39 trang 15 lượt tải

Chuyên Đề Tam Giác Đồng Dạng Bồi Dưỡng HSG Toán 8 Giải Chi Tiết

30

Chứng minh tương tự FH là phân giác góc F, DH là phân giác góc D. Gọi D là giao điểm của AM và BC, E là giao điểm của BM và CA, F là giao điểm của CM và AB. các đường trung tuyên BM, CN cắt nhau tại G, K là điểm trên cạnh BC, đường  thẳng qua K. Tài liệu giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao. Mời đọc đón xem!

Chủ đề: Chương 9: Tam giác đồng dạng (KNTT) 29 tài liệu

Môn: Toán 8 2.4 K tài liệu

Tác giả:

Profile

Mỹ Châu

3 tháng trước
Danh sách Quiz
/39
Trang 1
CHUYÊN ĐỀ TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
Bài 1: Cho
ABC nhọn, các đường cao BD và CE cắt nhau tại H, CMR:
2
..BH BD CH CE BC+=
HƯỚNG DẪN:
Từ H kẻ
HK BC⊥
Khi đó:
( )
. . .
CH CK
CKH CEB g g CH CE CK CB
CB CE
= = = =
(1)
Tương tự:
( )
. . .
BH BK
BKH BDC g g BH BD BK BC
BC BD
= = = =
(2)
Cộng (1) và (2) theo vế ta được:
( )
2
..VT CK BC BK BC BC BK KC BC= + = + =
Bài 2: Cho
BHC có
tù, Vẽ BE vuông góc với CH tại E và CD vuông góc với BH tại D.
Chứng minh rằng:
2
..BH BD CH CE BC+=
HƯỚNG DẪN:
Kẻ:
( )
.HG BC CGH CEB g g⊥ =
=>
..
CH CG
CH CE BC CG
CB CE
= = =
(1)
Tương tự ta có:
( )
.BGH BDC g g
=>
..
BH BG
BH BD BC BG
BC BD
= = =
(2)
Cộng (1) và (2) theo vế ta được:
VT
( )
2
..BC CG BC BG BC CG GB BC= + = + =
Bài 3: Cho
ABC có góc A bằng 120
0
, AD là đường phân giác. CMR:
1 1 1
AB AC AD
+=
HƯỚNG DẪN:
Kẻ
( )
//DE AB E AC ADE =
là tam giác đều
ABC
có :
/ / 1 1
DE CE AD AC AE AE AD
DE AB
AB CA AB AC AC AC
−
= = = = = − = −
A
H
B
C
D
E
K
H
B
C
E
D
K
B
A
C
D
E
Trang 2
1 1 1
1
AD AD
AB AC AB AC AD
= + = = + =
(đpcm)
Bài 4: Cho A’, B’, C’ nằm trên các cạnh BC, AC, AB của
ABC,
biết AA’, BB’, CC’ đồng quy tại M, Chứng minh rằng:
''
' ' '
AM AB AC
A M CB BC
=+
HƯỚNG DẪN:
Qua A vẽ đường thẳng song song với BC
cắt BB’ tại D và cắt CC’ tại E, Khi đó:
AME
có
/ / '
' 'C
AM AE
AE A C
A M A
= =
(1)
AMD
có
/ / '
'M '
AM AD
AD A B
A A B
= =
(2)
Từ (2) và (2) ta có:
' ' ' ' '
AM AE AD AD AE DE
A M A C A B A C A B BC
+
= = = =
+
(*)
Chứng minh tương tự ta cũng có:
'DAB
có
'
/ / BC
'
AB AD
AD
B C BC
= =
(3)
'AC E
có:
'
//
'
AC AE
AE BC
C B BC
= =
Từ (3) và (4) ta có:
''
'C '
AB AC AD AE DE
B BC BC BC BC
+ = + =
(**)
Từ (*) và (**) =>
''
' ' '
AM DE AB AC
A M BC B C BC
= = +
(đpcm)
Bài 5: Cho
ABC, M là điểm tùy ý nằm trong tam giác các đường thẳng AM, BM, CM lần lượt
cắc các cạnh BC, AC, AB tại A’, B’, C’. Chứng minh rằng:
2
' ' '
AM BM CM
AA BB CC
+ + =
HƯỚNG DẪN:
Từ A, M vẽ
, / /AH MK BC AH MK⊥ =
C'
C
B'
M
A
B
D
E
A'
A
B
C
M
A'
B'
C'
H
K
Trang 3
'A AH
có:
'.
'.
MBC
ABC
S
A M MK MK BC
A A AH AH BC S
= = =
Mặt khác:
' ' AM
1
' ' '
MBC
ABC
S
A M AA AM
A A AA A A S
−
= = − =
1
'
MBC
ABC
S
AM
A A S
= = −
Chứng minh tương tự:
1 , 1
''
MAC
MAB
ABC ABC
S
S
BM CM
BB S CC S
= − = −
Cộng theo vế ta được đpcm
Bài 6: Cho
ABC, M là điểm tùy ý nằm trong tam giác, đường thẳng đi qua M và trọng tâm G của
tam giác cắt BC, CA, AB lần lượt tại A’, B’, C’, CMR :
' ' '
3
' ' '
MA MB MC
GA GB GC
+ + =
HƯỚNG DẪN:
Gọi AM cắt BC tại A1, Từ M vẽ đường thẳng song song với AI cắt BC tại D,
với I là trung điểm BC
'GIA
có:
'
//
'
A M MD
MD GI
A G GI
= =
(1)
1A AI
có
( )
1
/ / 3
13
A M MD MD
MD GI AI GI
A A AI GI
= = = =
(2)
Từ (1) và (2) ta có:
' 3 1
'1
A M A M
A G A A
=
Chứng minh tương tự ta có:
' 3. 1 ' 3. 1 1 1 1
,3
' 1 ' 1 1 1 1
MB B M MC C M A M B M C M
VT
GB B B GC C C A A B B C C

= = = = + +


mà ta có: từ bài 6 =>
1 1 1
13
1 1 1
A M B M C M
VT
A A B B C C
+ + = = =
Bài 7: Cho
ABC nhọn, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Chứng minh rằng:
a,
AEF đồng dạng
ABC
b, H là giao các đường phân giác của
DEF
c,
2
..BH BE CH CF BC+=
HƯỚNG DẪN:
a, Ta có:
( )
.
AE AB AE AF
AEB CFC g g
AF AC AB AC
= = = =
C'
A
B
C
A'
I
G
B'
M
A1
D
2
1
2
1
H
A
B
C
D
E
F
Trang 4
=>
( )
..AEF ABC c g c
b, Chứng minh tương tự ta cũng có:
,CED CBA
(c.g.c) và
BFD BCA
(c.g.c)
=> Do
AEF ABC AEF ABC CED = = =
Mà:
( )
0
90BEF AEF BED CED BED BEF+ = + = = =
=> HE là phân giác góc E
Chứng minh tương tự FH là phân giác góc F, DH là phân giác góc D
c,
( )
. . .
BH BD
BHD BCE g g BH BE BD BC
BC BE
= = = =
(1)
và
( )
. . .
CH CD
CDH CFB g g CH CF CD CB
CB CF
= = = =
(2)
Cộng (1) và (2) theo vế ta được đpcm
Bài 8: Cho
ABC, AD là đường phân giác của tam giác, CMR :
2
..AD AB AC BD DC=−
HƯỚNG DẪN:
Trên AD lấy điểm E sao cho:
( )
.AEB ACB ABE ADC g g= =
..
BE AB AE
AB AC AD AE
DC AD AC
= = = = =
(1)
lại có:
( )
. . .
BD DE
BDE ADC g g BD DC AD DE
AD DC
= = = =
(2)
Lấy (1) - (2) theo vế ta được:
( )
2
..AB AC BD DC AD AE DE AD− = − =
Bài 10: Cho tứ giác ABCD, trong đó:
0
, 180ABC ADC ABC BCD= +
, Gọi E là giao điểm của
AB và CD, CMR:
2
..AC CD CE AB AE=−
HƯỚNG DẪN:
Trên nửa mặt phẳng bờ BE,
không chứa C vẽ tia Ex sao cho:
BEx ACB=
=> Ex cắt AC tại N =>
N B D==
Ta có :
( )
. . .
AB AC
ABC ANE g g AB AE AC AN
AN AE
= = = =
(1)
Tương tự :
( )
. . .
CD CA
CAD CEN g g CD CE CACN
CN CE
= = = =
(2)
Lấy (2) - (1) theo vế ta được đpcm
2
1
D
A
B
C
E
A
x
E
C
B
N
D
Trang 5
Bài 11: Cho HBH ABCD đường chéo lớn AC, Từ C kẻ CE vuông góc với AB, CF vuông góc với
AD. Chứng minh rằng: Hệ thức:
2
..AB AE AD AF AC+=
HƯỚNG DẪN:
Vì AC là đường chéo lớn =>
0
90D H AC =
,
Kẻ
DH AC⊥
=>
( )
.AHD AFC g g
..
AD AH
AD AF AC AH
AC AF
= = = =
(1)
Tương tự kẻ
( )
.BK AC AKB AEC g g⊥ =
..
AB AK
AB AE AC AK
AC AE
= = = =
(2)
Cộng (1) và (2) theo vế ta được:
( )
2
. . .AD AF AB AE AC AH AK AC AC AC+ = + = =
Vì
ABK CDH =
( cạnh huyền - góc nhọn) => AK=HC
Bài 12: Cho
ABC và 1 điểm O thuộc miền trong của tam giác, đường thẳng đi qua O và // với AB
cắt BC tại D và cắt AC tại G, đường thẳng đi qua O và //BC cắt AB tại K và AC tại F, đường thẳng
đia qua O và //AC cắt AB tại H và BC tại E
a, CMR:
1
KH DE GF
AB BC AC
+ + =
b, CMR:
2
DG KF EH
AB BC AC
+ + =
HƯỚNG DẪN:
a,
( )
.g
KH KO
HKO ABC g
AB BC
= =
( )
.
GF OF
GOF ABC g g
AC BC
= =
Nên
1
KH DE GF KO DE OF
AB BC AC BC BC BC
+ + = + + =
b, Ta có:
DG DC
AB BC
=
và
EH BE
AC BC
=
,
Khi đó:
2
2
DG KF EH DC KF BE DE EC BD EC DB DE BC
AB BC AC BC BC BC BC BC
+ + + + +
+ + = + + = = =
Bài 13: Cho
ABC có đường trung tuyến BM cắt tia phân giác CD tại N, Chứng minh rằng:
1
NC AC
ND BC
−=
HƯỚNG DẪN:
Vẽ DE / / BM (
E AC
)
QDE
có
//
NC MC
NM DE
ND ME
= =
(*)
A
B
C
D
K
H
E
F
G
A
B
C
O
H
E
D
K
F
2
1
N
A
B
C
M
D
E
Trang 6
ABC
có DC là tia phân giác nên:
AD AC
DB BC
=
(1)
và
ABM
có DE//BM
AD AE
DB EM
= =
(2)
Từ (1) và (2) ta có :
AC AE
BC ME
=
(**)
Lấy (*) - (**), ta có :
1
NC AC MC AE ME
ND BC ME ME ME
− = − = =
Bài 14: Cho
ABC có các đường phân giác AD, BE, CF. Chứng minh:
. . 1
DB EC FA
DC EA FB
=
HƯỚNG DẪN:
ABC
có AD là tia phân giác nên:
DB AB
DC AC
= =
,
Tương tự:
,
EC BC FA AC
EA AB FB BC
==
,
Nhân theo vế ta được đpcm
Bài 15: Cho HBH ABCD đường thẳng a đi qua A lần lượt cắt BD, BC, DC tại E, K, G
Chứng minh rằng:
a,
2
.AE EK EG=
b,
1 1 1
AE AK AG
=+
c, Khi a thay đổi thì tích
.BK DG
có giá trị không đổi?
HƯỚNG DẪN:
a,
ABE
có
//
AE EB
AM DG
EG ED
= =
(1)
ADE
có
//
EB EK
AD BK
ED EA
= =
(2)
Từ (1) và (2) ta có:
2
.
AE EK
AE EK EG
EG EA
= = =
b, Từ:
1 1 1
1
AE AE
AE AK AG AK AG
= + = + =
ADE
có
//
AE ED AE ED AE ED
AD BC
EK EB AE EK ED EB AK DB
= = = = = =
++
(3)
Tương tự:
AEB
có
//
AE BE AE BE AE BE
AB DG
EG ED AE EG BE ED AG BD
= = = = = =
++
(4)
Khi đó:
1
AE AE ED BE
AK AG BD BD
+ = + =
=>đpcm
c, ta có:
.BK AB KC AB
BK
KC CG CG
= = =
và
.KC CG AD CG
DG
AD DG KC
= = =
Nhân theo vế ta được
..BK DG A B AD= =
không đổi
A
B
C
E
F
D
a
G
E
A
B
C
D
K
Trang 7
Bài 16: Cho
ABC nhọn, H là trực tâm. Chứng minh :
. . .
1
. . .
BH CH CH AH AH BH
AB AC BC BA CACB
+ + =
HƯỚNG DẪN:
Ta có:
( )
'
'H ' .
'
BH BC
BC BB A g g
AB BB
= =
. '.
. '.AC
HBC
ABC
BH CH BC CH S
AB AC BB S
= = =
(1)
Tương tự:
( )
'
' ' .g
'
CH CA
CA H CC B g
BC CC
= =
. '.
. '.
AHC
ABC
CH AH CA AH S
BC BA CC BA S
= = =
(2)
( )
' . '.BH
' ' .
' . '.CB
HAB
ABC
S
AH AB AB BH AB
AHB ACA g g
AC AA CACB AA S
= = = = =
(3)
Cộng (1), (2) và (3) theo vế ta được: đpcm
Bài 17: Cho
ABC, M là điểm nằm trong
ABC, Gọi D là giao điểm của AM và BC, E là giao
điểm của BM và CA, F là giao điểm của CM và AB, đường thẳng đi qua M và // với BC cắt DE, DF
lần lượt tại K và I. Chứng minh rằng : MI=MK
HƯỚNG DẪN:
Gọi IK cắt AB. AC lần lượt tại N và Q
ABD
có
//
AN MN
MN BC
AB BD
= =
ABC
có
//
AN NQ MN NQ
NQ BC
AB BC BD BC
= = = =
(1)
FDC
có
//
IM FM
IM DC
DC FC
= =
,
FBC
có
//
MN FM
NM BC
BC FC
= =
IM MN IM DC
DC BC MN BC
= = = =
(2)
Nhân (1) và (2) theo vế ta được:
22
. . .IM DC NQ DC NQ BD
IM
BD
BC BC
= = =
(*)
Tương tự ta cũng có:
ADC
có
//
MQ AQ
MQ DC
DC AC
= =
và
ABC
có
//
NQ AQ
NQ BC
BC AC
= =
Do đó:
MQ NQ
DC BC
=
(3)
Và:
EBD
có
//
MK EM
MK BD
BD EB
= =
,
EBC
có
//
MQ ME
MQ BC
BC EB
= =
Do đó:
MK MQ MK BD
BD BC MQ BC
= = =
(4)
A
B
C
A'
B'
C'
K
I
M
A
B
C
D
E
F
N
H
Trang 8
Nhân (3) với (4) ta được:
22
. . .MK NQ BD DC NQ BD
MK
DC
BC BC
= = =
(**)
Từ (*) và (**) ta có MI = MK
Bài 18: Cho
ABC, các đường trung tuyên BM, CN cắt nhau tại G, K là điểm trên cạnh BC,
đường thẳng qua K và // CN cắt AB ở D, đường thẳng qua K và // với BM cắt AC ở E, Gọi I là giao
điểm của KG và DE, CMR: I là trung điểm của DE
HƯỚNG DẪN:
Gọi DK cắt BG tại H, KE cắt GC tại O và GK cắt HO tại J
Tứ giác HGOK có:
//
//
HK GO
HG KO
=> HGOK là hình bình hành
=> J là trung điểm của HO => HJ=OJ
BNG
có
//
DH BH
DH NG
NG BG
= =
(1)
BGC
có
//
HK BH
HK GC
GC BG
= =
(2)
Từ (1) và (2) ta có
1
2
DH HK DH NG
NG GC HK GC
= = = =
(*)
CMTT ta có:
CMG
có
//
OE OC
OE GM
GM CG
= =
(3)
CBG
có
//
OK OC
OK BG
GB CG
= =
(4)
Từ (3) và (4) =>
1
2
OE OK OE GM
GM GB OK GB
= = = =
(**)
Từ (*) và (**)
1
2
DH OE
DKE
HK OK
= = = =
có
//OH DE
Lại có J là trung điểm HO=> I là trung điểm DE
Bài 19: Cho hình thang ABCD (AB//CD) có BC=BD, Gọi H là trung điểm của CD, đường thẳng đi
qua H cắt AC, AD lần lượt tại E và F, Chứng minh rằng:
DBF EBC=
HƯỚNG DẪN:
Gọi BF cắt DC tại K, BE cắt DC tại I, và EF cắt AB tại G
FAB
có
//
DK FD
DK AB
AB FA
= =
(1)
FAG
có
//
DH FD
DH AG
AG FA
= =
(2)
Từ (1) và (2)
DK DH DK AB
AB AG DH AG
= = = =
(*)
Tương tự:
EIC
có
//
IC EC
AB IC
AB EA
= =
(3)
J
I
O
H
G
A
B
C
M
N
K
D
E
A
2
1
1
1
K
E
B
D
C
G
H
F
I
Trang 9
EHC
có
//
HC EC
HC AB
AG EA
= =
(4)
Từ (3) và (4) ta có:
IC HC IC AB
AB AG HC AG
= = = =
(**)
Từ (*) và (**) =>
DK IC
DH HC
=
, Mà DH=HC (gt)=>DK=IC
Mặt khác: BD=BC(gt)=>
BDC
cân=>
BDK BCI=
=>
( )
..BDK BCI c g c DBK CBI = = =
đpcm
Bài 20: Cho
ABC có G là trọng tâm, một đường thẳng bất kỳ qua G, cắt các cạnh AB, AC lần
lượt tại M và N, Chứng minh rằng:
3
AB AC
AM AN
+=
HƯỚNG DẪN:
Gọi O là trung điểm của BC,
Kẻ BH, CK lần lượt // MN
( )
,H K AO
( )
..BOH COK g c g OH OK = = =
ABH
có
//
AB AH
MG BH
AM AG
= =
(1)
AKC
có
//
AC AK
GN KC
AN AG
= =
(2)
Cộng (1) và (2) theo vế ta được:
2 2 3
3
AH AK AG GH AG GH HK AG GO AG
VT
AG AG AG AG AG
+ + + + +
= + = = = =
Bài 21: Cho tứ giác ABCD, có M, N lần lượt là trung điểm của các đường chéo BD và AC (M # N)
đường thẳng MN cắt AD, BC lần lượt tại E và F, Chứng minh: AE.BF=DE.CF
HƯỚNG DẪN:
Từ A kẻ đường thẳng song song với BD cắt EF tại H
Từ C kẻ đường thẳng song song với BD cắt EF tại G
N
M
A
B
C
O
G
H
K
E
A
M
F
B
C
D
N
H
G
Trang 10
AEH
có
//
AE AH
HA DM
ED DM
= =
(1)
CGF
có
//
BF BM CF CG
CG BM
CF CG BF BM
= = = =
(2)
Mặt khác:
( )
..NAH NCG g c g AH CG = = =
(3) và
DM BM=
Từ (1), (2) và (3) ta có:
..
AE CF
AE BF ED CF
ED BF
= = =
Bài 22: Cho tam giác ABC, AD là đường trung tuyến, M là điểm nằm trên đoạn AD, gọi E là giao
điểm của BM và AC, F là giao điểm của CM và AB. Chứng minh: EF //BC
HƯỚNG DẪN:
Lấy N trên tia đối của tia DM sao cho MD= ND
=> Tứ giác BMCN là hình bình hành =>
//
..
BM NC
BN MC
ABN
có
//
AF AM
FM BN
AB AN
= =
(1)
ANC
có
//
AE AM
ME NC
AC AN
= =
(2)
Từ (1) và (2) =>
AF AE
AB AC
=
=>
EF / /BC
Bài 23: Cho tứ giác ABCD, gọi M, N lần lượt là trung điểm của CD và CB, O là giao điểm của AM
và DN, biết
2
4,
3
OA OD
OM ON
==
. Chứng minh rằng: ABCD là hình bình hành
HƯỚNG DẪN:
Vẽ đường thẳng đi qua O và //AD cắt DC tại H
Vẽ đường thẳng đi qua M và // BC cắt DN tại K
Vì M là trung điểm của DC nên K là trung điểm DN
MAD
có
14
//
55
OM MH DH
OH AD
AM MD DM
= = = = =
(1)
Vì
1
4 1 5 5
5
OA OA OA OM AM OM
OM OM OM OM AM
+
= = + = = = = = =
C
A
B
N
D
M
F
E
O
A
B
C
D
N
M
H
K
Trang 11
Tương tự ta có:
DNC
có
//K M NC
, mà
224
3 5 5
OD OD DO
ON DN DK
= = = = =
(2)
Từ (1) và (2) =>
/ / / /OH KM AD BC=
Chứng minh tương tự=> AB//DC=> ABCD là hình bình hành
Bài 24: Cho tứ giác ABCD, có E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AD, BC, đường thẳng EF
cắt các đường thẳng AB, CD lần lượt tại M và N, CMR: MA.NC = MB.ND
HƯỚNG DẪN:
Từ A kẻ đường thẳng song song BC cắt ME tại G
Từ D kẻ đường thẳng song song BC cắt EF tại H
=>
MAG
có
//
MB MF BF
BF AG
MA MG AG
= = =
NHD
có
//
NC FC
FC HD
ND HD
= =
(1)
Ta lại có:
( )
..AEG DEH g c g HD AG = = =
Thay vào (1) ta được:
..
NC FC BF MB NC MB
MA NC MB ND
ND AG AG MA ND MA
= = = = = = = =
đpcm
Bài 25: Cho tam giác ABC đều, gọi M, N lần lượt là các điểm trên AB, BC sao cho BM =BN, gọi
G là trọng tâm của tam giác BMN, I là trung điểm của AN, P là trung điểm của MN
a/ CMR:
GPI và
GNCđồng dạng
b/ CMR: IC vuông góc với GI
HƯỚNG DẪN:
a, Vì G là trọng tâm nên
GP MN⊥
,
Lại có : MA=NC=>
11
22
PI MA NC==
và
1
.
2
GP GN=
Vì
ABC đều =>
BMN đều
=>
0 0 0 0 0
1
120 60 90 60 150M MIP GPI= = = = = + =
Và
0 0 0 0
30 180 30 150GNB GNC= = = − =
( )
..GPI GNC c g c=
b,
GIC
có
1
.
2
GI GC=
theo câu a=>
GIC vuông tại I=> IC
⊥
GI
Bài 26: Cho tam giác ABC nhọn, trên các đường cao BE, CF lấy các điểm theo thứ tự I, K sao cho
00
90 , 90AIC AKB==
a, CMR: AI=AK
b, Cho
02
60 , 120
ABC
A S cm==
, Tính diện tích tam giác AEF
HƯỚNG DẪN:
F
M
1
B
C
A
G
N
I
P
O
1
1
A
B
C
E
F
I
K
Trang 12
a,
( )
2
..
AI AE
AIE ACI g g AI AE AC
AC AI
= = = =
(1)
Chứng minh tương tự:
( )
2
..
AK AF
AIK AKB g g AK AB AF
AB AK
= = = =
(2)
Lại có
( )
. . .
AB AE
ABE ACF g g AB AF AC AE
AC AF
= = = =
(3)
Từ (1), (2) và (3) ta có:
22
AI AK AI AK= = =
B, Vì
0 0 0
11
11
60 30 , 30
22
A B AE AB C AC= = = = = = ==
=>
( )
2
2
11
. . .120 30
44
AEF
AEF
ABC
S
AE
AEF ABC c g c S cm
S AB

= = = = = =


Bài 27: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, I là trung điểm của AC, F là hình chiếu của
I trên BC, trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng chứa AC, vẽ tia Cx vuông góc với AC cắt IF tại E,
Gọi giao của AH, AE với BI theo thứ tự tại G và K
a/
IHE và
BHA đồng dạng
b,
BHI và
AHE đồng dạng
c, AE vuông góc với BI
HƯỚNG DẪN:
a, Ta có:
AHC vuông cân tại H,
có I là trung điểm AC =>
HI IC=
=> I nằm trên đường trung trực của HC
=> IF là đường trung trực
=> EH=EC=>
IHE=
ICE ( c.c.c)
=>
0
90IHE ICE==
Mặt khác:
( )
1 1 1
.E C A IHE BHA g g= = = =
b, Theo câu a ta có:
IHE
BHA
=>
HI HE
HB HA
=
và
0
90BHI AHI AHE= + =
( )
..BIH AHE c g c=
c, Giả sử: AE giao với HI tại M =>
12
MM=
Từ câu b=>
0
90I E K H AE BI= = = = = ⊥
Bài 28: Cho HCN ABCD, nối AC, kẻ DE vuông góc với AC, gọi M, N, P lần lượt là trung điểm
của BC, AE, DE, nối MN, ND, CP, CMR:
a,
AND và
DPC đồng dạng
b, ND và MN vuông góc với nhau
H
F
M
2
1
1
1
1
K
G
A
B
C
E
I
2
1
1
1
1
A
B
C
D
E
N
P
M
Trang 13
HƯỚNG DẪN:
a, Ta có:
11
AD=
( cùng phụ
)
và
( )
.
AE AD
AED DEC g g
DE DC
= =
mà AE= 2. AN và DE= 2. DP
( )
..
AN AD
AND DPC c g c
DP DC
= = =
b, Ta có :
1
//
2
ND AD MC==
=> Tứ giác
NPCM
là hình bình hành =>
PNM PCM=
Lại có :
21
0
11
21
()
90
()
D C cmt
DNM N PNM C PCM C
D N sole
=
= = + = + = =
=
DN NM= ⊥
Bài 29: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, Gọi P và Q theo thứ tự là trung điểm của
các đoạn thẳng BH, AH. Chứng minh rằng:
a,
ABP và
ACQ đồng dạng
b, AP vuông góc với CQ
HƯỚNG DẪN:
a, Ta có:
11
BA=
( Phụ
)
=>
( )
.
AH AB BH
AHB CHA g g
CH AC AH
= = =
mà AH=2. AQ, và BH= 2. BP
=>
( )
2
..
2
AB BP BP
ABP CAQ c g c
AC AQ AQ
= = =
b, Gọi AP cắt CQ tại K, Vì
( )
21
ABP CAQ cmt A C = =
mà
00
21
90 90A KAC KAC C AK KC+ = = + = = ⊥
Bài 30: Cho
ABC cân tại A, H là trung điểm của BC, I là hình chiếu của H trên AC và O là trung
điểm của HI
a, CMR:
BIC và
AOH đồng dạng
b, AO vuông góc với IC
HƯỚNG DẪN:
a, Ta có:
11
HC=
(Cùng phụ
IHC
) (1)
lại có :
( )
.
AH HC AC
AHC HIC g g
HI IC HC
= = =
Mà
2. ,
2
BC
HI HO HC==
1
1
2
1
Q
A
B
C
H
P
K
1
1
1
1
1
1
E
D
A
B
C
H
I
O
Trang 14
Thay vào ta được :
22
AH BC AH HO
HO IC BC IC
= = =
(2)
Từ (1) và (2) ta có :
( )
..BIC AOH c g c
b, Vì
( )
..BIC AOH c g c
theo câu a nên
11
BA=
và
( )
20
12
90D D d E H BI AE= = = = = ⊥
Bài 31: Cho
ABC có ba góc nhọn, các điểm M, N theo thứ tự là trung điểm của BC, AC, Gọi H,
O G theo thứ tự là trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm
ABC
a, Tìm các
đồng dạng với
AHB
b, CMR:
HAG đồng dạng với
OMG
c, 3 điểm H, O, G thẳng hàng
HƯỚNG DẪN:
a, Dự đoán
( )
.AHB MON g g
,
Chứng minh:
Vì
( )
( )
//
BAG GMN sole
MN AB
ABG GNM sole
=
=
=
Mặt khác:
//AH OM
( cùng vuông góc BC)
=>
1 1 2 2
A M A M= = =
Tương tự ta có:
BH//ON vì cùng vuông góc với AC
=>
( ) ( )
1 1 2 2
.N B sole N B AHB MON g g= = = =
b, ta có:
( )
1
.
2
OM MN
AHB MON g g
AH AB
= = =
Mặt khác:
11
22
MG OM GM
AG AH GA
= = = =
Và
( )
11
.g.cA M AHG MOG c= = =
c, Vì
( )
12
..AHG MOG c g c G G = =
Mà
00
12
180 180 , ,G HGM G HGM H G O+ = = + = =
thẳng hàng
Bài 32: Cho
ABC vuông cân đỉnh A, BD là đường trung tuyến, Qua A vẽ đường thẳng vuông góc
với BD cắt BC tại E, CME: BE=2EC
HƯỚNG DẪN:
Vẽ đường cao AH
( )
H BC
ABC vuông cân nên AH là đường trung trực
=> G là trọng tâm => BG=2. GD
Cần chứng minh GE// DC
ABE có G là giao 2 đường cao
G
2
2
2
2
1
1
1
1
2
1
H
A
B
C
O
M
N
G
A
B
C
H
D
E
Trang 15
=> G là trực tâm =>
/ / D
GE AB
GE C
AC AB
⊥
=
⊥
BDC có GE// DC =>
22
BG BE
BE EC
GD EC
= = = =
Bài 33: Cho
ABC, trên AC lấy 2 điểm D và E sao cho AD=DE=EC, trung tuyến AM cắt BD tại P
và trung tuyến CN cắt BE tại Q
a, CMR: Q là trung điểm của CN
b, PQ//AC
c,
13
,
24
PQ MN PQ DE==
HƯỚNG DẪN :
a, Vì
1
2
ND BE=
và ND//BE => QE// ND
mà E là trung điểm DC nên Q là trung điểm NC
b, Chứng minh tương tự => P là trung điểm của AM,
Gọi G là trọng tâm của
ABC => PG=AG - AP =
1
2 1 1 1
6
2
3 2 6 4
3
AM
PG
AM AM AM
AG
AM
− = = = =
Tương tự
1
//
4
GQ
PQ AC
GC
= =
c, Tự chứng minh
Bài 34 : Cho
ABC cân tại A, đường thẳng vuông góc với BC tại B, cắt đường thẳng vuông góc
với AC tại C là điểm D, vẽ BE vuông góc với CD tại E, Gọi M là giao của AD và BE, vẽ EN vuông
góc với BD tại N, CMR : MN//AB, M là trung điểm của BE
HƯỚNG DẪN :
ta có : AC// BE =>
DM DE
DA DC
=
(1)
lại có : NE//BC =>
DE DN
DC DB
=
(2)
từ (1) và (2) ta có :
//
DM DN
MN AB
DA DB
= = =
Giả sử : AC cắt BD tại I
Ta có:
0
1 2 1 1
90C B B C= = + =
mà
0
11
90C I I B+ = = =
=>
ABI cân tại A
=> BA là đường trung trực => AI =AC
Dễ dàng chứng minh được M là trung điểm BE
G
Q
P
A
B
C
D
E
M
N
1
2
1
M
A
B
C
I
D
E
N
Trang 16
Bài 35 : Cho hình vuông ABCD, Gọi M, N theo thứ tự là các trung điểm của các cạnh AB, AD và P
là giao điểm của BN, CM
a, CMR : BN vuông góc với CM
b, CMR: DP=DC
c, DP cắt AB tại F, CMR: F là trung điểm của MB
HƯỚNG DẪN:
a, Ta có:
BAN =
CBM (c.g.c) =>
11
BC=
mà
0 0 0
1 1 1 1
90 90 90C M M B MPB BN CM+ = = + = = = = ⊥
b, Kéo dài BN cắt DC tại I
=>
IBC
có
1
//
2
ND ID
ND BC
BC IC
= = =
=>I là trung điểm IC,
PIC vuông có D là trung điểm IC => PD =PC
c, Tự chứng minh
Bài 36: Cho
ABC (AB<AC) qua trung điểm M của cạnh BC, kẻ đường thẳng // với đường phân
giác góc A, đường thẳng này cắt đường thẳng AB, AC theo thứ tự tại D và E, CMR: BD=CE
HƯỚNG DẪN:
Giả sử AK là tia phân giác góc A
ADE cân tại A => AD = AE
Ta có:
BDM có AK// DM =>
BD BM
AD KM
=
,
Mặt khác
CAK có
//
CE M
ME AK
AE KM
= =
Mà BM= CM =>
BD CE
AD AE
=
và
AD AE BD CE= = =
Bài 37: Cho HCN có AD = 2.DC, M alf điểm trên AB, tia phân giác của góc
CDM
cắt BC tại E,
CMR: CM = AM+2EC
HƯỚNG DẪN:
Lấy N trên tia đối tia CB sao cho AM= 2CM
=>
( )
..DAM DCN c g c
Lại có: DM=2.DN (1)
và
E ADE EDN EDN= = =
cân tại N
=> ND=EN=EC+CN
=> AM+2. EC=2CN+2.EC=2.ND (2)
từ (1) và (2) ta có : DM = 2.DN= AM+2EC
1
1
1
P
A
B
C
D
M
N
I
F
E
A
B
C
K
M
D
2
1
A
D
C
B
N
M
E
Trang 17
Bài 38: Cho hình vuông ABCD, gọi O là giao của hai đường chéo, lấy G trên BC, H trên CD sao
cho
0
45GOH =
, Gọi M là trung điểm của AB, CMR:
a,
HOD đồng dạng với
OGB
b, MG // AH
HƯỚNG DẪN:
a, ta có:
0
45DB==
, Mặt khác:
0 0 0
12
11
0 0 0
21
180 45 135
180 45 135
OO
OG
OG
+ = − =
= =
+ = − =
=>
( )
.HOD OGB g g
b, Theo câu a,
( )
.HOD OGB g g
=>
HD OD
OB GB
=
, Đặt MB=a, AD=2a
=>
2
. , 2. 2 2 .HD GB OB OD a a a AD BM= = = =
( )
..
HD BM
BMG DHA c g c
AD BG
= = =
=>
11
MH=
, mà
( )
11
H BAH sole M BAH= = =
( đồng vị) => AH//MG
Bài 39: Cho HCN ABCD, từ 1 điểm P thuộc đường chéo AC, dựng HCN AEPF (E
AB, F
AD),
CMR:
a, EF//DB
b, BF và DE cắt nhau tại Q nằm trên AC
HƯỚNG DẪN:
a, Ta có: EP//BC =>
AE AP
AB AC
=
và
/ / EF / /
AF AP AE FA
FP DC BD
AD AC AB AD
= = = = =
b, Gọi I, O lần lượt là tâm của 2 HCN
EF/ /
QE EF
DC
QD DB
= =
,
Mà 2.IE = EF, 2. DO= DB=>
QE IE
QD DO
=
và
12
E D IEQ ODQ Q Q= = = =
Mà
00
21
180 180Q OQE Q OQE+ = = + =
=> A, Q, O thẳng hàng=> Q nằm trên AC
45
45
45
1
1
1
2
1
O
A
B
C
D
H
G
M
O
I
Q
2
1
A
B
C
D
P
E
F
Trang 18
Bài 40: Cho hình vuông ABCD, trên BC lấy E sao cho
3
BC
BE =
, trên tia đối của CD lấy điểm F
sao cho
2
BC
CF =
, M là giao AEvà BF, Chứng minh: AM vuông góc với CM
HƯỚNG DẪN:
Gọi G là giao AM và DC,
H là giao của AB và CM
GAD có
2
//
3
GC CE
CE AD
GD AD
= = =
21
32
GC DC
DF FG
GC DC GC
= = = = = =
+
Lại có: AB//DG=>
2 2 2 1
. . .
3 3 32 2 3
BH AB BC
BH CF BC BE
CF GF
= = = = = = =
Khi đó:
ABE =
CBH (c.g.c) =>
11
12
AC
AM MC
EE
=
= ⊥
=
Bài 41: Cho tứ giác lồi ABCD, từ 1 điểm E thuộc cạnh AD và G thuộc cạnh AB, ta kẻ các đường
thẳng song song với đường chéo AC, các đường thẳng này cắt CD, BC lần lượt tại F và H
a, So sánh các tỉ số các đoạn thẳng do BD định ra trên EF và GH
b, CMR: EG và HF cắt nhau tại I nằm trên BD
HƯỚNG DẪN:
a, Gọi O là giao điểm 2 đường chéo AC, BD
BD cắt EF, GH lần lượt tại N và M
=>
EN BN NF EN AO
AO BO OC NF OC
= = = =
Tương tự ta cũng có:
GM DM MH GM AO
AO DO OC MH OC
= = = =
Từ hai điều trên ta có:
EN GM AO
NF GH OC

==


b, Giả sử : GE cắt BD tại I’
=>
'
'
EN I N
GM I M
=
(1),
Tương tự Giả sử HF cắt BD tại I’:
'
'
NF I N
MH I M
=
(2)
Theo câu a ta có:
EN GM EN NF
NF GH GM GH
===
(3)
M
1
2
1
1
A
C
D
G
H
E
F
B
M
N
A
B
C
D
E
F
G
H
I
O
Trang 19
Từ (1), (2) và (3) =>
'
'
'
IN I N
II
IM I M
= =
, hay I là giao điểm GE, HF, DB
Bài 42: Cho hình vuông ABCD, trên AB lấy điểm M, vẽ BH vuông góc với CM, nối DH, vẽ HN
vuông góc với DH (N
BC)
a, CMR:
DHC và
NHB đồng dạng
b, CMR: AM.NB=NC.MB
HƯỚNG DẪN:
a, Ta có:
0
1
12
0
2
90
90
H NHC
HH
H NHC
+=
=
+=
lại có:
11
BM=
( Phụ
HBM
)
và
( )
11
M C sole=
=>
( )
.DHC NHB g g
b, Ta có:
( )
.
MB BH
MBH BCH g g
BC CH
= =
,
Mà
BH BN MB BN
CH DC BC DC
= = =
mà BC= DC => MB = NB
=> AM = NC => AM.NB=NC.MB đpcm
Bài 43: Cho hình vuông ABCD cạnh a, một đường thẳng d bất kỳ đi qua C cắt AB tại E và AC tại F
a, CMR tích BE.DF không đổi khi d di chuyển
b, CMR:
2
2
BE AE
BF AF
=
c, Xác định vị trí của d để DF=4.BE
HƯỚNG DẪN:
a,
( )
2
. . .
BE BC
EBC CDF g g BE DF BC CD a
CD DF
= = = = =
=> BE. DF không đổi
b, Ta có:
( )
.
EB BC AE BE
EBC EAF g g
EA FA FA BC
= = = =
(1)
( )
.
FD DC AE DC
FCD FEA g g
FA AE FA FD
= = = =
(2)
Nhân (1) và (2) theo vế ta được:
2
2
.
AE BE DC BE
FA BC DF DF
==
,
Vì BC= DC
c, Để
2
2
1 1 1
4
4 2 2 2
BE AE AE BE a
DF BE BE
DF FA FA BC
= = = = = = = = = =
1
1
2
1
A
B
C
D
M
H
N
D
C
B
A
F
d
E
Trang 20
Bài 44: Cho
ABC có AB=4cm, AC=8cm, BC=6cm, hai tia phân giác trong AD và BE cắt nhau
tại O, CMR đoạn nối điểm O với trọng tâm G của
ABC thì song song với BC
HƯỚNG DẪN:
ABC
có AD là đường phân giác nên:
6
12
DB DC DB DC
AB AC AB AC
+
= = =
+
2
DB BC
DB cm
AB AB AC
= = = =
+
ABD có OB là tia phân giác nên:
2
OA OD OA AB
AB BD OD BD
= = = =
(1)
Gọi AM là đường trung tuyến của
ABC,
G là trọng tâm của
ABC =>
2
AG
GM
=
Từ (1) và (2) =>
2 / /
AO AG
OG DM
OD GM
= = =
Bài 45: Cho
ABC vuông tại A, vẽ ra phía ngoài tam giác đó các
ABD vuông cân ở B,
ACF
vuông cân ở C, Gọi H là giao điểm của AB và CD, K là giao của AC và BF, CMR:
a, AH=AK
b,
2
.AH BH CK=
HƯỚNG DẪN:
a, Ta có: AC//BD ( cùng vuông góc với AB)
=>
AH AC AH AC AH AC
BH BD AH BH BD AC AB AB AC
= = = = =
+ + +
.AB AC
AH
AB AC
= =
+
(1)
Tương tự:
AB // CF ( cùng vuông góc với AC)
.AK AB AK AB AK AB AB AC
AK
KC CF AK KC AB AC AC AB AC AB AC
= = = = = = = =
+ + + +
(2)
Từ (1) và (2) ta có: AH=AK
b, ta có :
AH AC
BH BD
=
(3)
Và
AK AB BD KC AC
KC CF AC AK BD
= = = =
(4)
M
8
6
4
A
B
C
E
G
O
D
K
H
A
B
C
F
D

Tài liệu khác của Toán 8

Preview text:

CHUYÊN ĐỀ TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
Bài 1: Cho  ABC nhọn, các đường cao BD và CE cắt nhau tại H, CMR: 2
BH.BD + CH.CE = BC HƯỚNG DẪN: A D
Từ H kẻ HK ⊥ BC Khi đó: E H   ( CH CK CKH CEB g.g ) = =
= CH.CE = CK.CB (1) CB CE Tương tự: B C   ( BH BK K BKH BDC g.g ) = =
= BH.BD = BK.BC (2) BC BD
Cộng (1) và (2) theo vế ta được:
VT = CK BC + BK BC = BC (BK + KC ) 2 . . = BC
Bài 2: Cho  BHC có BHC tù, Vẽ BE vuông góc với CH tại E và CD vuông góc với BH tại D. Chứng minh rằng: 2
BH.BD + CH.CE = BC HƯỚNG DẪN: D
Kẻ: HG ⊥ BC = CGH CEB  (g.g) E CH CG H => =
= CH.CE = BC.CG (1) CB CE Tương tự ta có: BGH B
DC (g.g) BH BG => =
= BH.BD = BC.BG (2) B C K BC BD
Cộng (1) và (2) theo vế ta được:
VT = BC CG + BC BG = BC (CG + GB) 2 . . = BC 1 1 1
Bài 3: Cho  ABC có góc A bằng 1200, AD là đường phân giác. CMR: + = AB AC AD HƯỚNG DẪN:
Kẻ DE / / AB (E AC) = A
DE là tam giác đều ABC có : DE CE AD AC − AE AE AD DE / / AB = = = = = 1− = 1− AB CA AB AC AC AC B Trang 1 D C A E AD AD 1 1 1 = + = 1 = + = (đpcm) AB AC AB AC AD
Bài 4: Cho A’, B’, C’ nằm trên các cạnh BC, AC, AB của  ABC, AM AB ' AC '
biết AA’, BB’, CC’ đồng quy tại M, Chứng minh rằng: = + A'M CB ' BC ' HƯỚNG DẪN: A E D
Qua A vẽ đường thẳng song song với BC
cắt BB’ tại D và cắt CC’ tại E, Khi đó:  AM AE
AME có AE / / A'C = = (1) B' A' M A'C C'AM AD
AMD có AD / / A' B = = (2) M A'M A' B Từ (2) và (2) ta có: AM AE AD AD + AE DE = = = = B C (*) A' A' M A'C A' B
A'C + A' B BC
Chứng minh tương tự ta cũng có:  AB ' AD
AB 'D có AD / / BC = = (3) B 'C BCAC ' AE
AC ' E có: AE / /BC = = C ' B BC AB ' AC ' AD AE DE Từ (3) và (4) ta có: + = + = (**) B 'C BC ' BC BC BC AM DE AB ' AC ' Từ (*) và (**) => = = + (đpcm) A' M BC B 'C BC '
Bài 5: Cho  ABC, M là điểm tùy ý nằm trong tam giác các đường thẳng AM, BM, CM lần lượt
cắc các cạnh BC, AC, AB tại A’, B’, C’. Chứng minh rằng: AM BM CM + + = 2 AA' BB ' CC ' A HƯỚNG DẪN:
Từ A, M vẽ AH , MK ⊥ BC = AH / /MK C' Trang 2 B' M B C H K A' A'M MK MK.BC SA' AH có: MBC = = = A' A AH AH.BC S ABC A'M AA'− AM AM S Mặt khác: = = 1 MBC − = A' A AA' A' A SABC AM S = = 1 MBC − A' A SABC Chứng minh tương tự: BM S CM S = 1 MAC − , = 1 MAB − BB ' S CC ' S ABC ABC
Cộng theo vế ta được đpcm
Bài 6: Cho  ABC, M là điểm tùy ý nằm trong tam giác, đường thẳng đi qua M và trọng tâm G của
MA' MB ' MC '
tam giác cắt BC, CA, AB lần lượt tại A’, B’, C’, CMR : + + = 3 GA' GB ' GC ' HƯỚNG DẪN:
Gọi AM cắt BC tại A1, Từ M vẽ đường thẳng song song với AI cắt BC tại D, với I là trung điểm BC  A' M MD
A'GI có: MD / /GI = = (1) A A'G GI  1 A M MD MD 1
A AI có MD / /GI = = = (AI = 3GI ) (2) 1 A A AI 3GI A' M 3 1 A M Từ (1) và (2) ta có: = B' A'G 1 A A G M C'
Chứng minh tương tự ta có: A' B C A1 D I MB ' 3. 1 B M MC ' 3. 1 C M  1 A M 1 B M 1 C M  = , = = VT = 3 + +   GB ' 1 B B GC ' 1 C C  1 A A 1 B B 1 C C  1 A M 1 B M 1 C M mà ta có: từ bài 6 => + + = 1 = VT = 3 1 A A 1 B B 1 C C
Bài 7: Cho  ABC nhọn, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Chứng minh rằng:
a,  AEF đồng dạng  ABC A
b, H là giao các đường phân giác của  DEF c, 2
BH.BE + CH.CF = BC 1 E HƯỚNG DẪN: 2 F AE AB AE AF a, Ta có: AEB C
FC (g.g) = = = = H AF AC AB AC Trang 3 1 2 B C D => AEF ABC ( . c g.c)
b, Chứng minh tương tự ta cũng có: CED C  ,
BA (c.g.c) và BFDBCA(c.g.c) => Do AEF A
BC = AEF = ABC = CED
Mà: BEF + AEF = BED + CED( 0
= 90 ) = BED = BEF => HE là phân giác góc E
Chứng minh tương tự FH là phân giác góc F, DH là phân giác góc D BH BD c, BHD B
CE (g.g) = =
= BH.BE = B . D BC (1) BC BE CH CD và CDH C
FB(g.g) = =
= CH.CF = C . D CB (2) CB CF
Cộng (1) và (2) theo vế ta được đpcm
Bài 8: Cho  ABC, AD là đường phân giác của tam giác, CMR : 2 AD = . AB AC − . BD DC HƯỚNG DẪN: A 1 2
Trên AD lấy điểm E sao cho:
AEB = ACB = ABE A
DC (g.g) BE AB AE = = = = A . B AC = A . D AE (1) DC AD AC B D C lại có: BD DE BDE A
DC (g.g) = = = B . D DC = A . D DE (2) E AD DC
Lấy (1) - (2) theo vế ta được: AB AC − BD DC = AD ( AE − DE) 2 . . = AD
Bài 10: Cho tứ giác ABCD, trong đó: 0
ABC = ADC, ABC + BCD  180 , Gọi E là giao điểm của AB và CD, CMR: 2 AC = C . D CE − . AB AE x HƯỚNG DẪN:
Trên nửa mặt phẳng bờ BE, B N
không chứa C vẽ tia Ex sao cho: BEx = ACB A
=> Ex cắt AC tại N => N = B = D Ta có : E C D   ( AB AC ABC ANE g.g ) = = = A .
B AE = AC.AN (1) AN AE CD CA Tương tự : CAD C
EN (g.g) = = = C . D CE = C . A CN (2) CN CE
Lấy (2) - (1) theo vế ta được đpcm Trang 4
Bài 11: Cho HBH ABCD đường chéo lớn AC, Từ C kẻ CE vuông góc với AB, CF vuông góc với
AD. Chứng minh rằng: Hệ thức: 2 . AB AE + . AD AF = AC HƯỚNG DẪN: A B E
Vì AC là đường chéo lớn => 0
D  90 = H AC , H Kẻ DH ⊥ AC => AHDAFC  (g.g) K AD AH = = = A .
D AF = AC.AH (1) D C AC AF
Tương tự kẻ BK ⊥ AC = AKB AEC (g.g) F AB AK = = = A .
B AE = AC.AK (2) AC AE
Cộng (1) và (2) theo vế ta được: AD AF + AB AE = AC ( AH + AK ) 2 . .
= AC.AC = AC Vì ABK
= CDH ( cạnh huyền - góc nhọn) => AK=HC
Bài 12: Cho  ABC và 1 điểm O thuộc miền trong của tam giác, đường thẳng đi qua O và // với AB
cắt BC tại D và cắt AC tại G, đường thẳng đi qua O và //BC cắt AB tại K và AC tại F, đường thẳng
đia qua O và //AC cắt AB tại H và BC tại E KH DE GF DG KF EH a, CMR: + + =1 b, CMR: + + = 2 AB BC AC AB BC AC HƯỚNG DẪN: A KH KO a, HKO A
BC (g.g) = = AB BC G   ( GF OF GOF ABC g.g ) = = H AC BC KH DE GF KO DE OF O Nên + + = + + = 1 K F AB BC AC BC BC BC b, Ta có: DG DC B C D E = EH BE và = , AB BC AC BC Khi đó: DG KF EH DC KF BE
DE + EC + BD + EC + DB + DE 2BC + + = + + = = = 2 AB BC AC BC BC BC BC BC
Bài 13: Cho  ABC có đường trung tuyến BM cắt tia phân giác CD tại N, Chứng minh rằng: NC AC − =1 ND BC HƯỚNG DẪN:
Vẽ DE / / BM ( E AC )  NC MC
QDE có NM / /DE = = (*) A ND ME E Trang 5 M D N 1 2 B CAD AC
ABC có DC là tia phân giác nên: = (1) DB BC AD AE
và ABM có DE//BM = = (2) DB EM AC AE Từ (1) và (2) ta có : = (**) BC ME NC AC MC AE ME Lấy (*) - (**), ta có : − = − = = 1 ND BC ME ME ME DB EC FA
Bài 14: Cho  ABC có các đường phân giác AD, BE, CF. Chứng minh: . . =1 DC EA FB HƯỚNG DẪN: ADB AB
ABC có AD là tia phân giác nên: = = , DC AC E F EC BC FA AC Tương tự: = , = , EA AB FB BC
Nhân theo vế ta được đpcm
Bài 15: Cho HBH ABCD đường thẳng a đi qua A lần lượt cắt BD, BC
B , DC tại E, K, G D C Chứng minh rằng: a, 2
AE = EK.EG 1 1 1 b, = + AE AK AG
c, Khi a thay đổi thì tích BK.DG có giá trị không đổi? HƯỚNG DẪN: AE EB
a, ABE có AM / /DG = = (1) a EG EDEB EK
ADE có AD / /BK = = (2) A B ED EA AE EK Từ (1) và (2) ta có: 2 =
= AE = EK.EG EG EA E 1 1 1 AE AE D C b, Từ: = + = + = 1 G AE AK AG AK AG KAE ED AE ED AE ED
ADE có AD / /BC = = = = = = (3) EK EB AE + EK ED + EB AK DB AE BE AE BE AE BE
Tương tự: AEB có AB / /DG = = = = = = (4) EG ED AE + EG BE + ED AG BD AE AE ED BE Khi đó: + = + = 1=>đpcm AK AG BD BD BK AB KC.AB KC CG A . D CG c, ta có: = = BK = và = = DG = KC CG CG AD DG KC
Nhân theo vế ta được = BK.DG = A . B AD không đổi Trang 6
BH.CH CH.AH AH.BH
Bài 16: Cho  ABC nhọn, H là trực tâm. Chứng minh : + + =1 A . B AC BC.BA C . A CB HƯỚNG DẪN: A BH BC Ta có: BC BB A(g g) ' 'H ' . = = AB BB ' B' BH.CH BC '.CH SHBC = = = (1) C' A . B AC BB '.AC SABC CH CA Tương tự: CA H CC B (g ) ' ' ' .g = = BC CC ' CH.AH CA'.AH S B C AHC = = = (2) A' BC.BA CC '.BA SABC AHB ACA (g g) AH AB ' A . B BH AB '.BH S ' ' . HAB = = = = = (3) AC AA' C . ACB AA'.CB SABC
Cộng (1), (2) và (3) theo vế ta được: đpcm
Bài 17: Cho  ABC, M là điểm nằm trong  ABC, Gọi D là giao điểm của AM và BC, E là giao
điểm của BM và CA, F là giao điểm của CM và AB, đường thẳng đi qua M và // với BC cắt DE, DF
lần lượt tại K và I. Chứng minh rằng : MI=MK HƯỚNG DẪN:
Gọi IK cắt AB. AC lần lượt tại N và Q  AN MN
ABD có MN / /BC = = AB BDAN NQ MN NQ
ABC có NQ / /BC = = = = (1) AB BC BD BC AIM FM
FDC có IM / /DC = = , DC FC MN FM
FBC có NM / /BC = = BC FC F E IM MN IM DC = = = = (2) M N H DC BC MN BC I K IM DC.NQ DC.N . Q BD
Nhân (1) và (2) theo vế ta được: = = IM = (*) 2 2 BD BC BC Tương tự ta cũng có: B C DMQ AQ NQ AQ
ADC có MQ / /DC = =
và ABC có NQ / /BC = = DC AC BC AC MQ NQ Do đó: = (3) DC BC MK EM MQ ME
Và: EBD có MK / /BD = =
, EBC có MQ / /BC = = BD EB BC EB MK MQ MK BD Do đó: = = = (4) BD BC MQ BC Trang 7 MK N . Q BD DC.N . Q BD
Nhân (3) với (4) ta được: = = MK = (**) 2 2 DC BC BC
Từ (*) và (**) ta có MI = MK
Bài 18: Cho  ABC, các đường trung tuyên BM, CN cắt nhau tại G, K là điểm trên cạnh BC,
đường thẳng qua K và // CN cắt AB ở D, đường thẳng qua K và // với BM cắt AC ở E, Gọi I là giao
điểm của KG và DE, CMR: I là trung điểm của DE HƯỚNG DẪN:
Gọi DK cắt BG tại H, KE cắt GC tại O và GK cắt HO tại J HK / /GO Tứ giác HGOK có: 
=> HGOK là hình bình hành HG / /KO
=> J là trung điểm của HO => HJ=OJ  DH BH
BNG có DH / / NG = = (1) A NG BGHK BH
BGC có HK / /GC = = (2) GC BG DH HK DH NG 1 Từ (1) và (2) ta có = = = = (*) N M NG GC HK GC 2 G OE OC E
CMTT ta có: CMG có OE / /GM = = (3) GM CG D I J OOK OC
CBG có OK / /BG = = (4) H GB CG B C K OE OK OE GM 1 Từ (3) và (4) => = = = = (**) GM GB OK GB 2 DH OE 1 Từ (*) và (**) = = = = D
KE có OH / /DE HK OK 2
Lại có J là trung điểm HO=> I là trung điểm DE
Bài 19: Cho hình thang ABCD (AB//CD) có BC=BD, Gọi H là trung điểm của CD, đường thẳng đi
qua H cắt AC, AD lần lượt tại E và F, Chứng minh rằng: DBF = EBC HƯỚNG DẪN:
Gọi BF cắt DC tại K, BE cắt DC tại I, và EF cắt AB tại G  DK FD
FAB có DK / / AB = = (1) A B G AB FA 1 2  DH FD
FAG có DH / / AG = = (2) AG FA Từ (1) và (2) E DK DH DK AB 1 1 = = = = (*) D K C H I AB AG DH AG Tương tự: IC EC
EIC có AB / /IC = = (3) AB EA F Trang 8HC EC
EHC có HC / / AB = = (4) AG EA IC HC IC AB Từ (3) và (4) ta có: = = = = (**) AB AG HC AG DK IC Từ (*) và (**) => = , Mà DH=HC (gt)=>DK=IC DH HC
Mặt khác: BD=BC(gt)=> BDC cân=> BDK = BCI => BDK = B
CI ( .cg.c) = DBK = CBI đpcm
Bài 20: Cho  ABC có G là trọng tâm, một đường thẳng bất kỳ qua G, cắt các cạnh AB, AC lần AB AC
lượt tại M và N, Chứng minh rằng: + = 3 A AM AN HƯỚNG DẪN:
Gọi O là trung điểm của BC,
Kẻ BH, CK lần lượt // MN (H, K AO) BOH = COK ( g. .
c g ) = OH = OK G N M HAB AH
ABH có MG / /BH = = (1) AM AG B C OAC AK
AKC có GN / /KC = = (2) K AN AG
Cộng (1) và (2) theo vế ta được: AH AK
AG + GH + AG + GH + HK 2AG + 2GO 3AG VT = + = = = = 3 AG AG AG AG AG
Bài 21: Cho tứ giác ABCD, có M, N lần lượt là trung điểm của các đường chéo BD và AC (M # N)
đường thẳng MN cắt AD, BC lần lượt tại E và F, Chứng minh: AE.BF=DE.CF HƯỚNG DẪN: A H B E M N D F G
Từ A kẻ đường thẳng song song với BD cắt EF tại H C
Từ C kẻ đường thẳng song song với BD cắt EF tại G Trang 9AE AH
AEH có HA / /DM = = (1) ED DMBF BM CF CG
CGF có CG / /BM = = = = (2) CF CG BF BM Mặt khác: NAH = NCG
(g. .cg) = AH = CG
(3) và DM = BM AE CF Từ (1), (2) và (3) ta có: =
= AE.BF = E . D CF ED BF
Bài 22: Cho tam giác ABC, AD là đường trung tuyến, M là điểm nằm trên đoạn AD, gọi E là giao
điểm của BM và AC, F là giao điểm của CM và AB. Chứng minh: EF //BC HƯỚNG DẪN: A
Lấy N trên tia đối của tia DM sao cho MD= ND F EBM / /NC M
=> Tứ giác BMCN là hình bình hành =>  BN..MCAF AM
ABN có FM / /BN = = (1) C AB AN B DAE AM
ANC có ME / / NC = = (2) AC AN AF AE Từ (1) và (2) => = => EF / /BC N AB AC
Bài 23: Cho tứ giác ABCD, gọi M, N lần lượt là trung điểm của CD và CB, O là giao điểm của AM OA OD 2 và DN, biết = 4,
= . Chứng minh rằng: ABCD là hình bình hành OM ON 3 A B N K O C D H M HƯỚNG DẪN:
Vẽ đường thẳng đi qua O và //AD cắt DC tại H
Vẽ đường thẳng đi qua M và // BC cắt DN tại K
Vì M là trung điểm của DC nên K là trung điểm DN  OM MH 1 DH 4
MAD có OH / / AD = = = = = (1) AM MD 5 DM 5 OA OA OA + OM AM OM 1 Vì = 4 = +1 = 5 = = = 5 = = OM OM OM OM AM 5 Trang 10 OD 2 OD 2 DO 4
Tương tự ta có: DNC có KM / / NC , mà = = = = = (2) ON 3 DN 5 DK 5
Từ (1) và (2) => OH / /KM = AD / /BC
Chứng minh tương tự=> AB//DC=> ABCD là hình bình hành
Bài 24: Cho tứ giác ABCD, có E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AD, BC, đường thẳng EF
cắt các đường thẳng AB, CD lần lượt tại M và N, CMR: MA.NC = MB.ND HƯỚNG DẪN:
Từ A kẻ đường thẳng song song BC cắt ME tại G
Từ D kẻ đường thẳng song song BC cắt EF tại H MB MF BF
=> MAG có BF / / AG = = = MA MG AG F  NC FC
NHD có FC / /HD = = (1) ND HD Ta lại có: AEG = DEH ( g. .
c g ) = HD = AG Thay vào (1) ta được: NC FC BF MB NC MB = = = = = = = M . A NC = M . B ND đpcm ND AG AG MA ND MA
Bài 25: Cho tam giác ABC đều, gọi M, N lần lượt là các điểm trên AB, BC sao cho BM =BN, gọi
G là trọng tâm của tam giác BMN, I là trung điểm của AN, P là trung điểm của MN
a/ CMR:  GPI và  GNCđồng dạng A
b/ CMR: IC vuông góc với GI HƯỚNG DẪN:
a, Vì G là trọng tâm nên GP ⊥ MN , 1 1 1
Lại có : MA=NC=> PI = MA = NC và GP = .GN 2 2 2 I
Vì  ABC đều =>  BMN đều M 1 => 0 0 0 0 0
M = 120 = MIP = 60 = GPI = 90 + 60 = 150 1 P O Và 0 0 0 0
GNB = 30 = GNC = 180 − 30 = 150 G = GPI GNC ( . c g.c) B C N 1
b, GIC có GI = .GC theo câu a=>  GIC vuông tại I=> IC ⊥ GI 2
Bài 26: Cho tam giác ABC nhọn, trên các đường cao BE, CF lấy các điểm theo thứ tự I, K sao cho 0 0
AIC = 90 , AKB = 90 a, CMR: AI=AK b, Cho 0 2 A = 60 , S
= 120cm , Tính diện tích tam giác AEF ABC A HƯỚNG DẪN: Trang 11 E F I K 1 1 B C AI AE a, AIE ACI (g g) 2 . = =
= AI = AE.AC (1) AC AI Chứng minh tương tự: AIK AKB(g g) AK AF 2 . = = = AK = A . B AF (2) AB AK Lại có AB AE ABE A
CF (g.g) = = = A .
B AF = AC.AE (3) AC AF Từ (1), (2) và (3) ta có: 2 2
AI = AK = AI = AK 1 1 B, Vì 0 0 0
A = 60 = B = 30 = AE = AB,C = 30 == AC 1 1 2 2 2 SAE  1 1 => AEF A
BC ( .cg.c) AEF 2 = = = = S = .120 = 30cm   SAB  4 AEF 4 ABC
Bài 27: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, I là trung điểm của AC, F là hình chiếu của
I trên BC, trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng chứa AC, vẽ tia Cx vuông góc với AC cắt IF tại E,
Gọi giao của AH, AE với BI theo thứ tự tại G và K
a/  IHE và  BHA đồng dạng
b,  BHI và  AHE đồng dạng A c, AE vuông góc với BI 1 HƯỚNG DẪN:
a, Ta có:  AHC vuông cân tại H, I
có I là trung điểm AC => HI = IC K G 2
=> I nằm trên đường trung trực của HC 1 M 1 B C
=> IF là đường trung trực H F
=> EH=EC=>  IHE=  ICE ( c.c.c) => 0 IHE = ICE = 90
Mặt khác: E = C = A = IHE = BHA g.g 1 1 1 ( )
b, Theo câu a ta có:  IHE  BHA HI HE => = và 0
BHI = 90 + AHI = AHE 1 HB HA = E BIH AHE ( . c g.c)
c, Giả sử: AE giao với HI tại M => M = M 1 2 Từ câu b=> 0
I = E = K = H = 90 = AE ⊥ BI
Bài 28: Cho HCN ABCD, nối AC, kẻ DE vuông góc với AC, gọi M, N, P lần lượt là trung điểm
của BC, AE, DE, nối MN, ND, CP, CMR:
a,  AND và  DPC đồng dạng
b, ND và MN vuông góc với nhau A B Trang 12 1 N E 1 M 2 P 1 1 D C HƯỚNG DẪN:
a, Ta có: A = D ( cùng phụ ADE ) 1 1 AE AD và AED D
EC (g.g) = = DE DC mà AE= 2. AN và DE= 2. DP AN AD = = = AND DPC ( . c g.c) DP DC 1
b, Ta có : ND / / = AD = MC 2
=> Tứ giác NPCM là hình bình hành => PNM = PCM
D = C (cmt) Lại có : 2 1 0 
= DNM = N + PNM = C + PCM = C = 90 1 1
D = N (sole)  2 1 = DN ⊥ NM
Bài 29: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, Gọi P và Q theo thứ tự là trung điểm của
các đoạn thẳng BH, AH. Chứng minh rằng:
a,  ABP và  ACQ đồng dạng b, AP vuông góc với CQ A HƯỚNG DẪN: 1
a, Ta có: B = A ( Phụ BAH ) 2 1 1 AH AB BH Q K => AHB C
HA(g.g) = = = CH AC AH mà AH=2. AQ, và BH= 2. BP 1 1 AB 2BP BP => = = = ABP CAQ( .
c g.c) B C P H AC 2AQ AQ
b, Gọi AP cắt CQ tại K, Vì ABP CA
Q (cmt) = A = C 2 1 mà 0 0
A + KAC = 90 = KAC + C = 90 = AK ⊥ KC 2 1
Bài 30: Cho  ABC cân tại A, H là trung điểm của BC, I là hình chiếu của H trên AC và O là trung điểm của HI
a, CMR:  BIC và  AOH đồng dạng A b, AO vuông góc với IC HƯỚNG DẪN: 1
a, Ta có: H = C (Cùng phụ IHC ) (1) 1 1 AH HC AC lại có : AHC H
IC (g.g) = = = HI IC HC E I 1 D BC
Mà HI = 2.HO, HC = 1 O 2 1 1 1 B C H Trang 13 AH BC AH HO Thay vào ta được : = = = (2) 2HO 2IC BC IC
Từ (1) và (2) ta có : BIC AOH ( . c g.c) b, Vì BIC AOH ( .
c g.c) theo câu a nên
B = A và D = D d
= E = H = 90 = BI ⊥ AE 1 2 ( 2 ) 0 1 1
Bài 31: Cho  ABC có ba góc nhọn, các điểm M, N theo thứ tự là trung điểm của BC, AC, Gọi H,
O G theo thứ tự là trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm  ABC
a, Tìm các  đồng dạng với  AHB
b, CMR:  HAG đồng dạng với  OMG A
c, 3 điểm H, O, G thẳng hàng 2 1 HƯỚNG DẪN: a, Dự đoán AHB M
ON (g.g) , N Chứng minh: H 1 2 1 BAG = GMN  (sole) G 2 O
Vì MN / / AB =  ABG = GNM  (sole) 2 2 1 1
Mặt khác: AH / /OM ( cùng vuông góc BC) B C M
=> A = M = A = M 1 1 2 2 Tương tự ta có:
BH//ON vì cùng vuông góc với AC
=> N = B sole = N = B = AHB MON g.g 1 1 ( ) 2 2 ( ) OM MN b, ta có: AHB MON (g g) 1 . = = = AH AB 2 MG 1 OM GM 1 Mặt khác: = = =
= Và A = M = AHG = MOG . c g.c 1 1 ( ) AG 2 AH GA 2 c, Vì AHG M
OG ( .cg.c) = G = G 1 2 Mà 0 0
G + HGM = 180 = G + HGM = 180 = H ,G,O thẳng hàng 1 2
Bài 32: Cho  ABC vuông cân đỉnh A, BD là đường trung tuyến, Qua A vẽ đường thẳng vuông góc
với BD cắt BC tại E, CME: BE=2EC HƯỚNG DẪN:
Vẽ đường cao AH (H BC)
 ABC vuông cân nên AH là đường trung trực A
=> G là trọng tâm => BG=2. GD Cần chứng minh GE// DC
 ABE có G là giao 2 đường cao D G Trang 14 B C H E GE ⊥ AB
=> G là trực tâm =>  = GE / / DC AC ⊥ ABBG BE BDC có GE// DC => =
= 2 = BE = 2EC GD EC
Bài 33: Cho  ABC, trên AC lấy 2 điểm D và E sao cho AD=DE=EC, trung tuyến AM cắt BD tại P
và trung tuyến CN cắt BE tại Q
a, CMR: Q là trung điểm của CN A b, PQ//AC 1 3
c, PQ = MN, PQ = DE 2 4 D N P HƯỚNG DẪN : E 1
a, Vì ND = BE và ND//BE => QE// ND G 2 Q
mà E là trung điểm DC nên Q là trung điểm NC
b, Chứng minh tương tự => P là trung điểm của AM, B C M
Gọi G là trọng tâm của  ABC => PG=AG - AP = 1 2 1 1 AM PG 1 6
AM − AM = AM = = = 3 2 6 AG 2 4 AM 3 GQ 1 Tương tự
= = PQ / / AC GC 4 c, Tự chứng minh
Bài 34 : Cho  ABC cân tại A, đường thẳng vuông góc với BC tại B, cắt đường thẳng vuông góc
với AC tại C là điểm D, vẽ BE vuông góc với CD tại E, Gọi M là giao của AD và BE, vẽ EN vuông
góc với BD tại N, CMR : MN//AB, M là trung điểm của BE HƯỚNG DẪN : DM DE ta có : AC// BE => = (1) DA DC DE DN lại có : NE//BC => = (2) DC DB I DM DN từ (1) và (2) ta có : = = = MN / / AB DA DB A
Giả sử : AC cắt BD tại I Ta có: 0
C = B = B + C = 90 1 2 1 1 1 mà 0
C + I = 90 = I = B =>  ABI cân tại A 2 1 1 1 B C
=> BA là đường trung trực => AI =AC M
Dễ dàng chứng minh được M là trung điểm BE N E Trang 15 D
Bài 35 : Cho hình vuông ABCD, Gọi M, N theo thứ tự là các trung điểm của các cạnh AB, AD và P là giao điểm của BN, CM
a, CMR : BN vuông góc với CM b, CMR: DP=DC
c, DP cắt AB tại F, CMR: F là trung điểm của MB A M F B 1 1 HƯỚNG DẪN: P
a, Ta có:  BAN =  CBM (c.g.c) => B = C mà 1 1 N 0 0 0
C + M = 90 = M + B = 90 = MPB = 90 = BN ⊥ CM 1 1 1 1
b, Kéo dài BN cắt DC tại I ND ID 1 1
=> IBC có ND / /BC = = = BC IC 2 I C D =>I là trung điểm IC,
 PIC vuông có D là trung điểm IC => PD =PC c, Tự chứng minh
Bài 36: Cho  ABC (ABgiác góc A, đường thẳng này cắt đường thẳng AB, AC theo thứ tự tại D và E, CMR: BD=CE HƯỚNG DẪN:
Giả sử AK là tia phân giác góc A D
 ADE cân tại A => AD = AE A BD BM
Ta có:  BDM có AK// DM => = , AD KM E CE M
Mặt khác  CAK có ME / / AK = = AE KM BD CE Mà BM= CM => =
và AD = AE = BD = CE AD AE B C
Bài 37: Cho HCN có AD = 2.DC, M alf điểm trên AB, tia phân giác của góc CDM K cắt BC M tại E, CMR: CM = AM+2EC HƯỚNG DẪN:
Lấy N trên tia đối tia CB sao cho AM= 2CM A D => DAM DCN ( . c g.c) 1 Lại có: DM=2.DN (1) 2
và E = ADE = EDN = EDN cân tại N => ND=EN=EC+CN M => AM+2. EC=2CN+2.EC=2.ND (2)
từ (1) và (2) ta có : DM = 2.DN= AM+2EC B E C N Trang 16
Bài 38: Cho hình vuông ABCD, gọi O là giao của hai đường chéo, lấy G trên BC, H trên CD sao cho 0
GOH = 45 , Gọi M là trung điểm của AB, CMR:
a,  HOD đồng dạng với  OGB b, MG // AH A M B HƯỚNG DẪN: 1 a, ta có: 0
D = B = 45 , Mặt khác: 45 0 0 0
O + O = 180 − 45 = 135  1 2   = O = G 1 1 0 0 0
O + G = 180 − 45 = 135  2 1  2 O => HOD O
GB ( g.g) 1 45 1 b, Theo câu a, G HOD O
GB ( g.g) HD OD => = , Đặt MB=a, AD=2a OB GB 45 1 => 2 H .
D GB = OB,OD = a 2.a 2 = 2a = A . D BM D C H HD BM = = = BMG DHA( . c g.c) AD BG
=> M = H , mà 1 1
H = BAH sole = M = BAH ( đồng vị) => AH//MG 1 ( ) 1
Bài 39: Cho HCN ABCD, từ 1 điểm P thuộc đường chéo AC, dựng HCN AEPF (E AB, FAD), CMR: a, EF//DB
b, BF và DE cắt nhau tại Q nằm trên AC HƯỚNG DẪN: AE AP A E B a, Ta có: EP//BC => = và AB AC I 1 AF AP AE FA Q 2 P F FP / /DC = = = = = EF / /BD AD AC AB AD O
b, Gọi I, O lần lượt là tâm của 2 HCN QE EF EF / /DC = = , QD DB D C QE IE
Mà 2.IE = EF, 2. DO= DB=> = QD DO
và E = D = IEQ O
DQ = Q = Q 1 2 Mà 0 0
Q + OQE = 180 = Q + OQE = 180 => A, Q, O thẳng hàng=> Q nằm trên AC 2 1 Trang 17 BC
Bài 40: Cho hình vuông ABCD, trên BC lấy E sao cho BE =
, trên tia đối của CD lấy điểm F 3 BC sao cho CF =
, M là giao AEvà BF, Chứng minh: AM vuông góc với CM 2 HƯỚNG DẪN: A B H Gọi G là giao AM và DC, 1 1 M H là giao của AB và CM E 2  GC CE 2
GAD có CE / / AD = = = GD AD 3 1 D G C F GC 2 DC 1 = = = = = DF = FG GC + DC 3 GC 2 BH AB 2 2 2 1 BC Lại có: AB//DG=> =
= = BH = .CF = . .BC = = BE CF GF 3 3 32 2 3 A = C
Khi đó:  ABE =  CBH (c.g.c) => 1 1  = AM ⊥ MC E = E  1 2
Bài 41: Cho tứ giác lồi ABCD, từ 1 điểm E thuộc cạnh AD và G thuộc cạnh AB, ta kẻ các đường
thẳng song song với đường chéo AC, các đường thẳng này cắt CD, BC lần lượt tại F và H
a, So sánh các tỉ số các đoạn thẳng do BD định ra trên EF và GH
b, CMR: EG và HF cắt nhau tại I nằm trên BD I HƯỚNG DẪN:
a, Gọi O là giao điểm 2 đường chéo AC, BD B
BD cắt EF, GH lần lượt tại N và M E F EN BN NF EN AO => = = = = N AO BO OC NF OC GM DM MH GM AO O Tương tự ta cũng có: = = = = A C AO DO OC MH OC EN GM AO
Từ hai điều trên ta có: = =   G M H NF GH OC
b, Giả sử : GE cắt BD tại I’ EN I ' N => = (1), D GM I ' M NF I ' N
Tương tự Giả sử HF cắt BD tại I’: = (2) MH I 'M EN GM EN NF Theo câu a ta có: = = = (3) NF GH GM GH Trang 18 IN I ' N Từ (1), (2) và (3) => =
= I I ' , hay I là giao điểm GE, HF, DB IM I ' M
Bài 42: Cho hình vuông ABCD, trên AB lấy điểm M, vẽ BH vuông góc với CM, nối DH, vẽ HN
vuông góc với DH (N BC)
a, CMR:  DHC và  NHB đồng dạng b, CMR: AM.NB=NC.MB HƯỚNG DẪN: 0
H + NHC = 90  a, Ta có: 1  H = H 1 2 0 H + NHC = 90  A M B 2  1
lại có: B = M ( Phụ HBM ) H 1 1 1 2
và M = C sole => DHC N
HB ( g.g) 1 1 ( ) N MB BH b, Ta có: MBH B
CH (g.g) = = , BC CH BH BN MB BN Mà = = = CH DC BC DC 1 mà BC= DC => MB = NB D C
=> AM = NC => AM.NB=NC.MB đpcm
Bài 43: Cho hình vuông ABCD cạnh a, một đường thẳng d bất kỳ đi qua C cắt AB tại E và AC tại F
a, CMR tích BE.DF không đổi khi d di chuyển 2 BE AE b, CMR: = 2 BF AF F
c, Xác định vị trí của d để DF=4.BE HƯỚNG DẪN: BE BC a, EBC CDF (g g) 2 . = =
= BE.DF = BC.CD = a CD DF D C => BE. DF không đổi b, Ta có: EB BC AE BE EBC E
AF (g.g) = = = = (1) E EA FA FA BC A B   ( FD DC AE DC FCD FEA g.g ) = = = = (2) d FA AE FA FD 2 AE BE DC BE
Nhân (1) và (2) theo vế ta được: = . = , 2 FA BC DF DF Vì BC= DC 2 BE 1 AE AE 1 BE 1 a
c, Để DF = 4BE = = = = = = = = BE = 2 DF 4 FA FA 2 BC 2 2 Trang 19
Bài 44: Cho  ABC có AB=4cm, AC=8cm, BC=6cm, hai tia phân giác trong AD và BE cắt nhau
tại O, CMR đoạn nối điểm O với trọng tâm G của  ABC thì song song với BC HƯỚNG DẪN:
ABC có AD là đường phân giác nên: DB DC DB + DC 6 = = = A AB AC AB + AC 12 DB BC = = = DB = 2cm E AB AB + AC 8
 ABD có OB là tia phân giác nên: 4 G OA OD OA AB O = = = = 2 (1) AB BD OD BD
Gọi AM là đường trung tuyến của  ABC, B C D M AG
G là trọng tâm của  ABC => = 2 6 GM AO AG Từ (1) và (2) => =
= 2 = OG / /DM OD GM
Bài 45: Cho  ABC vuông tại A, vẽ ra phía ngoài tam giác đó các  ABD vuông cân ở B,  ACF
vuông cân ở C, Gọi H là giao điểm của AB và CD, K là giao của AC và BF, CMR: a, AH=AK b, 2
AH = BH.CK HƯỚNG DẪN: F A D K H
a, Ta có: AC//BD ( cùng vuông góc B với AB) C AH AC AH AC AH AC A . B AC => = = = = = = AH = (1) BH BD AH + BH BD + AC AB AB + AC AB + AC Tương tự:
AB // CF ( cùng vuông góc với AC) AK AB AK AB AK AB A . B AC = = = = = = = AK = (2) KC CF AK + KC AB + AC AC AB + AC AB + AC
Từ (1) và (2) ta có: AH=AK b, ta có : AH AC = (3) BH BD AK AB BD KC AC Và = = = = (4) KC CF AC AK BD Trang 20

Tài liệu liên quan: