CH ĐỀ 1: CÔNG THC LŨY THA
I. KHÁI NIM LŨY THA
1. Lũy thừa vi s mũ nguyên
y tha vi s mũ nguyên dương.
Cho
a
*
n
. Khi đó
. . ....
n
a aaa a=
(n tha s a).
y tha vi s mũ nguyên âm, lũy tha vi s mũ 0
Cho
{
}
\0a
*
n
. Ta có:
0
1
;1
n
n
aa
a
= =
.
y tha vi s mũ nguyên có các tính chất tương tự tính chất của lũy thừa vi s mũ nguyên dương.
Chú ý:
0
0
( )
*
0
n
n
không có nghĩa.
2. Căn bậc n
Cho số thc b và s nguyên dương
.
S a được gọi là căn bậc n của s b nếu
n
ab=
.
Khi n lẻ,
b
: Tồn tại duy nhất một căn bậc n của s b
n
b
.
Khi n chẵn và
0
b <
thì không tồn tại căn bậc n của s b.
Khi n chẵn và
0b =
thì có duy nhất một căn bậc n của s b
00
n
=
.
Khi n chẵn và
0b >
có 2 căn bậc n của s thc b
n
b
n
b
.
3. Lũy thừa vi s mũ hữu tỷ
Cho số thc
0a >
và s hữu tỷ
m
r
n
=
, trong đó
; , 2
mnn∈∈

. Khi đó
m
n
rm
n
aa a
= =
.
4. Lũy thừa vi s mũ vô tỷ
Gi s a là mt s ơng
α
là mt s tỷ và
( )
n
r
là mt dãy s hữu t sao cho
lim
n
n
r
α
+∞
=
. Khi đó
lim
n
r
n
aa
α
+∞
=
.
II. TÍNH CHT CA LŨY THA VI S MŨ THC
Cho hai số dương a; b
; mn
. Khi đó ta có các công thức sau.
Nhóm công thức 1
Nhóm công thức 2
1.
.
m n mn
aa a
+
=
2.
1
0
m
mn n
nn
a
am a
aa
−−

= =⇔=


3.
( )
.
n
m mn
aa=
1.
( )
m
m
n
m
n
n
aa a= =
2.
(
)
. ,.
n
nn
nn n
a b ab a b ab= =
3.
,
n
n
n
n
n
n
a a aa
bb b
b

= =


Tính cht 1:
( )
0
10aa=
1
aa=
.
Tính cht 2 (tính đồng biến, nghịch biến):
1;
0 1:
mn
mn
a a a mn
a a a mn
> > ⇔>
<< > <
.
Tính cht 3 (so sánh lũy thừa khác cơ s): Vi
0ab>>
thì
0
0
mm
m
ab m
abm
> ⇔>
<⇔ <
.
Ví d 1: Cho biểu thức
3
23
..P xx x=
, với
0x
>
. Mệnh đề nào sau đâyđúng?
A.
13
12
Px=
. B.
13
24
Px=
. C.
13
6
Px=
. D.
13
8
Px=
.
Li gii
Ta có:
7 13
3 7 13
33
3
23 2
66
2 2 12
.. .. . .P xx x xxx xx xx x x= = = = = =
. Chn A.
Ví d 2: Biết rằng
2
3
..
n
xx x x
=
vi
0x >
. Tìm n.
A.
2n =
. B.
2
3
n
=
. C.
4
3
n =
. D.
3
n
=
.
Li gii
Ta có:
5 15 4
1 1 15 1
33
22
3
6263
2 2222
.. .. . .xxxxxx xx xx x x
+
= = = = =
. Chn C.
Ví d 3: Cho biểu thức
3
23
..
k
P xx x=
, vi
0x >
. Biết rằng
23
24
Px=
, giá trị của k bằng:
A.
6k =
. B.
2k =
. C.
3
k =
. D.
4k =
.
Li gii
Ta có:
23 23 11
3 33
23 23 23
24 12 12
.. .. .
k kk
P xxx x xxx x xx x
= = =⇔=
3
11 11 3
2
23 3
444
.4
kk
k
xxx xx xx k
= = = ⇔=
. Chn D.
Ví d 4: Cho biểu thức
(
)
13
23 13
13
.
aa
P
a
+
+−
+
=
, với
. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A.
3
Pa=
. B.
1
P
a
=
. C.
Pa=
. D.
3
1
P
a
=
.
Li gii
Ta có:
( )
( )( )
13
23 13
1 31 3
23 23 2 3
13 13 13 13
.
.a .a 1
aa
a aa
P
a
a a aa
+
+−
−+
+ +−
+ + ++
= = = = =
. Chọn B.
Ví d 5: Cho biểu thức
3
4
.
m
a ba a
P
b ab b

= =


vi
; 0ab>
. Tìm m.
A.
7
24
m =
. B.
7
12
m
=
. C.
7
12
m =
. D.
7
24
m
=
.
Li gii
Đặt
1
ab
xx
ba
=⇒=
. Khi đó
17
11 7
33
33
44
3
11
4
88
2 2 24
..
P xx x xx x xx xx x x
−−
= = = = = =
.
Do đó
7
24
3
4
7
.
24
a ba a
Pm
b ab b

= = ⇒=


. Chn A.
Ví d 6: Cho biểu thức với
71
63
6
2
.ab
Q
ab
=
; 0ab
>
. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A.
Qa=
. B.
a
Q
b
=
. C.
Q ab=
. D.
Q ab=
.
Li gii
Ta có:
( )
71 71 71
63 63 63
1 12
6
2
2
6 66
...
.
ab ab ab
Qa
ab
ab
ab
= = = =
. Chn A.
Ví d 7: Cho x là s thực dương, viết biểu thức
3
2
6
..Q xx x=
dưới dạng lũy thừa vi s hữu tỉ
A.
5
36
Qx=
. B.
2
3
Qx=
. C.
Qx
=
. D.
2
Qx
=
.
Li gii
Ta có:
2 1 51
3
2
6
3 6 66
. . .. .
Q xxx xxxxxx= = = =
. Chn C.
Ví d 8: Cho biểu thức
3
4
23
..P xx x=
vi
0x >
. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A.
5
6
Px
=
. B.
2
3
Px=
. C.
5
8
Px
=
. D.
3
4
Px=
.
Li gii
Ta có:
1
1
15 5
37
3
4
3
4
3
4
23 2
88
22
3
.. .. .P xx x xxx xx x x


= = = = =




. Chn C.
Ví d 9: Rút gọn biểu thức
( )
( )
2
2 23 1
3
1 52
...
...
a ab b
T
ab ab
−−
−−
=
vi a, b là hai số thực dương.
A.
46
.T ab
=
. B.
66
.
T ab=
. C.
44
.T ab=
. D.
64
.T ab
=
.
Li gii
Ta có:
( )
( )
2
2 23 1
2 46 1 25
64
3
33 5 2 8
1 52
...
. .. .
.
.b . . .
...
a ab b
aabb ab
T ab
a ab ab
ab ab
−−
−−
−−
−−
= = = =
. Chọn D.
Ví d 10: Biết rằng
2
2
9
a
b
x
x
x
=
vi
1x
>
3ab+=
. Tính giá trị của biểu thức
P ab=
.
A.
1P =
. B.
3P =
. C.
2P
=
. D.
4P =
.
Li gii
Ta có:
( )( )
2
22
2
1
9 9 22
99
99 3
3
a
x
ab
b
x
x x x a b abab ab
ab
x
>
= = → = + = = = =
+
. Chọn B.
Ví d 11: Cho
,0xy>
. Biết rằng
3
4
3
.
m
x
xx
x
=
2
3
2
1
..
n
yy y
y
=
. Tính
mn
.
A. 0. B. 2. C. 1. D. 2.
Li gii
Ta có:
1
8 2 11
3
3
4
4
3 3 36
4
33
1
. .. .
6
xx
x x x x xx x x m
xx
−−
= = = = = ⇒=
.
Li có:
2 1 1 13
2 2 22 2 2
3
3 3 66
3
2
1 13
.. .. .. . .
6
yy yyy yyy yy yy y n
y
= = = = = ⇒=
.
Do đó:
2mn
−=
. Chn D.
Ví d 12: Giá tr của biểu thức
( ) ( )
2018 2019
5 26 .5 26P =+−
bằng:
A.
5 26P = +
. B.
5 26P =
. C.
10 4 6
P =
. D.
10 4 6
P = +
.
Li gii
Ta có:
( )( )
5 2 6 5 2 6 25 24 1+ =−=
.
Do đó:
( )
( )
( )
( ) ( )
2018
2018 2019
5 26 .5 26 5 26 5 26 .5 26 5 26P

=+ =+ −=

. Chọn B.
Ví d 13: Giá tr của biểu thức
( ) ( )
2019 2018
3 2 2 .3 2 4
M =+−
bằng:
A.
1009
2
. B.
( )
1009
3 2 2 .2
. C.
(
)
1009
3 2 2 .2+
. D.
( )
3 22+
.
Li gii
Ta có:
( )
(
)
(
)
(
)
2019 2018 2018
32 4 23 22 3 22 . 2 .3 22
M
−= = +
.
Li có:
( )
(
)
(
)
2
2
3 22 3 22 3 22 9 8 1
+ = =−=
nên
(
)
( )
2018 2018
3 22 .3 22 1
+ −=
.
Do đó:
( )
1009
3 2 2 .2M
=
. Chn C.
Ví d 14: Cho
25
x
=
. Giá trị của biểu thức
12
42
xx
T
+−
= +
bằng:
A.
504
5
. B.
104
5
. C.
104
25
. D.
504
25
.
Li gii
Ta có:
( )
2
2
12 2
2 4 4 504
4 2 4 .4 2 .4 4.5
2 2 55
x xx x
xx
T
+−
= + = += += +=
. Chn A.
Ví d 15: Cho
4 4 34
xx
+=
. Tính giá trị của biểu thức
11
22 3
12 2
xx
xx
T
+−
+−
=
−−
.
A.
3
4
T =
. B.
3
11
T =
. C.
3
11
T
=
. D.
3
13
T
=
.
Li gii
Ta có:
( )
2
22
4 4 34 2 2 2 36 2 2 36 2 2 6
xx x x xx xx −−
+=++ =+ =+=
(Do
22 0
xx
+>
).
Khi đó:
(
)
63 3 3
1 2.6 11
1 22 2
xx
T
−−
= = =
−+
. Chn C.
Ví d 16: Cho hàm số
(
)
9
93
x
x
fx=
+
, với
,ab
1ab
+=
. Tính
( ) ( )
T fa fb= +
.
A.
0T =
. B.
1T =
. C.
1T =
. D.
2T =
.
Li gii
Ta có:
( )
( ) (
) ( )
1
1
9
99 9
9
1
9
939 393
3
9
a aa
a
a aa
a
T fa fb fa f a
= + = + −= + = +
+ ++
+
9 993
1
9393.9 9393
aa
a aa a
+ =+=
++ + +
. Chọn B.
Tng quát: Cho hàm số
(
)
x
x
a
fx
aa
=
+
ta có
( ) ( )
11fx f x+ −=
.
Ví d 17: Cho hàm số
( )
4
42
x
x
fx=
+
.
Tính tổng
1 2 2004 2005
...
2005 2005 2005 2005
Sf f f f
 
= + ++ +
 
 
.
A.
1002S =
. B.
3008
3
S =
. C.
1003S =
. D.
2005
2
S =
.
Li gii
S dụng tính chất tổng quát: Với hàm số
( )
x
x
a
fx
aa
=
+
ta có
( ) ( )
11fx f x+ −=
.
Khi đó
( )
1 2004 2 2003 1002 1003
... 1
2005 2005 2005 2005 2005 2005
Sff ff ff f

  
=+++++++
  

  

( )
4 3008
1 1 ... 1 1 1002
63
f=++ ++ = + =
. Chọn B.
Ví d 18: Rút gọn biểu thức
1 11 11
.
11 11
xx xx
Q
x
xx xx

++ +−
= +


+− ++

vi
1x >
ta được
A.
1Q =
. B.
2
Qx
=
. C.
2Q
=
. D.
2Q =
.
Li gii
Ta có:
( ) ( )
22
22
1 1 1 12212214x x x x xx xx x++ + +− = + −+ =
.
( ) ( )
1 1. 1 1 1 1 1 2x x x x xx+− ++ = ++=
.
Suy ra
( )
( )
( )
( )
22
11 11
1 14
. .2
2
1 1. 1 1 1
xx xx
x
Q
xx
xx xx
++ + +−
= = =
+− ++
.Chn C.
Ví d 19: Đơn giản biểu thức
4
44 44
a b a ab
T
ab ab
−+
=
−+
ta được
A.
4
Ta=
. B.
4
Tb
=
. C.
44
T ab= +
. D.
4
Tb=
Li gii
Ta có:
( )
( )
(
)
22
4 4 44 4
444 4
44 44
a b aa b
T abab
ab ab
−+
= =+−=
−+
. Chọn B.
Ví d 20: Cho a, b là hai số thực khác 0. Biết rằng
( )
2
2
4
3 10
3
1
625
125
a ab
a ab
+

=


. Tính tỉ s
a
b
.
A.
76
21
. B. 2. C.
4
21
. D.
76
3
.
Li gii
Ta có:
( )
(
)
(
)
(
)
( )
( )
2
2
2
2
22
3 10
4
4
4
3 10
4
3 4 3 10
3
3
3
3
1
625 5 5 5 5
125
a ab
a ab
a ab
a ab
a ab a ab
+
+
−+


= ⇔= =




(
) (
) ( ) ( )
2 2 22
4
3 4 3 10 4 3 10 9 4 0
3
a ab a ab a ab a ab+= ++=
,0
2
4
21 4 21 4
21
ab
a
a ab a b
b
= → = =
. Chn C.
Ví d 21: Cho
(
)
11
6 33 3
9 9 14,
23 3
xx
xx
xx
a
b
+−
++
+= =
−−
(
a
b
là phân số tối giản). Tính
P ab
=
.
A.
10P =
. B.
10P =
. C.
45P =
. D.
45P =
.
Li gii
Ta có:
( )
2
99 33 214 33 4
xx xx xx−−
+ = + −= + =
.
Suy ra
(
) ( )
( )
11
6 33 3 6 33 3
6 3.4 9
45
2 3 3 2 3.4 5
2 33 3
xx xx
xx
xx
P ab
−−
+−
++ ++
+
= = =−⇒ = =
−−
−+
. Chn C.
BÀI TP T LUYN
Câu 1: Cho
01a
<≠
và biu thc
3
aa
được viết dưới dng
n
a
. Tìm n.
A.
11
6
n =
. B.
5
3
n =
. C.
2
3
n =
. D.
1
6
n
=
.
Câu 2: Cho biết
3
24
.
Q aa
=
vi
0, 1
aa
>≠
. Khẳng định nào đúng?
A.
5
3
Qa=
. B.
7
3
Qa=
. C.
7
4
Qa=
. D.
11
6
Qa=
.
Câu 3: Cho
01a<≠
. Rút gn
( )
4
3
3
2
2
.
a
P
aa
=
.
A.
9
Pa=
. B.
17
2
Pa=
. C.
23
2
Pa=
. D.
7
2
Pa=
.
Câu 4: Rút gn biu thc vi
1
3
45
4
6
3
..
xxx
P
x
=
vi
0x >
.
A.
5
4
Px=
. B.
112
60
Px=
. C.
13
18
Px=
. D.
211
60
Px=
.
Câu 5: Vi
0x >
, hãy rút gn biu thc
9
16
:P xxxxx x
=
.
A.
5
32
Px=
. B.
13
32
Px=
. C.
9
48
Px=
. D.
1
32
Px=
.
Câu 6: Biết
2
2
16
a
b
x
x
x
=
vi
1x >
2
ab
+=
. Tính giá tr ca biu thc
M ab
=
A.
18M =
. B.
14M
=
. C.
8M =
D.
6M =
.
Câu 7: Cho
,0ab>
, viết
2
3
.aa
v dng
x
a
3
bbb
v dng
y
b
. Tính
6 12
Tx y= +
.
A.
17T
=
. B.
7
12
T =
. C.
14T =
. D.
7
6
T
=
.
Câu 8: Giá tr ca biu thc
( ) ( )
2016 2016
13 33P =+−
bng:
A.
1008
12
. B.
1008
4
. C.
(
)
1008
13+
. D.
( )
1008
33
.
Câu 9: Cho a là mt s dương, biểu thc
2
3
aa
viết dưới dạng lũy thừa vi s mũ hữu t
A.
5
6
a
. B.
7
6
a
. C.
4
3
a
. D.
6
7
a
.
Câu 10: Viết biu thc
6
5
3
..Q xxx=
vi
dưới dạng lũy tha vi s mũ hữu t?
A.
2
3
Qx=
. B.
5
3
Qx=
. C.
5
2
Qx=
. D.
7
3
Qx=
.
Câu 11: Cho s thc a dương. Rút gọn biu thc
5
4
3
P aaaa=
.
A.
1
14
Pa=
. B.
1
120
Pa
=
. C.
11
40
Pa
=
. D.
13
60
Pa=
.
Câu 12: Viết biu thc
11
6
:A aaa a=
vi
dưới dạng lũy thừa vi s mũ hữu t?
A.
21
44
Aa=
. B.
1
12
Aa
=
. C.
23
24
Aa
=
. D.
23
24
Aa
=
.
Câu 13: Biết
5
3
m
ba a
ab b

=


vi a, b là các s thực dương. Tìm m.
A.
2
15
m =
. B.
4
15
m =
. C.
2
5
m
=
. D.
2
15
m =
.
Câu 14: Viết biu thc
( )
5
3
24
2
6
5
, 0
aa a
Pa
a
= >
dưới dạng lũy thừa vi s mũ hữu t.
A.
Pa=
. B.
5
Pa=
. C.
4
Pa=
. D.
2
Pa=
.
Câu 15: Cho a, b là hai s thực dương. Thu gọn biu thc
72
63
6
2
.ab
T
ab
=
.
A.
2
a
T
b
=
. B.
T ab=
. C.
b
T
a
=
. D.
a
T
b
=
.
Câu 16: Vi
0a >
thì biu thc
( )
71 2 7
22
22
.aa
P
a
+−
+
=
được rút gn là:
A.
5
Pa=
. B.
4
Pa=
. C.
3
Pa=
. D.
Pa=
.
Câu 17: Cho
0, 0
xy>>
. Viết biu thc
4
5
6
5
.
m
x xxx
=
4
5
6
5
:
n
y yyy
=
. Tính
mn
.
A.
11
6
. B.
8
5
. C.
11
6
. D.
8
5
.
Câu 18: Cho
52
x
=
. Tính
2
25 5
xx
A
= +
.
A.
13
2
A =
. B.
75
2
A =
. C.
33
2
A =
. D.
29A =
.
Câu 19: Cho Cho
( )
11
6 33 3
9 9 14,
23 3
xx
xx
xx
a
b
+−
++
+= =
−−
(
a
b
là phân s ti gin). Tính
P ab=
.
A.
10P =
. B.
10P =
. C.
45P =
. D.
45P =
.
Câu 20: Cho a, b là các s thc tha
3.2 2 7 2
ab
+=
5.2 2 9 2
ab
−=
. Tính
S ab= +
.
A.
3S =
. B.
2S =
. C.
4S =
. D.
1S
=
.
Câu 21: Cho hàm s
( )
2
22
x
x
fx=
+
. Tng
( )
1 18 19
0 ...
10 10 10
ff f f
  
++++
  
  
bng
A.
59
6
. B. 10. C.
19
2
. D.
28
3
.
Câu 22: Giá tr ca biu thc
(
)
( )
2018 2018
33
3 8 13 3 8
P =−+
A.
( )
1009
3
38
. B.
2018
19
. C.
( )
1009
3
13 3 8
. D.
( )
2018
3
16 2 8+
.
Câu 23: Viết biu thc
( )
35
523
.. 0
P x x xx= >
dưới dạng lũy thừa vi s mũ hữu t
A.
61
30
Px=
. B.
117
30
Px=
. C.
113
30
Px
=
. D.
83
30
Px=
.
LI GII BÀI TP T LUYN
Câu 1:
11
1 42
22
3
3 33
.
a a aa a a

= = =


. Chn C.
Câu 2:
11
4 10 5
22
2
3 33
.Q aa a a

= = =


. Chn A.
Câu 3:
7 17
12
12
22
7
2
a
P aa
a
= = =
. Chn B.
Câu 4:
14
5 11
5
63
44
4
33
22
..
xxx x
Px
xx
= = =
. Chn A.
Câu 5:
3 37
2 44
.
xxxx xxxx xxx= =
7 15 15 31 31 31
8 8 16 16 32 32
..x xx x x xx x x P x= = = = = ⇒=
. Chn B.
Câu 6:
( )
22
2
16
8
ab
ab
x x x ab
= = −=
. Chn C.
Câu 7:
1
11
3
27
1 3 3 77
33
36
2 2 4 4 12
77
.; .
6 12
xy
a a a a x b b b bb b b b



= = = = = = = ⇒=




. Chn C.
Câu 8:
( )
( ) ( )
2016
2016
1008
1 3 3 3 2 3 12P

=+− = =

. Chn A.
Câu 9:
2 27
1
3 36
2
.a a aa a= =
. Chn B.
Câu 10:
15 5
1
36 3
2
..Q xxx x= =
. Chn B.
Câu 11:
(
)
1
11
1
5
3 11 11
3
55
4
5
4
8 8 40
2
.P aaa aa aa a a



= = = = =




. Chn C.
Câu 12:
1
11
2
11 11 11 7 11
3 3 7 23
22
6 6 6 86
2 4 4 24
: .: : :
Aaa a aa a a aaaa



= = = = =




. Chn D.
Câu 13: Ta có
1
1
2
5
32
15
15
3
32
2
.
15
m
a ba b b
m
b ab a a


 
= = = ⇒=


 

 


. Chn D.
Câu 14: Ta có
4
5
2
3
2
5
5
6
..aaa
Pa
a
= =
. Chn B.
Câu 15:
71 22
66 36
::
a
T aa b b
b

= =


. Chn D.
Câu 16:
3
5
2
a
Pa
a
= =
. Chn A.
Câu 17:
( ) ( )
24 103 24 7
11
66
55
5 10 5 10
22
103 7
.. ; : .
60 60
mn
x x xx x m y y yy y n

= = = = = ⇒=


. Chn A.
Câu 18:
( )
2
25 33
5
52
x
x
A
= +=
. Chn C.
Câu 19:
( )
2
6 3.4 9
3 3 14 2 16 3 3 4
2 3.4 5
xx xx
a
b
−−
+
+ = += + = = =
. Chn C.
Câu 20: Ta có:
3
2 22
2
1
22
2
a
b
a
b
=

=


=
=
. Chn B.
Câu 21: Vi
( ) ( )
2 2 2.2 2.2 2.2
21
2 2 2 2 2 2.2 2.2 4
a b ab a b
a b ab a b
a b fa fb
+
+
++
+= + = + = =
+ + +++
.
u ý:
( ) ( )
1 19 59
2... 0 1 9.1
10 10 6
Pf f+ = ⇒= + + =
. Chn A.
Câu 22:
( ) (
)
2018 2018
2018
3 2 13 6 19
P = +=
. Chn B.
Câu 23:
2 3 113
5
3 5 30
2
..P xxx x
= =
. Chn C.

Preview text:

CHỦ ĐỀ 1: CÔNG THỨC LŨY THỪA
I. KHÁI NIỆM LŨY THỪA
1. Lũy thừa với số mũ nguyên
Lũy thừa với số mũ nguyên dương. Cho a ∈ và *
n∈ . Khi đó n a = . a . a ....
a a (n thừa số a).
Lũy thừa với số mũ nguyên âm, lũy thừa với số mũ 0 Cho a ∈ −n 1  \{ } 0 và * n∈ . Ta có: 0 a = ;a =1. n a
Lũy thừa với số mũ nguyên có các tính chất tương tự tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên dương. Chú ý: 0 0 và − ( *
0 n n∈ ) không có nghĩa. 2. Căn bậc n
Cho số thực b và số nguyên dương n ≥ 2 .
Số a được gọi là căn bậc n của số b nếu n a = b .
Khi n lẻ, b∈ : Tồn tại duy nhất một căn bậc n của số bn b .
Khi n chẵn và b < 0 thì không tồn tại căn bậc n của số b.
Khi n chẵn và b = 0 thì có duy nhất một căn bậc n của số b n 0 = 0.
Khi n chẵn và b > 0 có 2 căn bậc n của số thực b n b nb .
3. Lũy thừa với số mũ hữu tỷ m
Cho số thực a > 0 và số hữu tỷ m
r = , trong đó m∈ ;
n∈, n ≥ 2 . Khi đó r n n m
a = a = a . n
4. Lũy thừa với số mũ vô tỷ
Giả sử a là một số dương và α là một số vô tỷ và (r là một dãy số hữu tỷ sao cho lim r = α . Khi đó n ) n n→+∞ lim nr a = aα . n→+∞
II. TÍNH CHẤT CỦA LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ THỰC
Cho hai số dương a; b và ;
m n∈ . Khi đó ta có các công thức sau. Nhóm công thức 1 Nhóm công thức 2 1. m. n m n a a a + = m 1. n
a = a = ( a )m n m n m 2. a mn  1 am 0 −n a  = = ⇔ = n n a an n n  
2. . = ( ) , n .n n a b ab
a b = ab 3. ( )n m m.n a = a n n n 3. aa  =   , a a = n n n bb b b Tính chất 1: 0
a =1(a ≠ 0) và 1 a = a . a >1; m n
a > a m > n
Tính chất 2 (tính đồng biến, nghịch biến):  .
0 < a < 1: m n
a > a m < n m m
a > b m > 0
Tính chất 3 (so sánh lũy thừa khác cơ số): Với a > b > 0 thì  . m
a < b m < 0
Ví dụ 1: Cho biểu thức 3 2 3 P =
.x x . x , với x > 0 . Mệnh đề nào sau đây là đúng? 13 13 13 13 A. 12 P = x . B. 24 P = x . C. 6 P = x . D. 8 P = x . Lời giải 3 7 7 13 13 Ta có: 3 3 3 2 3 2 2 2 6 6 12 P = .x x . x = .x x .x = .x x =
.xx = x = x . Chọn A.
Ví dụ 2: Biết rằng 3 2 . . n x x
x = x với x > 0 . Tìm n. A. n = 2 . B. 2 n = . C. 4 n = . D. n = 3. 3 3 Lời giải 1 1 1 5 1 5 1 5 4 Ta có: 3 3 3 2 + 2 2 2 2 2 2 6 2 6 3
x. x . x = x . x .x = x . x = x .x = x = x . Chọn C. 23
Ví dụ 3: Cho biểu thức 3 2 3 = . .k P x x
x , với x > 0 . Biết rằng 24
P = x , giá trị của k bằng: A. k = 6 . B. k = 2 . C. k = 3. D. k = 4 . Lời giải 23 23 11 Ta có: 3 2 k 3 3 24 2 k 3 3 12 2 k 3 12 P =
.x x . x = x ⇒ .x x . x = x x . x = x 11 11 3 3 −2 2 k 3 4 k 3 4 k 4
x . x = x x = x
x = x k = 4 . Chọn D. + a + .(a − )1 3 2 3 1 3
Ví dụ 4: Cho biểu thức P =
, với a > 0 . Mệnh đề nào sau đây là đúng? 1+ 3 a A. 3 P = a . B. 1 P = .
C. P = a . D. 1 P = . a 3 a Lời giải + a + .(a − )1 3 2 3 1 3 (1− 3)(1+ + 3 2 3 ) 2+ 3 2 − 3 Ta có: a .a a .a a 1 P = = = = = . Chọn B. 1+ 3 1+ 3 1+ 3 1+ 3 a a a a a m
Ví dụ 5: Cho biểu thức a b a a  3 4 P = . = với ;
a b > 0 . Tìm m. b a b b    A. 7 m = . B. 7 m = . C. 7 m = − . D. 7 m = − . 24 12 12 24 Lời giải 1 1 1 − 7 7 Đặt a b 1 x x− = ⇒ = . Khi đó 3 4 3 4 − 3 3 3 4 1 − 1 − 2 2 8 8 24 P = x x
x = x x .x = x x =
.xx = x = x . b a 7 Do đó 24 a b a a  7 3 4 P = . = ⇒   m = . Chọn A. b a b b  24 7 1 6 3
Ví dụ 6: Cho biểu thức với a .b Q = ;
a b > 0 . Mệnh đề nào sau đây là đúng? 6 2 ab
A. Q = a . B. a Q = .
C. Q = ab .
D. Q = a b . b Lời giải 7 1 7 1 7 1 6 3 6 3 6 3 Ta có: a .b a .b a .b Q = = = = a . Chọn A. ab (ab )1 1 2 6 2 2 6 6 6 a .b
Ví dụ 7: Cho x là số thực dương, viết biểu thức 3 2 6 Q =
.x x . x dưới dạng lũy thừa với số hữu tỉ 5 2 A. 36 Q = x . B. 3 Q = x .
C. Q = x . D. 2 Q = x . Lời giải 2 1 5 1 Ta có: 3 2 6 3 6 6 6 Q = .x x . x =
.xx .x = x .x = x . Chọn C.
Ví dụ 8: Cho biểu thức 3 4 2 3 P =
.x x . x với x > 0 . Mệnh đề nào dưới đây là đúng? 5 2 5 3 A. 6 P = x . B. 3 P = x . C. 8 P = x . D. 4 P = x . Lời giải 1 1 3 7 15 5 4 3     Ta có: 3 4 3 4 2 3 2 2 3 2 8 8 P = .x x . x = .x x .x =
.xx  =  x  = x . Chọn C.    
a .(a− .b )2 2 2 3 1 .b
Ví dụ 9: Rút gọn biểu thức T = (
với a, b là hai số thực dương. a− .b)3 1 5 − 2 .a .bA. 4 6
T = a .b . B. 6 6
T = a .b . C. 4 4
T = a .b . D. 6 4
T = a .b . Lời giải
a .(a− .b )2 2 2 3 1 − 2 4 − 6 1 − 2 − 5 .b Ta có:
a .a .b .b a .b 6 4 T = ( = =
= a b . Chọn D. a .b) . 3 3 − 3 5 − 2 − 8 1 5 2 .a .b
a .b .a .b a− − − − .b 2 a
Ví dụ 10: Biết rằng x 9
= x với x >1và a + b = 3 . Tính giá trị của biểu thức P = a b . 2 b x A. P =1. B. P = 3. C. P = 2 . D. P = 4 . Lời giải 2 a Ta có: x 2 2 9 a b 9 x 1 > 2 2 9 9 = x x
= x →a b = 9 ⇔ a + b a b = 9 ⇔ a b = = = 3 . Chọn B. 2 ( )( ) b x a + b 3 3
Ví dụ 11: Cho x, y > 0 . Biết rằng x 1 4 . m x = x và 2. .3 n y y
= y . Tính m n . 3 x 2 y A. 0. B. 2. C. 1. D. −2. Lời giải 1 3 8 − 2 − 1 1 3 Ta có: x x 4 4 1 4 3 3 3 6 .x = .x = .x x =
.xx = x = x m = . 3 3 x x 6 2 − 1 1 13 Lại có: 2 1 2 − 13 3 2 2 3 2 3 2 6 6 y . . y 3 = y . . y y = y . .
y y = y . y = y .y = y n = . 2 y 6
Do đó: m n = 2 − . Chọn D.
Ví dụ 12: Giá trị của biểu thức P = ( + )2018 ( − )2019 5 2 6 . 5 2 6 bằng:
A. P = 5 + 2 6 .
B. P = 5 − 2 6 .
C. P =10 − 4 6 .
D. P =10 + 4 6 . Lời giải
Ta có: (5+ 2 6)(5− 2 6) = 25− 24 =1. 2018 2019 2018
Do đó: P = (5+ 2 6) .(5− 2 6) = (5+ 2 6)(5−2 6) . 
(5−2 6)=5−2 6 . Chọn B.
Ví dụ 13: Giá trị của biểu thức M = ( + )2019 ( − )2018 3 2 2 . 3 2 4 bằng: A. 1009 2 . B. ( − ) 1009 3 2 2 .2 . C. ( + ) 1009 3 2 2 .2 . D. (3+ 2 2). Lời giải Ta có: − =
( − )⇒ M =( + )2019 ( )2018 ( − )2018 3 2 4 2 3 2 2 3 2 2 . 2 . 3 2 2 . Lại có: ( 2018 2018 + )( − )= −( )2 2 3 2 2 3 2 2 3
2 2 = 9 −8 =1 nên (3+ 2 2) .(3− 2 2) =1. Do đó: M = ( − ) 1009 3 2 2 .2 . Chọn C.
Ví dụ 14: Cho 2x = 5. Giá trị của biểu thức x 1 2 4 2 x T + − = + bằng: A. 504 . B. 104 . C. 104 . D. 504 . 5 5 25 25 Lời giải 2 Ta có: x x x 2 T + − = + = + = ( x + = + = . Chọn A. x )2 1 2 4 2 4 504 4 2 4 .4 2 .4 4.5 2 2x 5 5 xx
Ví dụ 15: Cho 4x + −
+ 4−x = 34 . Tính giá trị của biểu thức 2 2 3 T = . x 1 + 1 1− 2 − 2 −x A. 3 T = . B. 3 T = . C. 3 T − = . D. 3 T = . 4 11 11 13 Lời giải Ta có: xx xx + = ⇔ + + = ⇔ ( xx + )2 2 2 4 4 34 2 2 2 36 2 2
= 36 ⇔ 2x + 2−x = 6 (Do 2x + 2−x > 0 ). Khi đó: 6 − 3 3 3 T − = = = . Chọn C.
1− 2(2x + 2−x ) 1− 2.6 11 x
Ví dụ 16: Cho hàm số f (x) 9 =
, với a,b∈ và a + b =1. Tính T = f (a) + f (b). 9x + 3 A. T = 0 . B. T =1. C. T = 1 − . D. T = 2. Lời giải 9 a 1−a a
Ta có: T = f (a) + f (b) = f (a) + f ( − a) 9 9 9 9a 1 = + = + a 1
9 + 3 9 −a + 3 9a + 3 9 +3 9a 9a 9 9a 3 + = + = 1. Chọn B.
9a + 3 9 + 3.9a 9a + 3 9a + 3 x
Tổng quát: Cho hàm số ( ) a f x =
ta có f (x) + f (1− x) =1. x a + a x
Ví dụ 17: Cho hàm số f (x) 4 = . 4x + 2 Tính tổng  1   2   2004   2005 S ff   ... f   f  = + + + +  . 2005 2005 2005  2005         A. S =1002 . B. 3008 S = . C. S =1003. D. 2005 S = . 3 2 Lời giải x
Sử dụng tính chất tổng quát: Với hàm số ( ) a f x =
ta có f (x) + f (1− x) =1. x a + a Khi đó   1   2004    2   2003    1002   1003 S =  f + f +   f + f +  ...+  f + f  +             f ( ) 1   2005 
 2005    2005   2005    2005   2005  = + + + + f ( ) 4 3008 1 1 ... 1 1 =1002 + = . Chọn B. 6 3  + + − + − − 
Ví dụ 18: Rút gọn biểu thức 1 x 1 x 1 x 1 x 1 Q = . +
 với x > 1 ta được x x 1 x 1 x 1 x 1  + − − + + −   A. Q =1.
B. Q = 2x . C. Q = 2. D. Q = 2 − . Lời giải
Ta có: ( x + + x − )2 +( x + − x − )2 2 2 1 1 1
1 = 2x + 2 x −1 + 2x − 2 x −1 = 4x .
Và ( x +1− x −1).( 1x +1+ x −1) = x +1− x +1= 2.
1 ( x + + x − )2 + ( x + − x − )2 1 1 1 1 Suy ra 1 4 = . x Q = = .Chọn C.
x ( x +1− x −1).( 1x +1+ x −1) . 2 x 2 4
Ví dụ 19: Đơn giản biểu thức a b a + ab T = − ta được 4 4 4 4 a b a + b A. 4 T = a . B. 4 T = b . C. 4 4
T = a + b . D. 4 T = − b Lời giải ( a)2 −( b)2 4 4 4 a ( 4 4 a + b ) Ta có: 4 4 4 4 T = −
= a + b a = b . Chọn B. 4 4 4 4 a b a + b 2 a +4ab 2 − Ví dụ 20: Cho 3a 10ab
a, b là hai số thực khác 0. Biết rằng  1  =   (3 625) . Tính tỉ số a . 125  b A. 76 . B. 2. C. 4 . D. 76 . 21 21 3 Lời giải 2 2 3a 10 4 − + ab a ab 2 2 4 3a 10 − ab 4     Ta có: 1 =   (3 625) ⇔ ( 3 5 )a +4ab 3 = 5  ⇔ (5)− ( 2
3 a +4ab) = (5) ( 2 3a 10 − − ab) 3 125    ⇔ − ( 2 a + ab) 4 3 4 = ( 2
3a −10ab) ⇔ 4( 2
3a −10ab) + 9( 2 a + 4ab) = 0 3 2 a,b≠0 a 4
⇔ 21a = 4ab →21a = 4b ⇒ = . Chọn C. b 21 6 + 3 + − (3x 3−x x x )
Ví dụ 21: Cho 9 + 9 =14, a
= ( a là phân số tối giản). Tính P = ab . x 1 + 1 2 − 3 − 3 −x b b A. P =10. B. P = 10 − . C. P = 45 − . D. P = 45 . Lời giải Ta có: xx + = ( xx + )2 9 9 3 3
− 2 =14 ⇒ 3x + 3−x = 4.
6 + 3(3x + 3−x ) 6 + 3(3x + 3−x ) Suy ra 6 + 3.4 9 = =
= − ⇒ P = ab = 45 − . Chọn C. x 1 + 1 2 − 3 − 3 −x
2 − 3(3x + 3−x ) 2 −3.4 5
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1: Cho 0 < a ≠ 1 và biểu thức 3
a a được viết dưới dạng n a . Tìm n. A. 11 n = . B. 5 n = . C. 2 n = . D. 1 n = . 6 3 3 6 Câu 2: Cho biết 2 3 4
Q = a . a với a > 0,
a ≠ 1. Khẳng định nào đúng? 5 7 7 11 A. 3 Q = a . B. 3 Q = a . C. 4 Q = a . D. 6 Q = a . (a )4 3
Câu 3: Cho 0 < a ≠ 1. Rút gọn P = . 3 2 2 a .a 17 23 7 A. 9 P = a . B. 2 P = a . C. 2 P = a . D. 2 P = a . 1 6 3 4 4 5
Câu 4: Rút gọn biểu thức với x . x . x P = với x > 0 . 3 x 5 112 13 211 A. 4 P = x . B. 60 P = x . C. 18 P = x . D. 60 P = x . 9
Câu 5: Với x > 0 , hãy rút gọn biểu thức 16
P = x x x x x : x . 5 13 9 1 A. 32 P = x . B. 32 P = x . C. 48 P = x . D. 32 P = x . 2 a Câu 6: Biết x 16
= x với x >1 và a + b = 2 . Tính giá trị của biểu thức M = a b 2 b x A. M =18. B. M =14 . C. M = 8 D. M = 6 . 2
Câu 7: Cho a,b > 0 , viết 3
a . a về dạng x
a và 3 b b b về dạng y
b . Tính T = 6x +12y . A. T =17 . B. 7 T = . C. T =14 . D. 7 T = . 12 6
Câu 8: Giá trị của biểu thức P = ( + )2016 ( − )2016 1 3 3 3 bằng: A. 1008 12 . B. 1008 4 . C. ( + )1008 1 3 . D. ( − )1008 3 3 . 2
Câu 9: Cho a là một số dương, biểu thức 3
a a viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ là 5 7 4 6 A. 6 a . B. 6 a . C. 3 a . D. 7 a .
Câu 10: Viết biểu thức 3 6 5
Q = x. x. x với x > 0 dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ? 2 5 5 7 A. 3 Q = x . B. 3 Q = x . C. 2 Q = x . D. 3 Q = x .
Câu 11: Cho số thực a dương. Rút gọn biểu thức 5 4 3 P = a a a a . 1 1 11 13 A. 14 P = a . B. 120 P = a . C. 40 P = a . D. 60 P = a . 11
Câu 12: Viết biểu thức 6
A = a a a : a với a > 0 dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ? 21 1 23 23 A. 44 A = a . B. 12 A a− = . C. 24 A = a . D. 24 A a− = . m
Câu 13: Biết b a a  5 3 =
với a, b là các số thực dương. Tìm m. a b b    A. 2 m = . B. 4 m = . C. 2 m = . D. 2 m = − . 15 15 5 15 5 2 2 3 4
Câu 14: Viết biểu thức a a a P = , (
a > 0) dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ. 6 5 a
A. P = a . B. 5 P = a . C. 4 P = a . D. 2 P = a . 7 2 − 6 3
Câu 15: Cho a, b là hai số thực dương. Thu gọn biểu thức a .b T = . 6 2 ab A. a T = .
B. T = ab. C. b T = . D. a T = . 2 b a b 7 1 + 2− 7 Câu 16: Với a a . > 0 thì biểu thức a P = ( được rút gọn là: + a − ) 2 2 2 2 A. 5 P = a . B. 4 P = a . C. 3 P = a .
D. P = a . 4 4
Câu 17: Cho x > 0, y > 0 . Viết biểu thức 5 6 5 . m x
x x = x và 5 6 5 : n y
y y = y . Tính m n . A. 11. B. 8 − . C. 11 − . D. 8 . 6 5 6 5
Câu 18: Cho 5x = 2. Tính x 2 25 5 x A − = + . A. 13 A = . B. 75 A = . C. 33 A = . D. A = 29 . 2 2 2 6 + 3 + − (3x 3−x x x )
Câu 19: Cho Cho 9 + 9 =14, a
= ( a là phân số tối giản). Tính P = ab . x 1 + 1 2 − 3 − 3 −x b b A. P =10. B. P = 10 − . C. P = 45 − . D. P = 45 .
Câu 20: Cho a, b là các số thực thỏa 3.2a 2b +
= 7 2 và 5.2a 2b
= 9 2 . Tính S = a + b . A. S = 3. B. S = 2 . C. S = 4 . D. S =1. x
Câu 21: Cho hàm số f (x) 2 = . Tổng f ( )  1  18  19 0
f   ... f   f  + + + + bằng 2x + 2 10 10 10       A. 59 . B. 10. C. 19 . D. 28 . 6 2 3
Câu 22: Giá trị của biểu thức P = ( − )2018 ( + )2018 3 3 3 8 13 3 8 A. ( − )1009 3 3 8 . B. 2018 19 . C. ( − )1009 3 13 3 8 . D. ( + )2018 3 16 2 8 .
Câu 23: Viết biểu thức 5 3 2 5 3
P = x . x . x (x > 0) dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ 61 117 113 83 A. 30 P = x . B. 30 P = x . C. 30 P = x . D. 30 P = x .
LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN 1 1 1 4 2 2 2     Câu 1: 3 3 3 3 a a =  .
a a  = a  = a . Chọn C.     1 1 4 10 5 2 2     Câu 2: 2 3 3 3
Q = a .a  = a  = a . Chọn A.     12 7 17 Câu 3: a 12− 2 2 P = = a = a . Chọn B. 7 2 a 1 4 5 11 5 6 3 4 4 Câu 4: x .x .x x 4 P = = = x . Chọn A. 3 3 2 2 x x 3 3 7 Câu 5: 2 4 4 x x x x = x x . x x = x x x 7 15 15 31 31 31 8 8 16 16 32 32 = x . x x = x x =
.xx = x = x P = x . Chọn B. Câu 6: 2 2 16 a b 2(ab) x = x = x
a b = 8. Chọn C. 1 1 1 2 1 7  3 3  3 7 7 3 3     Câu 7: x 7 y 7 3 2 6 2 4 4 12
a = a .a = a x = ;b = b b  =  .bb  = b  = b b = . Chọn C. 6         12 2016 Câu 8: 2016
P = ( + )( − ) =  ( ) 1008 1 3 3 3 2 3 = 12 . Chọn A. 2 2 1 7 Câu 9: 3 3 2 6
a a = a .a = a . Chọn B. 1 1 5 5 Câu 10: 2 3 6 3
Q = x .x .x = x . Chọn B. 1 1 1 1  3 5  3 11 11 5 5    
Câu 11: P = ( 4a a a )5 4 2 8 8 40 =  a a  =  .
a a  = a  = a . Chọn C.         1 1 1  3 2  11 3 11 7 11 7 11 23 2 2     Câu 12: 2 6 4 6 4 6 8 6 24
A =  a a  : a =  .
a a  : a = a  : a = a : a = a− . Chọn D.         1 1 2 m  3 5  2 15     Câu 13: Ta có 15 a b a bb  2 3 =    .  =   = ⇒   m = − . Chọn D. 3 2 ba b       a   a  15 5 4 2 2 3 Câu 14: Ta có a .a .a 5 P = = a . Chọn B. 5 6 a 7 1 2 2    Câu 15: − 6 6 3 6 =  :  : a T a a b
b  = . Chọn D.    b 3 Câu 16: a 5 P = = a . Chọn A. 2 a− 24 1 103 24 1 7   Câu 17: ( m x )6 103 n − 7 5 2 10
= x .x .x = x m = ;( y )6 5 5 5 2 10
= y : y .y  = y n = − . Chọn A. 60   60
Câu 18: A = ( x )2 25 33 5 + = . Chọn C. 5x 2
Câu 19: ( x x + )2 xx a 6 + 3.4 9 3 3
= 14 + 2 =16 ⇒ 3 + 3 = 4 ⇒ = = − . Chọn C. b 2 − 3.4 5  3 2a = 2 2 a =   Câu 20: Ta có:  2  ⇔  . Chọn B. 2b = 2 1 b  =  2 a b a+b a b
Câu 21: Với a + b = f (a) + f (b) 2 2 2.2 + 2.2 + 2.2 2 = + = = 1.
2a + 2 2b + 2 2a+b + 2.2a + 2.2b + 4 Lưu ý: 1 19 + =
P = f ( ) + f ( ) 59 2... 0 1 + 9.1 = . Chọn A. 10 10 6
Câu 22: P = ( − )2018 ( + )2018 2018 3 2 13 6 = 19 . Chọn B. 5 2 3 113 Câu 23: 2 3 5 30
P = x .x .x = x . Chọn C.
Document Outline

  • ITMTTL~1
  • IIBITP~1
  • IIILIG~1