45 trang 53 lượt tải

Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán phần Dãy số toán 11 (có lời giải)

106

Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán phần Dãy số toán 11 có lời giải bao gồm các chủ đề sau: dự đoán số hạng tổng quát và chứng minh bằng quy nạp, dãy số cho bởi công thức truy hồi, sử dụng phương trình đặc trưng, sử dụng phép thế lượng giác, một số dạng toán liên quan đến tính chất của dãy số, các dạng khác.. Chuyên đề được viết dưới dạng PDF gồm 45 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.

Chủ đề: Chuyên đề Toán 11 155 tài liệu

Môn: Toán 11 3.3 K tài liệu

Tác giả:

Profile

Thùy Dương (H)

1 năm trước
Danh sách Quiz
/45
Trang 1
CHUYÊN ĐỀ DÃY SỐ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN
1.1. DỰ ĐOÁN SỐ HẠNG TỔNG QUÁT VÀ CHỨNG MINH BẰNG QUY NẠP.
Bài 1. Cho dãy số xác định bởi : . Xác định số hạng tổng quát của
dãy đã cho.
Hướng dẫn giải
Ta có:.
.
Dự đoán: .
Chứng minh theo quy nạp ta có.
, công thức đúng với . Giả sử công thức đúng với ta có .
Ta có: .
Công thức đúng với .
Vậy , .
Bài 2. Cho dãy số biết . Xác định số hạng tổng quát của dãy.
Hướng dẫn giải
.
Đặt .
.
Dãy cấp số nhân với công bội là .
Nên .
Do đó .
Bài 3. Cho dãy số xác định bởi .Tìm công thức số hạng
tổng quát của dãy số theo .
( )
n
u
1
1
11
10 1 9 ,
nn
u
uu nnN
+
=
ì
í
=+-"Î
î
1
2
3
11 10 1
10.11 1 9 102 100 2
10.102 1 9.2 1003 1000 3
u
u
u
==+
=+-==+
=+-==+
( )
10 1
n
n
un+=
1
1
11 10 1u == +
( )
1
1n =
( )
1
10
k
k
uk=+
( )
( )
1
1
10 10 1 9 10 1
kk
k
ukkk
+
+
=++-=++
( )
1
1nk=+
10
n
n
un=+
.nN"Î
()
n
u
1
1
2
31,2
nn
u
uu n
-
=-
ì
í
=-"³
î
11 1
131 1
31 3 3( )(1)
222 2
nn n n n n
uu u u u u
-- -
=-Û-=-Û-= -
11
115
222
nn
vu vu
-
=-Þ=-=
1
(1) 3 , 2
nn
vv n
-
Þ= "³
() là
n
v
3q =
11
1
5
..3
2
nn
n
vvq
--
-
==
1
15 1
3,1,2,...
22 2
n
nn
uv n
-
-
=+= +"=
( )
n
u
*
11
2
34
1; u ,
232
nn
n
uu n
nn
+
+
æö
==- "Î
ç÷
++
èø
N
n
u
n
Trang 2
HƯỚNG DẪN GIẢI
Với mọi , ta có.
.
.
Dãy số là cấp số nhân có công bội
và .
.
Bài 4. Cho hàm số thỏa mãn đồng thời các điều kiện:.
(1) , .
(2) ,
.
a/Chứng minh: , .
b/Tìm biểu thức .
HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu a.
Vì nên từ giả thiết (1) ta được: , .
Kết hợp giả thiết (2) ta được .
do đó: ,
.
Câu b.
,.
Suyra: .
Thử lại thỏa các điều kiện, nên .
Bài 5.
a)Xác định ba số hạng đầu của một cấp số cộng, biết tổng của chúng bằng 9 và tổng các bình phương của
chúng là 125.
b)Cho dãy số có . Tìm số hạng tổng quát .
Hướng dẫn giải
*
n Î •
11
423
23( )23( )
(1)(2) 2 1
nn nn
n
uu uu
nn n n
++
+
=- Û =+ -
++ + +
11
33 333
2( ) 3( ) ( ).
21 221
nnnn
uuuu
nn nn
++
Û-=-Û-=-
++ ++
3
(),
1
nn n
vv u
n
=-
+
3
2
q =
1
1
2
v =-
11
**
31 313
., ,
22 122
nn
nn
vnu n
n
--
æö æ ö æö
=-"ÎÞ=- "Î
ç÷ ç ÷ ç÷
+
èø è ø èø
••
:fZ Z
++
®
( ) ( )
1fn fn+>
.nZ
+
"Î
( )
2000ffn n>+
éù
ëû
.nZ
+
"Î
( ) ( )
1fn fn+=
.nZ
+
"Î
( )
fn
( )
fn
Z
+
Î
( ) ( )
11fn fn³++
.nZ
+
"Î
.nZ
+
"Î
( ) ( ) ( )
2001 1 2000 1 1 2001nn ffnffnn³
é
+=++= + +=+
ùé ù
ëûëû
( ) ( )
11fn fn+= +
.nZ
+
"Î
( ) ( ) ( )
{ }
( ) ( )
1–1, 1 1 1–1fn f n n Z f f f f
+
=+"Î +Þ =
( ) ( ) ( )
12000 2 1–1 1 1001 1000,ff fnnnZ
+
+= Þ=Þ =+"Î
( )
1000, .fn n n Z
+
=+ "Î
( )
n
u
( )
1
1
16
15 . 1
14 , 1
1
n
n
u
nu
un
n
+
=
ì
ï
í
+
+= "³
ï
+
î
n
u
Trang 3
a)Xác định ba số hạng đầu của một cấp số cộng, biết tổng của chúng bằng 9 và tổng các bình phương của
chúng là 125.
Gọi d là công sai, số hạng thứ 2 là a. Khi đó 3 số hạng đầu của csc là .
Theo giả thiết ta có hệ: .
.
Vậy có 2 cấp số thỏa mãn có 3 số hạng đầu là: -4;3;10 hoặc 10;3;-4.
b)Cho dãy số có . Tìm số hạng tổng quát .
Ta có: .
(1).
Đặt .
(1) trở thành: (2).
Đặt .
(2) trở thành: là csn có .
Từ đó ta có: .
Bài 6. Cho dãy số xác định bởi : .
Chứng minh : là số chính phương với mọi n nguyên dương.
Hướng dẫn giải
Ta có .
Đặt thì .
Khi đó
.
Ta có : .
,,adaad-+
( ) ( )
22
2
9
125
ad aad
ad a ad
-+++=
ì
ï
í
-+++=
ï
î
22
39
3a 2d 125
3
7
a
a
d
=
ì
Û
í
+=
î
=
ì
Û
í
=±
î
( )
n
u
( )
1
1
16
15 . 1
14 , 1
1
n
n
u
nu
un
n
+
=
ì
ï
í
+
+= "³
ï
+
î
n
u
( )
( )( ) ( )
11
15 . 1
14 14 1 15 . 1
1
n
nnn
nu
uunnu
n
++
+
+= Û + += +
+
( )
1
115141
nn
nu nu n
+
Û+ = - +
( )
1
16
nn
vnu v=Þ=
( ) ( )
11
15 14 1 1 15
nn n n
vvnvn vn
++
=-+Û-+= -
( )
1
ww15
nn
vn=-Þ =
( )
1
15 w
nnn
ww
+
=Þ
1
w 15, 15 w 15
n
n
q==Þ=
15
n
n
n
u
n
+
=
( )
n
u
12 2 1
1; 4; 7 2, *
nnn
uu u uu n
++
== = --"Ε
n
u
12 3
1; 4; 25uu u== =
2
5
nn
uv=+
12 3
318123
;;
55 5
vv v== =
21
72,*
nnn
uuu n
++
=--"Ε
21
222
72,*
555
nnn
vvv n
++
æöæö
Û+= +-+-"Î
ç÷ç÷
èøèø
•
21
7,*
nnn
vvvn
++
Û= -"Ε
22 22
211 11 1 11
.(7). (7)
nnn n nnn n nn n nn n
vvv v vvv v vv v vv v
+++ ++ + +-
-= - -= - -= -
Trang 4
Suy ra : .
Suy ra :
.
Từ hệ thức và là các số chính phương suy ra là số chính phương với
mọi n nguyên dương.
Bài 7. Cho dãy số tăng, và . Xét dãy số xác định bởi
. Chứng minh rằng tồn tại .
Hướng dẫn giải
Dễ dàng thấy rằng dãy tăng ngặt.
Trường hợp 1. Nếu .
vậy dãy .
bị chặn trên do đó tồn tại .
Trường hợp 2. Nếu .
thật vậy .
. Ta chứng minh (**).
Xét hàm số Trên đoạn rõ ràng hàm số thoả mãn điều kiện của định lí Lagrăng nên tồn
tại số thoả mãn đpcm.
Từ đó ta có.
dãy bị chặn trên do đó tồn tại .
Bài 8. Cho dãy số được xác định bởi : và.
với mọi .
Tính giới hạn .
Hướng dẫn giải
222
2111 312
9
.;*
5
nnn nn n
vvv vv v vvv n
+++-
-= -==-="Î! •
2
21
22 29
.
55 55
nnn
uuu
++
æöæöæö
----=
ç÷ç÷ç÷
èøèøèø
( )
2
22 11
24449
5255255
nn n n n n
uu u u u u
++ ++
æö
Þ- ++--+=
ç÷
èø
( )
2
2111
249
72
555
nn n n n
uu u u u
++++
Þ- --+=
22
211 1
21(1); *
nn n n n
uu u u u n
+++ +
Þ=++=+"Ε
2
21
(1); *
nn n
uu u n
++
=+"Ε
12
;uu
n
u
{ }
1
n
n
a
+¥
=
01,2,3,....
n
an>"=
0
a
>
{ }
1
n
n
x
+¥
=
1
1
1
n
ii
n
i
ii
aa
x
aa
a
+
=
+
-
=
å
lim
n
n
x
®+¥
{ }
1
n
n
x
+¥
=
1
1
11 1
11 11
ii
ii i ii i i
aa
aa a aa a a
aa a aa
+
-
++ +
-
=- <-
1
1
n
x
a
a
Þ<
{ }
1
n
n
x
+¥
=
lim
n
n
x
®+¥
01
a
<<
( )
1
11
11 1
*
ii
ii i i
aa
aa a a
aaa
a
+
++
æö
-
<-
ç÷
èø
( )
*
( )
1
11 1ii ii i
aa aa a
aaa
a
-
++ +
Û-<-
( )
1
1
1
1
**
ii
i
ii
aa
a
aa
a
aa
a
-
+
+
+
-
Û>
-
( )
fx x
a
=
[ ]
1
;
ii
aa
+
( )
1
;
ii
caa
+
Î
( )
'11
111
1
111
ii ii ii
i
ii ii ii
aa aa aa
fc c a
aa aa aa
aa aa aa
aa
aa
--
+++
+
+++
---
=Û=Þ<
---
1
1
n
x
a
a
a
Þ< Þ
{ }
1
n
n
x
+¥
=
lim
n
n
x
®+¥
( )
n
x
4
1x =
( ) ( ) ( ) ( )
1
122334 21,
nn
xx n n n n
+
=+ -+ -+ -++-!
4.n ³
4
lim .
n
n
x
n
®+¥
Trang 5
Ta có: .
.
.
= .
Do đó ta suy ra : .
Ta chứng minh . Thật vậy với , ta có .
Giả sử với ta có : .
Ta có : theo (*) hay trong.
.
Bài 9. Cho hàm số thỏa mãn điều kiện với mọi
. Chứng minh rằng với mọi .
Hướng dẫn giải
Ta có: .
Từ (1) suy ra (2).
Khi đó .
Xét dãy , được xác định như sau: và .
Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp theo n rằng với mỗi luôn có.
với (3).
Thật vậy, khi thì theo (2), ta có ngay (3).
Giả sử mệnh đề (3) đúng với . Khi đó.
.
( ) ( ) ( ) ( )
122334...2.1nnn n++ -+ -+ -
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
11 2 12 3 1 3 ... 2 1 2nn n nnn=--+ --+ --++- ---
éùé ùéù é ù
ëûë ûëû ë û
( ) ( ) ( )
2
222
112 3... 2 1 2 3 ... 2nn n
éù
=- ++++- - ++++-
éù
ëû
ëû
( )
( )( ) ( )( )( ) ( )( )
21 2123 12
1.
26 6
nn nn m nnn
n
-- -- - --
-- =
( )( )
( )
3
1
12
*
6
nn nn
nn n
xx xC
+
--
=+ =+
4
nn
xC=
4
44
1xC==
4
nn
xC=
4
1nnn
xxC
+
=+
3434
1nnnnnn
xxCCCC
+
=+ = + =
( )
44
!1
lim lim .
4! 4 ! 6
n
nn
x
n
nnn
®+¥ ®+¥
==
-
( ) ( )
:0; 0;f +¥ ® +¥
( ) ( )
1
322
2
fx f fx x
æö
³+
ç÷
èø
( )
fx x³
1
(3 ) (2 ) 2 (1)
2
fx f fx x
æö
³+
ç÷
èø
12 2 2
() () , 0
23 3 3
xx x
fx f f fx x
æö
æö
³+Þ>">
ç÷
ç÷
èø
èø
12 2212 212 2 42
() .
23 3323 333 3273
xx xx xx
fx f f f f x
æö
æö æö æö æ ö
³+>+=+>+
ç÷ ç÷ ç÷ ç ÷
ç÷
èø èø èø è ø
èø
()
n
a
( )
1, 2,n =…
1
2
3
a =
2
1
12
33
nn
aa
+
=+
*
n Î •
()
n
fx ax>
1n =
1
.
12 21 2 21 22
() . . .
23 32 3 32 33
2
2
.
3
k
x
xx xx xx
fx f f a f a a
kkk
a
k
xa
+
æö
æö æö
ç÷ ç÷
ç÷
èø èø
èø
³+>+>+
+
==
Trang 6
Vậy (3) đúng với .
Tiếp theo ta chứng minh . Thật vậy, ta thấy ngay . Do đó:
, suy ra dãy tăng ngặt.
Dãy tăng và bị chặn trên nên hội tụ. Đặt thì với , suy ra . Vậy
.
Do đó từ (3) suy ra với mỗi (đpcm).
Bài 10. Tìm tất cả các hàm số thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau đây.
1. với mọi .
2. với mỗi .
Hướng dẫn giải
và bởi vì cho nên .
.
.
.
Dùng quy nạp theo ta CM được .
Cố định ta có .
Xét dãy ta có:.
.
Vậy .
Vậy .
Kết hợp (1) và (3) ta được .
1nk=+
lim 1
n
a =
*
1
n
an<"Ε
1
1
(1)(2)0
3
nn n n
aa a a
+
-= - ->
()
n
a
()
n
a
lim
n
al=
2
12
33
ll=+
1l £
1l =
lim 1
n
a =
()fx x³
:f ®!!
( ) ( ) ( )
fx y fx fy+£ +
,xyÎ !
( )
1
x
fx e£-
x Î !
( ) ( ) ( ) ( )
0000fx fx f f+£ + Þ ³
( )
0
010fe£-=
( )
00f =
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
01fx x fx f x fx f x+- £ + - Þ + - ³
( )
2
21
22
x
xx
fx f f e
æö
æö æö
£+£-
ç÷
ç÷ ç÷
èø èø
èø
( ) ( )
24
21 41
22
xx
xx
fx e fx f f e
æö æö
æö æö
£-Þ£ + £-
ç÷ ç÷
ç÷ ç÷
èø èø
èø èø
1, 2,...n =
( )
2
21
n
x
n
fx e
æö
£-
ç÷
ç÷
èø
0
x Î !
( )
0
2
0
21
n
x
n
fx e
æö
£-
ç÷
ç÷
èø
0
2
21
n
x
n
n
ae
æö
=-
ç÷
ç÷
èø
0
2
00
0
1
lim lim .
2
n
x
n
n
e
axx
x
éù
êú
-
==
êú
êú
ëû
( ) ( )
00 0
2fx x x£"Î!
( ) ( ) ( ) ( )
03fx f x x x+-£+-=
( ) ( )
0fx f x+-=
Trang 7
Từ (2) . Kết hợp (2) và (4) ta được . Thử lại
ta thấy đúng. Vậy .
Kết hợp (1) và (3) ta được .
Từ (2) . Kết hợp (2) và (4) ta được . Thử lại
ta thấy đúng.
Bài 11. Cho dãy số xác định bởi . Chứng minh rằng dãy số đã cho có giới hạn
hữu hạn.
Hướng dẫn giải
Trước hết, bằng quy nạp, ta dễ dàng có và dãy số đã cho là dãy tăng.
Ta có :.
.
Giả sử với . Ta có: .
Theo nguyên lý quy nạp ta có .
Ta có : thật vậy :
;.
Do đó .
Ta có với thì .
Do đó thì
.
Suy ra .
Vậy dãy đã cho tăng và bị chặn trên nên có giới hạn hữu hạn.
( ) ( ) ( )
4fx x fxxÞ-£-Þ ³
( )
fx xx="Î!
( )
fx x=
( ) ( ) ( ) ( )
03fx f x x x+-£+-=
( ) ( )
0fx f x+-=
( ) ( ) ( )
4fx x fxxÞ-£-Þ ³
( )
fx xx="Î!
( )
fx x=
1
2
1
2015
2016
,1
n
nn
x
x
xx n
n
+
ì
=
ï
ï
í
æö
ï
=+ ³
ç÷
ï
èø
î
0 1
n
xn>"³
2
211 1
2
2
2
32 11 1
2;
23;
4
xxx x
x
xx xx x
=+ <
=+ < +<
1k
xkx<
1k >
2
2
1111
2
(1)
k
kk
x
xx kxxkx
k
+
=+ < +<+
1
1
n
xnx n<">
1 2017
m
xm m<-"³
( )
11
1
11
11 1 2016
2015
1
1
2016
mx m m x m m m
x
<-Û - >Û > Û > Û>
-
-
1
1
-<< mmxx
m
2n"³
2
2
1
22
1111
11 1 1 11
(1) 1
n
nn n
nn nn nn n
x
xx x
n
xx xx xx nx n nn n n
+
++++
-
-= = = << = -
--
2018n"³
2018
0
2017 2017 2018
11 1 1
n
i
nii
xx x x
-
=
++
æö
-= - <
ç÷
èø
å
2018
0
11111
2016 2017 2016 1 2016
n
i
ii n
-
=
æö
-=-<
ç÷
++ -
èø
å
2017
2017 2017
2016
11 1
0
2016 2016
n
n
x
x
xx x
>- >Þ<
-
Trang 8
Bài 12. Cho dãy số xác định như sau .
a) Xác định số hạng tổng quát .
b) Tính
.
Hướng dẫn giải
Biến đổi ta được: với khi đó: .
nghĩa là dãy là một cấp số cộng của .
.
.
Bài 13. Cho dãy số được xác định như sau.
,.
với mọi . Chứng minh rằng dãy số có giới hạn và tìm giới hạn đó.
Hướng dẫn giải
Từ công thức truy hồi của dãy ta được.
.
Do đó . Từ đó .
Bài 14. Cho dãy số xác định bởi .
Đặt . Tính .
Hướng dẫn giải
()
n
u
12
11
1; 2
31
2
22
nnn
uu
uuun
+-
==
ì
ï
í
=- "³
ï
î
n
u
lim
n
n
u
®+¥
( )
11
1
2
nn nn
uu uu
+-
-= -
11nnn
vuu
++
=-
1
1
,2
2
nn
vvn
+
="³
23
,,...,...
n
vv v
2
1
1;
2
vq==
1
112
123
221
22
...
........................
11 1
1 1 ... 3
22 2
nnn
nnn
nn
nn
n
vuu
vuu
uuvv v
vuu
u
-
---
--
=-
ü
ï
=-
ï
®-=++
ý
ï
ï
=-
þ
æö
æö æö
Û=+++ =-
ç÷
ç÷ ç÷
ç÷
èø èø
èø
2
1
lim lim 3 3
2
n
n
xx
u
-
®+¥ ®+¥
æö
æö
=- =
ç÷
ç÷
ç÷
èø
èø
( )
n
u
( )
2
111
2011;
nnn
uunuu
--
==-
*
,2nnγ•
( )
n
u
( ) ( )
12 1
22
22 2 2
111 111
1 1 1 ... 1 1 ... 1
2
11
nn n
uu u u
nn n
nn
--
æö æö
æöæö æö æö
=- =- - ==- - -
ç÷ ç÷
ç÷ç÷ ç÷ ç÷
ç÷ ç÷
èøèø èø èø
--
èø èø
( )( ) ( )
( )
2
222
11 2
4.2 3.1 1
. ... . .2011 .2011
32 2
1
n
nn nn
n
u
nn
n
+- -
+
==
-
2011
lim
2
n
u =
( )
n
u
( )
42
*
11
3
2013
2014, ,
4026
n
n
nn
u
uu n
uu
+
+
== "Î
-+
•
*
3
1
1
,
2013
n
n
k
k
vn
u
=
="Î
+
å
•
lim
n
v
Trang 9
Cho dãy số xác định bởi .
Đặt . Tính .
Ta có .
Từ đó bằng quy nạp ta chứng minh được .
.
Từ suy ra .
Do đó .
Ta chứng minh .
Thật vậy, ta có .
Suy ra là dãy tăng, ta có .
Giả sử ngược lại bị chặn trên và là dãy tăng nên thì . Khi đó
(vô lý). Suy ra không bị chặn trên, do đó .
Vậy .
Bài 15. Tìm số hạng tổng quát của dãy số biết.
.
Hướng dẫn giải
Vì nên ta có:.
.
( )
n
u
( )
42
*
11
3
2013
2014, ,
4026
n
n
nn
u
uu n
uu
+
+
== "Î
-+
•
*
3
1
1
,
2013
n
n
k
k
vn
u
=
="Î
+
å
•
lim
n
v
( )
( )
( )
3
42
1
3
2
2013 2013
2013
2013 2013
4026
1 4026
nn
n
n
nn
nn
uu
u
u
uu
uu
+
-+
+
-= -=
-+
-+
*
2013,
n
un>"Ε
( )
( )
( )
( )
( )
3
1
3
2013 2013
2013 1
2013 2013
nn
n
nn
uu
u
uu
+
-+
-=
+--
( )
1
33
11
111 111
2013 2013 2013 2013 2013 2013
nnnnnn
uuuuuu
++
=-Þ=-
--+ +- -
1
11 1 1
11 11 1
1
2013 2013 2013 2013 2013
n
n
k
kk n n
v
uu uu u
=
+++
æö
=-=-=-
ç÷
---- -
èø
å
lim
n
u =+¥
( )
2
22
*
1
33
2013
4026 2013
0,
4026 4026
n
nn
nn
nn nn
u
uu
uu n
uu uu
+
-
-+
-= = >"Î
-+ -+
•
( )
n
u
12
2014 ...uu=< <
( )
n
u
( )
n
u
lim
n
ua=<+¥
2014a >
42
3
2013
4026
a
a
aa
+
=
-+
2013 2014aÞ= <
( )
n
u
lim
n
u =+¥
1
1
lim lim 1 1
2013
n
k
v
u
+
æö
=- =
ç÷
-
èø
( )
n
u
( )
1
2
232
1
2
1
2
673
2( 2) ( 4 5 2)
,1
3
nn
n
u
u
nunnnu
unn
n
+
+
ì
=
ï
ï
ï
=
í
ï
+-+++
ï
=γ
ï
+
î
•
232
1
2
2( 2) ( 4 5 2)
3
nn
n
nunnnu
u
n
+
+
+-+++
=
+
22
21
(3) 2(2) (2)(1)
nn n
nu n u n n u
++
+=+ -++
Trang 10
.
.
Đặt , thu được.
.
.
Đặt , thu được.
.
.
Do đó.
.
Như vậy , .
Từ đó, với , ta có.
.
.
Vậy .
Bài 16. Cho dãy số xác định bởi .
Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số theo .
Hướng dẫn giải
Vì nên.
.
.
.
2
21
3
2( 2) ( 1)
2
nnn
n
ununu
n
++
+
Û=+-+
+
2
211
3
(3) (1) (1).
2
nnn n
n
unununu
n
+++
+
Û=+++-+
+
!
nn
unv=
,1nnγ•
211
(3) (3) (1) (1)
nnnn
nv nv nv nv
+++
+=+++-+
21 1
(3)( )(1)( ).
nn nn
nvv nvv
++ +
Û+ - =+ -
1nnn
wvv
-
=-
,2nnγ•
1
(1) (1)
nn
nw nw
-
+=-
1
(1) (1)
nn
nnwnnw
-
Û+ = -
122
21
(1) (1) (1)(2) ...3.2.
6( ) 2016.
nn n
nnwnnw n n w w
vv
--
+=-=-- ==
=-=
2016 1 1
2016
(1) 1
n
w
nn n n
æö
== -
ç÷
++
èø
,2nnγ•
,1nnγ•
1
11 1
2016 2016
21 1
n
n
vv
nn
-
æö
-= - =
ç÷
++
èø
4033 4031
2( 1)
n
n
v
n
-
Û=
+
4033 4031
!,
2( 1)
n
n
un
n
-
=
+
,1nnγ•
( )
n
u
*
11
2
34
1; u ,
232
nn
n
uu n
nn
+
+
æö
==- "Î
ç÷
++
èø
N
n
u
n
1
2
34
u
232
nn
n
u
nn
+
+
æö
=-
ç÷
++
èø
( )( )
1
2
34 1,56
2u .
232 12
3
nn
nn
nn
u
nn
+
+--
=- =
++ + +
-
1
1, 5 1, 5
2u 2. .
2
3 3
1
nn
n
u
n
+
=-Û
++
-
1
1, 5 1, 5
2u 2. 3.
2
3
1
nn
n
u
n
+
- -Û =
++
Trang 11
.
Đặt , khi đó ta có: .
Lại có: .
Từ đẳng thức trên ta có công thức tổng quát của dãy là: .
Từ đó ta có công thức tổng quát của dãy
là: .
Bài 17. Cho dãy số xác định bởi và với mọi .
a) Xác định số hạng tổng quát của dãy số .
b) Tính tổng .
Hướng dẫn giải
a) Dễ thấy .
Từ .
Đặt thì có: .
Đặt thì ta có: . Từ đây suy ra là cấp số nhân với , công bội là 3.
Nên: .
b) .
.
.
Bài 18. Cho dãy số được xác định bởi và với mọi .
a) Chứng minh rằng: .
b) Tính tổng theo .
Hướng dẫn giải
a) Khi : đúng.
Giả sử đúng với .
Ta chứng minh: .
1
1, 5 3 1, 5
u3.
22 1
n n
u
nn
+
æöæö
=-
ç÷ç÷
++
èè
-
øø
Û
1, 5
1
nn
vu
n
=-
+
1
3
2
nn
vv
+
=
11
1, 5 1
24
vu=+ =
( )
n
v
1
31
.
24
n
n
v
-
æö
=
ç÷
èø
( )
n
u
( )
1
1, 5 3 1 3
.
12 42 1
n
nn
uv
nn
-
æö
=+ = +
ç÷
++
èø
( )
n
u
1
1u =
2
1
32
nn
uu
+
=+
1n ³
( )
n
u
222 2
123 2011
...Su u u u=++++
*
0,
n
unN>"Î
222
11
32 32
nn nn
uu uu
++
=+Û=+
2
nn
vu=
( )
11
32 13 1
nn n n
vv v v
++
=+Û += +
1
nn
xv=+
1
3
nn
xx
+
=
( )
n
x
1
2x =
11 1
2.3 2.3 1 2.3 1
nn n
nn n
xv u
-- -
=Þ=-Þ= -
012 2010
2.3 2.3 2.3 ... 2.3 2011S =++++ -
( )
012 2010
23 3 3 ... 3 2011=++++ -
( )
2011
23 1
2011
31
-
=-
-
2011
32012=-
( )
n
u
1
1u =
1
2
n
nn
uu
+
=+
1n ³
21
n
n
u =-
123
...
n
Su u u u=++++
n
1n =
12
21
21221uu=+=+= -
21
k
k
u =-
1,kkN³Î
1
1
21
k
k
u
+
+
=-
Trang 12
Thật vậy: .
b) .
.
Bài 19. Cho dãy số(u
n
) xác định như sau: .
a) Chứng minh: .
b) Tính: .
Hướng dẫn giải
a) Ta có: .
(Vì dương).
b) Đặt , ta có: , .
Ta chứng minh: (*).
Với : đúng.
Giả sử (*) đúng với , , hay ta có: .
Ta có: .
Vậy (*) đúng với . Vậy .
Cho , ta có: .
1
1
22122 1
kk kk
kk
uu
+
+
=+=-+= -
( ) ( ) ( )
12 12
21 2 1... 2 1 2 2 ...2
nn
Sn=-+-++-=+++-
1
21
2. 2 2
21
n
n
Snn
+
-
=-=--
-
1
1
2
21
(1, )
1(21)
n
n
n
u
u
unn
u
+
ì
=
ï
í
+-
="³Î
ï
--
î
•
tan 2 1
8
p
=-
2015
u
2
2 tan
8
1 tan tan
488
1 tan
8
p
ppp
p
æö
== +=
ç÷
èø
-
2
tan 2 tan 1 0
88
pp
Û+ -=
tan 2 1
8
tan 2 1
8
p
p
é
=-
ê
Û
ê
ê
=- -
ê
ë
tan 2 1
8
p
Þ=-
tan
8
p
1
2tanua==
2
tan tan
8
tan( )
8
1 tan . tan
8
a
ua
a
p
p
p
+
==+
-
3
tan( ) tan
88
tan( 2. )
8
1 tan tan( )
88
a
ua
a
pp
p
pp
++
==+
-+
tan( ( 1) ), 1,
8
n
uan nn
p
=+-"³Î•
1n =
1
tanua=
1k ³
tan( ( 1) )
8
k
uak
p
=+-
1
tan( ( 1) ) tan
21
88
tan( . )
8
1(21)
1 tan( ( 1) ).tan
88
k
k
k
ak
u
uak
u
ak
pp
p
pp
+
+- +
+-
== =+
--
-+-
1nk=+
tan( ( 1) ), 1,
8
n
uan nn
p
=+-"³Î•
2015n =
2015
33
tan( 2014. ) tan( 251 ) tan( )
84 4
ua a a
pp p
p
=+ =++ =+
Trang 13
.
Bài 20. Cho dãy số thực với .
a) Chứng minh với mọi .
b) Tính tổng .
Hướng dẫn giải
a) Dùng phương pháp qui nạp.
, .
Giả sử .
Ta có: .
.
Vậy với mọi .
b) .
.
Bài 21. Cho dãy số với .
Tìm số dư khi chia cho .
Hướng dẫn giải
Xét dãy số với .
Ta có với mọi .
Xét phương trình đặc trưng: .
Phương trình trên có nghiệm .
có dạng . Vì nên .Ta có: .
Ta có: .
Ta có là số nguyên tố Theo định lý Fecma ta có: .
21
tan( )
4
21
a
p
-
=-=
+
22
( 2 1) tan
8
p
=-=
( )
n
u
1
2
21
1
1
2
nnn
u
u
uuu
++
=
ì
ï
=-
í
ï
=-
î
*
()nNÎ
32
n
un=-
*
nNÎ
12 2012
...Su u u=+++
1
132.1u ==-
2
32.2 1u =- =-
32
k
uk=-
( )
3k ³
11
22(32)(32(1))
kkk
uuu k k
+-
=-=----
12 32( 1)kk=- = - +
32
n
un=-
*
nNÎ
(3 2.1) (3 2.2) ... (3 2.2012)S =- +- ++-
3.2012 2(1 2 ... 2012)=-+++
6036 2013.2012 4044120=- =-
( )
n
v
1
*
2
21
8
34 ( )
81996
nn n
v
vnN
vv v
++
=
ì
ï
=Î
í
ï
=+
î
2013
v
2011
( )
n
u
1
*
2
21
8
34 ( )
815
nn n
u
unN
uu u
++
=
ì
ï
=Î
í
ï
=-
î
( )
mod 2011
nn
vuº
*
nNÎ
2
8150tt-+ =
5, 3tt==
( )
n
u
.5 .3
nn
n
uA B=+
12
5, 13uu==
538
25 9 34
AB
AB
+=
ì
í
+=
î
1AB==
53
nn
n
u =+
2011
( )
2010
51mod2011º
Trang 14
.
Suy ra , .
Vậy khi chia cho ta được số dư là .
Suy ra khi chia cho ta được số dư là .
Bài 22. Cho dãy số .
a) Chứng minh dãy số là dãy số giảm.
b) Lập công thức số hạng tổng quát của dãy số .
Hướng dẫn giải
a) Chứng minh dãy số là dãy số giảm.
Ta có: ; Chứng minh: bằng phương pháp quy nạp.
Ta có: .
Giả sử: và . Chứng minh: .
Ta có: . Vậy .
b) Lập công thức số hạng tổng quát của dãy số .
Ta có: .
Đặt , ta được: .
Ta được: là cấp số nhân có công bội .
Suy ra: .
Vậy .
Bài 23. Tìm số hạng tổng quát của dãy biết rằng:.
( )
2010
31mod2011º
( )
2013
5125mod2011º
( )
2013
327mod2011º
2013
u
2011
152
2013
v
2011
152
( )
( )
1
*
1
1
:
32 2,( )
n
n
nn
u
u
uu n
+
=
ì
ï
í
-="Î
ï
î
•
( )
n
u
( )
n
u
( )
n
u
1
1
23
n
n
n
u
u
+
=+
*
1nn
uun
+
<"Ε
1
21
2
1
5
6
u
uu
u
=
ì
ï
Þ<
í
=
ï
î
1
;
kk
uuk
+
<Ε
1k >
21kk
uu
++
<
1
21
11
111
23 23 23
kkk
kk
kkk
uuu
uu
+
++
++
=+<+<+=
*
1nn
uun
+
<"Ε
( )
n
u
1
11
3
3(2 ) 2 3 . 3. 3
2
nnn
nn n n
uu u u
+
++
-=Û = +
36
n
nn
vu=+
11
33
6(6)3
22
nn nn
vv vv
++
-= - +Û =
1
*
1
9
():
3
,( )
2
n
nn
v
v
vvn
+
=
ì
ï
í
=Î
ï
î
•
3
2
q =
11
1
33
. 9.
22
nn
n
vv
--
æö æö
==
ç÷ ç÷
èø èø
6
11
6.
323
n
n
nnn
v
u
-
æö
==-
ç÷
èø
( )
n
x
Trang 15
( ).
Hướng dẫn giải
Từ đề bài ta có: với mọi .
Ta có: với mọi .
Đặt ta được với mọi .
Vì phương trình đặc trưng của dãy có hai nghiệm phân biệt nên với mọi
.
Với ta có . Suy ra với mọi .
Ta có với mọi .
Kết hợp với , ta suy ra với mọi .
Bài 24. Cho dãy số .
a) Chứng minh dãy số là dãy số giảm.
b) Lập công thức tổng quát của dãy số .
Hướng dẫn giải
a) Chứng minh dãy số là dãy số giảm.
Ta có: .
Giả sử: với k >1. Cần chứng minh: .
Ta có:
.
Mà
.
( ) ( )
01 2
22
21 1 1 1
1; 5; 125
3 10
nnn n n n n
xxx
xxx x x x x
+- +- +
== =
ì
ï
í
=+
ï
î
*
nNÎ
0
n
x >
nNÎ
21
11
3 10
nn n
nnn
xx x
xxx
++
+-
=+
*
nNÎ
1
n
n
n
x
y
x
-
=
21
3100
nn n
yy y
++
--=
*
nNÎ
( )
n
y
2; 5-
( )
2.5
n
n
n
yA B=-+
*
nNÎ
1
1
0
2
2
1
5
25
x
y
x
x
y
x
ì
==
ï
ï
í
ï
==
ï
î
1
0
B
A
=
ì
í
=
î
5
n
n
y =
*
nNÎ
2
1 ( 1) ... 1
2
10
5 . 5 .5 ....5. 5 5
nn
nnn nn
nn
xx x
+
-+-++
-
== = =
*
nNÎ
0
1x =
2
2
5
nn
n
x
+
=
nNÎ
( )
1
*
1
7
2
:
74
,
25
n
n
n
n
u
u
u
un
u
+
ì
=
ï
ï
í
+
ï
=Î
+
ï
î
•
( )
n
u
( )
n
u
( )
n
u
12 12
719
;
28
uu uu==Þ>
1kk
uu
+
>
12kk
uu
++
>
1
74
7 27 1
.
252225
k
k
kk
u
u
uu
+
+
==-
++
2
1
7 27 1
.
222 5
k
k
u
u
+
+
Þ=-
+
1kk
uu
+
>
1
11
252 5
kK
uu
+
Þ<
++
Trang 16
Þ(điều phải chứng minh).
b) Lập công thức tổng quát của dãy số .
Ta có .
Xét dãy số , ta có:
.
là cấp số nhân
.
.
Bài 25. Cho dãy số .
a) Chứng minh rằng .
b) Lập công thức tổng quát của dãy số .
Hướng dẫn giải
a) Chứng minh rằng .
Ta có:
.
Giả sử: ; Cần chứng minh:
.
Ta có: . Vậy .
b)Lập công thức tổng quát của dãy số .
Đặt ta có
.
.
là cấp số nhân
.
Vậy .
12
1
727 1 727 1
..
222 5222 5
kk
kk
uu
uu
++
+
Þ- >- Þ >
++
( )
n
u
*
7
0,
2
n
un<£ "Ε
2
1
n
n
n
u
x
u
-
=
+
1
1
3
x =
1
1
1
22
11
13 1 3
nn
nn
nn
uu
xx
uu
+
+
+
æö
--
== =
ç÷
++
èø
()
n
xÞ
1
3
n
n
xÞ=
( )
2
12.31
31 2.31 .
13 31
n
nn
n
nn
nn
n
u
uu
u
-
+
=Û - = +Û=
+-
( )
1
*
1
1
2016
:
2015 1
,
2016
n
n
n
u
u
u
un
+
ì
=
ï
ï
í
+
ï
="Î
ï
î
•
*
1,
n
un<"Ε
( )
n
u
*
1,
n
un<"Ε
1
1
1
2016
u =<
1, ( 1)
k
uk<>
1
1
k
u
+
<
1
2015 1
12015 12016 1 1
2016
k
kk k
u
uu u
+
+
<Þ +< Þ <Þ <
*
1,
n
un<"Ε
( )
n
u
1
nn
xu=-
1
2015
2016
x =-
( )
11
2015 1
2015 2015
111
2016 2016 2016
n
nn n n
u
xu u x
++
+
=-= -= -=
( )
n
xÞ
2015
2016
n
n
x
æö
Þ=-
ç÷
èø
*
2015
1,.
2016
n
n
un
æö
=- "Î
ç÷
èø
•
Trang 17
Bài 26. Cho dãy số xác định bởi: .
a) Tìm số hạng tổng quát của dãy .
b) Tìm số dư khi chia cho .
Hướng dẫn giải
a) Đặt ta có: .
Khi đó .
Lại có:.
.
.
.
Do đó . Hay .
Vậy .
b) Ta có chia cho 2015 dư 1.
Bài 27. Xác định công thức số hạng tổng quát của dãy số .
Hướng dẫn giải
Ta có: . Đặt , khi đó ta được dãy xác định như sau: và
.
Vì .
Bằng quy nạp ta chứng minh được: .
.
1.2. DÃY SỐ CHO BỞI CÔNG THỨC TRUY HỒI.
( )
n
u
( )
1
2
12
2
3
224,3
nn n
u
u
u nu n u n n
--
ì
=
ï
=
í
ï
=-- -+"³
î
( )
n
u
2016
u
nn
vun=-
( )
1
2
12 12
1
1
( 1) ( 2)( 2) 3 4 2 , 3
nn n n n
v
v
v n v n n v n n nv n v n
-- --
ì
=
ï
=
í
ï
=+--- +--+=-- ³
î
11 2
(1) ( 2)
nn n n
vv n v n v
-- -
-=- --
21124332
()( )...()()
nnnnn
vv vv v v vv vv
---
-= - + - ++ - + -
[ ] [ ]
12 233221
(1) ( 2) ( 2) (3) ...(3 2)(2 1)
nn n n
nv n v n v n v v v vv
-- - -
=- -- +- -- ++ - + -
11
(1)
n
nv v
-
=- -
1
(1)
nn
vnv
-
=-
21
(1)( 2) ...(1)( 2)...1. (1)!
nn
vn nv n n vn
-
=- - ==- - =-
(1)!
n
un n=-+
2016
2015! 2016u =+
( )
1
1
2
1
3
:
,2
11
n
n
n
n
x
x
x
xn
x
-
-
ì
=
ï
í
="³
ï
++
î
2
11
11 1
1
nn n
xx x
--
=++
1
n
n
y
x
=
( )
n
y
1
1
3
y =
2
11
1
nn n
yy y
--
=++
2
12
1 cos
1
3
cot cot 1 cot cot
3 3 3 2.3
3
sin
3
yy
p
ppp p
p
+
== Þ= ++ = =
11
cot tan , 1
2.3 2.3
nn
nn
yxn
pp
--
=Þ= "³
Trang 18
Bài 1. Cho dãy số biết . Xác định số hạng tổng quát của dãy.
Hướng dẫn giải
.
.
Dãy cấp số nhân với công bội là .
Nên .
Do đó .
Bài 2. a) Tính giới hạn .
b) Cho dãy số (u
n
) xác định bởi : . Tìm công thức tính theo .
Hướng dẫn giải
a) Tính giới hạn .
Ta có: .
.
Vậy .
b) Ta có:.
.
Dự đoán: .
Chứng minh:.
Ta có: , công thức (1) đúng với .
()
n
u
1
1
2
31,2
nn
u
uu n
-
=-
ì
í
=-"³
î
11 1
131 1
31 3 3( )(1)
222 2
nn n n n n
uu u u u u
-- -
=-Û-=-Û-= -
11
1
115
v
222
(1) 3 , 2
nn
nn
uvu
vv n
-
-
=-Þ=-=
Þ= "³
Ñaët
() là
n
v
q3=
11
1
5
..3
2
nn
n
vvq
--
-
==
1
15 1
3,1,2,...
22 2
n
nn
uv n
-
-
=+= +"=
(
)
3
32
lim 1Annn=+--
1
1
11
10 1 9 ,
nn
u
uu nn
+
=
ì
í
=+-"Î
î
•
n
u
n
(
)
3
32
lim 1Annn=+--
(
)
( )
2
3
32
2
3
32 32 2
3
1
lim 1 lim
1. 1
n
Annn
nn nnn n
-
=+--=
+- + +-+
2
2
3
3
46 3
1
1
lim
11 11
111
n
nn nn
-
=
æöæö
+- + +- +
ç÷ç÷
èøèø
1
3
A =
1
2
3
11 10 1
10.11 1 9 102 100 2
10.102 1 9.2 1003 1000 3
u
u
u
==+
=+-==+
=+-==+
( )
10 1
n
n
un=+
1
1
11 10 1u == +
1n =
Trang 19
Giả sử công thức (1) đúng với ta có: .
Ta có: .
Công thức (1) đúng với .
Vậy .
Bài 3. Cho dãy số xác định bởi: . Tìm công thức của số hạng tổng
quát ?.
Hướng dẫn giải
Đặt .
Thay vào giả thiết:.
.
Ta có .
Đặt .
.
Ta có .
Suy ra .
Bài 4. Cho dãy số xác định bởi: Tìm công thức số hạng tổng quát
theo .
Hướng dẫn giải
Ta có Khi đó .
Với mọi đặt .
Suy ra, dãy số là cấp số cộng có và công sai .
Do đó, .
Vậy .
Bài 5. Cho dãy số xác định bởi: Tìm công thức số hạng tổng quát
theo .
10
k
k
uk=+
( )
( )
1
1
10 10 1 9 10 1 .
kk
k
ukkk
+
+
=++-=++
1nk=+
10 ,
n
n
un=+
.nN"Î
()
n
u
1
*
1
4
1
(4412),
9
nn n
u
uu un
+
=
ì
ï
í
=+++ Î
ï
î
•
()
n
u
2
12 12,
nnnn
xuxu=+ Þ=+
2
1
0
2
n
nn
x
xu
-
³Þ =
22
1
11
1
(44)
292
nn
n
xx
x
+
--
=++
22
1
(3 ) ( 4)
nn
xx
+
Û=+
*
1
34,,0
nn n
xx nNx
+
Û=+"Î ³
1
11
3 4 3 3 4.3
nnn
nn n n
xx x x
+
++
-=Û - =
*
1
3 . 4.3 ,
nn
nnnn
yxyy nN
+
=Þ=+"Î
1
11
4(3 3 ... 3)
nn
n
yy
-
+
Þ=+ +++
1
11
6 2.3
n
n
yy
+
+
Û=-+
11
3 9 3 2.3
n
n
xyy=Þ =Þ =+
*
1
1
2,
3
n
n
xnN
-
=+ "Î
*
122
141
(3 ),
233
n
nn
unN
--
Þ= + + "Î
( )
n
u
1
1;u =
*
1
,.
21
n
n
n
u
un
u
+
="Î
+
•
n
u
.n
*
0, .
n
un>"Ε
1
1
11
2.
21
n
n
nn n
u
u
uu u
+
+
=Û=+
+
*
,n Î •
1
1
1;
n
n
vv
u
=Þ=
1
2,
nn
vv
+
=+
*
.n"Ε
( )
n
v
2.d =
( )
1
121,
n
vv n d n=+ - = -
*
.n"Ε
11
.
21
n
n
u
vn
==
-
()
n
u
1
1;u =
*
1
23, .
n
nn
uu n
+
=+"Ε
n
u
n
Trang 20
Hướng dẫn giải
Với mọi , ta có.
.
Xét dãy số với Ta có: Do đó, dãy số là một cấp số nhân có
công bội và số hạng đầu bằng .
Suy ra .
Vậy .
Bài 6. Cho dãy số xác định bởi: Tìm công thức số hạng
tổng quát theo .
Hướng dẫn giải
Với mọi , ta có.
.
.
dãy số là cấp số nhân có công bội và .
.
Bài 7. Cho dãy số (u
n
) xác định bởi: .
Xét dãy số với . Chứng minh dãy số là một cấp số cộng. Tìm số hạng
tổng quát của dãy số .
Hướng dẫn giải
Ta có thay vào hệ thức truy hồi ta có.
.
hay và . Suy ra dãy số là một cấp số cộng có và công sai .
*
n Î •
1
11
23 3 2(3)
nn n
nn n n
uu u u
+
++
=+Û -= -
(),
n
v
*
3, .
n
nn
vu n=- "Ε
1
2.
nn
vv
+
=
()
n
v
2.-
1
1
.2.
nn
n
vvq
-
==-
332.
nnn
nn
uv=+=-
()
n
u
*
11
2
34
1; , .
232
nn
n
uu u n
nn
+
+
æö
==- "Î
ç÷
++
èø
•
n
u
n
*
n Î •
11
423
23( )23( )
(1)(2) 2 1
nn nn
n
uu uu
nn n n
++
+
=- Û =+ -
++ + +
11
33 333
2( ) 3( ) ( ).
21 221
nnnn
uuuu
nn nn
++
Û-=-Û-=-
++ ++
3
(),
1
nn n
vv u
n
=-
+
3
2
q =
1
1
2
v =-
11
**
31 313
., ,
22 122
nn
nn
vnu n
n
--
æö æ ö æö
=-"ÎÞ=- "Î
ç÷ ç ÷ ç÷
+
èø è ø èø
••
1
*
1
3
53
,
31
n
n
n
u
u
un
u
+
=
ì
ï
-
í
=Î
ï
-
î
•
( )
n
v
1
,
1
n
n
n
u
v
u
+
=
-
*
.n"Ε
( )
n
v
( )
.
n
u
11
11
nn
nn
nn
uv
vu
uv
++
=Þ=
--
1
1
1
5. 3
11
1
1
3. 1
1
n
nn
n
n
n
v
vv
v
v
v
+
+
+
-
+-
=
+
-
-
-
1
1
12 8
12 4
nn
nn
vv
vv
+
+
++
Þ=
-+
1
12 8
24
nn
vv
+
++
Þ=
1
3
nn
vv
+
=+
1
2v =
( )
n
v
1
2v =
3.d =
Trang 21
Ta có .
Do đó . Thử lại thấy dãy số này thỏa mãn.
Vậy số hạng tổng quát của dãy số là .
Bài 8. Cho dãy số xác định bởi:.
.
Tìm công thức của số hạng tổng quát ?.
Hướng dẫn giải
Đặt .
Thay vào giả thiết:.
.
Ta có .
Đặt .
.
Ta có .
Suy ra.
.
1.3. PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC TRƯNG.
Bài 1. Cho dãy số xác định bởi Tìm .
Hướng dẫn giải
( ) ( )
1
123131.
n
vv n d n n=+ - =+ -= -
311 3
3113 2
n
nn
u
nn
-+
==
-- -
( )
n
u
3
32
n
n
u
n
=
-
*
.n Î •
()
n
u
1
*
1
4
1
(4412),
9
nn n
u
uu un
+
=
ì
ï
í
=+++ Î
ï
î
•
()
n
u
2
2
1
12 12, 0
2
n
nnnnnn
x
xuxuxu
-
=+ Þ=+ ³Þ=
22
1
22
1
*
1
11
1
( 4 4 )
292
(3 ) ( 4)
34,,0
nn
n
nn
nn n
xx
x
xx
xx nNx
+
+
+
--
=++
Û=+
Û=+"Î ³
1
11
3 4 3 3 4.3
nnn
nn n n
xx x x
+
++
-=Û - =
*
1
3 . 4.3 ,
nn
nnnn
yxyy nN
+
=Þ=+"Î
1
11
1
11
4(3 3 ... 3)
62.3
nn
n
n
n
yy
yy
-
+
+
+
Þ=+ +++
Û=-+
11
3 9 3 2.3
n
n
xyy=Þ =Þ =+
*
1
*
122
1
2 ,
3
141
(3 ),
233
n
n
n
nn
xnN
unN
-
--
=+ "Î
Þ= + + "Î
( )
n
u
12 2 1
1, 2, 2 , 1.
nnn
uu uuun
++
== =+ ³
1
lim
n
n
n
u
u
+
®+¥
Trang 22
Dễ thấy dãy đã cho là dãy số dương, do đó không có số hạng nào của dãy bằng 0. Từ công thức truy hồi
của dãy ta có .
Đặt , ta được dãy số .
Dễ thấy dãy là dãy số dương và . Do đó.
Vậy ta có .
Xét hàm số . Ta có Do đó có hai dãy con đơn điệu của dãy
và hai dãy con này đều bị chặn nên chúng có giới hạn. Giả sử và thì ta có
hệ.
.
Ta thấy chỉ có thỏa mãn và đây là giới hạn cần tìm.
Bài 2. Tìm số các dãy số thỏa mãn điều kiện: .
Hướng dẫn giải
Viết lại với .
Nhận xét: .
Vì vậy: .
Với tồn tại duy nhất a: và .
Lúc đó: ; .
Quy nạp ta được: .
.
Û .
Vì nên .
2
11
2,1.
nn
nn
uu
n
uu
+
++
=+ ³
1
,1
n
n
n
u
vn
u
+
=³
11
1
2, 2 , 1.
n
n
vv n
v
+
==+³
( )
n
v
2, 1
n
vn³"³
1
11 15 5
2,1.
222
n
nn
vn
vv
+
£Þ+ £Þ £ "³
5
2
2
n
v££
( )
15
2, 2;
2
fx x
x
éù
=+ Î
êú
ëû
( )
2
1
'0,.fx x
x
=- < "
( )
n
v
2
lim
n
n
av
®+¥
=
21
lim
n
n
bv
+
®+¥
=
1
12
2
12
11
2
1
ab
a
ab
b
ab
ab
b
ab
a
é
ì
==+
=+
ê
ï
=
é
ï
ÛÛ==-
ê
í
ê
=
ë
ê
ï
=+
=
ê
ï
î
ë
12ab==+
( )
n
u
2
1
2004
440, 1
1
2
nnn
uuu n
u
+
ì
+-="³
ï
í
=
ï
î
( ) ( )
1
41–
nnn n
uuufu
+
==
( ) ( )
41–fx x x=
( ) ( ) ( )
0;1 0;1 .fx xÎÞÎ
2004
u =
1
2
( ) ( ) ( ) ( )
2003 2002 1
0;1 0;1 0;1 .... 0;1 .uu uÎÞÎÞÎÞÎ
1
01u<<
0 a<<
2
p
2
1
u sin a=
222
2
(4–)12u sin a sin a sin a==
222
3
421– 2 4()u sin a sin a sin a==
21
(2 )
n
n
u sin a
-
==
n
11
os(2 )
22
c
a
-
2004
u =
1
2
2004
11
os(2 )
22
c
a
Û- =
1
2
2004 2004
2005
os(2 ) 0 2 (2 1), .
22
ckkkZ
pp
aapa
=Û = + Û = + Î
0 a<<
2
p
2003
2005
11
0(21) 2
2222
kk
pp
<+<Û-<<-
Trang 23
Do nên: .
Từ đó có tất cả giá trị u
1
thỏa bài toán: .
Do đó có tất cả dãy số thỏa điều kiện đã cho.
Bài 3. Cho là các nghiệm dương của phương trình được sắp theo thứ tự tăng
dần. Tính .
Hướng dẫn giải
Xét hàm số , với . Ta có => tăng từ
đến .
Suy ra: trong khoảng phương trình có nghiệm duy nhất .
với => => .
= = .
Bài 4. Cho dãy số xác định như sau: . Tìm điều kiện của
để dãy số có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó.
Hướng dẫn giải
Ta có: .
* Suy ra dãy số tăng; từ đó dãy số có giới hạn hữu hạn khi và chỉ khi dãy bị chặn trên.
Giả sử tồn tại , thì chuyển qua giới hạn hệ thức ta có:
.
- Nếu có chỉ số mà thì nên trái với kết quả .
Do đó: với mọi hay nói riêng
từ đó ta được .
* Đảo lại: Nếu .
.
và .
Bằng quy nạp ta chứng minh được (H/s trình bày ra).
Như vậy dãy tăng, bị chặn trên bới , do đó dãy có giới hạn hữu hạn.
kZÎ
2003
0;1; 2;...; 2 – 1k =
2003
2
22003
1
2005
sin (2 1) , {0;1;....;2 1}
2
ukk
p
éù
=+Î-
êú
ëû
2003
2
( )
n
u
12
,,...,,...
n
xx x
tan xx=
( )
1
lim
nn
n
xx
-
®+¥
-
( ) tanfx x x=-
;
22
xkk
pp
pp
æö
Î- + +
ç÷
èø
2
1
'( ) 1 0
os
fx
cx
=-³
()fx
-¥
+¥
;
22
kk
pp
pp
æö
-+ +
ç÷
èø
tan xx=
k
x
kk
xyk
p
=+
;
22
k
y
pp
æö
Î-
ç÷
èø
tan tan
nnn
yxyn
p
==+®+¥
lim
2
n
n
y
p
®+¥
=
( )
1
lim
nn
n
xx
-
®+¥
-
( ) ( )
( )
( )
1
lim 1
nn
n
yn y n
pp
-
®+¥
+- +-
( )
1
lim
nn
n
yy
pp
-
®+¥
+- =
()
n
u
1
22
1
2014
(1 2 ) 1, 2, ...
nn n
u
uu auan
+
=
ì
í
=+- +"=
î
a Î !
()
n
u
2
11
( ) 0 ; 1,2,3,...
nnn n n
uuua u un
++
-= - ³Þ ³ "=
()
n
u
()
n
u
lim ( )
n
uLL=Î!
22
1
(1 2 )
nn n
uu aua
+
=+- +
22
(1 2 )LL aLa La=+- +Û=
*
k Î •
k
ua>
;
n
uank>"³
La>
lim
n
uLa==
k
ua£
1, 2,...k =
22
(1 2 ) , 1, 2,3,...
nn
uauaan-- + £ "=
22
11
(1 2 )uauaa-- + £
1
112014auaa aÛ-£ £Û-£ £
2014 2015a££
1
2014 2015 1aaua££ Û-£ £
22
11 1 1 2
(1)()0 (12) 0ua ua u aua a u aÞ-+ -£Þ+- +-£Þ£
12 2
1uu a u a£Þ-££
1,1,2,3,...
n
auan-£ £ "=
()
n
u
a
()
n
u
Trang 24
Kết luận: Với điều kiện thì dãy số có giới hạn hữu hạn và .
Bài 5. Cho hai dãy số và được xác định như sau:.
, ; , .
Chứng minh rằng và có cùng giới hạn, tìm giới hạn đó.
Hướng dẫn giải
Bằng quy nạp, ta chứng minh rằng:.
; (2).
Từ (1), (2) tồn tại và .
Ngoài ra: .
.
Vậy hai dãy có cùng giới hạn chung là .
Bài 6. Cho dãy số (x
n
) thỏa mãn: . Chứng minh dãy số trên có giới hạn.
Hướng dẫn giải
*) Ta chứng minh với mọi n 1 (1).
Thật vậy: đúng.
Giả sử (1) đúng với .
= .
.
2014 2015a££
()
n
u
lim
n
ua=
( )
n
a
( )
n
b
11
2, 1ab==
1
2.
nn
n
nn
ab
a
ab
+
=
+
11
.
nnn
bab
++
=
1, 2,n =…
( )
n
a
( )
n
b
( )
2 .sin
2 .3
1
sin .cos
3 2 .3
n
n
n
n
a
p
pp
=
2.sin
2 .3
sin
3
n
n
n
b
p
p
=
lim
n
n
a
®+¥
lim
n
n
b
®+¥
2 .sin
23
2 .3 3
lim lim
9
sin .cos sin
3 2 .3 3
n
n
n
nn
n
a
pp
p
pp p
®¥ ®¥
===
23
lim lim . lim cos
2 .3 9
nn
n
nnn
ba
pp
®¥ ®¥ ®¥
==
{ } { }
,
nn
ab
23
9
p
1
2
1
2
1
2
; n 1
n
nn
x
x
xx
n
+
ì
=
ï
ï
í
ï
=+ "³
ï
î
2
n
xn+
( )
1
2
nn+
³
³
1n =
³
2
1:
k
xk+
( )
1
2
kk+
³
( ) ( )
2
22
1
2
11
k
kk
x
xk x k
k
+
Þ++=+++
( )
( )
2
2
2
1
k
k
x
xk k
k
+++
( )
( )
2
1
1
11
22
kk
k
k
k
+
+
æö
³- ++
ç÷
èø
( ) ( )
2
31 1
2
2
kkk++
³-
Trang 25
(đpcm).
*) Ta chứng minh có giới hạn.
NX: tăng và với mọi .
Ta có với mọi 1.
Vậy có giới hạn.
Bài 7. Tam giác mà 3 đỉnh của nó là ba trung điểm của ba cạnh tam giác được gọi là tam giác
trung bình của tam giác .
Xây dựng dãy các tam giác sao cho tam giác là một tam giác đều
cạnh bằng 1 và với mỗi số nguyên tam giác là tam giác trung bình của tam giác
. Với mỗi số nguyên dương , kí hiệu tương ứng là bán kính của đường tròn ngoại tiếp
tam giác . Chứng minh rằng dãy số là một cấp số nhân. Hãy xác định số hạng tổng quát của
cấp số nhân đó?.
Hướng dẫn giải
+ là một cấp số nhân với công bội và số hạng đầu .
+ Số hạng tổng quát: .
Bài 8. Cho dãy số được xác định bởi: và với mọi Xét dãy số
mà: với mọi .
a) Chứng minh rằng dãy số là một cấp số cộng. Hãy xác định số hạng đầu và công sai của cấp số
cộng đó.
b) Cho số nguyên dương . Hãy tính tổng số hạng đầu tiên của dãy số theo . Từ đó, hãy suy
ra số hạng tổng quát của dãy số .
Hướng dẫn giải
a) Từ giả thiết là một cấp số cộng với số hạng đầu và công sai .
b) + Tổng số hạng đầu của dãy là: .
+ Số hạng tổng quát của dãy là: .
Bài 9. Cho dãy số được xác định bởi .
( )
31
1
22
k
k
k
+
æö
+
³-
ç÷
èø
( )( )
12
2
kk++
³
( )
n
x
( )
n
x
0
n
x >
n
( )
2
1
11 1 2
1
nn n
xx xn nn
+
-= £
++
1
11 1
21 2
n
xx n
æö
Þ-£ - <
ç÷
èø
1
22
n
xÞ<
-
n
³
( )
n
x
.ABC
111
,ABC
222
,ABC
333
,....ABC
111
ABC
2,n ³
nnn
ABC
111nnn
ABC
---
n
n
r
nnn
ABC
( )
n
r
( )
n
r
1
2
q =
1
1
.
3
r =
1
1
.
3.2
n
n
r
-
=
( )
n
a
1
1a =
1
21
nn
aan
+
=+-
1.n ³
( )
n
b
1nn n
ba a
+
=-
1n ³
( )
n
b
N
N
( )
n
b
N
( )
.
n
a
( )
21
nn
bn bÞ= -Þ
2.d =
N
( )
n
b
2
.
N
SN=
( )
n
a
2
2 2.
n
an n=-+
( )
n
u
123
22
13 12
23
1, 2, 40
10 . 24 .
4, 5 , 6,...
.
nn nn
n
nn
uuu
uu uu
un
uu
-- --
--
=- = =
ì
ï
-
í
="=
ï
î
Trang 26
Tìm số nhỏ nhất để chia hết cho 2048.
Hướng dẫn giải
Từ công thức truy hồi cuả dãy , đặt , thì dãy ( )
xác định bởi .
Phương trình đặc trưng : , từ đó suy ra : .
.
Do là số là số lẻ nên .
.
Vậy là giá trị cần tìm thỏa mãn điều kiện bài toán.
1.6. SỬ DỤNG PHÉP THẾ LƯỢNG GIÁC
Bài 1. Cho dãy số định bởi . Tính .
Hướng dẫn giải.
Tính đúng .
.
Từ ta viết được .
Theo quy nạp từ và .
Vậy .
n
n
u
2
13 2 1 2
123 23
10 . 24. 10 24
.
nnn n n n
nnn nn
uuu u u u
uuu uu
-- - - -
--- --
-
==-
1
n
n
n
u
v
u
-
=
n
v
23
12
2, 20
10 24 , 4,5 ,6...
nn n
vv
vv vn
--
==
ì
í
=- =
î
2
10 24 0xx-+=
11
64
nn
n
v
--
=-
(1)
112 2
2
12 2
...... 2 (3 2).(3 2)...(32)
nn
nnn n
nnnn
uvvv v
-
--- -
--
==---
112 2
(3 2 ).(3 2 )...(3 2)
nnn n--- -
---
(1)
2
2048 2 2048
nn
n
u
-
Û!!
(1)
11 6
2
nn
n
-
Þ³Û³
( )
n
U
( )
( )
1
1
3
*
21
;1,2,3,...
11 2
n
n
n
U
U
Un
U
+
ì
=
ï
ï
+-
í
==
ï
+-
ï
î
2013
U
tan 2 1
8
p
=-
2
2. tan
8
1 tan tan 2 tan 2 1
48 8
1 tan
8
p
pp p
p
æö
== = Þ=-
ç÷
èø
-
( )
*
( )
1
tan
8
1
1.tan
8
n
n
n
U
U
U
p
p
+
+
=
-
( )
1
1
3U =
( )
tan 1 .
38
n
Un
pp
éù
Þ= +-
êú
ëû
2013
6047
tan 2013. tan
38 24
U
pp p
æöæö
=+ =
ç÷ç÷
èøèø
Trang 27
Bài 2. Cho dãy số xác định như sau: . Tính .
Hướng dẫn giải.
Ta có: .
Nên từ giả thiết ta có: .
Đặt , suy ra .
Theo quy nạp ta dễ dàng suy ra: .
Suy ra: .
.
1.7. CÁC DẠNG KHÁC
Bài 1.
a/Tìm sao cho hệ có nghiệm.
b/Với tìm được ở câu a/,hãy xác định tập hợp tất cả các giá trị của tổng:.
với và .
HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu a.
( )
( )
1
*
1
2
23
132
n
n
n
u
u
un
u
+
=
ì
ï
+-
í
=Î
ï
+-
î
•
2014
u
tan tan
31
34
tan tan 2 3
12 3 4
13
1 tan tan
34
pp
ppp
pp
-
-
æö
=-= ==-
ç÷
+
èø
+
1
tan
12
1.tan
12
n
n
n
u
u
u
p
p
+
+
=
-
1
2tan tanu
aa
=Þ=
2
tan tan
12
tan
12
1tan.tan
12
u
p
a
p
a
p
a
+
æö
==+
ç÷
èø
-
( )
*
tan 1 ,
12
n
unn
p
a
æö
=+- "Î
ç÷
èø
•
2014
tan 2013. tan 168
12 4
u
pp
aap
æöæ ö
=+ =+-
ç÷ç ÷
èøè ø
tan tan
1
4
tan
43
1tan.tan
4
p
a
p
a
p
a
-
æö
=-= =
ç÷
èø
+
*
pNÎ
1
1
1
1
4
4
0, 1,
p
i
i
p
i
i
x
x
xip
=
-
=
ì
=
ï
ï
ï
=
í
ï
ï
>"Î
ï
î
å
å
p
2
1
1
p
i
i
i
a
a
=
-
å
0
i
a >
2
1
1
p
i
i
a
=
=
å
Trang 28
Do: .
:Khi đó: . Vậy hệ có nghiệm.
:Chọn và có nghiệm. Nên là nghiệm của hệ.
: có nghiệm. Nên là nghiệm của hệ.
:Vô nghiệm.
Vậy hệ có nghiệm khi .
Câu b
Ta có: .
Xét hàm: . Ta có: .
Do đó: Dấu đẳng thức xảy ra khi: .
vì . Dấu đẳng thức
xảy
ra khi ,
liên tục trên . Khi thì .Vậy , tập giá trị là:
.
:Chọn .Thỏa giả thiết:.
liên
tục trên ;
.Vậy tập giá trị là: .
Chọn thỏa giả thiết:
với ;
liên tục trên ; .Tập giá trị là: .
2
11
1
16 . 4
pp
i
ii
i
xpp
x
==
æö
æö
=³Þ£
ç÷
ç÷
èø
èø
åå
4p =
1, 41,
i
xiÎ=
3p =
1
1x =
23
23
3
.1
xx
xx
+=
ì
í
=
î
( )
123
,,xx x
2p =
12
12
4
.1
xx
xx
+=
ì
í
=
î
( )
12
,xx
1p =
2, 3 , 4ppp===
( )
12
,,...,
p
faa a =
2
2
1
1
(1 )
p
i
i
i
a
aa
=
-
å
( )
( )
( )
2
1
3
01;
1
,0xgx x x x g x
¢
=- << Û==
(0;1)
2
max ( )
33
gx=
( )
12
,,...,
p
faa a
2
1
33 33
.
22
p
i
i
a
=
³=
å
1 hay p = 3.
3
p
=
( )
12
22
21
12
12
1
2, 22: 2
.
p
aa
aa
a
f
a
aa +³ ³==
22
12
1aa+=
12
1
2
aa==
2
1
1
12
22
11
1
(, )
1
a
a
faa
aa
-
=+
-
( )
0;1
1
0a ®
12
(, )faa ®+¥
2p =
)
22; .
é
+¥
ë
3p =
123
1
1 2 ; a ; a , 0<x<
2
ax xx=- = =
222
123 123
12
1 2 1. f(a , , ) ( )
211
xx x
aaa xxx aa gx
xxx
-
++=-++= = + + =
--
1
(0; )
2
0
133
, limg(x)=+
32
x
g
®
æö
=¥
ç÷
èø
33
;
2
éö
+¥
÷
ê
÷
ëø
( )
12
4 : , ,...,
33
.
2
p
pfaaa= >
1234
12 ; a ; a , a ax xxx=- = = =
2222
1234
13 1aaaa xxxx+++=-+++=
1
0<x<
3
1234
12
f(a , , , ) ( )
2111
xx x x
aaa gx
xxxx
-
=+++=
---
1
(0; )
3
1
0
3
33
lim g(x)= ; limg(x)=+
2
x
x
®
®
¥
33
;
2
éö
+¥
÷
ê
÷
ëø
Trang 29
Bài 2. Kí hiệu là tập hợp các đa thức bậc dạng: . Chứng minh:
.
HƯỚNG DẪN GIẢI
Xét đa thức Trêbưsép .
Chứng minh là đa thức bậc có hệ tử bậc là .
Chứng minh bằng quy nạp dựa vào công thức: .
Do đó: . Ta có . Nếu tồn tại sao cho ,.
. Lúc đó ta xét đa thức bậc nhỏ hơn hay bằng , đổi dấu
lần tại các điểm , .
Do đó . Vậy .
Bài 3. Cho dãy số không âm thỏa mãn ,
và , .
Chứng minh rằng là số nguyên với mọi nguyên tố lớn hơn hoặc bằng .
HƯỚNG DẪN GIẢI
Viết lại đẳng thức trong đầu bài về dạng
.
Từ không âm dẫn đến , với mọi .
Biến đổi về ,.
Bài 4. Cho dãy số dương thoả mãn: với mọi số tự nhiên . Chứng minh rằng
dãy {x
n
} hội tụ.
Hướng dẫn giải
Đặt .
Từ (1) và (2) suy ra .
Với tuỳ ý, khi đủ lớn, ta có .
Nếu thì .
Nếu thì .
Mà .
n
H
n
1
i
0
( ) , a
n
ni
i
i
fx x ax R
-
=
=+ Î
å
[ ]
{ }
1
1;1
1
min max | ( ) |
2
n
n
fH
x
fx
-
Î
Î-
=
( ) ( )
cos .arccosTx n x=
n
n
–1
2
n
( ) ( )
cos cos 1 2cos . cos 1nt n t t n t+-= -
1
()
2
n
n
Tx
H
-
Î
11
() 1
max
22
nn
Tx
--
=
( )
n
fx HÎ
1
1
()
2
n
fx
-
£
[ ]
1; 1x"Î-
( ) ( )
gx f x=-
–1n
1n +
cos
k
n
p
0,k n=
1
1
max ( )
2
n
fx
-
³
[ ]
{ }
1
1;1
1
min max | ( ) |
2
n
n
fH
x
fx
-
Î
Î-
=
( )
n
x
1
0x =
( )
( )
( )
2
212222
11
12412293632
nnn
nn nn
nx nx nx nx
+-
++
++++++=++
1n"³
n
x
5
( ) ( )
2
2
1
1
12236
n
nn
n x nx
-
+
éù
+++=+
ëû
n
x
( )
1
1
12236
n
nn
nx nx
-
+
+++=+
n
( )
( )
1
1
122322
nn
nn
nx nx
-
+
+-+=-+
{ }
n
x
12
2
nn n
xx x
++
+>
1n ³
{ }
1
max ; .
nnn
yxx
+
=
1
0;
nn
yy
+
³>
*
n"Ε
n
lim(y )aÞ$ =
n
0
n
ya
e
>-³
n
ya>
0
nn
yaxa
e
>-³->
n
xa£
111nnn
xayx
+--
<£ =
11
22
nn n
xx x a
-+
+> >
1
2
nn
xx a
-
Þ+ >
n1
x2 .
n
aaxa
e
-
Þ> > - >-
Trang 30
Tóm lại, cả hai trường hợp đều dẫn đến .
Vậy dãy số {x
n
} hội tụ.
Bài 5. Cho phương trình với là số nguyên dương. Gọi là nghiệm dương của
phương trình. Dãy số được xác định như sau:.
.
Chứng minh rằng tồn tại vô hạn số tự nhiên sao cho chia hết cho .
Hướng dẫn giải
Đầu tiên ta chứng minh là số vô tỉ. Thật vậy, nếu là số hữu tỉ thì là số nguyên (do hệ số cao nhất
của là 1) và là ước của 1. Do đó suy ra , trái giả thiết.
Do đó .
.
.
(1). Lại có , suy ra .
(do (1)).
Vậy . Từ đó bằng quy nạp ta có với mọi , thì
(2).
Chọn , , từ (2) ta có .
Vậy chia hết cho , .
Bài 6. Cho dãy với n > 0 được xác định bởi:.
a) Chứng minh chia hết cho với mọi giá trị nguyên dương của .
b) Đặt . Chứng minh tồn tại vô số số nguyên dương để 2015 là một ước của .
Hướng dẫn giải
a) Ta có .
Dễ thấy với Bằng quy nạp ta chứng minh dãy trùng với dãy .
Thật vậy:.
n
xa
e
-<
2
10xx
a
--=
a
b
( )
n
x
0
,x
a
=
[ ]
1
,
nn
xx
b
+
=
0,1, 2, 3 ,...n =
n
n
x
a
b
b
b
2
x
b
0
a
=
[ ] [ ]
111
1
nnn
xxx
bbb
---
<< +
1
1
nnn
xxx
b
-
Û< <+
1
1
nn
n
xx
x
bbb
-
Þ< <+
11
1
n
nn
x
xx
bb
--
Þ-<<
1
1
n
n
x
x
b
-
éù
Þ=-
êú
ëû
2
10
bab
--=
1
ba
b
=+
n
nn
x
xx
ba
b
Þ=+
1
n
nn
x
xx
a
b
+
éù
Þ= +
êú
ëû
1
1
n
nnn
x
xxx
aa
b
-
éù
=+ =+-
êú
ëû
11
1 (mod )
nn
xx
a
+-
º-
*
k Î •
21,nk³+
1(21)
( 1) (mod )
nnk
xx k
a
+-+
º-+
( )
*
1 kll
a
+= Ε
12nl
a
+=
20
0 (mod )
l
xxl l
a
aa a a
º- =- º
2l
x
a
a
*
.l"Ε
( )
n
a
12 3 4
4321
1; 2; 6; 12
2a 2a 1
++++
== = =
ì
í
=+--"³
î
nnnnn
aa a a
aaan
n
a
n
n
=
n
n
a
b
n
n
.
n
b
1
1;b =
2
1;b =
3
2;b =
4
3b =
nn
bF=
1; 2;3; 4.n =
( )
n
b
( )
n
F
Trang 31
Mệnh đề đúng với Giả sử mệnh đề đúng đến . Khi đó ta có:.
.
Dùng công thức của dãy Fibonaci : ta dễ dàng biến đổi vế phải thành .
suy ra .
Vậy mệnh đề đúng với , do đó nó đúng với mọi nguyên dương.
Điều đó chứng tỏ luôn chia hết cho với mọi nguyên dương.
b) Gọi là số dư của cho 2015 với .
Trước tiên ta chứng minh là một dãy tuần hoàn. Thật vậy: Ta có
.
Vì có vô hạn các cặp ., nhưng chỉ nhận hữu hạn giá trị khác nhau nên tồn tại ít
nhất hai phần tử của dãy trùng nhau. Ta giả sử là (với là một số nguyên
dương).
Ta chứng minh tuần hoàn với chu kỳ .
+) Ta có: .
.
Tiếp tục như vậy ta chứng minh được: với mọi (1).
+) Ta có: .
.
.
Bằng quy nạp ta chứng minh được: với (2).
Từ (1) và (2) suy ra là một dãy tuần hoàn.
Bổ sung vào dãy phần tử thỏa mãn suy ra .
Khi đó dãy là dãy tuần hoàn bắt đầu từ phần tử đầu tiên Do đó tồn tại vô số phần tử trong dãy
bằng 0.Như vậy câu b) được chứng minh xong.
Bài 7. Cho dãy số được xác định như sau: Chứng minh
rằng khi và chỉ khi .
Hướng dẫn giải
Công thức tổng quát .
1; 2;3; 4.n =
3n +
( ) ( ) ( ) ( )
4321
423 221 .
nnnnn
nb nF nF nFnF
++++
+=+++-+-
21mmm
FFF
++
=+
( )
4
4
n
nF
+
+
44
.
nn
bF
++
=
4n +
n
n
a
n
n
n
r
n
b
1; 2; 3 . . .n =
( )
n
r
( )
21 21
mod 2015 .
nnnnnn
bbbrrr
++ ++
=+Þº+
( )
12
;,rr
( )
23
;,rr
( )
1
;
nn
rr
+
( ) ( )
11
;;
mm mT mT
rr r r
++++
=
T
( )
n
r
.T
( )
21
mod 2015 ;
mmm
rrr
++
º+
( )
21
mod 2015
mT mT mT
rrr
++ ++ +
=+
( )
22
mod 2015
mmT
rr
+++
Þº
22
.
mmT
rr
+++
Þ=
mk mT k
rr
+++
=
0.k ³
( )
11
mod 2015 ;
mmm
rrr
-+
º-
( )
11
mod 2015
mT mT mT
rrr
+- ++ +
º-
( )
11
mod 2015
mmT
rr
-+-
Þº
11
.
mmT
rr
-+-
Þ=
mk mT k
rr
-+-
=
1; 2;3;...; 1.km=-
( )
,0
n
rn>
( )
n
b
0
0b =
01 2
bbb+=
0
0.r =
( )
n
r
0
0.r =
( )
n
r
( )
n
u
0
0,u =
1
1,u =
21
2,
nnn
uuu
++
=+
0,1, 2,...n =
2014
2
n
u
2014
2 n
( ) ( )
( )
1
12 12
22
nn
n
u =+--
Trang 32
Đặt .
Ta có , .
Đặt . Khi đó ta được dãy được xác định như sau:
.
Do nên bằng quy nạp ta được: hay
.
Do đó .
Giả sử , trong đó đều lẻ.
Bài 8. Cho dãy số . Chứng minh có nhiều nhất 1 số hạng của
dãy là số chính phương.
Hướng dẫn giải
So sánh đồng dư của , và theo modun 4 ta có (chú ý ).
0
1
2
3
3
0
3
2
2
3
2
3
Một số chính phương khi chia 4 có số dư là 0 hoặc 1.
Vì vậy từ số hạng thứ 3 trở đi, dãy không có số chính phương nào.
Nếu cả và đều chính phương, giả sử ,.
suy ra .
Hơn nữa khi phân tích 2019 thành tích chỉ có 2 cách .
Trường hợp 1: , vô lí do 1009 không là lập phương.
Trường hợp 2: , vô lí do 335 không là lập phương.
Vậy điều giả sử sai, nghĩa là dãy trên có nhiều nhất 1 số chính phương.
Bài 9. Cho dãy thỏa mãn các điều kiện sau : . Tìm .
( )
12 ,
n
a+=
( )
( )
12 1
n
n
bab-=Þ=-
( )
1
22
n
uab=-
( )
( )
22
2
1
22
nn
uabuab=-=+
( ) ( )
12 12
nn
n
Sab=+= + +-
( )
n
S
1
2,S =
2
6,S =
21
2S ,
nnn
SS
++
=-
1, 2,...n =
( )
1
2mod4,S º
( )
2
2mod4S º
( )
2mod4
n
S º
( ) ( )
2mod4 2, ,2 1ab ab tt+º Þ+= =
( )
2
2., ,2 1
nn
uutt==
( )
2.
2., ,2 1 2. .
k
kk
ntk
t
ntt uu uA==Þ==
,
tk
uA
( )
*
1
:,
n
aaÎ •
3
1
2019,
nn
aa
+
=+
*
n"Ε
n
a
1n
a
+
2n
a
+
( )
2019 3 m od 4º
n
a
1n
a
+
2n
a
+
1
a
2
a
2
1
,aa=
2
2
ab=
26
2019ba=+
( )( )
33
2019ba baÛ- + =
2019 1.2019 3.673==
3
3
1
2019
ba
ba
ì
-=
ï
í
+=
ï
î
3
1010
1009
b
a
=
ì
Û
í
=
î
3
3
3
673
ba
ba
ì
-=
ï
í
+=
ï
î
3
338
335
b
a
=
ì
Û
í
=
î
( )
n
u
2
3
9999
{0;1}
0
0
3333
n
mn m n
uN
uuu
u
u
u
+
Î
ì
ï
--Î
ï
ï
=
í
ï
>
ï
ï
=
î
2013
u
Trang 33
Hướng dẫn giải
Ta có : .
Bằng quy nạp ta chứng minh được , với mọi .
Ta có: .
.
Ta chứng minh rằng nếu thì (1).
Thật vậy:.
Với thì (1) đúng.
Ta có .
Giả sử, tồn tại , mà , điều này chứng tỏ, với mọi
thì . Điều này mâu thuẫn với .
Vậy, với thì .
Do đó .
Bài 10. Cho dãy số xác định bởi:
. Tìm chẵn thỏa mãn
và là lập phương của 1 số tự nhiên.
Hướng dẫn giải
Nhận xét thấy :.
.
Khi đó, giả sử : .
Cần chứng minh: (1) thật vậy ta có.
.
= suy ra (1) đúng.
.
Khi đó , giả sử tồn tại chẵn để là lập phương của 1 số tự nhiên:.
Khi đó . Mặt khác chẵn suy ra lẻ suy ra khi đó đặt.
({0;1})
mn m n
uuu
ee
+
=++ Î
12 1 2
...
...
kk
nn n n n n
uuuu
+++
³+++
12
,,...,
k
nn n
211 1
0uuu u³+Þ=
321 3
01uuu u
ee
=++=+Þ=
3333n <
3n
un=
1n =
33
.,
n
ununn³="
0
3333n <
0000
303(1)33330
1
nnnn
unu u uun
++
>Þ = ³ +>+
0
nn³
3n
un>
9999
3333u =
3333n <
3
.
n
un=
2013
671u =
n
x
2
12 1 1
17 1
5; ; . 2 4
24
nnnn
xx x xx x
+-
== = --
n
*nNÎ
[ ]
3
n
x +
11 2 1
11 2 1
21 2 1
12
21 2 1
44
2;2 ;
22
xx
--
--
++
++
=+ = +
1
1
21
21
4
2;*.
2
n
n
n
xnkkN
-
-
+
+
=+"£Î
21
1
21
4
2.
2
k
k
k
x
+
+
+
=+
12 1
12 1
22121221
11
21 2 1 21
11444
2 4 (2 )(2 ) 2( 2 ) 4
44
22 2
kk k
kk k
kkkk
xxxx
-- -
-- -
++ +
+-
++ +
=--=+ +-+-
21
21
4
2
2
k
k
+
+
+
Þ
1
1
21
21
4
2*
2
n
n
n
xnN
-
-
+
+
=+"Î
[ ]
1
21
32 3
n
n
x
-
+
+= +
n
[ ]
3
n
x +
1
21 3
23
n
c
-
+
+=
n
1n -
1
213
n-
+ !
Trang 34
mà nên:.
(2). Giải hệ (2) ta được hệ không có nghiệm nguyên với mọi suy ra
không tồn tại n chẵn.
Vậy không tồn tại chẵn để là lập phương của một số tự nhiên.
Bài 11. Cho dãy số được xác định như sau: Chứng minh
rằng khi và chỉ khi .
Hướng dẫn giải
Công thức tổng quát .
Đặt .
Ta có , .
Đặt . Khi đó ta được dãy được xác định như sau:
.
Do nên bằng quy nạp ta được: hay
.
Do đó .
Giả sử , trong đó đều lẻ.
Từ đẳng thức này ta được khi và chỉ khi .
Bài 12. Cho dãy số thực được xác định như sau: . Chứng minh rằng:
( kí hiệu là phần nguyên của số thực ).
Hướng dẫn giải
Ta chứng minh rằng: , với .
, quy nạp .Với đúng giả sử đúng đến . Tức là . Từ đó suy
ra.
.
1
21 3
22
n
k
-
+
=
Þ
33
23
k
c+=
Þ
( )( )
22
2.223
kkk
ccc-++=
22
.2 2 2
kk k
cc c++>-
22
21; .22 3
kkk
ccc-= + + =
n
[ ]
3
n
x +
( )
n
u
01 2 1
0, 1, 2 , 0,1, 2,...
nnn
uuu uun
++
== = + =
2014
2
n
u
2014
2 n
( ) ( )
( )
1
12 12
22
nn
n
u =+--
( ) ( )
( )
12 ,12 1
nn
n
abab+=-=Þ=-
( )
1
22
n
uab=-
( )
( )
22
2
1
22
nn
uabuab=-=+
( ) ( )
12 12
nn
n
Sab=+= + +-
( )
n
S
12 2 1
2, 6, 2S , 1, 2,...
nnn
SS S Sn
++
== = - =
( ) ( )
12
2mod4, 2mod4SSºº
( )
2mod4
n
S º
( ) ( )
2mod4 2, ,2 1ab ab tt+º Þ+= =
( )
2
2., ,2 1
nn
uutt==
( )
2.
2., ,2 1 2. .
k
kk
ntk
t
ntt uu uA==Þ==
,
tk
uA
2
k
n
{ }
n
x
1
1
1
1
,1
2
nn
n
x
xx n
x
+
=
ì
ï
í
=+ "³
ï
î
[ ]
625
25 625x =
[ ]
x
x
1
,1
8
nn
nnxnHn£<+"³
11
1
2
n
H
n
=+ + +!
22
1
2
1
1
4
nn
n
xx
x
+
=+ +
2
1
1x =
2
n
xn³
1n =
n
2
n
xn³
2
1
2
1
11
4
nn
n
xn n nxn
x
+
³++ >+Þ ³
Trang 35
.
Việc tiếp theo ta chứng minh . Ta có BĐT thật vậy,.
Xét hàm số .
hàm số giảm trên khoảng.
, ta suy ra áp dụng.
.
Từ đó: .
2. MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH CHẤT CỦA DÃY SỐ.
Bài 1. Cho cấp số cộng với là số nguyên dương thoã mãn . Tính
tổng: .
Hướng dẫn giải
Dễ dàng chứng minh được số hạng tổng quát của cấp số cộng là .
Khi đó.
.
Bài 2. Cho dãy số thực được xác định bởi.
.
. Tìm tất cả các giá trị của
để với mọi số tự nhiên .
Hướng dẫn giải
Giả sử với .
Từ có .
( )
11
22 2
11
22
11
1
1111
11
444
nn
nn
kk
nk
xx x n n
xxk
--
-
==
-
=+ +==+-+ £+
åå
!
2
11 1
48
8
nnnn
nH n H nxnH
n
æö
<+ < + Þ £+
ç÷
èø
625
8H <
1ln
n
Hn£+
( ) ( )
111
ln 1 ln ln 1
11
fx x x
xxx
æö
=+--=+-
ç÷
++
èø
0x">
( )
( )
( )
2
11
0, 0
1
1
fx x
xx
x
¢
=- + < " >
+
+
( )
fx
( )
0; +¥
( )
0, 0fx xÞ>">
( ) ( )
1
ln 1 ln *
1
xx
x
<+-
+
11
11ln2ln1ln3ln2ln625ln6241ln6258
2625
++ + <+ - + - + + - =+ <!!
625 625
1
625 625 625 626
8
xH£<+<
Þ
[ ]
625
25 625x =
( )
n
u
n
2013 2014
2013; 2014uu==
12 23 20132014
11 1
....S
uu u u u u
=+++
( )
n
u
n
un=
12 23 20132014
11 1 11 1
.... ...
1.2 2.3 2013 2014
1111 1 1 1006 503
...
2334 20132014 20141007
S
uu u u u u
=+++ =++
+
=-+-++ - = =
( )
n
x
( )
0
2
1
21
nn
xa
n
xx
+
=
ì
ï
"Î
í
=-
ï
î
•
a
0
n
x <
n
0
n
x <
n"Ε
2
21
210
nn
xx
++
=-<
1
2
0
2
n
x
+
-< <
Trang 36
Lại từ có .
Suy ra và .
Từ đó .
Áp dụng liên tiếp bất đẳng thức này, ta có:.
.
Mà nên phải có .
Thử lại với thì .
Vậy là giá trị duy nhất cần tìm.
Bài 3. Cho dãy số xác định bởi . Tìm để là số chính
phương.
Hướng dẫn giải
Từ công thức truy hồi của x
n
ta có.
.
Vậy là số chính phương.
Giả sử n là số thỏa mãn là số chính phương.
Đặt .
Ta có .
Khi đó ta tìm được a = 201, b=1 thì .
Với a = 85, b =82 thì .
2
2
210
2
n
x-< -<
222 1
1,
22 4
nn
xxn
--
-<< Þ-<<-"Ε
13
24
n
x ->
1
1,
2
n
xn+<"Ε
22
1
1111131
21 2 2 . ,
2242222
nn nnnn
xx xxxxn
+
+= -+= -= - +> + "Ε
2
01 2
112121 212
... ,
223232 323
nn
n
ax x x x n
æö æö æö
+= +< +< +<< +< "Î
ç÷ ç÷ ç÷
èø èø èø
•
2
lim 0
3
n
n®+¥
æö
=
ç÷
èø
11
0
22
aa+=Þ=-
1
2
a =-
1
0,
2
n
xn=- < "
1
2
a =-
( )
n
x
01
21
20 ; 30
3,
nnn
xx
xxxn
++
==
ì
í
=-"Î
î
•
n
1
.1
nn
xx
+
+
( )
( )
11 1
11
11
1
1
22 2 2
112
22 22
11 11
22 2
211 02
22
1
22
1
,3 3
à 3 3
ra ... 500
3500
3500
nn n n n
nn n nn
nn
nn
nn
nn n n n n
nn n n nn
nn nn
nn
nn
nxxxxxxxx xxx
vx x x x x x x x x x x
Suy x x x x x x x x x
xxxx
xx xx
x
++ +
++
+
+
+
+++
++ +-
++-
+
+
"Î + - = + - = -
+- = - +=-
-=- ==-=-
Þ+- =-
Û+= -
Û
•
( )
1
2
1
500
nn
nn
xxx
+
+
-= -
1
500
nn
xx
+
-
1
500
nn
xx
+
-
22
11
500 , 1 , , ,
nn nn
xx bxx aab ab
++
-= += Î >•
( )( )
22
501 1.501 3.167ab abab-= Û- += =
1
12600 2
nn
xx n
+
=Þ=
1
7224
5
nn
xx n
+
=Þ$
Trang 37
Vậy n = 2 thì là số chính phương.
Bài 4. Dãy số xác định như sau: . Chứng minh rằng
.
Hướng dẫn giải
Ta có: . (1).
Do .
Từ đó bằng phép quy nạp ta suy ra là dãy đơn điệu tăng thực sự, và u
n
nhận giá trị nguyên dương
lớn hơn hoặc bằng với mọi .
Ta viết lại điều kiện truy hồi xác định dãy số dưới dạng sau đây:.
(2).
Từ đó dẫn đến: Bây giờ từ (3), ta có:.
.
Từ (4) suy ra bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với.
.
(ở đây ). Ta sẽ chứng minh (5) đúng với mọi . Khi đó nó sẽ đúng với .
Do nguyên dương với mọi , (5) tương đương.
(6).
Xét khi . Theo (2), ta có: .
Vì thế theo giả thiết quy nạp suy ra:.
.
Như thế với , ta thu được:.
.
Từ (8) suy ra (6) đúng với mọi .
Vì vậy (5) đúng . Ta có điều phải chứng minh!.
1
.1
nn
xx
+
+
( )
n
u
1
2
1
2
1, * .
nnn
u
uuu n
+
=
ì
í
=-+"Î
î
•
2015 2016
2016
22
1
111
11
22
k
k
u
=
-< <-
å
1
–
nn
uu
+
=
2
n
u
( )
2
–2 1 – 1
nn
uu+=
1
2u =
Þ
21
–1uu=
Þ
21
uu>
( )
n
u
2
1, 2,....n =
1
–1
n
u
+
=
2
n
u
( )
––1
nnn
uuu=
1
1111
1(1) 1
nnnnn
uuuuu
+
==-
---
1
11 1
, (3)
11
nn n
uu u
+
Þ= -
--
11
11
111 1
1.
11 1
(4)
nn
kk
kkk k
uuu u
==
++
æö
ç÷
ç÷
èø
=-=-
-- -
åå
1
1
22
1
22
1
111
11 1 2 12
1
22
(5)
nn
nn
n
n
u
u
-
-
+
+
-<- <-Û<-<
-
2016n =
n
2016n =
n
u
n
1
22
1
21 12.
nn
n
u
-
+
+£ -<
1nk=+
( )
211
–1 –1
kkk
uuu
+++
=
1
11 11
22 22 2
2
22 222
2
1 2 (2 1) 2 .2 2
1 (2 1).(2 1 1) 2 .2 2
kk kk k
kk kkk
k
k
u
u
+
-- --
+
+
-< - < =
-³ + +- > =
1nk=+
1
1
22
2
22
2
212
21 12. (8)
kk
kk
k
k
u
u
+
+
+
+
<-<
Þ+£ -<
2,3,...n =
2016n =
Trang 38
Bài 5. Cho dãy : .
a) Chứng minh dãy hội tụ và tính .
b) Chứng minh .
Hướng dẫn giải
a) Bằng phương pháp chứng minh qui nạp ta có: .
Đặt và xét hàm .
Suy ra , như vậy nghịch biến trên đoạn .
Dẫn đến .
Kết hợp công thức xác định dãy ta được: .
Vậy .
b) Nhận xét: thì .
Dẫn đến .
(1).
Như vậy bất đẳng thức đúng với .
Trường hợp , chú ý , kết hợp với (1) thu được:.
.
Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Bài 6. Cho dãy số như sau .
1
()
nn
a
¥
=
2
11
510
1; 1
5
nn
n
n
aa
aa n
a
+
-+
== "³
-
()
n
a
lim
n
a
12
...
55
1
2
n
aa a
n
n
+++
-
<"³
3
1
2
n
an££ "
55
2
A
-
=
2
510 10
() ( 5)
55
xx
fx xx
xx
-+
==-¹
--
( )
2
10 3
'( ) 1 0 1;
2
5
fx x
x
éù
=-<"Î
êú
ëû
-
()fx
1
;1
2
éù
êú
ëû
135 21
246 2
... ...
... ...
k
k
aaa a A
aaa a A
-
<<<< <<
ì
í
>>>> >>
î
21
2
lim
lim
k
k
abA
acA
-
$=£
ì
Þ
í
$=³
î
2
2
5 10
55
5
2
5 10
5
cc
b
c
bc
bb
c
b
ì
-+
=
ï
-
ï
-
Û==
í
-+
ï
=
ï
-
î
55
lim
2
n
a
-
=
55
1;
2
t
éö
-
"Î
÷
ê
÷
ëø
() 5 5tft+<-
21 2
55
kk
aa
-
+<-
1k"³
12 212
55
... 2
2
kk
aa a a k
-
-
Þ+++ + <
2nk=
21nk=+
21
55
2
k
a
+
-
<
12 212 21
55
... (2 1)
2
kkk
aa a a a k
-+
-
+++ + + < +
( )
n
u
( ) ( )
1
2
*
21
1
2
31 2 1 3,
nn n
u
u
nu n u n u n
++
ì
=-
ï
=-
í
ï
-+ + + ="Î
î
•
Trang 39
a) Chứng minh .
b) Đặt . Chứng minh rằng nếu n là số nguyên tố và n > 2 thì chia hết cho n.
Hướng dẫn giải
a) Với , .
,
.
Giả sử .
Chứng minh .
Ta có.
.
.
.
Vậy
.
b) Đặt . Chứng minh rằng nếu là số nguyên tố và thì chia hết cho .
Ta có:
.
.
Với là số nguyên tố chia hết cho .
Do là số nguyên tố lớn hơn chia hết cho .
Vậy .
Bài 7. Cho dãy số . Chứng minh rằng nếu là số nguyên tố và
thì chia hết cho .
Hướng dẫn giải
Đặt hay .
Khi đó .
*
23,
n
n
unn=- "Ε
1
1
n
nk
k
Su
-
=
=
å
n
S
1n =
1
1
2 3.1 1u =- =-
2
1
2 3.2 2u =- =-
( )
1
1
23; 2 3 1
kk
kk
uku k
+
+
=- = - +
( )
2*
2
232,
k
k
ukk
+
+
=-+"Ε
( ) ( )
21
31 2 1 3
kk k
ku k u k u
++
-+ + + =
( ) ( )
( )
( )
( )
1
2
312 3 1 2 123 3
kk
k
ku k k k k
+
+
Û-+ -+++-=
( )
2
2
232
k
k
uk
+
+
Û=-+
( )
2*
2
232, .
k
k
ukk
+
+
=-+"Ε
1
1
n
nk
k
Su
-
=
=
å
n
n
S
n
( )
1
21
1
2 2 ... 2 3 1 2 ... ( 1)
n
n
nk
k
Su n
-
-
=
==+++-+++-
å
( )
1
1
12 ( 1) ( 1)
2. 3. 2 2 1 3
12 2 2
n
n
n
nn nn
S
-
-
-- -
=- =--
-
n
1
21
n-
Þ-
n
n
2
(1)
2
nn-
Þ
n
n
Sn!
( )
1
2
*
21
0
18
5624,
n
nnn
u
uu
uuu n
++
ì
=
ï
=
í
ï
=--"Î
î
•
n
3n >
n
u
6n
12
nn
vu=+
*
12,
nn
uv n=- "Ε
21
56
nnn
vvv
++
=-
Trang 40
Ta được .
Phương trình đặc trưng có nghiệm .
Khi đó .
Ta có .
Suy ra .
Khi đó .
Ta có nên chia hết cho .
Mặt khác là số nguyên tố nên theo định lý Fermat.
hay .
Từ đó .
Suy ra chia hết cho .
Với là số nguyên tố và .
Suy ra chia hết cho .
Bài 8. Cho dãy số với .
a) Chứng minh , với mọi .
b) Đặt . Tìm .
Hướng dẫn giải
a) Chứng minh , với mọi .
.
Giả sử ta có .
.
Suy ra .
( )
1
2
21
12
30
56
n
nnn
v
vv
vvv
++
=
ì
ï
=
í
ï
=-
î
2
560
ll
-+=
23
ll
=Ú =
.2 .3
nn
n
va b=+
1
2
12
2312 3
30 4 9 30 2
v
ab a
vabb
=
+= =
ì
ìì
ÛÛ
íí í
=+==
îî
î
3.2 2.3
nn
n
v =+
12 3.2 2.3 12
nn
nn
uv=-= + -
( )
11
62 3 2
nn
n
u
--
=+-
n
u
6
n
22(mod)
33(mod)
n
n
n
n
ì
º
ï
í
º
ï
î
3.2 6(mod )
2.3 6(m od )
n
n
n
n
ì
º
ï
í
º
ï
î
(3.2 2.3 12) 0(mod )
nn
n
un=+-º
n
u
n
n
3n >
( ,6) 1nÞ=
n
u
6n
( )
n
x
( )
( ) ( )
1
2*
1
1
55816
nnnnn
x
xxxxx nN
+
=
ì
ï
í
=++++ Î
ï
î
1
5
n
n
x
-
>
1
1
3
n
n
k
k
y
x
=
=
+
å
lim
n
n
y
®+¥
1
5
n
n
x
-
>
21
2
10 5 5x
-
=>=
1
5
n
n
x
-
>
( )
2n ³
( )
( ) ( )( )
222
1
21
55816 5 5816
5455.5 5
nnnnn nnnn
nn
nn n
xxxxx xxxx
xx x
+
-
=++++=+ +++
=++> > =
1
5
n
n
x
+
>
Trang 41
Vậy theo qui nạp với .
b) Đặt . Tìm .
Ta có:.
.
.
.
(vì ).
Vậy .
Bài 9. Cho dãy số được xác định như sau:. . Chứng minh
rằng với mọi số nguyên tố thì chia hết cho .
Hướng dẫn giải
Với mọi ta có: .
Từ đó có: .
Vậy , lại có nên .
+ Nếu : có ngay đpcm.
+ Nếu là số nguyên tố lẻ: .
.
Theo Định lí Fermat nhỏ, suy ra chia hết cho . Mặt khác cũng chia hết cho
nên: chia hết cho . Từ đó.
chia hết cho .
Vậy bài toán được chứng minh cho mọi trường hợp.
1
5
n
n
x
-
>
2n"³
1
1
3
n
n
k
k
y
x
=
=
+
å
lim
n
n
y
®+¥
( )( )
22
11
54 2 56 2 3
nn n n nn n n
xx x x xx x x
++
=++Û +=++=+ +
( )( )
1
1
1111
22323
11 1
32 2
nnnnn
nnn
xxxxx
xxx
+
+
Þ= =-
+++++
Þ=-
++ +
11
11 1 1
1111111
3222232
nn
n
kk
kkk n n
y
xxxxx x
==
+++
æö
== -=-=-
ç÷
+++++ +
èø
åå
1
11 1
lim lim
323
n
nn
n
y
x
®+¥ ®+¥
+
æö
=- =
ç÷
+
èø
1
5
n
n
x
+
>
1
1
lim 0
n
n
x
®+¥
+
Þ=
1
lim
3
n
n
y
®+¥
=
()
n
u
1
32
1
2
32993,2
nn
u
uu nnn n
-
=
ì
í
=+-+-"³
î
p
1
1
2014
p
i
i
u
-
=
å
p
( )
33
1
3(1)
nn
un u n
-
+= +-
( ) ( ) ( )
332313
12 1
3(1)3 (2)...3 13
nn
nn n
un u n u n u
-
--
+= +- = +- == + =
3
3, 2
n
n
unn=- "³
13
1
231u == -
3
3,1
n
n
unn=- "³
2p =
p
( )
1
2133 3
1
(3 3 ... 3 ) 1 2 ... ( 1)
p
p
i
i
up
-
-
=
=+++ - +++ -
å
( ) ( )
11
33
33
11
11 1
(3 3) 1 (3 3 )
22 2
pp
pp
ii
ip ipi
--
==
ìü
éù éù
=-+ +-= -+ +-
íý
ëû ëû
îþ
åå
33
p
-
p
( )
3
3
ipi+-
,1,1pi p"= -
( )
1
3
3
1
(3 3)
p
p
i
ipi
-
=
éù
-+ + -
ëû
å
p
( )
11
3
3
11
2014 1007 (3 3)
pp
p
i
ii
uipi
--
==
ìü
éù
=-++-
íý
ëû
îþ
åå
p
Trang 42
Bài 10. Cho dãy số xác định bởi . Tìm để là số chính
phương.
Hướng dẫn giải
Từ công thức truy hồi của x
n
ta có.
.
Vậy là số chính phương.
Giả sử n là số thỏa mãn là số chính phương.
Đặt .
Ta có .
Khi đó ta tìm được thì .
Với thì .
Vậy n = 2 thì là số chính phương.
Bài 11. Bài 3. Cho phương trình với là số nguyên dương. Gọi là nghiệm dương
của phương trình. Dãy số được xác định như sau .
Chứng minh rằng tồn tại vô hạn số tự nhiên n sao cho chia hết cho .
Hướng dẫn giải
Đầu tiên ta chứng minh là số vô tỉ. Thật vậy, nếu là số hữu tỉ thì là số nguyên (do hệ số cao nhất
của là 1) và là ước của 1. Do đó suy ra , trái giả thiết.
Do đó .
.
.
(1). Lại có , suy ra .
( )
n
x
01
21
20 ; 30
3,
nnn
xx
xxxn
++
==
ì
í
=-"Î
î
•
n
1
.1
nn
xx
+
+
( )
( )
11 1
11
11
1
1
22 2 2
112
22 22
11 11
22 2
211 02
22
1
22
1
,3 3
à 3 3
ra ... 500
3500
3500
nn n n n
nn n nn
nn
nn
nn
nn n n n n
nn n n nn
nn nn
nn
nn
nxxxxxxxx xxx
vx x x x x x x x x x x
Suy x x x x x x x x x
xxxx
xx xx
x
++ +
++
+
+
+
+++
++ +-
++-
+
+
"Î + - = + - = -
+- = - +=-
-=- ==-=-
Þ+- =-
Û+= -
Û
•
( )
1
2
1
500
nn
nn
xxx
+
+
-= -
1
500
nn
xx
+
-
1
500
nn
xx
+
-
22
11
500 , 1 , , ,
nn nn
xx bxx aab ab
++
-= += Î >•
( )( )
22
501 1.501 3.167ab abab-= Û- += =
201, 1ab==
1
12600 2
nn
xx n
+
=Þ=
85, 82ab==
1
7224
5
nn
xx n
+
=Þ$
1
.1
nn
xx
+
+
2
10xx
a
--=
a
b
( )
n
x
[ ]
01
,,0,1,2,3,...
nn
xx xn
ab
+
== =
n
x
a
b
b
b
2
x
b
0
a
=
[ ] [ ]
111
1
nnn
xxx
bbb
---
<< +
1
1
nnn
xxx
b
-
Û< <+
1
1
nn
n
xx
x
bbb
-
Þ< <+
11
1
n
nn
x
xx
bb
--
Þ-<<
1
1
n
n
x
x
b
-
éù
Þ=-
êú
ëû
2
10
bab
--=
1
ba
b
=+
Trang 43
(do (1)).
Vậy . Từ đó bằng quy nạp ta có với mọi , thì
(2).
Chọn , , từ (2) ta có.
.
Vậy chia hết cho , .
Bài 12. Cho dãy số xác định bởi . Chứng minh rằng là
số chính phương.
Hướng dẫn giải
Ta có.
.
Đặt . Ta được dãy số xác định bởi .
Ta phải chứng minh là số chính phương.
Thật vậy, xét dãy số ) xác định bởi .
Hiển nhiên dãy số là dãy số nguyên.
Ta có .
Ta sẽ chứng minh (1) bằng quy nạp.
Thật vậy, rõ ràng với , (1) đúng.
Giả sử (1) đúng đến , tức là .
ta chứng minh (1) đúng với n = k+2, nghĩa là chứng minh .
Thật vậy, theo công thức truy hồi của dãy số , giả thiết quy nạp, tính chất (2) của dãy số , công
thức truy hồi của dãy số , ta có.
n
nn
x
xx
ba
b
Þ=+
11
1
nn
nn n nn
xx
xx x xx
aa a
bb
+-
éùéù
Þ= +=+ =+-
êúêú
ëûëû
11
1 (mod )
nn
xx
a
+-
º-
*
k Î •
21,nk³+
1(21)
( 1) (mod )
nnk
xx k
a
+-+
º-+
( )
*
1 kll
a
+= Ε
12nl
a
+=
20
0 (mod )
l
xxl l
a
aa a a
º- =- º
2l
x
a
a
*
.l"Ε
( )
n
a
01
21
2004
73978,.
nnn
aa
aaa n
++
==
ì
í
=--"Î
î
•
10
2014
n
a +
21
21
10 10 10
7 3978 7. 2.
2014 2014 2014
nnn
nnn
aaa
aaa
++
++
+++
=--Û = - -
10
2014
n
n
a
v
+
=
( )
n
v
01
21
1
72,.
nnn
vv
vvv n
++
==
ì
í
=--"Î
î
•
n
v
(
n
x
01
21
1; 1
3,.
nnn
xx
xxxn
++
==
ì
í
=-"Î
î
•
( )
n
x
22 2 2
111 112
22 22
1111 11
, 3 ( 3 ) .
và 3 ( 3 ) .
nnnnnnnn nnn
nnnnnn nnnnn
nxxxxxxxx xxx
xxxxxx xxxxx
+++ +++
++++ +-
"Î + - = + - = -
+- = - +=-
•
222
12 11102
22
11
1.
3 1, . (2)
nnn nnn
nnnn
xxx xxx xxx
xxxx n
++ +-
++
Þ- =- =-=-
Þ+- =-"Ε
2
,
nn
vxn="Ε
0, 1nn==
1,nk k=+ Ε
2
, 1, 2,..., 1.
nn
vxn k== +
2
22kk
vx
++
=
( )
n
a
( )
n
x
( )
n
x
Trang 44
.
Do đó là số chính phương. Vậy ta có điều phải chứng minh.
Bài 13. Cho dãy số được xác định bởi a là số thực
a)) Tìm a sao cho dãy số có giới hạn hữu hạn.
b) Tìm a sao cho dãy số là dãy số tăng (kể từ số hạng nào đó).
Hướng dẫn giải
a) Ta có , trong đó .
Khi .
Do đó tồn tại giới hạn hữu hạn khi và chỉ khi .
b) Từ lý luận phần a) ta suy ra)
.
Bởi vậy điều kiện cần để tồn tại sao cho là .
Ta đi chứng minh là điều kiện đủ để có kết luận trên.
Thật vậy: Với .
.
Vì.
22 22 22
21 1 1 1 1
22 22
11 1 2
727 27 2( 3)
9 6 (3 ) .
kkk kk kkkkkk
kkkk kk k
vvv xx xxxxxx
xxxx xx x
++ + + + +
++ + +
=--=--=-+ +-
=- += - =
n
v
()
n
x
3
3
2013 8 1, 1, 2,...
n
xnann=++"=
()
n
x
(2 2013)
nn
xa nay=+ +
3
3
812
n
yn n=+-
33
33
32 3 2 32 3 2
33
81(2) 1
0
(8 1) 2 8 1 4 (8 1) 2 8 1 4
nn
nnnnnnnn
+-
==®
++ ++ ++ ++
n ®+¥
lim
n
n
x
®+¥
2013
2
a =-
2013
2
2013
lim 0
2
2013
2
n
n
khi a
x khi a
khi a
®+¥
ì
+¥ > -
ï
ï
ï
==-
í
ï
ï
-¥ < -
ï
î
*
mNÎ
12
....
mm m
xx x
++
<< <
2013
2
a ³-
2013
2
a ³-
2013
2
a ³-
3
33
3
1
3
33
3
3
33
3
3
33
3
3
33
3
2013( 1) 8( 1) 1 2013 8 1
2013 ( 8( 1) 1 8 1)
2013
2013 ( 8( 1) 1 8 1)
2
2013
[2 ( 8( 1) 1 8 1)]
2
2013
(2 8 1 8( 1) 1) 0
2
nn
xx n an nan
an n
nn
nn
nn
+
-= ++ + +- - +
=+ ++-+³
-++-+=
-++-+=
++-++>
Trang 45
.
Suy ra .
Vậy dãy số là dãy số tăng kể từ số hạng nào đó với và trong trường hợp đó là dãy số
tăng từ .
(
)
2
333
33 3 3 3
23 23
3
(2 8 1) 8 12 8 1 6 8 1 8 1
812.2 6(2) 8 18(13 3 )1
8( 1) 1
nnnn
nnn nnn
n
++=+ ++ +++>
++ ++=++++
=++
123
....xx x<<<
()
n
x
2013
2
a ³-
()
n
x
1
x

Tài liệu khác của Toán 11

Preview text:

CHUYÊN ĐỀ DÃY SỐ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN
1.1. DỰ ĐOÁN SỐ HẠNG TỔNG QUÁT VÀ CHỨNG MINH BẰNG QUY NẠP. u ì =11
Bài 1. Cho dãy số (u 1
n ) xác định bởi : í
. Xác định số hạng tổng quát của u =10u +1- 9 , n n " Î N î n 1+ n dãy đã cho. Hướng dẫn giải Ta có:. u = 11 = 10 +1 1
u = 10.11+1- 9 = 102 = 100 + 2 . 2
u = 10.102 +1- 9.2 = 1003 = 1000 + 3 3
Dự đoán: u =10n + n n ( )1.
Chứng minh theo quy nạp ta có. 1
u = 11 = 10 +1, công thức ( )
1 đúng với n = 1. Giả sử công thức ( )
1 đúng với n = k ta có u = 10k + k . 1 k Ta có: u =10 + k + - k + = + k + k + (10k ) k 1 1 9 10 1 1 ( ). Công thức ( )
1 đúng với n = k +1.
Vậy u = 10n + n, n " Î N.. n u ì = 2 -
Bài 2. Cho dãy số (u ) biết 1 í
. Xác định số hạng tổng quát của dãy. n
u = 3u -1, n " ³ 2 î n n 1 - Hướng dẫn giải 1 3 1 1
u = 3u -1 Û u - = 3u - Û u - = 3(u - )(1). n n 1 - n n 1 - n n 1 2 2 2 - 2 1 1 5 -
Đặt v = u - Þ v = u - = . n n 1 1 2 2 2
(1) Þ v = 3v , n " ³ 2. n n 1 -
Dãy (v ) là cấp số nhân với công bội là q = 3. n - n 5 Nên 1 n 1
v = v .q - = .3 - . n 1 2 1 5 - n- 1 Do đó 1 u = v + = 3 + , n " =1,2,.... n n 2 2 2 3 æ n + 4 ö
Bài 3. Cho dãy số (u * u = 1;u = u - , n " Î N n ) xác định bởi
.Tìm công thức số hạng 1 n 1 + ç n 2 ÷ 2 è n + 3n + 2 ø
tổng quát u của dãy số theo n . n Trang 1 HƯỚNG DẪN GIẢI Với mọi * n Î • , ta có. n + 4 2 3 2u = 3(u - ) Û 2u = 3(u + - ) n 1 + n n 1 (n +1)(n + 2) + n n + 2 n +1 . 3 3 3 3 3 Û 2(u - ) = 3(u - ) Û u - = (u - ). n 1 + n n 1 n + 2 n +1 + n + 2 2 n n +1 . 3 3 1
Dãy số (v ),v = u -
là cấp số nhân có công bội q = và v = - . n n n n +1 2 1 2 n 1 - n 1 3 1 3 1 æ 3 - æ ö æ ö * ö * v = . - , n " Î • Þ u = - , n " Î • . n ç ÷ ç ÷ ç ÷ è 2 ø è 2 n ø n +1 2 è 2 ø
Bài 4. Cho hàm số f : Z + Z + ®
thỏa mãn đồng thời các điều kiện:. (1) f (n + )
1 > f (n), n Z+ " Î .. (2) f é f
ë (n)ù > n + 2000, . û n Z + " Î .
a/Chứng minh: f (n + )
1 = f (n), n Z+ " Î ..
b/Tìm biểu thức f (n). HƯỚNG DẪN GIẢI Câu a.
Vì f (n) Z +
Î nên từ giả thiết (1) ta được: f (n + ) 1 ³ f (n) + , 1 n Z + " Î ..
Kết hợp giả thiết (2) ta được n Z + " Î .. n + 2001= (n + )
1 + 2000 = f é f ë (n + ) 1 ù ³ f é f û
ë (n)ù +1= n + 2001 do đó: f n +1 = f n + , . û ( ) ( ) 1 n Z+ " Î . Câu b.
f (n) f ( ) 1 n –1, n Z + = + " Î Þ f { f ( ) 1 } = f ( ) 1 + f ( ) 1 – , 1 . Suyra:1 2000 2 f ( ) 1 –1 f ( ) 1 1001
f (n) n 1000, n Z+ + = Þ = Þ = + " Î .
Thử lại thỏa các điều kiện, nên f (n) n 1000, n Z+ = + " Î .. Bài 5.
a)Xác định ba số hạng đầu của một cấp số cộng, biết tổng của chúng bằng 9 và tổng các bình phương của chúng là 125. u ì =16 1 ï b)Cho dãy số (u í 15( . n u + u n ) n ) có 1
. Tìm số hạng tổng quát . u n ï +14 = , n " ³1 n 1 + î n +1 Hướng dẫn giải Trang 2
a)Xác định ba số hạng đầu của một cấp số cộng, biết tổng của chúng bằng 9 và tổng các bình phương của chúng là 125.
Gọi d là công sai, số hạng thứ 2 là a. Khi đó 3 số hạng đầu của csc là a - d, a, a + d .
ìa - d + a + a + d = 9 ï
Theo giả thiết ta có hệ: í . ( ï a - d î
)2 + a +(a + d )2 2 = 125 3 ì a = 9 Û í 2 2 3a î + 2d =125. ìa = 3 Û íîd = 7±
Vậy có 2 cấp số thỏa mãn có 3 số hạng đầu là: -4;3;10 hoặc 10;3;-4. u ì =16 1 ï b)Cho dãy số (u í 15( . n u + u n ) n ) có
. Tìm số hạng tổng quát . 1 u n ï +14 = , n " ³1 n 1 + î n +1 15( . n u + n )1 Ta có: u +14 =
Û u +14 n +1 =15 . n u +1 n 1 + ( n 1+ )( ) ( n ). n +1 Û (n + ) 1 u
=15nu -14n +1 (1). n 1 + n
Đặt v = nu (Þ v =16 n n 1 ).
(1) trở thành: v =15v -14n +1Û v - n +1 =15 v - n n 1 + n n 1 + ( ) ( n ) (2).
Đặt w = v - n(Þ w =15 n n 1 ).
(2) trở thành: w =15w Þ w
w = 15, q = 15 Þ w = 15n n 1 + n ( n) là csn có . 1 n 15n + n Từ đó ta có: u = . n n
Bài 6. Cho dãy số (u
u =1;u = 4;u
= 7u -u - 2, n " Ε *
n ) xác định bởi : . 1 2 n+2 n 1 + n
Chứng minh : u là số chính phương với mọi n nguyên dương. n Hướng dẫn giải
Ta có u =1;u = 4;u = 25. 1 2 3 2 3 18 123
Đặt u = v + thì v = ;v = ;v = . n n 5 1 2 3 5 5 5 2 æ 2 ö æ 2 ö Khi đó u
= 7u -u - 2, n " Ε * Û v + = 7 v + - v + - 2, n " Î • * n+2 n 1 + n n+2 ç n 1 ÷ ç ÷ 5 + è 5 n ø è 5 ø Û v
= 7v - v , n " Ε . * n+2 n 1 + n Ta có : 2 2 2 2 v .v - v
= (7v - v ).v - v = v (7v - v ) - v = v v - v . n+2 n n 1 + n 1 + n n n 1 + n 1 + n n 1 + n n 1 + n 1 - n Trang 3 9 Suy ra : 2 2 2 v .v - v
= v v - v =! = v v - v = ; n " Ε *. n+2 n n 1 + n 1 + n 1 - n 3 1 2 5 2 æ 2 ö æ 2 ö æ 2 ö 9 2 4 æ 4 4 ö 9 Suy ra : u - . u - - u - = Þ u u - u + u + - u - u + = n+2 n ( n+2 n ) 2 ç n+2 ÷ ç n ÷ ç n 1 ÷ ç ÷ è 5 ø è 5 + ø è 5 ø 5 n 1 + n 1 5 25 è 5 + 25 ø 5 2 4 9 Þ u u - 7u - 2 - u + u = 2 2
Þ u u = u + 2u +1 = (u +1) ; n " Î • * n+2 n ( n 1+ ) 2 . n 1 + n 1 5 5 + 5 n+2 n n 1 + n 1 + n 1 + Từ hệ thức 2 u u = (u +1) ; n " Î •
* và u ;u là các số chính phương suy ra u là số chính phương với n+2 n n 1 + 1 2 n mọi n nguyên dương.
Bài 7. Cho dãy số {a +¥ a > 0 n " =1,2,3,.... a > 0 {x +¥ n} n} tăng, và . Xét dãy số xác định bởi n 1 = n n 1 = n a - a i 1 + i x =
. Chứng minh rằng tồn tại x . å lim n n n®+¥ i 1 = a aa i 1 + i Hướng dẫn giải
Dễ dàng thấy rằng dãy {x +¥ n} tăng ngặt. n 1 =
Trường hợp 1. Nếu a > 1. a - a 1 1 1 1 1 i 1 + i = - < - Þ x < vậy dãy {x +¥ n} . a a a 1 a a a a a - aa aa n aa n 1 = i 1 + i i i 1 + i i i 1 + 1
bị chặn trên do đó tồn tại lim x . n n®+¥
Trường hợp 2. Nếu 0 < a < 1. a - a 1 æ 1 1 ö i 1 + i < ç - ( ) * a 1 Û a
a - a < aa - aa a - i 1 + ( i 1 + i ) a a a ÷ ( ) * thật vậy . a a a a a i 1 + i i 1 + i è i i 1 + ø aa - aa a 1 i 1 i Û > aa - + ** i 1 + ( ). Ta chứng minh (**). a - a i 1 + i
Xét hàm số f (x) xa
= Trên đoạn [a ;a i i 1
+ ] rõ ràng hàm số thoả mãn điều kiện của định lí Lagrăng nên tồn aa - aa - - + a - aa aa + a - aa aa
tại số c Î(a ;a ' f (c) i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 + i = Û ac = Þ aa < i i 1 + ) thoả mãn đpcm. i 1 a - a a - a + a - a i 1 + i i 1 + i i 1 + i Từ đó ta có. 1 Þ x < Þdãy {x +¥ lim x n}
bị chặn trên do đó tồn tại . n aa a n 1 = n n®+¥ 1
Bài 8. Cho dãy số (x x = 1
n ) được xác định bởi : và. 4 x
= x +1 n - 2 + 2 n -3 +3 n - 4 +!+ n - 2 1, n ³ 4. n 1 + n ( ) ( ) ( ) ( ) với mọi . x
Tính giới hạn lim n .. 4 n®+¥ n Hướng dẫn giải Trang 4 Ta có: (
1 n + 2) + 2(n - )
3 + 3(n - 4) +...(n - 2). . 1 = ( é n - ë )1-1ù +2 û (én-1-2 ë )ù +3 û (én- ë )1-3ù +...+ û (n-2) (én- ë )1-(n-2)ù. û = (n - )é + + + + ë (n- )ù - é + + + + û (n- )2 2 2 2 1 1 2 3 ... 2 1 2 3 ... 2 ù. ë û n - 2 n -1
n - 2 n -1 2m - 3 n n -1 n - 2 = (n - ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) 1 . - = . 2 6 6 n(n - ) 1 (n - 2) Do đó ta suy ra : 3 x = x + = x + C * n 1 + n n n ( ). 6 Ta chứng minh 4
x = C . Thật vậy với n = 4 , ta có 4 x = 1 = C . n n 4 4
Giả sử với n ³ 4 ta có : 4 x = C . n n Ta có : 4 x
= x + C theo (*) hay 3 4 3 4 x
= x + C = C + C = C trong. n 1 + n n n 1 + n n n n n x n! 1 lim n = lim = .. 4 n®+¥ n n ®+¥ ( 4! n - 4) 4 !n 6 æ 1 ö
Bài 9. Cho hàm số f :(0;+¥) ® (0;+¥) thỏa mãn điều kiện f (3x) ³ f f ç
(2x) + 2x với mọi ÷ x > 0 è 2 ø
. Chứng minh rằng f (x) ³ x với mọi x > 0 . Hướng dẫn giải æ 1 ö
Ta có: f (3x) ³ f
f (2x) + 2x (1). ç ÷ è 2 ø
æ 1 æ 2x öö 2x 2x
Từ (1) suy ra f (x) ³ f f + Þ f (x) > , x " > 0 (2). ç ç ÷ è 2 3 ÷ è øø 3 3
æ 1 æ 2x öö 2x 2 1 æ 2x ö 2x 1 æ 2x ö 2x æ 4 2 ö
Khi đó f (x) ³ f f + > . f + = f + > + x . ç ç ÷÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ è 2 è 3 øø 3 3 2 è 3 ø 3 3 è 3 ø 3 è 27 3 ø 2 1 2
Xét dãy (a ), (n =1,2, )
… được xác định như sau: a = và 2 a = a + . n 1 3 n 1 + 3 n 3
Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp theo n rằng với mỗi * n Î • luôn có.
f (x) > a x với x > 0 (3). n
Thật vậy, khi n = 1 thì theo (2), ta có ngay (3).
Giả sử mệnh đề (3) đúng với n = k . Khi đó.
æ 1 æ 2x öö 2x 1 æ 2x ö 2x 1 2x 2x
f (x) ³ f f + > a . f + > a .a . ç + è 2 ç 3 ÷÷ è øø 3 2 k ç è 3 ÷ø 3 2 k k 3 3 . 2 a + 2 k = .x = a .x 1 3 k + Trang 5
Vậy (3) đúng với n = k +1.
Tiếp theo ta chứng minh lim a =1. Thật vậy, ta thấy ngay * a < 1 n " Î • . Do đó: n n 1
a - a = (a -1)(a - 2) > 0, suy ra dãy (a ) tăng ngặt. n 1 + n 3 n n n 1 2
Dãy (a ) tăng và bị chặn trên nên hội tụ. Đặt lim a = l thì 2
l = l + với l £ 1, suy ra l = 1. Vậy n n 3 3 lim a =1. n
Do đó từ (3) suy ra f (x) ³ x với mỗi x > 0 (đpcm).
Bài 10. Tìm tất cả các hàm số f : ! ® ! thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau đây.
1. f (x + y) £ f (x) + f ( y) với mọi x, y Î! . 2. ( ) x
f x £ e -1 với mỗi x Î ! . Hướng dẫn giải
f (x + 0) £ f (x) + f (0) Þ f (0) ³ 0 và bởi vì f ( ) 0
0 £ e -1= 0 cho nên f (0) = . 0
f (x +(-x)) £ f (x) + f (-x) Þ f (x)+ f (-x) ³ 0 ( ) 1 . x æ ö æ ö æ ö f (x) x x 2 £ f + f £ 2 ç ÷ ç ÷ çe -1 . ÷ è 2 ø è 2 ø è ø x x æ ö æ ö æ ö æ ö f (x) x x 2
£ çe - ÷ Þ f (x) 4 2 1 £ f + f £ 4 ç ÷ ç ÷ çe -1 . ÷ è ø è 2 ø è 2 ø è ø x æ ö
Dùng quy nạp theo n = 1, 2,... ta CM được f (x) n 2 £ 2 n çe -1÷. ç ÷ è ø x æ ö
Cố định x Î ! ta có ( £ 2 n n f x çe -1÷ 0 ) 0 2 . 0 ç ÷ è ø 0 x æ ö Xét dãy n 2 a = 2 n çe -1÷ ta có:. n ç ÷ è ø é ù 0 x 2n êe -1 ú lim a = lim ê .x ú = x . n 0 0 x0 ê ú ë 2n û
Vậy f (x £ x x " Î! 2 0 ) 0 0 ( ).
Vậy f (x) + f (-x) £ x +(-x) = 0 ( ) 3 .
Kết hợp (1) và (3) ta được f (x) + f (-x) = 0. Trang 6
Từ (2) Þ f (-x) £ -x Þ f (x) ³ x (4). Kết hợp (2) và (4) ta được f (x) = x x
" Î! . Thử lại f (x) = x
f (x) + f (-x) £ x +(-x) = 0 ( ) ta thấy đúng. Vậy 3 .
Kết hợp (1) và (3) ta được f (x) + f (-x) = 0.
Từ (2) Þ f (-x) £ -x Þ f (x) ³ x (4). Kết hợp (2) và (4) ta được f (x) = x x
" Î! . Thử lại f (x) = x ta thấy đúng. ì 2015 x = ï 1 ï 2016
Bài 11. Cho dãy số xác định bởi í
. Chứng minh rằng dãy số đã cho có giới hạn 2 æ x ö ï n x = x + , n ³ 1 n 1 + n ç ÷ ïî è n ø hữu hạn. Hướng dẫn giải
Trước hết, bằng quy nạp, ta dễ dàng có x > 0 n
" ³1 và dãy số đã cho là dãy tăng. n Ta có :. 2
x = x + x < 2x ; 2 1 1 1 2 . x2 2 x = x +
< 2x + x < 3x ; 3 2 1 1 1 4 2 x
Giả sử x < kx với k > 1. Ta có: k 2 x = x +
< kx + x < (k +1)x . k 1 k 1 + k 2 1 1 1 k
Theo nguyên lý quy nạp ta có x < nx n " > . 1 n 1 Ta có :
x < m -1 m " ³ 2017thật vậy : m 1 1
mx < m -1 Û m 1- x > 1 Û m > Û m > Û m > 2016 1 ( 1 ) ;. 1- x 2015 1 1- 2016
Do đó x < mx < m - . 1 m 1 2 xn 2 1 1 x - x x 1 1 1 1 Ta có với n " ³ 2 thì n 1 + n n n - = = = < < = - . 2 2 x x x x x x n x n n(n -1) n -1 n n n 1 + n n 1 + n n 1 + n 1 + n-2018 1 1 æ 1 1 ö Do đó n " ³ 2018 thì - = å ç - ÷ < x x = x x 2017 n i 0 è 2017+i 2018+i ø n-2018 æ 1 1 ö 1 1 1 å - = - < . ç ÷ è + + ø - i=0 2016 i 2017 i 2016 n 1 2016 1 1 1 2016x Suy ra 2017 > - > 0 Þ x < . x x 2016 n 2016 - x n 2017 2017
Vậy dãy đã cho tăng và bị chặn trên nên có giới hạn hữu hạn. Trang 7 u ì = 1;u = 2 1 2 ï
Bài 12. Cho dãy số (u ) xác định như sau í 3 1 . n u = u - u n " ³ 2 ï n 1+ n n 1 î 2 2 -
a) Xác định số hạng tổng quát u . n b) Tính limun n®+¥ . Hướng dẫn giải 1 1
Biến đổi ta được: u - u = u - u v = u -u v = v , n " ³ 2 n 1 + n ( n n 1-)với khi đó: . 2 n 1 + n 1 + n n 1 + 2 n 1
nghĩa là dãy v ,v ,...v ,.. l.à một cấp số cộng của v = 1; q = . 2 3 n 2 2 v = u - u ü n n n 1 - v u u ï = - n 1 - n 1 - n-2 ï
ý ® u - u = v + v + ...v n 1 2 3 ........................ n ï . v = u - u ï 2 2 1 þ n-2 n-2 æ 1 1 ö æ ö æ 1 ö
Û u = 1+ ç1+ +...ç ÷ ÷ = 3- n ç ÷ ç 2 2 ÷ è ø è 2 ø è ø n-2 æ 1 ö æ ö
lim u = lim ç3-ç ÷ ÷ = 3. n x®+¥ x®+¥ ç 2 ÷ è ø è ø
Bài 13. Cho dãy số (un ) được xác định như sau. 2 u = 2011;u = n u -u 1 n 1 - ( n 1- n),. với mọi *
n Î • , n ³ 2. Chứng minh rằng dãy số (un ) có giới hạn và tìm giới hạn đó. Hướng dẫn giải
Từ công thức truy hồi của dãy ta được. 1 1 æ 1 ö 1 æ 1 ö æ ö æ ö æ ö æ 1 ö u = 1- u = 1- ç1- ÷u = ... = 1- ç1- ÷... 1- u . n ç 2 ÷ n 1 - ç 2 ÷ ç ÷ ç ÷ n n ç (n - )2 n-2 2 1 ÷ n ç (n - è ø è )2 2 1 1 ÷ è ø è ø è ø è 2 ø ø
(n + )1(n - )1 (n - 2)n 4.2 3.1 n +1 2011 Do đó u = . ... . .2011 = .2011. Từ đó limu = . n 2 n (n - )2 2 2 1 3 2 2n n 2 4 2 u + 2013
Bài 14. Cho dãy số (u (u = 2014, n u = , n " Ε 1 ) * n ) xác định bởi . n 1 + 3 u - u + 4026 n n n 1 Đặt * v = å , n
" Ε . Tính lim v . n 3 + n k 1 = u 2013 k Hướng dẫn giải Trang 8 4 2 u + 2013 Cho dãy số (u (u = 2014, n u = , n " Ε 1 ) * n ) xác định bởi . n 1 + 3 u - u + 4026 n n n 1 Đặt * v = å , n
" Ε . Tính lim v . n 3 + n k 1 = u 2013 k u + 2013 (u - 2013 u + n )( 3 4 2 2013 n n ) Ta có u - 2013 = - 2013 = . n 1 + 3 u - u + 4026 u u - + n n n ( 2n )1 4026
Từ đó bằng quy nạp ta chứng minh được * u > 2013, n " Î • . n (u - 2013 u + n )( 3 2013 n ) u - 2013 = 1 n 1 + ( ). ( 3u +2013 - u - n ) ( 2013 n ) 1 1 1 1 1 1 Từ ( ) 1 suy ra = - Þ = - . 3 3 u
- 2013 u - 2013 u + 2013
u + 2013 u - 2013 u - 2013 n 1 + n n n n n 1 + n æ 1 1 ö 1 1 1 Do đó v = åç - ÷ = - =1- . n - - - - - k 1 = u 2013 u 2013 u 2013 u 2013 u 2013 è k k 1 + ø 1 n 1 + n 1 +
Ta chứng minh limu = +¥. n u - 4026u + 2013 u - n n ( 2013 n )2 2 2 Thật vậy, ta có * u - u = = > 0, n " Î • . n 1 + n 3 3 u - u + 4026 u - u + 4026 n n n n Suy ra (u
2014 = u < u < ...
n ) là dãy tăng, ta có . 1 2
Giả sử ngược lại (u (u
limu = a < +¥ a > 2014 n )
n ) bị chặn trên và là dãy tăng nên thì . Khi đó n 4 2 a + 2013 a =
Þ a = 2013 < 2014 (vô lý). Suy ra (u limu = +¥
n ) không bị chặn trên, do đó . 3 a - a + 4026 n æ 1 ö Vậy limv = limç1- ÷ = . 1 n u - 2013 è k 1 + ø
Bài 15. Tìm số hạng tổng quát của dãy số (un ) biết. ì 1 u = ï 1 2 ïïuí =673 . 2 ï 2 3 2 2(n + 2) u
- (n + 4n + 5n + 2)u n 1 + n u ï =
n Î • , n ³ 1 n+2 ( ) ïî n + 3 Hướng dẫn giải 2 3 2
2(n + 2) u - (n + 4n + 5n + 2)u Vì n 1 + n u = nên ta có:. n+2 n + 3 2 2 (n + 3)u
= 2(n + 2) u - (n + 2)(n +1) u . n+2 n 1 + n Trang 9 n + 3 2 Û u
= 2(n + 2)u - (n +1) u . +2 1 n + 2 n n+ n n + 3 2 Û u
= (n + 3)u + (n +1)u - (n +1) u .. +2 1 + 1 n + 2 n n n+ n
Đặt u = n!v , n Î • , n ³ 1 thu được. n n (n + 3)v
= (n + 3)v + (n +1)v - (n +1)v . n+2 n 1 + n 1 + n
Û (n + 3)(v - v ) = (n +1)(v - v ).. n+2 n 1 + n 1 + n
Đặt w = v - v , n Î • , n ³ 2 thu được. n n n 1 -
(n +1)w = (n -1)w . n n 1 - Û (n +1)nw = ( n n -1)w . n n 1 - Do đó.
(n +1)nw = n(n -1)w
= (n -1)(n - 2)w = ... = 3.2.w n n 1 - n-2 2 .
= 6(v - v ) = 2016. 2 1 2016 æ 1 1 ö Như vậy w = = 2016 -
, n Î • , n ³ 2. n ç ÷ n(n +1) è n n +1ø
Từ đó, với n Î • , n ³ , t 1 a có. æ 1 1 ö n -1 v - v = 2016 - = 2016 . n 1 ç ÷ è 2 n +1ø n +1 4033n - 4031 Û v = . n 2(n +1) 4033n - 4031 Vậy u = n!
, n Î • , n ³ . 1 n 2(n +1) 3 æ n + 4 ö
Bài 16. Cho dãy số (u * u = 1; u = u - , n " Î N n ) xác định bởi . 1 n 1 + ç n 2 ÷ 2 è n + 3n + 2 ø
Tìm công thức số hạng tổng quát u của dãy số theo n . n Hướng dẫn giải 3 æ n + 4 ö Vì u = u - nên. n 1 + ç n 2 ÷ 2 è n + 3n + 2 ø 3 n + 4 1 - ,5n - 6 2u - 3u = - . = . n 1 + n 2
2 n + 3n + 2 (n + ) 1 (n + 2) 1,5 1,5 Û 2u - 3u = 2. - . 3 . n 1 + n n + 2 n +1 1,5 1,5 Û 2u - 2. = 3u - 3. . n 1 + n + 2 n n +1 Trang 10 æ 1,5 ö 3 æ 1,5 ö Û u - = u - 3. . ç n 1+ ÷ ç ÷ è n + 2 ø 2 n è n +1ø 1,5 3 Đặt v = u - , khi đó ta có: v = v . n n n +1 n 1 + 2 n 1,5 1
Lại có: v = u + = . 1 1 2 4 n 1 3 - æ ö 1
Từ đẳng thức trên ta có công thức tổng quát của dãy (v v = . n ) là: . n ç ÷ è 2 ø 4 n 1 1,5 3 - æ ö 1 3
Từ đó ta có công thức tổng quát của dãy (u u = v + = . + n ) là: n n ç ÷ + è ø + . n 1 2 4 2(n ) 1
Bài 17. Cho dãy số (u u =1 2 u = 3u + 2 n ³ 1 n ) xác định bởi và với mọi . 1 n 1 + n
a) Xác định số hạng tổng quát của dãy số (un ) . b) Tính tổng 2 2 2 2
S = u + u + u + ...+ u . 1 2 3 2011 Hướng dẫn giải a) Dễ thấy * u > 0, n " Î N . n Từ 2 2 2 u
= 3u + 2 Û u = 3u + 2. n 1 + n n 1 + n Đặt 2
v = u thì có: v
= 3v + 2 Û v +1= 3 v +1 n 1 + n n 1 + ( n ). n n
Đặt x = v +1 thì ta có: x
= 3x . Từ đây suy ra (x x = 2
n ) là cấp số nhân với , công bội là 3. n n n 1 + n 1 Nên: n 1 - n 1 - n 1 x 2.3 v 2.3 1 u 2.3 - = Þ = - Þ = -1. n n n b) 0 1 2 2010
S = 2.3 + 2.3 + 2.3 +...+ 2.3 - 2011. = ( 0 1 2 2010 2 3 + 3 + 3 +...+ 3 )-201 .1 ( 2011 2 3 - ) 1 = - 2011 2011 = 3 - 2012. 3 -1
Bài 18. Cho dãy số (u u =1 u = u + 2n n ³ 1
n ) được xác định bởi và với mọi . 1 n 1 + n
a) Chứng minh rằng: u = 2n -1. n
b) Tính tổng S = u + u + u +...+ u theo n . 1 2 3 n Hướng dẫn giải a) Khi n = 1: 1 2
u = u + 2 = 1+ 2 = 2 -1 đúng. 2 1
Giả sử u = 2k -1 đúng với k ³ 1, k Î N . k Ta chứng minh: k 1 u = 2 + -1. k 1 + Trang 11 Thật vậy: k k k k 1 u
= u + 2 = 2 -1+ 2 = 2 + -1. k 1 + k
b) = ( 1 - )+( 2 - )+ +( n - ) 1 2 2 1 2 1 ... 2 1 = 2 + 2 +...+ 2n S - n . 2n -1 n 1 S = 2.
- n = 2 + - n - 2. 2 -1 u ì = 2 1 ï
Bài 19. Cho dãy số(un) xác định như sau: í . u + 2 -1 n u = ( n " ³ 1, n Î • )
ï n 1+ 1-( 2 -1)u î n p a) Chứng minh: tan = 2 - . 1 8 b) Tính: u . 2015 Hướng dẫn giải p 2 tan p æ p p ö p p a) Ta có: 8 1 = tan = tan + = 2 Û tan + 2 tan -1 = 0. ç ÷ 4 è 8 8 ø p 2 1- tan 8 8 8 é p tan = 2 -1 ê 8 p p Û ê
Þ tan = 2 -1(Vì tan dương). p ê 8 8 tan = - 2 -1 êë 8 p p p tan a + tan p tan(a + ) + tan p
b) Đặt u = 2 = tan a, ta có: 8 u = = tan(a + ), 8 8 u = = tan(a + 2. ). 1 2 p 8 3 p p 1- tan . a tan 8 1- tan tan(a + ) 8 8 8 p
Ta chứng minh: u = tan(a + (n -1) ), n " ³1,nΕ (*). n 8
Với n = 1: u = tan a đúng. 1 p
Giả sử (*) đúng với n = k , k ³ 1, hay ta có: u = tan(a + (k -1) ). k 8 p p
tan(a + (k -1) ) + tan u + 2 -1 p Ta có: k 8 8 u = = = tan(a + k. ). k 1 + 1- ( 2 -1)u p p 8 k
1- tan(a + (k -1) ).tan 8 8 p
Vậy (*) đúng với n = k +1. Vậy u = tan(a + (n -1) ), n " ³1,nΕ . n 8 p 3p 3p
Cho n = 2015 , ta có: u
= tan(a + 2014. ) = tan(a + + 251p ) = tan(a + ). 2015 8 4 4 Trang 12 p 2 -1 p = tan(a - ) = 2 2 = ( 2 -1) = tan . 4 2 +1 8 u ì =1 1 ï
Bài 20. Cho dãy số thực (u u í = 1 - * (nÎ N ) n ) với . 2 u ï = 2u - u î n+2 n 1 + n
a) Chứng minh u = 3- 2n với mọi * n Î N . n
b) Tính tổng S = u + u +...+ u . 1 2 2012 Hướng dẫn giải
a) Dùng phương pháp qui nạp.
u =1 = 3- 2.1, u = 3- 2.2 = - . 1 1 2
Giả sử u = 3- 2k (k ³ 3). k Ta có: u
= 2u -u = 2(3- 2k) - (3- 2(k -1)). k 1 + k k 1 -
=1- 2k = 3- 2(k +1).
Vậy u = 3- 2n với mọi * n Î N . n
b) S = (3- 2.1) + (3- 2.2) + ...+ (3- 2.2012).
= 3.2012 - 2(1+ 2 +...+ 2012) = 6036 - 2013.2012 = 404 - 4120 . ìv = 8 1 ï
Bài 21. Cho dãy số (v * ív = 34 (n Î N ) n ) với . 2
ïv = 8v +1996v î n+2 n 1 + n
Tìm số dư khi chia v cho 2011. 2013 Hướng dẫn giải u ì = 8 1 ï Xét dãy số (u * u í = 34 (n Î N ) n ) với . 2 u ï = 8u -15u î n+2 n 1 + n Ta có v º u * n Î N n n ( mod 201 ) 1 với mọi .
Xét phương trình đặc trưng: 2 t - 8t +15 = 0.
Phương trình trên có nghiệm t = 5,t = 3. ( 5 ì A + 3B = 8 u u = .5n A + .3n B u = 5,u =13 A = B = 1 n ) có dạng . Vì nên í .Ta có: . n 1 2 î25A + 9B = 34
Ta có: u = 5n + 3n . n
Ta có 2011 là số nguyên tố Theo định lý Fecma ta có: 2010 5 º ( 1 mod 201 ) 1 . Trang 13 2010 3 º ( 1 mod 201 ) 1 . Suy ra 2013 5 º125(mod201 ) 1 , 2013 3 º 27(mod201 ) 1 . Vậy khi chia u
cho 2011 ta được số dư là 152. 2013 Suy ra khi chia v
cho 2011 ta được số dư là 152. 2013 u ì =1 ï
Bài 22. Cho dãy số (un ) 1 : í . 3n ïî (2u -u = n " Ε n+ n ) * 2, ( ) 1
a) Chứng minh dãy số (un ) là dãy số giảm.
b) Lập công thức số hạng tổng quát của dãy số (un ) . Hướng dẫn giải
a) Chứng minh dãy số (un ) là dãy số giảm. u 1 Ta có: n u = + ; Chứng minh: * u < u n
" Î • bằng phương pháp quy nạp. n 1 + 2 3n n 1 + n u ì =1 1 ï Ta có: í 5 Þ u < u . 2 1 u = ï 2 î 6 Giả sử: u
< u ;k Ε và k >1. Chứng minh: u < u . k 1 + k k +2 k 1 + u 1 u 1 u 1 Ta có: k 1 + k k u = + < + < + = u . Vậy * u < u n " Î • . k +2 k 1 + k 1 + k k 1 2 3 2 3 2 3 + n 1 + n
b) Lập công thức số hạng tổng quát của dãy số (un ) . n n+ 3 Ta có: 1 3 (2u
- u ) = 2 Û 3 .u = 3 .nu + 3. n 1 + n n 1 + 2 n 3 3
Đặt v = 3nu + 6, ta được: v - 6 = (v - 6) + 3 Û v = v . n n n 1 + n n 1 2 + 2 n ìv = 9 1 ï 3 Ta được: (v ) : q = n í 3
là cấp số nhân có công bội . * v
= v , (n Î • ) ï 2 n 1 + î 2 n n 1 - n 1 3 3 - æ ö æ ö Suy ra: v = v . = 9. . n 1 ç ÷ ç ÷ è 2 ø è 2 ø v - 6 æ 1 1 ö Vậy n u = = 6. - . n ç ÷ 3n è 2n 3n ø
Bài 23. Tìm số hạng tổng quát của dãy (xn ) biết rằng:. Trang 14
ìx =1; x = 5; x =125 ï 0 1 2 í ( * n Î N ). ïx x x = 3 + î + - (x + )2 x 10x x n n n n n- n+ ( n )2 2 1 1 1 1 Hướng dẫn giải
Từ đề bài ta có: x > 0với mọi n Î N . n x 3x 10x Ta có: n+2 n 1 + n = + với mọi * n Î N . x x x n 1 + n n 1 - x Đặt n y = ta được y
-3y -10y = 0với mọi * n Î N . n x n+2 n 1 + n n 1 -
Vì phương trình đặc trưng của dãy ( y 2; - 5 y = A - + B n ( 2)n .5n
n ) có hai nghiệm phân biệt nên với mọi * n Î N . ì x1 y = = 5 ï 1 ï x ìB =1 Với 0 í ta có í
. Suy ra y = 5n với mọi * n Î N . x n ï îA = 0 2 y = = 25 2 ï x î 1 2 n +n Ta có n n n 1 - n+(n 1 - )+... 1 + 2 x = 5 .x = 5 .5 ....5.x = 5 = 5 với mọi * n Î N . n n 1 - 0 2 n +n
Kết hợp với x = 1, ta suy ra 2 x = 5
với mọi n Î N . 0 n ì 7 u = ï 1 ï 2
Bài 24. Cho dãy số (un ) : í . 7u + 4 n * u ï = , n Î • n 1 + ï 2u + 5 î n
a) Chứng minh dãy số (un ) là dãy số giảm.
b) Lập công thức tổng quát của dãy số (un ) . Hướng dẫn giải
a) Chứng minh dãy số (un ) là dãy số giảm. 7 19
Ta có: u = ; u = Þ u > u . 1 2 1 2 2 8
Giả sử: u > u với k >1. Cần chứng minh: u > u . k k 1 + k 1 + k +2 7u + 4 7 27 1 7 27 1 Ta có: k u = = - . Þ u = - . k 1 + 2u + 5 2 2 2u + 5 k +2 2 2 2u + 5 k k k 1 + . 1 1 Mà u > u Þ < k k 1 + 2u + 5 2u + 5 k K 1 + . Trang 15 7 27 1 7 27 1 Þ - . > - .
Þ u > u Þ(điều phải chứng minh). 1 + +2 2 2 2u + 5 2 2 2u + 5 k k k k 1 +
b) Lập công thức tổng quát của dãy số (un ) . 7 Ta có * 0 < u £ , n " Ε . n 2 u - 2 1 Xét dãy số n x = , ta có: x = n u +1 1 3 n . u - 2 1 æ u - 2 ö 1 n 1 + n x = = ç ÷ = x Þ 1
(x ) là cấp số nhân Þ x = n 1 + u +1 3 u +1 3 n n n 3n n 1 + è n ø . u - 2 1 + n = Û - u = + Û u = n ( ) 2.3n n n 1 3 1 2.3 1 . u +1 3 n n 3n -1 n . ì 1 u = ïï
Bài 25. Cho dãy số (un ) 1 2016 : í . 2015u +1 ï n * u = , n " Î • n 1 + ïî 2016 a) Chứng minh rằng * u < 1, n " Î • . n
b) Lập công thức tổng quát của dãy số (un ) . Hướng dẫn giải a) Chứng minh rằng * u < 1, n " Î • . n 1 Ta có: u = <1 1 2016 .
Giả sử: u <1, (k >1); Cần chứng minh: u <1 k k 1 + . 2015u +1
Ta có: u <1Þ 2015u +1< 2016 k Þ <1Þ u <1. Vậy * u < 1, n " Î • . k k k 1 2016 + n
b)Lập công thức tổng quát của dãy số (un ) . 2015 Đặt x = u - 1 ta có x = - n n 1 2016 . 2015u +1 2015 2015 x = u -1 n = -1 = u -1 = x n 1 + n 1 + ( n ) 2016 2016 2016 n . n Þ ( æ 2015 ö x Þ x = -
n ) là cấp số nhân n ç ÷ è 2016 ø . æ 2015 n ö Vậy * u = 1- , n " Î • .. n ç ÷ è 2016 ø Trang 16 u ì = 2 1 ï
Bài 26. Cho dãy số (u u í = 3
n ) xác định bởi: . 2 u
ï = nu - n-2 u -2n+ 4, n " ³ 3 î n n 1 - ( ) n-2
a) Tìm số hạng tổng quát của dãy (un ) .
b) Tìm số dư khi chia u cho 2015 . 2016 Hướng dẫn giải ìv =1 1 ï
a) Đặt v = u - n ta có: ív =1 . n n 2
ïv = n(v + n -1)-(n - 2)(v + n - 2)-3n + 4 = nv - n- 2 v ,n ³ 3 î n n 1 - n-2 n 1 - ( ) n-2 Khi đó v - v
= (n -1)v - (n - 2)v . n n 1 - n 1 - n-2 Lại có:.
v - v = (v - v ) + (v - v ) +...+ (v - v ) + (v - v ). n 2 n n 1 - n 1 - n-2 4 3 3 2
= [(n -1)v -(n -2)v
+ (n - 2)v -(n -3)v
+...+ (3v - 2v ) + (2v -1v ) n 1 - n-2 ] [ n-2 n 3 - ] . 3 2 2 1
= (n -1)v - v . n 1 - 1
Do đó v = (n -1)v . Hay v = (n -1)(n - 2)v
= ... = (n -1)(n - 2)...1.v = (n -1)!. n n 1 - n n-2 1
Vậy u = (n -1)!+ n . n b) Ta có u
= 2015!+ 2016 chia cho 2015 dư 1. 2016 ìx = 3 1 ï
Bài 27. Xác định công thức số hạng tổng quát của dãy số ( x í x n ) : . n 1 x - = , n " ³ 2 n ï 2 1+ 1+ x î n 1 - Hướng dẫn giải 1 1 1 1 Ta có: = + 1+ 1 . Đặt y =
, khi đó ta được dãy ( y y =
n ) xác định như sau: và 2 x x x n x 1 3 n n 1 - n 1 - n 2
y = y + 1+ y . n n 1 - n 1 - p 1+ cos 1 p p p p Vì 2 3 y =
= cot Þ y = cot + 1+ cot = = cot . 1 2 3 3 3 3 p 2.3 sin 3 p p
Bằng quy nạp ta chứng minh được: y = cot Þ x = tan , n " ³ . 1 n n 1 - n n 1 2 .3 2 - .3 .
1.2. DÃY SỐ CHO BỞI CÔNG THỨC TRUY HỒI. Trang 17 u ì = 2 - Bài 1.
Cho dãy số (u ) biết 1 í
. Xác định số hạng tổng quát của dãy. n
u = 3u -1, n " ³ 2 î n n 1 - Hướng dẫn giải 1 3 1 1
u = 3u -1 Û u - = 3u - Û u - = 3(u - )(1). n n 1 - n n 1 - n n 1 2 2 2 - 2 1 1 5 -
Ñaët v = u - Þ v = u - = n n 1 1 2 2 2 .
(1) Þ v = 3v , n " ³ 2 n n 1 -
Dãy (v ) là cấp số nhân với công bội là q = 3. n - n 5 Nên 1 n 1
v = v .q - = .3 - . n 1 2 1 5 - n- 1 Do đó 1 u = v + = 3 + , n " =1,2,.... n n 2 2 2 Bài 2. a) Tính giới hạn 3 3 2 A = lim
n + n -1 - n . ( ) u ì =11 b) Cho dãy số (u 1 n) xác định bởi : í
. Tìm công thức tính u theo n . u =10u +1-9 , n n " Î î • n n 1 + n Hướng dẫn giải a) Tính giới hạn 3 3 2 A = lim
n + n -1 - n . ( ) 2 n -1 Ta có: 3 3 2 A = lim
n + n -1 - n = lim . ( ) ( 3 2 n + n - )2 3 3 2 2 3 1 + .
n n + n -1 + n 1 1- 2 = lim n . 2 æ 1 1 ö æ 1 1 ö 3 1+ - + 3 1+ - +1 ç 4 6 ÷ ç 3 ÷ è n n ø è n n ø 1 Vậy A = . 3 b) Ta có:. u = 11 = 10 +1 1
u = 10.11+1- 9 = 102 = 100 + 2 . 2
u = 10.102 +1- 9.2 = 1003 = 1000 + 3 3
Dự đoán: u =10n + n n ( )1. Chứng minh:. Ta có: 1
u = 11 = 10 +1, công thức (1) đúng với n = 1. 1 Trang 18
Giả sử công thức (1) đúng với n = k ta có: u = 10k + k . k Ta có: u =10 + k + - k + = + k + k+ (10k ) k 1 1 9 10 1 . 1 ( ) .
Công thức (1) đúng với n = k +1.
Vậy u = 10n + n, n " Î N.. n u ì = 4 1 ï Bài 3.
Cho dãy số (u ) xác định bởi: í 1
. Tìm công thức của số hạng tổng n * u
= (u + 4 + 4 1+ 2u ), n Î ï • n 1 + î 9 n n quát (u ) ?. n Hướng dẫn giải 2 x -1 Đặt 2
x = 1+ 2u Þ x =1+ 2u , x ³ 0 n Þ u = . n n n n n n 2 Thay vào giả thiết:. 2 2 x -1 1 x -1 n 1 + = ( n + 4 + 4x ) 2 2
Û (3x ) = (x + 4) *
Û 3x = x + 4, n
" Î N , x ³ 0. 2 9 2 n n 1 + n n 1 + n n Ta có n 1
3x - x = 4 Û 3 + x - 3n x = 4.3n . n 1 + n n 1 + n Đặt n n *
y = 3 .x Þ y = y + 4.3 , n " Î N . n n n 1 + n n n 1
Þ y = y + 4(3 + 3 - + ...+ 3) 1
Û y = y - 6 + 2.3n+ . n 1 + 1 n 1 + 1
Ta có x = 3 Þ y = 9 Þ y = 3 + 2.3n . 1 1 n 1 1 4 1 Suy ra * x = 2 + , n
" Î N Þ u = (3+ + ), n " Î N .* n n 1 3 - n n 1 - 2n-2 2 3 3 u Bài 4. Cho dãy số (u u =1; n * u = , n " Î • . u
n ) xác định bởi:
Tìm công thức số hạng tổng quát 1 n 1 + 2u +1 n n theo . n . Hướng dẫn giải u 1 1 Ta có * u > 0, n " Î • .Khi đó n u = Û = 2 + .. n n 1 + 2u +1 u u n n 1 + n 1 Với mọi *
n Î • ,đặt v =
Þ v = 1; v = v + 2, * n " Ε .. n 1 u n 1 + n n Suy ra, dãy số (v v = 1 d = 2.
n ) là cấp số cộng có và công sai . 1
Do đó, v = v + n -1 d = 2n -1, * n " Ε . n 1 ( ) . 1 1 Vậy u = = .. n v 2n -1 n Bài 5.
Cho dãy số (u ) xác định bởi: u =1; n * u = 2u + 3 , n
" Î • . Tìm công thức số hạng tổng quát un n 1 n 1 + n theo n . Trang 19 Hướng dẫn giải Với mọi * n Î • , ta có. n n 1 u
= 2u + 3 Û u - 3 + = 2(u - 3n). n 1 + n n 1 + n
Xét dãy số (v ), với n *
v = u - 3 , n
" Î • . Ta có: v = 2v . Do đó, dãy số (v ) là một cấp số nhân có n n n n 1 + n n
công bội q = 2 và số hạng đầu bằng 2. - . Suy ra n 1 v v .q - = = 2 - .n. n 1
Vậy u = v + 3n = 3n - 2 .n. n n 3 æ n + 4 ö Bài 6.
Cho dãy số (u ) xác định bởi: * u = 1;u = u - , n
" Î • . Tìm công thức số hạng n 1 n 1 + ç n 2 ÷ 2 è n + 3n + 2 ø
tổng quát u theo n . n Hướng dẫn giải Với mọi * n Î • , ta có. n + 4 2 3 2u = 3(u - ) Û 2u = 3(u + - ). n 1 + n n 1 (n +1)(n + 2) + n n + 2 n +1 3 3 3 3 3 Û 2(u - ) = 3(u - ) Û u - = (u - ).. n 1 + n n 1 n + 2 n +1 + n + 2 2 n n +1 3 3 1
dãy số (v ),v = u -
là cấp số nhân có công bội q = và v = - . n n n n +1 2 1 2 n 1 - n 1 3 1 3 1 æ 3 - æ ö æ ö * ö * v = . - , n " Î • Þ u = - , n " Î • . n ç ÷ ç ÷ ç ÷ è 2 ø è 2 n ø n +1 2 è 2 ø u ì = 3 1 ï Bài 7.
Cho dãy số (un) xác định bởi: í 5u - 3 . n * u = , n Î • n 1 + ï 3u -1 î n u +1 Xét dãy số (v n v = , * n " Ε . (vn ) n ) với . Chứng minh dãy số
là một cấp số cộng. Tìm số hạng n u -1 n
tổng quát của dãy số (un ).. Hướng dẫn giải u +1 v +1 Ta có n n v = Þ u =
thay vào hệ thức truy hồi ta có. n u -1 n v -1 n n v +1 5. n - 3 v +1 v -1 v +1 2v + 8 v +1 2v + 8 n 1 + n = n 1 + n Þ = n 1 + n Þ = . v -1 v +1 v -1 2v + 4 2 4 1 + 3. n n -1 n 1 + n v -1 n hay v = v +
3 và v = 2. Suy ra dãy số (v v = 2 d = 3.
n ) là một cấp số cộng có và công sai . n 1 + n 1 1 Trang 20
Ta có v = v + n -1 d = 2 + 3 n -1 = 3n -1. n 1 ( ) ( ) . 3n -1+1 3n Do đó u = =
. Thử lại thấy dãy số này thỏa mãn. n 3n -1-1 3n - 2 3n
Vậy số hạng tổng quát của dãy số (u u = * n Î • . n ) là . n 3n - 2 Bài 8.
Cho dãy số (u ) xác định bởi:. n u ì = 4 1 ï í 1 . * u
= (u + 4 + 4 1+ 2u ), n Î ï • n 1 + î 9 n n
Tìm công thức của số hạng tổng quát (u )?. n Hướng dẫn giải 2 x -1 Đặt 2
x = 1+ 2u Þ x =1+ 2u , x ³ 0 n Þ u = . n n n n n n 2 Thay vào giả thiết:. 2 2 x -1 1 x -1 n 1 + = ( n + 4 + 4x ) 2 9 2 n 2 2
Û (3x ) = (x + 4) . n 1 + n *
Û 3x = x + 4, n " Î N , x ³ 0 n 1 + n n Ta có n 1
3x - x = 4 Û 3 + x - 3n x = 4.3n . n 1 + n n 1 + n Đặt n n *
y = 3 .x Þ y = y + 4.3 , n " Î N . n n n 1 + n n n 1
Þ y = y + 4(3 + 3 - +...+ 3) n 1 + 1 . n 1
Û y = y - 6 + 2.3 + n 1 + 1
Ta có x = 3 Þ y = 9 Þ y = 3 + 2.3n . 1 1 n Suy ra. 1 * x = 2 + , n " Î N n n 1 3 - . 1 4 1 * Þ u = (3+ + ), n " Î N n n 1 - 2n-2 2 3 3
1.3. PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC TRƯNG. u Bài 1. Cho dãy số (u
u =1, u = 2, u
= u + 2u , n ³1. 1 lim n+ n ) xác định bởi Tìm . 1 2 n+2 n n 1 + n®+¥ un Hướng dẫn giải Trang 21
Dễ thấy dãy đã cho là dãy số dương, do đó không có số hạng nào của dãy bằng 0. Từ công thức truy hồi u u n+2 n của dãy ta có = 2 + , n ³ 1.. u u n 1 + n 1 + u 1 Đặt n 1 v + = , n ³ , t
1 a được dãy số v = 2,v = 2 + , n ³ 1.. n u 1 n 1 + v n n Dễ thấy dãy (v v ³ 2, n " ³1
n ) là dãy số dương và . Do đó. n 1 1 1 5 5 £ Þ 2 + £ Þ v £ , n " ³ 5
1. Vậy ta có 2 £ v £ . n 1 v 2 v 2 + 2 n 2 n n é ù 1
Xét hàm số f ( x) 1 5 = 2 + , x Î 2;
. Ta có f '(x) = - < 0," .
x Do đó có hai dãy con đơn điệu của dãy x ê 2ú ë û 2 x (v a = lim v b = lim v
n ) và hai dãy con này đều bị chặn nên chúng có giới hạn. Giả sử và thì ta có 2n + n®+¥ 2n 1 n®+¥ hệ. ì 1 éa = b =1+ 2 a = 2 + ïï b éa = b ê í Û Û ê êa = b =1- 2 . 1 ï ëab =1 b = 2 ê + ab = 1 ïî a êë
Ta thấy chỉ có a = b =1+ 2 thỏa mãn và đây là giới hạn cần tìm. 2 u ì
+ 4u - 4u = 0, n " ³ 1 n 1 + n n ï Bài 2.
Tìm số các dãy số (un ) thỏa mãn điều kiện: í . 1 u = ï 2004 î 2 Hướng dẫn giải Viết lại u
= 4u 1– u = f u
f (x) = 4x(1– x) n 1 + n ( n ) ( n) với .
Nhận xét: f (x)Î(0; ) 1 Þ xÎ(0; ) 1 .. Vì vậy: u = 1 Î(0; ) 1 Þ u Î 0;1 Þ u Î 0;1 Þ....u Î 0;1 . 2003 ( ) 2002 ( ) 1 ( ) . 2004 2 p Với 0 < u <
1 tồn tại duy nhất a: 0 < a < và 2 u = sin a . 1 2 1 Lúc đó: 2 2 2
u = 4sin a(1– sin a) = sin 2a ; 2 2 2
u = 4sin 2a 1
( – sin 2a) = sin 4a . 2 3 1 1 Quy nạp ta được: 2 n 1 u sin (2 - = a) = n - o c s(2 a ). n 2 2 1 1 u = 1 2004 Û - os c (2 a) = 1 . 2004 2 2 2 2 p p Û 2004 2004 os c (2
a) = 0 Û 2 a = + kp Û a =
(2k +1), k Î Z.. 2005 2 2 p p p 1 1 Vì 0 < a < nên 2003 0 < (2k +1) < Û - < k < 2 - . 2 2005 2 2 2 2 Trang 22
Do k Î Z nên: 2003 k = 0;1;2;...;2 – . 1 é p ù Từ đó có tất cả 2003 2 giá trị u 2 2003
1 thỏa bài toán: u = sin
(2k +1) , k Î{0;1;....;2 -1}. 1 ê 2005 2 ú ë û Do đó có tất cả 2003 2
dãy số (un ) thỏa điều kiện đã cho. Bài 3.
Cho x , x ,..., x ,... là các nghiệm dương của phương trình tan x = x được sắp theo thứ tự tăng 1 2 n
dần. Tính lim (x - x n n 1 - ) . n®+¥ Hướng dẫn giải æ p p ö 1
Xét hàm số f (x) = tan x - x , với x Î - + kp ; + kp . Ta có f '(x) =
-1³ 0 => f (x) tăng từ ç ÷ è 2 2 ø 2 os c x -¥ đến +¥ . æ p p ö
Suy ra: trong khoảng - + kp ; + kp phương trình tan x = x có nghiệm duy nhất x . ç ÷ è 2 2 ø k æ p p ö p
x = y + kp với y Î - ;
=> tan y = tan x = y + np ® +¥ => lim y = . k k k ç ÷ è 2 2 ø n n n n n®+¥ 2 lim (x - x
lim ( y + np )-( y + n -1 p lim (p + y - y = p n n 1 - ) n n 1 - ( ) )) n n 1 - ) = = . n®+¥ n®+¥ n®+¥ u ì = 2014 Bài 4.
Cho dãy số (u ) xác định như sau: 1 í . Tìm điều kiện của n 2 2 u
= u + (1- 2a)u + a n " =1,2,... î n 1+ n n
a Î ! để dãy số (u ) có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó. n Hướng dẫn giải Ta có: 2 u
- u = (u - a) ³ 0 Þ u ³ u ; n " =1,2,3, . ... n 1 + n n n 1 + n
* Suy ra dãy số (u ) tăng; từ đó dãy số (u ) có giới hạn hữu hạn khi và chỉ khi dãy bị chặn trên. n n
Giả sử tồn tại limu = L (LÎ! ), thì chuyển qua giới hạn hệ thức 2 2 u
= u + (1- 2a)u + a ta có: n n 1 + n n 2 2
L = L + (1- 2a)L + a Û L = a. - Nếu có chỉ số *
k Î • mà u > a thì u > ; a n
" ³ k nên L > a trái với kết quả limu = L = a. k n n
Do đó: u £ a với mọi k = 1, 2,... hay 2 2
u - (1- 2a)u + a £ a, n " =1,2,3,... nói riêng k n n 2 2
u - (1- 2a)u + a £ a Û a -1£ u £ a Û a -1£ 2014 £ a từ đó ta được 2014 £ a £ 2015 . 1 1 1
* Đảo lại: Nếu 2014 £ a £ 2015 Û a -1£ u £ a . 1 2 2
Þ (u - a +1)(u - a) £ 0 Þ u + (1- 2a)u + a - a £ 0 Þ u £ a . 1 1 1 1 2
và u £ u Þ a -1£ u £ a . 1 2 2
Bằng quy nạp ta chứng minh được a -1£ u £ , a n
" =1,2,3,... (H/s trình bày ra). n
Như vậy dãy (u ) tăng, bị chặn trên bới a , do đó dãy (u ) có giới hạn hữu hạn. n n Trang 23
Kết luận: Với điều kiện 2014 £ a £ 2015 thì dãy số (u ) có giới hạn hữu hạn và limu = a. n n Bài 5. Cho hai dãy số (a (bn ) n ) và
được xác định như sau:. 2a .b a = 2,b =1, n n a = ; b
= a .b , n =1,2, . … 1 1 n 1 + a + b n 1 + n 1 + n n n Chứng minh rằng (a (bn ) n ) và
có cùng giới hạn, tìm giới hạn đó. Hướng dẫn giải
Bằng quy nạp, ta chứng minh rằng:. p p 2 .nsin 2 .nsin 2 .3 n n a = 2 .3 b = n ( )1; (2). p p n p sin .cos sin 3 2 .3 n 3
Từ (1), (2) tồn tại lim a và lim b . n n n®+¥ n®+¥ p p 2 .nsin n 2 3p Ngoài ra: 2 .3 3 lim a = lim = = . n n®¥ n®¥ p p p 9 sin .cos sin 3 2 .3 n 3 p 2 3p
lim b = lim a .lim cos = . n n ®¥ ®¥ ®¥ 2 .3 n n n n 9 2 3p
Vậy hai dãy {a }, b n
{ n} có cùng giới hạn chung là . 9 ì 1 x = ï 1 ï Bài 6. Cho dãy số (x 2 n) thỏa mãn: í
. Chứng minh dãy số trên có giới hạn. 2 x ï n x = x + ; n " ³1 n 1 + n 2 ïî n Hướng dẫn giải n(n + ) 1 *) Ta chứng minh 2 x + n ³ với mọi n ³ 1 (1). n 2
Thật vậy: n = 1 đúng. k (k + ) 1
Giả sử (1) đúng với n = k ³ 2 1: x + k ³ . k 2 2 x Þ x x + k +1 k = x + + k +1 k
x + k + k +1 2 ( k ) ( )2 2 k 1 + ( )2 k 2 ( )2 = . k k æ k +1 ö k (k + ) 1 (k + )2 3 1 k (k + ) 1 ³ -1 + (k + ç ÷ )2 1 ³ - . è k 2 ø 2 2 2 Trang 24 k +1æ 3(k + ) 1 ö (k + ) 1 (k + 2) ³ ç - k ³ (đpcm). ÷ 2 è 2 ø 2
*) Ta chứng minh (xn ) có giới hạn. NX: (x x > 0 n n ) tăng và với mọi . n 1 1 1 2 1 1 æ 1 ö 1 Ta có - = £ Þ - £ 2 1- < 2 Þ x < với mọi n ³ 1. 2 ç ÷ x x x + n n n +1 x x è n ø n 2 - 2 n n 1 + n ( ) 1 n
Vậy (xn ) có giới hạn. Bài 7.
Tam giác mà 3 đỉnh của nó là ba trung điểm của ba cạnh tam giác ABC được gọi là tam giác
trung bình của tam giác ABC..
Xây dựng dãy các tam giác A B C , A B C , A B C ,.... sao cho tam giác A B C là một tam giác đều 1 1 1 2 2 2 3 3 3 1 1 1
cạnh bằng 1 và với mỗi số nguyên n ³ 2, tam giác A B C là tam giác trung bình của tam giác n n n
A B C . Với mỗi số nguyên dương n , kí hiệu r tương ứng là bán kính của đường tròn ngoại tiếp n 1 - n 1 - n 1 - n
tam giác A B C . Chứng minh rằng dãy số (rn ) là một cấp số nhân. Hãy xác định số hạng tổng quát của n n n cấp số nhân đó?. Hướng dẫn giải 1 1 + (r q = r = .
n ) là một cấp số nhân với công bội và số hạng đầu . 2 1 3 1
+ Số hạng tổng quát: r = .. n n 1 3.2 - Bài 8. Cho dãy số (a a =1 a = a + 2n -1 n ³ 1. (bn )
n ) được xác định bởi: và với mọi Xét dãy số 1 n 1 + n
mà: b = a - a với mọi n ³ 1. n n 1 + n
a) Chứng minh rằng dãy số (bn ) là một cấp số cộng. Hãy xác định số hạng đầu và công sai của cấp số cộng đó.
b) Cho số nguyên dương N . Hãy tính tổng N số hạng đầu tiên của dãy số (b N n ) theo . Từ đó, hãy suy
ra số hạng tổng quát của dãy số (an ).. Hướng dẫn giải
a) Từ giả thiết Þ b = 2n -1Þ b b = 1 d = 2. n
( n) là một cấp số cộng với số hạng đầu và công sai . 1
b) + Tổng N số hạng đầu của dãy (b 2 S = N . n ) là: . N
+ Số hạng tổng quát của dãy (a 2
a = n - 2n + 2. n ) là: . n u ì = 1, - u = 2,u = 40 1 2 3 ï Bài 9. Cho dãy số (u 2 2 í -
n ) được xác định bởi 10u .u 24u .u . n 1 - n-3 n 1 - n-2 u = n " = 4,5,6,... ï n u .u î n-2 n-3 Trang 25
Tìm số n nhỏ nhất để u chia hết cho 2048. n Hướng dẫn giải 2 u 10u .u - 24.u 10u 24u u
Từ công thức truy hồi cuả dãy n n 1 - n-3 n-2 n 1 - n-2 = = - , đặt n v = , thì dãy ( v ) u u .u u u n u n n 1 - n-2 n-3 n-2 n-3 n 1 - v ì = 2,v = 20 xác định bởi 2 3 í .
v =10v - 24v , n = 4,5,6... î n n 1 - n-2
Phương trình đặc trưng : 2
x -10x + 24 = 0, từ đó suy ra : n 1 - n 1 v 6 4 - = - . n (n 1 - )n n 1 - n 1 - n-2 n-2 2
u = v .v .v ....v = 2 (3 - 2 ).(3 - 2 )...(3- 2). n n n 1 - n-2 2 (n 1 - )n Do n 1 - n 1 - n-2 n-2 (3 - 2 ).(3
- 2 )...(3- 2) là số là số lẻ nên 2 u !2048 Û 2 !2048. n n(n -1) Þ ³11 Û n ³ 6. 2
Vậy n = 6 là giá trị cần tìm thỏa mãn điều kiện bài toán.
1.6. SỬ DỤNG PHÉP THẾ LƯỢNG GIÁC U ì = 3 1 ïï Bài 1. Cho dãy số (U í U + 2 -1 U n ( ) * n ) định bởi . Tính . U = ; n = 1, 2,3,... 2013 n 1 + ï 1+ ïî (1- 2)Un Hướng dẫn giải. p Tính đúng tan = 2 - . 1 8 p 2.tan p æ p ö 8 p 1 = tan = tan 2 = Þ tan = 2 -1. ç ÷ 4 è 8 ø p 2 8 1- tan 8 p U + tan n Từ ( ) * ta viết được 8 U = 1 n 1 + ( ). p 1-U .tan n 8 ép p ù Theo quy nạp từ ( )
1 và U = 3 Þ U = tan + n - n ( )1. . 1 ê 3 8 ú ë û æ p p ö æ 6047p ö Vậy U = tan + 2013. = tan . 2013 ç ÷ ç ÷ è 3 8 ø è 24 ø Trang 26 u ì = 2 1 ï Bài 2.
Cho dãy số xác định như sau: u + 2 - 3 í u n * . Tính . u = n Î • 2014 n 1 + ï 1+ î ( 3-2) ( ) un Hướng dẫn giải. p p tan - tan p æ p p ö 3 -1 Ta có: 3 4 tan = tan - = = = 2 - 3 . ç ÷ 12 è 3 4 ø p p 1+ 3 1+ tan tan 3 4 p u + tan n
Nên từ giả thiết ta có: 12 u = . n 1 + p 1- u .tan n 12 p tana + tan æ p ö
Đặt 2 = tana Þ u = tana , suy ra 12 u = = tan a + . 1 2 p ç ÷ è 12 1 tana.tan ø - 12 æ p ö
Theo quy nạp ta dễ dàng suy ra: u = a + n - n " Î • n ç ( ) * tan 1 , . ÷ è 12 ø æ p ö æ p ö Suy ra: u = tan a + 2013. = tan a +168p - . 2014 ç ÷ ç ÷ è 12 ø è 4 ø p tana - tan æ p ö 1 4 = tan a - = = . ç ÷ è 4 ø p 3 1+ tana.tan 4 1.7. CÁC DẠNG KHÁC Bài 1. p ìåx = 4 ï i i 1 = ï p ï a/Tìm *
p Î N sao cho hệ 1 íå x- = 4 có nghiệm. 1 i 1 = ï ïx > 0, i " Î1, p i ï î
b/Với p tìm được ở câu a/,hãy xác định tập hợp tất cả các giá trị của tổng:. p a p i với a > và 2 åa = .1 å 0 2 - i i i 1 = 1 ai i 1 = HƯỚNG DẪN GIẢI Câu a. Trang 27 p p æ ö æ 1 ö Do: 2 16 = å x . ç
÷ çå ÷ ³ p Þ p £ 4. i
è i 1= ø è i 1= xi ø
p = 4 :Khi đó: x =1,i 1
Î ,4. Vậy hệ có nghiệm. i ìx + x = 3
p = 3:Chọn x =1 và 2 3 í
có nghiệm. Nên (x , x , x 1 2 3 ) là nghiệm của hệ. 1 x .x = 1 î 2 3 ìx + x = 4 p = 2 : 1 2 í
có nghiệm. Nên (x , x 1 2 ) là nghiệm của hệ. x .x = 1 î 1 2 p = 1:Vô nghiệm.
Vậy hệ có nghiệm khi p = 2, p = 3, p = 4. Câu b p 2 a
Ta có: f (a ,a ,...,a = i å 1 2 p ) . 2 - i 1 = a (1 a ) i 1 1 2
Xét hàm: g (x) = x( 2
1- x ),0 < x <1; g¢(x) = 0 Û x =
. Ta có: max g(x) = . 3 (0;1) 3 3 3 3 p 3 3 p
Do đó: f (a ,a ,...,a 2 ³ åa = . =1 hay p = 3. 1 2 p )
Dấu đẳng thức xảy ra khi: . 2 i i 1 = 2 3 a a 1 p = : f ( 1 2 a , a = + ³ 2 ³ 2 2 2 2 a + a = 1 a = a = 1 2 ) 1 2 vì . Dấu đẳng thức ra khi , 2 2 a a 1 2 xảy a .a 1 2 2 1 2 1 2 2 a 1- a 1 1
f (a , a ) = + liên tục trên (0 )
;1 . Khi a ® 0thì f (a , a ) ® +¥.Vậy p = 2, tập giá trị là: 1 2 2 2 1- a a 1 1 2 1 1 é2 2;+¥ ë ).. 1
p = 3:Chọn a = 1- 2x ; a = x ; a = x , 01 2 3 2 1- 2x x x 1 2 2 2
a + a + a = 1- 2x + x + x = 1. f(a , a , a ) = + + = g(x) tục trên (0; ); 1 2 3 1 2 3 2x 1- x 1- x liên 2 æ 1 ö 3 3 é3 3 ö g =
, limg(x)=+¥.Vậy tập giá trị là: ê ;+¥ ÷. ç ÷ ®0 è 3 ø 2 x 2 ÷ ë ø 3 3
p = 4 : f (a ,a ,...,a > .
a = 1- 2x ; a = x ; a = x , a = x 1 2 p ) Chọn thỏa giả thiết: 2 1 2 3 4 - 2 2 2 2 1 2x x x x
a + a + a + a = 1- 3x + x + x + x = 1
1với 0a , a , a ) = + + + = g(x) 1 2 3 4 3 1 2 3 4 2x
1- x 1- x 1- x 1 3 3 é ö
liên tục trên (0; ); limg(x)= ; limg(x)=+¥ 3 3 .Tập giá trị là: ê ;+¥ ÷. 3 1 0 2 x ÷ x ® ® 2 ë ø 3 Trang 28 n 1 -
Bài 2. Kí hiệu H là tập hợp các đa thức bậc n dạng: f (x) n i
= x + åa x , a ÎR. Chứng minh: n i i i=0 f x = n f H - Î n {xÎ - } 1 min max | ( ) | [ ] 1 1;1 . 2 HƯỚNG DẪN GIẢI
Xét đa thức Trêbưsép T (x) = cos( . n arccosx).
Chứng minh T (x) là đa thức bậc n có hệ tử bậc n là –1 2n .
Chứng minh bằng quy nạp dựa vào công thức: cosnt + cos(n - )
1 t = 2cost.cos(n - ) 1 t . T (x) T (x) 1 1 Do đó: Î H . Ta có max =
. Nếu tồn tại f (x)Î H sao cho f (x) £ ,. n 1 2 - n n 1 - n 1 2 2 - n 1 2n- T (x) x " Î[ 1 - ; ]
1 . Lúc đó ta xét g (x) = f (x) -
đa thức bậc nhỏ hơn hay bằng n –1, g (x) đổi dấu n +1 1 2n- kp lần tại các điểm cos , k = 0, n. n 1 1
Do đó maxf (x) ³
. Vậy min max | f (x) | = . n f H - Î n {xÎ - } 1 2n- [ ] 1 1;1 2
Bài 3. Cho dãy số (x x = 0
n ) không âm thỏa mãn , 1 và (n + )2 2
1 x + 2n + 4 n +1 x + 2n+ + 2 n- = 9n x + 36nx + 32 n " ³1 n 1 + ( )( ) 1 2 2 2 2 , . n 1 + n n
Chứng minh rằng x là số nguyên với mọi nguyên tố lớn hơn hoặc bằng 5 . n HƯỚNG DẪN GIẢI 2
Viết lại đẳng thức trong đầu bài về dạng é(n + ) 1 x
+ 2n- + 2ù = nx + ë n+ (3 6 û n )2 1 1 .
Từ x không âm dẫn đến (n + ) n 1
1 x + 2 - + 2 = 3nx + 6, với mọi n . n n 1 + n
Biến đổi về (n + )
1 x - 2n + 2 = 3 nx - - + n+ ( n 1 2 2 1 n ),.
Bài 4. Cho dãy số dương {x x + x > 2x n ³ 1 n} thoả mãn: với mọi số tự nhiên . Chứng minh rằng n n 1 + n+2 dãy {xn} hội tụ. Hướng dẫn giải
Đặt y = max x x n { ;n n+ }.. 1
Từ (1) và (2) suy ra y ³ y > 0; * n " Ε Þ a $ = lim(y ). n n 1 + n
Với e > 0 tuỳ ý, khi n đủ lớn, ta có e > y - a ³ 0. n
Nếu y > a thì e > y - a ³ x - a > 0. n n n
Nếu x £ a thì x < a £ y = x . n n 1 + n 1 - n 1 - Mà x + x
> 2x > 2a Þ x + x > 2a Þ a > x > 2a - x > a -e .. n n 1 - n 1 + n n 1 - n n 1 - Trang 29
Tóm lại, cả hai trường hợp đều dẫn đến x - a < e . n
Vậy dãy số {xn} hội tụ.
Bài 5. Cho phương trình 2
x -a x -1 = 0 với a là số nguyên dương. Gọi b là nghiệm dương của
phương trình. Dãy số (xn ) được xác định như sau:. x = a, x
= b x , n = 0,1,2,3,... n 1 + [ n] . 0
Chứng minh rằng tồn tại vô hạn số tự nhiên n sao cho x chia hết cho a . n Hướng dẫn giải
Đầu tiên ta chứng minh b là số vô tỉ. Thật vậy, nếu b là số hữu tỉ thì b là số nguyên (do hệ số cao nhất của 2
x là 1) và b là ước của 1. Do đó b = 1 suy ra a = 0 , trái giả thiết. Do đó [b x
< b x < b x +1 n 1 - ] n 1 - [ n 1-] .
Û x < b x < x + . 1 n n 1 - n x x 1 1 x n n Þ < x < + n Þ x - < < x . n 1 b - b b n 1 - n 1 b b - é x ù n Þ = x -1 (1). Lại có 2 b -ab -1= 1 0, suy ra b = a + . ê ú n 1 ë b - û b x é x ù é x ù n Þ b x = a x + n Þ x = a x + n = a x +
= a x + x -1 (do (1)). n n b n 1 + ê n b ú ê ú ë û n n n 1 ë b - û Vậy x
º x -1 (moda). Từ đó bằng quy nạp ta có với mọi *
k Î • , n ³ 2k +1, thì n 1 + n 1 - x º x - (k +1) (moda) (2). n 1 + n-(2k 1 + )
Chọn k + = la ( * 1
l Ε ), n +1= 2la , từ (2) ta có x º x -la =a -la º 0 (moda). 2la 0
Vậy x chia hết cho a , * l " Î • .. 2la
Bài 6. Cho dãy (an ) với n > 0 được xác định bởi:.
ìa = 1;a = 2;a = 6;a = 12 1 2 3 4 í a = 2a + a - 2a - a "n ³ 1 î n+4 n+3 n+2 n 1 + n
a) Chứng minh a chia hết cho n với mọi giá trị nguyên dương của n . n a
b) Đặt b = n . Chứng minh tồn tại vô số số nguyên dương n để 2015 là một ước của b .. n n n Hướng dẫn giải
a) Ta có b =1; b =1; b = 2; b = 3. 1 2 3 4
Dễ thấy b = F với n = 1;2;3;
4. Bằng quy nạp ta chứng minh dãy (b (Fn ) n ) trùng với dãy . n n Thật vậy:. Trang 30
Mệnh đề đúng với n = 1;2;3;
4. Giả sử mệnh đề đúng đến n + 3 . Khi đó ta có:.
(n+4)b = 2 n+3 F + n+2 F -2 n+1 F -nF . n+4 ( ) n+3 ( ) n+2 ( ) . n 1 + n
Dùng công thức của dãy Fibonaci : F
= F + F ta dễ dàng biến đổi vế phải thành (n + 4) F . m+2 m 1 + m n+4 suy ra b = F .. n+4 n+4
Vậy mệnh đề đúng với n + 4 , do đó nó đúng với mọi n nguyên dương.
Điều đó chứng tỏ a luôn chia hết cho n với mọi n nguyên dương. n
b) Gọi r là số dư của b cho 2015 với n = 1;2;3.... n n
Trước tiên ta chứng minh
(rn) là một dãy tuần hoàn. Thật vậy: Ta có b
= b +b Þ r º r + r mod 2015 . n+2 n 1 + n n+2 n 1 + n ( ) .
Vì có vô hạn các cặp (r ;r , (r ;r , (r ;r n n 1 + ) 2 3 ) 1 2 ) .,
nhưng chỉ nhận hữu hạn giá trị khác nhau nên tồn tại ít
nhất hai phần tử của dãy trùng nhau. Ta giả sử là (r ;r = r ;r T m m 1 + )
( m T+ m T+ 1+) (với là một số nguyên dương). Ta chứng minh (r T.
n ) tuần hoàn với chu kỳ . +) Ta có: r
º r + r mod 2015 ; r = r + r mod 2015 m T + +2 m T + 1 + m T + ( ) m+2 m 1 + m ( ) . Þ r º r mod 2015 Þ r = r . m+2 m T + +2 ( ) . m+2 m T + +2
Tiếp tục như vậy ta chứng minh được: r = r
với mọi k ³ 0. (1). m+k m T + +k +) Ta có: r
º r - r mod 2015 ; r º r - r mod 2015 m T + 1 - m T + 1 + m T + ( ) m 1 - m 1 + m ( ) . Þ r º r mod 2015 m 1 - m T + 1 - ( ). Þ r = r .. m 1 - m T + 1 -
Bằng quy nạp ta chứng minh được: r = r
với k = 1;2;3;...;m -1 .(2). m-k m T + -k
Từ (1) và (2) suy ra (r n > n ) , 0là một dãy tuần hoàn. Bổ sung vào dãy (b b = 0 b + b = b r = 0. n ) phần tử thỏa mãn suy ra . 0 0 1 2 0 Khi đó dãy (r r = 0.
n ) là dãy tuần hoàn bắt đầu từ phần tử đầu tiên
Do đó tồn tại vô số phần tử trong dãy 0
(rn) bằng 0.Như vậy câu b) được chứng minh xong.
Bài 7. Cho dãy số (u
u = 0, u =1, u
= 2u + u , n = 0,1,2,...
n ) được xác định như sau: Chứng minh 0 1 n+2 n 1 + n rằng 2014 2
u khi và chỉ khi 2014 2 n. n Hướng dẫn giải 1 n n
Công thức tổng quát u = + - - n 2 2 ( 1 2 ) (1 2) . ) Trang 31 n n Đặt (1+ 2) = , a (1- 2) = Þ = (- ) 1 n b ab . 1 1 Ta có u = a - b u =
a - b = u a + b n ( 2 2 2 ) n ( ) n ( ), . 2 2 2 2 n n
Đặt S = a + b = + + - (S S = 2, S = 6, n ) n
(1 2) (1 2) . Khi đó ta được dãy được xác định như sau: 1 2 S
= 2S - S , n =1,2,.... n+2 n 1 + n Do
S º 2 mod 4 , S º 2 mod 4 S º 2(mod 4 n ) 2 ( ) 1 ( )
nên bằng quy nạp ta được: hay
a + b º 2(mod 4) Þ a + b = 2t,(t,2) = . 1
Do đó u = 2u .t, t,2 =1 2n n ( ) .
Giả sử n = 2k.t, (t,2) =1 k
Þ u = u = u A u , A k 2 . . , trong đó đều lẻ. n 2 . t k t t k
Bài 8. Cho dãy số (a a Ε 3 a = a + 2019, * n " Ε n ) * : ,
. Chứng minh có nhiều nhất 1 số hạng của 1 n 1 + n
dãy là số chính phương. Hướng dẫn giải
So sánh đồng dư của a , a và a theo modun 4 ta có (chú ý 2019 º 3(mod 4)). n n 1 + n+2 a 0 1 2 3 n a 3 0 3 2 n 1 + a 2 3 2 3 n+2
Một số chính phương khi chia 4 có số dư là 0 hoặc 1.
Vì vậy từ số hạng thứ 3 trở đi, dãy không có số chính phương nào.
Nếu cả a và a đều chính phương, giả sử 2 a = a , 2 a = b ,. 1 2 1 2 suy ra 2 6
b = a + 2019 Û ( 3 b - a )( 3 b + a ) = 2019.
Hơn nữa khi phân tích 2019 thành tích chỉ có 2 cách 2019 = 1.2019 = 3.673 . 3 b ìï - a =1 b ì =1010 Trường hợp 1: í Û í
, vô lí do 1009 không là lập phương. 3 b ïî + a = 2019 3 îa =1009 3 b ìï - a = 3 b ì = 338 Trường hợp 2: í Û í
, vô lí do 335 không là lập phương. 3 b ïî + a = 673 3 îa = 335
Vậy điều giả sử sai, nghĩa là dãy trên có nhiều nhất 1 số chính phương. u ì Î N n u ï - u - u Î{0;1} m+n m n ïï
Bài 9. Cho dãy (u u í = 0 u
n ) thỏa mãn các điều kiện sau : . Tìm . 2 2013 u ï > 0 3 ïuï =3333 î 9999 Trang 32 Hướng dẫn giải Ta có : u
= u + u +e (e Î{0;1}). m+n m n
Bằng quy nạp ta chứng minh được u
³ u + u +...+ u , với mọi n ,n ,...,n . + + + 1 n 2 n ... k n 1 n 2 n k n 1 2 k
Ta có: u ³ u + u Þ u = 0. 2 1 1 1
u = u + u + e = 0 + e Þ u = . 1 3 2 1 3
Ta chứng minh rằng nếu n < 3333 thì u = n (1). 3n Thật vậy:.
Với n = 1 thì (1) đúng. Ta có u ³ . n u = , n n " . 3n 3
Giả sử, tồn tại n < 3333, mà u > n Þ u = u
³ u + u > n +1, điều này chứng tỏ, với mọi 0 3 + + 0 n 0 3( 0 n 1) 3 0 n 3 3 0 n 3 0
n ³ n thì u > n. Điều này mâu thuẫn với u = 3333. 0 3n 9999
Vậy, với n < 3333 thì u = . n . 3n Do đó u = . 671 2013 17 1
Bài 10. Cho dãy số x xác định bởi: 2 x = 5; x = ; x
= x .x - 2x - 4 n n . Tìm chẵn thỏa mãn 1 2 n 1 + n n 1 2 4 - n
n Î N * và[x + n ]
3 là lập phương của 1 số tự nhiên. Hướng dẫn giải Nhận xét thấy :. 1 1 - + 4 2 1 - + 4 2 1 2 1 x = 2 + = + - ; x 2 - ;. 1 1 1 2 2 1 2 1 + 2 1 2 2 + n- + 4 Khi đó, giả sử : 1 2 1 x = 2 + " £ Î - n k k N n n ; *.. 1 2 1 2 + k + 4 Cần chứng minh: 2 1 x = 2 + k + k .(1) thật vậy ta có. 1 2 1 2 + 1 1 k 1 - + 4 k-2 + 4 k 1 - + 4 2 2 1 2 1 2 2 1 x = x x - 2x - 4 = (2 + + - + - k + k k - k k- )(2 k- ) 2(2 k- ) 4 . 1 1 1 2 1 2 1 + 2 1 + 2 1 4 4 2 2 2 + k + 4 = 2 1 2 + suy ra (1) đúng. 2k 1 2 + Þ n- + 4 1 2 1 x = 2 + " Î - n N n n * 1 2 1 2 + . Khi đó [x - + + = + n [x + n ] 3 n ] n 1 2 1 3 2
3, giả sử tồn tại chẵn để
là lập phương của 1 số tự nhiên:. Khi đó n 1 2 - 1 + 3 2
+ 3 = c . Mặt khác n chẵn suy ra n -1 lẻ suy ra n 1 2 - +1! 3 khi đó đặt. Trang 33 n 1 2 - 1 + 3 2 = 2 k Þ 3k 3 2 + 3 = c Þ ( k - )( 2 k 2 2 + .2 + 2 k c c c )= 3mà 2 k 2
+ .2 + 2 k > - 2k c c c nên:. k 2 k 2 - 2 =1; + .2 + 2 k c c c
= 3 (2). Giải hệ (2) ta được hệ không có nghiệm nguyên với mọi k > 0 suy ra không tồn tại n chẵn.
Vậy không tồn tại n chẵn để [x + n ]
3 là lập phương của một số tự nhiên.
Bài 11. Cho dãy số (u
u = 0, u =1, u
= 2u + u , n = 0,1,2,...
n ) được xác định như sau: Chứng minh 0 1 n+2 n 1 + n rằng 2014 2
u khi và chỉ khi 2014 2 n. n Hướng dẫn giải 1 n n
Công thức tổng quát u = + - - n 2 2 ( 1 2 ) (1 2) . ) n n
Đặt (1+ 2) = , (1- 2) = Þ = (- ) 1 n a b ab . 1 1 Ta có u = a - b u =
a - b = u a + b n ( 2 2 2 ) n ( ) n ( ), . 2 2 2 2 n n
Đặt S = a + b = + + - (Sn) n
(1 2) (1 2) . Khi đó ta được dãy
được xác định như sau:
S = 2, S = 6, S
= 2S - S , n =1,2,.... 1 2 n+2 n 1 + n Do
S º 2 mod 4 , S º 2 mod 4 S º 2(mod 4 n ) 1 ( ) 2 (
) nên bằng quy nạp ta được: hay
a + b º 2(mod 4) Þ a + b = 2t,(t,2) = . 1
Do đó u = 2u .t, t,2 =1 2n n ( ) .
Giả sử n = 2k.t, (t,2) =1 k
Þ u = u = u A u , A k 2 . . , trong đó đều lẻ. n 2 . t k t t k
Từ đẳng thức này ta được 2k u khi và chỉ khi 2k n. n ìx =1 1 ï
Bài 12. Cho dãy số thực {x í 1
n} được xác định như sau: . Chứng minh rằng: x = x + , n " ³ 1 n 1 + n ï 2x î n [25x = 625 [x] x 625 ] ( kí hiệu
là phần nguyên của số thực ). Hướng dẫn giải 1
Ta chứng minh rằng: n £ n x < n + H , n " ³ 1 1 1, với H = 1+ +!+ . n 8 n n 2 n 1 2 2 x = x + + , 1 2 x = 1 quy nạp 2
x ³ n.Với n = 1 đúng giả sử đúng đến n . Tức là 2
x ³ n. Từ đó suy n 1 + n 2 4x 1 n n n ra. 1 2 x ³ n +1+
> n +1Þ nx ³ n. n 1 + 2 4 n xn Trang 34 1 n- 1 1 n- 1 x = x +
+1=!= x + n -1 + å £ n + å n n 1 - 2 1 ( ) 1 1 2 2 2 2 4x - = x = k n k 4 4 1 1 k k 1 2 1 æ 1 ö 1
< n + H < n + H
Þ nx £ n + H n ç n ÷ n n . 4 è 8 n ø 8
Việc tiếp theo ta chứng minh H
< 8. Ta có BĐT H £1+ ln n thật vậy,. 625 n æ ö
Xét hàm số f ( x) = ( x + ) 1 1 1 ln 1 - ln x - = ln 1+ - x " > 0. ç ÷ x +1 è x ø x +1 f ¢( x) 1 1 = - + < 0 , x
" > 0 hàm số f (x) giảm trên khoảng. x ( x + ) 1 (x + )2 1 ( 1
0;+¥) Þ f (x) > 0, x " > 0, ta suy ra < ln (x + ) 1 - ln x ( ) * áp dụng. x +1 1 1 1+ +!+
<1+ ln 2 - ln1+ ln 3- ln 2 +!+ ln 625- ln 624 =1+ ln 625 < 8. 2 625 1 Từ đó: 625 £ 625 x
< 625 + H < 626 Þ [25x = 625 625 ] . 625 625 8
2. MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH CHẤT CỦA DÃY SỐ. Bài 1.
Cho cấp số cộng (u n u = 2013;u = 2014 n ) với
là số nguyên dương thoã mãn . Tính 2013 2014 1 1 1 tổng: S = + +....+ . u u u u u u 1 2 2 3 2013 2014 Hướng dẫn giải
Dễ dàng chứng minh được số hạng tổng quát của cấp số cộng (u u = n n ) là . n Khi đó. 1 1 1 1 1 1 S = + +....+ = + +... u u u u u u 1.2 2.3 2013 + 2014 1 2 2 3 2013 2014 1 1 1 1 1 1 1006 503 = - + - +...+ - = = 2 3 3 4 2013 2014 2014 1007 . ìx = a ï Bài 2. Cho dãy số thực (x 0 í ( n " Ε ) a
n ) được xác định bởi.
. Tìm tất cả các giá trị của 2 ïx = 2x -1 î n 1+ n .
để x < 0 với mọi số tự nhiên n . n Hướng dẫn giải
Giả sử x < 0 với n " Î • . n 2 Từ 2 x = 2x -1< 0 có - < x < 0. n+2 n 1 + 1 2 n+ Trang 35 2 - - Lại từ 2 - < 2x -1< 2 2 2 1 0 có - < x < Þ 1
- < x < - , n " Î • . 2 n 2 n 2 n 4 1 3 Suy ra x - > 1 và x + <1, n " Î • . n 2 4 n 2 1 1 1 1 1 3 1 Từ đó 2 2 x +
= 2x -1+ = 2 x - = 2 x - . x + > x + , n " Î • . n 1 + 2 n 2 n 4 n 2 n 2 2 n 2
Áp dụng liên tiếp bất đẳng thức này, ta có:. 2 1 1 2 1 æ 2 ö 1 æ 2 n ö 1 æ 2 n ö a +
= x + < x + < x + < ... < x + < , n " Î • . 0 1 ç ÷ 2 ç ÷ ç ÷ 2 2 3 2 è 3 ø 2 è 3 n ø 2 è 3 ø æ 2 n ö 1 1 Mà lim
= 0 nên phải có a + = 0 Þ a = - . ç ÷ n®+¥ è 3 ø 2 2 1 Thử lại với a = - 1
thì x = - < 0, n " . 2 n 2 1
Vậy a = - là giá trị duy nhất cần tìm. 2 ìx = 20; x = 30 Bài 3. Cho dãy số (x 0 1 n x .x +1
n ) xác định bởi í . Tìm để là số chính x
= 3x - x , n " Î î • n 1 + n n+2 n 1 + n phương. Hướng dẫn giải
Từ công thức truy hồi của xn ta có. 2 2 2 2 n
" Î • , x + x - 3x x = x + x x - 3x = x - x x + + + n 1 n 1 + n n n 1 n + ( n 1 n
) n 1 n 2 n + 2 2 2 2 à
v x + x - 3x x = x
x - 3x + x = x - x x + + + - n 1 n 1 n n 1 + n ( n 1 n + ) n 1 n 1 n n 2 2 2
Suy ra x - x x = x - x x
= ... = x - x x = -500 + + - n 1 n 2 n n 1 n 1 + n 1 0 2 . 2 2
Þ x + x - 3x x = 5 - 00 + n 1 n 1 + n n 2 2
Û x + x = 3x x - 500 + n 1 n 1 + n n Û ( 2 x - x = x x - 500 n 1 + + n ) n 1 n
Vậy x x - 500 là số chính phương. n 1 + n
Giả sử n là số thỏa mãn x x - 500 là số chính phương. n 1 + n Đặt 2 2
x x - 500 = b , x x +1 = a , a,b Î • ,a > b . n 1 + n n 1 + n Ta có 2 2
a -b = 501Û (a -b)(a +b) =1.501= 3.167.
Khi đó ta tìm được a = 201, b=1 thì x x =12600 Þ n = 2. n 1 + n 7224
Với a = 85, b =82 thì x x = Þ $ n . n 1 + n 5 Trang 36
Vậy n = 2 thì x .x + 1 là số chính phương. n 1 + n u ì = 2 Bài 4. Dãy số (u 1 n ) xác định như sau: í . Chứng minh rằng 2 u = u - u +1, " nÎ *. î • n 1 + n n 2016 1 1 1 1- < å <1- . 2015 2016 2 2 k 1 2 = uk 2 Hướng dẫn giải Ta có: u – u = 2 u u + = u n ( n )2 –2 1 –1 . (1). n 1 + n n
Do u = 2 Þ u – u =1 Þ u > u . 1 2 1 2 1
Từ đó bằng phép quy nạp ta suy ra (un ) là dãy đơn điệu tăng thực sự, và un nhận giá trị nguyên dương
lớn hơn hoặc bằng 2 với mọi n = 1, 2,.....
Ta viết lại điều kiện truy hồi xác định dãy số dưới dạng sau đây:. u –1 = 2
u –u = u u n n ( – n )1 (2). n 1 + n 1 1 1 1 1 1 1 Từ đó dẫn đến: = = - Þ = -
, (3) Bây giờ từ (3), ta có:. u
-1 u (u -1) u -1 u u u -1 u -1 n 1 + n n n n n n n 1 + n 1 n æ 1 1 ö 1 å = ç å - ÷ =1- . (4). u ç u -1 u -1÷ u -1 k 1 = k k 1 = è k k 1 + ø k 1 +
Từ (4) suy ra bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với. 1 1 1 n 1 2 - 2 1- < - < - Û < - < - 1 1 2 u 1 2 n n n (5). 1 n 1 2 2 2 u -1 + n 1 + 2
(ở đây n = 2016 ). Ta sẽ chứng minh (5) đúng với mọi n . Khi đó nó sẽ đúng với n = 2016 .
Do u nguyên dương với mọi n , (5) tương đương. n n 1 2 - 2 2
+1£ u -1< 2 n. (6). n 1 +
Xét khi n = k +1. Theo (2), ta có: u –1 = u u –1 k 2 + k 1 + ( k 1 + ).
Vì thế theo giả thiết quy nạp suy ra:. k k k k k 1 2 2 2 2 2 u
-1< 2 (2 -1) < 2 .2 = 2 + k +2 . k 1 - k 1 - k 1 - k 1 2 2 2 2 - 2 u -1³ (2 +1).(2 +1-1) > 2 .2 = 2 k k +2
Như thế với n = k +1, ta thu được:. k k 1 2 2 2 < u -1 < 2 + k +2 k k 1 2 2 Þ 2 +1 £ u -1 < 2 + . (8) k +2 .
Từ (8) suy ra (6) đúng với mọi n = 2,3,....
Vì vậy (5) đúng n = 2016 . Ta có điều phải chứng minh!. Trang 37 2 a - 5a +10 Bài 5.
Cho dãy (a )¥ : a = 1; n n a = n " ³1. n n 1 = 1 n 1 + 5 - an
a) Chứng minh dãy (a ) hội tụ và tính lim a . n n
a + a + ...+ a 5 - 5 b) Chứng minh 1 2 n < n " ³1. n 2 Hướng dẫn giải
a) Bằng phương pháp chứng minh qui nạp ta có: 3 1 £ a £ n " . n 2 5 - 5 2 x - 5x +10 10 Đặt A =
và xét hàm f (x) = = - x(x ¹ 5) . 2 5 - x 5 - x 10 é 3ù é1 ù Suy ra f '(x) = -1< 0 x " Î 1;
, như vậy f (x) nghịch biến trên đoạn ;1 . ( ê ú ê ú 5 - x)2 ë 2û ë2 û
ìa < a < a < ... < a < ... < A ì$lim a = b £ A Dẫn đến 1 3 5 2k 1 - í 2k 1 - Þ í .
a > a > a > ... > a > ... > A î
$lima = c ³ A 2 4 6 2k î 2k 2 ì c - 5c +10 b = ïï 5 - c 5 - 5
Kết hợp công thức xác định dãy ta được: í Û b = c = . 2 b ï - 5b +10 2 c = ïî 5 - b 5 - 5 Vậy lim a = . n 2 é 5- 5 ö
b) Nhận xét: t " Î 1 ê ;
÷ thì t + f (t) < 5 - 5 . 2 ÷ ë ø Dẫn đến a + a < 5- 5 k " ³1. 2k 1 - 2k 5 - 5
Þ a + a +...+ a + a < 2k (1). 1 2 2k 1 - 2k 2
Như vậy bất đẳng thức đúng với n = 2k . 5 - 5
Trường hợp n = 2k +1, chú ý a <
, kết hợp với (1) thu được:. 2k 1 + 2 5 - 5
a + a + ...+ a + a + a < (2k +1) . 1 2 2k 1 - 2k 2k 1 + 2
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. u ì = 1 - 1 ï Bài 6. Cho dãy số (u u í = 2 - n ) như sau . 2
ïnu -(3n+ )1u +2 n+ u = n " Î î • + n+ ( ) * 1 3, n 2 1 n Trang 38 a) Chứng minh n * u = 2 - 3 , n n " Î • . n n 1 -
b) Đặt S = åu . Chứng minh rằng nếu n là số nguyên tố và n > 2 thì S chia hết cho n. n k n k 1 = Hướng dẫn giải a) Với n = 1, 1 u = 2 - 3.1 = 1 - . 1 n = 2 , 2 u = 2 - 3.2 = 2 - 1 . Giả sử k k 1
u = 2 -3k;u = 2 + -3 k +1 k k 1 + ( ). Chứng minh k+2 u = 2 -3 k + 2 , k " Ε k+2 ( ) *. Ta có. ku
- 3k +1 u + 2 k +1 u = 3 k+2 ( ) k 1+ ( ) k . Û ku - k + + - k + + k + - k = k+ (3 )1( k 1 2 3 1 2 1 2k 3 3 2 ( )) ( )( ) . k+2 Û u = 2 -3 k + 2 k+2 ( ). Vậy k+2 u = 2 -3 k + k " Ε k+ ( 2) * , . 2 . n 1 -
b) Đặt S = åu . Chứng minh rằng nếu n là số nguyên tố và n > 2 thì S chia hết cho n. n k n k 1 = n 1 - Ta có: 2 n 1
S = åu = 2 + 2 +...+ 2 - -3 + + + n - n k (1 2 ... ( 1)) k 1 = . n 1 1- 2 - (n -1)n - n - n S = 2. -3. = 2 - - n ( n ( 1) 1 2 )1 3 1- 2 2 2 . -
Với n là số nguyên tố n 1 Þ 2 - 1 chia hết cho n . (n -1)n
Do n là số nguyên tố lớn hơn 2 Þ chia hết cho n . 2 Vậy S !n. n u ì = 0 1 ï Bài 7. Cho dãy số (u u í = n n ) 18
. Chứng minh rằng nếu là số nguyên tố và 2 ï * u
= 5u - 6u - 24, n " Î î • n+2 n 1 + n
n > 3 thì u chia hết cho 6n . n Hướng dẫn giải
Đặt v = u +12 hay *
u = v -12, n " Î • . n n n n Khi đó v = 5v - 6v . n+2 n 1 + n Trang 39 ìv =12 1 ï
Ta được (v ív = n ) 30 . 2
ïv = 5v -6v î n+2 n 1 + n
Phương trình đặc trưng 2
l -5l + 6 = 0 có nghiệm l = 2 Ú l = 3. Khi đó v = .2n a + .3n b . n v ì =12 ì2a + 3b =12 ìa = 3 Ta có 1 í Û í Û í . v = 30 î î4a + 9b = 30 b î = 2 2
Suy ra v = 3.2n + 2.3n . n
Khi đó u = v -12 = 3.2n + 2.3n -12. n n Ta có u - - = + - u 6 n ( n 1 n 1 6 2 3 2) nên chia hết cho . n
Mặt khác n là số nguyên tố nên theo định lý Fermat. ìï2n º 2(mod ) n 3. ìï 2n º 6(mod ) n í hay í . 3n ïî º 3(mod ) n ïî2.3n º 6(mod ) n
Từ đó u = (3.2n + 2.3n -12) º 0(mod n). n
Suy ra u chia hết cho n . n
Với n là số nguyên tố và n > 3 Þ ( , n 6) = . 1
Suy ra u chia hết cho 6n . n ìx =1 1 ï Bài 8.
Cho dãy số (xn ) với í . x = x + + + + Î ï + (x 5)( 2 x 5x 8) 16 n N n n n n n ( * 1 ) î a) Chứng minh 1 x 5n- > , với mọi n ³ 2 . n n 1 b) Đặt y = . Tìm y . å lim n + n n®+¥ k 1 = x 3 k Hướng dẫn giải a) Chứng minh 1 x 5n- > , với mọi n ³ 2 . n 2 1 x 10 5 5 - = > = . 2 Giả sử ta có 1 x 5n- > (n ³ 2). n x = x x + x + x + + = x + x x + x + + n+ n ( 5 n )( 2 5 8 n n ) 16 ( 2 5 n n ) ( 2 5 8 16 1 n n ) . 2 n 1
= x + 5x + 4 > 5x > 5.5 - = 5n n n n Suy ra x > 5n . n 1 + Trang 40 Vậy theo qui nạp 1 x 5n- > với n " ³ 2 . n n 1 b) Đặt y = . Tìm y . å lim n + n n®+¥ k 1 = x 3 k Ta có:. 2 2 x
= x + 5x + 4 Û x + 2 = x + 5x + 6 = x + 2 x + 3 n 1 + n n n 1 + n n ( n )( n ). 1 1 1 1 Þ = = - x + 2 x + 2 x + 3 x + 2 x + 3 n 1 +
( n )( n ) n n . 1 1 1 Þ = - x + 3 x + 2 x + 2 n n n 1 + n 1 n æ 1 1 ö 1 1 1 1 y = å = åç - ÷ = - = - . n + + + + + + k 1 = x 3 = x x x x x k k 1 2 2 2 2 3 2 è k k 1 + ø 1 n 1 + n 1 + æ 1 1 ö 1 1 lim y = lim ç -
÷ = (vì x > 5n Þ lim = 0). n n+ n®+¥ n®+¥ 3 x + 2 3 è n®+¥ x n 1 + ø 1 n 1 + 1 Vậy lim y = . n n®+¥ 3 u ì = 2 Bài 9.
Cho dãy số (u ) được xác định như sau:. 1 í . Chứng minh n 3 2
u = 3u + 2n - 9n + 9n - 3, n " ³ 2 î n n 1 - p 1 -
rằng với mọi số nguyên tố p thì 2014åu chia hết cho p . i i 1 = Hướng dẫn giải
Với mọi n ³ 2 ta có: 3 u + n = 3( 3 u + (n -1) n n 1 - ). Từ đó có: 3 u + n = 3( 3 u + (n -1) = + - = = + = - ) 23( 3 u (n 2) - u n- ) n 1 ... 3 ( 3 1 3n n n 1 2 1 ) . Vậy n 3
u = 3 - n , n " ³ 2, lại có 1 3 u = 2 = 3 -1 nên n 3
u = 3 - n , n " ³ . 1 n 1 n
+ Nếu p = 2 : có ngay đpcm. p 1 -
+ Nếu p là số nguyên tố lẻ: 2 p 1
åu = (3+3 +...+3 - )- + + + p- i ( 3 3 3 1 2 ... ( 1) ). i 1 = p 1 - p 1 1 - ì ü p 1 = - + é å i +( p- )3 1 (3 3) 1 ù = (3p í - 3) + é
å i +( p-i)3 3 3 ùý. 2 2 ë û ë û i 1 = 2 î i 1 = þ
Theo Định lí Fermat nhỏ, suy ra 3p - 3 chia hết cho p . Mặt khác +( - )3 3 i
p i cũng chia hết cho p 1 - p, i
" =1, p -1 nên: (3p - 3) + é
å i +( p-i)3 3
ù chia hết cho p . Từ đó. ë û i 1 = p 1 - p 1 - ì ü
2014åu =1007í(3p -3) + é
å i + p-i ù p i ( )3 3 ýchia hết cho . ë û i 1 = î i 1 = þ
Vậy bài toán được chứng minh cho mọi trường hợp. Trang 41 ìx = 20; x = 30
Bài 10. Cho dãy số (x 0 1 n x .x +1
n ) xác định bởi í . Tìm để là số chính x
= 3x - x , n " Î î • n 1 + n n+2 n 1 + n phương. Hướng dẫn giải
Từ công thức truy hồi của xn ta có. 2 2 2 2 n
" Î • , x + x - 3x x = x + x x - 3x = x - x x + + + n 1 n 1 + n n n 1 n + ( n 1 n
) n 1 n 2 n + 2 2 2 2 à
v x + x - 3x x = x
x - 3x + x = x - x x + + + - n 1 n 1 n n 1 + n ( n 1 n + ) n 1 n 1 n n 2 2 2
Suy ra x - x x = x - x x
= ... = x - x x = -500 + + - n 1 n 2 n n 1 n 1 + n 1 0 2 . 2 2
Þ x + x - 3x x = 5 - 00 + n 1 n 1 + n n 2 2
Û x + x = 3x x - 500 + n 1 n 1 + n n Û ( 2 x - x = x x - 500 n 1 + + n ) n 1 n
Vậy x x - 500 là số chính phương. n 1 + n
Giả sử n là số thỏa mãn x x - 500 là số chính phương. n 1 + n Đặt 2 2
x x - 500 = b , x x +1 = a , a,b Î • ,a > b . n 1 + n n 1 + n Ta có 2 2
a -b = 501Û (a -b)(a +b) =1.501= 3.167.
Khi đó ta tìm được a = 201,b =1 thì x x =12600 Þ n = 2. n 1 + n 7224
Với a = 85,b = 82 thì x x = Þ n $ . n 1 + n 5
Vậy n = 2 thì x .x + 1 là số chính phương. n 1 + n
Bài 11. Bài 3. Cho phương trình 2
x -a x -1 = 0 với a là số nguyên dương. Gọi b là nghiệm dương
của phương trình. Dãy số (x x = a, x
= b x , n = 0,1,2,3,... 0 n 1 + [ n]
n ) được xác định như sau .
Chứng minh rằng tồn tại vô hạn số tự nhiên n sao cho x chia hết cho a . n Hướng dẫn giải
Đầu tiên ta chứng minh b là số vô tỉ. Thật vậy, nếu b là số hữu tỉ thì b là số nguyên (do hệ số cao nhất của 2
x là 1) và b là ước của 1. Do đó b = 1 suy ra a = 0 , trái giả thiết. Do đó [b x
< b x < b x +1 n 1 - ] n 1 - [ n 1-] .
Û x < b x < x + . 1 n n 1 - n x x 1 1 x n n Þ < x < + n Þ x - < < x . n 1 b - b b n 1 - n 1 b b - é x ù n Þ = x -1 (1). Lại có 2 b -ab -1= 1 0, suy ra b = a + . ê ú n 1 ë b - û b Trang 42 x é x ù é x ù n Þ b x = a x + n n Þ x = a x + = a x + = a x + x - 1 (do (1)). n n b n 1 + ê n ú n ê ú n n 1 ë b û ë b - û Vậy x
º x -1 (moda). Từ đó bằng quy nạp ta có với mọi *
k Î • , n ³ 2k +1, thì n 1 + n 1 - x º x - (k +1) (moda) (2). n 1 + n-(2k 1 + )
Chọn k + = la ( * 1
l Ε ), n +1= 2la , từ (2) ta có. x
º x -la = a -la º 0 (moda). 2la 0
Vậy x chia hết cho a , * l " Î • .. 2la ìa = a = 2004 a +10
Bài 12. Cho dãy số (a 0 1 n
n ) xác định bởi í . Chứng minh rằng là a
= 7a - a - 3978, n " Î . î • 2014 n+2 n 1 + n số chính phương. Hướng dẫn giải Ta có. a +10 a +10 a +10 n+2 n 1
a = 7a - a - 3978 Û = 7. + n - - 2.. n+2 n 1 + n 2014 2014 2014 a +10 ìv = v =1 Đặt n v =
. Ta được dãy số (v 0 1
n ) xác định bởi í . n 2014 v
= 7v - v - 2, n " Î . î • n+2 n 1 + n
Ta phải chứng minh v là số chính phương. n ìx =1; x =1
Thật vậy, xét dãy số (x ) xác định bởi 0 1 í . n x
= 3x - x , n " Î . î • n+2 n 1 + n
Hiển nhiên dãy số (xn ) là dãy số nguyên. 2 2 2 2 n
" Î • , x + x - 3x x = x + x (x - 3x ) = x - x x . n 1 + n n 1 + n n 1 + n n n 1 + n 1 + n n+2 2 2 2 2 và x
+ x - 3x x = x (x - 3x ) + x = x - x x . Ta có n 1 + n n 1 + n n 1 + n 1 + n n n n 1 + n 1 - . 2 2 2 Þ x - x x
= x - x x = x - x x = 1. - n 1 + n n+2 n n 1 + n 1 - 1 0 2 2 2 Þ x + x - 3x x = 1 - , n " Î • . (2) n 1 + n n 1 + n Ta sẽ chứng minh 2 v = x , n
" Î • (1) bằng quy nạp. n n
Thật vậy, rõ ràng với n = 0, n = 1, (1) đúng.
Giả sử (1) đúng đến n = k +1, k Î • , tức là 2
v = x , n = 1, 2,..., k +1.. n n
ta chứng minh (1) đúng với n = k+2, nghĩa là chứng minh 2 v = x . k +2 k +2
Thật vậy, theo công thức truy hồi của dãy số (a (xn)
n ) , giả thiết quy nạp, tính chất (2) của dãy số , công
thức truy hồi của dãy số (xn ) , ta có. Trang 43 2 2 2 2 2 2 v
= 7v - v - 2 = 7x - x - 2 = 7x - x + 2(x + x -3x x ) k +2 k 1 + k k 1 + k k 1 + k k 1 + k k 1 + k . 2 2 2 2
= 9x - 6x x + x = (3x - x ) = x . k 1 + k 1 + k k k 1 + k k +2
Do đó v là số chính phương. Vậy ta có điều phải chứng minh. n
Bài 13. Cho dãy số (x ) được xác định bởi 3 3
x = 2013n + a 8n +1, n " =1,2,... a là số thực n n
a)) Tìm a sao cho dãy số có giới hạn hữu hạn.
b) Tìm a sao cho dãy số (x )là dãy số tăng (kể từ số hạng nào đó). n Hướng dẫn giải
a) Ta có x = (2a + 2013)n + ay , trong đó 3 3
y = 8n +1 - 2n. n n n 3 3 8n +1- (2n) 1 = = ® 0Khi n ® +¥ . 3 3 2 3 3 2 3 3 2 3 3 2
(8n +1) + 2n 8n +1 + 4n
(8n +1) + 2n 8n +1 + 4n 2013
Do đó tồn tại giới hạn hữu hạn lim x khi và chỉ khi a = - . n n®+¥ 2
b) Từ lý luận phần a) ta suy ra) ì 2013 +¥ khi a > - ï 2 ï ï 2013
lim x = í0 khi a = - . n n®+¥ 2 ï ï 2013 -¥ khi a < - ïî 2 2013
Bởi vậy điều kiện cần để tồn tại *
mÎ N sao cho x < x < x < ....là a ³ - . m m 1 + m+2 2 2013
Ta đi chứng minh a ³ -
là điều kiện đủ để có kết luận trên. 2 2013
Thật vậy: Với a ³ - . 2 3 3 3 3 x
- x = 2013(n +1) + a 8(n +1) +1 - 2013n - a 8n +1 n 1 + n 3 3 3 3
= 2013+ a( 8(n +1) +1 - 8n +1) ³ 2013 3 3 3 3 2013 -
( 8(n +1) +1 - 8n +1) = . 2 2013 3 3 3 3
[2 - ( 8(n +1) +1 - 8n +1)] = 2 2013 3 3 3 3
(2 + 8n +1 - 8(n +1) +1) > 0 2 Vì. Trang 44 3 3 3
(2 + 8n +1) = 8 +12 8n +1 + 6( 3 8n +1)2 3 3 3 3 + 8n +1 > 2 3 2 3
8 +12.2n + 6(2n) + 8n +1 = 8(1+ 3n + 3n + n ) +1 . 3 = 8(n +1) +1
Suy ra x < x < x < ..... 1 2 3 2013
Vậy dãy số (x ) là dãy số tăng kể từ số hạng nào đó với a ³ -
và trong trường hợp đó (x ) là dãy số n 2 n tăng từ x . 1 Trang 45

Tài liệu liên quan: