Chuyên đề tỉ lệ thức, tính chất dãy tỉ số bằng nhau

Tài liệu gồm 17 trang, trình bày lý thuyết trọng tâm, các dạng toán và bài tập chuyên đề tỉ lệ thức, tính chất dãy tỉ số bằng nhau, có đáp án và lời giải chi tiết

Thông tin:
17 trang 9 tháng trước
Tác giả:
K
Kim Oanh
Đang cập nhật

Bình luận

Vui lòng đăng nhập hoặc đăng ký để gửi bình luận.

Chuyên đề tỉ lệ thức, tính chất dãy tỉ số bằng nhau

Tài liệu gồm 17 trang, trình bày lý thuyết trọng tâm, các dạng toán và bài tập chuyên đề tỉ lệ thức, tính chất dãy tỉ số bằng nhau, có đáp án và lời giải chi tiết

84 42 lượt tải Tải xuống

Chủ đề: Chương 1: Số hữu tỉ (KNTT)

Môn: Toán 7

Thông tin:

17 trang 9 tháng trước

Tác giả:

Profile Kim Oanh
Trang 1
BÀI 6. TỈ LỆ THỨC. TÍNH CHẤT DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
Mục tiêu
Kiến thức
+ Nắm được định nghĩa tỉ lệ thức, các thành phần và các tính chất cơ bản của tỉ lệ thức.
+ Nắm được tính chất của dãy tỉ số bằng nhau.
Kĩ năng
+ Dựa vào định nghĩa tỉ lệ thức, thành lập được các tỉ lệ thức từ các số, tỉ số đã cho.
+ Áp dụng tính chất cơ bản của tỉ lệ thức để thành lập các tỉ lệ thức mới từ tỉ lệ thức hoặc đẳng
thức đã cho.
+ Vận dụng tính chất tỉ lệ thức và tính chất dãy tỉ số bằng nhau để xác định các thành phần chưa
biết.
+ Chứng minh đẳng thức, tỉ lệ thức.
+ Giải được một số bài toán lời văn chia theo tỉ lệ đơn giản.
Trang 2
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Tỉ lệ thức
Định nghĩa
Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số
a c
b d
hay
: :
a b c d
. Ví dụ. Đẳng thức
12 6
14 7
là một tỉ lệ thức.
Các thành phần của tỉ lệ thức
a, b, c, d là các số hạng, trong đó
a, d: Số hạng ngoại tỉ;
b, c: Số hạng trung tỉ.
Trong tỉ lệ thức trên:
12 và 7 là số hạng ngoại tỉ;
14 và 6 là số hạng trung tỉ.
Tính chất
Nếu
thì
ad bc
.
Nếu
ad bc
và
, , , 0
a b c d
thì
; ; ;
a c b d a b c d
b d a c c d a b
.
Từ
12 6
14 7
suy ra
12.7 14.6
.
Nếu
12.7 14.6
thì
12 6 14 7 12 14 6 7
; ; ;
14 7 12 6 6 7 12 14
2. Tính chất dãy tỉ số bằng nhau
Cho
a c
b d
. Khi đó:
a c a c a c
b d
b d b d b d
.
Mở rộng
;
a c ma nc ma nc
b d mb nd mb nd
a c e a c e a c e
b d f b d f b d f
(giả thiết các tỉ số trên đều có nghĩa).
Từ tỉ lệ thức
12 6
14 7
, ta có:
12 6 12 6 18
14 7 14 7 21
.
SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA
TỈ LỆ THỨC. TÍNH CHẤT DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
Tỉ lệ thức là đẳng thức
của hai tỉ số
.
Nếu
a c
b d
thì
ad bc
.
Nếu
ad bc
và
, , , 0
a b c d
thì
; ; ;
a c b d a b c d
b d a c c d a b
.
Cho tỉ lệ thức
a c
b d
. Khi đó:
;
a c a c
b d b d
b d b d
.
a c ma nc
b d mb nd
a c e a c e a c e
b d f b d f b d f
Trang 3
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Thay tỉ số giữa các số hữu tỉ bằng tỉ số giữa các số nguyên
Phương pháp giải
Bước 1. Viết các số hữu tỉ dưới dạng phân số tối giản.
Ví dụ:
3 4 3 1
: :
5 12 5 3
Bước 2. Thực hiện phép chia phân số.
3 3 9
. 9 : 5
5 1 5
Ví dụ mẫu
Ví dụ. Thay tỉ số giữa các số hữu tỉ bằng tỉ số giữa các số nguyên:
a)
2 20
:
7 28
b)
2,4 : 3,2
c)
6
0, 4 :
22
Hướng dẫn giải
a)
2 20 2 5 2 7 2
: : . 2 : 5
7 28 7 7 7 5 5
Vậy
2 20
: 2 : 5
7 28
.
b)
24 32 24 3
2,4 : 3,2 : 3 : 4
10 10 32 4
Vậy
2,4 : 3,2 3 : 4
.
c)
6 4 3 2 11 22
0,4 : : . 22 :15
22 10 11 5 3 15
Vậy
6
0, 4 : 22 :15
22
.
Bài tập tự luyện dạng 1
Câu 1: Thay tỉ số giữa các số hữu tỉ bằng tỉ số giữa các số nguyên:
a)
3 15
:
5 6
b)
1,5 : 8,25
c)
5
: 0,75
8
Câu 2: Thay tỉ số giữa các số hữu tỉ bằng tỉ số giữa các số nguyên:
a)
1,2 : 3,36
b)
1 5
3 : 2
7 14
c)
3
: 0,54
8
Dạng 2: Lập các tỉ lệ thức
Bài toán 1. Lập các tỉ lệ thức từ các số đã cho
Phương pháp giải
Ví dụ. Cho bốn số 2, 4, 7, 14, hãy lập thành tỉ lệ
thức từ các số đã cho.
Hướng dẫn giải
Bước 1. Từ các số đã cho, ta thiết lập tích hai số để
được hai tích bằng nhau dạng
ad bc
.
Bước 1. Ta có:
2.14 4.7
.
Trang 4
Bước 2. Áp dụng tính chất của tỉ lệ thức để thiết
lập tỉ lệ thức.
Bước 2. Suy ra các tỉ lệ thức sau:
2 7 2 4 4 14 7 14
; ; ;
4 14 7 14 2 7 2 4
Ví dụ mẫu
Ví dụ. Lập tất cả các tỉ lệ thức có được từ bốn số sau:
12; 3;40; 10
Hướng dẫn giải
Ta có
12. 10 40. 3
. Suy ra:
12 3 10 3 40 10 40 12
; ; ; .
40 10 40 12 12 3 10 3
Bài toán 2. Kiểm tra tỉ số đã cho có lập thành tỉ lệ thức hay không?
Phương pháp giải
Để kiểm tra các tỉ số đã cho có lập thành tỉ lệ thức
hay không, ta thường làm như sau:
Ví dụ: Các tỉ số sau có lập thành tỉ lệ thức không:
3
: 6
5
và
4
: 8
5
?
Hướng dẫn giải
Bước 1. Thay tỉ số giữa hai số hữu tỉ thành phân
số: Thường đưa hai tỉ số về dạng hai phân số cùng
mẫu.
Bước 1.
3 3 1 1 4 4 1 1
: 6 . ; : 8 .
5 5 6 10 5 5 8 10
Bước 2. Áp dụng định nghĩa tỉ lệ thức: Nếu giá trị
hai tỉ số bằng nhau thì chúng lập thành tỉ lệ thức.
Bước 2.
Suy ra
3 4
: 6 : 8
5 5
nên
3
: 6
5
và
4
: 8
5
lập thành tỉ lệ
thức.
Ví dụ mẫu
Ví dụ. Các tỉ số sau có lập thành tỉ lệ thức không?
a)
2
: 8
5
và
4
:16
5
.
b)
1
4 : 8
3
và
2
3 :13
3
.
c)
1
3
và
1
3 :13
4
.
Hướng dẫn giải
a)
2 2 1 1
: 8 .
5 5 8 20
và
4 4 1 1
:16 .
5 5 16 20
.
Do đó
2
: 8
5
và
4
:16
5
lập thành tỉ lệ thức.
b)
1 13 1 13
4 : 8 .
3 3 8 24
và
2 11 1 11
3 :13 .
3 3 13 39
.
Do
13 11
24 39
nên
1
4 : 8
3
và
2
3 :13
3
không lập thành tỉ lệ thức.
Trang 5
c) Ta có
1 7 1 1
2 : 7 .
3 3 7 3
và
1 13 1 1
3 :13 .
4 4 13 4
.
Do
1 1
3 4
nên
1
2 : 7
3
và
1
3 :13
4
không lập thành tỉ lệ thức.
Bài toán 3. Lập tỉ lệ thức từ tỉ lệ thức đã cho
Phương pháp giải
Từ tỉ lệ thức
a c
b d
, ta có thể lập được ba tỉ lệ thức khác bằng cách: Ví dụ: Cho tỉ lệ thức
3 9
5 15
. Các
tỉ lệ thức được lập từ tỉ lệ thức
ban đầu là:
Giữ nguyên ngoại tỉ a, d và đổi chỗ các trung tỉ b, c ta được:
a b
c d
.
3 9 3 5
5 15 9 15
.
Giữ nguyên trung tỉ b, c và đổi chỗ các ngoại tỉ a, d ta được:
d c
b a
.
3 9 15 9
5 15 5 3
.
Đổi chỗ các ngoại tỉ với nhau, các trung tỉ với nhau, ta được
d b
c a
.
3 9 15 5
5 15 9 3
.
Ví dụ mẫu
Ví dụ. Lập tất cả các tỉ lệ thức có thể từ tỉ lệ thức sau:
5 1,2
15 3,6
.
Hướng dẫn giải
Vì
5 1,2
15 3,6
nên ta lập được các tỉ lệ thức sau:
3,6 1,2 15 5 15 3,6
; ; .
15 5 3,6 1,2 5 1,2
Bài toán 4. Lập các tỉ lệ thức từ đẳng thức đã cho
Phương pháp giải
Áp dụng tính chất:
Nếu
ad bc
và
, , , 0
a b c d
thì ta có các tỉ lệ thức
sau:
; ; ;
a c a b d c d b
b d c d b a c a
.
Ví dụ: Cho đẳng thức
3.4 6.2
, hãy lập tỉ lệ thức
từ đẳng thức đã cho.
Ta có
3.4 6.2
nên ta có các tỉ lệ thức sau:
3 6 3 2 4 2 6 4
; ; ; .
2 4 6 4 6 3 3 2
Chú ý:
Luôn đảm bảo các cặp số 3 và 4; 2 và 6 nằm ở vị trí
chéo nhau.
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Lập tất cả các tỉ lệ thức từ các đẳng thức sau:
a)
14.15 10.21
b)
5.8 20. 2
Hướng dẫn giải
a) Vì
14.15 10.21
nên ta có các tỉ lệ thức sau:
14 21 15 21 10 15 10 14
; ; ; .
10 15 10 14 14 21 15 21
Trang 6
b) Vì
5.8 20. 2
nên ta có các tỉ lệ thức sau:
5 2 5 20 2 8 20 8
; ; ; .
20 8 2 8 5 20 5 2
Ví dụ 2. Lập tất cả các tỉ lệ thức từ các đẳng thức sau:
a)
. 2.3
AB CD
b)
4. 5.
AB MN
Hướng dẫn giải
a) Vì
. 2.3
AB CD
nên ta có các tỉ lệ thức sau:
3 3 2 2
; ; ; .
2 2 3 3
AB CD AB CD
CD AB CD AB
b) Vì
4. 5.
AB MN
nên ta có các tỉ lệ thức sau:
4 5 4 5
; ; ; .
5 4 5 4
AB MN MN AB
AB AB MN MN
Bài tập tự luyện dạng 2
Chọn đáp án đúng nhất trong các câu từ 1 đến 4.
Câu 1: Cặp tỉ số nào dưới đây lập thành tỉ lệ thức?
a)
3 5
:
8 2
và
3 4
:
5 3
. b)
4 2
:
7 9
và
1 7
:
3 2
. c)
3
0,3 :
8
và
2 3
:
5 6
. d)
3
1,2 :
8
và
1,6 :10
.
Câu 2: Tỉ lệ thức nào sau đây không được lập từ tỉ lệ thức
14 21
8 12
?
A.
14 8
21 12
B.
21 12
14 8
C.
21 14
8 12
D.
12 8
21 14
Câu 3: Điền số vào ô trống để được tỉ lệ thức đúng:
5
125 100
.
Số cần điền là:
A. 4. B.
4.
C. 2. D. 8.
Câu 4: Cặp tỉ số nào dưới đây lập thành tỉ lệ thức?
A.
3 5
:
8 2
và
3 4
:
5 3
. B.
4 2
:
7 9
và
1 7
:
3 2
. C.
3 1
2 : 5
4 2
và
7 4
: 2
5 5
. D.
1,2 : 2, 4
và
4 :10
.
Câu 5: Các tỉ số sau đây có lập thành tỉ lệ thức hay không?
a)
3,6 : 4,8
và
4
0,6 :
5
. b)
1
4 : 8
3
và
2
3 :13
3
.
Câu 6: Lập tất cả các tỉ lệ thức có được từ các đẳng thức
2 .15 3. 10
Câu 7: Lập tất cả các tỉ lệ thức có được từ các số:
3;9;27;81
.
Câu 8: Lập tất cả các tỉ lệ thức có được từ các số:
5;2;8;20
.
Dạng 3: Tìm thành phần chưa biết
Bài toán 1: Tìm số hạng chưa biết trong một tỉ lệ thức
Phương pháp giải
Ta sử dụng tính chất
Nếu
a c
b d
thì
; ; ;
bc ad ad bc
a b c d
d c b a
Ví dụ: Tìm x biết:
4
2 7
x
.
Hướng dẫn giải
Cách ghi nhớ: Để tìm x trong tỉ lệ thức ta áp dụng
quy tắc “nhân chéo, chia ngang”.
Vì
4
2 7
x
nên
2.4 8
7 7
x
.
Trang 7
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Tìm x trong các đẳng thức sau:
)12 : 5 :1,5
a x
) 3,75 : 4,8 : 2,5
b x
Hướng dẫn giải
)12 : 5 :1,5
12
5 1,5
12.1,5
5
18
5
a x
x
x
x
Vậy
18
5
x
.
) 3,75 : 4,8 : 2,5
3,75 4,8
2,5
3,75.2,5
4,8
125
64
b x
x
x
x
Vậy
125
64
x
.
Ví dụ 2. Tìm x biết:
60
)
15
x
a
x
2 3 1
)
4 3
x x
b
Hướng dẫn giải
2
2
60
)
15
15.60
900
x
a
x
x
x
Mà
2
2
900 30 30
nên
30
x
.
Vậy
30
x
2 3 1
)
4 3
3 2 4 3 1
6 3 12 4
3 12 4 6
9 2
2
9
x x
b
x x
x x
x x
x
x
Vậy
2
9
x
.
Bài toán 2. Tìm nhiều thành phần chưa biết (x, y, z,…) thỏa mãn điều kiện cho trước
Phương pháp giải
Ví dụ: Cho
2 3
x y
và
10
x y
. Tìm x, y.
Hướng dẫn giải
Cách 1:
Sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, biến đổi
để xuất hiện điều kiện đã cho của đề bài.
Từ đó tính được giá trị của dãy tỉ số bằng nhau.
Cách 1: Ta có
2 3
x y
.
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
10
2
2 3 2 3 5
x y x y
.
Suy ra
2.2 4
x
và
2.3 6
y
.
Cách 2: Đặt
x y z
k
a b c
.
Cách 2:
Trang 8
- Suy ra
. ; . ; .
x a k y b k z c k
.
- Thay các giá trị trên của x, y, z vào điều kiện đã cho
của đề bài, tìm được giá trị của k.
- Tính giá trị của x, y, z từ giá trị k vừa tìm được.
Đặt
2 ; 3
2 3
x y
k x k y k
Vì
10
x y
nên
2 3 10 5 10 2
k k k k
Vậy
2 2.2 4
x k
và
3 3.2 6
y k
.
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho
3 6
x y
. Tìm x, y biết:
a)
90
x y
b)
4 42
x y
.
Hướng dẫn giải
a) Ta có:
3 6
x y
.
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
90
10 3.10 30; 6.10 60.
3 6 3 6 9
x y x y
x y
Vậy
30
x
và
60
y
.
b) Từ
3 6
x y
suy ra
4
12 6
x y
.
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
4 4 42
7
12 6 12 6 6
x y x y
.
Suy ra
4 12.7 84; 6.7 42
x y
.
Suy ra
21; 42
x y
.
Vậy
21
x
và
42
y
.
Ví dụ 2. Cho
2 3 5
x y z
. Tìm x, y, z biết:
a)
30
x y z
b)
2 3 33
x y z
.
Hướng dẫn giải
a) Ta có:
2 3 5
x y z
.
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
30
3
2 3 5 2 3 5 10
2.3 6; 3.3 9; 5.3 15
x y z x y z
x y z
Vậy
6; 9; 15
x y z
.
b) Từ
2 3 5
x y z
suy ra
2 3
2 6 15
x y z
.
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
2 3 2 3 33
3
2 6 15 2 6 15 11
3.2 6; 2 3.6 18; 3 3.15 45
6; 9; 15.
x y z x y z
x y z
x y z
Vậy
6; 9; 15.
x y z
Trang 9
Ví dụ 3*. Cho
2 3 42
x y z
. Tìm x, y, z biết:
a)
1 2 1
.
3 4 13
x y z
b)
;
3 5 2 7
x y y z
.
Hướng dẫn giải
a)
1 2 1 2 2 3 6 1
3 4 13 6 12 13
x y z x y z
.
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
2 2 3 6 1 2 2 3 6 1 2 3 7 42 7 49
7
6 12 13 6 12 13 7 7 7
2 2 6.7 42 2 40 20
3 6 7.12 84 3 90 30
1 13.7 91 92 92
x y z x y z x y z
x x x
y y y
z z z
Vậy
20; 30; 92.
x y z
b) Ta có
3 5
x y
nên
6 10
x y
và
2 7 10 35
y z y z
.
Suy ra
6 10 35
x y z
. Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
2 3 42 6 36 60 210
; ; .
6 10 35 12 30 35 77 11 11 11 11
x y z x y z
x y z
Vậy
36 60 210
; ; .
11 11 11
x y z
Bài tập tự luyện dạng 3
Chọn đáp án đúng nhất trong mỗi câu (Câu 1 đến câu 5)
Câu 1: Cho
3 5
x y
và
24
x y
. Giá trị của
3 5
x y
là:
A. 132. B. 80. C. 102. D. 78.
Câu 2: Khẳng định nào dưới đây là đúng?
A.
2 3
3 5 15
x y x y
. B.
2 4
4 5 28
x y x y
C.
3
3 7 25
x y x y
D.
2
5 6 15
x y x y
Câu 3: Cho
1 9
4 1
x
x
và
0
x
. Giá trị của x là:
A.
5
. B. 6. C.
6
. D. 5.
Câu 4: Biểu thức nào dưới đây là đúng?
A.
3 4
4 7 40
x y x y
B.
2 4
4 5 12
x y x y
C.
3
5 7 28
x y x y
D.
5 6 10
x y x y
Câu 5: Cho
3 27
8 4
x
. Giá trị của x là:
A. 54. B. 56. C. 57. D. 58.
Câu 6: Tìm x biết:
a)
4 8
3 : 0, 25:
5 5
x
. b)
2 3 3 1
24 32
x x
. c)
13 2 76
2 5 17
x
x
.
Trang 10
Câu 7: Tìm các số x, y biết:
a)
6
5
x
y
và
121
x y
.
b)
4 5
x y
và
2 5 40
x y
.
Câu 8: Tìm các số x, y, z biết:
a)
3 4 6
x y z
và
52
x y z
.
b)
3 5 7
x y z
và
2 3 110
x y z
.
Dạng 4: Chứng minh tỉ lệ thức
Phương pháp giải
Để chứng minh tỉ lệ thức
a c
b d
, ta thường sử dụng một
trong ba cách sau:
Ví dụ: Chứng minh rằng:
Nếu
a c
b d
thì
a b c d
b d
.
Hướng dẫn giải
Cách 1. Chứng tỏ
.
ad bc
Cách 1. Do
a c
b d
nên
.
ad bc
Xét
a b c d
b d
d a b b c d
ad bd bc bd
ad bc
(đúng).
Vậy
a b c d
b d
.
Cách 2. Chứng tỏ
a
b
và
c
d
có cùng giá trị. Cách 2. Đặt
a c
t
b d
. Khi đó
a bt
và
c dt
.
Do đó
1
1
1
1
b t
a b bt b
t
b b b
d t
c d dt d
t
d d d
Vậy
a b c d
b d
.
Cách 3. Dùng tính chất tỉ lệ thức và tính chất dãy tỉ số
bằng nhau.
Cách 3. Ta có:
a c a b
b d c d
.
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
a b a b b a b
c d c d d c d
.
a b c d
b d
(điều phải chứng minh).
Ví dụ mẫu
Trang 11
Ví dụ 1. Cho tỉ lệ thức
a c
b d
. Chứng minh:
a c
a b c d
.
Hướng dẫn giải
Ta có
nên
ad bc
. Xét
. .
a c
a c d a b c ac ad ac bc ad bc
a b c d
(đúng).
Vậy
a c
a b c d
.
Ví dụ 2. Cho tỉ lệ thức
a c
b d
. Chứng minh:
a b a b
c d c d
(giả sử các tỉ lệ thức đều có nghĩa).
Hướng dẫn giải
Đặt
a c
t a bt
b d
và
.
Do đó
1
;
1
1
.
1
b t
a b bt b b
c d dt d d t d
b t
a b bt b b
c d dt d d t d
Suy ra
a b a b
c d c d
.
Bài tập tự luyện dạng 4
Câu 1: Cho
c d
. Giả thiết các tỉ lệ thức đều có nghĩa. Chứng minh:
a)
a c b d
c d
. b)
a c a c
b d b d
.
Câu 2: Cho
. Giả thiết các tỉ lệ thức đều có nghĩa. Chứng minh:
a)
a b c d
b d
. b)
a b c d
a b c d
.
Câu 3: Cho tỉ lệ thức
, chứng minh:
a)
2 2
a b c d
b d
. b)
3 3
a b c d
b d
.
Dạng 5: Giải các bài toán lời văn chia theo tỉ lệ
Phương pháp giải
Với các bài toán có lời văn chia theo tỉ lệ, ta
thường làm như sau:
Ví dụ: Mẹ và con có tổng số tuổi bằng 35. Biết rằng
tuổi mẹ gấp 4 lần tuổi con. Tính tuổi mỗi người.
Hướng dẫn giải
Bước 1. Gọi các đại lượng cần tìm là x, y, z (tùy
đề bài yêu cầu).
Gọi tuổi mẹ là x, tuổi con là y (tuổi).
Điều kiện:
*
, ,
x y x y
.
Bước 2. Từ điều kiện bài toán cho, đưa về dãy tỉ
Theo đề ra, ta có:
35
x y
và
4 1
x y
.
Trang 12
số bằng nhau.
Bước 3. Sử dụng các phương pháp ở dạng 3 để
giải.
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
35
7
4 1 4 1 5
x y x y
.
Suy ra
4.7 28; 1.7 7
x y
.
Vậy tuổi mẹ bằng 28, tuổi con bằng 7.
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. An và Chi có số viên bi lần lượt tỉ lệ với 4; 5. Biết rằng An có số bi ít hơn Chi là 4 viên. Tính số
viên bi của mỗi bạn.
Hướng dẫn giải
Gọi số bi của An và Chi lần lượt là x và y (viên) với
*
, ;
x y x y
.
Theo đề bài, ta có:
4 5
x y
và
4
y x
.
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
4
4 4.4 16; 4.5 20
4 5 5 4 1
x y y x
x y
.
Vậy số bi của An là 16 viên, số bi của Chi là 20 viên.
Ví dụ 2. Các cạnh của một tam giác có số đo tỉ lệ với các số 3, 5, 7. Tính số đo mỗi cạnh của tam giác đó
biết chu vi của nó là 40,5 cm.
Hướng dẫn giải
Gọi ba cạnh của tam giác lần lượt là x, y, z (cm) với
, , 0
x y z
.
Theo đề bài ra ta có mối liên hệ:
3 5 7
x y z
và
40,5
x y z
.
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
40, 5
2,7
3 5 7 3 5 7 15
8,1; 13,5; 18,9
x y z x y z
x y z
Vậy độ dài ba cạnh của tam giác là 8,1 cm; 13,5 cm; 18,9 cm.
Bài tập tự luyện dạng 5
Câu 1: Số sản phẩm của hai công nhân lần lượt tỉ lệ với 8; 5. Biết rằng người thứ nhất làm nhiều hơn
người thứ hai 60 sản phẩm. Tính số sản phẩm mỗi người làm được.
Câu 2: Tỉ số hai cạnh của hình chữ nhật bằng
2
5
. Chu vi hình chữ nhật là 42 m. Tính diện tích của hình
chữ nhật.
Câu 3: Lớp 7A, 7B, 7C có tổng số học sinh bằng 105, biết số học sinh lớp 7A bằng
2
3
số học sinh lớp
7B, số học sinh lớp 7B bằng
6
11
số học sinh lớp 7C. Tính số học sinh của mỗi lớp.
Câu 4: Một khu vườn hình chữ nhật có diện tích
2
300
m
. Hai cạnh tỉ lệ với 4 và 3. Tính chiều dài, chiều
rộng của khu vườn.
Trang 13
ĐÁP ÁN
Dạng 1. Thay tỉ số giữa các số hữu tỉ bằng tỉ số giữa các số nguyên
Câu 1:
a)
3 15 3 5 3 2 6
: : . 6 : 25
5 6 5 2 5 5 25
.
Vậy
3 15
: 6 : 25
5 6
.
b)
15 825 3 33 3 4 2
1,5 :8,25 : : . 2 :11
10 100 2 4 2 33 11
.
Vậy
1,5 : 8,25 2 :11
.
c)
5 5 3 5 4 5
: 0,75 : . 5 : 6
8 8 4 8 3 6
.
Vậy
5
: 0,75 5 : 6
8
.
Câu 2: Tương tự câu 1.
a)
1,2 : 3,36 5 :14
. b)
1 5
3 : 2 4 : 3
7 14
. c)
3
: 0,54 25 : 36
8
.
Dạng 2. Lập các tỉ lệ thức
Câu 1: Chọn C.
3 3 8 8 4
0,3 : .
8 10 3 10 5
và
2 3 2 1 2 2 4
: : .
5 6 5 2 5 1 5
.
Vậy
3
0,3 :
8
và
2 3
:
5 6
lập thành tỉ lệ thức.
Câu 2: Chọn C.
Từ tỉ lệ thức
14 21
8 12
, ta có các tỉ lệ thức sau:
14 8 21 12 12 8
; ;
21 12 14 8 21 14
.
Đẳng thức
21 14
8 12
không là tỉ lệ thức vì
21.12 8.14
.
Câu 3: Chọn B.
Vì
5. 100 125. 4
nên
5 4
125 100
.
Câu 4: Chọn C.
Ta có
3 1 11 11 1 7 4 7 14 7 1
2 : 5 : ; : 2 :
4 2 4 2 2 5 5 5 5 14 2
Vậy
3 1
2 : 5
4 2
và
7 4
: 2
5 5
lập thành tỉ lệ thức.
Câu 5:
a) Ta có
36 3
3,6 : 4,8
48 4
và
4 6 5 3
0,6 : .
5 10 4 4
nên hai tỉ số đã cho lập thành tỉ lệ thức.
b) Ta có
1 13 1 13
4 : 8 .
3 3 8 24
và
2 11 1 11
3 :13 .
3 3 13 39
Trang 14
Vì
13 11
24 39
nên hai tỉ số không lập thành tỉ lệ thức.
Câu 6:
Ta có
2 .15 3. 10
nên ta có các tỉ lệ thức sau:
2 10 15 10 3 2 3 15
; ; ; .
3 15 3 2 15 10 2 10
Câu 7:
Nhận thấy
3.81 9.27
nên ta có các tỉ lệ thức sau:
3 27 81 27 9 3 9 81
; ; ; .
9 81 9 3 81 27 3 27
Câu 8:
Nhận thấy
5.8 2.20
nên ta lập được các tỉ lệ thức sau:
5 20 2 8 8 20 2 5
; ; ; .
2 8 5 20 2 5 8 20
Dạng 3. Tìm thành phần chưa biết
Câu 1: Chọn C.
Vì
3 5
x y
và
24
x y
nên áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
24
3 3.3 9; 5.3 15 3 5 3.9 5.15 102.
3 5 3 5 8
x y x y
x y x y
Câu 2: Chọn B.
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
2 4 2 4
.
4 5 2.4 4.5 28
x y x y x y
Câu 3: Chọn D.
2
1 9
4 1
1 36
x
x
x
1 6
x
hoặc
1 6
x
5
x
hoặc
7
x
Vì
0
x
nên
5
x
.
Vậy
5
x
.
Câu 4: Chọn A.
Dựa vào tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
3 4 3 4
.
4 7 3.4 4.7 40
x y x y x y
Câu 5: Chọn C.
3 27 27.8
3 3 54 54 3 57
8 4 4
x
x x x x
Vậy
57
x
.
Câu 6:
Trang 15
4 8
) 3 : 0,25 :
5 5
19 0,25
8
8.0,25
19
2
19
a x
x
x
x
Vậy
2
19
x
.
2 3 3 1
)
24 32
2 3 3 1
3 4
4 2 3 3 3 1
8 12 9 3
8 9 3 12
15
15
x x
b
x x
x x
x x
x x
x
x
Vậy
15
x
.
13 2 76
)
2 5 17
17 13 2 76 2 5
221 34 152 380
221 152 380 34
69 414
6
x
c
x
x x
x x
x x
x
x
Vậy
6
x
.
Câu 7:
a) Vì
6
5
x
y
nên
6 5
x y
.
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
121
11 66; 55
6 5 6 5 11
x y x y
x y
Vậy
66
x
và
55
y
.
b) Do
4 5
x y
nên
5 4
x y
.
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
2 5 40
4 20; 16
5 4 2.5 5.4 10
x y x y
x y
Vậy
20; 16
x y
.
Câu 8:
a)
3 4 6
x y z
và
52
x y z
.
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
52
4 12; 16; 24
3 4 6 3 4 6 13
x y z x y z
x y z
Vậy
12; 16; 24
x y z
.
b)
3 5 7
x y z
và
2 3 110
x y z
.
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
2 3 110
5 15; 25; 35
3 5 7 3.2 5 3.7 22
x y z x y z
x y z
Vậy
15; 25; 35
x y z
.
Dạng 4. Chứng minh tỉ lệ thức
Câu 1:
Đặt
;
a b
k a ck b dk
c d
.
a) Ta có:
1
1;
1
1.
c k
a c ck c
k
c c c
d k
b d dk d
k
d d d
Vậy
a c b d
c d
.
Trang 16
b) Ta có:
1
;
1
1
.
1
c k
a c ck c c
b d dk d d k d
c k
a c ck c c
b d dk d d k d
Vậy
a c a c
b d b d
.
Câu 2:
Đặt
;
a c
k a bk c dk
b d
a) Ta có:
1
1;
1
1.
b k
a b bk b
k
b b b
d k
c d dk d
k
d d d
Do đó
a b c d
b d
.
b) Ta có:
1
1
;
1 1
1
1
.
1 1
b k
a b bk b k
a b bk b b k k
d k
c d dk d k
c d dk d d k k
Vậy
a b c d
a b c d
.
Câu 3:
Đặt
a c
k
b d
ta có
;
a bk c dk
.
a) Ta có:
2
2 2
2;
2
2 2
2.
b k
a b bk b
k
b b b
d k
c d dk d
k
d d d
Vậy
2 2
a b c d
b d
.
b) Ta có:
3 3
3;
3 3
3.
a b bk b
k
b b
c d dk d
k
d d
Vậy
3 3
a b c d
b d
.
Dạng 5. Giải các bài toán lời văn chia theo tỉ lệ
Câu 1:
Gọi số sản phẩm của công nhân thứ nhất và thứ hai lần lượt là x, y. Đơn vị: sản phẩm và điều kiện:
,x y
.
Theo đề ra, ta có mối liên hệ:
8 5
x y
và
60
x y
.
Trang 17
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
60
20 8.20 160; 20.5 100
8 5 8 5 3
x y x y
x y
.
Vậy công nhân thứ nhất làm được 160 sản phẩm, công nhân thứ hai làm được 100 sản phẩm.
Câu 2:
Gọi kích thước của chiều dài và chiều rộng hình chữ nhật là y (m) và x (m). Điều kiện:
, 0
x y
.
Theo đề ra, ta có:
: 2 : 5
x y
và
2 42
2 5
x y
x y
và
21
x y
.
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:
21
3 6; 15
2 5 2 5 7
x y x y
x y
.
Vậy diện tích hình chữ nhật là
2
6.15 90
S m
.
Câu 3: Gọi số học sinh lớp 7A, 7B, 7C lần lượt là x, y, z (em) với
*
, ,x y z
.
Theo đề bài, ta có:
105;
2 3
x y
x y z
và
6 11
y z
.
Từ
2 3
x y
và
6 11
y z
ta có:
4 6 11
x y z
.
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
105
5 20; 30; 55.
4 6 11 4 6 11 21
x y z x y z
x y z
Vậy số học sinh lớp 7A, 7B, 7C lần lượt là 20 học sinh, 30 học sinh và 55 học sinh.
Câu 4:
Gọi chiều dài và chiều rộng của khu vườn lần lượt là x, y (m) với
, 0
x y
Do diện tích bằng
2
300
m
nên
. 300 1
x y
Hai cạnh tỉ lệ với 4 và 3 nên
4 3
x y
.
Đặt
4 , 3 0
4 3
x y
k x k y k k
, thay vào (1) ta có:
2 2
12 300 25 5
k k k
(do
0
k
) .
20; 15
x y
.
Vậy chiều dài của khu vườn là 20 m và chiều rộng là 15 m.
| 1/17
| | Tải xuống

Tài liệu khác của Toán 7

Preview text:

BÀI 6. TỈ LỆ THỨC. TÍNH CHẤT DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU Mục tiêu  Kiến thức
+ Nắm được định nghĩa tỉ lệ thức, các thành phần và các tính chất cơ bản của tỉ lệ thức.
+ Nắm được tính chất của dãy tỉ số bằng nhau.  Kĩ năng
+ Dựa vào định nghĩa tỉ lệ thức, thành lập được các tỉ lệ thức từ các số, tỉ số đã cho.
+ Áp dụng tính chất cơ bản của tỉ lệ thức để thành lập các tỉ lệ thức mới từ tỉ lệ thức hoặc đẳng thức đã cho.
+ Vận dụng tính chất tỉ lệ thức và tính chất dãy tỉ số bằng nhau để xác định các thành phần chưa biết.
+ Chứng minh đẳng thức, tỉ lệ thức.
+ Giải được một số bài toán lời văn chia theo tỉ lệ đơn giản. Trang 1 I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM 1. Tỉ lệ thức Định nghĩa 12 6
Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số a c  hay a : b  c : d . Ví dụ. Đẳng thức
 là một tỉ lệ thức. b d 14 7
Các thành phần của tỉ lệ thức
a, b, c, d là các số hạng, trong đó Trong tỉ lệ thức trên:
a, d: Số hạng ngoại tỉ;
12 và 7 là số hạng ngoại tỉ; b, c: Số hạng trung tỉ.
14 và 6 là số hạng trung tỉ. Tính chất  12 6 Nếu a c  thì ad  bc . Từ  suy ra 12.7  14.6 . b d 14 7  Nếu ad  bc và , a , b , c d  0 thì Nếu 12.7  14.6 thì a c b d a b c d 12 6 14 7 12 14 6 7  ;  ;  ;  .  ;  ;  ;  b d a c c d a b 14 7 12 6 6 7 12 14
2. Tính chất dãy tỉ số bằng nhau   12 6 Cho a c  . Khi đó: a c a c a c    b  d . Từ tỉ lệ thức  , ta có: b d b d b  d b  d 14 7 Mở rộng 12 6 12  6 18    . a c ma  nc ma  nc 14 7 14  7 21    ; b d mb  nd mb  nd a c e a  c  e a  c  e     b d f b  d  f b  d  f
(giả thiết các tỉ số trên đều có nghĩa). SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA
TỈ LỆ THỨC. TÍNH CHẤT DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
Tỉ lệ thức là đẳng thức Nếu a c  thì  . ad bc của hai tỉ số a c  . b d b d Nếu ad  bc và , a , b , c d  0 thì a c b d a b c d  ;  ;  ;  . b d a c c d a b a c ma  nc   b d mb  nd 
Cho tỉ lệ thức a c . Khi đó: b d a c e a  c  e a  c  e a c a  c   b  d;b  d .     b d b  d b d f b  d  f b  d  f Trang 2 II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Thay tỉ số giữa các số hữu tỉ bằng tỉ số giữa các số nguyên Phương pháp giải
Bước 1. Viết các số hữu tỉ dưới dạng phân số tối giản. 3 4 3 1 Ví dụ: :  : 5 12 5 3
Bước 2. Thực hiện phép chia phân số. 3 3 9  .   9 : 5 5 1 5 Ví dụ mẫu
Ví dụ. Thay tỉ số giữa các số hữu tỉ bằng tỉ số giữa các số nguyên: 2 20 6 a) : b) 2,4 : 3,2 c) 0,4 : 7 28 22 Hướng dẫn giải 2 20 2 5 2 7 2 a) :  :  .   2 : 5 7 28 7 7 7 5 5 2 20 Vậy :  2 : 5 . 7 28 24 32 24 3 b) 2,4 : 3,2  :    3: 4 10 10 32 4 Vậy 2,4 : 3,2  3: 4 . 6 4 3 2 11 22 c) 0,4 :  :  .   22 :15 22 10 11 5 3 15 6 Vậy 0,4 :  22 :15. 22
Bài tập tự luyện dạng 1
Câu 1: Thay tỉ số giữa các số hữu tỉ bằng tỉ số giữa các số nguyên: 3 15 a) : b) 1,5: 8,25 c) 5 : 0,75 5 6 8
Câu 2: Thay tỉ số giữa các số hữu tỉ bằng tỉ số giữa các số nguyên: 3 a) 1,2 : 3,36 b) 1 5 3 : 2 c) : 0,54 7 14 8
Dạng 2: Lập các tỉ lệ thức
Bài toán 1. Lập các tỉ lệ thức từ các số đã cho Phương pháp giải
Ví dụ. Cho bốn số 2, 4, 7, 14, hãy lập thành tỉ lệ
thức từ các số đã cho. Hướng dẫn giải
Bước 1. Từ các số đã cho, ta thiết lập tích hai số để Bước 1. Ta có: 2.14  4.7 .
được hai tích bằng nhau dạng ad  bc . Trang 3
Bước 2. Áp dụng tính chất của tỉ lệ thức để thiết Bước 2. Suy ra các tỉ lệ thức sau: lập tỉ lệ thức. 2 7 2 4 4 14 7 14  ;  ;  ;  4 14 7 14 2 7 2 4 Ví dụ mẫu
Ví dụ. Lập tất cả các tỉ lệ thức có được từ bốn số sau: 12;3;40;10 Hướng dẫn giải 12 3  1  0 3  40 1  0 40 12 Ta có 12. 1  0  40. 3   . Suy ra:  ;  ;  ;  . 40 1  0 40 12 12 3  1  0 3 
Bài toán 2. Kiểm tra tỉ số đã cho có lập thành tỉ lệ thức hay không? Phương pháp giải
Để kiểm tra các tỉ số đã cho có lập thành tỉ lệ thức Ví dụ: Các tỉ số sau có lập thành tỉ lệ thức không:
hay không, ta thường làm như sau: 3 4 : 6 và : 8 ? 5 5 Hướng dẫn giải
Bước 1. Thay tỉ số giữa hai số hữu tỉ thành phân 3 3 1 1 4 4 1 1 Bước 1. : 6  .  ; : 8  . 
số: Thường đưa hai tỉ số về dạng hai phân số cùng 5 5 6 10 5 5 8 10 mẫu.
Bước 2. Áp dụng định nghĩa tỉ lệ thức: Nếu giá trị Bước 2.
hai tỉ số bằng nhau thì chúng lập thành tỉ lệ thức. 3 4 3 4
Suy ra : 6  : 8 nên : 6 và : 8 lập thành tỉ lệ 5 5 5 5 thức. Ví dụ mẫu
Ví dụ. Các tỉ số sau có lập thành tỉ lệ thức không? 2 4 a) :8 và :16 . 5 5 1 2 b) 4 : 8 và 3 :13. 3 3 1 1 c) 2 : 7 và 3 :13 . 3 4 Hướng dẫn giải 2 2 1 1 4 4 1 1 a) :8  .  và :16  .  . 5 5 8 20 5 5 16 20 2 4
Do đó :8 và :16 lập thành tỉ lệ thức. 5 5 1 13 1 13 2 11 1 11 b) 4 : 8  .  và 3 :13  .  . 3 3 8 24 3 3 13 39 13 11 1 2 Do 
nên 4 : 8 và 3 :13 không lập thành tỉ lệ thức. 24 39 3 3 Trang 4 1 7 1 1 1 13 1 1
c) Ta có 2 : 7  .  và 3 :13  .  . 3 3 7 3 4 4 13 4 1 1 1 1
Do  nên 2 : 7 và 3 :13 không lập thành tỉ lệ thức. 3 4 3 4
Bài toán 3. Lập tỉ lệ thức từ tỉ lệ thức đã cho Phương pháp giải 3 9 Từ tỉ lệ thức a c
 , ta có thể lập được ba tỉ lệ thức khác bằng cách:
Ví dụ: Cho tỉ lệ thức  . Các b d 5 15
tỉ lệ thức được lập từ tỉ lệ thức ban đầu là:
Giữ nguyên ngoại tỉ a, d và đổi chỗ các trung tỉ b, c ta được: a b  .  3 9 3 5    . c d 5 15 9 15
Giữ nguyên trung tỉ b, c và đổi chỗ các ngoại tỉ a, d ta được: d c  .  3 9 15 9    . b a 5 15 5 3
Đổi chỗ các ngoại tỉ với nhau, các trung tỉ với nhau, ta được d b  .  3 9 15 5    . c a 5 15 9 3 Ví dụ mẫu 5  1  ,2
Ví dụ. Lập tất cả các tỉ lệ thức có thể từ tỉ lệ thức sau:  . 15 3,6 Hướng dẫn giải 5  1  ,2 3,6 1  ,2 15 5 15 3,6 Vì 
nên ta lập được các tỉ lệ thức sau:  ;  ;  . 15 3,6 15 5  3,6 1  ,2 5  1  ,2
Bài toán 4. Lập các tỉ lệ thức từ đẳng thức đã cho Phương pháp giải Áp dụng tính chất:
Ví dụ: Cho đẳng thức 3.4  6.2 , hãy lập tỉ lệ thức Nếu ad  bc và , a ,
b c,d  0 thì ta có các tỉ lệ thức từ đẳng thức đã cho.
Ta có 3.4  6.2 nên ta có các tỉ lệ thức sau: sau: a c a b d c d b  ;  ;  ;  . b d c d b a c a 3 6 3 2 4 2 6 4  ;  ;  ;  . 2 4 6 4 6 3 3 2 Chú ý:
Luôn đảm bảo các cặp số 3 và 4; 2 và 6 nằm ở vị trí chéo nhau. Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Lập tất cả các tỉ lệ thức từ các đẳng thức sau: a) 14.15 10.21 b) 5  .8  20. 2   Hướng dẫn giải 14 21 15 21 10 15 10 14
a) Vì 14.15 10.21 nên ta có các tỉ lệ thức sau:  ;  ;  ;  . 10 15 10 14 14 21 15 21 Trang 5 5  2 5  20 2  8 20 8 b) Vì 5  .8  20. 2
  nên ta có các tỉ lệ thức sau:  ;  ;  ;  . 20 8 2  8 5 20 5 2 
Ví dụ 2. Lập tất cả các tỉ lệ thức từ các đẳng thức sau: a) A . B CD  2.3 b) 4.AB  5.MN Hướng dẫn giải AB 3 CD 3 2 AB 2 a) Vì CD A .
B CD  2.3 nên ta có các tỉ lệ thức sau:  ;  ;  ;  . 2 CD 2 AB CD 3 AB 3 AB MN 4 MN 5 4 5 b) Vì AB
4.AB  5.MN nên ta có các tỉ lệ thức sau:  ;  ;  ;  . 5 4 5 AB AB MN 4 MN
Bài tập tự luyện dạng 2
Chọn đáp án đúng nhất trong các câu từ 1 đến 4.
Câu 1: Cặp tỉ số nào dưới đây lập thành tỉ lệ thức? 3 5 3 4 4 2 1 7 3 2 3 3 a) : và : . b) : và : . c) 0,3: và : . d) 1,2 : và 1,6 :10 . 8 2 5 3 7 9 3 2 8 5 6 8 14 21
Câu 2: Tỉ lệ thức nào sau đây không được lập từ tỉ lệ thức  ? 8 12 14 8 21 12 21 14 12 8 A.  B.  C.  D.  21 12 14 8 8 12 21 14 5
Câu 3: Điền số vào ô trống để được tỉ lệ thức đúng:  . 125 1  00 Số cần điền là: A. 4. B. 4  . C. 2. D. 8.
Câu 4: Cặp tỉ số nào dưới đây lập thành tỉ lệ thức? 3 5 3 4 4 2 1 7 3 1 7 4 A. : và : . B. : và : . C. 2 : 5 và : 2 . D. 1,2 : 2,4 và 4 :10 . 8 2 5 3 7 9 3 2 4 2 5 5
Câu 5: Các tỉ số sau đây có lập thành tỉ lệ thức hay không? 4 1 2 a) 3,6 : 4,8 và 0,6 : . b) 4 :8 và 3 :13. 5 3 3
Câu 6: Lập tất cả các tỉ lệ thức có được từ các đẳng thức  2  .15  3. 1  0
Câu 7: Lập tất cả các tỉ lệ thức có được từ các số: 3;9;27;81.
Câu 8: Lập tất cả các tỉ lệ thức có được từ các số: 5;2;8;20 .
Dạng 3: Tìm thành phần chưa biết
Bài toán 1: Tìm số hạng chưa biết trong một tỉ lệ thức Phương pháp giải Ta sử dụng tính chất x 4
Ví dụ: Tìm x biết:  . 2 7 Nếu a c  thì bc ad ad bc a  ;b  ;c  ;d  b d d c b a Hướng dẫn giải
Cách ghi nhớ: Để tìm x trong tỉ lệ thức ta áp dụng x 4 2.4 8 Vì  nên x   .
quy tắc “nhân chéo, chia ngang”. 2 7 7 7 Trang 6 Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Tìm x trong các đẳng thức sau: a)12 : 5  x :1,5 b) 3,75 : x  4,8 : 2,5 Hướng dẫn giải a)12 : 5  x :1,5 b) 3,75: x  4,8 : 2,5 12 x   3,75 4,8   5 1,5 x 2,5 12.1,5  3,75.2,5 x   x  5 4,8 18  x  125  x  5 64 18 Vậy x  . 125 Vậy x  . 5 64 Ví dụ 2. Tìm x biết: x 2  x 3x 1 a  60 ) b)  15 x 4 3 Hướng dẫn giải x 2  x 3x 1 a  60 ) b)  15 x 4 3   2 x  15.60
 32  x  43x   1  2 x  900  6  3x  12x  4 Mà    2 2  3x 12x  4   6 900 30 30 nên x  3  0 .  9x  2 Vậy x  3  0 2   x  9 2  Vậy x  . 9
Bài toán 2. Tìm nhiều thành phần chưa biết (x, y, z,…) thỏa mãn điều kiện cho trước Phương pháp giải Ví dụ: Cho x y
 và x  y 10 . Tìm x, y. 2 3 Hướng dẫn giải Cách 1: Cách 1: Ta có x y  .
Sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, biến đổi 2 3
để xuất hiện điều kiện đã cho của đề bài.
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
Từ đó tính được giá trị của dãy tỉ số bằng nhau. x y x  y 10     2 . 2 3 2  3 5
Suy ra x  2.2  4 và y  2.3  6 . Cách 2: Cách 2: Đặt x y z    k . a b c Trang 7 - Suy ra x  . a k; y  . b k; z  . c k . Đặt x y
  k  x  2k; y  3k 2 3
- Thay các giá trị trên của x, y, z vào điều kiện đã cho Vì x y10 nên 2k3k 105k 10k 2
của đề bài, tìm được giá trị của k.
- Tính giá trị của x, y, z từ giá trị k vừa tìm được.
Vậy x  2k  2.2  4 và y  3k  3.2  6 . Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Cho x y  . Tìm x, y biết: 3 6 a) x  y  90 b) 4x  y  42 . Hướng dẫn giải a) Ta có: x y  . 3 6 x y x  y 90
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:   
 10  x  3.10  30; y  6.10  60. 3 6 3  6 9 Vậy x  30 và y  60 . 4 b) Từ x y  suy ra x y  . 3 6 12 6 4x y 4x  y 42
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:     7 . 12 6 12  6 6
Suy ra 4x  12.7  84; y  6.7  42 . Suy ra x  21; y  42 . Vậy x  21 và y  42 . Ví dụ 2. Cho x y z
  . Tìm x, y, z biết: 2 3 5 a) x  y  z  30 b) x  2y  3z  33 . Hướng dẫn giải a) Ta có: x y z   . 2 3 5 x y z x  y  z 30
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:      3 2 3 5 2  3  5 10
 x  2.3  6; y  3.3  9; z  5.3  15
Vậy x  6; y  9; z  15 . x 2y 3 b) Từ x y z   suy ra z   . 2 3 5 2 6 15 x 2y 3z x  2y 
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:    3z  33  3 2 6 15 2  6  15 11
 x  3.2  6; 2y  3.6  18; 3z  3.15  45
 x  6; y  9; z  15.
Vậy x  6; y  9; z 15. Trang 8
Ví dụ 3*. Cho 2x  3y  z  42 . Tìm x, y, z biết: x 1 y  2 z 1 a)   x y y z . b)  ;  . 3 4 13 3  5 2  7 Hướng dẫn giải x 1 y  2 z 1 2x  2 3y  6 z 1 a)      . 3 4 13 6 12 13
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: 2x  2 3y  6
z 1 2x  2  3y  6  z 1 2x  3y  z  7 42  7 49        7 6 12 13 6 12  13 7 7 7 2x  2  6.7  42 2x  40 x  20   
 3y  6  7.12  84  3  y  90  y  30 z 1 13.7 91 z 92      z  92   
Vậy x  20; y  30; z  92. b) Ta có x y  nên x y  và y z y z    . 3 5 6 10 2  7 1  0 35 Suy ra x y z  
. Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: 6 10 35 x y z 2x  3y  z 42 6 36 6  0 210       x  ; y  ;z  . 6
10 35 12  30  35 77 11 11 11 11 36 6  0 210 Vậy x  ; y  ;z  . 11 11 11
Bài tập tự luyện dạng 3
Chọn đáp án đúng nhất trong mỗi câu (Câu 1 đến câu 5) Câu 1: Cho x y
 và x  y  24 . Giá trị của 3x  5y là: 3 5 A. 132. B. 80. C. 102. D. 78.
Câu 2: Khẳng định nào dưới đây là đúng? x y 2x  3 x y 2x  4 x y x  3 x y 2  A. y   . B. y   C. y   D. x y   3 5 15 4 5 28 3 7 25 5 6 15 x 1 9 Câu 3: Cho 
và x  0 . Giá trị của x là: 4 x 1 A. 5  . B. 6. C. 6  . D. 5.
Câu 4: Biểu thức nào dưới đây là đúng? x y 3x  4 x y 2x  4 x y x  3  A. y   B. y   C. y   D. x y x y   4 7 40 4 5 12 5 7 28 5 6 10 x  3 27 Câu 5: Cho  . Giá trị của x là: 8 4 A. 54. B. 56. C. 57. D. 58. Câu 6: Tìm x biết: 4 8 2x  3 3x 1 13x  2 76 a) 3 :  0,25: x . b)  . c)  . 5 5 24 32 2x  5 17 Trang 9
Câu 7: Tìm các số x, y biết: a) x 6  và x  y  121. y 5
b) 4x  5y và 2x  5y  40 .
Câu 8: Tìm các số x, y, z biết: a) x y z
  và x  y  z  52 . 3 4 6 b) x y z
  và 2x  y  3z  110 . 3 5 7
Dạng 4: Chứng minh tỉ lệ thức Phương pháp giải
Ví dụ: Chứng minh rằng:
Để chứng minh tỉ lệ thức a c
 , ta thường sử dụng một b d   Nếu a c  thì a b c d  . trong ba cách sau: b d b d Hướng dẫn giải
Cách 1. Chứng tỏ ad  b . c Cách 1. Do a c  nên ad  b . c b d a  b c  Xét  d b d
 d a  b  bc  d ad  bd  bc  bd ad  bc (đúng).   Vậy a b c d  . b d
Cách 2. Chứng tỏ a và c có cùng giá trị. Cách 2. Đặt a c
  t . Khi đó a  bt và c  dt . b d b d a  b bt  b bt   1 Do đó    t 1 b b b c  d dt  d d t   1    t 1 d d d   Vậy a b c d  . b d
Cách 3. Dùng tính chất tỉ lệ thức và tính chất dãy tỉ số Cách 3. Ta có: a c a b    . bằng nhau. b d c d
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có: a b a  b b a  b     . c d c  d d c  d a  b c  d  
(điều phải chứng minh). b d Ví dụ mẫu Trang 10
Ví dụ 1. Cho tỉ lệ thức a c  . Chứng minh: a c  . b d a  b c  d Hướng dẫn giải Ta có a c  nên a c ad  bc . Xét   .
a c  d  a  b.c  ac  ad  ac  bc  ad  bc (đúng). b d a  b c  d Vậy a c  . a  b c  d  
Ví dụ 2. Cho tỉ lệ thức a c  . Chứng minh: a b a b 
(giả sử các tỉ lệ thức đều có nghĩa). b d c  d c  d Hướng dẫn giải Đặt a c
  t  a  bt và c  dt . b d a  b bt  b bt   1 b Do đó    c  d dt  d d t   ; 1 d a  b bt  b bt   1 b    c  d dt  d d t   . 1 d   Suy ra a b a b  . c  d c  d
Bài tập tự luyện dạng 4
Câu 1: Cho a  b . Giả thiết các tỉ lệ thức đều có nghĩa. Chứng minh: c d     a) a c b d  . b) a c a c  . c d b  d b  d Câu 2: Cho a c
 . Giả thiết các tỉ lệ thức đều có nghĩa. Chứng minh: b d     a) a b c d  . b) a b c d  . b d a  b c  d
Câu 3: Cho tỉ lệ thức a c  , chứng minh: b d a  2b c  2 a  3b c  3 a) d  . b) d  . b d b d
Dạng 5: Giải các bài toán lời văn chia theo tỉ lệ Phương pháp giải
Với các bài toán có lời văn chia theo tỉ lệ, ta Ví dụ: Mẹ và con có tổng số tuổi bằng 35. Biết rằng thường làm như sau:
tuổi mẹ gấp 4 lần tuổi con. Tính tuổi mỗi người. Hướng dẫn giải
Bước 1. Gọi các đại lượng cần tìm là x, y, z (tùy Gọi tuổi mẹ là x, tuổi con là y (tuổi). đề bài yêu cầu). Điều kiện: * x, y   , x  y .
Bước 2. Từ điều kiện bài toán cho, đưa về dãy tỉ Theo đề ra, ta có: x y x  y  35 và  . 4 1 Trang 11 số bằng nhau.
Bước 3. Sử dụng các phương pháp ở dạng 3 để Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có: giải. x y x  y 35     7 . 4 1 4 1 5
Suy ra x  4.7  28;y 1.7  7 .
Vậy tuổi mẹ bằng 28, tuổi con bằng 7. Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. An và Chi có số viên bi lần lượt tỉ lệ với 4; 5. Biết rằng An có số bi ít hơn Chi là 4 viên. Tính số viên bi của mỗi bạn. Hướng dẫn giải
Gọi số bi của An và Chi lần lượt là x và y (viên) với * x, y   ; x  y . Theo đề bài, ta có: x y  và y  x  4 . 4 5 x y y  x 4
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:  
  4  x  4.4  16;y  4.5  20 . 4 5 5  4 1
Vậy số bi của An là 16 viên, số bi của Chi là 20 viên.
Ví dụ 2. Các cạnh của một tam giác có số đo tỉ lệ với các số 3, 5, 7. Tính số đo mỗi cạnh của tam giác đó
biết chu vi của nó là 40,5 cm. Hướng dẫn giải
Gọi ba cạnh của tam giác lần lượt là x, y, z (cm) với x, , y z  0 .
Theo đề bài ra ta có mối liên hệ: x y z
  và x  y  z  40,5 . 3 5 7 x y z x  y  z 40,5
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:      2,7 3 5 7 3  5  7 15
 x  8,1; y 13,5;z 18,9
Vậy độ dài ba cạnh của tam giác là 8,1 cm; 13,5 cm; 18,9 cm.
Bài tập tự luyện dạng 5
Câu 1: Số sản phẩm của hai công nhân lần lượt tỉ lệ với 8; 5. Biết rằng người thứ nhất làm nhiều hơn
người thứ hai 60 sản phẩm. Tính số sản phẩm mỗi người làm được. 2
Câu 2: Tỉ số hai cạnh của hình chữ nhật bằng . Chu vi hình chữ nhật là 42 m. Tính diện tích của hình 5 chữ nhật. 2
Câu 3: Lớp 7A, 7B, 7C có tổng số học sinh bằng 105, biết số học sinh lớp 7A bằng số học sinh lớp 3 6
7B, số học sinh lớp 7B bằng
số học sinh lớp 7C. Tính số học sinh của mỗi lớp. 11
Câu 4: Một khu vườn hình chữ nhật có diện tích 2
300 m . Hai cạnh tỉ lệ với 4 và 3. Tính chiều dài, chiều rộng của khu vườn. Trang 12 ĐÁP ÁN
Dạng 1. Thay tỉ số giữa các số hữu tỉ bằng tỉ số giữa các số nguyên Câu 1: 3  15 3  5 3  2 6  a) :  :  .   6  : 25. 5 6 5 2 5 5 25 3  15 Vậy :  6  : 25 . 5 6 15 825 3 33 3 4 2 b) 1,5:8,25  :  :  .   2 :11. 10 100 2 4 2 33 11 Vậy 1,5: 8,25  2 :11 . 5 5 3 5 4 5
c) : 0,75  :  .   5 : 6 . 8 8 4 8 3 6 5 Vậy : 0,75  5: 6 . 8 Câu 2: Tương tự câu 1. 1 5 3 a) 1,2 : 3,36  5 :14 . b) 3 : 2  4 : 3 . c) : 0,54  25: 36 . 7 14 8
Dạng 2. Lập các tỉ lệ thức Câu 1: Chọn C. 3 3 8 8 4 2 3 2 1 2 2 4 0,3:  .   và :  :  .  . 8 10 3 10 5 5 6 5 2 5 1 5 3 2 3
Vậy 0,3: và : lập thành tỉ lệ thức. 8 5 6 Câu 2: Chọn C. 14 21 14 8 21 12 12 8 Từ tỉ lệ thức 
, ta có các tỉ lệ thức sau:  ;  ;  . 8 12 21 12 14 8 21 14 21 14 Đẳng thức 
không là tỉ lệ thức vì 21.12  8.14 . 8 12 Câu 3: Chọn B. 5 4  Vì 5. 1  00 125. 4   nên  . 125 1  00 Câu 4: Chọn C. 3 1 11 11 1 7 4 7 14 7 1 Ta có 2 : 5  :  ; : 2  :   4 2 4 2 2 5 5 5 5 14 2 3 1 7 4
Vậy 2 : 5 và : 2 lập thành tỉ lệ thức. 4 2 5 5 Câu 5: 36 3 4 6 5 3 a) Ta có 3,6 : 4,8   và 0,6 : 
.  nên hai tỉ số đã cho lập thành tỉ lệ thức. 48 4 5 10 4 4 1 13 1 13 2 11 1 11 b) Ta có 4 : 8  .  và 3 :13  .  3 3 8 24 3 3 13 39 Trang 13 13 11 Vì 
nên hai tỉ số không lập thành tỉ lệ thức. 24 39 Câu 6: 2  1  0 15 1  0 3 2 3 15
Ta có 2.15  3.10 nên ta có các tỉ lệ thức sau:  ;  ;  ;  . 3 15 3 2 15 1  0 2  1  0 Câu 7: 3 27 81 27 9 3 9 81
Nhận thấy 3.81  9.27 nên ta có các tỉ lệ thức sau:  ;  ;  ;  . 9 81 9 3 81 27 3 27 Câu 8: 5 20 2 8 8 20 2 5
Nhận thấy 5.8  2.20 nên ta lập được các tỉ lệ thức sau:  ;  ;  ;  . 2 8 5 20 2 5 8 20
Dạng 3. Tìm thành phần chưa biết Câu 1: Chọn C. Vì x y
 và x  y  24 nên áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có: 3 5 x y x   
y  24  3 x  3.3  9; y  5.3 15 3x  5y  3.9  5.15 102. 3 5 3  5 8 Câu 2: Chọn B. x y 2x  4y 2x  4
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có: y    . 4 5 2.4  4.5 28 Câu 3: Chọn D. x 1 9  4 x 1  x  2 1  36
 x 1  6 hoặc x 1  6  x  5 hoặc x  7  Vì x  0 nên x  5 . Vậy x  5 . Câu 4: Chọn A. x y 3x  4y 3x  4
Dựa vào tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có: y    . 4 7 3.4  4.7 40 Câu 5: Chọn C. x  3 27 27.8   x  3 
 x  3  54  x  54  3  x  57 8 4 4 Vậy x  57 . Câu 6: Trang 14 4 8 2x  3 3x 1 13x  2 76 a) 3 :  0,25: x b)  c)  5 5 24 32 2x  5 17 19 0,25 2x  3 3x 1
 1713x  2  762x  5   8 x 3 4 221x  34  152x  380 8.0,25
 42x  3  33x    1 x  221x 152x  380  34 19 8x 12  9x  3 69x  414 2 x  8x  9x  3 12 x  6 19  x  15 Vậy . 2 x  6 Vậy x  . x  15 19 Vậy x  15. Câu 7: x 6 a) Vì  nên x y  . y 5 6 5 x y x  y 121
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:     11  x  66;y  55 6 5 6  5 11 Vậy x  66 và y  55 . b) Do x y 4x  5y nên  . 5 4 x y 2x  5y 40
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:     4   x  2  0; y  1  6 5 4 2.5  5.4 1  0 Vậy x  2  0; y  16 . Câu 8: a) x y z
  và x  y  z  52 . 3 4 6 x y z x  y  z 52
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:    
 4  x  12; y 16;z  24 3 4 6 3  4  6 13
Vậy x  12; y  16;z  24 . b) x y z
  và 2x  y  3z  110 . 3 5 7 x y z 2x  y  3z 110
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:    
 5  x  15;y  25;z  35 3 5 7 3.2  5  3.7 22
Vậy x  15; y  25;z  35.
Dạng 4. Chứng minh tỉ lệ thức Câu 1: Đặt a b
  k  a  ck; b  dk . c d a  c ck  c ck   1 a) Ta có:    k 1; c c c b  d dk  d d k   1    k 1. d d d   Vậy a c b d  . c d Trang 15 a  c ck  c ck   1 b) Ta có: c    b  d dk  d d k   ; 1 d a  c ck  c ck   1 c    b  d dk  d d k   . 1 d   Vậy a c a c  . b  d b  d Câu 2: Đặt a c
  k  a  bk; c  dk b d a  b bk  b bk   1 a) Ta có:    k 1; b b b c  d dk  d d k   1    k 1. d d d   Do đó a b c d  . b d a  b bk  b bk   1 k 1 b) Ta có:    a  b bk  b bk   ; 1 k 1 c  d dk  d d k   1 k 1    c  d dk  d d k   . 1 k 1   Vậy a b c d  . a  b c  d Câu 3:
Đặt a  c  k ta có a  bk; c  dk . b d a  2b bk  2b bk  2 a) Ta có:    k  2; b b b c  2d dk  2d d k  2    k  2. d d d a  2b c  2 Vậy d  . b d a  3b bk  3 b) Ta có: b   k  3; b b c  3d dk  3d   k  3. d d a  3b c  3 Vậy d  . b d
Dạng 5. Giải các bài toán lời văn chia theo tỉ lệ Câu 1:
Gọi số sản phẩm của công nhân thứ nhất và thứ hai lần lượt là x, y. Đơn vị: sản phẩm và điều kiện: x, y   .
Theo đề ra, ta có mối liên hệ: x y  và x  y  60 . 8 5 Trang 16 x y x  y 60
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:   
 20  x  8.20  160;y  20.5 100 . 8 5 8  5 3
Vậy công nhân thứ nhất làm được 160 sản phẩm, công nhân thứ hai làm được 100 sản phẩm. Câu 2:
Gọi kích thước của chiều dài và chiều rộng hình chữ nhật là y (m) và x (m). Điều kiện: x, y  0 . Theo đề ra, ta có: x y
x : y  2 : 5 và 2 x  y  42   và x  y  21. 2 5 x y x  y 21
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:     3  x  6; y  15. 2 5 2  5 7
Vậy diện tích hình chữ nhật là S    2 6.15 90 m  .
Câu 3: Gọi số học sinh lớp 7A, 7B, 7C lần lượt là x, y, z (em) với * x, , y z   . Theo đề bài, ta có: x y y z
x  y  z  105;  và  . 2 3 6 11 Từ x y  và y z  ta có: x y z   . 2 3 6 11 4 6 11 x y z x  y  z 105
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:    
 5  x  20; y  30;z  55. 4 6 11 4  6 11 21
Vậy số học sinh lớp 7A, 7B, 7C lần lượt là 20 học sinh, 30 học sinh và 55 học sinh. Câu 4:
Gọi chiều dài và chiều rộng của khu vườn lần lượt là x, y (m) với x, y  0 Do diện tích bằng 2 300 m nên x.y  300   1
Hai cạnh tỉ lệ với 4 và 3 nên x y  . 4 3 Đặt x y
  k  x  4k, y  3k k  0 , thay vào (1) ta có: 2 2
12k  300  k  25  k  5 (do k  0 ) . 4 3  x  20;y 15.
Vậy chiều dài của khu vườn là 20 m và chiều rộng là 15 m. Trang 17