Chuyên đề phương trình mũ và logarit – Lưu Huy Thưởng

Tài liệu Bài tập trắc nghiệm hàm số lũy thừa, mũ và logarit do thầy Lưu Huy Thưởng biên soạn gồm 15 trang.

116 58 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit (KNTT)

Môn: Toán 11

Thông tin:

32 trang 7 tháng trước

Tác giả:

Profile Kim Oanh
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
2013 - 2014
PHƯƠNG TRÌNH MŨ - LOGARIT
BIÊN SOẠN: LƯU HUY THƯỞNG
HÀ N
ỘI, 8/2013
HỌ VÀ TÊN: …………………………………………………………………
LỚP :………………………………………………………………….
TRƯỜNG :…………………………………………………………………
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 1
CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH MŨ – LOGARIT
VẤN ĐỀ I: LŨY THỪA
1. Định nghĩa luỹ thừa
Số mũ α
αα
α
Cơ số a
Luỹ thừa
a
α
*
n N
α
= ∈
a
∈
R
n
a a a a a
α
= =
(n thừa số a)
0
α
=
0
a
≠
0
1
a a
α
= =
*
( )
n n N
α = − ∈
0
a
≠
1
n
n
a a
a
α −
= =
*
( , )
m
m Z n N
n
α = ∈ ∈
0
a
>
( )
m
n
n
m n
n
a a a a b b a
α
= = = ⇔ =
*
lim ( , )
n n
r r Q n N
α
= ∈ ∈
0
a
>
lim
n
r
a a
α
=
2. Tính chất của luỹ thừa
• Với mọi a > 0, b > 0 ta có:
.
. ; ; ( ) ; ( ) . ;
a a a
a a a a a a ab a b
b
a b
α
α α
α β α β α β α β α β α α α
β α
+ −
= = = = =
• a > 1 :
a a
α β
α β
> ⇔ >
; 0 < a < 1 :
a a
α β
α β
> ⇔ <
• Với 0 < a < b ta có:
0
m m
a b m
< ⇔ >
;
0
m m
a b m
> ⇔ <
Chú ý: + Khi xét luỹ thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số a phải khác 0.
+ Khi xét luỹ thừa với số mũ không nguyên thì cơ số a phải dương.
3. Định nghĩa và tính chất của căn thức
• Căn bậc n của a là số b sao cho
n
=
.
• Với a, b
≥
0, m, n
∈
N*, p, q
∈
Z ta có:
.
n n n
ab a b
=
;
( 0)
n
n
n
a a
b
b
b
= >
;
(
)
( 0)
p
n
n
p
a a a
= >
;
m
n mn
a a
=
( 0)
n m
p q
p q
Neáu thì a a a
n m
= = >
; Đặc biệt
mn
n
m
a a
=
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 2
• Nếu n là số nguyên dương lẻ và a < b thì
n n
a b
<
.
Nếu n là số nguyên dương chẵn và 0 < a < b thì
n n
a b
<
.
Chú ý:
+ Khi n lẻ, mỗi số thực a chỉ có một căn bậc n. Kí hiệu
n
a
.
+ Khi n chẵn, mỗi số thực dương a có đúng hai căn bậc n là hai số đối nhau.
4. Công thức lãi kép
Gọi A là số tiền gửi, r là lãi suất mỗi kì, N là số kì.
Số tiền thu được (cả vốn lẫn lãi) là:
(1 )
N
C A r
= +
VẤN ĐỀ II: LOGARIT
1. Định nghĩa
• Với a > 0, a
≠
1, b > 0 ta có:
log
a
b a b
α
α
= ⇔ =
Chú ý:
log
a
b
có nghĩa khi
0, 1
0
a a
b
> ≠
>
• Logarit thập phân:
10
lg log log
b b b
= =
• Logarit tự nhiên (logarit Nepe):
ln log
e
b b
=
(với
1
lim 1 2,718281
n
e
n
= + ≈
)
2. Tính chất
•
log 1 0
a
=
;
log 1
a
a
=
;
log
b
a
a b
=
;
log
a
b
a b b
= >
• Cho a > 0, a
≠
1, b, c > 0. Khi đó:
+ Nếu a > 1 thì
log log
a a
b c b c
> ⇔ >
+ Nếu 0 < a < 1 thì
log log
a a
b c b c
> ⇔ <
3. Các qui tắc tính logarit
Với a > 0, a
≠
1, b, c > 0, ta có:
•
log ( ) log log
a a a
bc b c
= +
•
log log log
a a a
b
b c
c
= −
•
log log
a a
b b
α
α=
4. Đổi cơ số
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 3
Với a, b, c > 0 và a, b
≠
1, ta có:
•
log
log
log
a
b
a
c
c
b
=
hay
log .log log
a b a
b c c
=
•
1
log
log
a
b
b
a
=
•
1
log log ( 0)
a
a
c c
α
α
α
= ≠
Bài tập cơ bản
HT 1: Thực hiện các phép tính sau:
1)
2 1
4
log 4.log 2
2)
5 27
1
log .log 9
25
3)
3
log
a
a
4)
3
2
log 2
log 3
4 9
+
5)
2 2
log 8
6)
9 8
log 2 log 27
27 4+
7)
3 4
1/3
7
1
log .log
log
a a
a
a a
a
8)
3 8 6
log 6.log 9.log 2
9)
3 81
2 log 2 4 log 5
9
+
10)
3 9 9
log 5 log 36 4 log 7
81 27 3
+ +
11)
7
5
log 8
log 6
25 49
+
12)
2
5
3 log 4
5
−
13)
6 8
1 1
log 3 log 2
9 4
+
14)
9 2 125
1 log 4 2 log 3 log 27
3 4 5
+ −
+ +
15)
3
6
log 3.log 36
HT 2: So sánh các cặp số sau:
1)
4
vaø log
3
1
log 4
3
2)
0,2
vaø log
3
0,1
log 2 0, 34
3)
5
2
vaø log
3
4
2 3
log
5 4
4)
1 1
3 2
1 1
log log
80
15 2
vaø
+
5)
13 17
log 150 log 290
vaø
6)
vaø
6
6
1
log
log 3
2
2 3
HT 3: Tính giá trị của biểu thức logarit theo các biểu thức đã cho:
1)Cho
2
log 14
a
=
. Tính
49
log 32
theo a.
2)Cho
15
log 3
a
=
. Tính
25
log 15
theo a.
3)Cho
lg 3 0,477
=
. Tính
lg9000
;
lg0,000027
;
81
1
log 100
.
4)Cho
7
log 2
a
=
. Tính
1
2
log 28
theo a.
HT 4: Tính giá trị của biểu thức logarit theo các biểu thức đã cho:
1)Cho
25
log 7
a
=
;
2
log 5
b
=
. Tính
3
5
49
log
8
theo a, b.
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 4
2)Cho
30
log 3
a
=
;
30
log 5
b
=
. Tính
30
log 1350
theo a, b.
3)Cho
14
log 7
a
=
;
14
log 5
b
=
. Tính
35
log 28
theo a, b.
4)Cho
2
log 3
a
=
;
3
log 5
b
=
;
7
log 2
c
=
. Tính
140
log 63
theo a, b, c.
VẤN ĐỀ III: HÀM SỐ LŨY THỪA – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT
1. Khái niệm
1)Hàm số luỹ thừa
y x
α
=
(α là hằng số)
Số mũ α
αα
α
Hàm số
y x
α
=
Tập xác định D
α = n (n nguyên dương)
n
y x
=
D = R
α = n (n nguyên âm hoặc n = 0)
n
y x
=
D = R \ {0}
α là số thực không nguyên
y x
α
=
D = (0; +∞)
Chú ý: Hàm số
1
n
y x
=
không đồng nhất với hàm số
( *)
n
y x n N
= ∈
.
2)Hàm số mũ
x
y a
=
(a > 0, a
≠
1).
• Tập xác định: D = R.
• Tập giá trị: T = (0; +∞).
• Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến.
• Nhận trục hoành làm tiệm cận ngang.
• Đồ thị:
0<a<1
y=a
x
y
x
1
a>1
y=a
x
y
x
1
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 5
3)Hàm số logarit
log
a
y x
=
(a > 0, a
≠
1)
• Tập xác định: D = (0; +∞).
• Tập giá trị: T = R.
• Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến.
• Nhận trục tung làm tiệm cận đứng.
• Đồ thị:
2. Giới hạn đặc biệt
•
1
0
1
lim(1 ) lim 1
x
x
x x
x e
x
→ →±∞
+ = + =
•
0
ln(1 )
lim 1
x
x
x
→
+
=
•
0
1
lim 1
x
x
e
x
→
−
=
3. Đạo hàm
•
( )
1
( 0)
x x x
α α
α
−
′
= >
;
(
)
1
.
u u u
α α
α
−
′
′
=
Chú ý:
( )
1
0
1
0
−
>
′
=
≠
n
n
n
vôùi x neáu n chaün
x
vôùi x neáu n leû
n x
.
( )
1
n
n
n
u
u
n u
−
′
=
′
•
(
)
ln
x x
a a a
′
=
;
(
)
ln .
u u
a a a u
′
=
′
(
)
x x
e e
′
=
;
(
)
.
u u
e e u
′
=
′
•
(
)
1
log
ln
a
x
x a
′
=
;
(
)
log
ln
a
u
u
u a
′
=
′
( )
1
ln x
x
′
=
(x > 0);
( )
ln
u
u
u
′
=
′
0<a<1
y=log
a
x
1
x
y
O
a>1
y=log
a
x
1
y
x
O
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 6
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 7
Bài tập cơ bản
HT 5:
Tính các gi
ớ
i h
ạ
n sau:
1)
lim
1
x
x
x
x
→+∞
+
2)
1
1
lim 1
x
x
x
x
+
→+∞
+
3)
2 1
1
lim
2
x
x
x
x
−
→+∞
+
−
4)
1
3
3 4
lim
3 2
x
x
x
x
+
→+∞
−
+
5)
1
lim
2 1
x
x
x
x
→+∞
+
−
6)
2 1
lim
1
x
x
x
x
→+∞
+
−
7)
ln 1
lim
x e
x
x e
→
−
−
8)
2
0
1
lim
3
x
x
e
x
→
−
i)
1
lim
1
x
x
e e
x
→
−
−
k)
0
lim
sin
x x
x
e e
x
−
→
−
l)
sin 2 sin
0
lim
x x
x
e e
x
→
−
m)
(
)
1
lim 1
x
x
x e
→+∞
−
HT 6:
Tính
đạ
o hàm c
ủ
a các hàm s
ố
sau:
1)
3
2
1
y x x
= + +
2)
4
1
1
x
y
x
+
=
−
3)
2
5
2
2
1
x x
y
x
+ −
=
+
4)
3
sin(2 1)
y x
= +
5)
3
2
cot 1
y x
= +
6)
3
3
1 2
1 2
x
y
x
−
=
+
7)
3
3
sin
4
x
y
+
=
8)
11
5
9
9 6
y x
= +
9)
2
4
2
1
1
x x
y
x x
+ +
=
− +
HT 7:
Tính
đạ
o hàm c
ủ
a các hàm s
ố
sau:
1)
2
( 2 2)
x
y x x e
= − +
2)
2
( 2 )
x
y x x e
−
= +
3)
2
.sin
x
y e x
−
=
4)
2
2
x x
y e
+
=
5)
1
3
.
x x
y x e
−
=
6)
2
2
x x
x x
e e
y
e e
+
=
−
7)
cos
2 .
x x
y e
=
8)
2
3
1
x
y
x x
=
− +
i)
cot
cos .
x
y x e
=
HT 8:
Tính
đạ
o hàm c
ủ
a các hàm s
ố
sau:
1)
2
ln(2 3)
y x x
= + +
2)
2
log (cos )
y x
=
3)
.ln(cos )
x
y e x
=
4)
2
(2 1)ln(3 )
y x x x
= − +
5)
3
1
2
log ( cos )
y x x
= − 6)
3
log (cos )
y x
=
7)
ln(2 1)
2 1
x
y
x
+
=
+
8)
ln(2 1)
1
x
y
x
+
=
+
9)
(
)
2
ln 1
y x x
= + +
HT 9:
Ch
ứ
ng minh hàm s
ố
đ
ã cho tho
ả
mãn h
ệ
th
ứ
c
đượ
c ch
ỉ
ra:
1)
2
2
2
. ; (1 )
x
y x e xy x y
−
= ′ = −
2)
( 1) ;
x x
y x e y y e
= + ′ − =
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 8
3)
4
2 ; 13 12 0
x x
y e e y y y
−
′′′
= + − − =
′
4)
2
. . ; 3 2 0
x x
y a e b e y y y
− −
′′
= + + + =
′
5)
.sin ; 2 2 0
x
y e x y y y
−
′′ ′
= + + =
6)
(
)
4
.cos ; 4 0
x
y e x y y
−
= + =
HT 10:
Ch
ứ
ng minh hàm s
ố
đ
ã cho tho
ả
mãn h
ệ
th
ứ
c
đượ
c ch
ỉ
ra:
1)
1
ln ; 1
1
y
y xy e
x
= + =
+
′
2)
1
; ln 1
1 ln
y xy y y x
x x
= ′ = −
+ +
3)
2
sin(ln ) cos(ln ); 0
y x x y xy x y
= + + ′ + ′′ =
4)
2 2 2
1 ln
; 2 ( 1)
(1 ln )
x
y x y x y
x x
+
= ′ = +
−
HT 11:
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình, b
ấ
t ph
ươ
ng trình sau v
ớ
i hàm s
ố
đượ
c ch
ỉ
ra:
1)
2
'( ) 2 ( ); ( ) ( 3 1)
x
f x f x f x e x x
= = + +
2)
3
1
'( ) ( ) 0; ( ) ln
f x f x f x x x
x
+ = =
3)
2 1 1 2
'( ) 0; ( ) 2. 7 5
x x
f x f x e e x
− −
= = + + −
VẤN ĐỀ IV: PHƯƠNG TRÌNH MŨ
1. Phương trình mũ cơ bản:
V
ớ
i
0, 1
> ≠
a a
:
0
log
x
a
b
a b
x b
>
= ⇔
=
2. Một số phương pháp giải phương trình mũ
1) Đưa về cùng cơ số:
V
ớ
i
0, 1
> ≠
a a
:
( ) ( )
( ) ( )
f x g x
a a f x g x
= ⇔ =
Chú ý:
Trong tr
ườ
ng h
ợ
p c
ơ
s
ố
có ch
ứ
a
ẩ
n s
ố
thì:
( 1)( ) 0
M N
a a a M N
= ⇔ − − =
2) Logarit hoá:
(
)
( ) ( )
( ) log . ( )
f x g x
a
a b f x b g x
= ⇔ =
3) Đặt ẩn phụ:
•
Dạng 1
:
( )
( ) 0
f x
P a
=
⇔
( )
, 0
( ) 0
f x
t a t
P t
= >
=
, trong
đ
ó
P(t)
là
đ
a th
ứ
c theo
t
.
•
Dạng 2
:
2 ( ) ( ) 2 ( )
( ) 0
f x f x f x
a ab b
α β γ
+ + =
Chia 2 v
ế
cho
2 ( )
f x
b
, r
ồ
i
đặ
t
ẩ
n ph
ụ
( )
f x
a
t
b
=
•
Dạng 3
:
( ) ( )f x f x
a b m
+ =
, v
ớ
i
1
ab
=
.
Đặ
t
( ) ( )
1
f x f x
t a b
t
= ⇒ =
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 9
4) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số
Xét ph
ươ
ng trình:
f(x) = g(x) (1)
•
Đ
oán nh
ậ
n
x
0
là m
ộ
t nghi
ệ
m c
ủ
a (1).
•
D
ự
a vào tính
đồ
ng bi
ế
n, ngh
ị
ch bi
ế
n c
ủ
a
f(x)
và
g(x)
để
k
ế
t lu
ậ
n
x
0
là nghi
ệ
m duy nh
ấ
t:
ñoàng bieán vaø nghòch bieán (hoaëc ño
àng bieán nhöng nghieâm ngaët).
ñôn ñieäu vaø haèng soá
( ) ( )
( ) ( )
f x g x
f x g x c
=
•
N
ế
u
f(x)
đồ
ng bi
ế
n (ho
ặ
c ngh
ị
ch bi
ế
n) thì
( ) ( )
f u f v u v
= ⇔ =
5) Đưa về phương trình các phương trình đặc biệt
•
Phương trình tích
A.B = 0
⇔
0
0
A
B
=
=
•
Phương trình
2 2
0
0
0
A
A B
B
=
+ = ⇔
=
6) Phương pháp đối lập
Xét ph
ươ
ng trình:
f(x) = g(x) (1)
N
ế
u ta ch
ứ
ng minh
đượ
c:
( )
( )
f x M
g x M
≥
≤
thì (1)
( )
( )
f x M
g x M
=
⇔
=
Bài tập cơ bản
HT 12:
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau (
đư
a v
ề
cùng c
ơ
s
ố
ho
ặ
c logarit hoá
):
1)
3 1 8 2
9 3
x x
− −
=
2)
(
)
2
3 2 2 3 2 2
x
− = +
3)
2 2 2
3 2 6 5 2 3 7
4 4 4 1
x x x x x x− + + + + +
+ = +
4)
2 2
5 7 5 .35 7 .35 0
x x x x
− − + =
5)
2 2 2 2
1 2 1
2 2 3 3
x x x x
− + −
+ = +
6)
2
4
5 25
x x− +
=
7)
2
2
4 3
1
2
2
x
x
−
−
=
8)
7 1 2
1 1
. 2
2 2
x x+ −
=
9)
1
3 .2 72
x x +
=
10)
1 1
5 6. 5 – 3. 5 52
x x x+ −
+ =
11)
10 5
10 15
16 0,125.8
x x
x x
+ +
− −
=
12)
(
)
(
)
1
1
1
5 2 5 2
x
x
x
−
−
+
+ = −
HT 13:
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau (
đư
a v
ề
cùng c
ơ
s
ố
ho
ặ
c logarit hoá
):
1)
4 1 3 2
2 1
5 7
x x
+ +
=
2)
2 1
1
5 .2 50
x
x
x
−
+
=
3)
3
2
3 .2 6
x
x
x +
=
4)
2
3 .8 6
x
x
x +
=
5)
1 2 1
4.9 3 2
x x
− +
=
6)
2
2
2 .3 1,5
x x x−
=
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 10
7)
2
5 .3 1
x x
=
8)
3 2
2 3
x x
=
9)
2
3 .2 1
x x
=
HT 14:
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau (
đặ
t
ẩ
n ph
ụ
d
ạ
ng 1
):
1)
1
4 2 8 0
x x +
+ − =
2)
1 1
4 6.2 8 0
x x+ +
− + =
3)
4 8 2 5
3 4.3 27 0
x x+ +
− + =
4)
16 17.4 16 0
x x
− + =
5)
1
49 7 8 0
x x +
+ − =
6)
2 2
2
2 2 3.
x x x x− + −
− =
7)
(
)
(
)
7 4 3 2 3 6
x x
+ + + =
8)
2
cos 2 cos
4 4 3
x x
+ =
9)
2 5 1
3 36.3 9 0
x x+ +
− + =
10)
2 2
2 2 1
3 28.3 9 0
x x x x+ + +
− + =
11)
2 2
2 2
4 9.2 8 0
x x+ +
− + =
12)
2 1 1
3.5 2.5 0,2
x x
− −
− =
HT 15:
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau (
đặ
t
ẩ
n ph
ụ
d
ạ
ng 1
):
1)
25 2(3 ).5 2 7 0
x x
x x
− − + − =
2)
2 2
3.25 (3 10).5 3 0
x x
x x
− −
+ − + − =
3)
3.4 (3 10).2 3 0
x x
x x
+ − + − =
4)
9 2( 2).3 2 5 0
x x
x x
+ − + − =
5)
2 1 2
4 .3 3 2.3 . 2 6
x x x
x x x x
+
+ + = + +
6)
2 2
3.25 (3 10).5 3 0
x x
x x
− −
+ − + − =
7)
4 +( 8 2 +12 2
– ) – 0
x x
x x
=
8)
4 9 5 3 1
( ). ( ). 0
x x
x x
+ − + + =
9)
2 2
2 2
4 ( 7).2 12 4 0
x x
x x
+ − + − =
10)
9 ( 2).3 2( 4) 0
x x
x x
− −
− + − + =
HT 16:
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau (
đặ
t
ẩ
n ph
ụ
d
ạ
ng 2
):
1)
64.9 84.12 27.16 0
x x x
− + =
2)
3.16 2.81 5.36
x x x
+ =
3)
2 2
6.3 13.6 6.2 0
x x x
− + =
4)
2 1
25 10 2
x x x
+
+ = 5)
27 12 2.8
x x x
+ =
6)
3.16 2.81 5.36
x x x
+ =
7)
1 1 1
6.9 13.6 6.4 0
x x x
− + =
8)
1 1 1
4 6 9
x x x
− − −
+ =
9)
1 1 1
2.4 6 9
x x x
+ =
10)
(
)
(
)
(
)
(
)
7 5 2 2 5 3 2 2 3 1 2 1 2 0.
x x x
+ + − + + + + − =
HT 17:
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau (
đặ
t
ẩ
n ph
ụ
d
ạ
ng 3
):
1)
(
)
(
)
2 3 2 3 14
x x
− + + = 2)
(
)
(
)
2 3 2 3 4
x x
+ + − =
3)
(2 3) (7 4 3)(2 3) 4(2 3)
x x
+ + + − = +
4)
(
)
(
)
3
5 21 7 5 21 2
x x
x
+
− + + =
5)
(
)
(
)
5 24 5 24 10
x x
+ + − =
6)
7 3 5 7 3 5
7 8
2 2
x x
+ −
+ =
7)
(
)
(
)
6 35 6 35 12
x x
− + + =
8)
( ) ( )
2 2
( 1) 2 1
4
2 3 2 3
2 3
x x x− − −
+ + − =
−
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 11
9)
(
)
(
)
3
3 5 16 3 5 2
x x
x
+
+ + − =
10)
(
)
(
)
3 5 3 5 7.2 0
x x
x
+ + − − =
11)
(
)
(
)
7 4 3 3 2 3 2 0
x x
+ − − + =
12)
(
)
(
)
3 3
3 8 3 8 6.
x x
+ + − =
HT 18:
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau (
s
ử
d
ụ
ng tính
đơ
n
đ
i
ệ
u
):
1)
(
)
(
)
2 3 2 3 4
x x
x
− + + =
2)
(
)
(
)
(
)
3 2 3 2 10
x x x
− + + =
3)
(
)
(
)
3 2 2 3 2 2 6
x x
x
+ + − =
4)
(
)
(
)
3
3 5 16. 3 5 2
x x
x
+
+ + − =
5)
3 7
2
5 5
x
x
+ =
6)
(
)
(
)
2 3 2 3 2
x x
x
+ + − =
7)
2 3 5 10
x x x x
+ + =
8)
2 3 5
x x x
+ =
9)
2
1 2
2 2 ( 1)
x x x
x
− −
− = −
10)
3 5 2
x
x
= −
11)
2 3
x
x
= −
12)
1
2 4 1
x x
x
+
− = −
HT 19:
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau (
đư
a v
ề
ph
ươ
ng trình tích)
:
1)
8.3 3.2 24 6
x x x
+ = +
2)
1
12.3 3.15 5 20
x x x +
+ − =
3)
3
8 .2 2 0
x x
x x
−
− + − =
4)
2 3 1 6
x x x
+ = +
5)
2 2 2
3 2 6 5 2. 3 7
4 4 4 1
x x x x x x− + + + + +
+ = +
6)
( )
2
2 2
1
1
4 2 2 1
x
x x x
+
+ −
+ = +
7)
2 3 2
.3 3 (12 7 ) 8 19 12
x x
x x x x x
+ − = − + − +
8)
2 1 1
.3 (3 2 ) 2(2 3 )
x x x x x
x x
− −
+ − = −
9)
sin 1 sin
4 2 cos( ) 2 0
y
x x
xy
+
− + =
10)
2 2 2 2
2( ) 1 2( ) 1
2 2 2 .2 1 0
x x x x x x+ − + −
+ − − =
HT 20:
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau (
ph
ươ
ng pháp
đố
i l
ậ
p
):
1)
4
2 cos ,
x
x
= v
ớ
i x
≥
0 2)
2
6 10 2
3 6 6
x x
x x
− +
= − + −
3)
sin
3 cos
x
x
=
4)
3
2
2.cos 3 3
2
x x
x x
−
−
= +
5)
sin
cos
x
x
π =
6)
2
2
2
1
2
x x
x
x
−
+
=
7)
2
3 cos 2
x
x
=
8)
2
5 cos 3
x
x
=
HT 21:
Tìm
m
để
các ph
ươ
ng trình sau có nghi
ệ
m:
1)
9 3 0
x x
m
+ + =
2)
9 3 1 0
x x
m
+ − =
3)
1
4 2
x x
m
+
− =
4)
2
3 2.3 ( 3).2 0
x x x
m
+ − + =
5)
2 ( 1).2 0
x x
m m
−
+ + + =
6)
25 2.5 2 0
x x
m
− − − =
7)
2
16 ( 1).2 1 0
x x
m m
− − + − =
8)
25 .5 1 2 0
x x
m m
+ + − =
9)
2 2
sin os
81 81
x c x
m
+ =
10)
2 2
4 2 2
3 2.3 2 3 0
x x
m
− −
− + − =
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 12
11)
1 3 1 3
4 14.2 8
x x x x
m
+ + − + + −
− + =
12)
2 2
1
1
9 8.3 4
x x
x x
m
+ −
+ −
− + =
HT 22:
Tìm
m
để
các ph
ươ
ng trình sau có nghi
ệ
m duy nh
ấ
t:
1)
.2 2 5 0
x x
m
−
+ − =
2)
.16 2.81 5.36
x x x
m
+ =
3)
(
)
(
)
5 1 5 1 2
x x
x
m
+ + − =
4)
7 3 5 7 3 5
8
2 2
x x
m
+ −
+ =
5)
3
4 2 3
x x
m
+
− + =
6)
9 3 1 0
x x
m
+ + =
HT 23:
Tìm
m
để
các ph
ươ
ng trình sau có 2 nghi
ệ
m trái d
ấ
u:
1)
1
( 1).4 (3 2).2 3 1 0
x x
m m m
+
+ + − − + =
2)
2
49 ( 1).7 2 0
x x
m m m
+ − + − =
3)
9 3( 1).3 5 2 0
x x
m m
+ − − + =
4)
( 3).16 (2 1).4 1 0
x x
m m m
+ + − + + =
5)
(
)
4 2 1 2 +3 8
. 0
x x
m m
− + − =
6)
4 2 6
x x
m
− + =
HT 24:
Tìm
m
để
các ph
ươ
ng trình sau:
1)
.16 2.81 5.36
x x x
m
+ =
có 2 nghi
ệ
m d
ươ
ng phân bi
ệ
t.
2)
16 .8 (2 1).4 .2
x x x x
m m m
− + − =
có 3 nghi
ệ
m phân bi
ệ
t.
3)
2 2
2
4 2 6
x x
m
+
− + =
có 3 nghi
ệ
m phân bi
ệ
t.
4)
2 2
9 4.3 8
x x
m
− + =
có 3 nghi
ệ
m phân bi
ệ
t.
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 13
VẤN ĐỀ V: PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
1. Phương trình logarit cơ bản
V
ớ
i a > 0, a
≠
1:
log
b
a
x b x a
= ⇔ =
2. Một số phương pháp giải phương trình logarit
1) Đưa về cùng cơ số
V
ớ
i a > 0, a
≠
1:
( ) ( )
log ( ) log ( )
( ) 0 ( ( ) 0)
a a
f x g x
f x g x
f x hoaëc g x
=
= ⇔
> >
2) Mũ hoá
V
ớ
i a > 0, a
≠
1:
log ( )
log ( )
a
f x
b
a
f x b a a
= ⇔ =
3) Đặt ẩn phụ
4) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số
5) Đưa về phương trình đặc biệt
6) Phương pháp đối lập
Chú ý:
•
Khi gi
ả
i ph
ươ
ng trình logarit c
ầ
n chú ý
đ
i
ề
u ki
ệ
n
để
bi
ể
u th
ứ
c có ngh
ĩ
a.
•
V
ớ
i a, b, c > 0 và a, b, c
≠
1:
log log
b b
c a
a c
=
Bài tập cơ bản
HT 25:
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau (
đư
a v
ề
cùng c
ơ
s
ố
ho
ặ
c m
ũ
hoá
):
1)
2
log ( 1) 1
x x
− =
2)
2 2
log log ( 1) 1
x x
+ − =
3)
2 1/8
log ( 2) 6.log 3 5 2
x x
− − − =
4)
2 2
log ( 3) log ( 1) 3
x x
− + − =
5)
4 4 4
log ( 3) log ( 1) 2 log 8
x x
+ − − = −
6)
lg( 2) lg( 3) 1 lg 5
x x
− + − = −
7)
8 8
2
2 log ( 2) log ( 3)
3
x x
− − − =
8)
lg 5 4 lg 1 2 lg 0,18
x x
− + + = +
9)
2
3 3
log ( 6) log ( 2) 1
x x
− = − +
10)
2 2 5
log ( 3) log ( 1) 1 / log 2
x x
+ + − =
11)
4 4
log log (10 ) 2
x x
+ − =
12)
5 1/5
log ( 1) log ( 2) 0
x x
− − + =
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 14
13)
2 2 2
log ( 1) log ( 3) log 10 1
x x
− + + = −
14)
9 3
log ( 8) log ( 26) 2 0
x x
+ − + + =
HT 26:
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau (
đư
a v
ề
cùng c
ơ
s
ố
ho
ặ
c m
ũ
hoá
):
1)
3 1/3
3
log log log 6
x x x
+ + =
2)
2 2
1 lg( 2 1) lg( 1) 2 lg(1 )
x x x x
+ − + − + = −
3)
4 1/16 8
log log log 5
x x x
+ + =
4)
2 2
2 lg(4 4 1) lg( 19) 2lg(1 2 )
x x x x
+ − + − + = −
5)
2 4 8
log log log 11
x x x
+ + =
6)
1/2 1/2
1/ 2
log ( 1) log ( 1) 1 log (7 )
x x x
− + + = + −
7)
2 2 3 3
log log log log
x x
=
8)
2 3 3 2
log log log log
x x
=
9)
2 3 3 2 3 3
log log log log log log
x x x
+ =
10)
2 3 4 4 3 2
log log log log log log
x x
=
HT 27:
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau (
đư
a v
ề
cùng c
ơ
s
ố
ho
ặ
c m
ũ
hoá
):
1)
2
log (9 2 ) 3
x
x
− = −
2)
3
log (3 8) 2
x
x
− = −
3)
7
log (6 7 ) 1
x
x
−
+ = +
4)
1
3
log (4.3 1) 2 1
x
x
−
− = −
5)
5
log (3 )
2
log (9 2 ) 5
x
x
−
− =
6)
2
log (3.2 1) 2 1 0
x
x
− − − =
7)
2
log (12 2 ) 5
x
x
− = −
8)
5
log (26 3 ) 2
x
− =
9)
1
2
log (5 25 ) 2
x x
+
− =
10)
1
4
log (3.2 5)
x
x
+
− =
11)
1
1
6
log (5 25 ) 2
x x+
− = −
12)
1
1
5
log (6 36 ) 2
x x+
− = −
HT 28:
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau (
đư
a v
ề
cùng c
ơ
s
ố
ho
ặ
c m
ũ
hoá
):
1)
2
5
log ( 2 65) 2
x
x x
−
− + =
2)
2
1
log ( 4 5) 1
x
x x
−
− + =
3)
2
log (5 8 3) 2
x
x x
− + =
4)
3 2
1
log (2 2 3 1) 3
x
x x x
+
+ − + =
5)
3
log ( 1) 2
x
x
−
− =
6)
log ( 2) 2
x
x
+ =
7)
2
2
log ( 5 6) 2
x
x x
− + =
8)
2
3
log ( ) 1
x
x x
+
− =
9)
2
log (2 7 12) 2
x
x x
− + =
10)
2
log (2 3 4) 2
x
x x
− − =
11)
2
2
log ( 5 6) 2
x
x x
− + =
12)
2
log ( 2) 1
x
x
− =
13)
2
3 5
log (9 8 2) 2
x
x x
+
+ + =
14)
2
2 4
log ( 1) 1
x
x
+
+ =
15)
15
log 2
1 2
x
x
= −
−
16)
2
log (3 2 ) 1
x
x
− =
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 15
17)
2
3
log ( 3) 1
x x
x
+
+ =
18)
2
log (2 5 4) 2
x
x x
− + =
HT 29:
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau (
đặ
t
ẩ
n ph
ụ
):
1)
2 2
3 3
log log 1 5 0
x x
+ + − =
2)
2
2 1/2
2
log 3 log log 2
x x x
+ + =
3)
4
7
log 2 log 0
6
x
x
− + =
4)
2
2
1 2
2
log 4 log 8
8
x
x
+ =
5)
2
2 1/2
2
log 3 log log 0
x x x
+ + =
6)
2
2
log 16 log 64 3
x
x
+ =
7)
5
1
log log 2
5
x
x
− =
8)
7
1
log log 2
7
x
x
− =
9)
5
1
2 log 2 log
5
x
x − = 10)
2 2
3 log log 4 0
x x
− =
11)
3 3
3 log log 3 1 0
x x
− − =
12)
3
3
2 2
log log 4 / 3
x x+ =
13)
3
3
2 2
log log 2 / 3
x x− = − 14)
2
2 4
1
log 2 log 0
x
x
+ =
15)
2
2 1/4
log (2 ) 8 log (2 ) 5
x x
− − − =
16)
2
5 25
log 4 log 5 5 0
x x
+ − =
17)
2
9
log 5 log 5 log 5
4
x x x
x+ = + 18)
2
9
log 3 log 1
x
x
+ =
19)
1 2
1
4 lg 2 lg
x x
+ =
− +
20)
1 3
1
5 lg 3 lg
x x
+ =
− +
21)
2 3
2 16 4
log 14 log 40log 0
x x x
x x x
− + =
HT 30:
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau (
đặ
t
ẩ
n ph
ụ
):
1)
2
3
3
log ( 12)log 11 0
x x x x
+ − + − =
2)
2
2 2
log log 6
6.9 6. 13.
x
x x
+ =
3)
2
2 2
.log 2( 1).log 4 0
x x x x
− + + =
4)
2
2 2
log ( 1)log 6 2
x x x x
+ − = −
5)
2
3 3
( 2)log ( 1) 4( 1)log ( 1) 16 0
x x x x
+ + + + + − =
6)
2
2
log (2 ) log 2
x
x
x x
−
+ + =
7)
2
3 3
log ( 1) ( 5)log ( 1) 2 6 0
x x x x
+ + − + − + =
8)
3 3
4 log 1 log 4
x x
− − =
9)
2 2
2 2 2
log ( 3 2) log ( 7 12) 3 log 3
x x x x+ + + + + = +
HT 31:
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau (
đặ
t
ẩ
n ph
ụ
):
1)
7 3
log log ( 2)
x x
= +
2)
2 3
log ( 3) log ( 2) 2
x x
− + − =
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 16
3)
3 5
log ( 1) log (2 1) 2
x x
+ + + =
4)
(
)
6
log
2 6
log 3 log
x
x x
+ =
5)
(
)
7
log 3
4
x
x
+
=
6)
(
)
2 3
log 1 log
x x
+ =
7)
2 2 2
log 9 log log 3
2
.3
x
x x x
= −
8)
2 2
3 7 2 3
log (9 12 4 ) log (6 23 21) 4
x x
x x x x
+ +
+ + + + + =
9)
(
)
(
)
(
)
2 2 2
2 3 6
log 1 .log 1 log 1
x x x x x x
− − + − = − −
HT 32:
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau (
s
ử
d
ụ
ng tính
đơ
n
đ
i
ệ
u
):
1)
2 2
log 3 log 5
( 0)
x x x x+ = >
2)
2 2
log log
2
3 5
x x
x
+ =
3)
5
log ( 3) 3
x x
+ = −
4)
2
log (3 )
x x
− =
5)
2
2 2
log ( 6) log ( 2) 4
x x x x
− − + = + +
6)
2
log
2.3 3
x
x
+ =
7)
2 3
4( 2) log ( 3) log ( 2) 15( 1)
x x x x
− − + − = +
HT 33:
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau (
đư
a v
ề
ph
ươ
ng trình tích)
:
1)
2 7 2 7
log 2.log 2 log .log
x x x x
+ = +
2)
2 3 3 2
log .log 3 3.log log
x x x x
+ = +
3)
(
)
(
)
x
2
9 3 3
2 log log .log 2 1 1
x x
= + −
HT 34:
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau (
ph
ươ
ng pháp
đố
i l
ậ
p
):
1)
2 3
ln(sin ) 1 sin 0
x x
− + =
2)
(
)
2 2
2
log 1 1
x x x
+ − = −
3)
2 1 3 2
2
3
8
2 2
log (4 4 4)
x x
x x
+ −
+ =
− +
HT 35:
Tìm
m
để
các ph
ươ
ng trình sau:
1)
(
)
2
log 4 1
x
m x
− = +
có 2 nghi
ệ
m phân bi
ệ
t.
2)
2
3 3
log ( 2).log 3 1 0
x m x m
− + + − =
có 2 nghi
ệ
m x
1
, x
2
tho
ả
x
1
.
x
2
= 27.
3)
2 2 2 2
4 2
2 log (2 2 4 ) log ( 2 )
x x m m x mx m
− + − = + −
có 2 nghi
ệ
m x
1
, x
2
tho
ả
2 2
1 2
1
x x
+ >
.
4)
2 2
3 3
log log 1 2 1 0
x x m
+ + − − =
có ít nh
ấ
t m
ộ
t nghi
ệ
m thu
ộ
c
đ
o
ạ
n
3
1;3
.
5)
(
)
2
2 2
4 log log 0
x x m
+ + =
có nghi
ệ
m thu
ộ
c kho
ả
ng (0; 1).
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 17
VẤN ĐỀ VI: HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT
Khi gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình m
ũ
và logarit, ta c
ũ
ng dùng các ph
ươ
ng pháp gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình
đ
ã h
ọ
c nh
ư
:
•
Ph
ươ
ng pháp th
ế
.
•
Ph
ươ
ng pháp c
ộ
ng
đạ
i s
ố
.
•
Ph
ươ
ng pháp
đặ
t
ẩ
n ph
ụ
.
•
…….
HT 36:
Gi
ả
i các h
ệ
ph
ươ
ng trình sau:
1)
2 5
2 1
y
y
x
x
+ =
− =
2)
2 4
4 32
x
x
y
y
=
=
3)
2
3 1
3 19
y
y
x
x
− =
+ =
4)
1
2 6
8
4
y
y
x
x
−
−
=
=
HT 37:
Gi
ả
i các h
ệ
ph
ươ
ng trình sau:
1)
4 3 7
4 .3 144
x y
x y
− =
=
2)
2 3 17
3.2 2.3 6
x y
x y
+ =
− =
3)
1
2 2.3 56
3.2 3 87
x y
x
x y
x
+
+ +
+ =
+ =
4)
2 2 2 2
1
3 2 17
2.3 3.2 8
x y
x y
+ +
+
+ =
+ =
5)
1
1 1
3 2 4
3 2 1
x y
x y
+
+ +
− = −
− = −
6)
2 2
2
2( 1) 1 2
2 1.
4 4.4 .2 2 1
2 3.4 .2 4
x x y y
y x y
− −
−
− + =
− =
7)
2
cot 3
cos 2
y
y
x
x
=
=
8)
2
2
2
2
( )2 1
9( ) 6
y x
x y
x y
x y
−
−
+ =
+ =
9)
2
3 2 77
3 2 7
x y
x y
− =
− =
10)
2 2
2 2 ( )( 2)
2
x y
y x xy
x y
− = − +
+ =
HT 38:
Gi
ả
i các h
ệ
ph
ươ
ng trình sau:
1)
3 2 1
3 2 1
x
y
y
x
= +
= +
2)
3 2 11
3 2 11
x
y
x y
y x
+ = +
+ = +
3)
2 2
2 2
3
x y
y x
x xy y
− = −
+ + =
4)
1
1
7 6 5
7 6 5
x
y
y
x
−
−
= −
= −
HT 39:
Gi
ả
i các h
ệ
ph
ươ
ng trình sau:
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 18
1)
2 2
6
log log 3
x y
x y
+ =
+ =
2)
log log 2
6
y
x
y x
x y
+ =
+ =
3)
2
2
log 4
2 log 2
x y
x y
+ =
− =
4)
(
)
(
)
2 2
3 5
3
log log 1
x y
x y x y
− =
+ − − =
5)
32
log 4
y
xy
x
=
=
6)
2
3
log
log 2 3
9
y
y
x
x
+ =
=
7)
2(log log ) 5
8
y x
x y
xy
+ =
=
8)
2 3
9 3
1 2 1
3log (9 ) log 3
x y
x y
− + − =
− =
9)
2
3 3
3
2
1
log log 0
2
2 0
x y
x y y
− =
+ − =
10)
3
12
log 1
3
y
y x
x
− =
=
HT 40:
Gi
ả
i các h
ệ
ph
ươ
ng trình sau:
1)
(
)
( )
log 3 2 2
log 2 3 2
x
y
x y
x y
+ =
+ =
2)
log (6 4 ) 2
log (6 4 ) 2
x
y
x y
y x
+ =
+ =
3)
2 2
3 3
2 2
log 1 2 log
log log 4
x
y
y
x y
− = −
+ =
4)
2
2
4 4
log log 1
log log 1
y
x y
x y
− =
− =
5)
(
)
2 2
2
3 3
log 6 4
log log 1
x y
x y
+ + =
+ =
6)
2 2
2 2
log log
16
log log 2
y x
x y
x y
+ =
− =
7)
3 3
log log
3 3
2. 27
log log 1
y x
x y
y x
+ =
− =
8)
2 2
2
4 2
log log
3. 2. 10
log log 2
y x
x y
x y
+ =
+ =
9)
(
)
(
)
log 2 2 2
log 2 2 2
x
y
x y
y x
+ − =
+ − =
10)
(
)
2
2
log 4
log 2
xy
x
y
=
=
HT 41:
Gi
ả
i các h
ệ
ph
ươ
ng trình sau:
1)
lg
lg lg 4
1000
y
x y
x
+ =
=
2)
(
)
2
6
36
4 2 log 9
x y
x
x y x
−
=
− + =
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 19
3)
5
5
( )3
27
3 log ( )
y x
x y
x y x y
−
+ =
+ = −
4)
lg lg
lg 4 lg 3
3 4
(4 ) (3 )
x y
x y
=
=
5)
2
1
2
2 log 2 log 5 0
32
x
y
x y
xy
− + =
=
HT 42:
Gi
ả
i các h
ệ
ph
ươ
ng trình sau:
1)
2
log
4
2 2
2
log log 1
x
y
x y
=
− =
2)
( )
( ) ( )
2
2 2
1
3
3
log log 4
x y
x y
x y x y
−
−
=
+ + − =
3)
8 8
log log
4 4
4
log log 1
y x
x y
x y
+ =
− =
4)
( )
1
3
3 .2 18
log 1
x y
x y
=
+ = −
5)
( )
2
2 2
1
3
3
log ( ) log ( ) 4
x y
x y
x y x y
−
−
=
+ + − =
6)
(
)
(
)
3 3
4 32
log 1 log
x y
y x
x y x y
+
=
− = − +
7)
( )
3
3 .2 972
log 2
x y
x y
=
− =
8)
( )
5
3 .2 1152
log 2
x y
x y
−
=
+ =
9)
(
)
(
)
2 2
log log 1
x y
x y x y
x y
+ = −
− =
10)
3 3
log log 2
2 2
4 2 ( )
3 3 12
xy
xy
x y x y
= +
+ − − =
11)
3 3
log log
3 3
2 27
log log 1
y x
x y
y x
+ =
− =
12)
2
2 log
log log
4 3
y
x y
x
xy x
y y
=
= +
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 20
VẤN ĐỀ VII: BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
•
Khi gi
ả
i các b
ấ
t ph
ươ
ng trình m
ũ
ta c
ầ
n chú ý tính
đơ
n
đ
i
ệ
u c
ủ
a hàm s
ố
m
ũ
.
( ) ( )
1
( ) ( )
0 1
( ) ( )
f x g x
a
f x g x
a a
a
f x g x
>
>
> ⇔
< <
<
•
Ta c
ũ
ng th
ườ
ng s
ử
d
ụ
ng các ph
ươ
ng pháp gi
ả
i t
ươ
ng t
ự
nh
ư
đố
i v
ớ
i ph
ươ
ng trình m
ũ
:
–
Đư
a v
ề
cùng c
ơ
s
ố
.
–
Đặ
t
ẩ
n ph
ụ
.
– ….
Chú ý:
Trong tr
ườ
ng h
ợ
p c
ơ
s
ố
a có ch
ứ
a
ẩ
n s
ố
thì:
( 1)( ) 0
M N
a a a M N
> ⇔ − − >
HT 43:
Gi
ả
i các b
ấ
t ph
ươ
ng trình sau
(
đư
a v
ề
cùng c
ơ
s
ố
)
:
1)
2
1
2
1
3
3
x x
x x
− −
−
≥
2)
6 3
2 1 1
1 1
2 2
x x x
− + −
<
3)
2 3 4 1 2
2 2 2 5 5
x x x x x
+ + + + +
− − > −
4)
1 2
3 3 3 11
x x
x
− −
+ − <
5)
2 2
3 2 3 2
9 6 0
x x x x− + − +
− <
6)
2 3 7 3 1
6 2 .3
x x x
+ + −
<
7)
2
2 2
1
2 2
4 .2 3.2 .2 8 12
x
x x
x x x x
+
+ + > + +
8)
2 1 2
6. 3 . 3 2.3 . 3 9
x x x
x x x x
+
+ + < + +
9)
1 2 1 2
9 9 9 4 4 4
x x x x x x
+ + + +
+ + < + +
10)
1 3 4 2
7.3 5 3 5
x x x x
+ + + +
+ ≤ +
11)
2 1 2
2 5 2 5
x x x x
+ + +
+ < +
12)
1 2
2 3 36
.
x x
− +
>
13)
(
)
(
)
3 1
1 3
10 3 10 3
x x
x x
− +
− +
+ < −
14)
(
)
(
)
1
1
2 1 2 1
x
x
x
+
−
+ ≥ −
15)
2
1
2
1
2
2
x
x x
−
−
≤
16)
1
1
2 1 3 1
2 2
x x
− +
≥
HT 44:
Gi
ả
i các b
ấ
t ph
ươ
ng trình sau
(
đặ
t
ẩ
n ph
ụ
)
:
1)
2.14 3.49 4 0
x x x
+ − ≥
2)
1 1
1 2
4 2 3 0
x x
− −
− − ≤
3)
2
( 2)
2( 1)
3
4 2 8 52
x
x
x
−
−
− + >
4)
4 4
1
8.3 9 9
x x x x
+ +
+ >
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 21
5)
25.2 10 5 25
x x x
− + >
6)
2 1 1
5 6 30 5 .30
x x
x x
+ +
+ > +
7)
6 2.3 3.2 6 0
x x x
− − + ≥
8)
27 12 2.8
x x x
+ >
9)
1 1 1
49 35 25
x x x
− ≤
10)
1 2 1
2
3 2 12 0
x
x x
+ +
− − <
11)
2 2 2
2 1 2 1 2
25 9 34.25
x x x x x x
− + − + −
+ ≥
12)
2 4 4
3 8.3 9.9 0
x x x x
+ + +
− − >
13)
1 1 1
4 5.2 16 0
x x x x
+ − + − +
− + ≥
14)
(
)
(
)
3 2 3 2 2
x
x
+ + − ≤
15)
2 1
1
1 1
3 12
3 3
x x
+
+ >
16)
3 1
1 1
128 0
4 8
x x
−
− − ≥
17)
1 1
1 2
2 2 9
x x
+ −
+ <
18)
(
)
2
2 1
2 9.2 4 . 2 3 0
x x
x x
+
− + + − ≥
HT 45:
Gi
ả
i các b
ấ
t ph
ươ
ng trình sau
(s
ử
d
ụ
ng tính
đơ
n
đ
i
ệ
u)
:
1)
2
2 3 1
x
x
< +
2)
1
2 2 1
0
2 1
x x
x
−
− +
≤
−
3)
2
2.3 2
1
3 2
x x
x x
+
−
≤
−
4)
4 2 4
3 2 13
x x
+ +
+ >
5)
2
3 3 2
0
4 2
x
x
x
−
+ −
≥
−
6)
2
3 4
0
6
x
x
x x
+ −
>
− −
7)
(
)
2
2 2 x
3x 2x 3 .2x 3x 2x 3
5 2 5 2
x
x x− − + + > − − + +
HT 46:
Tìm
m
để
các b
ấ
t ph
ươ
ng trình sau có nghi
ệ
m:
1)
4 .2 3 0
x x
m m
− + + ≤
2)
9 .3 3 0
x x
m m
− + + ≤
3)
2 7 2 2
x x
m
+ + − ≤
4)
(
)
(
)
2 2
1
2 1 2 1 0
x x
m
−
+ + − + =
HT 47:
Tìm
m
để
các b
ấ
t ph
ươ
ng trình sau nghi
ệ
m
đ
úng v
ớ
i:
1)
(3 1).12 (2 ).6 3 0
x x x
m m
+ + − + <
,
∀
x > 0. 2)
1
( 1)4 2 1 0
x x
m m
+
− + + + >
,
∀
x.
3)
(
)
.9 2 1 6 .4 0
x x x
m m m
− + + ≤
,
∀
x
∈
[0; 1]. 4)
2
.9 ( 1).3 1 0
x x
m m m
+
+ − + − >
,
∀
x.
5)
(
)
cos cos
2
4 2 2 1 2 4 3 0
x x
m m
+ + + − <
,
∀
x. 6)
1
4 3.2 0
x x
m
+
− − ≥
,
∀
x.
7)
4 2 0
x x
m
− − ≥
,
∀
x
∈
(0; 1) 8)
3 3 5 3
x x
m
+ + − ≤
,
∀
x.
9)
2.25 (2 1).10 ( 2).4 0
x x x
m m
− + + + ≥
,
∀
x
≥
0. 10)
1
4 .(2 1) 0
x x
m
−
− + >
,
∀
x.
HT 48:
Tìm
m
để
m
ọ
i nghi
ệ
m c
ủ
a (1)
đề
u là nghi
ệ
m c
ủ
a b
ấ
t ph
ươ
ng trình (2):
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 22
1)
( ) ( )
2 1
1
2
2
1 1
3 12 (1)
3 3
2 3 6 1 0 (2)
x x
m x m x m
+
+ >
− − − − − <
2)
2 1
1
2 2
2 2 8 (1)
4 2 ( 1) 0 (2)
x x
x mx m
+
− >
− − − <
VẤN ĐỀ VIII: BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
•
Khi gi
ả
i các b
ấ
t ph
ươ
ng trình logarit ta c
ầ
n chú ý tính
đơ
n
đ
i
ệ
u c
ủ
a hàm s
ố
logarit.
1
( ) ( ) 0
log ( ) log ( )
0 1
0 ( ) ( )
a a
a
f x g x
f x g x
a
f x g x
>
> >
> ⇔
< <
< <
•
Ta c
ũ
ng th
ườ
ng s
ử
d
ụ
ng các ph
ươ
ng pháp gi
ả
i t
ươ
ng t
ự
nh
ư
đố
i v
ớ
i ph
ươ
ng trình logarit:
–
Đư
a v
ề
cùng c
ơ
s
ố
.
–
Đặ
t
ẩ
n ph
ụ
.
– ….
Chú ý:
Trong tr
ườ
ng h
ợ
p c
ơ
s
ố
a có ch
ứ
a
ẩ
n s
ố
thì:
log 0 ( 1)( 1) 0
a
B a B
> ⇔ − − >
;
log
0 ( 1)( 1) 0
log
a
a
A
A B
B
> ⇔ − − >
HT 49:
Gi
ả
i các b
ấ
t ph
ươ
ng trình sau (
đư
a v
ề
cùng c
ơ
s
ố
)
:
1)
5
5
log (1 2 ) 1 log ( 1)
x x
− < + +
2)
(
)
2 9
log 1 2 log 1
x
− <
3)
(
)
1 1
3 3
log 5 log 3
x x
− < −
4)
2 1 5
3
log log log 0
x
>
5)
1 2
3
1 2
log (log ) 0
1
x
x
+
>
+
6)
(
)
2
1
2
4 log 0
x x
− >
7)
(
)
2
1 4
3
log log 5 0
x
− >
8)
2
6 6
log log
6 12
x x
x
+ ≤
9)
(
)
(
)
2 2
log 3 1 log 1
x x
+ ≥ + −
10)
( )
2
2
2
log
log
2
x
x
x
+
11)
3 1
2
log log 0
x
≥
12)
8 1
8
2
2 log ( 2) log ( 3)
3
x x
− + − >
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 23
13)
(
)
(
)
2 2
1 5 3 1
3 5
log log 1 log log 1
x x x x
+ + > + −
HT 50:
Gi
ả
i các b
ấ
t ph
ươ
ng trình sau:
1)
(
)
( )
2
lg 1
1
lg 1
x
x
−
<
−
2)
( ) ( )
2 3
2 3
2
log 1 log 1
0
3 4
x x
x x
+ − +
>
− −
3)
(
)
2
lg 3 2
2
lg lg 2
x x
x
− +
>
+
4)
2 2
log 5 log 2 log
18 0
x
x x
x x
−
+ − <
5)
2
3 1
log 0
1
x
x
x
−
>
+
6)
2
3 2 3 2
log .log log log
4
x
x x x< +
7)
4
log (log (2 4)) 1
x
x
− ≤
8)
2
3
log (3 ) 1
x x
x
−
− >
9)
(
)
2
5
log 8 16 0
x
x x
− + ≥
10)
(
)
2
2
log 5 6 1
x
x x
− + <
11)
6 2
3
1
log log 0
2
x
x
x
+
−
>
+
12)
(
)
(
)
2
1
1
log 1 log 1
x
x
x x
−
−
+ > +
13)
2
3
(4 16 7).log ( 3) 0
x x x
− + − >
14)
2
(4 12.2 32).log (2 1) 0
x x
x
− + − ≤
HT 51:
Gi
ả
i các b
ấ
t ph
ươ
ng trình sau
(
đặ
t
ẩ
n ph
ụ
)
:
1)
2
log 2 log 4 3 0
x
x
+ − ≤
2)
(
)
(
)
5
5
log 1 2 1 log 1
x x
− < + +
3)
5
2log log 125 1
x
x
− <
4)
2
2
log 64 log 16 3
x
x
+ ≥
5)
2 2
log 2.log 2.log 4 1
x x
x
>
6)
2 2
1 1
2 4
log log 0
x x
+ <
7)
4 2
2
2 2
2
log log
2
1 log 1 log
1 log
x x
x x
x
+ >
− +
−
8)
2 2
1 2
1
4 log 2 logx x
+ ≤
+ −
9)
2
1 2
2
log 6log 8 0
x x
− + ≤
10)
2
3 3 3
log 4 log 9 2 log 3
x x x
− + ≥ −
11)
2 2
9 3
log (3 4 2) 1 log (3 4 2)
x x x x
+ + + > + +
12)
5 5
1 2
1
5 log 1 logx x
+ <
− +
13)
2
1 1
8 8
1 9 log 1 4 log
x x
− > −
14)
100
1
log 100 log 0
2
x
x
− >
15)
2
3
3
1 log
1
1 log
x
x
+
>
+
16)
2
16
1
log 2.log 2
log 6
x x
x
>
−
HT 52:
Gi
ả
i các b
ấ
t ph
ươ
ng trình sau
(s
ử
d
ụ
ng tính
đơ
n
đ
i
ệ
u):
1)
2
log
0,5 0,5
( 1) (2 5)log 6 0
x x x x
+ + + + ≥
2)
2 3
log (2 1) log (4 2) 2
x x
+ + + ≤
3)
(
)
(
)
2 3
3 2
log 1 log 1
x x
>
+ +
4)
5
lg
5
0
2 3 1
x
x
x
x
+
−
<
− +
HT 53:
Tìm
m
để
các b
ấ
t ph
ươ
ng trình sau có nghi
ệ
m:
1)
(
)
2
1/2
log 2 3
x x m
− + > −
2)
1
log 100 log 100 0
2
x m
− >
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 24
3)
1 2
1
5 log 1 log
m m
x x
+ <
− +
4)
2
1 log
1
1 log
m
m
x
x
+
>
+
5)
2 2
log log
x m x
+ >
6)
2 2
log ( 1) log ( 2)
x m x m
x x x
− −
− > + −
HT 54:
Tìm
m
để
các b
ấ
t ph
ươ
ng trình sau nghi
ệ
m
đ
úng v
ớ
i:
a)
(
)
(
)
2 2
2 2
log 7 7 log 4
x mx x m
+ ≥ + +
,
∀
x
b)
(
)
2 2
2 2
log 2 4 log 2 5
x x m x x m
− + + − + ≤
,
∀
x
∈
[0; 2]
c)
2 2
5 5
1 log ( 1) log ( 4 )
x mx x m
+ + ≥ + +
,
∀
x.
d)
2
1 1 1
2 2 2
2 log 2 1 log 2 1 log 0
1 1 1
m m m
x x
m m m
− − + − + >
+ + +
,
∀
x
ÔN TẬP
HT 55:
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau:
1)
2 1 1
1
2 .4
64
8
x x
x
− +
−
=
2)
3 1 8 2
9 3
x x
− −
=
3)
0,5
0,2 (0, 04)
25
5
x x
+
=
4)
2
1 2 11 9
5 9 5
.
3 25 3
x x x+ + −
=
5)
2 1 1
1
7 .7 14.7 2.7 48
7
x x x x+ + −
− − + =
6)
(
)
2
7,2 3,9
3 9 3 lg(7 ) 0
x x
x
− +
− − =
7)
2
1
1
3
2
2(2 ) 4
x
x
x
−
+
=
8)
1
5 . 8 500
x
x x −
=
9)
2
1
1 lg
3
3
1
100
x
x
−
=
10)
lg 2
1000
x
x x
=
11)
lg 5
5 lg
3
10
x
x
x
+
+
=
12)
(
)
3
log 1
3
x
x
−
=
HT 56:
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau:
1)
2 2
2 2
4 9.2 8 0
x x
+ +
− + =
2)
2 2
5 1 5
4 12.2 8 0
x x x x− − − − −
− + =
3)
64.9 84.12 27.16 0
x x x
− + =
4)
1 3
3
64 2 12 0
x x
+
− + =
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 25
5)
2 2
1 3
9 36.3 3 0
x x
− −
− + =
6)
4 8 2 5
2
3 4.3 28 2 log 2
x x
+ +
− + =
7)
2 1 2 2( 1)
3 3 1 6.3 3
x x x x+ + +
= + − +
8)
(
)
(
)
5 24 5 24 10
x x
+ + − =
9)
3 3
1 log 1 log
9 3 210 0
x x+ +
− − =
10)
2
lg 1 lg lg 2
4 6 2.3 0
x x x+ +
− − =
11)
2 2
sin cos
2 4.2 6
x x
+ =
12)
lg(tan ) lg(cot ) 1
3 2.3 1
x x
+
− =
HT 57:
Gi
ả
i các b
ấ
t ph
ươ
ng trình sau:
1)
6 5
2 5
2 25
5 4
x
x
−
+
<
2)
1
1
2 1
2
2 1
x
x
−
+
−
<
+
3)
2 2
.5 5 0
x x
x
+
− <
4)
2
lg 3 lg 1
1000
x x
x
− +
>
5)
4 2 4
2
1
x
x
x
+ −
≤
−
6)
2
3 2
8. 1
3
3 2
x
x
x x
−
> +
−
7)
2 3 4 1 2
2 2 2 5 5
x x x x x
+ + + + +
− − > −
8)
2
2
log ( 1)
1
1
2
x −
>
9)
2
2
1
9
3
x
x
+
−
>
10)
1 2
2
1 1
3
27
x
x
+ −
>
11)
2 1
3
1
1 1
5 5
x
x
+
−
−
>
12)
72
1 1
3 . . 1
3 3
x x
>
HT 58:
Gi
ả
i các b
ấ
t ph
ươ
ng trình sau:
1)
2
4 2.5 10 0
x x x
− − >
2)
1
25 5 50
x x− − +
− ≥
3)
1 1 1
9.4 5.6 4.9
x x x
− − −
+ <
4)
2
lg 2 lg 5
3 3 2
x x+ +
< −
5)
1
4
4 16 2 log 8
x x+
− <
6)
2 3
2 1
1
2 21. 2 0
2
x
x
+
+
− + ≥
7)
2( 2)
2( 1)
3
4 2 8 52
x
x x
−
−
− + >
8)
2 3
4 3
1
3 35. 6 0
3
x
x
−
−
− + ≥
9)
2
9 3 3 9
x x x+
− > −
10)
9 3 2 9 3
x x x
+ − ≥ −
HT 59:
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau:
1)
3
log (3 8) 2
x
x
− = −
2)
2
5
log ( 2 65) 2
x
x x
−
− + =
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 26
3)
7 7
log (2 1) log (2 7) 1
x x
− + − =
4)
3 3
log (1 log (2 7)) 1
x
+ − =
5)
3
log lg
2
3 lg lg 3 0
x
x x
− + − =
6)
3
log (1 2 )
2
9 5 5
x
x
−
= −
7)
1 lg
10
x
x x
+
=
8)
(
)
5
log 1
5
x
x
−
=
9)
2 2
lg lg 2
lg
lg
2
x x
x
x
+ −
=
10)
lg 7
lg 1
4
10
x
x
x
+
+
=
11)
3 9
1
log log 9 2
2
x
x x
+ + =
12)
3 3
3 3
2 log 1 log
7 1
x x
x x
− −
+ =
− −
HT 60:
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau:
1)
(
)
2
2 log 5 3 log 5 1 0
x x
− + =
2)
1/3 1/3
log 3 log 2 0
x x
− + =
3)
2
2 2
log 2 log 2 0
x x
+ − =
4)
1 3
3 2log 3 2 log ( 1)
x
x
+
+ = +
5)
(
)
2 2
3
log 9 .log 4
x
x x
=
6)
(
)
2
3 1/2 1/2
log log 3 log 5 2
x x
− + =
7)
2 2 2
lg (100 ) lg (10 ) lg 6
x x x
− + =
8)
2 2
2 2 2
9
log (2 ).log (16 ) log
2
x x x
=
9)
3 3
log (9 9) log (28 2.3 )
x x
x+ = + −
10)
1
2 2 2
log (4 4) log 2 log (2 3)
x x x +
+ = + −
HT 61:
Gi
ả
i các b
ấ
t ph
ươ
ng trình sau:
1)
2
0,5
log ( 5 6) 1
x x
− + > −
2)
7
2 6
log 0
2 1
x
x
−
>
−
3c)
3 3
log log 3 0
x x
− − <
4)
1/3
2 3
log 1
x
x
−
≥ −
5)
1/4 1/4
2
log (2 ) log
1
x
x
− >
+
6)
2
1/3 4
log log ( 5) 0
x
− >
7)
2
2
1/2
4
0
log ( 1)
x
x
−
<
−
8h)
2
log ( 1)
0
1
x
x
+
>
−
9)
2
2
log ( 8 15)
2 1
x
x x
−
+ +
<
10)
1/3
2
5
log
3
(0,5) 1
x
x
+
+
>
HT 62:
Gi
ả
i các h
ệ
ph
ươ
ng trình sau:
1)
2
( ) 1
4 1
5 125
x y
x y
− −
+
=
=
2)
3 2 3
4 128
5 1
x y
x y
+
− −
=
=
3)
2 2 12
5
x y
x y
+ =
+ =
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 27
4)
3.2 2.3 2,75
2 3 0,75
x x
x y
+ =
− = −
5)
7 16 0
4 49 0
x
x
y
y
− =
− =
6)
3
3 .2 972
log ( ) 2
x y
x y
=
− =
7)
5
4 3.4 16
2 12 8
x y x
y y
x y
−
− =
− = −
8)
2
/2
3 2 77
3 2 7
x y
x y
− =
− =
9)
(
)
( )
2
2
2
2
2 1
9 6
y x
x y
x y
x y
−
−
+ =
+ =
HT 63:
Gi
ả
i các h
ệ
ph
ươ
ng trình sau:
1)
4 2
2 2
log log 0
5 4 0
x y
x y
− =
− + =
2)
3
4
log ( ) 2
7
log log
6
x
x y
x y
− =
− =
3)
lg
2
20
y
x
xy
=
=
4)
2 2
2 4
log 2 log 3
16
+ =
+ =
x y
x y
5)
3 3 3
1 1 2
15
log log 1 log 5
x y
x y
− =
+ = +
6)
5
7
log 2 log
log 3
log
3
2
x
y
y
x
y
x
=
=
7)
2 2
lg( ) 1 lg13
lg( ) lg( ) 3 lg 2
+ − =
+ − − =
x y
x y x y
8)
2 2
2
2
9
8
log log 3
x y
y x
x y
+ =
+ =
9)
8
2(log log ) 5
y x
xy
x y
=
+ =
10)
2
1
2 2
2log 3 15
3 .log 2 log 3
y
y y
x
x x
+
− =
= +
11)
3 3
4 32
log ( ) 1 log ( )
x y
y x
x y x y
+
=
− = − +
12)
2
3 .2 576
log ( ) 4
x y
y x
=
− =
HT 64:
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau:
1)
2
2 1 5
5 12.2 8 0
4
x x
x x
− − −
− − − + =
2)
2
3 3
( 1)log 4 log 16 0
x x x x
+ − − =
3)
2
2 1 2
2
1
log ( 1) log ( 4) log (3 )
2
x x x
− + + = −
4)
2 2
3 2
log ( 2 1) log ( 2 )
x x x x
+ + = +
5)
2 3 2
2 2
3 2 log ( 1) log
x x x x
− = + −
6)
5 3 5 3
log .log log log
x x x x
= +
7)
1
2 2
log (2 1).log (2 2) 6
x x+
+ + =
8)
3
3 2 3 2
3 1
log .log log log
2
3
x
x x
x
− = +
9)
32
1 89 25
3 log
log 2 2
x
x
x x
+ = −
10)
2 2
0,5 2
log log log 4
x
x x x
+ =
11)
2 3 3
1 1 1
4 4 4
3
log ( 2) 3 log (4 ) log ( 6)
2
x x x
+ − = − + +
12)
2 3
4 8
2
log ( 1) 2 log 4 log (4 )
x x x
+ + = − + +
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 28
Đ/s:
1)
9
; 3
4
x x
= =
2)
1
; 3
81
x x
= =
3)
11; 1 14
x x
= − = − +
4)
1 3
x
= − ±
5)
Đ
ánh giá
1
x
=
6)
1; 15
x x
= =
7)
2
log 3
8)
3
1;
8
x x
= =
9)
5
8
x
=
10)
1 1
; ; 2
4 2
x x x
= = =
11)
2; 1 33
x x
= = −
12)
2 24; 2
x x
= − =
HT 65:
Gi
ả
i các b
ấ
t ph
ươ
ng trình sau:
1)
5
2 log log 125 1
x
x
− <
2)
( )
2
2
2
log
log
2 4
x
x
x
+ ≤
3)
2 2 2
2 1 2
4 .2 3.2 .2 8 12
x x x
x x x x
+
+ + > + +
4)
2 2
1 1
2 3
log ( 3) log ( 3)
0
1
x x
x
+ − +
>
+
5)
1 1
8 2 4 2 5
x x x+ +
+ − + >
6)
2
2
2
log 3
2
log 3
x
x
+
>
+
7)
4 1
4
3 1 3
log (3 1)log
16 4
x
x
−
− ≤
8)
1 1
2 2
( 1)log (2 5).log 6 0
x x x x
+ + + + ≥
9)
2
1
2
2
1 1
0
log (2 1)
log 3 2
x
x x
+ >
−
− +
Đ/s:
1)
(
)
1
0; 1;5 5
5
x
∈ ∪
2)
(0; )
x
∈ +∞
3)
(
)
(
)
2; 1 2;3
x
∈ − − ∪
4)
( 2; 1)
− −
5)
(0;2]
6)
1 1
;
8 2
7)
(0;1) (3; )
∪ +∞
8)
[
(0;2] 4; )
∪ +∞
9)
1 13 3 5
;1 ;
6 2
+ +
∪ +∞
HT 66:
Gi
ả
i các h
ệ
ph
ươ
ng trình sau:
1)
2 2
log ( ) log 3
2 2
9 3 2.( )
3 3 6
xy
xy
x y x y
= +
+ = + +
2)
2 2
2
4 2
log ( ) 5
2 log log 4
x y
x y
+ =
+ =
3)
2 2
2
2
2 log 2 log 5
4 log 5
x x
x
y y
y
+ + =
+ =
4)
2
2
2
2 2
3. 7. 6 0
3 3
lg(3 ) lg( ) 4 lg2 0
x y
x y
x y y x
−
−
+ − =
− + + − =
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 29
5)
2 3
2 3
log 3 3 log 5
3 log 1 log 1
x y
x y
+ − =
− − = −
6)
3 3
4 32
log ( ) 1 log ( )
x y
y x
x y x y
+
=
− = − +
Đ/s: 1
)
5 17 5 17
;
2 2
±
∓
2)
(
)
4;4
3)
(2;4);(4;2)
4)
(
)
2;2
5)
(4; 81)
6)
(2;1)
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 30
TUYỂN TẬP ĐỀ THI CÁC NĂM
HT 67:
(D – 2011)
(
)
2
2 1
2
log (8 ) log 1 1 2 0 ( )
x x x x
− + + + − − = ∈
ℝ
Đ
/s:
0
x
=
HT 68:
(B – 2010)
2
2
log (3 1)
( , )
4 2 3
x x
y x
x y
y
− =
∈
+ =
ℝ
Đ
/s:
1
1;
2
−
HT 69:
(D – 2010)
2
2
2
4 2 0
( , )
2 log ( 2) log 0
x x y
x y
x y
− + + =
∈
− − =
ℝ
Đ
/s:
(3;1)
HT 70:
(A – 2009)
2 2
2 2
2 2
log ( ) 1 log ( )
( , )
3 81
x xy y
x y xy
x y
− +
+ = +
∈
=
ℝ
Đ
/s:
(2;2),( 2; 2)
− −
HT 71:
(A – 2008)
2 2
2 1 1
log (2 1) log (2 1) 4
x x
x x x
− +
+ − + − =
Đ
/s:
2
5
4
x
x
=
=
HT 72:
(B – 2008)
2
0,7 6
log log 0
4
x x
x
+
<
+
Đ
/s:
( 4; 3) (8; )
− − ∪ +∞
HT 73:
(D – 2008)
2
1
2
3 2
log 0
x x
x
− +
≥
Đ
/s:
2 2;1 (2;2 2)
− ∪ +
HT 74:
(A – 2007)
3 1
3
2log (4 3) log (2 3) 2
x x
− + + ≤
Đ
/s:
3
3
4
x
< ≤
HT 75:
(B – 2007)
(
)
(
)
2 1 2 1 2 2 0
x x
− + + − =
Đ
/s:
1
x
= ±
HT 76:
(D – 2007)
2 2
1
log (4 15.2 27) 2 log 0
4.2 3
x x
x
+ + + =
−
Đ
/s:
2
log 3
x
=
HT 77:
(A – 2006)
3.8 4.12 18 2.27 0
x x x x
+ − − =
Đ
/s:
1
x
=
HT 78:
(B – 2006)
2
5 5 5
log (4 144) 4 log 2 1 log (2 1)
x x−
+ − < + +
Đ
/s:
2 4
x
< <
HT 79:
(D – 2006) Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng v
ớ
i m
ọ
i
0
>
a
h
ệ
có nghi
ệ
m duy nh
ấ
t:
ln(1 ) ln(1 )
x y
e e x y
y x a
− = + − +
− =
HT 80:
(A – 2004)
1 4
4
2 2
1
log ( ) log 1
25
y x
y
x y
− − =
+ =
Đ
/s:
(3;4)
HT 81:
(D – 2003)
2 2
2
2 2 3
x x x x− + −
− =
Đ
/s:
1
2
x
x
= −
=
HT 82:
(A – 2002) Cho ph
ươ
ng trình
2 2
3 3
log log 1 2 1 0
x x m
+ + − − =
(V
ớ
i m là tham s
ố
)
a.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình v
ớ
i
2
m
=
Đ
/s:
3
3
x
±
=
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 31
b.
Tìm m
để
ph
ươ
ng trình có ít nh
ấ
t m
ộ
t nghi
ệ
m thu
ộ
c
đ
o
ạ
n
3
1;3
Đ
/s:
0 2
m
≤ ≤
HT 83:
(B – 2002)
(
)
3
log log (9 72) 1
x
x
− ≤
Đ
/s:
9
log 73 2
x
< ≤
| 1/32
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:


CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2013 - 2014
PHƯƠNG TRÌNH MŨ - LOGARIT
BIÊN SOẠN: LƯU HUY THƯỞNG
HỌ VÀ TÊN: ………………………………………………………………… LỚP
:………………………………………………………………….
TRƯỜNG :………………………………………………………………… HÀ NỘI, 8/2013
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH MŨ – LOGARIT
VẤN ĐỀ I: LŨY THỪA
1. Định nghĩa luỹ thừa Số mũ α Cơ số a
Luỹ thừa aα *
α = n ∈ N a ∈ R α n
a = a = a.a......a (n thừa số a) α = 0 a ≠ 0 α 0
a = a = 1 * α n − 1 α = n − (n ∈ N ) a ≠ 0 a = a = n a m m * α =
(m ∈ Z,n ∈ N ) a > 0 α n m = = (n n n a a a
a = b ⇔ b = a) n *
α = lim r (r ∈ Q,n ∈ N ) a > 0 α r n n a = lim n a
2. Tính chất của luỹ thừa
• Với mọi a > 0, b > 0 ta có: α aαa a α α β α+β α−β α β α. a .a = a ; = a ; (a ) = a β ;
(ab)α = aα.bα ;     =   a β b  bα
• a > 1 : aα > aβ ⇔ α > β ; 0 < a < 1 : aα > aβ ⇔ α < β
• Với 0 < a < b ta có: m m a < b ⇔ m > 0 ; m m a > b ⇔ m < 0 Chú ý:
+ Khi xét luỹ thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số a phải khác 0.
+ Khi xét luỹ thừa với số mũ không nguyên thì cơ số a phải dương.
3. Định nghĩa và tính chất của căn thức
• Căn bậc n của a là số b sao cho n b = a .
• Với a, b ≥ 0, m, n ∈ N*, p, q ∈ Z ta có: n a a p n m n n = .n ab a b ; n = (b > 0) ; p
a = (n a ) (a > 0); n mn a = a n b b p q n p m n mn q Neáu = thì a =
a (a > 0) ; Đặc biệt m a = a n m
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 1
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
• Nếu n là số nguyên dương lẻ và a < b thì n n a < b .
Nếu n là số nguyên dương chẵn và 0 < a < b thì n n a < b . Chú ý:
+ Khi n lẻ, mỗi số thực a chỉ có một căn bậc n. Kí hiệu n a .
+ Khi n chẵn, mỗi số thực dương a có đúng hai căn bậc n là hai số đối nhau.
4. Công thức lãi kép
Gọi A là số tiền gửi, r là lãi suất mỗi kì, N là số kì.
Số tiền thu được (cả vốn lẫn lãi) là: = (1 + )N C A r
VẤN ĐỀ II: LOGARIT 1. Định nghĩa
• Với a > 0, a ≠ 1, b > 0 ta có: log b = ⇔ aα α = b a a  > 0,a ≠ 1 
Chú ý: log b có nghĩa khi ab  > 0  • Logarit thập phân:
lgb = logb = log b 10 n  1 
• Logarit tự nhiên (logarit Nepe): lnb = log b (với e = lim 1    +  ≈ 2,718281 ) e    n 2. Tính chất log b • log 1 = 0 ; log a = 1 ; log b a = b ; a a = b (b > 0) a a a
• Cho a > 0, a ≠ 1, b, c > 0. Khi đó:
+ Nếu a > 1 thì log b > log c ⇔ b > c a a
+ Nếu 0 < a < 1 thì log b > log c ⇔ b < c a a
3. Các qui tắc tính logarit
Với a > 0, a ≠ 1, b, c > 0, ta có: b    
• log (bc) = log b + log c
• log   = log b − log c • log bα = α log b a a a a   a ac a a 4. Đổi cơ số
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 2
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
Với a, b, c > 0 và a, b ≠ 1, ta có: log c • log a c = hay log .
b log c = log c b log b a b a a 1 1 • log b =
• log c = log c α ≠ α ( 0) a log a a a α b Bài tập cơ bản
HT 1: Thực hiện các phép tính sau: 1 3 1) log 4.log 2 2) log .log 9 3) log a 2 1 5 27 25 a 4 log 2 log 3 log 2 log 27 4) 2 3 4 + 9 5) log 8 6) 9 8 27 + 4 2 2 1/3 log a.log a 3 4 2 log 2 4 log 5 7) a a 8) log 6.log 9.log 2 9) 3 81 9 + 7 3 8 6 log a 1 a log 5 log 36 4 log 7 log 6 log 8 3 2 log 4 10) 3 9 9 81 + 27 + 3 11) 5 7 25 + 49 12) 5 5 − 1 1 log 3 log 2 1+log 4 2−log 3 log 27 13) 6 8 9 + 4 14) 9 2 125 3 + 4 + 5 15) log 3.log 36 3 6
HT 2: So sánh các cặp số sau: 1 2 3 1) log 4 vaø log 2) 3 log 2 vaø log 0, 34 3) log vaø log 3 4 3 0,1 0,2 3 5 5 4 4 2 1 1 1 log log 3 4) log vaø log
5) log 150 vaø log 290 6) vaø 6 6 2 2 3 1 1 80 13 17 15 + 2 3 2
HT 3: Tính giá trị của biểu thức logarit theo các biểu thức đã cho:
1)Cho log 14 = a . Tính log 32 theo a. 2 49
2)Cho log 3 = a . Tính log 15 theo a. 15 25 1
3)Cho lg 3 = 0, 477 . Tính lg 9000 ; lg 0, 000027 ; . log 100 81
4)Cho log 2 = a . Tính log 28 theo a. 7 1 2
HT 4: Tính giá trị của biểu thức logarit theo các biểu thức đã cho: 49
1)Cho log 7 = a ; log 5 = b . Tính log theo a, b. 25 2 3 5 8
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 3
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
2)Cho log 3 = a ; log 5 = b . Tính log 1350 theo a, b. 30 30 30
3)Cho log 7 = a ; log 5 = b . Tính log 28 theo a, b. 14 14 35
4)Cho log 3 = a ; log 5 = b ; log 2 = c . Tính log 63 theo a, b, c. 2 3 7 140
VẤN ĐỀ III: HÀM SỐ LŨY THỪA – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT 1. Khái niệm
1)Hàm số luỹ thừa y x α = (α là hằng số) Số mũ α Hàm số y x α = Tập xác định D α = n (n nguyên dương) n y = x D = R
α = n (n nguyên âm hoặc n = 0) n y = x D = R \ {0}
α là số thực không nguyên y x α = D = (0; +∞) 1
Chú ý: Hàm số n
y = x không đồng nhất với hàm số n
y = x (n ∈ N *) . 2)Hàm số mũ x
y = a (a > 0, a ≠ 1). • Tập xác định: D = R. • Tập giá trị: T = (0; +∞).
• Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến.
• Nhận trục hoành làm tiệm cận ngang. • Đồ thị: y y y=ax y=ax 1 x 1 x a>1 0
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 4
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
3)Hàm số logarit y = log x (a > 0, a ≠ 1) a • Tập xác định: D = (0; +∞). • Tập giá trị: T = R.
• Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến.
• Nhận trục tung làm tiệm cận đứng. • Đồ thị: y y y=log y=logax ax 1 x x O O 1 a>1 0
2. Giới hạn đặc biệt 1 x  1 ln(1 + x) x e − 1
• lim(1 + x)x = lim 1    +  = e   • lim = 1 • lim = 1 x →0 x →±∞  x x →0 x x →0 x 3. Đạo hàm ′ ′ • (xα) α 1 = x α − (x > 0) ; (uα ) α 1 = u α − .u′ vôùi x neáu n chaün n ′ 1  0  >   ′ u′ Chú ý: ( x) =   n  . ( u ) = n n 1 −
vôùi x ≠ 0 neáu n leû  n x   n n 1 n u − ′ ′ • ( x ) x a = a lna ; ( u ) u a
= a lna.u′ ′ ′ ( x ) x e = e ; ( u ) u e = e .u′ ′ ′ u′ • ( x = ; (log u = a ) a ) 1 log x lna u lna ′ ′ u′ ( ) 1 ln x = (x > 0); (ln u ) = x u
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 5
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 6
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 Bài tập cơ bản
HT 5: Tính các giới hạn sau: x 1 + x  2x 1 − x   1  xx 1 + 1) lim          +      2) lim 1   3) lim  
x →+∞ 1 + x x →+∞  x
x →+∞ x − 2 x 1 +   x x 3 3x − 4  x 1  + 2x 1 + 4) lim               5) lim   6) lim  
x →+∞  3x + 2
x →+∞ 2x − 1
x →+∞  x − 1  ln x − 1 2x e −1 x e −e 7) lim 8) lim i) lim x e → x −e x →0 3x x 1 → x − 1 x x 1 e −e− sin 2x sin x e −e lim x ( x e − ) k) lim l) lim m) 1 x →0 sin x x →0 x x →+∞
HT 6: Tính đạo hàm của các hàm số sau: x + 1 2 x + x − 2 1) 3 2
y = x + x + 1 2) 4 y = 3) 5 y = x − 1 2 x + 1 3 1 − 2x 4) 3 y = sin(2x + 1) 5) 3 2 y = cot 1 + x 6)y = 3 1 + 2x x + 3 2 11 5 x + x + 1 7) 3 y = sin 8) 9 y = 9 + 6 x 9) 4 y = 4 2 x − x + 1
HT 7: Tính đạo hàm của các hàm số sau: 1) 2 = ( − 2 + 2) x y x x e 2) 2 ( 2 ) x y x x e− = + 3) 2 − x y = e .sin x 1 2x x 2 x − x e + e 4) 2x x y e + = 5) 3 y = x.e 6)y = 2x x e −e 3x 7) x cos = 2 . x y e 8)y = i) cot = cos . x y x e 2 x − x + 1
HT 8: Tính đạo hàm của các hàm số sau: 1) 2
y = ln(2x + x + 3)
2)y = log (cos x) 3) x
y = e .ln(cos x) 2 4) 2
y = (2x − 1)ln(3x + x) 5) 3
y = log (x − cos x)
6)y = log (cos x) 1 3 2 ln(2x + 1) ln(2x + 1) 7)y = 8)y = 9) y = ( 2 ln x + 1 + x ) 2x + 1 x + 1
HT 9: Chứng minh hàm số đã cho thoả mãn hệ thức được chỉ ra: 2 x − 1) 2 2 y = x.e ;
xy′ = (1 − x )y 2) = ( + 1) x ; x y x e
y′ − y = e
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 7
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 3) 4x = + 2 x y e e− ;
y′ ′ −13y′ −12y = 0 4) x − −2 = . + . x y a e b e
; y′ + 3y′ + 2y = 0 x − (4) 5) x
y = e− .sin x;
y′ + 2y′ + 2y = 0 6)y = e .cos x; y + 4y = 0
HT 10: Chứng minh hàm số đã cho thoả mãn hệ thức được chỉ ra:  1    1 1) = ln ; ′ +1 y y xy = e y =
; xy′ = y y ln x  −1  2)   1  + x  1+ x + ln x 1 + ln x 3) 2
y = sin(ln x) + cos(ln x); y + xy′ + x y′′ = 0 4) 2 2 2 y =
; 2x y′ = (x y + 1) x(1 − ln x)
HT 11: Giải phương trình, bất phương trình sau với hàm số được chỉ ra: 1) x 2
f '(x) = 2f (x); f (x) = e (x + 3x + 1) 1 2) 3 f '(x) + f (x) = 0;
f (x) = x ln x x 3) 2x 1 − 1 2 '( ) = 0; ( ) = + 2. − x f x f x e e + 7x − 5
VẤN ĐỀ IV: PHƯƠNG TRÌNH MŨ b  > 0 
1. Phương trình mũ cơ bản:
Với a > 0, a ≠ 1 : x a = b ⇔  x  = log ba
2. Một số phương pháp giải phương trình mũ
1) Đưa về cùng cơ số:
Với a > 0, a ≠ 1 : f (x ) g(x ) a = a
⇔ f (x) = g(x)
Chú ý: Trong trường hợp cơ số có chứa ẩn số thì: M N a = a
⇔ (a −1)(M − N ) = 0 2) Logarit hoá: f (x ) g(x ) a = b
⇔ f (x) = (log b g x a ). ( ) 3) Đặt ẩn phụ:f (x ) t  = a , t > 0  • Dạng 1: f (x ) P(a ) = 0 ⇔ 
, trong đó P(t) là đa thức theo t. P  (t) = 0  • Dạng 2: 2f (x ) f (x ) 2f (x ) a α + β(ab) + b γ = 0 f (x ) a
Chia 2 vế cho 2f (x) b
, rồi đặt ẩn phụ t   =     b
• Dạng 3: f(x) f (x ) a + b
= m , với ab = 1 . Đặt f (x ) f (x ) 1 t = a ⇒ b = t
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 8
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
4) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số Xét phương trình: f(x) = g(x) (1)
• Đoán nhận x0 là một nghiệm của (1).
• Dựa vào tính đồng biến, nghịch biến của f(x) và g(x) để kết luận x0 là nghiệm duy nhất: f (x
) ñoàng bieán vaø g(x
) nghòch bieán (hoaëc ñoàng bieán nhöng nghieâm ngaët).   f (x
) ñôn ñieäu vaø g(x ) = c haèng soá 
• Nếu f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) thì f(u) = f(v) ⇔ u = v
5) Đưa về phương trình các phương trình đặc biệt A  = 0 A  = 0 
• Phương trình tích A.B = 0 ⇔  • Phương trình 2 2
A + B = 0 ⇔  B  = 0  B  = 0  
6) Phương pháp đối lập Xét phương trình: f(x) = g(x) (1)
f (x) ≥ M  
f (x) = M
Nếu ta chứng minh được:  thì (1) ⇔  g  (x) ≤ Mg  (x) = M   Bài tập cơ bản
HT 12: Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc logarit hoá): x 1) 3x 1 − 8x 2 9 3 − = 2) ( − )2 3 2 2 = 3 + 2 2 2 2 2 3) x 3 − x 2 + x +6x +5 2x +3x +7 4 + 4 = 4 + 1 4) 2x x 2 5 7 5 x.35 7x − − + .35 = 0 2 2 2 2 2 5) x 1 − x 2 + x x 1 2 2 3 3 − + = + x − x +4 6) 5 = 25 2 x 2 −  x +7 1 2 − x 1 1 1 7)   4−3x       = 2      . = 2  8)       2 2    2 9) x x 1 3 .2 + = 72 10) x 1 + x x 1 5 6. 5 – 3. 5 − + = 52 x 1 + 0 x +5 x 1 − x 1 − 11) x 1 − 0 x 1 − 5 16 = 0,125.8 12) ( ) ( )x 1 5 2 5 2 + + = −
HT 13: Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc logarit hoá): 4x 1 + 3x +2  2x 1 − 3x 2 1 1)       =   x x 1 + x x +2  2) 5 .2 = 50 3) 3 .2 = 6 5    7  x 2 4) x x +2 3 .8 = 6 5) x 1 − 2x 1 4.9 3 2 + = 6) x 2
2 − x.3x = 1, 5
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 9
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 2 x x 2 7) 5x.3x = 1 8) 3 2 2 = 3 9) 3x.2x = 1
HT 14: Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ dạng 1): 1) x x 1 4 2 + + − 8 = 0 2) x 1 + x 1 4 6.2 + − + 8 = 0 3) 4x +8 2x +5 3 − 4.3 + 27 = 0 2 2 4) 16x 17.4x − + 16 = 0 x x + x x − 2+x x − 5) 1 49 + 7 − 8 = 0 6) 2 − 2 = 3. x x 2 7) (7 + 4 3 ) + (2 + 3) = 6 8) cos 2x cos 4 4 x + = 3 9) 2x +5 x 1 3 36.3 + − + 9 = 0 2 2 2 2 10) 2x 2 + x 1 3 + 28.3x x + − + 9 = 0 11) x 2 + x 2 4 9.2 + − + 8 = 0 12) 2x 1 − x 1 3.5 2.5 − − = 0,2
HT 15: Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ dạng 1):
1) 25x − 2(3 − ).5x x + 2x − 7 = 0 2) x 2 − x 2 3.25 (3x 10).5 − + − + 3 − x = 0
3) 3.4x + (3 −10).2x x + 3 − x = 0
4) 9x + 2( − 2).3x x + 2x − 5 = 0 5) 2 x 1+ x x 2 4x + x.3 + 3
= 2.3 .x + 2x + 6 6) x 2 − x 2 3.25 (3x 10).5 − + − + 3 − x = 0 7) 4x +( – 8 2 ) x x +12 – 2x = 0 8) ( + 4) 9 . x − ( + 5) 3 . x x x + 1 = 0 2 2 9) x 2 x 2 4 + (x − 7).2 + 12 − 4x = 0 10) 9 x − ( 2).3 x x − − + − 2(x + 4) = 0
HT 16: Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ dạng 2): 1) 64.9x 84.12x 27.16x − + = 0 2) 3.16x 2.81x 5.36x + = 3) 2x x 2 6.3 13.6 6.2 x − + = 0 4) x x 2x 1 25 10 2 + + = 5) 27x 12x 2.8x + = 6) 3.16x 2.81x 5.36x + = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 − − − 7) 6.9x 13.6x 6.4x − + = 0
8) 4 x + 6 x = 9 x 9) 2.4x 6x 9x + = x x x
10) (7 + 5 2) + ( 2 − 5)(3 + 2 2) + 3(1 + 2) + 1 − 2 = 0.
HT 17: Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ dạng 3): x x x x 1) (2 − 3 ) + (2 + 3 ) = 14
2) ( 2 + 3 ) + ( 2 − 3 ) = 4 x x 3) (2 3)x (7 4 3)(2 3)x + + + − = 4(2 + 3) 4) ( − ) + ( + ) x +3 5 21 7 5 21 = 2 x x x x  7 3 5   7 3 5  +  − 
5) (5 + 24 ) + (5 − 24 ) = 10 6)     + 7      = 8  2   2         x x 2 2 (x 1 − ) x 2 − x 1 − 4
7) ( 6 − 35 ) + ( 6 + 35 ) = 12 8) (2 + 3 ) + (2 − 3) = 2 − 3
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 10
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 x x x x 9) ( + ) + ( − ) x +3 3 5 16 3 5 = 2 10) (3 5) (3 5) 7.2x + + − − = 0 x x x x
11) (7 + 4 3) − 3(2 − 3) + 2 = 0 12) (3 + ) +(3 3 8 3 − 8 ) = 6.
HT 18: Giải các phương trình sau (sử dụng tính đơn điệu): x x x x x 1)(2 3) (2 3) 4x − + + = 2) ( 3 − 2) + ( 3 + 2) = ( 10) x x x x 3) (3 2 2) (3 2 2) 6x + + − = 4) ( + ) + ( − ) x +3 3 5 16. 3 5 = 2 x 3 7 x x 5)     + = 2x x
6) ( 2 + 3 ) + ( 2 − 3 ) = 2 5 5 2 7) 2x 3x 5x 10x + + = 8) 2x 3x 5x + = 9) x 1 − x x − 2 2 − 2 = (x − 1)
10) 3x = 5 − 2x
11) 2x = 3 − x 12) x 1
2 + − 4x = x −1
HT 19: Giải các phương trình sau (đưa về phương trình tích): 1) 8.3x 3.2x 24 6x + = + 2) x x x 1 12.3 3.15 5 + + − = 20 3) x 3 8 .2 2 x x − − + − x = 0 4) 2x 3x 1 6x + = + 2 2 2 1 (x x x x + + − )2 2 2 1 5) x 3 − x 2 + x +6x +5 2.x +3x +7 4 + 4 = 4 + 1 6) 4 + 2 = 2 + 1 7) 2 x x 3 2
x .3 + 3 (12 − 7x) = x −
+ 8x −19x + 12 8) 2 x 1 − x x x x 1 x .3 x(3 2 ) 2(2 3 − + − = − ) 2 2 2 2 9) sin x 1+sin 4 − 2
x cos(xy) + 2y = 0 10) 2(x x + ) 1 x − 2(x x + ) 1 2 2 2 .2 x − + − −1 = 0
HT 20: Giải các phương trình sau (phương pháp đối lập): 2 1) x 4
2 = cos x , với x ≥ 0 2) x 6 − x 1 + 0 2 3
= − x + 6x − 6 3) sin 3 x = cos x  3 2 x x  −  sin x 2 4) 2 2.cos   2 − + 1   = 3x + 3 x − 5) π = cos x 6) 2 x x x = 2    x 2 2 7) 3x = cos 2x 8) 5x = cos 3x
HT 21: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm: x x + 1
1) 9x + 3x + m = 0 2) 9x + 3x m − 1 = 0 3) 4 − 2 = m 4) 2 3 x + 2.3x −( + 3).2x m = 0 5) 2x ( 1).2 x m − + + + m = 0
6) 25x − 2.5x − m − 2 = 0 7) x 2 16 −( −1).2 x m + m −1 = 0 8) 25x + .5x m + 1 − 2m = 0 2 2 sin x o c s x 2 2 9) 81 + 81 = m 4 2 − x 2 x − 10) 3 − 2.3 + 2m − 3 = 0
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 11
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 x + 1 + 3 − x x + 1 + 3 − 11) 4 −14.2 x + 8 = m 2 2 12) x + 1 x − x + 1 9 − 8.3 x − + 4 = m
HT 22: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm duy nhất: 1) .2x 2 x m − + − 5 = 0 2) .16x 2.81x 5.36x m + = x x x x  7 3 5   7 3 5  +  −  3) ( 5 + ) 1 + ( 5 − ) 1 = 2x m 4)     + m       = 8 2     2  x x + 3 5) 4 − 2 + 3 = m 6) 9x + 3x m + 1 = 0
HT 23: Tìm m để các phương trình sau có 2 nghiệm trái dấu: 1) x x 1 (m 1).4 (3m 2).2 + + + − − 3m + 1 = 0 2) x x 2
49 + (m −1).7 + m − 2m = 0 3) 9x + 3( −1).3x m − 5m + 2 = 0 4) (
+ 3).16x + (2 −1).4x m m + m + 1 = 0 5) 4x − 2( + ) 1 2 . x m +3m − 8 = 0
6) 4x − 2x + 6 = m
HT 24: Tìm m để các phương trình sau: 1) .16x 2.81x 5.36x m + =
có 2 nghiệm dương phân biệt. 2) 16x −
.8x + (2 −1).4x = .2x m m m có 3 nghiệm phân biệt. 2 2 3) x x 2 4 2 + −
+ 6 = m có 3 nghiệm phân biệt. 2 2 x x 4) 9 − 4.3
+ 8 = m có 3 nghiệm phân biệt.
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 12
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
VẤN ĐỀ V: PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
1. Phương trình logarit cơ bản Với a > 0, a ≠ 1: log b
x = b ⇔ x = a a
2. Một số phương pháp giải phương trình logarit
1) Đưa về cùng cơ số
f (x) = g(x)  Với a > 0, a ≠ 1:
log f (x) = log g(x) ⇔  a a
f (x) > 0 (hoaëc g(x) > 0)  2) Mũ hoá log f (x ) Với a > 0, a ≠ 1: log f (x) a b = b ⇔ a = a a 3) Đặt ẩn phụ
4) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số
5) Đưa về phương trình đặc biệt
6) Phương pháp đối lập Chú ý:
• Khi giải phương trình logarit cần chú ý điều kiện để biểu thức có nghĩa. log c log a
• Với a, b, c > 0 và a, b, c ≠ 1: b b a = c Bài tập cơ bản
HT 25: Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc mũ hoá):
1) log x(x 1) − = 1
log x + log (x −1) = 1 2   2) 2 2
3) log (x − 2) − 6.log 3x − 5 = 2
4) log (x − 3) + log (x −1) = 3 2 1/8 2 2
5) log (x + 3) − log (x −1) = 2 − log 8
6) lg(x − 2) + lg(x − 3) = 1 − lg 5 4 4 4 2
7) 2 log (x − 2) − log (x − 3) =
8) lg 5x − 4 + lg x + 1 = 2 + lg 0,18 8 8 3 9) 2
log (x − 6) = log (x − 2) + 1
10) log (x + 3) + log (x −1) = 1 / log 2 3 3 2 2 5
11) log x + log (10 − x) = 2
12) log (x − 1) − log (x + 2) = 0 4 4 5 1/5
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 13
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
13) log (x −1) + log (x + 3) = log 10 −1 14) log (x + 8) − log (x + 26) + 2 = 0 2 2 2 9 3
HT 26: Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc mũ hoá): 1) log x + log x + log x = 6 2) 2 2
1 + lg(x − 2x + 1) − lg(x + 1) = 2 lg(1 − x) 3 1/3 3 3) log x + log x + log x = 5 4) 2 2
2 + lg(4x − 4x + 1) − lg(x + 19) = 2 lg(1 − 2x) 4 1/16 8
5) log x + log x + log x = 11 6) log (x − 1) + log (x + 1) = 1 + log (7 − x) 2 4 8 1/2 1/2 1/ 2
7) log log x = log log x
8) log log x = log log x 2 2 3 3 2 3 3 2
9) log log x + log log x = log log x
10) log log log x = log log log x 2 3 3 2 3 3 2 3 4 4 3 2
HT 27: Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc mũ hoá):
1) log (9 − 2x ) = 3 − x
2) log (3x − 8) = 2 − x 2 3 3) log (6 7 x − + ) = 1 + x 4) x 1
log (4.3 − − 1) = 2x − 1 7 3 x log (3− ) 5) 5 log (9 − 2 ) = 5 x
6) log (3.2x − 1) − 2x − 1 = 0 2 2
7) log (12 − 2x ) = 5 − x 8) log (26 3x − ) = 2 2 5 x + x + 9) 1 log (5 − 25x ) = 2 10) 1 log (3.2 − 5) = x 2 4 x + x + 11) 1 log (5 − 25x ) = −2 12) 1 log (6 − 36x ) = −2 1 1 6 5
HT 28: Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc mũ hoá): 1) 2 log
(x − 2x + 65) = 2 2) 2 log
(x − 4x + 5) = 1 5 x − x − 1 3) 2
log (5x − 8x + 3) = 2 4) 3 2 log
(2x + 2x − 3x + 1) = 3 x x 1 + 5) log − = 6) log (x + 2) = 2 − (x 1) 2 x 3 x 7) 2
log (x − 5x + 6) = 2 8) 2 log (x − x) = 1 2x x +3 9) 2
log (2x − 7x + 12) = 2 10) 2
log (2x − 3x − 4) = 2 x x 11) 2
log (x − 5x + 6) = 2 12) 2 log (x − 2) = 1 2x x 13) 2 log
(9x + 8x + 2) = 2 14) 2 log (x + 1) = 1 3x + 5 2x + 4 15 15) log = −2 16) log (3 − 2x) = 1 x 1 − 2x 2 x
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 14
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 17) log (x + 3) = 1 18) 2
log (2x − 5x + 4) = 2 2 x + 3x x
HT 29: Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ): 1) 2 2
log x + log x + 1 − 5 = 0 2) 2 log
x + 3 log x + log x = 2 3 3 2 1/2 2 7 2 x 3) log 2 − log x + = 0 4) 2 log 4x + log = 8 x 4 6 1 2 8 2 5) 2 log
x + 3 log x + log x = 0 6) log 16 + log 64 = 3 2 1/2 2 2 2x x 1 1 7) log x − log = 2 8) log x − log = 2 5 x 5 7 x 7 1 9) 2 log x − 2 = log
10) 3 log x − log 4x = 0 5 x 5 2 2
11) 3 log x − log 3x − 1 = 0 12) 3 3 log
x + log x = 4 / 3 3 3 2 2 1 13) 3 3 log
x − log x = −2 / 3 14) 2 log x + 2 log = 0 2 2 2 4 x 15) 2 log (2 − x) − 8 log (2 − x) = 5 16) 2
log x + 4 log 5x − 5 = 0 2 1/4 5 25 9 17) 2 log 5 + log 5x = + log
5 18) log 3 + log x = 1 x x 4 x 2 9 x 1 2 1 3 19) + = 1 20) + = 1 4 − lg x 2 + lg x 5 − lg x 3 + lg x 21) 2 3 log x −14 log x + 40 log x = 0 2x 16x 4x
HT 30: Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ): log x log 6 1) 2
log x + (x −12)log x + 11 − x = 0 2) 2 2 2 6.9 + 6.x = 13.x 3 3 3) 2
x. log x − 2(x + 1).log x + 4 = 0 4) 2
log x + (x − 1)log x = 6 − 2x 2 2 2 2 5) 2
(x + 2)log (x + 1) + 4(x + 1)log (x + 1) − 16 = 0 6) log (2 + x) + log x = 2 3 3 2 x 2 x − 7) 2
log (x + 1) + (x − 5)log (x + 1) − 2x + 6 = 0
8) 4 log x − 1 − log x = 4 3 3 3 3 9) 2 2
log (x + 3x + 2) + log (x + 7x + 12) = 3 + log 3 2 2 2
HT 31: Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ):
1) log x = log ( x + 2)
2) log (x − 3) + log (x − 2) = 2 7 3 2 3
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 15
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 log x
3) log (x + 1) + log (2x + 1) = 2 4) log ( 6 x + 3 ) = log x 3 5 2 6 log x +3 7 ( ) 5) 4 = x
6) log (1 + x ) = log x 2 3 log 9 2 log log 3 7) 2 2 2 = .3 x x x − x 8) 2 2 log
(9 + 12x + 4x ) + log
(6x + 23x + 21) = 4 3x +7 2x +3 9) log ( 2
x − x −1).log ( 2
x + x −1) = log ( 2 x − x −1) 2 3 6
HT 32: Giải các phương trình sau (sử dụng tính đơn điệu): log 3 log 5 2 log x log x 1) 2 2 x + x = x (x > 0) 2) 2 2 x + 3 = 5
3) log (x + 3) = 3 − x
4) log (3 − x) = x 5 2 log x 5) 2
log (x − x − 6) + x = log (x + 2) + 4 6) 2 x + 2.3 = 3 2 2 7) 4(x 2) log (x 3) log (x 2) − − + − = 15(x + 1)  2 3 
HT 33: Giải các phương trình sau (đưa về phương trình tích):
1) log x + 2.log x = 2 + log x.log x
2) log x.log x + 3 = 3.log x + log x 2 7 2 7 2 3 3 2 2 3) 2(log x = log x.log 2 + 1 − 1 9 ) ( x ) 3 3
HT 34: Giải các phương trình sau (phương pháp đối lập): 1) 2 3
ln(sin x) −1 + sin x = 0 2) log ( 2 x + x − ) 2 1 = 1 − x 2 x + − x 8 3) 2 1 3 2 2 + 2 = 2
log (4x − 4x + 4) 3
HT 35: Tìm m để các phương trình sau:
1) log (4x − m) = x + 1 có 2 nghiệm phân biệt. 2 2) 2
log x − (m + 2).log x + 3m − 1 = 0 có 2 nghiệm x 3 3
1, x2 thoả x1.x2 = 27. 3) 2 2 2 2
2 log (2x − x + 2m − 4m ) = log (x + mx − 2m ) có 2 nghiệm x
x + x > 1 . 4 2 1, x2 thoả 2 2 1 2   4) 2 2
log x + log x + 1 − 2m −1 = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 3 1  ; 3   3 3  . 5) 4(log
x )2 + log x + m = 0 có nghiệm thuộc khoảng (0; 1). 2 2
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 16
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
VẤN ĐỀ VI: HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT
Khi giải hệ phương trình mũ và logarit, ta cũng dùng các phương pháp giải hệ phương trình đã học như: • Phương pháp thế.
• Phương pháp cộng đại số.
• Phương pháp đặt ẩn phụ. • …….
HT 36: Giải các hệ phương trình sau: x  + 2y = 5  x  2  = 4y  1)   2)   x  − 2y = 1 x  4  = 32y   x  − 3y = 1  y 1 −  x  = 8  3)   4)  2  x  + 3y = 19 2y 6 −  x  = 4  
HT 37: Giải các hệ phương trình sau: 4  x  − 3y = 7  x y  2  + 3 = 17  1)   2)   4x  .3y = 144 x y  3  .2 − 2.3 = 6    x + y 2  x  + 2.3 = 56  2x+2 2y +2 3  + 2 = 17  3)   4)   x + y + 1 x 1 + y 3  .2x + 3 = 87 2  .3 + 3.2 = 8      x  1 2 2  3 +  − 2y = −4  2(x 1 − ) x 1 − y 2 4  − 4.4 .2 + 2 y = 1 5)   6)   x 1 + y 1 2 3  − 2 + = −1 2y x 1 − . 2  − 3.4 .2y = 4    2 2  c  ot x = 3y  2 y x −  (  x + y)2 = 1 7)    8)  c  os 2 x = 2y  2 x y −   9  (x + y) = 6   2 3 x  − 2y = 77  x y  2 
− 2 = (y − x)(xy + 2)  9)   10)   3x  − 2y = 7 2 2  x  + y = 2  
HT 38: Giải các hệ phương trình sau: 3  x  = 2y + 1  x  3  + 2x = y + 11  1)   2)   3y  = 2x + 1 y  3  + 2y = x + 11   2  x
− 2y = y − xx 1 −  7  = 6y − 5  3)   4)   2 2 x  + xy + y = 3 y 1 −  7  = 6x − 5  
HT 39: Giải các hệ phương trình sau:
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 17
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 x  + y = 6   l
 og y + log x = 2  1) x  2) y  l
 og x + log y = 3  x  + y = 6 2 2   x  + log y = 4  2 2   x − y = 3  3) 2  4)  2
x − log y = 2  l
 og x + y − log x − y = 1  3 ( ) 5 ( ) 2   x  y = 32  lo  2 g y  l  og x + 2 = 3 5)  6)  3  l  og x = 4 y   yx = 9  2
 (log x + log y) = 5  
x − 1 + 2 − y = 1 7) y x  8)  xy = 8 2 3   
3 log (9x ) − log y = 3  9 3  1 2
 log x − log y = 0 y  − log x = 1  9) 3 3 2 10) 3   3 y 12 2  x  = 3
x + y − 2y = 0  
HT 40: Giải các hệ phương trình sau: l
 og (3x + 2y) = 2   l
 og (6x + 4y) = 2  1)  x x  2)  l
 og (2x + 3y) = 2  l
 og (6y + 4x) = 2 y   y    x  l  og 1  
 −  = 2 − log y 2    2    2 l
 og x − log y = 1  3)   y   4) y 2  l  og x + log y = 4  l
 og x − log y = 1 3 3   4 4   2 2  l   log y log x  og  2 2  ( 2 2 x + y + 6 = 4 x  + y = 16 2 ) 5)  6)   l
 og x + log y = 1  l
 og x − log y = 2 3 3   2 2   log y log x   log y log x 3 3 x   + 2.y = 27 2 2 3  .x + 2.y = 10 7)    8)  l
 og y − log x = 1 2  l
 og x + log y = 2 3 3   4 2  l  og xy = 4  2 ( ) l  og x + y − =   x (2 2) 2 9)   10) x   l  og y + x − =    l  og   = 2 y (2 2) 2   2    y  
HT 41: Giải các hệ phương trình sau: l
 g x + lgy = 4  x 2 − yx  = 36  1)   2) lg yx  = 1000  4
 (x − 2y)+ log x = 9  6 
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 18
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899  y x − 5  lg x lg y (    x + y)3 = 3 = 4  3)    27 4)   lg 4 lg 3 3  log ( 
x + y) = x − y (4x) = (3y)   5   2
 log x − 2 log y + 5 = 0  2  1  x    5)      y   2 xy = 32 
HT 42: Giải các hệ phương trình sau:  x − 2y   log xx − y  1 2 4 2  = y (  3)   =   1)   2)  3 l
 og x − log y = 1   2 2  l
 og (x + y)+ log (x −y) = 4 2 2    x y log y log x  3  .2 = 18 8 8 x  + y = 4  3)   4) l  og (x + y) l
 og x − log y = 1 = −1   1 4 4   3  x 2 − y   ( x y   +   )x y− 1 3   =   y x  5)   4  = 32 3 6)    l
 og (x + y) + log (x −y) = 4 l
 og x − y = 1 − log x + y  3 ( ) 3 ( )  2 2   3  x  .2y = 972  x − y  3  .2 = 1152  7)   8)  l  og  (x −y) = 2 l  og  (x + y) = 2  3   5  (   log xy log 2  + )x = ( −  3 3  )y x y x y 4  = 2 + (xy) 9)  10)   l  2 2
 og x − log y = 1 x
+ y − 3x − 3y = 12 2 2    log y log x   2  3 3 x  + 2y = 27 log xy = log xx y 11)    12)
 log y − log x = 1 2 log xy y  = y 3 3  4 + 3 
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 19
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
VẤN ĐỀ VII: BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
• Khi giải các bất phương trình mũ ta cần chú ý tính đơn điệu của hàm số mũ.  a  > 1 
f(x)> g(x)  f (x ) g(x ) a a  > ⇔   0  < a < 1 
f(x) < g(x)  
• Ta cũng thường sử dụng các phương pháp giải tương tự như đối với phương trình mũ:
– Đưa về cùng cơ số. – Đặt ẩn phụ. – ….
Chú ý: Trong trường hợp cơ số a có chứa ẩn số thì: M N a > a
⇔ (a −1)(M − N ) > 0
HT 43: Giải các bất phương trình sau (đưa về cùng cơ số): 6 3 x − x − 1 x 2 − x 1 + 1 − x 2     x − 2x 1 1 1     1) 3   ≥     <    2)      3 2 2 x + 2 x + 3 x + 4 x + 1 x + 2 x 1 x 2 3) 2 − 2 − 2 > 5 − 5 4) 3 x − − + 3 − 3 < 11 2 2 5) x 3 − x 2 + x 3 − x +2 9 − 6 < 0 6) 2x +3 x +7 3x 1 − 6 < 2 .3 2 2 2 x + 1 7) 2 x 2 4 + .2 + 3.2 > .2x x x x + 8x + 12 8) 2 x 1+ x x 2 6.x + 3 .x + 3
< 2.3 .x + 3x + 9 9) x x 1 + x 2 + x x 1 + x 2 9 9 9 4 4 4 + + + < + + 10) x 1 + x +3 x +4 x +2 7.3 + 5 ≤ 3 + 5 x 2 + x 1 + x x 2 x −1 x + 2 11) 2 5 2 5 + + < + 12) 2 .3 > 36 x 3 − x 1 + x x 1 + 13) ( + )x 1 − < ( − )x +3 10 3 10 3 14) ( ) ( )x 1 2 1 2 1 − + ≥ − 1 1 1 15) x 1 ≤ 2 − 16) 2x 1 − 3x 1 2 2 + ≥ 2 x 2 2 − x
HT 44: Giải các bất phương trình sau (đặt ẩn phụ): 1 1 − 1 − 2 1) 2.14x 3.49x 4x + − ≥ 0 2) 4x − 2x − 3 ≤ 0 2(x − 2) 2(x − 1) 4 4 3) x 3 4 − 2 + 8 > 52 4) x + x 1 8.3
+ 9 + x > 9 x
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 20
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 2x + 1 x + 1 5) 25.2x 10x 5x − + > 25 6) 5 + 6
> 30 + 5x.30x 7) 6x 2.3x 3.2x − − + 6 ≥ 0 8) 27x 12x 2.8x + > 1 1 1 x 9) 49x 35x 25x − ≤ 10) x 1 + 2x 1 + 2 3 − 2 −12 < 0 2 2 2 11) 2x x − 1 + 2x x − 1 + 2 25 9 34.25 x x − + ≥ 12) 2x x + x +4 x +4 3 − 8.3 − 9.9 > 0 x x x + x − 1 x + x − 1 + 13) 1 4 − 5.2 + 16 ≥ 0
14) ( 3 + 2 ) + ( 3 − 2 ) ≤ 2 2 1 + 1  3x x − 1 1 x  1x 1 1 15)         + 3    > 12  16)   −   − 128 ≥ 0     3    3 4 8 1 + 1 1 2 − 2x + 17) 2x + 2 x < 9 18) ( 1 2 − 9.2x + 4) 2
. x + 2x − 3 ≥ 0
HT 45: Giải các bất phương trình sau (sử dụng tính đơn điệu): x 1 2 x − − 2x + 1 1) x 2 2 < 3 + 1 2) ≤ 0 2x − 1 x x 2 2.3 2 + − 3) ≤ 1 4) x +4 2x +4 3 + 2 > 13 3x − 2x 2 3 x − + 3 − 2x 3x + x − 4 5) ≥ 0 6) > 0 4x − 2 2 x − x − 6 2 2 x 2 x
7) −3x − 5x + 2 + 2x > 3 .2x −3x − 5x + 2 + (2x) 3
HT 46: Tìm m để các bất phương trình sau có nghiệm: 1) 4x − .2x m + m + 3 ≤ 0 2) 9x − .3x m + m + 3 ≤ 0 2 2 x x 1 −
3) 2x + 7 + 2x − 2 ≤ m 4) ( 2 + ) 1 + ( 2 − ) 1 + m = 0
HT 47: Tìm m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với: 1) (3
+ 1).12x + (2 − ).6x + 3x m m < 0 , ∀x > 0. 2) x x 1 (m 1)4 2 + − + + m + 1 > 0 , ∀x. 3) .9x − (2 + ) 1 6x + .4x m m m ≤ 0 , ∀x ∈ [0; 1]. 4) x x 2 m.9 (m 1).3 + + −
+ m −1 > 0 , ∀x. cos x cos x 5) + ( m + ) 2 4 2 2 1 2
+ 4m − 3 < 0 , ∀x. 6) x x 1 4 3.2 + − − m ≥ 0 , ∀x.
7) 4x − 2x − m ≥ 0 , ∀x ∈ (0; 1)
8) 3x + 3 + 5 − 3x ≤ m , ∀x. 9) 2.25x − (2 + 1).10x + ( + 2).4x m m ≥ 0 , ∀x ≥ 0. 10) x 1 4 − − .(2x m + 1) > 0 , ∀x.
HT 48: Tìm m để mọi nghiệm của (1) đều là nghiệm của bất phương trình (2):
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 21
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899  2 1  + 1    1 2 1 x 1x       1 +     +   x x  1) 3 > 12 (1)  2  − 2 > 8 (1) 3   3 2)    2 2 (  4
x − 2mx − (m − 1) < 0 (2)  m − )2 2
2 x − 3(m − )
6 x − m − 1 < 0 (2)  
VẤN ĐỀ VIII: BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
• Khi giải các bất phương trình logarit ta cần chú ý tính đơn điệu của hàm số logarit.  a  > 1 
f(x)> g(x)> 0  log f (x) log g(x)  > ⇔ a a   0  < a < 1  0  
< f (x) < g(x)  
• Ta cũng thường sử dụng các phương pháp giải tương tự như đối với phương trình logarit:
– Đưa về cùng cơ số. – Đặt ẩn phụ. – ….
Chú ý: Trong trường hợp cơ số a có chứa ẩn số thì: log A
log B > 0 ⇔ (a − 1)(B − 1) > 0 ; a
> 0 ⇔ (A − 1)(B −1) > 0 a log B a
HT 49: Giải các bất phương trình sau (đưa về cùng cơ số):
1) log (1 − 2x) < 1 + log (x + 1)
2) log 1 − 2 log x < 1 2 ( 9 ) 5 5 3) log
5 − x < log (3 − x)
4) log log log x > 0 1 1 2 1 5 3 3 3 1 + 2x 5) log (log ) > 0 6) ( 2
x − 4)log x > 0 1 2 1 + x 1 3 2   2 log x log x 7) log log ( 2 x − 5) > 0 6 6 6 + x ≤ 12 1  4  8) 3 (log x 2 )2 log x
9) log x + 3 ≥ 1 + log x − 1 10) 2 2 + x 2 ( ) 2 ( ) 2
11) log log x  ≥ 0
12) 2 log (x − 2) + log (x − 3) > 3  1      8 1  3 2  8
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 22
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899     13) log log ( 2
x + 1 + x ) > log log ( 2
x + 1 − x ) 1  5  3 1   3  5 
HT 50: Giải các bất phương trình sau: ( 2 3 2 lg x − ) 1 log (x + ) 1 − log (x + ) 1 1) < 1 2) 2 3 > 0 lg(1 − x ) 2 x − 3x − 4 ( 2 lg x − 3x + 2) log x 5 log 2 log x 3) > 2 4) 2 x 2 x x − + − 18 < 0 lg x + lg 2 3x − 1 x 5) log > 0 6) 2
log x.log x < log x + log x 2 3 2 3 2 x + 1 4
7) log (log (2x − 4)) ≤ 1 8) log (3 − x) > 1 x 4 2 3x x − 9) log ( 2
x − 8x + 16) ≥ 0 10) log ( 2
x − 5x + 6) < 1 x 2x 5  x 1 − 11) log log  > 0 12) log x + > x + x − ( ) 1 log 1 2 1 ( ) x +6 2    x + 2 x 1 − 3 13) 2
(4x − 16x + 7).log (x − 3) > 0
14) (4x − 12.2x + 32).log (2x − 1) ≤ 0 3 2
HT 51: Giải các bất phương trình sau (đặt ẩn phụ):
1) log x + 2 log 4 − 3 ≤ 0
2) log (1 − 2x) < 1 + log (x + ) 1 2 x 5 5
3) 2 log x − log 125 < 1 4) log 64 + log 16 ≥ 3 5 x 2 2x x
5) log 2.log 2.log 4x > 1 6) 2 2
log x + log x < 0 x 2x 2 1 1 2 4 2 log x log x 1 2 7) 4 2 + > 8) + ≤ 1 2 1 − log x 1 + log x 4 + log x 2 − log x 2 2 1 − log x 2 2 2 9) 2
log x − 6 log x + 8 ≤ 0 10) 2
log x − 4 log x + 9 ≥ 2 log x − 3 1 2 3 3 3 2 1 2 11) 2 2
log (3x + 4x + 2) + 1 > log (3x + 4x + 2) 12) + < 1 9 3 5 − log x 1 + log x 5 5 1 13) 2
1 − 9 log x > 1 − 4 log x 14) log 100 − log x > 0 1 1 x 100 2 8 8 2 1 + log x 1 15) 3 > 1 16) log 2. log 2 > 1 + log x x x log x − 6 3 2 16
HT 52: Giải các bất phương trình sau (sử dụng tính đơn điệu): 2 1) (x + 1 l
) og x + (2x + 5)log x + 6 ≥ 0 2) log (2x 1) log (4x + + + 2) ≤ 2 0,5 0,5 2 3 5 + x lg 3 2 3) > 4) 5 − x < 0 log x +1 log x +1 2x − 3x + 1 2 ( ) 3 ( )
HT 53: Tìm m để các bất phương trình sau có nghiệm: 1 1) log ( 2
x − 2x + m) > −3 2) log 100 − log 100 > 0 1/2 x 2 m
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 23
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 1 2 2 1 + log x 3) + < 1 4) m > 1 5 − log x 1 + log x 1 + log x m m m
5) log x + m > log x 6) 2 2 log (x − 1) > log (x + x − 2) 2 2 x m − x m −
HT 54: Tìm m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với: a) log ( 2 7x + 7) ≥ log ( 2
mx + 4x + m) , ∀x 2 2   b) 2
log  x − 2x + m  + 4 log   ( 2
x − 2x + m ≤ 5 , ∀x ∈[0; 2] 2 2 )   c) 2 2
1 + log (x + 1) ≥ log (mx + 4x + m) , ∀x. 5 5  m   m   m  d)   2 2  − log x − 2 1  + log x − 2 1     + log  > 0 , ∀x 1   1  +    1 1   +    m 1 m   1 + m   2   2   2  ÔN TẬP
HT 55: Giải các phương trình sau: 2x 1 − x 1 2 .4 + 1) = 64 2) 3x 1 − 8x 2 9 3 − = x 1 8 − 2 x +0,5 x 1 + x +2x 1 − 1 9 0,2 (0, 04)x 5  9  5 3) = 4)     .      =   25       5 3 25 3 x + 1 2 5) 2 x 1 + x 1 7 .7 14.7 − − − + 2.7x = 48 6) ( x 7 − ,2x +3,9 3
− 9 3)lg(7 − x) = 0 7 2  1  x 1 −     x x 7) x +3 2 2  (2 ) x  = 4 8) x 1 5 . 8 − = 500 1 2 1− lg x 1 9) 3 x = 10) lg x 2 x = 1000x 3 100 lg x +5 log x 1 − 11) 5+lg 3 = 10 x x 12) ( x ) 3 = 3
HT 56: Giải các phương trình sau: 2 2 2 2 1) x 2 + x 2 4 9.2 + − + 8 = 0 2) x− x 5 − x 1 − − x 5 4 12.2 − − + 8 = 0 1 3 3+ 3) 64.9x 84.12x 27.16x − + = 0
4) 64x − 2 x + 12 = 0
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 24
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 2 2 5) x 1 − x 3 9 36.3 − − + 3 = 0 6) 4x +8 2x +5 3 − 4.3 + 28 = 2 log 2 2 x x 7) 2x 1 + x +2 x 2(x 1 + ) 3 = 3 + 1 − 6.3 + 3
8) ( 5 + 24 ) + ( 5 − 24 ) = 10 1+log x 1+log x 2 9) 3 3 9 − 3 − 210 = 0 10) lg x 1 + lg x lg x +2 4 − 6 − 2.3 = 0 2 2 11) sin x cos 2 4.2 x + = 6 12) lg(tan x) lg(cot x ) 1 3 2.3 + − = 1
HT 57: Giải các bất phương trình sau: 6 5 − x  2+5 2 x x 25 1 2 − −1 1)     <  2) < 2 5 4 x 1 2 + + 1 2 3) 2 x 2 .5 5 x x + − < 0 4) lg x 3 lg x 1 x − + > 1000 x 4x + 2x − 4 x 2 3 − 2 5) ≤ 2 6) 8. > 1   +   x − 1   3x 2x 3 − 2 log (x 1 − ) 2 1 7) x +2 x +3 x +4 x 1 + x +2 2 − 2 − 2 > 5 − 5 8)     > 1  2 x +2 1 2   x + − 2 1 −x   2 1 x 1   9)     > 9  10)   > 3 3 27 2x 1 + −3   x x 1 1 x − 1     11)       >        12) 72 1 1 3 .  .  > 1 5    5 3    3
HT 58: Giải các bất phương trình sau: 1) x 2 4 2.5 x 10x − − > 0 2) x − x − 1 25 5 + − ≥ 50 1 1 1 − − − 2
3) 9.4 x + 5.6 x < 4.9 x 4) lg x 2 + lg x +5 3 < 3 − 2 2x +3   5) x 1
4 + − 16x < 2 log 8 6) 2x 1 + 1 2 − 21.    + 2 ≥ 0 4 2 2(x 2 − ) 2−3x   7) x 2(x 1 − ) 3 4 − 2 + 8 > 52 8) 4−3x 1 3 − 35.    + 6 ≥ 0  3 9) x x +2 9 − 3 > 3x − 9 10) 9x 3x 2 9 3x + − ≥ −
HT 59: Giải các phương trình sau:
1) log (3x − 8) = 2 − x 2) 2 log
(x − 2x + 65) = 2 3 5 x −
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 25
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 3) log (2x 1) log (2x − + − 7) = 1 4) log (1 log (2x + − 7)) = 1 7 7 3 3 log lg x log (1 2 − x ) 5) 3 2 3
− lg x + lg x − 3 = 0 6) 3 2 9 = 5x − 5 log x 1 − 7) 1+lg x x = 10x 8) ( x ) 5 = 5 2 2 lg x +lg x 2 −  lg x +7 lg x  9)     = lg x lg x 1 4 +  10) x = 10  2   1    x − 3 x − 3 11) log log + + 9x x  = 2x 12) 2 log + 1 = log 3  9  2  3 3 x − 7 x − 1
HT 60: Giải các phương trình sau: 1) ( )2 2 log 5 − 3 log 5 + 1 = 0 2) log x − 3 log x + 2 = 0 x x 1/3 1/3 3) 2 log x + 2 log x − 2 = 0 4) 3 + 2 log 3 = 2 log (x + 1) 2 2 x 1 + 3 5) log ( 2 9x ) 2 .log x = 4 6) log ( 2 log x − 3 log x + 5 = 2 3 1/2 1/2 ) x 3 9 7) 2 2 2
lg (100x) − lg (10x) + lg x = 6 8) 2 2
log (2x ).log (16x) = log x 2 2 2 2 9) log (9x + 9) = + log (28 − 2.3x x ) 10) x x x 1 log (4 4) log 2 log (2 + + = + − 3) 3 3 2 2 2
HT 61: Giải các bất phương trình sau: 2x − 6 1) 2
log (x − 5x + 6) > 1 − 2) log > 0 0,5 7 2x −1 2 − 3x
3c) log x − log x − 3 < 0 4) log ≥ −1 3 3 1/3 x 2 5) log (2 − x) > log 6)  2 log log (x 5) − > 0 1/4 1/4   x + 1 1/3 4  2 x − 4 log (x + 1) 7) < 0 8h) 2 > 0 2 log (x − 1) x − 1 1/2 x +5 log 2 log (x +8x 1 + 5) 1/3 2 9) 2 2 −x < 1 10) x +3 (0,5) > 1
HT 62: Giải các hệ phương trình sau: 2  (x y − ) 1 4 −  x y  = 1  4 + = 128  x y  2  + 2 = 12  1)   2)   3)   3x 2 − y−3  5x y + = 125 5  = 1  x + y = 5   
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 26
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 3
 .2x + 2.3x = 2,75  xx y  7  − 16y = 0   3 .2 = 972  4)   5)   6)  
2x − 3y = −0, 75 x  4  − 49y = 0 l
 og (x − y) = 2    3   x 5y x −   2x y 2  2 y x − y y  3  − 2 = 77  (  x + y)2 = 1 7) 4  − 3.4 = 16  8)    9)   x y/2 2  3  − 2 = 7  9( 2 x + y) x y − x = 6  − 2y = 12 − 8      
HT 63: Giải các hệ phương trình sau:  l
 og x − log y = 0
log (x − y) = 2  lgy   3  x  = 2  1) 4 2    2) 3) 2 2  7  x  − 5y + 4 = 0    xy = 20 
log x − log y =  4 x    6   l  og 1 1 2  x + 2 log y = 3 log 2 log yx 5   − = 3  = y 4) 2 2    5)  6) 2 4 x y 15  x + y = 16 log 3 log x   y  7  l
 og x + log y = 1 + log 5 2  = x  3 3 3     x y 9 2 2 l  g( 
x + y ) − 1 = lg13    + = xy = 8  7)    8) 2 2 y x 8 9)  l
 g(x + y) − lg(x − y) = 3 lg 2   2
 (log x + log y) = 5  l  og x + log y = 3  y x  2  2   x y  2
 log x − 3y = 15 +  x y    y x  3 .2 = 576  10)  2   11) 4 = 32  12) y y 1 3
 .log x = 2 log x + 3 +   l
 og (y − x) = 4 2 2  l
 og (x − y) = 1 − log (x + y)   3 3   2 
HT 64: Giải các phương trình sau: 2 2 x 1 − − x −5 1) x− x 5 − 1 − 2.2 +8=0 4 2) 2
(x + 1)log x − 4x log x − 16 = 0 3 3 1 3) 2
log (x − 1) + log (x + 4) = log (3 − x) 4) 2 2
log (x + 2x + 1) = log (x + 2x) 2 1 2 2 3 2 2 5) 2 3 2
3x − 2x = log (x + 1) − log x 6) log .
x log x = log x + log x 2 2 5 3 5 3 3 3 x 1 7) x x 1 log (2 1).log (2 + + + 2) = 6 8) log .log x − log = + log x 2 2 3 2 3 2 x 2 3 1 89x 25   9) 3 + = log  −  10) 2 2 log
x + log x = log 4x log x x  2 2x  0,5 2 x 32 3 11) 2 3 3
log (x + 2) − 3 = log (4 − x) + log (x + 6) 1 1 1 2 4 4 4 12) 2 3 log (x + 1) + 2 = log
4 − x + log (4 + x) 4 8 2
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 27
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 Đ 9 1 /s: 1) x = ; x = 3 2) x = ; x = 3
3) x = − 11; x = −1 + 14 4 81 4) x = −1 ± 3 5) Đánh giá x = 1
6) x = 1; x = 15 3 5 7) log 3 8) x = 1; x = 9) x = 2 8 8 1 1 10) x =
; x = ; x = 2 11) x = 2; x = 1 − 33
12) x = 2 − 24; x = 2 4 2
HT 65: Giải các bất phương trình sau: (log x 2 )2 log x
1) 2 log x − log 125 < 1 2) 2 2 + x ≤ 4 5 x 2 2
log (x + 3) − log (x + 3) 1 1 2 2 2 3) 2 x 1 + x 2 4 + .2 + 3.2 > .2x x x x + 8x + 12 4) 2 3 > 0 x + 1 2 log x + 3 5) 1+ x x 1 8 + 2 − 4 + 2 +x > 5 6) 2 > 2 log x + 3 2 3x x −1 3 7) log (3 − 1)log ≤
8) (x + 1)log x + (2x + 5).log x + 6 ≥ 0 4 1 16 4 1 1 4 2 2 1 1 9) + > 0 log (2x − 1) 2 1 log x − 3x + 2 2 2  1 Đ  
/s: 1) x ∈ 0;  ∪   2) x ∈ (0;+ ) ∞ 3) x ∈ (− 2;− ) 1 ∪ ( 2;3)   (1;5 5)  5 1 1   4) (−2;−1) 5) (0;2] 6)  ;   8 2  1 13  3 5  +  +  7)(0;1) ∪ (3; + ) ∞ 8)(0;2] ∪ [4;+ ) ∞ 9)  ;1   ∪  ;  +∞     6   2        
HT 66: Giải các hệ phương trình sau:  log (xy) log 3  2 2 9  2 2  = 3 + 2.(xy) l
 og (x + y ) = 5  1)   2) 2  2 2
x + y = 3x + 3y + 6  2
 log x + log y = 4   4 2   2x−y  2x−y  2  x
+ log y + 2x log y = 5      2  2 2         +   3)  2 2 3. 7. − 6 = 0  4)        x 2   4  + log y = 5  3 3  2 
lg(3x − )y+ lg(y + x)−4lg2 = 0 
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 28
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899x y  l
 og x + 3 3 − log y = 5 +  y x  5) 2 3  6) 4  = 32  3
 log x −1 − log y = −1  2 3  l
 og (x − y) = 1 − log (x + y)  3 3   5 ∓ 17 5 17  ±  Đ/s: 1)  ;    2) (4;4) 3) (2; 4);(4;2)  2 2      4)(2;2) 5)(4; 81) 6) (2;1)
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 29
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
TUYỂN TẬP ĐỀ THI CÁC NĂM HT 67: (D – 2011) 2 log (8 − x ) + log
1 + x + 1 − x − 2 = 0 (x ∈ ℝ) Đ/s: x = 0 2 1 ( ) 2 l
 og (3y −1) = x   1   HT 68: (B – 2010) 2 
(x,y ∈ ℝ) Đ/s: 1 −  ;  x x 2 4  + 2 = 3   y   2    2 x
− 4x + y + 2 = 0  HT 69: (D – 2010) 
(x,y ∈ ℝ) Đ/s: (3;1) 2
 log (x − 2) − log y = 0  2  2   2 2 l
 og (x + y ) = 1 + log (xy)  HT 70: (A – 2009) 2 2 
(x,y ∈ ℝ) Đ/s: (2;2),( 2 − ; 2 − ) 2 2 3x x − y y +  = 81  x  = 2  HT 71: (A – 2008) 2 2 log
(2x + x − 1) + log
(2x − 1) = 4 Đ/s:  2x 1 − x 1 + 5 x  =  4  2 x x   +  HT 72: (B – 2008) log log    < 0 Đ/s:( 4 − ; 3 − ) ∪ (8;+ ) ∞ 0,7 6 x + 4      2 x − 3x + 2   HT 73: (D – 2008) log
≥ 0 Đ/s: 2 − 2;1 ∪ (2;2 + 2) 1   x   2 3
HT 74: (A – 2007) 2 log (4x − 3) + log (2x + 3) ≤ 2 Đ/s: < x ≤ 3 3 1 4 3 x x
HT 75: (B – 2007) ( 2 − ) 1 + ( 2 + )
1 − 2 2 = 0 Đ/s: x = 1 ± x x 1
HT 76: (D – 2007) log (4 + 15.2 + 27) + 2 log = 0 Đ/s: x = log 3 2 2 4.2x − 3 2
HT 77: (A – 2006) 3.8x 4.12x 18x 2.27x + − − = 0 Đ/s: x = 1 HT 78: (B – 2006) x x 2 log (4 144) 4 log 2 1 log (2 − + − < +
+ 1) Đ/s: 2 < x < 4 5 5 5
HT 79: (D – 2006) Chứng minh rằng với mọi a > 0 hệ có nghiệm duy nhất:  x y e
−e = ln(1 + x) − ln(1 + y)   y  − x = a   1 l
 og (y −x)− log = 1 1 4 HT 80: (A – 2004)  y  Đ/s: (3;4) 4  2 2 x  + y = 25   2 2 x = −1
HT 81: (D – 2003) x x − 2 2 2 +x x − − = 3 Đ/s:  x = 2 
HT 82: (A – 2002) Cho phương trình 2 2
log x + log x + 1 − 2m −1 = 0 (Với m là tham số) 3 3
a. Giải phương trình với m = 2 Đ/s: ± 3 x = 3
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 30
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899  
b. Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 3 1
 ; 3  Đ/s: 0 ≤ m ≤ 2   HT 83: (B – 2002) log −
≤ Đ/s: log 73 < x ≤ 2 x (log (9x 72) 1 3 ) 9
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 31