Chuyên đề trắc nghiệm mặt trụ, hình trụ và khối trụ Toán 12

Tài liệu gồm 45 trang, trình bày lý thuyết trọng tâm, các dạng toán trọng tâm kèm phương pháp giải và bài tập trắc nghiệm tự luyện chuyên đề mặt trụ, hình trụ và khối trụ.Mời các bạn đón xem.

40 20 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 2: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu

Môn: Toán 12

Thông tin:

45 trang 7 tháng trước

Tác giả:

Profile Lan Tường
CHỦ ĐỀ 11: MẶT TRỤ - HÌNH TRỤ - KHỐI TRỤ
A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
I. KHÁI NIỆM VỀ MẶT TRÒN XOAY
1. Định nghĩa trục của đường tròn
• Trục của đường tròn (O;R) là đường thẳng đi qua O và vuông
góc với mặt phẳng chứa đường tròn đó.
• Khi điểm M không nằm trên đường thẳng Δ thì có duy nhất một
đường tròn đi qua M và có trục là Δ, ta kí hiệu đường tròn đó là
(C
M
) (xem hình vẽ)
2. Định nghĩa mặt tròn xoay
• Trong không gian, cho hình (H) và một đường thẳng Δ. Hình gồm tất cả các đường tròn (C
M
) với M
thuộc (H) được gọi là hình tròn xoay sinh bởi (H) quay quanh Δ.
• Đường thẳng Δ gọi là trục của hình tròn xoay đó
• Khi ( H ) là một đường thì hình tròn xoay sinh bởi nó còn gọi là mặt tròn xoay
II. MẶT TRỤ TRÒN XOAY
1. Định nghĩa
Cho hai đường thẳng l và Δ sao cho l song song Δ;
( )
;.dl R∆ =
Khi ta quay l quanh trục Δ một góc 360
0
thì l tạo thành một mặt trụ
tròn xoay (T) (mặt trụ).
• Δ gọi là trục của mặt trụ (T).
• l gọi là đường sinh của mặt trụ (T).
• R gọi là bán kính của mặt trụ (T).
2. Tính chất
a. Mặt trụ (T) là tập hợp các điểm M cách đường thẳng cố định Δ một khoảng R không đổi.
b. Nếu M
1
là một điểm bất kì trên mặt trụ thì đường thẳng l
1
đi qua M
1
và
song song với Δ cũng nằm trên mặt trục đó
c. Nếu một mặt phẳng (P) vuông góc với trục Δ của mặt trụ (T) thì (P) cắt
(T) theo giao tuyến đường tròn tâm I, bán kính R (I là giao điểm của Δ với
(P))
d. Cho một mặt phẳng (P) song song với trục Δ của một mặt trụ (T).
Khi đó
• (P) cắt (T) theo hai đường sinh
( )
( )
;.d PR⇔ ∆<
• (P) tiếp xúc với (T)
( )
(
)
;.d PR⇔
∆ =
•
( ) ( ) ( )
( )
;.P T dP R∩ =∅⇔ ∆ >
III. HÌNH TRỤ VÀ KHỐI TRỤ TRÒN XOAY
1. Định nghĩa hình trụ
• Cắt mặt trụ (T) trục Δ, bán kính R bởi hai mặt phẳng (P) và (P’) cùng
vuông góc với Δ, ta được giao tuyến là hai đường tròn (C) và (C').
• Phần của mặt trụ (T) nằm giữa (P) và (P') cùng với hai hình tròn xác
định bởi (C) và (C') gọi là hình trụ.
• Hai dường tròn (C) và (C') gọi là hai đường tròn đáy của hình trụ.
• OO' gọi là trục của hình trụ.
• Độ dài OO' gọi là chiều cao của hình trụ.
• Phần giữa hai đáy gọi là mặt xung quanh của hình trụ.
• Phần của đường sinh của mặt trụ (T) nằm trên mặt xung quanh của
hình trụ gọi là đường sinh của hình trụ (trên hình vẽ bên là đoạn MM')
2. Nhận xét
• Các đường sinh của hình trụ đều bằng nhau và bằng với trục của hình trụ
• Các thiết diện qua trục của hình trụ là các hình chữ nhật bằng nhau, có hai kích thước là h, 2R.
• Thiết diện vuông góc với trục của hình trụ là một hình tròn bằng hình tròn đáy.
• Nếu một điểm M di động trên một đường tròn (C) cố định thì M thuộc một mặt trụ cố định (T) chứa (C)
và có trục vuông góc α.
3. Khối trụ
• Hình trụ cùng với phần bên trong nó được gọi là khối trụ.
4. Diện tích hình trụ và thể tích khối trụ
• Diện tích xung quanh của hình trụ có bán kính R và chiều cao h là
2
xq
S Rh
π
=
• Diện tích xung quanh của hình trụ là
ππ
= +× = +
2
222
tp xq ñ
S S S Rh R
• Thể tích của khối trụ là
2
V Rh
π
=
B. CÁC DẠNG TOÁN TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
I. Dạng 1. Bài toán liên quan đến công thức, thể tích
Ví dụ 1: Một hình trụ có diện tích xung quanh bằng
2
4 a
π
và bán kính đáy là a. Tính độ dài đường cao của
hình trụ đó.
A.
B.
.la=
C.
D.
.
2
a
l =
Lời giải
Ta có
22
42 2
xq
S a Rh Rh a
ππ
= = → =
mà
22
22Raaha ha=⇒ = ⇔=
Vậy độ dài đường sinh của hình trụ là
2.
lh a= =
Chọn A.
Ví dụ 2: Cho hình trụ có bán kính đáy bằng R, chiều cao bằng h. Biết rằng hình trụ đó có diện tích toàn
phần gấp đôi diện tích xung quanh. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
2.hR=
B.
.hR=
C.
2.hR=
D.
2.hR=
Lời giải
Diện tích xung quanh của hình trụ là
2
xq
S Rh
π
=
Diện tích toàn phần của hình trụ là
2
22
tp
S Rh R
ππ
= +
Theo bài ra, ta có
22
2 2 2 2.2 2 2 .
tp xq
S S Rh R Rh R Rh R h
ππ π ππ
= ⇔ + = ⇔ = ⇔=
Chọn B.
Ví dụ 3:
Cho hình trụ có bán kính đáy bằng a, diện tích toàn phần bằng
2
4 a
π
. Thể tích khối trụ đã cho
bằng
A.
3
2.Va
π
=
B.
3
2.Va
π
=
C.
3
.Va
π
=
D.
3
4.Va
π
=
Lời giải
Diện tích toàn phần của hình trụ là
2
22
tp
S Rh R
ππ
= +
Mặt khác
2
,4
tp
R aS a
π
= =
suy ra
22
422a ah a h a
πππ
= + → =
Vậy thể tích khối trụ là
223
.. .V Rh a a a
ππ π
= = =
Chọn C.
Ví dụ 4: Cho hình trụ có khoảng cách giữa hai đáy bằng
a
, thế tích khối tại bằng
3
4.a
π
Diện tích toàn phần
hình trụ đã cho là
A.
2
8.
tp
Sa
π
= −
B.
2
4.
tp
Sa
π
= −
C.
2
2.
tp
Sa
π
=
D.
2
12 .
tp
Sa
π
=
Lời giải
Khoảng cách giữa hai đáy của hình trụ chính là chiều cao
h ha → =
Thể tích khối trụ là
23
4
V Rh a
ππ
= =
mà
22
42
ha R a R a
=⇒ = ⇔=
Vậy diện tích toàn phần của hình trụ là
22
2 2 12 .
tp
S Rh R a
ππ π
=+=
Chọn D.
Ví dụ 5: Cho hình trụ có diện tích xung quanh bằng 4π, diện tích toàn phần bằng 12π. Thể tích khối trụ đã
cho bằng
A.
12 .V
π
=
B.
4.V
π
=
C.
8.V
π
=
D.
6.V
π
=
Lời giải
Diện tích xung quanh của hình trụ là
24 2
xq
S Rh Rh
ππ
= = → =
Diện tích toàn phần của hình trụ là
22
2 2 12 6
tp
S Rh R Rh R
ππ π
= + = → + =
Khi đó, ta có hệ
22
22
2
.
1
64
Rh Rh
R
h
Rh R R
= =
=

⇔⇔

=
+= =

Vậy thể tích khối trụ đã cho là
22
.2 .1 4 .
V Rh
ππ π
= = =
Chọn B.
Ví dụ 6: Cho hình trụ có diện tích toàn phần bằng 16π, thể tích khối trụ bằng 8π. Diện tích xung quanh
hình trụ đã cho bằng
A.
12 .
V
π
=
B.
4.V
π
=
C.
8.V
π
=
D.
6.V
π
=
Lời giải
Diện tích toàn phần của hình trụ là
22
2 2 16 8
tp
S Rh R Rh R
ππ π
= + = → + =
Thể tích của khối trụ là
22
88V Rh Rh
ππ
= = → =
Khi đó, ta có hệ
2
22
2
22
2
88
8
h R 2.
88
8
.8 8
hh
Rh R
RR
Rh
RR R
RR

= =

+=

⇔ ⇔ ⇔= =

=

+ = +=


Vậy diện tích xung quanh của hình trụ là
2 8.
xq
S Rh
ππ
= =
Chọn C.
Ví dụ 7: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = a, AD = 2a. Thể tích của khối trụ tạo thành khi quay hình chữ
nhật ABCD quanh cạnh AB bằng
A.
3
4.a
π
B.
3
2.a
π
C.
3
8.a
π
D.
3
12 .a
π
Lời giải
Kỹ năng vẽ hình: Hình chữ nhật quay quanh cạnh nào thì cạnh đó là
trục, đồng thời chính là chiều cao của hình trụ
Khi quay hình chữ nhật ABCD quanh trục AB, ta được hình trụ có chiều
cao
,h AB a= =
bán kính đáy
2R AD a= =
Vậy thể tích của khối trụ là
223
.4 . 4 .
V Rh a a a
ππ π
= = =
Chọn A.
Ví dụ 8: Hình trụ (T) được sinh ra khi quay hình chữ nhật ABCD xung quanh MN, với M, N lần lượt là
trung điểm AB và CD. Biết
0
2 2, 45 .AC a ACB= =
Diện tích toàn phần của hình trụ đã cho bằng
A.
3
4.
a
π
B.
3
12 .a
π
C.
3
8.
a
π
D.
3
6.a
π
Lời giải
Tam giác ABC vuông tại B, có
0
45ACB AB BC=⇒=
Ta có
2222 2
28 2AC AB BC AB a AB BC a= + ⇔==⇔=
Quay hình chữ nhật ABCD quanh MN ta được hình trụ có chiều cao
2 ,h MN BC a= = =
bán kính đáy
2
AB
R MB a= = =
Vậy diện tích toàn phần là
23
226
tp
S Rh R a
πππ
=+=
. Chọn D.
Ví dụ 9: Từ một tấm tôn hình chữ nhật có kích thước 50 × 240, người ta làm các thùng đựng nước hình trụ
có chiều cao bằng 50, theo hai cách sau (xem hình vẽ minh họa):
• Cách 1: Gò tấm tôn ban đầu thành mặt xung quanh của thùng.
• Cách 2: Cắt tấm tôn ban đầu thành hai tấm tôn bằng nhau, rồi gò mỗi tấm đó thành mặt xung quanh của
một thùng.
• Kí hiệu V
1
là thể tích của thùng gò được theo cách 1 và V
2
là thể tích của thùng gò được theo cách 2. Khi
đó tỉ số
1
2
V
V
bằng
A.
1
.
2
B. 1. C. 2. D. 4.
Lời giải
Công thức thể tích khối trụ là
2
V Rh
π
=
Ở cách 1, suy ra
và
11
120
2 240 .RR
π
π
= ⇔=
Do đó
2
1
120
. .50V
π
π

=


(đvtt).
Ở cách 2, suy ra mỗi thùng có
50h =
và
22
60
2 120 .
RR
π
π
= ⇔=
Do đó
2
2
60
2 . .50V
π
π


= ×





(đvtt). Suy ra
1
2
2.
V
V
=
Chọn C.
Ví dụ 10: Người ta thả một viên billiards snooker có dạng hình cầu với bán kính
nhỏ hơn 4,5 cm vào một chiếc cốc hình trụ đang chứa nước thì viên billiards đó
tiếp xúc với đáy cốc và tiếp xúc với mặt nước sau khi dâng (tham khảo hình vẽ
bên). Biết rằng bán kính của phần trong đáy cốc bằng 5,4 cm và chiều cao của mực
nước ban đầu trong cốc bằng 4,5 cm. Bán kính của viên billiards đó bằng
A. 2,7 cm.
B. 4,2 cm.
C. 3,6 cm.
D. 2,6 cm.
Lời giải
Thể tích của phần chứa nước ban đầu là
( )
( )
2
3
1
6561
. 5, 4 .4,5
50
V cm
π
π
= =
Gọi R là bán kính của viên billiards ⇒ Thể tích viên billiards là
( )
3
3
2
4
3
R
V cm
π
=
Tổng thể tích của nước và bi là
(
)
(
)
2
3
1458
. 5, 4 .2R
25
R
V cm
π
π
= =
Khi đó, ta có
3
12
1458 6561 4
25 50 3
RR
VVV
π ππ
=+⇔ = +
Giải phương trình với điều kiện
0 4,5 2,7 cm.RR< < → =
Chọn A.
Ví dụ 11: Mặt tiền của một ngôi biệt thự có 8 cây cột hình trụ tròn, tất cả đều có chiều cao 4,2 m. Trong số
các cây đó, có hai cây cột trước đại sảnh đường kính bằng 40 cm, sáu cây cột còn lại phân bố đều hai bên
đại sảnh và chúng đều có đường kính bằng 26 cm. Chủ nhà thuê nhân công để sơn các cây cột bằng một
loại sơn giả đá, biết giá thuê là 380 000/1 m
2
(kể cả vật liệu sơn và thi công). Hỏi người chủ phải chi ít nhất
bao nhiêu tiền để sơn hết các cây cột nhà đó (đơn vị đồng)? (lấy
3,14159
π
=
)
A. 11 833 000 đồng. B. 12 242 000 đồng. C. 10 405 000 đồng D. 13 657 000 đồng.
Lời giải
Tổng diện tích xung quanh của 8 cây cột đó là
2
0, 4 0, 26
2. 2 . .4,2 6. 2 . .4,2 9,912
22
xq
S cm
ππ π

=+=


Vậy số tiền cần phải chi là
380 000. 11 833 000
xq
TS= ≈
đồng. Chọn A.
Ví dụ 12: Một xưởng sản xuất muốn tạo ra những chiếc đồng hồ
cát bằng thủy tinh có dạng hình trụ, phần chứa cát là hai nửa hình
cầu bằng nhau. Hình vẽ bên với các kích thước đã cho là bản thiết
kế thiết diện qua trục của chiếc đồng hồ này (phần tô màu làm
bằng thủy tinh). Khi đó, lượng thủy tinh làm chiếc đồng hồ cát
gần nhất với giá trị nào trong các giá trị sau
A. 602,2 cm
3
. B. 1070,8 cm
3
.
C. 6021,3 cm
3
. D. 711,6 cm
3
.
Lời giải
Thể tích của khối trụ là
22 3
1
.6,6 .13,2 1806,39V r h cm
ππ
= = =
Thể tích khối cầu chứa cát là
3
33
2
4 4 13, 2 2
. 735,62
332
V R cm
ππ
−

= = =


Vậy lượng thủy tinh cần phải làm là
3
12
1070,77 .
V V V cm=−=
Chọn B.
Ví dụ 13: : Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh AB bằng a, góc tạo bởi hai mặt phẳng (SAB) và
(ABC) bằng 60
0
. Diện tích xung quanh của hình trụ có đường tròn đáy ngoại tiếp tam giác ABC và chiều
cao bằng chiều cao của hình chóp là
A.
2
2
.
3
a
π
B.
2
2
.
6
a
π
C.
2
3
.
3
a
π
D.
2
3
.
6
a
π
Lời giải
Gọi O là trọng tâm tam giác
( )
ABC SO ABC⇒⊥
Gọi M là trung điểm
( )
AB OM AB AB SMO
⇒ ⊥⇒⊥
Khi đó
( ) ( )
(
)
( )
0
; ; 60SAB ABC SM OM SMO= = =
Tam giác ABC đều có
33
;
36
aa
AB a OC OM=⇒= =
Tam giác SMO vuông tại O, có
.tan 60
2
a
SO OM= =
Bán kính đường tròn ngoại tiếp ΔABC là
3
3
a
R OC= =
Vậy diện tích xung quanh hình trụ là
2
33
2 2. . .
32 3
xq
aa a
S Rh
π
ππ
= = =
Chọn C.
Ví dụ 14: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2, góc giữa cạnh bên SA và mặt đáy bằng
30°. Gọi S là diện tích toàn phần của hình trụ có một đường tròn đáy là đường tròn nội tiế
p hình vuông
ABCD và chiều cao bằng chiều cao của hình chóp S.ABCD. Khẳng định nào dưới đây là đúng?
A.
S 10,181.≈
B.
S 11,413.≈
C.
S 13,285.≈
D.
S 12,669.≈
Lời giải
Gọi O là tâm hình vuông ABCD
( )
SO ABCD⇒⊥
Ta có
( )
(
)
( )
; ; 30SA ABCD SA OA SAO= = =
Tam giác SAO vuông tại O, có
6
.tan 30
3
SO OA
= =
Bán kính đường tròn nội tiếp hình vuông ABCD là
1
2
AB
R = =
Vậy diện tích toàn phần cần tính là
22
6
2 2 2 .1. 2 .1 11,413.
3
S Rh R
πππ π
=+= +≈
Chọn B.
Ví dụ 15: Một nhà máy sản xuất cần thiết kế một thùng sơn dạng hình trụ có nắp đậy với dung tích 1000
cm
3
. Bán kính của nắp đậy để nhà sản xuất tiết kiệm nguyên vật liệu nhất bằng
A.
3
5
10 .cm
π
B.
5
10 .cm
π
C.
500
.cm
π
D.
3
500
.cm
π
Lời giải
Gọi R, h lần lượt là bán kính đáy và chiều cao hình trụ
Thể tích khối trụ là
2
2
1000
1000
V Rh h
R
π
π
= = → =
Yêu cầu bài toán tương đương với “ diện tích toàn phần nhỏ nhất”
Ta có
( )
22 2
2
1000 2000
2 2 2 2. 2
tp
S Rh R R R R f R
RR
ππππ π
π
= + = + = + →
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
( )
2
2000
2fR R
R
π
= +
• Cách 1. Khảo sát hàm số, với R > 0
• Cách 2. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta được
( )
2
22 2
3
3
2000 1000 1000 1000 1000
2 2 3 2 . . 3 2 . 1000RR R
R R R RR
ππ π π
+ = ++≥ =
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
2
3
1000 500
2 .R R cm
R
π
π
= ⇔=
Chọn D.
II. Dạng 2. Bài toán về thiết diện với hình trụ
Ví dụ 1: Cắt một hình trụ bằng một mặt phẳng qua trục của nó, ta được thiết diện là một hình vuông cạnh
2a. Diện tích xung quanh của hình trụ bằng
A.
2
16 .a
π
B.
2
4.
a
π
C.
2
8.
a
π
D.
2
2.a
π
Lời giải
Thiết diện qua trục hình trụ là hình chữ nhật có hai kích thước h và 2R
Theo bài ra, ta có
22 .
2a
Ra
hRa
h
=
= = ⇒
=
Vậy
2
2 2 . .2a 4 .
xq
S Rh a a
ππ π
= = =
Chọn B.
Ví dụ 2: Cho hình trụ có diện tích toàn phần là 6π và có thiết diện cắt bởi mặt phẳng qua trục là hình
vuông. Thể tích khối trụ đã cho bằng
A. 2π. B. 4π. C. 8π. D. 12π.
Lời giải
Thiết diện qua trục của hình trụ là hình chữ nhật ABCD có hai
kích thước
2,AB R AD h
= =
Theo bài ra, ta có ABCD là hình vuông
2AB AD h R
⇒ = ⇔=
Diện tích toàn phần của hình trụ là
2
22
tp
S Rh R
ππ
= +
22
2 .2 2 6 6 1 2.RR R R R h
π πππ
= + = = → = ⇒ =
Vậy thề tích khối trụ là
2
2.
V Rh
ππ
= =
Chọn A.
Ví dụ 3: Một hình trụ có diện tích xung quanh bằng 4π, thiết diện qua trục là hình vuông. Một mặt phẳng
(α) song song với trục, cắt hình trụ theo thiết diện là tứ giác ABB'A', biết một cạnh của thiết diện là một dây
cung của đường tròn đáy cùa hình trụ và căng một cung 120°. Tính diện tích thiết diện ABB'A'.
A.
3 2.
B.
2 2.
C.
2 3.
D.
3 3.
Lời giải
Thiết diện qua trục hình trụ là hình chữ nhật có hai kích thước h, 2R
Theo bài ra, ta có
2R
2R 1
4
24 2
xq
h
hR
S
Rh h
π
ππ
=
= =

⇔ →

=
= =

Thiết diện song song với trục OO' là hình chữ nhật ABB'A' (hình bên).
Dây cung AB căng một cung 120°
120
AOB⇒=
Tam giác OAB có
22
2. . .cos 3AB OA OB OA OB AOB
= +− =
Vì AA' là đường sinh
2.AA h
′
→ = =
Vậy
. 2. 3.
ABB A
S AB AA
′′
′
= =
Chọn C.
Ví dụ 4: : Cho hình trụ có bán kính đáy bằng R và chiều cao bằng
3R
.
2
Mặt phẳng (α) song song với trục
của hình trụ và cách trục một khoảng bằng
R
.
2
Tính diện tích thiết diện của hình trụ cắt bởi mặt phẳng (α).
A.
2
3 3R
.
4
B.
2
3R
.
2
C.
2
3R
.
2
D.
2
3 3R
.
2
Lời giải
Thiết diện song song với trục
OO
′
là hình chữ nhật
ABB A
′′
(hình bên).
Vì
( )
( )
(
)
( )
( )
( )
// ; ; ;OO ABB A d OO d O d O AB
αα
′ ′′ ′
⇒==
Gọi H là trung điểm AB mà
OA OB OH AB=⇒⊥
Tam giác OAH vuông tại H, có
22
AH OA OH= −
2
2
2.
33
23
22 2
AH
RR R
R AB R

= − = → = =

=
Do đó
2
3 33
3, .
22
ABB A
RR
AB R AA S
′′
′
= = → =
Chọn D.
Ví dụ 5: Cho hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông ABCD cạnh bằng
23
với AB là đường kính của
đường tròn đáy tâm O. Gọi M là điểm thuộc cung AB của đường tròn đáy sao cho
60 .
ABM = °
Thể tích của
khối tứ diện ACDM là
A. 4. B. 3. C. 12. D. 6.
Lời giải
Thiết diện qua trục là hình vuông ABCD (hình vẽ bên)
Suy ra
23
23
3
2
h BC
AB BC
AB
R OA
= =
= = ⇒
= = =
Tam giác OBM cân tại O, có
60 .OBM OBM= °⇒∆
đều
( ) ( )
22
22
3 23 3 3BM OB AM AB BM⇒==⇒= − = − =
Kẻ
( )
MH AB H AB⊥∈
mà
( )
DDMH M CA H AB
⊥⇒⊥
Tam giác ABM vuông tại
.3
2
AM BM
M MH
AB
⇒= =
Diện tích tam giác ACD là
( )
2
D
23
1
. D. D 6
22
AC
S AC
∆
= = =
Vậy thể tích tứ diện ACDM là
DD
1 13
. . . .6 3.
3 32
AC M AC
V MH S
∆
= = =
Chọn B.
Ví dụ 6: Một hình trụ có bán kính đáy R = 70 cm, chiều cao hình trụ
20 .h cm=
Một hình vuông có các
đỉnh nằm trên hai đường tròn đáy sao cho có ít nhất một cạnh không song song và không vuông góc với
trục hình trụ. Khi đó, cạnh của hình vuông bằng
A. 80 cm. B. 100 cm. C.
100 2 .
cm
D. 140 cm.
Lời giải
Xét hình vuông ABCD có AD không song song và không vuông góc với trục
OO' của hình trụ.
Dựng đường sinh AA', ta có
( )
D AA
D AAD CD AD
CD A
C
C
D
⇒
′
⊥
′′
⊥ ⇒⊥
⊥
Suy ra A'C là đường kính đáy nên
2R 140A C cm
′
= =
Xét tam giác vuông AA'C, ta có
22
100 2 .AA A CAC cm
′
= =
′
+
Suy ra cạnh hình vuông bằng 100 cm. Chọn B.
Ví dụ 7: Cho một hình trụ có bán kính đáy bằng R và có chiều cao bằng
3R
. Hai điểm A, B lần lượt nằm
trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa AB và trục của hình trụ bằng 30°. Khoảng cách giữa AB và trục
của hình trụ bằng
A. R. B.
3R
C.
3
.
2
R
D.
3
.
4
R
Lời giải
Từ hình vẽ kết hợp với giả thiết, ta có
'OA O B R= =
Kẻ đường sinh AA' là đường sinh
3
OA R
AA R
′′
=
⇒
′
=
và
0
30BAA
′
=
Vì
( )
//OO ABA
′′
nên
( )
( )
( )
( )
(
)
(
)
;;;d OO AB d OO ABA d O ABA
′ ′′ ′′
= =
Goi H là trung điểm
( )
OH AB
A B O H ABA
O H AA
′′
⊥
′ ′′
⇒ ⇒⊥
′′
⊥
Tam giác ABA' vuông tại A', có
.tan 30BA AA R
′′
= =
Suy ra tam giác A'BO' đều có cạnh bằng R nên
3
.
2
R
OH
′
=
Chọn C.
Ví dụ 8: Cho hình trụ có đáy là hai đường tròn tâm O và O', bán kính bằng chiều cao và bằng a. Trên
đường tròn tâm O lấy điểm A, trên đường tròn tâm O' lấy điểm B sao cho
2.AB a=
Thể tích của khối tứ
diện OO'AB bằng
A.
3
3
.
12
a
B.
3
3
.
4
a
C.
3
3
.
6
a
D.
3
3
.
2
a
Lời giải
Kẻ đường sinh AA', gọi D là điểm đối xứng với A' qua tâm O'
Và H là hình chiếu của B trên A'D
Ta có
(
)
BH AOO A
′′
⊥
nên
1
.
3
OO AB AOO
V S BH
′′
∆
=
Xét tam giác vuông
,A AB
′
có
22
3A B AB AA a
′′
= −=
Xét tam giác vuông
,
A BD
′
có
22
BD AD AB a
′′
= −=
Suy ra
3
.
2
a
BH =
Vậy
3
2
11 3 3
..
3 2 2 12
OO AB
aa
Va
′

= =


(đvtt).
Chọn A.
Ví dụ 9: Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O) và (O'), chiều cao 2R và bán kính đáy R. Một mặt
phẳng (α) đi qua trung điểm của OO' và tạo với đường thẳng OO' một góc 30°. Mặt phẳng (α) cắt đường
tròn đáy theo một dây cung có độ dài bằng
A.
3
2
R
. B.
3R
. C.
26
3
R
. D.
6
3
R
.
Lời giải
Dựa vào hình vẽ, kết hợp với giả thiết ta có
,2OA OB R OO R
′
= = =
và
0
O 30IM =
Xét tam giác vuông MOI, có
0
3
.tan 30
3
R
OI MO= =
Xét tam giác vuông AIO, có
2
22 2
6
3
3
RR
IA OA OI R

= −=− =


Suy ra
26
2.
3
R
AB IA= =
Chọn C.
Ví dụ 10: Một chiếc cốc hình trụ có đường kính đáy 6 cm, chiều
cao 15 cm chứa đầy nước. Nghiêng cốc cho nước chảy từ từ ra
ngoài đến khi mép nước ngang với đường kính của đáy cốc. Khi
đó diện tích của bề mặt nước trong cốc bằng
A.
2
9 26 cm .
π
B.
2
9 26
cm .
2
π
C.
2
9 26
cm .
5
π
D.
2
9 26
cm .
10
π
Lời giải
Dựng cốc hình trụ, phần gạch chéo chính là hình chiếu của diện tích bề mặt
nước trong cốc (tham khảo hình vẽ bên)
Gọi S là diện tích bề mặt nước, S
0
là diện tích phần gạch chéo
Theo công thức hình chiếu, ta có
0
cos ,
S
S
ϕ
=
với
( )
0
;S S A OA
ϕ
′
= =
Tam giác
OAA
′
vuông tại A, có
22
3 26
cos
26
3 15
OA
A OA
OA
′
= = =
′
+
Và
2
2
0
9 9 26 9 26
: cm .
2 2 2 26 2
R
SS
ππ π π
= = → = =
Chọn B.
III. Dạng 3. Hình trụ nội - ngoại tiếp hình lăng trụ đứng
Phương pháp: Hình trụ nội - ngoại tiếp lăng trụ đứng có chiều cao bằng độ dài cạnh bên của lăng trụ và
đáy là đường tròn nội - ngoại tiếp đa giác đáy của lăng trụ (tham khảo hình vẽ)
Ví dụ 1: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có độ dài cạnh đáy bằng 2, chiều cao bằng 4. Thể tích của
khối trụ ngoại tiếp lăng trụ bằng
A. 6π. B. 4π. C. 8π. D. 12π.
Lời giải
• Chiều cao của khối trụ là
4h AA
′
= =
• Bán kính đường tròn ngoại tiếp ΔABC là
2
2. 3
3
4
ABC
R
∆
= =
Suy ra bán kính đáy hình trụ là
3.
R =
Vậy thể tích khối trụ là
2
12 .V Rh
ππ
= =
Chọn D.
Ví dụ 2: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A,
, 3.AB a AC a= =
Góc giữa
đường thẳng A'B và mặt phẳng đáy bằng 60
0
. Thể tích khối trụ ngoại tiếp khối lăng trụ đã cho bằng
A.
3
.
a
π
B.
3
3.a
π
C.
3
23 .a
π
D.
3
2.a
π
Lời giải
Tam giác ABC vuông tại A, có
22
2BC AB AC a
= +=
Suy ra bán kính đường tròn ngoại tiếp ΔABC là
2
ABC
BC
Ra
∆
= =
Ta có
(
) (
)
(
)
0
; ;AB 60AA ABC A B ABC AA A BA
′ ′ ′′
⊥⇒ = ==
Tam giác A'AB vuông tại A, có
.tan 60 3AA AB a
′
= =
Khối trụ ngoại tiếp lăng trụ có
3;
ABC
h AA Ra Ra
∆
′
= = = =
Vậy thể tích khối trụ là
23
3.V Rh a
ππ
= =
Chọn B.
Ví dụ 3: Cho lăng trụ đứng
.ABC A B C
′′′
có đáy ABC là tam giác vuông tại
, 3 , 5 .
A AB a BC a= =
Khối trụ
nội tiếp lăng trụ đứng có thể tích bằng
3
2.a
π
Thể tích khối lăng trụ đứng bằng
A.
3
16 .a
B.
3
6.a
C.
3
12 .a
D.
3
8.a
Lời giải
Thể tích khối trụ là
32 2 3
2 2,V a Rh Rh a
ππ
= = → =
với
ABC
Rr
h AA
∆
=
′
=
Tam giác ABC vuông tại A, có
2 22
1
4 .. 6
2
ABC
AC BC AB a S AB AC a
∆
= −=⇒= =
Ta có
2
3
66
2
45
6
2
:
ABC
aaa S
a
AB BC A
r aa
p
C
pa
∆
++
=
++
= = → = = =
Do đó
23
2.2R a a h a h AA a
′
=⇒=⇒ ==
Vậy thể tích khối lăng trụ là
3
..12
ABC
VA aSA
∆
=
′
=
Chọn C.
Ví dụ 4: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có độ dài cạnh bên bằng a, đáy là tam giác vuông cân tại A. Góc
giữa đường thẳng AC' và mặt phẳng (BCC'B') bằng 30
0
. Diện tích xung quanh của khối trụ ngoại tiếp lăng
trụ ABC.A'B'C' bằng
A.
2
2.a
π
B.
2
2.a
π
C.
2
.a
π
D.
2
4.a
π
Lời giải
Gọi M là trung điểm
BC AM BC⇒⊥
mà
BB AM
′
⊥
Suy ra
(
)
( )
0
; 30AM BCC B AC BCC B AC M
′′ ′ ′′ ′
⊥⇒ ==
Đặt
22
2
2;
2
x
AB AC x BC x AM AC x a
′
= = → = ⇒ = = +
Tam giác AC'M vuông tại M, có
sin 2
AM
AC M AC AM
AC
′′
= ⇔=
′
2
22
22
4.
2 22
ABC
x BC a
x a xa R
∆

⇔ + = ⇔ = → = =



Vậy diện tích xung quanh khối trụ là
2
S 2 2.
xq
Rh a
ππ
= =
Chọn A.
Ví dụ 5: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có góc giữa hai mặt phẳng (A'BC) và (ABC) bằng 30°. Biết
3AB a=
, thể tích khối trụ nội tiếp lăng trụ đã cho bằng
A.
3
3
.
6
a
π
B.
3
3
.
2
a
π
C.
3
3
.
4
a
π
D.
3
3
.
8
a
π
Lời giải
Dựng
AM BC
⊥
mà
(
)
AA BC BC A AM
′′
⊥⇒⊥
Do đó
( ) ( )
0
; 30A BC ABC A MA
′′
= =
mà
3 3a
.
22
AB
AM
= =
Suy ra
0
3a 3
.tan .tan 30
22
a
AA AM A MA
′′
= = =
Bán kính đường tròn nội tiếp ΔABC là
3a
62
ABC
AB
r
∆
= =
Khối trụ nội tiếp lăng trụ ABC.A'B'C' có
2
3
2
ABC
a
Rr
a
h AA
∆
= =
′
= =
Vậy thể tích khối trụ là
2
3
2
33
.. .
22 8
aa a
V Rh
π
ππ

= = =


Chọn D.
Ví dụ 6: Diện tích xung quanh hình trụ ngoại tiếp hình lập phương cạnh a bằng
A.
2
.a
π
B.
2
2.a
π
C.
2
2.a
π
D.
2
4.a
π
Lời giải
Chiều cao của hình trụ là
h AA a
′
= =
Hình lập phương có đáy là hình vuông
2
22
ABC
AC a
R
∆
→ = =
Suy ra bán kính đáy hình trụ là
2
2
S 2 2.
2
xq
a
R Rh a
ππ
= ⇒= =
Chọn B.
Ví dụ 7: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có
, 2 .AB a AD a= =
Diện tích tam giác A'DC bằng
2
13
.
2
a
Thể tích khối trụ ngoại tiếp hình hộp chữ nhật đã cho bằng
A.
3
5
.
4
a
π
B.
3
3
.
4
a
π
C.
3
15
.
4
a
π
D.
3
5
.
2
a
π
Lời giải
Ta có
( )
C
C
D DD
D ADD A D A D
D
C
C
AD
′
⊥
′′
⇒⇒
′
⊥⊥
⊥
Suy ra
2
D
1 13
. . D 13
22
AC
a
S ADC AD a
′
∆
′′
= = → =
Do đó
( )
(
)
2
2
22
13 2 3AA A D AD a a a
′′
= −= − =
Khối trụ ngoại tiếp hình hộp chữ nhật có
5
22
3
AC a
R
h AA a
= =
′
= =
Thế tích khối trụ cần tính là
2
3
2
5 15
. .3a .
24
aa
V Rh
π
ππ

= = =



Chọn C.
Ví dụ 8: Cho lăng trụ đứng
.ABCD A B C D
′′′′
có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, góc giữa hai mặt phẳng
(A'BD) và (ABCD) bằng 45°. Diện tích xung quanh hình trụ nội tiếp lăng trụ đứng đã cho bằng
A.
2
.
4
a
π
B.
2
.
2
a
π
C.
2
2
.
4
a
π
D.
2
2
.
2
a
π
Lời giải
Gọi O là tâm hình vuông
( )
D AOA BD A AB OCD B
′
⊥⇒⊥⇒
Khi đó
( ) ( )
( )
0
; ; 45A BD ABCD A O OA A OA
′ ′′
= = =
Suy ra tam giác A'AO vuông cân tại
2
2
a
A AA OA
′
→ = =
Bán kính đường tròn nội tiếp hình vuông ABCD là
2
ABC
a
r
∆
=
Khối trụ nội tiếp lăng trụ đứng có
;
2
2
2
ABC
a
Rr h A
a
A
∆
′
= = = =
Vậy diện tích xung quanh cần tính là
2
2
S2 .
2
xq
a
Rh
π
π
= =
Chọn D.
IV. Dạng 4. Hình trụ nội tiếp hình cầu
Ví dụ 1: Cho hình trụ có chiều cao bằng 4 nội tiếp trong hình cầu bán kính bằng 3. Tính thể tích V của khối
trụ này
A. 4π. B. 8π. C. 12π. D. 20π.
Lời giải
Gọi r, h, R lần lượt là bán kính đáy hình trụ, chiều cao hình trụ và
bán kính của hình cầu. Theo hình vẽ, ta được
222
O
II AA
O= +
2
22
4
h
Rr → = +
(công thức tổng quát bài toán trụ nội tiếp cầu)
Với
22
2
4, 3 3
4
5
4
hR r
r= = → =
⇒=+
Vậy thể tích khối trụ là
2
20 .V rh
ππ
= =
Chọn D.
Ví dụ 2: Hình trụ (T) có bán kính đáy bằng 3a, chiều cao bằng 8a có hai đáy nằm trên mặt cầu (S). Thể tích
của khối cầu bằng
A.
3
125 a
π
B.
3
25 .
a
π
C.
3
500
.
3
a
π
D.
3
375
.
4
a
π
Lời giải
Áp dụng công thức tổng quát bài toán trụ nội tiếp cầu, ta được
( )
(
)
2
2
2
22 2 2 2
8a
3a 9a 16a 25a 5a
44
h
Rr R= + = + = + = → =
Vậy thể tích khối cầu là
3
3
4 500
.
33
a
VR
π
π
= =
Chọn C.
Ví dụ 3: Một quả cầu có thể tích
3
256
3
cm
π
được đặt vào trong một chiếc
cốc có dạng hình trụ với đường kính đáy là 6 cm như hình vẽ. Phần nhô ra
khỏi chiếc cốc của quả cầu bằng (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
A. 2,21 cm.
B. 2,38 cm.
C. 4,52 cm.
D. 6,65 cm.
Lời giải
Yêu cầu bài toán
0
h TB⇔=
(hình vẽ bên)
Thể tích khối cầu là
3
4 256
4
33
V R R cm
π
π
= = ⇔=
Bán kính đáy của hình trụ là
3
2
d
r cm= =
Tam giác MBO vuông tại B, có
22
7OB OM BM= −=
Do đó
4 7 6, 65 .TB TO OB cm=+=+≈
Chọn D.
Ví dụ 4: Cho mặt cầu (S) có bán kính R không đổi (cho trước). Một hình trụ có chiều cao h và bán kính r
thay đổi nội tiếp mặt cầu. Tính chiều cao h theo R sao cho diện tích xung quanh của hình trụ lớn nhất.
A.
2.hR=
B.
hR=
C.
2hR
=
D.
2
R
h
=
Lời giải
Gọi I là trung điểm
OO I
′
⇒
là tâm mặt cầu
Tam giác IAO có
2
2 2 22
1
4
42
h
r R Rh=−= −
Ta có
22
2 . 4R
xq
S Rh h h
ππ
= = −
( )
( )
2 22
2 22
4R
. 4R .
2
Co si
a
b
hh
hh
ππ
−
+−
= −≤

Suy ra
22
x
2 2.
xq ma
SR S R
ππ
≤ → =
Dấu bằng xảy ra khi
2 22
4Rhh= −⇔
2hR=
. Chọn A.
Ví dụ 5: Cho mặt cầu (S) có bán kính R không đổi (cho trước). Một hình trụ có chiều cao h và bán kính r
thay đổi nội tiếp mặt cầu. Tính chiều cao h theo R sao cho thể tích khối trụ lớn nhất.
A.
2
.
2
R
h =
B.
23
.
3
R
h
=
C.
3
.
2
R
h =
D.
2.hR=
Lời giải
Gọi I là trung điểm
OO I
′
⇒
là tâm mặt cầu
Tam giác IAO có
2
2 2 22
1
R 4R
42
h
rh=−= −
Ta có
( )
2
22
.R
4
h
V rh h f h
ππ

= = −=


Xét hàm số
( )
fh
có
( )
22
3
R0
4
fh h
π
π
′
=−=⇔
23
.
3
R
h =
Lập bảng biến thiên
max
V⇒
khi
23
.
3
R
h =
Chọn B.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1: Cho hình trụ có bán kính đáy bằng 3 và thể tích của hình trụ bằng 18π. Tính diện tích xung quanh S
xq
của hình trụ đã cho.
A.
18 .
xq
S
π
=
B.
36 .
xq
S
π
=
C.
6.
xq
S
π
=
D.
12 .
xq
S
π
=
Câu 2: Cho hình trụ có bán kính đường tròn đáy là R = 3 cm. Gọi S
xq
, S
tp
lần lượt là diện tích xung quanh và
diện tích toàn phần của hình trụ. Tính
.
tp xq
SS S= −
A.
2
18 cm .
S
π
=
B.
2
9 cm .S
π
=
C.
2
6 cm .S
π
=
D.
2
12 cm .S
π
=
Câu 3: Một hình trụ có bán kính đáy r = 40 cm và chiều cao h = 40 cm. Tính diện tích xung quanh của hình
trụ đó.
A.
2
1600 cm .
π
B.
2
3200 cm .
π
C.
2
1600 cm .
D.
2
3200 cm .
π
Câu 4: Tính thể tích khối trụ tròn xoay có bán kính r và chiều cao h.
A.
2
1
3
rh
π
B.
2
rh
π
C.
2.rh
π
D.
3
1
.
3
rh
π
Câu 5: Cho khối trụ có bán kính đáy bằng R và chiều cao là
R3
. Tính thể tích khối trụ đó.
A.
3
4
R 3.
3
V
π
=
B.
3
R 3.V
π
=
C.
3
4 R 3.
V
π
=
D.
3
R 3.V =
Câu 6: Cho hình trụ (T) có độ dài đường sinh là b và bán kính đường tròn đáy là a. Tính diện tích toàn phần
S
tp
của hình trụ (T).
A.
( )
2.
tp
S ab a
π
= +
B.
( )
22 .
tp
S a ba
π
= +
C.
( )
2 2.
tp
S ab a
π
= +
D.
( )
.
tp
S ab a
π
= +
Câu 7: Hình trụ có bán kính đáy bằng chiều cao và bằng R thì diện tích toàn phần của nó bằng
A.
2
6.R
π
B.
2
2.R
π
C.
2
.R
π
D.
2
4.R
π
Câu 8: Cho khối trụ có độ dài đường sinh bằng 10, thể tích khối trụ là 90π. Tính diện tích xung quanh của
khối trụ đó.
A. 36π. B. 60π. C. 81π. D. 78π.
Câu 9: Cho hình trụ có bán kính đáy bằng 4, độ dài đường sinh bằng 12. Tính diện tích xung quanh S
xq
của
hình trụ.
A.
48 .
xq
S
π
=
B.
128 .
xq
S
π
=
C.
192 .
xq
S
π
=
D.
96 .
xq
S
π
=
Câu 10: Gọi r là bán kính đường tròn đáy và l là độ dài đường sinh của khối trụ. Thể tích khối trụ là
A.
2
2.rl
π
B.
2
1
.
3
rl
π
C.
2
3.rl
π
D.
2
.rl
π
Câu 11: Cho hình trụ có bán kính đáy R và diện tích toàn phần bằng
2
4.R
π
Tính thể tích V của khối trụ tạo
bởi hình trụ đó.
A.
3
2 R.V
π
=
B.
3
2R
.
3
V
π
=
C.
3
3 R.V
π
=
D.
3
R.V
π
=
Câu 12: Diện tích toàn phần S
tp
của hình trụ có bán kính đáy R, chiều cao h và độ dài đường sinh l là:
A.
2
2.
tp
S R Rl
ππ
= +
B.
2
2 2.
tp
S R Rl
ππ
= +
C.
2
.
tp
S R Rl
ππ
= +
D.
2
2 2.
tp
S R Rl
ππ
= +
Câu 13: Tính diện tích toàn phần S
tp
của một hình trụ có bán kính và chiều cao
3.hr=
A.
( )
2
13 .
tp
Sr
π
= +
B.
( )
2
21 3 .
tp
Sr
π
= +
C.
( )
3
21 3 .
tp
Sr
π
= +
D.
( )
3
1 23 .
tp
Sr
π
= +
Câu 14: Một khối trụ có thể tích bằng
3
192 cm
π
và đường sinh gấp ba lần bán kính đáy. Tính độ dài đường
sinh của hình trụ đó.
A. 12 cm. B. 3cm. C. 6 cm. D. 9 cm.
Câu 15: Một khối trụ có thể tích bằng 16π. Nếu chiều cao khối trụ tăng lên hai lần và giữ nguyên bán kính
đáy thì được khối trụ mới có diện tích xung quanh bằng 16π. Bán kính đáy của khối trụ ban đầu bằng
A. 1. B. 8. C. 4. D. 2.
Câu 16: Cho khối trụ (T) có bán kính đáy bằng 4 và diện tích xung quanh bằng 16π. Tính thể tích V của
khối trụ (T).
A.
32 .V
π
=
B.
64 .V
π
=
C.
16 .
V
π
=
D.
32
.
3
V
π
=
Câu 17: Thể tích của khối trụ có bán kính đáy r = 2 em và chiều cao h = 9 cm là
A.
3
18 cm .
π
B.
3
18 cm .
C.
3
162 cm .
π
D.
3
32 cm .
π
Câu 18: Hình trụ (H
1
) có bán kính mặt đáy R = a và chiều cao h = 2a, hình trụ (H
2
) có bán kính
mặt đáy R = 2a và chiều cao h = a. Gọi V
1
là thể tích của (H
1
), V
2
là thể tích của (H
2
). Mệnh đề nào sau đây
đúng?
A.
12
.
VV<
B.
12
.
VV
>
C.
12
.VV=
D.
3
12
5.VV a
π
+=
Câu 19: Một khối trụ có khoảng cách giữa hai đáy là 7 cm và diện tích xung quanh là 70π cm
2
. Tính thể tích
V của khối trụ đã cho.
A.
3
175 cm .V
π
=
B.
3
700 cm .V
π
=
C.
3
175
cm .
3
V
π
=
D.
3
35 cm .V
π
=
Câu 20: Một hình trụ có bán kính đáy
5 c ,rm=
chiều cao
50 .h cm=
Hỏi diện tích xung quanh S
xq
của hình
trụ đó bằng bao nhiêu?
A.
2
500 cm .
xq
S =
B.
2
250 cm .
xq
S =
C.
2
500 cm .
xq
S
π
=
D.
2
2500 cm .
xq
S =
Câu 21: Tính diện tích xung quanh của khối trụ có bán kính đáy r = 2 và độ dài đường sinh
2 5.l =
A.
85.
π
B.
25.
π
C.
2.
π
D.
45.
π
Câu 22: Cho hình trụ có bán kính đáy bằng 3 cm, độ dài đường cao bằng 4 cm. Tính diện tích xung quanh
của hình trụ này.
A.
( )
2
24 cm .
π
B.
( )
2
22 cm .
π
C.
( )
2
26 cm .
π
D.
( )
2
20 cm .
π
Câu 23: Trong không gian cho hình chữ nhật ABCD có
5
.
,AB a AC a= =
Tính diện tích xung quanh S
xq
của hình trụ khi quay đường gấp khúc BCDA quanh trục AB.
A.
2
2.
xq
Sa
π
=
B.
2
4.
xq
Sa
π
=
C.
2
2.
xq
Sa=
D.
2
4.
xq
Sa=
Câu 24: Trong không gian, cho hình vuông ABCD có cạnh bang a. Khi quay hình vuông đó xung quanh trục
AB ta được một hình trụ. Tính diện tích xung quanh S
xq
của hình trụ đó.
A.
2
.
xq
Sa
π
=
B.
2
4.
xq
Sa
π
=
C.
2
22 .
xq
Sa
π
=
D.
2
2.
xq
Sa
π
=
Câu 25: Trong không gian, cho hình chữ nhật ABCD có AB = I và AD = 2. Gọi M, N lần lượt là trung điểm
của AD và BC. Quay hình chữ nhật đó xung quanh trục MN, ta được một khối trụ. Tính diện tích toàn phần
của hình trụ.
A. 2π. B. 3π. C. 4π. D. 8π.
Câu 26: Cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB = 2 và AD = 4. Gọi M,N là trung điểm các cạnh AB và CD.
Cho hình chữ nhật ABCD quay quanh đường thẳng MN, ta được khối trụ tròn xoay có thể tích V bằng bao
nhiêu?
A.
16 .V
π
=
B.
4.V
π
=
C.
8.V
π
=
D.
32 .V
π
=
Câu 27: Cho một hình chữ nhật có độ dài đường chéo bằng 5, một cạnh có độ dài bằng 3. Quay hình chữ
nhật đó quanh trục là đường thẳng chứa cạnh có độ dài lớn hơn, ta thu được một khối tròn xoay. Tính thể
tích khối tròn xoay đó.
A. 12π. B. 48π. C. 36π. D. 45π.
Câu 28: Cho hình vuông ABCD quay quanh cạnh AB tạo ra hình trụ có độ dài của đường tròn đáy bằng
4πa. Tính theo a thể tích V của hình trụ này.
A.
3
2.
Va
π
=
B.
3
4.
Va
π
=
C.
3
8.
Va
π
=
D.
3
8
.
3
a
V
π
=
Câu 29: Hình chữ nhật ABCD có AB = 6, AD = 4. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của bốn cạnh AB,
BC, CD, DA. Cho hình chữ nhật ABCD quay quanh QN, tứ giác MNPQ tạo thành vật tròn xoay có thể tích
bằng
A.
2.V
π
=
B. 6π. C. 8π. D.
4.V
π
=
Câu 30: Cho hình trụ có được khi quay hình chữ nhật ABCD quanh trục AB. Biết rằng AB = 2AD = 4a. Tính
thế tích của khối trụ đã cho theo a.
A.
3
8.a
π
B.
3
16 .
a
π
C.
3
16 .a
D.
3
32 .a
π
Câu 31: Cho khối trụ (T) có thiết diện qua trục là một hình vuông có diện tích bằng 4. Tính diện tích xung
quanh S
xq
của khối trụ (T).
A.
4 2.
xq
S =
B.
4.
xq
S
π
=
C.
8.
xq
S
π
=
D.
2.
xq
S
π
=
Câu 32: Một hình trụ có bán kính đáy bằng a, mặt phẳng qua trục hình trụ cắt hình trụ theo thiết diện là một
hình vuông. Tính thể tích V của khối trụ.
A.
3
2
.
3
a
V
π
=
B.
3
.
3
a
V
π
=
C.
3
.
Va
π
=
D.
3
2.Va
π
=
Câu 33: Trong không gian cho hai điểm A, B phân biệt và cố định. Điểm M thay đổi sao cho diện tích tam
giác MAB không đổi. Khi đó, tập hợp tất cả các điểm M này là một
A. mặt trụ. B. mặt phẳng. C. mặt nón. D. mặt cầu.
Câu 34: Bánh của một chiếc xe lu có dạng hình tạt với đường kính đáy bằng l,2m, bề ngang bằng 2,1m. Hỏi
khi xe do chuyển thẳng, bánh xe quay được 12 vòng, thì diện tích mặt đường được lu là bao nhiêu? (Kết quả
làm tròn đến hàng đơn vị).
A.
2
95 .m
B.
2
72 .m
C.
2
48 .m
D.
2
144 .
m
Câu 35: Để làm một thùng phi hình trụ người ta cần hai miếng nhựa hình tròn làm hai đáy có diện tích mỗi
hình là
( )
2
16 cm
π
và một miếng nhựa hình chữ nhật có diện tích là
( )
2
60 cm
π
để làm thân. Tính chiều
cao của thùng phi được làm.
A.
( )
10 .cm
B.
( )
15 .cm
C.
(
)
15
.
2
cm
D.
( )
30 .cm
Câu 36: Cắt một khối trụ bởi một mặt phẳng qua trục ta được thiểt diện là hình chữ nhật ABCD có AB và
CD thuộc hai đáy của khối trụ. Biết AB = 4a, BC = 3a. Tính thể tích V của khối trụ.
A.
3
12Va
π
=
B.
3
16 .Va
π
=
C.
3
4.Va
π
=
D.
3
8.Va
π
= −
Câu 37: Một hình trụ (T) có bán kính đáy R và có thiết diện qua trục là hình vuông. Tính diện tích xung
quanh của khối trụ (T).
A.
2
4.
R
π
B.
2
.R
π
C.
2
2.R
π
D.
2
4
.
3
R
π
Câu 38: Một hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông cạnh a. Tính thể tích V của hình trụ dó.
A.
3
.
5
a
V
π
=
B.
3
.
4
a
V
π
=
C.
3
.
2
a
V
π
=
D.
3
.
3
a
V
π
=
Câu 39: Cho hình trụ có thiết diện qua trục OO' là một hình vuông cạnh bằng 2. Mặt phẳng (P) qua trung
điểm I của OO' và tạo với mặt phẳng đáy góc 30
0
. Diện tích của thiết diện do (P) cắt hình trụ gần nhất với số
nào sau đây?
A. 3,7. B. 3,8. C. 3,6. D. 3,5.
Câu 40: Cắt một hình trụ bằng mặt phẳng (α) vuông góc mặt đáy, ta được thiết diện là một hình vuông có
diện tích bằng 16. Biết khoảng cách từ tâm đáy hình trụ đến mặt phẳng (α) bằng 3. Tính thể tích khối trụ.
A.
52
.
3
π
B.
52
π
C.
13
π
D.
23
π
Câu 41: Một hình trụ có diện tích xung quanh là 4π, thiết diện qua trục là hình vuông. Một mặt phẳng (α)
song song với trục, cắt hình trụ theo thiết diện ABB'A', biết một cạnh của thiết diện là một dây của đường
tròn đáy hình trụ và căng một cung 120°. Diện tích thiết diện ABB'A' là
A.
3
B.
23
C.
22
D.
32
Câu 42: Một hình trụ có bán kính đáy 5 cm và chiều cao 7 cm. Cắt khối trụ bằng một mặt phẳng song song
với trục và cách trục 3 cm. Diện tích thiết diện tạo bởi khối trụ và mặt phẳng bằng
A.
2
21 cm .
B.
2
56 cm .
C.
2
70 cm .
D.
2
28 cm .
Câu 43: Cho hình trụ có đường cao bằng 8a . Một mặt phẳng song song với trục và cách trục hình trụ 3a,
cắtt hình trụ theo thiết diện là hình vuông. Tính diện tích xung quanh và thể tích hình trụ.
A.
23
80 , 200
aa
ππ
B.
23
60 , 200
aa
ππ
C.
23
80 , 180aa
ππ
D.
23
60 , 180aa
ππ
Câu 44: Một hình trụ có bán kính đáy và chiều cao đều bằng 4 dm. Một hình vuông ABCD có hai cạnh AB
và CD lần lượt là các dây cung của hai đường tròn đáy. Biết mặt phẳng (ABCD) không vuông góc với mặt
đáy của hình trụ. Tính diện tích S của hình vuông ABCD.
A.
2
20 dm
S =
B.
2
40 dmS
=
C.
2
80 dmS =
D.
2
60 dm
S =
Câu 45: Cho hình trụ có bán kính đáy và trục OO' cùng có độ dài bằng 1. Một mặt phẳng (P) thay đổi đi qua
O, tạo với đáy của hình trụ một góc 60° và cắt hai đáy của hình trụ đã cho theo các dây cung AB và CD (dây
AB đi qua O). Tính diện tích của tứ giác ABCD .
A.
23 22
3
+
B.
33 32
2
+
C.
32
3
+
D.
23 22+
Câu 46: Một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn có tâm lần lượt là O, O' và có cùng bán kính r = 5. Khoảng
cách giữa hai đáy là OO' = 6. Gọi (α) là mặt phẳng qua trung điểm của đoạn OO' và tạo với đường thẳng
OO' một góc 45
0
. Tính diện tích S của thiết diện tạo bởi mặt phẳng (α) và hình trụ.
A.
24 2
S =
B.
36S =
C.
36 2S =
D.
48 2S =
Câu 47: Một hình trụ tròn xoay có diện tích toàn phần là S
1
, diện tích đáy là S. Cắt đôi hình trụ này bằng
một mặt phẳng vuông góc và đi qua trung điểm của đường sinh, ta được hai hình trụ nhỏ mà mỗi hình trụ
nhỏ có diện tích toàn phần là S
2
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
21
1
.
2
S SS= +
B.
(
)
21
1
S.
2
SS= +
C.
21
2
SS=
D.
21
1
2
SS=
Câu 48: Một hình trụ có bán kính đáy a, thiết diện qua trục là một hình vuông. Gọi S là diện tích xung
quanh của hình trụ. Tính tỉ số
.
2
S
F
π
=
A.
2
a
B.
2
2.a
C.
2
.
2
a
D.
2
a
π
Câu 49: Thiết diện qua trục của hình trụ (T) là hình vuông ABCD có đường chéo
2.AC a=
Tính diện tích
xung quanh của hình trụ (T).
A.
2
2 2.a
π
B.
2
2 a
π
C.
2
2.a
π
D.
2
4.a
π
Câu 50: Người ta cắt hình trụ bằng mặt phẳng qua trục của nó được thiết diện là hình vuông cạnh a. Thể tích
của khối trụ là
A.
3
a
π
B.
3
.
12
a
π
C.
2
5
4
a
π
D.
3
.
4
a
π
.
Câu 51: Một hình trụ có bán kính đáy bằng R và thiết diện qua trục là một hình vuông. Diện tích toàn phần
S
tp
của hình trụ bằng
A.
2
2.
tp
SR
π
=
B.
2
4.
tp
SR
π
=
C.
2
6.
tp
SR
π
=
D.
2
3.
tp
SR
π
=
Câu 52: Cắt một khối trụ bởi một mặt phẳng qua trục của nó, ta được thiết diện là một hình vuông có cạnh
bằng 3a. Tính diện tích toàn phần của khối trụ.
A.
2
27
2
a
π
B.
2
3
2
a
π
C.
2
13
6
a
π
. D.
2
3a
π
.
Câu 53: Một hình trụ có diện tích xung quanh bằng 8π và có thiết điện qua trục của nó là hình vuông. Thể
tích khối trụ là
A.
82.
π
B.
42.
π
C. 8π. D. 4π.
Câu 54: Cho hình trụ có bán kính đáy bằng a, chu vi của thiết diện qua trục bằng 12a. Tính thể tích V của
khối trụ đã cho.
A.
3
4.Va
π
=
B.
3
6.Va
π
=
C.
3
5.Va
π
=
D.
3
.Va
π
=
Câu 55: Cho một hình trụ có thiết diện qua trục của hình trụ là một hình vuông. Tính tỉ số giữa diện tích
xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ đã cho.
A.
2
.
3
B.
1
2
. C.
3
.
2
D. 2.
Câu 56: Cắt một khối trụ tròn xoay bởi một mặt phẳng qua trục của nó, ta được thiết diện là một hình vuông
có cạnh bằng 2a. Tính điện tích toàn phần S
tp
của khối trụ.
A.
2
4.
tp
Sa
π
=
B.
2
6.
tp
Sa
π
=
C.
2
8.
tp
Sa
π
=
D.
2
10 .
tp
Sa
π
=
Câu 57: Một hình trụ có bán kính đáy r = 5 cm. Cắt hình trụ bởi mặt phẳng (α) đi qua trục. Biết chu vi thiết
diện bằng 34 cm. Tính chiều cao h của hình trụ.
A.
24 cm.h =
B.
29 cm.h =
C.
12 cm.h =
D.
7 cm.
h =
Câu 58: Cho hình trụ (T) có bán kính đáy bằng 3 và chiều cao bằng 2. Một mặt phẳng (P) cắt hình trụ (T)
theo thiết diện là hình chữ nhật ABCD có cạnh AB, CD lần lượt là các dây cung của hai đáy. Tính diện tích S
lớn nhất của hình chữ nhật ABCD.
A.
12.S =
B.
16.S =
C.
20.S =
D.
25.S =
Câu 59: Cho hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông ABCD cạnh
23
cm với AB là đường kính của
đường tròn đáy tâm O. Gọi M là điểm thuộc cung
AB
của đường tròn đáy sao cho
60 .ABM = °
Thể tích của
khối tứ diện ACDM là
A.
( )
3
3 cm .V
=
B.
( )
3
4 cm .V =
C.
( )
3
6 cm .V =
D.
( )
3
7 cm .V
=
Câu 60: Có tấm bìa hình tam giác vuông cân ABC có cạnh huyền bằng a. Người ta muốn cắt tấm bìa đó
thành hình chữ nhật MNPQ rồi cuộn lại thành một hình trụ không đáy như hình vẽ. Diện tích hình chữ nhật
đó bằng bao nhiêu để diện tích xung quanh của hình trụ là lớn nhất?
A.
2
.
2
a
B.
2
3
.
4
a
C.
2
.
8
a
D.
Câu 61: Cho một tấm bìa hình chữ nhật có kích thước 3a, 6a. Người ta muốn tạo từ tấm bìa đó thành 4 hình
không đáy như hình vẽ, trong đó có hai hình trụ lần lượt có chiều cao 3a, 6a và hai hình lăng trụ tam giác
đều có chiều cao lần lượt là 3a, 6a. Trong bốn hình H
1
, H
2
, H
3
, H
4
, hình có thể tích lớn nhất và nhỏ nhất là
A. H
1
, H
4
. B. H
2
, H
3
. C. H
1
, H
3
. D. H
2
, H
4
.
Câu 62: Một chi tiết máy bằng đồng được tạo ra bằng
cách cho hình vẽ bên (tất cả các góc của hai đường thẳng
cắt nhau đều bằng 90°) với các kích thước
6cm, 1cm, 2cmDI GH DE FG
= = = =
xoay quanh trục
d. Khi bỏ chi tiết này vào một hộp nước hình trụ có bán
kính đáy là 4 cm, chiều cao 12 cm đang chứa một lượng
nước bằng nửa thể tích hộp thì mực nước dâng thêm là
bao nhiêu? Biết chi tiết chìm hoàn toàn trong nước.
A. 3,25 cm. B. 2,25 cm.
C. 4,75 cm. D. 3,5 cm.
Câu 63: Đế làm một chiếc cốc bằng thủy tinh hình trụ với
đáy cốc dày 1,5 cm, thành xung quanh cốc dày 0,2 cm và
có thể tích thật (thể tích nó đựng được) là
3
480 cm
π
thì
người ta cần ít nhất bao nhiêu cm
3
thủy tinh?
A.
3
75,66 cm .
π
B.
3
85,41 cm .
π
C.
3
84,64 cm .
π
D.
3
71,16 cm .
π
Câu 64: Cho hình lăng trụ đều ABC.A'B'C' có AB = a,
AB' = 2a. Tính thể tích V của khối trụ ngoại tiếp hình
lăng trụ ABC.A'B'C'.
A.
3
9
a
V
π
=
B.
3
3
a
V
π
=
C.
3
3
9
a
V
π
=
D.
3
3
3
a
V
π
=
Câu 65: Cho hình trụ có bán kính đáy bằng r, O và O' là tâm của hai đáy,
2r.
OO
′
=
Một mặt cầu (S) tiếp
xúc với hai đáy của hình trụ tại O và O', đồng thời tiếp xúc với mặt xung quanh của hình trụ. Trong các
mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào sai?
A. Diện tích của mặt cầu bằng diện tích xung quanh của hình trụ
B. Diện tích mặt cầu bằng
2
3
diện tích toàn phần của hình trụ
C. Thể tích của khối cầu bằng
3
4
thể tích của khối trụ
D. Thể tích của khối cầu bằng
2
3
thể tích của khối trụ
Câu 66: Cho hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác với độ dài cạnh đáy lần lượt là 5 cm, 13 cm, 12 cm. Một
hình trụ có chiều cao bằng 8 cm ngoại tiếp lăng trụ đã cho có thể tích bằng bao nhiêu?
A.
2
386 cm
π
B.
3
314 cm
π
C.
3
507 cm
π
D.
3
338 cm
π
Câu 67: Cho hình trụ (T) có thể tích khối trụ sinh bởi (T) là V
1
. Gọi V
2
là thể tích khối lăng trụ tứ giác đều
nội tiếp trong (T). Tính tỉ số
2
1
.
V
V
A.
2
1
6
.
V
V
π
=
B.
2
1
2
.
V
V
π
=
C.
2
1
2
.
3
V
V
π
=
D.
2
1
2
.
3
V
V
π
=
Câu 68: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh đáy bằng a. Gọi S là diện tích xung quanh của hình
trụ có hai đường tròn đáy ngoại tiếp hai hình vuông ABCD và A'B'C'D'. Tính S.
A.
2
Sa
π
=
B.
2
2Sa
π
=
C.
2
2
2
a
S
π
=
D.
2
3
Sa
π
=
Câu 69: Tính thể tích V của khối trụ ngoại tiếp hình lập phương có cạnh bằng a.
A.
3
4
a
V
π
=
B.
3
Va
π
=
C.
3
6
a
V
π
=
D.
3
2
a
V
π
=
Câu 70: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có thể tích
3
8.Va=
. Hình trụ (T) có hai đáy là đường tròn
ngoại tiếp hai hình vuông ABCD và A'B'C'D'. Hãy tính thể tích của khối trụ (T).
A.
2
22a
π
B.
3
16a
C.
3
16 a
π
D.
3
4 a
π
Câu 71: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, cạnh
22AC a=
và
.AA h
′
=
Tính thể tích V của khối trụ ngoại tiếp khối lăng trụ đã cho.
A.
2
2V ah
π
=
B.
2
V ah
π
=
C.
2
4
2
V ah
π
=
D.
2
2
3
V ah
π
=
Câu 72: Cho lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a. Tính diện tích toàn phần của hình trụ có hai
đáy ngoại tiếp hai đáy của lăng trụ trên.
A.
(
)
2
2 31
3
a
π
+
B.
2
2
3
a
π
C.
(
)
2
23
3
a
π
+
D.
( )
2
2 23
3
a
π
+
Câu 73: : Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' nội tiếp một hình trụ cho trước, đường kính đường tròn
đáy của hình trụ bằng 5a . Góc giữa đường thằng B'D và mặt phẳng (ABB'A') bằng 30
0
, khoảng cách từ trục
của hình trụ đến mặt phẳng (ABB'A') bằng
3a
.
2
Tính thể tích V của hình hộp đã cho.
A.
3
4 10Va=
(đvtt) B.
3
12 10Va=
(đvtt)
C.
3
4 11Va=
(đvtt) D.
3
12 11Va=
(đvtt)
Câu 74: Cho lăng trụ lục giác đều ABCDEF.A'B'C'D'E'F' có cạnh đáy bằng a. Mặt phẳng (A'B'D) tạo với
đáy một góc 60°. Tính diện tích xung quanh S của hình trụ ngoại tiếp lăng trụ ABCDEF.A'B'C'D'E'F'.
A.
2
2Sa
π
=
B.
2
6Sa
π
=
C.
2
23Sa
π
=
D.
3
3Sa
π
=
Câu 75: Bên trong hình lăng trụ tròn xoay có một hình vuông ABCD cạnh a nội tiếp mà hai đỉnh liên tiếp A,
B nằm trên đường tròn đáy thứ nhất của hình trụ, hai đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy thứ hai của hình
trụ. Mặt phẳng hình vuông tạo với đáy của hình trụ một góc 45°. Tính diện tích xung quanh của hình trụ đó.
A.
2
3
2
a
π
B.
2
3a
π
C.
2
3
4
a
π
D.
2
23a
π
Câu 76: Cho hình trụ bán kính là a. Gọi AB, CD là hai đường kính của hai đáy sao cho
.AB CD⊥
Tính thể
tích khối trụ biết rằng tứ diện ABCD đều.
A.
3
2
.
3
a
π
B.
3
3a
π
. C.
3
2a
π
D.
3
3
.
3
a
π
Câu 77: Một hình trụ có bán kính đáy bằng R =5, chiều cao
2 3.h =
Lấy hai điểm A, B lần lượt nằm trên
hai đường tròn đáy sao cho góc giữa AB và trục của hình trụ bằng 60°. Khoảng cách giữa AB và trục của
hình trụ bằng
A. 3. B. 4. C.
33
.
2
D.
53
.
3
Câu 78: Cho hình trụ có bán kính đường tròn đáy bằng R, chiều cao bằng
3.R
Gọi O, O' là tâm của hai
đường tròn đáy. Lấy các điểm A, B lần lượt thuộc đường tròn (O), (O') sao cho
6.AB R=
Tính thể tích V
của khối tứ diện OAO’B theo R.
A.
3
3
.
2
R
V =
B.
3
.
12
R
V =
C.
3
3
.
4
R
V =
D.
3
.
4
R
V =
Câu 79: Cho hình trụ có hai đường tròn đáy là (O;R) và (O';R), chiều cao
3.hR=
Đoạn thẳng AB có hai
đầu mút nằm trên hai đường tròn đáy của hình trụ sao cho góc hợp bởi AB và trục của hình trụ là
30 .
α
= °
Thể tích khối tứ diện ABOO' là
A.
3
3
.
2
R
B.
3
3
.
4
R
C.
3
.
2
R
D.
3
.
4
R
Câu 80: Cho khối trụ có đáy là các đường tròn (O;R) và (O';R), chiều cao
2.hR=
Gọi A, B lần lượt là các
điểm nằm trên (O) và (O') sao cho OA vuông góc với O'B. Tính tỉ số thể tích của khối tứ diện OO'AB và thể
tích khối trụ đã cho.
A.
1
.
2
π
B.
1
.
3
π
C.
5
.
6
π
D.
1
.
6
π
Câu 81: Một đội xây dựng cần hoàn thiện một hệ thống cột tròn của một cửa hàng kinh doanh gồm 17 chiếc.
Trước khi hoàn thiện mỗi chiếc cột là một khối bê tông cốt thép hình lăng trụ lục giác đều có cạnh 14 cm,
sau khi hoàn thiện (bằng cách trát thêm vữa tổng hợp vào xung quanh) mỗi cột là một khối trụ có đường
kính đáy bằng 30 cm. Biết chiều cao của mỗi cột trước và sau khi hoàn thiện là 390 cm. Tính lượng vữa hỗn
hợp cần dùng (đơn vị m
3
, làm tròn đến 1 chữ số thập phân sau dấu phẩy).
A. 1,3 m
3
B. 2,0 m
3
C. 1,2 m
3
D. 1,9 m
3
Câu 82: Trong tất cả các hình trụ có diện tích toàn phần bằng S, tìm bán kính R và chiều cao h của khối trụ
có thể tích lớn nhất.
A.
3
,.
44
SS
Rh
ππ
= =
B.
,.
4
SS
Rh
ππ
= =
C.
3
,.
62
SS
Rh
ππ
= =
D.
,2 .
66
SS
Rh
ππ
= =
Câu 83: Cho hình trụ có diện tích toàn phần 6π. Xác định bán kính đáy r và chiều cao h của khối trụ để thể
tích của nó đạt giá trị lớn nhất?
A.
1, 2.rh= =
B.
2, 1.rh= =
C.
1, 1.rh
= =
D.
2, 2.rh= =
Câu 84: Khi thiết kế vỏ lon sữa hình trụ, các nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu sao cho chi phí làm vỏ lon nhỏ
nhất. Muốn thể tích khổi trụ là V mà diện tích toàn phần của hình trụ nhỏ nhất thì bán kính R của đường tròn
đáy khối trụ bằng
A.
.
V
π
B.
.
2
V
π
C.
3
.
V
π
D.
3
.
2
V
π
Câu 85: Cho hình trụ nội tiếp hình cầu S (O;R) Đặt x là khoảng cách từ tâm O của hình cầu đến đáy của
hình trụ. Xác định x để thể tích V của khối trụ là lớn nhất.
A.
.
3
R
x =
B.
3
.
2
R
x =
C.
23xR=
. D.
3xR=
.
Câu 86: Cho hình trụ có tính chất: Thiết diện qua trục của hình trụ là một hình chữ nhật có chu vi bằng 12
cm. Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối trụ.
A.
( )
3
64 cm .
π
B.
( )
3
8 cm .
π
C.
( )
3
32 cm .
π
D.
( )
3
16 cm .
π
LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1:
2
2
2 2 12 .
xq
V
V r h h S rh
r
π ππ
π
= ⇒= =⇒ = =
Chọn D.
Câu 2:
2
2 18 .
tp xq
SS S R
ππ
=−= =
Chọn A.
Câu 3:
2
2 3200 .
xq
S rh cm
ππ
= =
Chọn B.
Câu 4:
2
V rh
π
=
. Chọn B.
Câu 5:
22 3
.. 3 3
V rh R R V R
ππ π
= = = =
. Chọn B.
Câu 6:
( )
2
22 2 .
tp
S a ab a a b
ππ π
=+= +
Chọn A.
Câu 7:
22 2
2 2 4.
tp
S RRR
πππ
=+=
Chọn D.
Câu 8:
22
9 3 2 60 .
xq
V
V R h R R S Rh
h
π ππ
π
= ⇒ = =⇒=⇒ = =
Chọn B.
Câu 9:
2 96 .
xq
S rh
ππ
= =
Chọn D.
Câu 10:
2
.V rl
π
=
Chọn D.
Câu 11:
22
22 4
tp
S R Rh R h R
ππ π
= + = ⇒=
. Ta có
23
.
V Rh R
ππ
= =
Chọn D.
Câu 12:
2
22
tp
S R Rl
ππ
= +
. Chọn D.
Câu 13:
( )
2 22 2
22 223213.
tp
S r rh r r r
πππ π π
=+=+ =+
Chọn B.
Câu 14: Ta có
23
3 3 192 4 12.h r V rh r r h
ππ π
= ⇒ = = = ⇒=⇒=
Chọn A.
Câu 15: Ta có
22
4
16 16
.
1
2 .2 16 4
r
rh rh
h
r h rh
ππ
ππ
=

= =
⇔⇒

=
= =

Chọn C.
Câu 16:
2
16
2 2 32 .
28
xq
xq
S
S rh h V r h
r
π
π ππ
ππ
= ⇒= = =⇒ = =
Chọn A.
Câu 17:
23
36 .V r h cm
ππ
= =
Chọn D.
Câu 18: Ta có
23
1
12
23
2
2
.
4
V Rh a
VV
V Rh a
ππ
ππ
= =
⇒<
′′
= =
Chọn A.
Câu 19: Ta có
23
7
5 175 .
70 2
xq
h
r V r h cm
S rh
ππ
ππ
=
⇒=⇒ = =
= =
Chọn A.
Câu 20:
2
2 500 .
xq
S rh cm
ππ
= =
Chọn C.
Câu 21:
2 2 85.
xq
S rh rl
ππ π
= = =
Chọn A.
Câu 22:
2
2 24 .
xq
S rh cm
ππ
= =
Chọn A.
Câu 23:
22 2
2 2..2 .4.
xq
S rh BC AB AC AB AB a
ππ π π
== = −=
Chọn B.
Câu 24: Ta có
2
2 2. . 2 .
xq
S rh BC AB a
ππ π
= = =
Chọn D.
Câu 25: Ta có
(
)
2 2. 4.
22
tp
AD AD
S r r h AB
ππ π

= += + =


Chọn C.
Câu 26: Ta có
2
2
. .4
2
AB
V r h AD
ππ π

= = =


.
Chọn B.
Câu 27: Ta có
2 2 22
53 4AD AC CD= − = −=
22
. . 36 .V r h CD AD
ππ π
⇒= = =
Chọn C.
Câu 28: ta có
2. 4 2BC a BC a
ππ
= ⇒=
22 3
. 8.V r h BC AB a
ππ π
⇒= = =
Chọn C.
Câu 29:
2
22
11 2
. . . .4
3 3 32 2
AD AB
V HM QH HM NH
ππ π π

=+= =


.
Chọn D.
Câu 30: Ta có
22 3
. . 16 .
V r h AD AB a
ππ π
= = =
Chọn B.
Câu 31: Ta có
2
D
S 42
ABC
AB AB= =⇒=
2 2. . 4.
2
xq
AB
S rh AD
ππ π
⇒= = =
Chọn B.
Câu 32: Ta có
22AD CD r a= = =
22 3
.D 2 .V rh a A a
ππ π
⇒= = =
Chọn D.
Câu 33: Do A, B cố định nên
( )
2
;
MAB
S
d M AB
AB
=
không đổi.
Do đó tập hợp tất cả các điểm M này là một mặt trụ. Chọn A.
Câu 34: Bánh xe lu là hình trụ có chiều cao
2,1hm=
và bán kính đáy r = 0,6 m.
Diện tích xung quanh của bánh xe là:
2 2,52 .
xq
S rh
ππ
= =
Do đó khi bánh xe quay được 12 vòng thì diện tích mặt đường được 1u bằng:
2
12.2,52 95 .m
π
=
Chọn A
Câu 35: Diện tích đáy của hình trụ là
( )
2
16 4 .r r cm
ππ
= ⇒=
Diện tích xung quanh của thùng phi bằng diện tích miếng nhựa hình chữ nhật.
Ta có:
( )
30 15
2 60 . 30 .
2
xq
S rh r h h cm
r
ππ
= = ⇔ = ⇒= =
Chọn C.
Câu 36: Bán kính đáy của khối trụ là
2.
2
AB
ra= =
Chiều cao của khối trụ
3.h BC a
= =
Thể tích của khối trụ:
23
12 .V rh a
ππ
= =
Chọn A.
Câu 37: Thiết diện qua trục là hình vuông ABCD thì
2 2.
AB R AD AB R h=⇒===
Diện tích xung quanh của khối trụ là:
2
2 4.
xq
S Rh R
ππ
= =
Chọn A.
Câu 38: Thiết diện qua trục là hình vuông ABCD cạnh a.
Ta có:
22
ha
AB AD a
AB a
r
=
= = ⇒
= =
Thể tích V của hình trụ đó là:
3
2
.
4
a
V rh
π
π
= =
Chọn B.
Câu 39: Thiết diện qua trục là hình vuông ABCD cạnh 2.
Ta có:
2
2
1
2
h
AB AD
AB
r
=
= = ⇒
= =
Diện tích đáy của khối trụ là
ππ
= =
2
.
ñ
Sr
Giả sử diện tích thiết diện là S, do hình tròn (O) là hình chiếu vuông góc
của thiết diện trên mặt đáy nên ta có:
=⇒≈
.cos30 3,6.
cos30
ñ
ñ
S
SS
Chọn C.
Câu 40: Giả sử thiết diện qua trục là hình vuông ABCD như hình vẽ. Dựng
( )
′′
⊥⇒ ⊥O H BC O H ABCD
( )
( )
; 3.
′′
⇒==d O ABCD O H
Lại có:
16 4= = =AB BC
và H là trung điểm của BC nên
2.=
BH
Bán kính đáy hình trụ
22
13
′′
== +=r OB OH HB
.
Thể tích khối trụ là
( )
2
.13.4 52 .
ππ π
= = =
T
V rh
Chọn B.
Câu 41: Thiết diện qua trục là hình vuông nên
= 2hr
.
Ta có:
2
2 4 4 1 2.
πππ
= = = ⇒=⇒=
xq
S rh r r h
Theo giả thiết ta có:
0
120=AOB
22 0
2 . cos120 3.⇒= + − =
AB OA OB OA OB
Diện tích thiết diện ABB'A' là:
. 3.2 2 3.
′
= = =
S AB BB
Chọn B.
Câu 42: Giả sử thiết diện qua trục là hình chữ nhật ABCD như hình vẽ.
Dựng
(
) ( )
( )
; 3.⊥⇒ ⊥ ⇒ = =
OH BC OH ABCD d O ABCD OH
H là trung điểm của BC ta có:
5= =OB r
22
4 2 8.⇒= − =⇒= =HB OB OH BC HB
Mặt khác
2
D
7 . 56 cm .
′
==⇒= =
ABC
AB OO S AB BC
Chọn B.
Câu 43:
Giả sử thiết diện qua trục là hình vuông ABCD như hình vẽ. Dựng
( )
( )
( )
; 3.
′
⊥⇒ ⊥ ⇒ = =OH BC OH ABCD d O ABCD OH a
Do H là trung điểm của BC nên
8 4.
′
== =⇒=AB BC OO a HB a
Khi đó
22
5.== +=OB r OH HB a
Diện tích xung quanh của khối trụ:
2
2 80 .
ππ
= =
xq
S rh a
Thể tích hình trụ là:
23
200 .
ππ
= =V rh a
Chọn A.
Câu 44: Gọi
′
A
là hình chiếu của A trên mặt phẳng (O).
Ta có:
22 2
16 .
′′ ′
= +=+AD AA A D A D
Lại có:
2222
8
′′ ′
= −=−CD AC AD AD
Do
2 22
16 64 2 48
′ ′′
=⇒+ =− ⇒ =AD CD AD AD AD
Suy ra
22
D
24 40 .
′
=⇒==
ABC
A D AD S
Chọn B.
Câu 45: Thiết diện tạo bởi mặt phẳng (P) và hình trụ là hình thang cân
ABCD có
//AB CD
.
Gọi H là trung điểm của CD
′
⇒⊥
O H CD
Mặt khác
(
)
′′
⊥ ⇒⊥CD OO CD O HO
do đó góc giữa mặt phẳng (P)
và mặt đáy là:
60
′
=
OHO
Ta có:
2
.sin 60 1
3
′
==⇒=
OH OO OH
22
1
.
3
′′
= −=O H OH OO
Lại có:
22
6
.
3
′
= −=HC O C OH
Suy ra
D
26
2
26 D 2 23 22
3
D 2 .OH . .
3 22 3
3
+
++
==⇒= = =
ABC
AB C
C HC S
Chọn A.
Câu 46: Thiết diện cắt bời mặt phẳng (α) với hình trụ là hình chữ nhật
ABCD. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AD và BC.
Khi đó
′
= ∩
I HK OO
là trung điểm của OO' và
0
45=OIK
.
Ta có:
22
3 3 32=⇒= =⇒= + =OI OI OK IK OI OK
Do đó
62=HK
. Lại có:
2 2 22
53 4= − = −=KB OB OK
D
2 8 . . 48 2.⇒= =⇒ = = =
ABC
BC KB S AB BC HK BC
Chọn D.
Câu 47: Ta có tổng diện tích đáy của hình trụ nhỏ không đổi và diện tích xung quanh của hình trụ nhỏ bằng
một nửa diện tích xung quanh của hình trụ lớn.
Diện tích xung quanh của hình trụ lớn là:
( )
1
1
.
2
−SS
Do đó
( )
( )
21 1
11
.
22
=+ −= +
S S SS SS
Chọn B.
Câu 48: Thiết diện qua trục hình trụ là hình chữ nhật có hai kích thước h, 2R
Theo bài ra, ta có
22= = ⇒hRa
Diện tích xung quanh hình trụ là
2
2 4.
ππ
= =
xq
S Rh a
Vậy
2
2
4
2.
22
π
ππ
= =
Sa
Fa
Chọn B.
Câu 49: Thiết diện qua trục hình trụ là hình chữ nhật có hai kích thước h, 2R
Theo bài ra, ta có
22
2
2
2
2
42
22
2
=
=
=

⇒⇔

=+=
=
=
ha
hR
ha
a
AC h R a
Ra
R
Vậy diện tích xung quanh hình trụ (T) là
2
2 2.
ππ
= =
S Rh a
Chọn B.
Câu 50: Thiết diện qua trục hình trụ là hình chữ nhật có hai kích thước h, 2R
Theo bài ra, ta có
3
2
2.
4
2
π
π
=
= = ⇒ → = =
=
ha
a
h R a V Rh
a
R
Chọn D.
Câu 51: Thiết diện qua trục hình trụ là hình chữ nhật có hai kích thước h, 2R
Theo bài ra, ta có
22
2 2 2 4.
πππ
= → = + =
tp
h R S Rh R R
Chọn B.
Câu 52: Thiết diện qua trục hình trụ là hình chữ nhật có hai kích thước h, 2R
Theo bài ra, ta có
2
2
3
27
23 2 2 .
3
2
2
π
ππ
=
= = ⇒ → = + =
=
tp
ha
a
h R a S Rh R
a
R
Câu 53: Thiết diện qua trục hình trụ là hình chữ nhật có hai kích thước h, 2R
Theo bài ra, ta có
2
2
2
22
8
28
2
22
π
ππ
=
=
= =
⇔ ⇔⇔

=
=
=
=
xq
hR
hR
hR R
S
Rh
R
h
Vậy thể tích khối trụ là
( )
2
2
. 2 .22 42.
ππ π
= = =V Rh
Chọn B.
Câu 54: Thiết diện qua trục hình trụ là hình chữ nhật có hai kích thước h, 2R
Theo bài ra, ta có
( )
22 3
. .4 4 .
2 2 12
4
ππ π
=
=
⇔ → = = =

+=
=
Ra
Ra
V Rh a a a
hR a
ha
Chọn A.
Câu 55: Thiết diện qua trục hình trụ là hình chữ nhật có hai kích thước h, 2R
Theo bài ra, ta có
2
22
24
2
2.
3
226
ππ
πππ
= =
= → ⇒ =
=+=
xq
xq
tp
tp
S Rh R
S
hR
S
S Rh R R
Chọn A.
Câu 56: Thiết diện qua trục hình trụ là hình chữ nhật có hai kích thước h, 2R
Theo bài ra, ta có
22
2
2 2 2 2 6.
πππ
=
= = ⇒ → = + =
=
tp
ha
h R a S Rh R a
Ra
Chọn B.
Câu 57: Thiết diện qua trục hình trụ là hình chữ nhật có hai kích thước h, 2R
Theo bài ra, ta có
( )
5
5
7.
2 2 34
2 17
=
=
⇔ → =

+=
+=
R
R
h
hR
hR
Chọn D.
Câu 58: Kẻ đường sinh
D
′′
⇒⊥AA AA C
Mà
( )
′
⊥⇒⊥AD CD CD A AD
Do đó
′′
⊥ ⇒∆
CD A D A CD
vuông tại
′
⇒D AC
là đường kính
Đặt
22 2
36
′′
=⇒= − =−CD x A D A C CD x
Tam giác A'AD vuông tại
22 2
40
′ ′′
⇒= + = −A AD AA A D x
Suy ra diện tích hình chữ nhật ABCD là
2
. D 40= = −S AB C x x
Ta có
(
)
2
22
2
D
40
40 20 20
2
+−
− ≤ = → ≤
ABC
xx
xx S
Vậy diện tích lớn nhất cần tìm là 20. Chọn C.
Câu 59: Thiết diện qua trục là hình vuông ABCD (hình vẽ bên)
Suy ra
23
23
3
2
= =
= = ⇒
= = =
h BC
AB BC
AB
R OA
Tam giác OBM cân tại O, có
60= ⇒∆
OBM OBM
đều
( ) ( )
22
22
3 23 3 3⇒==⇒= − = − =BM OB AM AB BM
Kẻ
( )
⊥∈MH AB H AB
mà
(
)
⊥⇒⊥AD MH MH ABCD
Tam giác ABM vuông tại
.3
2
⇒= =
AM BM
M MH
AB
Diện tích tam giác ACD là
( )
2
D
23
1
.. 6
22
∆
= = =
AC
S AD CD
Vậy thể tích tứ diện ACDM là
DM D
1 13
. . . .6 3.
3 32
∆
= = =
AC AC
V MH S
Chọn A.
Câu 60: Gọi E, F lần lượt là trung điểm MN và PQ
Đặt
.=
MQ x
Hai tam giác BMQ và BAF đồng dạng
Suy ra
2
2
22
−
−
= ⇔= = ⇔ =−
a
QF
MQ BQ x BF QF a
QF x
aa
AF BF BF
Do đó
2
2 22
2
π
π
−
= = − = → =
ax
PQ QF a x R R
Diện tích xung quanh hình trụ là
2
22 .
2
ππ
π
−
= =
xq
ax
S Rh x
Ta có
( )
( )
( )
2
22
22
2 .2 2 .
44 8
−+
− ≤ =⇒=− ≤
xq
axx
aa
axx S axx
Vậy
2
.
8
=
max
a
S
Chọn C.
Câu 61: Ta xét từng hình vẽ:
• Hình H
1
, có chiều cao
1
3;=ha
chu vi đáy
11
3
6
π
=⇒=
a
C aR
Suy ra thể tích khối trụ H
1
là
2
23
1 11
3 27
. .3 .
ππ
ππ

= = =


a
V Rh a a
• Hình H
2
, có chiều cao
2
6;=ha
chu vi đáy
21
3
3
2
π
=⇒=
a
C aR
Suy ra thể tích khối trụ H
2
là
2
23
2 22
3 27
. .6 .
22
ππ
ππ

= = =


a
V Rh a a
• Hình H
3
, có chiều cao
3
3;=ha
chu vi đáy
3
6= ⇒Ca
Độ dài cạnh đáy
2=xa
Suy ra thể tích khối lăng trụ H
3
là
( )
2
3
33
23
. 3. 33 .
4
ñaùy
a
V hS a a= = =
• Hình H
4
, có chiều cao
4
6;=ha
chu vi đáy
4
3= ⇒Ca
Độ dài cạnh đáy
=xa
Suy ra thể tích khối lăng trụ H
4
là
2
3
44
3 33
. 6. .
42
ñaùy
a
V hS a a= = =
Vậy khối H
1
có thể tích lớn nhất; khối H
4
có thể tích nhỏ nhất. Chọn A.
Câu 62: Thể tích của chi tiết máy là
22
.4 .6 .2 .5 76
ππ π
=−=
V
Thế tích của nước trong hộp là
2
1
. .4 .12 79
2
ππ
= =
n
V
Khi bỏ thêm chi tiết máy, thể tích mới là
76 96 172
ππ π
=+= + =
mn
V VV
Vậy chiều cao cần tính là
2
172
6 6 4, 75 cm.
.4 16
π
−= −=
m
V
Chọn C.
Câu 63: Gọi R, h lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của cốc nước
Thể tích thật của cốc nước là
( ) ( )
( )
2
2
480
0, 2 . 1, 5 480 1, 5
0, 2
ππ
= − − = ⇔= +
−
VR h h
R
Thể tích thủy tinh cần làm cốc là
( )
22
2
480
480 . 1,5 480 .
0, 2
π ππ



= − = +−

−




V Rh R
R
Xét
( )
( )
2
2
480
. 1,5 480
0, 2

= +−

−


fR R
R
trên
( ) ( ) ( )
0, 4; min 4, 2 75,66 .
π
+∞ ⇒ = ≈fR f
Chọn A.
Câu 64: Tam giác ABB' vuông tại B, có
22
3
′′
= −=BB AB AB a
Bán kính đường tròn ngoại tiếp ΔABC là
3
3
∆
=
ABC
a
R
Khối trụ ngoại tiếp lăng trụ có chiều cao
3;
′
= =h BB a
bán kính
3
3
∆
= =
ABC
a
RR
Vậy thể tích khối trụ cần tính là
2
3
2
33
. .3 .
33
π
ππ

= = =



aa
V Rh a
Chọn D.
Câu 65: Vì mặt cầu nội tiếp hình trụ
( ) ( )
3
4
3
π
→ = ⇒ =
ss
R rV r
Thể tích khối trụ là
(
) ( ) ( )
22 2
2
.2 2
3
ππ π
= = = → =
T sT
V rh r r r V V
Diện tích mặt cầu là
2
S 4;
π
=
mc
r
Diện tích xung quanh hình trụ là
2
2 4.
ππ
= =
xq
S Rh r
Diện tích toàn phần hình trụ là
22
2 2 6.
πππ
=+=
tp
S Rh R r
Chọn C.
Câu 66: Xét tam giác đáy ABC có
5, 12, 13= = =AB AC BC
Do đó
222
⇒∆= +BC AB AC ABC
vuông tại A
13
22
∆
⇒==
ABC
BC
R
Suy ra bán kính đáy của hình trụ là
13
2
∆
= =
ABC
RR
Vậy thể tích khối trụ là
2
23
13
. .8 338 cm
2
ππ π

= = =


V Rh
. Chọn D.
Câu 67: Gọi h, x lần lượt là chiều cao và độ dài cạnh đáy của lăng trụ
Suy ra thể tích khối lăng trụ là
2
2
.
ñaùy
V h S hx= =
Hình trụ (T) ngoại tiếp lăng trụ ⇒ Chiều cao hình trụ là h, bán kính đáy
2
2
=
x
R
Suy ra thể tích khối trụ (T) là
2
22
1
2
..
22
π
ππ

= = =



x
V R h h hx
Vậy tỉ số
22
2
1
2
:. .
2
π
π

= =


V
hx hx
V
Chọn B.
Câu 68: Chiều cao hình trụ là
′
= =h AA a
Bán kính đáy hình trụ là bán kính đường tròn ngoại tiếp
2
2
⇒=
a
ABCD R
Vậy diện tích xung quanh hình trụ cần tính là
2
2 2.
ππ
= =
xq
S Rh a
Chọn B.
Câu 69: Chiều cao hình trụ ngoại tiếp hình lập phương là
=
ha
Bán kính đáy hình trụ là bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy hình lập phương
2
2
⇒=
a
R
Vậy thể tích cần tính là
2
3
2
2
. ..
22
π
ππ

= = =



aa
V Rh a
Chọn D.
Câu 70: Thể tích khối lập phương là
3 3
a' 8 '2⇒= = =V AA AA a
Chiều cao hình trụ (T) là
'2= =
h AA a
Bán kính đáy hình trụ là bán kính đường tròn ngoại tiếp
2⇒=ABCD R a
Vậy thể tích khối trụ cần tính là
( )
2
23
. 2 .2 4 .
ππ π
= = =V Rh a a a
Chọn D.
Câu 71: Bán kính đường tròn ngoại tiếp ΔABC là
2
2
∆
= =
ABC
AC
Ra
Suy ra bán kính đáy khối trụ ngoại tiếp lăng trụ là
2
∆
= =
ABC
RR a
Vậy thể tích của khối trụ là
( )
2
22
2 .h 2 .
ππ π
= = =V Rh a ah
Chọn A.
Câu 72: Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đều cạnh a là
3
3
=
a
R
Theo bài ra, ta được chiều cao khối trụ là h = a, bán kính đáy khối trụ là
3
3
=
a
R
Vậy
( )
2
2
2
2
2 31
33
2 2 2. 2 .
33 3
π
πππ π
+

=+= + =



tp
a
aa
S Rh R
Chọn A.
Câu 73: Đường kính đường tròn đáy hình trụ là
25= =R BD a
Gọi O, O' lần lượt là tâm của hình chữ nhật ABCD, A'B'C'D'
Ta có
( )
( )
3
;
2
′ ′′
= =
a
d OO ABB A OM
(M là trung điểm AB)
22
23 4
⇒= =⇒= − =BC OM a AB BD AB a
Lại có
( ) ( )
0
; 30
′′ ′ ′′ ′
⊥⇒ ==AD ABB A B D ABB A DB A
Tam giác ADB' vuông tại
0
D
tan 30 3 3
′
⇒ =⇒=
′
A
A AB a
AB
Tam giác ABB' vuông tại
22
11
′′
⇒= − =B BB AB AB a
Vậy thể tích khối hộp cần tính là
3
12 11
′
=×=
ABCD
V AA S a
(đvtt). Chọn D.
Câu 74: Bán kính đường tròn ngoại tiếp lục giác đều là R = a
Vì A'D' là đường kính
90
′′′ ′′ ′′
→ = ⇒ ⊥
ABD AB BD
Mà
′ ′′
⊥DD A B
nên
( ) ( ) ( )
; 60
′′ ′′ ′′ ′′′ ′′
⊥⇒ ==
AB DDB ABD ABD DBD
Tam giác A'B'D' vuông tại
22
3
′ ′′ ′′ ′′
⇒= − =B BD AD AB a
Tam giác DD'B' vuông tại
.tan 3
′ ′ ′′ ′′
⇒= =D DD B D DB D a
Do đó, chiều cao hình trụ ngoại tiếp là h = 3a
Vậy diện tích xung quanh cần tính là
2
2 2 . .3 6 .
ππ π
= = =
xq
S Rh a a a
Chọn B.
Câu 75: Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD (hình vẽ bên)
Khi đó
, .
′
⊥⊥
OM AB O N CD
Gọi
′
= ∩I MN OO
Đặt
′
=
h OO
và
.
=
R OA
Tam giác IMO vuông cân tại O, ta có
222
.
2 2 22 2
= = ⇒ = ⇒=
ha a
OM OI IM h
Lại có
2
2
2
22 2 2
23 6
248 4


= = + = + = ⇒=





aa a a
R OA AM MO R
Vậy diện tích xung quanh là
2
62 3
2 2. .
42 2
π
ππ
= = =
xq
aa a
S Rh
Chọn A.
Câu 76:
Do tứ diện ABCD đều nên
.
⊥
⊥
DO AB
CO AB
Ta có:
22
23==⇒= − =
BD AB a DO DB OB a
.
Mặt khác
22
2.
′′
= −==OO OD O D a h
Thể tích khối trụ là:
22 3
. 2 2.
ππ π
= = =V Rh a a a
Chọn C.
Câu 77: Gọi A' là hình chiếu của A trên
( )
;OR
Khi đó
( )
( )
0
/ / ; ; 30 .
′′′ ′′
⇒===AA OO OO AB AB AA BAA
Khi đó
tan 60 6.
′′
= =
A B AA
Do
( ) ( )
( )
( )
( )
// ; ; ;
′ ′ ′ ′′ ′
⇒= =AA OO d OO AB d OO AA B d O AA B
Dựng
(
) ( )
;
′ ′′
⊥⇒⊥ ⇒ =
OH A B OH AA B d OO AB OH
Mặt khác
22
1
5, 3 4.
2
′
== = =⇒= − =OB R HB A B OH R HB
Chọn B.
Câu 78:
Gọi A' là hình chiếu của A trên
( )
;OR
Ta có:
22
6, 3 3
′′ ′
= = ⇒= − =AB R AA R A B AB AA R
′
∆OA B
có
0
, 3 120
′′ ′
== =⇒=OA OB R A B R A OB
Khi đó
2
13
. .sin .
24
′
′′
= =
OA B
R
S OA OB A OB
Do
(
)
(
)
( )
(
)
// ; ;
′′ ′ ′
⇒=
AA OO d A O OB d A O AB
Suy ra
23
...
1 13
. . 3. .
3 3 44
′ ′′ ′ ′ ′
′
= = = = =
A OO B A O OB O OA B OA B
RR
V V V OO S R
Chọn D.
Câu 79:
Gọi A' là hình chiếu của A trên
( )
;OR
Khi đó
( )
( )
0
/ / ; ; 30 .
′′′ ′′
⇒===AA OO OO AB AB AA BAA
Ta có:
0
tan 30
′′ ′
= = ⇒∆
AB AA R OAB
đều cạnh R.
Do
( )
(
)
( )
( )
// ; ;
′ ′ ′ ′′
⇒=AA OO d A O OB d A O AB
Suy ra
23
...
1 13
. . 3. .
3 3 44
′ ′′ ′ ′ ′
′
= = = = =
A OO B A O OB O OA B OA B
RR
V V V OO S R
Chọn D.
Câu 80: Áp dụng
( )
( )
D
1
. .sin ; . ;
6
=
ABC
V AB CD AB CD d AB CD
Do đó
( )
( )
2
11
. . . ; .sin ; . 2
66
′
′′ ′
= =
OO AB
V OA O B d OA O B OA O B R R
(Hoặc gọi A' là hình chiếu của A trên
( )
;
′
OR
ta có
.
′ ′′
=
OOAB OOAB
VV
)
Mặt khác
(
)
23
2
ππ
= =
T
V Rh R
. Suy ra
( )
1
.
6
π
′
=
OO AB
T
V
V
Chọn D.
Câu 81: Với cột bê tông hình lăng trụ: Đáy của cột là hình lục giác đều có
2
1
14 . 3
6. 294 3
4
= =S
Với cột bê tông hình trụ: Đáy của cột là hình tròn bán kính
có
2
2
.15 225
ππ
= =S
Vậy thể tích số lượng vữa cần dùng là
( )
3
17.390. 225 294 3 1,31 .
π
= −≈Vm
Chọn A.
Câu 82: Diện tích toàn phần của hình trụ là:
2
22 .
2
ππ
π
= + ⇒= −
S
S R Rh h R
R
Thể tích của khối trụ là:
22 3
.
22
ππ π
ππ

= = −= −


SS
V Rh R R R R
R
(
)
3
2
π
= −
S
fR R R
ta có:
( )
2
30 .
26
ππ
′
= − =⇒=
SS
fR R R
Lập BBT suy ra
x
3
h 2.
6 2 66
6
π π ππ
π
⇔ = ⇒= −= − =
ma
S S SS S
VR R
R
Chọn D.
Câu 83: Ta có
22 2
226 3 3
πππ
= + = ⇔+=⇔=−
tp
S r rh r rh rh r
Có
( )
( ) ( )
( )( )
2
2 2 22 22 2
3 3 23 3
2
π
ππ π
= = −= − = − −Vrhrr rr rr r
3
222
23 3
2
3
2
π
π

+− +−
≤=


rrr
Dấu bằng xảy ra khi
22
2 3 1 2.=− ⇔=⇒=r rr h
Chọn A.
Câu 84: Thể tích của lon sữa là:
2
π
=
V Rh
Diện tích để làm vỏ lon là:
3
2 22 2
2 2. 3
π ππ π π
= = + = + = ++≥
tp
V VV
S S R Rh R R V
R RR
Dấu bằng xảy ra
2
3
.
π
π
⇔ = ⇒=
VV
RR
R
Chọn C.
Câu 85: Bán kính đáy của hình trụ là:
22
.
= = −r AH R x
Thể tích trụ là
( )
( )
2 2 22
. .2 2 . .
ππ π
= = −=
T
rh r x R xV x
Xét hàm số
( ) ( )
( )
23
0;=−∈f x Rx x x R
( )
22
30 .
3
′
⇒ = − =⇒=
R
Fx R x x
Chọn A.
Câu 86: Chu vi thiết diện qua trục của hình trụ là:
( )
2 2 12 2 6= + = ⇒ +=C Rh Rh
Thể tích hình trụ là:
(
) ( )
3
22
6 2R
.6 2R ...6 2R . 8.
3
ππ π π π
+ +−

= = −= −≤ =


RR
V R h R RR
Chú ý bất đẳng thức:
( )
3
, , 0.
3
++

≤ ∀>


abc
abc a b c
Chọn B.
| 1/45
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

CHỦ ĐỀ 11: MẶT TRỤ - HÌNH TRỤ - KHỐI TRỤ
A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
I. KHÁI NIỆM VỀ MẶT TRÒN XOAY
1. Định nghĩa trục của đường tròn
• Trục của đường tròn (O;R) là đường thẳng đi qua O và vuông
góc với mặt phẳng chứa đường tròn đó.
• Khi điểm M không nằm trên đường thẳng Δ thì có duy nhất một
đường tròn đi qua M và có trục là Δ, ta kí hiệu đường tròn đó là (CM) (xem hình vẽ)
2. Định nghĩa mặt tròn xoay
• Trong không gian, cho hình (H) và một đường thẳng Δ. Hình gồm tất cả các đường tròn (CM) với M
thuộc (H) được gọi là hình tròn xoay sinh bởi (H) quay quanh Δ.
• Đường thẳng Δ gọi là trục của hình tròn xoay đó
• Khi ( H ) là một đường thì hình tròn xoay sinh bởi nó còn gọi là mặt tròn xoay II. MẶT TRỤ TRÒN XOAY 1. Định nghĩa
Cho hai đường thẳng l và Δ sao cho l song song Δ; d (l;∆) = . R
Khi ta quay l quanh trục Δ một góc 3600 thì l tạo thành một mặt trụ
tròn xoay (T) (mặt trụ).
• Δ gọi là trục của mặt trụ (T).
• l gọi là đường sinh của mặt trụ (T).
• R gọi là bán kính của mặt trụ (T). 2. Tính chất
a. Mặt trụ (T) là tập hợp các điểm M cách đường thẳng cố định Δ một khoảng R không đổi.
b. Nếu M1 là một điểm bất kì trên mặt trụ thì đường thẳng l1 đi qua M1 và
song song với Δ cũng nằm trên mặt trục đó
c. Nếu một mặt phẳng (P) vuông góc với trục Δ của mặt trụ (T) thì (P) cắt
(T) theo giao tuyến đường tròn tâm I, bán kính R (I là giao điểm của Δ với (P))
d. Cho một mặt phẳng (P) song song với trục Δ của một mặt trụ (T). Khi đó
• (P) cắt (T) theo hai đường sinh ⇔ d ((P);∆) < . R
• (P) tiếp xúc với (T) ⇔ d ((P);∆) = . R
• (P) ∩(T ) = ∅ ⇔ d ((P);∆) > . R
III. HÌNH TRỤ VÀ KHỐI TRỤ TRÒN XOAY 1. Định nghĩa hình trụ
• Cắt mặt trụ (T) trục Δ, bán kính R bởi hai mặt phẳng (P) và (P’) cùng
vuông góc với Δ, ta được giao tuyến là hai đường tròn (C) và (C').
• Phần của mặt trụ (T) nằm giữa (P) và (P') cùng với hai hình tròn xác
định bởi (C) và (C') gọi là hình trụ.
• Hai dường tròn (C) và (C') gọi là hai đường tròn đáy của hình trụ.
• OO' gọi là trục của hình trụ.
• Độ dài OO' gọi là chiều cao của hình trụ.
• Phần giữa hai đáy gọi là mặt xung quanh của hình trụ.
• Phần của đường sinh của mặt trụ (T) nằm trên mặt xung quanh của
hình trụ gọi là đường sinh của hình trụ (trên hình vẽ bên là đoạn MM') 2. Nhận xét
• Các đường sinh của hình trụ đều bằng nhau và bằng với trục của hình trụ
• Các thiết diện qua trục của hình trụ là các hình chữ nhật bằng nhau, có hai kích thước là h, 2R.
• Thiết diện vuông góc với trục của hình trụ là một hình tròn bằng hình tròn đáy.
• Nếu một điểm M di động trên một đường tròn (C) cố định thì M thuộc một mặt trụ cố định (T) chứa (C)
và có trục vuông góc α. 3. Khối trụ
• Hình trụ cùng với phần bên trong nó được gọi là khối trụ.
4. Diện tích hình trụ và thể tích khối trụ
• Diện tích xung quanh của hình trụ có bán kính R và chiều cao h là S = π Rh xq 2
• Diện tích xung quanh của hình trụ là S = S + × S = π Rh + π 2 2 2 2 R tp xq ñ
• Thể tích của khối trụ là 2 V = π R h
B. CÁC DẠNG TOÁN TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
I. Dạng 1. Bài toán liên quan đến công thức, thể tích
Ví dụ 1: Một hình trụ có diện tích xung quanh bằng 2
4π a và bán kính đáy là a. Tính độ dài đường cao của hình trụ đó. A. l = 2 . a B. l = . a C. l = 4 . a D. a l = . 2 Lời giải Ta có 2 2
S = π a = π Rh  → Rh = a mà 2 2
R = a ⇒ a h = 2a ⇔ h = 2a xq 4 2 2
Vậy độ dài đường sinh của hình trụ là l = h = 2 . a Chọn A.
Ví dụ 2: Cho hình trụ có bán kính đáy bằng R, chiều cao bằng h. Biết rằng hình trụ đó có diện tích toàn
phần gấp đôi diện tích xung quanh. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. h = R 2. B. h = . R C. h = 2 . R D. 2h = . R Lời giải
Diện tích xung quanh của hình trụ là S = π Rh xq 2
Diện tích toàn phần của hình trụ là 2
S = π Rh + π R tp 2 2 Theo bài ra, ta có 2 2
S = S ⇔ π Rh + π R =
π Rh ⇔ π R = π Rh ⇔ R = h Chọn B. tp 2 xq 2 2 2.2 2 2 .
Ví dụ 3: Cho hình trụ có bán kính đáy bằng a, diện tích toàn phần bằng 2
4π a . Thể tích khối trụ đã cho bằng A. 3 V = 2π a . B. 3 V = 2π a . C. 3 V = π a . D. 3 V = 4π a . Lời giải
Diện tích toàn phần của hình trụ là 2
S = π Rh + π R tp 2 2 Mặt khác 2
R = a, S = π a suy ra 2 2
4π a = 2π ah + 2π a  →h = a tp 4
Vậy thể tích khối trụ là 2 2 3
V = π R h = π.a .a = π a .Chọn C.
Ví dụ 4: Cho hình trụ có khoảng cách giữa hai đáy bằng a, thế tích khối tại bằng 3
4π a . Diện tích toàn phần hình trụ đã cho là A. 2 S = − π a B. 2 S = − π a C. 2 S = π a D. 2 S = π a tp 12 . tp 2 . tp 4 . tp 8 . Lời giải
Khoảng cách giữa hai đáy của hình trụ chính là chiều cao h  →h = a Thể tích khối trụ là 2 3
V = π R h = 4π a mà 2 2
h = a ⇒ R = 4a ⇔ R = 2a
Vậy diện tích toàn phần của hình trụ là 2 2
S = π Rh + π R = π a Chọn D. tp 2 2 12 .
Ví dụ 5: Cho hình trụ có diện tích xung quanh bằng 4π, diện tích toàn phần bằng 12π. Thể tích khối trụ đã cho bằng A. V =12π. B. V = 4π. C. V = 8π. D. V = 6π. Lời giải
Diện tích xung quanh của hình trụ là S = π Rh = π  → Rh = xq 2 4 2
Diện tích toàn phần của hình trụ là 2 2
S = π Rh + π R = π  → Rh + R = tp 2 2 12 6 Rh = 2 Rh = 2 R = 2 Khi đó, ta có hệ  ⇔  ⇔  . 2 2 Rh + R = 6 R = 4 h = 1
Vậy thể tích khối trụ đã cho là 2 2
V = π R h = π.2 .1 = 4π. Chọn B.
Ví dụ 6: Cho hình trụ có diện tích toàn phần bằng 16π, thể tích khối trụ bằng 8π. Diện tích xung quanh hình trụ đã cho bằng A. V =12π. B. V = 4π. C. V = 8π. D. V = 6π. Lời giải
Diện tích toàn phần của hình trụ là 2 2
S = π Rh + π R = π  → Rh + R = tp 2 2 16 8
Thể tích của khối trụ là 2 2
V = π R h = 8π  → R h = 8  8  8 2 h = h =  + =  2  2 Rh R 8 Khi đó, ta có hệ  RR  ⇔  ⇔  ⇔ h = R = 2. 2 R h = 8 8  2  2 8 . R + R = 8 R + = 8 2  R  R
Vậy diện tích xung quanh của hình trụ là S = π Rh = π Chọn C. xq 2 8 .
Ví dụ 7: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = a, AD = 2a. Thể tích của khối trụ tạo thành khi quay hình chữ
nhật ABCD quanh cạnh AB bằng A. 3 4π a . B. 3 2π a . C. 3 8π a . D. 3 12π a . Lời giải
Kỹ năng vẽ hình: Hình chữ nhật quay quanh cạnh nào thì cạnh đó là
trục, đồng thời chính là chiều cao của hình trụ
Khi quay hình chữ nhật ABCD quanh trục AB, ta được hình trụ có chiều
cao h = AB = a, bán kính đáy R = AD = 2a
Vậy thể tích của khối trụ là 2 2 3
V = π R h = π.4a .a = 4π a . Chọn A.
Ví dụ 8: Hình trụ (T) được sinh ra khi quay hình chữ nhật ABCD xung quanh MN, với M, N lần lượt là
trung điểm AB và CD. Biết =  0
AC 2a 2, ACB = 45 . Diện tích toàn phần của hình trụ đã cho bằng A. 3 4π a . B. 3 12π a . C. 3 8π a . D. 3 6π a . Lời giải
Tam giác ABC vuông tại B, có  0
ACB = 45 ⇒ AB = BC Ta có 2 2 2 2 2
AC = AB + BC ⇔ 2AB = 8a ⇔ AB = BC = 2a
Quay hình chữ nhật ABCD quanh MN ta được hình trụ có chiều cao
h = MN = BC = 2a, bán kính đáy AB R = MB = = a 2
Vậy diện tích toàn phần là 2 3
S = π Rh + π R = π a . Chọn D. tp 2 2 6
Ví dụ 9: Từ một tấm tôn hình chữ nhật có kích thước 50 × 240, người ta làm các thùng đựng nước hình trụ
có chiều cao bằng 50, theo hai cách sau (xem hình vẽ minh họa):
• Cách 1: Gò tấm tôn ban đầu thành mặt xung quanh của thùng.
• Cách 2: Cắt tấm tôn ban đầu thành hai tấm tôn bằng nhau, rồi gò mỗi tấm đó thành mặt xung quanh của một thùng.
• Kí hiệu V1 là thể tích của thùng gò được theo cách 1 và V2 là thể tích của thùng gò được theo cách 2. Khi
đó tỉ số V1 bằng V2 A. 1 . B. 1. C. 2. D. 4. 2 Lời giải
Công thức thể tích khối trụ là 2 V = π R h 120 2 120 
 Ở cách 1, suy ra h = 50 và 2π R = 240 ⇔ R = . Do đó V = π.  .50 (đvtt). 1 1 π 1  π  60
 Ở cách 2, suy ra mỗi thùng có h = 50 và 2π R = 120 ⇔ R = . 2 2 π 2   Do đó  60 V 2 π.  = × V  
 .50 (đvtt). Suy ra 1 = 2. Chọn C. 2   π     V2
Ví dụ 10: Người ta thả một viên billiards snooker có dạng hình cầu với bán kính
nhỏ hơn 4,5 cm vào một chiếc cốc hình trụ đang chứa nước thì viên billiards đó
tiếp xúc với đáy cốc và tiếp xúc với mặt nước sau khi dâng (tham khảo hình vẽ
bên). Biết rằng bán kính của phần trong đáy cốc bằng 5,4 cm và chiều cao của mực
nước ban đầu trong cốc bằng 4,5 cm. Bán kính của viên billiards đó bằng A. 2,7 cm. B. 4,2 cm. C. 3,6 cm. D. 2,6 cm. Lời giải
Thể tích của phần chứa nước ban đầu là π V = π ( )2 6561 . 5,4 .4,5 = ( 3 cm 1 ) 50 3 π
Gọi R là bán kính của viên billiards ⇒ Thể tích viên billiards là 4 R V = ( 3 cm 2 ) 3
Tổng thể tích của nước và bi là = ( )2 1458π π. 5,4 .2R R V = ( 3 cm ) 25 3 Khi đó, ta có
1458π R 6561π 4π R
V = V +V ⇔ = + 1 2 25 50 3
Giải phương trình với điều kiện 0 < R < 4,5 
→ R = 2,7 cm.Chọn A.
Ví dụ 11: Mặt tiền của một ngôi biệt thự có 8 cây cột hình trụ tròn, tất cả đều có chiều cao 4,2 m. Trong số
các cây đó, có hai cây cột trước đại sảnh đường kính bằng 40 cm, sáu cây cột còn lại phân bố đều hai bên
đại sảnh và chúng đều có đường kính bằng 26 cm. Chủ nhà thuê nhân công để sơn các cây cột bằng một
loại sơn giả đá, biết giá thuê là 380 000/1 m2 (kể cả vật liệu sơn và thi công). Hỏi người chủ phải chi ít nhất
bao nhiêu tiền để sơn hết các cây cột nhà đó (đơn vị đồng)? (lấy π = 3,14159 ) A. 11 833 000 đồng. B. 12 242 000 đồng. C. 10 405 000 đồng D. 13 657 000 đồng. Lời giải
Tổng diện tích xung quanh của 8 cây cột đó là  0,4   0,26  2 S = π + π = π     cm xq 2. 2 . .4,2 6. 2 . .4,2 9,912  2   2 
Vậy số tiền cần phải chi là T = 380 000.S ≈ đồng. Chọn A. xq 11 833 000
Ví dụ 12: Một xưởng sản xuất muốn tạo ra những chiếc đồng hồ
cát bằng thủy tinh có dạng hình trụ, phần chứa cát là hai nửa hình
cầu bằng nhau. Hình vẽ bên với các kích thước đã cho là bản thiết
kế thiết diện qua trục của chiếc đồng hồ này (phần tô màu làm
bằng thủy tinh). Khi đó, lượng thủy tinh làm chiếc đồng hồ cát
gần nhất với giá trị nào trong các giá trị sau A. 602,2 cm3. B. 1070,8 cm3. C. 6021,3 cm3. D. 711,6 cm3. Lời giải
Thể tích của khối trụ là 2 2 3
V = π r h = π.6,6 .13,2 =1806,39cm 1 3
Thể tích khối cầu chứa cát là 4 3 4 13,2 − 2  3 V = π R = π. =   735,62cm 2 3 3  2 
Vậy lượng thủy tinh cần phải làm là 3
V = V −V =1070,77cm . Chọn B. 1 2
Ví dụ 13: : Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh AB bằng a, góc tạo bởi hai mặt phẳng (SAB) và
(ABC) bằng 600. Diện tích xung quanh của hình trụ có đường tròn đáy ngoại tiếp tam giác ABC và chiều
cao bằng chiều cao của hình chóp là 2 2 2 2 A. 2π a π π π . B. 2 a . C. 3 a . D. 3 a . 3 6 3 6 Lời giải
Gọi O là trọng tâm tam giác ABC ⇒ SO ⊥ ( ABC)
Gọi M là trung điểm AB ⇒ OM ⊥ AB ⇒ AB ⊥ (SMO)
Khi đó (SAB) ( ABC)  ( )=  (SM OM)=  0 ; ; SMO = 60
Tam giác ABC đều có a 3 a 3
AB = a ⇒ OC = ;OM = 3 6
Tam giác SMO vuông tại O, có = .tan 60 a SO OM = 2
Bán kính đường tròn ngoại tiếp ΔABC là a 3 R = OC = 3 2
Vậy diện tích xung quanh hình trụ là a 3 a 3π a S = π Rh = π = Chọn C. xq 2 2 . . . 3 2 3
Ví dụ 14: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2, góc giữa cạnh bên SA và mặt đáy bằng
30°. Gọi S là diện tích toàn phần của hình trụ có một đường tròn đáy là đường tròn nội tiếp hình vuông
ABCD và chiều cao bằng chiều cao của hình chóp S.ABCD. Khẳng định nào dưới đây là đúng? A. S ≈10,181. B. S ≈11,413. C. S ≈13,285. D. S ≈12,669. Lời giải
Gọi O là tâm hình vuông ABCD ⇒ SO ⊥ ( ABCD)
Ta có SA ( ABCD)  ( )=  (SA OA)=  ; ; SAO = 30
Tam giác SAO vuông tại O, có  6 SO = . OA tan 30 = 3
Bán kính đường tròn nội tiếp hình vuông ABCD là AB R = = 1 2
Vậy diện tích toàn phần cần tính là 2 6 2
S = 2π Rh + 2π R = 2π.1.
+ 2π.1 ≈11,413. Chọn B. 3
Ví dụ 15: Một nhà máy sản xuất cần thiết kế một thùng sơn dạng hình trụ có nắp đậy với dung tích 1000
cm3. Bán kính của nắp đậy để nhà sản xuất tiết kiệm nguyên vật liệu nhất bằng A. 5 500 3 10 c . m B. 5 10 c . m C. 500 c . m D. 3 c . m π π π π Lời giải
Gọi R, h lần lượt là bán kính đáy và chiều cao hình trụ Thể tích khối trụ là 2 1000
V = π R h =1000  →h = 2 π R
Yêu cầu bài toán tương đương với “ diện tích toàn phần nhỏ nhất” Ta có 2 2 1000 2 2000
S = π Rh + π R = π R + π R = π R +  → f R tp 2 2 2 2 . 2 2 ( ) π R R
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f (R) 2 2000 = 2π R + R
• Cách 1. Khảo sát hàm số, với R > 0
• Cách 2. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta được 2 2000 2 1000 1000 2 1000 1000 π + = π + + ≥ 3 3 2 R 2 R 3 2π R . . = 3 2π.(1000)2 R R R R R
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 2 1000 500 π = ⇔ = 3 2 R R c . m Chọn D. R π
II. Dạng 2. Bài toán về thiết diện với hình trụ
Ví dụ 1: Cắt một hình trụ bằng một mặt phẳng qua trục của nó, ta được thiết diện là một hình vuông cạnh
2a. Diện tích xung quanh của hình trụ bằng A. 2 16π a . B. 2 4π a . C. 2 8π a . D. 2 2π a . Lời giải
Thiết diện qua trục hình trụ là hình chữ nhật có hai kích thước h và 2R R = a
Theo bài ra, ta có h = 2R = 2a ⇒  . Vậy 2
S = π Rh = π a
= π a Chọn B. xq 2 2 . .2a 4 . h = 2a
Ví dụ 2: Cho hình trụ có diện tích toàn phần là 6π và có thiết diện cắt bởi mặt phẳng qua trục là hình
vuông. Thể tích khối trụ đã cho bằng A. 2π. B. 4π. C. 8π. D. 12π. Lời giải
Thiết diện qua trục của hình trụ là hình chữ nhật ABCD có hai
kích thước AB = 2R, AD = h
Theo bài ra, ta có ABCD là hình vuông
⇒ AB = AD ⇔ h = 2R
Diện tích toàn phần của hình trụ là 2
S = π Rh + π R tp 2 2 2 2 = 2π .2
R R + 2π R = 6π R = 6π 
→ R =1⇒ h = 2.
Vậy thề tích khối trụ là 2
V = π R h = 2π. Chọn A.
Ví dụ 3: Một hình trụ có diện tích xung quanh bằng 4π, thiết diện qua trục là hình vuông. Một mặt phẳng
(α) song song với trục, cắt hình trụ theo thiết diện là tứ giác ABB'A', biết một cạnh của thiết diện là một dây
cung của đường tròn đáy cùa hình trụ và căng một cung 120°. Tính diện tích thiết diện ABB'A'. A. 3 2. B. 2 2. C. 2 3. D. 3 3. Lời giải
Thiết diện qua trục hình trụ là hình chữ nhật có hai kích thước h, 2Rh = 2R h = 2R R =1 Theo bài ra, ta có  ⇔   → S π   π = π  = xq 4 2 Rh 4 h = 2
Thiết diện song song với trục OO' là hình chữ nhật ABB'A' (hình bên).
Dây cung AB căng một cung 120° ⇒  AOB =120 Tam giác OAB có 2 2 = + −  AB OA OB 2. . OA . OB cos AOB = 3
Vì AA' là đường sinh 
→ AA′ = h = 2. Vậy S = ′ = Chọn C. ′ ′ AB AA ABB A . 2. 3.
Ví dụ 4: : Cho hình trụ có bán kính đáy bằng R và chiều cao bằng 3R . Mặt phẳng (α) song song với trục 2
của hình trụ và cách trục một khoảng bằng R . Tính diện tích thiết diện của hình trụ cắt bởi mặt phẳng (α). 2 2 2 2 2 A. 3 3R . B. 3R . C. 3R . D. 3 3R . 4 2 2 2 Lời giải
Thiết diện song song với trục OO′ là hình chữ nhật ABB A ′ ′ (hình bên).
Vì OO′// ( ABB A
′ ′) ⇒ d (OO ;′(α )) = d ( ; O (α )) = d ( ; O AB)
Gọi H là trung điểm AB mà OA = OB ⇒ OH ⊥ AB
Tam giác OAH vuông tại H, có 2 2
AH = OA − OH 2 2  R R 3 = R − = 
→ AB = AH = 2. R 3 2 =   R 3  2  2 2 2 Do đó 3R 3 3 = 3, R AB R AA′ =  → S = Chọn D. ABB A ′ ′ . 2 2
Ví dụ 5: Cho hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông ABCD cạnh bằng 2 3 với AB là đường kính của
đường tròn đáy tâm O. Gọi M là điểm thuộc cung AB của đường tròn đáy sao cho 
ABM = 60 .° Thể tích của
khối tứ diện ACDM là A. 4. B. 3. C. 12. D. 6. Lời giải
Thiết diện qua trục là hình vuông ABCD (hình vẽ bên) h = BC = 2 3 Suy ra AB BC 2 3  = = ⇒  ABR = OA = = 3  2
Tam giác OBM cân tại O, có 
OBM = 60° ⇒ OB ∆ M. đều ⇒ BM = OB =
⇒ AM = AB − BM = ( )2 −( )2 2 2 3 2 3 3 = 3
Kẻ MH ⊥ AB(H ∈ AB) mà D
A ⊥ MH ⇒ MH ⊥ ( A C B D)
Tam giác ABM vuông tại AM.BM 3 M ⇒ MH = = AB 2 (2 3 1 )2
Diện tích tam giác ACD là S = = = ∆ A C AC . D. D 6 D 2 2
Vậy thể tích tứ diện ACDM là 1 1 3 V = MH S = = Chọn B. AC M . . AC ∆ . .6 3. D D 3 3 2
Ví dụ 6: Một hình trụ có bán kính đáy R = 70 cm, chiều cao hình trụ h = 20c .
m Một hình vuông có các
đỉnh nằm trên hai đường tròn đáy sao cho có ít nhất một cạnh không song song và không vuông góc với
trục hình trụ. Khi đó, cạnh của hình vuông bằng A. 80 cm. B. 100 cm. C. 100 2 c . m D. 140 cm. Lời giải
Xét hình vuông ABCD có AD không song song và không vuông góc với trục OO' của hình trụ. CD ⊥ AA′
Dựng đường sinh AA', ta có 
⇒ CD ⊥ ( AA′D) ⇒ CD ⊥ A′D CD  ⊥ AD
Suy ra A'C là đường kính đáy nên A′C = 2R =140cm
Xét tam giác vuông AA'C, ta có 2 2
AC = AA′ + A′C =100 2 c . m
Suy ra cạnh hình vuông bằng 100 cm. Chọn B.
Ví dụ 7: Cho một hình trụ có bán kính đáy bằng R và có chiều cao bằng R 3 . Hai điểm A, B lần lượt nằm
trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa AB và trục của hình trụ bằng 30°. Khoảng cách giữa AB và trục của hình trụ bằng A. R. B. R 3 C. R 3 . D. R 3 . 2 4 Lời giải
Từ hình vẽ kết hợp với giả thiết, ta có OA = O 'B = R O  A ′ ′ = R
Kẻ đường sinh AA' là đường sinh ⇒  và  0 BAA′ = 30
AA′ = R 3
Vì OO′// ( ABA′) nên
d (OO ;′( AB)) = d (OO ;′( ABA′)) = d (O ;′( ABA′)) OH ′ ⊥ A′B
Goi H là trung điểm A′B ⇒  ⇒ O H ′ ⊥ ( ABA′) OH ′ ⊥ AA′
Tam giác ABA' vuông tại A', có BA′ = AA .′tan 30 = R
Suy ra tam giác A'BO' đều có cạnh bằng R nên R 3 O H ′ = . Chọn C. 2
Ví dụ 8: Cho hình trụ có đáy là hai đường tròn tâm O và O', bán kính bằng chiều cao và bằng a. Trên
đường tròn tâm O lấy điểm A, trên đường tròn tâm O' lấy điểm B sao cho AB = 2 .
a Thể tích của khối tứ diện OO'AB bằng 3 3 3 3 A. 3a . B. 3a . C. 3a . D. 3a . 12 4 6 2 Lời giải
Kẻ đường sinh AA', gọi D là điểm đối xứng với A' qua tâm O'
Và H là hình chiếu của B trên A'D Ta có BH ⊥ ( AOO A ′ ′) nên 1 V = ′ S∆ ′ BH OO AB AOO . 3
Xét tam giác vuông A′AB, có 2 2
A′B = AB − AA′ = a 3
Xét tam giác vuông A′BD, có 2 2
BD = A′D − A′B = a 3 Suy ra a 3 BH = . Vậy 1  1 2  a 3 3a V = = (đvtt). ′  a OO AB . . 2 3  2  2 12 Chọn A.
Ví dụ 9: Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O) và (O'), chiều cao 2R và bán kính đáy R. Một mặt
phẳng (α) đi qua trung điểm của OO' và tạo với đường thẳng OO' một góc 30°. Mặt phẳng (α) cắt đường
tròn đáy theo một dây cung có độ dài bằng A. R 3 . B. R 3 . C. 2R 6 . D. R 6 . 2 3 3 Lời giải
Dựa vào hình vẽ, kết hợp với giả thiết ta có
OA = OB = R,OO′ = 2R và  0 O IM = 30
Xét tam giác vuông MOI, có 0 R 3 OI = . MO tan 30 = 3 2
Xét tam giác vuông AIO, có 2 2 2 R R 6 IA OA OI R   = − = − =  3    3 Suy ra 2R 6 AB = 2IA = . Chọn C. 3
Ví dụ 10: Một chiếc cốc hình trụ có đường kính đáy 6 cm, chiều
cao 15 cm chứa đầy nước. Nghiêng cốc cho nước chảy từ từ ra
ngoài đến khi mép nước ngang với đường kính của đáy cốc. Khi
đó diện tích của bề mặt nước trong cốc bằng A. 2 π 9 26π cm . B. 9 26 2 cm . 2 C. 9 26π 2 π cm . D. 9 26 2 cm . 5 10 Lời giải
Dựng cốc hình trụ, phần gạch chéo chính là hình chiếu của diện tích bề mặt
nước trong cốc (tham khảo hình vẽ bên)
Gọi S là diện tích bề mặt nước, S0 là diện tích phần gạch chéo
Theo công thức hình chiếu, ta có S0 cosϕ =
, với ϕ = (S;S = A′OA 0 )   S
Tam giác OAA′ vuông tại A, có  OA 3 26 cos A′OA = = = ′ 2 2 OA 3 +15 26 2 Và π R 9π 9π 26 9 26π 2 S = =  → S = : = cm . Chọn B. 0 2 2 2 26 2
III. Dạng 3. Hình trụ nội - ngoại tiếp hình lăng trụ đứng
Phương pháp: Hình trụ nội - ngoại tiếp lăng trụ đứng có chiều cao bằng độ dài cạnh bên của lăng trụ và
đáy là đường tròn nội - ngoại tiếp đa giác đáy của lăng trụ (tham khảo hình vẽ)
Ví dụ 1: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có độ dài cạnh đáy bằng 2, chiều cao bằng 4. Thể tích của
khối trụ ngoại tiếp lăng trụ bằng A. 6π. B. 4π. C. 8π. D. 12π. Lời giải
• Chiều cao của khối trụ là h = AA′ = 4 2
• Bán kính đường tròn ngoại tiếp ΔABC là 2 . 3 R = = ABC ∆ 3 4
Suy ra bán kính đáy hình trụ là R = 3. Vậy thể tích khối trụ là 2
V = π R h =12π. Chọn D.
Ví dụ 2: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = a 3. Góc giữa
đường thẳng A'B và mặt phẳng đáy bằng 600. Thể tích khối trụ ngoại tiếp khối lăng trụ đã cho bằng A. 3 π a . B. 3 3π a . C. 3 2 3π a . D. 3 2π a . Lời giải
Tam giác ABC vuông tại A, có 2 2
BC = AB + AC = 2a
Suy ra bán kính đường tròn ngoại tiếp ΔABC là BC R = = ∆ a ABC 2
Ta có AA′ ⊥ ( ABC) ⇒ A′B ( ABC)  = (AA′ )  =  0 ; ;AB A′BA = 60
Tam giác A'AB vuông tại A, có AA′ = A .
B tan 60 = a 3
Khối trụ ngoại tiếp lăng trụ có h = AA′ = a 3; R = R = ∆ a ABC
Vậy thể tích khối trụ là 2 3
V = π R h = 3π a . Chọn B.
Ví dụ 3: Cho lăng trụ đứng ABC.A′B C
′ ′có đáy ABC là tam giác vuông tại ,
A AB = 3a, BC = 5 . a Khối trụ
nội tiếp lăng trụ đứng có thể tích bằng 3
2π a . Thể tích khối lăng trụ đứng bằng A. 3 16a . B. 3 6a . C. 3 12a . D. 3 8a . Lời giảiR = r Thể tích khối trụ là 3 2 2 3
V = 2π a = π R h 
→ R h = 2a , với ABC ∆  h = AA′
Tam giác ABC vuông tại A, có 2 2 1 2
AC = BC − AB = 4a ⇒ S = .A . B AC = 6a ABC ∆ 2 Ta có
AB + BC + AC 3a + 4a + 5a S 2 p = = = 6a  →r = = = ∆ a a a ABC 6 : 6 2 2 p Do đó 2 3
R = a ⇒ a h = 2a ⇒ h = AA′ = 2 . a
Vậy thể tích khối lăng trụ là 3
V = AA .′S
= 12a . Chọn C. ABC ∆
Ví dụ 4: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có độ dài cạnh bên bằng a, đáy là tam giác vuông cân tại A. Góc
giữa đường thẳng AC' và mặt phẳng (BCC'B') bằng 300. Diện tích xung quanh của khối trụ ngoại tiếp lăng
trụ ABC.A'B'C' bằng A. 2 2π a . B. 2 2π a . C. 2 π a . D. 2 4π a . Lời giải
Gọi M là trung điểm BC ⇒ AM ⊥ BC mà BB′ ⊥ AM
Suy ra AM ⊥ (BCC B
′ ′) ⇒ AC′ (BCC B ′ ′)  =  0 ; AC M ′ = 30 Đặt x 2 2 2
AB = AC = x 
→ BC = x 2 ⇒ AM =
; AC′ = x + a 2
Tam giác AC'M vuông tại M, có  sin AM AC M ′ =
⇔ AC′ = 2AM AC′ 2   2 2 x 2 BC a 2
⇔ x + a = 4.
 ⇔ x = a  → R = =  2 ABC ∆  2 2  
Vậy diện tích xung quanh khối trụ là 2 S = π Rh = π a Chọn A. xq 2 2 .
Ví dụ 5: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có góc giữa hai mặt phẳng (A'BC) và (ABC) bằng 30°. Biết
AB = a 3 , thể tích khối trụ nội tiếp lăng trụ đã cho bằng 3 3 3 3 A. 3π a π π π . B. 3 a . C. 3 a . D. 3 a . 6 2 4 8 Lời giải
Dựng AM ⊥ BC mà AA′ ⊥ BC ⇒ BC ⊥ ( A′AM )
Do đó ( A′BC) ( ABC)  =  0 ; A′MA = 30 mà AB 3 3a AM = = . 2 2 Suy ra ′ =  3a 0 a 3
AA AM.tan A′MA = .tan 30 = 2 2
Bán kính đường tròn nội tiếp ΔABC là AB 3 a r = = ABC ∆ 6 2  a R = r =  ABC ∆
Khối trụ nội tiếp lăng trụ ABC.A'B'C' có  2   a 3 h = AA′ =  2 2 3
Vậy thể tích khối trụ là 2  a a 3 3π = π = π. . a V R h =   . Chọn D.  2  2 8
Ví dụ 6: Diện tích xung quanh hình trụ ngoại tiếp hình lập phương cạnh a bằng A. 2 π a . B. 2 2π a . C. 2 2π a . D. 2 4π a . Lời giải
Chiều cao của hình trụ là h = AA′ = a
Hình lập phương có đáy là hình vuông AC a 2  → R = = ABC ∆ 2 2
Suy ra bán kính đáy hình trụ là a 2 2 R =
⇒ S = 2π Rh = 2π a . Chọn B. 2 xq
Ví dụ 7: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = a, AD = 2 .
a Diện tích tam giác A'DC bằng 2
a 13 . Thể tích khối trụ ngoại tiếp hình hộp chữ nhật đã cho bằng 2 3 3 3 3 A. 5π a π π π . B. 3 a . C. 15 a . D. 5 a . 4 4 4 2 Lời giải CD ⊥ DD′ Ta có 
⇒ CD ⊥ ( ADD A
′ ′) ⇒ CD ⊥ A′D CD ⊥ AD 2 Suy ra 1 a 13 S = ′ =  → ′ = ∆ ′ A D C A D a A C . . D 13 D 2 2 2 Do đó 2 2
AA′ = A′D − AD = (a 13) −(2a)2 = 3a AC a 5
Khối trụ ngoại tiếp hình hộp chữ nhật có R = =  2 2
h = AA′ = 3a 2 3  
Thế tích khối trụ cần tính là 2 a 5 15π = π = π.  .3a a V R h = .  Chọn C. 2  4  
Ví dụ 8: Cho lăng trụ đứng ABC . D A′B C ′ D
′ ′ có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, góc giữa hai mặt phẳng
(A'BD) và (ABCD) bằng 45°. Diện tích xung quanh hình trụ nội tiếp lăng trụ đứng đã cho bằng 2 2 2 2 A. π π a π π . B. a . C. 2 a . D. 2 a . 4 2 4 2 Lời giải
Gọi O là tâm hình vuông ABCD ⇒ D
B ⊥ AO ⇒ BD ⊥ ( A′AO)
Khi đó ( A′BD) ( ABCD)  = (A′O OA)  =  0 ; ; A′OA = 45
Suy ra tam giác A'AO vuông cân tại a 2 A  → AA′ = OA = 2
Bán kính đường tròn nội tiếp hình vuông ABCD là a r = ABC ∆ 2
Khối trụ nội tiếp lăng trụ đứng có a R = r = = ′ = ∆ h A a A ABC ; 2 2 2 2
Vậy diện tích xung quanh cần tính là 2π S a = π Rh = Chọn D. xq 2 . 2
IV. Dạng 4. Hình trụ nội tiếp hình cầu
Ví dụ 1: Cho hình trụ có chiều cao bằng 4 nội tiếp trong hình cầu bán kính bằng 3. Tính thể tích V của khối trụ này A. 4π. B. 8π. C. 12π. D. 20π. Lời giải
Gọi r, h, R lần lượt là bán kính đáy hình trụ, chiều cao hình trụ và
bán kính của hình cầu. Theo hình vẽ, ta được 2 2 2 IA = O I + A O 2 2 2 h  → R = r +
(công thức tổng quát bài toán trụ nội tiếp cầu) 4 2 Với 2 2
h = 4, R = 3  →3 4 = r + ⇒ r = 5 4
Vậy thể tích khối trụ là 2
V = π r h = 20π.Chọn D.
Ví dụ 2: Hình trụ (T) có bán kính đáy bằng 3a, chiều cao bằng 8a có hai đáy nằm trên mặt cầu (S). Thể tích của khối cầu bằng 3 3 A. 3 π π 125π a B. 3 25π a . C. 500 a . D. 375 a . 3 4 Lời giải
Áp dụng công thức tổng quát bài toán trụ nội tiếp cầu, ta được h 8a 2 2 R = r + = (3a) ( )2 2 2 2 2 2 + = 9a +16a = 25a  → R = 5a 4 4 3 π
Vậy thể tích khối cầu là 4 3 500 a V = π R = . Chọn C. 3 3
Ví dụ 3: Một quả cầu có thể tích 256π 3
cm được đặt vào trong một chiếc 3
cốc có dạng hình trụ với đường kính đáy là 6 cm như hình vẽ. Phần nhô ra
khỏi chiếc cốc của quả cầu bằng (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm). A. 2,21 cm. B. 2,38 cm. C. 4,52 cm. D. 6,65 cm. Lời giải
Yêu cầu bài toán ⇔ h = TB (hình vẽ bên) 0 Thể tích khối cầu là 4 3 256π V = π R = ⇔ R = 4cm 3 3
Bán kính đáy của hình trụ là d r = = 3cm 2
Tam giác MBO vuông tại B, có 2 2
OB = OM − BM = 7
Do đó TB = TO + OB = 4 + 7 ≈ 6,65c . m Chọn D.
Ví dụ 4: Cho mặt cầu (S) có bán kính R không đổi (cho trước). Một hình trụ có chiều cao h và bán kính r
thay đổi nội tiếp mặt cầu. Tính chiều cao h theo R sao cho diện tích xung quanh của hình trụ lớn nhất.
A. h = R 2.
B. h = R
C. h = 2R D. R h = 2 Lời giải
Gọi I là trung điểm OO′ ⇒ I là tâm mặt cầu 2 Tam giác IAO có 2 2 h 1 2 2 r = R − = 4R − h 4 2 Ta có 2 2
S = π Rh = π h − h xq 2 . 4R 2 2 2 Co−si h + 4R − h = π 2 h .( 2 2 4R − h ) ( ) ≤ π. a  2 b Suy ra 2 2
S ≤ π R  → S = π R xq 2 ma 2 . x Dấu bằng xảy ra khi 2 2 2
h = 4R − h ⇔ h = R 2 . Chọn A.
Ví dụ 5: Cho mặt cầu (S) có bán kính R không đổi (cho trước). Một hình trụ có chiều cao h và bán kính r
thay đổi nội tiếp mặt cầu. Tính chiều cao h theo R sao cho thể tích khối trụ lớn nhất. A. R 2 h = . B. 2R 3 h = . C. R 3 h = .
D. h = R 2. 2 3 2 Lời giải
Gọi I là trung điểm OO′ ⇒ I là tâm mặt cầu 2 Tam giác IAO có 2 2 h 1 2 2 r = R − = 4R − h 4 2 2   Ta có 2 2 = π = π .R h V r h h −  = f (h)  4  Xét hàm số π
f (h) có f ′(h) 2 3 2 = π R − h = 0 ⇔ 2R 3 h = . 4 3
Lập bảng biến thiên ⇒ V khi 2R 3 h = . Chọn B. max 3
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1: Cho hình trụ có bán kính đáy bằng 3 và thể tích của hình trụ bằng 18π. Tính diện tích xung quanh Sxq của hình trụ đã cho. A. S = π B. S = π C. S = π D. S = π xq 12 . xq 6 . xq 36 . xq 18 .
Câu 2: Cho hình trụ có bán kính đường tròn đáy là R = 3 cm. Gọi Sxq, Stp lần lượt là diện tích xung quanh và
diện tích toàn phần của hình trụ. Tính S = S − S tp xq . A. 2 S =18π cm . B. 2 S = 9π cm . C. 2 S = 6π cm . D. 2 S =12π cm .
Câu 3: Một hình trụ có bán kính đáy r = 40 cm và chiều cao h = 40 cm. Tính diện tích xung quanh của hình trụ đó. A. 2 1600π cm . B. 2 3200π cm . C. 2 1600 cm . D. 2 3200π cm .
Câu 4: Tính thể tích khối trụ tròn xoay có bán kính r và chiều cao h. A. 1 2 π r h B. 2 π r h C. 2π . rh D. 1 3 π r . h 3 3
Câu 5: Cho khối trụ có bán kính đáy bằng R và chiều cao là R 3 . Tính thể tích khối trụ đó. A. 4 3 V = π R 3. B. 3 V = π R 3. C. 3 V = 4π R 3. D. 3 V = R 3. 3
Câu 6: Cho hình trụ (T) có độ dài đường sinh là b và bán kính đường tròn đáy là a. Tính diện tích toàn phần
Stp của hình trụ (T).
A. S = π a b + a
B. S = π a b + a
C. S = π a b + a
D. S = π a b + a tp ( ). tp 2 ( 2 ). tp 2 (2 ). tp 2 ( ).
Câu 7: Hình trụ có bán kính đáy bằng chiều cao và bằng R thì diện tích toàn phần của nó bằng A. 2 6π R . B. 2 2π R . C. 2 π R . D. 2 4π R .
Câu 8: Cho khối trụ có độ dài đường sinh bằng 10, thể tích khối trụ là 90π. Tính diện tích xung quanh của khối trụ đó. A. 36π. B. 60π. C. 81π. D. 78π.
Câu 9: Cho hình trụ có bán kính đáy bằng 4, độ dài đường sinh bằng 12. Tính diện tích xung quanh Sxq của hình trụ. A. S = π B. S = π C. S = π D. S = π xq 96 . xq 192 . xq 128 . xq 48 .
Câu 10: Gọi r là bán kính đường tròn đáy và l là độ dài đường sinh của khối trụ. Thể tích khối trụ là A. 2 2π r l. B. 1 2 π r l. C. 2 3π r l. D. 2 π r l. 3
Câu 11: Cho hình trụ có bán kính đáy R và diện tích toàn phần bằng 2
4π R . Tính thể tích V của khối trụ tạo bởi hình trụ đó. 3 A. 3 π V = 2π R . B. 2 R V = . C. 3 V = 3π R . D. 3 V = π R . 3
Câu 12: Diện tích toàn phần Stp của hình trụ có bán kính đáy R, chiều cao h và độ dài đường sinh l là: A. 2
S = π R +π Rl B. 2
S = π R + π Rl tp 2 2 . tp 2 . C. 2
S = π R +π Rl D. 2
S = π R + π Rl tp 2 2 . tp .
Câu 13: Tính diện tích toàn phần Stp của một hình trụ có bán kính và chiều cao h = r 3. A. S = + π r B. S = + π r tp ( ) 2 2 1 3 . tp ( ) 2 1 3 . C. S = + π r D. S = + π r tp ( ) 3 1 2 3 . tp ( ) 3 2 1 3 .
Câu 14: Một khối trụ có thể tích bằng 3
192π cm và đường sinh gấp ba lần bán kính đáy. Tính độ dài đường sinh của hình trụ đó. A. 12 cm. B. 3cm. C. 6 cm. D. 9 cm.
Câu 15: Một khối trụ có thể tích bằng 16π. Nếu chiều cao khối trụ tăng lên hai lần và giữ nguyên bán kính
đáy thì được khối trụ mới có diện tích xung quanh bằng 16π. Bán kính đáy của khối trụ ban đầu bằng A. 1. B. 8. C. 4. D. 2.
Câu 16: Cho khối trụ (T) có bán kính đáy bằng 4 và diện tích xung quanh bằng 16π. Tính thể tích V của khối trụ (T). A. π V = 32π. B. V = 64π. C. V =16π. D. 32 V = . 3
Câu 17: Thể tích của khối trụ có bán kính đáy r = 2 em và chiều cao h = 9 cm là A. 3 18π cm . B. 3 18 cm . C. 3 162π cm . D. 3 32π cm .
Câu 18: Hình trụ (H1) có bán kính mặt đáy R = a và chiều cao h = 2a, hình trụ (H2) có bán kính
mặt đáy R = 2a và chiều cao h = a. Gọi V1 là thể tích của (H1), V2 là thể tích của (H2). Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. V < V .
B. V > V .
C. V = V . D. 3
V +V = 5π a . 1 2 1 2 1 2 1 2
Câu 19: Một khối trụ có khoảng cách giữa hai đáy là 7 cm và diện tích xung quanh là 70π cm2. Tính thể tích
V của khối trụ đã cho. A. 3 π V =175π cm . B. 3 V = 700π cm . C. 175 3 V = cm . D. 3 V = 35π cm . 3
Câu 20: Một hình trụ có bán kính đáy r = 5 c ,
m chiều cao h = 50 .
cm Hỏi diện tích xung quanh Sxq của hình trụ đó bằng bao nhiêu? A. 2 S = B. 2 S = C. 2 S = π D. 2 S = xq 2500 cm . xq 500 cm . xq 250 cm . xq 500 cm .
Câu 21: Tính diện tích xung quanh của khối trụ có bán kính đáy r = 2 và độ dài đường sinh l = 2 5. A. 8 5π. B. 2 5π. C. 2π. D. 4 5π.
Câu 22: Cho hình trụ có bán kính đáy bằng 3 cm, độ dài đường cao bằng 4 cm. Tính diện tích xung quanh của hình trụ này. A. π ( 2 24 cm ). B. π ( 2 22 cm ). C. π ( 2 26 cm ). D. π ( 2 20 cm ).
Câu 23: Trong không gian cho hình chữ nhật ABCD có AB = a, AC = a 5. Tính diện tích xung quanh Sxq
của hình trụ khi quay đường gấp khúc BCDA quanh trục AB. A. 2 S = π a B. 2 S = π a C. 2 S = a D. 2 S = a xq 4 . xq 2 . xq 4 . xq 2 .
Câu 24: Trong không gian, cho hình vuông ABCD có cạnh bang a. Khi quay hình vuông đó xung quanh trục
AB ta được một hình trụ. Tính diện tích xung quanh Sxq của hình trụ đó. A. 2 S = π a B. 2 S = π a C. 2 S = π a D. 2 S = π a xq 2 . xq 2 2 . xq 4 . xq .
Câu 25: Trong không gian, cho hình chữ nhật ABCD có AB = I và AD = 2. Gọi M, N lần lượt là trung điểm
của AD và BC. Quay hình chữ nhật đó xung quanh trục MN, ta được một khối trụ. Tính diện tích toàn phần của hình trụ. A. 2π. B. 3π. C. 4π. D. 8π.
Câu 26: Cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB = 2 và AD = 4. Gọi M,N là trung điểm các cạnh AB và CD.
Cho hình chữ nhật ABCD quay quanh đường thẳng MN, ta được khối trụ tròn xoay có thể tích V bằng bao nhiêu? A. V =16π. B. V = 4π. C. V = 8π. D. V = 32π.
Câu 27: Cho một hình chữ nhật có độ dài đường chéo bằng 5, một cạnh có độ dài bằng 3. Quay hình chữ
nhật đó quanh trục là đường thẳng chứa cạnh có độ dài lớn hơn, ta thu được một khối tròn xoay. Tính thể tích khối tròn xoay đó. A. 12π. B. 48π. C. 36π. D. 45π.
Câu 28: Cho hình vuông ABCD quay quanh cạnh AB tạo ra hình trụ có độ dài của đường tròn đáy bằng
4πa. Tính theo a thể tích V của hình trụ này. 3 A. 3 π V = 2π a . B. 3 V = 4π a . C. 3 V = 8π a . D. 8 a V = . 3
Câu 29: Hình chữ nhật ABCD có AB = 6, AD = 4. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của bốn cạnh AB,
BC, CD, DA. Cho hình chữ nhật ABCD quay quanh QN, tứ giác MNPQ tạo thành vật tròn xoay có thể tích bằng A. V = 2π. B. 6π. C. 8π. D. V = 4π.
Câu 30: Cho hình trụ có được khi quay hình chữ nhật ABCD quanh trục AB. Biết rằng AB = 2AD = 4a. Tính
thế tích của khối trụ đã cho theo a. A. 3 8π a . B. 3 16π a . C. 3 16a . D. 3 32π a .
Câu 31: Cho khối trụ (T) có thiết diện qua trục là một hình vuông có diện tích bằng 4. Tính diện tích xung
quanh Sxq của khối trụ (T). A. S = B. S = π C. S = π D. S = π xq 2 . xq 8 . xq 4 . xq 4 2.
Câu 32: Một hình trụ có bán kính đáy bằng a, mặt phẳng qua trục hình trụ cắt hình trụ theo thiết diện là một
hình vuông. Tính thể tích V của khối trụ. 3 3 A. 2π a π V = . B. a V = . C. 3 V = π a . D. 3 V = 2π a . 3 3
Câu 33: Trong không gian cho hai điểm A, B phân biệt và cố định. Điểm M thay đổi sao cho diện tích tam
giác MAB không đổi. Khi đó, tập hợp tất cả các điểm M này là một A. mặt trụ. B. mặt phẳng. C. mặt nón. D. mặt cầu.
Câu 34: Bánh của một chiếc xe lu có dạng hình tạt với đường kính đáy bằng l,2m, bề ngang bằng 2,1m. Hỏi
khi xe do chuyển thẳng, bánh xe quay được 12 vòng, thì diện tích mặt đường được lu là bao nhiêu? (Kết quả
làm tròn đến hàng đơn vị). A. 2 95m . B. 2 72m . C. 2 48m . D. 2 144m .
Câu 35: Để làm một thùng phi hình trụ người ta cần hai miếng nhựa hình tròn làm hai đáy có diện tích mỗi hình là π ( 2
16 cm ) và một miếng nhựa hình chữ nhật có diện tích là π ( 2
60 cm ) để làm thân. Tính chiều
cao của thùng phi được làm. A. 10(cm). B. 15(cm). C. 15 (cm). D. 30(cm). 2
Câu 36: Cắt một khối trụ bởi một mặt phẳng qua trục ta được thiểt diện là hình chữ nhật ABCD có AB và
CD thuộc hai đáy của khối trụ. Biết AB = 4a, BC = 3a. Tính thể tích V của khối trụ. A. 3 V =12π a B. 3 V =16π a . C. 3 V = 4π a . D. 3 V = 8 − π a .
Câu 37: Một hình trụ (T) có bán kính đáy R và có thiết diện qua trục là hình vuông. Tính diện tích xung
quanh của khối trụ (T). 2 A. 2 π 4π R . B. 2 π R . C. 2 2π R . D. 4 R . 3
Câu 38: Một hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông cạnh a. Tính thể tích V của hình trụ dó. 3 3 3 3 A. π a π π π V = . B. a V = . C. a V = . D. a V = . 5 4 2 3
Câu 39: Cho hình trụ có thiết diện qua trục OO' là một hình vuông cạnh bằng 2. Mặt phẳng (P) qua trung
điểm I của OO' và tạo với mặt phẳng đáy góc 300. Diện tích của thiết diện do (P) cắt hình trụ gần nhất với số nào sau đây? A. 3,7. B. 3,8. C. 3,6. D. 3,5.
Câu 40: Cắt một hình trụ bằng mặt phẳng (α) vuông góc mặt đáy, ta được thiết diện là một hình vuông có
diện tích bằng 16. Biết khoảng cách từ tâm đáy hình trụ đến mặt phẳng (α) bằng 3. Tính thể tích khối trụ. A. 52π . B. 52π C. 13π D. 2 3π 3
Câu 41: Một hình trụ có diện tích xung quanh là 4π, thiết diện qua trục là hình vuông. Một mặt phẳng (α)
song song với trục, cắt hình trụ theo thiết diện ABB'A', biết một cạnh của thiết diện là một dây của đường
tròn đáy hình trụ và căng một cung 120°. Diện tích thiết diện ABB'A' là A. 3 B. 2 3 C. 2 2 D. 3 2
Câu 42: Một hình trụ có bán kính đáy 5 cm và chiều cao 7 cm. Cắt khối trụ bằng một mặt phẳng song song
với trục và cách trục 3 cm. Diện tích thiết diện tạo bởi khối trụ và mặt phẳng bằng A. 2 21 cm . B. 2 56 cm . C. 2 70 cm . D. 2 28 cm .
Câu 43: Cho hình trụ có đường cao bằng 8a . Một mặt phẳng song song với trục và cách trục hình trụ 3a,
cắtt hình trụ theo thiết diện là hình vuông. Tính diện tích xung quanh và thể tích hình trụ. A. 2 3
80π a , 200π a B. 2 3
60π a , 200π a C. 2 3
80π a , 180π a D. 2 3
60π a , 180π a
Câu 44: Một hình trụ có bán kính đáy và chiều cao đều bằng 4 dm. Một hình vuông ABCD có hai cạnh AB
và CD lần lượt là các dây cung của hai đường tròn đáy. Biết mặt phẳng (ABCD) không vuông góc với mặt
đáy của hình trụ. Tính diện tích S của hình vuông ABCD. A. 2 S = 20 dm B. 2 S = 40 dm C. 2 S = 80 dm D. 2 S = 60 dm
Câu 45: Cho hình trụ có bán kính đáy và trục OO' cùng có độ dài bằng 1. Một mặt phẳng (P) thay đổi đi qua
O, tạo với đáy của hình trụ một góc 60° và cắt hai đáy của hình trụ đã cho theo các dây cung AB và CD (dây
AB đi qua O). Tính diện tích của tứ giác ABCD . A. 2 3 + 2 2 B. 3 3 + 3 2 C. 3 + 2 D. 2 3 + 2 2 3 2 3
Câu 46: Một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn có tâm lần lượt là O, O' và có cùng bán kính r = 5. Khoảng
cách giữa hai đáy là OO' = 6. Gọi (α) là mặt phẳng qua trung điểm của đoạn OO' và tạo với đường thẳng
OO' một góc 450. Tính diện tích S của thiết diện tạo bởi mặt phẳng (α) và hình trụ. A. S = 24 2 B. S = 36 C. S = 36 2 D. S = 48 2
Câu 47: Một hình trụ tròn xoay có diện tích toàn phần là S1, diện tích đáy là S. Cắt đôi hình trụ này bằng
một mặt phẳng vuông góc và đi qua trung điểm của đường sinh, ta được hai hình trụ nhỏ mà mỗi hình trụ
nhỏ có diện tích toàn phần là S2. Khẳng định nào sau đây đúng? A. 1
S = S + S. B. 1 S = S + S .
C. S = 2S D. 1 S = S 2 ( 1 ) 2 1 2 2 2 1 2 1 2
Câu 48: Một hình trụ có bán kính đáy a, thiết diện qua trục là một hình vuông. Gọi S là diện tích xung
quanh của hình trụ. Tính tỉ số S F = . 2π 2 A. 2 a B. 2 2a . C. a . D. 2 π a 2
Câu 49: Thiết diện qua trục của hình trụ (T) là hình vuông ABCD có đường chéo AC = 2 . a Tính diện tích
xung quanh của hình trụ (T). A. 2 2π a 2. B. 2 2π a C. 2 π a 2. D. 2 4π a .
Câu 50: Người ta cắt hình trụ bằng mặt phẳng qua trục của nó được thiết diện là hình vuông cạnh a. Thể tích của khối trụ là 3 2 3 A. 3 π π π π a B. a . C. a 5 D. a .. 12 4 4
Câu 51: Một hình trụ có bán kính đáy bằng R và thiết diện qua trục là một hình vuông. Diện tích toàn phần
Stp của hình trụ bằng A. 2 S = π R B. 2 S = π R C. 2 S = π R D. 2 S = π R tp 3 . tp 6 . tp 4 . tp 2 .
Câu 52: Cắt một khối trụ bởi một mặt phẳng qua trục của nó, ta được thiết diện là một hình vuông có cạnh
bằng 3a. Tính diện tích toàn phần của khối trụ. 2 2 2 A. 27π a B. a π 3 C. 13a π . D. 2 a π 3 . 2 2 6
Câu 53: Một hình trụ có diện tích xung quanh bằng 8π và có thiết điện qua trục của nó là hình vuông. Thể tích khối trụ là A. 8 2π. B. 4 2π. C. 8π. D. 4π.
Câu 54: Cho hình trụ có bán kính đáy bằng a, chu vi của thiết diện qua trục bằng 12a. Tính thể tích V của khối trụ đã cho. A. 3 V = 4π a . B. 3 V = 6π a . C. 3 V = 5π a . D. 3 V = π a .
Câu 55: Cho một hình trụ có thiết diện qua trục của hình trụ là một hình vuông. Tính tỉ số giữa diện tích
xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ đã cho. A. 2 . B. 1 . C. 3 . D. 2. 3 2 2
Câu 56: Cắt một khối trụ tròn xoay bởi một mặt phẳng qua trục của nó, ta được thiết diện là một hình vuông
có cạnh bằng 2a. Tính điện tích toàn phần Stp của khối trụ. A. 2 S = π a B. 2 S = π a C. 2 S = π a D. 2 S = π a tp 10 . tp 8 . tp 6 . tp 4 .
Câu 57: Một hình trụ có bán kính đáy r = 5 cm. Cắt hình trụ bởi mặt phẳng (α) đi qua trục. Biết chu vi thiết
diện bằng 34 cm. Tính chiều cao h của hình trụ. A. h = 24 cm. B. h = 29 cm. C. h =12 cm. D. h = 7 cm.
Câu 58: Cho hình trụ (T) có bán kính đáy bằng 3 và chiều cao bằng 2. Một mặt phẳng (P) cắt hình trụ (T)
theo thiết diện là hình chữ nhật ABCD có cạnh AB, CD lần lượt là các dây cung của hai đáy. Tính diện tích S
lớn nhất của hình chữ nhật ABCD. A. S =12. B. S =16. C. S = 20. D. S = 25.
Câu 59: Cho hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông ABCD cạnh 2 3 cm với AB là đường kính của
đường tròn đáy tâm O. Gọi M là điểm thuộc cung 
AB của đường tròn đáy sao cho 
ABM = 60 .° Thể tích của
khối tứ diện ACDM là A. V = ( 3 3 cm ). B. V = ( 3 4 cm ). C. V = ( 3 6 cm ). D. V = ( 3 7 cm ).
Câu 60: Có tấm bìa hình tam giác vuông cân ABC có cạnh huyền bằng a. Người ta muốn cắt tấm bìa đó
thành hình chữ nhật MNPQ rồi cuộn lại thành một hình trụ không đáy như hình vẽ. Diện tích hình chữ nhật
đó bằng bao nhiêu để diện tích xung quanh của hình trụ là lớn nhất? 2 2 2 2 A. a . B. 3a . C. a . D. 3a . 2 4 8 8
Câu 61: Cho một tấm bìa hình chữ nhật có kích thước 3a, 6a. Người ta muốn tạo từ tấm bìa đó thành 4 hình
không đáy như hình vẽ, trong đó có hai hình trụ lần lượt có chiều cao 3a, 6a và hai hình lăng trụ tam giác
đều có chiều cao lần lượt là 3a, 6a. Trong bốn hình H1, H2, H3, H4, hình có thể tích lớn nhất và nhỏ nhất là A. H1, H4. B. H2, H3. C. H1, H3. D. H2, H4.
Câu 62: Một chi tiết máy bằng đồng được tạo ra bằng
cách cho hình vẽ bên (tất cả các góc của hai đường thẳng
cắt nhau đều bằng 90°) với các kích thước DI = 6cm, 1 GH = cm,
DE = FG = 2cm xoay quanh trục
d. Khi bỏ chi tiết này vào một hộp nước hình trụ có bán
kính đáy là 4 cm, chiều cao 12 cm đang chứa một lượng
nước bằng nửa thể tích hộp thì mực nước dâng thêm là
bao nhiêu? Biết chi tiết chìm hoàn toàn trong nước. A. 3,25 cm. B. 2,25 cm. C. 4,75 cm. D. 3,5 cm.
Câu 63: Đế làm một chiếc cốc bằng thủy tinh hình trụ với
đáy cốc dày 1,5 cm, thành xung quanh cốc dày 0,2 cm và
có thể tích thật (thể tích nó đựng được) là 3 480π cm thì
người ta cần ít nhất bao nhiêu cm3 thủy tinh? A. 3 75,66π cm . B. 3 85,41π cm . C. 3 84,64π cm . D. 3 71,16π cm .
Câu 64: Cho hình lăng trụ đều ABC.A'B'C' có AB = a,
AB' = 2a. Tính thể tích V của khối trụ ngoại tiếp hình
lăng trụ ABC.A'B'C'. 3 3 3 3 A. π a π π π V = B. a V = C. a 3 V = D. a 3 V = 9 3 9 3
Câu 65: Cho hình trụ có bán kính đáy bằng r, O và O' là tâm của hai đáy, OO′ = 2r. Một mặt cầu (S) tiếp
xúc với hai đáy của hình trụ tại O và O', đồng thời tiếp xúc với mặt xung quanh của hình trụ. Trong các
mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào sai?
A. Diện tích của mặt cầu bằng diện tích xung quanh của hình trụ
B. Diện tích mặt cầu bằng 2 diện tích toàn phần của hình trụ 3
C. Thể tích của khối cầu bằng 3 thể tích của khối trụ 4
D. Thể tích của khối cầu bằng 2 thể tích của khối trụ 3
Câu 66: Cho hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác với độ dài cạnh đáy lần lượt là 5 cm, 13 cm, 12 cm. Một
hình trụ có chiều cao bằng 8 cm ngoại tiếp lăng trụ đã cho có thể tích bằng bao nhiêu? A. 2 386π cm B. 3 314π cm C. 3 507π cm D. 3 338π cm
Câu 67: Cho hình trụ (T) có thể tích khối trụ sinh bởi (T) là V1 . Gọi V2 là thể tích khối lăng trụ tứ giác đều
nội tiếp trong (T). Tính tỉ số V2 . V1 A. V 6 V 2 V 2 V 2 2 = . B. 2 = . C. 2 = . D. 2 = . V π V π V 3π V 3π 1 1 1 1
Câu 68: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh đáy bằng a. Gọi S là diện tích xung quanh của hình
trụ có hai đường tròn đáy ngoại tiếp hai hình vuông ABCD và A'B'C'D'. Tính S. 2 A. 2 π S = π a B. 2 S = π a 2 C. a 2 S = D. 2 S = π a 3 2
Câu 69: Tính thể tích V của khối trụ ngoại tiếp hình lập phương có cạnh bằng a. 3 3 3 A. π a π π V = B. 3 V = π a C. a V = D. a V = 4 6 2
Câu 70: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có thể tích 3
V = 8a .. Hình trụ (T) có hai đáy là đường tròn
ngoại tiếp hai hình vuông ABCD và A'B'C'D'. Hãy tính thể tích của khối trụ (T). A. 2 2 2π a B. 3 16a C. 3 16π a D. 3 4π a
Câu 71: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, cạnh AC = 2a 2 và AA′ = .
h Tính thể tích V của khối trụ ngoại tiếp khối lăng trụ đã cho. A. 2 V = 2π a h B. 2 V = π a h C. 4 2 V = π a h D. 2 2 V = π a h 2 3
Câu 72: Cho lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a. Tính diện tích toàn phần của hình trụ có hai
đáy ngoại tiếp hai đáy của lăng trụ trên. 2 2π a ( 3 + )1 2 2 π a (2+ 3) 2 2π a (2+ 3) A. B. 2π a C. D. 3 3 3 3
Câu 73: : Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' nội tiếp một hình trụ cho trước, đường kính đường tròn
đáy của hình trụ bằng 5a . Góc giữa đường thằng B'D và mặt phẳng (ABB'A') bằng 300, khoảng cách từ trục
của hình trụ đến mặt phẳng (ABB'A') bằng 3a . Tính thể tích V của hình hộp đã cho. 2 A. 3
V = 4a 10 (đvtt) B. 3
V =12a 10 (đvtt) C. 3
V = 4a 11 (đvtt) D. 3
V =12a 11 (đvtt)
Câu 74: Cho lăng trụ lục giác đều ABCDEF.A'B'C'D'E'F' có cạnh đáy bằng a. Mặt phẳng (A'B'D) tạo với
đáy một góc 60°. Tính diện tích xung quanh S của hình trụ ngoại tiếp lăng trụ ABCDEF.A'B'C'D'E'F'. A. 2 S = 2π a B. 2 S = 6π a C. 2 S = 2π a 3 D. 3 S = 3π a
Câu 75: Bên trong hình lăng trụ tròn xoay có một hình vuông ABCD cạnh a nội tiếp mà hai đỉnh liên tiếp A,
B nằm trên đường tròn đáy thứ nhất của hình trụ, hai đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy thứ hai của hình
trụ. Mặt phẳng hình vuông tạo với đáy của hình trụ một góc 45°. Tính diện tích xung quanh của hình trụ đó. 2 2 A. a 3π B. 2 π a 3π C. a 3 D. 2 2a 3π 2 4
Câu 76: Cho hình trụ bán kính là a. Gọi AB, CD là hai đường kính của hai đáy sao cho AB ⊥ C . D Tính thể
tích khối trụ biết rằng tứ diện ABCD đều. 3 3 A. π a 2 π . B. 3 π a 3 . C. 3 π a 2 D. a 3 . 3 3
Câu 77: Một hình trụ có bán kính đáy bằng R =5, chiều cao h = 2 3. Lấy hai điểm A, B lần lượt nằm trên
hai đường tròn đáy sao cho góc giữa AB và trục của hình trụ bằng 60°. Khoảng cách giữa AB và trục của hình trụ bằng A. 3. B. 4. C. 3 3 . D. 5 3 . 2 3
Câu 78: Cho hình trụ có bán kính đường tròn đáy bằng R, chiều cao bằng R 3. Gọi O, O' là tâm của hai
đường tròn đáy. Lấy các điểm A, B lần lượt thuộc đường tròn (O), (O') sao cho AB = R 6. Tính thể tích V
của khối tứ diện OAO’B theo R. 3 3 3 3 A. 3R V = . B. R V = . C. 3R V = . D. R V = . 2 12 4 4
Câu 79: Cho hình trụ có hai đường tròn đáy là (O;R) và (O';R), chiều cao h = 3 .
R Đoạn thẳng AB có hai
đầu mút nằm trên hai đường tròn đáy của hình trụ sao cho góc hợp bởi AB và trục của hình trụ là α = 30 .°
Thể tích khối tứ diện ABOO' là 3 3 3 3 A. 3R . B. 3R . C. R . D. R . 2 4 2 4
Câu 80: Cho khối trụ có đáy là các đường tròn (O;R) và (O';R), chiều cao h = R 2. Gọi A, B lần lượt là các
điểm nằm trên (O) và (O') sao cho OA vuông góc với O'B. Tính tỉ số thể tích của khối tứ diện OO'AB và thể tích khối trụ đã cho. A. 1 . B. 1 . C. 5 . D. 1 . 2π 3π 6π 6π
Câu 81: Một đội xây dựng cần hoàn thiện một hệ thống cột tròn của một cửa hàng kinh doanh gồm 17 chiếc.
Trước khi hoàn thiện mỗi chiếc cột là một khối bê tông cốt thép hình lăng trụ lục giác đều có cạnh 14 cm,
sau khi hoàn thiện (bằng cách trát thêm vữa tổng hợp vào xung quanh) mỗi cột là một khối trụ có đường
kính đáy bằng 30 cm. Biết chiều cao của mỗi cột trước và sau khi hoàn thiện là 390 cm. Tính lượng vữa hỗn
hợp cần dùng (đơn vị m3, làm tròn đến 1 chữ số thập phân sau dấu phẩy). A. 1,3 m3 B. 2,0 m3 C. 1,2 m3 D. 1,9 m3
Câu 82: Trong tất cả các hình trụ có diện tích toàn phần bằng S, tìm bán kính R và chiều cao h của khối trụ có thể tích lớn nhất. A. S 3 = , S R h = . B. S = , S R h = . 4π 4π 4π π C. S 3 = , S R h = . D. S = , = 2 S R h . 6π 2π 6π 6π
Câu 83: Cho hình trụ có diện tích toàn phần 6π. Xác định bán kính đáy r và chiều cao h của khối trụ để thể
tích của nó đạt giá trị lớn nhất?
A. r =1,h = 2.
B. r = 2,h =1.
C. r =1,h =1.
D. r = 2,h = 2.
Câu 84: Khi thiết kế vỏ lon sữa hình trụ, các nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu sao cho chi phí làm vỏ lon nhỏ
nhất. Muốn thể tích khổi trụ là V mà diện tích toàn phần của hình trụ nhỏ nhất thì bán kính R của đường tròn đáy khối trụ bằng A. V . B. V . C. V V 3 . D. 3 . π 2π π 2π
Câu 85: Cho hình trụ nội tiếp hình cầu S (O;R) Đặt x là khoảng cách từ tâm O của hình cầu đến đáy của
hình trụ. Xác định x để thể tích V của khối trụ là lớn nhất. A. R x = . B. R 3 x = .
C. x = 2R 3 .
D. x = R 3 . 3 2
Câu 86: Cho hình trụ có tính chất: Thiết diện qua trục của hình trụ là một hình chữ nhật có chu vi bằng 12
cm. Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối trụ. A. π ( 3 64 cm ). B. π ( 3 8 cm ). C. π ( 3 32 cm ). D. π ( 3 16 cm ).
LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: 2 V
V = π r h ⇒ h =
= 2 ⇒ S = π rh = π Chọn D. xq 2 12 . 2 π r Câu 2: 2
S = S − S = π R = π Chọn A. tp xq 2 18 . Câu 3: 2 S = π rh = πcm Chọn B. xq 2 3200 . Câu 4: 2
V = π r h . Chọn B. Câu 5: 2 2 3
V = π r h = π.R .R 3 = V = π R 3 . Chọn B. Câu 6: 2
S = π a + π ab = π a a + b Chọn A. tp 2 2 2 ( ). Câu 7: 2 2 2
S = π R + π R = π R Chọn D. tp 2 2 4 . Câu 8: 2 2 V
V = π R h ⇒ R =
= 9 ⇒ R = 3 ⇒ S = π Rh = π Chọn B. xq 2 60 . π h
Câu 9: S = π rh = π Chọn D. xq 2 96 . Câu 10: 2
V = π r l. Chọn D. Câu 11: 2 2
S = π R + π Rh = π R ⇒ h = R . Ta có 2 3
V = π R h = π R .Chọn D. tp 2 2 4 Câu 12: 2
S = π R + π Rl . Chọn D. tp 2 2 Câu 13: 2 2 2
S = π r + π rh = π r + π r = + π r Chọn B. tp ( ) 2 2 2 2 2 3 2 1 3 . Câu 14: Ta có 2 3
h = 3r ⇒ V = π r h = 3π r =192π ⇒ r = 4 ⇒ h =12.Chọn A. 2 2 π  r h =16π r h =16 r = 4 Câu 15: Ta có  ⇔  ⇒  . Chọn C.
2π r.2h = 16π rh = 4 h = 1 S Câu 16: xq 16π 2
S = π rh ⇒ h = =
= ⇒ V = π r h = π Chọn A. xq 2 2 32 . 2π r 8π Câu 17: 2 3
V = π r h = 36π . cm Chọn D. 2 3 V
 = π R h = 2πa Câu 18: Ta có 1 
⇒ V < V . Chọn A. 1 2 2 3 V  = π 
R′ h′ = 4π a 2 h = 7 Câu 19: Ta có 2 3 
⇒ r = 5 ⇒ V = π r h =175π . cm Chọn A. S = π = π rhxq 70 2 Câu 20: 2 S = π rh = πcm Chọn C. xq 2 500 .
Câu 21: S = π rh = π rl = π Chọn A. xq 2 2 8 5 . Câu 22: 2
S = π rh = π cm Chọn A. xq 2 24 . Câu 23: 2 2 2
S = π rh = π BC AB = π AC − AB AB = π a xq 2 2 . . 2 . 4 . Chọn B. Câu 24: Ta có 2
S = π rh = π BC AB = π a xq 2 2 . . 2 . Chọn D. Câu 25: Ta có AD AD S π r r h π  AB = + = + = π tp 2 ( ) 2 .  4 . 2  2  Chọn C. 2 Câu 26: Ta có 2 π π. AB V r h  = = .AD =   4π .  2  Chọn B. Câu 27: Ta có 2 2 2 2
AD = AC − CD = 5 − 3 = 4 2 2
⇒ V = π r h = π.CD .AD = 36π. Chọn C.
Câu 28: ta có 2π.BC = 4π a ⇒ BC = 2a 2 2 3
⇒ V = π r h = π BC .AB = 8π a . Chọn C. Câu 29: 2 1 2 1 2 2 π . π . π. AD  = + = . AB V HM QH HM NH =   4π . 3 3 3  2  2 Chọn D. Câu 30: Ta có 2 2 3
V = π r h = π.AD .AB =16π a . Chọn B. Câu 31: Ta có 2 S = AB = ⇒ AB = ABC 4 2 D AB
⇒ S = π rh = π
AD = π Chọn B. xq 2 2 . . 4 . 2
Câu 32: Ta có AD = CD = 2r = 2a 2 2 3
⇒ V = π r h = π a . D
A = 2π a . Chọn D.
Câu 33: Do A, B cố định nên d (M AB) 2 ; SMAB = không đổi. AB
Do đó tập hợp tất cả các điểm M này là một mặt trụ. Chọn A.
Câu 34: Bánh xe lu là hình trụ có chiều cao h = 2,1m và bán kính đáy r = 0,6 m.
Diện tích xung quanh của bánh xe là: S = π rh = π xq 2 2,52 .
Do đó khi bánh xe quay được 12 vòng thì diện tích mặt đường được 1u bằng: 2 12.2,52π = 95 . m Chọn A
Câu 35: Diện tích đáy của hình trụ là 2
π r =16π ⇒ r = 4 (cm) .
Diện tích xung quanh của thùng phi bằng diện tích miếng nhựa hình chữ nhật. Ta có: 30 15
S = π rh = π ⇔ r h = ⇒ h = = cm Chọn C. xq 2 60 . 30 ( ). r 2
Câu 36: Bán kính đáy của khối trụ là AB r = = 2 . a 2
Chiều cao của khối trụ h = BC = 3 . a
Thể tích của khối trụ: 2 3
V = π r h =12π a . Chọn A.
Câu 37: Thiết diện qua trục là hình vuông ABCD thì
AB = 2R ⇒ AD = AB = 2R = . h
Diện tích xung quanh của khối trụ là: 2
S = π Rh = π R xq 2 4 . Chọn A.
Câu 38: Thiết diện qua trục là hình vuông ABCD cạnh a. h = a Ta có: AB AD a  = = ⇒  AB a r = =  2 2 3
Thể tích V của hình trụ đó là: 2 π a V = π r h = .Chọn B. 4
Câu 39: Thiết diện qua trục là hình vuông ABCD cạnh 2. h = 2 Ta có: AB AD 2  = = ⇒  AB r = =  1  2
Diện tích đáy của khối trụ là S = π 2 r = π. ñ
Giả sử diện tích thiết diện là S, do hình tròn (O) là hình chiếu vuông góc
của thiết diện trên mặt đáy nên ta có: SS.cos30 = S ⇒ ñ ≈ 3,6.Chọn C. ñ  cos30
Câu 40: Giả sử thiết diện qua trục là hình vuông ABCD như hình vẽ. Dựng O′H ⊥ BC ⇒ O′H ⊥ ( ABCD)
⇒ d (O ;′( ABCD)) = O′H = 3.
Lại có: AB = BC = 16 = 4 và H là trung điểm của BC nên BH = 2.Bán kính đáy hình trụ 2 2
r = O′B = O′H + HB = 13 . Thể tích khối trụ là 2 ( V r h Chọn B. T ) = π = π.13.4 = 52π.
Câu 41: Thiết diện qua trục là hình vuông nên h = 2r . Ta có: 2
S = 2π rh = 4π r = 4π ⇒ r =1⇒ h = xq 2. Theo giả thiết ta có:  0 AOB =120 2 2 0
⇒ AB = OA + OB − 2 . OAOB cos120 = 3.
Diện tích thiết diện ABB'A' là: S = A .
B BB′ = 3.2 = 2 3. Chọn B.
Câu 42: Giả sử thiết diện qua trục là hình chữ nhật ABCD như hình vẽ.
Dựng OH ⊥ BC ⇒ OH ⊥ ( ABCD) ⇒ d ( ;
O ( ABCD)) = OH = 3.
H là trung điểm của BC ta có: OB = r = 5 2 2
⇒ HB = OB − OH = 4 ⇒ BC = 2HB = 8. Mặt khác 2
AB = OO′ = 7 ⇒ S = A . B BC = Chọn B. ABC 56 cm . D Câu 43:
Giả sử thiết diện qua trục là hình vuông ABCD như hình vẽ. Dựng
OH ⊥ BC ⇒ OH ⊥ ( ABCD) ⇒ d (O ;′( ABCD)) = OH = 3 . a
Do H là trung điểm của BC nên AB = BC = OO′ = 8a ⇒ HB = 4 . a Khi đó 2 2
OB = r = OH + HB = 5 . a
Diện tích xung quanh của khối trụ: 2 S = 2π rh = a xq 80π . Thể tích hình trụ là: 2 3
V = π r h = 200π a . Chọn A. Câu 44: Gọi ′
A là hình chiếu của A trên mặt phẳng (O). Ta có: 2 2 2 AD = A ′ A + ′ A D = 16 + ′ A D . Lại có: 2 2 2 2 CD = ′ A C − ′ A D = 8 − ′ A D Do 2 2 2
AD = CD ⇒ 16 + ′ A D = 64 − ′ A D ⇒ 2 ′ A D = 48 Suy ra 2 2 ′
A D = 24 ⇒ AD = 40 = S Chọn B. ABC . D
Câu 45: Thiết diện tạo bởi mặt phẳng (P) và hình trụ là hình thang cân
ABCD có AB / /CD .
Gọi H là trung điểm của CD ⇒ O′H ⊥ CD
Mặt khác CD ⊥ OO′ ⇒ CD ⊥ (O′HO) do đó góc giữa mặt phẳng (P)
và mặt đáy là: ′ = 60 OHO Ta có:  2
OH.sin 60 = OO′ =1⇒ OH = 3 2 2 1
O′H = OH − OO′ = .Lại có: 2 2 6
HC = O′C − OH = . 3 3 2 6 2 + Suy ra 2 6 AB + CD 3 2 2 3 + 2 2 CD = 2HC = ⇒ S = .OH = . = Chọn A. ABC . D 3 2 2 3 3
Câu 46: Thiết diện cắt bời mặt phẳng (α) với hình trụ là hình chữ nhật
ABCD. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AD và BC.
Khi đó I = HK ∩OO′ là trung điểm của OO' và  0 OIK = 45 . Ta có: 2 2
OI = 3 ⇒ OI = OK = 3 ⇒ IK = OI + OK = 3 2
Do đó HK = 6 2 . Lại có: 2 2 2 2
KB = OB − OK = 5 − 3 = 4
⇒ BC = 2KB = 8 ⇒ S = A .
B BC = HK.BC = Chọn D. ABC 48 2. D
Câu 47: Ta có tổng diện tích đáy của hình trụ nhỏ không đổi và diện tích xung quanh của hình trụ nhỏ bằng
một nửa diện tích xung quanh của hình trụ lớn.
Diện tích xung quanh của hình trụ lớn là: 1 (S − S . 1 ) 2 Do đó 1 1 S = S + S − S =
S + S . Chọn B. 2 ( 1 ) ( 1 ) 2 2
Câu 48: Thiết diện qua trục hình trụ là hình chữ nhật có hai kích thước h, 2R
Theo bài ra, ta có h = 2R = 2a ⇒ Diện tích xung quanh hình trụ là 2 S = 2π Rh = a xq 4π . 2 Vậy S 4π a 2 F = = 2a . Chọn B. 2π 2π
Câu 49: Thiết diện qua trục hình trụ là hình chữ nhật có hai kích thước h, 2Rh = a 2 h =  2R h = a 2 Theo bài ra, ta có   ⇒  ⇔  2 2 a 2
AC = h + 4R = 2a 2R = a 2 R =  2
Vậy diện tích xung quanh hình trụ (T) là 2
S = 2π Rh = 2π a . Chọn B.
Câu 50: Thiết diện qua trục hình trụ là hình chữ nhật có hai kích thước h, 2Rh = a 3 Theo bài ra, ta có  2 π = 2 = ⇒ a h R aa  →V = π R h = . Chọn D. R = 4  2
Câu 51: Thiết diện qua trục hình trụ là hình chữ nhật có hai kích thước h, 2R Theo bài ra, ta có 2 2 h = 2R 
→ S = 2π Rh + 2π R = R Chọn B. tp 4π .
Câu 52: Thiết diện qua trục hình trụ là hình chữ nhật có hai kích thước h, 2Rh = 3a 2 Theo bài ra, ta có  2 27π = 2 = 3 ⇒ a h R a  3a  → S = Rh R tp 2π + 2π = . R = 2  2
Câu 53: Thiết diện qua trục hình trụ là hình chữ nhật có hai kích thước h, 2Rh = 2Rh = 2Rh = 2R R = 2 Theo bài ra, ta có  ⇔  ⇔  ⇔ 2 Sxq 8π  2π Rh 8π  = = R = 2 h = 2 2
Vậy thể tích khối trụ là V = π R h = π ( )2 2
. 2 .2 2 = 4 2π. Chọn B.
Câu 54: Thiết diện qua trục hình trụ là hình chữ nhật có hai kích thước h, 2RR =  aR = a Theo bài ra, ta có 2 2 3  V R h a a a Chọn A.  (h + R) ⇔   → = π = π. .4 = 4π . 2 2 =12ah = 4a
Câu 55: Thiết diện qua trục hình trụ là hình chữ nhật có hai kích thước h, 2R 2 S = Rh R xq 2π =  4π S Theo bài ra, ta có xq 2 h = 2R  → ⇒ = . Chọn A. 2 2 S = Rh R R S tp 2π + 2π = 6π tp 3 
Câu 56: Thiết diện qua trục hình trụ là hình chữ nhật có hai kích thước h, 2Rh = 2a Theo bài ra, ta có 2 2
h = 2R = 2a ⇒   → S = Rh R a Chọn B. tp 2π + 2π = 6π . R = a
Câu 57: Thiết diện qua trục hình trụ là hình chữ nhật có hai kích thước h, 2RR =  5 R = 5 Theo bài ra, ta có  h Chọn D.  (h + R) ⇔   → = 7. 2 2 = 34 h + 2R = 17
Câu 58: Kẻ đường sinh A ′ A ⇒ A ′ A ⊥ CD
Mà AD ⊥ CD ⇒ CD ⊥ ( ′ A AD) Do đó CD ⊥ ′ A D ⇒ ∆ ′
A CD vuông tại D ⇒ ′
A C là đường kính Đặt 2 2 2 CD = x ⇒ ′ A D = ′
A C − CD = 36 − x
Tam giác A'AD vuông tại 2 2 2 ′
A ⇒ AD = A ′ A + ′ A D = 40 − x
Suy ra diện tích hình chữ nhật ABCD là 2 S = A .
B CD = x 40 − x x + 40 − x 2 ( )2 2 2
Ta có x 40 − x ≤ = 20  → S ≤ ABC 20 D 2
Vậy diện tích lớn nhất cần tìm là 20. Chọn C.
Câu 59: Thiết diện qua trục là hình vuông ABCD (hình vẽ bên) h = BC = 2 3 Suy ra AB BC 2 3  = = ⇒  ABR = OA = = 3  2
Tam giác OBM cân tại O, có  = 60 OBM ⇒ ∆OBM đều ⇒ BM = OB =
⇒ AM = AB − BM = ( )2 −( )2 2 2 3 2 3 3 = 3
Kẻ MH ⊥ AB (H ∈ AB) mà AD ⊥ MH ⇒ MH ⊥ ( ABCD)
Tam giác ABM vuông tại AM.BM 3 M ⇒ MH = = AB 2 (2 3 1 )2
Diện tích tam giác ACD là S = AD CD = = ∆AC . . 6 D 2 2
Vậy thể tích tứ diện ACDM là 1 1 3 V = .MH.S = = Chọn A. AC ∆AC . .6 3. DM D 3 3 2
Câu 60: Gọi E, F lần lượt là trung điểm MN và PQ
Đặt MQ = .x Hai tam giác BMQ và BAF đồng dạng a −QF Suy ra MQ BQ x BF − QF 2 = ⇔ = = ⇔ = a QF − x AF BF a BF a 2 2 2 Do đó − 2 = 2 = − 2 = 2π  → = a x PQ QF a x R R 2π
Diện tích xung quanh hình trụ là a − 2 = 2π = x S Rh x xq 2π . 2π 2 2 2
a − 2x + 2x 2 Ta có ( − 2 ) ( ) .2 ≤ = a ⇒ = ( − 2 ) ≤ a a x x S a x x Vậy = a S Chọn C. max . xq . 4 4 8 8
Câu 61: Ta xét từng hình vẽ: • Hình H 3
1, có chiều cao h = 3 ; a chu vi đáy = 6 ⇒ = a C a R 1 1 1 π 2
Suy ra thể tích khối trụ H 2  3a  27 3
1 là V = π R h = π . .3a =   a . 1 1 1  π  π • Hình H 3
2, có chiều cao h = 6a; chu vi đáy = 3 ⇒ = a C a R 2 2 1 2π 2
Suy ra thể tích khối trụ H 2  3a  27 3
2 là V = π R h = π . .6a =   a . 2 2 2  2π  2π
• Hình H3, có chiều cao h = 3a; chu vi đáy C = 6a ⇒ Độ dài cạnh đáy x = 2a 3 3 (2a)2 3
Suy ra thể tích khối lăng trụ H 3
3 là V = h .S = 3 . a = 3 3a . 3 3 ñaùy 4
• Hình H4, có chiều cao h = 6a; chu vi đáy C = 3a ⇒ Độ dài cạnh đáy x = a 4 4 2 a
Suy ra thể tích khối lăng trụ 3 3 3 H 3
4 là V = h .S = 6 . a = a . 4 4 ñaùy 4 2
Vậy khối H1 có thể tích lớn nhất; khối H4 có thể tích nhỏ nhất. Chọn A.
Câu 62: Thể tích của chi tiết máy là 2 2
V = π.4 .6 −π.2 .5 = 76π
Thế tích của nước trong hộp là 1 2 V = .π.4 .12 = n 79π 2
Khi bỏ thêm chi tiết máy, thể tích mới là V = V +V = 76π + 96π = m n 172π
Vậy chiều cao cần tính là Vm 172 − 6 =
− 6 = 4,75 cm.Chọn C. 2 π.4 16
Câu 63: Gọi R, h lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của cốc nước
Thể tích thật của cốc nước là V = π (R − )2 (h − ) 480 0,2 . 1,5 = 480π ⇔ h = +1,5 (R −0,2)2    
Thể tích thủy tinh cần làm cốc là 2 2 480
V = π R h − 480π = π R . +1,5 − 480.    (R − 0, 2)2       Xét f (R) 2 480 = R .
+1,5 − 480 trên (0,4;+∞) ⇒ min f (R) = f (4,2) ≈ 75,66π. (R − 0,2)2    Chọn A.
Câu 64: Tam giác ABB' vuông tại B, có 2 2
BB′ = AB′ − AB = a 3
Bán kính đường tròn ngoại tiếp ΔABC là a 3 R = ∆ABC 3
Khối trụ ngoại tiếp lăng trụ có chiều cao h = BB′ = a 3; bán kính a 3 R = R = ∆ABC 3 2 3  a
Vậy thể tích khối trụ cần tính là 2 3 π a 3
V = π R h = π.  .a 3 = .  Chọn D. 3  3  
Câu 65: Vì mặt cầu nội tiếp hình trụ 4 3  → (R r V r s) = ⇒ (s) = π 3 Thể tích khối trụ là 2 2 2 2 (
V ) = πr h = πr .2r = 2πr  → (V ) = V T s (T ) 3 Diện tích mặt cầu là 2 S =
r Diện tích xung quanh hình trụ là 2 S = 2π Rh = r xq 4π . mc 4π ;
Diện tích toàn phần hình trụ là 2 2
S = 2π Rh + 2π R = r Chọn C. tp 6π .
Câu 66: Xét tam giác đáy ABC có AB = 5, 12 AC = , BC =13 Do đó 2 2 2
BC = AB + AC ⇒ ∆ABC vuông tại A BC 13 ⇒ R = = ∆ABC 2 2
Suy ra bán kính đáy của hình trụ là 13 R = R = ∆ABC 2 2
Vậy thể tích khối trụ là 2 13  3 V = π R h = π. .8 =   338π cm . Chọn D.  2 
Câu 67: Gọi h, x lần lượt là chiều cao và độ dài cạnh đáy của lăng trụ
Suy ra thể tích khối lăng trụ là 2 V = . h S = hx 2 ñaùy
Hình trụ (T) ngoại tiếp lăng trụ ⇒ Chiều cao hình trụ là h, bán kính đáy 2 = x R 2 2  x
Suy ra thể tích khối trụ ( π T) là 2 2 2
V = π R h = π . h   = .hx 1  2  2   V  π Vậy tỉ số  2 2 2 2 = hx : .hx =   . Chọn B. V  2  π 1
Câu 68: Chiều cao hình trụ là h = A ′ A = a
Bán kính đáy hình trụ là bán kính đường tròn ngoại tiếp 2 ⇒ = a ABCD R 2
Vậy diện tích xung quanh hình trụ cần tính là 2 S = Rh a Chọn B. xq 2π = π 2.
Câu 69: Chiều cao hình trụ ngoại tiếp hình lập phương là h = a
Bán kính đáy hình trụ là bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy hình lập phương 2 ⇒ = a R 2 2 3  a
Vậy thể tích cần tính là 2 2 π = π = π. a V R h   .a = .  Chọn D. 2  2  
Câu 70: Thể tích khối lập phương là 3 3 V = AA' = a 8 ⇒ AA' = 2a
Chiều cao hình trụ (T) là h = AA' = 2a
Bán kính đáy hình trụ là bán kính đường tròn ngoại tiếp ABCD ⇒ R = a 2
Vậy thể tích khối trụ cần tính là V = π R h = π (a )2 2 3 .
2 .2a = 4π a . Chọn D.
Câu 71: Bán kính đường tròn ngoại tiếp ΔABC là = AC R = a ∆ABC 2 2
Suy ra bán kính đáy khối trụ ngoại tiếp lăng trụ là R = R = a ∆ABC 2
Vậy thể tích của khối trụ là V = π R h = π (a )2 2 2 2 .h = 2π a . h Chọn A.
Câu 72: Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đều cạnh a là 3 = a R 3
Theo bài ra, ta được chiều cao khối trụ là h = a, bán kính đáy khối trụ là 3 = a R 3 2 2 2 aa  2π a 3 +1 2 3 3 ( ) Vậy S = Rh R Chọn A. tp 2π + 2π = 2π. + 2π   = . 3  3  3  
Câu 73: Đường kính đường tròn đáy hình trụ là 2R = BD = 5a
Gọi O, O' lần lượt là tâm của hình chữ nhật ABCD, A'B'C'D' Ta có ( ′ ( ′ ′)) 3 ; = = a d OO ABB A OM
(M là trung điểm AB) 2 2 2
⇒ BC = 2OM = 3a ⇒ AB = BD − AB = 4a
Lại có AD ⊥ ( ABB′ ′
A ) ⇒ B′D ( ABB′ ′ A )  =  0 ; DB′A = 30
Tam giác ADB' vuông tại 0 D ⇒ tan 30 = A A
⇒ AB′ = 3 3a AB′
Tam giác ABB' vuông tại 2 2
B ⇒ BB′ = AB′ − AB = a 11
Vậy thể tích khối hộp cần tính là 3 V = A ′ A × S = a (đvtt). Chọn D. ABCD 12 11
Câu 74: Bán kính đường tròn ngoại tiếp lục giác đều là R = a
Vì A'D' là đường kính  →  ′ ′ ′ = 90 A B D ⇒ ′
A B′ ⊥ B′D′ Mà DD′ ⊥ ′
A B′ nên ′ ′ ⊥ (
′ ′) ⇒ ( ′ ′ ) ( ′ ′ ′)  =  ; ′ ′ = 60 A B DD B A B D A B D DB D
Tam giác A'B'D' vuông tại 2 2
B′ ⇒ B′D′ = ′ A D′ − ′ A B′ = a 3
Tam giác DD'B' vuông tại D′ ⇒ DD′ = B′D′ 
.tan DB′D′ = 3a
Do đó, chiều cao hình trụ ngoại tiếp là h = 3a
Vậy diện tích xung quanh cần tính là 2
S = 2π Rh = 2π. .3 a a = a Chọn B. xq 6π .
Câu 75: Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD (hình vẽ bên)
Khi đó OM ⊥ AB,
O′N ⊥ C .
D Gọi I = MN ∩OO′
Đặt h = OO′ và R = .
OA Tam giác IMO vuông cân tại O, ta có 2 h 2 a a 2 OM = OI = IM ⇒ = . ⇒ h = 2 2 2 2 2 2 2 2  a   a  Lại có 2 2 2 2 2 3a a 6
R = OA = AM + MO = +     = ⇒ R = 2  4    8 4   2
Vậy diện tích xung quanh là
a 6 a 2 a 3π
S = 2π Rh = 2π. . = xq 4 2 2 Chọn A. Câu 76:DO ⊥ AB
Do tứ diện ABCD đều nên  . CO ⊥ AB Ta có: 2 2
BD = AB = 2a ⇒ DO = DB − OB = a 3 . Mặt khác 2 2
OO′ = OD − O′D = a 2 = . h Thể tích khối trụ là: 2 2 3
V = π R h = π a .a 2 = π a 2. Chọn C.
Câu 77: Gọi A' là hình chiếu của A trên ( ; O R) Khi đó A ′
A OO′ ⇒ (OO′ AB)
 = (AB A ′A)  =  0 / / ; ; BA ′ A = 30 . Khi đó ′ = ′ tan 60 A B AA = 6. Do A ′
A / /OO′ ⇒ d (OO ;′ AB) = d (OO ;′( A ′ A B)) = d ( ; O ( A ′ A B)) Dựng OH ⊥ ′
A B ⇒ OH ⊥ ( A ′
A B) ⇒ d (OO ;′ AB) = OH Mặt khác 1 2 2
OB = R = 5, HB = ′
A B = 3 ⇒ OH = R − HB = 4. 2 Chọn B. Câu 78:
Gọi A' là hình chiếu của A trên ( ; O R) Ta có: 2 2
AB = R 6, A ′ A = R 3 ⇒ ′
A B = AB − A ′ A = R 3 ∆ ′ OA B có ′
OA = OB = R ′ A B = R ⇒  0 , 3 ′ A OB =120 Khi đó S = ′  2 1 R 3 OA OB ′ A OB = ′ OA B . .sin . 2 4 Do A ′
A / /OO′ ⇒ d ( ;
A (O′OB)) = d ( ;
A (O′AB)) 2 3 Suy ra 1 1 R 3 = = = ′ = = R V V V OO S R A OO′B ′ A O′OB O′ ′ OA B . ′ OA B . 3. . . . . 3 3 4 4 Chọn D. Câu 79:
Gọi A' là hình chiếu của A trên ( ; O R) Khi đó A ′
A OO′ ⇒ (OO′ AB)
 = (AB A ′A)  =  0 / / ; ; BA ′ A = 30 . Ta có: 0 ′ A B = A ′
A tan 30 = R ⇒ ∆O ′
A B đều cạnh R. Do A ′
A / /OO′ ⇒ d ( ;
A (O′OB)) = d ( ;
A ′(O′AB)) 2 3 Suy ra 1 1 R 3 = = = ′ = = R V V V OO S R A OO′B ′ A O′OB O′ ′ OA B . ′ OA B . 3. . . . . 3 3 4 4 Chọn D. Câu 80: Áp dụng 1 V = AB CD AB CD d AB CD ABC . .sin ; . ; D ( )  ( ) 6 Do đó 1 V
= OAO′B d OA O′B
OA O′B = R R OO′AB . . . ( ; ).sin( ; )  1 2. 2 6 6
(Hoặc gọi A' là hình chiếu của A trên (O ;′ R) ta có V = V ) OO′AB O.O′ ′ A B Mặt khác 2 3 VOO′AB 1 ( V R h R . Suy ra = . Chọn D. T ) = π = π 2 ( V T) 6π 2
Câu 81: Với cột bê tông hình lăng trụ: Đáy của cột là hình lục giác đều có 14 . 3 S = 6. = 294 3 1 4
Với cột bê tông hình trụ: Đáy của cột là hình tròn bán kính R =15 có 2 S = π.15 = 225π 2
Vậy thể tích số lượng vữa cần dùng là V = ( π − ) 3 17.390. 225
294 3 ≈1,31m . Chọn A.
Câu 82: Diện tích toàn phần của hình trụ là: 2 = 2π + 2π ⇒ = S S R Rh h − . R 2π R
Thể tích của khối trụ là: 2 2  S   S 3
V π R h π R . R π  = = − = R −  R 2π   R 2π      f (R) S 3 =
R − R ta có: ′( ) S 2 = − 3 = 0 ⇒ = S f R R R . 2π 2π 6π Lập BBT suy ra S S 3 ⇔ = ⇒ h = − =
S − S = S V R R Chọn D. ma 2 . x 6π 2π R 6π 6π 6π Câu 83: Ta có 2 2 2
S = 2π r + 2π rh = 6π ⇔ r + rh = 3 ⇔ rh = 3− r tp
Có V = π r h = π r ( − r ) = π r ( − r )2 2 2 2 2 π 2 = r ( 2 − r )( 2 3 3 2 3 3− r ) ( ) 2 3 2 2 2 π
 2r + 3− r + 3− r  ≤   = 2π 2  3  Dấu bằng xảy ra khi 2 2
2r = 3− r ⇔ r =1⇒ h = 2. Chọn A.
Câu 84: Thể tích của lon sữa là: 2 V = π R h
Diện tích để làm vỏ lon là: 2 2 V 2 V V 3 2
S = S = π R + 2π Rh = π R + 2. = π R + + ≥ V tp 3 π R R R Dấu bằng xảy ra 2
⇔ π R = V ⇒ R = V 3 . Chọn C. R π
Câu 85: Bán kính đáy của hình trụ là: 2 2
r = AH = R − x . Thể tích trụ là 2 2
V = π r h = π r x = π R x x T ( 2 2 . .2 2 . − ) ( ) .
Xét hàm số f (x) 2 3
= R x − x (x∈(0;R)) ⇒ ′( ) 2 2 = − 3 = 0 ⇒ = R F x R x x . Chọn A. 3
Câu 86: Chu vi thiết diện qua trục của hình trụ là: C = 2(2R + h) =12 ⇒ 2R + h = 6 3 Thể tích hình trụ là: 2 2
V π R h π R ( ) π R R ( )
R + R + 6 − 2R . 6 2R . . . 6 2R π.  = = − = − ≤ =   8π.  3  3 Chú ý bất đẳng thức:
a + b + c abc ≤
(∀a,b,c >   0). Chọn B.  3 
Document Outline

  • ITMTTL~1
  • IIBITP~1
  • IIILIG~1