Chuyên đề tích phân hàm ân (có đáp án và lời giải)

Chuyên đề tích phân hàm ân có đáp án và lời giải. Tài liệu được biên soạn dưới dạng file PDF bao gồm 19 trang tổng hợp các kiến thức tổng hợp giúp các bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới. Mời các bạn đón xem!

51 26 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Tài liệu ôn thi THPTQG môn Toán

Môn: Toán

Thông tin:

19 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Mỹ Duyên
Trang 1
CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN HÀM ẨN
Chuyên đề phát triển từ câu 41 của đề tham khảo môn Toán 2021 của Bộ Giáo Dục
KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1. Các tính chất tích phân:
( ) ( ) ( )
d d d
b c b
a a c
f x x f x x f x x=+
với
a c b
.
( ) ( ) ( )
d d 0
bb
aa
k f x x kf x x k=

( ) ( )
dd
ba
ab
f x x f x x=−

( ) ( ) ( ) ( )
d
b
b
a
a
f x x F x F b F a= = −
( ) ( )
( )
( ) ( )
d d d
b b b
a a a
f x g x x f x x g x x+ = +
( ) ( ) ( )
d d d
b b b
a a a
f x x f t t f z z==
2. Công thức đổi biến số:
( )
( )
( ) ( ) ( )
.,f u x u x dx f u du u u x
==

( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
.,
ub
b
a u a
f u x u x dx f u du u u x
==

.
Phương pháp đổi biến số thường được sử dụng theo hai cách sau đây:
Giả sử cần tính
( )
b
a
g x dx
. Nếu ta viết được
( )
gx
dưới dạng
( )
( )
( )
f u x u x
thì
( ) ( )
( )
( )
ub
b
a u a
g x dx f u du=

. Vậy bài toán quy về tính
( )
( )
( )
ub
ua
f u du
, trong nhiều trường hợp thì tích phân mới
này đơn giản hơn .
Giả sử cần tính
( )
f x dx
. Đặt
( )
x x t=
thỏa mãn
( ) ( )
,x a x b

==
thì
( ) ( )
( )
( ) ( )
bb
aa
f x dx f x t x t dt g t dt
==
, trong đó
( ) ( )
( )
( )
.g t f x t x t
=
BÀI TẬP MẪU
(ĐỀ MINH HỌA LẦN 1-BDG 2020-2021) Cho hàm số
2
2
1 khi 2
()
2 3 khi 2
xx
fx
x x x
−
=
− +
. Tích phân
2
0
(2sin 1)cos df x x x
+
bằng:
A.
23
3
. B.
23
6
. C.
17
6
. D.
17
3
.
Phân tích hướng dẫn giải
Trang 2
1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tìm giá trị của tích phân của hàm số.
2. HƯỚNG GIẢI:
B1: Dựa vào biểu thức bên trong dấu tích phân, ta sử dụng phương pháp đổi biến số để xử lý bài toán.
B2: Sử dụng tính chất
( ) ( ) ( )
( )
d d d , ;
b c b
a a c
f x x f x x f x x c a b= +
.
B3: Lựa chọn hàm
( )
fx
thích hợp để tính giá trị tích phân.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn B
Xét
2
0
(2sin 1)cos dI f x x x
=+
Đặt
cos
1
2sin d d1
2
xxt x t= + =
Đổi cận:
01
3
2
xt
xt
= =
= =
.
( ) ( )
3 3 2 3
22
1 1 1 2
1 1 1 23
( )d ( )d 2 d 1 d
2 2 2
3
6
I f t t f x x x x x x x

= = = − + − =


+
.
Bài tập tương tự và phát triển:
Mức độ 3
Câu 1. Cho hàm số
2
2
e
2
0
()
0
x
khi x
f
x
x
khi xx
=
++
. Biết tích phân
1
2
1
e
( ) d
a
f x x
bc
−
=+
(
a
b
là phân số tối
giản). Giá trị
abc++
bằng
A.
7
. B.
8
. C.
9
. D.
10
.
Lời giải
Chọn C
Ta có:
( )
1 0 1
2
22
1 1 0
4
( )dx d d
32
2
x
e
I f x x x ex x
−−
= = + + =+ +
.
Vậy
9abc+ + =
.
Câu 2. Cho hàm số
( )
2
1
3
()
3
1
4
khi x
fx
kh
xx
x
ix
=
+
−
. Tích phân
4
2
e
e
(ln )
d
f
x
x
x
bằng:
A.
40
ln2
3
−
. B.
95
ln2
6
+
. C.
189
ln2
4
+
. D.
189
ln2
4
−
.
Lời giải
Chọn D
Xét
4
2
(ln )
d
e
e
f
Ix
x
x
=
Đặt
d d
1
ln xxtt
x
= =
Đổi cận:
2
4
e2
e4
xt
xt
= =
= =
.
( )
4 4 3 4
2 2 3
2
2
1
2( )d ( )d d d
4
189
1 ln
4
xxI f t t f x x x x
x
= = = + + =
−
−
.
Trang 3
Câu 3. Cho hàm số
1
)
1
11
(
x
khi x
fx
khi
x
x
=
+
. Tích phân
2
3
1
1( )d
m
fx
n
x
−
=−
(
m
n
là phân số tối giản),
khi đó
2mn−
bằng:
A.
1
. B.
2
. C.
3
. D.
4
.
Lời giải
Chọn A
Xét
3
1
7
( 1 )dI xfx
−
−=
Đặt
3
2
31ddxxt t t−−==
Đổi cận:
72
10
xt
xt
= − =
= =
.
( )
0 2 1 2
2 2 2
2 0 0 1
25
3 ( )d 3 ( )d 3 1 d d
12
I t f t t x f x x x x x x x

= − = = + + =


.
Câu 3. Cho hàm số
( )
fx
liên tục trên và
( )
1
0
d4f x x =
,
( )
3
0
d6f x x =
. Tính
( )
1
1
2 1 dI f x x
−
=+
A.
3I =
. B.
5I =
. C.
6I =
. D.
4I =
.
Lời giải
Chọn B
Đặt
21ux=+
1
dd
2
xu=
. Khi
1x =−
thì
1u =−
. Khi
1x =
thì
3u =
.
Nên
( )
3
1
1
d
2
I f u u
−
=
( ) ( )
03
10
1
dd
2
f u u f u u
−

=+



( ) ( )
03
10
1
dd
2
f u u f u u
−

= − +



.
Xét
( )
1
0
d4f x x =
. Đặt
xu=−
ddxu = −
.
Khi
0x =
thì
0u =
. Khi
1x =
thì
1u =−
.
Nên
( )
1
0
4df x x==
( )
1
0
df u u
−
−−
( )
0
1
df u u
−
=−
.
Ta có
( )
3
0
d6f x x =
( )
3
0
d6f u u=
.
Nên
( ) ( )
03
10
1
dd
2
I f u u f u u
−

= − +



( )
1
4 6 5
2
= + =
.
Câu 4. Cho
( )
Fx
là một nguyên hàm của hàm số
( )
11f x x x= + − −
trên tập và thỏa mãn
( )
13F =
. Tính tổng
( ) ( ) ( )
0 2 3F F F+ + −
.
A.
8
. B.
12
. C.
14
. D.
10
.
Lời giải:
Chọn C
Bảng khử dấu giá trị tuyệt đối:
Trang 4
Ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
2
1
d 2 1 2 3f x x F F F= − = −
mà
( )
22
11
d 2d 2f x x x==

nên
( )
25F =
.
➢
( ) ( ) ( ) ( )
1
0
d 1 0 3 0f x x F F F= − = −
mà
( )
11
21
0
00
d 2 d 1f x x x x x= = =

nên
( )
02F =
.
➢
( ) ( ) ( ) ( )
0
1
d 0 1 2 1f x x F F F
−
= − − = − −
mà
( )
00
20
1
11
d 2 d 1f x x x x x
−
−−
= = = −

nên
( )
13F −=
.
➢
( ) ( ) ( ) ( )
1
3
d 1 3 3 3f x x F F F
−
−
= − − − = − −
mà
( )
11
33
d 2d 4f x x x
−−
−−
= − = −

nên
( )
37F −=
.
Vậy
( ) ( ) ( )
0 2 3 2 5 7 14F F F+ + − = + + =
.
Câu 5. Biết
5
1
2 2 1
d 4 ln2 ln5
x
I x a b
x
−+
= = + +
với
,ab
. Tính
S a b=+
.
A.
9S =
. B.
11S =
. C.
3S =−
. D.
5S =
.
Lời giải:
Chọn D
Ta có
2 khi 2
2
2 khi 2
xx
x
xx
−
−=
−
.
Do đó
25
12
2 2 1 2 2 1
d d
xx
I x x
xx
− + − +
=+

.
( ) ( )
25
12
2 2 1 2 2 1
d d
xx
xx
xx
− + − +
=+

25
12
53
2 d 2 dxx
xx
= − + −

( ) ( )
25
5ln 2 2 3ln
12
x x x x= − + −
4 8ln2 3ln5= + −
.
8
3
a
b
=
=−
5S a b= + =
.
Câu 6. Cho hàm số
( )
fx
có đạo hàm liên tục trên thỏa mãn
( )
3
3 1 3 2f x x x+ + = +
, với mọi
x
.Tích phân
( )
5
1
dxf x x
bằng
A.
31
4
−
. B.
17
4
. C.
33
4
. D.
49
4
.
Lời giải
Chọn C
Từ giả thiết ta có
( )
3
3 1 3 2f x x x+ + = +
nên suy ra
( )
12f =
,
( )
55f =
.
Suy ra
( ) ( ) ( ) ( )
5 5 5
5
1
1 1 1
d d 23 dI xf x x xf x f x x f x x
= = − = −
.
Đặt
( )
32
3 1 d 3 3 dx t t x t t= + + = +
.
Với
1 0; 5 1x t x t= = = =
Trang 5
Do đó
( )
( )( )
( )
( )
5 1 1
3 2 2
1 0 0
59
d 3 1 3 3 d 3 2 3 3 d
4
f x x f t t t t t t t= + + + = + + =
.
Vậy
59 33
23
44
I = − =
.
Câu 7. Cho hàm số
( )
y f x=
xác định và liên tục trên thoả
( )
5
4 3 2 1, .f x x x x+ + = +
Tích
phân
( )
8
2
f x dx
−
bằng
A.
2
. B.
10
. C.
32
3
. D.
72
.
Lời giải
Chọn B
Đặt
( )
54
4 3 5 4x t t dx t dt= + + = +
.
Đổi cận:
21
81
xt
xt
= − = −
= =
Khi đó
( )
( )( )
( )
( )
8 1 1
5 4 4
2 1 1
4 3 5 4 2 1 5 4 10f x dx f t t t dt t t dt
− − −
= + + + = + + =
.
Câu 8. Cho hàm số
()y f x=
xác định và liên tục trên
thỏa mãn
3
2 ( ) 3 ( ) 5f x f x x+ + =
với
x
. Tính
10
5
()I f x dx=
.
A.
0I =
. B.
3I =
. C.
5I =
. D.
6I =
Lời giải
Chọn B
Đặt
32
( ) 2 3 5 (6 3)t f x t t x dx t dt= + + = = +
và
3
5 2 3 5 5 0x t t t= + + = =
3
10 2 3 5 10 1x t t t= + + = =
Vậy
10 1
2
50
( ) (6 3) 3I f x dx t t dt= = + =

.
Câu 9. Cho hàm số
( )
fx
xác định
1
\,
2



thỏa
( ) ( )
2
, 0 1
21
f x f
x
==
−
và
( )
1 2.f =
Giá trị
của biểu thức
( ) ( )
13ff−+
bằng
A.
ln15.
B.
2 ln15.+
C.
3 ln15.+
D.
4 ln15.+
Lời giải
Chọn C
Ta có
( )
2
21
fx
x
=
−
( )
( )
( )
1
2
1
ln 1 2 ;
2
2
ln 2 1
1
21
ln 2 1 ;
2
x C x
f x dx x C
x
x C x
− +
= = − + =
−
− +
( )
1
0 1 1fC= =
và
( )
2
1 2 2fC= =
.
Do đó
( )
( )
( )
( )
( )
1
ln 1 2 1 ;
1 ln3 1
2
1
3 ln5 2
ln 2 1 2 ;
2
xx
f
fx
f
xx
− +
− = +

=

=+
− +
Trang 6
( ) ( )
1 3 3 ln15.ff − + = +
Câu 10. Cho hàm số
2
khi 0
()
5 kh
2
i 0
3xx
fx
xx
x
=
−
+
. Khi đó
( )
2
2
cos sinI xf x dx
−
=
bằng
A.
15
2
. B.
15
. C.
8
. D.
17
2
.
Lời giải:
Chọn A
Đặt
sin cost x dt xdx= =
. Đổi cận
1
2
1
2
xt
xt
= − = −
= =
.
( ) ( )
11
11
I f t dt f x dx
−−
= =

Do
2
khi 0
()
5 kh
2
i 0
3xx
fx
xx
x
=
−
+
( )
( )
01
2
10
15
5 3 2
2
I x dx x x dx
−
= − + + =

.
Câu 11. Cho hàm số
2
khi 2
()
1 k
3
h
2
i 2
xx
fx
x
xx
=
+
−+
. Khi đó
( )
1
0
32I f x dx=−
bằng
A.
41
2
. B.
21
. C.
41
12
. D.
41
21
.
Lời giải
Chọn C
Đặt
1
3 2 2
2
t x dt dx dx dt= − = − = −
. Đổi cận
03
11
xt
xt
= =
= =
.
( ) ( )
33
11
11
22
I f t dt f x dx = =

Do
2
khi 2
()
1 k
3
h
2
i 2
xx
fx
x
xx
=
+
−+
( )
( )
23
2
12
1 41
1 2 3
2 12
I x dx x x dx

= + + − + =



.
Câu 12. Cho hàm số
2
3
khi
2
()
3
2 khi
2
2
xx
fx
x
x
x
=
−
+
. Khi đó
( )
2
0
sin cos 1I xf x dx
=+
bằng
A.
35
12
. B.
3
. C.
19
4
. D.
10
3
.
Lời giải:
Chọn A
Đặt
cos 1 sint x dt xdx= + = −
. Đổi cận
02
1
2
xt
xt
= =
= =
.
Trang 7
( ) ( )
22
11
I f t dt f x dx = =

Do
2
3
khi
2
()
3
2 khi
2
2
xx
fx
x
x
x
=
−
+
( )
( )
3
2
2
2
3
1
2
35
22
12
I x dx x x dx = − + + =

.
Câu 13. Cho hàm số
2
khi 0
()
khi 0
xx
fx
xx
x−
=
. Khi đó
( )
2
2
cos sinI xf x dx
−
=
bằng
A.
2
3
−
. B.
1−
. C.
1
3
−
. D.
4
3
−
.
Lời giải:
Chọn A
Đặt
sin cost x dt xdx= =
. Đổi cận
1
2
1
2
xt
xt
= − = −
= =
.
( ) ( )
11
11
I f t dt f x dx
−−
= =

Do
2
khi 0
()
khi 0
xx
fx
xx
x−
=
( )
01
2
10
2
3
I xdx x x dx
−
= + − = −

.
Câu 14. Cho hàm số
2
khi 3
()
2 1 khi
1
3
xx
f
x
x
x
x
−
+
+
=
. Khi đó
( )
2
2
0
1I xf x dx=+
bằng
A.
24
. B.
73
3
. C.
74
3
. D.
25
.
Lời giải:
Chọn B
Đặt
2
1
12
2
t x dt xdx xdx dt= + = =
. Đổi cận
01
25
xt
xt
= =
= =
.
( ) ( )
55
11
11
22
I f t dt f x dx = =

Do
2
khi 3
()
2 1 khi
1
3
xx
f
x
x
x
x
−
+
+
=
( )
( )
35
2
13
1 73
2 1 1
23
I x dx x x dx

= − + + + =



.
Câu 15. Cho hàm số
1
3 3 khi
2
()
1
4 khi
2
xx
fx
xx
+
=
+
. Tính tích phân
( )
2
0
sin cos df x x x
.
Trang 8
A.
8
. B.
17
4
. C.
13
2
. D.
21
5
.
Lời giải:
Chọn B
Xét
( )
2
0
sin cos dI f x x x
=
Đặt
sin xt=
cos d dx x t=
Với
0x =
0t =
2
x
=
1t =
( ) ( ) ( ) ( )
11
1 1 1 1
22
11
0 0 0 0
22
17
d d ( )d ( )d 3 3 d 4 d .
4
I f t t f x x f x x f x x x x x x= = = + = + + + =
Câu 16. Cho hàm số
2
2
2 1 khi 0
()
2 1 khi 0
xx
fx
x x x
+
=
− +
. Tính tích phân
( )
3
0
3cos 2 sin df x x x
−
.
A.
33
2
. B.
15
23
. C. 12. D.
19
24
.
Lời giải:
Chọn D
Xét
( )
3
0
3cos 2 sin dI f x x x
=−
Đặt
3cos 2xt−=
1
3sin d d sin d d
3
x x t x x t− = = −
Với
0x =
1t =
3
x
=
1
2
t =−
( ) ( )
1 1 0 1
1 1 1
0
2 2 2
1 1 1 1
d d ( )d ( )d
3 3 3 3
I f t t f x x f x x f x x
− − −
= = = +
( ) ( )
01
22
1
0
2
1 1 19
2 1 d 2 1 d .
3 3 24
x x x x x
−
= − + + + =

Câu 17. Cho hàm số
2
1 khi 1
()
2 2 khi 1
xx
fx
xx
−
=
−
. Tính tích phân
( )
4
2
5sin2 1 cos2 df x x x
−
−
.
A.
11
10
. B.
43
31
. C.
31
30
. D.
31
10
.
Lời giải:
Chọn C
Xét
( )
4
2
5sin2 1 cos2 dI f x x x
−
=−
Đặt
5sin2 1xt−=
1
10cos2 d d cos2 d d
10
x x t x x t= =
Trang 9
Với
2
x
=−
1t =−
4
x
=
4t =
( ) ( )
4 4 1 4
1 1 1 1
1 1 1 1
d d ( )d ( )d
10 10 10 10
I f t t f x x f x x f x x
− − −
= = = +
( )
( )
14
2
11
1 1 31
1 d 2 2 d .
10 10 30
x x x x
−
= − + − =

Câu 18. Cho hàm số
3
2 5 khi 2
()
11 khi 2
x x x
fx
xx
− −
=
−
. Tính tích phân
( )
1
1
2 ln d
e
e
f x x
x
+
.
A.
69
2
. B.
12
. C.
25
2
. D.
30
.
Lời giải:
Chọn A
Xét
( )
1
1
2 ln d
e
I f x x
x
=+
Đặt
2 ln xt+=
1
ddxt
x
=
Với
1
x
e
=
1t =
xe=
3t =
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
3 3 2 3 2 3
3
1 1 1 2 1 2
69
d d d d 11 d 2 5 d .
2
I f t t f x x f x x f x x x x x x x= = = + = − + − − =
Câu 19. Cho hàm số
2
1 khi 3
()
7 5 khi 3
xx
fx
xx
−
=
−
. Tính tích phân
( )
ln2
0
3 1 e d
xx
f e x−
.
A.
13
15
. B.
102
33
−
. C.
94
9
−
. D.
25
9
.
Lời giải:
Chọn C
Xét
( )
ln2
0
3 1 d
xx
I f e e x=−
Đặt
31
x
et−=
1
3 d d d d
3
xx
e x t e x t= =
Với
0x =
2t =
ln2x =
5t =
( ) ( ) ( )
( )
5 3 5 3 5
2
2 2 3 2 3
1 1 1 1 1 94
d d d 1 d (7 5 )d .
3 3 3 3 3 9
I f t t f x x f x x x x x x= = + = − + − = −
Mức độ 4
Câu 1. Giá trị của tích phân
2
0
max sin ,cos dx x x
bằng
A.
0
. B.
1
. C.
2
. D.
1
2
.
Lời giải
Chọn C
Trang 10
Ta có phương trình
sin cos 0xx−=
có một nghiệm trên đoạn
0;
2



là
4
x
=
.
Bảng xét dấu
Suy ra
2 4 2
00
4
max sin ,cos d cos d sin dx x x x x x x
=+
( ) ( )
2
4
0
4
sin cos 2xx
= − =
.
Câu 2. Tính tích phân
2
3
0
max , dI x x x=
.
A.
9
4
. B.
17
4
. C.
19
4
. D.
11
4
.
Lời giải:
Chọn B
Đặt
( )
3
f x x x=−
ta có bảng xét dấu sau:
.
Dựa vào bảng xét dấu ta có.
( )
3 3 3
0;1 , 0 0 max ,x f x x x x x x x x − =
.
( )
3 3 3 3
1;2 , 0 0 max ,x f x x x x x x x x − =
.
Ta có:
2
3
0
max , dI x x x=
12
33
01
max , d max , dx x x x x x=+

.
Nên
2
3
0
max , dI x x x=
12
12
3 2 4
01
01
1 1 17
dd
2 4 4
x x x x x x= + = + =

.
Câu 3. Cho hàm số
( )
y f x=
liên tục trên
\ 0; 1−
thỏa mãn
( )
( )
( ) ( ) ( )
2
1 2ln2
2 ln3; ,
1.
f
f a b a b
x x f x f x x x
=−
= +
+ + = +
.
Tính
22
ab+
.
A.
25
4
. B.
9
2
. C.
5
2
. D.
13
4
.
Lời giải
Chọn B
Ta có
( ) ( ) ( )
2
1.x x f x f x x x
+ + = +
(1)
Chia cả 2 vế của biểu thức (1) cho
( )
2
1x +
ta được
( )
( )
( )
2
1
.
11
1
xx
f x f x
xx
x
+=
++
+
( )
.
11
xx
fx
xx

=

++

, với
\ 0; 1x −
.
( )
.
1
x
fx
x +
d
1
x
x
x
=
+
( )
. ln 1
1
x
f x x x C
x
= − + +
+
( )
( )
1
ln 1
x
f x x x C
x
+
= − + +
Trang 11
Mặt khác,
( )
1 2ln2f =−
( )
2 1 ln2 2ln2C− + = −
1C =−
.
Do đó
( )
( )
1
ln 1 1
x
f x x x
x
+
= − + −
.
Với
2x =
thì
( ) ( )
3 3 3
1 ln3 ln3
2 2 2
fx= − = −
. Suy ra
3
2
a =
và
3
2
b =−
.
Vậy
22
9
2
ab+=
.
Câu 4. Cho hàm số
( )
y f x=
có đạo hàm trên thỏa mãn
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
0 0 1
31
ff
f x y f x f y xy x y
==
+ = + + + −
,
với
,xy
. Tính
( )
1
0
1df x x−
.
A.
1
2
. B.
1
4
−
. C.
1
4
. D.
7
4
.
Lời giải
Chọn C
Lấy đạo hàm theo hàm số
y
( ) ( )
2
36f x y f y x xy

+ = + +
,
x
.
Cho
( ) ( )
2
0 0 3y f x f x

= = +
( )
2
13f x x
=+
( ) ( )
3
f x f x dx x x C
= = + +
mà
( )
01f =
1C=
. Do đó
( )
3
1f x x x= + +
.
Vậy
( )
1
0
1df x x−=
( )
0
1
df x x
−
=
( )
0
3
1
1
1d
4
x x x
−
+ + =
.
Câu 5. Cho hàm số
( )
fx
có đạo hàm liên tục trên
0;1
thỏa mãn
( )
10f =
,
( )
1
2
0
d7f x x
=


và
( )
1
2
0
1
d
3
x f x x =
. Tích phân
( )
1
0
df x x
bằng
A.
7
5
. B.
1
. C.
7
4
. D.
4
.
Lời giải
Chọn A
Ta có
( ) ( ) ( )
1
11
33
2
00
0
33

=−



xx
x f x dx f x f x dx
. Suy ra
( )
1
3
0
1
33
=−
x
f x dx
.
Hơn nữa ta dễ dàng tính được
1
6
0
1
d
9 63
x
x =
.
Do đó
( ) ( )
1 1 1
36
2
2
0 0 0
d 2.21 d 21 d 0
39
xx
f x x f x x x

+ + =


( )
1
2
3
0
7 d 0f x x x

+ =

.
Suy ra
( )
3
7
=−f x x
, do đó
( )
4
7
4
= − +f x x C
. Vì
( )
10=f
nên
7
4
=C
.
Vậy
( )
( )
11
4
00
77
d 1 d
45
f x x x x= − − =

.
Câu 6. Xét hàm số
( )
fx
có đạo hàm liên tục trên và thỏa mãn điều kiện
( )
11f =
và
( )
24f =
.
Tính
( ) ( )
2
2
1
21
d
f x f x
Jx
xx
++

=−


.
Trang 12
A.
1 ln4J =+
. B.
4 ln2J =−
. C.
1
ln2
2
J =−
. D.
1
ln4
2
J =+
.
Lời giải
Chọn D
Ta có
( ) ( )
2
2
1
21
d
f x f x
Jx
xx
++

=−


( ) ( )
2 2 2
22
1 1 1
21
d d d
f x f x
x x x
x x x x

= − + −


.
Đặt
( ) ( )
2
11
dd
dd
u u x
xx
v f x x v f x

= = −



==

.
( ) ( )
2
2
1
21
d
f x f x
Jx
xx
++

=−


( )
( ) ( )
2
2 2 2
2 2 2
1
1 1 1
1 2 1
. d d d
f x f x
f x x x x
x x x x x

= + − + −


( ) ( )
2
1
1 1 1
2 1 2ln ln4
22
f f x
x

= − + + = +


.
Câu 7. Cho hàm số
()fx
xác định trên
\ 2;1−
thỏa mãn
( ) ( ) ( ) ( )
2
1
, 3 3 0, 0
2
1
3
f x f f f
xx
= − − = =
+−
. Giá trị của biểu thức
( ) ( ) ( )
4 1 4f f f− + −
bằng
A.
11
ln20
33
+
. B.
11
ln2
33
+
. C.
ln80 1+
. D.
18
ln 1
35
+
.
Lời giải
Chọn B
Ta có:
( )
2
1 1 1
2 3 1 2
1
fx
x x x x

= = −

+ − − +

( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1
2
3
1
ln 1 ln 2 ; ; 2
3
1 1 1 1 1 1
ln ln 1 ln 2 ; 2;1
3 1 2 3 2 3
1
ln 1 ln 2 ; 1;
3
x x C x
x
f x dx C x x C x
x x x
x x C x
− − − − + − −


−

= − = + = − − + + −



− + +

− − + + +


Với
( ) ( ) ( )
22
1 1 1 1 1
0 ln 1 0 ln 0 2 ln2
3 3 3 3 3
f C C= − − + + = = +


Với
( ) ( )
13
11
3 3 0 ln
3 10
f f C C− − = − =
Nên
( ) ( ) ( )
2 1 3
1 5 1 1 1 1 1
4 1 4 ln ln2 ln ln2
3 2 3 3 2 3 3
f f f C C C− + − = + − + + − = +
.
Câu 8. Cho hàm số
( )
fx
xác định và liên tục trên đồng thời thỏa mãn
( )
( ) ( )
( )
2
0,
,.
1
0
2
x
f x x
f x e f x x
f
= −
=
Tính giá trị của
( )
ln2f
.
A.
( )
1
ln2
4
f =
. B.
( )
1
ln2
3
f =
. C.
( )
1
ln2 ln2
2
f =+
. D.
( )
2
1
ln2 ln 2
2
f =+
.
Lời giải
Chọn B
Trang 13
Ta có
( ) ( )
2x
f x e f x
=−
( )
( )
2
x
fx
e
fx
= −
( do
( )
0fx
)
( )
( )
2
dd
x
fx
x e x
fx
= −

( )
( )
11
x
x
e C f x
f x e C
− = − + =
−
.
Mà
( )
0
1 1 1
01
22
fC
eC
= = = −
−
.
( ) ( )
ln2
1 1 1
ln2
1 1 3
x
f x f
ee
= = =
++
.
Câu 9. Cho hai hàm
( )
fx
và
( )
gx
có đạo hàm trên
1;4
, thỏa mãn
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1 1 4fg
g x xf x
f x xg x
+=
=−
=−
với mọi
1;4x
. Tính tích phân
( ) ( )
4
1
I f x g x dx=+


.
A.
3ln2
. B.
4ln2
. C.
6ln2
. D.
8ln2
.
Lời giải
Chọn D
Từ giả thiết ta có
( ) ( ) ( ) ( )
..f x g x x f x x g x

+ = − −
( ) ( ) ( ) ( )
. . 0f x x f x g x x g x

+ + + =
( ) ( )
. . 0x f x x g x

+ =
( ) ( ) ( ) ( )
..
C
x f x x g x C f x g x
x
+ = + =
Mà
( ) ( ) ( ) ( )
44
11
4
1 1 4 4 8ln2f g C I f x g x dx dx
x
+ = = = + = =



.
Câu 10. Cho hai hàm
()fx
và
()gx
có đạo hàm trên
1;2
thỏa mãn
(1) (1) 0fg==
và
2
3
2
( ) 2017 ( 1) ( )
( 1)
, 1;2 .
( ) ( ) 2018
1
x
g x x x f x
x
x
x
g x f x x
x
+ = +
+

+=
+
Tính tích phân
2
1
1
( ) ( )
1
xx
I g x f x dx
xx
+

=−

+

.
A.
1
2
I =
. B.
1I =
. C.
3
2
I =
. D.
2I =
.
Lời giải
Chọn A
Từ giả thiết ta có:
2
2
11
( ) ( ) 2017
( 1)
, 1;2 .
1
( ) ( ) 2018
1
x
g x f x
xx
x
x
g x f x
xx
+
− = −
+

+=
+
Suy ra:
22
1 1 1 1
( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1
( 1) 1 1
1
( ) ( ) .
1
x x x x
g x g x f x f x g x f x
x x x x x x
xx
g x f x x C
xx


++

+ − − = − =

+ + +

+
− = +
+
Mà
(1) (1) 0 1f g C= = = −
22
11
11
( ) ( ) ( 1) .
12
xx
I g x f x dx x dx
xx
+

= − = − =

+


Trang 14
Câu 11. Cho hàm số
3
2 khi 1
()
3 khi 1
x x x
fx
xx
+ +
=
+
. Tính tích phân
( )
2
2
0
3sin 1 sin 2 df x x x
−
.
A.
21
4
. B.
13
2
. C.
20
3
. D.
5
6
.
Lời giải:
Chọn A
Xét
( )
2
2
0
3sin 1 sin 2 dI f x x x
=−
Đặt
2
1
3sin 1 3sin2 d d sin2 d d
3
x t x x t x x t− = = =
Với
0x =
1t =−
2
x
=
2t =
( ) ( )
2 2 1 2
1 1 1 1
1 1 1 1
d d ( )d ( )d
3 3 3 3
I f t t f x x f x x f x x
− − −
= = = +
( )
( )
12
3
11
1 1 21
2 d 3 d .
3 3 4
x x x x x
−
= + + + + =

Câu 12. Cho hàm số
2
2 1 khi 1
()
khi 1
xx
fx
xx
−
=
. Tính tích phân
( )
13
1
3 2 df x x+−
.
A.
231
5
−
. B.
97
6
. C.
16
3
. D.
113
3
.
Lời giải:
Chọn B
Xét
( )
13
1
3 2 dI f x x= + −
Đặt
2
3 2 3 2 3 ( 2) d 2( 2)dx t x t x t x t t+ − = + = + + = + = +
Với
1x =
0t =
13x =
2t =
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 1 2
0 0 0 1
2 ( 2) d 2 ( 2) d 2 ( 2) d 2 ( 2) dI t f t t x f x x x f x x x f x x = + = + = + + +
12
2
01
97
2 ( 2) d 2 (2 1)( 2)d .
6
x x x x x x= + + − + =

Câu 13. Cho hàm số
2 4 khi 2
()
4 2 khi 2
xx
fx
xx
−
=
−
. Tính tích phân
( )
2
2
4
3 4cos sin2 df x x x
−
−
.
A.
2
3
. B.
1
2
. C.
21
4
. D.
5
12
.
Lời giải:
Chọn A
Xét
( )
2
2
4
3 4cos sin2 dI f x x x
−
=−
Đặt
2
1
3 4cos sin2 d d
4
x t x x t− = =
Trang 15
Với
4
x
=−
1t =
2
x
=
3t =
( ) ( )
3 3 2 3
1 1 1 2
1 1 1 1
d d ( )d ( )d
4 4 4 4
I f t t f x x f x x f x x = = = +
( ) ( )
23
12
1 1 2
4 2 d 2 4 d .
3 3 3
x x x x= − + − =

Câu 14. Cho hàm số
42
2
2 1 khi 1
()
3 khi 1
x x x
fx
xx
+ −
=
−
. Tính tích phân
( )
4
1
1
4 ln d
e
f x x
x
−
.
A.
16
3
. B.
17
. C.
11
6
. D.
6
11
.
Lời giải:
Chọn C
Xét
( )
4
1
1
4 ln d
e
I f x x
x
=−
Đặt
2
1
4 ln 4 ln d 2 dx t x t x t t
x
− = − = = −
Với
1x =
2t =
4
xe=
0t =
( ) ( )
2 2 1 2
0 0 0 1
2 . d 2 . d 2 . ( )d 2 . ( )dI t f t t x f x x x f x x x f x x = = = +
( ) ( )
12
4 2 2
01
11
2 2 1 d 2 3 d .
6
x x x x x x x= + − + − =

Câu 15. Cho hàm số
2
2 1 khi 0
( ) 1 khi 0 2
5 2 khi 2
xx
f x x x
xx
−
= −
−
. Tính tích phân
( )
4
2
4
1
2 7tan d
cos
f x x
x
−
−
.
A.
201
77
. B.
34
103
. C.
155
7
. D.
109
21
.
Lời giải:
Chọn D
Xét
( )
4
2
4
1
2 7tan d
cos
I f x x
x
−
=−
Đặt
2
11
2 7tan d d
cos 7
x t x t
x
− = = −
Với
4
x
=−
9t =
4
x
=
5t =−
( ) ( )
9 9 0 2 9
5 5 5 0 2
1 1 1 1 1
d d ( )d ( )d ( )d
7 7 7 7 7
I f t t f x x f x x f x x f x x
− − −
= = = + +
( )
( ) ( )
0 2 9
2
5 0 2
1 1 1 109
2 1 d 1 d 5 2 d .
7 7 7 21
x x x x x x
−
= − + − + − =
Trang 16
Câu 16. Cho hàm số
2
khi 0
()
khi 0
xx
fx
xx
x−
=
. Khi đó
( ) ( )
2
2
00
2 cos sin 2 3 2I xf x dx f x dx
= + −

bằng
A.
7
3
. B.
8
3
. C.
3
. D.
10
3
.
Lời giải:
Chọn D
Ta có:
( ) ( )
2
2
12
00
2 cos sin 2 3 2I xf x dx f x dx I I
= + − = +

Đặt
sin cost x dt xdx= =
. Đổi cận
00
1
2
xt
xt
= =
= =
.
( ) ( ) ( )
1 1 1
1
0 1 1
2I f t dt f t dt f x dx
−−
= = =
Do
2
khi 0
()
khi 0
xx
fx
xx
x−
=
( )
01
2
1
10
2
3
I xdx x x dx
−
= + − = −

.
Đặt
1
3 2 2
2
t x dt dx dx dt= − = − = −
. Đổi cận
03
21
xt
xt
= =
= = −
.
( ) ( )
33
2
11
I f t dt f x dx
−−
= =

Do
2
khi 0
()
khi 0
xx
fx
xx
x−
=
( )
03
2
2
10
4I xdx x x dx
−

= + − =



.
Vậy
12
10
3
I I I= + =
Câu 17. Cho hàm số
khi 2
()
2 12 khi
4
2
x
fx
xx
x
=
− +
. Tính tích phân
(
)
( )
2
3 ln3
22
2
0 ln2
.1
.1
1
xx
x f x
I dx e f e dx
x
+
= + +
+

A.
84
. B.
83
. C.
48
. D.
84−
.
Lời giải:
Chọn A
Ta có:
(
)
( )
2
3 ln3
22
12
2
0 ln2
.1
.1
1
xx
x f x
I dx e f e dx I I
x
+
= + + = +
+

Đặt
2 2 2
1 1 2 2t x t x tdt xdx xdx tdt= + = + = =
. Đổi cận
01
32
xt
xt
= =
= =
.
( ) ( ) ( )
222
1
111
I f t dt f t dt f x dx = = =

Trang 17
Do
khi 2
()
2 12 khi
4
2
x
fx
xx
x
=
− +
( )
2
1
1
2 12 9I x dx = − + =
.
Đặt
2 2 2
1
12
2
x x x
t e dt e dx e dx dt= + = =
. Đổi cận
ln2 5
ln3 10
xt
xt
= =
= =
.
( ) ( )
10 10
2
55
11
22
I f t dt f x dx = =

Do
khi 2
()
2 12 khi
4
2
x
fx
xx
x
=
− +
10
2
5
1
4 75
2
Ix = =
.
Vậy
12
84I I I= + =
Câu 18. Cho hàm số
3
khi 1
()
3 2 khi
2
1
x
fx
xx
xx
=
−
− +
. Biết
( )
( )
( )
2
1
3
22
0
4
. ln 1
tan
cos 1
e
x f x
fx
a
I dx dx
x x b
−
+
= + =
+

với
a
b
là phân số tối giản. Giá trị của tổng
ab+
bằng
A.
69
. B.
68
. C.
67
. D.
66
.
Lời giải:
Chọn A
( )
( )
( )
2
1
3
12
22
0
4
. ln 1
tan
cos 1
e
x f x
fx
I dx dx I I
xx
−
+
= + = +
+

Đặt
2
1
tan
cos
t x dt dx
x
= =
. Đổi cận
1
4
3
3
xt
xt
= =
= =
.
( ) ( )
33
1
11
I f t dt f x dx = =

Đặt
( )
2
22
21
ln 1
1 1 2
xx
t x dt dx dx dt
xx
= + = =
++
. Đổi cận
00
1
1
2
xt
x e t
= =
= − =
.
( ) ( )
11
22
2
00
11
22
I f t dt f x dx = =

Do
3
khi 1
()
3 2 khi
2
1
x
fx
xx
xx
=
−
− +
( )
( )
1
3
2
3
12
10
1 53
2 3 2 53, 16
2 16
I I I x x dx x dx a b = + = − + − + = = =

.
Vậy
69ab+=
Trang 18
Câu 19. Cho hàm số
khi 0 x<2
()
7 kh 2
1
5
2
2
i
fx
x
xx
=

+
−+
. Biết
( )
(
)
2
26
2
1
3
ln
.1
e
fx
a
I dx x f x dx
xb
= + + =

với
a
b
là phân số tối giản. Giá trị của hiệu
ab−
bằng
A.
77
. B.
67
. C.
57
. D.
76
.
Lời giải:
Chọn A
( )
(
)
2
26
2
12
1
3
ln
.1
e
fx
I dx x f x dx I I
x
= + + = +

Đặt
1
lnt x dt dx
x
= =
. Đổi cận
2
10
2
xt
x e t
= =
= =
.
( ) ( )
22
1
00
I f t dt f x dx = =

Đặt
2 2 2
1 1 2 2t x t x tdt xdx xdx tdt= + = + = =
. Đổi cận
32
2 6 5
xt
xt
= =
= =
.
( ) ( )
55
2
22
..I t f t dt x f x dx = =

Do
khi 0 x<2
()
7 kh 2
1
5
2
2
i
fx
x
xx
=

+
−+
( )
25
12
02
1 79
2 . 7 79, 2
22
I I I x dx x x dx a b

= + = + + − + = = =



.
Vậy
77ab−=
Câu 20. Cho hàm số
2
1 khi 0
()
2 3 khi 0
x x x
fx
xx
+ +
=
−
. Biết
( )
2
2
0
ln
(2sin 1)cos
e
e
fx
a
I f x xdx dx
xb
= − + =

với
a
b
là phân số tối giản. Giá trị của tích
ab+
bằng
A.
305
. B.
305−
. C.
350
. D.
350−
.
Lời giải:
Chọn B
( )
2
2
12
0
ln
(2sin 1)cos
e
e
fx
I f x xdx dx I I
x
= − + = +

Đặt
2sin 1 2cos cos
2
dt
t x dt xdx xdx= − = =
. Đổi cận
01
1
2
xt
xt
= = −
= =
.
( ) ( )
11
1
11
11
22
I f t dt f x dx
−−
= =

Do
2
1 khi 0
()
2 3 khi 0
x x x
fx
xx
+ +
=
−
( )
( )
01
2
10
1 13
2 3 1
2 12
I x dx x x dx
−

= − + + + = −



.
Trang 19
Đặt
1
lnt x dt dx
x
= =
. Đổi cận
2
1
2
x e t
x e t
= =
= =
.
( ) ( )
22
2
11
I f t dt f x dx = =

Do
2
1 khi 0
()
2 3 khi 0
x x x
fx
xx
+ +
=
−
( )
2
2
1
29
1
6
I x x dx = + + =
.
12
377
377, 72
72
I I I a b = + = − = − =
Vậy
305ab+ = −
| 1/19
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN HÀM ẨN
Chuyên đề phát triển từ câu 41 của đề tham khảo môn Toán 2021 của Bộ Giáo Dục KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1. Các tính chất tích phân: b c b f
 (x)dx = f
 (x)dx+ f
 (x)dx với a c b. a a c b b k f
 (x)dx = kf
 (x)dx(k  0) a a b a f
 (x)dx = − f
 (x)dx a b b b f
 (x)dx = F(x) = F(b)−F (a) a a b b b
 ( f (x)+ g(x))dx = f
 (x)dx+ g
 (x)dx a a a b b b f
 (x)dx = f
 (t)dt = f  (z)dz a a a b b f
 (x)dx = f (x) = f (b)− f (a) a a
2. Công thức đổi biến số: f
 (u(x)).u(x)dx = f
 (u)du, u =u(x) u(b b ) f
 (u(x)).u(x)dx = f
 (u)du, u =u(x). a u(a)
Phương pháp đổi biến số thường được sử dụng theo hai cách sau đây: b  Giả sử cần tính g ( x) dx
. Nếu ta viết được g ( x) dưới dạng f (u ( x))u( x) thì a u(b b ) u(b) g
 (x)dx = f
 (u)du . Vậy bài toán quy về tính f (u)du
, trong nhiều trường hợp thì tích phân mới a u(a) u(a) này đơn giản hơn . 
 Giả sử cần tính f
 (x)dx. Đặt x = x(t) thỏa mãn  = x(a),  = x(b) thì   b b f
 (x)dx = f
 (x(t))x(t)dt = g
 (t)dt , trong đó g(t) = f (x(t)).x(t) a a BÀI TẬP MẪU 2 x −1 khi x  2
(ĐỀ MINH HỌA LẦN 1-BDG 2020-2021) Cho hàm số f (x) =  . Tích phân 2
x − 2x + 3 khi x  2  2
f (2sin x +1) cos x dx  bằng: 0 23 23 17 17 A. . B. . C. . D. . 3 6 6 3
Phân tích hướng dẫn giải Trang 1
1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tìm giá trị của tích phân của hàm số. 2. HƯỚNG GIẢI:
B1: Dựa vào biểu thức bên trong dấu tích phân, ta sử dụng phương pháp đổi biến số để xử lý bài toán. b c b
B2: Sử dụng tính chất
f ( x) dx =
f ( x) dx + f ( x) d , x c  ( ; a b)    . a a c
B3: Lựa chọn hàm f ( x) thích hợp để tính giá trị tích phân.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn B  2 Xét I =
f (2sin x +1) cos x dx  0 Đặ 1
t t = 2sin x +1  dt = cos d x x 2 x = 0  t = 1 Đổi cận:  . x =  t = 3 2 3 3 2 1 1 1   I = f (t)dt = f (x)dx = (  
x − 2x + 3) 3 23 2 dx + ( 2 x − ) 1 dx    = . 2 2 2 6 1 1 1 2 
Bài tập tương tự và phát triển: Mức độ 3 2 e x khi x  0 1 2 a e a Câu 1.
Cho hàm số f (x) =  . Biết tích phân
f (x) dx = +  ( là phân số tối 2
x + x + 2 khi x  0 b c b 1 −
giản). Giá trị a + b + c bằng A. 7 . B. 8 . C. 9 . D. 10 . Lời giải Chọn C 1 0 1 2 e x 4 Ta có: I = f (x)dx = ( 2 x + x + 2) 2
dx + e dx = +    . 3 2 1 − 1 − 0
Vậy a + b + c = 9 . x( 2 1+ x ) khi x  3  4 e f (ln x) Câu 2.
Cho hàm số f (x) =  1 . Tích phân dx  bằng:  khi x  3 x  2 e x − 4 40 95 189 189 A. − ln 2 . B. + ln 2 . C. + ln 2 . D. − ln 2 . 3 6 4 4 Lời giải Chọn D 4 e f (ln x) Xét I = dxx 2 e Đặ 1
t t = ln x  dt = dx x 2 =  = Đổ x e t 2 i cận: . 4 x = e  t = 4 4 4 3 4 1 189 I = f (t)dt = f (x)dx = dx + x ( 2 1+ x ) dx = − ln 2     . x − 4 4 2 2 2 3 Trang 2 1  khi x  1 1 m m Câu 3.
Cho hàm số f (x) =  x . Tích phân 3
f ( 1− x )dx =  (
là phân số tối giản),  n n
x +1 khi x 1 2 −
khi đó m − 2n bằng: A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 . Lời giải Chọn A 1 Xét 3 I =
f ( 1− x)dx  7 − Đặt 3 2 t = 1− x  3
− t dt = dx x = 7 −  t = 2 Đổi cận: . x = 1  t = 0 0 2 1 2   25 2 2 2 I = 3
− t f (t)dt = 3 x f (x)dx = 3    x (x + ) 1 dx + d x x    = . 12 2 0 0 1  1 3 1 Câu 3.
Cho hàm số f ( x) liên tục trên và f
 (x)dx = 4, f
 (x)dx = 6. Tính I = f  ( 2x+1)dx 0 0 1 − A. I = 3 . B. I = 5 . C. I = 6 . D. I = 4 . Lời giải Chọn B Đặt u = 2x + 1 1  d x = d u . Khi x = 1 − thì u = 1
− . Khi x =1 thì u = 3. 2 3 1 0 3 1   Nên I = f
 ( u )du =  f
 ( u )du + f  ( u )du 2 2 1 −  1− 0  0 3 1   =  f  ( u − )du + f  (u)du . 2  1 − 0  1 Xét f
 (x)d x = 4. Đặt x = u
−  d x = −du . 0
Khi x = 0 thì u = 0 . Khi x = 1 thì u = 1 − . 1 1 − 0 Nên 4 =
f ( x)d x =  − f ( u − 
)du = f ( u −  )du . 0 0 1 − 3 3 Ta có f
 (x)d x = 6  f  (u)du = 6. 0 0 0 3 1   1 Nên I =  f  ( u − )du + f
 (u)du = (4+6) = 5. 2  2 1 − 0  Câu 4.
Cho F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) = 1+ x − 1− x trên tập và thỏa mãn F ( )
1 = 3. Tính tổng F (0) + F (2) + F (− ) 3 . A. 8 . B. 12 . C. 14 . D. 10 . Lời giải: Chọn C
Bảng khử dấu giá trị tuyệt đối: Trang 3 2 2 2 Ta có: f
 (x)dx = F (2)− F ( )1 = F (2)−3 mà f
 (x)dx = 2dx = 2  nên F (2) = 5 . 1 1 1 1 1 1 ➢ f
 (x)dx = F ( )1−F (0) =3−F (0) mà f  (x) 2 1 dx = 2 d x x = x =1  nên F (0) = 2 . 0 0 0 0 0 0 0
➢ f ( x)dx = F (0) − F (− ) 1 = 2 − F (−  ) 1 mà f ( x) 2 0 dx = 2 d x x = x = 1 −   nên F (− ) 1 = 3. 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 −
➢ f (x)dx = F (− ) 1 − F ( 3 − ) = 3− F ( 3 − 
) mà f (x)dx = 2 − dx = 4 −   nên F (− ) 3 = 7 . 3 − 3 − 3 −
Vậy F (0) + F (2) + F (− ) 3 = 2 + 5 + 7 =14 . 5 2 x − 2 +1 Câu 5. Biết I =
dx = 4 + a ln 2 + b ln 5  với , a b
. Tính S = a + b . x 1 A. S = 9 . B. S =11. C. S = 3 − . D. S = 5 . Lời giải: Chọn D
x − 2 khi x  2 Ta có x − 2 =  .
2 − x khi x  2 2 5 2 x − 2 +1 2 x − 2 +1 Do đó I = dx + dx   . x x 1 2 2 2(2 − x) 5 +1 2 ( x − 2) +1 2 5 =  5   3  dx + dx   = − 2 dx + 2 − dx     x xx   x  1 2 1 2 = (
x − x) 2 + ( x − x ) 5 5ln 2 2 3ln = 4 +8ln 2 −3ln5. 1 2  =  a 8 
S = a +b = 5. b  = 3 − Câu 6.
Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục trên thỏa mãn f ( 3 x + 3x + )
1 = 3x + 2 , với mọi 5 x  .Tích phân xf
 (x)dx bằng 1 31 17 33 49 A. − . B. . C. . D. . 4 4 4 4 Lời giải Chọn C
Từ giả thiết ta có f ( 3 x + 3x + )
1 = 3x + 2 nên suy ra f ( ) 1 = 2 , f (5) = 5 . 5 5 5 5
Suy ra I = xf
 (x)dx = xf (x) − f
 (x)dx = 23− f  (x)dx . 1 1 1 1 Đặt 3
x = t + t +  x = ( 2 3 1 d 3t + 3)dt .
Với x =1 t = 0; x = 5  t =1 Trang 4 5 1 1
Do đó f (x)dx = f ( 59 3 t + 3t + ) 1 ( 2
3t + 3)dt = (3t + 2)( 2 3t + 3)dt =    . 4 1 0 0 59 33 Vậy I = 23 − = . 4 4 Câu 7.
Cho hàm số y = f ( x) xác định và liên tục trên thoả f ( 5
x + 4x + 3) = 2x +1, x   . Tích 8 phân f
 (x)dx bằng 2 − 32 A. 2 . B. 10 . C. . D. 72 . 3 Lời giải Chọn B Đặt 5
x = t + t +  dx = ( 4 4 3 5t + 4) dt . x = 2 −  t = −1 Đổi cận: 
x = 8  t = 1 8 1 1 Khi đó f
 (x)dx = f
 ( 5t +4t +3)( 4
5t + 4) dt =  (2t + ) 1 ( 4
5t + 4)dt = 10 . 2 − 1 − 1 − Câu 8.
Cho hàm số y = f ( )
x xác định và liên tục trên
thỏa mãn  f x 3 2
( ) + 3 f (x) + 5 = x với 10 x
  . Tính I = f (x)dx  . 5 A. I = 0 . B. I = 3 . C. I = 5 . D. I = 6 Lời giải Chọn B Đặt 3 2
t = f (x)  2t + 3t + 5 = x dx = (6t + 3)dt và 3
x = 5  2t + 3t + 5 = 5  t = 0 3
x =10  2t + 3t + 5 =10  t =1 10 1 Vậy 2 I =
f (x)dx = t(6t + 3)dt = 3   . 5 0 1  2 Câu 9.
Cho hàm số f ( x) xác định
\  , thỏa f ( x) =
, f (0) = 1 và f ( ) 1 = 2. Giá trị 2 2x −1
của biểu thức f (− ) 1 + f ( ) 3 bằng A. ln15. B. 2 + ln15. C. 3 + ln15. D. 4 + ln15. Lời giải Chọn C Ta có f ( x) 2 = 2x −1  ( − x) 1 ln 1 2 + C ; x    f (x) 1 2 2 =
dx = ln 2x −1 + C =   2x −1 ln(2x − ) 1 1 + C ; x  2  2
f (0) =1 C =1 và f ( ) 1 = 2  C = 2 . 1 2  ( − x) 1 ln 1 2 +1 ; x    f   (− ) 1 = ln 3 +1 Do đó f ( x) 2 =     (  = + x − ) 1 f +   (3) ln 5 2 ln 2 1 2 ; x  2 Trang 5f (− ) 1 + f ( ) 3 = 3 + ln15.  2 3
x + 2x khi x  0 2
Câu 10. Cho hàm số f (x) =  . Khi đó I = cos xf
(sin x)dx bằng 5  − x khi x  0  − 2 15 17 A. . B.15 . C.8 . D. . 2 2 Lời giải: Chọn A   x = −  t = −1  Đặ 2
t t = sin x dt = cos xdx . Đổi cận   . x =  t =1  2 1 1  I = f
 (t)dt = f  (x)dx 1 − 1 − 2 3
x + 2x khi x  0 Do f (x) =  5  − x khi x  0 0 1
I = (5− x)dx + ( 15 2
3x + 2x)dx =   . 2 1 − 0 2
x − 2x + 3 khi x  2 1
Câu 11. Cho hàm số f (x) =  . Khi đó I = f
 (3−2x)dx bằng x +1 khi x  2 0 41 41 41 A. . B. 21. C. . D. . 2 12 21 Lời giải Chọn C 1
x = 0  t = 3
Đặt t = 3− 2x dt = 2
− dx dx = − dt . Đổi cận  . 2
x = 1 t = 1 3 3 1  I = f  (t) 1 dt = f  (x)dx 2 2 1 1 2
x − 2x + 3 khi x  2 Do f (x) =  x +1 khi x  2 2 3 1  
I =  (x+ )1dx+ ( 41 2
x − 2x + 3)dx  = . 2 12  1 2   3 2  x + 2x khi x   2 2
Câu 12. Cho hàm số f (x) = 
. Khi đó I = sin xf (cos x +  ) 1 dx bằng 3 x − 2 khi x  0  2 35 19 10 A. . B. 3 . C. . D. . 12 4 3 Lời giải: Chọn A
x = 0  t = 2 
Đặt t = cos x +1 dt = −sin xdx . Đổi cận   . x =  t = 1  2 Trang 6 2 2  I = f
 (t)dt = f  (x)dx 1 1  3 2 x + 2x khi x   2 Do f (x) =  3 x − 2 khi x   2 3 2 2
I = (x − 2)dx + ( 35 2
x + 2x)dx =   . 12 1 3 2  2
x − x khi x  0 2
Câu 13. Cho hàm số f (x) =  . Khi đó I = cos xf
(sin x)dx bằng x khi x  0  − 2 2 1 4 A. − . B. 1 − . C. − . D. − . 3 3 3 Lời giải: Chọn A   x = −  t = −1  Đặ 2
t t = sin x dt = cos xdx . Đổi cận   . x =  t =1  2 1 1  I = f
 (t)dt = f  (x)dx 1 − 1 − 2
x − x khi x  0 Do f (x) =  x khi x  0 0 1  I = xdx + ( 2 2
x − x)dx = −   . 3 1 − 0 2
x + x +1 khi x  3 2
Câu 14. Cho hàm số f (x) = 
. Khi đó I = xf ( 2 x +  )1dx bằng 2x −1 khi x  3 0 73 74 A. 24 . B. . C. . D. 25 . 3 3 Lời giải: Chọn B
x = 0  t = 1 Đặ 1 t 2
t = x +1  dt = 2xdx xdx = dt . Đổi cận  . 2
x = 2  t = 5 5 5 1  I = f  (t) 1 dt = f  (x)dx 2 2 1 1 2
x + x +1 khi x  3 Do f (x) =  2x −1 khi x  3 3 5 1  
I =  (2x − )1dx+ ( 73 2 x + x + ) 1 dx  = . 2 3  1 3   1  3x + 3 khi x   2 2
Câu 15. Cho hàm số f (x) =  . Tính tích phân f  (sin x)cos d x x . 1
x + 4 khi x  0  2 Trang 7 17 13 21 A. 8 . B. . C. . D. . 4 2 5 Lời giải: Chọn B  2 Xét I = f  (sin x)cos d x x 0
Đặt sin x = t  cos d x x = dt
Với x = 0  t = 0  x =  t = 1 2 1 1 1 1 2 1 2 1  I = f
 (t) t = f
 (x) x = f x x+ f x x =  
( x+ ) x+ (x+ ) 17 d d ( )d ( )d 3 3 d 4 dx = . 4 0 0 0 1 0 1 2 2  2 2x +1 khi x  0 3
Câu 16. Cho hàm số f (x) =  . Tính tích phân f  (3cos x−2)sin d x x . 2
2x − x +1 khi x  0 0 33 15 19 A. . B. . C. 12. D. . 2 23 24 Lời giải: Chọn D  3 Xét I = f  (3cos x−2)sin d x x 0
Đặt 3cos x − 2 = t  1 3 − sin d
x x = dt  sin d x x = − dt 3
Với x = 0  t = 1  x =  1 t = − 3 2 1 1 0 1  1 I = f  (t) 1 t = f  (x) 1 1 d dx = f (x)dx + f (x)dx   3 3 3 3 1 1 1 0 − − − 2 2 2 0 1
=  (2x − x + ) 1 1 19 2 1 dx + ( 2 2x + ) 1 dx = . 3 3 24 1 0 − 2  2 1
 − x khi x 1 4
Câu 17. Cho hàm số f (x) =  . Tính tích phân f (5sin 2x −  )1cos2 d x x .
2x − 2 khi x 1  − 2 11 43 31 31 A. . B. . C. . D. . 10 31 30 10 Lời giải: Chọn C  4 Xét I = f (5sin 2x −  )1cos2 d x x  − 2
Đặt 5sin 2x −1 = t  1 10cos 2 d
x x = dt  cos 2 d x x = dt 10 Trang 8  Với x = −  t = 1 − 2  x =  t = 4 4 4 4 1 4 1  I = f  (t) 1 t = f  (x) 1 1 d dx = f (x)dx + f (x)dx   10 10 10 10 1 − 1 − 1 − 1 1 1 = (1− x ) 4 1 31 2 dx +
(2x−2)dx = . 10 10 30 1 − 1 3
2x − x −5 khi x  2 e 1
Câu 18. Cho hàm số f (x) =  . Tính tích phân f
 (2+ln x) dx . 1  1− x khi x  2 x 1 e 69 25 A. . B. 12 . C. . D. 30 . 2 2 Lời giải: Chọn A e 1 Xét I = f  (2+ln x) dx x 1
Đặt 2 + ln x = t  1 dx = dt x 1
Với x =  t = 1 e
x = e t = 3 3 3 2 3 2 3  I = f
 (t)dt = f
 (x)dx = f
 (x)dx+ f
 (x)dx = (11− x)dx+( 69 3
2x − x − 5)dx = . 2 1 1 1 2 1 2 2 1
 − x khi x  3 ln 2
Câu 19. Cho hàm số f (x) =  . Tính tích phân (3 x −  )1ex f e dx .
7 − 5x khi x  3 0 13 102 94 25 A. . B. − . C. − . D. . 15 33 9 9 Lời giải: Chọn C ln 2 Xét = (3 x −  )1 x I f e e dx 0 Đặt 3 x e −1= t x x 1
3e dx = dt e dx = dt 3
Với x = 0  t = 2
x = ln 2  t = 5 5 3 5 3 5  1 I = f  (t) 1 dt = f  (x) 1 dx + f  (x) 1 dx = ( 1 94 2 1− x )dx +
(7 − 5x)dx = − .  3 3 3 3 3 9 2 2 3 2 3  Mức độ 4  2 Câu 1.
Giá trị của tích phân max  sin x,cos  x dx bằng 0 1 A. 0 . B. 1. C. 2 . D. . 2 Lời giải Chọn C Trang 9    
Ta có phương trình sin x − cos x = 0 có một nghiệm trên đoạn 0;   là x = .  2  4 Bảng xét dấu    2 4 2   Suy ra max  sin ,xcos  x dx = cos d x x + sin d x x  
= (sin x) 4 − (cos x) 2 = 2  . 0 0 0  4 4 2 Câu 2.
Tính tích phân I = max 
 3x, xdx . 0 9 17 19 11 A. . B. . C. . D. . 4 4 4 4 Lời giải: Chọn B Đặt ( ) 3
f x = x − x ta có bảng xét dấu sau: .
Dựa vào bảng xét dấu ta có. x
   f (x) 3 3
  x − x   x x   3 0;1 , 0 0 max x ,  x = x . x
   f (x) 3 3
  x − x   x x   3x  3 1; 2 , 0 0 max , x = x . 2 1 2 Ta có: I = max 
 3x, xdx = max 
 3x, xdx+ max 
 3x, xdx . 0 0 1 2 1 2 1 2 1 1 17 Nên I = max 
 3x, xdx 3 2 4 = d
x x + x dx = x + x =   . 2 4 4 0 0 1 0 1  f ( ) 1 = 2 − ln 2  Câu 3.
Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên \ 0; − 
1 thỏa mãn  f (2) = a + b ln 3; a,b  . x  ( x + )
1 . f ( x) + f ( x) 2 = x + x Tính 2 2 a + b . 25 9 5 13 A. . B. . C. . D. . 4 2 2 4 Lời giải Chọn B
Ta có x( x + ) f ( x) + f ( x) 2 1 . = x + x (1) x 1 x
Chia cả 2 vế của biểu thức (1) cho ( x + )2 1 ta được . f ( x) + f x = 2 ( ) x +1 (x + )1 x +1    xx x x . f ( x) =   , với x   \0; −  1 .  . f ( x) = dx   x +1  x +1 x +1 x +1 +  x x 1
. f ( x) = x − ln x +1 + C f ( x) =
(x−ln x+1 +C) x +1 x Trang 10 Mặt khác, f ( ) 1 = 2
− ln 2  2(1−ln 2+C) = 2 − ln 2  C = 1 − . +
Do đó f (x) x 1 =
(x−ln x+1 − )1 . x 3 3 3 3 3
Với x = 2 thì f ( x) = (1− ln 3) = − ln 3. Suy ra a = và b = − . 2 2 2 2 2 9 Vậy 2 2 a + b = . 2  f  (0) = f (0) =1 Câu 4.
Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm trên thỏa mãn  ,  f
 ( x + y) = f ( x) + f ( y) + 3xy ( x + y) −1 1 với , x y  . Tính f ( x −  ) 1 dx . 0 1 1 1 7 A. . B. − . C. . D. . 2 4 4 4 Lời giải Chọn C
Lấy đạo hàm theo hàm số y
f ( x + y) = f ( y) 2
+ 3x +6xy , x   .
Cho y =  f ( x) = f ( ) 2 0
0 + 3x f ( x) 2 =1+ 3x  ( ) =   ( ) 3 f x f
x dx = x + x + C mà f (0) = 1  C = 1. Do đó f ( x) 3 = x + x +1 . 1 0 0 1 Vậy f ( x − ) 1 dx = 
f ( x) dx = 
( 3x + x+ )1dx =  . 4 0 1 − 1 − 1 2 Câu 5.
Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục trên 0;  1 thỏa mãn f ( ) 1 = 0,  f
 (x) dx = 7  và 0 1 1 1 2
x f ( x)dx =  . Tích phân f ( x)dx  bằng 3 0 0 7 7 A. . B. 1. C. . D. 4 . 5 4 Lời giải Chọn A 1 1 3 1 3  xx 1 3 1 Ta có 2
x f (x)dx =  f (x) − f    (x)dx . Suy ra ( ) = −  x f x dx .  3  3 3 3 0 0 0 0 1 6 Hơn nữ x 1
a ta dễ dàng tính được dx =  . 9 63 0 1 1 3 1 6 x x 1 Do đó  2 f
 (x) 2 dx+2.21 f    (x) 2 dx + 21 dx = 0    f   (x) 3 + 7x  dx = 0   . 3 9 0 0 0 0 7 7 Suy ra f ( x) 3 = 7
− x , do đó f (x) 4
= − x + C . Vì f ( ) 1 = 0 nên C = . 4 4 1 1 7 7 Vậy
f ( x)dx = − ( 4x − )1dx =   . 4 5 0 0 Câu 6.
Xét hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục trên
và thỏa mãn điều kiện f ( ) 1 = 1 và f (2) = 4 .
2  f ( x) + 2 f ( x) +1 Tính J =  − dx . 2 x x   1 Trang 11 1 1
A. J = 1+ ln 4 .
B. J = 4 − ln 2 . C. J = ln 2 − . D. J = + ln 4 . 2 2 Lời giải Chọn D
2  f ( x) + 2 f ( x) +1 2 f ( x) 2 f ( x) 2  2 1  Ta có J =  − dx = dx − dx + − dx     . 2 x x   2 2 x xx x  1 1 1 1  1  1 u  = d  u = − dx Đặt 2  x   x . d  v = f   (x)dx v  = f  (x)
2  f ( x) + 2 f ( x) +1 2 2 2 2 1 f x f x  2 1  J =  −
dx = . f (x) ( ) ( ) + dx − dx + − dx     2 x x   2 2 2 x x xx x  1 1 1 1 1 2 1  
= f ( ) − f ( ) 1 1 2 1 + 2 ln x + = + ln 4   . 2  x  2 1 Câu 7.
Cho hàm số f (x) xác định trên \  2 − ;  1 thỏa mãn f ( x) 1 1 = , f 3
− − f 3 = 0, f 0 = . Giá trị của biểu thức f ( 4 − ) + f ( ) 1 − f (4) 2 ( ) ( ) ( ) x + x − 2 3 bằng 1 1 1 1 1 8 A. ln 20 + . B. ln 2 + . C. ln 80 +1. D. ln +1. 3 3 3 3 3 5 Lời giải Chọn B 1 1  1 1 
Ta có: f ( x) = = −   2 x + x − 2
3  x −1 x + 2  1 ln
  (1− x) − ln (−x − 2) + C ; x  − ;  2 −  1 ( ) 3    −  f ( x) 1 1 1 1 x 1 1 = − dx = ln + C =    ln
 (1− x) − ln ( x + 2) + C ; x  2 − ;1  2 ( )
3  x −1 x + 2  3 x + 2 3  1 ln   ( x − )
1 − ln ( x + 2) + C ; x  1; +  3 ( ) 3 1 1 1 1 1 Với f (0) =  ln
 (1− 0) − ln (0 + 2) + C =  C = ln 2 +  2 2 3 3 3 3 3 1 1 Với f ( 3
− ) − f (3) = 0  C −C = ln 1 3 3 10 1 5 1 1 1 1 1 Nên f ( 4 − ) + f ( )
1 − f (4) = ln + ln 2 − ln + C + C − C = ln 2 + . 2 1 3 3 2 3 3 2 3 3 Câu 8. Cho hàm số
f ( x) xác định và liên tục trên đồng thời thỏa mãn 
f (x)  0, x     f ( x) x 2
= −e f (x), x   .   f ( ) 1 0 =  2
Tính giá trị của f (ln 2) . 1 A. f ( ) 1 ln 2 = . B. f ( ) 1 ln 2 = . C. f ( ) 1 ln 2 = ln 2 + . D. f (ln 2) 2 = ln 2 + . 4 3 2 2 Lời giải Chọn B Trang 12 f ( x) Ta có f ( x) x 2 = e − f (x) x
= −e ( do f (x)  0 ) 2 f ( x) f ( x)  1 x 1 d x x = e − dx    −
= −e + C f x = . 2 f ( x) f ( x) ( ) xe −C 1 1 1 Mà f (0) =  =  C = 1 − . 0 2 e − C 2  f (x) 1 =  f = = . x ( ) 1 1 ln 2 ln 2 e +1 e +1 3  f ( ) 1 + g ( ) 1 = 4  Câu 9.
Cho hai hàm f ( x) và g ( x) có đạo hàm trên 1;4, thỏa mãn  g ( x) = −xf ( x) với mọi  f
 ( x) = −xg( x) 4 x 1; 
4 . Tính tích phân I =  f
 (x)+ g(x)dx  . 1 A. 3ln 2 . B. 4ln 2 . C. 6 ln 2 . D. 8ln 2 . Lời giải Chọn D
Từ giả thiết ta có f ( x) + g ( x) = − . x f (x) − . x g(x)     f  ( x) + .
x f ( x) + g   (x) + .
x g( x) = 0    . x f  (x) +  .xg   (x) = 0  C  . x f ( x) + .
x g ( x) = C f ( x) + g ( x) = x 4 4 4 Mà f ( ) 1 + g ( )
1 = 4  C = 4  I =  f
 (x)+ g(x)dx = dx = 8ln2   . x 1 1
Câu 10. Cho hai hàm f (x) và g( )
x có đạo hàm trên 1;2 thỏa mãn f (1) = g(1) = 0 và  x
g(x) + 2017x = (x +1) f (  x)  2 (x +1)  , x  1;2. 3  x 2 g (
x) + f (x) = 2018x  x +1 2  x x +1  Tính tích phân I = g(x) − f (x) dx   .  x +1 x  1 1 3 A. I =
. B. I =1. C. I = . D. I = 2 . 2 2 Lời giải Chọn A  1 x +1 g(x) − f (  x) = −2017  2 (x +1) x Từ giả thiết ta có:  , x  1;2. x 1  g (  x) + f (x) = 2018 2  x +1 x Suy ra:    1 x   x +1 1   x   x +1  g(x) + g (  x) − f (  x) − f (x) = 1  g(x) − f (x) =1   2  2       + +     +    (x 1) x 1 x x x 1 x x x +1  g(x) −
f (x) = x + C. x +1 x 2 2  x x +1  1
Mà f (1) = g(1) = 0  C = 1 −  I = g(x) −
f (x) dx = (x −1)dx = .     x +1 x  2 1 1 Trang 13  3
x + x + 2 khi x 1 2
Câu 11. Cho hàm số f (x) =  . Tính tích phân f ( 2 3sin x −  )1sin2 dxx. x + 3 khi x  1 0 21 13 20 5 A. . B. . C. . D. . 4 2 3 6 Lời giải: Chọn A  2 Xét I = f ( 2 3sin x −  )1sin2 dxx 0 1 Đặt 2
3sin x −1 = t  3sin 2 d
x x = dt  sin 2 d x x = dt 3
Với x = 0  t = 1 −  x =  t = 2 2 2 2 1 2 1  I = f  (t) 1 t = f  (x) 1 1 d dx = f (x)dx + f (x)dx   3 3 3 3 1 − 1 − 1 − 1 1 1 =  (x + x+2) 2 1 21 3
dx + (x + 3)dx = . 3 3 4 1 − 1
2x −1 khi x 1 13
Câu 12. Cho hàm số f (x) =  . Tính tích phân f
 ( x+3 −2)dx . 2 x khi x  1 1 231 97 16 113 A. − . B. . C. . D. . 5 6 3 3 Lời giải: Chọn B 13 Xét I = f
 ( x+3−2)dx 1 Đặt 2
x + 3 − 2 = t
x + 3 = t + 2  x + 3 = (t + 2)  dx = 2(t + 2)dt
Với x =1  t = 0
x = 13  t = 2 2 2 1 2
I = 2 (t + 2) f
(t)dt = 2 (x + 2) f
(x)dx = 2 (x + 2) f
(x)dx + 2 (x + 2) f  (x)dx 0 0 0 1 1 2 97 2
= 2 (x + 2)x dx + 2 (2x −1)(x + 2)dx = .   6 0 1 
2x − 4 khi x  2 2
Câu 13. Cho hàm số f (x) =  . Tính tích phân f  ( 2 3 − 4 cos x)sin 2 d x x .
4 − 2x khi x  2  − 4 2 1 21 5 A. . B. . C. . D. . 3 2 4 12 Lời giải: Chọn A  2 Xét I = f  ( 2 3 − 4 cos x)sin 2 d x x  − 4 1 Đặt 2
3 − 4cos x = t  sin 2 d x x = dt 4 Trang 14  Với x = −  t = 1 4  x =  t = 3 2 3 3 2 3 1  I = f  (t) 1 t = f  (x) 1 1 d dx = f (x)dx + f (x)dx   4 4 4 4 1 1 1 2 2 3 1 = ( − x) 1 x + ( x − ) 2 4 2 d 2 4 dx = . 3 3 3 1 2 4 2  4
x + 2x −1 khi x  1 e 1
Câu 14. Cho hàm số f (x) =  . Tính tích phân f
 ( 4−ln x) dx. 2 3  − x khi x  1 x 1 16 11 6 A. . B. 17 . C. . D. . 3 6 11 Lời giải: Chọn C 4 e 1 Xét I = f
 ( 4−ln x) dx x 1 1 Đặt 2
4 − ln x = t  4 − ln x = t  dx = 2 − tdt x
Với x =1  t = 2 4
x = e t = 0 2 2 1 2
I = 2 t. f
 (t)dt = 2 .xf
 (x)dx = 2 .xf (x)dx+2 .xf (x)dx   0 0 0 1 1 = 2 x  (x +2x − ) 2 11 4 2 1 dx + 2 x  ( 2 3 − x )dx = . 6 0 1 2
2x −1 khi x  0   4 1
Câu 15. Cho hàm số f (x) = x −1
khi 0  x  2 . Tính tích phân f  (2−7tan x) dx .  2  cos x 5 − 2x khi x  2  − 4 201 34 155 109 A. . B. . C. . D. . 77 103 7 21 Lời giải: Chọn D  4 1 Xét I = f  (2−7tan x) dx 2  cos x − 4 1 1
Đặt 2 − 7 tan x = t  dx = − dt 2 cos x 7  Với x = −  t = 9 4  x =  t = 5 − 4 9 9 0 2 9 1  I = f  (t) 1 t = f  (x) 1 1 1 d dx = f (x)dx + f (x)dx + f (x)dx    7 7 7 7 7 5 − 5 − 5 − 0 2 0 1 =  (2x − ) 2 9 1 1 109 2 1 dx +
(x− )1dx+ (5−2x)dx = . 7 7 7 21 5 − 0 2 Trang 15  2
x − x khi x  0 2 2
Câu 16. Cho hàm số f (x) = 
. Khi đó I = 2 cos xf
(sin x)dx + 2 f
 (3−2x)dx bằng x khi x  0 0 0 7 8 10 A. . B. . C. 3 . D. . 3 3 3 Lời giải: Chọn D  2 2
Ta có: I = 2 cos xf
(sin x)dx + 2 f
 (3−2x)dx = I + I 1 2 0 0
x = 0  t = 0 
Đặt t = sin x dt = cos xdx . Đổi cận   . x =  t = 1  2 1 1 1
I = 2 f t dt = f t dt = f x dx    1 ( ) ( ) ( ) 0 1 − 1 − 2
x − x khi x  0 Do f (x) =  x khi x  0 0 1  I = xdx + ( 2 2 x − x dx = −   . 1 ) 3 1 − 0
x = 0  t = 3 Đặ 1
t t = 3 − 2x dt = 2
− dx dx = − dt . Đổi cận  . 2
x = 2  t = 1 − 3 3
I = f t dt = f x dx   2 ( ) ( ) 1 − 1 − 2
x − x khi x  0 Do f (x) =  x khi x  0 0 3  
I =  xdx + 
( 2x − x dx = 4. 2 )  1− 0  10
Vậy I = I + I = 1 2 3 4x khi x  2
Câu 17. Cho hàm số f (x) =  . Tính tích phân  2
− x +12 khi x  2 . x f ( 2 3 x +1) ln 3 2 x I = dx + e . f   ( 2 1 x + e )dx 2 + 0 x 1 ln 2 A. 84 . B. 83 . C. 48 . D. 84 − . Lời giải: Chọn A . x f ( 2 3 x +1) ln 3 Ta có: 2 x I = dx + e . f   ( 2 1 x
+ e )dx = I + I 1 2 2 + 0 x 1 ln 2
x = 0  t = 1  Đặt 2 2 2
t = x +1  t = x +1 2tdt = 2xdx xdx = tdt . Đổi cận  .
x = 3  t = 2 2 2 2
I = f t dt = f t dt = f x dx    1 ( ) ( ) ( ) 1 1 1 Trang 16 4x khi x  2 Do f (x) =   2
− x +12 khi x  2 2  I = 2 − x +12 dx = 9  . 1 ( ) 1
x = ln 2  t = 5 Đặ x x x 1 t 2 2 2 t = 1+ e
dt = 2e dx e dx = dt . Đổi cận  . 2
x = ln 3  t =10 10 10 1 1  I = f t dt = f x dx   2 ( ) ( ) 2 2 5 5 4x khi x  2 Do f (x) =   2
− x +12 khi x  2 10 1  I = 4x = 75  . 2 2 5
Vậy I = I + I = 84 1 2  3  3 e − . x f f x ( 2 1 ln x +1 tan ) 2x − x khi x  1 ( ) ( a
Câu 18. Cho hàm số f (x) =  . Biết I = dx + dx =    3
− x + 2 khi x 1 2 2 +  cos x x 1 b 0 4 a với
là phân số tối giản. Giá trị của tổng a + b bằng b A. 69 . B. 68 . C. 67 . D. 66 . Lời giải: Chọn A  3 ( ) e − . x f (ln ( 2 1 x f x + ) 1 tan I = dx +
dx = I + I   2 2 1 2 +  cos x x 1 0 4   x =  t =1  Đặ 1 4
t t = tan x dt = dx . Đổi cận  . 2 cos x  x =  t = 3  3 3 3  I = f t dt = f x dx   1 ( ) ( ) 1 1
x = 0  t = 0 2x x 1 
Đặt t = ln ( 2 x + ) 1  dt = dx dx = dt . Đổi cận  1 . 2 2 x +1 x +1 2 x = e −1  t =  2 1 1 2 1  I = f  (t) 2 1 dt = f x dx  2 ( ) 2 2 0 0 3
2x − x khi x 1 Do f (x) =   3
− x + 2 khi x 1 1 3
I = I + I =  (2x − x) 2 1 53 3 dx + −3x + 2 dx =
a = 53, b = 16  . 1 2 ( ) 2 16 1 0
Vậy a + b = 69 Trang 17 1  2 x + 2 khi 0  x<2 e f (ln x) 2 6 a
Câu 19. Cho hàm số f (x) = 2 . Biết I = dx + . x f ( 2 x +1)dx =   với  x b −x + 7 kh 2 i  x  5 1 3
a là phân số tối giản. Giá trị của hiệu a −b bằng b A. 77 . B. 67 . C. 57 . D. 76 . Lời giải: Chọn A 2 e f (ln x) 2 6 I = dx + . x f  
( 2x +1)dx = I +I 1 2 x 1 3 x =1 t = 0 Đặ 1
t t = ln x dt = dx . Đổi cận  . x 2
x = e t = 2 2 2
I = f t dt = f x dx   1 ( ) ( ) 0 0
x = 3  t = 2 Đặt 2 2 2 t =
x +1  t = x +1 2tdt = 2xdx xdx = tdt . Đổi cận  .
x = 2 6  t = 5 5 5
I = t. f t dt = . x f x dx   2 ( ) ( ) 2 2 1
x + 2 khi 0  x<2 Do f (x) = 2 −x +7 kh 2 i  x  5 2 5  1  79
I = I + I = x + 2 dx + .
x −x + 7 dx =
a = 79, b = 2   . 1 2   ( )  2  2 0 2
Vậy a − b = 77  2  2
x + x +1 khi x  0 2 e f (ln x) a
Câu 20. Cho hàm số f (x) =  . Biết I =
f (2sin x −1) cos x dx + dx =   2x − 3 khi x  0 x b 0 e a với
là phân số tối giản. Giá trị của tích a + b bằng b A. 305 . B. 305 − . C. 350 . D. 350 − . Lời giải: Chọn B  2 2 e f (ln x) I =
f (2sin x −1) cos x dx +
dx = I + I   1 2 x 0 e
x = 0  t = 1 − dt
Đặt t = 2sin x −1 dt = 2cos xdx  cos xdx = . Đổi cận   . 2 x =  t = 1  2 1 1 1 1  I = f t dt = f x dx   1 ( ) ( ) 2 2 1 − 1 − 2
x + x +1 khi x  0 Do f (x) =  2x − 3 khi x  0 0 1 1  
I =   (2x −3)dx +( 13 2 x + x + ) 1 dx  = − . 2 12  1− 0  Trang 18
x = e t =1 Đặ 1
t t = ln x dt = dx . Đổi cận  . x 2
x = e t = 2 2 2
I = f t dt = f x dx   2 ( ) ( ) 1 1 2
x + x +1 khi x  0 Do f (x) =  2x − 3 khi x  0 2  I = ( 29 2 x + x + ) 1 dx =  . 6 1 377
I = I + I = −  a = 3 − 77, b = 72 1 2 72
Vậy a + b = 305 − Trang 19