Chuyên đề trắc nghiệm hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit

Tài liệu gồm 52 trang, trình bày lý thuyết trọng tâm, các dạng toán trọng tâm kèm phương pháp giải và bài tập trắc nghiệm tự luyện chuyên đề hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit, có đáp án và lời giải chi tiết; hỗ trợ học sinh lớp 12 

20 10 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit (KNTT)

Môn: Toán 11

Thông tin:

52 trang 7 tháng trước

Tác giả:

Profile Kim Oanh
Chủ đề 3: HÀM SỐ LŨY THỪA, MŨ, LOGARIT
I. HÀM SỐ LŨY THỪA
1. Định nghĩa: Hàm số
yx
α
=
với
,
α
∈
được gọi là hàm số lũy thừa.
2. Tập xác định
Tập xác định của hàm số
yx
α
=
là:
•
với
α
là số nguyên dương
•
{ }
\0
với
α
là số nguyên âm hoặc bằng 0.
•
( )
0; +∞
với
α
không nguyên.
3. Đạo hàm
Hàm số
yx
α
=
với
α
∈
có đạo hàm với mọi
và
( )
1
'.xx
αα
α
−
=
4. Tính chất của hàm số lũy thừa trên khoảng
( )
0; +∞
•
0
yx
α
= >
( )
( )
0;x∀ ∈ +∞
• Đồ thị hàm số luôn đi qua điểm
( )
1;1
• Khi
(
)
1
0 ' '. 0
yx x
αα
αα
−
>⇒ = = >
( )
( )
0;x∀ ∈ +∞
hàm số luôn đồng biến
Trong trường hợp này
0
lim ; lim 0
x
x
xx
αα
+
→+∞
→
= +∞ =
do đó đồ thị hàm số không có đường tiệm cận
• Khi
( )
1
0 ' '. 0yx x
αα
αα
−
<⇒ = = <
( )
( )
0;x∀ ∈ +∞
hàm số luôn nghịch biến
Trong trường hợp này
0
lim 0; lim
x
x
xx
αα
+
→+∞
→
= = +∞
do đó đồ thị hàm số nhận trục
Ox
là đường tiệm cận
ngang và trục
Oy
là đường tiệm cận đứng.
5. Đồ thị hàm số lũy thừa
=
a
yx
trên khoảng
( )
0;+∞
Đồ thị hàm số
α
=
yx
luôn đi qua điểm
( )
1;1 .I
Lưu ý: Khi khảo sát hàm số lũy thừa với sỗ mũ
cụ thể, ta phải xét hàm số đó trên toàn bộ tập xác
định của nó. Chẳng hạn:
Hàm số:
3
yx=
( )
.x
∈
Hàm số:
4
yx
−
=
( )
0.x ≠
Hàm số:
1
3
yx=
( )
0.x >
II. HÀM SỐ MŨ
1. Định nghĩa
Cho số thực
0
.
1
a
a
>
≠
Hàm số
x
ya
=
được gọi là hàm số mũ cơ số
.a
2. Tập xác định
Tập xác định của hàm số
x
ya=
là :
D
=
Do
0;
x
ya x= > ∀∈
suy ra tập giá trị của hàm số
x
ya=
là
( )
0;T = +∞
3. Đạo hàm
Đạo hàm:
( )
( )
(
)
( )
ln
ln . ' .
.'
xx
u u xx
uu
a aa
a a au e e
e eu
′
=
′′
= ⇒=
′
=
Công thức giới hạn:
0
1
lim 1.
t
t
e
t
→
−
=
Với hàm số
x
ya=
ta có:
' ln
x
ya a=
• Với
1
a >
khi đó
' ln 0.
x
ya a= >
Hàm số luôn đồng biến
Trong trường hợp
1a >
ta có
lim lim 0
x
xx
ya
→−∞ →−∞
= =
do đó đồ thị hàm số nhận trục hoành là tiệm cận
ngang
• Với
01a<<
khi đó
' ln 0.
x
ya a= <
Hàm số luôn nghịch biến
Trong trường hợp
1a <
ta có
lim lim 0
x
xx
ya
→+∞ →+∞
= =
do đó đồ thị hàm số nhận trục hoành là tiệm cân
ngang
4. Đồ thị hàm số
=
x
ya
Đồ thị hàm số
=
x
ya
nhận trục
Ox
là tiệm cận ngang và
luôn đi qua các điểm
( )
0;1
và
( )
1;
a
Đồ thị hàm số
x
ya=
nằm phía trên trục hoành
(
)
0
x
ya x= >∀∈
III. HÀM SỐ LOGARIT
1. Định nghĩa
Cho số thực
0
.
1
a
a
>
≠
Hàm số
log
a
yx
=
được gọi là hàm số lôgarít cơ số
.a
2. Tập xác định
• Hàm số:
( )
log 0 1
a
y xa= <≠
có tập xác định:
( )
0;D = +∞
Do
log
a
x ∈
nên hàm số
log
a
yx
=
có tập giá trị là
.
T =
• Hàm số
( )
log
a
y Px= ⇒


điều kiện:
( )
0.Px>
Nếu
a
chứa biến
x
thì ta bổ sung điều kiện
0 1.a<≠
Đặc biệt:
( )
log
n
a
y Px= ⇒


điều kiện:
(
)
0Px>
nếu
n
lẻ;
( )
0Px≠
nếu
n
chẵn.
3. Đạo hàm
Đạo hàm:
( ) (
)
1
log log .
ln ln
aa
u
ux
ua xa
′
′′
=⇒=
Đặc biệt:
( )
log .
ln
a
u
u
ua
′
′
=
4. Tính chất
Với hàm số
( )
( )
1
log ' 0; .
ln
a
y xy x
xa
= ⇒ = ∀ ∈ +∞
Do đó:
• Với
1a >
ta có
( )
1
log ' 0
ln
a
x
xa
= >⇒
Hàm số luôn đồng biến trên khoảng
( )
0; .+∞
Trong trường hợp này ta có:
0
lim
x
y
+
→
= −∞
do đó đồ thị hàm số nhận trục tung là tiệm cận đứng.
• Với
01a
<<
ta có:
( )
1
log ' 0
ln
a
x
xa
= <⇒
Hàm số luôn nghịch biến trên khoảng
( )
0; .+∞
• Trong trường hợp này ta có:
0
lim
x
y
+
→
= +∞
do đó đồ thị hàm số nhận trục tung là tiệm cận đứng.
5. Đồ thị hàm số
= log
a
yx
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là trục
Oy
và luôn đi
qua các điểm
( )
1; 0
và
( )
;1
a
và nằm phía bên phải trục
tung vì có tập xác định là
( )
0; .D +∞
Đồ thị nhận trục tung là tiệm cận đứng.
Nhận xét: Đồ thị hàm số
x
ya=
và
( )
log , 0 1
a
y xa= <≠
đối xứng nhau qua đường thẳng
,yx=
(góc
phần tư thứ nhất và thứ 3 trong hệ trục tọa độ
).Oxy
DẠNG 1. TÌM TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ LŨY THỪA, MŨ, LOGARIT
Ví dụ 1: Tìm tập xác định
D
của hàm số
( )
( )
1
2
3
2
9 log 1 .yx x=−+ −
A.
( )
1; .D = +∞
B.
( )
1; 3 .D =
C.
( )
3; 3 .D = −
D.
(
]
1; 3 .D =
Lời giải:
Hàm số đã cho xác định khi
2
33
90
1 3.
1
10
x
x
x
x
x
−< <
−>
⇔ ⇔< <

>
−>
Vậy
( )
1; 3 .D =
Chọn B
Ví dụ 2: Tìm tập xác định
D
của hàm số
( )
log100
2
2yxx
−
= −−
A.
( )
1; 2 .D = −
B.
( )
\ 1; 2 .D
= −
C.
{ }
\ 1; 2 .D = −
D.
D
=
Lời giải:
Ta có:
log100 2
−
− =−∈ ⇒
hàm số
( )
log100
2
2yxx
−
= −−
xác định khi
2
1
20 .
2
x
xx
x
≠−
−−≠⇔
≠
Vậy
{ }
\ 1; 2 .D = −
Chọn C.
Ví dụ 3: Tìm tập xác định
D
của hàm số
( )
2 21
3
e
x
y xx
+
=−+
A.
{
}
\ 0;1 .D
=
B.
( )
0;1 .D =
C.
1
;1 .
2
D
−

=


D.
1
;1 .
2
D
−

=

Lời giải:
Do
( )
21
30 ;
x
xe
+
> ∀∈ ∉
nên hàm số
( )
2 21
3
e
x
y xx
+
=−+
xác định khi
2
0 0 1.xx x− >⇔<<
Vậy
( )
0;1 .D =
Chọn B.
Ví dụ 4: Tìm tập xác định
D
của hàm số
( )
2
4
2
2019 log 2 3
x
yx
−
= +−
A.
3
;2 .
2
D

=

B.
3
;2 .
2
D

=


C.
[ ]
2; 2 .D =
D.
3
;2
2
D

=


Lời giải:
Hàm số đã cho xác định khi
2
22
40
3
2.
2 30
2
2 30
x
x
x
x
x
−< <
−≥
⇔ ⇔ <≤

−>
−>
Vậy
3
;2 .
2
D

=

Chọn A.
Ví dụ 5: Tìm tập xác định
D
của hàm số
(
)
2
1
2
2019 1 log 2
x
yx
+
= −+ −
A.
[
)
1; .D = − +∞
B.
[
) { }
1; \ 2 .D = − +∞
C.
( ) { }
1; \ 2 .D = − +∞
D.
[
) { }
0; \ 2 .D = +∞
Lời giải:
Hàm số đã cho xác định khi
1 10
10 1
2019 1 0 2019 2019
.
22
20 2
xx
xx
xx
xx
++
+ ≥ ≥−

−≥ ≥

⇔ ⇔⇔

≠≠
−≠ ≠


Vậy
[
) { }
1; \ 2 .D = − +∞
Chọn B.
Ví dụ 5: Tìm tập xác định
D
của hàm số
( )
2
3
log 4
4
x
yx
x
π
−
= +−
+
A.
( ) ( )
; 4 3; 4 .D = −∞ − ∪
B.
( ) (
]
; 4 3; 4 .D = −∞ − ∪
C.
(
)
(
)
{
}
; 4 3; \ 4 .
D
= −∞ − ∪ +∞
D.
( )
[
) { }
; 4 3; \ 4 .D = −∞ − ∪ +∞
Lời giải:
Hàm số đã cho xác định khi
(
) (
)
3
3
0
D ; 4 3; 4 .
4
4
40
4
x
x
x
x
x
x
>
−
>

⇔ ⇒ = −∞ − ∪
<−
+


−>
<
Chọn A.
Ví dụ 6: Tìm tập xác định
D
của hàm số
( )
2018
3 1 log 2
x
yx= −+ −
A.
( )
2; .D = +∞
B.
( ) { }
0; \ 2D = +∞
C.
[
) { }
0; \ 2 .D = +∞
D.
[
)
2;D = +∞
Lời giải:
Hàm số đã cho xác định khi
0
0
33
.
2
2
x
x
x
x
≥
≥
⇔

≠
≠
Chọn C.
Ví dụ 7: Tìm tập xác định
D
của hàm số
( )
2
3
1
log 2
y
xx
=
−
A.
(
]
1
;0 ; .
2
D

= −∞ ∪ +∞

B.
( )
11
;0 ; \ ;1 .
22
D

= −∞ ∪ +∞ −



C.
(
]
11
;0 ; \ ;1 .
22
D

= −∞ ∪ +∞ −


D.
( )
1
;0 ; .
2
D

= −∞ ∪ +∞


Lời giải:
Hàm số đã cho xác định khi
( )
2
2
3
2
1
1
2
20
2
0
0
log 2 0
1
1;
21
2
x
x
xx
x
x
xx
xx
xx
>
>
−>

⇔⇔
<

<
−≠

−

≠≠
−≠
Do đó
( )
11
;0 ; \ ;1 .
22
D

= −∞ ∪ +∞ −



Chọn B.
Ví dụ 8: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
m
để hàm số
(
)
2
2
32 3y x mx=−+
xác định với mọi
x ∈
A. 7. B. 6. C. 4. D. 5.
Lời giải:
Hàm số đã cho xác định với mọi
( )
2
3 2 30x x mx x∈ ⇔ − + > ∀∈
2
10
33
' 90
a
m
m
= >
⇔ ⇔− < <
∆= − <
Kết hợp với
m ∈⇒
có 5 giá trị nguyên của tham số
.m
Chọn D.
Ví dụ 9: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
(
)
100;100m ∈−
để hàm số
( )
2
2
log 2 1y x xm
= − −+
xác
định với mọi
x ∈
A. 199. B. 200. C. 99. D. 100.
Lời giải:
Hàm số đã cho xác định với mọi
( )
2
2 10x x xm x∈ ⇔ − − + > ∀∈
10
0
'0
a
m
m
= >
⇔ ⇔<
∆= <
Kết hợp với
( )
100;100
m
m
∈
⇒
∈−
có 99 giá trị nguyên của tham số
.m
Chọn C.
Ví dụ 10: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
m
để hàm số
( ) ( )
2
ln 1 2 3 1y mx m x

= − + −+

có tập
xác định là
.
A. 3. B. 5. C. 4. D. 2.
Lời giải:
TH1: Với
( )
1 ln 4 1my x=⇒= − +⇒
TXĐ:
1
;.
4
D

= −∞


TH2: Với
1.m ≠
Hàm số đã cho xác định với mọi
( )
( ) ( )
2
1 2 3 10x mx m x x∈ ⇔ − + − + > ∀∈
( ) ( )
2
2
10
1
2 5.
7 10 0
' 3 10
am
m
m
mm
mm
= −>
>
⇔ ⇔ ⇔< <

− +<
∆= − − − <
Kết hợp với
m ∈⇒
có 2 giá trị nguyên của tham số
.m
Chọn D.
Ví dụ 11: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
( )
10;10m ∈−
để hàm số
( )
2
2
log 2y x xm= −−
xác
định với mọi
(
)
0; .
x
∈ +∞
A. 8. B. 7. C. 9. D. 18.
Lời giải:
Hàm số đã cho xác định với mọi
(
)
( )
( )
2
0; 2 0 0;x x xm x∈+∞⇔−−>∀∈+∞
( )
2
2m x x gx⇔<− =
(
)
(
)
(
)
0;
0; minx m gx
+∞
∀ ∈ +∞ ⇔ <
Xét
( )
2
2gx x x= −
( )
( )
0;x ∈ +∞
ta có:
( )
2 20 1gx x x
′
= −=⇔=
( ) ( )
0
lim 0; lim ; 1 1
xx
gx g
→ →+∞
= = +∞ = −
nên
( )
( )
0;
min 1.gx
+∞
= −
Do đó
1
m <−
Kết hợp với
( )
10;10
m
m
∈
⇒
∈−
có 8 giá trị nguyên của tham số
.
m
Chọn A.
Ví dụ 12: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số
m
để hàm số
( )
2
log 2 2y x m xm

= −+ +

xác
định với mọi
( )
3; .x
∈ +∞
A. 0. B. 3. C. 2. D. 1.
Lời giải:
Hàm số đã cho xác định với mọi
( ) (
) (
)
(
)
2
3; 2 2 0 3;x x m xm x∈ +∞ ⇔ − + + > ∀ ∈ +∞
( )( ) ( )
( )
( )
( )
2 0 3; 0 3;xmx x xm x⇔ − − > ∀ ∈ +∞ ⇔ − > ∀ ∈ +∞
(
)
( )
3; 3.xm x m
⇔ > ∀ ∈ +∞ ⇔ <
Kết hợp với
m
+
∈⇒
có 2 giá trị của tham số
.m
Chọn C.
Ví dụ 13: Tìm tất cả các giá trị của tham số
m
để hàm số
(
) ( )
2
2
log 2 2 2 ( 3)y mx mxm

= + + + ++

có tập xác định là
A.
2m ≤−
. B.
2m >−
. C.
2.m <−
D.
2.m ≥−
Lời giải:
Hàm số có tập xác định
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
2 2 2 3 0, * .D fxmx mxm x= ⇔ = + + + + + > ∀∈
• TH1:
( )
2 0 2 5 0.m m fx+ = ⇔ =−⇒ = >
• TH2:
( )
( ) ( )( )
2
2
20
2 0 2 * 2.
0
2 2 30
m
m
mm m
m mm
>−
+>
+≠⇔≠−⇒ ⇔ ⇔ ⇔>−

′
∆<
+ − + +<
Kết hợp với 2 TH, suy ra
2m ≥−
Chọn C.
Ví dụ 14: Để hàm số
( ) ( )
22
77
1 log 1 log 4y x mx x m= + +− + +
có tập xác định là
.
Tích tất cả các giá
trị nguyên của tham số
m
thỏa mãn yêu cầu bằng :
A. 60. B. 120. C. 36. D. 24.
Lời giải:
Để hàm số có tập xác định là
thì
( ) ( )
22
77
1 log 1 log 4 0,x mx x m x+ + − + + ≥ ∀∈
(
)
( ) ( )
( )
( )
2
22
1
22
2
7 47 0
77 4
,
40 40
g x mx x m
x mx x m
xx
mx x m g x mx x m
= − − +− ≥
+≥ + +

⇔ ∀∈ ⇔ ∀∈

+ +> = + +>

2
11
22
7 0 47 0
25
040
a m ; ( m)
m
am; m
= − > ∆= − − ≤
⇔ ⇔< ≤
= > ∆= − <
{ }
3;4;5 345 60
m
m T ..
∈
→= ⇒= =
Chọn A.
DẠNG 2. TÍNH ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ LŨY THỪA, MŨ, LOGARIT
Ví dụ 1: Tính đạo hàm của hàm số
2
21
2
xx
y
++
=
A.
2
2
'2 .
xx
y
+
=
B.
2
21
' 2 ln 2.
xx
y
++
=
C.
( )
2
21
' 4 1 .2 ln 2.
xx
yx
++
= +
D.
( )
2
21
' 2 1 .2 ln 2.
xx
yx
++
= +
Lời giải:
Ta có:
(
)
( )
22 2
21 21 2 21
2 ' 2 .ln 2. 2 1 4 1 .2 ln 2.
xx xx xx
y y xx x
++ ++ ++
′
= ⇒ = ++ = +
Chọn C.
Ví dụ 2: Tính đạo hàm của hàm số
2
..
xx
y xe
+
=
A.
( )
2
'21 .
xx
y xe
+
= +
B.
(
)
2
2
'2 .
xx
y x xe
+
= +
C.
( )
2
2
'2 1 .
x
x
y xx e
+
= ++
D.
( )
2
2
'2 2 .
xx
y xx e
+
= ++
Lời giải:
Ta có:
(
)
( )
( )
2 2 22 2
2
' . .2 1 2 1.
xx xx xx xx xx
yexe exe x e xx
+ + ++ +
′
= + = + + = ++
Chọn C.
Ví dụ 3: Tính đạo hàm của hàm số
1
4
x
x
y
+
=
A.
( )
2
1 2 1 ln 2
'
2
x
x
y
−+
=
B.
( )
2
1 2 1 ln 2
'
2
x
x
y
++
=
C.
( )
2
1 2 1 ln 2
'
2
x
x
y
−+
=
D.
( )
2
1 2 1 ln 2
'
2
x
x
y
++
=
Lời giải:
Ta có
( )
( )
( )
( )
(
)
(
)
2
22
4 4 '. 1
4 1 2 1 ln 2
4 4 ln 4. 1 1 2 1 ln 2
'
4 44
4
xx
x
xx
x xx
x
x
x
xx
y
−+
−+

− + −+

= = = =
Hay
( )
2
1 2 1 ln 2
'.
2
x
x
y
−+
=
Chọn A.
Ví dụ 4: Tính đạo hàm của hàm số
( )
2
2
log 1y xx= ++
A.
2
21
'.
1
x
y
xx
+
=
++
B.
( )
2
2
21
'.
log 2 .ln 2
x
y
xx
+
=
++
C.
( )
2
2 1 ln 2
'.
1
x
y
xx
+
=
++
D.
(
)
2
21
'.
1 ln 2
x
y
xx
+
=
++
Lời giải:
Ta có
( )
( )
( )
2
22
1
21
'.
1 ln 2 1 ln 2
xx
x
y
xx xx
′
++
+
= =
++ ++
Chọn D.
Ví dụ 5: Tính đạo hàm của hàm số
24
4
21y ax bx
= ++
A.
( )
3
3
24
4
'.
21
ax bx
y
ax bx
+
=
++
B.
3
24
4
'.
21
ax bx
y
ax bx
+
=
++
C.
( )
3
3
24
4
44
'.
21
ax bx
y
ax bx
+
=
++
D.
3
24
4
44
'.
21
ax bx
y
ax bx
+
=
++
Lời giải:
Ta có
( )
( ) ( )
13
24 24 24 3
4
44
1
2121'21.44
4
y ax bx ax bx y ax bx ax bx
−
= ++= ++⇒= ++ +
( )
3
3
24
4
.
21
ax bx
ax bx
+
=
++
Chọn A.
Ví dụ 6: Cho hàm số
( )
(
)
2
2
log .fx x x= −
Tính
( )
'2f
A.
( )
3
'2 .
2
f =
B.
( )
2
3
' 2 log .
2
fe=
C.
( )
3ln 2
'2 .
2
f =
D.
( )
2
'2 .
3ln 2
f =
Lời giải:
Ta có
( )
( )
(
)
2
2
21 3 3
' ' 2 log .
2 ln 2 2
ln 2
x
fx f e
xx
−
= ⇒==
−
Chọn B.
Ví dụ 7: Giá trị của tham số
m
để
( )
' 21ye m= +
với
( )
ln 2 1yx= +
là:
A.
12
.
42
e
e
+
−
B.
12
.
42
e
e
+
+
C.
12
.
42
e
e
−
+
D.
12
.
42
e
e
−
−
Lời giải:
Ta có
(
)
2 2 2 12 12
' ' 2 1 12 2 .
21 21 21 21 24
ee
y ye m m m m
xe e e e
−−
= ⇒ = = +⇔ −= ⇔ = ⇔ =
++ + + +
Chọn C.
Ví dụ 8: Cho hàm số
( )
( )
ln 2
x
fx e m
= +
thỏa mãn
( )
3
' ln 2 .
2
f −=
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A.
( )
1; 3 .m ∈
B.
( )
5; 2 .m ∈− −
C.
( )
1; .m ∈ +∞
D.
( )
1; 0 .m ∈−
Lời giải:
Ta có:
( )
2
',
2
x
x
e
fx
em
=
+
lại có
ln 2 ln
1
2
2
e
e
−−
= =
Do đó
(
)
3 13 1
' ln 2 .
21 2 3
fm
m
− =⇔ =⇔=−
+
Chọn D.
Ví dụ 9: Cho hàm số
( )
3
log 3 ,
x
yx= +
biết
( )
1
'1
4 ln 3
a
y
b
= +
với
,.ab∈
Giá trị của
ab+
là:
A.
2.ab+=
B.
7.ab+=
C.
4.ab+=
D.
5.
ab+=
Lời giải:
Ta có:
( )
( ) (
)
3
3 ln 3 1
'
3 ln 3 3 ln 3
x
x
xx
x
y
xx
′
+
+
= =
++
Suy ra
( )
3
3ln 3 1 3 1
' 1 7.
4
4 ln 3 4 4 ln 3
a
y ab
b
=
+
= = + ⇒ ⇒+=
=
Chọn B.
Ví dụ 10: Cho hàm số
( )
( )
2
ln 1
.
x
fx
x
+
=
Biết rằng
( )
' 1 ln 2f ab= +
với
,.ab∈
Tính
A.
1.ab−=
B.
1.ab−=−
C.
2.ab−=
D.
2.
ab−=−
Lời giải:
Ta có:
( )
(
) ( )
( )
2
2
22
2
22
2
ln 1
ln 1 . ln 1
1
'
x
x
x xx
x
fx
xx
′
−+

+−+

+
= =
Do đó
( )
1
' 1 1 ln 2 2.
1
a
f ab
b
= −
=− ⇒ ⇒−=−
=
Chọn D.
Ví dụ 11: Cho hàm số
ln
,
x
y
x
=
mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
2
1
2' " .y xy
x
+=−
B.
2
1
'" .y xy
x
+=
C.
2
1
'" .
y xy
x
+=−
D.
2
1
2' " .
y xy
x
+=
Lời giải:
Ta có:
( ) ( )
11
ln ' ln ' ' ' 'xy x xy x x y y x y xy
xx
= ⇒ = ⇒ + =⇔+ =
Tiếp tục đạo hàm 2 vế ta có:
22
11
''" 2'" .y y xy y xy
xx
++=−⇔+=−
Chọn A.
Ví dụ 12: Tính đạo hàm của hàm số
( )
3
2
log 3 1yx= +
trên tập xác định của nó
A.
( )
1
.
3 1 ln 2x +
B.
3
1
.
3 1 ln 2x +
C.
ln 2
.
31x +
D.
( )
1
.
3 3 1 ln 2x +
Lời giải:
Ta có:
( )
( )
( ) ( )
3
22
1 13 1
log 3 1 log 3 1 ' . .
3 3 3 1 ln 2 3 1 ln 2
y x xy
xx
= += +⇒ = =
++
Chọn A.
Ví dụ 13: Đạo hàm của hàm số
7
cosyx=
là:
A.
7
8
sin
.
7. cos
x
x
−
B.
7
6
sin
.
7. cos
x
x
C.
7
6
1
.
7. cos x
D.
7
6
sin
.
7. cos
x
x
−
Lời giải:
Ta có
( ) (
) ( )
16
7
77
7
6
1 sin
cos cos ' cos . cos ' .
7
7. cos
x
y x xy x x
x
−
−
= = ⇒= =
Chọn D.
Ví dụ 14: Tính đạo hàm của hàm số
2
2
1
ln
1
x
y
x
+
=
−
A.
4
4
'.
1
x
y
x
=
−
B.
4
4
'.
1
x
y
x
−
=
−
C.
3
4
4
'.
1
x
y
x
−
=
−
D.
3
4
4
'.
1
x
y
x
=
−
Lời giải:
Ta có
( ) (
)
( )
(
)
( )
22
2
22
2 22 4
22
2 11
1 22 4
ln ln 1 ln 1 ' .
1 11 1
11
xx x
x xx x
y x xy
x xx x
xx
−− −
+−
= = +− −⇒ = − = =
− +− −
+−
Chọn B.
Ví dụ 15:
Đạo hàm của hàm số
(
)
3
3 .log
x
fx x
=
là:
A.
( )
1
' 3 ln .
ln 3
x
fx x
x

= +


B.
(
)
1
' 3 ln .
ln 3
x
fx x

= +


C.
( )
ln 3
' 3 ln .
x
fx x
x

= +


D.
( )
3
1
' 3 log .
ln 3
x
fx x
x

= +


Lời giải:
Ta có:
( )
3
31
' 3 ln 3.log 3 ln .
ln 3 ln 3
x
xx
fx x x
xx

= += +


Chọn A.
Ví dụ 16: Đạo hàm của hàm số
2
3
log 1
yx= −
là:
A.
( )
2
2
'.
1 ln 3
x
y
x
=
−
B.
2
4
'.
1 ln 3
x
y
x
=
−
C.
( )
2
4
'.
1 ln 3
x
y
x
=
−
D.
2
2
'.
1 ln 3
x
y
x
=
−
Lời giải:
Ta có:
( )
( )
( )
2
2
2
2 24
'.
1
1 ln 3
1 ln 3
1 . ln 3
2
x xx
y
x
x
x
= = =
−
−
−
Chọn C.
Ví dụ 17: Cho hàm số
( )
(
)
2
ln 2 .fx x x= −
Tính đạo hàm của hàm số
(
)
2
1
y
fx
=
A.
( )
2
2
22
'.
2
x
y
xx
−
=
−
B.
( )
( )
2 32
44
'.
2 ln 2
x
y
xx xx
−
=
−−
C.
( )
2
1
'.
22
x
y
xx
−
=
−
D.
( )
( )
2 42
44
'.
2 ln 2
x
y
xx xx
−+
=
−−
Lời giải:
Ta có:
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
2
2 4 43
2 .' 2'
1
'
fx
fxfx fx
yy
fx fx fx fx
′

−

= ⇒= =− =−
Trong đó
( )
( ) ( )
2
2 32
2 2 44
'' .
2
2 .ln 2
xx
fx y
xx
xx xx
−−
= ⇒=
−
−−
Chọn B.
DẠNG 3. TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ LŨY THỪA, MŨ, LOGARIT
Ví dụ 1: Hàm số nào dưới đây đồng biến trên tập
.
A.
32
.
3
x
y

+
=



B.
2
log .yx
=
C.
.
x
e
y
π

=


D.
2.
x
y
−
=
Lời giải:
Do
32
1
3
+
>
nên hàm số
32
3
x
y

+
=



đồng biến trên
.
Hàm số
x
e
y
π

=


và
2
x
y
−
=
nghịch biến trên
.
Hàm số
2
logyx=
đồng biến trên khoảng
( )
0; .+∞
Chọn A.
Ví dụ 2: Nếu
3
2
3
2
aa>
và
34
log log
45
bb
<
thì:
A.
0 1; 1.ab<< >
B.
0 ; 1.ab<>
C.
1; 1.ab>>
D.
1; 0 1 .ab> <<
Lời giải:
Ta có:
3
2
3
2
0 1,
32
32
aa
a
>
⇒<<
<
lại có:
34
log log
45
1.
34
45
bb
b
<
⇒>
<
Chọn A.
Ví dụ 3: Nếu
15
19
8
11
aa<
và
35
log log
23
bb
>
thì kết luận nào sau đây đúng:
A.
1; 1.ab>>
B.
1; 0 1 .ab> <<
C.
0 1; 0 1 .ab<< <<
D.
0 1; 1.ab<< >
Lời giải:
Ta có:
15
19
8
11
0 1,
15 19
8 11
aa
a
<
⇒<<
>
lại có:
35
log log
23
1.
35
23
bb
b
>
⇒>
>
Chọn D.
Ví dụ 4: Cho
( ) ( )
34
45
11aa
−−
− >−
và
3
32
.bb
>
Khẳng định nào sau đây là đúng.
A.
; 1.ab>
B.
0 2; 1.ab<< >
C.
0 2; 1.ab<< <
D.
2; 1ab>>
Lời giải:
Ta có:
(
) (
)
( )
34
45
11
1 1 2.
34
45
aa
aa
−−
− >−
⇒ − >⇔ >
−−
>
Mặt khác
2
3
3
2
3
32
1.
32
23
bb
bb b
>
> ⇒ ⇒>
>
Chọn D.
Ví dụ 5: Với giá trị nào của
a
thì hàm số
(
)
2
31
x
y aa
= −+
đồng biến trên
.
A.
0.a <
B.
0 2.
a<<
C.
0 3.a<<
D.
3.a >
Lời giải:
Hàm số đã cho đồng biến trên
22
3 1 1 3 0 0 3.aa aa a⇔−+>⇔−>⇔<<
Chọn C.
Ví dụ 6: Hàm số
( )
2
0,5
logy xx= −+
nghịch biến trên khoảng.
A.
( )
0; .
+∞
B.
( )
0;1 .
C.
1
0; .
2



D.
1
;1 .
2



Lời giải:
Ta có:
( )
2
0,5
logy xx
= −+
có TXĐ là:
( )
0;1
Mặt khác
( )
2
21 1
' 0 2 10
1
2
ln
2
x
y xx
xx
−+
= <⇔− +>⇔<
−+
(Do
1
ln 0).
2
<
Do đó hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng
1
0; .
2



Chọn C.
Ví dụ 7: Cho hàm số
2
22
3
.
4
xx
y
−+

=


Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng.
A. Hàm số đồng biến trên
.
B. Hàm số nghịch biến trên
.
C. Hàm số đồng biến trên khoảng
( )
;1 .−∞
D. Hàm số đồng biến trên khoảng
( )
1; .+∞
Lời giải:
Ta có:
( )
2
22
33
' .ln.220 220 1
44
xx
y x xx
−+

= − >⇔ −<⇔<


(Do
3
ln 0)
4
<
Do đó hàm số đã cho đồng biến trên khoảng
( )
;1−∞
và nghịch biến trên khoảng
( )
1; .+∞
Chọn C.
Ví dụ 8: Cho hàm số
(
)
2
22.
x
yx x e
= −+
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng
(
)
;.−∞ +∞
B. Hàm số đã cho có 2 điểm cực trị.
C. Hàm số đã cho có 1 điểm cực trị.
D. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng
(
)
;1 .
−∞
Lời giải:
Ta có:
( )
( )
( )
22
'22 22 0
x xx
y x e x x e xe x= − + − + = ≥ ∀∈
Do đó hàm số cho đồng biến trên khoảng
( )
;.
−∞ +∞
Chọn A.
Ví dụ 9:
Cho hàm số
(
)
( )
ln 1 .fx x x=−+
Mệnh đề nào dưới đây là
đúng?
A.
( )
fx
đồng biến trên khoảng
(
)
1; 0 .
−
B.
( )
fx
đạt cực đại tại điểm
0.x
=
C.
(
)
fx
đạt cực tiểu tại điểm
0.x =
D.
( )
fx
đồng biến trên khoảng
( )
1; .− +∞
Lời giải:
TXĐ:
( )
1; ,
D = − +∞
ta có:
(
)
1
'1
11
x
fx
xx
=−=
++
Do
( )
'fx
đổi dấu từ âm sang dương khi qua điểm
0x
=
nên
0x
=
là điểm cực tiểu của hàm số đã cho.
Chọn C.
Ví dụ 10: Cho hàm số
( )
2
ln .fx x x=
Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A.
( )
fx
đạt cực đại tại điểm
1
.x
e
=
B.
( )
fx
đạt cực tiểu tại điểm
1
.
x
e
=
C.
( )
fx
đạt cực đại tại điểm
.xe=
D.
( )
fx
đạt cực tiểu tại điểm
.xe
=
Lời giải:
TXĐ:
( )
0; .x ∈ +∞
Ta có:
( ) ( )
2
1 11
' 2 ln . 2ln 1 0 ln .
2
fx x xx x x x x
x
e
= + = +=⇒ =−⇔=
Do
( )
'fx
đổi dấu từ âm sang dương khi qua điểm
1
x
e
=
nên
1
x
e
=
là điểm cực tiểu của hàm số.
Chọn B.
Ví dụ 11: Tìm m để hàm số
( )
2
ln 1 1y x mx= +− +
hàm số đồng biến trên khoảng
( )
;
−∞ +∞
.
A.
( ; 1)m.∈ −∞ −
B.
( 1;1)
m.
∈−
C.
[ 1;1].m ∈−
D.
m (- ;-1].∈∞
Lời giải:
TXĐ:
D =
ta có:
2
22
22
11
'
x mx x m
ym
xx
− +−
= −=
++
Với
2
2
0
1
'
x
my
x
=⇒= ⇒
+
hàm số đồng biến trên khoảng
( )
0;+∞
.
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng
(
) ( )
2
;+ 2 0mx x m x−∞ ∞ ⇔ − + − ≥ ∀ ∈
(
]
2
0
;-1
10
am
'm
= >
⇔ ⇔ −∞
∆=− ≤
. Chọn D.
Ví dụ 12: Cho hàm số
( )
3
11
4
.
2017
xx
e me
y
−− +

=


Tìm
m
để hàm số đồng biến trên khoảng
( )
1; 2
A.
34
3 1 3 1.e me
+≤ < +
B.
4
3 1.me
≥+
C.
23
3 1 3 1.e me+≤ ≤ +
D.
2
3 1.me<+
Lời giải:
Ta có
( )
( )
( )
33
11 11
3
4 44
' ln . . 3 1
2017 2017 2017
xx xx
e me e me
xx
y e me
−− + −− +
′

 


= = −−
 

 


Hàm số đồng biến trên khoảng
( ) ( ) ( )
( )
3
1; 2 0 3 1 0 1; 2
xx
y e me x
′
⇔ ≥ ⇔ − − ≤ ∀∈
( ) (
)
( )
( )
( )
22
1;2
3 1 0 3 1 1; 2
xx
e m m e fx x m Maxfx⇔ −+≤⇔≥ += ∀∈ ⇔≥
Lại có:
(
) ( )
(
)
( )
(
) ( )
24
1;2
' 6 0 1; 2 2 3 1 .
x
f x e x Max f x f e− > ∀∈ ⇒ − − +
Vậy
4
3 1.me≥+
Chọn B.
Ví dụ 13: Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực
m
để hàm số
2
42 1
xx
y mx
+
=− −+
đồng biến trên
khoảng
( )
1;1−
A.
1
; ln 2 .
2

−∞ −

B.
(
]
;0 .−∞
C.
(
]
; 2 ln 2 .−∞ −
D.
3
; ln 2 .
2

−∞ −

Lời giải:
Ta có
( )
2
' 4 2 1 4 ln 4 4.2 ln 2 .
xx x x
y mx m
+
′
= − −+= − −
Hàm số đồng biến trên khoảng
( )
1;1−
khi và chỉ khi
0y
′
≥
với
( )
1;1 .x∀∈−
Suy ra
( )
( )
( )
2
2
1
4 ln 4 4.2 ln 2 0 1;1 ln 4 4 ln 2 ; 2
2
x
t
xx
m x m t t ft t
=


− − ≥ ∀ ∈ − → ≤ − = ∀ ∈




Xét hàm số
( ) ( ) ( )
2
1
ln 4 4 ln 2, ; 2 2 ln 4 4 ln 2 0 1.
2
ft t t t ft t ft t

′′
=− ∈ ⇒= −⇒=⇔=


Xét bảng biến thiên hàm số
( )
ft
trên khoảng
1
;2 ,
2



suy ra
( ) ( )
1
;2
2
min 1 2 ln 2ft f



= = −
Do đó
( )
1
;1
2
min 2ln 2
m ft m



≤ ⇔ ≤−
là giá trị cần tìm. Chọn C.
Ví dụ 14: Tập hợp các giá trị thực của tham số
m
để hàm số
2
2
x
x
em
y
em
−−
=
−
đồng biến trên khoảng
1
ln ;0
4



A.
( )
1; 2 .
B.
[
)
11
; 1; 2 .
22

−∪


C.
11
;.
22

−


D.
[ ]
1; 2 .−
Lời giải:
Xét hàm số
2
2
x
x
em
y
em
−−
=
−
trên khoảng
1
ln ;0 ,
4



ta có
( )
( )
2
2
2
2.
1
' ; ln ;0 .
4
x
x
mm e
yx
em
+−

= ∀∈


−
Yêu cầu bài toán
2
2
2
2
20
1
' 0; ln ; 0
11
4
1
.
22
1
1
12
; ln ;0
4
4
x
mm
yx
m
m
m
mex
m
+− >

> ∀∈

−≤ ≤

≥
⇔ ⇔⇔



≤<
≠ ∀∈
≤



Chọn B.
Ví dụ 15: Tìm tập các giá trị thực của tham số
m
để hàm số
( )
ln 3 1 2
m
yx
x
= −− +
đồng biến trên khoảng
1
;
2

+∞


A.
7
;.
3

− +∞

B.
1
;.
3

− +∞

C.
4
;.
3

− +∞

D.
2
;.
9

+∞

Lời giải:
Xét hàm số
( )
ln 3 1 2
m
yx
x
= −− +
trên khoảng
1
;,
2

+∞


ta có
( )
( )
2
22
3 31
3
'.
31 31
x mx
m
y
x x xx
+−
= +=
−−
Để hàm số đồng biến trên khoảng
11
; ' 0; ;
22
yx
 
+∞ ⇔ ≥ ∀ ∈ +∞
 
 
( )
( )
22 2
2
1
;
2
3 31 3
3 3 1 0 0 ; ; max 1 .
3 1 13 2 13
xx x
x mx m m x m
xx x

+∞




⇔ + −≥⇔ + ≥⇔ ≥ ∀∈ +∞⇒ ≥


−− −


Xét hàm số
( )
2
3
13
x
fx
x
=
−
trên
1
;,
2

+∞


có
( )
( )
( )
2
33 2
2
' 0.
3
31
xx
fx x
x
−
= =⇔=
−
Tính các giá trị
(
)
1 32 4
; ; lim
2233
x
f f fx
→+∞
 
= − = − = −∞
 
 
suy ra
( ) ( )
1
;
2
4
max 2 .
3
fx

+∞


= −
Từ
( )
(
)
1,2
suy ra
44
;
33
mm

≥ − ⇒ ∈ − +∞

là giá trị cần tìm. Chọn C.
DẠNG 4. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT
Ví dụ 1: Giá trị nhỏ nhất của hàm số
ln x
y
x
=
trên
[ ]
1; e
là
A.
.e
B. 1. C.
1
.
e
D. 0.
Lời giải:
Ta có:
2
ln 1
'0
x
y xe
x
−
= =⇔=
Lại có:
( ) ( )
1
1 0;y ye
e
= = ⇒
Giá trị nhỏ nhất của hàm số
ln x
y
x
=
trên
[ ]
1; e
là 0. Chọn D.
Ví dụ 2: Giá trị lớn nhất
M
của hàm số
2
2
x
y xe
−
=
trên đoạn
[ ]
0;1
bằng:
A.
3
2.Me
−
=
B.
2
.Me
−
=
C.
3
1
.
2
Me
−
=
D.
1
.
2
M
e
=
Lời giải:
Ta có:
( )
22 2
2 22 2 2
' 4. 0 14
xx x
y e xe e x
−− −
=− =⇔−
Với
[ ]
1
0;1 ' 0 .
2
x yx∈ ⇒ =⇔=
Ta có:
( )
(
)
2
11 1
0 0; ; 1
2
2
yy y
e
e

= = =


Do đó
1
.
2
M
e
=
Chọn D.
Ví dụ 3: Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
2
2 lnyx x= −
trên đoạn
1
;e
e



là:
A.
2
1.Te= −
B.
2
2
1
.Te
e
= −
C.
2
1
2.T
e
= +
D.
2
1
3.T
e
= +
Lời giải:
Ta có:
1
;
2
2
'2 0 1 1
xe
e
yx x x
x

∈


= − = ⇔ = → =
Lại có:
( ) (
)
2
2
11
2; 1 1; 2y y ye e
ee

=+==−


Do đó
22
11
;;
2; 1 1.
ee
ee
Max y e Min y T e
 
 
 
= − =⇒= −
Chọn A.
Ví dụ 4:
Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
2
xx
y xe e
= −
trên đoạn
[ ]
0;3
là:
A.
2
1.
Te
= −
B.
32
.Te e
= −
C.
3
.
Te e= −
D.
3
2.Te
= −
Lời giải:
Ta có:
' 2 0 1.
xx x xx
y xe e e xe e x= + − = − =⇔=
Hàm số đã cho liên tục và xác định trên đoạn
[ ]
0;3
Lại có:
( ) (
) ( )
3
0 2; 1 ; 3 .y y ey e=−=−=
Do đó
[ ]
[ ]
3
0;3
0;3
min ;maxy e ye=−=
Vậy
3
.Te e= −
Chọn C.
Ví dụ 5:
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
1
42
xx
y
+
= −
trên đoạn
[ ]
1;1−
là:
A.
[ ]
[ ]
1;1
1;1
3
min ; max 2
4
yy
−
−
=−=
B.
[ ]
[ ]
1;1
1;1
3
min ; max 0.
4
yy
−
−
=−=
C.
[ ]
[ ]
1;1
1;1
min 1; max 1.yy
−
−
=−=
D.
[ ]
[ ]
1;1
1;1
min 1; max 0.yy
−
−
=−=
Lời giải:
Ta có:
2
2 2.2 .
xx
y = −
Đặt
11
1
2 2 ;2 ;2
2
x
tt
−


= ⇒∈ =



Xét hàm số
( )
2
2ft t t= −
trên đoạn
1
;2
2



ta có:
( )
' 2 20 1ft t t= −= ⇔=
Hàm số
( )
ft
xác định và liên tục trên đoạn
1
;2 .
2



Lại có
( ) ( )
13
; 1 1; 2 0.
24
f ff
−

= =−=


Do đó
[ ]
[ ]
1;1
1;1
min 1; max 0.yy
−
−
=−=
Chọn D.
Ví dụ 6: Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
lnyxx=
trên đoạn
2
1
;e
e



là:
A.
.Te=
B.
2
2
.Te
e
= −
C.
2
12
.T
ee
−
= −
D.
1
.
Te
e
= −
Lời giải:
Ta có:
1
1
' ln 1 0 .y x xe
e
−
= += ⇔ = =
Hàm số đã cho liên tục và xác định trên đoạn
2
1
;.e
e



Mặt khác
( )
22
1 21 1
; ;y .y y ee
e e ee
−−

= = =


Do đó
2
2
1
1
;
;
1
min ; max
e
e
e
e
y ye
e






=−=
Do đó
1
.
Te
e
= −
Chọn D.
Ví dụ 7: Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
ln x
y
x
=
trên đoạn
2
1
;e
e



là:
A.
1
.T
e
=
B.
1
.Te
e
= −
C.
2
12
.T
ee
−
= +
D.
1
.
Te
e
= −
Lời giải:
Ta có:
2
1 ln
' 0.
x
y xe
x
−
= =⇔=
Hàm số đã cho liên tục và xác định trên đoạn
2
1
;.e
e



Lại có
( )
(
)
2
2
1 12
e; ; y .
y ye e
e ee

=−= =


Do đó
2
2
1
1
;
;
1
min ; max
e
e
e
e
ye y
e






=−=
Do đó
1
.
Te
e
= −
Chọn B.
Ví dụ 8: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
( )
2
23
3
xx
fx e x x
−+
= −+
trên đoạn
là:
A.
22
e −
và
1.−
B.
2e +
và
1.
−
C.
2e +
và
1.
D.
22
e −
và
1.
Lời giải:
Ta có:
( ) ( ) ( )
( )
22
22 2
' .2 2 3 3 1 2 1
xx xx
fx e x x x e x
−+ −+
= − + − += − ++
Xét
[ ]
0; 2x ∈
thì
( )
'0 1fx x=⇔=
Mặt khác
( ) ( )
( )
0 1; 1 2; 2 1f f ef==+=−
suy ra
[
]
(
)
0;2
2Max f x e
= +
và
[ ]
( )
0;2
1.Min f x = −
Chọn B.
Ví dụ 9: Một chất điểm chuyển động có phương trình vận tốc là
( )
2
2tt
vt e e
−
= +
( )
/ms
(
:t
giây là thời
gian chuyển động). Hỏi trong khoảng thời gian 10 giây đầu tiên, vận tốc nhỏ nhất của chất điểm là bao
nhiêu?
A.
( )
1 /.v e ms= +
B.
( )
2
1
/.v e ms
e
= +
C.
( )
1
/.v e ms
e
= +
D.
( )
4
1
/.v e ms
e
= +
Lời giải:
Xét hàm số
( ) ( )
2
2
/
tt
vt e e m s
−
= +
với
[ ]
0;10t ∈
Ta có:
(
) (
)
2
2
' 22 0 1
tt
vt t e t
−
= − =⇔=
Khi đó
( )
( )
( )
80
min
11
0 1;1 ;10 .
v e v e v ee v e
ee
=+ =+ =+⇒ =+
Chọn C.
Ví dụ 10:
Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
(
)
2
31
xx
fx e e
=−−
trên đoạn
[
]
0; ln 3
là:
A.
B.
11
.
4
−
C.
5.−
D.
3.−
Lời giải:
Đặt
,
x
te=
với
[ ] [
]
0; l n 3 1; 3xt∈ ⇒∈
Xét hàm số
( )
2
31ft t t=−−
trên đoạn
[ ]
1; 3
ta có:
( )
3
' 2 30
2
ft t t= −= ⇔=
Mặt khác
( ) (
)
[
]
( )
[ ]
(
)
1;3
1;3
1
3 13 17
1 3; ; 3 1 .
13
24 4
4
Max f t
ff f T
Min f t
=−
−−

=− = =−⇒ ⇒ =

−

=
Chọn A.
Ví dụ 11: Gọi
,Mm
lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
( )
22
2sin cos
3 3.
xx
fx= +
Tính giá
trị biểu thức
3
2
.
9
m
PM

= +


A.
10
.
3
P =
B.
1.P
=
C.
35
.
3
P =
D.
32
.
3
P =
Lời giải:
Ta có
( )
( )
22 2 2
2
2
2sin cos 2sin 1 sin 2
sin
3
3333 33sin
3
xx x x
x
fx x
−
= += + == +
Đặt
2
sin
3
x
t =
do
[ ]
2
2 sin
0 s i n 1 1 3 3 1; 3
x
xt≤ ≤⇒≤ ≤ ⇒∈
khi đó
( )
2
2
2
sin 2
sin
33
3
3
x
x
t
t
+=+
Xét hàm số
(
)
2
3
gt t
t
= +
với
[ ]
1; 3 .t ∈
Ta có
( ) ( )
3
2
33
' 2 ;' 0
2
gt t gt t
t
= − = ⇔=
Ta có
( ) ( )
33 3
3 243 243 32
1 4; 3 10; 10; .
24 4 3
f f f Mm P

= = = ⇒ = = ⇒=



Chọn D.
DẠNG 5. ĐỒ THỊ HÀM LŨY THỪA, MŨ, LOGARIT
Ví dụ 1: Đồ thị hình bên là của hàm số nào?
A.
(
)
3.
x
y =
B.
1
.
2
x
y

=


C.
1
3
log .yx=
D.
1
.
3
x
y

=


Lời giải:
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy:
Hàm số có TXĐ:
,
D =
tập giá trị
( )
0;T
= +∞
và hàm số nghịch biến trên
(loại A và C).
Đồ thị hàm số đi qua điểm
( )
1; 3−
(loại B). Chọn D.
Ví dụ 2: Đồ thị hình bên là của hàm số nào?
A.
1
2
log .yx=
B.
2.
x
y
−
=
C.
2.
x
y =
D.
2
log .yx=
Lời giải:
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy:
Hàm số có TXĐ:
( )
0; ,D = +∞
tập giá trị
T
=
và hàm số đồng biến trên
( )
0; .+∞
Chọn D.
Ví dụ 3: Đồ thị hình bên là của hàm số nào?
A.
0,5
log .yx=
B.
2.
x
y =
C.
1
.
2
x
y

=


D.
2
log .yx=
Lời giải:
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy:
Hàm số có TXĐ:
,D =
tập giá trị
( )
0;T = +∞
và hàm số nghịch biến trên
.
Chọn C.
Ví dụ 4: Cho hai hàm số
,
x
ya=
x
yb
=
với
,
ab
là hai số thực
dương khác 1, lần lượt có đồ thị là
(
)
1
C
và
( )
2
C
như hình bên.
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
0 1.ab< <<
B.
0 1.
ba< <<
C.
0 1.ba<<<
D.
0 1.ab<<<
Lời giải:
Dựa vào đồ thị suy ra hàm số
x
ya
=
là hàm đồng biến, hàm số
x
yb
=
là hàm nghịch biến
Suy ra
1
.
01
a
b
>
<<
Chọn B.
Ví dụ 5: Cho đồ thị hàm số
,
x
ya=
log
b
yx=
(như hình vẽ).
Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
01ba< <<
B.
01ab< <<
C.
1a >
và
1b
>
D.
01
a<<
và
01b<<
Lời giải:
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy
x
ya=
là hàm nghịch biến nên
0 1.a
<<
Hàm số
log
b
yx=
là hàm đồng biến nên
1.b >
Do đó
0 1.
ab< <<
Chọn B.
Ví dụ 6: Cho
,
αβ
là các số thực. Đồ thị các hàm số
,yxyx
αβ
= =
trên khoảng
( )
0; +∞
được cho trong hình vẽ
bên. Khẳng định nào đây là đúng?
A.
0 1.
βα
< <<
B.
01 .
βα
< <<
C.
0 1.
αβ
< <<
D.
01 .
αβ
< <<
Lời giải:
Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy
Đồ thị hai hàm số là hàm số đồng biến trên
(
)
0;
+∞
nên
( )
' 0; 0; .y > ∀ +∞
Ta thấy rằng
11
11
'. . 0
, 0.
'. .
yx y x x
yx y x x
α αα
β ββ
αα
αβ
ββ
−−
−−

= ⇒= >

⇒ ⇒>

= ⇒=


Dễ thấy tại
2x
=
thì
22
αβ
αβ
> ⇒>
suy ra
0 1.
βα
< <<
Chọn A.
Ví dụ 7: Cho 3 số
, , 0,abc>
1, 1, 1.
abc≠≠≠
Đồ thị các hàm số
,
x
ya=
,
x
yb
=
x
yc=
được cho trong
hình vẽ dưới. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
.bca<<
B.
.acb<<
C.
.abc<<
D.
.cab<<
Lời giải:
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số
x
yb=
và
x
yc=
là các hàm số đồng biến nên
;1bc
>
Hàm số
x
ya=
là hàm nghịch biến nên
01a
<<
Với
100
x
=
ta thấy
100 100
1 0.b c bc bc a> ⇒>⇒>>>>
Chọn B.
Ví dụ 8: Cho 3 số
, , 0,abc>
1, 1, 1.
abc≠≠≠
Đồ thị
các hàm số
log ,
a
yx=
log ,
b
yx=
log
c
yx=
được
cho trong hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
.abc>>
B.
.bac>>
C.
.cba>>
D.
.cab>>
Lời giải:
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số
log
a
yx=
và
log
b
yx=
là các hàm số đồng biến trên khoảng
( )
0; +∞
nên
;1ab>
Hàm số
log
c
yx
=
là hàm nghịch biến trên khoảng
(
)
0;
+∞
nên
0 1.c<<
Thay
100 100
100 100
11
100 log 100 log 100 0 log log 1
log log
ab
x b a ba
ab
= ⇒ > >⇔ > ⇔ > ⇔>>
Vậy
1 0.
ba c> >>>
Chọn B.
Ví dụ 9: Cho 2 số
, 0,ab
>
1, 1.
ab
≠≠
Đồ thị các hàm
số
log ,
a
yx=
log
b
yx=
được cho trong hình vẽ bên.
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
1 0.
ab>>>
B.
1 0.ba>>>
C.
1.ba
>>
D.
1.ab>>
Lời giải:
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số
log
a
yx=
và
log
b
yx=
là các hàm số nghịch biến trên khoảng
(
)
0; +∞
nên
0;1ab<<
Thay
100 100
100 100 100 100
log log
11
100 0 log 100 log 100 0
log log log .log
ab
ba
x
a b ab
−
= ⇒> > ⇔ > ⇔ >
100 100
log log .b a ba
⇔ > ⇔>
Chọn B.
Ví dụ 10: Cho hàm số
log
a
yx=
và
log
b
yx=
có đồ thị như hình vẽ bên.
Đường thẳng
7x =
cắt trục hoành, đồ thị
hàm số
log
a
yx=
và
log
b
yx=
lần lượt
tại
,HM
và
.N
Biết rằng
.HM MN=
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A.
7.
ab=
B.
2
.ab
=
C.
7
.ab
=
D.
2.ab=
Lời giải:
Dựa vào hình vẽ ta thấy
77
12
2 log 7 2log 7
log log
ba
HM MN NH MH
ba
=⇔= ⇔ = ⇔ =
2
.ab⇔=
Chọn B.
Ví dụ 11: Cho các số thực dương
,ab
khác 1. Biết rằng bất
kì đường thẳng nào song song với
Ox
mà cắt các đường
,
xx
y ayb= =
trục tung lần lượt tại
,MN
và
A
thì
2
AN AM=
(hình vẽ bên). Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
2
ab=
B.
2
1
ab
=
C.
2ba=
D.
1
2
ab
=
Lời giải:
Với
0
yy=
ta có:
1 02 0
log ; log .
ba
x yx y= =
Theo giả thiết ta có
2
AN AM
=
nên
1
2
120 000
2 log 2log log log
b ab
a
xx y y y y
−
=−⇔=− ⇔=
Khi đó
1
2
2
1
1.b a ab
a
−
==⇒=
Chọn B.
Ví dụ 12: Cho hàm số
( )
ln .fx x x=
Một trong bốn đồ thị cho trong bốn phương án A, B, C, D dưới đây
là đồ thị của hàm số
( )
'.y fx=
Tìm đồ thị đó.
A. B.
C. D.
Lời giải:
Với tập xác định cho cả đạo hàm là
( )
0; .
D = +∞
Loại D vì có phần đồ thị thuộc khoảng
( )
;0 .−∞
Loại A vì đồ thị đi qua điểm
( )
0; 0.
( ) ( )
ln 1 ln .fx x x f x x
′
= → = +
Mặt khác:
( )
1 10
f
′
=≠→
B không thỏa. Chọn C.
DẠNG 6. MỘT SỐ BÀI TOÁN NÂNG CAO VỀ HÀM SỐ LŨY THỪA, MŨ, LOGARIT
Ở phần này ta xét một số ví dụ ở mức độ vận dụng, chúng ta sẽ nghiên cứu sâu hơn về giá trị lớn nhất,
nhỏ nhất của hàm số mũ và logarit ở các chủ đề sau.
Ví dụ 1:[Đề thi thử nghiệm Bộ giáo dục 2017] Xét các số thực
,ab
thỏa mãn
1.
ab
>>
Tìm giá trị nhỏ
nhất
min
P
của biểu thức
( )
22
log 3log .
ab
b
a
Pa
b

= +


A.
min
19.P =
B.
min
16.P
=
C.
min
14.P
=
D.
min
15.P
=
Lời giải:
Ta có:
( )
( )
2
22
43 4 3
2log 3 log 1 3 3
log log
1 log
log
ab
aa
b
a
a
Pa a
bb
b
a
b

= + −= +−= +−

−




Đặt
log
a
tb=
(Do
1 0 1).ab t> >⇒ <<
Xét
( )
( )
2
43
3
1
ft
t
t
= +−
−
Khi đó
( )
(
)
3
2
83 1
' 0.
3
1
ft t
t
t
−
= − = ⇔=
−
Ta có:
(
) ( )
01
1
lim lim ; 15
3
tt
ft ft f
+−
→→

= = +∞ =


Do đó
min
15.P =
Chọn D.
Ví dụ 2: Cho các số thực dương
1 0.ab
>>>
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
(
)
4
2
3log log .
b
a
a
P ab
b
=−+
A.
min
3P =
B.
min
4
P =
C.
min
5
2
P =
D.
min
3
2
P =
Lời giải:
Ta có:
( )
( )
( ) ( )
2
2
33
log log 1 log log 1
44
ab a b
a
P ab b a
b
−
=− + =−++
Đặt
log
b
ta=
( )
01t<<
ta có:
( ) (
)
2
2
3 1 13
11 2
4 44
P t t t ft
tt
−

= − ++ =+ ++ =


Khi đó
( )
2
31
' 2 20 .
42
ft t t
t
−
= + += ⇔=
Lại có
( )
(
)
1
0
1
lim ;lim 4; 3
2
x
x
ft ft f
+
→
→

= +∞ = =


Do đó
min
3P
=
khi
1
.
2
t
=
Chọn A.
Ví dụ 3: [Đề thi THPT Quốc gia năm 2017] Xét các số thực dương
,ab
thỏa mãn
2
1
log 2 3.
ab
ab a b
ab
−
= ++−
+
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2.Pa b= +
A.
min
2 10 3
.
2
P
−
=
B.
min
2 10 5
.
2
P
−
=
C.
min
3 10 7
.
2
P
−
=
D.
min
2 10 1
.
2
P
−
=
Lời giải:
Ta có:
( ) ( )
2 22
1
log 2 3 log 1 log 2 2 1
ab
ab a b ab a b ab a b
ab
−
= ++−⇔ − − + = −++−
+
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 22 2
log 1 1 2 1 log log 2 1 2 1 logab ab a b a b ab ab a b a b⇔ − ++ − = + ++⇔ − + − = + ++


Xét hàm số
(
)
2
log
ft t t= +
( )
0t >
ta có:
(
)
1
10
ln 2
ft
t
′
= +>
( )
0t∀>
nên hàm số
( )
ft
đồng biến trên
khoảng
( )
0; .+∞
Khi đó
( )
( ) ( )
21 21 .f ab f a b ab a b− = +⇔ − =+


Suy ra
( )
2
2 2 5 15
2 2 2 ' 20 1
12 12 2 2
12
bb
ab a b a P b P b
bb
b

−− −
++=⇒= ⇒ = + ⇒ = +=⇒= −


++
+

Khi đó
min
2 10 3
.
2
P
−
=
Chọn A.
Ví dụ 4: [Đề thi THPT Quốc gia năm 2017] Xét các số thực dương
,xy
thỏa mãn
3
1
log 3 2 4.
2
xy
xy x y
xy
−
= ++ −
+
Tìm giá trị nhỏ nhất
min
P
của
Pxy= +
A.
min
9 11 19
.
9
P
−
=
B.
min
2 11 3
.
3
P
−
=
C.
min
18 11 29
.
21
P
−
=
D.
min
9 11 19
.
9
P
+
=
Lời giải:
Ta có:
( ) ( )
3 33
1
log 3 2 4 log 1 log 2 3 3 1 2
2
xy
xy x y xy x y xy x y
xy
−
= + + − ⇔ − − + +− += +
+
( )
( )
33
log 3 1 3 3 log 2 2 .xy xy x y x y⇔ − +− = + ++
Xét hàm số
( )
3
logft t t= +
( )
0t >
ta có:
( )
1
0
ln 3 1
ft
t
′
= >
+
( )
0t∀>
nên hàm số
( )
ft
đồng biến trên
khoảng
( )
0; .+∞
Do đó
( ) (
)
33 2 33 2f xy f x y xy x y− = + ⇔− =+
Khi đó
( )
(
)
( )
2
3 2 11 1 11
13 32 ' 1 0
13 3
13
y
x y y P y Py y
y
y
− −+
+ =− ⇒=+ ⇒ =− =⇔=
+
+
(do
0).y >
Từ đó suy ra
min
1 11 2 11 3
.
33
PP

−+ −
= =



Chọn B.
Ví dụ 5: Cho
,
xy
là các số thực thỏa mãn
( ) ( )
44
log log 1.
xy xy++ −≥
Tìm giá trị nhỏ nhất
Min
P
của
2P xy= −
A.
min
4.P =
B.
min
4.P = −
C.
min
2 3.P =
D.
min
10 3
.
3
P =
Lời giải:
Ta có:
(
) (
)
22 2
44
log log 1 4 4
xy xy x y x y
+ + − ≥⇔ − ≥ ⇒ ≥ +
Do đó
2
24P y y f ( y ).≥ +−=
. Khi đó
0
2
22
10
3
4
y
y
P' y
y
>
= − = → =
+
Suy ra
min
2 3.P
=
Chọn C.
Ví dụ 6: Cho hai số thực dương
,xy
thay đổi thỏa mãn hệ thức
1
3 ln 9 3 3 .
3
xy
xy x y
xy
++
+ = −−
Tìm giá trị
nhỏ nhất
m
của biểu thức
.P xy
=
A.
1
.
3
m =
B.
1.m =
C.
1
.
2
m =
D.
0.m =
Lời giải:
Từ giả thiết, ta có
( ) ( )
1
3 ln 9 3 3 3 ln 1 ln 3 9 3 3
3
xy
xy x y x y xy xy x y
xy
++
+ = −−⇔+ ++− = −−
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
ln 1 3 1 ln 3 3 3 1 3 *x y x y xy xy f x y f xy⇔ +++ ++ = + ⇔ ++ =
Xét hàm số
( )
ln 3ft t t= +
với
0,t >
ta có
( )
( )
1
' 3 0; 0f t t ft
t
= + > ∀> ⇒
là hàm số đồng biến.
Khi đó
(
)
* 13 3 1 2 3 2 10.
AM GM
x y xy xy x y xy xy xy
−
⇔++=⇔−=+≥ ⇔− −≥
( )( )
min
1 3 1 0 1 1 1 1.xy xy xy xy P m⇔ − + ≥ ⇔ ≥⇔ ≥⇒ =⇒ =
Chọn B.
Ví dụ 7: Cho các số thực
,ab
thỏa mãn
1, 1.ab>>
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
( )
2
27
2.log log 4log .
2
ab ab a
P a b ab= ++
A.
min
36.P =
B.
min
24.
P
=
C.
min
32.P =
D.
min
48.P =
Lời giải:
Ta có
( )
2
2
27 27 2 1
2.log log 4log 4.log 4.
2 2 log log
ab ab a a
ab
P a b ab b
ab ab

= + + = + ++


Đặt
log
a
tb=
(
)
1
0 log ,
b
ta
t
>⇔ =
khi đó
22
27 2 27 2
. 44 . 44.
2 11 2 1
tt
P tt
tt t
+

= + ++= ++

++ +

Xét hàm số
( )
2
27 2
.4
21
t
ft t
t
+

= +

+

với
( )
0;t ∈ +∞
Ta có
( )
( )( )
( )
( )
2
3
22 5
' ; ' 0 2.
1
tt
ft ft t
t
−+
= =⇔=
+
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy rằng
( )
ft
đạt giá trị nhỏ nhất bằng
( )
min
2 32 36.fP=⇒=
Chọn A.
Ví dụ 8: Cho hai số thực
,
ab
thỏa mãn các điều kiện
22
1ab+>
và
( )
22
log 1.
ab
ab
+
+≥
Giá trị lớn nhất của
biểu thức
243P ab=+−
là:
A.
10
B.
1
10
C.
1
10
2
D.
2 10
Lời giải:
Do
22
1
ab+>
và
( )
22
log 1
ab
ab
+
+≥
nên
( )
22
22
1 11
1
2 22
aba b a b

+≥ + ⇔ − + − ≤


Ta có:
( )
1 13
2 22
2 22
ab a b


+= −+ − +




Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpski cho hai dãy số
11
,
22
ab−−
và
1, 2
ta có:
( )
2
22
22
11 1 1
12 2
22 2 2
ab a b


 
− +− + ≥ −+ −

 

 



( )
22 2
11 3
5 2 3
22 2
a b ab


⇔ − +− ≥+−





Từ
( )
1
và
( )
3
ta có:
2
1 3 3 10
5. 2 2 2 4 3 10
2 2 22
ab ab ab

≥+− ⇒+−≤ ⇔+−≤


Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
22
11
5 10
22
10
12
.
5 2 10
1 11
10
2 22
ab
a
b
ab
−−
+
=
=
⇒

+


=
− +− =



Chọn A.
Ví dụ 9: Xét các số thực
,
ab
thỏa mãn
1.ab
≥>
Biết rằng biểu thức
1
log
log
a
ab
a
P
ab
= +
đạt giá trị lớn
nhất khi
.
k
ba=
Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
3
0; .
2
k

∈


B.
(
)
1; 0 .k
∈−
C.
3
;2 .
2
k

∈


D.
( )
2;3 .k ∈
Lời giải:
Với điều kiện
1ab≥>
và
(
]
log 0;1 .
k
a
ba k b k
= ⇒= ⇒∈
Với
k
ba=
thế vào biểu thức
P
, ta được
log log 1 log 1 log
aa a a
a
P ab b b
b
= + =+ +−
1 log 1 log 1 1 .
kk
aa
P a akk⇒=+ +− =++−
Khi đó
( )
{ }
max
max
11 .P fk k k⇔ =++ −
Xét hàm số
( )
fk
trên khoảng
(
]
0;1 ,
ta có
( )
( )
13
' 1 ;' 0 .
4
21
fk fk k
k
=− =⇔=
−
Vậy giá trị lớn nhất của
( )
fk
bằng
39
.
44
f

=


Dấu = xảy ra khi
33
0; .
42
k

= ∈


Chọn A.
Ví dụ 10: Cho
,0xy>
thỏa mãn
( )( ) ( )( )
1
3
log 11 9 11.
y
xy xy
+
+ + =−− +


Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức
2.Px y= +
A.
min
11
.
2
P
=
B.
min
27
.
5
P
=
C.
min
1 63
.
2
P
−+
=
D.
min
3 6 2.P =−+
Lời giải:
Ta có:
(
)( ) (
)( ) (
) ( )
( ) ( )
( )
1
33
log 11 9 11 1log 119 11
y
xy xy y xy xy
+
+ + =−− +⇔ + + + =−− +
 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
33 3 3
99
log 1 log 1 1 log 1 1 2 log 1
11
x y x xx y
yy
⇔ ++ += − −⇔ +++=− ++
++
( )
33
99
log 1 1 log
11
xx
yy

⇔ + + += +

++

Xét hàm số
( ) ( )
( )
3
log 0;f t t tt= + ∈ +∞
ta có:
( ) ( )
( )
1
' 1 0 0; .
ln 3
ft t
t
= + > ∀ ∈ +∞
Do đó hàm số
( )
ft
đồng biến trên khoảng
( )
0; .+∞
Khi đó
(
) ( )
9 99 9
1 1 12 2 1 3
1 11 1
fx f x P y y
y yy y

+ = ⇔ += ⇒ = −+ = + + −

+ ++ +

Mặt khác
( )
( )
min
99
2 1 22 1. 62 62 3.
11
yy P
yy
++ ≥ + = ⇒ = −
++
Chọn D.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1: Tìm tập xác định
D
của hàm số
2
2
.
xx
ye
+
=
A.
.D
=
B.
[
]
0; 2 .
D
=
C.
{ }
\ 0; 2 .D =
D.
.D = ∅
Câu 2: Tìm tập xác định
D
của hàm số
( )
3
2
2yxx
−
= +−
A.
( )
0; .D = +∞
B.
.D
=
C.
( ) ( )
; 2 1; .D = −∞ − ∪ +∞
D.
{ }
\ 2;1 .D = −
Câu 3: Tìm tập xác định
D
của hàm số
( )
3
21.yx= −
A.
.D =
B.
1
;.
2

+∞


C.
1
;.
2

+∞


D.
1
\.
2
D

=


Câu 4: Tìm tập xác định
D
của hàm số
( )
2
3
log 4 3y xx= −+
A.
( ) ( )
;1 3; .
D = −∞ ∪ +∞
B.
( )
1; 3 .
C.
( )
;1 .−∞
D.
( )
3; .+∞
Câu 5: Tìm tập xác định
D
của hàm số
( )
2
ln 5 6y xx
= −+ −
A.
( ) ( )
; 2 3; .D = −∞ ∪ +∞
B.
( )
2;3 .
C.
(
] [
)
; 2 3; .−∞ ∪ +∞
D.
[ ]
2;3 .
Câu 6: Tìm tập xác định
D
của hàm số
( )
( )
4
2
3
log 3 log 5 4y x xx
= − + −+ −
A.
(
] [
)
;1 4; .−∞ ∪ +∞
B.
(
) (
)
;1 4; .D
= −∞ ∪ +∞
C.
( ) { }
1; 4 \ 3 .
D.
( )
1; 4 .
Câu 7: Tìm tập xác định
D
của hàm số
(
)
2
2009
2018
log 2
x
y
xx
=
−+
A.
[
]
0; 2 .
B.
( )
0; 2 .
C.
[ ]
{
}
0; 2 \ 1 .
D.
( ) { }
0; 2 \ 1 .
Câu 8: Tìm tập xác định
D
của hàm số
2
log
3
x
x
y
x
=
−
A.
( ) { }
0;3 \ 1 .
B.
( )
0;3 .
C.
( )
1; 3 .
D.
( )
0;1 .
Câu 9: Tìm tập xác định
D
của hàm số
( )
3
2
27 .yx
π
= −
A.
{ }
\ 2.D =
B.
.D =
C.
[
)
3; .D = +∞
D.
( )
3; .D = +∞
Câu 10: Tìm tập xác định
D
của hàm số
( )
3
2
2.yxx
−
= −−
A.
.D =
B.
{ }
\ 1; 2 .D = −
C.
( ) ( )
; 1 2; .D = −∞ − ∪ +∞
D.
(
)
0; .D = +∞
Câu 11: Tìm tập xác định
D
của hàm số
( )
1
2
3
34 2.y xx x=−+ + + −
A.
(
]
1; 2 .D = −
B.
{ }
1; 2 .
D = −
C.
(
]
;2 .D = −∞
D.
( )
1; 2 .D = −
Câu 12: Tập xác định
D
của hàm số
(
)
2
2
log 3 2
y xx= −−
là
A.
( )
1; 3 .D = −
B.
( )
0;1 .D =
C.
(
)
1;1 .
D = −
D.
(
)
3;1 .
D = −
Câu 13: Tập xác định
D
của hàm số
( )
1
ln 1
2
yx
x
= +−
−
là
A.
[ ]
1; 2 .D =
B.
( )
1; .D
= +∞
C.
( )
1; 2 .D =
D.
( )
0; .D = +∞
Câu 14: Tìm tất cả các giá trị
m
để hàm số
( )
2
3
log 4 4 3y x xm= −−
xác định trên
.
A.
3
.
4
m
≥
B.
1
.
3
m ≥−
C.
2.m ≤
D.
1
.
3
m ≤−
Câu 15: Cho hàm số
( )
2
2
log 3 1.y x xm= −+ −
Tìm tất cả các giá trị
m
để hàm số có tập xác định là
.
A.
9
.
4
m ≤
B.
17
.
4
m ≤
C.
17
.
4
m ≥
D.
9
.
4
m ≥
Câu 16: Có bao nhiêu số nguyên
để hàm số
( )
2018
log 10
yx= −
xác định.
A. 10. B. 2018. C. Vô số. D. 9
Câu 17: Tìm giá trị thực của tham số
m
để hàm số
(
)
2
2
y xm= +
có tập xác định là
.
A.
.m
∀∈
B.
0.m ≠
C.
0.m >
D.
0.m ≥
Câu 18: Có mấy giá trị nguyên của
( )
2018; 2018
m ∈−
để hàm số
( )
5
2
21y x xm= − −+
xác định
.x
∀∈
A. 4036. B. 2018. C. 2017. D. Vô số
Câu 19: Tìm tham số
m
để hàm số
( )
2
log 2 4y x mx= −+
có tập xác định là
.
A.
2 2.
mm<− ∨ >
B.
2.m =
C.
2.m <
D.
2 2.m−< <
Câu 20: Số giá trị nguyên của
m
trên đoạn
[ ]
2018; 2018
−
để hàm số
( )
2
ln 2 1y x xm= − −+
có tập xác định
là
.
A. 2019. B. 2017. C. 2018. D. 1009.
Câu 21: Tính đạo hàm của hàm số
sin 2 3
x
yx= +
A.
1
2 cos 2 3 .
x
y xx
−
′
= +
B.
cos 2 3 .
x
yx
′
=−+
C.
2cos 2 3 ln 3.
x
yx
′
=−−
D.
2cos 2 3 ln 3.
x
yx
′
= +
Câu 22: Đẳng thức nào sau đây đúng với mọi số dương
?x
A.
(
)
log .
ln10
x
x
′
=
B.
(
)
ln10
log .x
x
′
=
C.
( )
1
log .
ln10
x
x
′
=
D.
( )
log ln10.xx
′
=
Câu 23: Tính đạo hàm của hàm số
( )
2
log .
x
y xe
= +
A.
1
.
ln 2
x
e
+
B.
( )
1
.
ln 2
x
x
e
xe
+
+
C.
1
.
x
x
e
xe
+
+
D.
(
)
1
.
ln 2
x
xe
+
Câu 24: Tính đạo hàm của hàm số
2
lnyx x= +
A.
2 ln
1.
x
y
x
′
= +
B.
1 2 ln .yx
′
= +
C.
2
1.
ln
y
xx
′
= +
D.
1 2ln.y xx
′
= +
Câu 25: Cho hàm số
2
1
.
2
x
y xe
=
Khẳng định nào đúng?
A.
( )
1.
x
y y ex
′′ ′
−= +
B.
( )
1.
x
y y ex
′′ ′
−= −
C.
( )
1.
x
y y ex
′′ ′
+= −
D.
( )
1.
x
y ye x
′′ ′
+ = −+
Câu 26: Tính đạo hàm của hàm số
2
9
x
x
y
+
=
A.
(
)
2
1 2 2 ln 3
.
3
x
x
y
++
′
=
B.
( )
2
1 2 2 ln 3
.
3
x
x
y
−+
′
=
C.
( )
2
1 2 ln 3
.
3
x
x
y
++
′
=
D.
( )
2
1 2 ln 3
.
3
x
x
y
−+
′
=
Câu 27: Cho
0, 1.aa>≠
Khẳng định nào đúng?
A. Tập giá trị của hàm số
log
a
yx=
là khoảng
( )
;.−∞ +∞
B. Tập xác định của hàm số
x
ya=
là khoảng
( )
0; .+∞
C. Tập xác định của hàm số
log
a
yx=
là khoảng
(
)
;.−∞ +∞
D. Tập giá trị của hàm số
x
ya=
là khoảng
( )
;.−∞ +∞
Câu 28: Trong các hàm số sau, hàm số nào nghịch biến trên
?
A.
.
3
x
e
y

=


B.
1
2
log .yx
=
C.
2
.
3
x
y
−

=


D.
5
log .yx=
Câu 29: Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên tập xác định của nó?
A.
ln .yx=
B.
0,90
log .yx=
C.
3
.
4
x
y

=



D.
3
.yx
−
=
Câu 30: Hàm số
( )
2
9
log 2y xx= −
nghịch biến trên khoảng
A.
( )
1; .+∞
B.
( )
;0 .−∞
C.
( )
1;1 .−
D.
( )
0; .+∞
Câu 31: Cho hàm số
( )
ln 1 .yx x=−+
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên
( )
1; 0 .−
B. Hàm số đạt cực đại tại
0.x =
C. Hàm số đồng biến trên
( )
1; .− +∞
D. Hàm số đạt cực tiểu tại
0.
x =
Câu 32: Hàm số
2
lnyx x=
đạt cực trị tại điểm
A.
.xe=
B.
1
0, .xx
e
= =
C.
0.x =
D.
1
.
x
e
=
Câu 33: Tìm đạo hàm của hàm số
( )
ln 1 .yx x= −
A.
' ln .yx=
B.
' 1.y =
C.
1
'1 .y
x
= −
D.
' ln 1.yx= −
Câu 34: Cho hàm số
( )
2
ln .
x
y em
= +
Với giá trị nào của
m
thì
(
)
1
'1 .
2
y =
A.
.me=
B.
.me= −
C.
1
.m
e
=
D.
.
me
= ±
Câu 35: Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên
?
A.
( )
31.
x
y = −
B.
( )
.
x
ye
π
= −
C.
.
x
y
π
=
D.
( )
2.
x
ye= −
Câu 36: Hỏi với giá trị nào của
a
thì hàm số
( )
3
x
ya= −
nghịch biến trên
?
A.
2 3.a<<
B.
0 1.a<<
C.
2.a
>
D.
0.a <
Câu 37: Hàm số nào sau đây đồng biến trên
( )
0; .+∞
A.
3
log .
yx=
B.
31
log .
yx
−
=
C.
52
log .yx
−
=
D.
21
log .yx
−
=
Câu 38: Hàm số
( )
2
2
log 2y xx= −
đồng biến trên khoảng
A.
( )
1; .+∞
B.
( )
2; .+∞
C.
( )
1;1 .−
D.
( )
0; .+∞
Câu 39: Cho hàm số
ln
.
x
y
x
=
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
2
1
y xy
x
′
+=
B.
1
y xy
x
′
+=−
C.
2
1
y xy
x
′
+=−
D.
1
y xy
x
′
+=
Câu 40: Tìm khoảng nghịch biến của hàm số
( )
2
2
log 2 1 .
y xx= −−
A.
(
)
1; .+∞
B.
1
;
2

−∞ −


C.
1
;
4

−∞


D.
1
;
4

+∞


Câu 41: Cho hàm số
( )
ln 1 .yx x=−+
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên
( )
1; 0−
B. Hàm số đạt cực đại tại
0x =
C. Hàm số đồng biến trên
( )
1;− +∞
D. Hàm số đạt cực tiểu tại
0
x =
Câu 42: Có bao nhiêu số tự nhiên
m
để hàm số
3
log
21
xm
y
mx
−
=
+−
xác định trên
( )
2;3 .
A. 1. B. 2. C. 3. D. Vô số
Câu 43: Cho hàm số
(
)
2
2
log 3 1.y x xm
= −+ −
Tìm
m
để hàm số có tập xác định
.
D =
A.
9
.
4
m ≤
B.
17
.
4
m ≤
C.
17
.
4
m ≥
D.
9
.
4
m ≥
Câu 44: Hàm số
( )
2
log 4 2
xx
ym= −+
có tập xác định là
khi
A.
1
.
4
m <
B.
0.
m >
C.
1
.
4
m ≥
D.
1
.
4
m >
Câu 45: Tính đạo hàm của hàm số
3
23
y xx=
trên khoảng
(
)
0; .+∞
A.
3
4
'.
3
yx=
B.
6
7
'.
6
yx=
C.
7
6
'.
7
y
x
=
D.
9
4
'.
3
yx=
Câu 46: Cho hàm số
( )
2
ln .
x
y em= +
Với giá trị nào của
m
thì
( )
1
1.
2
y
′
=
A.
.me=
B.
.
me= −
C.
1
.
m
e
=
D.
.me= ±
Câu 47: Cho hàm số
2
..
x
y xe
−
=
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số không có điểm cực trị.
B. Hàm số chỉ có điểm cực tiểu, không có điểm cực đại.
C. Hàm số đạt cực đại tại
0x =
và đạt cực tiểu tại
2.x =
D. Hàm số đạt cực tiểu tại
0x =
và đạt cực đại tại
2.x =
Câu 48: Giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
22
log 4 log 1yx x=−+
trên đoạn
[ ]
1; 8
là
A.
2−
B. 1 C.
3−
D. 2
Câu 49: Tìm tập xác định
D
của hàm số
(
)
1
2
3
34 2.
y xx x=−+ + + −
A.
(
]
1; 2 .D = −
B.
[ ]
1; 2 .D = −
C.
(
]
;2 .D = −∞
D.
( )
1; 2 .D = −
Câu 50: Tập xác định
D
của hàm số
( )
( )
4
4
2 log 1yx x
−
=−+ −
là
A.
( )
2; .D = +∞
B.
( )
1; 2 .D =
C.
( ) ( )
1; 2 2; .D = ∪ +∞
D.
( )
1; .D = +∞
Câu 51: Tập xác định
D
của hàm số
1
2
2
log
2
x
y
x
−
=
+
là
A.
( )
2; 2 .D = −
B.
[
)
0; 2 .D =
C.
( ) ( )
1; 2 2; .D = ∪ +∞
D.
( )
[
)
;2 0;2 .D = −∞ ∪
Câu 52: Tập xác định
D
của hàm số
( ) ( )
4
4
2 log 1yx x
−
=−+ −
là
A.
( )
2; .D = +∞
B.
(
)
1; 2 .
D
=
C.
(
) (
)
1; 2 2; .D = ∪ +∞
D.
( )
1; .
D = +∞
Câu 53: Tìm tập xác định
D
của hàm số
( )
3
2
3.y xx

= +

A.
( )
;.D = −∞ +∞
B.
( ) { }
3; \ 0 .D = − +∞
C.
( )
0; .D = +∞
D.
( )
3; .D = − +∞
Câu 54: Tìm tham số
m
để hàm số
(
)
2
3
log 2 1y x mx m
= −+ + +
xác định
( )
1; 2 .x∀∈
A.
1
.
3
m ≥−
B.
3
.
4
m ≥
C.
3
.
4
m >
D.
1
.
3
m <−
Câu 55: Hỏi hàm số
2
44xx
ye
−+
=
đồng biến trên những khoảng nào sau đây?
A.
.
B.
( ) ( )
; 2 2; .−∞ ∪ +∞
C.
( )
2; .+∞
D.
( )
;2−∞
và
( )
2; .+∞
Câu 56: Giá trị nhỏ nhất của hàm số
x
y xe=
trên
[ ]
2; 0−
bằng
A. 0. B.
2
2
.
e
−
C.
.e−
D.
1
.
e
−
Câu 57: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
3
33xx
ye
−+
=
trên đoạn
A.
[ ]
2
0;2
max ye=
B.
[ ]
3
0;2
max ye=
C.
[ ]
5
0;2
max ye
=
D.
[ ]
0;2
max ye=
Câu 58: Giá trị nhỏ nhất của hàm số và giá trị lớn nhất của hàm số
lnyx x
= −
trên đoạn
1
;
2
e



A. 1 và
1.e
−
B.
1
ln 2
2
+
và
.e
C. 1 và
.e
D. 1 và
1
ln 2.
2
+
Câu 59: Giá trị nhỏ nhất của hàm số
( )
2
3 12 1 3 2
3
xx
fx e x x
−+
= +−
trên đoạn
[ ]
1; 3
là
A.
11
4.e
−
−
B.
8
.e
C.
9
3.e
−
−
D.
12
4.e
−
−
Câu 60: Tìm tham số
m
để hàm số
( )
22
log 2 5 5y x xm m= −−+ −
có tập xác định là
.
A.
2m ≥
B.
23
m<<
C.
3m ≤
D.
23mm<∨ >
Câu 61: Cho hàm số
( )
( )
ln 2
x
fx e m= +
thỏa mãn
(
)
3
ln 2 .
2
f
′
−=
Mệnh đề nào đúng?
A.
( )
1; 3m ∈
B.
( )
5; 2m ∈− −
C.
( )
1;m ∈ +∞
D.
( )
;3m ∈ −∞
Câu 62: Cho hàm số
( )
2
.
x
y x mx e= +
Biết
(
)
01y
′
=
thì
( )
1y
′
bằng
A.
6e
B.
3e
C.
5e
D.
4e
Câu 63: Cho hàm số
ln 4
ln 2
x
y
xm
−
=
−
với
m
là tham số. Gọi
S
là tập hợp các giá trị nguyên dương của
m
để
hàm số đồng biến trên khoảng
( )
1; .e
Tìm số phần tử của
.S
A. 2. B. 4 C. 3. D. 1.
Câu 64: Cho hàm số
(
)
2
4 ln 3 .
yx x=+−
Tìm giá trị cực đại
CÑ
y
của hàm số đã cho.
A.
4.
CÑ
y =
B.
= 2.
CÑ
y
C.
=1.
CÑ
y
D.
= +1 4ln2.
CÑ
y
Câu 65: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
2 lnyx x= −
trên đoạn
1
;.
ee
−


A.
1
1
22
;
;
max 2, min 2.
ee
ee
ye ye
−
−
−




=−=+
B.
1
1
2
;
;
max 2, min 1.
ee
ee
ye ym
−
−
−




=+==
C.
1
1
2
;
;
max 1, min 1.
ee
ee
ye y
−
−
−




=+=
D.
1
1
2
;
;
max 2, min 1.
ee
ee
ye y
−
−




=−=
Câu 66: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
3
33xx
ye
−+
=
trên đoạn
[ ]
0; 2 .
A.
[ ]
2
0;2
max .
ye=
B.
[ ]
3
0;2
max .ye=
C.
[ ]
5
0;2
max .
ye=
D.
[ ]
0;2
max .ye=
Câu 67: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
32
3 95
x xx
ye e e=+ −+
trên
( )
ln 2;ln 5−
là
A. 160 và 0. B. 106 và 0. C. 601 và 1. D. 610 và 1.
Câu 68: Đường cong ở hình bên là đồ thị của một hàm số trong
bốn hàm số được liệt kê dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số
nào?
A.
2
2 1.yx x=−+ +
B.
0,5
log .yx=
C.
1
.
2
x
y
=
D.
2.
x
y =
Câu 69: Đồ thị hình bên là đồ thị của hàm số nào?
A.
2
log 1.yx= +
B.
( )
2
log 1 .
yx= +
C.
3
log .yx=
D.
( )
3
log 1 .yx= +
Câu 70: Cho
, , abc
là các số thực dương khác 1. Đồ thị hàm số
,
x
ya
=
,
x
yb
=
x
yc=
được cho trong
hình bên. Chọn khẳng định đúng?
A.
1.
cab<<<
B.
1.
cab<<<
C.
1.c ba<< <
D.
1.c ab
<< <
Câu 71: Cho
, , abc
dương và khác 1. Đồ thị hàm số
log ,
a
yx=
log ,
b
yx=
log
c
yx=
như hình vẽ. Khẳng định nào
đúng?
A.
.acb>>
B.
.abc>>
C.
.cba>>
D.
.bca
>>
Câu 72: Cho
a
và
b
là các số thực dương khác 1. Biết rằng
bất kì đường thẳng nào song song với trục tung mà cắt các đồ
thị
log , log
ab
y xy x= =
và trục hoành lần lượt tại
,A
B
và
H
ta đều có
2 3.HA HB=
Khẳng định nào đúng?
A.
23
1.
ab
=
B.
3 2.
ab=
C.
32
1.ab =
D.
2 3.ab=
Câu 73: Cho các đồ thị
log ; y log
ab
yx x= =
có các đồ
thị như hình vẽ. Đường thẳng
2x =
cắt trục hoành và
các đồ thị trên tại các điểm
,,ABC
biết rằng
7 3.AB BC=
Khi đó:
A.
34
.ab
−
=
B.
34
.ab=
C.
47
.ab
−
=
D.
3 4.
ab= −
Câu 74: Cho hình vuông
ABCD
có diện tích bằng 36,
AB

là một véctơ chỉ phương của đường thẳng
0.
y
=
Các điểm
, , ABC
lần lượt nằm trên đồ thị hàm số
log , 2 log , 3log .
aaa
y xy xy x= = =
Tìm
.a
A.
6
3.a =
B.
3.a =
C.
3
6.a =
D.
6.a
=
Câu 75: Đồ thị hàm số
( )
y gx
=
đối xứng với đồ thị của hàm số
x
ya=
( )
0, 1aa>≠
qua điểm
( )
1;1 .I
Giá
trị của biểu thức
1
2 log
2018
a
g

+


bằng
A. 2016. B.
2020.
−
C. 2020. D.
2016.
−
Câu 76: Cho
1 64.x
<<
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
42
2 22
8
log 12 log .log .Px x
x
= +
A.
max 64.P =
B.
max 96.P =
C.
max 82.P =
D.
max 81.P
=
Câu 77: Cho
, 1.
ab
>
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
4
11
log log
ab
ab
S
ab
= +
bằng
A.
4
9
B.
9
4
C.
9
2
D.
1
4
Câu 78: Cho hai số thực dương
,
xy
thỏa mãn điều kiện
21
2
3.
1
xy x y
xy
xy
− −−
+
=
−
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
4Sx y= +
bằng
A.
4 3 9.+
B.
6 4 3.+
C.
2 3 2.−
D.
43 6−
Câu 79: Cho dãy số
( )
n
u
thỏa mãn
18 18
11
44
5
uu
uu
e ee e
+ −=
và
1
3
nn
uu
+
= +
với mọi
1.n ≥
Giá trị lớn nhất
của
n
để
3
log ln 2018
n
u <
bằng
A. 1419. B. 1418. C. 1420. D. 1417.
Câu 80: Cho
, xy
với
0x ≥
thỏa mãn
(
)
31 1
3
1
5 5 1 1 5 3.
5
x y xy xy
xy
xy y
+ + −−
+
+ + + += + −
Gọi
m
là giá trị nhỏ
nhất của biểu thức
2 1.
Tx y=++
Mệnh đề nào đúng?
A.
( )
0;1 .m ∈
B.
( )
1; 2 .m ∈
C.
( )
2;3 .m ∈
D.
( )
1; 0 .m ∈−
Câu 81: Cho hàm số
( )
2018
ln .
1
x
fx
x
=
+
Tính
( ) ( ) ( ) ( )
' 1 ' 2 ... ' 2017 ' 2018 .Sf f f f= + ++ +
A.
2018
.
2019
S =
B.
1.S =
C.
ln 2018.S =
D.
2018.S =
Câu 82: Tính tổng
( ) ( ) ( ) ( ) (
)
2018 2017 2016 ... 0 1 ... 2018 .S f f ff f= − + − ++ + ++


Biết hàm số
( )
fx
có dạng
( )
1
.
2018 2018
x
fx=
+
A.
2018.S =
B.
1
.
2018
S
=
C.
2018.S =
D.
2018
.
2018
S =
Câu 83: Cho hàm số
( )
( )
(
)
2 2017 2 2018
1 ln 1 sin 2
f x a x x bx x= + ++ + +
với
, ab
là các số thực và giá trị
( )
log 5
7 6.f
=
Tính
(
)
log 7
5.
f −
A.
( )
log 7
5 2.
f −=
B.
(
)
log 7
5 4.f −=
C.
( )
log 7
5 2.f −=−
D.
( )
log 7
5 6.
f −=
Câu 84: Có bao nhiêu giá trị của
m
để giá trị nhỏ nhất của hàm số
( )
2
4
xx
fx e e m=−+
trên đoạn
[ ]
0; ln 4
bằng 6?
A. 3. B. 4. C. 1. D. 2.
LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1: Điều kiện :
.D
=
Chọn A.
Câu 2: Điều kiện :
{ } { }
2
2 0 2;1 \ 2;1 .xx x D+ − ≠ ⇔ ≠− ⇒ = −
Chọn D.
Câu 3: Điều kiện :
1
2 10 .
2
xx−> ⇔ >
Chọn B.
Câu 4: Điều kiện :
2
3
4 30 .
1
x
xx
x
>
− +>⇔
<
Chọn A.
Câu 5: Điều kiện :
2
5 6 0 2 3.xx x− + −>⇔<<
Chọn B.
Câu 6: Điều kiện :
2
30
3
.
14
5 40
x
x
x
xx
−≠
≠
⇔

<<
− + −>
Chọn C.
Câu 7: Điều kiện :
( )
2
2
2
2
2019
20
20 0 2
.
1
log 2 0
21
xx
xx x
x
xx
xx
−+ >
− + > <<

⇔⇔

≠
−+ ≠
−+ ≠
Chọn D.
Câu 8: Điều kiện :
2
0
3
03
0.
1
1
x
x
x
x
x
x
>
−
<<
>⇔

≠
≠
Chọn A.
Câu 9: Điều kiện:
3
27 0 3.
xx
− >⇔>
Chọn D.
Câu 10: Điều kiện:
{ }
2
2 0 1; 2 .xx x− − ≠ ⇔ ≠−
Chọn B.
Câu 11: Điều kiện:
2
14
3 40
1 2.
2
20
x
xx
x
x
x
−< <
− + +>
⇔ ⇔− < ≤

≤
−≥
Chọn A.
Câu 12: Điều kiện:
2
3 2 0 3 1.
xx x− − > ⇔− < <
Chọn D.
Câu 13: Điều kiện:
20 2
1 2.
10 1
xx
x
xx
−> <

⇔ ⇔< <

−> >

Chọn C.
Câu 14: Ta có
2
1
4 4 3 0 ' 0 4 12 0 .
3
x xm m m− − >⇔∆<⇔+ <⇔ <−
Chọn D.
Câu 15: Điều kiện :
( )
2
2
2
2
2
log 3 1 0
3 20
30
30
x xm
x xm
x xm
x xm
− + −≥
− + −≥

⇔

− +>
− +>
( )
17
94 2 0
17
4
.
9
4
94 0
4
m
m
m
m
m
≥
− −≤

⇔ ⇔ ⇔≥

−<
>
Chọn C.
Câu 16: Điều kiện:
{ }
10 0 10 0 10 1; 2;...;9 .xx x x−>⇔<⇒<<⇒∈
Chọn D.
Câu 17: Ta có
2
0 0.xm m+ >⇔ >
Chọn C.
Câu 18: Ta có
( )
2
2 1 0 ' 0 1 1 0 0 2018 0x xm m m m− −+>⇔∆<⇔−−+ <⇔ <⇒− < <
Mà
{ }
2017;...; 1 .mm∈ ⇒ ∈− −
Chọn C.
Câu 19: Điều kiện:
22
2 4 0 ' 0 4 0 2 2.
x mx m m
− +>⇔∆<⇔ −<⇔−< <
Chọn D.
Câu 20: Điều kiện:
(
)
2
2 10 '0 1 1 0 0x xm m m
− −+>⇔∆<⇔−−+ <⇔ <
Mà
{
}
2018;...; 1 .
mm∈ ⇒ ∈− −
Chọn B.
Câu 21:
' 2cos 2 3 ln 3.
x
yx= +
Chọn D.
Câu 22:
( )
1
log ' .
ln10
x
x
=
Chọn C.
Câu 23:
(
)
1
'.
ln 2
x
x
e
y
xe
+
=
+
Chọn B.
Câu 24:
1 2 ln
' 1 2ln . 1 .
x
yx
xx
=+=+
Chọn A.
Câu 25: Ta có
( )
2
1
' " ' " ' 1.
2
x x x xx x
y xe x e xe y y e xe y y y x e= + = +⇒ = + + ⇒ − = +
Chọn A.
Câu 26:
(
)
( )
(
) (
)
2
2
9 2 .9 ln 9 1 2 .2 ln 3 1 2 2 ln 3
'.
93
9
xx
xx
x
xx x
y
−+ −+ − +
= = =
Chọn B.
Câu 27: Tập giá trị của hàm số
log
a
yx=
và
x
ya=
lần lượt là
( )
;−∞ +∞
và
( )
0; .+∞
Tập xác định của hàm số
log
a
yx=
và
x
ya=
lần lượt là
( )
0; +∞
và
( )
;.−∞ +∞
Chọn A.
Câu 28: Loại ngay B và D vì TXĐ của hai hàm số xác định trên
( )
0; +∞
Đáp án A đúng vì
1
3
e
a = <
còn C thì
3
2
x
y

=


có
3
1.
2
a = >
Chọn A.
Câu 29: Ta có
lnyx=
đồng biến trên TXĐ của nó vì
( )
1
' 0, 0; .yx
x
= > ∀ ∈ +∞
Chọn A.
Câu 30:
( )
( )
2
12
22 1
' 0 0.
0
2
2 ln 9
x
xx
y
x
xx
xx
<<
−−
= <⇔ <⇔
<
−
−
Chọn B.
Câu 31:
( )
2
11
'1 " 0
11
1
x
yy
xx
x
=− = ⇒ = >⇒
++
+
Hàm số đạt cực tiểu tại
0.x =
Chọn D.
Câu 32:
1
2
2
11
' 2 ln . 0 2 ln 1 0 .y x xx x xe
x
e
−
= + = → + = ⇔ = =
Chọn D.
Câu 33:
( )
1
' ln 1 . ln 1 1 ln .y xx x x
x
= − + = −+=
Chọn A.
Câu 34: Ta có
2
'.
x
x
e
y
em
=
+
Mà
(
)
2
2
11
'1 .
22
e
y mem e
me
=⇔ =⇔ =⇔=±
+
Chọn D.
Câu 35: Ta có
1
π
>
nên hàm số
x
y
π
=
đồng biến. Chọn C.
Câu 36: Hàm số nghịch biến khi
0 3 1 2 3.aa
<− <⇔ < <
Chọn A.
Câu 37: Hàm số
3
log x
có
31
>
nên là hàm số đồng biến. Chọn A.
Câu 38: Điều kiện:
2
2
20 .
0
x
xx
x
>
− >⇔
<
Ta có
( )
2
22
'.
2 ln 2
x
y
xx
−
=
−
Hàm số đồng biến khi
( )
2
22
' 0 0 1.
2 ln 2
x
yx
xx
−
>⇔ >⇔>
−
Kết hợp với điều kiện suy ra
2.x >
Chọn B.
Câu 39:
22
1
. ln
1 ln ln 1 ln 1
' '.
xx
x xx
x
y y xy
x x x xx
−
−−
= = ⇒+ = + =
Chọn D.
Câu 40:
(
)
(
)( )
2
1
41 41
2
' 0 0.
1
12 1
2 1 ln 2
1
4
x
xx
y
xx
xx
x
<−
−−
= <⇔ <⇔
−+
−−
<<
Chọn B.
Câu 41:
(
)
2
11
'1 " 0
11
1
x
yy
xx
x
=− = ⇒ = >⇒
++
+
Hàm số đạt cực tiểu tại
0.x =
Chọn D.
Câu 42: Yêu cầu bài toán
( ) ( )
0
; 2; 3 ; 2; 3
21 0 21
xm x m
xx
m x xm
−> >

⇔ ∀∈ ⇔ ∀∈

+− > < +

(
) ( )
21
1 2.
2;3 ; 2 1
mm
m
mm
<+
⇔ ⇔≤ ≤
⊂+
Chọn B.
Câu 43: Yêu cầu bài toán
( )
22
2
log 3 1 0; 3 2 0;x xm x x xm x⇔ − + −≥ ∀∈ ⇔ − + − ≥ ∀∈
( ) (
)
2
17
3 4 2 0 17 4 0 .
4
m mm
′
⇔∆=− − − ≤⇔ − ≤⇔ ≥
Chọn C.
Câu 44: Yêu cầu bài toán
( )
( )
2
4 2 0; 2 2 0; * .
xx x x
mx mx⇔ − + > ∀∈ ⇔ − + > ∀∈
Đặt
2 0,
x
t = >
khi đó
( )
( )
{ }
22 2
0;
* 0 ; 0 maxt tm mtt t m tt
+∞
⇔ −+ >⇔ >− ∀>⇔ > −
Xét hàm số
( )
2
ft t t= −
trên
( )
0; ,+∞
có
( )
1 2;ft t
′
= −
( )
1
0.
2
ft t
′
= ⇔=
Do đó
( )
( )
0;
11
max .
24
ft f
+∞

= =


Vậy
1
4
m >
là giá trị cần tìm. Chọn D.
Câu 45:
71
37
33
3
23 2
6
66
22
77
..
66
y x x xx x x y x x
′
= = = = ⇒= =
Chọn B.
Câu 46:
( )
2
2
ln
x
x
x
e
y em y
em
′
= + → =
+
mà
( )
1
1.
2
y me
′
=⇒=±
Chọn D.
Câu 47: Xét hàm số
( )
2
.
x
f x xe
−
=
trên
(
)
;,−∞ +∞
có
( )
(
)
2
2 ..
x
fx xx e
−
′
= −
Phương trình
( )
2
0
02 0 .
2
x
fx xx
x
=
′
=⇔−=⇔
=
Dựa vào bảng biến thiên, suy ra hàm số đạt cực tiểu tại
0.x
=
Chọn D.
Câu 48: Đặt
[ ]
( ) ( )
2
2
log 0; 3 4 1 2 4 0 2
′
= ∈ → = − + ⇒ = − = ⇔ =t x ft t t f t t t
( ) ( ) ( )
[ ]
( )
0;3
0 1; 3 2; 2 3 min 3.f f f ft → = = − = − ⇒ = −
Chọn C.
Câu 49: Ta có
2
14
3 40
1 2.
2
20
x
xx
x
x
x
−< <
− + +>
⇔ ⇔− < <

<
−>
Chọn D.
Câu 50: Ta có
20 2
.
10 1
xx
xx
−≠ ≠

⇔

−> >

Chọn C.
Câu 51: Ta có
1
2
20
2
22
2
0 22 02.
22
2
2
2
1
log 0
2
2
x
x
x
x
xx
xx
x
x
x
x
x
+≠
≠−
−< <
−
> ⇔−<<⇔ ⇔≤<

−≤+
+

−
−

≤
≥
+
+
Chọn B.
Câu 52: Ta có
20 2
.
10 1
xx
xx
−≠ ≠

⇔

−> >

Chọn C.
Câu 53: Ta có
( )
2
0
30 .
3
x
xx
x
≠
+ >⇔
>−
Chọn B.
Câu 54: Ta có
(
) ( ) ( )
2
2
1
2 1 0, 1; 2 , 1; 2
2
x
x mx m x m f x x
x
−
− + + + > ∀∈ ⇔ > = ∀∈
+
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
2
2
22 1
33
' 0, 1; 2 1 0; 2 .
44
2
xx x
fx x f f m
x
+− −
→ = > ∀ ∈ → = = ⇒ >
+
Chọn C.
Câu 55: Ta có
( )
2
44
'24 .
xx
y xe
−+
= −
Hàm số đồng biến khi
' 0 2.yx>⇔>
Chọn C.
Câu 56: Ta có
( )
( ) ( ) ( )
2
2; 0
21
1 2 ; 0 0; 1 .
'0
xx
x
x y yy
ee
y e xe
∈−
⇔ = − → − = − = − = −
=+=
Chọn D.
Câu 57: Ta có
( )
( )
( ) ( ) ( )
3
35
2 33
0; 2
1 0 ;2 ;1 .
'3 3 0
xx
x
x y ey ey e
yxe
−+
∈
⇔ = → = = =
=−=
Chọn C.
Câu 58: Ta có
( ) ( )
1
;
11
2
1 ln 2; y 1; 1 1.
22
1
'1 0
xe
x y ee y
y
x

∈



⇔ = → = + = − =


=−=
Chọn A.
Câu 59: Ta có
( )
( )
( )
2
3 12 1 2
1; 3
2
' 6 12 3 6 0
xx
x
x
fx x e x x
−+
∈
⇔=
= − + −=
(
) (
)
( )
8 8 11
1 2; 3 ; 2 4.
f e f ef e
− −−
→ = − = = −
Chọn A.
Câu 60:
22 2 2
2 5 5 0, 5 5 2 ,xxmm x mm xxx− − + − > ∀∈ ⇔ − + < − ∀∈
2
5 5 1 2 3.mm m⇔ − + <− ⇔ < <
Chọn B.
Câu 61:
( ) ( )
2 13 1
' ' ln 2 .
2 12 3
x
x
e
fx f m
em m
= ⇒ − = =⇒=−
++
Chọn D.
Câu 62:
( )
( )
( ) ( )
2
' 2 '0 1 '1 3 2 5.
xx
y x m e x mx e y m y e e e
= + + + ⇒ ==⇒ =+=
Chọn C.
Câu 63: Đặt
( )
ln 0;1 .t xt= ⇒∈
Khi đó
4
.
2
t
y
tm
−
=
−
Ta có
( )
2
24
'
2
m
y
tm
−+
=
−
Hàm số đồng biến khi
2
2 40
0
0
20 .
1
2
1
21
2
2
m
m
m
m
m
m
m
m
<
− +>
≤

≤
≤⇔ ⇔

≤<

≥
≥
Mà
0 1.mm>⇒ =
Chọn D.
Câu 64: Điều kiện:
3.x <
Ta có
2
1 1 4 ln 2
4 2 64
' 2 ;' 0
24
33
xy
xx
yx y
xy
xx
=⇒=+
− +−
=−= =⇔
=⇒=
−−
Do đó cực đại của hàm số là
4.
CD
y
=
Chọn A.
Câu 65: Ta có
2
' 2 ; ' 0 1.yx y x
x
= − =⇔=
Ta có
( )
( )
( )
12
2
1
1 1, 2, 2y ye ye e
e
−
= =+=−
Do đó suy ra
1
1
2
;
;
max 2, min 1.
ee
ee
ye y
−
−




=−=
Chọn D.
Câu 66: Ta có
( )
3
2 33
' 3 3 ; ' 0 1.
xx
yxe y x
−+
= − =⇔=
Ta có
(
) ( )
( )
35
0 ,1 ,2y e y ey e= = =
Do đó giá trị lớn nhất của hàm số là
5
.e
Chọn C.
Câu 67: Đặt
x
te
=
do
( )
1
ln 2;ln 5 ;5 .
2
xt

∈− ⇒∈


Khi đó
32
3 95yt t t=+ −+
Xét hàm số
( )
32
3 95ft t t t=+ −+
với
1
;5
2
t

∈


ta có
( ) ( )
( )
2
1
' 3 6 9; ' 0 .
3
t
ft t t ft
tl
=
= +− =⇔
= −
Ta có
( ) ( )
1 11
, 1 0, 5 160
28
f ff

= = = ⇒


giá trị lớn nhất và nhỏ nhất là 160 và 0. Chọn A.
Câu 68: Dựa vào đồ thị ta thấy:
- Hàm số có tập xác định là
và đồ thị luôn nằm phía trên trục
Ox
(loại A và B)
- Hàm số là hàm nghịch biến. Chọn C.
Câu 69: Đồ thị hàm số nhận đường thẳng
1x = −
là tiệm cận đứng và xác định với
( )
1;x ∈ − +∞
(loại đáp án
A và C).
Đồ thị hàm số đi qua điểm
( )
2;1
nên
2 1.xy
=⇒=
Do đó đáp án D thỏa mãn. Chọn D.
Câu 70: Dựa vào đồ thị suy ra các hàm số
x
ya=
và
x
yb=
là các hàm số đồng biến nên
,1ab>
Hàm số
x
yc=
là hàm nghịch biến nên
01c<<
Ta thay
100x =
thì
100 100
,ba>
mà
,1ab>
suy ra
.ba>
Do đó
1.ba c
> >>
Chọn D.
Câu 71: Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số
log
a
yx
=
là hàm số đồng biến trên khoảng
(
)
0; +∞
nên
1
a >
Hàm số
log ; log
bc
y xy x= =
là hàm nghịch biến trên khoảng
( )
0; +∞
nên
0 ; 1.cb<<
Thay
100 100
100 100
11
100 0 log 100 log 100 log log
log log
ba
x c b cb
bc
= ⇒> > ⇔ > ⇔ > ⇔>
Vậy
.acb>>
Chọn A.
Câu 72: Ta có
( )
00 0
;log log ;
aa
A x x HA x⇒=
( )
00 0
;log log
bb
B x x HB x⇒=−
(Do
0
log 0)
b
x <
Lại có:
11
23
1
1
3
2
0 0 00
2 3 2 log 3log log log
ab
a
b
HA HB x x x x a b
−
−
= ⇒ =− ⇔ = ⇒=
( )
6
6
1
1
3 2 32
3
2
1.a b a b ab
−
−


⇔ = ⇔= ⇔ =




Chọn C.
Câu 73: Ta có
( ) ( )
2; log 2 ; 2; log 2
ab
BC
Khi đó:
log 2; log 2
ab
AB AC= = −
Do
( )
7 3 7 3 4 3 4 log 2 3log 2
ab
AB BC AB AB AC AB AC=⇔= +⇔=⇔ =−
34
22
log log
.
43
ab
ab
−
−
⇔ = ⇔=
Chọn A.
Câu 74: Do
AB

là một véctơ chỉ phương của đường thẳng
0y = ⇒
2 điểm
A
và
B
có cùng tung độ.
Gọi
(
) ( )
2
log 2 log
;log ; ; 2 log
6
aa
aa
uv
uv
Au u Bv v
AB u v
uv
=
=

⇒⇒

= −
−=
Suy ra
( )
0
22
6 6 3 9 3; 2 log 3
v
a
vv vv v u B
>
− = ⇔ − = ± → = ⇒ = ⇒ =
Do
( )
6
6
6
6
3
3
/ / 3;3log 3 log 3 6 .
1
3
3
aa
a
a
AB Oy BC Ox C BC
a
a
−
=
=
⇒⊥⇒ ⇒= =⇔ ⇒
=
=
Chọn A.
Câu 75: Gọi
( )
;Axy∈
đồ thị hàm số
( )
y gx
=
Lấy đối xứng điểm
A
qua điểm
( )
(
)
1;1 2 ; 2
I Bxy
⇒ −−
thuộc đồ thị hàm số
x
ya=
Do đó
( )
22
22
xx
y a y a gx
−−
−= ⇔=− =
Suy ra
( )
log 2018 log
1
2 log 2 log 2018 2 2 2018 2 2018 2016.
2018
aa
a
aa
gg a

+ =− =− =− =−=−


Chọn D.
Câu 76:
(
)
42 42 43 2
22222222 2
8
log 12 log .log log 12log 3 log log 12 log 36 logPxx xxxxxx
x
=+ =+ −=− +
Đặt
2
logtx=
do
( ) ( )
1;64 0;6 .xt∈ ⇒∈
Khi đó
43 2
12 36
Pt t t=−+
Xét hàm số
( )
43 2
12 36
ft t t t=−+
với
( )
0; 6 .t ∈
Ta có
( ) (
)
( )
(
)
32
0
' 4 36 72 ; ' 0 3
6
tl
ft t t tft t
tl
=
= − + =⇔=
=
Ta có
( )
max 3 81.Pf= =
Chọn D.
Câu 77:
(
)
( )
(
)
11
log log 1 log 1 log
44
ab a b
S ab ab b a= + =+ ++
5 11 5 11 9
log . 2 log . . .
4 4 log 4 4 log 4
aa
aa
bb
bb
=+ + ≥+ =
Dấu
""
=
xảy ra
,1
,1
.
1
log
2
a
ab
ab
b
ba
>
>

⇔⇔

=
=
Chọn B.
Câu 78: Ta có
( ) ( )
1
21 1 2
2
2 32
3 1 .3 2 .3
13 1
xy
xy x y xy x y
xy
xy xy
xy x y
xy xy
−
− −− − +
+
++
= ⇔ = ⇒− =+
−−
Do VT > 0 nên VP > 0
1 0 1.xy xy⇔ −> ⇔ >
Xét hàm số
( ) ( )
.3 0
t
ft t t= >
ta có:
(
)
' 3 .3 ln 3 0
tt
ft t=+>
với
0.t∀>
Do đó hàm số
( )
ft
đồng biến trên khoảng
( )
0; +∞
Ta có:
( ) ( )
( )
1
1 2 12 2 1
2
y
f xy f x y xy x y x y y x
y
+
− = + ⇔ −= + ⇔ − = +⇔ =
−
Do
0 2.xy>⇒>
Khi đó
( ) ( )
13 3
4 4292 .429439
22 2
y
Sy y y
yy y
+
= + = + − +≥ − += +
−− −
Vậy
min
3
2
43 9 .
2
1 23
y
S
x
= +
= +⇔
= +
Chọn A.
Câu 79: Ta có
18 18 18 18
11 1 1
44 4 4
5 50
uu u u
uu u u
e ee e ee ee+ −=⇔−+ −=
(
)
18 18 18
11 1
44 4
18 1
50 0 4
uu u
uu u
ee ee ee u u⇒ − − +=⇔ − =⇔ =
Lại có
1
3
nn n
uu u
+
= +⇒
là cấp số cộng với
(
)
18 1 1 1
3 1 17 51d u u n du du=⇒ =+− =+ =+
Mặt khác
18 1 1 1
4 3 51 17uuu u= ⇒ =⇒=
Ta có:
( )
ln 2018 ln 2018
3
log ln 2018 3 17 3 1 3
nn
uu n< ⇔ < ⇔ + −<
ln 2018
max
3 14
1419,9 1419.
3
n
nn
∈
−
⇔ < ≈ → =
Chọn A.
Câu 80: Ta có
( )
31 1
3
1
5 5 1 1 5 3.
5
x y xy xy
xy
xy y
+ + −−
+
+ + + += + −
(
)
3 3 11
5 5 3 5 5 1*
x y x y xy xy
x y xy
+ −− − − +
⇔ − ++ = − − −
Xét hàm số
( ) ( )
55
tt
f t tt
−
=−+∈
ta có:
(
) ( )
' 5 ln 5 5 ln 5 1 0
tt
ft t
−
= + + > ∀∈
Do đó hàm số
( )
ft
đồng biến trên
Ta có:
(
) ( ) (
)
1
* 3 1 3 13 1 .
3
x
f x y f xy x y xy y xy x y
x
−−
⇔ + = − − ⇔ + =− −⇔ + =−−⇔ =
+
Khi đó
( )
2 2 2 64 4
1 11
33 3
xx
T x x x fx
xx x
+ +−
= − += − += −+ =
++ +
Xét hàm số
( )
fx
với
[
)
0;x ∈ +∞
ta có:
( )
( )
( ) ( )
2
4
'1 0 0
3
f x x fx
x
=− > ∀≥ ⇒
+
đồng biến trên
[
)
0; .+∞
Do đó
( ) ( )
min
1
0 0;1 .
3
Tf= = ∈
Chọn A.
Câu 81: Ta có
( ) ( )
(
)
2018 2018 2018 1 1 1
ln :
1 11 1 1
x xx
fx f x
x x x xx x x
′

′
= → = = = −

+ ++ + +

Suy ra
1 1 1 1 1 1 1 1 2018
1 ... 1 .
2 2 3 3 4 2018 2019 2019 2019
S
 
=−+−+−++ − =− −
 
 
Chọn A.
Câu 82: Ta có
( ) ( )
1
1 11
1.
2018 2018 2018 2018 2018
xx
fx f x
−
+ −= + =
++
Suy ra
( ) ( )
1
2017 2018 ;
2018
ff−+ =
( ) ( )
1
2016 2017 ;...
2018
ff−+ =
Do đó
1
2018.2018. 2018.
2018
S = =
Chọn A.
Câu 83: Ta có
log 5 log 7
75=
suy ra
(
)
(
)
(
)
( )
log 5 log 7
76 6 5 .
f fx f f x
= ⇔ = → − = −
Lại có
( )
( )
(
)
( )
(
)
2 2017 2 2018
1 ln 1 . .sin 2
fx a x x bx x− = + −+ + + − − +
(
)
(
)
(
)
2 2017 2018 2 2 2018
2
1
1 ln sin 2 1 ln 1 sin 2
1
a bx x a x x bx x
xx
=+ −+=−+++−+
++
(
) ( )
2 2 4 4 6 2.fx fx=− − +=− =−=−


Chọn C.
Câu 84: Đặt
,
x
ue=
với
[ ] [ ]
0; l n 4 1; 4 .xu∈ → ∈
Xét hàm số
( )
2
4gu u u m=−+
trên
[ ]
1; 4 ,
có
( )
2 4;gu u
′
= −
( )
0 2.gu u
′
=⇔=
Tính
( )
1 3;gm= −
( )
2 4;gm= −
( )
[ ]
( )
{ }
0;ln 4
4 min ; 4 .g m fx mm= → = −
TH1. Với
[ ]
( )
0;ln 4
6
min 6.
4
m
fx m m
mm
=
= → ⇔ =
>−
TH2. Với
[ ]
( )
0;ln 4
46
min 4 10.
4
m
fx m m
mm
−=
= − → ⇔ =
<−
Vậy có tất cả 2 giá trị nguyên
m
cần tìm. Chọn D.
| 1/52
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

Chủ đề 3: HÀM SỐ LŨY THỪA, MŨ, LOGARIT I. HÀM SỐ LŨY THỪA
1. Định nghĩa: Hàm số y xα =
với α ∈, được gọi là hàm số lũy thừa. 2. Tập xác định
Tập xác định của hàm số y xα = là:
•  với α là số nguyên dương •  \{ }
0 với α là số nguyên âm hoặc bằng 0.
• (0;+∞) với α không nguyên. 3. Đạo hàm Hàm số y xα =
với α ∈ có đạo hàm với mọi x > 0 và (xα ) α 1 ' α.x − =
4. Tính chất của hàm số lũy thừa trên khoảng (0;+∞) • y xα = > 0 ( x ∀ ∈(0;+∞))
• Đồ thị hàm số luôn đi qua điểm (1; ) 1 • Khi α y (xα ) α 1 0 ' ' α.x − > ⇒ = = > 0 ( x
∀ ∈(0;+∞)) hàm số luôn đồng biến
Trong trường hợp này lim xα = ;
+∞ lim xα = 0 do đó đồ thị hàm số không có đường tiệm cận x x 0+ →+∞ → • Khi α y (xα ) α 1 0 ' ' α.x − < ⇒ = = < 0 ( x
∀ ∈(0;+∞)) hàm số luôn nghịch biến
Trong trường hợp này lim xα = 0; lim xα = +∞ do đó đồ thị hàm số nhận trục Ox là đường tiệm cận x x 0+ →+∞ →
ngang và trục Oy là đường tiệm cận đứng.
5. Đồ thị hàm số lũy thừa = a
y x trên khoảng (0;+∞) Đồ thị hàm số α
y = x luôn đi qua điểm I (1; ) 1 .
Lưu ý: Khi khảo sát hàm số lũy thừa với sỗ mũ
cụ thể, ta phải xét hàm số đó trên toàn bộ tập xác
định của nó. Chẳng hạn: Hàm số: 3
y = x (x∈). Hàm số: 4 y x− = (x ≠ 0). 1 Hàm số: 3
y = x (x > 0). II. HÀM SỐ MŨ 1. Định nghĩa a > 0 Cho số thực  . Hàm số x
y = a được gọi là hàm số mũ cơ số . a a ≠ 1 2. Tập xác định
Tập xác định của hàm số x
y = a là : D =  Do x
y = a > 0; x
∀ ∈  suy ra tập giá trị của hàm số x
y = a là T = (0;+∞) 3. Đạo hàm ( xa)′ x = a ln a t Đạo hàm: ( u a )′ u − = a ln . a u ' ⇒ ( x e )′ x = e . Công thức giới hạn: e 1 lim = 1. t→0 t ( ue)′ u = e .u ' Với hàm số x y = a ta có: ' x
y = a ln a
• Với a >1 khi đó ' x
y = a ln a > 0. Hàm số luôn đồng biến
Trong trường hợp a >1 ta có lim y = lim x
a = 0 do đó đồ thị hàm số nhận trục hoành là tiệm cận x→−∞ x→−∞ ngang
• Với 0 < a <1 khi đó ' x
y = a ln a < 0. Hàm số luôn nghịch biến
Trong trường hợp a <1 ta có lim y = lim x
a = 0 do đó đồ thị hàm số nhận trục hoành là tiệm cân x→+∞ x→+∞ ngang
4. Đồ thị hàm số = x y a
Đồ thị hàm số = x
y a nhận trục Ox là tiệm cận ngang và
luôn đi qua các điểm (0; ) 1 và (1;a) Đồ thị hàm số x
y = a nằm phía trên trục hoành ( x
y = a > 0 x ∀ ∈ ) III. HÀM SỐ LOGARIT 1. Định nghĩa a > 0 Cho số thực 
. Hàm số y = log x được gọi là hàm số lôgarít cơ số . a a ≠ 1 a 2. Tập xác định
• Hàm số: y = log x < a ≠ có tập xác định: D = (0;+∞) a (0 )1 Do log x∈ y =
x có tập giá trị là T = . a  nên hàm số loga
• Hàm số y = log P x  ⇒ P x > a  ( ) điều kiện: ( ) 0.
Nếu a chứa biến x thì ta bổ sung điều kiện 0 < a ≠ 1.
Đặc biệt: y = log P  ( x) n  ⇒
P x > nếu n lẻ; P(x) ≠ 0 nếu n chẵn. a  điều kiện: ( ) 0 3. Đạo hàm ′ ′ Đạo hàm: ( ′ u u x ′ = ⇒ = Đặc biệt: (log ′ u u = a ) . a ) ( a ) 1 log log . u ln a x ln a u ln a 4. Tính chất Với hàm số 1
y = log x ⇒ y = x ∀ ∈ +∞ Do đó: a ' ( (0; )). x ln a
• Với a >1 ta có ( x =
> ⇒ Hàm số luôn đồng biến trên khoảng (0;+∞). a ) 1 log ' 0 x ln a
Trong trường hợp này ta có: lim y = −∞ do đó đồ thị hàm số nhận trục tung là tiệm cận đứng. x 0+ →
• Với 0 < a <1 ta có: ( x =
< ⇒ Hàm số luôn nghịch biến trên khoảng (0;+∞). a ) 1 log ' 0 x ln a
• Trong trường hợp này ta có: lim y = +∞ do đó đồ thị hàm số nhận trục tung là tiệm cận đứng. x 0+ →
5. Đồ thị hàm số y = log x a
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là trục Oy và luôn đi qua các điểm (1;0) và ( ) ;1
a và nằm phía bên phải trục
tung vì có tập xác định là D(0;+∞).
Đồ thị nhận trục tung là tiệm cận đứng.
Nhận xét: Đồ thị hàm số x
y = a và y = log x
< a ≠ đối xứng nhau qua đường thẳng y = x, (góc a , (0 )1
phần tư thứ nhất và thứ 3 trong hệ trục tọa độ Oxy).
DẠNG 1. TÌM TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ LŨY THỪA, MŨ, LOGARIT 1
Ví dụ 1: Tìm tập xác định D của hàm số y = ( 2
9 − x )3 + log x −1 . 2 ( )
A. D = (1;+∞). B. D = (1;3). C. D = ( 3 − ;3). D. D = (1; ] 3 . Lời giải: 2 9  − x > 0  3 − < x < 3
Hàm số đã cho xác định khi  ⇔  ⇔ 1< x < 3. x −1 > 0 x > 1
Vậy D = (1;3). Chọn B
Ví dụ 2: Tìm tập xác định D của hàm số y = (x − x − )−log100 2 2 A. D = ( 1; − 2).
B. D =  \ ( 1; − 2). C. D =  \{ 1; − } 2 . D. D =  Lời giải:x ≠ 1 − Ta có: log100 2 − −
= − ∈ ⇒ hàm số y = (x − x − )−log100 2 2 xác định khi 2
x − x − 2 ≠ 0 ⇔  . x ≠ 2 Vậy D =  \{ 1; − } 2 . Chọn C.
Ví dụ 3: Tìm tập xác định D của hàm số y ( 2 x x )e 2x 1 3 + = − +
A. D =  \{0; } 1 . B. D = (0; ) 1 . C.  1 D − ;1 =    . D. 1 D − = ;1  .  2   2  Lời giải: Do 2x 1 3 + > 0( x
∀ ∈ );e∉ nên hàm số y ( 2 x x )e 2x 1 3 + = − + xác định khi 2
x − x > 0 ⇔ 0 < x <1. Vậy D = (0; ) 1 . Chọn B.
Ví dụ 4: Tìm tập xác định D của hàm số 2 4 = 2019 −x y + log 2x − 3 2 ( ) A. 3 D  ;2 =    . B. 3 D  =  ;2. C. D = [2;2]. D. 3 D  = ;2 2     2  2    Lời giải: 2 4 − x ≥ 0  2 − < x < 2
Hàm số đã cho xác định khi 3  ⇔  ⇔ < x ≤ 2. 2x − 3 > 0 2x − 3 > 0 2 Vậy 3 D  ;2 =  . Chọn A. 2   
Ví dụ 5: Tìm tập xác định D của hàm số x 1 y 2019 + = −1 + log x − 2 2 ( )2 A. D = [ 1; − +∞). B. D = [ 1; − +∞) \{ } 2 . C. D = ( 1; − +∞) \{ } 2 .
D. D = [0;+∞) \{ } 2 . Lời giải: x 1 + x 1 + 0 2019 −1≥ 0 2019 ≥ 2019 x +1 ≥ 0 x ≥ 1 −
Hàm số đã cho xác định khi  ⇔  ⇔  ⇔  . x − 2 ≠ 0 x ≠ 2 x ≠ 2 x ≠ 2 Vậy D = [ 1; − +∞) \{ } 2 . Chọn B.
Ví dụ 5: Tìm tập xác định − D của hàm số x 3 y = log + 4 − x π 2 ( ) x + 4 A. D = ( ; −∞ 4 − ) ∪(3;4). B. D = ( ; −∞ 4 − ) ∪(3;4]. C. D = ( ; −∞ 4 − ) ∪(3;+∞) \{ } 4 . D. D = ( ; −∞ 4 − ) ∪[3;+∞) \{ } 4 . Lời giải:x − 3 x > 3  > 0
Hàm số đã cho xác định khi   x + 4  ⇔ x < 4 − ⇒ D = ( ; −∞ 4
− ) ∪(3;4). Chọn A.
4− x > 0 x < 4
Ví dụ 6: Tìm tập xác định D của hàm số x y = − + (x − )2018 3 1 log 2
A. D = (2;+∞).
B. D = (0;+∞) \{ } 2
C. D = [0;+∞) \{ } 2 .
D. D = [2;+∞) Lời giải: x 0 3  ≥ 3 x ≥ 0
Hàm số đã cho xác định khi  ⇔  . Chọn C. x ≠ 2 x ≠ 2
Ví dụ 7: Tìm tập xác định D của hàm số 1 y = log ( 2 2x − x 3 ) A. D ( ] 1 ;0 ;  = −∞ ∪ +∞      .
B. D = (−∞ ) 1 1
;0 ∪ ;+∞ \ − ;1. 2   2   2  C. D ( ] 1   1 ;0 ;     \  ;1 = −∞ ∪ +∞ − .
D. D = (−∞ ) 1 ;0 ∪ ;+∞  . 2   2   2  Lời giải:  1  1 x > >  2   x − >  2 2x x 0  2 
Hàm số đã cho xác định khi  ⇔   ⇔ x < log  ( 0 2 2x − x ≠  0 x < 0 3 )   2 1 −
2x − x ≠1 x ≠1;x ≠  2 Do đó D ( )  1   1 ;0  ;  \  ;1 = −∞ ∪ +∞ − . Chọn B.  2   2 
Ví dụ 8: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = ( x − mx + ) 2 2 3 2 3 xác định với mọi x ∈ A. 7. B. 6. C. 4. D. 5. Lời giải:
Hàm số đã cho xác định với mọi 2
x ∈ ⇔ 3x − 2mx + 3 > 0( x ∀ ∈ ) a =1 > 0 ⇔  ⇔ 3 − < m < 3 2
∆ ' = m − 9 < 0
Kết hợp với m∈ ⇒ có 5 giá trị nguyên của tham số . m Chọn D.
Ví dụ 9: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m∈( 100 −
;100) để hàm số y = log ( 2
x − 2x − m +1 xác 2 )
định với mọi x∈ A. 199. B. 200. C. 99. D. 100. Lời giải:
Hàm số đã cho xác định với mọi 2
x ∈ ⇔ x − 2x − m +1> 0( x ∀ ∈ ) a =1 > 0 ⇔  ⇔ m < 0 ∆ ' = m < 0 m∈ Kết hợp với 
⇒ có 99 giá trị nguyên của tham số . m Chọn C. m∈  ( 100 − ;100)
Ví dụ 10: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = (m − ) 2 ln
1 x + 2(m −3) x +1   có tập xác định là .  A. 3. B. 5. C. 4. D. 2. Lời giải:
TH1: Với m =1⇒ y = ln ( 4 − x + ) 1 ⇒ TXĐ: 1 D  ;  = −∞  .  4 
TH2: Với m ≠ 1. Hàm số đã cho xác định với mọi x∈ ⇔ (m − ) 2
1 x + 2(m −3) x +1 > 0( x ∀ ∈ )
a = m −1 > 0  m >1 ⇔  ⇔  ⇔ < m < ∆ ' =  (m −3) 2 5. 2 −(m − ) 2 1 < 0
m − 7m +10 < 0
Kết hợp với m∈ ⇒ có 2 giá trị nguyên của tham số . m Chọn D.
Ví dụ 11: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m∈( 10
− ;10) để hàm số y = log ( 2
x − 2x − m xác 2 )
định với mọi x∈(0;+∞). A. 8. B. 7. C. 9. D. 18. Lời giải:
Hàm số đã cho xác định với mọi x∈( +∞) 2 0;
⇔ x − 2x − m > 0( x ∀ ∈(0;+∞)) 2
⇔ m < x − 2x = g (x) x
∀ ∈(0;+∞) ⇔ m < min g (x) (0;+∞) Xét g (x) 2
= x − 2x (x∈(0;+∞)) ta có: g′(x) = 2x − 2 = 0 ⇔ x =1
lim g (x) = 0; lim = ; +∞ g ( ) 1 = 1
− nên min g (x) = 1 − . Do đó m < 1 − x→0 x→+∞ (0;+∞) m∈ Kết hợp với 
⇒ có 8 giá trị nguyên của tham số . m Chọn A. m∈  ( 10 − ;10)
Ví dụ 12: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số 2
y = log x − (m + 2) x + 2m   xác
định với mọi x∈(3;+∞). A. 0. B. 3. C. 2. D. 1. Lời giải:
Hàm số đã cho xác định với mọi x∈( +∞) 2 3;
⇔ x − (m + 2) x + 2m > 0( x ∀ ∈(3;+∞))
⇔ (x − m)(x − 2) > 0( x
∀ ∈(3;+∞)) ⇔ x − m > 0( x ∀ ∈(3;+∞))
⇔ x > m( x
∀ ∈(3;+∞)) ⇔ m < 3. Kết hợp với m +
∈ ⇒ có 2 giá trị của tham số . m Chọn C.
Ví dụ 13: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số
y = log (m + 2) 2
x + 2 m + 2 x + (m + 3) 2 ( ) 
 có tập xác định là  A. m ≤ 2 − . B. m > 2 − . C. m < 2. − D. m ≥ 2. − Lời giải:
Hàm số có tập xác định D =  ⇔ f (x) = (m + ) 2
2 x + 2(m + 2) x + (m + 3) > 0, x ∀ ∈ (*).
• TH1: m + 2 = 0 ⇔ m = 2
− ⇒ f (x) = 5 > 0. m + 2 > 0 m > 2 − • TH2: m 2 0 m 2 (*)  + ≠ ⇔ ≠ − ⇒ ⇔  ⇔  ⇔ m > − ∆′ < 0 (  m + 2  ) 2.
2 −(m + 2)(m +3) < 0
Kết hợp với 2 TH, suy ra m ≥ 2 − Chọn C.
Ví dụ 14: Để hàm số y = 1+ log ( 2 x + ) 1 − log ( 2
mx + 4x + m có tập xác định là . 7 7 )
 Tích tất cả các giá
trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bằng : A. 60. B. 120. C. 36. D. 24. Lời giải:
Để hàm số có tập xác định là  thì 1+ log ( 2 x + ) 1 − log ( 2
mx + 4x + m ≥ 0, x ∀ ∈ 7 7 )  2 2
7x + 7 ≥ mx + 4x + m
g x = 7 − m x − 4x + 7 − m ≥ 0 1 ( ) ( ) 2 ⇔  ,( x ∀ ∈ ) ⇔  ( x ∀ ∈ ) 2
mx + 4x + m > 0 g  ( x) 2
= mx + 4x + m > 0 2 2
a = 7 − m > 0;∆ = 4 −( 7 − m ) ≤ 0 1 1 ⇔ 
⇔ 2 < m ≤ 5 m∈  →m = {3;4; } 5 ⇒ T = 3 4 . 5 . = 60
a = m > 0;∆ = 4 − m <  0 2 2 Chọn A.
DẠNG 2. TÍNH ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ LŨY THỪA, MŨ, LOGARIT
Ví dụ 1: Tính đạo hàm của hàm số 2 2 1 2 x x y + + = A. 2 2 ' 2 x x y + = . B. 2 2x +x 1 y ' 2 + = ln 2.
C. y ( x ) 2 2x +x 1 ' 4 1 .2 + = + ln 2.
D. y ( x ) 2 2x +x 1 ' 2 1 .2 + = + ln 2. Lời giải: Ta có: 2 2 x +x+ x +x y y + ( x x )′ = ⇒ = + + = ( x + ) 2 2 1 2 1 2 2x +x 1 2 ' 2 .ln 2. 2 1 4 1 .2 + ln 2. Chọn C.
Ví dụ 2: Tính đạo hàm của hàm số 2 . x x y x e + = . A. ( ) 2 ' 2 1 x x y x e + = + . B. ( ) 2 2 ' 2 x x y x x e + = + . C. ( ) 2 2 ' 2 1 x x y x x e + = + + . D. ( ) 2 2 ' 2 2 x x y x x e + = + + . Lời giải: Ta có: 2 x +x = + ( 2x+x )′ 2 2 x +x x +x = + ( + ) 2 x +x y e x e e x e x = e ( 2 ' . . 2 1 2x + x + ) 1 . Chọn C.
Ví dụ 3: Tính đạo hàm của hàm số x 1 y + = 4x 1− 2(x + ) 1 ln 2 1+ 2(x + ) 1 ln 2 A. y ' = B. y ' = 2 2 x 2 2 x 1− 2(x + ) 1 ln 2 1+ 2(x + ) 1 ln 2 C. y ' = D. y ' = 2 2x 2 2x Lời giải:
4x − (4x )'.(x + ) 1
4x − 4x ln 4.(x + ) 1 4x 1  − 2(x + ) 1 ln 2 1− 2(x +   ) 1 ln 2 Ta có y ' = ( = = = 4 )2 2x 2 4 4 x 4x x 1− 2(x + ) 1 ln 2 Hay y ' = . Chọn A. 2 2 x
Ví dụ 4: Tính đạo hàm của hàm số y = log ( 2 x + x +1 2 ) A. 2x +1 y ' + = . B. 2x 1 y ' = . 2 x + x +1 log ( 2 x + x + 2 .ln 2 2 ) (2x + ) 1 ln 2 C. y ' + = . D. 2x 1 y ' = . 2 x + x +1 ( 2x + x+ )1ln2 Lời giải: ( 2x x )1′ + + Ta có 2x +1 y ' = ( = . Chọn D. 2 x + x + ) 1 ln 2 ( 2 x + x + ) 1 ln 2
Ví dụ 5: Tính đạo hàm của hàm số 4 2 4
y = 2ax + bx +1 3 3 A. ' ax + bx y + = . B. ' ax bx y = . (2ax +bx + )3 2 4 4 2 4 4 1 2ax + bx +1 3 3 C. 4ax + 4 ' bx y + = . D. 4ax 4 ' bx y = . (2ax +bx + )3 2 4 4 2 4 4 1 2ax + bx +1 Lời giải: 1 3 − Ta có 4 2 4
y = 2ax + bx +1 = ( 2 4 2ax + bx + ) 1 4 1 ⇒ y ' = ( 2 4 2ax + bx + ) 4 1 .( 3 4ax + 4bx ) 4 3 ax + bx = . Chọn A. (2ax +bx + )3 2 4 4 1
Ví dụ 6: Cho hàm số f (x) = log ( 2
x − x . Tính f '(2) 2 ) A. f ( ) 3 ' 2 = . B. f ( ) 3 ' 2 = log .e C. f ( ) 3ln 2 ' 2 = . D. f ( ) 2 ' 2 = . 2 2 2 2 3ln 2 Lời giải: Ta có f (x) 2x −1 3 3 ' = ( ⇒ f ' 2 = = log . e Chọn B. 2 x − x) ( ) 2 ln 2 2ln 2 2
Ví dụ 7: Giá trị của tham số m để y '(e) = 2m +1 với y = ln(2x + ) 1 là: A. 1+ 2e . B. 1+ 2e . C. 1− 2e . D. 1− 2e . 4e − 2 4e + 2 4e + 2 4e − 2 Lời giải: Ta có 2 = ⇒ ( ) 2 2 1− 2e 1− 2 ' ' = = 2 +1 ⇔ −1 = 2 ⇔ = 2 e y y e m m m ⇔ m = . 2x +1 2e +1 2e +1 2e +1 2 + 4e Chọn C.
Ví dụ 8: Cho hàm số ( ) = ln(2 x f x
e + m) thỏa mãn f (− ) 3
' ln 2 = . Mệnh đề nào sau đây là đúng? 2 A. m∈(1;3). B. m∈( 5; − 2 − ).
C. m∈(1;+∞). D. m∈( 1; − 0). Lời giải: x Ta có: ( ) 2 ' e f x = , lại có ln2 −ln e 1 e− = 2 = 2 x e + m 2 Do đó f (− ) 3 1 3 1 ' ln 2 = ⇔
= ⇔ m = − . Chọn D. 2 1+ m 2 3
Ví dụ 9: Cho hàm số = log 3x y
+ x , biết y ( ) a 1 ' 1 = + với a,b∈ . + là: 3 ( )
 Giá trị của a b 4 bln 3
A. a + b = 2.
B. a + b = 7.
C. a + b = 4.
D. a + b = 5. Lời giải: (3x + x)′ x Ta có: 3 ln 3+1 y ' = ( =
3x + x)ln3 (3x + x)ln3 + a = Suy ra y '( ) 3ln 3 1 3 1 3 1 = = + ⇒ 
⇒ a + b = 7. Chọn B. 4ln 3 4 4ln 3 b  = 4 ( 2 ln x + ) 1
Ví dụ 10: Cho hàm số f (x) = . Biết rằng f '( )
1 = a ln 2 + b với a,b∈ .  Tính a − . b x
A. a − b =1.
B. a − b = 1. −
C. a − b = 2.
D. a − b = 2. − Lời giải: 2 ′ x ln(x + )
1  .x − ln (x +   ) 2 1 − ln ( 2 2 2 x +1 2 ) Ta có: f (x) x +1 ' = = 2 2 x xa = − Do đó f ( ) 1 ' 1 =1− ln 2 ⇒  ⇒ a − b = 2 − . Chọn D. b  = 1
Ví dụ 11: Cho hàm số ln x y =
, mệnh đề nào dưới đây đúng? x A. 1
2y '+ xy" = − . B. 1 y '+ xy" = . C. 1
y '+ xy" = − . D. 1 2y '+ xy" = . 2 x 2 x 2 x 2 x Lời giải:
Ta có: xy = x ⇒ (xy) = ( x) 1 1 ln
' ln ' ⇒ x ' y + y ' x = ⇔ y + xy ' = x x
Tiếp tục đạo hàm 2 vế ta có: 1 1
y '+ y '+ xy" = −
⇔ 2y '+ xy" = − . Chọn A. 2 2 x x
Ví dụ 12: Tính đạo hàm của hàm số y = log ( 3 3x +1 trên tập xác định của nó 2 ) A. 1 1 1 ( B. . C. ln 2 . D. . x + ) . 3 1 ln 2 3 3x +1ln 2 3x +1 3(3x + ) 1 ln 2 Lời giải: Ta có: y = (3 1 1 3 1 log
3x +1 = log 3x +1 ⇒ y ' = . = . Chọn A. 2 ) 2 ( ) 3 3 (3x + ) 1 ln 2 (3x + ) 1 ln 2
Ví dụ 13: Đạo hàm của hàm số 7 y = cos x là: A. −sin x . B. sin x . C. 1 . D. −sin x . 7 8 7. cos x 7 6 7. cos x 7 6 7. cos x 7 6 7. cos x Lời giải: 1 6 − Ta có − 7
y = cos x = (cos x) 1 sin x
7 ⇒ y ' = (cos x) 7 .(cos x) ' = . Chọn D. 7 6 7 7. cos x 2
Ví dụ 14: Tính đạo hàm của hàm số x +1 y = ln 2 x −1 3 3 A. 4 ' x y − − = . B. 4 ' x y = . C. 4 ' x y = . D. 4 ' x y = . 4 x −1 4 x −1 4 x −1 4 x −1 Lời giải: 2 2 2 x +1 2x 2x
2x x −1− x −1 Ta có = = ( 2 + ) − ( 2 4 ln ln 1 ln −1 ⇒ ' − x y x x y = − = = . 2 ) ( ) 2 2 x −1 x +1 x −1
( 2x + )1( 2x − ) 4 1 x −1 Chọn B.
Ví dụ 15: Đạo hàm của hàm số ( ) = 3x f x .log x là: 3 A. f (x) x  1 ' 3 ln x  = +    . B. f (x) x 1 ' = 3 ln x +  .  x ln 3   ln 3  C. f (x) x  ln 3 ' 3 ln x  = + x  1   .
D. f '(x) = 3 log x +  .  x  3  x ln 3  Lời giải: x Ta có: f (x) x 3 x  1 ' 3 ln 3.log x 3 ln x  = + = +  . Chọn A. 3 x ln 3  x ln 3 
Ví dụ 16: Đạo hàm của hàm số 2
y = log x −1 là: 3 A. 2 ' x y = 4x ( . B. y ' = . 2 x − ) 1 ln 3 2 x −1 ln 3 C. 4 ' x y = 2x ( . D. y ' = . 2 x − ) 1 ln 3 2 x −1 ln 3 Lời giải: Ta có: 2x 2x 4 ' x y = ( = = . Chọn C. 2 x − ) 1 ln 3 ( 2x − ) 1 1 . ln 3 ( 2 x − ) 1 ln 3 2
Ví dụ 17: Cho hàm số f (x) 1 = ( 2
ln x − 2x). Tính đạo hàm của hàm số y = 2 f (x) A. 2x − 2 y ' − = 4 4x ( B. y ' = . x − 2x) . 2 2 ( 2x −2x) 3 ln ( 2 x − 2x) C. x −1 y ' − + = D. 4x 4 y ' = . 2( . 2 x − 2x) ( 2x −2x) 4 ln ( 2 x − 2x) Lời giải: 2 ′ 1 −  f (x)  
2 f (x). f '(x) 2 f '(x) Ta có: y = ⇒ y ' = = − = − 2 f (x) 4 f (x) 4 f (x) 3 f (x) Trong đó ( ) 2x − 2 4 − 4 ' = ⇒ ' x f x y = . Chọn B. 2 x − 2x ( 2x −2x) 3 .ln ( 2 x − 2x)
DẠNG 3. TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ LŨY THỪA, MŨ, LOGARIT
Ví dụ 1: Hàm số nào dưới đây đồng biến trên tập .  x  +  x A. 3 2 y =  e    . − x
B. y = log .x
C. y =   . D. y = 2 . 3  2    π  Lời giải: x  +  Do 3 + 2 >1 nên hàm số 3 2 y = đồng biến trên .  3  3      x Hàm số  e y  =  và 2 x y − = nghịch biến trên .  π   
Hàm số y = log x đồng biến trên khoảng (0;+∞). Chọn A. 2 3 2 Ví dụ 2: Nếu 3 2 a > a và 3 4 log < thì: b log 4 b 5
A. 0 < a <1;b >1.
B. 0 < a;b >1.
C. a >1;b >1.
D. a >1;0 < b <1. Lời giải: 3 2   3 4 3 2 a > a log <  b logb Ta có:   4 5 
⇒ 0 < a <1, lại có: 
⇒ b >1. Chọn A. 3 2  < 3 4  <  3 2 4 5 15 19 Ví dụ 3: Nếu 8 11 a < a và 3 5 log >
thì kết luận nào sau đây đúng: b log 2 b 3
A. a >1;b >1.
B. a >1;0 < b <1.
C. 0 < a <1;0 < b <1.
D. 0 < a <1;b >1. Lời giải: 15 19   3 5 8 11 a < a log > b logb Ta có:  2 3  ⇒ 0 < a <1, 15 19 lại có: 
⇒ b >1. Chọn D.  >  3 5  8 11 >  2 3 3 − 4 −
Ví dụ 4: Cho (a − ) 4 > (a − ) 5 1 1 và 3 3 2
b > b . Khẳng định nào sau đây là đúng. A. ; a b >1.
B. 0 < a < 2;b >1.
C. 0 < a < 2;b <1.
D. a > 2;b >1 Lời giải: ( − −
a − ) 3 > (a− ) 4 4 5 1 1  Ta có:  ⇒ (a − ) 1 >1 ⇔ a > 2. 3 − 4 −  >  4 5 3 2  2 3 b  > b Mặt khác 3 3 2 b > b ⇒  ⇒ b >1. 3 2 Chọn D.  > 2 3
Ví dụ 5: Với giá trị nào của a thì hàm số = ( 2 3 − + ) 1 x y a a đồng biến trên . 
A. a < 0.
B. 0 < a < 2.
C. 0 < a < 3. D. a > 3. Lời giải:
Hàm số đã cho đồng biến trên 2 2
 ⇔ 3a − a +1 >1 ⇔ 3a − a > 0 ⇔ 0 < a < 3. Chọn C.
Ví dụ 6: Hàm số y = log ( 2
−x + x nghịch biến trên khoảng. 0,5 ) A. (0;+∞). B. (0; ) 1 . C.  1 0;     . D. 1  ;1.  2   2  Lời giải: Ta có: y = log ( 2
−x + x có TXĐ là: (0; ) 1 0,5 ) Mặt khác 2 − x +1 1 y ' = < 0 ⇔ 2
− x +1 > 0 ⇔ x < (Do 1 ln < 0). ( 2 −x + x) 1 2 ln 2 2
Do đó hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng  1 0;   . Chọn C.  2  2 x −2x+2
Ví dụ 7: Cho hàm số  3 y  =  
. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng.  4 
A. Hàm số đồng biến trên . 
B. Hàm số nghịch biến trên . 
C. Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞ ) ;1 .
D. Hàm số đồng biến trên khoảng (1;+∞). Lời giải: 2 x −2x+2 Ta có:  3  3 y ' =
.ln .(2x − 2) > 0 ⇔ 2x − 2 < 0 ⇔ x <   1 (Do 3 ln < 0)  4  4 4
Do đó hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ( ) ;1
−∞ và nghịch biến trên khoảng (1;+∞). Chọn C.
Ví dụ 8: Cho hàm số = ( 2 − 2 + 2) x y x x
e . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng ( ; −∞ +∞).
B. Hàm số đã cho có 2 điểm cực trị.
C. Hàm số đã cho có 1 điểm cực trị.
D. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (−∞ ) ;1 . Lời giải:
Ta có: = ( − ) x + ( 2 − + ) x 2 ' 2 2 2 2 x y x e x x
e = x e ≥ 0( x ∀ ∈ )
Do đó hàm số cho đồng biến trên khoảng ( ;
−∞ +∞). Chọn A.
Ví dụ 9: Cho hàm số f (x) = x − ln(1+ x). Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A. f (x) đồng biến trên khoảng ( 1; − 0).
B. f (x) đạt cực đại tại điểm x = 0.
C. f (x) đạt cực tiểu tại điểm x = 0.
D. f (x) đồng biến trên khoảng ( 1; − +∞). Lời giải: TXĐ: D = ( 1; − +∞), ta có: ( ) 1 ' = 1 x f x − = x +1 x +1
Do f '(x) đổi dấu từ âm sang dương khi qua điểm x = 0 nên x = 0 là điểm cực tiểu của hàm số đã cho. Chọn C.
Ví dụ 10: Cho hàm số f (x) 2 = x ln .
x Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A. f (x) đạt cực đại tại điểm 1 x = .
B. f (x) đạt cực tiểu tại điểm 1 x = . e e
C. f (x) đạt cực đại tại điểm x = e.
D. f (x) đạt cực tiểu tại điểm x = e. Lời giải:
TXĐ: x∈(0;+∞). Ta có: f (x) 2 1 = x x + x = x( x + ) 1 1 ' 2 ln . 2ln
1 = 0 ⇒ ln x = − ⇔ x = . x 2 e
Do f '(x) đổi dấu từ âm sang dương khi qua điểm 1 x = nên 1 x =
là điểm cực tiểu của hàm số. e e Chọn B.
Ví dụ 11: Tìm m để hàm số y = ( 2 ln x + )
1 − mx +1 hàm số đồng biến trên khoảng ( ; −∞ +∞) . A. m∈( − ; ∞ −1).
B. m∈( −1;1).
C. m∈[ −1;1]. D. m∈(- ; ∞ -1]. Lời giải: 2 TXĐ: − + − D ' 2x mx 2 = x m  ta có: y = − m = 2 2 x +1 x +1 Với ' 2 = 0 x m ⇒ y =
⇒ hàm số đồng biến trên khoảng (0;+∞). 2 x +1
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (−∞ ∞) 2
;+ ⇔ −mx + 2x − m ≥ 0( x ∀ ∈ ) a = m > 0 ⇔  ⇔ ( ; −∞ ] -1 . Chọn D. 2
∆' = 1− m ≤ 0 3x −( − ) 1 x e m e 1 +
Ví dụ 12: Cho hàm số  4 y  =  
. Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (1;2)  2017  A. 3 4
3e +1≤ m < 3e +1. B. 4 m ≥ 3e +1. C. 2 3
3e +1≤ m ≤ 3e +1. D. 2 m < 3e +1. Lời giải: 3x −( − ) x ′ 3 1 1 x + −( − ) 1 x e m e e m e 1 +   Ta có  4  4  4  3 ' =   = ln . .3 x − ( −     ) 1 x y e m e   2017  2017 2017        
Hàm số đồng biến trên khoảng ( ) 3
1;2 ⇔ ′ ≥ 0 ⇔ 3 x − ( − ) 1 x y e m e ≤ 0( x ∀ ∈(1;2)) 2x 2 ⇔ 3 − +1≤ 0 ⇔ ≥ 3 x e m m
e +1 = f (x)( x
∀ ∈(1;2)) ⇔ m ≥ Max f (x) (1;2) Lại có: '( ) 2 − 6 x f x e > 0( x
∀ ∈(1;2)) ⇒ Max f (x) − f (2) 4 − 3e +1. (1;2) Vậy 4
m ≥ 3e +1. Chọn B.
Ví dụ 13: Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số x x+2
y = 4 − 2 − mx +1 đồng biến trên khoảng ( 1; − ) 1 A.  1 ; ln 2 −∞ −    . B. ( ;0 −∞ ]. C. ( ; −∞ 2 − ln 2]. D. 3 ; −∞ −  ln 2 . 2    2    Lời giải: Ta có ( x x+2 ' 4 2 )1′ = − − +
= 4x ln 4 − 4.2x y mx ln 2 − . m
Hàm số đồng biến trên khoảng ( 1; − )
1 khi và chỉ khi y′ ≥ 0 với x ∀ ∈( 1; − ) 1 . Suy ra x x − − m ≥ ( x ∀ ∈(− )) =2x t 2  →m ≤ t − t = f (t)  1 4 ln 4 4.2 ln 2 0 1;1 ln 4 4 ln 2  t ∀ ∈ ;2  2   
Xét hàm số f (t) 2  1
= t ln 4 − 4t ln 2,t ∈
;2 ⇒ f ′(t) = 2t ln 4 − 4ln 2 ⇒ f ′(t) = 0 ⇔ t =   1.  2 
Xét bảng biến thiên hàm số f (t) trên khoảng  1 ;2 
, suy ra min f (t) = f ( ) 1 = 2 − ln 2  2   1;2  2   
Do đó m ≤ min f (t) ⇔ m ≤ 2
− ln 2 là giá trị cần tìm. Chọn C.  1;1  2    x
Ví dụ 14: Tập hợp các giá trị thực của tham số m để hàm số e − m − 2 y =
đồng biến trên khoảng x 2 e − m  1 ln ;0  4    A. (1;2). B.  1 1 ;  − ∪[1;2).    C. 1 1 − ; . D. [ 1; − 2]. 2 2    2 2   Lời giải: x ( 2
2 + m − m ). x e Xét hàm số e − m − 2 y = trên khoảng  1 ln ;0  1   , ta có y ' = ; x ∀ ∈ln ;0. x 2 e − m  4  ( xe −m )2 2  4  2   1 
2 + m − m > 0 y ' > 0; x ∀ ∈ln ;0   1 1 2   4  m ≥ − ≤ m ≤ Yêu cầu bài toán 1  ⇔  ⇔  ⇔ 2 2 .  Chọn B.   2 x  1   ≠ ∀ ∈  2 1 m
e ; x ln ;0 ≤ 1  ≤ m < 2   4 m     4
Ví dụ 15: Tìm tập các giá trị thực của tham số m để hàm số = ln (3 − ) 1 m y x
− + 2 đồng biến trên khoảng x  1 ;  +∞  2    A.  7 ;  − +∞        . B. 1 − ;+∞  . C. 4 − ;+∞  . D. 2 ;+∞  .  3   3   3  9  Lời giải: 2 3
m 3x + m(3x − ) 1 Xét hàm số = ln (3 − ) 1 m y x − + 2 trên khoảng  1 ;  +∞  , ta có y ' = + = . x  2  2 2 3x −1 x x (3x − ) 1
Để hàm số đồng biến trên khoảng  1   1 ; 
y ' 0; x  ;  +∞ ⇔ ≥ ∀ ∈ +∞  2 2      2 2 2     2 ⇔ + ( − ) 3x 3x 1 3 3 3 1 ≥ 0 ⇔ + ≥ 0 ⇔ ≥ ;∀ ∈ ;+∞ ⇒ ≥  max x x m x m m x m   ( ) 1 .  1 3x −1 1− 3x  2  ;  +∞  −   1 3x   2  2 3x 3x − 2 Xét hàm số ( ) 3x f x = trên  1 ;  +∞ 2  , có f '( x) ( ) = = 0 ⇔ x = . 1− 3x  2  (3x − )2 1 3
Tính các giá trị  1  3  2  4 f = − 4  ; f = −  
; lim f (x) = −∞ 
suy ra max f (x) = − (2).  2  2  3  3 x→+∞  1;  +∞   3  2  Từ ( ) 1 ,(2) suy ra 4 4 m m  ;  ≥ − ⇒ ∈ −
+∞ là giá trị cần tìm. Chọn C. 3  3  
DẠNG 4. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT
Ví dụ 1: Giá trị nhỏ nhất của hàm số ln x y = trên [1;e] là x A. .e B. 1. C. 1. D. 0. e Lời giải: Ta có: ln x −1 y ' = = 0 ⇔ x = e 2 x
Lại có: y( ) = y(e) 1 1 0;
= ⇒ Giá trị nhỏ nhất của hàm số ln x y =
trên [1;e] là 0. Chọn D. e x
Ví dụ 2: Giá trị lớn nhất M của hàm số 2 2x y xe− = trên đoạn [0; ] 1 bằng: A. 3 M 2e− = . B. 2 M e− = . C. 1 3 M e− = . D. 1 M = . 2 2 e Lời giải: Ta có: 2 2 2 2 − x 2 2 − x 2 − x y = e − x e = ⇔ e ( 2 ' 4 . 0 1− 4x ) Với x∈[ ] 1
0;1 ⇒ y ' = 0 ⇔ x = . Ta có: y( )  1  1 = y =   y ( ) 1 0 0; ; 1 = 2 2  2  2 e e Do đó 1 M = . Chọn D. 2 e
Ví dụ 3: Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 2
y = x − 2ln x trên đoạn 1 ;e  là: e    A. 2
T = e −1. B. 2 1 T = e − . C. 1 T = 2 + . D. 1 T = 3+ . 2 e 2 e 2 e Lời giải: 1 x ;e ∈ Ta có: 2 2 ' 2 0 1 e y x x    = − = ⇔ = → x =1 x Lại có:  1  1 y = + 2; y ( ) 1 =1; y(e) 2 = e −   2 2  e e Do đó 2 2
Max y = e − 2;Min y =1⇒ T = e −1. Chọn A. 1  1 ;e ;e e  e     
Ví dụ 4: Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số x = − 2 x y xe e trên đoạn [0; ] 3 là: A. 2
T = e −1. B. 3 2
T = e − e . C. 3
T = e − .e D. 3 T = e − 2. Lời giải: Ta có: ' x x = + − 2 x x x y xe e
e = xe − e = 0 ⇔ x =1.
Hàm số đã cho liên tục và xác định trên đoạn [0; ] 3
Lại có: y( ) = − y( ) = −e y( ) 3 0 2; 1 ; 3 = e . Do đó 3 min y = − ;
e max y = e [0; ]3 [0; ]3 Vậy 3
T = e − .e Chọn C.
Ví dụ 5: Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số x x 1 y 4 2 + = − trên đoạn [ 1; − ] 1 là: A. 3
min y = − ;max y = 2 B. 3
min y = − ;max y = 0. [ 1 − ] ;1 [ 1 − ] ;1 4 [ 1 − ] ;1 [ 1 − ] ;1 4 C. min y = 1 − ;max y =1. D. min y = 1 − ;max y = 0. [ 1 − ] ;1 [ 1 − ] ;1 [ 1 − ] ;1 [ 1 − ] ;1 Lời giải: Ta có: 2 2 x 2.2x y = − . Đặt x 1 − 1 1
t = 2 ⇒ t ∈ 2 ;2 = ;2      2   
Xét hàm số f (t) 2
= t − 2t trên đoạn 1 ;2 
ta có: f '(t) = 2t − 2 = 0 ⇔ t =1 2   
Hàm số f (t) xác định và liên tục trên đoạn 1 ;2.  2    Lại có  1  3 f − = ; f ( ) 1 = 1; − f (2) =   0. Do đó min y = 1
− ;max y = 0. Chọn D.  2  4 [ 1 − ] ;1 [ 1 − ] ;1
Ví dụ 6: Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = xln x trên đoạn  1 ;e  là: 2 e    A. − T = .e B. 2 T = e − . C. 1 2 T = − . D. 1 T = e − . 2 e 2 e e e Lời giải: Ta có: 1 − 1
y ' = ln x +1 = 0 ⇔ x = e = . Hàm số đã cho liên tục và xác định trên đoạn  1 ;e. e  2 e    Mặt khác  1  2 −  1  1 y = ; y − = ; y e = 1    
.e Do đó min y = − ;max y = e 2 2 ( )  e ee e  1   1 ;e e ;e  2   2 e e      Do đó 1
T = e − . Chọn D. e
Ví dụ 7: Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số ln x y = trên đoạn 1 2 ;e  là: xe    A. 1 T − = . B. 1 T = − .e C. 1 2 T = + . D. 1 T = e − . e e 2 e e e Lời giải: Ta có: 1− ln ' x y = = 0 ⇔ x = .
e Hàm số đã cho liên tục và xác định trên đoạn 1 2 ;e . 2 xe    Lại có  1 y  = − y(e) 1 = ( 2e) 2 e; ; y = 1   . Do đó min y = − ; e max y = 2  e e e 1 2  1 2 ;e ;e ee  e      Do đó 1
T = − .e Chọn B. e
Ví dụ 8: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) 2 − x +2x 3 = e
− x + 3x trên đoạn [0;2] là:
A. 2e − 2 và 1. −
B. e + 2 và 1. −
C. e + 2 và 1.
D. 2e − 2 và 1. Lời giải: Ta có: ( ) 2 − x + x = (− + )− + = ( − )( 2 2 2 − x +2 ' . 2 2 3 3 1 2 x f x e x x x e + x + )1
Xét x∈[0;2] thì f '(x) = 0 ⇔ x =1
Mặt khác f (0) =1; f ( )
1 = e + 2; f (2) = 1
− suy ra Max f (x) = e + 2 và Min f (x) = 1. − Chọn B. [0;2] [0;2]
Ví dụ 9: Một chất điểm chuyển động có phương trình vận tốc là ( ) 2 t 2t v t e e − = +
(m / s) (t : giây là thời
gian chuyển động). Hỏi trong khoảng thời gian 10 giây đầu tiên, vận tốc nhỏ nhất của chất điểm là bao nhiêu?
A. v = e +1(m / s). B. 1 v = e + m / s . C. 1
v = e + (m / s). D. 1 v = e + m / s . 4 ( ) 2 ( ) e e e Lời giải: Xét hàm số ( ) 2 t −2t
v t = e + e
(m / s) với t ∈[0;10]
Ta có: ( ) = ( − ) 2t−2 ' 2 2 t v t t e = 0 ⇔ t =1
Khi đó v( ) = e + v( ) 1 = e + v( ) 80 1 0 1; 1
; 10 = e + e ⇒ v = e + . Chọn C. min e e
Ví dụ 10: Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số ( ) 2x = − 3 x f x e
e −1 trên đoạn [0;ln ] 3 là: A. 17 − . B. 11 − . C. 5. − D. 3. − 4 4 Lời giải: Đặt x
t = e , với x ∈[0;ln ] 3 ⇒ t ∈[1; ] 3
Xét hàm số f (t) 2
= t − 3t −1 trên đoạn [1; ] 3 ta có: f (t) 3 '
= 2t − 3 = 0 ⇔ t = 2 Max f (t) = 1 − 1;3 Mặt khác f ( )  3  13 = − f − =   f ( ) [ ]  17 1 3; ; 3 = 1 − ⇒  ⇒ T − = . Chọn A. Min f (t) 13 2 4 −   4 =  [1; ]3 4
Ví dụ 11: Gọi M ,m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ) 2 2 2sin x cos 3 3 x f x = + . Tính giá 3 trị biểu thức 2m P M   = +   .  9  A. 10 P = . B. P =1. C. 35 P = . D. 32 P = . 3 3 3 Lời giải: Ta có f (x) 2 2 2 2 x x x − x = + = + = = ( x)2 2sin cos 2sin 1 sin 2 3 3 3 3 3 3 3sin + 2 sin 3 x 2 Đặt 2 sin 3 x t = do 2 2 sin
0 ≤ sin ≤1⇒1≤ 3 x x ≤ 3 ⇒ t ∈[1; ] 3 khi đó ( 2 sin x ) 3 2 3 3 + = t + 2 sin 3 x t Xét hàm số ( ) 2 3
g t = t + với t ∈[1; ] 3 . Ta có g (t) 3 3 '
= 2t − ; g ' t = 0 ⇔ t = 2 ( ) 3 t t 2   Ta có f ( ) 1 = 4; f (3) 3 243 243 32 = 3   = 3 ⇒ = = 3 10; f M 10;m ⇒ P = .  Chọn D. 2  4 4 3  
DẠNG 5. ĐỒ THỊ HÀM LŨY THỪA, MŨ, LOGARIT
Ví dụ 1: Đồ thị hình bên là của hàm số nào? x A. ( 3)x y = . B. 1 y   =   .  2  x
C. y = log .x D. 1 y   =   . 1  3 3  Lời giải:
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy:
Hàm số có TXĐ: D = , tập giá trị T = (0;+∞) và hàm số nghịch biến trên  (loại A và C).
Đồ thị hàm số đi qua điểm ( 1;
− 3) (loại B). Chọn D.
Ví dụ 2: Đồ thị hình bên là của hàm số nào?
A. y = log .x 1 2 B. 2 x y − = . C. 2x y = .
D. y = log .x 2 Lời giải:
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy:
Hàm số có TXĐ: D = (0;+∞), tập giá trị T =  và hàm số đồng biến trên (0;+∞). Chọn D.
Ví dụ 3: Đồ thị hình bên là của hàm số nào? A. y = log .x 0,5 B. 2x y = . x C. 1 y   =   .  2 
D. y = log .x 2 Lời giải:
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy:
Hàm số có TXĐ: D = , tập giá trị T = (0;+∞) và hàm số nghịch biến trên .  Chọn C.
Ví dụ 4: Cho hai hàm số x y = a , x
y = b với a,b là hai số thực
dương khác 1, lần lượt có đồ thị là (C và (C như hình bên. 2 ) 1 )
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. 0 < a <1< . b
B. 0 < b <1< . a
C. 0 < b < a <1.
D. 0 < a < b <1. Lời giải:
Dựa vào đồ thị suy ra hàm số x
y = a là hàm đồng biến, hàm số x
y = b là hàm nghịch biến a >1 Suy ra  . Chọn B. 0 < b < 1
Ví dụ 5: Cho đồ thị hàm số x
y = a , y = log x (như hình vẽ). b
Khẳng định nào sau đây đúng?
A. 0 < b <1< a
B. 0 < a <1< b
C. a >1 và b >1
D. 0 < a <1 và 0 < b <1 Lời giải:
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy x
y = a là hàm nghịch biến nên 0 < a <1.
Hàm số y = log x là hàm đồng biến nên b >1. b
Do đó 0 < a <1< . b Chọn B.
Ví dụ 6: Cho α, β là các số thực. Đồ thị các hàm số y xα , y xβ = =
trên khoảng (0;+∞) được cho trong hình vẽ
bên. Khẳng định nào đây là đúng?
A. 0 < β <1< α.
B. β < 0 <1< α.
C. 0 < α <1< β.
D. α < 0 <1< β. Lời giải:
Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy
Đồ thị hai hàm số là hàm số đồng biến trên (0;+∞) nên y ' > 0;∀(0;+∞). α α 1 − α 1
y = x ⇒ y ' = α.x α  .x − > 0 Ta thấy rằng  ⇒  ⇒ α, β > 0. β β 1 − β 1
y = x ⇒ y ' = β.x β.x −
Dễ thấy tại x = 2 thì 2α > 2β ⇒ α > β suy ra 0 < β <1< α. Chọn A.
Ví dụ 7: Cho 3 số a,b,c > 0, a ≠ 1,b ≠ 1,c ≠1. Đồ thị các hàm số x y = a , x y = b , x
y = c được cho trong
hình vẽ dưới. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. b < c < . a
B. a < c < . b
C. a < b < .c
D. c < a < . b Lời giải:
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số x y = b và x
y = c là các hàm số đồng biến nên ; b c >1 Hàm số x
y = a là hàm nghịch biến nên 0 < a <1
Với x =100 ta thấy 100 100
b > c ⇒ b > c ⇒ b > c >1 > a > 0. Chọn B.
Ví dụ 8: Cho 3 số a,b,c > 0, a ≠ 1,b ≠ 1,c ≠1. Đồ thị
các hàm số y = log x y = log x y = log x được b , a , c
cho trong hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. a > b > .c
B. b > a > .c
C. c > b > . a
D. c > a > . b Lời giải:
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số y = log x và y = log x là các hàm số đồng biến trên khoảng a b
(0;+∞) nên ;ab >1
Hàm số y = log x là hàm nghịch biến trên khoảng (0;+∞) nên 0 < c <1. c Thay 1 1 x =100 ⇒ log > > ⇔ > ⇔ b >
a ⇔ b > a > a 100 logb100 0 log log 1 100 100 log a log b 100 100
Vậy b > a >1 > c > 0. Chọn B.
Ví dụ 9: Cho 2 số a,b > 0, a ≠ 1,b ≠ 1. Đồ thị các hàm
số y = log x y = log x được cho trong hình vẽ bên. a , b
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. 1 > a > b > 0.
B. 1 > b > a > 0.
C. b > a >1.
D. a > b >1. Lời giải:
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số y = log x và y = log x là các hàm số nghịch biến trên khoảng a b
(0;+∞) nên 0 < a;b <1 Thay 1 1 log b − log a 100 100 x =100 ⇒ 0 > log > ⇔ > ⇔ > a 100 logb100 0 log a log b log . a log b 100 100 100 100
⇔ log b > log a ⇔ b > . a Chọn B. 100 100
Ví dụ 10: Cho hàm số y = log x và a
y = log x có đồ thị như hình vẽ bên. b
Đường thẳng x = 7 cắt trục hoành, đồ thị
hàm số y = log x và y = log x lần lượt a b
tại H, M và N. Biết rằng HM = MN.
Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. a = 7 . b B. 2 a = b . C. 7 a = b . D. a = 2 . b Lời giải:
Dựa vào hình vẽ ta thấy 1 2
HM = MN ⇔ NH = 2MH ⇔ log = ⇔ = b 7 2loga 7 log b log a 7 7 2
⇔ a = b . Chọn B.
Ví dụ 11: Cho các số thực dương a,b khác 1. Biết rằng bất
kì đường thẳng nào song song với Ox mà cắt các đường x = , x
y a y = b trục tung lần lượt tại M , N và A thì
AN = 2AM (hình vẽ bên). Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 2 a = b B. 2 ab =1
C. b = 2a D. 1 ab = 2 Lời giải:
Với y = y ta có: x = log y x = y b ; loga . 0 1 0 2 0
Theo giả thiết ta có AN = 2AM nên x = 2
− x ⇔ log y = − y ⇔ y = − y b 2loga logb log 1 1 2 0 0 0 0 2 a 1 Khi đó − 1 2 2 b = a =
⇒ ab =1. Chọn B. a
Ví dụ 12: Cho hàm số f (x) = xln .x Một trong bốn đồ thị cho trong bốn phương án A, B, C, D dưới đây
là đồ thị của hàm số y = f '(x). Tìm đồ thị đó. A. B. C. D. Lời giải:
Với tập xác định cho cả đạo hàm là D = (0;+∞).
Loại D vì có phần đồ thị thuộc khoảng ( ;0
−∞ ). Loại A vì đồ thị đi qua điểm (0;0.)
f (x) = xln x 
→ f ′(x) =1+ ln .x Mặt khác: f ′( )
1 =1 ≠ 0 → B không thỏa. Chọn C.
DẠNG 6. MỘT SỐ BÀI TOÁN NÂNG CAO VỀ HÀM SỐ LŨY THỪA, MŨ, LOGARIT
Ở phần này ta xét một số ví dụ ở mức độ vận dụng, chúng ta sẽ nghiên cứu sâu hơn về giá trị lớn nhất,
nhỏ nhất của hàm số mũ và logarit ở các chủ đề sau.
Ví dụ 1:[Đề thi thử nghiệm Bộ giáo dục 2017] Xét các số thực a,b thỏa mãn a > b >1. Tìm giá trị nhỏ
nhất P của biểu thức 2  a P a  = + a ( 2 log ) 3logb  . min  b b
A. P =19. B. P =16.
C. P =14. D. P =15. min min min min Lời giải: 2   Ta có: P =  a + a − = + − = + − a ( b ) 4 3 4 3 2log 3 log 1 3 3 2    a  log b − b b b a (1 loga )2 log log a a b   
Đặt t = log b (Do a > b >1⇒ 0 < t <1). Xét f (t) 4 3 = + − 3 a (t − )2 1 t Khi đó f (t) 8 − 3 1 ' = − = 0 ⇔ t = . Ta có: f (t) f (t)  1 lim lim ; f  = = +∞ =   15 (t − )3 2 1 t 3 t 0+ t 1− → →  3 
Do đó P =15. Chọn D. min
Ví dụ 2: Cho các số thực dương 1 > a > b > 0.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a 2 P = 3 − log + log ab a b . 4 ( ) b
A. P = 3 B. P = 4 C. 5 P = D. 3 P = min min min 2 min 2 Lời giải: Ta có: 3 a P ab − = − + = − b + a + a ( b ( ))2 3 log log (1 loga ) (logb )2 1 4 b 4 Đặt t −
= log a (0 < t < ) 1 ta có: 3  1 P 1  = − + (t + )2 1 3 2 1 = + + t + 2t =   f (t) b 4  t  4 4t Khi đó f (t) 3 − 1 ' =
+ 2t + 2 = 0 ⇔ t = . Lại có f (t) f (t)  1 lim ;lim 4; f  = +∞ = =   3 2 4t 2 x→0+ x 1 →  2  Do đó P = 3 khi 1 t = . Chọn A. min 2
Ví dụ 3: [Đề thi THPT Quốc gia năm 2017] Xét các số thực dương a,b thỏa mãn 1
log − ab = 2ab + a + b − 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = a + 2 . b 2 a + b A. 2 10 3 P − = . B. 2 10 5 P − = . C. 3 10 7 P − = . D. 2 10 1 P − = . min 2 min 2 min 2 min 2 Lời giải: Ta có: 1
log − ab = 2ab + a + b − 3 ⇔ log 1− ab − log a + b = 2ab − 2 + a + b −1 2 2 ( ) 2 ( ) a + b
⇔ log 1− ab +1+ 2 1− ab = log a + b + a + b ⇔ log 2 1− ab  + 2 1− ab = log a + b + a + b 2 ( ) ( ) 2 ( ) 2  ( ) ( ) 2 ( )
Xét hàm số f (t) = log t + t (t > 0) ta có: f ′(t) 1 = +1 > 0 ( t
∀ > 0) nên hàm số f (t) đồng biến trên 2 t ln 2
khoảng (0;+∞). Khi đó f 2
 (1− ab) = f
(a +b) ⇔ 2(1− ab) = a + .b − − −   Suy ra 2 b 2 b 5 1 5
2ab + a + b = 2 ⇒ a = ⇒ P = + 2b ⇒ P ' = + 2 = 0 ⇒ b =  −1 1 2  b 1 2b (1 2b)2 2  2  + + +   Khi đó 2 10 3 P − = . Chọn A. min 2
Ví dụ 4: [Đề thi THPT Quốc gia năm 2017] Xét các số thực dương x, y thỏa mãn 1
log − xy = 3xy + x + 2y − 4. Tìm giá trị nhỏ nhất P của P = x + y 3 x + 2y min A. 9 11 19 P − = . B. 2 11 3 P − = . C. 18 11 29 P − = . D. 9 11 19 P + = . min 9 min 3 min 21 min 9 Lời giải: Ta có: 1
log − xy = 3xy + x + 2y − 4 ⇔ log 1− xy − log x + 2y + 3− 3xy +1 = x + 2y 3 3 ( ) 3 ( ) x + 2y
⇔ log 3 1− xy + 3− 3xy = log x + 2y + x + 2 . y 3 ( ) 3 ( )
Xét hàm số f (t) = log t + t (t > 0) ta có: f ′(t) 1 = > 0 ( t
∀ > 0) nên hàm số f (t) đồng biến trên 3 t ln 3+1
khoảng (0;+∞). Do đó f (3−3xy) = f (x + 2y) ⇔ 3−3xy = x + 2y Khi đó ( + ) 3− 2y x
y = − y ⇒ P = y + ⇒ P ( y) 11 1 − + 11 1 3 3 2 ' = 1− = 0 ⇔ y = (do y > 0). 1+ 3y (1+3y)2 3  − +  Từ đó suy ra 1 11 2 11 − 3 P = P  = . Chọn B. min  3  3  
Ví dụ 5: Cho x, y là các số thực thỏa mãn log x + y + log x − y ≥1. Tìm giá trị nhỏ nhất P của 4 ( ) 4 ( ) Min
P = 2x − y
A. P = 4. B. P = 4. −
C. P = 2 3. D. 10 3 P = . min min min min 3 Lời giải:
Ta có: log (x + y) + log (x − y) 2 2 2
≥ 1 ⇔ x − y ≥ 4 ⇒ x ≥ y + 4 4 4 Do đó 2
P ≥ 2 y + 4 − y = f ( y ). . Khi đó 2y y>0 2 P' = −1 = 0 → y = 2 y + 4 3
Suy ra P = 2 3. Chọn C. min
Ví dụ 6: Cho hai số thực dương + +
x, y thay đổi thỏa mãn hệ thức x y 1 3+ ln
= 9xy − 3x − 3 . y Tìm giá trị 3xy
nhỏ nhất m của biểu thức P = x . y A. 1 m = . B. m =1. C. 1 m = . D. m = 0. 3 2 Lời giải: Từ giả thiết, ta có x + y +1 3+ ln
= 9xy − 3x − 3y ⇔ 3+ ln (x + y + )
1 − ln (3xy) = 9xy −3x −3y 3xy
⇔ ln (x + y + ) 1 + 3(x + y + )
1 = ln (3xy) + 3(3xy) ⇔ f (x + y + ) 1 = f (3xy) (*)
Xét hàm số f (t) = lnt + 3t với t > 0, ta có f (t) 1 ' = 3+ > 0; t
∀ > 0 ⇒ f (t) là hàm số đồng biến. t
Khi đó (*) ⇔ x + y +1= 3xy ⇔ 3xy −1= x + y ≥ 2 xy ⇔ 3xy − 2 xy −1≥ 0. AM −GM ⇔ ( xy − )
1 (3 xy + )1 ≥ 0 ⇔ xy ≥1⇔ xy ≥1⇒ P =1⇒ m =1. Chọn B. min
Ví dụ 7: Cho các số thực a,b thỏa mãn a >1,b >1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 27 P =
(2.log a + log b)2 + 4log . ab 2 ab ab a
A. P = 36. B. P = 24.
C. P = 32. D. P = 48. min min min min Lời giải: 2   Ta có 27 P = ( a + b + ab =  +  + b + ab ab )2 27 2 1 2.log log 4loga 4.loga 4. 2 2  log ab ab a logb  2 2 Đặt t    +
= log b (t > ) 1 0 ⇔ log a = khi đó 27 2 t 27 t 2 P . 4t 4 .  = + + + = + 4t +     4. b , a t
2  t +1 t +1 2  t +1  2
Xét hàm số f (t) 27  t + 2 .  = +  
4t với t ∈(0;+∞) 2  t +1  2 t − 2 2t + 5 Ta có f '(t) ( )( ) =
; f ' t = 0 ⇔ t = 2. 3 ( ) (t + ) 1
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy rằng f (t) đạt giá trị nhỏ nhất bằng f (2) = 32 ⇒ P = 36. min Chọn A.
Ví dụ 8: Cho hai số thực a,b thỏa mãn các điều kiện 2 2
a + b >1 và log
a + b ≥1. Giá trị lớn nhất của 2 2 ( ) a +b
biểu thức P = 2a + 4b − 3 là: A. 10 B. 1 C. 1 10 D. 2 10 10 2 Lời giải: 2 2 Do 2 2
a + b >1 và log a + b ≥1 nên 2 2  1   1  1
a + b ≥ a + b ⇔ a − + b − ≤     ( ) 1 2 2 ( ) a +b  2   2  2 Ta có:  1   1  3
a + 2b =  a − + 2 b − +     (2)  2   2  2
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpski cho hai dãy số 1 1
a − ,b − và 1,2 ta có: 2 2 2 2 2  1   1   a − +  b  −  ( 2 2 + )  1   1 1 2 ≥ a − +  2b  −  2 2    2 2          2 2 2  1 1       3 5a  b    a 2b  ⇔ − + − ≥ + −  (3)  2   2     2   2 Từ ( ) 1 và (3) ta có: 1  3  3 10
5. ≥ a + 2b −
⇒ a + 2b − ≤
⇔ 2a + 4b − 3 ≤   10 2  2  2 2  1 1 a − b −  5 +  10 2 2  = a =
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi  10 1 2  ⇒  . Chọn A. 2 2   5 + 2 10  1   1  1 b a  b = − + − =   10   2   2  2
Ví dụ 9: Xét các số thực a,b thỏa mãn a ≥ b >1. Biết rằng biểu thức 1 = + log a P đạt giá trị lớn log a a b ab nhất khi k
b = a . Khẳng định nào sau đây đúng? A. 3 k 0;  ∈   . B. k ∈( 1; − 0). C. 3 k  ∈ ;2. D. k ∈(2;3).  2   2  Lời giải:
Với điều kiện a ≥ b >1 và k
b = a ⇒ k = log b ⇒ k ∈ a (0; ]1. Với k
b = a thế vào biểu thức P , ta được = log a P ab + = + b + − b a loga 1 loga 1 loga b ⇒ P =1+ log k a + 1− log k
a = + k + − k Khi đó P ⇔ f k =1+ k + 1− k . max { ( ) } a a 1 1 . max
Xét hàm số f (k) trên khoảng (0; ] 1 , ta có f (k) 1 = − f (k ) 3 ' 1 ; ' = 0 ⇔ k = . 2 1− k 4
Vậy giá trị lớn nhất của f (k) bằng 3 9 f   =    . Dấu = xảy ra khi 3 3 k
= ∈0; . Chọn A.  4  4 4  2 
Ví dụ 10: Cho x, y > 0 thỏa mãn log (x )1( y ) y 1 1 + + + 
= 9 − x −1 y +1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 3  ( )( )
thức P = x + 2 . y A. 11 P = . B. 27 P = . C. 1 6 3 P − + = . D. P = 3 − + 6 2. min 2 min 5 min 2 min Lời giải:
Ta có: log (x )1( y ) y 1 1 + + + 
= 9 − x −1 y +1 ⇔ y +1 log  x +1 y +1  = 9 − x −1 y +1 3  ( )( ) ( ) 3 ( )( ) ( )( ) 9 9
⇔ log x +1 + log y +1 =
− x −1 ⇔ log x +1 + x +1 = 2 − log y +1 + 3 ( ) 3 ( ) ( ) 3 ( ) 3 ( ) y +1 y +1  9  9
⇔ log x +1 + x +1 = log + 3 ( ) 3  y 1 +  y +1
Xét hàm số f (t) = log t + t t ∈ 0;+∞ ta có: f (t) 1 ' = +1 > 0( t ∀ ∈(0;+∞)). 3 ( ( )) t ln 3
Do đó hàm số f (t) đồng biến trên khoảng (0;+∞).  
Khi đó f (x + ) 9 9 9 = f ⇔ x + = ⇒ P =
− + y = ( y + ) 9 1 1 1 2 2 1 + −   3  y +1 y +1 y +1 y +1 Mặt khác ( y + ) 9 + ≥ ( y + ) 9 2 1 2 2 1 .
= 6 2 ⇒ P = 6 2 − 3. Chọn D. min y +1 y +1
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1: Tìm tập xác định D của hàm số 2 x 2x y e + = . A. D = .  B. D = [0;2].
C. D =  \{0; } 2 . D. D = . ∅
Câu 2: Tìm tập xác định D của hàm số y (x x ) 3 2 2 − = + −
A. D = (0;+∞). B. D = .  C. D = ( ; −∞ 2 − ) ∪(1;+∞). D. D =  \{ 2; − } 1 .
Câu 3: Tìm tập xác định D của hàm số y = ( x − ) 3 2 1 . A. D = .  B.  1 ;  +∞      . C. 1 ;+∞ . D. 1 D =  \  .  2  2    2
Câu 4: Tìm tập xác định D của hàm số y = log ( 2 x − 4x + 3 3 ) A. D = ( ; −∞ )
1 ∪(3;+∞). B. (1;3). C. (−∞ ) ;1 . D. (3;+∞).
Câu 5: Tìm tập xác định D của hàm số y = ( 2
ln −x + 5x − 6) A. D = ( ; −∞ 2) ∪(3;+∞). B. (2;3). C. ( ; −∞ 2]∪[3;+∞). D. [2; ] 3 .
Câu 6: Tìm tập xác định D của hàm số y = log(x −3)4 + log ( 2 −x + 5x − 4 3 ) A. ( ; −∞ ] 1 ∪[4;+∞). B. D = ( ; −∞ ) 1 ∪(4;+∞). C. (1;4) \{ } 3 . D. (1;4).
Câu 7: Tìm tập xác định D của hàm số 2018x y = log ( 2 −x + 2x 2009 ) A. [0;2]. B. (0;2). C. [0;2]\{ } 1 . D. (0;2) \{ } 1 .
Câu 8: Tìm tập xác định D của hàm số 2 = log x y x 3− x A. (0;3) \{ } 1 . B. (0;3). C. (1;3). D. (0; ) 1 . π
Câu 9: Tìm tập xác định D của hàm số y = ( 3x − )2 27 . A. D =  \{ } 2 . B. D = . 
C. D = [3;+∞).
D. D = (3;+∞).
Câu 10: Tìm tập xác định D của hàm số y (x x ) 3 2 2 − = − − . A. D = .  B. D =  \{ 1; − } 2 . C. D = ( ; −∞ − ) 1 ∪(2;+∞).
D. D = (0;+∞).
Câu 11: Tìm tập xác định D của hàm số y = (−x + x + )1 2 3 3 4 + 2 − x. A. D = ( 1; − 2]. B. D = { 1; − } 2 . C. D = ( ;2 −∞ ]. D. D = ( 1; − 2).
Câu 12: Tập xác định D của hàm số y = log ( 2
3− 2x − x là 2 ) A. D = ( 1; − 3). B. D = (0; ) 1 . C. D = ( 1; − ) 1 . D. D = ( 3 − ; ) 1 .
Câu 13: Tập xác định D của hàm số 1 y = + ln (x − ) 1 là 2 − x A. D = [1;2].
B. D = (1;+∞). C. D = (1;2).
D. D = (0;+∞).
Câu 14: Tìm tất cả các giá trị m để hàm số y = log ( 2
4x − 4x − 3m xác định trên . 3 )  A. 3 m ≥ . B. 1 m ≥ − . C. m ≤ 2. D. 1 m ≤ − . 4 3 3
Câu 15: Cho hàm số y = log ( 2
x − 3x + m −1. Tìm tất cả các giá trị m để hàm số có tập xác định là . 2 )  A. 9 m ≤ . B. 17 m ≤ . C. 17 m ≥ . D. 9 m ≥ . 4 4 4 4
Câu 16: Có bao nhiêu số nguyên x > 0 để hàm số y = log
10 − x xác định. 2018 ( ) A. 10. B. 2018. C. Vô số. D. 9
Câu 17: Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số = ( + ) 2 2 y x m có tập xác định là .  A. m ∀ ∈ .  B. m ≠ 0. C. m > 0. D. m ≥ 0.
Câu 18: Có mấy giá trị nguyên của m∈( 2018 −
;2018) để hàm số y = (x − x − m + ) 5 2 2 1 xác định x ∀ ∈ .  A. 4036. B. 2018. C. 2017. D. Vô số
Câu 19: Tìm tham số m để hàm số y = ( 2
log x − 2mx + 4) có tập xác định là .  A. m < 2 − ∨ m > 2. B. m = 2. C. m < 2. D. 2 − < m < 2.
Câu 20: Số giá trị nguyên của m trên đoạn [ 2018 −
;2018] để hàm số y = ( 2
ln x − 2x − m + ) 1 có tập xác định là .  A. 2019. B. 2017. C. 2018. D. 1009.
Câu 21: Tính đạo hàm của hàm số = sin 2 + 3x y x A. x 1 y 2cos 2x x3 − ′ = + .
B. ′ = −cos 2 + 3x y x . C. ′ = 2 − cos 2 − 3x y x ln 3.
D. ′ = 2cos 2 + 3x y x ln 3.
Câu 22: Đẳng thức nào sau đây đúng với mọi số dương x? A. (log ) x x ′ = . B. ( x)′ ln10 log = . C. ( x)′ 1 log = .
D. (log x)′ = xln10. ln10 x x ln10
Câu 23: Tính đạo hàm của hàm số = log x y x + e . 2 ( ) x x x A. 1+ e . B. 1+ e . C. 1+ e . D. 1 . ln 2 ( x x + e )ln 2 x x + e ( x x + e )ln 2
Câu 24: Tính đạo hàm của hàm số 2
y = x + ln x A. 2ln ′ =1 x y + .
B. y′ =1+ 2ln .x C. 2 y′ =1+ .
D. y′ =1+ 2xln .x x x ln x Câu 25: Cho hàm số 1 2 x
y = x e . Khẳng định nào đúng? 2 A. x
y′′ − y′ = e (x + ) 1 . B. x
y′′ − y′ = e (x − ) 1 . C. x
y′′ + y′ = e (x − ) 1 . D. x
y′′ + y′ = e (−x + ) 1 .
Câu 26: Tính đạo hàm của hàm số x 2 y + = 9x 1+ 2(x + 2)ln 3 1− 2(x + 2)ln 3 A. y′ = . B. y′ = . 2 3 x 2 3 x 1+ (x + 2)ln 3 1− (x + 2)ln 3 C. y′ = . D. y′ = . 2 3 x 2 3 x
Câu 27: Cho a > 0,a ≠ 1. Khẳng định nào đúng?
A. Tập giá trị của hàm số y = log x là khoảng ( ; −∞ +∞). a
B. Tập xác định của hàm số x
y = a là khoảng (0;+∞).
C. Tập xác định của hàm số y = log x là khoảng ( ; −∞ +∞). a
D. Tập giá trị của hàm số x
y = a là khoảng ( ; −∞ +∞).
Câu 28: Trong các hàm số sau, hàm số nào nghịch biến trên ? x − x A. e y   =     .
B. y = log .x C. 2 y =   .
D. y = log .x  3  1  3 5 2 
Câu 29: Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên tập xác định của nó? x  
A. y = ln .x B. y = log .x C. 3 y =   . D. 3 y x− = . 0,90  4   
Câu 30: Hàm số y = log ( 2
x − 2x nghịch biến trên khoảng 9 ) A. (1;+∞). B. ( ;0 −∞ ). C. ( 1; − ) 1 . D. (0;+∞).
Câu 31: Cho hàm số y = x − ln (1+ x). Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên ( 1; − 0).
B. Hàm số đạt cực đại tại x = 0.
C. Hàm số đồng biến trên ( 1; − +∞).
D. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0. Câu 32: Hàm số 2
y = x ln x đạt cực trị tại điểm
A. x = e. B. 1 x = 0, x = . C. x = 0. D. 1 x = . e e
Câu 33: Tìm đạo hàm của hàm số y = x(ln x − ) 1 .
A. y ' = ln .x B. y ' =1. C. 1 y ' =1− .
D. y ' = ln x −1. x
Câu 34: Cho hàm số y = ( x 2
ln e + m ). Với giá trị nào của m thì y ( ) 1 ' 1 = . 2
A. m = .e
B. m = − .e C. 1 m = .
D. m = ± e. e
Câu 35: Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên ? A. ( 3 )1x y = − . B. = (π − )x y e . C. x y = π . D. = ( − 2)x y e .
Câu 36: Hỏi với giá trị nào của a thì hàm số = (3− )x y
a nghịch biến trên ?
A. 2 < a < 3.
B. 0 < a <1. C. a > 2.
D. a < 0.
Câu 37: Hàm số nào sau đây đồng biến trên (0;+∞).
A. y = log .x B. y = log .x C. y = log .x D. y = log .x 3 3 1 − 5−2 2 1 −
Câu 38: Hàm số y = log ( 2
x − 2x đồng biến trên khoảng 2 ) A. (1;+∞). B. (2;+∞). C. ( 1; − ) 1 . D. (0;+∞). Câu 39: Cho hàm số ln x y =
. Mệnh đề nào sau đây đúng? x A. 1 y + xy′ = B. 1 y + xy′ = − C. 1 y + xy′ = − D. 1 y + xy′ = 2 x x 2 x x
Câu 40: Tìm khoảng nghịch biến của hàm số y = log ( 2 2x − x −1 . 2 ) A. (1;+∞). B.  1 ;  −∞ −      C. 1  ; −∞ D. 1  ;+∞ 2       4   4 
Câu 41: Cho hàm số y = x − ln (1+ x). Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên ( 1; − 0)
B. Hàm số đạt cực đại tại x = 0
C. Hàm số đồng biến trên ( 1; − +∞)
D. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0
Câu 42: Có bao nhiêu số tự nhiên − m để hàm số log x m 3 y = xác định trên (2;3). 2m +1− x A. 1. B. 2. C. 3. D. Vô số
Câu 43: Cho hàm số y = log ( 2
x − 3x + m −1. Tìm m để hàm số có tập xác định D = . 2 )  A. 9 m ≤ . B. 17 m ≤ . C. 17 m ≥ . D. 9 m ≥ . 4 4 4 4
Câu 44: Hàm số = log 4x − 2x y
+ m có tập xác định là 2 ( )  khi A. 1 m < . B. m > 0. C. 1 m ≥ . D. 1 m > . 4 4 4
Câu 45: Tính đạo hàm của hàm số 3 2 3
y = x x trên khoảng (0;+∞). A. 4 3 y ' = x. B. 7 6 y ' = x. C. 6 y ' = . D. 4 9 y ' = x. 3 6 7 7 x 3
Câu 46: Cho hàm số y = ( x 2
ln e + m ). Với giá trị nào của m thì y′( ) 1 1 = . 2
A. m = .e
B. m = − .e C. 1 m = .
D. m = ± e. e Câu 47: Cho hàm số 2. x y x e− =
. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số không có điểm cực trị.
B. Hàm số chỉ có điểm cực tiểu, không có điểm cực đại.
C. Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và đạt cực tiểu tại x = 2.
D. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 và đạt cực đại tại x = 2.
Câu 48: Giá trị nhỏ nhất của hàm số 2
y = log x − 4log x +1 trên đoạn [1;8] là 2 2 A. 2 − B. 1 C. 3 − D. 2
Câu 49: Tìm tập xác định D của hàm số y = (−x + x + )1 2 3 3 4 + 2 − x. A. D = ( 1; − 2]. B. D = [ 1; − 2]. C. D = ( ;2 −∞ ]. D. D = ( 1; − 2).
Câu 50: Tập xác định D của hàm số y (x 2) 4− = − + log x −1 là 4 ( )
A. D = (2;+∞). B. D = (1;2).
C. D = (1;2) ∪(2;+∞).
D. D = (1;+∞).
Câu 51: Tập xác định − D của hàm số 2 = log x y là 1 x + 2 2 A. D = ( 2; − 2). B. D = [0;2).
C. D = (1;2) ∪(2;+∞). D. D = ( ;2 −∞ ) ∪[0;2).
Câu 52: Tập xác định D của hàm số y (x 2) 4− = − + log x −1 là 4 ( )
A. D = (2;+∞). B. D = (1;2).
C. D = (1;2) ∪(2;+∞).
D. D = (1;+∞).
Câu 53: Tìm tập xác định D của hàm số y = x (x + ) 3 2 3  .   A. D = ( ; −∞ +∞). B. D = ( 3 − ;+∞) \{ } 0 .
C. D = (0;+∞). D. D = ( 3 − ;+∞).
Câu 54: Tìm tham số m để hàm số y = log ( 2
−x + mx + 2m +1 xác định x ∀ ∈(1;2). 3 ) A. 1 m ≥ − . B. 3 m ≥ . C. 3 m > . D. 1 m < − . 3 4 4 3
Câu 55: Hỏi hàm số 2 x 4x 4 y e − + =
đồng biến trên những khoảng nào sau đây? A. .  B. ( ; −∞ 2) ∪(2;+∞). C. (2;+∞). D. ( ;2 −∞ ) và (2;+∞).
Câu 56: Giá trị nhỏ nhất của hàm số x
y = xe trên [ 2; − 0] bằng A. 0. B. 2 − . C. − .e D. 1 − . 2 e e
Câu 57: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số 3 x 3x 3 y e − + = trên đoạn [0;2] A. 2 max y = e B. 3 max y = e C. 5 max y = e
D. max y = e [0;2] [0;2] [0;2] [0;2]
Câu 58: Giá trị nhỏ nhất của hàm số và giá trị lớn nhất của hàm số y = x − ln x trên đoạn 1 ;e  2   
A. 1 và e −1.
B. 1 + ln 2 và .e C. 1 và .e D. 1 và 1 + ln 2. 2 2
Câu 59: Giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) 2 3x 12 − x 1 + 3 2 = e
+ x − 3x trên đoạn [1; ] 3 là A. 11 e− − 4. B. 8 e . C. 9 e− − 3. D. 12 e− − 4.
Câu 60: Tìm tham số m để hàm số y = ( 2 2
log x − 2x − m + 5m − 5) có tập xác định là .  A. m ≥ 2
B. 2 < m < 3 C. m ≤ 3
D. m < 2 ∨ m > 3
Câu 61: Cho hàm số ( ) = ln(2 x f x
e + m) thỏa mãn f ′(− ) 3
ln 2 = . Mệnh đề nào đúng? 2 A. m∈(1;3) B. m∈( 5; − 2 − ) C. m∈(1;+∞) D. m∈( ; −∞ 3)
Câu 62: Cho hàm số = ( 2 + ) x y x
mx e . Biết y′(0) =1 thì y′( ) 1 bằng A. 6e B. 3e C. 5e D. 4e Câu 63: Cho hàm số ln x − 4 y =
với m là tham số. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên dương của m để ln x − 2m
hàm số đồng biến trên khoảng (1;e). Tìm số phần tử của S. A. 2. B. 4 C. 3. D. 1. Câu 64: Cho hàm số 2
y = x + 4ln (3− x). Tìm giá trị cực đại y của hàm số đã cho. CÑ A. y = 4. B. y = 2. C. y = 1. D. y = 1+ 4ln2. CÑ CÑ CÑ CÑ
Câu 65: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2
y = x − 2ln x trên đoạn 1 e−  ;e.   A. 2 2
max y = e − 2, min y = e− + 2. B. 2
max y = e− + 2, min y = m =1. 1 − 1 e ;e e− ;e 1 − 1 −         e ;e e ;e     C. 2
max y = e− +1, min y =1. D. 2
max y = e − 2, min y =1. 1 − 1 e ;e e− ;e 1 − 1 −         e ;e e ;e    
Câu 66: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số 3 x 3x 3 y e − + = trên đoạn [0;2]. A. 2 max y = e . B. 3 max y = e . C. 5 max y = e .
D. max y = .e [0;2] [0;2] [0;2] [0;2]
Câu 67: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của 3x 2 = + 3 x − 9 x y e e
e + 5 trên (−ln 2;ln 5) là A. 160 và 0. B. 106 và 0. C. 601 và 1. D. 610 và 1.
Câu 68: Đường cong ở hình bên là đồ thị của một hàm số trong
bốn hàm số được liệt kê dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? A. 2
y = −x + 2x +1. B. y = log . x 0,5 C. 1 y = . D. 2x y = . 2x
Câu 69: Đồ thị hình bên là đồ thị của hàm số nào?
A. y = log x +1. 2
B. y = log x +1 . 2 ( )
C. y = log .x 3
D. y = log x +1 . 3 ( )
Câu 70: Cho a, b, c là các số thực dương khác 1. Đồ thị hàm số x y = a , x y = b , x
y = c được cho trong
hình bên. Chọn khẳng định đúng?
A. 1< c < a < . b
B. c < a < b <1.
C. c <1< b < . a
D. c <1< a < . b
Câu 71: Cho a, b, c dương và khác 1. Đồ thị hàm số
y = log x y = log x y = log x như hình vẽ. Khẳng định nào b , a , c đúng?
A. a > c > . b
B. a > b > .c
C. c > b > . a
D. b > c > . a
Câu 72: Cho a và b là các số thực dương khác 1. Biết rằng
bất kì đường thẳng nào song song với trục tung mà cắt các đồ
thị y = log x y =
x và trục hoành lần lượt tại , A B và a , logb
H ta đều có 2HA = 3 .
HB Khẳng định nào đúng? A. 2 3 a b =1. B. 3a = 2 . b C. 3 2 a b =1. D. 2a = 3 . b
Câu 73: Cho các đồ thị y = log x = x có các đồ a ; y logb
thị như hình vẽ. Đường thẳng x = 2 cắt trục hoành và
các đồ thị trên tại các điểm ,
A B,C biết rằng
7AB = 3BC. Khi đó: A. 3 4 a b− = . B. 3 4 a = b . C. 4 7 a b− = . D. 3a = 4 − . b 
Câu 74: Cho hình vuông ABCD có diện tích bằng 36, AB là một véctơ chỉ phương của đường thẳng y = 0. Các điểm ,
A B, C lần lượt nằm trên đồ thị hàm số y = log x y = x y = x Tìm . a
a , 2 loga , 3 loga . A. 6 a = 3. B. a = 3. C. 3 a = 6. D. a = 6.
Câu 75: Đồ thị hàm số y = g (x) đối xứng với đồ thị của hàm số x
y = a (a > 0,a ≠ ) 1 qua điểm I (1; ) 1 . Giá trị của biểu thức 1 g  2 log  +  bằng a 2018    A. 2016. B. 2020. − C. 2020. D. 2016. −
Câu 76: Cho 1< x < 64. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 4 2 8
P = log x +12log . x log . 2 2 2 x A. max P = 64. B. max P = 96. C. max P = 82. D. max P = 81.
Câu 77: Cho a,b >1. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 1 S = + bằng log a b ab log4 ab A. 4 B. 9 C. 9 D. 1 9 4 2 4
Câu 78: Cho hai số thực dương +
x, y thỏa mãn điều kiện xy−2x−y 1− 2 3 x y =
. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức xy −1
S = x + 4y bằng A. 4 3 + 9. B. 6 + 4 3. C. 2 3 − 2. D. 4 3 − 6
Câu 79: Cho dãy số (u thỏa mãn 18u 18 u 4 1 u 4 1 + 5 u e
e − e = e và u = + với mọi n ≥1. Giá trị lớn nhất + u n n 3 n ) 1
của n để log u < bằng n ln 2018 3 A. 1419. B. 1418. C. 1420. D. 1417.
Câu 80: Cho x, y với x ≥ 0 thỏa mãn x+3y xy 1 + + + x( y + ) − xy 1 − 1 5 5 1 +1 = 5 + − 3 .
y Gọi m là giá trị nhỏ x+3 5 y
nhất của biểu thức T = x + 2y +1. Mệnh đề nào đúng? A. m∈(0; ) 1 . B. m∈(1;2). C. m∈(2;3). D. m∈( 1; − 0).
Câu 81: Cho hàm số ( ) 2018 = ln x f x
. Tính S = f '( )
1 + f '(2) +...+ f '(2017) + f '(2018). x +1 A. 2018 S = . B. S =1. C. S = ln 2018. D. S = 2018. 2019
Câu 82: Tính tổng S = 2018  f  ( 2017 − )+ f ( 2016 −
)+...+ f (0)+ f ( ) 1 +...+ f (2018).  Biết hàm số
f (x) có dạng f (x) 1 = . 2018x + 2018 A. S = 2018. B. 1 S = . C. S = 2018. D. 2018 S = . 2018 2018
Câu 83: Cho hàm số f (x) = ( 2 a + ) 2017 ( 2 x + + x ) 2018 1 ln 1 + bxsin
x + 2 với a, b là các số thực và giá trị f ( log5 7 ) = 6. Tính f ( log7 5 − ). A. f ( log7 5 − ) = 2. B. f ( log7 5 − ) = 4. C. f ( log7 5 − ) = 2. − D. f ( log7 5 − ) = 6.
Câu 84: Có bao nhiêu giá trị của m để giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ) 2x = − 4 x f x e
e + m trên đoạn [0;ln 4] bằng 6? A. 3. B. 4. C. 1. D. 2.
LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1: Điều kiện : D = .  Chọn A.
Câu 2: Điều kiện : 2
x + x − 2 ≠ 0 ⇔ x ≠ { 2; − } 1 ⇒ D =  \{ 2; − } 1 . Chọn D.
Câu 3: Điều kiện : 1
2x −1 > 0 ⇔ x > . Chọn B. 2 x > 3
Câu 4: Điều kiện : 2
x − 4x + 3 > 0 ⇔  . Chọn A. x < 1
Câu 5: Điều kiện : 2
−x + 5x − 6 > 0 ⇔ 2 < x < 3. Chọn B. x − 3 ≠ 0 x ≠ 3
Câu 6: Điều kiện :  ⇔  . Chọn C. 2
−x + 5x − 4 > 0 1  < x < 4 2 2 −
x + 2x > 0
−x + 2x > 0 0 < x < 2
Câu 7: Điều kiện :  ⇔  ⇔ Chọn D. log  (  . 2 −x + 2x) 2 ≠ 0
−x + 2x ≠ 1 x ≠ 1 2019  2x > 0 3− x  0 < x < 3
Câu 8: Điều kiện : x > 0 ⇔  . Chọn A.  x ≠ 1 x ≠ 1  
Câu 9: Điều kiện: 3
x − 27 > 0 ⇔ x > 3. Chọn D.
Câu 10: Điều kiện: 2
x − x − 2 ≠ 0 ⇔ x ≠ { 1; − } 2 . Chọn B. 2
−x + 3x + 4 > 0  1 − < x < 4
Câu 11: Điều kiện:  ⇔  ⇔ 1
− < x ≤ 2. Chọn A. 2 − x ≥ 0 x ≤ 2
Câu 12: Điều kiện: 2
3− 2x − x > 0 ⇔ 3
− < x <1. Chọn D. 2 − x > 0 x < 2
Câu 13: Điều kiện:  ⇔ 
⇔ 1< x < 2. Chọn C. x −1 > 0 x > 1 Câu 14: Ta có 2 1
4x − 4x − 3m > 0 ⇔ ∆ ' < 0 ⇔ 4 +12m < 0 ⇔ m < − . Chọn D. 3
log x −3x + m −1≥ 0  2 ( 2 ) 2
x − 3x + m − 2 ≥ 0
Câu 15: Điều kiện :  ⇔  2 2
x − 3x + m > 0
x − 3x + m > 0  17 9  − 4( − 2) ≤ 0 m m ≥  4 17 ⇔  ⇔  ⇔ m ≥ . Chọn C. 9  − 4m < 0 9 4 m >  4
Câu 16: Điều kiện: 10 − x > 0 ⇔ x <10 ⇒ 0 < x <10 ⇒ x∈{1;2;...; } 9 . Chọn D. Câu 17: Ta có 2
x + m > 0 ⇔ m > 0. Chọn C. Câu 18: Ta có 2
x − 2x − m +1 > 0 ⇔ ∆ ' < 0 ⇔ 1− (−m + )
1 < 0 ⇔ m < 0 ⇒ 2018 − < m < 0
Mà m∈ ⇒ m∈{ 2017 − ;...;− } 1 . Chọn C.
Câu 19: Điều kiện: 2 2
x − 2mx + 4 > 0 ⇔ ∆ ' < 0 ⇔ m − 4 < 0 ⇔ 2
− < m < 2. Chọn D.
Câu 20: Điều kiện: 2
x − 2x − m +1 > 0 ⇔ ∆ ' < 0 ⇔ 1− (−m + ) 1 < 0 ⇔ m < 0
Mà m∈ ⇒ m∈{ 2018 − ;...;− } 1 . Chọn B.
Câu 21: ' = 2cos 2 + 3x y x ln 3. Chọn D. Câu 22: ( x) 1 log ' = . Chọn C. x ln10 x Câu 23: 1 ' + e y = ( Chọn B. x x + e ) . ln 2 Câu 24: 1 2ln ' =1+ 2ln . =1 x y x + . Chọn A. x x Câu 25: Ta có x 1 2 ' x x = + = + ⇒ " x x = + + ' ⇒ "− ' = ( + ) 1 x y xe x e xe y y e xe y y y x e . Chọn A. 2
9x − (x + 2).9x ln 9 1−(x + 2).2ln 3 1− 2(x + 2)ln 3 Câu 26: y ' = ( = = Chọn B. 9 ) . 2 x 2 9 3 x x
Câu 27: Tập giá trị của hàm số y = log x và x
y = a lần lượt là ( ; −∞ +∞) và (0;+∞). a
Tập xác định của hàm số y = log x và x
y = a lần lượt là (0;+∞) và ( ;
−∞ +∞). Chọn A. a
Câu 28: Loại ngay B và D vì TXĐ của hai hàm số xác định trên (0;+∞) x Đáp án A đúng vì e a = <1 còn C thì 3 y   = có 3
a = >1. Chọn A. 3  2   2
Câu 29: Ta có y = ln x đồng biến trên TXĐ của nó vì 1 y ' = > 0, x
∀ ∈(0;+∞). Chọn A. x 2x − 2 x −1 1  < x < 2 Câu 30: y ' = ( < 0 ⇔ < 0 ⇔  . Chọn B. 2 x − 2x)ln9 x(x − 2) x < 0 Câu 31: 1 x 1 y ' =1− = ⇒ y" =
> 0 ⇒ Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0. Chọn D. x +1 x +1 (x + )2 1 1 Câu 32: 2 1 − 1 2
y ' = 2x ln x + x . = 0 
→ 2ln x +1 = 0 ⇔ x = e = . Chọn D. x e
Câu 33: y = ( x − ) 1 ' ln
1 + .x = ln x −1+1 = ln . x Chọn A. x x Câu 34: Ta có ' e y = . Mà y '( ) 1 e 1 2 1 = ⇔
= ⇔ m = e ⇔ m = ± e. Chọn D. x 2 e + m 2 2 m + e 2
Câu 35: Ta có π >1 nên hàm số x
y = π đồng biến. Chọn C.
Câu 36: Hàm số nghịch biến khi 0 < 3− a <1 ⇔ 2 < a < 3. Chọn A.
Câu 37: Hàm số log x có 3 >1 nên là hàm số đồng biến. Chọn A. 3 x > 2
Câu 38: Điều kiện: 2 x − − 2x > 0 ⇔ 2x 2  . Ta có y ' = . x < 0 ( 2x −2x)ln2 Hàm số đồng biến khi 2x − 2 y ' > 0 ⇔ ( > 0 ⇔ x >1. 2 x − 2x)ln 2
Kết hợp với điều kiện suy ra x > 2. Chọn B. 1 .x−ln x Câu 39: x 1− ln x ln x 1− ln x 1 y ' = = ⇒ y + xy ' = + = . Chọn D. 2 2 x x x x x  1 x < − − −  Câu 40: 4x 1 4x 1 2 y ' = ( < 0 ⇔ < 0 ⇔  . Chọn B. 2 2x − x − ) 1 ln 2 (x − ) 1 (2x + ) 1 1 < x <1 4 Câu 41: 1 x 1 y ' =1− = ⇒ y" =
> 0 ⇒ Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0. Chọn D. x +1 x +1 (x + )2 1
x − m > 0 x > m
Câu 42: Yêu cầu bài toán ⇔  ; x ∀ ∈(2;3) ⇔  ; x ∀ ∈(2;3)
2m +1− x > 0 x < 2m +1
m < 2m +1 ⇔ ( Chọn B.  ) ⊂ ( ⇔ ≤ ≤ m m + ) 1 m 2. 2;3 ;2 1
Câu 43: Yêu cầu bài toán ⇔ log ( 2
x − 3x + m) 2 −1≥ 0; x
∀ ∈  ⇔ x − 3x + m − 2 ≥ 0; x ∀ ∈ 2 
⇔ ∆′ = (− )2 − (m − ) 17 3 4
2 ≤ 0 ⇔ 17 − 4m ≤ 0 ⇔ m ≥ . Chọn C. 4
Câu 44: Yêu cầu bài toán x x ⇔ −
+ > ∀ ∈  ⇔ ( x )2 4 2 0; 2 − 2x m x + m > 0; x ∀ ∈  (*). Đặt 2x t = > 0, khi đó (*) 2 2
⇔ t − t + m > 0 ⇔ m > t − t ; t
∀ > 0 ⇔ m > max{ 2 t − t } (0;+∞) Xét hàm số ( ) 2
f t = t − t trên (0;+∞), có f ′(t) =1− 2t; f ′(t) 1 = 0 ⇔ t = . 2 Do đó f (t)  1  1 max = f =   . Vậy 1
m > là giá trị cần tìm. Chọn D. (0;+∞)  2  4 4 3 7 7 1 Câu 45: 3 3 3 2 3 2 7 7 2 2 6 6 6
y = x x = x .x = x = x ⇒ y′ = x = x. Chọn B. 6 6 x
Câu 46: = ln ( x 2 + ) e y e m  → y′ = mà y′( ) 1
1 = ⇒ m = ± e. Chọn D. x 2 e + m 2
Câu 47: Xét hàm số ( ) 2. x f x x e− = trên ( ; −∞ +∞), có ( ) ( 2 2 ). x f x x x e− ′ = − . x = 0
Phương trình f ′(x) 2
= 0 ⇔ 2x − x = 0 ⇔  . x = 2
Dựa vào bảng biến thiên, suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x = 0. Chọn D.
Câu 48: Đặt t = log x∈[0; ] 3  → f (t) 2
= t − 4t +1⇒ f ′ t = 2t − 4 = 0 ⇔ t = 2 2 ( ) 
→ f (0) =1; f (3) = 2 − ; f (2) = 3
− ⇒ min f (t) = 3 − . Chọn C. [0; ]3 2
−x + 3x + 4 > 0  1 − < x < 4 Câu 49: Ta có  ⇔  ⇔ 1
− < x < 2. Chọn D. 2 − x > 0 x < 2 x − 2 ≠ 0 x ≠ 2 Câu 50: Ta có  ⇔  . Chọn C. x −1 > 0 x > 1  x + 2 ≠ 0   x ≠ 2 − 2 − x   2 − < x < 2 Câu 51: Ta có  > 0 ⇔  2
− < x < 2 ⇔ 
⇔ 0 ≤ x < 2. Chọn B. x + 2  
2 − x ≤ x + 2 2  2 − x − x  ≤ 1 log ≥ 0  1  x + 2 x +  2 2 x − 2 ≠ 0 x ≠ 2 Câu 52: Ta có  ⇔  . Chọn C. x −1 > 0 x > 1 x ≠ 0 Câu 53: Ta có 2
x (x + 3) > 0 ⇔  . Chọn B. x > 3 − 2 Câu 54: Ta có 2
−x + mx + m + > x ∀ ∈( ) x −1 2 1 0, 1;2 ⇔ m >
= f (x), x ∀ ∈(1;2) x + 2 2x(x + 2) −( 2 x − )  → f (x) 1 3 3 ' = > 0, x ∀ ∈ 1;2 
→ f 1 = 0; f 2 = ⇒ m > . Chọn C. 2 ( ) ( ) ( ) (x + 2) 4 4
Câu 55: Ta có y ( x ) 2x 4x 4 ' 2 4 e − + = −
. Hàm số đồng biến khi y ' > 0 ⇔ x > 2. Chọn C. x∈( 2; − 0) Câu 56: Ta có  ⇔ x = −  → y (− ) 2 1 1
2 = − ; y 0 = 0; y 1 − = − . Chọn D. x x 2 ( ) ( )
y ' = e + xe = 0 e ex ∈(0;2) Câu 57: Ta có  3 5  ⇔ x =  → y = e y = e y = e Chọn C. y ' =  ( 1 0 ; 2 ; 1 . 2 3x − 3) 3 ( ) ( ) ( ) x 3x 3 e − + =  0   1 x ;e ∈  Câu 58: Ta có   2   1  1  ⇔ x =1 → y = +  
ln 2; y(e) = e −1; y( ) 1 =1. Chọn A.  1  2  2 y ' =1− = 0  xx ∈  (1;3) Câu 59: Ta có  ⇔ x = 2  f '
 ( x) = (6x −12) 2 3x 12 − x 1 + 2 e + 3x − 6x = 0 f ( ) 8 e− f ( ) 8 e− f ( ) 11 1 2; 3 ; 2 e−  → = − = = − 4. Chọn A. Câu 60: 2 2 2 2
x − 2x − m + 5m − 5 > 0, x
∀ ∈  ⇔ m − 5m + 5 < x − 2x, x ∀ ∈  2
⇔ m − 5m + 5 < 1
− ⇔ 2 < m < 3. Chọn B. x Câu 61: ( ) 2e f x = ⇒ f − =
= ⇒ m = − Chọn D. x ( ) 1 3 1 ' ' ln 2 . 2e + m 1+ m 2 3
Câu 62: = ( + ) x + ( 2 ' 2 + ) x y x m e x
mx e ⇒ y '(0) = m =1⇒ y '( )
1 = 3e + 2e = 5 .e Chọn C.
Câu 63: Đặt t − − +
= ln x ⇒ t ∈(0; ) 1 . Khi đó t 4 y = . Ta có 2m 4 y ' = t − 2m (t − 2m)2 m < 2  2 − m + 4 > 0  m ≤ 0
Hàm số đồng biến khi  m ≤ 0 2m 0  ≤ ⇔  ⇔  1
. Mà m > 0 ⇒ m =1. Chọn D. 1  ≤ m <   2 2m ≥ 1 m ≥  2  2 2 4 2 − x + 6x − 4
x =1⇒ y =1+ 4ln 2
Câu 64: Điều kiện: x < 3. Ta có y ' = 2x − = ; y ' = 0 ⇔ 3− x 3− x
x = 2 ⇒ y = 4
Do đó cực đại của hàm số là y = Chọn A. CD 4. Câu 65: Ta có 2
y ' = 2x − ; y ' = 0 ⇔ x =1. Ta có y ( ) y ( 1 e− = ) 1 1 1, =
+ 2, y e = e − 2 2 ( ) 2 x e Do đó suy ra 2
max y = e − 2, min y =1. Chọn D. 1 − 1 e ;e e− ;e    
Câu 66: Ta có y = ( x − ) 3 2 x −3x+3 ' 3 3 e
; y ' = 0 ⇔ x =1. Ta có y( ) 3
= e y ( ) = e y( ) 5 0 , 1 , 2 = e
Do đó giá trị lớn nhất của hàm số là 5 e . Chọn C. Câu 67: Đặt x
t = e do x ( ) 1 ln 2;ln 5 t  ;5 ∈ − ⇒ ∈ . Khi đó 3 2
y = t + 3t − 9t + 5  2 
Xét hàm số f (t) 3 2
= t + 3t − 9t + 5 với 1 t  ;5 ∈ ta có 2    t = f '(t) 1 2
= 3t + 6t − 9; f '(t) = 0 ⇔  t = −  (l). 3 Ta có  1  11 f =  , f ( ) 1 = 0, f (5) =160 ⇒ 
giá trị lớn nhất và nhỏ nhất là 160 và 0. Chọn A.  2  8
Câu 68: Dựa vào đồ thị ta thấy:
- Hàm số có tập xác định là  và đồ thị luôn nằm phía trên trục Ox (loại A và B)
- Hàm số là hàm nghịch biến. Chọn C.
Câu 69: Đồ thị hàm số nhận đường thẳng x = 1
− là tiệm cận đứng và xác định với x ∈( 1; − +∞) (loại đáp án A và C).
Đồ thị hàm số đi qua điểm (2; )
1 nên x = 2 ⇒ y =1. Do đó đáp án D thỏa mãn. Chọn D.
Câu 70: Dựa vào đồ thị suy ra các hàm số x y = a và x
y = b là các hàm số đồng biến nên a,b >1 Hàm số x
y = c là hàm nghịch biến nên 0 < c <1 Ta thay x =100 thì 100 100
b > a , mà a,b >1 suy ra b > . a
Do đó b > a >1 > .c Chọn D.
Câu 71: Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số y = log x là hàm số đồng biến trên khoảng (0;+∞) nên a a >1
Hàm số y = log x y =
x là hàm nghịch biến trên khoảng (0;+∞) nên 0 < ; c b <1. b ; logc Thay 1 1 x =100 ⇒ 0 > log > ⇔ > ⇔ c >
b ⇔ c > b b 100 loga100 log log 100 100 log b log c 100 100
Vậy a > c > . b Chọn A.
Câu 72: Ta có A(x ;log x ⇒ HA =
x B(x ;log x ⇒ HB = −
x (Do log x < b 0) b log 0 0 ) a loga ; 0 0 ) 0 b 0 0 1 1 − Lại có: 2 3
2HA = 3HB ⇒ 2log x = − x ⇔ x =
x ⇒ a = b a 3logb log log 1 1 0 0 0 − 0 2 3 a b 6 (6) 1 1    −  2 3 3 2 − 3 2
⇔ a  = b  ⇔ a = b ⇔ a b =1. Chọn C.    
Câu 73: Ta có B(2;log C a 2) ; (2;logb 2) Khi đó: AB = log AC = − a 2; logb 2
Do 7AB = 3BC ⇔ 7AB = 3( AB + AC) ⇔ 4AB = 3AC ⇔ 4log = − a 2 3logb 2 log a −log b 2 2 3 4 ⇔ =
⇔ a = b− . Chọn A. 4 3 
Câu 74: Do AB là một véctơ chỉ phương của đường thẳng y = 0 ⇒ 2 điểm A và B có cùng tung độ. 2 log u = va 2log u  = v
Gọi A(u;log u); B( ; v 2log v) a ⇒  ⇒ a aAB u v  = −   u − v = 6  Suy ra 2 2 v>0
v − v = 6 ⇔ v − v = 6
± →v = 3 ⇒ u = 9 ⇒ B = (3;2log a 3) 6  6 a = 3 3 = a Do AB / /Oy BC Ox C (3;3log BC  ⇒ ⊥ ⇒ ⇒ = = ⇔  ⇒ Chọn A. a 3) loga 3 6 . 6 −  1 3 = a = 6 a  3
Câu 75: Gọi A( ;
x y)∈ đồ thị hàm số y = g (x)
Lấy đối xứng điểm A qua điểm I (1; ) 1 ⇒ B(2 − ;
x 2 − y) thuộc đồ thị hàm số x y = a Do đó 2−x 2 2 − = ⇔ = 2 −x y a y − a = g (x) Suy ra  1 g 2 log  + =  g (2 − log 2018) loga 2018 log = 2 − a = 2 − 2018 a a = − = −  a a 2 2018 2016.  2018  Chọn D. Câu 76: 4 2 8 4 2
P = log x +12log . x log
= log x +12log x(3− log x) 4 3 2
= log x −12log x + 36log x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x
Đặt t = log x do x∈(1;64) ⇒ t ∈(0;6). Khi đó 4 3 2
P = t −12t + 36t 2
Xét hàm số f (t) 4 3 2
= t −12t + 36t với t ∈(0;6). t = 0(l) Ta có  f '(t) 3 2
= 4t − 36t + 72t; f '(t) = 0 ⇔ t =  3 t = 6  (l)
Ta có max P = f (3) = 81. Chọn D. Câu 77: S = ab + ab = + b + + a a ( ) 1 b ( ) 1 log log 1 loga (1 logb ) 4 4 5 1 1 5 1 1 9 = + log b + ≥ + b = a . 2 loga . . . 4 4 log b b a 4 4 loga 4 a,b >1  a,b >1 Dấu " = " xảy ra ⇔  1 ⇔  . Chọn B. log b = a b  = a  2 xy 1 −
Câu 78: Ta có xy−2x−y 1− 2x + y 3 2 3 x + y = ⇔ = ⇒ xy − − = x + y + x+ y ( ) xy 1 1 .3 (2 ) 2 .3 x y 2 xy −1 3 xy −1
Do VT > 0 nên VP > 0 ⇔ xy −1 > 0 ⇔ xy >1.
Xét hàm số ( ) = .3t f t
t (t > 0) ta có: '( ) = 3t + .3t f t
t ln 3 > 0 với t ∀ > 0.
Do đó hàm số f (t) đồng biến trên khoảng (0;+∞)
Ta có: f (xy − ) = f ( x + y) ⇔ xy − = x + y ⇔ x( y − ) y +1 1 2 1 2 2 = y +1 ⇔ x = y − 2
Do x > 0 ⇒ y > 2. Khi đó y +1 3 S = + y = + ( y − ) 3 4 4 2 + 9 ≥ 2
.4( y − 2) + 9 = 4 3 + 9 y − 2 y − 2 y − 2  3 y = 2 +
Vậy S = 4 3 + 9 ⇔  2 . Chọn A. min  x =1+ 2 3
Câu 79: Ta có 18u 18 u 4 1 u 4 1 u 18 u 4 1 u 18 u 4 1 + 5 − = ⇔ − + 5 u e e e e e e e − e = 0 18 u 4 1 u ⇒ − ( 18u 4 1u − + 5) 18 u 4 1 = 0 u e e e e
⇔ e − e = 0 ⇔ u = 4u 18 1
Lại có u = + ⇒ là cấp số cộng với d = 3 ⇒ u = u + n −1 d = u +17d = u + 51 18 1 ( ) + u u n n 3 1 n 1 1
Mặt khác u = 4u ⇒ 3u = 51⇒ u =17 18 1 1 1 Ta có: ln 2018 log u < ⇔ u < ⇔ + n − < n ln 2018 n 3 17 3( ) ln2018 1 3 3 ln 2018 3 −14 ⇔ < ≈ 1419,9 n n ∈  → n = 1419. Chọn A. max 3
Câu 80: Ta có x+3y xy 1 + + + x( y + ) − xy 1 − 1 5 5 1 +1 = 5 + − 3 . y x+3 5 y x+3y − x−3y − xy 1 − xy 1 5 5 x 3y 5 5 + ⇔ − + + = − − xy −1(*)
Xét hàm số ( ) = 5t −5−t f t
+ t (t ∈) ta có: '( ) = 5t ln 5 + 5−t f t ln 5 +1 > 0( t ∀ ∈ )
Do đó hàm số f (t) đồng biến trên 
Ta có: ( ) ⇔ f (x + y) = f (−xy − ) −x −1 * 3
1 ⇔ x + 3y = −xy −1 ⇔ 3y + xy = −x −1 ⇔ y = . x + 3 Khi đó 2x + 2 2x + 6 − 4 4 T = x − +1 = x − +1 = x −1+ = f (x) x + 3 x + 3 x + 3
Xét hàm số f (x) với x∈[0;+∞) ta có: f (x) 4 ' = 1− > 0 x
∀ ≥ 0 ⇒ f x đồng biến trên [0;+∞). 2 ( ) ( ) (x +3) Do đó 1
T = f 0 = ∈ 0;1 . Chọn A. min ( ) ( ) 3 ′
Câu 81: Ta có f (x) 2018x = 
→ f ′(x)  2018x  2018x 1 1 1 ln =   : = = − x +1  x +1  x +1 x(x + ) 1 x x +1 Suy ra 1   1 1   1 1   1 1  1 2018 S  = 1− + − + − +...+ − =1− −         . Chọn A.  2   2 3   3 4   2018 2019  2019 2019
Câu 82: Ta có f (x) + f ( − x) 1 1 1 1 = + = . x 1
2018 + 2018 2018 −x + 2018 2018 Suy ra f (− )+ f ( ) 1 2017 2018 = ; f (− )+ f ( ) 1 2016 2017 = ;... 2018 2018 Do đó 1 S = 2018.2018. = 2018. Chọn A. 2018 Câu 83: Ta có log5 log7 7
= 5 suy ra f ( log5 ) = ⇔ f (x) =  → f ( log7 7 6 6 5 − ) = f (−x).
Lại có f (−x) = ( 2 a + ) 2017 ( 2 −x +
+ x )+b (−x) 2018 1 ln 1 . .sin (−x)+ 2 = ( 2 a + ) 2017 1 2018 1 ln − bxsin x + 2 = −( 2 a + ) 1 ln ( 2 x + 1+ x ) 2018 − bxsin x + 2 2 x + 1+ x = −  f
 ( x) − 2 + 2 = 4 − f  (x) = 4−6 = 2. − Chọn C. Câu 84: Đặt x
u = e , với x ∈[0;ln 4]  →u ∈[1;4].
Xét hàm số g (u) 2
= u − 4u + m trên [1;4], có g′(u) = 2u − 4; g′(u) = 0 ⇔ u = 2. Tính g ( )
1 = m − 3; g (2) = m − 4; g (4) = m 
→ min f (x) = { m ; m − 4}. [0;ln4]  m =  6
TH1. Với min f (x) = m  → ⇔ m = 6. [0;ln4]
m > m − 4   m − 4 =  6
TH2. Với min f (x) = m − 4  → ⇔ m =10. [0;ln4]
m < m − 4 
Vậy có tất cả 2 giá trị nguyên m cần tìm. Chọn D.
Document Outline

  • ITMTTL~1
  • IIBITP~1
  • IIILIG~1