Chuyên đề phương trình, bất phương trình, hệ phương trình bồi dưỡng học sinh giỏi toán 11
Chuyên đề phương trình, bất phương trình, hệ phương trình bồi dưỡng học sinh giỏi toán 11 rất hay và có lời giải được viết dưới dạng PDF gồm 88 trang. Các bạn xem và download ở dưới.
Chủ đề: Tài liệu chung Toán 11 319 tài liệu
Môn: Toán 11 3.3 K tài liệu
Tác giả:
Preview text:
I. PHƯƠNG TRÌNH 1. Không có tham số
Dạng 1: Biến đổi tương đương
Câu 1. Giải phương trình 3 4 2 5 5 2 3 4 5 5
x + x + 2 x + x + 2 = x + 3x - 2 + 2 x + 3x Lời giải
+Biến đổi phương trình tương đương : 2 x - 3x + 2 = 0 éx =1 Û ê ëx = 2
Câu 2. Giải phương trình 2
4 x + 1 + 2 2x + 3 = (x - 1)(x - 2). Lời giải Điều kiện: x ³ 1 - . Nhận thấy x = 1
- là một nghiệm của phương trình. Xét x > 1
- . Khi đó phương trình đã cho tương đương với
( x + - ) + ( x + - ) 3 2 4 1 2 2 2
3 3 = x - x - 2x - 12 4( x - 3) 4( x - 3) 2 Û +
= (x - 3)(x + 2x + 4) x + 1 + 2 2x + 3 + 3 æ ö Û ( x - 3) 4 4 2 + - (x + 1) - 3 = 0. 1 ç ÷ ( ) è x + 1 + 2 2x + 3 + 3 ø 4 4 Vì x > 1
- nên x + 1 > 0 và 2x + 3 > 1. Suy ra + < 3, vì x + 1 + 2 2x + 3 + 3 vậy 4 4 2 + - (x + 1) - 3 < 0. x + 1 + 2 2x + 3 + 3 Do đó phương trình 1
( ) Û x - 3 = 0 Û x = 3.
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x = 1 - hoặc x = 3.
Câu 3. [Đề thi hsg Bắc Sơn, Lạng Sơn] Giải phương trình sau : 3 3 3 x +1 + x -1 = 5x Lời giải 1 3 3 3 3 2
x + 1 + x - 1 = 5x Û 2x + 3 x - 1(3 3 x + 1 + x - 1) = 5x 3 2 3 3 5
Þ x -1 5x = x Þ 4x - 5x = 0 Þ x = 0;x = ± . 2 5
Thˆ lπi ta th y ph≠¨ ng tr◊nh c„ 3 nghi÷m: x = 0; x = ± . 2
Câu 4. Giải phương trình: 2
x + x + = ( x + ) 2 6 1 2 1 x + 2x + 3( )
1 ,với x Î R. Hướng dẫn giải. ( ) 2
Û x + x + -( x + ) 2 1 2 3 2
1 x + 2x + 3 + 4x - 2 = 0 2 2 Û
x + 2x + 3 - 2x +1
x + 2x + 3 - 2 = 0 ( )( ) 2
é x + 2x +3 = 2x -1 Û ê 2
êë x + 2x +3 = 2 ì 1 ïx ³ 3 + 15 2
x + 2x + 3 = 2x -1 Û í 2 Û x = 3 2 3
ïî x -6x -2 = 0
Câu 5. Giải phương trình 2
3x - 2 - x +1 = 2x - x - 3. Hướng dẫn giải. 2x - 3 2
3x - 2 - x +1 = 2x - x - 3 Û = (2x -3)(x+1) 3x - 2 + x +1
Tìm được nghiệm duy nhất x=2/3
Câu 6. Tìm nghiệm nguyên của phương trình 2 2
x - 3y + 2xy - 2x -10y + 4 = 0. Hướng dẫn giải Ta có: 2 2
x - 3y + 2xy - 2x -10y + 4 = 0
Û x + 2x (y - ) 1 + (y - )2 2 1 - ( 2
4y + 8y + 4) == 7
Û (x + y - )2 -( y + )2 1 2 2 = 7 - Û (3y + x + )
1 (y - x +3) = 7
Vì 7 là số nguyên tố nên ta có các trường hợp sau: 3
ì y + y +1 = 7 3 ì y + y +1 = 7 - 3 ì y + y +1 =1 3 ì y + y +1 = 1 - í ; í ; í ; í
î y - x + 3 = 1 î y - x + 3 = 1 -
î y - x + 3 = 7 î y - x + 3 = 7 -
Giải ba hệ phương trình trên ta được: (x; y)Î ( { 3±; )1,(1; 3-),(7; 3-)}. 2
Câu 7. (THPT Quảng Xương 2 – Thanh Hóa, 2009-2010) Giải phương trình: 2 2 =1+ 5+ 6x - x x -1 + 5 - x Hướng dẫn giải 2 2 t - 4
Đặt t = x -1 + 5 - x ta được =1+
Û (t - 2)( 2t + 2t + 2) = 0 t 2
Giải ta được t = 2 suy ra x = 1, x = 5 Dạng 2: Đặt ẩn phụ Bài 1.
Giải phương trình trên tập số thực: 2
x + x +9 = 2x -4+ x +1(1). Hướng dẫn giải Điều kiện: x ³ 1 - .
x + x + = x - + x + Û (x - )2 2 9 2 4 1 2 + 5(x + )
1 = 2(x - 2)+ x +1 !x = -
1 không là nghiệm của phương trình. 2 æ x - 2 ö x - 2 !x > 1: - pt(1) Û ç ÷ + 5 = 2 + . 1 è x +1 ø x +1 x - 2 Đặt t = . x +1 Phương trình trở thành: 2 t +5 = 2t +1 2 Û t = . 3 20 + 4 7 ìï20 + 4 7 üï
Khi đó ta có: 2 x +1 = 3x - 6 Û x = . Vậy S = í . ý 9 ï 9 î ïþ Bài 2.
Giải phương trình sau trên tập số thực: 2
x + x + = (x + ) 2 2 3 7 5 2x +1. Hướng dẫn giải Phương trình (1) 2 Û x + -(x + ) 2 2 1 5
2x +1 + 3x + 6 = 0. Đặt 2
t = 2x +1. Ta có phương trình: 2
t -(x +5)t +3x + 6 = 0(*). D = é- ë ( x + ) 2 ù - û
( x + ) = (x - )2 5 4 3 6 1 . ét = 3 Phương trình (*) Û ê ët = x + 2 ìx + 2 > 0 2
t = 3 Û 2x +1 = 3 Û x = 2 ± 2
t = x + 2 Û 2x +1 = x + 2 Û í 2 îx - 4x - 3 = 0 ìx > 2 - ï Û í Û x = 2 ± 7 . ïîx = 2 ± 7 3 Vậy S = ( 2; ± 2 ± 7 ). Bài 3.
Giải phương trình sau trên tập số thực: ( 2 x - x - ) 2 x + x + + ( 2 2 5 2 2x + x + ) 1 x + 3 = 0.
Hướng dẫn giải ì 2
ìïa = x + x + 2 7 ïa ³ Đặt í . Điều kiện: í 2 . b ïî = x + 3 b ïî ³ 0 Ta có: 2 2 2 2 2 2
2x - x - 5 = 2a -3b ; 2x + x +1 = 2a - b . 3 2 æ b ö æ b ö æ b ö
Thay vào phương trình ta được: ( 2 2
a - b )a +( 2 2 2 3
2a -b )b = 0 Û + 3 - 2 - 2 = 0 ç ÷ ç ÷ ç ÷ è a ø è a ø è a ø éb =1 êa Û ê 2 êæ b ö b + 4 + 2 = 0 êç ÷ ëè a ø a 2 æ b ö b b +)
+ 4 + 2 = 0 : phương trình vô nghiệm do ³ 0. ç ÷ è a ø a a b éx =1 2
+) =1 Û b = a Û x + 3 = x + x + 2 Û . a ê ëx = 1 -
Vậy x = 1; x = 1
- là nghiệm phương trình. Bài 4. Giải phương trình sau 3 2 2 3 3 2
- x +10x -17x +8 = 2x 5x - x Lời giải
Nhận xét rằng x = 0 không là nghiệm của phương trình đã cho. 1
Suy ra x ¹ 0 . Chia cả hai vế của phương trình cho 3
x rồi đặt t = , t ¹ 0, ta có phương trình x 3 2 3 2
8t -17t +10t - 2 = 2 5t -1 Û ( t - )3 + ( t - ) = ( 2t - ) 3 2 2 1 2 2 1 5 1 + 2 5t -1 (*)
Xét hàm số f (t) 3
= t + 2t, t " Î! .
Ta có hàm số f (t) liên tục trên ! và f (t) 2 '
= 3t + 2 > 0, t " .
Suy ra hàm số f (t) luôn đồng biến trên khoảng ( ; -¥ +¥).
Khi đó phương trình đã cho có dạng f ( t - ) 3 2 3 2 2 1 = f
5t -1 Û 2t -1 = 5t -1 ( ) 17 ± 97 3 2
Û 8t -17t + 6t = 0 Û t = (do t ¹ 0) 16 17 - 97 17 + 97
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = và x = . 1 12 2 12 4 Bài 5.
Giải phương trình sau : ( x - ) 2 2 4 1
x +1 = 2x + 2x + 1 Lời giải Đặt 2 2 2 2
y = x +1 ³1 Û y = x +1Þ 2y + (1- 4x)y + 2x -1 = 0 . 4
Û y = 2x -1 Û x = 3 2 5 - 2 3 3 2 + 5 -1 = x x x . 6 Điều kiện xác định: 2 5x - 2 ³ 0. 2 5x - 2 Đặt t = (t ³ 0). Ta có 2 2 5x = 6t + 2. 6
Phương trình đã cho trở thành 3 3 2 3 2 3
x + 6t + 2 -1 = t Û x + 6t + 2 = (t +1) 3 3
Û x = (t -1) Û x = t -1Û t = x + 1 ìx ³ 1 - 2 5x - 2 ï ìx ³ 1 - 2 Û = x +1 Û í x - Û í 5 2 2 2 6 = (x +1) ï îx +12x + 8 = 0 î 6 Û x = 6 - + 28 (tm đk).
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 6 - + 28. Bài 6. Giải phương trình: 2 2 log
(x - 2x -11) = log
(x - 2x -12) (1) 2+ 5 2 2+ 5 2
ìïx - 2x -12 > 0 • Điều kiện: í (*) 2
ïîx - 2x -11> 0 • 2 (2 + 5) = 9 + 4 5 và 2
(2 2 + 5) = 8 + 4 5 do đó 2 + 5 = 9 + 4 5 và 2 2 + 5 = 8+ 4 5 . • (1) Û 2 2 log
(x - 2x -11) = log (x - 2x -12) 9+4 5 8+4 5 Û 2 2 log
(x - 2x -11) = log (x - 2x -12) 9+4 5 8+4 5
• Đặt: a = 8 + 4 5 > 1, t = x2 – 2x -12. Điều kiện: t > 0.
• Do đó: (1) Û lna + 1(t + 1) = lnat ìït = y a
Cách 1: (1) Û lna + 1(t + 1) = lnat Û í (I).
ïît +1= (a +1)y y y • æ a ö æ 1 ö Từ (I) ta được: + =1 (2). ç ÷ ç ÷ è a +1ø è a +1ø
• y = 1: là nghiệm của (2). 5 y y y y • æ a ö æ 1 ö a 1 æ a ö æ 1 ö a 1 y < 1: + > + = 1, y < 1: + < + = . 1 ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ è a +1ø è a +1ø a +1 a +1 è a +1ø è a +1ø a +1 a +1
• Nên (2) có nghiệm duy nhất: y = 1. Do đó: (1) t = a Û x2 – 2x – 12 = 8 + 4 5 ( thỏa *)
Û x2 – 2x – 20 - 4 5 = 0 Û x = 2 + 2 5 hoặc x = -2 5 .
• Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x = 2 + 2 5 hoặc x = -2 5 .
Cách 2: Xét hàm số y = f(t) = lna + 1(t + 1) - lnat (a >1 • 1 1 Ta được: y ' = -
< 0 vì a > 1, nên hàm số giảm trên (0; +¥) và ta có f(t) = 0 có
(t +1)ln(a +1) t ln a
nghiệm t = a nên f(t) có nghiệm duy nhất t = a.
• Vậy: (1) (1) Û lna + 1(t + 1) = lnat Û t = a x2 – 2x – 12 = 8 + 4 5 ( thỏa *)
Û x2 – 2x – 20 - 4 5 = 0 Û x = 2 + 2 5 hoặc x = -2 5 .
• Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x = 2 + 2 5 hoặc x = -2 5 . Bài 7. Giải phương trình: 2 3 2
3(x + 2x + 2) =10 x + 2x + 2x +1 (1). • 3 2 2
x + 2x + 2x +1 = (x +1)(x + x +1) nên điều kiện là: x ³ -1.
• x2 + 2x + 2 = (x +1) + (x2 + x + 1), đặt a = x +1, 2
b = x + x +1
• Với điều kiện x ³ -1: (1) trở thành:
3(a2 + b2) = 10ab Û 3a2 – 10ab + 3b2 = 0 Û (a – 3b)(3a – b) = 0 Û a = 3b hay a = b/3. • a = 3b Û x +1=3 2
x + x +1 Û x + 1 = 9(x2 + x + 1) Û 9x2 + 8x + 8 = 0 (vô nghiệm)
• a = b/3 Û 3a = b Û3 x +1 = 2
x + x +1Û9(x + 1) = x2 + x + 1 Û x2 - 8x - 8 = 0 Û x = 4 ± 2 6
Vậy phương trình có hai nghiệm: x = 4 ± 2 6 . Bài 8. Giải phương trình : 3 2
x - 3x + 2 = x +1 Điều kiện: x ³ -1 +) Nếu x > 3 thì:
x 3 - 3x 2 + 2 = (x – 1) 3 - 3(x- 1) > 4(x – 1) – 3(x – 1) = x – 1 >
x + 1 Chứng tỏ x > 3 không thỏa mãn Với -1 £ x £ 3
Đặt x = 2cost + 1 ( 0 £ t £ p )
Khi đó phương trình trở thành:
(2cost + 1) 3 - 3(2cost + 1) 2 + 2 = 2 cos t + 2 Û 8cos 3 t – 6cost = (c 2 os t + ) 1 Û t 2cos3t = 2cos 2 6 Û t cos3t = cos 2 é t é 4 p k ê t 3 = + 2kp t = 2 ê 5 Û ê Û ê ê t 4 p k t 3 2 p êt = ê = - + k ë 2 êë 7 2 - Bài 9. Giải phương trình 3 3 2 5 2 + 5 -1 = x x x 6 Hướng dẫn giải Điều kiện xác định: 2 5x - 2 ³ 0. 2 5x - 2 Đặt
= t(t ³ 0). Ta có 2 2 5x = 6t + 2. 6
Phương trình đã cho trở thành 3 3 2 3 2 3
x + 6t + 2 -1 = t Û x + 6t + 2 = (t +1) 3 3
Û x = (t -1) Û x = t -1 Û t = x + 1 ìx ³ 1 - 2 5x - 2 ï ìx ³ 1 - 2 Û = x +1 Û í - Û í Û x = 6 - + 28 . 5x 2 2 2 6 = (x +1) ï îx +12x + 8 = 0 î 6
Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm là x = 6 - + 28 . Bài 10. [Đề chọn hsg tỉnh Trà Vinh, 2014-2015] Giải phương trình : +
- x é ( + x)3 - ( - x)3 2 ù 2 1 1 1 1 = 2 + 1- x êë úû
Bài 11. [Đề thi hsg tỉnh Vĩnh Long, 2015-2016] Giải phương trình 3 3 x +1 = 2 2x -1 Lời giải
Phương trình tương đương với 3 3
x + 2x = 2x -1+ 2 2x -1 Đặt 3
t = 2x -1, ta có phương trình 3 3
x + 2x = t + 2t Û (x -t)( 2 2
x + xt + t ) + 2(x -t) = 0 Û (x -t)( 2 2
x + xt + t + 2) = 0 ( ) 1 2 2 æ t ö 3t Vì 2 2
x + xt + t + 2 = x + +
+ 2 > 0 nên (1) Û x = t ç ÷ è 2 ø 4 é x =1 3 3
Û x = 2x -1 Û x - 2x +1= 0
(x )1( 2x x )1 0 ê Û - + - = Û 1 - ± 5 êx = êë 2 7 ìï 1 - ± 5 üï Tập nghiệm S = 1 í ; ý ï 2 î ïþ
Bài 12. Giải phương trình: 4 2 x + x + + ( 2 1 3 x + )
1 = 3 3x,với xÎ! Hướng dẫn giải. Từ pt ta thấy xñ0 1 æ 1 ö (1) 2 Û x + +1 + 3 x + = 3 3 ç ÷ 2 x è x ø 1
Đặt: t = x + ,t ³ 2 x Pt trở thành: 2
t -1 = 3 (3 - t) t ì £ 3 Û í Û t = 2 2 t î - 9t +14 = 0 1 x + = 2 Û x =1 x Giải phương trình 3 2 3 2
x -5x +12x - 6 = 2 x - x +1
Bài 13. Giải phương trình: 2
-x 2 - 3x + 1- x = x +1. 3- 4x . Hướng dẫn giải. ! ! ! ! ! ! Đặt u = ( x )
;1 ,v = ( 2 - 3x;- 1- x ) từ phương trình ta có .
u v = - u . v ! !
Như vậy: u,v ngược hướng 2 - 3x - 1- x Suy ra: = (1) x 1 1 - - 5
Giải (1) và thử lại ta thấy phương trình đã cho có nghiệm là x = 2
Bài 14. Giải phương trình: x = 10 + 10 + x ,với x Î R Hướng dẫn giải. Đk: x ³ 0
Đặt u =10 + x,u ³10 ì
Ta có: ïx = 10 + u íuïî =10+ x 8
x - u - ( x - u ) = 0 Û ( x - u )( x + u + ) 1 = 0 éx = u Û ê
ë u + x +1 = 0(VL) ìx ³10 21+ 41
x = u Û x = x -10 Û í Û x = 2
îx - 21x +100 = 0 2 21+ 41
Vậy phương trình có một nghiệm: x = , 2 4 Giải phương trình: 3 3 2
81x -8 = x - 2x + x - 2. 3 3x
Bài 15. Giải phương trình: x + = 1 2 x +1 Hướng dẫn giải.
Phương trình đã cho có điều kiện 0 < x < 1 3x 2 3x
Với điều kiện trên ta có: x + = 1 Û x +1 = x2 +1 1- x Û 2 2 2
(1- x) (x +1) = 9x 2 1 æ 1 ö Û x + - 2 x + - 7 = 0 2 ç ÷ x è x ø 1 ét = 1- 10 Đặt t = x + (t ³ 2) ta có: 2
t - 2t - 9 = 0 Û ê Û t = 1+ 10 x êt ë = 1+ 10 é 1+ 10 - 5 - 2 êx = Với t = 1+ 1 10 ta có : x + = 1+ 10 2 Û ê x ê 1+ 10 + 5 + 2 x = êë 2 1 + 10 - 5 - 2
So với điều kiện 0 < x < 1, phương trình đã cho có nghiệm x = 2
Bài 16. Giải phương trình sau trên tập số thực: x +1= (2x +1) x +1 + 2 . Hướng dẫn giải. 1
Điều kiện: x ³ - . Đặt y =
x +1 + 2 ( y > 2 ), 2
ìx +1+ y = 2(x +1)y ï ta thu được hệ í 2 ïîy - x +1 = 2 Suy ra 9 x +1+ y = ( 2
y - x +1)(x +1)y Û ( y x +1+ ) 1 ( 2
y + x +1- y x +1) = 0 Û ( y x +1+ )
1 ( y - 2 x +1) = 0 Û y = 2 x +1 15 - + 33 Do vậy
x +1 + 2 = 2 x +1 Û x = . 32 15 - + 33
Thay vào, thử lại thấy x = thỏa mãn. 32 -15 + 33 Đáp số: x = . 32
Bài 17. Giải phương trình: 2 x + 6 2
x + 4x = x +1. Hướng dẫn giải. ì 2
ïx £ - Ú x ³ 0 ì6 2 x + 4x ³ 0 ï 3 ï 2 ï1 - 5 1 + pt Û 5 íx + 1 - x ³ 0 Û í £ x £ ï 2 2 2 ï 2 2
î6x + 4x = (x + 1 - x ) ï6 2
x + 4x = (x + 1 - 2 x )2 ) 1 ( ï î 4 3 2 ) 1
( Û x + 1 - 2x - 2x - x = 0 2 1 æ 1 ö Û x +
- 2ç x + ÷ - 7 = 0 (x = 0 không là nghiệm) 2 x è x ø 1 ét = 1- 10 Đặt t = x + (t ³ 2) ta được 2
t - 2t - 9 = 0 Û ê x êët = 1+ 10 é 1 + 10 - 5 - 2 êx =
So với điều kiện ta được t = 1 + 10 Û ê 2 ê 1 + 10 + 5 + 2 êx = ë 2 1 + 5 1 + 10 - 5 - 2
So với điều kiện 0 £ x £ , ta được x = 2 2
Bài 18. Giải phương trình sau: 2 2 3 4
4 x + x +1 =1+ 5x + 4x - 2x - x với xÎ R. Hướng dẫn giải. 3 Đặt 2
t = x + x +1, t ³
. Khi đó phương trình trở thành: 2 4 2 4 2 t = t
- + t - Û t - t + -( 2 4 7 5 6 9 t - 4t + 4) = 0 10
Û (t - )2 -(t - )2 2
= Û ( 2t -t - )( 2 3 2 0
1 t + t - 5) = 0(*) 2 ét -t -1= 0 (*) Û ê 2 êët +t -5 = 0 3 + Với t ³ thì 2 t - t -1 = 1 5
0 có một nghiệm là t = 2 2 3 - + Với t ³ thì 2 t + t - 5 = 1 21
0 có một nghiệm là t = 2 2 2 1+ 5 æ1+ 5 ö Khi t = thì 2 2 x + x +1 = ç
÷ Û 2x + 2x -1- 5 = 0 2 ç 2 ÷ è ø 1 - - 3+ 2 5 - + + Û x = 1 3 2 5 hoặc x = . 2 2 2 -1+ 21 æ 1 - + 21 ö Khi t = thì 2 2 x + x +1 = ç
÷ Û 2x + 2x - 9 + 21 = 0 2 ç 2 ÷ è ø 1 - - 19 - 2 21 - + - Û x = 1 19 2 21 hoặc x = . 2 2 x + 2
Bài 19. Giải phương trình -1 = 3(x - 3)2 3 3 + 9(x - 3). 2 Hướng dẫn giải. Điều kiện x ³ 2 - Đặt 3
t = 9( x - 3) ta có 3 3 2 t + 27 x + 2 t + 45 t x = ; = ; 3( x - 3)2 3 = 9 2 18 3
Phương trình đã cho trở thành 3 2 3 t + 45 t t + 45 2 = + t +1 Û = t + 3t + 3 18 3 2 2 æ 3 ö 3 3 t + 45 2 Ta có 2
t + 3t + 3 = t + + > 0 nên ç ÷ = ( 2t + 3t + 3) è 2 ø 4 2 1
Ta được phương trình (2t - )
1 (t + 3)( 2t + 3t + 9) = 0 Û t = Ú t = 3 - 2 1 Với t = 217 thì x = 2 72 Với t = 3 - thì x = 0 11
Bài 20. Giải phương trình 2 2
2x + 1- x + 2x 1- x = 1. Hướng dẫn giải.
Ta có phương trình tương đương với 2 2
1 - x = 1 - 2x - 2x 1 - x 4 2 2 2 2 3 2
fi 1 - x = 1 + 4x + 4x (1 - x ) - 4x - 4x 1 - x + 8x 1 - x 2 2 2
€ x(1 - 4 1 - x + 8x 1 - x ) = 0 x È = 0 Í € Í 2 2 2 1
Í - 4 1 - x + 8x 1 - x = 0(1) Î Xét (1), đặt 2
y = 1 - x , suy ra y ≥ 0 và 2 2 x = 1 - y . Ta được 2 3
1 - 4y + 8y(1 - y ) = 0 € 8y - 4y - 1 = 0 2
€ (2y + 1)(4y - 2y - 1) = 0 1 + 5 5 - 5 € y =
. Từ đó suy ra x = ± . 4 8 5 - 5
Thử lại ta được nghiệm của phương trình là x = 0 và x = - . 8
Bài 21. Giải phương trình 3 3 x +1 = 2 2x -1. Hướng dẫn giải
Phương trình tương đương với 3 3
x + 2x = 2x -1+ 2 2x -1. Đặt 3
t = 2x -1, ta có phương trình 3 3
x + 2x = t + 2t Û (x -t)( 2 2
x + xt + t ) + 2(x -t) = 0 Û (x -t)( 2 2
x + xt + t + 2) = 0 ( ) 1 2 2 æ t ö 3t Vì 2 2
x + xt + t + 2 = x + +
+ 2 > 0 nên (1) Û x = t ç ÷ è 2 ø 4 3 3
Û x = 2x -1 Û x - 2x +1= 0 é x =1
(x )1( 2x x )1 0 ê Û - + - = Û 1 - ± 5 êx = êë 2 ìï 1 - ± 5 üï Tập nghiệm S = 1 í ; ý. ï 2 î ïþ æ 1 ö
Bài 22. (Chuyên Hưng Yên ) Giải phương trình 2 3 2 8x -15x + 9 = 1+ 5x - 2x - 2 ç ÷ è x ø 12 Hướng dẫn giải æ 1 2 ö 3 2 8x -15x + 9 = 1+ 5x - 2x - 2 ç ÷ è x ø 3 2 2 3
Û 8x -15x + 9x = (x +1) (x +1)(2x -1) + 3x - 3x -1(x ¹ 0) 3 2 2 3
Û (2x -1) - (3x - 3x -1) = (x +1) (x +1)(2x -1) + 3x - 3x -1 3 2 u
ìï -(3x -3x -1) = (x +1)v Đặt 3 2
u = 2x – 1, v = 5x - 2x - 2 , ta được hệ: í 3 2 v
ïî -(3x -3x -1) = (x +1)u
Trừ vế với vế hai phương trình trên, ta được: (u - v) ( 2 2
v + uv + u ) = (x + ) (v - u) Û u -v ( 2 2 1 (
) u + uv + v + x + ) 1 = 0 TH1: 3 2 3 2
u = v Û 2x -1= 5x - 2x - 2 Û 8x -17x +8x +1= 0 éx =1 2 (x 1)(8x 9x 1) 0 ê Û - - - = Û 9 ± 113 êx = êë 16 u 3 TH2: 2 2 2 2
u + uv + v + x +1 = 0 Û (v + ) + (2x -1) + x +1 = 0 2 4 u 2 2
Û 4(v + ) +12x -8x + 7 = 0 2 u 2 2 2
Û 4(v + ) + 4x + 2(2x -1) + 5 = 0 phương trình vô nghiệm. 2 9 ± 113
Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm: x = 1; x = 16
Bài 23. Giải phương trình : 2
x - 4x + 3 = x + 5. Hướng dẫn giải
Đặt t = x + 5 (t ³ 0) .
Từ phương trình đã cho ta có : 4 2
t -14t - t + 48 = 0 (*)
Ta có : (*) Û (t - )( 3 2
3 t + 3t -5t -16) = 0 ét = 3 Û ê 3 2
ët + 3t -5t -16 = 0 (**)
Với t = 3 ta có x = 4
Đặt y = t +1 ( y ³ )
1 từ phương trình (**) ta có : 3
y -8y - 9 = 0(***)
Dùng máy tính điện tử hoặc khảo sát hàm số f ( y) 3
= y -8y -9 trên [1;+ ¥) ta thấy (***) có một nghiệm duy nhất y 0
Ta biểu diễn y dưới dạng: y = u + v 0 0 0 0 8 Ta có : 3 3
u + v + u + v 3u v -8 - 9 = 0 u ;v u v = 0 0 ( 0 0)( 0 0 ) nên có thể chọn sao cho : 0 0 0 0 3 13 ì 512 3 3 u ï v = Vậy ta có : 0 0 í 27 3 3 u ï + v = 9 î 0 0 512 Như vậy 3 3
u ;v được chọn là nghiệm của phương trình : 2 z + 9z - = 0 0 0 27 ì 9 139 3 u ï = + 0 ï 2 108 Suy ra: í ï 9 139 3 v = - 0 ïî 2 108
Ta tìm được nghiệm của (***) là 2 9 139 9 139 æ 9 139 9 139 ö 3 3 y = + + - .Suy ra : = ç 3 3 x + + - -1÷ - 5 0 2 108 2 108 ç 2 108 2 108 ÷ è ø
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm 2 æ 9 139 9 139 ö x = 4 ; = ç 3 3 x + + - -1÷ - 5 ç 2 108 2 108 ÷ è ø 3
Bài 24. Giải phương trình sau: 2 x - 3x + 1= - 4 x + 2 x + 1 . 3 Hướng dẫn giải: Ta có: 4 x + 2 x + = ( 2 x + x + )( 2 1 1 x ñ x + ) 1 > 0 € 2 x x + = ( 2 x x + ) ( 2 ñ3 1 2 ñ 1 ñ x + x + 1 ) 2 x - x + 1 Đặt t =
, t > 0 . Phương trình trở thành: 2 x + x + 1 È - 3 Ít = < 0 3 Í 2 x x 1 1 2 2 3 - + 2t + t - 1= 0 € Í € = 3 Í 1 2 x + x + 1 Ít = 3 ÍÎ 3 € x = 1
Dạng 3. Sử dụng hàm số
Câu 1. Giải các phương trình sau: a) 3 x + x - + ( 2 8 4 3 ln 4x - 2x + ) 1 = 0. b) ln( 2 x + x + ) 3 2 6
10 + x + 3x + 4x +12 = 0.
Câu 2. Giải phương trình sau: 1 x- x - æ ö a) log
x - 4x + 3 + 2006 + = 2 ( ) 2 4 2 2 2007 ç ÷ è 2007 ø 2 æ 2x + 3 ö b) 4 2 log ç ÷ = x - x - 2 2007 4 2 è x + x +1ø
Câu 3. Giải phương trình log 1 sin 1 2007 x x - - + = -1 2007 ( ) 1 sin . 14 Giải phương trình: 2 x 1 - 2 x 2 .3 x
+ (x -1).3 +1- x - x = 0
• Phương trình đã cho tương đương với: 2 2 x x 1 (x 1).(3 1) . x (3 - - - + -1) = 0
• Xét x = 0; x = ± 1: Thay vào (1) ta thấy đều thỏa nên phương trình có các nghiệm: x = 0; x = ± 1. 2 x x 1 - - - • 3 1 3 1
Xét x ¹ 0; x ¹ ± 1: Khi đó (1) Û + = 0 (2) 2 x x -1 3t -1
Với t ¹ 0, xét hàm số: f (t) = . t
* Với t > 0 thì 3t – 1 > 0 Þf(t) > 0 và với t < 0 thì 3t – 1 < 0 Þ f(t) > 0, do đó:
Vì (2) Û f(x) + f(x2 – 1) = 0 nên (2) vô nghiệm.
• Vậy phương trình đã cho có tất cả là 3 nghiệm: x = 0; x = ± 1.
Câu 4. [Đề chọn hsg tỉnh Trà Vinh, 2014-2015] Giải phương trình : 3 3 2
3x - 5 = 8x - 36x + 53x - 25
Câu 5. Giải phương trình: 3 2 3 2
8x -17x +10x - 2 = 2 5x -1. Ta có 3 2 3 2 3 2 3 2
8x -17x +10x - 2 = 2 5x -1 Û (2x -1) + 2(2x -1) = (5x -1) + 2 5x -1 (1). Đặt 3
f (t) = t + 2t thì 2
f '(t) = 3t + 2 > 0, t
" do đó f đồng biến và liên tục trên ! . Từ đó: 3 2 3 2
(1) Û f (2x -1) = f
5x -1 Û 2x -1 = 5x -1. ( ) éx = 0 2 x(8x 17x 6) 0 ê Û - + = Û . 17 ± 97 êx = êë 16
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm.
Câu 6. Giải phương trình 3 2 2 3 3 2 - x 1
+ 0x -17 x +8 = 2x 5x - x (1) Hướng dẫn giải
Có x = 0 không là nghiệm của (1)
Xét x ¹ 0 , chia hai vế cho 3 x , được 10 17 8 5 3 2 - + - + = 2 -1 2 3 2 x x x x 1
Đặt y = ( y ¹ 0), khi đó có PT x 3 2 3 2
8y -17y +10y - 2 = 2 5y -1 ( y - )3 2 1 + 2(2y - ) 1 = 2 5y -1+ 3 2 2 5y -1 Suy ra f (2y - ) 3 2 1 = f 5y -1 ( )
Xét hàm số f (t) 3
= t + 2t .Vì f(t) là hàm số đồng biến trên R 15 nên f (2y - ) 3 2 1 = f 5y -1 « 2y - 1 = 3 2 5y -1 ( ) « 3 2
8y -17y + 6y = 0 « y( 2
8y -17y + 6) = 0 17 ± 97
Giải tìm được y = 0 (loại); y = 16 1 Tính x theo x = y 17 ìï - 97 17 + 97 üï
Tập nghiệm của phương trình (1) là í ; ý ï 12 12 î ïþ x + 5 10 - x
Câu 7. Giải phương trình 4 4 4 4 x + 5 - x = + (xÎ! ). 3 3 Hướng dẫn giải.
Điều kiện: 0 £ x £ 5 x + 2x (5 - x) + 2x x + 2(5 - x) Phương trình 4 4 4 4 4 Û 2 x + 5- x = + + (1) 3 3 3
Ta có: x = 0, x = 5 không là nghiệm phương trình.
Xét hàm số f (x) xa = , x > 0; ta có: a 1 - a -2
f '(x) = a x ; f ''(x) = a(a -1)x (*) 1 Áp dụng (*) với a = 4 x + 2x (5 - x) + 2x x + 2(5 - x) Ta có: 4 4 4 4 4 2 x + 5 - x £ + + 3 3 3 5
(1) Û x = 5 - x Û x = 5
. Vậy x = là nghiệm phương trình. 2 2
Câu 8. Giải phương trình 3 3 2 3
5 2x - 3x - 5x - 4 = -x +13x - 2, (x Î ! ) . Hướng dẫn giải. 3 5
ìï a = -x +13x - 2 (1) Đặt 3 3 2
a = 2x -3x -5x - 4 ta được: í 3 3 2
ïîa = 2x -3x -5x - 4 (2 3 3
(1) + (2) Þ a + 5a = (x -1) + 5(x -1) (*) Xét hàm số 3
f (t) = t + 5t trên ! có 2
f '(t) = 3t + 5 > 0 t " Î!
Þ hàm số f (t) đồng biến trên ! ; (*) 3 3 2
Û 2x -3x -5x - 4 = x - 1 16 é êx = 3 ê éx = 3 ê - - 3 3 5
Û x -8x - 3 = 0 Û ê Û x = 2 ëx 3x 1 0 ê + + = 2 ê ê 3 - + 5 x = êë 2 3 - - 5 3 - + 5
Thử lại, ta được: x = 3; x = ; x =
là nghiệm phương trình. 2 2
Câu 9. Giải phương trình : 3 2
x + x - 3x - 2 = 2 x + 2 trên [ 2; - 2]. Hướng dẫn giải
Đặt x = 2cost .Với xÎ[ 2;
- 2] ta có t Î[0;p .] æ t ö
Phương trình đã cho trở thành : 3 2
4cos t - 3cost + 2cos t -1 = 2cos (*) ç ÷ è 2 ø t é é æ ö cos = 0 êt = p ê ç ÷ æ t ö è 2 ø ê
Với t Î[0;p ] Ta có: (*) Û cos3t + cos 2t = 2cos Û ê Û t = 0 ç ÷ è 2 ø ê ê æ 5t ö cos =1 ê ê ç ÷ 4p ë è 2 ø êt = ë 5 p Vậy trên [ 2; - 4
2] phương trình đã cho có nghiệm x = 2
- , x = 2, x = 2cos . 5 2
Câu 10. Giải phương trình: x (2x- )1 2x 1 16 2.4 - - = 0. Lời giải 2 2
Biến đổi phương trình: x (2x- )1 2x 1 - 4x (2x- ) 1 4x 1 - 3 2 16 - 2.4 = 0 Û 2 = 2
Û 8x - 4x - 4x +1= 0 (1) f (x) 3 2 = - - + = f (- ) = - f (0) = æ 1 ö Đa thức 8x 4x
4x 1 0 có tối đa 3 nghiệm và ta có: 1 7; ; 1 f = 1 - ç ÷ è 2 ø f ( ) = f (x) ( 1 - ) f (- ) 1 . f (0) < æ ö æ 1 ö ; 1 . 1 liên tục trên khoảng ;1 và 0, f ( ) 1 0 . f < 0, f . f ç ÷ ( ) 1 < 0 ç ÷ è 2 ø è 2 ø f (x) = ( 1 - ) nên
0 có 3 nghiệm trên khoảng ;1 .
Do f (x) = 0 có đúng 3 nghiệm trong khoảng ( 1 - )
;1 , nên ta có thể đặt x = cos a với 0 < a < p .
Phương trình (1) trở thành: 3 2 a - a - a + = Û a( 2 a - ) = ( 2 8cos 4cos 4cos 1 0 4cos 2cos 1 4 1-sin a)-1 2 3 Û 4cos .
a cos 2a = 3 - 4sin a Û 4sin . a cos .
a cos 2a = 3sin a - 4sin a (do sin a > 0 )
é4a = 3a + k2p
Û sin 4a = sin 3a Û (k Î ê !)
ë4a = p - 3a + k2p
(với 0 < a < p ) 17 p p p Û a = 3 a = 5 a = 7 hay 7 hay 7 . 1 1
Câu 11. Giải phương trình sau: + = 2. 2 x 2 - x Hướng dẫn giải
Điều kiện x Î(- 2; 2) \{ } 0 . Đặt 2
y = 2 - x ;y>0 .
ìx + y = 2xy
Từ phương trình đã cho ,ta có hệ phương trình: í 2 2 îx + y = 2 ìS = 2P
Đặt S = x + y; P = xy đưa đến hệ phương trình: í 2 îS - 2P = 2 éS = 1 - 2
Þ S - S - 2 = 0 Û ê ëS = 2
S = 2; P=1Þ x=y=1 ì 1 - + 3 ì -1- 3 ïx = ïx= 1 ï 2 ï 2 S = 1 - ; P=- Þ í ;í 2 ï 1 - - 3 ï -1+ 3 y = y= ï 2 ï î î 2 -1- 3
Kết hợp với điều kiện, nghiệm pt đã cho là: x = 1 và x= . 2
Câu 12. Giải phương trình: 2
2x + 3 + x +1 = 3x + 2 2x + 5x + 3 -16.(x Î ! ). (Chưa giải)
Câu 13. Giải phương trình: 2
3x - 2 + x -1 = 4x -9 + 2 3x -5x + 2. (Chưa giải)
Dạng 3: Sử dụng hàm số
Bài 1. Cho phương trình: n 2
x - x - x -1 = 0 với n Î • , n > 2. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên
n > 2, thì phương trình có một nghiệm dương duy nhất x n Hướng dẫn giải:
Xét hàm số f (x) n 2
= x - x - x -
1 với n nguyên, n > 2 (1) +) Ta có: f (x) n 1 nx - ¢ =
– 2x –1 . Do n > 2, nên khi x > 1 thì f ¢(x) > 0. Vậy f (x) là hàm số đồng biến trên (1;+¥). 18 Lại có: ( ) 1 = 2 - < 0; (2) = 2n f f
– 7 > 0 ( vì n nguyên và n > 2 Þ n ³ 3) Ta có: f ( )
1 f (2) < 0 và f (x) liên tục, đồng biến nên phương trình f (x) = 0 có nghiệm duy nhất trên (1;+¥).
+) Mặt khác với 0 < x < 1 thì n 2
x < x (do n > 2) suy ra f (x) < 0 với mọi 0 < x <1.
Như vậy ta đã chứng minh được (1) có nghiệm dương duy nhất với mọi n nguyên, n > 2. 1
Bài 2. Cho phương trình: 5 4 3 2
x - x - 5x + x + 4x -1 = 0 ( )1. 2
1. Chứng tỏ phương trình (1) có đúng 5 nghiệm. 5 x +1
2. Với x (i =1,5 1 S = å i
) là nghiệm của phương trình nghiệm, tính tổng: 5 4 - - i 1 = 2x x 2 i i Hướng dẫn giải 1
1. Xét hàm số: f (x) 5 4 3
= x - x - 5x + 4x - . 1 2
* f(x) là hàm số xác định và liên tục trên R. æ ö f (- ) 3 2 = 5 - ; f - = 2 ; f ç ÷ (0) = 1 - ; è 2 ø * Ta có: æ 1 ö 5 f = f ( ) 1 = - f ( ) 175 ; 1 ; 3 = ç ÷ è 2 ø 8 2 2 æ ö Þ æ 3 ö æ 1 ö f (- ) 3 2 . f - < 0 ; f - . f ç
÷ (0) < 0 ; f (0). f < 0 ç ÷ ç ÷ è 2 ø è 2 ø è 2 ø æ ö æ 1 ö f f . f ç ÷ ( ) 1 < 0 ; f ( ) 1 . f (3) < 0 ç ÷ è ø è 2 ø
Þ Phương trình f (x) = 0 có 5 nghiệm phân biệt x , x x , x , x , x , x 1 1 2 3 4 5 3 - 1 sao cho: 2 - < x <
< x < 0 < x < < x <1< x < 3 1 2 3 4 5 2 2
* Ta có x là nghiệm của (1) nên: i 1 5 4 3
x - x - 5x + 4x -1 = 0 i 2 i i i 5 4
Û x - x - = ( 3 2 2
2 2 5x - x - 4x i i i i i ) 5 x +1 Do đó: i S = åi=2( 3 2 1
5x - x - 4x i i i ) x +1 x +1
Xét biểu thức: g (x) = = 3 2
5x - x - 4x x(x - ) 1 (5x + 4)
Đồng nhất thức ta được: g (x) 1 2 5 = - + + 4x 9(x - ) 1 36(5x + 4) 19 5 5 5 1 1 1 1 1 1 Do vậy: S = - å + å + å 8 - i= x 9 = x i i 1 72 4 1 1 i i 1 = x + i 5
Mặt khác: f (x) = (x - x x - x x - x x - x x - x 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) ( 5 )
f '(x) = (x - x x - x x - x x - x + 2 ) ( 3 ) ( 4 ) ( 5 )
(x - x x - x x - x x - x +... 1 ) ( 3 ) ( 4 ) ( 5 ) f '( x) 5 Þ 1
Với x ¹ x ta được: = å i f ( x) - i 1 = x xi và f (x) 4 3 2 '
= 5x - 2x -15x + 2x + 4 f '( ) 5 5 1 1 1 f '( ) 1 Do đó: = å Þ å = - = -12 f ( ) 1 - - i 1 = 1 x = x f i i 1 1 i ( )1 f '(0) 5 5 1 1 f '(0) = å Þ å = - = 4 f (0) - i 1 = x = x f i i 1 i (0) æ 4 ö æ 4 ö f ' - f ' - ç ÷ 5 5 ç ÷ è 5 ø 1 1 è 5 ø 12900 = å Þ å = - = - æ 4 ö 4 4 = = æ 4 ö i 1 i 1 4789 f - - - x x + f ç ÷ ç ÷ è 5 ø 5 i i 5 è 5 ø 8959 Vậy: S = - . 4789 Dạng 4: Đánh giá Bài 1.
Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình: 2 2
2x + 3y - 5xy + 3x - 2y - 3 = 0
Hướng dẫn giải
Xem (1) là phương trình bậc hai ẩn x ta có: (1) Û 2 x + ( - y) 2 2
3 5 x + 3y - 2y -3 = 0.
* Để (1) có nghiệm x nguyên điều kiện cần là: D = ( - y)2 - ( 2y - y- ) 2 2 3 5 4.2 3 2
3 = y -14y + 33 = k ( k nguyên, không âm) * Lại xem 2 2
y -14y + 33- k = 0 là phương trình bậc hai ẩn y . Để có nghiệm nguyên y điều kiện cần là d = -( 2 - k ) 2 2 ' 49 33
=16 + k = m là một số chính phương (m nguyên dương). Do 2 2
m - k =16 Û (m + k)(m - k) =16 và 16 = 16.1 = 8.2 = 4.4 nên ta có các trường hợp. ìm + k = 8 ìm = 5 +) TH1: í Û í
suy ra phương trình (1) có nghiệm ( ; x y) = (15;12),(1,2). îm - k = 2 îk = 3 ìm + k = 4 ìm = 4 +) TH2: í Û í
suy ra phương trình (1) có nghiệm ( ; x y) = (13;1 ) 1 ,(3, ) 3 . îm - k = 4 îk = 0 ìm + k =16 +) TH3 : í Loại. îm - k =1 20 Bài 2.
[Đề xuất, Chuyên Hùng Vương Phú Thọ, DHĐBBB, 2015] Giải phương trình 2
4 x +1 + 2 2x + 3 = (x -1)(x - 2). Lời giải Điều kiện: x ³ 1 - . Nhận thấy x = -
1 là một nghiệm của phương trình. Xét x > 1
- . Khi đó phương trình đã cho tương đương với
( x + - ) + ( x + - ) 3 2 4 1 2 2 2
3 3 = x - x - 2x -12 4(x - 3) 4(x - 3) 2 Û +
= (x - 3)(x + 2x + 4) x + 1 + 2 2x + 3 + 3 ( æ ö Û x - 3) 4 4 2 + - (x +1) - 3 = 0. 1 ( ) ç ÷ è x +1 + 2 2x + 3 + 3 ø Vì x > -
1 nên x + 1 > 0 và 2x + 3 > 1. Suy ra 4 4 + < 3, x +1 + 2 2x + 3 + 3 vì vậy 4 4 2 + - (x +1) - 3 < 0. x +1 + 2 2x + 3 + 3 Do đó phương trình 1
( ) Û x - 3 = 0 Û x = 3.
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x = - 1 hoặc x = 3. 2 5x - 2 Bài 3.
[Đề thi hsg tỉnh Nghệ An, bảng A, 2015-2016] 3 3 2 x + 5x - 1 = . 6 Bài 4.
Ký hiệu [x] là số nguyên lớn nhất không vượt quá x. Giải phương trình 2
x -(1+[x]) x + 2015 = 0 . Hướng dẫn giải Ta có x ¹ 0. x - x + x - x + pt Û [x] 2 2 2015 2015 = Û x-1< £ x Û x ³ 2015. x x
[x] = aÎ! (a ³ 2015) 2 Þ x - (a + ) 1 x + 2015 = 0 2 a +1± (a + ) 1 - 8060 Û x = (*) 2 21 2
Do a ³ 2015 Þ x - (a + ) 1 x + 2015 = 0 a +1+ (a + )2 1 - 8060 Û x = ³ 2015 (t/ m); 2 a +1- (a + )2 1 - 8060 a +1- (a + )2 1 - 4a £ < 2015 (loai) 2 2 ì ïa (a )2 1 1 8060 ü + + + - ï Vậy S = í
; a Î !;a ³ 2015ý. 2 ï ï î þ 2. Có tham số Bài 1.
Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt (m+ ) 2 2
1 x + 2x + 2 + m = 2x + 4x +19, (x Î ! ).(1)
Hướng dẫn giải Đặt 2
t = x + 2x + 2 ; điều kiện: t ³ 1. Ta có: 2
t = x + 2x + 2 Û 2 2 2 2
x + 2x + 2 = t Û x + 2x + 2 - t = 0 (2)
Pt (2) có hai nghiệm phân biệt Û t Î(- ; ¥ - )
1 È(1;+¥).Vậy t >1. 2 2t - t +15
Thay vào phương trình ta được: 2
(m +1)t + m = 2t +15 Û m = t +1 (3) 2 ì 2t - t +15 ïy = (C) Đặt í t +1
ïîy = m (d) .
Ta có: số giao điểm của (C) và (d) là số nghiệm phương trình (3).
Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi phương trình (2) có đúng 1 nghiệm t > 1. 18 18
Xét hàm số y = 2t - 3+
; (t Î[1;+ ¥)) ; y ' = 2 - t +1 2 (t +1) .
Cho y ' = 0 Û t = 2 Þ y = 7; lim y = +¥ x®+¥ . Bảng biến thiên t 1 2 +∞ y’ - 0 + y 8 +∞ 22 7 ém > 8
Vậy phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt Û ê . ëm = 7 3. Bài 2.
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số nhân: 3 2
x - 7x + (m + 6)x - m = 0. Hướng dẫn giải
Phương trình đã cho tương đương: éx =1 2
(x -1)(x - 6x + ) m = 0 Û . ê 2
ëx - 6x + m = 0 (1)
Phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (1) có hai nghiệm phân biệt khác ìD' = 9 - m > 0 ìm < 9 1, hay: í Û í (*). 2 1 î - 6.1+ m ¹ 0 îm ¹ 5
Khi đó, PT đã cho có ba nghiệm x , x và x = 1, trong đó x , x là nghiệm của (1). 1 2 3 1 2 ìx + x = 6 Theo định lý Viet ta có 1 2 í (2). x .x = m î 1 2
Xét các trường hợp sau: *) Nếu 2 2
x .x = x Û x = x (3). Từ (2) và (3) ta có hệ: 1 3 2 1 2 2 ìx + x = 6 ìx + x - 6 = 0 1 2 2 2 ï ï
éx = 2; x = 4;m = 8 2 2 1
íx .x = m Û íx = x Û . 1 2 1 2 êx = 3; - x = 9;m = 2 - 7 ï ï ë 2 1 2 3 x = x m = x î 1 2 î 2 ìm = 1 ï *) Nếu 2
x .x = x Û x .x = 1 (4). Từ (2) và (4) ta có hệ: íx + x = 6. 1 2 3 1 2 1 2 ïx .x =1 î 1 2
Vậy, có ba giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán là: m =1, m = 8, m = 2 - 7 . 2 Bài 3.
Tìm các giá trị của tham số m để phương trình x +
9 - x = - x + 9x + m có nghiệm Hướng dẫn giải. Lời giải:
Điều kiện: 0 £ x £ 9 2
PT (1) € x + 9 - x + 2 x(9 - x) = - x + 9x + m 2 2
€ 9 + 2 - x + 9x = - x + 9x + m (2) 2
Đặt t = - x + 9x 23 ' - 2x + 9 t = ' 9 2 t = 0 € x = Ta có: 2 - x + 9x ; 2 9 Do đó : 0 £ t £ 2
Phương trình (2) trở thành 2 2
9 + 2t = t + m € - t + 2t + 9 = m (3) 9 Xét hàm số 2
f (t) = - t + 2t + 9, 0 £ t £ 2 Ta có : ' '
f (t) = - 2t + 2 ; f (t) = 0 € t = 1 Bảng biến thiên : È 9˘
Phương trình (1) có nghiệm x 0; È 9˘ Œ
€ phương trình (3) có nghiệm t Œ 0; Í Í ˙ Î ˙˚ Í 2˙ Î ˚ 9 € - £ m £ 10 4 Bài 4.
Tìm a để phương trình sau (ẩn x ) chỉ có một nghiệm. 5a - 3 5(2a +1)(1- a) 1+ = x - a
(x - a)(x - 3a +1) Bài 5. Cho hai phương trình sau: (1) 24 (2)
(a là tham số, x là ẩn số)
Tìm a để số nghiệm của phương trình (1) không vượt quá số nghiệm của phương trình (2). Bài 6. Cho phương trình: 2
ax + (2b + c) x + (2d + e) = 0 có một nghiệm không nhỏ hơn 4. Chứng minh rằng phương trình 4 3 2
ax + bx + cx + dx + e = 0 có nghiệm. Bài 7.
Với mỗi số tự nhiên k , gọi N (k) là số nghiệm của phương trình
2016x + 2017 y = k, x ³ 0, y ³ 0 . N(k)
Tính giới hạn sau L = lim k ®+¥ k Lời giải
Giả sử x , y là một nghiệm của phương trình 2016x + 2017 y = k , khi đó mọi nghiệm của 0 0
phương trình trên có dạng x = x + 2017t, y = y - 2016t,t Î! 0 0 y x
Vì x ³ 0 và y ³ 0 nên 0 0 ³ t ³ . 2016 2017
éé y ù é -x ù 0 0 - +1 êê2016ú ê2017ú ë û ë û
Suy ra N (k) = ê
êé y ù é -x ù 0 0 - êê ë 2016ú ê 2017 ú ë û ë û y x Suy ra 0 0 N(k) - - £ 3 . 2016 2017 N k
Kết hợp với 2016x + 2017y = ( ) 1 3 k , ta có - £ . 0 0 k 2016.2017 k N(k) 1 Vậy lim = k ®+¥ k 2016.2017 Bài 8.
Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có nghiệm 4 2
3 x - 1 + m x + 1 = 2 x - 1. Hướng dẫn giải.
Điều kiện : x ≥ 1 2 Ê Á x 1 ˆ - ˜ x - 1 PT (1) 4 € Á ˜ 4 3Á ˜ + m = 2 (2) Á x + 1˜˜ x + 1 Ë ¯ 25 x - 1 x - 1 2 Đặt 4 t = , Do 4 4 0 £ = 1 -
< 1 fi 0 £ t < 1 x + 1 x + 1 x + 1
Phương trình (2) trở thành : 2 2
3t + m = 2t € m = - 3t + 2t (3) Xét hàm số 2
f (t) = - 3t + 2t , t 0; È Œ 1 Í ) Î Ta có : ' ' 1
f (t) = - 6t + 2 ; f (t) = 0 € t = 3 Bảng biến thiên :
Phương trình (1) có nghiệm x 1; È Œ + • È Í
)€ phương trình (3) có nghiệm t Œ 0;1 Î Í ) Î 1 € - 1 < m £ 3 Bài 9. Cho phương trình 2 x + 2 2
x - 2x + m.(x - 4).
+ 2 8 + 2x - x - 14 - m = 0 . 4 - x
Tìm m để phương trình có nghiệm thực. Hướng dẫn giải.
Với tập xác định D È = - 2;4 , P Í
) hương trình đã cho tương đương với Î 2 2 2
- (- x + 2x + 8) - m 8 + 2x - x + 2 8 + 2x - x - 6 - m = 0. Đặt t = 2
8 + 2x - x thì t Î [ 0; 3) 2 - t + 2t - 6
Xét hàm số f (t ) ;t 0 È;3 ;˘ = Œ t 1 ÍÎ ˙˚ + 2 - t - 2t + 8 f’(t) =
; f’(t) = 0 Û t = - 4 hoặc t = 2. 2 (t + 1)
Bảng biến thiên của hàm số f(t) trên đoạn [ 0; 3 ] 26
Phương trình đã cho có nghiệm x Î [ - 2; 4) Û Đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số f(t), t
Î [ 0; 3 ] Û - 6 ≤ m ≤ - 2 3
Bài 10. Cho phương trình: 2
21+ 4x - x - x + 3 = m( x +3 + 2 7 - x ), với m là tham số. 4
Tìm tham số m để phương trình có nghiệm thực. Hướng dẫn giải. Điều kiện: 3
- £ x £ 7 .Đặt t = x + 3 + 2 7 - x với xÎ[ 3, - 7] 1 1 7 - x - 2 x + 3 Ta có: t ' = - =
; y ' = 0 Û 7 - x = 2 x + 3 Û x = - 1 2 x + 3 7 - x 2 x + 3 7 - x t( 3
- ) = 2 10,t(7) = 10,t( 1
- ) = 5 2 suy ra: t Î é 10,5 2ù ë û 2 3 t -19 Do 2
t = x + 3 + 2 7 - x Û 21+ 4x - x - x + 3 =
nên phương trình trở thành: 4 4 2 2 t -19 t -19 = mt Û = m 4 4t
Bài 11. Tìm m để pt sau có nghiệm 2 2 2
8x + 4x +13 = m (2x +1) x + 3 . Hướng dẫn giải. 2 2 2
8x + 4x +13 = m (2x +1) x + 3 . Ta đưa pt về dạng đẳng cấp 2 2 2 2 2 2 2
8x + 4x +13 = m (2x +1) x + 3 Û (2x +1) + 4(x + 3) = m (2x +1) x + 3 1 Từ pt suy ra x > 2 2 2 2 2
(2x +1) + 4(x + 3) = m (2x +1) x + 3 Chia hai vế pt cho 2 x + 3, ta được 2 æ 2x +1 ö æ 2x +1 ö 2 Û ç ÷ - m ç ÷ + 4 = 0 2 2 è x + 3 ø è x + 3 ø 2x +1 -1 Đặt t =
, lập bbt với x >
tìm được t Î (0;2) 2 x + 3 2 4 P t trở thành 2 t + = m (1) t
Phương trình ban đầu có nghiệm khi và chỉ khi pt (1) có nghiệm thuộc t thuộc (0;2). 27
Tìm được m > 2 Ú m < -2
Bài 12. (Chuyên Hưng Yên). Giả sử với hai số dương a,b thì phương trình 3 2
x - ax + bx - a = 0, n b - 3n
có các nghiệm đều lớn hơn 1. Xác định giá trị của a,b để biểu thức P =
đạt giá trị nhỏ nhất n a
và tìm giá trị nhỏ nhất đó ( n là số nguyên dương cho trước). Hướng dẫn giải
Gọi x , x , x là các nghiệm của phương trình đã cho. 1 2 3
ìx + x + x = a 1 2 3 ï
Theo định lý Vi-et ta có íx x +x x + x x = b 1 2 2 3 3 1 ïx x x = a î 1 2 3
Theo bất đẳng thức AM - GM ta được 3
x + x + x ³ 3 x x x hay 3
a ³ 3 a Û a ³ 3 3 (*) 1 2 3 1 2 3 Theo bất đẳng thức 2
(x + y + z) ³ 3(xy + yz + zx); " ,
x y, z Î R thì 2 2
b = (x x + x x + x x ) ³ 3x x x (x + x + x ) 1 2 2 3 3 1 1 2 3 1 2 3 hay 2 2
b ³ 3a Û b ³ 3 . a n b - 3n 3n n a - 3n n 3n n 3n Suy ra P = ³ = 3 - ³ 3 - , do (*) n n n a a a (3 3)n 3n -1 Do đó ta có P ³ 3n
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = 3 3;b = 3a = 9. Khi đó phương trình có ba nghiệm trùng nhau 3n -1
và đều bằng 3. Vậy giá trị nhỏ nhất của P là
khi a = 3 3;b = 9. 3n 1 1
Bài 13. Giải phương trình 4 2 x - x + - = 0. 4 2 x x
Bài 14. Tìm m để BPT sau vô nghiệm: ( 2 m - ) 2
4 x + 2(m - 2) x +1³ 0 2 1- 1- 4x
Bài 15. Giải bất phương trình < 3 x
Bài 16. Chứng minh phương trình: 4 3 2 2
- x + mx + nx + px + 2011= 0 có ít nhất 2 nghiệm với " , m , n p Î ! Hướng dẫn giải Xét phương trình: 4 3 2 2
- x + mx + nx + px + 2011= 0 (1) Xét hàm số: 4 3 2 f (x) = 2
- x + mx + nx + px + 201 1 28 4 3 2
lim f (x) = lim ( 2
- x + mx + nx + px + 2011) = -¥ Þ b
$ > 0 sao cho f (b) < 0 x®+¥ x®+¥ 4 3 2
lim f (x) = lim ( 2
- x + mx + nx + px + 2011) = -¥ Þ a
$ < 0 sao cho f (a) < 0 x®-¥ x®-¥ f (0) = 2011> 0
Hàm số f (x) liên tục trên các đoạn [ ;0 a ] và [0;b];
ì f (a). f (0) < 0 í
Þ phương trình có ít nhất 1 nghiệm x Î ;0 a x Î 0;b . 2 ( ) 1 ( ) và ít nhất 1 nghiệm
î f (0). f (b) < 0
Vậy phương trình có ít nhất 2 nghiệm.
Bài 17. Cho các phương trình: 2 2
x - (m +1)x + m - 2 = 0 (1) 4 3 2 2
x + mx - x + 2x + m = 0 (2)
trong đó x là ẩn số và m là tham số (0 < m < 1).
1) Chứng tỏ rằng phương trình (1) có đúng 2 nghiệm phân biệt và 1 nằm trong khoảng nghiệm.
2) Chứng minh phương trình (2) có nghiệm. (Chưa giải)
Bài 18. Cho phương trình 3 2
x + 3x + 2mx - m + 2 = 0; mÎ R .
Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình trên có 3 nghiệm phân biệt x , x , x thoả mãn điều kiện: 1 2 3
x < x <1< x . 1 2 3 (Chưa giải)
Bài 19. Tìm điều kiện của tham số a, b để phương trình sau có các nghiệm lập thành cấp số cộng: 3 2
x - 3x + ax + b = 0. (Chưa giải)
Bài 20. Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất: 2 + x + 5 - x - (2 + x)(5 - x) = m (Chưa giải)
Bài 21. Tìm các giá trị của a để phương trình sau chỉ có một nghiệm: 5a - 3 5(2a +1)(1- a) 1+ = . x - a
(x - a)(x - 3a +1) (Chưa giải)
Bài 22. Giả sử phương trình 3 2
x + x + ax + b = 0 có 3 nghiệm phân biệt.
Hãy xét dấu của biểu thức: 2 a - 3b . Hướng dẫn giải 3 2
y = f (x) = x + x + ax + b = 0. + Tập xác định: R. 2
y ' = 3x + 2x + a là tam thức bậc hai có biệt số D ' = 1- 3 . a + Pt: 3 2
x + x + ax + b = 0có 3 nghiệm phân biệt nên y ' = 0 có 2 nghiệm phân biệt x , x và 1 2 29
f (x ). f (x ) < 0. 1 2 Ï1 Ô - 3a > 0 + Suy ra: Ô Ì
( x , x là hai nghiệm của phương trình 2
3x + 2x + a = 0). f
Ô (x ). f (x ) < 0 1 2 Ô Ó 1 2
+ Thực hiện phép chia đa thức ta được: Ê ˆ 3 2 1 1 1
f (x) = x + x + ax + b = Á Á x ˜
+ ˜ y '+ [(6a - 2)x + 9b - a]. 3 Á Ë 9˜¯ 9 1 1 Suy ra f (x ) =
(6a - 2)x + 9b - a ; f (x ) =
(6a - 2)x + 9b - a . 1 [ 1 ] 2 [ 2 ] 9 9 + 2 2
f (x ). f (x ) < 0 € (6a - 2) x x + (6a - 2)(9b - a)(x + x ) + (9b - a) < 0. 1 2 1 2 1 2 2 a
+ Vì x , x là 2 nghiệm của phương trình: 2
3x + 2x + a = 0nên x + x = - ; x .x = . 1 2 1 2 1 2 3 3 a 2 Do đó: 2 2
(6a - 2) - (6a - 2)(9b - a) + (9b - a) < 0. 3 3 suy ra: 2 2
4(3a - 1)(a - 3b) + (9b - a) < 0. + Vì 2
(9b - a) ≥ 0 và 3a - 1< 0 nên 2
a - 3b > 0.
Bài 23. Cho phương trình: 5 2 4
x - 34x + a -
(x - 1)(x - 33) = . 1
a/ Giải phương trình khi a = 64.
b/ Tìm a để phương trình có nghiệm. Hướng dẫn giải Câu a: +Đặt u = 5 2
x - 34x + a v = 4 (x - 1)(x - 33) . 5 4 Ï u
Ô - (u- 1) = a - 33 +Ta có hệ Ô Ì (I). v Ô = u- 1≥ 0 Ô Ó +Hàm số 5 4
f (u) = u - (u - 1) có 4 3
f '(u) = 5u - 4(u- 1) > 0 " u [ Œ1;+ • ) nên f(u) tăng trên [1; + ¥).
+ a = 64, f (u) = 31= f (2) và f (u) tăng nên hệ (I) chỉ có một nghiệm: (u = 2,v = ) 1 từ đó ta có
nghiệm của phương trình là: x = 17 ± 257. Câu b:
+ f (u ) tăng trên [1; + ¥) mà f ( ) 1 =
1 nên phương trình có nghiệm khi a – 33 ³ 1 hay a ³ 34.
Bài 24. Giải và biện luận phương trình theo tham số m: 2 2 2
(lg cos x) - m log cos x - m + 2 = 0. Hướng dẫn giải 2 2 2
(lg cos x) - m log cos x - m + 2 = 0(1). 30 p p
+Điều kiện: cos x > 0 € -
+ k2p < x < + k2p, k Z Œ . 2 2 2 2 Ï t
Ô - 2mt - m + 2 = 0 (2)
Đặt t = lg cos x. Phương trình trở thành: Ô Ì . t Ô £ 0 Ô Ó S Xét tam thức bậc hai 2 2
f (t) = t - 2mt - m + 2 = 0 có: 2 2 a = 1; = ,
m D ' = 2(m - 1), f (0) = - m + 2. 2
+Trường hợp 1: t = 0 là nghiệm của (2).Khi đó ta có m = ± 2 .
+ m = 2 : (2) € t = 0 hay t = 2 2 nên (1) Û lgcosx = 0 Û cosx = 1Ûx =2kp, kÎZ.
+ m =- 2 : (2) € t = 0 hay t = -2 2 nên (1) lg È cos x = 0 x È = 2kp Û Í Í € , k Z Œ . Í Í -2 2 lg cos x = - 2 2 x Î Í = ± a cco r s10 + 2kp Î
+Trường hợp 2: Phương trình (2) có 2 nghiệm t1, t2 khác 0 (t1 £ t2): 2 2
t = m- 2(m - 1) ; t = m+ 2(m - 1) . 1 2
Với điều kiện (1) có nghiệm nên ta chỉ cần xét 2 trường hợp sau: a/ t £ t < 0; b/ t < 0 < t . 1 2 1 2 2 Ï D Ô ' ≥ 0 Ï 2 Ô (m - 1) ≥ 0 Ô Ô Ô Ô a/ t t 0 Ì S Ô /2 0 Ìm Ô £ < € < € < 0 € - 2 < m £ - 1. 1 2 Ô Ô Ô Ô 2 f Ô (0) > 0 Ô Ô Ó - m - 2 > 0 Ô Ó
Khi đó (2) có hai nghiệm t 2 m± 2(m - 1)
1, t2 âm nên (1) có các họ nghiệm: x = ± arccos10 + 2kp,k Z Œ . b/ 2
t < 0 < t € af (0) < 0 € - m + 2 < 0 € m < - 2 hay m > 2. 1 2 Khi đó (1) Û 2 m- 2(m - 1)
lgcos x = t € x = ± a cco r s10 + 2kp,k Z Œ . 1 +Kết quả:
+ m < - 2 : (1) có nghiệm: 2 m- 2(m - 1) x = ± a cco r s10 + 2kp,k Z Œ .
+ m = - 2 : (1) có nghiệm: -2 2
x = k2p; x = ± a c r cos10 + 2kp,k Z Œ + - 22 m± 2(m - 1) x = ± a cco r s10 + 2kp,k Z Œ + m = 1:
- (1) có nghiệm x = ± a c
r cos0,1+ 2kp,k Z Π.
+ - 1+ m = 2 : (1) có nghiệm x = k2p,k Z Œ .
+ m > 2 : (1) có nghiệm: 2 m- 2(m - 1) x = ± a cco r s10 + 2kp,k Z Œ . 31
BÀI TẬP CHƯA CÓ LỜI GIẢI é2x +1ù 1. Giải phương trình: 2 2
- éx ù = é-x ù. êë 3 ú ë û ë û û 1 1 2. Giải phương trình: + =1 2 2 x (4 - 3x)
3. Cho trước các số nguyên dương a, .
b Chứng minh rằng phương trình 2 x - axy + ( 2 a - b) 2 2 2
4 y + 4by = z có vô số nghiệm nguyên dương. 4. Giải phương trình: 4 3
x –10x – 2(a –1 )
1 + 2(5a + 6-) x + 2a + a = 0. Trong đó a là tham số. 5. Giải phương trình: 1996 1995 1995- x + 1996 - x = 1
6. Giải các phương trình sau: x + 7 1 a) 2
+ + 8 = 2x + 2x -1 ; b) 3 2
x = x + x + . x +1 3 c) 2 2
x -1 = 2x x - 2x 7. Giải phương trình: 2 2
x -3x + 2 + x + x -1 = 0
2. BẤT PHƯƠNG TRÌNH 1. Không có tham số
Dạng 1: Biến đổi tương đương 1 3x Bài 1. Giải bất phương trình: +1 > . 2 2 1- x 1- x (Chưa giải) 9 9 Bài 2.
Giải bất phương trình: 9 - < x - x - x x Lời giải ì 9 9 - ³ 0 ï x ï ï 9 éx ³ 3
Điều kiện: íx - ³ 0 Û x ê ï ë 3 - £ x < 0 ïx ¹ 0 ïî *) Nếu 3 - £ x < 9 9
0 thì x - x - < 0 < 9 - suy ra bất phương trình vô nghiệm. x x 9
*) Nếu x ³ 3 Þ x - x - > 0nên bất phương trình tương đương với x 9 9 9 9 2 2 9 - < x - 2 .
x x - + x - Û x - 9 - 2 .
x x - + x > 0 x x x x 32 ìx ³ 3 ìx ³ 3 ï ï 2 2
( x - 9 - x) > 0 Û í Û í 1± 37 2 ïî x -9 ¹ x ïx ¹ î 2 1± 37
Vậy tập nghiệm là S = [3;+¥)\{ } 2 Bài 3. Giải bất phương trình: 2 2
2(x -1) x + 2x -1 £ x - 2x -1. (1) Hướng dẫn giải éx ³ 1 - + 2 Điều kiện: 2
x + 2x -1 ³ 0 Û ê . êëx £ 1 - - 2
Û x - - x + x - - x + ³ 2 2 Û 2
- - x + 2x -1 2x - x + 2x -1 ³ 0 ( )2 2 2 (1) 1 2 1 ( 1) 0 ( )( ) 2
Û 2x - x + 2x -1 £ 0 (do 2 2
- - x + 2x -1 < 0) 2
Û 2x £ x + 2x -1 (*) +) Với x £ 1 - - 2 thì (*) luôn đúng. +) Với x ³ 1
- + 2, bình phương 2 vế của (*) suy ra vô nghiệm.
Vậy, bất phương trình có nghiệm x £ 1 - - 2. Bài 4. Giải bất phương trình: 2 2
x - 4x + 3 - 2x - 3x + 3 ³ x - . 1 Hướng dẫn giải é êx ³ 3 2
ìïx - 4x + 3 ³ 0 ê +) Điều kiện: í Û x =1 2 ê
ïî2x - 3x +1³ 0 ê 1 êx £ ë 2
+) Với x=1 BPT hiển nhiên đúng suy ra x=1 là nghiệm +) Với x ³
3 suy ra BPT Û (x - 3)(x -1) - (x -1)(2x -1) ³ x - 1 chỉ ra vô nghiệm
+) Với x £ 2 suy ra BPT Û (1- x)(1- 2x) - (1- x)(3 - x) £1- x. 1 Chỉ ra nghiệm x £ 2 33 éx =1
+) Kết luận: BPT có nghiệm ê 1 êx £ ë 2 Bài 5.
Giải bất phương trình sau: 2 2 2
x + x -10x + 9 > x + 2 x -10x + 9. Hướng dẫn giải
Điều kiện x Î(- ;1 ¥ ]È[9;+¥). Với 2 2
x + x -10x + 9 > 0 Û x -10x + 9 > -x suy ra 2 2
x -10x + 9( x -10x + 9 - 2 + 2x) > 0 do đó 2
x -10x + 9 > 0và 2
x -10x + 9 > 2 - 2x . 5
Kết luận tập nghiệm S = (- ;1) È (9;+¥) . 3 Dạng 2: Đặt ẩn phụ Bài 1.
Giải bất phương trình: 3 x +1 + 2x + 4 < 3- x 2. (Chưa giải) Bài 2. Giải bất phương trình: 2
2x - 4x + 6 - 2x -1 > x - 2, xÎ!. Hướng dẫn giải. 1 Điều kiện x ³ . 2
Biến đổi bất phương trình về dạng: 2
2(x - 2) + 2(2x -1) > x - 2 + 2x -1 u ì = x - 2 ï Đặt:
Khi đó, bất phương trình có dạng: 2 2
2u + 2v > u + v (1) í ïv = 2x -1 ³ 0 î Ta có: ( 2 2
2 u + v ) ³ (u + v)2 = u + v ³ u + v
Dấu đẳng thức xảy ra khi u = v
Vậy (1) Û u ¹ v ìx ³ 2 ï
Xét trường hợp u = v , ta có: 2x -1 = x - 2 Û íéx =1 Û x = 5 ïê îëx = 5 é1 ö
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: ;+¥ \ ê ÷ { } 5 . ë2 ø Bài 3. Giải phương trình: 2
x - 3 + 5 - x ³ x -8x +18. 34
Dạng 3: Sử dụng hàm số æ x + y ö 2y Bài 1. Chứng minh rằng: ln > với x > 0 và y > 0. ç ÷
è x ø 2x + y • x + y Đặt t = >1 x • x + y
Vì x > 0 và y > 0 nên: t =
Û tx = x + y Û y = x(t -1) x y x t - t - • 2 2 ( 1) 1 Do đó: = = 2 . 2x + y
2x + x(t -1) t +1 t - • 1
Bài toán trở thành chứng minh: ln t > 2 với mọi t > 1. t +1 • t -1
Xét hàm số y = f(t) = ln t - 2 với mọi t > 1. t +1 (t - )2 1 • y’ =
³ 0 nên hàm số đồng biến trên khoảng (0; +¥). 2 t(t +1) t - • 1
Do đó: t > 1 Þ f(t) > f(1) = 0 Þ ln t - 2 >0. t +1 t - • y 1
Cách giải khác: Đặt t = và đưa đến chứng minh: ln t > 2 . Giải tương tự. x t +1 Bài 2. Giải bpt cos4x+3 2 cos4x+3 2 cos4x+3 (2x) + (1- x ) ³ (1+ x ) , 0 < x < 1 (1).
• (1đ) Biến đổi về dạng: ay + by ³ 1: Chia hai vế của (1) cho (1 + x2)cos4x + 3 > 0 ta được: os c 4x + 3 os c 4x + 3 2 æ 2x ö æ1- x ö (1) Û + ç ÷ ç ÷ ³ 1 (2). 2 2 è1+ x ø è1+ x ø
• (4 đ) Tìm ra nghiệm của (1): 2 2 2 2 æ x ö æ - x ö • 2x 1- x 2 1
Vì 0< x < 1 nên: 0 < <1,0 < <1 và + ç ÷ ç ÷ = 1 2 2 1+ x 1+ x 2 2 è1+ x ø è1+ x ø os4x c + 3 os4x c + 3 2 æ 2 2 x ö æ - x ö 2 æ x ö æ - x ö • 2 1 2 1 Và cos4x + 3 ³ 2 nên: + £ + ç ÷ ç ÷ = . 1 ç 2 ÷ ç 2 ÷ è1+ x ø è1+ x ø 2 2 è1+ x ø è1+ x ø p
• Dấu bằng xảy ra khi chỉ khi: cos4x + 3 = 2 Û cos4x = -1 Û x = (vì 0< x <1). 4 p
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất: x = . 4 æ p p ö p
Cách khác: Đặt x = tgt, t Î - ;
nên 0< x <1 Û 0 < t < . ç ÷ è 2 2 ø 4
(2) Û (sin2t)cos4x + 3 + (cos2t)cos4x + 3 ³ 1. Dạng 4: Đánh giá Bài 1.
[Đề chọn HSG Sở Quảng Trị,2010] Giải bất phương trình : 2
x - 3 + 5 - x ³ x -8x +18. 2. Có tham số Bài 1.
Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm duy nhất: 35 log 11+ 2
log ( x + mx + 10 + 2
4) log (x + mx + 12) ≥ 0. m 1 m 7 Hướng dẫn giải.
Điều kiện: m > 0 và m π 1, 2 x + mx + 10 ≥ 0.
Bất phương trình đã cho tương đương với: 1- 2
log ( x + mx + 10 + 2
4) log (x + mx + 12) 7 11 ≥ 0. (*) log m 11 Đặt 2
u = x + mx + 10, u ≥ 0.
+ Với 0 < m < 1: (*) € f (u)= log
u + 4 log u + 2 ≥ 1 7 ( ) 11( ) Ta thấy f (9)= 1 và f (u
)là hàm đồng biến nên ta có:
f (u)≥ f ( ) 2 2
9 € u ≥ 9 € x + mx + 10 ≥ 9 € x + mx + 1≥ 0
Vì phương trình trên có 2
D = m - 4 < 0 với 0 < m < 1 nên phương trình trên vô nghiệm Þ bất
phương trình đã cho vô nghiệm.
+ Với m > 1: Ta có: f (u)£ 1= f (9)€ 0 £ u £ 9. ÏÔ 2
x + mx + 10 ≥ 0 (1) 2
€ £ x + mx + 10 £ 9 Ô € Ì . Ô Ô 2 x + mx + 1£ Ó 0 (2) Xét phương trình 2
x + mx + 1= 0 có 2 D = m ñ 4.
Nếu 1< m < 2 € D < 0 Þ (2) vô nghiệm Þ bất phương trình đã cho vô nghiệm.
Nếu m > 2 fi D > 0 fi phương trình trên có 2 nghiệm đều thoả mãn (1) và (2) Þ bất phương trình
đã cho có nhiều hơn một nghiệm.
Nếu m = 2 Þ (2) có nghiệm duy nhất x = - 1 Þ bất phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = - 1.
Vậy giá trị cần tìm của m là: m = - 2. Bài 2.
Tìm m để bất phương trình 2
x - 2x + 4 (4 - x)(x + 2) -18 + m ³ 0 đúng với mọi x Î[- ; 2 .] 4 Bài 3.
[Đề hsg Dương Xá,2008-2009] Cho bất phương trình: 2
x + 4 - x £ 4x - x + m + 3
Xác định m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi xÎ[0; ] 4 . Lời giải 0 ì £ x £ 4 0 ì £ x £ 4 Điều kiện í Û í 2 2
î4x - x + m + 3 ³ 0(2)
îm ³ x - 4x -3(2) 36
Điều kiện cần để bpt (1) nghiệm đúng với x
" Î[0;4]thì (2) nghiệm đúng x " Î[0;4] Xét f(x)= x2-4x-3 Bảng biến thiên x 0 2 4 f(x) -3 -3 -7
Từ bảng biến thiên (2) đúng với x " Î[0;4]
Û m ³ max f (x) Û m ³ 3 - [0;4] PT Û 2 2
4 + 2 4x - x £ 4x - x + m + 3 Đặt 2
t = 4x - x Bảng biến thiên x 0 2 4 2 t 0 0
Dựa vào bảng biến thiên suy ra 0 £ t £ 2
Bất phương trình trở thành g(t)=-t2+2t+1 £ m (3)
Để bất phương trình đầu nghiệm đúng với x
" Î[0;4]thì (3) có nghiệm đúng với t
" Î[0;2]. Û m ³ max g(t) [0;2] 37 t 0 1 2 2 g(t) 1 1
Từ BBT suy ra m ³ 2 .
Kết luân m ³ 2 thì bpt (1) nghiệm đúng x " Î[0;4]. III. HỆ PHƯƠNG TRINH 1. Không có tham số
Dạng 1: Biến đổi tương đương
ìïy x -1+5 = 3x (2)
Bài 25. Giải hệ phương trình: í 3 ïîx + (x + ) 2 3
1 y + 2y = y + ( y + ) 2 1 x + 2xy (3) Hướng dẫn giải Điều kiện: x ³ . 1 é y = x -1 é y = x -1
Phương trình (3) Û (x - y - )( 2 2
1 y -2y + x ) = 0 Û ê Û ê 2 2
ë y - 2y + x = 0 êë( y - )2 2 1 + x -1= 0 é y = x -1 ê Û ìx =1 ê Û y = x - .1 í ( ì v x ³1) êëîy =1
(vì (1;1) không thỏa phương trình(2))
Thay vào phương trình (2), ta được : 3 é x -1 =1 éx = 2
( x -1) -3(x - ) 1 + 2 = 0 Û ê Û ê ( ) n .
êë2 x -1 = x -3 êëx = 5+ 2 3 Vậy ( , x y) = (2; ) 1 ;( , x y) = (5+2 3;4+2 3). 2 2
ìï x - y -6 = 2 x - y -3 x + y
Bài 26. Giải hệ phương trình sau trên tập số thực: í 2 3 3
ï x - 2 - 2 y + x + 5y -15 = 0 î Hướng dẫn giải 38 2 2
ìï x - y -6 = 2 x - y -3 x + y (1) Đặt í . 2 3 3
ï x - 2 - 2 y + x + 5y -15 = 0 (2) î ìx - y ³ 0 ï
Điều kiện: íx + y ³ 0. ïx ³ 2 î
(1) Û ( x + y - 2)( x - y + 3) = 0 Û y = 4 - x Thay vào (2) ta được: 3 2
3 x - 2 - 2 4 - x + x -5x + 5 = 0 æ x 3 æ ö 3 ö - - Û x 3 - 2ç
÷ + (x - 3)(x - 2) = 0 ç ÷ è x - + ç 3 2 3 2 1ø
(4 - x) + 4 - x +1÷ è ø éx = 3 ê Û 3 2 ê + + x - 2 = 0 (*) 3 2 3 ê x - 2 +1
(4 - x) + 4 - x +1 ë
Phương trình (*) vô nghiệm do: x ³ 2 Þ x - 2 ³ 0 Þ VT > 0 .
Vậy x = 3 và y = 1 là nghiệm của hệ phương trình. 3 2 2 3
ìx y(1+ y) + x y (2 + y) + xy -30 = 0
Câu 8. Giải hệ phương trình: í 2 2 î
x y + x(1+ y + y ) + y -11 = 0
ìï x + 2y + 4x + y = 5
Câu 9. Giải hệ phương trình: í ( ,x yÎ! ). ïîx - y =1 3 2 ì 3 2 6 4 x xy x +xy y + y + e - e + ln = 0 ï
Câu 10. Giải hệ phương trình: 6 4 y + í y ( y > 0) ï 2
8 3 - 4y = 3+ 24x -16 î x Lời giải 3
Điều kiện: x > 0; 0 < y £ . 4 3 2 x xy x xy y y + - Ta có 3 2 6 4 3 2 + + e - e + ln = 0 x + Û xy e + ln( 3 2 x + xy ) 6 4 y + = y e + ln ( 6 4 y + y 6 4 ) (1). y + y t t 1
Xét hàm số f (t) '
= e + ln t ( t > 0 ) Þ f (t) = e + > 0, t
" > 0, suy ra hàm số g(t) đồng t
biến trên khoảng (0;+¥). Kết hợp với (1) ta có 3 2 6 4 3 6 2
x + xy = y + y Û x - y + y ( 2 x - y ) = Û ( 2 x - y )( 2 2 4 2
x + xy + y + y ) 2 0
= 0 Û x = y (2)
- Thế (2) vào phương trình còn lại của hệ đã cho ta được: 39 2 4 4 2
8 3 - 4y = 3+ 24y -16y Û 16y - 24y + 8 3 - 4y - 3 = 0 (3) Xét hàm số g ( y) 4 2
=16y - 24y + 8 3- 4y - 3 16 16 3 ' Þ g ( y) 3 = 64y - 48y - =16y ( 2 4y - 3) - < 0, 0< " y £ 3 - 4y 3 - 4y 4 æ 3 ö
Suy ra hàm số g ( y) nghịch biến trên khoảng 0;
, từ đó phương trình ( 3) có nghiệm duy ç ÷ è 4 ø 1 1
nhất y = , suy ra x = . 2 2 æ ö
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( x y) 1 1 , = , . ç ÷ è 2 2 ø 2
ì 4 - x + y +8 = y + 7x -1 ï
Bài 27. Giải hệ phương trình: í
ï 2(x - y)2 + 6y - 2x + 4 - x = y +1. î ì y ³ 1 - Điều kiện : í î0 £ x £ 4
2( x - y)2 + 6y - 2x + 4 - x = y +1 2 2
Û 2x - 4xy + 2y - 2x + 6y + 4 = x + y +1+ 2 x ( y + ) 1
Û 2 éx - 2x( y + ) 1 + ( y + )2 2
1 ù + y +1+ x = 2 x ( y + ) 1 ë û
Û 2( y +1- x) + ( x - y +1)2 = 0 Û y = x -1
Thế vào pt đầu ta được 2
4 - x + x + 7 = x + 5x Û ( 2
x + 3x - 3) + x +1- 4 - x + x + 2 - x + 7 Û ( æ 1 1 ö 2 x + 3x - 3) 1+ + ç ÷ è x +1+ 4 - x x + 2 + x + 7 ø ì 3 - + 21 ïx = ï 2 2
Û x + 3x - 3 = 0 Þ í ï 5 - + 21 y = ïî 2 ì y 2
x - (x + y) = ï Bài 28. Giải hpt 3 x - í y ( , x y Î ! ) . ï 2 2
î2(x + y ) - 3 2x -1 =11 40 1 Điều kiện x ≥ 2
Từ phương trình thứ nhất dễ dàng suy ra được y > 0. y 2
x - (x + y) = 3 x- y 2 2 3
Û x - (x + y)( x - y -1) + x - (x + y) - y = 0 2 2 2
x - (x + y)(x - y -1)
x - (x + y) - y Ta có Û + = 0 3 2 2 3
(x - y) + x - y +1
x - (x + y) - y 2 æ x (x y) ö - + x + Û y (x - y -1)ç + ÷ = 0 ç 3 2 2 3 (x y) x y 1 x (x y) ÷ - + - + - + - è y ø
Û x - y -1 = 0 Û y = x -1
Thay vào phương trình thứ hai ta được 2
4x - 4x + 2 - 3 2x -1 =1 1
Đặt t = 2x -1 ta được t4 – 3t – 10 = 0 Û t = 2 5 3
Từ đó tìm được (x, y) = ( , ) 2 2 ìx, y > 0 ï
Bài 29. Tìm tất cả các số thực x, y thỏa hệ: íx + y = 2 . ï 1+ 1 + î x y x y ³1 Hướng dẫn giải
Ta chứng minh nếu các số x, y thỏa mãn hai điều kiện đầu thì x 1 + y 1 + x y £1Û (x + ) 1 ln x + ( y + ) 1 ln y £ 0
Thay y = 2 - x,ta chứng minh
f (x) = (x + )
1 ln x + (3- x)ln(2 - x) £ 0 với 0 < x < 2
Ta có f (x) = x - ( - x) 1 1 ' ln ln 2 + + x - 2 x é ù f ( x) 1 1 1 1 '' = + - ê + ú 2
x 2 - x ê x (2- x)2 ú ë û 2 1 1 1 æ 1 1 ö (x - )2 1 æ 1 1 ö £ + - + = - ç ÷ x - x è x - x ø x ( - x) + £ 0 ç ÷ 2 2 2 2 è x 2 - x ø
Do đó f '(x)nghịch biến trên (0;2),hơn nữa f '( )
1 = 0nên f '(x)nhận giá trị dương trên (0 ) ;1 và âm
trên (1;2).Suy ra f (x) £ f ( )
1 = 0với mọi xÎ(0;2).
Từ đó,hệ phương trình có nghiệm x = y = 1. 41 4 3 3 2 2
ìïx + x y +9y = y x + x y +9x
Bài 30. Giải hệ phương trình sau: í 3 3
ïîx(y - x ) = 7 Hướng dẫn giải 4 3 3 2 2 2 2
ìïx + x y +9y = y x + x y +9x
ìïx(x - y)(x + y) = 9(x - y)
ìïx(x + y) = 9 í Û í Û í 3 3 3 3 3 3
ïîx(y - x ) = 7
ïîx(y - x ) = 7
ïîx(y - x ) = 7 ì 3 ì 3 y = - x ì 3 ï y = - x x y = - ï ï ï x Û í x Û í Û í x æ 3 ö ï 3 3 3 3 ï ï 3 4
îx(y - x ) = 7 x ( - x) - x = 7 ç ÷
î(3- x x) - x x = 7 ï x î è x ø ì 3 ì 3 y = - x y = - ï ï x Û í x Û í x ï 4 3 ï 4 3
î2x x - 9x + 27x x + 7 x - 27 = 0
î2x x - 9x + 27x x + 7 x - 27 = 0 ì 3 y = - ï x Û í x ï 4 3 3 2 2
î( x -1)(2x + 2x x + 2x - 7x x - 7x - 7x x + 20x + 20 x + 27) = 0 ì 3 ì 3 y = - ï x ïy = - x ìx =1 Û í x Û í x Û í ï ï îy = 2 3
î( x -1)((x + x +1)(2x - 7x x + 20) + 7) = 0 îx =1 2 2
ì x + x - y 9 ï = x 2 2
ï x - x - y 5
Bài 31. Giải hệ phương trình í . ï x 5 + 3 = x ï y 6(5- î y) Hướng dẫn giải ìy ¹ 0 ïy ¹ 5 ï ĐK: í . 2 2 x ³ ï y ï 2 2
x - x - y ¹ 0 î 9 x
Từ (2) suy ra: x = 6 -1 (2'). 5 y
Do y ¹ 0 phương trình (1) tương đương với 2 2 x x - + y y y = x x 6 -1 (1').Đặt = u 2 2 x x - y y y - y y 42 2 u - u -1
* Xét y > 0:phương trình (1')trở thành: = 6u -1. 2 u + u -1 5
Nhân liên hợp của mẫu số đưa về phương trình: 2
u u - 3- u -1 = 0 được nghiệm u = 0;u = . ( ) 3
+ u = 0 suy ra x = 0 không thoả mãn => loại. 5 x 5 + u = Û
= .Thế vào (2') được x = 5; y = 3. 3 y 3 2 u + u -1
* Xét y < 0:phương trình (1')trở thành:
= 6u -1.Phương trình này có nghiệm u=0 suy ra 2 u - u -1
x=0 (Không thoả mãn điều kiện bài toán).
Vậy hệ đã cho có một nghiệm ( ; x y) = (5;3).
ì2( 3x + 2x - y - ) 2 1 = x ( y + ï )1
Bài 32. Giải hệ phương trình : í . 2 2 2
ïx 2x - y + y + 3 = -y + 2x + 2 î Hướng dẫn giải Ta có: 2 2
(1) Û 2x(x + 2) - 2(y +1) = x ( y +1) 2 2
Û 2x(x + 2) = (y +1)(x + 2) Û 2x = y +1 Û y = 2x -1 Thế vào (2) ta có : 2 2 2
x 2x - (2x -1) + 2x -1+ 3 = -(2x -1) + 2x + 2 2 2 Û x 2 - x + 6x +1 = 4 - x + 6x +1
é - x + x + = x Û x 2
- x + 6x +1 = ( 2 - x + 6x + ) 2 2 6 1 2 2 2 2 1 - 2x Û ê 2 êë 2
- x + 6x +1 = -x ìx ³ 0 3 + 15 15 2 2
- x + 6x +1 = 2x Û í Û x = Þ y = 2 2 î 2
- x + 6x +1 = 4x 6 6 ìx £ 0 3- 2 3 3 - 2 3 2 2
- x + 6x +1 = -x Û í Û x = Þ y = 2 2 î 2
- x + 6x +1 = x 3 3 æ 3+ 15 15 ö æ 3- 2 3 3- 2 3 ö
Vậy nghiệm của hệ PT là: ç ; ÷ và ç ; ÷. ç 6 3 ÷ ç ÷ è ø 3 3 è ø 2
ì 4 - x + y +8 = y + 7x -1 ï
Bài 33. Giải hệ phương trình: í
ï 2(x - y)2 + 6y - 2x + 4 - x = y +1. î Hướng dẫn giải 43 ì y ³ 1 - Điều kiện : í . î0 £ x £ 4
2( x - y)2 + 6y - 2x + 4 - x = y +1 2 2
Û 2x - 4xy + 2y - 2x + 6y + 4 = x + y +1+ 2 x ( y + ) 1
Û 2 éx - 2x( y + ) 1 + ( y + )2 2
1 ù + y +1+ x = 2 x ( y + ) 1 ë û
Û 2( y +1- x) + ( x - y +1)2 = 0 Û y = x -1
Thế vào pt đầu ta được : 2
4 - x + x + 7 = x + 5x Û ( 2
x + 3x - 3) + x +1- 4 - x + x + 2 - x + 7 Û ( æ 1 1 ö 2 x + 3x - 3) 1+ + ç ÷ è x +1+ 4 - x x + 2 + x + 7 ø ì 3 - + 21 ïx = ï 2 2
Û x + 3x - 3 = 0 Þ í ï 5 - + 21 y = ïî 2 2 2
ìïx + 2y + xy = 4
Bài 34. Giải hệ phương trình: í 2 2
ïîx - y + 2xy = 2 (Chưa giải) 2 2
ìï x + x + y +1+ x+ y + x+ y +1+ y =18
Bài 35. Giải hệ phương trình: í 2 2
ï x + x + y +1 - x + y + x + y +1 - y = 2 î (Chưa giải) 3 2
ìx + (y - z) = 2 ï
Bài 36. Giải hệ phương trình: 3 2
íy + (z - x) = 30 ï 3 2
z + (x - y) = 16 î (Chưa giải) ì3
ï x - y = x - y
Bài 37. Giải hệ phương trình: í
ïx + y = x + y + 2 î (Chưa giải)
Bài 38. Giải các hệ phương trình ì 8xy 3 2
ìx = 9z - 27(z -1) 2 2 x + y + =16 ï ï a) x + í y b) 3 2
íy = 9x - 27(x -1) ï 2
x + y = x - ï î y 3 2
z = 9y - 27( y -1) î (Chưa giải)
Bài 39. Giải các hệ phương trình: 44 3 2
ìx - 9y + 27y - 27 = 0 3 ìx = 2y -1 ï 2 2 2
ìïx + y + z + 2xy - zx - zy = 3 ï a) 3 2
íy - 9z + 27z - 27 = 0 b) í c) 3 íy = 2z -1 ï 2 2
ïîx + y + yz - zx - 2xy = 1 - 3 2
z - 9x + 27x - 27 = 0 ï 3 î z = 2x -1 î (Chưa giải) 6 3 2 2
ìïx - y + x -9y -30 = 28y
Bài 40. (Trại hè Hùng Vương 2013) Giải hệ phương trình í
ïî 2x +3 + x = y Hướng dẫn giải
Từ phương trình đầu của hệ ta có
( 2x - y- )( 2y + y( 2 + x ) 4 2 3 6
+ x + 3x +10) = 0 2 éx = y + 3 Û ê 2 ê y + ë y ( 2 6 + x ) 4 2
+ x + 3x +10 = 0 (*)
Coi (*) là phương trình bậc 2 ẩn y ta có 4 D = 3
- x - 4 < 0 "x nên (*) vô nghiệm.
Do đó hệ phương trình tương đương với 2 ìïx = y +3 2 í
Þ 2x + 3 + x = x -3
ïî 2x +3 + x = y x x
Û (x - x + )(x + + x + ) é = 2 + 3 2 3 1 2 3 = 0 Û ê
êëx +1+ 2x + 3 = 0
Từ đó ta tìm được nghiệm của hệ là (3;6),(- 2;- ) 1
Bài 41. (Thi cụm Quỳnh Lưu, năm 2016-2017) Giải hệ phương trình sau: 3 2 3 2
ì2x + xy + x = 2y + 4x y + 2y (1) ï í 2
ï 4x + x + 6 - 5 1+ 2y =1- 4y (2) î Hướng dẫn giải 1 Điều kiện: y ³ - 2 (1) 2 2
Û (x - 2y)(2x + y +1) = 0 Û x = 2y .
Thay vào (2) ta có phương trình 2
4x + x + 6 + 2x =1+ 5 x +1 (3) Xét x = 1
- thỏa mãn (3), suy ra y = - 1 x +1 Xét x > 1 - : (3) 2
Û 4x + x + 6 - (1- 2x) = 5 x +1 Û = x +1 2
4x + x + 6 +1- 2x 45
éx +1= 0 Þ x = 1 - (l i oa ) Û ê 2
êë 4x + x + 6 +1- 2x = x +1 (4) ì 1 ïx ³ 2 + 7
Kết hợp (3) và (4) ta được 2 x +1 = 2x -1 Û í 2 Û x = 2 2
ïî4x -8x -3 = 0 1 2 + 7 2 + 7
Kết luận: Hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm: ( ; x y) = ( 1 - ;- );( ; ) 2 2 4 Dạng 2: Đặt ẩn phụ (ì2
ï - x)(2 + y) = 8 Bài 1.
Giải hệ phương trình: í 2 2
ïx 4 - y + y 4 - x = 4 î Hướng dẫn giải ìx = 2cos 2u Điều kiện: ;
x y Î[ - 2;2]. Đặt í với u,v [0; p Î ]. îy = 2cos 2v 2 ì
ì(1- cos 2u)(1+ cos 2v) = 2 2 2 u v = si
ì n u cos v =1/ 2 sin cos 1/ 2 ï HPT Û í Û í Û í p
îcos 2u sin 2v + cos 2vsin 2u =1 si î n 2(u + v) =1 ïu + v = î 4 ì p sin
ì (u + v) + sin(u - v) = 2 sin ì (u - v) =1/ 2 u - v = ï ì p ïu = Û ï ï ï í Û í Û 4 í Û í 4 (thỏa). p p ïu + v = ïu + v = p î ï ï 4 î 4 u + v = îv = 0 ïî 4 ì p ïx = 2cos = 0
Kết luận: nghiệm hệ phương trình là í 2 . ïîy = 2cos0 = 2 2 2
ìx +1+ y + xy = 4y ï Bài 2.
Giải hệ phương trình: í y ïx + y - 2 = 2 î x +1
Ta thấy y = 0 không là nghiệm của hệ phương trình đã cho,
ta xét các giá trị y ¹ 0 , chia hai vế của PT thứ nhất cho y ¹ 0 ta được 2
ì x +1 + x+ y = 4 ïï y í
ïx + y - 2 = y ï 2 î x +1 2 x +1 Đặt u =
, v = x + y ta có hệ phương trình y 46 ìu + v = 4 ìv = 4 - u ìu =1 í Û í Û í îu(v - 2) =1
îu(4 - u - 2) =1 îv = 3 2 ì x +1 ìu = 1 ï = 1 Với í ta có í y (*) îv = 3 ï îx + y = 3
Giải hệ PT (*) ta được hai nghiệm (-2; 5) , (1; 2)
Vậy hệ PT ban đầu có hai nghiệm (-2; 5) , (1; 2) ( 2 2 ì x + ï
y )(x + y + 2) = 4( y + 2) Bài 3.
Hệ phương trình tương đương với í 2 2 ïx + y + î
x ( y + 2) + ( y + 2)( y - 2) = 0
+ Với y = -2 thì hệ phương trình vô nghiệm
+ Với y ¹ -2, chia hai vế của hai phương trình cho y + 2 ta có 2 2 ì x + y ï (x + y + 2) = 4 ï y + 2 í 2 2
ï x + y + x + y - 2 = 0 ïî y + 2 2 2 x + y Đặt a =
, b = x + y + 2 y + 2 ìa + b = 4 ìa + b = 4 ï ìa = 2
Khi đó ta có hệ phương trình í Û í Û í îab = 4 ( ï a - 2 î )2 = 0 îb = 2 2 2 ì x + y ï = 2 ìy = -x éx =1, y = 1 - Do đó í y + 2 Û í Û 2 ê ï îx + x - 2 = 0 ëx = 2, - y = 2 îx + y + 2 = 2
Kết hợp với điều kiện thì hệ phương trình có hai nghiệm (x; y): (1; -1), (-2; 2) (
ìï x + 2) 2x -1+( y + 2) 2y -1 = 2. (x + 2)( y + 2) Bài 4.
Giải hệ phương trình: í (x, y Î ! ).
ïîx + y = 2xy
ì (x + 2)(2x - ) 1 ( y + 2)(2y - )1 1 1 ï + = 2
Điều kiện x ³ , y ³ ,(*). Viết lại hệ dưới dạng: í y + 2 x + 2 2 2 ï
îx + y = 2xy ì (x + 2)(2x - )1 ïu = ³ 0 ï y + 2 Đặt í Þ uv = (2x - ) 1 (2y - )
1 = 4xy - 2(x + y) +1 = 1 ï ( y + 2)(2y - )1 ïv = ³ 0 î x + 2 47 ìu + v = 2
Hệ phương trình trở thành : í Û u = v =1 îuv =1 ( ì x + 2 ï )(2x - ) 2 1 = y + 2
ìï2x + 3x - 4 = y (
ìï x - y)(x + y + 2) = 0 hay í Û í Û í ( ï y + 2 î )(2y - ) 2 2 1 = x + 2
ïî2y + 3y - 4 = x
ïî2x + 3x - 4 = y
ìïx - y = 0 do( ) * Û í Û ( ; x y)Î ( { 1; )1,( 2 - ; 2 - )}. 2
ïî2x +3x - 4 = y
Kết hợp điều kiện (*) ta được nghiệm của hệ là: ( ; x y) = (1; ) 1 . Bài 5.
Giải hệ phương trình sau: 4 4 2 2 ì x y æ x y ö x y ï + - ç + ÷ + + = -2 1 4 4 2 2 ( ) í y x è y x ø y x ï 3 2 4
x + x +15y + 30 4 27(1- y) (2) î = Hướng dẫn giải x y Đặt + = t (t ³ 2) y x 2 2 x y 2 Þ + = t - 2 2 2 y x 4 4
x + y = t -2 = t -2t +4 4 4 ( )2 2 4 2 y x ( ) 4 2 Ût - t + -( 2 1 4 2
t - 2)+t + 2 = 0 4 2
Û t - 5t + t + 6 = 0 Û (t + )( 3 2
2 t - 2t -t + ) 3 = 0 ét + 2 = 0 Û ê 3 2
ët - 2t - t + 3 = 0 ét ³ 2 Xét f (t) 3 2
= t - 2t -t + 3 với ê ët £ -2 f (t) 2 ’ = 3t - 4t - 1 t 2 - 7 2 + 7 - ¥ -2 2 +¥ 3 3 f’(t) + + 0 - 0 + + f(t) +¥ -11 1 48 - ¥ Þ f (t)Î(- ; ¥ 1 - ] 1 È[1;+¥).
Þ f (t) = 0 vô nghiệm Þ t = 2 - . Þ x = - y . ( ) 3 2 4
2 Û x + x -15x + 0
3 = 4 27(1- y) , đk: x ³ 1 - . Ta có : 4
4 27(1- y) £ 3+ 3+ 3+ x +1= x +10 . 3 2
Þ x + x -15x + 30 £ x +10 Û (x - )2 2 (x +5) £ 0( ) 3 Do x ³ 1
- Þ x + 5 > 0 ÞVT ( ) 3 ³ 0 Û x = 2 (t/m).
ìï2x + y -1 = 5 Bài 6.
Giải hệ phương trình : í
ïî2y + x -1 = 5 Hướng dẫn giải 2
ìïu = x -1 ³ 0 Þ x = u +1 +) Đặt í 2
ïv = y -1 ³ 0 Þ y = v +1 î 2
ìï2u + v -3 = 0 +) Đưa về hệ: í 2
ïî2v + u -3 = 0 éìu = v êí 2
êî2u + v - 3 = 0
êì2u + 2v -1= 0 êí 2
êëî2u + v -3 = 0
Giải hệ (I) ta được u = v =1Þ x = y = 2 Hệ (II) vô nghiệm
Vậy hệ có nghiệm x = y = 2 . Bài 7.
[Đề xuất, Chyên Lào Cai, DHDDBBB, 2015] Giải hệ phương trình: 3 2
ìïx + xy +( 2 2
x + y - 4)( y + 2) = 0 í 2 2
ïîx + 2y + xy + 2x - 4 = 0 Lời giải ( 2 2 ì x + ï
y )(x + y + 2) = 4( y + 2)
Hệ phương trình tương đương với í 2 2 ïx + y + î
x ( y + 2) + ( y + 2)( y - 2) = 0
+ Với y = -2 thì hệ phương trình vô nghiệm 49
+ Với y ¹ -2, chia hai vế của hai phương trình cho y + 2 ta có 2 2 ì x + y ï (x + y + 2) = 4 ï y + 2 í 2 2
ï x + y + x + y - 2 = 0 ïî y + 2 2 2 x + y Đặt a =
, b = x + y + 2 y + 2 ìa + b = 4 ìa + b = 4 ï ìa = 2
Khi đó ta có hệ phương trình í Û í Û í îab = 4 ( ï a - 2 î )2 = 0 îb = 2 2 2 ì x + y ï = 2 ìy = -x éx =1, y = 1 - Do đó í y + 2 Û í Û 2 ê ï îx + x - 2 = 0 ëx = 2, - y = 2 îx + y + 2 = 2
Kết hợp với điều kiện thì hệ phương trình có hai nghiệm (x; y): (1; -1), (-2; 2) Bài 8.
[Đề thi hsg Ngô Gia Tự, Vp, 2012-2013] Giải hệ phương trình: 3
ìï x - y =10- x + y í 2
ï2x + 2x x + y - y x + y = 25 + î xy Lời giải
ìa = 2x - y ìa + b =10 Đặt : ï khi đó ta có hpt : . í í
ïb = x + x + î y î . a b = 25 Bài 9.
[Đề xuất, Chuyên Thái Bình, DHĐBBB,2015] Giải hệ phương trình sau: 4 2 2 2 3 2 2
ìïx + x y - y = y + x y + x í 5(
ï x y + 7 + (x +1) 2x + y + 8) =13(2x +1) î Lời giải ì2x + y + 8 ³ 0 ĐKXĐ: í î y + 7 ³ 0 2 2 éx + y = 0 2 2 2
Từ (1) ta được: (x + y )(x - y -1) = 0 Û ê 2 ëx = y +1
Trường hợp đầu suy ra x=y=0 nhưng ko là nghiệm của hệ
Do vậy ta được: x2 = y + 1 (1 điểm).
Thay vào phương trình (2) ta được: 2 2
5(x x + 6 + (x +1) x + 2x + 7) =13(2x +1) 50 2 2 b - a -1 2 2 2 2
a = x + 6; b = x + 2x + 7 Þ 2x +1 = b - a Þ x = 2 é Thay êa = b (a b)( ê Þ -
5(a + b)2 - 26(a + b) + 5) = 0 Þ a + b = 5 ê ê 1 êa + b = ë 5
Dễ thấy a + b ³ 2 6 nên trường hợp thứ ba bị loại.
Hai trường hợp đầu ta tính được x=-1/2
KL: Hệ có một nghiệm x=-1/2; y=-3/4
Bài 10. Giải hệ phương trình sau: 2 2 ìx + 2x xy = ï y y í 2 ; x, y Î ! ( 3 3 2 ï 4x + y + 3 î x
x )(15 x + y) = 3 x ( y y + x y + 4x x ) Hướng dẫn giải
Điều kiện: x ³ 0, y ³ 0.
Đặt a = x,b = y ( a ³ 0,b ³ 0).Hệ phương trình đã cho trở thành 4 3 5
ìa + 2a b = b ( ) 1 ï í (ï4a +b +3 î
a )(15a +b ) = 3a(b + a b + 4a )2 6 6 5 2 3 2 3 (2)
Nhận xét: a = 0 Þ b = 0; b = 0 Þ a = 0.Do đó ( ,
a b) = (0,0) là một nghiệm của hệ.
Bây giờ ta xét a > 0,b > 0.Đặt b = ka Þ k > 0 .Với cách đặt này thì
Phương trình (1)trở thành: 1+ 2 5 1+ 2 = Û = k k ak a (3) 5 k
Phương trình (2)trở thành:
( a +a k + a )( a +k a ) = a(k a +a k + a )2 6 6 6 5 2 2 2 3 3 3 3 4 3 15 3 4 (4) 5 æ 3k öæ 1+ 2k 2 ö Thay (3)vào (4)ta được: 6 4 ç + k + 5 ÷ + = ç ÷ ( 3 k + k + 4 3 ) (5) è 1+ 2k øè 3k ø
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz cho vế trái của (5)ta được: 2 5 æ 3k öæ 1+ 2 æ k ö 3k 1+ 2 ö k 4 ç + k + 5 ÷ + ³ ç ÷ ç 5 4 + k + . ÷ 3 ( ) 5 6 6 3 è 1+ 2k øè 3k ç ø 1+ 2k 3k ÷ è ø = ( ( + )( +k ) 2 2 2 6 2 1 4
+ k ³ 4 + k + k ) ( )2 3 51
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi k = 1.Khi đó a = b = 3 hay x = y = 9.
Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm ( ; x y) là (0;0),(9;9). 2 2 ì
2x - 5xy - y = 1 ï
Bài 11. Giải hệ phương trình sau: í . 2 2
ïy( xy - 2y + 4y - xy) =1 î Hướng dẫn giải
+ Điều kiện: 4y ³ x ³ 2y > 0.
+ Trừ vế với vế hai phương trình của hệ ta được: 2 2 2 2
2x - 5xy - y - y
xy - 2y + 4y - xy = 0. ( ) 2 æ x ö æ x ö x x
Chia cả hai vế của PT cho 2 y ,ta được: 2 - 5 -1- - 2 - 4 - = 0. ç ÷ ç ÷ è y ø è y ø y y x + Đặt
= t Þ t Î[2;4] ta có phương trình: y 2
2t - 5t -1- t - 2 - 4 - t = 0.
Û 2t(t - 3) + t - 2( t - 2 -1) + (1- 4 - t ) = 0. æ t - 2 1 ö Û (t -3)ç2t + + ÷ = 0. ç t 2 1 1 4 ÷ - + + - è t ø t - 2 1
Với t Î[2;4] thì 2t + + > 0.
t - 2 +1 1+ 4 - t 1 3
Với t = 3 suy ra x = 3y thay vào PT (1): 2 2y =1Þ y = Þ x = . 2 2 æ 3 1 ö
Kết luận:Nghiệm của hệ phương trình là: ; . ç ÷ è 2 2 ø 2 ìz + 2xyz =1 ï
Bài 12. Giải hệ phương trình: 2 2 2 3 4 3
í x y + 3xy =1+ x y
(x, y, z Î! ). ï 4 3 2
z + zy + 4y = 4y + 6 î y z Hướng dẫn giải 2 ìz + 2xyz =1 ( )1 ï Giải hệ phương trình: 2 2 2 3 4 3
í x y + 3xy =1+ x y (2) . ï 4 3 2
ïz + zy + 4y = 4y + 6y z (3) î 2 1-
Vì z = 0 không thỏa hệ pt nên ( ) 1 Û = z xy . 2z 52 æ æ p p ö ö
Đặt z = tan u u Î - ; \ ç ç ÷ { }
0 thì xy = cot 2u. è 2 2 ÷ è ø ø 2 3cot 2u -1 Từ (2): y = = tan 6 . u 3 cot 2u - 3cot 2u 3
4 tan 6u - 4 tan 6u Vậy x = cot 2 .
u cot 6u .Thay vào (3): z = = tan 24 . u 4 2
1+ tan 6u - 6 tan 6u kp
Vậy tan u = tan 24u Þ u = (k Î!). 23 æ p p ö ì p 11p ü Vì u Î - ; \ ç ÷ { } 0 nên u Î í± ,..., ± ý. è 2 2 ø î 23 23 þ kp
Vậy tan u = tan 24u Þ u = (k Î!). 23 æ p p ö ì p 11p ü Vì u Î - ; \ ç ÷ { } 0 nên u Î í± ,..., ± ý. è 2 2 ø î 23 23 þ ì p 11p ü Vậy hệ có nghiệm: ( ,
x y, z) = (cot 2t.cot 6t;tan 6t;tant) trong đót Îí± ,..., ± ý. î 23 23 þ 3 2
ìïx +1= 2(x - x + y)
Bài 13. Giải hệ phương trình: í 3 2
ïîy +1= 2(y - y + x) (Chưa giải) 2 2 ìx - 2y =1 ï
Bài 14. (Chuyên Vĩnh Phúc 2010 – 2011) Giải hệ phương trình: 2 2
í2y - 3z = 1 ( x, y, z Î ! )
ïxy + yz + zx =1 î Hướng dẫn giải
+) Nếu x = 0 thay vào hệ ta có hệ vô nghiệm
+) Nếu x ¹ 0 ta đặt y = a ;
x z = bx thay vào hệ ta được 2 ìx ( 2 1- 2a ) =1 ï 2 2 2 2 2 ( )ï 1
ìï - 2a = 2a -3b ìï4a -3b =1 2 1 íx ( 2 2
2a - 3b ) =1 Þ í Û í 2 2 1 ï
ïî - 2a = a + ab + b ï2a + a -1+ î b(a + ) 1 = 0 2
ïx (a + ab + b) = 1 î éìa = 1 - êí 2 2 2 2 ìï4a -3b =1 ìï4a -3b =1 êîb = 1 ± Û í Û í Û ( ï a + î
)1(2a - )1+b(a + ) 1 = 0 ( ï a + î ) 1 (2a -1+ b) = 0 êìb =1- 2a êí 2
êëî2a -3a +1= 0 53 ìa = -1 +) Nếu í
thay vào (1) không thỏa mãn îb = ±1 éìa =1 êíb ìb = - a êî = 1 - 1 2 ì ì 1 a = 1 ïa = +) Nếu í Û ê thay í
vào (1) không thỏa mãn, thay í 2 vào (1) ta có 2 ì 1 î2a - 3a +1 = 0 êïa = îb = 1 - ï êí 2 îb = 0 êï ëîb = 0 æ ö æ ö
x = ± 2 . Do đó nghiệm của hệ là ( x y z) 1 1 ; ; = 2; ;0 , - 2; - ;0 ç ÷ ç ÷ è 2 ø è 2 ø
Bài 15. (Chuyên Hoàng Văn Thụ - Hòa Bình, năm 2013) Giải hệ phương trình sau: ì y 2
x - ( x + y) = ï 3 x - í y (x, yÎ! ). ï2 î ( 2 2
x + y ) - 3 2x -1 =11 Hướng dẫn giải 1 Điều kiện x ³ ; 2
x - (x + y) ³ 0; x ¹ y 2 1
Từ phương trình thứ nhất suy ra y và x - y cùng dấu mà y + x - y = x ³ nên y ³ 0. Ta có 2
y = 0 từ phương trình thứ nhất suy ra x = 1 mà (1;0) không thỏa mãn pt thứ 2 nên y > 0 y 2
x - ( x + y) = 3 x- y 2
Û x - (x + y) ( x - y - ) 2 3
1 + x - ( x + y) - y = 0 2
x - ( x + y) ( x - y - ) 2 1
x - ( x + y) 2 - y Û + = 0 (x - y)2 2 3 3 + x - y +1
x - ( x + y) + y æ 2 ö ( )
x - ( x + y) x + y x y 1 ç ÷ Û - - + = 0 ç (x- y)2 2 ÷ 3 3 + x - y +1
x - ( x + y) + è y ø
Û x - y -1 = 0 Û y = x -1
Thay vào phương trình thứ hai ta được 2
4x - 4x + 2 - 3 2x -1 =1 1 æ ö
Đặt t = 2x -1 ta được 4
t - 3t -10 = 0 Û t = 2.Từ đó tìm được ( x y) 5 3 ; = ; ç ÷ è 2 2 ø 3 3 3 1 ìï + x y =19x
Bài 16. Giải hệ phương trình í 2 2 ïîy + xy = 6 - x
Bài 17. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất 54 2
ì x + 2013 + y +1 = ï m í 2 2
ï x y + 2y + 2013 = 2013- x - î m Hướng dẫn giải: 2
ì x + 2013 + y +1 = ï m (I) í 2 2
ï x y + 2y + 2013 = 2013- x - î m 2
ì x + 2013 + z = ï m
* Đặt z = y +1. Ta có (II) í 2 2
ï x z + 2012 = 2013- x - î m
Nhận xét : Hệ (I) có nghiệm duy nhất Û hệ (II) có nghiệm duy nhất
* Điều kiện cần : Giả sử hệ (II) có nghiệm duy nhất ( ; x z). Vì ( ;
x z) là nghiệm của (II) nên ( ; x -z),(- ; x -z),(- ;
x z) cũng là nghiệm của (II)
Do đó để (II) có nghiệm duy nhất thì x = z = 0.
Với x = z = 0, ta có : m = 2013 * Điều kiện đủ : 2
ì x + 2013 + z = 2013 (1) ï
Với m = 2013. Ta có í 2 2
ï x z + 2012 = 2013- x - 2013 (2) î * Vì 2
x + 2013 + z ³ 2013,"x, z, Dấu = xảy ra x = z = 0 nên (1) Û x = z = 0 ( Thỏa mãn (2 ))
Do đó hệ (II) có nghiệm duy nhất x = z = 0 .
* Vậy hệ (I) có nghiệm duy nhất Û hệ (II) có nghiệm duy nhất Û m = 2013 . 2 2 ì
2x - 5xy - y = 1 ï
Bài 18. Giải hệ phương trình sau: í 2 2
ïy( xy - 2y + 4y - xy) =1 î Hướng dẫn giải: 2 2 ì
2x - 5xy - y = 1 (1) ï Ta có: í 2 2
ïy( xy - 2y + 4y - xy) =1 (2) î
+) Điều kiện : 4y ³ x ³ 2y > 0.
+ Trừ vế với vế hai phương trình của hệ ta có: 2 2 2 2
2x - 5xy - y - y
xy - 2y + 4y - xy = 0 ( ) 2 æ x ö æ x ö x x
Chia cả hai vế của PT cho 2 y , ta có: 2 - 5 -1- - 2 - 4 - = 0 ç ÷ ç ÷ è y ø è y ø y y 55 x + Đặt
= t Þ t Î[2;4] ta có phương trình: y 2
2t - 5t -1- t - 2 - 4 - t = 0
Û 2t(t - 3) + t - 2( t - 2 -1) + (1- t - 2 -1) = 0 æ t - 2 1 ö Û (t - 3)ç2t + + ÷ = 0 ç t 2 1 1 t 2 ÷ - + + - è ø t - 2 1
Với t Î[2;4] thì 2t + + > 0
t - 2 +1 1+ t - 2 1 3
Với t = 3 suy ra x = 3y thay vào PT (1): 2 2y =1Þ y = Þ x = 2 2 æ 3 1 ö
Kết luận: Nghiệm của hệ phương trình là: ; ç ÷ è 2 2 ø 4 2 2 2 3 2 2
ìx + x y - y = y + x y + x ( )1 ï
Bài 19. Giải hệ phương trình sau: í 5
î (x y + 7 + ( x + )
1 2x + y + 8) =13(2x + ï )1 (2) Hướng dẫn giải:
ì2x + y + 8 ³ 0 ĐKXĐ: í îy + 7 ³ 0 éx + y = 0
Từ (1) ta được: ( x + y )( x - y - ) 2 2 2 2 2 1 = 0 Û ê 2 ëx = y +1
Trường hợp đầu suy ra x = y = 0 nhưng ko là nghiệm của hệ Do vậy ta được: 2 x = y + 1
Thay vào phương trình (2) ta được: ( 2 x x + + (x + ) 2 5 6 1
x + 2x + 7 =13 2x +1 (*) ) ( ) 2 2 - -1 Đặt 2 2 2 2 = + 6; = + 2 + 7 Þ 2 +1= - Þ = b a a x b x x x b a x 2 é êa = b ê
Thay vào (*) ta được (a - b) é (a + b)2 5
- 26(a + b) + 6ù = 0 Û a + b = 5 ê ë û ê 1 êa + b = ë 5
Dễ thấy a + b ³ 2 6 nên trường hợp thứ ba bị loại. 1
Hai trường hợp đầu ta tính được x = - 2 56 1 3
KL: Hệ có một nghiệm x = - ; y = - . 2 4 (ì 2 x + x +1 ï )( 2 y + y +1) =1 (1)
Bài 20. Giải hệ: í
(x, y Î ! ) 2 ï 1+ 1- x = x( 2 1+ 2 1- y î ) (2) Hướng dẫn giải:
Điều kiện: x £1, y £1 "x, y Î ! ( 2 x + x +1)( 2 -x + x +1) =1 ( 2 y + y +1)( 2 -y + y +1) =1 2 2
ìïy + y +1 = -x + x +1 (3)
Kết hợp với (1) ta được: í 2 2
ïx + x +1 = -y + y +1 (4) î
Cộng (3) và (4) ta được y = -x, thế vào (2) ta được: 2 2
1+ 1- x = x 1+ 2 1- x (5) ( ) é p ù
Đặt x = sin t,t Î 0;
, phương trình (5) trở thành ê 2 ú ë û
1+ cost = sin t(1+ 2cost) t t t é æ t öù 2
Û 2 cos = 2sin .cos . 1+ 2 1- 2sin ê ç ÷ 2 2 2 ë 2 ú è øû é p 4p t = + k t t 2 t p ê 3 6 3 Û 3sin - 4sin = Û sin 3 = sin Û ê 2 2 2 2 4 p 4p êt = + ê k ë 2 3 é p t = é 1 é p ù ê x = Với t Î 0; ta được 6 ê ê Þ 2 ê 2 ú ë û p ê êt = ëx =1 êë 2 æ 1 1 ö
Vậy hệ phương trình có nghiệm (x,y) = ;- ; (x,y) = (1;-1) ç ÷ è 2 2 ø
Dạng 3: Sử dụng hàm số (ì 2 x + x + 4 ï )( 2 y + y +1) = 2 Bài 1.
Giải hệ phương trình sau trên tập số thực: í . 2 3 3
ïî6y -5y +1= x +1 Hướng dẫn giải 57 (ì 2 x + x + 4 ï )( 2
y + y +1) = 2 (2) Đặt í . 2 3 3
ïî6y -5y +1= x +1 (3)
pt ( ) Û x + x + = - y + (- y)2 2 2 4 2 2 + 4
Û f (x) = f ( 2
- y) với f (t) 2
= t + t + 4,t Î! . 2
f ¢(t) t + t + 4 = > 0,"t Î! . 2 t + 4
Suy ra f(t) đồng biến trên ! . Do đó: ( ) = ( 2 - ) Û = 2 - Û = - x f x f y x y y 2 Thế = - x y
vào phương trình (3) ta được: 2 3 3 3x +5x + 2 = 2 x +1 2 Û ( )3 ( ) ( 3 ) 3 3
x +1 + 2 x +1 = x +1 + 2 x +1. Đặt 3 3 u = x +1,v = x +1.
Phương trình trở thành: 3 3
u + u = v + v Û (u -v)( 2 2 2 2
u +uv +v + 2) = 0 éx = 0 3 3 Û u = v Û x +1= x +1 Û ê ëx = 1 - æ ö
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm: ( ) 1 0;0 , 1 - ; . ç 2 ÷ è ø Bài 2. Giải hệ phương trình ì 3 3 x + 4x + 2 = + 4 6 - 2 ï y y - 4 ï ï 3 3 íy + 4y + 2 = + 4 6 - 2z z - 4 ï ï 3 3 z + 4z + 2 = + 4 6 - 2 ï x x - 4 î Hướng dẫn giải
Điều kiện: x, y, z £ 3. 3
Xét các hàm số f (t) 3
= t + 4t + 2, g (t) = + 4 6 - 2t trên ( ] ;3 -¥ . t - 4 3 4
Khi đó ta có f '(t) 2
= 3t + 4 > 0, g '(t) = - - < 0,"t < 3 . (t - 4)2 6 - 2t
Mà f (t), g (t) là các hàm số liên tục trên ( ] ;3
-¥ suy ra f (t) đồng biến trên ( ] ;3
-¥ và g (t) nghịch biến trên ( ] ;3 -¥ .
Không mất tính tổng quát ta giả sử x = min{ , x y, } z . Khi đó ta có: 58
Nếu x < y Þ g (x) > g ( y) Þ f (z) > f (x) Þ z > x Þ g (z) < g (x) Þ f ( y) < f (z)
suy ra y < z Þ g ( y) > g (z) Þ f (x) > f ( y) Þ x > y , vô lí vì x < y .
Do vậy x = y , tương tự lí luận như trên ta được x = z suy ra x = y = z . 3
Thay trở lại hệ ta được 3 x + 4x + 2 = + 4 6 - 2x (1). x - 4
Theo trên, bên trái là hàm đồng biến, bên phải là hàm nghịch biến, nên phương trình có nhiều nhất 1 nghiệm
Mà x = 1 là nghiệm nên nó là nghiệm duy nhất của phương trình (1).
Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là x = y = z = 1. 3 3 2
ìx - y + 3y + x - 4y = -2 ï Bài 3.
Giải hệ phương trình : í 2 3
ï x + y = 5x - î y Hướng dẫn giải 3 3 2 3 3
ìx - y + 3y + x - 4y = 2 -
ìx + x = (y -1) + (y -1) ï ï Ta có : í Û í . 2 3 2 3
ï x + y = 5x - î y
ï x + y = 5x - î y
Hàm số f(x) = x3 + x là hàm số đồng biến trên R nên phương trình f(x) = f(y - 1) Û x = y – 1. 3 3
ìx + x = (y -1) + (y -1) ìx = y -1 ìx = y -1 ï ï ï Do đó í Û í Û í . 2 3 2 3 2 3
ï x + y = 5x - î y
ï x + y = 5x - î y
ï (y -1) + y = 4y - 5 î ì 5 ïy ³ é y = 2 Ta có 2 3
( y -1) + y = 4y - 5 Û í 4 Û . ê ï ë y =12 3 2
îy -15y + 38y - 24 = 0 ìx =1 ìx =11 Vậy hệ có 2 nghiệm : í ;í . îy = 2 îy =12 Bài 4. Giải hệ phương trình: 3 2x+7 2 ì 64.y + 2 æ 1 ö ïlog + y = +1 + 2. y + 2 ï 2 ç x ÷ 2y +1 í è 2 ø (ï2x - y+ )3 1 + 2x = 1+ ïî y Lời giải.
Phương trình (2) Û ( x - + )3 2 1 + 2x y - y +1 = 2.
Xét hàm số f (t) 3
= t + t,"t Î R, ta có: / f (t) 2
= 3t +1> 0,"t Î R do đó hàm số f (t) đồng biến trên ! . 59
từ (2) ta suy ra f ( )
1 = 2 . Vây 2x - y +1 =1 Û = 2x y Þ y > 0 2 3 2 64.y +128.y æ 1 ö Thay = 2x y vào (1) ta được: log + y = +1 + 2. y + 2 2 ç ÷ 2y +1 è y ø 8y y + 2 1 2 Û log + y = ( +1) 2 + y + 2 2 2y +1 y æ ö Û 1 1 log y + 2 +
y + 2 -1 = log (2 + ) + (2 + ) -1 2 ( ) 2 2 (3) 2 ç ÷ y è y ø
Xét hàm số: f (a) = log a + a -1 2 ( )2, (a>0) 1 1 2 Þ f '(a) = + 2a - 2 ³ 2 .2a - 2 = 2 - 2 > 0 a ln 2 a ln 2 ln 2
Vậy hàm f (a) là hàm đồng biến trên khoảng (0, +¥ ), do đó: Û f ( y + ) æ 1 ö 1 (3) 2 = f 2 + Û y + 2 = 2 + ç ÷ è y ø y é y = 1 - 4 1 3 2 y 2 4 y 2y 4y 1 0 ê Û + = + + Û - - - = Û 2 3 ± 13 y y ê y = êë 2 3 + 13 x 3 + 13 3 + 13
Kết hợp điều kiện ta nhận được y = suy ra 2 = Û x = log 2 2 2 2 æ 3 + 13 3 + 13 ö
Vậy hệ phương trình có nghiệm çlog ; ÷ 2 ç 2 2 ÷ è ø 4008 2004 2 ìïx + x
> 2004 x + 2004x (1) Bài 5. Giải hbpt í (x > 3). 4006 2003 2 ïîx + x
< 2003 x + 2003x (2)
§ (2 đ) Đặt y = 2004. Do x > 0, y > 0 nên ta được:
(1) Û x2y + xy > y2x + yx Û x2y – y2x + xy – yx >0 Û (xy – yx)(xy + yx + 1) > 0
Û xy – yx > 0 Û xy > yx ( do xy + yx + 1 > 0). § ln x ln y ln x ln 2004
(1.5 đ) xy > yx Û ln(xy) > ln(yx) Û ylnx > xlny Û > . Vậy: > (3). x y x 2004 ln 2003 ln
Biến đổi tương tự, bất phương trình (2) trở thành: > x (4). 2003 x ln 2004 ln x ln 2003
Từ (3) và (4), hệ đã cho trở thành: < < (5). 2004 x 2003 § ln x 1- ln x
(1.5 đ) Xét hàm số: y = f(x) = , y’= <0, "x > 3. x 2 x 60 ln 2004 ln x ln 2003
Nên hàm số nghịch biến trên khoảng ( 3; +¥), do đó: < < tương đương với 2004 x 2003 2003 < x < 2004. 3 2 3
ìx - x y = x - x + y +1 ï ( )1 Bài 6.
Giải hệ phương trình: í 3 2 ïx - 9y + 6 î (x -3y) 3 2 -15 = 3 6x + 2 (2) Giải: Ta có ( ) 2 1 Û x (x - ) 1 + (x - ) 1 - y ( 2 x + ) 1 = 0 Û ( 2 x + ) 1 (x - y - ) 1 = 0 Û y = x -1 Thế vào (2) 3 x - 9( x - )2 1 + 6( 2 x - 3x+3) 3 2 -15 = 3 6x + 2 3 2 3 2
Û x - 9x + 6x - 6 = 3 6x + 2 3 2 2 3 2
Û x - 3x + 6x - 4 = 6x + 2 + 3 6x + 2 Û (x - )3 1 + 3( x - ) 1 = ( 2 6x + 2) + ( 3 2 3 6x + 2 ) (*) Xét f (z) 3
= t + 3t trên ! f (z) 2 '
= 3t + 3 > 0"t Î!
Þ f (z)đồng biến trên ! ( ) ** Từ ( ) * và ( ) 3 2 ** Þ x -1 = 6x + 2 Û (x - )3 2 1 = 6x + 2 3 2
Û x - 9x + 3x - 3 = 0 Û 2( 3 2 x - 3x + 3x - ) 1 - ( 3 2 x + 3x + 3x + ) 1 = 0 Û 2(x - )3 1 = ( x + )3 1 3 Û 2 (x - ) 1 = x +1 Û ( 3 2 - ) 3 1 x = 2 +1 3 2 +1 Û x = 3 2 -1 3 3 ì7x + y + 3 ï xy(x - y) 2 =12x -6x +1 (1) Bài 7. Giải hệ phương trình í . 2 2
ï2 x + 3 - 9 - y + y =1 (2) î 61 (Chuyên Bắc Giang) Lời giải Điều kiện xác định: 3 - £ y £ 3.
Phương trình (1) tương đương với phương trình:
(x - y)3 = ( x - )3 2 1 Û y =1- x (3)
Thế (3) vào (2) ta được: 2 2
2 x +3 - 8+ 2x - x - x = 0 2 2
Þ 2 x +3 = 8+2x- x + x Þ ( 2 x + ) 2 4
3 = 2x + 8 + 2x 8 + 2x - x Þ (x - )2 2 2
1 - x 8+ 2x - x - 3 = 0 ( ) Þ (x - ) é x ù 2 1 ê2 + ú = 0 2 ë 8 + 2x - x + 3û éx -1 = 0 ê Þ x . ê2 + = 0 2 êë 8+ 2x - x + 3 Ta có hai trường hợp:
* TH 1: Nếu x = 1 thì y = 0.
Thử lại vào hệ phương trình ban đầu thấy thỏa mãn. x * TH 2: Nếu 2 +
= 0 thì ta có phương trình 2 8+ 2x - x + 3 2
2 8+ 2x - x = -x - 6 ì-x - 6 ³ 0 Û í (vô nghiệm). 2 5
î x + 4x + 4 = 0
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là ( ; x y) = (1;0). 62
ì2x - 2y + 2x + y + 2xy +1 =1 ïï Bài 8. Giải hệ phương trình: 3 3
í 3y +1 = 8x - 2y -1 ïx > 0 ïî Hướng dẫn giải
ìï2x - 2y + 2x + y + 2xy +1 =1 (1) í 3 3
ï 3y +1 = 8x - 2y -1 (2) î (1) Û (2x + ) 1 - 2( y + ) 1 + (2x + ) 1 ( y + ) 1 = 0 ì2x +1 > 0
ĐK: (2x + 1)(y + 1) ³ 0 Mà x > 0 Þ í îy +1 ³ 0
(1) Û ( 2x +1- y +1)( 2x +1+ 2 y +1) = 0 Û 2x +1- y +1 = 0 Û y = 2x Thay vào (2): 3 3
6x +1 = 8x - 4x -1 Û ( x + ) + x + = ( x)3 3 6 1 6 1 2 + 2x (3)
Hàm số f(t) = t3 + t đồng biến trên R 1 (3) 3 Û 6x +1 = 2x 3 Û 4x - 3x = 2
NX: x >1 không là nghiệm của phương trình é p 2p p a = + ê k
Xét 0 < x £ 1: Đặt x = cosa với 0 £ a < 1 Ta có: cos3a = 9 3 Û ê (kÎ Z ) Do 2 2 p 2p a ê = - + ê k ë 9 3 p p 0 £ a £ Þ a = 2 9 æ p p ö
Vậy hệ có nghiệm cos ;2cos ç ÷ è 9 9 ø Bài 9.
[Đề xuất Chuyên Biên Hòa, DHĐBBB 2014-2015] (4,0 điểm):
Giải hệ phương trình sau trên tập số thực ì = ( + ) 1 1 x y ï x x y í 2 2 1 ï + 4
- x +18x - 20 = y +1 + 2 î 2x - 9x + 8 Lời giải
Điều kiện 𝑦 > −1; 2 ≤ 𝑥 ≤ 5/2.
Đặt 𝑡 = √−4𝑥! + 18𝑥 − 20 → 0 ≤ 𝑡 ≤ 1/2. 63
Phương trình (2) tương đương với 2𝑥! − 9𝑥 + 6 4−4𝑥! + 18𝑥 − 20 + = 4𝑦 + 1 2𝑥! − 9𝑥 + 8 4 𝑓(𝑡) = 𝑡 + 1 + 0 ≤ 𝑡 ≤ 1/2. 𝑡! + 4
Ta có 𝑓(𝑡) đồng biến trên [0; 1/2] nên 1
2 = 𝑓(0) ≤ 𝑓(𝑡) ≤ 𝑓 = > = 83/34 < 5/2 2
Suy ra 4𝑦 + 1 ≥ 2 → 𝑦 + 1 ≥ 4.
Xét phương trình (1) tương đương với 𝑙𝑛𝑥 ln(𝑦 + 1) = 𝑥 𝑦 + 1 𝑙𝑛𝑡 1 − 𝑙𝑛𝑡 𝑔(𝑡) = , 𝑔,(𝑡) =
, 𝑔,(𝑡) > 0 ↔ 𝑡 < 𝑒 𝑡 𝑡!
Xét 2 ≤ 𝑥 ≤ 5/2 ta có hàm số g(x) đồng biến.
Xét 𝑦 + 1 ≥ 4 ta có hàm số g(y+1) nghịch biến
Ta có 2 ≤ 𝑥 ≤ 5/2 nên 𝑔(𝑥) ≥ 𝑔(2) ↔ 𝑔(𝑥) ≥ 𝑙𝑛2/2
𝑦 + 1 ≥ 4 nên 𝑔(𝑦 + 1) ≤ 𝑔(4) = 𝑙𝑛2/2
Mặt khác g(x) liên tục trên (0 ; +∞) nên 𝑔(𝑥) = 𝑔(𝑦 + 1) = 𝑙𝑛2/2
Khi đó 𝑥 = 𝑦 + 1; 𝑥 = 2; 𝑦 = 3
Vậy hệ có nghiệm duy nhất ( 2 ; 3)
Bài 10. [Đề dữ liệu, Chuyên Lê Hồng Phong, DHĐBBB, 2015] Giải hệ phương trình: ì æ 2x + y +1 ö ïlog ï ç ÷ = 3( 2 x + 2 - x - 3 3 2 ) í è x + 2 +1ø (ï2+3x+y x y ï x y î ) 1-( + ) .5 = 7 + - 2 Lời giải x+ y x+ æ ö æ ö y
Điều kiện: 2x + y +1 > 0 Ta có ( ) 1 3 2 Û 10. + 5. - 7x+y + 2 = 0 ç ÷ ç ÷ è 5 ø è 5 ø æ 1 öt æ 3 öt
Đặt t = x + y ta có phương trình 10. + 5. - 7t + 2 = 0 (*) ç ÷ ç ÷ è 5 ø è 5 ø æ öt æ öt Xét hàm số ( ) 1 3 = 10. + 5. - 7t f t + 2 với t Î ! ç ÷ ç ÷ è 5 ø è 5 ø æ öt æ öt Ta có ( ) 1 1 3 3 ' =10. ln + 5. ln - 7t f t ln 7 < 0 "t Î ç ÷ ç ÷ ! è 5 ø 5 è 5 ø 5
Nên hàm số f (t) nghịch biến trên ! 64 Mà f ( )
1 = 0 suy ra phương trình (*) có nghiệm duy nhất t = 1
Với t = 1 ta có x + y = 1
(2) Û log (2x + y + ) 1 - log ( 2x + 2 + ) 2
1 = 3 x + 2 - 3x - 3 3 3 Û log x + 2 - log
x + 2 +1 = 3 x + 2 - 3x - 3 3 ( ) 2 2 3 ( )
Û log (x + 2) + 3(x + 2) = log ( 2x + 2 + )1+3( 2x + 2 +1 ** 3 3 ) ( )
Xét hàm số g (t) = log t +3t với t > 0 ta có g (t) 1 ' = + 3 > 0 "t > 0 3 t ln 3
Þ g (t) đồng biến trên (0; + ¥) Do đó phương trình ( ) ** có dạng
g ( x + 2) = g ( 2x + 2 + ) 2 2
1 Û x + 2 = x + 2 +1 Û x + 2 = x +1 ìx +1³ 0 ï ìx ³ 1 - 1 Û í Û í Û x = ïx + 2 = î (x + )2 2 1 î2x =1 2 1 1
Với x = ta có y = (thỏa mãn điều kiện 2x + y +1 > 0) 2 2 æ ö
Vậy hệ có nghiệm ( x y) 1 1 ; = ; ç ÷ è 2 2 ø
ì xy - y - y + = (x - y)2 8 2 8 4 ï
Bài 11. Giải hệ phương trình: í . 3x - 8
ï 2x - 7 + y -1 = î 2 Hướng dẫn giải 7
+ ĐK: x ³ ; y ³ 1. 2 + Biến đổi ( )
1 được: (xy - y) +
xy - y + = (x + y)2 4 2 8 2 4 .
Û ( xy - y + )2 = (x+ y)2 2 2 2
Û ... Û y = x - 2. 3 - 8
+ Thế vào (2) ta được: 2 - 7 + - 3 = x x x . 2
Áp dụng BĐT Cauchy ta được: x - + x - ▪ x - = ( x - ) 2 7 1 2 6 2 7 2 7 .1 £ = . 2 2 x - + x - ▪ x - = (x - ) 3 1 2 3 3 .1 £ = . 2 2 65 3 -8 Suy ra 2 - 7 + - 3 £ x x x
.Dấu ' = ' xảy ra khi và chỉ khi x = 4. 2 Vậy nghiệm ( ;
x y) cần tìm là (4;2).
Bài 12. Giải hệ phương trình sau: 3 2 x x ( x 1- e ) x 1 1 - ì -
+ + e (2 - y) + xy - 2x - y + 2 = 0 ï í (x, y Î ! ). 2 2
ï 4x + 2y + 8x -14 + x + 2x - y - 2 = 3 î ( x+5+ x+2) Hướng dẫn giải (1) 2 x y ( x 1 ( 2) - Û + - x - e - ) 1 = 0 (3) Xét hàm số x 1 f (x) - = x - e - 1 trên ! ; x 1 f '(x) 1 -
= - e ; f '(x) = 0 Û x = 1 x -¥ 1 +¥ f '(x) + 0 - 1 - f (x)
Từ bảng biến thiên, ta có f (x) £ 1 - ,"x Î ! Do đó 2
(3) Û y = 2 - x
Thế vào phương trình (2) ta được: 2 2
2x + 8x -10 + 2x + 2x - 4 = 3( x +5 + x + 2 + ) 1 (4)
Điều kiện xác định của (4) là: x ³1 (*). Với đk (*), ta có:
(4) Û (2x - 2)(x + 5) + (2x - 2)(x + 2) - 3( x +5 + x + 2) = 3
Û 2x - 2 ( x +5 + x + 2)-3( x +5 + x + 2) = 3
Û ( x +5 + x + 2)( 2x - 2 -3) = 3
Û 2x - 2 - 3 = x + 5 - x + 2
Û ( 2x - 2 - x + 5) + ( x + 2 - 3) = 0 x - 7 x - 7 Û + = 0 2x - 2 + x + 5 x + 2 + 3 æ 1 1 ö Û (x - 7) + = 0 ç ÷
è 2x - 2 + x + 5 x + 2 + 3 ø 1 1
Û x = 7 (tm (*)) ( Vì + > 0 "x ³1) 2x - 2 + x + 5 x + 2 + 3
Với x = 7 Þ y = 4
- 7 (thỏa mãn điều kiện).
Vậy hệ có nghiệm duy nhất ( ; x y) = (7;- 47). 3 3 2
ìx - y + 3y + x - 4y = -2 ï
Bài 13. Giải hệ phương trình : í 2 3
ï x + y = 5x - î y 66 Hướng dẫn giải 3 3 2 3 3
ìx - y + 3y + x - 4y = 2 -
ìx + x = (y -1) + (y -1) ï ï Ta có : í Û í . 2 3 2 3
ï x + y = 5x - î y
ï x + y = 5x - î y
Hàm số f(x) = x3 + x là hàm số đồng biến trên R nên phương trình f(x) = f(y - 1) Û x = y – 1. 3 3
ìx + x = (y -1) + (y -1) ìx = y -1 ìx = y -1 ï ï ï Do đó í Û í Û í 2 3 2 3 2 3
ï x + y = 5x - î y
ï x + y = 5x - î y
ï (y -1) + y = 4y - 5 î ì 5 ïy ³ é y = 2 Ta có 2 3
( y -1) + y = 4y - 5 Û í 4 Û ê ï ë y =12 3 2
îy -15y + 38y - 24 = 0 ìx =1 ìx =11 Vậy hệ có 2 nghiệm : í ;í îy = 2 îy =12 2 3 3 2 3
ìï x y + 2xy - y(y -9) = 27
Bài 14. Giải hệ phương trình : í (x, y Î! ) . 3 2 2 2
ïîx y + 4xy -9y +5y = 9 Hướng dẫn giải +) y = 0 không thỏa mãn ì 9 27 2 3x + 2x -1+ = ï 2 3 ï y y +) y ≠ 0, hệ pt Û í 9 9 3
ïx + 4x + 5- = 2 ïî y y 3 2 3 2 3
ìï x + 2x -1= t -t (1)
Đặt t = , hệ phương trình trở thành í y 3 2
ïîx + 4x + 5 = t + 3t (2)
+) Từ hai phương trình trên suy ra
x3 + 3x2 + 6x + 4 = t3 + 3t Û (x +1)3 + 3(x +1) = t3 + 3t (3)
Xét hàm f(t) = t3 + 3t đồng biến trên ! . Phương trình (3) tương đương x+ 1 = t. 3
Thay vào phương trình (2) và giải phương trình được x = 1, y = . 2 3 Nghiệm của hpt là (1; ). 2 2 2 (
ìï x +1)(y -1) = 3xy
Bài 15. (Olimpic Trại hè Hùng Vương 2013) Giải hệ phương trình : í 2 2
ïîx + y + xy -8x -9y + 23 = 0 Hướng dẫn giải 2 2 (
ìï x +1)(y -1) = 3xy
Hệ phương trình : í 2 2
ïîx + y + xy -8x -9y + 23 = 0 Ta có : 2 2 2 2
x + y + xy -8x - 9y + 23 = 0 Û x + (y -8)x + y - 9y + 23 = 0 14 2 2 2
D = (y -8) - 4(y - 9y + 23) = 3
- y + 20y - 28 ³ 0 Þ 2 £ y £ x 3 Tương tự : 2 2 2 2
x + y + xy -8x - 9y + 23 = 0 Û y + (x - 9)y + x -8x + 23 = 0 11 2 2 2
D = (x - 9) - 4(x -8x + 23) = 3
- x +14x -11³ 0 Þ1£ x £ y 3 67 2 2 x +1 y -1 Ta có : 2 2
(x +1)(y -1) = 3xy Û × = 3 x y 2 x +1 1 é 11ù 1 é 11ù
Xét hàm số f (x) =
= x + với x Î 1;
, ta có : f '(x) = 1- > 0,"x Î 1; nên hàm số f(x) x x ê 3 ú ë û 2 ê x 3 ú ë û é 11ù é 11ù đồng biến trên 1;
, suy ra f (x) ³ f (1) = 2,"x Î 1; ê 3 ú ë û ê 3 ú ë û 2 y -1 1 é 14ù 1 é 14ù
Xét hàm số g(y) =
= y - với y Î 2;
, ta có : g '( y) = 1+ > 0,"y Î 2; nên hàm số y y ê 3 ú ë û 2 ê y 3 ú ë û é 14ù 3 é 14ù g(y) đồng biến trên 2;
, suy ra g( y) ³ g(2) = ,"y Î 2; ê 3 ú ë û 2 ê 3 ú ë û 2 2 x +1 y -1 é 11ù é 14ù Suy ra : × ³ 3;"xÎ 1; ,"y Î 2; ê x y 3 ú ê 3 ú ë û ë û 2 2 x +1 y -1 ìx =1 Do đó phương trình 2 2
(x +1)(y -1) = 3xy Û × = 3 Û í x y îy = 2 ìx = 1 Vì í
không thoả mãn phương trình thứ 2 của hệ nên hệ đã cho vô nghiệm . î y = 2
Bài 16. (Chuyên Nguyễn Tất Thành – Yên Bái) Giải hệ phương trình: 3 2 ìïx + y =1 í 17 ï
5 - x + 3y 4 - y =14 4 - y + 3x 5 î - x Hướng dẫn giải
Điều kiện x £ 5; y £ 4
17 5 - x + 3y 4 - y = 14 4 - y + 3x 5 - x
Û (3(5- x) + 2) 5- x = (3(4 - y) + 2) 4 - y (1)
Xét hàm số f (t) = (3t + 2) t liên tục trên [0; + ¥)có 3t + 2
f '(t) = 3 t + > 0, "t > 0 2 t
Suy ra f(t) là hàm số đồng biến trên [0; + ¥)
Khi đó (1) Û f (5- x) = f (4- y) Û 5- x = 4- y Û y = x - 1
Thay y vào phương trình đầu ta được éx = 0 x (x )2 3 3 2 1 1 x x 2x 0 ê + - = Û + - = Û x =1 ê êx = 2 - ë
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là (0;- ) 1 ; (1;0); ( 2; - 3 - ) 68
Bài 17. (Chuyên Hoàng Văn Thụ - Hòa Bình - 2012) Giải hệ phương trình: 2 2 3
ìï x - 2x -5+ 2x x +1 = 2( y + ) 2 1 y + 2y + 2 í 2 2
ïîx + 2y = 2x - 4y + 3 Hướng dẫn giải
Trừ vế với vế của 2 phương trình (1), (2) ta có: 2 2 2
x + x x + = y + y + + ( y + ) 2 2 2 . 1 2 4 2 2 1 y + 2y + 2
Û x + x x + = ( y + )2 + ( y + ) ( y + )2 2 2 1 1 1 1 +1
Đưa về xét hàm số: f (t) 2 2
= t + t t +1 có t + t +1 t 2 ( )2 2 2
f '(t) = 2t + t +1 + = > 0"t 2 2 t +1 t +1
Þ f (t) là hàm số đồng biến trên R, lại có
f (x) = f ( y + ) 1 Þ x = y +1, x + (x - )2 2 = x - (x - ) 2 2 1 2 4
1 + 3 Û 3x - 2x -5 = 0
éx = -1Þ y = -2 ê Û 5 3 êx = Þ y = ë 2 2
Bài 18. (Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm – Quảng Nam 2014) Giải hệ phương trình sau :
ìï(17 -3x) 5- x + (3y -14) 4- y = 0 (1) í
( x, y Î R) 2
ï2 2x + y + 5 + 3 3x + 2y +11 = x + 6x +13 (2) î Hướng dẫn giải ìx £ 5 ï
§ Điều kiện : íy £ 4 (*)
ï2x + y +5 ³ 0 , 3x + 2y +11³ 0 î
§ Với điều kiện (*), phương trình (1) tương đương :[3(5- x) + 2]. 5- x = [3(4 - y) + 2]. 4 - y (3)
Xét hàm số : f (t) = (3t + 2). t , t ³ 0 3t + 2 '
Þ f (t) = 3 t + > 0 , "t > 0 2 t
f (t) liên tục "t ³ 0 , suy ra f (t) là hàm số luôn đồng biến trên [0;+¥)
Khi đó : pt(3) Û f (5 - x) = f (4 - y) Û 5 - x = 4 - y Û y = x -1 § Thay y = x -
1 vào phương trình (2), ta được : 69 4 2
2 3x + 4 + 3 5x + 9 = x + 6x +13 với x ³ - 3 2
Û é2 3x + 4 - 2(x + 2)ù + é3 5x + 9 - 3(x + 3)ù = x + x ë û ë û 2 2
2 é(3x + 4) - (x + 2) ù 3é(5x + 9) - (x + 3) ù ë û ë û 2 Û + = x + x 3x + 4 + (x + 2) 5x + 9 + (x + 3) 2 - x(x +1) 3 - x(x +1) Û + = x(x +1) 3x + 4 + (x + 2) 5x + 9 + (x + 3) æ 2 3 ö Û x(x +1)ç1+ + ÷ = 0 è 3x + 4 + (x + 2)
5x + 9 + (x + 3) ø éx = 0 Û 2 3 4 ; vì : 1+ + > 0 , "x ³ - ê ëx = 1 - 3x + 4 + (x + 2) 5x + 9 + (x + 3) 3
Với x = 0 suy ra y = - 1 Với x = 1 - suy ra y = -2
Thử lại ta thấy cả hai đều thỏa điều kiện (*)
§ Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm : (0; - ) 1 , ( 1 - ; - 2) ì 1 1 16
x + y + x - y + + = ïï x + y x - y 3
Bài 19. Giải hệ phương trình í 1 1 100 2 2
ï(x + y) + (x - y) + + = 2 2 ïî (x + y) (x - y) 9 Hướng dẫn giải 1 1
Đặt a = x + y +
;b = x - y +
(| a |,| b |³ 2) x + y x - y ì 16 a + b = ìa = 2 ì 10 ïï ï ïa = Ta có: 3 í Û í 10 Ú í 3 100 b = 2 2 ïa - 2+ b - 2 ï = î 3 ïîb = 2 ïî 9
Từ đó suy ra hệ phương trình có bốn nghiệm ì 2 ì 2 x = x = ìx = 2 ïï 3 ìx = 2 ïï 3 í Ú í Ú í Ú í îy = 1 - 1 ï îy =1 1 ï y = y = - ïî 3 ïî 3 ì x +1 y +1 ï + = 4 ï x -1 y -1
Bài 20. Giải hệ phương trình: í ï 1 1 + = 3 ïîx -1 y -1 2 2
ìïx + y + xy = 7
Bài 21. Giải hệ phương trình í 4 4 2 2
ïîx + y + x y = 21 70 3
ìïx + 2(x +1) = 3y + 2 y
Bài 22. Giải hệ phương trình sau trên R: í 2 3 ï x - y y = 2 î Hướng dẫn giải: 3 2
Cộng hai phương trình vế theo vế thu được phương trình 3 2
x + 3x + 2x = y + 3 y + 2 y Xét hàm số 3 2
f (x) = x + 3x + 2x với x Î R Ta có 2
f '(x) = 3x + 6x + 2 > 0 nên hàm số đồng biến
nên từ f (x) = f ( y) Þ x = y
từ đó thay vào giải ra được x = y =1 hoặc x = 1+ 3, y = 4 + 2 3 . ìx, y > 0 ï
Bài 23. Tìm tất cả các số thực x, y thỏa hệ: íx + y = 2 . ï 1+ 1 + î x y x y ³1 Hướng dẫn giải:
Ta chứng minh nếu các số x, y thỏa mãn hai điều kiện đầu thì x 1 + y 1 + x y £1Û (x + ) 1 ln x + ( y + ) 1 ln y £ 0
Thay y = 2 - x, ta chứng minh: f (x) = (x + )
1 ln x + (3- x)ln(2 - x) £ 0 với 0 < x < 2
Ta có f (x) = x - ( - x) 1 1 ' ln ln 2 + + x - 2 x 2 1 1 é 1 1 ù 1 1 1 æ 1 1 ö (x - )2 1 æ 1 1 ö f ''( x) = + - ê + ú £ + - + = - + £ 0 2 ç ÷ ç ÷
x 2 - x êë x (2- x)2 ú x 2- x 2 è x 2- x ø
x (2 - x) è x 2 - x ø û
Do đó f ¢(x)nghịch biến trên (0;2),hơn nữa f ¢( )
1 = 0nên f '(x)nhận giá trị dương trên (0 ) ;1 và âm
trên (1;2).Suy ra f (x) £ f ( )
1 = 0với mọi xÎ(0;2).
Từ đó, hệ phương trình có nghiệm x = y = 1. 3 ìïy ( 2 3x + 2x - ) 1 + 4y = 8
Bài 24. Giải hệ phương trình sau: í (x, yÎ! ) 2 3 2 2
ïîy x + 4y x - 6y + 5y = 4 Hướng dẫn giải:
+) y = 0 không thỏa mãn hệ. ì 4 8 2 3x + 2x -1+ = (1) ï 2 3 ï y y
+) Xét y ¹ 0 , hệ tương đương í 4 6 3 ïx + 4x + 5+ = 2 ïî y y 71 3 8 6 æ 2 ö 2
Cộng vế với vế ta được 3 2
x + 3x + 6x + 4 = + Û (x + )3 1 + 3( x + ) 1 = + 3. 3 ç ÷ y y è y ø y Xét hàm số: 3 2
f (t) = t + 3t; f (
¢ t) = 3t +3 > 0 "t ÎR 2
Do đó f (t) là hàm số đồng biến trên ! , suy ra x +1= y
Thế vào (1), kết hợp x ¹ 1
- , ta được (x + )( x - )+(x + )2 = (x + )3 1 3 1 1 1 Û (x - )2 1 = 1 ìx = 1 Do đó í là nghiệm của hệ. î y = 1 3 ì x + 5 - y =1 ï
Bài 25. Giải hệ phương trình: í x -1 3 3 2
x - 3x - y - 6y - 9y - 2 + ln = 0 ï î y +1 Hướng dẫn giải:
Điều kiện: y ³ 0; x > 1.
Ta biến đổi phương trình thứ hai tương đương với: 3 2 3 2
(x -1) + 3(x -1) + ln(x -1) - (y +1) -3( y +1) - ln( y +1) = 0 Nhận thấy hàm số 3 2
f (t) = t + 3t + ln t đồng biến trên khoảng (0;+¥)
nên ta có x -1 = y +1 Û x = y + 2
Thế vào phương trình đầu ta có cặp nghiệm duy nhất của hệ phương trình là x = 3 và y = 1 Dạng 4: Đánh giá 5 4 2
ìx - x + 2x y = 2 ï Bài 1.
Giải hệ phương trình sau: 5 4 2
íy - y + 2y z = 2 ï 5 4 2
z - z + 2z x = 2 î Hướng dẫn giải
Nhận thấy x = y = z =
1 là một nghiệm của phương trình. Ta chứng minh hệ có nghiệm duy nhất.
Giả sử x > 1(*) khi đó 5 4 2 5 4 2
z - z + 2z x > z - z + 2z 5 4 2
Û z - z + 2z - 2 < 0 Û ( 4 z + ) 1 ( z - ) 1 < 0 Û z < 1 Với z < 1 ta có 5 4 2 5 4 2
y - y + 2y z < y - y + 2y 5 4 2
Û y - y + 2y - 2 > 0 Û ( 4 y + ) 1 ( y - ) 1 > 0 Û y > 1 72 Với y > 1 ta có 5 4 2 5 4 2
x - x + 2x y > x - x + 2x 5 4 2
Û x - x + 2x - 2 < 0 Û ( 4 x + ) 1 ( x - ) 1 < 0 Û x < 1
Suy ra x < 1 mâu thuẫn (*).
Tương tự giả sử x < 1 ta cũng dẫn đến điều vô lý.
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x = y = z = . 1 2 2
ì4x + 2xy + x + 6 xy - y + y =15(1) ï Bài 2. Giải hệ phương trình 3 3 í 6(x + y ) 2 2 ïx +
- 2(x + y ) = 3(2) 2 2 î
x + xy + y Hướng dẫn giải ìxy ³ 0 Điều kiện í . 2 2
îx + y + xy ¹ 0
Nếu x = 0 hoặc y = 0 thì hệ vô nghiệm. ìx £ 0 Nếu í
(x,y không đồng thời bằng 0) thì vế trái của (2) âm, phương trình (2) không thoả mãn. î y £ 0 Do đó x > 0, y > 0.
Vì 2 xy £ x + ynên từ phương trình (1) suy ra 2 2 2 2
15 = 4x + 2xy + x + 6 xy - y + y £ (2x + y) + x + 3(x + y) - y =(2x + y) + 4x + 2y 2
Þ (2x + y) + 2(2x + y) ³15Þ 2x + y ³ 3 (3) 2 2 2 2 3 3 3 3 x + y 3(x + y ) 3(x + y ) 2(x + y ) Mặt khác, ta có 2 2 xy £
Þ x + xy + y £ Þ ³ . (4) 2 2 2 2 2 2
x + xy + y x + y 3 3 2(x + y ) Ta chứng minh rằng: 2 2
³ 2(x + y )(5). 2 2 x + y
Thật vậy bất đẳng thức (5) tương đương 3 3 2 2 2 3
2(x + y ) ³ (x + y ) 6 6 3 3 4 2 2 4
Û x + y + 4x y ³ 3x y + 3x y (6)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: 6 3 3 3 3 3 12 6 4 2
x + x y + x y ³ 3 x y = 3x y 6 3 3 3 3 3 6 12 2 4
y + x y + x y ³ 3 x y = 3x y
Cộng vế với vế hai đẳng thức trên ta được (5), từ đó suy ra (5) 73 3 3 3(x + y ) Từ (4) và (5) suy ra: 2 2 ³ 2(x + y ) 2 2
x + xy + y
Kết hợp với phương trình (2) và lưu ý rằng 2 2
2(x + y ) ³ x + y, ta được: 3 3 6(x + y ) 2 2 2 2 3 = x +
- 2(x + y ) ³ x + 2(x + y ) ³ x + (x + y) = 2x + y (7) 2 2
x + xy + y
Từ (3) và (7) suy ra 2x + y = 3 và x = y ta được x = y = 1 (thoả mãn các điều kiện của bài toán). Vậy
hệ có nghiệm duy nhất là (1;1). ìïy +(4x - )2 2 3 1 = 4x (8x + ) 1 Bài 3.
Giải hệ phương trình sau: í (I ) 2
ïî40x + x = y 14x -1 Lời giải. 1 æ 2 ö ĐK: x ³
. Đặt t = 4x t ³ . ç ÷ 14 è 7 ø ìy + (t - )2 2 3 1 = t (2t + ) 1 ( ) 1 ( ï I ) Û í 5 t 7 2 ï t + = y t -1(2) î2 4 2
Nhận xét: từ (2) ta có: y > 0 2t +1 2t + +1 2t +1 1
Ta có: 3 t (2t + ) 2 3 1 = 2t. .1 £ = t + 2 3 2 1 1
Do đó, từ (1) suy ra: y + (t - )2 2 2 2
1 £ t + Û y £ t - + 3t - (3) 2 2 2 7 y + t -1 7 Ta có: 2 y t -1 £ 2 2 2 7 y + t -1 5 t Do đó, từ (2) suy ra: 2 2 2 2 t + £
Û 5t -3t +1£ y (4) 2 4 2 1 Từ (3) và (4) suy ra: 2 2
5t - 3t +1 £ t - + 3t - 2 3 3
6t - 6t + £ 0 Û (2t - )2 1 1 1 2
1 £ 0 Û t = Û 4x = Û x = . 2 2 2 2 8 1
Thay x = vào hệ (I ) ta có: 8 ì 1 ì 3 ì 2 2 3 y + = 1 y = ï ï ïy = ± ï 4 ï 4 ï 2 3 í Û í Û í Û y = 3 3 3 ï ï ï 3 2 y = y = y = ïî 2 4 ïî 2 ïî 2 74 æ ö
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất: (x y) 1 3 ; = ç ; ÷. ç 8 2 ÷ è ø 2 2 ìx - 2y =1 ï Bài 4. Giải hệ phương trình: 2 2
í2y - 3z = 1 ( x, y, z Î ! )
ïxy + yz + zx =1 î Lời giải
+) Nếu x = 0 thay vào hệ ta có hệ vô nghiệm.
+) Nếu x ¹ 0 ta đặt y = a ;
x z = bx thay vào hệ ta được 2 ìx ( 2 1- 2a ) =1 ï 2 2 2 2 2 ( )ï 1
ìï - 2a = 2a -3b ìï4a -3b =1 2 1 íx ( 2 2
2a - 3b ) =1 Þ í Û í 2 2 1 ï
ïî - 2a = a + ab + b ï2a + a -1+ î b(a + ) 1 = 0 2
ïx (a + ab + b) = 1 î éìa = 1 - êí 2 2 2 2 ìï4a -3b =1 ìï4a -3b =1 êîb = 1 ± Û í Û í Û ( ï a + î
)1(2a - )1+b(a + ) 1 = 0 ( ï a + î ) 1 (2a -1+ b) = 0 êìb =1- 2a êí 2
êëî2a -3a +1= 0 ìa = -1 +) Nếu í
thay vào (1) không thỏa mãn îb = ±1 éìa =1 êíb ìb = - a êî = 1 - 1 2 ì ì 1 a = 1 ïa = +) Nếu í Û ê thay í
vào (1) không thỏa mãn, thay í 2 2 ì 1 î2a - 3a +1 = 0 êïa = îb = 1 - ï êí 2 îb = 0 êï ëîb = 0 æ ö æ ö
vào (1) ta có x = ± 2 . Do đó nghiệm của hệ là (x y z) 1 1 ; ; = 2; ;0 , - 2; - ;0 ç ÷ ç ÷ è 2 ø è 2 ø Bài 5.
Giải hệ phương trình sau:
ì2log (2x + 3y) = log (2 + 2x + 3y) 7 3 ï í (x, y Î ! ). 7 27 2 4
2 27x + 26x + 3y + =1+ x + 6 ï î 3 2 Lời giải
Đặt t = log (2x + 3y), phương trình (1) trở thành: 7
log (7t + 2) = 2 Û 9t = 7t t + 2 Û ... Û t = (S
1 ử dụng tính chất đơn điệu) 3
Û 2x + 3y = 7 Û 3y = 7 - 2x (3) 75
Thế (3) vào (2) ta được: 2 28 27 (9x + 4) 3(9x + 4) 2 4 4 2. 27x + 24x + =1+ x + 6 Û 2. + 4 =1+ (4) 3 2 3 2
Đặt t = 9x + 4 (t ³ 0). Phương trình (4) trở thành: 2 2 t 3t t 3t 4 2. + 4 =1+ Û 4. + 4 =1+ + 6t (5) 3 2 3 2 + 6
Áp dụng bđt AM – GM ta có: 6 £ t t 2 2 t Từ (5) ta có: 2 2 2 4.
+ 4 £ 2t + 4 Û 4t + 48 £ 3t +12t +12 Û (t - 6) £ 0 Û t = 6. 3 2 59 æ 2 59 ö
Từ đó x = Þ y =
. Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất ( ; x y) = ; . ç ÷ 9 27 è 9 27 ø Bài 6. Giải hệ phương trình : 4 4
ìx + 9y - 6 3xy = 4 - ï 2 í
( x Î R, y Î R ) x xy 5 2 + y + = ï 3 î 3 + 3xy 6 Lời giải
Đặt : 3y = z Ta có : 4 4 2 2
x + z ³ 2x z ,suy ra : 1 £ t = xz £ 2 xz xz
Xét vế trái của phương trình (2) 2 2 x + z + ³ 2xz + 1+ xz 1+ xz t 1
f (t) = 2t +
,t Î[1;2] (t = xz), suy ra 'f(t) = 2 + > 0,"t Î[1;2] 1+ t (1+t)2 5 1
f (t)là hàm số đồng biến trên (1;2) , suy ra : f (t) ³ f (1) = ,suy ra VT = f (t) ³ 5 2 3 6 1 1
Dấu bằng xẩy ra khi t = 1, suy ra : x = 1; y = hoặc x = 1 - ; y = - . 3 3 Bài 7.
Giải hệ phương trình sau: 2 2 ìx + 2x xy = ï y y í 2 ; x, y Î ! ( 3 3 2 ï 4x + y + 3 î x
x )(15 x + y) = 3 x ( y y + x y + 4x x ) Lời giải 76
Điều kiện: x ³ 0, y ³ 0.
Đặt a = x,b = y ( a ³ 0,b ³ 0). Hệ phương trình đã cho trở thành 4 3 5
ìa + 2a b = b ( ) 1 ï í (ï4a +b +3 î
a )(15a +b ) = 3a(b + a b + 4a )2 6 6 5 2 3 2 3 (2)
Nhận xét: a = 0 Þ b = 0; b = 0 Þ a = 0. Do đó ( ,
a b) = (0,0) là một nghiệm của hệ.
Bây giờ ta xét a > 0,b > 0. Đặt b = ka Þ k > 0 . Với cách đặt này thì • 1+ 2
Phương trình (1) trở thành: 5 1+ 2 = Û = k k ak a (3) 5 k
• Phương trình (2) trở thành: ( a + a k + a )( a + k a ) = a(k a + a k + a )2 6 6 6 5 2 2 2 3 3 3 3 4 3 15 3 4 (4) 5 æ 3k öæ 1+ 2k 2 ö
Thay (3) vào (4) ta được: 6 4 ç + k + 5 ÷ + = ç ÷ ( 3 k + k + 4 3 ) (5) è 1+ 2k øè 3k ø
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz cho vế trái của (5) ta được: 2 5 5 æ 3k öæ 1+ 2 æ k ö 3k 1+ 2 ö k 6 4 ç + k + 5 ÷ + ³ ç ÷ ç 5( 6 4 + k + . ÷ 3 ) 3 è 1+ 2k øè 3k ç ø 1+ 2k 3k ÷ è ø = ( ( + )( +k ) 2 2 2 6 2 1 4
+ k ³ 4 + k + k ) ( )2 3
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi k = 1. Khi đó a = b = 3 hay x = y = 9.
Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm ( ; x y) là (0;0),(9;9). 2 2
ì4x + 4xy + x + 6 xy - y + y =15(1) ï Bài 8. Giải hệ phương trình 3 3 í 6(x + y ) 2 2 ïx +
- 2(x + y ) = 3(2) 2 2 î
x + xy + y Bài giải ìxy ³ 0 Điều kiện í 2 2
îx + y + xy ¹ 0
Nếu x = 0 hoặc y = 0 thì hệ vô nghiệm ìx £ 0 Nếu í
(x,y không đồng thời bằng 0) thì vế trái của (2) âm, phương trình (2) không thoả mãn. Do î y £ 0
đó x > 0, y > 0. 1.0 đ 77
Vì 2 xy £ x + ynên từ phương trình (1) suy ra 2 2 2 2
15 = 4x + 4xy + x + 6 xy - y + y £ (2x + y) + x + 3(x + y) - y =(2x + y) + 4x + 2y 1.0 đ 2
Þ (2x + y) + 2(2x + y) ³15Þ 2x + y ³ 3 (3) 2 2 2 2 3 3 3 3 x + y 3(x + y ) 3(x + y ) 2(x + y ) Mặt khác, ta có 2 2 xy £
Þ x + xy + y £ Þ ³ . (4) 2 2 2 2 2 2
x + xy + y x + y 3 3 2(x + y ) Ta chứng minh rằng: 2 2
³ 2(x + y )(5). 1.0 đ 2 2 x + y
Thật vậy bất đẳng thức (5) tương đương 3 3 2 2 2 3
2(x + y ) ³ (x + y ) 6 6 3 3 4 2 2 4
Û x + y + 4x y ³ 3x y + 3x y (6)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: 6 3 3 3 3 3 12 6 4 2
x + x y + x y ³ 3 x y = 3x y 6 3 3 3 3 3 6 12 2 4
y + x y + x y ³ 3 x y = 3x y
Cộng vế với vế hai đẳng thức trên ta được (5), từ đó suy ra (5) 3 3 3(x + y ) Từ (4) và (5) suy ra: 2 2 ³ 2(x + y ) 2 2
x + xy + y
Kết hợp với phương trình (2) và lưu ý rằng 2 2
2(x + y ) ³ x + y, ta được: 3 3 6(x + y ) 2 2 2 2 3 = x +
- 2(x + y ) ³ x + 2(x + y ) ³ x + (x + y) = 2x + y (7) 2 2
x + xy + y
Từ (3) và (7) suy ra 2x + y = 3 và x = y ta được x = y = 1 (thoả mãn các điều kiện của bài toán). Vậy
hệ có nghiệm duy nhất là (1;1) ì 3 3 ï
y (2x - y) 2 + x ( 2 2 5y - 4x ) 2 = 4y Bài 9.
Giải hệ phương trình: í ( x, y Î ! ). 2
ï 2 - x + y +1 + 2 = x + y î Hướng dẫn giải
Điều kiện: x £ 2 , y ³ - ; 1 3
y (2x – y) ³ 0 ; 2 2 5y – 4x ³ 0.
+) Sử dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số không âm ta có: 2 2 + - 3 2
y (2x - y) = 2 y ( 2
2xy - y ) £ y xy y 2 ( + - 2 2 5y - 3x 5 - 4 ) 2 2 2 5 4 2 2 2 £ x y x x y x = 2 2 78 2 2 5y - 3x Suy ra: 3 3 +
y (2x - y) 2 x ( 2 2
5y - 4x ) £ 3xy + 2 2 2 5y - 3x Vì vậy, ta phải có: 2 4y £ 3xy + Û (x y)2 3 – £ 0 Û x = y. 2
Vậy phương trình đầu tương đương với x = y.
Thay x = y vào phương trình thứ hai của hệ ta được: 2 - x + x +1 2 2 + = x + x (*).
Do 2 - x + x +1 > 0 nên ta phải có: 2
x + x – 2 > 0 Þ x > 1 ( do x ³ - ). 1
Khi đó phương trình (*) tương đương với: 2
x – x +1+ (x – 1 – 2 - x )+ x - x +1 = 0 Û ( æ 1 1 ö 2 x – x – ) 1 1+ + = 0. ç ÷ è x -1+ 2 - x x + x +1 ø æ ö 2 Û 1 1
x – x –1 = 0 do1 + + > 0 ç ÷ è x -1+ 2 - x x + x +1 ø é 1+ 5 ê x = ( t / m) + ó 2 ê Þ 1 5 x = y = . ê 1- 5 2 êx = ë 2 æ1+ 5 ö
Vậy hệ có nghiệm duy nhất ( ; x y) = ç ÷. ç 2 ÷ è ø
Bài 10. [Đề hsg Dương Xá,2008-2009] Giải hệ phương trình sau: 2 2
ìï x + x + y +1+ x+ y + x+ y +1+ y =18 í 2 2
ï x + x + y +1 - x + y + x + y +1 - y = 2 î Lời giải 2
ìïx + x + y +1³ 0 Điều kiện í 2
ïîy + x + y +1³ 0
Cộng và trừ từng vế tương ứng của hệ phương trình trên ta được 2 2
ìï x + x + y +1 + y + x + y +1 =10 í ïîx + y = 8
Thế y=8-x vào phương trình trên ta được 2 2
x + 9 + x -16x + 73 =10 79 Û 2 2 2
(x + 9)(x -16x + 73) = -x +8x + 9 Û 2 2 2 2
(x + 3 ) é(x -8) + 3 )ù = 9 + x(8 - x) (1) ë û ® ®
Trong hệ trục tọa độ xét a(x;3); b(8 - ; x 3) ® ®
Khi đó | a |.| b |= 2 2 2 2
(x + 3 ) é(x -8) + 3 )ù ë û ® ®
a . b = 9 + x(8 - x) ® ® ® ®
Pt (1) tương đương với | a |.| b |= a . b (2) ® ® ® ®
Ta có | a |.| b | ³ a . b ® ® ® ® ®
Khi đó (2) xảy ra khi và chỉ khi hoặc a = 0 hoặc b = 0 (không xảy ra) hoặc a cùng ® 8 - x hướng b suy ra =1 > 0 Û x=4. x
KL: Nghiệm của hệ là (4;4)
Bài 11. [Đề chọn hsg tỉnh Trà Vinh, 2014-2015] Giải hệ phương trình :
ì x + y + x - y £ 2 1/ í 2 2 î x + y = 1 ì x +1 + y +1 = 3 ï 2/ í
ï x + ( y - 4)2 + 5 = 5 î
Bài 12. [Đề xuất Chuyên Biên Hòa, DHĐBBB 2015-2016]Giải hệ phương trình
ïìx6 + 2x3 -10 y2 = xy - x2 y2 í ïî4x3(2y + )
1 - 28y2 + 3 = 2 x2 + ( 4 y2 + ) 1 - 4xy Lời giải 2 2
ïìxy - x y ³ 0 0 ì £ xy £ 1 Điều kiện : í Û í Û 0 £ xy £ 2 ïîx + ( 4 2 y + ) 1 - 4xy ³ 0 (îx - 2y) 1 2 + 4 ³ 0 1 2 1 æ 1 2 2 ö 1 2 2 1
Ta có : xy - x y = - ç xy - ÷ £ Ü xy - x y £ ( dấu = xảy ra khi xy = ) 4 è 2 ø 4 2 2 Do đó từ (1) Þ 2 6 x + 4 3 x - 20 2
y £ 1 (3) Từ (2) và (3) ta suy ra : 8 3 x y + 4 3 x - 28 2 y + 4 ³ 2 6 x + 4 3 x - 20 2
y + 2 (x - 2y)2 + 4 Û 8 3 x y + 4 ³ 2 6 x + 8 2
y + 2 (x - 2y)2 + 4 80 Û 4 3 x y + 2 6 ³ x + 4 2
y + (x - 2y)2 + 4
Û 2 ³ (x - 2y)2 3
+ (x - 2y)2 + 4 (4)
Ta lại có (x - 2y)2 3
+ (x - 2y)2 + 4 ³ 2 ì ìx = 1 ìx = -1 3 x - 2y = 0 ìx = 0 ï ï Do đó (4) Û í Û í hoặc í 1 hoặc í 1 îx - 2y = 0 îy = 0 ïy = y = - î 2 ïî 2 ìx = 1 ï
Thử lại ta thấy chỉ có í 1 là nghiệm của hpt.0,5 ïy = î 2
Bài 13. Giải hệ phương trình: Hướng dẫn giải Đặt 3 2 3 2
f (t) = 2t + 9t + 12t ; g(t) = t + 3t + 4t + 15 . Ï f
Ô (x)= g (y) 3 2 3 2 Ô
ì2x + 9x +12x = y + 3y + 4y +15 Ô ï Hệ trở thành:Ì f
Ô (y)= g(x). 3 2 3 2
í2y + 9y +12y = z + 3z + 4z +15 Ô Ô
Ôf (z)= g (x) ï 3 2 3 2 Ô Ó
2z + 9z +12z = x + 3x + 4x +15 î Ta có g¢(t) 2
= 3t + 6t + 4 > 0 với mọi t nên hàm g đồng biến. ìx ³ y
ìïg (x) ³ g ( y)
ìïg (x) ³ f (x) Giả sử x = max( , x y, z) thì í hay í suy ra í î x ³ z
ïîg (x) ³ g (z)
ïî f (z) ³ g (z).
ìx + x + x + ³ x + x + x ( ì x - ) 1 ï ( 2 3 2 3 2 x + 7x +15) £ 0 3 4 15 2 9 12 Hay í Û í * . 3 2 3 2
î2z + 9z +12z ³ z + 3z + 4z +15 ï( z - ) 1 î
( 2z +7z -15) ( ) ³ 0 Do 2 2
x + 7x +15 > 0" ,
x z + 7z -15 > 0"z nên từ (*)ta có x £ 1 £ z.
Lại theo giả sử ở trên, x = max( ,
x y, z) nên x = z =1.Thế vào hệ phương trình ban đầu ta được y = 1.
Thử lại thấy x = y = z = 1 là nghiệm.
Kết luận:Hệ đã cho có nghiệm duy nhất x = y = z = 1. 3
ì x + 2 = cos y + cos z ï
Bài 14. Giải hệ phương trình : 3
í y + 2 = cos z + cos x 3
ï z + 2 = cos x +cos î y (Chưa giải) 81 2. Có tham số 3 3 2
ìx - y + 3y -3x - 2 = 0 (4) ï Bài 1.
Tìm m để hpt sau có nghiệm thực: í 2 2 2
ïx + 3 1- x - 2 2y - y + m = 0 (5) î Hướng dẫn giải ì 1 - £ x £1 Điều kiện: í . î0 £ y £ 2
Phương trình (4) Û x - x = ( y - )3 3 3 1 -3( y - ) 1 . Xét hàm số 3
f (t) = t - 3t, với t Î[ 1 - ;1 .] 2
f '(t) = 3t -3 £ 0,"t Î[ 1 - ; ] 1 .
Þ f(t) là hàm số nghịch biến trên [ 1 - ; ]
1 (vì nó liên tục trên đoạn này).
Suy ra: x = y - . 1
Thay vào phương trình (5) ta được: 2 2
x + 1- x + m = 0. Đặt 2
u = 1- x , u Î[0 ]
;1 . Ta có phương trình: g(u) = 2
u - u -1 = m 5
min g(u) = - ;max g(u) = - . 1 [0; ]1 4 [0; ]1 5
Suy ra hệ phương trình đã cho có nghiệm Û - £ m £ - . 1 4 2 2 ìïx + y = 4 Bài 2.
Tìm m để hpt có nghiệm í 2
ïîx - y = m ìx ³ m 2 2 2 ìïx + y = 4
ìïy = x - m ï • í Û í
Û íy = ± x - m 2 2
ïîx - y = m
ïîx - x - (m + 4) = 0 ï 2
x - x - (m + 4) = 0 î
• Do đó hệ có nghiệm khi chỉ khi phương trình:f(x) = x2 + x – (m + 4) = 0 có nghiệm trong [m;+¥) (*) - ± m + • 1 4 17 -17
f(x) = 0 có D = 4m + 17 nên f(x) = 0 có nghiệm x = khi m ³ . 2 4 • 1 - + 4m +17 Do đó: (*) Û m £
Û 2m +1£ 4m +17 2 ì 1 ì2m +1 £ 0 17 1 ïm>- • 17 Û í Û - £ m £ - hay í 2 Û - £ m £ 2 2
î4m +17 ³ (2m +1) 4 2 4 ïî 2 - £ m £ 2
Một số cách giải khác: 82 2 2 2 ìïx + y = 4
ìïy = x - m • Cách 2: í Û í (I) 2 2
ïîx - y = m
ïîx - x - (m + 4) = 0(*)
Hệ (I) có nghiệm Û x2 + x – (m + 4) = 0 có nghiệm trên [-2;2].
Dựa vào đồ thị parabol (P) y = x2 + x – 4 trên [-2;2], và đường thẳng y = m suy ra kết quả.
• Cách 3: Giải theo tam thức bậc hai....
ìï x +1+ y -1 = a Bài 3.
Tìm a để hệ phương trình sau có nghiệm í .
ïîx + y = 2a +1 Hướng dẫn giải Điều kiện x ³ 1 - ; y ³1. ì x +1 + y -1 = ï a
Hệ phương trình tương đương (íï x+1 î
)2 +( y-1)2 = 2a+1 ì x +1 + y -1 = ï a Û í . 1 2
ï x +1 + y -1 = éa - (2a + ) 1 ù 2 ë û î
Do đó x +1 và y -1 là nghiệm của phương trình 1 2 2
T - aT + éa - (2a + ) 1 ù = 0 (*) 2 ë û
Để hệ trên có nghiệm khi phương trình (*) có 2 nghiệm không âm ì 2 ìD ³ ïa - 2( 2 a - 2a - ) 1 ³ 0 0 ï ï
Û íS ³ 0 Û ía ³ 0
Û 1+ 2 £ a £ 2 + 6 . ïP 0 ï ³ 1 î ï ( 2 a - 2a - ) 1 ³ 0 î2 2
ìïu = x -1 ³ 0 Þ x = u +1 Đặt í 2
ïv = y -1 ³ 0 Þ y = v +1 î
ìï2x + y -1 = m Bài 4. Tìm m để hệ: í có nghiệm.
ïî2y + x -1 = m Hướng dẫn giải 2
ìïu = x -1 ³ 0 Þ x = u +1 +) Đặt í 2
ïv = y -1 ³ 0 Þ y = v +1 î 83 2
ìï2u + v + 2 = m +) Đưa về hệ: í (**) 2
ïî2v + u + 2 = m
+) Điều kiện để hệ (**) có nghiệm m ³ 2
Ta xét m ³ 2 hệ có nghiệm hay ko éìu - v = 0 êí (I ) 2
êî2u + v + 2 = m
Biến đổi hệ (**) trở thành:
êì2u + 2v -1= 0 êí (II ) 2
êëî2u + v + 2 = 0 2 - m
+) Xét hệ (I): u=v ta được 2v2+v+2-m=0 có P =
£ 0 với m ³ 2 PT luôn có nghiệm v ³ 0 Þhệ 2 0
có nghiệm u=v=v 2
0 suy ra hệ ban đầu có x=y=vo +1
+) Xét hệ (II): ……….
ìïa(x - a)2 (x-2 2)+1£ 0 Bài 5.
Tìm tham số a để hệ sau có nghiệm: í .
ïîx > a > 0 Lời giải
ìïa(x -a)2 (x- )+ £ (
ìï x - a)2 ax -
a (x - a)2 2 2 1 0 2 2 +1£ 0 í Û í
ïîx > a > 0
ïîx > a > 0 ì 1 ì1 x + £ 2 2 (x -a) 1 + (x - a) 1 + a + £ 2 2 1 ï 2 ï 2 ( ) Û í (x -a) a Û 2 2 í (x -a) a ï
îx > a > 0
ïx > a > 0 î (2)
Do (2)nên x - a và a là hai số dương,áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho 4 số dương ta được: 1 (x-a) 1 + (x - a) 1 1 4 + a + ³ 4 = 2 2 3 2 ( ) 2 2 (x -a) a 4 ì 3 2 ïx = 1 1 ï
Do đó (1)chỉ đúng khi dấu đẳng thức xảy ra tại (3)tức là: ( x - a) 2 = a = Û í 2
(x - a)2 a ï 2 a = ïî 2 2 3 2
Vậy hệ có nghiệm khi và chỉ khi a =
và nghiệm của hệ là: x = 2 2 Bài 6.
Tìm giá trị lớn nhất của tham số m để cho hệ phương trình sau có nghiệm: 84 2 2
ìx + xy + y = m ï 2 2 2
íy + yz + z = m (x, y, z Î ! ). ï 3
xy + yz + zx = î m Hướng dẫn giải y 3 3 1
+ Đặt: X = x + ; Y = y; Z =
( y + z); T = (z - y). 2 2 2 2 3 Ta đ ược: 2 2 2 2
x + xy + y = X +Y ; 2 2 2 2
y + yz + z = Z +T ;
(xy + yz + zx) = XZ + YT . 2 ì 2 2
ïX +Y = m ïï Do đó ta có hệ 2 2 2
íZ + T = m . ï 3 3 ïXZ +YT = ï m î 2 + Chú ý: 2 2 2 2 2 2
(X +Y )(Z +T ) = (XZ +YT) + (XT -YZ) .
Do đó:Hệ đã cho có nghiệm thì: 2 æ 3 ö 4 4 2 3 3 3 3 . m m ³ ç
m ÷ £ m (m - ) £ 0 Þ 0 £ m £ ç 2 ÷ 3 3 è ø 4 Suy ra: 3 m £ . 3 ìXT = YZ (1) ï 4 ï 3 + Xét 3 m = .Ta có hệ: 3 íXZ +YT = m (2) 3 2 ï 2 2 2
ïZ +T = m (3) î 3
Từ (1)có thể đặt X = uZ, Y = uT ,thay vào (2)và (3)ta có: u = m. 2 ì 3 ì 2m + 3 ïX = mZ x = y 2 ï ï 2 ï m ï 3 ï m + 2 4
Do đó ta có hệ: íY = mT hay íz = y với 3 m = . 2 ï ï m 3 2 2 2 2
ïZ +T = m ï m 2 ï ïy = 2 î 3m + 4m + 4 ïî 4
+ Từ đó:Đáp số của bài toán là 3 m = . 3 85 ìåpx = 4 ï i i 1 = ï ï p Bài 7. a/ Tìm * p Î • sao cho hệ 1 - íå x = 4 có nghiệm. 1 i 1 = ï
ïx > 0,"iÎ1, ï p i î a
b/ Với p tìm được ở câu a/, hãy xác định tập hợp tất cả các giá trị của tổng: với ai åp i 2 i - 1 = 1 ai > 0 và 2 åpa =1. i i 1 = Hướng dẫn giải Câu a æ p ö æ p 1 ö Do: 2 16 = å x . ç p p i ÷ ç å ÷ ³ Þ £ 4.
è i 1= ø è i 1= xi ø
p = 4 : Khi đó: x =1,i 1
Î ,4.Vậy hệ có nghiệm. i ìx + x = 3
p = 3: Chọn x =1 và 2 3 í
có nghiệm.Nên (x , x , x ) là nghiệm của hệ. 1 x .x = 1 î 1 2 3 2 3 ìx + x = 4 p = 2 : 1 2 í
có nghiệm.Nên (x , x )là nghiệm của hệ. x .x = 1 î 1 2 1 2 p =1:Vô nghiệm.
Vậy hệ có nghiệm khi p = 2; p = 3; p = 4. Câu b 2 a
Ta có: f (a , a ,..., a ) = . p åp i 1 2 2 i a - 1 = (1 a ) i 1 1 2 Xét hàm: 2
g(x) = x(1- x ),0 < x <1; g '(x) = 0 Û x =
. Ta có: max g(x) = . 3 (0;1) 3 3 3 3 3 3 p Do đó: 2
f (a , a ,..., a ) ³ a =1 hay p = 3. p åp =
. Dấu đẳng thức xảy ra khi: 1 2 2 i i 1 = 2 3 a a 1 1 1 2
p = 2 : f (a , a ) = + ³ 2 ³ 2 2 vì 2 2 a + a = .D
1 ấu đẳng thức xảy ra khi a = a = , 1 2 2 2 a a a .a 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 a 1- a 1 1
f (a , a ) = +
liên tục trên (0;1).Khi a ® 0 thì f (a , a ) ® +¥.Vậy p = 2,tập giá trị là: 1 2 2 2 1- a a 1 1 2 1 1 é2 2;+¥ ë ). 1
p = 3: Chọn a = 1- 2x ; a = x ; a = x , 01 2 3 2 86 1- 2x x x 1 2 2 2
a + a + a = 1- 2x + x + x = 1. f (a , a , a ) = + +
= g(x) liên tục trên (0; ); 1 2 3 1 2 3 2x 1- x 1- x 2 æ 1 ö 3 3 é3 3 ö g =
, limg(x)=+¥.Vậy tập giá trị là: ê ;+¥ ÷. ç ÷ x 0 è 3 ø 2 ® 2 ÷ ë ø 3 3
p = 4 : f (a , a ,..., a ) >
. Chọn a = 1- 2x ; a = x ; a = x , a = x thỏa giả thiết: 1 2 p 2 1 2 3 4 2 2 2 2 1
a + a + a + a = 1- 3x + x + x + x = 1 với 0 < x < ; 1 2 3 4 3 1- 2x x x x 1
f (a , a , a , a ) = + + + = g(x) liên tục trên (0; ) ; 1 2 3 4 2x
1- x 1- x 1- x 3 3 3 é3 3 ö lim g(x) =
; lim g(x) = +¥ .Tập giá trị là: ê ;+¥ ÷ . 1 x 0 ÷ x 2 ® ® 2 ë ø 3 Bài 8.
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hệ sau có nghiệm thực: 2 ì 4x 2 ïx + ³ 5 2 í (x + 2) ï 4 2
îx + 8x +16mx + 32m +16 = 0 (Chưa giải) Bài 9.
Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất: 2 3 ì x - m y +1 =1 ï í 1 . 2 x + y + = ï m 2 y + y +1 î (Chưa giải)
Bài 10. (THPT Quảng Xương 2 – Thanh Hóa, 2009-2010) Tìm các giá trị của m để hệ phương trình sau có nghiệm ( ;
x y) sao cho x > 0, y > 0 ( ì ï x y)æ 1 ö + 1+ = 5 ç ÷ ï è xy ø í (ï æ 1 ö 2 2 x + y ) 1+ = 2m -1 ç 2 2 ÷ ïî è x y ø Hướng dẫn giải 1 1 ìu + v = 5
Đặt u = x + ;v = y + hệ trở thành í x y 2 2
îu + v = 2m + 3
Từ hệ suy ra uv = - m +11 khi đó u, v là nghiệm của phương trình: 87 2
X - 5X – m +11 = 0 ( ) * .
Do x > 0, y > 0 nên u ³ 2, v ³ 2.
Bài toán trở thành tìm m để phương trình (*) có hai nghiệm lớn hơn hoặc bằng 2 .
Đặt t = X - 2 phương trình (*) trở thành: 2
t - t - m + 5 = 0 (* ) * .
Để pt (*) có hai nghiệm lớn hơn hoặc bằng 2 ↔ pt (**) có hai nghiệm không âm 19 Giải được: £ m £ 5. 4
Bài 11. Tìm giá trị của tham số a để hệ phương trình sau có đúng 1 nghiệm: 2 ìï
x + 3 + y = a í 2 2
ï y + 5 + x = x + 5 + 3 - î a 88