Chuyên đề phương trình mũ và logarit – Lưu Huy Thưởng
Tài liệu Bài tập trắc nghiệm hàm số lũy thừa, mũ và logarit do thầy Lưu Huy Thưởng biên soạn gồm 15 trang.
Chủ đề: Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit (KNTT)
Môn: Toán 11
Thông tin:
Tác giả:
Preview text:
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2013 - 2014
PHƯƠNG TRÌNH MŨ - LOGARIT
BIÊN SOẠN: LƯU HUY THƯỞNG
HỌ VÀ TÊN: ………………………………………………………………… LỚP
:………………………………………………………………….
TRƯỜNG :………………………………………………………………… HÀ NỘI, 8/2013
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH MŨ – LOGARIT
VẤN ĐỀ I: LŨY THỪA
1. Định nghĩa luỹ thừa Số mũ α Cơ số a
Luỹ thừa aα *
α = n ∈ N a ∈ R α n
a = a = a.a......a (n thừa số a) α = 0 a ≠ 0 α 0
a = a = 1 * α n − 1 α = n − (n ∈ N ) a ≠ 0 a = a = n a m m * α =
(m ∈ Z,n ∈ N ) a > 0 α n m = = (n n n a a a
a = b ⇔ b = a) n *
α = lim r (r ∈ Q,n ∈ N ) a > 0 α r n n a = lim n a
2. Tính chất của luỹ thừa
• Với mọi a > 0, b > 0 ta có: α aα a a α α β α+β α−β α β α. a .a = a ; = a ; (a ) = a β ;
(ab)α = aα.bα ; = a β b bα
• a > 1 : aα > aβ ⇔ α > β ; 0 < a < 1 : aα > aβ ⇔ α < β
• Với 0 < a < b ta có: m m a < b ⇔ m > 0 ; m m a > b ⇔ m < 0 Chú ý:
+ Khi xét luỹ thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số a phải khác 0.
+ Khi xét luỹ thừa với số mũ không nguyên thì cơ số a phải dương.
3. Định nghĩa và tính chất của căn thức
• Căn bậc n của a là số b sao cho n b = a .
• Với a, b ≥ 0, m, n ∈ N*, p, q ∈ Z ta có: n a a p n m n n = .n ab a b ; n = (b > 0) ; p
a = (n a ) (a > 0); n mn a = a n b b p q n p m n mn q Neáu = thì a =
a (a > 0) ; Đặc biệt m a = a n m
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 1
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
• Nếu n là số nguyên dương lẻ và a < b thì n n a < b .
Nếu n là số nguyên dương chẵn và 0 < a < b thì n n a < b . Chú ý:
+ Khi n lẻ, mỗi số thực a chỉ có một căn bậc n. Kí hiệu n a .
+ Khi n chẵn, mỗi số thực dương a có đúng hai căn bậc n là hai số đối nhau.
4. Công thức lãi kép
Gọi A là số tiền gửi, r là lãi suất mỗi kì, N là số kì.
Số tiền thu được (cả vốn lẫn lãi) là: = (1 + )N C A r
VẤN ĐỀ II: LOGARIT 1. Định nghĩa
• Với a > 0, a ≠ 1, b > 0 ta có: log b = ⇔ aα α = b a a > 0,a ≠ 1
Chú ý: log b có nghĩa khi a b > 0 • Logarit thập phân:
lgb = logb = log b 10 n 1
• Logarit tự nhiên (logarit Nepe): lnb = log b (với e = lim 1 + ≈ 2,718281 ) e n 2. Tính chất log b • log 1 = 0 ; log a = 1 ; log b a = b ; a a = b (b > 0) a a a
• Cho a > 0, a ≠ 1, b, c > 0. Khi đó:
+ Nếu a > 1 thì log b > log c ⇔ b > c a a
+ Nếu 0 < a < 1 thì log b > log c ⇔ b < c a a
3. Các qui tắc tính logarit
Với a > 0, a ≠ 1, b, c > 0, ta có: b
• log (bc) = log b + log c
• log = log b − log c • log bα = α log b a a a a a a c a a 4. Đổi cơ số
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 2
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
Với a, b, c > 0 và a, b ≠ 1, ta có: log c • log a c = hay log .
b log c = log c b log b a b a a 1 1 • log b =
• log c = log c α ≠ α ( 0) a log a a a α b Bài tập cơ bản
HT 1: Thực hiện các phép tính sau: 1 3 1) log 4.log 2 2) log .log 9 3) log a 2 1 5 27 25 a 4 log 2 log 3 log 2 log 27 4) 2 3 4 + 9 5) log 8 6) 9 8 27 + 4 2 2 1/3 log a.log a 3 4 2 log 2 4 log 5 7) a a 8) log 6.log 9.log 2 9) 3 81 9 + 7 3 8 6 log a 1 a log 5 log 36 4 log 7 log 6 log 8 3 2 log 4 10) 3 9 9 81 + 27 + 3 11) 5 7 25 + 49 12) 5 5 − 1 1 log 3 log 2 1+log 4 2−log 3 log 27 13) 6 8 9 + 4 14) 9 2 125 3 + 4 + 5 15) log 3.log 36 3 6
HT 2: So sánh các cặp số sau: 1 2 3 1) log 4 vaø log 2) 3 log 2 vaø log 0, 34 3) log vaø log 3 4 3 0,1 0,2 3 5 5 4 4 2 1 1 1 log log 3 4) log vaø log
5) log 150 vaø log 290 6) vaø 6 6 2 2 3 1 1 80 13 17 15 + 2 3 2
HT 3: Tính giá trị của biểu thức logarit theo các biểu thức đã cho:
1)Cho log 14 = a . Tính log 32 theo a. 2 49
2)Cho log 3 = a . Tính log 15 theo a. 15 25 1
3)Cho lg 3 = 0, 477 . Tính lg 9000 ; lg 0, 000027 ; . log 100 81
4)Cho log 2 = a . Tính log 28 theo a. 7 1 2
HT 4: Tính giá trị của biểu thức logarit theo các biểu thức đã cho: 49
1)Cho log 7 = a ; log 5 = b . Tính log theo a, b. 25 2 3 5 8
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 3
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
2)Cho log 3 = a ; log 5 = b . Tính log 1350 theo a, b. 30 30 30
3)Cho log 7 = a ; log 5 = b . Tính log 28 theo a, b. 14 14 35
4)Cho log 3 = a ; log 5 = b ; log 2 = c . Tính log 63 theo a, b, c. 2 3 7 140
VẤN ĐỀ III: HÀM SỐ LŨY THỪA – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT 1. Khái niệm
1)Hàm số luỹ thừa y x α = (α là hằng số) Số mũ α Hàm số y x α = Tập xác định D α = n (n nguyên dương) n y = x D = R
α = n (n nguyên âm hoặc n = 0) n y = x D = R \ {0}
α là số thực không nguyên y x α = D = (0; +∞) 1
Chú ý: Hàm số n
y = x không đồng nhất với hàm số n
y = x (n ∈ N *) . 2)Hàm số mũ x
y = a (a > 0, a ≠ 1). • Tập xác định: D = R. • Tập giá trị: T = (0; +∞).
• Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến.
• Nhận trục hoành làm tiệm cận ngang. • Đồ thị: y y y=ax y=ax 1 x 1 x a>1 0
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 4
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
3)Hàm số logarit y = log x (a > 0, a ≠ 1) a • Tập xác định: D = (0; +∞). • Tập giá trị: T = R.
• Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến.
• Nhận trục tung làm tiệm cận đứng. • Đồ thị: y y y=log y=logax ax 1 x x O O 1 a>1 0
2. Giới hạn đặc biệt 1 x 1 ln(1 + x) x e − 1
• lim(1 + x)x = lim 1 + = e • lim = 1 • lim = 1 x →0 x →±∞ x x →0 x x →0 x 3. Đạo hàm ′ ′ • (xα) α 1 = x α − (x > 0) ; (uα ) α 1 = u α − .u′ vôùi x neáu n chaün n ′ 1 0 > ′ u′ Chú ý: ( x) = n . ( u ) = n n 1 −
vôùi x ≠ 0 neáu n leû n x n n 1 n u − ′ ′ • ( x ) x a = a lna ; ( u ) u a
= a lna.u′ ′ ′ ( x ) x e = e ; ( u ) u e = e .u′ ′ ′ u′ • ( x = ; (log u = a ) a ) 1 log x lna u lna ′ ′ u′ ( ) 1 ln x = (x > 0); (ln u ) = x u
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 5
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 6
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 Bài tập cơ bản
HT 5: Tính các giới hạn sau: x 1 + x 2x 1 − x 1 x x 1 + 1) lim + 2) lim 1 3) lim
x →+∞ 1 + x x →+∞ x
x →+∞ x − 2 x 1 + x x 3 3x − 4 x 1 + 2x 1 + 4) lim 5) lim 6) lim
x →+∞ 3x + 2
x →+∞ 2x − 1
x →+∞ x − 1 ln x − 1 2x e −1 x e −e 7) lim 8) lim i) lim x e → x −e x →0 3x x 1 → x − 1 x x 1 e −e− sin 2x sin x e −e lim x ( x e − ) k) lim l) lim m) 1 x →0 sin x x →0 x x →+∞
HT 6: Tính đạo hàm của các hàm số sau: x + 1 2 x + x − 2 1) 3 2
y = x + x + 1 2) 4 y = 3) 5 y = x − 1 2 x + 1 3 1 − 2x 4) 3 y = sin(2x + 1) 5) 3 2 y = cot 1 + x 6)y = 3 1 + 2x x + 3 2 11 5 x + x + 1 7) 3 y = sin 8) 9 y = 9 + 6 x 9) 4 y = 4 2 x − x + 1
HT 7: Tính đạo hàm của các hàm số sau: 1) 2 = ( − 2 + 2) x y x x e 2) 2 ( 2 ) x y x x e− = + 3) 2 − x y = e .sin x 1 2x x 2 x − x e + e 4) 2x x y e + = 5) 3 y = x.e 6)y = 2x x e −e 3x 7) x cos = 2 . x y e 8)y = i) cot = cos . x y x e 2 x − x + 1
HT 8: Tính đạo hàm của các hàm số sau: 1) 2
y = ln(2x + x + 3)
2)y = log (cos x) 3) x
y = e .ln(cos x) 2 4) 2
y = (2x − 1)ln(3x + x) 5) 3
y = log (x − cos x)
6)y = log (cos x) 1 3 2 ln(2x + 1) ln(2x + 1) 7)y = 8)y = 9) y = ( 2 ln x + 1 + x ) 2x + 1 x + 1
HT 9: Chứng minh hàm số đã cho thoả mãn hệ thức được chỉ ra: 2 x − 1) 2 2 y = x.e ;
xy′ = (1 − x )y 2) = ( + 1) x ; x y x e
y′ − y = e
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 7
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 3) 4x = + 2 x y e e− ;
y′ ′ −13y′ −12y = 0 4) x − −2 = . + . x y a e b e
; y′ + 3y′ + 2y = 0 x − (4) 5) x
y = e− .sin x;
y′ + 2y′ + 2y = 0 6)y = e .cos x; y + 4y = 0
HT 10: Chứng minh hàm số đã cho thoả mãn hệ thức được chỉ ra: 1 1 1) = ln ; ′ +1 y y xy = e y =
; xy′ = y y ln x −1 2) 1 + x 1+ x + ln x 1 + ln x 3) 2
y = sin(ln x) + cos(ln x); y + xy′ + x y′′ = 0 4) 2 2 2 y =
; 2x y′ = (x y + 1) x(1 − ln x)
HT 11: Giải phương trình, bất phương trình sau với hàm số được chỉ ra: 1) x 2
f '(x) = 2f (x); f (x) = e (x + 3x + 1) 1 2) 3 f '(x) + f (x) = 0;
f (x) = x ln x x 3) 2x 1 − 1 2 '( ) = 0; ( ) = + 2. − x f x f x e e + 7x − 5
VẤN ĐỀ IV: PHƯƠNG TRÌNH MŨ b > 0
1. Phương trình mũ cơ bản:
Với a > 0, a ≠ 1 : x a = b ⇔ x = log b a
2. Một số phương pháp giải phương trình mũ
1) Đưa về cùng cơ số:
Với a > 0, a ≠ 1 : f (x ) g(x ) a = a
⇔ f (x) = g(x)
Chú ý: Trong trường hợp cơ số có chứa ẩn số thì: M N a = a
⇔ (a −1)(M − N ) = 0 2) Logarit hoá: f (x ) g(x ) a = b
⇔ f (x) = (log b g x a ). ( ) 3) Đặt ẩn phụ: f (x ) t = a , t > 0 • Dạng 1: f (x ) P(a ) = 0 ⇔
, trong đó P(t) là đa thức theo t. P (t) = 0 • Dạng 2: 2f (x ) f (x ) 2f (x ) a α + β(ab) + b γ = 0 f (x ) a
Chia 2 vế cho 2f (x) b
, rồi đặt ẩn phụ t = b
• Dạng 3: f(x) f (x ) a + b
= m , với ab = 1 . Đặt f (x ) f (x ) 1 t = a ⇒ b = t
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 8
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
4) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số Xét phương trình: f(x) = g(x) (1)
• Đoán nhận x0 là một nghiệm của (1).
• Dựa vào tính đồng biến, nghịch biến của f(x) và g(x) để kết luận x0 là nghiệm duy nhất: f (x
) ñoàng bieán vaø g(x
) nghòch bieán (hoaëc ñoàng bieán nhöng nghieâm ngaët). f (x
) ñôn ñieäu vaø g(x ) = c haèng soá
• Nếu f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) thì f(u) = f(v) ⇔ u = v
5) Đưa về phương trình các phương trình đặc biệt A = 0 A = 0
• Phương trình tích A.B = 0 ⇔ • Phương trình 2 2
A + B = 0 ⇔ B = 0 B = 0
6) Phương pháp đối lập Xét phương trình: f(x) = g(x) (1)
f (x) ≥ M
f (x) = M
Nếu ta chứng minh được: thì (1) ⇔ g (x) ≤ M g (x) = M Bài tập cơ bản
HT 12: Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc logarit hoá): x 1) 3x 1 − 8x 2 9 3 − = 2) ( − )2 3 2 2 = 3 + 2 2 2 2 2 3) x 3 − x 2 + x +6x +5 2x +3x +7 4 + 4 = 4 + 1 4) 2x x 2 5 7 5 x.35 7x − − + .35 = 0 2 2 2 2 2 5) x 1 − x 2 + x x 1 2 2 3 3 − + = + x − x +4 6) 5 = 25 2 x 2 − x +7 1 2 − x 1 1 1 7) 4−3x = 2 . = 2 8) 2 2 2 9) x x 1 3 .2 + = 72 10) x 1 + x x 1 5 6. 5 – 3. 5 − + = 52 x 1 + 0 x +5 x 1 − x 1 − 11) x 1 − 0 x 1 − 5 16 = 0,125.8 12) ( ) ( )x 1 5 2 5 2 + + = −
HT 13: Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc logarit hoá): 4x 1 + 3x +2 2x 1 − 3x 2 1 1) = x x 1 + x x +2 2) 5 .2 = 50 3) 3 .2 = 6 5 7 x 2 4) x x +2 3 .8 = 6 5) x 1 − 2x 1 4.9 3 2 + = 6) x 2
2 − x.3x = 1, 5
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 9
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 2 x x 2 7) 5x.3x = 1 8) 3 2 2 = 3 9) 3x.2x = 1
HT 14: Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ dạng 1): 1) x x 1 4 2 + + − 8 = 0 2) x 1 + x 1 4 6.2 + − + 8 = 0 3) 4x +8 2x +5 3 − 4.3 + 27 = 0 2 2 4) 16x 17.4x − + 16 = 0 x x + x x − 2+x x − 5) 1 49 + 7 − 8 = 0 6) 2 − 2 = 3. x x 2 7) (7 + 4 3 ) + (2 + 3) = 6 8) cos 2x cos 4 4 x + = 3 9) 2x +5 x 1 3 36.3 + − + 9 = 0 2 2 2 2 10) 2x 2 + x 1 3 + 28.3x x + − + 9 = 0 11) x 2 + x 2 4 9.2 + − + 8 = 0 12) 2x 1 − x 1 3.5 2.5 − − = 0,2
HT 15: Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ dạng 1):
1) 25x − 2(3 − ).5x x + 2x − 7 = 0 2) x 2 − x 2 3.25 (3x 10).5 − + − + 3 − x = 0
3) 3.4x + (3 −10).2x x + 3 − x = 0
4) 9x + 2( − 2).3x x + 2x − 5 = 0 5) 2 x 1+ x x 2 4x + x.3 + 3
= 2.3 .x + 2x + 6 6) x 2 − x 2 3.25 (3x 10).5 − + − + 3 − x = 0 7) 4x +( – 8 2 ) x x +12 – 2x = 0 8) ( + 4) 9 . x − ( + 5) 3 . x x x + 1 = 0 2 2 9) x 2 x 2 4 + (x − 7).2 + 12 − 4x = 0 10) 9 x − ( 2).3 x x − − + − 2(x + 4) = 0
HT 16: Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ dạng 2): 1) 64.9x 84.12x 27.16x − + = 0 2) 3.16x 2.81x 5.36x + = 3) 2x x 2 6.3 13.6 6.2 x − + = 0 4) x x 2x 1 25 10 2 + + = 5) 27x 12x 2.8x + = 6) 3.16x 2.81x 5.36x + = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 − − − 7) 6.9x 13.6x 6.4x − + = 0
8) 4 x + 6 x = 9 x 9) 2.4x 6x 9x + = x x x
10) (7 + 5 2) + ( 2 − 5)(3 + 2 2) + 3(1 + 2) + 1 − 2 = 0.
HT 17: Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ dạng 3): x x x x 1) (2 − 3 ) + (2 + 3 ) = 14
2) ( 2 + 3 ) + ( 2 − 3 ) = 4 x x 3) (2 3)x (7 4 3)(2 3)x + + + − = 4(2 + 3) 4) ( − ) + ( + ) x +3 5 21 7 5 21 = 2 x x x x 7 3 5 7 3 5 + −
5) (5 + 24 ) + (5 − 24 ) = 10 6) + 7 = 8 2 2 x x 2 2 (x 1 − ) x 2 − x 1 − 4
7) ( 6 − 35 ) + ( 6 + 35 ) = 12 8) (2 + 3 ) + (2 − 3) = 2 − 3
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 10
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 x x x x 9) ( + ) + ( − ) x +3 3 5 16 3 5 = 2 10) (3 5) (3 5) 7.2x + + − − = 0 x x x x
11) (7 + 4 3) − 3(2 − 3) + 2 = 0 12) (3 + ) +(3 3 8 3 − 8 ) = 6.
HT 18: Giải các phương trình sau (sử dụng tính đơn điệu): x x x x x 1)(2 3) (2 3) 4x − + + = 2) ( 3 − 2) + ( 3 + 2) = ( 10) x x x x 3) (3 2 2) (3 2 2) 6x + + − = 4) ( + ) + ( − ) x +3 3 5 16. 3 5 = 2 x 3 7 x x 5) + = 2x x
6) ( 2 + 3 ) + ( 2 − 3 ) = 2 5 5 2 7) 2x 3x 5x 10x + + = 8) 2x 3x 5x + = 9) x 1 − x x − 2 2 − 2 = (x − 1)
10) 3x = 5 − 2x
11) 2x = 3 − x 12) x 1
2 + − 4x = x −1
HT 19: Giải các phương trình sau (đưa về phương trình tích): 1) 8.3x 3.2x 24 6x + = + 2) x x x 1 12.3 3.15 5 + + − = 20 3) x 3 8 .2 2 x x − − + − x = 0 4) 2x 3x 1 6x + = + 2 2 2 1 (x x x x + + − )2 2 2 1 5) x 3 − x 2 + x +6x +5 2.x +3x +7 4 + 4 = 4 + 1 6) 4 + 2 = 2 + 1 7) 2 x x 3 2
x .3 + 3 (12 − 7x) = x −
+ 8x −19x + 12 8) 2 x 1 − x x x x 1 x .3 x(3 2 ) 2(2 3 − + − = − ) 2 2 2 2 9) sin x 1+sin 4 − 2
x cos(xy) + 2y = 0 10) 2(x x + ) 1 x − 2(x x + ) 1 2 2 2 .2 x − + − −1 = 0
HT 20: Giải các phương trình sau (phương pháp đối lập): 2 1) x 4
2 = cos x , với x ≥ 0 2) x 6 − x 1 + 0 2 3
= − x + 6x − 6 3) sin 3 x = cos x 3 2 x x − sin x 2 4) 2 2.cos 2 − + 1 = 3x + 3 x − 5) π = cos x 6) 2 x x x = 2 x 2 2 7) 3x = cos 2x 8) 5x = cos 3x
HT 21: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm: x x + 1
1) 9x + 3x + m = 0 2) 9x + 3x m − 1 = 0 3) 4 − 2 = m 4) 2 3 x + 2.3x −( + 3).2x m = 0 5) 2x ( 1).2 x m − + + + m = 0
6) 25x − 2.5x − m − 2 = 0 7) x 2 16 −( −1).2 x m + m −1 = 0 8) 25x + .5x m + 1 − 2m = 0 2 2 sin x o c s x 2 2 9) 81 + 81 = m 4 2 − x 2 x − 10) 3 − 2.3 + 2m − 3 = 0
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 11
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 x + 1 + 3 − x x + 1 + 3 − 11) 4 −14.2 x + 8 = m 2 2 12) x + 1 x − x + 1 9 − 8.3 x − + 4 = m
HT 22: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm duy nhất: 1) .2x 2 x m − + − 5 = 0 2) .16x 2.81x 5.36x m + = x x x x 7 3 5 7 3 5 + − 3) ( 5 + ) 1 + ( 5 − ) 1 = 2x m 4) + m = 8 2 2 x x + 3 5) 4 − 2 + 3 = m 6) 9x + 3x m + 1 = 0
HT 23: Tìm m để các phương trình sau có 2 nghiệm trái dấu: 1) x x 1 (m 1).4 (3m 2).2 + + + − − 3m + 1 = 0 2) x x 2
49 + (m −1).7 + m − 2m = 0 3) 9x + 3( −1).3x m − 5m + 2 = 0 4) (
+ 3).16x + (2 −1).4x m m + m + 1 = 0 5) 4x − 2( + ) 1 2 . x m +3m − 8 = 0
6) 4x − 2x + 6 = m
HT 24: Tìm m để các phương trình sau: 1) .16x 2.81x 5.36x m + =
có 2 nghiệm dương phân biệt. 2) 16x −
.8x + (2 −1).4x = .2x m m m có 3 nghiệm phân biệt. 2 2 3) x x 2 4 2 + −
+ 6 = m có 3 nghiệm phân biệt. 2 2 x x 4) 9 − 4.3
+ 8 = m có 3 nghiệm phân biệt.
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 12
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
VẤN ĐỀ V: PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
1. Phương trình logarit cơ bản Với a > 0, a ≠ 1: log b
x = b ⇔ x = a a
2. Một số phương pháp giải phương trình logarit
1) Đưa về cùng cơ số
f (x) = g(x) Với a > 0, a ≠ 1:
log f (x) = log g(x) ⇔ a a
f (x) > 0 (hoaëc g(x) > 0) 2) Mũ hoá log f (x ) Với a > 0, a ≠ 1: log f (x) a b = b ⇔ a = a a 3) Đặt ẩn phụ
4) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số
5) Đưa về phương trình đặc biệt
6) Phương pháp đối lập Chú ý:
• Khi giải phương trình logarit cần chú ý điều kiện để biểu thức có nghĩa. log c log a
• Với a, b, c > 0 và a, b, c ≠ 1: b b a = c Bài tập cơ bản
HT 25: Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc mũ hoá):
1) log x(x 1) − = 1
log x + log (x −1) = 1 2 2) 2 2
3) log (x − 2) − 6.log 3x − 5 = 2
4) log (x − 3) + log (x −1) = 3 2 1/8 2 2
5) log (x + 3) − log (x −1) = 2 − log 8
6) lg(x − 2) + lg(x − 3) = 1 − lg 5 4 4 4 2
7) 2 log (x − 2) − log (x − 3) =
8) lg 5x − 4 + lg x + 1 = 2 + lg 0,18 8 8 3 9) 2
log (x − 6) = log (x − 2) + 1
10) log (x + 3) + log (x −1) = 1 / log 2 3 3 2 2 5
11) log x + log (10 − x) = 2
12) log (x − 1) − log (x + 2) = 0 4 4 5 1/5
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 13
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
13) log (x −1) + log (x + 3) = log 10 −1 14) log (x + 8) − log (x + 26) + 2 = 0 2 2 2 9 3
HT 26: Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc mũ hoá): 1) log x + log x + log x = 6 2) 2 2
1 + lg(x − 2x + 1) − lg(x + 1) = 2 lg(1 − x) 3 1/3 3 3) log x + log x + log x = 5 4) 2 2
2 + lg(4x − 4x + 1) − lg(x + 19) = 2 lg(1 − 2x) 4 1/16 8
5) log x + log x + log x = 11 6) log (x − 1) + log (x + 1) = 1 + log (7 − x) 2 4 8 1/2 1/2 1/ 2
7) log log x = log log x
8) log log x = log log x 2 2 3 3 2 3 3 2
9) log log x + log log x = log log x
10) log log log x = log log log x 2 3 3 2 3 3 2 3 4 4 3 2
HT 27: Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc mũ hoá):
1) log (9 − 2x ) = 3 − x
2) log (3x − 8) = 2 − x 2 3 3) log (6 7 x − + ) = 1 + x 4) x 1
log (4.3 − − 1) = 2x − 1 7 3 x log (3− ) 5) 5 log (9 − 2 ) = 5 x
6) log (3.2x − 1) − 2x − 1 = 0 2 2
7) log (12 − 2x ) = 5 − x 8) log (26 3x − ) = 2 2 5 x + x + 9) 1 log (5 − 25x ) = 2 10) 1 log (3.2 − 5) = x 2 4 x + x + 11) 1 log (5 − 25x ) = −2 12) 1 log (6 − 36x ) = −2 1 1 6 5
HT 28: Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc mũ hoá): 1) 2 log
(x − 2x + 65) = 2 2) 2 log
(x − 4x + 5) = 1 5 x − x − 1 3) 2
log (5x − 8x + 3) = 2 4) 3 2 log
(2x + 2x − 3x + 1) = 3 x x 1 + 5) log − = 6) log (x + 2) = 2 − (x 1) 2 x 3 x 7) 2
log (x − 5x + 6) = 2 8) 2 log (x − x) = 1 2x x +3 9) 2
log (2x − 7x + 12) = 2 10) 2
log (2x − 3x − 4) = 2 x x 11) 2
log (x − 5x + 6) = 2 12) 2 log (x − 2) = 1 2x x 13) 2 log
(9x + 8x + 2) = 2 14) 2 log (x + 1) = 1 3x + 5 2x + 4 15 15) log = −2 16) log (3 − 2x) = 1 x 1 − 2x 2 x
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 14
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 17) log (x + 3) = 1 18) 2
log (2x − 5x + 4) = 2 2 x + 3x x
HT 29: Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ): 1) 2 2
log x + log x + 1 − 5 = 0 2) 2 log
x + 3 log x + log x = 2 3 3 2 1/2 2 7 2 x 3) log 2 − log x + = 0 4) 2 log 4x + log = 8 x 4 6 1 2 8 2 5) 2 log
x + 3 log x + log x = 0 6) log 16 + log 64 = 3 2 1/2 2 2 2x x 1 1 7) log x − log = 2 8) log x − log = 2 5 x 5 7 x 7 1 9) 2 log x − 2 = log
10) 3 log x − log 4x = 0 5 x 5 2 2
11) 3 log x − log 3x − 1 = 0 12) 3 3 log
x + log x = 4 / 3 3 3 2 2 1 13) 3 3 log
x − log x = −2 / 3 14) 2 log x + 2 log = 0 2 2 2 4 x 15) 2 log (2 − x) − 8 log (2 − x) = 5 16) 2
log x + 4 log 5x − 5 = 0 2 1/4 5 25 9 17) 2 log 5 + log 5x = + log
5 18) log 3 + log x = 1 x x 4 x 2 9 x 1 2 1 3 19) + = 1 20) + = 1 4 − lg x 2 + lg x 5 − lg x 3 + lg x 21) 2 3 log x −14 log x + 40 log x = 0 2x 16x 4x
HT 30: Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ): log x log 6 1) 2
log x + (x −12)log x + 11 − x = 0 2) 2 2 2 6.9 + 6.x = 13.x 3 3 3) 2
x. log x − 2(x + 1).log x + 4 = 0 4) 2
log x + (x − 1)log x = 6 − 2x 2 2 2 2 5) 2
(x + 2)log (x + 1) + 4(x + 1)log (x + 1) − 16 = 0 6) log (2 + x) + log x = 2 3 3 2 x 2 x − 7) 2
log (x + 1) + (x − 5)log (x + 1) − 2x + 6 = 0
8) 4 log x − 1 − log x = 4 3 3 3 3 9) 2 2
log (x + 3x + 2) + log (x + 7x + 12) = 3 + log 3 2 2 2
HT 31: Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ):
1) log x = log ( x + 2)
2) log (x − 3) + log (x − 2) = 2 7 3 2 3
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 15
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 log x
3) log (x + 1) + log (2x + 1) = 2 4) log ( 6 x + 3 ) = log x 3 5 2 6 log x +3 7 ( ) 5) 4 = x
6) log (1 + x ) = log x 2 3 log 9 2 log log 3 7) 2 2 2 = .3 x x x − x 8) 2 2 log
(9 + 12x + 4x ) + log
(6x + 23x + 21) = 4 3x +7 2x +3 9) log ( 2
x − x −1).log ( 2
x + x −1) = log ( 2 x − x −1) 2 3 6
HT 32: Giải các phương trình sau (sử dụng tính đơn điệu): log 3 log 5 2 log x log x 1) 2 2 x + x = x (x > 0) 2) 2 2 x + 3 = 5
3) log (x + 3) = 3 − x
4) log (3 − x) = x 5 2 log x 5) 2
log (x − x − 6) + x = log (x + 2) + 4 6) 2 x + 2.3 = 3 2 2 7) 4(x 2) log (x 3) log (x 2) − − + − = 15(x + 1) 2 3
HT 33: Giải các phương trình sau (đưa về phương trình tích):
1) log x + 2.log x = 2 + log x.log x
2) log x.log x + 3 = 3.log x + log x 2 7 2 7 2 3 3 2 2 3) 2(log x = log x.log 2 + 1 − 1 9 ) ( x ) 3 3
HT 34: Giải các phương trình sau (phương pháp đối lập): 1) 2 3
ln(sin x) −1 + sin x = 0 2) log ( 2 x + x − ) 2 1 = 1 − x 2 x + − x 8 3) 2 1 3 2 2 + 2 = 2
log (4x − 4x + 4) 3
HT 35: Tìm m để các phương trình sau:
1) log (4x − m) = x + 1 có 2 nghiệm phân biệt. 2 2) 2
log x − (m + 2).log x + 3m − 1 = 0 có 2 nghiệm x 3 3
1, x2 thoả x1.x2 = 27. 3) 2 2 2 2
2 log (2x − x + 2m − 4m ) = log (x + mx − 2m ) có 2 nghiệm x
x + x > 1 . 4 2 1, x2 thoả 2 2 1 2 4) 2 2
log x + log x + 1 − 2m −1 = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 3 1 ; 3 3 3 . 5) 4(log
x )2 + log x + m = 0 có nghiệm thuộc khoảng (0; 1). 2 2
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 16
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
VẤN ĐỀ VI: HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT
Khi giải hệ phương trình mũ và logarit, ta cũng dùng các phương pháp giải hệ phương trình đã học như: • Phương pháp thế.
• Phương pháp cộng đại số.
• Phương pháp đặt ẩn phụ. • …….
HT 36: Giải các hệ phương trình sau: x + 2y = 5 x 2 = 4y 1) 2) x − 2y = 1 x 4 = 32y x − 3y = 1 y 1 − x = 8 3) 4) 2 x + 3y = 19 2y 6 − x = 4
HT 37: Giải các hệ phương trình sau: 4 x − 3y = 7 x y 2 + 3 = 17 1) 2) 4x .3y = 144 x y 3 .2 − 2.3 = 6 x + y 2 x + 2.3 = 56 2x+2 2y +2 3 + 2 = 17 3) 4) x + y + 1 x 1 + y 3 .2x + 3 = 87 2 .3 + 3.2 = 8 x 1 2 2 3 + − 2y = −4 2(x 1 − ) x 1 − y 2 4 − 4.4 .2 + 2 y = 1 5) 6) x 1 + y 1 2 3 − 2 + = −1 2y x 1 − . 2 − 3.4 .2y = 4 2 2 c ot x = 3y 2 y x − ( x + y)2 = 1 7) 8) c os 2 x = 2y 2 x y − 9 (x + y) = 6 2 3 x − 2y = 77 x y 2
− 2 = (y − x)(xy + 2) 9) 10) 3x − 2y = 7 2 2 x + y = 2
HT 38: Giải các hệ phương trình sau: 3 x = 2y + 1 x 3 + 2x = y + 11 1) 2) 3y = 2x + 1 y 3 + 2y = x + 11 2 x
− 2y = y − x x 1 − 7 = 6y − 5 3) 4) 2 2 x + xy + y = 3 y 1 − 7 = 6x − 5
HT 39: Giải các hệ phương trình sau:
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 17
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 x + y = 6 l
og y + log x = 2 1) x 2) y l
og x + log y = 3 x + y = 6 2 2 x + log y = 4 2 2 x − y = 3 3) 2 4) 2
x − log y = 2 l
og x + y − log x − y = 1 3 ( ) 5 ( ) 2 x y = 32 lo 2 g y l og x + 2 = 3 5) 6) 3 l og x = 4 y y x = 9 2
(log x + log y) = 5
x − 1 + 2 − y = 1 7) y x 8) x y = 8 2 3
3 log (9x ) − log y = 3 9 3 1 2
log x − log y = 0 y − log x = 1 9) 3 3 2 10) 3 3 y 12 2 x = 3
x + y − 2y = 0
HT 40: Giải các hệ phương trình sau: l
og (3x + 2y) = 2 l
og (6x + 4y) = 2 1) x x 2) l
og (2x + 3y) = 2 l
og (6y + 4x) = 2 y y x l og 1
− = 2 − log y 2 2 2 l
og x − log y = 1 3) y 4) y 2 l og x + log y = 4 l
og x − log y = 1 3 3 4 4 2 2 l log y log x og 2 2 ( 2 2 x + y + 6 = 4 x + y = 16 2 ) 5) 6) l
og x + log y = 1 l
og x − log y = 2 3 3 2 2 log y log x log y log x 3 3 x + 2.y = 27 2 2 3 .x + 2.y = 10 7) 8) l
og y − log x = 1 2 l
og x + log y = 2 3 3 4 2 l og xy = 4 2 ( ) l og x + y − = x (2 2) 2 9) 10) x l og y + x − = l og = 2 y (2 2) 2 2 y
HT 41: Giải các hệ phương trình sau: l
g x + lgy = 4 x 2 − y x = 36 1) 2) lg y x = 1000 4
(x − 2y)+ log x = 9 6
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 18
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 y x − 5 lg x lg y ( x + y)3 = 3 = 4 3) 27 4) lg 4 lg 3 3 log (
x + y) = x − y (4x) = (3y) 5 2
log x − 2 log y + 5 = 0 2 1 x 5) y 2 x y = 32
HT 42: Giải các hệ phương trình sau: x − 2y log x x − y 1 2 4 2 = y ( 3) = 1) 2) 3 l
og x − log y = 1 2 2 l
og (x + y)+ log (x −y) = 4 2 2 x y log y log x 3 .2 = 18 8 8 x + y = 4 3) 4) l og (x + y) l
og x − log y = 1 = −1 1 4 4 3 x 2 − y ( x y + )x y− 1 3 = y x 5) 4 = 32 3 6) l
og (x + y) + log (x −y) = 4 l
og x − y = 1 − log x + y 3 ( ) 3 ( ) 2 2 3 x .2y = 972 x − y 3 .2 = 1152 7) 8) l og (x −y) = 2 l og (x + y) = 2 3 5 ( log xy log 2 + )x = ( − 3 3 )y x y x y 4 = 2 + (xy) 9) 10) l 2 2
og x − log y = 1 x
+ y − 3x − 3y = 12 2 2 log y log x 2 3 3 x + 2y = 27 log xy = log x x y 11) 12)
log y − log x = 1 2 log x y y = y 3 3 4 + 3
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 19
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
VẤN ĐỀ VII: BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
• Khi giải các bất phương trình mũ ta cần chú ý tính đơn điệu của hàm số mũ. a > 1
f(x)> g(x) f (x ) g(x ) a a > ⇔ 0 < a < 1
f(x) < g(x)
• Ta cũng thường sử dụng các phương pháp giải tương tự như đối với phương trình mũ:
– Đưa về cùng cơ số. – Đặt ẩn phụ. – ….
Chú ý: Trong trường hợp cơ số a có chứa ẩn số thì: M N a > a
⇔ (a −1)(M − N ) > 0
HT 43: Giải các bất phương trình sau (đưa về cùng cơ số): 6 3 x − x − 1 x 2 − x 1 + 1 − x 2 x − 2x 1 1 1 1) 3 ≥ < 2) 3 2 2 x + 2 x + 3 x + 4 x + 1 x + 2 x 1 x 2 3) 2 − 2 − 2 > 5 − 5 4) 3 x − − + 3 − 3 < 11 2 2 5) x 3 − x 2 + x 3 − x +2 9 − 6 < 0 6) 2x +3 x +7 3x 1 − 6 < 2 .3 2 2 2 x + 1 7) 2 x 2 4 + .2 + 3.2 > .2x x x x + 8x + 12 8) 2 x 1+ x x 2 6.x + 3 .x + 3
< 2.3 .x + 3x + 9 9) x x 1 + x 2 + x x 1 + x 2 9 9 9 4 4 4 + + + < + + 10) x 1 + x +3 x +4 x +2 7.3 + 5 ≤ 3 + 5 x 2 + x 1 + x x 2 x −1 x + 2 11) 2 5 2 5 + + < + 12) 2 .3 > 36 x 3 − x 1 + x x 1 + 13) ( + )x 1 − < ( − )x +3 10 3 10 3 14) ( ) ( )x 1 2 1 2 1 − + ≥ − 1 1 1 15) x 1 ≤ 2 − 16) 2x 1 − 3x 1 2 2 + ≥ 2 x 2 2 − x
HT 44: Giải các bất phương trình sau (đặt ẩn phụ): 1 1 − 1 − 2 1) 2.14x 3.49x 4x + − ≥ 0 2) 4x − 2x − 3 ≤ 0 2(x − 2) 2(x − 1) 4 4 3) x 3 4 − 2 + 8 > 52 4) x + x 1 8.3
+ 9 + x > 9 x
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 20
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 2x + 1 x + 1 5) 25.2x 10x 5x − + > 25 6) 5 + 6
> 30 + 5x.30x 7) 6x 2.3x 3.2x − − + 6 ≥ 0 8) 27x 12x 2.8x + > 1 1 1 x 9) 49x 35x 25x − ≤ 10) x 1 + 2x 1 + 2 3 − 2 −12 < 0 2 2 2 11) 2x x − 1 + 2x x − 1 + 2 25 9 34.25 x x − + ≥ 12) 2x x + x +4 x +4 3 − 8.3 − 9.9 > 0 x x x + x − 1 x + x − 1 + 13) 1 4 − 5.2 + 16 ≥ 0
14) ( 3 + 2 ) + ( 3 − 2 ) ≤ 2 2 1 + 1 3x x − 1 1 x 1x 1 1 15) + 3 > 12 16) − − 128 ≥ 0 3 3 4 8 1 + 1 1 2 − 2x + 17) 2x + 2 x < 9 18) ( 1 2 − 9.2x + 4) 2
. x + 2x − 3 ≥ 0
HT 45: Giải các bất phương trình sau (sử dụng tính đơn điệu): x 1 2 x − − 2x + 1 1) x 2 2 < 3 + 1 2) ≤ 0 2x − 1 x x 2 2.3 2 + − 3) ≤ 1 4) x +4 2x +4 3 + 2 > 13 3x − 2x 2 3 x − + 3 − 2x 3x + x − 4 5) ≥ 0 6) > 0 4x − 2 2 x − x − 6 2 2 x 2 x
7) −3x − 5x + 2 + 2x > 3 .2x −3x − 5x + 2 + (2x) 3
HT 46: Tìm m để các bất phương trình sau có nghiệm: 1) 4x − .2x m + m + 3 ≤ 0 2) 9x − .3x m + m + 3 ≤ 0 2 2 x x 1 −
3) 2x + 7 + 2x − 2 ≤ m 4) ( 2 + ) 1 + ( 2 − ) 1 + m = 0
HT 47: Tìm m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với: 1) (3
+ 1).12x + (2 − ).6x + 3x m m < 0 , ∀x > 0. 2) x x 1 (m 1)4 2 + − + + m + 1 > 0 , ∀x. 3) .9x − (2 + ) 1 6x + .4x m m m ≤ 0 , ∀x ∈ [0; 1]. 4) x x 2 m.9 (m 1).3 + + −
+ m −1 > 0 , ∀x. cos x cos x 5) + ( m + ) 2 4 2 2 1 2
+ 4m − 3 < 0 , ∀x. 6) x x 1 4 3.2 + − − m ≥ 0 , ∀x.
7) 4x − 2x − m ≥ 0 , ∀x ∈ (0; 1)
8) 3x + 3 + 5 − 3x ≤ m , ∀x. 9) 2.25x − (2 + 1).10x + ( + 2).4x m m ≥ 0 , ∀x ≥ 0. 10) x 1 4 − − .(2x m + 1) > 0 , ∀x.
HT 48: Tìm m để mọi nghiệm của (1) đều là nghiệm của bất phương trình (2):
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 21
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 2 1 + 1 1 2 1 x 1x 1 + + x x 1) 3 > 12 (1) 2 − 2 > 8 (1) 3 3 2) 2 2 ( 4
x − 2mx − (m − 1) < 0 (2) m − )2 2
2 x − 3(m − )
6 x − m − 1 < 0 (2)
VẤN ĐỀ VIII: BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
• Khi giải các bất phương trình logarit ta cần chú ý tính đơn điệu của hàm số logarit. a > 1
f(x)> g(x)> 0 log f (x) log g(x) > ⇔ a a 0 < a < 1 0
< f (x) < g(x)
• Ta cũng thường sử dụng các phương pháp giải tương tự như đối với phương trình logarit:
– Đưa về cùng cơ số. – Đặt ẩn phụ. – ….
Chú ý: Trong trường hợp cơ số a có chứa ẩn số thì: log A
log B > 0 ⇔ (a − 1)(B − 1) > 0 ; a
> 0 ⇔ (A − 1)(B −1) > 0 a log B a
HT 49: Giải các bất phương trình sau (đưa về cùng cơ số):
1) log (1 − 2x) < 1 + log (x + 1)
2) log 1 − 2 log x < 1 2 ( 9 ) 5 5 3) log
5 − x < log (3 − x)
4) log log log x > 0 1 1 2 1 5 3 3 3 1 + 2x 5) log (log ) > 0 6) ( 2
x − 4)log x > 0 1 2 1 + x 1 3 2 2 log x log x 7) log log ( 2 x − 5) > 0 6 6 6 + x ≤ 12 1 4 8) 3 (log x 2 )2 log x
9) log x + 3 ≥ 1 + log x − 1 10) 2 2 + x 2 ( ) 2 ( ) 2
11) log log x ≥ 0
12) 2 log (x − 2) + log (x − 3) > 3 1 8 1 3 2 8
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 22
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 13) log log ( 2
x + 1 + x ) > log log ( 2
x + 1 − x ) 1 5 3 1 3 5
HT 50: Giải các bất phương trình sau: ( 2 3 2 lg x − ) 1 log (x + ) 1 − log (x + ) 1 1) < 1 2) 2 3 > 0 lg(1 − x ) 2 x − 3x − 4 ( 2 lg x − 3x + 2) log x 5 log 2 log x 3) > 2 4) 2 x 2 x x − + − 18 < 0 lg x + lg 2 3x − 1 x 5) log > 0 6) 2
log x.log x < log x + log x 2 3 2 3 2 x + 1 4
7) log (log (2x − 4)) ≤ 1 8) log (3 − x) > 1 x 4 2 3x x − 9) log ( 2
x − 8x + 16) ≥ 0 10) log ( 2
x − 5x + 6) < 1 x 2x 5 x 1 − 11) log log > 0 12) log x + > x + x − ( ) 1 log 1 2 1 ( ) x +6 2 x + 2 x 1 − 3 13) 2
(4x − 16x + 7).log (x − 3) > 0
14) (4x − 12.2x + 32).log (2x − 1) ≤ 0 3 2
HT 51: Giải các bất phương trình sau (đặt ẩn phụ):
1) log x + 2 log 4 − 3 ≤ 0
2) log (1 − 2x) < 1 + log (x + ) 1 2 x 5 5
3) 2 log x − log 125 < 1 4) log 64 + log 16 ≥ 3 5 x 2 2x x
5) log 2.log 2.log 4x > 1 6) 2 2
log x + log x < 0 x 2x 2 1 1 2 4 2 log x log x 1 2 7) 4 2 + > 8) + ≤ 1 2 1 − log x 1 + log x 4 + log x 2 − log x 2 2 1 − log x 2 2 2 9) 2
log x − 6 log x + 8 ≤ 0 10) 2
log x − 4 log x + 9 ≥ 2 log x − 3 1 2 3 3 3 2 1 2 11) 2 2
log (3x + 4x + 2) + 1 > log (3x + 4x + 2) 12) + < 1 9 3 5 − log x 1 + log x 5 5 1 13) 2
1 − 9 log x > 1 − 4 log x 14) log 100 − log x > 0 1 1 x 100 2 8 8 2 1 + log x 1 15) 3 > 1 16) log 2. log 2 > 1 + log x x x log x − 6 3 2 16
HT 52: Giải các bất phương trình sau (sử dụng tính đơn điệu): 2 1) (x + 1 l
) og x + (2x + 5)log x + 6 ≥ 0 2) log (2x 1) log (4x + + + 2) ≤ 2 0,5 0,5 2 3 5 + x lg 3 2 3) > 4) 5 − x < 0 log x +1 log x +1 2x − 3x + 1 2 ( ) 3 ( )
HT 53: Tìm m để các bất phương trình sau có nghiệm: 1 1) log ( 2
x − 2x + m) > −3 2) log 100 − log 100 > 0 1/2 x 2 m
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 23
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 1 2 2 1 + log x 3) + < 1 4) m > 1 5 − log x 1 + log x 1 + log x m m m
5) log x + m > log x 6) 2 2 log (x − 1) > log (x + x − 2) 2 2 x m − x m −
HT 54: Tìm m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với: a) log ( 2 7x + 7) ≥ log ( 2
mx + 4x + m) , ∀x 2 2 b) 2
log x − 2x + m + 4 log ( 2
x − 2x + m ≤ 5 , ∀x ∈[0; 2] 2 2 ) c) 2 2
1 + log (x + 1) ≥ log (mx + 4x + m) , ∀x. 5 5 m m m d) 2 2 − log x − 2 1 + log x − 2 1 + log > 0 , ∀x 1 1 + 1 1 + m 1 m 1 + m 2 2 2 ÔN TẬP
HT 55: Giải các phương trình sau: 2x 1 − x 1 2 .4 + 1) = 64 2) 3x 1 − 8x 2 9 3 − = x 1 8 − 2 x +0,5 x 1 + x +2x 1 − 1 9 0,2 (0, 04)x 5 9 5 3) = 4) . = 25 5 3 25 3 x + 1 2 5) 2 x 1 + x 1 7 .7 14.7 − − − + 2.7x = 48 6) ( x 7 − ,2x +3,9 3
− 9 3)lg(7 − x) = 0 7 2 1 x 1 − x x 7) x +3 2 2 (2 ) x = 4 8) x 1 5 . 8 − = 500 1 2 1− lg x 1 9) 3 x = 10) lg x 2 x = 1000x 3 100 lg x +5 log x 1 − 11) 5+lg 3 = 10 x x 12) ( x ) 3 = 3
HT 56: Giải các phương trình sau: 2 2 2 2 1) x 2 + x 2 4 9.2 + − + 8 = 0 2) x− x 5 − x 1 − − x 5 4 12.2 − − + 8 = 0 1 3 3+ 3) 64.9x 84.12x 27.16x − + = 0
4) 64x − 2 x + 12 = 0
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 24
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 2 2 5) x 1 − x 3 9 36.3 − − + 3 = 0 6) 4x +8 2x +5 3 − 4.3 + 28 = 2 log 2 2 x x 7) 2x 1 + x +2 x 2(x 1 + ) 3 = 3 + 1 − 6.3 + 3
8) ( 5 + 24 ) + ( 5 − 24 ) = 10 1+log x 1+log x 2 9) 3 3 9 − 3 − 210 = 0 10) lg x 1 + lg x lg x +2 4 − 6 − 2.3 = 0 2 2 11) sin x cos 2 4.2 x + = 6 12) lg(tan x) lg(cot x ) 1 3 2.3 + − = 1
HT 57: Giải các bất phương trình sau: 6 5 − x 2+5 2 x x 25 1 2 − −1 1) < 2) < 2 5 4 x 1 2 + + 1 2 3) 2 x 2 .5 5 x x + − < 0 4) lg x 3 lg x 1 x − + > 1000 x 4x + 2x − 4 x 2 3 − 2 5) ≤ 2 6) 8. > 1 + x − 1 3x 2x 3 − 2 log (x 1 − ) 2 1 7) x +2 x +3 x +4 x 1 + x +2 2 − 2 − 2 > 5 − 5 8) > 1 2 x +2 1 2 x + − 2 1 −x 2 1 x 1 9) > 9 10) > 3 3 27 2x 1 + −3 x x 1 1 x − 1 11) > 12) 72 1 1 3 . . > 1 5 5 3 3
HT 58: Giải các bất phương trình sau: 1) x 2 4 2.5 x 10x − − > 0 2) x − x − 1 25 5 + − ≥ 50 1 1 1 − − − 2
3) 9.4 x + 5.6 x < 4.9 x 4) lg x 2 + lg x +5 3 < 3 − 2 2x +3 5) x 1
4 + − 16x < 2 log 8 6) 2x 1 + 1 2 − 21. + 2 ≥ 0 4 2 2(x 2 − ) 2−3x 7) x 2(x 1 − ) 3 4 − 2 + 8 > 52 8) 4−3x 1 3 − 35. + 6 ≥ 0 3 9) x x +2 9 − 3 > 3x − 9 10) 9x 3x 2 9 3x + − ≥ −
HT 59: Giải các phương trình sau:
1) log (3x − 8) = 2 − x 2) 2 log
(x − 2x + 65) = 2 3 5 x −
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 25
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 3) log (2x 1) log (2x − + − 7) = 1 4) log (1 log (2x + − 7)) = 1 7 7 3 3 log lg x log (1 2 − x ) 5) 3 2 3
− lg x + lg x − 3 = 0 6) 3 2 9 = 5x − 5 log x 1 − 7) 1+lg x x = 10x 8) ( x ) 5 = 5 2 2 lg x +lg x 2 − lg x +7 lg x 9) = lg x lg x 1 4 + 10) x = 10 2 1 x − 3 x − 3 11) log log + + 9x x = 2x 12) 2 log + 1 = log 3 9 2 3 3 x − 7 x − 1
HT 60: Giải các phương trình sau: 1) ( )2 2 log 5 − 3 log 5 + 1 = 0 2) log x − 3 log x + 2 = 0 x x 1/3 1/3 3) 2 log x + 2 log x − 2 = 0 4) 3 + 2 log 3 = 2 log (x + 1) 2 2 x 1 + 3 5) log ( 2 9x ) 2 .log x = 4 6) log ( 2 log x − 3 log x + 5 = 2 3 1/2 1/2 ) x 3 9 7) 2 2 2
lg (100x) − lg (10x) + lg x = 6 8) 2 2
log (2x ).log (16x) = log x 2 2 2 2 9) log (9x + 9) = + log (28 − 2.3x x ) 10) x x x 1 log (4 4) log 2 log (2 + + = + − 3) 3 3 2 2 2
HT 61: Giải các bất phương trình sau: 2x − 6 1) 2
log (x − 5x + 6) > 1 − 2) log > 0 0,5 7 2x −1 2 − 3x
3c) log x − log x − 3 < 0 4) log ≥ −1 3 3 1/3 x 2 5) log (2 − x) > log 6) 2 log log (x 5) − > 0 1/4 1/4 x + 1 1/3 4 2 x − 4 log (x + 1) 7) < 0 8h) 2 > 0 2 log (x − 1) x − 1 1/2 x +5 log 2 log (x +8x 1 + 5) 1/3 2 9) 2 2 −x < 1 10) x +3 (0,5) > 1
HT 62: Giải các hệ phương trình sau: 2 (x y − ) 1 4 − x y = 1 4 + = 128 x y 2 + 2 = 12 1) 2) 3) 3x 2 − y−3 5x y + = 125 5 = 1 x + y = 5
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 26
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 3
.2x + 2.3x = 2,75 x x y 7 − 16y = 0 3 .2 = 972 4) 5) 6)
2x − 3y = −0, 75 x 4 − 49y = 0 l
og (x − y) = 2 3 x 5y x − 2x y 2 2 y x − y y 3 − 2 = 77 ( x + y)2 = 1 7) 4 − 3.4 = 16 8) 9) x y/2 2 3 − 2 = 7 9( 2 x + y) x y − x = 6 − 2y = 12 − 8
HT 63: Giải các hệ phương trình sau: l
og x − log y = 0
log (x − y) = 2 lgy 3 x = 2 1) 4 2 2) 3) 2 2 7 x − 5y + 4 = 0 xy = 20
log x − log y = 4 x 6 l og 1 1 2 x + 2 log y = 3 log 2 log y x 5 − = 3 = y 4) 2 2 5) 6) 2 4 x y 15 x + y = 16 log 3 log x y 7 l
og x + log y = 1 + log 5 2 = x 3 3 3 x y 9 2 2 l g(
x + y ) − 1 = lg13 + = x y = 8 7) 8) 2 2 y x 8 9) l
g(x + y) − lg(x − y) = 3 lg 2 2
(log x + log y) = 5 l og x + log y = 3 y x 2 2 x y 2
log x − 3y = 15 + x y y x 3 .2 = 576 10) 2 11) 4 = 32 12) y y 1 3
.log x = 2 log x + 3 + l
og (y − x) = 4 2 2 l
og (x − y) = 1 − log (x + y) 3 3 2
HT 64: Giải các phương trình sau: 2 2 x 1 − − x −5 1) x− x 5 − 1 − 2.2 +8=0 4 2) 2
(x + 1)log x − 4x log x − 16 = 0 3 3 1 3) 2
log (x − 1) + log (x + 4) = log (3 − x) 4) 2 2
log (x + 2x + 1) = log (x + 2x) 2 1 2 2 3 2 2 5) 2 3 2
3x − 2x = log (x + 1) − log x 6) log .
x log x = log x + log x 2 2 5 3 5 3 3 3 x 1 7) x x 1 log (2 1).log (2 + + + 2) = 6 8) log .log x − log = + log x 2 2 3 2 3 2 x 2 3 1 89x 25 9) 3 + = log − 10) 2 2 log
x + log x = log 4x log x x 2 2x 0,5 2 x 32 3 11) 2 3 3
log (x + 2) − 3 = log (4 − x) + log (x + 6) 1 1 1 2 4 4 4 12) 2 3 log (x + 1) + 2 = log
4 − x + log (4 + x) 4 8 2
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 27
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 Đ 9 1 /s: 1) x = ; x = 3 2) x = ; x = 3
3) x = − 11; x = −1 + 14 4 81 4) x = −1 ± 3 5) Đánh giá x = 1
6) x = 1; x = 15 3 5 7) log 3 8) x = 1; x = 9) x = 2 8 8 1 1 10) x =
; x = ; x = 2 11) x = 2; x = 1 − 33
12) x = 2 − 24; x = 2 4 2
HT 65: Giải các bất phương trình sau: (log x 2 )2 log x
1) 2 log x − log 125 < 1 2) 2 2 + x ≤ 4 5 x 2 2
log (x + 3) − log (x + 3) 1 1 2 2 2 3) 2 x 1 + x 2 4 + .2 + 3.2 > .2x x x x + 8x + 12 4) 2 3 > 0 x + 1 2 log x + 3 5) 1+ x x 1 8 + 2 − 4 + 2 +x > 5 6) 2 > 2 log x + 3 2 3x x −1 3 7) log (3 − 1)log ≤
8) (x + 1)log x + (2x + 5).log x + 6 ≥ 0 4 1 16 4 1 1 4 2 2 1 1 9) + > 0 log (2x − 1) 2 1 log x − 3x + 2 2 2 1 Đ
/s: 1) x ∈ 0; ∪ 2) x ∈ (0;+ ) ∞ 3) x ∈ (− 2;− ) 1 ∪ ( 2;3) (1;5 5) 5 1 1 4) (−2;−1) 5) (0;2] 6) ; 8 2 1 13 3 5 + + 7)(0;1) ∪ (3; + ) ∞ 8)(0;2] ∪ [4;+ ) ∞ 9) ;1 ∪ ; +∞ 6 2
HT 66: Giải các hệ phương trình sau: log (xy) log 3 2 2 9 2 2 = 3 + 2.(xy) l
og (x + y ) = 5 1) 2) 2 2 2
x + y = 3x + 3y + 6 2
log x + log y = 4 4 2 2x−y 2x−y 2 x
+ log y + 2x log y = 5 2 2 2 + 3) 2 2 3. 7. − 6 = 0 4) x 2 4 + log y = 5 3 3 2
lg(3x − )y+ lg(y + x)−4lg2 = 0
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 28
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 x y l
og x + 3 3 − log y = 5 + y x 5) 2 3 6) 4 = 32 3
log x −1 − log y = −1 2 3 l
og (x − y) = 1 − log (x + y) 3 3 5 ∓ 17 5 17 ± Đ/s: 1) ; 2) (4;4) 3) (2; 4);(4;2) 2 2 4)(2;2) 5)(4; 81) 6) (2;1)
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 29
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
TUYỂN TẬP ĐỀ THI CÁC NĂM HT 67: (D – 2011) 2 log (8 − x ) + log
1 + x + 1 − x − 2 = 0 (x ∈ ℝ) Đ/s: x = 0 2 1 ( ) 2 l
og (3y −1) = x 1 HT 68: (B – 2010) 2
(x,y ∈ ℝ) Đ/s: 1 − ; x x 2 4 + 2 = 3 y 2 2 x
− 4x + y + 2 = 0 HT 69: (D – 2010)
(x,y ∈ ℝ) Đ/s: (3;1) 2
log (x − 2) − log y = 0 2 2 2 2 l
og (x + y ) = 1 + log (xy) HT 70: (A – 2009) 2 2
(x,y ∈ ℝ) Đ/s: (2;2),( 2 − ; 2 − ) 2 2 3x x − y y + = 81 x = 2 HT 71: (A – 2008) 2 2 log
(2x + x − 1) + log
(2x − 1) = 4 Đ/s: 2x 1 − x 1 + 5 x = 4 2 x x + HT 72: (B – 2008) log log < 0 Đ/s:( 4 − ; 3 − ) ∪ (8;+ ) ∞ 0,7 6 x + 4 2 x − 3x + 2 HT 73: (D – 2008) log
≥ 0 Đ/s: 2 − 2;1 ∪ (2;2 + 2) 1 x 2 3
HT 74: (A – 2007) 2 log (4x − 3) + log (2x + 3) ≤ 2 Đ/s: < x ≤ 3 3 1 4 3 x x
HT 75: (B – 2007) ( 2 − ) 1 + ( 2 + )
1 − 2 2 = 0 Đ/s: x = 1 ± x x 1
HT 76: (D – 2007) log (4 + 15.2 + 27) + 2 log = 0 Đ/s: x = log 3 2 2 4.2x − 3 2
HT 77: (A – 2006) 3.8x 4.12x 18x 2.27x + − − = 0 Đ/s: x = 1 HT 78: (B – 2006) x x 2 log (4 144) 4 log 2 1 log (2 − + − < +
+ 1) Đ/s: 2 < x < 4 5 5 5
HT 79: (D – 2006) Chứng minh rằng với mọi a > 0 hệ có nghiệm duy nhất: x y e
−e = ln(1 + x) − ln(1 + y) y − x = a 1 l
og (y −x)− log = 1 1 4 HT 80: (A – 2004) y Đ/s: (3;4) 4 2 2 x + y = 25 2 2 x = −1
HT 81: (D – 2003) x x − 2 2 2 +x x − − = 3 Đ/s: x = 2
HT 82: (A – 2002) Cho phương trình 2 2
log x + log x + 1 − 2m −1 = 0 (Với m là tham số) 3 3
a. Giải phương trình với m = 2 Đ/s: ± 3 x = 3
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 30
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
b. Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 3 1
; 3 Đ/s: 0 ≤ m ≤ 2 HT 83: (B – 2002) log −
≤ Đ/s: log 73 < x ≤ 2 x (log (9x 72) 1 3 ) 9
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 31