Công phá Toán 2

Cũng giống như sách Công phá Toán 3 (Dành cho học sinh lớp 12), cuốn sách Công phá Toán 2 này sẽ giúp các em giải quyết những vấn đề sau đây:

66 33 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Tài liệu chung Toán 11

Môn: Toán 11

Thông tin:

86 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Kim Oanh
TRƯỜNGTHPTHÙNGVƯƠNG NHÓMTOÁN
1
CHUYÊN ĐỀ 1: LƯỢNG GIÁC
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Phương trình lượng giác cơ bản
1, Cosx = Cos
2
2
kx
kx
( k
Z
)
Đặc biệt:
Cosx = 0
x =
k
2
Cosx = 1 x = k2
Cosx = 1 x =
2k
2, Sinx = Sin
2
2
kx
kx
( k
Z
)
Đặc biệt:
Sinx = 0
x =
k
Sinx = 1
x =
2
2
k
Sinx =
2
2
1 kx
3, Tanx = Tan
x =
k
( k
Z
)
Đặc biệt:
Tanx = 0
kx
Tanx không xác định khi
kx
2
(Cosx=0)
4, Cotgx = Cotg
x =
k
( k
Z
)
Đặc biệt:
Cotgx = 0
kx
2
Cotgx không xác định khi:
x =
k
( Sinx=0)
2. Công thức lượng giác cơ bản
1. Sin
2
x + Cos
2
x = 1
2.
xTan
x
Cos
2
2
1
1
3.
xCotg
x
Sin
2
2
1
1
4. Cotgx.Tanx = 1
5. Sin
2
x = (1–Cosx)(1+Cosx)
6.
xTan
x
Cos
2
2
1
1
7. Sin(a
b) = SinaCosb
CosaSinb
13. Sin
2
x =
x
Tan
xTan
2
2
1
14. Tan
2
x =
xCos
xCos
21
21
CosxCosy=

)()(
2
1
yxCosyxCos
SinxCosy =

)()(
2
1
yxSinyxSin
SinxSiny=

)()(
2
1
yxCosyxCos
Sinx + Siny = 2Sin
22
yx
Cos
yx
TRƯỜNGTHPTHÙNGVƯƠNG NHÓMTOÁN
2
8. Cos(a
b) = CosaCosb
SinaSinb
9. Sin2x = 2SinxCosx
10. Cos2x = Cos
2
x – Sin
2
x = 2Cos
2
x -
1
= 1 – 2Sin
2
x
11.
xCotg
x
Sin
2
2
1
1
12. Sin
2
x = (1–Cosx)(1+Cosx)
Sinx – Siny = 2Cos
22
yx
Sin
yx
Cosx + Cosy = 2Cos
22
yx
Cos
yx
Cosx – Cosy = – 2Sin
22
yx
Sin
yx
3. Cách giải một số phương trình lượng giác thường gặp
a) Phương trình bậc 2 đối với một hàm số lượng giác
Dạng at
2
+ bt + c = 0 ( với t = một trong 4 hàm sinx , cosx, tanx, cotx)
Giải pt bậc 2 tìm t thuộc
󰇟
1;1
󰇠
b) Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx
Dạng asinx + bcosx = c
-
Nếu a
2
+ b
2
< c
2
thì phương trình vô nghiệm
-
Nếu a
2
+ b
2
c
2
thì chia cả 2 vế cho
√

Biến đổi phương trình về sin(x +
) =
√

với àóó
√

c) Phương trình đẳng cấp bậc 2
Dạng asin
2
x + bsinxcosx + ccos
2
x + d = 0
TH1: cosx = 0 thay vào pt xem có thỏa mãn không
TH2: cosx
0↔
2
Chia cả 2 vế cho cos
2
x đưa phương trình về theo tanx rồi giải tiếp.
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP
I. TRẮC NGHIỆM
DẠNG 1
: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Câu 1:Tập xác định của hàm số
x
ysin
x1
là :
A DR\
󰇝
1
󰇞
B.

D1;
C.

D;10;
D. D= R
Câu 2:
Tập xác định của hàm số
x1
ycos
x
là :
A.
D1;0
B. DR\
󰇝
0
󰇞
C.

D;10;
D.
D0;
Câu 3:Tập xác định của hàm số
2
ycosx11cosx là :
TRƯỜNGTHPTHÙNGVƯƠNG NHÓMTOÁN
3
A. DR\
󰇥
π
kπ|k ∈ R
󰇦
B.
D0
C. DR\
󰇝
kπ|k ∈ R
󰇞
D. 
󰇝
2| ∈
󰇞
Câu 4: Tập \
󰇥

| ∈
󰇦
là tập xác định của hàm số nào sau đây?
A.
ytanx
B.
ycotx
C.
ycot2x
D.
ytan2x
Câu 5:
Tập xác định của hàm số
π
ycotx
3




là :
A.
DR\󰇥
π
k2π|k ∈ R󰇦 B.D R\󰇥
π
kπ|k ∈ R󰇦
C.
DR\󰇥
π
kπ|k ∈ R󰇦 D. DR\󰇥
π
k2π|k ∈ R󰇦
Câu 6:Xét hàm số
y = sinx
trên đoạn
π;0
.Câu khẳng định nào sau đây là đúng ?
A.
Trên các khoảng
π
π;
2




;
π
;0
2



hàm số luôn đồng biến.
B.Trên khoảng
π
π;
2




hàm số đồng biến và trên khoảng
π
;0
2



hàm số nghịch biến.
C. Trên khoảng
π
π;
2




hàm số nghịch biến và trên khoảng
π
;0
2



hàm số đồng biến.
D.
Trên các khoảng
π
π;
2




;
π
;0
2



hàm số luôn nghịch biến.
Câu 9:Xét hàm số
y = tanx
trên khoảng
ππ
;
22



.Câu khẳng định nào sau đây là đúng ?
A.Trên khoảng
ππ
;
22



hàm số luôn đồng biến.
B.
Trên khoảng
π
;0
2



hàm số đồng biến và trên khoảng
π
0;
2



hàm số nghịch biến.
C.
Trên khoảng
π
;0
2



hàm số nghịch biến và trên khoảng
π
0;
2



hàm số đồng biến.
D.
Trên khoảng
ππ
;
22



hàm số luôn nghịch biến.
Câu 10: Chọn khẳng định sai về tính chẵn lẻ của hàm số trong các khẳng định sau.
A.Hàm số
y = sinx
là hàm số lẻ. B.Hàm số
y = cosx
là hàm số chẵn
C.
Hàm số
y = tanx
là hàm số chẵn D.Hàm số
y = cotx
là hàm số lẻ
Câu 11:Trong các hàm số sau đâu là hàm số chẵn ?
A.
y = sin2x
B.
y =3 sinx + 1
C.
y = sinx + cosx
D.
y = cos2x
TRƯỜNGTHPTHÙNGVƯƠNG NHÓMTOÁN
4
Câu 12: Hàm số y = sin2x tuần hoàn với chu kì :
A.
2π
B.
π
C.
π
2
D.
π
4
Câu 13: Hàm số
x
y = cos
3
tuần hoàn với chu kì :
A. 2π B.
π
3
C. 6π D. 3π
Câu 14: Hàm số
2
y= sin x
tuần hoàn với chu kì :
A.
2π B.
π
C.
π
2
D. 4π
DẠNG 2 : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Câu 1. Nghiệm của phương trình cosx = 1 là:
A.
x
k
B.
2
2
x
k

C.
2
x
k
D.
2
x
k

Câu 2. Nghiệm của phương trình sinx =
1
2
là:
A.
2
3
x
k

B.
6
x
k

C.
x
k
D.
2
6
x
k

Câu 3. Nghiệm của phương trình cosx = –
1
2
là:
A.
2
3
x
k

B.
2
6
x
k

C.
2
2
3
x
k

D.
6
x
k

Câu 4. Nghiệm của phương trình cos
2
x =
1
2
là:
A.
2
2
x
k

B.
42
x
k

C.
2
3
x
k

D.
2
4
x
k

Câu 5. Nghiệm của phương trình sin3x = cosx là:
A.
;
82 4
x
kx k

 
B.
2; 2
2
x
kx k

C.
;
4
x
kx k

`D.
;
2
x
kxk

Câu 6. Nghiệm của phương trình sin
2
x + sinx = 0 thỏa điều kiện:
2
< x <
2
A.
0x
B.
x
C. x =
3
D.
2
x
Câu 7. Nghiệm của phương trình 2sin(4x –
3
) – 1 = 0 là:
A.
7
;
82 242
x
kx k


B.
2; 2
2
x
kx k

C.
;2
x
kx k


D. 2;
2
x
kxk


Câu 8. Nghiệm của phương trình cosx + sinx = 1 là:
TRƯỜNGTHPTHÙNGVƯƠNG NHÓMTOÁN
5
A.
2; 2
2
x
kx k

B.
;2
2
x
kx k

C.
;2
6
x
kxk

D.
;
4
x
kxk

Câu 9. Nghiêm của phương trình sinx.cosx.cos2x = 0 là:
A.
x
k
B.
.
2
x
k
C.
.
8
x
k
D.
.
4
x
k
DẠNG 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
Câu 1: Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số
3sin2 5yx
lần lượt là:
A.
8à 2v
B.
2à8v
C.
5à2v
D.
5à3v
Câu 2: Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số
72cos( )
4
yx

lần lượt là:
A.
2à7v
B.
2à2v
C.
5à9v
D.
4à7v
Câu 3: Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số
4sin 3 1yx
lần lượt là:
A.
2à2v
B.
2à4v
C.
42à8v
D.
42 1à7v
Câu 4: Giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
sin 4sin 5yxx là:
A.
20
B.
9
C.
0
D. – 8
Câu 5: Giá trị lớn nhất của hàm số
2
12cos cosyxx là:
A. 2 B.
5
C.
0
D.
3
Câu 6. GTNN và GTLN của hàm số y = 5cos2x – 12sin2x + 4 bằng:
A. – 9 và 17 B. 4 và 15 C. – 10 và 14 D. – 4 và 8
Câu 7. Tìm GTLN và GTNN của hàm số

xxxxy sincos2cossin2
.
A.
2
5
và
2
5
B.
2
7
và
2
7
C.
2
1
và
2
1
D. 5 và 1
Câu8: Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số
3sin2 5yx
lần lượt là:
A.
8à 2v
B.
2à8v
C.
5à2v
D.
5à3v
Câu 9: Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số
72cos( )
4
yx

lần lượt là:
A.
2à7v
B.
2à2v
C.
5à9v
D.
4à7v
Câu 10: Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số 4sin 31yx lần lượt là:
TRƯỜNGTHPTHÙNGVƯƠNG NHÓMTOÁN
6
A.
2à2v
B.
2à4v
C.
42à8v
D.
42 1à7v
Câu 11: Giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
sin 4sin 2yxx là:
A.
20
B.
1
C.
0
D.
9
Câu 12: Giá trị lớn nhất của hàm số
2
42cos cosyxx là:
A. 2 B.
5
C.
0
D.
3
TRƯỜNGTHPTHÙNGVƯƠNG NHÓMTOÁN
7
II. TỰ LUẬN
GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH SAU
Bài 1: a) 2sin
2
x + 5cosx + 1 = 0 e) 5cos2x + 22sinx – 17 = 0
b) 3 – 4cos
2
x = 2sin
2
x + sinx f) cos2x – 3cosx = 4cos
2
c) 2cos
4
x + 3sin
2
x – 2 = 0 g) 5tanx – 2cotx – 3 = 0
d) 4sin
4
x + 12cos
2
x – 7 = 0
Bài 2: a) sinx +
√
3
cosx = 1 d)
√
3
cosx – sinx = 4sinx.cosx-
b)
√
3
cos3x – sin3x =
√
2
e) cos7x – sin5x =
√
3
(cos5x – sin7x)
c) sin3x -
√
3
cos3x = 2sinx
Bài 3: a) 6sin
2
x + 7
√
3
sin2x – 8cos
2
x = 6
b) 2cos
2
x + 2sin2x – 4sin
2
x = 1
c)sinx – 4sin
3
x + cosx = 0
Bài 4: a) cos2x – cosx – 3 sinx – 2 = 0 e) 2sin
2
2x + sin6x = 2cos
2
x
b) cos2x + 3cosx + 2 = sinx f) 2sin
3
x + cos2x + cosx = 0
c) sin2x + 2cos2x = 1 + sinx – 4cosx g) (sinx – cosx + 1)(2sinx – cosx) = sin2x
d) 2sin2x – cos2x = 7sinx + 2cosx – 4
TRƯỜNGTHPTHÙNGVƯƠNG NHÓMTOÁN
8
CHUYÊN ĐỀ 2: TỔ HỢP – XÁC SUẤT – NHỊ THỨC NIU TƠN
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
I. QUI TẮC ĐẾM .
1. Quy tắc cộng: Giả sử công việc có thể tiến hành theo một trong hai phương án A và B. Phương án A có thể
thực hiện bởi n cách; phương án B có thể thực hiện bởi m cách. Khi đó, công việc được thực hiện theo n +
m cách.
2. Quy tắc nhân: Giả sử công việc bao gồm hai công đoạn A và B. Công đoạn A có thể thực hiện bởi n cách;
công đoạn B có thể thực hiện bởi m cách. Khi đó, công việc được thực hiện bởi n.m cách.
3. Giai thừa
0! =1; n!=1.2.3…n
Tính chất: n!=n(n-1)!
II. HOÁN VỊ – CHỈNH HỢP – TỔ HỢP
1. Hoán vị:
a. Định nghĩa: Cho tập A có n phần tử. Mỗi sự sắp xếp của n phần tử đó theo một thứ tự định trước là một
phép hoán vị các phần tử của tập A.
b. Định lý: Số phép hoán vị của tập hợp có n phần tử , kí hiệu P
n
là: P
n
= n! = 1.2.3…n
2. Chỉnh hợp:
a. Định nghĩa:
Cho tập hợp A có n phần tử. Xét số ∈mà 1kn. Khi lấy ra k phần tử trong số n phần tử
rồi đem sắp xếp k phần tử đó theo một thứ tự định trước, ta được một phép chỉnh hợp chập k của n phần tử.
b. Định lý: Số phép chỉnh hợp chập k của n phần tử, kí hiệu
k
n
A
là:


k
n
n!
An.n1...nk1
nk!

.
3. Tổ hợp:
a. Định nghĩa:
Cho tập hợp A có n phần tử và số ∈ mà 1k n. Một tập hợp con của A có k phần tử được
gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử.
b. Định lý: Số tổ hợp chập k của n phần tử, kí hiệu
k
n
C
là:


k
n
nn 1...n k 1
n!
C
k! n k ! k!


c. Hai tính chất cơ bản của tổ hợp:


*
knk
nn
kkk1
n1 n n
Cho a, k :
CC 0kn
CCC1kn


TRƯỜNGTHPTHÙNGVƯƠNG NHÓMTOÁN
9
III. KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NEWTON

n
n
knkk
n
k0
0n 1n1 knkk nn
nn n n
ab Ca b
Ca Ca b .. Ca b .. Cb


 
Nhận xét:
–
Trong khai triển nhị thức Newton có n + 1 số hạng.
–
Trong một số hạng thì tổng số mũ của a và b bằng n.
–
Các hệ số của khai triểu nhị thức cách đếu số hạng đầu và cuối thì bằng nhau.
–
Số hạng tổng quát thứ k + 1 kí hiệu T
k+1
thì:
knkk
k1 n
TCab
–
01 2 nn
nnn n
CCC...C 2
–
 
kn
01 23 k n
nnnn n n
CCCC... 1C... 1C 0
Chú ý:
–

n
n
knkk
n
k0
ab Ca b

là khai triển theo số mũ của a giảm dần.
–

n
n
kknk
n
k0
ab Cab

là khai triển theo số mũ của a tăng dần.
IV.XÁC SUẤT
1. Khái niệm:
Không gian mẫu Ω là tập hợp tất cả kết quả có thể xảy ra của một phép thử.
Biến cố A là tập hợp con của Ω
Hai biến cố xung khắc nếu giao của chúng là tập rỗng
Hai biến cố là độc lập nếu sự xảy ra biến cố này không ảnh hưởng đến sự xảy ra biến cố kia.
Xác suất của biến cố A là P(A) =
n(A)
n(Ω)
Trong đó n(A) là số phần tử của A, n(Ω) là số phần tử của Ω.
2. Tính chất:
0 ≤ P(A) ≤ 1
P(A
∩ B) = P(A) P(B) n
ếu 2 biến cố A, B độc lập nhau.
B. PHẦN BÀI TẬP
I. Trắc nghiệm
Dạng 1: Bài toán về quy tắc đếm
Phương pháp giải: Cần phân biệt công việc phải làm được tiến hành theo phương án A hoặc B để chọn quy
tắc cộng, hoặc bao gồm công đoạn A và B để chọn quy tắc nhân.
BÀI 1 :
Bạn X vào siêu thị để mua một áo sơ mi, theo cỡ 40 hoặc 41. Cỡ 40 có 3 màu khác nhau, cỡ 41 có 4
màu khác nhau. Hỏi X có bao nhiêu cách chọn?
A. 4 B. 3 C. 7 D. 12
BÀI 2 : Cho tập
A0;1;2;3;4
. Có bao nhiêu số chẵn mà mỗi số gồm ba chữ số khác nhau chọn trong số các phần tử
của A?
A. 30 B. 18 C. 12 D. 60
TRƯỜNGTHPTHÙNGVƯƠNG NHÓMTOÁN
10
BÀI 3 : Từ tập
A 1,2,3,4,5
hỏi có thể lập được bao nhiêu số có 7 chữ số sao cho chữ số 1 xuất hiện 3 lần, còn
các chữ số khác xuất hiện một lần?
A. 840 B. 800 C. 1000 D. 860
Dạng 2: Thực hiện phép hoán vị
Phương pháp giải:
Sử dụng phép xếp đặt của n phần tử có thứ tự: P
n
= n! = 1.2.3…n
Thực hiện quy tắc cộng hoặc quy tắc nhân
BÀI 1
Bạn X mời hai bạn nam và ba bạn nữ dự tiệc sinh nhật. Bạn định xếp nam, nữ ngồi riêng trên các chiếc
ghế, xếp theo một hàng dài. Hỏi X có bao nhiêu cách xếp đặt?
A. 120 B. 24 C. 6 D. 60
BÀI 2. Sắp xếp 5 người vào một băng ghế có 5 chỗ. Hỏi có bao nhiêu cách.
A. 120 B. 24 C. 6 D. 60
Dạng 3: Thực hiện phép chỉnh hợp
Phương pháp giải: Phép xếp đặt có thứ tự của k phần tử trong n phần tử:


k
n
n!
An.n1...nk1
nk!

BÀI 1:
Trong mặt phẳng cho 7 điểm A, B, C, D, E, M, N khác nhau. Có bao nhiêu vectơ nối hai điểm trong các
điểm đó?
A. 120 B. 24 C. 42 D. 60
BÀI 2: Từ tập
A0,1,2,3,4,5
có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau?
A. 120 B. 24 C. 6 D. 300
BÀI 3. Một ngày học 3 môn trong số 7 môn học. Hỏi có bao nhiêu cách xếp thời khoá biểu trong một ngày.
A. 120 B. 210 C. 6 D. 60
Dạng 4: Thực hiện phép tổ hợp
Phương pháp giải: Phép xếp đặt không có thứ tự của k phần tử chọn trong n phần tử:


k
n
n!
C0kn
k! n k !

BÀI 1:
Cho 7 điểm phân biệt không tồn tại ba điểm thẳng hàng. Từ 7 điểm trên có thể lập được bao nhiêu tam
giác?
A. 12 B. 24 C. 35 D. 60
TRƯỜNGTHPTHÙNGVƯƠNG NHÓMTOÁN
11
BÀI 2. Có mấy cách rút 3 quân bài từ bộ bài 52 quân
A. 1200 B. 2460 C. 4960 D. 5670
BÀI 3. Có mấy cách phân phối 15 sản phẩm cho 3 người sao cho người thứ nhất có hai sản phẩm, người thứ hai
có 3 sản phẩm, người thứ 3 có 10 sản phẩm.
A. 9030097 B.
!
!!!
C. 670598760 D. 20
Dạng 5: Tìm ∈
∗
trong phương trình chứa
kk
nnn
P,A,C
Phương pháp giải
: Dùng các công thức:





kk
nn n
n! n!
P n! n 1 ; A n n 1 ... n k 1 1 k n ; C 0 k n
nk! k!nk!


BÀI 1: Tìm ∈
∗
, nếu có:

3
n
n
n1
2P
A1
P
.
A.
3 B. 4 C. -5 D. 10
BÀI 2: Tìm
*
n , nếu có:

33
nn1
6n 6 C C . 2

A.
3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 B. 4,5,6,7,8,9 C. 1,2,3,4,5,6 D. 10
Dạng 6: Tìm phần tử đặc biệt trong khai triển của (a + b)
n
.(Tìm số hạng chứa x
k
trong khai triển)
Phương pháp giải: Sử dụng công thức khai triển của nhị thức Newton:

n
n
k nk k 0 n 1 n1 2 n2 2 k nk k n n
nnnn n n
k0
ab Ca b Ca CabCa b ..Ca b ..Cb


(khai triển theo lũy thừa của a tăng, b giảm)
(Chú ý:

n
n
kknk
n
k0
ab Cab

khai triển theo lũy thừa của a giảm dần, b tăng dần)
Cách 2: sử dụng số hạng tổng quát thứ k + 1 trong khai triển nhị thức Newton
Số hạng tổng quát hay số hạng thứ (k + 1) là
knkk
k1 n
TCab
, với 0 ≤ k ≤ n và k là số nguyên.
BÀI 1:
Tìm số hạng chứa x
3
trong khai triển (11 + x)
11
.
A.

11
B.

11
C.

11
D.

11

BÀI 2: Trong khai triển
10
3
3
2x
x



, (x > 0), hãy tìm số hạng không chứa x.
A.

11
B .

2
󰇛
3
󰇜
C. 0 D. 2108
BÀI 3: Tìm hệ số của x
8
trong khai triển

8
2
1x1x



TRƯỜNGTHPTHÙNGVƯƠNG NHÓMTOÁN
12
A. 200 B. 300 C. 238 D. 234
BÀI 4: Cho khai triển:

10
210
01 2 10
12x a axax ..ax
, có các hệ số
012 10
a,a,a,..,a
. Tìm hệ số lớn nhất
A.
15360 B. 15600 C. 120980 D. đáp án khác
Dạng 7: Tìm tổng có chứa
k
n
C
Phương pháp giải: Từ đề bài, ta liên kết với một nhị thức khai triển và cho x giá trị thích hợp, từ đó suy ra kết
quả.
BÀI 1:
Tính tổng:
 
kn
01 2 n 01 2 k n
1nnn n2nnn n n
S C C C ... C ; S C C C ... 1 C ... 1 C 
A. S
1
= 2
n
, S
2
= 0 B. S
1
= 0, S
2
= 2
n
C. S
1
= 2
n
, S
2
= 2
n
D. đáp án khác
BÀI 2: Tính tổng:
024 2n 13 2n1
3 2n 2n 2n 2n 4 2n 2n 2n
SCCC...C;SCC...C
 
A.
S
3
= 2
2n-1
, S
4
= 2
2n-1
C. S
3
= 2
2n-1
, S
4
= 0
B.
S
3
= 0 , S
4
= 2
2n-1
D. S
3
= 0 , S
4
= 0
BÀI 3: Tính tổng:

n
012233 n
nn n n n
T C 2C 2 C 2 C ... 2 C
A. 1 B. -1 C. (-1)
n
D. đáp án khác
Dạng 8: Tính xác suất
Phương pháp giải:
Bước 1: mô tả không gian mẫu và tính
󰇛
󰇜
Bước 2: đặt tên biến cố A và tính
󰇛
󰇜
Bước 3: tính P(A) =
󰇛
󰇜
󰇛
󰇜
II. BÀI TẬP TỔNG HỢP
Câu 1. Từ thành phố A đến thành phố B có 3 con đường, từ thành phố B đến thành phố C có 2 con đường, từ
thành phố C đến thành phố D có 2 con đường, từ thành phố A đến C có 4 con đường. Không có con đường nào
nối trực tiếp thành phố B với D hoặc nối A đến D. Số đường đi khác nhau từ thành phố A đến D là
A. 32 B. 20 C. 36 C. 48
Câu 2. Số các số tự nhiên nhỏ hơn 200000, chia hết cho 3, có thể được viết bởi các chữ số 0, 1, 2 là
A. N = 162 B. N = 144 C. N = 216 D. N = 243
Câu 3. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được số các số gồm 3 chữ số là
A. N = 250 B. N = 268 C. N = 294 D. N = 300
TRƯỜNGTHPTHÙNGVƯƠNG NHÓMTOÁN
13
Câu 4. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được số các số gồm 5 chữ số đôi một khác nhau và chia hết
cho 2 là
A. N = 1080 B. N = 1260 C. N = 1120 D. 1320
Câu 5. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được số các số gồm 6 chữ số đôi một khác nhau và chia hết
cho 5 là
A. 1320 B. 1440 C. 1280 D. 2560
Câu 6. Có 20 đội bóng đá tham gia tranh cúp vô địch ngoại hạng Anh. Cứ 2 đội phải đấu với nhau 2 trận gồm
một trận lượt đi và một trận lượt về. Sau mỗi vòng thì mỗi đội đã đá thêm một trận. Số trận và số vòng lần lượt
là
A. 380 và 19 B. 380 và 38 C. 190 và 19 D. 190 và 38
Câu 7. Số palindrom là số mà nếu ta viết các chữ số theo thứ tự ngược lại thì giá trị của nó không thay đổi. Ví
dụ: 12521 là một số panlindrom. Có bao nhiêu số palindrom gồm 5 chữ số?
A. N = 1800 B. N = 2400 C. N = 900 D. N = 1200
Câu 8. Một bó hoa gồm có 5 bông hồng trắng, 6 bông hồng đỏ và 7 bông hồng vàng. Hỏi có mấy cách chọn lấy
3 bông hoa gồm đủ ba màu?
A. N = 120 B. N = 240 C. N = 320 D. N = 210
Câu 9. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được số các số có 3 chữ số đôi một khác nhau là
A. N = 60 B. N = 30 C. N = 125 D. N = 25
Câu 10. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được số các số chẵn có 3 chữ số là
A. N = 144 B. N = 105 C. N = 248 D. N = 168
Câu 11. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được số các số có hai chữ số mà cả hai chữ số đều chẵn là
A. N = 20 B. N = 12 C. N = 16 D. N = 25
Câu 12. Số các số có 3 chữ số đôi một khác nhau chia hết cho cả 2 và 5 là
A. N = 72 B. N = 36 C. N = 81 D. N = 90
Câu 13. Một người có 7 cái áo trong đó có 3 áo trắng và 5 cái cà vạt trong đó có 2 cà vạt màu vàng. Số cách
chọn một áo và một cà vạt sao cho đã chọn áo trắng thì không chọn cà vạt màu vàng là
A. N = 35 B. N = 18 C. N = 29 D. N = 31
Câu 14. Cho tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 5}. Có bao nhiêu cặp sắp thứ tự (x, y) biết x và y đều thuộc A.
A. N = 15 B. N = 20 C. N = 25 D. N = 10
Câu 15. Cho tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 5}. Có bao nhiêu cặp sắp thứ tự (x, y) thỏa mãn x và y thuộc A sao cho x +
y = 6.
A. N = 5 B. N = 6 C. N = 7 D. N = 8
Câu 16. Số các số có 2 chữ số mà chữ số đứng trước lớn hơn chữ số đứng sau là
TRƯỜNGTHPTHÙNGVƯƠNG NHÓMTOÁN
14
A. N = 50 B. N = 30 C. N = 65 D. N = 45
Câu 17. Từ 6 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được số các số lẻ gồm 2 chữ số là
A. N = 15 B. N = 18 C. N = 36 D. N =30
Câu 18. Từ 6 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được số các số gồm 3 chữ số đôi một khác nhau không chia hết
cho 5 là
A. N = 108 B. N = 121 C. N = 100 D. N = 120
Câu 19. Từ 6 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được số các số có 3 chữ số mà tổng các chữ số bằng số chẵn là
A. N = 108 B. N = 50 C. N = 100 D. N = 128
Câu 20. Từ 6 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được số các số có 2 chữ số khác nhau và chia hết cho 9 là
A. N = 6 B. N = 12 C. N = 8 D. N = 4
Câu 21. Từ 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được số các số có 3 chữ số đôi một khác nhau và không chia hết cho 5 là
A. N = 64 B. N = 30 C. N = 48 D. N = 120
Câu 22. Từ 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được số các số chẵn có 3 chữ số đôi một khác nhau và nhỏ hơn 300 là
A. N = 40 B. N = 20 C. N = 24 D. N = 36
Câu 23. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được số các số có 3 chữ số đôi một khác nhau lớn hơn 300 và
nhỏ hơn 500 là
A. N = 32 B. N = 40 C. N = 26 D. N = 44
Câu 24. Số cách sắp xếp 4 viên bi đỏ có đánh dấu khác nhau và 4 viên bi đen có đánh dấu khác nhau xếp thành
một dãy sao cho các màu xen kẻ nhau là
A. N = 1152 B. N = 1440 C. N = 1280 D. N = 1960
Câu 26. Giải phương trình
x! (x 1)! 1
(x 1)! 6

A. x = 1 V x = 4 B. x = 2 V x = 5 C. x = 2 V x = 3 D. x = 1 V x = 5
Câu 27. Số các số tự nhiên n thỏa mãn
1 5(n 1)! n(n 1)!
[]
n 2 (n 1)(n 3)!4! 12(n 3)(n 4)!2!


≤ 5 là
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
Câu 28. Gọi X là tập hợp các số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5. Số
phần tử của X bắt đầu bằng chữ số 5 là
A. N = 12 B. N = 24 C. N = 48 D. N = 20
Câu 29. Gọi X là tập hợp các số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5. Số
phần tử của X không bắt đầu bằng chữ số 1 là
A. N = 45 B. N = 90 C. N = 60 D. N = 96
TRƯỜNGTHPTHÙNGVƯƠNG NHÓMTOÁN
15
Câu 30. Gọi X là tập hợp các số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5. Số
phần tử của X không bắt đầu bằng 345 là
A. N = 120 B. N = 116 C. N = 112 D. N = 118
Câu 31. Gọi X là tập hợp các số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4. Tìm tổng
tất cả các số của X.
A. 99990 B. 88880 C. 33330 D. 66660
Câu 32. Trên một kệ sách có 5 quyển sách Toán, 4 quyển sách Lí, 3 quyển sách Văn. Các quyển sách đều khác
nhau. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các quyển sách trên theo từng môn?
A. 103680 B. 831600 C. 3326400 D. 1663200
Câu 33. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được số các số gồm 8 chữ số, trong đó chữ số 1 có mặt 3 lần,
mỗi chữ số khác có mặt đúng một lần là
A. 5880 B. 3210 C. 1080 D. 4320
Câu 34. Số các số tự nhiên có 3 chữ số khác 0 và đôi một khác nhau, đồng thời tổng của 3 chữ số bằng 9 là
A. N = 12 B. N = 24 C. N = 18 D. N = 20
Câu 35. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 thiết lập tất cả các số có 6 chữ số khác nhau. Trong các số đã thiết lập
được, số các số mà hai chữ số 1 và 6 không đứng cạnh nhau là
A. N = 320 B. N = 360 C. N = 420 D. N = 480
Câu 36. Sắp xếp 7 người vào một dãy ghế 7 chổ ngồi. Số cách sắp xếp chỗ ngồi sao cho 4 người xác định của
nhóm ngồi kề nhau là
A. N = 576 B. N = 480 C. N = 360 D. N = 180
Câu 37. Sắp xếp 7 người vào một dãy ghế 7 chổ ngồi. Số cách sắp xếp chỗ ngồi sao cho có 2 người xác định
của nhóm không ngồi kề nhau là
A. N = 1246 B. 3600 C. N = 1860 D. 3200
Câu 38. Sắp xếp 6 nam và 4 nữ vào một dãy ghế 10 chỗ ngồi. Số cách sắp xếp để nhóm nam ngồi kề nhau và
nhóm nữ ngồi kề nhau là
A. 34560 B. 36540 C. 65430 D. 54360
Câu 39. Sắp xếp 6 nam và 4 nữ vào một dãy ghế 10 chỗ ngồi. Số cách sắp xếp để chỉ có nữ ngồi kề nhau là
A. 192600 B. 129600 C. 120960 D. 160920
Câu 40. Có 3 viên bi đen khác nhau, 4 viên bi đỏ khác nhau, 5 viên bi vàng khác nhau. Số cách sắp xếp các viên
bi trên thành một dãy sao cho các viên bi cùng màu ở cạnh nhau là
A. 106830 B. 34560 C. 43560 D. 103680
Câu 41. Từ 5 chữ số 1, 2, 3 có thể lập được số các số gồm 7 chữ số, trong đó chữ số 1 có mặt 3 lần, chữ số 2 có
mặt đúng 2 lần, chữ số 3 có mặt 2 lần là
A. N = 120 B. N = 210 C. N = 320 D. N = 203
TRƯỜNGTHPTHÙNGVƯƠNG NHÓMTOÁN
16
Câu 42. Số các số gồm 9 chữ số, trong đó có 5 chữ số 1 được xếp kề nhau và 4 chữ số còn lại gồm 2, 3, 4, 5 là
A. N = 120 B. N = 210 C. N = 180 D. N = 810
Câu 43. Tìm số tự nhiên n thỏa
3
n
A
= 20n
A. n = 5 B. n = 6 C. n = 10 D. n = 12
Câu 44. Tìm số tự nhiên n thỏa
32
nn
A5A
= 2(n + 15)
A. n = 2 B. n = 4 C. n = 3 D. n = 5
Câu 45. Tìm số tự nhiên n thỏa
22
2n n
A3A
= 42
A. n = 10 B. n = 8 C. n = 6 D. n = 16
Câu 46. Tìm số nguyên dương n sao cho
22
nnnn
2P 6A P A
= 12
A. n = 2 V n = 3 B. n = 3 V n = 4 C. n = 4 V n = 5 D. n = 2 V n = 4
Câu 47. Số các giá trị nguyên dương của n thỏa mãn
4
n2
n2 n1
A
143
P4P

< 0 là
I.
A. 36 B. 35 C. 33 D. 30
Câu 48. Số các số tự nhiên gồm 5 chữ số sao cho hai chữ số kề nhau phải khác nhau là
A. 59049 B. 27126 C. 39366 D. 34020
Câu 49. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập số các số gồm 5 chữ số đôi một khác nhau và phải có mặt chữ
số 5 là
A. 1260 B. 1360 C. 1460 D. 1560
Câu 50. Số các số tự nhiên có 4 chữ số sao cho chữ số đầu và chữ số cuối giống nhau là
A. N = 560 B. N = 540 C. N = 960 D. N = 900
Câu 51. Số các số tự nhiên có 4 chữ số sao cho chữ số đầu và chữ số cuối khác nhau là
A. N = 1800 B. N = 6300 C. N = 5400 D. N = 8100
Câu 52. Số các số tự nhiên có 4 chữ số sao cho hai chữ số đầu giống nhau và hai chữ số cuối giống nhau là
A. N = 100 B. N = 120 C. N = 90 D. N = 135
Câu 53. Một biển số xe gồm 2 chữ cái đứng trước và 4 chữ số đứng sau. Các chữ cái được lấy từ 26 chữ cái A,
B, C, …, Z. Các chữ số được lấy từ 10 chữ số 0, 1, 2, …, 9. Số biển số xe trong đó có hai chữ cái giống nhau và
4 số đôi một khác nhau và có ít nhất 2 số khác 0 là
A. 127600 B. 130078 C. 172600 D. 110036
Câu 54. Một người muốn xếp đặt 6 pho tượng từ 8 pho tượng vào một dãy 6 chỗ trống trên một kệ trang trí. Số
cách xếp đặt là
A.20160 B. 21600 C. 26010 D. 26100
TRƯỜNGTHPTHÙNGVƯƠNG NHÓMTOÁN
17
Câu 55. Cho tập hợp X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Có thể lập được số các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau đôi
một lấy từ X nếu một trong ba chữ số đầu tiên là chữ số 1 là
A. N = 3000 B. N = 2280 C. N = 2160 D. N = 2620
Câu 56. Từ 5 chữ số 0, 1, 3, 6, 9 có thể lập được số các số có 4 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 3 là
A. N = 12 B. N = 16 C. N = 18 D. N = 20
Câu 57. Số các số có 6 chữ số đôi một khác nhau sao cho có mặt số 0 và số 1 là
A. 32500 B. 42000 C. 36000 D. 48200
Câu 58. Từ 8 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được số các số gồm 6 chữ số đôi một khác nhau trong đó có
mặt chữ số 4 là
A. 13250 B. 14400 C. 13320 D. 31240
Câu 59. Tính tổng của tất cả các số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau đôi một được tạo thành từ 6 chữ số 1, 3, 4,
5, 8, 9.
A. 1999800 B. 1999000 C. 1899900 D. 1889900
Câu 60. Tính tổng của tất cả các số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau được tạo thành từ 5 chữ số 0, 1, 2, 3, 4.
A. 299800 B. 259980 C. 299580 D. 289900
Câu 61. Số các số lẻ có 6 chữ số đôi một khác nhau nhỏ hơn 600000 là
A. 30240 B. 33690 C. 36960 D. 39660
Câu 62. Kết quả rút gọn biểu thức A =
2k n
1
nn n
n
1k1n1
nn n
CC C
C 2 ... k ... n
CC C


là
A. n(n + 1)/2 B. n(n + 1) C. n(n + 2)/3 D. n(n – 1)/3
Câu 63. Giải phương trình
xx x
45 6
111
CCC

A. x = 1 B. x = 2 C. x = 3 D. x = 4
Câu 64. Giải phương trình
x4 2x10
10 x 10 x
CC


A. x = 8 V x = 6 B. x = 10 V x = 8 C. x = 8 V x = 14 D. x = 6 V x = 14
Câu 65. Tìm số tự nhiên x thỏa
2x2
x2 x
AC101

A. x = 10 B. x = 12 C. x = 6 D. x = 8
Câu 67. Tìm số tự nhiên x thỏa
x3 3
8x x6
C5A

A. x = 8 V x = 16 B. x = 9 V x = 17 C. x = 17 D. x = 16
Câu 68. Số nghiệm của bất phương trình
43 2
n1 n1 n2
5
CC A
4


là
TRƯỜNGTHPTHÙNGVƯƠNG NHÓMTOÁN
18
A. 4 B. 5 C. 6 D. vô số
Câu 69. Giải phương trình
x2 3
x1 x1
C2C

= 7(x – 1)
A. x = 5 B. x = 4 C. x = 3 D. x = 7
Câu 70. Giải phương trình
5x5
xx2
A 336C
A. x = 7 B. x = 8 C. x = 9 D. x = 10
Câu 71. Số giá trị nguyên dương của n thỏa
43 2
n1 n1 n2
4C 4C 5A


là
A. 0 B. 6 C. 7 D. vô số
Câu 72. Số giá trị nguyên dương của x thỏa
22
x1 x
2C 3A 30

là
A. 0 B. 2 C. 1 D. 4
Câu 73. Giải hệ phương trình
yy1
x1 x
yy1
x1 x
5C 6C
C3C
A. (x; y) = (9; 4) B. (x; y) = (9; 5) C. (x; y) = (8; 5) D. (x; y) = (8; 3)
Câu 74. Giải hệ phương trình
yy
xx
yy
xx
2A 5C 90
5A 2C 80


A. A. (x; y) = (5; 4) B. (x; y) = (6; 3) C. (x; y) = (6; 2) D. (x; y) = (5; 2)
Câu 75. Tìm số tự nhiên k sao cho
kk1k2
14 14 14
C,C ,C

lập thành một cấp số cộng.
A. k = 3 V k = 9 B. k = 4 V k = 8 C. k = 3 V k = 8 D. k = 4 V k = 9
Câu 76. Cho 20 câu hỏi, trong đó có 8 câu lý thuyết và 12 bài tập. Người ta cấu tạo thành các đề thi sao cho
trong mỗi đề thi phải gồm 5 câu hỏi, trong đó nhất thiết phải có ít nhất 2 câu lý thuyết và 2 bài tập. Hỏi có thể
tạo ra bao nhiêu đề thi?
A. 8965 B. 8569 C. 9856 D. 9658
Câu 77. Một lớp học có 40 học sinh, trong đó gồm 25 nam và 15 nữ. Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn một ban
cán sự lớp gồm 4 em. Tính số cách chọn, nếu trong 4 người có ít nhất một em nam.
A. 90025 B. 32500 C. 31500 D. 92500
Câu 78. Cho 5 điểm phân biệt và không có 3 điểm nào thẳng hàng. Số đoạn thẳng và số tam giác tạo thành từ 5
điểm đó lần lượt là
A. 20 và 10 B. 10 và 10 C. 10 và 20 D. 20 và 20
Câu 79. Một túi chứa 6 viên bi trắng và 5 viên bi xanh. Lấy ra 4 viên bi từ túi, có bao nhiêu cách lấy được 4
viên bi cùng màu?
A. 10 B. 15 C. 20 D. 25
Câu 80. Từ 20 người, chọn ra một đoàn đại biểu gồm 1 trưởng đoàn, 1 phó đoàn, 1 thư ký và 3 ủy viên. Số cách
TRƯỜNGTHPTHÙNGVƯƠNG NHÓMTOÁN
19
chọn là
A. 4615200 B. 4561200 C. 4651200 D. 4156200
Câu 81. Từ 5 bông hồng vàng, 3 bông hồng trắng và 4 bông hồng đỏ, các bông hoa xem như đôi một khác
nhau, chọn ra một bó hoa gồm 7 bông, số cách chọn bó hoa trong đó có ít nhất 3 bông hồng vàng và ít nhất 3
bông hồng đỏ là
A. N = 112 B. N = 150 C. N = 120 D. N = 115
Câu 82. Từ 8 số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được số các số gồm 10 chữ số, trong đó chữ số 6 có mặt đúng 3
lần, chữ số khác có mặt đúng một lần là
A. 544320 B. 534420 C. 445320 D. 234540
Câu 83. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được số các số có 5 chữ số đôi một khác nhau sao cho có
đúng 3 chữ số chẵn và 2 chữ số lẻ là
A. N = 3600 B. N = 2488 C. N = 2520 D. N = 2448
Câu 84. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau, trong đó có mặt chữ số 0 nhưng không có
chữ số 1?
A. 33600 B. 36300 C. 33060 D. 36030
Câu 85. Số các số tự nhiên gồm 7 chữ số, biết chữ số 2 có mặt đúng 2 lần, chữ số 3 có mặt đúng 3 lần và các
chữ số còn lại có mặt không quá một lần là
A. 11360 B. 11640 C. 11340 D. 11520
Câu 86. Từ một tập thể gồm 6 nam và 8 nữ trong đó có An và Bình, người ta muốn chọn một tổ công tác gồm
có 6 người. Tìm số cách chọn nếu trong tổ có một tổ trưởng, 5 tổ viên hơn nữa An và Bình không đồng thời có
mặt trong tổ.
A. 2974 B. 15048 C. 14320 D. 9744
Câu 87. Trong nhóm 16 học sinh có 3 học sinh giỏi, 5 khá, 8 trung bình. Số cách chia thành hai tổ, mỗi tổ 8 học
sinh sao cho mỗi tổ đều có học sinh giỏi và ít nhất 2 học sinh khá là
A. 2560 B. 3210 C. 3780 D. 4420
Câu 88. Trong mặt phẳng cho n đường thẳng cắt nhau từng đôi một, nhưng không có 3 đường thẳng nào đồng
quy. Số giao điểm là
A. n(n – 1)/2 B. n(n + 1)/2 C. n(n + 2)/3 D. n(n + 3)/4
Câu 89. Cho 10 điểm phân biệt trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Số đường thẳng đi qua 2 trong 10
điểm trên là
A. N = 45 B. N = 90 C. N = 80 D. N = 72
Câu 90. Cho đa giác lồi có n cạnh, n ≥ 4. Tìm n sao cho đa giác có số đường chéo bằng số cạnh.
A. n = 7 B. n = 6 C. n = 5 D. n = 8
Câu 91. Cho một đa giác lồi có 15 cạnh. Số tam giác có 3 đỉnh trùng với 3 đỉnh của đa giác là
TRƯỜNGTHPTHÙNGVƯƠNG NHÓMTOÁN
20
A. N = 455 B. N = 235 C. N = 525 D. N = 425
Câu 92. Tìm số giao điểm tối đa của 10 đường tròn phân biệt.
A. N = 45 B. N = 90 C. N = 180 D. N = 135
Câu 93. Cho hai đường thẳng song song d, Δ. Trên d lấy 17 điểm phân biệt, trên Δ lấy 20 điểm phân biệt. Tính
số tam giác có các đỉnh là 3 điểm trong số 37 điểm đã cho.
A. 5950 B. 9550 C. 9050 D. 5590
Câu 94. Trong mặt phẳng cho đa giác đều (H) có 20 cạnh. Trong số các tam giác có ba đỉnh được lấy từ các
đỉnh của (H) có bao nhiêu tam giác không có cạnh nào là cạnh của (H)?
A. N = 320 B. N = 480 C. N = 640 D. N =800
Câu 95. Có 20 điểm trong mặt phẳng trong đó có 5 điểm thẳng hàng, số còn lại không có 3 điểm nào thẳng
hàng. Từ các điểm đó vẽ được bao nhiêu đường thẳng và bao nhiêu tam giác?
A. 181 và 1130 B. 192 và 1130 C. 181 và 1320 D. 192 và 1320
Câu 96. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của A = (x – 2/x
4
)
15
.
A. 1820 B. –1820 C. 3640 D. –3640
Câu 97. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của B = (x² – 2/x)
12
.
A. 126720 B. –126720 C. 7920 D. –7920
Câu 98. Tìm hệ số của x
4
y
3
trong khai triển của P = (2x + 3y)
7
.
A. 11520 B. 12510 C. 15120 D. 12150
Câu 99. Khai triển và rút gọn đa thức P(x) = (1 + x) + (1 + x)² + (1 + x)³ + ... + (1 + x)
12
sẽ được đa thức P(x) =
a
o
+ a
1
x + a
2
x² + ... + a
12
x
12
. Hệ số a
9
là
A. a
9
= 256 B. a
9
= 286 C. a
9
= 320 D. a
9
= 132
Câu 100. Cho đa thức P(x) = (1 + x) + 2(1 + x)² + 3(1 + x)³ + ... + 20(1 + x)
20
= a
o
+ a
1
x + a
2
x² + a
3
x³ + ... +
a
20
x
20
. Xác định hệ số a
18
.
A. 3254 B. 3549 C. 4179 D. 4569
Câu 101. Trong khai triển P(x) = (3 – 2x)
25
, hãy tính tổng các hệ số của đa thức P(x).
A. 3
25
B. 2
25
C. –1 D. 1
Câu 102. Trong khai triển của nhị thức (a² + b³)
15
, tìm các số hạng chứa a, b với số mũ giống nhau.
A. 5005a
6
b
6
B. 1010a
15
b
15
C. 5005a
18
b
18
D. 1010a
9
b
9
Câu 103. Tìm số hạng thứ 4 trong khai triển (1/x² – x³/2)
12
theo thứ tự số mũ tăng dần của biến.
A. (99/4)x
–1
B. (–99/4)x
–1
C. (99/4)x D. (–99/4)x
Câu 104. Tìm số hạng độc lập với x trong khai triển
16
3
1
(x )
x
TRƯỜNGTHPTHÙNGVƯƠNG NHÓMTOÁN
21
A. 1820 B. 1280 C. 2180 D. 2810
Câu 105. Số số hạng chứa x với số mũ tự nhiên trong khai triển
13
3
1
(x )
x
là
A. 2 B. 3 C. 5 D. 4
Câu 106. Biết tổng các hệ số của khai triển (3 – x²)
n
bằng 1024. Hệ số của số hạng chứa x
12
trong khai triển đó
là
A. –17010 B. 17010 C. –153090 D. 153090
Câu 107. Tính tổng S =
06 15 24 60
10 12 10 12 10 12 10 12
CC CC CC ... CC
A. 74236 B. 74362 C. 74613 D. 24671
Câu 108. Tính tổng S =
02 12 22 92
999 9
(C ) (C ) (C ) ... (C )
A. 39432 B. 43758 C. 36730 D. 48620
Câu 109. Gieo một con súc sắc cân đối đồng chất hai lần. Tính xác suất tích số chấm hai lần là số lẻ.
A. P = 1/3 B. P = 1/2 C. P = 1/4 D. P = 1/5
Câu 110. Một túi chứa 6 viên bi trắng và 5 viên bi xanh. Lấy ra 4 viên bi từ túi, xác suất lấy được 4 viên bi cùng
màu là
A. P = 1/33 B. P = 2/33 C. P = 1/11 D. P = 2/11
Câu 111. Sắp xếp ngẫu nhiên 5 bạn học sinh A, B, C, D, E ngồi vào một chiếc ghế dài có 5 chỗ ngồi. Xác suất
để hai bạn A và E ngồi cạnh nhau là
A. P = 1/5 B. P = 1/4 C. P = 2/5 D. P = 3/10
Câu 112. Gieo hai con súc sắc cân đối đồng chất. Tính xác suất tổng hai mặt xuất hiện bằng 7.
A. P = 1/3 B. P = 1/6 C. P = 1/12 D. P = 1/4
Câu 113. Một bình đựng 5 viên bi xanh và 3 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi. Tính xác suất để được ít nhất
3 viên bi xanh.
A. P = 1/2 B. P = 1/3 C. P = 1/4 D. P = 1/5
Câu 114. Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc cân đối đồng chất hai lần. Tính xác suất ít nhất một lần xuất hiện
mặt 6 chấm.
A. P = 11/36 B. P = 1/3 C. P = 1/6 D. P = 5/18
Câu 115. Gieo đồng thời bốn đồng xu cân đối đồng chất. Tính xác suất có đúng 3 đồng xu ngửa.
A. P = 1/16 B. P = 1/4 C. P = 11/16 D. P = 1/6
Câu 116. Một hộp bóng đèn có 12 bóng, trong đó có 7 bóng tốt. Lấy ngẫu nhiên 3 bóng. Tính xác suất để lấy
được ít nhất 2 bóng tốt.
A. P = 5/11 B. P = 6/11 C. P = 7/11 D. P = 8/11
TRƯỜNGTHPTHÙNGVƯƠNG NHÓMTOÁN
22
Câu 117. Một lớp học gồm 20 học sinh trong đó có 6 học sinh giỏi Toán, 5 học sinh giỏi Văn và 4 học sinh giỏi
cả 2 môn Toán và Văn. Chọn ra 2 em. Tính xác suất để 2 em đó là học sinh giỏi ít nhất một môn Toán hoặc
Văn.
A. P = 2/19 B. P = 3/19 C. P = 11/95 D. P = 21/190
Câu 118. Một hộp có 20 quả cầu giống nhau, trong đó có 12 quả cầu trắng và 8 quả cầu đen. Lấy ngẫu nhiên 3
quả. Tính xác suất để trong 3 quả chọn ra có ít nhất một quả màu đen.
A. P = 46/57 B. P = 15/19 C. P = 16/19 D. P = 47/57
Câu 119. Một tổ có 6 học sinh nam và 4 học sinh nữ. Giáo viên chọn ra 2 em đi thi văn nghệ. Tính xác suất để 2
học sinh được chọn khác phái.
A. P = 7/15 B. P = 1/2 C. P = 8/15 D. P = 3/5
Câu 120. Một lớp có 30 học sinh, trong đó có 8 em giỏi, 15 em khá và 7 em trung bình. Chọn ngẫu nhiên 3 em
đi dự đại hội. Tính xác suất để không có học sinh trung bình.
A. P = 2/145 B. P = 18/29 C. P = 25/58 D. P = 253/580
Câu 121. Cho 7 số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Gọi X là tập hợp các số gồm hai chữ số khác nhau lấy từ 7 số trên. Lấy
ngẫu nhiên một số thuộc X. Tính xác suất số đó là số lẻ.
A. P = 9/14 B. P = 5/7 C. P = 4/7 D. P = 11/14
Câu 122. Cho 7 số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Gọi X là tập hợp các số gồm hai chữ số khác nhau lấy từ 7 số trên. Lấy
ngẫu nhiên một số thuộc X. Tính xác suất số đó chia hết cho 5.
A. P = 2/5 B. P = 1/5 C. P = 1/7 D. P = 2/7
Câu 123. Một xạ thủ A có xác suất bắn trúng bia mục tiêu là 0,7. Giả sử xạ thủ này bắn 3 lần. Tính xác suất để
xạ thủ A bắn trúng mục tiêu ít nhất một lần.
A. P = 0,973 B. P = 0,997 C. P = 0,987 D. P = 0,975
Câu 124. Gieo một con xúc sắc cân đối đồng chất hai lần. Tính xác suất tổng số chấm của hai lần gieo là số lẻ.
A. P = 1/2 B. P = 3/5 C. P = 3/7 D. P = 5/9
Câu 125. Gieo một con xúc sắc cân đối đồng chất hai lần. Tính xác suất có ít nhất một lần số chấm từ 5 trở lên.
A. P = 1/2 B. P = 3/5 C. P = 3/7 D. P = 5/9
TRƯỜNGTHPTHÙNGVƯƠNG NHÓMTOÁN
23
CHUYÊN ĐỀ 3: DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
A. LÝ THUYẾT CƠ BẢN
I. Phương pháp chứng minh qui nạp
Để chứng minh mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên n ≥ p ≥ 1 bằng phương pháp qui nạp, ta tiến hành
theo 2 bước
Bước 1. Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = p.
Bước 2. Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì n = k ≥ p (gọi là giả thiết qui nạp), chứng minh rằng
nó cũng đúng với n = k + 1
II. Dãy số
Mỗi hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương N* được gọi là dãy số vô hạn.
Thường viết dưới dạng khai triển: u
1
, u
2
, ..., u
n
, ...
Trong đó u
1
là số hạng đầu và u
n
là số hạng tổng quát.
III. Dãy số hữu hạn
Mỗi hàm số u xác định trên tập M = {1, 2, 3 , …, m} với m nguyên dương được gọi là dãy số hữu hạn.
Dạng khai triển: u
1
, u
2
, u
3
,…,u
m
. Trong đó u
1
là số hạng đầu, u
m
số hạng cuối.
Ví dụ: –5, –2, 1, 4, 7, 10, 13 là dãy số hữu hạn
IV. Cách cho một dãy số
1. Dãy số cho bằng công thức số hạng tổng quát
2. Dãy số cho bằng phương pháp mô tả: mô tả cách xác định các số hạng liên tiếp của dãy số.
3. Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi
a. Cho số hạng đầu hay vài số hạng đầu
b. Cho hệ thức truy hồi, tức là hệ thức biểu thị số hạng thứ n qua số hạng hoặc vài số hạng đứng trước nó.
V. Dãy số tăng, dãy số giảm và dãy số bị chặn
1. Dãy số tăng và dãy số giảm
Dãy số (u
n
) được gọi là dãy số tăng nếu ta có u
n+1
> u
n
với mọi số nguyên dương n.
Dãy số (u
n
) được gọi là dãy số giảm nếu ta có u
n+1
< u
n
với mọi số nguyên dương n.
Dãy số (u
n
) với u
n
= 2n là dãy số tăng vì
u
n+1
– u
n
= 2(n + 1) – 2n = 2 > 0 nên u
n+1
> u
n
.
2. Dãy số bị chặn
Dãy số (u
n
) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho: u
n
≤ M, với mọi số nguyên dương n.
Dãy số (u
n
) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho: m ≤ u
n
, với mọi số nguyên dương n.
TRƯỜNGTHPTHÙNGVƯƠNG NHÓMTOÁN
24
Dãy số (u
n
) được gọi là bị chặn nếu vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới.
VI. Cấp số cộng
1. Định nghĩa: Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ 2, mỗi số hạng đều
bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với số không đổi d. Số d gọi là công sai của cấp số cộng.
Công thức truy hồi: u
n+1
= u
n
+ d với mọi số nguyên dương n.
Nếu d = 0 thì cấp số cộng là dãy số không đổi.
2. Số hạng tổng quát: Nếu cấp số cộng (u
n
) có số hạng đầu u
1
và công sai d thì số hạng tổng quát u
n
được xác
định bởi công thức: u
n
= u
1
+ (n – 1)d với n ≥ 2.
3. Tính chất các số hạng của cấp số cộng:
k1 k1
k
uu
u
2

với k ≥ 2
4. Tổng n số hạng đầu của cấp số cộng: S
n
= u
1
+ u
2
+ u
3
+ … + u
n
=
1n 1
n(u u ) n[2u (n 1)d]
22

VII. Cấp số nhân
1. Định nghĩa: Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạn thứ 2, mỗi số hạn đều là
tích của số hạng đứng ngay trước nó với số không đổi q. Số q gọi là công bội của cấp số nhân.
Nếu (u
n
) là cấp số nhân với công bội q, ta có u
n+1
= u
n
q, với mọi số nguyên dương n.
2. Số hạng tổng quát: u
n
= u
1
q
n–1
với n ≥ 2
3. Tính chất các số hạng của cấp số nhân: (u
k
)² = u
k–1
.u
k+1
, với k ≥ 2
4. Tổng n số hạng đầu của cấp số nhân:
Cho cấp số nhân (u
n
) với công bội q ≠ 1. S
n
= u
1
+ u
2
+ ... + u
n
=
n
1
u(1 q)
1q
B. BÀI TẬP
Câu 1. Cho các đẳng thức
a. 1 + 3 + 5 + … + (2n + 1) = n²
b. 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n(n + 1) = n(n + 1)(n + 2)/3
c. 1³ + 2³ + 3³ + … + n³ = n²(n + 1)²/4.
d. 1² + 2² + 3² + 4² + ... + n² = n(n + 1)(2n + 1)/6
Số đẳng thức đúng với mọi số nguyên dương n là
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Câu 2. Hãy viết 3 số hạng tiếp theo hai số hạng đầu của dãy số (u
n
) có u
1
= 1, u
2
= 1, u
n+2
= u
n+1
+ u
n
.
A. 2; 3; 5 B. 3; 4; 7 C. 2; 5; 7 D. 3; 5; 8
TRƯỜNGTHPTHÙNGVƯƠNG NHÓMTOÁN
25
Câu 3. Cho các dãy số (u
n
) sau
a. u
n
= 2
n+1
– 2n b. u
n
= 2.3
n–1
– 7 c. u
n
= (1/n – 2n)² d. u
n
= (n + 1)/n
Số dãy số tăng là
A. 0 B. 2 C. 3 D. 4
Câu 4. Công thức số hạng tổng quát của dãy số (u
n
) có u
1
= 1, u
n+1
= 2u
n
+ 3 là
A. u
n
= 2
n+1
– 1 B. u
n
= 2
n+1
– 2 C. u
n
= 2
n+1
– 3 D. u
n
= 2
n+1
– 4
Câu 5. Công thức số hạng tổng quát của dãy số (u
n
) có u
1
5/4; 2u
n+1
= u
n
+ 1 là
A. u
n
= 1 + 1/2
n–1
B. u
n
= 1 + 1/2
n+1
C. u
n
= 1 + 1/2
n
D. u
n
= 2 + 1/2
n+1
.
Câu 6. Cho các dãy số (u
n
) sau
a. u
n
=
n1
n2
b. u
n
=
n
(1)
n1
c. u
n
= 1/n² + 2n d. u
n
= 2n(2n – 5)
Số dãy số giảm là
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
Câu 7. Cho các dãy số (u
n
) sau
a. u
n
= 2n/(n + 2) b. u
n
= 2n – 3/n c. u
n
= 2n – n² + 5 d. u
n
= (–1)
n
/(n² + 1)
Số dãy số bị chặn là
A. 2 B. 0 C. 1 D. 3
Câu 8. Cho các dãy số (u
n
) sau
a. u
n
= 12n – 11 b. u
n
= n(3n – 2) c. u
n
= 3 – n d. u
n
= (n + 1)² – n²
Những dãy số là cấp số cộng gồm
A. a và c B. a, c và d C. a, b và c D. b, c và d
Câu 9. Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng (u
n
), biết u
1
+ 2u
5
= 0 và S
4
= 14.
A. u
1
= 8 và d = –3 B. u
1
= 5 và d = –1 C. u
1
= 6 và d = –2 D. u
1
= 9 và d = –4
Câu 10. Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng (u
n
), biết u
4
= 10; u
7
= 22
A. u
1
= –8 và d = 6 B. u
1
= 4 và d = 3 C. u
1
= –2 và d = 4 D. u
1
= 1 và d = 3
Câu 11. Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng (u
n
), biết u
1
+ u
5
– u
3
= 10; u
1
+ u
6
= 17.
A. u
1
= 1 và d = 5 B. u
1
= 16 và d = –3 C. u
1
= –3 và d = 5 D. u
1
= 15 và d = –3
Câu 12. Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng (u
n
), biết u
3
= –15 và u
8
= 25.
A. u
1
= –31; d = 8 B. u
1
= –35; d = 10 C. u
1
= –31; d = 10 D. u
1
= –35 và d = 8
Câu 13. Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng (u
n
), biết u
7
+ u
15
= 60 và (u
4
)² + (u
12
)² = 1170
TRƯỜNGTHPTHÙNGVƯƠNG NHÓMTOÁN
26
A. u
1
= –12; d = 3 hoặc u
1
= 0; d = 21/5 B. u
1
= –10; d = 3 hoặc u
1
= 0; d = 21/5
C. u
1
= –10; d = 21/5 hoặc u
1
= 0; d = 3 D. u
1
= –12 và d = 21/5 hoặc u
1
= 0; d = 3
Câu 14. Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng (u
n
), biết u
1
+ u
3
+ u
5
= –12 và u
1
u
2
u
3
= 8
A. u
1
= –2; d = –1 B. u
1
= –1; d = –2 C. u
1
= 1; d = –2 D. u
1
= 2 và d = –3
Câu 15. Một cấp số cộng gồm 8 số hạng với số hạng đầu là –15 và số hạng cuối là 69. Các số hạng còn lại ở
giữa lần lượt là
A. –2; 11; 23; 35; 47; 58 B. –3; 11; 23; 35; 47; 59
C. –2; 10; 21; 33; 45; 57 D. –3; 9; 21; 33; 45; 57
Câu 16. Tìm 3 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng tăng, biết tổng của chúng bằng 27 và tổng các bình
phương của chúng là 293.
A. 4; 9; 14 B. 3; 9; 15 C. –1; 9; 19 D. 0; 9; 18
Câu 17. Ba cạnh một tam giác vuông có độ dài là các số nguyên dương lập thành một cấp số cộng có công sai
bằng 2. Tìm ba cạnh đó.
A. 3; 5; 7 B. 5; 7; 9 C. 4; 6; 8 D. 6; 8; 10
Câu 18. Ba góc của một tam giác vuông lập thành cấp số cộng. Số đo góc nhỏ nhất là
A. 40° B. 15° C. 30° D. 45°
Câu 19. Số đo các góc của một tứ giác lồi lập thành cấp số cộng và góc lớn nhất gấp 5 lần góc nhỏ nhất. Tìm
công sai của cấp số cộng đó.
A. d = 40° B. d = 30° C. d = 25° D. d = 35°
Câu 20. Tìm x sao cho 3 số a, b, c theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng, biết a = 10 – 3x, b = 3x² + 5, c = 5 – 4x.
A. x = 1/2 V x = –5/3 B. x = –1/2 V x = 5/3 C. x = 1 V x = –10/3 D. x = –1 V x = 10/3
Câu 21. Cho cấp số cộng (u
n
) có số hạng đầu là u
1
= 1 và công sai d = 1. Tìm n sao cho tổng n số hạng đầu tiên
của cấp số cộng đó bằng 3003.
A. n = 77 B. n = 78 C. n = 79 D. n = 80
Câu 22. Cho các dãy số (u
n
) sau
a. u
n
= 3.(–2)
2n+1
. b. u
n
= (–1)
n
.3
3n+1
. c. u
1
= 2 và u
n+1
= 2u
n
+ 1 d. u
n
= 3
n
– 1
Số cấp số cộng trong các dãy số trên là
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
Câu 23. Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân (u
n
), biết u
1
– u
3
+ u
5
= 65; u
1
+ u
7
= 325
A. u
1
= 5 và q = ±2 B. u
1
= 3 và q = ±3 C. u
1
= 3 và q = ±2 D. u
1
= 5 và q = ±3
Câu 24. Tìm công bội của cấp số nhân (u
n
) là dãy số giảm có u
2
– u
3
= 768 và u
2
– u
5
= 1008
A. q = –5/4 B. q = 1/5 C. q = –4/5 D. q = 1/4
TRƯỜNGTHPTHÙNGVƯƠNG NHÓMTOÁN
27
Câu 25. Cho dãy số (u
n
) có số hạng tổng quát u
n
= (–2)
n+1
.3
n+2
. Nhận xét nào sau đây đúng?
A. Dãy số trên là cấp số nhân có công bội q = 6
B. Dãy số trên là cấp số nhân tăng
C. Dãy số trên không có chặn dưới và chặn trên
D. Dãy số trên là cấp số nhân giảm
Câu 26. Tìm số hạng đầu của cấp số nhân hữu hạn, biết rằng công bội là –3, tổng số các số hạng là 364 và số
hạng cuối là 486.
A. –1 B. 1 C. 0 D. –2
Câu 27. Tìm công bội của cấp số nhân hữu hạn có số hạng đầu là 7, số hạng cuối là 448 và tổng số các số hạng
là 889.
A. q = 3/2 B. q = 2 C, q = 5/2 D. q = 4
Câu 28. Số số hạng của một cấp số nhân là một số chẵn. Tổng tất cả các số hạng của nó lớn gấp 3 lần tổng các
số hạng có chỉ số lẻ. Xác định công bội của cấp số đó.
A. q = 1/2 B. q = 2 C. q = 1/4 D. q = 4
Câu 29. Xác định số hạng đầu của cấp số nhân tăng, biết tổng 3 số hạng đầu là 148, đồng thời 3 số hạng đầu lần
lượt là số hạng thứ nhất, thứ tư và thứ tám của cấp số cộng.
A. 4 B. 12 C. 27 D. 36
Câu 30. Tìm 3 số hạng đầu a, b, c của một cấp số nhân, biết rằng a, b + 2, c tạo thành một cấp số cộng và a, b +
2, c + 9 lập thành một cấp số nhân.
A. 4; 8; 16 hoặc 4/25; 16/25; 64/25 B. 2; 4; 8 hoặc 4/25; –16/25; 64/25
C. 2; 4; 8 hoặc 4/25; 16/25; 64/25 D. 4; 8; 16 hoặc 4/25; –16/25; 64/25
Câu 31. Tìm các số a, b, c, d theo thứ tự giảm dần trong đó a, b, c là ba số hạng kế tiếp của một cấp số nhân,
còn b, c, d là ba số hạng kế tiếp của một cấp số cộng; a + d = 32, b + c = 24.
A. 30; 18; 6 và 2 B. 32; 16; 8 và 0 C. 16; 8; 4 và 0 D. 24; 12; 6 và 0
Câu 32. Tìm các số a, b sao cho a, a + 2b, 2a + b là 3 số liên tiếp của cấp số cộng và (b + 1)², ab + 5, (a + 1)² là
ba số liên tiếp của cấp số nhân.
A. a = 3 và b = 12 B. a = 12 và b = 3 C. b = 3 và a = 1 D. a = 3 và b = 1
Câu 33. Tìm số tự nhiên n thỏa mãn S
n
= 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ... + n(n + 1)(n + 2) = 53130
A. n = 20 B. n = 21 C. n = 22 D. n = 23
Câu 34. Cho dãy số (u
n
) có u
1
= 5/4; 2u
n+1
= u
n
+ 1 với n ≥ 1. Nhận xét đúng là
A. Số hạng tổng quát của dãy số là u
n
= 2
–n–1
+ 1 (n ≥ 1)
B. Dãy số (u
n
) không bị chặn dưới
C. Dãy số (u
n
) không bị chặn trên
TRƯỜNGTHPTHÙNGVƯƠNG NHÓMTOÁN
28
D. Dãy số (u
n
) là dãy số tăng và bị chặn
Câu 35. Cho các dãy số (u
n
) sau
a. u
n
= 2
–n
. b. u
n
= (–2)
n
+ 2
n
. c. u
1
= 2; u
n+1
= u
n
+ (–1)
n
d. u
n
= (–1)
n
(1 + u
n
).
Số dãy số không bị chặn là
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Câu 36. Tìm số hạng đầu của cấp số nhân tăng (u
n
) có u
1
u
2
u
3
= 4096 và S
3
= 56.
A. u
1
= 4 B. u
1
= 6 C. u
1
= 8 D. u
1
= 2
Câu 37. Một cấp số nhân (u
n
) có 5 số hạng, biết công bội q = –1/2, và u
1
+ u
4
= 63. Tìm số hạng thứ 5 của cấp
số nhân này
A. u
5
= 3 B. u
5
= 9/2 C. u
5
= 7/2 D. u
5
= 4
Câu 38. Các biểu thức x + 5y, 5x + 2y, 8x + 2y có giá trị theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Đồng thời x – 1, y +
3, x – 2y theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Xác định x và y.
A. x = –3; y = –1 hoặc x = 27/2; y = 9/2 B. x = –9/2; y = –3/2 hoặc x = 3; y = 1
C. x = 9/2; y = 3/2 hoặc x = –3; y = –1 D. x = –27/2; y = –9/2 hoặc x = 3; y = 1
Câu 49. Tìm hai số dương a và b biết ba số 1; a + 8; b theo thứ tự lập thành một cấp số cộng và ba số 1; a; b
theo thứ tự lập thành một cấp số nhân.
A. a = 4 và b = 16 B. a = 3 và b = 9 C. a = 2 và b = 4 D. x = 5 và b = 25
Câu 50. Một cấp số cộng tăng (u
n
) và một cấp số nhân tăng (v
n
) có số hạng thứ nhất u
1
= v
1
= 5; biết u
2
– v
2
=
10 và u
3
= v
3
. Tìm công bội q của cấp số cộng và công sai d của cấp số cộng.
A. d = 20 và q = 3 B. d = 15 và q = 3 C. d = 10 và q = 2 D. d = 15 và q = 2
Câu 51. Cho dãy số (u
n
) với u
n
= 2
n
– 2. Tính tổng 10 số hạng đầu của dãy số
A. 2056 B. 2066 C. 2036 D. 2026
Câu 52. Cho dãy số (u
n
) có tổng của n số hạng đầu tiên là S
n
= (7n – 3n²)/2 với mọi n > 1. Số hạng tổng quát
của cấp số cộng là
A. 5 – 3n B. 2 – n C. 3 – 2n D. 4 – n
Câu 53. Cho hai cấp số cộng (u
n
) và (v
n
) có tổng n số hạng đầu tiên lần lượt là S
n
= 2n² + n với mọi n > 1 và T
n
= n² + 7n với mọi n > 1. Tính tỉ số u
1
/v
1
.
A. 3/7 B. 3/8 C. 1/2 D. 5/7
Câu 54. Gọi a là một nghiệm của phương trình: x² – 3x + 1 = 0. Xét dãy số (u
n
) có u
n
= a
n
+ 1/a
n
với n ≥ 1.
Nhận xét nào sau đây đúng?
A. Dãy số bị chặn B. Dãy số có mọi số hạng là số nguyên
C. Dãy số giảm D. Dãy số có số hạng đầu là u
1
= –3
TRƯỜNGTHPTHÙNGVƯƠNG NHÓMTOÁN
29
Câu 55. Cho dãy số (u
n
) có u
n
=
2
2n 5
n1
. Số hạng bằng 1/5 là số hạng thứ mấy?
A. 12 B. 11 C. 10 D. 6
Câu 56. Cho dãy số (u
n
) có u
n
= cos (nπ/3) với mọi n nguyên dương. Số giá trị khác nhau của dãy số là
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
Câu 57. Cho dãy số (u
n
) xác định như sau: u
n
là số dư khi chia n cho 6. Khẳng định nào sau đây sai?
A. Dãy số chỉ có 6 giá trị khác nhau B. Dãy số bị chặn
C. Nếu u
m
= u
n
thì |m – n| chia hết cho 6 D. Số hạng nhỏ nhất là u
1
.
Câu 58. Cho dãy số (u
n
) xác định bởi: u
1
= 5 và u
n+1
= 3u
n
với mọi số nguyên dương n. Công thức số hạng tổng
quát là
A. u
n
= 5.3
n
. B. u
n
= 5.3
n–1
. C. u
n
= 5.3
n–2
. D. u
n
= 5.3
n–3
.
Câu 59. Cho dãy số (u
n
) có u
1
= 1 và u
n+1
= 3u
n
+ 2n với mọi số nguyên dương n. Tìm công thức số hạng tổng
quát của (u
n
).
A. u
n
= (1/2).3
n–1
+ n – 1/2 B. u
n
= (1/2).3
n–1
– n – 1/2
C. u
n
= (5/2).3
n–1
– n – 1/2 D. u
n
= (5/2).3
n–1
+ n – 1/2
Câu 60. Cho dãy số (u
n
) có u
1
= 1 và u
n+1
= 2u
n
– n với mọi số nguyên dương n. Tìm công thức số hạng tổng
quát của (u
n
).
A. u
n
= n + 1 – 2
n–1
. B. u
n
= n – 1 – 2
n–1
. C. u
n
= n + 1 + 2
n–1
. D. u
n
= n – 1 + 2
n–1
.
Câu 61. Cho các dãy số sau
a. u
n
=
n1
3n ( 1)
2(n 1)

b. u
n
=
2
2n 3
2n 1
c. u
n
=
111 1
...
n1 n2 n3 2n


Số dãy số bị chặn trong các dãy số trên là
A. 0 B. 2 C. 1 D. 3
Câu 62. Cho dãy số (u
n
) có u
1
= 1; u
m+n
= u
m
+ u
n
+ m.n với mọi m, n là các số nguyên dương. Tìm số hạng
tổng quát của (u
n
).
A. u
n
= n(n + 1) B. u
n
= n(n + 1)/2 C. u
n
= n(n + 1)/3 D. u
n
= n(n + 1)/4
Câu 63. Cho dãy số (u
n
) có u
1
= 1; u
2
= –7 và u
n+2
= 5u
n+1
– 6u
n
với mọi n là số nguyên dương. Tìm số hạng
tổng quát của (u
n
).
A. u
n
= 2
n
– 3
n–1
. B. u
n
= 5.2
n
– 3
n+1
. C. u
n
= –2
n
+ 3
n–1
. D. u
n
= 3.2
n
– 5.3
n–1
.
Câu 64. Xác định số hạng đầu u
1
và công sai d của cấp số cộng (u
n
) có u
9
= 5u
2
; u
13
= 2u
6
+ 5.
A. u
1
= 3 và d = 5 B. u
1
= 4 và d = 3 C. u
1
= 3 và d = 4 D. u
1
= 4 và d = 5
Câu 65. Xác định số hạng đầu u
1
và công sai d của cấp số cộng (u
n
) có u
5
= 10; S
10
= 5
TRƯỜNGTHPTHÙNGVƯƠNG NHÓMTOÁN
30
A. u
1
= 46 và d = –9 B. u
1
= 86 và d = –19 C. u
1
= –22 và d = 8 D. u
1
= –62 và d = 18
Câu 66. Xác định số hạng đầu u
1
và công sai d của cấp số cộng (u
n
) có tổng n số hạng đầu tiên là S
n
= 3n + n²
với mọi số nguyên dương n.
A. u
1
= 2 và d = 2 B. u
1
= 4 và d = 2 C. u
1
= 4 và d = 3 D. u
1
= 2 và d = 3
Câu 67. Cho cấp số cộng (u
n
) thỏa mãn u
4
+ u
8
+ u
12
+ u
16
= 16. Tính tổng 19 số hạng đầu S
19
.
A. S
19
= 76 B. S
19
= 152 C. S
19
= 138 D. S
19
= 252
Câu 68. Cho một cấp số cộng (u
n
) có m²S
n
= n²S
m
với mọi m, n là hai số nguyên dương. Tính tỉ số u
2017
/ u
1
.
A. 4034 B. 4033 C. 8069 D. 8070
Câu 69. Tìm số nguyên dương n biết (2n + 1) + (2n + 2) + (2n + 3) + … + 3n = 2265.
A. n = 31 B. n = 30 C. n = 28 D. n = 29
Câu 70. Tìm số nguyên dương n biết 1 + 2 + 3 + ... + (n – 1) = 2017n.
A. n = 4032 B. n = 4033 C. 4034 D. n = 4035
Câu 70. Cho dãy số (u
n
) có u
1
= 2 và u
n
– u
n+1
+ 3 = 1 / [n(n + 1)] với mọi số nguyên dương n. Tìm số hạng tổng
quát u
n
.
A. u
n
= 3n – 3 + 1/n B. u
n
= 3 – 3n + 1/n C. u
n
= 3 + 3n – 1/n D. u
n
= 3n – 3 – 1/n
Câu 71. Cho các số a; b; a + b ≠ 0 sao cho 3/a; 1/(a + b); –1/b theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Tỉ số a²/b² là
A. 3 B. 1/3 C. 2 D. 1/2
Câu 72. Xác định số hạng đầu và công bội của cấp số nhân (u
n
) có u
10
= 32; u
15
= 256u
7
.
A. u
1
= 16/5; q = 2 B. u
1
= 1/16; q = 2 C. u
1
= 1/16; q = 1/2 D. u
1
= 16/5; q = 1/2
Câu 73. Xác định số hạng đầu và công bội của cấp số nhân (u
n
) có u
4
– u
2
= 54 và u
5
– u
3
= 108
A. u
1
= 9 và q = 2 B. u
1
= 3 và q = 2 C. u
1
= 9 và q = –2 D. u
1
= 3 và q = –2
Câu 74. Tìm x, y biết x; y; 12 là 3 số hạng liên tiếp của cấp số nhân và x; y; 9 là 3 số hạng liên tiếp của cấp số
cộng.
A. x = 3 và y = 6 hoặc x = 27 và y = 18 B. x = 108 và y = 36 hoặc x = 3 và y = 6
C. x = 27 và y = 18 hoặc x = 36 và y = 18 D. x = 54 và y = 27 hoặc x = 36 và y = 18
Câu 75. Tìm x biết ba số cos (x – π/4); sin x; cos (x + π/4) là 3 số hạng liên tiếp của cấp số nhân
A. x = ±π/3 + k2π, k là số nguyên B. x = ±π/6 + k2π, k là số nguyên
C. x = ±π/3 + kπ, k là số nguyên D. x = ±π/6 + kπ, k là số nguyên
Câu 76. Cho x, y, z là ba số hạng liên tiếp của cấp số nhân giảm thỏa mãn xyz = 64 và x³ + y³ + z³ = 584. Tìm
x, y, z.
A. x = 32; y = 4 và z = 1/2 B. x = 8; y = 4 và z = 2
TRƯỜNGTHPTHÙNGVƯƠNG NHÓMTOÁN
31
C. x = 2; y = 4 và z = 8 D. x = 1/2; y = 4 và z = 32
Câu 77. Cho x, y, z là ba số hạng liên tiếp của cấp số nhân có công bội q thỏa mãn |q| < 1; 1/x + 1/y + 1/z = 14
và xy + yz + zx = –7/108. Tìm x, y, z.
A. x = 1/18; y = –1/6 và z = 1/2 B. x = 1/3; y = –1/6 và z = 1/12
C. x = 1/2; y = –1/6 và z = 1/18 D. x = 1/12; y = –1/6 và z = 1/2
Câu 78. Tính S = lim [
n
n
111 (1)
...
248 2

]
A. S = –1/3 B. S = 1/3 C. S = –1 D. S = 1
Câu 79. Cho ΔABC có 3sin A; 2sin B; 2sin C là ba số hạng liên tiếp của cấp số nhân và A – C = 60°. Số đo của
góc B là
A. 30° B. 60° C. 45° D. 54°
Câu 80. Giả sử x
1
, x
2
là hai nghiệm của phương trình x² – x + c = 0 và x
3
, x
4
là hai nghiệm của phương trình x²
– 4x + d = 0. Tính c, d biết rằng x
1
, x
2
, x
3
, x
4
lập thành một cấp số nhân tăng.
A. c = 2/9; d = 32/9 B. c = 3/16; d = 243/16
C. c = 4/25; d = 1024/25 D. c = 6/25; d = 243/50
Câu 81. Cho cấp số cộng (u
n
) có công sai d ≠ 0 và cấp số nhân (v
n
) có công bội q > 0 thỏa mãn u
1
= v
1
= –2; u
2
= v
2
; u
3
= v
3
+ 8. Tìm d và q.
A. d = 4 và q = 2 B. d = 4 và q = 3 C. d = –4 và q = 2 D. d = –4 và q = 3
Câu 82. Cho dãy số (u
n
) có u
1
= 2, u
n+1
= 3 + 4u
n
. Xác định công thức tổng quát của u
n
.
A. u
n
= 2.4
n–1
+ 1 B. u
n
= 2.4
n–1
– 1 C. u
n
= 3.4
n–1
– 1 D. u
n
= 3.4
n–1
+ 1
TRƯỜNGTHPTHÙNGVƯƠNG NHÓMTOÁN
32
CHUYÊN ĐỀ 4: GIỚI HẠN VÀ HÀM SỐ LIÊN TỤC
A. LÝ THUYẾT CƠ BẢN
I. Giới hạn của dãy số
Giới hạn hữu hạn Giới hạn vô cực
1. Giới hạn đặc biệt:
1
lim 0
n
n

;
1
lim 0 ( )
k
n
k
n


lim 0 ( 1)
n
n
qq


;
lim
n
CC

2. Định lí :
a) Nếu lim u
n
= a, lim v
n
= b thì
lim (u
n
+ v
n
) = a + b
lim (u
n
– v
n
) = a – b
lim (u
n
.v
n
) = a.b
lim
n
n
u
a
vb
(nếu b
0)
b) Nếu u
n
0,
n và lim u
n
= a thì a
0 và lim
n
ua
c) Nếu
nn
uv
,
n và lim v
n
= 0
thì lim u
n
= 0
d) Nếu lim u
n
= a thì
lim
n
ua
3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
S = u
1
+ u
1
q + u
1
q
2
+ … =
1
1
u
q
1q
1. Giới hạn đặc biệt:
lim
n
n


lim ( )
k
n
nk


lim ( 1)
n
n
qq


2. Định lí:
a)Nếu
lim
n
u 
thì
1
lim 0
n
u
b) Nếu lim u
n
= a, lim v
n
=

thì lim
n
n
u
v
= 0
c) Nếu lim u
n
=a
0, lim v
n
= 0
thì lim
n
n
u
v
=
.0
.0
n
n
neáu a v
neáu a v


d) Nếu lim u
n
= +
, lim v
n
= a
thì lim(u
n
.v
n
) =
0
0
neáu a
neáu a


* Khi tính giới hạn có một trong các dạng vô định:
0
0
,
,
–
, 0.
thì phải tìm cách khử dạng vô định.
2. Một số phương pháp tìm giới hạn của dãy số:
Chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của n.
VD: a)
1
1
11
lim lim
3
23 2
2
n
n
n
n

TRƯỜNGTHPTHÙNGVƯƠNG NHÓMTOÁN
33
b)
2
1
13
3
lim lim 1
1
12
2
nnn
n
n
n



c)
22
2
41
lim( 4 1) lim 1nn n
n
n




Nhân lượng liên hợp: Dùng các hằng đẳng thức

33
22
33 3
;ababababa abb ab
VD:
2
lim 3nnn=


22
2
33
lim
3
nnnnnn
nnn
 

=
2
3
lim
3
n
nnn
=
3
2
Dùng định lí kẹp: Nếu
nn
uv
,n và lim v
n
= 0 thì lim u
n
= 0
VD: a) Tính
sin
lim
n
n
.
Vì 0
sin 1n
nn
và
1
lim 0
n
nên
sin
lim 0
n
n
b) Tính
2
3sin 4cos
lim
21
nn
n
.
Vì
22 2 2
3sin 4cos (3 4 )(sin cos ) 5nn nn
nên 0
22
3sin 4cos 5
21 21
nn
nn

.
Mà
2
5
lim 0
21n
nên
2
3sin 4cos
lim 0
21
nn
n
Khi tính các giới hạn dạng phân thức, ta chú ý một số trường hợp sau đây:
Nếu bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng 0.
Nếu bậc của tử bằng bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng tỉ số các hệ số của luỹ thừa cao
nhất của tử và của mẫu.
Nếu bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó là + nếu hệ số cao nhất của tử và
mẫu cùng dấu và kết quả là –
nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu trái dấu(ta thường đặt nhân tử chung
của tử, mẫu riêng).
II. Giới hạn của hàm số
Giới hạn hữu hạn Giới hạn vô cực, giới hạn ở vô cực
1. Giới hạn đặc biệt:
0
0
lim
xx
x
x
;
1. Giới hạn đặc biệt:
lim
k
x
x


;
lim
k
x
neáu k chaün
x
neáu k leû



TRƯỜNGTHPTHÙNGVƯƠNG NHÓMTOÁN
34
0
lim
xx
cc
(c: hằng số)
2. Định lí:
a) Nếu
0
0
lim ( )
lim ( )
xx
xx
fx L
gx M
thì: *

0
lim () ()
xx
f
xgx LM

*

0
lim ( ) ( )
xx
f
xgx LM

*
0
lim ( ). ( ) .
xx
f
xgx LM
*
0
()
lim
()
xx
fx L
gx M
(nếu M
0)
b) Nếu
0
f(x) 0
lim ( )
xx
fx L
thì
* L
0 *
0
lim ( )
xx
fx L
c) Nếu
0
lim ( )
xx
fx L
thì
0
lim ( )
xx
f
xL
3. Giới hạn một bên:
0
lim ( )
xx
fx L
00
lim ( ) lim ( )
xx xx
f
xfxL



lim
x
cc

;
lim 0
k
x
c
x

0
1
lim
x
x

;
0
1
lim
x
x

00
11
lim lim
xx
xx



2. Định lí:
a) Nếu
0
0
lim ( ) 0
lim ( )
xx
xx
f
xL
gx


thì: *
0
0
0
.lim ( ) 0
lim ()()
.lim ( ) 0
xx
xx
xx
neáu L g x
fxgx
neáu L g x


*
0
()
lim 0
()
xx
fx
gx
b) Nếu
0
0
lim ( ) 0
lim ( ) 0
xx
xx
f
xL
gx

thì:
0
()
.() 0
lim
.() 0
()
xx
f
x
neáu L g x
neáu L g x
gx


Khi tính giới hạn có một trong các dạng vô định:
0
0
,
,
–
,
0.
thì phải tìm cách khử dạng vô định.
Một số phương pháp khử dạng vô định:
1. Dạng
0
0
a) L =
0
()
lim
()
xx
Px
Qx
với P(x), Q(x) là các đa thức và P(x
0
) = Q(x
0
)= 0
Phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử và rút gọn.
TRƯỜNGTHPTHÙNGVƯƠNG NHÓMTOÁN
35
VD:
322
2
22 2
8 ( 2)( 2 4) 2 4 12
lim lim lim 3
(2)(2) 2 4
4
xx x
xxxxxx
xx x
x

 


b) L =
0
()
lim
()
xx
Px
Qx
với P(x
0
) = Q(x
0
) = 0 và P(x), Q(x) là các biểu thức chứa căn cùng bậc
Sử dụng các hằng đẳng thức để nhân lượng liên hợp ở tử và mẫu.
VD:

00 0
24 24 24 1 1
lim lim lim
4
24
24
xx x
xxx
x
x
xx

  



c) L =
0
()
lim
()
xx
Px
Qx
với P(x
0
) = Q(x
0
) = 0 và P(x) là biêu thức chứa căn không đồng bậc
Giả sử: P(x) =
00
() () ( ) ( )
mn
mn
ux vx vôùi ux vx a.
Ta phân tích P(x) =
() ()
mn
ux a a vx
.
VD:
33
00
11 1111
lim lim
xx
x
xx x
xxx


 



=
02
3
3
11115
lim
326
11
(1) 11
x
x
xx







2. Dạng
: L =
()
lim
()
x
Px
Qx

với P(x), Q(x) là các đa thức hoặc các biểu thức chứa căn.
– Nếu P(x), Q(x) là các đa thức thì chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x.
– Nếu P(x), Q(x) có chứa căn thì có thể chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x hoặc nhân lượng liên
hợp.
VD: a)
2
2
2
2
53
2
253
lim lim 2
63
63
1
xx
xx
x
x
xx
x
x
 





b)
2
2
3
2
23
lim lim 1
1
1
11
xx
x
x
xx
x
 



3. Dạng
–
: Giới hạn này thường có chứa căn
Ta thường sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp của tử và mẫu.
VD:


11 1
lim 1 lim lim 0
11
xx x
xx xx
xx
xx xx
  
 


TRƯỜNGTHPTHÙNGVƯƠNG NHÓMTOÁN
36
4. Dạng 0.
:
Ta cũng thường sử dụng các phương pháp như các dạng ở trên.
VD:
2
22
2. 0. 2
lim ( 2) lim 0
2
2
4
xx
xxx
x
x
x



III. Hàm số liên tục
1. Hàm số liên tục tại một điểm:
y = f(x) liên tục tại x
0
0
0
lim ( ) ( )
xx
fx fx
Để xét tính liên tục của hàm số y = f(x) tại điểm x
0
ta thực hiện các bước:
B1: Tính f(x
0
).
B2: Tính
0
lim ( )
xx
fx
(trong nhiều trường hợp ta cần tính
0
lim ( )
xx
f
x
,
0
lim ( )
xx
f
x
)
B3: So sánh
0
lim ( )
xx
fx
với f(x
0
) và rút ra kết luận.
2. Hàm số liên tục trên một khoảng: y = f(x) liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.
3. Hàm số liên tục trên một đoạn [a; b]: y = f(x) liên tục trên khoảng (a; b) và
lim ( ) ( ), lim ( ) ( )
xa xb
f
xfa fxfb



4.
Hàm số đa thức liên tục trên R.
Hàm số phân thức, các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.
5. Giả sử y = f(x), y = g(x) liên tục tại điểm x
0
. Khi đó:
Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x), y = f(x).g(x) liên tục tại x
0
.
Hàm số y =
()
()
f
x
gx
liên tục tại x
0
nếu g(x
0
)
0.
6. Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b] và f(a). f(b)< 0 thì tồn tại ít nhất một số c
(a; b): f(c) = 0.
Nói cách khác: Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b] và f(a). f(b)< 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một
nghiệm c
(a; b).
Mở rộng:
Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b]. Đặt m =

;
min ( )
ab
fx
,M =

;
max ( )
ab
fx
Khi đó với mọi T
(m; M) luôn tồn tại
ít nhất một số c
(a; b) sao cho f(c) = T.
B. BÀI TẬP
DẠNG 1: GIỚI HẠN DÃY SỐ
TRƯỜNGTHPTHÙNGVƯƠNG NHÓMTOÁN
37
BÀI 1:Tính các giới hạn sau: (Chia cả tử và mẫu cho n
a
với số mũ a cao nhất Hoặc đặt nhân tử chung)
1) lim(n
2
n + 1). ĐS: +
2) lim(n
2
+ n + 1). ĐS: -
3) lim 8n3n2
2
ĐS: +
4) lim
33
nn21 ĐS: -
5) lim(2n + cosn). ĐS: +
6) lim(
2
1
n
2
3sin2n + 5). ĐS: +
7) u
n
=
12
13
n
n
. ĐS: +
8) u
n
= 2
n
3
n
. ĐS: -
9)
32
21
lim
43
n
nn

ĐS: 0
10)
2
4
1
lim
21
n
nn

ĐS: 0
11) l i m
2
4
1
21
n
nn

ĐS: 0
12)
2
2
23
lim
321
nn
nn


ĐS: 2/3
13)
32
3
32
lim
4
nnn
n

ĐS: 3
14)
4
2
lim
(1)(2)( 1)
n
nnn
Đ S : 1
15) lim
– n
2
+ n – 1
2n
2
– 1
ĐS: -1/2
16) lim
4n – 1
n + 1
ĐS: 2
17) lim
1n2n
3n2
3
3
ĐS: 2
18)
42
32
23
lim
321
nn
nn


ĐS: +
19)

32
2
32
lim
4
nnn
n
ĐS: -
20)

2
425
lim
31
nn
n
ĐS: -
BÀI 2: Tính các giới hạn sau: (Chia cho lũy thừa có cơ số lớn nhất)
1)
13
lim
43
n
n
ĐS: 1
2)
1
4.3 7
lim
2.5 7
nn
nn
ĐS: 7
3)
12
46
lim
58
nn
nn

ĐS: 0
4)
1
25
lim
15
nn
n
ĐS: 5
5)
12.3 7
lim
52.7
nn
nn

ĐS: -1/2
6)
1
12.3 6
lim
2(3 5)
nn
nn

ĐS: 1/3
BÀI 3: Tính các giới hạn sau: (Tử ở dạng vô cùng ±vô cùng; Mẫu ở dạng vô cùng + vô cùng ;bậc của tử và
mẫu bằng nhau thì ta chia cho số mũ cao nhất của tử hoặc mẫu)
Chú ý:
k
n
có mũ
;
2
k
3
k
n
có mũ
3
k
1)
2
2
4121
lim
41
nn
nn n


ĐS: 2
2)
2
2
34
lim
2
nn
nn


ĐS: 0
3)
3
26
42
1
lim
1
nn
nn


Đ S : 0
4)
2
2
412
lim
41
nn
nn n


ĐS: 2
5)
(2 1)( 3)
lim
(1)(2)
nn n
nn


ĐS: 2
6)
22
2
441
lim
31
nn n
nn


ĐS: -1/(
31
)
BÀI 4: Tính các giới hạn sau:
Nếu bài toán có dạng: + Vô cùng – vô cùng không có mẫu (hệ số của n bậc cao nhất giống nhau).
+ Cả tử và mẫu ở dạng: Vô cùng- vô cùng. (hệ số của bậc cao nhất giống nhau)
Thì ta nhân liên hợp có căn bậc 2,3 rồi chia cho lũy thừa có số mũ cao nhất
TRƯỜNGTHPTHÙNGVƯƠNG NHÓMTOÁN
2
Nếu bài toán ở dạng vô cùng + vô cùng thì kq là vô cùng ta đặt nhân tử chung có mũ cao nhất rồi
tính giới hạn. Hoặc hệ số của n bậc cao nhất khác nhau ta chia hoặc đặt nhân tử chung.
1)

2
lim( 3 )nnn
ĐS: +
2)

2
lim( 2 2013)nnn
ĐS: 2012
3)
2
lim nnn ĐS: -1/2
4) 
2
lim( 1 5)nn ĐS: 5
5) 
2
lim( 2013 5)nn ĐS: 5
6)
2
lim 2 1nnn




ĐS: 0
7)
22
lim 2nn n




Đ S : 1 / 2
8)
3
3
lim 2 1nn n




ĐS: -1
9)
24
lim 1 3 1nnn

 


ĐS: 1
10)
22
2
441
lim
31
nn n
nn


ĐS: -1/( 31 )
11)
22
1
lim
24nn
ĐS: -
12)
2
2
4121
lim
41
nn
nn n


ĐS: -1/2
13)
3
26
42
1
lim
1
nn
nn


Đ S : 0
BÀI 5: Tính các giới hạn sau: (Giới hạn kẹp giữa hai biểu thức có cùng kết quả)
1)
2
2
2cos
lim
1
n
n
ĐS: 0
2)
2
(1)sin(3 )
lim
31
n
nn
n

ĐS: 0
3)
62
2
3sin 5cos ( 1)
lim
1
nn
n

ĐS: 0
4)
23 2
2
3sin ( 2)
lim
23
nn
n

ĐS: -1/3
BÀI 6: Tính các giới hạn sau: (Rút gọn rồi tính giới hạn)
1)
11 1
lim ...
1.3 3.5 (2 1)(2 1)nn





ĐS: 1/2
2)
11 1
lim ...
1.3 2.4 ( 2)nn




ĐS: 3/2
3)
22 2
11 1
lim 1 1 ... 1
23 n




ĐS: 1/2
4)
11 1
lim ...
1.2 2.3 ( 1)nn




ĐS: 1
5)
2
12...
lim
3
n
nn

ĐS: 1/2
6)
2
2
1 2 2 ... 2
lim
1 3 3 ... 3
n
n


ĐS:0
TRƯỜNGTHPTHÙNGVƯƠNG NHÓMTOÁN
1
Bài 7 : Cho dãy số (u
n
) với u
n
=
22 2
11 1
1 1 ... 1
23 n





,với n 2
a) Rút gọn
u
n
.ĐS: (n+1)/2n b) Tìm lim u
n
. ĐS: 1/2
BÀI 8 : a) Chứng minh:
111
1( 1) 1nn n n n n


( n N
*
).
b) Rút gọn:
u
n
=
11 1
...
12 21 23 32 1 ( 1)nn n n


.
c) Tìm lim
u
n
. ĐS : 1
BÀI 9 : Cho dãy số (u
n
) được xác định bởi:
1
1
1
1
(1)
2
nn
n
u
uu n

.
a) Đặt
v
n
= u
n+1
– u
n
. Tính v
1
+ v
2
+ … + v
n
theo n.
b) Tính
u
n
theo n.
c) Tìm lim u
n
. ĐS: 2
BÀI 10: Cho dãy số (u
n
) được xác định bởi:
12
21
0; 1
2,(1)
nnn
uu
uuun



a) Chứng minh rằng:
u
n+1
=
1
1
2
n
u
, n 1.
b) Đặt
v
n
= u
n
–
2
3
. Tính v
n
theo n. Từ đó tìm lim u
n
. ĐS: 2/3
Cho dãy số (u
n
) xác định bởi
1
2
n1 n n
u 2012
u 2012.u u

; nN
*
. Tìm
12 n
n
23 n1
uu u
lim ( .... )
uu u


(HSG lạng sơn 2011)
ĐS: - CM được dãy tăng :
2
n1 n n
u u 2012u 0 n

- giả sử có giới hạn là a thì :
2
a 2012a a a 0 2012 Vô Lý
nên limu
n
= 
- ta có :
2
nn n1n
n1 n1 n n1 n n n1
uu(uu)111
()
u u u 2012u u 2012 u u


Vậy :
2
n
1n1
1111
S.lim( )
2012 u u 2012

.
BÀI 11: Cho dãy (x
n
) xác định như sau:
1
2
n1 n n
x1
xx3x1

( nN* )
TRƯỜNGTHPTHÙNGVƯƠNG NHÓMTOÁN
2
Đặt
n
12 n
11 1
S...
x2x2 x2


(
nN*
). Tìm LimS
n
. (HSG lạng sơn 2012)
BÀI 12: Tổng Dãy là cấp số nhân lùi vô hạn:
a. S = 1 +
2
1
+
4
1
+ … b. S = 1 +
...
10
)1(
...
10
1
10
1
1n
n
2
ĐS: a. 2 b.12/11
BÀI 13: Biểu diễn các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số:
a. 0,444... b. 0,2121.... c. 0,32111....ĐS: a.4/9 b.21/99 c.289/900
L =
n2
n2
n
b...bb1
a...aa1
lim
, với a, b < 1. ĐS: (1-b)/(1-a)
DẠNG 2: GIỚI HẠN HÀM SỐ
Baøi 1:
Tìm các giới hạn sau:
+ Khi thay x=a vào f(x) thấy mẫu khác 0 thì giới hạn bằng f(a).
+ Khi thay x=a vào f(x) thấy mẫu bằng 0 tử khác 0 thì giới hạn bằng
.
1)
3x
lim
(x
2
+ x). ĐS: 12
2)
x1
x
lim
x1
ĐS: ±
3)
23
0
1
lim
1
x
x
xx
x

ĐS: 1
4)
2
1
31
lim
1
x
x
x
x


ĐS: -3/2
5)
2
sin
4
lim
x
x
x



ĐS:
2/
6)
4
1
1
lim
3
x
x
x
x


ĐS:-2/3
7)
2
2
1
lim
1
x
xx
x

ĐS:
3
8)
2
1
23
lim
1
x
xx
x

ĐS:
2/2
9)
1
83
lim
2
x
x
x

ĐS: 0
10)
3
2
2
3432
lim
1
x
xx
x

ĐS: 0
11)
2
0
1
lim sin
2
x
x
ĐS: 0
Baøi 2: Tìm các giới hạn sau: (Khi thay x=a vào f(x) thấy tử =0; mẫu =0 ta rút gọn mất nhân tử rồi thay tiếp tới
khi mẫu khác 0 là xong) còn nếu mẫu =0 tử khác 0 thì kq là
1)
2
x1
x1
lim
x1
ĐS: 2
2)
0x
lim
x
1
2
x



ĐS: -1
3)
2x
lim
4x
8x
2
3
. ĐS: 3
4)
1x
lim
1x
1x4x3
2
ĐS: 2
5)
2x
2x3x2
lim
2
2x
ĐS: 5
6)
4
32
2
16
lim
2
x
x
x
x

ĐS: -8
7)
32
2
1
1
lim
32
x
x
xx
x
x


ĐS: 0
8)
1x
3x5x3x
lim
2
23
1x
ĐS:1
9)
23
1
1
lim
1


x
x
xx
x
ĐS: 2
10)
9x8x
9x3x5x
lim
24
23
3x
ĐS: 0
11)
5
3
1
1
lim
1
x
x
x

ĐS: 5/3
12)
56
2
1
54
lim
(1 )
x
x
xx
x

ĐS: 10
13)
1x
xx5x4
lim
2
56
1x
ĐS: 0
14)
2
1
21
lim
11
x
xx




ĐS: -1/2
TRƯỜNGTHPTHÙNGVƯƠNG NHÓMTOÁN
2
15)
3
1
13
lim
11
x
x
x




ĐS: -1
16)
22
x1
x2 x4
lim
x5x43(x3x2)



 

ĐS: 0
17)
1992
1990
x1
xx2
lim
xx2


ĐS: 1993/1992
18)
1
1
lim
1
m
n
x
x
x
chú ý tổng của CSN ĐS: m/n
x
xx
x
0
(1 5 )(1 9 ) 1
lim

ĐS: 14
19)
0
(1 )(1 2 )(1 3 ) 1
lim
x
xxx
x

ĐS: 6
20)
2
1
...
lim
1
n
x
x
xxn
x

ĐS: n(n+1)/2
21)
n
2
x1
xnxn1
lim
(x 1)

ĐS: n(n-1)/2
Baøi 3: Tìm các giới hạn sau: (Một căn bậc 2)
1)
2
2
413
lim
4
x
x
x

ĐS:1/6
2)
2
0
11
lim
x
x
x

ĐS:0
3)
x4
35x
lim
4x
ĐS: -1/6
4)
9x
lim
2
xx9
3x
ĐS:-1/54
5)
49x
3x2
lim
2
7x
ĐS: -1/56
6)
3x4x
4x7x2
lim
23
1x
ĐS: -4/15
7)
1x
2x3x
lim
2
3
1x
ĐS: 9/4
8)
1x
x3x3x
lim
32
1x
ĐS:1/2
Baøi 4: Tìm các giới hạn sau: (Hai căn Bậc 2)
1)
x
x1x1
lim
0x
ĐS: 1
2)
23x
1x
lim
1x
ĐS:2
3)
31x4
x2x
lim
2x
ĐS:-3/4
4)
2
22
lim
73
x
x
x


ĐS:3/2
5)
3x2
37x2
lim
1x
ĐS:-4/3
6)
1x
xx
lim
2
1x
ĐS:3
7)
x51
x53
lim
4x
ĐS:-1/3
8)
1
2231
lim
1
x
xx
x

ĐS:-1/4
9)
3x3
2x3x2
lim
1x
ĐS:1/6
10)
1x
1x1x
lim
2
1x
ĐS:
2
11)
0x
lim
9x23
11x
ĐS:-3/4
12)
2x
lim
x31x
x22x
ĐS:-1/4
13)
2
02
11
lim
16 4
x
x
x


ĐS:4
14)
2
3
32
lim
3
x
x
x
x
x


ĐS:-2/9
15)
0
9167
lim
x
xx
x

ĐS: 7/24
16)
ax
lim
22
ax
axax
, với a> 0. ĐS:
a1/ 2
17)
1x
lim
x3x3x
1x
32
ĐS:2
Baøi 5: Tìm các giới hạn sau: (Một căn Bậc 3)
1)
2x
lim
2x
2x4
3
ĐS :1/3
2)
x1
lim
3
2x 1 1
x1

ĐS:2/3
3)
1x1
x
lim
3
0x
ĐS:3
4)
1x
2xx
lim
3
35
1x
ĐS:24
5)
2
3
2
0x
x
1x1
lim
ĐS:1/3
6)
3
3
1
1
lim
442
x
x
x

ĐS :1
TRƯỜNGTHPTHÙNGVƯƠNG NHÓMTOÁN
2
7)
0x
lim
x
11x5
5
ĐS:1
Baøi 6: Tìm các giới hạn sau: (Hai căn khác bậc)
1)
3
0
11
lim
x
x
x
x

ĐS :1/6
2)
0x
lim
1x1x2
1x1x
33
ĐS:4/3
3)
3
0
11
lim
11
x
x
x


ĐS:3/2
4)
3
0
21 8
lim
x
x
x
x

ĐS:13/12
5)
4x5x
x4x
lim
2
3
4x
ĐS:-1/18
6)
9x
5x10x2
lim
2
3
3x
Đ S : - 7 / 7 2
7)
3
0
14 16
lim

x
x
x
x
ĐS:0
8)
2x
2xx10
lim
3
2x
ĐS:-1/3
9)
3
2
2
811 7
lim
32
x
xx
x
x


ĐS:7/54
10)
322
2
0
18 16
lim

x
x
x
x
ĐS:2
11)
3
2
2
811 7
lim
252
x
xx
x
x


ĐS:7/162
12)
3
32
2
1
57
lim
1
x
xx
x

ĐS:-11/24
13)
4x
2x6x
lim
2
3
2x
ĐS:-1/24
14)
0
14.16 1
lim
x
x
x
x

ĐS:5
15)
3
0
12.14 1
lim
x
x
x
x

ĐS:7/3
16)
n
x1
(1 x )
lim
(1 x)
ĐS: 1/n
17)
35
4
4
x1
(1 x )(1 x )(1 x )(1 x )
lim
(1 x )

ĐS:1/120
18)
3
0
11
lim
x
x
x
x

ĐS:5/6
19)
33
x0
x
lim
8x 8x

ĐS:-6
8)
1x
lim
1xx2x
1x3x1x2
2
3
2
ĐS:0
Baøi 7: Tìm các giới hạn sau: (
x0
sin x
lim 1
x
;
x0
ta n x
lim
x
=1)
1)
x
2
sinx
lim
x
ĐS: 2/
2)
0
1
lim
cos
x
x
ĐS:1
3)
0
tan sin2x
lim
cos
x
x
x
ĐS: 0
4)
x
4
tgx
lim
x

ĐS:4/3
5)
x0
sin5x
lim
3x
ĐS:5/3
6)
3
0
45
sin.3sin.5sin
lim
x
xxx
x
ĐS:1/3
7)
x0
1cos2x
lim
xsinx
ĐS:2
8)
2
x0
1cos4x
lim
2x
ĐS:4
9)
x0
sin2x
lim
x11

ĐS:4
10)
2
x0
1cos2x
lim
x
ĐS: 2
11)
2
x0
cosx cos7x
lim
x
ĐS:12
12)
2
x0
cosx cos3x
lim
sin x
ĐS:2
13)
x0
sin x
lim
tan2x
ĐS:1/2
14)
x
xxx
x
cos1
3cos.2cos.cos1
lim
0
ĐS:14
15)
2
2
x0
x
sin
3
lim
x
ĐS:1/9
16)
2
sin
sincos.sin
lim
0
x
xxx
x
ĐS:0
17)
x
x
x
cos1
3sin11
lim
0
ĐS:3
2
18)
x
x
x
cos1
cos1
lim
0
ĐS:0
TRƯỜNGTHPTHÙNGVƯƠNG NHÓMTOÁN
2
19)
x0
1cos3x
lim
1cos5x
ĐS:9/25
20)
x0
lim
2
1cos2x
xsinx
ĐS:4
21) .
0
sin2 sin
lim
3sin
x
x
x
x
ĐS:1
22)
x0
sin 2x tan 3x
lim
x
ĐS:5
23)
0
1sin cos2
lim
sin
x
x
x
x

ĐS: -1
24)
3
x0
tanx sinx
lim
x
ĐS:1/2
25)
x0
lim
2
cos4x cos3x.cos5x
x
ĐS: 18
26)
x0
lim
2
cos( cos x)
2
x
sin
2
ĐS: BĐ góc phụ chéo
27)
π
x
3
sin 3x
lim
12cosx
ĐS: 4 3 Đặt ẩn phụ
28)
-
p
2
x2
4x
lim
x
cos
4
ĐS:16/
29)
x1
1xcos
lim
1x
ĐS:0
30)
xx
x
4
tan.2tanlim
4
ĐS: 1/2
31)
)
4
xsin(
tgx1
lim
4
x
ĐS: -2
32)

x
x
x
3
sin2lim
ĐS:3
33)
)1tan(
23
lim
1
x
xx
x
ĐS:-7/4
34)
tgx)x2cos1(lim
2
x
ĐS:0
35)

x
x
x
sin21
sin
lim
6
6
ĐS:1/ 3
36)
1cos2
1sin2
lim
2
4
x
x
x
ĐS:-1/2
37)
xx
x
tancos
1
lim
2
ĐS:0
38)
34
)1sin(
lim
2
1
xx
x
x
ĐS:-1/2
39)
x
x
x
sin21
4
sin
lim
4
ĐS:1
40)
3cos4
1sin2
lim
2
6
x
x
x
ĐS:-1/2
41)
tgx1
xcosxsin
lim
4
x
ĐS:
2
2
42)
gxcot1
tgx1
lim
4
x
ĐS: -1
43)
)
x
sinx(lim
x
ĐS:
44)
)2tan(
8
lim
3
2
x
x
x
ĐS:12
45)
x0
13
lim x
sin x sin3x



ĐS: 0
22)
0x
lim
x2cosx2sin1
x2cosx2sin1
ĐS:-1
46)
2
2
x0
tan(a x).tan(a x) tan a
Llim .
x

ĐS:tan
4
a-1
47)
x 0
(a x)sin(a x) a sin a
lim
x

ĐS: (a+1)sina
48) (ĐHGTVT-98):
x0
lim
12x1sinx
3x 4 2 x


ĐS:0
49)
2
3
0
21 1
lim
sin

x
xx
x
ĐS:1
50)
2
x0
21cosx
lim
tan x
-+
ĐS:
2/8
51)
2
2
x0
1sinx cosx
lim
sin x

ĐS:1
52)
()
1
lim 1 tan
2
x
x
x
p
-
ĐS:2/
53)
22
3
0
3121
lim
1cos
x
xx
x
-+ +
-
ĐS:4
54)
2
0
lim
1sin cos
x
x
x
xx
+-
ĐS:4/3
55)
0
1sin2 1sin2
lim
x
x
x
x
+--
ĐS:2
56)
3
2
x0
cos x cos x
lim
sin x
-
ĐS:-1/12
57)
2
2
x0
2sin x sinx 1
lim
2sin x 3sinx 1


ĐS:-1
58)
2
x0
1 cosx.cos2x.cos3x
lim
x
ĐS:7
59)
2
x0
1 cosx.cos2x.cos3x...cosnx
lim
x
ĐS:n(n+1)(2n+1)/12
60)

x0
cos x
cos
2
lim
sin tan x



ĐS:0
TRƯỜNGTHPTHÙNGVƯƠNG NHÓMTOÁN
3
61)
x0
1sinx 1sinx
lim
tan x

ĐS:1
62)
3
3
x
4
1cotx
lim
2cotxcotx

ĐS:-3/4
63)
3
x0
1cosxcos2xcos3x
lim
1cos2x
ĐS:3/2
Baøi 8:
Tìm các giới hạn sau: (giống giới hạn dãy số chia cho mũ cao nhất, nhân liên hợp,Đặt nhân tử, dấu
giá trị tuyệt đối)
1)
x
lim
(3x
3
5x
2
+ 7) ĐS: -
2)
)32(lim
3
xx
x

ĐS:+
3)
3
lim (2 3 )
x
x
x

ĐS:±
4)
x
lim

4
2x 3x 12 .ĐS:+
5)
2
lim 3 4
x
xx


ĐS:±
6)
x
lim
3
2
x5
x1
ĐS:+
7)
3
2
x
2x x
lim
x2

ĐS:+
8)
x
2x 1
lim
x1

ĐS:2
9)
45
4
x
3x 2x
lim
5x x 4


ĐS:+
10)
2
2
x
x1
lim
13x5x


ĐS:-1/5
11)
2
2
x
3x(2x 1)
lim
(5x 1)(x 2x)


ĐS:6/5
12)
2
x
xx 1
lim
xx1


ĐS:0
13)
2
x
4x 1
lim
3x 1

ĐS:-2/3; 2/3
14)

4
x
xx
lim
12x
ĐS:+
15)
2
x
xxx
lim
x10


ĐS:-2
16)
2
32
lim
31
x
x
xx
x


ĐS:1/3
17)
2
2
x
xx23x1
lim
4x 1 1 x



ĐS:4; -2/3
18)

3
x
x
lim x 5
x1

ĐS:1
19)
2
x
2x 7x 12
lim
3|x| 17


ĐS:
2/3
20)
4
x
x4
lim
x4

ĐS:-
21)
x
lim
x21
1xx2
24
ĐS:-
22)
x
lim
2x
2x
2
ĐS:-1;1
23)
3
32
2
lim
22
x
x
xx
x


ĐS:1
23)
4x4x
x2x
lim
2
2
2x
ĐS: ±
24)



2
x1
22x1
lim .
2x 3(x 1)
ĐS:-
25)

2
x1
5
lim
(x 1)(x 3x 2)
ĐS:-
26)
x0
lim



2
11
xx
. ĐS:-
27)
4
32
1
1
lim
2
x
x
x
xx

ĐS: +
28)
x2
lim




2
11
x2 x 4
ĐS:-
29)
2
2
1
lim
21
x
x
x
x


ĐS:1/2
30)
2
21
lim
2
x
x
x
x


ĐS:-;+
31)
2
32
21
lim
32
x
x
x
x


ĐS:0
32)
2
2
2341
lim
412
x
x
xx
x
x



ĐS:-1;5
33)
2
2
4212
lim
932
x
x
xx
x
xx



ĐS:3;1/5
34)
2
2
(2 1) 3
lim
5
x
xx
x
x


ĐS:2/5
35)
2
2
23
lim
41 2
x
x
xx
xx



ĐS:4
36)
2
52
lim
21
x
xx
x


ĐS:+
37)
x
lim
3
2
x39
10xx2
ĐS:0
38)
x
lim
7x2
11xx
34
ĐS:+
TRƯỜNGTHPTHÙNGVƯƠNG NHÓMTOÁN
2
39)
x
lim
22
22
)x4()x3)(x2(
)x3()x1)(x1(
ĐS:1
40)
23
26
x
)2x(
2xx4x
lim

ĐS:1
Baøi 9: Tìm các giới hạn sau: (giống giới hạn dãy số chia cho mũ cao nhất, nhân liên hợp)
1)
2
lim
x
x
xx





ĐS:1/2
2)
2
x
lim ( x x x)


ĐS:+
3)
)23(lim
2
xxx
x

ĐS:-3/2
4)
)23(lim
2
xxx
x

ĐS:+
5)
2
x
lim x 1 x


ĐS:0
6)
2
lim ( 2 4 )
x
x
xx


ĐS:+ ;-1
7) )22(lim

xx
x
ĐS:0
8)
22
x
lim ( x 4x 3 x 3x 2)


ĐS:1/2;-1/2
9)
x1xx
1
lim
2
x

ĐS:2
10)
2
x
lim 2x 1 x

 ĐS:+
11)
2
lim ( 5 )
x
x
xx


ĐS:-1/2; +
12)
2
x
lim x 1 x 1


ĐS:-1
13)
Cho f(x) =
2
x2x4 -
2
x2x4.
Tính các giới hạn
x
lim

f(x) và
x
lim

f(x), từ đó nhận
xét về sự tồn tại của giới hạn
x
lim

f(x).ĐS :-2 ;2
14)
2
x
lim (3x 2 9x 12x 3)


ĐS:- ;0
15)
2
lim 2 1 4 4 3
x
xxx





ĐS:0
16)
)223(lim
2

xxx
x
ĐS:+
17)
)223(lim
2

xxx
x
ĐS:-1/2
18)
2
lim( 3 2 1)
x
xx x


ĐS:1/2;+
19)
xxxxx
x

22
22lim
ĐS:0
20)
3
23
lim 1 1
x
xx





ĐS:0
21)
lim
x
x
xx x





ĐS:1/2
22)

33
lim 2 1 2 1
x
xx


ĐS:0
23)
3
32
lim 3 1 2
x
xx


ĐS:-
24)
13.lim

xxx
x
ĐS:2
25)
xxx
x
3
23
6lim
ĐS:2
26)
3
23
3
23
11lim
xxxx
x
ĐS:2/3
Baøi 10: Tìm các giới hạn sau:
a.
1x
lim
1x
. b.
5x
lim
)x2x5( c.
1x
lim
1x
x
. d.
1x
lim
1x
x
. e.
1x
lim
32
xx
1xx1
ĐS:a. 0 b. 10 c.+ d. - e. 0
Baøi 11: Tìm các giới hạn sau nếu có a.
2x
lim
2x
|6x3|
. b.
2x
lim
2x
|6x3|
. c.
2x
lim
2x
|6x3|
.
ĐS: a. 3 b. -3 c.Ko xđ
Baøi 12: Tìm các giới hạn sau: (Để ý đến dấu các biểu thức tử và mẫu khi tính giới hạn này)
1)
2
15
lim
2
x
x
x
ĐS:-
2)
2
15
lim
2
x
x
x
ĐS:+
3)
2
3
13 2
lim
3
x
x
x
x

ĐS:-
4)
2
2
4
lim
2
x
x
x
ĐS:+
5)
2
2
2
lim
252
x
x
x
x

ĐS:1/3
6)
2
2
2
lim
252
x
x
x
x

ĐS:-1/3
7)
2
2
2
lim
31
x
x
x
x
ĐS:0
8)
2
31
lim
2
x
x
ĐS:5/2
TRƯỜNGTHPTHÙNGVƯƠNG NHÓMTOÁN
2
9)
1
1
lim
1
x
x
x
ĐS:1
10)
1
1
lim
1
x
x
x
ĐS:-1
11)
23
x0
xx
lim
2x
ĐS:1/2
12)
23
x0
2x
lim
4x x
ĐS:-1;1
13)
2
33
lim
2
2
x
xx
x
ĐS:-
14)
2
33
lim
2
2
x
xx
x
ĐS:+
15)
4
3
lim
4
x
x
x
ĐS:- ;+
16)
2
33
lim
2
2
2
x
x
xx
x
ĐS:+
17)
2
33
lim
2
2
2
x
x
xx
x
ĐS:-
18)
3
2
x1
x3x2
lim
x5x4


ĐS:
3
/3
19)
x0
1x
lim x
x




ĐS:0;0
20)
2
x1
xx2
lim
x1

ĐS:+
Baøi 13: Tìm các giới hạn một bên của hàm số tại điểm được chỉ ra: (Giới hạn một bên tiến tới 1 số)
1)
2
9
3
() 3
3
13
x
khi x
fx taïix
x
xkhix


ĐS:-6;-2; ko xđ
2)
2
3
4
2
2
8
() 2
16
2
2
xx
khi x
x
fx taïix
x
khi x
x

ĐS:-1/6; 32; K xđ
3)
2
2
32
1
1
() 1
1
2
xx
khi x
x
fx taïix
x
khi x



ĐS:-1/2; -1/2; -1/2
4)
3
11
0
11
() 0
3
0
2
x
khi x
x
fx taïix
khi x



ĐS:3/2;3/2;3/2
Baøi 14: Tìm giá trị của m để các hàm số sau có giới hạn tại điểm được chỉ ra:
1)
3
1
1
() 1
1
21
x
khi x
fx taïix
x
mx khi x


ĐS:m=1
2)
2
0
() 0
100 3
0
3
xm khix
fx taïix
xx
khi x
x



ĐS:m=1
3)
2
31
() 1
31
xm khix
fx taïix
xxm khix



ĐS: m=2
4)
3
22
13
1
() 1
1
1
33 1
khi x
fx taïix
x
x
mx mx khix



ĐS:m=1;m=2
DẠNG 3: HÀM SỐ LIÊN TỤC VÀ CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM
Baøi 1: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm được chỉ ra:
TRƯỜNGTHPTHÙNGVƯƠNG NHÓMTOÁN
1)
3
1
() 1
1
11
x
khi x
fx taïix
x
khi x


ĐS: LT
2)
32
1
1
() 1
1
1
4
x
khi x
x
fx taïix
khi x


ĐS:Lt
3) f(x) =
2 xkhi
3
11
2 xkhi
2xx
6xx
2
3
tại x
o
= 2 ĐS: Lt
4) f(x) =
12x3
khi x 2
2x
1khix 2

tại x
o
= 2 ĐS:Lt
5)
23
2
27 5
2
() 2
32
12
xxx
khi x
fx taïix
xx
khi x



ĐS:Lt
6) f(x) =
1 xkhi 32x
1 x khi 4x3x
2
tại x
o
= 1ĐS:K Lt
7) f(x) =
2
4x
khi x 2
x2
1 2x khix 2

tại x
o
= 2 ĐS:K Lt
8) f(x) =
3
3
x khi x 0
2
x11
khi x 0
1x1



tại x
o
= 0 ĐS: Lt
9)
2
5
5
() 5
213
(5)3 5
x
khi x
fx taïix
x
xkhix



ĐS:Lt
10)
1cos 0
() 0
10
xkhix
fx taïix
xkhix



ĐS:K Lt
11)
1
1
() 1
21
21
x
khi x
f
xtaïix
x
xkhix



ĐS:Lt
Baøi 2: Tìm m, n,a để hàm số liên tục tại điểm được chỉ ra:
1)
32
22
1
() 1
1
31
xx x
khi x
fx taïix
x
xm khix



ĐS:m=0
2)
f(x) =
1 xkhi a
1 x khi
1x
3x2x
2
3
tại x
0
= 1 ĐS:a=5/2
3)
2
1
() 1
23 1
xkhix
fx taïix
mx khi x


ĐS:m=2
4)
f(x) =
1 xkhi a2x
1 x khi 1x2x3
2
tại x
0
= 1ĐS:a=2
5)
f(x)=
1x 1x
khi x 0
x
4x
a khi x 0
x2



tại x
o
= 0 ĐS:a=-3
6)
f(x)=
3
3x 2 2
khi x 2
x2
1
ax + khi x 2
4

tại
0
x
= 2 ĐS:a=0
Baøi 3: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng:
1)
f(x) =
2 xkhi x 1
2 x khi 7x3x
2
Lt / R
2)
2
34 2
( ) 5 2
2 1 2
xxkhix
fx khix
xkhix



ĐS:K Lt tại x=2
3)
3
3
2
1
1
()
4
1
3
xx
khi x
x
fx
khi x



ĐS:Lt/ R
4)
2
4
2
()
2
42
x
khi x
fx
x
khi x


ĐS:Lt/ R
5)
2
2
2
()
2
22 2
x
khi x
fx
x
khi x
ĐS: Lt / R
TRƯỜNGTHPTHÙNGVƯƠNG NHÓMTOÁN
2
6) f(x)=
khi x 2
2x 3
khi 2 x 5
x2
3x 4 khi x 5
2
2
x3x10
x4



ĐS:K Lt tại x=5
Baøi 4: Tìm các giá trị của m để các hàm số sau liên tục trên tập xác định của chúng:
1)
2
2
2
()
2
2
xx
khi x
fx
x
mkhix

ĐS:m=3
2)
2
1
() 2 1
11
xxkhix
fx khix
mx khi x



ĐS: m=1
3)
32
22
1
()
1
3 1
xx x
khi x
fx
x
xm khix


ĐS:m=0
4)
2
1
()
23 1
xkhix
fx
mx khi x

ĐS: m=2
TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG THÁI BÌNH NHÓM TOÁN
62
Baøi 5: Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm:
a) x
3
– 2x – 7 = 0 ĐS: f(x) liên tục trên R và f(0).f(3)<0
b) x
5
+ x
3
– 1 = 0 ĐS: f(0).f(1)<0
c) x
3
+ x
2
+ x + 2/3 = 0 ĐS: f(-1).f(0)<0
d) x
3
– 6x
2
+ 9x – 10 = 0 ĐS: f(0).f(5)<0
e) x
5
+ 9x
2
+ x + 2 = 0 ĐS: f(-3).f(0)<0
f) cosx – x + 1 = 0 ĐS: f(0).f(3)<0
g)
5
330xx ĐS: f(-2).f(0)<0
h)
5
10xx
ĐS: f(0).f(1)<0
i)
43 2
310xx xx
ĐS: f(-2).f(0)<0
Baøi 6: Chứng minh rằng phương trình
a) x
3
– 3x
2
+ 3 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 1;3) ĐS:f(-1)<0; f(0)>0; f(2)<0; f(3)>0
b) 2x
3
– 6x + 1 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 2;2) ĐS:f(-2)<0; f(0)>0; f (1)<0; f(2)>0
c) x
3
+ 3x
2
– 3 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 3;1) ĐS:f(-3)<0; f(-2)>0; f (0)<0; f(1)>0
d) x
3
– 3x
2
+ 1 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 1;3) ĐS:f(-1)<0; f(0)>0; f (1)<0; f(3)>0
e) 2x
2
+ 3x – 4 = 0 có 2 nghiệm trong khoảng (– 3;1) ĐS:f(-3)>0; f(0)<0; f (1)>0
f) x
5
– 5x
4
+ 4x – 1 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (0;5) ĐS:f(0)<0; f(1/2)>0; f (1)<0; f(5)>0
g)
53
5410xxx có 5 nghiệm trên (–2; 3). ĐS:f(-2)<0; f(-3/2)>0; f(0)<0; f(1/2)>0; f (1)<0;
f(3)>0
Baøi 7: Chứng minh rằng các phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt:
1)
3
310xx ĐS: f(-2)<0; f(0)>0; f (1)<0; f(2)>0
2)
32
6910xxx
ĐS: f(-4)<0; f(-3)>0; f (-1)<0; f(0)>0
3)
3
261 3xx
ĐS: f(-7)<0; f(0)>0; f (1)<0; f(9)>0
Baøi 8: Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số:
1)
3
(1)(2)230mx x xĐS:f(1).f(2)<0
2)
42
220xmx mx
ĐS:f(0).f(2)<0
3) *
()()()()()()0ax bx c bx cx a cx ax b
HD: xét 4 TH: a<b<c<0; a<b<0<c;…
4) x
5
-mx+m-4=0 HD: sử dụng giới hạn
TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG THÁI BÌNH NHÓM TOÁN
62
5) mx
3
-5x+2=0 HD: sử dụng giới hạn.
Khi m=0 pt luôn có nghiệm. Khi m ≠0 Đặt f(x)=Vt Khi đó
x
fx
m
()
lim

nên luôn cố 2 số
a,b để
f(a)/m.f(b)/m<0 nên pt luôn có nghiệm.
6)
232
(1 )( 1) 3 0mx x x ĐS: sử dụng giới hạn
7)
cos cos2 0
x
mx
ĐS:f(/4)f(3/4)<0
8) (2cos 2) 2sin5 1mx x ĐS: f(-/4)f(/4)<0
9) m(x – 1)
3
(x + 2) + 2x + 3 = 0 ĐS: f(1).f(-2)<0
10) (m
2
+ m + 1)x
4
+ 2x – 2 = 0 ĐS: f(0).f(1)<0
Baøi 9: Cho f(x) = ax
2
+ bx + c thoả mãn : 2a + 3b + 6c = 0
a)Tính a,b,c theo f(0), f(1) ,f(1/2)
b)Chứng minh rằng ba số f(0), f(1) ,f(1/2) không thể cùng dấu
c)Chứng minh rằng phương trình ax
2
+ bx + c = 0 có nghiệm trong (0;1)
Baøi 10: Chứng minh các phương trình sau luôn có nghiệm:
1)
2
0ax bx c
với 2a + 3b + 6c = 0
2)
2
0ax bx c
với a + 2b + 5c = 0 ĐS: f(0)+f(1/2)=0
3)
32
0xaxbxc
ĐS: dựa vào giới hạn
Baøi 11: Cho 3 số a,b,c khác nhau .
Chứng minh rằng phương trình (x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a) = 0
Có 2 nghiệm phân biệt.
ĐS: f(a); f(b); f(c). Giả sử a < b < c. Thì f(a)>0; f(b)<

487
323 12 12xxxxxx
0;
f(c)>0 nên pt luôn có 2 nghiệm.
Baøi 12: Chứng minh rằng phương trình:
2
0ax bx c
luôn có nghiệm x
1
0;
3



với a 0 và 2a + 6b + 19c = 0. ĐS: f(0)+2f(1/3)=0
Baøi 13: Cho phương trình x
4
– x – 3 = 0. Chứng minh rằng: phương trình có nghiệm x
o
(1;2) và x
o
>
7
12
TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG THÁI BÌNH NHÓM TOÁN
62
CHUYÊN ĐỀ 5: ĐẠO HÀM – TIẾP TUYẾN
A. LÝ THUYẾT CƠ BẢN
1. Định nghĩa đạo hàm
+ Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) chứa x
o
f′(x
o
) =
o
o
xx
o
f(x) f(x )
lim
xx
+ Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x
o
thì hàm số liên tục tại điểm đó.
2. Ý nghĩa của đạo hàm
+ k = f′(x
o
) là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại M (x
o
; y
o
) với y
o
= f(x
o
).
+ Phương trình tiếp tuyến tại M(x
o
; y
o
) là y = f′(x
o
)(x – x
o
) + y
o
.
3. Qui tắc tính đạo hàm
+ (C)′ = 0; x′ = 1; (x
n
)′ = n.x
n–1
với mọi số thực n
+ (u + v)′ = u′ + v′; (u.v)′ = u′.v + v′.u; (u / v)′ = (u′v – v′u) / v²; (ku)′ = ku′; (1/v)′ = –v′ / v² (v ≠
0)
+ Đạo hàm của hàm hợp: Nếu u(x) có đạo hàm theo x là u′(x) và hàm số y = f(u) có đạo hàm
theo u là f′(u) thì hàm số y = f(u(x)) có đạo hàm tại x là y′ = f′(u).u′(x)
4. Đạo hàm của hàm số lượng giác
+ Giới hạn cơ bản
x0
sin x
lim 1
x
+ (sin x)′ = cos x + (cos x)′ = – sin x + (tan x)′ =
2
1
cos x
+ (cot x)′ = –
2
1
sin x
5. Vi phân
+ dy = y′dx + f(x
o
+ Δx) ≈ f(x
o
) + f′(x). Δx
6. Đạo hàm cấp cao y
(n)
= [y
(n–1)
]′ với n ≥ 2
7. Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(x
o
; y
o
) là d: y = f′(x
o
) (x – x
o
) + y
o
a. Viết phương trình tiếp tuyến song song với đường thẳng Δ: y = ax + b
+ Gọi tiếp điểm là M(x
o
; y
o
)
TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG THÁI BÌNH NHÓM TOÁN
62
+ Hệ số góc tiếp tuyến là k = f′(x
o
) = a
+ Tìm x
o
, y
o
rồi suy ra phương trình tiếp tuyến
b. Viết phương trình tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng Δ: y = ax + b
+ Gọi tiếp điểm là M(x
o
; y
o
)
+ Hệ số góc tiếp tuyến là k = f′(x
o
) = –1/a
+ Tìm x
o
, y
o
rồi suy ra phương trình tiếp tuyến
B.BÀI TẬP
DẠNG 1: ĐẠO HÀM
Câu 1. Cho hàm số y = 2x² – 3x + 1. Tính y'(1)
A. 1 B. –1 C. 0 D. 2
Câu 2. Cho hàm số y = 2x³ – 3x² + 1. Tính y'(–1).
A. 0 B. 12 C. 6 D. 1
Câu 3. Cho hàm số y =
2x 1
x1
. Tính y'(1).
A. 1 B. –1 C. 3 D. –3
Câu 4. Cho hàm số y = 3x 1 43 x . Tính y'(11/25)
A. 5/2 B. 1/2 C. 0 D. 1
Câu 5. Cho hàm số y =
1
2x 3
. Tính y"(2).
A. –4 B. 4 C. –8 D. 8
Câu 6. Tính đạo hàm của hàm số y = x³ – 3/x + 2
A. y' = 3x² + 3/x² B. y' = 3x² – 3/x² C. y' = 3x² – 6/x² D. y' = 3x² + 6/x²
Câu 7. Cho hàm số y =
4
xx
3
. Chọn biểu thức đúng với mọi x > 0
A. 2xy' – 3y = 0 B. 2xy' + 3y = 0 C. 3xy' – 2y = 0 D. 3xy' + 2y = 0
Câu 8. Tính đạo hàm của hàm số y = x²(x² – 1)(x² – 4)
TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG THÁI BÌNH NHÓM TOÁN
62
A. y' = 5x
5
– 12x³ + 4x B. y' = 6x
5
– 16x³ + 8x
C. y' = 6x
5
– 20x³ + 8x D. y' = 6x
5
– 15x³ + 8x
Câu 9. Tính đạo hàm của hàm số y =
x3
1x
A. y' = 3/(1 – x)² B. y' = 4/(1 – x)² C. y' = –4/(1 – x)² D. y' = –3/(1 – x)²
Câu 10. Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y =
2
2x 4x
x1
A. y' = 4/(x + 1)³ B. y' = 12/(x + 1)³ C. y' = –12/(x + 1)³ D. y' = –4/(x + 1)³
Câu 11. Tính đạo hàm của hàm số y = (x² + x + 1)³
A. y' = 3(x + 1)(x² + x + 1)² B. y' = 6(2x + 1)(x² + x + 1)²
C. y' = 6(x + 1)(x² + x + 1)² D. y' = 3(2x + 1)(x² + x + 1)²
Câu 12. Tính đạo hàm của hàm số y = (4x – x²)
5
.
A. y' = –10(2 – x)(4x – x²)
4
. B. y' = 10(2 – x)(4x – x²)
4
.
C. y' = 20(2 – x)(4x – x²)
4
. D. y' = –20(2 – x)(4x – x²)
4
.
Câu 13. Tính đạo hàm của hàm số y =
22
1
(x 2x)
A. y' = –2(x + 1)/(x² + 2x)³ B. y' = –4(x + 1)/(x² + 2x)³
C. y' = 2(x + 1)/(x² + 2x)³ D. y' = 4(x + 1)/(x² + 2x)³
Câu 14. Cho hàm số y = 3/x². Tính giá trị của biểu thức P = y"(1) + y'(1).
A. P = –12 B. P = 30 C. P = 24 D. P = 12
Câu 15. Cho hàm số y =
2
2x 5x 2
. Chọn biểu thức đúng với mọi số thực x
A. 2y"y³ = –9 B. 4y"y³ = 9 C. 4y"y³ = –9 D. 2y"y = 9
Câu 16. Cho hàm số y = (x² – 2)
2
x2x3
. Tính giá trị của biểu thức P = y'(1).y(1)
A. P = 6 B. P = 8 C. P = 10 D. P = 12
Câu 17. Cho hàm số y =
3
(1 x 1 x)
. Tính y'(0).
TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG THÁI BÌNH NHÓM TOÁN
62
A. 2 B. 3 C. 6 D. 0
Câu 18. Cho hàm số y =
2
4x
x1
. Giải phương trình yy' + 4 = 0
A. x = 0 B. x = 1 C. x = –2 D. x = 3
Câu 19. Tính đạo hàm của hàm số y =
sin x
1cosx
.
A. y' = 1/(1 + cos x)² B. y' = 1/(1 + cos x) C. y' = –1/(1 + cos x) D. y' = 2/(1 + cos x)²
Câu 20. Tính đạo hàm của hàm số y = x cos 2x
A. y' = sin 2x – x cos 2x B. y' = cos 2x – x sin 2x
C. y' = sin 2x – 2x cos 2x D. y' = cos 2x – 2x sin 2x
Câu 21. Tính đạo hàm của hàm số y = sin³ 2x
A. y' = 3sin² 2x cos 2x B. y' = 6sin² 2x cos 2x
C. y' = –3sin² 2x cos 2x D. y' = –6sin² 2x cos 2x
Câu 22. Cho hàm số y = tan³ (2x + π/6). Tính y'(π/12).
A. 36 B. 48 C. 54 D. 72
Câu 23. Tính đạo hàm của hàm số y = x sin 2x – x² tan x
A. y' = sin 2x + 2x cos 2x – 2x tan x + x²/cos² x
B. y' = sin 2x + 2x cos 2x – 2x tan x – x²/cos² x
C. y' = sin 2x + 2x cos 2x + 2x tan x – x²/cos² x
D. y' = sin 2x + 2x cos 2x + 2x tan x + x²/cos² x
Câu 24. Cho hàm số y = sin² x + cos 2x. Giải phương trình y' = 1
A. x = π/4 + kπ, k là số nguyên B. x = kπ, k là số nguyên
C. x = –π/4 + kπ, k là số nguyên D. x = π/6 + kπ, k là số nguyên
Câu 25. Cho n là số nguyên dương. Tính đạo hàm của hàm số y = sin
n
x cos nx
A. y' = n sin
n–1
x cos x cos nx – n sin nx sin
n
x
B. y' = n sin
n–1
x cos x cos nx + n sin nx sin
n
x
TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG THÁI BÌNH NHÓM TOÁN
62
C. y' = –n sin
n–1
x cos x cos nx + n sin nx sin
n
x
D. y' = –n sin
n–1
x cos x cos nx – n sin nx sin
n
x
Câu26:Chohàmsố
51
()
2
x
fx
x
.Tậpnghiệmcủabấtphươngtrình
() 0fx
là
A.
B. \{0} C.
;0
D.
0;
Câu27:Đạohàmcủahàmsố
2
31
x
y
x
là:
A.
7
'.
31
y
x
B.

2
5
'.
31
y
x
C.

2
7
'.
31
y
x
D.
5
'.
31
y
x
Câu28:Đạohàmcủahàmsố
34
()
21
x
fx
x

tạiđiểm
1
x

là
A.
11
3
B.
1
5
C.11 D.
11
9
Câu29:Đạohàmcủahàmsố

9
4
3
x
f
xx
x

tạiđiểm
1
x
bằng:
A.
5
8
B.
25
16
C.
5
8
D.
11
8
Câu30:Chohàmsố
35
12
x
y
x

.Đạohàmcủahàmsốlà
A.
2
7
'
(2 1)
y
x
B.
2
1
'
(2 1)
y
x
C.
2
13
'
(2 1)
y
x

D.
2
13
'
(2 1)
y
x
Câu31:Chohàmsố
2
23
2
xx
y
x

.Đạohàmcủahàmsốlà
A.
2
3
'1
(2)
y
x

B.
2
2
67
'
(2)
xx
y
x

C.
2
2
45
'
(2)
xx
y
x

D.
2
2
81
'
(2)
x
x
y
x

Câu 32. Cho hàm số g(x) = (x + 1)cos x. Tính g"(π/2).
A. 0 B. 1 C. 2 D. –2
TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG THÁI BÌNH NHÓM TOÁN
62
Câu 33. Cho hàm số y = x
4
– 2x². Giải phương trình y' = 0
A. x = 0 V x = ±2 B. x = 0 V x = ±1 C. x = ±1 D. x = ±2
Câu 34. Cho hàm số y = sin 2x – 6 sin x + 4x. Giải phương trình y' = 0
A. x = π/2 + k2π hoặc x = ±π/6 + k2π, k là số nguyên
B. x = k2π hoặc x = ±π/6 + k2π, k là số nguyên
C. x = k2π hoặc x = ±π/3 + k2π, k là số nguyên
D. x = π/2 + k2π hoặc x = ±π/6 + k2π, k là số nguyên
Câu 35. Cho hàm số y = x³ – 3(m – 1)x² + 6(m – 2)x + 9m – 5. Tìm giá trị của m để y' > 0 với
mọi số thực x.
A. 1 < m < 3 B. 1 < m < 4 C. 1 < m < 2 D. 1 < m < 5
Câu 36. Tính đạo hàm cấp ba của hàm số y = cos 2x – sin² x
A. y
(3)
= 8sin 2x B. y
(3)
= 12sin 2x C. y
(3)
= –12sin 2x D. y
(3)
= 4sin 2x
Câu 37. Tính đạo hàm cấp ba của hàm số y = 5x
4
– 2x³ + 3x² – 6
A. y
(3)
= 20x – 6 B. y
(3)
= 60x – 12 C. y
(3)
= 120x – 12 D. y
(3)
= 120x – 24
Câu 38. Cho hàm số y = x cos x – sin x. Giải phương trình y
(3)
+ y' = 1
A. x = ±π/6 + k2π, k là số nguyên B. x = ±π/3 + k2π, k là số nguyên
C. x = ±5π/6 + k2π, k là số nguyên D. x = ±2π/3 + k2π, k là số nguyên
Câu 39. Cho hàm số y =
x3
x4
. Tập nghiệm của bất phương trình y" ≤ y'y là
A. (4; 5] B. (–∞; 4) C. (–∞; 4) U [5; +∞) D. [5; +∞)
Câu 40. Cho hàm số y = tan 2x. Tính y"(–π/8).
A. 4 B. 8 C. 16 D. 32
Câu 41. Tính đạo hàm cấp n của hàm số y = 1/(1 + x)
A. y
(n)
= (–1)
n
n!/(1 + x)
n
. B. y
(n)
= (–1)
n
n!/(1 + x)
n+1
.
C. y
(n)
= (–1)
n+1
n!/(1 + x)
n
. D. y
(n)
= (–1)
n+1
(n + 1)!/(1 + x)
n+1
.
Câu 42. Tính đạo hàm cấp n của hàm số y = cos 4x
TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG THÁI BÌNH NHÓM TOÁN
62
A. y
(n)
= 4
n
cos (4x + nπ/2) B. y
(n)
= –4
n
cos (4x + nπ/2)
C. y
(n)
= 4
n+1
cos (4x + nπ/2) D. y
(n)
= 4
n–1
cos (4x + nπ/2)
Câu 43. Tính đạo hàm cấp n của hàm số y =
2
1
x3x2
A. y
(n)
= (–1)
n
n![1/(x + 1)
n
+ 1/(x + 2)
n
] B. y
(n)
= (–1)
n
n![1/(x + 1)
n
– 1/(x + 2)
n
]
C. y
(n)
= (–1)
n
n![1/(x + 1)
n+1
+ 1/(x + 2)
n+1
] D. y
(n)
= (–1)
n
n![1/(x + 1)
n+1
– 1/(x + 2)
n+1
]
Câu 44. Tính đạo hàm cấp n của hàm số y =
1x
x1
A. y
(n)
= 2.(–1)
n
(n – 1)!/(x + 1)
n+1
. B. y
(n)
= 2.(–1)
n+1
n!/(x + 1)
n+1
.
C. y
(n)
= 2.(–1)
n
(n + 1)!/(x + 1)
n+1
. D. y
(n)
= –2.(–1)
n
(n – 1)!/(x + 1)
n+1
.
Câu 45. Tính đạo hàm cấp n của hàm số y = sin² x
A. y
(n)
= 2
n–1
sin (2x + nπ/2) B. y
(n)
= 2
n–1
cos (2x + nπ/2)
C. y
(n)
= 2
n–1
sin [2x + (n – 1)π/2] D. y
(n)
= 2
n–1
cos [2x + (n – 1)π/2]
Câu 46. Cho hàm số y =
2
2x x
. Chọn biểu thức luôn đúng với 0 < x < 2.
A. y"y³ = –1 B. y"y³ = 1 C. y"y³ = –2 D. y"y³ = 2
Câu 47. Cho hàm số y = x tan x. Chọn biểu thức đúng với mọi x ≠ π/2 + kπ, k là số nguyên
A. x²y" = –2(x² + y²)(1 + y) B. x²y" = 2(x² + y²)(1 + y)
C. x²y" = (x² + y²)(1 + y) D. x²y" = –(x² + y²)(1 + y)
Câu 48. Tìm giới hạn
x0
sin5x
lim
sin 2x
A. 5/2 C. 2/5 C. 1 D. –1
Câu 49. Tìm giới hạn
2
x0
1cosx
lim
x
A. 1 B. –1 C. 4 D. 2
Câu 50. Tìm giới hạn
x0
cos x cos5x
lim
xsinx
A. –4 B. –2 C. 2 D. 4
TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG THÁI BÌNH NHÓM TOÁN
62
Câu 51. Tìm giới hạn
2
xπ/4
(π 4x)
lim
1sin2x

A. 8 B. 16 C. 4 D. 2
Câu 52. Tìm giới hạn
xπ/2
π
lim ( x) tan x
2
A. 1 B. 1/2 C. 2 D. –1
Câu 53. Tìm giới hạn
xπ/6
sin(2x π / 3)
lim
32cosx
A. 2 B. 4 C. 1 D. –1
Câu 54. Cho hàm số y = cos x + 3 sin x + 2x – 1. Giải phương trình y' = 0
A. x = –2π/3 + kπ, k là số nguyên B. x = –5π/6 + kπ, k là số nguyên
C. x = 5π/6 + kπ, k là số nguyên D. x = 2π/3 + kπ, k là số nguyên
Câu 55. Cho hàm số y = sin² x + 2cos x. Giải phương trình y' = 0
A. x = kπ, k là số nguyên B. x = π/2 + kπ, k là số nguyên
C. x = π/6 + kπ, k là số nguyên D. x = π/3 + kπ, k là số nguyên
Câu 56. Cho hai hàm số f(x) = 5cos³ x – sin x và g(x) = sin³ x. Giải phương trình g'(x) = f(x)
A. x = π/3 + kπ, k là số nguyên B. x = π/6 + kπ, k là số nguyên
C. x = π/2 + kπ, k là số nguyên D. x = π/4 + kπ, k là số nguyên
Câu 57. Cho hàm số y = mx³ – 6x² + 3mx – 15. Tìm giá trị của m sao cho y' > 0 với mọi số thực
x
A. |m| < 2 B. |m| > 2 C. 0 < m < 2 D. m > 2
Câu 58. Cho hàm số y = mx³ – 3mx² + 6(m + 1)x + 12. Tìm giá trị của m sao cho y' < 0 với mọi
số thực x
A. m < 0 V m > 2 B. m < 0 C. m < –2 D. –2 < m < 0
Câu 59. Cho hàm số y = x³ – 3x² + 3mx – 3. Tìm giá trị của m sao cho y' ≥ 0 với mọi số thực x.
A. m ≥ 2 B. m ≤ 1 C. m ≥ 1 D. m ≤ 2
TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG THÁI BÌNH NHÓM TOÁN
62
Câu 60. Cho hàm số y = mx³ + 3mx² – 6(3 – m)x + 6m + 3. Tìm giá trị của m sao cho phương
trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt cùng dấu.
A. 0 < m < 6 B. 0 < m < 3 C. m < 0 V m > 3 D. 3 < m < 6
Câu 61. Tính đạo hàm của hàm số y = (x³ + 2)³(x² – 3).
A. y' = 6x²(x² + 2)²(x² – 3) + 2x(x² + 2)³ B. y' = 9x²(x² + 1)²(x² – 3) + 2x(x² + 1)³
C. y' = 6x²(x² + 2)²(x² – 3) – 2x(x² + 2)³ D. y' = 9x²(x² + 1)²(x² – 3) – 2x(x² + 1)³
Câu 62. Tính đạo hàm của hàm số y =
2
x3x1
x2

A. y' = 1 + 1/(x – 2)² B. y' = 1 – 3/(x – 2)² C. y' = 1 + 3/(x – 2)² D. y' = 1 – 1/(x – 2)²
Câu 63. Cho hàm số y = (–2x² + x + 3)³. Hệ số góc tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị hàm số với
trục Oy là
A. k = –36 B. k = 36 C. k = –27 D. k = 27
Câu 64. Cho hàm số y =
x2
1x
. Tính y'(0)
A. 2 B. –2 C. 1 D. –1
Câu 65. Tính đạo hàm của hàm số y = sin³ (2π/3 – 2x)
A. y' = –6sin² (2π/3 – 2x) cos (2π/3 – 2x) B. y' = –3sin² (2π/3 – 2x) cos (2π/3 – 2x)
C. y' = 3sin² (2π/3 – 2x) cos (2π/3 – 2x) D. y' = 6sin² (2π/3 – 2x) cos (2π/3 – 2x)
Câu 66. Tính đạo hàm của hàm số y = (1/x) sin x
A. y' = (–1/x²) sin x – (1/x) cos x B. y' = (–1/x²) sin x + (1/x) cos x
C. y' = (1/x²) sin x – (1/x) cos x D. y' = (1/x²) sin x + (1/x) cos x
Câu 67. Cho hàm số y =
sin x cos x
sin x cos x
. Tính giá trị của biểu thức P = y² + y'.
A. P = 0 B. P = 1 C. P = –1 D. P = 2
Câu 68. Cho hàm số y = |cos x|. Tính y'(π).
A. 0 B. 1 C. –1 D. không tồn tại
TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG THÁI BÌNH NHÓM TOÁN
62
Câu 69. Cho hàm số g(x) =
2
0
x11
x
x
0x0
. Tính giá trị của g'(0)
A. 0 B. 1 C. –1 D. không tồn tại
Câu 70. Cho hàm số y = x³ + 3(m – 1)x² + 3x – 9. Tìm giá trị của m sao cho y' > 0 với mọi số
thực x
A. 0 < m < 2 B. 0 < m < 1 C. 1 < m < 2 D. 1 < m < 3
DẠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN
Câu 1: Phương trình tiếp tuyến của hàm số y =
31 tại điểm có hoành độ bằng 2 là:
A.
y
= x - 1 B.
y
= -1 C.
y
= 9x +15 D.
y
= 9x - 15
Câu 2: Một phương trình tiếp tuyến của hs y =
4
2 tại điểm có tung độ bằng 2 là:
A.
y
= 2 B.
y
= 3x + 2 C.
y
= 16x - 23 D.
y
= x - 5
Câu 3: Một phương trình tiếp tuyến của hàm số y =


biết hệ số góc bằng -1 là:
A.
y
= - x - 1 B.
y
= -x + 1 C.
y
= 3x +1 D.
y
= 3x - 2
Câu 4: Một phương trình tiếp tuyến của hàm số y =


biết tiếp tuyến song song với đường
thẳng y = -3x +5 là:
A.
y
= -3x - 1 B.
y
= -3x+2 C.
y
= -3x +11 D.
y
= -x - 2
Câu 5: Giả sử ∆ là phương trình tiếp tuyến của hàm số y =


tại điểm có hoành độ x
0
= 1.
Tìm tất cả các giá trị của m để ∆ vuông góc với đường thẳng x + 2m – my = 0
A.
m = - 1 B. m = 1 C. m = 5 D. m = - 5
Câu 6: Một phương trình tiếp tuyến của hàm số y = -x
3
+3x - 3 biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
y =
x +5 là:
A.
y
= 3x - 1 B.
y
= 3x - 3 C.
y
= -3x +11 D.
y
= -x - 2
Câu 7: Cho đồ thị

32
C:y x 3x x 1
. Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M có hoành độ
x0
cắt đồ thị (C) tại điểm N (khác M). Tìm tọa độ điểm N.
A.

N3;4
B.

N1;4
C.
N2;1
D.

N1;0
Câu 8: Phương trı
nh tiê
p tuyê
n vơ
i đô
thi

1
C
cu
a ha
m sô
3
yx 1 ta
i giao điê
m cu
a đô
thi

1
C
vơ
i tru
c hoa
nh co
phương trı
nh
TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG THÁI BÌNH NHÓM TOÁN
62
A.
y3x1
B.
y3x3
C.
y0
D.
y3x4
Câu 9: Cho ha
m sô
yxlnx1
co
đô
thi
(C). Viê
t phương trı
nh tiê
p tuyê
n vơ
i đô
thi
(C) ta
i
điê
m co
hoa
nh đô
0
x2e
A.

y2ln2x2e1 
B.

y2ln2x2e1
C.

y2ln2x2e1
D.

y2ln2x2e1 
Câu 10. Tiếp tuyến tại điểm cực tiểu của đồ thị hàm số
A. Song song với đường thẳng B. Song song với trục hoành
C. Có hệ số góc dương D. Có hệ số góc bằng
Câu 11. Cho hàm số y = x³ – 3x² + 3 có đồ thị (C). Gọi M(x
o
, y
o
) và N là hai điểm thuộc (C) đối
xứng với nhau qua gốc tọa độ. Hệ số góc tiếp tuyến tại M và N là
A. ±3 B. ±9 C. –3 và 9 D. 6 và 12
Câu 12. Cho hàm số y =
2
2
x3x
(x 1)
có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) song song
với trục Ox.
A. y = 0 B. y = –2 C. y = 9/8 D. y = 1
Câu 13. Cho hàm số y =
2
(x 1)
x1
có đồ thị (C). Giả sử M, N là hai điểm thuộc (C) có các hoành
độ đều là nghiệm của phương trình y' = 0. Viết phương trình đường thẳng d đi qua M, N.
A. d: y = 2(x – 1) B. d: y = 2(x + 1) C. y = x – 1 D. y = x + 1
Câu 14. Cho hàm số y = x³ – 3x² + 2 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm
có hoành độ x
o
= 1.
A. y = 3x – 3 B. y = 3 – 3x C. y = 3x + 3 D. y = 9x – 9
Câu 15 Cho hàm số y = x³ – 3x + 2 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp
tuyến có hệ số góc là 9.
A. y = 9x – 18 hoặc y = 9x + 18 B. y = 9x – 14 hoặc y = 9x + 18
C. y = 9x – 14 hoặc y = 9x + 14 D. y = 9x – 22 hoặc y = 9x + 14
32
1
235
3
yxxx
1
x
1
TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG THÁI BÌNH NHÓM TOÁN
62
Câu 16. Cho hàm số y =
3x 1
1x
. Viết phương trình tiếp tuyến song song với đường thẳng Δ: y =
x + 2018
A. y = x + 2 hoặc y = x – 8 B. y = x hoặc y = x – 8
C. y = x + 1 hoặc y = x D. y = x + 1 hoặc y = x – 9
Câu 17. Cho hàm số y = –x³ + 3x² + 6x. Viết phương trình tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
Δ: x – 3y = 0.
A. y = –3x + 1 hoặc y = –3x + 27 B. y = –3x – 5 hoặc y = –3x + 27
C. y = –3x + 5 hoặc y = –3x – 9 D. y = –3x + 1 hoặc y = –3x – 9
Câu 18. Cho hàm số y = x² – 2(m + 2)x + 3(m + 8) có đồ thị (C). Tìm giá trị của m sao cho (C)
tiếp xúc với trục hoành
A. m = 4 V m = –5 B. m = 2 V m = –6 C. m = 3 V m = –4 D. m = 6 V m = –2
Câu 19. Cho hàm số y = –x³ + 3x² – 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số sao cho
tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất.
A. y = –2 B. y = 3x – 3 C. y = 3x + 3 D. y = 3x – 1
TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG THÁI BÌNH NHÓM TOÁN
62
CHUYÊN ĐỀ 6: PHÉP BIẾN HÌNH
Câu1:Cho(‐1;5)vàM’(4;2).BiếtM’làảnhcủaMquaphéptịnhtiến
󰇍
.Khiđó
a)M(3;7)b)M(5;‐3)c)M(3;‐7)d)M(‐4;10)
Câu2:Trongmặtphẳngcho(‐1;3)vàM’(‐2;5).Biết
󰇍
󰇍
(M)=M’khiđó:
a)M’(‐1;‐2)b)M’(1;‐2)c)M’(‐3;8)d)Đápánkhác
Câu3:Chov󰇍
(3;3)vàđườngtròn(C):x
2
+y
2
‐2x+4y‐4=0.Ảnhcủa(C)quaT
󰇍
󰇍
là(C’)a)
(x‐4)
2
+(y‐1)
2
=9b)(x‐4)
2
+(y‐1)
2
=4
c)(x+4)
2
+(y+1)
2
=9d)x
2
+y
2
+8x+2y‐4=0
Câu4:Hìnhgồmhaiđườngtròncótâmvàbánkínhkhácnhaucóbaonhiêutrụcđối
xứng?
a)Mộtb)Haic)Bad)Vôsố
Câu5:Cóbaonhiêuphéptịnhtiếnbiếnđườngthẳngdchotrướcthànhchínhnó?
a)Cóvôsốphépb)Khôngcóphépnào
c)Cómộtphépduynhấtd)Chỉcóhaiphép
Câu6:Câunàosaiđâylàsai?
a)Phéptịnhtiếnlàphépdờihìnhb)Phépđốixứngtrụclàphépdờihình
c)Phépquay,phépđốixứngtâmlàphépdờihìnhd)Phépvịtựlàphépdờihình
Câu7:Hìnhgồmhaiđườngtrònphânbiệtcócùngbánkínhcóbaonhiêutâmđốixứng
a)Mộtb)Haic)Khôngcód)Vôsố
Câu8:Cóbaonhiêuphéptịnhtiếnbiếnmộtđườngtrònchotrướcthànhchínhnó?
a)Mộtb)Khôngcóc)Haid)Vôsố
Câu9:TrongmặtphẳngtoạđộOxynếuphéptịnhtiếnbiếnđiểmA(3;2)thànhđiểm
A’(2;3)thìnóbiếnđiểmB(2,5)thành:
a)B’(5;5)b)B’(5;2)c)B’(1;1)d)B’(1;6)
TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG THÁI BÌNH NHÓM TOÁN
62
Câu13:TrongmặtphẳngOxychođiểmM(2;3).Hỏitrong4điểmsauđiểmnàolàảnh
củaMquaphépđốixứngquatrụcOx?
a)A(3;2)b)D(‐2;3)c)B(2;‐3)d)C(3;‐2)
Câu14:Trongcácmệnhđềsau,mệnhđềnàođúng?
a)Cóphépđốixứngtâmcóhaiđiểmbiếnthànhchínhnó.
b)Phépđốixứngtâmcóđúngmộtđiểmbiếnthànhchínhnó.
c)Cóphépđốixứngtâmcóvôsốđiểmbiếnthànhchínhnó.
d)Phépđốixứngtâmkhôngcóđiểmnàobiếnthànhchínhnó.
Câu15:PhépvịtựtâmI(‐1;2)tỉsố3biếnđiểmA(4;1)thànhđiểmcótoạđộ:
a)(16;1)b)(14;1)c)(6;5)d)(14;‐1)
Câu16:Cho(‐4;2)vàđườngthẳng∆:2x‐y‐5=0.Hỏiảnhcủa∆quaT
󰇍
󰇍
là∆′:
a)2x‐y+5=0b)x‐2y‐9=0c)2x+y‐15=0d)2x‐y‐15=0
Câu17:ChotamgiácABCcóA(2;4),B(5;1),C(‐1;‐2).PhéptịnhtiếnT

󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
biến∆ABC
thành∆A’B’C’.Toạđộtrọngtâmcủa∆A’B’C’là:
a)(‐4;2)b)(‐4;‐2)c)(4;‐2)d)(4;2)
Câu18:BiếtM’(‐3;0)làảnhcủacủaM(1;‐2)qua
󰇍
󰇍
,M”(2;3)làảnhcủaM’qua
󰇍
.Toạ
độ󰇍
=?
a)(3;‐1)b)(‐1;3)c)(‐2;‐2)d)(1;5)
Câu19:ChođườngtròntâmOvàhaiđáyABvàCDsongsongvớinhau.Phépđốixứng
trụcbiếnAthànhB,biếnCthànhDcótrụcđốixứnglàđườngthẳng:
a)Đườngkínhcủa(O)songsongvớiABb)Đườngkínhcủa(O)vuônggócvớiABc)
Đườngkínhcủa(O)vuônggócvớiACd)Đườngkínhcủa(O)vuônggócvớiBD
Câu22:TrongmặtphẳngchotamgiácABC.GọiM,N,Plầnlượtlàtrungđiểmcủa
AB,BC,CA.Khiđóphéptịnhtiếntheovectơ󰇍

󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
biến:
a)MthànhBb)MthànhNc)MthànhPd)MthànhA
TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG THÁI BÌNH NHÓM TOÁN
62
Câu23:TrongmặtphẳngchotamgiácABC.GọiM,N,Plầnlượtlàtrungđiểmcủa
AB,BC,CA.Khiđóphéptịnhtiếntheovectơ󰇍

󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
biến:
a)NthànhBb)NthànhMc)NthànhPd)NthànhC
Câu26:Phépbiếnhìnhnàosauđâykhôngcótínhchất:“Biếnmộtđườngthẳngthành
đườngthẳngsongsonghoặctrùngvớinó”
a)Phéptịnhtiếnb)Phépđốixứngtrụcc)Phépđốixứngtâmd)Phépvịtự
Câu27:Trongcácmệnhđềsau,mệnhđềnàođúng?
a)Phépvịtựlàmộtphépdờihình.
b)Cómộtphépđốixứngtrụclàphépđồngnhất.
c)Phépđồngdạnglàmộtphépdờihình.
d)Thựchiệnliêntiếpphépquayvàphépvịtựtađượcphépđồngdạng.
Câu28:Chod:2x+y‐3=0.PhépvịtựtâmOtỉsố2biếnđườngthẳngdthành:
a)2x+y+3=0b)2x+y‐6=0c)4x+2y‐3=0d)4x+2y‐5=0
Câu29:PhépvịtựtâmO(0,0)tỉsố‐2biếnđườngtròn:(x‐1)
2
+(y‐2)
2
=4thành:
a)(x‐2)
2
+(y‐4)
2
=16b)(x‐4)
2
+(y‐2)
2
=4c)(x‐1)
2
+(y‐2)
2
=16d)(x+2)
2
+(y+4)
2
=16
Câu30:Chođườngthẳngdcóphươngtrình:x+y‐2=0.Phéphợpthànhcủaphépđối
xứngtâmO(0,0)vàphéptịnhtiếntheo(3;2)biếndthànhđườngthẳng:
a)x+y‐4=0b)3x+3y‐2=0c)2x+y+2=0d)x+y‐3=0
Câu31:Chod:2x‐y=0,phépđốixứngtrụcOybiếnđườngthẳngdthành:
a)2x+y‐1=0b)2x+y=0c)4x‐y+0d)2x+y‐2=0
Câu32:ChohìnhvuôngABCDtâmO.GọiM,N,Plầnlượtlàtrungđiểmcủacáccạnh
AB,BC,CD,DA.Phépdờihìnhnàosauđâybiến∆AMOthành∆CPO:
a)Phéptịnhtiếnvectơ
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
b)PhépđốixứngtrụcMP.
c)PhépquaytâmAgócquay‐180°d)PhépquaytâmOgócquay180°
TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG THÁI BÌNH NHÓM TOÁN
62
Đềchungchocâu33,34,35.
ChotamgiácABCđều,cócácđỉnhvẽtheochiềudương.TrênđườngthẳngBClấy2
điểmEvàFsaocho


2à


2.GọiMlàđiểmdiđộngtrêncạnhBCvàM’trên
cạnhACsaochoBM=2CM’.
Câu33:PhépbiếnhìnhnàobiếnđiểmMthànhđiểmM’:
a)Phépdờihìnhb)Phépđồngdạngc)Phépvịtựd)Khôngphảibađápántrên
Câu34:GọiflàphépbiếnhìnhbiếnđiểmMthànhđiểmM’.Tâmcủafnếucólà:
a)TâmcủađườngtrònngoạitiếptamgiácABC.
b)GiaođiểmcủacunglớnBACvàđườngtròn,đườngkínhEF.
c)GiaođiểmcủacungnhỏBCvàđườngtròn,đườngkínhEF.
d)Tâmlàmộtđiểmkhác.
Câu35:GọiOlàphépquayđườngtrònngoạitiếptamgiácABC,tamgiácABCbấtbiến
trongphépquaynào?
a)Q(O;
)b)Q(O;

)c)Q(O;)d)Đápánkhác
Câu36:CholụcgiácđềuABCDEFtâmO.PhépbiếnhìnhnàobiếntamgiácABFthành
tamgiácCBD:
a)QuaytâmOgócquay120°b)QuaytâmOgócquay‐120°
c)Phéptịnhtiếntheovectơ
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
󰇍
d)PhépđốixứngquađườngthẳngBE.
Câu37:Chọnmệnhđềsai
a)Phéptịnhtiếnbiếnđườngtrònthànhđườngtròncócùngbánkính.
b)Phépvịtựbiếnđườngthẳngthànhđườngthẳngsongsonghoặctrùngvớinó.
c)Phépquaygócquay90°biếnđườngthẳngthànhđườngthẳngsongsonghoặctrùng
vớinó.
d)Phépquaygócquay90°biếnđườngthẳngthànhđườngvuônggócvớinó.
TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG THÁI BÌNH NHÓM TOÁN
62
Câu38:Trongcácmệnhđềsau,mệnhđềnàosai?
a)Hìnhgồmmộtđườngtrònvàmộtđoạnthẳngtuỳýcótrụcđốixứng.
b)Hìnhgồmhaiđườngtrònkhôngbằngnhaucótrụcđốixứng.
c)Hinhgồmmộtđườngtrònvàmộtđườngthẳngtuỳýcótrụcđốixứng.
d)Hìnhgồmmộttamgiáccânvàđườngtrònngoạitiếptamgiácđócótrụcđốixứng.
Câu39:Trongmặtphẳng,hìnhnàodướiđâycóvôsốtâmđốixứng
a)Hìnhtrònb)Đườngthẳngc)Hìnhđagiáclồicósốcạnhlàlẻ.d)Hìnhtam
giácđều
Câu40:Trongmặtphẳng,hìnhnàodướiđâycóvôsốtrụcđốixứng
a)Hìnhtrònb)Hìnhvuôngc)Hìnhđagiáclồicósốcạnhlàlẻd)Hìnhtamgiác
đều
Câu41:Hìnhchữnhậtcóbaonhiêutrụcđốixứng
a)Khôngcób)4c)1d)2
Câu42:Hìnhtamgiácđềucóbaonhiêutrụcđốixứng
a)3b)2c)1d)Khôngcó
Câu43:Hìnhtamgiácđềucóbaonhiêutâmđốixứng
a)4b)3c)Vôsốd)Khôngcó
Câu44:Hìnhtạobởihaiđườngthẳngcắtnhaudvàd’.Vậyhìnhđócóbaonhiêutâm
đốixứng?
a)0b)1c)2d)Vôsố
Câu46:Ảnhcủađườngthẳngd:‐3x+4y+5=0quaphépđốixứngtrụcOxlà:
a)3x+4y‐5=0b)3x‐4y‐5=0c)‐3x+4y‐5=0d)x+3y‐5=0
Câu47::PhépquaytâmO(0;0)gócquay90°biếnđườngthẳngd:x‐y+1=0thànhđường
thẳngcóphươngtrìnhlà:
TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG THÁI BÌNH NHÓM TOÁN
62
a)x+y‐3=0b)x+y+1=0c)x‐y+3=0d)x+y+6=0
Câu48:Tìmmệnhđềsai:Phépdờihìnhbiến:
a)Mộtđoạnthẳngthànhđoạnthẳng,mộttiathànhmộttia.
b)Mộtđườngthẳngthànhmộtđườngthẳngsongsongvớinó.
c)Mộtđườngtrònthànhmộtđườngtròncóbánkínhbằngbánkínhđườngtrònđãcho
.d)Mộttamgiácthànhmộttamgiácbằngnó.
Câu49:Phépvịtựtỉsốkbiếnhìnhvuôngthành:
a)Hìnhthoib)Hìnhbìnhhànhc)Hìnhvuôngd)Hìnhchữnhật
Câu50:trongmặtphẳngOxychoM(‐2;4).ToạđộảnhcủaMquaphépvịtựtâmOtỉsố
k=‐2là
a)(‐8;4)b)(‐4;‐8)c)(4;8)d)(4;‐8)
Câu51:Chohaiđườngtròntiếpxúcngoàivớinhauvàkhôngbằngnhau.Xétcácmệnh
đềsau
I,Cóhaiphépvịtựbiếnđườngtrònnàythànhđườngtrònkia.
II,TiếpđiểmIlàtâmvịtựcủaphépvịtựbiếnđườngtrònnàythànhđườngtrònkia.
III,Tỉsốvịtựlàtỉsốhaibánkính.
a)ChỉIvàIIb)ChỉIIvàIIIc)ChỉIvàIIId)CảI,II,III
Câu52:Trongmặtphẳng,nếuphépbiếnhình:
a)Làphépdờihìnhthìđólàphépđồngdạng.
b)Làphépđồngdạngthìđólàphépdờihình.
c)Khôngphảilàphépdờihìnhthìđólàphépđồngdạng.
d)Khôngphảilàphépđồngdạngthìđólàphépdờihình.
Câu53:TrongmặtphẳngOxychoA(9;1).PhéptịnhtiếntheovectơbiếnAthành
a)B(4;‐6)b)C(14;8)c)D(13;7)d)E(8;14)
TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG THÁI BÌNH NHÓM TOÁN
62
Câu54:TrongmặtphẳngOxychoA(5;‐3).HỏiAlàảnhcủađiểmnàotrongcácđiểm
sauquaphéptịnhtiếntheovectơ(5;7)là:
a)(0;‐10)b)(10;4)c)(4;10)d)(‐10;0)
Câu55:TrongmặtphẳngOxychođườngtròn(x‐8)
2
+(y‐3)
2
=7.Ảnhcủađườngtròn
quaphéptịnhtiếntheovectơ(5;7)là:
a)(x‐4)
2
+(y‐3)
2
=7b)(x‐13)
2
+(y‐10)
2
=7c)(x‐7)
2
+(y‐5)
2
=7d)(x‐3)
2
+(y+4)
2
=7
Câu56:TrongmặtphẳngOxycho(1;3),phéptịnhtiếntheovectơnàybiếnđường
thẳngd:3x+5y‐8=0thànhđườngthẳng:
a)3x+2y=0b)3x+5y‐26=0c)3x+5y‐9=0d)5x+3y‐10=0
Câu57:Trongcácphéptịnhtiếntheocácvectơsauphéptịnhtiếntheovectơnàobiến
đườngthẳngd:9x–7y+10=0thànhchínhnó:
a)(7;9)b)(‐7;‐9)c)Khôngtồntạivectơthoảmãnyêucầud)a)vàb)
đúng
Câu58:TrongmặtphẳngOxychođườngtròn(x‐8)
2
+(y‐3)
2
=7.Ảnhcủađườngtròn
quaphépquaytâmOgóc90°là:
a)(x+3)
2
+(y‐8)
2
=7b)(x+3)
2
+(y‐8)
2
=4c)(x+8)
2
+(y‐3)
2
=7d)(x+8)
2
+(y+3)
2
=7
Câu59:TrongmặtphẳngtoạđộOxychođiểmM(2;2).Trong4điểmsauđiểmnàolà
ảnhcủađiểmMquaphépquaytâmOgóc‐45°:
a)(2
√
2
;0)b)(‐2
√
2;0)c)(0;2
√
2)d)(0;‐2
√
2)
Câu60:TrongmặtphẳngOxy,chođiểmM(4;6)vàI(2;3).HỏiphépvịtựtâmItỉsốk=2
biếnMthànhđiểm:
a)(6;9)b)(2;4)c)(3;2)d)(6;4)
Câu61:Trongcáckhẳngđịnhsau,khẳngđịnhnàosai?
a)Thựchiệnliêntiếphaiphépđồngdạngthìđượcmộtphépđồngdạng.
b)Phépdờihìnhlàphépđồngdạngtỉsốk=1
c)Phépvịtựcótínhchấtbảotoànkhoảngcách.
TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG THÁI BÌNH NHÓM TOÁN
62
d)Phépvịtựkhônglàphépdờihình.
Câu62:Đồthịhàmsốy=cosxcóbaonhiêutrụcđốixứng?
a)Khôngcób)1c)2d)Vôsố
Câu63:Trongcácmệnhđềsau,mệnhđềnàođúng?
a)Tamgiáccótrụcđốixứngb)Tứgiáccótrụcđốixứng
c)Hìnhthangcótrụcđốixứngd)Hìnhthangcâncótrụcđốixứng.
Câu64:Hợpthànhcủahaiphépđốixứngtrụccótrụcsongsonglàphép:
a)Phépđốixứngtrụcb)Phépđốixứngtâmc)Phépquayd)Phéptịnhtiến
Câu65:Hợpthànhcủahaiphépđốixứngtrụccótrụccắtnhaulàphép:
a)Phépđốixứngtrụcb)Phépquayc)Phéptịnhtiếnd)Phépđồngnhất
Câu66:ChoA(‐3;7).ĐiểmA’đốixứngvớiAquaO(0;0)cótoạđộlà:
a)(‐6;14)b)(3;‐7)c)(3;7)d)(‐3;‐7)
Câu67:ChoA(‐3;7).ĐiểmA’đốixứngvớiAquaI(4;1)cótoạđộlà:
a)(11;‐5)b)(11;‐7)c)(13;‐5)d)(9;‐5).
Câu68:ChoA(‐3;7).ĐiểmA’đốixứngvớiAquatrụchoànhcótoạđộlà:
a)(3;7)b)(‐3;‐8)c)(3;‐7)d)(‐3;‐7).
Câu 69 : Cho A (-3;7 ) . Điểm A’ đối xứng với A qua trục tung có toạ độ là :
a) (-3;-7) b) (3;7) c) (3; 6) d) (3;5 ) .
TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG THÁI BÌNH NHÓM TOÁN
62
CHUYÊN ĐỀ 7: QUAN HỆ SONG SONG
I. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Các yếu tố nào sau đây xác định một mặt phẳng duy nhất :
A. Ba điểm B. Một điểm và một đường thẳng
C. Hai đường thẳng cắt nhau D. Bốn điểm
Câu 2: Xét các mệnh đề sau :
1. Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau.
2. Hai đường thẳng không cắt nhau và không song song thì chéo nhau.
3. Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung
Mệnh đề nào đúng ?
A. 1 và 2 đúng B. 1 và 3 đúng
C. Chỉ 3 đúng D. Cả 1, 2 và 3 đều đúng
Câu 3: Mệnh đề nào sau đây đúng :
A. Một đường thẳng cắt hai đường thẳng cho trước thì cả ba đường thẳng đó cùng
nằm trong một mặt phẳng.
B. Một đường thẳng cắt hai đường thẳng cắt nhau tại hai điểm phân biệt thì cả ba
đường thẳng đó đồng phẳng.
C. Một đường thẳng cắt hai đường thẳng cắt nhau cho trước thì cả ba đường thẳng
đó cùng nằm trong một mặt phẳng.
D. Cả B và C đúng.
Câu 4: Cho các giả thiết sau, giả thiết nào sau đây kết luận đường thẳng d1 // (P)
A. d1 // d2 và d2 // (P) B.

1dP
C. d1 // d2 và d2
(P) D. d1 // (Q) và (Q) // (P)
TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG THÁI BÌNH NHÓM TOÁN
62
Câu 5: Trong không gian cho 4 điểm không đồng phẳng, có thể xác định được
nhiều nhất bao nhiêu mặt phẳng phân biệt từ các điểm đó.
A 2 B. 3 C. 4 D. 5
Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD với đáy là tứ giác lồi có các cạnh đối không song
song. AC cắt BD tại O, AD cắt BC tại I. khi đó, giao tuyến của hai mặt phẳng
(SAC) và (SBD) là :
A. SI B. SB C. SC D. SO
Câu 7: Cho tứ diện ABCD. Gọi I, K lần lượt là trung điểm AB, AD. Giao tuyến
của (CDI) và (BCK) là :
A. PR B. CR C. CP D.CQ
Câu 8: Cho tứ diện ABCD. Điểm M nằm trên đoạn AC. (P) qua M và song song
với AB. Thiết diện của (P) với tứ diện là :
A. Hình thang B. Hình bình hành C. Hình chữ nhật D. Hình vuông
Câu 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, M là trung điểm
SC. Gọi N là giao điểm của đường thẳng AM và (SBD). Khi đó, tỉ số AN / MN là :
A. 2B. 3/2 C. 1 D. 2/3
Câu 10:Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau. Mệnh đề nào sau đây
sai:
A. Nếu đường thẳng a (Q) thì a // (P)
B. Mọi đường thẳng đi qua điểm A (P) và song song với (Q) đều nằm trong (P).
C. d (P) và d' (Q) thì d //d'.
D. Nếu đường thẳng cắt (P) thì cũng cắt (Q).
Câu 11: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng:
A. Hai mp phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì song song với nhau.
B. Hai mp phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau.
TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG THÁI BÌNH NHÓM TOÁN
62
C. Nếu một đường thẳng song song với một trong hai mặt phẳng song song thì nó
song song với mặt phẳng còn lại.
D. Nếu một đường thẳng nằm trên một trong hai mặt phẳng song song thì nó song
song với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng còn lại.
Câu 12: Cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d (P). Mệnh đề nào sau đây đúng:
A. Nếu A
d thì A
(P).B. Nếu A (P) thì A d.C. A, A d A (P).
D. Nếu 3 điểm A, B, C (P) và A, B, C thẳng hàng thì A, B, C d.
Câu 13: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng:
A. Hai đường thẳng không cắt nhau và không song song thì chéo nhau.
B. Hai đường thẳng không song song thì chéo nhau.
C. Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau.
D. Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.
Câu 14: Cho 4 điểm không đồng phẳng A, B, C, D. Gọi M, N lần lượt là trung
điểm của AD và BC. Khi đó giao tuyến của mp (MBC) và mp (NDA) là:
A. AD B. BC C. AC D. MN
Câu 15: Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh AD lấy điểm M, trên cạnh BC lấy điểm N
bất kì khác B, C. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua đường thẳng MN và song song với
CD. Khi đó thiết diện của tứ diện ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (P) là:
A. Một đoạn thẳng. B. Một hình thang
C. Một hình bình hành. D. Một hình chữ nhật.
Câu 16: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AC, BC. Điểm E
cạnh AD, điểm P cạnh BD sao cho
3
1
DB
DP
DA
DE
. Mệnh đề nào sau đây
sai:
A.
MN
3
2
EP B. M, N, E, P đồng phẳng.
B. ME // NP D. MNPE là hình thang.
Câu 17: Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Gọi I, I' lần lượt là trung điểm của
cạnh BC, B'C'. Mệnh đề nào sau đây đúng:
TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG THÁI BÌNH NHÓM TOÁN
62
A. AI // A'I' B. AA'II' là hình chữ nhật
C. AC' cắt A'I D. AI' cắt AB'.
Câu 18: Cho hình chóp S.ABCD. Mp (P) cắt các cạnh SA, SB, SC, SD lần lượt tại
A', B', C', D'. Gọi = (SAB)(SCD), ' = (SAD)(SBC). Nếu (P)// hoặc (P)//'
thì A'B'C'D' là
A. Hình thang B. Hình bình hành C. Hình chữ nhật D.Hình vuông.
Câu 19: Cho hình chóp S.ABC có AB = AC, SB = SC. H, K lần lượt là trực tâm
tam giác ABC và tam giác SBC, G và F lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và
tam giác SBC. Xét các mệnh đề sau:
(1) AH, SK và BC đồng qui
(2) AG, SF cắt nhau tại một điểm trên BC.
(3) HF và GK chéo nhau.
(4) SH và AK cắt nhau.
Mệnh đề
sai là:
A. (1) B. (2) C. (3) D. (4)
Câu 20: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BC. Trên
đoạn BD lấy P sao cho BP = 2 PD. Khi đó giao điểm của đường thảng CD với mp
(MNP) là:
A. Giao điểm của NP và CD. B. Giao điểm của MN và CD.
C. Giao điểm của MP và CD. D. Trung điểm của CD.
TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG THÁI BÌNH NHÓM TOÁN
62
II. TỰ LUẬN
Bài 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và BCD.
a) Chứng minh rằng MN song song với các mặt phẳng ABD và ACD.
b) Xác định thiết diện tạo bởi mặt phẳng qua MN và song song với BD.
Bài 2. Cho hình chop S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M và N lần lượt là trọng tâm các tam giác
SAD và SCD.
a) Chứng minh rằng MN song song với mp(SAC).
b) Xác định thiết diện tạo bởi mp(BMN) với hình chop.
Bài 3. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi O và O’ lần
lượt là tâm của các hình bình hành ABCD và ABEF; M và N lần lượt là trọng tâm các tam giác ABD và
ABE.
a) Chứng minh rằng OO’ song song với các mặt phẳng (ADF) và (BCE).
b) Chứng minh rằng MN song song với mp(CEF).
c) Gọi P là điểm trên cạnh AC và Q là điểm trên cạnh BF. Tìm vị trí của các điểm P và Q sao cho PQ
song song với mp(CEF).
Bài 4. Cho tứ diện ABCD. Gọi M là trọng tâm của tam giác ABC và N là một điểm trên cạnh AD sao cho
AN = 2ND. Chứng minh rằng đường thẳng MN song song với mặt phẳng BCD.
Bài 5. Cho tứ diện ABCD. Gọi M là điểm trên cạnh AB sao cho MB = 2MA và N là điểm trên canh CD
sao cho MB = 2MA và N là một điểm thuộc cạnh CD (N không trùng với C và D).
a) Xác định thiết diện của mp(P) với tứ diện.
b) Tìm vị trí điểm N trên cạnh CD sao cho thiết diện trên là hình bình hành.
Bài 6. Cho tứ diện ABCD. Gọi M là điểm trên cạnh AB sao cho MB = 2MA. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua
M và song song với các đường thẳng BC và AD. Xác định thiết diện tạo bởi mp(P) với tứ diện. Thiết diện
trên là hình gì?
Bài 7. Cho tứ diện ABCD. Gọi M là điểm trên cạnh AB(M không trùng với A và B) và N là một điểm
trên cạnh CD(không trùng với C và D) sao cho
1
CD
CN
A
B
MA
. Gọi (P) là mặt phẳng chứa MN và song
song với BC.
a) Xác định thiết diện tạo bởi mp(P) với tứ diện.
b) Chứng minh rằng mp(P)//AD.
TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG THÁI BÌNH NHÓM TOÁN
62
Bài 8. Cho hình chop S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M là một điểm trên cạnh SC(không trùng
với S và C). Gọi (P) là mặt phẳng qua AM và song song với đường thẳng BD.
a) Xác định thiết diện tạo bởi mp(P) với hình chop. Tìm vị trí của điểm M sao cho thiết diện đi qua trọng
tâm của tam giác SBD.
b) Gọi E và F lần lượt là giao điểm của mp(P) với các cạnh SB và SD. Gọi I là giao điểm của EF và AM.
Chứng minh rằng I là trung điểm của EF và tìm quỹ tích của điểm I khi M di chuyển trên cạnh SC(M
không trùng với S và C).
Bài 9. Cho hình chop S.ABCD có đáy là hình bình hành.Gọi M là điểm trên cạnh SA(M không trùng với
S và A) và N là điểm trên cạnh SC(N không trùng với S và C). Gọi (P) là mặt phẳng qua MN và song
song với BD.
a) Xác định thiết diện tạo bởi mp(P) với hình chop.
b) Tìm vị trí của M và N sao cho thiết diện trên là hình bình hành.
Bài 10. Cho hình chop S. ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M là điểm trên cạnh SB sao cho MS =
2MB. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua AM và song song với BD.
a) Xác định thiết diện tạo bởi mp(P) với hình chop.
b) Chứng minh rằng giao điểm của (P) với SC là trung điểm của SC.
Bài 11. Cho hình chop S.ABCD có đáy là một tứ giác lồi có các cặp cạnh đối nằm trên các đường thẳng
cắt nhau. Một mp(P) cắt các cạnh SA, SB, SC, SD lần lượt tại các điểm A’, B’, C’, D’. Gọi I là giao điểm
của AC và BD.
a) Chứng minh rằng các đường thẳng A’C’, B’D’ và SI đồng quy tại một điểm.
b) Tìm điều kiện của mp(P) để tứ giác A’B’C’D’ là hình thang.
c) Tìm điều kiện của mp(P) để tứ giác A’B’C’D’ là hình bình hành.
Bài 12. Cho tứ diện ABCD. Gọi E là một điểm thuộc miền trong tam giác BCD. Gọi (P) là mặt phẳng qua
E và song song với các đường thẳng BC và AD và cắt các cạnh AB, AC, BD, CD lần lượt tại M, N, P, Q.
Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình bình hành.
TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG THÁI BÌNH NHÓM TOÁN
62
CHUYÊN ĐỀ 8: QUAN HỆ VUÔNG GÓC
I. TRẮC NGHIỆM
Câu 1:
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A, cạnh bên SA vuông góc
với đáy, M là trung điểm BC, J là trung điểm BM. Khẳngđịnhnàosauđâyđúng?
A.
()
B
CSAB
B.
()
B
CSAM
C.
()
B
CSAC
D.
()
B
CSAJ
Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm I, cạnh bên SA vuông góc
với đáy. Khẳngđịnhnàosauđâyđúng?
A.
()()SCD SAD
B.
()()SBC SIA
C.
()()SDC SAI
D.
()()SBD SAC
Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm I, cạnh bên SA vuông góc
với đáy. Điểm cách đều các đỉnh của hình chóp là
A. trung điểm SB B. Điểm nằm trên đường thẳng d // SA và không thuộc SC
C. trung điểm SC. D. trung điểm SD
Câu 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A, cạnh bên SA vuông góc với
đáy, M là trung điểm BC, J là trung điểm BM. Gócgiữa2mặtphẳng(SBC)và(ABC)là:
A. góc
SBA B. góc
SJA C. góc
SCA D. góc
SMA
Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I, cạnh bên SA vuông góc với
đáy, H,K lần lượt là hình chiếu của A lên SC, SD. Khẳngđịnhnàosauđâyđúng?
A.
()( )SIC SCD
B.
()( )SCD AKC
C.
()()SAC SBD
D.
()()
A
HB SCD
Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I, cạnh bên SA vuông góc với
đáy. Khẳngđịnhnàosauđâyđúng?
A.
()()SBC SIA
B.
()()SBD SAC
C.
()()SDC SAI
D.
()()SCD SAD
Câu 7: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, cạnh bên SA vuông góc với
đáy, I là trung điểm AC, H là hình chiếu của I lên SC. Khẳngđịnhnàosauđâyđúng?
A.
()()SBC SAB
B.
()()
B
IH SBC
C.
()()SAC SAB
D.
()()SAC SBC
Câu 8: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với
đáy, I là trung điểm AC. Điểm cách đều các đỉnh của hình chóp là
A. Điểm nằm trên đường thẳng d // SA, d đi qua M là trung điểm BIC. trung điểm SC
B. không tồn tại điểm cách đều các đỉnh của hình chóp D. trung điểm SB
Câu 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm I, cạnh bên SA vuông góc
với đáy. H,K lần lượt là hình chiếu của A lên SC, SD. Kíhiệu
(,( ))dA SCD
làkhoảngcáchgiữa
điểmAvàmặtphẳng
()SCD
.Khẳngđịnhnàosauđâyđúng?
A.
(,( ))dA SCD AC
B.
(,( ))dA SCD AK
C.
(,( ))dA SCD AH
D.
(,( ))dA SCD AD
Câu 10: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với
đáy, I là trung điểm AC, H là hình chiếu của I lên SC. Khẳngđịnhnàosauđâyđúng?
A.
()()SAC SAB
B.
()()
B
IH SBC
C.
()()SAC SBC
D.
()()SBC SAB
TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG THÁI BÌNH NHÓM TOÁN
62
Câu 11: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với
đáy, M là trung điểm BC, J là trung điểm BM. Khẳngđịnhnàosauđâyđúng?
A.
()
B
CSAB
B.
()
B
CSAJ
C.
()
B
CSAC
 D.
()
B
CSAM
Câu 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I, cạnh bên SA vuông góc với
đáy, H,K lần lượt là hình chiếu của A lên SC, SD. Khẳngđịnhnàosauđâyđúng?
A.
()
A
KSCD
B.
()
B
CSAC
C.
()
A
HSCD
 D.
()
B
DSAC
Câu 13: Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông. Điểm cách đều
các đỉnh của hình lăng trụ là
A. Giao điểm của A'B và ABC' B. không tồn tại điểm cách đều các đỉnh của hình lăng trụ
C. Giao điểm của A'D và AD' D. Giao điểm của A'C và AC'
Câu 14: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I, cạnh bên SA vuông góc với
đáy, BD = 2AC. Điểm cách đều các đỉnh của hình chóp là
A. trung điểm SC B. không tồn tại điểm cách đều các đỉnh của hình chóp .
C. Điểm nằm trên đường thẳng d // SA D. trung điểm SD
Câu 15: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với
đáy, I là trung điểm AC, H là hình chiếu của I lên SC. Kíhiệu
(,)dab
làkhoảngcáchgiữa2
đườngthẳngavàb.Khẳngđịnhnàosauđâyđúng?
A.
(, )dSABC AB
B.
(, )dBISC IH
C.
(, )dSBAC IH
D.
(, )dSBAC BI
Câu 16: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại B, cạnh bên SA vuông góc với
đáy, M là trung điểm BC, J là hình chiếu của A lên BC. Khẳngđịnhnàosauđâyđúng?
A.
()
B
CSAJ
B.
()
B
CSAB
C.
()
B
CSAC
D.
()
B
CSAM
Câu 17: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại B, cạnh bên SA vuông góc với
đáy, M là trung điểm BC, J là hình chiếu của A lên BC. Kíhiệu
(,( ))dA SBC
làkhoảngcáchgiữa
điểmAvàmặtphẳng
()SBC
.Khẳngđịnhnàosauđâyđúng?
A.
(,( ))dA SBC AK
vớiKlàhìnhchiếucủaAlênSC
B.
(,( ))dA SBC AK
vớiKlàhìnhchiếucủaAlênSM
C.
(,( ))dA SBC AK
vớiKlàhìnhchiếucủaAlênSB
D.
(,( ))dA SBC AK
vớiKlàhìnhchiếucủaAlênSJ
Câu 18: Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông. Khẳngđịnh
nàosauđâyđúng?
A.
(')('')
A
BC BAC
B.
(')(')
A
BC BBD
C.
(')(')
A
BC DAB
D.
(')(')
A
BC DBC
Câu 19: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A, M là trung điểm AB, N là
trung điểm AC,
()()SMC ABC
,
()( )SBN ABC
, G là trọng tâm tam giác ABC, I là trung
điểm BC. Khẳngđịnhnàosauđâyđúng?
A.
()( )SIN SMC
B.
()()SAC SBN
C.
()()SIM SBN
D.
()()SMN SAI
Câu 20: Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông. Khẳngđịnhnào
sauđâyđúng?
A.
'(')
A
CBBD
B.
'('')
A
CBCD
C.
(' ')
A
CBBD
D.
(' ')
A
CBCD
TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG THÁI BÌNH NHÓM TOÁN
62
Câu 21: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm I, cạnh bên SA vuông góc
với đáy. H,K lần lượt là hình chiếu của A lên SC, SD. Kíhiệu
(,)dab
làkhoảngcáchgiữa2
đườngthẳngavàb.Khẳngđịnhnàosauđâyđúng?
A.
(,)dABSC BS
B.
(,)dABSC AK
C.
(,)dABSC AH
D.
(,)dABSC BC
Câu 22: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều. M, N lần lượt là trung
điểm AC và A'C'. G, G' lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và tam giác A'B'C'. Điểm cách đều
các đỉnh của hình lăng trụ là
A. trung điểm MN B. không tồn tại điểm cách đều các đỉnh của hình lăng trụ
C. trung điểm GG' D. trung điểm CC'
Câu 23: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại B, cạnh bên SA vuông góc với
đáy, I là trung điểm AC, H là hình chiếu của I lên SC. Gócgiữa2mặtphẳng(SBC)và(SAC)là:
A. góc
ASB B. góc
I
HB
C. góc
A
HB
D. góc
ACB
Câu 24: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại C,
()( )SAB ABC
, SA = SB , I
là trung điểm AB. Khẳngđịnhnàosauđâysai?
A.
()SI ABC
B.
()
I
CSAB
C.

SAC SBC D.
()SA ABC
Câu 25: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C ,
()( )SAB ABC
, SA = SB
, I là trung điểm AB. Điểm cách đều các đỉnh của hình chóp nằm trên đường thẳng nào sau đây
A. đường thẳng SI
B. đường thẳng d // SI, d đi qua M là trung điểm BC
C. đường thẳng SC
D. đường thẳng d // SI, d đi qua G là trọng tâm tam giác ABC.
Câu 26: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại B, cạnh bên SA vuông góc với
đáy, M là trung điểm BC, J là hình chiếu của A lên BC. Gócgiữa2mặtphẳng(SBC)và(ABC)là:
A. góc
SBA B. góc
SJA C. góc
SMA D. góc
SCA
Câu 27: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều, I là trung điểm AB. Kí
hiệu
(',)dAABC
làkhoảngcáchgiữa2đườngthẳngAA'vàBC.Khẳngđịnhnàosauđâyđúng?
A.
(',)dAABC AB
B.
(',)dAABC IC
C.
(',) 'dAABC AB
D.
(',)dAABC AC
Câu 28: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B, I là trung
điểm AB. Khẳngđịnhnàosauđâyđúng?
A.
()(')
A
BC B AC
B.
(' ) (' )
A
IC A AB
C.
(' ) (' )
A
BC A AB
D.
(' ) (' )
A
BC A AC
Câu 29: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I, cạnh bên SA vuông góc với
đáy. Gócgiữa2mặtphẳng(SBD)và(ABC)là:
A. góc
SIA B. góc
SBA C. góc
SIC D. góc
SDA
Câu 30: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A, M là trung điểm AB, N là
trung điểm AC,
()()SMC ABC
,
()( )SBN ABC
, G là trọng tâm tam giác ABC, I là trung
điểm BC. Khẳngđịnhnàosauđâyđúng?
A.
()SI ABC
B.
()SG ABC
C.
()
I
ASBC
D.
()SA ABC
Câu 31: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều có trọng tâm G, cạnh bên SA vuông
TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG THÁI BÌNH NHÓM TOÁN
62
góc với đáy, I là trung điểm AC, dựng hình chữ nhật SAGN. Điểm cách đều các đỉnh của hình
chóp là
A. trung điểm SC B. không tồn tại điểm cách đều các đỉnh
của hình chóp
C. trung điểm SB D. trung điểm GN
Câu 32: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A, cạnh bên SA vuông góc với
đáy, M là trung điểm BC, J là trung điểm BM. Kíhiệu
(,( ))dA SBC
làkhoảngcáchgiữađiểmA
vàmặtphẳng
()SBC
.Khẳngđịnhnàosauđâyđúng?
A.
(,( ))dA SBC AK
vớiKlàhìnhchiếucủaAlênSC
B.
(,( ))dA SBC AK
vớiKlàhìnhchiếucủaAlênSJ
C.
(,( ))dA SBC AK
vớiKlàhìnhchiếucủaAlênSB
D.
(,( ))dA SBC AK
vớiKlàhìnhchiếucủaAlênSM
Câu 33: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A,
()( )SAB ABC
, SA =
SB , I là trung điểm AB. Khẳngđịnhnàosauđâysai?
A.
()
I
CSAB
B.
()SI ABC
C.
()
A
CSAB
D.
()
A
BSAC
Câu 34: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh bên SA vuông
góc với đáy, I là trung điểm AC, M là trung điểm BC, H là hình chiếu của I lên SC. Kíhiệu
(,)dab
làkhoảngcáchgiữa2đườngthẳngavàb.Khẳngđịnhnàosauđâyđúng?
A.
(, )dBISC IH
B.
(, )dSABC AB
C.
(, )dSABC AM
D.
(, )dSBAC BI
Câu 35: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B. M, N lần
lượt là trung điểm AC và A'C'. G, G' lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và tam giác A'B'C'.
Điểm cách đều các đỉnh của hình lăng trụ là
A. trung điểm MN B. trung điểm GG'
C. không tồn tại điểm cách đều các đỉnh của hình lăng trụ D. trung điểm CC'
Câu 36: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I, cạnh bên SA vuông góc với
đáy, H,K lần lượt là hình chiếu của A lên SI, SD. Kíhiệu
(,( ))dA SBD
làkhoảngcáchgiữađiểm
Avàmặtphẳng
()SBD
.Khẳngđịnhnàosauđâyđúng?
A.
(,( ))dA SBD AH
B.
(,( ))dA SBD AI
C.
(,( ))dA SBD AK
D.
(,( ))dA SBD AD
Câu 37: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B, I là trung
điểm AB. Kíhiệu
(,'')dABBC
làkhoảngcáchgiữa2đườngthẳngABvàB'C'.Khẳngđịnhnào
sauđâyđúng?
A.
(,'')AB'dABBC
B.
(,'')BC'dABBC
C.
(,'')AA'dABBC
D.
(,'')AC'dABBC
Câu 38: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm I, cạnh bên SA vuông góc
với đáy. H,K lần lượt là hình chiếu của A lên SC, SD. Khẳngđịnhnàosauđâyđúng?
A.
()
B
DSAC
B.
()
A
KSCD
C.
()
B
CSAC
D.
()
A
HSCD
Câu 39: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm I, cạnh bên SA vuông góc
với đáy. H,K lần lượt là hình chiếu của A lên SC, SD. Khẳngđịnhnàosauđâyđúng?
A.
()()SAC SCD
B.
()()SAC SBD
C.
()()SAC SBC
D.
()( )SCD AKC
TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG THÁI BÌNH NHÓM TOÁN
62
Câu 40: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều, I là trung điểm AB.
Khẳngđịnhnàosauđâyđúng?
A.
(' ) (' )
A
IC A AB
B.
()(')
A
BC B AC
C.
(' ) (' )
A
BC A AB
D.
(' ) (' )
A
BC A AC
Câu 41: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại C,
()( )SAB ABC
, SA = SB , I
là trung điểm AB. GócgiữađườngthẳngSCvàmặtphẳng(ABC)là:
A. góc
SCI B. góc
SCA C. góc
I
SC D. góc
SCB
Câu 42: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A, M là trung điểm AB, N là
trung điểm AC,
()()SMC ABC
,
()( )SBN ABC
, G là trọng tâm tam giác ABC, I là trung
điểm BC. Khẳngđịnhnàosauđâyđúng?
A.
()
A
BSMC
B.
()
I
ASBC
C.
()
B
CSAI
D.
()
A
CSBN
Câu 43: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, cạnh bên SA vuông góc
với đáy, M là trung điểm BC, dựng hình chữ nhật SAMN. Điểm cách đều các đỉnh của hình chóp
là
A. trung điểm SC B. không tồn tại điểm cách đều các đỉnh của hình chóp
C. trung điểm SB D. trung điểm MN
Câu 44: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại B, cạnh bên SA vuông góc với
đáy, I là trung điểm AC, H là hình chiếu của I lên SC. Kíhiệu
(,)dab
làkhoảngcáchgiữa2
đườngthẳngavàb.Khẳngđịnhnàosauđâyđúng?
A.
(, )dSABC AB
B.
(, )dSBAC IH
C.
(, )dBISC IH
D.
(, )dSBAC BI
Câu 45: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại B, cạnh bên SA vuông góc với
đáy, I là trung điểm AC, H là hình chiếu của I lên SC. Khẳngđịnhnàosauđâyđúng?
A.
()()
B
IH SBC
B.
()()SAC SAB
C.
()()SBC SAB
D.
()()SAC SBC
Câu 46: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và
nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính theo a khoảng cách từ điểm A đến mặt
phẳng (SCD) được kết quả
A.
3
7
a
B.
3
5
a
C.
3a
D.
3
7
a
Câu 47: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm I, cạnh bên SA vuông góc
với đáy. H,K lần lượt là hình chiếu của A lên SC, SD. KN//CD, N thuộc SC. Gócgiữa2mặt
phẳng(SCD)và(SAD)là:
A. góc
AKN B. góc
A
KH
C. góc
ADC D. góc
ASC
Câu 48: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A, M là trung điểm AB, N là
trung điểm AC, SB = AB,
()()SMC ABC
,
()( )SBN ABC
, G là trọng tâm tam giác ABC, I,K
lần lượt là trung điểm BC, SA. Kíhiệu
(,)dab
làkhoảngcáchgiữa2đườngthẳngavàb.Khẳng
địnhnàosauđâyđúng?
A.
(, )dSABC IA
B.
(, )dSAMI IK
C.
(, )dSABC IK
D.
(, )dSABC IS
Câu 49: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt phẳng (SAB) vuông
góc với mặt phẳng đáy, SA=SB, góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng 45
0
. Tính theo
a khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng (ABCD) được kết quả
TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG THÁI BÌNH NHÓM TOÁN
62
A.
3
2
a
B.
5
2
a
C.
2
a
D.
2
2
a
Câu 50: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, mặt bên SBC là tam
giác đều cạnh a và mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt đáy. Tính theo a khoảng cách giữa hai
đường thẳng SA, BC được kết quả
A.
3
4
a
B.
3
2
a
C.
5
2
a
D.
2
2
a
Câu 51: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AB = a, góc giữa hai mặt phẳng
(A’BC) và (ABC) bằng 60
0
. Tính theo a khoảng cách giữa hai mặt phẳng (ABC) và (A’B’C’)
được kết quả
A.
3
2
a
B.
2
a
C.
3
2
a
D.
5
2
a
Câu 52: Cho lăng trụ ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
có đáy ABCD là hình chữ nhật. AB = a, AD = 3a .
Hình chiếu vuông góc của điểm A
1
trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm AC và BD. Góc
giữa hai mặt phẳng (ADD
1
A
1
) và (ABCD) bằng 60
0
. Tính khoảng cách từ điểm B
1
đến mặt
phẳng (A
1
BD) theo a được kết quả
A.
2
2
a
B.
3
2
a
C.
2
a
D.
5
2
a
Câu 53: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với
đáy,
0
120BAD , M là trung điểm cạnh BC và
0
45SMA . Tính theo a khoảng cách từ D đến
mặt phẳng (SBC) được kết quả
A.
6
2
a
B.
6
4
a
C.
5
4
a
D.
3
4
a
Câu 54: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều,
()( )SAB ABC
, SA = SB , I là
trung điểm AB. Điểm cách đều các đỉnh của hình chóp thuộc đường thẳng nào
A. đường thẳng d // SI, d đi qua M là trung điểm BC
B. đường thẳng d // SI, d đi qua G là trọng tâm tam giác ABC.
C. đường thẳng SB
D. đường thẳng SC
Câu 55: Cho hình lăng trụ ABC.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, AA = 2a và đường
thẳng AA
tạo với mặt phẳng (ABC) một góc bằng 60
0
. Tính theo a khoảng cách từ D đến mặt
phẳng (SBC) được kết quả
A.
2a
B.
3a
C. 3a D. 5a
Câu 56: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại C,
()( )SAB ABC
, SA = SB =
AC , I là trung điểm SC, K là trung điểm SI . Gócgiữa2mặtphẳng(SAC)và(SBC)là:
A. góc
ASB B. góc
A
KB
C. góc
ACB D. góc
A
IB
Câu 57: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = a, SA vuông góc
với mặt phẳng (ABC), góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 30
0
. Gọi M là trung điểm
của cạnh SC.Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SAB) theo a bằng
TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG THÁI BÌNH NHÓM TOÁN
62
A.
1
3
a
B.
1
4
a
C.
a
D.
1
2
a
Câu 58: Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, AB= a
2
; SA = SB
= SC. Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC) bằng 60
0
. Tính theo a khoảng cách từ
điểm S đến mặt phẳng (ABC) được kết quả
A.
3
3
a
B.
2a
C. 3a D.
2
2
a
Câu 59: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I, cạnh bên SA vuông góc với
đáy, H,K lần lượt là hình chiếu của A lên SI, SD. M,N lần lượt là trung điểm của SB,AD. Kíhiệu
(,)dMNSI
làkhoảngcáchgiữa2đườngthẳngMNvàSI.Khẳngđịnhnàosauđâyđúng?
A.
1
(,)
2
dMNSI AK
B.
1
(,)
2
dMNSI AI
C.
1
(,)
2
dMNSI AB
D.
1
(,)
2
dMNSI AH
Câu 60: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A,
()( )SAB ABC
, SA = SB
, I là trung điểm AB. Điểm cách đều các đỉnh của hình chóp thuộc đường thẳng nào
A. đường thẳng d // SI, d đi qua G là trọng tâm tam giác ABC.
B. đường thẳng SB
C. đường thẳng d // SI, d đi qua M là trung điểm BC
D. đường thẳng SC
DẠNG 2: KHOẢNG CÁCH
Câu 1.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA (ABCD) và
SA = 2a. Tính khoảng cách từ điểm B đến mp (SAC).
A.
2
a
B.
2
3
a
C.
2
4
a
D.
a 2
2
Câu 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, ()SA ABCD và
6SA a
. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD).
A.
a 78
13
B.
78
12
a
C.
78
10
a
D.
78
15
a
Câu 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác
đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính theo a khoảng cách từ
điểm A đến mặt phẳng (SCD) được kết quả
A.
3
7
a
B.
3
5
a
C.
3a
D.
3
7
a
Câu 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O,cạnh bằng a. Cho biết hai
mặt bên (SAB), (SAD) cùng vuông góc với đáy (ABCD) và
2SA a
TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG THÁI BÌNH NHÓM TOÁN
62
Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD) bằng:
A.
10
5
a
B.
5
5
a
C.
2
3
a
D.
10
15
a
Câu 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật
()SA ABCD
. Cho AC
= 5a , AB = 4a , SA = a
3 . Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SCD)
A.
3
4
a
B.
2
3
a
C.
2
a
D.
3
2
a
Câu 6.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với
A
Ba
,
2
A
Da
,
()SA ABCD
và
SA a
. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBN).
A.
33
33
a
B.
233
33
a
C.
433
33
a
D.
33
11
a
Câu 7.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật.
AB a 2
, BC = a,
SB a 2
SB
(ABCD). Gọi H, K là hình chiếu của B trên SA, SC. Tính khoảng cách từ
H đến mp(SBD).
A.
a6
6
B.
6
4
a
C.
6
3
a
D.
6
2
a
Câu 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD =
a 3
,
SD=
a 7 và SA
(ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB. Tính
khoảng cách từ S đến mặt phẳng (MND).
A.
2
2
a
B.
3
3
a
C.
3
4
a
D.
a 3
2
Câu9. Cho hı
nh cho
p S.ABCD vơ
i ABCD la
hı
nh vuông ca
nh a, SA vuông go
c vơ
i mă
t
(ABCD) va
SA=
3
3
a
Tı
nh khoa
ng ca
ch giư
a hai đươ
ng che
o nhau AB va
SD
A.
3
a
B.
5
a
C.
4
a
D.
2
a
Câu 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông góc
với mặt phẳng (ABCD),
3SA a
. Tính theoa khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và
AC.
A.
21
7
a
B.
21
3
a
C.
21
21
a
D.
21
2
a
Câu 11.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a tâm O,SA=a và SA
vuông góc với đáy . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AD là :
A.
2
2
a
B.
3
4
a
C.
2
3
a
D.
3
2
a
TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG THÁI BÌNH NHÓM TOÁN
62
Câu 12.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a tâm O,SA=a và SA
vuông góc với đáy . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD là :
A.
2
2
a
B.
3
4
a
C.
2
3
a
D. a
Câu 13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD =
a 3
,
SD=
a 7
và SA
(ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB. Tính
khoảng cách từ S đến mặt phẳng (MND).
A.
2
2
a
B.
3
3
a
C.
3
4
a
D.
a 3
2
Câu 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, SA = a 3 và SA
vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính khoảng cách giữa đường thẳng AD và mặt
phẳng (SBC).
A.
3
3
a
B.
a3
2
C.
3
4
a
D.
3a
Câu 15.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi . Biết rằng tứ diện SABD là
tứ diện đều cạnh a . Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC là :
A.
3
4
a
B.
33
4
a
C.
3
2
a
D.
73
2
a
Câu 16.Cho hình chóp S.ABCD , đáy là hình thang vuông tại A và B với AB= BC = a ,
AD = 2a , SA (ABCD) và SA = a . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD là :
A.
3
4
a
B.
33
4
a
C.
3
3
a
D.
3
2
a
Câu 17.Cho hình chóp S.ABCD , đáy là hình thang vuông tại A và B với AB= BC = a ,
AD = 2a , SA (ABCD) và SA = a . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SD là :
A.
2
6
a
B.
6
3
a
C.
2
9
a
D.
3
3
a
Câu 18.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA =
3a và SA vuông
góc với mặt phẳng đáy. Tìm khoảng cách từ điểm A đến (SBD).
A.
21
3
a
B.
21
21
a
C.
7
21
a
D.
7
a
TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG THÁI BÌNH NHÓM TOÁN
62
| 1/86
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG NHÓM TOÁN
CHUYÊN ĐỀ 1: LƯỢNG GIÁC
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Phương trình lượng giác cơ bản
1, Cosx = Cos
3, Tanx = Tan
x    k  2  x =   k ( k Z )   ( k Z )
x    k  2 Đặc biệt: Đặc biệt:
Tanx = 0 x   k   Cosx = 0  x =   k  2
Tanx không xác định khi x   k 2
Cosx = 1  x = k2 (Cosx=0)
Cosx = 1  x =   k  2
4, Cotgx = Cotg
2, Sinx = Sin  x =   k ( k Z )  Đặc biệt:
x    k  2   ( k Z )
x     k  2 
Cotgx = 0 x   k 2 Đặc biệt:
Cotgx không xác định khi:
Sinx = 0  x =  k x =  k ( Sinx=0)   Sinx = 1  x =  k  2 2 
Sinx = 1  x    k  2 2
2. Công thức lượng giác cơ bản 1. Sin2x + Cos2x = 1 Tan2 x 13. Sin2x = 1 Tan2 x 1 2.
 1 Tan2 x 1 Cos2x Cos 2 x 14. Tan2x = 1 Cos2x 1 3.
 1 Cotg 2 x 1 Sin2 x
CosxCosy= Cos(x y)  Cos(x y) 2 4. Cotgx.Tanx = 1 1
SinxCosy = Sin(x y)  Sin(x y) 2
5. Sin2x = (1–Cosx)(1+Cosx) 1
SinxSiny=  Cos(x y)  Cos(x y) 2 1 6.
 1 Tan2 x Cos 2 xx y   x y
Sinx + Siny = 2Sin  Cos 
7. Sin(a b) = SinaCosb CosaSinb    2   2  1 TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG NHÓM TOÁN x y   x y
Sinx – Siny = 2Cos  Sin   2   2 
8. Cos(a b) = CosaCosb SinaSinb    x y   x y
Cosx + Cosy = 2Cos  Cos  9. Sin2x = 2SinxCosx  2   2 
10. Cos2x = Cos2x – Sin2x = 2Cos2x - x y   x y 1
Cosx – Cosy = – 2Sin  Sin   2   2  = 1 – 2Sin2x 1 11.
 1 Cotg 2 x Sin2 x
12. Sin2x = (1–Cosx)(1+Cosx)
3. Cách giải một số phương trình lượng giác thường gặp
a) Phương trình bậc 2 đối với một hàm số lượng giác
Dạng at2 + bt + c = 0 ( với t = một trong 4 hàm sinx , cosx, tanx, cotx)
Giải pt bậc 2 tìm t thuộc 1; 1
b) Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx Dạng asinx + bcosx = c
- Nếu a2 + b2 < c2 thì phương trình vô nghiệm
- Nếu a2 + b2 c2 thì chia cả 2 vế cho √
Biến đổi phương trình về sin(x + ) =
với à ó ó √ √
c) Phương trình đẳng cấp bậc 2
Dạng asin2x + bsinxcosx + ccos2x + d = 0
TH1: cosx = 0 thay vào pt xem có thỏa mãn không TH2: cosx 0 ↔ 2
Chia cả 2 vế cho cos2x đưa phương trình về theo tanx rồi giải tiếp.
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP I. TRẮC NGHIỆM
DẠNG 1: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC x
Câu 1:Tập xác định của hàm số y  sin x 1 là : A D R\ 1 B. D   1  ; C. D   ;   
1  0; D. D= R x 1
Câu 2:Tập xác định của hàm số y  cos là : x A. D   1
 ;0 B. D R\ 0 C. D   ;    1  0;
D. D  0;
Câu 3:Tập xác định của hàm số 2
y  cosx 1 1 cos x là : 2 TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG NHÓM TOÁN A. D R\ π kπ|k ∈ R B. D    0 C. D R\ kπ|k ∈ R D. 2 | ∈ Câu 4: Tập \ | ∈
là tập xác định của hàm số nào sau đây?
A. y  tanx B. y  cotx C. y  cot2x D. y  tan2x  π 
Câu 5: Tập xác định của hàm số y  cot x   là : 3    A. D R\ π k2π|k ∈ R B. D R\ π kπ|k ∈ R C. D R\ π kπ|k ∈ R D. D R\ π k2π|k ∈ R
Câu 6:Xét hàm số y = sinx trên đoạnπ;0 .Câu khẳng định nào sau đây là đúng ?  π   π 
A.Trên các khoảng π;   ;  ;0 
 hàm số luôn đồng biến. 2     2  B.Trên khoảng  π     π;  
hàm số đồng biến và trên khoảng π
 ;0 hàm số nghịch biến. 2       2  C. Trên khoảng  π     π;  
hàm số nghịch biến và trên khoảng π
 ;0 hàm số đồng biến. 2       2 
D.Trên các khoảng  π     π;   ; π
 ;0 hàm số luôn nghịch biến. 2       2 
Câu 9:Xét hàm số y = tanx trên khoảng  π π   ; 
.Câu khẳng định nào sau đây là đúng ? 2 2   
A.Trên khoảng  π π   ; 
hàm số luôn đồng biến. 2 2   
B.Trên khoảng  π     ;0 
hàm số đồng biến và trên khoảng π 0;
hàm số nghịch biến. 2       2 
C.Trên khoảng  π     ;0 
hàm số nghịch biến và trên khoảng π 0;
hàm số đồng biến. 2       2 
D. Trên khoảng  π π   ; 
hàm số luôn nghịch biến. 2 2   
Câu 10: Chọn khẳng định sai về tính chẵn lẻ của hàm số trong các khẳng định sau.
A.Hàm số y = sinx là hàm số lẻ.
B.Hàm số y = cosx là hàm số chẵn
C. Hàm số y = tanx là hàm số chẵn
D.Hàm số y = cotx là hàm số lẻ
Câu 11:Trong các hàm số sau đâu là hàm số chẵn ?
A. y = sin2x B. y =3 sinx + 1
C. y = sinx + cosx D. y = cos2x 3 TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG NHÓM TOÁN
Câu 12: Hàm số y = sin2x tuần hoàn với chu kì : A. 2π B. π C. π D. π 2 4 Câu 13: Hàm số x y = cos tuần hoàn với chu kì : 3 A. 2π B. π C. 6π D. 3π 3 Câu 14: Hàm số 2
y = sin x tuần hoàn với chu kì : A. 2π B. π C. π D. 4π 2
DẠNG 2 : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Câu 1. Nghiệm của phương trình cosx = 1 là:  
A. x kB. x   k2
C. x k2 D. x   k 2 2 1
Câu 2. Nghiệm của phương trình sinx = là: 2    A. x   k2 B. x   k
C. x kD. x   k2 3 6 6 1
Câu 3. Nghiệm của phương trình cosx = – là: 2   2  A. x    k2 B. x    k2 C. x  
k2 D. x    k 3 6 3 6 1
Câu 4. Nghiệm của phương trình cos2x = là: 2      A. x    k2 B. x   k C. x  
k2 D. x    k2 2 4 2 3 4
Câu 5. Nghiệm của phương trình sin3x = cosx là:     A. x
k ; x   k
B. x k2 ; x   k2 8 2 4 2  
C. x k  ; x   k
`D. x k ; x k 4 2  
Câu 6. Nghiệm của phương trình sin2x + sinx = 0 thỏa điều kiện:  < x < 2 2   A. x  0 B. x   C. x = D. x  3 2 
Câu 7. Nghiệm của phương trình 2sin(4x – ) – 1 = 0 là: 3   7   A. x   k ; x   k
B. x k2 ; x   k2 8 2 24 2 2 
C. x k ; x    k2
D. x    k 2 ; x k 2
Câu 8. Nghiệm của phương trình cosx + sinx = 1 là: 4 TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG NHÓM TOÁN  
A. x k2 ; x   k2
B. x k ; x    k2 2 2   C. x
k ; x k2 D. x
k ; x k 6 4
Câu 9. Nghiêm của phương trình sinx.cosx.cos2x = 0 là:   
A. x k
B. x k.
C. x k.
D. x k. 2 8 4
DẠNG 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
Câu 1: Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y  3sin 2x  5 lần lượt là: A. 8 à v  2 B. 2 à v 8 C. 5 và 2 D. 5 à v 3 
Câu 2: Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y  7  2cos(x  ) lần lượt là: 4 A. 2 à v 7 B. 2 à v 2 C. 5 và 9 D. 4 à v 7
Câu 3: Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y  4 sin x  3 1 lần lượt là: A. 2 à v 2 B. 2 à v 4 C. 4 2 à v 8 D. 4 2 1 à v 7
Câu 4: Giá trị nhỏ nhất của hàm số 2
y  sin x  4sin x  5 là: A. 20  B. 9  C. 0 D. – 8
Câu 5: Giá trị lớn nhất của hàm số 2
y  1 2 cos x  cos x là: A. 2 B. 5 C. 0 D. 3
Câu 6. GTNN và GTLN của hàm số y = 5cos2x – 12sin2x + 4 bằng: A. – 9 và 17 B. 4 và 15 C. – 10 và 14 D. – 4 và 8
Câu 7. Tìm GTLN và GTNN của hàm số y  2sin x  cos x2cos x  sin x. 5 5 7 7 1 1 A. và  B. và  C. và  D. 5 và 1 2 2 2 2 2 2
Câu8: Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y  3sin 2x  5 lần lượt là: A. 8 à v  2 B. 2 à v 8 C. 5 và 2 D. 5 à v 3 
Câu 9: Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y  7  2cos(x  ) lần lượt là: 4 A. 2 và 7 B. 2 và 2 C. 5 và 9 D. 4 và 7
Câu 10: Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y  4 sin x  3 1 lần lượt là: 5 TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG NHÓM TOÁN A. 2 à v 2 B. 2 à v 4 C. 4 2 à v 8 D. 4 2 1 à v 7
Câu 11: Giá trị nhỏ nhất của hàm số 2
y  sin x  4sin x  2 là: A. 20  B. 1  C. 0 D. 9
Câu 12: Giá trị lớn nhất của hàm số 2
y  4  2cos x  cos x là: A. 2 B. 5 C. 0 D. 3 6 TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG NHÓM TOÁN II. TỰ LUẬN
GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH SAU
Bài 1: a) 2sin2x + 5cosx + 1 = 0 e) 5cos2x + 22sinx – 17 = 0
b) 3 – 4cos2x = 2sin2x + sinx f) cos2x – 3cosx = 4cos2 c) 2cos4x + 3sin2x – 2 = 0 g) 5tanx – 2cotx – 3 = 0 d) 4sin4x + 12cos2x – 7 = 0
Bài 2: a) sinx + √3cosx = 1
d) √3cosx – sinx = 4sinx.cosx- b)√3cos3x – sin3x = √2
e) cos7x – sin5x = √3(cos5x – sin7x) c) sin3x - √3cos3x = 2sinx
Bài 3: a) 6sin2x + 7√3sin2x – 8cos2x = 6
b) 2cos2x + 2sin2x – 4sin2x = 1 c)sinx – 4sin3x + cosx = 0
Bài 4: a) cos2x – cosx – 3 sinx – 2 = 0 e) 2sin22x + sin6x = 2cos2x b) cos2x + 3cosx + 2 = sinx f) 2sin3x + cos2x + cosx = 0
c) sin2x + 2cos2x = 1 + sinx – 4cosx
g) (sinx – cosx + 1)(2sinx – cosx) = sin2x
d) 2sin2x – cos2x = 7sinx + 2cosx – 4 7 TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG NHÓM TOÁN
CHUYÊN ĐỀ 2: TỔ HỢP – XÁC SUẤT – NHỊ THỨC NIU TƠN A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ I. QUI TẮC ĐẾM .
1. Quy tắc cộng: Giả sử công việc có thể tiến hành theo một trong hai phương án A và B. Phương án A có thể
thực hiện bởi n cách; phương án B có thể thực hiện bởi m cách. Khi đó, công việc được thực hiện theo n + m cách.
2. Quy tắc nhân: Giả sử công việc bao gồm hai công đoạn A và B. Công đoạn A có thể thực hiện bởi n cách;
công đoạn B có thể thực hiện bởi m cách. Khi đó, công việc được thực hiện bởi n.m cách. 3. Giai thừa 0! =1; n!=1.2.3…n Tính chất: n!=n(n-1)!
II. HOÁN VỊ – CHỈNH HỢP – TỔ HỢP 1. Hoán vị:
a. Định nghĩa: Cho tập A có n phần tử. Mỗi sự sắp xếp của n phần tử đó theo một thứ tự định trước là một
phép hoán vị các phần tử của tập A.
b. Định lý: Số phép hoán vị của tập hợp có n phần tử , kí hiệu Pn là: Pn = n! = 1.2.3…n
2. Chỉnh hợp:
a. Định nghĩa: Cho tập hợp A có n phần tử. Xét số ∈ mà 1  k  n . Khi lấy ra k phần tử trong số n phần tử
rồi đem sắp xếp k phần tử đó theo một thứ tự định trước, ta được một phép chỉnh hợp chập k của n phần tử.
b. Định lý: Số phép chỉnh hợp chập k của n phần tử, kí hiệu n! k A là: k
A  n. n 1 ... n  k 1  . n     n n  k! 3. Tổ hợp:
a. Định nghĩa: Cho tập hợp A có n phần tử và số ∈ mà 1  k  n . Một tập hợp con của A có k phần tử được
gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử. n! n n 1 ... n  k 1 k    
b. Định lý: Số tổ hợp chập k của n phần tử, kí hiệu k C là: C   n n  k! n  k! k!
c. Hai tính chất cơ bản của tổ hợp: * Cho a, k : k n k C  C  0  k  n n n   k k k 1 C  C C  1 k  n n 1  n n   8 TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG NHÓM TOÁN
III. KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NEWTON a  n n k n k  k b  C  a b n k 0  0 n 1 n 1  k n k  k n n C a C  a b .  C  a b .  C  b n n n n Nhận xét:
– Trong khai triển nhị thức Newton có n + 1 số hạng.
– Trong một số hạng thì tổng số mũ của a và b bằng n.
– Các hệ số của khai triểu nhị thức cách đếu số hạng đầu và cuối thì bằng nhau.
– Số hạng tổng quát thứ k + 1 kí hiệu Tk+1 thì: k n k k T  C a b k 1 n – 0 1 2 n n
C  C  C  ...  C  2 n n n n
– C  C  C  C ...  k 1 C  ...   n 0 1 2 3 k n 1 C  0 n n n n n n Chú ý: – a  b n n k n k k
 C a b là khai triển theo số mũ của a giảm dần. n k 0 – a  b n n k k n k
 C a b  là khai triển theo số mũ của a tăng dần. n k 0 IV.XÁC SUẤT 1. Khái niệm:
Không gian mẫu Ω là tập hợp tất cả kết quả có thể xảy ra của một phép thử.
Biến cố A là tập hợp con của Ω
Hai biến cố xung khắc nếu giao của chúng là tập rỗng
Hai biến cố là độc lập nếu sự xảy ra biến cố này không ảnh hưởng đến sự xảy ra biến cố kia. n(A)
Xác suất của biến cố A là P(A) = n(Ω)
Trong đó n(A) là số phần tử của A, n(Ω) là số phần tử của Ω. 2. Tính chất: 0 ≤ P(A) ≤ 1
P(A ∩ B) = P(A) P(B) nếu 2 biến cố A, B độc lập nhau. B. PHẦN BÀI TẬP I. Trắc nghiệm
Dạng 1: Bài toán về quy tắc đếm
Phương pháp giải: Cần phân biệt công việc phải làm được tiến hành theo phương án A hoặc B để chọn quy
tắc cộng, hoặc bao gồm công đoạn A và B để chọn quy tắc nhân.
BÀI 1 : Bạn X vào siêu thị để mua một áo sơ mi, theo cỡ 40 hoặc 41. Cỡ 40 có 3 màu khác nhau, cỡ 41 có 4
màu khác nhau. Hỏi X có bao nhiêu cách chọn? A. 4 B. 3 C. 7 D. 12
BÀI 2 : Cho tập A  0;1;2;3; 
4 . Có bao nhiêu số chẵn mà mỗi số gồm ba chữ số khác nhau chọn trong số các phần tử của A? A. 30 B. 18 C. 12 D. 60 9 TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG NHÓM TOÁN
BÀI 3 : Từ tập A  1,2,3,4 
,5 hỏi có thể lập được bao nhiêu số có 7 chữ số sao cho chữ số 1 xuất hiện 3 lần, còn
các chữ số khác xuất hiện một lần? A. 840 B. 800 C. 1000 D. 860
Dạng 2: Thực hiện phép hoán vị
Phương pháp giải:
Sử dụng phép xếp đặt của n phần tử có thứ tự: Pn = n! = 1.2.3…n
Thực hiện quy tắc cộng hoặc quy tắc nhân
BÀI 1 Bạn X mời hai bạn nam và ba bạn nữ dự tiệc sinh nhật. Bạn định xếp nam, nữ ngồi riêng trên các chiếc
ghế, xếp theo một hàng dài. Hỏi X có bao nhiêu cách xếp đặt? A. 120 B. 24 C. 6 D. 60
BÀI 2. Sắp xếp 5 người vào một băng ghế có 5 chỗ. Hỏi có bao nhiêu cách. A. 120 B. 24 C. 6 D. 60
Dạng 3: Thực hiện phép chỉnh hợp
Phương pháp giải: Phép xếp đặt có thứ tự của k phần tử trong n phần tử: n! k
A  n. n 1 ... n  k 1  n   
 nk!
BÀI 1: Trong mặt phẳng cho 7 điểm A, B, C, D, E, M, N khác nhau. Có bao nhiêu vectơ nối hai điểm trong các điểm đó? A. 120 B. 24 C. 42 D. 60
BÀI 2: Từ tập A  0,1,2,3,4, 
5 có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau? A. 120 B. 24 C. 6 D. 300
BÀI 3. Một ngày học 3 môn trong số 7 môn học. Hỏi có bao nhiêu cách xếp thời khoá biểu trong một ngày. A. 120 B. 210 C. 6 D. 60
Dạng 4: Thực hiện phép tổ hợp
Phương pháp giải: Phép xếp đặt không có thứ tự của k phần tử chọn trong n phần tử: n! k C  0 k  n n  k! nk   !
BÀI 1: Cho 7 điểm phân biệt không tồn tại ba điểm thẳng hàng. Từ 7 điểm trên có thể lập được bao nhiêu tam giác? A. 12 B. 24 C. 35 D. 60 10 TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG NHÓM TOÁN
BÀI 2. Có mấy cách rút 3 quân bài từ bộ bài 52 quân A. 1200 B. 2460 C. 4960 D. 5670
BÀI 3. Có mấy cách phân phối 15 sản phẩm cho 3 người sao cho người thứ nhất có hai sản phẩm, người thứ hai
có 3 sản phẩm, người thứ 3 có 10 sản phẩm. A. 9030097 B. ! C. 670598760 D. 20 ! ! ! k k
Dạng 5: Tìm ∈ ∗ trong phương trình chứa P , A , C n n n
Phương pháp giải: Dùng các công thức: P n! n  n! n! k 1 ; A   n n 1  ... nk  k 1  1kn ; C  0kn n n n    n k ! k !n    k !
BÀI 1: Tìm ∈ ∗, nếu có: 2Pn 3  A 1 . n   Pn 1 A. 3 B. 4 C. -5 D. 10 BÀI 2: Tìm * n   , nếu có: 3 3 6n  6  C  C . 2 n n 1    A. 3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 B. 4,5,6,7,8,9 C. 1,2,3,4,5,6 D. 10
Dạng 6: Tìm phần tử đặc biệt trong khai triển của (a + b)n.(Tìm số hạng chứa xk trong khai triển)
Phương pháp giải: Sử dụng công thức khai triển của nhị thức Newton: a  n n k n k  k 0 n 1 n 1  2 n 2  2 k n k  k n n b  C  a b Ca C  a b C  a b .  C  a b .  C  b n n n n n n
(khai triển theo lũy thừa của a tăng, b giảm) k 0 
(Chú ý: a  b n n k k n k
 C a b  khai triển theo lũy thừa của a giảm dần, b tăng dần) n k0
Cách 2: sử dụng số hạng tổng quát thứ k + 1 trong khai triển nhị thức Newton
Số hạng tổng quát hay số hạng thứ (k + 1) là k nk k T
 C a b , với 0 ≤ k ≤ n và k là số nguyên. k 1  n
BÀI 1: Tìm số hạng chứa x3 trong khai triển (11 + x)11. A. 11 B. 11 C. 11 D. 11 10
BÀI 2: Trong khai triển  3  3 2 x  
 , (x > 0), hãy tìm số hạng không chứa x.  x  A. 11 B. 2 3 C. 0 D. 2108
BÀI 3: Tìm hệ số của x8 trong khai triển      8 2 1 x 1 x    11 TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG NHÓM TOÁN A. 200 B. 300 C. 238 D. 234
BÀI 4: Cho khai triển: 1 2x10 2 10
 a  a x  a x  ..  a x , có các hệ số a ,a , a ,..,a . Tìm hệ số lớn nhất 0 1 2 10 0 1 2 10 A. 15360 B. 15600 C. 120980 D. đáp án khác
Dạng 7: Tìm tổng có chứa k C n
Phương pháp giải: Từ đề bài, ta liên kết với một nhị thức khai triển và cho x giá trị thích hợp, từ đó suy ra kết quả. k n 0 1 2 n 0 1 2 k n
BÀI 1: Tính tổng: S C C C ...
 C ; S C C C ...   1  C ...   1  C 1 n n n n 2 n n n   n   n
A. S1 = 2n , S2 = 0 B. S1 = 0, S2 = 2n C. S1 = 2n , S2 = 2n
D. đáp án khác
BÀI 2: Tính tổng: 0 2 4 2n 1 3 2n 1 S C C C ... C ; S C C ... C           3 2n 2n 2n 2n 4 2n 2n 2n A. S3 = 22n-1 , S4= 22n-1 C. S3 = 22n-1 , S4= 0 B. S3 = 0 , S4= 22n-1 D. S3 = 0 , S4= 0
BÀI 3: Tính tổng: T  C  2C  2 C  2 C  ...  2n 0 1 2 2 3 3 n C n n n n n A. 1 B. -1 C. (-1)n D. đáp án khác
Dạng 8: Tính xác suất Phương pháp giải:
Bước 1: mô tả không gian mẫu và tính
Bước 2: đặt tên biến cố A và tính
Bước 3: tính P(A) = II.
BÀI TẬP TỔNG HỢP
Câu 1. Từ thành phố A đến thành phố B có 3 con đường, từ thành phố B đến thành phố C có 2 con đường, từ
thành phố C đến thành phố D có 2 con đường, từ thành phố A đến C có 4 con đường. Không có con đường nào
nối trực tiếp thành phố B với D hoặc nối A đến D. Số đường đi khác nhau từ thành phố A đến D là A. 32 B. 20 C. 36 C. 48
Câu 2. Số các số tự nhiên nhỏ hơn 200000, chia hết cho 3, có thể được viết bởi các chữ số 0, 1, 2 là A. N = 162 B. N = 144 C. N = 216 D. N = 243
Câu 3. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được số các số gồm 3 chữ số là A. N = 250 B. N = 268 C. N = 294 D. N = 300 12 TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG NHÓM TOÁN
Câu 4. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được số các số gồm 5 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 2 là A. N = 1080 B. N = 1260 C. N = 1120 D. 1320
Câu 5. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được số các số gồm 6 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 5 là A. 1320 B. 1440 C. 1280 D. 2560
Câu 6. Có 20 đội bóng đá tham gia tranh cúp vô địch ngoại hạng Anh. Cứ 2 đội phải đấu với nhau 2 trận gồm
một trận lượt đi và một trận lượt về. Sau mỗi vòng thì mỗi đội đã đá thêm một trận. Số trận và số vòng lần lượt là A. 380 và 19 B. 380 và 38 C. 190 và 19 D. 190 và 38
Câu 7. Số palindrom là số mà nếu ta viết các chữ số theo thứ tự ngược lại thì giá trị của nó không thay đổi. Ví
dụ: 12521 là một số panlindrom. Có bao nhiêu số palindrom gồm 5 chữ số? A. N = 1800 B. N = 2400 C. N = 900 D. N = 1200
Câu 8. Một bó hoa gồm có 5 bông hồng trắng, 6 bông hồng đỏ và 7 bông hồng vàng. Hỏi có mấy cách chọn lấy
3 bông hoa gồm đủ ba màu? A. N = 120 B. N = 240 C. N = 320 D. N = 210
Câu 9. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được số các số có 3 chữ số đôi một khác nhau là A. N = 60 B. N = 30 C. N = 125 D. N = 25
Câu 10. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được số các số chẵn có 3 chữ số là A. N = 144 B. N = 105 C. N = 248 D. N = 168
Câu 11. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được số các số có hai chữ số mà cả hai chữ số đều chẵn là A. N = 20 B. N = 12 C. N = 16 D. N = 25
Câu 12. Số các số có 3 chữ số đôi một khác nhau chia hết cho cả 2 và 5 là A. N = 72 B. N = 36 C. N = 81 D. N = 90
Câu 13. Một người có 7 cái áo trong đó có 3 áo trắng và 5 cái cà vạt trong đó có 2 cà vạt màu vàng. Số cách
chọn một áo và một cà vạt sao cho đã chọn áo trắng thì không chọn cà vạt màu vàng là A. N = 35 B. N = 18 C. N = 29 D. N = 31
Câu 14. Cho tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 5}. Có bao nhiêu cặp sắp thứ tự (x, y) biết x và y đều thuộc A. A. N = 15 B. N = 20 C. N = 25 D. N = 10
Câu 15. Cho tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 5}. Có bao nhiêu cặp sắp thứ tự (x, y) thỏa mãn x và y thuộc A sao cho x + y = 6. A. N = 5 B. N = 6 C. N = 7 D. N = 8
Câu 16. Số các số có 2 chữ số mà chữ số đứng trước lớn hơn chữ số đứng sau là 13 TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG NHÓM TOÁN A. N = 50 B. N = 30 C. N = 65 D. N = 45
Câu 17. Từ 6 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được số các số lẻ gồm 2 chữ số là A. N = 15 B. N = 18 C. N = 36 D. N =30
Câu 18. Từ 6 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được số các số gồm 3 chữ số đôi một khác nhau không chia hết cho 5 là A. N = 108 B. N = 121 C. N = 100 D. N = 120
Câu 19. Từ 6 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được số các số có 3 chữ số mà tổng các chữ số bằng số chẵn là A. N = 108 B. N = 50 C. N = 100 D. N = 128
Câu 20. Từ 6 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được số các số có 2 chữ số khác nhau và chia hết cho 9 là A. N = 6 B. N = 12 C. N = 8 D. N = 4
Câu 21. Từ 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được số các số có 3 chữ số đôi một khác nhau và không chia hết cho 5 là A. N = 64 B. N = 30 C. N = 48 D. N = 120
Câu 22. Từ 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được số các số chẵn có 3 chữ số đôi một khác nhau và nhỏ hơn 300 là A. N = 40 B. N = 20 C. N = 24 D. N = 36
Câu 23. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được số các số có 3 chữ số đôi một khác nhau lớn hơn 300 và nhỏ hơn 500 là A. N = 32 B. N = 40 C. N = 26 D. N = 44
Câu 24. Số cách sắp xếp 4 viên bi đỏ có đánh dấu khác nhau và 4 viên bi đen có đánh dấu khác nhau xếp thành
một dãy sao cho các màu xen kẻ nhau là A. N = 1152 B. N = 1440 C. N = 1280 D. N = 1960 x! (x 1)! 1
Câu 26. Giải phương trình  (x 1)! 6 A. x = 1 V x = 4 B. x = 2 V x = 5 C. x = 2 V x = 3 D. x = 1 V x = 5 1 5(n 1)! n(n 1)!
Câu 27. Số các số tự nhiên n thỏa mãn [  ] ≤ 5 là
n  2 (n 1)(n  3)!4! 12(n  3)(n  4)!2! A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
Câu 28. Gọi X là tập hợp các số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5. Số
phần tử của X bắt đầu bằng chữ số 5 là A. N = 12 B. N = 24 C. N = 48 D. N = 20
Câu 29. Gọi X là tập hợp các số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5. Số
phần tử của X không bắt đầu bằng chữ số 1 là A. N = 45 B. N = 90 C. N = 60 D. N = 96 14 TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG NHÓM TOÁN
Câu 30. Gọi X là tập hợp các số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5. Số
phần tử của X không bắt đầu bằng 345 là A. N = 120 B. N = 116 C. N = 112 D. N = 118
Câu 31. Gọi X là tập hợp các số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4. Tìm tổng tất cả các số của X. A. 99990 B. 88880 C. 33330 D. 66660
Câu 32. Trên một kệ sách có 5 quyển sách Toán, 4 quyển sách Lí, 3 quyển sách Văn. Các quyển sách đều khác
nhau. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các quyển sách trên theo từng môn? A. 103680 B. 831600 C. 3326400 D. 1663200
Câu 33. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được số các số gồm 8 chữ số, trong đó chữ số 1 có mặt 3 lần,
mỗi chữ số khác có mặt đúng một lần là A. 5880 B. 3210 C. 1080 D. 4320
Câu 34. Số các số tự nhiên có 3 chữ số khác 0 và đôi một khác nhau, đồng thời tổng của 3 chữ số bằng 9 là A. N = 12 B. N = 24 C. N = 18 D. N = 20
Câu 35. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 thiết lập tất cả các số có 6 chữ số khác nhau. Trong các số đã thiết lập
được, số các số mà hai chữ số 1 và 6 không đứng cạnh nhau là A. N = 320 B. N = 360 C. N = 420 D. N = 480
Câu 36. Sắp xếp 7 người vào một dãy ghế 7 chổ ngồi. Số cách sắp xếp chỗ ngồi sao cho 4 người xác định của nhóm ngồi kề nhau là A. N = 576 B. N = 480 C. N = 360 D. N = 180
Câu 37. Sắp xếp 7 người vào một dãy ghế 7 chổ ngồi. Số cách sắp xếp chỗ ngồi sao cho có 2 người xác định
của nhóm không ngồi kề nhau là A. N = 1246 B. 3600 C. N = 1860 D. 3200
Câu 38. Sắp xếp 6 nam và 4 nữ vào một dãy ghế 10 chỗ ngồi. Số cách sắp xếp để nhóm nam ngồi kề nhau và
nhóm nữ ngồi kề nhau là A. 34560 B. 36540 C. 65430 D. 54360
Câu 39. Sắp xếp 6 nam và 4 nữ vào một dãy ghế 10 chỗ ngồi. Số cách sắp xếp để chỉ có nữ ngồi kề nhau là A. 192600 B. 129600 C. 120960 D. 160920
Câu 40. Có 3 viên bi đen khác nhau, 4 viên bi đỏ khác nhau, 5 viên bi vàng khác nhau. Số cách sắp xếp các viên
bi trên thành một dãy sao cho các viên bi cùng màu ở cạnh nhau là A. 106830 B. 34560 C. 43560 D. 103680
Câu 41. Từ 5 chữ số 1, 2, 3 có thể lập được số các số gồm 7 chữ số, trong đó chữ số 1 có mặt 3 lần, chữ số 2 có
mặt đúng 2 lần, chữ số 3 có mặt 2 lần là A. N = 120 B. N = 210 C. N = 320 D. N = 203 15 TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG NHÓM TOÁN
Câu 42. Số các số gồm 9 chữ số, trong đó có 5 chữ số 1 được xếp kề nhau và 4 chữ số còn lại gồm 2, 3, 4, 5 là A. N = 120 B. N = 210 C. N = 180 D. N = 810
Câu 43. Tìm số tự nhiên n thỏa 3 A = 20n n A. n = 5 B. n = 6 C. n = 10 D. n = 12
Câu 44. Tìm số tự nhiên n thỏa 3 2 A  5A = 2(n + 15) n n A. n = 2 B. n = 4 C. n = 3 D. n = 5
Câu 45. Tìm số tự nhiên n thỏa 2 2 A  3A = 42 2n n A. n = 10 B. n = 8 C. n = 6 D. n = 16
Câu 46. Tìm số nguyên dương n sao cho 2 2 2P  6A  P A = 12 n n n n A. n = 2 V n = 3 B. n = 3 V n = 4 C. n = 4 V n = 5 D. n = 2 V n = 4 4 A 143
Câu 47. Số các giá trị nguyên dương của n thỏa mãn n2  < 0 là P 4P n2 n 1  I. A. 36 B. 35 C. 33 D. 30
Câu 48. Số các số tự nhiên gồm 5 chữ số sao cho hai chữ số kề nhau phải khác nhau là A. 59049 B. 27126 C. 39366 D. 34020
Câu 49. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập số các số gồm 5 chữ số đôi một khác nhau và phải có mặt chữ số 5 là A. 1260 B. 1360 C. 1460 D. 1560
Câu 50. Số các số tự nhiên có 4 chữ số sao cho chữ số đầu và chữ số cuối giống nhau là A. N = 560 B. N = 540 C. N = 960 D. N = 900
Câu 51. Số các số tự nhiên có 4 chữ số sao cho chữ số đầu và chữ số cuối khác nhau là A. N = 1800 B. N = 6300 C. N = 5400 D. N = 8100
Câu 52. Số các số tự nhiên có 4 chữ số sao cho hai chữ số đầu giống nhau và hai chữ số cuối giống nhau là A. N = 100 B. N = 120 C. N = 90 D. N = 135
Câu 53. Một biển số xe gồm 2 chữ cái đứng trước và 4 chữ số đứng sau. Các chữ cái được lấy từ 26 chữ cái A,
B, C, …, Z. Các chữ số được lấy từ 10 chữ số 0, 1, 2, …, 9. Số biển số xe trong đó có hai chữ cái giống nhau và
4 số đôi một khác nhau và có ít nhất 2 số khác 0 là A. 127600 B. 130078 C. 172600 D. 110036
Câu 54. Một người muốn xếp đặt 6 pho tượng từ 8 pho tượng vào một dãy 6 chỗ trống trên một kệ trang trí. Số cách xếp đặt là A.20160 B. 21600 C. 26010 D. 26100 16 TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG NHÓM TOÁN
Câu 55. Cho tập hợp X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Có thể lập được số các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau đôi
một lấy từ X nếu một trong ba chữ số đầu tiên là chữ số 1 là A. N = 3000 B. N = 2280 C. N = 2160 D. N = 2620
Câu 56. Từ 5 chữ số 0, 1, 3, 6, 9 có thể lập được số các số có 4 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 3 là A. N = 12 B. N = 16 C. N = 18 D. N = 20
Câu 57. Số các số có 6 chữ số đôi một khác nhau sao cho có mặt số 0 và số 1 là A. 32500 B. 42000 C. 36000 D. 48200
Câu 58. Từ 8 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được số các số gồm 6 chữ số đôi một khác nhau trong đó có mặt chữ số 4 là A. 13250 B. 14400 C. 13320 D. 31240
Câu 59. Tính tổng của tất cả các số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau đôi một được tạo thành từ 6 chữ số 1, 3, 4, 5, 8, 9. A. 1999800 B. 1999000 C. 1899900 D. 1889900
Câu 60. Tính tổng của tất cả các số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau được tạo thành từ 5 chữ số 0, 1, 2, 3, 4. A. 299800 B. 259980 C. 299580 D. 289900
Câu 61. Số các số lẻ có 6 chữ số đôi một khác nhau nhỏ hơn 600000 là A. 30240 B. 33690 C. 36960 D. 39660 2 k n C C C
Câu 62. Kết quả rút gọn biểu thức A = 1 n n n C  2  ... k ... n là n 1 k 1  n 1 C C C  n n n A. n(n + 1)/2 B. n(n + 1) C. n(n + 2)/3 D. n(n – 1)/3 1 1 1
Câu 63. Giải phương trình   x x x C C C 4 5 6 A. x = 1 B. x = 2 C. x = 3 D. x = 4
Câu 64. Giải phương trình x4 2x 1  0 C  C 10x 10x A. x = 8 V x = 6 B. x = 10 V x = 8 C. x = 8 V x = 14 D. x = 6 V x = 14
Câu 65. Tìm số tự nhiên x thỏa 2 x2 A  C  101 x2 x A. x = 10 B. x = 12 C. x = 6 D. x = 8
Câu 67. Tìm số tự nhiên x thỏa x3 3 C  5A 8x x6 A. x = 8 V x = 16 B. x = 9 V x = 17 C. x = 17 D. x = 16 5
Câu 68. Số nghiệm của bất phương trình 4 3 2 C  C  A là n 1  n 1  n2 4 17 TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG NHÓM TOÁN A. 4 B. 5 C. 6 D. vô số
Câu 69. Giải phương trình x2 3 C  2C = 7(x – 1) x 1  x 1  A. x = 5 B. x = 4 C. x = 3 D. x = 7
Câu 70. Giải phương trình 5 x 5 A  336C  x x2 A. x = 7 B. x = 8 C. x = 9 D. x = 10
Câu 71. Số giá trị nguyên dương của n thỏa 4 3 2 4C  4C  5A là n 1  n 1  n2 A. 0 B. 6 C. 7 D. vô số
Câu 72. Số giá trị nguyên dương của x thỏa 2 2 2C  3A  30 là x 1  x A. 0 B. 2 C. 1 D. 4 y y 1 5C   6C 
Câu 73. Giải hệ phương trình x 1  x  y y 1 C  3C   x 1 x A. (x; y) = (9; 4) B. (x; y) = (9; 5) C. (x; y) = (8; 5) D. (x; y) = (8; 3) y y 2A  5C  90
Câu 74. Giải hệ phương trình x x  y y 5A  2C  80  x x
A. A. (x; y) = (5; 4) B. (x; y) = (6; 3) C. (x; y) = (6; 2) D. (x; y) = (5; 2)
Câu 75. Tìm số tự nhiên k sao cho k k 1  k2 C , C , C
lập thành một cấp số cộng. 14 14 14 A. k = 3 V k = 9 B. k = 4 V k = 8 C. k = 3 V k = 8 D. k = 4 V k = 9
Câu 76. Cho 20 câu hỏi, trong đó có 8 câu lý thuyết và 12 bài tập. Người ta cấu tạo thành các đề thi sao cho
trong mỗi đề thi phải gồm 5 câu hỏi, trong đó nhất thiết phải có ít nhất 2 câu lý thuyết và 2 bài tập. Hỏi có thể
tạo ra bao nhiêu đề thi? A. 8965 B. 8569 C. 9856 D. 9658
Câu 77. Một lớp học có 40 học sinh, trong đó gồm 25 nam và 15 nữ. Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn một ban
cán sự lớp gồm 4 em. Tính số cách chọn, nếu trong 4 người có ít nhất một em nam. A. 90025 B. 32500 C. 31500 D. 92500
Câu 78. Cho 5 điểm phân biệt và không có 3 điểm nào thẳng hàng. Số đoạn thẳng và số tam giác tạo thành từ 5
điểm đó lần lượt là A. 20 và 10 B. 10 và 10 C. 10 và 20 D. 20 và 20
Câu 79. Một túi chứa 6 viên bi trắng và 5 viên bi xanh. Lấy ra 4 viên bi từ túi, có bao nhiêu cách lấy được 4 viên bi cùng màu? A. 10 B. 15 C. 20 D. 25
Câu 80. Từ 20 người, chọn ra một đoàn đại biểu gồm 1 trưởng đoàn, 1 phó đoàn, 1 thư ký và 3 ủy viên. Số cách 18 TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG NHÓM TOÁN chọn là A. 4615200 B. 4561200 C. 4651200 D. 4156200
Câu 81. Từ 5 bông hồng vàng, 3 bông hồng trắng và 4 bông hồng đỏ, các bông hoa xem như đôi một khác
nhau, chọn ra một bó hoa gồm 7 bông, số cách chọn bó hoa trong đó có ít nhất 3 bông hồng vàng và ít nhất 3 bông hồng đỏ là A. N = 112 B. N = 150 C. N = 120 D. N = 115
Câu 82. Từ 8 số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được số các số gồm 10 chữ số, trong đó chữ số 6 có mặt đúng 3
lần, chữ số khác có mặt đúng một lần là A. 544320 B. 534420 C. 445320 D. 234540
Câu 83. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được số các số có 5 chữ số đôi một khác nhau sao cho có
đúng 3 chữ số chẵn và 2 chữ số lẻ là A. N = 3600 B. N = 2488 C. N = 2520 D. N = 2448
Câu 84. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau, trong đó có mặt chữ số 0 nhưng không có chữ số 1? A. 33600 B. 36300 C. 33060 D. 36030
Câu 85. Số các số tự nhiên gồm 7 chữ số, biết chữ số 2 có mặt đúng 2 lần, chữ số 3 có mặt đúng 3 lần và các
chữ số còn lại có mặt không quá một lần là A. 11360 B. 11640 C. 11340 D. 11520
Câu 86. Từ một tập thể gồm 6 nam và 8 nữ trong đó có An và Bình, người ta muốn chọn một tổ công tác gồm
có 6 người. Tìm số cách chọn nếu trong tổ có một tổ trưởng, 5 tổ viên hơn nữa An và Bình không đồng thời có mặt trong tổ. A. 2974 B. 15048 C. 14320 D. 9744
Câu 87. Trong nhóm 16 học sinh có 3 học sinh giỏi, 5 khá, 8 trung bình. Số cách chia thành hai tổ, mỗi tổ 8 học
sinh sao cho mỗi tổ đều có học sinh giỏi và ít nhất 2 học sinh khá là A. 2560 B. 3210 C. 3780 D. 4420
Câu 88. Trong mặt phẳng cho n đường thẳng cắt nhau từng đôi một, nhưng không có 3 đường thẳng nào đồng quy. Số giao điểm là A. n(n – 1)/2 B. n(n + 1)/2 C. n(n + 2)/3 D. n(n + 3)/4
Câu 89. Cho 10 điểm phân biệt trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Số đường thẳng đi qua 2 trong 10 điểm trên là A. N = 45 B. N = 90 C. N = 80 D. N = 72
Câu 90. Cho đa giác lồi có n cạnh, n ≥ 4. Tìm n sao cho đa giác có số đường chéo bằng số cạnh. A. n = 7 B. n = 6 C. n = 5 D. n = 8
Câu 91. Cho một đa giác lồi có 15 cạnh. Số tam giác có 3 đỉnh trùng với 3 đỉnh của đa giác là 19 TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG NHÓM TOÁN A. N = 455 B. N = 235 C. N = 525 D. N = 425
Câu 92. Tìm số giao điểm tối đa của 10 đường tròn phân biệt. A. N = 45 B. N = 90 C. N = 180 D. N = 135
Câu 93. Cho hai đường thẳng song song d, Δ. Trên d lấy 17 điểm phân biệt, trên Δ lấy 20 điểm phân biệt. Tính
số tam giác có các đỉnh là 3 điểm trong số 37 điểm đã cho. A. 5950 B. 9550 C. 9050 D. 5590
Câu 94. Trong mặt phẳng cho đa giác đều (H) có 20 cạnh. Trong số các tam giác có ba đỉnh được lấy từ các
đỉnh của (H) có bao nhiêu tam giác không có cạnh nào là cạnh của (H)? A. N = 320 B. N = 480 C. N = 640 D. N =800
Câu 95. Có 20 điểm trong mặt phẳng trong đó có 5 điểm thẳng hàng, số còn lại không có 3 điểm nào thẳng
hàng. Từ các điểm đó vẽ được bao nhiêu đường thẳng và bao nhiêu tam giác? A. 181 và 1130 B. 192 và 1130 C. 181 và 1320 D. 192 và 1320
Câu 96. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của A = (x – 2/x4)15. A. 1820 B. –1820 C. 3640 D. –3640
Câu 97. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của B = (x² – 2/x)12. A. 126720 B. –126720 C. 7920 D. –7920
Câu 98. Tìm hệ số của x4y3 trong khai triển của P = (2x + 3y)7. A. 11520 B. 12510 C. 15120 D. 12150
Câu 99. Khai triển và rút gọn đa thức P(x) = (1 + x) + (1 + x)² + (1 + x)³ + ... + (1 + x)12 sẽ được đa thức P(x) =
ao + a1x + a2x² + ... + a12x12. Hệ số a9 là A. a9 = 256 B. a9 = 286 C. a9 = 320 D. a9 = 132
Câu 100. Cho đa thức P(x) = (1 + x) + 2(1 + x)² + 3(1 + x)³ + ... + 20(1 + x)20 = ao + a1x + a2x² + a3x³ + ... +
a20x20. Xác định hệ số a18. A. 3254 B. 3549 C. 4179 D. 4569
Câu 101. Trong khai triển P(x) = (3 – 2x)25, hãy tính tổng các hệ số của đa thức P(x). A. 325 B. 225 C. –1 D. 1
Câu 102. Trong khai triển của nhị thức (a² + b³)15, tìm các số hạng chứa a, b với số mũ giống nhau. A. 5005a6b6 B. 1010a15b15 C. 5005a18b18 D. 1010a9b9
Câu 103. Tìm số hạng thứ 4 trong khai triển (1/x² – x³/2)12 theo thứ tự số mũ tăng dần của biến. A. (99/4)x–1 B. (–99/4)x–1 C. (99/4)x D. (–99/4)x 1
Câu 104. Tìm số hạng độc lập với x trong khai triển 3 16 ( x  ) x 20 TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG NHÓM TOÁN A. 1820 B. 1280 C. 2180 D. 2810 1
Câu 105. Số số hạng chứa x với số mũ tự nhiên trong khai triển 13 (x  ) là 3 x A. 2 B. 3 C. 5 D. 4
Câu 106. Biết tổng các hệ số của khai triển (3 – x²)n bằng 1024. Hệ số của số hạng chứa x12 trong khai triển đó là A. –17010 B. 17010 C. –153090 D. 153090 Câu 107. Tính tổng S = 0 6 1 5 2 4 6 0
C C  C C  C C  ...  C C 10 12 10 12 10 12 10 12 A. 74236 B. 74362 C. 74613 D. 24671 Câu 108. Tính tổng S = 0 2 1 2 2 2 9 2
(C )  (C )  (C )  ...  (C ) 9 9 9 9 A. 39432 B. 43758 C. 36730 D. 48620
Câu 109. Gieo một con súc sắc cân đối đồng chất hai lần. Tính xác suất tích số chấm hai lần là số lẻ. A. P = 1/3 B. P = 1/2 C. P = 1/4 D. P = 1/5
Câu 110. Một túi chứa 6 viên bi trắng và 5 viên bi xanh. Lấy ra 4 viên bi từ túi, xác suất lấy được 4 viên bi cùng màu là A. P = 1/33 B. P = 2/33 C. P = 1/11 D. P = 2/11
Câu 111. Sắp xếp ngẫu nhiên 5 bạn học sinh A, B, C, D, E ngồi vào một chiếc ghế dài có 5 chỗ ngồi. Xác suất
để hai bạn A và E ngồi cạnh nhau là A. P = 1/5 B. P = 1/4 C. P = 2/5 D. P = 3/10
Câu 112. Gieo hai con súc sắc cân đối đồng chất. Tính xác suất tổng hai mặt xuất hiện bằng 7. A. P = 1/3 B. P = 1/6 C. P = 1/12 D. P = 1/4
Câu 113. Một bình đựng 5 viên bi xanh và 3 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi. Tính xác suất để được ít nhất 3 viên bi xanh. A. P = 1/2 B. P = 1/3 C. P = 1/4 D. P = 1/5
Câu 114. Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc cân đối đồng chất hai lần. Tính xác suất ít nhất một lần xuất hiện mặt 6 chấm. A. P = 11/36 B. P = 1/3 C. P = 1/6 D. P = 5/18
Câu 115. Gieo đồng thời bốn đồng xu cân đối đồng chất. Tính xác suất có đúng 3 đồng xu ngửa. A. P = 1/16 B. P = 1/4 C. P = 11/16 D. P = 1/6
Câu 116. Một hộp bóng đèn có 12 bóng, trong đó có 7 bóng tốt. Lấy ngẫu nhiên 3 bóng. Tính xác suất để lấy
được ít nhất 2 bóng tốt. A. P = 5/11 B. P = 6/11 C. P = 7/11 D. P = 8/11 21 TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG NHÓM TOÁN
Câu 117. Một lớp học gồm 20 học sinh trong đó có 6 học sinh giỏi Toán, 5 học sinh giỏi Văn và 4 học sinh giỏi
cả 2 môn Toán và Văn. Chọn ra 2 em. Tính xác suất để 2 em đó là học sinh giỏi ít nhất một môn Toán hoặc Văn. A. P = 2/19 B. P = 3/19 C. P = 11/95 D. P = 21/190
Câu 118. Một hộp có 20 quả cầu giống nhau, trong đó có 12 quả cầu trắng và 8 quả cầu đen. Lấy ngẫu nhiên 3
quả. Tính xác suất để trong 3 quả chọn ra có ít nhất một quả màu đen. A. P = 46/57 B. P = 15/19 C. P = 16/19 D. P = 47/57
Câu 119. Một tổ có 6 học sinh nam và 4 học sinh nữ. Giáo viên chọn ra 2 em đi thi văn nghệ. Tính xác suất để 2
học sinh được chọn khác phái. A. P = 7/15 B. P = 1/2 C. P = 8/15 D. P = 3/5
Câu 120. Một lớp có 30 học sinh, trong đó có 8 em giỏi, 15 em khá và 7 em trung bình. Chọn ngẫu nhiên 3 em
đi dự đại hội. Tính xác suất để không có học sinh trung bình. A. P = 2/145 B. P = 18/29 C. P = 25/58 D. P = 253/580
Câu 121. Cho 7 số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Gọi X là tập hợp các số gồm hai chữ số khác nhau lấy từ 7 số trên. Lấy
ngẫu nhiên một số thuộc X. Tính xác suất số đó là số lẻ. A. P = 9/14 B. P = 5/7 C. P = 4/7 D. P = 11/14
Câu 122. Cho 7 số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Gọi X là tập hợp các số gồm hai chữ số khác nhau lấy từ 7 số trên. Lấy
ngẫu nhiên một số thuộc X. Tính xác suất số đó chia hết cho 5. A. P = 2/5 B. P = 1/5 C. P = 1/7 D. P = 2/7
Câu 123. Một xạ thủ A có xác suất bắn trúng bia mục tiêu là 0,7. Giả sử xạ thủ này bắn 3 lần. Tính xác suất để
xạ thủ A bắn trúng mục tiêu ít nhất một lần. A. P = 0,973 B. P = 0,997 C. P = 0,987 D. P = 0,975
Câu 124. Gieo một con xúc sắc cân đối đồng chất hai lần. Tính xác suất tổng số chấm của hai lần gieo là số lẻ. A. P = 1/2 B. P = 3/5 C. P = 3/7 D. P = 5/9
Câu 125. Gieo một con xúc sắc cân đối đồng chất hai lần. Tính xác suất có ít nhất một lần số chấm từ 5 trở lên. A. P = 1/2 B. P = 3/5 C. P = 3/7 D. P = 5/9 22 TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG NHÓM TOÁN
CHUYÊN ĐỀ 3: DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
A. LÝ THUYẾT CƠ BẢN
I. Phương pháp chứng minh qui nạp
Để chứng minh mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên n ≥ p ≥ 1 bằng phương pháp qui nạp, ta tiến hành theo 2 bước
Bước 1. Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = p.
Bước 2. Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì n = k ≥ p (gọi là giả thiết qui nạp), chứng minh rằng
nó cũng đúng với n = k + 1 II. Dãy số
Mỗi hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương N* được gọi là dãy số vô hạn.
Thường viết dưới dạng khai triển: u1, u2, ..., un, ...
Trong đó u1 là số hạng đầu và un là số hạng tổng quát.
III. Dãy số hữu hạn
Mỗi hàm số u xác định trên tập M = {1, 2, 3 , …, m} với m nguyên dương được gọi là dãy số hữu hạn.
Dạng khai triển: u1, u2, u3,…,um. Trong đó u1 là số hạng đầu, um số hạng cuối.
Ví dụ: –5, –2, 1, 4, 7, 10, 13 là dãy số hữu hạn
IV. Cách cho một dãy số
1. Dãy số cho bằng công thức số hạng tổng quát
2. Dãy số cho bằng phương pháp mô tả: mô tả cách xác định các số hạng liên tiếp của dãy số.
3. Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi
a. Cho số hạng đầu hay vài số hạng đầu
b. Cho hệ thức truy hồi, tức là hệ thức biểu thị số hạng thứ n qua số hạng hoặc vài số hạng đứng trước nó.
V. Dãy số tăng, dãy số giảm và dãy số bị chặn
1. Dãy số tăng và dãy số giảm
Dãy số (un) được gọi là dãy số tăng nếu ta có un+1 > un với mọi số nguyên dương n.
Dãy số (un) được gọi là dãy số giảm nếu ta có un+1 < un với mọi số nguyên dương n.
Dãy số (un) với un = 2n là dãy số tăng vì
un+1 – un = 2(n + 1) – 2n = 2 > 0 nên un+1 > un. 2. Dãy số bị chặn
Dãy số (un) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho: un ≤ M, với mọi số nguyên dương n.
Dãy số (un) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho: m ≤ un, với mọi số nguyên dương n. 23 TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG NHÓM TOÁN
Dãy số (un) được gọi là bị chặn nếu vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới. VI. Cấp số cộng
1. Định nghĩa: Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ 2, mỗi số hạng đều
bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với số không đổi d. Số d gọi là công sai của cấp số cộng.
Công thức truy hồi: un+1 = un + d với mọi số nguyên dương n.
Nếu d = 0 thì cấp số cộng là dãy số không đổi.
2. Số hạng tổng quát: Nếu cấp số cộng (un) có số hạng đầu u1 và công sai d thì số hạng tổng quát un được xác
định bởi công thức: un = u1 + (n – 1)d với n ≥ 2.
3. Tính chất các số hạng của cấp số cộng: u  u k 1  k 1 u   với k ≥ 2 k 2 n(u  u ) n[2u  (n 1) d]
4. Tổng n số hạng đầu của cấp số cộng: Sn = u1 + u2 + u3 + … + un = 1 n 1  2 2 VII. Cấp số nhân
1. Định nghĩa: Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạn thứ 2, mỗi số hạn đều là
tích của số hạng đứng ngay trước nó với số không đổi q. Số q gọi là công bội của cấp số nhân.
Nếu (un) là cấp số nhân với công bội q, ta có un+1 = unq, với mọi số nguyên dương n.
2. Số hạng tổng quát: un = u1qn–1 với n ≥ 2
3. Tính chất các số hạng của cấp số nhân: (uk)² = uk–1.uk+1, với k ≥ 2
4. Tổng n số hạng đầu của cấp số nhân: n u (1 q ) Cho cấp số nhân (u 1
n) với công bội q ≠ 1. Sn = u1 + u2 + ... + un = 1 q B. BÀI TẬP
Câu 1. Cho các đẳng thức
a. 1 + 3 + 5 + … + (2n + 1) = n²
b. 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n(n + 1) = n(n + 1)(n + 2)/3
c. 1³ + 2³ + 3³ + … + n³ = n²(n + 1)²/4.
d. 1² + 2² + 3² + 4² + ... + n² = n(n + 1)(2n + 1)/6
Số đẳng thức đúng với mọi số nguyên dương n là A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Câu 2. Hãy viết 3 số hạng tiếp theo hai số hạng đầu của dãy số (un) có u1 = 1, u2 = 1, un+2 = un+1 + un. A. 2; 3; 5 B. 3; 4; 7 C. 2; 5; 7 D. 3; 5; 8 24 TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG NHÓM TOÁN
Câu 3. Cho các dãy số (un) sau a. un = 2n+1 – 2n b. un = 2.3n–1 – 7 c. un = (1/n – 2n)² d. un = (n + 1)/n Số dãy số tăng là A. 0 B. 2 C. 3 D. 4
Câu 4. Công thức số hạng tổng quát của dãy số (un) có u1 = 1, un+1 = 2un + 3 là A. un = 2n+1 – 1 B. un = 2n+1 – 2 C. un = 2n+1 – 3 D. un = 2n+1 – 4
Câu 5. Công thức số hạng tổng quát của dãy số (un) có u1 5/4; 2un+1 = un + 1 là A. un = 1 + 1/2n–1 B. un = 1 + 1/2n+1 C. un = 1 + 1/2n D. un = 2 + 1/2n+1.
Câu 6. Cho các dãy số (un) sau n 1 n ( 1  ) a. un = b. un = c. un = 1/n² + 2n d. un = 2n(2n – 5) n  2 n 1 Số dãy số giảm là A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
Câu 7. Cho các dãy số (un) sau a. un = 2n/(n + 2) b. un = 2n – 3/n c. un = 2n – n² + 5 d. un = (–1)n/(n² + 1)
Số dãy số bị chặn là A. 2 B. 0 C. 1 D. 3
Câu 8. Cho các dãy số (un) sau a. un = 12n – 11 b. un = n(3n – 2) c. un = 3 – n d. un = (n + 1)² – n²
Những dãy số là cấp số cộng gồm A. a và c B. a, c và d C. a, b và c D. b, c và d
Câu 9. Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng (un), biết u1 + 2u5 = 0 và S4 = 14. A. u1 = 8 và d = –3 B. u1 = 5 và d = –1 C. u1 = 6 và d = –2 D. u1 = 9 và d = –4
Câu 10. Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng (un), biết u4 = 10; u7 = 22 A. u1 = –8 và d = 6 B. u1 = 4 và d = 3 C. u1 = –2 và d = 4 D. u1 = 1 và d = 3
Câu 11. Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng (un), biết u1 + u5 – u3 = 10; u1 + u6 = 17. A. u1 = 1 và d = 5
B. u1 = 16 và d = –3 C. u1 = –3 và d = 5 D. u1 = 15 và d = –3
Câu 12. Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng (un), biết u3 = –15 và u8 = 25. A. u1 = –31; d = 8
B. u1 = –35; d = 10 C. u1 = –31; d = 10 D. u1 = –35 và d = 8
Câu 13. Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng (un), biết u7 + u15 = 60 và (u4)² + (u12)² = 1170 25 TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG NHÓM TOÁN
A. u1 = –12; d = 3 hoặc u1 = 0; d = 21/5
B. u1 = –10; d = 3 hoặc u1 = 0; d = 21/5
C. u1 = –10; d = 21/5 hoặc u1 = 0; d = 3
D. u1 = –12 và d = 21/5 hoặc u1 = 0; d = 3
Câu 14. Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng (un), biết u1 + u3 + u5 = –12 và u1u2u3 = 8 A. u1 = –2; d = –1 B. u1 = –1; d = –2 C. u1 = 1; d = –2 D. u1 = 2 và d = –3
Câu 15. Một cấp số cộng gồm 8 số hạng với số hạng đầu là –15 và số hạng cuối là 69. Các số hạng còn lại ở giữa lần lượt là A. –2; 11; 23; 35; 47; 58 B. –3; 11; 23; 35; 47; 59 C. –2; 10; 21; 33; 45; 57 D. –3; 9; 21; 33; 45; 57
Câu 16. Tìm 3 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng tăng, biết tổng của chúng bằng 27 và tổng các bình
phương của chúng là 293. A. 4; 9; 14 B. 3; 9; 15 C. –1; 9; 19 D. 0; 9; 18
Câu 17. Ba cạnh một tam giác vuông có độ dài là các số nguyên dương lập thành một cấp số cộng có công sai
bằng 2. Tìm ba cạnh đó. A. 3; 5; 7 B. 5; 7; 9 C. 4; 6; 8 D. 6; 8; 10
Câu 18. Ba góc của một tam giác vuông lập thành cấp số cộng. Số đo góc nhỏ nhất là A. 40° B. 15° C. 30° D. 45°
Câu 19. Số đo các góc của một tứ giác lồi lập thành cấp số cộng và góc lớn nhất gấp 5 lần góc nhỏ nhất. Tìm
công sai của cấp số cộng đó. A. d = 40° B. d = 30° C. d = 25° D. d = 35°
Câu 20. Tìm x sao cho 3 số a, b, c theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng, biết a = 10 – 3x, b = 3x² + 5, c = 5 – 4x.
A. x = 1/2 V x = –5/3 B. x = –1/2 V x = 5/3 C. x = 1 V x = –10/3 D. x = –1 V x = 10/3
Câu 21. Cho cấp số cộng (un) có số hạng đầu là u1 = 1 và công sai d = 1. Tìm n sao cho tổng n số hạng đầu tiên
của cấp số cộng đó bằng 3003. A. n = 77 B. n = 78 C. n = 79 D. n = 80
Câu 22. Cho các dãy số (un) sau a. un = 3.(–2)2n+1. b. un = (–1)n.33n+1. c. u1 = 2 và un+1 = 2un + 1 d. un = 3n – 1
Số cấp số cộng trong các dãy số trên là A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
Câu 23. Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân (un), biết u1 – u3 + u5 = 65; u1 + u7 = 325
A. u1 = 5 và q = ±2 B. u1 = 3 và q = ±3 C. u1 = 3 và q = ±2 D. u1 = 5 và q = ±3
Câu 24. Tìm công bội của cấp số nhân (un) là dãy số giảm có u2 – u3 = 768 và u2 – u5 = 1008 A. q = –5/4 B. q = 1/5 C. q = –4/5 D. q = 1/4 26 TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG NHÓM TOÁN
Câu 25. Cho dãy số (un) có số hạng tổng quát un = (–2)n+1.3n+2. Nhận xét nào sau đây đúng?
A. Dãy số trên là cấp số nhân có công bội q = 6
B. Dãy số trên là cấp số nhân tăng
C. Dãy số trên không có chặn dưới và chặn trên
D. Dãy số trên là cấp số nhân giảm
Câu 26. Tìm số hạng đầu của cấp số nhân hữu hạn, biết rằng công bội là –3, tổng số các số hạng là 364 và số hạng cuối là 486. A. –1 B. 1 C. 0 D. –2
Câu 27. Tìm công bội của cấp số nhân hữu hạn có số hạng đầu là 7, số hạng cuối là 448 và tổng số các số hạng là 889. A. q = 3/2 B. q = 2 C, q = 5/2 D. q = 4
Câu 28. Số số hạng của một cấp số nhân là một số chẵn. Tổng tất cả các số hạng của nó lớn gấp 3 lần tổng các
số hạng có chỉ số lẻ. Xác định công bội của cấp số đó. A. q = 1/2 B. q = 2 C. q = 1/4 D. q = 4
Câu 29. Xác định số hạng đầu của cấp số nhân tăng, biết tổng 3 số hạng đầu là 148, đồng thời 3 số hạng đầu lần
lượt là số hạng thứ nhất, thứ tư và thứ tám của cấp số cộng. A. 4 B. 12 C. 27 D. 36
Câu 30. Tìm 3 số hạng đầu a, b, c của một cấp số nhân, biết rằng a, b + 2, c tạo thành một cấp số cộng và a, b +
2, c + 9 lập thành một cấp số nhân.
A. 4; 8; 16 hoặc 4/25; 16/25; 64/25
B. 2; 4; 8 hoặc 4/25; –16/25; 64/25
C. 2; 4; 8 hoặc 4/25; 16/25; 64/25
D. 4; 8; 16 hoặc 4/25; –16/25; 64/25
Câu 31. Tìm các số a, b, c, d theo thứ tự giảm dần trong đó a, b, c là ba số hạng kế tiếp của một cấp số nhân,
còn b, c, d là ba số hạng kế tiếp của một cấp số cộng; a + d = 32, b + c = 24. A. 30; 18; 6 và 2 B. 32; 16; 8 và 0 C. 16; 8; 4 và 0 D. 24; 12; 6 và 0
Câu 32. Tìm các số a, b sao cho a, a + 2b, 2a + b là 3 số liên tiếp của cấp số cộng và (b + 1)², ab + 5, (a + 1)² là
ba số liên tiếp của cấp số nhân. A. a = 3 và b = 12 B. a = 12 và b = 3 C. b = 3 và a = 1 D. a = 3 và b = 1
Câu 33. Tìm số tự nhiên n thỏa mãn Sn = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ... + n(n + 1)(n + 2) = 53130 A. n = 20 B. n = 21 C. n = 22 D. n = 23
Câu 34. Cho dãy số (un) có u1 = 5/4; 2un+1 = un + 1 với n ≥ 1. Nhận xét đúng là
A. Số hạng tổng quát của dãy số là un = 2–n–1 + 1 (n ≥ 1)
B. Dãy số (un) không bị chặn dưới
C. Dãy số (un) không bị chặn trên 27 TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG NHÓM TOÁN
D. Dãy số (un) là dãy số tăng và bị chặn
Câu 35. Cho các dãy số (un) sau a. un = 2–n. b. un = (–2)n + 2n.
c. u1 = 2; un+1 = un + (–1)n d. un = (–1)n(1 + un).
Số dãy số không bị chặn là A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Câu 36. Tìm số hạng đầu của cấp số nhân tăng (un) có u1u2u3 = 4096 và S3 = 56. A. u1 = 4 B. u1 = 6 C. u1 = 8 D. u1 = 2
Câu 37. Một cấp số nhân (un) có 5 số hạng, biết công bội q = –1/2, và u1 + u4 = 63. Tìm số hạng thứ 5 của cấp số nhân này A. u5 = 3 B. u5 = 9/2 C. u5 = 7/2 D. u5 = 4
Câu 38. Các biểu thức x + 5y, 5x + 2y, 8x + 2y có giá trị theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Đồng thời x – 1, y +
3, x – 2y theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Xác định x và y.
A. x = –3; y = –1 hoặc x = 27/2; y = 9/2
B. x = –9/2; y = –3/2 hoặc x = 3; y = 1
C. x = 9/2; y = 3/2 hoặc x = –3; y = –1
D. x = –27/2; y = –9/2 hoặc x = 3; y = 1
Câu 49. Tìm hai số dương a và b biết ba số 1; a + 8; b theo thứ tự lập thành một cấp số cộng và ba số 1; a; b
theo thứ tự lập thành một cấp số nhân. A. a = 4 và b = 16 B. a = 3 và b = 9 C. a = 2 và b = 4 D. x = 5 và b = 25
Câu 50. Một cấp số cộng tăng (un) và một cấp số nhân tăng (vn) có số hạng thứ nhất u1 = v1 = 5; biết u2 – v2 =
10 và u3 = v3. Tìm công bội q của cấp số cộng và công sai d của cấp số cộng. A. d = 20 và q = 3 B. d = 15 và q = 3 C. d = 10 và q = 2 D. d = 15 và q = 2
Câu 51. Cho dãy số (un) với un = 2n – 2. Tính tổng 10 số hạng đầu của dãy số A. 2056 B. 2066 C. 2036 D. 2026
Câu 52. Cho dãy số (un) có tổng của n số hạng đầu tiên là Sn = (7n – 3n²)/2 với mọi n > 1. Số hạng tổng quát của cấp số cộng là A. 5 – 3n B. 2 – n C. 3 – 2n D. 4 – n
Câu 53. Cho hai cấp số cộng (un) và (vn) có tổng n số hạng đầu tiên lần lượt là Sn = 2n² + n với mọi n > 1 và Tn
= n² + 7n với mọi n > 1. Tính tỉ số u1/v1. A. 3/7 B. 3/8 C. 1/2 D. 5/7
Câu 54. Gọi a là một nghiệm của phương trình: x² – 3x + 1 = 0. Xét dãy số (un) có un = an + 1/an với n ≥ 1.
Nhận xét nào sau đây đúng? A. Dãy số bị chặn
B. Dãy số có mọi số hạng là số nguyên C. Dãy số giảm
D. Dãy số có số hạng đầu là u1 = –3 28 TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG NHÓM TOÁN 2n  5
Câu 55. Cho dãy số (un) có un =
. Số hạng bằng 1/5 là số hạng thứ mấy? 2 n 1 A. 12 B. 11 C. 10 D. 6
Câu 56. Cho dãy số (un) có un = cos (nπ/3) với mọi n nguyên dương. Số giá trị khác nhau của dãy số là A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
Câu 57. Cho dãy số (un) xác định như sau: un là số dư khi chia n cho 6. Khẳng định nào sau đây sai?
A. Dãy số chỉ có 6 giá trị khác nhau B. Dãy số bị chặn
C. Nếu um = un thì |m – n| chia hết cho 6
D. Số hạng nhỏ nhất là u1.
Câu 58. Cho dãy số (un) xác định bởi: u1 = 5 và un+1 = 3un với mọi số nguyên dương n. Công thức số hạng tổng quát là A. un = 5.3n. B. un = 5.3n–1. C. un = 5.3n–2. D. un = 5.3n–3.
Câu 59. Cho dãy số (un) có u1 = 1 và un+1 = 3un + 2n với mọi số nguyên dương n. Tìm công thức số hạng tổng quát của (un).
A. un = (1/2).3n–1 + n – 1/2
B. un = (1/2).3n–1 – n – 1/2
C. un = (5/2).3n–1 – n – 1/2
D. un = (5/2).3n–1 + n – 1/2
Câu 60. Cho dãy số (un) có u1 = 1 và un+1 = 2un – n với mọi số nguyên dương n. Tìm công thức số hạng tổng quát của (un).
A. un = n + 1 – 2n–1. B. un = n – 1 – 2n–1. C. un = n + 1 + 2n–1. D. un = n – 1 + 2n–1.
Câu 61. Cho các dãy số sau n 1 3n ( 1)    2n  3 1 1 1 1 a. un = b. un = c. un =    ... 2(n 1) 2 2n 1 n 1 n  2 n  3 2n
Số dãy số bị chặn trong các dãy số trên là A. 0 B. 2 C. 1 D. 3
Câu 62. Cho dãy số (un) có u1 = 1; um+n = um + un + m.n với mọi m, n là các số nguyên dương. Tìm số hạng tổng quát của (un). A. un = n(n + 1) B. un = n(n + 1)/2 C. un = n(n + 1)/3 D. un = n(n + 1)/4
Câu 63. Cho dãy số (un) có u1 = 1; u2 = –7 và un+2 = 5un+1 – 6un với mọi n là số nguyên dương. Tìm số hạng tổng quát của (un). A. un = 2n – 3n–1. B. un = 5.2n – 3n+1. C. un = –2n + 3n–1. D. un = 3.2n – 5.3n–1.
Câu 64. Xác định số hạng đầu u1 và công sai d của cấp số cộng (un) có u9 = 5u2; u13 = 2u6 + 5. A. u1 = 3 và d = 5 B. u1 = 4 và d = 3 C. u1 = 3 và d = 4 D. u1 = 4 và d = 5
Câu 65. Xác định số hạng đầu u1 và công sai d của cấp số cộng (un) có u5 = 10; S10 = 5 29 TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG NHÓM TOÁN
A. u1 = 46 và d = –9 B. u1 = 86 và d = –19 C. u1 = –22 và d = 8 D. u1 = –62 và d = 18
Câu 66. Xác định số hạng đầu u1 và công sai d của cấp số cộng (un) có tổng n số hạng đầu tiên là Sn = 3n + n²
với mọi số nguyên dương n. A. u1 = 2 và d = 2 B. u1 = 4 và d = 2 C. u1 = 4 và d = 3 D. u1 = 2 và d = 3
Câu 67. Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn u4 + u8 + u12 + u16 = 16. Tính tổng 19 số hạng đầu S19. A. S19 = 76 B. S19 = 152 C. S19 = 138 D. S19 = 252
Câu 68. Cho một cấp số cộng (un) có m²Sn = n²Sm với mọi m, n là hai số nguyên dương. Tính tỉ số u2017 / u1. A. 4034 B. 4033 C. 8069 D. 8070
Câu 69. Tìm số nguyên dương n biết (2n + 1) + (2n + 2) + (2n + 3) + … + 3n = 2265. A. n = 31 B. n = 30 C. n = 28 D. n = 29
Câu 70. Tìm số nguyên dương n biết 1 + 2 + 3 + ... + (n – 1) = 2017n. A. n = 4032 B. n = 4033 C. 4034 D. n = 4035
Câu 70. Cho dãy số (un) có u1 = 2 và un – un+1 + 3 = 1 / [n(n + 1)] với mọi số nguyên dương n. Tìm số hạng tổng quát un.
A. un = 3n – 3 + 1/n B. un = 3 – 3n + 1/n C. un = 3 + 3n – 1/n D. un = 3n – 3 – 1/n
Câu 71. Cho các số a; b; a + b ≠ 0 sao cho 3/a; 1/(a + b); –1/b theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Tỉ số a²/b² là A. 3 B. 1/3 C. 2 D. 1/2
Câu 72. Xác định số hạng đầu và công bội của cấp số nhân (un) có u10 = 32; u15 = 256u7. A. u1 = 16/5; q = 2 B. u1 = 1/16; q = 2
C. u1 = 1/16; q = 1/2 D. u1 = 16/5; q = 1/2
Câu 73. Xác định số hạng đầu và công bội của cấp số nhân (un) có u4 – u2 = 54 và u5 – u3 = 108 A. u1 = 9 và q = 2 B. u1 = 3 và q = 2 C. u1 = 9 và q = –2 D. u1 = 3 và q = –2
Câu 74. Tìm x, y biết x; y; 12 là 3 số hạng liên tiếp của cấp số nhân và x; y; 9 là 3 số hạng liên tiếp của cấp số cộng.
A. x = 3 và y = 6 hoặc x = 27 và y = 18
B. x = 108 và y = 36 hoặc x = 3 và y = 6
C. x = 27 và y = 18 hoặc x = 36 và y = 18 D. x = 54 và y = 27 hoặc x = 36 và y = 18
Câu 75. Tìm x biết ba số cos (x – π/4); sin x; cos (x + π/4) là 3 số hạng liên tiếp của cấp số nhân
A. x = ±π/3 + k2π, k là số nguyên
B. x = ±π/6 + k2π, k là số nguyên
C. x = ±π/3 + kπ, k là số nguyên
D. x = ±π/6 + kπ, k là số nguyên
Câu 76. Cho x, y, z là ba số hạng liên tiếp của cấp số nhân giảm thỏa mãn xyz = 64 và x³ + y³ + z³ = 584. Tìm x, y, z. A. x = 32; y = 4 và z = 1/2 B. x = 8; y = 4 và z = 2 30 TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG NHÓM TOÁN C. x = 2; y = 4 và z = 8 D. x = 1/2; y = 4 và z = 32
Câu 77. Cho x, y, z là ba số hạng liên tiếp của cấp số nhân có công bội q thỏa mãn |q| < 1; 1/x + 1/y + 1/z = 14
và xy + yz + zx = –7/108. Tìm x, y, z.
A. x = 1/18; y = –1/6 và z = 1/2
B. x = 1/3; y = –1/6 và z = 1/12
C. x = 1/2; y = –1/6 và z = 1/18
D. x = 1/12; y = –1/6 và z = 1/2 n 1 1 1 ( 1  )
Câu 78. Tính S = lim [     ... ] n 2 4 8 2 A. S = –1/3 B. S = 1/3 C. S = –1 D. S = 1
Câu 79. Cho ΔABC có 3sin A; 2sin B; 2sin C là ba số hạng liên tiếp của cấp số nhân và A – C = 60°. Số đo của góc B là A. 30° B. 60° C. 45° D. 54°
Câu 80. Giả sử x1, x2 là hai nghiệm của phương trình x² – x + c = 0 và x3, x4 là hai nghiệm của phương trình x²
– 4x + d = 0. Tính c, d biết rằng x1, x2, x3, x4 lập thành một cấp số nhân tăng. A. c = 2/9; d = 32/9 B. c = 3/16; d = 243/16 C. c = 4/25; d = 1024/25 D. c = 6/25; d = 243/50
Câu 81. Cho cấp số cộng (un) có công sai d ≠ 0 và cấp số nhân (vn) có công bội q > 0 thỏa mãn u1 = v1 = –2; u2
= v2; u3 = v3 + 8. Tìm d và q. A. d = 4 và q = 2 B. d = 4 và q = 3 C. d = –4 và q = 2 D. d = –4 và q = 3
Câu 82. Cho dãy số (un) có u1 = 2, un+1 = 3 + 4un. Xác định công thức tổng quát của un. A. un = 2.4n–1 + 1 B. un = 2.4n–1 – 1 C. un = 3.4n–1 – 1 D. un = 3.4n–1 + 1 31 TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG NHÓM TOÁN
CHUYÊN ĐỀ 4: GIỚI HẠN VÀ HÀM SỐ LIÊN TỤC
A. LÝ THUYẾT CƠ BẢN
I. Giới hạn của dãy số
Giới hạn hữu hạn Giới hạn vô cực
1. Giới hạn đặc biệt:
1. Giới hạn đặc biệt: 1 1 k lim  0 n   n   k   ; lim  0 (k   ) lim lim (  ) n n n n k n n lim n
q   (q  1) n lim n
q  0 ( q  1) ; lim C C n n 2. Định lí:
2. Định lí : 1 a)Nếu lim lim 0 a) Nếu lim u n
u   thì n = a, lim vn = b thì n u
lim (un + vn) = a + b u
b) Nếu lim un = a, lim vn =  thì lim n = 0 lim (u v n – vn) = a – b n lim (un.vn) = a.b
c) Nếu lim un =a 0, lim vn = 0 u ua  neáu . a v  0
lim n (nếu b 0) thì lim n = n
 neáu .a n v  0 n v b n v
b) Nếu un 0, n và lim un= a thì a 0 và lim d) Nếu lim un = +, lim vn = a n u a  neáu a thì lim(un.vn) =  0
 neáu a  0 c) Nếu n u n
v ,n và lim vn = 0 0 thì lim u
* Khi tính giới hạn có một trong các dạng vô định: , n = 0 0 d) Nếu lim un = a thì lim n u a
, – , 0. thì phải tìm cách khử dạng vô định.
3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn u
S = u1 + u1q + u1q2 + … = 1  q   1 1 q
2. Một số phương pháp tìm giới hạn của dãy số:
Chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của n. 1 1 n 1   n 1 VD: a) lim  lim  2n  3 3 2 2  n 32 TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG NHÓM TOÁN 1 2 1  3
n n  3n b) lim  lim n  1 1 2n 1 2 n  4 1  c) 2 2
lim(n  4n 1)  lim n 1     2 n   n
Nhân lượng liên hợp: Dùng các hằng đẳng thức
a b a b  a  ;b 3 3
a b 3 2 3 3 2
a ab b   a b
 2n3n n 2n3n n 3n 3 VD:  2 lim n 3  n  n =lim  = lim = 2 n 3n  n 2 n 3  nn 2
Dùng định lí kẹp: Nếu n u n
v ,n và lim vn = 0 thì lim un = 0 sin VD: a) Tính lim n . n sin n 1 1 sin n Vì 0
và lim  0 nên lim  0 n n n n 3sin n  4cosn b) Tính lim . 2 2n 1 Vì 2 2 2 2
3sin n  4cosn  (3  4 )(sin n  cos n)  5 3sin n  4cosn 5 nên 0 . 2 2 2n 1 2n 1 5
3sin n  4 cosn Mà lim  0 nên lim  0 2 2n 1 2 2n 1
Khi tính các giới hạn dạng phân thức, ta chú ý một số trường hợp sau đây:
Nếu bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng 0.
Nếu bậc của tử bằng bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng tỉ số các hệ số của luỹ thừa cao
nhất của tử và của mẫu.
Nếu bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó là + nếu hệ số cao nhất của tử và
mẫu cùng dấu và kết quả là – nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu trái dấu(ta thường đặt nhân tử chung
của tử, mẫu riêng).
II. Giới hạn của hàm số
Giới hạn hữu hạn
Giới hạn vô cực, giới hạn ở vô cực
1. Giới hạn đặc biệt:
1. Giới hạn đặc biệt:
lim x x0 ;
 neáu k chaün xx lim k
x   ; lim k x   0 x x  neáu k leû 33 TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG NHÓM TOÁN
lim c c (c: hằng số) c xx lim c c ; lim  0 0 x k x x 2. Định lí: 1 1 lim   ; lim  
 lim f (x)  L   x   xx 0 x 0 a) Nếu xx0
 lim (gx)  M xx  1 1 0 lim  lim   x 0 x x 0   x
thì: * lim  f (x)  g(x)  L M xx0 2. Định lí:
* lim  f (x)  g(x)  L M
 lim f (x)  L  0 xxxx 0 a) Nếu 0
 lim (gx)   thì: *xx
* lim  f (x).g(x)  L.M 0 xx   neá u . L lim ( g ) x  0 0  x 0 lim f ( ) x ( g ) x x   f (x) L    neáuL g x x x . lim ( ) 0 0  * lim 
(nếu M 0) x  0 x xx ( g x) M 0 f (x) lim  0 f(x)  0 * xx ( g x)
b) Nếu  lim f (x) 0  L thì xx  0
 lim f (x)  L  0  b) Nếu xx0  thì: * L 0 * lim
f (x)  L lim ( g x)  0  xx xx  0 0
c) Nếu lim f (x)  L thì f (x)
 neáu L.g(x)  0 lim 
xx g(x)  neáu L. ( g x)  0 0  xx0
lim f (x)  L xx0 0 
Khi tính giới hạn có một trong các dạng vô định: ,
, – , 0 
3. Giới hạn một bên:
0. thì phải tìm cách khử dạng vô định.
lim f (x)  L xx0
lim f (x)  lim f (x)  L x x x x    0 0
Một số phương pháp khử dạng vô định: 0 1. Dạng 0 P(x) a) L = lim
với P(x), Q(x) là các đa thức và P(x0) = Q(x0)= 0
xx Q(x) 0
Phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử và rút gọn. 34 TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG NHÓM TOÁN 3 2 2 x  8
(x  2)(x  2x  4)
x  2x  4 12 VD: lim  lim  lim   3 2 x 2  x 2 x  4 
(x  2)(x  2) x2 x  2 4 P(x) b) L = lim
với P(x0) = Q(x0) = 0 và P(x), Q(x) là các biểu thức chứa căn cùng bậc
xx Q(x) 0
Sử dụng các hằng đẳng thức để nhân lượng liên hợp ở tử và mẫu. 2 4 x
2 4x2 4x 1 1 VD: lim  lim  lim  x 0  x x 0 
x2 4 x x 0  2 4 x 4 P(x) c) L = lim
với P(x0) = Q(x0) = 0 và P(x) là biêu thức chứa căn không đồng bậc
xx Q(x) 0
Giả sử: P(x) = m ( ) n  ( ) m ( n u x v x vôùi u x0)  ( v x0)  a.
Ta phân tích P(x) = m ( )     n u x a
a v(x). 3  3 x 1 1 x x 1 1 1 1 x         VD: lim  lim    x0 x x0  x x   1 1  1 1 5 = lim       x0  3 2 3
(x 1)  x 1 1 1 1 x  3 2 6    P(x) 2. Dạng : L = lim
với P(x), Q(x) là các đa thức hoặc các biểu thức chứa căn.
x Q(x)
– Nếu P(x), Q(x) là các đa thức thì chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x.
– Nếu P(x), Q(x) có chứa căn thì có thể chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x hoặc nhân lượng liên hợp. 5 3 2 2   x x 2 2 5  3 x VD: a) lim  lim x  2 2
x x  6x  3 x 6 3 1  2 x x 3 2 2x 3   b) lim  lim x  1  x 2 x 1 xx  1  1 1 2 x
3. Dạng – : Giới hạn này thường có chứa căn
Ta thường sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp của tử và mẫu.
1x x 1x x 1
VD: lim  1x x     lim  lim 0 x x 1 xx x
 1x x 35 TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG NHÓM TOÁN
4. Dạng 0.:
Ta cũng thường sử dụng các phương pháp như các dạng ở trên. x x  2. x 0. 2
VD: lim (x  2)  lim   0  2 x 2 x  4 x 2   x  2 2
III. Hàm số liên tục
1. Hàm số liên tục tại một điểm:
y = f(x) liên tục tại x0 lim f (x)  f (x0) xx0
Để xét tính liên tục của hàm số y = f(x) tại điểm x0 ta thực hiện các bước: B1: Tính f(x0). B2:
Tính lim f (x) (trong nhiều trường hợp ta cần tính lim f (x) , lim f (x) ) xx   0 xx xx 0 0
B3: So sánh lim f (x) với f(x0) và rút ra kết luận. xx0
2. Hàm số liên tục trên một khoảng: y = f(x) liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.
3. Hàm số liên tục trên một đoạn [a; b]: y = f(x) liên tục trên khoảng (a; b) và
lim f (x)  f (a), lim f (x)  f (b) x ax b  
4. Hàm số đa thức liên tục trên R.
Hàm số phân thức, các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.
5. Giả sử y = f(x), y = g(x) liên tục tại điểm x0. Khi đó:
Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x), y = f(x).g(x) liên tục tại x0. f (x) Hàm số y = liên tục tại x ( g x)
0 nếu g(x0) 0.
6. Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b] và f(a). f(b)< 0 thì tồn tại ít nhất một số c (a; b): f(c) = 0.
Nói cách khác: Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b] và f(a). f(b)< 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một
nghiệm c (a; b). Mở rộng:
Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b]. Đặt m = min f (x) ,M = max f (x) Khi đó với mọi T (m; M) luôn tồn tại  ;ab  ;ab
ít nhất một số c (a; b) sao cho f(c) = T. B. BÀI TẬP
DẠNG 1: GIỚI HẠN DÃY SỐ 36 TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG NHÓM TOÁN
BÀI 1:Tính các giới hạn sau: (Chia cả tử và mẫu cho na với số mũ a cao nhất Hoặc đặt nhân tử chung)
1) lim(n2  n + 1). ĐS: + 3 2
3n  2n n
2) lim(n2 + n + 1). ĐS: - 13) lim ĐS: 3 3 n  4
3) lim 2n2  3n  8 ĐS: + 4 n 4) lim 3 3 lim 1  2n  n ĐS: - 14) ĐS: 1 2
(n 1)(2  n)(n 1)
5) lim(2n + cosn). ĐS: + – n2 + n – 1
6) lim( 1 n2  3sin2n + 5). ĐS: +
15) lim 2n2 – 1 ĐS: -1/2 2 n  4n – 1 7) u 3 1 16) lim ĐS: 2 n = . ĐS: + n + 1 2n  1 8) u 2n  3 n = 2n  3n. ĐS: -  17) lim ĐS: 2 2n 1 3 n3  2n  1 9) lim ĐS: 0 3 2 n  4n  3 4 2 2n n  3 18) lim ĐS: + 2 n 1 3 2 3n  2n 1 10) lim ĐS: 0 4 2n n 1 3 3n  2 2n n 19) lim ĐS: - 2 n 1 4  2 n 11) lim ĐS: 0 4 2n n 1  2 4n  2n  5 2 lim 2n 20) ĐS: -  n  3 3n 1 12) lim ĐS: 2/3 2 3n  2n 1
BÀI 2: Tính các giới hạn sau: (Chia cho lũy thừa có cơ số lớn nhất) 1 3n 1 2.3n  7n 1) lim ĐS: 1 5) lim ĐS: -1/2 4  3n 5n  2.7n n n 1 4.3 7   1 2.3n  6n 2) lim ĐS: 7 6) lim ĐS: 1/3 2.5n  7n n n 1 2 (3   5) n 1  n2 4  6 3) lim ĐS: 0 5n  8n n n 1 2 5   4) lim ĐS: 5 1 5n
BÀI 3: Tính các giới hạn sau: (Tử ở dạng vô cùng ±vô cùng; Mẫu ở dạng vô cùng + vô cùng ;bậc của tử và
mẫu bằng nhau thì ta chia cho số mũ cao nhất của tử hoặc mẫu) k k Chú ý: k n có mũ ; 3 k n có mũ 2 3 2
4n 1  2n 1 2 4n 1  2n 1) lim ĐS: 2 4) lim ĐS: 2 2
n  4n 1  n 2
n  4n 1  n 2
n  3  n  4
(2n n 1)( n  3) 2) lim ĐS: 0 5) lim ĐS: 2 2
(n 1)(n  2) n  2  n 2 2 2 3 6 n
n  4n  4n 1  1 n 6) lim ĐS: -1/( 3 1) 3) lim ĐS: 0 2 4 2 n 3n 1  n 1  n
BÀI 4: Tính các giới hạn sau:
Nếu bài toán có dạng: + Vô cùng – vô cùng không có mẫu (hệ số của n bậc cao nhất giống nhau).
+ Cả tử và mẫu ở dạng: Vô cùng- vô cùng. (hệ số của bậc cao nhất giống nhau)
Thì ta nhân liên hợp có căn bậc 2,3 rồi chia cho lũy thừa có số mũ cao nhất 37 TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG NHÓM TOÁN
Nếu bài toán ở dạng vô cùng + vô cùng thì kq là vô cùng ta đặt nhân tử chung có mũ cao nhất rồi
tính giới hạn. Hoặc hệ số của n bậc cao nhất khác nhau ta chia hoặc đặt nhân tử chung. 1) 2
lim( n  3n n) ĐS: + 9)  2 4 lim1 n n 3n 1      ĐS: 1   2) 2
lim( n  2n n  2013) ĐS: 2012 2 2
n  4n  4n 1 10) lim ĐS: -1/( 3 1) 3)  2
lim n n n ĐS: -1/2 2 3n 1  n 4) 2
lim( n 1  n  5) ĐS: 5 1 11) lim ĐS: - 5) 2
lim( n  2013  n  5) ĐS: 5 2 2
n  2  n  4 2 6)  2
lim  n 2n n 1     ĐS: 0
4n 1  2n 1   12) lim ĐS: -1/2 2
n  4n 1  n 7)  2 2 lim n n n 2      ĐS: 1/2   2 3 6 n  1 n 13) lim ĐS: 0 8)  3 3 lim  2n n n 1     ĐS: -1 4 2 n 1  n  
BÀI 5: Tính các giới hạn sau: (Giới hạn kẹp giữa hai biểu thức có cùng kết quả) 2 2 cosn 6 2
3sin n  5cos (n 1) 1) lim ĐS: 0 3) lim ĐS: 0 2 n 1 2 n 1 n 2 ( 1
 ) sin(3n n ) 2 3 2
3sin (n  2)  n 2) lim ĐS: 0 4) lim ĐS: -1/3 3n 1 2 2  3n
BÀI 6: Tính các giới hạn sau: (Rút gọn rồi tính giới hạn)  1 1 1  1) lim   . .   ĐS: 1/2 1.3 3.5 (2n 1)(2n 1)      1 1 1  2) lim   . .   ĐS: 3/2 1.3 2.4 ( n n 2)     1  1   1  3) lim 1 1  . . 1  ĐS: 1/2 2 2 2   2  3   n   1 1 1  4) lim   ...   ĐS: 1 1.2 2.3 ( n n 1)   1 2  . . n 5) lim ĐS: 1/2 2 n  3n 2
1 2  2  ... 2n 6) lim ĐS:0 2
1 3  3  ... 3n 2 TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG NHÓM TOÁN  1  1   1 
Bài 7 : Cho dãy số (un) với un = 1 1 ...1  ,với n 2 2 2 2   2  3   n
a) Rút gọn un.ĐS: (n+1)/2n
b) Tìm lim un. ĐS: 1/2 1 1 1
BÀI 8 : a) Chứng minh:   (n  N*).
n n 1  (n 1) n n n 1 1 1 1 b) Rút gọn: un =   ... . 1 2  2 1 2 3  3 2
n n 1  (n 1) n
c) Tìm lim un. ĐS : 1  1 u  1 
BÀI 9 : Cho dãy số (un) được xác định bởi:  1 .  n u 1  u  (n  1)  n  2n
a) Đặt vn = un+1 – un. Tính v1 + v2 + … + vn theo n. b) Tính un theo n. c) Tìm lim un. ĐS: 2
u  0; u  1
BÀI 10: Cho dãy số (un) được xác định bởi: 1 2 2u
2  u 1  u , (n  1) n nn 1
a) Chứng minh rằng: un+1 =  1, n  1. 2 n u 2
b) Đặt vn = un – . Tính v 3
n theo n. Từ đó tìm lim un. ĐS: 2/3  u  2012 u u u
Cho dãy số (un) xác định bởi 1  ; nN*. Tìm 1 2 n lim (   .... ) (HSG lạng sơn 2011) 2 u  2012.u  u  n u u u n 1  n n 2 3 n 1 
ĐS: - CM được dãy tăng : 2 u  u  2012u  0 n  n 1  n n
- giả sử có giới hạn là a thì : 2
a  2012a  a  a  0  2012 Vô Lý nên limun =  2 u u (u  u ) 1 1 1 - ta có : n n n 1  n    (  ) u u u 2012u u 2012 u u n 1  n 1  n n 1  n n n 1  1 1 1 1 Vậy : S  .lim(  )  . 2 2012 n u u 2012 1 n 1 
BÀI 11: Cho dãy (xn) xác định như sau: x 1 1  ( n  N *) 2 x  x  3x 1  n 1 n n 1 TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG NHÓM TOÁN 1 1 1 Đặt S    ...  ( n  N *). Tìm LimS n n . (HSG lạng sơn 2012) x  2 x  2 x  2 1 2 n
BÀI 12: Tổng Dãy là cấp số nhân lùi vô hạn: 1 1 1 1 ( ) 1 n a. S = 1 + + + … b. S = 1 +   ...   ... ĐS: a. 2 b.12/11 2 4 10  102 10n 1
BÀI 13: Biểu diễn các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số: a. 0,444... b. 0,2121....
c. 0,32111....ĐS: a.4/9 b.21/99 c.289/900 2 n     L = 1 a a ... a lim
, với a, b < 1. ĐS: (1-b)/(1-a) 2 n
n 1  b  b  ...  b
DẠNG 2: GIỚI HẠN HÀM SỐ
Baøi 1: Tìm các giới hạn sau:
+ Khi thay x=a vào f(x) thấy mẫu khác 0 thì giới hạn bằng f(a).
+ Khi thay x=a vào f(x) thấy mẫu bằng 0 tử khác 0 thì giới hạn bằng . 1) lim (x2 + x). ĐS: 12 2 x x x3 1 7) lim ĐS: 3 x 2) lim ĐS: ± x 2  x 1 x 1  x 1 2 2 3 x  2x  3
1 x x x 8) lim ĐS: 2 / 2 3) lim ĐS: 1 x 1  x 1 x0 1 x x  8  3 2 3x 1  x 9) lim ĐS: 0 4) lim ĐS: -3/2 x 1  x  2 x 1  x 1 3 2
3x  4  3x  2 sin  10) lim ĐS: 0  x    x 2  x 1 5)  4 lim  ĐS: 2 /  1  x x 11) 2 lim x sin ĐS: 0 2 x0 2 x 1 6) lim ĐS:-2/3 4 x 1
 x x  3
Baøi 2: Tìm các giới hạn sau: (Khi thay x=a vào f(x) thấy tử =0; mẫu =0 ta rút gọn mất nhân tử rồi thay tiếp tới
khi mẫu khác 0 là xong) còn nếu mẫu =0 tử khác 0 thì kq là  2 x 1 3 2 1)    lim ĐS: 2 x 3x 5x 3 8) lim ĐS:1 x 1  x 1 x 1  x 2 1  1 2)  2 3  x x  lim x 2    ĐS: -1 1 x 9) lim ĐS: 2 x0  x  x 1  1 x 3  3 2 3) x 8 x  5x  3x  9 lim . ĐS: 3 10) lim ĐS: 0 x2 x2  4 x3 x 4  8x 2  9 2   4) 3x 4x 1 5 lim ĐS: 2 x 1 11) lim ĐS: 5/3 x 1  x  1 3 x1 x 1 2x 2  x 3  2 5) lim ĐS: 5 5 6
x  5x  4x x2 x  2 12) lim ĐS: 10 4 2 x 16 x 1  (1 x) 6) lim ĐS: -8 3 2 6 5 x 2  x  2x 4x  5x  x 13) lim ĐS: 0 3 2 2 x x 1   x x 1 x 1 7) lim ĐS: 0  2 1  2 x 1  x  3x  2 14) lim   ĐS: -1/2 2  x 1
  x 1 x 1 2 TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG NHÓM TOÁN  1 3 
(1 5x)(1 9x) 1 15) lim   ĐS: -1 lim 3 ĐS: 14 x 1
 1 x 1 x     x0 x  x  2 x  4 
(1 x)(1 2x)(1 3x) 1 16) lim   ĐS: 0 19) lim ĐS: 6 2 2  x 1
  x  5x  4 3(x  3x  2)  x0 x 1992 2 n x  x  2
x x  ... x n 17) lim ĐS: 1993/1992 20) lim ĐS: n(n+1)/2 1990 x 1  x  x  2 x 1  x 1 m x 1 n x  nx  n 1 18) lim
chú ý tổng của CSN ĐS: m/n 21) lim ĐS: n(n-1)/2 2 1 n xx 1 x 1  (x 1)
Baøi 3: Tìm các giới hạn sau: (Một căn bậc 2) 4x 1  3 2  x  3 1) lim ĐS:1/6 5) lim ĐS: -1/56 2 x2 x  4 x x 2 7  49    2 2x 7 x 4 1 x 1 6) lim ĐS: -4/15 2) lim ĐS:0 x x3 1  4x2  3 x0 x x3  x 3  2 x  5  3 7) lim ĐS: 9/4 3) lim ĐS: -1/6 x 1  x 2 1 x4 4  x x2  3  x3  x 3  8) lim ĐS:1/2 4) x 3 lim ĐS:-1/54 x 1  x 1 x9 2 9x  x
Baøi 4: Tìm các giới hạn sau: (Hai căn Bậc 2) 1 x  1 x x2 1  x 1 1) lim ĐS: 1 10) lim ĐS: 2 x0 x x 1  x 1 x 1   2) x 1 1 lim ĐS:2 11) lim ĐS:-3/4 x 1  x  3  2 x0 3  2x  9 3) x  2  x x  2  2x lim ĐS:-3/4 12) lim ĐS:-1/4 x2 4x 1  3 x2 x  1  3  x x  2  2 2 4) lim ĐS:3/2 x 1 1 lim x 2 13) ĐS:4  x  7  3 x0 2 x 16  4 2x  7  3 5) lim ĐS:-4/3 x  3  2x x 1  2  x  3 14) lim ĐS:-2/9 2 x 3  x  3x x 2  x 6) lim ĐS:3
x  9  x 16  7 x 1  x 1 15) lim ĐS: 7/24 x0 x 7) 3  5  x lim ĐS:-1/3 x  a  x  a x4 1  5  x 16) lim , với a> 0. ĐS: xa 2 2 
2x  2  3x 1 x a 8) lim ĐS:-1/4 1/ 2a x 1  x 1 x  1 2x  3  x  2 17) lim ĐS:2 9) lim ĐS:1/6 x 1  x2  3  x3  3x x 1  x 3  3
Baøi 5: Tìm các giới hạn sau: (Một căn Bậc 3) 3  x5  x3  2 1) 4x 2 lim ĐS :1/3 4) lim ĐS:24 x2 x  2 x 1  3 x 1 3   2) 2x 1 1 3 2 lim ĐS:2/3 1  x 1 5) lim ĐS:1/3 x 1  x  1 2 x0 x x 3) lim ĐS:3 3 x 1 x0 3 1 x 1 6) lim ĐS:1 x 1  3 4x  4  2 2 TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG NHÓM TOÁN 5   7) 5x 1 1 lim ĐS:1 x0 x
Baøi 6: Tìm các giới hạn sau: (Hai căn khác bậc) 3
1 x  1 x 3 3 2 1) lim ĐS :1/6
5  x x  7 12) lim ĐS:-11/24 x0 x 2 x 1  x 1 3 3    2) x 1 x 1 3 lim ĐS:4/3    13) x 6 x 2 lim ĐS:-1/24 x0 2x  1  x  1 x2 x2  4 1 x 1 3) lim ĐS:3/2
1 4x. 1 6x 1 3 14) lim ĐS:5
x0 1 x 1 x0 x 3
2 1 x  8  x 3
1 2x. 1 4x 1 4) lim ĐS:13/12 15) lim ĐS:7/3 x0 x x0 x 3 x  4  x n  5) (1 x ) lim ĐS:-1/18 16) lim ĐS: 1/n x4 x 2  5x  4 x 1  (1 x) 2x  10 3  x  5 3 4 5 6) lim ĐS:-7/72
(1 x )(1 x )(1 x )(1 x ) 17) lim ĐS:1/120 x3 x 2  9 4 x 1  (1 x) 3
1 4x  1 6x 7) lim ĐS:0
3 x 1  1 x x0 x 18) lim ĐS:5/6 x0 x 3 10  x  x  2 8) lim ĐS:-1/3 x x2 x  2 19) lim ĐS:-6 3 3 x0 3 8 x  8  x
8x 11  x  7 9) lim ĐS:7/54 2     2 2x 1 x 3x 1 x2 x  3x  2 8) lim ĐS:0 x 1  3 x  2  x2  x  1 2 3 2
1 8x  1 6x 10) lim ĐS:2 2 x0 x
3 8x 11  x  7 11) lim ĐS:7/162 2 x2 2x  5x  2
Baøi 7: Tìm các giới hạn sau: ( sin x ta n x lim  1; lim =1) x0 x x0 x sin x 1 cos2x 1) lim ĐS: 2/ 10) lim ĐS: 2 2 x   x x  0 x 2 1 cosx  cos7x 11) lim ĐS:12 2) lim ĐS:1 2 x  0 x x0 cos x tan x  s in2x cosx  cos3x lim 3) lim ĐS: 0 12) ĐS:2 2 x  0 x0 cos x sin x tgx sin x 4) lim ĐS:4/3 13) lim ĐS:1/2 x0 tan 2x x     x 4 14)
1  cos x.cos 2x.cos 3x lim ĐS:14 sin5x x0 1  cos x 5) lim ĐS:5/3 x  0 3x 2 x sin 6) sin 5 . x sin 3 . x sin x 3 lim ĐS:1/3 15) lim ĐS:1/9 3 2 x0 45x x0 x 1 cos2x sin .
x cos x  sin x 7) lim ĐS:2 16) lim ĐS:0 x0 xsin x x0 x sin 1 cos4x 2 8) lim ĐS:4 2 1  1  sin 3x x0 2x 17) lim ĐS:3 2 x0 sin 2x 1  cos x 9) lim ĐS:4 1  cos x x0 x 1 1 18) lim ĐS:0
x0 1  cos x 2 TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG NHÓM TOÁN 1 cos3x 2 sin x  1 19) lim ĐS:9/25 40) lim ĐS:-1/2 x0 1 cos5x  x 4 cos 2 x  3 6 2  20) 1 cos 2x lim ĐS:4 sin x  cos x 2 x0 x sin x 41) lim  sin 2x  sin x  2 x 1  tgx 21) . lim ĐS:1 4 ĐS: x0 3sin x 1  tgx  42) lim 22) sin 2x tan 3x  lim ĐS:5 x 1  cot gx 4 ĐS: -1 x0 x
1 sin x  cos2x 43)  23) lim ĐS: -1 lim(x sin ) x x x0 sin x ĐS:   3 44) x  8 ĐS:12 24) tan x sin x lim lim ĐS:1/2 x 2  x  3 tan( ) 2 x0 x  1 3  25) cos 4x cos3x.cos5x lim ĐS: 18 45) lim    x ĐS: 0 x0 2 x x  0  sin x sin3x     cos( cos x) 22) 1 sin 2x cos2x lim ĐS:-1 26) lim 2
ĐS: BĐ góc phụ chéo x0 1  sin 2x  cos2x x0 x 2 sin 2
tan(a  x).tan(a  x)  tan a 2 46) L  lim . ĐS:tan4a-1 2 x0 x 27) sin 3x lim
ĐS: 4 3 Đặt ẩn phụ
(a  x) sin(a  x)  a sin a π 47) lim ĐS: (a+1)sina x 1  2 cos x 3 x  0 x 28) 4 - 2 x    lim ĐS:16/ 48) (ĐHGTVT-98): 1 2x 1 sin x lim ĐS:0 x2 px  cos x 0 3x  4  2  x 4 49) 3 2 2 x  1  x  1 ĐS:1 29) cos x  1 lim lim x  0 sin x x 1 1  x ĐS:0 50) 2 - 1 + cos x lim ĐS: 2 / 8 30)   lim tan 2x.  tan
x ĐS: 1/2 2 x 0 tan x  x  4  2 4 1 sin x  cosx 1  tgx 51) lim ĐS:1 31) lim 2 x0 sin x    x p 4 sin(x  ) x 4 52) ĐS:2/ ĐS: -2 lim(1- x)tan x 1  2 3
32) limx  2sin ĐS:3 3 2 2 3x -1 + 2x +1 x x 53) lim ĐS:4 x0 1-cos x 33) x  3  2x lim ĐS:-7/4 2 x x 1  tan(x  ) 1 54) lim ĐS:4/3 34) lim 1 (  cos 2x)tgx x0
1+ xsin x - cos x  x 2 ĐS:0
1+ sin 2x - 1-sin 2x 55) lim ĐS:2 sin  xx0 x 35) lim 6 ĐS:1/ 3 3  cos x - cos x
x 1  2 sin x 56) lim ĐS:-1/12 6 2 x0 sin x 2 sin x 1 2 36) lim ĐS:-1/2   57) 2sin x sin x 1 lim ĐS:-1  2 x 2 cos2 x 1 x 0  2sin x 3sin x 1 4 1 cos x.cos 2x.cos3x 37) 1 lim ĐS:0 58) lim ĐS:7 2  x0 x x cos x  tan x 2
1 cos x.cos 2x.cos3x...cos nx sin(x  ) 1 59) lim ĐS:n(n+1)(2n+1)/12 38) lim ĐS:-1/2 2 x0 x 2 x 1
x  4x  3  cos x     cos sin  x   60)  2 lim  ĐS:0 39)  4  lim ĐS:1 x0 sin tan x  x 1  2 sin x 4 2 TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG NHÓM TOÁN 3 61) 1 sin x  1sin x 1 cos x cos 2x cos3x lim ĐS:1 63) lim ĐS:3/2 x 0  tan x x0 1 cos 2x 3 62) 1 cot x lim ĐS:-3/4  3 x 2  cot x  cot x 4
Baøi 8: Tìm các giới hạn sau: (giống giới hạn dãy số chia cho mũ cao nhất, nhân liên hợp,Đặt nhân tử, dấu
giá trị tuyệt đối)
1) lim (3x3 5x2 + 7) ĐS: -  22) x 2 ĐS:-1;1 x lim x 2 2) lim (2 3
x  3x) ĐS:+  x  2 x 3 3 2
x  2x x 3) 3
lim (2x 3x) ĐS:±  23) lim ĐS:1 x x 2x  2 4) 2 lim 4 2x  3x  12 .ĐS:+  x  2x 23) ĐS: ± x lim x 2  x 2  4x  4 5) 2
lim x  3x  4 ĐS:±  x  2 2x  1  24) lim  . ĐS:-  2  3 x 
x1 (x  1) 2x  3  6) 5 lim ĐS:+  x 2 x  1 25) 5 lim ĐS:-  3 2x  x  (x  2 x 1 1)(x  3x  2) 7) lim ĐS:+  2 x  x  2  1 1  2x 26)  . ĐS:-  1 lim  2  x0 8) lim ĐS:2  x x  x x 1 4 x 1 4 5 27) lim ĐS: + 9) 3x  2x lim ĐS:+   3 2 x 1 
x  2x x 4 x 5x  x  4 2  1 1  x 1 28) lim   ĐS:-  2  10) lim ĐS:-1/5  x2  x  2 x  4  2 x 1 3x  5x 2 x 1 2 3x(2x 1) 29) lim ĐS:1/2 11) lim ĐS:6/5 2
x 2x x 1 2 x (5x 1)(x  2x) 2 2x x 1 x x 1 30) lim ĐS:-;+  12) lim ĐS:0 x x  2 2 x x  x 1 2 2x 1 2 lim 4x 1 31) ĐS:0 3 2 13) lim ĐS:-2/3; 2/3
x x  3x  2 x 3x 1 2
x  2x  3  4x 1 4 x  32) lim ĐS:-1;5 14) x lim ĐS:+  x 2
4x 1  2  x x 1  2x 2 x  x  x 2 15)
4x  2x 1  2  x lim ĐS:-2 33) lim ĐS:3;1/5 x x 10 x 2
9x  3x  2x 2
x  3x  2x 16) lim ĐS:1/3 2 x
(2x 1) x  3  3x 1 34) lim ĐS:2/5 2 2 x  x  2  3x 1 x x  5x 17) lim ĐS:4; -2/3 2 x  2 4x 1 1 x
x  2x  3x 35) lim ĐS:4 x 2
4x 1  x  2 18)    x lim x 5 ĐS:1 3 x x 1 2 x  5x  2 lim 2 36) ĐS:+  2x  7x 12 19) lim ĐS: 2 / 3 x 2 x 1 x 3 | x | 1  7 2 2x  x  10 4  37) lim ĐS:0 20) x 4 lim ĐS:- x 3 9  3x x x  4 x 4  x3  11 4 2   38) lim ĐS:+  21) 2x x 1 x  lim ĐS:-  2x 7 x 1  2x 3 TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG NHÓM TOÁN 2 2    6 2 39) 1 ( x 1 )( x) 3 ( x) x  4x  x  2 lim ĐS:1 40) lim ĐS:1 x 2 2 (2  x 3 )(  x) (4  x) 3 2 x (x  2)
Baøi 9: Tìm các giới hạn sau: (giống giới hạn dãy số chia cho mũ cao nhất, nhân liên hợp) 1)  2 lim  x x x     ĐS:1/2 14) 2
lim (3x  2  9x 12x  3) ĐS:- ;0 x   x  2) 2
lim ( x  x  x) ĐS:+  15)  2
lim 2x 1 4x 4x 3      ĐS:0 x x   3) lim ( 2
x  3x  2  x) ĐS:-3/2 16) lim ( 2
x  3x  2  x  ) 2 ĐS:+  x x 4) lim ( 2
x  3x  2  x) ĐS:+  17) lim ( 2
x  3x  2  x  ) 2 ĐS:-1/2 x x 5) lim   ĐS:0 18) 2
lim ( x 3x  2  x 1)ĐS:1/2;+    2 x 1 x x  x 6) 2
lim ( x  2x  4  x)ĐS:+ ;-1
19) lim  x2  2x  2 x2  x xĐS:0 x x
7) lim ( x  2  x  2) ĐS:0 20)  2 3 3 lim  x 1 x 1    ĐS:0 x  x   8) 2 2
lim ( x  4x  3  x  3x  2) ĐS:1/2;-1/2   x   
21) lim  x x x x  ĐS:1/2 x   9) 1 lim ĐS:2 x x2  x  1  x 22) 3 3 lim
2x 1  2x 1 ĐS:0 x 10) lim   ĐS:+    2 2x 1 x x  23) 3 3 2 lim
3x 1  x  2  ĐS:-  11) 2
lim x( x  5  x)ĐS:-1/2; + x x 24) lim
x . x  3  x  1ĐS:2 12) lim    ĐS:-1 x   2 x 1 x 1 x 
lim3 x3  6x2  x 25) ĐS:2 13) Cho f(x) = 2 x  2x  4 - 2 x  2x  4 . x
Tính các giới hạn lim f(x) và lim f(x), từ đó nhận 26) lim3 3 2 3 3 2
x x  1  x x  1ĐS:2/3 x x x
xét về sự tồn tại của giới hạn lim f(x).ĐS :-2 ;2 x
Baøi 10: Tìm các giới hạn sau:    a. x x 1 x x 1 lim
x  1 . b. lim ( 5  x  2x) c. lim . d. lim . e. lim     x1 x5    x  1 x 1 x  1 x 1 x1 2 3 x  x
ĐS:a. 0 b. 10 c.+ d. - e. 0 Baøi 11:   
Tìm các giới hạn sau nếu có a. | x 3 6 | | x 3 6 | | x 3 6 | lim . b. lim . c. lim .   x2 x  2 x2 x  2 x2 x  2 ĐS: a. 3 b. -3 c.Ko xđ
Baøi 12: Tìm các giới hạn sau: (Để ý đến dấu các biểu thức tử và mẫu khi tính giới hạn này) x 15 2  x 1) lim ĐS:-  5) lim ĐS:1/3 x 2  x  2  2 x 2  2x  5x  2 x 15  x 2) lim ĐS:+  2 6) lim ĐS:-1/3 x 2  x  2  2 x 2  2x  5x  2 2 1 3x  2x 2 x  2x 3) lim ĐS:-  7) lim ĐS:0 x 3  x  3 x 2  3x 1 2 x  4 3x 1 8) lim ĐS:5/2 4) lim ĐS:+  x 2  2 x 2  x  2 2 TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG NHÓM TOÁN x 1 2 x  3x  3 9) lim ĐS:1 16) lim ĐS:+  x 1  x 1  2 x 2 x x  2 x 1 2 x  3x  3 10) lim ĐS:-1 17) lim ĐS:-  x 1  x 1  2 x 2 x x  2 2 3 x  x 3 x  3x  2 11) lim ĐS:1/2 18) lim ĐS: 3 /3 x 0   2x 2 x 1  x  5x  4 2x 12) lim ĐS:-1;1  1 x   2 3 lim x x 19) ĐS:0;0 0 4x  x    x 0   x   2 x  3x  3 13) lim ĐS:-  2 x  x  2 x 2  x  2 20) lim ĐS:+  2  x 1 x  3x  3 x 1 14) lim ĐS:+  x 2  x  2 x  3 15) lim ĐS:- ;+ x 4  x  4
Baøi 13: Tìm các giới hạn một bên của hàm số tại điểm được chỉ ra: (Giới hạn một bên tiến tới 1 số)  2 9  x  1) khi x  3 f (x)   taïi x  3 x  3 ĐS:-6;-2; ko xđ 1
  x khi x  3  2 x  2xkhi x  2  3 2) f (x)  8 x
taïi x  2ĐS:-1/6; 32; K xđ 4  x 16 khi x  2  x 2  2 x  3x  2  khi x  1  3) 2 f (x)  x 1 
taïi x  1ĐS:-1/2; -1/2; -1/2  xkhi x  1  2  1 x 1  khi x  0  4) 3 f (x)  1 x 1 
taïi x  0 ĐS:3/2;3/2;3/2 3 khi x  0 2 Baøi 14:
Tìm giá trị của m để các hàm số sau có giới hạn tại điểm được chỉ ra:  3 x 1  1) khi x  1 f (x)   taïi x  1 x 1 ĐS:m=1
mx  2 khi x 1 x m khi x  0  2
f (x)   x 100x  3 taïi x  0 ĐS:m=1 khi x  0 2)  x  3 x 3m khi x  1  f (x)   2 taïi x  1 
x x m3 khi x  1  3) ĐS: m=2  1 3   khi x  1 f (x)  3  x  1 taïi x  1 x 1 ĐS:m=1;m=2 4)  2 2
m x  3mx  3 khi x  1
DẠNG 3: HÀM SỐ LIÊN TỤC VÀ CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM
Baøi 1: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm được chỉ ra: 2 TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG NHÓM TOÁN  x  3 2  khi x   1 4  x
1) f (x)     taïi x  1 khi x 2 x 1
 ĐS: LT 7) f(x) =  x  2 tại xo = 2 ĐS:K Lt  1  khi x  1 1  2x khix  2  x 3 2  3  khi x  1  x  khi x  0 
2) f (x)  x 1  taïi x 1ĐS:Lt  2 1 8) f(x) = tại x   o = 0 ĐS: Lt khi x 1 x 1 1 4  khi x  0 3  1 x 1  x3  x  6 x khi  2  x  5 3) f(x) =  2  khi x  5 x  x  2 tại xo = 2 ĐS: Lt
9) f (x)  2x 1  3 taïi x  5 ĐS:Lt 11  x khi  2   2 3 (
x  5)  3 khi x  5 1 2x  3 1
  cos x khi x  0  khi x  2
10) f (x)   taïi x  0 ĐS:K Lt 4) f(x) =  2  x tại xo = 2 ĐS:Lt  x 1 khi x  0 1  khi x  2  x 1  khi x  1  2 3
27x5x x
11) f (x)   taïi x  1 2  x 1 ĐS:Lt  khix 5) 2 f( ) x    2 taïi x 2 x 2x khi x  1 3x2 ĐS:Lt 1  khi x 2 x2  x 3   x khi 4 1 6) f(x) =  tại xo = 1ĐS:K Lt   2x x khi 3  1
Baøi 2: Tìm m, n,a để hàm số liên tục tại điểm được chỉ ra:  3 2
x x 2x2   1 x  1 x 1) khi x 1 f( ) x     taïi x 1 khi x 0 x 1  ĐS:m=0  x 3  5) f(x)=  tại xo= 0 ĐS:a=-3  x m khi x 1 4  x a  khi x  0 x3  2x  3  x  2 2) f(x) =   x khi 1  x 2 1 tại x0 = 1 ĐS:a=5/2 3     3x 2 2 a x khi  1  khi x  2  x  2  2 6) f(x)=  tại x = 2 ĐS:a=0 0 3) x khi x  1 f (x)   taïi x  1 ĐS:m=2 1 ax + khi x  2
2mx  3 khi x  1  4  x 3 2  2x   x khi 1 1 4) f(x) =  tại x0 = 1ĐS:a=2 2x  a x khi  1
Baøi 3: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng: x2  x 3   x khi 7 2 2  x  4 1) f(x) =  Lt / R  khi x  2  1 x khi x   2
4) f (x)   x  2 ĐS:Lt/ R  2  4  khi x  2 
x 3x  4 khi x  2  2
2) f (x)  5
khi x  2 ĐS:K Lt tại x=2  x  2  khi x   2
2x 1 khi x  2
5) f (x)   x  2 ĐS: Lt / R  3
x x  2 2 2 khi x  2  khi x  1   3 3) f (x)  x 1  ĐS:Lt/ R 4  khi x  1  3 TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG NHÓM TOÁN  2 x  3x  10  khi x 2 2  x  4
6) f(x)=  2x 3
khi 2 x 5 ĐS:K Lt tại x=5 x 2
3x 4 khi x 5  
Baøi 4: Tìm các giá trị của m để các hàm số sau liên tục trên tập xác định của chúng: 2
x x  2  1) khi x  2
f (x)   x 2 ĐS:m=3 m khi x  2 2
x x khi x 1 
2) f (x)  2 khi x  1 ĐS: m=1
mx 1 khi x 1 3 2
x x  2x  2  3) khi x  1 f (x)   x 1 ĐS:m=0 3  x m khi x  1 2  4) x khi x  1 f (x)   ĐS: m=2
2mx  3 khi x  1 2
TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG THÁI BÌNH NHÓM TOÁN
Baøi 5: Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm:
a) x3 – 2x – 7 = 0 ĐS: f(x) liên tục trên R và f(0).f(3)<0
b) x5 + x3 – 1 = 0 ĐS: f(0).f(1)<0
c) x3 + x2 + x + 2/3 = 0 ĐS: f(-1).f(0)<0
d) x3 – 6x2 + 9x – 10 = 0 ĐS: f(0).f(5)<0
e) x5 + 9x2 + x + 2 = 0 ĐS: f(-3).f(0)<0
f) cosx – x + 1 = 0 ĐS: f(0).f(3)<0 g) 5
x  3x  3  0 ĐS: f(-2).f(0)<0 h) 5
x x 1  0 ĐS: f(0).f(1)<0 i) 4 3 2
x x  3x x 1  0 ĐS: f(-2).f(0)<0
Baøi 6: Chứng minh rằng phương trình
a) x3 – 3x2 + 3 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 1;3) ĐS:f(-1)<0; f(0)>0; f(2)<0; f(3)>0
b) 2x3 – 6x + 1 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 2;2) ĐS:f(-2)<0; f(0)>0; f (1)<0; f(2)>0
c) x3 + 3x2 – 3 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 3;1) ĐS:f(-3)<0; f(-2)>0; f (0)<0; f(1)>0
d) x3 – 3x2 + 1 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 1;3) ĐS:f(-1)<0; f(0)>0; f (1)<0; f(3)>0
e) 2x2 + 3x – 4 = 0 có 2 nghiệm trong khoảng (– 3;1) ĐS:f(-3)>0; f(0)<0; f (1)>0
f) x5 – 5x4 + 4x – 1 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (0;5) ĐS:f(0)<0; f(1/2)>0; f (1)<0; f(5)>0 g) 5 3
x  5x  4x 1  0 có 5 nghiệm trên (–2; 3). ĐS:f(-2)<0; f(-3/2)>0; f(0)<0; f(1/2)>0; f (1)<0; f(3)>0
Baøi 7: Chứng minh rằng các phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt: 1) 3
x  3x 1  0 ĐS: f(-2)<0; f(0)>0; f (1)<0; f(2)>0 2) 3 2
x  6x  9x 1  0 ĐS: f(-4)<0; f(-3)>0; f (-1)<0; f(0)>0 3) 3
2x  6 1 x  3 ĐS: f(-7)<0; f(0)>0; f (1)<0; f(9)>0
Baøi 8: Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số: 1) 3
m(x 1) (x  2)  2x  3  0 ĐS:f(1).f(2)<0 2) 4 2
x mx  2mx  2  0 ĐS:f(0).f(2)<0
3) * a(x b)(x c)  b(x c)(x a)  c(x a)(x b)  0 HD: xét 4 TH: a4) x5-mx+m-4=0 HD: sử dụng giới hạn 62
TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG THÁI BÌNH NHÓM TOÁN
5) mx3-5x+2=0 HD: sử dụng giới hạn. f (x)
Khi m=0 pt luôn có nghiệm. Khi m ≠0 Đặt f(x)=Vt Khi đó l im
  nên luôn cố 2 số x m a,b để
f(a)/m.f(b)/m<0 nên pt luôn có nghiệm. 6) 2 3 2
(1 m )(x 1)  x x  3  0 ĐS: sử dụng giới hạn
7) cos x m cos2x  0 ĐS:f(/4)f(3/4)<0
8) m(2 cos x  2)  2sin 5x 1 ĐS: f(-/4)f(/4)<0
9) m(x – 1)3(x + 2) + 2x + 3 = 0 ĐS: f(1).f(-2)<0
10) (m2 + m + 1)x4 + 2x – 2 = 0 ĐS: f(0).f(1)<0
Baøi 9: Cho f(x) = ax2 + bx + c thoả mãn : 2a + 3b + 6c = 0
a)Tính a,b,c theo f(0), f(1) ,f(1/2)
b)Chứng minh rằng ba số f(0), f(1) ,f(1/2) không thể cùng dấu
c)Chứng minh rằng phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm trong (0;1)
Baøi 10: Chứng minh các phương trình sau luôn có nghiệm: 1) 2
ax bx c  0 với 2a + 3b + 6c = 0 2) 2
ax bx c  0 với a + 2b + 5c = 0 ĐS: f(0)+f(1/2)=0 3) 3 2
x ax bx c  0 ĐS: dựa vào giới hạn
Baøi 11: Cho 3 số a,b,c khác nhau .
Chứng minh rằng phương trình (x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a) = 0 Có 2 nghiệm phân biệt.
ĐS: f(a); f(b); f(c). Giả sử a < b < c. Thì f(a)>0; f(b)< 4 x   x x  8 x x  7 3 2 3 12 x  12 0;
f(c)>0 nên pt luôn có 2 nghiệm. Baøi 12:  1
Chứng minh rằng phương trình: 2
ax bx c  0 luôn có nghiệm x  0;  3  
với a  0 và 2a + 6b + 19c = 0. ĐS: f(0)+2f(1/3)=0
Baøi 13: Cho phương trình x4 – x – 3 = 0. Chứng minh rằng: phương trình có nghiệm xo  7 (1;2) và xo > 12 62
TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG THÁI BÌNH NHÓM TOÁN
CHUYÊN ĐỀ 5: ĐẠO HÀM – TIẾP TUYẾN
A. LÝ THUYẾT CƠ BẢN 1. Định nghĩa đạo hàm
+ Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) chứa xo f (x)  f (x ) f′(x o o) = lim xxo x  xo
+ Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại xo thì hàm số liên tục tại điểm đó.
2. Ý nghĩa của đạo hàm
+ k = f′(xo) là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại M (xo; yo) với yo = f(xo).
+ Phương trình tiếp tuyến tại M(xo; yo) là y = f′(xo)(x – xo) + yo.
3. Qui tắc tính đạo hàm
+ (C)′ = 0; x′ = 1; (xn)′ = n.xn–1 với mọi số thực n
+ (u + v)′ = u′ + v′; (u.v)′ = u′.v + v′.u; (u / v)′ = (u′v – v′u) / v²; (ku)′ = ku′; (1/v)′ = –v′ / v² (v ≠ 0)
+ Đạo hàm của hàm hợp: Nếu u(x) có đạo hàm theo x là u′(x) và hàm số y = f(u) có đạo hàm
theo u là f′(u) thì hàm số y = f(u(x)) có đạo hàm tại x là y′ = f′(u).u′(x)
4. Đạo hàm của hàm số lượng giác sin x + Giới hạn cơ bản lim  1 x0 x 1 1 + (sin x)′ = cos x + (cos x)′ = – sin x + (tan x)′ = + (cot x)′ = – 2 cos x 2 sin x 5. Vi phân + dy = y′dx
+ f(xo + Δx) ≈ f(xo) + f′(x). Δx
6. Đạo hàm cấp cao y(n) = [y(n–1)]′ với n ≥ 2
7. Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(xo; yo) là d: y = f′(xo) (x – xo) + yo
a. Viết phương trình tiếp tuyến song song với đường thẳng Δ: y = ax + b
+ Gọi tiếp điểm là M(xo; yo) 62
TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG THÁI BÌNH NHÓM TOÁN
+ Hệ số góc tiếp tuyến là k = f′(xo) = a
+ Tìm xo, yo rồi suy ra phương trình tiếp tuyến
b. Viết phương trình tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng Δ: y = ax + b
+ Gọi tiếp điểm là M(xo; yo)
+ Hệ số góc tiếp tuyến là k = f′(xo) = –1/a
+ Tìm xo, yo rồi suy ra phương trình tiếp tuyến B.BÀI TẬP DẠNG 1: ĐẠO HÀM
Câu 1. Cho hàm số y = 2x² – 3x + 1. Tính y'(1) A. 1 B. –1 C. 0 D. 2
Câu 2. Cho hàm số y = 2x³ – 3x² + 1. Tính y'(–1). A. 0 B. 12 C. 6 D. 1 2x 1 Câu 3. Cho hàm số y = . Tính y'(1). x 1 A. 1 B. –1 C. 3 D. –3
Câu 4. Cho hàm số y = 3 x 1  4 3  x . Tính y'(11/25) A. 5/2 B. 1/2 C. 0 D. 1 1 Câu 5. Cho hàm số y = . Tính y"(2). 2x  3 A. –4 B. 4 C. –8 D. 8
Câu 6. Tính đạo hàm của hàm số y = x³ – 3/x + 2 A. y' = 3x² + 3/x² B. y' = 3x² – 3/x² C. y' = 3x² – 6/x² D. y' = 3x² + 6/x² 4
Câu 7. Cho hàm số y = x x . Chọn biểu thức đúng với mọi x > 0 3 A. 2xy' – 3y = 0 B. 2xy' + 3y = 0 C. 3xy' – 2y = 0 D. 3xy' + 2y = 0
Câu 8. Tính đạo hàm của hàm số y = x²(x² – 1)(x² – 4) 62
TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG THÁI BÌNH NHÓM TOÁN A. y' = 5x5 – 12x³ + 4x B. y' = 6x5 – 16x³ + 8x C. y' = 6x5 – 20x³ + 8x D. y' = 6x5 – 15x³ + 8x x  3
Câu 9. Tính đạo hàm của hàm số y = 1 x A. y' = 3/(1 – x)² B. y' = 4/(1 – x)² C. y' = –4/(1 – x)² D. y' = –3/(1 – x)² 2 2x  4x
Câu 10. Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y = x 1 A. y' = 4/(x + 1)³ B. y' = 12/(x + 1)³
C. y' = –12/(x + 1)³ D. y' = –4/(x + 1)³
Câu 11. Tính đạo hàm của hàm số y = (x² + x + 1)³
A. y' = 3(x + 1)(x² + x + 1)²
B. y' = 6(2x + 1)(x² + x + 1)²
C. y' = 6(x + 1)(x² + x + 1)²
D. y' = 3(2x + 1)(x² + x + 1)²
Câu 12. Tính đạo hàm của hàm số y = (4x – x²)5.
A. y' = –10(2 – x)(4x – x²)4.
B. y' = 10(2 – x)(4x – x²)4.
C. y' = 20(2 – x)(4x – x²)4.
D. y' = –20(2 – x)(4x – x²)4. 1
Câu 13. Tính đạo hàm của hàm số y = 2 2 (x  2x)
A. y' = –2(x + 1)/(x² + 2x)³
B. y' = –4(x + 1)/(x² + 2x)³ C. y' = 2(x + 1)/(x² + 2x)³ D. y' = 4(x + 1)/(x² + 2x)³
Câu 14. Cho hàm số y = 3/x². Tính giá trị của biểu thức P = y"(1) + y'(1). A. P = –12 B. P = 30 C. P = 24 D. P = 12 Câu 15. Cho hàm số y = 2
2x  5x  2 . Chọn biểu thức đúng với mọi số thực x A. 2y"y³ = –9 B. 4y"y³ = 9 C. 4y"y³ = –9 D. 2y"y = 9
Câu 16. Cho hàm số y = (x² – 2) 2
x  2x  3 . Tính giá trị của biểu thức P = y'(1).y(1) A. P = 6 B. P = 8 C. P = 10 D. P = 12 Câu 17. Cho hàm số y = 3
( 1 x  1 x ) . Tính y'(0). 62
TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG THÁI BÌNH NHÓM TOÁN A. 2 B. 3 C. 6 D. 0 2 4  x Câu 18. Cho hàm số y =
. Giải phương trình yy' + 4 = 0 x 1 A. x = 0 B. x = 1 C. x = –2 D. x = 3 sin x
Câu 19. Tính đạo hàm của hàm số y = . 1 cos x
A. y' = 1/(1 + cos x)² B. y' = 1/(1 + cos x) C. y' = –1/(1 + cos x) D. y' = 2/(1 + cos x)²
Câu 20. Tính đạo hàm của hàm số y = x cos 2x A. y' = sin 2x – x cos 2x B. y' = cos 2x – x sin 2x C. y' = sin 2x – 2x cos 2x D. y' = cos 2x – 2x sin 2x
Câu 21. Tính đạo hàm của hàm số y = sin³ 2x A. y' = 3sin² 2x cos 2x B. y' = 6sin² 2x cos 2x C. y' = –3sin² 2x cos 2x D. y' = –6sin² 2x cos 2x
Câu 22. Cho hàm số y = tan³ (2x + π/6). Tính y'(π/12). A. 36 B. 48 C. 54 D. 72
Câu 23. Tính đạo hàm của hàm số y = x sin 2x – x² tan x
A. y' = sin 2x + 2x cos 2x – 2x tan x + x²/cos² x
B. y' = sin 2x + 2x cos 2x – 2x tan x – x²/cos² x
C. y' = sin 2x + 2x cos 2x + 2x tan x – x²/cos² x
D. y' = sin 2x + 2x cos 2x + 2x tan x + x²/cos² x
Câu 24. Cho hàm số y = sin² x + cos 2x. Giải phương trình y' = 1
A. x = π/4 + kπ, k là số nguyên
B. x = kπ, k là số nguyên
C. x = –π/4 + kπ, k là số nguyên
D. x = π/6 + kπ, k là số nguyên
Câu 25. Cho n là số nguyên dương. Tính đạo hàm của hàm số y = sinn x cos nx
A. y' = n sinn–1 x cos x cos nx – n sin nx sinn x
B. y' = n sinn–1 x cos x cos nx + n sin nx sinn x 62
TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG THÁI BÌNH NHÓM TOÁN
C. y' = –n sinn–1 x cos x cos nx + n sin nx sinn x
D. y' = –n sinn–1 x cos x cos nx – n sin nx sinn x 5x 1
Câu 26: Cho hàm số f (x) 
. Tập nghiệm của bất phương trình f (  x)  0 là 2x A. B.  \{0} C. ;0 D. 0;  2  x
Câu 27: Đạo hàm của hàm số y  3x  là: 1 7  5 7  5 A. y '  . y '  . C. y '  . D. y '  . 3x B. 1 3x  2 1 3x  2 1 3x  1 3x  4
Câu 28: Đạo hàm của hàm số f (x)  x   là 2x  tại điểm 1 1 11 1 11 A. B. C.  11 D.  3 5 9 x
Câu 29: Đạo hàm của hàm số f x 9   4x x  bằng: x  tại điểm 1 3 5 25 5 11 A. B. C. D. 8 16 8 8 3x  5
Câu 30: Cho hàm số y  1  
. Đạo hàm của hàm số là 2x 7 1 13 13 A. y '  y '  y '   y '  2 B. C. D. (2x 1) 2 (2x 1) 2 (2x 1) 2 (2x 1) 2 x  2x  3
Câu 31: Cho hàm số y x
. Đạo hàm của hàm số là 2 3 2 x  6x  7 2 x  4x  5 2 x  8x 1 A. y '  1  y '  y '  y '  2 B. C. D. (x  2) 2 (x  2) 2 (x  2) 2 (x  2)
Câu 32. Cho hàm số g(x) = (x + 1)cos x. Tính g"(π/2). A. 0 B. 1 C. 2 D. –2 62
TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG THÁI BÌNH NHÓM TOÁN
Câu 33. Cho hàm số y = x4 – 2x². Giải phương trình y' = 0 A. x = 0 V x = ±2 B. x = 0 V x = ±1 C. x = ±1 D. x = ±2
Câu 34. Cho hàm số y = sin 2x – 6 sin x + 4x. Giải phương trình y' = 0
A. x = π/2 + k2π hoặc x = ±π/6 + k2π, k là số nguyên
B. x = k2π hoặc x = ±π/6 + k2π, k là số nguyên
C. x = k2π hoặc x = ±π/3 + k2π, k là số nguyên
D. x = π/2 + k2π hoặc x = ±π/6 + k2π, k là số nguyên
Câu 35. Cho hàm số y = x³ – 3(m – 1)x² + 6(m – 2)x + 9m – 5. Tìm giá trị của m để y' > 0 với mọi số thực x. A. 1 < m < 3 B. 1 < m < 4 C. 1 < m < 2 D. 1 < m < 5
Câu 36. Tính đạo hàm cấp ba của hàm số y = cos 2x – sin² x A. y(3) = 8sin 2x B. y(3) = 12sin 2x C. y(3) = –12sin 2x D. y(3) = 4sin 2x
Câu 37. Tính đạo hàm cấp ba của hàm số y = 5x4 – 2x³ + 3x² – 6 A. y(3) = 20x – 6 B. y(3) = 60x – 12 C. y(3) = 120x – 12 D. y(3) = 120x – 24
Câu 38. Cho hàm số y = x cos x – sin x. Giải phương trình y(3) + y' = 1
A. x = ±π/6 + k2π, k là số nguyên
B. x = ±π/3 + k2π, k là số nguyên
C. x = ±5π/6 + k2π, k là số nguyên
D. x = ±2π/3 + k2π, k là số nguyên x  3 Câu 39. Cho hàm số y =
. Tập nghiệm của bất phương trình y" ≤ y'y là x  4 A. (4; 5] B. (–∞; 4)
C. (–∞; 4) U [5; +∞) D. [5; +∞)
Câu 40. Cho hàm số y = tan 2x. Tính y"(–π/8). A. 4 B. 8 C. 16 D. 32
Câu 41. Tính đạo hàm cấp n của hàm số y = 1/(1 + x)
A. y(n) = (–1)n n!/(1 + x)n.
B. y(n) = (–1)n n!/(1 + x)n+1.
C. y(n) = (–1)n+1 n!/(1 + x)n.
D. y(n) = (–1)n+1 (n + 1)!/(1 + x)n+1.
Câu 42. Tính đạo hàm cấp n của hàm số y = cos 4x 62
TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG THÁI BÌNH NHÓM TOÁN A. y(n) = 4n cos (4x + nπ/2)
B. y(n) = –4n cos (4x + nπ/2)
C. y(n) = 4n+1 cos (4x + nπ/2)
D. y(n) = 4n–1 cos (4x + nπ/2) 1
Câu 43. Tính đạo hàm cấp n của hàm số y = 2 x  3x  2
A. y(n) = (–1)n n![1/(x + 1)n + 1/(x + 2)n]
B. y(n) = (–1)n n![1/(x + 1)n – 1/(x + 2)n]
C. y(n) = (–1)n n![1/(x + 1)n+1 + 1/(x + 2)n+1] D. y(n) = (–1)n n![1/(x + 1)n+1 – 1/(x + 2)n+1] 1 x
Câu 44. Tính đạo hàm cấp n của hàm số y = x 1
A. y(n) = 2.(–1)n (n – 1)!/(x + 1)n+1.
B. y(n) = 2.(–1)n+1 n!/(x + 1)n+1.
C. y(n) = 2.(–1)n (n + 1)!/(x + 1)n+1.
D. y(n) = –2.(–1)n (n – 1)!/(x + 1)n+1.
Câu 45. Tính đạo hàm cấp n của hàm số y = sin² x
A. y(n) = 2n–1 sin (2x + nπ/2)
B. y(n) = 2n–1 cos (2x + nπ/2)
C. y(n) = 2n–1 sin [2x + (n – 1)π/2]
D. y(n) = 2n–1 cos [2x + (n – 1)π/2] Câu 46. Cho hàm số y = 2
2x  x . Chọn biểu thức luôn đúng với 0 < x < 2. A. y"y³ = –1 B. y"y³ = 1 C. y"y³ = –2 D. y"y³ = 2
Câu 47. Cho hàm số y = x tan x. Chọn biểu thức đúng với mọi x ≠ π/2 + kπ, k là số nguyên
A. x²y" = –2(x² + y²)(1 + y)
B. x²y" = 2(x² + y²)(1 + y) C. x²y" = (x² + y²)(1 + y)
D. x²y" = –(x² + y²)(1 + y) sin 5x Câu 48. Tìm giới hạn lim x0 sin 2x A. 5/2 C. 2/5 C. 1 D. –1 1 cos x Câu 49. Tìm giới hạn lim 2 x0 x A. 1 B. –1 C. 4 D. 2 cos x  cos 5x Câu 50. Tìm giới hạn lim x0 x sin x A. –4 B. –2 C. 2 D. 4 62
TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG THÁI BÌNH NHÓM TOÁN 2 (π  4x) Câu 51. Tìm giới hạn lim xπ/4 1 sin 2x A. 8 B. 16 C. 4 D. 2 π
Câu 52. Tìm giới hạn lim (  x) tan x xπ/2 2 A. 1 B. 1/2 C. 2 D. –1 sin(2x  π / 3) Câu 53. Tìm giới hạn lim xπ/6 3  2cos x A. 2 B. 4 C. 1 D. –1
Câu 54. Cho hàm số y = cos x + 3 sin x + 2x – 1. Giải phương trình y' = 0
A. x = –2π/3 + kπ, k là số nguyên
B. x = –5π/6 + kπ, k là số nguyên
C. x = 5π/6 + kπ, k là số nguyên
D. x = 2π/3 + kπ, k là số nguyên
Câu 55. Cho hàm số y = sin² x + 2cos x. Giải phương trình y' = 0
A. x = kπ, k là số nguyên
B. x = π/2 + kπ, k là số nguyên
C. x = π/6 + kπ, k là số nguyên
D. x = π/3 + kπ, k là số nguyên
Câu 56. Cho hai hàm số f(x) = 5cos³ x – sin x và g(x) = sin³ x. Giải phương trình g'(x) = f(x)
A. x = π/3 + kπ, k là số nguyên
B. x = π/6 + kπ, k là số nguyên
C. x = π/2 + kπ, k là số nguyên
D. x = π/4 + kπ, k là số nguyên
Câu 57. Cho hàm số y = mx³ – 6x² + 3mx – 15. Tìm giá trị của m sao cho y' > 0 với mọi số thực x A. |m| < 2 B. |m| > 2 C. 0 < m < 2 D. m > 2
Câu 58. Cho hàm số y = mx³ – 3mx² + 6(m + 1)x + 12. Tìm giá trị của m sao cho y' < 0 với mọi số thực x A. m < 0 V m > 2 B. m < 0 C. m < –2 D. –2 < m < 0
Câu 59. Cho hàm số y = x³ – 3x² + 3mx – 3. Tìm giá trị của m sao cho y' ≥ 0 với mọi số thực x. A. m ≥ 2 B. m ≤ 1 C. m ≥ 1 D. m ≤ 2 62
TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG THÁI BÌNH NHÓM TOÁN
Câu 60. Cho hàm số y = mx³ + 3mx² – 6(3 – m)x + 6m + 3. Tìm giá trị của m sao cho phương
trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt cùng dấu. A. 0 < m < 6 B. 0 < m < 3 C. m < 0 V m > 3 D. 3 < m < 6
Câu 61. Tính đạo hàm của hàm số y = (x³ + 2)³(x² – 3).
A. y' = 6x²(x² + 2)²(x² – 3) + 2x(x² + 2)³
B. y' = 9x²(x² + 1)²(x² – 3) + 2x(x² + 1)³
C. y' = 6x²(x² + 2)²(x² – 3) – 2x(x² + 2)³
D. y' = 9x²(x² + 1)²(x² – 3) – 2x(x² + 1)³ 2 x  3x 1
Câu 62. Tính đạo hàm của hàm số y = x  2
A. y' = 1 + 1/(x – 2)² B. y' = 1 – 3/(x – 2)² C. y' = 1 + 3/(x – 2)² D. y' = 1 – 1/(x – 2)²
Câu 63. Cho hàm số y = (–2x² + x + 3)³. Hệ số góc tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục Oy là A. k = –36 B. k = 36 C. k = –27 D. k = 27 x  2 Câu 64. Cho hàm số y = . Tính y'(0) 1 x A. 2 B. –2 C. 1 D. –1
Câu 65. Tính đạo hàm của hàm số y = sin³ (2π/3 – 2x)
A. y' = –6sin² (2π/3 – 2x) cos (2π/3 – 2x)
B. y' = –3sin² (2π/3 – 2x) cos (2π/3 – 2x)
C. y' = 3sin² (2π/3 – 2x) cos (2π/3 – 2x)
D. y' = 6sin² (2π/3 – 2x) cos (2π/3 – 2x)
Câu 66. Tính đạo hàm của hàm số y = (1/x) sin x
A. y' = (–1/x²) sin x – (1/x) cos x
B. y' = (–1/x²) sin x + (1/x) cos x
C. y' = (1/x²) sin x – (1/x) cos x
D. y' = (1/x²) sin x + (1/x) cos x sin x  cos x Câu 67. Cho hàm số y =
. Tính giá trị của biểu thức P = y² + y'. sin x  cos x A. P = 0 B. P = 1 C. P = –1 D. P = 2
Câu 68. Cho hàm số y = |cos x|. Tính y'(π). A. 0 B. 1 C. –1 D. không tồn tại 62
TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG THÁI BÌNH NHÓM TOÁN 2  x 1 1   Câu 69. Cho hàm số g(x) = x 0  x
. Tính giá trị của g'(0)  0 x  0 A. 0 B. 1 C. –1 D. không tồn tại
Câu 70. Cho hàm số y = x³ + 3(m – 1)x² + 3x – 9. Tìm giá trị của m sao cho y' > 0 với mọi số thực x A. 0 < m < 2 B. 0 < m < 1 C. 1 < m < 2 D. 1 < m < 3
DẠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN
Câu 1: Phương trình tiếp tuyến của hàm số y = 3
1 tại điểm có hoành độ bằng 2 là: A. y = x - 1 B. y = -1 C. y = 9x +15 D. y = 9x - 15
Câu 2: Một phương trình tiếp tuyến của hs y = 4
2 tại điểm có tung độ bằng 2 là: A. y = 2 B. y = 3x + 2 C. y = 16x - 23 D. y = x - 5
Câu 3: Một phương trình tiếp tuyến của hàm số y =
biết hệ số góc bằng -1 là: A. y = - x - 1 B. y = -x + 1 C. y = 3x +1 D. y = 3x - 2
Câu 4: Một phương trình tiếp tuyến của hàm số y =
biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = -3x +5 là: A. y = -3x - 1 B. y = -3x+2 C. y = -3x +11 D. y = -x - 2
Câu 5: Giả sử ∆ là phương trình tiếp tuyến của hàm số y =
tại điểm có hoành độ x0 = 1.
Tìm tất cả các giá trị của m để ∆ vuông góc với đường thẳng x + 2m – my = 0 A. m = - 1 B. m = 1 C. m = 5 D. m = - 5
Câu 6: Một phương trình tiếp tuyến của hàm số y = -x3 +3x - 3 biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = x +5 là: A. y = 3x - 1 B. y = 3x - 3 C. y = -3x +11 D. y = -x - 2
Câu 7: Cho đồ thị   3 2
C : y  x  3x  x 1. Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M có hoành độ
x  0 cắt đồ thị (C) tại điểm N (khác M). Tìm tọa độ điểm N. A. N 3;4 B. N 1;4 C. N 2;  1 D. N 1;0
Câu 8: Phương trı̀nh tiếp tuyến với đồ thi ̣ C cu   ta ̣i giao điểm cu 1  ̉ a hàm số 3 y x 1 ̉ a đồ thi ̣ C vơ 1 
́ i tru ̣c hoành có phương trı̀nh 62
TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG THÁI BÌNH NHÓM TOÁN A. y  3x 1 B. y  3x  3 C. y  0 D. y  3x  4
Câu 9: Cho hàm số y  x ln x 1 có đồ thi ̣ (C). Viết phương trı̀nh tiếp tuyến với đồ thi ̣ (C) ta ̣i
điểm có hoành đô ̣ x  2e 0
A. y  2  ln 2 x  2e 1
B. y  2  ln 2 x  2e 1
C. y   2  ln 2 x  2e 1
D. y  2  ln 2 x  2e 1 1
Câu 10. Tiếp tuyến tại điểm cực tiểu của đồ thị hàm số 3 2
y x  2x  3x  5 3
A. Song song với đường thẳng x  1
B. Song song với trục hoành C. Có hệ số góc dương D. Có hệ số góc bằng 1 
Câu 11. Cho hàm số y = x³ – 3x² + 3 có đồ thị (C). Gọi M(xo, yo) và N là hai điểm thuộc (C) đối
xứng với nhau qua gốc tọa độ. Hệ số góc tiếp tuyến tại M và N là A. ±3 B. ±9 C. –3 và 9 D. 6 và 12 2 x  3x Câu 12. Cho hàm số y =
có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) song song 2 (x 1) với trục Ox. A. y = 0 B. y = –2 C. y = 9/8 D. y = 1 2 (x 1) Câu 13. Cho hàm số y =
có đồ thị (C). Giả sử M, N là hai điểm thuộc (C) có các hoành x 1
độ đều là nghiệm của phương trình y' = 0. Viết phương trình đường thẳng d đi qua M, N. A. d: y = 2(x – 1) B. d: y = 2(x + 1) C. y = x – 1 D. y = x + 1
Câu 14. Cho hàm số y = x³ – 3x² + 2 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ xo = 1. A. y = 3x – 3 B. y = 3 – 3x C. y = 3x + 3 D. y = 9x – 9
Câu 15 Cho hàm số y = x³ – 3x + 2 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp
tuyến có hệ số góc là 9.
A. y = 9x – 18 hoặc y = 9x + 18
B. y = 9x – 14 hoặc y = 9x + 18
C. y = 9x – 14 hoặc y = 9x + 14
D. y = 9x – 22 hoặc y = 9x + 14 62
TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG THÁI BÌNH NHÓM TOÁN 3x 1 Câu 16. Cho hàm số y =
. Viết phương trình tiếp tuyến song song với đường thẳng Δ: y = 1 x x + 2018
A. y = x + 2 hoặc y = x – 8 B. y = x hoặc y = x – 8 C. y = x + 1 hoặc y = x
D. y = x + 1 hoặc y = x – 9
Câu 17. Cho hàm số y = –x³ + 3x² + 6x. Viết phương trình tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng Δ: x – 3y = 0.
A. y = –3x + 1 hoặc y = –3x + 27
B. y = –3x – 5 hoặc y = –3x + 27
C. y = –3x + 5 hoặc y = –3x – 9
D. y = –3x + 1 hoặc y = –3x – 9
Câu 18. Cho hàm số y = x² – 2(m + 2)x + 3(m + 8) có đồ thị (C). Tìm giá trị của m sao cho (C)
tiếp xúc với trục hoành A. m = 4 V m = –5 B. m = 2 V m = –6 C. m = 3 V m = –4 D. m = 6 V m = –2
Câu 19. Cho hàm số y = –x³ + 3x² – 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số sao cho
tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất. A. y = –2 B. y = 3x – 3 C. y = 3x + 3 D. y = 3x – 1 62
TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG THÁI BÌNH NHÓM TOÁN
CHUYÊN ĐỀ 6: PHÉP BIẾN HÌNH
Câu 1 : Cho (‐1;5) và M’(4;2) . Biết M’ là ảnh của M qua phép tịnh tiến . Khi đó
a) M (3;7) b) M (5;‐3) c) M (3;‐7) d) M (‐4;10)
Câu 2 : Trong mặt phẳng cho (‐1;3) và M’(‐2;5) . Biết (M) = M’ khi đó :
a) M’(‐1;‐2) b) M’(1;‐2) c) M’(‐3; 8) d) Đáp án khác
Câu 3: Cho v (3;3) và đường tròn (C) : x2 + y2 ‐2x +4y ‐4=0 . Ảnh của (C) qua T là (C’) a)
(x‐4)2 + (y‐1)2 = 9 b) (x‐4)2 + (y‐1)2 = 4
c) (x+4)2 + (y+1)2 = 9 d) x2 + y2 + 8x + 2y ‐4=0
Câu 4: Hình gồm hai đường tròn có tâm và bán kính khác nhau có bao nhiêu trục đối xứng ?
a) Một b) Hai c) Ba d) Vô số
Câu 5 : Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến đường thẳng d cho trước thành chính nó ?
a) Có vô số phép b) Không có phép nào
c) Có một phép duy nhất d) Chỉ có hai phép
Câu 6 : Câu nào sai đây là sai ?
a) Phép tịnh tiến là phép dời hình b) Phép đối xứng trục là phép dời hình
c) Phép quay, phép đối xứng tâm là phép dời hình d) Phép vị tự là phép dời hình
Câu 7 :Hình gồm hai đường tròn phân biệt có cùng bán kính có bao nhiêu tâm đối xứng
a) Một b) Hai c) Không có d) Vô số
Câu 8 : Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến một đường tròn cho trước thành chính nó ?
a) Một b) Không có c) Hai d) Vô số
Câu 9 : Trong mặt phẳng toạ độ Oxy nếu phép tịnh tiến biến điểm A (3;2) thành điểm
A’(2;3) thì nó biến điểm B (2,5) thành :
a) B’(5;5) b) B’(5;2) c) B’(1;1) d) B’(1;6) 62
TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG THÁI BÌNH NHÓM TOÁN
Câu 13 : Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M (2;3) . Hỏi trong 4 điểm sau điểm nào là ảnh
của M qua phép đối xứng qua trục Ox ?
a) A (3;2) b) D (‐2;3) c) B (2;‐3) d) C (3;‐2)
Câu 14 : Trong các mệnh đề sau , mệnh đề nào đúng ?
a) Có phép đối xứng tâm có hai điểm biến thành chính nó .
b) Phép đối xứng tâm có đúng một điểm biến thành chính nó .
c) Có phép đối xứng tâm có vô số điểm biến thành chính nó .
d) Phép đối xứng tâm không có điểm nào biến thành chính nó .
Câu 15 : Phép vị tự tâm I(‐1;2) tỉ số 3 biến điểm A(4;1) thành điểm có toạ độ :
a) (16;1) b) (14;1) c) (6;5) d) (14;‐1)
Câu 16 : Cho (‐4;2) và đường thẳng ∆: 2x‐y‐5=0 . Hỏi ảnh của ∆ qua T là ∆′ :
a) 2x‐y+5=0 b) x‐2y‐9 = 0 c) 2x+y‐15=0 d) 2x‐y‐15=0
Câu 17 : Cho tam giác ABC có A(2;4), B(5;1), C (‐1;‐2) . Phép tịnh tiến T biến ∆ABC
thành ∆A’B’C’ . Toạ độ trọng tâm của ∆A’B’C’ là :
a) (‐4;2) b) (‐4;‐2) c) (4;‐2) d) (4;2)
Câu 18 : Biết M’(‐3;0) là ảnh của của M(1;‐2) qua , M” (2;3) là ảnh của M’ qua . Toạ độ = ?
a) (3;‐1) b) (‐1;3) c) (‐2;‐2) d) (1;5)
Câu 19 : Cho đường tròn tâm O và hai đáy AB và CD song song với nhau . Phép đối xứng
trục biến A thành B , biến C thành D có trục đối xứng là đường thẳng :
a) Đường kính của (O) song song với AB b) Đường kính của (O) vuông góc với AB c)
Đường kính của (O) vuông góc với AC d) Đường kính của (O) vuông góc với BD
Câu 22 : Trong mặt phẳng cho tam giác ABC . Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của
AB,BC,CA. Khi đó phép tịnh tiến theo vectơ biến :
a) M thành B b) M thành N c) M thành P d) M thành A 62
TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG THÁI BÌNH NHÓM TOÁN
Câu 23 : Trong mặt phẳng cho tam giác ABC . Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của
AB,BC,CA. Khi đó phép tịnh tiến theo vectơ biến :
a) N thành B b) N thành M c) N thành P d) N thành C
Câu 26 : Phép biến hình nào sau đây không có tính chất : “ Biến một đường thẳng thành
đường thẳng song song hoặc trùng với nó ”
a) Phép tịnh tiến b) Phép đối xứng trục c) Phép đối xứng tâm d) Phép vị tự
Câu 27 : Trong các mệnh đề sau , mệnh đề nào đúng ?
a) Phép vị tự là một phép dời hình .
b) Có một phép đối xứng trục là phép đồng nhất .
c) Phép đồng dạng là một phép dời hình .
d) Thực hiện liên tiếp phép quay và phép vị tự ta được phép đồng dạng .
Câu 28 : Cho d: 2x+y‐3=0. Phép vị tự tâm O tỉ số 2 biến đường thẳng d thành :
a) 2x+y+3=0 b) 2x+y‐6=0 c) 4x+2y‐3=0 d) 4x+2y‐5=0
Câu 29 : Phép vị tự tâm O(0,0) tỉ số ‐2 biến đường tròn : (x‐1)2 + (y‐2)2 = 4 thành:
a) (x‐2)2 + (y‐4)2 =16 b) (x‐4)2 + (y‐2)2 =4 c) (x‐1)2 + (y‐2)2 =16 d) (x+2)2 + (y+4)2 =16
Câu 30 : Cho đường thẳng d có phương trình : x+y‐2=0 . Phép hợp thành của phép đối
xứng tâm O(0,0) và phép tịnh tiến theo (3;2) biến d thành đường thẳng :
a) x+y‐4=0 b) 3x+3y‐2=0 c) 2x+y+2=0 d) x+y‐3=0
Câu 31 : Cho d: 2x‐y=0 , phép đối xứng trục Oy biến đường thẳng d thành :
a) 2x+y‐1=0 b) 2x+y=0 c) 4x‐y+0 d) 2x+y‐2=0
Câu 32 : Cho hình vuông ABCD tâm O . Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của các cạnh
AB,BC,CD,DA. Phép dời hình nào sau đây biến ∆AMO thành ∆CPO :
a) Phép tịnh tiến vectơ
b) Phép đối xứng trục MP .
c) Phép quay tâm A góc quay ‐180° d) Phép quay tâm O góc quay 180° 62
TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG THÁI BÌNH NHÓM TOÁN
Đề chung cho câu 33,34,35 .
Cho tam giác ABC đều , có các đỉnh vẽ theo chiều dương . Trên đường thẳng BC lấy 2 điểm E và F sao cho 2 à
2 . Gọi M là điểm di động trên cạnh BC và M’ trên
cạnh AC sao cho BM = 2CM’.
Câu 33 : Phép biến hình nào biến điểm M thành điểm M’ :
a) Phép dời hình b) Phép đồng dạng c) Phép vị tự d) Không phải ba đáp án trên
Câu 34 : Gọi f là phép biến hình biến điểm M thành điểm M’ . Tâm của f nếu có là :
a) Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .
b) Giao điểm của cung lớn BAC và đường tròn , đường kính EF.
c) Giao điểm của cung nhỏ BC và đường tròn , đường kính EF .
d) Tâm là một điểm khác .
Câu 35 : Gọi O là phép quay đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , tam giác ABC bất biến trong phép quay nào ?
a) Q (O ; ) b) Q (O ; ) c) Q (O ; ) d) Đáp án khác
Câu 36 : Cho lục giác đều ABCDEF tâm O . Phép biến hình nào biến tam giác ABF thành tam giác CBD :
a) Quay tâm O góc quay 120° b) Quay tâm O góc quay ‐120°
c) Phép tịnh tiến theo vectơ
d) Phép đối xứng qua đường thẳng BE .
Câu 37 : Chọn mệnh đề sai
a) Phép tịnh tiến biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính .
b) Phép vị tự biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó .
c) Phép quay góc quay 90° biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó .
d) Phép quay góc quay 90° biến đường thẳng thành đường vuông góc với nó . 62
TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG THÁI BÌNH NHÓM TOÁN
Câu 38 : Trong các mệnh đề sau , mệnh đề nào sai ?
a) Hình gồm một đường tròn và một đoạn thẳng tuỳ ý có trục đối xứng .
b) Hình gồm hai đường tròn không bằng nhau có trục đối xứng .
c) Hinh gồm một đường tròn và một đường thẳng tuỳ ý có trục đối xứng .
d) Hình gồm một tam giác cân và đường tròn ngoại tiếp tam giác đó có trục đối xứng .
Câu 39 : Trong mặt phẳng , hình nào dưới đây có vô số tâm đối xứng
a) Hình tròn b) Đường thẳng c) Hình đa giác lồi có số cạnh là lẻ . d) Hình tam giác đều
Câu 40 : Trong mặt phẳng , hình nào dưới đây có vô số trục đối xứng
a) Hình tròn b) Hình vuông c) Hình đa giác lồi có số cạnh là lẻ d) Hình tam giác đều
Câu 41: Hình chữ nhật có bao nhiêu trục đối xứng a) Không có b) 4 c) 1 d) 2
Câu 42 : Hình tam giác đều có bao nhiêu trục đối xứng a) 3 b) 2 c) 1 d) Không có
Câu 43 : Hình tam giác đều có bao nhiêu tâm đối xứng
a) 4 b) 3 c) Vô số d) Không có
Câu 44: Hình tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau d và d’ .Vậy hình đó có bao nhiêu tâm đối xứng ? a) 0 b) 1 c) 2 d) Vô số
Câu 46 : Ảnh của đường thẳng d: ‐3x+4y+5=0 qua phép đối xứng trục Ox là :
a) 3x+4y‐5=0 b) 3x‐4y‐5=0 c) ‐3x+4y‐5=0 d) x+3y‐5=0
Câu 47: : Phép quay tâm O (0;0) góc quay 90° biến đường thẳng d: x‐y+1=0 thành đường
thẳng có phương trình là : 62
TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG THÁI BÌNH NHÓM TOÁN
a) x+y‐3=0 b) x+y+1=0 c) x‐y+3=0 d) x+y+6=0
Câu 48 : Tìm mệnh đề sai : Phép dời hình biến :
a) Một đoạn thẳng thành đoạn thẳng , một tia thành một tia .
b) Một đường thẳng thành một đường thẳng song song với nó .
c) Một đường tròn thành một đường tròn có bán kính bằng bán kính đường tròn đã cho
. d) Một tam giác thành một tam giác bằng nó .
Câu 49 : Phép vị tự tỉ số k biến hình vuông thành :
a) Hình thoi b) Hình bình hành c) Hình vuông d) Hình chữ nhật
Câu 50: trong mặt phẳng Oxy cho M(‐2;4). Toạ độ ảnh của M qua phép vị tự tâm O tỉ số k= ‐2 là
a) (‐8;4) b) (‐4;‐8) c) (4;8) d) (4;‐8)
Câu 51 : Cho hai đường tròn tiếp xúc ngoài với nhau và không bằng nhau . Xét các mệnh đề sau
I, Có hai phép vị tự biến đường tròn này thành đường tròn kia .
II, Tiếp điểm I là tâm vị tự của phép vị tự biến đường tròn này thành đường tròn kia .
III, Tỉ số vị tự là tỉ số hai bán kính .
a) Chỉ I và II b) Chỉ II và III c) Chỉ I và III d) Cả I,II,III
Câu 52 : Trong mặt phẳng , nếu phép biến hình :
a) Là phép dời hình thì đó là phép đồng dạng .
b) Là phép đồng dạng thì đó là phép dời hình .
c) Không phải là phép dời hình thì đó là phép đồng dạng .
d) Không phải là phép đồng dạng thì đó là phép dời hình .
Câu 53 : Trong mặt phẳng Oxy cho A(9;1) . Phép tịnh tiến theo vectơ biến A thành
a) B(4;‐6) b) C (14;8) c) D(13;7) d) E (8;14) 62
TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG THÁI BÌNH NHÓM TOÁN
Câu 54 : Trong mặt phẳng Oxy cho A(5;‐3) . Hỏi A là ảnh của điểm nào trong các điểm
sau qua phép tịnh tiến theo vectơ (5;7) là :
a) (0;‐10) b) (10;4) c) (4;10) d) (‐10;0)
Câu 55 : Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (x‐8)2 + (y‐3)2 =7 . Ảnh của đường tròn
qua phép tịnh tiến theo vectơ (5;7) là :
a) (x‐4)2 + (y‐3)2 =7 b) (x‐13)2 + (y‐10)2 =7 c) (x‐7)2 + (y‐5)2 =7 d) (x‐3)2 + (y+4)2 =7
Câu 56 : Trong mặt phẳng Oxy cho (1;3) , phép tịnh tiến theo vectơ này biến đường
thẳng d: 3x+5y‐8=0 thành đường thẳng :
a) 3x + 2y =0 b) 3x + 5y ‐ 26 = 0 c) 3x + 5y ‐ 9=0 d) 5x + 3y‐ 10=0
Câu 57 : Trong các phép tịnh tiến theo các vectơ sau phép tịnh tiến theo vectơ nào biến
đường thẳng d: 9x –7y+10=0 thành chính nó :
a) (7;9) b) (‐7;‐9) c) Không tồn tại vectơ thoả mãn yêu cầu d) a) và b) đúng
Câu 58 : Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (x‐8)2 + (y‐3)2 =7 . Ảnh của đường tròn
qua phép quay tâm O góc 90° là :
a) (x+3)2 + (y‐8)2 =7 b) (x+3)2 + (y‐8)2 = 4 c) (x+8)2 + (y‐3)2 =7 d) (x+8)2 + (y+3)2 =7
Câu 59 : Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho điểm M(2;2) . Trong 4 điểm sau điểm nào là
ảnh của điểm M qua phép quay tâm O góc ‐45° :
a) (2√2 ; 0) b) (‐2√2 ;0) c) (0;2√2 ) d) (0; ‐2√2 )
Câu 60 : Trong mặt phẳng Oxy , cho điểm M(4;6) và I(2;3) . Hỏi phép vị tự tâm I tỉ số k=2 biến M thành điểm :
a) (6;9) b) (2;4) c) (3;2) d) (6;4)
Câu 61 : Trong các khẳng định sau , khẳng định nào sai ?
a) Thực hiện liên tiếp hai phép đồng dạng thì được một phép đồng dạng .
b) Phép dời hình là phép đồng dạng tỉ số k=1
c) Phép vị tự có tính chất bảo toàn khoảng cách . 62
TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG THÁI BÌNH NHÓM TOÁN
d) Phép vị tự không là phép dời hình .
Câu 62 : Đồ thị hàm số y= cosx có bao nhiêu trục đối xứng ?
a) Không có b) 1 c) 2 d) Vô số
Câu 63 : Trong các mệnh đề sau , mệnh đề nào đúng ?
a) Tam giác có trục đối xứng b) Tứ giác có trục đối xứng
c) Hình thang có trục đối xứng d) Hình thang cân có trục đối xứng .
Câu 64 : Hợp thành của hai phép đối xứng trục có trục song song là phép :
a) Phép đối xứng trục b) Phép đối xứng tâm c) Phép quay d) Phép tịnh tiến
Câu 65 : Hợp thành của hai phép đối xứng trục có trục cắt nhau là phép :
a) Phép đối xứng trục b) Phép quay c) Phép tịnh tiến d) Phép đồng nhất
Câu 66 : Cho A (‐3;7 ) . Điểm A’ đối xứng với A qua O (0;0) có toạ độ là :
a) (‐6;14) b) (3;‐7) c) (3;7) d) (‐3;‐7)
Câu 67 : Cho A (‐3;7 ) . Điểm A’ đối xứng với A qua I (4;1) có toạ độ là :
a) (11;‐5) b) (11;‐7) c) (13;‐5) d) (9;‐5 ) .
Câu 68 : Cho A (‐3;7 ) . Điểm A’ đối xứng với A qua trục hoành có toạ độ là :
a) (3;7) b) (‐3;‐ 8) c) (3;‐7) d) (‐3;‐7 ) .
Câu 69 : Cho A (-3;7 ) . Điểm A’ đối xứng với A qua trục tung có toạ độ là :
a) (-3;-7) b) (3;7) c) (3; 6) d) (3;5 ) . 62
TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG THÁI BÌNH NHÓM TOÁN
CHUYÊN ĐỀ 7: QUAN HỆ SONG SONG I.
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Các yếu tố nào sau đây xác định một mặt phẳng duy nhất : A. Ba điểm
B. Một điểm và một đường thẳng
C. Hai đường thẳng cắt nhau D. Bốn điểm
Câu 2: Xét các mệnh đề sau :
1. Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau.
2. Hai đường thẳng không cắt nhau và không song song thì chéo nhau.
3. Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung Mệnh đề nào đúng ? A. 1 và 2 đúng B. 1 và 3 đúng C. Chỉ 3 đúng
D. Cả 1, 2 và 3 đều đúng
Câu 3: Mệnh đề nào sau đây đúng :
A. Một đường thẳng cắt hai đường thẳng cho trước thì cả ba đường thẳng đó cùng
nằm trong một mặt phẳng.
B. Một đường thẳng cắt hai đường thẳng cắt nhau tại hai điểm phân biệt thì cả ba
đường thẳng đó đồng phẳng.
C. Một đường thẳng cắt hai đường thẳng cắt nhau cho trước thì cả ba đường thẳng
đó cùng nằm trong một mặt phẳng. D. Cả B và C đúng.
Câu 4: Cho các giả thiết sau, giả thiết nào sau đây kết luận đường thẳng d1 // (P)
A. d1 // d2 và d2 // (P) B. d1P  
C. d1 // d2 và d2 (P) D. d1 // (Q) và (Q) // (P) 62
TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG THÁI BÌNH NHÓM TOÁN
Câu 5: Trong không gian cho 4 điểm không đồng phẳng, có thể xác định được
nhiều nhất bao nhiêu mặt phẳng phân biệt từ các điểm đó. A 2 B. 3 C. 4 D. 5
Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD với đáy là tứ giác lồi có các cạnh đối không song
song. AC cắt BD tại O, AD cắt BC tại I. khi đó, giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) là : A. SI B. SB C. SC D. SO
Câu 7: Cho tứ diện ABCD. Gọi I, K lần lượt là trung điểm AB, AD. Giao tuyến của (CDI) và (BCK) là : A. PR B. CR C. CP D.CQ
Câu 8: Cho tứ diện ABCD. Điểm M nằm trên đoạn AC. (P) qua M và song song
với AB. Thiết diện của (P) với tứ diện là : A. Hình thang
B. Hình bình hành C. Hình chữ nhật D. Hình vuông
Câu 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, M là trung điểm
SC. Gọi N là giao điểm của đường thẳng AM và (SBD). Khi đó, tỉ số AN / MN là : A. 2B. 3/2 C. 1 D. 2/3
Câu 10:Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau. Mệnh đề nào sau đây sai:
A. Nếu đường thẳng a  (Q) thì a // (P)
B. Mọi đường thẳng đi qua điểm A  (P) và song song với (Q) đều nằm trong (P).
C. d  (P) và d'  (Q) thì d //d'.
D. Nếu đường thẳng  cắt (P) thì  cũng cắt (Q).
Câu 11: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng:
A. Hai mp phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì song song với nhau.
B. Hai mp phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau. 62
TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG THÁI BÌNH NHÓM TOÁN
C. Nếu một đường thẳng song song với một trong hai mặt phẳng song song thì nó
song song với mặt phẳng còn lại.
D. Nếu một đường thẳng nằm trên một trong hai mặt phẳng song song thì nó song
song với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng còn lại.
Câu 12: Cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d  (P). Mệnh đề nào sau đây đúng:
A. Nếu A d thì A(P).B. Nếu A  (P) thì A  d.C. A, A  d  A  (P).
D. Nếu 3 điểm A, B, C  (P) và A, B, C thẳng hàng thì A, B, C  d.
Câu 13: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng:
A. Hai đường thẳng không cắt nhau và không song song thì chéo nhau.
B. Hai đường thẳng không song song thì chéo nhau.
C. Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau.
D. Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.
Câu 14: Cho 4 điểm không đồng phẳng A, B, C, D. Gọi M, N lần lượt là trung
điểm của AD và BC. Khi đó giao tuyến của mp (MBC) và mp (NDA) là: A. AD B. BC C. AC D. MN
Câu 15: Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh AD lấy điểm M, trên cạnh BC lấy điểm N
bất kì khác B, C. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua đường thẳng MN và song song với
CD. Khi đó thiết diện của tứ diện ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (P) là: A. Một đoạn thẳng. B. Một hình thang C. Một hình bình hành. D. Một hình chữ nhật.
Câu 16: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AC, BC. Điểm E  DE DP 1
cạnh AD, điểm P  cạnh BD sao cho 
 . Mệnh đề nào sau đây sai: DA DB 3 2 A. EP  MN
B. M, N, E, P đồng phẳng. 3 B. ME // NP D. MNPE là hình thang.
Câu 17: Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Gọi I, I' lần lượt là trung điểm của
cạnh BC, B'C'. Mệnh đề nào sau đây đúng: 62
TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG THÁI BÌNH NHÓM TOÁN A. AI // A'I'
B. AA'II' là hình chữ nhật C. AC' cắt A'I D. AI' cắt AB'.
Câu 18: Cho hình chóp S.ABCD. Mp (P) cắt các cạnh SA, SB, SC, SD lần lượt tại
A', B', C', D'. Gọi  = (SAB)(SCD), ' = (SAD)(SBC). Nếu (P)// hoặc (P)//' thì A'B'C'D' là A. Hình thang
B. Hình bình hành C. Hình chữ nhật D.Hình vuông.
Câu 19: Cho hình chóp S.ABC có AB = AC, SB = SC. H, K lần lượt là trực tâm
tam giác ABC và tam giác SBC, G và F lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và
tam giác SBC. Xét các mệnh đề sau:
(1) AH, SK và BC đồng qui
(2) AG, SF cắt nhau tại một điểm trên BC. (3) HF và GK chéo nhau. (4) SH và AK cắt nhau. Mệnh đề sai là: A. (1) B. (2) C. (3) D. (4)
Câu 20: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BC. Trên
đoạn BD lấy P sao cho BP = 2 PD. Khi đó giao điểm của đường thảng CD với mp (MNP) là:
A. Giao điểm của NP và CD.
B. Giao điểm của MN và CD.
C. Giao điểm của MP và CD. D. Trung điểm của CD. 62
TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG THÁI BÌNH NHÓM TOÁN II. TỰ LUẬN
Bài 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và BCD.
a) Chứng minh rằng MN song song với các mặt phẳng ABD và ACD.
b) Xác định thiết diện tạo bởi mặt phẳng qua MN và song song với BD.
Bài 2. Cho hình chop S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M và N lần lượt là trọng tâm các tam giác SAD và SCD.
a) Chứng minh rằng MN song song với mp(SAC).
b) Xác định thiết diện tạo bởi mp(BMN) với hình chop.
Bài 3. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi O và O’ lần
lượt là tâm của các hình bình hành ABCD và ABEF; M và N lần lượt là trọng tâm các tam giác ABD và ABE.
a) Chứng minh rằng OO’ song song với các mặt phẳng (ADF) và (BCE).
b) Chứng minh rằng MN song song với mp(CEF).
c) Gọi P là điểm trên cạnh AC và Q là điểm trên cạnh BF. Tìm vị trí của các điểm P và Q sao cho PQ song song với mp(CEF).
Bài 4. Cho tứ diện ABCD. Gọi M là trọng tâm của tam giác ABC và N là một điểm trên cạnh AD sao cho
AN = 2ND. Chứng minh rằng đường thẳng MN song song với mặt phẳng BCD.
Bài 5. Cho tứ diện ABCD. Gọi M là điểm trên cạnh AB sao cho MB = 2MA và N là điểm trên canh CD
sao cho MB = 2MA và N là một điểm thuộc cạnh CD (N không trùng với C và D).
a) Xác định thiết diện của mp(P) với tứ diện.
b) Tìm vị trí điểm N trên cạnh CD sao cho thiết diện trên là hình bình hành.
Bài 6. Cho tứ diện ABCD. Gọi M là điểm trên cạnh AB sao cho MB = 2MA. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua
M và song song với các đường thẳng BC và AD. Xác định thiết diện tạo bởi mp(P) với tứ diện. Thiết diện trên là hình gì?
Bài 7. Cho tứ diện ABCD. Gọi M là điểm trên cạnh AB(M không trùng với A và B) và N là một điểm MA CN
trên cạnh CD(không trùng với C và D) sao cho 
 1. Gọi (P) là mặt phẳng chứa MN và song AB CD song với BC.
a) Xác định thiết diện tạo bởi mp(P) với tứ diện.
b) Chứng minh rằng mp(P)//AD. 62
TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG THÁI BÌNH NHÓM TOÁN
Bài 8. Cho hình chop S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M là một điểm trên cạnh SC(không trùng
với S và C). Gọi (P) là mặt phẳng qua AM và song song với đường thẳng BD.
a) Xác định thiết diện tạo bởi mp(P) với hình chop. Tìm vị trí của điểm M sao cho thiết diện đi qua trọng tâm của tam giác SBD.
b) Gọi E và F lần lượt là giao điểm của mp(P) với các cạnh SB và SD. Gọi I là giao điểm của EF và AM.
Chứng minh rằng I là trung điểm của EF và tìm quỹ tích của điểm I khi M di chuyển trên cạnh SC(M không trùng với S và C).
Bài 9. Cho hình chop S.ABCD có đáy là hình bình hành.Gọi M là điểm trên cạnh SA(M không trùng với
S và A) và N là điểm trên cạnh SC(N không trùng với S và C). Gọi (P) là mặt phẳng qua MN và song song với BD.
a) Xác định thiết diện tạo bởi mp(P) với hình chop.
b) Tìm vị trí của M và N sao cho thiết diện trên là hình bình hành.
Bài 10. Cho hình chop S. ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M là điểm trên cạnh SB sao cho MS =
2MB. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua AM và song song với BD.
a) Xác định thiết diện tạo bởi mp(P) với hình chop.
b) Chứng minh rằng giao điểm của (P) với SC là trung điểm của SC.
Bài 11. Cho hình chop S.ABCD có đáy là một tứ giác lồi có các cặp cạnh đối nằm trên các đường thẳng
cắt nhau. Một mp(P) cắt các cạnh SA, SB, SC, SD lần lượt tại các điểm A’, B’, C’, D’. Gọi I là giao điểm của AC và BD.
a) Chứng minh rằng các đường thẳng A’C’, B’D’ và SI đồng quy tại một điểm.
b) Tìm điều kiện của mp(P) để tứ giác A’B’C’D’ là hình thang.
c) Tìm điều kiện của mp(P) để tứ giác A’B’C’D’ là hình bình hành.
Bài 12. Cho tứ diện ABCD. Gọi E là một điểm thuộc miền trong tam giác BCD. Gọi (P) là mặt phẳng qua
E và song song với các đường thẳng BC và AD và cắt các cạnh AB, AC, BD, CD lần lượt tại M, N, P, Q.
Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình bình hành. 62
TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG THÁI BÌNH NHÓM TOÁN
CHUYÊN ĐỀ 8: QUAN HỆ VUÔNG GÓC I. TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A, cạnh bên SA vuông góc
với đáy, M là trung điểm BC, J là trung điểm BM. Khẳng định nào sau đây đúng ?
A. BC  (SAB) B. BC  (SAM )
C. BC  (SAC) D. BC  (SAJ )
Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm I, cạnh bên SA vuông góc
với đáy. Khẳng định nào sau đây đúng ?
A. (SCD)  (SAD) B. (SBC)  (SI ) A
C. (SDC)  (SAI ) D. (SBD)  (SAC)
Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm I, cạnh bên SA vuông góc
với đáy. Điểm cách đều các đỉnh của hình chóp là
A. trung điểm SB B. Điểm nằm trên đường thẳng d // SA và không thuộc SC
C. trung điểm SC. D. trung điểm SD
Câu 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A, cạnh bên SA vuông góc với
đáy, M là trung điểm BC, J là trung điểm BM. Góc giữa 2 mặt phẳng (SBC) và (ABC) là: A. góc  SBA B. góc  SJA C. góc  SCA D. góc  SMA
Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I, cạnh bên SA vuông góc với
đáy, H,K lần lượt là hình chiếu của A lên SC, SD. Khẳng định nào sau đây đúng ?
A. (SIC)  (SCD)
B. (SCD)  (AKC) C. (SAC)  (SBD) D. ( AHB)  (SCD)
Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I, cạnh bên SA vuông góc với
đáy. Khẳng định nào sau đây đúng ?
A. (SBC)  (SI ) A
B. (SBD)  (SAC) C. (SDC)  (SAI ) D. (SCD)  (SAD)
Câu 7: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, cạnh bên SA vuông góc với
đáy, I là trung điểm AC, H là hình chiếu của I lên SC. Khẳng định nào sau đây đúng ?
A. (SBC)  (SAB)
B. (BIH )  (SBC) C. (SAC)  (SAB) D. (SAC)  (SBC)
Câu 8: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với
đáy, I là trung điểm AC. Điểm cách đều các đỉnh của hình chóp là
A. Điểm nằm trên đường thẳng d // SA, d đi qua M là trung điểm BI C. trung điểm SC
B. không tồn tại điểm cách đều các đỉnh của hình chóp D. trung điểm SB
Câu 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm I, cạnh bên SA vuông góc
với đáy. H,K lần lượt là hình chiếu của A lên SC, SD. Kí hiệu d ( ,
A (SCD)) là khoảng cách giữa
điểm A và mặt phẳng (SCD) . Khẳng định nào sau đây đúng ? A. d ( ,
A (SCD))  AC B. d ( ,
A (SCD))  AK C. d ( ,
A (SCD))  AH D. d ( ,
A (SCD))  AD
Câu 10: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với
đáy, I là trung điểm AC, H là hình chiếu của I lên SC. Khẳng định nào sau đây đúng ?
A. (SAC)  (SAB)
B. (BIH )  (SBC) C. (SAC)  (SBC) D. (SBC)  (SAB) 62
TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG THÁI BÌNH NHÓM TOÁN
Câu 11: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với
đáy, M là trung điểm BC, J là trung điểm BM. Khẳng định nào sau đây đúng ?
A. BC  (SAB) B. BC  (SAJ ) C. BC  (SAC) D. BC  (SAM )
Câu 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I, cạnh bên SA vuông góc với
đáy, H,K lần lượt là hình chiếu của A lên SC, SD. Khẳng định nào sau đây đúng ?
A. AK  (SCD) B. BC  (SAC)
C. AH  (SCD) D. BD  (SAC)
Câu 13: Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông. Điểm cách đều
các đỉnh của hình lăng trụ là
A. Giao điểm của A'B và ABC' B. không tồn tại điểm cách đều các đỉnh của hình lăng trụ
C. Giao điểm của A'D và AD' D. Giao điểm của A'C và AC'
Câu 14: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I, cạnh bên SA vuông góc với
đáy, BD = 2AC. Điểm cách đều các đỉnh của hình chóp là
A. trung điểm SC B. không tồn tại điểm cách đều các đỉnh của hình chóp .
C. Điểm nằm trên đường thẳng d // SA D. trung điểm SD
Câu 15: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với
đáy, I là trung điểm AC, H là hình chiếu của I lên SC. Kí hiệu d (a,b) là khoảng cách giữa 2
đường thẳng a và b. Khẳng định nào sau đây đúng ? A. d (S ,
A BC)  AB B. d (BI, SC)  IH C. d (SB, AC)  IH
D. d (SB, AC)  BI
Câu 16: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại B, cạnh bên SA vuông góc với
đáy, M là trung điểm BC, J là hình chiếu của A lên BC. Khẳng định nào sau đây đúng ?
A. BC  (SAJ ) B. BC  (SAB) C. BC  (SAC) D. BC  (SAM )
Câu 17: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại B, cạnh bên SA vuông góc với
đáy, M là trung điểm BC, J là hình chiếu của A lên BC. Kí hiệu d ( ,
A (SBC)) là khoảng cách giữa
điểm A và mặt phẳng (SBC) . Khẳng định nào sau đây đúng ? A. d ( ,
A (SBC))  AK với K là hình chiếu của A lên SC B. d ( ,
A (SBC))  AK với K là hình chiếu của A lên SM C. d ( ,
A (SBC))  AK với K là hình chiếu của A lên SB D. d ( ,
A (SBC))  AK với K là hình chiếu của A lên SJ
Câu 18: Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông. Khẳng định nào sau đây đúng ?
A. (AB 'C)  (BA'C ') B. ( AB 'C)  (B ' BD) C. ( AB 'C)  (D ' AB) D. ( AB 'C)  (D ' BC)
Câu 19: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A, M là trung điểm AB, N là
trung điểm AC, (SMC)  (ABC) , (SBN )  (ABC) , G là trọng tâm tam giác ABC, I là trung
điểm BC. Khẳng định nào sau đây đúng ?
A. (SIN )  (SMC) B. (SAC)  (SBN ) C. (SIM )  (SBN ) D. (SMN )  (SAI )
Câu 20: Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông. Khẳng định nào sau đây đúng ?
A. A'C  (B ' BD) B. A'C  (B 'C ' D) C. AC  (B ' BD ') D. AC  (B 'CD ') 62
TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG THÁI BÌNH NHÓM TOÁN
Câu 21: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm I, cạnh bên SA vuông góc
với đáy. H,K lần lượt là hình chiếu của A lên SC, SD. Kí hiệu d (a,b) là khoảng cách giữa 2
đường thẳng a và b. Khẳng định nào sau đây đúng ?
A. d ( AB, SC)  BS B. d ( AB, SC)  AK C. d ( AB, SC)  AH D. d ( AB, SC)  BC
Câu 22: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều. M, N lần lượt là trung
điểm AC và A'C'. G, G' lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và tam giác A'B'C'. Điểm cách đều
các đỉnh của hình lăng trụ là
A. trung điểm MN B. không tồn tại điểm cách đều các đỉnh của hình lăng trụ
C. trung điểm GG' D. trung điểm CC'
Câu 23: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại B, cạnh bên SA vuông góc với
đáy, I là trung điểm AC, H là hình chiếu của I lên SC. Góc giữa 2 mặt phẳng (SBC) và (SAC) là: A. góc  ASB B. góc  IHB C. góc  AHB D. góc  ACB
Câu 24: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại C, (SAB)  (ABC) , SA = SB , I
là trung điểm AB. Khẳng định nào sau đây sai ?
A. SI  (ABC) B. IC  (SAB) C.  
SAC SBC D. SA  (ABC)
Câu 25: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C , (SAB)  (ABC) , SA = SB
, I là trung điểm AB. Điểm cách đều các đỉnh của hình chóp nằm trên đường thẳng nào sau đây
A. đường thẳng SI
B. đường thẳng d // SI, d đi qua M là trung điểm BC
C. đường thẳng SC
D. đường thẳng d // SI, d đi qua G là trọng tâm tam giác ABC.
Câu 26: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại B, cạnh bên SA vuông góc với
đáy, M là trung điểm BC, J là hình chiếu của A lên BC. Góc giữa 2 mặt phẳng (SBC) và (ABC) là: A. góc  SBA B. góc  SJA C. góc  SMA D. góc  SCA
Câu 27: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều, I là trung điểm AB. Kí
hiệu d ( AA ', BC) là khoảng cách giữa 2 đường thẳng AA' và BC. Khẳng định nào sau đây đúng ?
A. d ( AA ', BC)  AB B. d ( AA ', BC)  IC C. d ( AA ', BC)  A ' B D. d ( AA ', BC)  AC
Câu 28: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B, I là trung
điểm AB. Khẳng định nào sau đây đúng ?
A. (ABC)  (B ' AC) B. (A' IC)  (A' AB) C. (A' BC)  ( A' AB) D. ( A' BC)  (A' AC)
Câu 29: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I, cạnh bên SA vuông góc với
đáy. Góc giữa 2 mặt phẳng (SBD) và (ABC) là: A. góc  SIA B. góc  SBA C. góc  SIC D. góc  SDA
Câu 30: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A, M là trung điểm AB, N là
trung điểm AC, (SMC)  (ABC) , (SBN )  (ABC) , G là trọng tâm tam giác ABC, I là trung
điểm BC. Khẳng định nào sau đây đúng ?
A. SI  (ABC) B. SG  ( ABC)
C. IA  (SBC)
D. SA  (ABC)
Câu 31: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều có trọng tâm G, cạnh bên SA vuông 62
TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG THÁI BÌNH NHÓM TOÁN
góc với đáy, I là trung điểm AC, dựng hình chữ nhật SAGN. Điểm cách đều các đỉnh của hình chóp là
A. trung điểm SC B. không tồn tại điểm cách đều các đỉnh của hình chóp
C. trung điểm SB D. trung điểm GN
Câu 32: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A, cạnh bên SA vuông góc với
đáy, M là trung điểm BC, J là trung điểm BM. Kí hiệu d ( ,
A (SBC)) là khoảng cách giữa điểm A
và mặt phẳng (SBC) . Khẳng định nào sau đây đúng ? A. d ( ,
A (SBC))  AK với K là hình chiếu của A lên SC B. d ( ,
A (SBC))  AK với K là hình chiếu của A lên SJ C. d ( ,
A (SBC))  AK với K là hình chiếu của A lên SB D. d ( ,
A (SBC))  AK với K là hình chiếu của A lên SM
Câu 33: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, (SAB)  (ABC) , SA =
SB , I là trung điểm AB. Khẳng định nào sau đây sai ?
A. IC  (SAB) B. SI  (ABC) C. AC  (SAB) D. AB  (SAC)
Câu 34: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh bên SA vuông
góc với đáy, I là trung điểm AC, M là trung điểm BC, H là hình chiếu của I lên SC. Kí hiệu
d (a,b) là khoảng cách giữa 2 đường thẳng a và b. Khẳng định nào sau đây đúng ?
A. d (BI , SC)  IH B. d (S ,
A BC)  AB C. d (S ,
A BC)  AM D. d (SB, AC)  BI
Câu 35: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B. M, N lần
lượt là trung điểm AC và A'C'. G, G' lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và tam giác A'B'C'.
Điểm cách đều các đỉnh của hình lăng trụ là A. trung điểm MN B. trung điểm GG'
C. không tồn tại điểm cách đều các đỉnh của hình lăng trụ D. trung điểm CC'
Câu 36: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I, cạnh bên SA vuông góc với
đáy, H,K lần lượt là hình chiếu của A lên SI, SD. Kí hiệu d ( ,
A (SBD)) là khoảng cách giữa điểm
A và mặt phẳng (SBD) . Khẳng định nào sau đây đúng ? A. d ( ,
A (SBD))  AH B. d ( ,
A (SBD))  AI C. d ( ,
A (SBD))  AK D. d ( ,
A (SBD))  AD
Câu 37: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B, I là trung
điểm AB. Kí hiệu d(AB, B 'C ') là khoảng cách giữa 2 đường thẳng AB và B'C'. Khẳng định nào sau đây đúng ?
A. d ( AB, B 'C ')  AB ' B. d ( AB, B 'C ')  BC ' C. d ( AB, B 'C ')  AA ' D. d ( AB, B 'C ')  AC '
Câu 38: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm I, cạnh bên SA vuông góc
với đáy. H,K lần lượt là hình chiếu của A lên SC, SD. Khẳng định nào sau đây đúng ?
A. BD  (SAC)
B. AK  (SCD) C. BC  (SAC) D. AH  (SCD)
Câu 39: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm I, cạnh bên SA vuông góc
với đáy. H,K lần lượt là hình chiếu của A lên SC, SD. Khẳng định nào sau đây đúng ?
A. (SAC)  (SCD) B. (SAC)  (SBD) C. (SAC)  (SBC) D. (SCD)  ( AKC) 62
TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG THÁI BÌNH NHÓM TOÁN
Câu 40: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều, I là trung điểm AB.
Khẳng định nào sau đây đúng ?
A. (A' IC)  (A' AB) B. (ABC)  (B ' AC) C. (A' BC)  ( A' AB) D. ( A' BC)  (A' AC)
Câu 41: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại C, (SAB)  (ABC) , SA = SB , I
là trung điểm AB. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) là: A. góc  SCI B. góc  SCA C. góc  ISC D. góc  SCB
Câu 42: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A, M là trung điểm AB, N là
trung điểm AC, (SMC)  (ABC) , (SBN )  (ABC) , G là trọng tâm tam giác ABC, I là trung
điểm BC. Khẳng định nào sau đây đúng ?
A. AB  (SMC) B. IA  (SBC) C. BC  (SAI ) D. AC  (SBN )
Câu 43: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, cạnh bên SA vuông góc
với đáy, M là trung điểm BC, dựng hình chữ nhật SAMN. Điểm cách đều các đỉnh của hình chóp là
A. trung điểm SC B. không tồn tại điểm cách đều các đỉnh của hình chóp
C. trung điểm SB D. trung điểm MN
Câu 44: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại B, cạnh bên SA vuông góc với
đáy, I là trung điểm AC, H là hình chiếu của I lên SC. Kí hiệu d (a,b) là khoảng cách giữa 2
đường thẳng a và b. Khẳng định nào sau đây đúng ? A. d (S ,
A BC)  AB B. d (SB, AC)  IH C. d (BI, SC)  IH D. d (SB, AC)  BI
Câu 45: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại B, cạnh bên SA vuông góc với
đáy, I là trung điểm AC, H là hình chiếu của I lên SC. Khẳng định nào sau đây đúng ?
A. (BIH )  (SBC) B. (SAC)  (SAB) C. (SBC)  (SAB) D. (SAC)  (SBC)
Câu 46: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và
nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính theo a khoảng cách từ điểm A đến mặt
phẳng (SCD) được kết quả a 3 a 3 a 3 A. B.
C. 3a D. 7 5 7
Câu 47: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm I, cạnh bên SA vuông góc
với đáy. H,K lần lượt là hình chiếu của A lên SC, SD. KN//CD, N thuộc SC. Góc giữa 2 mặt phẳng (SCD) và (SAD) là: A. góc  AKN B. góc  AKH C. góc  ADC D. góc  ASC
Câu 48: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A, M là trung điểm AB, N là
trung điểm AC, SB = AB, (SMC)  (ABC) , (SBN )  (ABC) , G là trọng tâm tam giác ABC, I,K
lần lượt là trung điểm BC, SA. Kí hiệu d (a,b) là khoảng cách giữa 2 đường thẳng a và b. Khẳng
định nào sau đây đúng ? A. d (S ,
A BC)  IA B. d (S ,
A MI )  IK C. d (S ,
A BC)  IK D. d (S , A BC)  IS
Câu 49: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt phẳng (SAB) vuông
góc với mặt phẳng đáy, SA=SB, góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng 450. Tính theo
a khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng (ABCD) được kết quả 62
TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG THÁI BÌNH NHÓM TOÁN a 3 a 5 a a 2 A. B. C. D. 2 2 2 2
Câu 50: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, mặt bên SBC là tam
giác đều cạnh a và mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt đáy. Tính theo a khoảng cách giữa hai
đường thẳng SA, BC được kết quả a 3 a 3 a 5 a 2 A. B. C. D. 4 2 2 2
Câu 51: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AB = a, góc giữa hai mặt phẳng
(A’BC) và (ABC) bằng 600. Tính theo a khoảng cách giữa hai mặt phẳng (ABC) và (A’B’C’) được kết quả 3a a 3a 5a A. B. C. D. 2 2 2 2
Câu 52: Cho lăng trụ ABCD.A1B1C1D1 có đáy ABCD là hình chữ nhật. AB = a, AD = a 3 .
Hình chiếu vuông góc của điểm A1 trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm AC và BD. Góc
giữa hai mặt phẳng (ADD1A1) và (ABCD) bằng 600. Tính khoảng cách từ điểm B1 đến mặt
phẳng (A1BD) theo a được kết quả a 2 a 3 a a 5 A. B. C. D. 2 2 2 2
Câu 53: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy,  0
BAD  120 , M là trung điểm cạnh BC và  0
SMA  45 . Tính theo a khoảng cách từ D đến
mặt phẳng (SBC) được kết quả a 6 a 6 a 5 a 3 A. B. C. D. 2 4 4 4
Câu 54: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều, (SAB)  (ABC) , SA = SB , I là
trung điểm AB. Điểm cách đều các đỉnh của hình chóp thuộc đường thẳng nào
A. đường thẳng d // SI, d đi qua M là trung điểm BC
B. đường thẳng d // SI, d đi qua G là trọng tâm tam giác ABC.
C. đường thẳng SB
D. đường thẳng SC
Câu 55: Cho hình lăng trụ ABC.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, AA = 2a và đường
thẳng AA tạo với mặt phẳng (ABC) một góc bằng 600 . Tính theo a khoảng cách từ D đến mặt
phẳng (SBC) được kết quả A. a 2 B. 3a
C. a 3 D. a 5
Câu 56: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại C, (SAB)  (ABC) , SA = SB =
AC , I là trung điểm SC, K là trung điểm SI . Góc giữa 2 mặt phẳng (SAC) và (SBC) là: A. góc  ASB B. góc  AKB C. góc  ACB D. góc  AIB
Câu 57: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = a, SA vuông góc
với mặt phẳng (ABC), góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 300. Gọi M là trung điểm
của cạnh SC.Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SAB) theo a bằng 62
TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG THÁI BÌNH NHÓM TOÁN 1 1 1
A. a B. a C. a D. a 3 4 2
Câu 58: Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, AB= a 2 ; SA = SB
= SC. Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC) bằng 600. Tính theo a khoảng cách từ
điểm S đến mặt phẳng (ABC) được kết quả a 3 a 2 A. B. a 2
C. a 3 D. 3 2
Câu 59: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I, cạnh bên SA vuông góc với
đáy, H,K lần lượt là hình chiếu của A lên SI, SD. M,N lần lượt là trung điểm của SB,AD. Kí hiệu
d (MN, SI ) là khoảng cách giữa 2 đường thẳng MN và SI. Khẳng định nào sau đây đúng ? 1 1
A. d (MN, SI ) 
AK B. d (MN, SI )  AI 2 2 1 1
C. d (MN, SI )  AB D. d (MN, SI )  AH 2 2
Câu 60: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, (SAB)  (ABC) , SA = SB
, I là trung điểm AB. Điểm cách đều các đỉnh của hình chóp thuộc đường thẳng nào
A. đường thẳng d // SI, d đi qua G là trọng tâm tam giác ABC.
B. đường thẳng SB
C. đường thẳng d // SI, d đi qua M là trung điểm BC
D. đường thẳng SC
DẠNG 2: KHOẢNG CÁCH
Câu 1.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA  (ABCD) và
SA = 2a. Tính khoảng cách từ điểm B đến mp (SAC). a a 2 A. B. a 2 C. a 2 D. 2 3 4 2
Câu 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA  (ABCD) và
SA a 6 . Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD). a 78 A. B. a 78 C. a 78 D. a 78 13 12 10 15
Câu 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác
đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính theo a khoảng cách từ
điểm A đến mặt phẳng (SCD) được kết quả a 3 a 3 A. a 3 B. C. 3a D. 7 5 7
Câu 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O,cạnh bằng a. Cho biết hai
mặt bên (SAB), (SAD) cùng vuông góc với đáy (ABCD) và SA a 2 62
TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG THÁI BÌNH NHÓM TOÁN
Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD) bằng:
A. a 10 B. a 5 C. a 2 D. a 10 5 5 3 15
Câu 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật SA  (ABCD). Cho AC
= 5a , AB = 4a , SA = a 3 . Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SCD) 3a 2a a 3a A. B. C. D. 4 3 2 2
Câu 6.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB a , AD  2a ,
SA  (ABCD) và SA a . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBN). 4a 33
A. a 33 B. 2a 33 C. D. a 33 33 33 33 11
Câu 7.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. AB  a 2 , BC = a,
SB  a 2 SB  (ABCD). Gọi H, K là hình chiếu của B trên SA, SC. Tính khoảng cách từ H đến mp(SBD). a 6 A. B. a 6 C. a 6 D. a 6 6 4 3 2
Câu 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = a 3 ,
SD= a 7 và SA  (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB. Tính
khoảng cách từ S đến mặt phẳng (MND). a 3 A. a 2 B. a 3 C. a 3 D. 2 3 4 2
Câu9. Cho hı̀nh chóp S.ABCD với ABCD là hı̀nh vuông ca ̣nh a, SA vuông góc với mă ̣t (ABCD) va a 3 ̀ SA=
Tı́nh khoảng cách giữa hai đường chéo nhau AB và SD 3 a a a a A. B. C. D. 3 5 4 2
Câu 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông góc
với mặt phẳng (ABCD), SA a 3 . Tính theoa khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC. A. a 21 B. a 21 C. a 21 D. a 21 7 3 21 2
Câu 11.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a tâm O,SA=a và SA
vuông góc với đáy . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AD là :
A. a 2 B. a 3 C. a 2 D. a 3 2 4 3 2 62
TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG THÁI BÌNH NHÓM TOÁN
Câu 12.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a tâm O,SA=a và SA
vuông góc với đáy . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD là :
A. a 2 B. a 3 C. a 2 D. a 2 4 3
Câu 13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = a 3 ,
SD= a 7 và SA  (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB. Tính
khoảng cách từ S đến mặt phẳng (MND). a 3 A. a 2 B. a 3 C. a 3 D. 2 3 4 2
Câu 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, SA = a 3 và SA
vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính khoảng cách giữa đường thẳng AD và mặt phẳng (SBC). a 3 A. a 3 B. C. a 3 D. a 3 3 2 4
Câu 15.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi . Biết rằng tứ diện SABD là
tứ diện đều cạnh a . Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC là :
A. a 3 B. 3a 3 C. a 3 D. 7a 3 4 4 2 2
Câu 16.Cho hình chóp S.ABCD , đáy là hình thang vuông tại A và B với AB= BC = a ,
AD = 2a , SA  (ABCD) và SA = a . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD là :
A. a 3 B. 3a 3 C. a 3 D. a 3 4 4 3 2
Câu 17.Cho hình chóp S.ABCD , đáy là hình thang vuông tại A và B với AB= BC = a ,
AD = 2a , SA  (ABCD) và SA = a . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SD là :
A. a 2 B. a 6 C. a 2 D. a 3 6 3 9 3
Câu 18.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA = a 3 và SA vuông
góc với mặt phẳng đáy. Tìm khoảng cách từ điểm A đến (SBD). a A. a 21 B. a 21 C. a 21 D. 3 21 7 7 62
TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG THÁI BÌNH NHÓM TOÁN 62