Chuyên đề trắc nghiệm công thức lũy thừa

CHỦ ĐỀ 1: CÔNG THỨC LŨY THỪA
I. KHÁI NIỆM LŨY THỪA
1. Lũy thừa với số mũ nguyên
Lũy thừa với số mũ nguyên dương. Cho a ∈ và *
n∈ . Khi đó n a = . a . a ....
a a (n thừa số a).
Lũy thừa với số mũ nguyên âm, lũy thừa với số mũ 0 Cho a ∈ −n 1  \{ } 0 và * n∈ . Ta có: 0 a = ;a =1. n a
Lũy thừa với số mũ nguyên có các tính chất tương tự tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên dương. Chú ý: 0 0 và − ( *
0 n n∈ ) không có nghĩa. 2. Căn bậc n
Cho số thực b và số nguyên dương n ≥ 2 .
Số a được gọi là căn bậc n của số b nếu n a = b .
Khi n lẻ, b∈ : Tồn tại duy nhất một căn bậc n của số b là n b .
Khi n chẵn và b < 0 thì không tồn tại căn bậc n của số b.
Khi n chẵn và b = 0 thì có duy nhất một căn bậc n của số b là n 0 = 0.
Khi n chẵn và b > 0 có 2 căn bậc n của số thực b là n b và n − b .
3. Lũy thừa với số mũ hữu tỷ m
Cho số thực a > 0 và số hữu tỷ m
r = , trong đó m∈ ;
 n∈, n ≥ 2 . Khi đó r n n m
a = a = a . n
4. Lũy thừa với số mũ vô tỷ
Giả sử a là một số dương và α là một số vô tỷ và (r là một dãy số hữu tỷ sao cho lim r = α . Khi đó n ) n n→+∞ lim nr a = aα . n→+∞
II. TÍNH CHẤT CỦA LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ THỰC
Cho hai số dương a; b và ;
m n∈ . Khi đó ta có các công thức sau. Nhóm công thức 1 Nhóm công thức 2 1. m. n m n a a a + = m 1. n
a = a = ( a )m n m n m 2. a m−n  1 a  m 0 −n a  = = ⇔ = n n a a  n n n  
2. . = ( ) , n .n n a b ab
a b = ab 3. ( )n m m.n a = a n n n 3. a  a  =   , a a = n n n b  b  b b  Tính chất 1: 0
a =1(a ≠ 0) và 1 a = a . a >1; m n
a > a ⇔ m > n
 Tính chất 2 (tính đồng biến, nghịch biến):  .
0 < a < 1: m n
a > a ⇔ m < n m m
a > b ⇔ m > 0
 Tính chất 3 (so sánh lũy thừa khác cơ số): Với a > b > 0 thì  . m
a < b ⇔ m < 0
Ví dụ 1: Cho biểu thức 3 2 3 P =
.x x . x , với x > 0 . Mệnh đề nào sau đây là đúng? 13 13 13 13 A. 12 P = x . B. 24 P = x . C. 6 P = x . D. 8 P = x . Lời giải 3 7 7 13 13 Ta có: 3 3 3 2 3 2 2 2 6 6 12 P = .x x . x = .x x .x = .x x =
.xx = x = x . Chọn A.
Ví dụ 2: Biết rằng 3 2 . . n x x
x = x với x > 0 . Tìm n. A. n = 2 . B. 2 n = . C. 4 n = . D. n = 3. 3 3 Lời giải 1 1 1 5 1 5 1 5 4 Ta có: 3 3 3 2 + 2 2 2 2 2 2 6 2 6 3
x. x . x = x . x .x = x . x = x .x = x = x . Chọn C. 23
Ví dụ 3: Cho biểu thức 3 2 3 = . .k P x x
x , với x > 0 . Biết rằng 24
P = x , giá trị của k bằng: A. k = 6 . B. k = 2 . C. k = 3. D. k = 4 . Lời giải 23 23 11 Ta có: 3 2 k 3 3 24 2 k 3 3 12 2 k 3 12 P =
.x x . x = x ⇒ .x x . x = x ⇔ x . x = x 11 11 3 3 −2 2 k 3 4 k 3 4 k 4
x . x = x ⇔ x = x
⇔ x = x ⇔ k = 4 . Chọn D. + a + .(a − )1 3 2 3 1 3
Ví dụ 4: Cho biểu thức P =
, với a > 0 . Mệnh đề nào sau đây là đúng? 1+ 3 a A. 3 P = a . B. 1 P = .
C. P = a . D. 1 P = . a 3 a Lời giải + a + .(a − )1 3 2 3 1 3 (1− 3)(1+ + 3 2 3 ) 2+ 3 2 − 3 Ta có: a .a a .a a 1 P = = = = = . Chọn B. 1+ 3 1+ 3 1+ 3 1+ 3 a a a a a m
Ví dụ 5: Cho biểu thức a b a  a  3 4 P = . = với ;
a b > 0 . Tìm m. b a b  b    A. 7 m = . B. 7 m = . C. 7 m = − . D. 7 m = − . 24 12 12 24 Lời giải 1 1 1 − 7 7 Đặt a b 1 x x− = ⇒ = . Khi đó 3 4 3 4 − 3 3 3 4 1 − 1 − 2 2 8 8 24 P = x x
x = x x .x = x x =
.xx = x = x . b a 7 Do đó 24 a b a  a  7 3 4 P = . = ⇒   m = . Chọn A. b a b  b  24 7 1 6 3
Ví dụ 6: Cho biểu thức với a .b Q = ;
a b > 0 . Mệnh đề nào sau đây là đúng? 6 2 ab
A. Q = a . B. a Q = .
C. Q = ab .
D. Q = a b . b Lời giải 7 1 7 1 7 1 6 3 6 3 6 3 Ta có: a .b a .b a .b Q = = = = a . Chọn A. ab (ab )1 1 2 6 2 2 6 6 6 a .b
Ví dụ 7: Cho x là số thực dương, viết biểu thức 3 2 6 Q =
.x x . x dưới dạng lũy thừa với số hữu tỉ 5 2 A. 36 Q = x . B. 3 Q = x .
C. Q = x . D. 2 Q = x . Lời giải 2 1 5 1 Ta có: 3 2 6 3 6 6 6 Q = .x x . x =
.xx .x = x .x = x . Chọn C.
Ví dụ 8: Cho biểu thức 3 4 2 3 P =
.x x . x với x > 0 . Mệnh đề nào dưới đây là đúng? 5 2 5 3 A. 6 P = x . B. 3 P = x . C. 8 P = x . D. 4 P = x . Lời giải 1 1 3 7 15 5 4 3     Ta có: 3 4 3 4 2 3 2 2 3 2 8 8 P = .x x . x = .x x .x =
.x x  =  x  = x . Chọn C.    
a .(a− .b )2 2 2 3 1 .b−
Ví dụ 9: Rút gọn biểu thức T = (
với a, b là hai số thực dương. a− .b)3 1 5 − 2 .a .b− A. 4 6
T = a .b . B. 6 6
T = a .b . C. 4 4
T = a .b . D. 6 4
T = a .b . Lời giải
a .(a− .b )2 2 2 3 1 − 2 4 − 6 1 − 2 − 5 .b Ta có:
a .a .b .b a .b 6 4 T = ( = =
= a b . Chọn D. a .b) . 3 3 − 3 5 − 2 − 8 1 5 2 .a .b
a .b .a .b a− − − − .b 2 a
Ví dụ 10: Biết rằng x 9
= x với x >1và a + b = 3 . Tính giá trị của biểu thức P = a − b . 2 b x A. P =1. B. P = 3. C. P = 2 . D. P = 4 . Lời giải 2 a Ta có: x 2 2 9 a −b 9 x 1 > 2 2 9 9 = x ⇔ x
= x →a − b = 9 ⇔ a + b a − b = 9 ⇔ a − b = = = 3 . Chọn B. 2 ( )( ) b x a + b 3 3
Ví dụ 11: Cho x, y > 0 . Biết rằng x 1 4 . m x = x và 2. .3 n y y
= y . Tính m − n . 3 x 2 y A. 0. B. 2. C. 1. D. −2. Lời giải 1 3 8 − 2 − 1 1 3 Ta có: x x 4 4 1 4 3 3 3 6 .x = .x = .x x =
.xx = x = x ⇒ m = . 3 3 x x 6 2 − 1 1 13 Lại có: 2 1 2 − 13 3 2 2 3 2 3 2 6 6 y . . y 3 = y . . y y = y . .
y y = y . y = y .y = y ⇒ n = . 2 y 6
Do đó: m − n = 2 − . Chọn D.
Ví dụ 12: Giá trị của biểu thức P = ( + )2018 ( − )2019 5 2 6 . 5 2 6 bằng:
A. P = 5 + 2 6 .
B. P = 5 − 2 6 .
C. P =10 − 4 6 .
D. P =10 + 4 6 . Lời giải
Ta có: (5+ 2 6)(5− 2 6) = 25− 24 =1. 2018 2019 2018
Do đó: P = (5+ 2 6) .(5− 2 6) = (5+ 2 6)(5−2 6) . 
(5−2 6)=5−2 6 . Chọn B.
Ví dụ 13: Giá trị của biểu thức M = ( + )2019 ( − )2018 3 2 2 . 3 2 4 bằng: A. 1009 2 . B. ( − ) 1009 3 2 2 .2 . C. ( + ) 1009 3 2 2 .2 . D. (3+ 2 2). Lời giải Ta có: − =
( − )⇒ M =( + )2019 ( )2018 ( − )2018 3 2 4 2 3 2 2 3 2 2 . 2 . 3 2 2 . Lại có: ( 2018 2018 + )( − )= −( )2 2 3 2 2 3 2 2 3
2 2 = 9 −8 =1 nên (3+ 2 2) .(3− 2 2) =1. Do đó: M = ( − ) 1009 3 2 2 .2 . Chọn C.
Ví dụ 14: Cho 2x = 5. Giá trị của biểu thức x 1 2 4 2 x T + − = + bằng: A. 504 . B. 104 . C. 104 . D. 504 . 5 5 25 25 Lời giải 2 Ta có: x x x 2 T + − = + = + = ( x + = + = . Chọn A. x )2 1 2 4 2 4 504 4 2 4 .4 2 .4 4.5 2 2x 5 5 x − x
Ví dụ 15: Cho 4x + −
+ 4−x = 34 . Tính giá trị của biểu thức 2 2 3 T = . x 1 + 1 1− 2 − 2 −x A. 3 T = . B. 3 T = . C. 3 T − = . D. 3 T = . 4 11 11 13 Lời giải Ta có: x − x x − x + = ⇔ + + = ⇔ ( x − x + )2 2 2 4 4 34 2 2 2 36 2 2
= 36 ⇔ 2x + 2−x = 6 (Do 2x + 2−x > 0 ). Khi đó: 6 − 3 3 3 T − = = = . Chọn C.
1− 2(2x + 2−x ) 1− 2.6 11 x
Ví dụ 16: Cho hàm số f (x) 9 =
, với a,b∈ và a + b =1. Tính T = f (a) + f (b). 9x + 3 A. T = 0 . B. T =1. C. T = 1 − . D. T = 2. Lời giải 9 a 1−a a
Ta có: T = f (a) + f (b) = f (a) + f ( − a) 9 9 9 9a 1 = + = + a 1
9 + 3 9 −a + 3 9a + 3 9 +3 9a 9a 9 9a 3 + = + = 1. Chọn B.
9a + 3 9 + 3.9a 9a + 3 9a + 3 x
Tổng quát: Cho hàm số ( ) a f x =
ta có f (x) + f (1− x) =1. x a + a x
Ví dụ 17: Cho hàm số f (x) 4 = . 4x + 2 Tính tổng  1   2   2004   2005 S f  f   ... f   f  = + + + +  . 2005 2005 2005  2005         A. S =1002 . B. 3008 S = . C. S =1003. D. 2005 S = . 3 2 Lời giải x
Sử dụng tính chất tổng quát: Với hàm số ( ) a f x =
ta có f (x) + f (1− x) =1. x a + a Khi đó   1   2004    2   2003    1002   1003 S =  f + f +   f + f +  ...+  f + f  +             f ( ) 1   2005 
 2005    2005   2005    2005   2005  = + + + + f ( ) 4 3008 1 1 ... 1 1 =1002 + = . Chọn B. 6 3  + + − + − − 
Ví dụ 18: Rút gọn biểu thức 1 x 1 x 1 x 1 x 1 Q = . +
 với x > 1 ta được x  x 1 x 1 x 1 x 1  + − − + + −   A. Q =1.
B. Q = 2x . C. Q = 2. D. Q = 2 − . Lời giải
Ta có: ( x + + x − )2 +( x + − x − )2 2 2 1 1 1
1 = 2x + 2 x −1 + 2x − 2 x −1 = 4x .
Và ( x +1− x −1).( 1x +1+ x −1) = x +1− x +1= 2.
1 ( x + + x − )2 + ( x + − x − )2 1 1 1 1 Suy ra 1 4 = . x Q = = .Chọn C.
x ( x +1− x −1).( 1x +1+ x −1) . 2 x 2 4
Ví dụ 19: Đơn giản biểu thức a − b a + ab T = − ta được 4 4 4 4 a − b a + b A. 4 T = a . B. 4 T = b . C. 4 4
T = a + b . D. 4 T = − b Lời giải ( a)2 −( b)2 4 4 4 a ( 4 4 a + b ) Ta có: 4 4 4 4 T = −
= a + b − a = b . Chọn B. 4 4 4 4 a − b a + b 2 a +4ab 2 − Ví dụ 20: Cho 3a 10ab
a, b là hai số thực khác 0. Biết rằng  1  =   (3 625) . Tính tỉ số a . 125  b A. 76 . B. 2. C. 4 . D. 76 . 21 21 3 Lời giải 2 2 3a 10 4 − + ab a ab 2 2 4 3a 10 − ab 4     Ta có: 1 =   (3 625) ⇔ ( 3 5 )a +4ab 3 = 5  ⇔ (5)− ( 2
3 a +4ab) = (5) ( 2 3a 10 − − ab) 3 125    ⇔ − ( 2 a + ab) 4 3 4 = ( 2
3a −10ab) ⇔ 4( 2
3a −10ab) + 9( 2 a + 4ab) = 0 3 2 a,b≠0 a 4
⇔ 21a = 4ab →21a = 4b ⇒ = . Chọn C. b 21 6 + 3 + − (3x 3−x x x )
Ví dụ 21: Cho 9 + 9 =14, a
= ( a là phân số tối giản). Tính P = ab . x 1 + 1 2 − 3 − 3 −x b b A. P =10. B. P = 10 − . C. P = 45 − . D. P = 45 . Lời giải Ta có: x − x + = ( x − x + )2 9 9 3 3
− 2 =14 ⇒ 3x + 3−x = 4.
6 + 3(3x + 3−x ) 6 + 3(3x + 3−x ) Suy ra 6 + 3.4 9 = =
= − ⇒ P = ab = 45 − . Chọn C. x 1 + 1 2 − 3 − 3 −x
2 − 3(3x + 3−x ) 2 −3.4 5
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1: Cho 0 < a ≠ 1 và biểu thức 3
a a được viết dưới dạng n a . Tìm n. A. 11 n = . B. 5 n = . C. 2 n = . D. 1 n = . 6 3 3 6 Câu 2: Cho biết 2 3 4
Q = a . a với a > 0,
a ≠ 1. Khẳng định nào đúng? 5 7 7 11 A. 3 Q = a . B. 3 Q = a . C. 4 Q = a . D. 6 Q = a . (a )4 3
Câu 3: Cho 0 < a ≠ 1. Rút gọn P = . 3 2 2 a .a 17 23 7 A. 9 P = a . B. 2 P = a . C. 2 P = a . D. 2 P = a . 1 6 3 4 4 5
Câu 4: Rút gọn biểu thức với x . x . x P = với x > 0 . 3 x 5 112 13 211 A. 4 P = x . B. 60 P = x . C. 18 P = x . D. 60 P = x . 9
Câu 5: Với x > 0 , hãy rút gọn biểu thức 16
P = x x x x x : x . 5 13 9 1 A. 32 P = x . B. 32 P = x . C. 48 P = x . D. 32 P = x . 2 a Câu 6: Biết x 16
= x với x >1 và a + b = 2 . Tính giá trị của biểu thức M = a − b 2 b x A. M =18. B. M =14 . C. M = 8 D. M = 6 . 2
Câu 7: Cho a,b > 0 , viết 3
a . a về dạng x
a và 3 b b b về dạng y
b . Tính T = 6x +12y . A. T =17 . B. 7 T = . C. T =14 . D. 7 T = . 12 6
Câu 8: Giá trị của biểu thức P = ( + )2016 ( − )2016 1 3 3 3 bằng: A. 1008 12 . B. 1008 4 . C. ( + )1008 1 3 . D. ( − )1008 3 3 . 2
Câu 9: Cho a là một số dương, biểu thức 3
a a viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ là 5 7 4 6 A. 6 a . B. 6 a . C. 3 a . D. 7 a .
Câu 10: Viết biểu thức 3 6 5
Q = x. x. x với x > 0 dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ? 2 5 5 7 A. 3 Q = x . B. 3 Q = x . C. 2 Q = x . D. 3 Q = x .
Câu 11: Cho số thực a dương. Rút gọn biểu thức 5 4 3 P = a a a a . 1 1 11 13 A. 14 P = a . B. 120 P = a . C. 40 P = a . D. 60 P = a . 11
Câu 12: Viết biểu thức 6
A = a a a : a với a > 0 dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ? 21 1 23 23 A. 44 A = a . B. 12 A a− = . C. 24 A = a . D. 24 A a− = . m
Câu 13: Biết b a  a  5 3 =
với a, b là các số thực dương. Tìm m. a b  b    A. 2 m = . B. 4 m = . C. 2 m = . D. 2 m = − . 15 15 5 15 5 2 2 3 4
Câu 14: Viết biểu thức a a a P = , (
a > 0) dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ. 6 5 a
A. P = a . B. 5 P = a . C. 4 P = a . D. 2 P = a . 7 2 − 6 3
Câu 15: Cho a, b là hai số thực dương. Thu gọn biểu thức a .b T = . 6 2 ab A. a T = .
B. T = ab. C. b T = . D. a T = . 2 b a b 7 1 + 2− 7 Câu 16: Với a a . > 0 thì biểu thức a P = ( được rút gọn là: + a − ) 2 2 2 2 A. 5 P = a . B. 4 P = a . C. 3 P = a .
D. P = a . 4 4
Câu 17: Cho x > 0, y > 0 . Viết biểu thức 5 6 5 . m x
x x = x và 5 6 5 : n y
y y = y . Tính m − n . A. 11. B. 8 − . C. 11 − . D. 8 . 6 5 6 5
Câu 18: Cho 5x = 2. Tính x 2 25 5 x A − = + . A. 13 A = . B. 75 A = . C. 33 A = . D. A = 29 . 2 2 2 6 + 3 + − (3x 3−x x x )
Câu 19: Cho Cho 9 + 9 =14, a
= ( a là phân số tối giản). Tính P = ab . x 1 + 1 2 − 3 − 3 −x b b A. P =10. B. P = 10 − . C. P = 45 − . D. P = 45 .
Câu 20: Cho a, b là các số thực thỏa 3.2a 2b +
= 7 2 và 5.2a 2b −
= 9 2 . Tính S = a + b . A. S = 3. B. S = 2 . C. S = 4 . D. S =1. x
Câu 21: Cho hàm số f (x) 2 = . Tổng f ( )  1  18  19 0
f   ... f   f  + + + + bằng 2x + 2 10 10 10       A. 59 . B. 10. C. 19 . D. 28 . 6 2 3
Câu 22: Giá trị của biểu thức P = ( − )2018 ( + )2018 3 3 3 8 13 3 8 A. ( − )1009 3 3 8 . B. 2018 19 . C. ( − )1009 3 13 3 8 . D. ( + )2018 3 16 2 8 .
Câu 23: Viết biểu thức 5 3 2 5 3
P = x . x . x (x > 0) dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ 61 117 113 83 A. 30 P = x . B. 30 P = x . C. 30 P = x . D. 30 P = x .
LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN 1 1 1 4 2 2 2     Câu 1: 3 3 3 3 a a =  .
a a  = a  = a . Chọn C.     1 1 4 10 5 2 2     Câu 2: 2 3 3 3
Q = a .a  = a  = a . Chọn A.     12 7 17 Câu 3: a 12− 2 2 P = = a = a . Chọn B. 7 2 a 1 4 5 11 5 6 3 4 4 Câu 4: x .x .x x 4 P = = = x . Chọn A. 3 3 2 2 x x 3 3 7 Câu 5: 2 4 4 x x x x = x x . x x = x x x 7 15 15 31 31 31 8 8 16 16 32 32 = x . x x = x x =
.xx = x = x ⇒ P = x . Chọn B. Câu 6: 2 2 16 a −b 2(a−b) x = x = x
⇒ a − b = 8. Chọn C. 1 1 1 2 1 7  3 3  3 7 7 3 3     Câu 7: x 7 y 7 3 2 6 2 4 4 12
a = a .a = a ⇒ x = ;b = b b  =  .bb  = b  = b ⇒ b = . Chọn C. 6         12 2016 Câu 8: 2016
P = ( + )( − ) =  ( ) 1008 1 3 3 3 2 3 = 12 . Chọn A. 2 2 1 7 Câu 9: 3 3 2 6
a a = a .a = a . Chọn B. 1 1 5 5 Câu 10: 2 3 6 3
Q = x .x .x = x . Chọn B. 1 1 1 1  3 5  3 11 11 5 5    
Câu 11: P = ( 4a a a )5 4 2 8 8 40 =  a a  =  .
a a  = a  = a . Chọn C.         1 1 1  3 2  11 3 11 7 11 7 11 23 2 2     Câu 12: 2 6 4 6 4 6 8 6 24
A =  a a  : a =  .
a a  : a = a  : a = a : a = a− . Chọn D.         1 1 2 m  3 5  2 15     Câu 13: Ta có 15 a b a b  b  2 3 =    .  =   = ⇒   m = − . Chọn D. 3 2 b  a b       a   a  15 5 4 2 2 3 Câu 14: Ta có a .a .a 5 P = = a . Chọn B. 5 6 a 7 1 2 2    Câu 15: − 6 6 3 6 =  :  : a T a a b
b  = . Chọn D.    b 3 Câu 16: a 5 P = = a . Chọn A. 2 a− 24 1 103 24 1 7   Câu 17: ( m x )6 103 n − 7 5 2 10
= x .x .x = x ⇒ m = ;( y )6 5 5 5 2 10
= y : y .y  = y ⇒ n = − . Chọn A. 60   60
Câu 18: A = ( x )2 25 33 5 + = . Chọn C. 5x 2
Câu 19: ( x −x + )2 x − x a 6 + 3.4 9 3 3
= 14 + 2 =16 ⇒ 3 + 3 = 4 ⇒ = = − . Chọn C. b 2 − 3.4 5  3 2a = 2 2 a =   Câu 20: Ta có:  2  ⇔  . Chọn B. 2b = 2 1 b  =  2 a b a+b a b
Câu 21: Với a + b = f (a) + f (b) 2 2 2.2 + 2.2 + 2.2 2 = + = = 1.
2a + 2 2b + 2 2a+b + 2.2a + 2.2b + 4 Lưu ý: 1 19 + =
⇒ P = f ( ) + f ( ) 59 2... 0 1 + 9.1 = . Chọn A. 10 10 6
Câu 22: P = ( − )2018 ( + )2018 2018 3 2 13 6 = 19 . Chọn B. 5 2 3 113 Câu 23: 2 3 5 30
P = x .x .x = x . Chọn C.
Document Outline