Chuyên đề trắc nghiệm phương trình mũ

Tài liệu gồm 26 trang, trình bày lý thuyết trọng tâm, các dạng toán trọng tâm kèm phương pháp giải và bài tập trắc nghiệm tự luyện chuyên đề phương trình mũ, có đáp án và lời giải chi tiết; hỗ trợ học sinh lớp 12 trong quá trình học tập chương trình Toán 12

88 44 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 6: Hàm số mũ và hàm số lôgarit (KNTT)

Môn: Toán 11

Thông tin:

26 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Kim Oanh
CHỦ ĐỀ 4: PHƯƠNG TRÌNH MŨ
I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1) Phương trình mũ cơ bản
Phương trình:
x
ab=
(với
0; 1
aa>≠
)
Với
0b >
, ta có
log
x
a
ab x b=⇔=
Với
0b ≤
, phương trình đã cho vô nghiệm.
2) Các phương pháp giải phương trình mũ
Phương pháp 1. Đưa về cùng cơ số
Nếu
10a≠>
thì phương trình:
(
) (
)
(
) (
)
f x gx
a a f x gx
=⇔=
Phương trình dạng:
( ) (
)
f x gx
ab=
, với
(
)
. 11 ; 0ab a b
=≠>
ta sẽ giải như sau:
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
1 ()
1
gx
gx
fx gx fx
gx
a b a a a f x gx
a
−−

=⇔= = = ⇔ =−


II. CÁC DẠNG TOÁN TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
a)
2
1 21
33
xx x−+ −
=
b)
( )
1
57
2
1, 5
3
x
x
+
−

=


Lời giải
a) Ta có:
2
1 21 2 2
1
3 3 12 1 3 20
2
xx x
x
xx x x x
x
−+ −
=
= ⇔−+=−⇔−+=⇔
=
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là
1; 2xx
= =
b) Ta có:
( )
57
1 1 1 57
57
233 3
1, 5
322 2
x
xx x
x
−
+ + − −+
−

   
=⇔= =

   
   


15766 1x x xx⇔ +=− + ⇔ = ⇔ =
a)
12 1
2 2 2 5 2.5
xx x x x++ −
++ =+
b)
(
)
(
)
1
1
1
52 52
x
x
x
−
−
+
+=−
Lời giải
a)
2
57
2 2.2 4.2 5 2. 7.2 .5
55
x
xx x x x
PT ⇔+ + =+ ⇔ =
2
5
21 2 1 1
log
55 5 5 5
x
x
x
x

⇔ =⇔ =⇔=


b) Do
( )( )
( )
( )
1
52 52 1 52 52
−
+ −=⇒ += −
Do đó
( ) ( ) ( ) ( )
11
1
11
11
52 52 52 52
xx
x
x
xx
PT
−−
−
−−
++

⇔ − =−=−=−


(ĐK
1x ≠−
)
22
1
1
1 1 1 20
2
1
x
x
x xx xx
x
x
=
−
⇔− = ⇔− = −⇔ + − = ⇔
= −
+
Vậy nghiệm của phương trình là
1; 2xx
= = −
.
12 1
2 2 2 5 2.5
xx x x x++ −
++ =+
Lời giải
Ta có
12 1 2
1
2 2 2 5 2.5 2 2 .2 2 .2 5 2.5 .
5
xx x x x xx x x x++ −
+ + =+ ⇔+ + =+
(
)
5
2
2 75
1 2 4 2 1 .5 7.2 .5 5 log 5
5 52
x
x x xx
x

⇔ ++ = + ⇔ = ⇔ =⇔ =


Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm là
5
2
log 5x =
.
a)
2
32 1
2 16
xx x+− +
=
b)
2
4
1
3
243
xx−+
=
Lời giải
a)
22
32 1 32 44 2 2
2
2 16 2 2 3 2 4 4 6 0
3
xx x xx x
x
x x x xx
x
+− + +− +
=
= ⇔ = ⇔+−=+⇔−−=⇔
= −
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là
2
x =
và
3x = −
.
b)
22
4 45 2
1
1
3 3 3 45
5
243
xx xx
x
xx
x
−+ −+ −
= −
= ⇔ = ⇔− + =− ⇔
=
Vậy phương trình đã cho có nghiệm
1; 5xx=−=
a)
10 5
10 15
16 0,125.8
xx
xx
++
−−
=
b)
( )
22 2 2
1 12
5 3 25 3
xx x x+ −−
−= −
Lời giải
a) Điều kiện:
10 0 10
15 0 15
xx
xx
−≠ ≠

⇔

−≠ ≠

Do
4 33
1
16 2 ;0,125 2 ;8 2
8
−
= = = =
nên ta có
10 5
4. 3.
3
10 15
10 5
2 2 .2 4. 3 3.
10 15
xx
xx
xx
PT
xx
++
−
−−
++
⇔ = ⇔ =−+
−−
( )
( )
2
0
4 10
60
5 150 15 150
20
10 15
x
x
xx x
x
xx
=
+
⇔ = ⇔ −− = − →
=
−−
Vậy phương trình có nghiệm
0; 20xx= =
.
b)
( )
22 22 22 2222 22
1 12
22 2 2
5 3 2 5 3 5 3.3 5 3 5 5 3.3 3
59 5 9
xx xx xx xxxx xx+ −−
− = − ⇔− = − ⇔− = −
22
22
3
3 25 5 125 5 5
53 3
5 9 3 27 3 3
xx
xx
x
  
⇔=⇔=⇔=→=±
  
  
Vậy phương trình đã cho có nghiệm
3x = ±
.
a)
2 9 27
.
3 8 64
xx

=


b)
1 21
4.9 3 2
xx−+
=
Lời giải
a)
33
2927293 33
.. 3
3864384 44
xx x x
x
   
= ⇔ = ⇔ = →=
   
   
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
3x =
.
b)
( )
21
1
32
2
1 21 23 23
2
21
2
4.9
4.9 3 2 1 3 .2 1 3 . 2 1
3.2
x
x
x
xx x x
x
+
−
−
−
−+ − −
+
= ⇔=⇔ =⇔ =
23 0
3 33
1
2
22
x
x
−
 
⇔ == ⇔=
 
 
. Vậy phương trình đã cho có nghiệm
3
2
x =
.
Cách khác:
1 21 1 21
81 81 18.81
4.9 3 2 16.81 9.2 16. 9.2.4
81 4 16
x
x
x x xx x
− + −+

= ⇔ =⇔ =⇔=


23
99 3
22 2
x
x
 
⇔ = ⇔=
 
 
.
a)
( )
2
1
1
3
2
22 4
x
x
x
−
+

=



b)
( )
( )
2
56
32 32
xx−
+=−
Lời giải
a)
( )
2
1
1
3
2
22 4
x
x
x
−
+

=



, (1). Điều kiện:
0
1
x
x
>
≠
(1)
( )
( )
( )
( )
31
1
2
31
2 2 2 2 5 30 3 9
1
x
xx
x
xx x x
xx
+
−
+
⇔ = ⇔ =⇔ − −=⇔ =⇔ =
−
Vậy phương trình đã cho có nghiệm
9x
=
.
b)
(
)
( )
2
56
32 32
xx−
+=−
, (2).
Do
( )
( )
( )
(
)
(
)
1
1
32321 32 32
32
−
+ −=→−= =+
+
( )
( )
( )
2
56
2
2
2 32 32 560
3
xx
x
xx
x
−−
=
⇔ + = + ⇔ − +=⇔
=
Vậy phương trình đã cho có nghiệm
2x =
và
3x
=
.
Ví dụ 8: Số nghiệm của phương trình
2
32 1
2 16
xx x+− +
=
là:
A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Lời giải
(
)
22
1
32 4 32 44 2
2 2 2 2 3 24 4
x
xx xx x
PT x x x
+
+− +− +
⇔=⇔=⇔+−=+
2
3
60
2
x
xx
x
=
⇔ −−=⇔
=
. Chọn C.
Ví dụ 9: Tổng bình phương các nghiệm của phương trình
( )
2
1
21 21
xx−−
−=+
là:
A.
5T =
. B.
1T
=
. C.
10T =
. D.
13T =
.
Lời giải
Ta có:
( ) ( )
2
11
2 22
0
21 21 1 1 0 1 1
1
xx
x
PT x x T
x
−− −
=
⇔ − = − ⇔ − −=−⇔ ⇒ = + =
=
. Chọn B.
Ví dụ 10: Tổng lập phương tất cả các nghiệm của phương trình
2
4
1
3
243
xx−+
=
A.
124T
=
. B.
125T =
. C.
126T =
. D.
26T =
.
Lời giải
Ta có:
2
4 52 2
1
1
3 3 4 5 4 50
5
243
xx
x
PT x x x x
x
−+ −
= −
⇔ = = ⇔− + =− ⇔ − − = ⇔
=
Do đó
( )
3
3
1 5 124T =−+=
. Chọn A.
11
44 22
xx xx++
+=+
22
log 3 log 5xa b= +
;ab∈
). Giá trị của
T ab= +
là:
A.
0T =
. B.
1T =
. C.
2T = −
. D.
2T =
.
Lời giải
Ta có:
2 22
33
4 4.4 2 2.2 5.4 3.2 2 log log 3 log 5
55
xxxx xxx
PT x⇔+=+⇔=⇔=⇔= = −
Khi đó
1; 1 0a b T ab= =−⇒ = + =
. Chọn A.
Ví dụ 12: Nghiệm của phương trình
( ) ( )
31 5 7
23 23
xx++
+=−
là
0
x
thì giá trị của
0
0
3
x
Ax= +
bằng
A.
10
3
A
=
. B.
4
3
A =
. C.
4A
=
. D.
2
3
A
−
=
.
Lời giải
Do
(
)
(
)
( )
1
232312323
−
+ − =⇒− = +
Ta có:
( ) ( )
( )
(
)
31 5 7 31 5 7
23 23 23 23 3157 1
xx x x
x xx
+ + + −−
+=−⇔+=+ ⇔+=−−⇔=−
Vậy
1
2
13
3
A
−
−
=−+ =
. Chọn D.
Phương pháp 2. Lấy logarit hai vế phương trình (logarit hóa)
Phương trình dạng:
( ) ( )
f x gx
aa=
, với
( )
. 11 ; 0
ab a b=≠>
ta sẽ giải như sau:
Lấy logarit 2 vế với cơ số a ta được:
( ) ( )
( ) ( )
log log log
f x gx
aa a
a a f x gx b= ⇔=
a)
1
1
7 .27 3087
x
x

−


=
b)
2
2
8 36.3
x
x
x
−
+
=
Lời giải
a) ĐK:
0x ≠
.Ta có:
1
33 3
3
2
32 3 3
7 .27 7 .3 7 3 7 3
x
xx
x xx
x
xx
−

− −+
−

−−

= ⇔= ⇔=
Logarit cơ số 3 cả 2 vế ta được:
3
3
33
log 7 log 3
x
x
x
−+
−
=
( )
3
3
3
3
3
3
3 log 7
1
1
3
log 7
log 7
x
x
x
x
x
x
=
=
−
⇔− =− ⇔ ⇔
−
=
= −
b) ĐK:
2
x ≠−
,
3 33
2
222 4 4
2 22
2 2 .3 .3 2 3 2 3
x xx
x xx
x xx
PT
−
− −−
+ ++
⇔= ⇔ =⇔=
Logarit cơ số 2 cả 2 vế ta được:
( )
2
23
4
4
4 log 3
1
2
log 3 2 log 2
2
x
x
x
x
x
x
=
−
=−⇔
+
=− ⇔ =−−
+
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là:
3
4; 2 log 2xx= =−−
.
a)
1
3 .2 72
xx+
=
b)
2
5 .3 1
xx
=
c)
3 22 3
7 9.5 5 9.7
x xx x
+=+
Lời giải
a)
1
1 22 2
3 .2
3 .2 72 1 3 .2 1 6 1 2
9.8
xx
xx x x x
x
+
+ −− −
= ⇔ =⇔ =⇔ =→=
Vậy phương trình có nghiệm
1x =
.
b)
( )
22 2
2
3 333 3
5 .3 1 log 5 .3 log 1 log 5 log 3 0 log 5 0
xx xx x x
xx=⇔ = ⇔ + =⇔ +=
( )
3
3
0
log 5 0
log 5
x
xx
x
=
⇔ +=→
= −
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm
0x =
và
3
log 5x = −
.
c)
( )
(
)
3 22 3 3 2 32 3 2
7 9.5 5 9.7 8.7 8.5 7 5 lg 7 lg 5 3 .lg 7 2 .lg5 0
x xx x x x xx x x
xx
+ =+ ⇔ = ⇔=⇔ = ⇔ − =
( )
3lg 7 2lg 5 0 0xx→ − =⇔=
Vậy phương trình đã cho có nghiệm
0
x =
.
a)
1
5 .8 500
x
x
x
+
=
b)
21
1
5 .2 50
x
x
x
−
+
=
Lời giải
a)
1
5 .8 500
x
x
x
+
=
, (1) Điều kiện:
0x ≠
( )
( )
( )
13 3
3
32 3 3
22 2
3
1 5 .2 5 .2 2 5 log 2 log 5 3 log 5
xx x
xx x
xx x
x
x
x
+− −
−−

−
⇔ = ⇔=⇔ = ⇔ =−


( )
2
5
2
3
1
3 log 5 0
1
log 2
log 5
x
x
x
x
=

⇔− + =→

=−=−

b)
21
1
5 .2 50
x
x
x
−
+
=
, (2) Điều kiện:
1x ≠−
( )
21 21 21
11
22 2
11 1
22
2 5 .2 5 .2 5 .2 1 log 5 .2 log 1 0
xx x
xx x
xx x
−− −
−−
−−
+− −

⇔=⇔ =⇔ ==


( ) (
)( )
( )
22
2
20
21
1 2 log 5 0 2 2 1 log 5 0
1 1 log 5 0
1
x
x
x x xx
x
x
−=
−
−+− =⇔−+− + =→
++ =
+
( )
2
2
2
1 log 5
1
log 5 lg 5
x
x
=
⇔
+
=−=−
Vậy phương trình có hai nghiệm
1
2;
lg5
xx= = −
.
a)
2
3 56
25
x xx− −+
=
b)
2lg
10
x
xx=
Lời giải
a)
( )
( )
( )
22
3 56 3 56 2
22 2
2 5 log 2 log 5 3 5 6 log 5
x xx x xx
x xx
− −+ − −+
= ⇔ = ⇔−= − +
( ) ( )
2
2
2
22
2
3
30
3 1 2 log 5 0
log 50
log 50
log 5 1 2log 5
log 5
x
x
xx
x
x
=
−=
⇔− −− =→ ⇔


= =
+=+
Vậy phương trình có hai nghiệm
5
3; log 50xx= =
b)
2lg
10
x
xx
=
, (4). Điều kiện:
0x >
( )
( )
( )
2lg 2
lg 1
10
4 lg lg 10 2lg lg 1 0
1
lg
10
2
x
x
x
x x xx
x
x
=
=
⇔ = ⇔ − −= ⇔ ⇔
=
=
Vậy phương trình có hai nghiệm
10; 10xx
= =
Ví dụ 5: Gọi
1
x
và
2
x
là 2 nghiệm của phương trình
2
3 56
23
x xx
− −+
=
. Tính
12
Pxx= −
A.
3
3
log
2
P =
. B.
3
2
log
3
P
=
. C.
3
9
log
4
P =
. D.
3
4
log
9
P =
.
Lời giải
Logarit cơ số 3 cả 2 vế ta được:
( )
( )
2
3
3 log 2 5 6x xx− = −+
( ) ( )( )
3
3
3
3
3 log 2 3 2 3
2 log 2
2 log 2
x
x xx x
x
x
=
⇔− =− −⇔ =
−= ⇔
= +
Suy ra
12 3 3
3
1 log 2 log
2
Pxx=−=− =
. Chọn A.
Ví dụ 6: Gọi
1
x
và
2
x
là 2 nghiệm của phương trình
2
56 3
52
xx x
−+ −
=
. Biết
12
xx
>
, tính
12
2P xx= −
A.
2
4 log 5P = −
. B.
5
4 log 2P = −
. C.
5
1 log 2P = −
. D.
5
1 log 2
P = +
.
Lời giải
Logarit cơ số 5 cả 2 vế ta được:
(
)
( )
2
5
5 6 3 log 2xx x
−+=−
( )( ) ( )
2
55
33
2 3 3 log 5
2 log 2 2 log 2
xx
xx x
xx
= =

⇔− −=− ⇔ ⇔

−= =+

Vì
12
xx
>
nên
( )
12 5 5 5
3; 2 log 2 6 2 log 2 4 log 2xx P= =+ ⇒=−+ =−
. Chọn B.
Ví dụ 7: Biết tổng các nghiệm của phương trình
2
3 23
25
x xx+ +−
=
bằng
5
log 2ab+
với
( )
;ab
∈
. Tính
ab+
A.
1ab+=
. B.
1ab+=−
. C.
5ab+=−
. D.
5ab+=
.
Lời giải
Logarit cơ số 5 cả 2 vế ta được:
( ) ( )( )
2
5
3 log 2 2 3 1 3x xx x x
+ = + −= − +
12 5
55
3
2 log 2 2; 1 1
1 log 2 1 log 2
x
x x a b ab
xx
= −
⇔ ⇒ + =−+ ⇒ =− =⇒ + =−
−= ⇔ =+
. Chọn B.
Phương pháp 3. Đặt ẩn phụ
Loại 1: Phương trình dạng:
( ) ( )
2
.. 0
fx fx
ma na p
+ +=
Ta đặt
(
)
(
)
0
fx
ta t= >
đưa về dạng phương trình ẩn t ta được:
2
.. 0PT m t n t p→ + +=
Với phương trình:
( ) (
)
( )
32
.. . 0
fx fx fx
ma na pa q
+ + +=
ta cũng đặt
( )
( )
0
fx
ta t= >
đưa về phương trình bậc
3 đối với ẩn t.
Loại 2: Phương trình dạng:
( )
( )
( )
( )
(
)
2
2
.A . . 0
fx fx
fx
m n AB p B
++=
Chia 2 vế của phương trình (2) cho
( )
( )
2
fx
B
ta được
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
2
2
.A . . 0 . . 0
fx fx
fx fx
fx
AA
PT m n AB p B m n p
BB
 
⇔ + + =⇔ + +=
 
 
Đặt
( )
( )
0
fx
A
tt
B

= >


suy ra
2
.. 0mt nt p+ +=
Với phương trình:
(
)
( )
(
)
( )
( )
( )
( )
3
3
22
.A . . . 0
fx fx
fx
fx
m n A B p AB q B+ + +=
ta chia cả 2 vế của phương trình
cho
( )
3 fx
B
và đặt
3
A
t
B

=


(với
0t >
)
Loại 3: Phương trình dạng:
( )
( ) (
)
( )
22
.A .A .A 0
f x f x gx gx
mn p
+
+ +=
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2
22
.A .A .A 0 .A . 0
f x gx
f x f x gx gx f x gx
PT m n p m n A p
−

+−

⇔ + + =⇔ + +=
Đặt
( ) (
)
( )
2
00
f x gx
t A t mt nt p
−
= > ⇒ ++=
.
a)
( ) ( )
23 23 4
xx
+ +− =
b)
31 2
2 7.2 7.2 2
x xx
+
− +=
Lời giải
a) Do
( )
( )
(
)
( )
1
23.23 1 23
23
xx x
x
+ −=⇒−=
+
Đặt
( ) ( )
23
11
23 23 4
23
xx
t
t PT t
tt
t
= +
= + ⇒ − = ⇒ →+ = ⇔
= −
Với
( )
(
)
23 23 23 1
x
tx=+ ⇒ + = + ⇔=
Với
( )
( )
( )
1
23 23 23 23 1
x
tx
−
=− ⇒ + = − = + ⇔=−
b) Đặt
20
x
t = >
khi đó
32
21
2 7 7 20 1 0
11
2
tx
PT t t t t x
x
t
= =
⇒ − + −=⇔ = ⇒ =
= −
=
.
a)
3.9 7.6 6.4 0
xxx
+−=
b)
22
21
2.3 17.3 9 0
x xx x++
− −=
Lời giải
a) Ta có:
2
96 3 3
3. 7. 6 0 3 7 6 0
44 2 2
x x xx
PT
   
⇔ + −=⇔ + −=
   
   
Đặt
( )
3
0
2
x
tt

= >


ta có:
( )
2
2
32
3
3 7 60 1
23
3
x
t
tt x
t loai
=

+ −=⇔ ⇔ = ⇔=−


= −
b)
22 2 2
2 2 22
2.3 17.3 9.3 0 2.3 17.3 9 0
x xx x x x xx
PT
+ −−
⇔ − − =⇔ − −=
Đặt
2
30
xx
t
−
= >
ta có:
( )
2
2
2
1
2
2
2 17 9 0
1
93 2
xx
t loai
x
tt
x
t xx
−
= −
=
− −=⇔ ⇔
= −
== ⇒ −=
Vậy nghiệm của phương trình là
2; 1xx= = −
.
A. Chọn B.
Ví dụ 3: Tập nghiệm của phương trình
9 5.3 6 0
xx
− +=
là:
A.
{ }
3
log 2;1
S =
. B.
{ }
3
log 2; 2
S
=
. C.
{ }
2
log 3;1S =
. D.
{ }
2
log 3; 2S
=
.
Lời giải
Đặt
(
)
3
22
log 2
2 32
3 0 9 5 60
3
1
33
x
xx
x
x
t
t t ttt
t
x
=
= =
= > ⇒ = ⇒ − +=⇔ ⇔ ⇔
=
=
=
. Chọn A.
4
2 3.2 16
xx
−
+=
A.
2
log 24P =
. B.
2
log 48P =
. C.
2
log 144P =
. D.
2
log 6P =
.
Lời giải
Ta có:
( )
2
2
2
24
16
2 3. 16 2 16.2 48 0
log 12
2
2 12
x
x xx
x
x
x
PT
x
=
=
⇔+ =⇔ − +=⇔ ⇔
=
=
Do đó
22
2log 12 log 144P = =
. Chọn C.
Tính tổng các nghiệm của phương trình
25 7.5 10 0
xx
− +=
A.
5
log 2
. B.
5
log 10
. C.
5
log 20
. D. 7.
Lời giải
Đặt
50
x
t = >
ta có:
5
2
log 2
2 52
7 10 0
5
1
55
x
x
x
t
tt
t
x
=
= =
−+=⇔ ⇔ ⇔
=
=
=
Do đó
55
1 log 2 log 10P =+=
. Chọn B.
Ví dụ 6: Tổng tất cả các nghiệm của phương trình
22
12
9 10.3 1 2
xx xx+− +−
− +=
A.
1
T = −
. B.
2
T = −
. C.
0T =
. D.
2T =
.
Lời giải
22
11
10
9 .3 1 0
3
xx xx
PT
+− +−
⇔ − +=
. Đặt
2
1
3
xx
t
+−
=
(với
0t >
)
Khi đó
2
2
2
3
1 1 1; 2
10
10
1
1; 0
3
11
3
t
xx x x
PT t t
xx
t
xx
=
+ −= = =−
→ − += ⇔ ⇒ ⇔
=−=
=
+ −=−
Do đó
2
T
= −
. Chọn B.
22 2
3 2.3 27 0
xx−−
− −=
2
2
a
Aa= +
A.
3
2
A =
hoặc
9
4
A =
. B.
3
2
A =
. C.
1
2
A
−
=
. D.
1
2
A =
.
Lời giải
Ta có:
( )
21
1
3 6.3 27 0
x
x
PT
−
−
⇔ − −=
Đặt
1
30
x
t
−
= >
khi đó
( )
1
2
93 91 2 1
6 27 0
3
x
t xx
tt
t loai
−
= ⇒ = ⇔− = ⇔ =−
−− =⇔
= −
Do đó
2
13
21
22
a
a + =+=
. Chọn B.
Ví dụ 8: Số nghiệm của phương trình
22
2
22 3
x x xx− +−
−=
là:
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Lời giải
22
2 4.2 3
x x xx
PT
−−
⇔− =
. Đặt
2
20
xx
t
−
= >
khi đó
( )
2
1
4
3 3 40
4
t loai
t tt
t
t
= −
− =⇔ − −=⇔
=
Khi đó
2
1
2
2
x
xx
x
= −
−=⇔
=
. Chọn B.
Số nghiệm của phương trình
21
27 3 16 0
xx+
− −=
là:
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Lời giải
Ta có:
32
3 3.3 16 0
xx
PT ⇔ − −=
. Đặt
30
x
t = >
ta có:
32
3
3 16 0 4 log 4tt t x− − = ⇔=⇒ =
. Chọn A.
Ví dụ 10: Số nghiệm của phương trình
( ) ( )
322 2 21 10
xx
− + − −=
là:
Lời giải
Ta có:
( )
2
322 21−=−
. Đặt
( )
21 0
x
t = −>
Khi đó
( )
( )
2
21 21
2 10 1
210
x
t
PT t t x
t loai
= −= −
⇒ + −= ⇔ ⇔ =
=− −<
. Chọn A.
Ví dụ 11: Tích tất cả các nghiệm của phương trình
( ) ( )
2 1 2 1 22
xx
−+ +=
A.
0P =
. B.
1P =
. C.
1P = −
. D.
2P =
.
Lời giải
Ta có:
( )(
)
21 21 1
− +=
. Do đó PT
( ) ( )
21 21 22
xx−
⇔ + + +=
Đặt
( )
21 0
x
t = +>
khi đó
2
12
1
22 2 2 1 0
12
t
PT t t t
t
t
= +
⇒+= ⇔ − += ⇔
=−+
Với
12 1
tx
=+ ⇒=
Với
12 1tx=−+ ⇒ =−
. Do đó tích các nghiệm của phương trình là
1
P = −
. Chọn C.
Ví dụ 12: Tổng tất cả các nghiệm của phương trình
( ) ( )
1
51 51 2
xx
x+
++ −=
là
A. 0. B. 1. C.
5
. D.
25
.
Lời giải
Ta có:
51 51
2
22
xx
PT

+−
⇔+=



Do
51 51 51 51
.1
22 2 2
xx x x−
 
+− − +
=⇒=
 
 
 
Đặt
( )
51
0
2
x
tt

+
= >



ta có:
( )
2
2
1
2 2 10 1 0 1t tt t t
t
+ = ⇔ − += ⇔ − = ⇔=
Suy ra
51
10
2
x
x

+
=⇔=



. Chọn A.
Ví dụ 13: Tổng tất cả các nghiệm của phương trình
22
2 1 22
2 9.2 2 0
x xx x+ ++
− +=
là
A.
3
2
. B.
1−
. C. 2. D. 1.
Lời giải
Ta có:
2 2 22
2 1 22 2 2
2 9.2 2 0 2.2 9.2 4.2 0
x xx x x xx x+ ++ +
−+=⇔−+=
là
Chia cả 2 vế cho
2
2
x
ta được:
(
)
2
2
2
2.2 9.2 4 0
xx
xx
−
−
− +=
Đặt
2
2
xx
t
−
=
( )
0t >
ta có:
(
)
2
2
2
2
2
4
24
2
2 9 40
1
1
1
2
2
2
xx
xx
t
xx
tt
t
x x vn
−
−
=
=
−=
− +=⇔ ⇔ ⇔
=
−=
=
2
1
20
2
x
xx
x
= −
⇔ −−=⇔ ⇒
=
Tổng tất cả các nghiệm của phương trình bằng 1. Chọn D.
Ví dụ 14: Số nghiệm của phương trình
4 2 11 2 1
3 3 4.3
x x xx++ + +
+=
là:
A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Lời giải
ĐK:
1x
≥−
. Khi đó
2 14 12
1 3 4.3
xx xx
PT
+− +−
⇔+ =
Đặt
12
3
xx
t
+−
=
( )
0t >
ta có:
2
1
3 4 10
1
3
t
tt
t
=
− += ⇔
=
Với
12
2
0
1 17
1 3 1 12 0
8
14
xx
x
t xx x
xx
+−
≥
+
=⇒ =⇔ +− = ⇔ ⇔ =
+=
Với
( )
12
2
2 10
11 5
3 12 1
33 4
121
xx
x
t xx x
xx
+−
−≥
= ⇒ = ⇔ +− =−⇔ ⇔ =
+= −
Vậy phương trình có 2 nghiệm là
1 17
8
x
+
=
;
5
4
x =
. Chọn C.
Ví dụ 15: Giải phương trình:
1 11
8 2 18
2122222
x
x x xx
− −−
+=
+ + ++
Lời giải
Viết lại phương trình dưới dạng:
1 1 11
8 1 18
212122 2
x x xx− − −−
+=
+ + ++
Đặt
( )
1
1
21
,, 1
21
x
x
u
uv
v
−
−
= +
>
= +
Ta có
( ) ( )
1 1 11
.21.2122 2
x x xx
uv u v
− − −−
= + + = + +=+
Phương trình tương đương với hệ
8 1 18 2
8 18
9
9;
8
uv
uv
u v uv
u v uv
uv
u v uv
= =

+=
+=

⇔⇔
+

+=
= =

+=

Với
2uv
= =
, ta được:
1
1
2 12
1
2 12
x
x
x
−
−
+=
⇔=
+=
Với
9
9;
8
uv
= =
2uv
= =
, ta được:
1
1
2 19
4
9
21
8
x
x
x
−
−
+=
⇔=
+=
Vậy phương trình đã cho có các nghiệm
1x =
và
4x =
.
Ví dụ 16: Giải phương trình
2
2 2 66
xx
− +=
Lời giải
Đặt
2; 0
x
uu= >
Khi đó phương trình trở thành
2
66uu− +=
Đặt
6vu= +
, điều kiện
2
66v vu≥ ⇒=+
Khi đó phương trình được chuyển thành hệ
( ) ( )( )
2
22
2
60
0
10
6
u v uv
u v uv uvuv
uv
vu
=+ −=
⇔ −=−−⇔− +=⇔
++=
= +
Với
uv=
ta được:
( )
2
3
60 2 3 8
2
x
u
uu x
ul
=
−−=⇔ ⇔ =⇔ =
= −
Với
10
uv++=
ta được:
( )
2
2
1 21
21 1 21 1
2
5 0 2 log
22
1 21
2
x
u
ux
ul
−+
=
−−
+− = ⇔ ⇔ = ⇔ =
−−
=
Vậy phương trình có 2 nghiệm là
8x =
và
2
21 1
log
2
x
−
=
.
Phương pháp 4. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số, phương pháp phân tích nhân tử, phương pháp
đánh giá
Để giải các bài toán bằng các phương pháp này ta cần ghi nhớ một số kiến thức sau:
Kiến thức về hàm số: Hàm số
( )
ft
đồng biến hoặc nghịch biến trên
D
(trong đó
D
là một khoảng, một
đoạn, một nửa khoảng) thì
( ) ( )
;;uv D f u f v u v∈ = ⇔=
Bất đẳng thức AM-GM: Cho các số thực không âm
12
; ;...;
n
aa a
thì ta có:
1 2 12
... . ...
n
nn
a a a n aa a+ ++ ≥
Dấu bằng xảy ra
12
...
n
aa a⇔===
Bất đẳng thức Bunhiacopxki: Cho 2 bộ số thực
12
; ;...;
n
aa a
và
12
; ;...;
n
bb b
ta có:
( )( )
( )
22 222 2
1 2 1 2 11 2 2
... ... ...
n
n n nn
a a a b b b ab ab a b+ ++ + ++ ≥ + ++
Dấu bằng xảy ra
12
12
...
n
n
a
aa
bb b
⇔===
Bất đẳng thức trị tuyệt đối:
a b ab+≥+
, dấu bằng xảy ra
0ab⇔>
a)
22
32 2 2 3
29 6435
x x x x xx
xx
−− −−
+ + += + +
b)
22 1
2 3 23 1
xx
xx
x
+
+ = + ++
Lời giải
a)
22 22
2 4 6 64 2 4 6 64
23 623523 2346
x x xx x x x x xx x x
PT x x x x x
−− −− −− −−
⇔ + ++= + +⇔ + +−= + +−
Đặt
2
, 46u x xv x
=−=−
ta có:
23 23
uu vv
uv
−−
− += − +
(1)
Xét hàm số:
( ) ( )
23
tt
ft t t
−
=− +∀
ta có:
( ) ( )
2 ln 2 3 ln 3 1 0
tt
ft t
−
′
= + + > ∀∈
Do đó (1)
( ) ( )
2
1
46
6
x
fu fv u v x x x
x
=
= ⇔=⇒ −= −⇔
=
Vậy phương trình có nghiệm là
1, 6xx= =
.
b) Ta có:
22 1 1
2322 3 1
xx
xx x
PT x
++
⇔ + + = + ++
Xét hàm số:
(
) (
)
23
tt
ft t t= + + ∀∈
ta có:
(
)
(
)
2 ln 2 3 ln 3 1 0
tt
ft t
′
= + + > ∀∈
Khi đó:
(
)
(
)
(
)
2 1 2 1 2 10
xx x
f f x x gx x= + ⇔ = +⇔ = − −=
Ta có:
(
)
( )
(
)
2
2 ln 2 1, 2 ln 0
xx
gx g x x x
′ ′′
= − = > ∀∈
Do
( )
0
gx
′′
>
nên phương trình có tối đa 2 nghiệm, mặt khác ta thấy
(
)
( )
0 10
gg= =
Vậy phương trình có nghiệm là
0, 1
xx= =
.
a)
22
2
2 2 4 40
xx xx x+ −+
− − +=
b)
( )
2
22
1
1
422 1
x
xx x
+
+−
+= +
Lời giải
a)
( ) ( )
22 2 2
22 2 2 2
2 2 2202212210
xx xx x x xx xx
PT
+ −+ − −
⇔ − − + =⇔ −− −=
( )
( )
2
2
2
2
24
1
2 42 1 0
1, 0
21
x
x xx
xx
x
xx
−
−
=
=
⇔ − −=⇔ ⇔
= =
=
Vậy phương trình có nghiệm là
0, 1xx
= =
.
b) Đặt
( )( )
22
2 2, 1 2 2 2 1 2 1 2 1 0
u v uv u v
u x x v x PT
+
= + =− ⇒ ⇔ + = +⇔ − − =
2
2
21 0 2 2 0 0
01
21 1 0
u
v
u xx x
vx
x

= = += =

⇔ ⇔⇔ ⇔


= = ±
= −=


Vậy phương trình có nghiệm là
0, 1xx
= = ±
.
a)
2
11
414 4
4
xx
xx−+ − =− ++
b)
3
2
2 33
2
xx
xx
cos
−

−
= +


Lời giải
a) Áp dụng BĐT:
a b ab+≥+
(dấu bằng xảy ra
0ab⇔>
)
Ta có:
4144 4144 4144 3
x x x xx x
VP = −+ − = −+ − ≥ −+− =
Dấu đẳng thức xảy ra
( )( )
4 144 0
xx
⇔− −≥
Mặt khác ta có:
2
2
11 1 1
3 3 VT VT=VP
42 2
xx x x

− ++ =− − ≤≤ ⇒ ⇔=


Vậy
1
2
x
=
là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.
b) Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
3
2
11
3 2 3. 2 2
33 2
xx
xx
xx
VP cos VT

−
=+≥ =≥ =


Dấu đẳng thức xảy ra
3
3
2
2
1
0
3
3
0
1
1
2
2
x
x
x
x
xx
xx
cos
cos
=
=
⇔ ⇔ ⇔=

−

−
=

=



Vậy
0x =
là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.
a)
( )
22
22
9 3 .3 2 2 0
xx
xx+ − − +=
b)
( )
2
2 3 1 4.3 6.3 1 0
xx
xx− − − +=
Lời giải
a) Đặt
2
30
x
t = >
ta có:
( )
22 2
3 2 20t x tx+ − − +=
Khi đó:
( ) (
) ( )
22
2 2 42 2
3 42 2 2 1 1x x xx x∆= − − − + = + + = +
Do đó:
(
)
22
22
2
31
2
2
31
1
2
xx
t
xx
tx
−++
= =
−− +
= = −
Với
2
3
2 3 2 log 2
x
tx
=⇔ =⇔=±
Với
2
2
13 1
x
tx=⇔=−
. Ta có:
2
0
3 31
x
VT VP= ≥=≥
nên
0VT VP x= ⇔=
Vậy nghiệm của phương trình là:
3
0, log 2xx= = ±
b)
( )
2
2 3 1 4.3 6.3 1 0
xx
PT x x⇔ − − − +=
Khi đó:
(
) ( ) ( )
2
9 1 8.3 16.9 8 6.3 1 144.9 24.3 1 12.3 1
xx x x x x
∆= − + − − + = − + = −
Do vậy
(
)
3 2.3 12.3 1 1
42
3 12.3 12.3 1
1 6.3 2
4
xx
xx
x
x
x
−+ −
= =
−−+
= = −
(2)
( )
6.3 1 0
x
gx x⇔ = + −=
(3)
Ta có:
( )
1 6.3 ln3 0
x
gx
′
=+>
(
)
x∀∈
Do dó hàm số
( )
gx
đồng biến trên
ta có: (3)
( )
( )
11
gx g x= −⇔=−
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm
1
,1
2
xx= = −
Số nghiệm của phương trình
7 61
x
x= +
là:
A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Lời giải
Xét hàm số
(
)
761
x
fx x
=−−
trên tập
ta có:
( )
70
6
7 ln 7 6 0 log
ln 7
x
fx x x
′
= −=⇔= =
Lại có:
( ) ( )
lim lim
xx
fx fx
→−∞ →+∞
= = +∞
và
( )
07
6
log 0
ln 7
fx f

= <


Suy ra BBT:
Do đó phương trình đã cho có 2 nghiệm. Chọn C.
Ví dụ 6: Số nghiệm của phương trình
( )
2
2
1
22 1
x xx
x
−−
−=−
là:
A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Lời giải
Ta có:
2
12
2 12
x xx
PT x x x
−−
⇔ + −= + −
(*)
Xét hàm số
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 ln 2 1 0
tt
ft t f t t ft
′
= + ⇒ = + > ∀∈ ⇒
là hàm đồng biến trên
Khi đó (*)
( )
( )
22
1 11fx fxx x xx x⇔ − = − ⇔ −= − ⇔ =
. Chọn B.
Ví dụ 7: Số nghiệm của phương trình
( )( )
2
31 2
2 2 1 30
xx x
xx
−+ −
− ++ −=
là:
A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Lời giải
x
−∞
0
x
+∞
(
)
fx
′
–
0
+
( )
fx
+∞
( )
0
fx
+∞
Ta có:
2
31 2 2
2 3 12 2
xx x
PT x x x
−+ −
⇔ + − += + −
(*)
Xét hàm số
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 ln 2 1 0
tt
ft t f t t ft
′
= + ⇒ = + > ∀∈ ⇒
là hàm đồng biến trên
Khi đó (*)
( )
(
)
2 22
1
31 2 31 2 4 3
3
x
fxx fx xx x xx
x
=
⇔ −+= −⇔−+=−⇔−+⇔
=
. Chọn C.
Ví dụ 8: Số nghiệm của phương trình
2
22
1 12
2
22
2
xx
xx
x
x
−−
−
−=
là:
A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Lời giải
ĐK:
0x ≠
. Khi đó
22
1 12
1
11
22
2
x
xx
PT
x
−−
⇔− =−
22
1 12
1
22
11 11 2
2 12
22
x
xx
x xx
−−

⇔+−=+−


Xét hàm số
( ) ( ) ( ) ( )
11
2 2 ln 2 0
22
tt
ft t f t t ft
′
= + ⇒ = + > ∀∈ ⇒
là hàm đồng biến trên
Khi đó (*)
2 2 22
1 11 1 11 1
1 1 11ff x
x xx x xx x

⇔ − = − ⇔ − = − ⇔− =− ⇔ =


. Chọn B.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1: Giải phương trình
2
53
x−
=
A.
5
log 28x =
. B.
3
log 5 2x = +
. C.
3
log 3 2x = +
. D.
5
log 45x =
.
Câu 2: Tìm tập nghiệm S của phương trình
2
3 10
21
xx+−
=
A.
{ }
1; 2S
=
. B.
{
}
5; 2S = −
. C.
{
}
5; 2S
=−−
. D.
{ }
2;5S =
.
Câu 3: Giải phương trình
1
1
125
25
x
x
+

=


A.
2
5
x = −
. B.
4
x =
. C.
1
8
x = −
. D.
1x =
.
Câu 4: Cho
( )
2
3xx
fx e
−
=
. Biết phương trình
( )
0fx
′′
=
có hai nghiệm
12
,xx
. Tính
12
xx
.
A.
12
9
4
xx =
. B.
12
7
4
xx =
. C.
12
3
2
xx =
. D.
12
3xx =
.
Câu 5: Giải phương trình
1
3 .5 7
xx−
=
A.
15
log 35x =
. B.
21
log 5x =
. C.
21
log 35x
=
. D.
15
log 21x
=
.
Câu 6: Giải phương trình
5
3 3 121
xx+
−=
A.
2
log 3x
=
. B.
3
log 2x = −
. C.
3
log 2x =
. D.
2
log 3x
= −
.
Câu 7: Tìm nghiệm của phương trình
1
4 64
a
+
=
với a là số thực cho trước.
A.
31xa
= −
. B.
31xa
= +
. C.
1
xa= −
. D.
3
1xa= −
.
Câu 8: Phương trình
2
2 75
21
xx−+
=
có bao nhiêu nghiệm thực?
A. 3. B. 0. C. 1. D. 2.
Câu 9: Cho hàm số . Cho
( )
2
xx
fx e
−
=
. Biết phương trình
( )
0fx
′′
=
có hai nghiệm
12
,xx
. Tính
12
xx
.
A.
12
1
4
xx
= −
. B.
12
1xx =
. C.
12
3
4
xx =
. D.
12
0xx =
.
Câu 10: Tìm nghiệm của phương trình
26
3
27 3
x
x
−
=
A.
4x =
B.
2x =
C.
5x =
D.
3x =
Câu 11: Phương trình
1
32
9
x
x
−
= +
có bao nhiêu nghiệm dương?
A. 0. B. 3. C. 2. D. 1.
Câu 12: Tìm tập nghiệm S của phương trình
11
4 4 272
xx+−
+=
A.
{ }
1S =
. B.
{ }
3S =
. C.
{ }
2S =
. D.
{ }
5S =
.
Câu 13: Tính tích t các nghiệm của phương trình
( )
( )
23
22
3 22 3 22
xx x−+ −
+=−
A.
0
t =
B.
2
t =
C.
1t = −
D.
1
t =
Câu 14: Cho hàm số
(
)
2
3 .2
xx
fx
=
. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A.
( )
2
2
1 .log 3 0fx x x=⇔ +=
B.
( )
2
2
1 .log 3 0fx x x=⇔ −=
C.
(
)
2
3
1 .log 2 0
fx x x
=⇔ +=
D.
(
)
2
3
1 .log 2 0fx x x=⇔ −=
Câu 15: Tìm tập nghiệm S của phương trình
12 43
7.3 5 3 5
xx x x++ + +
−=−
A.
{ }
1S =
. B.
{ }
1S = −
. C.
{ }
2S = −
. D.
{ }
2S =
.
Câu 16: Tìm tích P của phương trình
(
)
( )
2 1 2 1 22 0
xx
−+ +− =
A.
2P =
B.
1P
= −
C.
0P =
D.
1
P =
Câu 17: Tìm tập nghiệm S của phương trình
13
5 5 26
xx−−
+=
A.
{ }
3; 5S
=
. B.
{ }
1; 3
S
=
. C.
{ }
2; 4S =
. D.
S
= ∅
.
Câu 18: Biết rằng phương trình
2
11
23
xx−+
=
có hai nghiệm là a và b. Tính
T a b ab=++
A.
2
2log 3 1T = −
B.
2
1 log 3T = +
C.
1T
= −
D.
2
1 2log 3T = +
Câu 19: Tìm tập nghiệm thực của phương trình
2
3 .2 1
xx
=
A.
{
}
0;log 6S =
B.
{ }
2
0;log 3S =
C.
{ }
0S =
D.
2
1
0;log
3
S

=


Câu 20: Cho phương trình
1
4 2 30
xx+
+ −=
. Khi đặt
2
x
t
=
ta được phương trình nào?
A.
2
2 30t −=
B.
2
30
tt+− =
C.
4 30t −=
D.
2
2 30tt+ −=
Câu 21: Phương trình
9 3.3 2 0
xx
− +=
có hai nghiệm
12
,xx
(
)
12
xx<
. Tính
12
23xx+
.
A. 1. B.
2
2log 3
. C.
3
3log 2
. D.
3
4log 2
.
Câu 22: Phương trình
21
5 13.5 6 0
xx
+
− +=
có hai nghiệm
12
,xx
. Tính tổng
12
Sxx= +
.
A.
5
1 log 6S = −
. B.
5
log 6 2S = −
. C.
5
2 log 6S = −
. D.
5
log 6 1S
= −
.
Câu 23: Gọi
12
,
xx
là hai nghiệm của phương trình
12
5 5.0,2 26
xx−−
+=
. Tính
12
Sxx= +
A.
2S =
. B.
1S =
. C.
3S =
. D.
4S =
.
Câu 24: Số nghiệm của phương trình
6.9 13.6 6.4 0
x xx
− +=
là
A. 2. B. 1. C. 0. D. 3.
Câu 25: Cho phương trình
1
9 13.6 6.4 0
x xx+
− +=
. Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. Phương trình có 2 nghiệm nguyên. B. Phương trình có 2 nghiệm dương.
C. Phương trình có 1 nghiệm dương. D. Phương trình có 2 nghiệm vô tỉ.
Câu 26: Tìm tích
T
tất cả các nghiệm của phương trình
( ) ( )
2 1 2 1 22 0
xx
−+ +− =
A.
2T =
B.
1T = −
C.
0T =
D.
1T =
Câu 27: Gọi
12
,xx
là hai nghiệm của phương trình
22
12
5 .3 27
xx xx−− −+
=
. Giá trị
1 2 12
x x xx++
bằng
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
Câu 28: Tính tích các nghiệm của phương trình
22 2 2
1 21
32 2 3
xx x x−+−
−=−
A.
1
3
−
B. -3 C.
3
4
−
D.
1
3
Câu 29: Gọi
12
,xx
( )
12
xx<
là hai nghiệm của
( )
( )
21 1
31
17 4 17 4
xx
xx
−−
+
+=−
. Giá trị của
1
2
x
x
là
A.
7 26
5
−−
B.
7 26
5
−+
C.
16
5
−
D.
16
5
+
Câu 30: Tính tổng bình phương của các nghiệm
22
2
2 4.2 2 4 0
xx xx x+−
− − +=
A. 1 B. 5 C. 10 D. 13
Câu 31: Phương trình
21
3 4.3 1 0
xx
+
− +=
có hai nghiệm
12
,xx
( )
12
xx<
. Chọn câu đúng?
A.
12
.1xx = −
B.
12
21xx+=−
C.
12
20
xx+=
D.
12
2
xx+=−
Câu 32: Tìm tập nghiệm S của phương trình
2. 2. 5 0
xx
ee
−
+ −=
A.
1
ln
2
S

=


B.
{ }
ln 2S =
C.
{
}
1S
=
D.
{ }
ln 2
S = ±
Câu 33: Tìm tích số của tất cả các nghiệm thực của phương trình
2
3
2
7 49 7
xx
−+
=
bằng
A. -1 B. 1 C.
1
2
−
D.
1
2
Câu 34: Tập nghiệm S của phương trình
31
47 6
.0
7 4 49
xx−

−=


là
A.
1
2
S

= −


B.
{ }
2
S =
C.
1
2
S

= ±


D.
1
;2
2
S

= −


Câu 35: Tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình
22
2 1 3 61
2 5.2 2 0
x xx x+ ++
− +=
bằng
A. 4 B. 10 C. 6 D. 8
Câu 36: Phương trình
( )
21
7
1
8 0,25. 2
x
x
x
−
+
=
có tích các nghiệm bằng?
A.
4
7
B.
2
3
C.
2
7
D.
1
2
Câu 37: Tính tổng các nghiệm
( )
0; 2x ∈π
của phương trình
22
sin
996
x cos x
+=
A.
2π
B.
4
π
C.
3π
D.
5π
Câu 38: Biết phương trình
1
3
27 27 16 3 6 0
3
xx x
x
−

− − − +=


có nghiệm
3
, logx ax b= =
và
3
logxc=
với
,0a bc∉ >>
. Tỉ số
b
c
thuộc khoảng nào sau đây?
A.
( )
3; +∞
B.
3
1;
2



C.
35
;
22



D.
5
;3
2



Câu 39: Biết phương trình
( ) ( )
7 43 2 3 6
xx
+ ++ =
có nghiệm dạng
2
log
a
xb
+
=
với
,ab
là số dương.
Tổng
22
ab+
bằng
A. 13 B. 8 C. 7 D. 11
Câu 40: Tích các nghiệm phương trình
( ) ( )
22
13 3
2
21 322 3 1
xx xx
xx
+− −
+ −+ = − −
là
A. 3 B.
3 13
2
−
C.
3 13
2
+
D.
1
−
LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1: PT
55
2 log 3 2 log 3xx
⇔−= ⇔=+
. Chọn C.
Câu 2: PT
22
2
2
3 10 log 1 3 10 0
5
x
xx x x
x
=
⇔−+= ⇔+−=⇔
= −
. Chọn B.
Câu 3: PT
(
)
1
11
25 .125 1 25 .125 25.125
25 25
x
x x xx+
⇔ =⇔=⇔ =
3125
1 12
3125 log
25 25 5
x
x⇔ = ⇔= =−
. Chọn A.
Câu 4:
( )
(
) ( ) ( )
( )
2 22 2
22
3 33 3
32 2 32 32 2
xx xx xx xx
f x xe f x e x e x e
− −− −

′ ′′
=− ⇒ =− +− = − −

Do đó
( )
(
)
2
2
12
7
0 3 2 2 0 4 12 7 0
4
f x x x x xx
′′
=⇔ − −=⇔ − +=⇒ =
. Chọn B.
Câu 5: PT
(
)
15
3 .5 7.5 3.5 35 log 35
x
xx
x
⇔ = ⇔ = ⇔=
. Chọn A.
Câu 6: PT
( )
55
33
11
3 .3 3 121 3 1 .3 121 3 log log 2
22
xx x x
x⇔ − = ⇔ − = ⇔ =⇔= =−
. Chọn B.
Câu 7: PT
(
)
13 3
4 4 4 13 3 1
a
xa
x a xa
+
⇔ = = ⇔ += ⇔ = −
. Chọn A.
Câu 8: PT
2
2
1
2 7 5 log 1 0
5
2
x
xx
x
=
⇔ − += =⇔
=
. Chọn D.
Câu 9:
(
)
( )
( ) (
) ( )
2 22 2
22
33
12 2 12 12 2
xx xx xx xx
f x xe f x e x e x e
− −− −

′ ′′
=− ⇒ =− +− = − −

Do đó
( ) (
)
2
2
12
1
0 12 2 0 4 2 10
4
f x x x x xx
′′
= ⇔ − − = ⇔ − −= ⇒ =−
. Chọn A.
Câu 10: PT
26 26 3
3 .3 27 3 3 3 6 3 3
x x xx
xx
− +−
⇔ = ⇔ = ⇔ −=⇔=
Chọn D.
Câu 11: PT
(
)
( )
2
2
3
0
31
31
2 2. 3 3.2 1 0
1
1
3
log 0
3
3
2
2
x
xx
x
x
x
x
x
=
=
⇔ = + ⇔ − += ⇔ ⇔
= <
=
. Chọn A.
Câu 12: PT
3
4 17
4.4 272 .4 272 4 64 4 3
44
x
x xx
x⇔ + = ⇔ = ⇔ = = ⇔=
. Chọn B.
Câu 13: PT
( )
( )
( )
( )
2 23
3
2 22
2
1
3 22 3 22 3 22 1
3 22
xx xx x
x
−+ −+ −
−
⇔+ = ⇔+ + =
+
( )
23
22
32
0
3 22 1 0 0
15
2
xx x
x
xx x t
x
−++ −
=
⇔ + =⇔ + −= ⇔ ⇒=
−±
=
. Chọn A.
Câu 14:
(
)
( )
22
2
2 22 2
1 log 3 .2 0 log 3 log 2 0 .log 3 0
xx x x
fx x x=⇔ =⇔ + =⇔ +=
. Chọn A.
Câu 15: PT
2 43
3 100 5
7.3.3 5 .5 3 .3 5 .5 60.3 100.5 1
5 60 3
x
xx xx x x
x

⇔ − = − ⇔ = ⇔ = =⇔=−


. Chọn B.
Câu 16: PT
( )
( )
( )
( )
2
1
21 22 21 22. 21 10
21
x xx
x

⇔ + + = ⇔ + − + +=


+
(
)
( )
21 1 2
1
1
1
1
21
12
x
x
xx
P
x
+=+
=
⇔ ⇔ ⇒=−
= −
+=
+
. Chọn B.
Câu 17: PT
( )
3
2
5 125 5 3
5 125 1
26 . 5 26.5 125 0
1
55 5
55
x
x
xx
x
x
x
x
= = =
⇔+ =⇔ − + =⇔ ⇔
=
=
. Chọn B.
Câu 18: PT
( )
2 12 2
2 2 22
1 log 3 1 1 log 3 log 3 1 log 3 0
x
x x x xx
+
⇔−= ⇔−−+ ⇔− −− =
22
2
1
log 3 1 log 3 1
1 log 3
x
T
x
= −
⇔ ⇔ = −− =−
= +
. Chọn C.
Câu 19: PT
( )
22
2
2 22 2
2
0
log 3 .2 0 log 3 log 2 0 log 3 0
log 3
xx x x
x
xx
x
=
⇔ =⇔ + =⇔ +=⇔
= −
. Chọn D.
Câu 20: PT
( )
2
2
2 2.2 3 0 2 3 0
xx
tt⇔ + −=→ + −=
. Chọn D.
Câu 21: PT
( )
2
3
0
31
3 3.3 2 0
log 2
32
x
xx
x
x
x
=
=
⇔ − +=⇔ ⇔
=
=
. Chọn D.
Câu 22: PT
( )
5
2
5
log 2
52
5. 5 13.5 6 0
3
3
log
5
5
5
x
xx
x
x
x
=
=
⇔ − +=⇔ ⇔
=
=
12 5 5 5 5
36
log 2 log log log 6 1
55
xx⇒+= + = = −
. Chọn D.
Câu 23: PT
( )
2
2
5 1 1 25 1
5. 26 .5 26 . 5 26.5 125 0
5 5 55 5
x
x
x xx
x
−

⇔+ =⇔ +=⇔ − + =


3
12
5 125 5 3
4
1
55
x
x
x
xx
x
= = =
⇔ ⇔ ⇒+=
=
=
Chọn D.
Câu 24: PT
2
96 3 3
6. 13. 6 0 13. 6 0
44 2 2
xx x x

   
⇔ − +=⇔ − +=

   
   


33
1
22
1
32
23
x
x
x
x

=

=

⇔⇔
= −

=


. Chọn A.
Câu 25: PT
2
96 3 3
9. 13. 4 0 9. 13. 4 0
44 2 2
xx x x

   
⇔ − +=⇔ − +=

   
   


2
3
1
0
2
2
3 42
2 93
x
x
x
x

=

=

⇔⇔
= −
 
= =
 
 
. Chọn A.
Câu 26: PT
( )
( )
( )
( )
2
1
2 1 22 1 2 22.1 2 1 0
21
x xx
x

+ + = ⇔ + − + +=


+
( )
( )
12 12
1
1
1
1
12
12
x
x
x
T
x
+=+
=
⇔ ⇔ ⇒=−
= −
+=
+
. Chọn B.
Câu 27:
22 2 2
1 2 1 12
1 2 12
5 .3 27 5 3 1 0 0
xx xx xx x x
x x x x xx
−− −+ −− − ++
= ⇔ = ⇔ − −= ⇒ + + =
. Chọn B.
Câu 28:
2
22 2 2 2 2
3
1 21 2
49 3 3
3 2 2 3 .3 .2 3
32 2 2
x
xx x x x x
x
−+−
 
− = − ⇔ = ⇔ = ⇔=
 
 
12
33x xx⇔=± ⇒ =−
. Chọn B.
Câu 29:
( ) ( ) ( ) ( )
21 1 21 1
3131
17 4 17 4 17 4 17 4
xx x x
xx xx
− − −−
++
+=−⇔+=−
2 22
1
2
2 1 1 1 6 7 26
2 1 3 3 5 2 10
31 5 5
x
xx
xx x x x x x
xx x
− − ± −+
⇔ = ⇔ + +=− + ⇔ − −= ⇔ = ⇒ =
+
. Chọn B.
Câu 30:
( ) ( )
( )
(
)
22 2 2
2 22 2
2 4.2 2402 24240 242 10
xx xx x xx x x x xx+− − −
− − +=⇔ − − − =⇔ − − =
2
2
2
24
22
1
0
0
21
x
xx
x
x
x
xx
−
=
=
=
⇔⇔ ⇔
=
−=
=
. Chọn A.
Câu 31: Ta có
21 2
31
1
3 4.3 1 0 3.3 4.3 1 0
1
1
3
3
x
x x xx
x
x
x
+
=
=
− += ⇔ − += ⇔ ⇔
= −
=
. Chọn A.
Câu 32:
2
2
ln 2
2. 2. 5 0 2. 5. 2 0
1
ln 2
2
x
x x xx
x
e
x
ee e e
x
e
−
=
=
+ −=⇔ − +=⇔ ⇔
= −
=
. Chọn D.
Câu 33:
22
3 35
22
2 22
12
35
7 49 7 7 7 1 0 1
22
xx xx
xx xx xx
−+ −+
= ⇔ = ⇔ −+ = ⇔ −−=⇔ =−
. Chọn A.
Câu 34:
3 1 12 2
4 7 16 4 4 1
. 0 12 2
7 4 49 7 7 2
xx x
xx
−−
  
− = ⇔ = ⇔− = ⇔ =−
  
  
. Chọn A.
Câu 35:
( )( )
2 2 22 2 2
2 1 3 61 2 3 6 3 3
2 5.2 2 0 2.2 5.2 .2 2.2 0 2.2 2 2 2.2 0
x xx x x x x x x x x x+ ++
− +=⇔ − + =⇔ − − =
22
22
3 32
2
3 31
2.2 2 0 2 3 1 0
3 10
2 2.2 0 2 2
xx x x
x x xx
x xx
xx
+

− = = − +=
⇔ ⇔⇔ ⇒

− −=

−= =

tổng tất cả các nghiệm là 6. Chọn C.
Câu 36:
( )
21 63
7
7
2
2
11
2
6 37 4
8 0,25. 2 2 2 7 3 4 12 6
12
xx
x
x
xx
xx
xx x
x
−−
−
++
−−
= ⇔ = ⇔ = ⇔ + −= −
+
2
1
7 9 20
2
7
x
xx
x
=
⇔ − +=⇔
=
. Chọn C.
Câu 37: Ta có
2 2 2 2 22
sin sin sin
9 9 29 .9 29 6
x cos x x cos x x cos x+
+≥ = =
Xảy ra khi
22
357
sin 2 0 ; ; ;
4 2 44 4 4
x cos x cos x x k x
π π ππππ

= ⇔ =⇔= + ⇒∈


Do đó tổng các nghiệm là
4π
. Chọn B.
Câu 38: Ta có
3
1
3 333
27 27 16 3 6 0 3 9 3 16 3 6 0
3 333
xx x x x x
x xxx
−
 
− − −+=⇔− + −− −+=
 
 
3
3
3
3
32
1
3
3 3 3 1 13
3 7 3 6 0 3 1 log
33 3 2
3
3 21
33
log
3
2
x
x
xx x
xx x
x
x
x
x
x
−=
=
+

⇔ − − − +=⇔ − = ⇔ =


−+
−=−
=
Do đó suy ra
1 13 3 21
, 2,91
22
b
bc
c
+ −+
= = ⇒≈
. Chọn D.
Câu 39: Ta có
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
2
23 2
743 23 6 23 26 60
23 3
x
xx xx
x
l
+=
+ ++ =⇔+ ++ −=⇔
+=−
22
23
log 2 3, 2 13x a b ab
+
⇔= ⇒= =⇒ + =
. Chọn A.
Câu 40: Ta có
(
) ( )
22
13 3
2
21 322 3 1
xx xx
xx
+− −
+ −+ = − −
( ) ( )
22
1 3 23
2
21 21 3 1
xx xx
xx
+− −
+ − + = −−
(
)
( )
( )
22
1 3 23
22
1 3 21 2 3 21
xx xx
xx xx
+− −
+−++ = −++
Xét hàm số
( )
( )
21
t
ft t=++
. Ta có
( )
( ) ( )
21ln 21 0
t
ft t
′
=+ + + >⇒
hàm số đồng biến
Mà
(
)
(
)
2 2 222
1 3 231 323 31
f xxf xx xx xx xx+ − = − ⇔+ −= −⇔ −=
22
3 1 3 10
xx xx⇔−=⇔−−=⇒
tích các nghiệm là
1−
. Chọn D.
| 1/26
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

CHỦ ĐỀ 4: PHƯƠNG TRÌNH MŨ
I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1) Phương trình mũ cơ bản Phương trình: x
a = b (với a > 0; a ≠ 1 )
Với b > 0, ta có x
a = b ⇔ x = log b a
Với b ≤ 0 , phương trình đã cho vô nghiệm.
2) Các phương pháp giải phương trình mũ
Phương pháp 1. Đưa về cùng cơ số
Nếu 1 ≠ a > 0 thì phương trình: f (x) g(x) a = a
⇔ f (x) = g (x)
Phương trình dạng: f (x) g(x) a = b , với . a b =1(1 ≠ ;
a b > 0) ta sẽ giải như sau: ( ) f (x) g(x) f (x)  1 g x a b a  = ⇔ = = ( 1
a− )g(x) − g (x) = a ⇔ f (x) = −   g (x)  a
II. CÁC DẠNG TOÁN TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau: x 1 + a) 2x−x 1+ 2x 1 3 3 − = b) ( )5x−7  2 1,5  =  3    Lời giải  = − + − x 1 a) Ta có: 2x x 1 2x 1 2 2 3 = 3
⇔ x − x +1 = 2x −1 ⇔ x − 3x + 2 = 0 ⇔  x = 2
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x =1; x = 2 5x−7 x 1 + x 1 + 1 − 5 − x+7  
b) Ta có: ( )5x−7  2   3   3   3 1,5  = ⇔ =        = 3 2  2    2           ⇔ x +1 = 5
− x + 7 ⇔ 6x = 6 ⇔ x =1
Ví dụ 2: Giải các phương trình sau: x− − a) x x 1 x + x+2 x x 1 2 2 2 5 2.5 − + + = + b) ( ) ( ) 1 1 x 1 5 2 5 2 + + = − Lời giải x a) x x 2 x 5 x 7 2 2.2 4.2 5 2. 7.2 .5x PT ⇔ + + = + ⇔ = 5 5 2x 1  2 x  1 1 ⇔ = ⇔ = ⇔ x =   log x 2 5 5  5  5 5 5 −
b) Do ( + )( − ) = ⇒ ( + ) = ( − ) 1 5 2 5 2 1 5 2 5 2 x 1 − x 1 − x 1 1 − 1 − − Do đó PT ( )  ⇔ − = ( − ) x x 1 + = ( − ) = ( −  (ĐK x ≠ 1 − )   )x 1 5 2 5 2 5 2 5 2 +  x −1 x =1 2 2 ⇔ 1− x =
⇔ 1− x = x −1 ⇔ x + x − 2 = 0 ⇔ x +1  x = 2 −
Vậy nghiệm của phương trình là x =1; x = 2 − .
Ví dụ 3: Giải các phương trình x x 1 + x+2 x x 1 2 2 2 5 2.5 − + + = + Lời giải Ta có x x 1 + x+2 x x 1 − x x x 2 x x 1
2 + 2 + 2 = 5 + 2.5 ⇔ 2 + 2 .2 + 2 .2 = 5 + 2.5 . 5 x ( ) x  2  x x 7 x  5 1 2 4 2 1 .5 7.2 .5  ⇔ + + = + ⇔ = ⇔ = 5 ⇔ x =     log 5 5  5  5  2  2
Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm là x = log 5. 5 2
Ví dụ 4: Giải các phương trình sau a) 2x+3x−2 x 1 2 16 + = b) 2 − x +4x 1 3 = 243 Lời giải  = + − + + − + x 2 a) 2 2 x 3x 2 x 1 x 3x 2 4x 4 2 2 2 =16 ⇔ 2 = 2
⇔ x + 3x − 2 = 4x + 4 ⇔ x − x − 6 = 0 ⇔  x = 3 −
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x = 2 và x = 3 − .  = − − + − + − x x x 1 1 b) 2 2 4 x 4x 5 2 3 = ⇔ 3
= 3 ⇔ −x + 4x = 5 − ⇔ 243  x = 5
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 1; − x = 5
Ví dụ 5: Giải các phương trình sau x 10 + x+5 a) x 10 − x 15 16 0,125.8 − = b) 2 2 x x + − = ( 2 2 1 x 1 − x −2 5 3 2 5 − 3 ) Lời giảix −10 ≠ 0 x ≠ 10 a) Điều kiện:  ⇔ x 15 0  − ≠ x ≠ 15 x 10 + x+5 Do 4 1 3 − 3 16 + +
= 2 ;0,125 = = 2 ;8 = 2 nên ta có 4. 3. − − − x 10 x 5 x 10 3 x 15 PT ⇔ 2 = 2 .2 ⇔ 4. = 3 − + 3. 8 x −10 x −15 4(x +10) 60 ⇔ = ⇔ ( x = 0 2
x − 5x −150) =15x −150 → x −10 x −15  x = 20
Vậy phương trình có nghiệm x = 0; x = 20. b) 2 2 x x + ( 2 2 x − x − − = − ) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 x x 2 x 2 x x 2 x x 2 5 3 2 5 3
⇔ 5 − 3.3 = 5 − 3 ⇔ 5 − 5 = 3.3 − 3x 5 9 5 9 2 2 x x 3 3 2x 25 2x  5  125  5   5 5 3  ⇔ = ⇔ = ⇔ = → x = ±       3 5 9  3  27  3   3 
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = ± 3 .
Ví dụ 6: Giải các phương trình sau: x x a)  2   9  27  . =  b) x 1 − 2x 1 4.9 3 2 + = 3  8     64 Lời giải x x x 3 x 3 a)  2   9  27  2 9   3   3   3 . .  = ⇔ = ⇔ = → x =             3  3   8  64  3 8   4   4   4 
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 3. x 1 − 2x 1 + − − b) − + 4.9 2 1 2 1 2 −3 x x x x 2 2x−3 4.9 = 3 2 ⇔ = ⇔ = ⇔ = + 1 3 .2 1 3 . 2 1 2x 1 ( )3 2 2 3.2 2x−3 0  3   3  3 ⇔ =  1 = ⇔   x = 
. Vậy phương trình đã cho có nghiệm 3 x = .  2   2  2 2 x x Cách khác: x 1 − 2x 1 + x 1 − 2x 1 + 81 x  81 18.81 4.9 = 3 2 ⇔ 16.81 = 9.2 ⇔ 16. = 9.2.4 ⇔ = 81  4    16 2x 3  9   9  3 ⇔ = ⇔    x =  .  2   2  2
Ví dụ 7: Giải các phương trình sau: 2 1   x 1− 2 − a) x 5x 6  ( x+3 )2 2 2 x  = 4 b) ( 3 + 2) = ( 3 − 2)   Lời giải 2 1   x 1− x > 0 a)  ( x+3)2 2 2 x  = 4 , (1). Điều kiện:    x ≠ 1 (3 x+ )1 + − 3 x 1 (1) x( x )1 2 ( ) ⇔ 2 = 2 ⇔ = ⇔ − − = ⇔ = ⇔ =
x ( x − ) 2 2x 5 x 3 0 x 3 x 9 1
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 9 . 2 −
b) ( + )x 5x = ( − )6 3 2 3 2 , (2). −
Do ( + )( − ) = → ( − ) = ( + ) =( + ) 1 1 3 2 3 2 1 3 2 3 2 3 2 ( − − x =
2) ⇔ ( 3 + 2) 2x 5x = ( 3 + 2) 6 2 2
⇔ x − 5x + 6 = 0 ⇔  x = 3
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 2 và x = 3.
Ví dụ 8: Số nghiệm của phương trình 2x+3x−2 x 1 2 16 + = là: A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Lời giải 2 x +3x−2 PT ⇔ = ( 4 )x 1+ 2 x +3x−2 4x+4 2 2 2 ⇔ 2 = 2
⇔ x + 3x − 2 = 4x + 4 x = 3 2
⇔ x − x − 6 = 0 ⇔  . Chọn C.x = 2 − −
Ví dụ 9: Tổng bình phương các nghiệm của phương trình ( − ) 2x x 1 2 1 = 2 +1 là: A. T = 5 . B. T =1. C. T =10 . D. T =13 . Lời giải 2 x −x− − x = 0
Ta có: PT ⇔ ( 2 − ) 1 1 = ( 2 − ) 1 2 2 2
1 ⇔ x − x −1 = 1 − ⇔ ⇒ T = 0 +1 =  1. Chọn B.x = 1
Ví dụ 10: Tổng lập phương tất cả các nghiệm của phương trình 2 − x +4x 1 3 = 243 A. T =124 . B. T =125 . C. T =126 . D. T = 26. Lời giải  = − − + − x x x 1 1 Ta có: 2 4 5 2 2 PT ⇔ 3 =
= 3 ⇔ −x + 4x = 5
− ⇔ x − 4x − 5 = 0 ⇔ 243  x = 5 Do đó T = (− )3 3 1 + 5 =124 . Chọn A.
Ví dụ 11: Biết phương trình x x 1 + x x 1 4 4 2 2 + + = +
có nghiệm duy nhất là x = a log 3+ blog 5 (trong đó 2 2 ;
a b∈ ). Giá trị của T = a + b là: A. T = 0 . B. T =1. C. T = 2 − . D. T = 2. Lời giải Ta có: x x x x x x x 3 3
PT ⇔ 4 + 4.4 = 2 + 2.2 ⇔ 5.4 = 3.2 ⇔ 2 = ⇔ x = log = log 3− log 5 2 2 2 5 5
Khi đó a =1;b = 1
− ⇒ T = a + b = 0 . Chọn A. + +
Ví dụ 12: Nghiệm của phương trình ( + )3x 1 = ( − )5x 7 2 3 2 3
là x thì giá trị của 0 = + 3x A x bằng 0 0 A. 10 A = . B. 4 A = . C. A = 4 . D. 2 A − = . 3 3 3 Lời giải −
Do ( + )( − ) = ⇒ − = ( + ) 1 2 3 2 3 1 2 3 2 3 + + + − −
Ta có: ( + )3x 1 = ( − )5x 7 ⇔ ( + )3x 1 = ( + ) 5x 7 2 3 2 3 2 3 2 3 ⇔ 3x +1 = 5
− x − 7 ⇔ x = 1 − Vậy 1 − 2 A 1 3 − = − + = . Chọn D. 3
Phương pháp 2. Lấy logarit hai vế phương trình (logarit hóa)
Phương trình dạng: f (x) g(x) a = a , với . a b =1(1 ≠ ;
a b > 0) ta sẽ giải như sau:
Lấy logarit 2 vế với cơ số a ta được: f (x) g(x) log a = a ⇔ f x = g x b a loga ( ) ( )loga
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau  1 x 1  − a) 7x.27 x   = 3087 b) x+2 2 8 = 36.3 −x Lời giảix 1 −  3x−3 − x+3 3
a) ĐK: x ≠ 0 .Ta có:  2 xx  3 2 x−3 − x x−3 7 .27 = 7 .3 ⇔ 7 = 3 ⇔ 7 = 3 x − x+3
Logarit cơ số 3 cả 2 vế ta được: x−3 log 7 = log 3 x 3 3 x = 3 x = 3 ⇔ ( − x − ) x 3 3 log 7   = − ⇔ ⇔ − 3 1 1 3 log 7  = − x = 3  x  log 7 3 3x 3x 3x b) ĐK: x ≠ 2 − , −2 x+2 2 2 2−x x+2 4−x x+2 4 PT ⇔ 2 = 2 .3 .3 ⇔ 2 = 3 ⇔ 2 = 3 −x x = 4
Logarit cơ số 2 cả 2 vế ta được: x − 4 (4 x)log 3  = − ⇔ 2 1 x + 2  = −log 3 ⇔ x = 2 − − log 2 2 3  x + 2
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là: x = 4; x = 2 − − log 2 . 3
Ví dụ 2: Giải các phương trình sau a) x x 1 3 .2 + = 72 b) 2 5x.3x =1 c) 3x 2x 2x 3 7 9.5 5 9.7 x + = + Lời giải x x 1 + a) x x 1+ 3 .2 x−2 x−2 x−2 3 .2 = 72 ⇔ = 1 ⇔ 3 .2 = 1 ⇔ 6 = 1→ x = 2 9.8
Vậy phương trình có nghiệm x =1. b) 2
5x.3x =1 ⇔ log ( 2 5x.3x ) 2 x x 2
= log 1 ⇔ log 5 + log 3 = 0 ⇔ x log 5 + x = 0 3 3 3 3 3  = ⇔ x( x 0 log 5 + x = 0 → 3 ) x = −  log 5 3
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = 0 và x = −log 5. 3 c) 3x 2x 2x 3x 3x 2x 3x 2x + = + ⇔ = ⇔ = ⇔ ( 3x ) = ( 2 7 9.5 5 9.7 8.7 8.5 7 5 lg 7
lg 5 x ) ⇔ 3 .xlg7 − 2 .xlg5 = 0
→ x(3lg 7 − 2lg5) = 0 ⇔ x = 0
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 0 .
Ví dụ 3: Giải các phương trình sau x 1 + 2x 1 −
a) 5x.8 x = 500 b) x x 1 5 .2 + = 50 Lời giải x 1 +
a) 5x.8 x = 500 , (1) Điều kiện: x ≠ 0 x 1 + x−3 x−3 ( ) 3   x − − x − x 3 2 x 3 x x ⇔ = ⇔ = ⇔   = ( 3 x 3 1 5 .2 5 .2 2 5 log 2 log 5 ⇔ = 3− x log 5 2 2 ) ( ) 2   xx = 3 (x ) 1 3 log 5 0  ⇔ − + = →  2 1  x   x = − = − log 2 5  log 5 2 2x 1 − b) x x 1
5 .2 + = 50 , (2) Điều kiện: x ≠ 1 − 2x 1 − 2x 1 − 2x 1 − (   2) 1 − 1 x − x 1 + 2 x−2 x 1 − x−2 x 1 ⇔ 5 .2 = 5 .2 ⇔ 5 .2
= 1 ⇔ log 5 .2 −  = log 1= 0 2 2   2x −1 x − = −1+ (x − 2) 2 0
log 5 = 0 ⇔ x − 2 + x − 2 x +1 log 5 = 0 → 2 ( )( ) 2 x +1 1  +  ( x + ) 1 log 5 = 0 2 x = 2  ⇔ (1+ log 5  2 ) 1 x = − = −  log 5 lg5 2
Vậy phương trình có hai nghiệm 1 x = 2; x = − . lg5
Ví dụ 4: Giải các phương trình sau a) 2 x−3 x −5x+6 2 = 5 b) 2lgx x = 10x Lời giải a) 2
2x− = 5x − x+ ⇔ log (2x− ) = log ( 2 3 5 6 3 x −5x+6 5
)⇔ x−3=( 2x −5x+6 log 5 2 2 ) 2 x = 3 (  − = x ) (x ) x 3 0 3 1 2 log 5 0  ⇔ − − − = → ⇔ 2   log 50 2 x + log 5 =1+  2log 5 x = = log 50 2 2 2  log 5 2
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 3; x = log 50 5 b) 2lgx x
= 10x , (4). Điều kiện: x > 0 lg x = 1 ( x = 4) lg( 10 2lg x x ) lg(10x) 2 2lg x lg x 1 0  ⇔ = ⇔ − − = ⇔ 1 ⇔ lg x   = x = 10  2
Vậy phương trình có hai nghiệm x =10; x = 10
Ví dụ 5: Gọi x và x là 2 nghiệm của phương trình 2 x−3 x −5x+6 2 = 3
. Tính P = x − x 1 2 1 2 A. 3 P = log . B. 2 P = log . C. 9 P = log . D. 4 P = log . 3 2 3 3 3 4 3 9 Lời giải
Logarit cơ số 3 cả 2 vế ta được: (x −3)log 2 = ( 2 x − 5x + 6 3 ) x = 3
(x 3)log 2 x 3 x 2  ⇔ − = − − ⇔ x = 3 3 ( )( ) x−2=log 2⇔ 3   x = 2 +   log 2 3 Suy ra 3
P = x − x = 1− log 2 = log . Chọn A. 1 2 3 3 2
Ví dụ 6: Gọi x và x là 2 nghiệm của phương trình 2x−5x+6 x−3 5
= 2 . Biết x > x , tính P = 2x − x 1 2 1 2 1 2
A. P = 4 − log 5 .
B. P = 4 − log 2 .
C. P =1− log 2 .
D. P =1+ log 2 . 2 5 5 5 Lời giải
Logarit cơ số 5 cả 2 vế ta được: ( 2
x − 5x + 6) = (x −3)log 2 5 ⇔ (  =  =
x − )(x − ) = (x − ) x 3 x 3 2 3 3 log 5 ⇔ ⇔ 2 x 2 log 2  − = x = 2 +   log 2 5 5
Vì x > x nên x = 3; x = 2 + log 2 ⇒ P = 6 − 2 + log 2 = 4 − log 2. Chọn B. 1 2 5 ( 5 ) 1 2 5
Ví dụ 7: Biết tổng các nghiệm của phương trình 2 x+3 x +2x−3 2 = 5
bằng a + blog 2 với (a;b∈) . Tính a + b 5
A. a + b =1.
B. a + b = 1 − .
C. a + b = 5 − .
D. a + b = 5. Lời giải
Logarit cơ số 5 cả 2 vế ta được: (x + 3) 2
log 2 = x + 2x − 3 = x −1 x + 3 5 ( )( ) x = 3 − ⇔ ⇒ x + x = 2 − + log 2 ⇒ a = 2;
− b =1⇒ a + b = 1 −  . Chọn B. 1 2 5
x −1 = log 2 ⇔ x =1+  log 2 5 5
Phương pháp 3. Đặt ẩn phụ
Loại 1: Phương trình dạng: 2 f (x) f (x) . m a + . n a + p = 0 Ta đặt f (x) t = a
(t > 0) đưa về dạng phương trình ẩn t ta được: 2 PT → . m t + . n t + p = 0 Với phương trình: 3 f (x) 2 f (x) f (x) . m a + . n a + . p a
+ q = 0 ta cũng đặt f (x) t = a
(t > 0) đưa về phương trình bậc 3 đối với ẩn t.
Loại 2: Phương trình dạng: 2 f (x) .A m + .
n ( AB)f (x) + .
p (B)2 f (x) = 0
Chia 2 vế của phương trình (2) cho (B)2 f (x) ta được 2 f (x) f (x) 2 f (x) .A .( )f(x) .( )2 f (x) 0 . A  . A PT m n AB p B m n  ⇔ + + = ⇔ + + p =     0  B   B f (x) Đặt  A t  = (t >   0) suy ra 2 . m t + . n t + p = 0  B  Với phương trình: 3 f (x) m + n ( 2
A B)f(x) + p ( 2 .A .
. AB )f(x) + .q(B)3f(x) = 0 ta chia cả 2 vế của phương trình 3 cho 3f (x) B và đặt  A t  =  (với t > 0) B   
Loại 3: Phương trình dạng: 2 f (x)
f (x)+g(x) 2g(x) .A m + .A n + .A p = 0 2 f (x)
f (x)+g(x) 2g(x)
2 f (x)−g(x) f (x)−   g(x) PT ⇔ .A m + .A n + .A p = 0 ⇔ .A m + . n A + p = 0 Đặt
f (x)−g(x) t = A (t > ) 2
0 ⇒ mt + nt + p = 0.
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau: a) (2 3)x (2 3)x + + − = 4 b) 3x 1+ 2 2
− 7.2 x + 7.2x = 2 Lời giải
a) Do ( + )x ( − )x = ⇒ ( − )x 1 2 3 . 2 3 1 2 3 = ( 2 + 3)xt = +
Đặt t = (2+ 3)x ⇒ (2− 3)x 1 1 2 3
= ⇒ PT → t + = 4 ⇔  t t t = 2 − 3
Với = 2 + 3 ⇒ (2+ 3)x t = (2+ 3) ⇔ x =1 − Với = − ⇒ ( + )x t = ( − ) = ( + ) 1 2 3 2 3 2 3 2 3 ⇔ x = 1 −  t = 2 x =1 b) Đặt  2x t = > 0 khi đó 3 2 PT 2t 7t 7t 2 0 t 1  ⇒ − + − = ⇔ = ⇒ x =  0  .  1 x = 1 t −  =  2
Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:
a) 3.9x 7.6x 6.4x + − = 0 b) 2 2 2x x +x x 1 2.3 17.3 9 + − − = 0 Lời giải x x 2x x a) Ta có:  9   6   3   3 PT 3. 7. 6 0 3 7  ⇔ + − = ⇔ + − 6 =         0  4   4   2   2  x  2 x t = Đặt  3 t  = (t >   3  2   0) ta có: 2
3t + 7t − 6 = 0 ⇔ 3 ⇔ = ⇔ x = 1 −    2   t = −  (loai)  2  3 3 b) 2 2 2 2 2x x x 2x 2x 2 2.3 17.3 9.3 0 2.3 x 17.3x x PT + − − ⇔ − − = ⇔ − − 9 = 0  1 t = − (loai)  x = 2 Đặt 2 3x x t − = > 0 ta có: 2
2t −17t − 9 = 0 ⇔ 2 ⇔   2  = − − x x x 1 2 t = 9 = 3 ⇒ x − x = 2
Vậy nghiệm của phương trình là x = 2; x = 1 − . A. Chọn B.
Ví dụ 3: Tập nghiệm của phương trình 9x 5.3x − + 6 = 0 là:
A. S = {log 2;1 .
B. S = {log 2;2 .
C. S = {log 3;1 .
D. S = {log 3;2 . 2 } 2 } 3 } 3 } Lời giảit = 2 3x = 2 x = log 2
Đặt t = 3x (t > 0) x 2 2 3
⇒ 9 = t ⇒ t − 5t + 6 = 0 ⇔ ⇔   ⇔ . Chọn A. t = 3 3x = 3  x = 1
Ví dụ 4: Tính tích các nghiệm của phương trình x 4 2 + 3.2 −x =16 là: A. P = log 24 . B. P = log 48 . C. P = log 144. D. P = log 6 . 2 2 2 2 Lời giải  = x = x 16 2x 4 2 Ta có: PT ⇔ 2 + 3. = 16 ⇔ − + = ⇔  ⇔ x (2x)2 16.2x 48 0 2 2x = 12  x = log 12 2
Do đó P = 2log 12 = log 144 . Chọn C. 2 2
Ví dụ 5: Tính tổng các nghiệm của phương trình 25x 7.5x − +10 = 0 A. log 2. B. log 10 . C. log 20. D. 7. 5 5 5 Lời giảit = 2 5x = 2 x = log 2 Đặt 5x t = > 0 ta có: 2 5
t − 7t +10 = 0 ⇔ ⇔   ⇔ t = 5 5x = 5  x = 1
Do đó P =1+ log 2 = log 10. Chọn B. 5 5
Ví dụ 6: Tổng tất cả các nghiệm của phương trình 2 2 x +x 1 − x +x−2 9 −10.3 +1 = 2 A. T = 1 − . B. T = 2 − . C. T = 0 . D. T = 2. Lời giải 2 x +x− 10 2 1 x +x 1 PT 9 .3 − ⇔ − +1 = 0 . Đặt 2 1 3x x t + − = (với t > 0) 3 t = 3 2 10 x + x −1 =1 x =1; x = 2 − Khi đó 2 PT t t 1 0  → − + = ⇔ 1 ⇒  ⇔ 2 3 t =
x + x −1 = 1   − x = 1; − x = 0  3 Do đó T = 2 − . Chọn B.
Ví dụ 7: Gọi a là nghiệm của phương trình 2−2x 2 3
− 2.3 −x − 27 = 0 . Giá trị của 2 = + 2a A a là: A. 3 A = hoặc 9 A = . B. 3 A = . C. 1 A − = . D. 1 A = . 2 4 2 2 2 Lời giải Ta có: 2(1 x) 1 3 6.3 x PT − − ⇔ − − 27 = 0 1  = 9 ⇒ 3 −x t
= 9 ⇔ 1− x = 2 ⇔ x = 1 − Đặt 1 3 x t − = > 0 khi đó 2
t − 6t − 27 = 0 ⇔  t = 3 −  (loai) Do đó 2 a 1 3
a + 2 =1+ = . Chọn B. 2 2
Ví dụ 8: Số nghiệm của phương trình 2 2 x −x 2 2
− 2 +x−x = 3 là: A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Lời giải 4 t = 1 − loai 2 ( ) 2 2 2x x 4.2x x PT − − ⇔ − = 3. Đặt 2 2x x t − =
> 0 khi đó t − = 3 ⇔ t − 3t − 4 = 0 ⇔ t  t = 4 x = 1 − Khi đó 2
x − x = 2 ⇔  . Chọn B.x = 2
Ví dụ 9: Số nghiệm của phương trình x 2x 1 27 3 + − −16 = 0 là: A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Lời giải Ta có: 3x 2 3 3.3 x PT ⇔ − −16 = 0 . Đặt 3x t = > 0 ta có: 3 2
t − 3t −16 = 0 ⇔ t = 4 ⇒ x = log 4. Chọn A. 3
Ví dụ 10: Số nghiệm của phương trình (3 2 2)x 2( 2 )1x − + − −1 = 0 là: A. 1. B. 2. C. 3. D. 0. Lời giải Ta có: x − = ( − )2 3 2 2
2 1 . Đặt t = ( 2 − )1 > 0  = 2 −1= 2 −1 x t 2  ( )
Khi đó PT ⇒ t + 2t −1 = 0 ⇔
⇔ x =1. Chọn A.t = − 2 −1< 0  (loai)
Ví dụ 11: Tích tất cả các nghiệm của phương trình ( 2 )1x ( 2 )1x − + + = 2 2 A. P = 0 . B. P =1. C. P = 1 − . D. P = 2 . Lời giải − Ta có: ( 2 x x − )
1 ( 2 + )1 =1. Do đó PT ⇔ ( 2 + )1 +( 2 + )1 = 2 2 1 t =1+ 2 Đặt ( 2 )1x t = + > 0 khi đó 2
PT ⇒ + t = 2 2 ⇔ t − 2t 2 +1 = 0 ⇔  t t = 1 − + 2
Với t =1+ 2 ⇒ x =1 Với t = 1 − + 2 ⇒ x = 1
− . Do đó tích các nghiệm của phương trình là P = 1 − . Chọn C.
Ví dụ 12: Tổng tất cả các nghiệm của phương trình ( )x ( )x x 1 5 1 5 1 2 + + + − = là A. 0. B. 1. C. 5 . D. 2 5 . Lời giải x x  +   −  Ta có: 5 1 5 1 PT ⇔   +   = 2  2   2      x x x − x  +   −   −   +  Do 5 1 5 1 5 1 5 1   .  = 1⇒   = 2 2 2  2                  x  +  Đặt 5 1 t = 1   (t > 0) 2 
ta có: t + = 2 ⇔ t − 2t +1 = 0 ⇔ (t − )2 1 = 0 ⇔ t =1 2    t x  +  Suy ra 5 1   = 1 ⇔ x = 0  . Chọn A. 2   
Ví dụ 13: Tổng tất cả các nghiệm của phương trình 2 2 2x 1 + x +x 2x+2 2 − 9.2 + 2 = 0 là A. 3 . B. 1 − . C. 2. D. 1. 2 Lời giải Ta có: 2 2 2 2 2x 1 + x +x 2x+2 2x x +x 2 2 − 9.2 + 2 = 0 ⇔ 2.2 − 9.2 + 4.2 x = 0 là 2 Chia cả 2 vế cho 2 2 x ta được: 2(x −x) 2 2.2
− 9.2x −x + 4 = 0 2 t = 4 2x −x = 4 2 x − x = 2 Đặt 2 2x x t − = (t > 0) ta có: 2 2t 9t 4 0  − + = ⇔ 1  ⇔ ⇔  2   x −x 1 2 t = 2 = x − x = 1  (vn)  2  2 x = 1 − 2
⇔ x − x − 2 = 0 ⇔ ⇒ 
Tổng tất cả các nghiệm của phương trình bằng 1. Chọn D.x = 2
Ví dụ 14: Số nghiệm của phương trình 4x 2 x 1 + 1 + 2x+ x 1 3 3 4.3 + + = là: A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Lời giải ĐK: x ≥ 1 − . Khi đó 2 x 1 4x x 1 2 1 3 4.3 x PT + − + − ⇔ + = t =1 Đặt 1 2 3 x x t + − = (t > 0) ta có: 2 3t 4t 1 0  − + = ⇔ 1 t =  3 x ≥ 0 Với x 1 + −2x 1+ 17 t =1⇒ 3
= 1 ⇔ x +1 − 2x = 0 ⇔  ⇔ x = 2 x +1 = 4x 8 2x −1 ≥ 0 Với 1 x 1 + −2x 1  5 t = ⇒ 3
= ⇔ x +1 − 2x = 1 − ⇔  ⇔ x = 3 3 x +1 =  (2x − )2 1 4
Vậy phương trình có 2 nghiệm là 1 17 x + = ; 5 x = . Chọn C. 8 4 x
Ví dụ 15: Giải phương trình: 8 2 18 + = x 1 − x x 1 − 1
2 +1 2 + 2 2 + 2 −x + 2 Lời giải
Viết lại phương trình dưới dạng: 8 1 18 + = x 1 − 1−x x 1 − 1
2 +1 2 +1 2 + 2 −x + 2 x 1 u  = 2 − +1 Đặt  , (u,v > ) 1 1
v = 2 −x +1 Ta có
= ( x 1− + ) ( 1−x + ) x 1 − 1 . 2 1 . 2 1 = 2 + 2 −x u v + 2 = u + v 8 1 18 u  = v = 2  + = u  + 8v =18
Phương trình tương đương với hệ 
u v u + v ⇔  ⇔  9 u   + v = uv u =  + =  9;v u v uv =  8 x 1 2 − +1= 2
Với u = v = 2, ta được:  ⇔ x =1 1 2 −x +1 = 2 x 1 2 − +1 = 9 Với 9
u = 9;v = u = v = 2, ta được:  ⇔ x = −x 9 4 8 1 2 +1 =  8
Vậy phương trình đã cho có các nghiệm x =1 và x = 4 .
Ví dụ 16: Giải phương trình 2 2 x 2x − + 6 = 6 Lời giải Đặt = 2x u ;u > 0
Khi đó phương trình trở thành 2 u − u + 6 = 6
Đặt v = u + 6 , điều kiện 2
v ≥ 6 ⇒ v = u + 6
Khi đó phương trình được chuyển thành hệ 2 u  = v + 6 u − v = 0 2 2 
⇔ u − v = −(u − v) ⇔ (u − v)(u + v) = 0 ⇔ 2 v = u + 6  u + v +1 = 0 u = 3
Với u = v ta được: 2
u − u − 6 = 0 x ⇔  ⇔ = ⇔ = u = −  (l) 2 3 x 8 2  1 − + 21 u = Với − −
u + v +1 = 0 ta được: 2 2 x 21 1 21 1 u + 5 − = 0 ⇔  ⇔ 2 = ⇔ x = log 2  1 − − 21 u = (l) 2 2  2
Vậy phương trình có 2 nghiệm là − x = 8 và 21 1 x = log . 2 2
Phương pháp 4. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số, phương pháp phân tích nhân tử, phương pháp đánh giá
Để giải các bài toán bằng các phương pháp này ta cần ghi nhớ một số kiến thức sau:
Kiến thức về hàm số: Hàm số f (t) đồng biến hoặc nghịch biến trên D (trong đó D là một khoảng, một
đoạn, một nửa khoảng) thì u;v∈ ;
D f (u) = f (v) ⇔ u = v
Bất đẳng thức AM-GM: Cho các số thực không âm a ;a ;...;a thì ta có: 1 2 n a + a +... n
+ a ≥ n a a a n . ... 1 2 1 2 n
Dấu bằng xảy ra ⇔ a = a = ... = a 1 2 n
Bất đẳng thức Bunhiacopxki: Cho 2 bộ số thực a ;a ;...;a và b ;b ;...;b ta có: 1 2 n 1 2 n ( 2 2 2
a + a +...+ a b + b + + b ≥ a b + a b + + a b n ) ( 2 2 2 ... n ... n 1 2 1 2 ) ( 1 1 2 2 n n ) Dấu bằng xảy ra a a a 1 2 ⇔ = = ... n = b b b 1 2 n
Bất đẳng thức trị tuyệt đối: a + b ≥ a + b , dấu bằng xảy ra ⇔ ab > 0
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau (phương pháp hàm số) a) 2 2 x −x 3−2x 2 2x−3 2 + 9 + + 6 = 4 + 3x−x x + 5x b) 2x 2x x x 1 2 3 2 3 + + = + + x +1 Lời giải a) 2 2 2 2 x −x x−x 2 4x−6 6−4x x −x x−x 2 4x−6 6−4 ⇔ 2 + 3 + + 6 = 2 + 3 + 5 ⇔ 2 + 3 + − = 2 + 3 x PT x x x x + 4x − 6 Đặt 2
u = x − x,v = 4x − 6 ta có: 2u − 3−u + = 2v − 3−v u + v (1)
Xét hàm số: ( ) = 2t −3−t f t + t ( t
∀ ) ta có: ′( ) = 2t ln 2 + 3−t f t ln 3+1 > 0 ( t ∀ ∈ ) x =1
Do đó (1) f (u) = f (v) 2
⇔ u = v ⇒ x − x = 4x − 6 ⇔  x = 6
Vậy phương trình có nghiệm là x =1, x = 6 . b) Ta có: 2x 2x x x 1 + x 1 PT 2 3 2 2 3 + ⇔ + + = + + x +1
Xét hàm số: ( ) = 2t + 3t f t + t ( t
∀ ∈ ) ta có: ′( ) = 2t ln 2 + 3t f t ln 3+1 > 0 ( t ∀ ∈ ) Khi đó: (2x ) = ( + )
1 ⇔ 2x = +1 ⇔ ( ) = 2x f f x x g x − x −1 = 0 Ta có: g′(x) x = − g′′(x) x 2 2 ln 2 1,
= 2 ln x > 0 ( x ∀ ∈ )
Do g′′(x) > 0 nên phương trình có tối đa 2 nghiệm, mặt khác ta thấy g (0) = g ( ) 1 = 0
Vậy phương trình có nghiệm là x = 0, x =1.
Ví dụ 2: Giải các phương trình sau (phương pháp phân tích nhân tử). a) 2 2 x +x x −x+2 2 − 2
− 4x + 4 = 0 b) x +x 1−x (x+ )2 2 2 1 4 + 2 = 2 +1 Lời giải a) 2 2 x x x x x x ( 2x x ) ( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 2 1 2 2x x PT + − + − − ⇔ − − + = ⇔ − − − )1 = 0 2 ⇔ ( 2 x = 4  = − x 1 2 2 x − 4)( 2 2x x − )1 = 0 ⇔  ⇔ 2  2x −x =1 x = 1, x = 0
Vậy phương trình có nghiệm là x = 0, x =1. b) Đặt 2 2 2 2 , 1
2u 2v 2u v 1 (2u )1(2v u x x v x PT + = + = − ⇒ ⇔ + = + ⇔ − − ) 1 = 0 u 2 2 =1 u = 0 2x + 2x = 0 x = 0 ⇔  ⇔ ⇔   ⇔ v 2 2 = 1 v 0 1  − x = 0  = x = 1 ±
Vậy phương trình có nghiệm là x = 0, x = 1 ± .
Ví dụ 3: Giải các phương trình sau (phương pháp đánh giá): 3  −  a) x x 2 11
4 −1 + 4 − 4 = −x + x + b) 2 2 x x cos
 = 3x + 3−x 4  2  Lời giải
a) Áp dụng BĐT: a + b ≥ a + b (dấu bằng xảy ra ⇔ ab > 0) Ta có:
4x 1 4x 4 4x 1 4 4x 4x 1 4 4x VP = − + − = − + − ≥ − + − = 3 Dấu đẳng thức xảy ra (4x )1(4 4x ⇔ − − ) ≥ 0 2 Mặt khác ta có: 2 11  1  1 −x + x + = 3−  x − ≤ 
3 ≤ VT ⇒ VT=VP ⇔ x = 4  2  2 Vậy 1
x = là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho. 2 3  − 
b) Áp dụng BĐT AM-GM ta có: x 1 x 1 2 = 3 + ≥ 2 3 . = 2 ≥ 2 x x VP cos   = VT 3x 3x  2   x 1 3 = x = 0  3x Dấu đẳng thức xảy ra  3 ⇔  ⇔   x − x  ⇔ x = 0 3 2  −  2 x x cos    =1 cos   =1     2   2  
Vậy x = 0 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.
Ví dụ 4: Giải các phương trình sau (phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn)
a) 2x + (x − ) 2 2 x 2 9 3 .3 − 2x + 2 = 0 b) 2
2 − 3(1− 4.3x ) − 6.3x x x +1 = 0 Lời giải a) Đặt 2 3x t = > 0 ta có: 2 t + ( 2 x − ) 2
3 t − 2x + 2 = 0
Khi đó: ∆ = (x − )2 − (− x + ) = x + x + = (x + )2 2 2 4 2 2 3 4 2 2 2 1 1 2 2  3− x + x +1 t = =  2 Do đó: 2  2  3− x − ( 2 x + ) 1 2 t = = 1− x  2 Với 2 = 2 ⇔ 3x t = 2 ⇔ x = ± log 2 3 Với 2 x 2
t =1 ⇔ 3 =1− x . Ta có: 2 x 0
VT = 3 ≥ 3 =1≥ VP nên VT = VP ⇔ x = 0
Vậy nghiệm của phương trình là: x = 0, x = ± log 2 3 b) 2
⇔ 2 − 3(1− 4.3x ) − 6.3x PT x x +1 = 0 Khi đó: ( x x ) ( x ) x x ( x ∆ = − + − − + = − + = − )2 9 1 8.3 16.9 8 6.3 1 144.9 24.3 1 12.3 1 
3− 2.3x +12.3x −1 1 x = =  Do vậy  4 2  
3−12.3x −12.3x +1 x = = 1− 6.3x (2)  4 (2) ⇔ ( ) = + 6.3x g x x −1 = 0 (3) Ta có: ′( ) =1+ 6.3x g x ln 3 > 0 ( x ∀ ∈ )
Do dó hàm số g (x) đồng biến trên  ta có: (3) g (x) = g (− ) 1 ⇔ x = 1 −
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm 1 x = , x = 1 − 2
Ví dụ 5: Số nghiệm của phương trình 7x = 6x +1 là: A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Lời giải Xét hàm số ( ) = 7x f x
− 6x −1 trên tập x 6
 ta có: f ′(x) = 7 ln 7 − 6 = 0 ⇔ x = log = x 7 0 ln 7
Lại có: lim f (x) = lim f (x) = +∞ và f ( 6 x f log  = <   0 0 ) x→−∞ x→+∞ 7  ln 7  Suy ra BBT: x −∞ x +∞ 0
f ′(x) – 0 + +∞ +∞ f (x) f (x 0 )
Do đó phương trình đã cho có 2 ng hiệm. Chọn C.
Ví dụ 6: Số nghiệm của phương trình 2 x 1
2 − − 2x −x = (x − )2 1 là: A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Lời giải Ta có: 2 x 1 − x −x 2
PT ⇔ 2 + x −1 = 2 + x − x (*)
Xét hàm số ( ) = 2t + ⇒ ′( ) = 2t f t t f t ln 2 +1 > 0 ( t
∀ ∈ ) ⇒ f (t) là hàm đồng biến trên 
Khi đó (*) ⇔ f (x − ) = f ( 2 x − x) 2 1
⇔ x −1 = x − x ⇔ x =1. Chọn B.
Ví dụ 7: Số nghiệm của phương trình 2x−3x 1+ x−2 2 − 2 + (x + ) 1 (x −3) = 0 là: A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Lời giải Ta có: 2 x −3x 1 + 2 x−2 PT ⇔ 2
+ x − 3x +1 = 2 + x − 2 (*)
Xét hàm số ( ) = 2t + ⇒ ′( ) = 2t f t t f t ln 2 +1 > 0 ( t
∀ ∈ ) ⇒ f (t) là hàm đồng biến trên  x =1 Khi đó (*) ⇔ f ( 2 x − 3x + ) 1 = f (x − 2) 2 2
⇔ x − 3x +1 = x − 2 ⇔ x − 4x + 3 ⇔  . Chọn C.x = 3 2 1−x 1−2x
Ví dụ 8: Số nghiệm của phương trình − 2 2 x 2 2 x − 2 x = là: 2x A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Lời giải 1 1 2 − − ĐK: 1 x ≠ 0 . Khi đó 2 2 x x x 1 1 PT ⇔ 2 − 2 = − 2 x 1 1 2 1 − − 2 1  1  2   x x x 1 1 2 ⇔ 2 + −1 =  2 + −  2  2 2 x 2 x x     
Xét hàm số f (t) t 1
= + t ⇒ f ′(t) t 1 2 = 2 ln 2 + > 0 ( t
∀ ∈ ) ⇒ f (t) là hàm đồng biến trên  2 2 Khi đó (*)  1   1 1  1 1 1 1 ⇔ f −1 = f − ⇔ −1 = − ⇔ 1 − = − ⇔ x =     1. Chọn B. 2 2 2 2  x   x x x x x x
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1: Giải phương trình x−2 5 = 3 A. x = log 28.
B. x = log 5 + 2 .
C. x = log 3+ 2. D. x = log 45. 5 3 3 5
Câu 2: Tìm tập nghiệm S của phương trình 2x+3x 10 2 − = 1 A. S = {1; } 2 . B. S = { 5; − } 2 . C. S = { 5; − − } 2 . D. S = {2; } 5 . x 1 +
Câu 3: Giải phương trình  1  =   125x  25  A. 2 x = − . B. x = 4 . C. 1 x = − . D. x =1. 5 8 Câu 4: Cho ( ) 2 3x x f x e − =
. Biết phương trình f ′′(x) = 0 có hai nghiệm x , x . Tính x x . 1 2 1 2 A. 9 x x = . B. 7 x x = . C. 3 x x = . D. x x = 3. 1 2 4 1 2 4 1 2 2 1 2
Câu 5: Giải phương trình x x 1 3 .5 − = 7 A. x = log 35 . B. x = log 5. C. x = log 35. D. x = log 21. 15 21 21 15
Câu 6: Giải phương trình x+5 3 − 3x =121 A. x = log 3.
B. x = −log 2 . C. x = log 2.
D. x = −log 3. 2 3 3 2
Câu 7: Tìm nghiệm của phương trình 1
4+ = 64a với a là số thực cho trước.
A. x = 3a −1.
B. x = 3a +1.
C. x = a −1. D. 3 x = a −1.
Câu 8: Phương trình 2 2x −7x+5 2
= 1 có bao nhiêu nghiệm thực? A. 3. B. 0. C. 1. D. 2.
Câu 9: Cho hàm số . Cho ( ) 2 x x f x e − =
. Biết phương trình f ′′(x) = 0 có hai nghiệm x , x . Tính x x . 1 2 1 2 A. 1 x x = − . B. x x =1. C. 3 x x = . D. x x = 0 . 1 2 4 1 2 1 2 4 1 2 2x−6
Câu 10: Tìm nghiệm của phương trình 3 = 27 3x A. x = 4 B. x = 2 C. x = 5 D. x = 3
Câu 11: Phương trình −x 1 3 = 2 +
có bao nhiêu nghiệm dương? 9x A. 0. B. 3. C. 2. D. 1.
Câu 12: Tìm tập nghiệm S của phương trình x 1+ x 1 4 4 − + = 272 A. S = { } 1 . B. S = { } 3 . C. S = { } 2 . D. S = { } 5 . 2 3 Câu 13: − + −
Tính tích t các nghiệm của phương trình ( +
)x x 2 =( − )x 2 3 2 2 3 2 2 A. t = 0 B. t = 2 C. t = 1 − D. t =1
Câu 14: Cho hàm số ( ) 2 3x.2x f x =
. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? A. f (x) 2 =1 ⇔ . x log 3+ x = 0 B. f (x) 2 = 1 ⇔ .
x log 3− x = 0 2 2 C. f (x) 2 =1 ⇔ . x log 2 + x = 0 D. f (x) 2 = 1 ⇔ .
x log 2 − x = 0 3 3
Câu 15: Tìm tập nghiệm S của phương trình x 1 + x+2 x+4 x+3 7.3 − 5 = 3 − 5 A. S = { } 1 . B. S = {− } 1 . C. S = {− } 2 . D. S = { } 2 .
Câu 16: Tìm tích P của phương trình ( 2 )1x ( 2 )1x − + + − 2 2 = 0 A. P = 2 B. P = 1 − C. P = 0 D. P =1
Câu 17: Tìm tập nghiệm S của phương trình x 1− 3 5 + 5 −x = 26 A. S = {3; } 5 . B. S = {1; } 3 . C. S = {2; } 4 . D. S = ∅ .
Câu 18: Biết rằng phương trình 2x 1− x 1 2 3 + =
có hai nghiệm là a và b. Tính T = a + b + ab
A. T = 2log 3−1 B. T =1+ log 3 C. T = 1 − D. T =1+ 2log 3 2 2 2
Câu 19: Tìm tập nghiệm thực của phương trình 2 3x.2x =1 A. S = {0;log } 6 B. S = {0;log 3 C. S = { } 0 D. 1 S 0;log  = 2 } 2 3  
Câu 20: Cho phương trình x x 1 4 2 + + − 3 = 0 . Khi đặt 2x
t = ta được phương trình nào? A. 2 2t − 3 = 0
B. 2t + t − 3 = 0 C. 4t − 3 = 0
D. 2t + 2t − 3 = 0
Câu 21: Phương trình 9x 3.3x −
+ 2 = 0 có hai nghiệm x , x (x < x . Tính 2x + 3x . 1 2 ) 1 2 1 2 A. 1. B. 2log 3. C. 3log 2 . D. 4log 2 . 2 3 3
Câu 22: Phương trình 2x 1
5 + −13.5x + 6 = 0 có hai nghiệm x , x . Tính tổng S = x + x . 1 2 1 2
A. S =1− log 6 .
B. S = log 6 − 2 .
C. S = 2 − log 6 .
D. S = log 6 −1. 5 5 5 5
Câu 23: Gọi x , x là hai nghiệm của phương trình x 1− x−2
5 + 5.0,2 = 26 . Tính S = x + x 1 2 1 2 A. S = 2 . B. S =1. C. S = 3. D. S = 4 .
Câu 24: Số nghiệm của phương trình 6.9x 13.6x 6.4x − + = 0 là A. 2. B. 1. C. 0. D. 3.
Câu 25: Cho phương trình x 1
9 + −13.6x + 6.4x = 0 . Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. Phương trình có 2 nghiệm nguyên.
B. Phương trình có 2 nghiệm dương.
C. Phương trình có 1 nghiệm dương.
D. Phương trình có 2 nghiệm vô tỉ. Câu 26: Tìm tích x x
T tất cả các nghiệm của phương trình ( 2 − ) 1 + ( 2 + )1 − 2 2 = 0 A. T = 2 B. T = 1 − C. T = 0 D. T =1
Câu 27: Gọi x , x là hai nghiệm của phương trình 2 2 x −x 1 − x −x+2 5 .3
= 27 . Giá trị x + x + x x bằng 1 2 1 2 1 2 A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
Câu 28: Tính tích các nghiệm của phương trình 2 2 2 2 x x 1 − x +2 x 1 3 2 2 3 − − = − A. 1 − B. -3 C. 3 − D. 1 3 4 3 2x 1 − x 1 −
Câu 29: Gọi x , x (x < x là hai nghiệm của ( ) x 3x ( )x 1 17 4 17 4 + + = − . Giá trị của 1 là 1 2 ) 1 2 x2 A. 7 − − 2 6 B. 7 − + 2 6 C. 1− 6 D. 1+ 6 5 5 5 5
Câu 30: Tính tổng bình phương của các nghiệm 2 2 x +x x −x 2 2 − 4.2 − 2 x + 4 = 0 A. 1 B. 5 C. 10 D. 13
Câu 31: Phương trình 2x 1
3 + − 4.3x +1 = 0 có hai nghiệm x , x (x < x . Chọn câu đúng? 1 2 ) 1 2
A. x .x = 1 −
B. x + 2x = 1 −
C. 2x + x = 0
D. x + x = 2 − 1 2 1 2 1 2 1 2
Câu 32: Tìm tập nghiệm S của phương trình 2. x 2. x e e− + − 5 = 0 A. 1 S ln  =  B. S = {ln } 2 C. S = { } 1 D. S = {±ln } 2 2   2 3
Câu 33: Tìm tích số của tất cả các nghiệm thực của phương trình x −x+2 7 = 49 7 bằng A. -1 B. 1 C. 1 − D. 1 2 2 x 3x 1 −
Câu 34: Tập nghiệm S của phương trình  4   7  6 . − =     0 là  7   4  49 A. 1 S   =  − B. S = { } 2 C. 1 S   = ± D. 1 S  = − ;2 2      2  2 
Câu 35: Tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình 2 2 2x 1 + x +3x 6x 1 2 5.2 2 + − + = 0 bằng A. 4 B. 10 C. 6 D. 8 2x 1 −
Câu 36: Phương trình + = ( )7x x 1 8
0,25. 2 có tích các nghiệm bằng? A. 4 B. 2 C. 2 D. 1 7 3 7 2
Câu 37: Tính tổng các nghiệm x∈(0;2π) của phương trình 2 2 sin 9 x 9cos x + = 6 A. 2π B. 4π C. 3π D. 5π
Câu 38: Biết phương trình x 1−xx 3 27 27 16 3  − − − + 6 =  
0 có nghiệm x = a, x = log b và x = log c với  3x  3 3
a ∉, b > c > 0. Tỉ số b thuộc khoảng nào sau đây? c A. (3;+∞) B.  3 1;       C. 3 5  ; D. 5  ;3 2       2 2   2 
Câu 39: Biết phương trình (7 4 3)x (2 3)x + + +
= 6 có nghiệm dạng x = log
b với a,b là số dương. 2+ a Tổng 2 2 a + b bằng A. 13 B. 8 C. 7 D. 11 2 2 + − −
Câu 40: Tích các nghiệm phương trình ( + )1 x 3x −( + ) x 3x 2 2 1 3 2 2
= x − 3x −1 là A. 3 B. 3− 13 C. 3+ 13 D. 1 − 2 2
LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1: PT ⇔ x − 2 = log 3 ⇔ x = 2 + log 3. Chọn C. 5 5 x = 2 Câu 2: PT 2 2
⇔ x − 3x +10 = log 1 ⇔ x + 3x −10 = 0 ⇔ . Chọn B. 2  x = 5 − Câu 3: PT x 1 + x x x 1 ⇔ = ⇔ = ⇔ ( )x 1 25 .125 1 25 .125 25.125 = 25 25 x 1 1 2 ⇔ 3125 = ⇔ x = log = − . Chọn A. 3125 25 25 5
Câu 4: ′( ) = ( − ) 2
3x−x ⇒ ′′( ) 2 3x−x = − + ( − )2 2
3x−x = ( − )2 2 3 3 2 2 3 2 3 2 − 2 x−x f x x e f x e x e xe  
Do đó f ′′(x) = ⇔ ( − x)2 2 7 0 3 2
− 2 = 0 ⇔ 4x −12x + 7 = 0 ⇒ x x = . Chọn B. 1 2 4
Câu 5: PT ⇔ 3x.5x = 7.5 ⇔ (3.5)x = 35 ⇔ x = log 35 . Chọn A. 15 Câu 6: PT 5 x x ⇔ − = ⇔ ( 5 − ) x x 1 1 3 .3 3 121
3 1 .3 =121 ⇔ 3 = ⇔ x = log = −log 2 . Chọn B. 3 3 2 2 Câu 7: PT 1 + ⇔ = ( 3)a x 3 4 4
= 4 a ⇔ x +1 = 3a ⇔ x = 3a −1. Chọn A.x =1 Câu 8: PT 2 2x 7x 5 log 1 0  ⇔ − + = = ⇔ . Chọn D. 2 5 x =  2
Câu 9: ′( ) = ( − ) 2
x−x ⇒ ′′( ) 2 x−x = − + ( − )2 2
3x−x = ( − )2 2 3 1 2 2 1 2 1 2 − 2 x−x f x x e f x e x e xe  
Do đó f ′′(x) = ⇔ ( − x)2 2 1 0 1 2
− 2 = 0 ⇔ 4x − 2x −1 = 0 ⇒ x x = − . Chọn A. 1 2 4 Câu 10: PT x 2x−6 x+2x−6 3 ⇔ 3 .3 = 27 ⇔ 3
= 3 ⇔ 3x − 6 = 3 ⇔ x = 3 Chọn D. 3x =1 x = 0 Câu 11: PT 3 1 2 2. 3x 3.2x 1 0   ⇔ = + ⇔ − + = ⇔ ⇔ . Chọn A. x 2 ( )2 3 (3x)  x 1 1 3 = x = log < 0 3  2  2 x Câu 12: PT x 4 17 x x 3 ⇔ 4.4 + = 272 ⇔
.4 = 272 ⇔ 4 = 64 = 4 ⇔ x = 3. Chọn B. 4 4 2 2 3 − + − + − Câu 13: x x 2 x x 2 x 2 PT ⇔ ( + ) 1 3 2 2 = ⇔ 3+ 2 2 3+ 2 2 = 1 3 x −2 ( ) ( ) (3+2 2) x = 0 ( − + + − 3 2 2) 2 3 x x 2 x 2 3 2 1 x x x 0  ⇔ + = ⇔ + − = ⇔ ⇒ t = − ± 0  1 5 . Chọn A. x =  2
Câu 14: f (x) =1⇔ log ( 2 3x.2x ) 2 x x 2
= 0 ⇔ log 3 + log 2 = 0 ⇔ .
x log 3+ x = 0 . Chọn A. 2 2 2 2 x Câu 15: PT x 2 x 4 x 3 x x x  3  100 5
⇔ 7.3.3 − 5 .5 = 3 .3 − 5 .5 ⇔ 60.3 =100.5 ⇔ = = ⇔  x = 1 −  . Chọn B.  5  60 3 2 Câu 16: PT 1   ⇔ + + = ⇔ + − + + = x
( 2 )1x 2 2 ( 2 )1x 2 2.   ( 2 )x ( ) 1 1 0 2 1  +  ( 2 + ) 1 x =1+ 2 xx =1 ⇔  . Chọn B. ( + ) ⇔ ⇒  P = 1 − x 1 = x = 1 2 1 −  1+ 2 x x  = = x = Câu 17: PT 5 125 1 ⇔ + = 26 ⇔ . − + = ⇔  ⇔ . Chọn B. x (5x) 3 2 5 125 5 3 26.5x 125 0 5 5 5 5x = 5  x = 1 Câu 18: PT 2 x 1 + 2
⇔ x −1 = log 3 ⇔ x −1− (x + ) 2
1 log 3 ⇔ x − xlog 3−1− log 3 = 0 2 2 2 2 x = 1 − ⇔
⇔ T = log 3−1− log 3 = 1 −  . Chọn C. 2 2 x =1+  log 3 2 x = 0 Câu 19: PT ⇔ log ( 2 3x.2x ) 2 x x 2
= 0 ⇔ log 3 + log 2 = 0 ⇔ x log 3+ x = 0 ⇔ . Chọn D. 2 2 2 2 x = −  log 3 2
Câu 20: PT ⇔ ( x )2 x 2 2
+ 2.2 − 3 = 0 → t + 2t − 3 = 0 . Chọn D. 3x =1 x = 0
Câu 21: PT ⇔ (3x )2 −3.3x + 2 = 0 ⇔  ⇔ . Chọn D. 3x = 2  x = log 2 3 5x = 2 x = log 2 Câu 22: PT 5.(5x ) 5 2 13.5x 6 0   ⇔ − + = ⇔ ⇔  x 3 3 5 = x = log5  5  5 3 6
⇒ x + x = log 2 + log = log
= log 6 −1. Chọn D. 1 2 5 5 5 5 5 5 x x−2 Câu 23: PT 5  1  1 x 25 1 ⇔ + 5. = 26 ⇔ .5 + = 26 ⇔ . − + =   x
(5x)2 26.5x 125 0 5  5  5 5 5 x 3 5 =125 = 5 x = 3 ⇔  ⇔ ⇒ 
x + x = 4 Chọn D. 1 2 5x = 5 x = 1 2 x x x x   Câu 24: PT  9   6   3   3 6.  13.  6 0    13.  ⇔ − + = ⇔ − +   6 = 0  4   4   2     2    3 x 3  =   2  2 x =1 ⇔ ⇔ . Chọn A. x    x = 1 3 2 −  =   2    3 2 x x x x   Câu 25: PT  9   6   3   3
9.  13.  4 0 9.   13.  ⇔ − + = ⇔ − +   4 = 0  4   4   2     2    3 x  =   1  2  x = 0 ⇔ ⇔ . Chọn A. x 2      x = 2 3 4 2 −  = =   2  9  3      2 Câu 26: PT 1   + + = ⇔ + − + + = x
( 2 )1x 2 2 (1 2)x 2 2.   (1 2)x ( ) 1 0 2 1  +  (1+ 2 )x = 1+ 2 x =1 ⇔  . Chọn B. ( + ) ⇔ ⇒  T = 1 − x 1 = x = 1 1 2 −  1+ 2 Câu 27: 2 2 2 2 x −x 1 − x −x+2 x −x 1 − − x +x 1 + 2 5 .3 = 27 ⇔ 5 = 3
⇔ x − x −1 = 0 ⇒ x + x + x x = 0 . Chọn B. 1 2 1 2 2 x 3 Câu 28: 2 2 2 2 x x − x + x − 4 2x 9 2 1 2 1 x  3   3  2 3 − 2 = 2 − 3 ⇔ .3 = .2 ⇔ = ⇔ x =     3 3 2  2   2 
⇔ x = ± 3 ⇒ x x = 3 − . Chọn B. 1 2 2x 1 − x 1 − 2x 1 − 1−x Câu 29: ( ) 3x ( )x 1+ ( ) 3x ( )x 1 17 4 17 4 17 4 17 4 + + = − ⇔ + = − 2x −1 1− x 2 2 2 1± 6 x 7 − + 2 6 1 ⇔ =
⇔ 2x + x +1 = 3
− x + 3x ⇔ 5x − 2x −1 = 0 ⇔ x = ⇒ = . Chọn B. 3x x +1 5 x 5 2 Câu 30: 2 2 2 x +x x −x x x −x − − + = ⇔
( x − )−( x − ) = ⇔ ( x − )( 2 2 2 2 2 2 4.2 2 4 0 2 2 4 2 4 0 2
4 2x −x − )1 = 0 2 2 x = 4 2x = 2 x =1 ⇔  ⇔  ⇔ . Chọn A. 2  x −x 2 2 = 1 x − x = 0 x = 0 3x =1  = + x 1
Câu 31: Ta có 2x 1 x 2 3 4.3 1 0 3.3 x 4.3x 1 0  − + = ⇔ − + = ⇔ ⇔ . Chọn A. x 1 3   = x = 1 −  3 xe = 2  = − x ln 2 Câu 32: x x 2 2.e 2.e 5 0 2. x e 5. x e 2 0  + − = ⇔ − + = ⇔ ⇔ . Chọn D. x 1 e   = x = − ln 2  2 2 3 2 3 5
Câu 33: x −x+ x −x+ 3 5 2 2 2 2 2 7 = 49 7 ⇔ 7
= 7 ⇔ x − x + = ⇔ x − x −1 = 0 ⇔ x x = 1 − . Chọn A. 1 2 2 2 x 3x 1 − 1−2x 2
Câu 34:  4   7  16  4   4  1  . − =   0 ⇔ = ⇔    
1− 2x = 2 ⇔ x = −  . Chọn A.  7   4  49  7   7  2 Câu 35: 2 2 2 2 x + x + x x+ x x x x − + = ⇔ − + = ⇔ ( 2 x x − )( 2 2 1 3 6 1 2 3 6 3 x 3 2 5.2 2 0 2.2 5.2 .2 2.2 0 2.2 2 2 − 2.2 x ) = 0 2 2 x 3x x 3x 2 2.2 − 2 = 0 2 = x
x − 3x +1 = 0 ⇔  ⇔  ⇔ 
⇒ tổng tất cả các nghiệm là 6. Chọn C. 2 2 x 3x x 3x 1 + 2 2 − 2.2 = 0 2 = 2
x − 3x −1 = 0 2x 1 − 6x−3 7x Câu 36: x − − − + + 6x 3 7x 4 x 1 8 = 0,25.( 2)7 2 x 1 2 2 ⇔ 2 = 2 ⇔ =
⇔ 7x + 3x − 4 =12x − 6 x +1 2 x =1 2 7x 9x 2 0  ⇔ − + = ⇔ 2 . Chọn C.x =  7 Câu 37: Ta có 2 2 2 2 2 2 sin x cos x sin x cos x sin 9 + 9 ≥ 2 9 .9
= 2 9 x+cos x = 6 Xảy ra khi 2 2 π π π 3π 5π 7 sin x cos x cos2x 0 x k x  ; ; ; π = ⇔ = ⇔ = + ⇒ ∈ 4 2 4 4 4 4   
Do đó tổng các nghiệm là 4π. Chọn B. 3
Câu 38: Ta có x 1−xx 3   x 3   x 3   x 3 27 27 16 3 6 0 3 9 3 16 3  − − − + = ⇔ − + − − − + 6 =         0  3x   3x   3x   3x   x 3 3 − = 2   xx =1 3 3    x 3   x 3   x 3  1+ 13 ⇔ 3 − − 7 3 − + 6 = 0 ⇔ 3 − = 1 ⇔ x =     log x x x 3 3 3      3  2   x 3   3 − + 21 3 − = 3 − x x = log3  3  2 Do đó suy ra 1+ 13 3 − + 21 = , b b c =
⇒ ≈ 2,91. Chọn D. 2 2 c  2+ 3 x = x x x x 2
Câu 39: Ta có (7 + 4 3) +(2+ 3) = 6 ⇔ (2+ 3)2 +(2+ 6) ( ) − 6 = 0 ⇔  (2+ 3)x = 3 − (l) 2 2 ⇔ x = log
2 ⇒ a = 3,b = 2 ⇒ a + b =13. Chọn A. 2+ 3 2 2 + − −
Câu 40: Ta có ( + )1 x 3x −( + ) x 3x 2 2 1 3 2 2 = x − 3x −1 ( + ) 2
+ x − x −( + ) 2 1 3 2 x −3x 2 2 1 2 1 = x − 3x −1 ( + − )+( + ) 2 + x − x = − + ( + ) 2 1 3 2 x −3 2 2 1 3 2 1 2 3 2 1 x x x x x Xét hàm số ( ) t = + ( 2 + ) 1 t f t t
. Ta có f ′(t) = t + ( 2 + )1 ln( 2 + )1 > 0 ⇒ hàm số đồng biến Mà f ( 2
+ x − x ) = f ( 2 x − x ) 2 2 2 1 3 2
3 ⇔ 1+ x − 3x = 2 x − 3x ⇔ x − 3x =1 2 2
⇔ x − 3x =1 ⇔ x − 3x −1 = 0 ⇒ tích các nghiệm là 1 − . Chọn D.
Document Outline

  • ITMTTL~1
  • IIBITP~1
  • IIILIG~1