Chuyên đề vectơ và các phép toán Toán 10 Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống – Diệp Tuân

MỤC LỤC

CHƯƠNG IV. VECTƠ VÀ CÁC PHÉP TOÁN 1

1. ĐỊNH NGHĨA VECTƠ

A. Lý thuyết……………………………………………………………………………………………………………1

B. Phân dạng, bài tập minh họa và câu hỏi trắc nghiệm…………………………………………… 2

Dạng 1. Xác định một vectơ, phương, hướng, độ dài……………………………………………. 3

Dạng 2. Chứng minh hai vectơ bằng nhau……………………...……………………………………..8

2. TỔNG, HIỆU CỦA HAI VECTƠ

A. Lý thuyết……………………………………………………………………………………………………….....18

B. Phân dạng, bài tập minh họa và câu hỏi trắc nghiệm………….……………………………….19

Dạng 1. Xác định độ dài tổng, hiệu của hai vec tơ…..……………………….…………………...19

Dạng 2. Chứng minh đẳng thức vectơ………...………….…………………………………..……….28

Dạng 3. Bài toán thực tế-Ứng dụng Vật Lý…….……….…………………………………..……….45

3. TÍCH CỦA MỘT VECTƠ VỚI MỘT SỐ

A. Lý thuyết………………………………………………………………………………………………………….48

B. Phân dạng, bài tập minh họa và câu hỏi trắc nghiệm……………………………….………….50

Dạng 1. Dựng và tính độ dài vectơ chứa tích một vectơ.……………..……………………….50

Dạng 2. Chứng minh đẳng thức vectơ…………………………………………………….…..………57

Dạng 3. Xác định vị trí điểm

M

thỏa mãn đẳng thức vectơ…………..……………………...70

Dạng 4. Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương……………….…..…….79

Dạng 5. Chứng minh hai điểm trùng nhau, hai tam giác có cùng trọng tâm.……….…90

Dạng 6. Tìm tập hợp điểm thỏa mãn điều kiện vectơ cho trước……………….……….…96

Dạng 7. Xác định tính chất của hình khi biết một đẳng thức vectơ……………………..101

Dạng 8. Chứng minh bất đẳng thức và tìm cực trị liên quan đến độ dài vectơ…....105

4. TRỤC TỌA ĐỘ VÀ HỆ TRỤC TỌA ĐỘ

A. Lý thuyết………………………………………………………………………………………………………..108

B. Phân dạng, bài tập minh họa và câu hỏi trắc nghiệm…………………………….…………..112

Dạng 1. Tìm tọa độ một điểm, vectơ và độ dài đại số của một vectơ trên

( )

,Oi

…...112

Dạng 2. Tìm tọa độ một điểm, vectơ trên

( )

Oxy

……………………………..……….….……..115

Dạng 3. Tính tọa độ của một tổng, hiệu và tích của điểm của vectơ trên

( )

Oxy

.…..120

Dạng 4. Tính tọa độ các điểm của một hình trên

( )

Oxy

………………………………….…..127

Dạng 5. Sự cùng phương của hai vectơ trên

( )

Oxy

……………………………………….……137

5. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉCTƠ 146

A. Lý thuyết………………………………………………………………………………………………………..146

B. Phân dạng, bài tập minh họa và câu hỏi trắc nghiệm…………………………….…………..148

Dạng 1. Xác định góc của hai vectơ ………………………………………………………………...148

Dạng 2. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng …...……………………………..……….….…….153

Dạng 3. Xác định biểu thức của tích vô hướng, góc của hai véctơ…………………..…..171

Dạng 4. Tìm tập hợp điểm thỏa mãn đẳng thức của tích vô hướng, tính độ dài…..183

Dạng 5. Chứng minh các đẳng thức của tích vô hướng……………………..……………….193

Dạng 6. Điều kiện để hai véctơ vuông góc …………………...…………………..………………201

Dạng 7. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất……………………...…………………..………………204

Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Bài 1. Véc Tơ-Định nghĩa Vectơ

1

Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880

4

VÉC TƠ VÀ CÁC PHÉP TOÁN

A. LÍ THUYẾT

I. Định nghĩa:

1. Vectơ

là đoạn thẳng có hướng, nghĩa là trong hai điểm

mút của đoạn thẳng đã chỉ rõ điểm nào là điểm đầu, điểm

nào là điểm cuối.

Vectơ có điểm đầu (gốc) là

A

, điểm cuối (ngọn) là

B

ta

kí hiệu :

AB

Hướng từ gốc đến ngọn gọi là hướng của véctơ.

Độ dài đoạn thẳng

AB

gọi là độ dài véc tơ

AB

, kí hiệu

AB

. Vậy

AB AB=

.

Ví dụ 1. ở hình vẽ bên thì vectơ

AB

có

Điểm gốc là

A

.

Điểm ngọn là

B

.

Phương (giá) là đường thẳng

.AB

Hướng từ

A

đến

.B

Độ dài ( môđun) là

.AB

2. Nhận xét: Vectơ còn được kí hiệu là:

, , , ,...a b x y

Vectơ – không, kí hiệu là

0 ...AA BB FF==

là vectơ có :

① Điểm đầu và điểm cuối trùng nhau.

② Độ dài bằng

0.

③ Hướng bất kỳ

II. Hai vectơ cùng phương, cùng hướng.

1. Giá của vec tơ là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ.

2. Hai vectơ cùng phương

là hai vectơ có giá song song hoặc trùng nhau (chúng cùng nằm trên

một đường thẳng hoặc nằm trên hai đường thẳng song song).

Ví dụ 2.

⋆ Từ hình vẽ trên ta thấy hai véctơ

AB

và

CD

có giá nằm trên một đường thẳng(trùng) nên

chúng cùng phương.

⋆ Từ hình vẽ trên ta thấy hai véctơ

QP

và

MN

có giá song song nên chúng cùng phương.

Nhận xét:

AB

cùng phương với

CD

khi và chỉ khi

AB CD

hoặc bốn điểm

, , ,A B C D

thẳng hàng.

3. Hướng của hai véc tơ : Hai vectơ cùng phương thì có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.

Ví dụ 3: Ở hình vẽ dưới thì hai vectơ

AB

và

CD

cùng hướng còn

EF

và

HG

ngược hướng.

Đặc biệt: vectơ – không cùng hướng với mọi véc tơ.

A

B

§BI 1. ĐỊNH NGHĨA VÉC TƠ VÀ TỔNG HIỆU HAI VÉC TƠ

Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Bài 1. Véc Tơ-Định nghĩa Vectơ

2

Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880

3. Hai vectơ bằng nhau

Hai vectơ được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng

hướng và cùng độ dài.

Kí hiệu:

,AB DC cung huong

AB DC





=



=





Véc tơ

0

cùng hướng với mọi véc tơ và có độ lớn bằng

0

.

Hai vectơ được gọi là đối nhau nếu chúng ngược

hướng và cùng độ dài.

Kí hiệu:

,AB CD nguochuong

AB CD





= − 



=





B. PHÂN DẠNG VÀ BÀI TẬP MINH HỌA.

Dạng 1. XÁC ĐỊNH MỘT VÉC TƠ, PHƯƠNG, HƯỚNG, ĐỘ DÀI

1. Phương pháp.

Để xác định một vectơ ta cần 2 điểm

A

và

.B

Cứ hai điểm

A

và

B

ta xác định được hai véc tơ đối nhau là

AB

và

BA

.

Nhận xét: cứ

n

điểm phân biệt có

( )

1nn−

véctơ khác véctơ-không được tạo thành từ các

điểm đó.

Sự cùng phương, cùng hướng của hai vectơ ta áp dụng theo định nghĩa.

Dựa vào các tính chất hình học của các hình đã cho biết để tính độ dài của một vectơ.

 Tính chất hình bình hành, hình vuông, hình chữ nhật, hình thoi, hình thang, hình tam giác…

 Áp dụng định lý Pytago, hệ thức lượng…

2. Bài tập minh họa.

Bài tập 1. Cho tứ giác

ABCD

. Có bao nhiêu vectơ khác vectơ-không có điểm đầu và điểm cuối là

đỉnh của tứ giác.

Lời giải

..........................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................

Bài tập 2. Cho tam giác

ABC

. Gọi

,,M N P

lần lượt là trung điểm của

,,BC CA AB

.

a). Xác định các vectơ khác vectơ - không cùng phương với

MN

có điểm đầu và điểm cuối lấy

trong điểm đã cho.

b). Xác định các vectơ khác vectơ - không cùng hướng với

AB

có điểm đầu và điểm cuối lấy

trong điểm đã cho.

c). Vẽ các vectơ bằng vectơ

NP

mà có điểm đầu

,AB

.

Lời giải (Hình 1.4)

..........................................................................................................................................................................................................

B

D

C

A

B

D

A

C

Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Bài 1. Véc Tơ-Định nghĩa Vectơ

3