế hai phương trình của hệ ta được:
Chia cả hai vế của PT cho ,ta được:
+ Đặt ta có phương trình:
Với thì
Với suy ra thay vào PT (1):
Kết luận:Nghiệm của hệ phương trình là:
Bài 12. Giải hệ phương trình: .
Hướng dẫn giải
Giải hệ phương trình:
Vì không thỏa hệ pt nên
1=k
3==ab
9==xy
( )
;xy
( ) ( )
0; 0 , 9; 9
22
22
25 1
.
(2 4 )1
ì
--=
ï
í
-+ -=
ï
î
xxyy
yxy y y xy
420.³³ >yx y
(
)
22 22
25 2 4 0.--- - + -=xxyyyxyy yxy
2
y
2
251240.
æö æö
------=
ç÷ ç÷
èø èø
xx x x
yy y y
[ ]
2; 4=ÞÎ
x
tt
y
2
251 24 0.--- -- -=tt t t
2( 3) 2( 2 1) (1 4 ) 0.Û-+- --+--=tt t t t
21
(3)2 0.
211 4
æö
-
Û- + + =
ç÷
ç÷
-+ + -
èø
t
tt
tt
[ ]
2; 4Ît
21
20.
211 4
-
++>
-+ + -
t
t
tt
3=t
3=xy
2
13
21 .
22
=Þ = Þ =yy x
( )
2
22 2 34
43 2
21
331 ,,
446
ì
+=
ï
+=+ Î
í
ï
++ =+
î
!
zxyz
xy xy xy xyz
z zy y y y z
( )
( )
( )
2
22 2 34
43 2
21 1
331 2.
446 3
ì
+=
ï
ï
+=+
í
ï
++ =+
ï
î
zxyz
xy xy xy
zzy y y yz
0=z
( )
2
1
1.
2
-
Û=
z
xy
z
53
Đặt thì .
Từ (2):
Vậy .Thay vào (3):
Vậy .
Vì nên .
Vậy .
Vì nên .
Vậy hệ có nghiệm: trong đó
Bài 13. Giải hệ phương trình:
(Chưa giải)
Bài 14. (Chuyên Vĩnh Phúc 2010 – 2011) Giải hệ phương trình:
Hướng dẫn giải
+) Nếu thay vào hệ ta có hệ vô nghiệm
+) Nếu ta đặt thay vào hệ ta được
{ }
tan ; \ 0
22
pp
æö
æö
=Î-
ç÷
ç÷
èø
èø
zuu
cot 2=xy u
2
3
3cot 2 1
tan 6 .
cot 2 3 cot 2
-
==
-
u
yu
uu
cot 2 .cot 6=xuu
3
42
4tan6 4tan 6
tan 24 .
1tan6 6tan6
-
==
+-
uu
zu
uu
( )
tan tan 24
23
p
=Þ=Î!
k
uuuk
{ }
;\0
22
pp
æö
Î-
ç÷
èø
u
11
,...,
23 23
pp
ìü
α ±
íý
îþ
u
( )
tan tan 24
23
p
=Þ=Î!
k
uuuk
{ }
;\0
22
pp
æö
Î-
ç÷
èø
u
11
,...,
23 23
pp
ìü
α ±
íý
îþ
u
( ) ( )
,, cot2.cot6;tan6;tan=xyz t t t t
11
,..., .
23 23
pp
ìü
α ±
íý
îþ
t
32
32
12( )
12( )
ì
+= -+
ï
í
+= - +
ï
î
xxxy
yyyx
( )
22
22
21
2 3 1 , ,
1
ì
-=
ï
-= Î
í
ï
++=
î
!
xy
yz xyz
xy yz zx
0=x
0¹x
; ==yaxzbx
( )
( )
( )
( )
( )
22
22
222
22 2
2
2
2
12 1
431
12 2 3
1231
2110
12
1
ì
-=
ï
ì
-=
ì
-=-
ïï ï
-=Þ Û
íí í
+-+ + =
-=++
ï
ï
î
ï
î
++=
ï
î
xa
ab
aab
xa b
aa ba
a a ab b
x a ab b
( )( ) ( ) ( )( )
22 22
2
1
1
431 431
12
12 1 1 0 12 1 0
2310
é=-
ì
í
ê
=±
ìì
-= -=
î
ïï
ê
ÛÛÛ
íí
ê
=-
+-++= +-+=
ì
ïï
îî
ê
í
-+=
ê
î
ë
a
b
ab ab
ba
aaba aab
aa
54
+) Nếu thay vào (1) không thỏa mãn
+) Nếu thay vào (1) không thỏa mãn, thay vào (1) ta có
. Do đó nghiệm của hệ là
Bài 15. (Chuyên Hoàng Văn Thụ - Hòa Bình, năm 2013) Giải hệ phương trình sau:
Hướng dẫn giải
Điều kiện ; ;
Từ phương trình thứ nhất suy ra và cùng dấu mà nên . Ta có
từ phương trình thứ nhất suy ra không thỏa mãn pt thứ 2 nên
Thay vào phương trình thứ hai ta được
Đặt ta được .Từ đó tìm được
Bài 16. Giải hệ phương trình
Bài 17. Tìm để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất
1
1
=-
ì
í
=±
î
a
b
2
1
1
12
1
2310
2
0
é=
ì
í
ê
=-
î
ê
=-
ì
ê
Û
í
ì
-+=
=
ê
ï
î
í
ê
ï
ê
=
î
ë
a
b
ba
aa
a
b
1
1
=
ì
í
=-
î
a
b
1
2
0
ì
=
ï
í
ï
=
î
a
b
2=±x
( )
11
;; 2; ;0, 2; ;0
22
æöæ ö
=--
ç÷ç ÷
èøè ø
xyz
( )
( )
( )
2
3
22
,.
2 3 2 1 11
ì
-+ =
ï
-
Î
í
ï
+- -=
î
!
y
xxy
xy
xy
xy x
1
2
³x
( )
2
0-+ ³xxy
¹xy
y
-xy
1
2
+- = ³yxy x
0³y
0 =y
( )
1 1;0=xmà
0>y
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
3
22
3
2
22
22
3
3
2
22
3
3
10
1
0
1
10
1
10 1
-+ =
-
Û-+ --+-+-=
-+ --
-+-
Û+=
-+ +
-+-+
æö
-+
+
ç÷
Û-- + =
ç÷
-+ +
-+-+
èø
Û--=Û =-
y
xxy
xy
xxyxy xxyy
xxyxy
xxyy
xxyy
xy xy
xxy
xy
xy
xxyy
xy xy
xy yx
2
44232111-+- -=xx x
21=-tx
4
3100 2-- =Û=tt t
( )
53
;;
22
æö
=
ç÷
èø
xy
33 3
22
119
6
ì
+=
ï
í
+=-
ï
î
xy x
yxy x
m
55
Hướng dẫn giải:
(I)
* Đặt . Ta có (II)
Nhận xét : Hệ (I) có nghiệm duy nhất hệ (II) có nghiệm duy nhất
* Điều kiện cần : Giả sử hệ (II) có nghiệm duy nhất
Vì là nghiệm của (II) nên cũng là nghiệm của (II)
Do đó để (II) có nghiệm duy nhất thì
Với ta có :
* Điều kiện đủ :
Với . Ta có
* Vì , Dấu = xảy ra nên ( Thỏa mãn (2 ))
Do đó hệ (II) có nghiệm duy nhất .
* Vậy hệ (I) có nghiệm duy nhất hệ (II) có nghiệm duy nhất .
Bài 18. Giải hệ phương trình sau:
Hướng dẫn giải:
Ta có:
+) Điều kiện :
+ Trừ vế với vế hai phương trình của hệ ta có:
Chia cả hai vế của PT cho , ta có:
2
22
2013 1
22013 2013
ì
+++=
ï
í
++ = --
ï
î
xym
xy y x m
2
22
2013 1
22013 2013
ì
+++=
ï
í
++ = --
ï
î
xym
xy y x m
1=+zy
2
22
2013
2012 2013
ì
++=
ï
í
+= --
ï
î
xzm
xz x m
Û
( )
;.xz
( )
;xz
( ) ( ) ( )
;,;,;----xz xz xz
0.==xz
0,==xz
2013=m
2013=m
2
22
2013 2013 (1)
2012 2013 2013 (2)
ì
++=
ï
í
+= --
ï
î
xz
xz x
2
2013 2013, ,++³ "xz xz
0==xz
(1) 0Û==xz
0==xz
Û
2013Û=m
22
22
25 1
(2 4 )1
ì
--=
ï
í
-+ -=
ï
î
xxyy
yxy y y xy
22
22
25 1 (1)
(2 4 )1(2)
ì
--=
ï
í
-+ -=
ï
î
xxyy
yxy y y xy
420.³³ >yx y
(
)
22 22
25 2 4 0--- - + -=xxyyyxyy yxy
2
y
2
251240
æö æö
------=
ç÷ ç÷
èø èø
xx x x
yy y y
56
+ Đặt ta có phương trình:
Với thì
Với suy ra thay vào PT (1):
Kết luận: Nghiệm của hệ phương trình là:
Bài 19. Giải hệ phương trình sau:
Hướng dẫn giải:
ĐKXĐ:
Từ (1) ta được:
Trường hợp đầu suy ra nhưng ko là nghiệm của hệ
Do vậy ta được:
Thay vào phương trình (2) ta được: (*)
Đặt
Thay vào (*) ta được
Dễ thấy nên trường hợp thứ ba bị loại.
Hai trường hợp đầu ta tính được
[ ]
2; 4=ÞÎ
x
tt
y
2
251 24 0
2( 3) 2( 2 1) (1 2 1) 0
21
(3)2 0
211 2
--- -- -=
Û-+- --+---=
æö
-
Û- + + =
ç÷
ç÷
-+ + -
èø
tt t t
tt t t t
t
tt
tt
[ ]
2; 4Ît
21
20
211 2
-
++>
-+ + -
t
t
tt
3=t
3=xy
2
13
21
22
=Þ = Þ =yy x
31
;
22
æö
ç÷
èø
( )
( )
( )
( ) ( )
4222 32 2
1
5712813212
ì
+-=++
ï
í
++ + ++ = +
ï
î
xxyy yxyx
xy x x y x
280
70
++³
ì
í
+³
î
xy
y
( )( )
22
222
2
0
10
1
é
+=
+--=Û
ê
=+
ë
xy
xyxy
xy
0==xy
2
1=+xy
( )
(
)
( )
22
561271321++ + + + = +xx x x x x
22
22 22
1
6; 2 7 2 1
2
--
=+=++Þ+=-Þ=
ba
ax bx x x ba x
( ) ( ) ( )
2
52660 5
1
5
é
ê
=
ê
éù
-+-++=Û+=
ê
ëû
ê
+=
ê
ë
ab
ab ab ab ab
ab
26+³ab
1
2
=-x
57
KL: Hệ có một nghiệm .
Bài 20. Giải hệ:
Hướng dẫn giải:
Điều kiện:
Kết hợp với (1) ta được:
Cộng (3) và (4) ta được y = -x, thế vào (2) ta được:
Đặt , phương trình (5) trở thành
Với ta được
Vậy hệ phương trình có nghiệm (x,y) = ; (x,y) = (1;-1)
Dạng 3: Sử dụng hàm số
Bài 1. Giải hệ phương trình sau trên tập số thực: .
Hướng dẫn giải
13
;
24
=- =-xy
(
)
(
)
(
)
22
22
111(1)
(, )
1 1 1 2 1 (2)
ì
++ ++=
ï
Î
í
ï
+- = + -
î
!
xx yy
xy
xx y
1, 1££xy
(
)
(
)
(
)
(
)
22
22
,111
111
"Î + +-+ +=
++-++=
!xy x x x x
yy yy
22
22
11(3)
11(4)
ì
++=-++
ï
í
++=-++
ï
î
yy xx
xx yy
(
)
22
11 121 (5)+- = + -xx x
sin , 0;
2
p
éù
=Î
êú
ëû
xtt
1 cos sin (1 2cos )+= +tt t
2
2 cos 2 sin .cos . 1 2 1 2 sin
222 2
éù
æö
Û= +-
ç÷
êú
èø
ëû
ttt t
3
4
2
63
3sin 4sin sin 3 sin
4
222 24
23
pp
p
pp
é
=+
ê
Û- =Û=Û
ê
ê
=+
ê
ë
tk
tt t
tk
0;
2
p
éù
Î
êú
ëû
t
1
6
2
1
2
p
p
é
=
é
ê
=
ê
Þ
ê
ê
ê
=
=
ë
ê
ë
t
x
x
t
11
;
22
æö
-
ç÷
èø
(
)
(
)
22
3
23
412
651 1
ì
++ ++=
ï
í
ï
-+= +
î
xx yy
yy x
58
Đặt .
với .
.
Suy ra f(t) đồng biến trên . Do đó:
Thế vào phương trình (3) ta được:
.
Đặt .
Phương trình trở thành:
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm: .
Bài 2. Giải hệ phương trình
Hướng dẫn giải
Điều kiện: .
Xét các hàm số trên .
Khi đó ta có .
Mà là các hàm số liên tục trên suy ra đồng biến trên và nghịch
biến trên .
Không mất tính tổng quát ta giả sử . Khi đó ta có:
(
)
(
)
22
3
23
412 (2)
651 1 (3)
ì
++ ++=
ï
í
ï
-+= +
î
xx yy
yy x
( ) ( )
2
2
24224Û+ +=- + - +pt x x y y
( ) ( )
2Û=-fx f y
( )
2
4,=+ + Î!ft t t t
( )
2
2
4
0,
4
++
¢
=>"Î
+
!
tt
ft t
t
!
( ) ( )
22
2
=- Û=-Û=-
x
fx f y x y y
2
=-
x
y
3
23
3x + 5x + 2 = 2 x +1
( ) ( )
( )
3
3
33
x+1 +2 x+1 = x +1 +2 x +1Û
3
3
u=x+1,v= x +1
( )
( )
33 22
22 20+=+Û- +++=uuvvuvuuvv
3
3
x=0
u=v x+1= x +1
x= 1
é
ê
ë
ÛÛ Û
-
( )
1
0; 0 , 1;
2
æö
ç÷
èø
-
3
3
3
3
42 462
4
3
42 462
4
3
42 462
4
ì
++= + -
ï
-
ï
ï
++= + -
í
-
ï
ï
++= + -
ï
-
î
xx y
y
yy z
z
zz x
x
,, 3£xyz
( ) ( )
3
3
42, 462
4
=++ = + -
-
ft t t gt t
t
(
]
;3-¥
( ) ( )
( )
2
2
34
'340,' 0,3
62
4
=+> =- - <"<
-
-
ft t gt t
t
t
( ) ( )
,ft gt
(
]
;3-¥
( )
ft
(
]
;3-¥
( )
gt
(
]
;3-¥
{ }
min , ,=xxyz
59
Nếu
suy ra , vô lí vì .
Do vậy , tương tự lí luận như trên ta được suy ra .
Thay trở lại hệ ta được (1).
Theo trên, bên trái là hàm đồng biến, bên phải là hàm nghịch biến, nên phương trình có nhiều nhất 1
nghiệm
Mà là nghiệm nên nó là nghiệm duy nhất của phương trình (1).
Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là
Bài 3. Giải hệ phương trình :
Hướng dẫn giải
Ta có : .
Hàm số f(x) = x
3
+ x là hàm số đồng biến trên R nên phương trình f(x) = f(y - 1) Û x = y – 1.
Do đó .
Ta có .
Vậy hệ có 2 nghiệm : .
Bài 4. Giải hệ phương trình:
Lời giải.
Phương trình (2) .
Xét hàm số ,
ta có: do đó hàm số đồng biến trên .
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
<Þ > Þ > Þ>Þ < Þ <xy gx gy fz fx zx gz gx fy fz
( ) ( ) ( ) ( )
<Þ > Þ > Þ>yz gy gz fx fy xy
<xy
=xy
=xz
==xyz
3
3
42 462
4
++= + -
-
xx x
x
1=x
1.===xyz
33 2
23
342
5
ì
-+ +- =-
ï
í
+=-
ï
î
xy yx y
xy xy
33 2 3 3
23 23
342 (1)(1)
55
ìì
-+ +- =- +=-+-
ïï
Û
íí
+=- +=-
ïï
îî
xy yx y xxy y
xy xy xy xy
33
23 23
23
11
(1)(1)
5(1)45
5
=- =-
ì
+= - + -
ìì
ïïï
ÛÛ
ííí
+=- -+=-
+=-
ïï
ï
îî
î
xy xy
xx y y
xy xy y y y
xy xy
23
32
5
2
(1) 45
4
12
15 38 24 0
ì
³
=
é
ï
-+=-Û Û
í
ê
=
ë
ï
-+-=
î
y
y
yyy
y
yy y
1 11
;
2 12
==
ìì
íí
==
îî
xx
yy
( )
2
327
2
3
64. 2
1
log 1 2. 2
21 2
2121
+
ì
+
æö
+= + + +
ï
ç÷
ï
+
èø
í
ï
-+ + =+
ï
î
x
x
xx
y
yy
y
yy
( )
3
21212Û-++-+=
xx
yy
( )
3
,=+"Îft t t t R
( )
/2
310,=+>"Îft t tR
( )
ft
!
60
từ (2) ta suy ra . Vây
Thay vào (1) ta được:
(3)
Xét hàm số: , (a>0)
Vậy hàm là hàm đồng biến trên khoảng (0, ), do đó:
Kết hợp điều kiện ta nhận được suy ra
Vậy hệ phương trình có nghiệm
Bài 5. Giải hbpt (x > 3).
§
(2 đ) Đặt y = 2004. Do x > 0, y > 0 nên ta được:
(1) Û x
2y
+ x
y
> y
2x
+ y
x
Û x
2y
– y
2x
+ x
y
– y
x
>0 Û (x
y
– y
x
)(x
y
+ y
x
+ 1) > 0
Û x
y
– y
x
> 0 Û x
y
> y
x
( do x
y
+ y
x
+ 1 > 0).
§
(1.5 đ) x
y
> y
x
Û ln(x
y
) > ln(y
x
) Û ylnx > xlny Û . Vậy: (3).
Biến đổi tương tự, bất phương trình (2) trở thành: (4).
Từ (3) và (4), hệ đã cho trở thành: (5).
§
(1.5 đ) Xét hàm số: y = f(x) = , y’= <0, "x > 3.
( )
12=f
211-+=
x
y
20Û= Þ>
x
yy
2=
x
y
2
32
2
64. 128.
1
log 1 2. 2
21
+
æö
+= + + +
ç÷
+
èø
yy
yy
yy
2
2
82
1
log ( 1) 2 2
21
+
Û+=+++
+
yy
yy
yy
Û
( )
2
2
22
11
log 2 2 1 log (2 ) (2 ) 1
æö
++ +- = + + + -
ç÷
èø
yy
yy
( ) ( )
2
2
log 1=+-fa a a
112
'( ) 2 2 2 .2 2 2 2 0
ln 2 ln 2 ln 2
Þ=+-³ -= ->fa a a
aa
( )
fa
+¥
( )
11
(3) 2 2 2 2
æö
Û+=+Û+=+
ç÷
èø
fy f y
yy
32
2
1
41
24 2 4 10
313
2
=-
é
ê
Û+=+ + Û - - -=Û
±
ê
=
ê
ë
y
yyyy
yy
y
313
2
+
=y
2
313 313
2log
22
++
=Û=
x
x
2
313313
log ;
22
æö
++
ç÷
ç÷
èø
4008 2004 2
4006 2003 2
2004 2004 (1)
2003 2003 (2)
ì
+> +
ï
í
+< +
ï
î
xx
xx
xx
xx
ln ln
>
xy
xy
ln ln 2004
2004
>
x
x
ln 2003 ln
2003
>
x
x
ln 2004 ln ln 2003
2004 2003
<<
x
x
ln x
x
2
1ln- x
x
61
Nên hàm số nghịch biến trên khoảng ( 3; +¥), do đó: tương đương với
2003 < x < 2004.
Bài 6. Giải hệ phương trình:
Giải:
Ta có
Thế vào
Xét trên
đồng biến trên
Từ và
Bài 7. Giải hệ phương trình .
ln 2004 ln ln 2003
2004 2003
<<
x
x
( )
( ) ( )
32 3
3
32 2
11
96315362 2
ì
-=-++
ï
í
-+--= +
ï
î
xxyxxy
xy xy x
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
22
2
11110
110
1
Û-+--+=
Û+ --=
Û=-
xx x yx
xxy
yx
( )
2
( )
( )
( ) ( )
( )
(
)
( )
2
3
32 2
3
32 2
3
32 2 2
3
3
22
9 1 6 3x+3 15 3 6 2
9x 6 6 3 6 2
3x 6x 4 6 2 3 6 2
13 1 6 236 2 *
--+ - -= +
Û- +-= +
Û- +-= ++ +
Û- + -= ++ +
xx x x
xxx
xxx
xxx x
( )
3
3=+fz t t
!
( )
2
'330=+>"Î!fz t t
( )
Þ fz
( )
**!
( )
*
( )
3
2
** 1 6x 2Þ-= +x
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
3
2
32
32 32
33
3
33
3
3
16x2
9330
2 3x 3x 1 3 3x 1 0
21 1
21 1
21 21
21
21
Û- = +
Û- +-=
Û-+--+++=
Û-=+
Û-=+
Û-=+
+
Û=
-
x
xxx
xxx
xx
xx
x
x
( )
33 2
22
3
73 1261(1)
291 (2)
ì
ï
í
+
ï
î
++ -= -+
--+=
xy xyxy x x
xyy
62
(Chuyên Bắc Giang)
Lời giải
Điều kiện xác định: .
Phương trình tương đương với phương trình:
Thế vào ta được:
.
Ta có hai trường hợp:
* TH 1: Nếu thì .
Thử lại vào hệ phương trình ban đầu thấy thỏa mãn.
* TH 2: Nếu thì ta có phương trình
(vô nghiệm).
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là .
33-£ £y
(1)
( ) ( )
33
21-=-xy x
1Û=-yx
(3)
(3)
(2)
22
3282 0+--+- =xxxx
22
3282+= +Þ+-xxxx
( )
22
4328282Þ+=++ +-xxxxx
( )
(
)
2
2
21 3082Þ-- -=+-xx xx
( )
2
2
12 0
82 3
éù
Þ- + =
êú
+-+
ëû
x
x
xx
2
10
20
382
-=
é
ê
Þ
ê
+=
ê
+
ë
+-
x
x
xx
1=x
0=y
2
20
382
+=
++-
x
xx
2
2682 =- -+- xxx
2
60
5440
-- ³
ì
Û
í
++=
î
x
xx
( ) ( )
;1;0=xy
63
Bài 8. Giải hệ phương trình:
Hướng dẫn giải
(1)
ĐK: (2x + 1)(y + 1) 0 Mà x > 0
(1)
Thay vào (2): (3)
Hàm số f(t) = t
3
+ t đồng biến trên R
(3)
NX: x >1 không là nghiệm của phương trình
Xét 0 1: Đặt x = cos với Ta có: (k ) Do
Vậy hệ có nghiệm
Bài 9. [Đề xuất Chuyên Biên Hòa, DHĐBBB 2014-2015] (4,0 điểm):
Giải hệ phương trình sau trên tập số thực
Lời giải
Điều kiện
! " #$%& ' ( ' )*&+
Đặt
, -
.
#/(
!
0$1(#&2 3 2 ' , ' $*&+
3
3
22 2 2 11
318 21
0
ì
-+ ++ +=
ï
ï
+= - -
í
ï
>
ï
î
xy xyxy
yxy
x
3
3
2 2 2 2 1 1 (1)
3 1 8 2 1 (2)
ì
-+ ++ +=
ï
í
+= - -
ï
î
xy xyxy
yxy
Û
( ) ( ) ( )( )
212 1 21 10+- ++ + + =xy xy
³
210
10
+>
ì
Þ
í
+³
î
x
y
( )( )
21 1 212 10Û+-+ +++=xy x y
21 10Û+-+=xy
2Û=yx
3
3
618 41+= - -xxx
( ) ( )
3
3
61 612 2Û++ += +xxxx
3
612Û+=xx
3
1
43
2
Û-=xx
<£x
a
0
2
p
a
£<
1
cos 3
2
a
=
2
93
2
93
pp
a
pp
a
é
=+
ê
Û
ê
ê
=- +
ê
ë
k
k
Î Z
0
2
p
a
££
9
p
a
Þ=
cos ; 2 cos
99
pp
æö
ç÷
èø
( )
1
2
2
1
2
1 4 18 20 1
298
ì
=+
ï
í
ï
+- + - = ++
-+
î
x
y
x
xy
xx y
xx
64
Phương trình (2) tương đương với
4
#/(
!
0$1(#&20
&(
!
#5(06
&(
!
#5(01
-
4
!0$
7
8
,
9
- , 0$0
/
,
!
0/
::::2 ' , ' $*&+
Ta có
78,9
đồng biến trên
;
2%$*&
<
nên
& - 7
8
2
9
' 7
8
,
9
' 7
=
$
&
>
- 1?*?/ @ )*&
Suy ra
4
!0$ A & 3 !0$ A /+
Xét phương trình (1) tương đương với
BC(
(
-
DE
8
!0$
9
!0$
F
8
,
9
-
BC,
,
GF
,
8
,
9
-
$#BC,
,
!
GF
,
8
,
9
" 2 H , @ I
Xét
& ' ( ' )*&
ta có hàm số g(x) đồng biến.
Xét
!0$ A /
ta có hàm số g(y+1) nghịch biến
Ta có
:& ' ( ' )*&
nên
F8(9 A F
8
&
9
H F8(9 A BC&*&
!0$ A /
nên
F
8
!0$
9
' F
8
/
9
- BC&*&
Mặt khác g(x) liên tục trên (0 ; +∞
9
nên
F
8
(
9
- F
8
!0$
9
- BC&*&
Khi đó
( - ! 0$%( - &%! - ?
Vậy hệ có nghiệm duy nhất ( 2 ; 3)
Bài 10. [Đề dữ liệu, Chuyên Lê Hồng Phong, DHĐBBB, 2015] Giải hệ phương trình:
Lời giải
Điều kiện: Ta có
Đặt ta có phương trình (*)
Xét hàm số với
Ta có
Nên hàm số nghịch biến trên
(
)
( )
( )
2
3
2
1
21
log 3 2 3
21
23 .5 7 2
-+
++
ì
æö
++
=+--
ï
ç÷
ï
++
èø
í
ï
+=-
ï
î
xy
xy xy
xy
xx
x
210++>xy
( )
13
2 10. 5. 7 2 0
55
++
+
æö æö
Û+-+=
ç÷ ç÷
èø èø
xy xy
xy
=+txy
13
10. 5. 7 2 0
55
æö æö
+-+=
ç÷ ç÷
èø èø
tt
t
( )
13
10. 5. 7 2
55
æö æö
=+-+
ç÷ ç÷
èø èø
tt
t
ft
Î !t
( )
11 33
' 10. ln 5. ln 7 ln 7 0
55 55
æö æö
=+-<"Î
ç÷ ç÷
èø èø
!
tt
t
ft t
( )
ft
!
65
Mà suy ra phương trình (*) có nghiệm duy nhất
Với ta có
Xét hàm số với ta có
đồng biến trên
Do đó phương trình có dạng
Với ta có (thỏa mãn điều kiện )
Vậy hệ có nghiệm
Bài 11. Giải hệ phương trình:
Hướng dẫn giải
+ ĐK:
+ Biến đổi được:
+ Thế vào ta được:
Áp dụng BĐT Cauchy ta được:
▪
▪
( )
10=f
1=t
1=t
1+=xy
( ) ( )
(
)
( )
(
)
( ) ( )
(
)
(
)
( )
22
33
22
33
22
33
2log2 1log 213 233
log 2 log 2 1 3 2 3 3
log 2 3 2 log 2 1 3 2 1 **
Û++- ++=+--
Û+- ++=+--
Û+++= +++++
xy x x x
xxxx
xx x x
( )
3
log 3=+gt t t
0>t
( )
1
'300
ln 3
=+>">gt t
t
( )
Þ gt
( )
0; +¥
( )
**
( )
(
)
( )
222
2
2
22122121
10
1
1
21
2
21
+= ++Û+= ++Û +=+
+³
ì
³-
ì
ï
ÛÛÛ=
íí
=
+= +
î
ï
î
gx g x x x x x
x
x
x
x
xx
1
2
=x
1
2
=y
210++>xy
( )
11
;;
22
æö
=
ç÷
èø
xy
( )
2
8284
.
38
27 1
2
ì
--+=-
ï
í
-
-+ -=
ï
î
xy y y x y
x
xy
7
; 1.
2
³³xy
( )
1
( ) ( )
2
428 24 .-+ -+=+xy y xy y x y
( )
( )
2
2
222 ... 2.Û-+=+ÛÛ=-xy y x y y x
( )
2
38
27 3 .
2
-
-+ -=
x
xx
( )
27126
27 27.1 .
22
-+ -
-= - £ =
xx
xx
( )
31 2
33.1 .
22
-+ -
-= - £ =
xx
xx
66
Suy ra .Dấu xảy ra khi và chỉ khi
Vậy nghiệm cần tìm là
Bài 12. Giải hệ phương trình sau:
Hướng dẫn giải
(1)
Xét hàm số trên ;
+ 0 -
Từ bảng biến thiên, ta có
Do đó
Thế vào phương trình (2) ta được:
(4)
Điều kiện xác định của (4) là: Với đk (*), ta có:
(tm (*)) ( Vì
Với (thỏa mãn điều kiện).
Vậy hệ có nghiệm duy nhất
Bài 13. Giải hệ phương trình :
38
27 3
2
-
-+ -£
x
xx
''=
4.=x
( )
;xy
( )
4; 2 .
( )
( )
( )
32 1 1
22
12 220
(, ).
4 2 8 14 2 2 3 5 2
--
ì
-++-+--+=
ï
Î
í
++-+ +--= ++ +
ï
î
!
xx
xxe e yxy xy
xy
xyx xxy x x
( )
21
(2) 10(3)
-
Û+- --=
x
xy xe
1
() 1
-
=- -
x
fx x e
!
1
'( ) 1 ; '( ) 0 1
-
=- = Û =
x
fx e fx x
x
-¥
1
+¥
'( )fx
()fx
() 1,£- " Î!fx x
2
(3 ) 2Û=-yx
( )
22
28102243 5 21+-+ +-= ++ ++xx xx x x
1(*).³x
( )
( ) ( )
( )( )
(4) (2 2)( 5) (2 2)( 2) 3 5 2 3
22 5 23 5 23
522233
223 5 2
(2 2 5) ( 2 3) 0
77
0
22 5 23
11
(7) 0
22 5 23
Û-++-+-+++=
Û- +++- +++=
Û+++ --=
Û--=+-+
Û--+++-=
--
Û+=
-+ + ++
æö
Û- + =
ç÷
-+ + ++
èø
xx xx x x
xx x x x
xx x
xxx
xx x
xx
xx x
x
xx x
7Û=x
11
01)
22 5 23
+>"³
-+ + ++
x
xx x
747=Þ =-xy
(; ) (7; 47).=-xy
33 2
23
342
5
ì
-+ +- =-
ï
í
+=-
ï
î
xy yx y
xy xy
1-
67
Hướng dẫn giải
Ta có : .
Hàm số f(x) = x
3
+ x là hàm số đồng biến trên R nên phương trình f(x) = f(y - 1) Û x = y – 1.
Do đó
Ta có
Vậy hệ có 2 nghiệm :
Bài 14. Giải hệ phương trình :
Hướng dẫn giải
+) y = 0 không thỏa mãn
+) y ≠ 0, hệ pt Û
Đặt t = , hệ phương trình trở thành
+) Từ hai phương trình trên suy ra
x
3
+ 3x
2
+ 6x + 4 = t
3
+ 3t Û (x +1)
3
+ 3(x +1) = t
3
+ 3t (3)
Xét hàm f(t) = t
3
+ 3t đồng biến trên . Phương trình (3) tương đương x+ 1 = t.
Thay vào phương trình (2) và giải phương trình được x = 1, y = .
Nghiệm của hpt là (1; ).
Bài 15. (Olimpic Trại hè Hùng Vương 2013) Giải hệ phương trình :
Hướng dẫn giải
Hệ phương trình :
Ta có :
Tương tự :
33 2 3 3
23 23
342 (1)(1)
55
ìì
-+ +- =- +=-+-
ïï
Û
íí
+=- +=-
ïï
îî
xy yx y xxy y
xy xy xy xy
33
23 23
23
11
(1)(1)
5(1)45
5
=- =-
ì
+= - + -
ìì
ïïï
ÛÛ
ííí
+=- -+=-
+=-
ïï
ï
îî
î
xy xy
xx y y
xy xy y y y
xy xy
23
32
5
2
(1) 45
4
12
15 38 24 0
ì
³
=
é
ï
-+=-Û Û
í
ê
=
ë
ï
-+-=
î
y
y
yyy
y
yy y
1 11
;
2 12
==
ìì
íí
==
îî
xx
yy
23 3 2
32 2 2
32(9)27
( ).
4959
ì
+--=
ï
Î
í
+-+=
ï
î
!
xy xy yy
x, y
xy xy y y
2
23
3
2
9 27
321
99
45
ì
+-+ =
ï
ï
í
ï
++-=
ï
î
xx
yy
xx
yy
3
y
232
32
321 (1)
45 3 (2)
ì
+-=-
ï
í
++=+
ï
î
xx tt
xx tt
!
3
2
3
2
22
22
(1)(1)3
89 230
ì
+-=
ï
í
++--+=
ï
î
xy xy
xyxyxy
22
22
(1)(1)3
89 230
ì
+-=
ï
í
++--+=
ï
î
xy xy
xyxyxy
22 2 2
89 230 (8) 9 230++--+=Û+- +-+=xyxyxy x y xy y
22 2
14
(8)4( 923) 3 202802
3
D= - - - + =- + - ³ Þ £ £
x
yyy yy y
22 2 2
89 230 (9) 8230++--+=Û+- +-+=xyxyxy y x yx x
22 2
11
(9)4( 823) 3 141101
3
D= - - - + =- + - ³ Þ£ £
y
xxx xx x
68
Ta có :
Xét hàm số với , ta có : nên hàm số f(x)
đồng biến trên , suy ra
Xét hàm số với , ta có : nên hàm số
g(y) đồng biến trên , suy ra
Suy ra :
Do đó phương trình
Vì không thoả mãn phương trình thứ 2 của hệ nên hệ đã cho vô nghiệm .
Bài 16. (Chuyên Nguyễn Tất Thành – Yên Bái) Giải hệ phương trình:
Hướng dẫn giải
Điều kiện
Xét hàm số liên tục trên có
Suy ra f(t) là hàm số đồng biến trên
Khi đó
Thay y vào phương trình đầu ta được
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là
22
22
11
(1)(1)3 3
+-
+-=Û × =
xy
xy xy
xy
2
11
()
+
==+
x
fx x
xx
11
1;
3
éù
Î
êú
ëû
x
2
111
'( ) 1 0, 1;
3
éù
=- > "Î
êú
ëû
fx x
x
11
1;
3
éù
êú
ëû
11
() (1) 2, 1;
3
éù
³="Î
êú
ëû
fx f x
2
11
()
-
==-
y
gy y
yy
14
2;
3
éù
Î
êú
ëû
y
2
114
'( ) 1 0, 2;
3
éù
=+ > "Î
êú
ëû
gy y
y
14
2;
3
éù
êú
ëû
314
() (2) , 2;
23
éù
³="Î
êú
ëû
gy g y
22
11 11 14
3; 1; , 2;
33
+-
éù é ù
׳"Î "Î
êú ê ú
ëû ë û
xy
xy
xy
22
22
1
11
(1)(1)3 3
2
=
ì
+-
+-=Û × =Û
í
=
î
x
xy
xy xy
y
xy
1
2
=
ì
í
=
î
x
y
32
1
17 5 3 4 14 4 3 5
ì
ï
í
ï
î
+=
-+ -= -+ -
xy
xy y yx x
5; 4££xy
( )
( )
( )
( )
17 5 3 4 14 4 3 5
3 5 2 5 3 4 2 4 (1)
-+ - = -+ -
Û-+ -=-+ -
xy y yx x
xxyy
( ) (3 2)=+ft t t
[
0; )+¥
32
'( ) 3 0, 0
2
+
=+ >">
t
ft t t
t
[
0; )+¥
( )
(1) 5 (4 ) 5 4 1Û-=-Û-=-Û=-fxfy x yyx
( )
2
332
0
11 20 1
2
=
é
ê
+- =Û+- =Û =
ê
ê
=-
ë
x
xx xx x x
x
( ) ( ) ( )
0; 1 ; 1; 0 ; 2; 3---
69
Bài 17. (Chuyên Hoàng Văn Thụ - Hòa Bình - 2012) Giải hệ phương trình:
Hướng dẫn giải
Trừ vế với vế của 2 phương trình (1), (2) ta có:
Đưa về xét hàm số: có
là hàm số đồng biến trên R, lại có
,
Bài 18. (Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm – Quảng Nam 2014) Giải hệ phương trình sau :
Hướng dẫn giải
§ Điều kiện : (*)
§ Với điều kiện (*), phương trình (1) tương đương : (3)
Xét hàm số :
liên tục , suy ra là hàm số luôn đồng biến trên
Khi đó : pt(3)
§ Thay vào phương trình (2), ta được :
( )
22 2
22
3252 121 22
2243
ì
--+ += + ++
ï
í
+=-+
ï
î
xx xx y yy
xyxy
( )
22 2 2
22. 124221 22++=++++++xxx yy y yy
( ) ( ) ( )
22
22
11 1 11Û+ +=+++ + +xxx y y y
( )
22
1=+ +ft t tt
( )
(
)
2
2
2
2
22
1
'2 1 0
11
++
=+ ++ = >"
++
tt
t
ft t t t
tt
( )
Þ ft
( ) ( )
1=+fx fy
( ) ( )
2
22
2124133250+-=--+Û--=xx xx xx
12
53
22
=- Þ =-
é
ê
Û
ê
=Þ=
ë
xy
xy
2
(17 3 ) 5 (3 14) 4 0 (1)
()
2 2 5 3 3 2 11 6 13 (2)
ì
--+--=
ï
Î
í
+++ + + = + +
ï
î
xxy y
x, y R
xy x y x x
5
4
250 , 32110
£
ì
ï
£
í
ï
++³ + + ³
î
x
y
xy x y
[ ] [ ]
3(5 ) 2 . 5 3(4 ) 2 . 4-+ -= -+ -xxyy
( ) (3 2). , 0=+ ³ft t t t
'
32
() 3 0 , 0
2
+
Þ=+ >">
t
ft t t
t
()ft
0"³t
()ft
[
)
0; +¥
(5 ) (4 ) 5 4 1Û-=-Û-=-Û=-fxfy x yyx
1=-yx
70
với
; vì :
Với suy ra
Với suy ra
Thử lại ta thấy cả hai đều thỏa điều kiện (*)
§ Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm : ,
Bài 19. Giải hệ phương trình
Hướng dẫn giải
Đặt
Ta có:
Từ đó suy ra hệ phương trình có bốn nghiệm
Bài 20. Giải hệ phương trình:
Bài 21. Giải hệ phương trình
2
23 4 35 9 6 13++ += + +xxxx
4
3
³-x
2
2 3 4 2( 2) 3 5 9 3( 3)
éùéù
Û+-+++-+=+
ëûëû
xx xxxx
22
2
2(3 4) ( 2) 3(5 9) ( 3)
34(2) 59(3)
éùéù
+-+ +-+
ëûëû
Û+=+
++ + ++ +
xx xx
xx
xx xx
2( 1) 3( 1)
(1)
34(2) 59(3)
-+ -+
Û+=+
++ + ++ +
xx xx
xx
xx xx
23
(1)1 0
34(2) 59(3)
æö
Û+ + + =
ç÷
++ + ++ +
èø
xx
xx xx
0
1
=
é
Û
ê
=-
ë
x
x
23 4
1 0 ,
3
34(2) 59(3)
++>"³-
++ + ++ +
x
xx xx
0=x
1=-y
1=-x
2=-y
( )
0; 1-
( )
1; 2--
22
22
1 1 16
3
1 1 100
()()
()()9
ì
++-+ + =
ï
+-
ï
í
ï
++-+ + =
ï
+-
î
xyxy
xy xy
xy xy
xy xy
11
; (||,||2)=++ =-+ ³
+-
axy bxy ab
xy xy
22
16
210
3
3
10
100
2
22
3
9
ì
=
+=
ìì
ï
=
ïïï
ÛÚ
ííí
=
ïïï
=
-+ -=
îî
ï
î
a
ab
a
b
b
ab
22
22
33
111 1
33
ìì
==
ïï
==
ìì
ïï
ÚÚÚ
íííí
=- =
îî
ïï
==-
ïï
îî
xx
xx
yy
yy
11
4
11
11
3
11
ì
++
+=
ï
--
ï
í
ï
+=
ï
--
î
xy
xy
xy
22
4422
7
21
ì
++=
ï
í
++ =
ï
î
xyxy
xyxy
71
Bài 22. Giải hệ phương trình sau trên R:
Hướng dẫn giải:
Cộng hai phương trình vế theo vế thu được phương trình
Xét hàm số với
Ta có nên hàm số đồng biến
nên từ
từ đó thay vào giải ra được hoặc .
Bài 23. Tìm tất cả các số thực thỏa hệ: .
Hướng dẫn giải:
Ta chứng minh nếu các số thỏa mãn hai điều kiện đầu thì
Thay , ta chứng minh: với
Ta có
Do đó nghịch biến trên hơn nữa nên nhận giá trị dương trên và âm
trên Suy ra với mọi
Từ đó, hệ phương trình có nghiệm
Bài 24. Giải hệ phương trình sau:
Hướng dẫn giải:
+) không thỏa mãn hệ.
+) Xét , hệ tương đương
3
2
2( 1) 3 2
32
ì
++=+
ï
í
-=
ï
î
xx yy
xyy
32
32
32 3 2++= + +xxxy y y
32
() 3 2=+ +fx x x x
ÎxR
2
'( ) 3 6 2 0=++>fx x x
() ( )=Þfx f y
=xy
xy1==
13, 423=+ = +xy
,xy
11
,0
2
1
++
ì
>
ï
+=
í
ï
³
î
xy
xy
xy
xy
,xy
( ) ( )
11
11ln 1ln0
++
£Û + + + £
xy
xy x x y y
2=-yx
( ) ( ) ( ) ( )
1ln 3 ln 2 0=+ +- -£fx x x x x
02<<x
( ) ( )
11
'lnln2
2
=- -+ +
-
fx x x
xx
( )
( )
( )
( )
2
2
2
2
1
11 1 1 11111 11
'' 0
222222
2
éù
-
æö æö
=+ - + £+ - + =- + £
êú
ç÷ ç÷
-----
èø èø
-
êú
ëû
x
fx
xxx xxxx xxxx
x
( )
¢
fx
( )
0; 2 ,
( )
10
¢
=f
( )
'fx
( )
0;1
( )
1; 2 .
( ) ( )
10£=fx f
( )
0; 2 .Îx
1.==xy
( )
( )
32
23 2 2
32148
,
4654
ì
+-+ =
ï
Î
í
+-+=
ï
î
!
yx x y
xy
yx yx y y
0=y
0¹y
2
23
3
2
48
321 (1)
46
45
ì
+-+ =
ï
ï
í
ï
+++ =
ï
î
xx
yy
xx
yy
72
Cộng vế với vế ta được
Xét hàm số:
Do đó là hàm số đồng biến trên , suy ra
Thế vào (1), kết hợp , ta được
Do đó là nghiệm của hệ.
Bài 25. Giải hệ phương trình:
Hướng dẫn giải:
Điều kiện:
Ta biến đổi phương trình thứ hai tương đương với:
Nhận thấy hàm số đồng biến trên khoảng
nên ta có
Thế vào phương trình đầu ta có cặp nghiệm duy nhất của hệ phương trình là và
Dạng 4: Đánh giá
Bài 1. Giải hệ phương trình sau:
Hướng dẫn giải
Nhận thấy là một nghiệm của phương trình. Ta chứng minh hệ có nghiệm duy nhất.
Giả sử (*) khi đó
Với ta có
32
3
86
364+++=+xxx
yy
( ) ( )
3
3
22
13 1 3.
æö
Û+ + += +
ç÷
èø
xx
yy
32
() 3; () 3 3 0
¢
=+ = +> "Îft t tf t t t R
( )
ft
!
2
1+=x
y
1¹-x
( )( ) ( ) ( )
23
13 1 1 1+-++=+xx x x
( )
2
11Û- =x
1
1
=
ì
í
=
î
x
y
3
332
51
1
3692ln0
1
ì
+- =
ï
í
-
--- --+ =
ï
+
î
xy
x
xxyy y
y
32 3 2
(1)3(1)ln(1)(1)3(1)ln(1)0-+ -+ --+- +- +=xx xyy y
32
() 3 ln=+ +ft t t t
(0; )+¥
2Û=+xy
3=x
1=y
54 2
54 2
54 2
22
22
22
ì
-+ =
ï
-+ =
í
ï
-+ =
î
xx xy
yy yz
zz zx
1===xyz
1>x
( )
( )
54 2 54 2
54 2
4
22
220
110 1
-+ >-+
Û-+ -<
Û+ -<Û<
zz zxzz z
zz z
zz z
1<z
( )
( )
54 2 54 2
54 2
4
22
220
110 1
-+ <-+
Û-+ ->
Û+ ->Û>
yy yzyy y
yy y
yy y
73
Với ta có
Suy ra mâu thuẫn (*).
Tương tự giả sử ta cũng dẫn đến điều vô lý.
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất .
Bài 2. Giải hệ phương trình
Hướng dẫn giải
Điều kiện .
Nếu hoặc y = 0 thì hệ vô nghiệm.
Nếu (x,y không đồng thời bằng 0) thì vế trái của (2) âm, phương trình (2) không thoả mãn.
Do đó x > 0, y > 0.
Vì nên từ phương trình (1) suy ra
Mặt khác, ta có . (4)
Ta chứng minh rằng: .
Thật vậy bất đẳng thức (5) tương đương
(6)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
Cộng vế với vế hai đẳng thức trên ta được (5), từ đó suy ra (5)
1>y
( )
( )
54 2 54 2
54 2
4
22
220
110 1
-+ >-+
Û-+ -<
Û+ -<Û<
xx xyxx x
xx x
xx x
1<x
1<x
1===xyz
22
33
22
22
42 6 15(1)
6( )
2( ) 3(2)
ì
+++ -+=
ï
í
+
+-+=
ï
++
î
xxyx xyyy
xy
xxy
xxyy
22
0
0
³
ì
í
++¹
î
xy
xyxy
0=x
0
0
£
ì
í
£
î
x
y
2 £+xy x y
222 2
2
15 4 2 6 (2 ) 3( ) (2 ) 4 2
(2 ) 2(2 ) 15 2 3 (3)
=+++ -+£++++-=+++
Þ++ +³Þ+³
xxyx xyyy xyxxyyxy xy
xy xy xy
22 22 33 33
22
2222
3( ) 3( ) 2( )
22
++++
£Þ++£ Þ ³
++ +
xy xy xy xy
xy x xy y
xxyy xy
33
22
22
2( )
2( )(5)
+
³+
+
xy
xy
xy
332 223
2( ) ( )+³+xy xy
66 33 42 24
433Û++ ³ +xy xy xy xy
63333 126 42
3
33++³ =xxyxy xy xy
63333 612 24
3
33++³ =yxyxy xy xy
74
Từ (4) và (5) suy ra:
Kết hợp với phương trình (2) và lưu ý rằng , ta được:
(7)
Từ (3) và (7) suy ra 2x + y = 3 và x = y ta được x = y = 1 (thoả mãn các điều kiện của bài toán). Vậy
hệ có nghiệm duy nhất là (1;1).
Bài 3. Giải hệ phương trình sau:
Lời giải.
ĐK:
Đặt
Nhận xét: từ (2) ta có:
Ta có:
Do đó, từ (1) suy ra:
Ta có:
Do đó, từ (2) suy ra:
Từ (3) và (4) suy ra:
.
Thay vào hệ ta có:
33
22
22
3( )
2( )
+
³+
++
xy
xy
xxyy
22
2( )+³+xy xy
33
22 22
22
6( )
32()2()()2
+
=+ - + ³+ + ³+ + = +
++
xy
xxyxxyxxyxy
xxyy
( ) ( )
( )
2
2
3
2
41 481
40 14 1
ì
+-= +
ï
í
+= -
ï
î
yx xx
I
xxy x
1
.
14
³x
2
4.
7
æö
=³
ç÷
èø
txt
( )
( ) ( ) ( )
( )
2
2
3
2
1211
57
12
24 2
yt tt
I
t
tyt
ì
+- = +
ï
Û
í
+= -
ï
î
0y >
( )
3
3
21
21
21 1
2
21 2. .1
232
t
t
t
tt t t
+
++
+
+= £ =+
( ) ( )
2
222
11
133
22
yt t y t t+- £+Û £-+-
2
7
1
7
2
1
22
yt
yt
+-
-£
( )
2
222
7
1
5
2
531 4
24 2
yt
t
ttty
+-
+£ Û -+£
22
1
531 3
2
tt tt-+£-+-
( )
2
2
33 1 11
66 0 21 0 4
22 2 28
-+£Û - £Û=Û =Û=tt t t x x
1
8
x =
( )
I
22
13
3
1
3
44
2
2
33 3
3
24 2
2
yy
y
y
yy
y
ì
ìì
+= =
=±
ï
ïï
ïïï
ÛÛ Û=
ííí
ïïï
==
=
ïïï
îî
î
75
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất:
Bài 4. Giải hệ phương trình:
Lời giải
+) Nếu thay vào hệ ta có hệ vô nghiệm.
+) Nếu ta đặt thay vào hệ ta được
+) Nếu thay vào (1) không thỏa mãn
+) Nếu thay vào (1) không thỏa mãn, thay
vào (1) ta có . Do đó nghiệm của hệ là
Bài 5. Giải hệ phương trình sau:
Lời giải
Đặt , phương trình (1) trở thành:
(Sử dụng tính chất đơn điệu)
( )
13
;;.
82
æö
=
ç÷
ç÷
èø
xy
( )
22
22
21
2 3 1 , ,
1
ì
-=
ï
-= Î
í
ï
++=
î
!
xy
yz xyz
xy yz zx
0=x
0¹x
; ==yaxzbx
( )
( )
( )
( )
( )
22
22
222
22 2
2
2
2
12 1
431
12 2 3
1231
2110
12
1
ì
-=
ï
ì
-=
ì
-=-
ïï ï
-=Þ Û
íí í
+-+ + =
-=++
ï
ï
î
ï
î
++=
ï
î
xa
ab
aab
xa b
aa ba
a a ab b
x a ab b
( )( ) ( ) ( )( )
22 22
2
1
1
431 431
12
12 1 1 0 12 1 0
2310
é=-
ì
í
ê
=±
ìì
-= -=
î
ïï
ê
ÛÛÛ
íí
ê
=-
+-++= +-+=
ì
ïï
îî
ê
í
-+=
ê
î
ë
a
b
ab ab
ba
aaba aab
aa
1
1
=-
ì
í
=±
î
a
b
2
1
1
12
1
2310
2
0
é=
ì
í
ê
=-
î
ê
=-
ì
ê
Û
í
ì
-+=
=
ê
ï
î
í
ê
ï
ê
=
î
ë
a
b
ba
aa
a
b
1
1
=
ì
í
=-
î
a
b
1
2
0
ì
=
ï
í
ï
=
î
a
b
2=±x
( )
11
;; 2; ;0, 2; ;0
22
æöæ ö
=--
ç÷ç ÷
èøè ø
xyz
73
2
4
2log (2 3 ) log (2 2 3 )
(, ).
727
227 26 3 1 6
32
+= ++
ì
ï
Î
í
+++=+ +
ï
î
!
xy xy
xy
xxy x
7
log (2 3 )=+txy
3
log (7 2) 2 9 7 2 ... 1+=Û=+ÛÛ=
ttt
tt
23 73 72(3)Û+=Û=-xy y x
76
Thế (3) vào (2) ta được:
Đặt Phương trình (4) trở thành:
(5)
Áp dụng bđt AM – GM ta có:
Từ (5) ta có:
Từ đó . Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất
Bài 6. Giải hệ phương trình :
( )
Lời giải
Đặt :
Ta có : ,suy ra :
Xét vế trái của phương trình (2)
, suy ra
là hàm số đồng biến trên (1;2) , suy ra : ,suy ra VT =
Dấu bằng xẩy ra khi , suy ra : hoặc .
Bài 7. Giải hệ phương trình sau:
;
Lời giải
2
2
4
4
28 27 (9 4) 3(9 4)
2. 27 24 1 6 2. 4 1 (4)
32 3 2
++
++=+ +Û +=+
xx
xx x
94(0).=+ ³tx t
22
4
33
2. 4 1 4. 4 1 6
3232
+=+ Û +=+ +
tttt
t
6
6
2
+
£
t
t
2
22 2
4. 4 2 4 4 48 3 12 12 ( 6) 0 6.
3
+£ +Û + £ + + Û- £Û=
t
tt tt t t
259
927
=Þ=xy
2 59
(; ) ; .
9 27
æö
=
ç÷
èø
xy
44
2
2
963 4
5
36
33
ì
+- =-
ï
í
++ =
ï
+
î
xy xy
xxy
y
xy
,y RÎÎxR
3 =yz
44 22
2+³xz xz
12£= £txz
22
1
++
+
xz
xz
xz
2³ +xz
1+
xz
xz
() 2 , [1;2]
1
=+ Î
+
t
ft t t
t
( )
=txz
( )
'
2
1
( ) 2 0, [1; 2]
1
=+ > "Î
+
ft t
t
()ft
5
() (1)
2
³=ft f
1
3
()ft
³
5
6
1=t
1; ==xy
1
3
1 ;
1
3
=- =-xy
( )( ) ( )
22
2
33 2
2
4 3 15 3 4
ì
+=
ï
í
++ += + +
ï
î
xxxyyy
xy xx xy xyyxy xx
, Î !xy
77
Điều kiện: .
Đặt ( ). Hệ phương trình đã cho trở thành
Nhận xét: ; . Do đó là một nghiệm của hệ.
Bây giờ ta xét . Đặt . Với cách đặt này thì
• Phương trình (1) trở thành: (3)
• Phương trình (2) trở thành:
(4)
Thay (3) vào (4) ta được: (5)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz cho vế trái của (5) ta được:
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . Khi đó hay .
Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm là .
Bài 8. Giải hệ phương trình
Bài giải
Điều kiện
Nếu hoặc y = 0 thì hệ vô nghiệm
Nếu (x,y không đồng thời bằng 0) thì vế trái của (2) âm, phương trình (2) không thoả mãn. Do
đó x > 0, y > 0. 1.0 đ
0, 0³³x y
,==axby
0, 0³³a b
( )
( )( ) ( )
( )
435
2
66 5 2 32 3
2 1
43153 4 2
ì
+=
ï
í
++ + = + +
ï
î
aabb
ab a ab abab a
00=Þ=ab
00=Þ=ba
( ) ( )
,0,0=ab
0, 0>>ab
0=Þ>bka k
5
5
12
12
+
+= Û=
k
kak a
k
( )( ) ( )
2
666 5 222 333 3
4315 3 4++ + = ++aak a aka akaak a
( )
5
2
63
3
312
45 4
12 3
æö
+
æö
++ + = ++
ç÷
ç÷
+
èø
èø
kk
kkk
kk
( )
2
55
66
33
312 312
4554 .
12 3 12 3
æö
æö
++
æö
++ + ³ + +
ç÷
ç÷
ç÷
ç÷
++
èø
èø
èø
kk kk
kk
kk kk
( )( )
(
)
( )
2
3
2
22 6
214 4=+++³++kk kk
1=k
3==ab
9==xy
( )
;xy
( ) ( )
0; 0 , 9; 9
22
33
22
22
44 6 15(1)
6( )
2( ) 3(2)
ì
+++ -+=
ï
í
+
+-+=
ï
++
î
xxyx xyyy
xy
xxy
xxyy
22
0
0
³
ì
í
++¹
î
xy
xyxy
0=x
0
0
£
ì
í
£
î
x
y
78
Vì nên từ phương trình (1) suy ra
1.0 đ
Mặt khác, ta có . (4)
Ta chứng minh rằng: . 1.0 đ
Thật vậy bất đẳng thức (5) tương đương
(6)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
Cộng vế với vế hai đẳng thức trên ta được (5), từ đó suy ra (5)
Từ (4) và (5) suy ra:
Kết hợp với phương trình (2) và lưu ý rằng , ta được:
(7)
Từ (3) và (7) suy ra 2x + y = 3 và x = y ta được x = y = 1 (thoả mãn các điều kiện của bài toán). Vậy
hệ có nghiệm duy nhất là (1;1)
Bài 9. Giải hệ phương trình: ( ).
Hướng dẫn giải
Điều kiện: , ; ; .
+) Sử dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số không âm ta có:
=
=
2 £+xy x y
222 2
2
15 4 4 6 (2 ) 3( ) (2 ) 4 2
(2 ) 2(2 ) 15 2 3 (3)
=+++ -+£++++-=+++
Þ++ +³Þ+³
xxyx xyyy xyxxyyxy xy
xy xy xy
22 22 33 33
22
2222
3( ) 3( ) 2( )
22
++++
£Þ++£ Þ ³
++ +
xy xy xy xy
xy x xy y
xxyy xy
33
22
22
2( )
2( )(5)
+
³+
+
xy
xy
xy
332 223
2( ) ( )+³+xy xy
66 33 42 24
433Û++ ³ +xy xy xy xy
63333 126 42
3
33++³ =xxyxy xy xy
63333 612 24
3
33++³ =yxyxy xy xy
33
22
22
3( )
2( )
+
³+
++
xy
xy
xxyy
22
2( )+³+xy xy
33
22 22
22
6( )
32()2()()2
+
=+ - + ³+ + ³+ + = +
++
xy
xxyxxyxxyxy
xxyy
( )
( )
32222
2
32 54 4
2 1 2
ì
-+ - =
ï
í
ï
-+ ++=+
î
yxy xy x y
xy xy
, Î !xy
2£x
1³-y
( )
3
02– ³yxy
22
5–4 0³yx
( )
3
2 -yxy
( )
22
2 -yxyy
22
2
2
+-
£
yxyy
( )
222
22 2
54
54
2
+-
-£
xyx
xy x
22
53
2
-yx
79
Suy ra: 3
+
+
Vì vậy, ta phải có: .
Vậy phương trình đầu tương đương với x = y.
Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được:
+ (*).
Do + nên ta phải có: ( do ).
Khi đó phương trình (*) tương đương với:
.
ó
.
Vậy hệ có nghiệm duy nhất .
Bài 10. [Đề hsg Dương Xá,2008-2009] Giải hệ phương trình sau:
Lời giải
Điều kiện
Cộng và trừ từng vế tương ứng của hệ phương trình trên ta được
Thế y=8-x vào phương trình trên ta được
( )
3
2 -yxy
( )
22 2
54-xy x
3£ xy
22
53
2
-yx
2
43+£yxy
22
53
2
-yx
( )
2
3– 0£ÛÛ=xy x y
=xy
2 - x
1+x
2
2+= +xx
2 - x
1+x
0>
2
–2 0+>xx
Þ
1>x
1³-x
( )
2
– 1 x – 1 – 2 1 0++ - + - + =xx xx x
( )
2
11
– – 1 1 0
12 1
æö
++=
ç÷
-+ - +
Û
+
èø
xx
xxxx
2
––10Û=xx
11
1 0
12 1
æö
++>
ç÷
-+ - + +
èø
do
xxxx
( )
15
/
2
15
2
é
+
=
ê
ê
ê
-
=
ê
ë
xtm
x
Þ
15
2
+
==xy
( )
; =xy
15
2
æö
+
ç÷
ç÷
èø
22
22
1118
112
ì
+++++ ++++ =
ï
í
+++-+ +++-=
ï
î
xxy x yxy y
xxy x yxy y
2
2
10
10
ì
+++³
ï
í
+++³
ï
î
xxy
yxy
22
1 1 10
8
ì
++++ +++=
ï
í
+=
ï
î
xxy yxy
xy
22
9167310++ - + =xxx
80
(1)
Trong hệ trục tọa độ xét ;
Khi đó | |.| |=
. =
Pt (1) tương đương với | |.| |= . (2)
Ta có | |.| | .
Khi đó (2) xảy ra khi và chỉ khi hoặc hoặc (không xảy ra) hoặc cùng
hướng suy ra x=4.
KL: Nghiệm của hệ là (4;4)
Bài 11. [Đề chọn hsg tỉnh Trà Vinh, 2014-2015] Giải hệ phương trình :
1/
2/
Bài 12. [Đề xuất Chuyên Biên Hòa, DHĐBBB 2015-2016]Giải hệ phương trình
Lời giải
Điều kiện :
Ta có : ( dấu = xảy ra khi xy = )
Do đó từ (1) (3) Từ (2) và (3) ta suy ra :
Û
22 2
(9)(1673) 89+-+=-++xxx xx
Û
22 22
(3)(8)3)9(8)
éù
+-+=+-
ëû
xx xx
(;3)
®
ax
(8 ;3)
®
-bx
®
a
®
b
22 22
(3)(8)3)
éù
+-+
ëû
xx
®
a
®
b
9(8)+-xx
®
a
®
b
®
a
®
b
®
a
®
b
³
®
a
®
b
0
®®
=a
0
®®
=b
®
a
®
b
8
10
-
=>
x
x
Û
22
2
1
ì+ + - £
í
+=
î
xy xy
xy
( )
2
113
455
ì
++ +=
ï
í
+-+=
ï
î
xy
xy
( )
ï
î
ï
í
ì
-++=+-+
-=-+
xyyxyyx
yxxyyxx
4142328)12(4
102
2223
22236
( )
10
042
10
04)1(4
0
2
22
22
££Û
î
í
ì
³+-
££
Û
ï
î
ï
í
ì
³-++
³-
xy
yx
xy
xyyx
yxxy
2
1
4
1
2
1
4
1
22
2
22
£-Ü£
÷
ø
ö
ç
è
æ
--=- yxxyxyyxxy
2
1
12042
236
£-+Þ yxx
4)2(2204242848
2236233
+-+-+³+-+ yxyxxyxyx
Û
( )
4228248
2
263
+-++³+ yxyxyx
81
(4)
Ta lại có
Do đó (4) hoặc hoặc
Thử lại ta thấy chỉ có là nghiệm của hpt.0,5
Bài 13. Giải hệ phương trình:
Hướng dẫn giải
Đặt
Hệ trở thành:
Ta có với mọi nên hàm đồng biến.
Giả sử thì hay suy ra
Hay
Do nên từ (*)ta có
Lại theo giả sử ở trên, nên .Thế vào hệ phương trình ban đầu ta được
Thử lại thấy là nghiệm.
Kết luận:Hệ đã cho có nghiệm duy nhất
Bài 14. Giải hệ phương trình :
(Chưa giải)
( )
42424
2
263
+-++³+Û yxyxyx
( )
( )
4222
2
2
3
+-+-³Û yxyx
( )
( )
2422
2
2
3
³+-+- yxyx
î
í
ì
=-
=-
Û
02
02
3
yx
yx
î
í
ì
=
=
Û
0
0
y
x
ï
î
ï
í
ì
=
=
2
1
1
y
x
ï
î
ï
í
ì
-=
-=
2
1
1
y
x
ï
î
ï
í
ì
=
=
2
1
1
y
x
32 32
() 2 9 12 ; () 3 4 15.ft t t t gt t t t=++ =+++
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
.
fx gy
fy gx
fz gx
Ï
=
Ô
Ô
Ô
Ô
=
Ì
Ô
Ô
=
Ô
Ô
Ó
32 32
32 32
32 32
2912 3 415
2912 3415
2912 3415
ì
++=+++
ï
++=+++
í
ï
++=+++
î
xx xyy y
yy yzzz
zz zxxx
( )
2
3640=+
¢
+>gt t t
t
g
( )
max , ,=xxyz
³
ì
í
³
î
xy
xz
( ) ( )
( ) ( )
³
ì
ï
í
³
ï
î
gx gy
gx gz
( ) ( )
( ) ( )
.
³
ì
ï
í
³
ï
î
gx f x
fz gz
( )
( )
( )
( )
( )
2
32 32
32 32
2
17150
34152912
*.
2912 3415
17150
ì
-++£
ì
+++³++
ï
Û
íí
++³+++
-+-³
î
ï
î
xxx
xx x xx x
zz zzzz
zzz
22
7150, 7150++>" +->"xx xzz z
1.££xz
( )
max , ,=xxyz
1==xz
1.=y
1===xyz
1.===xyz
32cos cos
32coscos
32cos cos
+= +
ì
ï
+= +
í
ï
+= +
î
xyz
yzx
zxy
82
2. Có tham số
Bài 1. Tìm m để hpt sau có nghiệm thực:
Hướng dẫn giải
Điều kiện: .
Phương trình (4) .
Xét hàm số , với .
.
f(t) là hàm số nghịch biến trên (vì nó liên tục trên đoạn này).
Suy ra: .
Thay vào phương trình (5) ta được: .
Đặt , . Ta có phương trình: g(u) =
.
Suy ra hệ phương trình đã cho có nghiệm .
Bài 2. Tìm để hpt có nghiệm
•
• Do đó hệ có nghiệm khi chỉ khi phương trình:f(x) = x
2
+ x – (m + 4) = 0 có nghiệm trong [m;+¥)
(*)
• f(x) = 0 có D = 4m + 17 nên f(x) = 0 có nghiệm .
• Do đó: (*)
•
Một số cách giải khác:
33 2
22 2
3320 (4)
31 2 2 0 (5)
ì
ï
í
ï
î
-+ --=
+-- -+=
xy y x
xxyym
11
02
-£ £
ì
í
££
î
x
y
( ) ( )
3
3
3131Û- =-- -xxy y
3
() 3=-ft t t
[ ]
1; 1Î-t
[ ]
2
'( ) 3 3 0, 1;1=-£"Î-ft t t
Þ
[ ]
1; 1-
1=-xy
22
10+-+=xxm
2
1=-ux
[ ]
0;1Îu
2
1--=uu m
[ ]
[ ]
0;1
0;1
5
min ( ) ; max ( ) 1
4
=- =-gu gu
5
1
4
Û- £ £-m
m
22
2
4
ì
+=
ï
í
-=
ï
î
xy
xy m
22 2
22
2
4
( 4) 0
( 4) 0
³
ì
ìì
+= =-
ï
ïï
ÛÛ=±-
íí í
-= --+=
ïï
îî
ï
-- + =
î
xm
xy yxm
yxm
xy m x x m
xxm
1417 -17
khi m
24
-± +
=³
m
x
1417
21417
2
-+ +
Û£ Û +£ +
m
mmm
2
1
210
m>-
17 1 17
hay 2
2
42 4
4 17 (2 1)
22
ì
+£
ì
ï
ÛÛ-££-Û-££
íí
+³ +
î
ï
-£ £
î
m
mm
mm
m
83
• Cách 2:
Hệ (I) có nghiệm Û x
2
+ x – (m + 4) = 0 có nghiệm trên [-2;2].
Dựa vào đồ thị parabol (P) y = x
2
+ x – 4 trên [-2;2], và đường thẳng y = m suy ra kết quả.
• Cách 3: Giải theo tam thức bậc hai....
Bài 3. Tìm a để hệ phương trình sau có nghiệm .
Hướng dẫn giải
Điều kiện .
Hệ phương trình tương đương
.
Do đó và là nghiệm của phương trình
Để hệ trên có nghiệm khi phương trình (*) có 2 nghiệm không âm
.
Đặt
Bài 4. Tìm m để hệ: có nghiệm.
Hướng dẫn giải
+) Đặt
22 2
22
4
(I)
(4)0(*)
ìì
+= =-
ïï
Û
íí
-= --+=
ïï
îî
xy yxm
xy m x x m
11
21
ì
++ -=
ï
í
+= +
ï
î
xya
xy a
1; 1³- ³xy
( ) ( )
22
11
1121
ì
++ -=
ï
í
++ -=+
ï
î
xya
xya
( )
2
11
1
11 21
2
ì
++ -=
ï
Û
í
éù
++ -= - +
ï
ëû
î
xya
xy aa
1+x
1-y
( )
22
1
21 0(*)
2
éù
-+ - +=
ëû
TaT a a
( )
( )
22
2
2210
0
00 1226
01
210
2
ì
---³
ï
D³
ì
ï
ï
Û³Û³ Û+££+
íí
ïï
³
î
ï
--³
î
aaa
Sa a
P
aa
2
2
10 1
10 1
ì
=-³Þ=+
ï
í
=-³Þ=+
ï
î
ux xu
vy yv
21
21
ì
+-=
ï
í
+-=
ï
î
xy m
yx m
2
2
10 1
10 1
ì
=-³Þ=+
ï
í
=-³Þ=+
ï
î
ux xu
vy yv
84
+) Đưa về hệ:
+) Điều kiện để hệ (**) có nghiệm
Ta xét hệ có nghiệm hay ko
Biến đổi hệ (**) trở thành:
+) Xét hệ (I): u=v ta được 2v
2
+v+2-m=0 có với PT luôn có nghiệm hệ
có nghiệm u=v=v
0
suy ra hệ ban đầu có x=y=v
o
2
+1
+) Xét hệ (II): ……….
Bài 5. Tìm tham số để hệ sau có nghiệm: .
Lời giải
Do (2)nên và là hai số dương,áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho 4 số dương ta được:
Do đó (1)chỉ đúng khi dấu đẳng thức xảy ra tại (3)tức là:
Vậy hệ có nghiệm khi và chỉ khi và nghiệm của hệ là:
Bài 6. Tìm giá trị lớn nhất của tham số m để cho hệ phương trình sau có nghiệm:
2
2
22
(** )
22
ì
++ =
ï
í
++=
ï
î
uv m
vu m
2³m
2³m
2
2
0
()
22
2210
()
220
é
-=
ì
ê
í
++ =
î
ê
ê
+-=
ì
ê
í
ê
++ =
î
ë
uv
I
uv m
uv
II
uv
2
0
2
-
=£
m
P
2³m
0
0³Þv
a
( )
( )
2
22 1 0
0
ì
--+£
ï
í
>>
ï
î
ax a x
xa
( )
( )
( ) ( )
2
22
22 1 0
22 1 0
0
0
ì
ì
--+£
-- -+£
ïï
Û
íí
>>
ï
>>
ï
î
î
ax a x
xaax axa
xa
xa
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
2
2
11 1
1
22 1
22
22
02
0
ì
ì
-+ -++ £
+£
ï
ï
-
-
ÛÛ
íí
ïï
>>
>>
î
î
xa xa a
x
xaa
xaa
xa
xa
-xa
a
( ) ( )
( )
( )
4
2
11 1 1
4223
22 4
-+ -++ ³ =
-
xa xa a
xaa
( )
( )
2
32
11
2
2
2
2
ì
=
ï
ï
-== Û
í
-
ï
=
ï
î
x
xa a
xaa
a
2
2
=a
32
2
=x
85
Hướng dẫn giải
+ Đặt:
Ta đ ược: ; ; .
Do đó ta có hệ .
+ Chú ý:
Do đó:Hệ đã cho có nghiệm thì:
Suy ra: .
+ Xét .Ta có hệ:
Từ (1)có thể đặt ,thay vào (2)và (3)ta có: .
Do đó ta có hệ: với .
+ Từ đó:Đáp số của bài toán là
22
222
3
(, , ).
ì
++ =
ï
++= Î
í
ï
++=
î
!
xxyym
yyzzmxyz
xy yz zx m
33 1
;;();().
22 2 2
=+ = = + = -
y
Xx Y yZ yzT zy
2222
++ = +xxyy XY
2222
++= +yyzzZT
3
()
2
++ = +xy yz zx XZ YT
22
22 2
3
3
2
ì
ï
+=
ï
ï
+=
í
ï
ï
+=
ï
î
XY m
ZT m
XZ YT m
2222 2 2
()()( )( ).++=++-XYZT XZYT XTYZ
2
2333 3
34 4
.()00
233
æö
³£-£Þ££
ç÷
ç÷
èø
mm m m m m
3
4
3
£m
3
4
3
=m
3
22 2
(1)
3
(2)
2
(3)
=
ì
ï
ï
+=
í
ï
ï
+=
î
XT YZ
XZ YT m
ZT m
,==XuZYuT
3
2
=um
22 2
2
2
2
3
23
y
2
2
32
hay y
2
344
ì
+
ì
=
ï
=
ï
ï
ï
ï
+
ïï
==
íí
ïï
ïï
+=
=
ïï
++
î
ï
î
m
XmZ
x
m
m
YmT z
m
ZT m
m
y
mm
3
4
3
=m
3
4
.
3
=m
86
Bài 7. a/ Tìm sao cho hệ có nghiệm.
b/ Với p tìm được ở câu a/, hãy xác định tập hợp tất cả các giá trị của tổng: với a
i
> 0 và .
Hướng dẫn giải
Câu a
Do: .
Khi đó: .Vậy hệ có nghiệm.
Chọn và có nghiệm.Nên là nghiệm của hệ.
có nghiệm.Nên là nghiệm của hệ.
Vô nghiệm.
Vậy hệ có nghiệm khi
Câu b
Ta có: .
Xét hàm: Ta có: .
Do đó: Dấu đẳng thức xảy ra khi:
vì .Dấu đẳng thức xảy ra khi ,
liên tục trên (0;1).Khi thì .Vậy ,tập giá trị là:
Chọn .Thỏa giả thiết:
*
Î •p
1
1
1
1
4
4
0, 1,
=
-
=
ì
=
ï
ï
ï
=
í
ï
ï
>"Î
ï
î
å
å
p
i
i
p
i
i
x
x
xip
2
1
1
=
-
å
p
i
i
i
a
a
2
1
1
=
=
å
p
i
i
a
2
11
1
16 . 4
==
æö
æö
=³Þ£
ç÷
ç÷
èø
èø
åå
pp
i
ii
i
xpp
x
4:=p
1, 1, 4=Î
i
xi
3:=p
1
1=x
23
23
3
.1
+=
ì
í
=
î
xx
xx
123
(, , )xx x
2:=p
12
12
4
.1
+=
ì
í
=
î
xx
xx
12
(, )xx
1:=p
2; 3; 4.===ppp
2
12
2
1
1
( , ,..., )
(1 )
=
=
-
å
p
i
p
i
i
a
faa a
aa
2
1
() (1 ),0 1; '() 0 .
3
=- << =Û=gx x x x g x x
(0;1)
2
max ( )
33
=gx
2
12
1
33 33
(, ,..., ) .
22
=
³=
å
p
pi
i
faa a a
1 hay p = 3.
3
=
p
12
12
22
21
12
1
2: ( , ) 2 2 2
.
==+³³
aa
pfaa
aa
aa
22
12
1+=aa
12
1
2
==aa
2
1
1
12
22
11
1
(, )
1
-
=+
-
a
a
faa
aa
1
0®a
12
(, )®+¥faa
2=p
3:=p
123
1
1 2 ; a ; a , 0<x<
2
=- = =axxx
87
liên tục trên ;
.Vậy tập giá trị là: .
Chọn thỏa giả thiết:
với ;
liên tục trên ;
.Tập giá trị là: .
Bài 8. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hệ sau có nghiệm thực:
(Chưa giải)
Bài 9. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:
.
(Chưa giải)
Bài 10. (THPT Quảng Xương 2 – Thanh Hóa, 2009-2010) Tìm các giá trị của để hệ phương trình
sau có nghiệm sao cho
Hướng dẫn giải
Đặt hệ trở thành
Từ hệ suy ra khi đó là nghiệm của phương trình:
222
123 123
12
1 2 1. ( , , ) ( )
211
-
++=-++= = + + =
--
xx x
aaa xxx faaa gx
xxx
1
(0; )
2
0
133
, limg(x)=+
32
®
æö
=¥
ç÷
èø
x
g
12
33
4 : ( , ,..., ) .
2
=>
p
pfaaa
1234
12 ; a ; a , a =- = = =ax xxx
2222
1234
13 1+++=-+++=aaaa xxxx
1
0
3
<<x
1234
12
(, , , ) ()
2111
-
=+++=
---
xx x x
faa aa gx
xxxx
1
(0; )
3
1
0
3
33
lim ( ) ; lim ( )
2
®
®
==+¥
x
x
gx gx
2
2
2
42
4
5
(2)
816 32160
ì
+³
ï
+
í
ï
++ + +=
î
x
x
x
xx mxm
2
2
2
311
1
1
ì
-+=
ï
í
++ =
ï
++
î
xmy
xy m
yy
m
( )
;xy
0, 0>>xy
( )
( )
22
22
1
15
1
121
ì
æö
++=
ï
ç÷
ïèø
í
æö
ï
++ =-
ç÷
ï
èø
î
xy
xy
xy m
xy
11
;=+ =+ux vy
xy
22
5
23
+=
ì
í
+= +
î
uv
uv m
11=- +uv m
, uv
88
.
Do nên .
Bài toán trở thành tìm để phương trình (*) có hai nghiệm lớn hơn hoặc bằng .
Đặt phương trình (*) trở thành: .
Để pt (*) có hai nghiệm lớn hơn hoặc bằng 2
H
pt (**) có hai nghiệm không âm
Giải được: .
Bài 11. Tìm giá trị của tham số a để hệ phương trình sau có đúng 1 nghiệm:
( )
2
5 – 11 0 *-+=XXm
0, 0>>xy
2, 2³³uv
m
2
2=-tX
( )
2
5 0 **-- +=ttm
19
5
4
££m
2
22
3
553
ì
++ =
ï
í
++ = ++ -
ï
î
xya
yxx a
| 1/88
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

I. PHƯƠNG TRÌNH 1. Không có tham số
Dạng 1: Biến đổi tương đương
Câu 1. Giải phương trình 3 4 2 5 5 2 3 4 5 5
x + x + 2 x + x + 2 = x + 3x - 2 + 2 x + 3x Lời giải
+Biến đổi phương trình tương đương : 2 x - 3x + 2 = 0 éx =1 Û ê ëx = 2
Câu 2. Giải phương trình 2
4 x + 1 + 2 2x + 3 = (x - 1)(x - 2). Lời giải Điều kiện: x ³ 1 - . Nhận thấy x = 1
- là một nghiệm của phương trình. Xét x > 1
- . Khi đó phương trình đã cho tương đương với
( x + - ) + ( x + - ) 3 2 4 1 2 2 2
3 3 = x - x - 2x - 12 4( x - 3) 4( x - 3) 2 Û +
= (x - 3)(x + 2x + 4) x + 1 + 2 2x + 3 + 3 æ ö Û ( x - 3) 4 4 2 + - (x + 1) - 3 = 0. 1 ç ÷ ( ) è x + 1 + 2 2x + 3 + 3 ø 4 4 Vì x > 1
- nên x + 1 > 0 và 2x + 3 > 1. Suy ra + < 3, vì x + 1 + 2 2x + 3 + 3 vậy 4 4 2 + - (x + 1) - 3 < 0. x + 1 + 2 2x + 3 + 3 Do đó phương trình 1
( ) Û x - 3 = 0 Û x = 3.
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x = 1 - hoặc x = 3.
Câu 3. [Đề thi hsg Bắc Sơn, Lạng Sơn] Giải phương trình sau : 3 3 3 x +1 + x -1 = 5x Lời giải 1 3 3 3 3 2
x + 1 + x - 1 = 5x Û 2x + 3 x - 1(3 3 x + 1 + x - 1) = 5x 3 2 3 3 5
Þ x -1 5x = x Þ 4x - 5x = 0 Þ x = 0;x = ± . 2 5
Thˆ lπi ta th y ph≠¨ ng tr◊nh c„ 3 nghi÷m: x = 0; x = ± . 2
Câu 4. Giải phương trình: 2
x + x + = ( x + ) 2 6 1 2 1 x + 2x + 3( )
1 ,với x Î R. Hướng dẫn giải. ( ) 2
Û x + x + -( x + ) 2 1 2 3 2
1 x + 2x + 3 + 4x - 2 = 0 2 2 Û
x + 2x + 3 - 2x +1
x + 2x + 3 - 2 = 0 ( )( ) 2
é x + 2x +3 = 2x -1 Û ê 2
êë x + 2x +3 = 2 ì 1 ïx ³ 3 + 15 2
x + 2x + 3 = 2x -1 Û í 2 Û x = 3 2 3
ïî x -6x -2 = 0
Câu 5. Giải phương trình 2
3x - 2 - x +1 = 2x - x - 3. Hướng dẫn giải. 2x - 3 2
3x - 2 - x +1 = 2x - x - 3 Û = (2x -3)(x+1) 3x - 2 + x +1
Tìm được nghiệm duy nhất x=2/3
Câu 6. Tìm nghiệm nguyên của phương trình 2 2
x - 3y + 2xy - 2x -10y + 4 = 0. Hướng dẫn giải Ta có: 2 2
x - 3y + 2xy - 2x -10y + 4 = 0
Û x + 2x (y - ) 1 + (y - )2 2 1 - ( 2
4y + 8y + 4) == 7
Û (x + y - )2 -( y + )2 1 2 2 = 7 - Û (3y + x + )
1 (y - x +3) = 7
Vì 7 là số nguyên tố nên ta có các trường hợp sau: 3
ì y + y +1 = 7 3 ì y + y +1 = 7 - 3 ì y + y +1 =1 3 ì y + y +1 = 1 - í ; í ; í ; í
î y - x + 3 = 1 î y - x + 3 = 1 -
î y - x + 3 = 7 î y - x + 3 = 7 -
Giải ba hệ phương trình trên ta được: (x; y)Î ( { 3±; )1,(1; 3-),(7; 3-)}. 2
Câu 7. (THPT Quảng Xương 2 – Thanh Hóa, 2009-2010) Giải phương trình: 2 2 =1+ 5+ 6x - x x -1 + 5 - x Hướng dẫn giải 2 2 t - 4
Đặt t = x -1 + 5 - x ta được =1+
Û (t - 2)( 2t + 2t + 2) = 0 t 2
Giải ta được t = 2 suy ra x = 1, x = 5 Dạng 2: Đặt ẩn phụ Bài 1.
Giải phương trình trên tập số thực: 2
x + x +9 = 2x -4+ x +1(1). Hướng dẫn giải Điều kiện: x ³ 1 - .
x + x + = x - + x + Û (x - )2 2 9 2 4 1 2 + 5(x + )
1 = 2(x - 2)+ x +1 !x = -
1 không là nghiệm của phương trình. 2 æ x - 2 ö x - 2 !x > 1: - pt(1) Û ç ÷ + 5 = 2 + . 1 è x +1 ø x +1 x - 2 Đặt t = . x +1 Phương trình trở thành: 2 t +5 = 2t +1 2 Û t = . 3 20 + 4 7 ìï20 + 4 7 üï
Khi đó ta có: 2 x +1 = 3x - 6 Û x = . Vậy S = í . ý 9 ï 9 î ïþ Bài 2.
Giải phương trình sau trên tập số thực: 2
x + x + = (x + ) 2 2 3 7 5 2x +1. Hướng dẫn giải Phương trình (1) 2 Û x + -(x + ) 2 2 1 5
2x +1 + 3x + 6 = 0. Đặt 2
t = 2x +1. Ta có phương trình: 2
t -(x +5)t +3x + 6 = 0(*). D = é- ë ( x + ) 2 ù - û
( x + ) = (x - )2 5 4 3 6 1 . ét = 3 Phương trình (*) Û ê ët = x + 2 ìx + 2 > 0 2
t = 3 Û 2x +1 = 3 Û x = 2 ± 2
t = x + 2 Û 2x +1 = x + 2 Û í 2 îx - 4x - 3 = 0 ìx > 2 - ï Û í Û x = 2 ± 7 . ïîx = 2 ± 7 3 Vậy S = ( 2; ± 2 ± 7 ). Bài 3.
Giải phương trình sau trên tập số thực: ( 2 x - x - ) 2 x + x + + ( 2 2 5 2 2x + x + ) 1 x + 3 = 0.
Hướng dẫn giải ì 2
ìïa = x + x + 2 7 ïa ³ Đặt í . Điều kiện: í 2 . b ïî = x + 3 b ïî ³ 0 Ta có: 2 2 2 2 2 2
2x - x - 5 = 2a -3b ; 2x + x +1 = 2a - b . 3 2 æ b ö æ b ö æ b ö
Thay vào phương trình ta được: ( 2 2
a - b )a +( 2 2 2 3
2a -b )b = 0 Û + 3 - 2 - 2 = 0 ç ÷ ç ÷ ç ÷ è a ø è a ø è a ø éb =1 êa Û ê 2 êæ b ö b + 4 + 2 = 0 êç ÷ ëè a ø a 2 æ b ö b b +)
+ 4 + 2 = 0 : phương trình vô nghiệm do ³ 0. ç ÷ è a ø a a b éx =1 2
+) =1 Û b = a Û x + 3 = x + x + 2 Û . a ê ëx = 1 -
Vậy x = 1; x = 1
- là nghiệm phương trình. Bài 4. Giải phương trình sau 3 2 2 3 3 2
- x +10x -17x +8 = 2x 5x - x Lời giải
Nhận xét rằng x = 0 không là nghiệm của phương trình đã cho. 1
Suy ra x ¹ 0 . Chia cả hai vế của phương trình cho 3
x rồi đặt t = , t ¹ 0, ta có phương trình x 3 2 3 2
8t -17t +10t - 2 = 2 5t -1 Û ( t - )3 + ( t - ) = ( 2t - ) 3 2 2 1 2 2 1 5 1 + 2 5t -1 (*)
Xét hàm số f (t) 3
= t + 2t, t " Î! .
Ta có hàm số f (t) liên tục trên ! và f (t) 2 '
= 3t + 2 > 0, t " .
Suy ra hàm số f (t) luôn đồng biến trên khoảng ( ; -¥ +¥).
Khi đó phương trình đã cho có dạng f ( t - ) 3 2 3 2 2 1 = f
5t -1 Û 2t -1 = 5t -1 ( ) 17 ± 97 3 2
Û 8t -17t + 6t = 0 Û t = (do t ¹ 0) 16 17 - 97 17 + 97
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = và x = . 1 12 2 12 4 Bài 5.
Giải phương trình sau : ( x - ) 2 2 4 1
x +1 = 2x + 2x + 1 Lời giải Đặt 2 2 2 2
y = x +1 ³1 Û y = x +1Þ 2y + (1- 4x)y + 2x -1 = 0 . 4
Û y = 2x -1 Û x = 3 2 5 - 2 3 3 2 + 5 -1 = x x x . 6 Điều kiện xác định: 2 5x - 2 ³ 0. 2 5x - 2 Đặt t = (t ³ 0). Ta có 2 2 5x = 6t + 2. 6
Phương trình đã cho trở thành 3 3 2 3 2 3
x + 6t + 2 -1 = t Û x + 6t + 2 = (t +1) 3 3
Û x = (t -1) Û x = t -1Û t = x + 1 ìx ³ 1 - 2 5x - 2 ï ìx ³ 1 - 2 Û = x +1 Û í x - Û í 5 2 2 2 6 = (x +1) ï îx +12x + 8 = 0 î 6 Û x = 6 - + 28 (tm đk).
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 6 - + 28. Bài 6. Giải phương trình: 2 2 log
(x - 2x -11) = log
(x - 2x -12) (1) 2+ 5 2 2+ 5 2
ìïx - 2x -12 > 0 • Điều kiện: í (*) 2
ïîx - 2x -11> 0 • 2 (2 + 5) = 9 + 4 5 và 2
(2 2 + 5) = 8 + 4 5 do đó 2 + 5 = 9 + 4 5 và 2 2 + 5 = 8+ 4 5 . • (1) Û 2 2 log
(x - 2x -11) = log (x - 2x -12) 9+4 5 8+4 5 Û 2 2 log
(x - 2x -11) = log (x - 2x -12) 9+4 5 8+4 5
• Đặt: a = 8 + 4 5 > 1, t = x2 – 2x -12. Điều kiện: t > 0.
• Do đó: (1) Û lna + 1(t + 1) = lnat ìït = y a
Cách 1: (1) Û lna + 1(t + 1) = lnat Û í (I).
ïît +1= (a +1)y y y • æ a ö æ 1 ö Từ (I) ta được: + =1 (2). ç ÷ ç ÷ è a +1ø è a +1ø
• y = 1: là nghiệm của (2). 5 y y y y • æ a ö æ 1 ö a 1 æ a ö æ 1 ö a 1 y < 1: + > + = 1, y < 1: + < + = . 1 ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ è a +1ø è a +1ø a +1 a +1 è a +1ø è a +1ø a +1 a +1
• Nên (2) có nghiệm duy nhất: y = 1. Do đó: (1) t = a Û x2 – 2x – 12 = 8 + 4 5 ( thỏa *)
Û x2 – 2x – 20 - 4 5 = 0 Û x = 2 + 2 5 hoặc x = -2 5 .
• Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x = 2 + 2 5 hoặc x = -2 5 .
Cách 2: Xét hàm số y = f(t) = lna + 1(t + 1) - lnat (a >1 • 1 1 Ta được: y ' = -
< 0 vì a > 1, nên hàm số giảm trên (0; +¥) và ta có f(t) = 0 có
(t +1)ln(a +1) t ln a
nghiệm t = a nên f(t) có nghiệm duy nhất t = a.
• Vậy: (1) (1) Û lna + 1(t + 1) = lnat Û t = a x2 – 2x – 12 = 8 + 4 5 ( thỏa *)
Û x2 – 2x – 20 - 4 5 = 0 Û x = 2 + 2 5 hoặc x = -2 5 .
• Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x = 2 + 2 5 hoặc x = -2 5 . Bài 7. Giải phương trình: 2 3 2
3(x + 2x + 2) =10 x + 2x + 2x +1 (1). • 3 2 2
x + 2x + 2x +1 = (x +1)(x + x +1) nên điều kiện là: x ³ -1.
• x2 + 2x + 2 = (x +1) + (x2 + x + 1), đặt a = x +1, 2
b = x + x +1
• Với điều kiện x ³ -1: (1) trở thành:
3(a2 + b2) = 10ab Û 3a2 – 10ab + 3b2 = 0 Û (a – 3b)(3a – b) = 0 Û a = 3b hay a = b/3. • a = 3b Û x +1=3 2
x + x +1 Û x + 1 = 9(x2 + x + 1) Û 9x2 + 8x + 8 = 0 (vô nghiệm)
• a = b/3 Û 3a = b Û3 x +1 = 2
x + x +1Û9(x + 1) = x2 + x + 1 Û x2 - 8x - 8 = 0 Û x = 4 ± 2 6
Vậy phương trình có hai nghiệm: x = 4 ± 2 6 . Bài 8. Giải phương trình : 3 2
x - 3x + 2 = x +1 Điều kiện: x ³ -1 +) Nếu x > 3 thì:
x 3 - 3x 2 + 2 = (x – 1) 3 - 3(x- 1) > 4(x – 1) – 3(x – 1) = x – 1 >
x + 1 Chứng tỏ x > 3 không thỏa mãn Với -1 £ x £ 3
Đặt x = 2cost + 1 ( 0 £ t £ p )
Khi đó phương trình trở thành:
(2cost + 1) 3 - 3(2cost + 1) 2 + 2 = 2 cos t + 2 Û 8cos 3 t – 6cost = (c 2 os t + ) 1 Û t 2cos3t = 2cos 2 6 Û t cos3t = cos 2 é t é 4 p k ê t 3 = + 2kp t = 2 ê 5 Û ê Û ê ê t 4 p k t 3 2 p êt = ê = - + k ë 2 êë 7 2 - Bài 9. Giải phương trình 3 3 2 5 2 + 5 -1 = x x x 6 Hướng dẫn giải Điều kiện xác định: 2 5x - 2 ³ 0. 2 5x - 2 Đặt
= t(t ³ 0). Ta có 2 2 5x = 6t + 2. 6
Phương trình đã cho trở thành 3 3 2 3 2 3
x + 6t + 2 -1 = t Û x + 6t + 2 = (t +1) 3 3
Û x = (t -1) Û x = t -1 Û t = x + 1 ìx ³ 1 - 2 5x - 2 ï ìx ³ 1 - 2 Û = x +1 Û í - Û í Û x = 6 - + 28 . 5x 2 2 2 6 = (x +1) ï îx +12x + 8 = 0 î 6
Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm là x = 6 - + 28 . Bài 10. [Đề chọn hsg tỉnh Trà Vinh, 2014-2015] Giải phương trình : +
- x é ( + x)3 - ( - x)3 2 ù 2 1 1 1 1 = 2 + 1- x êë úû
Bài 11. [Đề thi hsg tỉnh Vĩnh Long, 2015-2016] Giải phương trình 3 3 x +1 = 2 2x -1 Lời giải
Phương trình tương đương với 3 3
x + 2x = 2x -1+ 2 2x -1 Đặt 3
t = 2x -1, ta có phương trình 3 3
x + 2x = t + 2t Û (x -t)( 2 2
x + xt + t ) + 2(x -t) = 0 Û (x -t)( 2 2
x + xt + t + 2) = 0 ( ) 1 2 2 æ t ö 3t Vì 2 2
x + xt + t + 2 = x + +
+ 2 > 0 nên (1) Û x = t ç ÷ è 2 ø 4 é x =1 3 3
Û x = 2x -1 Û x - 2x +1= 0
(x )1( 2x x )1 0 ê Û - + - = Û 1 - ± 5 êx = êë 2 7 ìï 1 - ± 5 üï Tập nghiệm S = 1 í ; ý ï 2 î ïþ
Bài 12. Giải phương trình: 4 2 x + x + + ( 2 1 3 x + )
1 = 3 3x,với xÎ! Hướng dẫn giải. Từ pt ta thấy xñ0 1 æ 1 ö (1) 2 Û x + +1 + 3 x + = 3 3 ç ÷ 2 x è x ø 1
Đặt: t = x + ,t ³ 2 x Pt trở thành: 2
t -1 = 3 (3 - t) t ì £ 3 Û í Û t = 2 2 t î - 9t +14 = 0 1 x + = 2 Û x =1 x Giải phương trình 3 2 3 2
x -5x +12x - 6 = 2 x - x +1
Bài 13. Giải phương trình: 2
-x 2 - 3x + 1- x = x +1. 3- 4x . Hướng dẫn giải. ! ! ! ! ! ! Đặt u = ( x )
;1 ,v = ( 2 - 3x;- 1- x ) từ phương trình ta có .
u v = - u . v ! !
Như vậy: u,v ngược hướng 2 - 3x - 1- x Suy ra: = (1) x 1 1 - - 5
Giải (1) và thử lại ta thấy phương trình đã cho có nghiệm là x = 2
Bài 14. Giải phương trình: x = 10 + 10 + x ,với x Î R Hướng dẫn giải. Đk: x ³ 0
Đặt u =10 + x,u ³10 ì
Ta có: ïx = 10 + u íuïî =10+ x 8
x - u - ( x - u ) = 0 Û ( x - u )( x + u + ) 1 = 0 éx = u Û ê
ë u + x +1 = 0(VL) ìx ³10 21+ 41
x = u Û x = x -10 Û í Û x = 2
îx - 21x +100 = 0 2 21+ 41
Vậy phương trình có một nghiệm: x = , 2 4 Giải phương trình: 3 3 2
81x -8 = x - 2x + x - 2. 3 3x
Bài 15. Giải phương trình: x + = 1 2 x +1 Hướng dẫn giải.
Phương trình đã cho có điều kiện 0 < x < 1 3x 2 3x
Với điều kiện trên ta có: x + = 1 Û x +1 = x2 +1 1- x Û 2 2 2
(1- x) (x +1) = 9x 2 1 æ 1 ö Û x + - 2 x + - 7 = 0 2 ç ÷ x è x ø 1 ét = 1- 10 Đặt t = x + (t ³ 2) ta có: 2
t - 2t - 9 = 0 Û ê Û t = 1+ 10 x êt ë = 1+ 10 é 1+ 10 - 5 - 2 êx = Với t = 1+ 1 10 ta có : x + = 1+ 10 2 Û ê x ê 1+ 10 + 5 + 2 x = êë 2 1 + 10 - 5 - 2
So với điều kiện 0 < x < 1, phương trình đã cho có nghiệm x = 2
Bài 16. Giải phương trình sau trên tập số thực: x +1= (2x +1) x +1 + 2 . Hướng dẫn giải. 1
Điều kiện: x ³ - . Đặt y =
x +1 + 2 ( y > 2 ), 2
ìx +1+ y = 2(x +1)y ï ta thu được hệ í 2 ïîy - x +1 = 2 Suy ra 9 x +1+ y = ( 2
y - x +1)(x +1)y Û ( y x +1+ ) 1 ( 2
y + x +1- y x +1) = 0 Û ( y x +1+ )
1 ( y - 2 x +1) = 0 Û y = 2 x +1 15 - + 33 Do vậy
x +1 + 2 = 2 x +1 Û x = . 32 15 - + 33
Thay vào, thử lại thấy x = thỏa mãn. 32 -15 + 33 Đáp số: x = . 32
Bài 17. Giải phương trình: 2 x + 6 2
x + 4x = x +1. Hướng dẫn giải. ì 2
ïx £ - Ú x ³ 0 ì6 2 x + 4x ³ 0 ï 3 ï 2 ï1 - 5 1 + pt Û 5 íx + 1 - x ³ 0 Û í £ x £ ï 2 2 2 ï 2 2
î6x + 4x = (x + 1 - x ) ï6 2
x + 4x = (x + 1 - 2 x )2 ) 1 ( ï î 4 3 2 ) 1
( Û x + 1 - 2x - 2x - x = 0 2 1 æ 1 ö Û x +
- 2ç x + ÷ - 7 = 0 (x = 0 không là nghiệm) 2 x è x ø 1 ét = 1- 10 Đặt t = x + (t ³ 2) ta được 2
t - 2t - 9 = 0 Û ê x êët = 1+ 10 é 1 + 10 - 5 - 2 êx =
So với điều kiện ta được t = 1 + 10 Û ê 2 ê 1 + 10 + 5 + 2 êx = ë 2 1 + 5 1 + 10 - 5 - 2
So với điều kiện 0 £ x £ , ta được x = 2 2
Bài 18. Giải phương trình sau: 2 2 3 4
4 x + x +1 =1+ 5x + 4x - 2x - x với xÎ R. Hướng dẫn giải. 3 Đặt 2
t = x + x +1, t ³
. Khi đó phương trình trở thành: 2 4 2 4 2 t = t
- + t - Û t - t + -( 2 4 7 5 6 9 t - 4t + 4) = 0 10
Û (t - )2 -(t - )2 2
= Û ( 2t -t - )( 2 3 2 0
1 t + t - 5) = 0(*) 2 ét -t -1= 0 (*) Û ê 2 êët +t -5 = 0 3 + Với t ³ thì 2 t - t -1 = 1 5
0 có một nghiệm là t = 2 2 3 - + Với t ³ thì 2 t + t - 5 = 1 21
0 có một nghiệm là t = 2 2 2 1+ 5 æ1+ 5 ö Khi t = thì 2 2 x + x +1 = ç
÷ Û 2x + 2x -1- 5 = 0 2 ç 2 ÷ è ø 1 - - 3+ 2 5 - + + Û x = 1 3 2 5 hoặc x = . 2 2 2 -1+ 21 æ 1 - + 21 ö Khi t = thì 2 2 x + x +1 = ç
÷ Û 2x + 2x - 9 + 21 = 0 2 ç 2 ÷ è ø 1 - - 19 - 2 21 - + - Û x = 1 19 2 21 hoặc x = . 2 2 x + 2
Bài 19. Giải phương trình -1 = 3(x - 3)2 3 3 + 9(x - 3). 2 Hướng dẫn giải. Điều kiện x ³ 2 - Đặt 3
t = 9( x - 3) ta có 3 3 2 t + 27 x + 2 t + 45 t x = ; = ; 3( x - 3)2 3 = 9 2 18 3
Phương trình đã cho trở thành 3 2 3 t + 45 t t + 45 2 = + t +1 Û = t + 3t + 3 18 3 2 2 æ 3 ö 3 3 t + 45 2 Ta có 2
t + 3t + 3 = t + + > 0 nên ç ÷ = ( 2t + 3t + 3) è 2 ø 4 2 1
Ta được phương trình (2t - )
1 (t + 3)( 2t + 3t + 9) = 0 Û t = Ú t = 3 - 2 1 Với t = 217 thì x = 2 72 Với t = 3 - thì x = 0 11
Bài 20. Giải phương trình 2 2
2x + 1- x + 2x 1- x = 1. Hướng dẫn giải.
Ta có phương trình tương đương với 2 2
1 - x = 1 - 2x - 2x 1 - x 4 2 2 2 2 3 2
fi 1 - x = 1 + 4x + 4x (1 - x ) - 4x - 4x 1 - x + 8x 1 - x 2 2 2
€ x(1 - 4 1 - x + 8x 1 - x ) = 0 x È = 0 Í € Í 2 2 2 1
Í - 4 1 - x + 8x 1 - x = 0(1) Î Xét (1), đặt 2
y = 1 - x , suy ra y ≥ 0 và 2 2 x = 1 - y . Ta được 2 3
1 - 4y + 8y(1 - y ) = 0 € 8y - 4y - 1 = 0 2
€ (2y + 1)(4y - 2y - 1) = 0 1 + 5 5 - 5 € y =
. Từ đó suy ra x = ± . 4 8 5 - 5
Thử lại ta được nghiệm của phương trình là x = 0 và x = - . 8
Bài 21. Giải phương trình 3 3 x +1 = 2 2x -1. Hướng dẫn giải
Phương trình tương đương với 3 3
x + 2x = 2x -1+ 2 2x -1. Đặt 3
t = 2x -1, ta có phương trình 3 3
x + 2x = t + 2t Û (x -t)( 2 2
x + xt + t ) + 2(x -t) = 0 Û (x -t)( 2 2
x + xt + t + 2) = 0 ( ) 1 2 2 æ t ö 3t Vì 2 2
x + xt + t + 2 = x + +
+ 2 > 0 nên (1) Û x = t ç ÷ è 2 ø 4 3 3
Û x = 2x -1 Û x - 2x +1= 0 é x =1
(x )1( 2x x )1 0 ê Û - + - = Û 1 - ± 5 êx = êë 2 ìï 1 - ± 5 üï Tập nghiệm S = 1 í ; ý. ï 2 î ïþ æ 1 ö
Bài 22. (Chuyên Hưng Yên ) Giải phương trình 2 3 2 8x -15x + 9 = 1+ 5x - 2x - 2 ç ÷ è x ø 12 Hướng dẫn giải æ 1 2 ö 3 2 8x -15x + 9 = 1+ 5x - 2x - 2 ç ÷ è x ø 3 2 2 3
Û 8x -15x + 9x = (x +1) (x +1)(2x -1) + 3x - 3x -1(x ¹ 0) 3 2 2 3
Û (2x -1) - (3x - 3x -1) = (x +1) (x +1)(2x -1) + 3x - 3x -1 3 2 u
ìï -(3x -3x -1) = (x +1)v Đặt 3 2
u = 2x – 1, v = 5x - 2x - 2 , ta được hệ: í 3 2 v
ïî -(3x -3x -1) = (x +1)u
Trừ vế với vế hai phương trình trên, ta được: (u - v) ( 2 2
v + uv + u ) = (x + ) (v - u) Û u -v ( 2 2 1 (
) u + uv + v + x + ) 1 = 0 TH1: 3 2 3 2
u = v Û 2x -1= 5x - 2x - 2 Û 8x -17x +8x +1= 0 éx =1 2 (x 1)(8x 9x 1) 0 ê Û - - - = Û 9 ± 113 êx = êë 16 u 3 TH2: 2 2 2 2
u + uv + v + x +1 = 0 Û (v + ) + (2x -1) + x +1 = 0 2 4 u 2 2
Û 4(v + ) +12x -8x + 7 = 0 2 u 2 2 2
Û 4(v + ) + 4x + 2(2x -1) + 5 = 0 phương trình vô nghiệm. 2 9 ± 113
Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm: x = 1; x = 16
Bài 23. Giải phương trình : 2
x - 4x + 3 = x + 5. Hướng dẫn giải
Đặt t = x + 5 (t ³ 0) .
Từ phương trình đã cho ta có : 4 2
t -14t - t + 48 = 0 (*)
Ta có : (*) Û (t - )( 3 2
3 t + 3t -5t -16) = 0 ét = 3 Û ê 3 2
ët + 3t -5t -16 = 0 (**)
Với t = 3 ta có x = 4
Đặt y = t +1 ( y ³ )
1 từ phương trình (**) ta có : 3
y -8y - 9 = 0(***)
Dùng máy tính điện tử hoặc khảo sát hàm số f ( y) 3
= y -8y -9 trên [1;+ ¥) ta thấy (***) có một nghiệm duy nhất y 0
Ta biểu diễn y dưới dạng: y = u + v 0 0 0 0 8 Ta có : 3 3
u + v + u + v 3u v -8 - 9 = 0 u ;v u v = 0 0 ( 0 0)( 0 0 ) nên có thể chọn sao cho : 0 0 0 0 3 13 ì 512 3 3 u ï v = Vậy ta có : 0 0 í 27 3 3 u ï + v = 9 î 0 0 512 Như vậy 3 3
u ;v được chọn là nghiệm của phương trình : 2 z + 9z - = 0 0 0 27 ì 9 139 3 u ï = + 0 ï 2 108 Suy ra: í ï 9 139 3 v = - 0 ïî 2 108
Ta tìm được nghiệm của (***) là 2 9 139 9 139 æ 9 139 9 139 ö 3 3 y = + + - .Suy ra : = ç 3 3 x + + - -1÷ - 5 0 2 108 2 108 ç 2 108 2 108 ÷ è ø
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm 2 æ 9 139 9 139 ö x = 4 ; = ç 3 3 x + + - -1÷ - 5 ç 2 108 2 108 ÷ è ø 3
Bài 24. Giải phương trình sau: 2 x - 3x + 1= - 4 x + 2 x + 1 . 3 Hướng dẫn giải: Ta có: 4 x + 2 x + = ( 2 x + x + )( 2 1 1 x ñ x + ) 1 > 0 € 2 x x + = ( 2 x x + ) ( 2 ñ3 1 2 ñ 1 ñ x + x + 1 ) 2 x - x + 1 Đặt t =
, t > 0 . Phương trình trở thành: 2 x + x + 1 È - 3 Ít = < 0 3 Í 2 x x 1 1 2 2 3 - + 2t + t - 1= 0 € Í € = 3 Í 1 2 x + x + 1 Ít = 3 ÍÎ 3 € x = 1
Dạng 3. Sử dụng hàm số
Câu 1. Giải các phương trình sau: a) 3 x + x - + ( 2 8 4 3 ln 4x - 2x + ) 1 = 0. b) ln( 2 x + x + ) 3 2 6
10 + x + 3x + 4x +12 = 0.
Câu 2. Giải phương trình sau: 1 x- x - æ ö a) log
x - 4x + 3 + 2006 + = 2 ( ) 2 4 2 2 2007 ç ÷ è 2007 ø 2 æ 2x + 3 ö b) 4 2 log ç ÷ = x - x - 2 2007 4 2 è x + x +1ø
Câu 3. Giải phương trình log 1 sin 1 2007 x x - - + = -1 2007 ( ) 1 sin . 14 Giải phương trình: 2 x 1 - 2 x 2 .3 x
+ (x -1).3 +1- x - x = 0
• Phương trình đã cho tương đương với: 2 2 x x 1 (x 1).(3 1) . x (3 - - - + -1) = 0
• Xét x = 0; x = ± 1: Thay vào (1) ta thấy đều thỏa nên phương trình có các nghiệm: x = 0; x = ± 1. 2 x x 1 - - - • 3 1 3 1
Xét x ¹ 0; x ¹ ± 1: Khi đó (1) Û + = 0 (2) 2 x x -1 3t -1
Với t ¹ 0, xét hàm số: f (t) = . t
* Với t > 0 thì 3t – 1 > 0 Þf(t) > 0 và với t < 0 thì 3t – 1 < 0 Þ f(t) > 0, do đó:
Vì (2) Û f(x) + f(x2 – 1) = 0 nên (2) vô nghiệm.
• Vậy phương trình đã cho có tất cả là 3 nghiệm: x = 0; x = ± 1.
Câu 4. [Đề chọn hsg tỉnh Trà Vinh, 2014-2015] Giải phương trình : 3 3 2
3x - 5 = 8x - 36x + 53x - 25
Câu 5. Giải phương trình: 3 2 3 2
8x -17x +10x - 2 = 2 5x -1. Ta có 3 2 3 2 3 2 3 2
8x -17x +10x - 2 = 2 5x -1 Û (2x -1) + 2(2x -1) = (5x -1) + 2 5x -1 (1). Đặt 3
f (t) = t + 2t thì 2
f '(t) = 3t + 2 > 0, t
" do đó f đồng biến và liên tục trên ! . Từ đó: 3 2 3 2
(1) Û f (2x -1) = f
5x -1 Û 2x -1 = 5x -1. ( ) éx = 0 2 x(8x 17x 6) 0 ê Û - + = Û . 17 ± 97 êx = êë 16
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm.
Câu 6. Giải phương trình 3 2 2 3 3 2 - x 1
+ 0x -17 x +8 = 2x 5x - x (1) Hướng dẫn giải
Có x = 0 không là nghiệm của (1)
Xét x ¹ 0 , chia hai vế cho 3 x , được 10 17 8 5 3 2 - + - + = 2 -1 2 3 2 x x x x 1
Đặt y = ( y ¹ 0), khi đó có PT x 3 2 3 2
8y -17y +10y - 2 = 2 5y -1 ( y - )3 2 1 + 2(2y - ) 1 = 2 5y -1+ 3 2 2 5y -1 Suy ra f (2y - ) 3 2 1 = f 5y -1 ( )
Xét hàm số f (t) 3
= t + 2t .Vì f(t) là hàm số đồng biến trên R 15 nên f (2y - ) 3 2 1 = f 5y -1 « 2y - 1 = 3 2 5y -1 ( ) « 3 2
8y -17y + 6y = 0 « y( 2
8y -17y + 6) = 0 17 ± 97
Giải tìm được y = 0 (loại); y = 16 1 Tính x theo x = y 17 ìï - 97 17 + 97 üï
Tập nghiệm của phương trình (1) là í ; ý ï 12 12 î ïþ x + 5 10 - x
Câu 7. Giải phương trình 4 4 4 4 x + 5 - x = + (xÎ! ). 3 3 Hướng dẫn giải.
Điều kiện: 0 £ x £ 5 x + 2x (5 - x) + 2x x + 2(5 - x) Phương trình 4 4 4 4 4 Û 2 x + 5- x = + + (1) 3 3 3
Ta có: x = 0, x = 5 không là nghiệm phương trình.
Xét hàm số f (x) xa = , x > 0; ta có: a 1 - a -2
f '(x) = a x ; f ''(x) = a(a -1)x (*) 1 Áp dụng (*) với a = 4 x + 2x (5 - x) + 2x x + 2(5 - x) Ta có: 4 4 4 4 4 2 x + 5 - x £ + + 3 3 3 5
(1) Û x = 5 - x Û x = 5
. Vậy x = là nghiệm phương trình. 2 2
Câu 8. Giải phương trình 3 3 2 3
5 2x - 3x - 5x - 4 = -x +13x - 2, (x Î ! ) . Hướng dẫn giải. 3 5
ìï a = -x +13x - 2 (1) Đặt 3 3 2
a = 2x -3x -5x - 4 ta được: í 3 3 2
ïîa = 2x -3x -5x - 4 (2 3 3
(1) + (2) Þ a + 5a = (x -1) + 5(x -1) (*) Xét hàm số 3
f (t) = t + 5t trên ! có 2
f '(t) = 3t + 5 > 0 t " Î!
Þ hàm số f (t) đồng biến trên ! ; (*) 3 3 2
Û 2x -3x -5x - 4 = x - 1 16 é êx = 3 ê éx = 3 ê - - 3 3 5
Û x -8x - 3 = 0 Û ê Û x = 2 ëx 3x 1 0 ê + + = 2 ê ê 3 - + 5 x = êë 2 3 - - 5 3 - + 5
Thử lại, ta được: x = 3; x = ; x =
là nghiệm phương trình. 2 2
Câu 9. Giải phương trình : 3 2
x + x - 3x - 2 = 2 x + 2 trên [ 2; - 2]. Hướng dẫn giải
Đặt x = 2cost .Với xÎ[ 2;
- 2] ta có t Î[0;p .] æ t ö
Phương trình đã cho trở thành : 3 2
4cos t - 3cost + 2cos t -1 = 2cos (*) ç ÷ è 2 ø t é é æ ö cos = 0 êt = p ê ç ÷ æ t ö è 2 ø ê
Với t Î[0;p ] Ta có: (*) Û cos3t + cos 2t = 2cos Û ê Û t = 0 ç ÷ è 2 ø ê ê æ 5t ö cos =1 ê ê ç ÷ 4p ë è 2 ø êt = ë 5 p Vậy trên [ 2; - 4
2] phương trình đã cho có nghiệm x = 2
- , x = 2, x = 2cos . 5 2
Câu 10. Giải phương trình: x (2x- )1 2x 1 16 2.4 - - = 0. Lời giải 2 2
Biến đổi phương trình: x (2x- )1 2x 1 - 4x (2x- ) 1 4x 1 - 3 2 16 - 2.4 = 0 Û 2 = 2
Û 8x - 4x - 4x +1= 0 (1) f (x) 3 2 = - - + = f (- ) = - f (0) = æ 1 ö Đa thức 8x 4x
4x 1 0 có tối đa 3 nghiệm và ta có: 1 7; ; 1 f = 1 - ç ÷ è 2 ø f ( ) = f (x) ( 1 - ) f (- ) 1 . f (0) < æ ö æ 1 ö ; 1 . 1 liên tục trên khoảng ;1 và 0, f ( ) 1 0 . f < 0, f . f ç ÷ ( ) 1 < 0 ç ÷ è 2 ø è 2 ø f (x) = ( 1 - ) nên
0 có 3 nghiệm trên khoảng ;1 .
Do f (x) = 0 có đúng 3 nghiệm trong khoảng ( 1 - )
;1 , nên ta có thể đặt x = cos a với 0 < a < p .
Phương trình (1) trở thành: 3 2 a - a - a + = Û a( 2 a - ) = ( 2 8cos 4cos 4cos 1 0 4cos 2cos 1 4 1-sin a)-1 2 3 Û 4cos .
a cos 2a = 3 - 4sin a Û 4sin . a cos .
a cos 2a = 3sin a - 4sin a (do sin a > 0 )
é4a = 3a + k2p
Û sin 4a = sin 3a Û (k Î ê !)
ë4a = p - 3a + k2p
(với 0 < a < p ) 17 p p p Û a = 3 a = 5 a = 7 hay 7 hay 7 . 1 1
Câu 11. Giải phương trình sau: + = 2. 2 x 2 - x Hướng dẫn giải
Điều kiện x Î(- 2; 2) \{ } 0 . Đặt 2
y = 2 - x ;y>0 .
ìx + y = 2xy
Từ phương trình đã cho ,ta có hệ phương trình: í 2 2 îx + y = 2 ìS = 2P
Đặt S = x + y; P = xy đưa đến hệ phương trình: í 2 îS - 2P = 2 éS = 1 - 2
Þ S - S - 2 = 0 Û ê ëS = 2
S = 2; P=1Þ x=y=1 ì 1 - + 3 ì -1- 3 ïx = ïx= 1 ï 2 ï 2 S = 1 - ; P=- Þ í ;í 2 ï 1 - - 3 ï -1+ 3 y = y= ï 2 ï î î 2 -1- 3
Kết hợp với điều kiện, nghiệm pt đã cho là: x = 1 và x= . 2
Câu 12. Giải phương trình: 2
2x + 3 + x +1 = 3x + 2 2x + 5x + 3 -16.(x Î ! ). (Chưa giải)
Câu 13. Giải phương trình: 2
3x - 2 + x -1 = 4x -9 + 2 3x -5x + 2. (Chưa giải)
Dạng 3: Sử dụng hàm số
Bài 1. Cho phương trình: n 2
x - x - x -1 = 0 với n Î • , n > 2. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên
n > 2, thì phương trình có một nghiệm dương duy nhất x n Hướng dẫn giải:
Xét hàm số f (x) n 2
= x - x - x -
1 với n nguyên, n > 2 (1) +) Ta có: f (x) n 1 nx - ¢ =
– 2x –1 . Do n > 2, nên khi x > 1 thì f ¢(x) > 0. Vậy f (x) là hàm số đồng biến trên (1;+¥). 18 Lại có: ( ) 1 = 2 - < 0; (2) = 2n f f
– 7 > 0 ( vì n nguyên và n > 2 Þ n ³ 3) Ta có: f ( )
1 f (2) < 0 và f (x) liên tục, đồng biến nên phương trình f (x) = 0 có nghiệm duy nhất trên (1;+¥).
+) Mặt khác với 0 < x < 1 thì n 2
x < x (do n > 2) suy ra f (x) < 0 với mọi 0 < x <1.
Như vậy ta đã chứng minh được (1) có nghiệm dương duy nhất với mọi n nguyên, n > 2. 1
Bài 2. Cho phương trình: 5 4 3 2
x - x - 5x + x + 4x -1 = 0 ( )1. 2
1. Chứng tỏ phương trình (1) có đúng 5 nghiệm. 5 x +1
2. Với x (i =1,5 1 S = å i
) là nghiệm của phương trình nghiệm, tính tổng: 5 4 - - i 1 = 2x x 2 i i Hướng dẫn giải 1
1. Xét hàm số: f (x) 5 4 3
= x - x - 5x + 4x - . 1 2
* f(x) là hàm số xác định và liên tục trên R. æ ö f (- ) 3 2 = 5 - ; f - = 2 ; f ç ÷ (0) = 1 - ; è 2 ø * Ta có: æ 1 ö 5 f = f ( ) 1 = - f ( ) 175 ; 1 ; 3 = ç ÷ è 2 ø 8 2 2 æ ö Þ æ 3 ö æ 1 ö f (- ) 3 2 . f - < 0 ; f - . f ç
÷ (0) < 0 ; f (0). f < 0 ç ÷ ç ÷ è 2 ø è 2 ø è 2 ø æ ö æ 1 ö f f . f ç ÷ ( ) 1 < 0 ; f ( ) 1 . f (3) < 0 ç ÷ è ø è 2 ø
Þ Phương trình f (x) = 0 có 5 nghiệm phân biệt x , x x , x , x , x , x 1 1 2 3 4 5 3 - 1 sao cho: 2 - < x <
< x < 0 < x < < x <1< x < 3 1 2 3 4 5 2 2
* Ta có x là nghiệm của (1) nên: i 1 5 4 3
x - x - 5x + 4x -1 = 0 i 2 i i i 5 4
Û x - x - = ( 3 2 2
2 2 5x - x - 4x i i i i i ) 5 x +1 Do đó: i S = åi=2( 3 2 1
5x - x - 4x i i i ) x +1 x +1
Xét biểu thức: g (x) = = 3 2
5x - x - 4x x(x - ) 1 (5x + 4)
Đồng nhất thức ta được: g (x) 1 2 5 = - + + 4x 9(x - ) 1 36(5x + 4) 19 5 5 5 1 1 1 1 1 1 Do vậy: S = - å + å + å 8 - i= x 9 = x i i 1 72 4 1 1 i i 1 = x + i 5
Mặt khác: f (x) = (x - x x - x x - x x - x x - x 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) ( 5 )
f '(x) = (x - x x - x x - x x - x + 2 ) ( 3 ) ( 4 ) ( 5 )
(x - x x - x x - x x - x +... 1 ) ( 3 ) ( 4 ) ( 5 ) f '( x) 5 Þ 1
Với x ¹ x ta được: = å i f ( x) - i 1 = x xi và f (x) 4 3 2 '
= 5x - 2x -15x + 2x + 4 f '( ) 5 5 1 1 1 f '( ) 1 Do đó: = å Þ å = - = -12 f ( ) 1 - - i 1 = 1 x = x f i i 1 1 i ( )1 f '(0) 5 5 1 1 f '(0) = å Þ å = - = 4 f (0) - i 1 = x = x f i i 1 i (0) æ 4 ö æ 4 ö f ' - f ' - ç ÷ 5 5 ç ÷ è 5 ø 1 1 è 5 ø 12900 = å Þ å = - = - æ 4 ö 4 4 = = æ 4 ö i 1 i 1 4789 f - - - x x + f ç ÷ ç ÷ è 5 ø 5 i i 5 è 5 ø 8959 Vậy: S = - . 4789 Dạng 4: Đánh giá Bài 1.
Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình: 2 2
2x + 3y - 5xy + 3x - 2y - 3 = 0
Hướng dẫn giải
Xem (1) là phương trình bậc hai ẩn x ta có: (1) Û 2 x + ( - y) 2 2
3 5 x + 3y - 2y -3 = 0.
* Để (1) có nghiệm x nguyên điều kiện cần là: D = ( - y)2 - ( 2y - y- ) 2 2 3 5 4.2 3 2
3 = y -14y + 33 = k ( k nguyên, không âm) * Lại xem 2 2
y -14y + 33- k = 0 là phương trình bậc hai ẩn y . Để có nghiệm nguyên y điều kiện cần là d = -( 2 - k ) 2 2 ' 49 33
=16 + k = m là một số chính phương (m nguyên dương). Do 2 2
m - k =16 Û (m + k)(m - k) =16 và 16 = 16.1 = 8.2 = 4.4 nên ta có các trường hợp. ìm + k = 8 ìm = 5 +) TH1: í Û í
suy ra phương trình (1) có nghiệm ( ; x y) = (15;12),(1,2). îm - k = 2 îk = 3 ìm + k = 4 ìm = 4 +) TH2: í Û í
suy ra phương trình (1) có nghiệm ( ; x y) = (13;1 ) 1 ,(3, ) 3 . îm - k = 4 îk = 0 ìm + k =16 +) TH3 : í Loại. îm - k =1 20 Bài 2.
[Đề xuất, Chuyên Hùng Vương Phú Thọ, DHĐBBB, 2015] Giải phương trình 2
4 x +1 + 2 2x + 3 = (x -1)(x - 2). Lời giải Điều kiện: x ³ 1 - . Nhận thấy x = -
1 là một nghiệm của phương trình. Xét x > 1
- . Khi đó phương trình đã cho tương đương với
( x + - ) + ( x + - ) 3 2 4 1 2 2 2
3 3 = x - x - 2x -12 4(x - 3) 4(x - 3) 2 Û +
= (x - 3)(x + 2x + 4) x + 1 + 2 2x + 3 + 3 ( æ ö Û x - 3) 4 4 2 + - (x +1) - 3 = 0. 1 ( ) ç ÷ è x +1 + 2 2x + 3 + 3 ø Vì x > -
1 nên x + 1 > 0 và 2x + 3 > 1. Suy ra 4 4 + < 3, x +1 + 2 2x + 3 + 3 vì vậy 4 4 2 + - (x +1) - 3 < 0. x +1 + 2 2x + 3 + 3 Do đó phương trình 1
( ) Û x - 3 = 0 Û x = 3.
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x = - 1 hoặc x = 3. 2 5x - 2 Bài 3.
[Đề thi hsg tỉnh Nghệ An, bảng A, 2015-2016] 3 3 2 x + 5x - 1 = . 6 Bài 4.
Ký hiệu [x] là số nguyên lớn nhất không vượt quá x. Giải phương trình 2
x -(1+[x]) x + 2015 = 0 . Hướng dẫn giải Ta có x ¹ 0. x - x + x - x + pt Û [x] 2 2 2015 2015 = Û x-1< £ x Û x ³ 2015. x x
[x] = aÎ! (a ³ 2015) 2 Þ x - (a + ) 1 x + 2015 = 0 2 a +1± (a + ) 1 - 8060 Û x = (*) 2 21 2
Do a ³ 2015 Þ x - (a + ) 1 x + 2015 = 0 a +1+ (a + )2 1 - 8060 Û x = ³ 2015 (t/ m); 2 a +1- (a + )2 1 - 8060 a +1- (a + )2 1 - 4a £ < 2015 (loai) 2 2 ì ïa (a )2 1 1 8060 ü + + + - ï Vậy S = í
; a Î !;a ³ 2015ý. 2 ï ï î þ 2. Có tham số Bài 1.
Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt (m+ ) 2 2
1 x + 2x + 2 + m = 2x + 4x +19, (x Î ! ).(1)
Hướng dẫn giải Đặt 2
t = x + 2x + 2 ; điều kiện: t ³ 1. Ta có: 2
t = x + 2x + 2 Û 2 2 2 2
x + 2x + 2 = t Û x + 2x + 2 - t = 0 (2)
Pt (2) có hai nghiệm phân biệt Û t Î(- ; ¥ - )
1 È(1;+¥).Vậy t >1. 2 2t - t +15
Thay vào phương trình ta được: 2
(m +1)t + m = 2t +15 Û m = t +1 (3) 2 ì 2t - t +15 ïy = (C) Đặt í t +1
ïîy = m (d) .
Ta có: số giao điểm của (C) và (d) là số nghiệm phương trình (3).
Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi phương trình (2) có đúng 1 nghiệm t > 1. 18 18
Xét hàm số y = 2t - 3+
; (t Î[1;+ ¥)) ; y ' = 2 - t +1 2 (t +1) .
Cho y ' = 0 Û t = 2 Þ y = 7; lim y = +¥ x®+¥ . Bảng biến thiên t 1 2 +∞ y’ - 0 + y 8 +∞ 22 7 ém > 8
Vậy phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt Û ê . ëm = 7 3. Bài 2.
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số nhân: 3 2
x - 7x + (m + 6)x - m = 0. Hướng dẫn giải
Phương trình đã cho tương đương: éx =1 2
(x -1)(x - 6x + ) m = 0 Û . ê 2
ëx - 6x + m = 0 (1)
Phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (1) có hai nghiệm phân biệt khác ìD' = 9 - m > 0 ìm < 9 1, hay: í Û í (*). 2 1 î - 6.1+ m ¹ 0 îm ¹ 5
Khi đó, PT đã cho có ba nghiệm x , x và x = 1, trong đó x , x là nghiệm của (1). 1 2 3 1 2 ìx + x = 6 Theo định lý Viet ta có 1 2 í (2). x .x = m î 1 2
Xét các trường hợp sau: *) Nếu 2 2
x .x = x Û x = x (3). Từ (2) và (3) ta có hệ: 1 3 2 1 2 2 ìx + x = 6 ìx + x - 6 = 0 1 2 2 2 ï ï
éx = 2; x = 4;m = 8 2 2 1
íx .x = m Û íx = x Û . 1 2 1 2 êx = 3; - x = 9;m = 2 - 7 ï ï ë 2 1 2 3 x = x m = x î 1 2 î 2 ìm = 1 ï *) Nếu 2
x .x = x Û x .x = 1 (4). Từ (2) và (4) ta có hệ: íx + x = 6. 1 2 3 1 2 1 2 ïx .x =1 î 1 2
Vậy, có ba giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán là: m =1, m = 8, m = 2 - 7 . 2 Bài 3.
Tìm các giá trị của tham số m để phương trình x +
9 - x = - x + 9x + m có nghiệm Hướng dẫn giải. Lời giải:
Điều kiện: 0 £ x £ 9 2
PT (1) € x + 9 - x + 2 x(9 - x) = - x + 9x + m 2 2
€ 9 + 2 - x + 9x = - x + 9x + m (2) 2
Đặt t = - x + 9x 23 ' - 2x + 9 t = ' 9 2 t = 0 € x = Ta có: 2 - x + 9x ; 2 9 Do đó : 0 £ t £ 2
Phương trình (2) trở thành 2 2
9 + 2t = t + m € - t + 2t + 9 = m (3) 9 Xét hàm số 2
f (t) = - t + 2t + 9, 0 £ t £ 2 Ta có : ' '
f (t) = - 2t + 2 ; f (t) = 0 € t = 1 Bảng biến thiên : È 9˘
Phương trình (1) có nghiệm x 0; È 9˘ Œ
€ phương trình (3) có nghiệm t Œ 0; Í Í ˙ Î ˙˚ Í 2˙ Î ˚ 9 € - £ m £ 10 4 Bài 4.
Tìm a để phương trình sau (ẩn x ) chỉ có một nghiệm. 5a - 3 5(2a +1)(1- a) 1+ = x - a
(x - a)(x - 3a +1) Bài 5. Cho hai phương trình sau: (1) 24 (2)
(a là tham số, x là ẩn số)
Tìm a để số nghiệm của phương trình (1) không vượt quá số nghiệm của phương trình (2). Bài 6. Cho phương trình: 2
ax + (2b + c) x + (2d + e) = 0 có một nghiệm không nhỏ hơn 4. Chứng minh rằng phương trình 4 3 2
ax + bx + cx + dx + e = 0 có nghiệm. Bài 7.
Với mỗi số tự nhiên k , gọi N (k) là số nghiệm của phương trình
2016x + 2017 y = k, x ³ 0, y ³ 0 . N(k)
Tính giới hạn sau L = lim k ®+¥ k Lời giải
Giả sử x , y là một nghiệm của phương trình 2016x + 2017 y = k , khi đó mọi nghiệm của 0 0
phương trình trên có dạng x = x + 2017t, y = y - 2016t,t Î! 0 0 y x
Vì x ³ 0 và y ³ 0 nên 0 0 ³ t ³ . 2016 2017
éé y ù é -x ù 0 0 - +1 êê2016ú ê2017ú ë û ë û
Suy ra N (k) = ê
êé y ù é -x ù 0 0 - êê ë 2016ú ê 2017 ú ë û ë û y x Suy ra 0 0 N(k) - - £ 3 . 2016 2017 N k
Kết hợp với 2016x + 2017y = ( ) 1 3 k , ta có - £ . 0 0 k 2016.2017 k N(k) 1 Vậy lim = k ®+¥ k 2016.2017 Bài 8.
Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có nghiệm 4 2
3 x - 1 + m x + 1 = 2 x - 1. Hướng dẫn giải.
Điều kiện : x ≥ 1 2 Ê Á x 1 ˆ - ˜ x - 1 PT (1) 4 € Á ˜ 4 3Á ˜ + m = 2 (2) Á x + 1˜˜ x + 1 Ë ¯ 25 x - 1 x - 1 2 Đặt 4 t = , Do 4 4 0 £ = 1 -
< 1 fi 0 £ t < 1 x + 1 x + 1 x + 1
Phương trình (2) trở thành : 2 2
3t + m = 2t € m = - 3t + 2t (3) Xét hàm số 2
f (t) = - 3t + 2t , t 0; È Œ 1 Í ) Î Ta có : ' ' 1
f (t) = - 6t + 2 ; f (t) = 0 € t = 3 Bảng biến thiên :
Phương trình (1) có nghiệm x 1; È Œ + • È Í
)€ phương trình (3) có nghiệm t Œ 0;1 Î Í ) Î 1 € - 1 < m £ 3 Bài 9. Cho phương trình 2 x + 2 2
x - 2x + m.(x - 4).
+ 2 8 + 2x - x - 14 - m = 0 . 4 - x
Tìm m để phương trình có nghiệm thực. Hướng dẫn giải.
Với tập xác định D È = - 2;4 , P Í
) hương trình đã cho tương đương với Î 2 2 2
- (- x + 2x + 8) - m 8 + 2x - x + 2 8 + 2x - x - 6 - m = 0. Đặt t = 2
8 + 2x - x thì t Î [ 0; 3) 2 - t + 2t - 6
Xét hàm số f (t ) ;t 0 È;3 ;˘ = Œ t 1 ÍÎ ˙˚ + 2 - t - 2t + 8 f’(t) =
; f’(t) = 0 Û t = - 4 hoặc t = 2. 2 (t + 1)
Bảng biến thiên của hàm số f(t) trên đoạn [ 0; 3 ] 26
Phương trình đã cho có nghiệm x Î [ - 2; 4) Û Đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số f(t), t
Î [ 0; 3 ] Û - 6 ≤ m ≤ - 2 3
Bài 10. Cho phương trình: 2
21+ 4x - x - x + 3 = m( x +3 + 2 7 - x ), với m là tham số. 4
Tìm tham số m để phương trình có nghiệm thực. Hướng dẫn giải. Điều kiện: 3
- £ x £ 7 .Đặt t = x + 3 + 2 7 - x với xÎ[ 3, - 7] 1 1 7 - x - 2 x + 3 Ta có: t ' = - =
; y ' = 0 Û 7 - x = 2 x + 3 Û x = - 1 2 x + 3 7 - x 2 x + 3 7 - x t( 3
- ) = 2 10,t(7) = 10,t( 1
- ) = 5 2 suy ra: t Î é 10,5 2ù ë û 2 3 t -19 Do 2
t = x + 3 + 2 7 - x Û 21+ 4x - x - x + 3 =
nên phương trình trở thành: 4 4 2 2 t -19 t -19 = mt Û = m 4 4t
Bài 11. Tìm m để pt sau có nghiệm 2 2 2
8x + 4x +13 = m (2x +1) x + 3 . Hướng dẫn giải. 2 2 2
8x + 4x +13 = m (2x +1) x + 3 . Ta đưa pt về dạng đẳng cấp 2 2 2 2 2 2 2
8x + 4x +13 = m (2x +1) x + 3 Û (2x +1) + 4(x + 3) = m (2x +1) x + 3 1 Từ pt suy ra x > 2 2 2 2 2
(2x +1) + 4(x + 3) = m (2x +1) x + 3 Chia hai vế pt cho 2 x + 3, ta được 2 æ 2x +1 ö æ 2x +1 ö 2 Û ç ÷ - m ç ÷ + 4 = 0 2 2 è x + 3 ø è x + 3 ø 2x +1 -1 Đặt t =
, lập bbt với x >
tìm được t Î (0;2) 2 x + 3 2 4 P t trở thành 2 t + = m (1) t
Phương trình ban đầu có nghiệm khi và chỉ khi pt (1) có nghiệm thuộc t thuộc (0;2). 27
Tìm được m > 2 Ú m < -2
Bài 12. (Chuyên Hưng Yên). Giả sử với hai số dương a,b thì phương trình 3 2
x - ax + bx - a = 0, n b - 3n
có các nghiệm đều lớn hơn 1. Xác định giá trị của a,b để biểu thức P =
đạt giá trị nhỏ nhất n a
và tìm giá trị nhỏ nhất đó ( n là số nguyên dương cho trước). Hướng dẫn giải
Gọi x , x , x là các nghiệm của phương trình đã cho. 1 2 3
ìx + x + x = a 1 2 3 ï
Theo định lý Vi-et ta có íx x +x x + x x = b 1 2 2 3 3 1 ïx x x = a î 1 2 3
Theo bất đẳng thức AM - GM ta được 3
x + x + x ³ 3 x x x hay 3
a ³ 3 a Û a ³ 3 3 (*) 1 2 3 1 2 3 Theo bất đẳng thức 2
(x + y + z) ³ 3(xy + yz + zx); " ,
x y, z Î R thì 2 2
b = (x x + x x + x x ) ³ 3x x x (x + x + x ) 1 2 2 3 3 1 1 2 3 1 2 3 hay 2 2
b ³ 3a Û b ³ 3 . a n b - 3n 3n n a - 3n n 3n n 3n Suy ra P = ³ = 3 - ³ 3 - , do (*) n n n a a a (3 3)n 3n -1 Do đó ta có P ³ 3n
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = 3 3;b = 3a = 9. Khi đó phương trình có ba nghiệm trùng nhau 3n -1
và đều bằng 3. Vậy giá trị nhỏ nhất của P là
khi a = 3 3;b = 9. 3n 1 1
Bài 13. Giải phương trình 4 2 x - x + - = 0. 4 2 x x
Bài 14. Tìm m để BPT sau vô nghiệm: ( 2 m - ) 2
4 x + 2(m - 2) x +1³ 0 2 1- 1- 4x
Bài 15. Giải bất phương trình < 3 x
Bài 16. Chứng minh phương trình: 4 3 2 2
- x + mx + nx + px + 2011= 0 có ít nhất 2 nghiệm với " , m , n p Î ! Hướng dẫn giải Xét phương trình: 4 3 2 2
- x + mx + nx + px + 2011= 0 (1) Xét hàm số: 4 3 2 f (x) = 2
- x + mx + nx + px + 201 1 28 4 3 2
lim f (x) = lim ( 2
- x + mx + nx + px + 2011) = -¥ Þ b
$ > 0 sao cho f (b) < 0 x®+¥ x®+¥ 4 3 2
lim f (x) = lim ( 2
- x + mx + nx + px + 2011) = -¥ Þ a
$ < 0 sao cho f (a) < 0 x®-¥ x®-¥ f (0) = 2011> 0
Hàm số f (x) liên tục trên các đoạn [ ;0 a ] và [0;b];
ì f (a). f (0) < 0 í
Þ phương trình có ít nhất 1 nghiệm x Î ;0 a x Î 0;b . 2 ( ) 1 ( ) và ít nhất 1 nghiệm
î f (0). f (b) < 0
Vậy phương trình có ít nhất 2 nghiệm.
Bài 17. Cho các phương trình: 2 2
x - (m +1)x + m - 2 = 0 (1) 4 3 2 2
x + mx - x + 2x + m = 0 (2)
trong đó x là ẩn số và m là tham số (0 < m < 1).
1) Chứng tỏ rằng phương trình (1) có đúng 2 nghiệm phân biệt và 1 nằm trong khoảng nghiệm.
2) Chứng minh phương trình (2) có nghiệm. (Chưa giải)
Bài 18. Cho phương trình 3 2
x + 3x + 2mx - m + 2 = 0; mÎ R .
Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình trên có 3 nghiệm phân biệt x , x , x thoả mãn điều kiện: 1 2 3
x < x <1< x . 1 2 3 (Chưa giải)
Bài 19. Tìm điều kiện của tham số a, b để phương trình sau có các nghiệm lập thành cấp số cộng: 3 2
x - 3x + ax + b = 0. (Chưa giải)
Bài 20. Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất: 2 + x + 5 - x - (2 + x)(5 - x) = m (Chưa giải)
Bài 21. Tìm các giá trị của a để phương trình sau chỉ có một nghiệm: 5a - 3 5(2a +1)(1- a) 1+ = . x - a
(x - a)(x - 3a +1) (Chưa giải)
Bài 22. Giả sử phương trình 3 2
x + x + ax + b = 0 có 3 nghiệm phân biệt.
Hãy xét dấu của biểu thức: 2 a - 3b . Hướng dẫn giải 3 2
y = f (x) = x + x + ax + b = 0. + Tập xác định: R. 2
y ' = 3x + 2x + a là tam thức bậc hai có biệt số D ' = 1- 3 . a + Pt: 3 2
x + x + ax + b = 0có 3 nghiệm phân biệt nên y ' = 0 có 2 nghiệm phân biệt x , x và 1 2 29
f (x ). f (x ) < 0. 1 2 Ï1 Ô - 3a > 0 + Suy ra: Ô Ì
( x , x là hai nghiệm của phương trình 2
3x + 2x + a = 0). f
Ô (x ). f (x ) < 0 1 2 Ô Ó 1 2
+ Thực hiện phép chia đa thức ta được: Ê ˆ 3 2 1 1 1
f (x) = x + x + ax + b = Á Á x ˜
+ ˜ y '+ [(6a - 2)x + 9b - a]. 3 Á Ë 9˜¯ 9 1 1 Suy ra f (x ) =
(6a - 2)x + 9b - a ; f (x ) =
(6a - 2)x + 9b - a . 1 [ 1 ] 2 [ 2 ] 9 9 + 2 2
f (x ). f (x ) < 0 € (6a - 2) x x + (6a - 2)(9b - a)(x + x ) + (9b - a) < 0. 1 2 1 2 1 2 2 a
+ Vì x , x là 2 nghiệm của phương trình: 2
3x + 2x + a = 0nên x + x = - ; x .x = . 1 2 1 2 1 2 3 3 a 2 Do đó: 2 2
(6a - 2) - (6a - 2)(9b - a) + (9b - a) < 0. 3 3 suy ra: 2 2
4(3a - 1)(a - 3b) + (9b - a) < 0. + Vì 2
(9b - a) ≥ 0 và 3a - 1< 0 nên 2
a - 3b > 0.
Bài 23. Cho phương trình: 5 2 4
x - 34x + a -
(x - 1)(x - 33) = . 1
a/ Giải phương trình khi a = 64.
b/ Tìm a để phương trình có nghiệm. Hướng dẫn giải Câu a: +Đặt u = 5 2
x - 34x + a v = 4 (x - 1)(x - 33) . 5 4 Ï u
Ô - (u- 1) = a - 33 +Ta có hệ Ô Ì (I). v Ô = u- 1≥ 0 Ô Ó +Hàm số 5 4
f (u) = u - (u - 1) có 4 3
f '(u) = 5u - 4(u- 1) > 0 " u [ Œ1;+ • ) nên f(u) tăng trên [1; + ¥).
+ a = 64, f (u) = 31= f (2) và f (u) tăng nên hệ (I) chỉ có một nghiệm: (u = 2,v = ) 1 từ đó ta có
nghiệm của phương trình là: x = 17 ± 257. Câu b:
+ f (u ) tăng trên [1; + ¥) mà f ( ) 1 =
1 nên phương trình có nghiệm khi a – 33 ³ 1 hay a ³ 34.
Bài 24. Giải và biện luận phương trình theo tham số m: 2 2 2
(lg cos x) - m log cos x - m + 2 = 0. Hướng dẫn giải 2 2 2
(lg cos x) - m log cos x - m + 2 = 0(1). 30 p p
+Điều kiện: cos x > 0 € -
+ k2p < x < + k2p, k Z Œ . 2 2 2 2 Ï t
Ô - 2mt - m + 2 = 0 (2)
Đặt t = lg cos x. Phương trình trở thành: Ô Ì . t Ô £ 0 Ô Ó S Xét tam thức bậc hai 2 2
f (t) = t - 2mt - m + 2 = 0 có: 2 2 a = 1; = ,
m D ' = 2(m - 1), f (0) = - m + 2. 2
+Trường hợp 1: t = 0 là nghiệm của (2).Khi đó ta có m = ± 2 .
+ m = 2 : (2) € t = 0 hay t = 2 2 nên (1) Û lgcosx = 0 Û cosx = 1Ûx =2kp, kÎZ.
+ m =- 2 : (2) € t = 0 hay t = -2 2 nên (1) lg È cos x = 0 x È = 2kp Û Í Í € , k Z Œ . Í Í -2 2 lg cos x = - 2 2 x Î Í = ± a cco r s10 + 2kp Î
+Trường hợp 2: Phương trình (2) có 2 nghiệm t1, t2 khác 0 (t1 £ t2): 2 2
t = m- 2(m - 1) ; t = m+ 2(m - 1) . 1 2
Với điều kiện (1) có nghiệm nên ta chỉ cần xét 2 trường hợp sau: a/ t £ t < 0; b/ t < 0 < t . 1 2 1 2 2 Ï D Ô ' ≥ 0 Ï 2 Ô (m - 1) ≥ 0 Ô Ô Ô Ô a/ t t 0 Ì S Ô /2 0 Ìm Ô £ < € < € < 0 € - 2 < m £ - 1. 1 2 Ô Ô Ô Ô 2 f Ô (0) > 0 Ô Ô Ó - m - 2 > 0 Ô Ó
Khi đó (2) có hai nghiệm t 2 m± 2(m - 1)
1, t2 âm nên (1) có các họ nghiệm: x = ± arccos10 + 2kp,k Z Œ . b/ 2
t < 0 < t € af (0) < 0 € - m + 2 < 0 € m < - 2 hay m > 2. 1 2 Khi đó (1) Û 2 m- 2(m - 1)
lgcos x = t € x = ± a cco r s10 + 2kp,k Z Œ . 1 +Kết quả:
+ m < - 2 : (1) có nghiệm: 2 m- 2(m - 1) x = ± a cco r s10 + 2kp,k Z Œ .
+ m = - 2 : (1) có nghiệm: -2 2
x = k2p; x = ± a c r cos10 + 2kp,k Z Œ + - 22 m± 2(m - 1) x = ± a cco r s10 + 2kp,k Z Œ + m = 1:
- (1) có nghiệm x = ± a c
r cos0,1+ 2kp,k Z Π.
+ - 1+ m = 2 : (1) có nghiệm x = k2p,k Z Œ .
+ m > 2 : (1) có nghiệm: 2 m- 2(m - 1) x = ± a cco r s10 + 2kp,k Z Œ . 31
BÀI TẬP CHƯA CÓ LỜI GIẢI é2x +1ù 1. Giải phương trình: 2 2
- éx ù = é-x ù. êë 3 ú ë û ë û û 1 1 2. Giải phương trình: + =1 2 2 x (4 - 3x)
3. Cho trước các số nguyên dương a, .
b Chứng minh rằng phương trình 2 x - axy + ( 2 a - b) 2 2 2
4 y + 4by = z có vô số nghiệm nguyên dương. 4. Giải phương trình: 4 3
x –10x – 2(a –1 )
1 + 2(5a + 6-) x + 2a + a = 0. Trong đó a là tham số. 5. Giải phương trình: 1996 1995 1995- x + 1996 - x = 1
6. Giải các phương trình sau: x + 7 1 a) 2
+ + 8 = 2x + 2x -1 ; b) 3 2
x = x + x + . x +1 3 c) 2 2
x -1 = 2x x - 2x 7. Giải phương trình: 2 2
x -3x + 2 + x + x -1 = 0
2. BẤT PHƯƠNG TRÌNH 1. Không có tham số
Dạng 1: Biến đổi tương đương 1 3x Bài 1. Giải bất phương trình: +1 > . 2 2 1- x 1- x (Chưa giải) 9 9 Bài 2.
Giải bất phương trình: 9 - < x - x - x x Lời giải ì 9 9 - ³ 0 ï x ï ï 9 éx ³ 3
Điều kiện: íx - ³ 0 Û x ê ï ë 3 - £ x < 0 ïx ¹ 0 ïî *) Nếu 3 - £ x < 9 9
0 thì x - x - < 0 < 9 - suy ra bất phương trình vô nghiệm. x x 9
*) Nếu x ³ 3 Þ x - x - > 0nên bất phương trình tương đương với x 9 9 9 9 2 2 9 - < x - 2 .
x x - + x - Û x - 9 - 2 .
x x - + x > 0 x x x x 32 ìx ³ 3 ìx ³ 3 ï ï 2 2
( x - 9 - x) > 0 Û í Û í 1± 37 2 ïî x -9 ¹ x ïx ¹ î 2 1± 37
Vậy tập nghiệm là S = [3;+¥)\{ } 2 Bài 3. Giải bất phương trình: 2 2
2(x -1) x + 2x -1 £ x - 2x -1. (1) Hướng dẫn giải éx ³ 1 - + 2 Điều kiện: 2
x + 2x -1 ³ 0 Û ê . êëx £ 1 - - 2
Û x - - x + x - - x + ³ 2 2 Û 2
- - x + 2x -1 2x - x + 2x -1 ³ 0 ( )2 2 2 (1) 1 2 1 ( 1) 0 ( )( ) 2
Û 2x - x + 2x -1 £ 0 (do 2 2
- - x + 2x -1 < 0) 2
Û 2x £ x + 2x -1 (*) +) Với x £ 1 - - 2 thì (*) luôn đúng. +) Với x ³ 1
- + 2, bình phương 2 vế của (*) suy ra vô nghiệm.
Vậy, bất phương trình có nghiệm x £ 1 - - 2. Bài 4. Giải bất phương trình: 2 2
x - 4x + 3 - 2x - 3x + 3 ³ x - . 1 Hướng dẫn giải é êx ³ 3 2
ìïx - 4x + 3 ³ 0 ê +) Điều kiện: í Û x =1 2 ê
ïî2x - 3x +1³ 0 ê 1 êx £ ë 2
+) Với x=1 BPT hiển nhiên đúng suy ra x=1 là nghiệm +) Với x ³
3 suy ra BPT Û (x - 3)(x -1) - (x -1)(2x -1) ³ x - 1 chỉ ra vô nghiệm
+) Với x £ 2 suy ra BPT Û (1- x)(1- 2x) - (1- x)(3 - x) £1- x. 1 Chỉ ra nghiệm x £ 2 33 éx =1
+) Kết luận: BPT có nghiệm ê 1 êx £ ë 2 Bài 5.
Giải bất phương trình sau: 2 2 2
x + x -10x + 9 > x + 2 x -10x + 9. Hướng dẫn giải
Điều kiện x Î(- ;1 ¥ ]È[9;+¥). Với 2 2
x + x -10x + 9 > 0 Û x -10x + 9 > -x suy ra 2 2
x -10x + 9( x -10x + 9 - 2 + 2x) > 0 do đó 2
x -10x + 9 > 0và 2
x -10x + 9 > 2 - 2x . 5
Kết luận tập nghiệm S = (- ;1) È (9;+¥) . 3 Dạng 2: Đặt ẩn phụ Bài 1.
Giải bất phương trình: 3 x +1 + 2x + 4 < 3- x 2. (Chưa giải) Bài 2. Giải bất phương trình: 2
2x - 4x + 6 - 2x -1 > x - 2, xÎ!. Hướng dẫn giải. 1 Điều kiện x ³ . 2
Biến đổi bất phương trình về dạng: 2
2(x - 2) + 2(2x -1) > x - 2 + 2x -1 u ì = x - 2 ï Đặt:
Khi đó, bất phương trình có dạng: 2 2
2u + 2v > u + v (1) í ïv = 2x -1 ³ 0 î Ta có: ( 2 2
2 u + v ) ³ (u + v)2 = u + v ³ u + v
Dấu đẳng thức xảy ra khi u = v
Vậy (1) Û u ¹ v ìx ³ 2 ï
Xét trường hợp u = v , ta có: 2x -1 = x - 2 Û íéx =1 Û x = 5 ïê îëx = 5 é1 ö
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: ;+¥ \ ê ÷ { } 5 . ë2 ø Bài 3. Giải phương trình: 2
x - 3 + 5 - x ³ x -8x +18. 34
Dạng 3: Sử dụng hàm số æ x + y ö 2y Bài 1. Chứng minh rằng: ln > với x > 0 và y > 0. ç ÷
è x ø 2x + y • x + y Đặt t = >1 x • x + y
Vì x > 0 và y > 0 nên: t =
Û tx = x + y Û y = x(t -1) x y x t - t - • 2 2 ( 1) 1 Do đó: = = 2 . 2x + y
2x + x(t -1) t +1 t - • 1
Bài toán trở thành chứng minh: ln t > 2 với mọi t > 1. t +1 • t -1
Xét hàm số y = f(t) = ln t - 2 với mọi t > 1. t +1 (t - )2 1 • y’ =
³ 0 nên hàm số đồng biến trên khoảng (0; +¥). 2 t(t +1) t - • 1
Do đó: t > 1 Þ f(t) > f(1) = 0 Þ ln t - 2 >0. t +1 t - • y 1
Cách giải khác: Đặt t = và đưa đến chứng minh: ln t > 2 . Giải tương tự. x t +1 Bài 2. Giải bpt cos4x+3 2 cos4x+3 2 cos4x+3 (2x) + (1- x ) ³ (1+ x ) , 0 < x < 1 (1).
• (1đ) Biến đổi về dạng: ay + by ³ 1: Chia hai vế của (1) cho (1 + x2)cos4x + 3 > 0 ta được: os c 4x + 3 os c 4x + 3 2 æ 2x ö æ1- x ö (1) Û + ç ÷ ç ÷ ³ 1 (2). 2 2 è1+ x ø è1+ x ø
• (4 đ) Tìm ra nghiệm của (1): 2 2 2 2 æ x ö æ - x ö • 2x 1- x 2 1
Vì 0< x < 1 nên: 0 < <1,0 < <1 và + ç ÷ ç ÷ = 1 2 2 1+ x 1+ x 2 2 è1+ x ø è1+ x ø os4x c + 3 os4x c + 3 2 æ 2 2 x ö æ - x ö 2 æ x ö æ - x ö • 2 1 2 1 Và cos4x + 3 ³ 2 nên: + £ + ç ÷ ç ÷ = . 1 ç 2 ÷ ç 2 ÷ è1+ x ø è1+ x ø 2 2 è1+ x ø è1+ x ø p
• Dấu bằng xảy ra khi chỉ khi: cos4x + 3 = 2 Û cos4x = -1 Û x = (vì 0< x <1). 4 p
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất: x = . 4 æ p p ö p
Cách khác: Đặt x = tgt, t Î - ;
nên 0< x <1 Û 0 < t < . ç ÷ è 2 2 ø 4
(2) Û (sin2t)cos4x + 3 + (cos2t)cos4x + 3 ³ 1. Dạng 4: Đánh giá Bài 1.
[Đề chọn HSG Sở Quảng Trị,2010] Giải bất phương trình : 2
x - 3 + 5 - x ³ x -8x +18. 2. Có tham số Bài 1.
Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm duy nhất: 35 log 11+ 2
log ( x + mx + 10 + 2
4) log (x + mx + 12) ≥ 0. m 1 m 7 Hướng dẫn giải.
Điều kiện: m > 0 và m π 1, 2 x + mx + 10 ≥ 0.
Bất phương trình đã cho tương đương với: 1- 2
log ( x + mx + 10 + 2
4) log (x + mx + 12) 7 11 ≥ 0. (*) log m 11 Đặt 2
u = x + mx + 10, u ≥ 0.
+ Với 0 < m < 1: (*) € f (u)= log
u + 4 log u + 2 ≥ 1 7 ( ) 11( ) Ta thấy f (9)= 1 và f (u
)là hàm đồng biến nên ta có:
f (u)≥ f ( ) 2 2
9 € u ≥ 9 € x + mx + 10 ≥ 9 € x + mx + 1≥ 0
Vì phương trình trên có 2
D = m - 4 < 0 với 0 < m < 1 nên phương trình trên vô nghiệm Þ bất
phương trình đã cho vô nghiệm.
+ Với m > 1: Ta có: f (u)£ 1= f (9)€ 0 £ u £ 9. ÏÔ 2
x + mx + 10 ≥ 0 (1) 2
€ £ x + mx + 10 £ 9 Ô € Ì . Ô Ô 2 x + mx + 1£ Ó 0 (2) Xét phương trình 2
x + mx + 1= 0 có 2 D = m ñ 4.
Nếu 1< m < 2 € D < 0 Þ (2) vô nghiệm Þ bất phương trình đã cho vô nghiệm.
Nếu m > 2 fi D > 0 fi phương trình trên có 2 nghiệm đều thoả mãn (1) và (2) Þ bất phương trình
đã cho có nhiều hơn một nghiệm.
Nếu m = 2 Þ (2) có nghiệm duy nhất x = - 1 Þ bất phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = - 1.
Vậy giá trị cần tìm của m là: m = - 2. Bài 2.
Tìm m để bất phương trình 2
x - 2x + 4 (4 - x)(x + 2) -18 + m ³ 0 đúng với mọi x Î[- ; 2 .] 4 Bài 3.
[Đề hsg Dương Xá,2008-2009] Cho bất phương trình: 2
x + 4 - x £ 4x - x + m + 3
Xác định m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi xÎ[0; ] 4 . Lời giải 0 ì £ x £ 4 0 ì £ x £ 4 Điều kiện í Û í 2 2
î4x - x + m + 3 ³ 0(2)
îm ³ x - 4x -3(2) 36
Điều kiện cần để bpt (1) nghiệm đúng với x
" Î[0;4]thì (2) nghiệm đúng x " Î[0;4] Xét f(x)= x2-4x-3 Bảng biến thiên x 0 2 4 f(x) -3 -3 -7
Từ bảng biến thiên (2) đúng với x " Î[0;4]
Û m ³ max f (x) Û m ³ 3 - [0;4] PT Û 2 2
4 + 2 4x - x £ 4x - x + m + 3 Đặt 2
t = 4x - x Bảng biến thiên x 0 2 4 2 t 0 0
Dựa vào bảng biến thiên suy ra 0 £ t £ 2
Bất phương trình trở thành g(t)=-t2+2t+1 £ m (3)
Để bất phương trình đầu nghiệm đúng với x
" Î[0;4]thì (3) có nghiệm đúng với t
" Î[0;2]. Û m ³ max g(t) [0;2] 37 t 0 1 2 2 g(t) 1 1
Từ BBT suy ra m ³ 2 .
Kết luân m ³ 2 thì bpt (1) nghiệm đúng x " Î[0;4]. III. HỆ PHƯƠNG TRINH 1. Không có tham số
Dạng 1: Biến đổi tương đương
ìïy x -1+5 = 3x (2)
Bài 25. Giải hệ phương trình: í 3 ïîx + (x + ) 2 3
1 y + 2y = y + ( y + ) 2 1 x + 2xy (3) Hướng dẫn giải Điều kiện: x ³ . 1 é y = x -1 é y = x -1
Phương trình (3) Û (x - y - )( 2 2
1 y -2y + x ) = 0 Û ê Û ê 2 2
ë y - 2y + x = 0 êë( y - )2 2 1 + x -1= 0 é y = x -1 ê Û ìx =1 ê Û y = x - .1 í ( ì v x ³1) êëîy =1
(vì (1;1) không thỏa phương trình(2))
Thay vào phương trình (2), ta được : 3 é x -1 =1 éx = 2
( x -1) -3(x - ) 1 + 2 = 0 Û ê Û ê ( ) n .
êë2 x -1 = x -3 êëx = 5+ 2 3 Vậy ( , x y) = (2; ) 1 ;( , x y) = (5+2 3;4+2 3). 2 2
ìï x - y -6 = 2 x - y -3 x + y
Bài 26. Giải hệ phương trình sau trên tập số thực: í 2 3 3
ï x - 2 - 2 y + x + 5y -15 = 0 î Hướng dẫn giải 38 2 2
ìï x - y -6 = 2 x - y -3 x + y (1) Đặt í . 2 3 3
ï x - 2 - 2 y + x + 5y -15 = 0 (2) î ìx - y ³ 0 ï
Điều kiện: íx + y ³ 0. ïx ³ 2 î
(1) Û ( x + y - 2)( x - y + 3) = 0 Û y = 4 - x Thay vào (2) ta được: 3 2
3 x - 2 - 2 4 - x + x -5x + 5 = 0 æ x 3 æ ö 3 ö - - Û x 3 - 2ç
÷ + (x - 3)(x - 2) = 0 ç ÷ è x - + ç 3 2 3 2 1ø
(4 - x) + 4 - x +1÷ è ø éx = 3 ê Û 3 2 ê + + x - 2 = 0 (*) 3 2 3 ê x - 2 +1
(4 - x) + 4 - x +1 ë
Phương trình (*) vô nghiệm do: x ³ 2 Þ x - 2 ³ 0 Þ VT > 0 .
Vậy x = 3 và y = 1 là nghiệm của hệ phương trình. 3 2 2 3
ìx y(1+ y) + x y (2 + y) + xy -30 = 0
Câu 8. Giải hệ phương trình: í 2 2 î
x y + x(1+ y + y ) + y -11 = 0
ìï x + 2y + 4x + y = 5
Câu 9. Giải hệ phương trình: í ( ,x yÎ! ). ïîx - y =1 3 2 ì 3 2 6 4 x xy x +xy y + y + e - e + ln = 0 ï
Câu 10. Giải hệ phương trình: 6 4 y + í y ( y > 0) ï 2
8 3 - 4y = 3+ 24x -16 î x Lời giải 3
Điều kiện: x > 0; 0 < y £ . 4 3 2 x xy x xy y y + - Ta có 3 2 6 4 3 2 + + e - e + ln = 0 x + Û xy e + ln( 3 2 x + xy ) 6 4 y + = y e + ln ( 6 4 y + y 6 4 ) (1). y + y t t 1
Xét hàm số f (t) '
= e + ln t ( t > 0 ) Þ f (t) = e + > 0, t
" > 0, suy ra hàm số g(t) đồng t
biến trên khoảng (0;+¥). Kết hợp với (1) ta có 3 2 6 4 3 6 2
x + xy = y + y Û x - y + y ( 2 x - y ) = Û ( 2 x - y )( 2 2 4 2
x + xy + y + y ) 2 0
= 0 Û x = y (2)
- Thế (2) vào phương trình còn lại của hệ đã cho ta được: 39 2 4 4 2
8 3 - 4y = 3+ 24y -16y Û 16y - 24y + 8 3 - 4y - 3 = 0 (3) Xét hàm số g ( y) 4 2
=16y - 24y + 8 3- 4y - 3 16 16 3 ' Þ g ( y) 3 = 64y - 48y - =16y ( 2 4y - 3) - < 0, 0< " y £ 3 - 4y 3 - 4y 4 æ 3 ö
Suy ra hàm số g ( y) nghịch biến trên khoảng 0;
, từ đó phương trình ( 3) có nghiệm duy ç ÷ è 4 ø 1 1
nhất y = , suy ra x = . 2 2 æ ö
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( x y) 1 1 , = , . ç ÷ è 2 2 ø 2
ì 4 - x + y +8 = y + 7x -1 ï
Bài 27. Giải hệ phương trình: í
ï 2(x - y)2 + 6y - 2x + 4 - x = y +1. î ì y ³ 1 - Điều kiện : í î0 £ x £ 4
2( x - y)2 + 6y - 2x + 4 - x = y +1 2 2
Û 2x - 4xy + 2y - 2x + 6y + 4 = x + y +1+ 2 x ( y + ) 1
Û 2 éx - 2x( y + ) 1 + ( y + )2 2
1 ù + y +1+ x = 2 x ( y + ) 1 ë û
Û 2( y +1- x) + ( x - y +1)2 = 0 Û y = x -1
Thế vào pt đầu ta được 2
4 - x + x + 7 = x + 5x Û ( 2
x + 3x - 3) + x +1- 4 - x + x + 2 - x + 7 Û ( æ 1 1 ö 2 x + 3x - 3) 1+ + ç ÷ è x +1+ 4 - x x + 2 + x + 7 ø ì 3 - + 21 ïx = ï 2 2
Û x + 3x - 3 = 0 Þ í ï 5 - + 21 y = ïî 2 ì y 2
x - (x + y) = ï Bài 28. Giải hpt 3 x - í y ( , x y Î ! ) . ï 2 2
î2(x + y ) - 3 2x -1 =11 40 1 Điều kiện x ≥ 2
Từ phương trình thứ nhất dễ dàng suy ra được y > 0. y 2
x - (x + y) = 3 x- y 2 2 3
Û x - (x + y)( x - y -1) + x - (x + y) - y = 0 2 2 2
x - (x + y)(x - y -1)
x - (x + y) - y Ta có Û + = 0 3 2 2 3
(x - y) + x - y +1
x - (x + y) - y 2 æ x (x y) ö - + x + Û y (x - y -1)ç + ÷ = 0 ç 3 2 2 3 (x y) x y 1 x (x y) ÷ - + - + - + - è y ø
Û x - y -1 = 0 Û y = x -1
Thay vào phương trình thứ hai ta được 2
4x - 4x + 2 - 3 2x -1 =1 1
Đặt t = 2x -1 ta được t4 – 3t – 10 = 0 Û t = 2 5 3
Từ đó tìm được (x, y) = ( , ) 2 2 ìx, y > 0 ï
Bài 29. Tìm tất cả các số thực x, y thỏa hệ: íx + y = 2 . ï 1+ 1 + î x y x y ³1 Hướng dẫn giải
Ta chứng minh nếu các số x, y thỏa mãn hai điều kiện đầu thì x 1 + y 1 + x y £1Û (x + ) 1 ln x + ( y + ) 1 ln y £ 0
Thay y = 2 - x,ta chứng minh
f (x) = (x + )
1 ln x + (3- x)ln(2 - x) £ 0 với 0 < x < 2
Ta có f (x) = x - ( - x) 1 1 ' ln ln 2 + + x - 2 x é ù f ( x) 1 1 1 1 '' = + - ê + ú 2
x 2 - x ê x (2- x)2 ú ë û 2 1 1 1 æ 1 1 ö (x - )2 1 æ 1 1 ö £ + - + = - ç ÷ x - x è x - x ø x ( - x) + £ 0 ç ÷ 2 2 2 2 è x 2 - x ø
Do đó f '(x)nghịch biến trên (0;2),hơn nữa f '( )
1 = 0nên f '(x)nhận giá trị dương trên (0 ) ;1 và âm
trên (1;2).Suy ra f (x) £ f ( )
1 = 0với mọi xÎ(0;2).
Từ đó,hệ phương trình có nghiệm x = y = 1. 41 4 3 3 2 2
ìïx + x y +9y = y x + x y +9x
Bài 30. Giải hệ phương trình sau: í 3 3
ïîx(y - x ) = 7 Hướng dẫn giải 4 3 3 2 2 2 2
ìïx + x y +9y = y x + x y +9x
ìïx(x - y)(x + y) = 9(x - y)
ìïx(x + y) = 9 í Û í Û í 3 3 3 3 3 3
ïîx(y - x ) = 7
ïîx(y - x ) = 7
ïîx(y - x ) = 7 ì 3 ì 3 y = - x ì 3 ï y = - x x y = - ï ï ï x Û í x Û í Û í x æ 3 ö ï 3 3 3 3 ï ï 3 4
îx(y - x ) = 7 x ( - x) - x = 7 ç ÷
î(3- x x) - x x = 7 ï x î è x ø ì 3 ì 3 y = - x y = - ï ï x Û í x Û í x ï 4 3 ï 4 3
î2x x - 9x + 27x x + 7 x - 27 = 0
î2x x - 9x + 27x x + 7 x - 27 = 0 ì 3 y = - ï x Û í x ï 4 3 3 2 2
î( x -1)(2x + 2x x + 2x - 7x x - 7x - 7x x + 20x + 20 x + 27) = 0 ì 3 ì 3 y = - ï x ïy = - x ìx =1 Û í x Û í x Û í ï ï îy = 2 3
î( x -1)((x + x +1)(2x - 7x x + 20) + 7) = 0 îx =1 2 2
ì x + x - y 9 ï = x 2 2
ï x - x - y 5
Bài 31. Giải hệ phương trình í . ï x 5 + 3 = x ï y 6(5- î y) Hướng dẫn giải ìy ¹ 0 ïy ¹ 5 ï ĐK: í . 2 2 x ³ ï y ï 2 2
x - x - y ¹ 0 î 9 x
Từ (2) suy ra: x = 6 -1 (2'). 5 y
Do y ¹ 0 phương trình (1) tương đương với 2 2 x x - + y y y = x x 6 -1 (1').Đặt = u 2 2 x x - y y y - y y 42 2 u - u -1
* Xét y > 0:phương trình (1')trở thành: = 6u -1. 2 u + u -1 5
Nhân liên hợp của mẫu số đưa về phương trình: 2
u u - 3- u -1 = 0 được nghiệm u = 0;u = . ( ) 3
+ u = 0 suy ra x = 0 không thoả mãn => loại. 5 x 5 + u = Û
= .Thế vào (2') được x = 5; y = 3. 3 y 3 2 u + u -1
* Xét y < 0:phương trình (1')trở thành:
= 6u -1.Phương trình này có nghiệm u=0 suy ra 2 u - u -1
x=0 (Không thoả mãn điều kiện bài toán).
Vậy hệ đã cho có một nghiệm ( ; x y) = (5;3).
ì2( 3x + 2x - y - ) 2 1 = x ( y + ï )1
Bài 32. Giải hệ phương trình : í . 2 2 2
ïx 2x - y + y + 3 = -y + 2x + 2 î Hướng dẫn giải Ta có: 2 2
(1) Û 2x(x + 2) - 2(y +1) = x ( y +1) 2 2
Û 2x(x + 2) = (y +1)(x + 2) Û 2x = y +1 Û y = 2x -1 Thế vào (2) ta có : 2 2 2
x 2x - (2x -1) + 2x -1+ 3 = -(2x -1) + 2x + 2 2 2 Û x 2 - x + 6x +1 = 4 - x + 6x +1
é - x + x + = x Û x 2
- x + 6x +1 = ( 2 - x + 6x + ) 2 2 6 1 2 2 2 2 1 - 2x Û ê 2 êë 2
- x + 6x +1 = -x ìx ³ 0 3 + 15 15 2 2
- x + 6x +1 = 2x Û í Û x = Þ y = 2 2 î 2
- x + 6x +1 = 4x 6 6 ìx £ 0 3- 2 3 3 - 2 3 2 2
- x + 6x +1 = -x Û í Û x = Þ y = 2 2 î 2
- x + 6x +1 = x 3 3 æ 3+ 15 15 ö æ 3- 2 3 3- 2 3 ö
Vậy nghiệm của hệ PT là: ç ; ÷ và ç ; ÷. ç 6 3 ÷ ç ÷ è ø 3 3 è ø 2
ì 4 - x + y +8 = y + 7x -1 ï
Bài 33. Giải hệ phương trình: í
ï 2(x - y)2 + 6y - 2x + 4 - x = y +1. î Hướng dẫn giải 43 ì y ³ 1 - Điều kiện : í . î0 £ x £ 4
2( x - y)2 + 6y - 2x + 4 - x = y +1 2 2
Û 2x - 4xy + 2y - 2x + 6y + 4 = x + y +1+ 2 x ( y + ) 1
Û 2 éx - 2x( y + ) 1 + ( y + )2 2
1 ù + y +1+ x = 2 x ( y + ) 1 ë û
Û 2( y +1- x) + ( x - y +1)2 = 0 Û y = x -1
Thế vào pt đầu ta được : 2
4 - x + x + 7 = x + 5x Û ( 2
x + 3x - 3) + x +1- 4 - x + x + 2 - x + 7 Û ( æ 1 1 ö 2 x + 3x - 3) 1+ + ç ÷ è x +1+ 4 - x x + 2 + x + 7 ø ì 3 - + 21 ïx = ï 2 2
Û x + 3x - 3 = 0 Þ í ï 5 - + 21 y = ïî 2 2 2
ìïx + 2y + xy = 4
Bài 34. Giải hệ phương trình: í 2 2
ïîx - y + 2xy = 2 (Chưa giải) 2 2
ìï x + x + y +1+ x+ y + x+ y +1+ y =18
Bài 35. Giải hệ phương trình: í 2 2
ï x + x + y +1 - x + y + x + y +1 - y = 2 î (Chưa giải) 3 2
ìx + (y - z) = 2 ï
Bài 36. Giải hệ phương trình: 3 2
íy + (z - x) = 30 ï 3 2
z + (x - y) = 16 î (Chưa giải) ì3
ï x - y = x - y
Bài 37. Giải hệ phương trình: í
ïx + y = x + y + 2 î (Chưa giải)
Bài 38. Giải các hệ phương trình ì 8xy 3 2
ìx = 9z - 27(z -1) 2 2 x + y + =16 ï ï a) x + í y b) 3 2
íy = 9x - 27(x -1) ï 2
x + y = x - ï î y 3 2
z = 9y - 27( y -1) î (Chưa giải)
Bài 39. Giải các hệ phương trình: 44 3 2
ìx - 9y + 27y - 27 = 0 3 ìx = 2y -1 ï 2 2 2
ìïx + y + z + 2xy - zx - zy = 3 ï a) 3 2
íy - 9z + 27z - 27 = 0 b) í c) 3 íy = 2z -1 ï 2 2
ïîx + y + yz - zx - 2xy = 1 - 3 2
z - 9x + 27x - 27 = 0 ï 3 î z = 2x -1 î (Chưa giải) 6 3 2 2
ìïx - y + x -9y -30 = 28y
Bài 40. (Trại hè Hùng Vương 2013) Giải hệ phương trình í
ïî 2x +3 + x = y Hướng dẫn giải
Từ phương trình đầu của hệ ta có
( 2x - y- )( 2y + y( 2 + x ) 4 2 3 6
+ x + 3x +10) = 0 2 éx = y + 3 Û ê 2 ê y + ë y ( 2 6 + x ) 4 2
+ x + 3x +10 = 0 (*)
Coi (*) là phương trình bậc 2 ẩn y ta có 4 D = 3
- x - 4 < 0 "x nên (*) vô nghiệm.
Do đó hệ phương trình tương đương với 2 ìïx = y +3 2 í
Þ 2x + 3 + x = x -3
ïî 2x +3 + x = y x x
Û (x - x + )(x + + x + ) é = 2 + 3 2 3 1 2 3 = 0 Û ê
êëx +1+ 2x + 3 = 0
Từ đó ta tìm được nghiệm của hệ là (3;6),(- 2;- ) 1
Bài 41. (Thi cụm Quỳnh Lưu, năm 2016-2017) Giải hệ phương trình sau: 3 2 3 2
ì2x + xy + x = 2y + 4x y + 2y (1) ï í 2
ï 4x + x + 6 - 5 1+ 2y =1- 4y (2) î Hướng dẫn giải 1 Điều kiện: y ³ - 2 (1) 2 2
Û (x - 2y)(2x + y +1) = 0 Û x = 2y .
Thay vào (2) ta có phương trình 2
4x + x + 6 + 2x =1+ 5 x +1 (3) Xét x = 1
- thỏa mãn (3), suy ra y = - 1 x +1 Xét x > 1 - : (3) 2
Û 4x + x + 6 - (1- 2x) = 5 x +1 Û = x +1 2
4x + x + 6 +1- 2x 45
éx +1= 0 Þ x = 1 - (l i oa ) Û ê 2
êë 4x + x + 6 +1- 2x = x +1 (4) ì 1 ïx ³ 2 + 7
Kết hợp (3) và (4) ta được 2 x +1 = 2x -1 Û í 2 Û x = 2 2
ïî4x -8x -3 = 0 1 2 + 7 2 + 7
Kết luận: Hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm: ( ; x y) = ( 1 - ;- );( ; ) 2 2 4 Dạng 2: Đặt ẩn phụ (ì2
ï - x)(2 + y) = 8 Bài 1.
Giải hệ phương trình: í 2 2
ïx 4 - y + y 4 - x = 4 î Hướng dẫn giải ìx = 2cos 2u Điều kiện: ;
x y Î[ - 2;2]. Đặt í với u,v [0; p Î ]. îy = 2cos 2v 2 ì
ì(1- cos 2u)(1+ cos 2v) = 2 2 2 u v = si
ì n u cos v =1/ 2 sin cos 1/ 2 ï HPT Û í Û í Û í p
îcos 2u sin 2v + cos 2vsin 2u =1 si î n 2(u + v) =1 ïu + v = î 4 ì p sin
ì (u + v) + sin(u - v) = 2 sin ì (u - v) =1/ 2 u - v = ï ì p ïu = Û ï ï ï í Û í Û 4 í Û í 4 (thỏa). p p ïu + v = ïu + v = p î ï ï 4 î 4 u + v = îv = 0 ïî 4 ì p ïx = 2cos = 0
Kết luận: nghiệm hệ phương trình là í 2 . ïîy = 2cos0 = 2 2 2
ìx +1+ y + xy = 4y ï Bài 2.
Giải hệ phương trình: í y ïx + y - 2 = 2 î x +1
Ta thấy y = 0 không là nghiệm của hệ phương trình đã cho,
ta xét các giá trị y ¹ 0 , chia hai vế của PT thứ nhất cho y ¹ 0 ta được 2
ì x +1 + x+ y = 4 ïï y í
ïx + y - 2 = y ï 2 î x +1 2 x +1 Đặt u =
, v = x + y ta có hệ phương trình y 46 ìu + v = 4 ìv = 4 - u ìu =1 í Û í Û í îu(v - 2) =1
îu(4 - u - 2) =1 îv = 3 2 ì x +1 ìu = 1 ï = 1 Với í ta có í y (*) îv = 3 ï îx + y = 3
Giải hệ PT (*) ta được hai nghiệm (-2; 5) , (1; 2)
Vậy hệ PT ban đầu có hai nghiệm (-2; 5) , (1; 2) ( 2 2 ì x + ï
y )(x + y + 2) = 4( y + 2) Bài 3.
Hệ phương trình tương đương với í 2 2 ïx + y + î
x ( y + 2) + ( y + 2)( y - 2) = 0
+ Với y = -2 thì hệ phương trình vô nghiệm
+ Với y ¹ -2, chia hai vế của hai phương trình cho y + 2 ta có 2 2 ì x + y ï (x + y + 2) = 4 ï y + 2 í 2 2
ï x + y + x + y - 2 = 0 ïî y + 2 2 2 x + y Đặt a =
, b = x + y + 2 y + 2 ìa + b = 4 ìa + b = 4 ï ìa = 2
Khi đó ta có hệ phương trình í Û í Û í îab = 4 ( ï a - 2 î )2 = 0 îb = 2 2 2 ì x + y ï = 2 ìy = -x éx =1, y = 1 - Do đó í y + 2 Û í Û 2 ê ï îx + x - 2 = 0 ëx = 2, - y = 2 îx + y + 2 = 2
Kết hợp với điều kiện thì hệ phương trình có hai nghiệm (x; y): (1; -1), (-2; 2) (
ìï x + 2) 2x -1+( y + 2) 2y -1 = 2. (x + 2)( y + 2) Bài 4.
Giải hệ phương trình: í (x, y Î ! ).
ïîx + y = 2xy
ì (x + 2)(2x - ) 1 ( y + 2)(2y - )1 1 1 ï + = 2
Điều kiện x ³ , y ³ ,(*). Viết lại hệ dưới dạng: í y + 2 x + 2 2 2 ï
îx + y = 2xy ì (x + 2)(2x - )1 ïu = ³ 0 ï y + 2 Đặt í Þ uv = (2x - ) 1 (2y - )
1 = 4xy - 2(x + y) +1 = 1 ï ( y + 2)(2y - )1 ïv = ³ 0 î x + 2 47 ìu + v = 2
Hệ phương trình trở thành : í Û u = v =1 îuv =1 ( ì x + 2 ï )(2x - ) 2 1 = y + 2
ìï2x + 3x - 4 = y (
ìï x - y)(x + y + 2) = 0 hay í Û í Û í ( ï y + 2 î )(2y - ) 2 2 1 = x + 2
ïî2y + 3y - 4 = x
ïî2x + 3x - 4 = y
ìïx - y = 0 do( ) * Û í Û ( ; x y)Î ( { 1; )1,( 2 - ; 2 - )}. 2
ïî2x +3x - 4 = y
Kết hợp điều kiện (*) ta được nghiệm của hệ là: ( ; x y) = (1; ) 1 . Bài 5.
Giải hệ phương trình sau: 4 4 2 2 ì x y æ x y ö x y ï + - ç + ÷ + + = -2 1 4 4 2 2 ( ) í y x è y x ø y x ï 3 2 4
x + x +15y + 30 4 27(1- y) (2) î = Hướng dẫn giải x y Đặt + = t (t ³ 2) y x 2 2 x y 2 Þ + = t - 2 2 2 y x 4 4
x + y = t -2 = t -2t +4 4 4 ( )2 2 4 2 y x ( ) 4 2 Ût - t + -( 2 1 4 2
t - 2)+t + 2 = 0 4 2
Û t - 5t + t + 6 = 0 Û (t + )( 3 2
2 t - 2t -t + ) 3 = 0 ét + 2 = 0 Û ê 3 2
ët - 2t - t + 3 = 0 ét ³ 2 Xét f (t) 3 2
= t - 2t -t + 3 với ê ët £ -2 f (t) 2 ’ = 3t - 4t - 1 t 2 - 7 2 + 7 - ¥ -2 2 +¥ 3 3 f’(t) + + 0 - 0 + + f(t) +¥ -11 1 48 - ¥ Þ f (t)Î(- ; ¥ 1 - ] 1 È[1;+¥).
Þ f (t) = 0 vô nghiệm Þ t = 2 - . Þ x = - y . ( ) 3 2 4
2 Û x + x -15x + 0
3 = 4 27(1- y) , đk: x ³ 1 - . Ta có : 4
4 27(1- y) £ 3+ 3+ 3+ x +1= x +10 . 3 2
Þ x + x -15x + 30 £ x +10 Û (x - )2 2 (x +5) £ 0( ) 3 Do x ³ 1
- Þ x + 5 > 0 ÞVT ( ) 3 ³ 0 Û x = 2 (t/m).
ìï2x + y -1 = 5 Bài 6.
Giải hệ phương trình : í
ïî2y + x -1 = 5 Hướng dẫn giải 2
ìïu = x -1 ³ 0 Þ x = u +1 +) Đặt í 2
ïv = y -1 ³ 0 Þ y = v +1 î 2
ìï2u + v -3 = 0 +) Đưa về hệ: í 2
ïî2v + u -3 = 0 éìu = v êí 2
êî2u + v - 3 = 0
êì2u + 2v -1= 0 êí 2
êëî2u + v -3 = 0
Giải hệ (I) ta được u = v =1Þ x = y = 2 Hệ (II) vô nghiệm
Vậy hệ có nghiệm x = y = 2 . Bài 7.
[Đề xuất, Chyên Lào Cai, DHDDBBB, 2015] Giải hệ phương trình: 3 2
ìïx + xy +( 2 2
x + y - 4)( y + 2) = 0 í 2 2
ïîx + 2y + xy + 2x - 4 = 0 Lời giải ( 2 2 ì x + ï
y )(x + y + 2) = 4( y + 2)
Hệ phương trình tương đương với í 2 2 ïx + y + î
x ( y + 2) + ( y + 2)( y - 2) = 0
+ Với y = -2 thì hệ phương trình vô nghiệm 49
+ Với y ¹ -2, chia hai vế của hai phương trình cho y + 2 ta có 2 2 ì x + y ï (x + y + 2) = 4 ï y + 2 í 2 2
ï x + y + x + y - 2 = 0 ïî y + 2 2 2 x + y Đặt a =
, b = x + y + 2 y + 2 ìa + b = 4 ìa + b = 4 ï ìa = 2
Khi đó ta có hệ phương trình í Û í Û í îab = 4 ( ï a - 2 î )2 = 0 îb = 2 2 2 ì x + y ï = 2 ìy = -x éx =1, y = 1 - Do đó í y + 2 Û í Û 2 ê ï îx + x - 2 = 0 ëx = 2, - y = 2 îx + y + 2 = 2
Kết hợp với điều kiện thì hệ phương trình có hai nghiệm (x; y): (1; -1), (-2; 2) Bài 8.
[Đề thi hsg Ngô Gia Tự, Vp, 2012-2013] Giải hệ phương trình: 3
ìï x - y =10- x + y í 2
ï2x + 2x x + y - y x + y = 25 + î xy Lời giải
ìa = 2x - y ìa + b =10 Đặt : ï khi đó ta có hpt : . í í
ïb = x + x + î y î . a b = 25 Bài 9.
[Đề xuất, Chuyên Thái Bình, DHĐBBB,2015] Giải hệ phương trình sau: 4 2 2 2 3 2 2
ìïx + x y - y = y + x y + x í 5(
ï x y + 7 + (x +1) 2x + y + 8) =13(2x +1) î Lời giải ì2x + y + 8 ³ 0 ĐKXĐ: í î y + 7 ³ 0 2 2 éx + y = 0 2 2 2
Từ (1) ta được: (x + y )(x - y -1) = 0 Û ê 2 ëx = y +1
Trường hợp đầu suy ra x=y=0 nhưng ko là nghiệm của hệ
Do vậy ta được: x2 = y + 1 (1 điểm).
Thay vào phương trình (2) ta được: 2 2
5(x x + 6 + (x +1) x + 2x + 7) =13(2x +1) 50 2 2 b - a -1 2 2 2 2
a = x + 6; b = x + 2x + 7 Þ 2x +1 = b - a Þ x = 2 é Thay êa = b (a b)( ê Þ -
5(a + b)2 - 26(a + b) + 5) = 0 Þ a + b = 5 ê ê 1 êa + b = ë 5
Dễ thấy a + b ³ 2 6 nên trường hợp thứ ba bị loại.
Hai trường hợp đầu ta tính được x=-1/2
KL: Hệ có một nghiệm x=-1/2; y=-3/4
Bài 10. Giải hệ phương trình sau: 2 2 ìx + 2x xy = ï y y í 2 ; x, y Î ! ( 3 3 2 ï 4x + y + 3 î x
x )(15 x + y) = 3 x ( y y + x y + 4x x ) Hướng dẫn giải
Điều kiện: x ³ 0, y ³ 0.
Đặt a = x,b = y ( a ³ 0,b ³ 0).Hệ phương trình đã cho trở thành 4 3 5
ìa + 2a b = b ( ) 1 ï í (ï4a +b +3 î
a )(15a +b ) = 3a(b + a b + 4a )2 6 6 5 2 3 2 3 (2)
Nhận xét: a = 0 Þ b = 0; b = 0 Þ a = 0.Do đó ( ,
a b) = (0,0) là một nghiệm của hệ.
Bây giờ ta xét a > 0,b > 0.Đặt b = ka Þ k > 0 .Với cách đặt này thì
Phương trình (1)trở thành: 1+ 2 5 1+ 2 = Û = k k ak a (3) 5 k
Phương trình (2)trở thành:
( a +a k + a )( a +k a ) = a(k a +a k + a )2 6 6 6 5 2 2 2 3 3 3 3 4 3 15 3 4 (4) 5 æ 3k öæ 1+ 2k 2 ö Thay (3)vào (4)ta được: 6 4 ç + k + 5 ÷ + = ç ÷ ( 3 k + k + 4 3 ) (5) è 1+ 2k øè 3k ø
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz cho vế trái của (5)ta được: 2 5 æ 3k öæ 1+ 2 æ k ö 3k 1+ 2 ö k 4 ç + k + 5 ÷ + ³ ç ÷ ç 5 4 + k + . ÷ 3 ( ) 5 6 6 3 è 1+ 2k øè 3k ç ø 1+ 2k 3k ÷ è ø = ( ( + )( +k ) 2 2 2 6 2 1 4
+ k ³ 4 + k + k ) ( )2 3 51
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi k = 1.Khi đó a = b = 3 hay x = y = 9.
Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm ( ; x y) là (0;0),(9;9). 2 2 ì
2x - 5xy - y = 1 ï
Bài 11. Giải hệ phương trình sau: í . 2 2
ïy( xy - 2y + 4y - xy) =1 î Hướng dẫn giải
+ Điều kiện: 4y ³ x ³ 2y > 0.
+ Trừ vế với vế hai phương trình của hệ ta được: 2 2 2 2
2x - 5xy - y - y
xy - 2y + 4y - xy = 0. ( ) 2 æ x ö æ x ö x x
Chia cả hai vế của PT cho 2 y ,ta được: 2 - 5 -1- - 2 - 4 - = 0. ç ÷ ç ÷ è y ø è y ø y y x + Đặt
= t Þ t Î[2;4] ta có phương trình: y 2
2t - 5t -1- t - 2 - 4 - t = 0.
Û 2t(t - 3) + t - 2( t - 2 -1) + (1- 4 - t ) = 0. æ t - 2 1 ö Û (t -3)ç2t + + ÷ = 0. ç t 2 1 1 4 ÷ - + + - è t ø t - 2 1
Với t Î[2;4] thì 2t + + > 0.
t - 2 +1 1+ 4 - t 1 3
Với t = 3 suy ra x = 3y thay vào PT (1): 2 2y =1Þ y = Þ x = . 2 2 æ 3 1 ö
Kết luận:Nghiệm của hệ phương trình là: ; . ç ÷ è 2 2 ø 2 ìz + 2xyz =1 ï
Bài 12. Giải hệ phương trình: 2 2 2 3 4 3
í x y + 3xy =1+ x y
(x, y, z Î! ). ï 4 3 2
z + zy + 4y = 4y + 6 î y z Hướng dẫn giải 2 ìz + 2xyz =1 ( )1 ï Giải hệ phương trình: 2 2 2 3 4 3
í x y + 3xy =1+ x y (2) . ï 4 3 2
ïz + zy + 4y = 4y + 6y z (3) î 2 1-
Vì z = 0 không thỏa hệ pt nên ( ) 1 Û = z xy . 2z 52 æ æ p p ö ö
Đặt z = tan u u Î - ; \ ç ç ÷ { }
0 thì xy = cot 2u. è 2 2 ÷ è ø ø 2 3cot 2u -1 Từ (2): y = = tan 6 . u 3 cot 2u - 3cot 2u 3
4 tan 6u - 4 tan 6u Vậy x = cot 2 .
u cot 6u .Thay vào (3): z = = tan 24 . u 4 2
1+ tan 6u - 6 tan 6u kp
Vậy tan u = tan 24u Þ u = (k Î!). 23 æ p p ö ì p 11p ü Vì u Î - ; \ ç ÷ { } 0 nên u Î í± ,..., ± ý. è 2 2 ø î 23 23 þ kp
Vậy tan u = tan 24u Þ u = (k Î!). 23 æ p p ö ì p 11p ü Vì u Î - ; \ ç ÷ { } 0 nên u Î í± ,..., ± ý. è 2 2 ø î 23 23 þ ì p 11p ü Vậy hệ có nghiệm: ( ,
x y, z) = (cot 2t.cot 6t;tan 6t;tant) trong đót Îí± ,..., ± ý. î 23 23 þ 3 2
ìïx +1= 2(x - x + y)
Bài 13. Giải hệ phương trình: í 3 2
ïîy +1= 2(y - y + x) (Chưa giải) 2 2 ìx - 2y =1 ï
Bài 14. (Chuyên Vĩnh Phúc 2010 – 2011) Giải hệ phương trình: 2 2
í2y - 3z = 1 ( x, y, z Î ! )
ïxy + yz + zx =1 î Hướng dẫn giải
+) Nếu x = 0 thay vào hệ ta có hệ vô nghiệm
+) Nếu x ¹ 0 ta đặt y = a ;
x z = bx thay vào hệ ta được 2 ìx ( 2 1- 2a ) =1 ï 2 2 2 2 2 ( )ï 1
ìï - 2a = 2a -3b ìï4a -3b =1 2 1 íx ( 2 2
2a - 3b ) =1 Þ í Û í 2 2 1 ï
ïî - 2a = a + ab + b ï2a + a -1+ î b(a + ) 1 = 0 2
ïx (a + ab + b) = 1 î éìa = 1 - êí 2 2 2 2 ìï4a -3b =1 ìï4a -3b =1 êîb = 1 ± Û í Û í Û ( ï a + î
)1(2a - )1+b(a + ) 1 = 0 ( ï a + î ) 1 (2a -1+ b) = 0 êìb =1- 2a êí 2
êëî2a -3a +1= 0 53 ìa = -1 +) Nếu í
thay vào (1) không thỏa mãn îb = ±1 éìa =1 êíb ìb = - a êî = 1 - 1 2 ì ì 1 a = 1 ïa = +) Nếu í Û ê thay í
vào (1) không thỏa mãn, thay í 2 vào (1) ta có 2 ì 1 î2a - 3a +1 = 0 êïa = îb = 1 - ï êí 2 îb = 0 êï ëîb = 0 æ ö æ ö
x = ± 2 . Do đó nghiệm của hệ là ( x y z) 1 1 ; ; = 2; ;0 , - 2; - ;0 ç ÷ ç ÷ è 2 ø è 2 ø
Bài 15. (Chuyên Hoàng Văn Thụ - Hòa Bình, năm 2013) Giải hệ phương trình sau: ì y 2
x - ( x + y) = ï 3 x - í y (x, yÎ! ). ï2 î ( 2 2
x + y ) - 3 2x -1 =11 Hướng dẫn giải 1 Điều kiện x ³ ; 2
x - (x + y) ³ 0; x ¹ y 2 1
Từ phương trình thứ nhất suy ra y và x - y cùng dấu mà y + x - y = x ³ nên y ³ 0. Ta có 2
y = 0 từ phương trình thứ nhất suy ra x = 1 mà (1;0) không thỏa mãn pt thứ 2 nên y > 0 y 2
x - ( x + y) = 3 x- y 2
Û x - (x + y) ( x - y - ) 2 3
1 + x - ( x + y) - y = 0 2
x - ( x + y) ( x - y - ) 2 1
x - ( x + y) 2 - y Û + = 0 (x - y)2 2 3 3 + x - y +1
x - ( x + y) + y æ 2 ö ( )
x - ( x + y) x + y x y 1 ç ÷ Û - - + = 0 ç (x- y)2 2 ÷ 3 3 + x - y +1
x - ( x + y) + è y ø
Û x - y -1 = 0 Û y = x -1
Thay vào phương trình thứ hai ta được 2
4x - 4x + 2 - 3 2x -1 =1 1 æ ö
Đặt t = 2x -1 ta được 4
t - 3t -10 = 0 Û t = 2.Từ đó tìm được ( x y) 5 3 ; = ; ç ÷ è 2 2 ø 3 3 3 1 ìï + x y =19x
Bài 16. Giải hệ phương trình í 2 2 ïîy + xy = 6 - x
Bài 17. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất 54 2
ì x + 2013 + y +1 = ï m í 2 2
ï x y + 2y + 2013 = 2013- x - î m Hướng dẫn giải: 2
ì x + 2013 + y +1 = ï m (I) í 2 2
ï x y + 2y + 2013 = 2013- x - î m 2
ì x + 2013 + z = ï m
* Đặt z = y +1. Ta có (II) í 2 2
ï x z + 2012 = 2013- x - î m
Nhận xét : Hệ (I) có nghiệm duy nhất Û hệ (II) có nghiệm duy nhất
* Điều kiện cần : Giả sử hệ (II) có nghiệm duy nhất ( ; x z). Vì ( ;
x z) là nghiệm của (II) nên ( ; x -z),(- ; x -z),(- ;
x z) cũng là nghiệm của (II)
Do đó để (II) có nghiệm duy nhất thì x = z = 0.
Với x = z = 0, ta có : m = 2013 * Điều kiện đủ : 2
ì x + 2013 + z = 2013 (1) ï
Với m = 2013. Ta có í 2 2
ï x z + 2012 = 2013- x - 2013 (2) î * Vì 2
x + 2013 + z ³ 2013,"x, z, Dấu = xảy ra x = z = 0 nên (1) Û x = z = 0 ( Thỏa mãn (2 ))
Do đó hệ (II) có nghiệm duy nhất x = z = 0 .
* Vậy hệ (I) có nghiệm duy nhất Û hệ (II) có nghiệm duy nhất Û m = 2013 . 2 2 ì
2x - 5xy - y = 1 ï
Bài 18. Giải hệ phương trình sau: í 2 2
ïy( xy - 2y + 4y - xy) =1 î Hướng dẫn giải: 2 2 ì
2x - 5xy - y = 1 (1) ï Ta có: í 2 2
ïy( xy - 2y + 4y - xy) =1 (2) î
+) Điều kiện : 4y ³ x ³ 2y > 0.
+ Trừ vế với vế hai phương trình của hệ ta có: 2 2 2 2
2x - 5xy - y - y
xy - 2y + 4y - xy = 0 ( ) 2 æ x ö æ x ö x x
Chia cả hai vế của PT cho 2 y , ta có: 2 - 5 -1- - 2 - 4 - = 0 ç ÷ ç ÷ è y ø è y ø y y 55 x + Đặt
= t Þ t Î[2;4] ta có phương trình: y 2
2t - 5t -1- t - 2 - 4 - t = 0
Û 2t(t - 3) + t - 2( t - 2 -1) + (1- t - 2 -1) = 0 æ t - 2 1 ö Û (t - 3)ç2t + + ÷ = 0 ç t 2 1 1 t 2 ÷ - + + - è ø t - 2 1
Với t Î[2;4] thì 2t + + > 0
t - 2 +1 1+ t - 2 1 3
Với t = 3 suy ra x = 3y thay vào PT (1): 2 2y =1Þ y = Þ x = 2 2 æ 3 1 ö
Kết luận: Nghiệm của hệ phương trình là: ; ç ÷ è 2 2 ø 4 2 2 2 3 2 2
ìx + x y - y = y + x y + x ( )1 ï
Bài 19. Giải hệ phương trình sau: í 5
î (x y + 7 + ( x + )
1 2x + y + 8) =13(2x + ï )1 (2) Hướng dẫn giải:
ì2x + y + 8 ³ 0 ĐKXĐ: í îy + 7 ³ 0 éx + y = 0
Từ (1) ta được: ( x + y )( x - y - ) 2 2 2 2 2 1 = 0 Û ê 2 ëx = y +1
Trường hợp đầu suy ra x = y = 0 nhưng ko là nghiệm của hệ Do vậy ta được: 2 x = y + 1
Thay vào phương trình (2) ta được: ( 2 x x + + (x + ) 2 5 6 1
x + 2x + 7 =13 2x +1 (*) ) ( ) 2 2 - -1 Đặt 2 2 2 2 = + 6; = + 2 + 7 Þ 2 +1= - Þ = b a a x b x x x b a x 2 é êa = b ê
Thay vào (*) ta được (a - b) é (a + b)2 5
- 26(a + b) + 6ù = 0 Û a + b = 5 ê ë û ê 1 êa + b = ë 5
Dễ thấy a + b ³ 2 6 nên trường hợp thứ ba bị loại. 1
Hai trường hợp đầu ta tính được x = - 2 56 1 3
KL: Hệ có một nghiệm x = - ; y = - . 2 4 (ì 2 x + x +1 ï )( 2 y + y +1) =1 (1)
Bài 20. Giải hệ: í
(x, y Î ! ) 2 ï 1+ 1- x = x( 2 1+ 2 1- y î ) (2) Hướng dẫn giải:
Điều kiện: x £1, y £1 "x, y Î ! ( 2 x + x +1)( 2 -x + x +1) =1 ( 2 y + y +1)( 2 -y + y +1) =1 2 2
ìïy + y +1 = -x + x +1 (3)
Kết hợp với (1) ta được: í 2 2
ïx + x +1 = -y + y +1 (4) î
Cộng (3) và (4) ta được y = -x, thế vào (2) ta được: 2 2
1+ 1- x = x 1+ 2 1- x (5) ( ) é p ù
Đặt x = sin t,t Î 0;
, phương trình (5) trở thành ê 2 ú ë û
1+ cost = sin t(1+ 2cost) t t t é æ t öù 2
Û 2 cos = 2sin .cos . 1+ 2 1- 2sin ê ç ÷ 2 2 2 ë 2 ú è øû é p 4p t = + k t t 2 t p ê 3 6 3 Û 3sin - 4sin = Û sin 3 = sin Û ê 2 2 2 2 4 p 4p êt = + ê k ë 2 3 é p t = é 1 é p ù ê x = Với t Î 0; ta được 6 ê ê Þ 2 ê 2 ú ë û p ê êt = ëx =1 êë 2 æ 1 1 ö
Vậy hệ phương trình có nghiệm (x,y) = ;- ; (x,y) = (1;-1) ç ÷ è 2 2 ø
Dạng 3: Sử dụng hàm số (ì 2 x + x + 4 ï )( 2 y + y +1) = 2 Bài 1.
Giải hệ phương trình sau trên tập số thực: í . 2 3 3
ïî6y -5y +1= x +1 Hướng dẫn giải 57 (ì 2 x + x + 4 ï )( 2
y + y +1) = 2 (2) Đặt í . 2 3 3
ïî6y -5y +1= x +1 (3)
pt ( ) Û x + x + = - y + (- y)2 2 2 4 2 2 + 4
Û f (x) = f ( 2
- y) với f (t) 2
= t + t + 4,t Î! . 2
f ¢(t) t + t + 4 = > 0,"t Î! . 2 t + 4
Suy ra f(t) đồng biến trên ! . Do đó: ( ) = ( 2 - ) Û = 2 - Û = - x f x f y x y y 2 Thế = - x y
vào phương trình (3) ta được: 2 3 3 3x +5x + 2 = 2 x +1 2 Û ( )3 ( ) ( 3 ) 3 3
x +1 + 2 x +1 = x +1 + 2 x +1. Đặt 3 3 u = x +1,v = x +1.
Phương trình trở thành: 3 3
u + u = v + v Û (u -v)( 2 2 2 2
u +uv +v + 2) = 0 éx = 0 3 3 Û u = v Û x +1= x +1 Û ê ëx = 1 - æ ö
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm: ( ) 1 0;0 , 1 - ; . ç 2 ÷ è ø Bài 2. Giải hệ phương trình ì 3 3 x + 4x + 2 = + 4 6 - 2 ï y y - 4 ï ï 3 3 íy + 4y + 2 = + 4 6 - 2z z - 4 ï ï 3 3 z + 4z + 2 = + 4 6 - 2 ï x x - 4 î Hướng dẫn giải
Điều kiện: x, y, z £ 3. 3
Xét các hàm số f (t) 3
= t + 4t + 2, g (t) = + 4 6 - 2t trên ( ] ;3 -¥ . t - 4 3 4
Khi đó ta có f '(t) 2
= 3t + 4 > 0, g '(t) = - - < 0,"t < 3 . (t - 4)2 6 - 2t
Mà f (t), g (t) là các hàm số liên tục trên ( ] ;3
-¥ suy ra f (t) đồng biến trên ( ] ;3
-¥ và g (t) nghịch biến trên ( ] ;3 -¥ .
Không mất tính tổng quát ta giả sử x = min{ , x y, } z . Khi đó ta có: 58
Nếu x < y Þ g (x) > g ( y) Þ f (z) > f (x) Þ z > x Þ g (z) < g (x) Þ f ( y) < f (z)
suy ra y < z Þ g ( y) > g (z) Þ f (x) > f ( y) Þ x > y , vô lí vì x < y .
Do vậy x = y , tương tự lí luận như trên ta được x = z suy ra x = y = z . 3
Thay trở lại hệ ta được 3 x + 4x + 2 = + 4 6 - 2x (1). x - 4
Theo trên, bên trái là hàm đồng biến, bên phải là hàm nghịch biến, nên phương trình có nhiều nhất 1 nghiệm
Mà x = 1 là nghiệm nên nó là nghiệm duy nhất của phương trình (1).
Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là x = y = z = 1. 3 3 2
ìx - y + 3y + x - 4y = -2 ï Bài 3.
Giải hệ phương trình : í 2 3
ï x + y = 5x - î y Hướng dẫn giải 3 3 2 3 3
ìx - y + 3y + x - 4y = 2 -
ìx + x = (y -1) + (y -1) ï ï Ta có : í Û í . 2 3 2 3
ï x + y = 5x - î y
ï x + y = 5x - î y
Hàm số f(x) = x3 + x là hàm số đồng biến trên R nên phương trình f(x) = f(y - 1) Û x = y – 1. 3 3
ìx + x = (y -1) + (y -1) ìx = y -1 ìx = y -1 ï ï ï Do đó í Û í Û í . 2 3 2 3 2 3
ï x + y = 5x - î y
ï x + y = 5x - î y
ï (y -1) + y = 4y - 5 î ì 5 ïy ³ é y = 2 Ta có 2 3
( y -1) + y = 4y - 5 Û í 4 Û . ê ï ë y =12 3 2
îy -15y + 38y - 24 = 0 ìx =1 ìx =11 Vậy hệ có 2 nghiệm : í ;í . îy = 2 îy =12 Bài 4. Giải hệ phương trình: 3 2x+7 2 ì 64.y + 2 æ 1 ö ïlog + y = +1 + 2. y + 2 ï 2 ç x ÷ 2y +1 í è 2 ø (ï2x - y+ )3 1 + 2x = 1+ ïî y Lời giải.
Phương trình (2) Û ( x - + )3 2 1 + 2x y - y +1 = 2.
Xét hàm số f (t) 3
= t + t,"t Î R, ta có: / f (t) 2
= 3t +1> 0,"t Î R do đó hàm số f (t) đồng biến trên ! . 59
từ (2) ta suy ra f ( )
1 = 2 . Vây 2x - y +1 =1 Û = 2x y Þ y > 0 2 3 2 64.y +128.y æ 1 ö Thay = 2x y vào (1) ta được: log + y = +1 + 2. y + 2 2 ç ÷ 2y +1 è y ø 8y y + 2 1 2 Û log + y = ( +1) 2 + y + 2 2 2y +1 y æ ö Û 1 1 log y + 2 +
y + 2 -1 = log (2 + ) + (2 + ) -1 2 ( ) 2 2 (3) 2 ç ÷ y è y ø
Xét hàm số: f (a) = log a + a -1 2 ( )2, (a>0) 1 1 2 Þ f '(a) = + 2a - 2 ³ 2 .2a - 2 = 2 - 2 > 0 a ln 2 a ln 2 ln 2
Vậy hàm f (a) là hàm đồng biến trên khoảng (0, +¥ ), do đó: Û f ( y + ) æ 1 ö 1 (3) 2 = f 2 + Û y + 2 = 2 + ç ÷ è y ø y é y = 1 - 4 1 3 2 y 2 4 y 2y 4y 1 0 ê Û + = + + Û - - - = Û 2 3 ± 13 y y ê y = êë 2 3 + 13 x 3 + 13 3 + 13
Kết hợp điều kiện ta nhận được y = suy ra 2 = Û x = log 2 2 2 2 æ 3 + 13 3 + 13 ö
Vậy hệ phương trình có nghiệm çlog ; ÷ 2 ç 2 2 ÷ è ø 4008 2004 2 ìïx + x
> 2004 x + 2004x (1) Bài 5. Giải hbpt í (x > 3). 4006 2003 2 ïîx + x
< 2003 x + 2003x (2)
§ (2 đ) Đặt y = 2004. Do x > 0, y > 0 nên ta được:
(1) Û x2y + xy > y2x + yx Û x2y – y2x + xy – yx >0 Û (xy – yx)(xy + yx + 1) > 0
Û xy – yx > 0 Û xy > yx ( do xy + yx + 1 > 0). § ln x ln y ln x ln 2004
(1.5 đ) xy > yx Û ln(xy) > ln(yx) Û ylnx > xlny Û > . Vậy: > (3). x y x 2004 ln 2003 ln
Biến đổi tương tự, bất phương trình (2) trở thành: > x (4). 2003 x ln 2004 ln x ln 2003
Từ (3) và (4), hệ đã cho trở thành: < < (5). 2004 x 2003 § ln x 1- ln x
(1.5 đ) Xét hàm số: y = f(x) = , y’= <0, "x > 3. x 2 x 60 ln 2004 ln x ln 2003
Nên hàm số nghịch biến trên khoảng ( 3; +¥), do đó: < < tương đương với 2004 x 2003 2003 < x < 2004. 3 2 3
ìx - x y = x - x + y +1 ï ( )1 Bài 6.
Giải hệ phương trình: í 3 2 ïx - 9y + 6 î (x -3y) 3 2 -15 = 3 6x + 2 (2) Giải: Ta có ( ) 2 1 Û x (x - ) 1 + (x - ) 1 - y ( 2 x + ) 1 = 0 Û ( 2 x + ) 1 (x - y - ) 1 = 0 Û y = x -1 Thế vào (2) 3 x - 9( x - )2 1 + 6( 2 x - 3x+3) 3 2 -15 = 3 6x + 2 3 2 3 2
Û x - 9x + 6x - 6 = 3 6x + 2 3 2 2 3 2
Û x - 3x + 6x - 4 = 6x + 2 + 3 6x + 2 Û (x - )3 1 + 3( x - ) 1 = ( 2 6x + 2) + ( 3 2 3 6x + 2 ) (*) Xét f (z) 3
= t + 3t trên ! f (z) 2 '
= 3t + 3 > 0"t Î!
Þ f (z)đồng biến trên ! ( ) ** Từ ( ) * và ( ) 3 2 ** Þ x -1 = 6x + 2 Û (x - )3 2 1 = 6x + 2 3 2
Û x - 9x + 3x - 3 = 0 Û 2( 3 2 x - 3x + 3x - ) 1 - ( 3 2 x + 3x + 3x + ) 1 = 0 Û 2(x - )3 1 = ( x + )3 1 3 Û 2 (x - ) 1 = x +1 Û ( 3 2 - ) 3 1 x = 2 +1 3 2 +1 Û x = 3 2 -1 3 3 ì7x + y + 3 ï xy(x - y) 2 =12x -6x +1 (1) Bài 7. Giải hệ phương trình í . 2 2
ï2 x + 3 - 9 - y + y =1 (2) î 61 (Chuyên Bắc Giang) Lời giải Điều kiện xác định: 3 - £ y £ 3.
Phương trình (1) tương đương với phương trình:
(x - y)3 = ( x - )3 2 1 Û y =1- x (3)
Thế (3) vào (2) ta được: 2 2
2 x +3 - 8+ 2x - x - x = 0 2 2
Þ 2 x +3 = 8+2x- x + x Þ ( 2 x + ) 2 4
3 = 2x + 8 + 2x 8 + 2x - x Þ (x - )2 2 2
1 - x 8+ 2x - x - 3 = 0 ( ) Þ (x - ) é x ù 2 1 ê2 + ú = 0 2 ë 8 + 2x - x + 3û éx -1 = 0 ê Þ x . ê2 + = 0 2 êë 8+ 2x - x + 3 Ta có hai trường hợp:
* TH 1: Nếu x = 1 thì y = 0.
Thử lại vào hệ phương trình ban đầu thấy thỏa mãn. x * TH 2: Nếu 2 +
= 0 thì ta có phương trình 2 8+ 2x - x + 3 2
2 8+ 2x - x = -x - 6 ì-x - 6 ³ 0 Û í (vô nghiệm). 2 5
î x + 4x + 4 = 0
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là ( ; x y) = (1;0). 62
ì2x - 2y + 2x + y + 2xy +1 =1 ïï Bài 8. Giải hệ phương trình: 3 3
í 3y +1 = 8x - 2y -1 ïx > 0 ïî Hướng dẫn giải
ìï2x - 2y + 2x + y + 2xy +1 =1 (1) í 3 3
ï 3y +1 = 8x - 2y -1 (2) î (1) Û (2x + ) 1 - 2( y + ) 1 + (2x + ) 1 ( y + ) 1 = 0 ì2x +1 > 0
ĐK: (2x + 1)(y + 1) ³ 0 Mà x > 0 Þ í îy +1 ³ 0
(1) Û ( 2x +1- y +1)( 2x +1+ 2 y +1) = 0 Û 2x +1- y +1 = 0 Û y = 2x Thay vào (2): 3 3
6x +1 = 8x - 4x -1 Û ( x + ) + x + = ( x)3 3 6 1 6 1 2 + 2x (3)
Hàm số f(t) = t3 + t đồng biến trên R 1 (3) 3 Û 6x +1 = 2x 3 Û 4x - 3x = 2
NX: x >1 không là nghiệm của phương trình é p 2p p a = + ê k
Xét 0 < x £ 1: Đặt x = cosa với 0 £ a < 1 Ta có: cos3a = 9 3 Û ê (kÎ Z ) Do 2 2 p 2p a ê = - + ê k ë 9 3 p p 0 £ a £ Þ a = 2 9 æ p p ö
Vậy hệ có nghiệm cos ;2cos ç ÷ è 9 9 ø Bài 9.
[Đề xuất Chuyên Biên Hòa, DHĐBBB 2014-2015] (4,0 điểm):
Giải hệ phương trình sau trên tập số thực ì = ( + ) 1 1 x y ï x x y í 2 2 1 ï + 4
- x +18x - 20 = y +1 + 2 î 2x - 9x + 8 Lời giải
Điều kiện 𝑦 > −1; 2 ≤ 𝑥 ≤ 5/2.
Đặt 𝑡 = √−4𝑥! + 18𝑥 − 20 → 0 ≤ 𝑡 ≤ 1/2. 63
Phương trình (2) tương đương với 2𝑥! − 9𝑥 + 6 4−4𝑥! + 18𝑥 − 20 + = 4𝑦 + 1 2𝑥! − 9𝑥 + 8 4 𝑓(𝑡) = 𝑡 + 1 + 0 ≤ 𝑡 ≤ 1/2. 𝑡! + 4
Ta có 𝑓(𝑡) đồng biến trên [0; 1/2] nên 1
2 = 𝑓(0) ≤ 𝑓(𝑡) ≤ 𝑓 = > = 83/34 < 5/2 2
Suy ra 4𝑦 + 1 ≥ 2 → 𝑦 + 1 ≥ 4.
Xét phương trình (1) tương đương với 𝑙𝑛𝑥 ln(𝑦 + 1) = 𝑥 𝑦 + 1 𝑙𝑛𝑡 1 − 𝑙𝑛𝑡 𝑔(𝑡) = , 𝑔,(𝑡) =
, 𝑔,(𝑡) > 0 ↔ 𝑡 < 𝑒 𝑡 𝑡!
Xét 2 ≤ 𝑥 ≤ 5/2 ta có hàm số g(x) đồng biến.
Xét 𝑦 + 1 ≥ 4 ta có hàm số g(y+1) nghịch biến
Ta có 2 ≤ 𝑥 ≤ 5/2 nên 𝑔(𝑥) ≥ 𝑔(2) ↔ 𝑔(𝑥) ≥ 𝑙𝑛2/2
𝑦 + 1 ≥ 4 nên 𝑔(𝑦 + 1) ≤ 𝑔(4) = 𝑙𝑛2/2
Mặt khác g(x) liên tục trên (0 ; +∞) nên 𝑔(𝑥) = 𝑔(𝑦 + 1) = 𝑙𝑛2/2
Khi đó 𝑥 = 𝑦 + 1; 𝑥 = 2; 𝑦 = 3
Vậy hệ có nghiệm duy nhất ( 2 ; 3)
Bài 10. [Đề dữ liệu, Chuyên Lê Hồng Phong, DHĐBBB, 2015] Giải hệ phương trình: ì æ 2x + y +1 ö ïlog ï ç ÷ = 3( 2 x + 2 - x - 3 3 2 ) í è x + 2 +1ø (ï2+3x+y x y ï x y î ) 1-( + ) .5 = 7 + - 2 Lời giải x+ y x+ æ ö æ ö y
Điều kiện: 2x + y +1 > 0 Ta có ( ) 1 3 2 Û 10. + 5. - 7x+y + 2 = 0 ç ÷ ç ÷ è 5 ø è 5 ø æ 1 öt æ 3 öt
Đặt t = x + y ta có phương trình 10. + 5. - 7t + 2 = 0 (*) ç ÷ ç ÷ è 5 ø è 5 ø æ öt æ öt Xét hàm số ( ) 1 3 = 10. + 5. - 7t f t + 2 với t Î ! ç ÷ ç ÷ è 5 ø è 5 ø æ öt æ öt Ta có ( ) 1 1 3 3 ' =10. ln + 5. ln - 7t f t ln 7 < 0 "t Î ç ÷ ç ÷ ! è 5 ø 5 è 5 ø 5
Nên hàm số f (t) nghịch biến trên ! 64 Mà f ( )
1 = 0 suy ra phương trình (*) có nghiệm duy nhất t = 1
Với t = 1 ta có x + y = 1
(2) Û log (2x + y + ) 1 - log ( 2x + 2 + ) 2
1 = 3 x + 2 - 3x - 3 3 3 Û log x + 2 - log
x + 2 +1 = 3 x + 2 - 3x - 3 3 ( ) 2 2 3 ( )
Û log (x + 2) + 3(x + 2) = log ( 2x + 2 + )1+3( 2x + 2 +1 ** 3 3 ) ( )
Xét hàm số g (t) = log t +3t với t > 0 ta có g (t) 1 ' = + 3 > 0 "t > 0 3 t ln 3
Þ g (t) đồng biến trên (0; + ¥) Do đó phương trình ( ) ** có dạng
g ( x + 2) = g ( 2x + 2 + ) 2 2
1 Û x + 2 = x + 2 +1 Û x + 2 = x +1 ìx +1³ 0 ï ìx ³ 1 - 1 Û í Û í Û x = ïx + 2 = î (x + )2 2 1 î2x =1 2 1 1
Với x = ta có y = (thỏa mãn điều kiện 2x + y +1 > 0) 2 2 æ ö
Vậy hệ có nghiệm ( x y) 1 1 ; = ; ç ÷ è 2 2 ø
ì xy - y - y + = (x - y)2 8 2 8 4 ï
Bài 11. Giải hệ phương trình: í . 3x - 8
ï 2x - 7 + y -1 = î 2 Hướng dẫn giải 7
+ ĐK: x ³ ; y ³ 1. 2 + Biến đổi ( )
1 được: (xy - y) +
xy - y + = (x + y)2 4 2 8 2 4 .
Û ( xy - y + )2 = (x+ y)2 2 2 2
Û ... Û y = x - 2. 3 - 8
+ Thế vào (2) ta được: 2 - 7 + - 3 = x x x . 2
Áp dụng BĐT Cauchy ta được: x - + x - ▪ x - = ( x - ) 2 7 1 2 6 2 7 2 7 .1 £ = . 2 2 x - + x - ▪ x - = (x - ) 3 1 2 3 3 .1 £ = . 2 2 65 3 -8 Suy ra 2 - 7 + - 3 £ x x x
.Dấu ' = ' xảy ra khi và chỉ khi x = 4. 2 Vậy nghiệm ( ;
x y) cần tìm là (4;2).
Bài 12. Giải hệ phương trình sau: 3 2 x x ( x 1- e ) x 1 1 - ì -
+ + e (2 - y) + xy - 2x - y + 2 = 0 ï í (x, y Î ! ). 2 2
ï 4x + 2y + 8x -14 + x + 2x - y - 2 = 3 î ( x+5+ x+2) Hướng dẫn giải (1) 2 x y ( x 1 ( 2) - Û + - x - e - ) 1 = 0 (3) Xét hàm số x 1 f (x) - = x - e - 1 trên ! ; x 1 f '(x) 1 -
= - e ; f '(x) = 0 Û x = 1 x -¥ 1 +¥ f '(x) + 0 - 1 - f (x)
Từ bảng biến thiên, ta có f (x) £ 1 - ,"x Î ! Do đó 2
(3) Û y = 2 - x
Thế vào phương trình (2) ta được: 2 2
2x + 8x -10 + 2x + 2x - 4 = 3( x +5 + x + 2 + ) 1 (4)
Điều kiện xác định của (4) là: x ³1 (*). Với đk (*), ta có:
(4) Û (2x - 2)(x + 5) + (2x - 2)(x + 2) - 3( x +5 + x + 2) = 3
Û 2x - 2 ( x +5 + x + 2)-3( x +5 + x + 2) = 3
Û ( x +5 + x + 2)( 2x - 2 -3) = 3
Û 2x - 2 - 3 = x + 5 - x + 2
Û ( 2x - 2 - x + 5) + ( x + 2 - 3) = 0 x - 7 x - 7 Û + = 0 2x - 2 + x + 5 x + 2 + 3 æ 1 1 ö Û (x - 7) + = 0 ç ÷
è 2x - 2 + x + 5 x + 2 + 3 ø 1 1
Û x = 7 (tm (*)) ( Vì + > 0 "x ³1) 2x - 2 + x + 5 x + 2 + 3
Với x = 7 Þ y = 4
- 7 (thỏa mãn điều kiện).
Vậy hệ có nghiệm duy nhất ( ; x y) = (7;- 47). 3 3 2
ìx - y + 3y + x - 4y = -2 ï
Bài 13. Giải hệ phương trình : í 2 3
ï x + y = 5x - î y 66 Hướng dẫn giải 3 3 2 3 3
ìx - y + 3y + x - 4y = 2 -
ìx + x = (y -1) + (y -1) ï ï Ta có : í Û í . 2 3 2 3
ï x + y = 5x - î y
ï x + y = 5x - î y
Hàm số f(x) = x3 + x là hàm số đồng biến trên R nên phương trình f(x) = f(y - 1) Û x = y – 1. 3 3
ìx + x = (y -1) + (y -1) ìx = y -1 ìx = y -1 ï ï ï Do đó í Û í Û í 2 3 2 3 2 3
ï x + y = 5x - î y
ï x + y = 5x - î y
ï (y -1) + y = 4y - 5 î ì 5 ïy ³ é y = 2 Ta có 2 3
( y -1) + y = 4y - 5 Û í 4 Û ê ï ë y =12 3 2
îy -15y + 38y - 24 = 0 ìx =1 ìx =11 Vậy hệ có 2 nghiệm : í ;í îy = 2 îy =12 2 3 3 2 3
ìï x y + 2xy - y(y -9) = 27
Bài 14. Giải hệ phương trình : í (x, y Î! ) . 3 2 2 2
ïîx y + 4xy -9y +5y = 9 Hướng dẫn giải +) y = 0 không thỏa mãn ì 9 27 2 3x + 2x -1+ = ï 2 3 ï y y +) y ≠ 0, hệ pt Û í 9 9 3
ïx + 4x + 5- = 2 ïî y y 3 2 3 2 3
ìï x + 2x -1= t -t (1)
Đặt t = , hệ phương trình trở thành í y 3 2
ïîx + 4x + 5 = t + 3t (2)
+) Từ hai phương trình trên suy ra
x3 + 3x2 + 6x + 4 = t3 + 3t Û (x +1)3 + 3(x +1) = t3 + 3t (3)
Xét hàm f(t) = t3 + 3t đồng biến trên ! . Phương trình (3) tương đương x+ 1 = t. 3
Thay vào phương trình (2) và giải phương trình được x = 1, y = . 2 3 Nghiệm của hpt là (1; ). 2 2 2 (
ìï x +1)(y -1) = 3xy
Bài 15. (Olimpic Trại hè Hùng Vương 2013) Giải hệ phương trình : í 2 2
ïîx + y + xy -8x -9y + 23 = 0 Hướng dẫn giải 2 2 (
ìï x +1)(y -1) = 3xy
Hệ phương trình : í 2 2
ïîx + y + xy -8x -9y + 23 = 0 Ta có : 2 2 2 2
x + y + xy -8x - 9y + 23 = 0 Û x + (y -8)x + y - 9y + 23 = 0 14 2 2 2
D = (y -8) - 4(y - 9y + 23) = 3
- y + 20y - 28 ³ 0 Þ 2 £ y £ x 3 Tương tự : 2 2 2 2
x + y + xy -8x - 9y + 23 = 0 Û y + (x - 9)y + x -8x + 23 = 0 11 2 2 2
D = (x - 9) - 4(x -8x + 23) = 3
- x +14x -11³ 0 Þ1£ x £ y 3 67 2 2 x +1 y -1 Ta có : 2 2
(x +1)(y -1) = 3xy Û × = 3 x y 2 x +1 1 é 11ù 1 é 11ù
Xét hàm số f (x) =
= x + với x Î 1;
, ta có : f '(x) = 1- > 0,"x Î 1; nên hàm số f(x) x x ê 3 ú ë û 2 ê x 3 ú ë û é 11ù é 11ù đồng biến trên 1;
, suy ra f (x) ³ f (1) = 2,"x Î 1; ê 3 ú ë û ê 3 ú ë û 2 y -1 1 é 14ù 1 é 14ù
Xét hàm số g(y) =
= y - với y Î 2;
, ta có : g '( y) = 1+ > 0,"y Î 2; nên hàm số y y ê 3 ú ë û 2 ê y 3 ú ë û é 14ù 3 é 14ù g(y) đồng biến trên 2;
, suy ra g( y) ³ g(2) = ,"y Î 2; ê 3 ú ë û 2 ê 3 ú ë û 2 2 x +1 y -1 é 11ù é 14ù Suy ra : × ³ 3;"xÎ 1; ,"y Î 2; ê x y 3 ú ê 3 ú ë û ë û 2 2 x +1 y -1 ìx =1 Do đó phương trình 2 2
(x +1)(y -1) = 3xy Û × = 3 Û í x y îy = 2 ìx = 1 Vì í
không thoả mãn phương trình thứ 2 của hệ nên hệ đã cho vô nghiệm . î y = 2
Bài 16. (Chuyên Nguyễn Tất Thành – Yên Bái) Giải hệ phương trình: 3 2 ìïx + y =1 í 17 ï
5 - x + 3y 4 - y =14 4 - y + 3x 5 î - x Hướng dẫn giải
Điều kiện x £ 5; y £ 4
17 5 - x + 3y 4 - y = 14 4 - y + 3x 5 - x
Û (3(5- x) + 2) 5- x = (3(4 - y) + 2) 4 - y (1)
Xét hàm số f (t) = (3t + 2) t liên tục trên [0; + ¥)có 3t + 2
f '(t) = 3 t + > 0, "t > 0 2 t
Suy ra f(t) là hàm số đồng biến trên [0; + ¥)
Khi đó (1) Û f (5- x) = f (4- y) Û 5- x = 4- y Û y = x - 1
Thay y vào phương trình đầu ta được éx = 0 x (x )2 3 3 2 1 1 x x 2x 0 ê + - = Û + - = Û x =1 ê êx = 2 - ë
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là (0;- ) 1 ; (1;0); ( 2; - 3 - ) 68
Bài 17. (Chuyên Hoàng Văn Thụ - Hòa Bình - 2012) Giải hệ phương trình: 2 2 3
ìï x - 2x -5+ 2x x +1 = 2( y + ) 2 1 y + 2y + 2 í 2 2
ïîx + 2y = 2x - 4y + 3 Hướng dẫn giải
Trừ vế với vế của 2 phương trình (1), (2) ta có: 2 2 2
x + x x + = y + y + + ( y + ) 2 2 2 . 1 2 4 2 2 1 y + 2y + 2
Û x + x x + = ( y + )2 + ( y + ) ( y + )2 2 2 1 1 1 1 +1
Đưa về xét hàm số: f (t) 2 2
= t + t t +1 có t + t +1 t 2 ( )2 2 2
f '(t) = 2t + t +1 + = > 0"t 2 2 t +1 t +1
Þ f (t) là hàm số đồng biến trên R, lại có
f (x) = f ( y + ) 1 Þ x = y +1, x + (x - )2 2 = x - (x - ) 2 2 1 2 4
1 + 3 Û 3x - 2x -5 = 0
éx = -1Þ y = -2 ê Û 5 3 êx = Þ y = ë 2 2
Bài 18. (Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm – Quảng Nam 2014) Giải hệ phương trình sau :
ìï(17 -3x) 5- x + (3y -14) 4- y = 0 (1) í
( x, y Î R) 2
ï2 2x + y + 5 + 3 3x + 2y +11 = x + 6x +13 (2) î Hướng dẫn giải ìx £ 5 ï
§ Điều kiện : íy £ 4 (*)
ï2x + y +5 ³ 0 , 3x + 2y +11³ 0 î
§ Với điều kiện (*), phương trình (1) tương đương :[3(5- x) + 2]. 5- x = [3(4 - y) + 2]. 4 - y (3)
Xét hàm số : f (t) = (3t + 2). t , t ³ 0 3t + 2 '
Þ f (t) = 3 t + > 0 , "t > 0 2 t
f (t) liên tục "t ³ 0 , suy ra f (t) là hàm số luôn đồng biến trên [0;+¥)
Khi đó : pt(3) Û f (5 - x) = f (4 - y) Û 5 - x = 4 - y Û y = x -1 § Thay y = x -
1 vào phương trình (2), ta được : 69 4 2
2 3x + 4 + 3 5x + 9 = x + 6x +13 với x ³ - 3 2
Û é2 3x + 4 - 2(x + 2)ù + é3 5x + 9 - 3(x + 3)ù = x + x ë û ë û 2 2
2 é(3x + 4) - (x + 2) ù 3é(5x + 9) - (x + 3) ù ë û ë û 2 Û + = x + x 3x + 4 + (x + 2) 5x + 9 + (x + 3) 2 - x(x +1) 3 - x(x +1) Û + = x(x +1) 3x + 4 + (x + 2) 5x + 9 + (x + 3) æ 2 3 ö Û x(x +1)ç1+ + ÷ = 0 è 3x + 4 + (x + 2)
5x + 9 + (x + 3) ø éx = 0 Û 2 3 4 ; vì : 1+ + > 0 , "x ³ - ê ëx = 1 - 3x + 4 + (x + 2) 5x + 9 + (x + 3) 3
Với x = 0 suy ra y = - 1 Với x = 1 - suy ra y = -2
Thử lại ta thấy cả hai đều thỏa điều kiện (*)
§ Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm : (0; - ) 1 , ( 1 - ; - 2) ì 1 1 16
x + y + x - y + + = ïï x + y x - y 3
Bài 19. Giải hệ phương trình í 1 1 100 2 2
ï(x + y) + (x - y) + + = 2 2 ïî (x + y) (x - y) 9 Hướng dẫn giải 1 1
Đặt a = x + y +
;b = x - y +
(| a |,| b |³ 2) x + y x - y ì 16 a + b = ìa = 2 ì 10 ïï ï ïa = Ta có: 3 í Û í 10 Ú í 3 100 b = 2 2 ïa - 2+ b - 2 ï = î 3 ïîb = 2 ïî 9
Từ đó suy ra hệ phương trình có bốn nghiệm ì 2 ì 2 x = x = ìx = 2 ïï 3 ìx = 2 ïï 3 í Ú í Ú í Ú í îy = 1 - 1 ï îy =1 1 ï y = y = - ïî 3 ïî 3 ì x +1 y +1 ï + = 4 ï x -1 y -1
Bài 20. Giải hệ phương trình: í ï 1 1 + = 3 ïîx -1 y -1 2 2
ìïx + y + xy = 7
Bài 21. Giải hệ phương trình í 4 4 2 2
ïîx + y + x y = 21 70 3
ìïx + 2(x +1) = 3y + 2 y
Bài 22. Giải hệ phương trình sau trên R: í 2 3 ï x - y y = 2 î Hướng dẫn giải: 3 2
Cộng hai phương trình vế theo vế thu được phương trình 3 2
x + 3x + 2x = y + 3 y + 2 y Xét hàm số 3 2
f (x) = x + 3x + 2x với x Î R Ta có 2
f '(x) = 3x + 6x + 2 > 0 nên hàm số đồng biến
nên từ f (x) = f ( y) Þ x = y
từ đó thay vào giải ra được x = y =1 hoặc x = 1+ 3, y = 4 + 2 3 . ìx, y > 0 ï
Bài 23. Tìm tất cả các số thực x, y thỏa hệ: íx + y = 2 . ï 1+ 1 + î x y x y ³1 Hướng dẫn giải:
Ta chứng minh nếu các số x, y thỏa mãn hai điều kiện đầu thì x 1 + y 1 + x y £1Û (x + ) 1 ln x + ( y + ) 1 ln y £ 0
Thay y = 2 - x, ta chứng minh: f (x) = (x + )
1 ln x + (3- x)ln(2 - x) £ 0 với 0 < x < 2
Ta có f (x) = x - ( - x) 1 1 ' ln ln 2 + + x - 2 x 2 1 1 é 1 1 ù 1 1 1 æ 1 1 ö (x - )2 1 æ 1 1 ö f ''( x) = + - ê + ú £ + - + = - + £ 0 2 ç ÷ ç ÷
x 2 - x êë x (2- x)2 ú x 2- x 2 è x 2- x ø
x (2 - x) è x 2 - x ø û
Do đó f ¢(x)nghịch biến trên (0;2),hơn nữa f ¢( )
1 = 0nên f '(x)nhận giá trị dương trên (0 ) ;1 và âm
trên (1;2).Suy ra f (x) £ f ( )
1 = 0với mọi xÎ(0;2).
Từ đó, hệ phương trình có nghiệm x = y = 1. 3 ìïy ( 2 3x + 2x - ) 1 + 4y = 8
Bài 24. Giải hệ phương trình sau: í (x, yÎ! ) 2 3 2 2
ïîy x + 4y x - 6y + 5y = 4 Hướng dẫn giải:
+) y = 0 không thỏa mãn hệ. ì 4 8 2 3x + 2x -1+ = (1) ï 2 3 ï y y
+) Xét y ¹ 0 , hệ tương đương í 4 6 3 ïx + 4x + 5+ = 2 ïî y y 71 3 8 6 æ 2 ö 2
Cộng vế với vế ta được 3 2
x + 3x + 6x + 4 = + Û (x + )3 1 + 3( x + ) 1 = + 3. 3 ç ÷ y y è y ø y Xét hàm số: 3 2
f (t) = t + 3t; f (
¢ t) = 3t +3 > 0 "t ÎR 2
Do đó f (t) là hàm số đồng biến trên ! , suy ra x +1= y
Thế vào (1), kết hợp x ¹ 1
- , ta được (x + )( x - )+(x + )2 = (x + )3 1 3 1 1 1 Û (x - )2 1 = 1 ìx = 1 Do đó í là nghiệm của hệ. î y = 1 3 ì x + 5 - y =1 ï
Bài 25. Giải hệ phương trình: í x -1 3 3 2
x - 3x - y - 6y - 9y - 2 + ln = 0 ï î y +1 Hướng dẫn giải:
Điều kiện: y ³ 0; x > 1.
Ta biến đổi phương trình thứ hai tương đương với: 3 2 3 2
(x -1) + 3(x -1) + ln(x -1) - (y +1) -3( y +1) - ln( y +1) = 0 Nhận thấy hàm số 3 2
f (t) = t + 3t + ln t đồng biến trên khoảng (0;+¥)
nên ta có x -1 = y +1 Û x = y + 2
Thế vào phương trình đầu ta có cặp nghiệm duy nhất của hệ phương trình là x = 3 và y = 1 Dạng 4: Đánh giá 5 4 2
ìx - x + 2x y = 2 ï Bài 1.
Giải hệ phương trình sau: 5 4 2
íy - y + 2y z = 2 ï 5 4 2
z - z + 2z x = 2 î Hướng dẫn giải
Nhận thấy x = y = z =
1 là một nghiệm của phương trình. Ta chứng minh hệ có nghiệm duy nhất.
Giả sử x > 1(*) khi đó 5 4 2 5 4 2
z - z + 2z x > z - z + 2z 5 4 2
Û z - z + 2z - 2 < 0 Û ( 4 z + ) 1 ( z - ) 1 < 0 Û z < 1 Với z < 1 ta có 5 4 2 5 4 2
y - y + 2y z < y - y + 2y 5 4 2
Û y - y + 2y - 2 > 0 Û ( 4 y + ) 1 ( y - ) 1 > 0 Û y > 1 72 Với y > 1 ta có 5 4 2 5 4 2
x - x + 2x y > x - x + 2x 5 4 2
Û x - x + 2x - 2 < 0 Û ( 4 x + ) 1 ( x - ) 1 < 0 Û x < 1
Suy ra x < 1 mâu thuẫn (*).
Tương tự giả sử x < 1 ta cũng dẫn đến điều vô lý.
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x = y = z = . 1 2 2
ì4x + 2xy + x + 6 xy - y + y =15(1) ï Bài 2. Giải hệ phương trình 3 3 í 6(x + y ) 2 2 ïx +
- 2(x + y ) = 3(2) 2 2 î
x + xy + y Hướng dẫn giải ìxy ³ 0 Điều kiện í . 2 2
îx + y + xy ¹ 0
Nếu x = 0 hoặc y = 0 thì hệ vô nghiệm. ìx £ 0 Nếu í
(x,y không đồng thời bằng 0) thì vế trái của (2) âm, phương trình (2) không thoả mãn. î y £ 0 Do đó x > 0, y > 0.
Vì 2 xy £ x + ynên từ phương trình (1) suy ra 2 2 2 2
15 = 4x + 2xy + x + 6 xy - y + y £ (2x + y) + x + 3(x + y) - y =(2x + y) + 4x + 2y 2
Þ (2x + y) + 2(2x + y) ³15Þ 2x + y ³ 3 (3) 2 2 2 2 3 3 3 3 x + y 3(x + y ) 3(x + y ) 2(x + y ) Mặt khác, ta có 2 2 xy £
Þ x + xy + y £ Þ ³ . (4) 2 2 2 2 2 2
x + xy + y x + y 3 3 2(x + y ) Ta chứng minh rằng: 2 2
³ 2(x + y )(5). 2 2 x + y
Thật vậy bất đẳng thức (5) tương đương 3 3 2 2 2 3
2(x + y ) ³ (x + y ) 6 6 3 3 4 2 2 4
Û x + y + 4x y ³ 3x y + 3x y (6)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: 6 3 3 3 3 3 12 6 4 2
x + x y + x y ³ 3 x y = 3x y 6 3 3 3 3 3 6 12 2 4
y + x y + x y ³ 3 x y = 3x y
Cộng vế với vế hai đẳng thức trên ta được (5), từ đó suy ra (5) 73 3 3 3(x + y ) Từ (4) và (5) suy ra: 2 2 ³ 2(x + y ) 2 2
x + xy + y
Kết hợp với phương trình (2) và lưu ý rằng 2 2
2(x + y ) ³ x + y, ta được: 3 3 6(x + y ) 2 2 2 2 3 = x +
- 2(x + y ) ³ x + 2(x + y ) ³ x + (x + y) = 2x + y (7) 2 2
x + xy + y
Từ (3) và (7) suy ra 2x + y = 3 và x = y ta được x = y = 1 (thoả mãn các điều kiện của bài toán). Vậy
hệ có nghiệm duy nhất là (1;1). ìïy +(4x - )2 2 3 1 = 4x (8x + ) 1 Bài 3.
Giải hệ phương trình sau: í (I ) 2
ïî40x + x = y 14x -1 Lời giải. 1 æ 2 ö ĐK: x ³
. Đặt t = 4x t ³ . ç ÷ 14 è 7 ø ìy + (t - )2 2 3 1 = t (2t + ) 1 ( ) 1 ( ï I ) Û í 5 t 7 2 ï t + = y t -1(2) î2 4 2
Nhận xét: từ (2) ta có: y > 0 2t +1 2t + +1 2t +1 1
Ta có: 3 t (2t + ) 2 3 1 = 2t. .1 £ = t + 2 3 2 1 1
Do đó, từ (1) suy ra: y + (t - )2 2 2 2
1 £ t + Û y £ t - + 3t - (3) 2 2 2 7 y + t -1 7 Ta có: 2 y t -1 £ 2 2 2 7 y + t -1 5 t Do đó, từ (2) suy ra: 2 2 2 2 t + £
Û 5t -3t +1£ y (4) 2 4 2 1 Từ (3) và (4) suy ra: 2 2
5t - 3t +1 £ t - + 3t - 2 3 3
6t - 6t + £ 0 Û (2t - )2 1 1 1 2
1 £ 0 Û t = Û 4x = Û x = . 2 2 2 2 8 1
Thay x = vào hệ (I ) ta có: 8 ì 1 ì 3 ì 2 2 3 y + = 1 y = ï ï ïy = ± ï 4 ï 4 ï 2 3 í Û í Û í Û y = 3 3 3 ï ï ï 3 2 y = y = y = ïî 2 4 ïî 2 ïî 2 74 æ ö
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất: (x y) 1 3 ; = ç ; ÷. ç 8 2 ÷ è ø 2 2 ìx - 2y =1 ï Bài 4. Giải hệ phương trình: 2 2
í2y - 3z = 1 ( x, y, z Î ! )
ïxy + yz + zx =1 î Lời giải
+) Nếu x = 0 thay vào hệ ta có hệ vô nghiệm.
+) Nếu x ¹ 0 ta đặt y = a ;
x z = bx thay vào hệ ta được 2 ìx ( 2 1- 2a ) =1 ï 2 2 2 2 2 ( )ï 1
ìï - 2a = 2a -3b ìï4a -3b =1 2 1 íx ( 2 2
2a - 3b ) =1 Þ í Û í 2 2 1 ï
ïî - 2a = a + ab + b ï2a + a -1+ î b(a + ) 1 = 0 2
ïx (a + ab + b) = 1 î éìa = 1 - êí 2 2 2 2 ìï4a -3b =1 ìï4a -3b =1 êîb = 1 ± Û í Û í Û ( ï a + î
)1(2a - )1+b(a + ) 1 = 0 ( ï a + î ) 1 (2a -1+ b) = 0 êìb =1- 2a êí 2
êëî2a -3a +1= 0 ìa = -1 +) Nếu í
thay vào (1) không thỏa mãn îb = ±1 éìa =1 êíb ìb = - a êî = 1 - 1 2 ì ì 1 a = 1 ïa = +) Nếu í Û ê thay í
vào (1) không thỏa mãn, thay í 2 2 ì 1 î2a - 3a +1 = 0 êïa = îb = 1 - ï êí 2 îb = 0 êï ëîb = 0 æ ö æ ö
vào (1) ta có x = ± 2 . Do đó nghiệm của hệ là (x y z) 1 1 ; ; = 2; ;0 , - 2; - ;0 ç ÷ ç ÷ è 2 ø è 2 ø Bài 5.
Giải hệ phương trình sau:
ì2log (2x + 3y) = log (2 + 2x + 3y) 7 3 ï í (x, y Î ! ). 7 27 2 4
2 27x + 26x + 3y + =1+ x + 6 ï î 3 2 Lời giải
Đặt t = log (2x + 3y), phương trình (1) trở thành: 7
log (7t + 2) = 2 Û 9t = 7t t + 2 Û ... Û t = (S
1 ử dụng tính chất đơn điệu) 3
Û 2x + 3y = 7 Û 3y = 7 - 2x (3) 75
Thế (3) vào (2) ta được: 2 28 27 (9x + 4) 3(9x + 4) 2 4 4 2. 27x + 24x + =1+ x + 6 Û 2. + 4 =1+ (4) 3 2 3 2
Đặt t = 9x + 4 (t ³ 0). Phương trình (4) trở thành: 2 2 t 3t t 3t 4 2. + 4 =1+ Û 4. + 4 =1+ + 6t (5) 3 2 3 2 + 6
Áp dụng bđt AM – GM ta có: 6 £ t t 2 2 t Từ (5) ta có: 2 2 2 4.
+ 4 £ 2t + 4 Û 4t + 48 £ 3t +12t +12 Û (t - 6) £ 0 Û t = 6. 3 2 59 æ 2 59 ö
Từ đó x = Þ y =
. Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất ( ; x y) = ; . ç ÷ 9 27 è 9 27 ø Bài 6. Giải hệ phương trình : 4 4
ìx + 9y - 6 3xy = 4 - ï 2 í
( x Î R, y Î R ) x xy 5 2 + y + = ï 3 î 3 + 3xy 6 Lời giải
Đặt : 3y = z Ta có : 4 4 2 2
x + z ³ 2x z ,suy ra : 1 £ t = xz £ 2 xz xz
Xét vế trái của phương trình (2) 2 2 x + z + ³ 2xz + 1+ xz 1+ xz t 1
f (t) = 2t +
,t Î[1;2] (t = xz), suy ra 'f(t) = 2 + > 0,"t Î[1;2] 1+ t (1+t)2 5 1
f (t)là hàm số đồng biến trên (1;2) , suy ra : f (t) ³ f (1) = ,suy ra VT = f (t) ³ 5 2 3 6 1 1
Dấu bằng xẩy ra khi t = 1, suy ra : x = 1; y = hoặc x = 1 - ; y = - . 3 3 Bài 7.
Giải hệ phương trình sau: 2 2 ìx + 2x xy = ï y y í 2 ; x, y Î ! ( 3 3 2 ï 4x + y + 3 î x
x )(15 x + y) = 3 x ( y y + x y + 4x x ) Lời giải 76
Điều kiện: x ³ 0, y ³ 0.
Đặt a = x,b = y ( a ³ 0,b ³ 0). Hệ phương trình đã cho trở thành 4 3 5
ìa + 2a b = b ( ) 1 ï í (ï4a +b +3 î
a )(15a +b ) = 3a(b + a b + 4a )2 6 6 5 2 3 2 3 (2)
Nhận xét: a = 0 Þ b = 0; b = 0 Þ a = 0. Do đó ( ,
a b) = (0,0) là một nghiệm của hệ.
Bây giờ ta xét a > 0,b > 0. Đặt b = ka Þ k > 0 . Với cách đặt này thì • 1+ 2
Phương trình (1) trở thành: 5 1+ 2 = Û = k k ak a (3) 5 k
• Phương trình (2) trở thành: ( a + a k + a )( a + k a ) = a(k a + a k + a )2 6 6 6 5 2 2 2 3 3 3 3 4 3 15 3 4 (4) 5 æ 3k öæ 1+ 2k 2 ö
Thay (3) vào (4) ta được: 6 4 ç + k + 5 ÷ + = ç ÷ ( 3 k + k + 4 3 ) (5) è 1+ 2k øè 3k ø
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz cho vế trái của (5) ta được: 2 5 5 æ 3k öæ 1+ 2 æ k ö 3k 1+ 2 ö k 6 4 ç + k + 5 ÷ + ³ ç ÷ ç 5( 6 4 + k + . ÷ 3 ) 3 è 1+ 2k øè 3k ç ø 1+ 2k 3k ÷ è ø = ( ( + )( +k ) 2 2 2 6 2 1 4
+ k ³ 4 + k + k ) ( )2 3
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi k = 1. Khi đó a = b = 3 hay x = y = 9.
Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm ( ; x y) là (0;0),(9;9). 2 2
ì4x + 4xy + x + 6 xy - y + y =15(1) ï Bài 8. Giải hệ phương trình 3 3 í 6(x + y ) 2 2 ïx +
- 2(x + y ) = 3(2) 2 2 î
x + xy + y Bài giải ìxy ³ 0 Điều kiện í 2 2
îx + y + xy ¹ 0
Nếu x = 0 hoặc y = 0 thì hệ vô nghiệm ìx £ 0 Nếu í
(x,y không đồng thời bằng 0) thì vế trái của (2) âm, phương trình (2) không thoả mãn. Do î y £ 0
đó x > 0, y > 0. 1.0 đ 77
Vì 2 xy £ x + ynên từ phương trình (1) suy ra 2 2 2 2
15 = 4x + 4xy + x + 6 xy - y + y £ (2x + y) + x + 3(x + y) - y =(2x + y) + 4x + 2y 1.0 đ 2
Þ (2x + y) + 2(2x + y) ³15Þ 2x + y ³ 3 (3) 2 2 2 2 3 3 3 3 x + y 3(x + y ) 3(x + y ) 2(x + y ) Mặt khác, ta có 2 2 xy £
Þ x + xy + y £ Þ ³ . (4) 2 2 2 2 2 2
x + xy + y x + y 3 3 2(x + y ) Ta chứng minh rằng: 2 2
³ 2(x + y )(5). 1.0 đ 2 2 x + y
Thật vậy bất đẳng thức (5) tương đương 3 3 2 2 2 3
2(x + y ) ³ (x + y ) 6 6 3 3 4 2 2 4
Û x + y + 4x y ³ 3x y + 3x y (6)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: 6 3 3 3 3 3 12 6 4 2
x + x y + x y ³ 3 x y = 3x y 6 3 3 3 3 3 6 12 2 4
y + x y + x y ³ 3 x y = 3x y
Cộng vế với vế hai đẳng thức trên ta được (5), từ đó suy ra (5) 3 3 3(x + y ) Từ (4) và (5) suy ra: 2 2 ³ 2(x + y ) 2 2
x + xy + y
Kết hợp với phương trình (2) và lưu ý rằng 2 2
2(x + y ) ³ x + y, ta được: 3 3 6(x + y ) 2 2 2 2 3 = x +
- 2(x + y ) ³ x + 2(x + y ) ³ x + (x + y) = 2x + y (7) 2 2
x + xy + y
Từ (3) và (7) suy ra 2x + y = 3 và x = y ta được x = y = 1 (thoả mãn các điều kiện của bài toán). Vậy
hệ có nghiệm duy nhất là (1;1) ì 3 3 ï
y (2x - y) 2 + x ( 2 2 5y - 4x ) 2 = 4y Bài 9.
Giải hệ phương trình: í ( x, y Î ! ). 2
ï 2 - x + y +1 + 2 = x + y î Hướng dẫn giải
Điều kiện: x £ 2 , y ³ - ; 1 3
y (2x – y) ³ 0 ; 2 2 5y – 4x ³ 0.
+) Sử dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số không âm ta có: 2 2 + - 3 2
y (2x - y) = 2 y ( 2
2xy - y ) £ y xy y 2 ( + - 2 2 5y - 3x 5 - 4 ) 2 2 2 5 4 2 2 2 £ x y x x y x = 2 2 78 2 2 5y - 3x Suy ra: 3 3 +
y (2x - y) 2 x ( 2 2
5y - 4x ) £ 3xy + 2 2 2 5y - 3x Vì vậy, ta phải có: 2 4y £ 3xy + Û (x y)2 3 – £ 0 Û x = y. 2
Vậy phương trình đầu tương đương với x = y.
Thay x = y vào phương trình thứ hai của hệ ta được: 2 - x + x +1 2 2 + = x + x (*).
Do 2 - x + x +1 > 0 nên ta phải có: 2
x + x – 2 > 0 Þ x > 1 ( do x ³ - ). 1
Khi đó phương trình (*) tương đương với: 2
x – x +1+ (x – 1 – 2 - x )+ x - x +1 = 0 Û ( æ 1 1 ö 2 x – x – ) 1 1+ + = 0. ç ÷ è x -1+ 2 - x x + x +1 ø æ ö 2 Û 1 1
x – x –1 = 0 do1 + + > 0 ç ÷ è x -1+ 2 - x x + x +1 ø é 1+ 5 ê x = ( t / m) + ó 2 ê Þ 1 5 x = y = . ê 1- 5 2 êx = ë 2 æ1+ 5 ö
Vậy hệ có nghiệm duy nhất ( ; x y) = ç ÷. ç 2 ÷ è ø
Bài 10. [Đề hsg Dương Xá,2008-2009] Giải hệ phương trình sau: 2 2
ìï x + x + y +1+ x+ y + x+ y +1+ y =18 í 2 2
ï x + x + y +1 - x + y + x + y +1 - y = 2 î Lời giải 2
ìïx + x + y +1³ 0 Điều kiện í 2
ïîy + x + y +1³ 0
Cộng và trừ từng vế tương ứng của hệ phương trình trên ta được 2 2
ìï x + x + y +1 + y + x + y +1 =10 í ïîx + y = 8
Thế y=8-x vào phương trình trên ta được 2 2
x + 9 + x -16x + 73 =10 79 Û 2 2 2
(x + 9)(x -16x + 73) = -x +8x + 9 Û 2 2 2 2
(x + 3 ) é(x -8) + 3 )ù = 9 + x(8 - x) (1) ë û ® ®
Trong hệ trục tọa độ xét a(x;3); b(8 - ; x 3) ® ®
Khi đó | a |.| b |= 2 2 2 2
(x + 3 ) é(x -8) + 3 )ù ë û ® ®
a . b = 9 + x(8 - x) ® ® ® ®
Pt (1) tương đương với | a |.| b |= a . b (2) ® ® ® ®
Ta có | a |.| b | ³ a . b ® ® ® ® ®
Khi đó (2) xảy ra khi và chỉ khi hoặc a = 0 hoặc b = 0 (không xảy ra) hoặc a cùng ® 8 - x hướng b suy ra =1 > 0 Û x=4. x
KL: Nghiệm của hệ là (4;4)
Bài 11. [Đề chọn hsg tỉnh Trà Vinh, 2014-2015] Giải hệ phương trình :
ì x + y + x - y £ 2 1/ í 2 2 î x + y = 1 ì x +1 + y +1 = 3 ï 2/ í
ï x + ( y - 4)2 + 5 = 5 î
Bài 12. [Đề xuất Chuyên Biên Hòa, DHĐBBB 2015-2016]Giải hệ phương trình
ïìx6 + 2x3 -10 y2 = xy - x2 y2 í ïî4x3(2y + )
1 - 28y2 + 3 = 2 x2 + ( 4 y2 + ) 1 - 4xy Lời giải 2 2
ïìxy - x y ³ 0 0 ì £ xy £ 1 Điều kiện : í Û í Û 0 £ xy £ 2 ïîx + ( 4 2 y + ) 1 - 4xy ³ 0 (îx - 2y) 1 2 + 4 ³ 0 1 2 1 æ 1 2 2 ö 1 2 2 1
Ta có : xy - x y = - ç xy - ÷ £ Ü xy - x y £ ( dấu = xảy ra khi xy = ) 4 è 2 ø 4 2 2 Do đó từ (1) Þ 2 6 x + 4 3 x - 20 2
y £ 1 (3) Từ (2) và (3) ta suy ra : 8 3 x y + 4 3 x - 28 2 y + 4 ³ 2 6 x + 4 3 x - 20 2
y + 2 (x - 2y)2 + 4 Û 8 3 x y + 4 ³ 2 6 x + 8 2
y + 2 (x - 2y)2 + 4 80 Û 4 3 x y + 2 6 ³ x + 4 2
y + (x - 2y)2 + 4
Û 2 ³ (x - 2y)2 3
+ (x - 2y)2 + 4 (4)
Ta lại có (x - 2y)2 3
+ (x - 2y)2 + 4 ³ 2 ì ìx = 1 ìx = -1 3 x - 2y = 0 ìx = 0 ï ï Do đó (4) Û í Û í hoặc í 1 hoặc í 1 îx - 2y = 0 îy = 0 ïy = y = - î 2 ïî 2 ìx = 1 ï
Thử lại ta thấy chỉ có í 1 là nghiệm của hpt.0,5 ïy = î 2
Bài 13. Giải hệ phương trình: Hướng dẫn giải Đặt 3 2 3 2
f (t) = 2t + 9t + 12t ; g(t) = t + 3t + 4t + 15 . Ï f
Ô (x)= g (y) 3 2 3 2 Ô
ì2x + 9x +12x = y + 3y + 4y +15 Ô ï Hệ trở thành:Ì f
Ô (y)= g(x). 3 2 3 2
í2y + 9y +12y = z + 3z + 4z +15 Ô Ô
Ôf (z)= g (x) ï 3 2 3 2 Ô Ó
2z + 9z +12z = x + 3x + 4x +15 î Ta có g¢(t) 2
= 3t + 6t + 4 > 0 với mọi t nên hàm g đồng biến. ìx ³ y
ìïg (x) ³ g ( y)
ìïg (x) ³ f (x) Giả sử x = max( , x y, z) thì í hay í suy ra í î x ³ z
ïîg (x) ³ g (z)
ïî f (z) ³ g (z).
ìx + x + x + ³ x + x + x ( ì x - ) 1 ï ( 2 3 2 3 2 x + 7x +15) £ 0 3 4 15 2 9 12 Hay í Û í * . 3 2 3 2
î2z + 9z +12z ³ z + 3z + 4z +15 ï( z - ) 1 î
( 2z +7z -15) ( ) ³ 0 Do 2 2
x + 7x +15 > 0" ,
x z + 7z -15 > 0"z nên từ (*)ta có x £ 1 £ z.
Lại theo giả sử ở trên, x = max( ,
x y, z) nên x = z =1.Thế vào hệ phương trình ban đầu ta được y = 1.
Thử lại thấy x = y = z = 1 là nghiệm.
Kết luận:Hệ đã cho có nghiệm duy nhất x = y = z = 1. 3
ì x + 2 = cos y + cos z ï
Bài 14. Giải hệ phương trình : 3
í y + 2 = cos z + cos x 3
ï z + 2 = cos x +cos î y (Chưa giải) 81 2. Có tham số 3 3 2
ìx - y + 3y -3x - 2 = 0 (4) ï Bài 1.
Tìm m để hpt sau có nghiệm thực: í 2 2 2
ïx + 3 1- x - 2 2y - y + m = 0 (5) î Hướng dẫn giải ì 1 - £ x £1 Điều kiện: í . î0 £ y £ 2
Phương trình (4) Û x - x = ( y - )3 3 3 1 -3( y - ) 1 . Xét hàm số 3
f (t) = t - 3t, với t Î[ 1 - ;1 .] 2
f '(t) = 3t -3 £ 0,"t Î[ 1 - ; ] 1 .
Þ f(t) là hàm số nghịch biến trên [ 1 - ; ]
1 (vì nó liên tục trên đoạn này).
Suy ra: x = y - . 1
Thay vào phương trình (5) ta được: 2 2
x + 1- x + m = 0. Đặt 2
u = 1- x , u Î[0 ]
;1 . Ta có phương trình: g(u) = 2
u - u -1 = m 5
min g(u) = - ;max g(u) = - . 1 [0; ]1 4 [0; ]1 5
Suy ra hệ phương trình đã cho có nghiệm Û - £ m £ - . 1 4 2 2 ìïx + y = 4 Bài 2.
Tìm m để hpt có nghiệm í 2
ïîx - y = m ìx ³ m 2 2 2 ìïx + y = 4
ìïy = x - m ï • í Û í
Û íy = ± x - m 2 2
ïîx - y = m
ïîx - x - (m + 4) = 0 ï 2
x - x - (m + 4) = 0 î
• Do đó hệ có nghiệm khi chỉ khi phương trình:f(x) = x2 + x – (m + 4) = 0 có nghiệm trong [m;+¥) (*) - ± m + • 1 4 17 -17
f(x) = 0 có D = 4m + 17 nên f(x) = 0 có nghiệm x = khi m ³ . 2 4 • 1 - + 4m +17 Do đó: (*) Û m £
Û 2m +1£ 4m +17 2 ì 1 ì2m +1 £ 0 17 1 ïm>- • 17 Û í Û - £ m £ - hay í 2 Û - £ m £ 2 2
î4m +17 ³ (2m +1) 4 2 4 ïî 2 - £ m £ 2
Một số cách giải khác: 82 2 2 2 ìïx + y = 4
ìïy = x - m • Cách 2: í Û í (I) 2 2
ïîx - y = m
ïîx - x - (m + 4) = 0(*)
Hệ (I) có nghiệm Û x2 + x – (m + 4) = 0 có nghiệm trên [-2;2].
Dựa vào đồ thị parabol (P) y = x2 + x – 4 trên [-2;2], và đường thẳng y = m suy ra kết quả.
• Cách 3: Giải theo tam thức bậc hai....
ìï x +1+ y -1 = a Bài 3.
Tìm a để hệ phương trình sau có nghiệm í .
ïîx + y = 2a +1 Hướng dẫn giải Điều kiện x ³ 1 - ; y ³1. ì x +1 + y -1 = ï a
Hệ phương trình tương đương (íï x+1 î
)2 +( y-1)2 = 2a+1 ì x +1 + y -1 = ï a Û í . 1 2
ï x +1 + y -1 = éa - (2a + ) 1 ù 2 ë û î
Do đó x +1 và y -1 là nghiệm của phương trình 1 2 2
T - aT + éa - (2a + ) 1 ù = 0 (*) 2 ë û
Để hệ trên có nghiệm khi phương trình (*) có 2 nghiệm không âm ì 2 ìD ³ ïa - 2( 2 a - 2a - ) 1 ³ 0 0 ï ï
Û íS ³ 0 Û ía ³ 0
Û 1+ 2 £ a £ 2 + 6 . ïP 0 ï ³ 1 î ï ( 2 a - 2a - ) 1 ³ 0 î2 2
ìïu = x -1 ³ 0 Þ x = u +1 Đặt í 2
ïv = y -1 ³ 0 Þ y = v +1 î
ìï2x + y -1 = m Bài 4. Tìm m để hệ: í có nghiệm.
ïî2y + x -1 = m Hướng dẫn giải 2
ìïu = x -1 ³ 0 Þ x = u +1 +) Đặt í 2
ïv = y -1 ³ 0 Þ y = v +1 î 83 2
ìï2u + v + 2 = m +) Đưa về hệ: í (**) 2
ïî2v + u + 2 = m
+) Điều kiện để hệ (**) có nghiệm m ³ 2
Ta xét m ³ 2 hệ có nghiệm hay ko éìu - v = 0 êí (I ) 2
êî2u + v + 2 = m
Biến đổi hệ (**) trở thành:
êì2u + 2v -1= 0 êí (II ) 2
êëî2u + v + 2 = 0 2 - m
+) Xét hệ (I): u=v ta được 2v2+v+2-m=0 có P =
£ 0 với m ³ 2 PT luôn có nghiệm v ³ 0 Þhệ 2 0
có nghiệm u=v=v 2
0 suy ra hệ ban đầu có x=y=vo +1
+) Xét hệ (II): ……….
ìïa(x - a)2 (x-2 2)+1£ 0 Bài 5.
Tìm tham số a để hệ sau có nghiệm: í .
ïîx > a > 0 Lời giải
ìïa(x -a)2 (x- )+ £ (
ìï x - a)2 ax -
a (x - a)2 2 2 1 0 2 2 +1£ 0 í Û í
ïîx > a > 0
ïîx > a > 0 ì 1 ì1 x + £ 2 2 (x -a) 1 + (x - a) 1 + a + £ 2 2 1 ï 2 ï 2 ( ) Û í (x -a) a Û 2 2 í (x -a) a ï
îx > a > 0
ïx > a > 0 î (2)
Do (2)nên x - a và a là hai số dương,áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho 4 số dương ta được: 1 (x-a) 1 + (x - a) 1 1 4 + a + ³ 4 = 2 2 3 2 ( ) 2 2 (x -a) a 4 ì 3 2 ïx = 1 1 ï
Do đó (1)chỉ đúng khi dấu đẳng thức xảy ra tại (3)tức là: ( x - a) 2 = a = Û í 2
(x - a)2 a ï 2 a = ïî 2 2 3 2
Vậy hệ có nghiệm khi và chỉ khi a =
và nghiệm của hệ là: x = 2 2 Bài 6.
Tìm giá trị lớn nhất của tham số m để cho hệ phương trình sau có nghiệm: 84 2 2
ìx + xy + y = m ï 2 2 2
íy + yz + z = m (x, y, z Î ! ). ï 3
xy + yz + zx = î m Hướng dẫn giải y 3 3 1
+ Đặt: X = x + ; Y = y; Z =
( y + z); T = (z - y). 2 2 2 2 3 Ta đ ược: 2 2 2 2
x + xy + y = X +Y ; 2 2 2 2
y + yz + z = Z +T ;
(xy + yz + zx) = XZ + YT . 2 ì 2 2
ïX +Y = m ïï Do đó ta có hệ 2 2 2
íZ + T = m . ï 3 3 ïXZ +YT = ï m î 2 + Chú ý: 2 2 2 2 2 2
(X +Y )(Z +T ) = (XZ +YT) + (XT -YZ) .
Do đó:Hệ đã cho có nghiệm thì: 2 æ 3 ö 4 4 2 3 3 3 3 . m m ³ ç
m ÷ £ m (m - ) £ 0 Þ 0 £ m £ ç 2 ÷ 3 3 è ø 4 Suy ra: 3 m £ . 3 ìXT = YZ (1) ï 4 ï 3 + Xét 3 m = .Ta có hệ: 3 íXZ +YT = m (2) 3 2 ï 2 2 2
ïZ +T = m (3) î 3
Từ (1)có thể đặt X = uZ, Y = uT ,thay vào (2)và (3)ta có: u = m. 2 ì 3 ì 2m + 3 ïX = mZ x = y 2 ï ï 2 ï m ï 3 ï m + 2 4
Do đó ta có hệ: íY = mT hay íz = y với 3 m = . 2 ï ï m 3 2 2 2 2
ïZ +T = m ï m 2 ï ïy = 2 î 3m + 4m + 4 ïî 4
+ Từ đó:Đáp số của bài toán là 3 m = . 3 85 ìåpx = 4 ï i i 1 = ï ï p Bài 7. a/ Tìm * p Î • sao cho hệ 1 - íå x = 4 có nghiệm. 1 i 1 = ï
ïx > 0,"iÎ1, ï p i î a
b/ Với p tìm được ở câu a/, hãy xác định tập hợp tất cả các giá trị của tổng: với ai åp i 2 i - 1 = 1 ai > 0 và 2 åpa =1. i i 1 = Hướng dẫn giải Câu a æ p ö æ p 1 ö Do: 2 16 = å x . ç p p i ÷ ç å ÷ ³ Þ £ 4.
è i 1= ø è i 1= xi ø
p = 4 : Khi đó: x =1,i 1
Î ,4.Vậy hệ có nghiệm. i ìx + x = 3
p = 3: Chọn x =1 và 2 3 í
có nghiệm.Nên (x , x , x ) là nghiệm của hệ. 1 x .x = 1 î 1 2 3 2 3 ìx + x = 4 p = 2 : 1 2 í
có nghiệm.Nên (x , x )là nghiệm của hệ. x .x = 1 î 1 2 1 2 p =1:Vô nghiệm.
Vậy hệ có nghiệm khi p = 2; p = 3; p = 4. Câu b 2 a
Ta có: f (a , a ,..., a ) = . p åp i 1 2 2 i a - 1 = (1 a ) i 1 1 2 Xét hàm: 2
g(x) = x(1- x ),0 < x <1; g '(x) = 0 Û x =
. Ta có: max g(x) = . 3 (0;1) 3 3 3 3 3 3 p Do đó: 2
f (a , a ,..., a ) ³ a =1 hay p = 3. p åp =
. Dấu đẳng thức xảy ra khi: 1 2 2 i i 1 = 2 3 a a 1 1 1 2
p = 2 : f (a , a ) = + ³ 2 ³ 2 2 vì 2 2 a + a = .D
1 ấu đẳng thức xảy ra khi a = a = , 1 2 2 2 a a a .a 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 a 1- a 1 1
f (a , a ) = +
liên tục trên (0;1).Khi a ® 0 thì f (a , a ) ® +¥.Vậy p = 2,tập giá trị là: 1 2 2 2 1- a a 1 1 2 1 1 é2 2;+¥ ë ). 1
p = 3: Chọn a = 1- 2x ; a = x ; a = x , 01 2 3 2 86 1- 2x x x 1 2 2 2
a + a + a = 1- 2x + x + x = 1. f (a , a , a ) = + +
= g(x) liên tục trên (0; ); 1 2 3 1 2 3 2x 1- x 1- x 2 æ 1 ö 3 3 é3 3 ö g =
, limg(x)=+¥.Vậy tập giá trị là: ê ;+¥ ÷. ç ÷ x 0 è 3 ø 2 ® 2 ÷ ë ø 3 3
p = 4 : f (a , a ,..., a ) >
. Chọn a = 1- 2x ; a = x ; a = x , a = x thỏa giả thiết: 1 2 p 2 1 2 3 4 2 2 2 2 1
a + a + a + a = 1- 3x + x + x + x = 1 với 0 < x < ; 1 2 3 4 3 1- 2x x x x 1
f (a , a , a , a ) = + + + = g(x) liên tục trên (0; ) ; 1 2 3 4 2x
1- x 1- x 1- x 3 3 3 é3 3 ö lim g(x) =
; lim g(x) = +¥ .Tập giá trị là: ê ;+¥ ÷ . 1 x 0 ÷ x 2 ® ® 2 ë ø 3 Bài 8.
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hệ sau có nghiệm thực: 2 ì 4x 2 ïx + ³ 5 2 í (x + 2) ï 4 2
îx + 8x +16mx + 32m +16 = 0 (Chưa giải) Bài 9.
Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất: 2 3 ì x - m y +1 =1 ï í 1 . 2 x + y + = ï m 2 y + y +1 î (Chưa giải)
Bài 10. (THPT Quảng Xương 2 – Thanh Hóa, 2009-2010) Tìm các giá trị của m để hệ phương trình sau có nghiệm ( ;
x y) sao cho x > 0, y > 0 ( ì ï x y)æ 1 ö + 1+ = 5 ç ÷ ï è xy ø í (ï æ 1 ö 2 2 x + y ) 1+ = 2m -1 ç 2 2 ÷ ïî è x y ø Hướng dẫn giải 1 1 ìu + v = 5
Đặt u = x + ;v = y + hệ trở thành í x y 2 2
îu + v = 2m + 3
Từ hệ suy ra uv = - m +11 khi đó u, v là nghiệm của phương trình: 87 2
X - 5X – m +11 = 0 ( ) * .
Do x > 0, y > 0 nên u ³ 2, v ³ 2.
Bài toán trở thành tìm m để phương trình (*) có hai nghiệm lớn hơn hoặc bằng 2 .
Đặt t = X - 2 phương trình (*) trở thành: 2
t - t - m + 5 = 0 (* ) * .
Để pt (*) có hai nghiệm lớn hơn hoặc bằng 2 ↔ pt (**) có hai nghiệm không âm 19 Giải được: £ m £ 5. 4
Bài 11. Tìm giá trị của tham số a để hệ phương trình sau có đúng 1 nghiệm: 2 ìï
x + 3 + y = a í 2 2
ï y + 5 + x = x + 5 + 3 - î a 88