Chuyên đề tam giác đồng dạng bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8

Tài liệu gồm 38 trang, được biên soạn bởi tác giả Ngô Thế Hoàng (giáo viên Toán trường THCS Hợp Đức, tỉnh Bắc Giang), hướng dẫn giải các dạng toán chuyên đề tam giác đồng dạng bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8, giúp các em học sinh khối lớp 8 ôn tập để chuẩn bị cho các kỳ thi chọn HSG Toán 8 cấp trường, cấp huyện, cấp tỉnh.

Môn:

Toán 8 1.8 K tài liệu

Thông tin:
38 trang 1 năm trước
Tác giả:
Student
Mai Nguyệt
docx.com.vn

Bình luận

Vui lòng đăng nhập hoặc đăng ký để gửi bình luận.

Chuyên đề tam giác đồng dạng bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8

Tài liệu gồm 38 trang, được biên soạn bởi tác giả Ngô Thế Hoàng (giáo viên Toán trường THCS Hợp Đức, tỉnh Bắc Giang), hướng dẫn giải các dạng toán chuyên đề tam giác đồng dạng bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8, giúp các em học sinh khối lớp 8 ôn tập để chuẩn bị cho các kỳ thi chọn HSG Toán 8 cấp trường, cấp huyện, cấp tỉnh.

308 154 lượt tải Tải xuống

Chủ đề: Chương 9: Tam giác đồng dạng (KNTT) 16 tài liệu

Môn: Toán 8 1.8 K tài liệu

Thông tin:

38 trang 1 năm trước

Tác giả:

Profile Mai Nguyệt
1
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
CHUYÊN ĐỀ TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
Bài 1: Cho
ABC nhọn, các đường cao BD và CE cắt nhau tại H, CMR:
2
..BH BD CH CE BC+=
HD:
Từ H kẻ
HK BC⊥
Khi đó:
( )
. . .
CH CK
CKH CEB g g CH CE CK CB
CB CE
= = = =
(1)
Tương tự:
( )
. . .
BH BK
BKH BDC g g BH BD BK BC
BC BD
= = = =
(2)
Cộng (1) và (2) theo vế ta được:
( )
2
..VT CK BC BK BC BC BK KC BC= + = + =
Bài 2: Cho
BHC có
tù, Vẽ BE vuông góc với CH tại E và CD vuông góc với BH tại D
CMR:
2
..BH BD CH CE BC+=
HD:
Kẻ:
( )
.HG BC CGH CEB g g⊥ =
=>
..
CH CG
CH CE BC CG
CB CE
= = =
(1)
Tương tự ta có:
( )
.BGH BDC g g
=>
..
BH BG
BH BD BC BG
BC BD
= = =
(2)
Cộng (1) và (2) theo vế ta được:
VT
( )
2
..BC CG BC BG BC CG GB BC= + = + =
Bài 3: Cho
ABC có góc A bằng 120
0
, AD là đường phân giác. CMR:
1 1 1
AB AC AD
+=
HD:
Kẻ
( )
//DE AB E AC ADE =
là tam giác đều
ABC
có :
/ / 1 1
DE CE AD AC AE AE AD
DE AB
AB CA AB AC AC AC
−
= = = = = − = −
1 1 1
1
AD AD
AB AC AB AC AD
= + = = + =
(đpcm)
A
H
B
C
D
E
K
H
B
C
E
D
K
B
A
C
D
E
2
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
Bài 4: Cho A’, B’, C’ nằm trên các cạnh BC, AC, AB của
ABC,
biết AA’, BB’, CC’ đồng quy tại M, CMR:
''
' ' '
AM AB AC
A M CB BC
=+
HD:
Qua A vẽ đường thẳng song song với BC
cắt BB’ tại D và cắt CC’ tại E, Khi đó:
AME
có
/ / '
' 'C
AM AE
AE A C
A M A
= =
(1)
AMD
có
/ / '
'M '
AM AD
AD A B
A A B
= =
(2)
Từ (2) và (2) ta có:
' ' ' ' '
AM AE AD AD AE DE
A M A C A B A C A B BC
+
= = = =
+
(*)
Chứng minh tương tự ta cũng có:
'DAB
có
'
/ /BC
'
AB AD
AD
B C BC
= =
(3)
'AC E
có:
'
//
'
AC AE
AE BC
C B BC
= =
Từ (3) và (4) ta có:
''
'C '
AB AC AD AE DE
B BC BC BC BC
+ = + =
(**)
Từ (*) và (**) =>
''
' ' '
AM DE AB AC
A M BC B C BC
= = +
(đpcm)
Bài 5: Cho
ABC, M là điểm tùy ý nằm trong tam giác các đường thẳng AM, BM, CM lần lượt cắc các
cạnh BC, AC, AB tại A’, B’, C’, CMR:
2
' ' '
AM BM CM
AA BB CC
+ + =
HD:
Từ A, M vẽ
, / /AH MK BC AH MK⊥ =
'A AH
có:
'.
'.
MBC
ABC
S
A M MK MK BC
A A AH AH BC S
= = =
Mặt khác:
' ' AM
1
' ' '
MBC
ABC
S
A M AA AM
A A AA A A S
−
= = − =
1
'
MBC
ABC
S
AM
A A S
= = −
Chứng minh tương tự:
1 , 1
''
MAC
MAB
ABC ABC
S
S
BM CM
BB S CC S
= − = −
Cộng theo vế ta được đpcm
C'
C
B'
M
A
B
D
E
A'
A
B
C
M
A'
B'
C'
H
K
3
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
Bài 6: Cho
ABC, M là điểm tùy ý nằm trong tam giác, đường thẳng đi qua M và trọng tâm G của tam
giác cắt BC, CA, AB lần lượt tại A’, B’, C’, CMR :
' ' '
3
' ' '
MA MB MC
GA GB GC
+ + =
HD:
Gọi AM cắt BC tại A1, Từ M vẽ đường thẳng song song với AI cắt BC tại D,
với I là trung điểm BC
'GIA
có:
'
//
'
A M MD
MD GI
A G GI
= =
(1)
1A AI
có
( )
1
/ / 3
13
A M MD MD
MD GI AI GI
A A AI GI
= = = =
(2)
Từ (1) và (2) ta có:
' 3 1
'1
A M A M
A G A A
=
Chứng minh tương tự ta có:
' 3. 1 ' 3. 1 1 1 1
,3
' 1 ' 1 1 1 1
MB B M MC C M A M B M C M
VT
GB B B GC C C A A B B C C

= = = = + +


mà ta có: từ bài 6 =>
1 1 1
13
1 1 1
A M B M C M
VT
A A B B C C
+ + = = =
Bài 7: Cho
ABC nhọn, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H
a, CMR:
AEF đồng dạng
ABC
b, H là giao các đường phân giác của
DEF
c,
2
..BH BE CH CF BC+=
HD:
a, Ta có:
( )
.
AE AB AE AF
AEB CFC g g
AF AC AB AC
= = = =
=>
( )
..AEF ABC c g c
b, Chứng minh tương tự ta cũng có:
,CED CBA
(c.g.c) và
BFD BCA
(c.g.c)
=> Do
AEF ABC AEF ABC CED = = =
Mà:
( )
0
90BEF AEF BED CED BED BEF+ = + = = =
=> HE là phân giác góc E
Chứng minh tương tự FH là phân giác góc F, HD là phân giác góc D
c,
( )
. . .
BH BD
BHD BCE g g BH BE BD BC
BC BE
= = = =
(1)
và
( )
. . .
CH CD
CDH CFB g g CH CF CD CB
CB CF
= = = =
(2)
Cộng (1) và (2) theo vế ta được đpcm
C'
A
B
C
A'
I
G
B'
M
A1
D
2
1
2
1
H
A
B
C
D
E
F
4
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
Bài 8: Cho
ABC, AD là đường phân giác của tam giác, CMR :
2
..AD AB AC BD DC=−
HD:
Trên AD lấy điểm E sao cho:
( )
.AEB ACB ABE ADC g g= =
..
BE AB AE
AB AC AD AE
DC AD AC
= = = = =
(1)
lại có:
( )
. . .
BD DE
BDE ADC g g BD DC AD DE
AD DC
= = = =
(2)
Lấy (1) - (2) theo vế ta được:
( )
2
..AB AC BD DC AD AE DE AD− = − =
Bài 10: Cho tứ giác ABCD, trong đó:
0
, 180ABC ADC ABC BCD= +
, Gọi E là giao điểm của AB và
CD, CMR:
2
..AC CD CE AB AE=−
HD:
Trên nửa mặt phẳng bờ BE,
không chứa C vẽ tia Ex sao cho:
BEx ACB=
=> Ex cắt AC tại N =>
N B D==
Ta có :
( )
. . .
AB AC
ABC ANE g g AB AE AC AN
AN AE
= = = =
(1)
Tương tự :
( )
. . .
CD CA
CAD CEN g g CDCE CACN
CN CE
= = = =
(2)
Lấy (2) - (1) theo vế ta được đpcm
Bài 11: Cho HBH ABCD đường chéo lớn AC, Từ C kẻ CE vuông góc với AB, CF vuông góc với AD
CMR: Hệ thức:
2
..AB AE AD AF AC+=
HD:
Vì AC là đường chéo lớn =>
0
90D H AC =
,
Kẻ
DH AC⊥
=>
( )
.AHD AFC g g
..
AD AH
AD AF AC AH
AC AF
= = = =
(1)
Tương tự kẻ
( )
.BK AC AKB AEC g g⊥ =
..
AB AK
AB AE AC AK
AC AE
= = = =
(2)
Cộng (1) và (2) theo vế ta được:
( )
2
. . .AD AF AB AE AC AH AK AC AC AC+ = + = =
Vì
ABK CDH =
( cạnh huyền - góc nhọn) => AK=HC
2
1
D
A
B
C
E
A
x
E
C
B
N
D
A
B
C
D
K
H
E
F
5
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
Bài 12: Cho
ABC và 1 điểm O thuộc miền trong của tam giác, đường thẳng đi qua O và // với AB cắt
BC tại D và cắt AC tại G, đường thẳng đi qua O và //BC cắt AB tại K và AC tại F, đường thẳng đia qua O
và //AC cắt AB tại H và BC tại E
a, CMR:
1
KH DE GF
AB BC AC
+ + =
b, CMR:
2
DG KF EH
AB BC AC
+ + =
HD:
a,
( )
.g
KH KO
HKO ABC g
AB BC
= =
( )
.
GF OF
GOF ABC g g
AC BC
= =
Nên
1
KH DE GF KO DE OF
AB BC AC BC BC BC
+ + = + + =
b, Ta có:
DG DC
AB BC
=
và
EH BE
AC BC
=
,
Khi đó:
2
2
DG KF EH DC KF BE DE EC BD EC DB DE BC
AB BC AC BC BC BC BC BC
+ + + + +
+ + = + + = = =
Bài 13: Cho
ABC có đường trung tuyến BM cắt tia phân giác CD tại N, CMR :
1
NC AC
ND BC
−=
HD:
Vẽ DE / / BM (
E AC
)
QDE
có
//
NC MC
NM DE
ND ME
= =
(*)
ABC
có DC là tia phân giác nên:
AD AC
DB BC
=
(1)
và
ABM
có DE//BM
AD AE
DB EM
= =
(2)
Từ (1) và (2) ta có :
AC AE
BC ME
=
(**)
Lấy (*) - (**), ta có :
1
NC AC MC AE ME
ND BC ME ME ME
− = − = =
Bài 14: Cho
ABC có các đường phân giác AD, BE, CF, CMR:
. . 1
DB EC FA
DC EA FB
=
HD:
ABC
có AD là tia phân giác nên:
DB AB
DC AC
= =
,
Tương tự:
,
EC BC FA AC
EA AB FB BC
==
,
Nhân theo vế ta được đpcm
G
A
B
C
O
H
E
D
K
F
2
1
N
A
B
C
M
D
E
A
B
C
E
F
D
6
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
Bài 15: Cho HBH ABCD đường thẳng a đi qua A lần lượt cắt BD, BC, DC tại E, K, G
CMR:
a,
2
.AE EK EG=
b,
1 1 1
AE AK AG
=+
c, Khi a thay đổi thì tích
.BK DG
có giá trị không đổi?
HD:
a,
ABE
có
//
AE EB
AM DG
EG ED
= =
(1)
ADE
có
//
EB EK
AD BK
ED EA
= =
(2)
Từ (1) và (2) ta có:
2
.
AE EK
AE EK EG
EG EA
= = =
b, Từ:
1 1 1
1
AE AE
AE AK AG AK AG
= + = + =
ADE
có
//
AE ED AE ED AE ED
AD BC
EK EB AE EK ED EB AK DB
= = = = = =
++
(3)
Tương tự:
AEB
có
//
AE BE AE BE AE BE
AB DG
EG ED AE EG BE ED AG BD
= = = = = =
++
(4)
Khi đó:
1
AE AE ED BE
AK AG BD BD
+ = + =
=>đpcm
c, ta có:
.BK AB KC AB
BK
KC CG CG
= = =
và
.KC CG AD CG
DG
AD DG KC
= = =
Nhân theo vế ta được
..BK DG AB AD= =
không đổi
Bài 16: Cho
ABC nhọn, H là trực tâm, CMR :
. . .
1
. . .
BH CH CH AH AH BH
AB AC BC BA CACB
+ + =
HD:
Ta có:
( )
'
'H ' .
'
BH BC
BC BB A g g
AB BB
= =
. '.
. '.AC
HBC
ABC
BH CH BC CH S
AB AC BB S
= = =
(1)
Tương tự:
( )
'
' ' .g
'
CH CA
CA H CC B g
BC CC
= =
. '.
. '.
AHC
ABC
CH AH CA AH S
BC BA CC BA S
= = =
(2)
( )
' . '.BH
' ' .
' . '.CB
HAB
ABC
S
AH AB AB BH AB
AHB ACA g g
AC AA CACB AA S
= = = = =
(3)
Cộng (1), (2) và (3) theo vế ta được: đpcm
a
G
E
A
B
C
D
K
A
B
C
A'
B'
C'
7
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
Bài 17: Cho
ABC, M là điểm nằm trong
ABC, Gọi D là giao điểm của AM và BC, E là giao điểm
của BM và CA, F là giao điểm của CM và AB, đường thẳng đi qua M và // với BC cắt DE, DF lần lượt tại
K và I, CMR : MI=MK
HD:
Gọi IK cắt AB. AC lần lượt tại N và Q
ABD
có
//
AN MN
MN BC
AB BD
= =
ABC
có
//
AN NQ MN NQ
NQ BC
AB BC BD BC
= = = =
(1)
FDC
có
//
IM FM
IM DC
DC FC
= =
,
FBC
có
//
MN FM
NM BC
BC FC
= =
IM MN IM DC
DC BC MN BC
= = = =
(2)
Nhân (1) và (2) theo vế ta được:
22
. . .IM DC NQ DC NQ BD
IM
BD
BC BC
= = =
(*)
Tương tự ta cũng có:
ADC
có
//
MQ AQ
MQ DC
DC AC
= =
và
ABC
có
//
NQ AQ
NQ BC
BC AC
= =
Do đó:
MQ NQ
DC BC
=
(3)
Và:
EBD
có
//
MK EM
MK BD
BD EB
= =
,
EBC
có
//
MQ ME
MQ BC
BC EB
= =
Do đó:
MK MQ MK BD
BD BC MQ BC
= = =
(4)
Nhân (3) với (4) ta được:
22
. . .MK NQ BD DC NQ BD
MK
DC
BC BC
= = =
(**)
Từ (*) và (**) ta có MI = MK
Bài 18: Cho
ABC, các đường trung tuyên BM, CN cắt nhau tại G, K là điểm trên cạnh BC, đường
thẳng qua K và // CN cắt AB ở D, đường thẳng qua K và // với BM cắt AC ở E, Gọi I là giao điểm của
KG và DE, CMR: I là trung điểm của DE
HD:
Gọi DK cắt BG tại H, KE cắt GC tại O và GK cắt HO tại J
Tứ giác HGOK có:
//
//
HK GO
HG KO
=> HGOK là hình bình hành
=> J là trung điểm của HO => HJ=OJ
BNG
có
//
DH BH
DH NG
NG BG
= =
(1)
BGC
có
//
HK BH
HK GC
GC BG
= =
(2)
Từ (1) và (2) ta có
1
2
DH HK DH NG
NG GC HK GC
= = = =
(*)
CMTT ta có:
CMG
có
//
OE OC
OE GM
GM CG
= =
(3)
K
I
M
A
B
C
D
E
F
N
H
J
I
O
H
G
A
B
C
M
N
K
D
E
8
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
CBG
có
//
OK OC
OK BG
GB CG
= =
(4)
Từ (3) và (4) =>
1
2
OE OK OE GM
GM GB OK GB
= = = =
(**)
Từ (*) và (**)
1
2
DH OE
DKE
HK OK
= = = =
có
//OH DE
Lại có J là trung điểm HO=> I là trung điểm DE
Bài 19: Cho hình thang ABCD (AB//CD) có BC=BD, Gọi H là trung điểm của CD, đường thẳng đi qua H
cắt AC, AD lần lượt tại E và F, CMR:
DBF EBC=
HD:
Gọi BF cắt DC tại K, BE cắt DC tại I, và EF cắt AB tại G
FAB
có
//
DK FD
DK AB
AB FA
= =
(1)
FAG
có
//
DH FD
DH AG
AG FA
= =
(2)
Từ (1) và (2)
DK DH DK AB
AB AG DH AG
= = = =
(*)
Tương tự:
EIC
có
//
IC EC
AB IC
AB EA
= =
(3)
EHC
có
//
HC EC
HC AB
AG EA
= =
(4)
Từ (3) và (4) ta có:
IC HC IC AB
AB AG HC AG
= = = =
(**)
Từ (*) và (**) =>
DK IC
DH HC
=
, Mà DH=HC (gt)=>DK=IC
Mặt khác: BD=BC(gt)=>
BDC
cân=>
BDK BCI=
=>
( )
..BDK BCI c g c DBK CBI = = =
đpcm
Bài 20: Cho
ABC có G là trọng tâm, một đường thẳng bất kỳ qua G, cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại
M và N, CMR:
3
AB AC
AM AN
+=
HD:
Gọi O là trung điểm của BC,
Kẻ BH, CK lần lượt // MN
( )
,H K AO
( )
..BOH COK g c g OH OK = = =
ABH
có
//
AB AH
MG BH
AM AG
= =
(1)
AKC
có
//
AC AK
GN KC
AN AG
= =
(2)
Cộng (1) và (2) theo vế ta được:
A
2
1
1
1
K
E
B
D
C
G
H
F
I
N
M
A
B
C
O
G
H
K
9
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
2 2 3
3
AH AK AG GH AG GH HK AG GO AG
VT
AG AG AG AG AG
+ + + + +
= + = = = =
Bài 21: Cho tứ giác ABCD, có M, N lần lượt là trung điểm của các đường chéo BD và AC (M # N)
đường thẳng MN cắt AD, BC lần lượt tại E và F, CMR: AE.BF=DE.CF
HD:
Từ A kẻ đường thẳng song song với BD cắt EF tại H
Từ C kẻ đường thẳng song song với BD cắt EF tại G
AEH
có
//
AE AH
HA DM
ED DM
= =
(1)
CGF
có
//
BF BM CF CG
CG BM
CF CG BF BM
= = = =
(2)
Mặt khác:
( )
..NAH NCG g c g AH CG = = =
(3) và
DM BM=
Từ (1), (2) và (3) ta có:
..
AE CF
AE BF ED CF
ED BF
= = =
Bài 22: Cho tam giác ABC, AD là đường trung tuyến, M là điểm nằm trên đoạn AD, gọi E là giao điểm
của BM và AC, F là giao điểm của CM và AB, CMR: EF //BC
HD:
Lấy N trên tia đối của tia DM sao cho MD= ND
=> Tứ giác BMCN là hình bình hành =>
//
..
BM NC
BN MC
ABN
có
//
AF AM
FM BN
AB AN
= =
(1)
ANC
có
//
AE AM
ME NC
AC AN
= =
(2)
Từ (1) và (2) =>
AF AE
AB AC
=
=>
EF/ /BC
E
A
M
F
B
C
D
N
H
G
C
A
B
N
D
M
F
E
10
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
Bài 23: Cho tứ giác ABCD, gọi M, N lần lượt là trung điểm của CD và CB, O là giao điểm của AM và
DN, biết
2
4,
3
OA OD
OM ON
==
, CMR: ABCD là hình bình hành
HD:
Vẽ đường thẳng đi qua O và //AD cắt DC tại H
Vẽ đường thẳng đi qua M và // BC cắt DN tại K
Vì M là trung điểm của DC nên K là trung điểm DN
MAD
có
14
//
55
OM MH DH
OH AD
AM MD DM
= = = = =
(1)
Vì
1
4 1 5 5
5
OA OA OA OM AM OM
OM OM OM OM AM
+
= = + = = = = = =
Tương tự ta có:
DNC
có
//KM NC
, mà
224
3 5 5
OD OD DO
ON DN DK
= = = = =
(2)
Từ (1) và (2) =>
/ / / /OH KM AD BC=
Chứng minh tương tự=> AB//DC=> ABCD là hình bình hành
Bài 24: Cho tứ giác ABCD, có E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AD, BC, đường thẳng EF cắt các
đường thẳng AB, CD lần lượt tại M và N, CMR: MA.NC = MB.ND
HD:
Từ A kẻ đường thẳng song song BC cắt ME tại G
Từ D kẻ đường thẳng song song BC cắt EF tại H
=>
MAG
có
//
MB MF BF
BF AG
MA MG AG
= = =
NHD
có
//
NC FC
FC HD
ND HD
= =
(1)
Ta lại có:
( )
..AEG DEH g c g HD AG = = =
Thay vào (1) ta được:
O
A
B
C
D
N
M
H
K
F
11
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
..
NC FC BF MB NC MB
MA NC MB ND
ND AG AG MA ND MA
= = = = = = = =
đpcm
Bài 25: Cho tam giác ABC đều, gọi M, N lần lượt là các điểm trên AB, BC sao cho BM =BN, gọi G là
trọng tâm của tam giác BMN, I là trung điểm của AN, P là trung điểm của MN
a/ CMR:
GPI và
GNCđồng dạng
b/ CMR: IC vuông góc với GI
HD:
a, Vì G là trọng tâm nên
GP MN⊥
,
Lại có : MA=NC=>
11
22
PI MA NC==
và
1
.
2
GP GN=
Vì
ABC đều =>
BMN đều
=>
0 0 0 0 0
1
120 60 90 60 150M MIP GPI= = = = = + =
Và
0 0 0 0
30 180 30 150GNB GNC= = = − =
( )
..GPI GNC c g c=
b,
GIC
có
1
.
2
GI GC=
theo câu a=>
GIC vuông tại I=> IC
⊥
GI
Bài 26: Cho tam giác ABC nhọn, trên các đường cao BE, CF lấy các điểm theo thứ tự I, K sao cho
00
90 , 90AIC AKB==
a, CMR: AI=AK
b, Cho
02
60 , 120
ABC
A S cm==
, Tính diện tích tam giác AEF
HD:
a,
( )
2
..
AI AE
AIE ACI g g AI AE AC
AC AI
= = = =
(1)
Chứng minh tương tự:
( )
2
..
AK AF
AIK AKB g g AK AB AF
AB AK
= = = =
(2)
Lại có
( )
. . .
AB AE
ABE ACF g g AB AF AC AE
AC AF
= = = =
(3)
Từ (1), (2) và (3) ta có:
22
AI AK AI AK= = =
B, Vì
0 0 0
11
11
60 30 , 30
22
A B AE AB C AC= = = = = = ==
=>
( )
2
2
11
. . .120 30
44
AEF
AEF
ABC
S
AE
AEF ABC c g c S cm
S AB

= = = = = =


M
1
B
C
A
G
N
I
P
O
1
1
A
B
C
E
F
I
K
12
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
Bài 27: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, I là trung điểm của AC, F là hình chiếu của I trên
BC, trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng chứa AC, vẽ tia Cx vuông góc với AC cắt IF tại E, Gọi giao
của AH, AE với BI theo thứ tự tại G và K
a/
IHE và
BHA đồng dạng
b,
BHI và
AHE đồng dạng
c, AE vuông góc với BI
HD:
a, Ta có:
AHC vuông cân tại H,
có I là trung điểm AC =>
HI IC=
=> I nằm trên đường trung trực của HC
=> IF là đường trung trực
=> EH=EC=>
IHE=
ICE ( c.c.c)
=>
0
90IHE ICE==
Mặt khác:
( )
1 1 1
.E C A IHE BHA g g= = = =
b, Theo câu a ta có:
IHE
BHA
=>
HI HE
HB HA
=
và
0
90BHI AHI AHE= + =
( )
..BIH AHE c g c=
c, Giả sử: AE giao với HI tại M =>
12
MM=
Từ câu b=>
0
90I E K H AE BI= = = = = ⊥
Bài 28: Cho HCN ABCD, nối AC, kẻ DE vuông góc với AC, gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC,
AE, DE, nối MN, ND, CP, CMR:
a,
AND và
DPC đồng dạng
b, ND và MN vuông góc với nhau
HD:
a, Ta có:
11
AD=
( cùng phụ
)
và
( )
.
AE AD
AED DEC g g
DE DC
= =
mà AE= 2. AN và DE= 2. DP
( )
..
AN AD
AND DPC c g c
DP DC
= = =
b, Ta có :
1
//
2
ND AD MC==
=> Tứ giác
NPCM
là hình bình hành =>
PNM PCM=
H
F
M
2
1
1
1
1
K
G
A
B
C
E
I
2
1
1
1
1
A
B
C
D
E
N
P
M
13
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
Lại có :
21
0
11
21
()
90
()
D C cmt
DNM N PNM C PCM C
D N sole
=
= = + = + = =
=
DN NM= ⊥
Bài 29: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, Gọi P và Q theo thứ tự là trung điểm của các
đoạn thẳng BH, AH, CMR:
a,
ABP và
ACQ đồng dạng
b, AP vuông góc với CQ
HD:
a, Ta có:
11
BA=
( Phụ
BAH
)
=>
( )
.
AH AB BH
AHB CHA g g
CH AC AH
= = =
mà AH=2. AQ, và BH= 2. BP
=>
( )
2
..
2
AB BP BP
ABP CAQ c g c
AC AQ AQ
= = =
b, Gọi AP cắt CQ tại K, Vì
( )
21
ABP CAQ cmt A C = =
mà
00
21
90 90A KAC KAC C AK KC+ = = + = = ⊥
Bài 30: Cho
ABC cân tại A, H là trung điểm của BC, I là hình chiếu của H trên AC và O là trung điểm
của HI
a, CMR:
BIC và
AOH đồng dạng
b, AO vuông góc với IC
HD:
a, Ta có:
11
HC=
(Cùng phụ
IHC
) (1)
lại có :
( )
.
AH HC AC
AHC HIC g g
HI IC HC
= = =
Mà
2. ,
2
BC
HI HO HC==
Thay vào ta được :
22
AH BC AH HO
HO IC BC IC
= = =
(2)
Từ (1) và (2) ta có :
( )
..BIC AOH c g c
b, Vì
( )
..BIC AOH c g c
theo câu a nên
11
BA=
và
( )
20
12
90D D d E H BI AE= = = = = ⊥
1
1
2
1
Q
A
B
C
H
P
K
1
1
1
1
1
1
E
D
A
B
C
H
I
O
14
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
15
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
Bài 31: Cho
ABC có ba góc nhọn, các điểm M, N theo thứ tự là trung điểm của BC, AC, Gọi H, O G
theo thứ tự là trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm
ABC
a, Tìm các
đồng dạng với
AHB
b, CMR:
HAG đồng dạng với
OMG
c, 3 điểm H, O, G thẳng hàng
HD:
a, Dự đoán
( )
.AHB MON g g
,
Chứng minh:
Vì
( )
( )
//
BAG GMN sole
MN AB
ABG GNM sole
=
=
=
Mặt khác:
//AH OM
( cùng vuông góc BC)
=>
1 1 2 2
A M A M= = =
Tương tự ta có:
BH//ON vì cùng vuông góc với AC
=>
( ) ( )
1 1 2 2
.N B sole N B AHB MON g g= = = =
b, ta có:
( )
1
.
2
OM MN
AHB MON g g
AH AB
= = =
Mặt khác:
11
22
MG OM GM
AG AH GA
= = = =
Và
( )
11
.g.cA M AHG MOG c= = =
c, Vì
( )
12
..AHG MOG c g c G G = =
Mà
00
12
180 180 , ,G HGM G HGM H G O+ = = + = =
thẳng hàng
Bài 32: Cho
ABC vuông cân đỉnh A, BD là đường trung tuyến, Qua A vẽ đường thẳng vuông góc với
BD cắt BC tại E, CME: BE=2EC
HD:
Vẽ đường cao AH
( )
H BC
ABC vuông cân nên AH là đường trung trực
=> G là trọng tâm => BG=2. GD
Cần chứng minh GE// DC
ABE có G là giao 2 đường cao
=> G là trực tâm =>
/ /D
GE AB
GE C
AC AB
⊥
=
⊥
BDC có GE// DC =>
22
BG BE
BE EC
GD EC
= = = =
G
2
2
2
2
1
1
1
1
2
1
H
A
B
C
O
M
N
G
A
B
C
H
D
E
16
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
Bài 33: Cho
ABC, trên AC lấy 2 điểm D và E sao cho AD=DE=EC, trung tuyến AM cắt BD tại P và
trung tuyến CN cắt BE tại Q
a, CMR: Q là trung điểm của CN
b, PQ//AC
c,
13
,
24
PQ MN PQ DE==
HD :
a, Vì
1
2
ND BE=
và ND//BE => QE// ND
mà E là trung điểm DC nên Q là trung điểm NC
b, Chứng minh tương tự => P là trung điểm của AM,
Gọi G là trọng tâm của
ABC => PG=AG - AP =
1
2 1 1 1
6
2
3 2 6 4
3
AM
PG
AM AM AM
AG
AM
− = = = =
Tương tự
1
//
4
GQ
PQ AC
GC
= =
c, Tự chứng minh
Bài 34 : Cho
ABC cân tại A, đường thẳng vuông góc với BC tại B, cắt đường thẳng vuông góc với AC
tại C là điểm D, vẽ BE vuông góc với CD tại E, Gọi M là giao của AD và BE, vẽ EN vuông góc với BD
tại N, CMR : MN//AB, M là trung điểm của BE
HD :
ta có : AC// BE =>
DM DE
DA DC
=
(1)
lại có : NE//BC =>
DE DN
DC DB
=
(2)
từ (1) và (2) ta có :
//
DM DN
MN AB
DA DB
= = =
Giả sử : AC cắt BD tại I
Ta có:
0
1 2 1 1
90C B B C= = + =
mà
0
11
90C I I B+ = = =
=>
ABI cân tại A
=> BA là đường trung trực => AI =AC
Dễ dàng chứng minh được M là trung điểm BE
G
Q
P
A
B
C
D
E
M
N
1
2
1
M
A
B
C
I
D
E
N
17
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
Bài 35 : Cho hình vuông ABCD, Gọi M, N theo thứ tự là các trung điểm của các cạnh AB, AD và P là
giao điểm của BN, CM
a, CMR : BN vuông góc với CM
b, CMR: DP=DC
c, DP cắt AB tại F, CMR: F là trung điểm của MB
HD:
a, Ta có:
BAN =
CBM (c.g.c) =>
11
BC=
mà
0 0 0
1 1 1 1
90 90 90C M M B MPB BN CM+ = = + = = = = ⊥
b, Kéo dài BN cắt DC tại I
=>
IBC
có
1
//
2
ND ID
ND BC
BC IC
= = =
=>I là trung điểm IC,
PIC vuông có D là trung điểm IC => PD =PC
c, Tự chứng minh
Bài 36: Cho
ABC (AB<AC) qua trung điểm M của cạnh BC, kẻ đường thẳng // với đường phân giác
góc A, đường thẳng này cắt đường thẳng AB, AC theo thứ tự tại D và E, CMR: BD=CE
HD:
Giả sử AK là tia phân giác góc A
ADE cân tại A => AD = AE
Ta có:
BDM có AK// DM =>
BD BM
AD KM
=
,
Mặt khác
CAK có
//
CE M
ME AK
AE KM
= =
Mà BM= CM =>
BD CE
AD AE
=
và
AD AE BD CE= = =
Bài 37: Cho HCN có AD = 2.DC, M alf điểm trên AB, tia phân giác của góc
CDM
cắt BC tại E, CMR:
CM = AM+2EC
HD:
Lấy N trên tia đối tia CB sao cho AM= 2CM
=>
( )
..DAM DCN c g c
Lại có: DM=2.DN (1)
và
E ADE EDN EDN= = =
cân tại N
=> ND=EN=EC+CN
=> AM+2. EC=2CN+2.EC=2.ND (2)
từ (1) và (2) ta có : DM = 2.DN= AM+2EC
1
1
1
P
A
B
C
D
M
N
I
F
E
A
B
C
K
M
D
2
1
A
D
C
B
N
M
E
18
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
Bài 38: Cho hình vuông ABCD, gọi O là giao của hai đường chéo, lấy G trên BC, H trên CD sao cho
0
45GOH =
, Gọi M là trung điểm của AB, CMR:
a,
HOD đồng dạng với
OGB
b, MG // AH
HD:
a, ta có:
0
45DB==
, Mặt khác:
0 0 0
12
11
0 0 0
21
180 45 135
180 45 135
OO
OG
OG
+ = − =
= =
+ = − =
=>
( )
.HOD OGB g g
b, Theo câu a,
( )
.HOD OGB g g
=>
HD OD
OB GB
=
, Đặt MB=a, AD=2a
=>
2
. , 2. 2 2 .HDGB OB OD a a a AD BM= = = =
( )
..
HD BM
BMG DHA c g c
AD BG
= = =
=>
11
MH=
, mà
( )
11
H BAH sole M BAH= = =
( đồng vị) => AH//MG
Bài 39: Cho HCN ABCD, từ 1 điểm P thuộc đường chéo AC, dựng HCN AEPF (E
AB, F
AD), CMR:
a, EF//DB
b, BF và DE cắt nhau tại Q nằm trên AC
HD:
a, Ta có: EP//BC =>
AE AP
AB AC
=
và
/ / EF/ /
AF AP AE FA
FP DC BD
AD AC AB AD
= = = = =
b, Gọi I, O lần lượt là tâm của 2 HCN
EF/ /
QE EF
DC
QD DB
= =
,
Mà 2.IE = EF, 2. DO= DB=>
QE IE
QD DO
=
và
12
E D IEQ ODQ Q Q= = = =
Mà
00
21
180 180Q OQE Q OQE+ = = + =
=> A, Q, O thẳng hàng=> Q nằm trên AC
45
45
45
1
1
1
2
1
O
A
B
C
D
H
G
M
O
I
Q
2
1
A
B
C
D
P
E
F
19
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
Bài 40: Cho hình vuông ABCD, trên BC lấy E sao cho
3
BC
BE =
, trên tia đối của CD lấy điểm F sao cho
2
BC
CF =
, M là giao AEvà BF, CMR: AM vuông góc với CM
HD:
Gọi G là giao AM và DC,
H là giao của AB và CM
GAD có
2
//
3
GC CE
CE AD
GD AD
= = =
21
32
GC DC
DF FG
GC DC GC
= = = = = =
+
Lại có: AB//DG=>
2 2 2 1
. . .
3 3 32 2 3
BH AB BC
BH CF BC BE
CF GF
= = = = = = =
Khi đó:
ABE =
CBH (c.g.c) =>
11
12
AC
AM MC
EE
=
= ⊥
=
Bài 41: Cho tứ giác lồi ABCD, từ 1 điểm E thuộc cạnh AD và G thuộc cạnh AB, ta kẻ các đường thẳng
song song với đường chéo AC, các đường thẳng này cắt CD, BC lần lượt tại F và H
a, So sánh các tỉ số các đoạn thẳng do BD định ra trên EF và GH
b, CMR: EG và HF cắt nhau tại I nằm trên BD
HD:
a, Gọi O là giao điểm 2 đường chéo AC, BD
BD cắt EF, GH lần lượt tại N và M
=>
EN BN NF EN AO
AO BO OC NF OC
= = = =
Tương tự ta cũng có:
GM DM MH GM AO
AO DO OC MH OC
= = = =
Từ hai điều trên ta có:
EN GM AO
NF GH OC

==


b, Giả sử : GE cắt BD tại I’
=>
'
'
EN I N
GM I M
=
(1),
Tương tự Giả sử HF cắt BD tại I’:
'
'
NF I N
MH I M
=
(2)
Theo câu a ta có:
EN GM EN NF
NF GH GM GH
===
(3)
Từ (1), (2) và (3) =>
'
'
'
IN I N
II
IM I M
= =
, hay I là giao điểm GE, HF, DB
M
1
2
1
1
A
C
D
G
H
E
F
B
M
N
A
B
C
D
E
F
G
H
I
O
20
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
Bài 42: Cho hình vuông ABCD, trên AB lấy điểm M, vẽ BH vuông góc với CM, nối DH, vẽ HN vuông
góc với DH (N
BC)
a, CMR:
DHC và
NHB đồng dạng
b, CMR: AM.NB=NC.MB
HD:
a, Ta có:
0
1
12
0
2
90
90
H NHC
HH
H NHC
+=
=
+=
lại có:
11
BM=
( Phụ
HBM
)
và
( )
11
M C sole=
=>
( )
.DHC NHB g g
b, Ta có:
( )
.
MB BH
MBH BCH g g
BC CH
= =
,
Mà
BH BN MB BN
CH DC BC DC
= = =
mà BC= DC => MB = NB
=> AM = NC => AM.NB=NC.MB đpcm
Bài 43: Cho hình vuông ABCD cạnh a, một đường thẳng d bất kỳ đi qua C cắt AB tại E và AC tại F
a, CMR tích BE.DF không đổi khi d di chuyển
b, CMR:
2
2
BE AE
BF AF
=
c, Xác định vị trí của d để DF=4.BE
HD:
a,
( )
2
. . .
BE BC
EBC CDF g g BE DF BC CD a
CD DF
= = = = =
=> BE. DF không đổi
b, Ta có:
( )
.
EB BC AE BE
EBC EAF g g
EA FA FA BC
= = = =
(1)
( )
.
FD DC AE DC
FCD FEA g g
FA AE FA FD
= = = =
(2)
Nhân (1) và (2) theo vế ta được:
2
2
.
AE BE DC BE
FA BC DF DF
==
,
Vì BC= DC
c, Để
2
2
1 1 1
4
4 2 2 2
BE AE AE BE a
DF BE BE
DF FA FA BC
= = = = = = = = = =
1
1
2
1
A
B
C
D
M
H
N
D
C
B
A
F
d
E
21
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
Bài 44: Cho
ABC có AB=4cm, AC=8cm, BC=6cm, hai tia phân giác trong AD và BE cắt nhau tại O,
CMR đoạn nối điểm O với trọng tâm G của
ABC thì song song với BC
HD:
ABC
có AD là đường phân giác nên:
6
12
DB DC DB DC
AB AC AB AC
+
= = =
+
2
DB BC
DB cm
AB AB AC
= = = =
+
ABD có OB là tia phân giác nên:
2
OA OD OA AB
AB BD OD BD
= = = =
(1)
Gọi AM là đường trung tuyến của
ABC,
G là trọng tâm của
ABC =>
2
AG
GM
=
Từ (1) và (2) =>
2 / /
AO AG
OG DM
OD GM
= = =
Bài 45: Cho
ABC vuông tại A, vẽ ra phía ngoài tam giác đó các
ABD vuông cân ở B,
ACF vuông
cân ở C, Gọi H là giao điểm của AB và CD, K là giao của AC và BF, CMR:
a, AH=AK
b,
2
.AH BH CK=
HD:
a, Ta có: AC//BD ( cùng vuông góc với AB)
=>
AH AC AH AC AH AC
BH BD AH BH BD AC AB AB AC
= = = = =
+ + +
.AB AC
AH
AB AC
= =
+
(1)
Tương tự:
AB // CF ( cùng vuông góc với AC)
.AK AB AK AB AK AB AB AC
AK
KC CF AK KC AB AC AC AB AC AB AC
= = = = = = = =
+ + + +
(2)
Từ (1) và (2) ta có: AH=AK
b, ta có :
AH AC
BH BD
=
(3)
Và
AK AB BD KC AC
KC CF AC AK BD
= = = =
(4)
Từ (3) và (4)=>
..
AH KC
AH AK BH KC
BH AK
= = =
, mà AH=AK=> đpcm
M
8
6
4
A
B
C
E
G
O
D
K
H
A
B
C
F
D
22
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
Bài 46: Cho tam giác ABC nhọn, Các đường cao AD, BE, CF, Gọi I, K, M, N lần lượt là chân đường
vuông góc kẻ từ D đến BA, BE, CF, CA, CMR: 4 điểm I, K, M, N thẳng hàng
HD:
Ta có:
/ /EF
BI BD BK
KI
FI DC KE
= = =
Tương tự:
//
CN CD CM
MN FE
NE DB MF
= = =
Mặt khác:
//
FA AH AE
FE IN
AI AD AC
= = =
,
Khi đó I, K, M, N thẳng hàng
Bài 47: Cho
ABC vuông tại A, đường cao AH, E là điểm bất kỳ trên AB, kẻ HF vuông góc với HE (F
trên AC)
a, CMR:
BEH và
AFH đồng dạng
b, CMR: HE.BC=EF.AB
c, Cho AB = 6cm, AC=8cm, diện tích
HEF =6cm
2
, Tính các cạnh của
HEF
HD:
a, Ta có:
1
BA=
và
12
HH=
=>
( )
.BEH AFH g g
b, Theo câu a ta có:
( )
.BEH AFH g g
=>
HE BH
HF AH
=
(1)
Mặt khác:
( )
.ABH CAH g g
AB BH
AC AH
= =
(2)
Từ (1) và (2) =>
HE AB
HF AC
=
và
( )
0
90 . . . .
HE FE
A H HEF ABC c g c HE BC FE AB
AB BC
= = = = = = =
c,
2
11
. . .6.8 24
22
abc
S AB AC cm= = =
mặt khác:
2
6 1 1
24 4 2
HEF
ABC
S
EF EF
S BC BC

= = = = =


Mà BC=10=>
5 3, 4EF HE HF= = = =
H
K
M
A
B
C
D
E
F
I
N
2
1
A
B
C
H
E
F
23
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
Bài 48: Cho
ABC vuông tại A, đường cao AD, đường phân giác BE, giả sử AD cắt BE tại F, CMR:
EA FD
EC FA
=
HD:
ABD
có BF là tia phân giác
=>
FD BD
FA BA
=
(1)
ABC có BE là phân giác :
EA AB
EC BC
= =
(2)
Mà
ADB
CAB ( g . g )
=>
AB BD
BC AB
=
(3)
Từ (1), (2) và (3) ta có:
EA FD
EC FA
=
Bài 49: Cho M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AD và BC của hình chữ nhật, E là điểm trên tia DC, K
là giao EM và AC, CMR: MN là tia phân giác
KNE
HD:
Gọi H là giao KN với DC
O là giao MN với AC
Khi đó MO=ON
=>
MO ON KO
EC CH OC

==


=>
EC CH=
=>
NEH cân tại N =>
1
EH=
mà
2KNE H=
( Góc ngoài) =
1 1 2
2.N N N= = =
đpcm
Bài 50: Cho
ABC vuông tại A, AH là đường cao, D, E lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB,
AH, đường thẳng vuông góc AB tại D cắt CE ở F, CMR
BCF vuông
HD:
Lấy M là giao của DE với AC => M là trung điểm AC
ta có :
1
2
1
2
DE BH
DE BH
EM HC
EM HC
=
= =
=
(1)
Mặt khác :
FD// AC ( cùng vuông góc với AB)
=>
DE FE
EM EC
=
(2)
Từ (1) và (2) ta có :
//
BH EH
EH BF
HC EC
= =
, Mà
EH BC BF BC BCF⊥ = ⊥ =
vuông
F
A
B
C
D
E
N
M
C
1
2
1
O
A
B
D
E
H
K
E
A
B
C
H
D
M
F
24
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
Bài 51: Cho tam giác ABC (AB<AC), D và E lần lượt trên các cạnh Ab và AC sao cho BD=CE
Gọi K là giao điểm của DE và BC, CMR:
AB KE
AC KD
=
HD:
Từ E vẽ EF / / AB (F nằm trên BC)
KBD có EF// BD =>
KE FE
KD BD
=
(1)
tương tự ta có:
ABC có EF // AB
=>
FE CE AB FE FE
AB CA AC CE BD
= = = =
(2)
Từ (1) và (2) => đpcm
Bài 52: Cho
ABC nhọn, AD là đường cao, H là điểm trên đoạn AD, Gọi E là giao điểm của BH và AC,
F là giao điểm của CH và AB,
CMR: DA là tia phân giác của
Qua H vẽ đường thẳng // BC cắt AB tại M,
Cắt DF tại N, DE tại I, AC tại K
=> NI //BC, AD
BC⊥
=> DH
⊥
NI
Xét các
FDC,
FBC,
EBC,
EBD,
ABD,
ADC,
ABC ta có :
NH FH
DC FC
=
,
MH FH
BC FC
=
,
NH MH
DC BC
=
,
HI EH
BD EB
=
,
HK EH
BC EB
=
HI HK
BD BC
=
,
MH AH
BD AD
=
,
HK AH
DC AD
=
,
MK AH
BC AD
=
. . . .
MH HK MK NH HK MH MH HI HK
BD DC BC CD BC BD BC BD DC
= = = = =
NH HI NDI= = =
có HD vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên=>
NDI cân
Vậy DH là tia phân giác
A
B
C
K
D
E
N
C
25
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
Bài 53 : Cho
ABC có AD là đường trung tuyến, Trọng tậm là điểm G, một đường thẳng đi qua G cắt
các cạnh AB, AC lần lượt tại các điểm E, và F, CMR :
1
BE CF
AE AF
+=
HD :
Kẻ BM// EF, CN//EF
Khi đó ta có :
;
BE GN CF GN BE CF GM GN
AE AG AF AG AE AF AG
+
= = = + =
2
1
GD DN GD MD GD AG
AG AG AG
+ + −
= = = =
Bài 54 : Cho hình thang ABCD, đáy lớn CD và O là giao điểm của hai đường chéo, đường thẳng qua B
và //AD cắt AC tại E, đường thẳng qua C //AD cắt BD tại F, CMR :
a,
2
.OA OC OE=
b,
2
.OD OBOF=
HD :
a, Ta có : AB//CD =>
0OA B
OC OD
=
(1)
//
OE OB
BE AD
OA OD
= =
(2)
Từ (1), (2) =>
2
.
OA OE
OA OE OC
OC OA
= = =
b,
//
OD OA
AD FC
OF OC
= =
(3)
và
2
.
OB OD
OD OB OF
OD OF
= = =
E
F
A
B
C
D
G
M
N
E
O
A
B
C
D
F
26
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
Bài 55 : Cho
ABC, Lấy E trên BC sao cho EC=2.BE, Lấy điểm F trên AB sao cho AF=2BF
a, CMR : EF//AC và EF =
1
3
AC
b, Gọi I là giao điểm của AE và CF, CMR:
1
4
IE IF
AE CF
==
c, Thay điều kiện EC=2BE và AF=2.BF bằng điều kiện AE, CF thứ tự là hai tia phân giác của góc
A và C của
ABC thì
ABC cần có điều kiện gì để EF //BC
HD:
a, Ta có:
1
//
2
EB FB
EF AC
EC FA
= = =
, Do đó:
11
33
EF BE
EF AC
AC BC
= = = =
b, Vì
11
//
34
IE IF EF IE IF
EF AC
IA IC AC AE CF
= = = = = = =
c,
//EF AC
Khi
EC FA
EB FB
=
(1)
Mà AE là tia phân giác góc A
EC AC
EB AB
= =
(2)
CF là tia phân giác góc C
FA AC
FB BC
= =
(3)
Từ (1), (2) và (3)=>
AC AC
AB BC
AB BC
= = =
=>
ABC cân tại B
Bài 56 : Cho
ABC, kẻ tia phân giác AD, trên tia đối của tia BA, lấy điểm E sao cho BE=BD và trên tia
đối của tia CA, lấy điểm F sao cho CF=CD
a, CMR : EF //BC
b, CMR : ED là tia phân giác góc
BEF
, FD là tia phân giác góc
CFE
HD :
a, Vì AD là tia phân giác góc A nên:
BD AB
DC AC
=
Theo gt ta lại có: BD=BE, DC= CF
=>
//
BE AB BE CF
EF BC
CF AC AB AC
= = = =
b,
BDE
cân =>
11
ED=
,
mà
( )
1 2 1 2
D E sole E E= = =
vậy ED là tia phân giác góc
BEF
Chứng minh tương tự cho FD là tia phân giác góc
CFE
I
A
B
C
E
F
1
2
1
A
B
C
E
F
D
27
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
Bài 57 : Cho
ABC vuông tại A, kẻ đường cao AH, Gọi D và E theo thứ tự là các điểm đối xứng với H
qua AB và AC
a, CMR : Tứ giác BCED là hình thang
b, CMR:
2
.
2
DE
BDCE

=


c, Cho AB =3cm, AC= 4cm, Tính DE và Diện tích
DHE
HD:
a, Dễ dàng chứng minh 3 điểm D, A, E thẳng hàng và
, ..BD DE CE DE BD EC⊥ ⊥ =
Vậy BCED là hình thang
b,
..
DB AE
ADB CEA AD AE DB CE
AD CE
= = = =
A là trung điểm DE
nên
2
1
.
22
DE
AD AE DE DB CE

= = = =


c, Theo định lý Pi ta go thì :
2 2 2 2 2
3 4 25 5BC AB AC BC= + = + = = =
11
. . .
22
ABC
S AB AC BC AH= = =
.
2,4
AB AC
AH
BC
= = =
Vì DE=2.AH=> DE=4,8
ABC
HDE
2
4,8 4,8
55
HDE
ABC
S
DE
BC S

= = = =


, Mà
1
.3.4 6
2
ABC HDE
SS= = =
Bài 58: Cho HCN ABCD, Trên tia đối của tia AD lấy điểm F sao cho AF =AB, Trên tia đối của tia AB
lấy điểm E sao cho AE=AD, Gọi N là giao điểm FC với AB và M là giao điểm EC và AD
CMR: MD=BN
HD:
ta có:
NB BC
NBC CDF
CD DF
= =
.NB CD DC BC
NB
BC DF AB AD
= = = =
+
(1)
MD DC
MDC CBE
CB BE
= =
.DC BC
MD
AB AD
= =
+
(2)
Từ (1) và (2) => NB= MD
A
B
C
D
E
H
M
N
A
E
B
C
D
F
28
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
Bài 59: Cho
ABC vuông tại A, đường cao AH, I là trung điểm AC, F là hình chiếu của I trên BC,
Trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng chứa AC vẽ tia Cx vuông góc AC cắt IF tại E, Gọi giao điểm AH,
AE với BI theo thứ tự là G, K, CMR:
a,
IHE
BHA
b,
BHI
AHE
c, AE vuông góc với BI
HD:
a, Chứng minh
IHE BHA
Ta có:
1
2
HI IC AC
IF HC
==
⊥
=>IF là trung trực HC
( )
..E IF EC EH IHE ICE cc c = = = =
0
90IHE ICE= = =
(1)
ta lại có :
BHA ACH=
( Cùng phụ góc A )
=>
BAH IEH=
(2)
Từ (1) và (2) =>
( )
.IHE BHA g g
b, Từ câu a,
IH EH IH BH
IHE BHA
BH AH EH AH
= = = =
Mà
0
90IHE BHA IHE AHI BHA AHI AHE BHI= = = + = + = =
=>
( )
..BHI AHE c g c
c, Vì
BHI AHE IBH EAH GBH GAK = = = =
Xét
,AKG BHG
có
0
()
90
()
GBH GAK cmt
AKG BHG
AGK BGH cmt
=
= = =
=
=>
AK GK⊥
tại K =>
AE BI⊥
Bài 60 : Cho HCN ABCD (AB<BC), kẻ
DE AC⊥
, Gọi M, N, P theo thứ tự là trung điểm của BC, AE,
DE
a, Tứ giác MNPC là hình gì ?
b, CMR :
MN ND⊥
c, CMR : NA.PC=ND.PD
d, Khi ABCD là hình vuông hãy xác định hình dạng của
MND
e, Tính diện tích của HCN ABCD biết đường chéo là 4cm và góc nhọn tạo bởi hai đường chéo là
0
30
HD:
a, Ta có:
MNPC là hình bình hành vì NP // MC ( do cùng // AD)
và
11
22
NP MC BC AD= = =
b, Gọi F là trung điểm AD
=> NF là đường trung bình =>
//NF ED
Mà DE
AC NF AC⊥ = ⊥
=>
NFC vuông có I là trung tuyến
=>
11
22
NI CF MD MND= = =
vuông tại N
=>
MN ND⊥
c,
( )
. . .
AN ND
AND DPC g g AN CP ND PD
DP CP
= = = =
d, ABCD là hình vuông thì
NMD là vuông cân tại N
K
G
B
A
C
E
H
I
F
I
B
C
D
A
M
F
E
N
P
29
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
e, Diện tích ABCD bằng 4cm
2
Bài 61 : Cho hình vuông ABCD có cạnh a, Gọi I là trung điểm AB, Trên tia đối của tia CD đặt điểm M
sao cho CM=a, Trên tia đối của tia CB đặt điểm N sao cho CN =2a, trên tia đối của tia DC đặt điểm P sao
cho DP =2a, trên tia đối của tia AD đặt Q sao cho AQ=3a, Gọi E,F, R lần lượt là trung điểm PN, QM, PQ,
Gọi S là giao điểm QM và PN
a, CMR :
AID DPQ
b,
MPQ là tam giác gì ? Tứ giác MNPQ là tứ giác gì ?
c, CMR : 4 điểm E, D, I, F thẳng hàng
d, CMR: I là trung điểm NQ
e, CMR: 3 đường thẳng SR, QN, CD đồng quy
HD:
a,
( )
..AID DPQ c g c
b,
MPQ
cân tại Q
( vì QD vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến)
=> Tứ giác MNPQ là hình thang
c,
//AID DPQ ADI DQP DI PQ = = =
(1)
EF là đường trung bình của hình thang MNPQ
=> EF//PQ (2)
DF là đường trung bình của
MPQ
=> DF// PQ (3)
Từ (1), (2) và (3) => E, D, I, F thẳng hàng
d, Do AQ =BN và AQ // BN
Nên AQBN là hình bình hành,
=> AB và QN cắt nhau ở trung điểm của mỗi đường mà I là trung điểm của AB
=> I là trung điểm QN
e, Theo cmt ta có: MNPQ là hình thang, Gọi O là giao điểm MP và NQ
Ta lại có NP giao MQ tại S => S, O, R thẳng hàng
=> SR, Qn, CD đồng quy tại O
Bài 62: Cho HBH ABCD, một đường thẳng d quay quanh A, cắt BC, CD lần lượt tại E và F, CMR: tích
BE.DF không đổi
HD:
Từ F vẽ đường thẳng song song với AD cắt AB tại I
ABE
có
//
AI IF
IF BE
AB BE
= =
. . . .AI BE AB IF DF BE AB AD= = = =
( không đổi)
F
E
O
D
C
B
A
N
Q
P
M
S
I
R
F
A
B
D
C
E
I
30
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
Bài 63: Cho
ABC (AB<AC) trên AC lấy điểm D sao cho CD = AB, Gọi M, N lần lượt là trung điểm
của AD, BC: CMR:
1
.
2
CMN BAC=
HD:
Vẽ tia phân giác góc A cắt BC tại E
Lấy F đối xứng với E qua N
AE là tia phân giác =>
BE EC
AB AC
=
,
Mà
BE FC
AB CD
=
=
//
CF CE CF CD
DF AE
DC AC CE CA
= = = = =
=> ADFE là hình thang có MN là đường trung bình =>
1
1
.
2
CMN A BAC==
Bài 64 : Cho Tứ giác ABCD, O là giao điểm của AC và BD, CMR :
ABC
ACD
S
OB
S OD
=
HD :
Vẽ
//
BH AC
BH DK
DK AC
⊥
=
⊥
ta có :
1
. .AC
2
1
..
2
ABC
ACD
BH
S
BH
S DK
DK AC
==
(1)
Mặt khác
( )
.
BH OB
OBH ODK g g
DK OD
= =
(2)
Từ (1) và (2) => đpcm
Bài 65 : Cho hình thang ABCD (AB//CD), Có AB=a, CD= b, M, N trên các cạnh AD và BC sao cho
MN//CD và
MA
M
MD
=
, cmr :
.b
1
am
MN
m
+
=
+
HD :
Qua M vẽ đường thẳng song song với BC cắt AB, CD lần lượt tại N và I
Khi đó MNCI là hình bình hành
=> DI= b - MN
Tương tự : NA = MN - a
Xét
MDI có
//DI AN
MA AN MN a
M
MD DI b MN
−
= = = =
−
.mb m MN MN a= − = −
.MN m MN mb a= + = +
1
a mb
MN
m
+
= =
+
đpcm
A
B
C
D
M
N
E
F
O
A
C
B
D
H
K
b
a
M
A
B
C
D
N
I
N
31
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
Bài 66 : Cho
ABC nhọn, các đường cao AD, BE cắt nhau tại H, đường thẳng vuông góc với AB tại A
cắt BE ở K, CMR :
EAK ECH
HD :
Vì AD cắt BE tại H=> H là trực tâm
=>
//CH AB CH AK⊥ =
( )
11
.A C EAK ECH g g= =
Bài 67: Chứng minh rằng
ABC vuông nếu các đường phân giác BD và CE cắt nhau tại I thỏa mãn:
1
.
2
BI CI
BD CE
=
HD:
Nối AI=> AI là tia phân giác góc A
ABD
có AI là tia phân giác
=>
BI AB BI AB BI
ID AD ID BI AB AD BD
= = = =
++
(1)
Mặt khác :
AD AB AD AB
DC BC AD DC AB BC
= = =
++
AD AB
AC AB BC
= =
+
.AB AC
AD
AB BC
= =
+
Thay vào (1) ta được :
.
BI AB AB BC
AB AC
BD AB BC CA
AB
AB BC
+
==
++
+
+
Tương tự :
CI AC BC
CE AB BC CA
+
=
++
Với gt
1
.
2
BI CI
BD CE
=
=>
( )( ) ( )
2
2 2 2
2 AB BC AC BC AB BC CA AB AC BC+ + = + + = + =
Vậy
ABC vuông tại A
Bài 68 : Cho hình thoi ABCD có
0
60A=
, P là 1 điểm thuộc cạnh AB, N là giao điểm của hai đường
thẳng AD và CP
a, CMR :
2
.AB BP DN=
b, Gọi M là giao điểm của Bn và DP, Tính
?BMD =
c, CMR :
..PAPB PD PM=
HD :
a, Ta có
..PBC CDN CD BC BP DN = =
Do AB =BC=CD=>
2
.AB BP DN=
b, Ta chứng minh được
0
60BMD =
c,
PA PM
PAD PMB
PD PB
= =
..PAPB PD PM= =
đpcm.
K
1
1
H
A
B
C
D
E
I
A
B
C
D
E
?
A
C
D
B
P
N
M
32
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
Bài 69: Cho
ABC nhọn có AB=AC, và hai đường cao AD và BE cắt nhau tại H, CH cắt DE tại I
a) CMR :
HIE
DIC
b) Đường thẳng đi qua E song song với BC cắt CH ở F, CMR :
IH FH
IC FC
=
và
F
AB
Bài 70: Cho hình chữ nhật ABCD có tâm O, AB=6cm, BC=8cm, Kẻ AE vuông góc với BD, Tia AE cắt
BC tại F
a) Tính BD, AE, BE, BF và diện tích
BÈ
b) CMR: CD.AB=BE.BD=BF.BC
c) Kẻ EH vuông góc với AB, EK vuông góc với AD, CMR: AE=HK và AH.AB=AK.AD
d) Tia KH cắt DB ở T, CM AC vuông góc với HK và TH.TK=TD.TB
HD:
a) Xét
ADB và
BAF có :
0
90DAB ABF==
ADB BAF=
0
90ADB ABD+=
,
0
90BAF FAD BAD+ = =
=>
ADB
BAF (g.g) =>
86
4,5
6
AD AB
BF cm
BA BF BF
= = = = =
Xét
ABD vuông tại A:
2 2 2 2
6 8 10BD AB AD cm= + = + =
Xét
ABF vuông tại B: có BE
⊥
AF
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
3,6
6 4,5
BE cm
BE AB BF BE
= = + = = + = =
Chứng minh tương tự:
ABE AFB
=>
6 3,6
4,8 , 7,5
6 4,5
AB AE BE AE
AE cm AF cm
AF AB FB AF
= = = = = = = =
Và
( ) ( )
2
1 1 1
. .3,6. .3,6. 7,5 4,8 4,86
2 2 2
BEF
S BE EF AF AE cm
= = − = − =
b)
ABD vuông tại A có AE vuông góc với BD tại E=>
2
. . .AB BE BD AB CD BE BD= = =
Vì ( AB=CD)
Có: BF.BC=4,5.8=36=AB
2
=>AB.CD=BF.BC=BE.BD( đpcm)
c) Ta có:
0
90HAK AKE AHE= = =
(1)
Mà:
0
360AKE KEH EHA HAK+ + + =
=>
0
90KEH =
(2)
Từ (1) và (2) => AHEK là hình chữ nhật=> AE=HK
Xét
AKH vuông vag
HEA vuông có:
AK=HE
AH cạnh chung
=>
AKH=
HEA (Hai cạnh góc vuông)=>
AKH AEH=
Vì EH
⊥
AB, BC
⊥
AB=>EH // BC=>
AEH AFB=
Mà
AFB ABD=
( Cùng phụ
BDC
) =>
AKH ABD=
Xét
HAK và
BAD có:
Góc A chung
AKH ABD=
=>
HAK
DAB (g.g)=>
..
AH AK
AH AB AD AK
AD AB
= = =
(đpcm)
d) Ta có:
( )
AKH ABD cmt=
(3)
Xét
BDA vuông và
CAD vuông có:
AD cạnh chung
33
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
AB=DC
=>
BDA=
CAD =>
ABD ACD=
(4)
Từ (3) và (4) ta được:
AKH ACD=
Mà
00
90 90CAD ACD AKH CAD+ = = + =
Gọi M là giao điểm của HK và AC.
AMK có:
00
90 90AKH CAD AMK AC HK+ = = = = ⊥
Ta có:
THB AHK=
( đối đỉnh)
( )
AHK ADB HAK ADB= =
=>
THB ADB=
hay
THB KDT=
Xét
THB và
TDK có:
Góc T chung
( )
.THB KDT THB TDK g g= =
=>
..
TH TB
TH TK TD TB
TD TK
= = =
( đpcm)
Bài 71: Cho
ABC nhọn có các đường cao AD< BE, CF cắt nhau tại H
a) CMR:
BDH
BEC suy ra BH.BE+CH.CF=BC
2
b) Chứng minh H cách đều ba cạnh cảu
DEF
c) Tính tổng:
HD HE HF
AD BE CF
++
d) Trên các đoạn thẳng HB, HC lấy các điểm M, N tùy ý sao cho HM= CN. CMR đường trung trực
của MN luôn đi qua 1 điểm cố định.
Bài 72: Cho
ABC có ba góc nhọn, các đường cao BD, CE cắt nhau tại H
a) CMR:
ABD và
ACE đồng dạng
b) CMR: BH.HD=CH.HE
c) Nối D với E, Biết BC=a, AB=AC=b, Tính DE theo a và b
HD:
a) Xét
ABD và
ACE
Có
A
là góc chung
0
90ABD AEC==
( . )ABD ACE g g=
b) Xét
BHE và
CHD có :
BHE CHD=
(đối đỉnh)
0
90BEH CDH==
( . )BHE CDH g g=
..
HB HE
BH HD CH HE
CH HD
= = = =
c) Khi AB=AC=b, thì
ABC cân tại A =>
.
//
DE AD AD BC
DE BC DE
BC AC AC
= = = =
Gọi giao điểm của AH và BC là F
AF ,
2
a
BC FB FC= ⊥ = =
,
2
.
2
DC BC BC FC a
DBC FAC DC
FC AC AC b
= = = = = =
( )
( )
2
22
2
2
.
2
.
2
a
ba
a b a
AC DC BC
b
AD BC
DE
AC AC b
b

−

−
−

= = = = =
Bài 73: Từ ba đỉnh A, B, C của
ABC ta vẽ ba đường thẳng song song với nhau, Chúng lần lượt cắt BC
và các đường thẳng CA, AB tại D, E, F, CHứng minh rằng:
34
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
a)
1 1 1
AD BE CF
=+
b)
2.
DEF ABC
SS

=
HD:
a) Theo hệ quả của định lí ta let ta có:
;
AD CD AD BD
BE CE CF CB
==
, Cộng từng vế ta được:
1
AD AD CD BD
BE CF CB CB
+ = + =
, chi hai vế cho AD ta được:
1 1 1
AD BE CF
=+
b) Từ AD//BE//CF, lập luận chứng minh được:
,,
ADE ADB ADF ADC AEF ACB
S S S S S S= = =
Suy ra
2.
ADE ADF AEF ADB ADC ACB DEF ABC
S S S S S S S S+ + = + + = =
Bài 74: Cho
ABC vuông cân tại A, CM là đường trung tuyến (M nằm trên AB), Từ A vẽ đường thẳng
vuông góc với MC cắt BC ở H, Tỉnh tỉ số
BH
HC
HD:
Giả sử: AH cắt MC tại I
Gọi trung điểm của BH là K thì MK//AH
Dễ thấy ba tam giác vuông
AMC,
IAC,
IMA đồng dạng mà AC=2. AM
Nên IC=2. IA=4. IM
Suy ra:
1 2. 1 1
4 2 2
HK IM BH HK HB
HC IC HC HC HC
= = = = = = =
Bài 75: Cho hình thang (AD//BC). Một điểm M di động trên đường chéo AC, Chứng minh :
. . .MB AC MC AB MA BC+
HD:
Kẻ Cx // AB cắt tia BM tại P =>
..AB MC MACP=
Ta có:
( )
. . . . .MC AB MA BC MA CP MA BC MA CP BC MA BP+ = + = +
Ta lại có:
..MB AC BP AM=
,
Vậy
. . .MB AC MC AB MA BC+
Bài 76: Cho
ABC đều, Gọi M là trung điểm cảu BC, Dựng góc
0
60xMy =
, quay quanh điểm M sao
cho hai cạnh Mx, My luôn cắt cạnh AB và AC lần lượt tại D và E, CMR:
a)
2
.
4
BC
BD CE =
b) DM, EM lần lượt là tia phân giác góc:
,BDE CED
c) Chu vi
ADE không đổi
HD:
a) Trong
BDM, ta có:
0
11
120DM=−
Vì
00
2 3 1
60 120M M M= = = −
=>
13
DM=
Ta chứng minh được:
BMD và
CEM đồng dạng
..
BD CM
BD CE BM CM
BM CE
= = = =
(1)
1
2
3
2
1
y
x
E
D
M
A
B
C
35
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
Vì
2
.
24
BC BC
BM CM BD CE= = = =
b) Từ (1) suy ra:
BD MD
CM EM
=
, Mà BM=CM nên ta có:
BD MD
BM EM
=
Ta chứng minh được:
BMD MED
=>
12
DD=
. do đó: DM là phân giác
BDE
Chứng minh tương tự ta có:
EM
là phân giác góc
CED
b) Gọi H, I, K là hình chiếu của M trên AB, DE, AC,
Chứng minh DH=DI, EI=EK
Tính chu vi
ADE bằng 2. AH không đổi
Bài 77: Cho hình thang ABCD có AB//CD và AB<CD, Qua A vẽ đường thẳng AK//BC
( )
K CD
, Qua
B vẽ đường thẳng BI//AD
( )
I CD
, BI cắt AC ở F, AK cắt BD ở E, CMR:
a) EF//AB
b)
2
.AB CD EF=
HD:
a)
AEB
KED (g.g)
AE AB
EK KD
= =
AFB
CFI (g.g)
AF AB
FC CI
= =
, Mà KD = CI (= CD - AB)
/ / / /
AE AF
EF KC EF AB
EK FC
= = = =
Bài 78: Cho hình thang ABCD (AB//CD) Gọi O là giao điểm của AC và BD và I là giao điểm của AD
với BC, Gọi M và N là trung điểm của AB và CD
a) CMR:
OA OB IA IB
OC OD IC ID
++
=
++
b) Chứng tỏ rằng: I, M, O, N thẳng hàng
c) Giả sử
3AB CD=
và diện tích hình thang ABCD bằng a. Hãy tính diện tích của tứ giác IAOB
theo a
HD :
a)
OAB
OCD =>
OA OB AB OA OB
OC OD CD OC OD
+
= = =
+
IAB
IDC =>
IA IB AB IA IB
ID IC CD IC ID
+
= = =
+
OA OB IA IB
OC OD IC ID
++
= =
++
b)
OA AB OA AM
OC CD OC NC
= = =
và
BAC ACD=
=>
OAM
OCN
AOM CON= =
=> M, O, N thảng hàng
IA B IA M
ID CD IC DN
= = =
và
I
là góc chung =>
IAM
IDN=> I, M, N thẳng hàng
AMI DNI= =
, Vậy I, M, O, N thẳng hàng
c) Vì
1 1 1 1
3 3 3 1 4
AOB AOB AOB
AOD AOD AOB
S S S
OB B
OD CD S S S SABD
= = = = = = = =
++
1
.
4
AOB ABD
SS= =
Lại có:
1 1 1 1
.
3 3 1 4 4
ABD ABD ABD
ABD ABCD
BDC BDC ABD ABCD
S S S
AB
SS
S CD S S S
= = = = = = = =
++
1
16
AOB ABD
SS= =
36
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
1 1 1 1
.
9 9 1 8 8
IAB IAB ABD
IAB ABCD
ICD ICD IAB ABCD
S S S
SS
S S S S
= = = = = = =
−−
1 1 3 3
.
8 16 16 16
IAOC IAB AOB ABCD ABCD ABCD
a
S S S S S S= + = + = =
Bài 79: Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD, Gọi E, F lần lượt là hình
chiếu của B và D xuống đường thẳng AC, Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của C xuống AB và AD
a) Tứ giác BEDF là hình gì?
b) CMR:
..CH CD CB CK=
c) Chứng minh rằng:
2
..AB AH AD AK AC+=
HD:
a) Ta có:
, / /BE AC DF AC BE DF⊥ ⊥ =
Dễ thấy
BEO=
DFO (g.c.g) => BE=DF
Suy ra BEDF là hình hình hành
b) Ta có:
ABC ADC HBC KDC= = =
=>
CBH
CDK (g.g)
..
CH CK
CH CD CK CB
CB CD
= = = =
c) Chứng minh:
AFD
AKC (g.g)
..
AF AK
AD AK AF AC
AD AC
= = = =
Lại có:
CFD
AHC (g.g)
,
CF AH
CD AC
= =
Mà
..
CF AH
CD AB AB AH CF AC
AB AC
= = = = =
( )
2
. . . . .AB AH AB AH CF AC AF AC CF AF AC AC= + = + = + =
Bài 80: Cho
ABC có
0
120BAC =
, Các phân giác trong lần lượt là AD, BE, CF
a) CHứng minh rằng:
1 1 1
AD AB AC
=+
b) Tính
FDE
HD:
a) Từ B kẻ BK//AC, cắt AD tại K, ta có:
ABK đều, dó đó:
AB DB DK AB AD
AC DC DA AD
−
= = =
( )
1 1 1
.AB AD AC AB AD
AD AB AC
= = − = = +
b) Áp dụng tính chất đường phân giác: ta có:
.BC AB
BD
AB AC
=
+
,
Từ câu a
.AB AC DA CA EA
AD
AB AC DB CB EB
= = = = =
+
, Nên DE là phân giác
BDA
Chứng minh tương tự DF là phân giác
ADC
, từ đó suy ra :
0
90BDA =
Bài 81: Cho
ABC, trên các cạnh AB và AC lấy các điểm M và N sao cho:
12
,
33
AM A N
AB AC
==
, Gọi D là
giao điểm của Bn và Cm, E là giao điểm của MN và BC
a) Tính
EB
EC
b) Tính tỉ số diện tích tứ giác AMDN và
ABC
HD:
37
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
a) Kẻ CK //AB cắt ME tại K
Chứng minh
1 1 1
4
2 4 4
CK CK EC EB
AM BM EB EC
= = = = = = =
b) Chứng minh được:
12
.
39
AMC ABC AMN ABC
S S S S= = =
Từ M kẻ MF// AC cắt BN tại F
Ta chứng minh được:
24
33
MF MF
AN CN
= = =
, Từ đó suy ra:
44
37
MD MD
DC MC
= = =
Ta cũng có:
4 4 1 4
.
7 7 9 63
MDN MNC ABC ABC
S S S S= = =
4 2 2
63 9 7
AMDN ABC ABC ABC
S S S S= = + =
Bài 82: Cho hình thoi ABCD, Có
0
120BAD =
, Gọi M là 1 điểm nằm trên cạnh AB, Hia đường thẳng
DM và BC cắt nhau tại N, CM căt AN tại E, chứng minh rằng:
a)
AMD và
CDN đồng dạng và
2
.AC AM CN=
b)
AME và
CMB đồng dạng
HD:
a) Xét
AMD và
CDN có:
AMD CDN=
( so le trong)
ADM CND=
(so le trong) =>
AMD
CDN (g.g)
..AM CN ADCD= =
, Vì
00
120 60BAD CAD ACD= = = =
đều=>
AD CD AC==
2
.AM CN AC= =
b) Vì
2
.
AM AC
AM CN AC
AC CN
= = =
Chứng minh
0
60MAC ACn MAC CAN ACM CNA= = = = =
Mà
0 0 0
60 60 60ACM ECN CNA ECN AEC+ = = + = = =
Xét
AME và
CMB có:
AME BMC=
( đối đỉnh)
0
60 ( . )AEM MBC AME CMB g g= = =
Bài 83: Cho
ABC vuông tại A, đường cao AH, Cho biết AB=15cm và AC =20cm
a) Chứng minh rằng:
..AB BC AB AC=
, Tính BC và AH
b) Kẻ
,HM AB HN AC⊥⊥
, Chứng minh rằng
AMN và
ACB đồng dạng
c) Trung tuyến AK của
ABC cắt MN tại I, Tính diện tích
AMI
HD:
a) Ta có:
ABH
CBH
..
AB AH
AH BC AB AC
BC AC
= = = =
Từ đó ta có :
.
12
AB AC
AH cm
BC
==
b) Chứng minh
ACB
HCA,
HCA
NHA
NHA=
AMN=>
AMN
ACB
c) Ta có :
1
NB=
(
AKC cân tại K)
Và
1
,AC=
mà
00
11
90 90B C N A+ = = + =
=>
AIN vuông cân tại I, và
NHA
ACB (cmt)
.
9,6
NH AH AC AH
NH cm
AC BC BC
= = = = =
38
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
9,6AM NH cm= = =
Và
IMA
AMN=>
IMA
ACB =>
9,6 192 144
,
25 15 25
AM IM AI
IM AI
BC AC AB
= = = = = =
1 1 192 144 138 24
. . . .
2 2 25 25 625
AMI
S AI IM= = = =
| 1/38

Tài liệu khác của Toán 8

Preview text:

CHUYÊN ĐỀ TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
Bài 1: Cho  ABC nhọn, các đường cao BD và CE cắt nhau tại H, CMR: 2
BH.BD + CH.CE = BC HD: A
Từ H kẻ HK ⊥ BC D Khi đó:   ( CH CK E CKH CEB g.g ) = =
= CH.CE = CK.CB (1) H CB CE Tương tự:   ( BH BK BKH BDC g.g ) = =
= BH.BD = BK.BC (2) BC BD B C
Cộng (1) và (2) theo vế ta được: K
VT = CK BC + BK BC = BC (BK + KC) 2 . . = BC
Bài 2: Cho  BHC có BHC tù, Vẽ BE vuông góc với CH tại E và CD vuông góc với BH tại D CMR: 2
BH.BD + CH.CE = BC HD:
Kẻ: HG ⊥ BC = CGH CEB( . g g ) D E CH CG => =
= CH.CE = BC.CG (1) H CB CE Tương tự ta có: BGH BDC( . g g ) BH BG => =
= BH.BD = BC.BG (2) BC BD
Cộng (1) và (2) theo vế ta được: B C K
VT = BC CG + BC BG = BC (CG + GB) 2 . . = BC 1 1 1
Bài 3: Cho  ABC có góc A bằng 1200, AD là đường phân giác. CMR: + = AB AC AD HD: B D
Kẻ DE / / AB(E AC) = A
DE là tam giác đều C ABC  có : A E DE CE AD AC − AE AE AD DE / / AB = = = = = 1− = 1− AB CA AB AC AC AC AD AD 1 1 1 = + = 1 = + = (đpcm) AB AC AB AC AD 1
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
Bài 4: Cho A’, B’, C’ nằm trên các cạnh BC, AC, AB của  ABC, AM AB ' AC '
biết AA’, BB’, CC’ đồng quy tại M, CMR: = + A' M CB ' BC ' HD: A E D
Qua A vẽ đường thẳng song song với BC
cắt BB’ tại D và cắt CC’ tại E, Khi đó: AM AE A
ME có AE / / A'C = = (1) C' B' A' M A'C AM AD A
MD có AD / / A' B = = (2) M A'M A' B Từ (2) và (2) ta có: AM AE AD AD + AE DE = = = = B C A' A' M A'C A' B A'C + (*) A' B BC
Chứng minh tương tự ta cũng có: AB ' AD AB  'D có AD / / BC = = (3) B 'C BC AC ' AE A
C 'E có: AE / /BC = = C ' B BC AB ' AC ' AD AE DE Từ (3) và (4) ta có: + = + = (**) B 'C BC ' BC BC BC AM DE AB ' AC ' Từ (*) và (**) => = = + (đpcm) A' M BC B 'C BC '
Bài 5: Cho  ABC, M là điểm tùy ý nằm trong tam giác các đường thẳng AM, BM, CM lần lượt cắc các
cạnh BC, AC, AB tại A’, B’, C’, CMR: AM BM CM + + = 2 AA' BB ' CC ' A HD:
Từ A, M vẽ AH , MK ⊥ BC = AH / /MK A' M MK MK.BC S A  ' AH có: MBC = = = A' A AH AH.BC S ABC A' M AA'− AM AM S C' Mặt khác: = = 1 MBC − = A' A AA' A' A SABC B' AM S = = M 1 MBC − A' A SABC Chứng minh tương tự: BM S CM S = 1 MAC − , = 1 MAB − BB ' S CC ' S B C ABC ABC H K A'
Cộng theo vế ta được đpcm 2
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
Bài 6: Cho  ABC, M là điểm tùy ý nằm trong tam giác, đường thẳng đi qua M và trọng tâm G của tam MA' MB ' MC '
giác cắt BC, CA, AB lần lượt tại A’, B’, C’, CMR : + + = 3 GA' GB ' GC ' HD:
Gọi AM cắt BC tại A1, Từ M vẽ đường thẳng song song với AI cắt BC tại D, với I là trung điểm BC A' M MD A
 'GI có: MD / /GI = = (1) A A'G GI  1 A M MD MD 1
A AI có MD / /GI = = = (AI = 3GI ) (2) 1 A A AI 3GI A ' M 3 1 A M Từ (1) và (2) ta có: = A 'G 1 A A B' G M
Chứng minh tương tự ta có: C' A' C B A1 D I MB ' 3. 1 B M MC ' 3. 1 C M  1 A M 1 B M 1 C M  = , = = VT = 3 + +   GB ' 1 B B GC ' 1 C C  1 A A 1 B B 1 C C  1 A M 1 B M 1 C M mà ta có: từ bài 6 => + + = 1 = VT = 3 1 A A 1 B B 1 C C
Bài 7: Cho  ABC nhọn, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H
a, CMR:  AEF đồng dạng  ABC A
b, H là giao các đường phân giác của  DEF c, 2
BH.BE + CH.CF = BC HD: 1 E AE AB AE AF a, Ta có: AEB C
FC (g.g) = = = = 2 AF AC AB AC F => AEF ABC ( . c g.c) H
b, Chứng minh tương tự ta cũng có: CED CB , A (c.g.c) và BFD BCA(c.g.c) 1 2 B C D => Do AEF A
BC = AEF = ABC = CED
Mà: BEF + AEF = BED + CED ( 0
= 90 ) = BED = BEF => HE là phân giác góc E
Chứng minh tương tự FH là phân giác góc F, HD là phân giác góc D BH BD c, BHD B
CE (g.g) = =
= BH.BE = B . D BC (1) BC BE CH CD và CDH C
FB(g.g) = =
= CH.CF = C . D CB (2) CB CF
Cộng (1) và (2) theo vế ta được đpcm 3
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
Bài 8: Cho  ABC, AD là đường phân giác của tam giác, CMR : 2 AD = A . B AC − B . D DC HD: A 1 2
Trên AD lấy điểm E sao cho:
AEB = ACB = ABE A
DC (g.g) BE AB AE = = = = A . B AC = A . D AE (1) DC AD AC lại có: B D C BD DE BDE A
DC (g.g) = = = B . D DC = A . D DE (2) AD DC E
Lấy (1) - (2) theo vế ta được: AB AC − BD DC = AD( AE − DE) 2 . . = AD
Bài 10: Cho tứ giác ABCD, trong đó: 0
ABC = ADC, ABC + BCD 180 , Gọi E là giao điểm của AB và CD, CMR: 2 AC = C . D CE − A . B AE x HD:
Trên nửa mặt phẳng bờ BE, B N
không chứa C vẽ tia Ex sao cho: BEx = ACB A
=> Ex cắt AC tại N => N = B = D Ta có : E C D   ( AB AC ABC ANE g.g ) = = = A .
B AE = AC.AN (1) AN AE CD CA Tương tự : CAD C
EN (g.g) = = = C . D CE = C . A CN (2) CN CE
Lấy (2) - (1) theo vế ta được đpcm
Bài 11: Cho HBH ABCD đường chéo lớn AC, Từ C kẻ CE vuông góc với AB, CF vuông góc với AD CMR: Hệ thức: 2 A . B AE + A . D AF = AC HD: A B E
Vì AC là đường chéo lớn => 0
D  90 = H AC , H Kẻ DH ⊥ AC => AHD AFC ( . g g) K AD AH = = = A .
D AF = AC.AH (1) D C AC AF
Tương tự kẻ BK ⊥ AC = AKB A
EC (g.g) F AB AK = = = A .
B AE = AC.AK (2) AC AE
Cộng (1) và (2) theo vế ta được: AD AF + AB AE = AC ( AH + AK ) 2 . . = A . C AC = AC Vì ABK = C
DH ( cạnh huyền - góc nhọn) => AK=HC 4
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
Bài 12: Cho  ABC và 1 điểm O thuộc miền trong của tam giác, đường thẳng đi qua O và // với AB cắt
BC tại D và cắt AC tại G, đường thẳng đi qua O và //BC cắt AB tại K và AC tại F, đường thẳng đia qua O
và //AC cắt AB tại H và BC tại E KH DE GF DG KF EH a, CMR: + + =1 b, CMR: + + = 2 AB BC AC AB BC AC HD: A KH KO a, HKO A
BC (g.g) = = AB BC G   ( GF OF GOF ABC g.g ) = = H AC BC KH DE GF KO DE OF Nên + + = + + = 1 O AB BC AC BC BC BC K F b, Ta có: DG DC = EH BE và = , AB BC AC BC B C D E Khi đó: DG KF EH DC KF BE
DE + EC + BD + EC + DB + DE 2BC + + = + + = = = 2 AB BC AC BC BC BC BC BC NC AC
Bài 13: Cho  ABC có đường trung tuyến BM cắt tia phân giác CD tại N, CMR : − =1 ND BC HD:
Vẽ DE / / BM ( E AC ) NC MC A QDE
có NM / / DE = = (*) ND ME AD AC ABC
có DC là tia phân giác nên: = (1) E DB BC AD AE M và ABM  có DE//BM = = (2) D DB EM AC AE N Từ (1) và (2) ta có : = (**) BC ME 1 2 NC AC MC AE ME B C Lấy (*) - (**), ta có : − = − = = 1 ND BC ME ME ME DB EC FA
Bài 14: Cho  ABC có các đường phân giác AD, BE, CF, CMR: . . =1 DC EA FB HD: A DB AB ABC
có AD là tia phân giác nên: = = , DC AC E EC BC FA AC Tương tự: = , = , F EA AB FB BC
Nhân theo vế ta được đpcm B C D 5
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
Bài 15: Cho HBH ABCD đường thẳng a đi qua A lần lượt cắt BD, BC, DC tại E, K, G CMR: a, 2
AE = EK.EG 1 1 1 b, = + AE AK AG
c, Khi a thay đổi thì tích BK.DG có giá trị không đổi? HD: a AE EB a, ABE
có AM / / DG = = (1) EG ED A B EB EK A
DE có AD / /BK = = (2) ED EA E AE EK G C D Từ (1) và (2) ta có: 2 =
= AE = EK.EG EG EA K 1 1 1 AE AE b, Từ: = + = + = 1 AE AK AG AK AG AE ED AE ED AE ED A
DE có AD / /BC = = = = = = EK EB AE + EK ED + (3) EB AK DB AE BE AE BE AE BE Tương tự: AEB
có AB / / DG = = = = = = EG ED AE + EG BE + (4) ED AG BD AE AE ED BE Khi đó: + = + = 1=>đpcm AK AG BD BD BK AB KC.AB KC CG A . D CG c, ta có: = = BK = và = = DG = KC CG CG AD DG KC
Nhân theo vế ta được = BK.DG = A . B AD không đổi BH.CH CH.AH AH.BH
Bài 16: Cho  ABC nhọn, H là trực tâm, CMR : + + =1 A . B AC BC.BA C . A CB HD: A BH BC Ta có: BC BB A(g g) ' 'H ' . = = AB BB ' B' BH.CH BC '.CH SHBC = = = (1) A . B AC BB '. AC S C' ABC CH CA Tương tự: CA H CC B (g ) ' ' ' .g = = BC CC ' CH.AH CA'.AH SAHC = = = (2) B . C BA CC '.BA S B C ABC A' AHB ACA (g g) AH AB ' A . B BH AB '.BH S ' ' . HAB = = = = = (3) AC AA' C . A CB AA'.CB SABC
Cộng (1), (2) và (3) theo vế ta được: đpcm 6
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
Bài 17: Cho  ABC, M là điểm nằm trong  ABC, Gọi D là giao điểm của AM và BC, E là giao điểm
của BM và CA, F là giao điểm của CM và AB, đường thẳng đi qua M và // với BC cắt DE, DF lần lượt tại K và I, CMR : MI=MK A HD:
Gọi IK cắt AB. AC lần lượt tại N và Q AN MN ABD
có MN / / BC = = AB BD AN NQ MN NQ F ABC
có NQ / / BC = = = = (1) E AB BC BD BC M IM FM N H F
DC có IM / /DC = = , I K DC FC MN FM FBC
có NM / / BC = = BC FC IM MN IM DC B C = = = = D (2) DC BC MN BC IM DC.NQ DC. . NQ BD
Nhân (1) và (2) theo vế ta được: = = IM = (*) 2 2 BD BC BC Tương tự ta cũng có: MQ AQ NQ AQ A
DC có MQ / /DC = = và ABC
có NQ / / BC = = DC AC BC AC MQ NQ Do đó: = (3) DC BC MK EM MQ ME Và: EBD
có MK / / BD = = , EBC
có MQ / / BC = = BD EB BC EB Do đó: MK MQ MK BD = = = (4) BD BC MQ BC MK N . Q BD DC.N . Q BD
Nhân (3) với (4) ta được: = = MK = (**) 2 2 DC BC BC
Từ (*) và (**) ta có MI = MK
Bài 18: Cho  ABC, các đường trung tuyên BM, CN cắt nhau tại G, K là điểm trên cạnh BC, đường
thẳng qua K và // CN cắt AB ở D, đường thẳng qua K và // với BM cắt AC ở E, Gọi I là giao điểm của
KG và DE, CMR: I là trung điểm của DE HD: A
Gọi DK cắt BG tại H, KE cắt GC tại O và GK cắt HO tại J HK / /GO Tứ giác HGOK có: 
=> HGOK là hình bình hành HG / /KO
=> J là trung điểm của HO => HJ=OJ DH BH M N B
NG có DH / /NG = = (1) NG BG G E HK BH B
GC có HK / /GC = = (2) D I GC BG O DH HK DH NG 1 J H Từ (1) và (2) ta có = = = = (*) NG GC HK GC 2 B C K OE OC CMTT ta có: C
MG có OE / /GM = = (3) GM CG 7
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức OK OC C
BG có OK / /BG = = (4) GB CG OE OK OE GM 1 Từ (3) và (4) => = = = = (**) GM GB OK GB 2 DH OE 1 Từ (*) và (**) = = = = D
KE có OH / /DE HK OK 2
Lại có J là trung điểm HO=> I là trung điểm DE
Bài 19: Cho hình thang ABCD (AB//CD) có BC=BD, Gọi H là trung điểm của CD, đường thẳng đi qua H
cắt AC, AD lần lượt tại E và F, CMR: DBF = EBC A B HD: G
Gọi BF cắt DC tại K, BE cắt DC tại I, và EF cắt AB tại G 1 2 DK FD FAB
có DK / / AB = = (1) AB FA DH FD E FAG
có DH / / AG = = (2) 1 AG FA 1 D K C H I Từ (1) và (2) DK DH DK AB = = = = (*) AB AG DH AG Tương tự: F IC EC E
IC có AB / /IC = = (3) AB EA HC EC E
HC có HC / / AB = = (4) AG EA IC HC IC AB Từ (3) và (4) ta có: = = = = (**) AB AG HC AG DK IC Từ (*) và (**) => = , Mà DH=HC (gt)=>DK=IC DH HC
Mặt khác: BD=BC(gt)=> B
DC cân=> BDK = BCI => BDK = B
CI ( .cg.c) = DBK = CBI đpcm
Bài 20: Cho  ABC có G là trọng tâm, một đường thẳng bất kỳ qua G, cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại AB AC M và N, CMR: + = 3 AM AN A HD:
Gọi O là trung điểm của BC,
Kẻ BH, CK lần lượt // MN (H, K AO) BOH = COK ( . g .
c g ) = OH = OK AB AH G N ABH
có MG / / BH = = (1) AM AG M H AC AK A
KC có GN / /KC = = (2) AN AG B C O K
Cộng (1) và (2) theo vế ta được: 8
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức AH AK
AG + GH + AG + GH + HK 2AG + 2GO 3AG VT = + = = = = 3 AG AG AG AG AG
Bài 21: Cho tứ giác ABCD, có M, N lần lượt là trung điểm của các đường chéo BD và AC (M # N)
đường thẳng MN cắt AD, BC lần lượt tại E và F, CMR: AE.BF=DE.CF HD: A H B E M N D F G C
Từ A kẻ đường thẳng song song với BD cắt EF tại H
Từ C kẻ đường thẳng song song với BD cắt EF tại G AE AH AEH
có HA / / DM = = (1) ED DM BF BM CF CG C
GF có CG / /BM = = = = (2) CF CG BF BM Mặt khác: NAH = NCG( . g .
c g ) = AH = CG
(3) và DM = BM AE CF Từ (1), (2) và (3) ta có: =
= AE.BF = E . D CF ED BF
Bài 22: Cho tam giác ABC, AD là đường trung tuyến, M là điểm nằm trên đoạn AD, gọi E là giao điểm
của BM và AC, F là giao điểm của CM và AB, CMR: EF //BC HD: A
Lấy N trên tia đối của tia DM sao cho MD= ND F EBM / /NC
=> Tứ giác BMCN là hình bình hành =>  MBN..MC AF AM ABN
có FM / / BN = = (1) AB AN C AE AM B D A
NC có ME / /NC = = (2) AC AN AF AE Từ (1) và (2) => = => EF / /BC AB AC N 9
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
Bài 23: Cho tứ giác ABCD, gọi M, N lần lượt là trung điểm của CD và CB, O là giao điểm của AM và OA OD 2 DN, biết = 4,
= , CMR: ABCD là hình bình hành OM ON 3 A B N K O C HD: D H M
Vẽ đường thẳng đi qua O và //AD cắt DC tại H
Vẽ đường thẳng đi qua M và // BC cắt DN tại K
Vì M là trung điểm của DC nên K là trung điểm DN OM MH 1 DH 4 M
AD có OH / / AD = = = = = (1) AM MD 5 DM 5 OA OA OA + OM AM OM 1 Vì = 4 = +1 = 5 = = = 5 = = OM OM OM OM AM 5 OD 2 OD 2 DO 4 Tương tự ta có: D
NC có KM / /NC , mà = = = = = (2) ON 3 DN 5 DK 5
Từ (1) và (2) => OH / /KM = AD / /BC
Chứng minh tương tự=> AB//DC=> ABCD là hình bình hành
Bài 24: Cho tứ giác ABCD, có E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AD, BC, đường thẳng EF cắt các
đường thẳng AB, CD lần lượt tại M và N, CMR: MA.NC = MB.ND HD:
Từ A kẻ đường thẳng song song BC cắt ME tại G
Từ D kẻ đường thẳng song song BC cắt EF tại H MB MF BF => M
AG có BF / / AG = = = F MA MG AG NC FC N
HD có FC / /HD = = (1) ND HD Ta lại có: AEG = DEH ( . g .
c g ) = HD = AG Thay vào (1) ta được: 10
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức NC FC BF MB NC MB = = = = = = = M . A NC = M . B ND đpcm ND AG AG MA ND MA
Bài 25: Cho tam giác ABC đều, gọi M, N lần lượt là các điểm trên AB, BC sao cho BM =BN, gọi G là
trọng tâm của tam giác BMN, I là trung điểm của AN, P là trung điểm của MN
a/ CMR:  GPI và  GNCđồng dạng A
b/ CMR: IC vuông góc với GI HD:
a, Vì G là trọng tâm nên GP ⊥ MN , I 1 1 1
Lại có : MA=NC=> PI = MA = NC và GP = .GN M 2 2 2 1
Vì  ABC đều =>  BMN đều P O G => 0 0 0 0 0
M = 120 = MIP = 60 = GPI = 90 + 60 = 150 B C N 1 Và 0 0 0 0
GNB = 30 = GNC =180 −30 =150 = GPI GNC ( . c g.c) 1 b, G
IC có GI = .GC theo câu a=> GIC vuông tại I=> IC ⊥ GI 2
Bài 26: Cho tam giác ABC nhọn, trên các đường cao BE, CF lấy các điểm theo thứ tự I, K sao cho 0 0
AIC = 90 , AKB = 90 a, CMR: AI=AK b, Cho 0 2 A = 60 , S
=120cm , Tính diện tích tam giác AEF A ABC HD: AI AE a, AIE ACI (g g) 2 . = =
= AI = AE.AC (1) AC AI E Chứng minh tương tự: F AIK AKB(g g) AK AF 2 . = = = AK = A . B AF (2) AB AK Lại có I K AB AE ABE A
CF (g.g) = = = A .
B AF = AC.AE (3) 1 AC AF 1 B C Từ (1), (2) và (3) ta có: 2 2
AI = AK = AI = AK 1 1 B, Vì 0 0 0
A = 60 = B = 30 = AE = AB,C = 30 == AC 1 1 2 2 2 SAE  1 1 => AEF A
BC ( .cg.c) AEF 2 = = = = S = .120 = 30cm   SAB  4 AEF 4 ABC 11
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
Bài 27: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, I là trung điểm của AC, F là hình chiếu của I trên
BC, trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng chứa AC, vẽ tia Cx vuông góc với AC cắt IF tại E, Gọi giao
của AH, AE với BI theo thứ tự tại G và K
a/  IHE và  BHA đồng dạng
b,  BHI và  AHE đồng dạng A c, AE vuông góc với BI 1 HD: I
a, Ta có:  AHC vuông cân tại H, K có I là trung điể G
m AC => HI = IC 2 1 M 1 B C H F
=> I nằm trên đường trung trực của HC
=> IF là đường trung trực
=> EH=EC=>  IHE=  ICE ( c.c.c) => 0 IHE = ICE = 90
Mặt khác: E = C = A = IHE = BHA g.g 1 1 1 ( ) b, Theo câu a ta có:  IHE BHA 1 HI HE => = và 0
BHI = 90 + AHI = AHE E HB HA = BIH AHE( . c . g c)
c, Giả sử: AE giao với HI tại M => M = M 1 2 Từ câu b=> 0
I = E = K = H = 90 = AE ⊥ BI
Bài 28: Cho HCN ABCD, nối AC, kẻ DE vuông góc với AC, gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC,
AE, DE, nối MN, ND, CP, CMR:
a,  AND và  DPC đồng dạng
b, ND và MN vuông góc với nhau A B 1 HD: N a, Ta có: E
A = D ( cùng phụ ADE ) 1 1 1 AE AD và AED D
EC (g.g) = = M DE DC P mà AE= 2. AN và DE= 2. DP 2 1 1 AN AD = = = AND D
PC ( .cg.c) D C DP DC 1 b, Ta có : ND / / = AD = MC 2
=> Tứ giác NPCM là hình bình hành => PNM = PCM 12
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
D = C (cmt) Lại có : 2 1 0 
= DNM = N + PNM = C + PCM = C = 90 1 1
D = N (sole)  2 1 = DN ⊥ NM
Bài 29: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, Gọi P và Q theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng BH, AH, CMR:
a,  ABP và  ACQ đồng dạng b, AP vuông góc với CQ A HD: 1
a, Ta có: B = A ( Phụ BAH ) 1 1 2 Q AH AB BH K => AHB C
HA(g.g) = = = CH AC AH 1 1 mà AH=2. AQ, và BH= 2. BP B C P H AB 2BP BP => = = = ABP CAQ( . c g.c) AC 2AQ AQ
b, Gọi AP cắt CQ tại K, Vì ABP C
AQ(cmt) = A = C 2 1 mà 0 0
A + KAC = 90 = KAC + C = 90 = AK ⊥ KC 2 1
Bài 30: Cho  ABC cân tại A, H là trung điểm của BC, I là hình chiếu của H trên AC và O là trung điểm của HI
a, CMR:  BIC và  AOH đồng dạng b, AO vuông góc với IC HD: A
a, Ta có: H = C (Cùng phụ IHC ) (1) 1 1 1 AH HC AC lại có : AHC H
IC (g.g) = = = HI IC HC BC
Mà HI = 2.HO, HC = 2 E I 1 AH BC AH HO D Thay vào ta được : = = = (2) 1 2HO 2IC BC IC 1 O 1 1
Từ (1) và (2) ta có : BIC AOH ( . c g.c) B C H b, Vì BIC AOH ( .
c g.c) theo câu a nên 2 0
B = A và D = D d
= E = H = 90 = BI ⊥ AE 1 2 ( ) 1 1 13
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 14
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
Bài 31: Cho  ABC có ba góc nhọn, các điểm M, N theo thứ tự là trung điểm của BC, AC, Gọi H, O G
theo thứ tự là trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm  ABC
a, Tìm các  đồng dạng với  AHB
b, CMR:  HAG đồng dạng với  OMG
c, 3 điểm H, O, G thẳng hàng A HD: 2 1 a, Dự đoán AHB MON ( . g g ) , N Chứng minh:  H 1 2 BAG = GMN  (sole) 1
Vì MN / / AB =  G 2 OABG = GNM  (sole) 2 2 1 1
Mặt khác: AH / /OM ( cùng vuông góc BC) B C M
=> A = M = A = M 1 1 2 2 Tương tự ta có:
BH//ON vì cùng vuông góc với AC
=> N = B sole = N = B = AHB MON g.g 1 1 ( ) 2 2 ( ) OM MN b, ta có: AHB MON (g g) 1 . = = = AH AB 2 MG 1 OM GM 1 Mặt khác: = = =
= Và A = M = AHG = MOG . c g.c 1 1 ( ) AG 2 AH GA 2 c, Vì AHG M
OG( .cg.c) = G = G 1 2 Mà 0 0
G + HGM = 180 = G + HGM = 180 = H, , G O thẳng hàng 1 2
Bài 32: Cho  ABC vuông cân đỉnh A, BD là đường trung tuyến, Qua A vẽ đường thẳng vuông góc với
BD cắt BC tại E, CME: BE=2EC HD: A
Vẽ đường cao AH (H BC)
ABC vuông cân nên AH là đường trung trực
=> G là trọng tâm => BG=2. GD D Cần chứng minh GE// DC G
ABE có G là giao 2 đường cao GE ⊥ AB B C H E
=> G là trực tâm =>  = GE / / DC AC ⊥ ABBG BE BDC có GE// DC => =
= 2 = BE = 2EC GD EC 15
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
Bài 33: Cho  ABC, trên AC lấy 2 điểm D và E sao cho AD=DE=EC, trung tuyến AM cắt BD tại P và
trung tuyến CN cắt BE tại Q
a, CMR: Q là trung điểm của CN b, PQ//AC A 1 3 c, PQ = MN , PQ = DE 2 4 D HD : 1 N P a, Vì ND =
BE và ND//BE => QE// ND 2 E
mà E là trung điểm DC nên Q là trung điểm NC G
b, Chứng minh tương tự => P là trung điểm của AM, Q
Gọi G là trọng tâm của  ABC => PG=AG - AP = 1 AM B C M 2 1 1 PG 1 6 AM − AM = AM = = = 3 2 6 AG 2 4 AM 3 GQ 1 Tương tự
= = PQ / / AC GC 4 c, Tự chứng minh
Bài 34 : Cho  ABC cân tại A, đường thẳng vuông góc với BC tại B, cắt đường thẳng vuông góc với AC
tại C là điểm D, vẽ BE vuông góc với CD tại E, Gọi M là giao của AD và BE, vẽ EN vuông góc với BD
tại N, CMR : MN//AB, M là trung điểm của BE HD : DM DE ta có : AC// BE => = (1) DA DC DE DN lại có : NE//BC => = (2) DC DB DM DN I từ (1) và (2) ta có : = = = MN / / AB DA DB A
Giả sử : AC cắt BD tại I Ta có: 0
C = B = B + C = 90 1 2 1 1 mà 0
C + I = 90 = I = B =>  ABI cân tại A 1 1 1
=> BA là đường trung trực => AI =AC 2 1 B C
Dễ dàng chứng minh được M là trung điểm BE M N E D 16
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
Bài 35 : Cho hình vuông ABCD, Gọi M, N theo thứ tự là các trung điểm của các cạnh AB, AD và P là giao điểm của BN, CM
a, CMR : BN vuông góc với CM b, CMR: DP=DC
c, DP cắt AB tại F, CMR: F là trung điểm của MB A M F B HD: 1 1
a, Ta có:  BAN =  CBM (c.g.c) => B = C mà P 1 1 0 0 0
C + M = 90 = M + B = 90 = MPB = 90 = BN ⊥ CM 1 1 1 1 N
b, Kéo dài BN cắt DC tại I ND ID 1 => I
BC có ND / /BC = = = BC IC 2 1 =>I là trung điểm IC, C I D
PIC vuông có D là trung điểm IC => PD =PC c, Tự chứng minh
Bài 36: Cho  ABC (ABgóc A, đường thẳng này cắt đường thẳng AB, AC theo thứ tự tại D và E, CMR: BD=CE HD:
Giả sử AK là tia phân giác góc A D
ADE cân tại A => AD = AE A BD BM
Ta có:  BDM có AK// DM => = , E AD KM CE M
Mặt khác  CAK có ME / / AK = = AE KM BD CE Mà BM= CM => =
và AD = AE = BD = CE AD AE B C K M
Bài 37: Cho HCN có AD = 2.DC, M alf điểm trên AB, tia phân giác của góc CDM cắt BC tại E, CMR: CM = AM+2EC HD:
Lấy N trên tia đối tia CB sao cho AM= 2CM A D => 1 DAM DCN ( . c g.c) Lại có: DM=2.DN (1) 2
và E = ADE = EDN = EDN cân tại N M => ND=EN=EC+CN B N E C => AM+2. EC=2CN+2.EC=2.ND (2)
từ (1) và (2) ta có : DM = 2.DN= AM+2EC 17
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
Bài 38: Cho hình vuông ABCD, gọi O là giao của hai đường chéo, lấy G trên BC, H trên CD sao cho 0
GOH = 45 , Gọi M là trung điểm của AB, CMR:
a,  HOD đồng dạng với  OGB b, MG // AH HD: A M B 1 a, ta có: 0
D = B = 45 , Mặt khác: 45 0 0 0
O + O = 180 − 45 = 135   1 2  = O = G 1 1 0 0 0
O + G = 180 − 45 = 135  2 1 => HOD O
GB(g.g) 2 O b, Theo câu a, HOD O
GB(g.g) 1 45 1 HD OD G => = , Đặt MB=a, AD=2a OB GB => 2 H . D GB = O ,
B OD = a 2.a 2 = 2a = A . D BM 45 1 HD BM D C = = = H BMG D
HA( .cg.c) AD BG
=> M = H , mà 1 1
H = BAH sole = M = BAH ( đồng vị) => AH//MG 1 ( ) 1
Bài 39: Cho HCN ABCD, từ 1 điểm P thuộc đường chéo AC, dựng HCN AEPF (E  AB, F AD), CMR: a, EF//DB
b, BF và DE cắt nhau tại Q nằm trên AC HD: A E B AE AP I a, Ta có: EP//BC => = và 1 AB AC Q 2 P F AF AP AE FA FP / / DC = = = = = EF / /BD AD AC AB AD O
b, Gọi I, O lần lượt là tâm của 2 HCN QE EF EF / /DC = = , QD DB D C QE IE
Mà 2.IE = EF, 2. DO= DB=> = QD DO
và E = D = IEQ O
DQ = Q = Q 1 2 Mà 0 0
Q + OQE = 180 = Q + OQE = 180 => A, Q, O thẳng hàng=> Q nằm trên AC 2 1 18
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức BC
Bài 40: Cho hình vuông ABCD, trên BC lấy E sao cho BE =
, trên tia đối của CD lấy điểm F sao cho 3 BC CF =
, M là giao AEvà BF, CMR: AM vuông góc với CM 2 HD: B Gọi G là giao AM và DC, A H 1 H là giao của AB và CM 1 M E 2  GC CE 2
GAD có CE / / AD = = = GD AD 3 1 D G C F GC 2 DC 1 = = = = = DF = FG GC + DC 3 GC 2 BH AB 2 2 2 1 BC Lại có: AB//DG=> =
= = BH = .CF = . .BC = = BE CF GF 3 3 32 2 3 A = C
Khi đó:  ABE =  CBH (c.g.c) => 1 1  = AM ⊥ MC E = E  1 2
Bài 41: Cho tứ giác lồi ABCD, từ 1 điểm E thuộc cạnh AD và G thuộc cạnh AB, ta kẻ các đường thẳng
song song với đường chéo AC, các đường thẳng này cắt CD, BC lần lượt tại F và H
a, So sánh các tỉ số các đoạn thẳng do BD định ra trên EF và GH
b, CMR: EG và HF cắt nhau tại I nằm trên BD I HD:
a, Gọi O là giao điểm 2 đường chéo AC, BD
BD cắt EF, GH lần lượt tại N và M B EN BN NF EN AO => = = = = E F AO BO OC NF OC N GM DM MH GM AO Tương tự ta cũng có: = = = = AO DO OC MH OC O A C EN GM AO
Từ hai điều trên ta có: = =   NF GH OC
b, Giả sử : GE cắt BD tại I’ G M H EN I ' N => = (1), GM I ' M NF I ' N
Tương tự Giả sử HF cắt BD tại I’: = (2) D MH I ' M EN GM EN NF Theo câu a ta có: = = = (3) NF GH GM GH IN I ' N Từ (1), (2) và (3) => =
= I I ', hay I là giao điểm GE, HF, DB IM I ' M 19
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
Bài 42: Cho hình vuông ABCD, trên AB lấy điểm M, vẽ BH vuông góc với CM, nối DH, vẽ HN vuông góc với DH (N  BC)
a, CMR:  DHC và  NHB đồng dạng b, CMR: AM.NB=NC.MB M A B 1 HD: H 1 0 H + NHC = 90   a, Ta có: 1  H = H 2 1 2 0
H + NHC = 90  2 N
lại có: B = M ( Phụ HBM ) 1 1
và M = C sole => DHC N
HB(g.g) 1 1 ( ) MB BH b, Ta có: MBH B
CH (g.g) = = , BC CH 1 BH BN MB BN D C Mà = = = CH DC BC DC mà BC= DC => MB = NB
=> AM = NC => AM.NB=NC.MB đpcm
Bài 43: Cho hình vuông ABCD cạnh a, một đường thẳng d bất kỳ đi qua C cắt AB tại E và AC tại F
a, CMR tích BE.DF không đổi khi d di chuyển 2 BE AE b, CMR: = 2 BF AF F
c, Xác định vị trí của d để DF=4.BE HD: BE BC a, EBC CDF (g g) 2 . = =
= BE.DF = BC.CD = a CD DF => BE. DF không đổi C D b, Ta có: EB BC AE BE EBC E
AF (g.g) = = = = (1) EA FA FA BC E A B   ( FD DC AE DC FCD FEA g.g ) = = = = (2) FA AE FA FD d 2 AE BE DC BE
Nhân (1) và (2) theo vế ta được: = . = , 2 FA BC DF DF Vì BC= DC 2 c, Để BE 1 AE AE 1 BE 1 a DF = 4BE = = = = = = = = BE = 2 DF 4 FA FA 2 BC 2 2 20
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
Bài 44: Cho  ABC có AB=4cm, AC=8cm, BC=6cm, hai tia phân giác trong AD và BE cắt nhau tại O,
CMR đoạn nối điểm O với trọng tâm G của  ABC thì song song với BC HD: ABC
có AD là đường phân giác nên: A DB DC DB + DC 6 = = = AB AC AB + AC 12 DB BC = = = E DB = 2cm 8 AB AB + AC 4
ABD có OB là tia phân giác nên: G O OA OD OA AB = = = = 2 (1) AB BD OD BD
Gọi AM là đường trung tuyến của  ABC, C B D M AG
G là trọng tâm của  ABC => = 2 6 GM AO AG Từ (1) và (2) => =
= 2 = OG / /DM OD GM
Bài 45: Cho  ABC vuông tại A, vẽ ra phía ngoài tam giác đó các  ABD vuông cân ở B,  ACF vuông
cân ở C, Gọi H là giao điểm của AB và CD, K là giao của AC và BF, CMR: a, AH=AK b, 2
AH = BH.CK F A HD: D K H B C
a, Ta có: AC//BD ( cùng vuông góc với AB) AH AC AH AC AH AC . AB AC => = = = = = = AH = BH BD AH + BH BD + AC AB AB + AC AB + (1) AC Tương tự:
AB // CF ( cùng vuông góc với AC) AK AB AK AB AK AB A . B AC = = = = = = = AK = KC CF AK + KC AB + AC AC AB + AC AB + (2) AC
Từ (1) và (2) ta có: AH=AK b, ta có : AH AC = (3) BH BD AK AB BD KC AC Và = = = = (4) KC CF AC AK BD AH KC Từ (3) và (4)=> =
= AH.AK = BH.KC , mà AH=AK=> đpcm BH AK 21
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
Bài 46: Cho tam giác ABC nhọn, Các đường cao AD, BE, CF, Gọi I, K, M, N lần lượt là chân đường
vuông góc kẻ từ D đến BA, BE, CF, CA, CMR: 4 điểm I, K, M, N thẳng hàng A HD: Ta có: BI BD BK = = = KI / /EF E FI DC KE Tương tự: F N CN CD CM = = = H MN / / FE M NE DB MF K FA AH AE I Mặt khác: = = = FE / /IN , AI AD AC
Khi đó I, K, M, N thẳng hàng B C D
Bài 47: Cho  ABC vuông tại A, đường cao AH, E là điểm bất kỳ trên AB, kẻ HF vuông góc với HE (F trên AC)
a, CMR:  BEH và  AFH đồng dạng b, CMR: HE.BC=EF.AB
c, Cho AB = 6cm, AC=8cm, diện tích  HEF =6cm2, Tính các cạnh của  HEF HD: A
a, Ta có: B = A và H = H => BEH A
FH (g.g) 1 1 2 b, Theo câu a ta có: BEH A
FH (g.g) E F HE BH => = (1) HF AH Mặt khác: 2 1 ABH CAH ( . g g) B C H AB BH = = (2) AC AH HE AB Từ (1) và (2) => = HF AC HE FE và 0
A = H = 90 = HEF A
BC ( .cg.c) = =
= HE.BC = FE.AB AB BC 1 1 c, 2 S = .A . B AC = .6.8 = 24cm abc 2 2 2 SEF  6 1 EF 1 mặt khác: HEF = = = = =   SBC  24 4 BC 2 ABC
Mà BC=10=> EF = 5 = HE = 3, HF = 4 22
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
Bài 48: Cho  ABC vuông tại A, đường cao AD, đường phân giác BE, giả sử AD cắt BE tại F, CMR: EA FD = EC FA A HD: ABD  có BF là tia phân giác E FD BD => = (1) FA BA
ABC có BE là phân giác : F EA AB = = (2) EC BC B C D Mà  ADB CAB ( g . g ) AB BD => = (3) BC AB EA FD Từ (1), (2) và (3) ta có: = EC FA
Bài 49: Cho M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AD và BC của hình chữ nhật, E là điểm trên tia DC, K
là giao EM và AC, CMR: MN là tia phân giác KNE HD: A B Gọi H là giao KN với DC K O là giao MN với AC Khi đó MO=ON 1 N MO ON KO M 2 => = =   O EC CH OC  => EC = CH 1 E H D C
=>  NEH cân tại N => E = H 1
mà KNE = 2H ( Góc ngoài) = 2.N = N = N = đpcm 1 1 2
Bài 50: Cho  ABC vuông tại A, AH là đường cao, D, E lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB,
AH, đường thẳng vuông góc AB tại D cắt CE ở F, CMR  BCF vuông HD:
Lấy M là giao của DE với AC => M là trung điểm AC ta có : A  1 DE = BH  2 DE BH  = = (1) F 1 EM HCEM = HC  M 2 D E Mặt khác :
FD// AC ( cùng vuông góc với AB) DE FE => = (2) EM EC B C H Từ (1) và (2) ta có : BH EH =
= EH / /BF , Mà EH ⊥ BC = BF ⊥ BC = BCF vuông HC EC 23
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
Bài 51: Cho tam giác ABC (ABAB KE
Gọi K là giao điểm của DE và BC, CMR: = AC KD A HD:
Từ E vẽ EF / / AB (F nằm trên BC)  KE FE KBD có EF// BD => = (1) KD BD
tương tự ta có:  ABC có EF // AB FE CE AB FE FE D => = = = = (2) E AB CA AC CE BD Từ (1) và (2) => đpcm B C K N
Bài 52: Cho  ABC nhọn, AD là đường cao, H là điểm trên đoạn AD, Gọi E là giao điểm của BH và AC,
F là giao điểm của CH và AB,
CMR: DA là tia phân giác của EDF C
Qua H vẽ đường thẳng // BC cắt AB tại M,
Cắt DF tại N, DE tại I, AC tại K
=> NI //BC, AD ⊥ BC => DH ⊥ NI
Xét các  FDC,  FBC,  EBC,  EBD,  ABD,  ADC,  ABC ta có : NH FH = MH FH NH MH HI EH HK EH , = , = , = , = DC FC BC FC DC BC BD EB BC EB HI HK = MH AH HK AH MK AH , = , = , = BD BC BD AD DC AD BC AD MH HK MK NH HK MH MH HI HK = = = = . . = . . BD DC BC CD BC BD BC BD DC
= NH = HI = N
DI có HD vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên=> NDI cân Vậy DH là tia phân giác 24
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
Bài 53 : Cho  ABC có AD là đường trung tuyến, Trọng tậm là điểm G, một đường thẳng đi qua G cắt BE CF
các cạnh AB, AC lần lượt tại các điểm E, và F, CMR : + =1 AE AF HD : A Kẻ BM// EF, CN//EF Khi đó ta có : BE GN CF GN BE CF GM + GN F = ; = = + = G AE AG AF AG AE AF AG E M
GD + DN + GD − MD 2GD AG = = = =1 AG AG AG B C D N
Bài 54 : Cho hình thang ABCD, đáy lớn CD và O là giao điểm của hai đường chéo, đường thẳng qua B
và //AD cắt AC tại E, đường thẳng qua C //AD cắt BD tại F, CMR : a, 2 OA = O . C OE b, 2 OD = O . B OF HD : OA 0B a, Ta có : AB//CD => = (1) F OC OD OE OB BE / / AD = = (2) OA OD OA OE A B Từ (1), (2) => 2 =
= OA = OE.OC OC OA OD OA E O
b, AD / / FC = = (3) OF OC OB OD và 2 = = OD = O . B OF OD OF D C 25
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
Bài 55 : Cho  ABC, Lấy E trên BC sao cho EC=2.BE, Lấy điểm F trên AB sao cho AF=2BF 1 a, CMR : EF//AC và EF = AC 3 IE IF 1
b, Gọi I là giao điểm của AE và CF, CMR: = = AE CF 4
c, Thay điều kiện EC=2BE và AF=2.BF bằng điều kiện AE, CF thứ tự là hai tia phân giác của góc
A và C của  ABC thì  ABC cần có điều kiện gì để EF //BC HD: EB FB 1 a, Ta có: =
= = EF / / AC , Do đó: EC FA 2 A EF BE 1 1 = = = EF = AC AC BC 3 3 IE IF EF 1 IE IF 1
b, Vì EF / / AC = = = = = = = IA IC AC 3 AE CF 4 EC FA
c, EF / / AC Khi = (1) EB FB F I EC AC
Mà AE là tia phân giác góc A = = (2) EB AB FA AC B C E
CF là tia phân giác góc C = = (3) FB BC AC AC Từ (1), (2) và (3)=> =
= AB = BC => ABC cân tại B AB BC
Bài 56 : Cho  ABC, kẻ tia phân giác AD, trên tia đối của tia BA, lấy điểm E sao cho BE=BD và trên tia
đối của tia CA, lấy điểm F sao cho CF=CD a, CMR : EF //BC
b, CMR : ED là tia phân giác góc BEF , FD là tia phân giác góc CFE HD : A BD AB
a, Vì AD là tia phân giác góc A nên: = DC AC
Theo gt ta lại có: BD=BE, DC= CF BE AB BE CF => = = = = EF / /BC CF AC AB AC b, B
DE cân => E = D , C B 1 1 1 D
mà D = E sole = E = E 1 2 ( ) 1 2
vậy ED là tia phân giác góc BEF 1 E 2 F
Chứng minh tương tự cho FD là tia phân giác góc CFE 26
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
Bài 57 : Cho  ABC vuông tại A, kẻ đường cao AH, Gọi D và E theo thứ tự là các điểm đối xứng với H qua AB và AC
a, CMR : Tứ giác BCED là hình thang 2  DE  b, CMR: B . D CE =    2 
c, Cho AB =3cm, AC= 4cm, Tính DE và Diện tích  DHE HD: E
a, Dễ dàng chứng minh 3 điểm D, A, E thẳng hàng và
BD ⊥ DE,CE ⊥ DE = B . D .EC Vậy BCED là hình thang A DB AE b, ADB CEA = = = A . D AE = D . B CE AD CE A là trung điểm DE 2 D 1  DE  nên AD = AE = DE = D . B CE =   2  2 
c, Theo định lý Pi ta go thì : B C H 2 2 2 2 2
BC = AB + AC = 3 + 4 = 25 = BC = 5 1 1 = S = .A . B AC = BC.AH ABC 2 2 A . B AC = AH = = 2,4 Vì DE=2.AH=> DE=4,8 BC 2  DE 4,8 S  4,8  1 ABC  HDE HDE = = = =   , Mà S = .3.4 = 6 = S ABC HDE BC 5 S  5  2 ABC
Bài 58: Cho HCN ABCD, Trên tia đối của tia AD lấy điểm F sao cho AF =AB, Trên tia đối của tia AB
lấy điểm E sao cho AE=AD, Gọi N là giao điểm FC với AB và M là giao điểm EC và AD CMR: MD=BN HD: ta có: F NB BC NBC CDF = = CD DF NB CD DC.BC = = = NB = BC DF AB + (1) AD MD DC MDC CBE = = CB BE A N E B DC.BC = MD = AB + (2) AD M Từ (1) và (2) => NB= MD D C 27
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
Bài 59: Cho  ABC vuông tại A, đường cao AH, I là trung điểm AC, F là hình chiếu của I trên BC,
Trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng chứa AC vẽ tia Cx vuông góc AC cắt IF tại E, Gọi giao điểm AH,
AE với BI theo thứ tự là G, K, CMR: a,  IHE BHA b,  BHI AHE B c, AE vuông góc với BI HD: a, Chứng minh IHE BHA E  1 H
HI = IC = AC Ta có:  2 =>IF là trung trực HC IF ⊥ HC G
E IF = EC = EH = IHE = ICE( . c . c c) K F 0
= IHE = ICE = 90 (1)
ta lại có : BHA = ACH ( Cùng phụ góc A )
=> BAH = IEH (2) A C I
Từ (1) và (2) => IHE BHA( . g g ) IH EH IH BH b, Từ câu a, IHE BHA = = = = BH AH EH AH Mà 0
IHE = BHA = 90 = IHE + AHI = BHA+ AHI = AHE = BHI => BHI AHE( . c g.c) c, Vì BHI A
HE = IBH = EAH = GBH = GAK G
 BH = GAK(cmt) Xét AKG, BHG có 0 
= AKG = BHG = 90 => AK ⊥ GK tại K => AE ⊥ BI
AGK = BGH(cmt)
Bài 60 : Cho HCN ABCD (ABDE ⊥ AC , Gọi M, N, P theo thứ tự là trung điểm của BC, AE, DE
a, Tứ giác MNPC là hình gì ?
b, CMR : MN ⊥ ND c, CMR : NA.PC=ND.PD
d, Khi ABCD là hình vuông hãy xác định hình dạng của  MND
e, Tính diện tích của HCN ABCD biết đường chéo là 4cm và góc nhọn tạo bởi hai đường chéo là 0 30 HD: M a, Ta có: B C
MNPC là hình bình hành vì NP // MC ( do cùng // AD) E 1 1 và NP = MC = BC = AD 2 2
b, Gọi F là trung điểm AD I N => NF là đườ P
ng trung bình => NF / /ED
Mà DE ⊥ AC = NF ⊥ AC
=>  NFC vuông có I là trung tuyến 1 1 A D => NI = CF = MD = MND vuông tại N F 2 2
=> MN ⊥ ND AN ND c, AND D
PC (g.g) = =
= AN.CP = N . D PD DP CP
d, ABCD là hình vuông thì  NMD là vuông cân tại N 28
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
e, Diện tích ABCD bằng 4cm 2
Bài 61 : Cho hình vuông ABCD có cạnh a, Gọi I là trung điểm AB, Trên tia đối của tia CD đặt điểm M
sao cho CM=a, Trên tia đối của tia CB đặt điểm N sao cho CN =2a, trên tia đối của tia DC đặt điểm P sao
cho DP =2a, trên tia đối của tia AD đặt Q sao cho AQ=3a, Gọi E,F, R lần lượt là trung điểm PN, QM, PQ,
Gọi S là giao điểm QM và PN a, CMR : AID DPQ
b,  MPQ là tam giác gì ? Tứ giác MNPQ là tứ giác gì ? Q
c, CMR : 4 điểm E, D, I, F thẳng hàng
d, CMR: I là trung điểm NQ
e, CMR: 3 đường thẳng SR, QN, CD đồng quy R F HD: A I a, AID DPQ( . c . g c) B M P b, MPQ cân tại Q D O C
( vì QD vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến)
=> Tứ giác MNPQ là hình thang E c, AID D
PQ = ADI = DQP = DI / /PQ (1)
EF là đường trung bình của hình thang MNPQ N => EF//PQ (2)
DF là đường trung bình của  MPQ => DF// PQ (3)
Từ (1), (2) và (3) => E, D, I, F thẳng hàng d, Do AQ =BN và AQ // BN
Nên AQBN là hình bình hành, S
=> AB và QN cắt nhau ở trung điểm của mỗi đường mà I là trung điểm của AB => I là trung điểm QN
e, Theo cmt ta có: MNPQ là hình thang, Gọi O là giao điểm MP và NQ
Ta lại có NP giao MQ tại S => S, O, R thẳng hàng
=> SR, Qn, CD đồng quy tại O
Bài 62: Cho HBH ABCD, một đường thẳng d quay quanh A, cắt BC, CD lần lượt tại E và F, CMR: tích BE.DF không đổi A I HD: B
Từ F vẽ đường thẳng song song với AD cắt AB tại I AI IF ABE
có IF / /BE = = AB BE
= AI.BE = A .BIF = DF.BE = A .BAD ( không đổi) D F C E 29
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức Bài 63: Cho  ABC (AB1
của AD, BC: CMR: CMN = .BAC 2 A HD:
Vẽ tia phân giác góc A cắt BC tại E M
Lấy F đối xứng với E qua N D BE EC AE là tia phân giác => = , AB ACBE = FC Mà  AB = CD CF CE CF CD = = = = = DF / / AE B C DC AC CE CA E N F 1
=> ADFE là hình thang có MN là đường trung bình => CMN = A = .BAC 1 2 S OB
Bài 64 : Cho Tứ giác ABCD, O là giao điểm của AC và BD, CMR : ABC = S OD ACD HD : BBH ⊥ AC Vẽ  = BH / /DK DK ⊥ AC ta có : 1 K O .BH.AC A S BH C ABC 2 = = (1) H S 1 DK ACD .DK.AC 2 BH OB Mặt khác OBH O
DK (g.g) = = (2) DK OD Từ (1) và (2) => đpcm D
Bài 65 : Cho hình thang ABCD (AB//CD), Có AB=a, CD= b, M, N trên các cạnh AD và BC sao cho MA a + .b m MN//CD và = M , cmr : MN = MD m + 1 HD :
Qua M vẽ đường thẳng song song với BC cắt AB, CD lần lượt tại N và I
Khi đó MNCI là hình bình hành => DI= b - MN Tương tự : NA = MN - a A a B N
Xét  MDI có DI / / AN MA AN MN − a = = = M = N MD DI b − MN M = mb − .
m MN = MN − a = MN + .
m MN = mb + a a + mb
= MN = m+ đpcm 1 D C I b 30
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
Bài 66 : Cho  ABC nhọn, các đường cao AD, BE cắt nhau tại H, đường thẳng vuông góc với AB tại A cắt BE ở K, CMR : EAK ECH A HD :
Vì AD cắt BE tại H=> H là trực tâm 1 K
=> CH ⊥ AB = CH / / AK E
A = C = EAK ECH g.g 1 1 ( ) H 1 B C D
Bài 67: Chứng minh rằng  ABC vuông nếu các đường phân giác BD và CE cắt nhau tại I thỏa mãn: BI CI 1 . = BD CE 2 HD: A
Nối AI=> AI là tia phân giác góc A ABD  có AI là tia phân giác D BI AB BI AB BI => = = = = E ID AD ID + BI AB + (1) AD BD AD AB AD AB Mặt khác : = = = I DC BC AD + DC AB + BC AD AB = = A . B AC = AD = B C AC AB + BC AB + BC Thay vào (1) ta được : BI AB AB + BC = = BD A . B AC
AB + BC + CA
AB + AB + BC CI AC + BC BI CI 1 Tương tự : = . = CE AB + BC + Với gt CA BD CE 2 => ( + )( + ) = ( + + )2 2 2 2 2 AB BC AC BC AB BC CA
= AB + AC = BC Vậy  ABC vuông tại A
Bài 68 : Cho hình thoi ABCD có 0
A = 60 , P là 1 điểm thuộc cạnh AB, N là giao điểm của hai đường thẳng AD và CP a, CMR : 2 AB = B . P DN D
b, Gọi M là giao điểm của Bn và DP, Tính BMD = ? c, CMR : P . A PB = P . D PM HD : a, Ta có PBC CDN = C . D BC = B . P DN A C P Do AB =BC=CD=> 2 AB = B . P DN N b, Ta chứng minh được 0 BMD = 60 ? PA PM c, PAD PMB = = M PD PB B = P . A PB = P . D PM đpcm. 31
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
Bài 69: Cho  ABC nhọn có AB=AC, và hai đường cao AD và BE cắt nhau tại H, CH cắt DE tại I a) CMR :  HIE  DIC IH FH
b) Đường thẳng đi qua E song song với BC cắt CH ở F, CMR : = IC
FC và F  AB
Bài 70: Cho hình chữ nhật ABCD có tâm O, AB=6cm, BC=8cm, Kẻ AE vuông góc với BD, Tia AE cắt BC tại F
a) Tính BD, AE, BE, BF và diện tích  BÈ b) CMR: CD.AB=BE.BD=BF.BC
c) Kẻ EH vuông góc với AB, EK vuông góc với AD, CMR: AE=HK và AH.AB=AK.AD
d) Tia KH cắt DB ở T, CM AC vuông góc với HK và TH.TK=TD.TB HD:
a) Xét  ADB và  BAF có : 0 DAB = ABF = 90 ADB = BAF 0
ADB + ABD = 90 , 0
BAF + FAD = BAD = 90 =>  ADB  BAF (g.g) => AD AB 8 6 = = = = BF = 4,5cm BA BF 6 BF 2 2 2 2
Xét  ABD vuông tại A: BD =
AB + AD = 6 + 8 =10cm
Xét  ABF vuông tại B: có BE ⊥ AF 1 1 1 1 1 1 = = + = = + = BE = 3,6cm 2 2 2 2 2 2 BE AB BF BE 6 4,5
Chứng minh tương tự: ABE AFB => AB AE BE 6 AE 3,6 = = = = = = AE = 4,8c , m AF = 7,5cm AF AB FB AF 6 4,5 1 1 1 Và S
= BE.EF = .3,6. AF − AE = − = cm BEF  ( ) .3,6.(7,5 4,8) 2 4,86 2 2 2 2
b)  ABD vuông tại A có AE vuông góc với BD tại E=> AB = BE.BD = A .
B CD = BE.BD Vì ( AB=CD)
Có: BF.BC=4,5.8=36=AB2 =>AB.CD=BF.BC=BE.BD( đpcm) 0
c) Ta có: HAK = AKE = AHE = 90 (1) Mà: 0
AKE + KEH + EHA + HAK = 360 => 0 KEH = 90 (2)
Từ (1) và (2) => AHEK là hình chữ nhật=> AE=HK
Xét  AKH vuông vag  HEA vuông có: AK=HE AH cạnh chung
=>  AKH=  HEA (Hai cạnh góc vuông)=> AKH = AEH
Vì EH ⊥ AB, BC ⊥ AB=>EH // BC=> AEH = AFB
Mà AFB = ABD ( Cùng phụ BDC ) => AKH = ABD Xét  HAK và  BAD có: Góc A chung AKH = ABD AH AK =>  HAK  DAB (g.g)=> =
= AH.AB = AD.AK AD AB (đpcm)
d) Ta có: AKH = ABD (cmt) (3)
Xét  BDA vuông và  CAD vuông có: AD cạnh chung 32
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức AB=DC
=>  BDA=  CAD => ABD = ACD (4)
Từ (3) và (4) ta được: AKH = ACD Mà 0 0
CAD + ACD = 90 = AKH +CAD = 90
Gọi M là giao điểm của HK và AC.  AMK có: 0 0
AKH +CAD = 90 = AMK = 90 = AC ⊥ HK
Ta có: THB = AHK ( đối đỉnh)
AHK = ADB( HAK = A
DB) =>THB = ADB hay THB = KDT Xét  THB và  TDK có: Góc T chung TH TB
THB = KDT = THB TDK ( . g g) => =
= TH.TK = T . D TB TD TK ( đpcm)
Bài 71: Cho  ABC nhọn có các đường cao AD< BE, CF cắt nhau tại H
a) CMR:  BDH  BEC suy ra BH.BE+CH.CF=BC2
b) Chứng minh H cách đều ba cạnh cảu  DEF HD HE HF c) Tính tổng: + + AD BE CF
d) Trên các đoạn thẳng HB, HC lấy các điểm M, N tùy ý sao cho HM= CN. CMR đường trung trực
của MN luôn đi qua 1 điểm cố định.
Bài 72: Cho  ABC có ba góc nhọn, các đường cao BD, CE cắt nhau tại H
a) CMR:  ABD và  ACE đồng dạng b) CMR: BH.HD=CH.HE
c) Nối D với E, Biết BC=a, AB=AC=b, Tính DE theo a và b HD: a) Xét  ABD và  ACE Có A là góc chung 0 ABD = AEC = 90 = ABD ACE( . g ) g
b) Xét  BHE và  CHD có :
BHE = CHD (đối đỉnh) 0 BEH = CDH = 90 HB HE = BHE CDH( . g ) g = =
= BH.HD = CH.HE CH HD .
c) Khi AB=AC=b, thì  ABC cân tại A => / / DE AD AD BC DE BC = = = DE = BC AC AC
Gọi giao điểm của AH và BC là F 2 DC BC BC FC a = AF ⊥ , a BC FB = FC = . = DBC FAC = = = DC = = 2 , FC AC AC 2b 2  a   b −  a A .
D BC ( AC − DC).BC 2b a   ( 2 2 2b − a ) = DE = = = = 2 AC AC b 2b
Bài 73: Từ ba đỉnh A, B, C của  ABC ta vẽ ba đường thẳng song song với nhau, Chúng lần lượt cắt BC
và các đường thẳng CA, AB tại D, E, F, CHứng minh rằng: 33
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 1 1 1 a) = + AD BE CF b) S = 2.S DEF ABC HD:
a) Theo hệ quả của định lí ta let ta có: AD CD AD BD = ; = BE CE CF
CB , Cộng từng vế ta được: AD AD CD BD + = + = 1 BE CF CB CB
, chi hai vế cho AD ta được: 1 1 1 = + AD BE CF
b) Từ AD//BE//CF, lập luận chứng minh được: S = S ,S = S ,S = S ADE ADB ADF ADC AEF ACB Suy ra S + S + S = S + S + S = S = 2.S ADE ADF AEF ADB ADC ACB DEF ABC
Bài 74: Cho  ABC vuông cân tại A, CM là đường trung tuyến (M nằm trên AB), Từ A vẽ đường thẳng BH
vuông góc với MC cắt BC ở H, Tỉnh tỉ số HC HD:
Giả sử: AH cắt MC tại I
Gọi trung điểm của BH là K thì MK//AH
Dễ thấy ba tam giác vuông  AMC,  IAC,  IMA đồng dạng mà AC=2. AM Nên IC=2. IA=4. IM HK IM 1 BH 2.HK 1 HB 1 Suy ra: = = = = = = = HC IC 4 HC HC 2 HC 2
Bài 75: Cho hình thang (AD//BC). Một điểm M di động trên đường chéo AC, Chứng minh : M . B AC M . C AB + M . A BC HD:
Kẻ Cx // AB cắt tia BM tại P => A . B MC = M . ACP Ta có: M . C AB + M . A BC = M . A CP + M .
A BC = MA(CP + BC)  M . A BP Ta lại có: M . B AC = B . P AM , Vậy M . B AC M . C AB + M . A BC 0
Bài 76: Cho  ABC đều, Gọi M là trung điểm cảu BC, Dựng góc xMy = 60 , quay quanh điểm M sao
cho hai cạnh Mx, My luôn cắt cạnh AB và AC lần lượt tại D và E, CMR: 2 BC a) B . D CE = 4 y
b) DM, EM lần lượt là tia phân giác góc: BDE,CED x
c) Chu vi  ADE không đổi A HD: 0
a) Trong  BDM, ta có: D = 120 − M 1 1 E 0 0
Vì M = 60 = M = 120 − M D = M 2 3 1 => 1 3
Ta chứng minh được:  BMD và  CEM đồng dạng D 2 BD CM 1 = =
= BD.CE = BM.CM BM CE (1) 2 1 3 B M C 34
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức 2 BC BC Vì BM = CM = = B . D CE = 2 4 BD MD BD MD b) Từ (1) suy ra: = = CM
EM , Mà BM=CM nên ta có: BM EM
Ta chứng minh được: BMD M
ED => D = D 1
2 . do đó: DM là phân giác BDE
Chứng minh tương tự ta có: EM là phân giác góc CED
b) Gọi H, I, K là hình chiếu của M trên AB, DE, AC, Chứng minh DH=DI, EI=EK
Tính chu vi  ADE bằng 2. AH không đổi
Bài 77: Cho hình thang ABCD có AB//CD và ABK CD) , Qua
B vẽ đường thẳng BI//AD (I CD) , BI cắt AC ở F, AK cắt BD ở E, CMR: a) EF//AB 2 b) AB = C . D EF HD: AE AB a)  AEB  KED (g.g) = = EK KD AF AB  AFB  CFI (g.g) = = FC
CI , Mà KD = CI (= CD - AB) AE AF = =
= EF / /KC = EF / / AB EK FC
Bài 78: Cho hình thang ABCD (AB//CD) Gọi O là giao điểm của AC và BD và I là giao điểm của AD
với BC, Gọi M và N là trung điểm của AB và CD OA + OB IA + IB a) CMR: =
OC + OD IC + ID
b) Chứng tỏ rằng: I, M, O, N thẳng hàng
c) Giả sử 3AB = CD và diện tích hình thang ABCD bằng a. Hãy tính diện tích của tứ giác IAOB theo a HD : OA OB AB OA + OB a)  OAB  OCD => = = =
OC OD CD OC + OD IA IB AB IA + IB  IAB  IDC => = = =
ID IC CD IC + ID OA + OB IA + IB = =
OC + OD IC + ID OA AB OA AM b) = = = = OC CD OC
NC và BAC ACD =>  OAM  OCN
= AOM = CON => M, O, N thảng hàng IA B IA M = = = ID CD
IC DN và I là góc chung =>  IAM  IDN=> I, M, N thẳng hàng
= AMI = DNI , Vậy I, M, O, N thẳng hàng OB B 1 S 1 S 1 S 1 1 c) Vì AOB AOB AOB = = = = = = = = = S = .S OD CD 3 S 3 S + S 3 +1 SABD 4 AOB 4 ABD AOD AOD AOB S AB 1 S 1 S 1 1 1 Lại có: ABD ABD ABD = = = = = = = S = .S = S = S S CD 3 S + S 3+1 S 4 ABD 4 ABCD AOB 16 ABD BDC BDC ABD ABCD 35
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức S 1 S 1 S 1 1 IAB IAB ABD = = = = = = S = .S S 9 S − S 9 −1 S 8 IAB 8 ABCD ICD ICD IAB ABCD 1 1 3 3a S = S + S = S + S = .S = IAOC IAB AOB
8 ABCD 16 ABCD 16 ABCD 16
Bài 79: Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD, Gọi E, F lần lượt là hình
chiếu của B và D xuống đường thẳng AC, Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của C xuống AB và AD
a) Tứ giác BEDF là hình gì? b) CMR: C . H CD =C . BCK 2
c) Chứng minh rằng: A . B AH + A . D AK = AC HD:
a) Ta có: BE ⊥ AC, DF ⊥ AC = BE / /DF
Dễ thấy  BEO=  DFO (g.c.g) => BE=DF
Suy ra BEDF là hình hình hành
b) Ta có: ABC = ADC = HBC = KDC =>  CBH  CDK (g.g) CH CK = =
= CH.CD = CK.CB CB CD
c) Chứng minh:  AFD  AKC (g.g) AF AK = =
= AD.AK = AF.AC AD AC
Lại có:  CFD  AHC (g.g) CF AH CF AH = = , CD = AB = =
= AB AH = CF AC CD AC Mà . . AB AC
= AB AH + AB AH = CF AC + AF AC = (CF + AF) 2 . . . . .AC = AC 0
Bài 80: Cho  ABC có BAC = 120 , Các phân giác trong lần lượt là AD, BE, CF 1 1 1 a) CHứng minh rằng: = + AD AB AC b) Tính FDE HD: AB DB DK AB − AD
a) Từ B kẻ BK//AC, cắt AD tại K, ta có:  ABK đều, dó đó: = = = AC DC DA AD = = ( − ) 1 1 1 . AB AD AC AB AD = = + AD AB AC BC.AB
b) Áp dụng tính chất đường phân giác: ta có: BD = AB + AC , . AB AC DA CA EA Từ câu a = AD = = = = AB + AC
DB CB EB , Nên DE là phân giác BDA 0
Chứng minh tương tự DF là phân giác ADC , từ đó suy ra : BDA = 90 AM 1 AN 2
Bài 81: Cho  ABC, trên các cạnh AB và AC lấy các điểm M và N sao cho: = , = AB 3 AC 3 , Gọi D là
giao điểm của Bn và Cm, E là giao điểm của MN và BC EB a) Tính EC
b) Tính tỉ số diện tích tứ giác AMDN và  ABC HD: 36
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
a) Kẻ CK //AB cắt ME tại K CK 1 CK 1 EC 1 EB Chứng minh = = = = = = = 4 AM 2 BM 4 EB 4 EC 1 2
b) Chứng minh được: S = S = S = .S AMC 3 ABC AMN 9 ABC
Từ M kẻ MF// AC cắt BN tại F MF 2 MF 4 MD 4 MD 4 Ta chứng minh được: = = = = = = AN 3 CN
3 , Từ đó suy ra: DC 3 MC 7 4 4 1 4 Ta cũng có: S = S = . S = S MDN
7 MNC 7 9 ABC 63 ABC 4 2 2 = S = S + S = S AMDN
63 ABC 9 ABC 7 ABC 0
Bài 82: Cho hình thoi ABCD, Có BAD = 120 , Gọi M là 1 điểm nằm trên cạnh AB, Hia đường thẳng
DM và BC cắt nhau tại N, CM căt AN tại E, chứng minh rằng: 2
a)  AMD và  CDN đồng dạng và AC = AM.CN
b)  AME và  CMB đồng dạng HD:
a) Xét  AMD và  CDN có:
AMD = CDN ( so le trong)
ADM = CND (so le trong) =>  AMD  CDN (g.g) 0 0 = A . M CN = A .
DCD , Vì BAD =120 = CAD = 60 = A
CD đều=> AD = CD = AC 2
= AM.CN = AC 2 b) Vì . AM AC AM CN = AC = = AC CN 0
Chứng minh MAC = ACn = 60 = MAC C
AN = ACM = CNA 0 0 0
Mà ACM + ECN = 60 = CNA + ECN = 60 = AEC = 60
Xét  AME và  CMB có:
AME = BMC ( đối đỉnh) 0
AEM = MBC = 60 = AME CM ( B . g ) g
Bài 83: Cho  ABC vuông tại A, đường cao AH, Cho biết AB=15cm và AC =20cm
a) Chứng minh rằng: A . B BC = A .
B AC , Tính BC và AH
b) Kẻ HM ⊥ A ,
B HN ⊥ AC , Chứng minh rằng  AMN và  ACB đồng dạng
c) Trung tuyến AK của  ABC cắt MN tại I, Tính diện tích  AMI HD: AB AH
a) Ta có:  ABH  CBH = =
= AH.BC = AB.AC BC AC . AB AC Từ đó ta có : AH = = 12cm BC b) Chứng minh  ACB  HCA,  HCA  NHA
 NHA=  AMN=>  AMN  ACB
c) Ta có : N = B 1 (  AKC cân tại K) Và A = C,
B + C = 90 = N + A = 90 1 mà 0 0 1 1
=>  AIN vuông cân tại I, và  NHA  ACB (cmt) NH AH AC.AH = = = NH = = 9,6cm AC BC BC 37
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức
= AM = NH = 9,6cm AM IM AI 9,6 192 144 Và  IMA
 AMN=>  IMA  ACB => = = = = IM = , AI = BC AC AB 25 15 25 1 1 192 144 13824 = S = .AI.IM = . . = AMI 2 2 25 25 625 38
GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức