Chuyên đề tích phân hàm ân (có đáp án và lời giải)
Chuyên đề tích phân hàm ân có đáp án và lời giải. Tài liệu được biên soạn dưới dạng file PDF bao gồm 19 trang tổng hợp các kiến thức tổng hợp giúp các bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới. Mời các bạn đón xem!
Chủ đề: Tài liệu ôn thi THPTQG môn Toán 278 tài liệu
Môn: Toán 2.2 K tài liệu
Tác giả:
Preview text:
CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN HÀM ẨN
Chuyên đề phát triển từ câu 41 của đề tham khảo môn Toán 2021 của Bộ Giáo Dục KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1. Các tính chất tích phân: b c b f
(x)dx = f
(x)dx+ f
(x)dx với a c b. a a c b b k f
(x)dx = kf
(x)dx(k 0) a a b a f
(x)dx = − f
(x)dx a b b b f
(x)dx = F(x) = F(b)−F (a) a a b b b
( f (x)+ g(x))dx = f
(x)dx+ g
(x)dx a a a b b b f
(x)dx = f
(t)dt = f (z)dz a a a b b f
(x)dx = f (x) = f (b)− f (a) a a
2. Công thức đổi biến số: f
(u(x)).u(x)dx = f
(u)du, u =u(x) u(b b ) f
(u(x)).u(x)dx = f
(u)du, u =u(x). a u(a)
Phương pháp đổi biến số thường được sử dụng theo hai cách sau đây: b Giả sử cần tính g ( x) dx
. Nếu ta viết được g ( x) dưới dạng f (u ( x))u( x) thì a u(b b ) u(b) g
(x)dx = f
(u)du . Vậy bài toán quy về tính f (u)du
, trong nhiều trường hợp thì tích phân mới a u(a) u(a) này đơn giản hơn .
Giả sử cần tính f
(x)dx. Đặt x = x(t) thỏa mãn = x(a), = x(b) thì b b f
(x)dx = f
(x(t))x(t)dt = g
(t)dt , trong đó g(t) = f (x(t)).x(t) a a BÀI TẬP MẪU 2 x −1 khi x 2
(ĐỀ MINH HỌA LẦN 1-BDG 2020-2021) Cho hàm số f (x) = . Tích phân 2
x − 2x + 3 khi x 2 2
f (2sin x +1) cos x dx bằng: 0 23 23 17 17 A. . B. . C. . D. . 3 6 6 3
Phân tích hướng dẫn giải Trang 1
1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tìm giá trị của tích phân của hàm số. 2. HƯỚNG GIẢI:
B1: Dựa vào biểu thức bên trong dấu tích phân, ta sử dụng phương pháp đổi biến số để xử lý bài toán. b c b
B2: Sử dụng tính chất
f ( x) dx =
f ( x) dx + f ( x) d , x c ( ; a b) . a a c
B3: Lựa chọn hàm f ( x) thích hợp để tính giá trị tích phân.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Chọn B 2 Xét I =
f (2sin x +1) cos x dx 0 Đặ 1
t t = 2sin x +1 dt = cos d x x 2 x = 0 t = 1 Đổi cận: . x = t = 3 2 3 3 2 1 1 1 I = f (t)dt = f (x)dx = (
x − 2x + 3) 3 23 2 dx + ( 2 x − ) 1 dx = . 2 2 2 6 1 1 1 2
Bài tập tương tự và phát triển: Mức độ 3 2 e x khi x 0 1 2 a e a Câu 1.
Cho hàm số f (x) = . Biết tích phân
f (x) dx = + ( là phân số tối 2
x + x + 2 khi x 0 b c b 1 −
giản). Giá trị a + b + c bằng A. 7 . B. 8 . C. 9 . D. 10 . Lời giải Chọn C 1 0 1 2 e x 4 Ta có: I = f (x)dx = ( 2 x + x + 2) 2
dx + e dx = + . 3 2 1 − 1 − 0
Vậy a + b + c = 9 . x( 2 1+ x ) khi x 3 4 e f (ln x) Câu 2.
Cho hàm số f (x) = 1 . Tích phân dx bằng: khi x 3 x 2 e x − 4 40 95 189 189 A. − ln 2 . B. + ln 2 . C. + ln 2 . D. − ln 2 . 3 6 4 4 Lời giải Chọn D 4 e f (ln x) Xét I = dx x 2 e Đặ 1
t t = ln x dt = dx x 2 = = Đổ x e t 2 i cận: . 4 x = e t = 4 4 4 3 4 1 189 I = f (t)dt = f (x)dx = dx + x ( 2 1+ x ) dx = − ln 2 . x − 4 4 2 2 2 3 Trang 2 1 khi x 1 1 m m Câu 3.
Cho hàm số f (x) = x . Tích phân 3
f ( 1− x )dx = (
là phân số tối giản), n n
x +1 khi x 1 2 −
khi đó m − 2n bằng: A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 . Lời giải Chọn A 1 Xét 3 I =
f ( 1− x)dx 7 − Đặt 3 2 t = 1− x 3
− t dt = dx x = 7 − t = 2 Đổi cận: . x = 1 t = 0 0 2 1 2 25 2 2 2 I = 3
− t f (t)dt = 3 x f (x)dx = 3 x (x + ) 1 dx + d x x = . 12 2 0 0 1 1 3 1 Câu 3.
Cho hàm số f ( x) liên tục trên và f
(x)dx = 4, f
(x)dx = 6. Tính I = f ( 2x+1)dx 0 0 1 − A. I = 3 . B. I = 5 . C. I = 6 . D. I = 4 . Lời giải Chọn B Đặt u = 2x + 1 1 d x = d u . Khi x = 1 − thì u = 1
− . Khi x =1 thì u = 3. 2 3 1 0 3 1 Nên I = f
( u )du = f
( u )du + f ( u )du 2 2 1 − 1− 0 0 3 1 = f ( u − )du + f (u)du . 2 1 − 0 1 Xét f
(x)d x = 4. Đặt x = u
− d x = −du . 0
Khi x = 0 thì u = 0 . Khi x = 1 thì u = 1 − . 1 1 − 0 Nên 4 =
f ( x)d x = − f ( u −
)du = f ( u − )du . 0 0 1 − 3 3 Ta có f
(x)d x = 6 f (u)du = 6. 0 0 0 3 1 1 Nên I = f ( u − )du + f
(u)du = (4+6) = 5. 2 2 1 − 0 Câu 4.
Cho F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) = 1+ x − 1− x trên tập và thỏa mãn F ( )
1 = 3. Tính tổng F (0) + F (2) + F (− ) 3 . A. 8 . B. 12 . C. 14 . D. 10 . Lời giải: Chọn C
Bảng khử dấu giá trị tuyệt đối: Trang 3 2 2 2 Ta có: f
(x)dx = F (2)− F ( )1 = F (2)−3 mà f
(x)dx = 2dx = 2 nên F (2) = 5 . 1 1 1 1 1 1 ➢ f
(x)dx = F ( )1−F (0) =3−F (0) mà f (x) 2 1 dx = 2 d x x = x =1 nên F (0) = 2 . 0 0 0 0 0 0 0
➢ f ( x)dx = F (0) − F (− ) 1 = 2 − F (− ) 1 mà f ( x) 2 0 dx = 2 d x x = x = 1 − nên F (− ) 1 = 3. 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 −
➢ f (x)dx = F (− ) 1 − F ( 3 − ) = 3− F ( 3 −
) mà f (x)dx = 2 − dx = 4 − nên F (− ) 3 = 7 . 3 − 3 − 3 −
Vậy F (0) + F (2) + F (− ) 3 = 2 + 5 + 7 =14 . 5 2 x − 2 +1 Câu 5. Biết I =
dx = 4 + a ln 2 + b ln 5 với , a b
. Tính S = a + b . x 1 A. S = 9 . B. S =11. C. S = 3 − . D. S = 5 . Lời giải: Chọn D
x − 2 khi x 2 Ta có x − 2 = .
2 − x khi x 2 2 5 2 x − 2 +1 2 x − 2 +1 Do đó I = dx + dx . x x 1 2 2 2(2 − x) 5 +1 2 ( x − 2) +1 2 5 = 5 3 dx + dx = − 2 dx + 2 − dx x x x x 1 2 1 2 = (
x − x) 2 + ( x − x ) 5 5ln 2 2 3ln = 4 +8ln 2 −3ln5. 1 2 = a 8
S = a +b = 5. b = 3 − Câu 6.
Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục trên thỏa mãn f ( 3 x + 3x + )
1 = 3x + 2 , với mọi 5 x .Tích phân xf
(x)dx bằng 1 31 17 33 49 A. − . B. . C. . D. . 4 4 4 4 Lời giải Chọn C
Từ giả thiết ta có f ( 3 x + 3x + )
1 = 3x + 2 nên suy ra f ( ) 1 = 2 , f (5) = 5 . 5 5 5 5
Suy ra I = xf
(x)dx = xf (x) − f
(x)dx = 23− f (x)dx . 1 1 1 1 Đặt 3
x = t + t + x = ( 2 3 1 d 3t + 3)dt .
Với x =1 t = 0; x = 5 t =1 Trang 4 5 1 1
Do đó f (x)dx = f ( 59 3 t + 3t + ) 1 ( 2
3t + 3)dt = (3t + 2)( 2 3t + 3)dt = . 4 1 0 0 59 33 Vậy I = 23 − = . 4 4 Câu 7.
Cho hàm số y = f ( x) xác định và liên tục trên thoả f ( 5
x + 4x + 3) = 2x +1, x . Tích 8 phân f
(x)dx bằng 2 − 32 A. 2 . B. 10 . C. . D. 72 . 3 Lời giải Chọn B Đặt 5
x = t + t + dx = ( 4 4 3 5t + 4) dt . x = 2 − t = −1 Đổi cận:
x = 8 t = 1 8 1 1 Khi đó f
(x)dx = f
( 5t +4t +3)( 4
5t + 4) dt = (2t + ) 1 ( 4
5t + 4)dt = 10 . 2 − 1 − 1 − Câu 8.
Cho hàm số y = f ( )
x xác định và liên tục trên
thỏa mãn f x 3 2
( ) + 3 f (x) + 5 = x với 10 x
. Tính I = f (x)dx . 5 A. I = 0 . B. I = 3 . C. I = 5 . D. I = 6 Lời giải Chọn B Đặt 3 2
t = f (x) 2t + 3t + 5 = x dx = (6t + 3)dt và 3
x = 5 2t + 3t + 5 = 5 t = 0 3
x =10 2t + 3t + 5 =10 t =1 10 1 Vậy 2 I =
f (x)dx = t(6t + 3)dt = 3 . 5 0 1 2 Câu 9.
Cho hàm số f ( x) xác định
\ , thỏa f ( x) =
, f (0) = 1 và f ( ) 1 = 2. Giá trị 2 2x −1
của biểu thức f (− ) 1 + f ( ) 3 bằng A. ln15. B. 2 + ln15. C. 3 + ln15. D. 4 + ln15. Lời giải Chọn C Ta có f ( x) 2 = 2x −1 ( − x) 1 ln 1 2 + C ; x f (x) 1 2 2 =
dx = ln 2x −1 + C = 2x −1 ln(2x − ) 1 1 + C ; x 2 2
f (0) =1 C =1 và f ( ) 1 = 2 C = 2 . 1 2 ( − x) 1 ln 1 2 +1 ; x f (− ) 1 = ln 3 +1 Do đó f ( x) 2 = ( = + x − ) 1 f + (3) ln 5 2 ln 2 1 2 ; x 2 Trang 5 f (− ) 1 + f ( ) 3 = 3 + ln15. 2 3
x + 2x khi x 0 2
Câu 10. Cho hàm số f (x) = . Khi đó I = cos xf
(sin x)dx bằng 5 − x khi x 0 − 2 15 17 A. . B.15 . C.8 . D. . 2 2 Lời giải: Chọn A x = − t = −1 Đặ 2
t t = sin x dt = cos xdx . Đổi cận . x = t =1 2 1 1 I = f
(t)dt = f (x)dx 1 − 1 − 2 3
x + 2x khi x 0 Do f (x) = 5 − x khi x 0 0 1
I = (5− x)dx + ( 15 2
3x + 2x)dx = . 2 1 − 0 2
x − 2x + 3 khi x 2 1
Câu 11. Cho hàm số f (x) = . Khi đó I = f
(3−2x)dx bằng x +1 khi x 2 0 41 41 41 A. . B. 21. C. . D. . 2 12 21 Lời giải Chọn C 1
x = 0 t = 3
Đặt t = 3− 2x dt = 2
− dx dx = − dt . Đổi cận . 2
x = 1 t = 1 3 3 1 I = f (t) 1 dt = f (x)dx 2 2 1 1 2
x − 2x + 3 khi x 2 Do f (x) = x +1 khi x 2 2 3 1
I = (x+ )1dx+ ( 41 2
x − 2x + 3)dx = . 2 12 1 2 3 2 x + 2x khi x 2 2
Câu 12. Cho hàm số f (x) =
. Khi đó I = sin xf (cos x + ) 1 dx bằng 3 x − 2 khi x 0 2 35 19 10 A. . B. 3 . C. . D. . 12 4 3 Lời giải: Chọn A
x = 0 t = 2
Đặt t = cos x +1 dt = −sin xdx . Đổi cận . x = t = 1 2 Trang 6 2 2 I = f
(t)dt = f (x)dx 1 1 3 2 x + 2x khi x 2 Do f (x) = 3 x − 2 khi x 2 3 2 2
I = (x − 2)dx + ( 35 2
x + 2x)dx = . 12 1 3 2 2
x − x khi x 0 2
Câu 13. Cho hàm số f (x) = . Khi đó I = cos xf
(sin x)dx bằng x khi x 0 − 2 2 1 4 A. − . B. 1 − . C. − . D. − . 3 3 3 Lời giải: Chọn A x = − t = −1 Đặ 2
t t = sin x dt = cos xdx . Đổi cận . x = t =1 2 1 1 I = f
(t)dt = f (x)dx 1 − 1 − 2
x − x khi x 0 Do f (x) = x khi x 0 0 1 I = xdx + ( 2 2
x − x)dx = − . 3 1 − 0 2
x + x +1 khi x 3 2
Câu 14. Cho hàm số f (x) =
. Khi đó I = xf ( 2 x + )1dx bằng 2x −1 khi x 3 0 73 74 A. 24 . B. . C. . D. 25 . 3 3 Lời giải: Chọn B
x = 0 t = 1 Đặ 1 t 2
t = x +1 dt = 2xdx xdx = dt . Đổi cận . 2
x = 2 t = 5 5 5 1 I = f (t) 1 dt = f (x)dx 2 2 1 1 2
x + x +1 khi x 3 Do f (x) = 2x −1 khi x 3 3 5 1
I = (2x − )1dx+ ( 73 2 x + x + ) 1 dx = . 2 3 1 3 1 3x + 3 khi x 2 2
Câu 15. Cho hàm số f (x) = . Tính tích phân f (sin x)cos d x x . 1
x + 4 khi x 0 2 Trang 7 17 13 21 A. 8 . B. . C. . D. . 4 2 5 Lời giải: Chọn B 2 Xét I = f (sin x)cos d x x 0
Đặt sin x = t cos d x x = dt
Với x = 0 t = 0 x = t = 1 2 1 1 1 1 2 1 2 1 I = f
(t) t = f
(x) x = f x x+ f x x =
( x+ ) x+ (x+ ) 17 d d ( )d ( )d 3 3 d 4 dx = . 4 0 0 0 1 0 1 2 2 2 2x +1 khi x 0 3
Câu 16. Cho hàm số f (x) = . Tính tích phân f (3cos x−2)sin d x x . 2
2x − x +1 khi x 0 0 33 15 19 A. . B. . C. 12. D. . 2 23 24 Lời giải: Chọn D 3 Xét I = f (3cos x−2)sin d x x 0
Đặt 3cos x − 2 = t 1 3 − sin d
x x = dt sin d x x = − dt 3
Với x = 0 t = 1 x = 1 t = − 3 2 1 1 0 1 1 I = f (t) 1 t = f (x) 1 1 d dx = f (x)dx + f (x)dx 3 3 3 3 1 1 1 0 − − − 2 2 2 0 1
= (2x − x + ) 1 1 19 2 1 dx + ( 2 2x + ) 1 dx = . 3 3 24 1 0 − 2 2 1
− x khi x 1 4
Câu 17. Cho hàm số f (x) = . Tính tích phân f (5sin 2x − )1cos2 d x x .
2x − 2 khi x 1 − 2 11 43 31 31 A. . B. . C. . D. . 10 31 30 10 Lời giải: Chọn C 4 Xét I = f (5sin 2x − )1cos2 d x x − 2
Đặt 5sin 2x −1 = t 1 10cos 2 d
x x = dt cos 2 d x x = dt 10 Trang 8 Với x = − t = 1 − 2 x = t = 4 4 4 4 1 4 1 I = f (t) 1 t = f (x) 1 1 d dx = f (x)dx + f (x)dx 10 10 10 10 1 − 1 − 1 − 1 1 1 = (1− x ) 4 1 31 2 dx +
(2x−2)dx = . 10 10 30 1 − 1 3
2x − x −5 khi x 2 e 1
Câu 18. Cho hàm số f (x) = . Tính tích phân f
(2+ln x) dx . 1 1− x khi x 2 x 1 e 69 25 A. . B. 12 . C. . D. 30 . 2 2 Lời giải: Chọn A e 1 Xét I = f (2+ln x) dx x 1
Đặt 2 + ln x = t 1 dx = dt x 1
Với x = t = 1 e
x = e t = 3 3 3 2 3 2 3 I = f
(t)dt = f
(x)dx = f
(x)dx+ f
(x)dx = (11− x)dx+( 69 3
2x − x − 5)dx = . 2 1 1 1 2 1 2 2 1
− x khi x 3 ln 2
Câu 19. Cho hàm số f (x) = . Tính tích phân (3 x − )1ex f e dx .
7 − 5x khi x 3 0 13 102 94 25 A. . B. − . C. − . D. . 15 33 9 9 Lời giải: Chọn C ln 2 Xét = (3 x − )1 x I f e e dx 0 Đặt 3 x e −1= t x x 1
3e dx = dt e dx = dt 3
Với x = 0 t = 2
x = ln 2 t = 5 5 3 5 3 5 1 I = f (t) 1 dt = f (x) 1 dx + f (x) 1 dx = ( 1 94 2 1− x )dx +
(7 − 5x)dx = − . 3 3 3 3 3 9 2 2 3 2 3 Mức độ 4 2 Câu 1.
Giá trị của tích phân max sin x,cos x dx bằng 0 1 A. 0 . B. 1. C. 2 . D. . 2 Lời giải Chọn C Trang 9
Ta có phương trình sin x − cos x = 0 có một nghiệm trên đoạn 0; là x = . 2 4 Bảng xét dấu 2 4 2 Suy ra max sin ,xcos x dx = cos d x x + sin d x x
= (sin x) 4 − (cos x) 2 = 2 . 0 0 0 4 4 2 Câu 2.
Tính tích phân I = max
3x, xdx . 0 9 17 19 11 A. . B. . C. . D. . 4 4 4 4 Lời giải: Chọn B Đặt ( ) 3
f x = x − x ta có bảng xét dấu sau: .
Dựa vào bảng xét dấu ta có. x
f (x) 3 3
x − x x x 3 0;1 , 0 0 max x , x = x . x
f (x) 3 3
x − x x x 3x 3 1; 2 , 0 0 max , x = x . 2 1 2 Ta có: I = max
3x, xdx = max
3x, xdx+ max
3x, xdx . 0 0 1 2 1 2 1 2 1 1 17 Nên I = max
3x, xdx 3 2 4 = d
x x + x dx = x + x = . 2 4 4 0 0 1 0 1 f ( ) 1 = 2 − ln 2 Câu 3.
Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên \ 0; −
1 thỏa mãn f (2) = a + b ln 3; a,b . x ( x + )
1 . f ( x) + f ( x) 2 = x + x Tính 2 2 a + b . 25 9 5 13 A. . B. . C. . D. . 4 2 2 4 Lời giải Chọn B
Ta có x( x + ) f ( x) + f ( x) 2 1 . = x + x (1) x 1 x
Chia cả 2 vế của biểu thức (1) cho ( x + )2 1 ta được . f ( x) + f x = 2 ( ) x +1 (x + )1 x +1 x x x x . f ( x) = , với x \0; − 1 . . f ( x) = dx x +1 x +1 x +1 x +1 + x x 1
. f ( x) = x − ln x +1 + C f ( x) =
(x−ln x+1 +C) x +1 x Trang 10 Mặt khác, f ( ) 1 = 2
− ln 2 2(1−ln 2+C) = 2 − ln 2 C = 1 − . +
Do đó f (x) x 1 =
(x−ln x+1 − )1 . x 3 3 3 3 3
Với x = 2 thì f ( x) = (1− ln 3) = − ln 3. Suy ra a = và b = − . 2 2 2 2 2 9 Vậy 2 2 a + b = . 2 f (0) = f (0) =1 Câu 4.
Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm trên thỏa mãn , f
( x + y) = f ( x) + f ( y) + 3xy ( x + y) −1 1 với , x y . Tính f ( x − ) 1 dx . 0 1 1 1 7 A. . B. − . C. . D. . 2 4 4 4 Lời giải Chọn C
Lấy đạo hàm theo hàm số y
f ( x + y) = f ( y) 2
+ 3x +6xy , x .
Cho y = f ( x) = f ( ) 2 0
0 + 3x f ( x) 2 =1+ 3x ( ) = ( ) 3 f x f
x dx = x + x + C mà f (0) = 1 C = 1. Do đó f ( x) 3 = x + x +1 . 1 0 0 1 Vậy f ( x − ) 1 dx =
f ( x) dx =
( 3x + x+ )1dx = . 4 0 1 − 1 − 1 2 Câu 5.
Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục trên 0; 1 thỏa mãn f ( ) 1 = 0, f
(x) dx = 7 và 0 1 1 1 2
x f ( x)dx = . Tích phân f ( x)dx bằng 3 0 0 7 7 A. . B. 1. C. . D. 4 . 5 4 Lời giải Chọn A 1 1 3 1 3 x x 1 3 1 Ta có 2
x f (x)dx = f (x) − f (x)dx . Suy ra ( ) = − x f x dx . 3 3 3 3 0 0 0 0 1 6 Hơn nữ x 1
a ta dễ dàng tính được dx = . 9 63 0 1 1 3 1 6 x x 1 Do đó 2 f
(x) 2 dx+2.21 f (x) 2 dx + 21 dx = 0 f (x) 3 + 7x dx = 0 . 3 9 0 0 0 0 7 7 Suy ra f ( x) 3 = 7
− x , do đó f (x) 4
= − x + C . Vì f ( ) 1 = 0 nên C = . 4 4 1 1 7 7 Vậy
f ( x)dx = − ( 4x − )1dx = . 4 5 0 0 Câu 6.
Xét hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục trên
và thỏa mãn điều kiện f ( ) 1 = 1 và f (2) = 4 .
2 f ( x) + 2 f ( x) +1 Tính J = − dx . 2 x x 1 Trang 11 1 1
A. J = 1+ ln 4 .
B. J = 4 − ln 2 . C. J = ln 2 − . D. J = + ln 4 . 2 2 Lời giải Chọn D
2 f ( x) + 2 f ( x) +1 2 f ( x) 2 f ( x) 2 2 1 Ta có J = − dx = dx − dx + − dx . 2 x x 2 2 x x x x 1 1 1 1 1 1 u = d u = − dx Đặt 2 x x . d v = f (x)dx v = f (x)
2 f ( x) + 2 f ( x) +1 2 2 2 2 1 f x f x 2 1 J = −
dx = . f (x) ( ) ( ) + dx − dx + − dx 2 x x 2 2 2 x x x x x 1 1 1 1 1 2 1
= f ( ) − f ( ) 1 1 2 1 + 2 ln x + = + ln 4 . 2 x 2 1 Câu 7.
Cho hàm số f (x) xác định trên \ 2 − ; 1 thỏa mãn f ( x) 1 1 = , f 3
− − f 3 = 0, f 0 = . Giá trị của biểu thức f ( 4 − ) + f ( ) 1 − f (4) 2 ( ) ( ) ( ) x + x − 2 3 bằng 1 1 1 1 1 8 A. ln 20 + . B. ln 2 + . C. ln 80 +1. D. ln +1. 3 3 3 3 3 5 Lời giải Chọn B 1 1 1 1
Ta có: f ( x) = = − 2 x + x − 2
3 x −1 x + 2 1 ln
(1− x) − ln (−x − 2) + C ; x − ; 2 − 1 ( ) 3 − f ( x) 1 1 1 1 x 1 1 = − dx = ln + C = ln
(1− x) − ln ( x + 2) + C ; x 2 − ;1 2 ( )
3 x −1 x + 2 3 x + 2 3 1 ln ( x − )
1 − ln ( x + 2) + C ; x 1; + 3 ( ) 3 1 1 1 1 1 Với f (0) = ln
(1− 0) − ln (0 + 2) + C = C = ln 2 + 2 2 3 3 3 3 3 1 1 Với f ( 3
− ) − f (3) = 0 C −C = ln 1 3 3 10 1 5 1 1 1 1 1 Nên f ( 4 − ) + f ( )
1 − f (4) = ln + ln 2 − ln + C + C − C = ln 2 + . 2 1 3 3 2 3 3 2 3 3 Câu 8. Cho hàm số
f ( x) xác định và liên tục trên đồng thời thỏa mãn
f (x) 0, x f ( x) x 2
= −e f (x), x . f ( ) 1 0 = 2
Tính giá trị của f (ln 2) . 1 A. f ( ) 1 ln 2 = . B. f ( ) 1 ln 2 = . C. f ( ) 1 ln 2 = ln 2 + . D. f (ln 2) 2 = ln 2 + . 4 3 2 2 Lời giải Chọn B Trang 12 f ( x) Ta có f ( x) x 2 = e − f (x) x
= −e ( do f (x) 0 ) 2 f ( x) f ( x) 1 x 1 d x x = e − dx −
= −e + C f x = . 2 f ( x) f ( x) ( ) xe −C 1 1 1 Mà f (0) = = C = 1 − . 0 2 e − C 2 f (x) 1 = f = = . x ( ) 1 1 ln 2 ln 2 e +1 e +1 3 f ( ) 1 + g ( ) 1 = 4 Câu 9.
Cho hai hàm f ( x) và g ( x) có đạo hàm trên 1;4, thỏa mãn g ( x) = −xf ( x) với mọi f
( x) = −xg( x) 4 x 1;
4 . Tính tích phân I = f
(x)+ g(x)dx . 1 A. 3ln 2 . B. 4ln 2 . C. 6 ln 2 . D. 8ln 2 . Lời giải Chọn D
Từ giả thiết ta có f ( x) + g ( x) = − . x f (x) − . x g(x) f ( x) + .
x f ( x) + g (x) + .
x g( x) = 0 . x f (x) + .xg (x) = 0 C . x f ( x) + .
x g ( x) = C f ( x) + g ( x) = x 4 4 4 Mà f ( ) 1 + g ( )
1 = 4 C = 4 I = f
(x)+ g(x)dx = dx = 8ln2 . x 1 1
Câu 10. Cho hai hàm f (x) và g( )
x có đạo hàm trên 1;2 thỏa mãn f (1) = g(1) = 0 và x
g(x) + 2017x = (x +1) f ( x) 2 (x +1) , x 1;2. 3 x 2 g (
x) + f (x) = 2018x x +1 2 x x +1 Tính tích phân I = g(x) − f (x) dx . x +1 x 1 1 3 A. I =
. B. I =1. C. I = . D. I = 2 . 2 2 Lời giải Chọn A 1 x +1 g(x) − f ( x) = −2017 2 (x +1) x Từ giả thiết ta có: , x 1;2. x 1 g ( x) + f (x) = 2018 2 x +1 x Suy ra: 1 x x +1 1 x x +1 g(x) + g ( x) − f ( x) − f (x) = 1 g(x) − f (x) =1 2 2 + + + (x 1) x 1 x x x 1 x x x +1 g(x) −
f (x) = x + C. x +1 x 2 2 x x +1 1
Mà f (1) = g(1) = 0 C = 1 − I = g(x) −
f (x) dx = (x −1)dx = . x +1 x 2 1 1 Trang 13 3
x + x + 2 khi x 1 2
Câu 11. Cho hàm số f (x) = . Tính tích phân f ( 2 3sin x − )1sin2 dxx. x + 3 khi x 1 0 21 13 20 5 A. . B. . C. . D. . 4 2 3 6 Lời giải: Chọn A 2 Xét I = f ( 2 3sin x − )1sin2 dxx 0 1 Đặt 2
3sin x −1 = t 3sin 2 d
x x = dt sin 2 d x x = dt 3
Với x = 0 t = 1 − x = t = 2 2 2 2 1 2 1 I = f (t) 1 t = f (x) 1 1 d dx = f (x)dx + f (x)dx 3 3 3 3 1 − 1 − 1 − 1 1 1 = (x + x+2) 2 1 21 3
dx + (x + 3)dx = . 3 3 4 1 − 1
2x −1 khi x 1 13
Câu 12. Cho hàm số f (x) = . Tính tích phân f
( x+3 −2)dx . 2 x khi x 1 1 231 97 16 113 A. − . B. . C. . D. . 5 6 3 3 Lời giải: Chọn B 13 Xét I = f
( x+3−2)dx 1 Đặt 2
x + 3 − 2 = t
x + 3 = t + 2 x + 3 = (t + 2) dx = 2(t + 2)dt
Với x =1 t = 0
x = 13 t = 2 2 2 1 2
I = 2 (t + 2) f
(t)dt = 2 (x + 2) f
(x)dx = 2 (x + 2) f
(x)dx + 2 (x + 2) f (x)dx 0 0 0 1 1 2 97 2
= 2 (x + 2)x dx + 2 (2x −1)(x + 2)dx = . 6 0 1
2x − 4 khi x 2 2
Câu 13. Cho hàm số f (x) = . Tính tích phân f ( 2 3 − 4 cos x)sin 2 d x x .
4 − 2x khi x 2 − 4 2 1 21 5 A. . B. . C. . D. . 3 2 4 12 Lời giải: Chọn A 2 Xét I = f ( 2 3 − 4 cos x)sin 2 d x x − 4 1 Đặt 2
3 − 4cos x = t sin 2 d x x = dt 4 Trang 14 Với x = − t = 1 4 x = t = 3 2 3 3 2 3 1 I = f (t) 1 t = f (x) 1 1 d dx = f (x)dx + f (x)dx 4 4 4 4 1 1 1 2 2 3 1 = ( − x) 1 x + ( x − ) 2 4 2 d 2 4 dx = . 3 3 3 1 2 4 2 4
x + 2x −1 khi x 1 e 1
Câu 14. Cho hàm số f (x) = . Tính tích phân f
( 4−ln x) dx. 2 3 − x khi x 1 x 1 16 11 6 A. . B. 17 . C. . D. . 3 6 11 Lời giải: Chọn C 4 e 1 Xét I = f
( 4−ln x) dx x 1 1 Đặt 2
4 − ln x = t 4 − ln x = t dx = 2 − tdt x
Với x =1 t = 2 4
x = e t = 0 2 2 1 2
I = 2 t. f
(t)dt = 2 .xf
(x)dx = 2 .xf (x)dx+2 .xf (x)dx 0 0 0 1 1 = 2 x (x +2x − ) 2 11 4 2 1 dx + 2 x ( 2 3 − x )dx = . 6 0 1 2
2x −1 khi x 0 4 1
Câu 15. Cho hàm số f (x) = x −1
khi 0 x 2 . Tính tích phân f (2−7tan x) dx . 2 cos x 5 − 2x khi x 2 − 4 201 34 155 109 A. . B. . C. . D. . 77 103 7 21 Lời giải: Chọn D 4 1 Xét I = f (2−7tan x) dx 2 cos x − 4 1 1
Đặt 2 − 7 tan x = t dx = − dt 2 cos x 7 Với x = − t = 9 4 x = t = 5 − 4 9 9 0 2 9 1 I = f (t) 1 t = f (x) 1 1 1 d dx = f (x)dx + f (x)dx + f (x)dx 7 7 7 7 7 5 − 5 − 5 − 0 2 0 1 = (2x − ) 2 9 1 1 109 2 1 dx +
(x− )1dx+ (5−2x)dx = . 7 7 7 21 5 − 0 2 Trang 15 2
x − x khi x 0 2 2
Câu 16. Cho hàm số f (x) =
. Khi đó I = 2 cos xf
(sin x)dx + 2 f
(3−2x)dx bằng x khi x 0 0 0 7 8 10 A. . B. . C. 3 . D. . 3 3 3 Lời giải: Chọn D 2 2
Ta có: I = 2 cos xf
(sin x)dx + 2 f
(3−2x)dx = I + I 1 2 0 0
x = 0 t = 0
Đặt t = sin x dt = cos xdx . Đổi cận . x = t = 1 2 1 1 1
I = 2 f t dt = f t dt = f x dx 1 ( ) ( ) ( ) 0 1 − 1 − 2
x − x khi x 0 Do f (x) = x khi x 0 0 1 I = xdx + ( 2 2 x − x dx = − . 1 ) 3 1 − 0
x = 0 t = 3 Đặ 1
t t = 3 − 2x dt = 2
− dx dx = − dt . Đổi cận . 2
x = 2 t = 1 − 3 3
I = f t dt = f x dx 2 ( ) ( ) 1 − 1 − 2
x − x khi x 0 Do f (x) = x khi x 0 0 3
I = xdx +
( 2x − x dx = 4. 2 ) 1− 0 10
Vậy I = I + I = 1 2 3 4x khi x 2
Câu 17. Cho hàm số f (x) = . Tính tích phân 2
− x +12 khi x 2 . x f ( 2 3 x +1) ln 3 2 x I = dx + e . f ( 2 1 x + e )dx 2 + 0 x 1 ln 2 A. 84 . B. 83 . C. 48 . D. 84 − . Lời giải: Chọn A . x f ( 2 3 x +1) ln 3 Ta có: 2 x I = dx + e . f ( 2 1 x
+ e )dx = I + I 1 2 2 + 0 x 1 ln 2
x = 0 t = 1 Đặt 2 2 2
t = x +1 t = x +1 2tdt = 2xdx xdx = tdt . Đổi cận .
x = 3 t = 2 2 2 2
I = f t dt = f t dt = f x dx 1 ( ) ( ) ( ) 1 1 1 Trang 16 4x khi x 2 Do f (x) = 2
− x +12 khi x 2 2 I = 2 − x +12 dx = 9 . 1 ( ) 1
x = ln 2 t = 5 Đặ x x x 1 t 2 2 2 t = 1+ e
dt = 2e dx e dx = dt . Đổi cận . 2
x = ln 3 t =10 10 10 1 1 I = f t dt = f x dx 2 ( ) ( ) 2 2 5 5 4x khi x 2 Do f (x) = 2
− x +12 khi x 2 10 1 I = 4x = 75 . 2 2 5
Vậy I = I + I = 84 1 2 3 3 e − . x f f x ( 2 1 ln x +1 tan ) 2x − x khi x 1 ( ) ( a
Câu 18. Cho hàm số f (x) = . Biết I = dx + dx = 3
− x + 2 khi x 1 2 2 + cos x x 1 b 0 4 a với
là phân số tối giản. Giá trị của tổng a + b bằng b A. 69 . B. 68 . C. 67 . D. 66 . Lời giải: Chọn A 3 ( ) e − . x f (ln ( 2 1 x f x + ) 1 tan I = dx +
dx = I + I 2 2 1 2 + cos x x 1 0 4 x = t =1 Đặ 1 4
t t = tan x dt = dx . Đổi cận . 2 cos x x = t = 3 3 3 3 I = f t dt = f x dx 1 ( ) ( ) 1 1
x = 0 t = 0 2x x 1
Đặt t = ln ( 2 x + ) 1 dt = dx dx = dt . Đổi cận 1 . 2 2 x +1 x +1 2 x = e −1 t = 2 1 1 2 1 I = f (t) 2 1 dt = f x dx 2 ( ) 2 2 0 0 3
2x − x khi x 1 Do f (x) = 3
− x + 2 khi x 1 1 3
I = I + I = (2x − x) 2 1 53 3 dx + −3x + 2 dx =
a = 53, b = 16 . 1 2 ( ) 2 16 1 0
Vậy a + b = 69 Trang 17 1 2 x + 2 khi 0 x<2 e f (ln x) 2 6 a
Câu 19. Cho hàm số f (x) = 2 . Biết I = dx + . x f ( 2 x +1)dx = với x b −x + 7 kh 2 i x 5 1 3
a là phân số tối giản. Giá trị của hiệu a −b bằng b A. 77 . B. 67 . C. 57 . D. 76 . Lời giải: Chọn A 2 e f (ln x) 2 6 I = dx + . x f
( 2x +1)dx = I +I 1 2 x 1 3 x =1 t = 0 Đặ 1
t t = ln x dt = dx . Đổi cận . x 2
x = e t = 2 2 2
I = f t dt = f x dx 1 ( ) ( ) 0 0
x = 3 t = 2 Đặt 2 2 2 t =
x +1 t = x +1 2tdt = 2xdx xdx = tdt . Đổi cận .
x = 2 6 t = 5 5 5
I = t. f t dt = . x f x dx 2 ( ) ( ) 2 2 1
x + 2 khi 0 x<2 Do f (x) = 2 −x +7 kh 2 i x 5 2 5 1 79
I = I + I = x + 2 dx + .
x −x + 7 dx =
a = 79, b = 2 . 1 2 ( ) 2 2 0 2
Vậy a − b = 77 2 2
x + x +1 khi x 0 2 e f (ln x) a
Câu 20. Cho hàm số f (x) = . Biết I =
f (2sin x −1) cos x dx + dx = 2x − 3 khi x 0 x b 0 e a với
là phân số tối giản. Giá trị của tích a + b bằng b A. 305 . B. 305 − . C. 350 . D. 350 − . Lời giải: Chọn B 2 2 e f (ln x) I =
f (2sin x −1) cos x dx +
dx = I + I 1 2 x 0 e
x = 0 t = 1 − dt
Đặt t = 2sin x −1 dt = 2cos xdx cos xdx = . Đổi cận . 2 x = t = 1 2 1 1 1 1 I = f t dt = f x dx 1 ( ) ( ) 2 2 1 − 1 − 2
x + x +1 khi x 0 Do f (x) = 2x − 3 khi x 0 0 1 1
I = (2x −3)dx +( 13 2 x + x + ) 1 dx = − . 2 12 1− 0 Trang 18
x = e t =1 Đặ 1
t t = ln x dt = dx . Đổi cận . x 2
x = e t = 2 2 2
I = f t dt = f x dx 2 ( ) ( ) 1 1 2
x + x +1 khi x 0 Do f (x) = 2x − 3 khi x 0 2 I = ( 29 2 x + x + ) 1 dx = . 6 1 377
I = I + I = − a = 3 − 77, b = 72 1 2 72
Vậy a + b = 305 − Trang 19