Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán phần Dãy số toán 11 (có lời giải)
Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán phần Dãy số toán 11 có lời giải bao gồm các chủ đề sau: dự đoán số hạng tổng quát và chứng minh bằng quy nạp, dãy số cho bởi công thức truy hồi, sử dụng phương trình đặc trưng, sử dụng phép thế lượng giác, một số dạng toán liên quan đến tính chất của dãy số, các dạng khác.. Chuyên đề được viết dưới dạng PDF gồm 45 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.
Preview text:
CHUYÊN ĐỀ DÃY SỐ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN
1.1. DỰ ĐOÁN SỐ HẠNG TỔNG QUÁT VÀ CHỨNG MINH BẰNG QUY NẠP. u ì =11
Bài 1. Cho dãy số (u 1
n ) xác định bởi : í
. Xác định số hạng tổng quát của u =10u +1- 9 , n n " Î N î n 1+ n dãy đã cho. Hướng dẫn giải Ta có:. u = 11 = 10 +1 1
u = 10.11+1- 9 = 102 = 100 + 2 . 2
u = 10.102 +1- 9.2 = 1003 = 1000 + 3 3
Dự đoán: u =10n + n n ( )1.
Chứng minh theo quy nạp ta có. 1
u = 11 = 10 +1, công thức ( )
1 đúng với n = 1. Giả sử công thức ( )
1 đúng với n = k ta có u = 10k + k . 1 k Ta có: u =10 + k + - k + = + k + k + (10k ) k 1 1 9 10 1 1 ( ). Công thức ( )
1 đúng với n = k +1.
Vậy u = 10n + n, n " Î N.. n u ì = 2 -
Bài 2. Cho dãy số (u ) biết 1 í
. Xác định số hạng tổng quát của dãy. n
u = 3u -1, n " ³ 2 î n n 1 - Hướng dẫn giải 1 3 1 1
u = 3u -1 Û u - = 3u - Û u - = 3(u - )(1). n n 1 - n n 1 - n n 1 2 2 2 - 2 1 1 5 -
Đặt v = u - Þ v = u - = . n n 1 1 2 2 2
(1) Þ v = 3v , n " ³ 2. n n 1 -
Dãy (v ) là cấp số nhân với công bội là q = 3. n - n 5 Nên 1 n 1
v = v .q - = .3 - . n 1 2 1 5 - n- 1 Do đó 1 u = v + = 3 + , n " =1,2,.... n n 2 2 2 3 æ n + 4 ö
Bài 3. Cho dãy số (u * u = 1;u = u - , n " Î N n ) xác định bởi
.Tìm công thức số hạng 1 n 1 + ç n 2 ÷ 2 è n + 3n + 2 ø
tổng quát u của dãy số theo n . n Trang 1 HƯỚNG DẪN GIẢI Với mọi * n Î • , ta có. n + 4 2 3 2u = 3(u - ) Û 2u = 3(u + - ) n 1 + n n 1 (n +1)(n + 2) + n n + 2 n +1 . 3 3 3 3 3 Û 2(u - ) = 3(u - ) Û u - = (u - ). n 1 + n n 1 n + 2 n +1 + n + 2 2 n n +1 . 3 3 1
Dãy số (v ),v = u -
là cấp số nhân có công bội q = và v = - . n n n n +1 2 1 2 n 1 - n 1 3 1 3 1 æ 3 - æ ö æ ö * ö * v = . - , n " Î • Þ u = - , n " Î • . n ç ÷ ç ÷ ç ÷ è 2 ø è 2 n ø n +1 2 è 2 ø
Bài 4. Cho hàm số f : Z + Z + ®
thỏa mãn đồng thời các điều kiện:. (1) f (n + )
1 > f (n), n Z+ " Î .. (2) f é f
ë (n)ù > n + 2000, . û n Z + " Î .
a/Chứng minh: f (n + )
1 = f (n), n Z+ " Î ..
b/Tìm biểu thức f (n). HƯỚNG DẪN GIẢI Câu a.
Vì f (n) Z +
Î nên từ giả thiết (1) ta được: f (n + ) 1 ³ f (n) + , 1 n Z + " Î ..
Kết hợp giả thiết (2) ta được n Z + " Î .. n + 2001= (n + )
1 + 2000 = f é f ë (n + ) 1 ù ³ f é f û
ë (n)ù +1= n + 2001 do đó: f n +1 = f n + , . û ( ) ( ) 1 n Z+ " Î . Câu b.
f (n) f ( ) 1 n –1, n Z + = + " Î Þ f { f ( ) 1 } = f ( ) 1 + f ( ) 1 – , 1 . Suyra:1 2000 2 f ( ) 1 –1 f ( ) 1 1001
f (n) n 1000, n Z+ + = Þ = Þ = + " Î .
Thử lại thỏa các điều kiện, nên f (n) n 1000, n Z+ = + " Î .. Bài 5.
a)Xác định ba số hạng đầu của một cấp số cộng, biết tổng của chúng bằng 9 và tổng các bình phương của chúng là 125. u ì =16 1 ï b)Cho dãy số (u í 15( . n u + u n ) n ) có 1
. Tìm số hạng tổng quát . u n ï +14 = , n " ³1 n 1 + î n +1 Hướng dẫn giải Trang 2
a)Xác định ba số hạng đầu của một cấp số cộng, biết tổng của chúng bằng 9 và tổng các bình phương của chúng là 125.
Gọi d là công sai, số hạng thứ 2 là a. Khi đó 3 số hạng đầu của csc là a - d, a, a + d .
ìa - d + a + a + d = 9 ï
Theo giả thiết ta có hệ: í . ( ï a - d î
)2 + a +(a + d )2 2 = 125 3 ì a = 9 Û í 2 2 3a î + 2d =125. ìa = 3 Û íîd = 7±
Vậy có 2 cấp số thỏa mãn có 3 số hạng đầu là: -4;3;10 hoặc 10;3;-4. u ì =16 1 ï b)Cho dãy số (u í 15( . n u + u n ) n ) có
. Tìm số hạng tổng quát . 1 u n ï +14 = , n " ³1 n 1 + î n +1 15( . n u + n )1 Ta có: u +14 =
Û u +14 n +1 =15 . n u +1 n 1 + ( n 1+ )( ) ( n ). n +1 Û (n + ) 1 u
=15nu -14n +1 (1). n 1 + n
Đặt v = nu (Þ v =16 n n 1 ).
(1) trở thành: v =15v -14n +1Û v - n +1 =15 v - n n 1 + n n 1 + ( ) ( n ) (2).
Đặt w = v - n(Þ w =15 n n 1 ).
(2) trở thành: w =15w Þ w
w = 15, q = 15 Þ w = 15n n 1 + n ( n) là csn có . 1 n 15n + n Từ đó ta có: u = . n n
Bài 6. Cho dãy số (u
u =1;u = 4;u
= 7u -u - 2, n " Ε *
n ) xác định bởi : . 1 2 n+2 n 1 + n
Chứng minh : u là số chính phương với mọi n nguyên dương. n Hướng dẫn giải
Ta có u =1;u = 4;u = 25. 1 2 3 2 3 18 123
Đặt u = v + thì v = ;v = ;v = . n n 5 1 2 3 5 5 5 2 æ 2 ö æ 2 ö Khi đó u
= 7u -u - 2, n " Ε * Û v + = 7 v + - v + - 2, n " Î • * n+2 n 1 + n n+2 ç n 1 ÷ ç ÷ 5 + è 5 n ø è 5 ø Û v
= 7v - v , n " Ε . * n+2 n 1 + n Ta có : 2 2 2 2 v .v - v
= (7v - v ).v - v = v (7v - v ) - v = v v - v . n+2 n n 1 + n 1 + n n n 1 + n 1 + n n 1 + n n 1 + n 1 - n Trang 3 9 Suy ra : 2 2 2 v .v - v
= v v - v =! = v v - v = ; n " Ε *. n+2 n n 1 + n 1 + n 1 - n 3 1 2 5 2 æ 2 ö æ 2 ö æ 2 ö 9 2 4 æ 4 4 ö 9 Suy ra : u - . u - - u - = Þ u u - u + u + - u - u + = n+2 n ( n+2 n ) 2 ç n+2 ÷ ç n ÷ ç n 1 ÷ ç ÷ è 5 ø è 5 + ø è 5 ø 5 n 1 + n 1 5 25 è 5 + 25 ø 5 2 4 9 Þ u u - 7u - 2 - u + u = 2 2
Þ u u = u + 2u +1 = (u +1) ; n " Î • * n+2 n ( n 1+ ) 2 . n 1 + n 1 5 5 + 5 n+2 n n 1 + n 1 + n 1 + Từ hệ thức 2 u u = (u +1) ; n " Î •
* và u ;u là các số chính phương suy ra u là số chính phương với n+2 n n 1 + 1 2 n mọi n nguyên dương.
Bài 7. Cho dãy số {a +¥ a > 0 n " =1,2,3,.... a > 0 {x +¥ n} n} tăng, và . Xét dãy số xác định bởi n 1 = n n 1 = n a - a i 1 + i x =
. Chứng minh rằng tồn tại x . å lim n n n®+¥ i 1 = a aa i 1 + i Hướng dẫn giải
Dễ dàng thấy rằng dãy {x +¥ n} tăng ngặt. n 1 =
Trường hợp 1. Nếu a > 1. a - a 1 1 1 1 1 i 1 + i = - < - Þ x < vậy dãy {x +¥ n} . a a a 1 a a a a a - aa aa n aa n 1 = i 1 + i i i 1 + i i i 1 + 1
bị chặn trên do đó tồn tại lim x . n n®+¥
Trường hợp 2. Nếu 0 < a < 1. a - a 1 æ 1 1 ö i 1 + i < ç - ( ) * a 1 Û a
a - a < aa - aa a - i 1 + ( i 1 + i ) a a a ÷ ( ) * thật vậy . a a a a a i 1 + i i 1 + i è i i 1 + ø aa - aa a 1 i 1 i Û > aa - + ** i 1 + ( ). Ta chứng minh (**). a - a i 1 + i
Xét hàm số f (x) xa
= Trên đoạn [a ;a i i 1
+ ] rõ ràng hàm số thoả mãn điều kiện của định lí Lagrăng nên tồn aa - aa - - + a - aa aa + a - aa aa
tại số c Î(a ;a ' f (c) i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 + i = Û ac = Þ aa < i i 1 + ) thoả mãn đpcm. i 1 a - a a - a + a - a i 1 + i i 1 + i i 1 + i Từ đó ta có. 1 Þ x < Þdãy {x +¥ lim x n}
bị chặn trên do đó tồn tại . n aa a n 1 = n n®+¥ 1
Bài 8. Cho dãy số (x x = 1
n ) được xác định bởi : và. 4 x
= x +1 n - 2 + 2 n -3 +3 n - 4 +!+ n - 2 1, n ³ 4. n 1 + n ( ) ( ) ( ) ( ) với mọi . x
Tính giới hạn lim n .. 4 n®+¥ n Hướng dẫn giải Trang 4 Ta có: (
1 n + 2) + 2(n - )
3 + 3(n - 4) +...(n - 2). . 1 = ( é n - ë )1-1ù +2 û (én-1-2 ë )ù +3 û (én- ë )1-3ù +...+ û (n-2) (én- ë )1-(n-2)ù. û = (n - )é + + + + ë (n- )ù - é + + + + û (n- )2 2 2 2 1 1 2 3 ... 2 1 2 3 ... 2 ù. ë û n - 2 n -1
n - 2 n -1 2m - 3 n n -1 n - 2 = (n - ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) 1 . - = . 2 6 6 n(n - ) 1 (n - 2) Do đó ta suy ra : 3 x = x + = x + C * n 1 + n n n ( ). 6 Ta chứng minh 4
x = C . Thật vậy với n = 4 , ta có 4 x = 1 = C . n n 4 4
Giả sử với n ³ 4 ta có : 4 x = C . n n Ta có : 4 x
= x + C theo (*) hay 3 4 3 4 x
= x + C = C + C = C trong. n 1 + n n n 1 + n n n n n x n! 1 lim n = lim = .. 4 n®+¥ n n ®+¥ ( 4! n - 4) 4 !n 6 æ 1 ö
Bài 9. Cho hàm số f :(0;+¥) ® (0;+¥) thỏa mãn điều kiện f (3x) ³ f f ç
(2x) + 2x với mọi ÷ x > 0 è 2 ø
. Chứng minh rằng f (x) ³ x với mọi x > 0 . Hướng dẫn giải æ 1 ö
Ta có: f (3x) ³ f
f (2x) + 2x (1). ç ÷ è 2 ø
æ 1 æ 2x öö 2x 2x
Từ (1) suy ra f (x) ³ f f + Þ f (x) > , x " > 0 (2). ç ç ÷ è 2 3 ÷ è øø 3 3
æ 1 æ 2x öö 2x 2 1 æ 2x ö 2x 1 æ 2x ö 2x æ 4 2 ö
Khi đó f (x) ³ f f + > . f + = f + > + x . ç ç ÷÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ è 2 è 3 øø 3 3 2 è 3 ø 3 3 è 3 ø 3 è 27 3 ø 2 1 2
Xét dãy (a ), (n =1,2, )
… được xác định như sau: a = và 2 a = a + . n 1 3 n 1 + 3 n 3
Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp theo n rằng với mỗi * n Î • luôn có.
f (x) > a x với x > 0 (3). n
Thật vậy, khi n = 1 thì theo (2), ta có ngay (3).
Giả sử mệnh đề (3) đúng với n = k . Khi đó.
æ 1 æ 2x öö 2x 1 æ 2x ö 2x 1 2x 2x
f (x) ³ f f + > a . f + > a .a . ç + è 2 ç 3 ÷÷ è øø 3 2 k ç è 3 ÷ø 3 2 k k 3 3 . 2 a + 2 k = .x = a .x 1 3 k + Trang 5
Vậy (3) đúng với n = k +1.
Tiếp theo ta chứng minh lim a =1. Thật vậy, ta thấy ngay * a < 1 n " Î • . Do đó: n n 1
a - a = (a -1)(a - 2) > 0, suy ra dãy (a ) tăng ngặt. n 1 + n 3 n n n 1 2
Dãy (a ) tăng và bị chặn trên nên hội tụ. Đặt lim a = l thì 2
l = l + với l £ 1, suy ra l = 1. Vậy n n 3 3 lim a =1. n
Do đó từ (3) suy ra f (x) ³ x với mỗi x > 0 (đpcm).
Bài 10. Tìm tất cả các hàm số f : ! ® ! thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau đây.
1. f (x + y) £ f (x) + f ( y) với mọi x, y Î! . 2. ( ) x
f x £ e -1 với mỗi x Î ! . Hướng dẫn giải
f (x + 0) £ f (x) + f (0) Þ f (0) ³ 0 và bởi vì f ( ) 0
0 £ e -1= 0 cho nên f (0) = . 0
f (x +(-x)) £ f (x) + f (-x) Þ f (x)+ f (-x) ³ 0 ( ) 1 . x æ ö æ ö æ ö f (x) x x 2 £ f + f £ 2 ç ÷ ç ÷ çe -1 . ÷ è 2 ø è 2 ø è ø x x æ ö æ ö æ ö æ ö f (x) x x 2
£ çe - ÷ Þ f (x) 4 2 1 £ f + f £ 4 ç ÷ ç ÷ çe -1 . ÷ è ø è 2 ø è 2 ø è ø x æ ö
Dùng quy nạp theo n = 1, 2,... ta CM được f (x) n 2 £ 2 n çe -1÷. ç ÷ è ø x æ ö
Cố định x Î ! ta có ( £ 2 n n f x çe -1÷ 0 ) 0 2 . 0 ç ÷ è ø 0 x æ ö Xét dãy n 2 a = 2 n çe -1÷ ta có:. n ç ÷ è ø é ù 0 x 2n êe -1 ú lim a = lim ê .x ú = x . n 0 0 x0 ê ú ë 2n û
Vậy f (x £ x x " Î! 2 0 ) 0 0 ( ).
Vậy f (x) + f (-x) £ x +(-x) = 0 ( ) 3 .
Kết hợp (1) và (3) ta được f (x) + f (-x) = 0. Trang 6
Từ (2) Þ f (-x) £ -x Þ f (x) ³ x (4). Kết hợp (2) và (4) ta được f (x) = x x
" Î! . Thử lại f (x) = x
f (x) + f (-x) £ x +(-x) = 0 ( ) ta thấy đúng. Vậy 3 .
Kết hợp (1) và (3) ta được f (x) + f (-x) = 0.
Từ (2) Þ f (-x) £ -x Þ f (x) ³ x (4). Kết hợp (2) và (4) ta được f (x) = x x
" Î! . Thử lại f (x) = x ta thấy đúng. ì 2015 x = ï 1 ï 2016
Bài 11. Cho dãy số xác định bởi í
. Chứng minh rằng dãy số đã cho có giới hạn 2 æ x ö ï n x = x + , n ³ 1 n 1 + n ç ÷ ïî è n ø hữu hạn. Hướng dẫn giải
Trước hết, bằng quy nạp, ta dễ dàng có x > 0 n
" ³1 và dãy số đã cho là dãy tăng. n Ta có :. 2
x = x + x < 2x ; 2 1 1 1 2 . x2 2 x = x +
< 2x + x < 3x ; 3 2 1 1 1 4 2 x
Giả sử x < kx với k > 1. Ta có: k 2 x = x +
< kx + x < (k +1)x . k 1 k 1 + k 2 1 1 1 k
Theo nguyên lý quy nạp ta có x < nx n " > . 1 n 1 Ta có :
x < m -1 m " ³ 2017thật vậy : m 1 1
mx < m -1 Û m 1- x > 1 Û m > Û m > Û m > 2016 1 ( 1 ) ;. 1- x 2015 1 1- 2016
Do đó x < mx < m - . 1 m 1 2 xn 2 1 1 x - x x 1 1 1 1 Ta có với n " ³ 2 thì n 1 + n n n - = = = < < = - . 2 2 x x x x x x n x n n(n -1) n -1 n n n 1 + n n 1 + n n 1 + n 1 + n-2018 1 1 æ 1 1 ö Do đó n " ³ 2018 thì - = å ç - ÷ < x x = x x 2017 n i 0 è 2017+i 2018+i ø n-2018 æ 1 1 ö 1 1 1 å - = - < . ç ÷ è + + ø - i=0 2016 i 2017 i 2016 n 1 2016 1 1 1 2016x Suy ra 2017 > - > 0 Þ x < . x x 2016 n 2016 - x n 2017 2017
Vậy dãy đã cho tăng và bị chặn trên nên có giới hạn hữu hạn. Trang 7 u ì = 1;u = 2 1 2 ï
Bài 12. Cho dãy số (u ) xác định như sau í 3 1 . n u = u - u n " ³ 2 ï n 1+ n n 1 î 2 2 -
a) Xác định số hạng tổng quát u . n b) Tính limun n®+¥ . Hướng dẫn giải 1 1
Biến đổi ta được: u - u = u - u v = u -u v = v , n " ³ 2 n 1 + n ( n n 1-)với khi đó: . 2 n 1 + n 1 + n n 1 + 2 n 1
nghĩa là dãy v ,v ,...v ,.. l.à một cấp số cộng của v = 1; q = . 2 3 n 2 2 v = u - u ü n n n 1 - v u u ï = - n 1 - n 1 - n-2 ï
ý ® u - u = v + v + ...v n 1 2 3 ........................ n ï . v = u - u ï 2 2 1 þ n-2 n-2 æ 1 1 ö æ ö æ 1 ö
Û u = 1+ ç1+ +...ç ÷ ÷ = 3- n ç ÷ ç 2 2 ÷ è ø è 2 ø è ø n-2 æ 1 ö æ ö
lim u = lim ç3-ç ÷ ÷ = 3. n x®+¥ x®+¥ ç 2 ÷ è ø è ø
Bài 13. Cho dãy số (un ) được xác định như sau. 2 u = 2011;u = n u -u 1 n 1 - ( n 1- n),. với mọi *
n Î • , n ³ 2. Chứng minh rằng dãy số (un ) có giới hạn và tìm giới hạn đó. Hướng dẫn giải
Từ công thức truy hồi của dãy ta được. 1 1 æ 1 ö 1 æ 1 ö æ ö æ ö æ ö æ 1 ö u = 1- u = 1- ç1- ÷u = ... = 1- ç1- ÷... 1- u . n ç 2 ÷ n 1 - ç 2 ÷ ç ÷ ç ÷ n n ç (n - )2 n-2 2 1 ÷ n ç (n - è ø è )2 2 1 1 ÷ è ø è ø è ø è 2 ø ø
(n + )1(n - )1 (n - 2)n 4.2 3.1 n +1 2011 Do đó u = . ... . .2011 = .2011. Từ đó limu = . n 2 n (n - )2 2 2 1 3 2 2n n 2 4 2 u + 2013
Bài 14. Cho dãy số (u (u = 2014, n u = , n " Ε 1 ) * n ) xác định bởi . n 1 + 3 u - u + 4026 n n n 1 Đặt * v = å , n
" Ε . Tính lim v . n 3 + n k 1 = u 2013 k Hướng dẫn giải Trang 8 4 2 u + 2013 Cho dãy số (u (u = 2014, n u = , n " Ε 1 ) * n ) xác định bởi . n 1 + 3 u - u + 4026 n n n 1 Đặt * v = å , n
" Ε . Tính lim v . n 3 + n k 1 = u 2013 k u + 2013 (u - 2013 u + n )( 3 4 2 2013 n n ) Ta có u - 2013 = - 2013 = . n 1 + 3 u - u + 4026 u u - + n n n ( 2n )1 4026
Từ đó bằng quy nạp ta chứng minh được * u > 2013, n " Î • . n (u - 2013 u + n )( 3 2013 n ) u - 2013 = 1 n 1 + ( ). ( 3u +2013 - u - n ) ( 2013 n ) 1 1 1 1 1 1 Từ ( ) 1 suy ra = - Þ = - . 3 3 u
- 2013 u - 2013 u + 2013
u + 2013 u - 2013 u - 2013 n 1 + n n n n n 1 + n æ 1 1 ö 1 1 1 Do đó v = åç - ÷ = - =1- . n - - - - - k 1 = u 2013 u 2013 u 2013 u 2013 u 2013 è k k 1 + ø 1 n 1 + n 1 +
Ta chứng minh limu = +¥. n u - 4026u + 2013 u - n n ( 2013 n )2 2 2 Thật vậy, ta có * u - u = = > 0, n " Î • . n 1 + n 3 3 u - u + 4026 u - u + 4026 n n n n Suy ra (u
2014 = u < u < ...
n ) là dãy tăng, ta có . 1 2
Giả sử ngược lại (u (u
limu = a < +¥ a > 2014 n )
n ) bị chặn trên và là dãy tăng nên thì . Khi đó n 4 2 a + 2013 a =
Þ a = 2013 < 2014 (vô lý). Suy ra (u limu = +¥
n ) không bị chặn trên, do đó . 3 a - a + 4026 n æ 1 ö Vậy limv = limç1- ÷ = . 1 n u - 2013 è k 1 + ø
Bài 15. Tìm số hạng tổng quát của dãy số (un ) biết. ì 1 u = ï 1 2 ïïuí =673 . 2 ï 2 3 2 2(n + 2) u
- (n + 4n + 5n + 2)u n 1 + n u ï =
n Î • , n ³ 1 n+2 ( ) ïî n + 3 Hướng dẫn giải 2 3 2
2(n + 2) u - (n + 4n + 5n + 2)u Vì n 1 + n u = nên ta có:. n+2 n + 3 2 2 (n + 3)u
= 2(n + 2) u - (n + 2)(n +1) u . n+2 n 1 + n Trang 9 n + 3 2 Û u
= 2(n + 2)u - (n +1) u . +2 1 n + 2 n n+ n n + 3 2 Û u
= (n + 3)u + (n +1)u - (n +1) u .. +2 1 + 1 n + 2 n n n+ n
Đặt u = n!v , n Î • , n ³ 1 thu được. n n (n + 3)v
= (n + 3)v + (n +1)v - (n +1)v . n+2 n 1 + n 1 + n
Û (n + 3)(v - v ) = (n +1)(v - v ).. n+2 n 1 + n 1 + n
Đặt w = v - v , n Î • , n ³ 2 thu được. n n n 1 -
(n +1)w = (n -1)w . n n 1 - Û (n +1)nw = ( n n -1)w . n n 1 - Do đó.
(n +1)nw = n(n -1)w
= (n -1)(n - 2)w = ... = 3.2.w n n 1 - n-2 2 .
= 6(v - v ) = 2016. 2 1 2016 æ 1 1 ö Như vậy w = = 2016 -
, n Î • , n ³ 2. n ç ÷ n(n +1) è n n +1ø
Từ đó, với n Î • , n ³ , t 1 a có. æ 1 1 ö n -1 v - v = 2016 - = 2016 . n 1 ç ÷ è 2 n +1ø n +1 4033n - 4031 Û v = . n 2(n +1) 4033n - 4031 Vậy u = n!
, n Î • , n ³ . 1 n 2(n +1) 3 æ n + 4 ö
Bài 16. Cho dãy số (u * u = 1; u = u - , n " Î N n ) xác định bởi . 1 n 1 + ç n 2 ÷ 2 è n + 3n + 2 ø
Tìm công thức số hạng tổng quát u của dãy số theo n . n Hướng dẫn giải 3 æ n + 4 ö Vì u = u - nên. n 1 + ç n 2 ÷ 2 è n + 3n + 2 ø 3 n + 4 1 - ,5n - 6 2u - 3u = - . = . n 1 + n 2
2 n + 3n + 2 (n + ) 1 (n + 2) 1,5 1,5 Û 2u - 3u = 2. - . 3 . n 1 + n n + 2 n +1 1,5 1,5 Û 2u - 2. = 3u - 3. . n 1 + n + 2 n n +1 Trang 10 æ 1,5 ö 3 æ 1,5 ö Û u - = u - 3. . ç n 1+ ÷ ç ÷ è n + 2 ø 2 n è n +1ø 1,5 3 Đặt v = u - , khi đó ta có: v = v . n n n +1 n 1 + 2 n 1,5 1
Lại có: v = u + = . 1 1 2 4 n 1 3 - æ ö 1
Từ đẳng thức trên ta có công thức tổng quát của dãy (v v = . n ) là: . n ç ÷ è 2 ø 4 n 1 1,5 3 - æ ö 1 3
Từ đó ta có công thức tổng quát của dãy (u u = v + = . + n ) là: n n ç ÷ + è ø + . n 1 2 4 2(n ) 1
Bài 17. Cho dãy số (u u =1 2 u = 3u + 2 n ³ 1 n ) xác định bởi và với mọi . 1 n 1 + n
a) Xác định số hạng tổng quát của dãy số (un ) . b) Tính tổng 2 2 2 2
S = u + u + u + ...+ u . 1 2 3 2011 Hướng dẫn giải a) Dễ thấy * u > 0, n " Î N . n Từ 2 2 2 u
= 3u + 2 Û u = 3u + 2. n 1 + n n 1 + n Đặt 2
v = u thì có: v
= 3v + 2 Û v +1= 3 v +1 n 1 + n n 1 + ( n ). n n
Đặt x = v +1 thì ta có: x
= 3x . Từ đây suy ra (x x = 2
n ) là cấp số nhân với , công bội là 3. n n n 1 + n 1 Nên: n 1 - n 1 - n 1 x 2.3 v 2.3 1 u 2.3 - = Þ = - Þ = -1. n n n b) 0 1 2 2010
S = 2.3 + 2.3 + 2.3 +...+ 2.3 - 2011. = ( 0 1 2 2010 2 3 + 3 + 3 +...+ 3 )-201 .1 ( 2011 2 3 - ) 1 = - 2011 2011 = 3 - 2012. 3 -1
Bài 18. Cho dãy số (u u =1 u = u + 2n n ³ 1
n ) được xác định bởi và với mọi . 1 n 1 + n
a) Chứng minh rằng: u = 2n -1. n
b) Tính tổng S = u + u + u +...+ u theo n . 1 2 3 n Hướng dẫn giải a) Khi n = 1: 1 2
u = u + 2 = 1+ 2 = 2 -1 đúng. 2 1
Giả sử u = 2k -1 đúng với k ³ 1, k Î N . k Ta chứng minh: k 1 u = 2 + -1. k 1 + Trang 11 Thật vậy: k k k k 1 u
= u + 2 = 2 -1+ 2 = 2 + -1. k 1 + k
b) = ( 1 - )+( 2 - )+ +( n - ) 1 2 2 1 2 1 ... 2 1 = 2 + 2 +...+ 2n S - n . 2n -1 n 1 S = 2.
- n = 2 + - n - 2. 2 -1 u ì = 2 1 ï
Bài 19. Cho dãy số(un) xác định như sau: í . u + 2 -1 n u = ( n " ³ 1, n Î • )
ï n 1+ 1-( 2 -1)u î n p a) Chứng minh: tan = 2 - . 1 8 b) Tính: u . 2015 Hướng dẫn giải p 2 tan p æ p p ö p p a) Ta có: 8 1 = tan = tan + = 2 Û tan + 2 tan -1 = 0. ç ÷ 4 è 8 8 ø p 2 1- tan 8 8 8 é p tan = 2 -1 ê 8 p p Û ê
Þ tan = 2 -1(Vì tan dương). p ê 8 8 tan = - 2 -1 êë 8 p p p tan a + tan p tan(a + ) + tan p
b) Đặt u = 2 = tan a, ta có: 8 u = = tan(a + ), 8 8 u = = tan(a + 2. ). 1 2 p 8 3 p p 1- tan . a tan 8 1- tan tan(a + ) 8 8 8 p
Ta chứng minh: u = tan(a + (n -1) ), n " ³1,nΕ (*). n 8
Với n = 1: u = tan a đúng. 1 p
Giả sử (*) đúng với n = k , k ³ 1, hay ta có: u = tan(a + (k -1) ). k 8 p p
tan(a + (k -1) ) + tan u + 2 -1 p Ta có: k 8 8 u = = = tan(a + k. ). k 1 + 1- ( 2 -1)u p p 8 k
1- tan(a + (k -1) ).tan 8 8 p
Vậy (*) đúng với n = k +1. Vậy u = tan(a + (n -1) ), n " ³1,nΕ . n 8 p 3p 3p
Cho n = 2015 , ta có: u
= tan(a + 2014. ) = tan(a + + 251p ) = tan(a + ). 2015 8 4 4 Trang 12 p 2 -1 p = tan(a - ) = 2 2 = ( 2 -1) = tan . 4 2 +1 8 u ì =1 1 ï
Bài 20. Cho dãy số thực (u u í = 1 - * (nÎ N ) n ) với . 2 u ï = 2u - u î n+2 n 1 + n
a) Chứng minh u = 3- 2n với mọi * n Î N . n
b) Tính tổng S = u + u +...+ u . 1 2 2012 Hướng dẫn giải
a) Dùng phương pháp qui nạp.
u =1 = 3- 2.1, u = 3- 2.2 = - . 1 1 2
Giả sử u = 3- 2k (k ³ 3). k Ta có: u
= 2u -u = 2(3- 2k) - (3- 2(k -1)). k 1 + k k 1 -
=1- 2k = 3- 2(k +1).
Vậy u = 3- 2n với mọi * n Î N . n
b) S = (3- 2.1) + (3- 2.2) + ...+ (3- 2.2012).
= 3.2012 - 2(1+ 2 +...+ 2012) = 6036 - 2013.2012 = 404 - 4120 . ìv = 8 1 ï
Bài 21. Cho dãy số (v * ív = 34 (n Î N ) n ) với . 2
ïv = 8v +1996v î n+2 n 1 + n
Tìm số dư khi chia v cho 2011. 2013 Hướng dẫn giải u ì = 8 1 ï Xét dãy số (u * u í = 34 (n Î N ) n ) với . 2 u ï = 8u -15u î n+2 n 1 + n Ta có v º u * n Î N n n ( mod 201 ) 1 với mọi .
Xét phương trình đặc trưng: 2 t - 8t +15 = 0.
Phương trình trên có nghiệm t = 5,t = 3. ( 5 ì A + 3B = 8 u u = .5n A + .3n B u = 5,u =13 A = B = 1 n ) có dạng . Vì nên í .Ta có: . n 1 2 î25A + 9B = 34
Ta có: u = 5n + 3n . n
Ta có 2011 là số nguyên tố Theo định lý Fecma ta có: 2010 5 º ( 1 mod 201 ) 1 . Trang 13 2010 3 º ( 1 mod 201 ) 1 . Suy ra 2013 5 º125(mod201 ) 1 , 2013 3 º 27(mod201 ) 1 . Vậy khi chia u
cho 2011 ta được số dư là 152. 2013 Suy ra khi chia v
cho 2011 ta được số dư là 152. 2013 u ì =1 ï
Bài 22. Cho dãy số (un ) 1 : í . 3n ïî (2u -u = n " Ε n+ n ) * 2, ( ) 1
a) Chứng minh dãy số (un ) là dãy số giảm.
b) Lập công thức số hạng tổng quát của dãy số (un ) . Hướng dẫn giải
a) Chứng minh dãy số (un ) là dãy số giảm. u 1 Ta có: n u = + ; Chứng minh: * u < u n
" Î • bằng phương pháp quy nạp. n 1 + 2 3n n 1 + n u ì =1 1 ï Ta có: í 5 Þ u < u . 2 1 u = ï 2 î 6 Giả sử: u
< u ;k Ε và k >1. Chứng minh: u < u . k 1 + k k +2 k 1 + u 1 u 1 u 1 Ta có: k 1 + k k u = + < + < + = u . Vậy * u < u n " Î • . k +2 k 1 + k 1 + k k 1 2 3 2 3 2 3 + n 1 + n
b) Lập công thức số hạng tổng quát của dãy số (un ) . n n+ 3 Ta có: 1 3 (2u
- u ) = 2 Û 3 .u = 3 .nu + 3. n 1 + n n 1 + 2 n 3 3
Đặt v = 3nu + 6, ta được: v - 6 = (v - 6) + 3 Û v = v . n n n 1 + n n 1 2 + 2 n ìv = 9 1 ï 3 Ta được: (v ) : q = n í 3
là cấp số nhân có công bội . * v
= v , (n Î • ) ï 2 n 1 + î 2 n n 1 - n 1 3 3 - æ ö æ ö Suy ra: v = v . = 9. . n 1 ç ÷ ç ÷ è 2 ø è 2 ø v - 6 æ 1 1 ö Vậy n u = = 6. - . n ç ÷ 3n è 2n 3n ø
Bài 23. Tìm số hạng tổng quát của dãy (xn ) biết rằng:. Trang 14
ìx =1; x = 5; x =125 ï 0 1 2 í ( * n Î N ). ïx x x = 3 + î + - (x + )2 x 10x x n n n n n- n+ ( n )2 2 1 1 1 1 Hướng dẫn giải
Từ đề bài ta có: x > 0với mọi n Î N . n x 3x 10x Ta có: n+2 n 1 + n = + với mọi * n Î N . x x x n 1 + n n 1 - x Đặt n y = ta được y
-3y -10y = 0với mọi * n Î N . n x n+2 n 1 + n n 1 -
Vì phương trình đặc trưng của dãy ( y 2; - 5 y = A - + B n ( 2)n .5n
n ) có hai nghiệm phân biệt nên với mọi * n Î N . ì x1 y = = 5 ï 1 ï x ìB =1 Với 0 í ta có í
. Suy ra y = 5n với mọi * n Î N . x n ï îA = 0 2 y = = 25 2 ï x î 1 2 n +n Ta có n n n 1 - n+(n 1 - )+... 1 + 2 x = 5 .x = 5 .5 ....5.x = 5 = 5 với mọi * n Î N . n n 1 - 0 2 n +n
Kết hợp với x = 1, ta suy ra 2 x = 5
với mọi n Î N . 0 n ì 7 u = ï 1 ï 2
Bài 24. Cho dãy số (un ) : í . 7u + 4 n * u ï = , n Î • n 1 + ï 2u + 5 î n
a) Chứng minh dãy số (un ) là dãy số giảm.
b) Lập công thức tổng quát của dãy số (un ) . Hướng dẫn giải
a) Chứng minh dãy số (un ) là dãy số giảm. 7 19
Ta có: u = ; u = Þ u > u . 1 2 1 2 2 8
Giả sử: u > u với k >1. Cần chứng minh: u > u . k k 1 + k 1 + k +2 7u + 4 7 27 1 7 27 1 Ta có: k u = = - . Þ u = - . k 1 + 2u + 5 2 2 2u + 5 k +2 2 2 2u + 5 k k k 1 + . 1 1 Mà u > u Þ < k k 1 + 2u + 5 2u + 5 k K 1 + . Trang 15 7 27 1 7 27 1 Þ - . > - .
Þ u > u Þ(điều phải chứng minh). 1 + +2 2 2 2u + 5 2 2 2u + 5 k k k k 1 +
b) Lập công thức tổng quát của dãy số (un ) . 7 Ta có * 0 < u £ , n " Ε . n 2 u - 2 1 Xét dãy số n x = , ta có: x = n u +1 1 3 n . u - 2 1 æ u - 2 ö 1 n 1 + n x = = ç ÷ = x Þ 1
(x ) là cấp số nhân Þ x = n 1 + u +1 3 u +1 3 n n n 3n n 1 + è n ø . u - 2 1 + n = Û - u = + Û u = n ( ) 2.3n n n 1 3 1 2.3 1 . u +1 3 n n 3n -1 n . ì 1 u = ïï
Bài 25. Cho dãy số (un ) 1 2016 : í . 2015u +1 ï n * u = , n " Î • n 1 + ïî 2016 a) Chứng minh rằng * u < 1, n " Î • . n
b) Lập công thức tổng quát của dãy số (un ) . Hướng dẫn giải a) Chứng minh rằng * u < 1, n " Î • . n 1 Ta có: u = <1 1 2016 .
Giả sử: u <1, (k >1); Cần chứng minh: u <1 k k 1 + . 2015u +1
Ta có: u <1Þ 2015u +1< 2016 k Þ <1Þ u <1. Vậy * u < 1, n " Î • . k k k 1 2016 + n
b)Lập công thức tổng quát của dãy số (un ) . 2015 Đặt x = u - 1 ta có x = - n n 1 2016 . 2015u +1 2015 2015 x = u -1 n = -1 = u -1 = x n 1 + n 1 + ( n ) 2016 2016 2016 n . n Þ ( æ 2015 ö x Þ x = -
n ) là cấp số nhân n ç ÷ è 2016 ø . æ 2015 n ö Vậy * u = 1- , n " Î • .. n ç ÷ è 2016 ø Trang 16 u ì = 2 1 ï
Bài 26. Cho dãy số (u u í = 3
n ) xác định bởi: . 2 u
ï = nu - n-2 u -2n+ 4, n " ³ 3 î n n 1 - ( ) n-2
a) Tìm số hạng tổng quát của dãy (un ) .
b) Tìm số dư khi chia u cho 2015 . 2016 Hướng dẫn giải ìv =1 1 ï
a) Đặt v = u - n ta có: ív =1 . n n 2
ïv = n(v + n -1)-(n - 2)(v + n - 2)-3n + 4 = nv - n- 2 v ,n ³ 3 î n n 1 - n-2 n 1 - ( ) n-2 Khi đó v - v
= (n -1)v - (n - 2)v . n n 1 - n 1 - n-2 Lại có:.
v - v = (v - v ) + (v - v ) +...+ (v - v ) + (v - v ). n 2 n n 1 - n 1 - n-2 4 3 3 2
= [(n -1)v -(n -2)v
+ (n - 2)v -(n -3)v
+...+ (3v - 2v ) + (2v -1v ) n 1 - n-2 ] [ n-2 n 3 - ] . 3 2 2 1
= (n -1)v - v . n 1 - 1
Do đó v = (n -1)v . Hay v = (n -1)(n - 2)v
= ... = (n -1)(n - 2)...1.v = (n -1)!. n n 1 - n n-2 1
Vậy u = (n -1)!+ n . n b) Ta có u
= 2015!+ 2016 chia cho 2015 dư 1. 2016 ìx = 3 1 ï
Bài 27. Xác định công thức số hạng tổng quát của dãy số ( x í x n ) : . n 1 x - = , n " ³ 2 n ï 2 1+ 1+ x î n 1 - Hướng dẫn giải 1 1 1 1 Ta có: = + 1+ 1 . Đặt y =
, khi đó ta được dãy ( y y =
n ) xác định như sau: và 2 x x x n x 1 3 n n 1 - n 1 - n 2
y = y + 1+ y . n n 1 - n 1 - p 1+ cos 1 p p p p Vì 2 3 y =
= cot Þ y = cot + 1+ cot = = cot . 1 2 3 3 3 3 p 2.3 sin 3 p p
Bằng quy nạp ta chứng minh được: y = cot Þ x = tan , n " ³ . 1 n n 1 - n n 1 2 .3 2 - .3 .
1.2. DÃY SỐ CHO BỞI CÔNG THỨC TRUY HỒI. Trang 17 u ì = 2 - Bài 1.
Cho dãy số (u ) biết 1 í
. Xác định số hạng tổng quát của dãy. n
u = 3u -1, n " ³ 2 î n n 1 - Hướng dẫn giải 1 3 1 1
u = 3u -1 Û u - = 3u - Û u - = 3(u - )(1). n n 1 - n n 1 - n n 1 2 2 2 - 2 1 1 5 -
Ñaët v = u - Þ v = u - = n n 1 1 2 2 2 .
(1) Þ v = 3v , n " ³ 2 n n 1 -
Dãy (v ) là cấp số nhân với công bội là q = 3. n - n 5 Nên 1 n 1
v = v .q - = .3 - . n 1 2 1 5 - n- 1 Do đó 1 u = v + = 3 + , n " =1,2,.... n n 2 2 2 Bài 2. a) Tính giới hạn 3 3 2 A = lim
n + n -1 - n . ( ) u ì =11 b) Cho dãy số (u 1 n) xác định bởi : í
. Tìm công thức tính u theo n . u =10u +1-9 , n n " Î î • n n 1 + n Hướng dẫn giải a) Tính giới hạn 3 3 2 A = lim
n + n -1 - n . ( ) 2 n -1 Ta có: 3 3 2 A = lim
n + n -1 - n = lim . ( ) ( 3 2 n + n - )2 3 3 2 2 3 1 + .
n n + n -1 + n 1 1- 2 = lim n . 2 æ 1 1 ö æ 1 1 ö 3 1+ - + 3 1+ - +1 ç 4 6 ÷ ç 3 ÷ è n n ø è n n ø 1 Vậy A = . 3 b) Ta có:. u = 11 = 10 +1 1
u = 10.11+1- 9 = 102 = 100 + 2 . 2
u = 10.102 +1- 9.2 = 1003 = 1000 + 3 3
Dự đoán: u =10n + n n ( )1. Chứng minh:. Ta có: 1
u = 11 = 10 +1, công thức (1) đúng với n = 1. 1 Trang 18
Giả sử công thức (1) đúng với n = k ta có: u = 10k + k . k Ta có: u =10 + k + - k + = + k + k+ (10k ) k 1 1 9 10 1 . 1 ( ) .
Công thức (1) đúng với n = k +1.
Vậy u = 10n + n, n " Î N.. n u ì = 4 1 ï Bài 3.
Cho dãy số (u ) xác định bởi: í 1
. Tìm công thức của số hạng tổng n * u
= (u + 4 + 4 1+ 2u ), n Î ï • n 1 + î 9 n n quát (u ) ?. n Hướng dẫn giải 2 x -1 Đặt 2
x = 1+ 2u Þ x =1+ 2u , x ³ 0 n Þ u = . n n n n n n 2 Thay vào giả thiết:. 2 2 x -1 1 x -1 n 1 + = ( n + 4 + 4x ) 2 2
Û (3x ) = (x + 4) *
Û 3x = x + 4, n
" Î N , x ³ 0. 2 9 2 n n 1 + n n 1 + n n Ta có n 1
3x - x = 4 Û 3 + x - 3n x = 4.3n . n 1 + n n 1 + n Đặt n n *
y = 3 .x Þ y = y + 4.3 , n " Î N . n n n 1 + n n n 1
Þ y = y + 4(3 + 3 - + ...+ 3) 1
Û y = y - 6 + 2.3n+ . n 1 + 1 n 1 + 1
Ta có x = 3 Þ y = 9 Þ y = 3 + 2.3n . 1 1 n 1 1 4 1 Suy ra * x = 2 + , n
" Î N Þ u = (3+ + ), n " Î N .* n n 1 3 - n n 1 - 2n-2 2 3 3 u Bài 4. Cho dãy số (u u =1; n * u = , n " Î • . u
n ) xác định bởi:
Tìm công thức số hạng tổng quát 1 n 1 + 2u +1 n n theo . n . Hướng dẫn giải u 1 1 Ta có * u > 0, n " Î • .Khi đó n u = Û = 2 + .. n n 1 + 2u +1 u u n n 1 + n 1 Với mọi *
n Î • ,đặt v =
Þ v = 1; v = v + 2, * n " Ε .. n 1 u n 1 + n n Suy ra, dãy số (v v = 1 d = 2.
n ) là cấp số cộng có và công sai . 1
Do đó, v = v + n -1 d = 2n -1, * n " Ε . n 1 ( ) . 1 1 Vậy u = = .. n v 2n -1 n Bài 5.
Cho dãy số (u ) xác định bởi: u =1; n * u = 2u + 3 , n
" Î • . Tìm công thức số hạng tổng quát un n 1 n 1 + n theo n . Trang 19 Hướng dẫn giải Với mọi * n Î • , ta có. n n 1 u
= 2u + 3 Û u - 3 + = 2(u - 3n). n 1 + n n 1 + n
Xét dãy số (v ), với n *
v = u - 3 , n
" Î • . Ta có: v = 2v . Do đó, dãy số (v ) là một cấp số nhân có n n n n 1 + n n
công bội q = 2 và số hạng đầu bằng 2. - . Suy ra n 1 v v .q - = = 2 - .n. n 1
Vậy u = v + 3n = 3n - 2 .n. n n 3 æ n + 4 ö Bài 6.
Cho dãy số (u ) xác định bởi: * u = 1;u = u - , n
" Î • . Tìm công thức số hạng n 1 n 1 + ç n 2 ÷ 2 è n + 3n + 2 ø
tổng quát u theo n . n Hướng dẫn giải Với mọi * n Î • , ta có. n + 4 2 3 2u = 3(u - ) Û 2u = 3(u + - ). n 1 + n n 1 (n +1)(n + 2) + n n + 2 n +1 3 3 3 3 3 Û 2(u - ) = 3(u - ) Û u - = (u - ).. n 1 + n n 1 n + 2 n +1 + n + 2 2 n n +1 3 3 1
dãy số (v ),v = u -
là cấp số nhân có công bội q = và v = - . n n n n +1 2 1 2 n 1 - n 1 3 1 3 1 æ 3 - æ ö æ ö * ö * v = . - , n " Î • Þ u = - , n " Î • . n ç ÷ ç ÷ ç ÷ è 2 ø è 2 n ø n +1 2 è 2 ø u ì = 3 1 ï Bài 7.
Cho dãy số (un) xác định bởi: í 5u - 3 . n * u = , n Î • n 1 + ï 3u -1 î n u +1 Xét dãy số (v n v = , * n " Ε . (vn ) n ) với . Chứng minh dãy số
là một cấp số cộng. Tìm số hạng n u -1 n
tổng quát của dãy số (un ).. Hướng dẫn giải u +1 v +1 Ta có n n v = Þ u =
thay vào hệ thức truy hồi ta có. n u -1 n v -1 n n v +1 5. n - 3 v +1 v -1 v +1 2v + 8 v +1 2v + 8 n 1 + n = n 1 + n Þ = n 1 + n Þ = . v -1 v +1 v -1 2v + 4 2 4 1 + 3. n n -1 n 1 + n v -1 n hay v = v +
3 và v = 2. Suy ra dãy số (v v = 2 d = 3.
n ) là một cấp số cộng có và công sai . n 1 + n 1 1 Trang 20
Ta có v = v + n -1 d = 2 + 3 n -1 = 3n -1. n 1 ( ) ( ) . 3n -1+1 3n Do đó u = =
. Thử lại thấy dãy số này thỏa mãn. n 3n -1-1 3n - 2 3n
Vậy số hạng tổng quát của dãy số (u u = * n Î • . n ) là . n 3n - 2 Bài 8.
Cho dãy số (u ) xác định bởi:. n u ì = 4 1 ï í 1 . * u
= (u + 4 + 4 1+ 2u ), n Î ï • n 1 + î 9 n n
Tìm công thức của số hạng tổng quát (u )?. n Hướng dẫn giải 2 x -1 Đặt 2
x = 1+ 2u Þ x =1+ 2u , x ³ 0 n Þ u = . n n n n n n 2 Thay vào giả thiết:. 2 2 x -1 1 x -1 n 1 + = ( n + 4 + 4x ) 2 9 2 n 2 2
Û (3x ) = (x + 4) . n 1 + n *
Û 3x = x + 4, n " Î N , x ³ 0 n 1 + n n Ta có n 1
3x - x = 4 Û 3 + x - 3n x = 4.3n . n 1 + n n 1 + n Đặt n n *
y = 3 .x Þ y = y + 4.3 , n " Î N . n n n 1 + n n n 1
Þ y = y + 4(3 + 3 - +...+ 3) n 1 + 1 . n 1
Û y = y - 6 + 2.3 + n 1 + 1
Ta có x = 3 Þ y = 9 Þ y = 3 + 2.3n . 1 1 n Suy ra. 1 * x = 2 + , n " Î N n n 1 3 - . 1 4 1 * Þ u = (3+ + ), n " Î N n n 1 - 2n-2 2 3 3
1.3. PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC TRƯNG. u Bài 1. Cho dãy số (u
u =1, u = 2, u
= u + 2u , n ³1. 1 lim n+ n ) xác định bởi Tìm . 1 2 n+2 n n 1 + n®+¥ un Hướng dẫn giải Trang 21
Dễ thấy dãy đã cho là dãy số dương, do đó không có số hạng nào của dãy bằng 0. Từ công thức truy hồi u u n+2 n của dãy ta có = 2 + , n ³ 1.. u u n 1 + n 1 + u 1 Đặt n 1 v + = , n ³ , t
1 a được dãy số v = 2,v = 2 + , n ³ 1.. n u 1 n 1 + v n n Dễ thấy dãy (v v ³ 2, n " ³1
n ) là dãy số dương và . Do đó. n 1 1 1 5 5 £ Þ 2 + £ Þ v £ , n " ³ 5
1. Vậy ta có 2 £ v £ . n 1 v 2 v 2 + 2 n 2 n n é ù 1
Xét hàm số f ( x) 1 5 = 2 + , x Î 2;
. Ta có f '(x) = - < 0," .
x Do đó có hai dãy con đơn điệu của dãy x ê 2ú ë û 2 x (v a = lim v b = lim v
n ) và hai dãy con này đều bị chặn nên chúng có giới hạn. Giả sử và thì ta có 2n + n®+¥ 2n 1 n®+¥ hệ. ì 1 éa = b =1+ 2 a = 2 + ïï b éa = b ê í Û Û ê êa = b =1- 2 . 1 ï ëab =1 b = 2 ê + ab = 1 ïî a êë
Ta thấy chỉ có a = b =1+ 2 thỏa mãn và đây là giới hạn cần tìm. 2 u ì
+ 4u - 4u = 0, n " ³ 1 n 1 + n n ï Bài 2.
Tìm số các dãy số (un ) thỏa mãn điều kiện: í . 1 u = ï 2004 î 2 Hướng dẫn giải Viết lại u
= 4u 1– u = f u
f (x) = 4x(1– x) n 1 + n ( n ) ( n) với .
Nhận xét: f (x)Î(0; ) 1 Þ xÎ(0; ) 1 .. Vì vậy: u = 1 Î(0; ) 1 Þ u Î 0;1 Þ u Î 0;1 Þ....u Î 0;1 . 2003 ( ) 2002 ( ) 1 ( ) . 2004 2 p Với 0 < u <
1 tồn tại duy nhất a: 0 < a < và 2 u = sin a . 1 2 1 Lúc đó: 2 2 2
u = 4sin a(1– sin a) = sin 2a ; 2 2 2
u = 4sin 2a 1
( – sin 2a) = sin 4a . 2 3 1 1 Quy nạp ta được: 2 n 1 u sin (2 - = a) = n - o c s(2 a ). n 2 2 1 1 u = 1 2004 Û - os c (2 a) = 1 . 2004 2 2 2 2 p p Û 2004 2004 os c (2
a) = 0 Û 2 a = + kp Û a =
(2k +1), k Î Z.. 2005 2 2 p p p 1 1 Vì 0 < a < nên 2003 0 < (2k +1) < Û - < k < 2 - . 2 2005 2 2 2 2 Trang 22
Do k Î Z nên: 2003 k = 0;1;2;...;2 – . 1 é p ù Từ đó có tất cả 2003 2 giá trị u 2 2003
1 thỏa bài toán: u = sin
(2k +1) , k Î{0;1;....;2 -1}. 1 ê 2005 2 ú ë û Do đó có tất cả 2003 2
dãy số (un ) thỏa điều kiện đã cho. Bài 3.
Cho x , x ,..., x ,... là các nghiệm dương của phương trình tan x = x được sắp theo thứ tự tăng 1 2 n
dần. Tính lim (x - x n n 1 - ) . n®+¥ Hướng dẫn giải æ p p ö 1
Xét hàm số f (x) = tan x - x , với x Î - + kp ; + kp . Ta có f '(x) =
-1³ 0 => f (x) tăng từ ç ÷ è 2 2 ø 2 os c x -¥ đến +¥ . æ p p ö
Suy ra: trong khoảng - + kp ; + kp phương trình tan x = x có nghiệm duy nhất x . ç ÷ è 2 2 ø k æ p p ö p
x = y + kp với y Î - ;
=> tan y = tan x = y + np ® +¥ => lim y = . k k k ç ÷ è 2 2 ø n n n n n®+¥ 2 lim (x - x
lim ( y + np )-( y + n -1 p lim (p + y - y = p n n 1 - ) n n 1 - ( ) )) n n 1 - ) = = . n®+¥ n®+¥ n®+¥ u ì = 2014 Bài 4.
Cho dãy số (u ) xác định như sau: 1 í . Tìm điều kiện của n 2 2 u
= u + (1- 2a)u + a n " =1,2,... î n 1+ n n
a Î ! để dãy số (u ) có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó. n Hướng dẫn giải Ta có: 2 u
- u = (u - a) ³ 0 Þ u ³ u ; n " =1,2,3, . ... n 1 + n n n 1 + n
* Suy ra dãy số (u ) tăng; từ đó dãy số (u ) có giới hạn hữu hạn khi và chỉ khi dãy bị chặn trên. n n
Giả sử tồn tại limu = L (LÎ! ), thì chuyển qua giới hạn hệ thức 2 2 u
= u + (1- 2a)u + a ta có: n n 1 + n n 2 2
L = L + (1- 2a)L + a Û L = a. - Nếu có chỉ số *
k Î • mà u > a thì u > ; a n
" ³ k nên L > a trái với kết quả limu = L = a. k n n
Do đó: u £ a với mọi k = 1, 2,... hay 2 2
u - (1- 2a)u + a £ a, n " =1,2,3,... nói riêng k n n 2 2
u - (1- 2a)u + a £ a Û a -1£ u £ a Û a -1£ 2014 £ a từ đó ta được 2014 £ a £ 2015 . 1 1 1
* Đảo lại: Nếu 2014 £ a £ 2015 Û a -1£ u £ a . 1 2 2
Þ (u - a +1)(u - a) £ 0 Þ u + (1- 2a)u + a - a £ 0 Þ u £ a . 1 1 1 1 2
và u £ u Þ a -1£ u £ a . 1 2 2
Bằng quy nạp ta chứng minh được a -1£ u £ , a n
" =1,2,3,... (H/s trình bày ra). n
Như vậy dãy (u ) tăng, bị chặn trên bới a , do đó dãy (u ) có giới hạn hữu hạn. n n Trang 23
Kết luận: Với điều kiện 2014 £ a £ 2015 thì dãy số (u ) có giới hạn hữu hạn và limu = a. n n Bài 5. Cho hai dãy số (a (bn ) n ) và
được xác định như sau:. 2a .b a = 2,b =1, n n a = ; b
= a .b , n =1,2, . … 1 1 n 1 + a + b n 1 + n 1 + n n n Chứng minh rằng (a (bn ) n ) và
có cùng giới hạn, tìm giới hạn đó. Hướng dẫn giải
Bằng quy nạp, ta chứng minh rằng:. p p 2 .nsin 2 .nsin 2 .3 n n a = 2 .3 b = n ( )1; (2). p p n p sin .cos sin 3 2 .3 n 3
Từ (1), (2) tồn tại lim a và lim b . n n n®+¥ n®+¥ p p 2 .nsin n 2 3p Ngoài ra: 2 .3 3 lim a = lim = = . n n®¥ n®¥ p p p 9 sin .cos sin 3 2 .3 n 3 p 2 3p
lim b = lim a .lim cos = . n n ®¥ ®¥ ®¥ 2 .3 n n n n 9 2 3p
Vậy hai dãy {a }, b n
{ n} có cùng giới hạn chung là . 9 ì 1 x = ï 1 ï Bài 6. Cho dãy số (x 2 n) thỏa mãn: í
. Chứng minh dãy số trên có giới hạn. 2 x ï n x = x + ; n " ³1 n 1 + n 2 ïî n Hướng dẫn giải n(n + ) 1 *) Ta chứng minh 2 x + n ³ với mọi n ³ 1 (1). n 2
Thật vậy: n = 1 đúng. k (k + ) 1
Giả sử (1) đúng với n = k ³ 2 1: x + k ³ . k 2 2 x Þ x x + k +1 k = x + + k +1 k
x + k + k +1 2 ( k ) ( )2 2 k 1 + ( )2 k 2 ( )2 = . k k æ k +1 ö k (k + ) 1 (k + )2 3 1 k (k + ) 1 ³ -1 + (k + ç ÷ )2 1 ³ - . è k 2 ø 2 2 2 Trang 24 k +1æ 3(k + ) 1 ö (k + ) 1 (k + 2) ³ ç - k ³ (đpcm). ÷ 2 è 2 ø 2
*) Ta chứng minh (xn ) có giới hạn. NX: (x x > 0 n n ) tăng và với mọi . n 1 1 1 2 1 1 æ 1 ö 1 Ta có - = £ Þ - £ 2 1- < 2 Þ x < với mọi n ³ 1. 2 ç ÷ x x x + n n n +1 x x è n ø n 2 - 2 n n 1 + n ( ) 1 n
Vậy (xn ) có giới hạn. Bài 7.
Tam giác mà 3 đỉnh của nó là ba trung điểm của ba cạnh tam giác ABC được gọi là tam giác
trung bình của tam giác ABC..
Xây dựng dãy các tam giác A B C , A B C , A B C ,.... sao cho tam giác A B C là một tam giác đều 1 1 1 2 2 2 3 3 3 1 1 1
cạnh bằng 1 và với mỗi số nguyên n ³ 2, tam giác A B C là tam giác trung bình của tam giác n n n
A B C . Với mỗi số nguyên dương n , kí hiệu r tương ứng là bán kính của đường tròn ngoại tiếp n 1 - n 1 - n 1 - n
tam giác A B C . Chứng minh rằng dãy số (rn ) là một cấp số nhân. Hãy xác định số hạng tổng quát của n n n cấp số nhân đó?. Hướng dẫn giải 1 1 + (r q = r = .
n ) là một cấp số nhân với công bội và số hạng đầu . 2 1 3 1
+ Số hạng tổng quát: r = .. n n 1 3.2 - Bài 8. Cho dãy số (a a =1 a = a + 2n -1 n ³ 1. (bn )
n ) được xác định bởi: và với mọi Xét dãy số 1 n 1 + n
mà: b = a - a với mọi n ³ 1. n n 1 + n
a) Chứng minh rằng dãy số (bn ) là một cấp số cộng. Hãy xác định số hạng đầu và công sai của cấp số cộng đó.
b) Cho số nguyên dương N . Hãy tính tổng N số hạng đầu tiên của dãy số (b N n ) theo . Từ đó, hãy suy
ra số hạng tổng quát của dãy số (an ).. Hướng dẫn giải
a) Từ giả thiết Þ b = 2n -1Þ b b = 1 d = 2. n
( n) là một cấp số cộng với số hạng đầu và công sai . 1
b) + Tổng N số hạng đầu của dãy (b 2 S = N . n ) là: . N
+ Số hạng tổng quát của dãy (a 2
a = n - 2n + 2. n ) là: . n u ì = 1, - u = 2,u = 40 1 2 3 ï Bài 9. Cho dãy số (u 2 2 í -
n ) được xác định bởi 10u .u 24u .u . n 1 - n-3 n 1 - n-2 u = n " = 4,5,6,... ï n u .u î n-2 n-3 Trang 25
Tìm số n nhỏ nhất để u chia hết cho 2048. n Hướng dẫn giải 2 u 10u .u - 24.u 10u 24u u
Từ công thức truy hồi cuả dãy n n 1 - n-3 n-2 n 1 - n-2 = = - , đặt n v = , thì dãy ( v ) u u .u u u n u n n 1 - n-2 n-3 n-2 n-3 n 1 - v ì = 2,v = 20 xác định bởi 2 3 í .
v =10v - 24v , n = 4,5,6... î n n 1 - n-2
Phương trình đặc trưng : 2
x -10x + 24 = 0, từ đó suy ra : n 1 - n 1 v 6 4 - = - . n (n 1 - )n n 1 - n 1 - n-2 n-2 2
u = v .v .v ....v = 2 (3 - 2 ).(3 - 2 )...(3- 2). n n n 1 - n-2 2 (n 1 - )n Do n 1 - n 1 - n-2 n-2 (3 - 2 ).(3
- 2 )...(3- 2) là số là số lẻ nên 2 u !2048 Û 2 !2048. n n(n -1) Þ ³11 Û n ³ 6. 2
Vậy n = 6 là giá trị cần tìm thỏa mãn điều kiện bài toán.
1.6. SỬ DỤNG PHÉP THẾ LƯỢNG GIÁC U ì = 3 1 ïï Bài 1. Cho dãy số (U í U + 2 -1 U n ( ) * n ) định bởi . Tính . U = ; n = 1, 2,3,... 2013 n 1 + ï 1+ ïî (1- 2)Un Hướng dẫn giải. p Tính đúng tan = 2 - . 1 8 p 2.tan p æ p ö 8 p 1 = tan = tan 2 = Þ tan = 2 -1. ç ÷ 4 è 8 ø p 2 8 1- tan 8 p U + tan n Từ ( ) * ta viết được 8 U = 1 n 1 + ( ). p 1-U .tan n 8 ép p ù Theo quy nạp từ ( )
1 và U = 3 Þ U = tan + n - n ( )1. . 1 ê 3 8 ú ë û æ p p ö æ 6047p ö Vậy U = tan + 2013. = tan . 2013 ç ÷ ç ÷ è 3 8 ø è 24 ø Trang 26 u ì = 2 1 ï Bài 2.
Cho dãy số xác định như sau: u + 2 - 3 í u n * . Tính . u = n Î • 2014 n 1 + ï 1+ î ( 3-2) ( ) un Hướng dẫn giải. p p tan - tan p æ p p ö 3 -1 Ta có: 3 4 tan = tan - = = = 2 - 3 . ç ÷ 12 è 3 4 ø p p 1+ 3 1+ tan tan 3 4 p u + tan n
Nên từ giả thiết ta có: 12 u = . n 1 + p 1- u .tan n 12 p tana + tan æ p ö
Đặt 2 = tana Þ u = tana , suy ra 12 u = = tan a + . 1 2 p ç ÷ è 12 1 tana.tan ø - 12 æ p ö
Theo quy nạp ta dễ dàng suy ra: u = a + n - n " Î • n ç ( ) * tan 1 , . ÷ è 12 ø æ p ö æ p ö Suy ra: u = tan a + 2013. = tan a +168p - . 2014 ç ÷ ç ÷ è 12 ø è 4 ø p tana - tan æ p ö 1 4 = tan a - = = . ç ÷ è 4 ø p 3 1+ tana.tan 4 1.7. CÁC DẠNG KHÁC Bài 1. p ìåx = 4 ï i i 1 = ï p ï a/Tìm *
p Î N sao cho hệ 1 íå x- = 4 có nghiệm. 1 i 1 = ï ïx > 0, i " Î1, p i ï î
b/Với p tìm được ở câu a/,hãy xác định tập hợp tất cả các giá trị của tổng:. p a p i với a > và 2 åa = .1 å 0 2 - i i i 1 = 1 ai i 1 = HƯỚNG DẪN GIẢI Câu a. Trang 27 p p æ ö æ 1 ö Do: 2 16 = å x . ç
÷ çå ÷ ³ p Þ p £ 4. i
è i 1= ø è i 1= xi ø
p = 4 :Khi đó: x =1,i 1
Î ,4. Vậy hệ có nghiệm. i ìx + x = 3
p = 3:Chọn x =1 và 2 3 í
có nghiệm. Nên (x , x , x 1 2 3 ) là nghiệm của hệ. 1 x .x = 1 î 2 3 ìx + x = 4 p = 2 : 1 2 í
có nghiệm. Nên (x , x 1 2 ) là nghiệm của hệ. x .x = 1 î 1 2 p = 1:Vô nghiệm.
Vậy hệ có nghiệm khi p = 2, p = 3, p = 4. Câu b p 2 a
Ta có: f (a ,a ,...,a = i å 1 2 p ) . 2 - i 1 = a (1 a ) i 1 1 2
Xét hàm: g (x) = x( 2
1- x ),0 < x <1; g¢(x) = 0 Û x =
. Ta có: max g(x) = . 3 (0;1) 3 3 3 3 p 3 3 p
Do đó: f (a ,a ,...,a 2 ³ åa = . =1 hay p = 3. 1 2 p )
Dấu đẳng thức xảy ra khi: . 2 i i 1 = 2 3 a a 1 p = : f ( 1 2 a , a = + ³ 2 ³ 2 2 2 2 a + a = 1 a = a = 1 2 ) 1 2 vì . Dấu đẳng thức ra khi , 2 2 a a 1 2 xảy a .a 1 2 2 1 2 1 2 2 a 1- a 1 1
f (a , a ) = + liên tục trên (0 )
;1 . Khi a ® 0thì f (a , a ) ® +¥.Vậy p = 2, tập giá trị là: 1 2 2 2 1- a a 1 1 2 1 1 é2 2;+¥ ë ).. 1
p = 3:Chọn a = 1- 2x ; a = x ; a = x , 01 2 3 2 1- 2x x x 1 2 2 2
a + a + a = 1- 2x + x + x = 1. f(a , a , a ) = + + = g(x) tục trên (0; ); 1 2 3 1 2 3 2x 1- x 1- x liên 2 æ 1 ö 3 3 é3 3 ö g =
, limg(x)=+¥.Vậy tập giá trị là: ê ;+¥ ÷. ç ÷ ®0 è 3 ø 2 x 2 ÷ ë ø 3 3
p = 4 : f (a ,a ,...,a > .
a = 1- 2x ; a = x ; a = x , a = x 1 2 p ) Chọn thỏa giả thiết: 2 1 2 3 4 - 2 2 2 2 1 2x x x x
a + a + a + a = 1- 3x + x + x + x = 1
1với 0a , a , a ) = + + + = g(x) 1 2 3 4 3 1 2 3 4 2x
1- x 1- x 1- x 1 3 3 é ö
liên tục trên (0; ); limg(x)= ; limg(x)=+¥ 3 3 .Tập giá trị là: ê ;+¥ ÷. 3 1 0 2 x ÷ x ® ® 2 ë ø 3 Trang 28 n 1 -
Bài 2. Kí hiệu H là tập hợp các đa thức bậc n dạng: f (x) n i
= x + åa x , a ÎR. Chứng minh: n i i i=0 f x = n f H - Î n {xÎ - } 1 min max | ( ) | [ ] 1 1;1 . 2 HƯỚNG DẪN GIẢI
Xét đa thức Trêbưsép T (x) = cos( . n arccosx).
Chứng minh T (x) là đa thức bậc n có hệ tử bậc n là –1 2n .
Chứng minh bằng quy nạp dựa vào công thức: cosnt + cos(n - )
1 t = 2cost.cos(n - ) 1 t . T (x) T (x) 1 1 Do đó: Î H . Ta có max =
. Nếu tồn tại f (x)Î H sao cho f (x) £ ,. n 1 2 - n n 1 - n 1 2 2 - n 1 2n- T (x) x " Î[ 1 - ; ]
1 . Lúc đó ta xét g (x) = f (x) -
đa thức bậc nhỏ hơn hay bằng n –1, g (x) đổi dấu n +1 1 2n- kp lần tại các điểm cos , k = 0, n. n 1 1
Do đó maxf (x) ³
. Vậy min max | f (x) | = . n f H - Î n {xÎ - } 1 2n- [ ] 1 1;1 2
Bài 3. Cho dãy số (x x = 0
n ) không âm thỏa mãn , 1 và (n + )2 2
1 x + 2n + 4 n +1 x + 2n+ + 2 n- = 9n x + 36nx + 32 n " ³1 n 1 + ( )( ) 1 2 2 2 2 , . n 1 + n n
Chứng minh rằng x là số nguyên với mọi nguyên tố lớn hơn hoặc bằng 5 . n HƯỚNG DẪN GIẢI 2
Viết lại đẳng thức trong đầu bài về dạng é(n + ) 1 x
+ 2n- + 2ù = nx + ë n+ (3 6 û n )2 1 1 .
Từ x không âm dẫn đến (n + ) n 1
1 x + 2 - + 2 = 3nx + 6, với mọi n . n n 1 + n
Biến đổi về (n + )
1 x - 2n + 2 = 3 nx - - + n+ ( n 1 2 2 1 n ),.
Bài 4. Cho dãy số dương {x x + x > 2x n ³ 1 n} thoả mãn: với mọi số tự nhiên . Chứng minh rằng n n 1 + n+2 dãy {xn} hội tụ. Hướng dẫn giải
Đặt y = max x x n { ;n n+ }.. 1
Từ (1) và (2) suy ra y ³ y > 0; * n " Ε Þ a $ = lim(y ). n n 1 + n
Với e > 0 tuỳ ý, khi n đủ lớn, ta có e > y - a ³ 0. n
Nếu y > a thì e > y - a ³ x - a > 0. n n n
Nếu x £ a thì x < a £ y = x . n n 1 + n 1 - n 1 - Mà x + x
> 2x > 2a Þ x + x > 2a Þ a > x > 2a - x > a -e .. n n 1 - n 1 + n n 1 - n n 1 - Trang 29
Tóm lại, cả hai trường hợp đều dẫn đến x - a < e . n
Vậy dãy số {xn} hội tụ.
Bài 5. Cho phương trình 2
x -a x -1 = 0 với a là số nguyên dương. Gọi b là nghiệm dương của
phương trình. Dãy số (xn ) được xác định như sau:. x = a, x
= b x , n = 0,1,2,3,... n 1 + [ n] . 0
Chứng minh rằng tồn tại vô hạn số tự nhiên n sao cho x chia hết cho a . n Hướng dẫn giải
Đầu tiên ta chứng minh b là số vô tỉ. Thật vậy, nếu b là số hữu tỉ thì b là số nguyên (do hệ số cao nhất của 2
x là 1) và b là ước của 1. Do đó b = 1 suy ra a = 0 , trái giả thiết. Do đó [b x
< b x < b x +1 n 1 - ] n 1 - [ n 1-] .
Û x < b x < x + . 1 n n 1 - n x x 1 1 x n n Þ < x < + n Þ x - < < x . n 1 b - b b n 1 - n 1 b b - é x ù n Þ = x -1 (1). Lại có 2 b -ab -1= 1 0, suy ra b = a + . ê ú n 1 ë b - û b x é x ù é x ù n Þ b x = a x + n Þ x = a x + n = a x +
= a x + x -1 (do (1)). n n b n 1 + ê n b ú ê ú ë û n n n 1 ë b - û Vậy x
º x -1 (moda). Từ đó bằng quy nạp ta có với mọi *
k Î • , n ³ 2k +1, thì n 1 + n 1 - x º x - (k +1) (moda) (2). n 1 + n-(2k 1 + )
Chọn k + = la ( * 1
l Ε ), n +1= 2la , từ (2) ta có x º x -la =a -la º 0 (moda). 2la 0
Vậy x chia hết cho a , * l " Î • .. 2la
Bài 6. Cho dãy (an ) với n > 0 được xác định bởi:.
ìa = 1;a = 2;a = 6;a = 12 1 2 3 4 í a = 2a + a - 2a - a "n ³ 1 î n+4 n+3 n+2 n 1 + n
a) Chứng minh a chia hết cho n với mọi giá trị nguyên dương của n . n a
b) Đặt b = n . Chứng minh tồn tại vô số số nguyên dương n để 2015 là một ước của b .. n n n Hướng dẫn giải
a) Ta có b =1; b =1; b = 2; b = 3. 1 2 3 4
Dễ thấy b = F với n = 1;2;3;
4. Bằng quy nạp ta chứng minh dãy (b (Fn ) n ) trùng với dãy . n n Thật vậy:. Trang 30
Mệnh đề đúng với n = 1;2;3;
4. Giả sử mệnh đề đúng đến n + 3 . Khi đó ta có:.
(n+4)b = 2 n+3 F + n+2 F -2 n+1 F -nF . n+4 ( ) n+3 ( ) n+2 ( ) . n 1 + n
Dùng công thức của dãy Fibonaci : F
= F + F ta dễ dàng biến đổi vế phải thành (n + 4) F . m+2 m 1 + m n+4 suy ra b = F .. n+4 n+4
Vậy mệnh đề đúng với n + 4 , do đó nó đúng với mọi n nguyên dương.
Điều đó chứng tỏ a luôn chia hết cho n với mọi n nguyên dương. n
b) Gọi r là số dư của b cho 2015 với n = 1;2;3.... n n
Trước tiên ta chứng minh
(rn) là một dãy tuần hoàn. Thật vậy: Ta có b
= b +b Þ r º r + r mod 2015 . n+2 n 1 + n n+2 n 1 + n ( ) .
Vì có vô hạn các cặp (r ;r , (r ;r , (r ;r n n 1 + ) 2 3 ) 1 2 ) .,
nhưng chỉ nhận hữu hạn giá trị khác nhau nên tồn tại ít
nhất hai phần tử của dãy trùng nhau. Ta giả sử là (r ;r = r ;r T m m 1 + )
( m T+ m T+ 1+) (với là một số nguyên dương). Ta chứng minh (r T.
n ) tuần hoàn với chu kỳ . +) Ta có: r
º r + r mod 2015 ; r = r + r mod 2015 m T + +2 m T + 1 + m T + ( ) m+2 m 1 + m ( ) . Þ r º r mod 2015 Þ r = r . m+2 m T + +2 ( ) . m+2 m T + +2
Tiếp tục như vậy ta chứng minh được: r = r
với mọi k ³ 0. (1). m+k m T + +k +) Ta có: r
º r - r mod 2015 ; r º r - r mod 2015 m T + 1 - m T + 1 + m T + ( ) m 1 - m 1 + m ( ) . Þ r º r mod 2015 m 1 - m T + 1 - ( ). Þ r = r .. m 1 - m T + 1 -
Bằng quy nạp ta chứng minh được: r = r
với k = 1;2;3;...;m -1 .(2). m-k m T + -k
Từ (1) và (2) suy ra (r n > n ) , 0là một dãy tuần hoàn. Bổ sung vào dãy (b b = 0 b + b = b r = 0. n ) phần tử thỏa mãn suy ra . 0 0 1 2 0 Khi đó dãy (r r = 0.
n ) là dãy tuần hoàn bắt đầu từ phần tử đầu tiên
Do đó tồn tại vô số phần tử trong dãy 0
(rn) bằng 0.Như vậy câu b) được chứng minh xong.
Bài 7. Cho dãy số (u
u = 0, u =1, u
= 2u + u , n = 0,1,2,...
n ) được xác định như sau: Chứng minh 0 1 n+2 n 1 + n rằng 2014 2
u khi và chỉ khi 2014 2 n. n Hướng dẫn giải 1 n n
Công thức tổng quát u = + - - n 2 2 ( 1 2 ) (1 2) . ) Trang 31 n n Đặt (1+ 2) = , a (1- 2) = Þ = (- ) 1 n b ab . 1 1 Ta có u = a - b u =
a - b = u a + b n ( 2 2 2 ) n ( ) n ( ), . 2 2 2 2 n n
Đặt S = a + b = + + - (S S = 2, S = 6, n ) n
(1 2) (1 2) . Khi đó ta được dãy được xác định như sau: 1 2 S
= 2S - S , n =1,2,.... n+2 n 1 + n Do
S º 2 mod 4 , S º 2 mod 4 S º 2(mod 4 n ) 2 ( ) 1 ( )
nên bằng quy nạp ta được: hay
a + b º 2(mod 4) Þ a + b = 2t,(t,2) = . 1
Do đó u = 2u .t, t,2 =1 2n n ( ) .
Giả sử n = 2k.t, (t,2) =1 k
Þ u = u = u A u , A k 2 . . , trong đó đều lẻ. n 2 . t k t t k
Bài 8. Cho dãy số (a a Ε 3 a = a + 2019, * n " Ε n ) * : ,
. Chứng minh có nhiều nhất 1 số hạng của 1 n 1 + n
dãy là số chính phương. Hướng dẫn giải
So sánh đồng dư của a , a và a theo modun 4 ta có (chú ý 2019 º 3(mod 4)). n n 1 + n+2 a 0 1 2 3 n a 3 0 3 2 n 1 + a 2 3 2 3 n+2
Một số chính phương khi chia 4 có số dư là 0 hoặc 1.
Vì vậy từ số hạng thứ 3 trở đi, dãy không có số chính phương nào.
Nếu cả a và a đều chính phương, giả sử 2 a = a , 2 a = b ,. 1 2 1 2 suy ra 2 6
b = a + 2019 Û ( 3 b - a )( 3 b + a ) = 2019.
Hơn nữa khi phân tích 2019 thành tích chỉ có 2 cách 2019 = 1.2019 = 3.673 . 3 b ìï - a =1 b ì =1010 Trường hợp 1: í Û í
, vô lí do 1009 không là lập phương. 3 b ïî + a = 2019 3 îa =1009 3 b ìï - a = 3 b ì = 338 Trường hợp 2: í Û í
, vô lí do 335 không là lập phương. 3 b ïî + a = 673 3 îa = 335
Vậy điều giả sử sai, nghĩa là dãy trên có nhiều nhất 1 số chính phương. u ì Î N n u ï - u - u Î{0;1} m+n m n ïï
Bài 9. Cho dãy (u u í = 0 u
n ) thỏa mãn các điều kiện sau : . Tìm . 2 2013 u ï > 0 3 ïuï =3333 î 9999 Trang 32 Hướng dẫn giải Ta có : u
= u + u +e (e Î{0;1}). m+n m n
Bằng quy nạp ta chứng minh được u
³ u + u +...+ u , với mọi n ,n ,...,n . + + + 1 n 2 n ... k n 1 n 2 n k n 1 2 k
Ta có: u ³ u + u Þ u = 0. 2 1 1 1
u = u + u + e = 0 + e Þ u = . 1 3 2 1 3
Ta chứng minh rằng nếu n < 3333 thì u = n (1). 3n Thật vậy:.
Với n = 1 thì (1) đúng. Ta có u ³ . n u = , n n " . 3n 3
Giả sử, tồn tại n < 3333, mà u > n Þ u = u
³ u + u > n +1, điều này chứng tỏ, với mọi 0 3 + + 0 n 0 3( 0 n 1) 3 0 n 3 3 0 n 3 0
n ³ n thì u > n. Điều này mâu thuẫn với u = 3333. 0 3n 9999
Vậy, với n < 3333 thì u = . n . 3n Do đó u = . 671 2013 17 1
Bài 10. Cho dãy số x xác định bởi: 2 x = 5; x = ; x
= x .x - 2x - 4 n n . Tìm chẵn thỏa mãn 1 2 n 1 + n n 1 2 4 - n
n Î N * và[x + n ]
3 là lập phương của 1 số tự nhiên. Hướng dẫn giải Nhận xét thấy :. 1 1 - + 4 2 1 - + 4 2 1 2 1 x = 2 + = + - ; x 2 - ;. 1 1 1 2 2 1 2 1 + 2 1 2 2 + n- + 4 Khi đó, giả sử : 1 2 1 x = 2 + " £ Î - n k k N n n ; *.. 1 2 1 2 + k + 4 Cần chứng minh: 2 1 x = 2 + k + k .(1) thật vậy ta có. 1 2 1 2 + 1 1 k 1 - + 4 k-2 + 4 k 1 - + 4 2 2 1 2 1 2 2 1 x = x x - 2x - 4 = (2 + + - + - k + k k - k k- )(2 k- ) 2(2 k- ) 4 . 1 1 1 2 1 2 1 + 2 1 + 2 1 4 4 2 2 2 + k + 4 = 2 1 2 + suy ra (1) đúng. 2k 1 2 + Þ n- + 4 1 2 1 x = 2 + " Î - n N n n * 1 2 1 2 + . Khi đó [x - + + = + n [x + n ] 3 n ] n 1 2 1 3 2
3, giả sử tồn tại chẵn để
là lập phương của 1 số tự nhiên:. Khi đó n 1 2 - 1 + 3 2
+ 3 = c . Mặt khác n chẵn suy ra n -1 lẻ suy ra n 1 2 - +1! 3 khi đó đặt. Trang 33 n 1 2 - 1 + 3 2 = 2 k Þ 3k 3 2 + 3 = c Þ ( k - )( 2 k 2 2 + .2 + 2 k c c c )= 3mà 2 k 2
+ .2 + 2 k > - 2k c c c nên:. k 2 k 2 - 2 =1; + .2 + 2 k c c c
= 3 (2). Giải hệ (2) ta được hệ không có nghiệm nguyên với mọi k > 0 suy ra không tồn tại n chẵn.
Vậy không tồn tại n chẵn để [x + n ]
3 là lập phương của một số tự nhiên.
Bài 11. Cho dãy số (u
u = 0, u =1, u
= 2u + u , n = 0,1,2,...
n ) được xác định như sau: Chứng minh 0 1 n+2 n 1 + n rằng 2014 2
u khi và chỉ khi 2014 2 n. n Hướng dẫn giải 1 n n
Công thức tổng quát u = + - - n 2 2 ( 1 2 ) (1 2) . ) n n
Đặt (1+ 2) = , (1- 2) = Þ = (- ) 1 n a b ab . 1 1 Ta có u = a - b u =
a - b = u a + b n ( 2 2 2 ) n ( ) n ( ), . 2 2 2 2 n n
Đặt S = a + b = + + - (Sn) n
(1 2) (1 2) . Khi đó ta được dãy
được xác định như sau:
S = 2, S = 6, S
= 2S - S , n =1,2,.... 1 2 n+2 n 1 + n Do
S º 2 mod 4 , S º 2 mod 4 S º 2(mod 4 n ) 1 ( ) 2 (
) nên bằng quy nạp ta được: hay
a + b º 2(mod 4) Þ a + b = 2t,(t,2) = . 1
Do đó u = 2u .t, t,2 =1 2n n ( ) .
Giả sử n = 2k.t, (t,2) =1 k
Þ u = u = u A u , A k 2 . . , trong đó đều lẻ. n 2 . t k t t k
Từ đẳng thức này ta được 2k u khi và chỉ khi 2k n. n ìx =1 1 ï
Bài 12. Cho dãy số thực {x í 1
n} được xác định như sau: . Chứng minh rằng: x = x + , n " ³ 1 n 1 + n ï 2x î n [25x = 625 [x] x 625 ] ( kí hiệu
là phần nguyên của số thực ). Hướng dẫn giải 1
Ta chứng minh rằng: n £ n x < n + H , n " ³ 1 1 1, với H = 1+ +!+ . n 8 n n 2 n 1 2 2 x = x + + , 1 2 x = 1 quy nạp 2
x ³ n.Với n = 1 đúng giả sử đúng đến n . Tức là 2
x ³ n. Từ đó suy n 1 + n 2 4x 1 n n n ra. 1 2 x ³ n +1+
> n +1Þ nx ³ n. n 1 + 2 4 n xn Trang 34 1 n- 1 1 n- 1 x = x +
+1=!= x + n -1 + å £ n + å n n 1 - 2 1 ( ) 1 1 2 2 2 2 4x - = x = k n k 4 4 1 1 k k 1 2 1 æ 1 ö 1
< n + H < n + H
Þ nx £ n + H n ç n ÷ n n . 4 è 8 n ø 8
Việc tiếp theo ta chứng minh H
< 8. Ta có BĐT H £1+ ln n thật vậy,. 625 n æ ö
Xét hàm số f ( x) = ( x + ) 1 1 1 ln 1 - ln x - = ln 1+ - x " > 0. ç ÷ x +1 è x ø x +1 f ¢( x) 1 1 = - + < 0 , x
" > 0 hàm số f (x) giảm trên khoảng. x ( x + ) 1 (x + )2 1 ( 1
0;+¥) Þ f (x) > 0, x " > 0, ta suy ra < ln (x + ) 1 - ln x ( ) * áp dụng. x +1 1 1 1+ +!+
<1+ ln 2 - ln1+ ln 3- ln 2 +!+ ln 625- ln 624 =1+ ln 625 < 8. 2 625 1 Từ đó: 625 £ 625 x
< 625 + H < 626 Þ [25x = 625 625 ] . 625 625 8
2. MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH CHẤT CỦA DÃY SỐ. Bài 1.
Cho cấp số cộng (u n u = 2013;u = 2014 n ) với
là số nguyên dương thoã mãn . Tính 2013 2014 1 1 1 tổng: S = + +....+ . u u u u u u 1 2 2 3 2013 2014 Hướng dẫn giải
Dễ dàng chứng minh được số hạng tổng quát của cấp số cộng (u u = n n ) là . n Khi đó. 1 1 1 1 1 1 S = + +....+ = + +... u u u u u u 1.2 2.3 2013 + 2014 1 2 2 3 2013 2014 1 1 1 1 1 1 1006 503 = - + - +...+ - = = 2 3 3 4 2013 2014 2014 1007 . ìx = a ï Bài 2. Cho dãy số thực (x 0 í ( n " Ε ) a
n ) được xác định bởi.
. Tìm tất cả các giá trị của 2 ïx = 2x -1 î n 1+ n .
để x < 0 với mọi số tự nhiên n . n Hướng dẫn giải
Giả sử x < 0 với n " Î • . n 2 Từ 2 x = 2x -1< 0 có - < x < 0. n+2 n 1 + 1 2 n+ Trang 35 2 - - Lại từ 2 - < 2x -1< 2 2 2 1 0 có - < x < Þ 1
- < x < - , n " Î • . 2 n 2 n 2 n 4 1 3 Suy ra x - > 1 và x + <1, n " Î • . n 2 4 n 2 1 1 1 1 1 3 1 Từ đó 2 2 x +
= 2x -1+ = 2 x - = 2 x - . x + > x + , n " Î • . n 1 + 2 n 2 n 4 n 2 n 2 2 n 2
Áp dụng liên tiếp bất đẳng thức này, ta có:. 2 1 1 2 1 æ 2 ö 1 æ 2 n ö 1 æ 2 n ö a +
= x + < x + < x + < ... < x + < , n " Î • . 0 1 ç ÷ 2 ç ÷ ç ÷ 2 2 3 2 è 3 ø 2 è 3 n ø 2 è 3 ø æ 2 n ö 1 1 Mà lim
= 0 nên phải có a + = 0 Þ a = - . ç ÷ n®+¥ è 3 ø 2 2 1 Thử lại với a = - 1
thì x = - < 0, n " . 2 n 2 1
Vậy a = - là giá trị duy nhất cần tìm. 2 ìx = 20; x = 30 Bài 3. Cho dãy số (x 0 1 n x .x +1
n ) xác định bởi í . Tìm để là số chính x
= 3x - x , n " Î î • n 1 + n n+2 n 1 + n phương. Hướng dẫn giải
Từ công thức truy hồi của xn ta có. 2 2 2 2 n
" Î • , x + x - 3x x = x + x x - 3x = x - x x + + + n 1 n 1 + n n n 1 n + ( n 1 n
) n 1 n 2 n + 2 2 2 2 à
v x + x - 3x x = x
x - 3x + x = x - x x + + + - n 1 n 1 n n 1 + n ( n 1 n + ) n 1 n 1 n n 2 2 2
Suy ra x - x x = x - x x
= ... = x - x x = -500 + + - n 1 n 2 n n 1 n 1 + n 1 0 2 . 2 2
Þ x + x - 3x x = 5 - 00 + n 1 n 1 + n n 2 2
Û x + x = 3x x - 500 + n 1 n 1 + n n Û ( 2 x - x = x x - 500 n 1 + + n ) n 1 n
Vậy x x - 500 là số chính phương. n 1 + n
Giả sử n là số thỏa mãn x x - 500 là số chính phương. n 1 + n Đặt 2 2
x x - 500 = b , x x +1 = a , a,b Î • ,a > b . n 1 + n n 1 + n Ta có 2 2
a -b = 501Û (a -b)(a +b) =1.501= 3.167.
Khi đó ta tìm được a = 201, b=1 thì x x =12600 Þ n = 2. n 1 + n 7224
Với a = 85, b =82 thì x x = Þ $ n . n 1 + n 5 Trang 36
Vậy n = 2 thì x .x + 1 là số chính phương. n 1 + n u ì = 2 Bài 4. Dãy số (u 1 n ) xác định như sau: í . Chứng minh rằng 2 u = u - u +1, " nÎ *. î • n 1 + n n 2016 1 1 1 1- < å <1- . 2015 2016 2 2 k 1 2 = uk 2 Hướng dẫn giải Ta có: u – u = 2 u u + = u n ( n )2 –2 1 –1 . (1). n 1 + n n
Do u = 2 Þ u – u =1 Þ u > u . 1 2 1 2 1
Từ đó bằng phép quy nạp ta suy ra (un ) là dãy đơn điệu tăng thực sự, và un nhận giá trị nguyên dương
lớn hơn hoặc bằng 2 với mọi n = 1, 2,.....
Ta viết lại điều kiện truy hồi xác định dãy số dưới dạng sau đây:. u –1 = 2
u –u = u u n n ( – n )1 (2). n 1 + n 1 1 1 1 1 1 1 Từ đó dẫn đến: = = - Þ = -
, (3) Bây giờ từ (3), ta có:. u
-1 u (u -1) u -1 u u u -1 u -1 n 1 + n n n n n n n 1 + n 1 n æ 1 1 ö 1 å = ç å - ÷ =1- . (4). u ç u -1 u -1÷ u -1 k 1 = k k 1 = è k k 1 + ø k 1 +
Từ (4) suy ra bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với. 1 1 1 n 1 2 - 2 1- < - < - Û < - < - 1 1 2 u 1 2 n n n (5). 1 n 1 2 2 2 u -1 + n 1 + 2
(ở đây n = 2016 ). Ta sẽ chứng minh (5) đúng với mọi n . Khi đó nó sẽ đúng với n = 2016 .
Do u nguyên dương với mọi n , (5) tương đương. n n 1 2 - 2 2
+1£ u -1< 2 n. (6). n 1 +
Xét khi n = k +1. Theo (2), ta có: u –1 = u u –1 k 2 + k 1 + ( k 1 + ).
Vì thế theo giả thiết quy nạp suy ra:. k k k k k 1 2 2 2 2 2 u
-1< 2 (2 -1) < 2 .2 = 2 + k +2 . k 1 - k 1 - k 1 - k 1 2 2 2 2 - 2 u -1³ (2 +1).(2 +1-1) > 2 .2 = 2 k k +2
Như thế với n = k +1, ta thu được:. k k 1 2 2 2 < u -1 < 2 + k +2 k k 1 2 2 Þ 2 +1 £ u -1 < 2 + . (8) k +2 .
Từ (8) suy ra (6) đúng với mọi n = 2,3,....
Vì vậy (5) đúng n = 2016 . Ta có điều phải chứng minh!. Trang 37 2 a - 5a +10 Bài 5.
Cho dãy (a )¥ : a = 1; n n a = n " ³1. n n 1 = 1 n 1 + 5 - an
a) Chứng minh dãy (a ) hội tụ và tính lim a . n n
a + a + ...+ a 5 - 5 b) Chứng minh 1 2 n < n " ³1. n 2 Hướng dẫn giải
a) Bằng phương pháp chứng minh qui nạp ta có: 3 1 £ a £ n " . n 2 5 - 5 2 x - 5x +10 10 Đặt A =
và xét hàm f (x) = = - x(x ¹ 5) . 2 5 - x 5 - x 10 é 3ù é1 ù Suy ra f '(x) = -1< 0 x " Î 1;
, như vậy f (x) nghịch biến trên đoạn ;1 . ( ê ú ê ú 5 - x)2 ë 2û ë2 û
ìa < a < a < ... < a < ... < A ì$lim a = b £ A Dẫn đến 1 3 5 2k 1 - í 2k 1 - Þ í .
a > a > a > ... > a > ... > A î
$lima = c ³ A 2 4 6 2k î 2k 2 ì c - 5c +10 b = ïï 5 - c 5 - 5
Kết hợp công thức xác định dãy ta được: í Û b = c = . 2 b ï - 5b +10 2 c = ïî 5 - b 5 - 5 Vậy lim a = . n 2 é 5- 5 ö
b) Nhận xét: t " Î 1 ê ;
÷ thì t + f (t) < 5 - 5 . 2 ÷ ë ø Dẫn đến a + a < 5- 5 k " ³1. 2k 1 - 2k 5 - 5
Þ a + a +...+ a + a < 2k (1). 1 2 2k 1 - 2k 2
Như vậy bất đẳng thức đúng với n = 2k . 5 - 5
Trường hợp n = 2k +1, chú ý a <
, kết hợp với (1) thu được:. 2k 1 + 2 5 - 5
a + a + ...+ a + a + a < (2k +1) . 1 2 2k 1 - 2k 2k 1 + 2
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. u ì = 1 - 1 ï Bài 6. Cho dãy số (u u í = 2 - n ) như sau . 2
ïnu -(3n+ )1u +2 n+ u = n " Î î • + n+ ( ) * 1 3, n 2 1 n Trang 38 a) Chứng minh n * u = 2 - 3 , n n " Î • . n n 1 -
b) Đặt S = åu . Chứng minh rằng nếu n là số nguyên tố và n > 2 thì S chia hết cho n. n k n k 1 = Hướng dẫn giải a) Với n = 1, 1 u = 2 - 3.1 = 1 - . 1 n = 2 , 2 u = 2 - 3.2 = 2 - 1 . Giả sử k k 1
u = 2 -3k;u = 2 + -3 k +1 k k 1 + ( ). Chứng minh k+2 u = 2 -3 k + 2 , k " Ε k+2 ( ) *. Ta có. ku
- 3k +1 u + 2 k +1 u = 3 k+2 ( ) k 1+ ( ) k . Û ku - k + + - k + + k + - k = k+ (3 )1( k 1 2 3 1 2 1 2k 3 3 2 ( )) ( )( ) . k+2 Û u = 2 -3 k + 2 k+2 ( ). Vậy k+2 u = 2 -3 k + k " Ε k+ ( 2) * , . 2 . n 1 -
b) Đặt S = åu . Chứng minh rằng nếu n là số nguyên tố và n > 2 thì S chia hết cho n. n k n k 1 = n 1 - Ta có: 2 n 1
S = åu = 2 + 2 +...+ 2 - -3 + + + n - n k (1 2 ... ( 1)) k 1 = . n 1 1- 2 - (n -1)n - n - n S = 2. -3. = 2 - - n ( n ( 1) 1 2 )1 3 1- 2 2 2 . -
Với n là số nguyên tố n 1 Þ 2 - 1 chia hết cho n . (n -1)n
Do n là số nguyên tố lớn hơn 2 Þ chia hết cho n . 2 Vậy S !n. n u ì = 0 1 ï Bài 7. Cho dãy số (u u í = n n ) 18
. Chứng minh rằng nếu là số nguyên tố và 2 ï * u
= 5u - 6u - 24, n " Î î • n+2 n 1 + n
n > 3 thì u chia hết cho 6n . n Hướng dẫn giải
Đặt v = u +12 hay *
u = v -12, n " Î • . n n n n Khi đó v = 5v - 6v . n+2 n 1 + n Trang 39 ìv =12 1 ï
Ta được (v ív = n ) 30 . 2
ïv = 5v -6v î n+2 n 1 + n
Phương trình đặc trưng 2
l -5l + 6 = 0 có nghiệm l = 2 Ú l = 3. Khi đó v = .2n a + .3n b . n v ì =12 ì2a + 3b =12 ìa = 3 Ta có 1 í Û í Û í . v = 30 î î4a + 9b = 30 b î = 2 2
Suy ra v = 3.2n + 2.3n . n
Khi đó u = v -12 = 3.2n + 2.3n -12. n n Ta có u - - = + - u 6 n ( n 1 n 1 6 2 3 2) nên chia hết cho . n
Mặt khác n là số nguyên tố nên theo định lý Fermat. ìï2n º 2(mod ) n 3. ìï 2n º 6(mod ) n í hay í . 3n ïî º 3(mod ) n ïî2.3n º 6(mod ) n
Từ đó u = (3.2n + 2.3n -12) º 0(mod n). n
Suy ra u chia hết cho n . n
Với n là số nguyên tố và n > 3 Þ ( , n 6) = . 1
Suy ra u chia hết cho 6n . n ìx =1 1 ï Bài 8.
Cho dãy số (xn ) với í . x = x + + + + Î ï + (x 5)( 2 x 5x 8) 16 n N n n n n n ( * 1 ) î a) Chứng minh 1 x 5n- > , với mọi n ³ 2 . n n 1 b) Đặt y = . Tìm y . å lim n + n n®+¥ k 1 = x 3 k Hướng dẫn giải a) Chứng minh 1 x 5n- > , với mọi n ³ 2 . n 2 1 x 10 5 5 - = > = . 2 Giả sử ta có 1 x 5n- > (n ³ 2). n x = x x + x + x + + = x + x x + x + + n+ n ( 5 n )( 2 5 8 n n ) 16 ( 2 5 n n ) ( 2 5 8 16 1 n n ) . 2 n 1
= x + 5x + 4 > 5x > 5.5 - = 5n n n n Suy ra x > 5n . n 1 + Trang 40 Vậy theo qui nạp 1 x 5n- > với n " ³ 2 . n n 1 b) Đặt y = . Tìm y . å lim n + n n®+¥ k 1 = x 3 k Ta có:. 2 2 x
= x + 5x + 4 Û x + 2 = x + 5x + 6 = x + 2 x + 3 n 1 + n n n 1 + n n ( n )( n ). 1 1 1 1 Þ = = - x + 2 x + 2 x + 3 x + 2 x + 3 n 1 +
( n )( n ) n n . 1 1 1 Þ = - x + 3 x + 2 x + 2 n n n 1 + n 1 n æ 1 1 ö 1 1 1 1 y = å = åç - ÷ = - = - . n + + + + + + k 1 = x 3 = x x x x x k k 1 2 2 2 2 3 2 è k k 1 + ø 1 n 1 + n 1 + æ 1 1 ö 1 1 lim y = lim ç -
÷ = (vì x > 5n Þ lim = 0). n n+ n®+¥ n®+¥ 3 x + 2 3 è n®+¥ x n 1 + ø 1 n 1 + 1 Vậy lim y = . n n®+¥ 3 u ì = 2 Bài 9.
Cho dãy số (u ) được xác định như sau:. 1 í . Chứng minh n 3 2
u = 3u + 2n - 9n + 9n - 3, n " ³ 2 î n n 1 - p 1 -
rằng với mọi số nguyên tố p thì 2014åu chia hết cho p . i i 1 = Hướng dẫn giải
Với mọi n ³ 2 ta có: 3 u + n = 3( 3 u + (n -1) n n 1 - ). Từ đó có: 3 u + n = 3( 3 u + (n -1) = + - = = + = - ) 23( 3 u (n 2) - u n- ) n 1 ... 3 ( 3 1 3n n n 1 2 1 ) . Vậy n 3
u = 3 - n , n " ³ 2, lại có 1 3 u = 2 = 3 -1 nên n 3
u = 3 - n , n " ³ . 1 n 1 n
+ Nếu p = 2 : có ngay đpcm. p 1 -
+ Nếu p là số nguyên tố lẻ: 2 p 1
åu = (3+3 +...+3 - )- + + + p- i ( 3 3 3 1 2 ... ( 1) ). i 1 = p 1 - p 1 1 - ì ü p 1 = - + é å i +( p- )3 1 (3 3) 1 ù = (3p í - 3) + é
å i +( p-i)3 3 3 ùý. 2 2 ë û ë û i 1 = 2 î i 1 = þ
Theo Định lí Fermat nhỏ, suy ra 3p - 3 chia hết cho p . Mặt khác +( - )3 3 i
p i cũng chia hết cho p 1 - p, i
" =1, p -1 nên: (3p - 3) + é
å i +( p-i)3 3
ù chia hết cho p . Từ đó. ë û i 1 = p 1 - p 1 - ì ü
2014åu =1007í(3p -3) + é
å i + p-i ù p i ( )3 3 ýchia hết cho . ë û i 1 = î i 1 = þ
Vậy bài toán được chứng minh cho mọi trường hợp. Trang 41 ìx = 20; x = 30
Bài 10. Cho dãy số (x 0 1 n x .x +1
n ) xác định bởi í . Tìm để là số chính x
= 3x - x , n " Î î • n 1 + n n+2 n 1 + n phương. Hướng dẫn giải
Từ công thức truy hồi của xn ta có. 2 2 2 2 n
" Î • , x + x - 3x x = x + x x - 3x = x - x x + + + n 1 n 1 + n n n 1 n + ( n 1 n
) n 1 n 2 n + 2 2 2 2 à
v x + x - 3x x = x
x - 3x + x = x - x x + + + - n 1 n 1 n n 1 + n ( n 1 n + ) n 1 n 1 n n 2 2 2
Suy ra x - x x = x - x x
= ... = x - x x = -500 + + - n 1 n 2 n n 1 n 1 + n 1 0 2 . 2 2
Þ x + x - 3x x = 5 - 00 + n 1 n 1 + n n 2 2
Û x + x = 3x x - 500 + n 1 n 1 + n n Û ( 2 x - x = x x - 500 n 1 + + n ) n 1 n
Vậy x x - 500 là số chính phương. n 1 + n
Giả sử n là số thỏa mãn x x - 500 là số chính phương. n 1 + n Đặt 2 2
x x - 500 = b , x x +1 = a , a,b Î • ,a > b . n 1 + n n 1 + n Ta có 2 2
a -b = 501Û (a -b)(a +b) =1.501= 3.167.
Khi đó ta tìm được a = 201,b =1 thì x x =12600 Þ n = 2. n 1 + n 7224
Với a = 85,b = 82 thì x x = Þ n $ . n 1 + n 5
Vậy n = 2 thì x .x + 1 là số chính phương. n 1 + n
Bài 11. Bài 3. Cho phương trình 2
x -a x -1 = 0 với a là số nguyên dương. Gọi b là nghiệm dương
của phương trình. Dãy số (x x = a, x
= b x , n = 0,1,2,3,... 0 n 1 + [ n]
n ) được xác định như sau .
Chứng minh rằng tồn tại vô hạn số tự nhiên n sao cho x chia hết cho a . n Hướng dẫn giải
Đầu tiên ta chứng minh b là số vô tỉ. Thật vậy, nếu b là số hữu tỉ thì b là số nguyên (do hệ số cao nhất của 2
x là 1) và b là ước của 1. Do đó b = 1 suy ra a = 0 , trái giả thiết. Do đó [b x
< b x < b x +1 n 1 - ] n 1 - [ n 1-] .
Û x < b x < x + . 1 n n 1 - n x x 1 1 x n n Þ < x < + n Þ x - < < x . n 1 b - b b n 1 - n 1 b b - é x ù n Þ = x -1 (1). Lại có 2 b -ab -1= 1 0, suy ra b = a + . ê ú n 1 ë b - û b Trang 42 x é x ù é x ù n Þ b x = a x + n n Þ x = a x + = a x + = a x + x - 1 (do (1)). n n b n 1 + ê n ú n ê ú n n 1 ë b û ë b - û Vậy x
º x -1 (moda). Từ đó bằng quy nạp ta có với mọi *
k Î • , n ³ 2k +1, thì n 1 + n 1 - x º x - (k +1) (moda) (2). n 1 + n-(2k 1 + )
Chọn k + = la ( * 1
l Ε ), n +1= 2la , từ (2) ta có. x
º x -la = a -la º 0 (moda). 2la 0
Vậy x chia hết cho a , * l " Î • .. 2la ìa = a = 2004 a +10
Bài 12. Cho dãy số (a 0 1 n
n ) xác định bởi í . Chứng minh rằng là a
= 7a - a - 3978, n " Î . î • 2014 n+2 n 1 + n số chính phương. Hướng dẫn giải Ta có. a +10 a +10 a +10 n+2 n 1
a = 7a - a - 3978 Û = 7. + n - - 2.. n+2 n 1 + n 2014 2014 2014 a +10 ìv = v =1 Đặt n v =
. Ta được dãy số (v 0 1
n ) xác định bởi í . n 2014 v
= 7v - v - 2, n " Î . î • n+2 n 1 + n
Ta phải chứng minh v là số chính phương. n ìx =1; x =1
Thật vậy, xét dãy số (x ) xác định bởi 0 1 í . n x
= 3x - x , n " Î . î • n+2 n 1 + n
Hiển nhiên dãy số (xn ) là dãy số nguyên. 2 2 2 2 n
" Î • , x + x - 3x x = x + x (x - 3x ) = x - x x . n 1 + n n 1 + n n 1 + n n n 1 + n 1 + n n+2 2 2 2 2 và x
+ x - 3x x = x (x - 3x ) + x = x - x x . Ta có n 1 + n n 1 + n n 1 + n 1 + n n n n 1 + n 1 - . 2 2 2 Þ x - x x
= x - x x = x - x x = 1. - n 1 + n n+2 n n 1 + n 1 - 1 0 2 2 2 Þ x + x - 3x x = 1 - , n " Î • . (2) n 1 + n n 1 + n Ta sẽ chứng minh 2 v = x , n
" Î • (1) bằng quy nạp. n n
Thật vậy, rõ ràng với n = 0, n = 1, (1) đúng.
Giả sử (1) đúng đến n = k +1, k Î • , tức là 2
v = x , n = 1, 2,..., k +1.. n n
ta chứng minh (1) đúng với n = k+2, nghĩa là chứng minh 2 v = x . k +2 k +2
Thật vậy, theo công thức truy hồi của dãy số (a (xn)
n ) , giả thiết quy nạp, tính chất (2) của dãy số , công
thức truy hồi của dãy số (xn ) , ta có. Trang 43 2 2 2 2 2 2 v
= 7v - v - 2 = 7x - x - 2 = 7x - x + 2(x + x -3x x ) k +2 k 1 + k k 1 + k k 1 + k k 1 + k k 1 + k . 2 2 2 2
= 9x - 6x x + x = (3x - x ) = x . k 1 + k 1 + k k k 1 + k k +2
Do đó v là số chính phương. Vậy ta có điều phải chứng minh. n
Bài 13. Cho dãy số (x ) được xác định bởi 3 3
x = 2013n + a 8n +1, n " =1,2,... a là số thực n n
a)) Tìm a sao cho dãy số có giới hạn hữu hạn.
b) Tìm a sao cho dãy số (x )là dãy số tăng (kể từ số hạng nào đó). n Hướng dẫn giải
a) Ta có x = (2a + 2013)n + ay , trong đó 3 3
y = 8n +1 - 2n. n n n 3 3 8n +1- (2n) 1 = = ® 0Khi n ® +¥ . 3 3 2 3 3 2 3 3 2 3 3 2
(8n +1) + 2n 8n +1 + 4n
(8n +1) + 2n 8n +1 + 4n 2013
Do đó tồn tại giới hạn hữu hạn lim x khi và chỉ khi a = - . n n®+¥ 2
b) Từ lý luận phần a) ta suy ra) ì 2013 +¥ khi a > - ï 2 ï ï 2013
lim x = í0 khi a = - . n n®+¥ 2 ï ï 2013 -¥ khi a < - ïî 2 2013
Bởi vậy điều kiện cần để tồn tại *
mÎ N sao cho x < x < x < ....là a ³ - . m m 1 + m+2 2 2013
Ta đi chứng minh a ³ -
là điều kiện đủ để có kết luận trên. 2 2013
Thật vậy: Với a ³ - . 2 3 3 3 3 x
- x = 2013(n +1) + a 8(n +1) +1 - 2013n - a 8n +1 n 1 + n 3 3 3 3
= 2013+ a( 8(n +1) +1 - 8n +1) ³ 2013 3 3 3 3 2013 -
( 8(n +1) +1 - 8n +1) = . 2 2013 3 3 3 3
[2 - ( 8(n +1) +1 - 8n +1)] = 2 2013 3 3 3 3
(2 + 8n +1 - 8(n +1) +1) > 0 2 Vì. Trang 44 3 3 3
(2 + 8n +1) = 8 +12 8n +1 + 6( 3 8n +1)2 3 3 3 3 + 8n +1 > 2 3 2 3
8 +12.2n + 6(2n) + 8n +1 = 8(1+ 3n + 3n + n ) +1 . 3 = 8(n +1) +1
Suy ra x < x < x < ..... 1 2 3 2013
Vậy dãy số (x ) là dãy số tăng kể từ số hạng nào đó với a ³ -
và trong trường hợp đó (x ) là dãy số n 2 n tăng từ x . 1 Trang 45