Chuyên đề toán thực tế giới hạn và hàm số liên tục Toán 11
Tài liệu Chuyên đề toán thực tế giới hạn và hàm số liên tục Toán 11 gồm 49 trang, được biên soạn bởi thầy giáo Trần Đình Cư, tuyển chọn các bài tập chuyên đề toán thực tế giới hạn và hàm số liên tục môn Toán 11, có đáp án và lời giải chi tiết.Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết bài viết dưới đây nhé.
Preview text:
CHUYÊN ĐỀ TOÁN THỰC TẾ 11
WEB: Toanthaycu.com
CHUYÊN ĐỀ 8: GIỚI HẠN DÃY SỐ
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. Các định nghĩa
a) Giới hạn hữu hạn của dãy số
- Dãy số (u có giới hạn 0 khi n dần tới dương vô cực nếu u có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, n ) n
kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu lim u = n 0 . n→+∞ - lim u = a − = n nếu lim (u a . n ) 0 n→+∞ n→+∞ Chú ý
- Một dãy số có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất.
- Không phải dãy số nào cũng có giới hạn, chẳng hạn như dãy số (u với − . n ) u = ( 1)n n
- Ta có thể viết tắt lim u u n là im l n n→+∞
b) Giới hạn vô cực
- Dãy số (u có giới hạn +∞ khi n dần tới dương vô cực nếu u có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể n ) n
từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu lim u = +∞ n . n→+∞ - lim u = −∞ − = +∞ n nếu lim ( u . n ) n→+∞ n→+∞
c) Tổng cấp số nhân lùi vô hạn Cấp số nhân vô hạn n 1
u ,u q, ,u q − …
,… có công bội q thoả mãn | q |<1 được gọi là cấp số nhân lùi vô 1 1 1
hạn. Tổng của cấp số nhân đó là: n 1 − u1
S = u + u q +…+ u q +… = . 1 1 1 1− q
2. Định lí về giới hạn hữu hạn
- Nếu limu = a v = b thì: n ,lim n
lim(u + v = a + b
u − v = a − b n n ) ; lim( n n ) ;
lim(u ⋅v ) = a⋅ ; b lim u a n = v ≠ b ≠ n n ( n 0, 0). v b n
- Nếu u ≥ với mọi u = a thì và lim = . n 0 n và lim n a ≥ 0 u a n
3. Một số giới hạn cơ bản - 1 1 lim = 0;lim
= 0 với k là số nguyên dương cho trước; k n n
- lim c = 0;lim c = 0 với c là hằng số, k là số nguyên dương cho trước; k n n
- Nếu | q |<1 thì lim n q = 0 ;
Trần Đình Cư: 0834332133 1
CHUYÊN ĐỀ TOÁN THỰC TẾ 11
WEB: Toanthaycu.com n - 1 lim 1 + = e ≈ 2,718281828459045 n - lim k
n = +∞ với k là số nguyên dương cho trước; - lim n
q = +∞ nếu q >1 là số thực cho trước;
- Nếu limu = a và limv = +∞ hoặc limv = −∞ thì un = ; n ) n ( n lim 0 vn
- Nếu limu = a a > và limv = v > với mọi u = +∞; n 0, n 0 n , 0 n thì lim n vn
- Nếu limu = a a > và limv = ±∞ thì lim(u v = ±∞ . n n ) n , 0 n B. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Câu 1: Từ hình vuông có độ dài cạnh bằng 1, người ta nối các trung điểm của cạnh hình vuông để tạo ra
hình vuông mới như Hình 3.
Tiếp tục quá trình này đến vô hạn.
a) Tính diện tích S của hình vuông được tạo thành ở bước thứ n ; n
b) Tính tổng diện tích của tất cả các hình vuông được tạo thành.
Câu 2: Có 1 kg chất phóng xạ độc hại. Biết rằng, cứ sau một khoảng thời gian T = 24000 năm thì một nửa số chất
phóng xạ này bị phân rã thành chất khác không độc hại đối với sức khoẻ của con người ( T được gọi là chu kì bán rã).
(Nguồn: Đại số và Giải tich 11, NXB GD Việt Nam, 2021)
Gọi u là khối lượng chất phóng xạ còn lại sau chu kì thứ n . n
a) Tìm số hạng tổng quát u của dãy số (u . n ) n
b) Chứng minh rằng (u có giối hạn là 0. n )
c) Từ kết quả câu b), chứng tỏ rằng sau một số năm nào đó khối lượng chất phóng xạ đã cho
ban đầu không còn độc hại đối với con người, biết rằng chất phóng xạ này sẽ không độc hại
nữa nếu khối lượng chất phóng xạ còn lại bé hơn 6 10− g .
Trần Đình Cư: 0834332133 2
CHUYÊN ĐỀ TOÁN THỰC TẾ 11
WEB: Toanthaycu.com
Câu 3: Gọi C là nửa đường tròn đường kính AB = 2R , C là đường gồm hai nửa đường tròn đường 1
kính AB ,C là đường gồm bốn nửa đường tròn đường kính AB ,… 2
C là đường gồm 2n nửa 2 4 n
đường tròn đường kính AB ,… (Hình 4). 2n
Gọi p là độ dài của C S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi C và đoạn thẳng AB . n , n n n a) Tính p S . n , n
b) Tìm giối hạn của các dãy số ( p và (S . n ) n )
Câu 4: Từ hình vuông đầu tiên có cạnh bằng 1 (đơn vị độ dải), nối các trung điểm của bốn cạnh để có
hình vuông thứ hai. Tiếp tục nối các trung điểm của bốn cạnh của hình vuông thứ hai để được
hình vuông thứ ba. Cứ tiếp tục làm như thế, nhận được một dãy hình vuông (xem Hình 5).
a) Kí hiệu a là diện tích của hình vuông thứ
S là tổng diện tịch của n n và n n hình vuông đầu
tiên. Viết công thức tính a S n =
… và tìm lim S (giới hạn này nếu có được gọi là n , n ( 1,2,3, ) n
tổng diện tích của các hình vuông).
b) Kí hiệu p là chu vi của hình vuông thứ
Q là tổng chu vi của n n và n
n hình vuông đầu tiên.
Viết công thức tính p và Q n =
… và tìm lim Q (giới hạn này nếu có được gọi là n ( 1,2,3, ) n n
tổng chu vi của các hình vuông).
Câu 5: Xét quá trình tạo ra hình có chu vi vô cực và diện tích bằng 0 như sau:
Bắt đầu bằng một hình vuông H cạnh bằng 1 đơn vị độ dài (xem Hình 6a ). Chia hình vuông 0 H H
0 thành chín hình vuông bằng nhau, bỏ đi bốn hình vuông, nhận được hình 1 bốn hình
vuông, nhận được hình H (xem Hình 6c ). Tiếp tục quá trình này, ta nhận được một dãy hình 2 H n = … . n ( 1,2,3, )
Trần Đình Cư: 0834332133 3
CHUYÊN ĐỀ TOÁN THỰC TẾ 11
WEB: Toanthaycu.com 1
Ta có: H có 5 hình vuông, mỗi hình vuông có cạnh bằng ; 1 3 H 1 1 1 = ⋅ = ;… 2 có 2
5.5 5 hình vuông, mỗi hình vuông có cạnh bằng . 2 3 3 3 1
Từ đó, nhận được H có 5n hình vuông, mỗi hình vuông có cạnh bằng . n 3n
a) Tính diện tích S của H và tính lim S . n n n
b) Tính chu vi p của H và tính lim p . n n n
(Quá trình trên tạo nên một hình, gọi là một fractal, được coi là có diện tích lim S và chu vi n lim p . n )
Câu 6: Một bệnh nhân hàng ngày phải uống một viên thuốc 150mg . Sau ngày đầu, trước mỗi lần uống,
hàm lượng thuốc cũ trong cơ thể vẫn còn 5%. Tính lượng thuốc có trong cơ thể sau khi uống
viên thuốc của ngày thứ 5. Ước tính lượng thuốc trong cơ thể nếu bệnh nhân sử dụng thuốc trong một thời gian dài.
Câu 7: Cho tam giác vuông ABC vuông tại A có AB = h và góc B bằng α (H.5.3). Từ A kẻ AA ⊥ BC 1
, từ A kẻ A A ⊥ AC , sau đó lại kẻ A A ⊥ BC . Tiếp tục quá trình trên, ta được đường gấp khúc 1 1 2 2 3 vô hạn AA A A … 1 2 3
. Tính độ dài đường gấp khúc này theo h và α .
Câu 8: Cho tam giác OA A vuông tại A ,A A = a và
AOA = 30° . Hạ các đường vuông góc 1 2 2 1 2 1 2
A A ⊥ OA ; A A ⊥ OA ; A A ⊥ OA ;... Tiếp tục quá trình này, ta nhận được đường gấp khúc 2 3 1 3 4 2 4 5 3
A A A A ... Tính độ dài đường gấp khúc này theo 1 2 3 4 a .
Trần Đình Cư: 0834332133 4
CHUYÊN ĐỀ TOÁN THỰC TẾ 11
WEB: Toanthaycu.com
Câu 9: Một mẫu chất phóng xạ 210Po có khối lượng ban đầu m = 42(mg) , nhưng cứ sau một khoảng 84 0
thời gian T =138 ngày thì khối lượng chất đó giảm đi một nửa ( T được gọi là chu kì bán rã).
Gọi u là khối lượng còn lại của mẫu chất phóng xạ sau n n chu kì bán rã.
a) Tìm số hạng tổng quát của dãy số (u . n )
b) Tính giới hạn của dãy số (u và cho biết ý nghĩa của giới hạn đó. n )
Câu 10: Từ độ cao 100 m , người ta thả một quả bóng cao su xuống đất. Giả sử cứ sau mỗi lần chạm đất,
quả bóng nảy lên một độ cao bằng 1 độ cao mà quả bóng đạt được trước đó. Gọi h là độ cao 4 n
quả bóng đạt được ở lần nảy thứ n .
a) Tìm số hạng tổng quát của dãy số (h . n )
b) Tính giới hạn của dãy số (h và nêu ý nghĩa giới hạn của dãy số (h . n ) n )
c) Gọi S là tổng độ dài quãng đường đi được của quả bóng từ lúc bắt đầu thả quả bóng đến khi n
quả bóng chạm đất lần thứ n . Tính S , nếu quá trình này cứ tiếp tục diễn ra mãi thì tổng quãng n
đường quả bóng di chuyển được là bao nhiêu?
Câu 11: Cho tam giác A B C có diện tích là 3 (đơn vị diện tích). Dựng tam giác A B C bằng cách nối 1 1 1 2 2 2
các trung điểm của các cạnh B C ,C A , A B 1 1 1 1
1 1 . Tiếp tục quá trình này, ta có các tam giác
A B C ,…, A B C … Kí hiệu S là diện tích của tam giác A B C . n n n , 3 3 3 n n n n a) Tính S . n
b) Tính tổng S + S ++ S + 1 2 n
Câu 12: Từ độ cao 55,8 m của tháp nghiêng Pisa nước Ý, người ta thả một quả bóng cao su chạm xuống
đất (Hình 18). Giả sử mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên độ cao bằng 1 độ cao mà quả bóng 10
đạt được trước đó. Gọi S là tổng độ dài quãng đường di chuyển của quả bóng tính từ lúc thả n
ban đầu cho đến khi quả bóng đó chạm đất n lần. Tính limS n
Câu 13: Cho một tam giác đều ABC cạnh a . Tam giác A B C có các đỉnh là trung điểm các cạnh của 1 1 1
tam giác ABC , tam giác A B C A B C ,…
2 2 2 có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác 1 1 1 , tam giác A
có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác A B C … Gọi n n n , + B + C
n 1 n 1 n 1 +
Trần Đình Cư: 0834332133 5
CHUYÊN ĐỀ TOÁN THỰC TẾ 11
WEB: Toanthaycu.com
p , p ,…, p … và S , S ,…, S … theo thứ tự là chu vi và diện tích của các tam giác n , n , 1 2 1 2
A B C , A B C ,…, A B C …. n n n , 1 1 1 2 2 2
a) Tìm giới hạn của các dãy số ( p và (S . n ) n )
b) Tìm các tổng p + p +…+ p +… và S + S +…+ S +… 1 2 n 1 2 n
Câu 14: Cho tam giác đều có cạnh bằng a , gọi là tam giác H H
1 . Nối các trung điểm của 1 để tạo thành
tam giác H . Tiếp theo, nối các trung điểm của H để tạo thành tam giác H (Hình 1). Cứ tiếp 2 2 3
tục như vậy, nhận được dãy tam giác H ,H ,H ,… 1 2 3
. Tính tổng chu vi và tổng diện tích các tam giác của dãy.
Câu 15: Từ một tam giác đều có diện tích bằng 1, ta thực hiện lần lượt các bước như sau:
Bước 1: Nối trung điểm các cạnh của tam giác đã cho, chia tam giác này thành 4 tam giác nhỏ
và bỏ đi tam giác ở giữa (bỏ đi 1 tam giác có diện tích 1 ). 4
Bước 2: Làm tương tự như Bước 1 với mỗi tam giác trong 3 tam giác còn lại (bỏ đi 3 tam giác,
mỗi tam giác có diện tích 1 ). 2 4
Cứ tiếp tục quá trình như vậy (ở bước thứ n , bỏ đi 1
3n− tam giác, mỗi tam giác diện tích 1 ). 4n
Tính tổng diện tích các tam giác đã bỏ đi.
Câu 16: Biết rằng, từ vị trí A , một mũi tên bay với tốc độ 10 m / s hướng thẳng tới bia mục tiêu đặt ở vị
trí B cách vị trí A một khoảng bằng 10 m (Hình 2). Một nhà thông thái lập luận như sau: "Để
đến được B , trước hết mũi tên phải đến trung điểm A của A 1
B. Tiếp theo, nó phải đến trung
Trần Đình Cư: 0834332133 6
CHUYÊN ĐỀ TOÁN THỰC TẾ 11
WEB: Toanthaycu.com điểm A A B A A B 2 của 1
. Tiếp nữa, nó phải đến trung điểm 3 của 2 . Cứ tiếp tục như vậy, vì không
bao giờ hết các trung điểm nên mũi tên không thể bay đến được bia mục tiêu ở B ".
Lập luận trên có đúng không? Nếu không, hãy chỉ ra chỗ sai lầm.
Câu 17: Cho hình vuông H1 có cạnh bằng a . Chia mỗi cạnh của hình vuông này thành bốn phần bằng
nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông H . Lặp lại cách làm như trên 2
với hinh vuông H để được hình vuông H .Tiếp tục quá trình trên ta nhận được dãy hình vuông 2 3
H , H , H ,…, H … Gọi s là diện tích của hình vuông H . n , 1 2 3 n n a) Tính s . n
b) Tính tổng T = s + s ++ s + 1 2 n
Câu 18: Cho tam giác T có diện tích bằng 1. Giả sử có tam giác T đồng dạng với tam giác T , tam giác 1 2 1
T đồng dạng với tam giác T ,…, tam giác T đồng dạng với tam giác T vói ti số đồng dạng 3 2 n n 1 −
1 (k >1). Khi n tiến tới vô cùng, tính tổng diện tích của tất cả các tam giác theo k . k
Trần Đình Cư: 0834332133 7
CHUYÊN ĐỀ 8: GIỚI HẠN DÃY SỐ
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. Các định nghĩa
a) Giới hạn hữu hạn của dãy số
- Dãy số (u có giới hạn 0 khi n dần tới dương vô cực nếu u có thể nhỏ hơn một số dương n ) n
bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu lim u = . n 0 n→+∞
- lim u = a nếu lim (u − a = . n ) 0 n n→+∞ n→+∞ Chú ý
- Một dãy số có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất.
- Không phải dãy số nào cũng có giới hạn, chẳng hạn như dãy số (u với u = − . n ( 1)n n )
- Ta có thể viết tắt lim u u n là im l n n→+∞
b) Giới hạn vô cực
- Dãy số (u có giới hạn +∞ khi n dần tới dương vô cực nếu u có thể lớn hơn một số dương n ) n
bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu lim u = +∞ . n n→+∞
- lim u = −∞ nếu lim ( u − = +∞ . n ) n n→+∞ n→+∞
c) Tổng cấp số nhân lùi vô hạn Cấp số nhân vô hạn n 1
u ,u q, ,u q − …
,… có công bội q thoả mãn | q |<1 được gọi là cấp số 1 1 1
nhân lùi vô hạn. Tổng của cấp số nhân đó là: n 1 − u1
S = u + u q +…+ u q +… = . 1 1 1 1− q
2. Định lí về giới hạn hữu hạn
- Nếu limu = a v = b thì: n ,lim n
lim(u + v = a + b
u − v = a − b n n ) ; lim( n n ) ;
lim(u ⋅v ) = a ⋅ ; b lim u a n = v ≠ b ≠ n n ( n 0, 0). v b n
- Nếu u ≥ với mọi n và limu = a thì a ≥ 0 và lim u = a . n 0 n n
3. Một số giới hạn cơ bản - 1 1 lim = 0;lim
= 0 với k là số nguyên dương cho trước; k n n
- lim c = 0;lim c = 0 với c là hằng số, k là số nguyên dương cho trước; k n n
- Nếu | q |<1 thì lim n q = 0 ; n - 1 lim 1 + = e ≈ 2,718281828459045 n - lim k
n = +∞ với k là số nguyên dương cho trước; - lim n
q = +∞ nếu q >1 là số thực cho trước;
- Nếu limu = a và limv = +∞ hoặc limv = −∞ thì lim un = 0 ; n ) n ( n vn
- Nếu limu = a a > và limv = v > với mọi n thì lim un = +∞ ; n 0, n 0 n , 0 vn
- Nếu limu = a a > và limv = ±∞ thì lim(u v = ±∞ . n n ) n , 0 n
B. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Câu 1: Từ hình vuông có độ dài cạnh bằng 1, người ta nối các trung điểm của cạnh hình vuông để tạo ra
hình vuông mới như Hình 3.
Tiếp tục quá trình này đến vô hạn.
a) Tính diện tích S của hình vuông được tạo thành ở bước thứ n ; n
b) Tính tổng diện tích của tất cả các hình vuông được tạo thành. Lời giải
a) Gọi S là diện tích của hình vuông thứ n . n 2 Ta có: 1 1 S 1;S ;S = = = ;… 1 2 3 2 2
Dãy (S lập thành cấp số nhân có số hạng đầu và công bội 1 n ) S =1
q = có công thức tổng 1 2 n 1 − quát là: 1 S = . n 2 b) Ta có: 1 q =
<1 nên dãy (S trên lập thành một cấp số nhân lùi hạn nên ta có: n ) 2 2 3 n 1 1 1 1 1 − 1 S =1+ + + +…+ +… = = 2. 2 2 2 2 1 1− 2
Vậy tổng diện tích của các hình vuông là 2 (đvdt).
Câu 2: Có 1 kg chất phóng xạ độc hại. Biết rằng, cứ sau một khoảng thời gian T = 24000 năm thì một nửa số chất
phóng xạ này bị phân rã thành chất khác không độc hại đối với sức khoẻ của con người ( T được gọi là chu kì bán rã).
(Nguồn: Đại số và Giải tich 11, NXB GD Việt Nam, 2021)
Gọi u là khối lượng chất phóng xạ còn lại sau chu kì thứ n . n
a) Tìm số hạng tổng quát u của dãy số (u . n ) n
b) Chứng minh rằng (u có giối hạn là 0. n )
c) Từ kết quả câu b), chứng tỏ rằng sau một số năm nào đó khối lượng chất phóng xạ đã cho
ban đầu không còn độc hại đối với con người, biết rằng chất phóng xạ này sẽ không độc hại
nữa nếu khối lượng chất phóng xạ còn lại bé hơn 6 10− g . Lời giải 2 a) Ta có: 1 1 u 1;u ;u = = = ;… 1 2 3 2 2
Suy ra (u lập thành một cấp số nhân có số hạng đầu và 1 n ) u =1
q = có số hạng tổng quát là: 1 2 n 1 1 − u = . n 2 n 1 − b) Ta có: 1 limu = = . n lim 0 2 n 1 − n 1 − c) Đổi 1 1 3 u = = ⋅ n kg 10 g 2 2 n 1 −
Để chất phóng xạ bé hơn 6 10− ( g) thì 1 3 6 ⋅10 10− < ⇔ n>31. 2
Vậy cần ít nhất 30 chu kì tương ứng với 720000 năm khối lượng chất phóng xạ đã cho ban đầu
không còn độc hại đối với con người.
Câu 3: Gọi C là nửa đường tròn đường kính AB = 2R , C là đường gồm hai nửa đường tròn đường 1
kính AB ,C là đường gồm bốn nửa đường tròn đường kính AB ,… 2
C là đường gồm 2n nửa 2 4 n
đường tròn đường kính AB ,… (Hình 4). 2n
Gọi p là độ dài của C S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi C và đoạn thẳng AB . n , n n n a) Tính p S . n , n
b) Tìm giối hạn của các dãy số ( p và (S . n ) n ) Lời giải +) Ta có: π π π π π p R = ;p R R = = ;p R R = = ;… 1 2 2 3 3 2 4 2 8 2
(p ) lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu π R = và công bội 1 = < có n p q 1 1 2 2 n 1 − số hạng tổng quát π R 1 p = ⋅ . n 2 2 2 2 3 +) Ta có: π R π π = ; R = ; R C C C = ;… 1 2 2 3 3 4 4 4 ( 2
C lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu π R = và công bội 1 = < có n ) C q 1 1 4 4 n 1 − số hạng tổng quát π R 1 C = ⋅ . n 4 4
Câu 4: Từ hình vuông đầu tiên có cạnh bằng 1 (đơn vị độ dải), nối các trung điểm của bốn cạnh để có
hình vuông thứ hai. Tiếp tục nối các trung điểm của bốn cạnh của hình vuông thứ hai để được
hình vuông thứ ba. Cứ tiếp tục làm như thế, nhận được một dãy hình vuông (xem Hình 5).
a) Kí hiệu a là diện tích của hình vuông thứ
S là tổng diện tịch của n n và n n hình vuông đầu
tiên. Viết công thức tính a S n =
… và tìm lim S (giới hạn này nếu có được gọi là n , n ( 1,2,3, ) n
tổng diện tích của các hình vuông).
b) Kí hiệu p là chu vi của hình vuông thứ
Q là tổng chu vi của n n và n
n hình vuông đầu tiên.
Viết công thức tính p và Q n =
… và tìm lim Q (giới hạn này nếu có được gọi là n ( 1,2,3, ) n n
tổng chu vi của các hình vuông). Lời giải 1 a) a = n n 1 2 − 1 1 1 1 S = + + +…+ = = n 1 2 2 n 1 2 2 2 − 1 1− 2 b) 1 p = ⋅ n 4 n 1 ( 2) − 1 1 1 1 Q = + ⋅ + ⋅ +…+ ⋅ = ⋅ ≈ n 4 4 4 4 4 13,66 2 n 1 2 ( 2) ( 2) − 1 1− 2
Câu 5: Xét quá trình tạo ra hình có chu vi vô cực và diện tích bằng 0 như sau:
Bắt đầu bằng một hình vuông H0 cạnh bằng 1 đơn vị độ dài (xem Hình 6a ). Chia hình vuông H H
0 thành chín hình vuông bằng nhau, bỏ đi bốn hình vuông, nhận được hình 1 bốn hình
vuông, nhận được hình H2 (xem Hình 6c ). Tiếp tục quá trình này, ta nhận được một dãy hình H n = … . n ( 1,2,3, ) 1
Ta có: H1 có 5 hình vuông, mỗi hình vuông có cạnh bằng ; 3 H 1 1 1 = ⋅ = ;… 2 có 2
5.5 5 hình vuông, mỗi hình vuông có cạnh bằng . 2 3 3 3 1
Từ đó, nhận được H có 5n hình vuông, mỗi hình vuông có cạnh bằng . n 3n
a) Tính diện tích S của H và tính lim S . n n n
b) Tính chu vi p của H và tính lim p . n n n
(Quá trình trên tạo nên một hình, gọi là một fractal, được coi là có diện tích lim S và chu vi n lim p . n ) Lời giải 2 n n n a) n 1 5 5 S = ⋅ = = 5 limS = = . n lim 0 n
5 3n 9n 9 9 n n b) n 1 5 p = ⋅ ⋅ = ⋅ 5 limp = = ∞ + . n lim4. n 5 4 4 3n 3 3
Câu 6: Một bệnh nhân hàng ngày phải uống một viên thuốc 150mg . Sau ngày đầu, trước mỗi lần uống,
hàm lượng thuốc cũ trong cơ thể vẫn còn 5%. Tính lượng thuốc có trong cơ thể sau khi uống
viên thuốc của ngày thứ 5. Ước tính lượng thuốc trong cơ thể nếu bệnh nhân sử dụng thuốc trong một thời gian dài. Lời giải Đặt r = 5% a)
Sau khi uống viên thuốc ngày thứ 1, hàm lượng thuốc trong cơ thể là u =150mg 1
Sau khi uống viên thuốc ngày thứ 2, hàm lượng thuốc trong cơ thể là
u = 5%u +150 = 5%.150 +150 =150 1+ r 2 1 ( )
Hàm lượng thuốc trong cơ thể sau khi uống viên thuốc ngày thứ 3 là
u = 5%u +150 =150(1+ r)r +150 =150( 2 r + r +1 3 2 )
Hàm lượng thuốc trong cơ thể sau khi uống viên thuốc ngày thứ 4 là
u = 5%u +150 =150( 2 r + r + ) 1 r +150 =150( 3 2
r + r + r +1 4 3 )
Hàm lượng thuốc trong cơ thể sau khi uống viên thuốc ngày thứ 5 là
u = 5%u +150 =150( 3 2
r + r + r + ) 1 r +150 =150( 4 3 2
r + r + r + r +1 ≈157,9mg 5 4 )
b) Lượng thuốc trong cơ thể nếu bệnh nhân sử dụng liên tục trong n ngày u r − r − = + + + r + n ( n 1 n 2 150 ... )1
Nếu sự dụng thuốc lâu ngày thì hàm lượng thuốc trong cơ thể hằng ngày là u =
r − + r − + + r + = = = n ( n 1 n 2 ) 1 100 20 lim lim 150 ... 1 150. 150. 150. . n n →+∞ →+∞ 1− r 95 19
Câu 7: Cho tam giác vuông ABC vuông tại A có AB = h và góc B bằng α (H.5.3). Từ A kẻ AA ⊥ BC 1
, từ A kẻ A A ⊥ AC , sau đó lại kẻ A A ⊥ BC . Tiếp tục quá trình trên, ta được đường gấp khúc 1 1 2 2 3
vô hạn AA A A …. Tính độ dài đường gấp khúc này theo h và α . 1 2 3 Lời giải
Độ dài đường gấp khúc
tạo thành scấp số nhân
với số hạng tổng quát là: 1 u
sinα h (sinα)n− = × × n Độ dài đường gấp
khúc: AA + A A +… 1 2 3
Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với u = sinα × h,q = sinα nên 1 sinα × h AA + A A +… = . 1 2 3 1− sinα
Câu 8: Cho tam giác OA A vuông tại A ,A A = a và
AOA = 30° . Hạ các đường vuông góc 1 2 2 1 2 1 2
A A ⊥ OA ; A A ⊥ OA ; A A ⊥ OA ;... Tiếp tục quá trình này, ta nhận được đường gấp khúc 2 3 1 3 4 2 4 5 3
A A A A ... Tính độ dài đường gấp khúc này theo a . 1 2 3 4 Lời giải Các góc
A A A , A A A , A A A ,... đều bằng góc
AOA nên đều có số đo 30° . 1 2 3 2 3 4 3 4 5 1 2 3 A A = A A . os c 30°=a. ; 2 3 1 2 2 2 3 3 3 A A = A A . os c 30°=a. . = a ; 3 4 2 3 2 2 2 2 3 3 3 3 A A = A A . os c 30°=a. . = a ; … 4 5 3 4 2 2 2
Vậy độ dài các đoạn thẳng A A , A A , A A ,... tạo thành cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu 1 2 2 3 3 4
bằng a 3 và công bội bằng 3 . 2 2
Từ đó, độ dài đường gấp khúc A A A A ... là 1 2 3 4 a 3 a a (2+ 3 3 1 3 ) l = . = = = a 3+ 2 3 . 2 ( ) 2 − 2 3 2 3 2 − − ( 3 1 ) 2
Câu 9: Một mẫu chất phóng xạ 210Po có khối lượng ban đầu m = 42(mg) , nhưng cứ sau một khoảng 84 0
thời gian T =138 ngày thì khối lượng chất đó giảm đi một nửa ( T được gọi là chu kì bán rã).
Gọi u là khối lượng còn lại của mẫu chất phóng xạ sau n chu kì bán rã. n
a) Tìm số hạng tổng quát của dãy số (u . n )
b) Tính giới hạn của dãy số (u và cho biết ý nghĩa của giới hạn đó. n ) Lời giải
a) Vì cứ sau 1 chu kì bán rã thì khối lượng mẫu chất phóng xạ giảm một nửa nên (u là cấp số n )
nhân với u = 21 và công bội 1 q = . 1 2
Khi đó, số hạng tổng quát của dãy số (u là: 42 u = . n ) n 2n n b) Ta có: 42 1 limu = = ⋅ = ⋅ = . n lim lim 42 lim 42 0 0 2n 2
Từ giới hạn đó, ta rút ra được ý nghĩa: Khi n càng dần tới vô cực thì khối lượng còn lại của
mẫu chất phóng xạ càng dần về 0, nghĩa là sau một khoảng thời gian đủ dài thì khối lượng còn
lại của mẫu chất phóng xạ là rất nhỏ (đến mức không đáng kể).
Câu 10: Từ độ cao 100 m , người ta thả một quả bóng cao su xuống đất. Giả sử cứ sau mỗi lần chạm đất,
quả bóng nảy lên một độ cao bằng 1 độ cao mà quả bóng đạt được trước đó. Gọi h là độ cao 4 n
quả bóng đạt được ở lần nảy thứ n .
a) Tìm số hạng tổng quát của dãy số (h . n )
b) Tính giới hạn của dãy số (h và nêu ý nghĩa giới hạn của dãy số (h . n ) n )
c) Gọi S là tổng độ dài quãng đường đi được của quả bóng từ lúc bắt đầu thả quả bóng đến khi n
quả bóng chạm đất lần thứ n . Tính S , nếu quá trình này cứ tiếp tục diễn ra mãi thì tổng quãng n
đường quả bóng di chuyển được là bao nhiêu? Lời giải a) Theo đề bài ta có, 1
h = h nên (h ) là một cấp số nhân với 1
h = ⋅100 = 25 và công bội n n 1 4 − n 1 4 1 q = . 4 n 1 −
Suy ra số hạng tổng quát của dãy số ( ) n 1 − 1 100
h : h = u q = ⋅ = . n 25 n 1 4 4n n b) Ta có: 100 1 1 limh h lim lim 100 lim100 lim = = ⋅ = ⋅ =100.0 = 0 . n 4n 4n 4
Từ giới hạn đó, ta rút ra được ý nghĩa: Khi n càng dần tới vô cực thì độ cao của quả bóng đạt
được sau khi nảy ngày càng nhỏ và độ cao đó dần tới 0. c) Ta có: 100 100 100 100 S = + + + +…+ . n 100 2 2 3 4 4 4 4n
Nếu quá trình bóng nảy cứ tiếp tục diễn ra mãi, tổng quãng đường quả bóng di chuyển được là: 100 100 100 100 lim S = + + + +…+ +… . n 100 2 2 3 4 4 4 4n Vì 100 100 100 100 ; ; ; ; …
;… lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn với 100 u = và công bội 2 3 4 4 4 4n 1 4 100 1 q = <1 nên ta có 4 500 lim S = + ⋅ = . n 100 2 4 1 3 1− 4
Vậy tổng quãng đường quả bóng di chuyển được là 500 m . 3
Câu 11: Cho tam giác A B C có diện tích là 3 (đơn vị diện tích). Dựng tam giác A B C bằng cách nối 1 1 1 2 2 2
các trung điểm của các cạnh B C ,C A , A B . Tiếp tục quá trình này, ta có các tam giác 1 1 1 1 1 1
A B C ,…, A B C … Kí hiệu S là diện tích của tam giác A B C . n n n , 3 3 3 n n n n a) Tính S . n
b) Tính tổng S + S ++ S + 1 2 n Lời giải
Theo cách xác định tam giác A B C , ta có 1
s = s . Tương tự, 1 s = s ,…, 1 s = s . Vậy 2 2 2 2 1 4 3 2 4 n n 1 4 − n 1 − n 1 1 1 − s s = = . n 3 1 4 4 Từ đó 3
s + s ++ s + = = . n 4 1 2 1 1− 4
Câu 12: Từ độ cao 55,8 m của tháp nghiêng Pisa nước Ý, người ta thả một quả bóng cao su chạm xuống
đất (Hình 18). Giả sử mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên độ cao bằng 1 độ cao mà quả bóng 10
đạt được trước đó. Gọi S là tổng độ dài quãng đường di chuyển của quả bóng tính từ lúc thả n
ban đầu cho đến khi quả bóng đó chạm đất n lần. Tính limS n Lời giải
Gọi u là dãy số thể hiện quãng đường di chuyển của quả bóng sau mỗi lần chạm đất. n 2 n 1 − Ta có: 1 1 1 u 55,8,u u ;u u ; ;u = = ⋅ = ⋅ … = ⋅ u . 1 2 1 3 1 n 1 10 10 10
Khi đó dãy (u lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu u = 55,8 và công bội n ) 1 1 q = thỏa mãn q <1. 10 Suy ra 55,8
S = u + u +…+ u +… = = . n n 62 m 1 2 ( ) 1 1− 10
Vậy tổng độ dài quãng đường di chuyển của quả bóng tính từ lúc thả ban đầu cho đến khi quả
bóng đó chạm đất n lần là 62 m .
Câu 13: Cho một tam giác đều ABC cạnh a . Tam giác A B C
1 1 1 có các đỉnh là trung điểm các cạnh của
tam giác ABC , tam giác A B C A B C ,…
2 2 2 có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác 1 1 1 , tam giác A
có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác A B C … Gọi n n n , + B + C
n 1 n 1 n 1 +
p , p ,…, p … và S , S ,…, S … theo thứ tự là chu vi và diện tích của các tam giác n , n , 1 2 1 2
A B C , A B C ,…, A B C …. n n n , 1 1 1 2 2 2
a) Tìm giới hạn của các dãy số ( p và (S . n ) n )
b) Tìm các tổng p + p +…+ p +…
S + S +…+ S +… 1 2 và n 1 2 n Lời giải a)
+)( p là dãy số chu vi của các tam giác theo thứ tự ABC, A B C ,… n ) 1 1 1 Ta có: p = p = + + = ; ∆ a a a a ABC 3 1 a a a 1 1 p = p
= + + = ⋅ a = ⋅ p A B C 3 2 Δ ( ) 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 a a a 1 1 p p a = = + + = ⋅ = ⋅ p … ; A B C 3 ; 3 Δ ( ) 2 2 2 1 4 4 4 2 2 n 1 1 − p = ⋅ p … A B C ; Δ n n n 1 2 Suy ra: n 1 − n 1 1 − p a = ⋅ = ⋅ a = a = . n ( ) 1 lim lim 3 lim li ( m 3 ) 0.3 0 n ∞ → n ∞ → 2 n ∞ → 2 n ∞ →
(S là dãy số chu vi của các tam giác theo thứ tự ABC, A B C ,… n ) 1 1 1
Gọi h là chiều cao của tam giác ABC và a 3 h = . 2 Ta có: 1 S = S = ∆ ; ah 1 ABC 2 ; 1 a h 1 1 1 S = S = ⋅ ⋅ = ⋅ ah = ⋅ S 2 Δ 1 A 1 B 1 C 1 2 2 2 4 2 4 n 1 − S = S = 1 = ⋅ …; 3 Δ S S A B C ; 2 A 2 B C2 Δ n n n 1 2 n 1 1 − S = ⋅ S … A B C ; Δ n n n 1 2 Suy ra n 1 − n 1 1 1 − 1 1 limS = ⋅ S = ⋅ ah = ⋅ ah = n lim lim lim 0 0. 1 n ∞ → n ∞ → 4 n ∞ → 4 n ∞ → 2 2 b)
+) Ta có ( p ) là một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu p = 3a và công bội 1 q = thỏa n 1 2
mãn q <1 có tổng: 3a
P = p + p +…+ p +… = = a n n 6 1 2 1 1− 2
+) Ta cũng có (S là một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu 1 S = ah và công bội 1 q = n ) 1 2 4
thỏa mãn q <1 có tổng: 1 ah 2 2
S = S + S +…+ S +… = = ah n 1 2 n 1 3 1− 4
Câu 14: Cho tam giác đều có cạnh bằng a , gọi là tam giác H H
1 . Nối các trung điểm của 1 để tạo thành tam giác H H H
2 . Tiếp theo, nối các trung điểm của
2 để tạo thành tam giác 3 (Hình 1). Cứ tiếp
tục như vậy, nhận được dãy tam giác H ,H ,H ,… 1 2 3
. Tính tổng chu vi và tổng diện tích các tam giác của dãy. Lời giải 1 1
Cạnh của các tam giác H , H , H ,… ; a a, a;… 1 2 3 lần lượt là: 2 2 2
Tổng chu vi của các tam giác là: 1 1 1 1 1
C = 3⋅a + 3⋅ a + 3⋅
a +… = 3a ⋅ 1+ + +… = 3a ⋅ = 6a 2 2 2 2 2 2 1 1− 2
Diện tích tam giác H 3 1 là 2 a . 4 1 1
Diện tích tam giác H H H 2 bằng diện tích tam giác ; Diện tích tam giác bằng diện tích 4 1 3 4 tam giác H ;… 3
Tổng diện tích các tam giác là: 3 2 1 1 3 2 1 3 2 S = a ⋅ 1+ + +… = a ⋅ = a 2 4 4 4 4 1 3 1− 4
Câu 15: Từ một tam giác đều có diện tích bằng 1, ta thực hiện lần lượt các bước như sau:
Bước 1: Nối trung điểm các cạnh của tam giác đã cho, chia tam giác này thành 4 tam giác nhỏ
và bỏ đi tam giác ở giữa (bỏ đi 1 tam giác có diện tích 1 ). 4
Bước 2: Làm tương tự như Bước 1 với mỗi tam giác trong 3 tam giác còn lại (bỏ đi 3 tam giác,
mỗi tam giác có diện tích 1 ). 2 4
Cứ tiếp tục quá trình như vậy (ở bước thứ n , bỏ đi 1
3n− tam giác, mỗi tam giác diện tích 1 ). 4n
Tính tổng diện tích các tam giác đã bỏ đi. Lời giải 2 3 n 1 1 1 + 2 1 n 1 S 3 3 3 = + ⋅ + ⋅ +…+ ⋅ +… 4 4 4 4 2 1 1 3 1 3 1 3 n = + ⋅ + ⋅ +…+ ⋅ + . … 4 4 4 4 4 4 4
Đây là tổng cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu 1 u = , công bội 3 q = , nên 1 4 4 1 1 S = ⋅ =1 4 3 1− 4
Câu 16: Biết rằng, từ vị trí A , một mũi tên bay với tốc độ 10 m / s hướng thẳng tới bia mục tiêu đặt ở vị
trí B cách vị trí A một khoảng bằng 10 m (Hình 2). Một nhà thông thái lập luận như sau: "Để
đến được B , trước hết mũi tên phải đến trung điểm A của AB. Tiếp theo, nó phải đến trung 1
điểm A của A B . Tiếp nữa, nó phải đến trung điểm A của A B . Cứ tiếp tục như vậy, vì không 2 1 3 2
bao giờ hết các trung điểm nên mũi tên không thể bay đến được bia mục tiêu ở B ".
Lập luận trên có đúng không? Nếu không, hãy chỉ ra chỗ sai lầm. Lời giải
Thời gian để mũi tên bay từ 1 1
A đến A là 1 giây, từ A đến A là =
giây, từ A đến A 1 2 1 2 2 4 2 2 3 là 1 1 = ,…. 3 8 2
Tổng thời gian bay của mũi tên là 1 1 1 1 + + +…+ . +… * 2 3 ( ) 2 2 2 2n
Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu là 1 và công bội bằng 1 . 2 2
Do đó, tổng này bằng 1 1 ⋅ =1 (giây). 2 1 1− 2
Như vậy, mũi tên đến bia mục tiêu sau 1 giây.
Lập luận của nhà thông thái không đúng, sai lầm ở chỗ cho rằng tổng ở (*) không phải là một số hữu hạn.
Câu 17: Cho hình vuông H có cạnh bằng 1
a . Chia mỗi cạnh của hình vuông này thành bốn phần bằng
nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông H . Lặp lại cách làm như trên 2
với hinh vuông H để được hình vuông H .Tiếp tục quá trình trên ta nhận được dãy hình vuông 2 3
H , H , H ,…, H … Gọi s là diện tích của hình vuông H . n , 1 2 3 n n a) Tính s . n
b) Tính tổng T = s + s ++ s + 1 2 n