Chuyên đề phương trình mũ và logarit – Nguyễn Thành Long

Tài liệu chuyên đề phương trình mũ và logarit của tác giả Nguyễn Thành Long gồm 179 trang, gồm các dạng bài toán phương trình – bất phương trình – hệ phương trình – phương trình chứa tham số mũ và logarit có hướng dẫn và lời giải chi tiết. 

96 48 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit (KNTT)

Môn: Toán 11

Thông tin:

46 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Kim Oanh
Chuyên đề 6:Phương trình, hệ phương trình mũ và logarit
402
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Email : dangnamneu@gmail.com
Yahoo: changtraipkt
Mobile: 0976266202
CHUYÊN ĐỀ 6:
PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ
VÀ LOGARIT
Chuyên đề 6:Phương trình, hệ phương trình mũ và logarit
403
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
PT-HPT MŨ, LOGRARIT
404
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Email : dangnamneu@gmail.com
Yahoo: changtraipkt
Mobile: 0976266202
KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Hàm số mũ
(0 1)
x
y a a
Hàm số logarit
log (0 1, 0)
a
y x a x
+ Các công thức lũy thừa
Với , 0; ,a b m n
ta có
m n m n
n
m mn
a a
m
m m
ab a b
m
m n
n
a
a
a
m
n
m
n
a a
+ Các công thức biến đổi logarit
log 0 1, 0
c
a
b c a b a b
Với
1 2
0 , 1; , ,a b x x
ta có
1 2 1 2
log log log
a a a
x x x x
1
1 2
2
log log log
a a a
x
x x
x
log log
a a
x x
log
a
x
a x
1
log log
a
a
x x
1
log
log
a
b
b
a
Công thức đổi cơ số
log
log
log
b
a
b
x
x
a
Giải phương trình mũ
Đưa về cùng cơ số
( ) ( )
0 1
( ) ( )
f x g x
a
a a
f x g x
PT-HPT MŨ, LOGRARIT
405
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
( )
0 1
0
( ) log
f x
a
a
a b b
f x b
+ Nếu
( )
a a x
là hàm phụ thuộc vào biến
x
thì rõ ràng
1
a
cũng có thể là nghiệm
Khi đó phương trình tương đương với
( ) ( )
0
1 ( ) ( ) 0
f x g x
a
a a
a f x g x
+ Lấy logarit hóa 2 vế
( ) ( )
( ).log ( ).log
f x g x
c c
a b f x a g x b
mục đích là làm xuất hiện nhân tử chung ở cả
( )
f x
và
( ).
g x
Bất phương trình mũ – logarit
Dạng 1:
( ) ( )
0
1 ( ) ( ) 0
f x g x
a
a a
a f x g x
Dạng 2:
0 1
log ( ) log ( ) ( ) 0, ( ) 0
1 ( ) ( ) 0
a a
a
f x g x f x g x
a f x g x
Lưu ý: Điều kiện với hàm
( )
log ( )
f x
g x
là
0 ( ) 1
( ) 0
f x
g x
BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ
BÀI TẬP MẪU
Bài 1. Giải phương trình :
1 1
1
1
2 .4 . 16
8
x x x
x
.
Lời giải:
Phương trình đã cho tương đương với
2 1
1 4 6 4 4
3 1
1
2 .2 . 2 2 2 6 4 4 2.
2
x
x x x x
x
x x x
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất
2.
x
Bài 2. Giải phương trình:
2 1
7
1
8 0,25 2 .
x
x
x
Lời giải:
+ Điều kiện
1.
x
PT-HPT MŨ, LOGRARIT
406
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Khi đó phương trình tương đương với
3 2 1 3 2 1
7 7
2
2
1 1
2 2
3 2 1
7
2 2 .2 2 2 2
1 2
x x
x x
x x
x
x
x
2
1
7 9 2 0
2
7
x
x x
x
Vậy phương trình có 2 nghiệm là
2
;1 .
7
x
Bài 3. Giải phương trình:
3
log
1
2 2.
2
x
x x x
Lời giải:
Phương trình đã cho tương đương với
3
log
3
2
2
2 0
2
2
2 0
2
log 0 1
1
1
3
1
1
2
2
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x x
x
x
x
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất
2.
x
Bài 4. Giải phương trình:
3 1
1 3
10 3 10 3 .
x x
x x
Lời giải:
+ Điều kiện
1
3
x
x
Do
1
10 3
10 3
, nên phương trình đã cho tương với
3 1
2 2
1 3
3 1
10 3 10 3 1 9
1 3
x x
x x
x x
x x
x x
2
5 5.
x x
Vậy phương trình có 2 nghiệm là
5.
x
Bài 5. Giải phương trình:
2
1
1
3
2
2 2 4.
x
x
x
Lời giải:
+ Điều kiện
0 1
x
Khi đó phương trình tương đương với
PT-HPT MŨ, LOGRARIT
407
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
2 3
2
2 1
2
1
2 3
2
2 .2 2 2
1
2 1
x
x x
x
x
x
x x
4 2 3 4 1 4 10 6 0 3 9.
x x x x x x x x
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất
9.
x
Bài 6. Giải phương trình:
sinx 2 3 cos
2 2
2 2 .
x
x x x x
Lời giải:
Phương trình đã cho tương đương với
2
2
2
1 2(*)
2 0
1 0(1)
2 1 sinx 2 3 cos 0
sin 1(2)
3
x
x x
x x
x x x
x
1 5
(1)
2
x
thỏa mãn điều kiện (*).
(2) 2 2 ,
3 2 6
x k x k k
, ta phải có
1 2 2 0 .
6 6
k k x
Vậy phương trình có 3 nghiệm là
1 5
, .
2 6
x x
Bài 7. Giải phương trình:
2
2
4
3 5 2
2
3 6 9 .
x x
x x
x x x
Lời giải:
Phương trình đã cho tương đương với
2 2
3 5 2 2 4
3 3
x x x x
x x
2 2
2
3
3 0
4
4 0
3 1 3 5 2 2 4 0
5
7 10
x
x
x
x
x x x x x
x
x x
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là
4;5 .
x
Bài 8. Giải phương trình:
2 8
1
log 5 2log 3 1.
3
x x
Lời giải:
+ Điều kiện
3(*).
x
Khi đó phương trình tương đương với
PT-HPT MŨ, LOGRARIT
408
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
2
8 8
2
8
log 5 log 3 1
1
log 5 3 1 5 3 8 8 7 0
7
x x
x
x x x x x x
x
Chỉ có nghiệm
1
x
thỏa mãn điều kiện (*).
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất
1.
x
Bài 9. Giải phương trình:
4 2
2 1
1 1
log 1 log 2.
log 4 2
x
x x
Lời giải:
+ Điều kiện
1(*).
x
Khi đó phương trình tương đương với
4 4 2
2 2 2
2 2
2
1
log 1 log 2 1 log 2
2
1 1 1 1
log 1 log 2 1 log 2
2 2 2 2
log 1 2 1 log 2 2
1
1 2 1 2 2 2 3 5 0
5
2
x x x
x x x
x x x
x
x x x x x
x
Chỉ có nghiệm
5
2
x
thỏa mãn điều kiện (*).
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất
5
.
2
x
Bài 10. Giải phương trình:
2
3
3
log 1 log 2 1 2
x x
.
Lời giải:
+ Điều kiện
1
1(*).
2
x
Khi đó phương trình tương đương với
2 2
3 3
2 2 2 2
3
log 1 log 2 1 2
log 1 2 1 2 1 2 1 9
x x
x x x x
2
2
2
1 2 1 3
2 3 2 0
1
1 2 1 3
2 3 4 0
2
x
x x
x x
x
x x
x x
Chỉ có nghiệm
2
x
thỏa mãn điều kiện (*).
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất
2.
x
PT-HPT MŨ, LOGRARIT
409
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Bài 11. Giải phương trình:
2
2
log 2 2log 4 log 8
x x
x
.
Lời giải:
+ Điều kiện
1
0 , 1(*).
2
x x
Khi đó phương trình tương đương với
2 4 2 2 2
8
2 2 2
2 2
1 2 1 1 4 6
log log 2 log 1 log 1 log
log 2
1 2
1 log 2log log 1 2
log 1 log
x x x x x
x
x x x x
x x
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất
2.
x
Bài 12. Giải phương trình:
3
1 8
2
2
log 1 log 3 log 1 0.
x x x
Lời giải:
+ Điều kiện
1 3(*).
x
Khi đó phương trình tương đương với
2 2 2
log 1 log 3 log 1 0
x x x
2 2
log 1 3 log 1 1 3 1
x x x x x x
2
1 17
4 0
2
x x x
Chỉ có nghiệm
1 17
2
x
thỏa mãn điều kiện (*).
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất
1 17
.
2
x
Bài 13. Giải phương trình:
2 3
4 8
2
log 1 2 log 4 log 4 .
x x x
Lời giải:
+ Điều kiện
4 4
(*).
1
x
x
Khi đó phương trình tương đương với
2 2 2
log 1 2 log 4 log 4
x x x
2 2
2 2
log 4 1 log 16 16 4 1
x x x x
+ Với
1 4
x
phương trình trở thành
2
4 12 0 2.
x x x
PT-HPT MŨ, LOGRARIT
410
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
+ Với
4 1
x
phương trình trở thành
2
4 20 0 2 24.
x x x
Vậy phương trình có 2 nghiệm là
2, 2 24.
x x
Bài 14. giải bất phương trình:
1
log 2
4
x
x
Lời giải:
Bất phương trình đã cho tương đương với:
2
2
1
1 0
1 1
4
log log 1
4 4
1
, 1
4
x x
x x x
x x x
x x
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là
1
;1
4
S
.
Bài 15. Giải bất phương trình:
2
2
2
log 9 8
2
log 3
x x
x
Lời giải:
Điều kiện:
2
2
9 8 0
3 0 1
log 3 0
x x
x x
x
, suy ra
2
log 3 0
x
Khi đó bất phương trình tương đương với:
2
2
2 2 2
log 9 8 2log 3 log 3
x x x x
2
2
1
9 8 3 3 1 0
3
x x x x x
, kết hợp với điều kiện suy ra
1
1
3
x
.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là
1
;1
3
S
.
Bài 16. Giải bất phương trình:
2 3
2 2
5 11
3
log 4 11 log 4 11
0
2 5 3
x x x x
x x
Lời giải:
Điều kiện:
2
2
4 11 0
; 2 2;2 15 2 15;
2 5 3 0
x x
x
x x

PT-HPT MŨ, LOGRARIT
411
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Ta đưa về cùng cơ số 5;
2
3
5
2 2
11 11
5
log 4 11
log 4 11 3log 4 11 3
log 11
x x
x x x x
Khi đó bất phương trình tương đương với:
2 2
5 5
2 2
5
log 4 11 log 4 11
3
2 0 0
log 11 2 5 3 2 5 3
x x x x
x x x x
do
5
3
2 0
log 11
2
2
5
2 2
2
2
5
2
2
log 4 11 0
4 11 1
; 2 6;
2 5 3 0 3 5 2 0
1
2;
4 11 1
log 4 11 0
3
3 5 2 0
2 5 3 0
x x
x x
x
x x x x
x
x x
x x
x x
x x
 
Kết hợp với điều kiện, suy ra tập nghiệm của bất phương trình là
; 2 2;2 15 6;S

.
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1. Giải phương trình:
3
1 1
3
1 1 .
x x
x x
Bài 2. Giải phương trình:
8
4 2
2
1 1
log 3 log 1 log 4 .
2 4
x x x
Bài 3. Giải phương trình:
2
5 25
log 4 13 5 log 3 1 .
x x x
Bài 4. Giải phương trình:
2 2 4 2 4 2
2 2 2 2
log 1 log 1 log 1 log 1 .
x x x x x x x x
Bài 5. Giải phương trình:
2
9 3 3
log 1 log 4 log 4 .
x x x
Bài 6. Giải phương trình:
3
3 2 3 2
3 1
log .log log log .
3 2
x
x x
x
Bài 7. Giải phương trình:
2
5 4 4
2 2
3 3
x x x
x x
Bài 8. Giải phương trình:
2
4 2
2 3
2
2
1
1
1
x
x
x x
x x
x x
Bài 9. Giải bất phương trình:
2
2
2
log 9 8
2
log 3
x x
x
Bài 10. Giải bất phương trình:
1
log 2
4
x
x
Bài 11. Giải phương trình:
2
2
10
10
2
4 4
x
x
x x x
PT-HPT MŨ, LOGRARIT
412
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Bài 12. Giải phương trình:
2
2 2
5
log log 25 0
5
x
x
x
Bài 13. Giải phương trình:
4 2 2 4
log log log log 2
x x
Bài 14. Giải phương trình:
2
2
6 2
3
2 2 2 2
1
log 3 4 .log 8 log log 3 4
3
x x x x
Bài 15. Giải phương trình:
2 3 3
1 1 1
4 4 4
3
log 2 3 log 4 log 6
2
x x x
Bài 16. Giải phương trình:
9 3
log 8 log 26 2 0
x x
Bài 17. Giải phương trình:
2 2
2 1
2
2log 1 log 1 3
x x x x
Bài 18. Giải phương trình:
2 2 2
2 3 6
log 1 log 1 log 1
x x x x x x
Bài 19. Giải phương trình:
1
2
3
2
log 4
log 6 2 1
log 3
x
x
x
Bài 20. Giải phương trình:
4 3 2 2
1
log 2log 1 log 1 3log
2
x
Bài 21. Giải các phương trình:
1.1.
2
2
2 1
2
2log 4 3 log 1 2 0
x x x
1.2.
2 2
9
log 9 log 0
x
x x
x
1.3.
2
2
25 5
5
1 1
log 8 25 log log 5
2 2
x
x x x
LOGARIT HÓA 2 VẾ
BÀI TẬP MẪU
Bài 1. Giải phương trình sau:
1.
1
5 .8 500.
x
x
x
2.
2
2 3
2
3 .4 18.
x
x
x
3.
2
4 2
2 .5 1.
x x
PT-HPT MŨ, LOGRARIT
413
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
4.
2
2
3
2 .
2
x x
Lời giải:
1. Phương trình tương đương với
1 3
3
3 2 3
5 .2 5 .2 5 .2 1
x x
x x
x x
Lấy logarit cơ số 2 hai vế của phương trình ta được
2 2
5
3
3 1
3 log 5 0 3 log 5 0
log 2
x
x
x x
x
x x
2. Phương trình tương đương với
2 2
2 3 3 6
2
2 2 1 4
3 .2 3 .2 3 .2 1
x x
x x
x x
Lấy logarit cơ số 2 hai vế của phương trình ta được
2
2 2
2
3
4 log 3 3 0 2 2 log 3 0
x
x x x
x x
2
2 3
2 0
2
2.
3
2 log 3 0 2 3log 2 0( )
x
x
x
x x x VN
x
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất
2.
x
3. Phương trình tương đương với
2
4 2
2 2 2
log 2 log 5 0 2 2 log 5 0
x x
x x
2
2
2 log 5
x
x
Bài 2. Giải các phương trình sau
1.
lg 2
1000 .
x
x x
2.
2
log 4
32.
x
x
3.
2
25
5
log 5 1
log 7
7 .
x
x
Lời giải:
1. Điều kiện
0
x
, khi đó phương trình tương đương với
2
lg .lg lg1000 lg
x x x
2
1
lg 1
lg 2lg 3 0
10
lg 3
1000
x
x
x x
x
x
Vậy phương trình có 2 nghiệm là
1
;1000 .
10
x
2. Điều kiện
0
x
, lấy logarit cơ số 2 hai vế của phương trình, khi đó phương trình tương
đương với
PT-HPT MŨ, LOGRARIT
414
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
2
2 2 2 2 2
log 4 log log 32 log 4log 5 0
x x x x
2
2
2
log 1
1
log 5
32
x
x
x
x
3. Điều kiện
0
x
, khi đó phương trình tương đương với
2
25
5
log 5 1
log 7
2
5 5 25 5 5 5
log 7 log log 5 1 log 7 log 7.log
x
x x x
5
2 2
5 5 5 5
5
1
log 1
1
log 5 log 1 0 log 2log 3 0
5
log 3
4
125
x
x
x x x x
x
x
BÀI
TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1. Giải phương trình :
1
5 . 8 100.
x
x x
Bài 2. Giải phương trình:
9
log
2
9. .
x
x x
Bài 3. Giải phương trình:
2
2 1
3 .2 6
x
x
x
ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH
Bài 1. Giải phương trình sau:
2 2
2
2 4.2 2 4 0
x x x x x
.
Lời giải:
Phương trình đã cho tương đương với
2 2
2
2 2 2
2
2
2 4 2 4 2 0 4 2 2 1 0
4 2 0
2 2
1
0
0
2 1 0
x x x x x x x
x
x x
x
x
x
x x
Vậy phương trình có 2 nghiệm là
0;1 .
x
Bài 2. Giải phương trình
2
9 3 3
2 log log .log 2 1 1
x x x
Lời giải:
+ Điều kiện
0
x
, khi đó phương trình tương đương với
PT-HPT MŨ, LOGRARIT
415
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
2
3 3 3
3 3 3
3
3 3
3 3
log 2log .log 2 1 1
log log 2log 2 1 1
log 0
1
log log 2 1 1
log 2log 2 1 1 0
1
1
0
2 1 1
4
x x x
x x x
x
x
x x
x x
x
x
x
x x
x
Vậy phương trình có 2 nghiệm là
1;4 .
x
Bài 3. Giải phương trình:
2
4 2 2
2log log .log 2 1 1
x x x
Lời giải:
Điều kiện:
0
x
, khi đó phương trình tương đương với:
2
2 2 2 2 2 2
1 1
log log .log 2 1 1 log log log 2 1 1 0
2 2
x x x x x x
2
2 2
log 0
1
log log 2 1 1 0
2
x
x x
2 2
1
1
log log 2 1 1
2 1 1
x
x
x x
x x
1
1
4
1 2 2 1
x
x
x
x x x
Vậy phương trình có hai nghiệm là
1; 4
x x
.
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1. Giải bất phương trình:
2 2 2
2 1 2
4 .2 3.2 .2 8 12
x x x
x x x x
Bài 2. Giải phương trình:
2 1
2 3 3 1 4.3 1
x x
x x
Bài 3. Giải phương trình:
2 1 1 1
.5 3 3.5 2.5 3 0
x x x x x
x x
PT-HPT MŨ, LOGRARIT
416
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Bài 4. Giải phương trình:
1
2 2
2 4 2 4 4 4 8
x
x x x x
Bài 5. Giải phương trình:
2
2
4 4
log 2 2 log 2
2 2 1
3 3.3 3 9.3
x x x x
x x
MỘT SỐ DẠNG ĐẶT ẨN PHỤ CƠ BẢN
Dạng 1: Phương trình có dạng
( ) ( 1) ( ) ( )
1 1 0
... , .
kf x k f x f x
k k k
a a a
Đặt
( )
f x
t a
, đưa về giải phương trình bậc
k
với ẩn là
.
t
Dạng 2: Phương trình có dạng
( ) ( )
1 2 3
0, 1
f x f x
a b ab
Đặt
( ) ( ) 2
2
1 3 1 3 2
1
0 0 0
f x f x
t a b t t t
t t
Dạng 3: Phương trình có dạng
( )
2 ( ) 2 ( )
1 2 3
0
f x
f x f x
a ab b
Khi đó chia cả 2 vế của phương trình cho
2 ( )
0
f x
b
. Phương trình trở thành
( )
2
1 3 3
0, 0.
f x
a
t t t
b
BÀI TẬP MẪU
Bài 1. Giải phương trình :
2 2
2
2 2 3
x x x x
Lời giải :
Phương trình đã cho tương đương với :
2
2 2
2
2
4
2 3 2 3.2 4 0
2
x x
x x x x
x x
Dặt
2
2 0
x x
t
, khi đó phương trình trở thành :
2
2 2 2
1
3 4 0 4 0 2 2 2
2
x x
x
t t t x x
x
Bài 2. Giải phương trình :
3
3 1
1 12
2 6.2 1
2
2
x x
x
x
Lời giải :
Đặt
2 0
x
t
, khi đó phương trình trở thành :
3 3
3 3
8 12 8 2
6 1 6 1 0
t t t t
t t t t
PT-HPT MŨ, LOGRARIT
417
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Dặt
2
3 2 2
3 2
2 8 2 4 2 2
2 6 6
u t t t t t t u u
t t t t t t
Khi đó phương trình trở thành :
2
2
6 6 1 0 1 1 2 0 2 2 1
x
u u u u t t x
t
.
Vậy nghiệm của phương trình là
1
x
.
Bài 3. Giải bất phương trình :
1
1
log 1
log
1 2
x
x
x
x
x x
Lời giải :
Diều kiện :
0; 1 0
1
0 1 1
x x
x
x
khi đó đặt
log 1
1
1
1
1
1
log 1
log
1 1 1
log 1
1
log log log 1
x
x
x
x
x
x
x
x x x
x
t x x t x t t t x
vậy bất phương trình tương đương với :
1
log 1
1
2 1 1 log 1 0; do x>1
x
x
x
t t t x x
2
x
vậy tập nghiệm của bất phương trình là
1;2
S .
Bài 4. Giải phương trình:
2 2 2
4 2 4
log log log
64 3.2 3.4 4
x x x
Lời giải :
Điều kiện
0
x
Dặt
2 2 2
4 2 4
log log log
2 3
4 2 ;64
x x x
t t t
Khi đó phương trình trở thành
3 2 2
3 4 4 4 1 0 4
t t t t t t t
2
4
log
2
4
4
4 4 log 1
1
4
x
x
x
x
Một số dạng đặt ẩn phụ khác
Cùng tìm hiểu qua một số ví dụ sau
Dạng 1:
log ( ) log ( )
a b
f x g x
, đặt
log ( )
a
t f x
Bài 1. Giải phương trình:
7 3
log log 2
x x
.
Lời giải:
PT-HPT MŨ, LOGRARIT
418
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
+ Điều kiện
0
x
, khi đó đặt
7 3
2
7
7 1
log log 2 2 1(*)
3 3
2 7 2 3
t
t
t
t
t
x
t x x
x
Vế trái của phương trình (*) là hàm nghịch biến, vế phải là hàm hằng. Mặt khác nhận thấy
2
t
thỏa mãn phương trình.
Vậy phương trình (*) có nghiệm duy nhất
7
2 log 2 49.
t x x
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất
49.
x
Bài 2. Giải phương trình:
4
2 2
6 5
log 2 2 2log 2 3 .
x x x x
Lời giải:
+ Điều kiện
2
2 3 0
x x
, khi đó phương trình tương đương với
2 2
6 5
log 2 2 log 2 3
x x x x
Đặt
2
2 3
t x x
, phương trình trở thành
6 5
5
5 1
log 1 log 1(*)
6 6
1 5 1 6
y y
y
y y
t
t t y
t
Vế trái của phương trình (*) là hàm nghịch biến, vế phải là hàm hằng. Mặt khác ta lại có
1
y
,
thỏa mãn phương trình.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất
2
5
4
1 log 1 5 2 3 5
2
x
y t t x x
x
( thỏa mãn điều kiện)
Vậy phương trình có 2 nghiệm là
2;4 .
x
Dạng 2:
log
,
b
x c
a x b a c
Đặt
log
b
t x c
Bài 1. Giải phương trình:
7
log 3
x
x
Lời giải:
Đặt
7
log 3
t x
, khi đó phương trình trở thành
7
4 1
4 7 3 3 1 1 log 3 1 4.
7 7
t t
t t
x t x x
Bài 2. Giải phương trình:
3
log 5
2 4.
x
x
Lời giải:
Đặt
3
log 5
t x
, khi đó phương trình trở thành
2 1
2 4 3 1 1 1 2.
3 3
t t
t t
x t x
PT-HPT MŨ, LOGRARIT
419
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Dạng 3:
log , ;
ax b
s
s c dx e x d ac e bc
.
Khi đó đặt
log
s
ay b dx e
, và chuyển về hệ phương trình
Bài 1. Giải phương trình:
1
7
7 6log 6 5 1.
x
x
Lời giải:
Đặt
1
7
1 log 6 5 7 6 5
y
y x x
Khi đó ta có hệ phương trình
1
1 1 1 1
1
7 6 1 1
7 7 6 6 7 6 7 6
7 6 5
x
x y x y
y
y
y x x y
x
Xét hàm số
1
( ) 7 6
t
f t t
, ta có
1
'( ) 7 ln7 6 0
t
f t
. Nên
( )
f t
là hàm số đồng biến trên
.
Vậy
1
7
( ) ( ) log 6 5 1 7 6 5
x
f x f y x y x x x
Dễ thấy phương trình này có nghiệm
1, 2.
x x
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1. Giải phương trình:
(7 4 3) 3(2 3) 2 0
x x
Bài 2. Giải phương trình:
3 3 3 3 4 4
3 3 3 3 1000
x x x x
Bài 3. Giải phương trình:
3
5 21 7 5 21 2
x x
x
Bài 4. Giải phương trình:
1 1 1
8 2 18
2 2 2 2 2 2
x
x x x x
Bài 5. Giải phương trình:
7 5 2 2 5 3 2 2 3 1 2 1 2 0
x x x
Bài 6. Giải phương trình:
2
2
1 2 1
4
2 3 2 3
2 3
x x x
Bài 7. Giải phương trình:
2
log 2
1
log 1 3 1 0
1
x
x
x
x
x
Bài 8. Giải phương trình:
2 2 2
4 2 4
log log log
64 3.2 3.4 4
x x x
ĐẶT ẨN PHỤ ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Bài 1. Giải phương trình:
9 2 2 3 2 5 0
x x
x x
Lời giải:
Đặt
3
x
t
, khi đó phương trình trở thành
2
2 2 2 5 0
t x t x
, coi đây là phương trình bậc 2 với ẩn là
t
PT-HPT MŨ, LOGRARIT
420
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Ta có
2 2
' 2 2 5 3
x x x
Từ đó suy ra
2 3 2 5
3 1( )
3 5 2 ( ) 3 2 5 0(*)
2 3 1
3 5 2
x
x x
x
t x x x
VN
x f x x
t x x
x
Xét hàm số
( )
f x
ta có
'( ) 3 ln3 2 0
x
f x
, do đó
( )
f x
là hàm số đồng biến. mặt khác ta nhận thấy
(1) 0
f
. Vậy phương trình (*) có nghiệm duy nhất
1
x
.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất
1.
x
Bài 2. Giải phương trình:
2
3 3
log 1 5 log 1 2 6 0.
x x x x
Lời giải:
+ Điều kiện
1.
x
Đặt
3
log 1
t x
, khi đó phương trình trở thành
2
3
3
3
5 2 6 0 2 3
8
log 1 2
1 9
2
3
3 1 27 0(*)
1 3
log 1 3
x
x
t x t x t t x
x
x
x
t
t x x
x
x x
Xét hàm số
( ) 3 1 27
x
f x x
có
'( ) 3 1 ln3 3 0
x x
f x x
. Nên
( )
f x
là hàm đồng biến.
Mặt khác ta lại có
(2) 0
f
. Do đó phương trình (*) có nghiệm duy nhất
2.
x
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là
2, 8.
x x
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1. Giải phương trình:
2
3 2 9 3 9.2 0.
x x x x
Bài 2. Giải phương trình:
2 2
2 2
9 3 3 2 2 0.
x x
x x
Bài 3. Giải phương trình:
9 12 3 11 0.
x x
x x
Bài 4. Giải phương trình:
2 2
3.25 3 10 5 3.
x x
x x
Bài 5. Giải phương trình:
2 3 1 3
4 2 2 16.
x x x
Bài 6. Giải phương trình:
2 2
2 2
4 7 .2 12 4 0
x x
x x
Bài 7. Giải phương trình:
2 1
2 3 3 1 4.3 1
x x
x x
Bài 8. Giải phương trình:
2 1 1 1
.5 3 3.5 2.5 3 0
x x x x x
x x
PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
PT-HPT MŨ, LOGRARIT
421
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Tính chất 1: Nếu hàm số
( )
f x
liên tục trên khoảng
;
a b
và có
( ) ( ) 0
f a f b
thì phương trình
( ) 0
f x
có nghiệm
0
; .
x a b
Tính chất 2: Nếu hàm số
( )
f x
tăng hoặc giảm trên một miền
D
thì phương trình
( ) 0
f x
chỉ
có tối đa một nghiệm trên
.
D
Tính chất 3:Nếu hàm số
( )
f x
tăng hoặc giảm trên một miền
D
thì với 2 số
, , ( ) ( )
u v D f u f v u v
.
Tính chất 4: Nếu hàm số
( )
f x
tăng và hàm số
( )
g x
là hàm hằng hoặc hàm giảm trên miền
D
thì phương trình
( ) ( )
f x g x
có tối đa một nghiệm trên
.
D
Định lý Lagrange: Nếu hàm số
( )
F x
liên tục trên đoạn
[ ; ]
a b
và có đạo hàm
'( )
F x
trên khoảng
( ; )
a b
, khi đó tồn tại số
( ) ( )
; / '( ) .
F a F b
c a b F c
a b
Áp dụng với
( ) ( ) ; / '( ) 0.
F a F b c a b F c
Định lý Rolle: Nếu hàm số
( )
f x
có
''( ) 0
,
''( ) 0
f x
x D
f x
thì phương trình
( ) 0
f x
có tối đa 2
nghiệm.
Các tính chất
1,2,3,4
được sử dụng trực tiếp khi làm bài.
Định lý Lagrange và định lý Rolle chúng ta sử dụng gián tiếp thông qua việc lập bảng biến thiên
của hàm số
( )
f x
( Xem các bài tập mẫu 6).
Bài 1. Giải phương trình:
2
log
2.3 3.
x
x
Lời giải:
+ Điều kiện
0.
x
Khi đó phương trình tương đương với
2
log
2.3 3
x
x
. Nhận thấy vế trái là hàm số đồng biến và vế phải là hàm nghịch biến. Mặt khác
nhận thấy
1
x
là nghiệm của phương trình.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất
1.
x
Bài 2. Giải phương trình:
2
2
1
2 2 1 .
x x x
x
Lời giải:
Phương trình đã cho tương đương với
2
1 2 2
2 1 2 ( 1) ( )
x x x
x x x f x f x x
, trong đó ( ) 2
t
f t t
Xét hàm số ( ) 2
t
f t t
, có
'( ) 2 ln2 1 0
t
f t
vậy
( )
f t
là hàm số đồng biến
Nên
2 2
0
( 1) ( ) 1
1
x
f x f x x x x x
x
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là
0;1 .
x
PT-HPT MŨ, LOGRARIT
422
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Bài 3. Giải phương trình:
2
3 1
2
3
1
log 3 2 2 2.
5
x x
x x
Lời giải:
+ Điều kiện
2
2
3 2 0 (*)
1
x
x x
x
Đặt
2
3 2 0
u x x
, khi đó phương trình trở thành
2
1
3
1
log 2 2 0(1)
5
u
u
Xét hàm số
2
1
3
( ) log 2 5 2, 0
t
f t t t
. Ta có
2
1
1
'( ) 2 .5 .ln5 0, 0
2 ln3
t
f t t t
t
. Do đó
( )
f t
là hàm số đồng biến. Mặt khác ta lại có
(1) 0
f
, do đó phương trình (1) có nghiệm duy nhất
2 2
3 5
1 3 2 1 3 1 0
2
u x x x x x
Vậy phương trình có 2 nghiệm là
3 5
.
2
x
Bài 4. Giải phương trình:
2 2
3 2 2 2 3
2 9 6 4 3 5 .
x x x x x x
x x
Lời giải:
Phương trình đã cho tương đương với
2 2
6 4 2 4 6
2 3 6 2 3 5
x x x x x x
x x
2 2
2 4 6 6 4
2 3 2 4 6 3
x x x x x x
x x x
2
(4 6)
f x x f x
Trong đó
( ) 2 3
t t
f t t
, ta có '( ) 2 ln2 1 3 ln3 0,
t t
f t t
. Do đó
( )
f t
là hàm số
đồng biến trên
.
Vậy
2 2 2
2
(4 6) 4 6 5 6 0
3
x
f x x f x x x x x x
x
Vậy phương trình có 2 nghiệm là
2;3 .
x
Bài 5. Giải phương trình:
3 .2 3 2 1.
x x
x x
Lời giải:
Nhận thấy
1
2
x
, không là nghiệm của phương trình. Khi đó phương trình tương đương với
2 1
3 (*)
2 1
x
x
x
PT-HPT MŨ, LOGRARIT
423
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Vế trái của phương trình (*) là một hàm đồng biến trên mỗi khoảng
1 1
; , ;
2 2
 
, vế
phải của (*) là một hàm nghịch biến trên mỗi khoảng
1 1
; , ;
2 2
 
. Nên trên mỗi
khoảng
1 1
; , ;
2 2
 
phương trình có tối đa 1 nghiệm.
Nhận thấy 1x thỏa mãn phương trình.
Vậy phương trình có 2 nghiệm là 1.x
Bài 6. Giải phương trình: 4 6 25 2.
x x
x
Lời giải:
Phương trình đã cho tương đương với
4 6 25 2 0.
x x
x
Xét hàm số ( ) 4 6 25 2
x x
f x x liên tục trên . Ta có
2 2
'( ) 4 ln4 6 ln6 25, ''( ) 4 ln 4 6 ln 6 0
x x x x
f x f x . Do đó '( )f x là hàm số đồng biến trên
. Mặt khác ta lại có '(0) ln4 ln6 25 0; '(2) 16ln4 36ln6 25 0f f
Nên '( ) 0f x có nghiệm duy nhất
0
0;2x . Từ đó ta có bảng biến thiên của hàm số ( )f x
x
0
0
x 2 
'( )
f x
0
( )
f x
0
( )f x
Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình ( ) 0f x có tối đa 2 nghiệm.
Nhận thấy 0, 2x x thỏa mãn phương trình.
Vậy phương trình có 2 nghiệm là
0;2 .x
2 2
3 3
log 1 log 2x x x x x .
0x
2
2 2
2 2
3
1 1
log 2 3
x x
x x x x
x x
x x
2
1 1 1
( ) 1 2 . 1 3, 0
x x
f x x x x
x x x
1x .
2
2
1 1
2 1
( ) 3 3 3 3
x
x x
g x
1x .
( ) ( ) 3 1f x g x x
PT-HPT MŨ, LOGRARIT
424
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Vậy phương trình có nghiệm
1
x
.
Bài 8. Giải phương trình:
2
2
2012
2
3
log 3 2
2 4 5
x x
x x
x x
.
Ta có
2
2
3 0,
2 4 5 0,
x x x
x x x
và
2 2 2
2 4 4 3 3 2
x x x x x x
Khi đó phương trình tương đương với:
2
2 2
2012
2
3
log 2 4 5 3
2 4 5
x x
x x x x
x x
Đặt
2 2
3 2, 2 4 5
u x x v x x
, khi đó phương trình trở thành:
2012 2012 2012
log log log
u
v u u u v v
v
Xét hàm số
2012
1
( ) log '( ) 1 0, 0
ln2012
f t t t f t t
t
do đó hàm số
( )
f t
đồng biến.
Vậy phương trình tương đương với:
2 2
( ) ( ) 3 2 4 5 1; 2
f u f v u v x x x x x x
.
Vậy phương trình có hai nghiệm là:
1; 2
x x
.
Bài 9. Giải phương trình:
3 2
4 2 log 2 log 3 15 1
x x x x
Lời giải:
Điều kiện
3
x
, khi đó phương trình tương đương với
3 2
15 1
log 2 log 3 (*)
4 2
x
x x
x
Phương trình (*) có vế trái là hàm đồng biến, vế phải là hàm nghịch biến. Mặt khác lại có
Nhận thấy
(11) (11) 5
f g
5
x
là nghiệm duy nhất của phương trình. Đpcm
Bài 10. Giải phương trình:
3 2
1 1 1
5 4 3 2 2 5 7 17
2 3 6
x x x x
x x x
x x x
Lời giải:
Kí hiệu vế trái của phương trình là
( )
f x
, vế phải của phương trình là
( )
g x
Ta có vế trái là hàm đồng biến; vế phải là hàm nghịch biến. Mặt khác nhận thất
(1) (1) 13
f g
.
Vậy
1
x
là nghiệm duy nhất của phương trình.
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1. Giải phương trình:
2
8 2
2 2 8 2 .
x x x
x x
Bài 2. Giải phương trình:
2 2
log 3 log 7
2.
x x x
PT-HPT MŨ, LOGRARIT
425
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Bài 3. Giải phương trình:
9 5 4 2 20 .
x
x x x
Bài 4. Giải phương trình:
3
2
log
2
3
3. log 1 .
x
x x x
Bài 5. Giải phương trình:
2 3 5.
x x
Bài 6. Giải phương trình:
3 4 0.
x
x
Bài 7. Giải phương trình;
3 2 3 2 5 .
x x x
Bài 8. Giải phương trình:
8 3 1 4.
x
x
Bài 9. Giải phương trình:
2.3 1 3 2.
x x
x
Bài 10. Giải phương trình:
3
8 .2 2 0.
x x
x x
Bài 11. Giải phương trình:
3 2 2 3
2 3 .2 1 3 2 2 0.
x x x
x x x x
Bài 12. Giải phương trình:
3 5 6 2.
x x
x
Bài 13. Giải các bất phương trình sau:
1.1-
2
1 1
2 2
1 log 2 5 log 6 0
x x x x
.
1.2-
2 3
log 2 1 log 4 2 2
x x
.
1.3-
2 3
3 2
log 1 log 1
x x
.
1.4-
5
lg
5
0
2 3 1
x
x
x
x
.
1.5-
7 3
log log 2
x x
.
1.6-
2 2
2 3
log 5 5 1 log 5 7 2
x x x x
.
1.7-
2
2
2
2 .log 4 2 1
x
x x
.
1.8-
3 3
3log 1 log 1 2 1
4.3 3 1
x x x
x x
.
1.9-
2
1 1
3 3
1 log 2 3 log 8 0
x x x x
.
1.10-
2 3
2 2
4 11
2
log 4 11 log 4 11
0
2 5 3
x x x x
x x
.
Bài 14. Giải các phương trình sau:
1.1.
2
2
3
2
3
log 3 2
2 4 5
x x
x x
x x
.
1.2.
2 2
3 3
log 1 log 2
x x x x x
.
Bài 15. Giải các phương trình:
1.1.
2
3
1
4
x
x x
.
PT-HPT MŨ, LOGRARIT
426
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
1.2.
2
5
1 log 11 2
0
3
x x x
x
.
1.3.
log 2
3
3 3
log 4 log2
8
. .2
3
x
x x x
.
1.4.
1 1 5
3 5 3 10
3 4 12
x x x
x x
x
.
1.5.
84
6 4
2log log
x x x
.
1.6.
3 2 3 2
x x
x
.
1.7.
2
2 1
log 1 2
x
x
x
x
.
1.8.
1
4 2 2 2 1 sin 2 1 2 0
x x x x
y
Bài 16. Giải các phương trình:
1.1.
1 1 1
3 2 2 6
3 2 6
x x x
x x
x
TỔNG HỢP BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT
Với cách giải thông thường của bất phương trình là xét hai trường hợp cơ số lớn hơn 1 và nhỏ
hơn 1. Tuy nhiên các em nên làm theo cách gộp luôn cả tích
1
a
vào bất phương trình, với
cách này thì bài giải sẽ gọn và nhanh hơn cả.
Với các bất phương trình có dạng sau, ta biến đổi như dưới đây.
Dạng 1 :
( ) ( )
0
1 ( ) ( ) 0
f x g x
a
a a
a f x g x
Dạng 2 :
0 1
log ( ) log ( ) ( ) 0, ( ) 0
1 ( ) ( ) 0
a a
a
f x g x f x g x
a f x g x
BÀI TẬP MẪU
Bài 1. Giải bất phương trình:
1
1 2
1
4 .32 .
4
x x
x x
Lời giải:
Bất phương trình tương đương với
2 1
5 2 2 3 4
2
1 2 1 2
2 2 3 4
2 2 .2 2 2
1 2
x
x x x
x x x x
x x
x x
PT-HPT MŨ, LOGRARIT
427
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
2
13
0 13 1 0 2.
1 2
x x
x x x
x x
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là
;13 1;0 2; .
S

Bài 2. Giải bất phương trình:
2 2
2 1 2 1
4
2 3 2 3 .
2 3
x x x x
Lời giải:
Bất phương trình tương đương với
2 2
2 2
2 3 2 3 4
x x x x
Đặt
2 2
2 2
1
2 3 2 3
x x x x
t
t
Khi đó bất phương trình trở thành
2
1
4 4 1 0 2 3 2 3
t t t t
t
2
2
2
2 3 2 3 2 3 1 2 1 1 2 1 2
x x
x x x
.
Bài 3. Giải bất phương trình :
2
2
4
log log 2 0.
x x x
Lời giải:
Bất phương trình đã cho tương đương với
2
2
2 2
2 2
2
4
2
log 2 0
log log 2 0 log 2 1
log 2 1
x x x
x x x x x x
x x x
2 2
2 2 2
2 0 2 0
2 2 2 2
2 0 2 4 4
x x
x x x x x x
x x x x x x
2 4
2
4 1 1
x x
x
x x x
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là
; 4 1; .
S
Bài 4. Giải bất phương trình :
2
0,7 6
4
log log 0.
4
x
x
Lời giải:
Bất phương trình tương đương với
PT-HPT MŨ, LOGRARIT
428
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
:
2
2 2
6
0,7 6 6
2
6
4
log 0
4 4
4
log log 0 log 1
4 4
4
log 1
4
x
x x
x
x x
x
x
2
3 8
4
6 0 4 3 8.
4 4
x x
x
x x
x x
Vậy tập nhiệm của bất phương trình là
4; 3 8; .
S

Bài 5. Giải bất phương trình:
3
log log 9 72 1.
x
x
Lời giải:
+ Điều kiện
9
3
0 1
9 72 0 9 72 1 log 73 1(*)
log 9 72 0
x x
x
x
x
Khi đó với
1
x
, bất phương trình tương đương với
3 3
log log 9 72 1 log 9 72 9 72 3 9 3 72 0
x x x x x x
x
x
Xét hàm số
( ) 9 3 72
x x
f x
đồng biến trên
. Vậy bất phương trình
( ) 0 (2) 2.
f x f x
Kết hợp với điều kiện suy nghiệm của bất phương trình là
3
log 73;2 .
S
Bài 6. Giải bất phương trình:
2
log 3 1 log 1 .
x x
x x
Lời giải:
+ Điều kiện
1
1.
3
x
Khi đó bất phương trình tương đương với
2
2 2
log 3 1 log 1 1 3 1 1 0 1 2 0 2
x x
x x x x x x x x
Kết hợp với điều kiện suy ra tập nghiệm của phương trình là
.
\
1
;2 1
3
S
Bài 7. Giải bất phương trình:
3
log 3 1.
x x
x
Lời giải:
Bất phương trình tương đương với
3 3 3
log 3 1 log 3 log 3
x x x x x x
x x x x
PT-HPT MŨ, LOGRARIT
429
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
2
0 3 1 0 3 1
3 0 3 0
3 1 3 3 0
3 1 1 0
x x x x
x x
x x x x x
x x x
3 5 3 5
1 .
2 2
x x
Bài 8. Giải bất phương trình:
1
2
log 2 log 2.
x
x x
Lời giải:
+ Điều kiện
2 0
0
1
0 .
0 1 1
4
0 2 1
x
x
x
x
x x
Khi đó bất phương trình tương đương với
1
2
2
2
1 1
log 2 log 2
log 1
log 2
x
x x
x
x x
2 2
log 2 log 1 2 1
x x x x x x
2
2 1 1 2
x x x x x x
2
2
1 0
3 2 3 3 2 3
.
3 31 4
x
x
x x x
Kết hợp với điều kiện ta suy ra tập nghiệm của bất phương trình là
3 2 3
0; .
3
S
Bài 9. Giải bất phương trình:
2 3
1
log 2 4 log .
1 8
x
x
Lời giải:
+ Điều kiện
2
x
Khi đó ta có vế trái của bất phương trình
2 2
log 2 4 og 4 2.
VT x l
3 3
1 1
log 8 log 8 2.
1
1
VP
x
Vậy bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi
2 2.
VP VT x
PT-HPT MŨ, LOGRARIT
430
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Bài 10. Giải bất phương trình:
2
1
1
3
3
1 1
.
log 1
log 2 3 1
x
x x
Lời giải:
+ Điều kiện
2
1 0
1
0
2
0 2 3 1 1
3
1
0 1 1
2
3
2
x
x
x x
x
x
x
Xét
2 2
1
3
3
og 2 3 1 0 2 3 1 1 0 .
2
A l x x x x x
Xét
1
3
log 1 0 1 1 0.
B x x x
Vậy
+ Nếu 1 0, 0; 0
x VT VP BPT
vô nghiệm.
+ Nếu
1
0 , 0; 0
2
x VT VP
bất phương trình có nghiệm
1
0; .
2
x
+ Nếu
3
1 0, 0
2
x VT VP
bất phương trình có nghiệm
3
1; .
2
x
+ Nếu
3
0, 0
2
x VT VP
, khi đó bất phương trình tương đương với
2 2
1 1
3 3
2 2
og 2 3 1 og 1 2 3 1 1 0
1 0
1 0
5
2 3 1 2 1
l x x l x x x x
x
x
x
x x x x
Kết hợp với trường hợp đang xét suy ra
5.
x
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là
1 1 3
0; ; 5; .
2 2 2
S

Bài 11. Giải bất phương trình:
2 2
5
1
4 3 1 log 8 2 6 1 0.
5
x
x x x x
x
Lời giải:
+ Điều kiện
2
2
0
1
4 3 0
3
8 2 6 0
x
x
x x
x
x x
PT-HPT MŨ, LOGRARIT
431
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Với
1
x
, bất phương trình trở thành
5
1
log 1 0
5
luôn đúng.
Với
3
x
, bất phương trình trở thành
5
3 1
log 0
5 3
vô lý.
Vậy bất phương trình có nghiệm duy nhất
1.
x
Bài 12. Giải bất phương trình:
2 2
3log 2 9log 2.
x x x
Lời giải:
+ Điều kiện
0
x
, khi đó bất phương trình tương đương với
2
3 3 log 2 1
x x x
Nhận thấy
3
x
không là nghiệm của bất phương trình.
+ Nếu
3
x
, khi đó bất phương trình trở thành
2 2
3 1 3 1
log ( ) log 0
2 3 2 3
x x
x f x x
x x
Ta có
2
3 2
'( ) 0
2 ln 2
3
f x
x
x
, nên
( )
f x
là hàm số đồng biến trên
3;

. Mặt khác
(4) 0
f
, vậy
( ) 0 4.
f x x
+ Nếu
3
x
, khi đó bất phương trình trở thành
2 2
3 1 3 1
log ( ) log 0
2 3 2 3
x x
x f x x
x x
Ta có
2
3 2
'( ) 0
2 ln 2
3
f x
x
x
, nên
( )
f x
là hàm số đồng biến trên
0;3
. Mặt khác
(1) 0
f
, vậy
( ) 0 0 1.
f x x
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là
0;1 4; .
S

Bài 13. Giải bất phương trình:
2 2 5
1.
2
x
x
x
Lời giải:
+ Điều kiện
2.
x
Khi đó bất phương trình tương đương với
2 2 5 2 2 5 2 3
1 1 0 0
2 2 2
x x x
x x x
x x x
Xét hàm số
( ) 2 3
x
f x x
, ta có
'( ) 2 ln2 1 0
x
f x
. Do đó
( )
f x
là hàm đồng biến trên
. Mặt khác ta lại có
(1) 0 ( ) 0 1; ( ) 0 1.
f f x x f x x
Vậy nếu
1 ( ) 0; 2 0
x f x x
bất phương trình có nghiệm với
1.
x
Nếu
1 2 ( ) 0; 2 0
x f x x
bất phương trình vô nghiệm.
Nếu
2 ( ) 0; 2 0
x f x x
bất phương trình có nghiệm với
2.
x
PT-HPT MŨ, LOGRARIT
432
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là
;1 2; .
S
 
Bài 14. Giải bất phương trình :
2 2
2log log 6
2 3.2 1
x x
x x
Lời giải :
Điều kiện
0
x
Bất phương trình đã cho tương đương với
2 2
2 2
2 3.2 1
2log log 6 0
3
2 3.2 1
2log log 6 0
x x
x x
x x
x
x x
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là
3;S
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1. Giải bất phương trình:
1
2 6 11
4.
2
x
x
x
Bài 2. Giải bất phương trình:
2 2
2 4 2 2 1
2 16.2 2 0.
x x x x
Bài 3. Giải bất phương trình :
2 1 2 1
3 2 5.6 0.
x x x
Bài 4. Giải bất phương trình:
2
2.3 2
1.
3 2
x x
x x
Bài 5. Giải bất phương trình:
3 1
1 3
10 3 10 3 .
x x
x x
Bài 6. Giải bất phương trình:
2 2 2
3 5 2 2 3.2 3 5 2 4 .3 .
x x
x x x x x x
Bài 8. Giải bất phương trình:
2
log 1
2
3 1
2 3
log log 2 3
2
1
1.
3
x
x
Bài 9. Giải bất phương trình:
4 1 2 1
8 8 .
x x
x e x x e
Bài 10. Giải bất phương trình:
2 2 2
2 1 2
4 .2 3.2 .2 8 12.
x x x
x x x x
Bài 11. Giải các bất phương trình sau
1.
2
4 2 1
log .
2 2
x
x
x
2.
1 2
2
2 1
log log 0.
3
x
x
x
PT-HPT MŨ, LOGRARIT
433
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
3.
2
25
16
24 2
log 1.
14
x
x
x x
4.
2 2
2 2
2 7 12 1 14 2 24 2 log .
x
x x x x
x x
Bài 12. Giải các bất phương trình sau
1.
2 3 4 2 2
2 2
5 6 log log 5 5 6 .
x x x x x x x x x x
2.
5
lg
5
0.
2 3 1
x
x
x
x
3.
3
1
1.
log 9 3 3
x
x
4.
2 2
1 5 3 1
2 5
log log 1 log log 1 .
x x x x
Bài 13. Giải các bất phương trình sau
1.
3
1 1
2 2
1
log 1 log 1 2 .
2
x x
2.
4 2
18 2
log 18 2 log 1.
2
x
x
3.
2
2
2
log 9 8
2.
log 3
x x
x
4.
3
2 3
log 1
1
x
x
.
Bài 14. Giải các bất phương trình sau
1.
2
3 1 1
3 3
1
log 5 6 log 2 log 3 .
2
x x x x
2.
2
1 4
3
log log 5 0.
x
3.
2
3
2
4 3
log 0.
5
x x
x x
4.
2 3
2 2
5 11
2
log 4 11 log 4 11
0.
2 5 3
x x x x
x x
Bài 15. Giải các phương trình sau:
1.1.
2 2
4
2
1 lg
lg 5
lg 2lg
x
x
x x
1.2.
2 3
3 3
2log 1 log
7 1
x x
x x
Bài 16. Giải các bất phương trình sau:
PT-HPT MŨ, LOGRARIT
434
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
1.1.
2
1 1
2 2
1 log 2 5 log 6 0
x x x x
.
1.2.
2 3
3 2
log 1 log 1
x x
.
1.3.
5
lg
5
0
2 3 1
x
x
x
x
.
1.4.
2 2
2 3
log 5 5 1 log 5 7 2
x x x x
.
1.5.
7 3
log log 2
x x
.
1.6.
2
2
2
2 .log 4 2 1
x
x x
.
1.7.
3 3
3log 1 log 1 2 1
4.3 3 1
x x x
x x
1.8.
2
5
0
log 4 1
x
x
.
1.9.
2
1
1
3
3
1 1
log 1
log 2 3 1
x
x x
.
1.10.
2
1
2
2
1 1
0
log 2 1
log 3 2
x
x x
.
1.11.
2
1 3
2 2
3
27
log 9 3 log 3
9 5
x x
x x x
.
1.12.
2
2 1
2
2
2
log 4 3 log 1
4 1 1
x x
x x x
Bài 17. Giải các bất phương trình:
1.1.
2 1 2
2 9.2 4 2 3 0
x x
x x
.
1.2.
1
2 2 1
0
2 1
x x
x
.
1.3.
2
3 4
0
6
x
x
x x
.
1.4.
2 2 2
3 5 2 2 3 . 3 5 2 (2 ) .3
x x
x x x x x x .
1.5.
2 2
1 7 4 1
4 7
log log 1 log log 1
x x x x
.
1.6.
2
2
2
log
log
2 0
x
x
x
.
1.7.
8 1
8
2
2log 2 log 3
3
x x
.
PT-HPT MŨ, LOGRARIT
435
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
1.8.
4
4
1 1
1
log 3
log
2
x
x
x
1.9.
6 2
3
1
log log 0
2
x
x
x
1.10.
2
3
4 16 7 log 3 0
x x x
1.11.
1
2
1 4 1
log 1 .log 0
2 6 1
x
x
x
x
.
HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT
Bài 1.
Giải hệ phương trình:
3 2
1
2 5 4
4 2
2 2
x
x x
x
y y
y
Lời giải:
Hệ phương trình tương đương với
3 2
3 2 3 2
1
2 5 4
2 5 4 5 4 0
4
2 2 2
2 2 0
2 0
2 2
x
x
x x
x x
x
x
y
y y
y y y y y
y
y y
y
y

0 2
1 4
x x
y y
Vậy hệ có 2 nghiệm là
0;1 , 2;4 .
Bài 2.
Giải hệ phương trình:
2
4
4 3.4 8
( , )
3 2 log 3
x y y
x y
x y
Lời giải:
Hệ phương trình tương đương với
1 2 1
1 2 1
1 2 1
1 2 1
1
4
4
4 3.4 2
4 3.4 2
4 3.4 2
1
1 2 1 log 3
1 2 1 log 3
4
3
x y y
x y y
x y y
x y y
x y y
x y y
Đặt
1
4
1 2 1
2 1
4
1
3 2 1
1 log 3
4 1
2
4 , 4
1 1
1
1
4
1 log 3
3 3
3
2
x y
x y y
y
u v u
x
u v
uv v
y
Bài 3.
PT-HPT MŨ, LOGRARIT
436
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Giải hệ phương trình:
2 2
2
2 2 2
2 2 2
4 2 4 1
2 3.2 16
x x y y
y x y
Lời giải:
Hệ phương trình đã cho tương đương với
2
2
2
2 1
1 2
2 1
4 4.4 .2 2 1
2 3.4 .2 4
x
x y y
y x y
Đặt
2
1
4 , 2
x y
u v
, khi đó hệ phương trình trở thành
2 2 2
2 2 2 2
2 2
2
4 4 3
4 1 4 13 3 0
3 4 3 4
3 4
u uv v v uv
u uv v u uv v
v uv v uv
v uv
2
2
3
3 4 0
1
4
3 4
3 4
u v
u v u v
u v
v uv
v uv
+ Nếu
2 2
3 9 4
u v v v
vô nghiệm.
+ Nếu
2 2
1 3
4 4 0 1
4 4
u v v v v u
Vậy
2
1
1
4 1
2
2 4
x
y
x
y
Bài 4.
Giải hệ phương trình:
2 1
2
2
2
2 3.2 2
2 3 2 2
x x
x
y
y y
Lời giải:
Đặt
2 1.
x
u
Khi đó hệ phương trình trở thành
2 2
2 2
2 2
1 0
2 3 2
2 3 2
2 3 2
u y u y
u u y
y y u
y y u
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1.
Giải hệ phương trình:
2
2
log 3
log
2 2
9 3 2
1 1 1
xy
xy
x y
Bài 2.
Giải hệ phương trình:
3 1 2 3
2
2 2 3.2
3 1 1
x y y x
x xy x
PT-HPT MŨ, LOGRARIT
437
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Bài 3.
Giải hệ phương trình:
2 2
2 1 4 1 3
2 7 6 0
.
3 3 3 0
x y y x y x
x xy y
Bài 4.
Giải hệ phương trình:
1 2
2
1 4 .5 1 3
1
3 1 2
x y x y x y
x y y y
x
Bài 5.
Giải hệ phương trình:
2 1
1
x y x y
x y
e e x
e x y
Bài 6.
Giải hệ phương trình:
2 2
1
2 2
x y x
x y y x
x y
Bài 7.
Giải hệ phương trình:
2 2
2 2 2
2
x y
y x xy
x y
Bài 8.
Giải hệ phương trình:
2
2
2
1
8
1
2
2 4 3 2
3 7
2
2 2
y
x
x y
y x
x y
Bài 9.
Giải hệ phương trình:
2
3
2 3 log 5
4
2
3 5
4 1 3 8
x x
y
y y y
Bài 10.
Giải hệ phương trình:
2
2
1
2
2 2
3
2 2
2
2 2 4 1 0
x
y
x
xy
x y x x y x
Bài 11.
Giải hệ phương trình:
4
4
4
4
3 1
8 6 0
y x
x y
x y
x y
Bài 12.
PT-HPT MŨ, LOGRARIT
438
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Giải hệ phương trình:
2
3
2 1
2 32.2
3 3.3
x
y
y
x
y
x
y y
Bài 13.
Giải hệ phương trình:
3
3
3
5
5 5.3
x y
x y
x y
x y
Bài 14.
Giải hệ phương trình:
2 2
sin
sin
3 8 3 1 6 2 2 1 8
x y
x
e
y
x y y y
Bài 15.
Giải hệ phương trình:
2 1 2 2 1
3 2
1 4 5 1 2
4 1 ln 2 0
x y x y x y
y x y x
Bài 16.
Giải hệ phương trình:
3
3 4
1.3
log 1
y
x
x
x
y x
Bài 17.
Giải hệ phương trình:
2 2
2 3
4 2
log 2 log 2 1
x y
x y x y
Bài 18.
Giải hệ phương trình:
2 2
2 2
2 2
log 1 log
3 81
x xy y
x y xy
Bài 19.
Giải hệ phương trình:
2 3
9 3
1 2 1
3log 9 log 3
x y
x y
Bài 20.
Giải hệ phương trình:
1 4
4
2 2
1
log log 1
25
y x
y
x y
Bài 21.
Giải hệ phương trình:
4 2
4 3 0
log log 0
x y
x y
PT-HPT MŨ, LOGRARIT
439
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Bài 22.
Giải hệ phương trình:
2
2
2
4 2 0
,
2log 2 log 0
x x y
x y
x y
Bài 23.
Giải hệ phương trình:
2 8
2 2 2 2
log 3log 2
1 3
x y x y
x y x y
Bài 24.
Giải hệ phương trình:
5
5
3
27
3log
y x
x y
x y x y
Bài 25.
Giải hệ phương trình:
2
2
log 3 1
4 2 3
x x
y x
y
Bài 26.
Giải hệ phương trình:
log 6 4 2
log 6 4 2
x
y
x y
y x
Bài 27.
Giải hệ phương trình:
2
1 2
1 2
2log 2 2 log 2 1 6
log 5 log 4 1
x y
x y
xy x y x x
y x
Bài 28.
Giải hệ phương trình:
3 3
4 32
log 1 log
x y
y x
x y x y
Bài 29.
Giải hệ phương trình:
2
log 2 2
2
2 2
2 log
2
log 2log
x
x
y y
xy x y x
Bài 30.
Giải hệ phương trình:
2 2
3
log 3 log 2 3
4 2.4 20
x y x y
x
x y x y
x y x xy y
Bài 31.
Giải hệ phương trình:
3
2 1
3 3
2log 2 4
2 .log log 2
x
x x
y
y y
Bài 32.
PT-HPT MŨ, LOGRARIT
440
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Giải hệ phương trình:
2
3 1
2
2 2 2
2log log 1
log log 1 log 3
y x
y x
Bài 33.
Giải hệ phương trình:
2
3 2
3 2
2log 6 3 2 log 6 9 6
log 5 log 2 1
x y
x y
y xy x x x
y x
Bài 34.
Giải hệ phương trình:
2
2
3 ln 2 1
3 ln 2 1
x x x y
y y y x
Bài 35.
Giải hệ phương trình:
2 2
ln 1 ln 1
12 20 0
x y x y
x xy y
Bài 36.
Chứng minh với mỗi số dương a, hệ sau có nghiệm duy nhất
ln 1 ln 1
x y
e e x y
y x a
Bài 37.
Giải hệ phương trình:
2 2
2 2
log log 1
1
x y
e e y x xy
x y
Bài 38.
Giải hệ phương trình:
2
2
log 1
log 1 1
x y
x y x y
xy x y
Bài 39.
Giải hệ phương trình:
2 2
3 3
2 2
2 2
log log
4
y x y x x xy y
x y
Bài 40.
Giải hệ phương trình:
3 2 3
3
3 3 2
2 1
log log 2
1 2
y x
x x y y
x y
x
y x
Bài 41.
Giải hệ phương trình:
2
2log
log log
4 3
y
x y
x
xy x
y y
Bài 42.
PT-HPT MŨ, LOGRARIT
441
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Giải hệ phương trình:
2 2
lg 1 3lg2
lg lg lg3
x y
x y x y
Bài 43.
Giải hệ phương trình:
3 3
log log
3 3
2 27
log log 1
y x
x y
y x
Bài 44.
Giải hệ phương trình:
2 2
4 4 4
2
4 4 4
log log 2 1 log 3
log 1 log 4 2 2 4 log 1
x y x x y
x
xy y y x
y
Bài 45.
Giải hệ phương trình:
2 4 4 2
4 2 2 4
log log log log
log log log log
x y
x y
Bài 46.
Giải hệ phương trình:
3
3
log 2
log
2 2
4 2
3 3 12
xy
xy
x y x y
Bài 47.
Giải hệ phương trình:
1 2
2 14
8
log 2 log 1
3
x y
x xy y
y x
Bài 48.
Giải hệ phương trình:
2 2 2
2
lg lg lg
lg lg .lg 0
x y xy
x y x y
Bài 49.
Giải hệ phương trình:
3
2
log 3
2 12 .3 81
x
x y
y y y
Bài 50.
Giải hệ phương trình:
2
3 3
3
2
1
log log 0
2
2 0
x y
x y y
BÀI TẬP TỔNG HỢP
A. PHẦN PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ - LOGARIT
PT-HPT MŨ, LOGRARIT
442
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Bài 1. Giải phương trình:
2
2
1
log 8 log 1 1 2 0
2
x x x x
.
Bài 2. Giải phương trình:
3 3
2 2 2 4 4
4 2 4 2
x x x x x x x
.
Bài 3. Giải phương trình:
2
2
2 1 1
log 2 1 log 2 1 4
x x
x x x
.
Bài 4. Giải phương trình:
2 1 2 1 2 2 0
x x
.
Bài 5. Giải bất phương trình:
2
0,7 6
log log 0
4
x x
x
.
Bài 6. Giải bất phương trình:
2
1
2
3 2
log 0
x x
x
.
Bài 7. Giải bất phương trình:
3 1
3
2log 4 3 log 2 3 2
x x
.
Bài 8. Giải bất phương trình:
2
4 2
log 8 log log 2 0
x
x x
.
Bài 9. Giải phương trình:
2 2
log 2012 log 2011
2 2
1 1 2
x x x x x
.
Bài 10. Giải phương trình:
2
2 6 2 6
log log 2 log 2log 2
2
x
x x x x x
.
Bài 11. Giải bất phương trình:
2
1
1
5
5
1 1
log 1
log 2 3 1
x
x x
.
Bài 12. Giải phương trình:
2.9 4 39 3 16 .3 2 13 13 3 16 0
x x x x
x x
.
Bài 13. Giải bất phương trình:
2
2 2
3 log 2 3 log 11 2
x x x x
Bài 14. Tìm nghiệm
0;2
x của phương trình
2
1
2 1
2 1 2
1 1
4 4
4
x
x x
x
x
x
Bài 15. Giải bất phương trình:
4
2
2
2 1
0
log 2 25
x
x
x x
Bài 16. Giải bất phương trình:
2
4 2 2
3 4 3 1
x x
x
Bài 17. Giải phương trình
3 5 6
2 3
log 2 1 log 4 1 log 6 1 3
0
3 2
x x x x
x x x
PT-HPT MŨ, LOGRARIT
443
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Bài 18. Giải phương trình:
2 2
log log
2
2 2 2 2 1
x x
x x
.
Bài 19. Giải các bất phương trình:
1.1.
2 2
1
5 3 5 6
0
3 1
x
x
x x x
.
1.2.
2
4 7
2
3.2 7 17 log 4 log 7 2
0
9
x
x x x
x
.
1.3.
3
2.6 4 3.12 2.8 2.3
x x x x x
.
1.4.
3
3 2
4 ln 2 4
x x
x x x x .
1.5.
2
2
5log 2 loglog
18 0
x
xx
x x
.
1.6.
2 1
2 2 1 2 4 2
x x
x x
.
1.7.
2
2
2 2 2 2 1 2 1
x x x
.
1.8.
2 2
1 1 1
2 2 2 2
x x x x
.
1.9.
2 2
3
4 2 2 3
0
3 1 2 1
x x
x x
x x
1.10.
2 2
2
1
5 1 2 3. 5 1
x x x x
x x
1.11.
0,25
2
log
16 2
x
x
x
x
1.12.
2 2
0,5
log log 0,25
log 0,5
3 5
2 5
2
x
x
x
1.13.
3
2
2
log 3
2log 3 4
3
3 8 3 4 9
x x
x x
1.14.
2 3
3 1 1
3 2 3 x
x x x
1.15.
2
1
2
2
log 4 5
2
x
x
1.16.
2 2 1 2 2
4 8 2 4 2 .2 . 2
x x
x x x x x x
1.17.
2 3 4 2 2
2 2
5 6 log log 5 6
x x x x x x x x x x
1.18.
2
4 3
log 8 1 log
x x x
1.19.
6 3 10
, 0
2 1
x
x
x x
1.20.
2
4 2 2
3 4 .3 1
x x
x
1.21.
2 1 2
4 .3 3 2.3 2 6
x x x
x x x x
1.22.
2 2
2 2
log 3 1 2log 0
x x x
PT-HPT MŨ, LOGRARIT
444
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
1.23.
2
4 3 2 3 2
2
1
ln 2 2 2 1 ln ln
x
x x x x x x
x
1.24.
3 2 1 3 2 0
x
x x
1.25.
2
2 1
2
1
log 4 4 1 2 2 2 log
2
x x x x x
1.26.
2
2
4
log log 2 0
x
x x x
Bài 20. Giải các phương trình sau:
1.1.
2
2
2 1 1
log 2 1 log 2 1 4
x x
x x x
1.2.
2
1
log 3 1
2
x
x x
1.3.
26 15 3 2 7 4 3 2 2 3 1
x x x
1.4.
2
2 1
log 1 2
x
x
x
x
1.5.
2 1 3 2
2
3
8
2 2
log 4 4 4
x x
x x
1.6.
2
2
2
1
log 2 1 2 3 0
x x
x
x x
x
x
1.7.
2 3
1
log 2 4 log 8
1
x
x
1.8.
2 2
2 2
3 log 4 5 2 5 log 4 5 6
x x x x
1.9.
1
2
log 1 1 2 1 2 4 3.4 0
x x
x x x
1.10.
2 2 2 2
3 3 2 3 1 3 1
9 3 3 3 6 18
x x x x
x x
1.11.
3 3
2 2 2 2 4 4
4 2 4 2
x x x x x x
1.12.
2 2 2
log 9 log log 3
2
.3
x
x x x
1.13.
2
2
9 512
2 2 1 log 2
x
x x
x
x x
x
1.14.
3
3 1 log 1 2
x
x x
1.15.
4 0,25 0,5
1 1 29 2
log 2 log log
2 2 2 4 2
x x
x
x x x
1.16.
3
3
2
2ln ln 2ln 0
3
x x x x x
PT-HPT MŨ, LOGRARIT
445
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
1.17.
2 2
log log
2
3 1 . 3 1 1
x x
x x
1.18.
2
2
2
1 1
1 ln 1 1 ln , 1
x x
x x x x x
x x
1.19.
2 4
ln 1 0
x x x x
1.20.
2
2 2 1
1 . 1
x x
x x x e x e
1.21.
3
2
2
2
log log 2
2
x
x
x
1.22.
2 2 3
2 2
log 1 log 3 2
x x x x
1.23.
2 2
3 7 2 3
log 9 12 4 log 6 23 21 4
x x
x x x x
1.24.
2
2 2 2
log 2 log 6 log 4
4 2.3
x x
x
1.25.
2
2 2
log 2 log 2 2 0
x
x
1.26.
2 2
2 2
2 7 12 1 2 14 2 24 log
x
x x x x
x x
1.27.
2 2
ln 2 3 ln 4 ln 2 3 ln 4
x x x x
1.28.
2 3
4 2 log 3 log 2 15 1
x x x x
1.29.
2
1 1
1 1
3
2
1 1
ln 1 ln 1 1 , 0
x
x
x x x x
x x
1.30.
2
1 2 2
.3 1 .3 1 0
x x
x x x x
1.31.
2 2 2 2
2 4 3 4 3 4 3 3 4 3
6 8 9 2 1 12
x x x x x x x x
x x
1.32.
6 3 19 5 10 7 15 8 9 4 5 2 231
x x x x x x x x x x x x x
1.33.
2
4 2 1
log 2 2.8 3.2 1
2.16 2.4 1
x x
x x x
x x
1.34.
2
27 6 4 1 9
x x
x x
1.35.
2 3
2 2 2 4 2
4 1 2
2
2
1
log 1 log 1 log 1 log 1
3
x x x x x x x x
1.36.
1 1
1
6 .5 1 5 1 5 1
x
x x
x x x
1.37.
2
2 2 2
1 4 2 2 2 2 1 ln 2 6
x x x x x x x
Bài 21. Chứng minh rằng nghiệm của phương trình
4
6 4
2log log
x x x
thỏa mãn bất đẳng
thức
16
cos sin
16
x
x
PT-HPT MŨ, LOGRARIT
446
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
B. PHẦN HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ – LOGARIT
1.1.
2 2
2 2
2 2
2
log log 9
1 log 1 log 10
9
1 log 2.log 2 log
2
x y
x y
x y
xy
1.2.
2
2
2
log 2
4 1 4 0
y
x
x xy y
1.3.
2
2 3 1
log 3 7 6
2.8 2 17.2
x y y x
y x
1.4.
2 2 2 2
3 3
2 2
1 log 2 4 4 4 4 1 log
5 1
y x y xy x x xy y y
y x x
1.5.
3 3
2
2
log 8 2 1
1
0
4
x
x x y y
y
y xy
1.6.
2 2
3
log (3 ) log ( 2 ) 3
( )
4 2.4 20
x y x y
x
x y
x y
x y x xy y
x R
1.7.
2
4 2 2
1
log log 16 4
log 2
4 8 16 4
xy
y
x
x x xy x x y
1.8.
2 2
2 3
2
2 2 2 1
log 2 log 4
y x xy
y x y x
y y
y x x xy x
1.9.
2
2
2
1
4 5
2 10
log 4 12 9
6 9
3
2
x
x y y
x x
y y
y
y
1.10.
2
ln 2012
2 2 1 3 3 1 34 26
y
x
x x x x
e x y x y e
y x
PT-HPT MŨ, LOGRARIT
447
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
1.11.
2
2
2
2
2
1 1 1 3
1 2 1 3 1 10 1 2
, , 0
2 2
x x y y
y
y
x
x
x y
1.12.
3
3 2
1 1
2 2
2 2
, , 0
ln 2
y x
x y
x y
x x
x y
e x y y x e
1.13.
2 2 2 2
2
2
3 2
3 9 3
4 2 1 6 10 5
3
log 8 10log log
x x xy y y y
x z
xyz z
y
| 1/46
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

Chuyên đề 6:Phương trình, hệ phương trình mũ và logarit Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam Email : dangnamneu@gmail.com Yahoo: changtraipkt Mobile: 0976266202 CHUYÊN ĐỀ 6:
PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT 402 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Chuyên đề 6:Phương trình, hệ phương trình mũ và logarit 403 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam PT-HPT MŨ, LOGRARIT Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam Email : dangnamneu@gmail.com Yahoo: changtraipkt Mobile: 0976266202
KIẾN THỨC CẦN NHỚ Hàm số mũ x
y a (0  a  1)
Hàm số logarit y  log x(0  a  1, x  0) a
+ Các công thức lũy thừa Với , a b  0; , m n  ta có m n mn a a aa n m mna  m m m aba b m a mna n a m n m n a a
+ Các công thức biến đổi logarit log c
b c a ba b a 0 1, 0
Với 0  a,b  1; x , x ,  ta có 1 2
log  x x  log x  log x a 1 2  a 1 a 2  x  1 log
 log x  log x a   a 1 a 2 x  2 
log x log x a a loga x ax 1 log  x log x a a 1 log b a log a b Công thức đổi cơ số log x log b x a log a b Giải phương trình mũ Đưa về cùng cơ số 0  a  1 f ( x ) g ( x) aa  
f (x)  g(x)  404 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam PT-HPT MŨ, LOGRARIT 0  a  1 f ( x )  ab b   0
f (x)  log ba
+ Nếu a a(x) là hàm phụ thuộc vào biến x thì rõ ràng a  1 cũng có thể là nghiệm
Khi đó phương trình tương đương với a  0 f ( x ) g ( x)  aa   a  
1  f (x)  g(x)  0  + Lấy logarit hóa 2 vế f ( x) g ( x) ab
f (x).log a g(x).log b mục đích là làm xuất hiện nhân tử chung ở cả f (x) và c c g(x).
Bất phương trình mũ – logarit a  0 
Dạng 1: f (x) g ( x ) aa   a  
1  f (x)  g(x)  0  0  a  1 
Dạng 2: log f (x)  log g(x)   f (x)  0, g(x)  0 a a   a  
1  f (x)  g(x)  0 
0  f (x)  1
Lưu ý: Điều kiện với hàm log g(x) là f ( x) g(x)  0 
BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ BÀI TẬP MẪU xx 1
Bài 1. Giải phương trình : 1 1 2 .4 .  16x . 1 8 x Lời giải:
Phương trình đã cho tương đương với xx 1 1 2  1 4 x 6 x4 4 2 .2 .  2  2
 2 x  6x  4  4x x  2.  3 1 x 2
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x  2. 2 x 1  7 x
Bài 2. Giải phương trình: x 1 8   0, 25 2  . Lời giải:
+ Điều kiện x  1  . 405 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam PT-HPT MŨ, LOGRARIT
Khi đó phương trình tương đương với  3 2 x  1 7 x  3 2 x  1 7 x 2 3 2x 1  7x 2   x 1  2 x 1  2 2  2 .2  2  2    2 x 1 2  x  1 2 7x 9x 2 0       2  x   7  2 
Vậy phương trình có 2 nghiệm là x   ;1.  7  log3 x  1 
Bài 3. Giải phương trình:  x  2 x   x  2.    2  Lời giải:
Phương trình đã cho tương đương với x  2 x  2  x  2  0    x  2 x  2 x  2  0         
    x  2 log x 0 x 1 log3 x 3  1    x 1          1 3    2    x   1  x    2   2
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x  2. x3 x 1 
Bài 4. Giải phương trình:   x 1    x3 10 3 10 3 . Lời giải: x  1 + Điều kiện  x  3   1 Do 10  3 
, nên phương trình đã cho tương với 10  3 3x x 1    x x  10  3 3 1 x 1 
  10  3x3 2 2  
x 1  9  x x 1 x  3 2
x  5  x   5.
Vậy phương trình có 2 nghiệm là x   5. 2 1 x 1   
Bài 5. Giải phương trình:   x3 2 2 2 x   4.   Lời giải:
+ Điều kiện 0  x  1
Khi đó phương trình tương đương với 406 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam PT-HPT MŨ, LOGRARIT 2 x 3 2 2 x  3 2 x x  2 x 1   1 2   2 .2  2    2 x 1
2 x x   1
 4 x  2  x  3  4 x x  
1  4x 10 x  6  0 
x  3  x  9.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x  9. sinx 2 3 cos x
Bài 6. Giải phương trình:  2  x x    2 2
2  x x  . Lời giải:
Phương trình đã cho tương đương với 1  x  2(*) 2   2
2  x x  0 
 x x 1  0(1)     2 
2  x x   
1 sinx  2  3 cos x  0     sin x   1(2)      3  1 5 (1)  x
thỏa mãn điều kiện (*). 2 (2)  x  
 2k x
 2k , k  , ta phải có 1  
 2k  2  k  0  x  . 3 2 6 6 6 1 5
Vậy phương trình có 3 nghiệm là x  , x  . 2 6 2 2 x x4 3 x 5 x2
Bài 7. Giải phương trình:  x     2 3
x  6x  9 . Lời giải:
Phương trình đã cho tương đương với 2 2  x xx x
x  33 5 2   x  32 4 x  3 x  3  0    x  4    x  4  0   x 3  1   2 3x 5x 2 2 2 x x 4 0          x  5   2  x  7x  10 
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x 4;  5 . 1
Bài 8. Giải phương trình: log 5  x  2 log 3  x  1. 2   8 3 Lời giải:
+ Điều kiện x  3(*).
Khi đó phương trình tương đương với 407 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam PT-HPT MŨ, LOGRARIT 2 log 5  x  log 3  x  1 8   8   x  1
 log 5  x3  x  1  5  x3  x 2
 8  x  8x  7  0  8 x  7 
Chỉ có nghiệm x  1 thỏa mãn điều kiện (*).
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x  1. 1 1
Bài 9. Giải phương trình: log x 1    log x  2. 4   2 log 4 2 2x 1  Lời giải:
+ Điều kiện x  1(*).
Khi đó phương trình tương đương với 1 log x 1  log 2x  1   log x  2 4   4   2 2 1 1 1 1  log x 1  log 2x 1   log x  2 2   2   2   2 2 2 2  log
x 1 2x  1  log 2 x  2 2    2   x  1   x  1 2x  1 2  x 2 2 2x 3x 5 0            5 x   2 5
Chỉ có nghiệm x
thỏa mãn điều kiện (*). 2 5
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x  . 2 2
Bài 10. Giải phương trình: log x 1  log 2x 1  2 . 3     3 Lời giải: 1 + Điều kiện  x  1(*). 2
Khi đó phương trình tương đương với log  x  2
1  log  2x  2 1  2 3 3  log  x  2 1 2x  2 1
 2   x  2 1 2x  2 1  9 3   
x    x   2 x 2 1 2 1  3
2x  3x  2  0       1  x   1 2x   2 1  3
2x  3x  4  0  x      2
Chỉ có nghiệm x  2 thỏa mãn điều kiện (*).
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x  2. 408 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam PT-HPT MŨ, LOGRARIT
Bài 11. Giải phương trình: log 2  2 log 4  log 8 . x 2 x 2 x Lời giải: 1
+ Điều kiện 0  x  , x  1(*). 2
Khi đó phương trình tương đương với 1 2 1 1 4 6      log x log 2x log 2x log x 1 log x 1 log x 2 4 8 2 2 2 1 2  
 1  log x  2 log x  log x  1  x  2 2 2 2 log x 1 log x 2 2
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x  2.
Bài 12. Giải phương trình: log
x 1  log 3  x  log  x  3 1  0. 1 8 2 2 Lời giải:
+ Điều kiện 1  x  3(*).
Khi đó phương trình tương đương với log x 1  log 3  x  log x 1  0 2   2   2    log
x 1 3  x  log
x 1  x 1 3  x x 1 2    2      1 17 2
x x  4  0  x  2 1 17
Chỉ có nghiệm x
thỏa mãn điều kiện (*). 2 1 17
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x  . 2 2 3
Bài 13. Giải phương trình: log x 1  2  log 4  x  log x  4 . 4   8   2 Lời giải:  4   x  4 + Điều kiện  (*). x  1 
Khi đó phương trình tương đương với
log x 1  2  log 4  x  log 4  x 2 2   2  
 log 4 x  1  log  2 16  x  2
 16  x  4 x 1 2 2 + Với 1
  x  4 phương trình trở thành 2
x  4x 12  0  x  2. 409 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam PT-HPT MŨ, LOGRARIT + Với 4   x  1
 phương trình trở thành 2
x  4x  20  0  x  2  24.
Vậy phương trình có 2 nghiệm là x  2, x  2  24.  1 
Bài 14. giải bất phương trình: log x   2 x    4  Lời giải:
Bất phương trình đã cho tương đương với:   1   x   2 1 x   x  0  1       4  1 2  log x   log x       x  1 x  4 x  1 4
x  , x  1   4  1 
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S  ;1   .  4  log  2 x  9x  8 2 
Bài 15. Giải bất phương trình:  2 log 3  x 2   Lời giải: 2
x  9x  8  0  Điều kiện: 3   x  0  x  1, suy ra log 3  x  0 2   log 3 x  0 2   
Khi đó bất phương trình tương đương với:
log  x  9x  8  2 log 3 x  log 3  x2 2 2 2 2 1 1
x  9x  8  3  x2 2
 3x 1  0  x   , kết hợp với điều kiện suy ra   x  1 . 3 3  1 
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S   ;1   .  3 
Bài 16. Giải bất phương trình:
log  x  4x 1 2
1  log  x  4x 1 3 2 2 1 5 11  0 3 2  5x  3x Lời giải: 2 
x  4x 11  0 Điều kiện:   x   ;  2
   2; 2  15  2  15;  2    
2  5x  3x  0  410 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam PT-HPT MŨ, LOGRARIT log  2 3 x  4x 11 5 2 2 
Ta đưa về cùng cơ số 5; log x  4x 11  3log
x  4x 11  3 11   11   log 11 5
Khi đó bất phương trình tương đương với:   log  2 x  4x   11 log  2 x  4x 11 3 5 5  3 2   0   0   do 2   0 2 2 log 11 2  5x  3x 2  5x  3x  log 11 5  5 log   2
x  4x 1  2 1  0 5 
x  4x 11  1    x   ;  2   6;  2 2    
2  5x  3x  0 
3x  5x  2  0          1  log   2
x  4x 11  0 
x  4x 11  1 x  2;   5  2      3   2 2 3
x  5x  2  0
2  5x  3x  0  
Kết hợp với điều kiện, suy ra tập nghiệm của bất phương trình là S   ;
 2  2;2  15 6;  .
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ 3 x 1  x 1 
Bài 1. Giải phương trình: 3  x   1   x   1 . 1 1 8
Bài 2. Giải phương trình: log
x  3  log x 1  log 4x . 4   2   2 2 4
Bài 3. Giải phương trình: log  2 4
x 13x  5  log 3x 1 . 5  25  
Bài 4. Giải phương trình: log  2 x x   1  log  2 x x   1  log  4 2 x x   1  log  4 2 x x 1 . 2 2 2 2  2
Bài 5. Giải phương trình: log x 1  log 4  x  log 4  x . 9   3   3   3 3 x 1
Bài 6. Giải phương trình: log .log x  log   log x. 3 2 3 2 x 3 2 2 x 5x4 x4
Bài 7. Giải phương trình:  2 x     2 3 x  3 x 2 4 2 2 x 3
x x 1 
Bài 8. Giải phương trình:  2 x x   1   2  x x 1   log  2 x  9x  8 2 
Bài 9. Giải bất phương trình:  2 log 3  x 2    1 
Bài 10. Giải bất phương trình: log x   2 x    4  2 2 x 1  0 x 1  0
Bài 11. Giải phương trình:  2 x  4x  4  x 411 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam PT-HPT MŨ, LOGRARIT x  5
Bài 12. Giải phương trình: log  log  2 x  25  0 2 2  x  5
Bài 13. Giải phương trình: log log x  log log x  2 4  2  2  4 
Bài 14. Giải phương trình: 2 2 1 6 2 log 3x 4 3 .log x 8 log x log 3x 4      2 2  2  2   3   3 2 3 3
Bài 15. Giải phương trình: log x  2  3  log 4  x  log x  6 1   1   1   2 4 4 4
Bài 16. Giải phương trình: log x  8  log x  26  2  0 9   3  
Bài 17. Giải phương trình: 2 log  2
x x 1  log  2
x 1  x  3 2 1  2
Bài 18. Giải phương trình: log  2 x x 1log  2 x x 1  log  2 x x 1 2 3 6  log 4  x 1  
Bài 19. Giải phương trình: 2 log 6  2  1  x3 log x  3 2   1
Bài 20. Giải phương trình: log 2 log 1
  log 1 3log x   4  3  2  2    2
Bài 21. Giải các phương trình: 1.1. 2 log
x  4x  3  log  x  2 2 1  2  0 2 1 2 x  9 1.2.
log x x  9   log  0 2     2 x 1 x 1 1.3.
log  x  8x  252 2  log  log x  5 25 5 5 2 2 LOGARIT HÓA 2 VẾ BÀI TẬP MẪU
Bài 1. Giải phương trình sau: x 1  1. 5x.8 x  500. 2 x3 2 2. x 2 3 .4 x  18. 2 3. x 4 x2 2 .5  1. 412 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam PT-HPT MŨ, LOGRARIT 2 x x 3 4. 2 2  . 2 Lời giải:
1. Phương trình tương đương với x 1  x3 3 x 3 2 x3 5 .2 x  5 .2  5 .2 x  1
Lấy logarit cơ số 2 hai vế của phương trình ta được x  3  1   x  3  x  3log 5   0  x  3 log 5   0  2   2   xx x   log 2  5
2. Phương trình tương đương với 2 x3 3 x6 2 2 2 x 2 2 1 x 4 3 .2 x  3 .2  3 .2 x  1
Lấy logarit cơ số 2 hai vế của phương trình ta được  x  2  3 2  x  4   log 3  3  0  x  2
x  2 log 3  0 2     2  xx   x  2  0 x  2   3   x  2.     x  2 2 log 3  0
x  2x  3log 2  0(VN ) 2  3  x
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x  2.
3. Phương trình tương đương với 2 x 4 x2 log 2  log 5  0  x  2 x  2  log 5  0 2 2   2   x  2   x  2   log 5  2
Bài 2. Giải các phương trình sau 1. lg x 2 x  1000x . 2. log x 4 2 x   32. 2 3. log 5 x 1  25   log 7 5 7  x . Lời giải:
1. Điều kiện x  0 , khi đó phương trình tương đương với 2 lg .
x lg x  lg1000  lg x  1 lg x  1  x
lg x2 2lg x 3 0        10  lg x  3   x  1000   1 
Vậy phương trình có 2 nghiệm là x   ;1000. 10  
2. Điều kiện x  0 , lấy logarit cơ số 2 hai vế của phương trình, khi đó phương trình tương đương với 413 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam PT-HPT MŨ, LOGRARIT log x  4 2
log x  log 32  log
x  4 log x  5  0 2 2 2 2 2  x  2 log x  1 2     1 log x  5  x   2  32
3. Điều kiện x  0 , khi đó phương trình tương đương với 2 log 5 x 1  25   log 7   log  log 75 x    2 log
5x 1 log 7  log 7.log x 5 5 25    5 5 5  1 1 log x  1  x  2 log 5x log x 1 0 log x 2 log x 3 0             5 BÀI 5   2 5 5 5 5 4 log x  3   5 x  125  TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1. Giải phương trình : x x 1 5 .  8x  100.
Bài 2. Giải phương trình: log9 x 2 9.xx . x 2
Bài 3. Giải phương trình: x 2 x 1 3 .2   6
ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH 2 2
Bài 1. Giải phương trình sau: x x x x 2 2  4.2  2 x  4  0 . Lời giải:
Phương trình đã cho tương đương với 2  2x x  2 4  2 x    2
4  2 x   0   2 4  2 x  2 2x x   1  0 2 4  2 x  0 2x  2  x  1     2  2 
2x x 1  0 x x  0 x  0   
Vậy phương trình có 2 nghiệm là x 0;  1 .
Bài 2. Giải phương trình
2log x2  log x.log 2x  1 1 9 3 3   Lời giải:
+ Điều kiện x  0 , khi đó phương trình tương đương với 414 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam PT-HPT MŨ, LOGRARIT log x2  2log . x log 2x 1 1 3 3 3  
 log x log x  2 log 2x 1 1 3  3 3   log x  0 x  1 3     log x  2 log 2x 1 1  0 log x  log 2x  1 1 3 3   3 3     x  1  x  1     x  0 x 2x 1 1      x  4 
Vậy phương trình có 2 nghiệm là x 1;  4 .
Bài 3. Giải phương trình: 2
2 log x  log x.log 2x 1 1 4 2 2   Lời giải:
Điều kiện: x  0 , khi đó phương trình tương đương với: 1  1 2  log x  log . x log
2x 1 1  log x log x  log 2x  1 1  0 2 2 2   2  2 2   2  2  log x  0 2   1  log x  log 2x 1 1  0 2 2    2  x  1  x  1     log x  log 2x 1 1  2 2   x  2x 1 1    x  1 x  1    
x 1 2 x  2x 1 x  4  
Vậy phương trình có hai nghiệm là x  1; x  4 .
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ 2 2 2
Bài 1. Giải bất phương trình: 2 x 1  x 2 4  .2  3.2  .2x x x x  8x 12
Bài 2. Giải phương trình:  2 x 1 2 3     3 1 4.3x x x  1
Bài 3. Giải phương trình: 2 x 1   x x 1   x 1 .5 3 3.5 2.5      3x x x  0 415 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam PT-HPT MŨ, LOGRARIT 1
Bài 4. Giải phương trình: x  2 x   x   2 2 4
2  4 x  4  4x  8 2 2
Bài 5. Giải phương trình: x log x2 x2 2 x 1  x2 log x2 4   4   3  3.3  3  9.3
MỘT SỐ DẠNG ĐẶT ẨN PHỤ CƠ BẢN
Dạng 1: Phương trình có dạng kf ( x) (k 1  ) f ( x) f ( x )  a a  ...   a
, .  k k 1  1 0 k Đặt f ( x ) t a
, đưa về giải phương trình bậc k với ẩn là t.
Dạng 2: Phương trình có dạng f ( x) f ( x )  a b
 0, ab  1 1 2 3 f x f x 1 Đặt ( ) ( ) 2 2 t a  0  b    t
 0   t  t  0 1 3 1 3 2 t t
Dạng 3: Phương trình có dạng f x  a
abf (x) 2 ( ) 2 f ( x)   b  0 1 2 3
Khi đó chia cả 2 vế của phương trình cho 2 f (x) b
 0 . Phương trình trở thành f ( x )  a 2 
 t  t  0, t   0. 1 3 3    b BÀI TẬP MẪU 2 2
Bài 1. Giải phương trình : x x 2 2
 2 xx  3 Lời giải :
Phương trình đã cho tương đương với :  4 2 2 2 x x x x  2 2   3  2
 3.2x x  4  0 2 2x x 2 Dặt 2x x t  
 0 , khi đó phương trình trở thành : 2  x  1  2 x x 2 2
t  3t  4  0  t  4  0  2
 2  x x  2  x  2  x x 1 12
Bài 2. Giải phương trình : 3 2  6.2    1  3 x  1 2 2x Lời giải : Đặt 2x t
 0 , khi đó phương trình trở thành : 8 12 8  2 3 3  t  6t    1  t   6 t  1  0 3 3   t t tt  416 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam PT-HPT MŨ, LOGRARIT 2 2 8 2 4 2  2          Dặt 3 2 u t   t   t t  2   t        t   6     u  2 u  6 3 2  t t t t t t           
Khi đó phương trình trở thành :  2
2  6  6 1  0  1   1   2  0  2x u u u u t t  2  x  1. t
Vậy nghiệm của phương trình là x  1 . log x 1  log x
Bài 3. Giải bất phương trình :  x  1   x
  x   x 1 1   2 Lời giải :
x  0; x 1  0 Diều kiện :   x  1 0  x  1  1  1 log x 1 log x 1  x 1   x x 1 log khi đó đặt   1      t xx t  log x  log t  log
t t x 1 xx 1  log x 1  x 1  x 1    1 x  1  
vậy bất phương trình tương đương với : log xx  1 1  
t t  2  t  1  x  1  log
x 1  0; do x>1  x  2 x 1     
vậy tập nghiệm của bất phương trình là S  1; 2 . 2 2 2
Bài 4. Giải phương trình: log x log x log x 4 2 4 64  3.2  3.4  4 Lời giải : Điều kiện x  0 2 2 2 Dặt log x log x 2 log x 3 4 2 4 t  4  2  t ; 64  t
Khi đó phương trình trở thành 3 2
t t t   t    2 3 4 4
4 t t   1  0  t  4  x  4 2 log x 4 2 4 4 log x 1       4 1  x   4
Một số dạng đặt ẩn phụ khác
Cùng tìm hiểu qua một số ví dụ sau
Dạng 1: log f (x)  log g(x) , đặt t  log f (x) a b a
Bài 1. Giải phương trình: log x  log x  2 . 7 3   Lời giải: 417 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam PT-HPT MŨ, LOGRARIT
+ Điều kiện x  0 , khi đó đặt x  7t t t  7    1 
t  log x  log x  2   t     2  1(*) 7 3       2 t 3  3
x  2  7  2  3    
Vế trái của phương trình (*) là hàm nghịch biến, vế phải là hàm hằng. Mặt khác nhận thấy t  2 thỏa mãn phương trình.
Vậy phương trình (*) có nghiệm duy nhất
t  2  log x  2  x  49. 7
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x  49.
Bài 2. Giải phương trình: 2 2 log
x  2x  2  2 log
x  2x  3 . 4 6   5   Lời giải: + Điều kiện 2
x  2x  3  0 , khi đó phương trình tương đương với log  2
x  2x  2  log  2 x  2x  3 6 5  Đặt 2
t x  2x  3, phương trình trở thành  t  5y y y  5   1  log
t  1  log t y      1(*) 6   5    
t 1  5y 1  6y  6   6  
Vế trái của phương trình (*) là hàm nghịch biến, vế phải là hàm hằng. Mặt khác ta lại có y  1, thỏa mãn phương trình.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất  x  4 2
y  1  log t  1  t  5  x  2x  3  5  ( thỏa mãn điều kiện) 5  x  2 
Vậy phương trình có 2 nghiệm là x 2;  4 .
Dạng 2: log xc b   a
x, b a c Đặt t  log x c b  
Bài 1. Giải phương trình: log x3 7   4  . x Lời giải:
Đặt t  log
x  3 , khi đó phương trình trở thành 7   t t t t  4   1  4  x  7  3   3
 1  t  1  log
x  3  1  x  4.     7    7   7 
Bài 2. Giải phương trình: log x5 3   2  x  4. Lời giải:
Đặt t  log
x  5 , khi đó phương trình trở thành 3   t t t t  2   1 
2  x  4  3 1  
 1  t  1  x  2.      3   3  418 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam PT-HPT MŨ, LOGRARIT
Dạng 3: axb sc log
dx e  x  d ac  e bc . s   , ;
Khi đó đặt ay b  log
dx e , và chuyển về hệ phương trình s  
Bài 1. Giải phương trình: x 1 7   6 log 6x  5 1. 7   Lời giải: Đặt y 1 log 6x 5 y 1 7       6 x  5 7
Khi đó ta có hệ phương trình x 1 7   6   y   1 1 x 1  y 1  x 1  y 1   7  7
 6 y  6x  7
 6x  7   6 y y 1 7   6x  5  Xét hàm số t 1 f (t) 7    6t , ta có t 1 f '(t) 7  
ln 7  6  0 . Nên f (t) là hàm số đồng biến trên  . Vậy f (x) f ( y) x y x log 6x 5 x 1 1 7           6x  5 7
Dễ thấy phương trình này có nghiệm x  1, x  2.
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1. Giải phương trình: (7 4 3)x 3(2 3)x     2  0
Bài 2. Giải phương trình: 33x 33x 4 x 4 3  3  3  3 x  1000 x x
Bài 3. Giải phương trình:        x3 5 21 7 5 21  2 8 2x 18
Bài 4. Giải phương trình:   x 1  x x 1  1 2 2  2 2  2 x  2
Bài 5. Giải phương trình:  x x x
7  5 2    2  53 2 2  31 2 1 2  0 2 2 x 1  x 2 x 1  4
Bài 6. Giải phương trình: 2  3   2  3  2  3  x 1 
Bài 7. Giải phương trình: log 1  x    x   log2 x 2 3  1 0  x 1  2 2 2
Bài 8. Giải phương trình: log x log x log x 4 2 4 64  3.2  3.4  4
ĐẶT ẨN PHỤ ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Bài 1. Giải phương trình: 9x  2   23x x  2x  5  0 Lời giải: Đặt 3x t
, khi đó phương trình trở thành 2
t  2  x  2t  2x  5  0 , coi đây là phương trình bậc 2 với ẩn là t 419 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam PT-HPT MŨ, LOGRARIT 2 2
Ta có  '   x  2  2x  5   x  3 Từ đó suy ra
t  2  x x  3  2x  5 3x   1(VN )   
 3x  5  2x f (x)  3x  2x  5  0(*) Xét hàm số
t  2  x   x  3  1 3x  5  2x   f (x) ta có '( ) 3x f x
ln 3  2  0 , do đó f (x) là hàm số đồng biến. mặt khác ta nhận thấy
f (1)  0 . Vậy phương trình (*) có nghiệm duy nhất x  1 .
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x  1.
Bài 2. Giải phương trình: 2 log
x 1  x  5 log
x 1  2x  6  0. 3     3   Lời giải:
+ Điều kiện x  1  . Đặt t  log
x 1 , khi đó phương trình trở thành 3   2
t   x  5t  2x  6  0  t  2t  3  x t  2 log x  1  2  x  1  9 x  8 3           t  3  x  log  x   3 1  3  x
x  1  3 x
3x x  1  27  0(*)  3    
Xét hàm số ( )  3x f xx   1  27 có '( )  3x    1 ln 3  3x f x x
 0 . Nên f (x) là hàm đồng biến.
Mặt khác ta lại có f (2)  0 . Do đó phương trình (*) có nghiệm duy nhất x  2.
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x  2, x  8.
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1. Giải phương trình: 2 3 x
2x 93x 9.2x     0. 2 2
Bài 2. Giải phương trình: x   2 x   x 2 9
3 3  2x  2  0.
Bài 3. Giải phương trình: 9x   123x x 11 x  0.
Bài 4. Giải phương trình:
x2   x   x2 3.25 3 10 5  x  3.
Bài 5. Giải phương trình: 2x 3x 1  x3 4  2  2  16. 2 2
Bài 6. Giải phương trình: x   2 x   x 2 4
7 .2 12  4x  0
Bài 7. Giải phương trình:  2 x 1 2 3     3 1 4.3x x x  1
Bài 8. Giải phương trình: 2 x 1   x x 1   x 1 .5 3 3.5 2.5      3x x x  0
PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 420 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam PT-HPT MŨ, LOGRARIT
Tính chất 1: Nếu hàm số f (x) liên tục trên khoảng a;b và có f (a) f (b)  0 thì phương trình
f (x)  0 có nghiệm x a;b . 0  
Tính chất 2: Nếu hàm số f (x) tăng hoặc giảm trên một miền D thì phương trình f (x)  0 chỉ
có tối đa một nghiệm trên . D
Tính chất 3:Nếu hàm số f (x) tăng hoặc giảm trên một miền D thì với 2 số
u, v D, f (u)  f (v)  u v .
Tính chất 4: Nếu hàm số f (x) tăng và hàm số g(x) là hàm hằng hoặc hàm giảm trên miền D
thì phương trình f (x)  g(x) có tối đa một nghiệm trên . D
Định lý Lagrange: Nếu hàm số F (x) liên tục trên đoạn [ ;
a b] và có đạo hàm F '(x) trên khoảng
F(a)  F ( ) b ( ;
a b) , khi đó tồn tại số c  ;
a b / F '(c)  . a b
Áp dụng với F (a)  F (b)  c   a;b / F '(c)  0.
f ' (x)  0
Định lý Rolle: Nếu hàm số f (x) có , x   D
thì phương trình f (x)  0 có tối đa 2 f ' (x)  0  nghiệm.
Các tính chất 1, 2,3, 4 được sử dụng trực tiếp khi làm bài.
Định lý Lagrange và định lý Rolle chúng ta sử dụng gián tiếp thông qua việc lập bảng biến thiên
của hàm số f (x) ( Xem các bài tập mẫu 6).
Bài 1. Giải phương trình: log x 2 x  2.3  3. Lời giải:
+ Điều kiện x  0.
Khi đó phương trình tương đương với log x 2 2.3
 3  x . Nhận thấy vế trái là hàm số đồng biến và vế phải là hàm nghịch biến. Mặt khác
nhận thấy x  1 là nghiệm của phương trình.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x  1. 2 2
Bài 2. Giải phương trình: x x x 1 2 2      x   1 . Lời giải:
Phương trình đã cho tương đương với 2 x 1  x x 2 2 2  x 1  2
x x f (x 1)  f (x x) , trong đó ( )  2t f tt
Xét hàm số ( )  2t f tt , có '( ) 2t f t
ln 2 1  0 vậy f (t) là hàm số đồng biến x  0 Nên 2 2
f (x 1)  f (x x)  x 1  x x   x  1 
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x 0;  1 . 421 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam PT-HPT MŨ, LOGRARIT 2 3xx 1   1 
Bài 3. Giải phương trình: log  2
x  3x  2  2   2. 3     5  Lời giải: x  2 + Điều kiện 2
x  3x  2  0  (*)  x  1  Đặt 2 u
x  3x  2  0 , khi đó phương trình trở thành 2 1u  1  log u  2   2  0(1) 3      5 
Xét hàm số f (t) log t 2 2 t 1 5    
 2, t  0 . Ta có 3 2 1 t 1 f '(t) 2t.5    .ln 5  0, t
  0. Do đó f (t) là hàm số đồng biến. Mặt khác ta lại có t  2ln 3
f (1)  0 , do đó phương trình (1) có nghiệm duy nhất 3  5 2 2 u  1 
x  3x  2  1  x  3x 1  0  x  2 3  5
Vậy phương trình có 2 nghiệm là x  . 2 2 2
Bài 4. Giải phương trình: x x 32 x 2 2 x3 2  9   6  4  3xx x  5 . x Lời giải:
Phương trình đã cho tương đương với 2 2 x x 64 x 2 4 x6 2  3   6  2  3xx x  5x 2 2 x x 2 xx 4 x6 64  2    3  2  4  6  3 x x x xf  2
x x  f (4x  6) Trong đó ( ) 2t 3 t f t t     , ta có
'( )  2t ln 2 1 3t f t ln 3  0, t
   . Do đó f (t) là hàm số đồng biến trên  .  x  2 Vậy f  2 x x 2 2
f (4x  6)  x x  4x  6  x  5x  6  0   x  3 
Vậy phương trình có 2 nghiệm là x 2;  3 .
Bài 5. Giải phương trình: 3 . x 2  3x x  2x 1. Lời giải: 1 Nhận thấy x  
, không là nghiệm của phương trình. Khi đó phương trình tương đương với 2 x x 2 1 3  (*) 2x 1 422 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam PT-HPT MŨ, LOGRARIT  1   1 
Vế trái của phương trình (*) là một hàm đồng biến trên mỗi khoảng ;  ,  ;      , vế  2   2   1   1 
phải của (*) là một hàm nghịch biến trên mỗi khoảng ;  ,  ;      . Nên trên mỗi  2   2   1   1  khoảng ;  ,  ;    
 phương trình có tối đa 1 nghiệm.  2   2  Nhận thấy x  1
 thỏa mãn phương trình.
Vậy phương trình có 2 nghiệm là x  1  .
Bài 6. Giải phương trình: 4x  6x  25x  2. Lời giải:
Phương trình đã cho tương đương với
4x  6x  25x  2  0.
Xét hàm số ( )  4x  6x f x
 25x  2 liên tục trên  . Ta có x x x 2 x 2
f '(x)  4 ln 4  6 ln 6  25, f ' (x)  4 ln 4  6 ln 6  0 . Do đó f '(x) là hàm số đồng biến trên
 . Mặt khác ta lại có f '(0)  ln 4  ln 6  25  0; f '(2) 16ln 4  36ln 6  25  0
Nên f '(x)  0 có nghiệm duy nhất x  0; 2 . Từ đó ta có bảng biến thiên của hàm số f (x) 0   x  0 x 2  0 f '(x)  0    f (x) f (x ) 0
Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình f (x)  0 có tối đa 2 nghiệm.
Nhận thấy x  0, x  2 thỏa mãn phương trình.
Vậy phương trình có 2 nghiệm là x 0;  2 . log  2 x x   2
1  log x  2x x . 3 3 x  0 2 2 2 x x 1 x x 1 2 2 log  2x x   3 xx 3 x x 2 x x 1 1 1 f (x)   x  1  2 . x 1  3,x  0 x x x x  1 . 2xx  x 2 2 1 1 1 g(x)  3  3  3  3 x  1 .
f (x)  g(x)  3  x  1 423 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam PT-HPT MŨ, LOGRARIT
Vậy phương trình có nghiệm x  1 . 2 x x  3
Bài 8. Giải phương trình: 2 log
x  3x  2 . 2012 2 2x  4x  5 2 
x x  3  0, x    Ta có 2 2 2 
và 2x  4x  4   x x  3  x  3x  2 2
2x  4x  5  0, x    
Khi đó phương trình tương đương với: 2 x x  3 log   2
2x  4x  5   2 x x  3 2012 2  2x  4x  5 Đặt 2 2
u x  3x  2, v  2x  4x  5 , khi đó phương trình trở thành: u log
v u  log u u  log v v 2012 2012 2012 v 1
Xét hàm số f (t)  log
t t f '(t)  1  0, t
  0 do đó hàm số f (t) đồng biến. 2012 t ln 2012
Vậy phương trình tương đương với: 2 2
f (u)  f (v)  u v x x  3  2x  4x  5  x  1  ; x  2 .
Vậy phương trình có hai nghiệm là: x  1  ; x  2  .
Bài 9. Giải phương trình:
4 x  2 log x  2  log x  3   15 x 1  3   2      Lời giải:
Điều kiện x  3 , khi đó phương trình tương đương với 15 x   1 log x  2  log x  3  (*) 3   2   4x2
Phương trình (*) có vế trái là hàm đồng biến, vế phải là hàm nghịch biến. Mặt khác lại có
Nhận thấy f (11)  g(11)  5  x  5 là nghiệm duy nhất của phương trình. Đpcm x x x x 1 1 1
Bài 10. Giải phương trình: 3 2 5  4  3  2   
 2x  5x  7x 17 2x 3x 6x Lời giải:
Kí hiệu vế trái của phương trình là f (x) , vế phải của phương trình là g(x)
Ta có vế trái là hàm đồng biến; vế phải là hàm nghịch biến. Mặt khác nhận thất f (1)  g(1)  13.
Vậy x  1 là nghiệm duy nhất của phương trình.
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ 2
Bài 1. Giải phương trình: x x x8 2 2  2
 8  2x x .
Bài 2. Giải phương trình: log 3 log 7 2 2 x xx  2. 424 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam PT-HPT MŨ, LOGRARIT x
Bài 3. Giải phương trình: 9x 5x 4x    2 20 . 2
Bài 4. Giải phương trình: log x 3 3.x  log x   2 1  x . 3
Bài 5. Giải phương trình: 2x 3x   5.
Bài 6. Giải phương trình: 3x x  4  0. x x x
Bài 7. Giải phương trình;  3  2    3  2   5 .
Bài 8. Giải phương trình: 8x 3x   1  4.
Bài 9. Giải phương trình: 2.3x  1 3x x    2.
Bài 10. Giải phương trình: x 3 8  .2  2 x xx  0.
Bài 11. Giải phương trình: 3x 2 xx   2  x x 3 2 3 .2 1 3
2  x x  2  0.
Bài 12. Giải phương trình: 3x  5x  6x  2.
Bài 13. Giải các bất phương trình sau: 1.1- x   2 1 log
x  2x  5 log x  6  0 . 1   1 2 2 1.2- log 2x 1 log 4x    2  2 . 2   3   3 2 1.3-  . log x 1 log x 1 2   3    5  x  lg    5  x 1.4-  0 . 2x  3x 1 1.5- log x  log x  2 . 7 3   1.6- log  2
x  5x  5   1  log  2
x  5x  7  2 . 2 3  1.7- x2 2 .log  2
4x x  2  1. 2  3log3 x 1  log3 x 1  2 x 1  1.8-
4.3x  3x       1. 1.9- x   2 1 log
x  2 x  3 log x  8  0 . 1   1 3 3
log  x  4x 1 2
1  log  x  4x 1 3 2 2 1 4 11 1.10-  0 . 2 2  5x  3x
Bài 14. Giải các phương trình sau: 2 x x  3 1.1. 2 log
x  3x  2 . 3 2 2x  4x  5 1.2. log  2 x x   2
1  log x  2x x . 3 3
Bài 15. Giải các phương trình: x  3  1.1. 2
 x x 1   .  4  425 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam PT-HPT MŨ, LOGRARIT x  2
1 log x 11 2x 5  1.2.  0 . x  3 log 2 8 3 1.3. log3 4 2 log3 .  .2 x x xx . 3 x x x x  1  x  1   5  1.4. 3   5    3x  10       .  3   4   12  1.5. 2 log x x  log x . 6  4 8  4 1.6.
3x  2x  3x  2 . 2x 1 1.7. log  1  2x x . 2 x 1.8. x x 1 4 2    2 2x  
1 sin 2x y   1  2  0
Bài 16. Giải các phương trình: x x x x  1  x  1   1  1.1. 3   2    2  x  6        3   2   6 
TỔNG HỢP BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT
Với cách giải thông thường của bất phương trình là xét hai trường hợp cơ số lớn hơn 1 và nhỏ
hơn 1. Tuy nhiên các em nên làm theo cách gộp luôn cả tích a  
1 vào bất phương trình, với
cách này thì bài giải sẽ gọn và nhanh hơn cả.
Với các bất phương trình có dạng sau, ta biến đổi như dưới đây. a  0 
Dạng 1 : f (x) g ( x ) aa   a  
1  f (x)  g(x)  0  0  a  1 
Dạng 2 : log f (x)  log g(x)   f (x)  0, g(x)  0 a a   a  
1  f (x)  g(x)  0  BÀI TẬP MẪU x 1  1 x
Bài 1. Giải bất phương trình: x 1  x2 4  .32 . 4 Lời giải:
Bất phương trình tương đương với 2 x  1 5 x 2 x2 3x4    2x 2 3x 4 2 x 1  x2 x 1  x2 2  2 .2  2  2   x 1 x  2 426 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam PT-HPT MŨ, LOGRARIT 2  x 13x   0  x  1  3  1
  x  0  x  2.  x   1  x  2
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S   ;  1  3   1
 ;0  2; . 2 2 x 2 x 1  x 2 x 1  4
Bài 2. Giải bất phương trình: 2  3  2  3  . 2  3 Lời giải:
Bất phương trình tương đương với 2 2
  x 2x   x 2x 2 3 2 3  4 2 2 x 2 x x 2 x 1
Đặt t  2  3  2  3  t
Khi đó bất phương trình trở thành 1 2
t   4  t  4t 1  0  2  3  t  2  3 t 2      x 2x 2 2 3 2 3  2  3  1
  x  2x  1  1 2  x  1 2 .
Bài 3. Giải bất phương trình : log log       2 x 2x x 0. 2    4 Lời giải:
Bất phương trình đã cho tương đương với log   2
x  2x x  0 2  log log             2 x 2x x  0 log    2 x 2x x 1 2 2   log  2 4
x  2x x  1 2   2  x  0 2  x  0 2 2
x  2x x  2 
2x x  2  x     2 2 2 2x x  0
2x x  4  4x x   x  2  x  4   x  2     x  4   x  1 x  1  
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S   ;
 4  1; . 2  x  4 
Bài 4. Giải bất phương trình : log log  0. 0,7  6  x  4   Lời giải:
Bất phương trình tương đương với 427 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam PT-HPT MŨ, LOGRARIT 2  x  4 log  0 2  6 2  x  4   x  4 x  4 : log log  0      log  1 0,7 6 6 2 x  4   x  4 x  4 log  1 6   x  4 2 x  4
x  3 x 8   6   0  4   x  3   x  8. x  4 x  4
Vậy tập nhiệm của bất phương trình là S   4
 ; 3  8; .
Bài 5. Giải bất phương trình: log   x  log 9x 72 1. 3   Lời giải: 0  x  1   + Điều kiện 9x   72  0
 9x  72  1  x  log 73  1(*) 9 log 9x  72  0  3   
Khi đó với x  1 , bất phương trình tương đương với log      x        x  log 9x 72 1 log 9x 72 9x 72 3x 9x 3x 72 0 3   3   Xét hàm số ( ) 9x 3x f x  
 72 đồng biến trên  . Vậy bất phương trình
f (x)  0  f (2)  x  2.
Kết hợp với điều kiện suy nghiệm của bất phương trình là S  log 73; 2 . 3 
Bài 6. Giải bất phương trình:  x     2 log 3 1 log x   1 . x x Lời giải: 1 + Điều kiện  x  1. 3
Khi đó bất phương trình tương đương với  x   
x     x   x   x      x  2 2 2 log 3 1 log 1 1 3 1 1 0
1  x  2  0  x  2 x x
Kết hợp với điều kiện suy ra tập nghiệm của phương trình là  1  S  ; 2 \     1 .  3 
Bài 7. Giải bất phương trình: log 3  x  1. x 3 x     Lời giải:
Bất phương trình tương đương với log 3  x  1  log 3  x  log x 3  x x 3 x   x 3 x   x 3 x         428 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam PT-HPT MŨ, LOGRARIT
0  x 3  x  1
0  x3 x  1     3  x  0  3   x  0  
x 3  x  
1 3  x x3  x  0   2 x  3x    1  x   1  0  3  5 3  5 
x  1 x  . 2 2
Bài 8. Giải bất phương trình: log 2  log 2.
x2 xx 1  Lời giải: x  2  0 x  0  1 + Điều kiện   0  x  . 0  x  1  1 4 
0  x  2  x  1 
Khi đó bất phương trình tương đương với 1 1 log 2  log 2  
x2 x x 1  log x  2  x log x  1 2   2  log x  2  x  log x 1  x  2  x x 1 2   2 2  x  2  x
x  1  1  x  2 x x 1   x  0  3   2 3 3   2 3     x  .
1 x2  4  2 x x 3 3 
Kết hợp với điều kiện ta suy ra tập nghiệm của bất phương trình là  3   2 3  S   0; .  3     1 
Bài 9. Giải bất phương trình: log x  2  4  log . 2   3    x 1  8  Lời giải:
+ Điều kiện x  2
Khi đó ta có vế trái của bất phương trình VT  log
x  2  4  l og 4  2. 2   2  1   1  VP  log  8  log  8  2. 3   3    x 1   1 
Vậy bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi
VP VT  2  x  2. 429 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam PT-HPT MŨ, LOGRARIT 1 1
Bài 10. Giải bất phương trình:  . 2 log  1 log 2  3  1 x x x 1   1 3 3 Lời giải:  1   x  0  1 0  x  2  2
0  2x  3x 1  1 + Điều kiện    3 0  x  1  1 1   x   2   3 x    2 3 Xét 2 2 A l og
2x  3x 1  0 
2x  3x 1  1  0  x  . 1 2 3 Xét B  log
x 1  0  x  1  1  x  0. 1   3 Vậy + Nếu 1
  x  0,VT  0;VP  0  BPT vô nghiệm. 1  1  + Nếu 0  x
,VT  0;VP  0  bất phương trình có nghiệm x  0; .   2  2  3  3  + Nếu 1  x
VT  0,VP  0  bất phương trình có nghiệm x  1; .   2  2  3 + Nếu x
VT  0,VP  0 , khi đó bất phương trình tương đương với 2 2 l og
2x  3x 1  l og  x   2 1 
2x  3x 1  x 1  0 1 1 3 3 x 1  0  1   x  0    2 2 
2x  3x 1  x  2x 1 x  5  
Kết hợp với trường hợp đang xét suy ra x  5.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là  1   1 3  S  0;  ;  5;     .  2   2 2  x 1
Bài 11. Giải bất phương trình:  2
x  4x  3   1 log   2
8x  2x  6 1  0. 5  5 x Lời giải: x  0   x  1 + Điều kiện 2
x  4x  3  0   x  3   2
8x  2x  6  0  430 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam PT-HPT MŨ, LOGRARIT 1
Với x  1 , bất phương trình trở thành log 1  0 luôn đúng. 5 5 3 1
Với x  3 , bất phương trình trở thành log   0  vô lý. 5 5 3
Vậy bất phương trình có nghiệm duy nhất x  1.
Bài 12. Giải bất phương trình: x 3log x  2  9 log x  2. 2  2 Lời giải:
+ Điều kiện x  0 , khi đó bất phương trình tương đương với
3 x  3 log x  2 x 1 2  
Nhận thấy x  3 không là nghiệm của bất phương trình.
+ Nếu x  3 , khi đó bất phương trình trở thành 3 x 1 3 x 1 log x   f (x)  log x   0 2 2 2 x  3 2 x  3 3 2
Ta có f '(x)  
 0 , nên f (x) là hàm số đồng biến trên 3;  . Mặt khác 2x ln 2  x  32
f (4)  0 , vậy f (x)  0  x  4.
+ Nếu x  3 , khi đó bất phương trình trở thành 3 x 1 3 x 1 log x   f (x)  log x   0 2 2 2 x  3 2 x  3 3 2
Ta có f '(x)  
 0 , nên f (x) là hàm số đồng biến trên 0;3 . Mặt khác 2x ln 2  x  32
f (1)  0 , vậy f (x)  0  0  x  1.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S  0;  1  4; . 2x  2x  5
Bài 13. Giải bất phương trình:  1. x  2 Lời giải:
+ Điều kiện x  2.
Khi đó bất phương trình tương đương với 2x  2  5 2x  2  5 2x x xx  3  1  1  0   0 x  2 x  2 x  2
Xét hàm số ( )  2x f xx  3 , ta có '( ) 2x f x
ln 2 1  0 . Do đó f (x) là hàm đồng biến trên 
. Mặt khác ta lại có f (1)  0  f (x)  0  x  1; f (x)  0  x  1.
Vậy nếu x  1  f (x)  0; x  2  0  bất phương trình có nghiệm với x  1.
Nếu 1  x  2  f (x)  0; x  2  0  bất phương trình vô nghiệm.
Nếu x  2  f (x)  0; x  2  0  bất phương trình có nghiệm với x  2. 431 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam PT-HPT MŨ, LOGRARIT
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S   ;   1  2; .
2log2 xlog2 x6
Bài 14. Giải bất phương trình : 2x  3.2x    1 Lời giải :
Điều kiện x  0
Bất phương trình đã cho tương đương với
2x  3.2x 1
2log x  log x  6  0   2 2    x  3  
2x  3.2x  1 
2log x  log x  6  0  2 2  
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S  3; 
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ x 1 2   6x 11
Bài 1. Giải bất phương trình:  4. x  2 2 2
Bài 2. Giải bất phương trình: 2x 4x2 2 xx 1 2 16.2    2  0.
Bài 3. Giải bất phương trình : 2x 1  2x 1 3 2    5.6x  0. x x2 2.3  2
Bài 4. Giải bất phương trình:  1. 3x  2x x3 x 1 
Bài 5. Giải bất phương trình:   x 1    x3 10 3 10 3 .
Bài 6. Giải bất phương trình: 2 x 2 2 3  5  2  2  3.2 3  5  2  4 .3x x x x x x x .  2  x   log  x  1 2 log      3 log1 2 3  2  1       
Bài 8. Giải bất phương trình: 2 3  1.    3 
Bài 9. Giải bất phương trình: 4 x 1 x e x  2 x 1 8 x e     8. 2 2 2
Bài 10. Giải bất phương trình: 2 x 1  x 2 4  .2  3.2  .2x x x x  8x 12.
Bài 11. Giải các bất phương trình sau 4x  2 1 1. log  . 2 x x  2 2 2x 1 2. log log  0. x 1  2 x  3 2 432 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam PT-HPT MŨ, LOGRARIT 2 24  2x x 3. log  x 1. 25x 14 16  2  2 4.  2 2 
x  7x  12  1     2
14x  2x  24  2 log . xxx
Bài 12. Giải các bất phương trình sau 1. 2 3 4
5x  6x x x log x   2 x x 2
log x  5  5 6  x x . 2 2 5  x lg 2. 5  x  0. 2x  3x  1 x 1 3.  1. log 9  3x  3 3   4. log log  2
x  1  x  log log  2 x 1  x . 1 5 3 1  2 5
Bài 13. Giải các bất phương trình sau 1 1. log  x   1  log  3 1 2  x . 1 1  2 2 2    x 18 2x 2. log 18  2 log  1  . 4   2   2   log  2 x  9x  8 2  3.  2. log 3  x 2   2x  3 4. log  1. 3 1 x
Bài 14. Giải các bất phương trình sau 1 1. 2 log
x  5x  6  log x  2  log x  3 . 3 1 1   2 3 3 2. log log  2 x  5  0. 1 4  3 2 x  4x  3 3. log  0. 3 2 x x  5
log  x  4x  2
11  log  x  4x  3 2 2 11 5 11 4.  0. 2 2  5x  3x
Bài 15. Giải các phương trình sau: 2 2 1 lg x 1.1. 4  lg x  5 2 lg x  2 lg x x  3 x  3 1.2. 2 log 1  log 2 3 x  7 x 1
Bài 16. Giải các bất phương trình sau: 433 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam PT-HPT MŨ, LOGRARIT 1.1. x   2 1 log
x  2x  5 log x  6  0 . 1   1 2 2 3 2 1.2.  . log x 1 log x 1 2   3   5  x lg 1.3. 5  x  0 . 2x  3x 1 1.4. log  2
x  5x  5   1  log  2
x  5x  7  2 . 2 3  1.5. log x  log x  2 . 7 3   1.6. x2 2 .log  2
4x x  2  1. 2  3log3 x 1  log3 x 1  2 x 1  1.7.
4.3x  3x       1 x  5 1.8.  0 . log  x  4 1 2 1 1 1.9.  . 2 log 1 log 2  3 1 x x x 1   1 3 3 1 1 1.10.   0 . log 2x   2 1 1 log x  3x  2 2 2 27 1.11. log  2
9x x  3  log  3. 1  3 2 2 3
9x x  5  x 2 1.12. log  2
x  4x  3  log 1 2  1 2 2 x  4x x 1 1
Bài 17. Giải các bất phương trình: 1.1.  2x 1 x    2 2 9.2 4
x  2x  3  0 . 1
2 x  2x 1 1.2.  0 . 2x 1 3x x  4 1.3.  0 . 2 x x  6 1.4. 2 x 2 2 3  5  2  2  3 . 3 
 5  2  (2 ) .3x x x x x x x .   1.5. log log  2
x 1  x  log  log  2 x 1  x . 1 7 4 1  4  7  1.6. log x2 2 log2 2 xx  0 . 2 1.7. 2 log x  2  log x  3  . 8   1   3 8 434 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam PT-HPT MŨ, LOGRARIT 1 1 1.8.  log x  3 x 1 4   log4 x2 x 1 1.9. log log  0 x6 2 x  2 3 1.10.  2
4x 16x  7log x  3  0 3    1  4x 1
1.11.  log 1 x  .log  0 . 1   2 x 6 x 1  2   
HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT Bài 1. 3x 2
2  5y  4 y  Giải hệ phương trình: x x 1  4  2   y   2x  2 Lời giải:
Hệ phương trình tương đương với 3x 2
2  5 y  4 y  y  1 3x 2 3 2   2  5y  4 y
y  5y  4 y  0  x   x        y  4 2 2 2     y  2x
y  2x  0 y  y  2x x  0  2  2  x  0 x  2     y  1 y  4  
Vậy hệ có 2 nghiệm là 0;  1 , 2; 4. Bài 2. xy 2 4  3.4 y  8
Giải hệ phương trình:  (x, y  )
x  3y  2  log 3  4 Lời giải:
Hệ phương trình tương đương với xy 1  2 y 1  xy 1  2 y 1  xy 1  2 y 1  4  3.4  2 4  3.4  2 4  3.4  2          x y      y    xy  y 1 1 2 1   log 3 
x y 1  2 y 1  log 3 4  4     1   1 2  1  4   3  1 xy 1
u  3v  2 u  1 4   1 x  1 log 3 4   xyy      2 Đặt 1 2 1 u  4 , v  4   1   1     y 1 2 1 uv v  4  1     y     1 log 3 3 3 3 4    2 Bài 3. 435 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam PT-HPT MŨ, LOGRARIT 2 2 2 x 2 2  4
 2 x y  4y  1
Giải hệ phương trình:  2 2 y2 2 2
 3.2 x y  16  Lời giải:
Hệ phương trình đã cho tương đương với 2   2 x   1 2 x 1  y 2 4  4.4 .2  2 y  1  2 2 y x 1 2  3.4  .2y  4  2 Đặt x 1 4   ,  2y u v
, khi đó hệ phương trình trở thành 2 2 u  
 4uv v  1 4   2 2
u  4uv v    2 v  3uv 2 2 
4u 13uv  3v  0      2 2 2
v  3uv  4 
v  3uv  4
v  3uv  4   u  3v
u 3v4u v 0        1      u v 2
v  3uv  4  4   2
v  3uv  4  + Nếu 2 2
u  3v v  9v  4  vô nghiệm. 1 3 + Nếu 2 2 u v v
v  4  v  4  0  u  1 4 4 2 x 1 4    1 x  1  Vậy    y y  2 2  4   Bài 4. 2 x 1  x 2  2  3.2  y  2
Giải hệ phương trình:  2 2
2 y  3y  2 x  2  Lời giải: Đặt 2 x u
 1. Khi đó hệ phương trình trở thành 2 2 
2u  3u y  2   u y
u y   1  0    2 2 2 2
2 y  3y u  2 
2 y  3y u  2 
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 1. log  xy 9   3  2   xylog 3 2 2
Giải hệ phương trình:    x  2 1   y  2 1  1  Bài 2. 3x 1  y 2 y 3 2  2  3.2 x
Giải hệ phương trình:  2
 3x 1 xy x 1  436 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam PT-HPT MŨ, LOGRARIT Bài 3. 2 2 
2x  7xy  6 y  0
Giải hệ phương trình:  . x2 y 1  4 yx 1  3 3   3
 3 yx  0  Bài 4.
 1 4xy  1xy xy2 .5  1 3 
Giải hệ phương trình:  1 2
x  3y y   1 2 yx Bài 5. xy xyee  2  x    1
Giải hệ phương trình:  xyex y 1  Bài 6. 2 2 
x y y x
Giải hệ phương trình:  xy x 1 2
 2   x yBài 7. 2x  2y  
y x xy  2
Giải hệ phương trình:  2 2 x y  2  Bài 8. 2 1  2 8 y x 1  2 2  4  3   2 y x
Giải hệ phương trình:   xy2 3 7 2  x y    2 2 Bài 9. 2
x 2 x3 log3 5   y4 3   5
Giải hệ phương trình: 
4 y y 1   y  32  8  Bài 10. 2 1 x  3 2 2    2y x xy  Giải hệ phương trình: 2    x y  2x  2 2 2
 2x y  4x  1  0  Bài 11.  4  x y   4 3yx  1
Giải hệ phương trình:  8   4 x y 4
 6x y  0  Bài 12. 437 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam PT-HPT MŨ, LOGRARIT 2 x 3 y
2 y  32.2 x
Giải hệ phương trình:  x 21 y  3y  3.3 yBài 13. xy  3 x y  5
Giải hệ phương trình:  xyxy 3 3 5  5.3  Bài 14.   x x y sin e   Giải hệ phương trình: sin y   2 2
3 8x  3 1  6 2 y  2 y 1  8 yBài 15.  2
1 4 xy  12xy 2 xy 1 5 1 2      
Giải hệ phương trình:  3
y  4x 1 ln  2
y  2x  0  Bài 16.  3 4  x
x 1.3y
Giải hệ phương trình:  x
y  log x  1  3 Bài 17. 2 2 
4x y  2
Giải hệ phương trình:  log 2x y  log 2x y  1  2   3   Bài 18. log   2 2 x y  1 log xy 2  2  
Giải hệ phương trình:  2 2
3x xyy   81  Bài 19.
x 1  2  y  1 
Giải hệ phương trình:  3log   2 9x  3  log y  3 9 3  Bài 20.  1 log y x  log  1  1   4 Giải hệ phương trình: y  4  2 2 x y  25  Bài 21.
x  4 y  3  0 
Giải hệ phương trình: 
 log x  log y  0  4 2 438 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam PT-HPT MŨ, LOGRARIT Bài 22. 2
x  4x y  2  0 
Giải hệ phương trình: 
x, y   2 log x  2  log y  0  2    2 Bài 23. log x y  3log x y  2 2 8   
Giải hệ phương trình:  2 2 2 2
x y 1  x y  3  Bài 24. yx 5  x y3  
Giải hệ phương trình:  27 3
 log x y x y  5   Bài 25. log 3y 1  x  2  
Giải hệ phương trình:  x x 2 4  2  3yBài 26. log x y   x  6 4  2
Giải hệ phương trình:  log y x   y  6 4  2  Bài 27. 2log
xy x y   x x     x  2 2 log y  2 2 1 6 1 2 
Giải hệ phương trình:  log y  5  log x  4  1 1 x   2 y    Bài 28. x y   y x  Giải hệ phương trình: 4  32 
log x y  1 log x y  3   3   Bài 29.   x log  2 x 2 2 2 y  log  y  2  
Giải hệ phương trình:   2 
log xy x y  2log x  2   2 Bài 30. log x y
x xy yxy  3
 log xy  2 2 2 3 3  
Giải hệ phương trình:  x
4xy  2.4xy  20  Bài 31.
2 log y  2x  4 Giải hệ phương trình: 3  x 2 x 1
2 .log y  log y  2   3 3 Bài 32. 439 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam PT-HPT MŨ, LOGRARIT 2 2 log y  log x 1 3 1  Giải hệ phương trình: 2 
log y  log x 1 log 3  2  2  2 Bài 33. 2log
y xy x x x     x  6 3 2  log y  2 6 9 6 3 2 
Giải hệ phương trình:  log 5  y  log x  2  1 3 x   2 y    Bài 34. 2
x  3x  ln  2x   1  y
Giải hệ phương trình:  2 y  3y  ln  2y   1  xBài 35. ln
 1 x  ln 1 y  x y
Giải hệ phương trình:  2 2
x 12xy  20 y  0  Bài 36.
Chứng minh với mỗi số dương a, hệ sau có nghiệm duy nhất x y
e e  ln 1 x  ln 1 y 
y x aBài 37. x ye e  
log y  log x xy 1 2 2  
Giải hệ phương trình:  2 2 x y  1  Bài 38. log
x y x y 1  2  
Giải hệ phương trình:  log
xy  1  x y 1  xy 2    Bài 39. log y  log
x   y x  2 2
x xy y 3 3   Giải hệ phương trình: 2 2  2 2 x y  4  Bài 40. 3 2 3
x  3x y  3y  2 
Giải hệ phương trình:   x  2   y 1  log  log  x   y   x    23 y 1     x  2  Bài 41. log xy xx   2 log y
Giải hệ phương trình:  2log x yy  4 y  3  Bài 42. 440 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam PT-HPT MŨ, LOGRARIT    2 2
lg x y   1 3lg 2
Giải hệ phương trình: 
lg  x y   lg  x y  lg 3  Bài 43. log y log x 3 3 x  2 y  27
Giải hệ phương trình: 
log y  log x  1  3 3 Bài 44. log  2 2 x y  log 2x 1  log x  3y 4  4   4   
Giải hệ phương trình:  x log   xy   1  log  2
4 y  2 y  2x  4  log 1 4 4  4 yBài 45. log log x  log log y  2  4  4  2 
Giải hệ phương trình:  log log x  log log y   4  2  2  4  Bài 46. log  xy  4
 2   xylog3 2 3
Giải hệ phương trình:  2 2
x y  3x  3y  12  Bài 47.
2x xy y  14 
Giải hệ phương trình:  8 log y  2  log x 1   x 1    y2    3 Bài 48. 2 2 2
lg x  lg y  lg   xy
Giải hệ phương trình:  2 lg 
x y  lg . x lg y  0  Bài 49.
x  log y  3 3  Giải hệ phương trình:   2 2 y y  12  .3x  81yBài 50. 1 2
log x  log y  0  3 3 Giải hệ phương trình: 2  3 2
x y  2y  0 
BÀI TẬP TỔNG HỢP
A. PHẦN PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ - LOGARIT 441 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam PT-HPT MŨ, LOGRARIT 1
Bài 1. Giải phương trình: log  2 8  x  log
1 x  1 x  2  0 x   . 2      2 3 3
Bài 2. Giải phương trình: 2xx2 x xx2 x 4 x4 4  2  4  2 .
Bài 3. Giải phương trình: log x x   x   . x  2  1 logx  2 2 2 1 4 2 1 1 x x
Bài 4. Giải phương trình:  2   1   2   1  2 2  0 . 2  x x
Bài 5. Giải bất phương trình: log log  0 . 0,7  6  x  4   2 x  3x  2
Bài 6. Giải bất phương trình: log  0 . 1 x 2
Bài 7. Giải bất phương trình: 2 log 4x  3  log 2x  3  2 . 3   1   3
Bài 8. Giải bất phương trình:  2 log 8  log x log 2x  0 . x 4  2 log2 2012 log2 2011
Bài 9. Giải phương trình:  2  x x   2 1 1 x x  2x . 2  x
Bài 10. Giải phương trình: log x x log x  2  log x  2 log x  2 . 2  6   2  6     2  1 1
Bài 11. Giải bất phương trình:  . 2 log 1 log 2  3 1 x x x 1   1 5 5
Bài 12. Giải phương trình:
2.9x  4 39  3x 16.3x 2 1313  3x x x  16   0.
Bài 13. Giải bất phương trình:  x  3log  2
x  2  x  3 log x 11  2 2     2   
Bài 14. Tìm nghiệm x  0; 2 của phương trình 1 2x 1  2 1 1 x 2 x 1   2  4x  4  x    4  x
Bài 15. Giải bất phương trình: 4
2 x x  1  0 log x  2 2 x  25 2 
Bài 16. Giải bất phương trình: 2 x 4   2 x   x2 3 4 3  1
Bài 17. Giải phương trình log 2x 1  log 4x 1  log 6x 1  3x 3   5   6    0 2 x  3
x  3x  2 442 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam PT-HPT MŨ, LOGRARIT log2 x log2 x
Bài 18. Giải phương trình:     x    2 2 2 2 2  1 x .
Bài 19. Giải các bất phương trình:  x2 5  x  3 2
x  5x  6 1.1.  0 . x 1 3  1  x2 3.2
 7x 17log x  4  log x  7  2 4   7    1.2.  0 . 2 x  9 1.3. x x 3 2.6 4 3.12x 2.8x 2.3x     . 1.4.
x         3 3 2 4 ln 2  4 x x x x x . 1.5. log x 5log 2 log x 2 x 2 x x   18  0 . 1.6. x 2 x 1 2 2x 1 2      4x  2 . 1.7. x   x  x      2 2 2 2 2 2 1 2 1 . 2 2 1.8. x x 1  1  x x 1 2 2 2 2     . x x2 2 4  2
x  2x  3 1.9.  0
3 3x 1  2x 1 2 2  x x 2  x x 1.10.    x x 1 5 1 2     3. 5   1  2  x 1.11. log  x 0,25  
 16x  2x  log2 xlog2 0,25 x log    0,5 0,5 x 3 5 1.12. 2  5     2    2 log  3 x 3 x4 log 3 1.13.   3 3
8 x  3x  4 2 2  9 2 3 1.14. 3xx 1  x 1 3 2 3    x    2x 1.15. 2 log  4  5 1    2  x  2 1.16. 2 x   x    2
x xx 1  x 2 2 4 8 2 4 2  . x 2 . 2  x 1.17. 2 3 4
5x  6x x x log x   2 x x 2
log x  5  6  x x 2 2 1.18. log  2
x x  8  1 log x 4  3 6  3x 10 1.19.  , x  0 x 2x 1 2 1.20. x 4   2 x   x2 3 4 .3  1 1.21. 2 x 1 x x 2 4x  . x 3  3
 2.3 x  2x  6 1.22. log  2 2
x  3  x 1  2 log x  0 2  2 443 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam PT-HPT MŨ, LOGRARIT 2 1 x 1.23. ln  4 3 2
x  2x  2x  2x   1  ln  3 2
x x   ln 2 x
1.24. 3x  2x  
1  x  3  2  0  1  1.25. log  2
4x  4x  1  2x  2  x  2 log  x 2    1    2  2 1.26. log log  2
x  2x x  0 x 2  4
Bài 20. Giải các phương trình sau: 1.1. log x x   x   x  2  1 logx 2 2 2 1 4 2 1 1 1 1.2. log  x x   x  2 3 1 2 x x x 1.3.
2615 3  27  4 3  22 3 1 2x 1 1.4. log  1  2x x 2 x x  x 8 1.5. 2 1 3 2 2  2  log  2 4x  4x  4 3  2  x x 1  1.6. log 2x 1 2    x  2 2 3 x x 0   x    1  1.7. log x  2  4  log  8 2   3    x 1  1.8. 3  log  2
x  4x  5  2 5  log  2
x  4x  5  6 2 2    1.9.  log 1  1  2  1
2  4x  3.4x x x x  0 1        2  2 2 2 2 1.10. x x 3
x 3  2 x 3 1 x 3 1 9 3 3 3      6 x 18 3 3 1.11. 2xx2 x 2 x2 x 4 x4 4  2  4  2 1.12. log 9 2 log log 3 2 2 2  .3 x x xx x   x x x 9 512 1.13. 2  2 2  
1  log x  2x  2 x
1.14. 3x  1 x  log 1 2x 3    1   x 1 29  x 2 1.15. log 2x   log    log  4   0,25   0,5  2x   2 2x 4  2 x 2 1.16. 3 3
x x  2 ln x
ln  x  2ln x  0 3 444 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam PT-HPT MŨ, LOGRARIT log2 x log2 x 1.17.     x    2 3 1 . 3 1  1 x 2 x 1 x 1
1.18. x   1 ln
x 1  x  2 x   1 ln , x  1 2 x x 1.19.  2 x x   4 ln
1  x x  0 1.20. x        2 2 2 1 1 . 1 x x x x e x e 3  x  2 1.21. log  log  2 2x   2 2   x 1.22. log  2 x   2 3
1  log x  3x  2x 2 2 1.23. log  x xx x   x  2 9 12 4  log x  2 6 23 21 4 3 7 2 3  2 1.24. log 2 x log 6 log 4 x 2 2 2 4  x  2.3 1.25. log  2 x  2 log 2  2  0 2  2 x  2  2 1.26.  2 2 
x  7x 12  1     2
2  14x  2x  24 log xxx 1.27. x     2  x    x     2 ln 2 3 ln 4 ln 2 3 ln 4  x
1.28. 4 x  2 log x  3  log x  2   15 x 1  2   3      1 1 1 1 2  1 x   1 x1.29. 3 x ln 1  x ln 1  1 , x x  0    2   x   x  2 1.30. x 1 x    2 x   x 2 .3
1 .3  1 x x  0 2 2 2 2 1.31. 2
x x 4x3 x 4 x3 x 4 x3  
   3x   x 4x3 6 8 9 2 1 12
1.32. 6x 3x 19x 5x 10x 7x  15x 8x 9x 4x 5x 2x  231x         4x  2x 1 1.33. log
 2x 2.8x  3.2x 1 2 x x   2.16  2.4 1 1.34. x   2 27 6  4   1 9x x x 2 3 1 1.35. log  2 x x   1  log  2 x x   1  log  2 x x   1  log  4 2 x x 1 4 1 2 2  3 2 1.36. x
 1 x 1 x xx x 1 6 .5 1 5 1 5        1 2
1.37. x   2  x x   2 x x   2 1 4 2 2 2 2 1 ln x  2x  6
Bài 21. Chứng minh rằng nghiệm của phương trình 2 log  4 x
x  log x thỏa mãn bất đẳng 6  4  x 16 thức cos  sin 16 x 445 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam PT-HPT MŨ, LOGRARIT
B. PHẦN HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ – LOGARIT  log x log y 9 2 2    2 2 1   log x 1 log y 10 1.1. 2 2     xy x y  9 1 log 2.log 2 log2     2 y 2 log x  2  2 1.2. 2
4 1 x xy 4  y  0  log 
y  3x  7  6 1.3. 2  x y 2 y3 x 1 2.8  2  17.2   2  y 1  log  2x y 2 2 2
 4xy  4x  4x  4xy y 1  log y 3 3 1.4. 2 2
y  5  x x 1   x 3 3 x x  log
 8 y  2 y 1 2   y 1.5. 1  2 y xy   0   4 2 2 log
(3x y)  log
(x  2xy y )  3 xy 3 xy1.6. x
(x R)
4xy  2.4xy  20   1
log x  log 16  4  2 xy1.7. log 2 y  4 2 2
4x  8x xy  16x 4x y  2 2 2 y x 3xyyy1.8. log y x
x xy xyx
2  log yx  2 4 2 2 2 1    2
x y  4 y  5  2  x  2x  10 1.9. log y y   x  2 4 12 9 1  6 y  9   3  y   2 xe    2
x yln  x y  2012 ye 1.10.
2x 2x  
1  3x 3x  
1  34y  26x  446 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam PT-HPT MŨ, LOGRARIT  1 1 1 3    1    2x 1 3x 110y 1 2y 1.11.
, x, y  0 2 y 2 yx 2 x  2 2 2  2  y x  x 1   y 1   2   2      1.12.  2x    2y  , , x y  0 x
e   x yln  y x  2 3 3 2 xe  2 2 2 2
x  4  x  2xy y 1  y  6y 10  5   1.13. 2 2   3x z 3 2
log 8xyz  10 log z  log 3 9  3   y    447 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam