Chuyên đề trắc nghiệm phương trình logarit

Tài liệu gồm 41 trang, trình bày lý thuyết trọng tâm, các dạng toán trọng tâm kèm phương pháp giải và bài tập trắc nghiệm tự luyện chuyên đề phương trình logarit, có đáp án và lời giải chi tiết; hỗ trợ học sinh lớp 12 trong quá trình học tập chương trình Toán 12 

36 18 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit (KNTT)

Môn: Toán 11

Thông tin:

41 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Kim Oanh
CHỦ ĐỀ 5: PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
DẠNG 1. PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN
Khái niệm:
Là phương trình có dạng
(
)
( )
log log , (1)
=
aa
f x gx
trong đó
(
)
fx
và
( )
gx
là các hàm số chứa ẩn
x
cần giải.
Cách giải:
- Đặt điều kiện cho phương trình có nghĩa
0; 1
() 0
() 0
>≠
>
>
aa
fx
gx
- Biến đổi (1) về các dạng sau:
(1) ⇔
() ()
1
f x gx
a
=
=
Chú ý:
- Với dạng phương trình
(
)
log ( ) a
b
a
f x b fx
=⇔=
- Đẩy lũy thừa bậc chẵn:
, nếu
x
> 0 thì
n log
n
aa
x log x
=
- Với phương trình sau khi biến đổi được về dạng
( ) ( )
( )
( ) ( )
2
0gx
f x gx
f x gx
≥
= ⇔
=


- Các công thức Logarit thường sử dụng:
(
)
log
log ;
log log log ; log log log
1
log log ; log
log
= =

=+=−


= =
a
n
x
x
a
a aa a aa
m
aa
a
b
ax a x
x
xy x y x y
y
m
x xb
na
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:
a)
( )
2
2
log 2 3.xx++ =
b)
( ) ( )
33
log 2 1 log 3 2.xx++ − =
Lời giải:
a) Ta có:
22
2
28 60
3
x
PT xx xx
x
=
⇔ ++=⇔ +−=⇔
= −
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {2; -3}.
b) Điều kiện:
3x >
. Khi đó
( )(
)
2
33
PT log 2 1 3 log 9 2 5 3 9⇔ + − = ⇔ − −=


x x xx
2
4
2 5 12 0
3
2
x
xx
x
=
⇔ −−=⇔
−
=
.
Kết hợp điều kiện ta được nghiệm của phương trình đã cho là
x
= 4.
Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:
a)
( )
22
log 4 3 2log .xx+=−
b)
( ) ( )
8
2
3log 2 log 3 2 7 0.xx− − + +=
Lời giải:
a) Điều kiện:
0x >
. Khi đó
( )
( )
2 2 32
22 2
PT log 4 log 3 log 4 3 4 8

⇔ ++ =⇔ + =⇔+ =

x x xx x x
( )
( )
2
2
2 240 15
15
x
x xx x
x
= −
⇔ + + − = ⇔ =−+
=−−
.
Kết hợp ĐK
0x >
. Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là
15x =−+
b) Điều kiện:
2
x
>
. Khi đó
( ) ( )
31
2
2
2
PT 3log 2 log 3 2 7 0⇔ − − + +=
xx
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
2
7
2 2 22 2
2
2
2
2
log 2 2 log 3 2 7 0 log 2 log 3 2 log 2 0
10
128 2
log 0 128 2 3 2 9 116 260 0 / .
26
32
9
⇔ −− ++=⇔ −− + + =
=
−
⇔ =⇔ −= + ⇔ − + =⇔
=
+
x x xx
x
x
x x x x tm
x
x
Vậy nghiệm của phương trình là
26
10; .
9
= =
xx
Ví dụ 3: Giải các phương trình sau:
a)
( )
2
log 1 1xx
−=


b)
( )
22
log log 1 1xx+ −=
c)
( )
21
8
log 2 6log 3 5 2xx
− − −=
d)
( ) ( )
22
log 3 log 1 3xx−+ −=
Lời giải:
a) Điều kiện:
(
)
1 0 1; 0xx x x− >⇔> <
.
Ta có:
( )
2
1 2 2 0 1; 2PT x x x x x x⇔ − =⇔ −−=⇔ =− =
Vậy phương trình có nghiệm là
1; 2.xx
=−=
b) Điều kiện:
1x >
.
Ta có phương trình tương đương với
( )
2
2
log 1 2 2 0 1; 2xx x x x x− =⇔ −−=⇔ =− =


Vậy phương trình có nghiệm là
1; 2.xx=−=
c) Điều kiện:
2x >
.
Ta có:
( ) ( ) ( )( )
2
22
2
log 2 log 3 5 2 2 3 5 4 3 11 6 0 3;
3
PT x x x x x x x x⇔ −+ −=⇔− −=⇔ − +=⇔= =
Đối chiếu với đk ta được nghiệm của phương trình là
3.x =
d) Điều kiện:
3x >
.
Ta có:
( )( )
2
3 1 8 4 5 0 1; 5PT x x x x x x⇔ − − =⇔ − −=⇔ =− =
Đối chiếu với đk ta được nghiệm của phương trình là
5.x
=
Ví dụ 4: Giải các phương trình sau:
a)
( ) ( )
lg 2 lg 3 1 lg 5xx−+ −=−
b)
( ) ( )
88
2
2log 2 log 3
3
xx−− −=
c)
lg 5 4 lg 1 2 lg 0,18xx−+ +=+
d)
( )
( )
2
33
log 6 log 2 1xx
−= −+
Lời giải:
a) Điều kiện:
{
20
3
30
−>
⇔>
−>
x
x
x
.
Ta có:
( )(
)
2
lg 2 3 lg 2 5 4 0 1; 4.PT x x x x x x
⇔ − − = ⇔ − +=⇔= =
Đối chiếu với điều kiện pt có nghiệm là
4.x =
b) Điều kiện:
{
2
3.
3
x
x
x
>
⇔>
>
Ta có:
( )
2
2
8
2
2
log 8 16 0 4 ( ).
33
−
⇔ =⇔−+=⇔=
−
x
PT x x x TM
x
Vậy PT có nghiệm là
4.x =
c) Điều kiện:
5
5
4
4
1
x
x
x
>
⇔>
>−
.
Ta có:
( )( )
( )( )
2
41
lg 5 4 1 lg18 5 4 1 18 5 328 0 8; .
5
⇔ − += ⇔ − += ⇔ +− =⇔= =−PT xx xx xx xx
Đối chiếu với điều kiện nên phương trình có nghiệm là
8.x =
d) Điều kiện:
2
60
6
20
x
x
x
−>
⇔>
−>
.
Ta có:
( )
( )
22
33
log 6 log 3 2 3 0 0; 3.⇔ − = − ⇔ − =⇔= =PT x x x x x x
Đối chiếu điều kiện PT có nghiệm
x
= 3.
Ví dụ 5: Giải các phương trình sau:
a)
( ) ( )
22
5
1
log 3 log 1
log 2
xx++ −=
b)
( )
44
log log 10 2xx+ −=
c)
( ) ( )
51
5
log 1 log 2 0
xx−− + =
d)
( ) ( )
22 2
log 1 log 3 log 10 1xx−+ + = −
Lời giải:
a) Điều kiện:
{
30
1
10
+>
⇔>
−>
x
x
x
.
Ta có:
( )( )
2
22
log 3 1 log 5 2 8 0 2; 4⇔ + − = ⇔ + −=⇔ = =−PT x x x x x x
Đối chiếu điều kiện nên pt có nghiệm là
2.=
x
b) Điều kiện:
{
0
0 10.
10 0
x
x
x
>
⇔<<
−>
Ta có:
( )
4
log 10 2 2; 8PT x x x x⇔ − =⇔= =
Đối chiếu điều kiện nên PT có nghiệm
8.x =
c) Điều kiện:
{
10
2
20
x
x
x
+>
⇔>
−>
.
Ta có:
( ) ( ) ( )( )
2
55 5
1 13
log 1 log 2 0 log 1 2 0 3 0
2
PT x x x x x x x
−±
⇔ −+ +=⇔ − +=⇔+−=⇔=
Đối chiếu với điều kiện nên PT có nghiệm là
1 13
.
2
x
−+
=
d) Điều kiện:
{
10
1
30
x
x
x
−>
⇔>
+>
.
Ta có:
( )
( )
2
22
log 1 3 log 5 2 8 0 2; 4PT x x x x x x⇔ − + = ⇔ + −=⇔ = =−
Đối chiếu với điều kiện nên PT có nghiệm
x
= 2.
Ví dụ 6: Giải các phương trình sau:
a)
( )
(
)
93
log 8 log 26 2 0xx+ − + +=
b)
31
3
3
log log log 6x xx+ +=
c)
( ) ( )
( )
22
1 lg 2 1 lg 1 2lg 1xx x x+ − +− += −
d)
418
16
log log log 5x xx+ +=
Lời giải:
a) Điều kiện:
{
80
8
26 0
x
x
x
+>
⇔ >−
+>
.
Ta có:
( )
( )
2
9
2
81 8
log 0 29 28 0 1; 28
26
+
⇔ =⇔ − + =⇔= =
+
x
PT x x x x
x
Đối chiếu với điều kiện nên PT có nghiệm là
1; 28.
xx= =
b) Điều kiện:
0x >
Ta có:
3 33 3
log 2log log 6 log 3 27PT x x x x x⇔ + − =⇔ =⇔=
Vậy PT có nghiệm
27.x =
c) Điều kiện:
10 1xx−<⇔<
.
Ta có:
( )
( )
( )
( )
22
2 22
1 lg 1 lg 1 lg 1 lg 1 1 9 3⇔− − − += − ⇔ +=⇔ =⇔=±PT x x x x x x
Đối chiếu với điều kiện nên PT có nghiệm
3= −x
.
d) Điều kiện:
0x >
.
Ta có:
60
17
222 2
1 1 1 60
log log log 5 log 2 ( )
2 4 3 17
⇔ − + =⇔ = ⇔=PT x x x x x TM
Vậy PT có nghiệm là
60
17
2.x =
Ví dụ 7: Giải các phương trình sau:
a)
( ) ( )
( )
22
2 lg 4 4 1 lg 19 2lg 1 2xx x x+ − +− + = −
b)
248
log log log 11xxx++=
c)
(
) (
) ( )
11 1
22
2
log 1 log 1 1 log 7xx x−+ +=+ −
d)
( )
1
1
6
log 5 25 2
xx+
−=−
Lời giải:
a) Điều kiện:
1
12 0
2
xx− >⇔<
.
Ta có:
( )
( ) ( )
2
2
lg 4 4 1 lg 2 1 2lg 1 2xx x x− += − = −
(
)
22
PT 2 lg 19 0 19 100 9xx x
⇔− + =⇔ + = ⇔=±
Đối chiếu với điều kiện nên PT có nghiệm là
9.x
= −
b) Điều kiện:
0x >
Ta có:
(
)
222 2
11
log log log 11 log 6 64
23
⇔++=⇔=⇔=PT x x x x x TM
Vậy PT có nghiệm
64.x =
c) Điều kiện:
10
10 1 7
70
x
xx
x
−>
+> ⇔< <
−>
.
Ta có:
( )(
) (
)
2
11
22
1 1 73
log 1 1 log . 7 2 9 0
24
PT x x x x x x
−±
⇔ − + = − ⇔ +−=⇔=
Kiểm tra điều kiện chỉ có nghiệm
1 73
4
x
−+
=
thỏa mãn.
d) Điều kiện:
( )
1
5 25 0 5 5 5 0 0 5 5 1
x x xx x
x
+
− >⇔ − >⇔< <⇔<
.
Ta có:
( )
2
2
1
2
1
5
2
5
1
log 2
52
5 25 6 6 5 5.5 6 0
log 3
53
6
x
xx x x
x
x
PT
x
−
−
−
+

=
=
⇔ − = = =⇔ − +=⇔ ⇔

=
=

Vậy PT có nghiệm là
55
log 2 log 3.vµ= =xx
Ví dụ 8: Giải các phương trình sau:
a)
( )
2
log 2 7 12 2
x
xx−+ =
b)
( )
2
log 2 3 4 2
x
xx−−=
c)
(
)
2
2
log 5 6 2
x
xx
−+=
d)
( )
2
log 2 1
x
x −=
Lời giải:
a) Điều kiện:
2
2 7 12 0
0
0
xx
x
x
−+>
⇔>
>
.
Ta có:
( )
2 22
3
2 7 12 7 12 0
4( )
=
⇔ −+=⇔−+=⇔
= −
x TM
PT xx x xx
xL
Vậy PT có nghiệm
3.x =
b) Điều kiện:
2
3 41
4
3 41
2 3 40
3 41
0
4
4
0
x
xx
x
x
x
x
+
>
+
− −>
⇔ ⇔>

−
>
<
>
Ta có:
( )
2 22
1
2 34 340
4 (TM)
= −
⇔ − −= ⇔ − −=⇔
=
xL
PT xx x xx
x
Vậy PT có nghiệm
4.x =
c) Điều kiện:
2
3
3
5 60
2
02
0
0
x
x
xx
x
x
x
x
>
>
− +>
⇔⇔
<

<<
>
>
.
Ta có:
( )
( )
2 22
5 97
6
5 64 3 5 60
5 97
6
−+
=
⇔ − + = ⇔ + − = ⇔
−−
=
x TM
PT x x x x x
xL
Vậy PT có nghiệm
5 97
6
x
−+
=
.
d) Điều kiện:
2
2
20
2
2
0
0
x
x
x
x
x
x
>
−>
⇔ ⇔>

<−
>
>
.
Ta có
( )
22
1
2 20
2( )
= −
⇔ −=⇔ −−=⇔
=
xL
PT x x x x
x TM
Vậy PT có nghiệm là
2.x =
Ví dụ 9: Giải các phương trình sau:
a)
( )
2
35
log 9 8 2 2
x
xx
+
++=
b)
( )
2
24
log 1 1
x
x
+
+=
c)
15
log 2
12
x
x
= −
−
d)
( )
2
log 3 2 1
x
x−=
e)
( )
2
3
log 3 1
xx
x
+
+=
f)
(
)
2
log 2 5 4 2
x
xx
−+=
Lời giải:
a) Điều kiện:
2
5
9 8 20
3
3 50
4
3 51
3
xx
x
x
x
x
+ +>
>−
+> ⇔


+≠
≠−
.
Ta có:
( )
( )
2
2
23
9 8235
22
⇔ + += + ⇔=−
PT x x x x TM
Vậy PT có nghiệm là
23
.
22
x
= −
b) Điều kiện:
2
10
2
2 40
3
2 41
2
x
x
x
x
x
+>
>−

+>⇔

≠−

+≠
Ta có:
( )
22
1
12 4 2 30
3
= −
⇔+=+⇔−−=⇔
=
x
PT x x x x TM
x
Vậy PT có nghiệm
1; 3.=−=xx
c) Điều kiện:
0
15 1
00
12 2
1
>
>⇔<<
−
≠
x
x
x
x
.
Ta có:
(
)
( )
22
1
15
5
15 2 1 0
1
12
3
−
=
⇔ = ⇔ + −= ⇔
−
= −
x TM
PT x x x
x
xL
Vậy PT có nghiệm là
1
5
x =
.
d) Điều kiện:
2
2
00
32 0 1
3
1
2
xx
xx
x
x
>≠

− > ⇔ ≠±


≠
<
.
Ta có:
( )
2
1
2 30
3( )
=
⇔ + −=⇔
= −
xL
PT x x
x TM
Vậy PT có nghiệm là
3.x = −
e) Điều kiện:
2
2
30
3 13
30
2
0
31
xx
x
x
x
xx
+>
−+

≠
+> ⇔


>
+≠
.
Ta có:
2
1
2 30
3
x
PT x x
x
=
⇔ + −=⇔
= −
Kiểm tra điều kiện thì
1
x =
là nghiệm cần tìm.
f) Điều kiện:
{
2
0
0
2 5 40
1
1
x
x
xx
x
x
>
>
− +>⇔
≠
≠
.
Ta có:
( )
2
1
5 40
4
=
⇔ − +>⇔
=
x
PT x x TM
x
Vậy PT có nghiệm là
1; 4.= =xx
Ví dụ 10: Giải các phương trình sau:
a)
( )
2
2
93
3
11
log 5 6 log log 3
22
x
xx x
−
−+ = + −
b)
( ) ( )
8
42
2
11
log 3 log 1 log 4
24
x xx++ − =
Lời giải:
a) Điều kiện:
1; 3xx
>≠
. Khi đó
2
3 33
1
log 5 6 log log 3
2
x
PT x x x
−
⇔ − += + −
( )
( )( )
( )
( )
2
13 13
56 2 3 2 2 11
22
−− −−
⇔ − += ⇔ − − = ⇔ −=−
xx xx
xx x x x x
TH1:
2x ≥
ta có:
( )
1 24 1 3xx x⇔ − = −⇔ =
(loại).
TH2:
12x
<<
ta có:
( ) ( )
5
1 24 1 .
3
⇔− + = − ⇔ =x x x tm
Vậy
5
3
x =
là nghiệm của PT đã cho.
b) Điều kiện:
0; 1xx>≠
. Ta có:
( )
2 22
log 3 log 1 log 4PT x x x⇔ + + −=
( )
( )
22
log 3 1 log 4 3 1 4 .xx xxx x⇔+−= ⇔+−=

TH1: Với
1x >
ta có:
( )( )
2
1( )
3 1 4 2 30 .
3
= −
+ − = ⇔ − −=⇔
=
x lo i
x x xx x
x
¹
TH2: Với
01x
<<
ta có:
( )( )
2
3 23
31 4 6 3 0 .
3 23( )
=−+
+ − = ⇔ + −=⇔
=−−
x
x x xx x
x lo i¹
Vậy
3; 3 2 3xx= =−+
là nghiệm của PT đã cho.
Ví dụ 11: Giải các phương trình sau:
a)
( )
4
1
lg 3 2 2 lg16 lg 4
42
xx
x
−
−=+ −
b)
( )
2
11
lg 5 lg5 lg
25
xx x
x
+− = +
c)
(
) (
)
( )
( )
2 2 42 42
22 2 2
log 1 log 1 log 1 log 1
xx xx xx xx
+++ −+= + ++ − +
Lời giải:
a) Điều kiện:
4
32 0
xx−
−>
. Khi đó:
( )
4
2
lg 3 2 lg100 lg 2 lg 4
x
xx
PT
−
⇔ − = +−
( )
44
2
200 216
3 2 3 2 200.2 3 16.2 200.2 3 6 216 3 .
2
4
− − − −−
⇔− = ⇔− = ⇔= + ⇔= ⇔= ⇔=
x x x x xx x xx x
x
x
x tm
Vậy
3x =
là nghiệm duy nhất của PT đã cho.
b) Điều kiện:
2
0
1 21
.
50
2
x
x
xx
>
−+
⇔>
+−>
Khi đó:
( )
2 22
2
lg 5 lg1 5 1 6 0
3
=
⇔ +−= ⇔ +−=⇔ +−=⇔
= −
x
PT xx xx xx
x lo i¹
Vậy là nghiệm của PT đã cho là
2.x =
c) Ta có:
( )( ) ( )( )
2 2 42 42
11 1 1PT xx xx xx xx⇔++−+=++−+
( ) (
) ( ) ( )
( ) ( )
22
2 2 42422244
42 84 8 2
11 1 1 1 1
0
11
1
 
⇔ ++ +− = ++ +− ⇔ + − = + −
 
=
⇔ + += + +⇔ = ⇔
= ±
xxxxxxxxx xx x
x
xx xx xx
x
Vậy
0; 1xx= = ±
là nghiệm của PT đã cho.
Ví dụ 12: Số nghiệm của phương trình
(
)
5 25
log 4 1 2 logxx+=−
là:
A. 1. B. 2. C. 3. D. 0.
Lời giải:
Điều kiện:
0x >
. Khi đó
( ) ( )
2
5 5 55
5
log 4 1 2log log 4 log 5 logPT x x x x⇔ +=− ⇔ += −
( )
2
55
1
log 4 log 5 4 5
5
x
xx x x
x
=
⇔ + = ⇔+=⇔


= −
Kết hợp điều kiện suy ra PT có nghiệm duy nhất
1x =
. Chọn A.
Ví dụ 13: Số nghiệm của phương trình
( )
( ) ( )
2
ln 2 3 ln 3 ln 1xx x x+ −+ += −
là:
A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Lời giải:
Điều kiện:
2
2 30
30 1
10
xx
xx
x
+ −>
+> ⇔ >
−>
. Khi đó
( )( ) (
) ( )
ln 1 3 ln 3 ln 1PT x x x x⇔ − + + += −


( )
( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
( )
2 22
2
ln 1 3 ln 1 1 3 1 1 3 1 0
1
10
4
31
2
xx x xx x x x
x
x
x
x
x

⇔ − + = −⇔− + =−⇔− + −=

=
−=
⇔ ⇔=−
+=
= −
Kết hợp điều kiện suy ra PT vô nghiệm. Chọn A.
Ví dụ 14:
Gọi n là số nghiệm của phương trình
( ) ( )
28
log 2 3log 3 5 2 0xx− + − −=
. Khi đó:
A.
1n
=
. B.
2n =
. C.
0n
=
. D.
3n
=
.
Lời giải:
Ta có:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
2 8 22
log 2 3log 3 5 2 0 log 2 log 3 5 2 2 3 5 4x x x x xx−+ −−=⇔ −+ −=⇔− −=
2
2
3 11 6 0 3;
3
x x xx⇔ − +=⇔= =
Đối chiếu điều kiện loại nghiệm
2
3
x
=
, suy ra PT có nghiệm duy nhất
31xn=⇒=
. Chọn A.
Ví dụ 15: Số nghiệm của phương trình
( ) ( )
22
log 2 4 log 2 12 3
xx
x+ −= + −
là:
A. 1. B. 2. C. 3. D. 0.
Lời giải:
( ) ( )
3
22 2
24 24
log 2 4 log 2 12 3 log 3 2
2 12 2 12
xx
xx x
xx
PT x x
−
++
⇔ + − + =−⇔ =−⇔ =
++
Đặt
( )
2
4
8
2 0 4 32 0
42
12 8
+
= −
= >⇒ = ⇔ + − =⇔
=⇒=
+
x
tt
t lo i
t tt
tx
t
¹
Vậy
2x
=
là nghiệm của PT đã cho. Chọn A.
Ví dụ 16: Số nghiệm của phương trình
( ) ( )
18
2
2
log 1 log 5 3log 3x xx−− − = −
là:
A. 1. B. 2. C. 3. D. 0.
Lời giải:
Điều kiện:
53x>>
. Khi đó
( )
( ) ( )
13
2
1
2
2
2
2
log 1 log 5 3log 3PT x x x⇔ − + −= −
( ) ( ) ( )
( )( )
( )
( )
22 2
2
log 1 log 5 log 3
5 17
/
2
15 3 5 2 0 .
5 17
2
⇔ −+ − = −
+
=
⇔ − − =−⇔ − +=⇔
−
=
x xx
x tm
x xx x x
x lo i¹
Vậy nghiệm của PT là
5 17
2
x
+
=
. Chọn A.
Ví dụ 17: Tổng bình phương tất cả các nghiệm của phương trình
( )
( )
2
3
3
1
log 2 3 log 1 1
2
− +− +=xx x
là:
A. T = 25. B. T = 26. C. T = 29. D. T = 30.
Lời giải:
Điều kiện:
2
2 30
1.
10
xx
x
x
− +>
⇔ >−
+>
Khi đó
( )
( )
2
2
3 3 33 3
23
log 2 3 log 1 log 3 log log 3
1
xx
PT x x x
x
−+
⇔ − +− += ⇔ =
+
( )
2
22
23
0
3 2 33 3 5 0 /
5
1
−+
=
⇔ =⇔ − += +⇔ − =⇔
=
+
xx
x
x x x x x tm
x
x
Do đó tổng bình phương các nghiệm của phương trình bằng 25. Chọn A.
Ví dụ 18: Gọi S là tập nghiệm của phương trình
( ) ( )
2
22
2log 2 2 log 3 2xx−+ − =
. Tổng các phần tử của tập
S bằng:
A.
8
. B.
62+
. C.
42+
. D.
82+
.
Lời giải:
Điều kiện:
( )
{
2
2 20
1
.
3
30
x
x
x
x
−>
>
⇔
≠
−>
Khi đó
( )
22
2log 2 2 2log 3 2PT x x⇔ − + −=
( )
( )
2 22
log 2 2 log 3 log 2 2 2 3 2⇔ − + −= ⇔ − −=x x xx
TH1: Với
( )( )
3
2
3.PT 22 322 840 2 2.
x
x x x xx x
>
> ⇔ − − = ⇔ − + = → = +
TH2: Với
( )( )
2
1 3. 2 2 3 2 2 8 8 0 2.
< < ⇔ − − = ⇔− + − = ⇔ =x PT x x x x x
Vậy
{ }
2;22 42ST= + ⇒=+
. Chọn C.
Chú ý:
( ) ( )
2
log 2 log .
n
aa
fx n fx=


Ví dụ 19: Gọi S là tập nghiệm của phương trình
( )
(
)
23
48
2
log 1 2 log 4 log 4x xx+ += −+ +
. Tổng các
phần tử của tập S bằng:
A.
4 2 6.−−
B.
4 2 6.+
C.
2.
D.
4 2 6.−
Lời giải:
Điều kiện:
4 4, 1xx> >− ≠
( ) ( ) ( )( )
2 22 2
log 1 log 4 log 4 log 4 4 1 4 4PT x x x x x x⇔ ++ = − + + ⇔ += − +
TH1: Với
41x> >−
ta có
22
2
4 4 16 4 12 0 2.
6
x
x x xx x
x
=
+= − ⇔ + − =⇔ ⇒=
= −
TH2: Với
14
x− > >−
ta có
22
2 26
4 4 16 4 20 0 x 2 2 6.
2 26
x
x x xx
x
= +
− −= − ⇔ − − =⇔ ⇒=−
= −
Vậy PT có 2 nghiệm
2, 2 26 4 26
xx T= =− ⇒=−
. Chọn D.
DẠNG 2. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
Phương trình dạng
( )
log 0
a
Q fx = →


Đặt
( )
log , .= ∈
a
t xt
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:
a)
( )
2
2 42
1
2 log 1 log log 0
4
xx+ +=
b)
( )
22
12
2
log 8 log 4 2.xx+=
Lời giải:
a) Điều kiện:
0x >
. Khi đó:
( )
2
2
2
2
2 log 1 log 2 0PT x x⇔ + −=
3
22
log log 2 0xx
⇔ + −=
. Đặt
3
2
t log 2 1 2
x tt t t x= ⇒= +− ⇔=⇒ =
b) Điều kiện:
0x >
. Khi đó:
( )
2
2
12
2
log 8 2 log 2

⇔ ++ =


PT x x
( )
( )
2
2
22
2 2 22
log 8 log 0 3 log log 0x x xx

⇔− +=⇔−− +=

( )
( )
2
22
log
22
3 2log log 0 3 2 0
tx
x x tt
=
⇔ + + = → + + =
2
2
9
2
4
1
1
log 1
9
4 13 9 0
2
9
log
4
4
2
t
x
x
tt
t
x
x
−
= −
= −
=
−
⇔ + +=⇔
=⇒⇔
−
=
=
Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:
a)
( )
32
22
log 2 2log 9.xx= −
b)
( )
2
3
log 9 log 27 7.
x
x +=
Lời giải:
a) Điều kiện:
0x >
. Ta có
( )
3
2
22
log 2 2 log 9PT x x⇔=−
( ) ( )
2
33
log
2 2 32 2
22
32 2
2
1 log 2log 9 1 2 9 3 3 1 2 9
1
3 10 0 2 log 2 2 .
4
tx
x x t t ttt t
tt t t x x
=
−
⇔ + = − → + = − ⇔ + + + = −
⇔ + + + = ⇔=−⇒ =−⇔ = =
b) Điều kiện:
10
x≠>
. Khi đó
2
3
2 log 3log 3 7
x
PT x
⇔+ + =
( )
3
2
3
3 33
2
3
3
log 1
3
3
2log 5 2log 5log 3 0 / .
3
log
log
3 27 3 3
2
=
=
⇔ + =⇔ − +=⇔ ⇔
=
= = =
x
x
x x x tm
x
x
x
Vậy phương trình có 2 nghiệm là
3; 3 3.xx= =
Ví dụ 3: Giải các phương trình sau:
a)
( )
( )
2
11
33
log 3 4 log 2 2xx x+−= +
b)
(
)
1
lg lg 1
2
xx
= +
c)
21
2
81
log log
42
x
x
−
=
d)
( )
2
5
log 2 65 2
x
xx
−
−+ =
Lời giải:
a)
( )
(
)
2
2
11
22
33
1
4
1
3 40
log 3 4 log 2 2 2 2 0 1 2.
2
3
3 42 2 60
>
<−
>
+ −>

+ − = + ⇔ + > ⇔ >− ⇔ ⇒ =
=


= −
+ −= + +−=
x
x
x
xx
xx x x x x
x
x
x x x xx
Vậy phương trình có nghiệm
2.x =
b)
(
)
( )
( )
( )
2
2
0
0
0
1
lg lg 1 1 0
lg lg 1
1
2
2lg lg 1
>
>
>
= + ⇔ +> ⇔ ⇔

= +
= +
= +
x
x
x
xx x
xx
xx
xx
0
15
15
.
2
2
15
2
>
+
+
=
⇔ → =
−
=
x
x
x
x
Vậy phương trình đã cho có nghiệm
15
.
2
x
+
=
c)
21
2
81
log log , (3)
42
−
=
x
x
Điều kiện:
{
80
0 8.
0
x
x
x
−>
⇔<<
>
Khi đó
( ) ( )
1
2
22
8 1 8 81
3 log log 8 4
42 4 4
x xx
x x xx
x
− −−
⇔ =− ⇔=⇔=⇔−=
( )
2
2
8 16 4 0 4.⇔ − + = ⇔ − = → =xx x x
Nghiệm
4x =
thỏa mãn điều kiện, vậy phương trình có nghiệm
4.x =
d)
(
)
( )
2
5
log 2 65 2, 4
x
xx
−
−+ =
Điều kiện:
( )
{
22
50 5
5
51 4
4
2 65 0
1 64 0,
xx
x
xx
x
xx
x xR
−> <
<

−≠ ⇔ ≠ ⇔

≠

−+>
− + > ∀∈
.
Khi đó
(
) ( )
2
2
4 2 65 5 8 40 0 5⇔ − + = − ⇔ + = → = −
xx x x x
Nghiệm
5x = −
thỏa mãn điều kiện, vậy phương trình có nghiệm
5.x = −
Bình luận:
Trong các ví dụ 3 và 4 chúng ta cần phải tách riêng điều kiện ra giải trước rồi sau đó mới giải phương
trình. Ở ví dụ 1 và 2 do các phương trình tương đối đơn giản nên ta mới gộp điều kiện vào việc giải
phương trình ngay.
Ví dụ 4: Giải các phương trình sau:
a)
( ) ( )
lg 3 2lg 2 lg 0,4xx+− −=
b)
( ) ( )
55 5
11
log 5 log 3 log 2 1
22
xx x+ + −= +
c)
( )
21
2
1
log 4 15.2 27 2log 0
4.2 3
xx
x

+ +− =

−

Lời giải:
a)
(
) (
) (
)
lg 3 2lg 2 lg 0,4 1+− −=xx
Điều kiện:
{
{
30 3
2.
20 2
xx
x
xx
+ > >−
⇔ ⇔>
−> >
Khi đó,
( ) ( ) ( )
(
)
( )
( )
( )
2
22
33
2
1 lg 3 lg 2 lg 0, 4 lg lg 0,4 0,4
5
22
xx
xx
xx
++
⇔ +− − = ⇔ = ⇔ = =
−−
( ) ( )
2
2
7
2 2 5 3 0 2 13 7 0
1
2
=
⇔ − − + = ⇔ − − = →
= −
x
x x xx
x
Đối chiếu với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là
7.x =
b)
( )
( ) (
)
55 5
11
log 5 log 3 log 2 1 2
22
xx x+ + −= +
Điều kiện:
50 5
3 0 3 3.
2 10 1
2
xx
x xx
x
x
+ > >−

−> ⇔ > ⇔ >


+>
>−
Khi đó,
( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
555 5 5
111
2 log 5 log 3 log 2 1 log 5 3 log 2 1
222
x x x xx x⇔ ++ −= +⇔ + − = +


( )
( )
22
5 3 2 1 2 15 2 1 16 4.xx xxx xx x⇔ + − = +⇔ + − = +⇔ = →=±
Đối chiếu với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là
4.
x
=
c)
( )
( )
21
2
1
log 4 15.2 27 2log 0 3
4.2 3

+ +− =

−

xx
x
Điều kiện:
4 15.2 27 0,
4.2 3 0
xx
x
xR
+ + > ∀∈
−>
.
(
)
( )
( )
2
2 22
11
3 log 4 15.2 27 2log 0 log 4 15.2 27 0
4.2 3 4.2 3
xx xx
xx

 
⇔ +++ =⇔ ++ =

 
−−
 


(
)
2
2
2
2
23
1 2 15.2 27
4 15.2 27 1 1 15.2 39.2 18 0
2
20
4.2 3 16.2 24.2 9
5
=
++

⇔ + + = ⇔ = ⇔ − − = →

=−<
− −+

x
xx
xx xx
x
x xx
Giá trị
23
x
=
thỏa mãn điều kiện, từ đó ta được
2
2 3 log 3
x
x
=⇔=
là nghiệm của phương trình.
Ví dụ 5: Giải các phương trình sau:
a)
( ) ( )
2
2
22
log 1 5 log 1
xx−=+ −
b)
( )
(
)
2
21
4
log 2 8log 2 5
xx−− −=
c)
11
33
log 3. log 2 0
− +=xx
d)
( )
2
2
12
2
log 4 log 8
8
x
x +=
Lời giải:
a)
(
) (
)
(
)
2
2
22
log 1 5 log 1 1−=+ −
xx
Điều kiện:
1x
>
.
Đặt
( ) ( ) ( ) ( )
2
2
22
22
2 22 2
log 1 log 1 log 1 2log 1 4

= − → − = − = − =



tx x x x t
Khi đó
( )
(
)
( )
2
2
55
2
44
13
log 1 1
1
1
22
1 4 50
5
5
log 1
4
4
12 12

−=−
= −
−= =

⇔ − − = ⇔ → ⇔ ⇔

=
−=

−= =+

x
t
xx
tt
t
x
xx
Cả hai nghiệm đều thỏa mãn điều kiện, vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là
5
4
3
; 1 2.
2
xx= = +
b)
( ) ( ) ( )
2
21
4
log 2 8log 2 5 2xx−− −=
Điều kiện:
2.x <
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
22
2
2 2 22
2
log 2 1
8
2 log 2 log 2 5 log 2 4log 2 5 0
log 2 5
2
x
x x xx
x
−=
⇔ −− −=⇔ −+ −−=⇔
−=−
−
Với
( )
2
log 2 1 2 2 0.x xx− =⇔−=⇔=
Với
( )
2
1 63
log 2 5 2 .
32 32
x xx
− =−⇔ − = ⇔ =
Cả hai nghiệm đều thỏa mãn điều kiện, vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là
63
0; .
32
xx
= =
c)
(
)
11
33
log 3. log 2 0 3
− +=xx
Điều kiện:
1
3
0
0 1.
log 0
x
x
x
>
⇔<≤
≥
( )
2
1
1
3
3
11
1
33
1
3
3
1
log 1
log 1
3
3 log 3. log 2 0
log 4 1
log 2
81
=
=
=

⇔ − +=⇔ ⇔ ⇔


=
=

=
x
x
x
xx
x
x
x
Cả hai nghiệm đều thỏa mãn điều kiện, vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là
11
;.
3 81
xx= =
d)
( ) ( )
2
2
12
2
log 4 log 8 4
8
x
x +=
Điều kiện:
0x >
.
Ta có
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
22
2
2
1 1 2 22 2
22
2
2
2 22 2
log 4 log 4 log 4 log 4 log log 2
log log log 8 2log 3
8

= =− =−+ =+




= −= −
x x x xx
x
xx
( ) ( ) ( )
22
2
7
2 2 22
2
2
log 1
4 log 2 2log 3 8 log 6log 7 0
1
log 7
2
128
x
x
x x xx
x
x
−
=
=
⇔ + + −=⇔ + −=⇔ ⇔
= −
= =
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm
1
2; .
128
xx= =
Ví dụ 6: Giải các phương trình sau:
a)
22
33
log log 1 5 0xx+ +−=
b)
2
21
2
2
log 3log log 2x xx
+ +=
c)
5
1
log log 2
5
x
x
−=
d)
7
1
log log 2
7
x
x −=
Lời giải:
a) Điều kiện:
0.
x >
Đặt
ta thu được
{ }
2
2
2
23
22
0
0
2 log 1 2
3; 2
60
log 3 log 3 2
t
t
tx
t
tt
x xx
±
>
>
⇔ ⇔= ⇔ +=

∈−
+− =
⇔=⇔=±⇔=
b) Điều kiện:
0x >
Phương trình tương đương với
2
22
2 22 2 2
2
1
log 1
4log 3log log 2 4log 2log 2 0
1
2
log
2
2
x
x
x xx x x
x
x
= −
=
+ − =⇔ + −=⇔ ⇔
=
=
c) Điều kiện:
0 1.x<≠
Phương trình đã cho tương đương với
( )
2
5 5 55
5
1
log log 5 2 log 2 log 1 0 log 1 5.
log
x
x x x xx
x
+ =⇔ + =⇔ − =⇔ =⇔=
d) Điều kiện:
0x >
.
Phương trình tương đương với
( )
2
7 7 77
7
1
log log 7 2 log 2 log 1 0 log 1 7.
log
x
x x x xx
x
+ =⇔ + =⇔ − =⇔ =⇔=
Ví dụ 7: Giải các phương trình sau:
a)
( ) (
)
2
21
4
log 2 8log 2 5xx−− −=
b)
2
5 25
log 4log 5 5 0
xx+ −=
Lời giải:
a) Điều kiện:
2.x <
Phương trình tương đương với
( ) ( )
2
22
log 2 4log 2 5xx−+ −=
Đặt
( )
2
log 2 xt−=
thu được
2
22 0
1
45
1 63
5
2
32 32
xx
t
tt
t
xx
−= =

=

+=⇔ ⇔ ⇔
= −
−= =


b) Điều kiện:
0.>
x
Phương trình đã cho tương đương
( )
22
55 5 5
2
5
55
5
log 2 log 5 5 0 log 2 1 log 5 0
5
log 1
log 2 log 3 0
1
log 3
125
xx x x
x
x
xx
x
x
+ −=⇔ + + −=
=
=
⇔ + −=⇔ ⇔
−
=
Ví dụ 8: Giải các phương trình sau:
a)
22
12
2
log 8 log 4 2xx+=
b)
2
2
42
log 16 log 11
4
x
x +=
Lời giải:
a) Điều kiện:
0x >
ta có:
( ) ( )
22
22
2 2 22
log 8 2 log 2 3 log log 0PT x x x x⇔− + + = ⇔−− + =
( )
2
2
2
2 2 22
9
2
4
1
log 1
2
2log 3 log 0 4log 13log 9 0 .
9
log
4
2
x
x
x x xx
x
x
−
= −
=
+ + =⇔ + +=⇔ ⇔
−
=
=
Vậy nghiệm của PT là:
9
4
1
;x 2 .
2
x
−
= =
b) Điều kiện:
0x
>
ta có:
( ) ( )
22
2
4 2 42
log 16 log 2 11 2 log 2log 13PT x x x x⇔ + −= ⇔ + + =
2
2
2
18
2 2 22
2
4
11
log 2
log 2 2log 13 log 4log 9 0
log 18
2
24
x
x
x x xx
x
x
−
=
=

⇔ + + = ⇔ + −=⇔ ⇔

= −
=

Vậy nghiệm của PT là:
18
4; 2xx
−
= =
.
Ví dụ 9: Giải phương trình sau:
a)
2
8
20
2log 4 log
3
x
x+=
b)
( )
23 2
13
9
2log 3 log 3 3log
x
xx−=
Lời giải:
a) Điều kiện:
10x
≠>
. Khi đó:
2
2
2
2log
2 10 4 10
4log 2 log
3 3 log 3 3
x
x
PT x
x
⇔+=⇔+=
2
2
22
2
log 3
8
12 2log 10log .
log 2 4
x
x
xx
xx
=
=
⇔+ = ⇔ ⇔
= =
Vậy nghiệm của PT đã cho là
8; 4
xx= =
.
b) Điều kiện:
1 0.x
≠>
Khi đó:
( )
2
2
33
9 93
1
2 log 3 2log 3 2 log 2log 3 6log
2
xx
PT x x x

⇔− −=+ −=


2
2
3 3 33 3
33
22
3 33 3
13 2 4
2 log 6log 9log 6log 1 12log
2 2 log log
9log 6log log 4 0 log 1 3.
x x xx x
xx
x xx x x

⇔+ −= ⇔ + +−=


⇔ − + −=⇔ =⇔=
Vậy nghiệm của PT là:
3.
x =
Ví dụ 10: Giải các phương trình sau:
a)
32
log 10 log 10 6log 10 0
xx x
−− =
b)
5
2log log 125 1 0
x
x − −=
Lời giải:
a) Điều kiện:
10≠>x
. Đặt
( )
log 10 0= ≠
x
tt
ta có:
( )( )
( )
32
0
60 3 20 3
2
=
−−=⇔ − + =⇔ =
= −
t lo i
t t t tt t t
t
¹
3
3
2
10
10
log 10 3
1
1
log 10 2
10
10
=
=
=
⇒ ⇔⇔
= −
=
=
x
x
x
x
x
x
Vậy
3
1
10;
10
xx= =
là nghiệm của PT đã cho.
b) Điều kiện:
10
x≠>
. Ta có:
3
55
2log log 5 1 0 2log 3log 5 1 0
xx
PT x x
⇔ − −= ⇔ − −=
Đặt
( )
5
log 0= ≠t xt
ta có:
5
2
5
1
log 1
1
3
2 10 2 30 .
3
3
5
log
125
2
2
x
t
x
t tt
t
x
t
x
= −
= −
=
− −= ⇔ −− = ⇔ ⇔ ⇔
=
=
=
Vậy
1
; 125
5
xx= =
là nghiệm của PT đã cho.
Ví dụ 11: Giải các phương trình sau:
a)
( )
2
22
log 1 6log 1 2 0xx+ − ++ =
b)
33
3 log log 3 3xx−=
Lời giải:
a) Điều kiện:
1.
x >−
Khi đó:
( ) ( )
(
) ( )
1
22
2
22 22
log 1 6log 1 2 0 log 1 3log 1 2 0PT x x x x⇔ +− + +=⇔ +− ++=
2
2
log 1
12 1
log 2 1 4 3
x
xx
xx x
=
+= =

⇔ ⇔⇔

= += =

b) Ta có:
( )
3 33 3 3
3 log log 3 log 3 log 3 log 4 0.PT x x x x⇔ − + = ⇔− + − =
Đặt
( )
3
log 0= ≥t xt
, ta có:
( )
2
3 40 .t t vn−+ −=
Vậy PT đã cho vô nghiệm.
Ví dụ 12: Giải các phương trình sau:
a)
2
2
2
log 2log 32 10
4
+=
x
x
b)
2
log 5 log 5 2,25 log 5
xx x
x
+ −=
Lời giải:
a) Điều kiện:
1 0.
x≠>
Khi đó:
( )
2
2
2
2
2
1
log 10log 2 10 log 2 10log 2 10
44
xx
x
PT x

⇔ +=⇔ −+=


( ) ( )
2
2
1 41
2
22
2
22
2
2
2
log 1
10
log 1 1 log 0
1 41
log log 10 0
log
log 2
2
±
=
=
⇔ −+ − =⇔ ⇔
±
− −=
= ⇔=
x
x
xx
xx
x
xx
Kết hợp ĐK: Vậy nghiệm của PT là:
1 41
2
22;x x
±
=
=
.
b) Điều kiện:
1 0.x≠>
Khi đó:
(
)
2
1 91
log 5 log 5 1 log 5
2 42
xx x
PT

⇔ + +−


Đặt
( )
log 5 0= ≠
x
tt
ta có:
5
2
3 51
log 5 5
5
5
1 log 5 1
5
2 44
x
x
t
x
tt
t
x
=
=
=
−= ⇔ ⇔ ⇔
= =
=
.
Vậy
5
5; 5xx= =
là nghiệm của PT đã cho.
Ví dụ 13: Số nghiệm của phương trình
( )
2
33
log 4log 3 7 0− +=xx
là:
A. 1. B. 2. C. 3. D. 0.
Lời giải:
Điều kiện:
0x >
. Khi đó
( )
2
33
log 4 1 log 7 0PT x x⇔ − + +=
2
3
33
3
log 1
3
log 4log 3 0
log 3 27
x
x
xx
xx
=
=
⇔ − +=⇔ ⇔
= =
.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm. Chọn B.
Ví dụ 14: Tích các nghiệm của phương trình
( )
2
2
2
log 4 3log 7 0xx− −=
là:
A. -7. B. -3. C. 16. D. 8.
Lời giải:
Điều kiện:
0x >
. Khi đó
( )
2
22
log 4 6log 7 0PT x x⇔ − −=


( )
2
2
2
2 2 22
2
1
log 1
2 log 6log 7 0 log 2log 3 0
2
log 3
8
x
x
x x xx
x
x
= −
=
⇔ + − −=⇔ − −=⇔ ⇔
=
=
Suy ra
12
4
xx =
. Chọn D.
Ví dụ 15: Số nghiệm của phương trình
( )
2
2
log 4 log 2 10xx
+ +=
là:
A. 1. B. 2. C. 3. D. 0.
Lời giải:
Điều kiện:
{ {
22
1
00
log 2 0 log 2
4
xx
x
xx
>>
⇔ ⇔≥
+ ≥ ≥−
.
Khi đó
( ) ( )
2 2 22
2log 4 log 2 10 2 2 log log 2 10 0PT xx xx⇔ ++=⇔+++−=
Đặt
( )
2
2 log 0=+≥t xt
ta có
0
2
2
2
2 10 0 2 2 log 2
5
≥
=
+− = ⇔ →= ⇒ + =
= −
t
t
tt t x
t
2
log 2 4.⇔ =⇔=xx
Vậy phương trình đã cho có một nghiệm. Chọn A.
Ví dụ 16: Số nghiệm của phương trình
( ) ( )
24
log 5 1 log 2.5 2 1
xx
− −=
là:
A. 1. B. 2. C. 3. D. 0.
Lời giải:
Điều kiện:
5 10 0
x
x−> ⇔ >
.
Khi đó
( )
( ) ( ) ( )
22 2 2
1
log 5 1 . log 2. 5 1 1 log 5 1 1 log 5 1 2
2
x x xx
PT

⇔ − −=⇔ − + −=

Đặt
( )
2
log 5 1
x
t = −
ta có:
( )
1
12
2
t
tt
t
=
+=⇔
= −
+) Với
5
1 5 1 2 log 3
x
tx=⇒ −= ⇔ =
+) Với
5
15
2 5 1 log
44
x
tx
=−⇒ −= ⇔ =
Vậy PT có hai nghiệm là
55
5
log 3; log
4
xx
= =
. Chọn B.
Ví dụ 17: Gọi S là tập nghiệm của phương trình
( ) ( )
2
37 23
log 2 3 log 3 7 3
xx
xx
++
+ + +=
. Tổng các phần tử
của tập S bằng:
A.
1
.
4
−
B.
17
.
4
−
C.
17
.
4
D.
25
.
4
−
Lời giải:
Điều kiện:
{
7
2
03 71
3
.
02 31
3
1
2
x
x
x
x
−
< ≠−
< +≠
⇔
< +≠
−
< ≠−
Đặt
( )
37
log 2 3
x
tx
+
= +
phương trình trở thành:
1
1
23
1
2
t
t
t
t
=
+=⇔
=
Với
1
t =
ta có:
( )
37
log 2312337 4
x
x xx x
+
+ =⇔ += +⇔ =−
(loại).
Với
1
2
t =
ta có:
( )
37
2
3
11
log 23 23 37
2
24
4 9 20
x
x
x xx x
xx
+
−
≥
+ = ⇔ += +⇔ ⇔ =−
+ +=
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất
1
4
x = −
. Chọn A.
Ví dụ 18: Gọi S là tập nghiệm của phương trình
2
21
2
2
log 3log log 2
x xx+ +=
. Tổng bình phương các phần
tử của tập S bằng:
A.
5
.
2
B.
122
.
2
+
C.
9
.
4
D.
9
.
2
Lời giải:
Điều kiện:
0.
x >
Khi đó
( )
2
22
2
PT log 3log log 2x xx⇔ + −=
( )
2
2
2
2 2 22
2
log 1
2log 2log 2 4log 2log 2 0
1
log
2
= −
⇔ + =⇔ + −=⇔
=
x
x x xx
x
1
2
1
1 19
2
;2 2 .
2 44
22
=

⇔ ⇒ = ⇒ = +=


= =
x
ST
x
Chọn C.
Ví dụ 19: Số nghiệm của phương trình
3
3
22
4
log log
3
xx+=
là:
A. 1. B. 2. C. 3. D. 0.
Lời giải:
Điều kiện:
0x >
. Khi đó
3
22
14
log log
33
PT x x⇔+=
Đặt
(
)
33
3
22
14
log 0 1 log 1 1 2 / .
33
= ⇒ +− = ⇔=⇔ = =⇔ =
t x t t t x x tm
Chọn A.
Ví dụ 20: Số nghiệm của phương trình
22
22
log log 1 5 0xx+ +−=
là:
A. 1. B. 2. C. 3. D. 0.
Lời giải:
Điều kiện:
0x >
. Khi đó
22
22
log 1 log 1 6 0PT x x⇔ ++ +− =
Đặt
( )
2
2
log 1 0
= +≥t xt
ta có:
2
2
6 0 ( 2)
3
=
+− = ⇔ =
= −
t
t t lo i t
t
¹
Khi đó
3
22
2 22
3
2
log 1 4 log 3 log 3
2
x
x xx
x
−
=
+=⇔=⇔=±⇔
=
Do đó phương trình có hai nghiệm. Chọn B.
DẠNG 3. PHƯƠNG PHÁP MŨ HÓA
Phương trình
( )
( )
log log
ab
f x gx=


(với
0; 1aa>≠
)
Ta đặt
( ) ( )
( )
( )
log log
t
ab
t
fx a
f x gx t
gx b
=
= = ⇒ →


=
phương trình ẩn
t
.
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:
a)
( )
32
log 1 log .xx+=
b)
( )
57
log log 2 .xx
= +
Lời giải:
a) Điều kiện:
0x
>
. Đặt
(
)
32
13
log 1 log
2
t
t
x
x xt
x
+=
+= =⇔
=
Khi đó
(
)
21
2 13 1
33
tt
tt
ft

+= ⇔ = + =


.
Xét
(
)
( )
21
33
tt
ft t

=+∈


ta có
( ) ( )
'0< ∀∈ ⇒ft tR
hàm số
( )
ft
nghịch biến trên
Khi đó
( ) (
) ( )
1 1 1 2 2.
t
ft ft f t x=⇔ = ⇔=⇔ = =
b) Điều kiện:
0x >
. Đặt
( )
57
5
log log 2
27
t
t
x
x xt
x
=
= +=⇔
+=
Khi đó
(
)
51
5 27 2 1
77
 
+= ⇔ = + =
 
 
tt
tt
ft
.
Xét hàm
( )
ft
tương tự ta có:
1 5.tx=⇒=
Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:
a)
( )
73
log log 2 .xx= +
b)
( )
2
6
log log .xx x+=
Lời giải:
a) Điều kiện:
0x >
. Đặt
( )
73
7
log log 2
23
t
t
x
x xt
x
=
= +=⇔
+=
Khi đó
( )
71
7 23 2 1
33
t
t
tt
ft


+= ⇔ = + =





.
Hàm số
( )
ft
nghịch biến trên
( ) ( )
2 2 49.ft f t x⇒ = ⇔=⇒ =
b) Điều kiện:
0x >
. Đặt
(
)
2
6
2
log log
6
t
t
x
x x xt
xx
=
+= =⇔
+=
Khi đó
( )
22
22 6 1
6
6


+=⇔ = + =





t
t
tt t
ft
.
Hàm số
( )
ft
nghịch biến trên
( ) ( )
2 2 4.
ft f t x⇒ = ⇔= ⇒ =
Ví dụ 3: Giải các phương trình sau:
a)
( )
2
32
log 3 13 log .−− =xx x
b)
( )
3
25
2log log 3 11 .= ++x xx
Lời giải:
a) Điều kiện:
2
3 61
3 13 0
0
2
xx
x
x
+
−−>
⇔>
>
.
+) Đặt
(
)
2
2
23
3 13 3
t log log 3 13 4 3.2 13 3
2
t
tt t
t
xx
x xx
x
−−=
= = −− ⇒ ⇒− −=
=
(
)
1 13
4 3.2 13 3 3 13 1
2 44
t tt
tt t
gt
  
⇔= ++⇔ = + + =
  
  
+) Xét
(
)
1 13
3 13 1
2 44
t tt
gt
  
= + +=
  
  
có
(
)
11 1133
g' 3 ln 13 ln ln 0
22 4444
t tt
t
  
= + +<
  
  
Nên
( )
gt
nghịch biến trên
ta có:
( )
(
)
3 38
gt g t x= ⇔=⇔ =
Vậy nghiệm của PT là:
8.x =
b) Điều kiện:
0x >
. Đặt
( )
3
25
2log log 3 11u x xx= = ++
ta có:
( )
3
2
3 11 5
22
u
u
u
xx
x
++=
= =
( ) ( )
( )
8 3 2 11 5 1
uu
u
⇒ + +=
( ) ( ) (
)
821
1 3 11. 1, ' 0 .
55 5


⇔ = + + = < ∀∈





uu
u
fu f u u
Suy ra
( )
fu
nghịch biến trên
do đó
( ) ( )
2 22fu f u x= ⇔=⇒=
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:
2.
x =
Ví dụ 4: Giả sử
p
và
q
là các số dương sao cho
( )
16 20 25
log log logp q pq
= = +
. Tìm giá trị
p
q
A.
8
.
5
B.
( )
1
1 5.
2
−+
C.
4
.
5
D.
( )
1
1 5.
2
+
Lời giải:
Đặt
( )
16 20 25
16
4
log log log 20 .
5
25
t
t
t
t
p
p
t p q pq q
q
pq
=

= = = +⇒ = ⇒=


+=
Ta có
2
4 15
4 5 44
52
25 16 20 25 1 1 0
5 4 55
4 15
52
t
t t tt
t tt t
t
pq
−+

=

   

+ = ⇔ + = ⇔ += ⇔ + −= ⇔
   
−−
   

=


( )
4 15 1
1 5.
52 2
t
p
q
−+

⇒ = ⇔ = −+


Chọn B.
Ví dụ 5: Cho
( )
3 4 12 13
log log log loga b c abc
= = = ++
. Hỏi
log 144
abc
thuộc tập hợp nào sau đây?
A.
78 9
;; .
8 9 10



B.
123
;; .
234



C.
456
;; .
567



D.
{ }
1; 2; 3 .
Lời giải:
Đặt
(
)
(
)
3 4 12 13
3
144
4
log log log log .
3 4 12 13 *
12
13
=
=
=
= = = = ++ ⇒ ⇒

++ =
=
++=
t
t
t
tt t t
t
t
a
abc
b
t a b c abc
c
abc
( )
3 4 12
* 1 0.
13 13 13
ttt
PT

⇔ + + −=


Xét hàm số
( )
3 4 12
1
13 13 13
ttt
ft

=++−


(
)
3 3 4 4 12 12
' ln ln ln 0, .
13 12 13 13 13 13
ttt
ft t
 
⇒ = + + < ∀∈
 
 
Suy ra
(
)
ft
nghịch biến trên
( )
*⇒
có nghiệm thì là nghiệm duy nhất.
Dễ thấy PT (*) có nghiệm
2t =
, suy ra nghiệm PT (*) là
2
t =
.
Suy ra
2
144
1 123
log 144 log 144 log 144 ; ;
2 234
abc abc

= =⇒∈


. Chọn B.
DẠNG 4: PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ, ĐÁNH GIÁ
Kiến thức cần nhớ:
• Hàm số
( )
y fx=
đồng biến (hoặc nghịch biến trên
) thì phương trình
( ) ( )
00
.fx fx x x= ⇔=
• Hàm số
(
)
ft
đồng biến hoặc nghịch biến trên D (trong đó D là một khoảng, một đoạn, một nửa đoạn)
thì với
;uv D∈
ta có:
( ) ( )
.fu fv u v= ⇔=
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:
a)
2
2
2
21
ln .
1
x
xx
xx

+
= −

++

b)
2
2
2
2
3
log 3 2.
2 45
xx
xx
xx

++
=++

++

Lời giải:
a) Điều kiện:
2
2
21
0.
1
x
x
xx
+
>⇔∈
++
Khi đó
( ) ( )
(
) (
)
2 2 22
ln 2 1 ln 1 2 1 1PT x xx x xx
⇔ + − ++ = + − ++
(
) ( ) ( )
22 2 2
ln 2 1 2 1 ln 1 1x x xx xx⇔ + + += ++ + ++
Xét hàm số
( ) ( )
ln 0=+>ft t tt
ta có:
( )
( )
1
' 10
= + > ∀∈
ft t
t
suy ra hàm số
( )
ft
đồng biến trên
nên
( ) ( )
2 2 22 2
0
21 121 1 .
1
x
fx fxx x xx x x
x
=
+ = + + ⇔ += ++⇔ = ⇔
=
b) Đáp số:
2; 1.xx=−=−
Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:
a)
(
)
7
7 1 6log 6 1 .
x
x
−= +
b)
( )
3
3 5 4 4log 4 .
x
xx+=+ −
Lời giải:
a) Điều kiện:
1
6
x >−
. Đặt
( )
7
log 6 1yx= +
ta có:
6 17
y
x +=
và
7 16
x
y−=
Suy ra
761
77 6 6 76 76
7 61
x
xy x y
y
y
yx x y
x
= +
⇒−= −⇔+=+
= +
Xét hàm số
(
)
( )
76=+∈
t
ft tt
ta có:
( ) ( )
' 7 ln 7 6 0= + > ∀∈
t
ft t
nên hàm số
( )
ft
đồng biến trên
nên
( ) ( ) ( )
7
log 6 1fx fy x y x x= ⇔=⇒= +
( )
7 6 1 7 6 10
xx
x gx x⇔ = +⇔ = − −=
Ta có:
( )
6
' 7 ln 7 6 0 log
ln 7
x
gx x= −=⇔=
Suy ra BBT:
x
-∞
0
x
+∞
( )
'fx
- 0 +
( )
fx
+∞ +∞
( )
0
fx
Do vậy PT
( )
0gx=
có nhiều nhất hai nghiệm. Mặt khác
( ) ( )
0 10= =gg
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là
0; 1.
xx= =
b) Điều kiện:
40x−>
. Đặt
( )
3
log 4 3 4
y
yx x= −⇒=−
Khi đó
( )
3
34
3 4 4 4 log 4 3 4
34
= −
+ =−+ − = + ⇒ ⇒=
= −
y
xy
x
x
x x x y xy
y
Đáp số:
1.x =
Ví dụ 3: Giải các phương trình sau:
a)
2
2
3
2
3
log 7 21 14
2 45
xx
xx
xx
++
=++
++
b)
( )
2
2
2
21
2 6 2 log
1
x
xx
x
+
− +=
−
Lời giải:
a) Ta có:
(
)
2
22
3
2
3
log 7 2 4 5 3
2 45
xx
x x xx
xx
++
= + +− −−
++
.
( ) ( ) ( ) ( )
22 2 2
33
log 3 7 3 log 2 4 5 7 2 4 5⇔ ++ + ++ = + + + + +xx xx x x x x
Xét hàm số
( )
3
logft t t= +
trên khoảng
( )
0;
+∞
ta có:
( ) ( )
1
' 1 0 0;
ln 3
ft t
t
= + > ∀ ∈ +∞
Do đó
( )
( )
2 2 22 2
1
3 2 45 32 45 320
2
x
fxx fx x xx x x x x
x
= −
++ = + + ⇔ ++= + +⇔ + +=⇔
=
Đáp số:
1; 2.xx=−=−
b) Điều kiện:
{
1
1
2
2 10
1
x
x
x
x
≠
>−
⇔
+>
≠
.
Khi đó:
( ) ( )
2
2
22
2 6 2 log 2 1 log 1PT x x x x⇔ − += +− −
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
2
22
22
22
22
22
2 2 1 2 log 2 1 log 1
2 1 log 1 2 1 log 2 1 1
11
2 1 log 1 2 log
22
xx x x x
x xx x
x xx x
⇔ − +− = +− −
⇔ − + − = ++ + −
 
⇔ −+ −= ++ +
 
 
Xét hàm số
( ) ( )
( )
2
2 log 0;ft t tt= + ∈ +∞
ta có
( ) ( )
1
' 2 0 0;
ln 2
= + > ∀ ∈ +∞ft t
t
Do vậy
( ) (
)
(
)
22
1 1 37
1 1 /.
2 22
±


− = + ⇔ − =+⇔=



f x f x x x x tm
Ví dụ 4: Số nghiệm của phương trình
( ) ( )
23
log 3 2 log 1 4xx++ +=
là:
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Lời giải:
Điều kiện:
2
3
x
−
>
. Xét hàm số:
( ) ( ) ( )
23
log 3 2 log 1fx x x= ++ +
với
( )
3
,24
2
xf>− =
Ta có:
( )
(
) ( )
( )
31 2
'0
3 2 ln 2 1 ln 3 3
f x x fx
xx
−
= + > ∀> ⇒
++
đồng biến
2
3
x
−
∀>
Do vậy
( ) ( )
22fx f x= ⇔=
Vậy
2x =
là nghiệm duy nhất của PT đã cho. Chọn A.
Ví dụ 5: Số nghiệm của phương trình
(
)
2
2
2
21
log 3 8 5
1
x
xx
x
−
= −+
−
là:
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Lời giải:
Điều kiện:
1
1
2
x
<≠
. Khi đó
(
) ( )
2
2
33
log 2 1 log 1 3 8 5PT x x x x
⇔ −− − = − +
( )
(
) ( )
( )
(
)
( )
( )
( )
22
33
22
33
22
33
log 2 1 log 2 1 1 3 8 4
log 2 1 log 3 6 3 3 6 3 2 1
2 1 log 2 1 log 3 6 3 3 6 3
⇔ − = − + ++ − +
⇔ −= −++ −+− −
⇔−+ −= −++ −+
x xx xx
x xx xx x
x x xx xx
Xét hàm số
( )
(
)
3
log 0
ft t tt
=+>
đồng biến trên khoảng
( )
0; +∞
Do đó
( )
(
)
2 22
21 3 63 213 63 3 840
fx fxx x xx xx−= −+⇔−= −+⇔ −+=
2
2
3
=
⇔⇒
=
x
x
phương trình có hai nghiệm. Chọn B.
Ví dụ 6: Tập nghiệm của phương trình:
2
2
2
2
2
log 4 3
2 35
xx
xx
xx
++
=−+
−+
là:
A.
{ }
1; 3−−
. B.
{ }
1; 3−
. C.
{
}
1; 3−
. D.
{ }
1; 3
.
Lời giải:
Phương trình
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 22
22
log 2 log 2 3 5 2 3 5 2xx x x x x xx⇔ ++ − − + = − + − ++
(
) ( )
( )
( )
22 2 2
22
log 2 2 log 2 3 5 2 3 5
xx xx x x x x⇔ ++ + ++ = − + + − +
Xét hàm số
( )
2
log , 0.= +>ft t tt
Ta có:
(
)
1
' 10 0
ln 2
= + > ∀> ⇒
ft t
t
Hàm
f
đồng biến trên
( )
0; .+∞
Do đó:
( ) (
)
2 2 22 2
1
2 2 35 22 35 430 .
3
=
++ = − + ⇔ ++= − +⇔ − +=⇔
=
x
fxx fx x xx x x x x
x
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là:
{ }
1; 3
. Chọn D.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1: Giải phương trình
( )
log 1 2.x −=
A.
101.x =
B.
2
1.xe= +
C.
2
1.
xe= −
D.
2
1.x
π
= +
Câu 2: Giải phương trình
( )
3
log 3 2 3.x −=
A.
29
.
3
x =
B.
87.x =
C.
25
.
3
x =
D.
11
.
3
x
=
Câu 3: Phương trình
(
)
2
3
log 3 5 17 2xx− ++ =
có tập nghiệm
S
là tập nào sau đây?
A.
8
1; .
3
S

= −


B.
8
1; .
3
S

= −


C.
8
2; .
3
S

= −


D.
8
1; .
3
S

=−−


Câu 4: Tìm tập nghiệm
S
của phương trình
( )
( )
2
22
log 4 3 log 4 4 .xx x−+= −
A.
{ }
1; 7 .S =
B.
{ }
7.S =
C.
{
}
1.S
=
D.
{ }
3; 7 .S =
Câu 5: Phương trình
( )
22
log log 1 1xx+ +=
có tập nghiệm
S
là tập nào sau đây?
A.
15
.
2
S

−±

=



B.
{ }
2.S =
C.
51
.
2
S

−

=



D.
{ }
1.S =
Câu 6: Số nghiệm của phương trình
(
)
2
2
log 3 1 logxx
+ −=
là bao nhiêu?
A. 1. B. 3. C. 0. D. 2.
Câu 7: Giải phương trình
248
log log log 11.xxx++=
A.
24.
x =
B.
36.x =
C.
45.x =
D.
64.x =
Câu 8: Tổng bình phương các nghiệm của
5 3 35
log log 1 log .logx x xx+=+
bằng
A. 64. B. 34. C. 8. D. 2.
Câu 9: Cho hàm
( )
( )
2
3
log 2fx x x= −
. Tìm tập nghiệm
S
của phương trình
( )
'0
fx=
.
A.
.S = ∅
B.
{ }
1 2.S = ±
C.
{
}
0; 2 .S
=
D.
{
}
1.S =
Câu 10: Gọi
12
,xx
là hai nghiệm của phương trình
(
) (
)
2
44
2log 3 log 5 0xx
−+ − =
. Tính tổng
12
.Txx= +
A.
8.T =
B.
8 2.T = +
C.
8 2.T = −
D.
4 2.T = +
Câu 11: Giải phương trình
( ) ( )
2
39
5
log 2 log 2 .
4
++ + =xx
A.
1.x =
B.
8
5
3 2.= −
x
C.
5
4
3 2.
x = −
D.
4
3 2.x = −
Câu 12: Tìm nghiệm của phương trình
( )
32
log log 1.x =
A.
8.x =
B.
6.x =
C.
9.x =
D.
2.x =
Câu 13: Tìm nghiệm của phương trình
( )
31
2
log 3 1 3.
x−
−=
A.
2.x
=
B.
1.
x
=
C.
3.x
=
D.
8.x
=
Câu 14: Gọi
S
tổng các nghiệm của phương trình
1
4 3.2 7 0
xx
−
− +=
. Tính
.
S
A.
2
log 7.S =
B.
12.S =
C.
28.S =
D.
2
log 28.S =
Câu 15: Biết phương trình
21
7 8.7 1 0
xx+
− +=
có hai nghiệm
(
)
12 1 2
,
<xx x x
. Tính
2
1
x
T
x
=
.
A.
4.
T =
B.
0.
T =
C.
1.
T = −
D.
2.
T =
Câu 16: Giải phương trình
2
3 8.3 15 0
x
x
= +=
.
A.
{
3
2
.
log 5
x
x
=
=
B.
{
2
.
3
x
x
=
=
C.
{
3
2
.
log 25
x
x
=
=
D.
3
3
log 5
.
log 25
x
x
=
=
Câu 17: Phương trình
( )
4
log 3.2 8 1
x
x−=−
có tổng tất cả các nghiệm bằng bao nhiêu?
A. 1. B. -4. C. 5. D. 7.
Câu 18: Tìm tất cả các nghiệm của phương trình
( ) ( )
1
24
log 2 1 .log 2 2 1.
xx
+
− −=
A.
2
log 3x =
và
2
log 5.x =
B.
1x =
và
2x = −
.
C.
2
log 3x =
và
2
5
log .
4
x =
D.
1x =
và
2x =
.
Câu 19: Giải phương trình
( )
log 2 1 1.x +=
A.
1
.
2
e
x
+
=
B.
1
.
2
e
x
−
=
C.
9
.
2
x =
D.
11
.
2
x =
Câu 20: Tìm nghiệm của phương trình
( )
32
log log 1.x =
A.
8.x
=
B.
6.x
=
C.
9.x =
D.
2.x =
Câu 21: Gọi
12
,
xx
là hai nghiệm của phương trình
( )
( )
2
22
log 1 log 3 1+= −xx
. Tính
12
.
xx
+
A.
12
3.+=xx
B.
12
2.+=xx
C.
12
1.+=xx
D.
12
4.
+=xx
Câu 22: Tìm tập nghiệm
S
của phương trình
(
) ( )
33
log 2 1 log 1 1.+− −=
xx
A.
{
}
4.S
=
B.
{ }
3.
S =
C.
{ }
2.
S = −
D.
{ }
1.S =
Câu 23: Tìm tập nghiệm
S
của phương trình
( ) ( )
0,5
2
log 1 log 1 1.xx−+ +=
A.
{ }
2 5.S = +
B.
{ }
2 5.S = ±
C.
{ }
3.S =
D.
{ }
3 13 .S = +
Câu 24: Gọi
12
,xx
là hai nghiệm của
( )
1
33
log 3 1 2 log 2
x
x
+
−= −
. Tính tổng
12
27 27 .
= +
xx
S
A.
252.=S
B.
45.=S
C.
9.=S
D.
180.=S
Câu 25: Tìm số thực
x
, biết
31
3
log .log 36.xx= −
A.
3
6x = −
hoặc
3
6.x
−
=
B.
6
3x =
hoặc
6
3x
−
=
.
C.
36
3
x
=
hoặc
36
3x = −
D.
3
6
x
=
hoặc
3
6x
−
= −
.
Câu 26: Tìm nghiệm của phương trình
5 25 0,2
log log log 3.xx
+=
A.
3
1
.
3
x = ±
B.
3
1
.
3
x
=
C.
3
1
.
3
x
= −
D.
3
3.
x =
Câu 27: Phương trình
( )
2
88
6log 2 3log 1 4
xx+ −=
có bao nhiêu nghiệm thực?
A. Vô nghiệm. B. 3 nghiệm. C. 2 nghiệm. D. 1 nghiệm.
Câu 28: Gọi
12
,xx
là nghiệm của phương trình
( ) ( )
23
48
2
log 1 2 log 4 log 4 .x xx+ += −+ +
Tính
12
T xx= −
.
A.
8 2 6.T = +
B.
8.=
T
C.
2 6.=T
D.
4 6.=T
Câu 29: Nếu
( ) ( )
28 82
log log log logxx=
thì
(
)
2
2
log
x
bằng bao nhiêu?
A.
( )
2
2
log 3.=
x
B.
( )
2
2
log 3 3.=x
C.
( )
2
2
log 27.=x
D.
( )
2
1
2
log 3 .
−
=x
Câu 30: Biết phương trình
2
22
log 5log 4 0xx
− +=
có hai nghiệm
12
,xx
. Tính tích
12
.xx
A.
12
64.=xx
B.
12
32.=xx
C.
12
16.=
xx
D.
12
36.=xx
Câu 31: Gọi
12
,xx
là nghiệm của
2
2 25
log 3log 5.log 2 0− +=xx
. Tính
12
.Px x= +
A.
20.=P
B.
6.=P
C.
36.=P
D.
25.=
P
Câu 32: Biết
12
,xx
là hai nghiệm của phương trình
33
log 3 .log 2xx=
. Tính
12
.xx+
A.
12
1
.
9
+=xx
B.
12
28
.
9
+=xx
C.
12
26
.
3
+=xx
D.
12
1
.
3
+=
xx
Câu 33: Tổng bình phương các nghiệm của phương trình
2
22
log log 4
4
x
x −=
bằng
A.
17
4
. B. 0. C. 4. D.
65
4
.
Câu 34: Cho
x
thỏa phương trình
2
5.2 8
log 3
22
x
x
x

−
= −

+

. Tính giá trị của biểu thức
2
log 4
x
Px
=
.
A.
4.
=P
B.
1.=P
C.
8.
=P
D.
2.=P
Câu 35: Số nghiệm của phương trình
( )
2
2
log 4 log 2 3
x
x
−=
là
A. 1. B. 0. C. 2. D. 3.
Câu 36: Gọi
12
,xx
là hai nghiệm của phương trình
2
22
log 5log 4 0xx− +=
. Tính tích
12
.xx
A.
12
16.=xx
B.
12
36.=xx
C.
12
22.=xx
D.
12
32.=xx
Câu 37: Tính tổng
S
các nghiệm của phương trình
( )
2
33
log log 9 2 0xx− +=
A.
10.S =
B.
3.S =
C.
0.S =
D.
4.S =
Câu 38: Gọi
12
,
xx
là hai nghiệm của phương trình
2
3
log log .log 27 4 0
xx+ −=
. Tính tích số
12
log logAx x= +
A.
3.A =
B.
3.= −A
C.
2.= −A
D.
4.=
A
Câu 39: Tính tổng
S
các nghiệm của phương trình
( )
(
)
1
24
log 2 1 .log 2 2 1.
xx
+
− −=
A.
2
log 15.S =
B.
1.S = −
C.
2
15
log .
4
S =
D.
3.S =
Câu 40: Giải phương trình
(
)
( )
2
33
log 3 1 .log 3 9 3.
xx+
+ +=
A.
3
log 2.
x =
B.
2
1
log 3.
2
x =
C.
1, 3.= = −xx
D.
1
, 1.
3
=−=xx
Câu 41: Phương trình
761
x
x= +
có tất cả bao nhiêu nghiệm?
A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Câu 42: Tổng giá trị tất cả các nghiệm của phương trình
3 9 27 81
2
log .log .log .log
3
xx x x
=
bằng
A.
82
.
9
B.
80
.
9
C.
9.
D.
0.
Câu 43: Biết phương trình
2
2log 3log 2 7
x
x +=
có hai nghiệm thực
12
xx
<
. Tính giá trị biểu thức
( )
2
1
.
x
Tx=
A.
64.
T =
B.
32.
T =
C.
8.T =
D.
16.T =
Câu 44: Tập nghiệm của phương trình
(
)
2
3
log 7 2
x
−=
là
A.
{ }
15; 15 .−
B.
{ }
4; 4 .−
C.
{ }
4.
D.
{ }
4.−
Câu 45: Tích các nghiệm của phương trình
(
) ( )
33
log 3 .log 9 4xx=
là
A.
1
.
3
B.
4
.
3
C.
1
.
27
D.
1.
Câu 46: Tính tổng các nghiệm của phương trình
( ) ( )
22
32
log 2 1 log 2 .xx xx+ += +
A. 0. B.
2 3.
C. -2. D. 1.
Câu 47: Số nghiệm của phương trình
( )
23 2
log .log 2 1 2 logxx x−=
là
A. 2. B. 1. C. 0. D. 3.
Câu 48: Cho hàm số
( )
2 ln 8
x
fx x= −
. Phương trình
( )
'0fx=
có nghiệm là
A.
2
log 3x =
B.
3
log 2x =
C.
2x =
D.
( )
2
log ln 8
x =
Câu 49: Số nghiệm của phương trình
( )
( )
2
33
log 4 log 2 3 0xx x+ − +=
là
A. 3. B. 2. C. 1. D. 0.
Câu 50: Gọi
a
là một nghiệm của
(
)
( )
(
)
26 15 3 2. 7 4 3 2 2 3 1
x xx
+ + + −− =
. Khi đó giá trị của biểu thức
nào sau đây là đúng?
A.
2
2.+=aa
B.
2
sin cos 1.+=aa
C.
2 cos 2.+=a
D.
3 2 5.+=
a
a
Câu 51: Số nghiệm của phương trình
(
) ( )
42 24
log log log log 2xx+=
là
A. 0. B. 2. C. 3. D. 1.
Câu 52: Cho phương trình
(
)
2
2
2
log log 8 3 0
xx
+ −=
. Khi đặt
2
log
tx
=
, phương trình đã cho trở thành
phương trình nào dưới đây?
A.
2
8 2 60tt
+ −=
B.
2
40tt+=
C.
2
4 30tt+− =
D.
2
8 2 30tt+ −=
Câu 53: Biết rằng phương trình
2
22
3log log 1 0− −=xx
có hai nghiệm
,
ab
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
1
.
3
+=
ab
B.
1
.
3
= −ab
C.
3
2.=ab
D.
3
2.
+=ab
Câu 54: Tổng tất cả các nghiệm của phương trình
2
31
3
3
log 2log 2log 3
x xx−=+
bằng
A. 2. B. 27. C.
82
.
3
D.
80
.
3
Câu 55: Phương trình
( ) ( ) ( )
4
99
3
log 3 log 1 4 log 4xx x++ − =
có bao nhiêu nghiệm ?
A. 3. B. 1. C. 2. D. 0.
Câu 56: Xét
0 ,, 1<≠abx
. Đặt
( ) ( ) ( )
22
6 log 6 log 13log .log *
a b ab
x x xx+=
. Chọn câu đúng?
A.
( )
23
*.⇔=ab
B.
( )
23
*.⇔=ba
C.
( )
*.⇔=
x ab
D.
( ) ( )
5 5 22
* 1.⇔+= +
a b a b ab
Câu 57: Giải phương trình
2 3 2018
11 1
... 2018
log log logxx x
+ ++ =
có nghiệm là
A.
2018.2018!x
=
B.
2018
2018!x =
C.
2017!x =
D.
( )
2018
2018!
x =
Câu 58: Tích các nghiệm thực của phương trình
( )
22
2 23
3
log log .log 81 log 0xx x x− +=
bằng
A. 18. B. 16. C. 17. D. 15.
LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1:
2
1 10 101
PT x x⇔ −= ⇔ =
. Chọn A.
Câu 2:
3
29
3 23
3
PT x x⇔ −= ⇔=
. Chọn A.
Câu 3:
22
1
3 5 17 3
8
3
x
PT x x
x
= −
⇔− + + = ⇔
=
. Chọn B.
Câu 4:
2
4 40
7
4 34 4
x
PT x
xx x
−>
⇔ ⇔=
− += −
. Chọn B.
Câu 5: Điều kiện
0.x
>
( ) ( )
2
log 1 1 1 2 1PT xx xx x⇔ + =⇔ +=⇒=


. Chọn D.
Câu 6: Điều kiện
0.
x >
( )
2
22 2
22
33 3
log 3 log 1 log 1 2
2
++
⇔ + − =⇔ =⇔ =⇒=
xx
PT x x x
xx
. Chọn A.
Câu 7: Điều kiện
0.x >
6
222 2
11
log log log 11 log 6 2 64
23
PT x x x x x⇔++=⇔=⇔==
. Chọn D.
Câu 8: Điều kiện
0.x >
(
)( )
22
3
3 5 12
5
log 1
3
log 1 log 1 0 34
log 1 5
x
x
PT x x x x
xx
=
=
⇔ − −=⇔ ⇔ ⇒ + =
= =
. Chọn B.
Câu 9: Ta có
( )
( )
2
22
' 01
2 ln 3
x
fx x
xx
−
= =⇔=
−
. Chọn D.
Câu 10: Điều kiện
3, 5.>≠xx
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 22
44 4
log 3 log 5 0 log 3 5 0PT x x x x

⇔ −+ −=⇔ − − =

( )
( )
(
)( )
( )( )
22
3 51
3 5 1 4 2; 4
3 51
− −=
⇔ − − =⇔ ⇒=+ =
− −=−
xx
xx x x
xx
thỏa mãn. Chọn B.
Câu 11: Điều kiện
2.x >−
( ) ( )
( )
55
88
33 3
55
log 2 log 2 log 2 2 3 3 2
48
⇔ ++ +=⇔ +=⇔+=⇔=−PT x x x x x
. Chọn B.
Câu 12: Điều kiện
{
{
2
0
0
1.
log 0
1
x
x
x
x
x
>
>
⇔ ⇔>
>
>
Phương trình
3
2
log 3 2 8xx⇔ =⇔= =
. Chọn A.
Câu 13: Phương trình
31 3 31
3 12 3 9 3 12 1
xx
xx
−−
⇔ −= ⇔ = ⇔ −= ⇔ =
. Chọn B.
Câu 14: Phương trình
(
)
( )
2
2
1
. 2 3.2 7 0 2 6 2 2 log 6 2 2
4
⇔ − +=⇔ =± ⇔= ±
xx x
x
( ) (
) ( )( )
22 2 2
log 6 2 2 log 6 2 2 log 6 2 2 6 2 2 log 28S

⇒= + + − = + − =

. Chọn D.
Câu 15:
( )
2
71
0
0
7. 7 8.7 1 0 0
1
1
7
1
7
=
=
⇔ − += ⇔ ⇔ ⇒ = =
= −
=
−
x
xx
x
x
PT T
x
. Chọn B.
Câu 16:
2
2
22
33
2
3
1
2
33
2
3 8.3 15 0
2log 5 log 25
log 5
35
2
x
xx
x
x
x
PT
x
x
=

=
=
⇔ − +=⇔ ⇔ ⇔

= =

=
=
. Chọn C.
Câu 17: Điều kiện
2
88
2 log .
33
x
x
>⇔>
( )
2
1
12
1
28 3
3.2 8 4 . 2 5
2
24
4
x
xx x
x
x
PT x x
x
−
= =
⇔ −= = ⇔ ⇔ ⇒ + =
=
=
. Chọn C.
Câu 18: Ta có
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
22 2 2
1
log 2 1 log 2 2 1 1 log 2 1 1 log 2 1 2
2
x x xx

− − =⇔ − + −=


( )
( )
2
2
2
2
log 3
2 12
log 2 1 1
5
1
log
21
log 2 1 2
4
4
x
x
x
x
x
x
=
−=
−=
⇔ ⇔⇔
=
−=
−=−
. Chọn C.
Câu 19: Phương trình
9
2 1 10
2
xx⇔ += ⇔ =
. Chọn C.
Câu 20: Điều kiện
{
{
2
0
0
1.
log 0
1
x
x
x
x
x
>
>
⇔ ⇔>
>
>
Phương trình
3
2
log 3 2 8xx⇔ =⇔= =
. Chọn A.
Câu 21: Điều kiện
1
3
x >
. Phương trình
2
12
1
13 1 3
2
x
x x xx
x
=
⇔ += −⇔ ⇒ + =
=
. Chọn A.
Câu 22: Điều kiện
1x >
. Phương trình
3
21 21
log 1 3 4
11
xx
x
xx
++
⇔ =⇔ =⇔=
−−
. Chọn A.
Câu 23: Điều kiện
1.x >
( ) ( )
( ) ( )
22
2
22 2
11
log 1 log 1 1 log 1 2 2 5
11
xx
PT x x x
xx
−−
⇔ − − +=⇔ =⇔ =⇒=+
++
. Chọn A.
Câu 24: Ta có
(
) ( ) ( )
1 1 12
3 33
log 3 1 log 2 2 log 2 3 1 2 2 3 1 3
x x xx
xx
+ ++

−+ = ⇔ − = ⇔ −=

( )
( )
2
3
3 6.3 2 0 3 3 7 log 3 7 180
xx x
xS⇔ − +=⇔ =± ⇔= ± ⇒ =
. Chọn D.
Câu 25: Điều kiện
0.x >
Phương trình
( )
6
3
33
6
3
log 6
3
log . log 36
log 6
3
x
x
xx
x
x
−
=
=
⇔ − =−⇔ ⇔
= −
=
. Chọn B.
Câu 26: Điều kiện
0.x >
555 5 5 5
1
log log log 3 3log 2 log 3 log 3
2
PT x x x
⇔+ =− ⇔ =− =−
5 55
3
11 1 1
log log log
33
33
xx⇔ = = ⇔=
. Chọn B.
Câu 27: Điều kiện:
{
0
.
1
x
x
>
≠
Ta có
( ) ( )
2
88 2 2
6 log 2 3log 1 4 2 log 1 2 log 1 4xx x x+ − =⇔ + + −=
( )
22 2
log log 1 1 log 1 1 1 2
x x xx xx⇔ + −=⇔ − =⇔ −=
( )
( )
( )
(
)
2
2
12
20
1
.
20
12
2
xx
xx
xl
x x vn
xx
x
−=
−−=
= −
⇔⇔ ⇔
−+=
−=−
=
Chọn D.
Câu 28: Điều kiện:
{
44
.
1
x
x
−< <
≠−
Ta có
( )
( )
23
48
2
log 1 2 log 4 log 4x xx+ += −+ +
( ) ( )
( )
( )
22
2 22 2 2
log 1 2 log 4 log 4 log 4 1 log 16 4 1 16x x x x xx x
⇔ ++= − + + ⇔ + = − ⇔ += −
.
( )
( )
( )
( )
2
2
12
22
2
6
16 4 1
4 12 0
2 6.
2 26
16 4 1 4 20 0
2 26
x
xl
xx
xx
T xx
xl
x x xx
x
=
= −
−= +
+−=
⇔ ⇔ ⇔ ⇒= − =
= +
−=− + −−=
= −
Chọn C.
Câu 29:
( )
( )
( )
3
28 82 2 2 2 2
1
log log log log log log log log
3
xx x x

⇔=⇔ =


32
3
2 2 2 22
1
log log log 27 log log 27.
3
x xx xx⇔ = ⇔= ⇔=
Chọn B.
Câu 30:
2
2
2 2 12
2
log 1
2
log 5log 4 0 32
log 4 16
x
x
x x xx
xx
=
=
− +=⇔ ⇔ ⇒ =
= =
. Chọn B.
Câu 31:
22
2
225 22
2
log 1
2
log 3log 5.log 2 0 log 3log 2 0
log 2 4
x
x
x x xx
xx
=
=
− +=⇔ − +=⇔ ⇔
= =
Do đó suy ra
12
6Px x=+=
. Chọn B.
Câu 32:
( )
2
3 3 33 3 3
log 3 .log 2 1 log log 2 log log 2 0
xx x x x x=⇔ + =⇔ + −=
3
12
3
3
28
log 1
1
log 2
9
9
x
x
xx
x
x
=
=
⇔ ⇔ ⇒+=
= −
=
. Chọn B.
Câu 33:
(
)
22 2
22 2 2 22
log log 4 log log 2 4 log log 2 0
4
x
x x x xx−=⇔− −=⇔−−=
22
2
12
2
1
65
log 1
2
log 2
4
4
x
x
xx
x
x
= −
=
⇔ ⇔ ⇒+=
=
=
. Chọn D.
Câu 34:
34
2
5.2 8 5.2 8
log 3 2 5.2 8 8 2
22 22
xx
xx x
xx
x
−−

−−
=−⇔ = ⇔ −=+

++

( )
2
log 4
2
24
5.2 16.2 16 0 2 8.
4
2
5
x
x
xx
x
x Px
l
=
⇔ − − =⇔ ⇔=⇒= =
= −
Chọn C.
Câu 35:
(
)
2
2 2 22
2
2
1
log 4 log 2 3 2 log 3 log 2 log 0
log 1
x
x x xx
x
− =⇔+ − =⇔ − =
−
2
2
log 0
1
log 2 4
x
x
xx
=
=
⇔⇔
= =
nên phương trình có 2 nghiệm. Chọn C.
Câu 36:
2
2
2 2 12
2
log 1
2
log 5log 4 0 32
log 4 16
x
x
x x xx
xx
=
=
− +=⇔ ⇔ ⇒ =
= =
. Chọn D.
Câu 37:
(
)
22
3
33 33
3
log 0
1
log log 9 2 0 log log 0 4
log 1 3
x
x
x x xx S
xx
=
=
− +=⇔ − =⇔ ⇔ ⇒ =
= =
. Chọn D.
Câu 38:
22
3 12
log log .log 27 4 0 log 3log 4 0 log log 3x x x x Ax x+ −=⇔ + −=⇒ = + =−
. Chọn B.
Câu 39:
( ) ( ) ( ) ( )
1
2 4 22
1
log 2 1 .log 2 2 1 log 2 1 log 2 2 1 1
2
xx x x+

− −=⇔ − − =

( ) ( ) ( ) ( )
2
2 2 22
log 2 1 1 log 2 1 2 log 2 1 log 2 1 2 0
x x xx

⇔ − + − =⇔ −+ −−=

( )
( )
2
2
12 2 2 2
2
2
log 3
2 12
log 2 1 1
5 15
log 3 log log
5
1
log
21
44
log 2 1 2
4
4
x
x
x
x
x
xx
x
=
−=
−=
⇔ ⇔ ⇔ ⇒+= + =
=
−=
−=−
. Chọn C.
Câu 40:
( ) ( ) (
)
2
33 3
log 3 9 log 9 3 1 2 log 3 1
xxx+

+= + =+ +

( ) ( )
( )
( )
3
2
33 3
3
3 13
log 3 1 1
log 3 1 2log 3 1 3 log 2.
1
31
log 3 1 3
27
x
x
xx
x
x
x
+=
+=
⇒ ++ +=⇔ ⇔ ⇔=
+=
+=−
Chọn A.
Câu 41: Xét
( ) ( )
7
6
7 6 1, ' 7 ln 7 6 0 log
ln 7
xx
fx x x f x x= − − ∈ ⇒ = −=⇔=
(nghiệm duy nhất).
Từ đó
( )
0fx=
có nhiều nhất 2 nghiệm mà
( ) ( ) ( )
0
0 10 0 .
1
x
f f fx
x
=
= = → = ⇔
=
Chọn C.
Câu 42: Điều kiện
0.x >
3
3 3 3 3 12
3
9
111 2 82
log 2
log . log log log
1
log 2
234 3 9
9
x
x
PT x x x x x
x
x
=
=
 
⇔ =⇔ ⇔ ⇒+=
 
= −
=
 
. Chọn A.
Câu 43: Điều kiện
0; 1.
xx
>≠
2
2 22
2
3
2 log 7 2 log 7 log 3 0
log
PT x x x
x
⇔ + =⇒ − +=
( )
2
8
2
log 3
8
2 16.
1
log
2
2
x
x
T
x
x
=
=
⇔ ⇔ ⇒= =
=
=
Chọn D.
Câu 44:
22
73 4
PT x x⇔ −= ⇔=±
. Chọn B.
Câu 45: Điều kiện
0.x
>
( )( ) ( )
3 3 3 1 3 2 3 12 12
1
1 log 2 log 4 log log 3 log 3
27
PT x x x x xx xx⇔ + + = ⇒ + =−⇔ =−⇒ =
. Chọn C.
Câu 46: Đặt
( ) ( )
2
22
32
2
2 13
log 2 1 log 2 3 2 1
22
t
tt
t
xx
xx xxt
xx
+ +=
+ += + =⇒ ⇒=+
+=
(
)
22
2 12
21
1 1 log 2 1 2 2 2
33
tt
t xx xx xx

⇔ + =⇒=⇒ + =⇔ + = ⇒ + =−


. Chọn C.
Câu 47: Điều kiện
1
.
2
x >
( )
2
3
log 0
11
log 2 1 2
2 19 5
x
xx
PT
x
xx
=
= =

⇔ ⇔⇔

−=
−= =

. Chọn A.
Câu 48: Ta có
( )
2
' 2 ln 2 ln 8 0 2 ln 2 3ln 2 0 2 3 log 3.
xx x
fx x= − =⇔ − =⇔ =⇔=
Chọn A.
Câu 49:
2
2
40
1
4 23
xx
PT x
x xx
+>
⇔ ⇔=
+=+
. Chọn C.
Câu 50: Xét
( )
( ) ( ) ( )
26 15 3 2 7 4 3 2 2 3 1,
x xx
fx x=+ ++ −− −∈
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
' 26 15 3 ln 26 15 3 2 7 4 3 ln 7 4 3 2 2 3 ln 2 3 0, .
x xx
fx x⇒ = + + + + + − − − > ∀∈
Từ đó
( )
0
fx=
nếu có nghiệm thì sẽ có nghiệm duy nhất mà
( )
0 0 0 0.f xa= → = ⇒ =
Chọn B.
Câu 51: Điều kiện
1.x >
2 42 2 2
11
log 0 log log 2 log 1 log 2
22
PT t x t t t t

⇔ = > ⇒ + = ⇔ −+ =


22
log 2 4 log 4 16.tt xx⇔ = ⇔= ⇒ = ⇔ =
Chọn D.
Câu 52: Điều kiện
0.x >
PT
( )
2
2
22
33
2 log log 3 0 4 0
22
x x tt⇔ + + − = → + − =
. Chọn D.
Câu 53: Điều kiện
0.x
>
1 13
1
6
3
2
1 13
6
1 13
2
log 2
6
2
a
PT x ab
b
+
−
±
=
⇔ = ⇒ ⇒=
=
. Chọn C.
Câu 54: Điều kiện
0.x
>
2
3
3 3 3 12
3
27
82
log 3
log 4 log 2 log 3
1
log 1
3
3
x
x
PT x x x x x
x
x
=
=
⇔ − =− +⇔ ⇔ ⇒ + =
= −
=
. Chọn C.
Câu 55: Điều kiện
0; 1.xx>≠
(
) (
) ( )
(
)
(
) (
)
( )( )
( )( )
22
2
3 3 33
22
2
log 3 log 1 2log 4 log 16
3
3 14
3 1 16
3 14
23 3
PT x x x x
x
xx x
xx x
xx x
x
⇔ ++ −= =
=
+ −=
⇒+ − = ⇔ ⇒
+ −=−
= −
. Chọn C.
Câu 56: Ta có
(
)( )
1
3
1
3
log log
3log 2 log 2 log 3log 0
log log
b
a
ab ab
a
b
xx
xx xx
xx
=
− −=⇒
=
( )( )
( )
1
23
3
2332 55 22
1 32
3
01
a b ab
abab ab ab ab
ab
ab
= =
⇒ ⇔ ⇔ − − =⇔+= +
=
=
. Chọn D.
Câu 57: Điều kiện
0; 1.xx
>≠
2018
2018
log 2 log 3 ... log 2018 2018 2.3...2018 2018!
xx x
PT x x⇔ + ++ = ⇒ = ⇔=
. Chọn B.
Câu 58: Điều kiện
0.x >
(
)
2
22 3 3
log log 4 log 4 log 0PTxxxx
⇔− + + =
(
) ( )
2
22 32
23
log 4
16
log log 4 log log 4 0
log log
1
x
x
xx xx
xx
x
=
=
⇔ −− −=⇔ ⇔
=
=
. Chọn B.
| 1/41
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

CHỦ ĐỀ 5: PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
DẠNG 1. PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN Khái niệm:
Là phương trình có dạng log f (x) = g x a loga ( ), (1)
trong đó f (x) và g (x) là các hàm số chứa ẩn x cần giải.  Cách giải:
a > 0; a ≠ 1
- Đặt điều kiện cho phương trình có nghĩa  f (x) > 0 g(x) >  0
- Biến đổi (1) về các dạng sau: (1) ⇔ f (x) = g(x) a =1  Chú ý:
- Với dạng phương trình log f (x) = b ⇔ f (x) = ab a
- Đẩy lũy thừa bậc chẵn: 2 log n x = n
x , nếu x > 0 thì n log n x = log x a 2 loga a a
g (x) ≥ 0
- Với phương trình sau khi biến đổi được về dạng f (x) = g (x) ⇔ 
f (x) = g (x) 2     x log log a = x a x a ; a x =  x
- Các công thức Logarit thường sử dụng: log xy x y x y a ( ) = log + a loga ; log = a log −   a log  y a m m 1 log x x b n = log a a ; log = a n log a b
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau: a) log ( 2 x + x + 2 = 3.
b) log 2x +1 + log x − 3 = 2. 3 ( ) 3 ( ) 2 ) Lời giải: a) Ta có: 2 2 x = 2
PT ⇔ x + x + 2 = 8 ⇔ x + x − 6 = 0 ⇔  x = 3 −
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {2; -3}.
b) Điều kiện: x > 3. Khi đó PT ⇔ log (2x + )1(x −3) 2
 = log 9 ⇔ 2x − 5x − 3 = 9 3  3 x = 4 2
⇔ 2x − 5x −12 = 0 ⇔  3 − . x =  2
Kết hợp điều kiện ta được nghiệm của phương trình đã cho là x = 4.
Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:
a) log x + 4 = 3− 2log .x
b) 3log x − 2 − log 3x + 2 + 7 = 0. 8 ( ) ( ) 2 ( ) 2 2 Lời giải:
a) Điều kiện: x > 0 . Khi đó PT ⇔ log (x + 4) 2 2
+ log x = 3 ⇔ log x (x + 4) 3 2
 = 3 ⇔ x + 4x = 8 2 2 2   x = 2 −
(x 2)( 2x 2x 4) 0  ⇔ + + − = ⇔ x = 1 − + 5  . x = 1 − − 5
Kết hợp ĐK x > 0 . Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x = 1 − + 5
b) Điều kiện: x > 2 . Khi đó PT ⇔ 3log x − 2 − log 3x + 2 + 7 = 0 3 ( ) 1 ( ) 2 2 2
⇔ log (x − 2) − 2log (3x + 2) + 7 = 0 ⇔ log (x − 2) − log (3x + 2)2 7 + log 2 = 0 2 2 2 2 2 (x − ) x =10 128 2 ⇔ log
= 0 ⇔ 128(x − 2) = (3x + 2)2 2
⇔ 9x −116x + 260 = 0 ⇔  26 t / m . 2 2 ( ) (3x + 2) x =  9
Vậy nghiệm của phương trình là 26 x =10; x = . 9
Ví dụ 3: Giải các phương trình sau:
a) log x x −1  =1
log x + log x −1 =1 2  ( ) b) 2 2 ( )
c) log x − 2 − 6log 3x − 5 = 2
d) log x − 3 + log x −1 = 3 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 1 8 Lời giải:
a) Điều kiện: x(x − )
1 > 0 ⇔ x >1; x < 0 .
Ta có: PT ⇔ x(x − ) 2
1 = 2 ⇔ x − x − 2 = 0 ⇔ x = 1; − x = 2
Vậy phương trình có nghiệm là x = 1; − x = 2.
b) Điều kiện: x >1.
Ta có phương trình tương đương với log x  ( x − ) 2
1  = 2 ⇔ x − x − 2 = 0 ⇔ x = 1; − x = 2 2 
Vậy phương trình có nghiệm là x = 1; − x = 2.
c) Điều kiện: x > 2 . Ta có: PT ⇔ (x − )+
( x − ) = ⇔ (x − )( x − ) 2 2 log 2 log 3 5 2
2 3 5 = 4 ⇔ 3x −11x + 6 = 0 ⇔ x = 3; x = 2 2 3
Đối chiếu với đk ta được nghiệm của phương trình là x = 3.
d) Điều kiện: x > 3.
Ta có: PT ⇔ (x − )(x − ) 2 3
1 = 8 ⇔ x − 4x − 5 = 0 ⇔ x = 1; − x = 5
Đối chiếu với đk ta được nghiệm của phương trình là x = 5.
Ví dụ 4: Giải các phương trình sau:
a) lg(x − 2) + lg(x −3) =1− lg5 b) 2
2log x − 2 − log x − 3 = 8 ( ) 8 ( ) 3
c) lg 5x − 4 + lg x +1 = 2 + lg 0,18 d) log ( 2
x − 6 = log x − 2 +1 3 ) 3 ( ) Lời giải:
a) Điều kiện: {x−2 > 0 ⇔ x > 3 x − 3 > 0 .
Ta có: PT ⇔ (x − )(x − ) 2 lg 2
3 = lg 2 ⇔ x − 5x + 4 = 0 ⇔ x =1; x = 4.
Đối chiếu với điều kiện pt có nghiệm là x = 4.
b) Điều kiện: {x > 2 ⇔ x > 3. x > 3 (x − 2)2 Ta có: 2 2 PT ⇔ log
= ⇔ x −8x +16 = 0 ⇔ x = 4 (TM ). 8 x − 3 3
Vậy PT có nghiệm là x = 4.  5
c) Điều kiện: x > 5  4 ⇔ x > . 4 x > 1 − Ta có: PT ⇔
( x − )(x + ) =
⇔ ( x − )(x + ) 2 41 lg 5 4 1 lg18 5 4
1 =18 ⇔ 5x + x − 328 = 0 ⇔ x = 8; x = − . 5
Đối chiếu với điều kiện nên phương trình có nghiệm là x = 8. 2
d) Điều kiện: x − 6 > 0  ⇔ x > 6 . x − 2 > 0 Ta có: PT ⇔ log ( 2
x − 6) = log 3(x − 2) 2
⇔ x − 3x = 0 ⇔ x = 0; x = 3. 3 3
Đối chiếu điều kiện PT có nghiệm x = 3.
Ví dụ 5: Giải các phương trình sau: a) 1
log x + 3 + log x −1 =
b) log x + log 10 − x = 2 4 4 ( ) 2 ( ) 2 ( ) log 25
c) log x −1 − log x + 2 = 0
d) log x −1 + log x + 3 = log 10 −1 2 ( ) 2 ( ) 5 ( ) 1 ( ) 2 5 Lời giải:
a) Điều kiện:{x+3> 0 ⇔ x >1 x −1 > 0 .
Ta có: PT ⇔ log (x + 3)(x − ) 2
1 = log 5 ⇔ x + 2x −8 = 0 ⇔ x = 2; x = 4 − 2 2
Đối chiếu điều kiện nên pt có nghiệm là x = 2.
b) Điều kiện: {x > 0 ⇔ 0 < x <10. 10 − x > 0
Ta có: PT ⇔ log x 10 − x = 2 ⇔ x = 2; x = 8 4 ( )
Đối chiếu điều kiện nên PT có nghiệm x = 8.
c) Điều kiện: {x+1> 0 ⇔ x > 2 x − 2 > 0 . Ta có: PT (x ) (x ) (x )(x ) 2 1 13 log 1 log 2 0 log 1 2 0 x x 3 0 x − ± ⇔ − + + = ⇔ − + = ⇔ + − = ⇔ = 5 5 5 2
Đối chiếu với điều kiện nên PT có nghiệm là 1 13 x − + = . 2
d) Điều kiện: {x−1> 0 ⇔ x >1 x + 3 > 0 .
Ta có: PT ⇔ log (x − ) 1 (x + 3) 2
= log 5 ⇔ x + 2x −8 = 0 ⇔ x = 2; x = 4 − 2 2
Đối chiếu với điều kiện nên PT có nghiệm x = 2.
Ví dụ 6: Giải các phương trình sau:
a) log x + 8 − log x + 26 + 2 = 0
b) log x + log x + log x = 6 9 ( ) 3 ( ) 3 3 1 3 c) + ( 2
x − x + ) − ( 2 1 lg 2 1 lg x + ) 1 = 2lg(1− x)
d) log x + log x + log x = 5 4 1 8 16 Lời giải:
a) Điều kiện: {x+8 > 0 ⇔ x > 8 x 26 0 − + > . 81(x +8) Ta có: 2 PT ⇔ log
= 0 ⇔ x − 29x + 28 = 0 ⇔ x =1; x = 28 9 (x + 26)2
Đối chiếu với điều kiện nên PT có nghiệm là x =1; x = 28.
b) Điều kiện: x > 0
Ta có: PT ⇔ log x + 2log x − log x = 6 ⇔ log x = 3 ⇔ x = 27 3 3 3 3
Vậy PT có nghiệm x = 27.
c) Điều kiện: 1− x < 0 ⇔ x <1.
Ta có: PT ⇔ − (x − )2 − ( 2
x + ) = ( − x)2 ⇔ ( 2 x + ) 2 1 lg 1 lg 1 lg 1 lg
1 =1 ⇔ x = 9 ⇔ x = 3 ±
Đối chiếu với điều kiện nên PT có nghiệm x = 3 − .
d) Điều kiện: x > 0 . 60 Ta có: 1 1 1 60 17
PT ⇔ log x − log x + log x = 5 ⇔ log x = ⇔ x = 2 (TM ) 2 2 2 2 2 4 3 17 60 Vậy PT có nghiệm là 17 x = 2 .
Ví dụ 7: Giải các phương trình sau: a) + ( 2
x − x + ) − ( 2 2 lg 4
4 1 lg x +19) = 2lg(1− 2x)
b) log x + log x + log x =11 2 4 8
c) log x −1 + log x +1 =1+ log 7 − x d) log ( x 1 5 + − 25x = 2 − 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 2 2 2 6 Lời giải: a) Điều kiện: 1
1− 2x > 0 ⇔ x < . 2 Ta có: ( 2 lg 4x − 4x + ) 1 = lg(2x − )2 1 = 2lg(1− 2x) ⇔ − ( 2 x + ) 2 PT 2 lg
19 = 0 ⇔ x +19 =100 ⇔ x = 9 ±
Đối chiếu với điều kiện nên PT có nghiệm là x = 9. −
b) Điều kiện: x > 0 Ta có: 1 1
PT ⇔ log x + log x + log x =11 ⇔ log x = 6 ⇔ x = 64 TM 2 2 2 2 ( ) 2 3
Vậy PT có nghiệm x = 64. x −1 > 0
c) Điều kiện: x +1> 0 ⇔ 1< x < 7 . 7 − x >  0 Ta có: PT (x )(x ) 1 ( x) 2 1 73 log 1 1 log . 7 2x x 9 0 x − ± ⇔ − + = − ⇔ + − = ⇔ = 1 1 2 4 2 2
Kiểm tra điều kiện chỉ có nghiệm 1 73 x − + = thỏa mãn. 4
d) Điều kiện: x 1
5 + − 25x > 0 ⇔ 5x (5−5x ) > 0 ⇔ 0 < 5x < 5 ⇔ x <1. 2 2 1 − − − x   Ta có: x+ x 1 x x 5 = 2 x = log 2 2 PT ⇔ 5 − 25 = = 6  = 6 ⇔ (5 )2 1 5 − 5.5 + 6 = 0 ⇔ ⇔ 6    5x = 3 x = log 3 5
Vậy PT có nghiệm là x = log 2 vµ x = log 3. 5 5
Ví dụ 8: Giải các phương trình sau: a) x − x + = b) x − x − = x ( 2 log 2 3 4) 2 x ( 2 log 2 7 12) 2
c) log x − x + = d) x − = x ( 2 log 2) 1 x ( 2 5 6 2 2 ) Lời giải: 2
a) Điều kiện: 2x − 7x +12 > 0  ⇔ x > 0 . x > 0 Ta có: 2 2 2 x = 3 (TM )
PT ⇔ 2x − 7x +12 = x ⇔ x − 7x +12 = 0 ⇔  x = 4 − (L)
Vậy PT có nghiệm x = 3.  3+ 41 x > 2  − − >  4
b) Điều kiện: 2x 3x 4 0  3+ 41  ⇔  3− 41 ⇔ >  > 0 x xx < 4  4  x > 0 Ta có: 2 2 2 x = 1 − (L)
PT ⇔ 2x − 3x − 4 = x ⇔ x − 3x − 4 = 0 ⇔  x = 4 (TM)
Vậy PT có nghiệm x = 4.  > 2 x 3
c) Điều kiện: x − 5x + 6 > 0  x > 3  ⇔  x < 2 ⇔ . x > 0 0 < x < 2 x > 0  5 − + 97 x = (TM ) Ta có: 2 2 2 6
PT ⇔ x − 5x + 6 = 4x ⇔ 3x + 5x − 6 = 0 ⇔   5 − − 97 x = (L)  6 Vậy PT có nghiệm 5 97 x − + = . 6  > 2 x 2
d) Điều kiện: x − 2 > 0   ⇔  .  >
x < − 2 ⇔ x > 2 x 0  x > 0 Ta có 2 2 x = 1 − (L)
PT ⇔ x − 2 = x ⇔ x − x − 2 = 0 ⇔  x = 2 (TM )
Vậy PT có nghiệm là x = 2.
Ví dụ 9: Giải các phương trình sau: a) log + + = b) log + = + x x ( 2 1 1 2 4 ) + x x x ( 2 9 8 2 2 3 5 ) c) 15 log = −
d) log 3− 2x =1 2 ( ) x 2 1− 2x x e) log x + 3 =1 f) x − x + = x ( 2 log 2 5 4) 2 2 ( ) x +3x Lời giải: 2  5 9
x + 8x + 2 > 0 x > −   a) Điều kiện: 3 3  x + 5 > 0 ⇔  4 . 3  x + 5 ≠ 1 x ≠ −   3 Ta có: 2
PT ⇔ x + x + = ( x + )2 23 9 8 2 3 5 ⇔ x = − (TM ) 22 Vậy PT có nghiệm là 23 x = − . 22 2 x +1 > 0 x > 2 −
b) Điều kiện: 2x 4 0  + > ⇔  3 2 + 4 ≠ 1 x x ≠ −     2 Ta có: 2 2 x = 1
PT ⇔ x +1 = 2x + 4 ⇔ x − 2x − 3 = 0 − ⇔ (TM )  x = 3
Vậy PT có nghiệm x = 1; − x = 3. x > 0  c) Điều kiện: 15 1 
> 0 ⇔ 0 < x < . 1− 2x 2  x ≠ 1   1 x = (TM )  Ta có: 15 2 − 2 5 PT ⇔
= x ⇔ 15x + 2x −1 = 0 ⇔ 1 2  − x 1 x = − (L)  3 Vậy PT có nghiệm là 1 x = . 5  2 x > 0 x ≠ 0 d) Điều kiện: 3   2x 0  − > ⇔ x ≠ 1 ± . 2 x ≠  1  3 x <  2 Ta có: 2 x =1 (L)
PT ⇔ x + 2x − 3 = 0 ⇔  x = 3 − (TM )
Vậy PT có nghiệm là x = 3. − 2 x + 3x > 0  3 − + 13
e) Điều kiện:  3 0 x x ≠ + > ⇔  2 . 2
x +3x ≠1 x > 0 Ta có: 2 x =1
PT ⇔ x + 2x − 3 = 0 ⇔  x = 3 −
Kiểm tra điều kiện thì x =1 là nghiệm cần tìm. x > 0
f) Điều kiện:  2
x − x + > ⇔ {x > 0 2 5 4 0 x ≠ 1 . x ≠ 1  Ta có: 2 x =1
PT ⇔ x − 5x + 4 > 0 ⇔ (TM )  x = 4
Vậy PT có nghiệm là x =1; x = 4.
Ví dụ 10: Giải các phương trình sau: a) (x − x+ )2 2 1 x −1 log 5 6 = log + log x − 3 9 3 3 2 2 b) 1 (x + ) 1 log 3 + log (x − )8 1 = log 4x 2 4 2 2 4 Lời giải: a) Điều kiện: −
x >1; x ≠ 3 . Khi đó 2 x 1
PT ⇔ log x − 5x + 6 = log + log x − 3 3 3 3 2 x −1 x − 3 x −1 x − 3 2 ( )
⇔ x − 5x + 6 =
⇔ (x − 2)(x − 3) ( ) =
⇔ 2 x − 2 = x −1 ( ) 1 2 2
TH1: x ≥ 2 ta có: ( )
1 ⇔ 2x − 4 = x −1 ⇔ x = 3 (loại).
TH2: 1< x < 2 ta có: ( ) 5 1 ⇔ 2
− x + 4 = x −1 ⇔ x = (tm). 3 Vậy 5
x = là nghiệm của PT đã cho. 3
b) Điều kiện: x > 0; x ≠ 1. Ta có: PT ⇔ log x + 3 + log x −1 = log 4x 2 ( ) 2 2
⇔ log  x + 3 x −1 = log 4x ⇔ x + 3 x −1 = 4 . x 2 ( )  2 ( )
TH1: Với x >1 ta có: (x + )(x − ) 2 x = 1 − (lo¹i) 3
1 = 4x ⇔ x − 2x − 3 = 0 ⇔ .  x = 3 
TH2: Với 0 < x <1 ta có: (x + )( − x) 2 x = 3 − + 2 3 3 1
= 4x ⇔ x + 6x − 3 = 0 ⇔  . x = 3 − − 2 3 (lo i ¹ )
Vậy x = 3; x = 3
− + 2 3 là nghiệm của PT đã cho.
Ví dụ 11: Giải các phương trình sau:
a) ( x 4−x − ) 1 lg 3 2 = 2 + lg16 x − lg 4 4 2 b) 1 ( 2 x + x − ) 1 lg 5 = lg5x + lg 2 5x c) log ( 2 x + x + ) 1 + log ( 2 x − x + ) 1 = log ( 4 2 x + x + ) 1 + log ( 4 2 x − x +1 2 2 2 2 ) Lời giải: x
a) Điều kiện: x 4
3 − 2 −x > 0 . Khi đó: ( x 4 x PT − ⇔ − ) 2 lg 3 2 = lg100 + lg 2 − lg 4 x 4−x 200 x 4−x − x x − x − x x 216 ⇔ 3 − 2 = ⇔ 3 − 2
= 200.2 ⇔ 3 =16.2 + 200.2 ⇔ 3 =
⇔ 6x = 216 ⇔ x = 3 tm x x ( ). 2 2 4
Vậy x = 3 là nghiệm duy nhất của PT đã cho.
b) Điều kiện: x > 0 1 − + 21  ⇔ > 2 x .
x + x − 5 > 0 2 x = Khi đó: 2 2 2 2
PT ⇔ lg x + x − 5 = lg1 ⇔ x + x − 5 =1 ⇔ x + x − 6 = 0 ⇔ x = 3 −  (lo i¹)
Vậy là nghiệm của PT đã cho là x = 2.
c) Ta có: PT ⇔ ( 2 x + x + )( 2
x − x + ) = ( 4 2 x + x + )( 4 2 1 1 1 x − x + ) 1 ⇔ (x + )
1 + x (x + )
1 − x = (x + )
1 + x  (x + )
1 − x  ⇔ (x + )2
1 − x = (x + )2 2 2 4 2 4 2 2 2 4 4 1 −         x 4 2 8 4 8 2 x = 0
⇔ x + x +1 = x + x +1 ⇔ x = x ⇔ x = 1 ±
Vậy x = 0; x = 1
± là nghiệm của PT đã cho.
Ví dụ 12: Số nghiệm của phương trình log x + 4 =1− 2log x là: 5 ( ) 25 A. 1. B. 2. C. 3. D. 0. Lời giải:
Điều kiện: x > 0 . Khi đó PT ⇔ log (x + 4) =1− 2log x ⇔ log x + 4 = log 5− log x 2 5 5 5 ( ) 5 5 ⇔ x  ( x + ) 2 x =1 log
4  = log 5 ⇔ x + 4x = 5 ⇔ 5  5 x = 5 −
Kết hợp điều kiện suy ra PT có nghiệm duy nhất x =1. Chọn A.
Ví dụ 13: Số nghiệm của phương trình ( 2
ln x + 2x − 3) + ln(x + 3) = ln(x − ) 1 là: A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Lời giải: 2
x + 2x − 3 > 0
Điều kiện: x + 3 > 0
⇔ x >1. Khi đó PT ⇔ ln (x − ) 1 (x + 3) + ln 
(x +3) = ln(x − ) 1 x −1 > 0  ⇔ ln (x − )
1 (x + 3)2  = ln(x − ) 1 ⇔ (x − )
1 (x + 3)2 = x −1⇔ (x − )
1 (x + 3)2 −1 = 0     x =1 x −1 = 0 ⇔ ⇔  ( = −  x + )2 x 4 3 =1 x = 2 − 
Kết hợp điều kiện suy ra PT vô nghiệm. Chọn A.
Ví dụ 14: Gọi n là số nghiệm của phương trình log x − 2 + 3log 3x − 5 − 2 = 0 . Khi đó: 2 ( ) 8 ( ) A. n =1. B. n = 2 . C. n = 0 . D. n = 3. Lời giải:
Ta có: log x − 2 + 3log 3x − 5 − 2 = 0 ⇔ log x − 2 + log 3x − 5 = 2 ⇔ x − 2 3x − 5 = 4 2 ( ) 8 ( ) 2 ( ) 2 ( ) ( )( ) 2 2
⇔ 3x −11x + 6 = 0 ⇔ x = 3; x = 3
Đối chiếu điều kiện loại nghiệm 2
x = , suy ra PT có nghiệm duy nhất x = 3 ⇒ n =1. Chọn A. 3
Ví dụ 15: Số nghiệm của phương trình log 2x + 4 − = log 2x x +12 − 3 là: 2 ( ) 2 ( ) A. 1. B. 2. C. 3. D. 0. Lời giải: x x
PT ⇔ log (2x + 4) − log (2x +12) 2 + 4 2 + 4 x−3 = x − 3 ⇔ log = x − 3 ⇔ = 2 2 2 2 2x +12 2x +12 Đặt x t + 4 t 2 t = 8 − (lo i ¹ ) t = 2 > 0 ⇒
= ⇔ t + 4t − 32 = 0 ⇔ t +12 8
t = 4 ⇒ x = 2
Vậy x = 2 là nghiệm của PT đã cho. Chọn A.
Ví dụ 16: Số nghiệm của phương trình log
x −1 − log 5 − x = 3log x − 3 là: 2 1 ( ) 8 ( ) 2 A. 1. B. 2. C. 3. D. 0. Lời giải: 1
Điều kiện: 5 > x > 3 . Khi đó ⇔ − 2 PT log
x 1 + log 5 − x = 3log x − 3 1 ( ) 2 ( ) 3 ( ) 2 2 2
⇔ log x −1 + log 5 − x = log x − 3 2 ( ) 2 ( ) 2 ( )  5 + 17 x = (t / m)
⇔ (x − )( − x) 2 2 1 5
= x − 3 ⇔ x − 5x + 2 = 0 ⇔  .  5 − 17 x = (lo i¹)  2 Vậy nghiệm của PT là 5 17 x + = . Chọn A. 2
Ví dụ 17: Tổng bình phương tất cả các nghiệm của phương trình ( 2 1
log x − 2x + 3 − log x +1 =1 là: 3 ) ( ) 3 2 A. T = 25. B. T = 26. C. T = 29. D. T = 30. Lời giải: 2
Điều kiện: x − 2x + 3 > 0  ⇔ x > 1. − x +1 > 0 2 Khi đó PT ⇔ ( 2 x − 2x + 3
log x − 2x + 3 − log x +1 = log 3 ⇔ log = log 3 3 ) 3 ( ) 3 3 3 x +1 2 x − 2x + 3 2 2 x = 0 ⇔
= 3 ⇔ x − 2x + 3 = 3x + 3 ⇔ x − 5x = 0 ⇔ (t / m) x +1 x = 5
Do đó tổng bình phương các nghiệm của phương trình bằng 25. Chọn A.
Ví dụ 18: Gọi S là tập nghiệm của phương trình 2log (2x − 2) + log (x −3)2 = 2 . Tổng các phần tử của tập 2 2 S bằng: A. 8 . B. 6 + 2 . C. 4 + 2 . D. 8 + 2 . Lời giải: 2x − 2 > 0 Điều kiện: x >1  2 ⇔ x − 3 > 0 { (  ) . x ≠ 3
Khi đó PT ⇔ 2log 2x − 2 + 2log x − 3 = 2 2 ( ) 2
⇔ log 2x − 2 + log x − 3 = log 2 ⇔ 2x − 2 x − 3 = 2 2 ( ) 2 2 ( )
TH1: Với x > 3. PT ⇔ (2x − 2)(x −3) 2 x>3
= 2 ⇔ 2x −8x + 4 = 0 → x = 2 + 2.
TH2: Với < x < PT ⇔ ( x − )( − x) 2 1 3. 2 2 3 = 2 ⇔ 2
− x + 8x −8 = 0 ⇔ x = 2.
Vậy S = {2;2+ 2}⇒ T = 4+ 2 . Chọn C. Chú ý:  f  ( x) 2 log n  = n f x a 2 log  a ( ) .
Ví dụ 19: Gọi S là tập nghiệm của phương trình log (x + )2 1 + 2 = log
4 − x + log (4 + x)3 . Tổng các 4 2 8
phần tử của tập S bằng: A. 4 − − 2 6. B. 4 + 2 6. C. 2. D. 4 − 2 6. Lời giải:
Điều kiện: 4 > x > 4, − x ≠ 1
PT ⇔ log x +1 + log 4 = log 4 − x + log 4 + x ⇔ 4 x +1 = 4 − x 4 + x 2 2 2 ( ) 2 ( ) ( )( )
TH1: Với 4 > x > 1 − ta có 2 2 x = 2
4x + 4 =16 − x ⇔ x + 4x −12 = 0 ⇔ ⇒ x = 2.  x = 6 −  TH2: Với 1 − > x > 4 − ta có 2 2 x = 2 + 2 6 4
− x − 4 =16 − x ⇔ x − 4x − 20 = 0 ⇔  ⇒ x = 2 − 2 6. x = 2 − 2 6
Vậy PT có 2 nghiệm x = 2, x = 2 − 2 6 ⇒ T = 4 − 2 6 . Chọn D.
DẠNG 2. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
Phương trình dạng Q log f x  =  →  t = log x t a , ∈  . a ( ) 0  Đặt ( )
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau: a) ( 2 1
2 log x +1 log x + log = 0 b) 2 log ( 2
8x + log 4x = 2. 1 ) 2 ) 4 2 4 2 2 Lời giải:
a) Điều kiện: x > 0 . Khi đó: PT ⇔ 2( 2
log x +1 log x − 2 = 0 2 ) 22 3
⇔ log x + log x − 2 = 0 . Đặt 3
t = log x ⇒ t = t + t − 2 ⇔ t =1⇒ x = 2 2 2 2 2  
b) Điều kiện: x > 0 . Khi đó: PT ⇔ log ( 2
8x  + 2 + log x = 2 1 ) 2  2  ⇔ − log 
(8x ) 2 +log x = 0 ⇔  ( 3 − − log x )2 2 2 + log x = 0 2 2 2 2 ⇔ (3+ 2log + log = 0 t= x x x
→ 3+ 2t + t = 0 2 )2 log 2 2 2 ( ) t = 1 −   1 2 log x = 1 −  2 ⇔ 4 +13 + 9 = 0 ⇔ 9 − x t t = t = ⇒ 9   − ⇔ 2  =  9  4 log x − 2   4 4  x = 2
Ví dụ 2: Giải các phương trình sau: a) 3 log (2x) 2 = 2log x − 9. b) log ( 2 9x + log = x 27 7. 3 ) 2 2 Lời giải:
a) Điều kiện: x > 0 . Ta có PT ⇔ (log 2x)3 2 = 2log x − 9 2 2 ⇔ (1+ log x)3 2 t=log x 3 2
= 2log x − 9 →(1+ t) 2 3 2 2
= 2t − 9 ⇔ t + 3t + 3t +1 = 2t − 9 2 2 3 2 2 − 1
⇔ t + t + 3t +10 = 0 ⇔ t = 2 − ⇒ log x = 2 − ⇔ x = 2 = . 2 4
b) Điều kiện: 1 ≠ x > 0 . Khi đó 2
PT ⇔ 2 + log x + 3log = x 3 7 3 log x =1 3 x = 3 3 2 ⇔ 2log x +
= 5 ⇔ 2log x − 5log x + 3 = 0 ⇔  ⇔  3 3 t / m . 3 3 3 ( ) log x log x = 2 3 3   x = 3 = 27 = 3 3 2
Vậy phương trình có 2 nghiệm là x = 3; x = 3 3.
Ví dụ 3: Giải các phương trình sau: a) log ( 2
x + 3x − 4 = log 2x + 2 b) 1 lg x = lg(x + ) 1 1 ) 1 ( ) 2 3 3 c) 8 − x 1 log = log x d) log − + = − x x x ( 2 2 65 2 5 ) 2 1 4 2 2 Lời giải: x >1 2
x + 3x − 4 > 0 x < 4 − x >1 a) log ( 2 x 3x 4 log 2x 2  2x 2 0  x 1  + − = + ⇔ + > ⇔ > −
⇔ x = 2 ⇒ x = 2. 1 ) 1 ( ) 2 2 3 3 x + 
3x − 4 = 2x + 2
x + x − 6 = 0  x = 3 −  
Vậy phương trình có nghiệm x = 2. x > 0 1  x > 0
b) lg x = lg(x + ) x > 0 1 ⇔ x +1> 0 ⇔  2 ⇔  2 2 x = x +
2lg x = lg(x + x x  ) lg  ( ) lg ( ) 1  = +1 1 x > 0  1+ 5 x = 1+ 5 ⇔  2  → x = . 
Vậy phương trình đã cho có nghiệm 1 5 x + = . 2  2  1− 5  x =   2 c) 8 − x 1 log = log x, (3) 2 1 4 2 2
Điều kiện: {8− x > 0 ⇔ 0 < x <8. x > 0 1 Khi đó (3) 8 − x 1 8 − x 8 − x 1 2 ⇔ log = − log x ⇔ = x ⇔ =
⇔ x 8 − x = 4 2 2 ( ) 4 2 4 4 x 2
⇔ −x + 8x =16 ⇔ (x − 4)2 = 0  → x = 4.
Nghiệm x = 4 thỏa mãn điều kiện, vậy phương trình có nghiệm x = 4. d) log − + = − x x x ( 2 2 65 2, 4 5 ) ( ) 5 x 0   − > x < 5 Điều kiện:   x < 5 5  − x ≠ 1 ⇔ x ≠ 4 ⇔ x ≠ 4. 2 2 {
x − 2x + 65 > 0 (  x −  )1 + 64 > 0, x ∀ ∈ R Khi đó ( ) 2
4 ⇔ x − 2x + 65 = (5 − x)2 ⇔ 8x + 40 = 0  → x = 5 − Nghiệm x = 5
− thỏa mãn điều kiện, vậy phương trình có nghiệm x = 5. − Bình luận:
Trong các ví dụ 3 và 4 chúng ta cần phải tách riêng điều kiện ra giải trước rồi sau đó mới giải phương
trình. Ở ví dụ 1 và 2 do các phương trình tương đối đơn giản nên ta mới gộp điều kiện vào việc giải phương trình ngay.
Ví dụ 4: Giải các phương trình sau:
a) lg(x + 3) − 2lg(x − 2) = lg0,4 b) 1 1
log x + 5 + log x − 3 = log 2x +1 5 ( ) 5 5 ( ) 2 2 c) x x  1 log 4 15.2 27 2log  + + − =   0 2 ( ) 1  4.2x −3 2  Lời giải:
a) lg(x + 3) − 2lg(x − 2) = lg0,4 ( )1
Điều kiện: {x+3> 0 > − x ⇔ − > {x 3⇔x>2. 2 0 x > 2 2 x + 3 (x +3)
Khi đó, ( ) ⇔ (x + ) − (x − ) ( ) 2 1 lg 3 lg 2 = lg 0,4 ⇔ lg = lg 0,4 ⇔ = 0,4 = (x − 2)2 (x − 2)2 5 x = 7
⇔ 2(x − 2)2 − 5(x + 3) 2
= 0 ⇔ 2x −13x − 7 = 0  →  1 x = −  2
Đối chiếu với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là x = 7. b) 1 1
log x + 5 + log x − 3 = log 2x +1 2 5 ( ) 5 5 ( ) ( ) 2 2  x + 5 > 0 x > 5 −
Điều kiện: x 3 0  − >
⇔ x > 3 ⇔ x > 3. 2x +1 >  0  1 x > −  2 Khi đó, ( ) 1 1 1
2 ⇔ log x + 5 + log x − 3 = log 2x +1 ⇔ log  x + 5 x − 3  = log 2x +1 5 ( ) 5 ( ) 5 ( ) 5 ( )( ) 5 ( ) 2 2 2
⇔ (x + )(x − ) 2 2 5
3 = 2x +1 ⇔ x + 2x −15 = 2x +1 ⇔ x =16  → x = 4. ±
Đối chiếu với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là x = 4. c) x x  1 log 4 15.2 27 2log  + + − =  x  0 3 2 ( ) 1 ( )  4.2 − 3 2  x x
Điều kiện: 4 +15.2 + 27 > 0, x ∀ ∈ R  . 4.2x − 3 > 0 ( ) (   x x )  1    ( x x   ⇔ + + + = ⇔ + +    = x ) 2 1 3 log 4 15.2 27 2log 0 log 4 15.2 27 0 2 2 2  4.2 − 3    4.2x − 3    2x x x = 3
⇔ (4x +15.2x + 27) 2 2  1  2 +15.2 + 27 2 =  x  1 ⇔
= 1 ⇔ 15.2 x − 39.2x −18 = 0  →  x x x 2 2  4.2 − 3  16.2 − 24.2 + 9 2 = − < 0  5
Giá trị 2x = 3thỏa mãn điều kiện, từ đó ta được 2x = 3 ⇔ x = log 3 là nghiệm của phương trình. 2
Ví dụ 5: Giải các phương trình sau: a) 2
log x −1 = 5 + log x −1 b) 2
log 2 − x −8log 2 − x = 5 2 ( ) 1 ( ) 2 ( )2 2 ( ) 4 2
c) log x − 3. log x + 2 = 0 d) 2 log 4 log x x + = 8 1 ( ) 1 1 2 8 3 3 2 Lời giải: a) 2
log x −1 = 5 + log x −1 1 2 ( )2 2 ( ) ( )
Điều kiện: x >1. 2
Đặt t = log (x − ) 2 1  →log (x − )2 1 = log (x − )2 1  = 2log    (x − ) 2 2 1  = 4t 2 2 2 2   1  3 t = 1 − log x −1 = 1 − 2 ( ) x −1 = x = Khi đó ( ) 2
1 ⇔ 4t − t − 5 = 0 ⇔  5   → ⇔ 2   ⇔ 2 t = log (x − ) 5  5  5 1 = 2    4 x − =  4 4 4 1 2 x = 1+ 2 5
Cả hai nghiệm đều thỏa mãn điều kiện, vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là 3 4 x = ; x =1+ 2 . 2 b) 2
log 2 − x −8log 2 − x = 5 2 2 ( ) 1 ( ) ( ) 4
Điều kiện: x < 2. (  − x = 2) 8 log 2 1 2 ⇔ log 2 − x −
log 2 − x = 5 ⇔ log 2 − x + 4log 2 − x − 5 = 0 ⇔ 2 ( ) 2 ( ) 2 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2  − log 2 − x = 5 −  2 ( )
 Với log 2 − x = 1 ⇔ 2 − x = 2 ⇔ x = 0. 2 ( ) 1 63
 Với log 2 − x = 5 − ⇔ 2 − x = ⇔ x = . 2 ( ) 32 32
Cả hai nghiệm đều thỏa mãn điều kiện, vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là 63 x = 0; x = . 32
c) log x − 3. log x + 2 = 0 3 1 1 ( ) 3 3 x > 0
Điều kiện: log x ≥ 0 ⇔ 0 < x ≤1. 1  3  x =  1 2 log 1 1 log x =1 1 x = ( )     3  3 3
3 ⇔  log x  − 3. log x + 2 = 0 ⇔ ⇔ ⇔ 1 1    log x =   2 log x = 4  1 1 3 3  1 x =  3  3  81
Cả hai nghiệm đều thỏa mãn điều kiện, vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là 1 1 x = ; x = . 3 81 2 d) 2 log 4 log x x + = 8 4 1 ( ) 2 ( ) 8 2
Điều kiện: x > 0 . 2   2
log 4x = log 4x  = −log 4x  = − log 4 + log x  = log x + 2 1 ( ) 1 ( )  2 ( ) 2  ( 2 2 ) 2 ( 2 )2 Ta có 2  2  2 x 2 log
= log x − log 8 = 2log x − 3 2 2 2 2 8 x = 2 ( ) ⇔ ( log x =1 4
log x + 2 + 2log x − 3 = 8 ⇔ log x + 6log x − 7 = 0 ⇔ ⇔  − 1 2 )2 2 ( 2 )2 2 2 7 log x = 7 −  = = 2 x 2  128
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm 1 x = 2; x = . 128
Ví dụ 6: Giải các phương trình sau: a) 2 2
log x + log x +1 − 5 = 0 b) 2
log x + 3log x + log x = 2 3 3 2 2 1 2 c) 1 log x − log = d) 1 log x − log = x 2 x 2 5 5 7 7 Lời giải:
a) Điều kiện: x > 0. Đặt 2
log x +1 = t, t > 0 ta thu được 2 t  > 0 t  > 0 2  ⇔  ⇔ = ⇔ + = 2 t  + t − 6 = 0 t ∈  { 3 − ; } t 2 log x 1 2 2 2 2 ± 3
⇔ log x = 3 ⇔ log x = ± 3 ⇔ x = 2 2 2
b) Điều kiện: x > 0
Phương trình tương đương với log x = 1 −  1 2 2 2 =
4log + 3log − log = 2 ⇔ 4log + 2log − 2 = 0 x x x x x x ⇔  ⇔  2 2 2 2 2 1 2 log x =  2  2 x = 2
c) Điều kiện: 0 < x ≠ 1.
Phương trình đã cho tương đương với 1 log x + log = ⇔ x + = ⇔ x − = ⇔ x = ⇔ x = x 5 2 log 2 (log )2 1 0 log 1 5. 5 5 5 5 log x 5
d) Điều kiện: x > 0 .
Phương trình tương đương với 1 log x + log = ⇔ x + = ⇔ x − = ⇔ x = ⇔ x = x 7 2 log 2 (log )2 1 0 log 1 7. 7 7 7 7 log x 7
Ví dụ 7: Giải các phương trình sau: a) 2
log 2 − x −8log 2 − x = 5 b) 2
log x + 4log 5x − 5 = 0 2 ( ) 1 ( ) 5 25 4 Lời giải:
a) Điều kiện: x < 2. Phương trình tương đương với 2
log 2 − x + 4log 2 − x = 5 2 ( ) 2 ( ) 2 − x = 2 x = 0
Đặt log 2 − x = t thu được 2 t =1 t + 4t = 5 ⇔ ⇔  ⇔  2 ( ) 1 63 t = 5 − 2 − x = x =  32  32
b) Điều kiện: x > 0. Phương trình đã cho tương đương 2 2
log x + 2log 5x − 5 = 0 ⇔ log x + 2 1+ log x − 5 = 0 5 5 5 ( 5 ) x = 5 2 log x =1 5
⇔ log x + 2log x − 3 = 0 ⇔ ⇔  1 5 5 log x −3  = 5 x  125
Ví dụ 8: Giải các phương trình sau: 2 a) 2 2
log 8x + log 4x = 2 b) 2 log 16 log x x + = 11 1 2 4 2 4 2 Lời giải:
a) Điều kiện: x > 0 ta có: PT ⇔ (−log 8x )2 + 2 + log x = 2 ⇔ ( 3 − − log x )2 2 2 + log x = 0 2 2 2 2  1 log x = 1 − x = (2log x +3) 2 2 2
+ log x = 0 ⇔ 4log x +13log x + 9 = 0 ⇔ 9   − ⇔ 2 . 2 2 2 2  =  9 log x − 2   4 4 x = 2 9 Vậy nghiệm của PT là: 1 − 4 x = ;x = 2 . 2
b) Điều kiện: x > 0 ta có: PT ⇔ (log 16x)2 2
+ log x − 2 =11 ⇔ 2 + log x + 2log x =13 4 2 ( 4 )2 2 2  1  1 2 log x = 2 x = 4 2 ⇔ log x + 2 + 
2log x =13 ⇔ log x + 4log x − 9 = 0 ⇔ ⇔  2 2 2 2  = −  18  2  4 log x 18 − 2 x = 2 Vậy nghiệm của PT là: 18 x 4; x 2− = = .
Ví dụ 9: Giải phương trình sau: a) 2 20 2log + x = b) 2
2log 3x − log 3 = 3log x 1 ( 3 ) 2 x 4 log8 3 x 3 9 Lời giải:
a) Điều kiện: 1 ≠ x > 0 . Khi đó: 2 10 4 2log x 10 2 PT ⇔ 4log + x = ⇔ + = x 2 log2 3 3 log x 3 3 2 2 log x = 3  = 2 x 8
⇔ 12 + 2log x =10log x ⇔ ⇔ . 2 2
log x = 2 x = 4 2
Vậy nghiệm của PT đã cho là x = 8; x = 4 .
b) Điều kiện: 1 ≠ x > 0. Khi đó: PT 2( log 3x ) 2 2 3  1 3 2log x  ⇔ − − = + − =   x x 3 2 log 2logx 3 6log 9 9 3  2  2  1 3  2 2 4 ⇔ 2 + log x −
= 6log x ⇔ 9log x + 6log x +1− =   12log x 3 3 3 3 3  2 2  log x log x 3 3 2 2
⇔ 9log x − 6log x + log x − 4 = 0 ⇔ log x =1 ⇔ x = 3. 3 3 3 3
Vậy nghiệm của PT là: x = 3.
Ví dụ 10: Giải các phương trình sau: a) 3 2 log − − =
b) 2log x − log − = x 125 1 0 x 10 logx10 6logx10 0 5 Lời giải:t = 0 (lo i ¹ )
a) Điều kiện: 1 ≠ x > 0 . Đặt t = log 10 (t ≠ ta có: 3 2 t t 6t 0
t (t 3)(t 2) 0  − − = ⇔ − + = ⇔ t = 3 x 0) t = 2 −  3 3 x =10 x = 10 logx 10 = 3 ⇒ ⇔  1  ⇔ 1  logx 10 = 2 −  = 10 x = 2  x  10 Vậy 3 1 x = 10; x =
là nghiệm của PT đã cho. 10
b) Điều kiện: 1 ≠ x > 0 . Ta có: 3
PT ⇔ 2log x − log − = ⇔ x − − = x 5 1 0 2log 3logx 5 1 0 5 5 t = 1 − log x = 1 −  1 5 = Đặt t x
= log x t ≠ 0 ta có: 3 2
2t − −1 = 0 ⇔ 2t − t − 3 = 0 ⇔  3 ⇔  3  ⇔ 5 . 5 ( ) tt = log x =  5  2  2 x = 125 Vậy 1
x = ; x = 125 là nghiệm của PT đã cho. 5
Ví dụ 11: Giải các phương trình sau: a) 2
log x +1 − 6log x +1 + 2 = 0
b) 3 log x − log 3x = 3 2 ( ) 2 3 3 Lời giải:
a) Điều kiện: x > 1. − 1 Khi đó: 2
PT ⇔ log (x + ) 1 − 6log (x + ) 2 2
1 + 2 = 0 ⇔ log x +1 − 3log x +1 + 2 = 0 2 2 2 ( ) 2 ( ) log x = 1  + =  = 2 x 1 2 x 1 ⇔
log x = 2 ⇔ x +1 = 4 ⇔   x = 3 2
b) Ta có: PT ⇔ 3 log x − log 3+ log x = 3 ⇔ −log x + 3 log x − 4 = 0. 3 ( 3 3 ) 3 3
Đặt t = log x t ≥ 0 , ta có: 2t
− + 3t − 4 = 0 (vn). 3 ( )
Vậy PT đã cho vô nghiệm.
Ví dụ 12: Giải các phương trình sau: 2 a) 2 log x + 2log 32 = b) 2 log + x − = x
5 logx 5 2,25 logx 5 x 10 2 4 Lời giải: 2   a) Điều kiện: 1 x 1
≠ x > 0. Khi đó: PT ⇔ log  +10log = ⇔ x − + = x 2 10 log 2 10logx 2 10 2 ( )2 2 2  4  4 x = 2 x ⇔ ( 10 log = 1 log x −1 + 1− log x = 0  ± ⇔ ⇔ 2 )2 ( 2 ) 2 1 41  2 1± 41 x x − x − =  2 log log log 10 0 log x = ⇔ x = 2 2 2 2 2  2 1± 41
Kết hợp ĐK: Vậy nghiệm của PT là: 2 x = 2; x = 2 . 2
b) Điều kiện: 1 ≠ x > 0. Khi đó: 1 PT   ⇔ + + − x ( x ) 9 1 log 5 log 5 1  logx 5 2 4 2    5
Đặt t = log 5 (t ≠ ta có: 3 5 1 2 t = 5 log =  x 5 5 x = 5 t − = t ⇔ ⇔ ⇔ . x 0) 2 4 4 t =1 log  = x 5 1 x = 5 Vậy 5
x = 5; x = 5 là nghiệm của PT đã cho.
Ví dụ 13: Số nghiệm của phương trình 2
log x − 4log 3x + 7 = 0 là: 3 3 ( ) A. 1. B. 2. C. 3. D. 0. Lời giải:
Điều kiện: x > 0 . Khi đó 2
PT ⇔ log x − 4 1+ log x + 7 = 0 3 ( 3 ) 2 log x = 1  = 3 x 3
⇔ log x − 4log x + 3 = 0 ⇔ ⇔ . 3 3
log x = 3 x = 27 3
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm. Chọn B.
Ví dụ 14: Tích các nghiệm của phương trình 2
log 4x − 3log x − 7 = 0 là: 2 ( ) 2 A. -7. B. -3. C. 16. D. 8. Lời giải:
Điều kiện: x > 0 . Khi đó PT ⇔ log 
(4x) 2 −6log x −7 = 0 2  2  1 ⇔ (2 + log )2 2 log x = 1 − 2
− 6log − 7 = 0 ⇔ log − 2log − 3 = 0 x x x x x = ⇔ ⇔  2 2 2 2  2 log x = 3 2  x = 8
Suy ra x x = 4 . Chọn D. 1 2
Ví dụ 15: Số nghiệm của phương trình log (4x) + log x + 2 =10 là: 2 2 A. 1. B. 2. C. 3. D. 0. Lời giải:
Điều kiện: {x > 0 x > 0 1 log 2 0 ⇔ log 2 ⇔ x x x ≥ + ≥ ≥ − . 2 { 2 4
Khi đó PT ⇔ 2log 4x + log x + 2 =10 ⇔ 2 2 + log x + log x + 2 −10 = 0 2 ( ) 2 ( 2 ) 2
Đặt t = 2 + log x t ≥ 0 ta có 2 t = 2 t≥0
2t + t −10 = 0 ⇔
→t = 2 ⇒ 2 + log x = 2 2 ( )  2 t = 5 −
⇔ log x = 2 ⇔ x = 4. 2
Vậy phương trình đã cho có một nghiệm. Chọn A.
Ví dụ 16: Số nghiệm của phương trình log 5x 1 log 2.5x − − 2 =1 là: 2 ( ) 4 ( ) A. 1. B. 2. C. 3. D. 0. Lời giải:
Điều kiện: 5x −1 > 0 ⇔ x > 0 . Khi đó x 1
⇔ log 5 −1 . log 2. 5x −1 =1 ⇔ log 5x −1 1+ log 5x PT    −1  = 2 2 ( ) 2  ( ) 2  ( ) 2  ( ) 2  Đặt log 5x t =
−1 ta có: t ( + t) t =1 1 = 2 ⇔ 2 ( ) t = 2 − +) Với =1⇒ 5x t −1 = 2 ⇔ x = log 3 5 +) Với x 1 5 t = 2
− ⇒ 5 −1 = ⇔ x = log 5 4 4 Vậy PT có hai nghiệm là 5
x = log 3; x = log . Chọn B. 5 5 4
Ví dụ 17: Gọi S là tập nghiệm của phương trình log + + + = . Tổng các phần tử + x + x x (2 3)2 log x 3 7 3 3 7 2 3 ( ) của tập S bằng: A. 1 − . B. 17 − . C. 17 . D. 25 − . 4 4 4 4 Lời giải: − < x ≠ − < + ≠  Điều kiện: { 7 2 0 3x 7 1 3 ⇔  . 0 < 2x + 3 ≠ 1 3 −  < x ≠ 1 −  2 Đặt t = log
+ phương trình trở thành: + x x 2 3 3 7 ( ) t =1 1 2t + = 3 ⇔  1 tt =  2 Với t =1 ta có: log + = ⇔ + = + ⇔ = − (loại). + x x x x x 2 3 1 2 3 3 7 4 3 7 ( )  3 − Với 1 t = ta có: 1 x ≥ 1 log + = ⇔ + = + ⇔  ⇔ = − + x x x x x 2 3 2 3 3 7 3 7 ( ) 2 2 2 2 4
4x +9x + 2 = 0
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất 1
x = − . Chọn A. 4
Ví dụ 18: Gọi S là tập nghiệm của phương trình 2
log x + 3log x + log x = 2 . Tổng bình phương các phần 2 2 1 2
tử của tập S bằng: A. 5 . B. 1+ 2 2 . C. 9 . D. 9 . 2 2 4 2 Lời giải:
Điều kiện: x > 0. Khi đó PT ⇔ (log x +3log x −log x = 2 2 )2 2 2 log x = 1 − ⇔ (2log x) 2 2 2
+ 2log x = 2 ⇔ 4log x + 2log x − 2 = 0 ⇔  2 2 2 2 1 log x = 2  2  1 x =  1  1 9 ⇔ 2
⇒ S =  ; 2 ⇒ T = + 2 = .  Chọn C. 1 2  4 4  2 x = 2 = 2
Ví dụ 19: Số nghiệm của phương trình 3 4 3
log x + log x = là: 2 2 3 A. 1. B. 2. C. 3. D. 0. Lời giải:
Điều kiện: x > 0 . Khi đó 1 4 3
PT ⇔ log x + log x = 2 2 3 3 Đặt 1 3 4 3 3
t = log x ⇒ t + t − = 0 ⇔ t =1 ⇔ log x =1 =1 ⇔ x = 2 t / m . Chọn A. 2 2 ( ) 3 3
Ví dụ 20: Số nghiệm của phương trình 2 2
log x + log x +1 − 5 = 0 là: 2 2 A. 1. B. 2. C. 3. D. 0. Lời giải:
Điều kiện: x > 0 . Khi đó 2 2
PT ⇔ log x +1+ log x +1 − 6 = 0 2 2 Đặt 2
t = log x +1 t ≥ 0 ta có: 2 t = 2
t + t − 6 = 0 ⇔ (lo i ¹ t = 2) 2 ( ) t = 3 − 3  Khi đó 2 2 x = 2
log x +1 = 4 ⇔ log x = 3 ⇔ log x = ± 3 ⇔ 2 2 2  − 3 x = 2
Do đó phương trình có hai nghiệm. Chọn B.
DẠNG 3. PHƯƠNG PHÁP MŨ HÓA
Phương trình log  f x  = g x a > a ≠ ) a  ( ) log  b  ( ) (với 0; 1 tf x = a
Ta đặt log  f x  =
g x  = t ⇒      
→ phương trình ẩn t . a ( ) logb ( ) ( ) g  ( x) t = b
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:
a) log x +1 = log .x
b) log x = log x + 2 . 5 7 ( ) 3 ( ) 2 Lời giải: t a) Điều kiện:  x > 0 . Đặt x +1 = 3
log x +1 = log x = t ⇔ 3 ( ) 2  x = 2t t t Khi đó t t
f (t)  2   1 2 1 3  + = ⇔ = + =     1.  3   3  t t
Xét f (t)  2   1  = + (t ∈    
) ta có f '(t) < 0 (∀t ∈ R) ⇒ hàm số f (t) nghịch biến trên   3   3  Khi đó ( ) =1 ⇔ ( ) = ( ) 1 ⇔ =1 ⇔ = 2t f t f t f t x = 2. t b) Điều kiện:  x > 0 . Đặt x = 5
log x = log x + 2 = t ⇔ 5 7 ( )  x + 2 = 7t t t Khi đó t t f (t)  5   1 5 2 7 2  + = ⇔ = + =     1.  7   7 
Xét hàm f (t) tương tự ta có: t =1⇒ x = 5.
Ví dụ 2: Giải các phương trình sau: a) log x = log x + 2 . b) log x + x = log . x 6 ( ) 7 3 ( ) 2 Lời giải: ta) Điều kiện: = x x 7
> 0 . Đặt log x = log x + 2 = t ⇔ 7 3 ( )   x + 2 = 3t t t   Khi đó t t f (t) 7  1 7 2 3   2  + = ⇔ = + =     1. 3    3 
Hàm số f (t) nghịch biến trên  ⇒ f (t) = f (2) ⇔ t = 2 ⇒ x = 49. x = 2t
b) Điều kiện: x > 0 . Đặt log
x + x = log x = t ⇔ 6 ( ) 2 
x + x = 6t t t t t  t   Khi đó + = ⇔ f (t) 2 2 2 2 6 = +     = 1. 6  6     
Hàm số f (t) nghịch biến trên  ⇒ f (t) = f (2) ⇔ t = 2 ⇒ x = 4.
Ví dụ 3: Giải các phương trình sau: a) log ( 2
x − 3x −13 = log . x
b) 2log x = log ( 3x + 3x +11 . 2 5 ) 3 ) 2 Lời giải: 2
a) Điều kiện: x − 3x −13 > 0 3+ 61  ⇔ > .  > 0 x x 2 t +) Đặt = x = (x − x− ) 2 2
x − 3x −13 = 3 t log log 3 13 ⇒ 
⇒ 4t − 3.2t −13 = 3t 2 3 x = 2t t t t t t t g (t)  1   1   3 4 3.2 13 3 3 13  ⇔ = + + ⇔ = + + =       1  2   4   4  t t t t t t +) Xét g (t)  1   1   3 3 13  = + + =        
    1có (t) 1 1 1 1 3 3 g' = 3 ln +13 ln + ln <       0  2   4   4   2  2  4  4  4  4
Nên g (t) nghịch biến trên  ta có: g (t) = g (3) ⇔ t = 3 ⇔ x = 8
Vậy nghiệm của PT là: x = 8. 3
x + 3x +11 = 5u
b) Điều kiện: x > 0 . Đặt u = 2log x = log ( 3x + 3x +11 ta có:  u 2 5 )  u 2 x = 2 =  ( 2)
( 8)u 3( 2)u 11 5u ⇒ + + = ( ) 1 u u u ( ) f (u)  8   2   1 1   3  11.  ⇔ = + + =      
1, f '(u) < 0 ∀u ∈ .  5 5      5 
Suy ra f (u) nghịch biến trên  do đó f (u) = f (2) ⇔ u = 2 ⇒ x = 2
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x = 2.
Ví dụ 4: Giả sử p và q là các số dương sao cho log p = log q = log p + q . Tìm giá trị p 16 20 25 ( ) q A. 8. B. 1 ( 1 − + 5). C. 4 . D. 1 (1+ 5). 5 2 5 2 Lời giải:p =16t t Đặt  t p  4
t log p log q log p qq 20  = = = + ⇒ = ⇒ =   . 16 20 25 ( ) t q   5 p + q = 25    4 t 1 − + 5 t t 2t t  =   Ta có t t t t  4   5   4   4  + = ⇔ + = ⇔ + = ⇔ + − = ⇔  5  2 p q 25 16 20 25   1       1 0  5   4   5   5   4 t 1 − − 5  =   5    2  4 t 1 − + 5 p 1 ⇒ = ⇔ = ( 1 − +   5). Chọn B.  5  2 q 2
Ví dụ 5: Cholog a = log b = log c = log a + b + c . Hỏi log
thuộc tập hợp nào sau đây? abc 144 3 4 12 13 ( ) A. 7 8 9 ; ;       . B. 1 2 3  ; ; . C. 4 5 6  ; ; . D. {1;2; } 3 . 8 9 10 2 3 4 5 6 7  Lời giải:a = 3t b = tt Đặt 4 abc =144
t = log a = log b = log c = log a + b + c ⇒  ⇒ tt t t t . 3 4 12 13 ( ) c =12 3 + 4 +12 =13   (*)
a + b + c =13t t t t PT ( )  3   4  12 *  ⇔ + + −1 =       0. 13  13  13  t t t
Xét hàm số f (t)  3   4  12  = + + −       1 13  13  13  t t t
⇒ f (t)  3  3  4  4 12  12 ' = ln + ln + ln < 0, t ∀ ∈       .  13  12 13  13 13  13
Suy ra f (t) nghịch biến trên  ⇒ (*) có nghiệm thì là nghiệm duy nhất.
Dễ thấy PT (*) có nghiệm t = 2, suy ra nghiệm PT (*) là t = 2. Suy ra 1 1 2 3 log  = = ⇒ ∈ . Chọn B. abc 144 log 144 logabc144  ; ; 2  144 2 2 3 4
DẠNG 4: PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ, ĐÁNH GIÁ
Kiến thức cần nhớ:
• Hàm số y = f (x) đồng biến (hoặc nghịch biến trên  ) thì phương trình f (x) = f (x ⇔ x = x . 0 ) 0
• Hàm số f (t) đồng biến hoặc nghịch biến trên D (trong đó D là một khoảng, một đoạn, một nửa đoạn)
thì với u;v∈ D ta có: f (u) = f (v) ⇔ u = .v
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau: 2  +  2  + +  a) 2x 1 2 ln x x 3   = x − . x b) 2 log 
 = x + 3x + 2. 2  x + x +1 2 2
 2x + 4x + 5  Lời giải: 2
a) Điều kiện: 2x +1 > 0 ⇔ x∈ .  2 x + x +1 Khi đó PT ⇔ ( 2 x + ) − ( 2 x + x + ) = ( 2 x + ) −( 2 ln 2 1 ln 1 2 1 x + x + ) 1 ⇔ ( 2 x + ) 2 + x + = ( 2 x + x + ) + ( 2 ln 2 1 2 1 ln 1 x + x + ) 1
Xét hàm số f (t) = lnt + t (t > 0) ta có: f (t) 1 '
= +1 > 0 (∀t ∈) suy ra hàm số f (t) đồng biến trên t  =  nên f ( 2 x + ) = f ( 2 x + x + ) 2 2 2 x 0 2 1
1 ⇔ 2x +1 = x + x +1 ⇔ x = x ⇔ .  x = 1
b) Đáp số: x = 2; − x = 1 − .
Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:
a) 7x −1 = 6log 6x +1 .
b) 3x + 5x = 4 + 4log 4 − x . 3 ( ) 7 ( ) Lời giải: a) Điều kiện: 1
x > − . Đặt y = log 6x +1 ta có: 6 1 7y
x + = và 7x −1 = 6y 7 ( ) 6 x Suy ra 7 = 6y +1 
⇒ 7x − 7y = 6y − 6x ⇔ 7x + 6x = 7y + 6y 7y = 6x +1 Xét hàm số ( ) = 7t f t
+ 6t (t ∈) ta có: '( ) = 7t f t
ln 7 + 6 > 0 (∀t ∈) nên hàm số f (t) đồng biến trên
 nên f (x) = f ( y) ⇔ x = y ⇒ x = log 6x +1 7 ( )
⇔ 7x = 6 +1 ⇔ ( ) = 7x x g x − 6x −1 = 0 Ta có: g (x) x 6 '
= 7 ln 7 − 6 = 0 ⇔ x = log ln 7 Suy ra BBT: x -∞ x +∞ 0 f '(x) - 0 + f (x) +∞ +∞ f (x 0 )
Do vậy PT g (x) = 0 có nhiều nhất hai nghiệm. Mặt khác g (0) = g ( ) 1 = 0
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 0; x =1.
b) Điều kiện: 4 − x > 0. Đặt = log 4 − ⇒ 3y y x = 4 − x 3 ( ) y Khi đó x y 3  = 4 3 4 4 4log 4 3 4 − + = − + − = + ⇒ x x x x y  ⇒ x = y 3 ( ) 3  x = 4 − y Đáp số: x =1.
Ví dụ 3: Giải các phương trình sau: 2 a) x + x + 3 2 log + = 7x + 21x +14 b) 2 2x 1
2x − 6x + 2 = log 3 2 2x + 4x + 5 2 (x − )2 1 Lời giải: 2 a) Ta có: x + x + 3 log = 7( 2 2
2x + 4x + 5 − x − x − 3 . 3 2 ) 2x + 4x + 5 ⇔ log ( 2
x + x + 3) + 7( 2
x + x + 3) = log ( 2
2x + 4x + 5) + 7( 2 2x + 4x + 5 3 3 )
Xét hàm số f (t) = log t + t trên khoảng (0;+∞) ta có: f (t) 1 ' = +1 > 0 t ∀ ∈(0;+∞) 3 t ln 3 Do đó f ( 2
x + x + ) = f ( 2 x + x + ) 2 2 2 x = 1 3 2 4
5 ⇔ x + x + 3 = 2x + 4x + 5 ⇔ x + 3x + 2 = 0 − ⇔  x = 2 Đáp số: x = 1; − x = 2 − .  b) Điều kiện: { 1 x ≠ 1 x > − ⇔  2 2x +1 > 0 . x ≠1 Khi đó: 2
PT ⇔ 2x − 6x + 2 = log 2x +1 − log x −1 2 ( ) 2 ( )2 ⇔ 2( 2 x − 2x + )
1 − 2x = log 2x +1 − log x −1 2 ( ) 2 ( )2 ⇔ 2(x − )2 1 + log (x − )2
1 = 2x +1+ log 2x +1 −1 2 2 ( ) (x )2 (x )2  1   1 2 1 log 1 2 x  log  x  ⇔ − + − = + + + 2 2 2 2     
Xét hàm số f (t) = 2t + log t t ∈ 0;+∞ ta có f (t) 1 ' = 2 +
> 0 ∀t ∈(0;+∞) 2 ( ( )) t ln 2
Do vậy f (x − )2  1    = f x + ⇔ (x − )2 1 3± 7 1 1 = x + ⇔ x =   (t / m).    2  2 2
Ví dụ 4: Số nghiệm của phương trình log 3x + 2 + log x +1 = 4 là: 2 ( ) 3 ( ) A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Lời giải: Điều kiện: 2 x − >
. Xét hàm số: f (x) = log 3x + 2 + log x +1 với 3
x > − , f (2) = 4 2 ( ) 3 ( ) 3 2 Ta có: f (x) 3 1 2 ' − = ( + > x ∀ >
⇒ f x đồng biến 2 x − ∀ >
3x + 2)ln 2 (x + ) 0 ( ) 1 ln 3 3 3
Do vậy f (x) = f (2) ⇔ x = 2
Vậy x = 2 là nghiệm duy nhất của PT đã cho. Chọn A.
Ví dụ 5: Số nghiệm của phương trình 2x −1 2 log
= 3x −8x + 5 là: 2 (x − )2 1 A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Lời giải:
Điều kiện: 1 < x ≠ 1. Khi đó PT ⇔ log 2x −1 − log x −1 = 3x −8x + 5 3 ( ) 3 ( )2 2 2 ⇔ log (2x − ) 1 = log ( 2 x − 2x + ) 1 +1+ ( 2 3x −8x + 4 3 3 ) ⇔ log (2x − ) 1 = log ( 2 3x − 6x + 3) 2
+ 3x − 6x + 3− 2x −1 3 3 ( )
⇔ 2x −1+ log (2x − ) 1 = log ( 2 3x − 6x + 3) 2 + 3x − 6x + 3 3 3
Xét hàm số f (t) = t + log t t > 0 đồng biến trên khoảng (0;+∞) 3 ( )
Do đó f ( x − ) = f ( 2 x − x + ) 2 2 2 1 3 6
3 ⇔ 2x −1 = 3x − 6x + 3 ⇔ 3x −8x + 4 = 0 x = 2 ⇔  2 ⇒ x
phương trình có hai nghiệm. Chọn B. =  3 2
Ví dụ 6: Tập nghiệm của phương trình: x + x + 2 2 log
= x − 4x + 3 là: 2 2 2x − 3x + 5 A. { 1; − − } 3 . B. {1; } 3 − . C. { 1; − } 3 . D.{1; } 3 . Lời giải: Phương trình ⇔ log ( 2
x + x + 2) − log ( 2
2x − 3x + 5) = ( 2
2x − 3x + 5) −( 2 x + x + 2 2 2 ) ⇔ log ( 2 x + x + 2) + ( 2
x + x + 2) = log ( 2
2x − 3x + 5) + ( 2 2x − 3x + 5 2 2 )
Xét hàm số f (t) = log t + t , t > 0. Ta có: f (t) 1 ' =
+1 > 0 ∀t > 0 ⇒Hàm f đồng biến trên (0;+∞). 2 t ln 2 Do đó: f ( 2
x + x + ) = f ( 2 x − x + ) 2 2 2 x =1 2 2 3
5 ⇔ x + x + 2 = 2x − 3x + 5 ⇔ x − 4x + 3 = 0 ⇔ .  x = 3
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: {1; } 3 . Chọn D.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1: Giải phương trình log(x − ) 1 = 2. A. x =101. B. 2 x = e +1. C. 2 x = e −1. D. 2 x = π +1.
Câu 2: Giải phương trình log 3x − 2 = 3. 3 ( ) A. 29 x = . B. x = 87. C. 25 x = . D. 11 x = . 3 3 3
Câu 3: Phương trình log ( 2 3
− x + 5x +17 = 2 có tập nghiệm S là tập nào sau đây? 3 ) A.  8 S 1;  =     − . B. 8 S  =  1; − . C. 8 S  = 2;− . D. 8 S  =  1; − − .  3  3  3  3
Câu 4: Tìm tập nghiệm S của phương trình log ( 2
x − 4x + 3 = log 4x − 4 . 2 ) 2 ( ) A. S = {1; } 7 . B. S = { } 7 . C. S = { } 1 . D. S = {3; } 7 .
Câu 5: Phương trình log x + log x +1 =1có tập nghiệm S là tập nào sau đây? 2 2 ( ) − ±   −  A. 1 5 S  =   . B. S = { } 2 . C. 5 1 S =  . D. S = { } 1 .  2    2  
Câu 6: Số nghiệm của phương trình log x + 3 −1 = log x là bao nhiêu? 2 ( ) 2 A. 1. B. 3. C. 0. D. 2.
Câu 7: Giải phương trình log x + log x + log x =11. 2 4 8 A. x = 24. B. x = 36. C. x = 45. D. x = 64.
Câu 8: Tổng bình phương các nghiệm của log x + log x =1+ log .xlog x bằng 5 3 3 5 A. 64. B. 34. C. 8. D. 2.
Câu 9: Cho hàm f (x) = log ( 2
x − 2x . Tìm tập nghiệm S của phương trình f '(x) = 0 . 3 ) A. S = . ∅ B. S = {1± 2}. C. S = {0; } 2 . D. S = { } 1 .
Câu 10: Gọi x , x là hai nghiệm của phương trình 2log x − 3 + log x − 5 = 0. Tính tổng T = x + x . 4 ( ) 4 ( )2 1 2 1 2 A. T = 8. B. T = 8 + 2. C. T = 8 − 2. D. T = 4 + 2.
Câu 11: Giải phương trình (x + )+ (x + )2 5 log 2 log 2 = . 3 9 4 A. x =1. B. 8 5 x = 3 − 2. C. 4 5 x = 3 − 2. D. 4 x = 3 − 2.
Câu 12: Tìm nghiệm của phương trình log log x =1. 3 ( 2 ) A. x = 8. B. x = 6. C. x = 9. D. x = 2.
Câu 13: Tìm nghiệm của phương trình log ( 3x 1 3 − −1 = 3. 2 ) A. x = 2. B. x =1. C. x = 3. D. x = 8.
Câu 14: Gọi S tổng các nghiệm của phương trình x 1
4 − − 3.2x + 7 = 0. Tính S. A. S = log 7. B. S =12. C. S = 28. D. S = log 28. 2 2
Câu 15: Biết phương trình 2x 1
7 + −8.7x +1 = 0 có hai nghiệm x , x x < x . Tính x2 T = . 1 2 ( 1 2 ) x1 A. T = 4. B. T = 0. C. T = 1. − D. T = 2. x
Câu 16: Giải phương trình x 2 3 = 8.3 +15 = 0. A. {x = 2 . x = x = 2 x = log 5 x = log 5 B. { 2. x = 3 C. { . x = log 25 D. 3  . x =  log 25 3 3 3
Câu 17: Phương trình log 3.2x −8 = x −1có tổng tất cả các nghiệm bằng bao nhiêu? 4 ( ) A. 1. B. -4. C. 5. D. 7.
Câu 18: Tìm tất cả các nghiệm của phương trình log (2x ) 1 .log ( x 1 2 + − − 2 =1. 2 4 )
A. x = log 3 và x = log 5.
B. x =1 và x = 2 − . 2 2
C. x = log 3 và 5 x = log .
D. x =1 và x = 2 . 2 2 4
Câu 19: Giải phương trình log(2x + ) 1 =1. A. e 1 x + = . B. e 1 x − = . C. 9 x = . D. 11 x = . 2 2 2 2
Câu 20: Tìm nghiệm của phương trình log log x =1. 3 ( 2 ) A. x = 8. B. x = 6. C. x = 9. D. x = 2.
Câu 21: Gọi x , x là hai nghiệm của phương trình log ( 2
x +1 = log 3x −1 . Tính x + x . 2 ) 2 ( ) 1 2 1 2
A. x + x = 3.
B. x + x = 2.
C. x + x =1.
D. x + x = 4. 1 2 1 2 1 2 1 2
Câu 22: Tìm tập nghiệm S của phương trình log 2x +1 − log x −1 =1. 3 ( ) 3 ( ) A. S = { } 4 . B. S = { } 3 . C. S = {− } 2 . D. S = { } 1 .
Câu 23: Tìm tập nghiệm S của phương trình log (x − ) 1 + log x +1 =1. 2 0,5 ( ) A. S = {2+ 5}. B. S = {2± 5}. C. S = { } 3 . D. S = {3+ 13}.
Câu 24: Gọi x , x là hai nghiệm của log ( x 1
3 + −1 = 2x − log 2. Tính tổng 1 x 2 = 27 + 27x S . 3 ) 1 2 3 A. S = 252. B. S = 45. C. S = 9. D. S =180.
Câu 25: Tìm số thực x , biết log .xlog x = 36. − 3 1 3 A. 3 x = 6 − hoặc 3 x 6− = . B. 6 x = 3 hoặc 6 x 3− = . C. 36 x = 3 hoặc 36 x = 3 − D. 3 x = 6 hoặc 3 x 6− = − .
Câu 26: Tìm nghiệm của phương trình log x + log x = log 3. 5 25 0,2 A. 1 x = ± . B. 1 x = . C. 1 x = − . D. 3 x = 3. 3 3 3 3 3 3
Câu 27: Phương trình 6log 2x + 3log (x − )2
1 = 4 có bao nhiêu nghiệm thực? 8 8 A. Vô nghiệm. B. 3 nghiệm. C. 2 nghiệm. D. 1 nghiệm.
Câu 28: Gọi x , x là nghiệm của phương trình log x +1 + 2 = log
4 − x + log 4 + x . 4 ( )2 2 8 ( )3 1 2
Tính T = x − x . 1 2 A. T = 8 + 2 6. B. T = 8. C. T = 2 6. D. T = 4 6.
Câu 29: Nếu log log x = log log x thì (log x bằng bao nhiêu? 2 )2 2 ( 8 ) 8 ( 2 )
A. (log x)2 = 3.
B. (log x = 3 3. C. (log x = 27. D. (log x 3− = . 2 )2 1 2 )2 2 )2 2
Câu 30: Biết phương trình 2
log x − 5log x + 4 = 0 có hai nghiệm x , x . Tính tích x x . 2 2 1 2 1 2 A. x x = 64. B. x x = 32. C. x x =16. D. x x = 36. 1 2 1 2 1 2 1 2
Câu 31: Gọi x , x là nghiệm của 2
log x − 3log 5.log x + 2 = 0 . Tính P = x + x . 1 2 2 2 5 1 2 A. P = 20. B. P = 6. C. P = 36. D. P = 25.
Câu 32: Biết x , x là hai nghiệm của phương trình log 3 .xlog x = 2 . Tính x + x . 1 2 3 3 1 2 A. 1 x + x = . B. 28 x + x = . C. 26 x + x = . D. 1 x + x = . 1 2 9 1 2 9 1 2 3 1 2 3
Câu 33: Tổng bình phương các nghiệm của phương trình 2 log log x x − = 4 bằng 2 2 4 A. 17 . B. 0. C. 4. D. 65 . 4 4 x  − 
Câu 34: Cho x thỏa phương trình 5.2 8 log 
 = 3 − x . Tính giá trị của biểu thức log2 4x P = x . 2  2x + 2  A. P = 4. B. P =1. C. P = 8. D. P = 2.
Câu 35: Số nghiệm của phương trình log 4x − log = là x 2 3 2 ( ) 2 A. 1. B. 0. C. 2. D. 3.
Câu 36: Gọi x , x là hai nghiệm của phương trình 2
log x − 5log x + 4 = 0 . Tính tích x x . 1 2 2 2 1 2 A. x x =16. B. x x = 36. C. x x = 22. D. x x = 32. 1 2 1 2 1 2 1 2
Câu 37: Tính tổng S các nghiệm của phương trình 2
log x − log 9x + 2 = 0 3 3 ( ) A. S =10. B. S = 3. C. S = 0. D. S = 4.
Câu 38: Gọi x , x là hai nghiệm của phương trình 2
log x + log .xlog 27 − 4 = 0 . Tính tích số 1 2 3
A = log x + log x 1 2 A. A = 3. B. A = 3. − C. A = 2. − D. A = 4.
Câu 39: Tính tổng S các nghiệm của phương trình log (2x ) 1 .log ( x 1 2 + − − 2 =1. 2 4 ) A. S = log 15. B. S = 1. − C. 15 S = log . D. S = 3. 2 2 4
Câu 40: Giải phương trình log (3x + ) 1 .log ( x+2 3 + 9 = 3. 3 3 ) A. x = log 2. B. 1 x = log 3.
C. x =1, x = 3 − . D. 1 x = − , x =1. 3 2 2 3
Câu 41: Phương trình 7x = 6x +1 có tất cả bao nhiêu nghiệm? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Câu 42: Tổng giá trị tất cả các nghiệm của phương trình 2 log . x log . x log .
x log x = bằng 3 9 27 81 3 A. 82 . B. 80 . C. 9. D. 0. 9 9
Câu 43: Biết phương trình 2log x + 3log = có hai nghiệm thực x < x . Tính giá trị biểu thức x 2 7 2 1 2 = ( ) 2x T x . 1 A. T = 64. B. T = 32. C. T = 8. D. T =16.
Câu 44: Tập nghiệm của phương trình log ( 2 x − 7 = 2 là 3 ) A. {− 15; 15}. B. { 4; − } 4 . C. { } 4 . D. {− } 4 .
Câu 45: Tích các nghiệm của phương trình log 3x .log 9x = 4 là 3 ( ) 3 ( ) A. 1. B. 4 . C. 1 . D. 1. 3 3 27
Câu 46: Tính tổng các nghiệm của phương trình log ( 2 x + 2x + ) 1 = log ( 2 x + 2x . 3 2 ) A. 0. B. 2 3. C. -2. D. 1.
Câu 47: Số nghiệm của phương trình log .xlog 2x −1 = 2log x là 2 3 ( ) 2 A. 2. B. 1. C. 0. D. 3.
Câu 48: Cho hàm số ( ) = 2x f x
− x ln8 . Phương trình f '(x) = 0 có nghiệm là A. x = log 3 B. x = log 2 C. x = 2 D. x = log ln8 2 ( ) 2 3
Câu 49: Số nghiệm của phương trình log ( 2
x + 4x − log 2x + 3 = 0 là 3 ) 3 ( ) A. 3. B. 2. C. 1. D. 0. Câu 50: Gọi x x x
a là một nghiệm của (26+15 3) + 2.(7 + 4 3) − 2(2− 3) =1. Khi đó giá trị của biểu thức nào sau đây là đúng? A. 2 a + a = 2. B. 2
sin a + cos a =1.
C. 2 + cos a = 2.
D. 3a + 2a = 5.
Câu 51: Số nghiệm của phương trình log log x + log log x = 2 là 4 ( 2 ) 2 ( 4 ) A. 0. B. 2. C. 3. D. 1.
Câu 52: Cho phương trình 2
log x + log x 8 − 3 = 0 . Khi đặt t = log x , phương trình đã cho trở thành 2 2 ( ) 2
phương trình nào dưới đây? A. 2
8t + 2t − 6 = 0 B. 2 4t + t = 0 C. 2
4t + t − 3 = 0 D. 2
8t + 2t − 3 = 0
Câu 53: Biết rằng phương trình 2
3log x − log x −1 = 0 có hai nghiệm a, b. Khẳng định nào sau đây đúng? 2 2 A. 1 a + b = . B. 1 ab = − . C. 3 ab = 2. D. 3 a + b = 2. 3 3
Câu 54: Tổng tất cả các nghiệm của phương trình 2
log x − 2log x = 2log x + 3bằng 3 3 1 3 A. 2. B. 27. C. 82 . D. 80 . 3 3
Câu 55: Phương trình log (x + 3) + log (x − )4
1 = 4log 4x có bao nhiêu nghiệm ? 3 9 9 ( ) A. 3. B. 1. C. 2. D. 0.
Câu 56: Xét 0 < a, , b x ≠ 1. Đặt ( x + x = x x . Chọn câu đúng? a )2 ( b )2 6 log 6 log 13loga .logb (*) A. ( ) 2 3 * ⇔ a = b . B. ( ) 2 3 * ⇔ b = a . C. (*) ⇔ x = . ab D. ( ) 5 5 2 2
* ⇔ a + b = a b (1+ ab).
Câu 57: Giải phương trình 1 1 1 + + ...+ = 2018 có nghiệm là log x log x log x 2 3 2018
A. x = 2018.2018! B. 2018 x = 2018! C. x = 2017! D. x = ( )2018 2018!
Câu 58: Tích các nghiệm thực của phương trình 2
log x − log .xlog (81x) 2 + log x = 0 bằng 2 2 3 3 A. 18. B. 16. C. 17. D. 15.
LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: 2
PT ⇔ x −1 =10 ⇔ x =101. Chọn A. Câu 2: 3 29
PT ⇔ 3x − 2 = 3 ⇔ x = . Chọn A. 3 x = 1 − Câu 3: 2 2 PT ⇔ 3
− x + 5x +17 = 3 ⇔  8 . Chọn B.x =  3 Câu 4: 4x − 4 > 0 PT ⇔  ⇔ = . 2 x 7 Chọn B.
x − 4x + 3 = 4x − 4
Câu 5: Điều kiện x > 0.
PT ⇔ log x x +1  =1 ⇔ x x +1 = 2 ⇒ x =1. Chọn D. 2  ( ) ( )
Câu 6: Điều kiện x > 0. PT ⇔ (x + ) 2 x + 3 x + 3 3 log 3 − log x =1 ⇔ log = 1 ⇔
= 2 ⇒ x = . Chọn A. 2 2 2 2 2 x x 2
Câu 7: Điều kiện x > 0. 1 1 6
PT ⇔ log x + log x + log x =11 ⇔ log x = 6 ⇔ x = 2 = 64 . Chọn D. 2 2 2 2 2 3
Câu 8: Điều kiện x > 0. PT ⇔ ( log x = 1 x = 3
log x −1 log x −1 = 0 ⇔ ⇔
⇒ x + x = 34 . Chọn B. 3 )( 5 ) 3 2 2  =  1 2 log x 1 x = 5 5
Câu 9: Ta có f (x) 2x − 2 ' = (
= 0 ⇔ x =1. Chọn D. 2 x − 2x)ln3
Câu 10: Điều kiện x > 3, x ≠ 5.
PT ⇔ log (x −3)2 + log (x − 5)2 = 0 ⇔ log (x − 3)2 (x − 5)2  = 0 4 4 4   x x
⇔ (x − )2 (x − )2 ( − 3)( − 5) =1 3 5 =1 ⇔ ( x x
thỏa mãn. Chọn B. x − )(x − ) ⇒ = 4 + 2; =  4 3 5 = 1 − 
Câu 11: Điều kiện x > 2. − 5 5
PT ⇔ log (x + 2) + log (x + 2) 5 = ⇔ log (x + 2) 5 8 8
= ⇔ x + 2 = 3 ⇔ x = 3 − 2 . Chọn B. 3 3 3 4 8
Câu 12: Điều kiện {x > 0 x > 0 ⇔ ⇔ x >1. log x > 0 x >1 2 { Phương trình 3
⇔ log x = 3 ⇔ x = 2 = 8 . Chọn A. 2
Câu 13: Phương trình 3x 1 − 3 3x 1 3 1 2 3 − ⇔ − = ⇔
= 9 ⇔ 3x −1 = 2 ⇔ x =1. Chọn B.
Câu 14: Phương trình 1
⇔ .(2x )2 −3.2x + 7 = 0 ⇔ 2x = 6 ± 2 2 ⇔ x = log 6 ± 2 2 2 ( ) 4
⇒ S = log 6 + 2 2 + log 6 − 2 2 = log  6 + 2 2 6 − 2 2  = log 28 2 ( ) 2( ) 2 ( )( ) 2  . Chọn D. 7x =1
Câu 15: PT ⇔ 7.(7x )2 xx = 0 0 − 8.7 +1 = 0 ⇔  T . Chọn B. x 1 ⇔ ⇒ = = 0 7  = x = 1 − 1 −  7  x 2 x x x  = 1   2 =  Câu 16: 3 3 2 x = 2 2 2
PT ⇔ 3  −8.3 +15 = 0 ⇔ ⇔  ⇔ . Chọn C. xx    x = 2log 5 = log 25 3 3 2 3 = 5  = log 5 3  2
Câu 17: Điều kiện x 8 8
2 > ⇔ x > log . 2 3 3 − 1 PT ⇔ − = = ( x)2 x x x 1 2 = 8 x = 3 3.2 8 4 . 2 ⇔ ⇔ ⇒ x + x =  5. Chọn C. x  1 2 4 2 = 4 x = 2 Câu 18: Ta có x 1 log 2 1 log 2 2x 1  − −
= 1 ⇔ log 2x −1 1+ log 2x −1 = 2 2 ( ) 2 ( ( )  2 ( )( 2 ( ) 2  log (2 − )  = 2x x −1 = 2 x = log 3 1 1 2 2 ⇔  ⇔  ⇔  . Chọn C. x x 1 5 log 2 −1 = 2 − 2 −1 = x = log 2  ( ) 2  4  4
Câu 19: Phương trình 9
⇔ 2x +1 =10 ⇔ x = . Chọn C. 2
Câu 20: Điều kiện {x > 0 x > 0 ⇔ ⇔ x >1. log x > 0 x >1 2 { Phương trình 3
⇔ log x = 3 ⇔ x = 2 = 8 . Chọn A. 2
Câu 21: Điều kiện 1
x > . Phương trình 2 x =1
⇔ x +1 = 3x −1 ⇔
⇒ x + x = 3. Chọn A. 3  1 2 x = 2
Câu 22: Điều kiện + +
x >1. Phương trình 2x 1 2x 1 ⇔ log = 1 ⇔
= 3 ⇔ x = 4 . Chọn A. 3 x −1 x −1
Câu 23: Điều kiện x >1. 2 2 − − PT ⇔ (x − )2 x 1 x 1 log
1 − log x +1 =1 ⇔ log = 1 ⇔
= 2 ⇒ x = 2 + 5 . Chọn A. 2 2 ( ) ( ) ( ) 2 x +1 x +1
Câu 24: Ta có log ( x 1 3 + − ) 1 + log 2 = 2 ⇔ log 2  ( x 1 3 + − ) 1 = 2 ⇔ 2  ( x 1 3 +   − ) 2 1 = 3 x x x 3 3 3
⇔ (3x )2 − 6.3x + 2 = 0 ⇔ 3x = 3± 7 ⇔ x = log 3± 7 ⇒ S =180 . Chọn D. 3 ( )
Câu 25: Điều kiện x > 0. Phương trình ⇔ x (− x) 6 log x = 6  = 3 x 3 log . log = 36 − ⇔ ⇔ . Chọn B. 3 3   6 log x = 6 − − 3 x = 3
Câu 26: Điều kiện x > 0. 1
PT ⇔ log x + log x = −log 3 ⇔ 3log x = 2 − log 3 = −log 3 5 5 5 5 5 5 2 1 1 1 1 ⇔ log x = log = log ⇔ x = . Chọn B. 5 5 5 3 3 3 3 3
Câu 27: Điều kiện: {x > 0. x ≠ 1
Ta có 6log 2x + 3log (x − )2
1 = 4 ⇔ 2 log x +1 + 2log x −1 = 4 8 8 ( 2 ) 2
⇔ log x + log x −1 =1 ⇔ log x x −1 =1 ⇔ x x −1 = 2 2 2 2 ( ) x(x − ) 2 1 = 2
x − x − 2 = 0 x = 1 − (l) ⇔ ⇔ ⇔  Chọn D. x  ( x − )  . 2 1 = 2 − x x 2 0  (vn)  − + = x = 2
Câu 28: Điều kiện: { 4 − < x < 4. 2 3 x + + = − + + ≠ 1 − Ta có log x 1 2 log 4 x log 4 x 4 ( ) 2 8 ( )
⇔ log x +1 + 2 = log (4 − x) + log (4 + x) ⇔ log (4 x +1) = log ( 2 16 − x ) 2
⇔ 4 x +1 =16 − x . 2 2 2 2 2 x = 2 2 16
 − x = 4(x + ) 2 1   + − = x = 6 x 4x 12 0 − (l) ⇔  ⇔ ⇔  ⇒ 
T = x − x = 2 6. Chọn C. 2 16 − x = 4 −  (x + ) 2 1
x − 4x − 20 = 0
x = 2 + 2 6 (l) 1 2  x = 2 − 2 6 Câu 29: ( x) ( x)  1 log log log log log log x ⇔ = ⇔ =   log ( 3 log x 2 8 8 2 2 2 2 2 )  3  1 3 2 3
⇔ log x = log x ⇔ log x = 27log x ⇔ log x = 27. Chọn B. 2 2 2 2 2 3 Câu 30: 2 log x =1  = 2 x 2
log x − 5log x + 4 = 0 ⇔ ⇔
⇒ x x = 32 . Chọn B. 2 2  =  1 2 log x 4 x = 16 2 Câu 31: 2 2 log x = 1  = 2 x 2
log x − 3log 5.log x + 2 = 0 ⇔ log x − 3log x + 2 = 0 ⇔ ⇔ 2 2 5 2 2
log x = 2 x = 4 2
Do đó suy ra P = x + x = 6 . Chọn B. 1 2
Câu 32: log 3 .xlog x = 2 ⇔ (1+ log x) 2
log x = 2 ⇔ log x + log x − 2 = 0 3 3 3 3 3 3 x = 3 log x = 1 28 3 ⇔ ⇔  1 ⇒ x + x =  . Chọn B. 1 2 log x = 2 −  = 3 x 9  9 Câu 33: 2 x 2 log x − log
= 4 ⇔ log x − (log x − 2) 2
= 4 ⇔ log x − log x − 2 = 0 2 2 2 2 2 2 4  1 log x = 1 − x = 65 2 2 2 ⇔ ⇔  2 ⇒ x + x =  . Chọn D. 1 2 log x = 2 2  4 x = 4 x x  −  Câu 34: 5.2 8 5.2 −8 3−x x 4 log   = 3 − x ⇔
= 2 ⇔ 5.2 −8 = 8 + 2 −x 2  2x + 2  2x + 2 2x = 4 2x x log 4
⇔ 5.2 −16.2 −16 = 0 ⇔ 
⇔ x = ⇒ P = x = Chọn C. x 4 x 2 = − (l) 2 2 8.  5
Câu 35: log (4x) 1 2 − log = ⇔ + x − = ⇔ x − x = x 2 3 2 log 3 log 2log 0 2 2 2 2 log x −1 2 2 log x = 0  = 2 x 1 ⇔
nên phương trình có 2 nghiệm. Chọn C. log x = 2 ⇔  x = 4 2 Câu 36: 2 log x = 1  = 2 x 2
log x − 5log x + 4 = 0 ⇔ ⇔
⇒ x x = 32 . Chọn D. 2 2  =  1 2 log x 4 x = 16 2 Câu 37: 2 x − ( x) 2 log x = 0  = 3 x 1 log
log 9 + 2 = 0 ⇔ log x − log x = 0 ⇔ ⇔
⇒ S = 4 . Chọn D. 3 3 3 3
log x =1 x = 3 3 Câu 38: 2 2
log x + log .xlog 27 − 4 = 0 ⇔ log x + 3log x − 4 = 0 ⇒ A = log x + log x = 3 − . Chọn B. 3 1 2 Câu 39: ( x − ) ( x 1+ 1
log 2 1 .log 2 − 2 =1 ⇔ log 2x −1 log 2 2x −1  =1 2 4 ) 2 ( ) 2  ( ) 2  ⇔ log (2x − ) 1 1+ log  (2x − ) 2
1 = 2 ⇔ log 2x −1 + log 2x   −1 − 2 = 0 2 2 2  ( ) 2 ( ) log (2 − )  = 2x x −1 = 2 x = log 3 1 1 2 2 5 15 ⇔  ⇔  ⇔  ⇒ x + x = + = . Chọn C. x x 1 5 log 3 log log log 2 −1 = 2 − 2 −1 = x = log 4 4 2  ( ) 1 2 2 2 2 2  4  4
Câu 40: log ( x+2
3 + 9 = log 9 3x +1  = 2 + log 3x +1 3 ) 3  ( ) 3  ( )   + = 3x x +1 = 3 log 3 1 1 2
⇒ log 3x +1 + 2log 3x +1 = 3 ⇔  ⇔  ⇔ x = Chọn A. x x 1 log 2. 3 ( ) 3 ( ) 3 ( ) log  (3 + ) 3 1 = 3 − 3 +1 = 3  27
Câu 41: Xét f (x) x =
− x − x ∈ ⇒ f (x) x 6 7 6 1, '
= 7 ln 7 − 6 = 0 ⇔ x = log (nghiệm duy nhất). 7 ln 7
Từ đó f (x) = 0 có nhiều nhất 2 nghiệm mà f ( ) = f ( ) =  → f (x) x = 0 0 1 0 = 0 ⇔ .  Chọn C.x = 1
Câu 42: Điều kiện x > 0. x = 9  1  1  1  2 log x = 2 82 3
PT ⇔ log . log x log x log x = ⇔ ⇔   1 ⇒ x + x = . Chọn A. 3 3 3 3  1 2  2  3  4  3 log x = 2 −  = 3 x 9  9
Câu 43: Điều kiện x > 0; x ≠ 1. 3 2 PT ⇔ 2log x +
= 7 ⇒ 2log x − 7log x + 3 = 0 2 2 2 log x 2 log x = 3 2 x = 8 ⇔  1 ⇔ ⇒ T =  ( 2)8 =16. Chọn D. log x = 2 x = 2  2 Câu 44: 2 2
PT ⇔ x − 7 = 3 ⇔ x = 4 ± . Chọn B.
Câu 45: Điều kiện x > 0. PT ⇔ ( 1
1+ log x 2 + log x = 4 ⇒ log x + log x = 3 − ⇔ log x x = 3 − ⇒ x x = . Chọn C. 3 )( 3 ) 3 1 3 2 3 ( 1 2 ) 1 2 27 t Câu 46: Đặt (x + x+ ) = (x + x) 2 2 2 x + 2x +1 = 3 log 2 1 log 2 = t ⇒  ⇒ 3t = 2t +1 3 2 2
x + 2x = 2t
 2 t  1 t ⇔ + = 1⇒ t =1⇒ log ( 2 x + 2x) 2
= 1 ⇔ x + 2x = 2 ⇒ x + x = 2 −     . Chọn C. 2 1 2  3   3 
Câu 47: Điều kiện 1 x > . 2 log x = 0 2 x =1 x =1
PT ⇔ log 2x−1 = 2 ⇔ . Chọn A.  2x −1 = 9 ⇔   x = 5 3 ( )
Câu 48: Ta có '( ) = 2x ln 2 − ln8 = 0 ⇔ 2x ln 2 −3ln 2 = 0 ⇔ 2x f x
= 3 ⇔ x = log 3. Chọn A. 2 2 Câu 49:x + 4x > 0 PT ⇔ 
⇔ x =1. Chọn C. 2
x + 4x = 2x + 3
Câu 50: Xét ( ) = (26+15 3)x + 2(7 + 4 3)x − 2(2− 3)x f x −1, x ∈ 
⇒ '( ) = (26+15 3)x ln(26+15 3)+ 2(7 + 4 3)x ln(7 + 4 3)− 2(2− 3)x f x ln (2− 3) > 0, x ∀ ∈ . 
Từ đó f (x) = 0 nếu có nghiệm thì sẽ có nghiệm duy nhất mà f (0) = 0 
→ x = 0 ⇒ a = 0. Chọn B.
Câu 51: Điều kiện x >1.  1  1
PT ⇔ t = log x > 0 ⇒ log t + log
t = 2 ⇔ log t −1+ log t =   2 2 4 2 2 2  2  2
⇔ log t = 2 ⇔ t = 4 ⇒ log x = 4 ⇔ x =16. Chọn D. 2 2
Câu 52: Điều kiện x > 0. PT ⇔ ( x)2 3 2 3 2log
+ log x + − 3 = 0 
→ 4t + t − = 0 . Chọn D. 2 2 2 2
Câu 53: Điều kiện x > 0. 1+ 13  1 6 1± 13 a = 2 3 PT ⇔ log x = ⇒ 
⇒ ab = 2 . Chọn C. 2 1− 13 6  6 b  = 2
Câu 54: Điều kiện x > 0. x = 27 2 log x = 3 82 3
PT ⇔ log x − 4log x = 2 − log x + 3 ⇔ ⇔  1 ⇒ x + x = . Chọn C. 3 3 3  1 2 log x = 1 −  = 3 x 3  3
Câu 55: Điều kiện x > 0; x ≠ 1.
PT ⇔ log (x + 3)2 + log (x − )2 1 = 2log (4x) = log ( 2 16x 3 3 3 3 ) . Chọn C. ⇒ (  x + x − = xx =
x + 3)2 (x − )2 3 1 4 3 2 ( )( ) 1 =16x ⇔ ( ⇒
x 3)(x )1 4x  + − = − x = 2 3 − 3 log x = log x 1 b
Câu 56: Ta có (3log x − 2log x)(2log x −3log x) 3 = 0 ⇒  a a b a b log x = log x 1 a 3  b 1  3 2 3 a = ba = b ⇒ ⇔ ⇔ ( 2 3 a − b )( 3 2 a − b ) 5 5 2 2
= 0 ⇔ a + b = a b 1+  ab . Chọn D. 1 3 2 ( )  a = b 3  a = b
Câu 57: Điều kiện x > 0; x ≠ 1. 2018 2018 PT ⇔ log + + + = ⇒ = x ⇔ x = . Chọn B. x 2
logx 3 ... logx 2018 2018 2.3...2018 2018!
Câu 58: Điều kiện x > 0. 2
PT ⇔ log x − log x 4 + log x + 4log x = 0 2 2 ( 3 ) 3 ⇔ x( x − ) − x( x − ) log x = 4  = 2 x 16 log log 4 log log 4 = 0 ⇔ ⇔ . Chọn B. 2 2 3 2
log x = log x x =1 2 3
Document Outline

  • ITMTTL~1
  • IIBITP~1
  • IIILIG~1