Chuyên đề Toán 11 ôn thi THPT Quốc gia – Lư Sĩ Pháp

Tài liệu gồm 96 trang tổng hợp lý thuyết và bài tập trắc nghiệm có đáp án các chuyên đề Toán 11 nhiều khả năng xuất hiện trong đề thi THPT Quốc gia môn Toán, tài liệu được biên soạn bởi thầy Lư Sĩ Pháp (Giáo viên trường THPT Tuy Phong – Bình Thuận).

Chủ đề:

Tài liệu ôn thi THPTQG môn Toán 257 tài liệu

Môn:

Toán 1.9 K tài liệu

Thông tin:
96 trang 1 năm trước
Tác giả:
N
Nguyễn Vân
docx.com.vn

Bình luận

Vui lòng đăng nhập hoặc đăng ký để gửi bình luận.

Chuyên đề Toán 11 ôn thi THPT Quốc gia – Lư Sĩ Pháp

Tài liệu gồm 96 trang tổng hợp lý thuyết và bài tập trắc nghiệm có đáp án các chuyên đề Toán 11 nhiều khả năng xuất hiện trong đề thi THPT Quốc gia môn Toán, tài liệu được biên soạn bởi thầy Lư Sĩ Pháp (Giáo viên trường THPT Tuy Phong – Bình Thuận).

133 67 lượt tải Tải xuống

Chủ đề: Tài liệu ôn thi THPTQG môn Toán 257 tài liệu

Môn: Toán 1.9 K tài liệu

Thông tin:

96 trang 1 năm trước

Tác giả:

Profile Nguyễn Vân
TOAÙN
CĐ1. LƯỢNG GIÁC
CĐ2. TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT
CĐ3. DÃY SỐ, CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN
CĐ4. GIỚI HẠN
CĐ5. PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG
Giáo Viên Trường THPT Tuy Phong
Quý đọc giả, quý thầy cô và các em học sinh thân mến!
Nhằm giúp các em học sinh có tài liệu tự học môn Toán, tôi biên
soạn cuốn tài liệu ÔN THI THPT QG.
Nội dung của cuốn tài liệu bám sát chương trình chuẩn và
chương trình nâng cao về môn Toán đã được Bộ Giáo dục và
Đào tạo quy định.
NỘI DUNG
Phần 1. Phần lý thuyết
Ở phần này tôi trình bày đầy đủ lí thuyết cần nắm cho mỗi
chuyên đề.
Phần 2. Phần trắc nghiệm
Bài tập trắc nghiệm theo các chuyên đề, đa dạng, phong phú và
bám sát cấu trúc thi của Bộ.
Cuốn tài liệu được xây dựng sẽ còn có những khiếm khuyết. Rất
mong nhận được sự góp ý, đóng góp của quý đồng nghiệp và các
em học sinh để lần sau cuốn bài tập hoàn chỉnh hơn.
Mọi góp ý xin gọi về số 01655.334.679 – 0916 620 899
Email: lsp02071980@gmail.com
Chân thành cảm ơn.
Lư Sĩ Pháp
GV_ Trường THPT Tuy Phong
LỜI NÓI ĐẦU
MỤC LỤC
CĐ1. Lượng giác 01 - 20
CĐ2. Tổ hợp và xác suất 21 - 50
CĐ3. Dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân 51 - 58
CĐ4. Giới hạn 59 - 78
CĐ5. Phép dời hình và phép đồng dạng 79 - 92
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018
1
Chuyên đề 1. Lượng giác : 01655334679 – 0916620899
CHUYÊN ĐỀ 1. LƯỢNG GIÁC
A. KIẾN THỨC CẦN NẮM
I. Công thức lượng giác
1. Hằng đẳng thức lượng giác cơ bản
2 2
sin cos 1
sin
tan ; ,
cos 2
k k
cos
cot ; ,
sin
k k
tan .cot 1; ,
2
k
k
2
2
1
1 tan ; ,
cos 2
k k
2
2
1
1 cot ; ,
sin
k k
2. Các công thức lượng giác
2.1. Công thức cộng
cos cos cos sin sin
tan tan
tan
1 tan tan
, với mọi
,
làm cho các biểu thức có nghĩa.
2.2. Công thức nhân đôi
sin 2 2sin cos
2 2 2 2
cos 2 cos sin 2cos 1 1 2sin
2
2tan
tan 2 ; ,2 ,
1 tan 2
k k
2.3. Công thức nhân ba
3
cos3 4cos 3cos
3
sin3 3sin 4sin
2.4. Công thức hạ bậc
2
1 cos 2
cos
2
2
1 cos 2
sin
2
2
1 cos 2
tan
1 cos2
, với
làm cho biểu thức có nghĩa.
2.5. Công thức biến đổi tổng thành tích
cos cos 2cos .cos
2 2
cos cos 2sin .sin
2 2
sin sin 2sin .cos
2 2
sin sin 2cos .sin
2 2
, với mọi
,
làm cho các biểu thức có nghĩa.
2.6. Công thức biến đổi tích thành tổng
1
cos .cos cos cos
2
1
sin .sin cos cos
2
1
sin .cos sin sin
2
2.7. Công thức rút gọn
sin cos 2 sin 2 cos
4 4
sin cos 2 sin 2 cos
4 4
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018
2
Chuyên đề 1. Lượng giác : 01655334679 – 0916620899
2
tan cot
sin 2
, với
làm cho biểu thức có nghĩa
2
cos sin 1 sin 2x x x
,
4 4
cos sin cos2x x x
4 4 2 2 2
1
cos sin 1 2cos .sin 1 sin 2
2
x x x x x
,
6 6 2 2 2
3
cos sin 1 3cos .sin 1 sin 2
4
x x x x x
3. Giá trị lượng giác của các góc (cung) có liên quan đặt biệt
3.1. Hai góc đối nhau ( cung đối) (
làm cho các biểu thức có nghĩa)
cos( ) cos
sin( ) sin
tan( ) tan
cot( ) cot
3.2. Hai góc bù nhau( cung bù)(
làm cho các biểu thức có nghĩa)
sin( ) sin
cos( ) cos
tan( ) tan
cot( ) cot
3.3. Hai góc phụ nhau ( cung phụ)(
làm cho các biểu thức có nghĩa)
sin cos
2
cos sin
2
tan cot
2
cot tan
2
3.4. Hai góc hơn kém
(cung hơn kém
),(
làm cho các biểu thức có nghĩa)
sin( ) sin
cos( ) cos
tan( ) tan
cot( ) cot
3.5. Hai góc hơn kém
2
(cung hơn kém
2
),(
làm cho các biểu thức có nghĩa)
sin cos
2
cos sin
2
tan cot
2
cot tan
2
3.6. Cung bội. (
k
,
làm cho các biểu thức có nghĩa)
sin( 2 ) sin
k
cos( 2 ) cos
k
tan( ) tan
k
cot( ) cot
k
4. Bảng giá trị lượng giác các góc (cung) đặt biệt
HSLG
0
0
30
0
45
0
60
0
90
0
120
0
135
0
150
0
180
0
0
6
4
3
2
2
3
3
4
5
6
sin
0
1
2
2
2
3
2
1
3
2
2
2
1
2
0
cos
1
3
2
2
2
1
2
0
1
2
2
2
3
2
- 1
tan
0
3
3
1
3
//
3
- 1
3
3
0
cot
//
3
1
3
3
0
3
3
- 1
3
//
// : Không xác định
II. Phương trình lượng giác
1. Phương trình lượng giác cơ bản
1
sin 2
sin , 1
sin 2
u arc a k
u a a
u arc a k
1
2
sin sin
2
u v k
u v
u v k
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018
3
Chuyên đề 1. Lượng giác : 01655334679 – 0916620899
2
cos cos 2 , 1
u a u arc a k a
2
cos cos 2u v u v k
3
tan tan
u a u arc a k
3
tan tan
u v u v k
4
cot cot
u a u arc a k
4
cot cot
u v u v k
Trường hợp đặc biệt
1
sin 1 2
2
u u k
sin 1 2
2
u u k
sin 0
u u k
2
cos 1 2u u k
cos 1 2u u k
cos 0
2
u u k
3
tan 1
4
u u k
tan 1
4
u u k
tan 0
u u k
4
cot 1
4
u u k
cot 1
4
u u k
cot 0
2
u u k
2. Phương trình lượng giác thường gặp
2.1. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng
giác:
a. ĐN: Phương trình có dạng
0, 0
at b a
, t là một
trong các hàm số lượng giác.
b. Cách giải: Biến đổi đưa về phương trình lượng giác
cơ bản.
2.2. Phương trình bậc hai đối với một
HSLG:
a. ĐN: Phương trình có dạng:
2
0,( 0)
at bt c a
,
trong đó t là một HSLG của ẩn
b. Cách giải: Đặt HSLG làm ẩn phụ (đ/k nếu
có), đưa PT về PT bậc hai một ẩn phụ và
giải để tìm ẩn phụ. Thay ẩn phụ, ta được
PTLG cơ bản.
2.3. Phương trình bậc nhất đối với sinu và cosu:
a. ĐN: Phương trình có dạng:
2 2
sin cos ,( 0)
a u b u c a b
b. Cách giải:
B1: Kiểm tra điều kiện có nghiệm: Nếu
2 2 2
a b c
thì PT có nghiệm
B2: Chia 2 vế PT cho
2 2
a b
, Đặt
2 2 2 2
cos ; sin
a b
a b a b
. Ta được PT:
2 2
sin .cos cos .sin
c
u u
a b
2 2
sin( )
c
u
a b
Lưu ý: Ở đây ta áp dụng công thức cộng
cos cos cos sin sin
B3: Giải PT cơ bản tìm nghiệm.
2.4. Một số phương trình biến đổi đưa về các
dạng phương trình đã biết, đã học: Phương
trình lượng giác cơ bản; phương trình bậc
nhất, bậc hai đối với một HSLG; phương
trình bậc nhất đối với sinu và cosu.
Lưu ý:
Nắm vững công thức và cách biến đổi, dùng
công thức cho phù hợp từng dạng phương
trình.
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018
4
Chuyên đề 1. Lượng giác : 01655334679 – 0916620899
B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Tính giá trị của biểu thức
0 0
1 1
.
sin18 sin54
E
A.
2.E
B.
1.E
C.
2.E
D.
1.E
Câu 2: Cho góc
thỏa mãn
2
sin
3
. Tính giá trị của biểu thức
1 3cos2 2 3cos2 .
P
A.
4.P
B.
19
.
4
P
C.
14
.
9
P
D.
14
.
9
P
Câu 3: Giải phương trình
cos3 cos2 cos 1 0.x x x
A.
2
2 , , .
3
x k x k k
B.
2
, , .
3 2
k
x k x k
C.
2
2 , 2 , .
3
x k x k k
D.
2 , 2 , .
3
x k x k k
Câu 4: Cho biết
1
sin .
3
x
Tính giá trị của biểu thức
tan cot
.
tan cot
x x
H
x x
A.
61
.
79
H
B.
7
.
9
H
C.
14
.
23
H
D.
9
.
7
H
Câu 5: Tìm tập nghiệm S của phương trình
sin cos 2.
x x
A.
2 , .
4
S k k
B.
3
2 , .
4
S k k
C.
3
, .
4
S k k
D.
, .
4
S k k
Câu 6: Hàm số
cosy x
nghịch biến trên khoảng nào dưới đây ?
A.
3
; .
2 2
B.
19
;10 .
2
C.
11
; 5 .
2
D.
11
;7 .
2
Câu 7: Tìm tập xác định D của hàm số
1
cot .
sin
y x
x
A.
\ , .
D k k
B.
\ , .
2
k
D k
C.
\ , .
2
D k k
D.
2
\ , .
3
k
D k
Câu 8: Tìm tập xác định D của hàm số
2
.
cos cos3
y
x x
A.
\ , .
4
D k k
B.
\ , .
3
k
D k
C.
\ , .
2
k
D k
D.
\ , .
2
D k k
Câu 9: Tìm chu kì tuần hoàn T của hàm số
tan cot .
2 4 4 3
x x
y
A.
2T
B.
4T
C.
6T
D.
8T
Câu 10: Tìm tất cả giá trị của x để hàm số
2cos 3
3
y x
có giá trị lớn nhất bằng 5.
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018
5
Chuyên đề 1. Lượng giác : 01655334679 – 0916620899
A.
2 , .
3
x k k
B.
2
2 , .
3
x k k
C.
2 , .
3
x k k
D.
2
2 , .
3
x k k
Câu 11: Kí hiệu M là giá trị lớn nhất của hàm số:
4 4
sin cos .y x x
Tìm M.
A.
1.
M
B.
2.
M
C.
2.
M
D.
1.M
Câu 12: Giải phương trình
2
sin .
2
x
A.
4
x k
hoặc
3
, .
4
x k k
B.
2
4
x k
hoặc
3
2 , .
4
x k k
C.
2
4
x k
hoặc
5
2 , .
4
x k k
D.
2
4
x k
hoặc
3
2 , .
4
x k k
Câu 13: Tìm số nghiệm của phương trình
0
2cos 3 15 3
x
thuộc khoảng
0 0
90 ;360 .
A. 4. B. 5. C. 3. D. 0.
Câu 14: Cho hai hàm số
2
cos2
( )
1 sin 3
x
f x
x
và
2
sin cos3
( )
2 tan
x x
g x
x
. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A.
( )f x
và
( )g x
là hàm số lẻ. B.
( )f x
là hàm số chẵn,
( )g x
là hàm số lẻ.
C.
( )f x
là hàm số lẻ,
( )g x
là hàm số chẵn. D.
( )f x
và
( )g x
là hàm số chẵn.
Câu 15: Tìm tập xác định D của hàm số
6tan3 4 cot 3 .y x x
A.
\ , .
6
k
D k
B.
.D
C.
\ , .
D k k
D.
0; .
D

Câu 16: Tìm tập xác định D của hàm số
tan 2 .
5
y x
A.
3
\ 2 , .
2
D k k
B.
3
\ , .
20 2
k
D k
C.
3
\ , .
5
D k k
D.
\ , .
20 2
k
D k
Câu 17: Tìm tất cả giá trị của x để hàm số
2cos 3
3
y x
có giá trị nhỏ nhất bằng
1.
A.
2
2 , .
3
x k k
B.
2 , .
3
x k k
C.
2 , .
3
x k k
D.
2
2 , .
3
x k k
Câu 18: Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A. Hàm số
2sin tany x x
là hàm số lẻ trên khoảng
0; .
2
B. Hàm số
cos siny x x x
có đồ thị nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.
C. Hàm số
2cos cos
3
y x x
là hàm số chẵn.
D. Hàm số
cos
4 cos 2
x
y
x
có đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng.
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018
6
Chuyên đề 1. Lượng giác : 01655334679 – 0916620899
Câu 19: Tính giá trị của biểu thức
0 0 0 0
tan9 tan27 tan63 tan81 .
E
A.
2.E
B.
2.E
C.
4.E
D.
4.E
Câu 20: Tìm tập xác định D của hàm số
2cos 5
.
3sin 4
x
y
x
A.
\ , .
2
k
D k
B.
\ , .
D k k
C.
.D
D.
4
\
3
D
Câu 21: Giải phương trình
sin3 cos .x x
A.
8 2
k
x
hoặc
, .
4
x k k
B.
8
x k
hoặc
2 , .
4
x k k
C.
2 , .
4
x k k
D.
2
8
x k
hoặc
, .
4
x k k
Câu 22: Giải phương trình
sin3 sin .x x
A.
8
x k
hoặc
2 , .
4
x k k
B.
2 , .
4
x k k
C.
2
x k
hoặc
2 , .x k k
D.
x k
hoặc
, .
4 2
k
x k
Câu 23: Kí hiệu M là giá trị lớn nhất của hàm số:
4 4
sin cos .y x x
Tìm M.
A.
1.
M
B.
2.
M
C.
0.M
D.
1
.
2
M
Câu 24: Cho biết
tan 3.
x
Tính giá trị của biểu thức
2 2
2
sin 3sin cos 2cos 3
.
1 4sin
x x x x
K
x
A.
9
.
7
K
B.
11
.
6
K
C.
14
.
23
K
D.
2
.
3
K
Câu 25: Tìm tập xác định D của hàm số
2 cos
.
1 tan
3
x
y
x
A.
5
\ ; .
6 12
D k k k
B.
5
\ , .
6
D k k
C.
\ , .
12
D k k
D.
\ 1 .
D
Câu 26: Giải phương trình
0
2
cos 3 60 .
2
x
A.
0 0
35 60
x k
hoặc
0 0
5 60 , .
x k k
B.
0 0
35 120
x k
hoặc
0 0
5 120 , .
x k k
C.
0 0
35 360
x k
hoặc
0 0
5 360 , .
x k k
D.
0 0
35 180
x k
hoặc
0 0
5 180 , .
x k k
Câu 27: Cặp hàm số nào sau đây có cùng tập xác định ?
A.
tany x
và
sin .y x
B.
tany x
và
2 sin
.
cos
x
y
x
C.
tany x
và
cot .y x
D.
cosy x
và
cot .y x
Câu 28: Giải phương trình
tan 3.
x
A.
2 , .
3
x k k
B.
, .
3
x k k
C.
, .
3
x k k
D.
, .
6
x k k
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018
7
Chuyên đề 1. Lượng giác : 01655334679 – 0916620899
Câu 29: Giải phương trình
2
cos4 12sin 1 0.
x x
A.
, .
3
k
x k
B.
, .
2
x k k
C.
2 , .x k k
D.
, .x k k
Câu 30: Giải phương trình
2
sin cos3 .
3
x x
A.
12
x k
hoặc
, .
4
x k k
B.
24 2
k
x
hoặc
, .
12
x k k
C.
24
x k
hoặc
, .
12 2
k
x k
D.
24 2
k
x
hoặc
, .
12
x k k
Câu 31: Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình
2
sin sin2 cos 2cos .x x x x
A.
.
3
x
B.
.
4
x
C.
.
2
x
D.
.
6
x
Câu 32: Giải phương trình
3
cos .
2
x
A.
, .
6
x k k
B.
5
2 , .
6
x k k
C.
5
, .
6
x k k
D.
2 , .
6
x k k
Câu 33: Tìm tập xác định D của hàm số
3tan 2
.
1 sin
x
y
x
A.
\ 2 , .
2
D k k
B.
\ , .
D k k
C.
\ , .
D k k
D.
\ , .
2
D k k
Câu 34: Cho góc
thỏa mãn
3
2
9
cos
41
. Tính
tan .
4
P
A.
49
.
31
P
B.
49
.
31
P
C.
31
.
49
P
D.
12
.
5
P
Câu 35: Tìm tất cả giá trị của x để hàm số
2sin 3
2 5
x
y
có giá trị nhỏ nhất bằng
5.
A.
13
4 , .
5
x k k
B.
4 , .
5
x k k
C.
13
2 , .
5
x k k
D.
13
4 , .
5
x k k
Câu 36: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số
2 1 cos 1.
y x
A.
2
Min y
và
3.
Max y
B.
1
Min y
và
3.
Max y
C.
1
Min y
và
3.
Max y
D.
3
Min y
và
1.
Max y
Câu 37: Giải phương trình
2
sin5 2cos 1.
x x
A.
2
6 3
x k
hoặc
2
, .
14 7
x k k
B.
2
6 3
x k
hoặc
2
, .
14 7
x k k
C.
3 3
k
x
hoặc
, .
3 3
k
x k
D.
6 3
k
x
hoặc
2
, .
7 7
k
x k
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018
8
Chuyên đề 1. Lượng giác : 01655334679 – 0916620899
Câu 38: _
A.
, , .
2 6
x k x k k
B.
2 , 2 , .
2 6
x k x k k
C.
, , .
2 6
x k x k k
D.
2 , 2 , .
4 3
x k x k k
Câu 39: Hàm số
siny x
đồng biến trên khoảng nào dưới đây ?
A.
19
;10 .
2
B.
7
; 3 .
2
C.
15
7 ; .
2
D.
6 ; 5 .
Câu 40: Tìm chu kì tuần hoàn T của hàm số
2
cos .
2
x
y
A.
.
2
T
B.
2 .T
C.
4 .T
D.
8 .T
Câu 41: Tìm chu kì tuần hoàn T của hàm số
tan3 .y x
A.
.
3
T
B.
3 .T
C.
1
.
3
T
D.
.T
Câu 42: Nếu xét trên khoảng
0;2
. Trên những khoảng nào thì hàm
siny x
và
cosy x
cùng
nghịch biến ?
A.
3
;2 .
2
B.
; .
2
C.
;2 .
D.
3
0; .
2
Câu 43: Tìm chu kì tuần hoàn T của hàm số
cos cos3 .y x x
A.
2 .T
B.
2
.
3
T
C.
4 .T
D.
.T
Câu 44: Giải phương trình
1
sin .
2
x
A.
2
6
x k
hoặc
2 , .
6
x k k
B.
6
x k
hoặc
5
, .
6
x k k
C.
2
6
x k
hoặc
5
2 , .
6
x k k
D.
5
6
x k
hoặc
5
2 , .
6
x k k
Câu 45: Cho
1
sin cos .
2
Tính
sin2 .
A.
3
sin2 .
8
B.
3
sin2 .
4
C.
3
sin2 .
4
D.
1
sin2 .
4
Câu 46: _
A.
.
3
T
B.
3 .T
C.
6 .T
D.
2 .T
Câu 47: Cho
,a b
là góc nhọn và
3 1
cot ,cot
4 7
a b
. Tính tổng
.S a b
A.
5
.
14
S
B.
.
4
S
C.
.
6
S
D.
3
.
4
S
Câu 48: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số
3 2sin .y x
A.
5
Min y
và
1.
Max y
B.
1
Min y
và
5.
Max y
C.
1
Min y
và
5.
Max y
D.
5
Min y
và
1.
Max y
Câu 49: Giải phương trình
3 cos5 2cos3 sin5 0.
x x x
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018
9
Chuyên đề 1. Lượng giác : 01655334679 – 0916620899
A.
6
x k
hoặc
, .
48 4
k
x k
B.
2
12
x k
hoặc
, .
48 8
k
x k
C.
12
x k
hoặc
, .
48 4
k
x k
D.
2
8
x k
hoặc
, .
48 2
k
x k
Câu 50: Giải phương trình
3sin cos 2.
x x
A.
2 , .
3
x k k
B.
, .
3
x k k
C.
2 , .
6
x k k
D.
2 , .
6
x k k
Câu 51: Cho góc
thảo mãn
tan 2
. Tính
3 3
sin
.
sin 3cos
E
A.
11
.
10
E
B.
10
.
11
E
C.
11
.
10
E
D.
10
.
11
E
Câu 52: Giải phương trình
sin2 3 cos2 2sin3 .x x x
A.
2
3
x k
hoặc
4 2
, .
15 5
k
x k
B.
3
x k
hoặc
4
2 , .
15
x k k
C.
2
3
x k
hoặc
4 2
, .
5 5
k
x k
D.
2
6
x k
hoặc
4 2
, .
15 3
k
x k
Câu 53: Kí hiệu M là giá trị lớn nhất của hàm số
sin cos .y x x
Tìm M.
A.
2 2.
M
B.
2.
M
C.
2.
M
D.
1.M
Câu 54: Kí hiệu m là giá trị nhỏ nhất của hàm số:
sin 3 cos
y x x
. Tìm m.
A.
2.
m
B.
3.
m C.
2.
m
D.
1.m
Câu 55: Tìm số nghiệm của phương trình
cos4
tan2
cos2
x
x
x
có số nghiệm thuộc khoảng
0; .
2
A. 4. B. 3. C. 5. D. 2.
Câu 56: Kí hiệu m là giá trị nhỏ nhất của hàm số:
cos 2 cos 2 .
4 4
y x x
Tìm m.
A.
2.
m
B.
2.
m
C.
3 2.
m
D.
4.m
Câu 57: Xét trên khoảng
0;
2
, hàm số nào dưới đây đồng biến ?
A.
tan 2.
y x
B.
2
2 sin .y x
C.
3 2sin .y x
D.
sin 3.
y x
Câu 58: Cho góc
thỏa mãn
2
1
sin
5
. Tính giá trị của biểu thức
sin .
6
P
A.
15
.
10
P
B.
3 2
.
2 5
P
C.
2 3
.
2 5
P
D.
5
.
5
P
Câu 59: Gọi m và M là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số
2
3
.
5 sin
y
x
Tính
.P m M
A.
20.
P
B.
9
.
20
P
C.
3
.
4
P
D.
4.
P
Câu 60: Tìm tập xác định D của hàm số
sin3
.
cot
x
y
x
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018
10
Chuyên đề 1. Lượng giác : 01655334679 – 0916620899
A.
\ , .
2
D k k
B.
\ 2 , .
D k k
C.
\ , .
2
k
D k
D.
\ , .
D k k
Câu 61: Hàm số nào sau đây là hàm số không chẵn, không lẻ ?
A.
2
2cos 2 .
y x x
B.
2cos 1.
y x
C.
sin 2.
y x
D.
2sin . y x x
Câu 62: Tìm tập xác định D của hàm số
tan 2 .
3
y x
A.
\ , .
6
D k k
B.
.D
C.
\ , .
2
k
D k
D.
\ , .
12 2
k
D k
Câu 63: Tìm tập xác định D của hàm số
3 4cot 2
.
cos2 1
x
y
x
A.
\ 1 .
D
B.
\ , .
D k k
C.
\ , .
2
k
D k
D.
1
\ .
2
D
Câu 64: Giải phương trình
3
8cos 1 0.
x
A.
2
, .
3
x k k
B.
, .
3 2
k
x k
C.
, .
3
x k k
D.
2 , .
3
x k k
Câu 65: Cho góc
thỏa mãn
2
3
sin
5
. Tính giá trị của biểu thức
2
tan
.
1 tan
P
A.
4
.
3
P
B.
12
.
25
P
C.
12
.
25
P
D.
25
.
12
P
Câu 66: Tìm số nghiệm của phương trình
sin 1
4
x
thuộc đoạn
;2 .
A. 1 B. 0 C. 2 D. 3
Câu 67: Tìm tập nghiệm S của phương trình
sin cos 2.
x x
A.
3
2 , .
4
S k k
B.
, .
4
S k k
C.
, .
4
S k k
D.
5
2 , .
4
S k k
Câu 68: Tìm tập nghiệm S của phương trình
sin cos 2.
x x
A.
, .
4
S k k
B.
3
2 , .
4
S k k
C.
, .
4
S k k
D.
5
, .
4
S k k
Câu 69: Giải phương trình
3 3
sin cos cos .x x x
A.
2 , , .
4
x k x k k
B.
3
, , .
2 4
k
x x k k
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018
11
Chuyên đề 1. Lượng giác : 01655334679 – 0916620899
C.
2 , 2 , .
4
x k x k k
D.
, , .
4
x k x k k
Câu 70: Giải phương trình
sin 3 cos 2sin2 .x x x
A.
2
3
x k
hoặc
2 2
, .
9 3
k
x k
B.
2
3
x k
hoặc
2
, .
9 3
k
x k
C.
2
6
x k
hoặc
2
, .
3 3
k
x k
D.
3
x k
hoặc
, .
6
x k k
Câu 71: Tìm tập xác định D của hàm số
1
sin .
1
x
y
x
A.
.D
B.
1;1 .
D
C.
1;1 .
D
D.
\ 1 .
D
Câu 72: Giải phương trình
2
2sin 7sin 4 0.
x x
A.
2
6
x k
hoặc
5
2 , .
6
x k k
B.
2
12
x k
hoặc
7
2 , .
6
x k k
C.
6
x k
hoặc
5
, .
6
x k k
D.
2
6
x k
hoặc
5
2 , .
6
x k k
Câu 73: Giải phương trình
1
cos .
2
x
A.
2
, .
3
x k k
B.
2
2 , .
3
x k k
C.
2 , .
3
x k k
D.
, .
3
x k k
Câu 74: Giải phương trình
2
1 sin2 cos2
2 sin sin2 .
1 cot
x x
x x
x
A.
2 , , .
2 3
x k x k k
B.
2 , , .
2 4
x k x k k
C.
3 3
, 2 , .
2 4
x k x k k
D.
, 2 , .
2 4
x k x k k
Câu 75: Giải phương trình
5 3
4cos cos 2 8sin 1 cos 5.
2 2
x x
x x
A.
2
12
x k
hoặc
5
2 , .
12
x k k
B.
2
12
x k
hoặc
5
2 , .
12
x k k
C.
12
x k
hoặc
5
; .
12
x k k
D.
5 2
6 3
k
x
hoặc
5
, .
12 3
k
x k
Câu 76: Giải phương trình
3
cot .
3
x
A.
, .
3
x k k
B.
2 , .
3
x k k
C.
, .
6
x k k
D.
, .
6
x k k
Câu 77: Hàm số nào dưới đây có tập xác định là
.
A.
cot 2 .y x x
B.
tan cot .y x x
C.
1
sin .
y x
x
D.
2cos 5
.
3sin 4
x
y
x
Câu 78: Cho hai hàm số
( ) sin 2f x x
và
( ) cos3g x x
. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A.
( )f x
và
( )g x
là hàm số lẻ. B.
( )f x
là hàm số chẵn,
( )g x
là hàm số lẻ.
C.
( )f x
và
( )g x
là hàm số chẵn. D.
( )f x
là hàm số lẻ,
( )g x
là hàm số chẵn.
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018
12
Chuyên đề 1. Lượng giác : 01655334679 – 0916620899
Câu 79: Tìm tập xác định D của hàm số
3sin 7
.
2cos 5
x
y
x
A.
5
\ .
2
D
B.
.D
C.
\ , .
D k k
D.
\ , .
2
k
D k
Câu 80: Giải phương trình
8cos2 sin2 cos4 2.
x x x
A.
32 4
k
x
hoặc
3
, .
32 4
k
x k
B.
32 2
k
x
hoặc
3
, .
32
x k k
C.
32 4
k
x
hoặc
3
, .
32 2
k
x k
D.
2
32
x k
hoặc
3
2 , .
32
x k k
Câu 81: Tìm nghiệm âm lớn nhất của phương trình
2
2tan 5tan 3 0.
x x
A.
.
4
x
B.
3
.
4
x
C.
.
3
x
D.
5
.
6
x
Câu 82: Giải phương trình
2cos2 sin sin3 .x x x
A.
4 2
k
x
hoặc
2 , .
2
x k k
B.
4 4
k
x
hoặc
, .
2
x k k
C.
4 2
k
x
hoặc
2 , .
3
x k k
D.
2
4
x k
hoặc
, .
2
x k k
Câu 83: Gọi X là tập nghiệm của phương trình
0
cos 15 sin
2
x
x
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
0
200 .X
B.
0
240 .X
C.
0
290 .X
D.
0
220 .X
Câu 84: Tìm tập xác định D của hàm số
tan cot
.
1 sin2
x x
y
x
A.
\ 1
D
B.
\ ; .
2 4
k
D k k
C.
1
\ .
2
D
D.
\ , .
4
D k k
Câu 85: Giải phương trình
2
2sin 5sin 3 0.
x x
A.
2
3
x k
hoặc
4
2 , .
3
x k k
B.
6
x k
hoặc
5
, .
6
x k k
C.
2
6
x k
hoặc
5
2 , .
6
x k k
D.
2
6
x k
hoặc
5
2 , .
6
x k k
Câu 86: Tìm số nghiệm của phương trình
sin cosx x
có số nghiệm thuộc đoạn
; .
A. 6. B. 5. C. 2. D. 4.
Câu 87: Cho hai hàm số
( ) tan 4f x x
và
( ) sin
2
g x x
. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A.
( )f x
là hàm số chẵn,
( )g x
là hàm số lẻ. B.
( )f x
là hàm số lẻ,
( )g x
là hàm số chẵn.
C.
( )f x
và
( )g x
là hàm số lẻ. D.
( )f x
và
( )g x
là hàm số chẵn.
Câu 88: Giải phương trình
sin 3 cos 2.
x x
A.
5
2 , .
6
x k k
B.
2 , .
6
x k k
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018
13
Chuyên đề 1. Lượng giác : 01655334679 – 0916620899
C.
2 , .
6
x k k
D.
5
, .
6
x k k
Câu 89: Kí hiệu m là giá trị nhỏ nhất của hàm số:
4 4
sin cos .y x x
Tìm m.
A.
1.
m
B.
2.
m
C.
3.m
D.
4.m
Câu 90: Tìm tập nghiệm S của phương trình
sin cos 2.
x x
A.
5
2 , .
4
S k k
B.
2 , .
4
S k k
C.
, .
4
S k k
D.
3
2 , .
4
S k k
Câu 91: Giải phương trình
2 sin 2cos 2 sin2 .x x x
A.
3
, .
4
x k k
B.
3
2 , .
4
x k k
C.
, .
4
x k k
D.
5
2 , .
4
x k k
Câu 92: Tìm tập xác định D của hàm số
tan cot
.
1 sin2
x x
y
x
A.
5
\ ; .
6 12
D k k k
B.
\ , .
4
D k k
C.
\ ; .
2 4
k
D k k
D.
\ , .
2
k
D k
Câu 93: Giải phương trình
sin 4cos 2 sin2 .x x x
A.
2 , .
3
x k k
B.
2 , .
6
x k k
C.
2 , .
4
x k k
D.
2
2 , .
3
x k k
Câu 94: Tìm tất cả giá trị của x để hàm số
4 2
cos 4cos 5
y x x
có giá trị lớn nhất bằng
10.
A.
2 , .
2
x k k
B.
, .x k k
C.
, .
2
k
x k
D.
, .
2
x k k
Câu 95: Giải phương trình
cos sin2 0.
2
x x
A.
2
3
k
x
hoặc
2 , .x k k
B.
3
k
x
hoặc
, .x k k
C.
3
x k
hoặc
2
, .
3
x k k
D.
3
k
x
hoặc
2 , .x k k
Câu 96: Cho hàm số
( ) tan sin .f x x x
Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A.
( )f x
tuần hoàn với chu kì
.
T
B.
( )f x
là hàm số chẵn.
C.
( )f x
xác định khi và chỉ khi
, .
x k k
D.
( )f x
là hàm số lẻ.
Câu 97: Tìm chu kì tuần hoàn T của hàm số
cos cos .
2 3
x x
y
A.
8 .T
B.
6 .T
C.
4 .T
D.
12 .T
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018
14
Chuyên đề 1. Lượng giác : 01655334679 – 0916620899
Câu 98: Cho các hàm số
3
1 cos sin
( ) , ( )
1 cos cos2
x x x
f x g x
x x
. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A.
( )f x
và
( )g x
là các hàm số chẵn. B.
( )f x
là hàm số lẻ và
( )g x
là hàm số chẵn.
C.
( )f x
và
( )g x
là các hàm số lẻ. D.
( )f x
là hàm số chẵn và
( )g x
là hàm số lẻ.
Câu 99: Giải phương trình
sin3 3 cos3 2sin2 .x x x
A.
2 4
, , .
3 15 5
k
x k x k
B.
2 2
2 , , .
3 15 5
k
x k x k
C.
4 2
2 , , .
3 5 5
k
x k x k
D.
2 4 2
2 , , .
3 15 5
k
x k x k
Câu 100: Tìm chu kì tuần hoàn T của hàm số
sin3 .cos4 .y x x
A.
3 .T
B.
.T
C.
4 .T
D.
2 .T
Câu 101: Cho biết
1
cot .
2
x
Tính giá trị của biểu thức
2 2
2 cos
.
sin sin .cos cos 3
x
M
x x x x
A.
19
.
8
M
B.
121
.
16
M
C.
11
.
16
M
D.
61
.
79
M
Câu 102: Tìm tất cả giá trị của x để hàm số
4 2
cos 4cos 5
y x x
có giá trị nhỏ nhất bằng
5.
A.
2 , .
2
x k k
B.
, .
2
x k k
C.
2 , .
2
x k k
D.
, .
2
x k k
Câu 103: Gọi
, ,A B C
là ba góc nhọn của một tam giác thỏa
1 1 1
tan ,tan ,tan
2 5 8
A B C
. Tính tổng
.S A B C
A.
0
30 .
S
B.
0
60 .
S
C.
0
120 .
S
D.
0
45 .
S
Câu 104: Cho biết
1
tan .
3
x
Tính giá trị của biểu thức
3 3
2 3
sin 2cos 3sin
.
4sin 5sin cos 6sin
x x x
P
x x x x
A.
61
.
79
P
B.
79
.
61
P
C.
14
.
23
P
D.
4
.
5
P
Câu 105: Cho hai hàm số
3
( ) sin tanf x x x
và
2
cos cot
( )
sin
x x
g x
x
.Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A.
( )f x
là hàm số lẻ,
( )g x
là hàm số chẵn. B.
( )f x
và
( )g x
là hàm số chẵn.
C.
( )f x
là hàm số lẻ,
( )g x
là hàm số lẻ. D.
( )f x
và
( )g x
là hàm số lẻ.
Câu 106: Với giá trị nào của hằng số A và của hằng số
thì hàm số
sin( )
y A x
là 1 hàm số lẻ.
A.
0, , .
2
k
A k
B.
0, , .
2
A k k
C.
0, , .
2
k
A k
D.
0, , .
A k k
Câu 107: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số
3sin 2.
6
y x
A.
5
Min y
và
1.
Max y
B.
1
Min y
và
1.
Max y
C.
5
Min y
và
2.
Max y
D.
1
Min y
và
5.
Max y
Câu 108: Giải phương trình
3sin2 cos2 2cos 1.
x x x
A.
2
x k
,
2
2 , , .
3
x k x k k
B.
2
x k
,
2
, 2 , .
3
x k x k k
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018
15
Chuyên đề 1. Lượng giác : 01655334679 – 0916620899
C.
2
2
x k
,
, 2 , .
3
x k x k k
D.
2
2
x k
,
2
2 , , .
3
x k x k k
Câu 109: Giải phương trình
sin2 2cos sin 1
0.
tan 3
x x x
x
A.
, .
3
x k k
B.
2 , .
3
x k k
C.
2 , .
3
x k k
D.
2
2 , .
3
x k k
Câu 110: Tìm tất cả giá trị của x để hàm số
2
3 cosy x
có giá trị lớn nhất bằng
2.
A.
, .
2
k
x k
B.
2 , .
2
x k k
C.
, .x k k
D.
2 , .x k k
Câu 111: Giải phương trình
2sin 1 cos2 sin2 1 2cos .x x x x
A.
2
2 , , .
3 4
x k x k k
B.
2
, 2 , .
3 4
x k x k k
C.
2 , , .
3 2
x k x k k
D.
2
2 , , .
3 4
x k x k k
Câu 112: Cho góc
thỏa mãn
tan 2
. Tính giá trị của
4 sin2
.
5cos2
E
A.
4
.
5
E
B.
8
.
5
E
C.
8
.
5
E
D.
4
.
5
E
Câu 113: Giải hương trình
4 4
1
sin cos .
4 4 2
x x
A.
4
, .
3 2
x k k
B.
4
2 , .
3
x k k
C.
4
4 , .
3
x k k
D.
4
, .
3
x k k
Câu 114: Giải phương trình
3 3
sin cos sin cos .x x x x
A.
, .
2
x k k
B.
, .
2
x k k
C.
2 , .
2
x k k
D.
3
2 , .
2
x k k
Câu 115: Cho góc
thỏa mãn
2
1
sin cos
2 2 2
. Tính
sin2 .
A.
3 7
sin2 .
8
B.
3 7
sin2 .
8
C.
8 3
sin2 .
7
D.
3
sin2 .
8
Câu 116: Giải phương trình
1
sin 2 .
6 2
x
A.
x k
hoặc
, .
2
x k k
B.
2 , .
2
x k k
C.
3
x k
hoặc
, .
2
x k k
D.
, .
6
x k k
Câu 117: Cho hàm số
2 tan2
.
sin2
x
y
x
Tìm điều kiện xác định của hàm số đã cho.
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018
16
Chuyên đề 1. Lượng giác : 01655334679 – 0916620899
A.
sin4 0.x
B.
sin2 0.x
C.
sin 0
.
cos 0
x
x
D.
sin2 0
.
cos 0
x
x
Câu 118: Giải phương trình
sin 3 cos
0.
sin cos
4
x x
x
A.
, .
3
x k k
B.
, .
3
x k k
C.
2
2 , .
3
x k k
D.
2 , .
3
x k k
Câu 119: Tìm số nghiệm của phương trình
sin3
0
cos 1
x
x
có số nghiệm thuộc đoạn
2 ;4 .
A. 6. B. 5. C. 4. D. 2.
Câu 120: Tìm chu kì tuần hoàn T của hàm số
cos 5 .
4
y x
A.
10 .T
B.
2
.
5
T
C.
5 .T
D.
.
5
T
Câu 121: Kí hiệu m là giá trị nhỏ nhất của hàm số:
2
sin sin .
3
y x x
Tìm m.
A.
2.
m
B.
0.m
C.
3
.
2
m
D.
1.
m
Câu 122: Tìm tập xác định D của hàm số
2 cos
.
1 sin
x
y
x
A.
0; .
D

B.
\ 2 , .
2
D k k
C.
.D
D.
\ , .
D k k
Câu 123: Trên khoảng
;
2
. Phương trình
2tan 2cot 3 0x x
có bao nhiêu nghiệm ?
A. 2. B. 1. C. 3. D. 4.
Câu 124: Trên khoảng
;8
. Phương trình
cos 0
2 4
x
có bao nhiêu nghiệm ?
A. 3. B. 1. C. 2. D. 4.
Câu 125: Tìm số nghiệm của phương trình
sin 2 1
4
x
thuộc đoạn
0; .
A. 1. B. 0. C. 2. D. 3.
Câu 126: Gọi m và M là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số
2
sin 2sin 6
y x x
. Tính
.S m M
A.
9.
S
B.
3.
S
C.
14.
S
D.
5.
S
Câu 127: Mệnh đề nào dưới đây sai ?
A. Hàm số
cosy x
và
coty x
là các hàm số chẵn.
B. Hàm số
tany x
và
coty x
có cung chu kì là
.
C. Hàm số
siny x
và
tany x
là các hàm số lẻ.
D. Hàm số
siny x
và
cosy x
có cùng tập xác định.
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018
17
Chuyên đề 1. Lượng giác : 01655334679 – 0916620899
Câu 128: Cho hàm số
cos x
y
x
. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A. Hàm số đã cho vừa chẵn, vừa lẻ. B. Hàm số đã cho là hàm số lẻ.
C. Hàm số đã cho là hàm số chẵn. D. Hàm số đã cho không chẵn, không lẻ.
Câu 129: Tìm hàm số lẻ trong các hàm số dưới đây.
A.
2
sin
( ) .
3 cot
x
f x
x
B.
4
tan
( ) .
2 cos 2
x
f x
x
C.
( ) sin 3 .sin 4 .f x x x
D.
( ) 2cos sin( 2 ).
2
f x x x
Câu 130: Tìm tập xác định D của hàm số
3sin 5
.
cos
x
y
x
A.
\ 0 .
D
B.
\ , .
D k k
C.
\ 2 , .
D k k
D.
\ , .
2
D k k
Câu 131: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số
2 cos 1.
y x
A.
1
Min y
và
3.
Max y
B.
3
Min y
và
3.
Max y
C.
1
Min y
và
3.
Max y
D.
3
Min y
và
1.
Max y
Câu 132: Trên những khoảng nào thì hàm
siny x
và
cosy x
cùng đồng biến ?
A.
; .
2
B.
3
;2 .
2
C.
;2 .
D.
3
0; .
2
Câu 133: Kí hiệu M là giá trị lớn nhất của hàm số:
2
cos sin .y x x
Tìm M.
A.
1
.
4
M
B.
5
.
4
M
C.
3
.
4
M
D.
4
.
5
M
Câu 134: Giải phương trình
0
2
2tan 20 3 0.
3
x
A.
0 0
15 270 , .
x k k
B.
0 0
45 270 , .
x k k
C.
0 0
35 270 , .
x k k
D.
0 0
15 270 , .
x k k
Câu 135: Tìm tập xác định D của hàm số
1 sin 1 sin .y x x
A.
1;1 .
D
B.
\ , .
2
D k k
C.
\ , .
2
k
D k
D.
.D
Câu 136: Mệnh đề nào dưới đây sai ?
A. Hàm số
coty x
nghịch biến trên khoảng
0; .
B. Hàm số
siny x
đồng biến trên khoảng
0; .
2
C. Hàm số
cosy x
đồng biến trên khoảng
;0 .
D. Hàm số
tany x
nghịch biến trên khoảng
; .
2 2
Câu 137: Tìm chu kì tuần hoàn T của hàm số
sin .y ax b
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018
18
Chuyên đề 1. Lượng giác : 01655334679 – 0916620899
A.
2
.
T
a
B.
2
.
T
a
C.
2 .T
D.
.
T
a
Câu 138: Cho hai hàm số
( ) sinf x x x
và
3
( ) 1 cos .sin 2
2
g x x x
. Mệnh đề nào dưới đây
đúng ?
A.
( )f x
là hàm số chẵn,
( )g x
là hàm số lẻ. B.
( )f x
là hàm số lẻ,
( )g x
là hàm số chẵn.
C.
( )f x
và
( )g x
là hàm số chẵn. D.
( )f x
và
( )g x
là hàm số lẻ.
Câu 139: _
A.
0 0
60 180 , .
x k k
B.
0 0
45 180 , .
x k k
C.
0 0
45 45 , .
x k k
D.
0 0
180 180 , .
x k k
Câu 140: Tìm tập xác định D của hàm số
tan
.
1 cos2
x
y
x
A.
\ 2 , .
D k k
B.
\ , .
2
k
D k
C.
\ , .
4
k
D k
D.
\ 2 , .
D k k
Câu 141: Tính giá trị của biểu thức
7
cos cos .
12 12
P
A.
3
.
4
P
B.
1
.
4
P
C.
3
.
2
P
D.
1
.
4
P
Câu 142: Cho góc
mà
1
sin
4
. Tính
sin4 2sin2 cos .
P
A.
128
.
225
P
B.
225
.
128
P
C.
10
.
11
P
D.
225
.
128
P
Câu 143: Tính giá trị của biểu thức
0 0
0 0 0 0
cos70 cos10
.
cos35 cos5 sin35 sin5
E
A.
0
2cos40 .
E
B.
3.
E
C.
1.E
D.
3
.
2
E
Câu 144: Tìm tập xác định D của hàm số
1
.
sin2 cos3
y
x x
A.
2
\ ; 2 , .
5 2
k
D k k
B.
2
\ ; , .
10 3 2
k
D k k
C.
2
\ ; 2 , .
10 5 2
k
D k k
D.
3
\ 2 ; 2 , .
10 2
D k k k
Câu 145: Biết phương trình
sin3 sin5 sin4x x x
có nghiệm
; 2 ; 2 , .
4
k
x x k x k k
Tính
.
S
A.
2
.
3
S
B.
.
S
C.
0.
S
D.
1.
S
Câu 146: Giải phương trình
2
3 tan 1 3 tan 1 0.
x x
A.
3
x k
hoặc
, .
6
x k k
B.
2
4
x k
hoặc
2 , .
6
x k k
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018
19
Chuyên đề 1. Lượng giác : 01655334679 – 0916620899
C.
4
x k
hoặc
, .
6
x k k
D.
4
x k
hoặc
, .
6
x k k
Câu 147: Gọi M là giá trị lớn nhất và m là giá trị nhỏ nhất của hàm số
2 sin 1.
4
y x
Tính
. .P M m
A.
1.
P
B.
2.
P
C.
2.
P
D.
1
.
2
P
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018
20
Chuyên đề 1. Lượng giác : 01655334679 – 0916620899
C. ĐÁP ÁN
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
A
B
C
D
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
A
B
C
D
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
A
B
C
D
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
A
B
C
D
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
A
B
C
D
10
1
10
2
10
3
10
4
10
5
10
6
10
7
10
8
10
9
11
0
11
1
11
2
11
3
11
4
11
5
11
6
11
7
11
8
11
9
12
0
A
B
C
D
12
1
12
2
12
3
12
4
12
5
12
6
12
7
12
8
12
9
13
0
13
1
13
2
13
3
13
4
13
5
13
6
13
7
13
8
13
9
14
0
A
B
C
D
141
142
143
144
145
146
147
A
B
C
D
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018
21
Chuyên đề 2. Tổ hợp – Xác suất – Niu-tơn : 01655334679 – 0916620899
CHUYÊN ĐỀ 2
TỔ HỢP – XÁC SUẤT – NHỊ THỨC NIU-TƠN
A. KIẾN THỨC CẦN NẮM
HAI QUY TẮC ĐẾM CƠ BẢN
1. Qui tắc cộng
Giả sử công việc có thể được thực hiện theo phương án A hoặc phương án B. Có n cách chọn phương
án A và m cách chọn phương án B ( các cách chọn phương án A không trùng với bất cứ cách chọn nào
của phương án B). Khi đó công việc có thể được thực hiện bởi n + m cách.
2. Qui tắc nhân
Giả sử một công việc nào đó bao gồm hai công đoạn A và B. Công đoạn A có thể làm theo n cách. Với
mỗi cách thực hiện công đoạn A thì công đoạn B có thể làm theo m cách. Khi đó công việc có thể thực
hiện theo n.m cách.
HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP
I. HOÁN VỊ
1. Định nghĩa:
Cho tập hợp A có n phần tử
n
1
. Khi sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự, ta được một hoán vị
các phần tử của tập A( gọi tắt là hoán vị của A)
2. Số hoán vị của n phần tử: Kí hiệu P
n
.
n
P n n n n ! .( 1).( 2) . . .2.1
II. CHỈNH HỢP
Định nghĩa: Cho tập hợp A có n phần tử và số nguyên k. Khi lấy ra k phần tử của A (
k n1
) và sắp
xếp k phần tử này theo một thứ tự, ta được một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A(gọi tắt là chỉnh
hợp chập k của A)
Số chỉnh hợp chập k của n phần tử: Kí hiệu
k
n
A n k
( , *)
k
n
n
A n n n k
n k
!
( 1)...( 1)
!
Nếu k = n thì
n
n n
n n
A n P
! !
!
0! 1
. Vậy một chỉnh hợp n chập n được gọi là một hoán vị của n phần
tử, từ đó suy ra:
n k n k
n n n k
A A A k n
. ;1
III. TỔ HỢP
Định nghĩa: Cho tập A có n phần tử và số nguyên k với
k n1
. Mỗi tập con của A có k phần tử được
gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A ( gọi tắt là một tổ hợp chập k của A)
Số tổ hợp chập k của n phần tử: Kí hiệu
k
n
C k n n
(1 , *)
,
k
n
n
C
k n k
!
!( )!
Hay
k
k
n
n
A
n n n n n k
C
k n k k k
! ( 1)( 2)...( 1)
!( )! ! !
Tính chất:
a)
n
n n n
C C C n n
0 1
1 ; ; *
b)
k n k
n n
C C k n
; 0
c)
k k k
n n n
C C C k n
1
1
; 1
d)
n
k n n
n n n n n
k
C C C C C k n
0 1 2
0
... 2 ;0
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018
22
Chuyên đề 2. Tổ hợp – Xác suất – Niu-tơn : 01655334679 – 0916620899
NHỊ THỨC NIU-TƠN
Công thức nhị thức Niu-Tơn
Với hai số thực a và b tuỳ ý và với mọi số n nguyên dương ta có
n
n n n k n k k n n
n n n n n
n
k n k k
n
k
a b C a C a b C a b C a b C b
C a b
0 1 1 2 2 2
0
... ... (1)
(1) gọi là công thức khai triển nhị thức Niu-tơn.
Tính chất của nhị thức Niu-tơn
Số các số hạng tử của công thức là n + 1
Số mũ của a giảm dần từ n đến 0, số mũ của b tăng từ 0 đến n đồng thời tổng các số mũ của a và b
trong mỗi hạng tử đều bằng n
Số hạng tổng quát của công thức có dạng
k n k k
k n
T C a b k n
1
;( 0,1,..., )
Các hệ số của nhị thức cách đều hai số hạng đầu và cuối bằng nhau:
k n k
n n
C C k n
;0
Một số dạng đặc biệt
Dạng 1. Thay a = 1 và b = x vào (1), ta được:
n n n n n
n n n n n
x C C x C x C x C x
0 1 2 2 1 1
(1 ) ... (2)
và cho
n n
n n n n
x C C C C
0 1 2
1 ... 2
Dạng 2. Thay a = 1, b = - x vào (1), ta được:
n k k k n n n
n n n n n
x C C x C x C x C x
0 1 2 2
(1 ) ... ( 1) ... ( 1) (3)
và thay
n n
n n n n
x C C C C
0 1 2
1 ... ( 1) 0
XÁC SUẤT
Xác suất của biến cố.
Định nghĩa cổ điển của xác suất
Giả sử phép thử T có không gian mẫu
là tập hữu hạn và các kết qủa của T là đồng khả năng xảy ra.
Nếu A là một biến cố liên quan với phép thử T và
A
là tập các kết quả thuận lợi cho A thì xác suất
của A là một số, kí hiệu là P(A), được xác định bởi công thức
A
n
P A
n A
( )
0 ( ) 1P A
( ) 1, ( ) 0P P O
Phương pháp tính xác suất
Bước 1. Mô tả không gian mẫu. Kiểm tra tính hữu hạn của
, tính đồng khả năng của các kết quả
Bước 2. Đặt tên cho các biến cố bằng các chữ cái
, ,...A B
Bước 3. Xác định các tập con
, ,...A B
của không gian mẫu. Tính
, ,...
n A n B
Bước 4. Tính
, ,...
n A n B
P A P B
n n
2. Biến cố đối
Cho A là một biến cố. Khi đó biến cố không xảy ra A, kí hiệu
A
gọi là biến cố đối của A
Xác suất của biến cố đối
A
là
1 ( )P A P A
.
Hai biến cố đối nhau là hai biến cố xung khắc. Tuy nhiên hai biến cố xung khắc chưa chắc là hai biến
cố đối nhau.
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018
23
Chuyên đề 2. Tổ hợp – Xác suất – Niu-tơn : 01655334679 – 0916620899
B. BÀI TẬP
Bài
Nội dung Kết quả
1 Để kiểm tra chất lượng sản phẩm từ
một công ty sữa, người ta đã giử đến
bộ phận kiểm nghiệm 5 hộp sữa cam,
4 hộp sữa dâu và 3 hộp sữa nho. Bộ
phận kiểm nghiệm chọn ngẫu nhiên 3
hộp sữa để phân tích mẫu. Tính xác
suất để 3 hộp sữa được chọn có cả 3
loại.
Số phần tử không gian mẫu:
3
12
220
n C
Gọi biến cố
A
: “3 hộp sữa được chọn có cả 3 loại”
Kết quả thuận lợi cho biến có
A
là
1 1 1
5 4 3
. . 60
n A C C C
Xác suất của biến cố
A
là
60 3
220 11
n A
P A
n
2 Từ một hộp chứa 16 thẻ đánh số từ 1
đến 16, chọn ngẫu nhiên 4 thẻ. Tính
xác suất để 4 thẻ được chọn đều đánh
số chẵn.
Số phần tử không gian mẫu:
4
16
1820
n C
Gọi biến cố
A
: “Chọn được 4 thẻ đều đánh số chẵn”
Kết quả thuận lợi cho biến có
A
là
4
8
70
n A C
Xác suất của biến cố
A
là
70 1
1820 26
n A
P A
n
3 Có hai hộp chứa bi. Hộp thứ nhất
chứa 4 viên bi đỏ và 3 viên bi trắng,
hộp thứ hai chứa 2 viên bi đỏ và 4
viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi
hộp ra 1 viên bi. Tính xác suất để 2
viên bi được lấy ra cùng màu.
Số cách chọn 2 viên bi, mỗi viên từ một hộp là: 7.6 = 42
Số cách chọn 2 vuên bi đỏ, mỗi viên từ một hộp là: 4.2 =
8
Số cách chọn 2 vuên bi trắng, mỗi viên từ một hộp là: 3.4
= 12
Xác suất lấy ra được hai viên bi cùng màu là:
8 12 10
42 21
P
4 Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên
gồm ba chữ số phân biệt được chọn từ
các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7. Xác định
số phần tử của S. Chọn ngẫu nhiên
một số từ S, tính xác suất để số được
chọn là số chẵn.
Số phần tử của S là
3
7
( ) 210
n S A
. Gọi A là biến cố:
“Chọn được từ S số được chọn là số chẵn”
Ta có n(A) = 3.6.5 = 90 (cách)
Xác suất cần tìm là:
( ) 90 3
( )
( ) 210 7
n A
P A
n S
5 Một hộp đựng 5 viên bi xanh, 4 viên
bi đỏ và 3 viên bi vàng. Chọn ngẫu
nhiên hai viên bi.
a) Tính xác suất để chọn được hai
viên bi cùng màu
b) Tính xác suất để chọn hai viên bi
khác màu.
Số phần tử của không gian mẫu là
2
12
( ) 66
n C
a) Gọi A là biến cố: “Chọn được hai viên bi cùng màu”
Ta có kết quả thuận lợi cho biến cố A là
5 4 3
2 2 2
( ) 19
n A C C C
. Vậy
19
( )
66
P A
b) Biến cố: “Chọn được hai viên bi khác màu” chính là
biến cố
A
. Vậy
19 47
( ) 1 ( ) 1
66 66
P A P A
6 Một túi đựng 4 quả cầu đỏ, 6 quả cầu
xanh. Chọn ngẫu nhiên 4 quả cầu.
Tính xác suất để trong 4 quả đó có cả
quả màu đỏ và màu xanh.
Số phần tử của không gian mẫu
4
10
( ) 210
n C
Số cách chọn 4 quả cầu toàn đỏ là 1.
Số cách chọn 4 quả cầu toàn xanh là
4
6
C
= 15.
Gọi A là biến cố: ”Chọn 4 quả cầu có cả quả màu đỏ và
xanh”
Suy ra:
( )n A
= 210 – 15 – 1 = 194. Vậy
194
( )
210
P A
7 Một hộp đựng chín thẻ đánh số từ 1
đến 9. Rút ngẫu nhiên hai thẻ rồi nhân
hai số ghi trên thẻ với nhau. Tính xác
suất để kết quả nhận được là một số
chẵn.
Gọi A là biến cố: “ Rút được một thẻ chẵn và một thẻ lẻ”,
B là biến cố: “Cả hai thẻ được rút ra là thẻ chẵn”. Khi đó
biến cố C: “ Tích hai số ghi trên thẻ là một số chẵn” là:
C A B
.
Do hai biến cố A và B xung khắc, nên
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018
24
Chuyên đề 2. Tổ hợp – Xác suất – Niu-tơn : 01655334679 – 0916620899
( ) ( ) ( ) ( )P C P A B P A P B
. Vì có 4 thẻ chẵn và 5
thẻ lẻ nên ta có:
1 1
2
5 4
4
2 2
9 9
20 6
( ) ; ( )
36 36
C C
C
P A P B
C C
.
Vậy
20 6 13
( ) ( )
36 36 18
P C P A B
8 Xác suất bắn trúng mục tiêu của một
vận động viên khi bắn một viên đạn là
0,6. Người đó bắn hai viên đạn một
cách độc lập. Tìm xác suất để một
viên đạn trúng mục tiêu và một viên
đạn trượt mục tiêu ?
Gọi A là biến cố: “ Viên đạn đầu trúng mục tiêu”, B là
biến cố: “ Viên đạn thứ hai trúng mục tiêu”, C là biến cố:
“ Một viên đạn trúng mục tiêu và một viên đạn trượt mục
tiêu”.
Khi đó ta có:
C AB AB
và hai viên đạn bắn độc lập
nhau.
Vậy :
P C P AB AB P A P B P B P A( ) ( ) ( ). ( ) ( ). ( )
0,6.0,4 0,4.0,6 0,48
9 Ba người đi săn A, B, C độc lập với
nhau cùng nổ súng vào mục tiêu. Biết
rằng xác suất bắn trúng mục tiêu của
A, B, C tương ứng là: 0,7; 0,6; 0,5.
a) Tính xác suất để xạ thủ A bắn trúng
còn hai xạ thủ kia bắn trượt.
b) Tính xác suất để có ít nhất một xạ
thủ bắn trúng
a) Gọi H là biến cố: “Xạ thủ A bắn trúng còn hai xạ thủ
kia bắn trượt”. Ta có
( ) ( ) ( ) ( ) (0,7)(0,4)(0,5) 0,14
P H P A P B P C
b) Gọi
K
là biến cố: “Không có xạ thủ nào bắn trúng”.
Ta có:
( ) ( ) ( ) ( ) (0,3)(0,4)(0,5) 0,06
P K P A P B P C
Vậy xác suất cần tìm là :
( ) 1 ( ) 0,94
P K P K
10 Gieo một con súc sắc cân đối ba lần.
Tính xác suất để có đúng hai lần xuất
hiện mặt 6 chấm.
Gọi A là biến cố “lần gieo thứ nhất xuất hiện mặt 6
chấm”, B là biến cố “ lần gieo thứ hai xuất hiện mặt 6
chấm”, C là biến cố “ lầm gieo thứ ba xuất hiện mặt 6
chấm”
H là biến có “ có đúng hai lần xuất hiện mặt 6 chấm”
Khi đó:
P H P A P B P C P A P B P C
( )
P A P B P C
Ta có:
1 5
( ) ( ) ( ) ;
6 6
P A P B P C P A P B P C
.
Vậy
15
( )
216
P H
11 Trong đợt ứng phó dịch MERS-CoV,
Sở Y tế thành phố đã chọn ngẫu nhiên
3 đội phòng chống dịch cơ động trong
5 đội của Trung tâm y tế dự phòng
thành phố và 20 đội của các Trung
tâm y tế cơ sở để kiểm tra công tác
chuẩn bị. Tính xác suất để ít nhất 2
đội của Trung tâm y tế cơ sở được
chọn.
Số phần tử của không gian mẫu
3
25
( ) 2300
n C
Gọi A là biến cố “ít nhất 2 đội của Trung tâm y tế cơ sở
được chọn”
Ta có số kết quả thuận lợi cho biến cố A là
3 1 3
20 5 20
( ) 2090
n A C C C
Vậy:
( ) 209
( )
( ) 230
n A
P A
n
12 Hai thí sinh A và B tham gia một buổi
thi vấn đáp. Cán bộ hỏi thi đưa cho
mỗi thí sinh một bộ câu hỏi thi gồm
10 câu hỏi khác nhau, được đựng
trong 10 phong bì dán kín, có hình
thức giống hệt nhau, mỗi bì đựng 1
câu hỏi; thí sinh chọn 3 phong bì trong
số đó để xác định câu hỏi thi của
Số phần tử của không gian mẫu
2
3
10
( ) 14400
n C
Gọi A là biến cố “3 câu hỏi A và 3 câu hỏi B chọn là
giống nhau”
Ta có số kết quả thuận lợi cho biến cố A là
3
10
( ) .1 120
n A C
(vì với mỗi cách chọn 3 câu hỏi của A,
B chỉ có duy nhất cách chọn 3 câu hỏi giống như A)
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018
25
Chuyên đề 2. Tổ hợp – Xác suất – Niu-tơn : 01655334679 – 0916620899
mình. Biết rằng bộ 10 câu hỏi thi dành
cho các thí sinh là như nhau, tính xác
suất để 3 câu hỏi A và 3 câu hỏi B
chọn là giống nhau.
Vậy:
( ) 120 1
( )
( ) 14400 120
n A
P A
n
13 Trong kì thi THPT Quốc Gia năm
2015 có 4 môn thi trắc nghiệm và 4
môn thi tự luận. Một giáo viên được
bốc thăm ngẫu nhiên để phụ trách coi
thi 5 môn. Tính xác suất để giáo viên
đó phụ trách coi thi ít nhất 2 môn trắc
nghiệm.
Số phần tử của không gian mẫu
5
8
( ) 56
n C
Gọi A là biến cố “Giáo viên đó phụ trách coi thi ít nhất 2
môn trắc nghiệm”
Ta có số kết quả thuận lợi cho biến cố A là
2 3 3 2 4 1
4 4 4 4 4 4
( ) . . . 52
n A C C C C C C
Vậy:
( ) 52 13
( )
( ) 56 14
n A
P A
n
14
Cho một đa giác đều n đỉnh,
n
và
3
n
. Tìm n biết rằng đa giác đã cho
có 27 đường chéo.
Số đường chéo của đa giác giác đều n đỉnh là
2
3
2
n
n n
C n
. Theo giả thiết, ta có:
9
3
27
6
2
n
n n
n
. Vậy
9
n
15 Có bao nhiêu tam giác mà các đỉnh
của chúng là các đỉnh của thập giác?
Mỗi tam giác được tạo bởi một tập hợp 3 đỉnh của thập
giác và ngược lại. Như vậy, số tam giác bằng số các tổ
hợp chập 3 của 10 đỉnh, tức là bằng :
3
10
120
C
16 Một tổ có 7 nam sinh và 4 nữ sinh.
Giáo viên cần chọn 3 học sinh xếp bàn
ghế của lớp, trong đó có ít nhất 1 nam
sinh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ?
Số cách chọn 3 học sinh xếp bàn ghế của lớp, trong đó có
ít nhất 1 nam sinh là:
2 1 1 2 3
4 7 4 7 7
. . 161
C C C C C
( cách)
17 Trên một mặt phẳng, 9 đường thẳng
song song cắt 10 đường thẳng song
song khác thì tạo nên bao nhiêu hình
bình hành trên mặt phẳng đó ?
Gọi A và B lần lượt là tập hợp 9 đường thẳng song song
với nhau và 10 đường thẳng song song cắt 9 đường thẳng
đã cho. Mỗi hình bình hành được tạo bởi hai đường thẳng
của tập A và hai đường thẳng của tập B. Vậy số hình bình
hành cần tìm là:
2 2
9 10
. 36.46 1620
C C
(hình)
18 Có bao nhiêu tam giác mà các đỉnh
của chúng thuộc tập hợp gồm 10 điểm
nằm trên đường tròn?
Cứ ba điểm dựng được một tam giác. Vậy có thể dựng
được
3
10
10!
120
3!(10 3)!
C
tam giác
19 Trong mặt phẳng có 6 đường thẳng
song song với nhau và 8 đường thẳng
khác cũng song song với nhau đồng
thời cắt 6 đường thẳng đã cho. Hỏi có
bao nhiêu hình bình hành được tạo
nên bởi 14 đường thẳng đã cho ?
Gọi A và B lần lượt là tập hợp 6 đường thẳng song song
với nhau và 8 đường thẳng song song cắt 6 đường thẳng
đã cho. Mỗi hình bình hành được tạo bởi hai đường thẳng
của tập A và hai đường thẳng của tập B. Vậy số hình bình
hành cần tìm là:
2 2
6 8
. 15.28 420
C C
(hình)
20 Cho một đa giác lồi có 15 cạnh. Hỏi
có bao nhiêu vectơ khác vectơ
O
với
điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của
đa giác ?
Đa giác lồi có 15 cạnh nên có 15 đỉnh , hai đỉnh thì luôn
phân biệt nhau và cứ 3 đỉnh thì không thẳng hàng. Do đó
ta lấy 2 điểm tuỳ ý trong 15 điểm thì số vectơ lập được là
một chỉnh hợp chập 2 của 15 phần tử. Vậy số vectơ là:
2
15
15!
15.14 210
(15 2)!
A
(vectơ)
21 Trong một vòng loại Olympic, trên
tám đường bơi, 8 vận động viên
không cùng một lúc về đích. Hỏi có
bao nhiêu cách sắp xếp hạng xảy ra ?
Tất cả 8 vận động viên đều về đích nhưng không cùng
một lúc( không ai đến đích cùng với một người khác) trên
8 đường bơi, thì cách sắp xếp hạng 8 vận động viên là
một hoán vị của 8 phần tử khi sắp xếp vào 8 vị trí ( thứ
hạng) phân biệt, không lặp.
Nên ta có: P
8
= 8! = 40320 kết quả.
22 Tính tổng S của tất cả các số gồm 4
chữ số khác nhau và số đã lập được từ
Phép hoán vị trên nền B cho ta thành lập các số gồm bốn
số khác nhau là: P
4
= 4! = 24 số
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018
26
Chuyên đề 2. Tổ hợp – Xác suất – Niu-tơn : 01655334679 – 0916620899
nền
1;2;3;4
B
bằng phép hoán vị ?
Để ý rằng, tất cả các số đều viết dưới dạng cặp đôi như
sau:
1234 1243 1423 1432 4123 2341 3241
; ; ; ; ; ; ;
4321 4312 4132 4123 1432 3214 2314
3421 3124 2413 4213 4231
; ; ; ;
2134 2431 3142 1342 1324
có tổng tất cả 24 số,
sắp xếp như trên từng cặp trong 12 cặp có tổng là 5555.
Vậy tổng S = 12.5555 = 66660.
23 Chứng minh rằng trên tập
1;2;3;4;5;6;7
B
có thể lập thành
được các số gồm bảy chữ số khác
nhau mà tổng của chúng thì chia hết
cho 720
Phép hoán vị P
7
= 7! = 5040, cho ta số các số gồm 7 chữ
số khác nhau thành lập được từ B. Để ý rằng trong 5040
số tìm được, ta luôn viết được:
5040
2520
2
cặp số có
tổng là 8 888 888
Như
1234567 2134567 3124567
; ; ;....
7654321 6754321 5764321
Nên tổng S của
chúng là: S = 2520.8888888
Mà 720 = 90.8 và
2520:90 28
8888888:8 1111111
.Vậy S chia
hết cho 720 (thoả ycbt)
24 Có bao nhiêu số gồm 7 chữ số khác
nhau đôi một được lập bằng cách
dùng bảy chữ số 1;2;3;4;5;7;9 sao cho
2 chữ số chẵn không nằm liền nhau ?
Các số có 7 chữ số lấy từ tập
1;2;3;4;5;7;9
B
là một
hoán vị của 7 phần tử.
Vậy số cần tìm là: P
7
= 7! (số).
Các số có 7 chữ số mà 2 chữ số chẵn 2; 4 đứng kề nhau
là: 2!.6! (số).
Vậy số thoả ycbt: 7! – 2!.6! = 3600(số)
25 Một câu lạc bộ Toán học lúc thành lập
có 14 thành viên, cần bầu chọn ra một
thành viên làm giám đốc CLB, một
thành viên làm phó giám đốc CLB và
một thành viên làm kế toán trưởng
CLB. Hỏi có bao nhiêu cách chọn để
bầu mà không có ai kiêm nhiệm ?
Khi bầu chọn 3 thành viên trong 14 thành viên ra làm
giám đốc, phó giàm đốc và kế toán trưởng (k < n) thì thứ
tự cần đảm bảo.
Nên cách số cách chọn để bầu người không kiêm nhiệm
là:
3
14
14!
2184
(14 3)!
A
(cách)
26 Có 5 nhà Toán học nam, 3 nhà Toán
học nữ và 4 nhà Vật lý nam. Lập một
đoàn công tác 3 người cần có cả nam
và nữ. Cần có cả nhà Toán học và nhà
Vật lý. Hỏi có bao nhiêu cách lập ?
Để ý giả thiết yều cầu có cả nam và nữ, có cả nhà Toán
học và nhà Vật lý. Nên trong đoàn công tác cần phải có 1
nhà Vật lý luôn là Nam và 1 nhà Toán học nữ. Lúc đó
người thứ ba có thể là: nhà Toán học nam hoặc nhà Vật
lý nam hoặc nhà toán học nữ.
Vậy có:
1 1 1 2 1 1 2
5 3 4 3 4 3 4
. . . . 90
C C C C C C C
cách chọn thoả
ycbt.
27 Có bao nhiêu đường chéo của thập
giác ?
Từ 10 đỉnh của thập giác có thể kẻ được
2
10
45
C
đoạn
thẳng trong đó có 10 cạnh của thập giác.
Vậy ta có: 45 – 10 = 35 (đường chéo)
28 Đội thanh niên xung kích của một
trường phổ thông có 12 học sinh, gồm
5 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp B và
3 học sinh lớp C. Cần chọn bốn học
sinh đi làm nhiệm vụ, sao cho 4 học
sinh này thuộc không quá 2 trong 3
lớp trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn
như vậy ?
Số cách chọn 4 học sinh từ 12 học sinh đã cho là
4
12
495
C
Số cách chọn 4 học sinh mà mỗi lớp có ít nhất một em
được tính như sau:
- Lớp A có 2 học sinh, các lớp B, C có 1 học sinh. Số
cách chọn:
2 1 1
5 4 3
. . 120
C C C
- Lớp B có 2 học sinh, các lớp C, A có 1 học sinh. Số
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018
27
Chuyên đề 2. Tổ hợp – Xác suất – Niu-tơn : 01655334679 – 0916620899
cách chọn:
1 2 1
5 4 3
. . 90
C C C
- Lớp C có 2 học sinh, các lớp B, A có 1 học sinh. Số
cách chọn:
1 1 2
5 4 3
. . 60
C C C
Số cách chọn học sinh mà mỗi lớp có ít nhất một học sinh
là: 120 + 90 + 60 = 270
Vậy số cách chọn cần tìm là: 495 – 270 = 225.
29 Cho n số nguyên dương thỏa mãn
1 3
5
n
n n
C C
. Tìm số hạng chứa
5
x
trong khai triển nhị thức Niu-tơn
2
1
, 0
14
n
nx
x
x
Ta có:
1 3
( 1)( 2)
5 5 7
6
n
n n
n n n
C C n n
(vì n
nguyên dương)
Khi đó:
7
2 2
1 1
14 14
n
nx nx
x x
7
2
7 7
14 3
7
7
7
0 0
( 1)
1
2 2
k
k
k k
k k
k
k k
C
x
C x
x
Số hạng chứa
5
x
tương ứng với
14 3 5 3
k k
Vậy số hạng cần tìm là
3 3
5 5
7
4
( 1)
35
2 16
C
x x
30
Tìm
n
là số nguyên dương thoả mãn
bất phương trình:
3 2
2 9
n
n n
A C n
Bất phương trình
3 2
2 9
n
n n
A C n
, có điều kiện
3,n n
(*)
3 2
2
! 2. !
2 9 9
( 3)! ( 2)!2!
( 1)( 2) ( 1) 9
2 8 0 2 4
n
n n
n n
A C n n
n n
n n n n n n
n n n
Từ (*), suy ra
3, 4
n n
31
Tìm số tự nhiên
n
thoả mãn:
2 2 2 3 3 3
2 100
n n
n n n n n n
C C C C C C
Điều kiện
3
n
và
n
. Ta có
2 2 2 3 3 3
2 2 2
2 2 3 3 2 3
2 100
2 100 100
n n
n n n n n n
n n n n n n
C C C C C C
C C C C C C
2 3
( 1) ( 1)( 2)
10 10
2 6
( 1) ( 1) 3.4.5 4
n n
n n n n n
C C
n n n n
Vậy
4
n
32
Tìm số nguyên dương
:n
0 1 2
2 4 ... 2 243
n n
n n n n
C C C C
Từ khai triển:
0 1 2 2
1 ...
n
n n
n n n n
x C C x C x C x
.Ta
chọn
2
x
ta được
0 1 2
1 2 3 2 4 ... 2
n
n n n
n n n n
C C C C
. Do đó
0 1 2 5
2 4 ... 2 243 3 3 5
n n n
n n n n
C C C C n
Vậy
5
n
33 Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 có thể
lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi
số gồm 6 chữ số khác nhau và tổng
các chữ số hàng chục, hàng trăm,
hàng nghìn bằng 8.
Gọi số cần tìm có dạng:
1 2 3 4 5 6
; ; ; , 1,6;
i j
a a a a a a a a i j i j
1, 2,3,4,5,6,7,8,9
i
a B
Theo đề bài, ta có
3 4 5
8
a a a
, suy ra
3 4 5 3 4 5
, , 1, 2,5 , , 1,3,4
a a a hay a a a
Trường hợp:
3 4 5
, , 1,2,5
a a a
Số cách chọn
3 4 5
, ,a a a
có
3! 6
cách chọn
Số cách chọn
1 2 6
, ,a a a
có
3
6
A
cách chọn
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018
28
Chuyên đề 2. Tổ hợp – Xác suất – Niu-tơn : 01655334679 – 0916620899
Vậy có
3
6
6. 720
A
(số)
Trường hợp:
3 4 5
, , 1,3, 4
a a a
, thực hiện giải tương tự,
ta có 720 (số)
Vậy có 720 + 720 = 1440 số cần tìm.
34 Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6 có thể lập
được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số có
6 chữ số và thoả mãn điểu kiện: Sáu
chữ số là khác nhau và trong mỗi số
đó tổng của ba chữ số đầu nhỏ hơn
tổng của ba chữ số cuối một đơn vị ?
Gọi số cần tìm có dạng:
1 2 3 4 5 6
; ; ; , 1,6; 1,2,3,4,5,6
i j i
a a a a a a a a i j i j a B
Điều kiện:
1 2 3 4 5 6
1
a a a a a a
. Vì 1 + 2 + 3 + 4
+ 5 + 6 = 21
Vậy suy ra
1 2 3
10
a a a
hiển nhiên
4 5 6
11
a a a
Ta có các trường hợp sau xảy ra:
vaø Ta coù soá1,3,6 2,4,5 . :3!.3! 36
1,4,5 vaø 2,3,6 . Ta coù:3!.3!=36 soá
vaø Ta coù soá2,3,5 1,4,6 . :3!.3! 36
Theo quy tắc cộng ta có: 36 + 36 + 36 = 108 số cần tìm.
35 Trong không gian cho tập hợp gồm 9
điểm trong đó không có 4 điểm nào
đồng phẳng. Hỏi có thể lập được bao
nhiêu tứ diện với các đỉnh thuộc tập
hợp đã cho ?
Cứ 4 điểm không đồng phẳng cho ta được một tứ diện.
Vậy số tứ diện cần tìm
C
4
9
126
(tứ diện)
36 a) Giải bất phương trình
x x
C A
2 2
1
2 3 30
b) Giải phương trình
x x x
A A A
10 9 8
9
Điều kiện
x x, 2
Ta có
x x
C A x x x x
2 2
1
2 3 30 ( 1) 3 ( 1) 30
x x x
2
5
4 2 30 0 3
2
So với điều kiện, suy ra
x 2
Điều kiện
x x, 10
. Ta có
x x x
x x x
A A A
x x x
10 9 8
! ! !
9 9.
( 10)! ( 9)! ( 8)!
x x x( 9)( 8) 8 9
x
x x
x
2
11
16 55 0
5
So với điều kiện, suy ra
x 11
37 Đội tuyển học sinh giỏi của trường
gồm 18 em, trong đó có 7 học sinh
khối 12, 6 học sinh khối 11 và 5 học
sinh khối 10. Hỏi có bao nhiêu cách
cử 8 học sinh trong đội đi dự trại hè
sao cho mỗi khối có ít nhất một em
học sinh được chọn ?
Số cách chọn 8 học sinh từ 18 em của đội tuyển là
C
8
18
43758
cách
Trong 43758 cách chọn bất kì trên bao gồm:
Số cách chọn 8 học sinh từ khối 12 và 11 là
C
8
13
Số cách chọn 8 học sinh từ khối 12 và 10 là
C
8
12
Số cách chọn 8 học sinh từ khối 10 và 11 là
C
8
11
Vậy số cách chọn thoả yêu cầu bài toán là:
C C C C
8 8 8 8
18 13 12 11
41811
(cách chọn)
38 Cho tập A là một tập hợp có 20 phần
tử. Hỏi có bao nhiêu tập con của tập
A?
Số tập con của A không có phần tử nào là
C
0
20
Số tập con của A có một phần tử là
C
1
20
Số tập con của A có 2 phần tử là
C
2
20
………………………………………………….
Số tập con của A có 20 phần tử là
C
20
20
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018
29
Chuyên đề 2. Tổ hợp – Xác suất – Niu-tơn : 01655334679 – 0916620899
Suy ra, tổng số tập con của A là:
C C C C
0 1 2 20 20
20 20 20 20
... 2
39 Cho khai triển
n
n
n
x a a x a x a x
2
0 1 2
1 2 ...
Tìm số hạng thứ 5 trong khai triển đó,
biết rằng
n
a a a a
0 1 2
... 729
Ta có:
n
n n n
n n n n
x C C x C x C x
0 1 2 2 2
1 2 2 2 ... 2
Theo giả thiết, ta có:
n n
n n n n
C C C C
0 1 2 2
2 2 ... 2 729
n
n
(1 2) 729 6
Số hạng thứ 5 là:
T C x
5 4 4
5 6
2
40
Trong khai triển của
n
ax
1
ta có số
hạng đầu là 1, số hạng thứ hai là 24x,
số hạng thứ ba là 252x
2
. Hãy tìm a và
n.
Ta có:
n
n n
ax C ax C a x
1 2 2 2
1 1 ...
Theo đề bài cho:
n
n
na
C a
n n a
C a
1
2
1 2
24
24
( 1)
252
252
2
na a
n a n
24 3
( 1) 21 8
41
Tìm hệ số của số hạng chứa
x
10
trong
khai triển nhị thức Niu-tơn của
n
x
2
, biết:
n n n n n n
n n n
C C C
1 1 2 2
3 3 3
n n n n
n n
C C
3 3
3 ... ( 1) 2048
Ta có:
n n n n n n n n n n
n n n n n
C C C C C
1 1 2 2 3 3
3 3 3 3 ... ( 1)
n n
(3 1) 2
. Nên
n
n
2 2048 11
. Hệ số của x
10
trong khai triển nhị thức Niu-tơn
x
11
2
là
C
10 1
11
2 22
42 Cho đa giác đều có 2n cạnh A
1
A
2
. .
.A
2n
(
n 2
, n nguyên) nội tiếp trong
một đường tròn. Biết rằng số tam giác
có 3 đỉnh lấy trong 2n điểm
n
A A A
1 2 2
, ,...,
nhiều gấp 20 lần số hình
chữ nhật có 4 đỉnh lấy trong
n2
điểm
n
A A A
1 2 2
, ,...,
. Tìm
n
.
Số tam giác thoả mãn ycbt là
n
C
3
2
tam giác. Số đường
chéo qua tâm đường tròn là n, cứ hai đường chéo qua tâm
thì có 1 hình chữ nhật. Suy ra, có
n
C
2
hình chữ nhật
Từ đó ta có phương trình
n
C
3
2
= 20.
n
C
2
. Suy ra n = 8.
43
Tìm số hạng không chứa
x
trong khai
triển
x
x
18
3
3
1
.
Số hạng tổng quát trong khai triển là: (
k0 18
)
k
k n k k k k k k
k n
T C a b C x C x
x
3 18 54 6
1 18 18
3
1
( ) . .
Nếu
k
T
1
không chứ
x
( độc lập với x) thì ta có: 54 – 6k =
0, nhận k = 9. Vậy số hạng cần tìm là:
T C
9
10 18
44
Biết hệ số của
x
2
trong khai triển (1 +
3x)
n
là 90. Hãy tìm n ?
Số hạng thứ k + 1 trong khai triển nhị thức :
k k
k n
T C x
1
(3 )
.Vậy số hạng chứa x
2
là
n
T C x
2 2
3
9.
và
theo đề bài ta có:
n n
C C n
2 2
9 90 10 5
45
Tìm số hạng không chứa
x
trong
khai triển nhị thừc Niu-tơn của
x x
x
18
5
1
2 ,( 0)
Số hạng tổng quát trong khai triển Niu-tơn của
x
x
18
5
1
2
là
k
k
k
k k
k
T C x C x
x
6
18
18
15 18
5
1 18 18
5
1
2 . .2 .
. Số hạng
không chứa x ứng với k thảo mãn:
k
k
6
18 0 15
5
.
Vậy số hạng cần tìm là
T C
15 3
16 18
.2 6528
46 a) Tìm số hạng của khai triển nhị thức a) Số hạng thứ k + 1 của khai triển:
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018
30
Chuyên đề 2. Tổ hợp – Xác suất – Niu-tơn : 01655334679 – 0916620899
Niu-tơn sau:
9
3
3 2
là một số
nguyên
b) Tính
n
A
2
nếu biết số hạng thứ 6 của
khai triển
n
x
x
3
1
không phụ thuộc
vào x.
k
k
k k
k k
k
T C C k k
9
9
3
32
1 9 9
3 2 .3 .2 , ,0 9
Để
k
T
1
là số nguyên thì
k9
2
và
k
3
.
Suy ra
k
k
1,3,5,7,9
0,3,6,9
. Vậy: k = 3 và k = 9.
Với k = 3, số hạng cần tìm là
T C
3 3
4 9
.3 .2 4536
Với k = 9, số hạng cần tìm là
T C
9 0 3
10 9
.3 .2 8
b) Số hạng thứ 6 của khai triển là
n
n
n
T C x C x
x
5
20
5
5 5
3
3
6 9
1
.
. Vì
T
6
không phụ thuộc
vào x nên
n
n
20
0 20
3
. Vậy :
n
A A
2 2
20
380
47 Mỗi người sử dụng mạng máy tính
đều có mật khẩu. Giả sử mỗi mật khẩu
gồm 6 kí tư, mỗi kí tự hoặc là m cột
chữ số ( trong 10 chữ số từ 0 đến 9)
hoặc là một chữ cái ( trong bảng 26
chữ cái tiếng Anh) và mật khẩu phải
có ít nhất là một chữ số.
a) Có bao nhiêu dãy số gồm 6 kí tự ,
mỗi kí tự hoặc là một chữ cái( trong
bảng 26 chữ cái) hoặc là một chữ số (
trong 10 chữ số từ 0 đến 9)
b) Có bao nhiêu dãy gồm 6 kí tự nói ở
câu a) không phải là mật khẩu?
c) Có thể lập được bao nhiêu mật
khẩu?
a) Gọi dãy kí tự thoả ycbt là:
a a a a a a
1 2 3 4 5 6
. Vì mỗi kí tự
có 26 + 10 = 36 cách chọn nên chọn các kí tự
a a a
1 2 6
, ,...,
đều có 36 cách chọn. Vậy theo quy tắc nhân, ta có thể lập
được
6
36
dãy kí tự như vậy.
b) Dãy có 6 kí tự không phải là một mật khẩu nếu tất cả 6
kí tự đều là chữ cái. Tương tự như trên, mỗi kí tự có 26
cách chọn nên ta có: 26
6
cách chọn thoả ycbt.
c) Từ câu a), b) Số mật khẩu cần tìm là: 36
6
– 26
6
= 1 867
866 560 mật khẩu được lập
48
Tìm hệ số của
x
7
trong khai triển đa
thức
n
x
2
2 3
, trong đó n nguyên
dương thoả mãn:
n
n n n n
C C C C
1 3 5 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1
... 1024
Ta có
n n n
n n n n
x C C x C x C x
2 1 0 1 2 2 2 1 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1
(1 ) ...
Chọn
x 1
ta được:
n n n
n n n n
C C C C
2 1 2 1 0 1 2 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1
(1 1) 2 ...
(1)
Chọn
x 1
ta được:
n n
n n n n
C C C C
2 1 0 1 2 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1
(1 1) 0 ...
(2)
Lấy (1) – (2)
n n
n n n n
C C C C
2 1 1 3 5 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1
2 2 ...
Suy ra:
n
n
2 10
2 2 2 10
Ta có:
x
10
2 3
có số hạng khai triển tổng quát:
k
k k k
k
T C x
10
1 10
( 1) 2 3
Hệ số của
x
7
ứng với k = 7. Vậy hệ số của
x
7
là
49 Chọn ngẫu nhiên ba số từ tập
1,2,...,11
a) Tính xác suất để tổng ba số được
chọn là 12
b) Tính xác suất để tổng ba số được
chọn là số lẻ
Không gian mẫu
C
3
11
165
a) Gọi A là biến cố “tổng ba số được chọn là 12”. Khi đó,
các bộ (a, b, c) mà a + b + c = 12 và a < b < c là (1,2,9),
(1,3,8), (1,4,7), (1,5,6), (2,3,7), (2,4,6) và (3,4,5). Vậy
P A
7
( )
165
b) Gọi B là biến cố “tổng ba số được chọn là số lẻ”.
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018
31
Chuyên đề 2. Tổ hợp – Xác suất – Niu-tơn : 01655334679 – 0916620899
Tổng a + b + c lẻ khi và chỉ khi: Hoặc cả ba số đều lẻ
hoặc ba số có một số lẻ và hai số chẵn
Ta có
C
3
6
20
cách chọn số lẻ từ tập số lẻ
1,3,5,7,9,11
và có
C C
1 2
6 5
. 60
cách chọn một số lẻ và hai số chẵn.
Vậy
P B
20 60 16
( )
165 33
50 Một hộp đựng chín thẻ đánh số từ 1
đến 9. Rút ngẫu nhiên hai thẻ rồi nhân
hai số ghi trên thẻ với nhau. Tính xác
suất để kết quả nhận được là một số
chẵn.
Gọi A là biến cố: “ Rút được một thẻ chẵn và một thẻ lẻ”,
B là biến cố: “Cả hai thẻ được rút ra là thẻ chẵn”. Khi đó
biến cố C: “ Tích hai số ghi trên thẻ là một số chẵn” là:
C A B
.
Do hai biến cố A và B xung khắc, nên
P C P A B P A P B( ) ( ) ( ) ( )
.
Vì có 4 thẻ chẵn và 5 thẻ lẻ nên ta có:
C C
C
P A P B
C C
1 1
2
5 4
4
2 2
9 9
20 6
( ) ; ( )
36 36
. Vậy
P C P A B
20 6 13
( ) ( )
36 36 18
51 Khai triển biểu thức (1 – 2x)
n
ta được
đa thức có dạng:
n
n
a a x a x a x
2
0 1 2
...
Tìm hệ số của x
5
, biết
a a a
0 1 2
71
Số hạng thứ k + 1 trong khai triển (1 – 2x)
n
là:
T
k+1
=
k k k
n
C x( 2)
. Từ đó ta có: a
0
+ a
1
+ a
2
= 71
n n n
C C C
0 1 2
2 4
= 71
n N n
n n
n
, 2
( 1)
1 2 4 71
2
n N n
n n
2
, 2
2 35 0
n = 7.
52 Tìm số hạng không chứa x trong khai
triển nhị thức
n
x
x
2
3
1
, biết rằng:
n n
C C n
1 3
13
(n là số tự nhiên lớn
hơn 2, x là số thực khác 0)
Ta có:
n n
C C n
1 3
13
n n n
n n
( 1)( 2)
13
6
n n
2
3 70 0
n
n loaïi
10
7 ( )
Số hạng tổng quát của khai triển nhị thức là:
T
k+1
=
k k k k k
C x x C x
2 10 3 20 5
10 10
( ) ( )
T
k+1
không chứa x ứng với 20 – 5k = 0 k = 4
Vậy số hạng không chứa x là: T
5
=
C
4
10
= 210
53 Tìm số tự nhiên n sao cho:
n n n
C C C
4 5 6
1 1 1
Điều kiện: n
, n ≤ 4
n n n
C C C
4 5 6
1 1 1
n n n n n n!(4 )! !(5 )! !(6 )!
4! 5! 6!
n
2
– 17n + 30 = 0
n loaïi
n
15 ( )
2
. Vậy: n = 2
54 Giải phương trình
x x x x
x x x x
C C C C
1 2 2 3
2
2
(
k
n
C
là tổ
hợp chập k của n phần tử)
Điều kiện :
x
x
2 5
Ta có
x x x x x
x x x x x
C C C C C
1 1 2 2 3
2
x x x x x
x x x x x
C C C C C
1 2 3 2 3
1 1 2 2 2
x x(5 )! 2! 3
55
Tìm
k
sao cho
k k k
C C C
1 2
7 7 7
, ,
theo thứ
tự lập thành cấp số cộng
Điều kiện:
k k0 5,
Ta có:
k k k
C C C
1 2
7 7 7
, ,
theo thứ tự lập thành cấp số cộng
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018
32
Chuyên đề 2. Tổ hợp – Xác suất – Niu-tơn : 01655334679 – 0916620899
k k k
C C C
2 1
7 7 7
2
Giải phương trình, tìm được:
k k1, 4
56 Giải bất phương trình:
a)
n
A
n n
4
4
15
( 2)! ( 1)!
b)
x x
C A
2 2
1
2 3 20 0
a) Điều kiện:
n
n
1
. Ta có:
n
A
n n
4
4
15
( 2)! ( 1)!
n n n
n n n n
( 4)! 15 ( 4)( 3)
15
!( 2)! ( 1)!
n n n n n n
2
( 3)( 4) 15 8 12 0 2 6
So với điều kiện, ta có:
n n n3, 4, 5
b) Điều kiện: x
, x ≥ 2.
Bất phương trình
x x
x x
( 1)! !
2 3 20 0
2!( 1)! ( 2)!
x(x + 1) + 3x(x – 1) – 20 < 0
2x
2
– x – 10 < 0 – 2 < x <
5
2
Kết hợp điều kiện, vậy: x = 2.
57 Giải phương trình:
a)
x x x
C C C x x
1 2 3 2
6 6 9 14
b)
n n
n n n n
C C C C
0 1 2
2 4 ... 2
= 243
a) Điều kiện:
x
x
3
x x x
C C C x x
1 2 3 2
6 6 9 14
x x x x x x x x
2 3 2 2
3 3 3 2 9 14
x
x x x x
x
2
0
9 14 0 2
7
So với điều kiện, vậy phương trình có nghiệm:
x 7
b) Ta có: (x + 1)
n
=
n
k k
n
k
C x
0
. Cho x = 2 ta được:
3
n
=
n
k k
n
k
C
0
2
3
n
= 243 n = 5.
58
Tìm số tự nhiên
k
thỏa mãn hệ thức:
k k k
C C C
2 1
14 14 14
2
Ta có:
k k k
C C C
2 1
14 14 14
2
k k0 12,
k k k k k k
14! 14! 14!
2
!(14 )! ( 2)!(12 )! ( 1)!(13 )!
k k k k k k
1 1 2
(14 )(13 ) ( 1)( 2) ( 1)(13 )
k k k k k k( 1)( 2) (14 )(13 ) 2( 2)(14 )
k
k k
k
2
4
12 32 0
8
Vậy:
k k4, 8
59
Tìm hệ số của số hạng chứa
x
8
trong
khai triển nhị thức Niutơn của
n
x
x
5
3
1
, biết rằng:
n n
n n
C C n
1
4 3
7( 3)
( n là số nguyên
dương,
x 0
)
Ta có:
n n
n n
n n
C C n n
n n
1
4 3
( 4)! ( 3)!
7( 3) 7( 3)
( 1)!.3! !.3!
n loaïi
n n
n
3( )
( 3)(3 36) 0
12
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018
33
Chuyên đề 2. Tổ hợp – Xác suất – Niu-tơn : 01655334679 – 0916620899
Khi đó:
k
n
k
k
k
x x C x x
x x
12
12
5
12
5 5 3
2
12
3 3
0
1 1
Số hạng chứa
x
8
tương ứng với
k
k k
5(12 )
3 8 4
2
Vậy hệ số của
x
8
trong khai triển
x
x
12
5
3
1
là
C
12
4
495
60 Tìm số nguyên n lớn hơn 1 thỏa mãn
đẳng thức:
n n n n
P A P A
2 2
2 6 12
Ta có:
n n n n
P A P A n n
2 2
2 6 12 ( , 2)
n n
n n
n n
n
n
n n
n
n
n
n
n n
n n n
n n
2
6 ! !
2 ! ! 12
( 2)! ( 2)!
6 ! 0
!
(6 !) 2(6 !) 0
!
2 0
( 2)!
( 2)!
3
! 6 3
( 1) 2 0 2
2 0
Vậy:
n n2; 3
61 Một chiếc tàu của tập đoàn dầu khí
quốc gia Việt Nam khoan thăm dò dầu
khí trên thềm lục địa tỉnh Bình Thuận
có xác suất khoan trúng túi dầu là p.
Tìm p biết rằng trong hai lần khoan
độc lập, xác suất để chiếc tàu đó
khoan trúng túi dầu ít nhất một lần là
0,36
Gọi
i
A
là xác suất lần thứ i khoan trúng túi dầu (
1,2
i
),
( ) , ( ) 1
i i
P A p P A p
.
Gọi A là biến cố trong hai lần khoan độc lập, chiếc tàu
khoan trúng túi dầu ít nhất một lần.
Khi đó
1 2
.A A A
và
2
1 2
( ) 0,36 1 ( ) 1 ( ). ( ) 1 (1 )P A P A P A P A p
(vì
1 2
,A A
là hai biến cố độc lập)
Do đó
2
16 1
(1 )
25 5
p p
hoặc
9
5
p
(loại vì
0 1)
p
. Vậy
1
0,2
5
p
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018
34
Chuyên đề 2. Tổ hợp – Xác suất – Niu-tơn : 01655334679 – 0916620899
C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau và nằm trong khoảng (2000; 4000).
A. 1006. B. 1012. C. 1008. D. 1016.
Câu 2: Cho hai đường thẳng song song
1
d
và
2
.d
Trên
1
d
lấy 17 điểm phân biệt, trên
2
d
lấy 20 điểm
phân biệt. Tính số tam giác có các đỉnh là 3 điểm trong 37 điểm đã chọn trên
1
d
và
2
.d
A. 340. B. 2720. C. 3230. D. 5950.
Câu 3: Tìm số tự nhiên
n
thoả mãn:
2 2 2 3 3 3
2 100.
n n
n n n n n n
C C C C C C
A.
9.n
B.
4.n
C.
2.n
D.
6.n
Câu 4: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số, biết rằng hai số đúng kề nhau phải khác nhau ?
A. 90000. B. 81000. C. 27216. D. 59049.
Câu 5: Một lớp có 40 học sinh đăng kí chơi ít nhất một trong hai môn thể thao bóng đá và cầu lông.
Có 30 em đăng kí môn bóng đá, 25 em đăng kí môn cầu lông. Hỏi có bao nhiêu em đăng kí cả hai môn
thể thao ?
A. 10. B. 20. C. 5. D. 15.
Câu 6: Kết quả
( , )b c
của việc gieo con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần, trong đó
b
là số chấm
xuất hiện trong lần gieo đầu,
c
là số chấm xuất hiện trong lần gieo thứ hai, được thay vào phương
trình:
2
0
x bx c
. Tìm xác suất P để phương trình vô nghiệm.
A.
17
.
18
P
B.
1
.
18
P
C.
19
.
36
P
D.
17
.
36
P
Câu 7: Tìm giá trị của biểu thức
0 1 2 2009
2009 2009 2009 2009
... .
H C C C C
A.
0.H
B.
2009
2 .
H
C.
2.H
D.
2009.H
Câu 8: Tìm số nguyên dương
0 1 2
: 2 4 ... 2 243.
n n
n n n n
n C C C C
A.
9n
và
7.n
B.
4n
và
5.n
C.
7.n
D.
5.n
Câu 9: Một tổ học sinh có 5 nam và 5 nữ xếp thành một hàng dọc. Có bao nhiêu cách xếp sao cho
không có học sinh cùng giới tính đứng kề nhau ?
A. 10! – 5!. B. 2!.5!.5!. C. 10!. D. 5!.5!.
Câu 10: Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ gồm 4 chữ số khác nhau và lớn hơn 6000 ?
A. 1800. B. 1008. C. 24000. D. 3003.
Câu 11: Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ trong khoảng (2000; 3000) có thể tạo nên từ các chữ số
1,2,3,4,5,6 nếu các chữ số đó khác nhau.
A. 36. B. 120. C. 60. D. 108.
Câu 12: Cần phân công ba bạn từ một tổ có 10 bạn để trực nhật. Hỏi có bao nhiêu cách phân công
khác nhau ?
A. 360. B. 30. C. 120. D. 720.
Câu 13: Với bốn chữ số 1; 2; 3; 4 có thể lập được bao nhiêu số có các chữ số phân biệt ?
A. 32. B. 24. C. 16. D. 64.
Câu 14: Túi bên phải có 3 bi đỏ, 2 bi xanh; túi bên trái có 4 bi đỏ, 5 bi xanh. Lấy một bi từ mỗi túi
một cách ngẫu nhiên. Tìm xác suất P sao cho hai bi lấy ra cùng màu.
A.
23
.
45
P
B.
22
.
45
P
C.
12
.
45
P
D.
13
.
45
P
Câu 15: Giải bất phương trình sau:
4
4
2 1
15
.
n
n n
A
P P
A.
3, 4, 5.n n n
B.
3, 2, 5.n n n
C.
4, 5, 6.n n n
D.
2, 3, 4.n n n
Câu 16: Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà hai chữ số của nó đều chẵn ?
A. 16. B. 10. C. 20. D. 25.
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018
35
Chuyên đề 2. Tổ hợp – Xác suất – Niu-tơn : 01655334679 – 0916620899
Câu 17: Một túi đựng 4 quả cầu đỏ, 6 quả cầu xanh. Chọn ngẫu nhiên 4 quả cầu. Gọi P là xác suất
trong 4 quả đó có cả quả màu đỏ và màu xanh. Tìm P.
A.
9
210
P
B.
194
220
P
C.
97
105
P
D.
1
15
P
Câu 18: Có hai hòm đựng thẻ, mỗi hòm đựng 12 thẻ đánh số từ 1 đến 12. Từ mỗi hòm rút ngẫu nhiên
một thẻ. Tìm xác suất P để trong hai thẻ rút ra có ít nhất một thẻ đánh số 12.
A.
23
.
144
P
B.
11
.
12
P
C.
121
.
144
P
D.
1
.
144
P
Câu 19: Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ trong khoảng (2000; 3000) có thể tạo nên từ các chữ số
1,2,3,4,5,6 nếu các chữ số đó không nhất thiết khác nhau.
A. 72. B. 48. C. 36. D. 108.
Câu 20: Trong một vòng loại Olympic, trên tám đường bơi, 8 vận động viên không cùng một lúc về
đích. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp hạng xảy ra ?
A. 42030. B. 40230. C. 40320. D. 40312.
Câu 21: Tìm giá trị của biểu thức
1 2 2 3 3 2 1 2 1 2
2 2 2 2
1 10 10 10 ... 10 10 .
n n n
n n n n
F C C C C
A.
81 .
n
F
B.
2
81 .
n
F
C.
10 .
n
F
D.
2
10 .
n
F
Câu 22: Khai triển biểu thức
50
2 50
0 1 2 50
3 ... .x a a x a x a x
Tính tổng
0 1 2 50
... .S a a a a
A.
50
5 .
S
B.
50
2 .
S
C.
100
2 .
S
D.
50
3 .
S
Câu 23: Số 337211875 có bao nhiêu ước nguyên dương ?
A. 210. B. 120. C. 240. D. 140.
Câu 24: Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm ba chữ số phân biệt được chọn từ các chữ số 1; 2;
3; 4; 5; 6; 7. Hỏi bao nhiêu là số chẵn ?
A. 100. B. 60. C. 90. D. 120.
Câu 25: Giải phương trình
2
2 5 0
x nx
. Biết số nguyên dương n thỏa mãn
1
5
9.
n n
n
C C
A.
2 5.
x
B.
4.x
C.
4 21.
x
D.
4 2.
x
Câu 26: Trong một đa giác đều bảy cạnh, kẻ các đường chéo. Hỏi có bao nhiêu giao điểm của các
đường chéo, trừ các đỉnh ?
A. 28. B. 840. C. 27. D. 35.
Câu 27: Có 4 con đường từ A đến B, 2 con đường nối từ B đến C và 3 con đường nối từ C đến D . Có
bao nhiêu cách đi từ A đấn D mà qua B và C chỉ một lần ?
A. 12. B. 24. C. 42. D. 8.
Câu 28: Từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, có bao nhiêu cách chọn một số hoặc là số chẵn hoặc là số
nguyên tố ?
A. 7. B. 9. C. 3. D. 5.
Câu 29: An có 12 cuốn sách tham khảo khác nhau, trong đó có 6 cuốn sách toán, 4 cuốn sách vật lí và
2 cuốn sách hóa học. An muốn xếp chúng vào 3 ngăn A, B, C trên giá sách sao cho mỗi ngăn chứa
một loại sách. Hỏi An có bao nhiêu cách xếp?
A. 220. B. 1320. C. 207360. D. 34560.
Câu 30: Một đoàn đại biểu gồm 4 học sinh được chọn từ một tổ gồm 5 nam và 4 nữ. Hỏi có bao nhiêu
cách chọn sao cho trong đó có ít nhất một nam và ít nhất một nữ ?
A. 124. B. 3024. C. 120. D. 126.
Câu 31: Giả sử có khai triển
1
2
0 1 2
1 1 ...
n n
n
n
x x x a a x a x a x
. Biết
0 1 2
... 512
n
a a a a
. Hãy tất cả giá trị thực của n.
A.
10n
và
9.n
B.
100.n
C.
7.n
D.
10.n
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018
36
Chuyên đề 2. Tổ hợp – Xác suất – Niu-tơn : 01655334679 – 0916620899
Câu 32: Tìm hệ số của số hạng chứa
8
x
trong khai triển nhị thức Niu-tơn của
5
3
1
n
x
x
, biết rằng
1
4 3
7( 3).
n n
n n
C C n
A.
4 8
12
. .C x
B.
8 8
12
. .C x
C.
8 8
10
. .C x
D.
2 8
8
. .C x
Câu 33: Số 2025000 có bao nhiêu ước nguyên dương ?
A. 221. B. 210. C. 120. D. 240.
Câu 34: Hỏi có bao nhiêu số chẵn gồm 6 số khác nhau đôi một trong đó chữ số đầu tiên là chữ số lẻ ?
A. 24000. B. 42000. C. 40000. D. 48000.
Câu 35: Một tổ gồm có 8 nam và 6 nữ. Cần chọn một nhóm 5 người trong đó có 2 nữ. Hỏi có bao
nhiêu cách chọn ?
A. 120. B. 840. C. 2002. D. 240240.
Câu 36: Trên tập
1;2;3;4;5;6;7
B
có thể lập thành được bao số tự nhiên gồm bảy chữ số khác
nhau.
A.
5040.
B.
5400.
C.
4500.
D.
4050.
Câu 37: Từ các chữ số
0;1;2;3;4;5;6.
Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 3 chữ số được lập từ
các chữ số đã cho?
A.
144.
B.
168.
C.
150.
D.
196.
Câu 38: Tất cả các nghiệm của phương trình
4 5 6
1 1 1
x x x
C C C
thuộc khoảng nào ?
A.
0;4 .
B.
3;7 .
C.
;1 .

D.
2; .
Câu 39: Với các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 có thể lập được bao nhiêu số chẵn gồm 5 chữ số khác nhau ?
A. 1280. B. 1260. C. 4200. D. 2400.
Câu 40: Một tổ có 7 nam sinh và 4 nữ sinh. Giáo viên cần chọn 3 học sinh xếp bàn ghế của lớp, trong
đó có ít nhất 1 nam sinh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ?
A. 161. B. 165. C. 28. D. 990.
Câu 41: Trong đợt ứng phó dịch MERS-CoV, Sở Y tế thành phố đã chọn ngẫu nhiên 3 đội phòng
chống dịch cơ động trong 5 đội của Trung tâm y tế dự phòng thành phố và 20 đội của các Trung tâm y
tế cơ sở để kiểm tra công tác chuẩn bị. Tìm xác suất P để ít nhất 2 đội của Trung tâm y tế cơ sở được
chọn.
A.
1
.
115
P
B.
19
.
46
P
C.
209
.
230
P
D.
209
.
230
P
Câu 42: Giải bất phương trình
2 2
1
2 3 30.
x x
C A
A.
2.x
B.
5
3.
2
x
C.
0 3.x
D.
3.x
Câu 43: Trên tập
1;2;3;4;5;6;7
B
có thể lập thành được bao nhiêu số tự nhiên gồm bảy chữ số
khác nhau.
A. 5400. B. 5040. C. 4500. D. 4050.
Câu 44: Có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi cho 10 bạn, trong đó có An và Bình, vào 10 ghế kê thành
hàng ngang, sao cho Hai bạn An và Bình không ngồi cạnh nhau?
A. 2!.5!.5!. B. 8. 8!. C. 72. 8!. D. 10! – 8!.
Câu 45: Hỏi có bao nhiêu cách chọn một tập hợp 5 chữ cái từ bảng chữ cái Tiếng Anh ?
A. 120. B. 7893600. C. 65780. D. 56780.
Câu 46: Trong mặt phẳng có 6 đường thẳng song song với nhau và 8 đường thẳng khác cũng song
song với nhau đồng thời cắt 6 đường thẳng đã cho. Hỏi có bao nhiêu hình bình hành được tạo nên bởi
14 đường thẳng đã cho ?
A. 420. B. 320. C. 48. D. 96.
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018
37
Chuyên đề 2. Tổ hợp – Xác suất – Niu-tơn : 01655334679 – 0916620899
Câu 47: Cho một đa giác lồi có 15 cạnh. Hỏi có bao nhiêu vectơ khác vectơ
O
với điểm đầu và điểm
cuối là các đỉnh của đa giác ?
A. 105(vectơ). B. 210(vectơ). C. 225(vectơ). D. 30(vectơ).
Câu 48: Tìm số nguyên dương n thỏa mãn:
1 1 2
1 1
1 1 1
1.
n n
n n n
A C A
A.
3.n
B.
6.n
C.
9.n
D.
2.n
Câu 49: Gọi
k
T
là số hạng không chứa
x
trong khai triển
6
2
1
2 , 0
x x
x
. Tìm số hạng
.
k
T
A.
3
420.
T
B.
3
240.
T
C.
4
240.
T
D.
6
240.
T
Câu 50: Giải phương trình
2 2
2 6 12.
n n n n
P A P A
A.
3; 4.n n
B.
2; 4.n n
C.
4; 6.n n
D.
2; 3.n n
Câu 51: Từ một hộp chứa 6 quả cầu trắng và 4 qủa cầu đen, lấy ngẫu nhiên đồng thời 4 quả. Tính xác
suất P sao cho bốn quả cầu lấy ra cùng màu.
A.
8
.
105
P
B.
1
.
14
P
C.
1
.
210
P
D.
7
.
120
P
Câu 52: Một câu lạc bộ Toán học lúc thành lập có 14 thành viên, cần bầu chọn ra một thành viên làm
giám đốc CLB, một thành viên làm phó giám đốc CLB và một thành viên làm kế toán trưởng CLB.
Hỏi có bao nhiêu cách chọn để bầu mà không có ai kiêm nhiệm ?
A. 2184. B. 364. C. 42. D. 14!.
Câu 53: Trên một mặt phẳng, 9 đường thẳng song song cắt 10 đường thẳng song song khác thì tạo nên
bao nhiêu hình bình hành trên mặt phẳng đó ?
A. 1630. B. 1620. C. 90. D. 180.
Câu 54: Có 5 nhà Toán học nam, 3 nhà Toán học nữ và 4 nhà Vật lý nam. Lập một đoàn công tác 3
người cần có cả nam và nữ. Cần có cả nhà Toán học và nhà Vật lý. Hỏi có bao nhiêu cách lập ?
A. 90. B. 220. C. 1320. D. 32.
Câu 55: Gọi
k
T
là số hạng không chứa
x
trong khai triển của
18
3
3
1
, 0.
x x
x
Tìm số hạng
.
k
T
A.
10
48820.
T
B.
9
48620.
T
C.
11
43758.
T
D.
10
48620.
T
Câu 56: Một tập hợp có 100 phần tử. Hỏi nó có bao nhiêu tập con có nhiều hơn 2 phần tử ?
A.
100
2 5051.
B.
100
2 .
C.
5051.
D.
100
2 5051.
Câu 57: Có hai hộp chứa các quả cầu. Hộp thứ nhất chứa 6 quả cầu trắng, 4 quả cầu đen. Hộp thứ hai
chứa 4 quả cầu trắng, 6 quả cầu đen. Từ mỗi hộp lấy ngẫu nhiên một quả. Tìm xác suất P để lấy ra hai
quả khác màu.
A.
13
.
25
P
B.
12
.
25
P
C.
24
.
25
P
D.
3
.
5
P
Câu 58: Có bao nhiêu tập con của tập hợp gồm bốn điểm phân biệt ?
A. 18. B. 16. C. 4. D. 12.
Câu 59: Một tổ có 8 em nam và 2 em nữ. Người ta cần chọn ra 5 em trong tổ tham dự cuộc thi học
sinh thanh lịch của trường. Yêu cầu trong các em được chọn phải có ít nhất một em nữ. Hỏi có bao
nhiêu cách chọn?
A. 196. B. 192. C. 2. D. 252.
Câu 60: Có hai hộp chứa bi. Hộp thứ nhất chứa 4 viên bi xanh và 3 viên bi vàng; hộp thứ hai chứa 2
viên bi xanh và 1 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra 1 viên bi. Tính xác suất P để 2 viên bi được
hai viên bi xanh.
A.
26
.
21
P
B.
4
.
21
P
C.
8
.
21
P
D.
11
.
21
P
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018
38
Chuyên đề 2. Tổ hợp – Xác suất – Niu-tơn : 01655334679 – 0916620899
Câu 61: Một hộp chứa 12 thẻ, trong đó có 2 thẻ ghi số 1; 4 thẻ ghi số 5 và 6 thẻ ghi số 10. Chọn ngẫu
nhiên 6 thẻ. Tìm xác suất P để các số được chọn có tổng các số không nhỏ hơn 50.
A.
37
.
924
P
B.
127
.
924
P
C.
99
.
924
P
D.
132
.
924
P
Câu 62: Một hộp đựng 9 thẻ được đánh số từ 1, 2, 3, ..., 9. Rút ngẫu nhiên 5 thẻ . Tìm xác suất P để
các thẻ ghi số 1, 2, 3 được rút.
A.
1
.
21
P
B.
5
.
14
P
C.
7
.
42
P
D.
5
.
42
P
Câu 63: Gieo ba con súc sắc cân đối một cách độc lập. Tìm xác suất P để tổng số chấm trên mặt xuất
hiện của ba con súc sắc bằng 9.
A.
5
.
216
P
B.
5
.
216
P
C.
9
.
216
P
D.
25
.
216
P
Câu 64: Có 6 học sinh và 3 thầy giáo A, B, C sẽ ngồi trên một hàng ngang có 9 ghế. Hỏi có bao nhiêu
cách xếp chỗ cho 9 người đó sao cho mỗi thầy giáo ngồi giữa hai học sinh ?
A. 43200. B. 55012. C. 94536. D. 35684.
Câu 65: Tại một buổi lễ có 13 cặp vợ chồng tham dự. Mỗi ông bắt tay một lần với mọi người trừ vợ
mình. Các bà không ai bắt tay với nhau. Hỏi có bao nhiêu cái bắt tay ?
A. 185. B. 216. C. 78. D. 234.
Câu 66: Xác suất bắn trúng mục tiêu của một vận động viên khi bắn một viên đạn là 0,6. Người đó
bắn hai viên đạn một cách độc lập. Tìm xác suất P để một viên đạn trúng mục tiêu và một viên đạn
trượt mục tiêu.
A.
0,56.P
B.
0,48.P
C.
0,84.P
D.
0,98.P
Câu 67: Giải phương trình
2 2 2 2
1 2 3 4
2 2 149.
n n n n
C C C C
A.
4.n
B.
5n
và
9.n
C.
9.n
D.
5.n
Câu 68: Cho khai triển
2
0 1 2
1 2 ...
n
n
n
x a a x a x a x
. Biết rằng
0 1 2
... 729
n
a a a a
.
Tìm n.
A.
6.n
B.
7.n
C.
9.n
D.
5.n
Câu 69: Tính tổng S của tất cả các số gồm 4 chữ số khác nhau và số đã lập được từ nền
1;2;3;4
B
bằng phép hoán vị ?
A.
66660.S
B.
0.8888S
C.
7777 777.S
D.
5555 555.S
Câu 70: Trong khai triển của
8
1 2 .x
Tìm hệ số của
2
.x
A. 112. B. 212. C. 121. D. 122.
Câu 71: Gieo hai con súc sắc cân đối. Tìm xác suất P để hiệu số chấm trên mặt xuất hiện của hai con
súc sắc bằng 2.
A.
1
.
12
P
B.
1
.
9
P
C.
5
.
36
P
D.
2
.
9
P
Câu 72: Trong một vòng loại Olympic, trên tám đường bơi, 8 vận động viên không cùng một lúc về
đích. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp hạng xảy ra ?
A. 42300. B. 40320. C. 43020. D. 42000.
Câu 73: Từ một tổ gồm 7 học sinh nữ và 5 học sinh nam cần chọn ra 6 em trong đó số học sinh nữ
phải nhỏ hơn 4. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy ?
A. 108. B. 642. C. 246. D. 462.
Câu 74: Chọn ngẫu nhiên 6 số dương trong tập
1;2;3;...;10
và sắp xếp theo thứ tự tăng dần (từ thấp
lên cao). Tìm xác suất P để số 3 được chọn xếp ở vị trí thứ hai.
A.
1
.
6
P
B.
1
.
2
P
C.
1
.
3
P
D.
1
.
60
P
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018
39
Chuyên đề 2. Tổ hợp – Xác suất – Niu-tơn : 01655334679 – 0916620899
Câu 75: Ta xếp 5 quả cầu trắng khác nhau và 5 quả cầu đỏ khác nhau vào 10 vị trí theo một dãy, sao
cho quả cầu cùng màu không đứng cạnh nhau. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp như vậy ?
A. 156. B. 14000. C. 28800. D. 240.
Câu 76: Tìm tất cả các nghiệm của phương trình
10 9 8
9 .
x x x
A A A
A.
11.x
B.
11x
và
10.x
D,
5.x
C.
11x
và
5.x
Câu 77: Hai thí sinh A và B tham gia một buổi thi vấn đáp. Cán bộ hỏi thi đưa cho mỗi thí sinh một bộ
câu hỏi thi gồm 10 câu hỏi khác nhau, được đựng trong 10 phong bì dán kín, có hình thức giống hệt
nhau, mỗi bì đựng 1 câu hỏi; thí sinh chọn 3 phong bì trong số đó để xác định câu hỏi thi của mình.
Biết rằng bộ 10 câu hỏi thi dành cho các thí sinh là như nhau, tìm xác suất P để 3 câu hỏi A và 3 câu
hỏi B chọn là giống nhau.
A.
1.
P
B.
1
.
6
P
C.
1
.
120
P
D.
1
.
2
P
Câu 78: Có ba chiếc hộp A, B, C, mỗi hộp chứa ba chiếc thẻ được đánh số từ 1, 2, 3. Từ mỗi hộp rút
ngẫu nhiên một chiếc thẻ. Tìm xác suất P để tổng số ghi trên ba tấm thẻ bằng 6.
A.
7
.
27
P
B.
1
.
27
P
C.
6
.
27
P
D.
1
.
3
P
Câu 79: Một hộp đựng bốn viên bi xanh, ba viên bi đỏ và hai viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên hai viên
bi.
Tìm xác suất P để chọn được hai viên bi cùng màu.
A.
5
.
16
P
B.
5
.
18
P
C.
13
.
18
P
D.
5
.
9
P
Câu 80: Tính hệ số của
12 13
x y
trong khai triển
25
.x y
A.
12
13
.C
B.
13
25
2. .C
C.
13
25
.C
D.
12
25
.C
Câu 81: Giải phương trình
2 1
. 48.
x
x x
A C
A.
4.x
B.
5.x
C.
2.x
D.
1x
và
3.x
Câu 82: Một hộp đựng bốn viên bi xanh, ba viên bi đỏ và hai viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên hai viên
bi.
Tìm xác suất P để chọn được hai viên bi khác màu.
A.
13
.
18
P
B.
5
.
18
P
C.
9
.
13
P
D.
2
.
9
P
Câu 83: Có 5 bạn nam và 5 bạn nữ xếp ngổi ngẫu nhiên quanh bàn tròn. Tìm xác suất P để cho nam,
nữ ngồi xen kẽ nhau.
A.
2990
.
362990
P
B.
2880
.
482880
P
C.
2880
.
362880
P
D.
3880
.
363880
P
Câu 84: Một hộp đựng 9 thẻ được đánh số từ 1, 2, 3, ..., 9. Rút ngẫu nhiên 5 thẻ . Tìm xác suất P để
không thẻ nào trong ba thẻ các ghi số 1, 2, 3 được rút.
A.
7
.
25
P
B.
5
.
14
P
C.
5
.
9
P
D.
1
.
21
P
Câu 85: Tìm giá trị của biểu thức
0 1 2 2009 2009
2009 2009 2009 2009
... ( 1) .
K C C C C
A.
2009.K
B.
0.K
C.
2009
2 .
K
D.
2010.K
Câu 86: Hỏi từ các chữ số 0,1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có 6 chữ số
khác nhau và chữ số 2 và 3 đứng cạnh nhau ?
A. 192. B. 72. C. 24. D. 48.
Câu 87: Số 653672250 có bao nhiêu ước nguyên dương ?
A. 260. B. 360. C. 240. D. 144.
Câu 88: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau chia hết cho 10 ?
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018
40
Chuyên đề 2. Tổ hợp – Xác suất – Niu-tơn : 01655334679 – 0916620899
A. 2520. B. 5040. C. 3024. D. 80640.
Câu 89: Từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6, người ta lập tất cả các số gồm 4 chữ số đôi một khác nhau.
Chọn ngẫu nhiên một số trong các số lập được. Tìm xác suất P để số được chọn chia hết cho 3.
A.
2
.
3
P
B.
1
.
15
P
C.
1
.
360
P
D.
1
.
3
P
Câu 90: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 5 ?
A. 120. B. 925. C. 952. D. 20.
Câu 91: Cho đa giác đều có 2n cạnh A
1
A
2
. . .A
2n
(
2n
, n nguyên) nội tiếp trong một đường tròn.
Biết rằng số tam giác có 3 đỉnh lấy trong 2n điểm
1 2 2
, ,...,
n
A A A
nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có 4
đỉnh lấy trong
2n
điểm
1 2 2
, ,...,
n
A A A
. Tìm
n
.
A.
12.n
B.
4.n
C.
8.n
D.
6.n
Câu 92: Tìm số nguyên dương n thỏa mãn:
2 1
1 1 1
.
1
n n
n
A C
A.
12.n
B.
9.n
C.
7.n
D.
4.n
Câu 93: Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên bé hơn 1000. Tìm xác suất P để số đó chia hết cho 3.
A.
334
.
1000
P
B.
333
.
1000
P
C.
331
.
1000
P
D.
335
.
1000
P
Câu 94: Trong kì thi cuối năm lớp 11, xác suất để Bình đạt điểm giỏi môn toán là 0,92; môn văn là
0,88. Tìm xác suất P để Bình đạt điểm giỏi ít nhất một môn.
A. 0,8096. B. 0,0096. C. 0,9904. D. 0,5.
Câu 95: Cho tập A gồm n phần tử
4
n
. Biết rằng số tập con gồm 4 phần tử của A bằng 20 lần số
tập con gồm 2 phần tử của
.A
Tìm n.
A.
8.n
B.
18.n
C.
9.n
D.
20.n
Câu 96: Cho n số nguyên dương thỏa mãn
1 3
5
n
n n
C C
. Tìm tất cả các giá trị của n.
A.
4n
và
2.n
B.
5.n
C.
7n
và
9.n
D.
7.n
Câu 97: Tìm số nguyên dương n thỏa mãn:
2 2 2
1 2 3
2 3 45.
n n n
C C C
A.
2.n
B.
3.n
C.
4n
và
1.n
D.
3n
và
2.n
Câu 98: Tìm hệ số của x
5
trong khai triển
12
1 .
x
A. 972. B. 297. C. 729. D. 792.
Câu 99: Túi bên phải có 3 bi đỏ, 2 bi xanh; túi bên trái có 4 bi đỏ, 5 bi xanh. Lấy một bi từ mỗi túi
một cách ngẫu nhiên. Tìm xác suất P sao cho hai bi lấy ra khác màu.
A.
12
.
45
P
B.
22
.
45
P
C.
23
.
45
P
D.
13
.
45
P
Câu 100: Giải phương trình
2
8 0
x x n
. Biết số nguyên dương n thỏa mãn
3 3 3
1 2
2 466.
n n n
C C C
A.
5.x
B.
7.x
C.
4.x
D.
3.x
Câu 101: Biết hệ số của
2
x
trong khai triển
1 3
n
x
là 90. Hãy tìm n.
A.
5.n
B.
7.n
C.
9.n
D.
10.n
Câu 102: Giải bất phương trình
2
2 8 0
x x n
. Biết số nguyên dương n thỏa mãn
3 2
1
2 90 0.
n
n n
C A
A.
3 1.x
B.
2.x
C.
4.x
D.
3 2.x
Câu 103: Có hai hộp chứa bi. Hộp thứ nhất chứa 4 viên bi đỏ và 3 viên bi trắng, hộp thứ hai chứa 2
viên bi đỏ và 4 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra 1 viên bi. Tính xác suất P để 2 viên bi
được lấy ra cùng màu.
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018
41
Chuyên đề 2. Tổ hợp – Xác suất – Niu-tơn : 01655334679 – 0916620899
A.
10
.
21
P
B.
4
.
21
P
C.
2
.
7
P
D.
13
.
42
P
Câu 104: Tìm giá trị của biểu thức
17 0 16 1 2 15 2 3 14 3 17 17
17 17 17 17 17
3 4.3 4 .3 4 .3 ... 4 .J C C C C C
A.
7 .
n
J
B.
12 .
n
J
C.
1.J
D.
17.J
Câu 105: Tổ của An và Bình có 7 học sinh. Tìm số cách sắp xếp 7 học sinh ấy theo một hàng dọc mà
An đứng đầu hàng, Bình đứng cuối hàng.
A. 216. B. 240. C. 5040. D. 120.
Câu 106: Từ 7 chữ số 0;1;2;3;4;5;6 có thể lập được bao nhiêu số chẵn, mỗi số gồm 5 chữ số khác
nhau?
A. 2520. B. 1260. C. 5040. D. 21.
Câu 107: Tìm tất cả giá trị
n
là số nguyên dương thoả mãn bất phương trình:
3 2
2 9 .
n
n n
A C n
A.
3.n
B.
3, 4.n n
C.
3, 5.n n
D.
4.n
Câu 108: Có bao nhiêu số gồm 8 chữ số, trong đó có đúng hai chữ số 2 ?
A. 10 640 319. B. 9 920 232. C. 3 720 087. D. 13 640 319.
Câu 109: Tìm tất cả các nghiệm của phương trình
1 2 3 10
... 1023.
x x x x
x x x x
C C C C
A.
10.x
B.
11.x
C.
10x
và
9.x
D.
11x
và
8.x
Câu 110: Cho tập nền
1;2;4;5;7
B
. Có thể lập được từ B bao nhiêu số chẵn gồm 4 chữ số khác
nhau ?
A. 72. B. 48. C. 120. D. 60.
Câu 111: Gọi
k
T
là số hạng không chứa
x
trong khai triển
6
2
1
2 , 0
x x
x
. Tìm số hạng
.
k
T
A.
3
240.
T
B.
5
420.
T
C.
4
240.
T
D.
6
240.
T
Câu 112: Giải phương trình
1 2 20
2 1 2 1 2 1
... 2 1.
n
n n n
C C C
A.
10n
và
11.n
B.
11n
và
7.n
C.
10.n
D.
11.n
Câu 113: Từ một hộp chứa 16 thẻ đánh số từ 1 đến 16, chọn ngẫu nhiên 4 thẻ. Tính xác suất P để 4
thẻ được chọn đều đánh số chẵn.
A.
1
.
2
P
B.
25
.
26
P
C.
1.
P
D.
1
.
26
P
Câu 114: Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ gồm 6 chữ số khác nhau và nhỏ hơn 600.000 ?
A. 393600. B. 39360. C. 33960. D. 30360.
Câu 115: Một túi đựng 4 quả cầu đỏ, 6 quả cầu xanh. Chọn ngẫu nhiên 4 quả cầu. Tính xác suất P để
trong 4 quả đó có cả quả màu đỏ và màu xanh.
A.
14
.
210
P
B.
8
.
105
P
C.
194
.
210
P
D.
6
.
105
P
Câu 116: Có bao nhiêu cách xếp năm bạn học sinh
, , ,A B C D
và E vào một chiếc ghế dài đủ năm chỗ
ngồi sao cho hai bạn A và E ngồi ở hai đầu ghế ?
A. 9. B. 24. C. 12. D. 16.
Câu 117: Trong khai triển của
1
n
ax
ta có số hạng đầu là 1, số hạng thứ hai là 24x, số hạng thứ ba
là
2
252x
. Hãy tìm a và n .
A.
8
.
3
a
n
B.
3
.
8
a
n
C.
3
.
4
a
n
D.
2
.
8
a
n
Câu 118: Có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi cho 10 bạn, trong đó có An và Bình vào 10 ghế kê thành
hàng ngang, sao cho hai bạn An và Bình ngồi cạnh nhau ?
A. 10!. B. 2.10!. C. 9!. D. 18. 8!.
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018
42
Chuyên đề 2. Tổ hợp – Xác suất – Niu-tơn : 01655334679 – 0916620899
Câu 119: Số 6000 có bao nhiêu ước nguyên dương ?
A. 42. B. 32. C. 40. D. 24.
Câu 120: Tìm giá trị của biểu thức
0 2 1 3 2 2010 2009
2009 2009 2009 2009
3 3 3 ... 3 .
N C C C C
A.
2010
3 .
N
B.
2010
4 .
N
C.
2009
5 .
N
D.
2009
3.4 .
N
Câu 121: Trong không gian cho tập hợp gồm 9 điểm trong đó không có 4 điểm nào đồng phẳng. Hỏi
có thể lập được bao nhiêu tứ diện với các đỉnh thuộc tập hợp đã cho ?
A. 94. B. 126. C. 36. D. 3024.
Câu 122: Một đa giác lồi 20 cạnh có bao nhiêu đường chéo ?
A. 180. B. 170. C. 190. D. 380.
Câu 123: Hỏi có bao nhiêu số các số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau và chia hết cho 5 ?
A. 90000. B. 30. C. 17280. D. 180000.
Câu 124: Gieo một đồng tiền cân đối và đồng chất bốn lần. Tìm xác suất P để cả bốn lần xuất hiện
mặt sấp.
A.
2
.
16
P
B.
4
.
16
P
C.
6
.
16
P
D.
1
.
16
P
Câu 125: Cho khai triển
n
n
n
x a a x a x a x
2
0 1 2
1 2 ...
Tìm số hạng thứ 5 trong khai triển đó, biết rằng
0 1 2
... 729.
n
a a a a
A.
5 2 4
5 6
2 .T C x
B.
5 4 4
5 6
2 .T C x
C.
5 3 4
5 6
2 .T C x
D.
5 5 4
5 6
2 .T C x
Câu 126: Gọi
k
T
là số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức
2
3
1
, 0
n
x x
x
, biết rằng:
n n
C C n
1 3
13
(n là số tự nhiên lớn hơn 2, x là số thực khác 0). Tìm số hạng
.
k
T
A.
6
310.
T
B.
5
120.
T
C.
7
210.
T
D.
5
210.
T
Câu 127: Tìm giá trị của biểu thức
3 2 2 1 1 0
5 4 4 3 3 3
.H C C C C C C
A.
18.H
B.
9.H
C.
81.H
D.
210.H
Câu 128: Tính
n
A
2
nếu biết số hạng thứ 6 của khai triển
n
x
x
3
1
không phụ thuộc vào x.
A.
2
3003.
n
A
B.
2
480.
n
A
C.
2
420.
n
A
D.
2
380.
n
A
Câu 129: Số 31752000 có bao nhiêu ước nguyên dương ?
A. 128 B. 420 C. 240 D. 120
Câu 130: Cho n số nguyên dương thỏa mãn
1 3
5
n
n n
C C
. Tìm số hạng chứa
5
x
trong khai triển nhị
thức Niu-tơn
2
1
, 0.
14
n
nx
x
x
A.
5
35
.
16
x
B.
5
37
.
16
x
C.
5
35 .x
D.
5
35
.
14
x
Câu 131: Giả sử có bảy bông hoa màu khác nhau và ba lọ khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách cắm ba
bông hoa vào ba lọ đã cho ( mỗi lọ cắm một bông) ?
A. 21. B. 210. C. 105. D. 120.
Câu 132: Một tổ học sinh có 5 nam và 5 nữ xếp thành một hàng dọc. Có bao nhiêu cách xếp khác
nhau ?
A. 5!.5!. B. 2.5!. C. 9!. D. 10!.
Câu 133: Tim hệ số của
9
x
sau khi khai triển và rút gọn đa thức
9 10 14
1 1 ... 1 .
x x x
A. 3010. B. 2901. C. 3003. D. 3001.
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018
43
Chuyên đề 2. Tổ hợp – Xác suất – Niu-tơn : 01655334679 – 0916620899
Câu 134: Tìm hệ số
a
của số hạng chứa
4
x
trong khai triển
12
3
, 0.
3
x
x
x
A.
5
12
1
.
9
a C
B.
6
12
.a C
C.
3
12
1
.
729
a C
D.
4
12
1
.
81
a C
Câu 135: Cho số nguyên dương n thỏa mãn điều kiện
0 1 2
2 4 97
n n n
C C C
. Gọi
k
T
là số hạng chứa
2
x
trong khai triển theo công thức nhị thức Niu_tơn của biểu thức
2
2
( ) , 0
n
P x x x
x
. Tìm số
hạng
.
k
T
A.
2
2
121 .T x
B.
2
2
112 .T x
C.
2
3
211 .T x
D.
2
3
112 .T x
Câu 136: Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số phân biệt ?
A. 2700. B. 27216. C. 7216. D. 26216.
Câu 137: Trong đợt ứng phó dịch MERS-CoV, Sở Y tế thành phố đã chọn ngẫu nhiên 3 đội phòng
chống dịch cơ động trong 5 đội của Trung tâm y tế dự phòng thành phố và 20 đội của các Trung tâm y
tế cơ sở để kiểm tra công tác chuẩn bị. Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho có ít nhất 2 đội của Trung
tâm y tế cơ sở được chọn.
A. 2900. B. 9020. C. 2090. D. 2300.
Câu 138: Có bao nhiêu đường chéo của thập giác ?
A. 45. B. 10. C. 30. D. 35.
Câu 139: Học sinh A thiết kế bảng điều kiển điện tử mở cửa phòng học của lớp mình. Bảng gồm 10
nút, mỗi nút được ghi một số từ 0 đến 9 và không có hai nút nào được ghi cùng một số. Để mở cửa cần
nhấn liên tiếp 3 nút khác nhau sao cho 3 số trên 3 nút đó theo thứ tự đã nhấn tạo thành một dãy số tăng
và có tổng bằng 10. Học sinh B không biết quy tắc mở cửa trên, đã nhấn ngẫu nhiên liên tiếp 3 nút
khác nhau trên bảng điều kiển. Tìm xác suất P để B mở được cửa phòng học đó.
A.
2
.
45
P
B.
1
.
45
P
C.
1
.
90
P
D.
1
.
9
P
Câu 140: Trong khai triển của
17
3 2 .
x y
Tìm hệ số của
8 9
.x y
A.
8 9 9
17
2 3 .C
B.
9 8 8
17
2 3 .C
C.
8 9 8
17
2 3 .C
D.
9 9 8
17
2 3 .C
Câu 141: Từ một hộp chứa 6 quả cầu trắng và 4 qủa cầu đen, lấy ngẫu nhiên đồng thời 4 quả. Tính
xác suất sao cho có ít nhất một quả cầu trắng.
A.
209
.
210
P
B.
2
.
7
P
C.
1
.
105
P
D.
200
.
210
P
Câu 142: Để kiểm tra chất lượng sản phẩm từ một công ty sữa, người ta đã giử đến bộ phận kiểm
nghiệm 5 hộp sữa cam, 4 hộp sữa dâu và 3 hộp sữa nho. Bộ phận kiểm nghiệm chọn ngẫu nhiên 3 hộp
sữa để phân tích mẫu. Tính xác suất P để 3 hộp sữa được chọn có cả 3 loại.
A.
3
.
11
P
B.
3
.
5
P
C.
5
.
11
P
D.
1
.
5
P
Câu 143: Một hộp chứa 16 viên bi, với 7 viên bi trắng, 6 viên bi đen và 3 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên
10 viên bi. Tìm xác suất P để rút được 5 viên bi trắng, 3 viên bi đen và 2 viên bi đỏ.
A.
35
.
5040
P
B.
11
.
3003
P
C.
27
.
65
P
D.
45
.
286
P
Câu 144: Cho đa giác đều
n
đỉnh,
n
và
3n
. Tìm
n
biết rằng đa giác đã cho có 27 đường chéo.
A.
9.n
B.
10.n
C.
12.n
D.
7.n
Câu 145: Một hộp đựng 5 viên bi xanh, 4 viên bi đỏ và 3 viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên hai viên bi.
Tìm xác suất P để chọn được hai viên bi cùng màu.
A.
6
.
66
P
B.
12
.
66
P
C.
19
.
66
P
D.
47
.
66
P
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018
44
Chuyên đề 2. Tổ hợp – Xác suất – Niu-tơn : 01655334679 – 0916620899
Câu 146: Gieo hai con súc sắc cân đối. Tìm xác suất P để tích các số chấm trên hai con súc sắc là số
lẻ.
A.
7
.
36
P
B.
8
.
36
P
C.
6
.
36
P
D.
9
.
36
P
Câu 147: Một người đi du lịch mang 3 hộp thịt, 2 hộp quả và 3 hộp sữa. Do trời mưa nên các hộp bị
mất nhãn. Người đó chọn ngẫu nhiên 3 hộp. Tính xác suất P để trong đó có một hộp thịt, một hộp sữa
và một hộp quả.
A.
1
.
7
P
B.
9
.
28
P
C.
1
.
18
P
D.
1
.
3
P
Câu 148: Gieo hai con súc sắc cân đối một cách độc lập. Tìm xác suất P để tổng số chấm trên mặt
xuất hiện của hai con súc sắc bằng 8.
A.
5
.
36
P
B.
1
.
12
P
C.
2
.
21
P
D.
5
.
6
P
Câu 149: Số 360 có bao nhiêu ước nguyên dương ?
A. 36. B. 12. C. 24. D. 42.
Câu 150: Một hộp đựng 11 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 11. Chọn ngẫu nhiên 6 tấm thẻ. Tìm xác suất P
để tổng số ghi trên 6 tấm thẻ ấy là một số lẻ. (lưu ý: Tổng là số lẻ: hoặc là l lẻ và 5 chẵn hoặc là 3 lẻ
và 3 chẵn hoặc là 5 lẻ và 1 chẵn)
A.
118
.
231
P
B.
1
.
2
P
C.
115
.
231
P
D.
100
.
231
P
Câu 151: Gieo một con súc sắc cân đối ba lần. Tìm xác suất P để có đúng hai lần xuất hiện mặt 6
chấm.
A.
15
.
216
P
B.
1
.
216
P
C.
5
.
216
P
D.
5
.
6
P
Câu 152: Trong các số tự nhiên từ 100 đến 999 có bao nhiêu số mà các chữ số của nó tăng dần hoặc
giảm dần ?
A. 204. B. 168. C. 312. D. 120.
Câu 153: Một con súc sắc cân đối được gieo ba lần. Tìm xác suất P để tổng số chấm xuất hiện ở hai
lần gieo đầu bằng số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ ba.
A.
15
.
216
P
B.
10
.
216
P
C.
16
.
216
P
D.
12
.
216
P
Câu 154: Từ ba đỉnh của tam giác ABC có thể lập được bao nhiêu vectơ khác vectơ
O
.
A. 12(vectơ). B. 6(vectơ). C. 9(vectơ). D. 3(vectơ).
Câu 155: Một hộp đựng 9 thẻ được đánh số từ 1, 2, 3, ..., 9. Rút ngẫu nhiên 2 thẻ và nhân hai số ghi
trên hai thẻ với nhau. Tìm xác suất P để tích nhận được là số lẻ.
A.
5
.
18
P
B.
13
.
18
P
C.
1
.
6
P
D.
2
.
9
P
Câu 156: Có 4 con đường từ A đến B, 2 con đường nối từ B đến C và 3 con đường nối từ C đến
.D
Có
bao nhiêu cách đi từ A đến D rồi quay lại A ?
A. 192. B. 576. C. 675. D. 504.
Câu 157: Một hộp đựng 9 thẻ được đánh số từ 1, 2, 3, ..., 9. Rút ngẫu nhiên 5 thẻ . Tìm xác suất P để
có đúng một trong ba thẻ ghi số 1, 2, 3 được rút.
A.
4
.
21
P
B.
5
.
42
P
C.
5
.
14
P
D.
2
.
15
P
Câu 158: Tìm tất cả các nghiệm của phương trình
1 2 3 2
6 6 9 14 .
x x x
C C C x x
A.
7x
và
9.x
B.
7.x
C.
3x
và
8.x
D.
8.x
Câu 159: Gieo hai con súc sắc cân đối. Tìm xác suất P để tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con
súc sắc bằng 7.
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018
45
Chuyên đề 2. Tổ hợp – Xác suất – Niu-tơn : 01655334679 – 0916620899
A.
1
.
6
P
B.
1
.
2
P
C.
7
.
36
P
D.
2
.
9
P
Câu 160: Kết quả
( , )b c
của việc gieo con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần, trong đó
b
là số chấm
xuất hiện trong lần gieo đầu,
c
là số chấm xuất hiện trong lần gieo thứ hai, được thay vào phương
trình:
2
0
x bx c
. Tìm xác suất P để phương trình có nghiệm kép.
A.
17
.
18
P
B.
17
.
36
P
C.
19
.
36
P
D.
1
.
18
P
Câu 161: Số 80041500 có bao nhiêu ước nguyên dương ?
A. 342. B. 432. C. 243. D. 423.
Câu 162: Gieo ba con súc sắc cân đối. Tìm xác suất P để số chấm xuất hiện trên ba con của ba con
súc sắc nhu nhau.
A.
1
.
36
P
B.
1
.
216
P
C.
12
.
216
P
D.
3
.
216
P
Câu 163: Tìm hệ số của số hạng chứa
10
x
trong khai triển nhị thức Niu-tơn của
2
n
x
, biết:
1 1 2 2 3 3
3 3 3 3 ... ( 1) 2048.
n n n n n n n n n n
n n n n n
C C C C C
A. 24. B. 11. C. 23. D.
22.
Câu 164: Gieo một con súc sắc cân đối hai lần. Tìm xác suất P để ít nhất một lần xuất hiện mặt sáu
chấm.
A.
12
.
36
P
B.
11
.
36
P
C.
1
.
6
P
D.
2
.
9
P
Câu 165: Trong kì thi THPT Quốc Gia năm 2016 có 4 môn thi trắc nghiệm và 4 môn thi tự luận. Một
giáo viên được bốc thăm ngẫu nhiên để phụ trách coi thi 5 môn. Tìm xác suất P để giáo viên đó phụ
trách coi thi ít nhất 2 môn trắc nghiệm.
A.
2
.
5
P
B.
1
.
4
P
C.
2
.
7
P
D.
13
.
14
P
Câu 166: Một chiếc tàu của tập đoàn dầu khí quốc gia Việt Nam khoan thăm dò dầu khí trên thềm lục
địa tỉnh Bình Thuận có xác suất khoan trúng túi dầu là P. Tìm P biết rằng trong hai lần khoan độc lập,
xác suất để chiếc tàu đó khoan trúng túi dầu ít nhất một lần là 0,36.
A.
1
.
2
P
B.
5
.
9
P
C.
3
.
5
P
D.
1
.
5
P
Câu 167: Một nhóm học sinh có 7 em nam và 3 em nữ. Người ta cần chọn ra 5 em trong nhóm tham
gia đồng diễn thể dục. Trong 5 em được chọn, yêu cầu không có quá một em nữ. Hỏi có bao nhiêu
cách chọn ?
A. 231. B. 126. C. 105. D. 21.
Câu 168: Có 5 người đến buổi hòa nhạc. Tìm số cách xếp 5 người này vào một hàng có 5 ghế.
A. 125. B. 10. C. 120. D. 5.
Câu 169: Tìm số tự nhiên
n
thoả mãn:
2
2 2 1 3
1 2
. 4 .
n n n
C A A n
A.
9.n
B.
12.n
C.
16.n
D.
5.n
Câu 170: Từ một hộp chứa ba quả cầu trắng và hai quả cầu đen lấy ngẫu nhiên hai quả. Tìm xác suất
P để lấy được hai quả cầu trắng .
A.
6
.
30
P
B.
12
.
30
P
C.
10
.
30
P
D.
9
.
30
P
Câu 171: Trong một trò chơi điên tử, xác suất để An thắng một trân là 0,4 (không có hòa). Hỏi An
phải chơi tối thiểu bao nhiêu trân để xác suất An thắng ít nhất một trận trong loạt chơi đó lớn hơn
0,95?
A. 7 trận. B. 6 trận. C. 5 trận. D. 9 trận.
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018
46
Chuyên đề 2. Tổ hợp – Xác suất – Niu-tơn : 01655334679 – 0916620899
Câu 172: Có hai hộp chứa các quả cầu. Hộp thứ nhất chứa 6 quả cầu trắng, 4 quả cầu đen. Hộp thứ hai
chứa 4 quả cầu trắng, 6 quả cầu đen. Từ mỗi hộp lấy ngẫu nhiên một quả. Tìm xác suất P để lấy ra hai
quả cùng màu.
A.
12
.
25
P
B.
13
.
25
P
C.
24
.
25
P
D.
1.P
Câu 173: Cô giáo chia 4 quả táo, 3 quả cam và 2 quả chuối cho 9 cháu (mỗi cháu một quả). Hỏi có
bao nhiêu cách chia khác nhau ?
A. 1630. B. 1260. C. 9. D. 18.
Câu 174: Gieo hai con súc sắc cân đối một cách độc lập. Tìm xác suất P để tổng số chấm trên mặt
xuất hiện của hai con súc sắc bằng 8.
A.
5
.
6
P
B.
1
.
12
P
C.
2
.
21
P
D.
5
.
36
P
Câu 175: Một hộp đựng 5 viên bi xanh, 4 viên bi đỏ và 3 viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên hai viên bi.
Tìm xác suất P để chọn được hai viên bi khác màu.
A.
47
.
66
P
B.
19
.
66
P
C.
12
.
66
P
D.
6
.
66
P
Câu 176: Một bài trắc nghiệm khách quan có 10 câu hỏi. Mỗi câu hỏi có 4 phương án trả lời. Hỏi có
bao nhiêu phương án chọn trả lời ?
A. 40. B. 4. C.
10
4 .
D.
4
10 .
Câu 177: Có bao nhiêu cách xếp năm bạn học sinh
, , ,A B C D
và E vào một chiếc ghế dài đủ năm chỗ
ngồi sao cho bạn C ngồi chính giữa?
A. 42. B. 12. C. 24. D. 16.
Câu 178: Kết quả
( , )b c
của việc gieo con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần, trong đó
b
là số chấm
xuất hiện trong lần gieo đầu,
c
là số chấm xuất hiện trong lần gieo thứ hai, được thay vào phương
trình:
2
0
x bx c
. Tìm xác suất P để phương trình có nghiệm.
A.
19
.
36
P
B.
1
.
18
P
C.
17
.
36
P
D.
17
.
18
P
Câu 179: Cho đa giác đều n đỉnh (
, 3n n
). Tìm n biết rằng đa giác đã cho có 135 đường chéo.
A.
15.n
B.
18.n
C.
27.n
D.
21.n
Câu 180: Cho tập nền
0;1;2;3;4;5
B
. Có thể lập được bao nhiêu số chẵn, mỗi số gồm 5 chữ số
khác nhau ?
A. 120. B. 213. C. 30. D. 312.
Câu 181: Số 283618125 có bao nhiêu ước nguyên dương ?
A. 120. B. 220. C. 240. D. 420.
Câu 182: Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm ba chữ số phân biệt được chọn từ các chữ số 1;
2; 3; 4; 5; 6; 7. Chọn ngẫu nhiên một số từ S, tính xác suất P để số được chọn là số chẵn.
A.
2
.
7
P
B.
3
.
7
P
C.
1
.
3
P
D.
91
.
210
P
Câu 183: Một hộp đựng chín thẻ đánh số từ 1 đến 9. Tìm xác suất P để rút ngẫu nhiên hai thẻ rồi nhân
hai số ghi trên thẻ với nhau có kết quả nhận được là một số chẵn.
A.
5
.
9
P
B.
7
.
18
P
C.
13
.
18
P
D.
1
.
6
P
Câu 184: Tìm số tự nhiên
n
thoả mãn:
3 2 1 1
1 4
. .
n n
n n n n
C C C C
A.
2.n
B.
12.n
C.
11.n
D.
7.n
Câu 185: Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên bé hơn 1000. Tìm xác suất P để số đó chia hết cho 5.
A.
0,5.P
B.
0,4.P
C.
0,2.P
D.
0,7.P
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018
47
Chuyên đề 2. Tổ hợp – Xác suất – Niu-tơn : 01655334679 – 0916620899
Câu 186: Một tổ có 6 học sinh nam và 5 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5 học sinh trong
đó có 3 nam và 2 nữ?
A.
200.
B.
2400.
C.
462.
D.
30.
Câu 187: Một hộp đựng 5 quả cầu vàng, 4 quả cầu đỏ và 3 quả cầu xanh. Chọn ngẫu nhiên 4 quả cầu.
Tìm xác suất P chọn được 4 quả cầu cùng màu.
A.
2
.
165
P
B.
163
.
165
P
C.
8
.
35
P
D.
16
.
55
P
Câu 188: Một tổ gồm 6 học sinh nam và 4 học sinh nữ. Cần phân công ba bạn làm ban cán sự tổ trong
đó có một tổ trưởng, một tổ phó và một thủ quỹ sao cho thủ quỹ là nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân
công như vậy ?
A.
720.
B.
288.
C.
144.
D.
2160.
Câu 189: Cho tâp
1;2;3;4;5;6 .
X
Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau lấy từ tập X
mà tổng của 3 chữ số bằng 10.
A.
12.
B.
18.
C.
20.
D.
120.
Câu 190: Cho tập A là một tập hợp có 20 phần tử. Hỏi có bao nhiêu tập con của tập A ?
A.
20 1
2 .
B.
20
2 .
C.
20
20 .
D. 20.
Câu 191: Viết ngẫu nhiên một số gồm 5 chữ số đôi một khác nhau và 5 chữ số đó không có chữ số 0.
Tìm xác suất P để viết được ít nhất 2 chữ số là số chẵn.
A.
10
.
63
P
B.
1
.
6
P
C.
5
.
6
P
D.
1
.
126
P
Câu 192: Số 3969000 có bao nhiêu ước nguyên dương ?
A. 432. B. 40. C. 120. D. 240.
Câu 193: Tìm giá trị của biểu thức
0 1 2 2 2009 2009
2009 2009 2009 2009
2 2 ... 2 .
M C C C C
là
A.
2010.M
B.
2009.M
C.
3.M
D.
2009
3 .
M
Câu 194: Số 2389976875 có bao nhiêu ước nguyên dương ?
A. 420. B. 360. C. 120. D. 240.
Câu 195: Cho tâp
1;2;3;4;5 .
A
Có bao nhiêu số tự nhiên lấy từ tập A gồm 3 chữ số khác nhau
nằm trong khoảng
300;500 .
A.
120.
B.
48.
C.
24.
D.
96.
Câu 196: Lấy hai con bài từ cỗ bài tú lơ khơ 52 con. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ?
A. 450. B. 104. C. 1326. D. 2652.
Câu 197: Khai triển biểu thức
2
0 1 2
1 2 ... .
n
n
n
x a a x a x a x
Tìm
5
a
biết rằng
0 1 2
71.
a a a
A.
6 6
5 7
2 .a C
B.
4 4
5 7
2 .a C
C.
5 5
5 7
2 .a C
D.
5 4
5 7
2 .a C
Câu 198: Gọi
k
T
là số hạng không chứa
x
trong khai triển của
18
3
3
1
, 0.
x x
x
Tìm số hạng
.
k
T
A.
10
48620.
T
B.
12
48820.
T
C.
9
48620.
T
D.
11
43758.
T
Câu 199: Từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6, người ta lập tất cả các số gồm 4 chữ số đôi một khác nhau.
Chọn ngẫu nhiên một số trong các số lập được. Tìm xác suất P để số được chọn chia hết cho 3.
A.
1
.
360
P
B.
2
.
3
P
C.
1
.
15
P
D.
1
.
3
P
Câu 200: Một chi đoàn có 8 đoàn viên nam và 7 đoàn viên nữ. Chọn ngẫu nhiên 4 đoàn viên để lập
một đội thanh niên tình nguyện. Tính xác suất P để 4 đoàn viên được chọn có ít nhất một nữ.
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018
48
Chuyên đề 2. Tổ hợp – Xác suất – Niu-tơn : 01655334679 – 0916620899
A.
37
.
39
P
B.
2
.
39
P
C.
1
.
39
P
D.
38
.
39
P
Câu 201: Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số trong đó các chữ số cách đều số đứng chính giữa
thì giống nhau ?
A. 720. B. 1000. C. 920. D. 900.
Câu 202: Trong kì thi cuối năm lớp 11, xác suất để Bình đạt điểm giỏi môn toán là 0,92; môn văn là
0,88. Tìm xác suất P để Bình đạt điểm giỏi cả hai môn toán và văn.
A. 0,5. B. 0,9904. C. 0,0096. D. 0,8096.
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018
49
Chuyên đề 2. Tổ hợp – Xác suất – Niu-tơn : 01655334679 – 0916620899
C. ĐÁP ÁN
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
A
B
C
D
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
A
B
C
D
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
A
B
C
D
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
A
B
C
D
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
A
B
C
D
10
1
10
2
10
3
10
4
10
5
10
6
10
7
10
8
10
9
11
0
11
1
11
2
11
3
11
4
11
5
11
6
11
7
11
8
11
9
12
0
A
B
C
D
12
1
12
2
12
3
12
4
12
5
12
6
12
7
12
8
12
9
13
0
13
1
13
2
13
3
13
4
13
5
13
6
13
7
13
8
13
9
14
0
A
B
C
D
14
1
14
2
14
3
14
4
14
5
14
6
14
7
14
8
14
9
15
0
15
1
15
2
15
3
15
4
15
5
15
6
15
7
15
8
15
9
16
0
A
B
C
D
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018
50
Chuyên đề 2. Tổ hợp – Xác suất – Niu-tơn : 01655334679 – 0916620899
16
1
16
2
16
3
16
4
16
5
16
6
16
7
16
8
16
9
17
0
17
1
17
2
17
3
17
4
17
5
17
6
17
7
17
8
17
9
18
0
A
B
C
D
18
1
18
2
18
3
18
4
18
5
18
6
18
7
18
8
18
9
19
0
19
1
19
2
19
3
19
4
19
5
19
6
19
7
19
8
19
9
20
0
A
B
C
D
201
202
A
B
C
D
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018
51
Chuyên đề 3. Dãy số - CSC - CSN : 01655334679 – 0916620899
CHUYÊN ĐỀ 3
DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN
A. KIẾN THỨC CẦN NẮM
1. Phương pháp quy nạp toán học
Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi
n
*
bằng phương pháp quy nạp toán học, ta thực hiện các
bước sau:
B1. Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 1
B2. Giả thiết mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên bất kì n = k (
k 1
) (giả thiết quy nạp)
B3. Chứng minh mệnh đề cũng đúng với n = k + 1
2. Dãy số
a) Định nghĩa dãy số
- Một hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương
*
được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy
số). Kí hiệu:
u
n u n
*
:
( )
Đặt u(n) = u
n
và gọi là số hạng tổng quát của dãy số (u
n
).
Đôi khi người ta gọi nó là số hạng tổng quát của dãy số (u
n
).
- Mỗi hàm u xác định trên tập
M m m
*
1,2,3,..., ,
được gọi là một dãy số hữu hạn
b) Dãy số tăng, dãy số giảm
- Dãy số (u
n
) được gọi là dãy số tăng nếu u
n + 1
> u
n
, với mọi
n
*
- Dãy số (u
n
) được gọi là dãy số giảm nếu u
n + 1
< u
n
, với mọi
n
*
- Dãy số tăng và dãy số giảm được gọi chung là dãy số đơn điệu
Phương pháp khảo sát tính đơn điệu của dãy số
PP1: Xét hiệu H = u
n + 1
– u
n
- Nếu H > 0 với mọi
n
*
thì dãy số đã cho là dãy số tăng
- Nếu H < 0 với mọi
n
*
thì dãy số đã cho là dãy số giảm
PP2. Nếu u
n
> 0 với mọi
n
*
thì ta lập tỉ số
n
n
u
u
1
, rồi so sánh với 1
- Nếu
n
n
u
u
1
> 1 với mọi
n
*
thì dãy số đã cho là dãy số tăng
- Nếu
n
n
u
u
1
< 1 với mọi
n
*
thì dãy số đã cho là dãy số giảm
c) Dãy số bị chặn
- Dãy số (u
n
) được gọi là dãy bị chặn trên nếu
n
M u M n
*
: ,
- Dãy số (u
n
) được gọi là dãy bị chặn dưới nếu
n
m u m n
*
: ,
- Dãy số (u
n
) được gọi là dãy bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là:
n
M m m u M n
*
, : ,
3. Cấp số cộng, cấp số nhân
Cấp số cộng Cấp số nhân
Định nghĩa
u
n + 1
= u
n
+ d với
n
*
u
n + 1
= u
n
.q với
n
*
Số hạng tổng quát
u
n
= u
1
+ (n – 1)d, với
n 2
u
n
= u
1
.q
n - 1
, với
n 2
Tính chất
k k
k
u u
u k
1 1
, 2
2
k k k
k k k
u u u k
hay u u u
2
1 1
1 1
. , 2
.
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018
52
Chuyên đề 3. Dãy số - CSC - CSN : 01655334679 – 0916620899
Tổng n số hạng đầu
n
n
n u u
S n
*
1
( )
,
2
Hay
n
n n
S nu d
1
( 1)
2
n
n
u q
S q
q
1
(1 )
, 1
1
Trong thực hành Ba số a, b, c lập thành CSC
thì 2b = a + c hoặc
a b b c a c
1
( )
2
Ba số a, b, c lập thành CSN thì
b
2
= ac
B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Biết ba số x + 6y, 5x + 2y, 8x + y theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng; đồng thời, các số x – 1, y
+ 2, x – 3y theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân. Hãy tìm x và y.
A.
3; 2.x y
B.
6; 2.x y
C.
2; 5.x y
D.
6; 2.x y
Câu 2: Cho dãy số
( )
n
u
xác định bởi
1
150
u
và
1
3
n n
u u
với mọi
2.n
Tính tổng
S
của 100 số
hạng đầu tiên.
A.
59700.S
B.
150.S
C.
300.S
D.
29850.S
Câu 3: Biết rằng viết năm số hạng xen giữa hai số 25 và 1 ta được một cấp số cộng có bảy số hạng. Số
hạng
50
u
của cấp số này bằng bao nhiêu ?
A.
50
171.
u
B.
50
171.
u
C.
50
211.
u
D.
50
102.
u
Câu 4: Cho cấp số cộng
( )
n
u
. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A.
10 20
5 10
.
2
u u
u u
B.
10 30
20
.
.
2
u u
u
C.
90 210 150
2 .u u u
D.
10 30 20
. .u u u
Câu 5: Biết ba số khác nhau
, ,a b c
có tổng số là 30. Đọc theo thứ tự
, ,a b c
ta được một cấp số cộng;
đọc theo
, ,b a c
ta được cấp số nhân. Tìm công sai d và công bội q của hai cấp số đó.
A.
20, 2.d q
B.
20, 2.d q
C.
40, 3.d q
D.
30, 2.d q
Câu 6: Tìm các giá trị của tham số
m
để phương trình
x m x m
4 2 2
(3 5) ( 1) 0
có bốn nghiệm lập
thành cấp số cộng.
A.
5
1; .
9
m m
B.
5; 3.m m
C.
25
2; .
19
m m D.
25
5; .
19
m m
Câu 7: Tìm công sai d của số cộng
( )
n
u
, biết rằng
u u u
1 3 5
12
và
1 3 5
. . 80.
u u u
A.
5.d
B.
3.d
C.
3; 5.d d
D.
3; 2.d d
Câu 8: Biết rằng viết năm số xen giữa các số 1 và 729 theo thứ tự tăng dần ta được một cấp số nhân có
bảy số hạng. Tính tổng S các số hạng của cấp số này.
A.
1020.S
B.
547.S
C.
1093.S
D.
657.S
Câu 9: Tính tổng
2 4 6 .... 200.S
A.
10100.S
B.
12000.S
C.
10200.S
D.
11000.S
Câu 10: Tìm giá trị nào của tham số a để dãy số (u
n
), với
n
an
u
n
2
2
1
2 3
là dãy số tăng.
A.
1.a
B.
3
.
2
a
C.
2
.
3
a
D.
2
.
3
a
Câu 11: Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân
( )
n
u
, biết
3 6
5, 135.
u u
A.
3
5( 3) .
n
n
u
B.
3
3( 5) .
n
n
u
C.
3
5.3 .
n
n
u
D.
3
5( 3) .
n
n
u
Câu 12: Cho cấp số cộng (u
n
), biết
1 3 5
10
u u u
và
1 6
17
u u
. Tìm số hạng
1
u
và công sai d.
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018
53
Chuyên đề 3. Dãy số - CSC - CSN : 01655334679 – 0916620899
A.
1
16; 2.
u d
B.
1
9; 3.
u d
C.
1
16; 3.
u d
D.
1
1; 4.
u d
Câu 13: Cho dãy số
( )
n
u
với
3 .
n
n
u
Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A.
1 9
5
.
2
u u
u
B.
100
1 2 100
1
... .
2
u
u u u
C.
1 2 100 5050
... .
u u u u
D.
2 4
3
.
2
u u
u
Câu 14: Cho một cấp số cộng
( )
n
u
có
1
1
u
và tổng 100 số hạng đầu bằng
24850
. Tính
2 3 49 50
1 2
1 1 1
... .
S
u u u u
u u
A.
149.
S
B.
4
.
23
S
C.
49
.
246
S
D.
9
.
246
S
Câu 15: Tìm giá trị nào của tham số a để dãy số (u
n
), với
n
an
u
n
2
2
1
2 3
là dãy số giảm.
A.
2
.
3
a
B.
3.a
C.
3
.
2
a
D.
1.a
Câu 16: Trong các dãy số
( )
n
u
dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng ?
A.
1
1
1
.
2
n n
u
u u
B.
1
1
2
.
n n
u
u u n
C.
1
3
1
1
.
1
n n
u
u u
D.
1
1
3
.
2 1
n n
u
u u
Câu 17: Cho dãy số
( )
n
u
xác định bởi
1
1
u
và
1
2 .
n n
u n u
với mọi
2.n
Tính
11
.u
A.
10
11
2 .11!.
u
B.
10
11
2 .11!.
u
C.
10 10
11
2 .11 .
u
D.
10 10
11
2 .11 .
u
Câu 18: Xác định tham số m để phương trình
3 2
3 9 0
x x x m
có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp
số cộng.
A.
10.
m
B.
12.
m
C.
9.
m
D.
11.
m
Câu 19: Cho dãy số
( ),
n
u
biết công thức số hạng tổng quát dưới đây. Tìm dãy số giảm.
A.
1.
n
u n n
B.
2
1
.
n
n
u
n
C.
( 1) (2 1).
n n
n
u
D.
sin .
n
u n
Câu 20: Cho cấp số cộng
( )
n
u
, biết
1
123
u
và
3 15
84
u u
. Tìm số hạng
17
.u
A.
17
4.
u
B.
17
242.
u
C.
17
235.
u
D.
17
11.
u
Câu 21: Cấp số nhân
( )
n
u
, biết
1 5
51
u u
và
2 6
102
u u
. Tìm số hạng đầu tiên
1
u
và công bội q của
cấp số nhân.
A.
1
3; 2.
u q
B.
1
3; 2.
u q
C.
1
2; 3.
u q
D.
1
5; 3.
u q
Câu 22: Cho cấp số nhân
( )
n
u
, biết
2
2
u
và
5
54.
u
Tính tổng
1000
.
S
A.
1000
1000
3 1
.
2
S
B.
1000
1000
3 1
.
6
S
C.
1000
1000
1 3
.
4
S
D.
1000
1000
1 3
.
6
S
Câu 23: Cho dãy số
( ),
n
u
biết công thức số hạng tổng quát dưới đây. Tìm dãy số bị chặn.
A.
2 1.
n
n
u
B.
.
1
n
n
u
n
C.
1
.
n
u n
n
D.
2
1.
n
u n
Câu 24: Tìm giá trị nào của tham số a để dãy số (u
n
), với
n
na
u
n
2
1
là dãy số giảm.
A.
2.a
B.
2.a
C.
4.a
D.
2.a
Câu 25: Cho cấp số cộng (u
n
). Đặt
1 2
... .
n n
S u u u
Mệnh đề nào dưới đây sai ?
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018
54
Chuyên đề 3. Dãy số - CSC - CSN : 01655334679 – 0916620899
A.
1
[2 ( 1) ]
.
2
n
n u n d
S
B.
1
( 1)
.
2
n
n d
S n u
C.
1
( )
.
2
n
n
n u u
S
D.
1
.
2
n
n
nu u
S
Câu 26: Một Công ty trách nhiệm hữu hạn thực hiên việc trả lương cho các kĩ sư theo phương thức sau:
Mức lương của quý làm việc đầu tiên cho Công ty là 4,5 triệu đồng/quý và kề từ quý làm việc thứ hai,
mức lương sẽ được tăng thêm 0,3 triệu đồng/quý. Hãy tính tổng số tiên lương một kĩ sư được nhận sau 3
năm làm việc cho Công ty?
A.
53,7
(triệu đồng). B.
75,8
(triệu đồng). C.
80,5
(triệu đồng). D.
73,8
(triệu đồng).
Câu 27: Cho cấp số nhân
4, ,9.x
Tìm x.
A.
6,5.x
B.
36.x
C.
6.x
D.
36.x
Câu 28: Chu vi của một đa giác là 158, số đo các cạnh của nó lập thành một cấp số cộng với công sai d =
3cm. Biết cạnh lớn nhất là 44cm, tính số cạnh của đa giác đó.
A. 7. B. 5. C. 3. D. 4.
Câu 29: Cho cấp số cộng
( )
n
u
, biết
2
2001
u
và
5
1995
u
. Tìm số hạng
1001
.
u
A.
1001
1.
u
B.
1001
4005.
u
C.
1001
3.
u
D.
1001
4003.
u
Câu 30: Cho cấp số nhân
( )
n
u
, biết
1
3
u
và
2
6.
u
Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A.
5
24.
u
B.
5
48.
u
C.
5
24.
u
D.
5
48.
u
Câu 31: Cho cấp số nhân
( )
n
u
với công bội
q 1
. Đặt
1 2
... .
n n
S u u u
Mệnh đề nào dưới đây đúng
?
A.
1
1
1
.
1
n
n
u q
S
q
B.
1
1
.
1
n
n
u q
S
q
C.
1
1
.
1
n
n
u q
S
q
D.
1
.
1
n
n
q
S
q
Câu 32: Viết sáu số xen giữa các số – 2 và 256 để được một cấp số nhân có tám số hạng. Nếu viết tiếp thì
số hạng thứ 15 là bao nhiêu ?
A.
15
327.
u
B.
15
2768.
u
C.
15
32768.
u
D.
15
30786.
u
Câu 33: Cho a, b, c theo thứ tự là một cấp số cộng. Mệnh đề nào dưới đây sai ?
A.
1
.
2
b ac
B.
2 .a c b
C.
1
.
2
a b a c
D.
1
.
2
b c a c
Câu 34: Một người đem 100.000.000 đồng đi gửi tiết kiệm với kì hạn 6 tháng, mỗi tháng lãi suất là
0,7%
số tiền người đó có. Hỏi sau khi hết kì hạn người đó được lĩnh về bao nhiêu tiền ?
A.
6
8
10 . 0,07
(đồng). B.
6
8
10 . 1,07
(đồng). C.
5
8
10 . 1,07
(đồng). D.
5
8
10 . 0,07
(đồng).
Câu 35: Cho cấp số cộng (u
n
), có u
4
+ u
97
= 101. Hãy tình tổng S của 100 số hạng đầu tiên của cấp số
cộng đó.
A.
50.S
B.
101.S
C.
505.S
D.
5050.S
Câu 36: Cho dãy số
( ),
n
u
biết
3
n
n
u
. Tìm số hạng
2 1
.
n
u
A.
1
9.3 1.
n
n
u
B.
1
1
3 .3 .
n n
n
u
C.
2( 1)
1
3 .
n
n
u
D.
2
1
3 1.
n
n
u
Câu 37: Xác định tham số m để phương trình
4 2
2 1 1 0
mx m x m
có bốn nghiệm phân biệt lập
thành cấp số cộng.
A.
9
.
16
m
B.
1.
m
C.
3
.
2
m
D.
5
.
4
m
Câu 38: Cho các cấp số nhân
( )
n
u
, biết
1
3, 2.
u q
Hỏi số 192 là số hạng thứ mấy ?
A. Số hạng thứ 7. B. Số hạng thứ 5. C. Số hạng thứ 9. D. Số hạng thứ 3.
Câu 39: Biết rằng viết sáu số xen giữa hai số 3 và 24 ta được một cấp số cộng có tám số hạng. Tính tổng
S các số hạng của cấp số này.
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018
55
Chuyên đề 3. Dãy số - CSC - CSN : 01655334679 – 0916620899
A.
100.S
B.
201.S
C.
10.S
D.
108.S
Câu 40: Cấp số nhân
( )
n
u
, biết
1 5
51
u u
và
2 6
102
u u
. Hỏi tổng của bao nhiêu số hạng đầu tiên
sẽ bằng 3069 ?
A. 10. B. 20. C. 7. D. 12.
Câu 41: Cấp số nhân
( )
n
u
, biết
1 5
51
u u
và
2 6
102
u u
. Số 12288 là số hạng thứ mấy ?
A. Số hạng thứ 9. B. Số hạng thứ 13. C. Số hạng thứ 21. D. Số hạng thứ 15.
Câu 42: Cho dãy số
( ),
n
u
biết
3
n
n
u
. Tìm số hạng
2
.
n
u
A.
1
2.3 .
n
n
u
B.
1
3 3 .
n
n
u
C.
1
6 .
n
u n
D.
2
9 .
n
n
u
Câu 43: Cho dãy số
( )
n
u
, biết
n
u n
cos(3 1)
6
và
4
n n
u u
với mọi
1.n
TÍnh tổng S của 27 số
hạng đầu tiên của dãy số đã cho.
A.
1.S
B.
1
.
2
S
C.
3
.
2
S
D.
1
.
6
S
Câu 44: Tính tổng S = 1 + 11 + 111 + 1111 + … + 11…1 (n số).
A.
10 10 1
.
9
n
S n
B.
10 10 1 9
.
81
n
n
S
C.
10 10 1
.
9
n
n
S
D.
10 9 1
.
81
n
n
S
Câu 45: Tính tổng
2
1 1 1
1 ... .
3
3 3
n
S
A.
1
3 1
1 .
2 3
n
S
B.
1
1
1 .
3
n
S
C.
1
1 1
1 .
2 3
n
S
D.
1
3 1
1 .
2 3
n
S
Câu 46: Cho dãy số
( ),
n
u
biết
3
n
n
u
. Tìm số hạng
1
.
n
u
A.
1
3 3 .
n
n
u
B.
1
3( 1).
n
u n
C.
1
3.3 .
n
n
u
D.
1
1 3 .
n
n
u
Câu 47: Cho dãy số
( ),
n
u
biết
3
n
n
u
. Tìm số hạng
1
.
n
u
A.
1
3 1.
n
n
u
B.
1
3 1.
n
u n
C.
1
1
.3 .
3
n
n
u
D.
1
3 3.
n
n
u
Câu 48: Biết số đo của bốn góc của một tứ giác lồi lập thành một cấp số nhân. Hãy tìm số đo của góc nhỏ
nhất và công bội
( 1)q q
, biết rằng số đo của góc lớn nhất gấp 8 lần số đo của góc nhỏ nhất.
A.
0
26 , 2.
q
B.
0
48 , 3.
q
C.
0
24 , 2.
q
D.
0
24 , 3.
q
Câu 49: Cho ba số
, , ( )a b c a b c
theo thứ tự lập thành một cấp số nhân, biết tổng của chúng là 63 và
tích của chúng là 1728. Tìm công bội q của cấp số nhân này.
A.
1
.
4
q
B.
4.
q
C.
1
.
3
q
D.
3.
q
Câu 50: Biết bốn số lập thành một cấp số cộng. Tổng của bốn số đó bằng 22 và tổng bình phương của
chúng bằng 166. Tìm bốn số đó.
A. 10, 7, 4, 1 hoặc 1, 4, 7, 10. B. 10, 8, 6, 4 hoặc 4, 6, 8, 10.
C. 10, 6, 2,
2
hoặc
2
, 2, 6, 10. D. 10, 9, 8, 7 hoặc 7, 8, 9, 10.
Câu 51: Cho ba số
, ,a b c
theo thứ tự lập thành một cấp số nhân. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A.
2
.c ab
B.
2 .b a c
C.
.b ac
D.
2
.b ac
Câu 52: Cho số nhân
n
u
, biết
2 4 5
10
u u u
và
3 5 6
20.
u u u
Tìm số hạng đầu
1
u
và công bội
q
của cấp số nhân.
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018
56
Chuyên đề 3. Dãy số - CSC - CSN : 01655334679 – 0916620899
A.
1
1; 2.
u q
B.
1
2; 4.
u q
C.
1
1; 3.
u q
D.
1
2; 2.
u q
Câu 53: Tính tổng
2 3 64
1 2 2 2 ... 2 .
S
A.
65
2 1.
S
B.
64
2 1.
S
C.
63
2 1.
S
D.
64
2 1.
S
Câu 54: Biết ba góc của một tam giác lập thành cấp số cộng, góc lớn nhất gấp năm lần góc nhỏ nhất. Tìm
công sai d ( d > 0) của cấp số cộng đó.
A.
0
10 .
d
B.
0
30 .
d
C.
0
20 .
d
D.
0
40 .
d
Câu 55: Cho dãy số
( ),
n
u
biết công thức số hạng tổng quát dưới đây. Tìm dãy số tăng.
A.
1
.
1
n
u
n n
B.
2
( 1) (5 1).
n n
n
u
C.
1
( 1) .sin .
n
n
u
n
D.
2
.
1
n
n
u
n
Câu 56: Cho dãy số
( )
n
u
xác định bởi
1
1
2
u
và
1
2
n n
u u n
với mọi
2.n
Tính
50
.u
A.
50
2548,5.
u
B.
50
5096,5.
u
C.
50
1274,5.
u
D.
50
2550,5.
u
Câu 57: Biết độ dài
, ,c b a
các cạnh tam giác ABC vuông tại A theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Tìm
công bội q của cấp số nhân đó.
A.
1 5
.
2
q
B.
1 7
.
2
q
C.
1 2
.
2
q
D.
1 3
.
2
q
Câu 58: Cho cấp số cộng
6, , 2, .x y
Tìm
, .x y
A.
4, 6.x y
B.
2, 6.x y
C.
4, 6.x y
D.
2, 5.x y
Câu 59: Biết
1 2 3
, ,
n n n
C C C
lập thành một cấp số cộng với
, 3.n n
Tìm n.
A.
5.n
B.
7.n
C.
9.n
D.
11.n
Câu 60: Tìm cặp số
( ; )x y
biết rằng các số
6 ,5 2 ,8
x y x y x y
lập thành cấp số cộng và các số
5
, 1, 2 3
3
x y y x y
lập thành cấp số nhân.
A.
( ; ) 1;3 ; 8; 8 .
x y
B.
( ; ) 3;1 ; 1; 1 .
x y
C.
1 3
( ; ) 1;3 ; ; .
8 8
x y
D.
3 1
( ; ) 3; 1 ; ; .
8 8
x y
Câu 61: Tìm giá trị nào của tham số a để dãy số (u
n
), với
n
na
u
n
2
1
là dãy số tăng. Là dãy số giảm ?
A.
3.a
B.
1.a
C.
2.a
D.
2.a
Câu 62: Cho cấp số nhân
2, , 18, .x y
Tìm
, .x y
A.
6, 54.x y
B.
6, 54.x y
C.
6, 54.x y
D.
10, 26.x y
Câu 63: Xác định tham số m để phương trình
4 2
2 1 2 1 0
x m x m
(1) có bốn nghiệm phân biệt
lập thành cấp số cộng.
A.
4
m
hoặc
2.
m
B.
2
m
hoặc
4
.
9
m
C.
4
m
hoặc
4
.
9
m
D.
3
m
hoặc
1.
m
Câu 64: Phương trình
3 2
2 1 2 1 0
x x m x m
có ba nghiệm lập thành cấp số nhân.
A.
2, 1, 4.
m m m
B.
1, 2, 3.
m m m
C.
1, 3, 4.
m m m
D.
1, 3, 4.
m m m
Câu 65: Tìm cặp số
( ; )x y
biết rằng các số
5 ,5 2 ,8
x y x y x y
lập thành cấp số cộng và các số
2 2
1 , 1, 1
y xy x
lập thành cấp số nhân.
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018
57
Chuyên đề 3. Dãy số - CSC - CSN : 01655334679 – 0916620899
A.
3 3
( ; ) 3; ; 3; .
2 2
x y
B.
1
( ; ) 1; ; 2;2 .
2
x y
C.
3 3
( ; ) 3; ; 3; .
2 2
x y
D.
3 3
( ; ) 3; ; 3; .
2 2
x y
Câu 66: Một hội trường có 10 dãy ghế. Biết rằng mỗi dãy ghế sau nhiều hơn dãy ghế trước 20 ghế và dãy
sau cùng có 280 ghế. Hỏi hội trường có bao nhiêu ghế ngồi ?
A. 1100 ghế ngồi. B. 1900 ghế ngồi. C. 1000 ghế ngồi. D. 3000 ghế ngồi.
Câu 67: Tìm công bội
q
của một số nhân
n
u
, biết rằng: u u
4 2
13
1
32
và u u
6 4
45
512
.
A.
4.q
B.
4; 2.q q
C.
1
.
4
q
D.
1
.
2
q
Câu 68: Người ta trồng cây theo hình tam giác, với quy luật: ở hàng thứ nhất có 1 cây, ở hàng thứ hai có
2 cây, ở hàng thứ ba có 3 cây,…ở hàng thứ
n
có
n
cây. Biết rằng người ta trồng hết 4950 cây. Hỏi số
hàng cây được trồng theo cách trên là bao nhiêu ?
A. 99. B. 98. C. 100. D. 101.
Câu 69: Cho cấp số cộng
2, ,6, .x y
Tìm
, .x y
A.
1, 7.x y
B.
6, 2.x y
C.
2, 8.x y
D.
2, 10.x y
Câu 70: Biết bốn số theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Lần lượt trừ mỗi số ấy cho 2, 6, 7, 2 ta được một
cấp số nhân. Tìm các số đó.
A.
5;12;19;26.
B.
3;10;17;24.
C.
5; 2; 7; 14.
D.
4;12;20;28.
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018
58
Chuyên đề 3. Dãy số - CSC - CSN : 01655334679 – 0916620899
C. ĐÁP ÁN
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
A
B
C
D
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
A
B
C
D
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
A
B
C
D
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
A
B
C
D
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018
59
Chuyên đề 4. Giới hạn - Hàm số liên tục : 01655334679 – 0916620899
CHUYÊN ĐỀ 4.
GIỚI HẠN
A. KIẾN THỨC CẤN NẮM
§1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
1. Giới hạn hữu hạn của dãy số
n
n
u
lim 0

khi và chỉ khi
n
u
có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở
đi.
n n
n n
v a v a
lim lim ( ) 0
 
Dãy số (u
n
) có giới hạn 0 khi và chỉ khi dãy số
n
u
có giới hạn 0
2. Giới hạn vô cực
n
n
ulim


khi và chỉ khi
n
u
có thể lớn hơn một số dương lớn tùy ý, kể từ một số hạng nào đó
trở đi. Kí hiệu:
n n
u hay u khi nlim
  
Dãy số (
n
u
) được gọi là có giới hạn

khi
n 
nếu
n
ulim( )

Nhận xét:
n n
n n
u ulim lim ( )
 
 
;
n n
n n
u ulim lim ( )
 
 
Lưu ý: Thay cho viết
n n
n n
u L ulim , lim
 

, ta viết
n n
u a ulim ,lim

3. Các giới hạn đặc biệt
a)
n
1
lim 0
;
k
n
1
lim 0
;
k
nlim

, với k nguyên dương.
b)
n
q
lim 0
, nếu
q
1
;
n
qlim

nếu q > 1
c)
c clim
;
k
c
n
lim 0
, lim(c u
n
) = climu
n
, với c là hằng số,
k
*
d)
n
n
q
lim 0
nếu
q 1
4. Định lí về giới hạn hữu hạn
Định lí 1. Nếu
n
u L
lim
và
n
v M
lim
, thì:
n n n n
u v u v L M
lim( ) lim lim
n n n n
u v u v L M
lim( ) lim lim
n n n n
u v u v L Mlim . lim .lim .
n
c u c Llim( . ) .
( với c là hằng số)
n
n
u
L
v M
lim
(nếu
M 0
)
Định lí 2. Giả sử
n
u L
lim
Nếu
n
u
0
với mọi n thì
L 0
và
n
u L
lim
n
u L
lim
và
n
u L
3
3
lim
Nếu
n
ulim

thì
n
u
1
lim 0
5. Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực
a) Quy tắc 1. Nếu
n
ulim

và
n
vlim

thì
n n
u v
lim
được cho trong bảng:
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018
60
Chuyên đề 4. Giới hạn - Hàm số liên tục : 01655334679 – 0916620899
n
ulim
n
vlim
n n
u v
lim












b) Quy tắc 2. Nếu
n
ulim

và
n
v L
lim 0
thì
n n
u v
lim
được cho trong bảng:
n
ulim
Dấu của L
n n
u v
lim




+
+




c) Quy tắc 3. . Nếu
n
u L
lim 0
và
n
v
lim 0
và
n
v
0
hoặc
n
v
0
thì
n
n
u
v
lim
được cho trong
bảng:
Dấu của L
Dấu của
n
v
n
n
u
v
lim
+
+
+
+




Chú ý . Nếu
n n
u L vlim 0,lim

thì
n
n
u
v
lim 0
6. Tổng cấp số nhân lùi vô hạn
Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân có công bội q thỏa mãn
q
1
Công thức tính tổng S của cấp số nhân lùi vô hạn (u
n
)
n
u
S u u u u q
q
1
1 2 3
... ... ; 1
1
hay
n
u
S u u q u q u q q
q
2 1
1
1 1 1 1
... ... ; 1
1
7. Định lí kẹp về giới hạn của dãy số
Cho ba dãy số (u
n
), (v
n
) ,(w
n
) và số thực L. Nếu
n n n
u v w
với mọi n và lim u
n
= lim w
n
= L thì dãy
số (v
n
) có giới hạn và lim v
n
= L.
8. Lưu ý
a) Dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn
b) Dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn
c) Nếu limu
n
= a thì limu
n + 1
= a
d) Số e:
n
n
e
n
1
lim 1

9. Phương pháp tìm giới hạn của dãy số
- Vận dụng nội dung định nghĩa
- Tìm giới hạn của một dãy số ta thường đưa về các giới hạn dạng đặc biệt và áp dụng các định lí về
giới hạn hoặc các định lí về giới hạn vô cực:
+ Nếu biểu thức có dạng phân thức mà mẫu và tử đều chứa các lũy thừa của n, thì chia tử và mẫu
cho n
k
, với k là số mũ cao nhất.
+ Nếu biểu thức có chứa n dưới dấu căn, thì có thể nhân tử số và mẫu số với cùng một biểu thức
liên hợp.
10. Phương pháp tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
- Nhận dạng xem dãy số đã cho có phải là một cấp số nhân lùi vô hạn không. Sau đó áp dụng công thức
tính tổng đã biết.
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018
61
Chuyên đề 4. Giới hạn - Hàm số liên tục : 01655334679 – 0916620899
- Cách tìm cấp số nhân lùi vô hạn khi biết một số điều kiện: Dùng công thức tính tổng để tìm công bội
và số hạng đầu
- Cách viết một số thập phân vô hạn tuần hoàn dưới dạng phân số hữu tỉ: Khai triển số đã cho dưới
dạng tổng của một số nhân lùi vô hạn và tính tổng này.
§2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
1. Giới hạn hữu hạn
Cho khoảng K,
x K
0
và hàm số
f x( )
xác định trên K (hoặc
K x
0
\
).
x x
f x L
0
lim ( )
khi và chỉ khi
với dãy số
n
x
bất kì,
n
x K x
0
\
và
n
x x
0
thì
n
n
f x L
lim ( )

Cho hàm số
f x( )
xác định trên khoảng
x b
0
;
.
x x
f x L
0
lim ( )
khi và chỉ khi với dãy số
n
x
bất kì,
n
x x b
0
và
n
x x
0
thì
n
n
f x L
lim ( )

Cho hàm số
f x( )
xác định trên khoảng
a x
0
;
.
x x
f x L
0
lim ( )
khi và chỉ khi với dãy số
n
x
bất kì,
n
a x x
0
và
n
x x
0
thì
n
n
f x L
lim ( )

Cho hàm số
f x( )
xác định trên khoảng
a;

.
x
f x L
lim ( )

khi và chỉ khi với dãy số
n
x
bất kì,
n
x a
và
n
x

thì
n
n
f x L
lim ( )

.
Cho hàm số
f x( )
xác định trên khoảng
a;

.
x
f x L
lim ( )

khi và chỉ khi với dãy số
n
x
bất kì,
n
x a
và
n
x

thì
n
n
f x L
lim ( )

.
2. Giới hạn vô cực
Cho hàm số
f x( )
xác định trên khoảng
a;

.
x
f xlim ( )


khi và chỉ khi với dãy số
n
x
bất
kì,
n
x a
và
n
x

thì
n
n
f xlim ( )


.
Cho khoảng K,
x K
0
và hàm số
f x( )
xác định trên K (hoặc
K x
0
\
).
x x
f x
0
lim ( )

khi và chỉ
khi với dãy số
n
x
bất kì,
n
x K x
0
\
và
n
x x
0
thì
n
n
f xlim ( )


x x
f x f xlim ( ) lim ( )
 
 
3. Định lí vể giới hạn hữu hạn
Định lí 1.
Giả sử
x x
f x L
0
lim ( )
và
x x
g x M
0
lim ( )
. Khi đó
a)
x x
f x g x L M
0
lim ( ) ( )
b)
x x x x
k f x k f x k L k
0 0
lim . ( ) .lim ( ) . ;( )
c)
x x
f x g x L M
0
lim ( ). ( ) .
d)
x x
x x
x x
f x
f x L
g x g x M
0
0
0
lim ( )
( )
lim
( ) lim ( )
(nếu
x x
M g x
0
0, lim ( ) 0
)
e) Nếu
f x( ) 0
và
x x
f x L
0
lim ( )
thì
L 0
và
x x
f x L
0
lim ( )
Các tính chất trên vẫn đúng khi
x 
hoặc
x 
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018
62
Chuyên đề 4. Giới hạn - Hàm số liên tục : 01655334679 – 0916620899
Định lí 2. (Định lí giới hạn một bên)
x x
f x L
0
lim ( )
khi và chỉ khi
x x x x
f x f x L
0 0
lim ( ) lim ( )
4. Các giới hạn đặc biệt
a)
x x
x x
0
0
lim
b)
x x
c c
0
lim
;
x
c c
lim

;
x
c
x
lim 0

(c là hằng số).
c)
k
x
xlim


, với k nguyên dương
d)
k
x
xlim


, nếu k là số lẻ;
k
x
xlim


, nếu k là số chẵn
e)
x
x
x
0
sin
lim 1
;
x x
u x
u x
u x
0 0
sin ( )
lim ( ) 0 lim 1
( )
f)
x
x
x
0
tan
lim 1
;
x
xlim tan
2

;
x
xlim tan
2

5. Quy tắc về giới hạn vô cực
a) Quy tắc tìm giới hạn của tíchƒ(x).g(x)
Nếu
x x
f x L
0
lim ( ) 0
và
x x
g x
0
lim ( )

hoặc
x x
g x
0
lim ( )

thì
x x
f x g x
0
lim ( ). ( )
được tính:
x x
f x
0
lim ( )
x x
g x
0
lim ( )
x x
f x g x
0
lim ( ). ( )
L > 0




L < 0




b) Quy tắc tìm giới hạn của thương
f x
g x
( )
( )
x x
f x
0
lim ( )
x x
g x
0
lim ( )
Dấu của g(x)
x x
f x
g x
0
( )
lim
( )
L

Tùy ý 0
L > 0
0
+


L < 0
+


4. Khử các dạng vô định
Khi tính giới hạn mà không thể áp dụng trực tiếp định lí về giới hạn, ta phải biến đổi biểu thức xác định
hàm số về dạng áp dụng được các định lí này.
Dạng 1. Tính
x x
f x
g x
0
( )
lim
( )
khi
x x x x
f x g x
0 0
lim ( ) lim ( ) 0
(hay dạng
0
0
)
- Phân tích tử và mẫu thành tích các nhân tử và giản ước. Cụ thể ta biến đổi như sau:
x x x x x x
x x A x
f x A x
g x x x B x B x
0 0 0
0
0
( ) ( )
( ) ( )
lim lim lim
( ) ( ) ( ) ( )
và tính
x x
A x
B x
0
( )
lim
( )
- Nếu
f x( )
hay
g x( )
có chứa biến dưới dấu căn thì có thể nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp, trước
khi phân tích chúng thành tích để giản ước.
Dạng 2. Tính
x x
f x
g x
0
( )
lim
( )
khi
x x
f x
0
lim ( )

và
x x
g x
0
lim ( )

(hay dạng
)
- Ta chia tử và mẫu cho
n
x
với n là số mũ bậc cao nhất của biến số
x
( hay phân tích tử và mẫu thành
tích chứa nhân tử
n
x
rồi giản ước).
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018
63
Chuyên đề 4. Giới hạn - Hàm số liên tục : 01655334679 – 0916620899
- Nếu
f x( )
hay
g x( )
có chứa biến
x
trong dấu căn thức, thì đưa
k
x
ra ngoài dấu căn (k là số mũ bậc
cao nhất của
x
trong dấu căn), trước khi chia tử và mẫu cho lũy thừa của
x
.
Dạng 3. Tính
x x
f x g x
0
lim ( ) ( )
khi
x x x x
f x g x
0 0
lim ( ) lim ( )

(hay dạng
) hoặc
Tính
x x
f x g x
0
lim ( ). ( )
khi
x x
f x
0
lim ( ) 0
và
x x
g x
0
lim ( )

(hay dạng
0.
)
- Nhân chia với biểu thức liên hợp( nếu có biểu thức chứa biến dưới dấu căn thức) hoặc quy đồng mẫu
để đưa về cùng một phân thức ( nếu chứa nhiều phân thức)
§3. HÀM SỐ LIÊN TỤC
1. Hàm số liên tục
Cho hàm số
y f x( )
xác định trên khoảng K và
x K
0
. Hàm số
y f x( )
liên tục tại x
0
khi và chỉ
khi
x x
f x f x
0
0
lim ( ) ( )
Hàm số
y f x( )
không liên tục tại
0
x
được gọi là gián đoạn tại điểm đó
y f x( )
liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.
y f x( )
liên tục trên đoạn
a b;
nếu nó liên tục trên khoảng
;a b
và
x a x b
f x f a f x f blim ( ) ( ), lim ( ) ( )
Đồ thị hàm số liên tục trên một khoảng được biểu thị bởi một “đường liền” trên khoảng đó.
2. Các định lí
Định lí 1
a) Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực
b) Hàm số phân thức hữu tỉ và hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định của
chúng.
Định lí 2.
Giả sử
y f x( )
và
y g x( )
là hai hàm số liên tục tại điểm x
0
. Khi đó:
a) Các hàm số
f x g x f x g x( ) ( ), ( ) ( )
và
f x g x( ). ( )
cũng liên tục tại điểm x
0
.
b) Hàm số
f x
g x
( )
( )
liên tục tại x
0
, nếu
g x
0
( ) 0
Định lí 3
Nếu hàm số
y f x( )
liên tục trên đoạn
a b;
và
f a f b( ). ( ) 0
thì tồn tại ít nhất một điểm
c a b( ; )
sao cho
f c( ) 0
Mệnh đề tương đương
Cho hàm số
y f x( )
liên tục trên đoạn
a b;
và
f a f b( ). ( ) 0
. Khi đó phương trình
f x( ) 0
có ít nhất một nghiệm trong khoảng (a; b).
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018
64
Chuyên đề 4. Giới hạn - Hàm số liên tục : 01655334679 – 0916620899
B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Tính
2
1 1 4
lim .
2
n
H n
n
n
A.
2.H
B.
.H
C.
2.H
D.
1
.
2
H
Câu 2: Tính
2
3
3
1
lim .
n n
T
n n n
A.
1.T
B.
2.T
C.
.T
D.
1
.
2
T
Câu 3: Biết
2
lim 5 1 5
x
x x a

. Tính
cosa
.
A.
acos 0.
B.
a k kcos 2 , .
C.
acos 1.
D.
a
1
cos .
2
Câu 4: Tính
3
3 2
2 3 1
lim .
n n
L
n n
A.
0.L
B.
1
.
3
L C.
3.L
D.
3.L
Câu 5: Tính

n n
n n
n
K
2 2 3
2 1 2
4 5 3
lim .
2 1 2 9
A.
K 42.
B.
K 24.
C.
K 42.
D.
K 24.
Câu 6: Biết
n n a
n b
2
9 1
lim ,
4 2
với
a b,
và
a
b
tối giản. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A.
b a 1.
B.
a b 9.
C.
a b2 12.
D.
ab 2 10.
Câu 7: Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn là
5
3
, tổng ba số hạng đầu tiên của nó là
39
25
. Tìm số hạng
đầu và công bội của cấp số đó.
A.
1
2
.
5
2
q
u
B.
1
5
.
2
1
q
u
C.
1
2
.
5
1
q
u
D.
1
5
.
2
2
q
u
Câu 8: Biết
2
2
3
6
lim
3
x
x x a
b
x x
với
, .a b
Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A.
2 8.ab
B.
3 10.a b
C.
2 1.a b
D.
2.a b
Câu 9: Tính

x
x x x
J
x
3
3 2
5 7 9 3 1
lim .
2017 4
A.
J
1
.
4
B.
J
3
9 5
.
4
C.
J
9
.
4
D.
J
3
9 5
.
4
Câu 10: Tính
x
x x
M
x
3
0
2 1. 3 1 1
lim .
A.
M .
B.
M 2.
C.
M 4.
D.
M 1.
Câu 11: Cho phương trình
3
4 4 1 0 (1).
x x
Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào sai ?
A. Phương trình (1) không có nghiệm trên khoảng
;1 .

GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018
65
Chuyên đề 4. Giới hạn - Hàm số liên tục : 01655334679 – 0916620899
B. Hàm số
3
( ) 4 4 1f x x x
liên tục trên
.
C. Phương trình (1) có nghiệm trên khoảng
2;0 .
D. Phương trình (1) có ít nhất hai nghiệm trên khoảng
1
3;
2
Câu 12: Trong bốn giới hạn dưới đây, giới hạn nào là
0?
A.
2 3
lim .
1 2
n
n
B.
2 1
lim .
3.2 3
n
n n
C.
2
3
2 1 3
lim .
2
n n
n n
D.
3
2
1
lim .
2
n
n n
Câu 13: Biết
6 2
2
3
4 2
lim
2
x
x x x
a
x

và
2
5 4
40
lim
2 7 21
x
x x
b
x x

. Tính
.S a b
A.
S
1
.
2
B.
S 1.
C. S
10
.
3
D.
S 0.
Câu 14: Biết
2
2 2
lim
7 3
x
x a
b
x
với
, .a b
Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A.
1 6.ab
B.
5.a b
C.
1.b a
D.
2 1.a b
Câu 15: Biết
1
2
3
n
n
u
. Tìm
lim .
n
u
A.
lim 0.
n
u
B.
lim 2.
n
u
C.
1
lim .
3
n
u
D.
lim .
n
u

Câu 16: Tính
2 2
lim 1 .
N n n n
A.
.N
B.
1.N
C.
0.N
D.
2.N
Câu 17: Biết
3 2 2
3 2 2
3 3
2 5 2 3 1
lim lim
4 13 4 3 1
x x
x x x ax bx
x x x cx dx
, với
, , , .a b c d
Tính
.P abcd
A.
4.P
B.
2.P
C.
6.P
D.
8.P
Câu 18: Tính
2
7
2 3
lim .
49
x
x
K
x
A.
56.K
B.
0.K
C.
1
.
56
K D.
.K
Câu 19: Tính
3 2
5
2 3 1
lim .
1 4
n n
M
n
bằng.
A.
27
.
4
M B.
27
.
4
M C.
3
.
4
M D.
3
.
4
M
Câu 20: Tính
2
2 cos
lim .
2 1
3
n
n
n n n
Q
n
A.
1
.
2
Q B.
1
.
2
Q C.
2.Q
D.
0.Q
Câu 21: Đoàn trường tổ chức trò chơi lớn, tên của một đồng chí trạm trưởng được mã hóa bởi số 1234.
Biết rằng mỗi chữ số trong số này là giá trị của một trong các biểu thức
, , , , ,A O H T N U
với:
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018
66
Chuyên đề 4. Giới hạn - Hàm số liên tục : 01655334679 – 0916620899
3 4
lim
2
n
A
n
4 2
1
2 3
lim
1
x
x x
O
x
2
1
lim
2
x
x
H
x
6 2
2
3
4 2
lim
2
x
x x x
T
x

4 1 cos
lim
3
n
n n
N
n
2
1
lim
1
x
U
x x x

Hãy cho biết tên của đồng chí trạm trưởng này, bẳng cách thay các chữ số trên bởi các chữ kí hiệu biểu
thức tương ứng.
A.
.HUAN
B.
.THOA
C.
.TOAN
D.
.TUAN
Câu 22: Cho hàm số
2
vôùi 1, 0
( ) 0 vôùi 0
vôùi 1
x
x x
x
f x x
x x
. Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào đúng ?
A. Hàm số liên tục tại mọi điểm thuộc
.
B. Hàm số liên tục tại mọi điểm trừ các điểm x thuộc đoạn
[0;1].
C. Hàm số liên tục tại mọi điểm trừ điểm
0.x
D. Hàm số liên tục tại mọi điểm trừ điểm
1.x
Câu 23: Tính
2 3
lim .
4
n
n
n
N
A.
3
.
4
N B.
0.N
C.
2
.
N
D.
.N
Câu 24: Biết

x
x x x a
b
x x x
2
2
2 4 3 1
lim ,
4 3 2 5
với
a b,
và
a
b
tối giản. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A.
a b 7.
B.
ab b 10.
C.
b a 1.
D.
a ab 12.
Câu 25: Biết
1
2
1
lim
6 3 3
x
x
a
x x
. Tính
a a
a a a
H P A C
A.
105.H
B.
3.H
C.
55.H
D.
9.H
Câu 26: Tính
3 2
3
2
3 9 2
lim .
6
x
x x x
J
x x
A.
11
.
15
J B.
15
.
11
J C.
15
.
10
J D.
15.J
Câu 27: Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân lùi vô hạn, biết rằng tổng của cấp số nhân đó là 12,
hiệu của số hạng đầu và số hạng thứ hai là
3
4
và số hạng đầu là một số dương.
A.
1
1
3; .
4
u q
B.
1
3
1; .
4
u q
C.
1
3
3; .
4
u q
D.
1
3; 3.
u q
Câu 28: Tên của một học sinh được mã hóa bởi số 5301. Biết rằng mỗi chữ số trong số này là giá trị của
một trong các biểu thức A, H, N và O với
2
3 1 2 3 5.4
lim ; lim 2 ; lim ; lim .
2 3 7 1 4
n n
n
n n
A H n n n N O
n n
Hãy cho biết tên của học sinh này, bằng cách thay các chữ số trên bởi các chữ kí hiệu tương ứng.
A.
.HOAN
B.
.HANO
C.
.NHOA
D.
.OANH
Câu 29: Cho phương trình
1
0 (1).
x
Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào sai ?
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018
67
Chuyên đề 4. Giới hạn - Hàm số liên tục : 01655334679 – 0916620899
A. Hàm số
1
( )f x
x
liên tục trên các khoảng
;0

và
0; .
B. Phương trình (1) có nghiệm trong khoảng
1;1 .
C. Phương trình (1) vô nghiệm.
D. Phương trình (1) không có nghiệm trong khoảng
1;1 .
Câu 30: Tính

2
lim 3 1 3 .
x
H x x x
A.
3
.
6
H
B.
3
.
3
H
C.
0.H
D.
1
.
6
H
Câu 31: Tính

2 2 3
2 1 2
4 5 3
lim .
2 1 2 9
n n
n n
n
L
A.
16.L
B.
4.L
C.
36.L
D.
24.L
Câu 32: Trong bốn giới hạn dưới đây, giới hạn nào là
0?
A.
2 1
lim .
3.2 3
n
n n
B.
1
2 3
lim .
1
x
x
x
C.
3
2
1
lim .
2
x
x
x x

D.
2
3
2 1 3
lim .
2
n n
n n
Câu 33: Trong bốn giới hạn dưới đây, giới hạn nào không tồn tại ?
A.
x
xlim cos .
B.
2
2 1
lim .
1
x
x
x

C.
x
x
x
2
1
lim .
1
D.
0
lim .
1
x
x
x
Câu 34: Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,313131…dưới dạng một phân số nào dưới đây ?
A.
32
.
99
B.
13
.
99
C.
100
.
99
D.
31
.
99
Câu 35: Tính
1
lim .
2 1
n
E
n
A.
1.E
B.
1
.
2
E C.
1
.
2
E D.
0.E
Câu 36: Trong bốn giới hạn dưới đây, giới hạn nào có giới hạn là
?
A.
3
3
2 1
lim .
2
n n
n n
B.
2
2
3 2
lim .
n n
n n
C.
2
3
2 3
lim .
3
n n
n n
D.
2
1
lim .
2 1
n n
n
Câu 37: Cho hàm số
2
2
( 1)
khi 3
1
( )
9
khi 3
3 2 3
m x
x
m
f x
x
x
x
. Với giá trị nào của tham số m thì hàm số
( )f x
liên
tục tại
3.
x
A.
18.
m
B.
9
.
13
m
C.
18.
m
D.
9
.
13
m
Câu 38: Cho phương trình
3 2
3 4 7 0 (1).
x x x Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào sai ?
A. Phương trình (1) không có nghiệm trong khoảng
2;0 .
B. Phương trình (1) có nghiệm trong khoảng
4;0 .
C. Hàm số
3 2
( ) 3 4 7
f x x x x
liên tục trên
.
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018
68
Chuyên đề 4. Giới hạn - Hàm số liên tục : 01655334679 – 0916620899
D. Phương trình (1) ít nhất nghiệm trong khoảng
1;3 .
Câu 39: Cho hàm số
3
2
1
khi 1, 2
2
( ) 1 khi 1 .
2 khi 2
x
x x
x x
y f x x
x
Khẳng định nào dưới đây là đúng?
A. Hàm số liên tục trên
.
B. Hàm số liên tục trên khoảng
2;3 .
C. Hàm số gián đoạn tại
1; 2.
x x
D. Hàm số gián đoạn tại
2.
x
Câu 40: Biết
x
x
a
x
2
0
2
1 1
lim ,
4 16
với
a .
Tính
1
.
S a
a
A. S
17
.
4
B.
S 2.
C.
S
1
.
4
D.
S 4.
Câu 41: Biết
2
3
2
2 2
( 2)
8
lim lim
( 2)( )
11 18
x x
x ax bx c
x
x x d
x x
, với
, , , .a b c d
Tính
.S a b c d
A.
12.S
B.
9.S
C.
4.S
D.
2.S
Câu 42: Tính
3
2 3 2
4 8
lim .
2 3
n n n n
K
n
A.
3.K
B.
1.K
C.
2.K
D.
4.K
Câu 43: Biết
3
0
3 27
lim 27
x
x
m
x
. Tìm m.
A.
0.m
B.
27.m
C.
9.m
D.
1.m
Câu 44: Trong bốn giới hạn dưới đây, giới hạn nào là
0
?
A.
2
2
1
1
lim .
3 2
x
x
x x
B.
2
lim 1
x
x x

C.
3
1
1
lim .
1
x
x
x
D.
2
2 5
lim .
10
x
x
x
Câu 45: Tính
2 2
2
3
2 6 2 6
lim .
4 3
x
x x x x
N
x x
A.
1.N
B.
3.N
C.
1
.
3
N D.
2
.
3
N
Câu 46: Tính
x
x
K
x
4
3 1
lim .
2 2
A.
K 0.
B.
K 1.
C.
K 1.
D.
K 4.
Câu 47: Tính
3
3
lim 1 .M n n
A.
.M
B.
2.M
C.
3.M
D.
0.M
Câu 48: Tính
x
x x
L
x
3
0
1 1
lim .
A.
L 0.
B.
L 2.
C.
L 8.
D.
L 3.
Câu 49: Tìm tham số m để hàm số:
2
3
3 5 1
khi 2
( )
2 5 2
( 2) 10 khi 2
x
x
y f x
x x
m x mx x
liên tục tại
0
2
x
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018
69
Chuyên đề 4. Giới hạn - Hàm số liên tục : 01655334679 – 0916620899
A.
5
.
18
m
B.
103
.
108
m
C.
5
.
18
m
D.
103
.
108
m
Câu 50: Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn
2,780780780...
dưới dạng một phân số nào dưới đây ?
A.
278
.
333
B.
999
.
10000
C.
278
.
333
D.
926
.
333
Câu 51: Biết
x
x a
b
x
1
2 7 3
lim ,
3 2
với
a b,
và
a
b
tối giản. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A.
a b2 4.
B.
a b2 10.
C.
a b2 12.
D.
a b2 3.
Câu 52: Tính
x
x
P
x x
2
3
3
lim .
3 6
A.
P 2.
B.
P 0.
C.
P
6
.
6
D.
P .
Câu 53: Biết
2
1
lim
1
x
a
x x x

. Tính
10
a
P C a
A.
P 100.
B.
P 45.
C.
P 2.
D.
P 47.
Câu 54: Cho hàm số
3
neáu 3
( )
1 2
neáu 3
x
x
f x
x
m x
. Tìm tham số m để hàm số đã cho liên tục tại
x 3.
A.
1.
m
B.
m 4.
C.
m 4.
D.
1.
m
Câu 55: Cho hàm số
2
( ) .
a x
f x
x
Tính
lim ( ).
x
f x

A.
lim ( ) 1.
x
f x

B.
lim ( ) .
x
f x

C.
lim ( ) 1.
x
f x
D.
lim ( ) .
x
f x

Câu 56: Cho hàm số:
3
2
2
2 8
neáu 0, 1
( )
2 12 neáu 0
x
x x
y f x
x x
x x x
. Khẳng định nào dưới đây là sai ?
A. Hàm số liên tục tại
0x
B. Hàm số gián đoạn tại
0x
C.
3
2
0
2 8
lim 12
x
x
x x
D.
0
0 lim ( )
x
f f x
Câu 57: Tính
1
lim 2 .
n
K
n
A.
2.K
B.
3.K
C.
.K
D.
0.K
Câu 58: Tính

x
J x x x
2
lim 3 1 3 .
A.
J
1
.
6
B.
J 0.
C. J
1
.
2 3
D.
J
3
.
3
Câu 59: Tính
x
x x
I
x
3
2
2
2
6 4
lim .
4
A. I
7
.
48
B. I
7
.
48
C.
I 7.
D. I
1
.
48
Câu 60: Tính
2 2
2
sin 3
lim .
n n n
J
n
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018
70
Chuyên đề 4. Giới hạn - Hàm số liên tục : 01655334679 – 0916620899
A.
3.J
B.
3.J
C.
2.J
D.
0.J
Câu 61: Tính
2
2
lim .
2 1
n n
I
n n
A.
1
.
2
I B.
3.I
C.
0.I
D.
2.I
Câu 62: Tính
4 2 2
lim 2 .F n n n
A.
1.F
B.
0.F
C.
2.F
D.
1.F
Câu 63: Số thập phân vô hạn tuần hoàn
0,5111...
được biểu diễn bởi một phân số nào dưới đây?
A.
43
.
90
B.
6
.
11
C.
46
.
90
D.
47
.
90
Câu 64:
3
2
3 5 1
lim .
4
n n
K
n
A.
0.K
B.
.K
C.
3.K
D.
1
.
3
K
Câu 65: Biết
1
( 1) 3
1
lim
2
3.2
n
n
n
a
b
, với
, .a b
Tính
2 2
.S a b
A.
3.S
B.
1.S
C.
1
.
2
S D.
3.S
Câu 66: Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn
2,131131131...
dưới dạng một phân số nào dưới đây ?
A.
219
.
999
B.
129
.
999
C.
2129
.
999
D.
212
.
999
Câu 67: Trong bốn giới hạn dưới đây, giới hạn nào là
1?
A.
3
2
lim .
3
n
n
B.
2 3
3
lim .
2 1
n n
n
C.
2 3
lim .
2 3
n
n
D.
2
2
lim .
2
n n
n n
Câu 68: Tính
2
2 1
lim .
1 2
n
n
I
n
A.
3
.
2
I B.
2.I
C.
0.I
D.
1
.
2
I
Câu 69: Tính
x
N
x
x
2
2
1 1
lim .
2
4
A.
N 2.
B. N
1
.
32
C.
N .
D.
N 0.
Câu 70: Tính tổng S của cấp số nhân vô hạn
1 1 1 ( 1)
, , ,... ,...
2 4 8
2
n
n
A.
1
.
3
S
B.
1.S
C.
1
.
4
S
D.
1
.
2
S
Câu 71: Tính
3 4
lim .
2.4 2
n n
n n
H
A.
1
.
2
H B.
2.H
C.
1.H
D.
1
.
2
H
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018
71
Chuyên đề 4. Giới hạn - Hàm số liên tục : 01655334679 – 0916620899
Câu 72: Biết
3
0
3 27
lim 29
x
x
m
x
. Tìm m.
A.
2.m
B.
27.m
C.
9.m
D.
1.m
Câu 73: Tính
2 2
1 4 2
lim .
3
n n n
J
n
A.
0.J
B.
1.J
C.
1
.
3
J D.
2.J
Câu 74: Tính
x
x x
Q
x
3
0
1 1
lim .
A. Q
2
.
12
B. Q
30
.
36
C.
Q 6.
D.
Q 1.
Câu 75: Tính tổng
n
S
2 3 1
1 0,9 (0,9) (0,9) ... (0,9) ...
A.
10.S
B.
11.S
C.
9
.
10
S D.
9.S
Câu 76: Tính
x
x x
P
x
1
lim .
1
A.
P 1.
B.
P 3.
C.
P 1.
D.
P 0.
Câu 77: Trong các hàm số sau đây, hàm số nào liên tục tại
1.x
A.
f x x( ) 1 2 .
B.
x x
x
f x
x
x x
2
3 2
khi 1
( ) .
1
khi 1
C.
x x
x
f x
x
x x
2
5 4
khi 1
( ) .
1
3 1 khi 1
D.
x
f x
x x
2
2 2
( ) .
6 5
Câu 78: Tính
lim 5 cos .
n
Q n
A.
1.Q
B.
1.Q
C.
.Q
D.
0.Q
Câu 79: Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn
2,780780780...
dưới dạng một phân số nào dưới đây ?
A.
96
.
33
B.
926
.
333
C.
278
.
333
D.
999
.
10000
Câu 80: Tính
2
2sin
lim 10 .
n
G
n
A.
.G
B.
10.G
C.
0.G
D.
9.G
Câu 81: Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai ?
A. Hàm số đa thức liên tục trên toàn tập số thực
.
B. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
1
, 1.
1
u
S q
q
C.
0 0 0
lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( ).
x x x x x x
f x g x f x g x
D.


k
x
ax a
lim , 0.
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018
72
Chuyên đề 4. Giới hạn - Hàm số liên tục : 01655334679 – 0916620899
Câu 82: Biết
4
2 4
2 5 1
lim
1
x
x x
a
x x

và
2
4 1
lim
1 2
x
x x x
b
x

. Tính
P a b. 1.
A.
2.P
B.
1
.
4
P
C.
2.P
D.
1.P
Câu 83: Biết
n n a
n b
2
4 1
lim ,
2 1
với
a b,
và
a
b
tối giản. Mệnh đề nào dưới đây sai ?
A.
ab 4 10.
B.
a b 5.
C.
a b2 1.
D.
b a2 1.
Câu 84: Biết
x
x x a
x b
5
4 4 2
lim ,
5
với
a b,
và
a
b
tối giản. Tính
10
. .
b a
u a b
A.
u
10
18.
B.
u
10
27.
C.
u
10
3.
D.
u
10
9.
Câu 85: Tính
1
lim .
!
L
n
A.
9
1
.
10
L
B.
1.L
C.
0.L
D.
1
.
1000
L
Câu 86: Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai ?
A. Phương trình
4 3
3 1 0
x x x
có nghiệm trong khoảng
( 1;3).
B. Hàm số
coty x
liên tục trên
.
C. Hàm số
2
3 2
1
x x
y
x
liên tục trên các khoảng
;1
và
1; .
D. Hàm số
cosy x x
liên tục trên
.
Câu 87: Tính

x
Q x x x
2
lim 2 1 9 4 .
A.
Q .
B.
Q .
C.
Q 1.
D.
Q 0.
Câu 88: Tính
x
x
N
x
2
3
1
1
lim .
1
A.
N 6.
B.
N 0.
C.
N 9.
D.
N .
Câu 89: Biết
2
3
1
10
lim
6
x
x x
a
x
và
2
2
5
11 30
lim
25
x
x x
b
x
. Tính
.S a b
A. S
1
.
10
B.
S 2.
C. S
21
.
10
D.
S
1
.
5
Câu 90: Tính tổng S của cấp số nhân vô hạn
1 1 1 ( 1)
, , ,... ,...
2 4 8
2
n
n
A.
1
.
4
S
B.
1
.
2
S
C.
1
.
3
S
D.
1.S
Câu 91: Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai ?
A. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
1
1
, 1.
1
n
u q
S q
q
B. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
1
, 1.
1
u
S q
q
C.
0 0 0
lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( ).
x x x x x x
f x g x f x g x
D. Hàm số đa thức liên tục trên toàn tập số thực
.
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018
73
Chuyên đề 4. Giới hạn - Hàm số liên tục : 01655334679 – 0916620899
Câu 92: Cho
2
2 2
( ) 2 1 2
3 2
x x a khi x
f x a khi x
bx khi x
liên tục trên tại
2
x
với
, .
a b
Tính
.S a b
A.
15.
S
B.
17.
S
C.
16.
S
D.
14.
S
Câu 93: Cho
2
1
lim
1
x
x x
C
x
;
0
1 2 1
lim
x
x
A
x
;
2
lim 4
x
N x x x

;
4
4
lim
x
O
x

.
Tìm từ được mã hóa bởi chuổi số 30213?
A.
.CONAN
B.
.CANON
C.
.CONAC
D.
.CANOC
Câu 94: Hàm số nào sau đây liên tục tại
0
1
x
?
A.
( ) 2.
f x x
B.
3 2
2 5 1
( ) .
2 3 1
x khi x
f x
x x x khi x
C.
2
9 8
1
( ) .
1
7 1
x x
khi x
f x
x
khi x
D.
2
2 3
( ) .
1
x x
f x
x
Câu 95: Tính
2 1
2
3 2( 5)
lim .
6 3
n n
n
n
M

A.
102.
M
B.
1
.
6
M
C.
108.
M
D.
1.
M
Câu 96: Trong bốn giới hạn dưới đây, giới hạn nào là
?
A.
2
1
lim .
2 1
n n
n
B.
2
3
2 3
lim .
3
n n
n n
C.
3
3
2 1
lim .
2
n n
n n
D.
2
2
3 2
lim .
n n
n n
Câu 97: Biết
x
x x a
x b
3
0
1 1
lim
với
, .a b
Mệnh đề nào dưới đây sai ?
A.
ab 1 7.
B.
a b2 3 5.
C.
a b2 8.
D.
b a 5.
Câu 98: Tính
x
x
H
x
2
0
2
1 1
lim .
4 16
A.
H
1
.
4
B.
H 2.
C.
H 0.
D.
H 4.
Câu 99: Biết

x
a
x x x x
b
2 2
lim 2 1 7 3 ,
với
a b,
và
a
b
tối giản. Mệnh đề nào dưới đây
sai ?
A.
b a 2.
B.
a b 7.
C.
a b. 10.
D.
a b 3.
Câu 100: Tính
x
x x
P
x x x
2
3 2
1
3 2
lim .
4 2 1
A.
P
1
.
4
B.
P
1
.
6
C.
P
1
.
2
D.
P
1
.
3
Câu 101: Tính

x
x x x
I
x x
3 2
4
4 5
lim .
3
A.
I 0.
B.
I 1.
C.
I 3.
D.
I 1.
Câu 102: Tính
2
lim .
2
n n
K
n
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018
74
Chuyên đề 4. Giới hạn - Hàm số liên tục : 01655334679 – 0916620899
A.
2.K
B.
1.K
C.
1
.
2
K D.
1
.
2
K
Câu 103: Biết
x
a
b
x x x
2 3
1
1 1
lim ,
2 1
với
a b,
và
a
b
tối giản. Tính
10
9 .u a b
A.
u
10
162.
B.
u
10
83.
C.
u
10
20.
D.
u
10
27.
Câu 104: Tính
x
x x
M
x
2
1
1 1
lim .
1
A.
M 0.
B.
M 2.
C.
M .
D.
M
2.
Câu 105: Biết
1
8 8 1
lim
5 7 3
x
x x a
b
x x
với
, .a b
Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A.
20.a b
B.
2 17.a b
C.
. 84.a b
D.
2 2.a b
Câu 106: Biết
x
x x x a
b
x x
2
2
1
3 2 4 2
lim ,
3 2
với
a b,
và
a
b
tối giản. Tính
10 1
.
1
a
b
S
b
A.
S 7.
B.
S 10.
C.
S 5.
D.
S 10.
Câu 107: Biết
x
x x
x x
3
2
1
3 2
lim tan ,
5 4
với
0 .
2
Tính
sin cos .
S
A.
S
3
.
3
B.
S
1
.
2
C.
S
3
.
2
D.
S
1 3
.
2
Câu 108: Tính tổng
n
S
2 3 1
1 0,9 (0,9) (0,9) ... (0,9) ...
A.
10.S
B.
11.S
C.
9
.
10
S D.
9.S
Câu 109: Biết
2
0
9 5 4 3
lim
x
x x a
x b
, với
, .a b
Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A.
1.a b
B.
1 12.ab
C.
2 3 30.a b
D.
2 16.a b
Câu 110: Tính
lim (0.99) cos .
n
P n
A.
11
.
10
P B.
2
.
2
P
C.
0.P
D.
9
.
10
P
Câu 111: Cho cấp số nhân vô hạn
1 1 1 ( 1)
, , ,..., ,...
2 4 8 2
n
n
. Tính tổng S của cấp số đã cho.
A.
1.
S
B.
1
.
2
S
C.
1
.
4
S
D.
1
.
3
S
Câu 112: Đoàn trường tổ chức trò chơi lớn, tên của một đồng chí trạm trưởng được mã hóa bởi số 1234.
Biết rằng mỗi chữ số trong số này là giá trị của một trong các biểu thức
, , , , ,A O H T N U
với:
3 4
lim
2
n
A
n
4 2
1
2 3
lim
1
x
x x
O
x
2
1
lim
2
x
x
H
x
6 2
2
3
4 2
lim
2
x
x x x
T
x

4 1 cos
lim
3
n
n n
N
n
2
1
lim
1
x
U
x x x

Hãy cho biết tên của đồng chí trạm trưởng này, bằng cách thay các chữ số trên bởi các chữ kí hiệu biểu
thức tương ứng.
A.
.HUAN
B.
.TUAN
C.
.TOAN
D.
.THOA
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018
75
Chuyên đề 4. Giới hạn - Hàm số liên tục : 01655334679 – 0916620899
Câu 113: Tính

x
x
K x
x x
3 2
1
lim (2 1) .
2
A.
K 2.
B.
K
3.
C.
K
2.
D.
K
2
.
2
Câu 114: Giải phương trình
n
x x x
x
2
1 7
... ...
2
, trong đó
x
1
.
A.
1
.
3
x
B.
2
.
3
x
C.
1;2 .
x
D.
1 2
; .
3 3
x
Câu 115: Tính
3
1
1 3
lim .
1
1
x
L
x
x
A.
4.L
B.
1.L
C.
1
.
2
L D.
0.L
Câu 116: Tính tổng
n
n
S
2 1
1 1 ( 1)
1 ... ...
10
10 10
A.
11
.
10
S B.
10
.
11
S C.
1
.
11
S D.
10
.
11
S
Câu 117: Tính
lim .
1
n
L
n n
A.
1
.
2
L B.
2.L
C.
0.L
D.
1.L
Câu 118: Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai ?
A. Phương trình
5 4
3 5 2 0
x x x
có ít nhất ba nghiệm nằm trong khoảng
2;5 .
B. Hàm số
tany x
liên tục trên
.
C. Hàm số
2
3 2
2
x x
y
x
liên tục trên các khoảng
; 2
và
2; . 
D. Hàm số
siny x x
liên tục trên
.
Câu 119: Biết

x
a
x x x
b
2
lim 1 ,
với
a b,
và
a
b
tối giản. Tính
.P a b
.
A.
2.P
B.
1
.
2
P
C.
1.P
D.
3.P
Câu 120: Biết
2
3 3 2
2 3 4
lim 2 10
8 4 5

x
x x x
m
x x x
. Tìm m.
A.
0.
m
B.
1.
m
C.
5.
m
D.
10.
m
Câu 121: Tính
5
6 3
1
4 9 7
lim .
3 1
x
x x
I
x x
A.
2.I
B.
4.I
C.
4
.
3
I D.
8.I
Câu 122: Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai ?
A. Phương trình
5 4
3 5 2 0
x x x
có ít nhất ba nghiệm nằm trong khoảng
2;5 .
B. Hàm số
tany x
liên tục trên
.
C. Hàm số
siny x x
liên tục trên
.
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018
76
Chuyên đề 4. Giới hạn - Hàm số liên tục : 01655334679 – 0916620899
D. Hàm số
2
3 2
2
x x
y
x
liên tục trên các khoảng
; 2
và
2; . 
Câu 123: Tính
2
3
3
lim .
3 6
x
x
M
x x
A.
0.M
B.
6
.
6
M
C.
2.M
D.
.M
Câu 124: Tính
3
2 3
lim .P n n n
A.
2.P
B.
1
.
3
P C.
3.P
D.
0.P
Câu 125: Biết
1
3 2
lim
1
x
x a
x b
với
, .a b
Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A.
7.a b
B.
3 5.a b
C.
2 3.b a
D.
4.ab
Câu 126: Biết
n n n a a
2 2
lim 1 , .
Tính
2
1.
S a a
A.
S
1
.
2
B.
S
7
.
4
C.
S
3
.
2
D.
S 1.
Câu 127: Tính tổng S
1 1
2 2 1 ...
2
2
A.
2 2
.
2 1
S
B.
2
.
2 1
S
C.
2 1.
S
D.
2 2.
S
Câu 128: Tính tổng
n
S
3
1
9 3 1 ... ...
3
A.
7
.
2
S
B.
35
.
3
S C.
1
.
2
S
D.
27
.
2
S
Câu 129: Tiính tổng S của cấp số nhân
n2 3
1 1 1 1
, , ,..., ,...
2
2 2 2
A.
1.S
B.
1
.
2
S
C.
1
1
.
2
n
S
D.
2 .
n
S
Câu 130: Biết tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn là
5
3
, tổng ba số hạng đầu tiên của nó là
39
25
. Tìm số
hạng đầu và công bội của cấp số đó.
A.
1
2
2, .
5
u q
B.
1
5
1, .
2
u q
C.
1
2
1, .
5
u q
D.
1
1, 2.
u q
Câu 131: Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân lùi vô hạn có tổng bằng 3 và công bội q
2
3
A.
1
2
.
3
n
n
u
B.
1
2
.
3
n
n
u
C.
1
3
.
2
n
n
u
D.
1
3
.
2
n
n
u
Câu 132: Tính
x
L
x
x
2
2
1 1
lim .
2
4
A.
L .
B.
L 2.
C. L
1
.
32
D.
L 0.
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018
77
Chuyên đề 4. Giới hạn - Hàm số liên tục : 01655334679 – 0916620899
Câu 133: Tính
3
2
10 2
lim .
2
x
x
P
x
A.
2.P
B.
1
.
12
P C.
1
.
24
P D.
1
.
12
P
Câu 134: Cho hàm số
2
2
khi 2
( ) .
1 khi 2
ax x
y f x
x x x
Tìm giá trị của
a
để hàm số liên tục trên
.
A.
5
.
4
a
B.
3.
a
C.
4.
a
D.
2
.
3
a
Câu 135: Tính tổng S cấp số nhân
n 1
1 1 1 1
1, , , ,..., ,...
2 4 8 2
A.
3
.
2
S
B.
2
.
3
S
C.
3
.
8
S
D.
3
.
4
S
Câu 136: Biết

x
a
x x x
b
lim ,
với
a b,
và
a
b
tối giản. Tính
.
a b
S
b a
A.
S
5
.
2
B.
S
2
.
3
C.
S
3
.
2
D.
S
1
.
2
Câu 137: Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn là 10, tổng năm số hạng đầu tiên của nó là
155
16
. Tìm số
hạng đầu và công bội của cấp số đó.
A.
1
1
.
2
3
q
u
B.
1
1
.
2
1
q
u
C.
1
1
.
2
5
q
u
D.
1
1
.
5
5
q
u
Câu 138: Cho
( )
n
u
và
( )
n
v
là hai dãy số có giới hạn. Khẳng định nào dưới đây là đúng?
A.
1 1
lim .
lim
n n
u u
B.
lim lim .
n n
v v
C.
3 3
lim lim .
n n
u u
D.
lim
lim .
lim
n n
n n
u u
v v
Câu 139: Trong bốn giới hạn dưới đây, giới hạn nào là
1
?
A.
2
2
2 1
lim .
3
x
x x
x x

B.
2
2 3
lim .
5
x
x
x x

C.
3 2
2 3
3
lim .
5
x
x x
x x

D.
2
1
lim .
1
x
x
x

Câu 140: Tính
lim 2 2 3 .
n
L n
A.
3.L
B.
.L
C.
2.L
D.
.L
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018
78
Chuyên đề 4. Giới hạn - Hàm số liên tục : 01655334679 – 0916620899
C. ĐÁP ÁN
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
A
B
C
D
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
A
B
C
D
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
A
B
C
D
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
A
B
C
D
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
A
B
C
D
10
1
10
2
10
3
10
4
10
5
10
6
10
7
10
8
10
9
11
0
11
1
11
2
11
3
11
4
11
5
11
6
11
7
11
8
11
9
12
0
A
B
C
D
12
1
12
2
12
3
12
4
12
5
12
6
12
7
12
8
12
9
13
0
13
1
13
2
13
3
13
4
13
5
13
6
13
7
13
8
13
9
14
0
A
B
C
D
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018
79
Chuyên đề 5. Phép dới hình - Phép đồng dạng : 01655334679 – 0916620899
CHUYÊN ĐỀ 5
PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG
---o0o---
A. KIỀN THỨC CẦN NẮM
§1. PHÉP BIẾN HÌNH
- Quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M của mặt phẳng với một điểm xác định duy nhất M’ của mặt
phẳng đó được gọi là phép biến hình trong mặt phẳng.
- Ta thường kí hiệu phép biến hình là F và viết F(M) = M’ hay M’ = F(M), khi đó M’ gọi là ảnh của
điểm M qua phép biến hình F.
- Phép biến hình biến mỗi điểm của mặt phẳng thành chính nó được gọi là phép đồng nhất.
- Nếu H là một hình nào đó trong mặt phẳng thì ta kí hiệu H’ = F(H) là tập các điểm M’ = F(M), với
mọi điểm M thuộc H. Khi đó ta nói F biến hình H thành H’ hay H’ là ảnh của H qua phép biến
hình F.
- Để chứng minh hình H’ là ảnh của hình H qua phép biến hình F, ta có thể chứng minh: Với điểm
M tuỳ ý
M H M F M H' ( ') '
- Với mỗi điểm M, ta xác định điểm M’ trùng với M thì ta cũng được một phép biến hình. Phép biến
hình đó gọi là phép đồng nhất.
§2. PHÉP TỊNH TIẾN VÀ PHÉP DỜI HÌNH
I. Phép tịnh tiến
1. Định nghĩa phép tinh tiến
- Trong mặt phẳng cho vectơ
v
. Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho
MM v'

được gọi là phép tịnh tiến theo vectơ
v
.
- Phép tịnh tiến theo vectơ
v
thường được kí hiệu là
v
T
. Như vậy
v
T M M MM v( ) ' '
- Phép tịnh tiến theo vectơ_không được gọi là phép đồng nhất.
2. Biểu thức toạ độ của phép tịnh tiến
- Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm
M x y v a b( ; ); ( ; )
. Gọi
v
M T M x y' ( ) ( '; ')
.
- Khi đó
x x a
y y b
'
'
gọi là biểu thức toạ độ của phép tịnh tiến theo vectơ
v
.
- Vận dụng:
M x y M x y v a b'( '; ') ( ; ) ( ; )
3. Các tính chất của phép tịnh tiến
Phép tịnh tiến:
- Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì;
- Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ ba điểm đó;
- Biến một đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng đã cho;
- Biến một đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng đoạn thẳng đã cho;
- Biến một tam giác thành tam giác bằng tam giác đã cho;
- Biến một đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính;
- Biến góc thành góc bằng góc đã cho.
II. Phép dời hình
1. Định nghĩa
- Phép dời hình là một phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì
- Các phép tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng tâm và phép quay đều là những phép dời hình
- Nếu thực hiện liên tiếp hai phép dời hình, ta được một phép dời hình.
2. Tính chất
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018
80
Chuyên đề 5. Phép dới hình - Phép đồng dạng : 01655334679 – 0916620899
Phép dời hình
- Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toan thứ tự ba điểm ấy;
- Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng
nó;
- Biến một tam giác thành tam giác bằng đã cho, biến một góc thành góc bằng góc đã cho;
- Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
3. Tích của hai phép biến hình
Cho hai phép biến hình F và G, giả sử M là một điểm bất kì, phép biến hình F(M) = M’ và phép
biến hình G(M’) = M”. Khi đó phép biến hình biến điểm M thành điểm M” đươc gọi là hợp thành
của phép F và G, kí hiệu
F G
§3. PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC
1. Định nghĩa
Phép đối xứng qua đường thẳng d là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ đối xứng với M
qua d.
- Kí hiệu: Đ
d
(Đường thẳng d gọi là trục đối xứng)
- Nếu
M d
thì Đ
d
(M) =
M M'
- Nếu
M d'
thì d là đường trung trực của đoạn MM’. Như vậy M’ = Đ
d
(M)
M M M M
0 0
'
,
với M
0
là hình chiếu của M trên d
- M’ = Đ
d
(M)
M = Đ
d
(M’)
2. Trục đối xứng của một hình
Đường thẳng d gọi là trục đối xứng của hình H nều Đ
d
biến H thành chính nó. Khi đó H được gọi
là hình có trục đối xứng.
3. Biểu thức toạ độ
Trong mặt phẳng hệ trục toạ độ vuông góc Oxy, với mỗi điểm M(x; y).
Gọi M’ = Đ
d
(M) = (x’; y’)
Nếu chọn d là trục Ox nghĩa là Đ
Ox
(M) = M’ khi đó ta có:
x x
y y
'
'
Nếu chọn d là trục Oy nghĩa Đ
Oy
(M) = M’ khi đó ta có:
x x
y y
'
'
Nếu chọn d là đường thẳng có phương trình Ax + By + C = 0 với
A B
2 2
0
.
Đ
d
(M) = M’, khi đó ta có
A Ax By C
x x
A B
B Ax By C
y y
A B
2 2
2 2
2 ( )
'
2 ( )
'
4. Tính chất
Phép đối xứng trục
- Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì;
- Biến đường thẳng thành đường thẳng;
- Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó;
- Biến tam giác thành tam giác bằng nó;
- Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
§4. PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM
1. Định nghĩa
- Cho điểm I. Phép biến hình biến điểm I thành chính nó, biến mỗi điểm M khác I thành M’ sao cho
I là trung điểm của MM’ được gọi là phép đối xứng tâm I.
- Kí hiệu : Đ
I
- Từ định nghĩa suy ra: Đ
I
(M) = M’
IM IM
'
- Từ đó suy ra:
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018
81
Chuyên đề 5. Phép dới hình - Phép đồng dạng : 01655334679 – 0916620899
Nếu
M I
thì
M I'
Nếu M không trùng với I thì Đ
I
(M) = M’
I là trung điểm của MM’
Đ
I
(M) = M’
Đ
I
(M’) = M
2. Tâm đối xứng của một hình
Điểm I được gọi là tâm đối xứng của hình H nếu phép đối xứng tâm I biến hình H thành chính nó. Khi
đó H được gọi là hình có tâm đối xứng.
3. Biểu thức toạ độ
Trong mặt phẳng Oxy, Cho điểm I = (a; b). Gọi M = (x;y) và M’= Đ
I
(M) = (x’; y’)
Trường hợp 1: Khi tâm đối xứng I trùng với gốc toạ độ O(0; 0)
Đ
O
M x y M x y: ( , ) '( ', ')
khi đó :
x x
y y
'
'
Trường hợp 2: Khi tâm đối xứng
I a b,
Đ
I
M x y M x y: ( , ) '( ', ')
khi đó :
x a x
y b y
' 2
' 2
4. Các tính chất
Phép đối xứng tâm
- Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì;
- Biến một đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng đã cho;
- Biến một đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng đoạn thẳng đã cho;
- Biến một tam giác thành tam giác bằng tam giác đã cho;
- Biến một đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
§5. PHÉP QUAY
1. Định nghĩa
- Trong mặt cho một điểm O cố định và góc lượng giác
không đổi. Phép biến hình biến điểm O
thành chính nó, biến điểm M khác O thành điểm M’ sao cho OM = OM’ và góc lượng
OM OM( , ')
được gọi là phép quay tâm O góc quay
.
- Điểm O gọi là tâm quay,
gọi là góc quay.
- Kí hiệu:
O
Q
,
hoặc
Q
0
- Chiều dương của phép quay
O
Q
,
theo chiều dương của đường tròn lượng giác. Ngược lại là
chiều âm và còn kí hiệu
O
Q
,
Nhận xét:
Phép quay tâm O, góc quay
k k2 ,
chính là phép đối xứng tâm O
Phép quay tâm O, góc quay
k k2 ,
, chính là phép đồng nhất.
2. Tính chất
Phép quay
- Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì;
- Biến một đường thẳng thành đường thẳng;
- Biến một đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng đoạn thẳng đã cho;
- Biến một tam giác thành tam giác bằng tam giác đã cho;
- Biến một đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính;
Chú ý: Giả sử phép quay tâm I góc quay
biến đường thẳng d thành d’. Khi đó:
Nếu 0
2
thì góc giữa d và d’ bằng
Nếu
2
thì góc giữa d và d’ bằng
3. Biểu thức toạ độ của phép quay.
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018
82
Chuyên đề 5. Phép dới hình - Phép đồng dạng : 01655334679 – 0916620899
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ vuông góc Oxy, xét phép quay
I
Q
,
Trường hợp 1: Khi tâm quay I trùng với gốc toạ độ O:
O
Q M x y M x y
,
: ( , ) '( ', ')
khi đó :
x x y
y x y
' cos sin
' sin cos
Lưu ý:
0
,90
: ( , ) '( ', ')
O
Q M x y M x y
khi đó :
'
'
x y
y x
0
, 90
: ( , ) '( ', ')
O
Q M x y M x y
khi đó :
'
'
x y
y x
Trường hợp 2: Khi tâm quay
I x y
0 0
,
I
Q M x y M x y
,
: ( , ) '( ', ')
khi đó :
x x x x y y
y y x x y y
0 0 0
0 0 0
' ( )cos ( )sin
' ( )sin ( )cos
§6. KHÁI NIỆM VỀ PHÉP DỜI HÌNH VÀ HAI HÌNH BẰNG NHAU
1. Định nghĩa
- Phép dời hình là phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.
- Nhận xét:
Các phép đồng nhất, tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng tâm và phép quay đều là những phép
dời hình
Phép biến hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép dời hình cũng là một phép dời
hình.
2. Tính chất Phép dời hình:
- Biến ba điểm thằng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm đó;
- Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng
nó;
- Biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến góc thành góc bằng nó;
- Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
3. Hai hình bằng nhau
Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia.
§7. PHÉP VỊ TỰ
1. Định nghĩa
Cho một điểm O cố định và một số k không đổi,
k 0
. Phép biến hình biến mỗi điểm M thành
điểm M’ sao cho
OM kOM
'

đựơc gọi là phép vị tự tâm O tỉ số k.
Kí hiệu:
O k
V
( , )
. Như vậy
O k
V M M OM kOM
( , )
: ' '
Nhận xét
- Phép vị tự biến tâm vị tự thành chính nó.
- Khi k > 0, M và M’ nằm cùng phìa đối với O.
- Khi k < 0, M và M’ nằm khác phía đối với O.
- Khi k = - 1, M và M’ đối xứng với nhau qua tâm O nên
O
V
( , 1)
= Đ
O
- Khi k = 1, thì
M M '
nên phép vị tự là phép đồng nhất
-
O k
O
k
V M M V M M
( , ) 1
( , )
( ) ' ( ')
2. Các tính chất của phép vị tự
a. Định lí 1. Nếu phép vị tự tỉ số k biến hai điểm M và N lần lượt thành hai điểm M’ và N’ thì:
M N kMN
' '

và
MN k MN
b. Phép vị tự tỉ số k:
- Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm ấy;
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018
83
Chuyên đề 5. Phép dới hình - Phép đồng dạng : 01655334679 – 0916620899
- Biến một đường thẳng thành một đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng
đã cho, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng mà độ dài nhân lên với
k
;
- Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với tam giác đã cho và tỉ số đồng dạng là
k
, biến góc
thành góc bằng nó;
- Biến một đường tròn có bán kính R thành đường tròn có bán kính
k
.R.
3. Biểu thức toạ độ.
Trong mặt phẳng hệ trục toạ độ Oxy, cho phép vị tự
I k
V
( , )
với
I x y
0 0
,
Ta có:
I k
x kx k x
V M x y M x y IM kIM
y ky k y
0
( , )
0
' (1 )
: ( , ) '( ', ') '
' (1 )

Khi
I O
thì
x kx
y ky
'
'
§8. PHÉP ĐỒNG DẠNG
1. Định nghĩa
Phép biến hình F gọi là phép đồng dạng tỉ số k (k > 0) nếu với hai điểm bất kì M, N và ảnh M’, N’
tương ứng của chúng, ta luôn có M’N’ = k.MN
Nhận xét:
- Phép dời hình là phép đồng dnạg tỉ số 1.
- Phép vị tự tỉ số k là phép đồng dạng tỉ số
k
- Nếu thực hiện liên tiếp hai phép đồng dạng thì được một phép đồng dạng.
- Mọi phép đồng dạng F tỉ số k đều là họp thành của một phép vị tự V tỉ số k và một phép dời hình
D.
2. Tính chất
Phép đồng dạng tỉ số k:
- Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm ấy;
- Biến một đường thẳng thành một đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn
thẳng;
- Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với tam giác đã cho và , biến góc thành góc bằng nó;
- Biến một đường tròn có bán kính R thành đường tròn có bán kính k.R.
Đặt biệt: Phép đồng dạng có một điểm kép O duy nhất là tích giao hoán của một phép vị tự và một phép
quay có cùng tâm O. khi đó, kí hiệu:
O k O O k O k O
Z Q V V Q
, , , , , ,
. .
, O được gọi là tâm đồng dạng.
3. Hình đồng dạng
Hai hình gọi là đồng dạng với nhau nếu có phép đồng dạng biến hình này thành hình kia
4. Biểu thức toạ độ của phép đồng dạng
I k
Z
, ,
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ vuông góc Oxy, cho phép đồng dạng
I k
Z
, ,
và M(x; y)
Gọi
I k
M x y Z M
, ,
'( '; ') ( )
Khi tâm I trùng với gốc toạ độ O, toạ độ điểm M’ là
x k x y
y k x y
' cos sin
' sin cos
Khi tâm
I x y
0 0
,
, toạ độ điểm M’ là
x x k x x y y
y y k x x y y
0 0 0
0 0 0
' ( )cos ( )sin
' ( )sin ( )cos
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018
84
Chuyên đề 5. Phép dới hình - Phép đồng dạng : 01655334679 – 0916620899
B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Cho lục giác đều
ABCDEF
tâm O, gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD có hình vẽ bên.
Tìm một phép dời hình biến tam giác
AIF
thành tam giác
.CJB
J
I
F
E
D
C
B
A
O
A. Phép tịnh tiến theo vectơ
.AC
B. Phép quay tâm O góc
0
120 .
C. Phép đối xứng qua trục BO.
D. Phép quay tâm B góc
0
120 .
Câu 2: Trong mặt phẳng
Oxy
, cho đường thẳng
: 4 0.x y
Hỏi trong bốn đường thẳng cho bởi các
phương trình dưới đây, đường thẳng nào có thể biến thành
qua một phép đối xứng tâm ?
A.
2 2 1 0.x y
B.
2 4 0.x y
C.
1 0.x y
D.
2 2 3 0.x y
Câu 3: Trong mặt phẳng
,Oxy
cho điểm
4;2
H
và đường thẳng d có phương trình
2 3 0.x y
Biết
: ,
d
Ñ H K
tìm tọa độ điểm
.K
A.
0;2 .
K
B.
2;0 .
K
C.
2;4 .
K
D.
2; 2 .
K
Câu 4: Trong mặt phẳng toạ độ
Oxy
, cho điểm
; .M x y
Tìm tọa độ ảnh của M qua phép đối xứng trục
Oy.
A.
; .y x
B.
; .y x
C.
; .x y
D.
; .x y
Câu 5: Cho tam giác
ABC
và các điểm
, ,M N P
lần lượt là trung điểm các cạnh
,BC CA
và
.AB
Gọi
G
là trọng tâm của tam giác
.ABC
Gọi
I
là trung điểm của
.AM
Tìm một phép dời hình biến tam giác
APN
thành tam giác
.MNP
A.
0
,60
.
I
Q
B.
,2
.
A
V
C.
.
I
Ñ
D.
.
AP
T
Câu 6: Trong mặt phẳng
,Oxy
cho điểm
4; 2
M
và
1;1 .
I
Biết
, 1
: .
I
V N M
Tìm tọa độ điểm
.N
A.
2; 4 .
N
B.
2; 3 .
N
C.
4;2 .
N
D.
1; 1 .
N
Câu 7: Cho hình chữ nhật
.ABCD
Gọi
, , , , , ,E F H K O I J
lần lượt là trung điểm các cạnh
, , , , , , .AB BC CD DA KF HC KO
Tìm một phép dời sao cho biến hình thang
AEJK
thành hình thang
FOIC
và chúng bằng nhau.
A. Thực hiện liên tiếp phép đối xứng qua đường thẳng
EH
và phép tịnh tiến theo vectơ
.EO
B. Thực hiện liên tiếp phép đối xứng qua đường thẳng
KF
và phép tịnh tiến theo vectơ
.AE
C. Thực hiện liên tiếp phép tịnh tiến theo vectơ
EO
và phép đối xứng qua đường thẳng
.EH
D. Thực hiện liên tiếp phép tịnh tiến theo vectơ
OF
và phép đối xứng qua đường thẳng
.KF
Câu 8: Trong mặt phẳng toạ độ
Oxy
, cho điểm
; .M x y
Tìm tọa độ ảnh của M qua phép đối xứng trục
Ox.
A.
; .x y
B.
; .x y
C.
; .y x
D.
; .y x
Câu 9: Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến một hình vuông thành chính nó ?
A. Một. B. Hai. C. Bốn. D. Vô số.
Câu 10: Trong mặt phẳng
Oxy
, cho đường tròn
2 2
( ) : 4 2 4 0.
C x y x y
Tìm ảnh của đường tròn
(C) qua phép quay tâm O, góc quay
0
90 .
A.
2 2
( ): 1 2 3.
C x y
B.
2 2
( ) : 2 4 4 0.
C x y x y
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018
85
Chuyên đề 5. Phép dới hình - Phép đồng dạng : 01655334679 – 0916620899
C.
2 2
( ): 2 4 9 0.
C x y x y
D.
2 2
( ) : 1 2 9.
C x y
Câu 11: Hình gồm hai đường tròn có tâm và bán kính khác nhau có bao nhiêu trục đối xứng ?
A. Hai. B. Một. C. Vô số. D. Không có.
Câu 12: Trong mặt phẳng
Oxy
, cho đường tròn
2 2
( ) : 2 2 4.
C x y
Hỏi phép đồng có được bằng
cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số
1
2
k
và phép quay tâm O góc
0
90
biến (C) thành đường
tròn nào trong các đường tròn có phương trình dưới đây ?
A.
2 2
1 1 1.
x y
B.
2 2
1 1 1.
x y
C.
2 2
2 2 4.
x y
D.
2 2
2 1 4.
x y
Câu 13: Mệnh đề nào dưới đây sai ?
A. Hai đường thẳng bất kì luôn đồng dạng. B. Hai hình vuông bất kì luôn đồng dạng.
C. Hai đường tròn bất kì luôn đồng dạng. D. Hai hình chữ nhật bất kì luôn đồng dạng.
Câu 14: Trong mặt phẳng
Oxy
, cho đường thẳng d có phương trình
x
2 2
. Hãy viết phương trình
đường thẳng
d
là ảnh của d qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O
tỉ số k
1
2
và phép quay tâm O góc quay
0
45 .
A.
2 0.x y
B.
2 0.y
C.
2 0.x y
D.
2 3 0.x y
Câu 15: Có bao nhiêu điểm biến thành chính nó qua phép quay tâm O góc
2 ,k k
là một số nguyên ?
A. Hai. B. Vô số. C. Một. D. Không có.
Câu 16: Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A. Thực hiện liên tiếp phép quay và phép tịnh tiến sẽ được một phép tịnh tiến.
B. Thực hiện liên tiếp phép đối xứng qua tâm và phép đối xứng qua trục sẽ được một phép đối xứng
qua tâm.
C. Thực hiện liên tiếp hai phép tịnh tiến sẽ được một phép tịnh tiến.
D. Thực hiện liên tiếp hai phép đối xứng trục sẽ được một phép đối xứng trục.
Câu 17: Trong mặt phẳng
Oxy
, cho điểm
1;1 .
M
Hỏi phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên
tiếp phép đối xứng tâm O và phép tịnh tiến theo vectơ
2;3
v
biến M thành điểm nào trong các điểm
dưới đây ?
A.
4;4 .
H
B.
2;0 .
P
C.
1;3 .
K
D.
0;2 .
Q
Câu 18: Trong các hình dưới đây, hình nào có vô số tâm đối xứng ?
A. Hình elip. B. Hình gồm hai đường thẳng cắt nhau.
C. Hình lục giác đều. D. Hình gồm hai đường thẳng song song.
Câu 19: Trong mặt phẳng
Oxy
, cho đường thẳng
:3 2 5 0.d x y
Tìm tọa độ của vectơ
v
để phép tịnh
tiến theo
v
biến d thành chính nó.
A.
2; 3 .
v
B.
2;3 .
v
C.
3;2 .
v
D.
1;2 .
v
Câu 20: Cho hình vuông
ABCD
tâm O. Tìm ảnh của đường thẳng BC qua phép quay tâm O góc
0
90 .
A.
.AC
B.
.BA
C.
.AD
D.
.CD
Câu 21: Phép dời hình nào dưới đây không có tính chất “Biến một đường thẳng thành đường thẳng song
song hoặc trùng với nó” ?
A. Phép tịnh tiến. B. Phép đối xứng tâm. C. Phép đối xứng trục. D. Phép vị tự.
Câu 22: Trong mặt phẳng
Oxy
, cho đường tròn
: 2 0.d x y
Hỏi phép đồng có được bằng cách thực
hiện liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số
2k
và phép đối xứng qua trục Oy biến d thành đường thẳng nào
trong các đường thẳng có phương trình dưới đây ?
A.
2 0.x y
B.
2 0.x y
C.
4 0.x y
D.
2 2 0.x y
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018
86
Chuyên đề 5. Phép dới hình - Phép đồng dạng : 01655334679 – 0916620899
Câu 23: Mệnh đề nào dưới đây sai ?
A. Có một phép vị tự biến mọi điểm thành chính nó.
B. Có một phép đối xứng trục biến mọi điểm thành chính nó.
C. Có một phép tịnh tiến biến mọi điểm thành chính nó.
D. Có một phép quay biến mọi điểm thành chính nó.
Câu 24: Trong mặt phẳng
Oxy
, cho
2; 1
v
và điểm
3;2 .
M
Trong các điểm dưới đây, điểm nào
là ảnh của điểm M qua phép tịnh tiến theo vectơ
.v
A.
3
1;1 .
M
B.
2
5;3 .
M
C.
4
1; 1 .
M
D.
1
1;1 .
M
Câu 25: Hình gồm hai đường tròn phân biệt có cùng bán kính có bao nhiêu tâm đối xứng ?
A. Một. B. Hai. C. Không có. D. Vô số.
Câu 26: Trong mặt phẳng
Oxy
, cho điểm
1;1 .
M
Trong bốn điểm dưới đây, điểm nào là ảnh của M qua
phép quay tâm O, góc
0
45
?
A.
1;1 .
K
B.
2;0 .
P
C.
1;0 .
Q
D.
0; 2 .
N
Câu 27: Trong mặt phẳng
Oxy
, cho đường thẳng
: 2.x
Trong bốn đường thẳng cho bởi các phương
trình sau đường thẳng nào là ảnh của
qua phép đối xứng tâm O ?
A.
2.y
B.
2.y
C.
2.x
D.
2.x
Câu 28: Cho hình chữ nhật có O là tâm đối xứng. Hỏi có bao nhiêu phép quay tâm O góc
,0 2 ,
biến hình chữ nhật trên thành chính nó ?
A. Hai. B. Không có. C. Bốn. D. Ba.
Câu 29: Hình vuông có mấy trục đối xứng ?
A. Một. B. Vô số. C. Hai. D. Bốn.
Câu 30: Trong mặt phẳng
Oxy
, cho đường tròn
: 2 0.d x y
Hỏi phép dời hình có được bằng cách
thực hiện liên tiếp phép đối xứng tâm O và phép tịnh tiến theo vectơ
3;2
v
biến d thành đường thẳng
nào trong các đường thẳng có phương trình dưới đây ?
A.
2 0.x y
B.
2 0.x y
C.
3 3 2 0.x y
D.
3 0.x y
Câu 31: Trong các hình dưới đây, hình nào không có tâm đối xứng ?
A. Hình gồm một đường tròn và một hình chữ nhật nội tiếp.
B. Hình gồm một hình vuông và đường tròn nội tiếp.
C. Hình gồm một đường tròn và một tam giác đều nội tiếp.
D. Hình lục giác đều.
Câu 32: Trong mặt phẳng
Oxy
, cho điểm
2;4 .
M
Hỏi phép vị tự tâm O tỉ số
2k
biến điểm M
thành điểm nào trong các điểm dưới đây ?
A.
4; 8 .
J
B.
4; 8 .
I
C.
8;4 .
H
D.
4;8 .
H
Câu 33: Trong mặt phẳng
Oxy
, cho
1;2
v
và điểm
2;5 .
M
Trong các điểm dưới đây, điểm nào là
ảnh của điểm M qua phép tịnh tiến theo vectơ
.v
A.
2
4;7 .
M
B.
3
3;7 .
M
C.
4
3;1 .
M
D.
1
1;6 .
M
Câu 34: Trong mặt phẳng
Oxy
, cho điểm
2;3 .
M
Trong các điểm dưới đây, M là ảnh của điểm nào
dưới đây qua phép đối xứng trục
.Oy
A.
2
3;2 .
M
B.
4
2; 3 .
M
C.
4
2;3 .
M
D.
3
3; 2 .
M
Câu 35: Trong mặt phẳng
Oxy
, cho đường tròn
2 2
( ) : 1 2 4.
C x y
Hỏi phép vị tự tâm O tỉ số
2k
biến (C) thành đường tròn nào trong các đường tròn có phương trình dưới đây ?
A.
2 2
4 2 4.
x y
B.
2 2
2 4 16.
x y
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018
87
Chuyên đề 5. Phép dới hình - Phép đồng dạng : 01655334679 – 0916620899
C.
2 2
4 2 16.
x y
D.
2 2
2 4 16.
x y
Câu 36: Trong mặt phẳng
Oxy
, cho điểm
1;2
I
và
2;3 .
M
Trong bốn điểm dưới đây, điểm nào là ảnh
của M qua phép đối xứng tâm I ?
A.
1;3 .
J
B.
5; 4 .
P
C.
0;1 .
H
D.
2;1 .
K
Câu 37: Cho hai đường thẳng cắt nhau
d
và
d
. Có bao nhiêu phép đối xứng trục biến d thành
d
?
A. Vô số. B. Một. C. Hai. D. Không có.
Câu 38: Trong mặt phẳng
Oxy
, cho đường tròn
: 2 0.d x y
Hỏi phép vị tự tâm O tỉ số
2k
biến d
thành đường thẳng nào trong các đường thẳng có phương trình dưới đây ?
A.
2 2 0.x y
B.
4 0.x y
C.
4 0.x y
D.
4 0.x y
Câu 39: Mệnh đề nào dưới đây sai?
A. Có phép vị tự không phải là phép dời hình. B. Phép dời hình là một phép đồng dạng.
C. Phép vị tự là một phép đồng dạng. D. Phép đồng dạng là một phép dời hình.
Câu 40: Trong mặt phẳng
Oxy
, cho đường thẳng
:3 2 1 0.d x y
Tìm ảnh của đường thẳng d qua phép
đối xứng tâm
.O
A.
4
:3 2 1 0.
d x y
B.
2
:3 2 1 0.
d x y
C.
3
:3 2 1 0.
d x y
D.
1
:3 2 1 0.
d x y
Câu 41: Cho hai đường thẳng song song
d
và
d
. Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến d thành
d
?
A. Vô số. B. Một. C. Hai. D. Không có.
Câu 42: Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến một đường tròn cho trước thành chính nó ?
A. Một. B. Không có. C. Hai. D. Vô số.
Câu 43: Trong các hình dưới đây, hình nào có bốn trục đối xứng ?
A. Hình vuông. B. Hình thoi. C. Hình bình hành. D. Hình chữ nhật.
Câu 44: Trong mặt phẳng
Oxy
, cho điểm
1;5
M
và đường thẳng d có phương trình
2 4 0.x y
Tìm
tọa độ ảnh của M qua phép đối xứng trục d.
A.
3;2 .
B.
2;1 .
C.
3;1 .
D.
1;3 .
Câu 45: Cho hình vuông
ABCD
tâm O. Xét phép quay Q có tâm quay O góc quay
. Với giá trị nào
dưới đây của
, phép quay Q biến hình vuông
ABCD
thành chính nó ?
A.
.
4
B.
.
3
C.
.
2
D.
.
6
Câu 46: Trong mặt phẳng
Oxy
, cho điểm
2;5 .
M
Trong các điểm dưới đây, điểm nào là ảnh của điểm
M qua phép đối xứng trục
.Ox
A.
2
2;3 .
M
B.
4
3; 2 .
M
C.
1
3;2 .
M
D.
3
2; 5 .
M
Câu 47: Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến một đường thẳng cho trước thành chính nó ?
A. Chỉ có hai. B. Không có. C. Chỉ có một. D. Vô số.
Câu 48: Trong mặt phẳng
Oxy
, cho điểm
1;1
I
và đường tròn tâm I bán kính 2. Viết phương trình của
đường tròn là ảnh của đường tròn trên qua phép đồng dạng có được bằng cách thực họên liên tiếp phép
quay tâm O, góc 45
0
và phép vị tự tâm O, tỉ số
2.
A.
2
2
2 8.
x y
B.
2 2
1 2 8.
x y
C.
2
2
2 8.
x y
D.
2 2
1 1 4.
x y
Câu 49: Trong mặt phẳng
Oxy
, cho các điểm
3;2 , 4;5
A B
và
1;3 .
C
Gọi tam giác
A B C
là
ảnh của tam giác ABC qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O góc
0
90
và phép đối xứng qua trục Ox. Tìm toạ độ các đỉnh của tam giác
.A B C
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018
88
Chuyên đề 5. Phép dới hình - Phép đồng dạng : 01655334679 – 0916620899
A.
2;3 , 5;4 , 3;1 .
A B C
B.
2; 3 , 5; 4 , 3; 1 .
A B C
C.
2;3 , 5;4 , 3; 1 .
A B C
D.
2; 3 , 4;5 , 1;3 .
A B C
Câu 50: Trong mặt phẳng
Oxy
, cho
2;1
v
và điểm
4;5 .
M
Trong các điểm dưới đây, M là ảnh của
điểm nào dưới đây qua phép tịnh tiến theo vectơ
.v
A.
3
2;6 .
M
B.
2
6;6 .
M
C.
4
2;4 .
M
D.
1
3;3 .
M
Câu 51: Trong mặt phẳng
Oxy
, cho đường thẳng d có phương trình
2 3 0.x y
Viết phương trình
( )C
là ảnh của đường tròn
2 2
( ) : 10 4 27 0
C x y x y
qua phép phép đối xứng trục d.
A.
2 2
1 4 2.
x y
B.
2 2
1 4 2.
x y
C.
2 2
5 2 16.
x y
D.
2 2
2 3 4.
x y
Câu 52: Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A. Một hình có vô số trục đối xứng thì hình đó phải là hình gồm những đường tròn đồng tâm.
B. Một hình có vô số trục đối xứng thì hình đó phải là đường tròn.
C. Đường tròn là hình có vô số trục đối xứng.
D. Một hình có vô số trục đối xứng thì hình đó phải là hình gồm hai đường thẳng vuông góc.
Câu 53: Mệnh đề nào dưới đây sai ?
A. Phép đối xứng tâm biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.
B. Phép đối xứng trục biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.
C. Phép vị tự biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.
D. Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.
Câu 54: Trong mặt phẳng
Oxy
, cho đường thẳng
:3 2 1 0.d x y
Tìm ảnh của đường thẳng d qua
phép đối xứng trục
.Ox
A.
1
:3 2 1 0.
d x y
B.
4
:3 2 1 0.
d x y
C.
2
:3 2 1 0.
d x y
D.
3
: 3 2 1 0.
d x y
Câu 55: Trong các phép biến hình sau, phép nào không phải là phép dời hình ?
A. Phép đồng nhất. B. Phép vị tự tỉ số
1.
C. Phép chiếu vuông góc lên một đường thẳng. D. Phép đối xứng trục.
Câu 56: Trong mặt phẳng
Oxy
, cho điểm
2;4 .
M
Hỏi phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện
liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số
1
2
k
và phép đối xứng qua trục Oy biến điểm M thành điểm nào trong các
điểm dưới đây ?
A.
1;2 .
N
B.
2;4 .
P
C.
1;2 .
M
D.
1; 2 .
Q
Câu 57: Trong mặt phẳng
Oxy
, cho đường thẳng
: 2 1 0.d x y
Tìm tọa độ của vectơ
v
để phép tịnh
tiến theo
v
biến d thành chính nó.
A.
2;1 .
v
B.
1;2 .
v
C.
1;2 .
v
D.
2; 1 .
v
Câu 58: Trong mặt phẳng
,Oxy
cho điểm
3;4
M
và đường thẳng d có phương trình
2 3 0.x y
Biết
: ,
d
Ñ M N
tìm tọa độ điểm
.N
A.
3; 4 .
N
B.
2;3 .
N
C.
1;6 .
N
D.
7;2 .
N
Câu 59: Trong mặt phẳng
Oxy
, cho đường tròn (C):
2 2
1 2 4.
x y
Hãy viết phương trình đường
tròn (C’) là ảnh của (C) qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số
2k
và phép đối xứng trục Ox.
A.
2 2
2 4 16.
x y
B.
2 2
1 2 16.
x y
C.
2 2
2 4 16.
x y
D.
2 2
2 4 16.
x y
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018
89
Chuyên đề 5. Phép dới hình - Phép đồng dạng : 01655334679 – 0916620899
Câu 60: Cho tam giác
ABC
và các điểm
, ,M N P
lần lượt là trung điểm các cạnh
,BC CA
và
.AB
Gọi
G
là trọng tâm của tam giác
.ABC
Phép vị tự nào biến tam giác
ABC
thành tam giác
?MNP
A.
, 1
.
M
V
B.
1
,
2
.
G
V
C.
,2
.
A
V
D.
1
,
2
.
G
V
Câu 61: Trong mặt phẳng
Oxy
, cho hai điểm
2;3 , 4;1
M N
và đường tròn (C) có tâm
2;1
I
, bán
kính
4.R
Tìm ảnh của đường tròn (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ
.MN
A.
2
2
1 16.
x y
B.
2
2
1 16.
x y
C.
2 2
16.
x y
D.
2
2
1 4.
x y
Câu 62: Trong hình vuông
ABCD
tâm O. Gọi
,M N
lần lượt là trung điểm của
AB
và
AO
như hình vẽ
bên. Tìm ảnh của tam giác
AMN
qua phép vị tự tâm
A
tỉ số
2.k
N
M
O
D
C
B
A
A.
.OBC
B.
.ABO
C.
.ABC
D.
.AMN
Câu 63: Cho lục giác đều
ABCDEF
tâm O như hình vẽ bên. Tìm ảnh của tam giác
ABC
qua
0
,120
.
O
Q
O
F
E
D
C
B
A
A.
.EFA
B.
.FAB
C.
.DEF
D.
.CDE
Câu 64: Trong mặt phẳng
Oxy
, cho đường thẳng d có phương trình
2 0.x y
Viế phương trình
đường thẳng
d
là ảnh của d qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm
1; 1
I
tỉ số k
1
2
và phép quay tâm O góc
0
45 .
A.
0.x y
B.
0.y
C.
2 1 0.x y
D.
0.x
Câu 65: Trong mặt phẳng
,Oxy
cho điểm
2; 3
H
và
4;1 .
I
Biết
, 2
: .
I
V K H
Tìm tọa độ điểm
.K
A.
3
1; .
2
K B.
7; 3 .
K
C.
4;6 .
K
D.
5;3 .
K
Câu 66: Trong mặt phẳng
Oxy
, cho đường tròn
2 2
( ) : 4 6 4 0.
C x y x y
Tìm ảnh
( )C
của đường
tròn (C) qua phép quay tâm O, góc quay
0
90 .
A.
2 2
( ): 6 4 4 0.
C x y x y
B.
2 2
( ) : 6 4 4 0.
C x y x y
C.
2 2
( ): 3 2 3.
C x y
D.
2 2
( ): 3 2 9.
C x y
Câu 67: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình
x y x y
2 2
2 4 4 0
. Tìm ảnh
của (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ
( 2;3).v
A.
2 2
( 1) ( 1) 9.
x y
B.
2 2
( 1) ( 1) 9.
x y
C.
2 2
( 2) ( 1) 9.
x y
D.
2 2
( 1) ( 1) 9.
x y
Câu 68: Trong mặt phẳng
Oxy
, cho hai điểm
5;4 , 2;3 .
A B
Tìm ảnh của đường thẳng
AB
qua phép
vị tự tâm O tỉ số
1.k
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018
90
Chuyên đề 5. Phép dới hình - Phép đồng dạng : 01655334679 – 0916620899
A.
7 23 0.x y
B.
1 0.x y
C.
7 23 0.x y
D.
7 23 0.x y
Câu 69: Trong mặt phẳng
Oxy
, cho đường thẳng d có phương trình
2 3 0.x y
Viếi phương trình
đường thẳng
là ảnh của
: 3 11 0x y
qua phép đối xứng trục d.
A.
3 17 0.x y
B.
3 17 0.x y
C.
3 7 0.x y
D.
3 2 15 0.x y
Câu 70: Trong mặt phẳng
Oxy
, cho điểm
2;3 .
M
Trong các điểm dưới đây, điểm nào là ảnh của điểm
M qua phép đối xứng qua đường thẳng
0.x y
A.
3; 2 .
Q
B.
3;2 .
N
C.
2;3 .
K
D.
2; 3 .
P
Câu 71: Trong hình vuông
ABCD
tâm O. Gọi
, , ,M N P Q
lần lượt là trung điểm của
, ,BO AO OD
và
OC
như hình vẽ bên. Tìm ảnh của tứ giác
ABMN
qua phép đối xứng tâm O.
Q
P
N
M
O
D
C
B
A
A. Tứ giác
.CDPQ
B. Tứ giác
.NMQP
C. Tứ giác
.CAQP
D. Tứ giác
.CDNM
Câu 72: Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A. Phép đối xứng tâm có vô số điểm biến thành chính nó.
B. Phép đối xứng tâm có đúng một điểm biến thành chính nó.
C. Phép đối xứng tâm không có điểm nào biến thành chính nó.
D. Phép đối xứng tâm có hai điểm biến thành chính nó.
Câu 73: Trong mặt phẳng
Oxy
, cho đường tròn
:2 3 0.d x y
Hỏi phép vị tự tâm O tỉ số
2k
biến d
thành đường thẳng nào trong các đường thẳng có phương trình dưới đây ?
A.
2 3 0.x y
B.
4 2 5 0.x y
C.
4 3 0.x y
D.
2 6 0.x y
Câu 74: Trong mặt phẳng
Oxy
, cho điểm
2;3 .
M
Biết
:
d
Ñ E M
, với
: 0.d x y
Tìm tọa độ
điểm
.E
A.
2; 3 .
E
B.
3;2 .
E
C.
2;3 .
E
D.
3;2 .
E
Câu 75: Trong mặt phẳng
Oxy
, cho các điểm
1;3 , 4; 2
A B
và
1;5 .
C
Biết
: ,
AB
T D C
tìm tọa độ
điểm
.D
A.
2;10 .
D
B.
3; 5 .
D
C.
2;0 .
D
D.
2;3 .
D
Câu 76: Mệnh đề nào dưới đây sai ?
A. Phép vị tự tâm O, tỉ số
1k
chính là phép đối xứng tâm O.
B. Phép vị tự tâm O, tỉ số
k
biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
C. Phép tịnh tiến biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
D. Phép quay tâm O, góc quay
2 ,k k
chính là phép đối xứng tâm O.
Câu 77: Trong mặt phẳng
Oxy
, cho đường thẳng
: 2 3 5 0.
d x y
Tìm ảnh của đường thẳng d qua
phép vị tự tâm O tỉ số
2.k
A.
2 3 10 0.x y
B.
2 3 10 0.x y
C.
3 2 11 0.x y
D.
2 3 7 0.x y
Câu 78: Trong mặt phẳng
Oxy
, cho điểm
2;3
A
và đường tròn (C) có tâm
2; 2
I
, bán kính
5.
R
Tìm ảnh của đường tròn (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ
.AO
A.
2 2
2 3 5.
x y
B.
2
2
5 25.
x y
C.
2
2
5 5.
x y
D.
2
2
5 5.
x y
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018
91
Chuyên đề 5. Phép dới hình - Phép đồng dạng : 01655334679 – 0916620899
Câu 79: Trong mặt phẳng
Oxy
, cho đường tròn
2 2
( ) : 1 2 4.
C x y
Hỏi phép dời hình có được
bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng qua trục Oy và phép tịnh tiến theo vectơ
2;3
v
biến (C)
thành đường tròn nào trong các đường tròn có phương trình dưới đây ?
A.
2 2
4.
x y
B.
2 2
1 1 4.
x y
C.
2 2
2 6 4.
x y
D.
2 2
2 3 4.
x y
Câu 80: Cho tam giác đều tâm O. Hỏi có bao nhiêu phép quay tâm O góc
,0 2 ,
biến tam giác
trên thành chính nó ?
A. Một. B. Hai. C. Ba. D. Bốn.
Câu 81: Cho hình chữ nhật
ABCD
. Gọi
O
là tâm đối xứng của nó. Gọi
, , ,I F J E
lần lượt là trung điểm
của các cạnh
, ,AB BC CD
và
DA
. Tìm ảnh của tam giác
AEO
qua phép đồng dạng có được bằng cách
thực hiện liên tiếp phép đối xứng qua đường thẳng
IJ
và phép vị tự tâm
B
tỉ số 2.
A. Tam giác
.ADC
B. Tam giác
.BFO
C. Tam giác
.ABC
D. Tam giác
.BCD
Câu 82: Trong mặt phẳng hệ trụa toạ độ Oxy, cho hai điểm
(1;2)A
và
(3;4).B
Tìm điểm M trên trục
hoành sao cho MA + MB bé nhất.
A.
5
;0 .
3
M
B.
3
;0 .
2
M
C.
4
;0 .
3
M
D.
9
;0 .
2
M
Câu 83: Trong mặt phẳng toạ độ
Oxy
, cho
( 2;3)v
và đường thẳng d có phương trình
x y3 5 3 0
.
Viết phương trình đường thẳng
d
là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo vectơ
v
.
A.
3 5 24 0.x y
B.
3 5 16 0.x y
C.
3 5 24 0.x y
D.
2 0.x y
Câu 84: Cho lục giác đều
ABCDEF
tâm O như hình vẽ bên. Tìm ảnh của tam giác
AFO
qua phép tịnh
tiến theo vectơ
.ED
O
F
E
D
C
B
A
A.
.BOC
B.
.FED
C.
.BED
D.
.OCD
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018
92
Chuyên đề 5. Phép dới hình - Phép đồng dạng : 01655334679 – 0916620899
C. ĐÁP ÁN
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
A
B
C
D
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
A
B
C
D
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
A
B
C
D
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
A
B
C
D
81 82 83 84
A
B
C
D
| 1/96

Tài liệu khác của Toán

Preview text:


Giáo Viên Trường THPT Tuy Phong TOAÙN CĐ1. LƯỢNG GIÁC
CĐ2. TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT
CĐ3. DÃY SỐ, CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN CĐ4. GIỚI HẠN
CĐ5. PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG LỜI NÓI ĐẦU
Quý đọc giả, quý thầy cô và các em học sinh thân mến!
Nhằm giúp các em học sinh có tài liệu tự học môn Toán, tôi biên
soạn cuốn tài liệu ÔN THI THPT QG.
Nội dung của cuốn tài liệu bám sát chương trình chuẩn và
chương trình nâng cao về môn Toán đã được Bộ Giáo dục và Đào tạo quy định. NỘI DUNG
Phần 1. Phần lý thuyết
Ở phần này tôi trình bày đầy đủ lí thuyết cần nắm cho mỗi chuyên đề.
Phần 2. Phần trắc nghiệm
Bài tập trắc nghiệm theo các chuyên đề, đa dạng, phong phú và
bám sát cấu trúc thi của Bộ.
Cuốn tài liệu được xây dựng sẽ còn có những khiếm khuyết. Rất
mong nhận được sự góp ý, đóng góp của quý đồng nghiệp và các
em học sinh để lần sau cuốn bài tập hoàn chỉnh hơn.
Mọi góp ý xin gọi về số 01655.334.679 – 0916 620 899 Email: lsp02071980@gmail.com Chân thành cảm ơn. Lư Sĩ Pháp GV_ Trường THPT Tuy Phong MỤC LỤC CĐ1. Lượng giác 01 - 20
CĐ2. Tổ hợp và xác suất 21 - 50
CĐ3. Dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân 51 - 58 CĐ4. Giới hạn 59 - 78
CĐ5. Phép dời hình và phép đồng dạng 79 - 92
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018
CHUYÊN ĐỀ 1. LƯỢNG GIÁC
A. KIẾN THỨC CẦN NẮM
I. Công thức lượng giác
1. Hằng đẳng thức lượng giác cơ bản sin    2 2 sin   cos   1  tan   ; 
k , k   cos 2 cos k  cot  
;  k , k  
 tan.cot   1;  , k   sin  2 1  1  2 1 tan   ; 
k , k    2 1 cot  
;  k , k   2 cos  2 2 sin 
2. Các công thức lượng giác 2.1. Công thức cộng
 cos      cos cos   sin sin 
 sin      sin cos   cos sin  tan   tan   tan     
, với mọi  ,  làm cho các biểu thức có nghĩa. 1 tan  tan  2.2. Công thức nhân đôi
 sin 2  2 sin cos  2 2 2 2
cos 2  cos   sin   2 cos  1  1 2sin  2 tan   tan 2  ; , 2 
k , k   2 1 tan  2 2.3. Công thức nhân ba  3
cos 3  4 cos   3cos  3
sin 3  3sin   4 sin  2.4. Công thức hạ bậc 1 cos 2 1 cos 2  2 cos    2 sin   2 2 1 cos 2  2 tan  
, với  làm cho biểu thức có nghĩa. 1 cos 2
2.5. Công thức biến đổi tổng thành tích            
 cos  cos   2 cos .cos  cos  cos   2  sin .sin 2 2 2 2            
 sin   sin   2sin .cos
 sin   sin   2cos .sin 2 2 2 2
, với mọi  ,  làm cho các biểu thức có nghĩa.
2.6. Công thức biến đổi tích thành tổng 1  cos.cos  
cos      cos     2   1
 sin .sin    cos      cos    2   1  sin .cos  
sin      sin     2   2.7. Công thức rút gọn      
 sin  cos  2 sin    2 cos        4   4       
 sin  cos  2 sin     2 cos        4   4  1
Chuyên đề 1. Lượng giác
: 01655334679 – 0916620899
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018 2  tan  cot 
, với  làm cho biểu thức có nghĩa sin 2   x x2 cos sin  1 sin 2x ,  4 4
cos x  sin x  cos 2x 1 3  4 4 2 2 2
cos x  sin x  1 2 cos . x sin x  1 sin 2x ,  6 6 2 2 2
cos x  sin x  1 3cos . x sin x  1 sin 2x 2 4
3. Giá trị lượng giác của các góc (cung) có liên quan đặt biệt
3.1. Hai góc đối nhau ( cung đối) ( làm cho các biểu thức có nghĩa)  cos(   )  cos  sin(   )   sin  tan( 
 )   tan  cot(   )   cot 
3.2. Hai góc bù nhau( cung bù)( làm cho các biểu thức có nghĩa)
 sin(  )  sin  cos(  )   cos
 tan(  )   tan  cot(  )   cot
3.3. Hai góc phụ nhau ( cung phụ)( làm cho các biểu thức có nghĩa)        sin    cos    cos    sin     2   2         tan    cot     cot    tan     2   2 
3.4. Hai góc hơn kém  (cung hơn kém  ),( làm cho các biểu thức có nghĩa)
 sin(   )   sin
 cos(  )   cos
 tan(  )  tan
 cot(  )  cot   3.5. Hai góc hơn kém (cung hơn kém
),( làm cho các biểu thức có nghĩa) 2 2        sin    cos    cos     sin     2   2         tan     cot    cot     tan    2   2 
3.6. Cung bội. ( k   ,  làm cho các biểu thức có nghĩa)
 sin(  k2 )  sin
 cos(  k 2 )  cos
 tan(  k )  tan
 cot(  k )  cot
4. Bảng giá trị lượng giác các góc (cung) đặt biệt  00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800     2 3 5 0 6 4 3 2 3 4 6  HSLG sin  1 1 2 3 3 2 0 2 1 0 2 2 2 2 2 cos 3 2 1 1  2 3 1 0   - 1 2 2 2 2 2 2 tan 3 3  3 3 0 1 // - 1  0 3 3 cot  3 3 3  3 // 1 0  - 1 // 3 3 // : Không xác định
II. Phương trình lượng giác
1. Phương trình lượng giác cơ bản 1
u arc sin a k 2 1
u v k 2 sin u a  ,  a    1
sin u  sin v  
u    arc sin a k 2 
u    v k 2  2
Chuyên đề 1. Lượng giác
: 01655334679 – 0916620899
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018
2 cos u au  arc cos a k2 , a   1 2
cos u  cos vu  v k 2
3 tan u a u arc tan a k 3
tan u  tan v u v k
4 cot u a u arc cot a k 4
cot u  cot v u v k
Trường hợp đặc biệt 1  
sin u  1  u   k 2 sin u  1   u    k 2
sin u  0  u k 2 2 2 
cos u  1  u k 2
cos u  1  u    k 2
cos u  0  u   k 2 3  
tan u  1  u   k tan u  1   u    k
tan u  0  u k 4 4 4   
cot u  1  u   k
cot u  1  u    k
cot u  0  u   k 4 4 2
2. Phương trình lượng giác thường gặp
2.1. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng
2.2. Phương trình bậc hai đối với một giác: HSLG:
a. ĐN: Phương trình có dạng at b  0, a  0 , t là một a. ĐN: Phương trình có dạng:
trong các hàm số lượng giác. 2
at bt c  0, (a  0) ,
b. Cách giải: Biến đổi đưa về phương trình lượng giác
trong đó t là một HSLG của ẩn cơ bản.
b. Cách giải: Đặt HSLG làm ẩn phụ (đ/k nếu
có), đưa PT về PT bậc hai một ẩn phụ và
giải để tìm ẩn phụ. Thay ẩn phụ, ta được PTLG cơ bản.
2.3. Phương trình bậc nhất đối với sinu và cosu:
2.4. Một số phương trình biến đổi đưa về các
a. ĐN: Phương trình có dạng:
dạng phương trình đã biết, đã học: Phương 2 2
a sin u b cos u c, (a b  0)
trình lượng giác cơ bản; phương trình bậc b. Cách giải:
nhất, bậc hai đối với một HSLG; phương
trình bậc nhất đối với sinu và cosu.
B1: Kiểm tra điều kiện có nghiệm: Nếu 2 2 2
a b c Lưu ý: thì PT có nghiệm
Nắm vững công thức và cách biến đổi, dùng B2: Chia 2 vế PT cho 2 2 a b , Đặt
công thức cho phù hợp từng dạng phương a b trình.  cos;  sin  . Ta được PT: 2 2 2 2 a b a b c
sin u.cos  cos u.sin   2 2 a b c sin(u   )  2 2 a b
Lưu ý: Ở đây ta áp dụng công thức cộng
 sin      sin cos   cos sin 
 cos      cos cos   sin sin 
B3: Giải PT cơ bản tìm nghiệm. 3
Chuyên đề 1. Lượng giác
: 01655334679 – 0916620899
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018
B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 1 1
Câu 1: Tính giá trị của biểu thức E   . 0 0 sin18 sin 54 A. E  2.  B. E  1.  C. E  2. D. E  1. 2
Câu 2: Cho góc  thỏa mãn sin 
. Tính giá trị của biểu thức P  1 3cos2 2  3cos2 . 3 19 14 14 A. P  4  . B. P  . C. P   . D. P  . 4 9 9
Câu 3: Giải phương trình cos3x  cos2x  cos x 1  0. 2 2 kA. x  
k2 , x k , k  .  B. x   k , x  , k  .  3 3 2 2  C. x
k2 , x k2 , k  .  D. x
k2 , x k2 , k  .  3 3 1 tan x  cot x
Câu 4: Cho biết sin x  . Tính giá trị của biểu thức H  . 3 tan x  cot x 61 7 14 9 A. H  . B. H   . C. H  . D. H   . 79 9 23 7
Câu 5: Tìm tập nghiệm S của phương trình sin x  cos x  2.    3 
A. S    k2 , k  . B. S  
k 2 , k  .  4   4  3     C. S  
k , k  . D. S  
k , k  .  4   4 
Câu 6: Hàm số y  cos x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây ?  3    19   11   11  A.  ; .  B. ;10 . C.  ; 5   . D. ; 7 . 2 2          2   2   2   1
Câu 7: Tìm tập xác định D của hàm số y   cot x. sin x   k
A. D   \   k ,k    .
B. D   \  ,k  .  2     k  2 
C. D   \   
k ,k  .
D. D   \  ,k  .  2   3  2
Câu 8: Tìm tập xác định D của hàm số y  . cos x  cos3x    k 
A. D   \   k ,k  .
B. D   \  ,k  . 4   3    k   
C. D   \  ,k  .
D. D   \   k ,k  . 2   2    x     x
Câu 9: Tìm chu kì tuần hoàn T của hàm số y  tan   cot  .  2 4   4 3      A. T  2 B. T  4 C. T  6 D. T  8   
Câu 10: Tìm tất cả giá trị của x để hàm số y  2 cos  x  3 
có giá trị lớn nhất bằng 5. 3    4
Chuyên đề 1. Lượng giác
: 01655334679 – 0916620899
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018  2 A. x
k2 , k  .  B. x
k2 , k  .  3 3  2 C. x  
k2 , k  .  D. x  
k2 , k  .  3 3
Câu 11: Kí hiệu M là giá trị lớn nhất của hàm số: 4 4
y  sin x  cos x. Tìm M. A. M  1. B. M  2. C. M  2. D. M  1  . 2
Câu 12: Giải phương trình sin x  . 2  3  3 A. x
k hoặc x
k , k  .  B. x
k2 hoặc x
k2 , k  .  4 4 4 4  5  3 C. x  
k2 hoặc x
k2 , k  .  D. x
k2 hoặc x  
k2 , k  .  4 4 4 4
Câu 13: Tìm số nghiệm của phương trình  x  0 2 cos 3
15   3 thuộc khoảng  0 0 90 ;360 . A. 4. B. 5. C. 3. D. 0. cos 2x sin x  cos3x
Câu 14: Cho hai hàm số f (x)  và g(x) 
. Mệnh đề nào dưới đây đúng ? 2 1 sin 3x 2 2  tan x
A. f (x) và g(x) là hàm số lẻ.
B. f (x) là hàm số chẵn, g(x) là hàm số lẻ.
C. f (x) là hàm số lẻ, g(x) là hàm số chẵn.
D. f (x) và (
g x) là hàm số chẵn.
Câu 15: Tìm tập xác định D của hàm số y  6 tan 3x  4 cot 3x.  k 
A. D   \  ,k  . B. D  .  6  
C. D   \ k ,k    .
D. D  0;.   
Câu 16: Tìm tập xác định D của hàm số y  tan 2x  .  5    3  3 k 
A. D   \ 
k2 , k  .
B. D   \   ,k  . 2   20 2   3    k 
C. D   \ 
k , k  .
D. D   \   ,k  . 5   20 2     
Câu 17: Tìm tất cả giá trị của x để hàm số y  2 cos  x  3 
có giá trị nhỏ nhất bằng 1  . 3    2  A. x  
k2 , k  .  B. x  
k2 , k  .  3 3  2 C. x
k2 , k  .  D. x
k2 , k  .  3 3
Câu 18: Mệnh đề nào dưới đây đúng ?   
A. Hàm số y  2 sin x  tan x là hàm số lẻ trên khoảng 0; .    2 
B. Hàm số y  cos x x sin x có đồ thị nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.   
C. Hàm số y  2 cos x  cos x    là hàm số chẵn.  3  cos x
D. Hàm số y
có đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng. 4  cos 2x 5
Chuyên đề 1. Lượng giác
: 01655334679 – 0916620899
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018
Câu 19: Tính giá trị của biểu thức 0 0 0 0
E  tan 9  tan 27  tan 63  tan81 . A. E  2.  B. E  2. C. E  4. D. E  4.  2 cos x  5
Câu 20: Tìm tập xác định D của hàm số y  . 3sin x  4  k 
A. D   \  ,k  .
B. D   \ k ,k    . 2    4  C. D  . 
D. D   \   3  
Câu 21: Giải phương trình sin 3x  cos . x k    A. x   hoặc x
k , k  .  B. x
k hoặc x
k2 , k  .  8 2 4 8 4    C. x
k2 , k  .  D. x
k2 hoặc x  
k , k  .  4 8 4
Câu 22: Giải phương trình sin 3x  sin x.    A. x
k hoặc x
k2 , k  .  B. x
k2 , k  .  8 4 4   kC. x
k hoặc x k2 , k  . 
D. x k hoặc x   , k  .  2 4 2
Câu 23: Kí hiệu M là giá trị lớn nhất của hàm số: 4 4
y  sin x  cos x. Tìm M. 1 A. M  1. B. M  2. C. M  0. D. M  . 2 2 2
sin x  3sin x cos x  2 cos x  3
Câu 24: Cho biết tan x  3
 . Tính giá trị của biểu thức K  . 2 1 4 sin x 9 11 14 2 A. K   . B. K  . C. K  . D. K   . 7 6 23 3 2  cos x
Câu 25: Tìm tập xác định D của hàm số y  .    1 tan x   3    5      5 
A. D   \   k   
k ; k   . 
B. D   \ 
k , k  . 6 12      6     
C. D   \ 
k , k  .
D. D   \   1 . 12   2
Câu 26: Giải phương trình cos 0 3x  60   . 2 A. 0 0
x  35  k60 hoặc 0 0
x  5  k60 ,k  .  B. 0 0 x  35  1 k 20 hoặc 0 0 x  5  12 k 0 , k  .  C. 0 0
x  35  k360 hoặc 0 0
x  5  k360 , k  .  D. 0 0 x  35  1 k 80 hoặc 0 0 x  5  18 k 0 , k  . 
Câu 27: Cặp hàm số nào sau đây có cùng tập xác định ? 2  sin x
A. y  tan x và y  sin x.
B. y  tan x và y  . cos x
C. y  tan x và y  cot x.
D. y  cos x và y  cot x.
Câu 28: Giải phương trình tan x  3.     A. x
k2 , k  .  B. x  
k , k  .  C. x
k , k  .  D. x
k , k  .  3 3 3 6 6
Chuyên đề 1. Lượng giác
: 01655334679 – 0916620899
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018
Câu 29: Giải phương trình 2
cos 4x 12sin x 1  0. k  A. x  , k  .  B. x
k , k  . 
C. x k2 , k  . 
D. x k , k  .  3 2  2 
Câu 30: Giải phương trình sin x   cos3x.  3       k  A. x
k hoặc x  
k , k  .  B. x   hoặc x  
k , k  .  12 4 24 2 12   k  k  C. x  
k hoặc x   , k  .  D. x    hoặc x
k , k  .  24 12 2 24 2 12
Câu 31: Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 2
sin x  sin 2x  cos x  2 cos x.     A. x  . B. x  . C. x  . D. x  . 3 4 2 6 3
Câu 32: Giải phương trình cos x   . 2  5 A. x  
k , k  .  B. x  
k2 ,k  .  6 6 5  C. x  
k ,k  .  D. x  
k2 , k  .  6 6 3 tan x  2
Câu 33: Tìm tập xác định D của hàm số y  . 1 sin x   
A. D   \ 
k2 , k  .
B. D   \   k ,k    . 2    
C. D   \ k ,k    .
D. D   \   k ,k  . 2   3 9   
Câu 34: Cho góc  thỏa mãn     cos  
. Tính P  tan   . 2 41  4    49 49 31 12 A. P  . B. P   . C. P   . D. P  . 31 31 49 5  x  
Câu 35: Tìm tất cả giá trị của x để hàm số y  2 sin   3 
có giá trị nhỏ nhất bằng 5  . 2 5    13  A. x  
k4 , k  .  B. x
k4 , k  .  5 5 13 13 C. x
k2 , k  .  D. x
k4 , k  .  5 5
Câu 36: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y  21 cos x 1.
A. Min y  2 và Max y  3. B. Min y  1  và Max y  3.    
C. Min y  1 và Max y  3.
D. Min y  3 và Max y  1.    
Câu 37: Giải phương trình 2
sin 5x  2 cos x  1.  2  2  2  2 A. x   k hoặc x   k ,k  .  B. x    k hoặc x    k , k  .  6 3 14 7 6 3 14 7  k  k  k  k2 C. x   hoặc x    , k  .  D. x   hoặc x    , k  .  3 3 3 3 6 3 7 7 7
Chuyên đề 1. Lượng giác
: 01655334679 – 0916620899
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018 Câu 38: _     A. x
k , x  
k , k  .  B. x
k2 , x  
k2 , k  .  2 6 2 6     C. x    k , x
k , k  .  D. x
k2 , x  
k2 , k  .  2 6 4 3
Câu 39: Hàm số y  sin x đồng biến trên khoảng nào dưới đây ?  19   7   15  A. ;10 .  B.  ; 3   . C. 7 ; . D.  6   ; 5   . 2        2   2   x
Câu 40: Tìm chu kì tuần hoàn T của hàm số 2 y  cos . 2  A. T  . B. T  2 . C. T  4 . D. T  8 . 2
Câu 41: Tìm chu kì tuần hoàn T của hàm số y  tan 3 x.  1 A. T  . B. T  3 . C. T  . D. T   . 3 3
Câu 42: Nếu xét trên khoảng 0;2  . Trên những khoảng nào thì hàm y  sin x và y  cos x cùng nghịch biến ?  3      3  A. ;2 .  B. ; . C. ;2 . D. 0; . 2        2   2  
Câu 43: Tìm chu kì tuần hoàn T của hàm số y  cos x  cos 3x. 2 A. T  2 . B. T  . C. T  4 . D. T   . 3 1
Câu 44: Giải phương trình sin x  . 2    5 A. x  
k2 hoặc x
k2 , k  .  B. x
k hoặc x
k , k  .  6 6 6 6  5 5 5 C. x
k2 hoặc x
k2 , k  .  D. x
k hoặc x  
k2 , k  .  6 6 6 6 1
Câu 45: Cho sin  cos  . Tính sin 2. 2 3 3 3 1 A. sin 2  . B. sin 2   . C. sin 2  . D. sin 2  . 8 4 4 4 Câu 46: _  A. T  . B. T  3 . C. T  6 . D. T  2 . 3 3 1
Câu 47: Cho a, b là góc nhọn và cot a  , cot b
. Tính tổng S a  . b 4 7 5   3 A. S  . B. S  . C. S  . D. S  . 14 4 6 4
Câu 48: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y  3  2 sin x.
A. Min y  5 và Max y  1. B. Min y  1  và Max y  5.    
C. Min y  1 và Max y  5.
D. Min y  5 và Max y  1  .    
Câu 49: Giải phương trình 3 cos 5x  2 cos 3x  sin 5x  0. 8
Chuyên đề 1. Lượng giác
: 01655334679 – 0916620899
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018   k   kA. x
k hoặc x    , k  .  B. x
k2 hoặc x   , k  .  6 48 4 12 48 8   k   kC. x
k hoặc x   , k  .  D. x
k2 hoặc x   , k  .  12 48 4 8 48 2
Câu 50: Giải phương trình 3 sin x  cos x  2.   A. x
k2 , k  .  B. x
k , k  .  3 3   C. x
k2 , k  .  D. x  
k2 , k  .  6 6 sin
Câu 51: Cho góc  thảo mãn tan  2 . Tính E  . 3 3 sin   3cos  11 10 11 10 A. E  . B. E  . C. E   . D. E   . 10 11 10 11
Câu 52: Giải phương trình sin 2x  3 cos 2x  2 sin 3x.  4 k2  4 A. x  
k2 hoặc x   , k  .  B. x  
k hoặc x
k2 , k  .  3 15 5 3 15  4 k2  4 k2 C. x
k2 hoặc x   , k  .  D. x
k2 hoặc x   , k  .  3 5 5 6 15 3
Câu 53: Kí hiệu M là giá trị lớn nhất của hàm số y  sin x  cos x. Tìm M. A. M  2 2. B. M  2. C. M   2. D. M  1.
Câu 54: Kí hiệu m là giá trị nhỏ nhất của hàm số: y  sin x  3 cos x . Tìm m. A. m  2  . B. m   3. C. m   2. D. m  1. cos 4x   
Câu 55: Tìm số nghiệm của phương trình
 tan 2x có số nghiệm thuộc khoảng 0; . cos 2x  2    A. 4. B. 3. C. 5. D. 2.      
Câu 56: Kí hiệu m là giá trị nhỏ nhất của hàm số: y  cos 2x   cos 2x  .  Tìm m. 4   4      A. m   2. B. m  2  . C. m  3 2. D. m  4  .   
Câu 57: Xét trên khoảng 0; 
 , hàm số nào dưới đây đồng biến ?  2 
A. y  tan x  2. B. 2 y  2  sin . x
C. y  3  2 sin . x
D. y  sin x  3.  1   
Câu 58: Cho góc  thỏa mãn     sin 
. Tính giá trị của biểu thức P  sin   . 2   5 6   15 3  2 2  3 5 A. P  . B. P  . C. P  . D. P   . 10 2 5 2 5 5 3
Câu 59: Gọi m và M là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y
. Tính P m.M 2 5  sin x 9 3 A. P  20. B. P  . C. P  . D. P  4. 20 4 sin 3x
Câu 60: Tìm tập xác định D của hàm số y  . cot x 9
Chuyên đề 1. Lượng giác
: 01655334679 – 0916620899
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018  
A. D   \   
k ,k  .
B. D   \ k  2 ,k    .  2    k
C. D   \  ,k  .
D. D   \   k ,k    .  2 
Câu 61: Hàm số nào sau đây là hàm số không chẵn, không lẻ ? A. 2
y  2 cos x  2x .
B. y  2 cos x 1.
C. y  sin x  2.
D. y  2 sin x  . x   
Câu 62: Tìm tập xác định D của hàm số y  tan 2x  .  3     
A. D   \   k ,k  . B. D  .  6    k    k 
C. D   \  ,k  .
D. D   \   ,k  . 2   12 2   3  4 cot 2x
Câu 63: Tìm tập xác định D của hàm số y  . cos 2x 1
A. D   \   1 .
B. D   \ k ,k    .  k  1 
C. D   \  ,k  .
D. D   \  . 2   2  
Câu 64: Giải phương trình 3 8cos x 1  0. 2  kA. x  
k ,k  .  B. x    , k  .  3 3 2   C. x
k , k  .  D. x  
k2 , k  .  3 3  3 tan
Câu 65: Cho góc  thỏa mãn     sin 
. Tính giá trị của biểu thức P  . 2 5 2 1 tan  4 12 12 25 A. P   . B. P  . C. P   . D. P   . 3 25 25 12   
Câu 66: Tìm số nghiệm của phương trình sin x   1  thuộc đoạn   ;2  . 4      A. 1 B. 0 C. 2 D. 3
Câu 67: Tìm tập nghiệm S của phương trình sin x  cos x   2.  3    A. S  
k 2 , k  .
B. S    k , k  .  4   4     5  C. S  
k , k  . D. S  
k 2 , k  .  4   4 
Câu 68: Tìm tập nghiệm S của phương trình sin x  cos x  2.    3 
A. S    k , k  . B. S  
k 2 , k  .  4   4     5  C. S  
k , k  . D. S  
k , k  .  4   4 
Câu 69: Giải phương trình 3 3
sin x  cos x  cos x.  k 3
A. x k2 , x  
k , k  .  B. x  , x
k , k  .  4 2 4 10
Chuyên đề 1. Lượng giác
: 01655334679 – 0916620899
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018  
C. x k2 , x
k2 , k  . 
D. x k , x
k , k  .  4 4
Câu 70: Giải phương trình sin x  3 cos x  2 sin 2x.  2 k2   k2 A. x
k2 hoặc x   , k  .  B. x  
k2 hoặc x   , k  .  3 9 3 3 9 3  2 k   C. x
k2 hoặc x   , k  .  D. x
k hoặc x
k , k  .  6 3 3 3 6 1 x
Câu 71: Tìm tập xác định D của hàm số y  sin . 1 x A. D  . 
B. D  1;1 .  
C. D  1;   1 .
D. D   \   1 .
Câu 72: Giải phương trình 2
2 sin x  7 sin x  4  0.  5  7 A. x  
k2 hoặc x  
k2 , k  .  B. x
k2 hoặc x
k2 , k  .  6 6 12 6  5  5 C. x
k hoặc x
k , k  .  D. x
k 2 hoặc x
k2 , k  .  6 6 6 6 1
Câu 73: Giải phương trình cos x   . 2 2 2 A. x  
k ,k  .  B. x  
k2 , k  .  3 3   C. x  
k2 , k  .  D. x  
k , k  .  3 3
1 sin 2x  cos 2x
Câu 74: Giải phương trình
 2 sin x sin 2x. 2 1 cot x     A. x  
k2 , x
k , k  .  B. x
k2 , x
k , k  .  2 3 2 4 3 3   C. x   k , x
k2 , k  .  D. x   k , x
k2 , k  .  2 4 2 4 5x 3x
Câu 75: Giải phương trình 4 cos cos  2 8sin x   1 cos x  5. 2 2  5  5 A. x
k2 hoặc x
k2 , k  .  B. x  
k2 hoặc x
k2 , k  .  12 12 12 12  5 5 k2 5 kC. x
k hoặc x
k ; k  .  D. x   hoặc x   ,k  .  12 12 6 3 12 3 3
Câu 76: Giải phương trình cot x   . 3     A. x  
k , k  .  B. x
k2 , k  .
C. x    k ,k  .  D. x
k , k  .  3 3 6 6
Câu 77: Hàm số nào dưới đây có tập xác định là .  1 2 cos x  5
A. y  cot x  2x.
B. y  tan x  cot x.
C. y  sin x  . D. y  . x 3sin x  4
Câu 78: Cho hai hàm số f (x)  sin 2x và g(x)  cos 3x . Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A. f (x) và g(x) là hàm số lẻ.
B. f (x) là hàm số chẵn, g(x) là hàm số lẻ.
C. f (x) và g(x) là hàm số chẵn.
D. f (x) là hàm số lẻ, (
g x) là hàm số chẵn. 11
Chuyên đề 1. Lượng giác
: 01655334679 – 0916620899
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018 3sin x  7
Câu 79: Tìm tập xác định D của hàm số y  . 2 cos x  5  5 
A. D   \  . B. D  .  2    k 
C. D   \ k ,k    .
D. D   \  ,k  . 2  
Câu 80: Giải phương trình 8 cos 2x sin 2x cos 4x  2.  k 3 k  k 3 A. x   hoặc x   , k  .  B. x   hoặc x
k , k  .  32 4 32 4 32 2 32  k 3 k  3 C. x    hoặc x   , k  .  D. x
k2 hoặc x
k2 , k  .  32 4 32 2 32 32
Câu 81: Tìm nghiệm âm lớn nhất của phương trình 2
2 tan x  5tan x  3  0.  3  5 A. x   . B. x   . C. x   . D. x   . 4 4 3 6
Câu 82: Giải phương trình 2 cos2x  sin x  sin 3x.  k   k  A. x   hoặc x
k2 , k  .  B. x   hoặc x
k , k  .  4 2 2 4 4 2  k    C. x    hoặc x
k2 , k  .  D. x
k2 hoặc x
k , k  .  4 2 3 4 2  x
Câu 83: Gọi X là tập nghiệm của phương trình 0 cos 15  sin x
. Mệnh đề nào dưới đây đúng? 2    A. 0 200  X. B. 0 240  X. C. 0 290  X. D. 0 220  X. tan x  cot x
Câu 84: Tìm tập xác định D của hàm số y  . 1 sin 2x  k    
A. D   \   1
B. D   \    
k ; k  .  2 4      1   
C. D   \  .
D. D   \   k ,k  . 2   4  
Câu 85: Giải phương trình 2
2sin x  5sin x  3  0.  4  5 A. x
k2 hoặc x
k2 , k  .  B. x
k hoặc x
k , k  .  3 3 6 6  5  5 C. x  
k2 hoặc x  
k2 , k  .  D. x
k2 hoặc x
k2 , k  .  6 6 6 6
Câu 86: Tìm số nghiệm của phương trình sin x  cos x có số nghiệm thuộc đoạn    ;  .   A. 6. B. 5. C. 2. D. 4.   
Câu 87: Cho hai hàm số f (x)  tan 4x và (
g x)  sin x  
. Mệnh đề nào dưới đây đúng ? 2   
A. f (x) là hàm số chẵn, g(x) là hàm số lẻ.
B. f (x) là hàm số lẻ, g(x) là hàm số chẵn.
C. f (x) và g(x) là hàm số lẻ.
D. f (x) và (
g x) là hàm số chẵn.
Câu 88: Giải phương trình sin x  3 cos x  2  . 5  A. x  
k2 , k  .  B. x  
k2 , k  .  6 6 12
Chuyên đề 1. Lượng giác
: 01655334679 – 0916620899
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018  5 C. x
k2 , k  .  D. x
k , k  .  6 6
Câu 89: Kí hiệu m là giá trị nhỏ nhất của hàm số: 4 4
y  sin x  cos x. Tìm m. A. m  1  . B. m  2  . C. m  3  . D. m  4.
Câu 90: Tìm tập nghiệm S của phương trình sin x  cos x   2. 5    A. S  
k 2 , k  .
B. S    k2 , k  .  4   4      3  C. S  
k , k  . D. S  
k 2 , k  .  4   4 
Câu 91: Giải phương trình 2 sin x  2 cos x  2  sin 2x. 3 3 A. x  
k , k  .  B. x  
k2 , k  .  4 4  5 C. x  
k , k  .  D. x  
k2 ,k  .  4 4 tan x  cot x
Câu 92: Tìm tập xác định D của hàm số y  . 1 sin 2x 5       
A. D   \   k   
k ; k   . 
B. D   \   k ,k  . 6 12      4    k      k 
C. D   \    
k ; k  . 
D. D   \  ,k  . 2 4      2  
Câu 93: Giải phương trình sin x  4 cos x  2  sin 2x.   A. x  
k2 , k  .  B. x  
k2 , k  .  3 6  2 C. x  
k2 , k  .  D. x  
k2 , k  .  4 3
Câu 94: Tìm tất cả giá trị của x để hàm số 4 2
y  cos x  4 cos x  5 có giá trị lớn nhất bằng 10.  A. x  
k2 , k  . 
B. x k , k  .  2 k  C. x  , k  .  D. x
k , k  .  2 2   
Câu 95: Giải phương trình cos
x  sin 2x  0.  2    k2 kA. x
hoặc x    k2 , k  .  B. x
hoặc x    k , k  .  3 3  2 kC. x
k hoặc x  
k , k  .  D. x
hoặc x k2 , k  .  3 3 3
Câu 96: Cho hàm số f (x)  tan x  sin .
x Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A. f (x) tuần hoàn với chu kì T  .
B. f (x) là hàm số chẵn.
C. f (x) xác định khi và chỉ khi x k , k  . 
D. f (x) là hàm số lẻ. x x
Câu 97: Tìm chu kì tuần hoàn T của hàm số y  cos  cos . 2 3 A. T  8 . B. T  6 . C. T  4 .
D. T  12 . 13
Chuyên đề 1. Lượng giác
: 01655334679 – 0916620899
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018 3 1 cos x x  sin x
Câu 98: Cho các hàm số f (x)  , g(x) 
. Mệnh đề nào dưới đây đúng ? 1 cos x cos 2x
A. f (x) và g ( x) là các hàm số chẵn.
B. f (x) là hàm số lẻ và g ( x) là hàm số chẵn.
C. f (x) và g ( x) là các hàm số lẻ.
D. f (x) là hàm số chẵn và g ( x) là hàm số lẻ.
Câu 99: Giải phương trình sin 3x  3 cos 3x  2 sin 2x. 2 4 k 2  k2 A. x   k , x   , k  .  B. x  
k2 , x   , k  .  3 15 5 3 15 5  4 k2 2 4 k2 C. x
k2 , x   , k  .  D. x
k2 , x   , k  .  3 5 5 3 15 5
Câu 100: Tìm chu kì tuần hoàn T của hàm số y  sin 3x.cos 4x. A. T  3 . B. T   . C. T  4 . D. T  2 . 1 2  cos x
Câu 101: Cho biết cot x
. Tính giá trị của biểu thức M  . 2 2 2 sin x  sin .
x cos x  cos x  3 19 121 11 61 A. M   . B. M  . C. M  . D. M  . 8 16 16 79
Câu 102: Tìm tất cả giá trị của x để hàm số 4 2
y  cos x  4 cos x  5 có giá trị nhỏ nhất bằng 5.   A. x  
k2 , k  .  B. x
k , k  .  2 2   C. x
k2 , k  .  D. x  
k , k  .  2 2 1 1 1 Câu 103: Gọi , A ,
B C là ba góc nhọn của một tam giác thỏa tan A  ,tan B  ,tanC  . Tính tổng 2 5 8
S A B C. A. 0 S  30 . B. 0 S  60 . C. 0 S  120 . D. 0 S  45 . 1 3 3
sin x  2 cos x  3sin x
Câu 104: Cho biết tan x  . Tính giá trị của biểu thức P  . 3 2 3
4 sin x  5sin x cos x  6 sin x 61 79 14 4 A. P  . B. P  . C. P  . D. P   . 79 61 23 5 2 cos x  cot x
Câu 105: Cho hai hàm số 3
f (x)  sin x  tan x và ( g x) 
.Mệnh đề nào dưới đây đúng ? sin x
A. f (x) là hàm số lẻ, g(x) là hàm số chẵn.
B. f (x) và g(x) là hàm số chẵn.
C. f (x) là hàm số lẻ, g(x) là hàm số lẻ.
D. f (x) và (
g x) là hàm số lẻ.
Câu 106: Với giá trị nào của hằng số A và của hằng số  thì hàm số y Asin(x   ) là 1 hàm số lẻ. k 
A. A  0,  , k  . 
B. A  0, 
k , k  .  2 2 k
C. A  0,  , k  . 
D. A  0,  k , k  .  2   
Câu 107: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y  3sin x   2.    6 
A. Min y  5 và Max y  1. B. Min y  1  và Max y  1.    
C. Min y  5 và Max y  2.
D. Min y  1 và Max y  5.    
Câu 108: Giải phương trình 3 sin 2x  cos 2x  2 cos x 1.  2  2 A. x
k , x k2 , x  
k , k  .  B. x
k , x k , x
k2 , k  .  2 3 2 3 14
Chuyên đề 1. Lượng giác
: 01655334679 – 0916620899
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018    2 C. x  
k2 , x k , x
k2 , k  .  D. x
k2 , x k2 , x
k , k  .  2 3 2 3
sin 2x  2 cos x  sin x 1
Câu 109: Giải phương trình  0. tan x  3   A. x
k , k  .  B. x  
k2 , k  .  3 3  2 C. x
k2 , k  .  D. x
k2 , k  .  3 3
Câu 110: Tìm tất cả giá trị của x để hàm số 2
y  3  cos x có giá trị lớn nhất bằng 2. k  A. x  , k  .  B. x  
k2 , k  .  2 2
C. x k , k  . 
D. x k2 , k  . 
Câu 111: Giải phương trình 2 sin x 1 cos2x  sin 2x  1 2 cos x. 2  2  A. x  
k2 , x
k , k  .  B. x    k , x
k2 , k  .  3 4 3 4   2  C. x  
k2 , x
k , k  .  D. x
k2 , x  
k , k  .  3 2 3 4 4  sin 2
Câu 112: Cho góc  thỏa mãn tan  2 . Tính giá trị của E  . 5 cos 2 4 8 8 4 A. E   . B. E   . C. E  . D. E  . 5 5 5 5 x x 1
Câu 113: Giải hương trình 4 4 sin  cos  . 4 4 2 4  4 A. x    k , k  .  B. x  
k 2 , k  .  3 2 3 4 4 C. x  
k 4 , k  .  D. x  
k , k  .  3 3
Câu 114: Giải phương trình 3 3
sin x  cos x  sin x  cos x.   A. x
k , k  .  B. x  
k , k  .  2 2  3 C. x
k2 , k  .  D. x
k2 , k  .  2 2    1
Câu 115: Cho góc  thỏa mãn     sin  cos  . Tính sin 2. 2 2 2 2 3 7 3 7 8 3 3 A. sin 2   . B. sin 2  . C. sin 2   . D. sin 2   . 8 8 7 8    1
Câu 116: Giải phương trình sin 2x   .  6  2    
A. x k hoặc x
k , k  .  B. x
k2 , k  .  2 2    C. x
k hoặc x  
k , k  .  D. x
k , k  .  3 2 6 2  tan 2x
Câu 117: Cho hàm số y
. Tìm điều kiện xác định của hàm số đã cho. sin 2x 15
Chuyên đề 1. Lượng giác
: 01655334679 – 0916620899
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018 sin x  0 s  in 2x  0
A. sin 4x  0.
B. sin 2x  0. C.  . D.  . cos x  0  cos x  0 
sin x  3 cos x
Câu 118: Giải phương trình  0.  sin x  cos 4   A. x
k , k  .  B. x  
k , k  .  3 3 2  C. x
k2 , k  .  D. x  
k2 , k  .  3 3 sin 3x
Câu 119: Tìm số nghiệm của phương trình
 0 có số nghiệm thuộc đoạn 2 ; 4  . cos x 1   A. 6. B. 5. C. 4. D. 2.   
Câu 120: Tìm chu kì tuần hoàn T của hàm số y  cos 5x  .  4    2 
A. T  10 . B. T  . C. T  5 . D. T  . 5 5  2 
Câu 121: Kí hiệu m là giá trị nhỏ nhất của hàm số: y  sin x  sin x  .  Tìm m. 3    3 A. m  2  . B. m  0. C. m  . D. m  1  . 2 2  cos x
Câu 122: Tìm tập xác định D của hàm số y  . 1 sin x   
A. D  0;.
B. D   \ 
k2 , k  . 2   C. D  . 
D. D   \ k ,k    .   
Câu 123: Trên khoảng  ; 
. Phương trình 2 tan x  2 cot x  3  0 có bao nhiêu nghiệm ? 2    A. 2. B. 1. C. 3. D. 4.  x  
Câu 124: Trên khoảng ;8  . Phương trình cos   0  có bao nhiêu nghiệm ? 2 4    A. 3. B. 1. C. 2. D. 4.   
Câu 125: Tìm số nghiệm của phương trình sin 2x   1  
thuộc đoạn 0;  . 4      A. 1. B. 0. C. 2. D. 3.
Câu 126: Gọi m và M là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số 2
y  sin x  2 sin x  6 . Tính
S m M. A. S  9. B. S  3  . C. S  14. D. S  5.
Câu 127: Mệnh đề nào dưới đây sai ?
A. Hàm số y  cos x và y  cot x là các hàm số chẵn.
B. Hàm số y  tan x và y  cot x có cung chu kì là .
C. Hàm số y  sin x và y  tan x là các hàm số lẻ.
D. Hàm số y  sin x và y  cos x có cùng tập xác định. 16
Chuyên đề 1. Lượng giác
: 01655334679 – 0916620899
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018 cos x
Câu 128: Cho hàm số y
. Mệnh đề nào dưới đây đúng ? x
A. Hàm số đã cho vừa chẵn, vừa lẻ.
B. Hàm số đã cho là hàm số lẻ.
C. Hàm số đã cho là hàm số chẵn.
D. Hàm số đã cho không chẵn, không lẻ.
Câu 129: Tìm hàm số lẻ trong các hàm số dưới đây. sin x 4 tan x
A. f (x)  .
B. f (x)  . 2 3  cot x 2  cos 2x   
C. f (x)  sin 3 . x sin 4 . x
D. f (x)  2 cos x   sin(  2x).    2  3sin x  5
Câu 130: Tìm tập xác định D của hàm số y  . cos x
A. D   \   0 .
B. D   \   k ,k    .  
C. D   \ k2 ,k    .
D. D   \   k ,k  . 2  
Câu 131: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y  2 cos x  1.
A. Min y  1 và Max y  3.
B. Min y  3 và Max y  3.     C. Min y  1  và Max y  3.
D. Min y  3 và Max y  1.    
Câu 132: Trên những khoảng nào thì hàm y  sin x và y  cos x cùng đồng biến ?     3   3  A. ; .  B. ;2 . C. ;2 . D. 0; . 2        2   2  
Câu 133: Kí hiệu M là giá trị lớn nhất của hàm số: 2
y  cos x  sin x. Tìm M. 1 5 3 4 A. M  . B. M  . C. M  . D. M  . 4 4 4 5  2x
Câu 134: Giải phương trình 0 2 tan  20  3  0.  3    A. 0 0
x  15  k270 , k  .  B. 0 0
x  45  k270 , k  .  C. 0 0
x  35  k270 , k  .  D. 0 0
x  15  k270 , k  . 
Câu 135: Tìm tập xác định D của hàm số y  1 sin x  1  sin x .  
A. D  1;1 .     B. D
\   k ,k  . 2    k 
C. D   \  ,k  . D. D  .  2  
Câu 136: Mệnh đề nào dưới đây sai ?
A. Hàm số y  cot x nghịch biến trên khoảng 0; .   
B. Hàm số y  sin x đồng biến trên khoảng 0; .  2   
C. Hàm số y  cos x đồng biến trên khoảng    ; 0.    
D. Hàm số y  tan x nghịch biến trên khoảng  ; .  2 2   
Câu 137: Tìm chu kì tuần hoàn T của hàm số y  sin ax b. 17
Chuyên đề 1. Lượng giác
: 01655334679 – 0916620899
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018 2 2  A. T  . B. T  . C. T  2 . D. T  . a a a  3 
Câu 138: Cho hai hàm số f (x)  x  sin x và (
g x)  1 cos x.sin  2x
. Mệnh đề nào dưới đây 2    đúng ?
A. f (x) là hàm số chẵn, g(x) là hàm số lẻ.
B. f (x) là hàm số lẻ, g(x) là hàm số chẵn.
C. f (x) và g(x) là hàm số chẵn.
D. f (x) và (
g x) là hàm số lẻ. Câu 139: _ A. 0 0 x  60  1 k 80 , k  .  B. 0 0 x  45  18 k 0 , k  .  C. 0 0
x  45  k45 , k  .  D. 0 0 x  180  1 k 80 , k  .  tan x
Câu 140: Tìm tập xác định D của hàm số y  . 1 cos 2x   k
A. D   \ k  2 ,k    .
B. D   \  ,k  .  2    k
C. D   \  ,k  .
D. D   \   k  2 , k    .  4   7
Câu 141: Tính giá trị của biểu thức P  cos cos . 12 12 3 1 3 1 A. P  . B. P  . C. P  . D. P   . 4 4 2 4 1
Câu 142: Cho góc  mà sin 
. Tính P  sin 4  2sin 2  cos. 4 128 225 10 225 A. P  . B. P   . C. P  . D. P  . 225 128 11 128 0 0 cos 70  cos10
Câu 143: Tính giá trị của biểu thức E  . 0 0 0 0 cos35 cos5  sin 35 sin 5 3 A. 0 E  2 cos 40 . B. E  3. C. E  1. D. E  . 2 1
Câu 144: Tìm tập xác định D của hàm số y  . sin 2x  cos3xk  2     k  2  
A. D   \  ;   k  2 ,k  .
B. D   \   ;  
k ,k  .  5 2  10 3 2    k  2      3 
C. D   \   ;   k  2 ,k  .
D. D   \   k  2 ;   k  2 ,k  . 10 5 2  10 2  Câu 145: Biết phương trình
sin 3x  sin 5x  sin 4x có nghiệm kx
; x    k 2 ; x    k 2 , k  .
 Tính S    . 4 2 A. S  . B. S   . C. S  0. D. S  1  . 3
Câu 146: Giải phương trình 2
3 tan x  1 3tan x 1  0.     A. x
k hoặc x
k , k  .  B. x
k2 hoặc x
k2 , k  .  3 6 4 6 18
Chuyên đề 1. Lượng giác
: 01655334679 – 0916620899
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018     C. x  
k hoặc x  
k , k  .  D. x
k hoặc x
k , k  .  4 6 4 6   
Câu 147: Gọi M là giá trị lớn nhất và m là giá trị nhỏ nhất của hàm số y  2 sin x  1.   Tính  4  P M . . m 1 A. P  1  . B. P  2. C. P  2  . D. P  . 2 19
Chuyên đề 1. Lượng giác
: 01655334679 – 0916620899
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018 C. ĐÁP ÁN 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 A B C D
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 A B C D
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 A B C D
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 A B C D
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 A B C D 10 10 10 10 10 10 10 10 10 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 A B C D 12 12 12 12 12 12 12 12 12 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 A B C D
141 142 143 144 145 146 147 A B C D 20
Chuyên đề 1. Lượng giác
: 01655334679 – 0916620899
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018 CHUYÊN ĐỀ 2
TỔ HỢP – XÁC SUẤT – NHỊ THỨC NIU-TƠN
A. KIẾN THỨC CẦN NẮM
HAI QUY TẮC ĐẾM CƠ BẢN 1. Qui tắc cộng
Giả sử công việc có thể được thực hiện theo phương án A hoặc phương án B. Có n cách chọn phương
án A và m cách chọn phương án B ( các cách chọn phương án A không trùng với bất cứ cách chọn nào
của phương án B). Khi đó công việc có thể được thực hiện bởi n + m cách. 2. Qui tắc nhân
Giả sử một công việc nào đó bao gồm hai công đoạn A và B. Công đoạn A có thể làm theo n cách. Với
mỗi cách thực hiện công đoạn A thì công đoạn B có thể làm theo m cách. Khi đó công việc có thể thực hiện theo n.m cách.
HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP I. HOÁN VỊ 1. Định nghĩa:
Cho tập hợp A có n phần tử n  
1 . Khi sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự, ta được một hoán vị
các phần tử của tập A( gọi tắt là hoán vị của A)
2. Số hoán vị của n phần tử: Kí hiệu Pn. P n! n.(n 1).(n  2) . . .2.1 n II. CHỈNH HỢP
Định nghĩa: Cho tập hợp A có n phần tử và số nguyên k. Khi lấy ra k phần tử của A (1  k n ) và sắp
xếp k phần tử này theo một thứ tự, ta được một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A(gọi tắt là chỉnh
hợp chập k của A)
Số chỉnh hợp chập k của n phần tử: Kí hiệu k
A (n,k  *  ) n n! k A
n(n 1)...(n k 1) nn k! n! n! Nếu k = n thì n A  
n!  P . Vậy một chỉnh hợp n chập n được gọi là một hoán vị của n phần n n 0! 1
tử, từ đó suy ra: n k nk
A A .A ;1  k n n n nk III. TỔ HỢP
Định nghĩa: Cho tập A có n phần tử và số nguyên k với 1  k n . Mỗi tập con của A có k phần tử được
gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A ( gọi tắt là một tổ hợp chập k của A)
Số tổ hợp chập k của n phần tử: Kí hiệu k
C (1  k n,n  *  ) , n n! k n!
n(n 1)(n  2)...(n k 1) A k C  Hay k n C    n
k!(n k)! n
k!(n k)! k! k! Tính chất: a) 0 n C   C C1 1 ;
n; n   * n n n b) k nk C C
; 0  k n n n c) k k k CC C 1
 ; 1  k n n 1  n n n d) k 0 1 2 n n
C C C C  ...  C  2 ; 0  k nn n n n n k 0 21
Chuyên đề 2. Tổ hợp – Xác suất – Niu-tơn
: 01655334679 – 0916620899
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018 NHỊ THỨC NIU-TƠN
Công thức nhị thức Niu-Tơn
Với hai số thực a và b tuỳ ý và với mọi số n nguyên dương ta có
a bn 0 n 1 n 1  2 n2 2 k nk k n nC a C a b C a
b  ...  C a
b  ...  C b (1) n n n n n n k nk k C a bn k 0
(1) gọi là công thức khai triển nhị thức Niu-tơn.
Tính chất của nhị thức Niu-tơn
Số các số hạng tử của công thức là n + 1
Số mũ của a giảm dần từ n đến 0, số mũ của b tăng từ 0 đến n đồng thời tổng các số mũ của a và b
trong mỗi hạng tử đều bằng n
Số hạng tổng quát của công thức có dạng k nk k TC a
b ;(k  0,1,...,n) k 1  n
Các hệ số của nhị thức cách đều hai số hạng đầu và cuối bằng nhau: k nk C C
; 0  k n n n
Một số dạng đặc biệt
Dạng 1. Thay a = 1 và b = x vào (1), ta được: n 0 1 2 2 n 1  n 1  n n
(1 x)  C C x C x  ...  C xC x (2) và cho 0 1 2 n n
x  1  C C C  ...  C  2 n n n n n n n n n
Dạng 2. Thay a = 1, b = - x vào (1), ta được: n 0 1 2 2 k k k n n n
(1 x)  C C x C x  ...  ( 1
 ) C x  ...  ( 1  ) C x (3) n n n n n và thay 0 1 2 n n
x  1  C C C  ...  ( 1  ) C  0 n n n n XÁC SUẤT
Xác suất của biến cố.
Định nghĩa cổ điển của xác suất
Giả sử phép thử T có không gian mẫu  là tập hữu hạn và các kết qủa của T là đồng khả năng xảy ra.
Nếu A là một biến cố liên quan với phép thử T và  là tập các kết quả thuận lợi cho A thì xác suất An A  
của A là một số, kí hiệu là P(A), được xác định bởi công thức P(A)    n A
0  P(A)  1 P( )
  1, P(O )  0
Phương pháp tính xác suất
Bước 1. Mô tả không gian mẫu. Kiểm tra tính hữu hạn của  , tính đồng khả năng của các kết quả
Bước 2. Đặt tên cho các biến cố bằng các chữ cái , A , B ...
Bước 3. Xác định các tập con , A ,
B ... của không gian mẫu. Tính n A,nB,... n An B
Bước 4. Tính P A  , P B  ,... n  n  2. Biến cố đối
Cho A là một biến cố. Khi đó biến cố không xảy ra A, kí hiệu A gọi là biến cố đối của A
Xác suất của biến cố đối A là P A 1 P(A).
Hai biến cố đối nhau là hai biến cố xung khắc. Tuy nhiên hai biến cố xung khắc chưa chắc là hai biến cố đối nhau. 22
Chuyên đề 2. Tổ hợp – Xác suất – Niu-tơn
: 01655334679 – 0916620899
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018 B. BÀI TẬP Bài Nội dung Kết quả 1
Để kiểm tra chất lượng sản phẩm từ
Số phần tử không gian mẫu: n  3  C  220 12
một công ty sữa, người ta đã giử đến
Gọi biến cố A : “3 hộp sữa được chọn có cả 3 loại”
bộ phận kiểm nghiệm 5 hộp sữa cam,
4 hộp sữa dâu và 3 hộp sữa nho. Bộ
Kết quả thuận lợi cho biến có A là n A 1 1 1
C .C .C  60 5 4 3
phận kiểm nghiệm chọn ngẫu nhiên 3 n A 60 3
hộp sữa để phân tích mẫu. Tính xác
Xác suất của biến cố A là P A   
suất để 3 hộp sữa được chọn có cả 3 n  220 11 loại. 2
Từ một hộp chứa 16 thẻ đánh số từ 1
Số phần tử không gian mẫu: n  4  C  1820 16
đến 16, chọn ngẫu nhiên 4 thẻ. Tính
Gọi biến cố A : “Chọn được 4 thẻ đều đánh số chẵn”
xác suất để 4 thẻ được chọn đều đánh số chẵn.
Kết quả thuận lợi cho biến có A là n A 4  C  70 8 n A 70 1
Xác suất của biến cố A là P A    n  1820 26 3
Có hai hộp chứa bi. Hộp thứ nhất
Số cách chọn 2 viên bi, mỗi viên từ một hộp là: 7.6 = 42
chứa 4 viên bi đỏ và 3 viên bi trắng,
Số cách chọn 2 vuên bi đỏ, mỗi viên từ một hộp là: 4.2 =
hộp thứ hai chứa 2 viên bi đỏ và 4 8
viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi
Số cách chọn 2 vuên bi trắng, mỗi viên từ một hộp là: 3.4
hộp ra 1 viên bi. Tính xác suất để 2 = 12
viên bi được lấy ra cùng màu.
Xác suất lấy ra được hai viên bi cùng màu là: 8 1  2 10 P   42 21 4
Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên
Số phần tử của S là 3
n(S )  A  210 . Gọi A là biến cố: 7
gồm ba chữ số phân biệt được chọn từ “Chọn được từ S số được chọn là số chẵn”
các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7. Xác định Ta có n(A) = 3.6.5 = 90 (cách)
số phần tử của S. Chọn ngẫu nhiên n( ) A 90 3
một số từ S, tính xác suất để số được
Xác suất cần tìm là: P( ) A    chọn là số chẵn. n(S ) 210 7 5
Một hộp đựng 5 viên bi xanh, 4 viên
Số phần tử của không gian mẫu là 2
n()  C  66 12
bi đỏ và 3 viên bi vàng. Chọn ngẫu
a) Gọi A là biến cố: “Chọn được hai viên bi cùng màu” nhiên hai viên bi.
Ta có kết quả thuận lợi cho biến cố A là
a) Tính xác suất để chọn được hai 19 viên bi cùng màu 5 4 3 n( )
A C C C  19 . Vậy P( ) A  2 2 2
b) Tính xác suất để chọn hai viên bi 66 khác màu.
b) Biến cố: “Chọn được hai viên bi khác màu” chính là 19 47
biến cố A . Vậy P( ) A  1 P( ) A  1  66 66 6
Một túi đựng 4 quả cầu đỏ, 6 quả cầu
Số phần tử của không gian mẫu 4
n()  C  210 10
xanh. Chọn ngẫu nhiên 4 quả cầu.
Số cách chọn 4 quả cầu toàn đỏ là 1.
Tính xác suất để trong 4 quả đó có cả
Số cách chọn 4 quả cầu toàn xanh là 4 C
quả màu đỏ và màu xanh. 6 = 15.
Gọi A là biến cố: ”Chọn 4 quả cầu có cả quả màu đỏ và xanh” 194 Suy ra: n( )
A = 210 – 15 – 1 = 194. Vậy P( ) A  210 7
Một hộp đựng chín thẻ đánh số từ 1
Gọi A là biến cố: “ Rút được một thẻ chẵn và một thẻ lẻ”,
đến 9. Rút ngẫu nhiên hai thẻ rồi nhân B là biến cố: “Cả hai thẻ được rút ra là thẻ chẵn”. Khi đó
hai số ghi trên thẻ với nhau. Tính xác
biến cố C: “ Tích hai số ghi trên thẻ là một số chẵn” là:
suất để kết quả nhận được là một số
C A B . chẵn.
Do hai biến cố A và B xung khắc, nên 23
Chuyên đề 2. Tổ hợp – Xác suất – Niu-tơn
: 01655334679 – 0916620899
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018
P(C)  P(A B)  P(A)  P(B) . Vì có 4 thẻ chẵn và 5 1 1 2 C C 20 C 6 thẻ lẻ nên ta có: 5 4 4 P(A)   ; P(B)   . 2 2 C 36 C 36 9 9 20 6 13
Vậy P(C)  P(A B)    36 36 18 8
Xác suất bắn trúng mục tiêu của một
Gọi A là biến cố: “ Viên đạn đầu trúng mục tiêu”, B là
vận động viên khi bắn một viên đạn là biến cố: “ Viên đạn thứ hai trúng mục tiêu”, C là biến cố:
0,6. Người đó bắn hai viên đạn một
“ Một viên đạn trúng mục tiêu và một viên đạn trượt mục
cách độc lập. Tìm xác suất để một tiêu”.
viên đạn trúng mục tiêu và một viên
Khi đó ta có: C AB AB và hai viên đạn bắn độc lập đạn trượt mục tiêu ? nhau. Vậy : P C
( )  P(AB AB)  P(A) P
. (B)  P(B P ). (A)
 0,6.0, 4  0, 4.0,6  0, 48 9
Ba người đi săn A, B, C độc lập với
a) Gọi H là biến cố: “Xạ thủ A bắn trúng còn hai xạ thủ
nhau cùng nổ súng vào mục tiêu. Biết kia bắn trượt”. Ta có
rằng xác suất bắn trúng mục tiêu của
P(H)  P(A)P(B)P(C)  (0,7)(0,4)(0,5)  0,14
A, B, C tương ứng là: 0,7; 0,6; 0,5.
a) Tính xác suất để xạ thủ A bắn trúng
b) Gọi K là biến cố: “Không có xạ thủ nào bắn trúng”.
còn hai xạ thủ kia bắn trượt. Ta có:
b) Tính xác suất để có ít nhất một xạ
P(K)  P(A)P(B)P(C)  (0,3)(0,4)(0,5)  0,06 thủ bắn trúng
Vậy xác suất cần tìm là : P(K)  1 P(K)  0,94 10
Gieo một con súc sắc cân đối ba lần.
Gọi A là biến cố “lần gieo thứ nhất xuất hiện mặt 6
Tính xác suất để có đúng hai lần xuất
chấm”, B là biến cố “ lần gieo thứ hai xuất hiện mặt 6 hiện mặt 6 chấm.
chấm”, C là biến cố “ lầm gieo thứ ba xuất hiện mặt 6 chấm”
H là biến có “ có đúng hai lần xuất hiện mặt 6 chấm”
Khi đó: P(H )  P AP BP C  P AP BP C
P AP BP C 1 5 Ta có: ( P ) A  ( P ) B  (
P C)  ;PA  PB  PC  . 6 6 15 Vậy P(H )  216 11
Trong đợt ứng phó dịch MERS-CoV,
Số phần tử của không gian mẫu 3 n()  C  2300 25
Sở Y tế thành phố đã chọn ngẫu nhiên Gọi A là biến cố “ít nhất 2 đội của Trung tâm y tế cơ sở
3 đội phòng chống dịch cơ động trong được chọn”
5 đội của Trung tâm y tế dự phòng
Ta có số kết quả thuận lợi cho biến cố A là
thành phố và 20 đội của các Trung 3 1 3 n( )
A C C C  2090
tâm y tế cơ sở để kiểm tra công tác 20 5 20
chuẩn bị. Tính xác suất để ít nhất 2 n( ) A 209 Vậy: P( ) A  
đội của Trung tâm y tế cơ sở được n() 230 chọn. 12
Hai thí sinh A và B tham gia một buổi
Số phần tử của không gian mẫu n()  C  14400 10 2 3
thi vấn đáp. Cán bộ hỏi thi đưa cho
mỗi thí sinh một bộ câu hỏi thi gồm
Gọi A là biến cố “3 câu hỏi A và 3 câu hỏi B chọn là
10 câu hỏi khác nhau, được đựng giống nhau”
trong 10 phong bì dán kín, có hình
Ta có số kết quả thuận lợi cho biến cố A là
thức giống hệt nhau, mỗi bì đựng 1 3 n( )
A C .1  120 (vì với mỗi cách chọn 3 câu hỏi của A, 10
câu hỏi; thí sinh chọn 3 phong bì trong B chỉ có duy nhất cách chọn 3 câu hỏi giống như A)
số đó để xác định câu hỏi thi của 24
Chuyên đề 2. Tổ hợp – Xác suất – Niu-tơn
: 01655334679 – 0916620899
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018
mình. Biết rằng bộ 10 câu hỏi thi dành n( ) A 120 1 Vậy: P( ) A   
cho các thí sinh là như nhau, tính xác n() 14400 120
suất để 3 câu hỏi A và 3 câu hỏi B chọn là giống nhau. 13
Trong kì thi THPT Quốc Gia năm
Số phần tử của không gian mẫu 5
n()  C  56 8
2015 có 4 môn thi trắc nghiệm và 4
Gọi A là biến cố “Giáo viên đó phụ trách coi thi ít nhất 2
môn thi tự luận. Một giáo viên được môn trắc nghiệm”
bốc thăm ngẫu nhiên để phụ trách coi
Ta có số kết quả thuận lợi cho biến cố A là
thi 5 môn. Tính xác suất để giáo viên 2 3 3 2 4 1 n( )
A C .C C .C C .C  52
đó phụ trách coi thi ít nhất 2 môn trắc 4 4 4 4 4 4 nghiệm. n( ) A 52 13 Vậy: P( ) A    n() 56 14 14
Cho một đa giác đều n đỉnh, n   và Số đường chéo của đa giác giác đều n đỉnh là
n  3 . Tìm n biết rằng đa giác đã cho n n  3 2   có 27 đường chéo. C n  . Theo giả thiết, ta có: n 2 n n  3 n  9  27   . Vậy n  9 2 n  6   15
Có bao nhiêu tam giác mà các đỉnh
Mỗi tam giác được tạo bởi một tập hợp 3 đỉnh của thập
của chúng là các đỉnh của thập giác?
giác và ngược lại. Như vậy, số tam giác bằng số các tổ
hợp chập 3 của 10 đỉnh, tức là bằng : 3 C  120 10 16
Một tổ có 7 nam sinh và 4 nữ sinh.
Số cách chọn 3 học sinh xếp bàn ghế của lớp, trong đó có
Giáo viên cần chọn 3 học sinh xếp bàn ít nhất 1 nam sinh là: 2 1 1 2 3
C .C C .C C  161 ( cách) 4 7 4 7 7
ghế của lớp, trong đó có ít nhất 1 nam
sinh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ? 17
Trên một mặt phẳng, 9 đường thẳng
Gọi A và B lần lượt là tập hợp 9 đường thẳng song song
song song cắt 10 đường thẳng song
với nhau và 10 đường thẳng song song cắt 9 đường thẳng
song khác thì tạo nên bao nhiêu hình
đã cho. Mỗi hình bình hành được tạo bởi hai đường thẳng
bình hành trên mặt phẳng đó ?
của tập A và hai đường thẳng của tập B. Vậy số hình bình hành cần tìm là: 2 2
C .C  36.46  1620 (hình) 9 10 18
Có bao nhiêu tam giác mà các đỉnh
Cứ ba điểm dựng được một tam giác. Vậy có thể dựng
của chúng thuộc tập hợp gồm 10 điểm 10! được 3 C   120 tam giác nằm trên đường tròn? 10 3!(10  3)! 19
Trong mặt phẳng có 6 đường thẳng
Gọi A và B lần lượt là tập hợp 6 đường thẳng song song
song song với nhau và 8 đường thẳng
với nhau và 8 đường thẳng song song cắt 6 đường thẳng
khác cũng song song với nhau đồng
đã cho. Mỗi hình bình hành được tạo bởi hai đường thẳng
thời cắt 6 đường thẳng đã cho. Hỏi có
của tập A và hai đường thẳng của tập B. Vậy số hình bình
bao nhiêu hình bình hành được tạo hành cần tìm là: 2 2
C .C  15.28  420 (hình) 6 8
nên bởi 14 đường thẳng đã cho ? 20
Cho một đa giác lồi có 15 cạnh. Hỏi 
Đa giác lồi có 15 cạnh nên có 15 đỉnh , hai đỉnh thì luôn
có bao nhiêu vectơ khác vectơ O với
phân biệt nhau và cứ 3 đỉnh thì không thẳng hàng. Do đó
điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của ta lấy 2 điểm tuỳ ý trong 15 điểm thì số vectơ lập được là đa giác ?
một chỉnh hợp chập 2 của 15 phần tử. Vậy số vectơ là: 15! 2 A   15.14  210 (vectơ) 15 (15  2)! 21
Trong một vòng loại Olympic, trên
Tất cả 8 vận động viên đều về đích nhưng không cùng
tám đường bơi, 8 vận động viên
một lúc( không ai đến đích cùng với một người khác) trên
không cùng một lúc về đích. Hỏi có
8 đường bơi, thì cách sắp xếp hạng 8 vận động viên là
bao nhiêu cách sắp xếp hạng xảy ra ?
một hoán vị của 8 phần tử khi sắp xếp vào 8 vị trí ( thứ
hạng) phân biệt, không lặp.
Nên ta có: P8 = 8! = 40320 kết quả. 22
Tính tổng S của tất cả các số gồm 4
Phép hoán vị trên nền B cho ta thành lập các số gồm bốn
chữ số khác nhau và số đã lập được từ số khác nhau là: P4 = 4! = 24 số 25
Chuyên đề 2. Tổ hợp – Xác suất – Niu-tơn
: 01655334679 – 0916620899
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018
nền B  1; 2;3; 
4 bằng phép hoán vị ? Để ý rằng, tất cả các số đều viết dưới dạng cặp đôi như sau: 12  34 12  43 14  23 1432  4123 2341 32  41  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ; 4321 4312 4132 4123 1432 3214 2314        34  21 3
 124 2413 4213 4231  ;  ;  ;  ; 
có tổng tất cả 24 số, 2134 2431 3142 1342 1324     
sắp xếp như trên từng cặp trong 12 cặp có tổng là 5555.
Vậy tổng S = 12.5555 = 66660. 23
Chứng minh rằng trên tập
Phép hoán vị P7 = 7! = 5040, cho ta số các số gồm 7 chữ
B  1;2;3; 4;5;6;  7 có thể lập thành
số khác nhau thành lập được từ B. Để ý rằng trong 5040 5040
được các số gồm bảy chữ số khác
số tìm được, ta luôn viết được:  2520 cặp số có
nhau mà tổng của chúng thì chia hết 2 cho 720 tổng là 8 888 888 12  34567 2134567 31  24567 Như  ;  ;  ;.... Nên tổng S của 7654321 6754321 5764321    chúng là: S = 2520.8888888 2520 : 90  28 Mà 720 = 90.8 và  .Vậy S chia 8888888 : 8  1111111  hết cho 720 (thoả ycbt) 24
Có bao nhiêu số gồm 7 chữ số khác
Các số có 7 chữ số lấy từ tập B  1;2;3; 4;5;7;  9 là một
nhau đôi một được lập bằng cách
hoán vị của 7 phần tử.
dùng bảy chữ số 1;2;3;4;5;7;9 sao cho Vậy số cần tìm là: P
2 chữ số chẵn không nằm liền nhau ? 7 = 7! (số).
Các số có 7 chữ số mà 2 chữ số chẵn 2; 4 đứng kề nhau là: 2!.6! (số).
Vậy số thoả ycbt: 7! – 2!.6! = 3600(số) 25
Một câu lạc bộ Toán học lúc thành lập Khi bầu chọn 3 thành viên trong 14 thành viên ra làm
có 14 thành viên, cần bầu chọn ra một
giám đốc, phó giàm đốc và kế toán trưởng (k < n) thì thứ
thành viên làm giám đốc CLB, một tự cần đảm bảo.
thành viên làm phó giám đốc CLB và
Nên cách số cách chọn để bầu người không kiêm nhiệm
một thành viên làm kế toán trưởng 14! là: 3 A   2184 (cách)
CLB. Hỏi có bao nhiêu cách chọn để 14 (14  3)!
bầu mà không có ai kiêm nhiệm ? 26
Có 5 nhà Toán học nam, 3 nhà Toán
Để ý giả thiết yều cầu có cả nam và nữ, có cả nhà Toán
học nữ và 4 nhà Vật lý nam. Lập một
học và nhà Vật lý. Nên trong đoàn công tác cần phải có 1
đoàn công tác 3 người cần có cả nam
nhà Vật lý luôn là Nam và 1 nhà Toán học nữ. Lúc đó
và nữ. Cần có cả nhà Toán học và nhà người thứ ba có thể là: nhà Toán học nam hoặc nhà Vật
Vật lý. Hỏi có bao nhiêu cách lập ?
lý nam hoặc nhà toán học nữ. Vậy có: 1 1 1 2 1 1 2
C .C .C C .C C .C  90 cách chọn thoả 5 3 4 3 4 3 4 ycbt. 27
Có bao nhiêu đường chéo của thập
Từ 10 đỉnh của thập giác có thể kẻ được 2 C  45 đoạn 10 giác ?
thẳng trong đó có 10 cạnh của thập giác.
Vậy ta có: 45 – 10 = 35 (đường chéo) 28
Đội thanh niên xung kích của một
Số cách chọn 4 học sinh từ 12 học sinh đã cho là
trường phổ thông có 12 học sinh, gồm 4 C  495 12
5 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp B và
Số cách chọn 4 học sinh mà mỗi lớp có ít nhất một em
3 học sinh lớp C. Cần chọn bốn học được tính như sau:
sinh đi làm nhiệm vụ, sao cho 4 học
- Lớp A có 2 học sinh, các lớp B, C có 1 học sinh. Số
sinh này thuộc không quá 2 trong 3 cách chọn: 2 1 1
C .C .C  120
lớp trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 5 4 3 như vậy ?
- Lớp B có 2 học sinh, các lớp C, A có 1 học sinh. Số 26
Chuyên đề 2. Tổ hợp – Xác suất – Niu-tơn
: 01655334679 – 0916620899
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018 cách chọn: 1 2 1
C .C .C  90 5 4 3
- Lớp C có 2 học sinh, các lớp B, A có 1 học sinh. Số cách chọn: 1 1 2
C .C .C  60 5 4 3
Số cách chọn học sinh mà mỗi lớp có ít nhất một học sinh là: 120 + 90 + 60 = 270
Vậy số cách chọn cần tìm là: 495 – 270 = 225. 29
Cho n số nguyên dương thỏa mãn    n n n n ( 1)( 2) Ta có: 1 3 5CC  5n
n  7 (vì n 1  3 5 n C
C . Tìm số hạng chứa 5 x n n n n 6
trong khai triển nhị thức Niu-tơn nguyên dương) n n 7 2  2 2 nx 1   nx 1   nx 1   , x  0   Khi đó:        14 x   14 x 14 x     7k 7 2 k 7  x   1  (1)k k C k 7 143kC   x  7      7 2    x    k  2 k k 0 0 Số hạng chứa 5
x tương ứng với 14  3k  5  k  3 3 3 (1) C 35
Vậy số hạng cần tìm là 7 5 5 x   x 4 2 16 30
Tìm n là số nguyên dương thoả mãn Bất phương trình 3 n2 A  2C
 9n , có điều kiện n n bất phương trình: 3 n2 A  2C  9n n n
n  3, n   (*)  n n n ! 2. ! 3 2 A  2C  9n    9n n n (n  3)! (n  2)!2!
n(n 1)(n  2)  n(n 1)  9n 2
n  2n  8  0  2  n  4
Từ (*), suy ra n  3, n  4 31
Tìm số tự nhiên n thoả mãn:
Điều kiện n  3 và n   . Ta có 2 n2 2 3 3 n3 C C  2C C C C  100 2 n2 2 3 3 n3 C C  2C C C C  100 n n n n n n n n n n n n  CC C C   C Cn 2
2 n n n 2 100  n n 2 2 2 3 3 2 3 100 n(n 1)
n(n 1)(n  2) 2 3
C C  10    10 n n 2 6
 (n 1)n(n 1)  3.4.5  n  4 Vậy n  4 32
Tìm số nguyên dương n : n
Từ khai triển:   x 0 1 2 2 1
C C x C x  ... n nC x .Ta n n n n 0 1 2
C  2C  4C  ...  2n n C  243 n n n n
chọn x  2 ta được   n n 0 1 2 1 2
 3  C  2C  4C  ...  2n n C . Do đó n n n n 0 1 2 n n n 5
C  2C  4C  ...  2 C  243  3  3  n  5 n n n n Vậy n  5 33
Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 có thể
Gọi số cần tìm có dạng:
lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi
a a a a a a ; a a ;i j;i, j  1, 6; 1 2 3 4 5 6 i j
số gồm 6 chữ số khác nhau và tổng
các chữ số hàng chục, hàng trăm,
a B  1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,  9 i hàng nghìn bằng 8.
Theo đề bài, ta có a a a  8 , suy ra 3 4 5
a , a , a  1, 2,5 hay a , a , a  1, 3, 4 3 4 5   3 4 5  
Trường hợp: a , a , a  1, 2,5 3 4 5  
Số cách chọn a , a , a có 3!  6 cách chọn 3 4 5
Số cách chọn a , a , a có 3 A cách chọn 1 2 6 6 27
Chuyên đề 2. Tổ hợp – Xác suất – Niu-tơn
: 01655334679 – 0916620899
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018 Vậy có 3 6.A  720 (số) 6
Trường hợp: a , a , a  1,3, 4 , thực hiện giải tương tự, 3 4 5   ta có 720 (số)
Vậy có 720 + 720 = 1440 số cần tìm. 34
Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6 có thể lập
Gọi số cần tìm có dạng:
được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số có
a a a a a a ; a a ;i j;i, j  1, 6; a B  1, 2,3, 4,5, 6 1 2 3 4 5 6 i j i  
6 chữ số và thoả mãn điểu kiện: Sáu
Điều kiện: a a a a a a 1. Vì 1 + 2 + 3 + 4
chữ số là khác nhau và trong mỗi số 1 2 3 4 5 6
đó tổng của ba chữ số đầu nhỏ hơn + 5 + 6 = 21
tổng của ba chữ số cuối một đơn vị ?
Vậy suy ra a a a  10 hiển nhiên a a a  11 1 2 3 4 5 6
Ta có các trường hợp sau xảy ra: 1,3,  6 vaø 2,4, 
5 . Ta coù : 3!.3!  36 soá 1,4,  5 v  aø 2,3  ,6 . Ta coù:3!.3!=36 soá 2,3,  5 vaø 1,4, 
6 . Ta coù : 3!.3!  36 soá
Theo quy tắc cộng ta có: 36 + 36 + 36 = 108 số cần tìm. 35
Trong không gian cho tập hợp gồm 9
Cứ 4 điểm không đồng phẳng cho ta được một tứ diện.
điểm trong đó không có 4 điểm nào
Vậy số tứ diện cần tìm C4  126 (tứ diện) 9
đồng phẳng. Hỏi có thể lập được bao
nhiêu tứ diện với các đỉnh thuộc tập hợp đã cho ? 36
a) Giải bất phương trình
Điều kiện x  , x  2 C2 2  3A2  30 C2 2 3A2 30
(x 1)x 3x(x 1) 30 x Ta có        1 x x1 x
b) Giải phương trình A10  A9  A8 9 5 x x x
 4x2  2x  30  0    x  3 2
So với điều kiện, suy ra x  2
Điều kiện x  , x  10 . Ta có ! ! ! 10 9 8 x x x
A A  9A    9. x x x
(x 10)! (x  9)! (x  8)!
 (x  9)(x  8)  x  8  9 x  11
x2 16x  55  0   x   5
So với điều kiện, suy ra x  11 37
Đội tuyển học sinh giỏi của trường
Số cách chọn 8 học sinh từ 18 em của đội tuyển là
gồm 18 em, trong đó có 7 học sinh C8  43758 cách 18
khối 12, 6 học sinh khối 11 và 5 học
Trong 43758 cách chọn bất kì trên bao gồm:
sinh khối 10. Hỏi có bao nhiêu cách
cử 8 học sinh trong đội đi dự trại hè
Số cách chọn 8 học sinh từ khối 12 và 11 là C8 13
sao cho mỗi khối có ít nhất một em
Số cách chọn 8 học sinh từ khối 12 và 10 là C8 12 học sinh được chọn ?
Số cách chọn 8 học sinh từ khối 10 và 11 là C8 11
Vậy số cách chọn thoả yêu cầu bài toán là:
C8  C8 C8  C8 41811 (cách chọn) 18 13 12 11   38
Cho tập A là một tập hợp có 20 phần
Số tập con của A không có phần tử nào là C0 20
tử. Hỏi có bao nhiêu tập con của tập A?
Số tập con của A có một phần tử là C1 20
Số tập con của A có 2 phần tử là C2 20
………………………………………………….
Số tập con của A có 20 phần tử là C20 20 28
Chuyên đề 2. Tổ hợp – Xác suất – Niu-tơn
: 01655334679 – 0916620899
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018
Suy ra, tổng số tập con của A là:
C0  C1  C2  ...  C20  20 2 20 20 20 20 39 Cho khai triển n
Ta có:   x  C0  C1x  2C2x2 1 2 2 2  ...  n n n 2 C x n n n nn
1 2x   a a x a x2  ...  n a x 0 1 2 n
Theo giả thiết, ta có: C0  C1  2C2 2 2  ...  n n 2 C  729 n n n n
Tìm số hạng thứ 5 trong khai triển đó,  (1 n 2)  729  n  6
biết rằng a a a  ...  a  729 0 1 2 n
Số hạng thứ 5 là: T C5 4 2 x4 5 6 40 n n
Trong khai triển của 1 ax ta có số Ta có:   ax   C1ax C2a2x2 1 1  ... n n
hạng đầu là 1, số hạng thứ hai là 24x, 1 na  24
số hạng thứ ba là 252x2. Hãy tìm a và C a   24 n  Theo đề bài cho:    ( 1) 1 2 n n a2 n.  C a  252   252 n   2 na  24 a  3     (n 1)a  21 n    8 41
Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong Ta có: n n n1 n1 n2 n2 n3 nC CCC 3 3 3 3 3  ...  ( n n 1) C n n n n n
khai triển nhị thức Niu-tơn của   n n (3 1) 2 . Nên n
2  2048  n  11 . Hệ số của x10  n 2  x , biết: 11
trong khai triển nhị thức Niu-tơn 2  x là C10 1 2  22 11 n n n1 n1 n2 nC CC 2 3 3 3 n n n n3 n  C 3 3  ...  ( n n 1) C  2048 n n 42
Cho đa giác đều có 2n cạnh A1A2. .
Số tam giác thoả mãn ycbt là C3 tam giác. Số đường 2n
.A2n ( n  2 , n nguyên) nội tiếp trong
chéo qua tâm đường tròn là n, cứ hai đường chéo qua tâm
một đường tròn. Biết rằng số tam giác
có 3 đỉnh lấy trong 2n điểm
thì có 1 hình chữ nhật. Suy ra, có C2 hình chữ nhật n
A , A ,..., A nhiều gấp 20 lần số hình Từ đó ta có phương trình C3 = 20. C2 . Suy ra n = 8. 1 2 2n 2n n
chữ nhật có 4 đỉnh lấy trong 2n điểm
A , A ,..., A . Tìm n . 1 2 2n 43
Tìm số hạng không chứa x trong khai Số hạng tổng quát trong khai triển là: ( 0  k  18 ) 18 k  1   1  triển x3  k nk k k 3 18k k 546k  . TC a
b C (x ) .  C .x 3  k 1 n 18  3  18  x   x  Nếu T
không chứ x ( độc lập với x) thì ta có: 54 – 6k = k 1
0, nhận k = 9. Vậy số hạng cần tìm là: T C9 10 18 44
Biết hệ số của x2 trong khai triển (1 + Số hạng thứ k + 1 trong khai triển nhị thức :
3x)n là 90. Hãy tìm n ? Tk k
C (3x) .Vậy số hạng chứa x2 là T C2 9.x2 và k 1 n 3 n
theo đề bài ta có: C2   C2 9 90  10  n  5 n n 45
Tìm số hạng không chứa x trong
Số hạng tổng quát trong khai triển Niu-tơn của
khai triển nhị thừc Niu-tơn của 18  1  18 2x  là  1    5 2x  ,(x x   0)   5  x k 18  1  6k k 18 TC15 2 . .2 . . Số hạng 1 18  x    k 18  k C x 5 k    18 5  x  6k
không chứa x ứng với k thảo mãn: 18   0  k  15 . 5
Vậy số hạng cần tìm là T C15 3 .2  6528 16 18 46
a) Tìm số hạng của khai triển nhị thức a) Số hạng thứ k + 1 của khai triển: 29
Chuyên đề 2. Tổ hợp – Xác suất – Niu-tơn
: 01655334679 – 0916620899
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018 9 9 9 k k k k Niu-tơn sau:   3 3 2  là một số Tk C 3 3 2  k C 2 3 .3
.2 , k  , 0  k  9 k 1 9     9 nguyên 9  k k T
b) Tính A2 nếu biết số hạng thứ 6 của Để là số nguyên thì   và   . k 1 n 2 3 n  1  k  1,3,5,7,9 khai triển 3 x  
 không phụ thuộc Suy ra 
. Vậy: k = 3 và k = 9.  x k   0,3,6,9 vào x.
Với k = 3, số hạng cần tìm là T C3 3 .3 .2  4536 4 9
Với k = 9, số hạng cần tìm là T C9 0 3 .3 .2  8 10 9
b) Số hạng thứ 6 của khai triển là 5 n20 5 1 T C5 3 x
C5.x 3 . Vì T không phụ thuộc 6 n  n       9 6  x n  20 vào x nên
 0  n  20 . Vậy : A2  A2  380 3 n 20 47
Mỗi người sử dụng mạng máy tính
a) Gọi dãy kí tự thoả ycbt là: a a a a a a . Vì mỗi kí tự
đều có mật khẩu. Giả sử mỗi mật khẩu 1 2 3 4 5 6
gồm 6 kí tư, mỗi kí tự hoặc là m cột
có 26 + 10 = 36 cách chọn nên chọn các kí tự a , a ,..., a 1 2 6
chữ số ( trong 10 chữ số từ 0 đến 9)
đều có 36 cách chọn. Vậy theo quy tắc nhân, ta có thể lập
hoặc là một chữ cái ( trong bảng 26 được 6 36 dãy kí tự như vậy.
chữ cái tiếng Anh) và mật khẩu phải
b) Dãy có 6 kí tự không phải là một mật khẩu nếu tất cả 6
có ít nhất là một chữ số.
kí tự đều là chữ cái. Tương tự như trên, mỗi kí tự có 26
a) Có bao nhiêu dãy số gồm 6 kí tự ,
cách chọn nên ta có: 266 cách chọn thoả ycbt.
mỗi kí tự hoặc là một chữ cái( trong
c) Từ câu a), b) Số mật khẩu cần tìm là: 366 – 266 = 1 867
bảng 26 chữ cái) hoặc là một chữ số (
866 560 mật khẩu được lập
trong 10 chữ số từ 0 đến 9)
b) Có bao nhiêu dãy gồm 6 kí tự nói ở
câu a) không phải là mật khẩu?
c) Có thể lập được bao nhiêu mật khẩu? 48
Tìm hệ số của x7 trong khai triển đa Ta có 2n1 0 1 2 2 2n1 2n (1 x)  CC x C x  ...  C x 1 2n1 2n1 2n1 2n1 2n
thức 2  3x  , trong đó n nguyên
Chọn x  1 ta được: 2n1 2n1 0 1 2 2n1 dương thoả mãn: (11)  2  CCC  ...  C (1) 2n1 2n1 2n1 2n1 1 3 5 2nCCC  ...  C
1  1024 Chọn x  1 ta được: 2n1 2n1 2n1 2n1 2n1 0 1 2 2n (11)  0  CCC  ...  C 1 (2) 2n1 2n1 2n1 2n1 Lấy (1) – (2) 2n  1 2  2  1 3 5 2nCCC  ...  C 1 2n1 2n1 2n1 2n1  Suy ra: 2n  10 2 2  2n  10 10
Ta có: 2  3x có số hạng khai triển tổng quát: k k k 10 TC ( k 1) 2 3x k 1 10  
Hệ số của x7 ứng với k = 7. Vậy hệ số của x7 là 49
Chọn ngẫu nhiên ba số từ tập
Không gian mẫu   C3  165 11 1,2,...,  11
a) Gọi A là biến cố “tổng ba số được chọn là 12”. Khi đó,
a) Tính xác suất để tổng ba số được
các bộ (a, b, c) mà a + b + c = 12 và a < b < c là (1,2,9), chọn là 12
(1,3,8), (1,4,7), (1,5,6), (2,3,7), (2,4,6) và (3,4,5). Vậy
b) Tính xác suất để tổng ba số được 7 P(A)  chọn là số lẻ 165
b) Gọi B là biến cố “tổng ba số được chọn là số lẻ”. 30
Chuyên đề 2. Tổ hợp – Xác suất – Niu-tơn
: 01655334679 – 0916620899
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018
Tổng a + b + c lẻ khi và chỉ khi: Hoặc cả ba số đều lẻ
hoặc ba số có một số lẻ và hai số chẵn
Ta có C3  20 cách chọn số lẻ từ tập số lẻ 1,3,5,7,9,  11 6 và có C1 C2 .
 60 cách chọn một số lẻ và hai số chẵn. 6 5 20  60 16 Vậy P(B)   165 33 50
Một hộp đựng chín thẻ đánh số từ 1
Gọi A là biến cố: “ Rút được một thẻ chẵn và một thẻ lẻ”,
đến 9. Rút ngẫu nhiên hai thẻ rồi nhân B là biến cố: “Cả hai thẻ được rút ra là thẻ chẵn”. Khi đó
hai số ghi trên thẻ với nhau. Tính xác
biến cố C: “ Tích hai số ghi trên thẻ là một số chẵn” là:
suất để kết quả nhận được là một số
C A B . chẵn.
Do hai biến cố A và B xung khắc, nên P C
( )  P(A B)  P(A)  P(B) .
Vì có 4 thẻ chẵn và 5 thẻ lẻ nên ta có: C C 1 1 20 C2 6 P(A)  5 4  ; P(B)  4  . Vậy C2 36 C2 36 9 9 20 6 13 P C
( )  P(A B)    36 36 18 51
Khai triển biểu thức (1 – 2x)n ta được
Số hạng thứ k + 1 trong khai triển (1 – 2x)n là: đa thức có dạng: T k k k
k+1 = C (2) x . Từ đó ta có: a n
0 + a1 + a2 = 71
a a x a x2  ...  n a x 0 1 2 n
n N, n  2
Tìm hệ số của x5, biết 
C0  C1  C2 2 4 = 71 n n nn(n 1)
a a a  71 1 2n  4  71 0 1 2   2 
n N, n  2    n = 7. 2
n  2n  35   0 52
Tìm số hạng không chứa x trong khai 1 3
n(n 1)(n  2) n
Ta có: C C n 13  n   1 n 3  1  n n 6
triển nhị thức x2   , biết rằng: 3   x  n  10 n2  n 3  70  0   C1  C3  n
13 (n là số tự nhiên lớn n    7 l ( oaïi) n n
hơn 2, x là số thực khác 0)
Số hạng tổng quát của khai triển nhị thức là: T k 2 10 k 3 k k 20 5k k+1 =    C (x ) (x )  C x 10 10
Tk+1 không chứa x ứng với 20 – 5k = 0  k = 4
Vậy số hạng không chứa x là: T5 = C4 = 210 10 53
Tìm số tự nhiên n sao cho:
Điều kiện: n   , n ≤ 4 1 1 1 1 1 1
n!(4  n)! n!(5  n)! n!(6  n)!        n n n C C C n n n C C C 4! 5! 6! 4 5 6 4 5 6
n  15 (loaïi)
n2 – 17n + 30 = 0   . Vậy: n = 2 n   2 54 Giải phương trình 2  x  5 x x1 x2 2 xC Điều kiện :  C 2  CC 3 ( k C là tổ  x x x x2 n x   
hợp chập k của n phần tử) Ta có x x1 x1 x2 2 xC CCCC 3 x x x x x2 x x1 2 x3 x 2 x  CCCCC 3 x1 x1 x2 x2 x2
 (5  x)!  2!  x  3 55 Tìm k sao cho k k1 k C ,C ,C 2 theo thứ
Điều kiện: 0  k  5, k   7 7 7 k k 1 k 2
tự lập thành cấp số cộng Ta có:   C ,C ,C
theo thứ tự lập thành cấp số cộng 7 7 7 31
Chuyên đề 2. Tổ hợp – Xác suất – Niu-tơn
: 01655334679 – 0916620899
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018 k k2 k   C CC 1 2 7 7 7
Giải phương trình, tìm được: k  1,k  4 56 Giải bất phương trình: n  1 A4 15 n 4 A4 15 a) Điều kiện:  . Ta có:   a) n4  n    (n  2)! (n 1)! (n  2)! (n 1)! (n  4)! 15
(n  4)(n  3) b) C2 2  3A2  20  0     15 x1 x n!(n  2)! (n 1)! nn n   n n2 ( 3)( 4) 15  n
8 12  0  2  n  6
So với điều kiện, ta có: n  3, n  4, n  5
b) Điều kiện: x   , x ≥ 2. (x 1)! x! Bất phương trình  2  3  20  0 2!(x 1)! (x  2)!
x(x + 1) + 3x(x – 1) – 20 < 0 5
 2x2 – x – 10 < 0  – 2 < x < 2
Kết hợp điều kiện, vậy: x = 2. 57 Giải phương trình: x  3 a) Điều kiện:
a) C1  C2  C3  x2 6 6 9 14x x x x x   
b) C0  C1  C2 2 4  ...  n n 2 C = 243 1 2 3 2 n n n n C C 6  C 6  9x 14x x x x
x x2  x x3  x2  x x2 3 3 3 2 9 14xx  0
x x2 9x 14      0  x   2 x   7
So với điều kiện, vậy phương trình có nghiệm: x  7 n
b) Ta có: (x + 1)n =  k k
C x . Cho x = 2 ta được: n k 0 n 3n =  k k
C 2  3n = 243  n = 5. n k 0 58
Tìm số tự nhiên k thỏa mãn hệ thức: Ta có: k k 2 k C CC 1 2
0  k  12,k   14 14 14 k k 2 k C CC 1 2 14 14 14 14! 14! 14!    2
k!(14  k)! (k  2)!(12  k)!
(k 1)!(13  k)! 1 1 2   
(14  k)(13  k) (k 1)(k  2)
(k 1)(13  k)
 (k 1)(k  2)  (14  k)(13  k)  2(k  2)(14  k) k  4
k2 12k  32  0   k   8
Vậy: k  4, k  8 59
Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong Ta có:
khai triển nhị thức Niutơn của ( 4)! ( 3)! 1 n n n n    CC  7(n  3)    7(n  3) n n4 n3  1  (n 1)!.3! n!.3!  5  x , biết rằng: 3  n 3(loaïi)  x     (n  3)( n 3  36)  0   nC 1  n C
 7(n  3) ( n là số nguyên n   12 n4 n3 dương, x  0 ) 32
Chuyên đề 2. Tổ hợp – Xác suất – Niu-tơn
: 01655334679 – 0916620899
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018 1  2 k n 12  1   1  12 5 k   Khi đó:  x5   x5  k 3 2  3   3  C12   x  x     x   xk0   5(12k)
Số hạng chứa x8 tương ứng với  k 3  8k 4 2 12  1 
Vậy hệ số của x8 trong khai triển  5  x là 3   xC12  495 4 60
Tìm số nguyên n lớn hơn 1 thỏa mãn
Ta có: P A2  P A2 2 6
 12 (n  , n  2) n n n n
đẳng thức: P A2  P A2 2 6  12 n n n n 6n! n!  2n  !  n!  12 (n  2)! (n  2)! 6  n!  0 n!  
(6  n!)  2(6  n!)  0   n! (n  2)!  2  0 (n   2)! n!  6 n  3 n  3      2 
n(n 1)  2  0
n n  2  0 n     2
Vậy: n  2; n  3 61
Một chiếc tàu của tập đoàn dầu khí
Gọi A là xác suất lần thứ i khoan trúng túi dầu ( i  1, 2 ), i
quốc gia Việt Nam khoan thăm dò dầu P(A )  p, P(A ) 1 p .
khí trên thềm lục địa tỉnh Bình Thuận i i
có xác suất khoan trúng túi dầu là p.
Gọi A là biến cố trong hai lần khoan độc lập, chiếc tàu
Tìm p biết rằng trong hai lần khoan
khoan trúng túi dầu ít nhất một lần.
độc lập, xác suất để chiếc tàu đó
Khi đó A A .A và 1 2
khoan trúng túi dầu ít nhất một lần là 2 P( )
A  0,36  1 P( A)  1 P( A ).P( A )  1 (1 p) (vì 1 2 0,36
A , A là hai biến cố độc lập) 1 2 16 1 9 Do đó 2 (1 p)   p  hoặc p  (loại vì 25 5 5 1
0  p  1) . Vậy p   0, 2 5 33
Chuyên đề 2. Tổ hợp – Xác suất – Niu-tơn
: 01655334679 – 0916620899
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018
C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau và nằm trong khoảng (2000; 4000). A. 1006. B. 1012. C. 1008. D. 1016.
Câu 2: Cho hai đường thẳng song song d và d . Trên d lấy 17 điểm phân biệt, trên d lấy 20 điểm 1 2 1 2
phân biệt. Tính số tam giác có các đỉnh là 3 điểm trong 37 điểm đã chọn trên d và d . 1 2 A. 340. B. 2720. C. 3230. D. 5950.
Câu 3: Tìm số tự nhiên n thoả mãn: 2 n2 2 3 3 n3 C C  2C C C C  100. n n n n n n A. n  9. B. n  4. C. n  2. D. n  6.
Câu 4: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số, biết rằng hai số đúng kề nhau phải khác nhau ? A. 90000. B. 81000. C. 27216. D. 59049.
Câu 5: Một lớp có 40 học sinh đăng kí chơi ít nhất một trong hai môn thể thao bóng đá và cầu lông.
Có 30 em đăng kí môn bóng đá, 25 em đăng kí môn cầu lông. Hỏi có bao nhiêu em đăng kí cả hai môn thể thao ? A. 10. B. 20. C. 5. D. 15.
Câu 6: Kết quả (b,c) của việc gieo con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần, trong đó b là số chấm
xuất hiện trong lần gieo đầu, c là số chấm xuất hiện trong lần gieo thứ hai, được thay vào phương trình: 2
x bx c  0 . Tìm xác suất P để phương trình vô nghiệm. 17 1 19 17 A. P  . B. P  . C. P  . D. P  . 18 18 36 36
Câu 7: Tìm giá trị của biểu thức 0 1 2 2009 H CCC  ...  C . 2009 2009 2009 2009 A. H  0. B. 2009 H  2 . C. H  2. D. H  2009.
Câu 8: Tìm số nguyên dương 0 1 2
n : C  2C  4C  ...  2n n C  243. n n n n
A. n  9 và n  7.
B. n  4 và n  5. C. n  7. D. n  5.
Câu 9: Một tổ học sinh có 5 nam và 5 nữ xếp thành một hàng dọc. Có bao nhiêu cách xếp sao cho
không có học sinh cùng giới tính đứng kề nhau ? A. 10! – 5!. B. 2!.5!.5!. C. 10!. D. 5!.5!.
Câu 10: Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ gồm 4 chữ số khác nhau và lớn hơn 6000 ? A. 1800. B. 1008. C. 24000. D. 3003.
Câu 11: Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ trong khoảng (2000; 3000) có thể tạo nên từ các chữ số
1,2,3,4,5,6 nếu các chữ số đó khác nhau. A. 36. B. 120. C. 60. D. 108.
Câu 12: Cần phân công ba bạn từ một tổ có 10 bạn để trực nhật. Hỏi có bao nhiêu cách phân công khác nhau ? A. 360. B. 30. C. 120. D. 720.
Câu 13: Với bốn chữ số 1; 2; 3; 4 có thể lập được bao nhiêu số có các chữ số phân biệt ? A. 32. B. 24. C. 16. D. 64.
Câu 14: Túi bên phải có 3 bi đỏ, 2 bi xanh; túi bên trái có 4 bi đỏ, 5 bi xanh. Lấy một bi từ mỗi túi
một cách ngẫu nhiên. Tìm xác suất P sao cho hai bi lấy ra cùng màu. 23 22 12 13 A. P  . B. P  . C. P  . D. P  . 45 45 45 45 4 A 15
Câu 15: Giải bất phương trình sau: n4  . P P n2 n 1 
A. n  3, n  4, n  5.
B. n  3, n  2, n  5.
C. n  4, n  5, n  6.
D. n  2, n  3, n  4.
Câu 16: Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà hai chữ số của nó đều chẵn ? A. 16. B. 10. C. 20. D. 25. 34
Chuyên đề 2. Tổ hợp – Xác suất – Niu-tơn
: 01655334679 – 0916620899
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018
Câu 17: Một túi đựng 4 quả cầu đỏ, 6 quả cầu xanh. Chọn ngẫu nhiên 4 quả cầu. Gọi P là xác suất
trong 4 quả đó có cả quả màu đỏ và màu xanh. Tìm P. 9 194 97 1 A. P B. P C. P D. P  210 220 105 15
Câu 18: Có hai hòm đựng thẻ, mỗi hòm đựng 12 thẻ đánh số từ 1 đến 12. Từ mỗi hòm rút ngẫu nhiên
một thẻ. Tìm xác suất P để trong hai thẻ rút ra có ít nhất một thẻ đánh số 12. 23 11 121 1 A. P  . B. P  . C. P  . D. P  . 144 12 144 144
Câu 19: Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ trong khoảng (2000; 3000) có thể tạo nên từ các chữ số
1,2,3,4,5,6 nếu các chữ số đó không nhất thiết khác nhau. A. 72. B. 48. C. 36. D. 108.
Câu 20: Trong một vòng loại Olympic, trên tám đường bơi, 8 vận động viên không cùng một lúc về
đích. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp hạng xảy ra ? A. 42030. B. 40230. C. 40320. D. 40312.
Câu 21: Tìm giá trị của biểu thức 1 2 2 3 3 2n 1  2n 1  2
F  110C 10 C 10 C  ... 10 C 10 n. 2n 2n 2n 2n A. 81n F  . B. 2 81 n F  . C. 10n F  . D. 2 10 n F  . Câu 22: Khai triển biểu thức 3 x50 2 50
a a x a x  ...  a x . Tính tổng 0 1 2 50
S a a a  ...  a . 0 1 2 50 A. 50 S  5 . B. 50 S  2 . C. 100 S  2 . D. 50 S  3 .
Câu 23: Số 337211875 có bao nhiêu ước nguyên dương ? A. 210. B. 120. C. 240. D. 140.
Câu 24: Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm ba chữ số phân biệt được chọn từ các chữ số 1; 2;
3; 4; 5; 6; 7. Hỏi bao nhiêu là số chẵn ? A. 100. B. 60. C. 90. D. 120.
Câu 25: Giải phương trình 2
x  2nx  5  0 . Biết số nguyên dương n thỏa mãn n 1  n CC  9. n 5
A. x  2  5. B. x  4  .
C. x  4  21.
D. x  4  2.
Câu 26: Trong một đa giác đều bảy cạnh, kẻ các đường chéo. Hỏi có bao nhiêu giao điểm của các
đường chéo, trừ các đỉnh ? A. 28. B. 840. C. 27. D. 35.
Câu 27: Có 4 con đường từ A đến B, 2 con đường nối từ B đến C và 3 con đường nối từ C đến D . Có
bao nhiêu cách đi từ A đấn D mà qua B và C chỉ một lần ? A. 12. B. 24. C. 42. D. 8.
Câu 28: Từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, có bao nhiêu cách chọn một số hoặc là số chẵn hoặc là số nguyên tố ? A. 7. B. 9. C. 3. D. 5.
Câu 29: An có 12 cuốn sách tham khảo khác nhau, trong đó có 6 cuốn sách toán, 4 cuốn sách vật lí và
2 cuốn sách hóa học. An muốn xếp chúng vào 3 ngăn A, B, C trên giá sách sao cho mỗi ngăn chứa
một loại sách. Hỏi An có bao nhiêu cách xếp? A. 220. B. 1320. C. 207360. D. 34560.
Câu 30: Một đoàn đại biểu gồm 4 học sinh được chọn từ một tổ gồm 5 nam và 4 nữ. Hỏi có bao nhiêu
cách chọn sao cho trong đó có ít nhất một nam và ít nhất một nữ ? A. 124. B. 3024. C. 120. D. 126. n nCâu 31: Giả sử có khai triển
1 x  x 1 x 1 2
a a x a x  ... na x . Biết 0 1 2 n
a a a  ...  a  512 . Hãy tất cả giá trị thực của n. 0 1 2 n
A. n  10 và n  9. B. n  100. C. n  7. D. n  10. 35
Chuyên đề 2. Tổ hợp – Xác suất – Niu-tơn
: 01655334679 – 0916620899
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018 n  1 
Câu 32: Tìm hệ số của số hạng chứa 8
x trong khai triển nhị thức Niu-tơn của 5  x  , biết rằng 3  x   n 1  n CC  7(n  3). n4 n3 A. 4 8 C .x . B. 8 8 C .x . C. 8 8 C .x . D. 2 8 C .x . 12 12 10 8
Câu 33: Số 2025000 có bao nhiêu ước nguyên dương ? A. 221. B. 210. C. 120. D. 240.
Câu 34: Hỏi có bao nhiêu số chẵn gồm 6 số khác nhau đôi một trong đó chữ số đầu tiên là chữ số lẻ ? A. 24000. B. 42000. C. 40000. D. 48000.
Câu 35: Một tổ gồm có 8 nam và 6 nữ. Cần chọn một nhóm 5 người trong đó có 2 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ? A. 120. B. 840. C. 2002. D. 240240.
Câu 36: Trên tập B  1;2;3; 4;5;6; 
7 có thể lập thành được bao số tự nhiên gồm bảy chữ số khác nhau. A. 5040. B. 5400. C. 4500. D. 4050.
Câu 37: Từ các chữ số 0;1; 2;3; 4; 5;6. Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 3 chữ số được lập từ các chữ số đã cho? A. 144. B. 168. C. 150. D. 196. 1 1 1
Câu 38: Tất cả các nghiệm của phương trình   thuộc khoảng nào ? x x x C C C 4 5 6 A. 0;4. B. 3;7. C.  ;   1 . D. 2; .
Câu 39: Với các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 có thể lập được bao nhiêu số chẵn gồm 5 chữ số khác nhau ? A. 1280. B. 1260. C. 4200. D. 2400.
Câu 40: Một tổ có 7 nam sinh và 4 nữ sinh. Giáo viên cần chọn 3 học sinh xếp bàn ghế của lớp, trong
đó có ít nhất 1 nam sinh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ? A. 161. B. 165. C. 28. D. 990.
Câu 41: Trong đợt ứng phó dịch MERS-CoV, Sở Y tế thành phố đã chọn ngẫu nhiên 3 đội phòng
chống dịch cơ động trong 5 đội của Trung tâm y tế dự phòng thành phố và 20 đội của các Trung tâm y
tế cơ sở để kiểm tra công tác chuẩn bị. Tìm xác suất P để ít nhất 2 đội của Trung tâm y tế cơ sở được chọn. 1 19 209 209 A. P  . B. P  . C. P  . D. P  . 115 46 230 230
Câu 42: Giải bất phương trình 2 2 2C  3A  30. x 1  x 5 A. x  2. B.   x  3.
C. 0  x  3. D. x  3. 2
Câu 43: Trên tập B  1;2;3; 4;5;6; 
7 có thể lập thành được bao nhiêu số tự nhiên gồm bảy chữ số khác nhau. A. 5400. B. 5040. C. 4500. D. 4050.
Câu 44: Có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi cho 10 bạn, trong đó có An và Bình, vào 10 ghế kê thành
hàng ngang, sao cho Hai bạn An và Bình không ngồi cạnh nhau? A. 2!.5!.5!. B. 8. 8!. C. 72. 8!. D. 10! – 8!.
Câu 45: Hỏi có bao nhiêu cách chọn một tập hợp 5 chữ cái từ bảng chữ cái Tiếng Anh ? A. 120. B. 7893600. C. 65780. D. 56780.
Câu 46: Trong mặt phẳng có 6 đường thẳng song song với nhau và 8 đường thẳng khác cũng song
song với nhau đồng thời cắt 6 đường thẳng đã cho. Hỏi có bao nhiêu hình bình hành được tạo nên bởi
14 đường thẳng đã cho ? A. 420. B. 320. C. 48. D. 96. 36
Chuyên đề 2. Tổ hợp – Xác suất – Niu-tơn
: 01655334679 – 0916620899
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018 
Câu 47: Cho một đa giác lồi có 15 cạnh. Hỏi có bao nhiêu vectơ khác vectơ O với điểm đầu và điểm
cuối là các đỉnh của đa giác ? A. 105(vectơ). B. 210(vectơ). C. 225(vectơ). D. 30(vectơ). 1 1 1
Câu 48: Tìm số nguyên dương n thỏa mãn:    1. n 1  n 1  2 A C A n n 1  n 1  A. n  3. B. n  6. C. n  9. D. n  2. 6  1 
Câu 49: Gọi T là số hạng không chứa x trong khai triển 2x
, x  0 . Tìm số hạng T . k  2  x k   A. T  420. B. T  240. C. T  240. D. T  240. 3 3 4 6
Câu 50: Giải phương trình 2 2
2P  6A P A  12. n n n n
A. n  3; n  4.
B. n  2; n  4.
C. n  4; n  6.
D. n  2; n  3.
Câu 51: Từ một hộp chứa 6 quả cầu trắng và 4 qủa cầu đen, lấy ngẫu nhiên đồng thời 4 quả. Tính xác
suất P sao cho bốn quả cầu lấy ra cùng màu. 8 1 1 7 A. P  . B. P  . C. P  . D. P  . 105 14 210 120
Câu 52: Một câu lạc bộ Toán học lúc thành lập có 14 thành viên, cần bầu chọn ra một thành viên làm
giám đốc CLB, một thành viên làm phó giám đốc CLB và một thành viên làm kế toán trưởng CLB.
Hỏi có bao nhiêu cách chọn để bầu mà không có ai kiêm nhiệm ? A. 2184. B. 364. C. 42. D. 14!.
Câu 53: Trên một mặt phẳng, 9 đường thẳng song song cắt 10 đường thẳng song song khác thì tạo nên
bao nhiêu hình bình hành trên mặt phẳng đó ? A. 1630. B. 1620. C. 90. D. 180.
Câu 54: Có 5 nhà Toán học nam, 3 nhà Toán học nữ và 4 nhà Vật lý nam. Lập một đoàn công tác 3
người cần có cả nam và nữ. Cần có cả nhà Toán học và nhà Vật lý. Hỏi có bao nhiêu cách lập ? A. 90. B. 220. C. 1320. D. 32. 18  1 
Câu 55: Gọi T là số hạng không chứa x trong khai triển của 3 x
, x  0. Tìm số hạng T . k  3  x k   A. T  48820. B. T  48620. C. T  43758. D. T  48620. 10 9 11 10
Câu 56: Một tập hợp có 100 phần tử. Hỏi nó có bao nhiêu tập con có nhiều hơn 2 phần tử ? A. 100 2  5051. B. 100 2 . C. 5051. D. 100 2  5051.
Câu 57: Có hai hộp chứa các quả cầu. Hộp thứ nhất chứa 6 quả cầu trắng, 4 quả cầu đen. Hộp thứ hai
chứa 4 quả cầu trắng, 6 quả cầu đen. Từ mỗi hộp lấy ngẫu nhiên một quả. Tìm xác suất P để lấy ra hai quả khác màu. 13 12 24 3 A. P  . B. P  . C. P  . D. P  . 25 25 25 5
Câu 58: Có bao nhiêu tập con của tập hợp gồm bốn điểm phân biệt ? A. 18. B. 16. C. 4. D. 12.
Câu 59: Một tổ có 8 em nam và 2 em nữ. Người ta cần chọn ra 5 em trong tổ tham dự cuộc thi học
sinh thanh lịch của trường. Yêu cầu trong các em được chọn phải có ít nhất một em nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn? A. 196. B. 192. C. 2. D. 252.
Câu 60: Có hai hộp chứa bi. Hộp thứ nhất chứa 4 viên bi xanh và 3 viên bi vàng; hộp thứ hai chứa 2
viên bi xanh và 1 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra 1 viên bi. Tính xác suất P để 2 viên bi được hai viên bi xanh. 26 4 8 11 A. P  . B. P  . C. P  . D. P  . 21 21 21 21 37
Chuyên đề 2. Tổ hợp – Xác suất – Niu-tơn
: 01655334679 – 0916620899
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018
Câu 61: Một hộp chứa 12 thẻ, trong đó có 2 thẻ ghi số 1; 4 thẻ ghi số 5 và 6 thẻ ghi số 10. Chọn ngẫu
nhiên 6 thẻ. Tìm xác suất P để các số được chọn có tổng các số không nhỏ hơn 50. 37 127 99 132 A. P  . B. P  . C. P  . D. P  . 924 924 924 924
Câu 62: Một hộp đựng 9 thẻ được đánh số từ 1, 2, 3, ..., 9. Rút ngẫu nhiên 5 thẻ . Tìm xác suất P để
các thẻ ghi số 1, 2, 3 được rút. 1 5 7 5 A. P  . B. P  . C. P  . D. P  . 21 14 42 42
Câu 63: Gieo ba con súc sắc cân đối một cách độc lập. Tìm xác suất P để tổng số chấm trên mặt xuất
hiện của ba con súc sắc bằng 9. 5 5 9 25 A. P  . B. P  . C. P  . D. P  . 216 216 216 216
Câu 64: Có 6 học sinh và 3 thầy giáo A, B, C sẽ ngồi trên một hàng ngang có 9 ghế. Hỏi có bao nhiêu
cách xếp chỗ cho 9 người đó sao cho mỗi thầy giáo ngồi giữa hai học sinh ? A. 43200. B. 55012. C. 94536. D. 35684.
Câu 65: Tại một buổi lễ có 13 cặp vợ chồng tham dự. Mỗi ông bắt tay một lần với mọi người trừ vợ
mình. Các bà không ai bắt tay với nhau. Hỏi có bao nhiêu cái bắt tay ? A. 185. B. 216. C. 78. D. 234.
Câu 66: Xác suất bắn trúng mục tiêu của một vận động viên khi bắn một viên đạn là 0,6. Người đó
bắn hai viên đạn một cách độc lập. Tìm xác suất P để một viên đạn trúng mục tiêu và một viên đạn trượt mục tiêu. A. P  0,56. B. P  0, 48. C. P  0,84. D. P  0,98.
Câu 67: Giải phương trình 2 2 2 2 C  2C  2CC  149. n 1  n2 n3 n4 A. n  4.
B. n  5 và n  9.  C. n  9. D. n  5. n
Câu 68: Cho khai triển 1 2x 2
a a x a x  ... n
a x . Biết rằng a a a  ...  a  729 . 0 1 2 n 0 1 2 n Tìm n. A. n  6. B. n  7. C. n  9. D. n  5.
Câu 69: Tính tổng S của tất cả các số gồm 4 chữ số khác nhau và số đã lập được từ nền B  1; 2;3;  4 bằng phép hoán vị ? A. S  66660. B. S  88 0 88 .
C. S  7 777 777. D. S  5 555 555.
Câu 70: Trong khai triển của   x8 1 2 . Tìm hệ số của 2 x . A. 112. B. 212. C. 121. D. 122.
Câu 71: Gieo hai con súc sắc cân đối. Tìm xác suất P để hiệu số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc bằng 2. 1 1 5 2 A. P  . B. P  . C. P  . D. P  . 12 9 36 9
Câu 72: Trong một vòng loại Olympic, trên tám đường bơi, 8 vận động viên không cùng một lúc về
đích. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp hạng xảy ra ? A. 42300. B. 40320. C. 43020. D. 42000.
Câu 73: Từ một tổ gồm 7 học sinh nữ và 5 học sinh nam cần chọn ra 6 em trong đó số học sinh nữ
phải nhỏ hơn 4. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy ? A. 108. B. 642. C. 246. D. 462.
Câu 74: Chọn ngẫu nhiên 6 số dương trong tập 1;2;3;...; 
10 và sắp xếp theo thứ tự tăng dần (từ thấp
lên cao). Tìm xác suất P để số 3 được chọn xếp ở vị trí thứ hai. 1 1 1 1 A. P  . B. P  . C. P  . D. P  . 6 2 3 60 38
Chuyên đề 2. Tổ hợp – Xác suất – Niu-tơn
: 01655334679 – 0916620899
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018
Câu 75: Ta xếp 5 quả cầu trắng khác nhau và 5 quả cầu đỏ khác nhau vào 10 vị trí theo một dãy, sao
cho quả cầu cùng màu không đứng cạnh nhau. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp như vậy ? A. 156. B. 14000. C. 28800. D. 240.
Câu 76: Tìm tất cả các nghiệm của phương trình 10 9 8
A A  9A . x x x A. x  11.
B. x  11 và x  10. D, x  5.
C. x  11 và x  5.
Câu 77: Hai thí sinh A và B tham gia một buổi thi vấn đáp. Cán bộ hỏi thi đưa cho mỗi thí sinh một bộ
câu hỏi thi gồm 10 câu hỏi khác nhau, được đựng trong 10 phong bì dán kín, có hình thức giống hệt
nhau, mỗi bì đựng 1 câu hỏi; thí sinh chọn 3 phong bì trong số đó để xác định câu hỏi thi của mình.
Biết rằng bộ 10 câu hỏi thi dành cho các thí sinh là như nhau, tìm xác suất P để 3 câu hỏi A và 3 câu
hỏi B chọn là giống nhau. 1 1 1 A. P  1. B. P  . C. P  . D. P  . 6 120 2
Câu 78: Có ba chiếc hộp A, B, C, mỗi hộp chứa ba chiếc thẻ được đánh số từ 1, 2, 3. Từ mỗi hộp rút
ngẫu nhiên một chiếc thẻ. Tìm xác suất P để tổng số ghi trên ba tấm thẻ bằng 6. 7 1 6 1 A. P  . B. P  . C. P  . D. P  . 27 27 27 3
Câu 79: Một hộp đựng bốn viên bi xanh, ba viên bi đỏ và hai viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên hai viên bi.
Tìm xác suất P để chọn được hai viên bi cùng màu. 5 5 13 5 A. P  . B. P  . C. P  . D. P  . 16 18 18 9
Câu 80: Tính hệ số của 12 13
x y trong khai triển  x y25 . A. 12 C . B. 13 2.C . C. 13 C . D. 12 C . 13 25 25 25
Câu 81: Giải phương trình 2 x 1
A .C   48. x x A. x  4. B. x  5. C. x  2.
D. x  1 và x  3.
Câu 82: Một hộp đựng bốn viên bi xanh, ba viên bi đỏ và hai viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên hai viên bi.
Tìm xác suất P để chọn được hai viên bi khác màu. 13 5 9 2 A. P  . B. P  . C. P  . D. P  . 18 18 13 9
Câu 83: Có 5 bạn nam và 5 bạn nữ xếp ngổi ngẫu nhiên quanh bàn tròn. Tìm xác suất P để cho nam, nữ ngồi xen kẽ nhau. 2990 2880 2880 3880 A. P  . B. P  . C. P  . D. P  . 362990 482880 362880 363880
Câu 84: Một hộp đựng 9 thẻ được đánh số từ 1, 2, 3, ..., 9. Rút ngẫu nhiên 5 thẻ . Tìm xác suất P để
không thẻ nào trong ba thẻ các ghi số 1, 2, 3 được rút. 7 5 5 1 A. P  . B. P  . C. P  . D. P  . 25 14 9 21
Câu 85: Tìm giá trị của biểu thức 0 1 2 2009 2009 K CCC  ...  ( 1  ) C . 2009 2009 2009 2009 A. K  2009. B. K  0. C. 2009 K  2 . D. K  2010.
Câu 86: Hỏi từ các chữ số 0,1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có 6 chữ số
khác nhau và chữ số 2 và 3 đứng cạnh nhau ? A. 192. B. 72. C. 24. D. 48.
Câu 87: Số 653672250 có bao nhiêu ước nguyên dương ? A. 260. B. 360. C. 240. D. 144.
Câu 88: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau chia hết cho 10 ? 39
Chuyên đề 2. Tổ hợp – Xác suất – Niu-tơn
: 01655334679 – 0916620899
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018 A. 2520. B. 5040. C. 3024. D. 80640.
Câu 89: Từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6, người ta lập tất cả các số gồm 4 chữ số đôi một khác nhau.
Chọn ngẫu nhiên một số trong các số lập được. Tìm xác suất P để số được chọn chia hết cho 3. 2 1 1 1 A. P  . B. P  . C. P  . D. P  . 3 15 360 3
Câu 90: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 5 ? A. 120. B. 925. C. 952. D. 20.
Câu 91: Cho đa giác đều có 2n cạnh A1A2. . .A2n ( n  2 , n nguyên) nội tiếp trong một đường tròn.
Biết rằng số tam giác có 3 đỉnh lấy trong 2n điểm A , A ,..., A nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có 4 1 2 2n
đỉnh lấy trong 2n điểm A , A ,..., A . Tìm n . 1 2 2n A. n  12. B. n  4. C. n  8. D. n  6. 1 1 1
Câu 92: Tìm số nguyên dương n thỏa mãn:   . 2 1 A C n 1 n n A. n  12. B. n  9. C. n  7. D. n  4.
Câu 93: Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên bé hơn 1000. Tìm xác suất P để số đó chia hết cho 3. 334 333 331 335 A. P  . B. P  . C. P  . D. P  . 1000 1000 1000 1000
Câu 94: Trong kì thi cuối năm lớp 11, xác suất để Bình đạt điểm giỏi môn toán là 0,92; môn văn là
0,88. Tìm xác suất P để Bình đạt điểm giỏi ít nhất một môn. A. 0,8096. B. 0,0096. C. 0,9904. D. 0,5.
Câu 95: Cho tập A gồm n phần tử n  4 . Biết rằng số tập con gồm 4 phần tử của A bằng 20 lần số
tập con gồm 2 phần tử của A. Tìm n. A. n  8. B. n  18. C. n  9. D. n  20.
Câu 96: Cho n số nguyên dương thỏa mãn 1  3 5 n C
C . Tìm tất cả các giá trị của n. n n
A. n  4 và n  2. B. n  5.
C. n  7 và n  9. D. n  7.
Câu 97: Tìm số nguyên dương n thỏa mãn: 2 2 2 C  2C  3C  45. n 1  n2 n3 A. n  2. B. n  3.
C. n  4 và n  1.
D. n  3 và n  2.
Câu 98: Tìm hệ số của x5 trong khai triển   x12 1 . A. 972. B. 297. C. 729. D. 792.
Câu 99: Túi bên phải có 3 bi đỏ, 2 bi xanh; túi bên trái có 4 bi đỏ, 5 bi xanh. Lấy một bi từ mỗi túi
một cách ngẫu nhiên. Tìm xác suất P sao cho hai bi lấy ra khác màu. 12 22 23 13 A. P  . B. P  . C. P  . D. P  . 45 45 45 45
Câu 100: Giải phương trình 2
x  8x n  0 . Biết số nguyên dương n thỏa mãn 3 3 3 C  2CC  466. n n 1  n2 A. x  5. B. x  7. C. x  4. D. x  3. n
Câu 101: Biết hệ số của 2
x trong khai triển 1 3x là 90. Hãy tìm n. A. n  5. B. n  7. C. n  9. D. n  10.
Câu 102: Giải bất phương trình 2
x  2x  8  n  0 . Biết số nguyên dương n thỏa mãn 3 n 2
2C A   90  0. n n 1  A. 3   x  1. B. x  2. C. x  4  . D. 3   x  2.
Câu 103: Có hai hộp chứa bi. Hộp thứ nhất chứa 4 viên bi đỏ và 3 viên bi trắng, hộp thứ hai chứa 2
viên bi đỏ và 4 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra 1 viên bi. Tính xác suất P để 2 viên bi được lấy ra cùng màu. 40
Chuyên đề 2. Tổ hợp – Xác suất – Niu-tơn
: 01655334679 – 0916620899
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018 10 4 2 13 A. P  . B. P  . C. P  . D. P  . 21 21 7 42
Câu 104: Tìm giá trị của biểu thức 17 0 16 1 2 15 2 3 14 3 17 17
J  3 C  4.3 C  4 .3 C  4 .3 C  ...  4 C . 17 17 17 17 17 A. 7n J  . B. 12n J  . C. J  1  . D. J  17.
Câu 105: Tổ của An và Bình có 7 học sinh. Tìm số cách sắp xếp 7 học sinh ấy theo một hàng dọc mà
An đứng đầu hàng, Bình đứng cuối hàng. A. 216. B. 240. C. 5040. D. 120.
Câu 106: Từ 7 chữ số 0;1;2;3;4;5;6 có thể lập được bao nhiêu số chẵn, mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau? A. 2520. B. 1260. C. 5040. D. 21.
Câu 107: Tìm tất cả giá trị n là số nguyên dương thoả mãn bất phương trình: 3 n2 A  2C  9 . n n n A. n  3.
B. n  3, n  4.
C. n  3, n  5. D. n  4.
Câu 108: Có bao nhiêu số gồm 8 chữ số, trong đó có đúng hai chữ số 2 ? A. 10 640 319. B. 9 920 232. C. 3 720 087. D. 13 640 319.
Câu 109: Tìm tất cả các nghiệm của phương trình x 1  x2 x3 x 10 C C C ... C       1023. x x x x A. x  10. B. x  11.
C. x  10 và x  9.
D. x  11 và x  8.
Câu 110: Cho tập nền B  1;2;4;5; 
7 . Có thể lập được từ B bao nhiêu số chẵn gồm 4 chữ số khác nhau ? A. 72. B. 48. C. 120. D. 60. 6  1 
Câu 111: Gọi T là số hạng không chứa x trong khai triển 2x
, x  0 . Tìm số hạng T . k  2  x k   A. T  240. B. T  420. C. T  240. D. T  240. 3 5 4 6
Câu 112: Giải phương trình 1 2 n 20 CC  ...  C  2 1. 2n 1  2n 1  2n 1 
A. n  10 và n  11.
B. n  11 và n  7. C. n  10. D. n  11.
Câu 113: Từ một hộp chứa 16 thẻ đánh số từ 1 đến 16, chọn ngẫu nhiên 4 thẻ. Tính xác suất P để 4
thẻ được chọn đều đánh số chẵn. 1 25 1 A. P  . B. P  . C. P  1. D. P  . 2 26 26
Câu 114: Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ gồm 6 chữ số khác nhau và nhỏ hơn 600.000 ? A. 393600. B. 39360. C. 33960. D. 30360.
Câu 115: Một túi đựng 4 quả cầu đỏ, 6 quả cầu xanh. Chọn ngẫu nhiên 4 quả cầu. Tính xác suất P để
trong 4 quả đó có cả quả màu đỏ và màu xanh. 14 8 194 6 A. P  . B. P  . C. P  . D. P  . 210 105 210 105
Câu 116: Có bao nhiêu cách xếp năm bạn học sinh , A ,
B C, D và E vào một chiếc ghế dài đủ năm chỗ
ngồi sao cho hai bạn A và E ngồi ở hai đầu ghế ? A. 9. B. 24. C. 12. D. 16. n
Câu 117: Trong khai triển của 1 ax  ta có số hạng đầu là 1, số hạng thứ hai là 24x, số hạng thứ ba là 2
252x . Hãy tìm a và n . a  8 a  3 a  3 a  2 A.  . B.  . C.  . D.  . n  3  n  8  n  4  n  8 
Câu 118: Có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi cho 10 bạn, trong đó có An và Bình vào 10 ghế kê thành
hàng ngang, sao cho hai bạn An và Bình ngồi cạnh nhau ? A. 10!. B. 2.10!. C. 9!. D. 18. 8!. 41
Chuyên đề 2. Tổ hợp – Xác suất – Niu-tơn
: 01655334679 – 0916620899
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018
Câu 119: Số 6000 có bao nhiêu ước nguyên dương ? A. 42. B. 32. C. 40. D. 24.
Câu 120: Tìm giá trị của biểu thức 0 2 1 3 2 2010 2009 N  3C  3 C  3 C  ...  3 C . 2009 2009 2009 2009 A. 2010 N  3 . B. 2010 N  4 . C. 2009 N  5 . D. 2009 N  3.4 .
Câu 121: Trong không gian cho tập hợp gồm 9 điểm trong đó không có 4 điểm nào đồng phẳng. Hỏi
có thể lập được bao nhiêu tứ diện với các đỉnh thuộc tập hợp đã cho ? A. 94. B. 126. C. 36. D. 3024.
Câu 122: Một đa giác lồi 20 cạnh có bao nhiêu đường chéo ? A. 180. B. 170. C. 190. D. 380.
Câu 123: Hỏi có bao nhiêu số các số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau và chia hết cho 5 ? A. 90000. B. 30. C. 17280. D. 180000.
Câu 124: Gieo một đồng tiền cân đối và đồng chất bốn lần. Tìm xác suất P để cả bốn lần xuất hiện mặt sấp. 2 4 6 1 A. P  . B. P  . C. P  . D. P  . 16 16 16 16 n
Câu 125: Cho khai triển 1 2x  a a x a x2  ...  n a x 0 1 2 n
Tìm số hạng thứ 5 trong khai triển đó, biết rằng a a a  ...  a  729. 0 1 2 n A. 5 2 4
T C 2 x . B. 5 4 4
T C 2 x . C. 5 3 4
T C 2 x . D. 5 5 4
T C 2 x . 5 6 5 6 5 6 5 6 n  1 
Câu 126: Gọi T là số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức 2 x
, x  0 , biết rằng: k  3   x C1  C3  n
13 (n là số tự nhiên lớn hơn 2, x là số thực khác 0). Tìm số hạng T . n n k A. T  310. B. T  120. C. T  210. D. T  210. 6 5 7 5
Câu 127: Tìm giá trị của biểu thức 3 2 2 1 1 0
H C C C C C C . 5 4 4 3 3 3 A. H  18. B. H  9. C. H  81. D. H  210. n  1 
Câu 128: Tính A2 nếu biết số hạng thứ 6 của khai triển 3 x
không phụ thuộc vào x. n    x A. 2 A  3003. B. 2 A  480. C. 2 A  420. D. 2 A  380. n n n n
Câu 129: Số 31752000 có bao nhiêu ước nguyên dương ? A. 128 B. 420 C. 240 D. 120
Câu 130: Cho n số nguyên dương thỏa mãn 1  3 5 n C
C . Tìm số hạng chứa 5
x trong khai triển nhị n n n 2  nx 1  thức Niu-tơn    , x  0. 14 x   35 37 35 A. 5  x . B. 5  x . C. 5 35  x . D. 5  x . 16 16 14
Câu 131: Giả sử có bảy bông hoa màu khác nhau và ba lọ khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách cắm ba
bông hoa vào ba lọ đã cho ( mỗi lọ cắm một bông) ? A. 21. B. 210. C. 105. D. 120.
Câu 132: Một tổ học sinh có 5 nam và 5 nữ xếp thành một hàng dọc. Có bao nhiêu cách xếp khác nhau ? A. 5!.5!. B. 2.5!. C. 9!. D. 10!. 9 10 14
Câu 133: Tim hệ số của 9
x sau khi khai triển và rút gọn đa thức 1 x  1 x  ... 1 x . A. 3010. B. 2901. C. 3003. D. 3001. 42
Chuyên đề 2. Tổ hợp – Xác suất – Niu-tơn
: 01655334679 – 0916620899
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018 12  x 3 
Câu 134: Tìm hệ số a của số hạng chứa 4 x trong khai triển  , x  0.  3 x    1 1 1 A. 5 a   C . B. 6 a C . C. 3 a   C . D. 4 a C . 12 9 12 12 729 12 81
Câu 135: Cho số nguyên dương n thỏa mãn điều kiện 0 1 2
C  2C  4C  97 . Gọi T là số hạng chứa n n n k n 2  2 
x trong khai triển theo công thức nhị thức Niu_tơn của biểu thức P(x)  x  , x  0  . Tìm số 2  x   hạng T . k A. 2 T  121x . B. 2 T  112x . C. 2 T  211x . D. 2 T  112x . 2 2 3 3
Câu 136: Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số phân biệt ? A. 2700. B. 27216. C. 7216. D. 26216.
Câu 137: Trong đợt ứng phó dịch MERS-CoV, Sở Y tế thành phố đã chọn ngẫu nhiên 3 đội phòng
chống dịch cơ động trong 5 đội của Trung tâm y tế dự phòng thành phố và 20 đội của các Trung tâm y
tế cơ sở để kiểm tra công tác chuẩn bị. Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho có ít nhất 2 đội của Trung
tâm y tế cơ sở được chọn. A. 2900. B. 9020. C. 2090. D. 2300.
Câu 138: Có bao nhiêu đường chéo của thập giác ? A. 45. B. 10. C. 30. D. 35.
Câu 139: Học sinh A thiết kế bảng điều kiển điện tử mở cửa phòng học của lớp mình. Bảng gồm 10
nút, mỗi nút được ghi một số từ 0 đến 9 và không có hai nút nào được ghi cùng một số. Để mở cửa cần
nhấn liên tiếp 3 nút khác nhau sao cho 3 số trên 3 nút đó theo thứ tự đã nhấn tạo thành một dãy số tăng
và có tổng bằng 10. Học sinh B không biết quy tắc mở cửa trên, đã nhấn ngẫu nhiên liên tiếp 3 nút
khác nhau trên bảng điều kiển. Tìm xác suất P để B mở được cửa phòng học đó. 2 1 1 1 A. P  . B. P  . C. P  . D. P  . 45 45 90 9
Câu 140: Trong khai triển của  x y17 3 2 . Tìm hệ số của 8 9 x y . A. 8 9 9 2 3 C . B. 9 8 8 2 3 C . C. 8 9 8 2 3 C . D. 9 9 8 2 3 C . 17 17 17 17
Câu 141: Từ một hộp chứa 6 quả cầu trắng và 4 qủa cầu đen, lấy ngẫu nhiên đồng thời 4 quả. Tính
xác suất sao cho có ít nhất một quả cầu trắng. 209 2 1 200 A. P  . B. P  . C. P  . D. P  . 210 7 105 210
Câu 142: Để kiểm tra chất lượng sản phẩm từ một công ty sữa, người ta đã giử đến bộ phận kiểm
nghiệm 5 hộp sữa cam, 4 hộp sữa dâu và 3 hộp sữa nho. Bộ phận kiểm nghiệm chọn ngẫu nhiên 3 hộp
sữa để phân tích mẫu. Tính xác suất P để 3 hộp sữa được chọn có cả 3 loại. 3 3 5 1 A. P  . B. P  . C. P  . D. P  . 11 5 11 5
Câu 143: Một hộp chứa 16 viên bi, với 7 viên bi trắng, 6 viên bi đen và 3 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên
10 viên bi. Tìm xác suất P để rút được 5 viên bi trắng, 3 viên bi đen và 2 viên bi đỏ. 35 11 27 45 A. P  . B. P  . C. P  . D. P  . 5040 3003 65 286
Câu 144: Cho đa giác đều n đỉnh, n   và n  3 . Tìm n biết rằng đa giác đã cho có 27 đường chéo. A. n  9. B. n  10. C. n  12. D. n  7.
Câu 145: Một hộp đựng 5 viên bi xanh, 4 viên bi đỏ và 3 viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên hai viên bi.
Tìm xác suất P để chọn được hai viên bi cùng màu. 6 12 19 47 A. P  . B. P  . C. P  . D. P  . 66 66 66 66 43
Chuyên đề 2. Tổ hợp – Xác suất – Niu-tơn
: 01655334679 – 0916620899
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018
Câu 146: Gieo hai con súc sắc cân đối. Tìm xác suất P để tích các số chấm trên hai con súc sắc là số lẻ. 7 8 6 9 A. P  . B. P  . C. P  . D. P  . 36 36 36 36
Câu 147: Một người đi du lịch mang 3 hộp thịt, 2 hộp quả và 3 hộp sữa. Do trời mưa nên các hộp bị
mất nhãn. Người đó chọn ngẫu nhiên 3 hộp. Tính xác suất P để trong đó có một hộp thịt, một hộp sữa và một hộp quả. 1 9 1 1 A. P  . B. P  . C. P  . D. P  . 7 28 18 3
Câu 148: Gieo hai con súc sắc cân đối một cách độc lập. Tìm xác suất P để tổng số chấm trên mặt
xuất hiện của hai con súc sắc bằng 8. 5 1 2 5 A. P  . B. P  . C. P  . D. P  . 36 12 21 6
Câu 149: Số 360 có bao nhiêu ước nguyên dương ? A. 36. B. 12. C. 24. D. 42.
Câu 150: Một hộp đựng 11 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 11. Chọn ngẫu nhiên 6 tấm thẻ. Tìm xác suất P
để tổng số ghi trên 6 tấm thẻ ấy là một số lẻ. (lưu ý: Tổng là số lẻ: hoặc là l lẻ và 5 chẵn hoặc là 3 lẻ
và 3 chẵn hoặc là 5 lẻ và 1 chẵn) 118 1 115 100 A. P  . B. P  . C. P  . D. P  . 231 2 231 231
Câu 151: Gieo một con súc sắc cân đối ba lần. Tìm xác suất P để có đúng hai lần xuất hiện mặt 6 chấm. 15 1 5 5 A. P  . B. P  . C. P  . D. P  . 216 216 216 6
Câu 152: Trong các số tự nhiên từ 100 đến 999 có bao nhiêu số mà các chữ số của nó tăng dần hoặc giảm dần ? A. 204. B. 168. C. 312. D. 120.
Câu 153: Một con súc sắc cân đối được gieo ba lần. Tìm xác suất P để tổng số chấm xuất hiện ở hai
lần gieo đầu bằng số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ ba. 15 10 16 12 A. P  . B. P  . C. P  . D. P  . 216 216 216 216 
Câu 154: Từ ba đỉnh của tam giác ABC có thể lập được bao nhiêu vectơ khác vectơ O . A. 12(vectơ). B. 6(vectơ). C. 9(vectơ). D. 3(vectơ).
Câu 155: Một hộp đựng 9 thẻ được đánh số từ 1, 2, 3, ..., 9. Rút ngẫu nhiên 2 thẻ và nhân hai số ghi
trên hai thẻ với nhau. Tìm xác suất P để tích nhận được là số lẻ. 5 13 1 2 A. P  . B. P  . C. P  . D. P  . 18 18 6 9
Câu 156: Có 4 con đường từ A đến B, 2 con đường nối từ B đến C và 3 con đường nối từ C đến D. Có
bao nhiêu cách đi từ A đến D rồi quay lại A ? A. 192. B. 576. C. 675. D. 504.
Câu 157: Một hộp đựng 9 thẻ được đánh số từ 1, 2, 3, ..., 9. Rút ngẫu nhiên 5 thẻ . Tìm xác suất P để
có đúng một trong ba thẻ ghi số 1, 2, 3 được rút. 4 5 5 2 A. P  . B. P  . C. P  . D. P  . 21 42 14 15
Câu 158: Tìm tất cả các nghiệm của phương trình 1 2 3 2
C  6C  6C  9x 14x. x x x
A. x  7 và x  9. B. x  7.
C. x  3 và x  8. D. x  8.
Câu 159: Gieo hai con súc sắc cân đối. Tìm xác suất P để tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc bằng 7. 44
Chuyên đề 2. Tổ hợp – Xác suất – Niu-tơn
: 01655334679 – 0916620899
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018 1 1 7 2 A. P  . B. P  . C. P  . D. P  . 6 2 36 9
Câu 160: Kết quả (b,c) của việc gieo con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần, trong đó b là số chấm
xuất hiện trong lần gieo đầu, c là số chấm xuất hiện trong lần gieo thứ hai, được thay vào phương trình: 2
x bx c  0 . Tìm xác suất P để phương trình có nghiệm kép. 17 17 19 1 A. P  . B. P  . C. P  . D. P  . 18 36 36 18
Câu 161: Số 80041500 có bao nhiêu ước nguyên dương ? A. 342. B. 432. C. 243. D. 423.
Câu 162: Gieo ba con súc sắc cân đối. Tìm xác suất P để số chấm xuất hiện trên ba con của ba con súc sắc nhu nhau. 1 1 12 3 A. P  . B. P  . C. P  . D. P  . 36 216 216 216 n
Câu 163: Tìm hệ số của số hạng chứa 10
x trong khai triển nhị thức Niu-tơn của 2  x , biết: n n n 1  n 1  n2 n2 n3 n3 3 C  3 C  3 C  3 C  ...  ( 1  )n n C  2048. n n n n n A. 24. B. 11. C. 23. D. 22.
Câu 164: Gieo một con súc sắc cân đối hai lần. Tìm xác suất P để ít nhất một lần xuất hiện mặt sáu chấm. 12 11 1 2 A. P  . B. P  . C. P  . D. P  . 36 36 6 9
Câu 165: Trong kì thi THPT Quốc Gia năm 2016 có 4 môn thi trắc nghiệm và 4 môn thi tự luận. Một
giáo viên được bốc thăm ngẫu nhiên để phụ trách coi thi 5 môn. Tìm xác suất P để giáo viên đó phụ
trách coi thi ít nhất 2 môn trắc nghiệm. 2 1 2 13 A. P  . B. P  . C. P  . D. P  . 5 4 7 14
Câu 166: Một chiếc tàu của tập đoàn dầu khí quốc gia Việt Nam khoan thăm dò dầu khí trên thềm lục
địa tỉnh Bình Thuận có xác suất khoan trúng túi dầu là P. Tìm P biết rằng trong hai lần khoan độc lập,
xác suất để chiếc tàu đó khoan trúng túi dầu ít nhất một lần là 0,36. 1 5 3 1 A. P  . B. P  . C. P  . D. P  . 2 9 5 5
Câu 167: Một nhóm học sinh có 7 em nam và 3 em nữ. Người ta cần chọn ra 5 em trong nhóm tham
gia đồng diễn thể dục. Trong 5 em được chọn, yêu cầu không có quá một em nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ? A. 231. B. 126. C. 105. D. 21.
Câu 168: Có 5 người đến buổi hòa nhạc. Tìm số cách xếp 5 người này vào một hàng có 5 ghế. A. 125. B. 10. C. 120. D. 5.
Câu 169: Tìm số tự nhiên n thoả mãn: C .A An nn 2 2 2 1 3 4 . n 1 2 A. n  9. B. n  12. C. n  16. D. n  5.
Câu 170: Từ một hộp chứa ba quả cầu trắng và hai quả cầu đen lấy ngẫu nhiên hai quả. Tìm xác suất
P để lấy được hai quả cầu trắng . 6 12 10 9 A. P  . B. P  . C. P  . D. P  . 30 30 30 30
Câu 171: Trong một trò chơi điên tử, xác suất để An thắng một trân là 0,4 (không có hòa). Hỏi An
phải chơi tối thiểu bao nhiêu trân để xác suất An thắng ít nhất một trận trong loạt chơi đó lớn hơn 0,95? A. 7 trận. B. 6 trận. C. 5 trận. D. 9 trận. 45
Chuyên đề 2. Tổ hợp – Xác suất – Niu-tơn
: 01655334679 – 0916620899
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018
Câu 172: Có hai hộp chứa các quả cầu. Hộp thứ nhất chứa 6 quả cầu trắng, 4 quả cầu đen. Hộp thứ hai
chứa 4 quả cầu trắng, 6 quả cầu đen. Từ mỗi hộp lấy ngẫu nhiên một quả. Tìm xác suất P để lấy ra hai quả cùng màu. 12 13 24 A. P  . B. P  . C. P  . D. P  1. 25 25 25
Câu 173: Cô giáo chia 4 quả táo, 3 quả cam và 2 quả chuối cho 9 cháu (mỗi cháu một quả). Hỏi có
bao nhiêu cách chia khác nhau ? A. 1630. B. 1260. C. 9. D. 18.
Câu 174: Gieo hai con súc sắc cân đối một cách độc lập. Tìm xác suất P để tổng số chấm trên mặt
xuất hiện của hai con súc sắc bằng 8. 5 1 2 5 A. P  . B. P  . C. P  . D. P  . 6 12 21 36
Câu 175: Một hộp đựng 5 viên bi xanh, 4 viên bi đỏ và 3 viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên hai viên bi.
Tìm xác suất P để chọn được hai viên bi khác màu. 47 19 12 6 A. P  . B. P  . C. P  . D. P  . 66 66 66 66
Câu 176: Một bài trắc nghiệm khách quan có 10 câu hỏi. Mỗi câu hỏi có 4 phương án trả lời. Hỏi có
bao nhiêu phương án chọn trả lời ? A. 40. B. 4. C. 10 4 . D. 4 10 .
Câu 177: Có bao nhiêu cách xếp năm bạn học sinh , A ,
B C, D và E vào một chiếc ghế dài đủ năm chỗ
ngồi sao cho bạn C ngồi chính giữa? A. 42. B. 12. C. 24. D. 16.
Câu 178: Kết quả (b,c) của việc gieo con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần, trong đó b là số chấm
xuất hiện trong lần gieo đầu, c là số chấm xuất hiện trong lần gieo thứ hai, được thay vào phương trình: 2
x bx c  0 . Tìm xác suất P để phương trình có nghiệm. 19 1 17 17 A. P  . B. P  . C. P  . D. P  . 36 18 36 18
Câu 179: Cho đa giác đều n đỉnh ( n  , n  3 ). Tìm n biết rằng đa giác đã cho có 135 đường chéo. A. n  15. B. n  18. C. n  27. D. n  21.
Câu 180: Cho tập nền B  0;1;2;3;4; 
5 . Có thể lập được bao nhiêu số chẵn, mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau ? A. 120. B. 213. C. 30. D. 312.
Câu 181: Số 283618125 có bao nhiêu ước nguyên dương ? A. 120. B. 220. C. 240. D. 420.
Câu 182: Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm ba chữ số phân biệt được chọn từ các chữ số 1;
2; 3; 4; 5; 6; 7. Chọn ngẫu nhiên một số từ S, tính xác suất P để số được chọn là số chẵn. 2 3 1 91 A. P  . B. P  . C. P  . D. P  . 7 7 3 210
Câu 183: Một hộp đựng chín thẻ đánh số từ 1 đến 9. Tìm xác suất P để rút ngẫu nhiên hai thẻ rồi nhân
hai số ghi trên thẻ với nhau có kết quả nhận được là một số chẵn. 5 7 13 1 A. P  . B. P  . C. P  . D. P  . 9 18 18 6
Câu 184: Tìm số tự nhiên n thoả mãn: 3 n2 n 1  1 CCC .C . n 1  n n n4 A. n  2. B. n  12. C. n  11. D. n  7.
Câu 185: Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên bé hơn 1000. Tìm xác suất P để số đó chia hết cho 5. A. P  0,5. B. P  0, 4. C. P  0,2. D. P  0, 7. 46
Chuyên đề 2. Tổ hợp – Xác suất – Niu-tơn
: 01655334679 – 0916620899
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018
Câu 186: Một tổ có 6 học sinh nam và 5 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5 học sinh trong đó có 3 nam và 2 nữ? A. 200. B. 2400. C. 462. D. 30.
Câu 187: Một hộp đựng 5 quả cầu vàng, 4 quả cầu đỏ và 3 quả cầu xanh. Chọn ngẫu nhiên 4 quả cầu.
Tìm xác suất P chọn được 4 quả cầu cùng màu. 2 163 8 16 A. P  . B. P  . C. P  . D. P  . 165 165 35 55
Câu 188: Một tổ gồm 6 học sinh nam và 4 học sinh nữ. Cần phân công ba bạn làm ban cán sự tổ trong
đó có một tổ trưởng, một tổ phó và một thủ quỹ sao cho thủ quỹ là nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân công như vậy ? A. 720. B. 288. C. 144. D. 2160.
Câu 189: Cho tâp X  1;2;3;4;5; 
6 . Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau lấy từ tập X
mà tổng của 3 chữ số bằng 10. A. 12. B. 18. C. 20. D. 120.
Câu 190: Cho tập A là một tập hợp có 20 phần tử. Hỏi có bao nhiêu tập con của tập A ? A. 20 1 2  . B. 20 2 . C. 20 20 . D. 20.
Câu 191: Viết ngẫu nhiên một số gồm 5 chữ số đôi một khác nhau và 5 chữ số đó không có chữ số 0.
Tìm xác suất P để viết được ít nhất 2 chữ số là số chẵn. 10 1 5 1 A. P  . B. P  . C. P  . D. P  . 63 6 6 126
Câu 192: Số 3969000 có bao nhiêu ước nguyên dương ? A. 432. B. 40. C. 120. D. 240.
Câu 193: Tìm giá trị của biểu thức 0 1 2 2 2009 2009 M C  2C  2 C  ...  2 C . là 2009 2009 2009 2009 A. M  2010. B. M  2009. C. M  3. D. 2009 M  3 .
Câu 194: Số 2389976875 có bao nhiêu ước nguyên dương ? A. 420. B. 360. C. 120. D. 240.
Câu 195: Cho tâp A  1;2;3;4; 
5 . Có bao nhiêu số tự nhiên lấy từ tập A gồm 3 chữ số khác nhau
nằm trong khoảng 300;500. A. 120. B. 48. C. 24. D. 96.
Câu 196: Lấy hai con bài từ cỗ bài tú lơ khơ 52 con. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ? A. 450. B. 104. C. 1326. D. 2652. n
Câu 197: Khai triển biểu thức 1 2x 2
a a x a x  ... n
a x . Tìm a biết rằng 0 1 2 n 5
a a a  71. 0 1 2 A. 6 6 a  2  C . B. 4 4 a  2 C . C. 5 5 a  2  C . D. 5 4 a  2  C . 5 7 5 7 5 7 5 7 18  1 
Câu 198: Gọi T là số hạng không chứa x trong khai triển của 3 x
, x  0. Tìm số hạng T . k  3  x k   A. T  48620. B. T  48820. C. T  48620. D. T  43758. 10 12 9 11
Câu 199: Từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6, người ta lập tất cả các số gồm 4 chữ số đôi một khác nhau.
Chọn ngẫu nhiên một số trong các số lập được. Tìm xác suất P để số được chọn chia hết cho 3. 1 2 1 1 A. P  . B. P  . C. P  . D. P  . 360 3 15 3
Câu 200: Một chi đoàn có 8 đoàn viên nam và 7 đoàn viên nữ. Chọn ngẫu nhiên 4 đoàn viên để lập
một đội thanh niên tình nguyện. Tính xác suất P để 4 đoàn viên được chọn có ít nhất một nữ. 47
Chuyên đề 2. Tổ hợp – Xác suất – Niu-tơn
: 01655334679 – 0916620899
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018 37 2 1 38 A. P  . B. P  . C. P  . D. P  . 39 39 39 39
Câu 201: Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số trong đó các chữ số cách đều số đứng chính giữa thì giống nhau ? A. 720. B. 1000. C. 920. D. 900.
Câu 202: Trong kì thi cuối năm lớp 11, xác suất để Bình đạt điểm giỏi môn toán là 0,92; môn văn là
0,88. Tìm xác suất P để Bình đạt điểm giỏi cả hai môn toán và văn. A. 0,5. B. 0,9904. C. 0,0096. D. 0,8096. 48
Chuyên đề 2. Tổ hợp – Xác suất – Niu-tơn
: 01655334679 – 0916620899
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018 C. ĐÁP ÁN 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 A B C D
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 A B C D
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 A B C D
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 A B C D
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 A B C D 10 10 10 10 10 10 10 10 10 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 A B C D 12 12 12 12 12 12 12 12 12 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 A B C D 14 14 14 14 14 14 14 14 14 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 A B C D 49
Chuyên đề 2. Tổ hợp – Xác suất – Niu-tơn
: 01655334679 – 0916620899
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018 16 16 16 16 16 16 16 16 16 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 A B C D 18 18 18 18 18 18 18 18 18 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 A B C D 201 202 A B C D 50
Chuyên đề 2. Tổ hợp – Xác suất – Niu-tơn
: 01655334679 – 0916620899
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018 CHUYÊN ĐỀ 3
DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN
A. KIẾN THỨC CẦN NẮM
1. Phương pháp quy nạp toán học
Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi n *
  bằng phương pháp quy nạp toán học, ta thực hiện các bước sau:
B1. Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 1
B2. Giả thiết mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên bất kì n = k ( k  1 ) (giả thiết quy nạp)
B3. Chứng minh mệnh đề cũng đúng với n = k + 1 2. Dãy số
a) Định nghĩa dãy số
- Một hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương *
 được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số). Kí hiệu: u * :  
n u(n)
Đặt u(n) = un và gọi là số hạng tổng quát của dãy số (un).
Đôi khi người ta gọi nó là số hạng tổng quát của dãy số (un).
- Mỗi hàm u xác định trên tập M    m m * 1,2,3,...,
,   được gọi là một dãy số hữu hạn
b) Dãy số tăng, dãy số giảm
- Dãy số (un) được gọi là dãy số tăng nếu un + 1 > un, với mọi n *  
- Dãy số (un) được gọi là dãy số giảm nếu un + 1 < un, với mọi n *  
- Dãy số tăng và dãy số giảm được gọi chung là dãy số đơn điệu
Phương pháp khảo sát tính đơn điệu của dãy số
PP1: Xét hiệu H = un + 1 – un
- Nếu H > 0 với mọi n *
  thì dãy số đã cho là dãy số tăng
- Nếu H < 0 với mọi n *
  thì dãy số đã cho là dãy số giảm u PP2. Nếu u 1 
n > 0 với mọi n *
  thì ta lập tỉ số n , rồi so sánh với 1 un u - Nếu n 1  > 1 với mọi n *
  thì dãy số đã cho là dãy số tăng un u - Nếu n 1  < 1 với mọi n *
  thì dãy số đã cho là dãy số giảm un c) Dãy số bị chặn - Dãy số (u  
n) được gọi là dãy bị chặn trên nếu M   u M n * : ,  n - Dãy số (u  
n) được gọi là dãy bị chặn dưới nếu m   u m n * : ,  n
- Dãy số (un) được gọi là dãy bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là: M
m   m u M n * , : ,   n
3. Cấp số cộng, cấp số nhân Cấp số cộng Cấp số nhân Định nghĩa
un + 1 = un + d với n *  
un + 1 = un.q với n *   Số hạng tổng quát
un = u1 + (n – 1)d, với n  2
un = u1.qn - 1, với n  2 Tính chất uu u2  u u . ,k  2 k 1  k u 1   , k  2 k k 1  k 1  k 2 hay u u u . k k 1  k 1  51
Chuyên đề 3. Dãy số - CSC - CSN
: 01655334679 – 0916620899
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018
Tổng n số hạng đầu
n(u u ) n u (1 q ) 1 n S  , n *    S 1  ,q  1 n 2 n 1 q n(n 1) Hay S nu d n 1 2 Trong thực hành
Ba số a, b, c lập thành CSC
Ba số a, b, c lập thành CSN thì
thì 2b = a + c hoặc b2 = ac 1
a b b c  (a c) 2
B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Biết ba số x + 6y, 5x + 2y, 8x + y theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng; đồng thời, các số x – 1, y
+ 2, x – 3y theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân. Hãy tìm x và y.
A. x  3; y  2.
B. x  6; y  2.
C. x  2; y  5.
D. x  6; y  2.
Câu 2: Cho dãy số (u ) xác định bởi u  150 và u u
 3 với mọi n  2. Tính tổng S của 100 số n 1 n n 1  hạng đầu tiên. A. S  59700. B. S  150. C. S  300. D. S  29850.
Câu 3: Biết rằng viết năm số hạng xen giữa hai số 25 và 1 ta được một cấp số cộng có bảy số hạng. Số
hạng u của cấp số này bằng bao nhiêu ? 50 A. u  171. B. u  171. C. u  211. D. u  102. 50 50 50 50
Câu 4: Cho cấp số cộng (u ) . Mệnh đề nào dưới đây đúng ? n u u u .u A. 10
20  u u .
B. 10 30  u .
C. u u  2u . D. u .uu . 5 10 2 20 2 90 210 150 10 30 20
Câu 5: Biết ba số khác nhau , a ,
b c có tổng số là 30. Đọc theo thứ tự , a ,
b c ta được một cấp số cộng; đọc theo , b ,
a c ta được cấp số nhân. Tìm công sai d và công bội q của hai cấp số đó.
A. d  20, q  2.
B. d  20, q  2.
C. d  40, q  3.
D. d  30, q  2.
Câu 6: Tìm các giá trị của tham số m để phương trình x4  m x2  m 2 (3 5)
(  1)  0 có bốn nghiệm lập thành cấp số cộng. 5 25 25
A. m  1; m   .
B. m  5; m  3.
C. m  2; m   .
D. m  5; m   . 9 19 19
Câu 7: Tìm công sai d của số cộng (u ) , biết rằng u u u  12 và u .u .u  80. n 1 3 5 1 3 5 A. d  5.  B. d  3. 
C. d  3; d  5.
D. d  3; d  2  .
Câu 8: Biết rằng viết năm số xen giữa các số 1 và 729 theo thứ tự tăng dần ta được một cấp số nhân có
bảy số hạng. Tính tổng S các số hạng của cấp số này. A. S  1020. B. S  547. C. S  1093. D. S  657.
Câu 9: Tính tổng S  2  4  6  ....  200. A. S  10100. B. S  12000. C. S  10200. D. S  11000. an2 1
Câu 10: Tìm giá trị nào của tham số a để dãy số (un), với u  là dãy số tăng. n 2n2  3 3 2 2 A. a  1. B. a  . C. a  . D. a  . 2 3 3
Câu 11: Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân (u ) , biết u  5, u  135. n 3 6 A. n3 u  5  ( 3  ) . B. n3 u  3  ( 5  ) . C. n3 u  5.3 . D. n3 u  5( 3  ) . n n n n
Câu 12: Cho cấp số cộng (un), biết u u u  10 và u u  17 . Tìm số hạng u và công sai d. 1 3 5 1 6 1 52
Chuyên đề 3. Dãy số - CSC - CSN
: 01655334679 – 0916620899
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018
A. u  16; d  2.
B. u  9; d  3  .
C. u  16; d  3.
D. u  1; d  4. 1 1 1 1
Câu 13: Cho dãy số (u ) với u  3n. Mệnh đề nào dưới đây đúng ? n n u u u 1 A. 1 9  u . B. 100
u u  ...  u  . 5 2 1 2 100 2 u u
C. u u ...uu . D. 2 4  u . 1 2 100 5050 3 2
Câu 14: Cho một cấp số cộng (u ) có u  1 và tổng 100 số hạng đầu bằng 24850 . Tính n 1 1 1 1 S    ...  . u u u u u u 1 2 2 3 49 50 4 49 9 A. S  149. B. S  . C. S  . D. S  . 23 246 246 an2 1
Câu 15: Tìm giá trị nào của tham số a để dãy số (un), với u  là dãy số giảm. n 2n2  3 2 3 A. a  . B. a  3. C. a  . D. a  1. 3 2
Câu 16: Trong các dãy số (u ) dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng ? nu  1  u  2  u  1  u  3  A. 1  . B. 1  . C. 1  . D. 1  . u 3   u  2  u   u n u   u 1 u   2u  1 n 1  nn 1  nn 1  nn 1  n
Câu 17: Cho dãy số (u ) xác định bởi u  1  và u  2 . n u
với mọi n  2. Tính u . n 1 n n 1  11 A. 10 u  2 .11!. B. 10 u  2  .11!. C. 10 10 u  2  .11 . D. 10 10 u  2 .11 . 11 11 11 11
Câu 18: Xác định tham số m để phương trình 3 2
x  3x  9x m  0 có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng. A. m  10. B. m  12. C. m  9. D. m  11.
Câu 19: Cho dãy số (u ), biết công thức số hạng tổng quát dưới đây. Tìm dãy số giảm. n 2 n 1 A. u n n 1. B. u  . C. u  ( 1
 )n (2n 1). D. u  sin . n n n n n n
Câu 20: Cho cấp số cộng (u ) , biết u  123 và u u  84 . Tìm số hạng u . n 1 3 15 17 A. u  4. B. u  242. C. u  235. D. u  11. 17 17 17 17
Câu 21: Cấp số nhân (u ) , biết u u  51 và u u  102 . Tìm số hạng đầu tiên u và công bội q của n 1 5 2 6 1 cấp số nhân.
A. u  3; q  2.
B. u  3; q  2.
C. u  2; q  3.
D. u  5; q  3. 1 1 1 1
Câu 22: Cho cấp số nhân (u ) , biết u  2
 và u  54. Tính tổng S . n 2 5 1000 1000 3 1 1000 3 1 1000 1 3 1000 1 3 A. S  . B. S  . C. S  . D. S  . 1000 2 1000 6 1000 4 1000 6
Câu 23: Cho dãy số (u ), biết công thức số hạng tổng quát dưới đây. Tìm dãy số bị chặn. n n 1
A. u  2n 1. B. u  .
C. u n  . D. 2 u n 1. n n n 1 n n n na  2
Câu 24: Tìm giá trị nào của tham số a để dãy số (un), với u  là dãy số giảm. n n 1 A. a  2. B. a  2. C. a  4. D. a  2.
Câu 25: Cho cấp số cộng (un). Đặt S u u  ...  u . Mệnh đề nào dưới đây sai ? n 1 2 n 53
Chuyên đề 3. Dãy số - CSC - CSN
: 01655334679 – 0916620899
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018 [
n 2u  (n 1)d]  (n 1)d A. 1 S  .
B. S n u  . n 2 n  1 2    ( n u u ) nu u C. 1 n S  . D. 1 n S  . n 2 n 2
Câu 26: Một Công ty trách nhiệm hữu hạn thực hiên việc trả lương cho các kĩ sư theo phương thức sau:
Mức lương của quý làm việc đầu tiên cho Công ty là 4,5 triệu đồng/quý và kề từ quý làm việc thứ hai,
mức lương sẽ được tăng thêm 0,3 triệu đồng/quý. Hãy tính tổng số tiên lương một kĩ sư được nhận sau 3
năm làm việc cho Công ty?
A. 53, 7 (triệu đồng).
B. 75,8 (triệu đồng).
C. 80,5 (triệu đồng).
D. 73,8 (triệu đồng).
Câu 27: Cho cấp số nhân 4
 , x,9. Tìm x.
A. x  6,5. B. x  36.  C. x  6. D. x  36.
Câu 28: Chu vi của một đa giác là 158, số đo các cạnh của nó lập thành một cấp số cộng với công sai d =
3cm. Biết cạnh lớn nhất là 44cm, tính số cạnh của đa giác đó. A. 7. B. 5. C. 3. D. 4.
Câu 29: Cho cấp số cộng (u ) , biết u  2001 và u  1995 . Tìm số hạng u . n 2 5 1001 A. u  1. B. u  4005. C. u  3. D. u  4003. 1001 1001 1001 1001
Câu 30: Cho cấp số nhân (u ) , biết u  3 và u  6
 . Mệnh đề nào dưới đây đúng ? n 1 2 A. u  24. B. u  4  8. C. u  2  4. D. u  48. 5 5 5 5
Câu 31: Cho cấp số nhân (u ) với công bội q  1 . Đặt S u u  ...  u . Mệnh đề nào dưới đây đúng n n 1 2 n ? u n 1 1 q   u 1 nq u 1 nq n 1   1   1  1 q A. S  . B. S  . C. S  . D. S  . n 1 q n 1 q n 1 q n 1 q
Câu 32: Viết sáu số xen giữa các số – 2 và 256 để được một cấp số nhân có tám số hạng. Nếu viết tiếp thì
số hạng thứ 15 là bao nhiêu ?
A. u  327. B. u  2768.
C. u  32768. D. u  30786. 15 15 15 15
Câu 33: Cho a, b, c theo thứ tự là một cấp số cộng. Mệnh đề nào dưới đây sai ? 1 1 1 A. b  . ac
B. a c  2 . b
C. a b  a c.
D. b c  a c. 2 2 2
Câu 34: Một người đem 100.000.000 đồng đi gửi tiết kiệm với kì hạn 6 tháng, mỗi tháng lãi suất là
0, 7% số tiền người đó có. Hỏi sau khi hết kì hạn người đó được lĩnh về bao nhiêu tiền ? A.  6 8 10 . 0, 07 (đồng). B.  6 8 10 . 1, 07 (đồng). C.  5 8 10 . 1, 07 (đồng). D.  5 8 10 . 0, 07 (đồng).
Câu 35: Cho cấp số cộng (un), có u4 + u97 = 101. Hãy tình tổng S của 100 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó. A. S  50. B. S  101. C. S  505. D. S  5050.
Câu 36: Cho dãy số (u ), biết u  3n . Tìm số hạng u . n n 2 n 1  A. u  9.3n 1. B. n n 1 u  3 .3  . C. 2(n 1  ) u  3 . D. 2 u  3 n 1. n 1  n 1  n 1  n 1 
Câu 37: Xác định tham số m để phương trình 4
mx  m   2 2
1 x m 1  0 có bốn nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng. 9 3 5 A. m   . B. m  1  . C. m  . D. m   . 16 2 4
Câu 38: Cho các cấp số nhân (u ) , biết u  3, q  2. Hỏi số 192 là số hạng thứ mấy ? n 1
A. Số hạng thứ 7.
B. Số hạng thứ 5.
C. Số hạng thứ 9.
D. Số hạng thứ 3.
Câu 39: Biết rằng viết sáu số xen giữa hai số 3 và 24 ta được một cấp số cộng có tám số hạng. Tính tổng
S các số hạng của cấp số này. 54
Chuyên đề 3. Dãy số - CSC - CSN
: 01655334679 – 0916620899
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018 A. S  100. B. S  201. C. S  10. D. S  108.
Câu 40: Cấp số nhân (u ) , biết u u  51 và u u  102 . Hỏi tổng của bao nhiêu số hạng đầu tiên n 1 5 2 6 sẽ bằng 3069 ? A. 10. B. 20. C. 7. D. 12.
Câu 41: Cấp số nhân (u ) , biết u u  51 và u u  102 . Số 12288 là số hạng thứ mấy ? n 1 5 2 6
A. Số hạng thứ 9.
B. Số hạng thứ 13.
C. Số hạng thứ 21.
D. Số hạng thứ 15.
Câu 42: Cho dãy số (u ), biết u  3n . Tìm số hạng u . n n 2 n A. u  2.3n. B. u  3  3n. C. u  6 . n D. u  9n. n 1  n 1  n 1  2n
Câu 43: Cho dãy số (u ) , biết u  cos( n 3 1) và u u
với mọi n  1. TÍnh tổng S của 27 số n n 6 n n4
hạng đầu tiên của dãy số đã cho. 1 3 1 A. S  1.  B. S   . C. S   . D. S  . 2 2 6
Câu 44: Tính tổng S = 1 + 11 + 111 + 1111 + … + 11…1 (n số). 1010n   1 10 10n   1  9n A. S   . n B. S  . 9 81 1010n   1  n 10n  9n 1 C. S  . D. S  . 9 81 1 1 1
Câu 45: Tính tổng S  1   ...  . 2 3 3 3n n 1  n 1  n 1  n 1  3  1     1  1  1    3  1    A. S  1    . B. S  1  . C. S  1    . D. S  1    . 2  3            3 2  3 2  3              
Câu 46: Cho dãy số (u ), biết u  3n . Tìm số hạng u . n n n 1  A. u  3  3n. B. u  3(n  1). C. u  3.3n. D. u  1 3n. n 1  n 1  n 1  n 1 
Câu 47: Cho dãy số (u ), biết u  3n . Tìm số hạng u . n n n 1  1 A. u  3n 1. B. u  3n 1. C. u  .3n. D. u  3n  3. n 1  n 1  n 1  3 n 1 
Câu 48: Biết số đo của bốn góc của một tứ giác lồi lập thành một cấp số nhân. Hãy tìm số đo của góc nhỏ
nhất và công bội q(q  1) , biết rằng số đo của góc lớn nhất gấp 8 lần số đo của góc nhỏ nhất. A. 0 26 , q  2. B. 0 48 , q  3. C. 0 24 , q  2. D. 0 24 , q  3.
Câu 49: Cho ba số a, b,c(a b c) theo thứ tự lập thành một cấp số nhân, biết tổng của chúng là 63 và
tích của chúng là 1728. Tìm công bội q của cấp số nhân này. 1 1 A. q  . B. q  4. C. q  . D. q  3. 4 3
Câu 50: Biết bốn số lập thành một cấp số cộng. Tổng của bốn số đó bằng 22 và tổng bình phương của
chúng bằng 166. Tìm bốn số đó.
A. 10, 7, 4, 1 hoặc 1, 4, 7, 10.
B. 10, 8, 6, 4 hoặc 4, 6, 8, 10.
C. 10, 6, 2, 2 hoặc 2 , 2, 6, 10.
D. 10, 9, 8, 7 hoặc 7, 8, 9, 10. Câu 51: Cho ba số , a ,
b c theo thứ tự lập thành một cấp số nhân. Mệnh đề nào dưới đây đúng ? A. 2 c a . b
B. 2b a  . c
C. b a . c D. 2 b a . c
Câu 52: Cho số nhân u , biết u u u  10 và u u u  20. Tìm số hạng đầu u và công bội n  2 4 5 3 5 6 1
q của cấp số nhân. 55
Chuyên đề 3. Dãy số - CSC - CSN
: 01655334679 – 0916620899
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018
A. u  1; q  2.
B. u  2; q  4.
C. u  1; q  3.
D. u  2; q  2. 1 1 1 1 Câu 53: Tính tổng 2 3 64
S  1 2  2  2  ...  2 . A. 65 S  2 1. B. 64 S  2 1. C. 63 S  2 1. D. 64 S  2 1.
Câu 54: Biết ba góc của một tam giác lập thành cấp số cộng, góc lớn nhất gấp năm lần góc nhỏ nhất. Tìm
công sai d ( d > 0) của cấp số cộng đó. A. 0 d  10 . B. 0 d  30 . C. 0 d  20 . D. 0 d  40 .
Câu 55: Cho dãy số (u ), biết công thức số hạng tổng quát dưới đây. Tìm dãy số tăng. n 1 n   A. u  . B. 2 u  ( 1
 ) n (5n  1). C. n 1 u  ( 1  ) .sin . D. u  . n n n n n 2  1  n n n 1 1
Câu 56: Cho dãy số (u ) xác định bởi u  và u u
 2n với mọi n  2. Tính u . n 1 2 n n 1  50 A. u  2548,5. B. u  5096,5. C. u  1274,5. D. u  2550,5. 50 50 50 50
Câu 57: Biết độ dài , c ,
b a các cạnh tam giác ABC vuông tại A theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Tìm
công bội q của cấp số nhân đó. 1 5 1 7 1 2 1 3 A. q  . B. q  . C. q  . D. q  . 2 2 2 2
Câu 58: Cho cấp số cộng 6, x, 2, y. Tìm x, y.
A. x  4, y  6.
B. x  2, y  6.
C. x  4, y  6.
D. x  2, y  5. Câu 59: Biết 1 2 3
C , C , C lập thành một cấp số cộng với n  , n  3. Tìm n. n n n A. n  5. B. n  7. C. n  9. D. n  11.
Câu 60: Tìm cặp số (x; y) biết rằng các số x  6 y, 5x  2 y,8x y lập thành cấp số cộng và các số 5 x
y, y 1, 2x  3y lập thành cấp số nhân. 3 A. ( ; x y)    1  ;3;8; 8  . B. ( ; x y)    3  ;1 ;1;   1 .   1 3    3 1  C. ( ; x y)    1;3; ;  . D. ( ; x y)    3  ;   1 ; ;  .   8 8    8 8  na  2
Câu 61: Tìm giá trị nào của tham số a để dãy số (un), với u
là dãy số tăng. Là dãy số giảm ? n n 1 A. a  3. B. a  1. C. a  2. D. a  2.
Câu 62: Cho cấp số nhân 2, x, 18, y. Tìm x, y.
A. x  6, y  54.
B. x  6, y  54.
C. x  6, y  54.
D. x  10, y  2  6.
Câu 63: Xác định tham số m để phương trình 4
x  m   2 2
1 x  2m 1  0 (1) có bốn nghiệm phân biệt
lập thành cấp số cộng. 4
A. m  4 hoặc m  2  .
B. m  2 hoặc m   . 9 4
C. m  4 hoặc m   .
D. m  3 hoặc m  1  . 9
Câu 64: Phương trình 3 2
x  2x  m  
1 x  2m  
1  0 có ba nghiệm lập thành cấp số nhân.
A. m  2, m  1, m  4.
B. m  1, m  2, m  3.
C. m  1, m  3, m  4.
D. m  1, m  3, m  4.
Câu 65: Tìm cặp số (x; y) biết rằng các số x  5 y, 5x  2 y,8x y lập thành cấp số cộng và các số
y  2 xy   x  2 1 , 1,
1 lập thành cấp số nhân. 56
Chuyên đề 3. Dãy số - CSC - CSN
: 01655334679 – 0916620899
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018   3   3    1   A. ( ; x y)     3;  ; 3; . B. ( ; x y)   1;  ;    2  ; 2.  2   2         2     3   3    3   3   C. ( ; x y)   3; ; 3  ;     . D. ( ; x y)    3; ;  3; .  2        2  2 2      
Câu 66: Một hội trường có 10 dãy ghế. Biết rằng mỗi dãy ghế sau nhiều hơn dãy ghế trước 20 ghế và dãy
sau cùng có 280 ghế. Hỏi hội trường có bao nhiêu ghế ngồi ? A. 1100 ghế ngồi. B. 1900 ghế ngồi. C. 1000 ghế ngồi. D. 3000 ghế ngồi. 13 45
Câu 67: Tìm công bội q của một số nhân u , biết rằng: u u  1
và u u   . n  4 2 32 6 4 512 1 1 A. q  4.
B. q  4; q  2. C. q   . D. q   . 4 2
Câu 68: Người ta trồng cây theo hình tam giác, với quy luật: ở hàng thứ nhất có 1 cây, ở hàng thứ hai có
2 cây, ở hàng thứ ba có 3 cây,…ở hàng thứ n có n cây. Biết rằng người ta trồng hết 4950 cây. Hỏi số
hàng cây được trồng theo cách trên là bao nhiêu ? A. 99. B. 98. C. 100. D. 101.
Câu 69: Cho cấp số cộng 2, x, 6, y. Tìm x, y.
A. x  1, y  7.
B. x  6, y  2.
C. x  2, y  8.
D. x  2, y  10.
Câu 70: Biết bốn số theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Lần lượt trừ mỗi số ấy cho 2, 6, 7, 2 ta được một
cấp số nhân. Tìm các số đó. A. 5;12;19; 26. B. 3;10;17; 24.
C. 5; 2; 7; 14. D. 4;12; 20;28. 57
Chuyên đề 3. Dãy số - CSC - CSN
: 01655334679 – 0916620899
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018 C. ĐÁP ÁN 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 A B C D
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 A B C D
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 A B C D
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 A B C D 58
Chuyên đề 3. Dãy số - CSC - CSN
: 01655334679 – 0916620899
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018
CHUYÊN ĐỀ 4. GIỚI HẠN
A. KIẾN THỨC CẤN NẮM
§1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
1. Giới hạn hữu hạn của dãy số 
lim u  0 khi và chỉ khi u có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở n n n  đi. 
lim v a  lim (v a)  0 n n n n
 Dãy số (un) có giới hạn 0 khi và chỉ khi dãy số  u có giới hạn 0 n  2. Giới hạn vô cực 
lim u   khi và chỉ khi u có thể lớn hơn một số dương lớn tùy ý, kể từ một số hạng nào đó n n n 
trở đi. Kí hiệu: lim u   hay u   khi n   n n
 Dãy số ( u ) được gọi là có giới hạn  khi n   nếu lim(u )   n n
 Nhận xét: lim u    lim (u )   ; lim u    lim (u )   n n n n n  n n n
Lưu ý: Thay cho viết lim u L, lim u   , ta viết lim u a, lim u   n n n n n  n
3. Các giới hạn đặc biệt 1 1 a) lim  0 ; lim  0 ; k
lim n   , với k nguyên dương. n k n b) n
lim q  0 , nếu q  1 ; n
lim q   nếu q > 1 c c) lim c c ; lim  0 , lim(c u k
n) = climun, với c là hằng số, k *   n n d) lim  0 nếu q  1 n q
4. Định lí về giới hạn hữu hạn
Định lí 1. Nếu lim u L và lim v M , thì: n n  lim u (
v )  lim u  lim v L M n n n n  lim u (
v )  lim u  lim v L M n n n n  lim u v .
 lim u .lim v L.M n n n n  lim(c u . )  c L
. ( với c là hằng số) n u Ln lim  (nếu M  0 ) v M n
Định lí 2. Giả sử lim u L n
 Nếu u  0 với mọi n thì L  0 và lim u L n n
 lim u L và u 3 3 lim  L n n 1
 Nếu lim u   thì lim  0 n un
5. Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực
a) Quy tắc 1. Nếu lim u   và lim v   thì lim u v được cho trong bảng: n n n n 59
Chuyên đề 4. Giới hạn - Hàm số liên tục
: 01655334679 – 0916620899
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018 lim u lim v lim u v n n n n            
b) Quy tắc 2. Nếu lim u   và lim v L  0 thì lim u v được cho trong bảng: n n n n lim u Dấu của L lim u v n n n  +      +      u
c) Quy tắc 3. . Nếu lim u L  0 và lim v  0 và v  0 hoặc v  0 thì n lim được cho trong n n n n    v   n  bảng: Dấu của L Dấu của v u n n lim    v   n  + +  +    +     u
Chú ý . Nếu lim u L  0, lim v   thì n lim  0 n n vn
6. Tổng cấp số nhân lùi vô hạn
 Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân có công bội q thỏa mãn q  1
 Công thức tính tổng S của cấp số nhân lùi vô hạn (un) u u
S u u u  ...  u 1  ...  ; q  1 hay 2 n
S u u q u q  ...  u q 1  1  ...  ; q  1 1 2 3 n 1 q 1 1 1 1 1 q
7. Định lí kẹp về giới hạn của dãy số
Cho ba dãy số (un), (vn) ,(wn) và số thực L. Nếu u v w với mọi n và lim u n n n
n = lim wn = L thì dãy
số (vn) có giới hạn và lim vn = L. 8. Lưu ý
a) Dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn
b) Dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn
c) Nếu limun = a thì limun + 1 = a n  1 
d) Số e: e  lim 1   n n  
9. Phương pháp tìm giới hạn của dãy số
- Vận dụng nội dung định nghĩa
- Tìm giới hạn của một dãy số ta thường đưa về các giới hạn dạng đặc biệt và áp dụng các định lí về
giới hạn hoặc các định lí về giới hạn vô cực:
+ Nếu biểu thức có dạng phân thức mà mẫu và tử đều chứa các lũy thừa của n, thì chia tử và mẫu
cho nk, với k là số mũ cao nhất.
+ Nếu biểu thức có chứa n dưới dấu căn, thì có thể nhân tử số và mẫu số với cùng một biểu thức liên hợp.
10. Phương pháp tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
- Nhận dạng xem dãy số đã cho có phải là một cấp số nhân lùi vô hạn không. Sau đó áp dụng công thức tính tổng đã biết. 60
Chuyên đề 4. Giới hạn - Hàm số liên tục
: 01655334679 – 0916620899
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018
- Cách tìm cấp số nhân lùi vô hạn khi biết một số điều kiện: Dùng công thức tính tổng để tìm công bội và số hạng đầu
- Cách viết một số thập phân vô hạn tuần hoàn dưới dạng phân số hữu tỉ: Khai triển số đã cho dưới
dạng tổng của một số nhân lùi vô hạn và tính tổng này.
§2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 1. Giới hạn hữu hạn 
Cho khoảng K, x K và hàm số f (x) xác định trên K (hoặc K \ x ). lim f (x)  L khi và chỉ khi 0 0 xx0
với dãy số  x bất kì, x K \ x và x x thì lim f (x )  L n  0 n n 0 n n 
Cho hàm số f (x) xác định trên khoảng  x ;b . lim f (x)  L khi và chỉ khi với dãy số  x bất kì, n  0  x x  0
x x b và x x thì lim f (x )  L 0 n n 0 n n 
Cho hàm số f (x) xác định trên khoảng a; x . lim f (x)  L khi và chỉ khi với dãy số  x bất kì, n  0  x x  0
a x x và x x thì lim f (x )  L n 0 n 0 n n 
Cho hàm số f (x) xác định trên khoảng a; . lim f (x)  L khi và chỉ khi với dãy số  x bất kì, n x
x a và x   thì lim f (x )  L . n n n n 
Cho hàm số f (x) xác định trên khoảng  ;
 a . lim f (x)  L khi và chỉ khi với dãy số  x bất kì, n x
x a và x   thì lim f (x )  L . n n n n 2. Giới hạn vô cực 
Cho hàm số f (x) xác định trên khoảng  ;
 a . lim f (x)   khi và chỉ khi với dãy số  x bất n x
kì, x a và x   thì lim f (x )   . n n n n 
Cho khoảng K, x K và hàm số f (x) xác định trên K (hoặc K \ x ). lim f (x)   khi và chỉ 0 0 xx0
khi với dãy số  x bất kì, x K \ x và x x thì lim f (x )   n  0 n n 0 n n 
lim f (x)    lim  f (x)   x    x
3. Định lí vể giới hạn hữu hạn Định lí 1.
Giả sử lim f (x)  L và lim g(x)  M . Khi đó xx xx 0 0
a) lim  f (x)  g(x)  L M x   x0
b) lim k. f (x)  k. lim f (x)  k L . ;(k  ) x   x xx 0 0
c) lim  f (x) g
. (x)  L.M x   x0 lim f (x) f (x) xx L d) 0 lim  
(nếu M  0, lim g(x)  0 ) xx xx 0 g( x) lim g(x) M 0 xx0
e) Nếu f (x)  0 và lim f (x)  L thì L  0 và lim
f (x)  L xx xx 0 0
Các tính chất trên vẫn đúng khi x   hoặc x   61
Chuyên đề 4. Giới hạn - Hàm số liên tục
: 01655334679 – 0916620899
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018
Định lí 2. (Định lí giới hạn một bên)
lim f (x)  L khi và chỉ khi lim f (x)  lim f (x)  L xx   0 xx xx 0 0
4. Các giới hạn đặc biệt a) lim x x xx 0 0 c
b) lim c c ; lim c c ; lim  0 (c là hằng số). xx x x 0  x c) k
lim x   , với k nguyên dương x d) k
lim x   , nếu k là số lẻ; k
lim x   , nếu k là số chẵn x x sin x sin u(x) e) lim
 1; lim u(x)  0  lim  1 x0 x x0 x0 u(x) tan x   f) lim  1 ; lim tan x  ; lim tan x   x0 x x 2 x 2
5. Quy tắc về giới hạn vô cực
a) Quy tắc tìm giới hạn của tíchƒ(x).g(x)
Nếu lim f (x)  L  0 và lim g(x)   hoặc  lim g(x) 
   thì lim f (x g ). (x) được tính: xx xx xx xx 0 0  0  0 lim f (x) lim g(x) lim f (x g ). (x) xx xx xx 0 0 0 L > 0     L < 0     f (x)
b) Quy tắc tìm giới hạn của thương g(x) lim f (x) lim g(x) Dấu của g(x) f (x) xx xx lim 0 0
xx0 g(x) L  Tùy ý 0 +  L > 0   0 +  L < 0  
4. Khử các dạng vô định
Khi tính giới hạn mà không thể áp dụng trực tiếp định lí về giới hạn, ta phải biến đổi biểu thức xác định
hàm số về dạng áp dụng được các định lí này. f (x) 0 Dạng 1. Tính lim
khi lim f (x)  lim g(x)  0 (hay dạng ) xx xx xx 0 g( x) 0 0 0
- Phân tích tử và mẫu thành tích các nhân tử và giản ước. Cụ thể ta biến đổi như sau: f (x)
(x x )A(x) A(x) A(x) 0 lim  lim  lim và tính lim xx xx xx xx 0 g( x)
0 ( x x )B( x) 0 B( x) 0 B( x) 0
- Nếu f (x) hay g(x) có chứa biến dưới dấu căn thì có thể nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp, trước
khi phân tích chúng thành tích để giản ước. f (x)  Dạng 2. Tính lim
khi lim f (x)   và lim g(x)   (hay dạng ) xx xx xx 0 g( x) 0 0 
- Ta chia tử và mẫu cho n
x với n là số mũ bậc cao nhất của biến số x ( hay phân tích tử và mẫu thành
tích chứa nhân tử n
x rồi giản ước). 62
Chuyên đề 4. Giới hạn - Hàm số liên tục
: 01655334679 – 0916620899
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018
- Nếu f (x) hay g(x) có chứa biến x trong dấu căn thức, thì đưa k
x ra ngoài dấu căn (k là số mũ bậc
cao nhất của x trong dấu căn), trước khi chia tử và mẫu cho lũy thừa của x .
Dạng 3. Tính lim  f (x)  g(x)
lim f (x)  lim g(x)   (hay dạng    ) hoặc x   khi x xx xx 0 0 0 Tính lim f (x g
). (x) khi lim f (x)  0 và lim g(x)   (hay dạng 0. ) xx xx xx 0 0 0
- Nhân chia với biểu thức liên hợp( nếu có biểu thức chứa biến dưới dấu căn thức) hoặc quy đồng mẫu
để đưa về cùng một phân thức ( nếu chứa nhiều phân thức)
§3. HÀM SỐ LIÊN TỤC 1. Hàm số liên tục
 Cho hàm số y f (x) xác định trên khoảng K và x K . Hàm số y f (x) liên tục tại x 0 0 khi và chỉ
khi lim f (x)  f (x ) xx 0 0
 Hàm số y f (x) không liên tục tại x được gọi là gián đoạn tại điểm đó 0
y f (x) liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.
y f (x) liên tục trên đoạn a; b 
 nếu nó liên tục trên khoảng  ; a b và
lim f (x)  f (a), lim f (x)  f (b) x ax b  
 Đồ thị hàm số liên tục trên một khoảng được biểu thị bởi một “đường liền” trên khoảng đó. 2. Các định lí Định lí 1
a) Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực 
b) Hàm số phân thức hữu tỉ và hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định của chúng. Định lí 2.
Giả sử y f (x) và y g(x) là hai hàm số liên tục tại điểm x0. Khi đó:
a) Các hàm số f (x)  g(x), f (x)  g(x) và f (x g
). (x) cũng liên tục tại điểm x0. f (x) b) Hàm số
liên tục tại x0, nếu g(x )  0 g(x) 0 Định lí 3
Nếu hàm số y f (x) liên tục trên đoạn a; b 
 và f (a). f (b)  0 thì tồn tại ít nhất một điểm
c  (a; b) sao cho f c ( )  0 Mệnh đề tương đương
Cho hàm số y f (x) liên tục trên đoạn a; b 
 và f (a). f (b)  0 . Khi đó phương trình f (x)  0
có ít nhất một nghiệm trong khoảng (a; b). 63
Chuyên đề 4. Giới hạn - Hàm số liên tục
: 01655334679 – 0916620899
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018
B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM  1   1 4n
Câu 1: Tính H  lim n     . 2   n  2n  1 A. H  2.
B. H  . C. H  2. D. H   . 2 2 n 1  n
Câu 2: Tính T  lim . 3 3
n n n 1 A. T  1. B. T  2.
C. T  . D. T  . 2 Câu 3: Biết    . Tính cos a .   2 lim 5x 1 x 5 a x  1 A. cos a  0.
B. cos a k2, k  . C. cos a  1. D. cos a  . 2 2n  3 3n 1
Câu 4: Tính L  lim . 3 n  2 n 1 A. L  0. B. L   . C. L  3. D. L  3. 3 n2 4  2n 5  3 3 
Câu 5: Tính K  lim . n  2n1 2   1  n  2  2 9  A. K  42. B. K  24. C. K  42. D. K  24. n2 9  n  1 a a Câu 6: Biết lim 
, với a,b   và tối giản. Mệnh đề nào dưới đây đúng ? 4n  2 b b
A. b a  1.
B. a b  9.
C. 2a b  12.
D. ab  2  10. 5 39
Câu 7: Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn là
, tổng ba số hạng đầu tiên của nó là . Tìm số hạng 3 25
đầu và công bội của cấp số đó.  2  5  2  5 q  q  q  q A.  5 . B.  2 . C.  5 . D.  2 . u   2     u  1 u  1 u  2 1  1  1  1  2 x x  6 a Câu 8: Biết lim  với ,
a b  . Mệnh đề nào dưới đây đúng ? x 2 3 x  3x b
A. ab  2  8.
B. 3a b  10.
C. a  2b  1.
D. a b  2.
x   3 x3  x2 5 7 9 3 1
Câu 9: Tính J  lim . x 2017  4 x 1 3 9  5 9 3 9  5 A. J  . B. J  . C. J  . D. J  . 4 4 4 4 2x  3 1. 3x 1 1
Câu 10: Tính M  lim . x0 x
A. M  . B. M  2. C. M  4. D. M  1.
Câu 11: Cho phương trình 3
4x  4x 1  0 (1). Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào sai ?
A. Phương trình (1) không có nghiệm trên khoảng  ;   1 . 64
Chuyên đề 4. Giới hạn - Hàm số liên tục
: 01655334679 – 0916620899
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018 B. Hàm số 3
f (x)  4x  4x 1 liên tục trên . 
C. Phương trình (1) có nghiệm trên khoảng 2;0.  1 
D. Phương trình (1) có ít nhất hai nghiệm trên khoảng 3  ;  2   
Câu 12: Trong bốn giới hạn dưới đây, giới hạn nào là 0? 2n  3 2n  1 A. lim . B. lim . 1 2n 3.2n  3n 2n   1 n  32 3 1 n C. lim . D. lim . 3 n  2n 2 n  2n 6 2
x  4x x  2 2 x x  40 Câu 13: Biết lim  a và lim
b . Tính S a  . b x  5 4 x x  22 3 2x  7x  21 1 10 A. S  . B. S  1. C. S  . D. S  0. 2 3 x  2  2 a Câu 14: Biết lim  với ,
a b  . Mệnh đề nào dưới đây đúng ? x2 x  7  3 b
A. ab 1  6.
B. a b  5.
C. b a  1.
D. 2a b  1. 1
Câu 15: Biết u  2  . Tìm lim u . n 3n n 1 A. lim u  0. B. lim u  2. C. lim u  .
D. lim u   .  n n n 3 n
Câu 16: Tính N  2 n n  2 lim n 1.
A. N  . B. N  1. C. N  0. D. N  2. 3 2 2
2x  5x  2x  3 ax bx 1 Câu 17: Biết lim  lim , với , a , b c,d  .
 Tính P abcd. 3 2 2 x3 x3
4x 13x  4x  3 cx dx 1 A. P  4. B. P  2.  C. P  6. D. P  8.  2  x  3
Câu 18: Tính K  lim . x 2 7 x  49 1 A. K  56. B. K  0. C. K   .
D. K  . 56  3 2
2  3n n   1
Câu 19: Tính M  lim . bằng. 1 5 4n 27 27 3 3 A. M  . B. M   . C. M   . D. M  . 4 4 4 4  2 nn n 2 cos n
Câu 20: Tính Q  lim   .  2n 1 3n    1 1 A. Q  . B. Q   . C. Q  2. D. Q  0. 2 2
Câu 21: Đoàn trường tổ chức trò chơi lớn, tên của một đồng chí trạm trưởng được mã hóa bởi số 1234.
Biết rằng mỗi chữ số trong số này là giá trị của một trong các biểu thức ,
A O, H,T, N,U với: 65
Chuyên đề 4. Giới hạn - Hàm số liên tục
: 01655334679 – 0916620899
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018 3n  4 4 2 x  2x  3 x 1 A  lim O  lim H  lim n  2 x 1  x 1 x 2  x  2 6 2
x  4x x  2  4n 1 cos n  1 T  lim N  lim    U  lim x x x 2  22 3 n  3n
x x 1  x
Hãy cho biết tên của đồng chí trạm trưởng này, bẳng cách thay các chữ số trên bởi các chữ kí hiệu biểu thức tương ứng. A. HUAN. B. THO . A C. TOAN. D. TUAN. 2
x vôùi x 1,x  0  x  
Câu 22: Cho hàm số f (x)  0 vôùi x  0
. Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào đúng ?
x vôùi x 1   
A. Hàm số liên tục tại mọi điểm thuộc . 
B. Hàm số liên tục tại mọi điểm trừ các điểm x thuộc đoạn [0;1].
C. Hàm số liên tục tại mọi điểm trừ điểm x  0.
D. Hàm số liên tục tại mọi điểm trừ điểm x  1.  n n    2 3 Câu 23: Tính   N  lim    .     4n      3 2 A. N  . B. N  0. C. N  .
D. N  . 4 
x2  2x  4  3x 1 a a Câu 24: Biết lim 
, với a,b   và
tối giản. Mệnh đề nào dưới đây đúng ? x 2  4  3  2  b x x x 5 b
A. a b  7.
B. ab b  10.
C. b a  1.
D. a ab  12. x 1 Câu 25: Biết lim  a . Tính a a
H P A C x a a a 1 2 6x  3  3x A. H  105. B. H  3. C. H  55. D. H  9. 3 x  2 3x  9x  2
Câu 26: Tính J  lim . x 3 2 x x  6 11 15 15 A. J  . B. J  . C. J  . D. J  15. 15 11 10
Câu 27: Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân lùi vô hạn, biết rằng tổng của cấp số nhân đó là 12, 3
hiệu của số hạng đầu và số hạng thứ hai là
và số hạng đầu là một số dương. 4 1 3 3
A. u  3; q  .
B. u  1; q  .
C. u  3; q  .
D. u  3; q  3. 1 4 1 4 1 4 1
Câu 28: Tên của một học sinh được mã hóa bởi số 5301. Biết rằng mỗi chữ số trong số này là giá trị của
một trong các biểu thức A, H, N và O với 3n 1 n n n   A  lim ; H  lim  2 3 5.4 2
n  2n n; N  lim ; O  lim . n  2 3n  7 1 4n
Hãy cho biết tên của học sinh này, bằng cách thay các chữ số trên bởi các chữ kí hiệu tương ứng. A. HOAN. B. HAN . O C. NHO . A D. OANH. 1
Câu 29: Cho phương trình
 0 (1). Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào sai ? x 66
Chuyên đề 4. Giới hạn - Hàm số liên tục
: 01655334679 – 0916620899
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018 1
A. Hàm số f (x) 
liên tục trên các khoảng  ;  0 và 0;. x
B. Phương trình (1) có nghiệm trong khoảng  1   ;1 .
C. Phương trình (1) vô nghiệm.
D. Phương trình (1) không có nghiệm trong khoảng  1   ;1 .
Câu 30: Tính H  2 lim
3x x 1  x 3 . x   3 3 1 A. H  . B. H  . C. H  0. D. H  . 6 3 6 n2 4  2n 5  3 3 
Câu 31: Tính L  lim . n  2n1 2   1  n  2  2 9  A. L  16. B. L  4. C. L  36. D. L  24.
Câu 32: Trong bốn giới hạn dưới đây, giới hạn nào là 0? 2n  1 2x  3 A. lim . B. lim . 3.2n  3n x 1  x 1 3 1 x 2n   1 n  32 C. lim . D. lim . 2
x x  2x 3 n  2n
Câu 33: Trong bốn giới hạn dưới đây, giới hạn nào không tồn tại ? 2x 1 x x A. lim cos x. B. lim . C. lim . D. lim . x 2
x x  1 x  2 1 x   1 x0 x 1
Câu 34: Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,313131…dưới dạng một phân số nào dưới đây ? 32 13 100 31 A. . B. . C. . D. . 99 99 99 99  n   1
Câu 35: Tính E  lim . 2n 1 1 1 A. E  1. B. E   . C. E  . D. E  0. 2 2
Câu 36: Trong bốn giới hạn dưới đây, giới hạn nào có giới hạn là ? 3 n  2n 1 2 n  3n  2 2 2n  3n 2 n n 1 A. lim . B. lim . C. lim . D. lim . 3 n  2n 2 n n 3 n  3n 2n 1 2
m(x 1) khi x  3   m 1
Câu 37: Cho hàm số f (x)  
. Với giá trị nào của tham số m thì hàm số f (x) liên 2 x  9  khi x  3  3  2x  3 tục tại x  3. 9 9 A. m  1  8. B. m  . C. m  18. D. m   . 13 13
Câu 38: Cho phương trình 3 2
x  3x  4x  7  0 (1). Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào sai ?
A. Phương trình (1) không có nghiệm trong khoảng  2  ;0.
B. Phương trình (1) có nghiệm trong khoảng  4  ;0. C. Hàm số 3 2
f (x)  x  3x  4x  7 liên tục trên .  67
Chuyên đề 4. Giới hạn - Hàm số liên tục
: 01655334679 – 0916620899
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018
D. Phương trình (1) ít nhất nghiệm trong khoảng 1;3. 3  x 1 khi x  1  , x  2  2 x x  2  
Câu 39: Cho hàm số y f (x)   1  khi x  1 
. Khẳng định nào dưới đây là đúng? 2 khi x  2   
A. Hàm số liên tục trên . 
B. Hàm số liên tục trên khoảng  2  ;3.
C. Hàm số gián đoạn tại x  1; x  2.
D. Hàm số gián đoạn tại x  2. x2 1 1 1 Câu 40: Biết lim
a, với a  . Tính S a  .
x0 4  x2 16 a 17 1 A. S   . B. S  2. C. S   . D. S  4. 4 4 (x  2)  8  2 3
ax bx c xCâu 41: Biết lim  lim , với , a , b c,d  .
 Tính S a b c d. 2 x 2  x 2 x 11x  18 
(x  2)(x d) A. S  12. B. S  9. C. S  4. D. S  2.   2 3 3 2 
4n n  8n n
Câu 42: Tính K  lim  .  2n  3    A. K  3. B. K  1. C. K  2. D. K  4.  x 33 27    Câu 43: Biết lim  m    27 . Tìm m. x0  x    A. m  0. B. m  27. C. m  9  . D. m  1.
Câu 44: Trong bốn giới hạn dưới đây, giới hạn nào là 0 ? 2 x 1 x 1 2x  5 A. lim . B.   C. lim . D. lim .   2 lim x 1 x x  2 x 1  x  3x  2 3 x 1  x 1
x2 x  10 2
x  2x  6  2 x  2x  6
Câu 45: Tính N  lim . x 2 3 x  4x  3 1 2 A. N  1. B. N  3. C. N   . D. N  . 3 3 3  x 1
Câu 46: Tính K  lim .
x4 x  2  2 A. K  0. B. K  1. C. K  1. D. K  4.
Câu 47: Tính M  3  3 lim 1 n n.
A. M  . B. M  2. C. M  3. D. M  0.
1 x  3 1 x
Câu 48: Tính L  lim . x0 x A. L  0. B. L  2. C. L  8. D. L  3.  3  5x 1  khi x  2
Câu 49: Tìm tham số m để hàm số: 2
y f (x)  2x  5x  2
liên tục tại x  2 0  3
(m  2)x mx 10 khi x  2  68
Chuyên đề 4. Giới hạn - Hàm số liên tục
: 01655334679 – 0916620899
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018 5 103 5 103 A. m   . B. m  . C. m  . D. m   . 18 108 18 108
Câu 50: Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn 2, 780780780... dưới dạng một phân số nào dưới đây ? 278 999 278 926 A. . B. . C. . D. . 333 10000 333 333 2x  7  3 a a Câu 51: Biết lim 
, với a,b   và tối giản. Mệnh đề nào dưới đây đúng ? x1 x  3  2 b b
A. a  2b  4.
B. a  2b  10.
C. 2a b  12.
D. 2a b  3. x  3
Câu 52: Tính P  lim . 
x3 3  6x x2 6 A. P  2. B. P  0. C. P   .
D. P  . 6 1 Câu 53: Biết lim  a . Tính a
P C a x 10  2
x x 1  x A. P  100. B. P  45. C. P  2. D. P  47.  3  x neáu x  3 
Câu 54: Cho hàm số f (x)   x 1  2
. Tìm tham số m để hàm số đã cho liên tục tại x  3.
m neáu x  3  A. m  1  . B. m  4. C. m  4. D. m  1. 2 a x
Câu 55: Cho hàm số f (x) 
. Tính lim f (x). x x
A. lim f (x)  1.
B. lim f (x)   . 
C. lim f (x)  1.
D. lim f (x)   .  x x x x x  23 8 
neáu x  0, x  1
Câu 56: Cho hàm số: y f (x)  2  x x
. Khẳng định nào dưới đây là sai ?  2
x  2x 12 neáu x  0 
A. Hàm số liên tục tại x  0
B. Hàm số gián đoạn tại x  0 x  23  8 C. lim  12
D. f 0  lim f (x) 2 x0 x x x0  n 1 
Câu 57: Tính K  lim 2   .  n A. K  2. B. K  3.
C. K  . D. K  0.
Câu 58: Tính J x2 lim 3
x  1  x 3 . x   1 1 3 A. J  . B. J  0. C. J  . D. J  . 6 2 3 3
6  x  3 x2  4
Câu 59: Tính I  lim . xx2 2  4 7 7 1 A. I  . B. I   . C. I  7. D. I   . 48 48 48 2 n sin n  2 3n
Câu 60: Tính J  lim . 2 n 69
Chuyên đề 4. Giới hạn - Hàm số liên tục
: 01655334679 – 0916620899
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018 A. J  3. B. J  3. C. J  2. D. J  0. 2n n
Câu 61: Tính I  lim . 2 n  2n 1 1 A. I  . B. I  3. C. I  0. D. I  2. 2
Câu 62: Tính F
 4n  2n  2 lim 2 n . A. F  1. B. F  0. C. F  2. D. F  1.
Câu 63: Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0, 5111... được biểu diễn bởi một phân số nào dưới đây? 43 6 46 47 A. . B. . C. . D. . 90 11 90 90 3 3n  5n 1
Câu 64: K  lim . 2 n  4 1 A. K  0.
B. K  . C. K  3. D. K  . 3  n ( 1)n  3 1      a Câu 65: Biết lim    , với , a b  . Tính 2 2
S a b . n1  2 b  3.2    1 A. S  3. B. S  1. C. S  . D. S  3. 2
Câu 66: Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn 2,131131131... dưới dạng một phân số nào dưới đây ? 219 129 2129 212 A. . B. . C. . D. . 999 999 999 999
Câu 67: Trong bốn giới hạn dưới đây, giới hạn nào là 1  ? 3 n 2 3 n n 2n  3 2 n n A. lim . B. lim . C. lim . D. lim . 2 n  3 3 2n  1 2  3n 2 2n n n 2  n   1
Câu 68: Tính I  lim . 1 2 2n 3 1 A. I  . B. I  2. C. I  0. D. I  . 2 2  1 1 
Câu 69: Tính N  lim   .  x  x2 2  4 x  2  1 A. N  2. B. N  .
C. N  . D. N  0. 32 1 1 1 (1)n
Câu 70: Tính tổng S của cấp số nhân vô hạn  , ,  ,... ,... 2 4 8 2n 1 1 1 A. S   . B. S  1.  C. S   . D. S  . 3 4 2 3n  4n
Câu 71: Tính H  lim . 2.4n  2n 1 1 A. H  . B. H  2. C. H  1. D. H   . 2 2 70
Chuyên đề 4. Giới hạn - Hàm số liên tục
: 01655334679 – 0916620899
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018  x 33 27    Câu 72: Biết lim  m    29 . Tìm m. x0  x    A. m  2. B. m  27. C. m  9  . D. m  1. 2 n n   2 1 4n  2
Câu 73: Tính J  lim . n  3 1 A. J  0. B. J  1. C. J   . D. J  2. 3
1 x  3 1 x
Câu 74: Tính Q  lim . x0 x 2 30 A. Q   . B. Q  . C. Q  6. D. Q  1. 12 36 Câu 75: Tính tổng n S 2 3 1 1 0,9 (0,9) (0,9) ... (0,9)         ... 9 A. S  10. B. S  11. C. S  . D. S  9. 10 x x
Câu 76: Tính P  lim . x1 x 1 A. P  1. B. P  3. C. P  1. D. P  0.
Câu 77: Trong các hàm số sau đây, hàm số nào liên tục tại x  1.
x2  3x  2  khi x  1
A. f (x)  1 2x .
B. f (x)   x 1 .
x khi x   1
x2  5x  4  khi x  1 2x  2
C. f (x)   x 1 .
D. f (x)  . 2  x  6x  5 3x 1 khi x   1 Câu 78: Tính  lim 5n Q  cos n. A. Q  1. B. Q  1.
C. Q  . D. Q  0.
Câu 79: Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn 2, 780780780... dưới dạng một phân số nào dưới đây ? 96 926 278 999 A. . B. . C. . D. . 33 333 333 10000  2 2sin n
Câu 80: Tính G  lim 10  .  n
A. G  . B. G  10. C. G  0. D. G  9.
Câu 81: Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai ?
A. Hàm số đa thức liên tục trên toàn tập số thực .  u
B. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn 1 S  , q  1. 1 q
C. lim  f (x)  (
g x)  lim f (x)  lim ( g x). x   x xx xx 0 0 0 D. k
lim ax  ,a  0. x 71
Chuyên đề 4. Giới hạn - Hàm số liên tục
: 01655334679 – 0916620899
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018 4 2x  5x 1 2
x  4x x 1 Câu 82: Biết lim  a và lim
b . Tính P a b . 1. 2 4
x 1 x x x 1 2x 1 A. P  2.  B. P  . C. P  2. D. P  1. 4 n2 4  1  n a a Câu 83: Biết lim 
, với a,b   và tối giản. Mệnh đề nào dưới đây sai ? 2n 1 b b
A. ab  4  10.
B. a b  5.
C. a  2b  1.
D. 2b a  1.
x  4  x  4  2 a a Câu 84: Biết lim 
, với a,b   và tối giản. Tính . b a u a b   . x 10 5 x  5 b b A. u  18. B. u  27. C. u  3. D. u  9. 10 10 10 10 1
Câu 85: Tính L  lim . n! 1 1 A. L  . B. L  1. C. L  0. D. L  . 9 10 1000
Câu 86: Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai ? A. Phương trình 4 3
x  3x x 1  0 có nghiệm trong khoảng (1;3).
B. Hàm số y  cot x liên tục trên .  2 x  3x  2
C. Hàm số y
liên tục trên các khoảng  ;   1 và 1;. x 1
D. Hàm số y x  cos x liên tục trên . 
Câu 87: Tính Q x   x2 lim 2 1 9  4x . x  
A. Q  .
B. Q  . C. Q  1. D. Q  0. x2 1
Câu 88: Tính N  lim . x1 3 x 1 A. N  6. B. N  0. C. N  9.
D. N  . 2 x x 10 2 x 11x  30 Câu 89: Biết lim  a và lim
b . Tính S a  . b 3 x1 x  6 2 x5 25  x 1 21 1 A. S  . B. S  2. C. S  . D. S  . 10 10 5 1 1 1 (1)n
Câu 90: Tính tổng S của cấp số nhân vô hạn  , ,  ,... ,... 2 4 8 2n 1 1 1 A. S   . B. S  . C. S   . D. S  1.  4 2 3
Câu 91: Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai ? 1 n uq 1  
A. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn S  , q  1. 1 q u
B. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn 1 S  , q  1. 1 q
C. lim  f (x)  (
g x)  lim f (x)  lim ( g x). x   x xx xx 0 0 0
D. Hàm số đa thức liên tục trên toàn tập số thực .  72
Chuyên đề 4. Giới hạn - Hàm số liên tục
: 01655334679 – 0916620899
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018 2
x  2x a khi x  2 
Câu 92: Cho f (x)  2a 1 khi x  2
liên tục trên tại x  2 với a, b  .
 Tính S a  . b bx   3 khi x  2  A. S  15. B. S  17. C. S  16. D. S  14. 2 x x 1 2x 1 4
Câu 93: Cho C  lim ; A  lim ; N    ; O  lim .   2 lim x 4x x xx 1  x 1 x0 x 4 x x
Tìm từ được mã hóa bởi chuổi số 30213? A. CONAN. B. CANON. C. CONA . C D. CANOC.
Câu 94: Hàm số nào sau đây liên tục tại x  1 ? 0 2x  5 khi x  1
A. f (x)  x  2.
B. f (x)   . 3 2
x  2x x  3 khi x  1  2
x  9x  8  khi x  1 2 x  2x  3
C. f (x)   x 1 .
D. f (x)  .  x 1 7  khi x  1  2n 1 3   2( 5  )n
Câu 95: Tính M  lim . n2 n 6  3 1 A. M  102. B. M  . C. M  108. D. M  1. 6
Câu 96: Trong bốn giới hạn dưới đây, giới hạn nào là ? 2 n n 1 2 2n  3n 3 n  2n 1 2 n  3n  2 A. lim . B. lim . C. lim . D. lim . 2n 1 3 n  3n 3 n  2n 2 n n
1 x  3 1 x a Câu 97: Biết lim  với ,
a b  . Mệnh đề nào dưới đây sai ? x0 x b
A. ab 1  7.
B. 2a b 3  5.
C. 2a b  8.
D. b a  5. x2 1 1
Câu 98: Tính H  lim .
x0 4  x2 16 1 A. H   . B. H  2. C. H  0. D. H  4. 4 2 2 a a Câu 99: Biết lim
x  2x 1  x  7x  3  , với a,b   và
tối giản. Mệnh đề nào dưới đây x   b b sai ?
A. b a  2.
B. a b  7. C. a b .  10.
D. a b  3. x2  3x  2
Câu 100: Tính P  lim . xx3  4x2 1  2x  1 1 1 1 1 A. P   . B. P  . C. P  . D. P  . 4 6 2 3
x3  x2  4x  5
Câu 101: Tính I  lim . x x4  x  3 A. I  0. B. I  1. C. I  3. D. I  1. n  2 n
Câu 102: Tính K  lim . 2n 73
Chuyên đề 4. Giới hạn - Hàm số liên tục
: 01655334679 – 0916620899
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018 1 1 A. K  2. B. K  1. C. K  . D. K   . 2 2  1 1  a a Câu 103: Biết lim   
, với a,b   và tối giản. Tính u a  9 . b 2 3  10
x1  x x  2 x 1 b b A. u  162. B. u  83. C. u  20. D. u  27. 10 10 10 10
x x2 1 1
Câu 104: Tính M  lim .  x1 x 1 A. M  0. B. M  2.
C. M  . D. M  2.
x  8  8x 1 a Câu 105: Biết lim  với ,
a b  . Mệnh đề nào dưới đây đúng ? x1
5  x  7x  3 b
A. a b  20.
B. a  2b  17. C. . a b  84.
D. 2a b  2. a
3x  2  4x2  x  2 a a 101 b Câu 106: Biết lim 
, với a,b   và
tối giản. Tính S  . xx2 1  3x  2 b b 1 b A. S  7. B. S  10. C. S  5. D. S  10. x3  3x  2  Câu 107: Biết lim
 tan , với 0   
. Tính S  sin  cos.  2 x1 x  5x  4 2 3 1 3 1 3 A. S  . B. S  . C. S  . D. S  . 3 2 2 2 Câu 108: Tính tổng n S 2 3 1 1 0,9 (0,9) (0,9) ... (0,9)         ... 9 A. S  10. B. S  11. C. S  . D. S  9. 10 9  5x  2 4x  3 a Câu 109: Biết lim  , với ,
a b  . Mệnh đề nào dưới đây đúng ? x0 x b
A. a b  1.
B. ab 1  12.
C. 2a  3b  30.
D. 2a b  16. Câu 110: Tính  lim (0.99)n P cos n. 11 2 9 A. P  . B. P  . C. P  0. D. P  . 10 2 10 1 1 1 (1)n
Câu 111: Cho cấp số nhân vô hạn  , ,  ,...,
,... . Tính tổng S của cấp số đã cho. 2 4 8 2n 1 1 1 A. S  1.  B. S  . C. S   . D. S   . 2 4 3
Câu 112: Đoàn trường tổ chức trò chơi lớn, tên của một đồng chí trạm trưởng được mã hóa bởi số 1234.
Biết rằng mỗi chữ số trong số này là giá trị của một trong các biểu thức ,
A O, H,T, N,U với: 3n  4 4 2 x  2x  3 x 1 A  lim O  lim H  lim n  2 x 1  x 1 x 2  x  2 6 2
x  4x x  2  4n 1 cos n  1 T  lim N  lim    U  lim x x x 2  22 3 n  3n
x x 1  x
Hãy cho biết tên của đồng chí trạm trưởng này, bằng cách thay các chữ số trên bởi các chữ kí hiệu biểu thức tương ứng. A. HUAN. B. TUAN. C. TOAN. D. THO . A 74
Chuyên đề 4. Giới hạn - Hàm số liên tục
: 01655334679 – 0916620899
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018 x 1
Câu 113: Tính K  lim (2x  1) . x 2x3  x2 2 A. K  2. B. K  3. C. K  2. D. K  . 2 1 7
Câu 114: Giải phương trình 2 n
x x  ...  x  ...  , trong đó x  1. x 2 1  2  1 2 
A. x   .
B. x   .
C. x 1;  2 .
D. x   ; . 3   3   3 3    1 3 
Câu 115: Tính L  lim   . 3  x1 1  x 1 x  1 A. L  4. B. L  1. C. L   . D. L  0. 2 n 1 1 (1)
Câu 116: Tính tổng S  1   ...   ... 2 n 1 10 10 10  11 10 1 10 A. S   . B. S  . C. S  . D. S   . 10 11 11 11 n
Câu 117: Tính L  lim . n 1  n 1 A. L  . B. L  2. C. L  0. D. L  1. 2
Câu 118: Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai ? A. Phương trình 5 4
x  3x  5x  2  0 có ít nhất ba nghiệm nằm trong khoảng 2;5.
B. Hàm số y  tan x liên tục trên .  2 x  3x  2
C. Hàm số y
liên tục trên các khoảng  ;  2   và  2  ; . x  2
D. Hàm số y x  sin x liên tục trên .  2 a a
Câu 119: Biết lim x
x 1  x  , với a,b   và tối giản. Tính P  . a b . x   b b 1 A. P  2. B. P  . C. P  1. D. P  3. 2 2  2x 3 4    x x
Câu 120: Biết lim 
 2m   10 . Tìm m. x  3 3 2 8x 4x x 5       A. m  0. B. m  1. C. m  5. D. m  10. 5 4x  9x  7
Câu 121: Tính I  lim . x 6 3x  3 1 x 1 4 A. I  2. B. I  4. C. I  . D. I  8. 3
Câu 122: Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai ? A. Phương trình 5 4
x  3x  5x  2  0 có ít nhất ba nghiệm nằm trong khoảng 2;5.
B. Hàm số y  tan x liên tục trên . 
C. Hàm số y x  sin x liên tục trên .  75
Chuyên đề 4. Giới hạn - Hàm số liên tục
: 01655334679 – 0916620899
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018 2 x  3x  2
D. Hàm số y
liên tục trên các khoảng  ;  2   và  2  ; . x  2 x  3
Câu 123: Tính M  lim . 
x3 3  6x  2 x 6 A. M  0. B. M   . C. M  2.
D. M  . 6
Câu 124: Tính P  3 2n  3 lim n n. 1 A. P  2. B. P  . C. P  3. D. P  0. 3 x  3  2 a Câu 125: Biết lim  với ,
a b  . Mệnh đề nào dưới đây đúng ? x1 x 1 b
A. a b  7.
B. a  3b  5.
C. b  2a  3. D. ab  4. Câu 126: Biết
n2 n n2 lim
1  a,a. Tính 2
S a a  1. 1 7 3 A. S  . B. S  . C. S  . D. S  1. 2 4 2 1 1
Câu 127: Tính tổng S  2  2  1   ... 2 2 2 2 2 A. S  . B. S  . C. S  2  1. D. S  2 2. 2 1 2 1 1
Câu 128: Tính tổng S  9  3  1 ...   ... n 3 3  7 35 1 27 A. S  . B. S  . C. S  . D. S  . 2 3 2 2 1 1 1 1
Câu 129: Tiính tổng S của cấp số nhân , , ,..., ,... 2 3 n 2 2 2 2 1 1 A. S  1. B. S  . C. S  . D. 2n S  . 2 1 2n 5 39
Câu 130: Biết tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn là
, tổng ba số hạng đầu tiên của nó là . Tìm số 3 25
hạng đầu và công bội của cấp số đó. 2 5 2
A. u  2, q  .
B. u  1, q  .
C. u  1, q  .
D. u  1, q  2. 1 5 1 2 1 5 1 2
Câu 131: Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân lùi vô hạn có tổng bằng 3 và công bội q  3 n 1  n 1  n 1  n 1   2   2   3   3  A. u  . B. u  . C. u  . D. u  . n  3  n   n   n     3   2   2    1 1 
Câu 132: Tính L  lim   .  x  x2 2  4 x  2  1
A. L  . B. L  2. C. L  . D. L  0. 32 76
Chuyên đề 4. Giới hạn - Hàm số liên tục
: 01655334679 – 0916620899
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018 3 10  x  2
Câu 133: Tính P  lim . x2 x  2 1 1 1 A. P  2. B. P   . C. P  . D. P  . 12 24 12 2  ax khi x  2
Câu 134: Cho hàm số y f (x)  
. Tìm giá trị của a để hàm số liên tục trên .  2
x x 1 khi x  2  5 2 A. a  . B. a  3. C. a  4. D. a  . 4 3 n 1  1 1 1  1 
Câu 135: Tính tổng S cấp số nhân 1,  , ,  ,...,  ,... 2 4 8  2    3 2 3 3 A. S  . B. S  . C. S  . D. S  . 2 3 8 4   a a a b Câu 136: Biết lim
x x x   
, với a,b   và
tối giản. Tính S   . x   b b b a 5 2 3 1 A. S  . B. S  . C. S  . D. S  . 2 3 2 2 155
Câu 137: Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn là 10, tổng năm số hạng đầu tiên của nó là . Tìm số 16
hạng đầu và công bội của cấp số đó.  1  1  1  1 q  q  q  q A.  2 . B.  2 . C.  2 . D.  5 . u   3     u  1 u  5 u  5 1  1  1  1
Câu 138: Cho (u ) và (v ) là hai dãy số có giới hạn. Khẳng định nào dưới đây là đúng? n n 1 1 u lim u A. lim  .
B. lim v  lim v . C. 3 3
lim u  lim u . D. lim n n  . u lim u n n n n v lim v n n n n
Câu 139: Trong bốn giới hạn dưới đây, giới hạn nào là 1 ? 2 2x x 1 2x  3 3 2 x x  3 2 x 1 A. lim . B. lim . C. lim . D. lim . 2 x 3x x 2
x x  5x 2 3 x 5x x
x x  1 Câu 140: Tính  lim 2n L  2n  3. A. L  3.
B. L  . C. L  2.
D. L  . 77
Chuyên đề 4. Giới hạn - Hàm số liên tục
: 01655334679 – 0916620899
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018 C. ĐÁP ÁN 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 A B C D
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 A B C D
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 A B C D
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 A B C D
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 A B C D 10 10 10 10 10 10 10 10 10 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 A B C D 12 12 12 12 12 12 12 12 12 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 A B C D 78
Chuyên đề 4. Giới hạn - Hàm số liên tục
: 01655334679 – 0916620899
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018 CHUYÊN ĐỀ 5
PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG ---o0o---
A. KIỀN THỨC CẦN NẮM
§1. PHÉP BIẾN HÌNH
- Quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M của mặt phẳng với một điểm xác định duy nhất M’ của mặt
phẳng đó được gọi là phép biến hình trong mặt phẳng.
- Ta thường kí hiệu phép biến hình là F và viết F(M) = M’ hay M’ = F(M), khi đó M’ gọi là ảnh của
điểm M qua phép biến hình F.
- Phép biến hình biến mỗi điểm của mặt phẳng thành chính nó được gọi là phép đồng nhất.
- Nếu H là một hình nào đó trong mặt phẳng thì ta kí hiệu H’ = F(H) là tập các điểm M’ = F(M), với
mọi điểm M thuộc H. Khi đó ta nói F biến hình H thành H’ hay H’ là ảnh của H qua phép biến hình F.
- Để chứng minh hình H’ là ảnh của hình H qua phép biến hình F, ta có thể chứng minh: Với điểm
M tuỳ ý M H M '  F(M ')  H '
- Với mỗi điểm M, ta xác định điểm M’ trùng với M thì ta cũng được một phép biến hình. Phép biến
hình đó gọi là phép đồng nhất.
§2. PHÉP TỊNH TIẾN VÀ PHÉP DỜI HÌNH I. Phép tịnh tiến
1. Định nghĩa phép tinh tiến   
- Trong mặt phẳng cho vectơ v . Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho MM '  v
được gọi là phép tịnh tiến theo vectơ v .   
- Phép tịnh tiến theo vectơ v thường được kí hiệu là T . Như vậy T (M )  M '  MM '  v v v
- Phép tịnh tiến theo vectơ_không được gọi là phép đồng nhất.
2. Biểu thức toạ độ của phép tịnh tiến 
- Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm M(x; y); v  (a; b) . Gọi M '  T (M)  (x '; y ') . v
x '  x a  - Khi đó 
gọi là biểu thức toạ độ của phép tịnh tiến theo vectơ v .
y '  y b  
- Vận dụng: M '(x '; y ')  M(x; y)  v(a; b)
3. Các tính chất của phép tịnh tiến Phép tịnh tiến:
- Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì;
- Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ ba điểm đó;
- Biến một đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng đã cho;
- Biến một đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng đoạn thẳng đã cho;
- Biến một tam giác thành tam giác bằng tam giác đã cho;
- Biến một đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính;
- Biến góc thành góc bằng góc đã cho. II. Phép dời hình 1. Định nghĩa
- Phép dời hình là một phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì
- Các phép tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng tâm và phép quay đều là những phép dời hình
- Nếu thực hiện liên tiếp hai phép dời hình, ta được một phép dời hình. 2. Tính chất 79
Chuyên đề 5. Phép dới hình - Phép đồng dạng
: 01655334679 – 0916620899
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018 Phép dời hình
- Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toan thứ tự ba điểm ấy;
- Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó;
- Biến một tam giác thành tam giác bằng đã cho, biến một góc thành góc bằng góc đã cho;
- Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
3. Tích của hai phép biến hình
Cho hai phép biến hình F và G, giả sử M là một điểm bất kì, phép biến hình F(M) = M’ và phép
biến hình G(M’) = M”. Khi đó phép biến hình biến điểm M thành điểm M” đươc gọi là hợp thành
của phép F và G, kí hiệu F G
§3. PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC 1. Định nghĩa
Phép đối xứng qua đường thẳng d là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ đối xứng với M qua d.
- Kí hiệu: Đd (Đường thẳng d gọi là trục đối xứng)
- Nếu M d thì Đd(M) = M '  M  
- Nếu M '  d thì d là đường trung trực của đoạn MM’. Như vậy M’ = Đd(M)  M M '  M M , 0 0
với M0 là hình chiếu của M trên d
- M’ = Đd(M)  M = Đd(M’)
2. Trục đối xứng của một hình
Đường thẳng d gọi là trục đối xứng của hình H nều Đd biến H thành chính nó. Khi đó H được gọi
là hình có trục đối xứng. 3. Biểu thức toạ độ
Trong mặt phẳng hệ trục toạ độ vuông góc Oxy, với mỗi điểm M(x; y).
Gọi M’ = Đd(M) = (x’; y’) x '  x
 Nếu chọn d là trục Ox nghĩa là ĐOx (M) = M’ khi đó ta có:  y '  y  x '  x
 Nếu chọn d là trục Oy nghĩa ĐOy (M) = M’ khi đó ta có:  y '  y
 Nếu chọn d là đường thẳng có phương trình Ax + By + C = 0 với A2  B2  0 . 
2A(Ax By C) x '  x    A2  B2
Đd(M) = M’, khi đó ta có 
2B(Ax By C) y '  y    A2  B2 4. Tính chất Phép đối xứng trục
- Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì;
- Biến đường thẳng thành đường thẳng;
- Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó;
- Biến tam giác thành tam giác bằng nó;
- Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
§4. PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM 1. Định nghĩa
- Cho điểm I. Phép biến hình biến điểm I thành chính nó, biến mỗi điểm M khác I thành M’ sao cho
I là trung điểm của MM’ được gọi là phép đối xứng tâm I. - Kí hiệu : ĐI  
- Từ định nghĩa suy ra: ĐI(M) = M’  IM '  IM - Từ đó suy ra: 80
Chuyên đề 5. Phép dới hình - Phép đồng dạng
: 01655334679 – 0916620899
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018
 Nếu M I thì M '  I
 Nếu M không trùng với I thì ĐI(M) = M’ I là trung điểm của MM’
 ĐI(M) = M’  ĐI(M’) = M
2. Tâm đối xứng của một hình
Điểm I được gọi là tâm đối xứng của hình H nếu phép đối xứng tâm I biến hình H thành chính nó. Khi
đó H được gọi là hình có tâm đối xứng. 3. Biểu thức toạ độ
Trong mặt phẳng Oxy, Cho điểm I = (a; b). Gọi M = (x;y) và M’= ĐI(M) = (x’; y’)
Trường hợp 1: Khi tâm đối xứng I trùng với gốc toạ độ O(0; 0) x '  x
ĐO : M(x, y)  M '(x ', y ') khi đó :  y '  y
Trường hợp 2: Khi tâm đối xứng I a,b
x '  2a x
ĐI : M(x, y)  M '(x ', y ') khi đó : 
y '  2b y  4. Các tính chất Phép đối xứng tâm
- Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì;
- Biến một đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng đã cho;
- Biến một đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng đoạn thẳng đã cho;
- Biến một tam giác thành tam giác bằng tam giác đã cho;
- Biến một đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính. §5. PHÉP QUAY 1. Định nghĩa
- Trong mặt cho một điểm O cố định và góc lượng giác  không đổi. Phép biến hình biến điểm O
thành chính nó, biến điểm M khác O thành điểm M’ sao cho OM = OM’ và góc lượng O
( M,OM ')   được gọi là phép quay tâm O góc quay  .
- Điểm O gọi là tâm quay,  gọi là góc quay. - Kí hiệu: Q hoặc Q O, 0
- Chiều dương của phép quay Q
theo chiều dương của đường tròn lượng giác. Ngược lại là O,
chiều âm và còn kí hiệu QO, Nhận xét:
 Phép quay tâm O, góc quay     k2 , k   chính là phép đối xứng tâm O
 Phép quay tâm O, góc quay   k2 , k   , chính là phép đồng nhất. 2. Tính chất Phép quay
- Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì;
- Biến một đường thẳng thành đường thẳng;
- Biến một đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng đoạn thẳng đã cho;
- Biến một tam giác thành tam giác bằng tam giác đã cho;
- Biến một đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính;
Chú ý: Giả sử phép quay tâm I góc quay  biến đường thẳng d thành d’. Khi đó:   Nếu 0   
thì góc giữa d và d’ bằng  2   Nếu
    thì góc giữa d và d’ bằng    2
3. Biểu thức toạ độ của phép quay. 81
Chuyên đề 5. Phép dới hình - Phép đồng dạng
: 01655334679 – 0916620899
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ vuông góc Oxy, xét phép quay QI ,
Trường hợp 1: Khi tâm quay I trùng với gốc toạ độ O:
x '  x cos  y sin Q
: M(x, y)  M '(x ', y ') khi đó : O,   
y '  x sin  y cos  x '  y Lưu ý: Q
: M(x, y)  M '(x ', y ') khi đó :  0  O,90  y '  x  x '  y Q
: M(x, y)  M '(x ', y ') khi đó :  0  O,90  y '  x
Trường hợp 2: Khi tâm quay I x , y 0 0 
x ' x  (x x ) cos  (y y )sin  Q
: M(x, y)  M '(x ', y ') khi đó : 0 0 0 I ,   
y ' y  (x x )sin 
  (y y ) cos  0 0 0
§6. KHÁI NIỆM VỀ PHÉP DỜI HÌNH VÀ HAI HÌNH BẰNG NHAU 1. Định nghĩa
- Phép dời hình là phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì. - Nhận xét:
 Các phép đồng nhất, tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng tâm và phép quay đều là những phép dời hình
 Phép biến hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép dời hình cũng là một phép dời hình.
2. Tính chất Phép dời hình:
- Biến ba điểm thằng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm đó;
- Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó;
- Biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến góc thành góc bằng nó;
- Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính. 3. Hai hình bằng nhau
Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia. §7. PHÉP VỊ TỰ 1. Định nghĩa
Cho một điểm O cố định và một số k không đổi, k  0 . Phép biến hình biến mỗi điểm M thành  
điểm M’ sao cho OM '  kOM đựơc gọi là phép vị tự tâm O tỉ số k.   Kí hiệu: V . Như vậy V
: M M '  OM '  kOM (O,k ) (O,k ) Nhận xét
- Phép vị tự biến tâm vị tự thành chính nó.
- Khi k > 0, M và M’ nằm cùng phìa đối với O.
- Khi k < 0, M và M’ nằm khác phía đối với O.
- Khi k = - 1, M và M’ đối xứng với nhau qua tâm O nên V = Đ (O,1) O
- Khi k = 1, thì M M ' nên phép vị tự là phép đồng nhất - V
(M)  M '  V (M ')  M (O,k ) 1 (O, ) k
2. Các tính chất của phép vị tự
a. Định lí 1. Nếu phép vị tự tỉ số k biến hai điểm M và N lần lượt thành hai điểm M’ và N’ thì:  
M ' N '  k MN và MN k MN
b. Phép vị tự tỉ số k:
- Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm ấy; 82
Chuyên đề 5. Phép dới hình - Phép đồng dạng
: 01655334679 – 0916620899
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018
- Biến một đường thẳng thành một đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng
đã cho, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng mà độ dài nhân lên với k ;
- Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với tam giác đã cho và tỉ số đồng dạng là k , biến góc thành góc bằng nó;
- Biến một đường tròn có bán kính R thành đường tròn có bán kính k .R. 3. Biểu thức toạ độ.
Trong mặt phẳng hệ trục toạ độ Oxy, cho phép vị tự V
với I x , y 0 0  (I ,k )  
x '  kx  (1 k)x  Ta có: V
: M(x, y)  M '(x ', y ')  IM '  k IM 0  (I ,k )
y'  ky (1 k)y   0 x '  kx
Khi I O thì  y '  ky
§8. PHÉP ĐỒNG DẠNG 1. Định nghĩa
Phép biến hình F gọi là phép đồng dạng tỉ số k (k > 0) nếu với hai điểm bất kì M, N và ảnh M’, N’
tương ứng của chúng, ta luôn có M’N’ = k.MN Nhận xét:
- Phép dời hình là phép đồng dnạg tỉ số 1.
- Phép vị tự tỉ số k là phép đồng dạng tỉ số k
- Nếu thực hiện liên tiếp hai phép đồng dạng thì được một phép đồng dạng.
- Mọi phép đồng dạng F tỉ số k đều là họp thành của một phép vị tự V tỉ số k và một phép dời hình D. 2. Tính chất
Phép đồng dạng tỉ số k:
- Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm ấy;
- Biến một đường thẳng thành một đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng;
- Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với tam giác đã cho và , biến góc thành góc bằng nó;
- Biến một đường tròn có bán kính R thành đường tròn có bán kính k.R.
Đặt biệt: Phép đồng dạng có một điểm kép O duy nhất là tích giao hoán của một phép vị tự và một phép
quay có cùng tâm O. khi đó, kí hiệu: ZQ V .  V Q .
, O được gọi là tâm đồng dạng. O,k,
O, O,k O,k O, 3. Hình đồng dạng
Hai hình gọi là đồng dạng với nhau nếu có phép đồng dạng biến hình này thành hình kia
4. Biểu thức toạ độ của phép đồng dạng ZI ,k,
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ vuông góc Oxy, cho phép đồng dạng Z và M(x; y) I ,k,
Gọi M '(x '; y ')  Z (M) I ,k, x '  k
x cos  ysin
 Khi tâm I trùng với gốc toạ độ O, toạ độ điểm M’ là  y '  k
x sin  y cos 
x ' x k (x x ) cos  (y y )sin    0  0 0 
Khi tâm I x , y , toạ độ điểm M’ là 0 0 
y' y k (x x )sin (y y )cos  0   0 0  83
Chuyên đề 5. Phép dới hình - Phép đồng dạng
: 01655334679 – 0916620899
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018
B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Cho lục giác đều ABCDEF tâm O, gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD có hình vẽ bên.
Tìm một phép dời hình biến tam giác AIF thành tam giác CJB.  A F
A. Phép tịnh tiến theo vectơ AC. I
B. Phép quay tâm O góc 0 120 . O B E
C. Phép đối xứng qua trục BO. C J D
D. Phép quay tâm B góc 0 120 .
Câu 2: Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thẳng  : x y  4  0. Hỏi trong bốn đường thẳng cho bởi các
phương trình dưới đây, đường thẳng nào có thể biến thành  qua một phép đối xứng tâm ?
A. 2x  2y  1  0.
B. 2x y  4  0.
C. x y  1  0.
D. 2x  2y  3  0.
Câu 3: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm H 4;2 và đường thẳng d có phương trình x  2y  3  0. Biết
Ñ : H K, tìm tọa độ điểm K. d A. K 0;2.
B. K 2; 0.
C. K 2; 4.
D. K 2;2.
Câu 4: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho điểm M x; y. Tìm tọa độ ảnh của M qua phép đối xứng trục Oy. A.  ; y x . B.  ; y x .
C. x;y.
D. x; y.
Câu 5: Cho tam giác ABC và các điểm M , N , P lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA và A . B Gọi
G là trọng tâm của tam giác ABC. Gọi I là trung điểm của AM. Tìm một phép dời hình biến tam giác
APN thành tam giác MN . P A. Q . B. V . C. Ñ . D.  T .  0 I ,60  A,2 I AP
Câu 6: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M 4;2 và I 1;  1 . Biết V
: N M. Tìm tọa độ điểm N. I ,  1
A. N 2;4.
B. N 2; 3.
C. N 4;2.
D. N 1;  1 .
Câu 7: Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi E, F, H, K,O, I , J lần lượt là trung điểm các cạnh A ,
B BC,CD, D ,
A KF, HC, K .
O Tìm một phép dời sao cho biến hình thang AEJK thành hình thang
FOIC và chúng bằng nhau. 
A. Thực hiện liên tiếp phép đối xứng qua đường thẳng EH và phép tịnh tiến theo vectơ . EO 
B. Thực hiện liên tiếp phép đối xứng qua đường thẳng KF và phép tịnh tiến theo vectơ AE. 
C. Thực hiện liên tiếp phép tịnh tiến theo vectơ EO và phép đối xứng qua đường thẳng EH . 
D. Thực hiện liên tiếp phép tịnh tiến theo vectơ OF và phép đối xứng qua đường thẳng KF.
Câu 8: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho điểm M x; y. Tìm tọa độ ảnh của M qua phép đối xứng trục Ox.
A. x; y.
B. x;y. C.  ; y x . D.  ; y x .
Câu 9: Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến một hình vuông thành chính nó ? A. Một. B. Hai. C. Bốn. D. Vô số.
Câu 10: Trong mặt phẳng Oxy , cho đường tròn 2 C x  2 ( ) :
y  4x  2y  4  0. Tìm ảnh của đường tròn
(C) qua phép quay tâm O, góc quay 0 90 . 2 2
A. (C) :  x  
1  y  2  3. B. C 2 x  2 ( ) :
y  2x  4y  4  0. 84
Chuyên đề 5. Phép dới hình - Phép đồng dạng
: 01655334679 – 0916620899
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018 2 2 C. C 2 x  2 ( ) :
y  2x  4y  9  0.
D. (C) :  x  
1  y  2  9.
Câu 11: Hình gồm hai đường tròn có tâm và bán kính khác nhau có bao nhiêu trục đối xứng ? A. Hai. B. Một. C. Vô số. D. Không có. 2 2
Câu 12: Trong mặt phẳng Oxy , cho đường tròn (C) :  x  2  y  2  4. Hỏi phép đồng có được bằng 1
cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số k
và phép quay tâm O góc 0
90 biến (C) thành đường 2
tròn nào trong các đường tròn có phương trình dưới đây ? 2 2 2 2 A. x   1  y   1  1. B. x   1  y   1  1. 2 2 2 2
C. x  2  y  2  4.
D. x  2  y   1  4.
Câu 13: Mệnh đề nào dưới đây sai ?
A. Hai đường thẳng bất kì luôn đồng dạng.
B. Hai hình vuông bất kì luôn đồng dạng.
C. Hai đường tròn bất kì luôn đồng dạng.
D. Hai hình chữ nhật bất kì luôn đồng dạng.
Câu 14: Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thẳng d có phương trình x  2 2 . Hãy viết phương trình
đường thẳng d là ảnh của d qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O 1 tỉ số k
và phép quay tâm O góc quay 0 45 . 2
A. x y  2  0.
B. y  2  0.
C. x y  2  0.
D. x  2y  3  0.
Câu 15: Có bao nhiêu điểm biến thành chính nó qua phép quay tâm O góc   k2 , k là một số nguyên ? A. Hai. B. Vô số. C. Một. D. Không có.
Câu 16: Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A. Thực hiện liên tiếp phép quay và phép tịnh tiến sẽ được một phép tịnh tiến.
B. Thực hiện liên tiếp phép đối xứng qua tâm và phép đối xứng qua trục sẽ được một phép đối xứng qua tâm.
C. Thực hiện liên tiếp hai phép tịnh tiến sẽ được một phép tịnh tiến.
D. Thực hiện liên tiếp hai phép đối xứng trục sẽ được một phép đối xứng trục.
Câu 17: Trong mặt phẳng Oxy , cho điểm M 1; 
1 . Hỏi phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên 
tiếp phép đối xứng tâm O và phép tịnh tiến theo vectơ v  2;3 biến M thành điểm nào trong các điểm dưới đây ? A. H 4;4. B. P 2;0. C. K 1;3. D. Q 0;2.
Câu 18: Trong các hình dưới đây, hình nào có vô số tâm đối xứng ? A. Hình elip.
B. Hình gồm hai đường thẳng cắt nhau.
C. Hình lục giác đều.
D. Hình gồm hai đường thẳng song song. 
Câu 19: Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thẳng d : 3x  2y  5  0. Tìm tọa độ của vectơ v để phép tịnh 
tiến theo v biến d thành chính nó.    
A. v  2;3.
B. v  2;3.
C. v  3;2.
D. v  1;2.
Câu 20: Cho hình vuông ABCD tâm O. Tìm ảnh của đường thẳng BC qua phép quay tâm O góc 0 90 . A. AC. B. B . A C. AD. D. CD.
Câu 21: Phép dời hình nào dưới đây không có tính chất “Biến một đường thẳng thành đường thẳng song
song hoặc trùng với nó” ?
A. Phép tịnh tiến.
B. Phép đối xứng tâm. C. Phép đối xứng trục. D. Phép vị tự.
Câu 22: Trong mặt phẳng Oxy , cho đường tròn d : 2x y  0. Hỏi phép đồng có được bằng cách thực
hiện liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số k  2
 và phép đối xứng qua trục Oy biến d thành đường thẳng nào
trong các đường thẳng có phương trình dưới đây ?
A. 2x y  0.
B. 2x y  0.
C. 4x y  0.
D. 2x y  2  0. 85
Chuyên đề 5. Phép dới hình - Phép đồng dạng
: 01655334679 – 0916620899
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018
Câu 23: Mệnh đề nào dưới đây sai ?
A. Có một phép vị tự biến mọi điểm thành chính nó.
B. Có một phép đối xứng trục biến mọi điểm thành chính nó.
C. Có một phép tịnh tiến biến mọi điểm thành chính nó.
D. Có một phép quay biến mọi điểm thành chính nó. 
Câu 24: Trong mặt phẳng Oxy , cho v  2;  1 và điểm M  3
 ; 2. Trong các điểm dưới đây, điểm nào 
là ảnh của điểm M qua phép tịnh tiến theo vectơ v. A. M 1;1 . B. M 5;3 . C. M 1; 1 . D. M 1;1 . 1   4   2   3  
Câu 25: Hình gồm hai đường tròn phân biệt có cùng bán kính có bao nhiêu tâm đối xứng ? A. Một. B. Hai. C. Không có. D. Vô số.
Câu 26: Trong mặt phẳng Oxy , cho điểm M 1; 
1 . Trong bốn điểm dưới đây, điểm nào là ảnh của M qua
phép quay tâm O, góc 0 45 ?
A. K 1;  1 .
B. P  2;0. C. Q 1;0.
D. N 0; 2.
Câu 27: Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thẳng  : x  2. Trong bốn đường thẳng cho bởi các phương
trình sau đường thẳng nào là ảnh của  qua phép đối xứng tâm O ? A. y  2. B. y  2. C. x  2. D. x  2. 
Câu 28: Cho hình chữ nhật có O là tâm đối xứng. Hỏi có bao nhiêu phép quay tâm O góc  , 0    2 ,
biến hình chữ nhật trên thành chính nó ? A. Hai. B. Không có. C. Bốn. D. Ba.
Câu 29: Hình vuông có mấy trục đối xứng ? A. Một. B. Vô số. C. Hai. D. Bốn.
Câu 30: Trong mặt phẳng Oxy , cho đường tròn d : x y  2  0. Hỏi phép dời hình có được bằng cách 
thực hiện liên tiếp phép đối xứng tâm O và phép tịnh tiến theo vectơ v  3;2 biến d thành đường thẳng
nào trong các đường thẳng có phương trình dưới đây ?
A. x y  2  0.
B. x y  2  0.
C. 3x  3y  2  0.
D. x y  3  0.
Câu 31: Trong các hình dưới đây, hình nào không có tâm đối xứng ?
A. Hình gồm một đường tròn và một hình chữ nhật nội tiếp.
B. Hình gồm một hình vuông và đường tròn nội tiếp.
C. Hình gồm một đường tròn và một tam giác đều nội tiếp.
D. Hình lục giác đều.
Câu 32: Trong mặt phẳng Oxy , cho điểm M  2
 ; 4.Hỏi phép vị tự tâm O tỉ số k  2  biến điểm M
thành điểm nào trong các điểm dưới đây ?
A. J 4;8.
B. I 4;8.
C. H 8; 4. D. H 4;8. 
Câu 33: Trong mặt phẳng Oxy , cho v  1;2 và điểm M 2;5. Trong các điểm dưới đây, điểm nào là 
ảnh của điểm M qua phép tịnh tiến theo vectơ v. A. M 4; 7 . B. M 3; 7 . C. M 3;1 . D. M 1; 6 . 1   4   3   2  
Câu 34: Trong mặt phẳng Oxy , cho điểm M 2;3. Trong các điểm dưới đây, M là ảnh của điểm nào
dưới đây qua phép đối xứng trục Oy. A. M 3;2 . B. M 2; 3 . C. M 2;3 . D. M 3; 2 . 3   4   4   2   2 2
Câu 35: Trong mặt phẳng Oxy , cho đường tròn (C) :  x  
1  y  2  4. Hỏi phép vị tự tâm O tỉ số k  2
 biến (C) thành đường tròn nào trong các đường tròn có phương trình dưới đây ? 2 2 2 2
A. x  4  y  2  4.
B. x  2  y  4  16. 86
Chuyên đề 5. Phép dới hình - Phép đồng dạng
: 01655334679 – 0916620899
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018 2 2 2 2
C. x  4  y  2  16.
D. x  2  y  4  16.
Câu 36: Trong mặt phẳng Oxy , cho điểm I 1;2 và M 2;3. Trong bốn điểm dưới đây, điểm nào là ảnh
của M qua phép đối xứng tâm I ? A. J  1  ;3.
B. P 5;4. C. H 0;  1 . D. K 2;  1 .
Câu 37: Cho hai đường thẳng cắt nhau d và d . Có bao nhiêu phép đối xứng trục biến d thành d ? A. Vô số. B. Một. C. Hai. D. Không có.
Câu 38: Trong mặt phẳng Oxy , cho đường tròn d : x y  2  0. Hỏi phép vị tự tâm O tỉ số k  2  biến d
thành đường thẳng nào trong các đường thẳng có phương trình dưới đây ?
A. 2x  2y  0.
B. x y  4  0.
C. x y  4  0.
D. x y  4  0.
Câu 39: Mệnh đề nào dưới đây sai?
A. Có phép vị tự không phải là phép dời hình.
B. Phép dời hình là một phép đồng dạng.
C. Phép vị tự là một phép đồng dạng.
D. Phép đồng dạng là một phép dời hình.
Câu 40: Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thẳng d : 3x  2y  1  0.Tìm ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng tâm O.
A. d : 3x  2y  1  0. B. d : 3x  2y 1  0.
C. d : 3x  2y 1  0.
D. d : 3x  2y  1  0. 4 2 3 1
Câu 41: Cho hai đường thẳng song song d và d . Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến d thành d ? A. Vô số. B. Một. C. Hai. D. Không có.
Câu 42: Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến một đường tròn cho trước thành chính nó ? A. Một. B. Không có. C. Hai. D. Vô số.
Câu 43: Trong các hình dưới đây, hình nào có bốn trục đối xứng ? A. Hình vuông. B. Hình thoi. C. Hình bình hành. D. Hình chữ nhật.
Câu 44: Trong mặt phẳng Oxy , cho điểm M 1;5 và đường thẳng d có phương trình x  2y  4  0. Tìm
tọa độ ảnh của M qua phép đối xứng trục d. A. 3;2. B. 2;  1 . C. 3;  1 . D. 1;3.
Câu 45: Cho hình vuông ABCD tâm O. Xét phép quay Q có tâm quay O góc quay  . Với giá trị nào
dưới đây của  , phép quay Q biến hình vuông ABCD thành chính nó ?     A.   . B.   . C.   . D.   . 4 3 2 6
Câu 46: Trong mặt phẳng Oxy , cho điểm M 2;5. Trong các điểm dưới đây, điểm nào là ảnh của điểm
M qua phép đối xứng trục Ox.
A. M 2;3 . B. M 3; 2 . C. M 3; 2 .
D. M 2;5 . 3  1   4   2 
Câu 47: Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến một đường thẳng cho trước thành chính nó ? A. Chỉ có hai. B. Không có. C. Chỉ có một. D. Vô số.
Câu 48: Trong mặt phẳng Oxy , cho điểm I 1; 
1 và đường tròn tâm I bán kính 2. Viết phương trình của
đường tròn là ảnh của đường tròn trên qua phép đồng dạng có được bằng cách thực họên liên tiếp phép
quay tâm O, góc 450 và phép vị tự tâm O, tỉ số 2. 2 2
A. x  2 2 2  y  8. B. x  
1  y  2  8. 2 2
C. x   y  2 2 2  8. D. x   1  y   1  4.
Câu 49: Trong mặt phẳng Oxy , cho các điểm A 3;2,B 4;5 và C 1;3. Gọi tam giác A BC   là
ảnh của tam giác ABC qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O góc 0 90
và phép đối xứng qua trục Ox. Tìm toạ độ các đỉnh của tam giác A BC  . 87
Chuyên đề 5. Phép dới hình - Phép đồng dạng
: 01655334679 – 0916620899
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018
A. A2;3, B5;4,C3;  1 . B. A2; 3  ,B5; 4
 ,C3;  1 .
C. A2;3, B5;4,C3;  1 . D. A2; 3
 ,B4;5,C1;3. 
Câu 50: Trong mặt phẳng Oxy , cho v  2; 
1 và điểm M 4;5. Trong các điểm dưới đây, M là ảnh của 
điểm nào dưới đây qua phép tịnh tiến theo vectơ v. A. M 2; 6 . B. M 6;6 . C. M 2; 4 . D. M 3; 3 . 1   4   2   3  
Câu 51: Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thẳng d có phương trình 2x y  3  0. Viết phương trình (C )
 là ảnh của đường tròn 2 2
(C) : x y 10x  4y  27  0 qua phép phép đối xứng trục d. 2 2 2 2 A. x  
1  y  4  2. B. x  
1  y  4  2. 2 2 2 2
C. x  5  y  2  16.
D. x  2  y  3  4.
Câu 52: Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A. Một hình có vô số trục đối xứng thì hình đó phải là hình gồm những đường tròn đồng tâm.
B. Một hình có vô số trục đối xứng thì hình đó phải là đường tròn.
C. Đường tròn là hình có vô số trục đối xứng.
D. Một hình có vô số trục đối xứng thì hình đó phải là hình gồm hai đường thẳng vuông góc.
Câu 53: Mệnh đề nào dưới đây sai ?
A. Phép đối xứng tâm biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.
B. Phép đối xứng trục biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.
C. Phép vị tự biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.
D. Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.
Câu 54: Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thẳng d : 3x  2y  1  0. Tìm ảnh của đường thẳng d qua
phép đối xứng trục Ox.
A. d : 3x  2y  1  0.
B. d : 3x  2y 1  0.
C. d : 3x  2y 1  0.
D. d : 3x  2y 1  0. 1 4 2 3
Câu 55: Trong các phép biến hình sau, phép nào không phải là phép dời hình ?
A. Phép đồng nhất.
B. Phép vị tự tỉ số 1  .
C. Phép chiếu vuông góc lên một đường thẳng.
D. Phép đối xứng trục.
Câu 56: Trong mặt phẳng Oxy , cho điểm M 2;4. Hỏi phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện 1
liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số k
và phép đối xứng qua trục Oy biến điểm M thành điểm nào trong các 2 điểm dưới đây ? A. N 1;2. B. P  2  ; 4.
C. M 1;2.
D. Q 1;2. 
Câu 57: Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thẳng d : 2x y  1  0. Tìm tọa độ của vectơ v để phép tịnh 
tiến theo v biến d thành chính nó.    
A. v  2;  1 .
B. v  1;2.
C. v  1;2.
D. v  2;  1 .
Câu 58: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M 3;4 và đường thẳng d có phương trình 2x y  3  0. Biết
Ñ : M N , tìm tọa độ điểm N. d
A. N 3;4.
B. N 2;3.
C. N 1;6. D. N 7;2. 2 2
Câu 59: Trong mặt phẳng Oxy , cho đường tròn (C):  x  
1  y  2  4. Hãy viết phương trình đường
tròn (C’) là ảnh của (C) qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số k  2
 và phép đối xứng trục Ox. 2 2 2 2
A. x  2  y  4  16. B. x  
1  y  2  16. 2 2 2 2
C. x  2  y  4  16.
D. x  2  y  4  16. 88
Chuyên đề 5. Phép dới hình - Phép đồng dạng
: 01655334679 – 0916620899
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018
Câu 60: Cho tam giác ABC và các điểm M , N , P lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA và A . B Gọi
G là trọng tâm của tam giác ABC. Phép vị tự nào biến tam giác ABC thành tam giác MNP ? A. V . B. V . C. V . D. V . M ,  1  1   A,2  1  G,   G,    2   2 
Câu 61: Trong mặt phẳng Oxy , cho hai điểm M 2;3, N 4; 
1 và đường tròn (C) có tâm I 2;  1 , bán 
kính R  4. Tìm ảnh của đường tròn (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ MN. 2 2 2 A. 2
x  y   1  16.
B. x    2 1 y  16. C. 2 x  2 y  16. D. 2
x  y   1  4.
Câu 62: Trong hình vuông ABCD tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AO như hình vẽ
bên. Tìm ảnh của tam giác AMN qua phép vị tự tâm A tỉ số k  2. M A B A. OBC. B. AB . O N C. ABC. D. AMN. O D C
Câu 63: Cho lục giác đều ABCDEF tâm O như hình vẽ bên. Tìm ảnh của tam giác ABC qua Q .  0 O,120  A B A. EF . A B. FA . B O F C C. DEF. D. CDE. E D
Câu 64: Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thẳng d có phương trình x y  2  0. Viế phương trình
đường thẳng d là ảnh của d qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm 1 I  1  ;   1 tỉ số k
và phép quay tâm O góc 0 45 . 2
A. x y  0. B. y  0.
C. x  2y 1  0. D. x  0.
Câu 65: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm H 2; 3 và I 4;  1 . Biết V
: K H. Tìm tọa độ điểm I,2 K.  3  A. K   1; .
B. K 7;3.
C. K 4;6. D. K 5;3.  2 
Câu 66: Trong mặt phẳng Oxy , cho đường tròn 2 C x  2 ( ) :
y  4x  6y  4  0. Tìm ảnh (C )  của đường
tròn (C) qua phép quay tâm O, góc quay  0 90 . A. C 2 x  2 ( ) :
y  6x  4y  4  0. B. C 2 x  2 ( ) :
y  6x  4y  4  0. 2 2 2 2
C. (C) :  x  3  y  2  3.
D. (C) :  x  3  y  2  9.
Câu 67: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình x2  y2  2x  4y  4  0 . Tìm ảnh 
của (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ v  (2;3). A. 2 2
(x 1)  (y  1)  9. B. 2 2
(x 1)  (y 1)  9. C. 2 2
(x  2)  (y 1)  9. D. 2 2
(x  1)  (y 1)  9.
Câu 68: Trong mặt phẳng Oxy , cho hai điểm A 5;4,B 2;3. Tìm ảnh của đường thẳng AB qua phép
vị tự tâm O tỉ số k  1. 89
Chuyên đề 5. Phép dới hình - Phép đồng dạng
: 01655334679 – 0916620899
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018
A. x  7y  23  0.
B. x y  1  0.
C. x  7y  23  0.
D. 7x y  23  0.
Câu 69: Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thẳng d có phương trình 2x y  3  0. Viếi phương trình
đường thẳng  là ảnh của  : x  3y  11  0 qua phép đối xứng trục d.
A. 3x y  17  0.
B. 3x y 17  0.
C. 3x y  7  0.
D. 3x  2y 15  0.
Câu 70: Trong mặt phẳng Oxy , cho điểm M 2;3. Trong các điểm dưới đây, điểm nào là ảnh của điểm
M qua phép đối xứng qua đường thẳng x y  0.
A. Q 3;2. B. N 3;2.
C. K 2;3.
D. P 2;3.
Câu 71: Trong hình vuông ABCD tâm O. Gọi M, N , P,Q lần lượt là trung điểm của B , O A , O OD và
OC như hình vẽ bên. Tìm ảnh của tứ giác ABMN qua phép đối xứng tâm O. A B A. Tứ giác C . DPQ
B. Tứ giác NMQP. N M
C. Tứ giác CAQP.
D. Tứ giác CDNM. O Q P D C
Câu 72: Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A. Phép đối xứng tâm có vô số điểm biến thành chính nó.
B. Phép đối xứng tâm có đúng một điểm biến thành chính nó.
C. Phép đối xứng tâm không có điểm nào biến thành chính nó.
D. Phép đối xứng tâm có hai điểm biến thành chính nó.
Câu 73: Trong mặt phẳng Oxy , cho đường tròn d : 2x y  3  0. Hỏi phép vị tự tâm O tỉ số k  2 biến d
thành đường thẳng nào trong các đường thẳng có phương trình dưới đây ?
A. 2x y  3  0.
B. 4x  2y  5  0.
C. 4x y  3  0.
D. 2x y  6  0.
Câu 74: Trong mặt phẳng Oxy , cho điểm M 2;3. Biết Ñ : E M , với d : x y  0. Tìm tọa độ d điểm E.
A. E 2;3.
B. E 3;2.
C. E 2;3. D. E 3;2.
Câu 75: Trong mặt phẳng Oxy , cho các điểm A1;3, B 4; 2
  và C 1;5. Biết T : D C, tìm tọa độ AB điểm . D
A. D 2;10.
B. D 3;5.
C. D 2;0. D. D 2;3.
Câu 76: Mệnh đề nào dưới đây sai ?
A. Phép vị tự tâm O, tỉ số k  1 chính là phép đối xứng tâm O.
B. Phép vị tự tâm O, tỉ số k biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
C. Phép tịnh tiến biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
D. Phép quay tâm O, góc quay     k
2 , k   chính là phép đối xứng tâm O.
Câu 77: Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thẳng d : 2x  3y  5  0. Tìm ảnh của đường thẳng d qua
phép vị tự tâm O tỉ số k  2.
A. 2x  3y  10  0.
B. 2x  3y 10  0.
C. 3x  2y  11  0.
D. 2x  3y  7  0.
Câu 78: Trong mặt phẳng Oxy , cho điểm A 2;3 và đường tròn (C) có tâm I 2;2 , bán kính R  5. 
Tìm ảnh của đường tròn (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ AO. 2 2 2
A. x  2  y  3  5. B. 2
x  y  5  25. 2 2 C. 2
x  y  5  5.
D. x    2 5 y  5. 90
Chuyên đề 5. Phép dới hình - Phép đồng dạng
: 01655334679 – 0916620899
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018 2 2
Câu 79: Trong mặt phẳng Oxy , cho đường tròn (C) :  x  
1  y  2  4. Hỏi phép dời hình có được 
bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng qua trục Oy và phép tịnh tiến theo vectơ v  2;3 biến (C)
thành đường tròn nào trong các đường tròn có phương trình dưới đây ? 2 2 A. 2 2 x y  4. B. x   1  y   1  4. 2 2 2 2
C. x  2  y  6  4.
D. x  2  y  3  4.
Câu 80: Cho tam giác đều tâm O. Hỏi có bao nhiêu phép quay tâm O góc  , 0    2 , biến tam giác trên thành chính nó ? A. Một. B. Hai. C. Ba. D. Bốn.
Câu 81: Cho hình chữ nhật ABCD . Gọi O là tâm đối xứng của nó. Gọi I, F, J, E lần lượt là trung điểm
của các cạnh AB, BC,CD và DA . Tìm ảnh của tam giác AEO qua phép đồng dạng có được bằng cách
thực hiện liên tiếp phép đối xứng qua đường thẳng IJ và phép vị tự tâm B tỉ số 2.
A. Tam giác ADC.
B. Tam giác BFO.
C. Tam giác ABC.
D. Tam giác BCD.
Câu 82: Trong mặt phẳng hệ trụa toạ độ Oxy, cho hai điểm A(1; 2) và B(3; 4). Tìm điểm M trên trục
hoành sao cho MA + MB bé nhất.  5   3   4   9  A. M ; 0 .  B. M ; 0 . C. M ; 0 . D. M ; 0 . 3          2   3   2   
Câu 83: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho v  (2;3) và đường thẳng d có phương trình 3x  5y  3  0 . 
Viết phương trình đường thẳng d là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo vectơ v .
A. 3x  5y  24  0.
B. 3x  5y  16  0.
C. 3x  5y  24  0.
D. x y  2  0.
Câu 84: Cho lục giác đều ABCDEF tâm O như hình vẽ bên. Tìm ảnh của tam giác AFO qua phép tịnh  tiến theo vectơ ED. A B A. BOC. B. FE . D O F C C. BE . D D. OCD. E D 91
Chuyên đề 5. Phép dới hình - Phép đồng dạng
: 01655334679 – 0916620899
GV. Lư Sĩ Pháp Toán Ôn thi THPT Quốc gia năm 2018 C. ĐÁP ÁN 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 A B C D
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 A B C D
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 A B C D
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 A B C D 81 82 83 84 A B C D 92
Chuyên đề 5. Phép dới hình - Phép đồng dạng
: 01655334679 – 0916620899