32 trang 105 lượt tải

Chuyên đề phương trình mũ và logarit – Lưu Huy Thưởng

209

Tài liệu Bài tập trắc nghiệm hàm số lũy thừa, mũ và logarit do thầy Lưu Huy Thưởng biên soạn gồm 15 trang.

Chủ đề: Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit (KNTT) 188 tài liệu

Môn: Toán 11 3.3 K tài liệu

Tác giả:

Profile

Kim Oanh

1 năm trước
Danh sách Quiz
/32
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
2013 - 2014
PHƯƠNG TRÌNH MŨ - LOGARIT
BIÊN SOẠN: LƯU HUY THƯỞNG
HÀ N
ỘI, 8/2013
HỌ VÀ TÊN: …………………………………………………………………
LỚP :………………………………………………………………….
TRƯỜNG :…………………………………………………………………
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 1
CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH MŨ – LOGARIT
VẤN ĐỀ I: LŨY THỪA
1. Định nghĩa luỹ thừa
Số mũ α
αα
α
Cơ số a
Luỹ thừa
a
α
*
n N
α
= ∈
a
∈
R
n
a a a a a
α
= =
(n thừa số a)
0
α
=
0
a
≠
0
1
a a
α
= =
*
( )
n n N
α = − ∈
0
a
≠
1
n
n
a a
a
α −
= =
*
( , )
m
m Z n N
n
α = ∈ ∈
0
a
>
( )
m
n
n
m n
n
a a a a b b a
α
= = = ⇔ =
*
lim ( , )
n n
r r Q n N
α
= ∈ ∈
0
a
>
lim
n
r
a a
α
=
2. Tính chất của luỹ thừa
• Với mọi a > 0, b > 0 ta có:
.
. ; ; ( ) ; ( ) . ;
a a a
a a a a a a ab a b
b
a b
α
α α
α β α β α β α β α β α α α
β α
+ −
= = = = =
• a > 1 :
a a
α β
α β
> ⇔ >
; 0 < a < 1 :
a a
α β
α β
> ⇔ <
• Với 0 < a < b ta có:
0
m m
a b m
< ⇔ >
;
0
m m
a b m
> ⇔ <
Chú ý: + Khi xét luỹ thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số a phải khác 0.
+ Khi xét luỹ thừa với số mũ không nguyên thì cơ số a phải dương.
3. Định nghĩa và tính chất của căn thức
• Căn bậc n của a là số b sao cho
n
=
.
• Với a, b
≥
0, m, n
∈
N*, p, q
∈
Z ta có:
.
n n n
ab a b
=
;
( 0)
n
n
n
a a
b
b
b
= >
;
(
)
( 0)
p
n
n
p
a a a
= >
;
m
n mn
a a
=
( 0)
n m
p q
p q
Neáu thì a a a
n m
= = >
; Đặc biệt
mn
n
m
a a
=
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 2
• Nếu n là số nguyên dương lẻ và a < b thì
n n
a b
<
.
Nếu n là số nguyên dương chẵn và 0 < a < b thì
n n
a b
<
.
Chú ý:
+ Khi n lẻ, mỗi số thực a chỉ có một căn bậc n. Kí hiệu
n
a
.
+ Khi n chẵn, mỗi số thực dương a có đúng hai căn bậc n là hai số đối nhau.
4. Công thức lãi kép
Gọi A là số tiền gửi, r là lãi suất mỗi kì, N là số kì.
Số tiền thu được (cả vốn lẫn lãi) là:
(1 )
N
C A r
= +
VẤN ĐỀ II: LOGARIT
1. Định nghĩa
• Với a > 0, a
≠
1, b > 0 ta có:
log
a
b a b
α
α
= ⇔ =
Chú ý:
log
a
b
có nghĩa khi
0, 1
0
a a
b
> ≠
>
• Logarit thập phân:
10
lg log log
b b b
= =
• Logarit tự nhiên (logarit Nepe):
ln log
e
b b
=
(với
1
lim 1 2,718281
n
e
n
= + ≈
)
2. Tính chất
•
log 1 0
a
=
;
log 1
a
a
=
;
log
b
a
a b
=
;
log
a
b
a b b
= >
• Cho a > 0, a
≠
1, b, c > 0. Khi đó:
+ Nếu a > 1 thì
log log
a a
b c b c
> ⇔ >
+ Nếu 0 < a < 1 thì
log log
a a
b c b c
> ⇔ <
3. Các qui tắc tính logarit
Với a > 0, a
≠
1, b, c > 0, ta có:
•
log ( ) log log
a a a
bc b c
= +
•
log log log
a a a
b
b c
c
= −
•
log log
a a
b b
α
α=
4. Đổi cơ số
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 3
Với a, b, c > 0 và a, b
≠
1, ta có:
•
log
log
log
a
b
a
c
c
b
=
hay
log .log log
a b a
b c c
=
•
1
log
log
a
b
b
a
=
•
1
log log ( 0)
a
a
c c
α
α
α
= ≠
Bài tập cơ bản
HT 1: Thực hiện các phép tính sau:
1)
2 1
4
log 4.log 2
2)
5 27
1
log .log 9
25
3)
3
log
a
a
4)
3
2
log 2
log 3
4 9
+
5)
2 2
log 8
6)
9 8
log 2 log 27
27 4+
7)
3 4
1/3
7
1
log .log
log
a a
a
a a
a
8)
3 8 6
log 6.log 9.log 2
9)
3 81
2 log 2 4 log 5
9
+
10)
3 9 9
log 5 log 36 4 log 7
81 27 3
+ +
11)
7
5
log 8
log 6
25 49
+
12)
2
5
3 log 4
5
−
13)
6 8
1 1
log 3 log 2
9 4
+
14)
9 2 125
1 log 4 2 log 3 log 27
3 4 5
+ −
+ +
15)
3
6
log 3.log 36
HT 2: So sánh các cặp số sau:
1)
4
vaø log
3
1
log 4
3
2)
0,2
vaø log
3
0,1
log 2 0, 34
3)
5
2
vaø log
3
4
2 3
log
5 4
4)
1 1
3 2
1 1
log log
80
15 2
vaø
+
5)
13 17
log 150 log 290
vaø
6)
vaø
6
6
1
log
log 3
2
2 3
HT 3: Tính giá trị của biểu thức logarit theo các biểu thức đã cho:
1)Cho
2
log 14
a
=
. Tính
49
log 32
theo a.
2)Cho
15
log 3
a
=
. Tính
25
log 15
theo a.
3)Cho
lg 3 0,477
=
. Tính
lg9000
;
lg0,000027
;
81
1
log 100
.
4)Cho
7
log 2
a
=
. Tính
1
2
log 28
theo a.
HT 4: Tính giá trị của biểu thức logarit theo các biểu thức đã cho:
1)Cho
25
log 7
a
=
;
2
log 5
b
=
. Tính
3
5
49
log
8
theo a, b.
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 4
2)Cho
30
log 3
a
=
;
30
log 5
b
=
. Tính
30
log 1350
theo a, b.
3)Cho
14
log 7
a
=
;
14
log 5
b
=
. Tính
35
log 28
theo a, b.
4)Cho
2
log 3
a
=
;
3
log 5
b
=
;
7
log 2
c
=
. Tính
140
log 63
theo a, b, c.
VẤN ĐỀ III: HÀM SỐ LŨY THỪA – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT
1. Khái niệm
1)Hàm số luỹ thừa
y x
α
=
(α là hằng số)
Số mũ α
αα
α
Hàm số
y x
α
=
Tập xác định D
α = n (n nguyên dương)
n
y x
=
D = R
α = n (n nguyên âm hoặc n = 0)
n
y x
=
D = R \ {0}
α là số thực không nguyên
y x
α
=
D = (0; +∞)
Chú ý: Hàm số
1
n
y x
=
không đồng nhất với hàm số
( *)
n
y x n N
= ∈
.
2)Hàm số mũ
x
y a
=
(a > 0, a
≠
1).
• Tập xác định: D = R.
• Tập giá trị: T = (0; +∞).
• Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến.
• Nhận trục hoành làm tiệm cận ngang.
• Đồ thị:
0<a<1
y=a
x
y
x
1
a>1
y=a
x
y
x
1
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 5
3)Hàm số logarit
log
a
y x
=
(a > 0, a
≠
1)
• Tập xác định: D = (0; +∞).
• Tập giá trị: T = R.
• Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến.
• Nhận trục tung làm tiệm cận đứng.
• Đồ thị:
2. Giới hạn đặc biệt
•
1
0
1
lim(1 ) lim 1
x
x
x x
x e
x
→ →±∞
+ = + =
•
0
ln(1 )
lim 1
x
x
x
→
+
=
•
0
1
lim 1
x
x
e
x
→
−
=
3. Đạo hàm
•
( )
1
( 0)
x x x
α α
α
−
′
= >
;
(
)
1
.
u u u
α α
α
−
′
′
=
Chú ý:
( )
1
0
1
0
−
>
′
=
≠
n
n
n
vôùi x neáu n chaün
x
vôùi x neáu n leû
n x
.
( )
1
n
n
n
u
u
n u
−
′
=
′
•
(
)
ln
x x
a a a
′
=
;
(
)
ln .
u u
a a a u
′
=
′
(
)
x x
e e
′
=
;
(
)
.
u u
e e u
′
=
′
•
(
)
1
log
ln
a
x
x a
′
=
;
(
)
log
ln
a
u
u
u a
′
=
′
( )
1
ln x
x
′
=
(x > 0);
( )
ln
u
u
u
′
=
′
0<a<1
y=log
a
x
1
x
y
O
a>1
y=log
a
x
1
y
x
O
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 6
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 7
Bài tập cơ bản
HT 5:
Tính các gi
ớ
i h
ạ
n sau:
1)
lim
1
x
x
x
x
→+∞
+
2)
1
1
lim 1
x
x
x
x
+
→+∞
+
3)
2 1
1
lim
2
x
x
x
x
−
→+∞
+
−
4)
1
3
3 4
lim
3 2
x
x
x
x
+
→+∞
−
+
5)
1
lim
2 1
x
x
x
x
→+∞
+
−
6)
2 1
lim
1
x
x
x
x
→+∞
+
−
7)
ln 1
lim
x e
x
x e
→
−
−
8)
2
0
1
lim
3
x
x
e
x
→
−
i)
1
lim
1
x
x
e e
x
→
−
−
k)
0
lim
sin
x x
x
e e
x
−
→
−
l)
sin 2 sin
0
lim
x x
x
e e
x
→
−
m)
(
)
1
lim 1
x
x
x e
→+∞
−
HT 6:
Tính
đạ
o hàm c
ủ
a các hàm s
ố
sau:
1)
3
2
1
y x x
= + +
2)
4
1
1
x
y
x
+
=
−
3)
2
5
2
2
1
x x
y
x
+ −
=
+
4)
3
sin(2 1)
y x
= +
5)
3
2
cot 1
y x
= +
6)
3
3
1 2
1 2
x
y
x
−
=
+
7)
3
3
sin
4
x
y
+
=
8)
11
5
9
9 6
y x
= +
9)
2
4
2
1
1
x x
y
x x
+ +
=
− +
HT 7:
Tính
đạ
o hàm c
ủ
a các hàm s
ố
sau:
1)
2
( 2 2)
x
y x x e
= − +
2)
2
( 2 )
x
y x x e
−
= +
3)
2
.sin
x
y e x
−
=
4)
2
2
x x
y e
+
=
5)
1
3
.
x x
y x e
−
=
6)
2
2
x x
x x
e e
y
e e
+
=
−
7)
cos
2 .
x x
y e
=
8)
2
3
1
x
y
x x
=
− +
i)
cot
cos .
x
y x e
=
HT 8:
Tính
đạ
o hàm c
ủ
a các hàm s
ố
sau:
1)
2
ln(2 3)
y x x
= + +
2)
2
log (cos )
y x
=
3)
.ln(cos )
x
y e x
=
4)
2
(2 1)ln(3 )
y x x x
= − +
5)
3
1
2
log ( cos )
y x x
= − 6)
3
log (cos )
y x
=
7)
ln(2 1)
2 1
x
y
x
+
=
+
8)
ln(2 1)
1
x
y
x
+
=
+
9)
(
)
2
ln 1
y x x
= + +
HT 9:
Ch
ứ
ng minh hàm s
ố
đ
ã cho tho
ả
mãn h
ệ
th
ứ
c
đượ
c ch
ỉ
ra:
1)
2
2
2
. ; (1 )
x
y x e xy x y
−
= ′ = −
2)
( 1) ;
x x
y x e y y e
= + ′ − =
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 8
3)
4
2 ; 13 12 0
x x
y e e y y y
−
′′′
= + − − =
′
4)
2
. . ; 3 2 0
x x
y a e b e y y y
− −
′′
= + + + =
′
5)
.sin ; 2 2 0
x
y e x y y y
−
′′ ′
= + + =
6)
(
)
4
.cos ; 4 0
x
y e x y y
−
= + =
HT 10:
Ch
ứ
ng minh hàm s
ố
đ
ã cho tho
ả
mãn h
ệ
th
ứ
c
đượ
c ch
ỉ
ra:
1)
1
ln ; 1
1
y
y xy e
x
= + =
+
′
2)
1
; ln 1
1 ln
y xy y y x
x x
= ′ = −
+ +
3)
2
sin(ln ) cos(ln ); 0
y x x y xy x y
= + + ′ + ′′ =
4)
2 2 2
1 ln
; 2 ( 1)
(1 ln )
x
y x y x y
x x
+
= ′ = +
−
HT 11:
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình, b
ấ
t ph
ươ
ng trình sau v
ớ
i hàm s
ố
đượ
c ch
ỉ
ra:
1)
2
'( ) 2 ( ); ( ) ( 3 1)
x
f x f x f x e x x
= = + +
2)
3
1
'( ) ( ) 0; ( ) ln
f x f x f x x x
x
+ = =
3)
2 1 1 2
'( ) 0; ( ) 2. 7 5
x x
f x f x e e x
− −
= = + + −
VẤN ĐỀ IV: PHƯƠNG TRÌNH MŨ
1. Phương trình mũ cơ bản:
V
ớ
i
0, 1
> ≠
a a
:
0
log
x
a
b
a b
x b
>
= ⇔
=
2. Một số phương pháp giải phương trình mũ
1) Đưa về cùng cơ số:
V
ớ
i
0, 1
> ≠
a a
:
( ) ( )
( ) ( )
f x g x
a a f x g x
= ⇔ =
Chú ý:
Trong tr
ườ
ng h
ợ
p c
ơ
s
ố
có ch
ứ
a
ẩ
n s
ố
thì:
( 1)( ) 0
M N
a a a M N
= ⇔ − − =
2) Logarit hoá:
(
)
( ) ( )
( ) log . ( )
f x g x
a
a b f x b g x
= ⇔ =
3) Đặt ẩn phụ:
•
Dạng 1
:
( )
( ) 0
f x
P a
=
⇔
( )
, 0
( ) 0
f x
t a t
P t
= >
=
, trong
đ
ó
P(t)
là
đ
a th
ứ
c theo
t
.
•
Dạng 2
:
2 ( ) ( ) 2 ( )
( ) 0
f x f x f x
a ab b
α β γ
+ + =
Chia 2 v
ế
cho
2 ( )
f x
b
, r
ồ
i
đặ
t
ẩ
n ph
ụ
( )
f x
a
t
b
=
•
Dạng 3
:
( ) ( )f x f x
a b m
+ =
, v
ớ
i
1
ab
=
.
Đặ
t
( ) ( )
1
f x f x
t a b
t
= ⇒ =
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 9
4) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số
Xét ph
ươ
ng trình:
f(x) = g(x) (1)
•
Đ
oán nh
ậ
n
x
0
là m
ộ
t nghi
ệ
m c
ủ
a (1).
•
D
ự
a vào tính
đồ
ng bi
ế
n, ngh
ị
ch bi
ế
n c
ủ
a
f(x)
và
g(x)
để
k
ế
t lu
ậ
n
x
0
là nghi
ệ
m duy nh
ấ
t:
ñoàng bieán vaø nghòch bieán (hoaëc ño
àng bieán nhöng nghieâm ngaët).
ñôn ñieäu vaø haèng soá
( ) ( )
( ) ( )
f x g x
f x g x c
=
•
N
ế
u
f(x)
đồ
ng bi
ế
n (ho
ặ
c ngh
ị
ch bi
ế
n) thì
( ) ( )
f u f v u v
= ⇔ =
5) Đưa về phương trình các phương trình đặc biệt
•
Phương trình tích
A.B = 0
⇔
0
0
A
B
=
=
•
Phương trình
2 2
0
0
0
A
A B
B
=
+ = ⇔
=
6) Phương pháp đối lập
Xét ph
ươ
ng trình:
f(x) = g(x) (1)
N
ế
u ta ch
ứ
ng minh
đượ
c:
( )
( )
f x M
g x M
≥
≤
thì (1)
( )
( )
f x M
g x M
=
⇔
=
Bài tập cơ bản
HT 12:
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau (
đư
a v
ề
cùng c
ơ
s
ố
ho
ặ
c logarit hoá
):
1)
3 1 8 2
9 3
x x
− −
=
2)
(
)
2
3 2 2 3 2 2
x
− = +
3)
2 2 2
3 2 6 5 2 3 7
4 4 4 1
x x x x x x− + + + + +
+ = +
4)
2 2
5 7 5 .35 7 .35 0
x x x x
− − + =
5)
2 2 2 2
1 2 1
2 2 3 3
x x x x
− + −
+ = +
6)
2
4
5 25
x x− +
=
7)
2
2
4 3
1
2
2
x
x
−
−
=
8)
7 1 2
1 1
. 2
2 2
x x+ −
=
9)
1
3 .2 72
x x +
=
10)
1 1
5 6. 5 – 3. 5 52
x x x+ −
+ =
11)
10 5
10 15
16 0,125.8
x x
x x
+ +
− −
=
12)
(
)
(
)
1
1
1
5 2 5 2
x
x
x
−
−
+
+ = −
HT 13:
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau (
đư
a v
ề
cùng c
ơ
s
ố
ho
ặ
c logarit hoá
):
1)
4 1 3 2
2 1
5 7
x x
+ +
=
2)
2 1
1
5 .2 50
x
x
x
−
+
=
3)
3
2
3 .2 6
x
x
x +
=
4)
2
3 .8 6
x
x
x +
=
5)
1 2 1
4.9 3 2
x x
− +
=
6)
2
2
2 .3 1,5
x x x−
=
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 10
7)
2
5 .3 1
x x
=
8)
3 2
2 3
x x
=
9)
2
3 .2 1
x x
=
HT 14:
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau (
đặ
t
ẩ
n ph
ụ
d
ạ
ng 1
):
1)
1
4 2 8 0
x x +
+ − =
2)
1 1
4 6.2 8 0
x x+ +
− + =
3)
4 8 2 5
3 4.3 27 0
x x+ +
− + =
4)
16 17.4 16 0
x x
− + =
5)
1
49 7 8 0
x x +
+ − =
6)
2 2
2
2 2 3.
x x x x− + −
− =
7)
(
)
(
)
7 4 3 2 3 6
x x
+ + + =
8)
2
cos 2 cos
4 4 3
x x
+ =
9)
2 5 1
3 36.3 9 0
x x+ +
− + =
10)
2 2
2 2 1
3 28.3 9 0
x x x x+ + +
− + =
11)
2 2
2 2
4 9.2 8 0
x x+ +
− + =
12)
2 1 1
3.5 2.5 0,2
x x
− −
− =
HT 15:
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau (
đặ
t
ẩ
n ph
ụ
d
ạ
ng 1
):
1)
25 2(3 ).5 2 7 0
x x
x x
− − + − =
2)
2 2
3.25 (3 10).5 3 0
x x
x x
− −
+ − + − =
3)
3.4 (3 10).2 3 0
x x
x x
+ − + − =
4)
9 2( 2).3 2 5 0
x x
x x
+ − + − =
5)
2 1 2
4 .3 3 2.3 . 2 6
x x x
x x x x
+
+ + = + +
6)
2 2
3.25 (3 10).5 3 0
x x
x x
− −
+ − + − =
7)
4 +( 8 2 +12 2
– ) – 0
x x
x x
=
8)
4 9 5 3 1
( ). ( ). 0
x x
x x
+ − + + =
9)
2 2
2 2
4 ( 7).2 12 4 0
x x
x x
+ − + − =
10)
9 ( 2).3 2( 4) 0
x x
x x
− −
− + − + =
HT 16:
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau (
đặ
t
ẩ
n ph
ụ
d
ạ
ng 2
):
1)
64.9 84.12 27.16 0
x x x
− + =
2)
3.16 2.81 5.36
x x x
+ =
3)
2 2
6.3 13.6 6.2 0
x x x
− + =
4)
2 1
25 10 2
x x x
+
+ = 5)
27 12 2.8
x x x
+ =
6)
3.16 2.81 5.36
x x x
+ =
7)
1 1 1
6.9 13.6 6.4 0
x x x
− + =
8)
1 1 1
4 6 9
x x x
− − −
+ =
9)
1 1 1
2.4 6 9
x x x
+ =
10)
(
)
(
)
(
)
(
)
7 5 2 2 5 3 2 2 3 1 2 1 2 0.
x x x
+ + − + + + + − =
HT 17:
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau (
đặ
t
ẩ
n ph
ụ
d
ạ
ng 3
):
1)
(
)
(
)
2 3 2 3 14
x x
− + + = 2)
(
)
(
)
2 3 2 3 4
x x
+ + − =
3)
(2 3) (7 4 3)(2 3) 4(2 3)
x x
+ + + − = +
4)
(
)
(
)
3
5 21 7 5 21 2
x x
x
+
− + + =
5)
(
)
(
)
5 24 5 24 10
x x
+ + − =
6)
7 3 5 7 3 5
7 8
2 2
x x
+ −
+ =
7)
(
)
(
)
6 35 6 35 12
x x
− + + =
8)
( ) ( )
2 2
( 1) 2 1
4
2 3 2 3
2 3
x x x− − −
+ + − =
−
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 11
9)
(
)
(
)
3
3 5 16 3 5 2
x x
x
+
+ + − =
10)
(
)
(
)
3 5 3 5 7.2 0
x x
x
+ + − − =
11)
(
)
(
)
7 4 3 3 2 3 2 0
x x
+ − − + =
12)
(
)
(
)
3 3
3 8 3 8 6.
x x
+ + − =
HT 18:
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau (
s
ử
d
ụ
ng tính
đơ
n
đ
i
ệ
u
):
1)
(
)
(
)
2 3 2 3 4
x x
x
− + + =
2)
(
)
(
)
(
)
3 2 3 2 10
x x x
− + + =
3)
(
)
(
)
3 2 2 3 2 2 6
x x
x
+ + − =
4)
(
)
(
)
3
3 5 16. 3 5 2
x x
x
+
+ + − =
5)
3 7
2
5 5
x
x
+ =
6)
(
)
(
)
2 3 2 3 2
x x
x
+ + − =
7)
2 3 5 10
x x x x
+ + =
8)
2 3 5
x x x
+ =
9)
2
1 2
2 2 ( 1)
x x x
x
− −
− = −
10)
3 5 2
x
x
= −
11)
2 3
x
x
= −
12)
1
2 4 1
x x
x
+
− = −
HT 19:
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau (
đư
a v
ề
ph
ươ
ng trình tích)
:
1)
8.3 3.2 24 6
x x x
+ = +
2)
1
12.3 3.15 5 20
x x x +
+ − =
3)
3
8 .2 2 0
x x
x x
−
− + − =
4)
2 3 1 6
x x x
+ = +
5)
2 2 2
3 2 6 5 2. 3 7
4 4 4 1
x x x x x x− + + + + +
+ = +
6)
( )
2
2 2
1
1
4 2 2 1
x
x x x
+
+ −
+ = +
7)
2 3 2
.3 3 (12 7 ) 8 19 12
x x
x x x x x
+ − = − + − +
8)
2 1 1
.3 (3 2 ) 2(2 3 )
x x x x x
x x
− −
+ − = −
9)
sin 1 sin
4 2 cos( ) 2 0
y
x x
xy
+
− + =
10)
2 2 2 2
2( ) 1 2( ) 1
2 2 2 .2 1 0
x x x x x x+ − + −
+ − − =
HT 20:
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau (
ph
ươ
ng pháp
đố
i l
ậ
p
):
1)
4
2 cos ,
x
x
= v
ớ
i x
≥
0 2)
2
6 10 2
3 6 6
x x
x x
− +
= − + −
3)
sin
3 cos
x
x
=
4)
3
2
2.cos 3 3
2
x x
x x
−
−
= +
5)
sin
cos
x
x
π =
6)
2
2
2
1
2
x x
x
x
−
+
=
7)
2
3 cos 2
x
x
=
8)
2
5 cos 3
x
x
=
HT 21:
Tìm
m
để
các ph
ươ
ng trình sau có nghi
ệ
m:
1)
9 3 0
x x
m
+ + =
2)
9 3 1 0
x x
m
+ − =
3)
1
4 2
x x
m
+
− =
4)
2
3 2.3 ( 3).2 0
x x x
m
+ − + =
5)
2 ( 1).2 0
x x
m m
−
+ + + =
6)
25 2.5 2 0
x x
m
− − − =
7)
2
16 ( 1).2 1 0
x x
m m
− − + − =
8)
25 .5 1 2 0
x x
m m
+ + − =
9)
2 2
sin os
81 81
x c x
m
+ =
10)
2 2
4 2 2
3 2.3 2 3 0
x x
m
− −
− + − =
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 12
11)
1 3 1 3
4 14.2 8
x x x x
m
+ + − + + −
− + =
12)
2 2
1
1
9 8.3 4
x x
x x
m
+ −
+ −
− + =
HT 22:
Tìm
m
để
các ph
ươ
ng trình sau có nghi
ệ
m duy nh
ấ
t:
1)
.2 2 5 0
x x
m
−
+ − =
2)
.16 2.81 5.36
x x x
m
+ =
3)
(
)
(
)
5 1 5 1 2
x x
x
m
+ + − =
4)
7 3 5 7 3 5
8
2 2
x x
m
+ −
+ =
5)
3
4 2 3
x x
m
+
− + =
6)
9 3 1 0
x x
m
+ + =
HT 23:
Tìm
m
để
các ph
ươ
ng trình sau có 2 nghi
ệ
m trái d
ấ
u:
1)
1
( 1).4 (3 2).2 3 1 0
x x
m m m
+
+ + − − + =
2)
2
49 ( 1).7 2 0
x x
m m m
+ − + − =
3)
9 3( 1).3 5 2 0
x x
m m
+ − − + =
4)
( 3).16 (2 1).4 1 0
x x
m m m
+ + − + + =
5)
(
)
4 2 1 2 +3 8
. 0
x x
m m
− + − =
6)
4 2 6
x x
m
− + =
HT 24:
Tìm
m
để
các ph
ươ
ng trình sau:
1)
.16 2.81 5.36
x x x
m
+ =
có 2 nghi
ệ
m d
ươ
ng phân bi
ệ
t.
2)
16 .8 (2 1).4 .2
x x x x
m m m
− + − =
có 3 nghi
ệ
m phân bi
ệ
t.
3)
2 2
2
4 2 6
x x
m
+
− + =
có 3 nghi
ệ
m phân bi
ệ
t.
4)
2 2
9 4.3 8
x x
m
− + =
có 3 nghi
ệ
m phân bi
ệ
t.
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 13
VẤN ĐỀ V: PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
1. Phương trình logarit cơ bản
V
ớ
i a > 0, a
≠
1:
log
b
a
x b x a
= ⇔ =
2. Một số phương pháp giải phương trình logarit
1) Đưa về cùng cơ số
V
ớ
i a > 0, a
≠
1:
( ) ( )
log ( ) log ( )
( ) 0 ( ( ) 0)
a a
f x g x
f x g x
f x hoaëc g x
=
= ⇔
> >
2) Mũ hoá
V
ớ
i a > 0, a
≠
1:
log ( )
log ( )
a
f x
b
a
f x b a a
= ⇔ =
3) Đặt ẩn phụ
4) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số
5) Đưa về phương trình đặc biệt
6) Phương pháp đối lập
Chú ý:
•
Khi gi
ả
i ph
ươ
ng trình logarit c
ầ
n chú ý
đ
i
ề
u ki
ệ
n
để
bi
ể
u th
ứ
c có ngh
ĩ
a.
•
V
ớ
i a, b, c > 0 và a, b, c
≠
1:
log log
b b
c a
a c
=
Bài tập cơ bản
HT 25:
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau (
đư
a v
ề
cùng c
ơ
s
ố
ho
ặ
c m
ũ
hoá
):
1)
2
log ( 1) 1
x x
− =
2)
2 2
log log ( 1) 1
x x
+ − =
3)
2 1/8
log ( 2) 6.log 3 5 2
x x
− − − =
4)
2 2
log ( 3) log ( 1) 3
x x
− + − =
5)
4 4 4
log ( 3) log ( 1) 2 log 8
x x
+ − − = −
6)
lg( 2) lg( 3) 1 lg 5
x x
− + − = −
7)
8 8
2
2 log ( 2) log ( 3)
3
x x
− − − =
8)
lg 5 4 lg 1 2 lg 0,18
x x
− + + = +
9)
2
3 3
log ( 6) log ( 2) 1
x x
− = − +
10)
2 2 5
log ( 3) log ( 1) 1 / log 2
x x
+ + − =
11)
4 4
log log (10 ) 2
x x
+ − =
12)
5 1/5
log ( 1) log ( 2) 0
x x
− − + =
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 14
13)
2 2 2
log ( 1) log ( 3) log 10 1
x x
− + + = −
14)
9 3
log ( 8) log ( 26) 2 0
x x
+ − + + =
HT 26:
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau (
đư
a v
ề
cùng c
ơ
s
ố
ho
ặ
c m
ũ
hoá
):
1)
3 1/3
3
log log log 6
x x x
+ + =
2)
2 2
1 lg( 2 1) lg( 1) 2 lg(1 )
x x x x
+ − + − + = −
3)
4 1/16 8
log log log 5
x x x
+ + =
4)
2 2
2 lg(4 4 1) lg( 19) 2lg(1 2 )
x x x x
+ − + − + = −
5)
2 4 8
log log log 11
x x x
+ + =
6)
1/2 1/2
1/ 2
log ( 1) log ( 1) 1 log (7 )
x x x
− + + = + −
7)
2 2 3 3
log log log log
x x
=
8)
2 3 3 2
log log log log
x x
=
9)
2 3 3 2 3 3
log log log log log log
x x x
+ =
10)
2 3 4 4 3 2
log log log log log log
x x
=
HT 27:
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau (
đư
a v
ề
cùng c
ơ
s
ố
ho
ặ
c m
ũ
hoá
):
1)
2
log (9 2 ) 3
x
x
− = −
2)
3
log (3 8) 2
x
x
− = −
3)
7
log (6 7 ) 1
x
x
−
+ = +
4)
1
3
log (4.3 1) 2 1
x
x
−
− = −
5)
5
log (3 )
2
log (9 2 ) 5
x
x
−
− =
6)
2
log (3.2 1) 2 1 0
x
x
− − − =
7)
2
log (12 2 ) 5
x
x
− = −
8)
5
log (26 3 ) 2
x
− =
9)
1
2
log (5 25 ) 2
x x
+
− =
10)
1
4
log (3.2 5)
x
x
+
− =
11)
1
1
6
log (5 25 ) 2
x x+
− = −
12)
1
1
5
log (6 36 ) 2
x x+
− = −
HT 28:
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau (
đư
a v
ề
cùng c
ơ
s
ố
ho
ặ
c m
ũ
hoá
):
1)
2
5
log ( 2 65) 2
x
x x
−
− + =
2)
2
1
log ( 4 5) 1
x
x x
−
− + =
3)
2
log (5 8 3) 2
x
x x
− + =
4)
3 2
1
log (2 2 3 1) 3
x
x x x
+
+ − + =
5)
3
log ( 1) 2
x
x
−
− =
6)
log ( 2) 2
x
x
+ =
7)
2
2
log ( 5 6) 2
x
x x
− + =
8)
2
3
log ( ) 1
x
x x
+
− =
9)
2
log (2 7 12) 2
x
x x
− + =
10)
2
log (2 3 4) 2
x
x x
− − =
11)
2
2
log ( 5 6) 2
x
x x
− + =
12)
2
log ( 2) 1
x
x
− =
13)
2
3 5
log (9 8 2) 2
x
x x
+
+ + =
14)
2
2 4
log ( 1) 1
x
x
+
+ =
15)
15
log 2
1 2
x
x
= −
−
16)
2
log (3 2 ) 1
x
x
− =
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 15
17)
2
3
log ( 3) 1
x x
x
+
+ =
18)
2
log (2 5 4) 2
x
x x
− + =
HT 29:
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau (
đặ
t
ẩ
n ph
ụ
):
1)
2 2
3 3
log log 1 5 0
x x
+ + − =
2)
2
2 1/2
2
log 3 log log 2
x x x
+ + =
3)
4
7
log 2 log 0
6
x
x
− + =
4)
2
2
1 2
2
log 4 log 8
8
x
x
+ =
5)
2
2 1/2
2
log 3 log log 0
x x x
+ + =
6)
2
2
log 16 log 64 3
x
x
+ =
7)
5
1
log log 2
5
x
x
− =
8)
7
1
log log 2
7
x
x
− =
9)
5
1
2 log 2 log
5
x
x − = 10)
2 2
3 log log 4 0
x x
− =
11)
3 3
3 log log 3 1 0
x x
− − =
12)
3
3
2 2
log log 4 / 3
x x+ =
13)
3
3
2 2
log log 2 / 3
x x− = − 14)
2
2 4
1
log 2 log 0
x
x
+ =
15)
2
2 1/4
log (2 ) 8 log (2 ) 5
x x
− − − =
16)
2
5 25
log 4 log 5 5 0
x x
+ − =
17)
2
9
log 5 log 5 log 5
4
x x x
x+ = + 18)
2
9
log 3 log 1
x
x
+ =
19)
1 2
1
4 lg 2 lg
x x
+ =
− +
20)
1 3
1
5 lg 3 lg
x x
+ =
− +
21)
2 3
2 16 4
log 14 log 40log 0
x x x
x x x
− + =
HT 30:
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau (
đặ
t
ẩ
n ph
ụ
):
1)
2
3
3
log ( 12)log 11 0
x x x x
+ − + − =
2)
2
2 2
log log 6
6.9 6. 13.
x
x x
+ =
3)
2
2 2
.log 2( 1).log 4 0
x x x x
− + + =
4)
2
2 2
log ( 1)log 6 2
x x x x
+ − = −
5)
2
3 3
( 2)log ( 1) 4( 1)log ( 1) 16 0
x x x x
+ + + + + − =
6)
2
2
log (2 ) log 2
x
x
x x
−
+ + =
7)
2
3 3
log ( 1) ( 5)log ( 1) 2 6 0
x x x x
+ + − + − + =
8)
3 3
4 log 1 log 4
x x
− − =
9)
2 2
2 2 2
log ( 3 2) log ( 7 12) 3 log 3
x x x x+ + + + + = +
HT 31:
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau (
đặ
t
ẩ
n ph
ụ
):
1)
7 3
log log ( 2)
x x
= +
2)
2 3
log ( 3) log ( 2) 2
x x
− + − =
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 16
3)
3 5
log ( 1) log (2 1) 2
x x
+ + + =
4)
(
)
6
log
2 6
log 3 log
x
x x
+ =
5)
(
)
7
log 3
4
x
x
+
=
6)
(
)
2 3
log 1 log
x x
+ =
7)
2 2 2
log 9 log log 3
2
.3
x
x x x
= −
8)
2 2
3 7 2 3
log (9 12 4 ) log (6 23 21) 4
x x
x x x x
+ +
+ + + + + =
9)
(
)
(
)
(
)
2 2 2
2 3 6
log 1 .log 1 log 1
x x x x x x
− − + − = − −
HT 32:
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau (
s
ử
d
ụ
ng tính
đơ
n
đ
i
ệ
u
):
1)
2 2
log 3 log 5
( 0)
x x x x+ = >
2)
2 2
log log
2
3 5
x x
x
+ =
3)
5
log ( 3) 3
x x
+ = −
4)
2
log (3 )
x x
− =
5)
2
2 2
log ( 6) log ( 2) 4
x x x x
− − + = + +
6)
2
log
2.3 3
x
x
+ =
7)
2 3
4( 2) log ( 3) log ( 2) 15( 1)
x x x x
− − + − = +
HT 33:
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau (
đư
a v
ề
ph
ươ
ng trình tích)
:
1)
2 7 2 7
log 2.log 2 log .log
x x x x
+ = +
2)
2 3 3 2
log .log 3 3.log log
x x x x
+ = +
3)
(
)
(
)
x
2
9 3 3
2 log log .log 2 1 1
x x
= + −
HT 34:
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau (
ph
ươ
ng pháp
đố
i l
ậ
p
):
1)
2 3
ln(sin ) 1 sin 0
x x
− + =
2)
(
)
2 2
2
log 1 1
x x x
+ − = −
3)
2 1 3 2
2
3
8
2 2
log (4 4 4)
x x
x x
+ −
+ =
− +
HT 35:
Tìm
m
để
các ph
ươ
ng trình sau:
1)
(
)
2
log 4 1
x
m x
− = +
có 2 nghi
ệ
m phân bi
ệ
t.
2)
2
3 3
log ( 2).log 3 1 0
x m x m
− + + − =
có 2 nghi
ệ
m x
1
, x
2
tho
ả
x
1
.
x
2
= 27.
3)
2 2 2 2
4 2
2 log (2 2 4 ) log ( 2 )
x x m m x mx m
− + − = + −
có 2 nghi
ệ
m x
1
, x
2
tho
ả
2 2
1 2
1
x x
+ >
.
4)
2 2
3 3
log log 1 2 1 0
x x m
+ + − − =
có ít nh
ấ
t m
ộ
t nghi
ệ
m thu
ộ
c
đ
o
ạ
n
3
1;3
.
5)
(
)
2
2 2
4 log log 0
x x m
+ + =
có nghi
ệ
m thu
ộ
c kho
ả
ng (0; 1).
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 17
VẤN ĐỀ VI: HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT
Khi gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình m
ũ
và logarit, ta c
ũ
ng dùng các ph
ươ
ng pháp gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình
đ
ã h
ọ
c nh
ư
:
•
Ph
ươ
ng pháp th
ế
.
•
Ph
ươ
ng pháp c
ộ
ng
đạ
i s
ố
.
•
Ph
ươ
ng pháp
đặ
t
ẩ
n ph
ụ
.
•
…….
HT 36:
Gi
ả
i các h
ệ
ph
ươ
ng trình sau:
1)
2 5
2 1
y
y
x
x
+ =
− =
2)
2 4
4 32
x
x
y
y
=
=
3)
2
3 1
3 19
y
y
x
x
− =
+ =
4)
1
2 6
8
4
y
y
x
x
−
−
=
=
HT 37:
Gi
ả
i các h
ệ
ph
ươ
ng trình sau:
1)
4 3 7
4 .3 144
x y
x y
− =
=
2)
2 3 17
3.2 2.3 6
x y
x y
+ =
− =
3)
1
2 2.3 56
3.2 3 87
x y
x
x y
x
+
+ +
+ =
+ =
4)
2 2 2 2
1
3 2 17
2.3 3.2 8
x y
x y
+ +
+
+ =
+ =
5)
1
1 1
3 2 4
3 2 1
x y
x y
+
+ +
− = −
− = −
6)
2 2
2
2( 1) 1 2
2 1.
4 4.4 .2 2 1
2 3.4 .2 4
x x y y
y x y
− −
−
− + =
− =
7)
2
cot 3
cos 2
y
y
x
x
=
=
8)
2
2
2
2
( )2 1
9( ) 6
y x
x y
x y
x y
−
−
+ =
+ =
9)
2
3 2 77
3 2 7
x y
x y
− =
− =
10)
2 2
2 2 ( )( 2)
2
x y
y x xy
x y
− = − +
+ =
HT 38:
Gi
ả
i các h
ệ
ph
ươ
ng trình sau:
1)
3 2 1
3 2 1
x
y
y
x
= +
= +
2)
3 2 11
3 2 11
x
y
x y
y x
+ = +
+ = +
3)
2 2
2 2
3
x y
y x
x xy y
− = −
+ + =
4)
1
1
7 6 5
7 6 5
x
y
y
x
−
−
= −
= −
HT 39:
Gi
ả
i các h
ệ
ph
ươ
ng trình sau:
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 18
1)
2 2
6
log log 3
x y
x y
+ =
+ =
2)
log log 2
6
y
x
y x
x y
+ =
+ =
3)
2
2
log 4
2 log 2
x y
x y
+ =
− =
4)
(
)
(
)
2 2
3 5
3
log log 1
x y
x y x y
− =
+ − − =
5)
32
log 4
y
xy
x
=
=
6)
2
3
log
log 2 3
9
y
y
x
x
+ =
=
7)
2(log log ) 5
8
y x
x y
xy
+ =
=
8)
2 3
9 3
1 2 1
3log (9 ) log 3
x y
x y
− + − =
− =
9)
2
3 3
3
2
1
log log 0
2
2 0
x y
x y y
− =
+ − =
10)
3
12
log 1
3
y
y x
x
− =
=
HT 40:
Gi
ả
i các h
ệ
ph
ươ
ng trình sau:
1)
(
)
( )
log 3 2 2
log 2 3 2
x
y
x y
x y
+ =
+ =
2)
log (6 4 ) 2
log (6 4 ) 2
x
y
x y
y x
+ =
+ =
3)
2 2
3 3
2 2
log 1 2 log
log log 4
x
y
y
x y
− = −
+ =
4)
2
2
4 4
log log 1
log log 1
y
x y
x y
− =
− =
5)
(
)
2 2
2
3 3
log 6 4
log log 1
x y
x y
+ + =
+ =
6)
2 2
2 2
log log
16
log log 2
y x
x y
x y
+ =
− =
7)
3 3
log log
3 3
2. 27
log log 1
y x
x y
y x
+ =
− =
8)
2 2
2
4 2
log log
3. 2. 10
log log 2
y x
x y
x y
+ =
+ =
9)
(
)
(
)
log 2 2 2
log 2 2 2
x
y
x y
y x
+ − =
+ − =
10)
(
)
2
2
log 4
log 2
xy
x
y
=
=
HT 41:
Gi
ả
i các h
ệ
ph
ươ
ng trình sau:
1)
lg
lg lg 4
1000
y
x y
x
+ =
=
2)
(
)
2
6
36
4 2 log 9
x y
x
x y x
−
=
− + =
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 19
3)
5
5
( )3
27
3 log ( )
y x
x y
x y x y
−
+ =
+ = −
4)
lg lg
lg 4 lg 3
3 4
(4 ) (3 )
x y
x y
=
=
5)
2
1
2
2 log 2 log 5 0
32
x
y
x y
xy
− + =
=
HT 42:
Gi
ả
i các h
ệ
ph
ươ
ng trình sau:
1)
2
log
4
2 2
2
log log 1
x
y
x y
=
− =
2)
( )
( ) ( )
2
2 2
1
3
3
log log 4
x y
x y
x y x y
−
−
=
+ + − =
3)
8 8
log log
4 4
4
log log 1
y x
x y
x y
+ =
− =
4)
( )
1
3
3 .2 18
log 1
x y
x y
=
+ = −
5)
( )
2
2 2
1
3
3
log ( ) log ( ) 4
x y
x y
x y x y
−
−
=
+ + − =
6)
(
)
(
)
3 3
4 32
log 1 log
x y
y x
x y x y
+
=
− = − +
7)
( )
3
3 .2 972
log 2
x y
x y
=
− =
8)
( )
5
3 .2 1152
log 2
x y
x y
−
=
+ =
9)
(
)
(
)
2 2
log log 1
x y
x y x y
x y
+ = −
− =
10)
3 3
log log 2
2 2
4 2 ( )
3 3 12
xy
xy
x y x y
= +
+ − − =
11)
3 3
log log
3 3
2 27
log log 1
y x
x y
y x
+ =
− =
12)
2
2 log
log log
4 3
y
x y
x
xy x
y y
=
= +
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 20
VẤN ĐỀ VII: BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
•
Khi gi
ả
i các b
ấ
t ph
ươ
ng trình m
ũ
ta c
ầ
n chú ý tính
đơ
n
đ
i
ệ
u c
ủ
a hàm s
ố
m
ũ
.
( ) ( )
1
( ) ( )
0 1
( ) ( )
f x g x
a
f x g x
a a
a
f x g x
>
>
> ⇔
< <
<
•
Ta c
ũ
ng th
ườ
ng s
ử
d
ụ
ng các ph
ươ
ng pháp gi
ả
i t
ươ
ng t
ự
nh
ư
đố
i v
ớ
i ph
ươ
ng trình m
ũ
:
–
Đư
a v
ề
cùng c
ơ
s
ố
.
–
Đặ
t
ẩ
n ph
ụ
.
– ….
Chú ý:
Trong tr
ườ
ng h
ợ
p c
ơ
s
ố
a có ch
ứ
a
ẩ
n s
ố
thì:
( 1)( ) 0
M N
a a a M N
> ⇔ − − >
HT 43:
Gi
ả
i các b
ấ
t ph
ươ
ng trình sau
(
đư
a v
ề
cùng c
ơ
s
ố
)
:
1)
2
1
2
1
3
3
x x
x x
− −
−
≥
2)
6 3
2 1 1
1 1
2 2
x x x
− + −
<
3)
2 3 4 1 2
2 2 2 5 5
x x x x x
+ + + + +
− − > −
4)
1 2
3 3 3 11
x x
x
− −
+ − <
5)
2 2
3 2 3 2
9 6 0
x x x x− + − +
− <
6)
2 3 7 3 1
6 2 .3
x x x
+ + −
<
7)
2
2 2
1
2 2
4 .2 3.2 .2 8 12
x
x x
x x x x
+
+ + > + +
8)
2 1 2
6. 3 . 3 2.3 . 3 9
x x x
x x x x
+
+ + < + +
9)
1 2 1 2
9 9 9 4 4 4
x x x x x x
+ + + +
+ + < + +
10)
1 3 4 2
7.3 5 3 5
x x x x
+ + + +
+ ≤ +
11)
2 1 2
2 5 2 5
x x x x
+ + +
+ < +
12)
1 2
2 3 36
.
x x
− +
>
13)
(
)
(
)
3 1
1 3
10 3 10 3
x x
x x
− +
− +
+ < −
14)
(
)
(
)
1
1
2 1 2 1
x
x
x
+
−
+ ≥ −
15)
2
1
2
1
2
2
x
x x
−
−
≤
16)
1
1
2 1 3 1
2 2
x x
− +
≥
HT 44:
Gi
ả
i các b
ấ
t ph
ươ
ng trình sau
(
đặ
t
ẩ
n ph
ụ
)
:
1)
2.14 3.49 4 0
x x x
+ − ≥
2)
1 1
1 2
4 2 3 0
x x
− −
− − ≤
3)
2
( 2)
2( 1)
3
4 2 8 52
x
x
x
−
−
− + >
4)
4 4
1
8.3 9 9
x x x x
+ +
+ >
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 21
5)
25.2 10 5 25
x x x
− + >
6)
2 1 1
5 6 30 5 .30
x x
x x
+ +
+ > +
7)
6 2.3 3.2 6 0
x x x
− − + ≥
8)
27 12 2.8
x x x
+ >
9)
1 1 1
49 35 25
x x x
− ≤
10)
1 2 1
2
3 2 12 0
x
x x
+ +
− − <
11)
2 2 2
2 1 2 1 2
25 9 34.25
x x x x x x
− + − + −
+ ≥
12)
2 4 4
3 8.3 9.9 0
x x x x
+ + +
− − >
13)
1 1 1
4 5.2 16 0
x x x x
+ − + − +
− + ≥
14)
(
)
(
)
3 2 3 2 2
x
x
+ + − ≤
15)
2 1
1
1 1
3 12
3 3
x x
+
+ >
16)
3 1
1 1
128 0
4 8
x x
−
− − ≥
17)
1 1
1 2
2 2 9
x x
+ −
+ <
18)
(
)
2
2 1
2 9.2 4 . 2 3 0
x x
x x
+
− + + − ≥
HT 45:
Gi
ả
i các b
ấ
t ph
ươ
ng trình sau
(s
ử
d
ụ
ng tính
đơ
n
đ
i
ệ
u)
:
1)
2
2 3 1
x
x
< +
2)
1
2 2 1
0
2 1
x x
x
−
− +
≤
−
3)
2
2.3 2
1
3 2
x x
x x
+
−
≤
−
4)
4 2 4
3 2 13
x x
+ +
+ >
5)
2
3 3 2
0
4 2
x
x
x
−
+ −
≥
−
6)
2
3 4
0
6
x
x
x x
+ −
>
− −
7)
(
)
2
2 2 x
3x 2x 3 .2x 3x 2x 3
5 2 5 2
x
x x− − + + > − − + +
HT 46:
Tìm
m
để
các b
ấ
t ph
ươ
ng trình sau có nghi
ệ
m:
1)
4 .2 3 0
x x
m m
− + + ≤
2)
9 .3 3 0
x x
m m
− + + ≤
3)
2 7 2 2
x x
m
+ + − ≤
4)
(
)
(
)
2 2
1
2 1 2 1 0
x x
m
−
+ + − + =
HT 47:
Tìm
m
để
các b
ấ
t ph
ươ
ng trình sau nghi
ệ
m
đ
úng v
ớ
i:
1)
(3 1).12 (2 ).6 3 0
x x x
m m
+ + − + <
,
∀
x > 0. 2)
1
( 1)4 2 1 0
x x
m m
+
− + + + >
,
∀
x.
3)
(
)
.9 2 1 6 .4 0
x x x
m m m
− + + ≤
,
∀
x
∈
[0; 1]. 4)
2
.9 ( 1).3 1 0
x x
m m m
+
+ − + − >
,
∀
x.
5)
(
)
cos cos
2
4 2 2 1 2 4 3 0
x x
m m
+ + + − <
,
∀
x. 6)
1
4 3.2 0
x x
m
+
− − ≥
,
∀
x.
7)
4 2 0
x x
m
− − ≥
,
∀
x
∈
(0; 1) 8)
3 3 5 3
x x
m
+ + − ≤
,
∀
x.
9)
2.25 (2 1).10 ( 2).4 0
x x x
m m
− + + + ≥
,
∀
x
≥
0. 10)
1
4 .(2 1) 0
x x
m
−
− + >
,
∀
x.
HT 48:
Tìm
m
để
m
ọ
i nghi
ệ
m c
ủ
a (1)
đề
u là nghi
ệ
m c
ủ
a b
ấ
t ph
ươ
ng trình (2):
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 22
1)
( ) ( )
2 1
1
2
2
1 1
3 12 (1)
3 3
2 3 6 1 0 (2)
x x
m x m x m
+
+ >
− − − − − <
2)
2 1
1
2 2
2 2 8 (1)
4 2 ( 1) 0 (2)
x x
x mx m
+
− >
− − − <
VẤN ĐỀ VIII: BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
•
Khi gi
ả
i các b
ấ
t ph
ươ
ng trình logarit ta c
ầ
n chú ý tính
đơ
n
đ
i
ệ
u c
ủ
a hàm s
ố
logarit.
1
( ) ( ) 0
log ( ) log ( )
0 1
0 ( ) ( )
a a
a
f x g x
f x g x
a
f x g x
>
> >
> ⇔
< <
< <
•
Ta c
ũ
ng th
ườ
ng s
ử
d
ụ
ng các ph
ươ
ng pháp gi
ả
i t
ươ
ng t
ự
nh
ư
đố
i v
ớ
i ph
ươ
ng trình logarit:
–
Đư
a v
ề
cùng c
ơ
s
ố
.
–
Đặ
t
ẩ
n ph
ụ
.
– ….
Chú ý:
Trong tr
ườ
ng h
ợ
p c
ơ
s
ố
a có ch
ứ
a
ẩ
n s
ố
thì:
log 0 ( 1)( 1) 0
a
B a B
> ⇔ − − >
;
log
0 ( 1)( 1) 0
log
a
a
A
A B
B
> ⇔ − − >
HT 49:
Gi
ả
i các b
ấ
t ph
ươ
ng trình sau (
đư
a v
ề
cùng c
ơ
s
ố
)
:
1)
5
5
log (1 2 ) 1 log ( 1)
x x
− < + +
2)
(
)
2 9
log 1 2 log 1
x
− <
3)
(
)
1 1
3 3
log 5 log 3
x x
− < −
4)
2 1 5
3
log log log 0
x
>
5)
1 2
3
1 2
log (log ) 0
1
x
x
+
>
+
6)
(
)
2
1
2
4 log 0
x x
− >
7)
(
)
2
1 4
3
log log 5 0
x
− >
8)
2
6 6
log log
6 12
x x
x
+ ≤
9)
(
)
(
)
2 2
log 3 1 log 1
x x
+ ≥ + −
10)
( )
2
2
2
log
log
2
x
x
x
+
11)
3 1
2
log log 0
x
≥
12)
8 1
8
2
2 log ( 2) log ( 3)
3
x x
− + − >
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 23
13)
(
)
(
)
2 2
1 5 3 1
3 5
log log 1 log log 1
x x x x
+ + > + −
HT 50:
Gi
ả
i các b
ấ
t ph
ươ
ng trình sau:
1)
(
)
( )
2
lg 1
1
lg 1
x
x
−
<
−
2)
( ) ( )
2 3
2 3
2
log 1 log 1
0
3 4
x x
x x
+ − +
>
− −
3)
(
)
2
lg 3 2
2
lg lg 2
x x
x
− +
>
+
4)
2 2
log 5 log 2 log
18 0
x
x x
x x
−
+ − <
5)
2
3 1
log 0
1
x
x
x
−
>
+
6)
2
3 2 3 2
log .log log log
4
x
x x x< +
7)
4
log (log (2 4)) 1
x
x
− ≤
8)
2
3
log (3 ) 1
x x
x
−
− >
9)
(
)
2
5
log 8 16 0
x
x x
− + ≥
10)
(
)
2
2
log 5 6 1
x
x x
− + <
11)
6 2
3
1
log log 0
2
x
x
x
+
−
>
+
12)
(
)
(
)
2
1
1
log 1 log 1
x
x
x x
−
−
+ > +
13)
2
3
(4 16 7).log ( 3) 0
x x x
− + − >
14)
2
(4 12.2 32).log (2 1) 0
x x
x
− + − ≤
HT 51:
Gi
ả
i các b
ấ
t ph
ươ
ng trình sau
(
đặ
t
ẩ
n ph
ụ
)
:
1)
2
log 2 log 4 3 0
x
x
+ − ≤
2)
(
)
(
)
5
5
log 1 2 1 log 1
x x
− < + +
3)
5
2log log 125 1
x
x
− <
4)
2
2
log 64 log 16 3
x
x
+ ≥
5)
2 2
log 2.log 2.log 4 1
x x
x
>
6)
2 2
1 1
2 4
log log 0
x x
+ <
7)
4 2
2
2 2
2
log log
2
1 log 1 log
1 log
x x
x x
x
+ >
− +
−
8)
2 2
1 2
1
4 log 2 logx x
+ ≤
+ −
9)
2
1 2
2
log 6log 8 0
x x
− + ≤
10)
2
3 3 3
log 4 log 9 2 log 3
x x x
− + ≥ −
11)
2 2
9 3
log (3 4 2) 1 log (3 4 2)
x x x x
+ + + > + +
12)
5 5
1 2
1
5 log 1 logx x
+ <
− +
13)
2
1 1
8 8
1 9 log 1 4 log
x x
− > −
14)
100
1
log 100 log 0
2
x
x
− >
15)
2
3
3
1 log
1
1 log
x
x
+
>
+
16)
2
16
1
log 2.log 2
log 6
x x
x
>
−
HT 52:
Gi
ả
i các b
ấ
t ph
ươ
ng trình sau
(s
ử
d
ụ
ng tính
đơ
n
đ
i
ệ
u):
1)
2
log
0,5 0,5
( 1) (2 5)log 6 0
x x x x
+ + + + ≥
2)
2 3
log (2 1) log (4 2) 2
x x
+ + + ≤
3)
(
)
(
)
2 3
3 2
log 1 log 1
x x
>
+ +
4)
5
lg
5
0
2 3 1
x
x
x
x
+
−
<
− +
HT 53:
Tìm
m
để
các b
ấ
t ph
ươ
ng trình sau có nghi
ệ
m:
1)
(
)
2
1/2
log 2 3
x x m
− + > −
2)
1
log 100 log 100 0
2
x m
− >
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 24
3)
1 2
1
5 log 1 log
m m
x x
+ <
− +
4)
2
1 log
1
1 log
m
m
x
x
+
>
+
5)
2 2
log log
x m x
+ >
6)
2 2
log ( 1) log ( 2)
x m x m
x x x
− −
− > + −
HT 54:
Tìm
m
để
các b
ấ
t ph
ươ
ng trình sau nghi
ệ
m
đ
úng v
ớ
i:
a)
(
)
(
)
2 2
2 2
log 7 7 log 4
x mx x m
+ ≥ + +
,
∀
x
b)
(
)
2 2
2 2
log 2 4 log 2 5
x x m x x m
− + + − + ≤
,
∀
x
∈
[0; 2]
c)
2 2
5 5
1 log ( 1) log ( 4 )
x mx x m
+ + ≥ + +
,
∀
x.
d)
2
1 1 1
2 2 2
2 log 2 1 log 2 1 log 0
1 1 1
m m m
x x
m m m
− − + − + >
+ + +
,
∀
x
ÔN TẬP
HT 55:
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau:
1)
2 1 1
1
2 .4
64
8
x x
x
− +
−
=
2)
3 1 8 2
9 3
x x
− −
=
3)
0,5
0,2 (0, 04)
25
5
x x
+
=
4)
2
1 2 11 9
5 9 5
.
3 25 3
x x x+ + −
=
5)
2 1 1
1
7 .7 14.7 2.7 48
7
x x x x+ + −
− − + =
6)
(
)
2
7,2 3,9
3 9 3 lg(7 ) 0
x x
x
− +
− − =
7)
2
1
1
3
2
2(2 ) 4
x
x
x
−
+
=
8)
1
5 . 8 500
x
x x −
=
9)
2
1
1 lg
3
3
1
100
x
x
−
=
10)
lg 2
1000
x
x x
=
11)
lg 5
5 lg
3
10
x
x
x
+
+
=
12)
(
)
3
log 1
3
x
x
−
=
HT 56:
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau:
1)
2 2
2 2
4 9.2 8 0
x x
+ +
− + =
2)
2 2
5 1 5
4 12.2 8 0
x x x x− − − − −
− + =
3)
64.9 84.12 27.16 0
x x x
− + =
4)
1 3
3
64 2 12 0
x x
+
− + =
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 25
5)
2 2
1 3
9 36.3 3 0
x x
− −
− + =
6)
4 8 2 5
2
3 4.3 28 2 log 2
x x
+ +
− + =
7)
2 1 2 2( 1)
3 3 1 6.3 3
x x x x+ + +
= + − +
8)
(
)
(
)
5 24 5 24 10
x x
+ + − =
9)
3 3
1 log 1 log
9 3 210 0
x x+ +
− − =
10)
2
lg 1 lg lg 2
4 6 2.3 0
x x x+ +
− − =
11)
2 2
sin cos
2 4.2 6
x x
+ =
12)
lg(tan ) lg(cot ) 1
3 2.3 1
x x
+
− =
HT 57:
Gi
ả
i các b
ấ
t ph
ươ
ng trình sau:
1)
6 5
2 5
2 25
5 4
x
x
−
+
<
2)
1
1
2 1
2
2 1
x
x
−
+
−
<
+
3)
2 2
.5 5 0
x x
x
+
− <
4)
2
lg 3 lg 1
1000
x x
x
− +
>
5)
4 2 4
2
1
x
x
x
+ −
≤
−
6)
2
3 2
8. 1
3
3 2
x
x
x x
−
> +
−
7)
2 3 4 1 2
2 2 2 5 5
x x x x x
+ + + + +
− − > −
8)
2
2
log ( 1)
1
1
2
x −
>
9)
2
2
1
9
3
x
x
+
−
>
10)
1 2
2
1 1
3
27
x
x
+ −
>
11)
2 1
3
1
1 1
5 5
x
x
+
−
−
>
12)
72
1 1
3 . . 1
3 3
x x
>
HT 58:
Gi
ả
i các b
ấ
t ph
ươ
ng trình sau:
1)
2
4 2.5 10 0
x x x
− − >
2)
1
25 5 50
x x− − +
− ≥
3)
1 1 1
9.4 5.6 4.9
x x x
− − −
+ <
4)
2
lg 2 lg 5
3 3 2
x x+ +
< −
5)
1
4
4 16 2 log 8
x x+
− <
6)
2 3
2 1
1
2 21. 2 0
2
x
x
+
+
− + ≥
7)
2( 2)
2( 1)
3
4 2 8 52
x
x x
−
−
− + >
8)
2 3
4 3
1
3 35. 6 0
3
x
x
−
−
− + ≥
9)
2
9 3 3 9
x x x+
− > −
10)
9 3 2 9 3
x x x
+ − ≥ −
HT 59:
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau:
1)
3
log (3 8) 2
x
x
− = −
2)
2
5
log ( 2 65) 2
x
x x
−
− + =
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 26
3)
7 7
log (2 1) log (2 7) 1
x x
− + − =
4)
3 3
log (1 log (2 7)) 1
x
+ − =
5)
3
log lg
2
3 lg lg 3 0
x
x x
− + − =
6)
3
log (1 2 )
2
9 5 5
x
x
−
= −
7)
1 lg
10
x
x x
+
=
8)
(
)
5
log 1
5
x
x
−
=
9)
2 2
lg lg 2
lg
lg
2
x x
x
x
+ −
=
10)
lg 7
lg 1
4
10
x
x
x
+
+
=
11)
3 9
1
log log 9 2
2
x
x x
+ + =
12)
3 3
3 3
2 log 1 log
7 1
x x
x x
− −
+ =
− −
HT 60:
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau:
1)
(
)
2
2 log 5 3 log 5 1 0
x x
− + =
2)
1/3 1/3
log 3 log 2 0
x x
− + =
3)
2
2 2
log 2 log 2 0
x x
+ − =
4)
1 3
3 2log 3 2 log ( 1)
x
x
+
+ = +
5)
(
)
2 2
3
log 9 .log 4
x
x x
=
6)
(
)
2
3 1/2 1/2
log log 3 log 5 2
x x
− + =
7)
2 2 2
lg (100 ) lg (10 ) lg 6
x x x
− + =
8)
2 2
2 2 2
9
log (2 ).log (16 ) log
2
x x x
=
9)
3 3
log (9 9) log (28 2.3 )
x x
x+ = + −
10)
1
2 2 2
log (4 4) log 2 log (2 3)
x x x +
+ = + −
HT 61:
Gi
ả
i các b
ấ
t ph
ươ
ng trình sau:
1)
2
0,5
log ( 5 6) 1
x x
− + > −
2)
7
2 6
log 0
2 1
x
x
−
>
−
3c)
3 3
log log 3 0
x x
− − <
4)
1/3
2 3
log 1
x
x
−
≥ −
5)
1/4 1/4
2
log (2 ) log
1
x
x
− >
+
6)
2
1/3 4
log log ( 5) 0
x
− >
7)
2
2
1/2
4
0
log ( 1)
x
x
−
<
−
8h)
2
log ( 1)
0
1
x
x
+
>
−
9)
2
2
log ( 8 15)
2 1
x
x x
−
+ +
<
10)
1/3
2
5
log
3
(0,5) 1
x
x
+
+
>
HT 62:
Gi
ả
i các h
ệ
ph
ươ
ng trình sau:
1)
2
( ) 1
4 1
5 125
x y
x y
− −
+
=
=
2)
3 2 3
4 128
5 1
x y
x y
+
− −
=
=
3)
2 2 12
5
x y
x y
+ =
+ =
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 27
4)
3.2 2.3 2,75
2 3 0,75
x x
x y
+ =
− = −
5)
7 16 0
4 49 0
x
x
y
y
− =
− =
6)
3
3 .2 972
log ( ) 2
x y
x y
=
− =
7)
5
4 3.4 16
2 12 8
x y x
y y
x y
−
− =
− = −
8)
2
/2
3 2 77
3 2 7
x y
x y
− =
− =
9)
(
)
( )
2
2
2
2
2 1
9 6
y x
x y
x y
x y
−
−
+ =
+ =
HT 63:
Gi
ả
i các h
ệ
ph
ươ
ng trình sau:
1)
4 2
2 2
log log 0
5 4 0
x y
x y
− =
− + =
2)
3
4
log ( ) 2
7
log log
6
x
x y
x y
− =
− =
3)
lg
2
20
y
x
xy
=
=
4)
2 2
2 4
log 2 log 3
16
+ =
+ =
x y
x y
5)
3 3 3
1 1 2
15
log log 1 log 5
x y
x y
− =
+ = +
6)
5
7
log 2 log
log 3
log
3
2
x
y
y
x
y
x
=
=
7)
2 2
lg( ) 1 lg13
lg( ) lg( ) 3 lg 2
+ − =
+ − − =
x y
x y x y
8)
2 2
2
2
9
8
log log 3
x y
y x
x y
+ =
+ =
9)
8
2(log log ) 5
y x
xy
x y
=
+ =
10)
2
1
2 2
2log 3 15
3 .log 2 log 3
y
y y
x
x x
+
− =
= +
11)
3 3
4 32
log ( ) 1 log ( )
x y
y x
x y x y
+
=
− = − +
12)
2
3 .2 576
log ( ) 4
x y
y x
=
− =
HT 64:
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau:
1)
2
2 1 5
5 12.2 8 0
4
x x
x x
− − −
− − − + =
2)
2
3 3
( 1)log 4 log 16 0
x x x x
+ − − =
3)
2
2 1 2
2
1
log ( 1) log ( 4) log (3 )
2
x x x
− + + = −
4)
2 2
3 2
log ( 2 1) log ( 2 )
x x x x
+ + = +
5)
2 3 2
2 2
3 2 log ( 1) log
x x x x
− = + −
6)
5 3 5 3
log .log log log
x x x x
= +
7)
1
2 2
log (2 1).log (2 2) 6
x x+
+ + =
8)
3
3 2 3 2
3 1
log .log log log
2
3
x
x x
x
− = +
9)
32
1 89 25
3 log
log 2 2
x
x
x x
+ = −
10)
2 2
0,5 2
log log log 4
x
x x x
+ =
11)
2 3 3
1 1 1
4 4 4
3
log ( 2) 3 log (4 ) log ( 6)
2
x x x
+ − = − + +
12)
2 3
4 8
2
log ( 1) 2 log 4 log (4 )
x x x
+ + = − + +
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 28
Đ/s:
1)
9
; 3
4
x x
= =
2)
1
; 3
81
x x
= =
3)
11; 1 14
x x
= − = − +
4)
1 3
x
= − ±
5)
Đ
ánh giá
1
x
=
6)
1; 15
x x
= =
7)
2
log 3
8)
3
1;
8
x x
= =
9)
5
8
x
=
10)
1 1
; ; 2
4 2
x x x
= = =
11)
2; 1 33
x x
= = −
12)
2 24; 2
x x
= − =
HT 65:
Gi
ả
i các b
ấ
t ph
ươ
ng trình sau:
1)
5
2 log log 125 1
x
x
− <
2)
( )
2
2
2
log
log
2 4
x
x
x
+ ≤
3)
2 2 2
2 1 2
4 .2 3.2 .2 8 12
x x x
x x x x
+
+ + > + +
4)
2 2
1 1
2 3
log ( 3) log ( 3)
0
1
x x
x
+ − +
>
+
5)
1 1
8 2 4 2 5
x x x+ +
+ − + >
6)
2
2
2
log 3
2
log 3
x
x
+
>
+
7)
4 1
4
3 1 3
log (3 1)log
16 4
x
x
−
− ≤
8)
1 1
2 2
( 1)log (2 5).log 6 0
x x x x
+ + + + ≥
9)
2
1
2
2
1 1
0
log (2 1)
log 3 2
x
x x
+ >
−
− +
Đ/s:
1)
(
)
1
0; 1;5 5
5
x
∈ ∪
2)
(0; )
x
∈ +∞
3)
(
)
(
)
2; 1 2;3
x
∈ − − ∪
4)
( 2; 1)
− −
5)
(0;2]
6)
1 1
;
8 2
7)
(0;1) (3; )
∪ +∞
8)
[
(0;2] 4; )
∪ +∞
9)
1 13 3 5
;1 ;
6 2
+ +
∪ +∞
HT 66:
Gi
ả
i các h
ệ
ph
ươ
ng trình sau:
1)
2 2
log ( ) log 3
2 2
9 3 2.( )
3 3 6
xy
xy
x y x y
= +
+ = + +
2)
2 2
2
4 2
log ( ) 5
2 log log 4
x y
x y
+ =
+ =
3)
2 2
2
2
2 log 2 log 5
4 log 5
x x
x
y y
y
+ + =
+ =
4)
2
2
2
2 2
3. 7. 6 0
3 3
lg(3 ) lg( ) 4 lg2 0
x y
x y
x y y x
−
−
+ − =
− + + − =
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 29
5)
2 3
2 3
log 3 3 log 5
3 log 1 log 1
x y
x y
+ − =
− − = −
6)
3 3
4 32
log ( ) 1 log ( )
x y
y x
x y x y
+
=
− = − +
Đ/s: 1
)
5 17 5 17
;
2 2
±
∓
2)
(
)
4;4
3)
(2;4);(4;2)
4)
(
)
2;2
5)
(4; 81)
6)
(2;1)
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 30
TUYỂN TẬP ĐỀ THI CÁC NĂM
HT 67:
(D – 2011)
(
)
2
2 1
2
log (8 ) log 1 1 2 0 ( )
x x x x
− + + + − − = ∈
ℝ
Đ
/s:
0
x
=
HT 68:
(B – 2010)
2
2
log (3 1)
( , )
4 2 3
x x
y x
x y
y
− =
∈
+ =
ℝ
Đ
/s:
1
1;
2
−
HT 69:
(D – 2010)
2
2
2
4 2 0
( , )
2 log ( 2) log 0
x x y
x y
x y
− + + =
∈
− − =
ℝ
Đ
/s:
(3;1)
HT 70:
(A – 2009)
2 2
2 2
2 2
log ( ) 1 log ( )
( , )
3 81
x xy y
x y xy
x y
− +
+ = +
∈
=
ℝ
Đ
/s:
(2;2),( 2; 2)
− −
HT 71:
(A – 2008)
2 2
2 1 1
log (2 1) log (2 1) 4
x x
x x x
− +
+ − + − =
Đ
/s:
2
5
4
x
x
=
=
HT 72:
(B – 2008)
2
0,7 6
log log 0
4
x x
x
+
<
+
Đ
/s:
( 4; 3) (8; )
− − ∪ +∞
HT 73:
(D – 2008)
2
1
2
3 2
log 0
x x
x
− +
≥
Đ
/s:
2 2;1 (2;2 2)
− ∪ +
HT 74:
(A – 2007)
3 1
3
2log (4 3) log (2 3) 2
x x
− + + ≤
Đ
/s:
3
3
4
x
< ≤
HT 75:
(B – 2007)
(
)
(
)
2 1 2 1 2 2 0
x x
− + + − =
Đ
/s:
1
x
= ±
HT 76:
(D – 2007)
2 2
1
log (4 15.2 27) 2 log 0
4.2 3
x x
x
+ + + =
−
Đ
/s:
2
log 3
x
=
HT 77:
(A – 2006)
3.8 4.12 18 2.27 0
x x x x
+ − − =
Đ
/s:
1
x
=
HT 78:
(B – 2006)
2
5 5 5
log (4 144) 4 log 2 1 log (2 1)
x x−
+ − < + +
Đ
/s:
2 4
x
< <
HT 79:
(D – 2006) Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng v
ớ
i m
ọ
i
0
>
a
h
ệ
có nghi
ệ
m duy nh
ấ
t:
ln(1 ) ln(1 )
x y
e e x y
y x a
− = + − +
− =
HT 80:
(A – 2004)
1 4
4
2 2
1
log ( ) log 1
25
y x
y
x y
− − =
+ =
Đ
/s:
(3;4)
HT 81:
(D – 2003)
2 2
2
2 2 3
x x x x− + −
− =
Đ
/s:
1
2
x
x
= −
=
HT 82:
(A – 2002) Cho ph
ươ
ng trình
2 2
3 3
log log 1 2 1 0
x x m
+ + − − =
(V
ớ
i m là tham s
ố
)
a.
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình v
ớ
i
2
m
=
Đ
/s:
3
3
x
±
=
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 31
b.
Tìm m
để
ph
ươ
ng trình có ít nh
ấ
t m
ộ
t nghi
ệ
m thu
ộ
c
đ
o
ạ
n
3
1;3
Đ
/s:
0 2
m
≤ ≤
HT 83:
(B – 2002)
(
)
3
log log (9 72) 1
x
x
− ≤
Đ
/s:
9
log 73 2
x
< ≤

Tài liệu khác của Toán 11

Preview text:


CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2013 - 2014
PHƯƠNG TRÌNH MŨ - LOGARIT
BIÊN SOẠN: LƯU HUY THƯỞNG
HỌ VÀ TÊN: ………………………………………………………………… LỚP
:………………………………………………………………….
TRƯỜNG :………………………………………………………………… HÀ NỘI, 8/2013
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH MŨ – LOGARIT
VẤN ĐỀ I: LŨY THỪA
1. Định nghĩa luỹ thừa Số mũ α Cơ số a
Luỹ thừa aα *
α = n ∈ N a ∈ R α n
a = a = a.a......a (n thừa số a) α = 0 a ≠ 0 α 0
a = a = 1 * α n − 1 α = n − (n ∈ N ) a ≠ 0 a = a = n a m m * α =
(m ∈ Z,n ∈ N ) a > 0 α n m = = (n n n a a a
a = b ⇔ b = a) n *
α = lim r (r ∈ Q,n ∈ N ) a > 0 α r n n a = lim n a
2. Tính chất của luỹ thừa
• Với mọi a > 0, b > 0 ta có: α aαa a α α β α+β α−β α β α. a .a = a ; = a ; (a ) = a β ;
(ab)α = aα.bα ;     =   a β b  bα
• a > 1 : aα > aβ ⇔ α > β ; 0 < a < 1 : aα > aβ ⇔ α < β
• Với 0 < a < b ta có: m m a < b ⇔ m > 0 ; m m a > b ⇔ m < 0 Chú ý:
+ Khi xét luỹ thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số a phải khác 0.
+ Khi xét luỹ thừa với số mũ không nguyên thì cơ số a phải dương.
3. Định nghĩa và tính chất của căn thức
• Căn bậc n của a là số b sao cho n b = a .
• Với a, b ≥ 0, m, n ∈ N*, p, q ∈ Z ta có: n a a p n m n n = .n ab a b ; n = (b > 0) ; p
a = (n a ) (a > 0); n mn a = a n b b p q n p m n mn q Neáu = thì a =
a (a > 0) ; Đặc biệt m a = a n m
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 1
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
• Nếu n là số nguyên dương lẻ và a < b thì n n a < b .
Nếu n là số nguyên dương chẵn và 0 < a < b thì n n a < b . Chú ý:
+ Khi n lẻ, mỗi số thực a chỉ có một căn bậc n. Kí hiệu n a .
+ Khi n chẵn, mỗi số thực dương a có đúng hai căn bậc n là hai số đối nhau.
4. Công thức lãi kép
Gọi A là số tiền gửi, r là lãi suất mỗi kì, N là số kì.
Số tiền thu được (cả vốn lẫn lãi) là: = (1 + )N C A r
VẤN ĐỀ II: LOGARIT 1. Định nghĩa
• Với a > 0, a ≠ 1, b > 0 ta có: log b = ⇔ aα α = b a a  > 0,a ≠ 1 
Chú ý: log b có nghĩa khi ab  > 0  • Logarit thập phân:
lgb = logb = log b 10 n  1 
• Logarit tự nhiên (logarit Nepe): lnb = log b (với e = lim 1    +  ≈ 2,718281 ) e    n 2. Tính chất log b • log 1 = 0 ; log a = 1 ; log b a = b ; a a = b (b > 0) a a a
• Cho a > 0, a ≠ 1, b, c > 0. Khi đó:
+ Nếu a > 1 thì log b > log c ⇔ b > c a a
+ Nếu 0 < a < 1 thì log b > log c ⇔ b < c a a
3. Các qui tắc tính logarit
Với a > 0, a ≠ 1, b, c > 0, ta có: b    
• log (bc) = log b + log c
• log   = log b − log c • log bα = α log b a a a a   a ac a a 4. Đổi cơ số
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 2
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
Với a, b, c > 0 và a, b ≠ 1, ta có: log c • log a c = hay log .
b log c = log c b log b a b a a 1 1 • log b =
• log c = log c α ≠ α ( 0) a log a a a α b Bài tập cơ bản
HT 1: Thực hiện các phép tính sau: 1 3 1) log 4.log 2 2) log .log 9 3) log a 2 1 5 27 25 a 4 log 2 log 3 log 2 log 27 4) 2 3 4 + 9 5) log 8 6) 9 8 27 + 4 2 2 1/3 log a.log a 3 4 2 log 2 4 log 5 7) a a 8) log 6.log 9.log 2 9) 3 81 9 + 7 3 8 6 log a 1 a log 5 log 36 4 log 7 log 6 log 8 3 2 log 4 10) 3 9 9 81 + 27 + 3 11) 5 7 25 + 49 12) 5 5 − 1 1 log 3 log 2 1+log 4 2−log 3 log 27 13) 6 8 9 + 4 14) 9 2 125 3 + 4 + 5 15) log 3.log 36 3 6
HT 2: So sánh các cặp số sau: 1 2 3 1) log 4 vaø log 2) 3 log 2 vaø log 0, 34 3) log vaø log 3 4 3 0,1 0,2 3 5 5 4 4 2 1 1 1 log log 3 4) log vaø log
5) log 150 vaø log 290 6) vaø 6 6 2 2 3 1 1 80 13 17 15 + 2 3 2
HT 3: Tính giá trị của biểu thức logarit theo các biểu thức đã cho:
1)Cho log 14 = a . Tính log 32 theo a. 2 49
2)Cho log 3 = a . Tính log 15 theo a. 15 25 1
3)Cho lg 3 = 0, 477 . Tính lg 9000 ; lg 0, 000027 ; . log 100 81
4)Cho log 2 = a . Tính log 28 theo a. 7 1 2
HT 4: Tính giá trị của biểu thức logarit theo các biểu thức đã cho: 49
1)Cho log 7 = a ; log 5 = b . Tính log theo a, b. 25 2 3 5 8
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 3
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
2)Cho log 3 = a ; log 5 = b . Tính log 1350 theo a, b. 30 30 30
3)Cho log 7 = a ; log 5 = b . Tính log 28 theo a, b. 14 14 35
4)Cho log 3 = a ; log 5 = b ; log 2 = c . Tính log 63 theo a, b, c. 2 3 7 140
VẤN ĐỀ III: HÀM SỐ LŨY THỪA – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT 1. Khái niệm
1)Hàm số luỹ thừa y x α = (α là hằng số) Số mũ α Hàm số y x α = Tập xác định D α = n (n nguyên dương) n y = x D = R
α = n (n nguyên âm hoặc n = 0) n y = x D = R \ {0}
α là số thực không nguyên y x α = D = (0; +∞) 1
Chú ý: Hàm số n
y = x không đồng nhất với hàm số n
y = x (n ∈ N *) . 2)Hàm số mũ x
y = a (a > 0, a ≠ 1). • Tập xác định: D = R. • Tập giá trị: T = (0; +∞).
• Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến.
• Nhận trục hoành làm tiệm cận ngang. • Đồ thị: y y y=ax y=ax 1 x 1 x a>1 0
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 4
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
3)Hàm số logarit y = log x (a > 0, a ≠ 1) a • Tập xác định: D = (0; +∞). • Tập giá trị: T = R.
• Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến.
• Nhận trục tung làm tiệm cận đứng. • Đồ thị: y y y=log y=logax ax 1 x x O O 1 a>1 0
2. Giới hạn đặc biệt 1 x  1 ln(1 + x) x e − 1
• lim(1 + x)x = lim 1    +  = e   • lim = 1 • lim = 1 x →0 x →±∞  x x →0 x x →0 x 3. Đạo hàm ′ ′ • (xα) α 1 = x α − (x > 0) ; (uα ) α 1 = u α − .u′ vôùi x neáu n chaün n ′ 1  0  >   ′ u′ Chú ý: ( x) =   n  . ( u ) = n n 1 −
vôùi x ≠ 0 neáu n leû  n x   n n 1 n u − ′ ′ • ( x ) x a = a lna ; ( u ) u a
= a lna.u′ ′ ′ ( x ) x e = e ; ( u ) u e = e .u′ ′ ′ u′ • ( x = ; (log u = a ) a ) 1 log x lna u lna ′ ′ u′ ( ) 1 ln x = (x > 0); (ln u ) = x u
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 5
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 6
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 Bài tập cơ bản
HT 5: Tính các giới hạn sau: x 1 + x  2x 1 − x   1  xx 1 + 1) lim          +      2) lim 1   3) lim  
x →+∞ 1 + x x →+∞  x
x →+∞ x − 2 x 1 +   x x 3 3x − 4  x 1  + 2x 1 + 4) lim               5) lim   6) lim  
x →+∞  3x + 2
x →+∞ 2x − 1
x →+∞  x − 1  ln x − 1 2x e −1 x e −e 7) lim 8) lim i) lim x e → x −e x →0 3x x 1 → x − 1 x x 1 e −e− sin 2x sin x e −e lim x ( x e − ) k) lim l) lim m) 1 x →0 sin x x →0 x x →+∞
HT 6: Tính đạo hàm của các hàm số sau: x + 1 2 x + x − 2 1) 3 2
y = x + x + 1 2) 4 y = 3) 5 y = x − 1 2 x + 1 3 1 − 2x 4) 3 y = sin(2x + 1) 5) 3 2 y = cot 1 + x 6)y = 3 1 + 2x x + 3 2 11 5 x + x + 1 7) 3 y = sin 8) 9 y = 9 + 6 x 9) 4 y = 4 2 x − x + 1
HT 7: Tính đạo hàm của các hàm số sau: 1) 2 = ( − 2 + 2) x y x x e 2) 2 ( 2 ) x y x x e− = + 3) 2 − x y = e .sin x 1 2x x 2 x − x e + e 4) 2x x y e + = 5) 3 y = x.e 6)y = 2x x e −e 3x 7) x cos = 2 . x y e 8)y = i) cot = cos . x y x e 2 x − x + 1
HT 8: Tính đạo hàm của các hàm số sau: 1) 2
y = ln(2x + x + 3)
2)y = log (cos x) 3) x
y = e .ln(cos x) 2 4) 2
y = (2x − 1)ln(3x + x) 5) 3
y = log (x − cos x)
6)y = log (cos x) 1 3 2 ln(2x + 1) ln(2x + 1) 7)y = 8)y = 9) y = ( 2 ln x + 1 + x ) 2x + 1 x + 1
HT 9: Chứng minh hàm số đã cho thoả mãn hệ thức được chỉ ra: 2 x − 1) 2 2 y = x.e ;
xy′ = (1 − x )y 2) = ( + 1) x ; x y x e
y′ − y = e
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 7
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 3) 4x = + 2 x y e e− ;
y′ ′ −13y′ −12y = 0 4) x − −2 = . + . x y a e b e
; y′ + 3y′ + 2y = 0 x − (4) 5) x
y = e− .sin x;
y′ + 2y′ + 2y = 0 6)y = e .cos x; y + 4y = 0
HT 10: Chứng minh hàm số đã cho thoả mãn hệ thức được chỉ ra:  1    1 1) = ln ; ′ +1 y y xy = e y =
; xy′ = y y ln x  −1  2)   1  + x  1+ x + ln x 1 + ln x 3) 2
y = sin(ln x) + cos(ln x); y + xy′ + x y′′ = 0 4) 2 2 2 y =
; 2x y′ = (x y + 1) x(1 − ln x)
HT 11: Giải phương trình, bất phương trình sau với hàm số được chỉ ra: 1) x 2
f '(x) = 2f (x); f (x) = e (x + 3x + 1) 1 2) 3 f '(x) + f (x) = 0;
f (x) = x ln x x 3) 2x 1 − 1 2 '( ) = 0; ( ) = + 2. − x f x f x e e + 7x − 5
VẤN ĐỀ IV: PHƯƠNG TRÌNH MŨ b  > 0 
1. Phương trình mũ cơ bản:
Với a > 0, a ≠ 1 : x a = b ⇔  x  = log ba
2. Một số phương pháp giải phương trình mũ
1) Đưa về cùng cơ số:
Với a > 0, a ≠ 1 : f (x ) g(x ) a = a
⇔ f (x) = g(x)
Chú ý: Trong trường hợp cơ số có chứa ẩn số thì: M N a = a
⇔ (a −1)(M − N ) = 0 2) Logarit hoá: f (x ) g(x ) a = b
⇔ f (x) = (log b g x a ). ( ) 3) Đặt ẩn phụ:f (x ) t  = a , t > 0  • Dạng 1: f (x ) P(a ) = 0 ⇔ 
, trong đó P(t) là đa thức theo t. P  (t) = 0  • Dạng 2: 2f (x ) f (x ) 2f (x ) a α + β(ab) + b γ = 0 f (x ) a
Chia 2 vế cho 2f (x) b
, rồi đặt ẩn phụ t   =     b
• Dạng 3: f(x) f (x ) a + b
= m , với ab = 1 . Đặt f (x ) f (x ) 1 t = a ⇒ b = t
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 8
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
4) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số Xét phương trình: f(x) = g(x) (1)
• Đoán nhận x0 là một nghiệm của (1).
• Dựa vào tính đồng biến, nghịch biến của f(x) và g(x) để kết luận x0 là nghiệm duy nhất: f (x
) ñoàng bieán vaø g(x
) nghòch bieán (hoaëc ñoàng bieán nhöng nghieâm ngaët).   f (x
) ñôn ñieäu vaø g(x ) = c haèng soá 
• Nếu f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) thì f(u) = f(v) ⇔ u = v
5) Đưa về phương trình các phương trình đặc biệt A  = 0 A  = 0 
• Phương trình tích A.B = 0 ⇔  • Phương trình 2 2
A + B = 0 ⇔  B  = 0  B  = 0  
6) Phương pháp đối lập Xét phương trình: f(x) = g(x) (1)
f (x) ≥ M  
f (x) = M
Nếu ta chứng minh được:  thì (1) ⇔  g  (x) ≤ Mg  (x) = M   Bài tập cơ bản
HT 12: Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc logarit hoá): x 1) 3x 1 − 8x 2 9 3 − = 2) ( − )2 3 2 2 = 3 + 2 2 2 2 2 3) x 3 − x 2 + x +6x +5 2x +3x +7 4 + 4 = 4 + 1 4) 2x x 2 5 7 5 x.35 7x − − + .35 = 0 2 2 2 2 2 5) x 1 − x 2 + x x 1 2 2 3 3 − + = + x − x +4 6) 5 = 25 2 x 2 −  x +7 1 2 − x 1 1 1 7)   4−3x       = 2      . = 2  8)       2 2    2 9) x x 1 3 .2 + = 72 10) x 1 + x x 1 5 6. 5 – 3. 5 − + = 52 x 1 + 0 x +5 x 1 − x 1 − 11) x 1 − 0 x 1 − 5 16 = 0,125.8 12) ( ) ( )x 1 5 2 5 2 + + = −
HT 13: Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc logarit hoá): 4x 1 + 3x +2  2x 1 − 3x 2 1 1)       =   x x 1 + x x +2  2) 5 .2 = 50 3) 3 .2 = 6 5    7  x 2 4) x x +2 3 .8 = 6 5) x 1 − 2x 1 4.9 3 2 + = 6) x 2
2 − x.3x = 1, 5
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 9
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 2 x x 2 7) 5x.3x = 1 8) 3 2 2 = 3 9) 3x.2x = 1
HT 14: Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ dạng 1): 1) x x 1 4 2 + + − 8 = 0 2) x 1 + x 1 4 6.2 + − + 8 = 0 3) 4x +8 2x +5 3 − 4.3 + 27 = 0 2 2 4) 16x 17.4x − + 16 = 0 x x + x x − 2+x x − 5) 1 49 + 7 − 8 = 0 6) 2 − 2 = 3. x x 2 7) (7 + 4 3 ) + (2 + 3) = 6 8) cos 2x cos 4 4 x + = 3 9) 2x +5 x 1 3 36.3 + − + 9 = 0 2 2 2 2 10) 2x 2 + x 1 3 + 28.3x x + − + 9 = 0 11) x 2 + x 2 4 9.2 + − + 8 = 0 12) 2x 1 − x 1 3.5 2.5 − − = 0,2
HT 15: Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ dạng 1):
1) 25x − 2(3 − ).5x x + 2x − 7 = 0 2) x 2 − x 2 3.25 (3x 10).5 − + − + 3 − x = 0
3) 3.4x + (3 −10).2x x + 3 − x = 0
4) 9x + 2( − 2).3x x + 2x − 5 = 0 5) 2 x 1+ x x 2 4x + x.3 + 3
= 2.3 .x + 2x + 6 6) x 2 − x 2 3.25 (3x 10).5 − + − + 3 − x = 0 7) 4x +( – 8 2 ) x x +12 – 2x = 0 8) ( + 4) 9 . x − ( + 5) 3 . x x x + 1 = 0 2 2 9) x 2 x 2 4 + (x − 7).2 + 12 − 4x = 0 10) 9 x − ( 2).3 x x − − + − 2(x + 4) = 0
HT 16: Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ dạng 2): 1) 64.9x 84.12x 27.16x − + = 0 2) 3.16x 2.81x 5.36x + = 3) 2x x 2 6.3 13.6 6.2 x − + = 0 4) x x 2x 1 25 10 2 + + = 5) 27x 12x 2.8x + = 6) 3.16x 2.81x 5.36x + = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 − − − 7) 6.9x 13.6x 6.4x − + = 0
8) 4 x + 6 x = 9 x 9) 2.4x 6x 9x + = x x x
10) (7 + 5 2) + ( 2 − 5)(3 + 2 2) + 3(1 + 2) + 1 − 2 = 0.
HT 17: Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ dạng 3): x x x x 1) (2 − 3 ) + (2 + 3 ) = 14
2) ( 2 + 3 ) + ( 2 − 3 ) = 4 x x 3) (2 3)x (7 4 3)(2 3)x + + + − = 4(2 + 3) 4) ( − ) + ( + ) x +3 5 21 7 5 21 = 2 x x x x  7 3 5   7 3 5  +  − 
5) (5 + 24 ) + (5 − 24 ) = 10 6)     + 7      = 8  2   2         x x 2 2 (x 1 − ) x 2 − x 1 − 4
7) ( 6 − 35 ) + ( 6 + 35 ) = 12 8) (2 + 3 ) + (2 − 3) = 2 − 3
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 10
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 x x x x 9) ( + ) + ( − ) x +3 3 5 16 3 5 = 2 10) (3 5) (3 5) 7.2x + + − − = 0 x x x x
11) (7 + 4 3) − 3(2 − 3) + 2 = 0 12) (3 + ) +(3 3 8 3 − 8 ) = 6.
HT 18: Giải các phương trình sau (sử dụng tính đơn điệu): x x x x x 1)(2 3) (2 3) 4x − + + = 2) ( 3 − 2) + ( 3 + 2) = ( 10) x x x x 3) (3 2 2) (3 2 2) 6x + + − = 4) ( + ) + ( − ) x +3 3 5 16. 3 5 = 2 x 3 7 x x 5)     + = 2x x
6) ( 2 + 3 ) + ( 2 − 3 ) = 2 5 5 2 7) 2x 3x 5x 10x + + = 8) 2x 3x 5x + = 9) x 1 − x x − 2 2 − 2 = (x − 1)
10) 3x = 5 − 2x
11) 2x = 3 − x 12) x 1
2 + − 4x = x −1
HT 19: Giải các phương trình sau (đưa về phương trình tích): 1) 8.3x 3.2x 24 6x + = + 2) x x x 1 12.3 3.15 5 + + − = 20 3) x 3 8 .2 2 x x − − + − x = 0 4) 2x 3x 1 6x + = + 2 2 2 1 (x x x x + + − )2 2 2 1 5) x 3 − x 2 + x +6x +5 2.x +3x +7 4 + 4 = 4 + 1 6) 4 + 2 = 2 + 1 7) 2 x x 3 2
x .3 + 3 (12 − 7x) = x −
+ 8x −19x + 12 8) 2 x 1 − x x x x 1 x .3 x(3 2 ) 2(2 3 − + − = − ) 2 2 2 2 9) sin x 1+sin 4 − 2
x cos(xy) + 2y = 0 10) 2(x x + ) 1 x − 2(x x + ) 1 2 2 2 .2 x − + − −1 = 0
HT 20: Giải các phương trình sau (phương pháp đối lập): 2 1) x 4
2 = cos x , với x ≥ 0 2) x 6 − x 1 + 0 2 3
= − x + 6x − 6 3) sin 3 x = cos x  3 2 x x  −  sin x 2 4) 2 2.cos   2 − + 1   = 3x + 3 x − 5) π = cos x 6) 2 x x x = 2    x 2 2 7) 3x = cos 2x 8) 5x = cos 3x
HT 21: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm: x x + 1
1) 9x + 3x + m = 0 2) 9x + 3x m − 1 = 0 3) 4 − 2 = m 4) 2 3 x + 2.3x −( + 3).2x m = 0 5) 2x ( 1).2 x m − + + + m = 0
6) 25x − 2.5x − m − 2 = 0 7) x 2 16 −( −1).2 x m + m −1 = 0 8) 25x + .5x m + 1 − 2m = 0 2 2 sin x o c s x 2 2 9) 81 + 81 = m 4 2 − x 2 x − 10) 3 − 2.3 + 2m − 3 = 0
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 11
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 x + 1 + 3 − x x + 1 + 3 − 11) 4 −14.2 x + 8 = m 2 2 12) x + 1 x − x + 1 9 − 8.3 x − + 4 = m
HT 22: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm duy nhất: 1) .2x 2 x m − + − 5 = 0 2) .16x 2.81x 5.36x m + = x x x x  7 3 5   7 3 5  +  −  3) ( 5 + ) 1 + ( 5 − ) 1 = 2x m 4)     + m       = 8 2     2  x x + 3 5) 4 − 2 + 3 = m 6) 9x + 3x m + 1 = 0
HT 23: Tìm m để các phương trình sau có 2 nghiệm trái dấu: 1) x x 1 (m 1).4 (3m 2).2 + + + − − 3m + 1 = 0 2) x x 2
49 + (m −1).7 + m − 2m = 0 3) 9x + 3( −1).3x m − 5m + 2 = 0 4) (
+ 3).16x + (2 −1).4x m m + m + 1 = 0 5) 4x − 2( + ) 1 2 . x m +3m − 8 = 0
6) 4x − 2x + 6 = m
HT 24: Tìm m để các phương trình sau: 1) .16x 2.81x 5.36x m + =
có 2 nghiệm dương phân biệt. 2) 16x −
.8x + (2 −1).4x = .2x m m m có 3 nghiệm phân biệt. 2 2 3) x x 2 4 2 + −
+ 6 = m có 3 nghiệm phân biệt. 2 2 x x 4) 9 − 4.3
+ 8 = m có 3 nghiệm phân biệt.
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 12
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
VẤN ĐỀ V: PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
1. Phương trình logarit cơ bản Với a > 0, a ≠ 1: log b
x = b ⇔ x = a a
2. Một số phương pháp giải phương trình logarit
1) Đưa về cùng cơ số
f (x) = g(x)  Với a > 0, a ≠ 1:
log f (x) = log g(x) ⇔  a a
f (x) > 0 (hoaëc g(x) > 0)  2) Mũ hoá log f (x ) Với a > 0, a ≠ 1: log f (x) a b = b ⇔ a = a a 3) Đặt ẩn phụ
4) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số
5) Đưa về phương trình đặc biệt
6) Phương pháp đối lập Chú ý:
• Khi giải phương trình logarit cần chú ý điều kiện để biểu thức có nghĩa. log c log a
• Với a, b, c > 0 và a, b, c ≠ 1: b b a = c Bài tập cơ bản
HT 25: Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc mũ hoá):
1) log x(x 1) − = 1
log x + log (x −1) = 1 2   2) 2 2
3) log (x − 2) − 6.log 3x − 5 = 2
4) log (x − 3) + log (x −1) = 3 2 1/8 2 2
5) log (x + 3) − log (x −1) = 2 − log 8
6) lg(x − 2) + lg(x − 3) = 1 − lg 5 4 4 4 2
7) 2 log (x − 2) − log (x − 3) =
8) lg 5x − 4 + lg x + 1 = 2 + lg 0,18 8 8 3 9) 2
log (x − 6) = log (x − 2) + 1
10) log (x + 3) + log (x −1) = 1 / log 2 3 3 2 2 5
11) log x + log (10 − x) = 2
12) log (x − 1) − log (x + 2) = 0 4 4 5 1/5
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 13
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
13) log (x −1) + log (x + 3) = log 10 −1 14) log (x + 8) − log (x + 26) + 2 = 0 2 2 2 9 3
HT 26: Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc mũ hoá): 1) log x + log x + log x = 6 2) 2 2
1 + lg(x − 2x + 1) − lg(x + 1) = 2 lg(1 − x) 3 1/3 3 3) log x + log x + log x = 5 4) 2 2
2 + lg(4x − 4x + 1) − lg(x + 19) = 2 lg(1 − 2x) 4 1/16 8
5) log x + log x + log x = 11 6) log (x − 1) + log (x + 1) = 1 + log (7 − x) 2 4 8 1/2 1/2 1/ 2
7) log log x = log log x
8) log log x = log log x 2 2 3 3 2 3 3 2
9) log log x + log log x = log log x
10) log log log x = log log log x 2 3 3 2 3 3 2 3 4 4 3 2
HT 27: Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc mũ hoá):
1) log (9 − 2x ) = 3 − x
2) log (3x − 8) = 2 − x 2 3 3) log (6 7 x − + ) = 1 + x 4) x 1
log (4.3 − − 1) = 2x − 1 7 3 x log (3− ) 5) 5 log (9 − 2 ) = 5 x
6) log (3.2x − 1) − 2x − 1 = 0 2 2
7) log (12 − 2x ) = 5 − x 8) log (26 3x − ) = 2 2 5 x + x + 9) 1 log (5 − 25x ) = 2 10) 1 log (3.2 − 5) = x 2 4 x + x + 11) 1 log (5 − 25x ) = −2 12) 1 log (6 − 36x ) = −2 1 1 6 5
HT 28: Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc mũ hoá): 1) 2 log
(x − 2x + 65) = 2 2) 2 log
(x − 4x + 5) = 1 5 x − x − 1 3) 2
log (5x − 8x + 3) = 2 4) 3 2 log
(2x + 2x − 3x + 1) = 3 x x 1 + 5) log − = 6) log (x + 2) = 2 − (x 1) 2 x 3 x 7) 2
log (x − 5x + 6) = 2 8) 2 log (x − x) = 1 2x x +3 9) 2
log (2x − 7x + 12) = 2 10) 2
log (2x − 3x − 4) = 2 x x 11) 2
log (x − 5x + 6) = 2 12) 2 log (x − 2) = 1 2x x 13) 2 log
(9x + 8x + 2) = 2 14) 2 log (x + 1) = 1 3x + 5 2x + 4 15 15) log = −2 16) log (3 − 2x) = 1 x 1 − 2x 2 x
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 14
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 17) log (x + 3) = 1 18) 2
log (2x − 5x + 4) = 2 2 x + 3x x
HT 29: Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ): 1) 2 2
log x + log x + 1 − 5 = 0 2) 2 log
x + 3 log x + log x = 2 3 3 2 1/2 2 7 2 x 3) log 2 − log x + = 0 4) 2 log 4x + log = 8 x 4 6 1 2 8 2 5) 2 log
x + 3 log x + log x = 0 6) log 16 + log 64 = 3 2 1/2 2 2 2x x 1 1 7) log x − log = 2 8) log x − log = 2 5 x 5 7 x 7 1 9) 2 log x − 2 = log
10) 3 log x − log 4x = 0 5 x 5 2 2
11) 3 log x − log 3x − 1 = 0 12) 3 3 log
x + log x = 4 / 3 3 3 2 2 1 13) 3 3 log
x − log x = −2 / 3 14) 2 log x + 2 log = 0 2 2 2 4 x 15) 2 log (2 − x) − 8 log (2 − x) = 5 16) 2
log x + 4 log 5x − 5 = 0 2 1/4 5 25 9 17) 2 log 5 + log 5x = + log
5 18) log 3 + log x = 1 x x 4 x 2 9 x 1 2 1 3 19) + = 1 20) + = 1 4 − lg x 2 + lg x 5 − lg x 3 + lg x 21) 2 3 log x −14 log x + 40 log x = 0 2x 16x 4x
HT 30: Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ): log x log 6 1) 2
log x + (x −12)log x + 11 − x = 0 2) 2 2 2 6.9 + 6.x = 13.x 3 3 3) 2
x. log x − 2(x + 1).log x + 4 = 0 4) 2
log x + (x − 1)log x = 6 − 2x 2 2 2 2 5) 2
(x + 2)log (x + 1) + 4(x + 1)log (x + 1) − 16 = 0 6) log (2 + x) + log x = 2 3 3 2 x 2 x − 7) 2
log (x + 1) + (x − 5)log (x + 1) − 2x + 6 = 0
8) 4 log x − 1 − log x = 4 3 3 3 3 9) 2 2
log (x + 3x + 2) + log (x + 7x + 12) = 3 + log 3 2 2 2
HT 31: Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ):
1) log x = log ( x + 2)
2) log (x − 3) + log (x − 2) = 2 7 3 2 3
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 15
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 log x
3) log (x + 1) + log (2x + 1) = 2 4) log ( 6 x + 3 ) = log x 3 5 2 6 log x +3 7 ( ) 5) 4 = x
6) log (1 + x ) = log x 2 3 log 9 2 log log 3 7) 2 2 2 = .3 x x x − x 8) 2 2 log
(9 + 12x + 4x ) + log
(6x + 23x + 21) = 4 3x +7 2x +3 9) log ( 2
x − x −1).log ( 2
x + x −1) = log ( 2 x − x −1) 2 3 6
HT 32: Giải các phương trình sau (sử dụng tính đơn điệu): log 3 log 5 2 log x log x 1) 2 2 x + x = x (x > 0) 2) 2 2 x + 3 = 5
3) log (x + 3) = 3 − x
4) log (3 − x) = x 5 2 log x 5) 2
log (x − x − 6) + x = log (x + 2) + 4 6) 2 x + 2.3 = 3 2 2 7) 4(x 2) log (x 3) log (x 2) − − + − = 15(x + 1)  2 3 
HT 33: Giải các phương trình sau (đưa về phương trình tích):
1) log x + 2.log x = 2 + log x.log x
2) log x.log x + 3 = 3.log x + log x 2 7 2 7 2 3 3 2 2 3) 2(log x = log x.log 2 + 1 − 1 9 ) ( x ) 3 3
HT 34: Giải các phương trình sau (phương pháp đối lập): 1) 2 3
ln(sin x) −1 + sin x = 0 2) log ( 2 x + x − ) 2 1 = 1 − x 2 x + − x 8 3) 2 1 3 2 2 + 2 = 2
log (4x − 4x + 4) 3
HT 35: Tìm m để các phương trình sau:
1) log (4x − m) = x + 1 có 2 nghiệm phân biệt. 2 2) 2
log x − (m + 2).log x + 3m − 1 = 0 có 2 nghiệm x 3 3
1, x2 thoả x1.x2 = 27. 3) 2 2 2 2
2 log (2x − x + 2m − 4m ) = log (x + mx − 2m ) có 2 nghiệm x
x + x > 1 . 4 2 1, x2 thoả 2 2 1 2   4) 2 2
log x + log x + 1 − 2m −1 = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 3 1  ; 3   3 3  . 5) 4(log
x )2 + log x + m = 0 có nghiệm thuộc khoảng (0; 1). 2 2
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 16
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
VẤN ĐỀ VI: HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT
Khi giải hệ phương trình mũ và logarit, ta cũng dùng các phương pháp giải hệ phương trình đã học như: • Phương pháp thế.
• Phương pháp cộng đại số.
• Phương pháp đặt ẩn phụ. • …….
HT 36: Giải các hệ phương trình sau: x  + 2y = 5  x  2  = 4y  1)   2)   x  − 2y = 1 x  4  = 32y   x  − 3y = 1  y 1 −  x  = 8  3)   4)  2  x  + 3y = 19 2y 6 −  x  = 4  
HT 37: Giải các hệ phương trình sau: 4  x  − 3y = 7  x y  2  + 3 = 17  1)   2)   4x  .3y = 144 x y  3  .2 − 2.3 = 6    x + y 2  x  + 2.3 = 56  2x+2 2y +2 3  + 2 = 17  3)   4)   x + y + 1 x 1 + y 3  .2x + 3 = 87 2  .3 + 3.2 = 8      x  1 2 2  3 +  − 2y = −4  2(x 1 − ) x 1 − y 2 4  − 4.4 .2 + 2 y = 1 5)   6)   x 1 + y 1 2 3  − 2 + = −1 2y x 1 − . 2  − 3.4 .2y = 4    2 2  c  ot x = 3y  2 y x −  (  x + y)2 = 1 7)    8)  c  os 2 x = 2y  2 x y −   9  (x + y) = 6   2 3 x  − 2y = 77  x y  2 
− 2 = (y − x)(xy + 2)  9)   10)   3x  − 2y = 7 2 2  x  + y = 2  
HT 38: Giải các hệ phương trình sau: 3  x  = 2y + 1  x  3  + 2x = y + 11  1)   2)   3y  = 2x + 1 y  3  + 2y = x + 11   2  x
− 2y = y − xx 1 −  7  = 6y − 5  3)   4)   2 2 x  + xy + y = 3 y 1 −  7  = 6x − 5  
HT 39: Giải các hệ phương trình sau:
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 17
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 x  + y = 6   l
 og y + log x = 2  1) x  2) y  l
 og x + log y = 3  x  + y = 6 2 2   x  + log y = 4  2 2   x − y = 3  3) 2  4)  2
x − log y = 2  l
 og x + y − log x − y = 1  3 ( ) 5 ( ) 2   x  y = 32  lo  2 g y  l  og x + 2 = 3 5)  6)  3  l  og x = 4 y   yx = 9  2
 (log x + log y) = 5  
x − 1 + 2 − y = 1 7) y x  8)  xy = 8 2 3   
3 log (9x ) − log y = 3  9 3  1 2
 log x − log y = 0 y  − log x = 1  9) 3 3 2 10) 3   3 y 12 2  x  = 3
x + y − 2y = 0  
HT 40: Giải các hệ phương trình sau: l
 og (3x + 2y) = 2   l
 og (6x + 4y) = 2  1)  x x  2)  l
 og (2x + 3y) = 2  l
 og (6y + 4x) = 2 y   y    x  l  og 1  
 −  = 2 − log y 2    2    2 l
 og x − log y = 1  3)   y   4) y 2  l  og x + log y = 4  l
 og x − log y = 1 3 3   4 4   2 2  l   log y log x  og  2 2  ( 2 2 x + y + 6 = 4 x  + y = 16 2 ) 5)  6)   l
 og x + log y = 1  l
 og x − log y = 2 3 3   2 2   log y log x   log y log x 3 3 x   + 2.y = 27 2 2 3  .x + 2.y = 10 7)    8)  l
 og y − log x = 1 2  l
 og x + log y = 2 3 3   4 2  l  og xy = 4  2 ( ) l  og x + y − =   x (2 2) 2 9)   10) x   l  og y + x − =    l  og   = 2 y (2 2) 2   2    y  
HT 41: Giải các hệ phương trình sau: l
 g x + lgy = 4  x 2 − yx  = 36  1)   2) lg yx  = 1000  4
 (x − 2y)+ log x = 9  6 
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 18
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899  y x − 5  lg x lg y (    x + y)3 = 3 = 4  3)    27 4)   lg 4 lg 3 3  log ( 
x + y) = x − y (4x) = (3y)   5   2
 log x − 2 log y + 5 = 0  2  1  x    5)      y   2 xy = 32 
HT 42: Giải các hệ phương trình sau:  x − 2y   log xx − y  1 2 4 2  = y (  3)   =   1)   2)  3 l
 og x − log y = 1   2 2  l
 og (x + y)+ log (x −y) = 4 2 2    x y log y log x  3  .2 = 18 8 8 x  + y = 4  3)   4) l  og (x + y) l
 og x − log y = 1 = −1   1 4 4   3  x 2 − y   ( x y   +   )x y− 1 3   =   y x  5)   4  = 32 3 6)    l
 og (x + y) + log (x −y) = 4 l
 og x − y = 1 − log x + y  3 ( ) 3 ( )  2 2   3  x  .2y = 972  x − y  3  .2 = 1152  7)   8)  l  og  (x −y) = 2 l  og  (x + y) = 2  3   5  (   log xy log 2  + )x = ( −  3 3  )y x y x y 4  = 2 + (xy) 9)  10)   l  2 2
 og x − log y = 1 x
+ y − 3x − 3y = 12 2 2    log y log x   2  3 3 x  + 2y = 27 log xy = log xx y 11)    12)
 log y − log x = 1 2 log xy y  = y 3 3  4 + 3 
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 19
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
VẤN ĐỀ VII: BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
• Khi giải các bất phương trình mũ ta cần chú ý tính đơn điệu của hàm số mũ.  a  > 1 
f(x)> g(x)  f (x ) g(x ) a a  > ⇔   0  < a < 1 
f(x) < g(x)  
• Ta cũng thường sử dụng các phương pháp giải tương tự như đối với phương trình mũ:
– Đưa về cùng cơ số. – Đặt ẩn phụ. – ….
Chú ý: Trong trường hợp cơ số a có chứa ẩn số thì: M N a > a
⇔ (a −1)(M − N ) > 0
HT 43: Giải các bất phương trình sau (đưa về cùng cơ số): 6 3 x − x − 1 x 2 − x 1 + 1 − x 2     x − 2x 1 1 1     1) 3   ≥     <    2)      3 2 2 x + 2 x + 3 x + 4 x + 1 x + 2 x 1 x 2 3) 2 − 2 − 2 > 5 − 5 4) 3 x − − + 3 − 3 < 11 2 2 5) x 3 − x 2 + x 3 − x +2 9 − 6 < 0 6) 2x +3 x +7 3x 1 − 6 < 2 .3 2 2 2 x + 1 7) 2 x 2 4 + .2 + 3.2 > .2x x x x + 8x + 12 8) 2 x 1+ x x 2 6.x + 3 .x + 3
< 2.3 .x + 3x + 9 9) x x 1 + x 2 + x x 1 + x 2 9 9 9 4 4 4 + + + < + + 10) x 1 + x +3 x +4 x +2 7.3 + 5 ≤ 3 + 5 x 2 + x 1 + x x 2 x −1 x + 2 11) 2 5 2 5 + + < + 12) 2 .3 > 36 x 3 − x 1 + x x 1 + 13) ( + )x 1 − < ( − )x +3 10 3 10 3 14) ( ) ( )x 1 2 1 2 1 − + ≥ − 1 1 1 15) x 1 ≤ 2 − 16) 2x 1 − 3x 1 2 2 + ≥ 2 x 2 2 − x
HT 44: Giải các bất phương trình sau (đặt ẩn phụ): 1 1 − 1 − 2 1) 2.14x 3.49x 4x + − ≥ 0 2) 4x − 2x − 3 ≤ 0 2(x − 2) 2(x − 1) 4 4 3) x 3 4 − 2 + 8 > 52 4) x + x 1 8.3
+ 9 + x > 9 x
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 20
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 2x + 1 x + 1 5) 25.2x 10x 5x − + > 25 6) 5 + 6
> 30 + 5x.30x 7) 6x 2.3x 3.2x − − + 6 ≥ 0 8) 27x 12x 2.8x + > 1 1 1 x 9) 49x 35x 25x − ≤ 10) x 1 + 2x 1 + 2 3 − 2 −12 < 0 2 2 2 11) 2x x − 1 + 2x x − 1 + 2 25 9 34.25 x x − + ≥ 12) 2x x + x +4 x +4 3 − 8.3 − 9.9 > 0 x x x + x − 1 x + x − 1 + 13) 1 4 − 5.2 + 16 ≥ 0
14) ( 3 + 2 ) + ( 3 − 2 ) ≤ 2 2 1 + 1  3x x − 1 1 x  1x 1 1 15)         + 3    > 12  16)   −   − 128 ≥ 0     3    3 4 8 1 + 1 1 2 − 2x + 17) 2x + 2 x < 9 18) ( 1 2 − 9.2x + 4) 2
. x + 2x − 3 ≥ 0
HT 45: Giải các bất phương trình sau (sử dụng tính đơn điệu): x 1 2 x − − 2x + 1 1) x 2 2 < 3 + 1 2) ≤ 0 2x − 1 x x 2 2.3 2 + − 3) ≤ 1 4) x +4 2x +4 3 + 2 > 13 3x − 2x 2 3 x − + 3 − 2x 3x + x − 4 5) ≥ 0 6) > 0 4x − 2 2 x − x − 6 2 2 x 2 x
7) −3x − 5x + 2 + 2x > 3 .2x −3x − 5x + 2 + (2x) 3
HT 46: Tìm m để các bất phương trình sau có nghiệm: 1) 4x − .2x m + m + 3 ≤ 0 2) 9x − .3x m + m + 3 ≤ 0 2 2 x x 1 −
3) 2x + 7 + 2x − 2 ≤ m 4) ( 2 + ) 1 + ( 2 − ) 1 + m = 0
HT 47: Tìm m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với: 1) (3
+ 1).12x + (2 − ).6x + 3x m m < 0 , ∀x > 0. 2) x x 1 (m 1)4 2 + − + + m + 1 > 0 , ∀x. 3) .9x − (2 + ) 1 6x + .4x m m m ≤ 0 , ∀x ∈ [0; 1]. 4) x x 2 m.9 (m 1).3 + + −
+ m −1 > 0 , ∀x. cos x cos x 5) + ( m + ) 2 4 2 2 1 2
+ 4m − 3 < 0 , ∀x. 6) x x 1 4 3.2 + − − m ≥ 0 , ∀x.
7) 4x − 2x − m ≥ 0 , ∀x ∈ (0; 1)
8) 3x + 3 + 5 − 3x ≤ m , ∀x. 9) 2.25x − (2 + 1).10x + ( + 2).4x m m ≥ 0 , ∀x ≥ 0. 10) x 1 4 − − .(2x m + 1) > 0 , ∀x.
HT 48: Tìm m để mọi nghiệm của (1) đều là nghiệm của bất phương trình (2):
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 21
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899  2 1  + 1    1 2 1 x 1x       1 +     +   x x  1) 3 > 12 (1)  2  − 2 > 8 (1) 3   3 2)    2 2 (  4
x − 2mx − (m − 1) < 0 (2)  m − )2 2
2 x − 3(m − )
6 x − m − 1 < 0 (2)  
VẤN ĐỀ VIII: BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
• Khi giải các bất phương trình logarit ta cần chú ý tính đơn điệu của hàm số logarit.  a  > 1 
f(x)> g(x)> 0  log f (x) log g(x)  > ⇔ a a   0  < a < 1  0  
< f (x) < g(x)  
• Ta cũng thường sử dụng các phương pháp giải tương tự như đối với phương trình logarit:
– Đưa về cùng cơ số. – Đặt ẩn phụ. – ….
Chú ý: Trong trường hợp cơ số a có chứa ẩn số thì: log A
log B > 0 ⇔ (a − 1)(B − 1) > 0 ; a
> 0 ⇔ (A − 1)(B −1) > 0 a log B a
HT 49: Giải các bất phương trình sau (đưa về cùng cơ số):
1) log (1 − 2x) < 1 + log (x + 1)
2) log 1 − 2 log x < 1 2 ( 9 ) 5 5 3) log
5 − x < log (3 − x)
4) log log log x > 0 1 1 2 1 5 3 3 3 1 + 2x 5) log (log ) > 0 6) ( 2
x − 4)log x > 0 1 2 1 + x 1 3 2   2 log x log x 7) log log ( 2 x − 5) > 0 6 6 6 + x ≤ 12 1  4  8) 3 (log x 2 )2 log x
9) log x + 3 ≥ 1 + log x − 1 10) 2 2 + x 2 ( ) 2 ( ) 2
11) log log x  ≥ 0
12) 2 log (x − 2) + log (x − 3) > 3  1      8 1  3 2  8
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 22
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899     13) log log ( 2
x + 1 + x ) > log log ( 2
x + 1 − x ) 1  5  3 1   3  5 
HT 50: Giải các bất phương trình sau: ( 2 3 2 lg x − ) 1 log (x + ) 1 − log (x + ) 1 1) < 1 2) 2 3 > 0 lg(1 − x ) 2 x − 3x − 4 ( 2 lg x − 3x + 2) log x 5 log 2 log x 3) > 2 4) 2 x 2 x x − + − 18 < 0 lg x + lg 2 3x − 1 x 5) log > 0 6) 2
log x.log x < log x + log x 2 3 2 3 2 x + 1 4
7) log (log (2x − 4)) ≤ 1 8) log (3 − x) > 1 x 4 2 3x x − 9) log ( 2
x − 8x + 16) ≥ 0 10) log ( 2
x − 5x + 6) < 1 x 2x 5  x 1 − 11) log log  > 0 12) log x + > x + x − ( ) 1 log 1 2 1 ( ) x +6 2    x + 2 x 1 − 3 13) 2
(4x − 16x + 7).log (x − 3) > 0
14) (4x − 12.2x + 32).log (2x − 1) ≤ 0 3 2
HT 51: Giải các bất phương trình sau (đặt ẩn phụ):
1) log x + 2 log 4 − 3 ≤ 0
2) log (1 − 2x) < 1 + log (x + ) 1 2 x 5 5
3) 2 log x − log 125 < 1 4) log 64 + log 16 ≥ 3 5 x 2 2x x
5) log 2.log 2.log 4x > 1 6) 2 2
log x + log x < 0 x 2x 2 1 1 2 4 2 log x log x 1 2 7) 4 2 + > 8) + ≤ 1 2 1 − log x 1 + log x 4 + log x 2 − log x 2 2 1 − log x 2 2 2 9) 2
log x − 6 log x + 8 ≤ 0 10) 2
log x − 4 log x + 9 ≥ 2 log x − 3 1 2 3 3 3 2 1 2 11) 2 2
log (3x + 4x + 2) + 1 > log (3x + 4x + 2) 12) + < 1 9 3 5 − log x 1 + log x 5 5 1 13) 2
1 − 9 log x > 1 − 4 log x 14) log 100 − log x > 0 1 1 x 100 2 8 8 2 1 + log x 1 15) 3 > 1 16) log 2. log 2 > 1 + log x x x log x − 6 3 2 16
HT 52: Giải các bất phương trình sau (sử dụng tính đơn điệu): 2 1) (x + 1 l
) og x + (2x + 5)log x + 6 ≥ 0 2) log (2x 1) log (4x + + + 2) ≤ 2 0,5 0,5 2 3 5 + x lg 3 2 3) > 4) 5 − x < 0 log x +1 log x +1 2x − 3x + 1 2 ( ) 3 ( )
HT 53: Tìm m để các bất phương trình sau có nghiệm: 1 1) log ( 2
x − 2x + m) > −3 2) log 100 − log 100 > 0 1/2 x 2 m
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 23
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 1 2 2 1 + log x 3) + < 1 4) m > 1 5 − log x 1 + log x 1 + log x m m m
5) log x + m > log x 6) 2 2 log (x − 1) > log (x + x − 2) 2 2 x m − x m −
HT 54: Tìm m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với: a) log ( 2 7x + 7) ≥ log ( 2
mx + 4x + m) , ∀x 2 2   b) 2
log  x − 2x + m  + 4 log   ( 2
x − 2x + m ≤ 5 , ∀x ∈[0; 2] 2 2 )   c) 2 2
1 + log (x + 1) ≥ log (mx + 4x + m) , ∀x. 5 5  m   m   m  d)   2 2  − log x − 2 1  + log x − 2 1     + log  > 0 , ∀x 1   1  +    1 1   +    m 1 m   1 + m   2   2   2  ÔN TẬP
HT 55: Giải các phương trình sau: 2x 1 − x 1 2 .4 + 1) = 64 2) 3x 1 − 8x 2 9 3 − = x 1 8 − 2 x +0,5 x 1 + x +2x 1 − 1 9 0,2 (0, 04)x 5  9  5 3) = 4)     .      =   25       5 3 25 3 x + 1 2 5) 2 x 1 + x 1 7 .7 14.7 − − − + 2.7x = 48 6) ( x 7 − ,2x +3,9 3
− 9 3)lg(7 − x) = 0 7 2  1  x 1 −     x x 7) x +3 2 2  (2 ) x  = 4 8) x 1 5 . 8 − = 500 1 2 1− lg x 1 9) 3 x = 10) lg x 2 x = 1000x 3 100 lg x +5 log x 1 − 11) 5+lg 3 = 10 x x 12) ( x ) 3 = 3
HT 56: Giải các phương trình sau: 2 2 2 2 1) x 2 + x 2 4 9.2 + − + 8 = 0 2) x− x 5 − x 1 − − x 5 4 12.2 − − + 8 = 0 1 3 3+ 3) 64.9x 84.12x 27.16x − + = 0
4) 64x − 2 x + 12 = 0
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 24
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 2 2 5) x 1 − x 3 9 36.3 − − + 3 = 0 6) 4x +8 2x +5 3 − 4.3 + 28 = 2 log 2 2 x x 7) 2x 1 + x +2 x 2(x 1 + ) 3 = 3 + 1 − 6.3 + 3
8) ( 5 + 24 ) + ( 5 − 24 ) = 10 1+log x 1+log x 2 9) 3 3 9 − 3 − 210 = 0 10) lg x 1 + lg x lg x +2 4 − 6 − 2.3 = 0 2 2 11) sin x cos 2 4.2 x + = 6 12) lg(tan x) lg(cot x ) 1 3 2.3 + − = 1
HT 57: Giải các bất phương trình sau: 6 5 − x  2+5 2 x x 25 1 2 − −1 1)     <  2) < 2 5 4 x 1 2 + + 1 2 3) 2 x 2 .5 5 x x + − < 0 4) lg x 3 lg x 1 x − + > 1000 x 4x + 2x − 4 x 2 3 − 2 5) ≤ 2 6) 8. > 1   +   x − 1   3x 2x 3 − 2 log (x 1 − ) 2 1 7) x +2 x +3 x +4 x 1 + x +2 2 − 2 − 2 > 5 − 5 8)     > 1  2 x +2 1 2   x + − 2 1 −x   2 1 x 1   9)     > 9  10)   > 3 3 27 2x 1 + −3   x x 1 1 x − 1     11)       >        12) 72 1 1 3 .  .  > 1 5    5 3    3
HT 58: Giải các bất phương trình sau: 1) x 2 4 2.5 x 10x − − > 0 2) x − x − 1 25 5 + − ≥ 50 1 1 1 − − − 2
3) 9.4 x + 5.6 x < 4.9 x 4) lg x 2 + lg x +5 3 < 3 − 2 2x +3   5) x 1
4 + − 16x < 2 log 8 6) 2x 1 + 1 2 − 21.    + 2 ≥ 0 4 2 2(x 2 − ) 2−3x   7) x 2(x 1 − ) 3 4 − 2 + 8 > 52 8) 4−3x 1 3 − 35.    + 6 ≥ 0  3 9) x x +2 9 − 3 > 3x − 9 10) 9x 3x 2 9 3x + − ≥ −
HT 59: Giải các phương trình sau:
1) log (3x − 8) = 2 − x 2) 2 log
(x − 2x + 65) = 2 3 5 x −
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 25
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 3) log (2x 1) log (2x − + − 7) = 1 4) log (1 log (2x + − 7)) = 1 7 7 3 3 log lg x log (1 2 − x ) 5) 3 2 3
− lg x + lg x − 3 = 0 6) 3 2 9 = 5x − 5 log x 1 − 7) 1+lg x x = 10x 8) ( x ) 5 = 5 2 2 lg x +lg x 2 −  lg x +7 lg x  9)     = lg x lg x 1 4 +  10) x = 10  2   1    x − 3 x − 3 11) log log + + 9x x  = 2x 12) 2 log + 1 = log 3  9  2  3 3 x − 7 x − 1
HT 60: Giải các phương trình sau: 1) ( )2 2 log 5 − 3 log 5 + 1 = 0 2) log x − 3 log x + 2 = 0 x x 1/3 1/3 3) 2 log x + 2 log x − 2 = 0 4) 3 + 2 log 3 = 2 log (x + 1) 2 2 x 1 + 3 5) log ( 2 9x ) 2 .log x = 4 6) log ( 2 log x − 3 log x + 5 = 2 3 1/2 1/2 ) x 3 9 7) 2 2 2
lg (100x) − lg (10x) + lg x = 6 8) 2 2
log (2x ).log (16x) = log x 2 2 2 2 9) log (9x + 9) = + log (28 − 2.3x x ) 10) x x x 1 log (4 4) log 2 log (2 + + = + − 3) 3 3 2 2 2
HT 61: Giải các bất phương trình sau: 2x − 6 1) 2
log (x − 5x + 6) > 1 − 2) log > 0 0,5 7 2x −1 2 − 3x
3c) log x − log x − 3 < 0 4) log ≥ −1 3 3 1/3 x 2 5) log (2 − x) > log 6)  2 log log (x 5) − > 0 1/4 1/4   x + 1 1/3 4  2 x − 4 log (x + 1) 7) < 0 8h) 2 > 0 2 log (x − 1) x − 1 1/2 x +5 log 2 log (x +8x 1 + 5) 1/3 2 9) 2 2 −x < 1 10) x +3 (0,5) > 1
HT 62: Giải các hệ phương trình sau: 2  (x y − ) 1 4 −  x y  = 1  4 + = 128  x y  2  + 2 = 12  1)   2)   3)   3x 2 − y−3  5x y + = 125 5  = 1  x + y = 5   
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 26
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 3
 .2x + 2.3x = 2,75  xx y  7  − 16y = 0   3 .2 = 972  4)   5)   6)  
2x − 3y = −0, 75 x  4  − 49y = 0 l
 og (x − y) = 2    3   x 5y x −   2x y 2  2 y x − y y  3  − 2 = 77  (  x + y)2 = 1 7) 4  − 3.4 = 16  8)    9)   x y/2 2  3  − 2 = 7  9( 2 x + y) x y − x = 6  − 2y = 12 − 8      
HT 63: Giải các hệ phương trình sau:  l
 og x − log y = 0
log (x − y) = 2  lgy   3  x  = 2  1) 4 2    2) 3) 2 2  7  x  − 5y + 4 = 0    xy = 20 
log x − log y =  4 x    6   l  og 1 1 2  x + 2 log y = 3 log 2 log yx 5   − = 3  = y 4) 2 2    5)  6) 2 4 x y 15  x + y = 16 log 3 log x   y  7  l
 og x + log y = 1 + log 5 2  = x  3 3 3     x y 9 2 2 l  g( 
x + y ) − 1 = lg13    + = xy = 8  7)    8) 2 2 y x 8 9)  l
 g(x + y) − lg(x − y) = 3 lg 2   2
 (log x + log y) = 5  l  og x + log y = 3  y x  2  2   x y  2
 log x − 3y = 15 +  x y    y x  3 .2 = 576  10)  2   11) 4 = 32  12) y y 1 3
 .log x = 2 log x + 3 +   l
 og (y − x) = 4 2 2  l
 og (x − y) = 1 − log (x + y)   3 3   2 
HT 64: Giải các phương trình sau: 2 2 x 1 − − x −5 1) x− x 5 − 1 − 2.2 +8=0 4 2) 2
(x + 1)log x − 4x log x − 16 = 0 3 3 1 3) 2
log (x − 1) + log (x + 4) = log (3 − x) 4) 2 2
log (x + 2x + 1) = log (x + 2x) 2 1 2 2 3 2 2 5) 2 3 2
3x − 2x = log (x + 1) − log x 6) log .
x log x = log x + log x 2 2 5 3 5 3 3 3 x 1 7) x x 1 log (2 1).log (2 + + + 2) = 6 8) log .log x − log = + log x 2 2 3 2 3 2 x 2 3 1 89x 25   9) 3 + = log  −  10) 2 2 log
x + log x = log 4x log x x  2 2x  0,5 2 x 32 3 11) 2 3 3
log (x + 2) − 3 = log (4 − x) + log (x + 6) 1 1 1 2 4 4 4 12) 2 3 log (x + 1) + 2 = log
4 − x + log (4 + x) 4 8 2
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 27
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 Đ 9 1 /s: 1) x = ; x = 3 2) x = ; x = 3
3) x = − 11; x = −1 + 14 4 81 4) x = −1 ± 3 5) Đánh giá x = 1
6) x = 1; x = 15 3 5 7) log 3 8) x = 1; x = 9) x = 2 8 8 1 1 10) x =
; x = ; x = 2 11) x = 2; x = 1 − 33
12) x = 2 − 24; x = 2 4 2
HT 65: Giải các bất phương trình sau: (log x 2 )2 log x
1) 2 log x − log 125 < 1 2) 2 2 + x ≤ 4 5 x 2 2
log (x + 3) − log (x + 3) 1 1 2 2 2 3) 2 x 1 + x 2 4 + .2 + 3.2 > .2x x x x + 8x + 12 4) 2 3 > 0 x + 1 2 log x + 3 5) 1+ x x 1 8 + 2 − 4 + 2 +x > 5 6) 2 > 2 log x + 3 2 3x x −1 3 7) log (3 − 1)log ≤
8) (x + 1)log x + (2x + 5).log x + 6 ≥ 0 4 1 16 4 1 1 4 2 2 1 1 9) + > 0 log (2x − 1) 2 1 log x − 3x + 2 2 2  1 Đ  
/s: 1) x ∈ 0;  ∪   2) x ∈ (0;+ ) ∞ 3) x ∈ (− 2;− ) 1 ∪ ( 2;3)   (1;5 5)  5 1 1   4) (−2;−1) 5) (0;2] 6)  ;   8 2  1 13  3 5  +  +  7)(0;1) ∪ (3; + ) ∞ 8)(0;2] ∪ [4;+ ) ∞ 9)  ;1   ∪  ;  +∞     6   2        
HT 66: Giải các hệ phương trình sau:  log (xy) log 3  2 2 9  2 2  = 3 + 2.(xy) l
 og (x + y ) = 5  1)   2) 2  2 2
x + y = 3x + 3y + 6  2
 log x + log y = 4   4 2   2x−y  2x−y  2  x
+ log y + 2x log y = 5      2  2 2         +   3)  2 2 3. 7. − 6 = 0  4)        x 2   4  + log y = 5  3 3  2 
lg(3x − )y+ lg(y + x)−4lg2 = 0 
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 28
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899x y  l
 og x + 3 3 − log y = 5 +  y x  5) 2 3  6) 4  = 32  3
 log x −1 − log y = −1  2 3  l
 og (x − y) = 1 − log (x + y)  3 3   5 ∓ 17 5 17  ±  Đ/s: 1)  ;    2) (4;4) 3) (2; 4);(4;2)  2 2      4)(2;2) 5)(4; 81) 6) (2;1)
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 29
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
TUYỂN TẬP ĐỀ THI CÁC NĂM HT 67: (D – 2011) 2 log (8 − x ) + log
1 + x + 1 − x − 2 = 0 (x ∈ ℝ) Đ/s: x = 0 2 1 ( ) 2 l
 og (3y −1) = x   1   HT 68: (B – 2010) 2 
(x,y ∈ ℝ) Đ/s: 1 −  ;  x x 2 4  + 2 = 3   y   2    2 x
− 4x + y + 2 = 0  HT 69: (D – 2010) 
(x,y ∈ ℝ) Đ/s: (3;1) 2
 log (x − 2) − log y = 0  2  2   2 2 l
 og (x + y ) = 1 + log (xy)  HT 70: (A – 2009) 2 2 
(x,y ∈ ℝ) Đ/s: (2;2),( 2 − ; 2 − ) 2 2 3x x − y y +  = 81  x  = 2  HT 71: (A – 2008) 2 2 log
(2x + x − 1) + log
(2x − 1) = 4 Đ/s:  2x 1 − x 1 + 5 x  =  4  2 x x   +  HT 72: (B – 2008) log log    < 0 Đ/s:( 4 − ; 3 − ) ∪ (8;+ ) ∞ 0,7 6 x + 4      2 x − 3x + 2   HT 73: (D – 2008) log
≥ 0 Đ/s: 2 − 2;1 ∪ (2;2 + 2) 1   x   2 3
HT 74: (A – 2007) 2 log (4x − 3) + log (2x + 3) ≤ 2 Đ/s: < x ≤ 3 3 1 4 3 x x
HT 75: (B – 2007) ( 2 − ) 1 + ( 2 + )
1 − 2 2 = 0 Đ/s: x = 1 ± x x 1
HT 76: (D – 2007) log (4 + 15.2 + 27) + 2 log = 0 Đ/s: x = log 3 2 2 4.2x − 3 2
HT 77: (A – 2006) 3.8x 4.12x 18x 2.27x + − − = 0 Đ/s: x = 1 HT 78: (B – 2006) x x 2 log (4 144) 4 log 2 1 log (2 − + − < +
+ 1) Đ/s: 2 < x < 4 5 5 5
HT 79: (D – 2006) Chứng minh rằng với mọi a > 0 hệ có nghiệm duy nhất:  x y e
−e = ln(1 + x) − ln(1 + y)   y  − x = a   1 l
 og (y −x)− log = 1 1 4 HT 80: (A – 2004)  y  Đ/s: (3;4) 4  2 2 x  + y = 25   2 2 x = −1
HT 81: (D – 2003) x x − 2 2 2 +x x − − = 3 Đ/s:  x = 2 
HT 82: (A – 2002) Cho phương trình 2 2
log x + log x + 1 − 2m −1 = 0 (Với m là tham số) 3 3
a. Giải phương trình với m = 2 Đ/s: ± 3 x = 3
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 30
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899  
b. Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 3 1
 ; 3  Đ/s: 0 ≤ m ≤ 2   HT 83: (B – 2002) log −
≤ Đ/s: log 73 < x ≤ 2 x (log (9x 72) 1 3 ) 9
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 31

Tài liệu liên quan: