Công thức, cách tính góc giữa hai vecto kèm bài tập vận dụng - Toán 10

Cho hình chíp S.ABCD có đấy ABCD là hình bình hành với BC = 2a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy, Góc giữa hai đườn thẳng SD và BC nằm trong khoảng nào. Tài liệu giúp bạn tham khảo ôn tập và đạt kết quả cao. Mời bạn đọc đón xem!

Chủ đề:

Tài liệu chung Toán 10 384 tài liệu

Môn:

Toán 10 2.8 K tài liệu

Thông tin:
6 trang 1 tuần trước
Tác giả:
T
Thu Hoài
docx.com.vn

Bình luận

Vui lòng đăng nhập hoặc đăng ký để gửi bình luận.

Công thức, cách tính góc giữa hai vecto kèm bài tập vận dụng - Toán 10

Cho hình chíp S.ABCD có đấy ABCD là hình bình hành với BC = 2a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy, Góc giữa hai đườn thẳng SD và BC nằm trong khoảng nào. Tài liệu giúp bạn tham khảo ôn tập và đạt kết quả cao. Mời bạn đọc đón xem!

19 10 lượt tải Tải xuống

Chủ đề: Tài liệu chung Toán 10 384 tài liệu

Môn: Toán 10 2.8 K tài liệu

Thông tin:

6 trang 1 tuần trước

Tác giả:

Profile Thu Hoài


1. Kh
i ni
m g
c gi
a 2 vecto
* Kh
i ni
m góc  2 vecto: là g
c ng n nht m
t

quay bt k
c
a hai vecto n
o v vecto

hai vecto c
c

t ph
ng (Không gian) cho hai veto
v
. L y O l
m
m b k
, gi A l

m sao cho
= v
B l

m sao so = 
g
c gi l
g
c g
a hai vecto v
vecto . K
hiu : .
* 
c 
m c
a g
c gi
a 2 vecto:
-
- G
c gi
a hai vecto c

ng v
kh
c 0 luôn b ng 0
o
- G
c g


ng v
kh
c luôn b ng 180
o
- Nu = 90
o
th
ta n
i v
vuông g
c v
i nhau, k
hi
u l
ho
c 
c
bi
t 
c coi l
vuông g
c v
i m
i vecto.
* 
nh l
g
c gi
a 2 vecto:
_ G
c không x

nh nu t n t
i 1 vecto không hay c
th
n
i g
c b ng 0
- C
u kh
c 0, tin h
 chung g 
c
th
t
nh to
n.
2. Công th
c t
nh g
c gi
a hai vecto
* C
ch 1: S
d
ng 
nh ngh
a g
c gi
a 2 vecto 
t
nh g
c gi
a 2 vecto
- Cho hai vecto = v
= u kh
c vecto , ta c
:
* C
ch 2: T
nh cos g
c gi
a hai vecto t

suy ra g
c gi
a 2 vecto, c
ch n
y
p d
ng trong
h
to

:
- Cho hai vecto v
u kh
c veto ta c
:
⇔ ⇔

: G
c gi
a 2 vecto luôn c
s 
0
o

n 180
o
.
B
I T
P V
N DUNG LIÊN QUAN
B
i 1: Cho hai vecto kh
c vecto . Kh

nh n

ng
A. Hai vecto c

ch
khi gi
ch
a ch
ng song song v
i nhau
B. Hai vecto c

ch
khi gi
c
a ch
ng tr
ng nhau
C. Nu hai vecto c

ch
ng c

ng
D. Hai vecto c

ch
khi gi
c
a ch
ng song song ho
c tr
ng nhau.

p
n: D. Hai vecto c

ch
khi gi
c
a ch
ng song song v
b ng nhau.
B
i 2: Nu hai vecto c


ng v
i m
t vecto th
ba (v
c
u kh
c vecto không)
th

:
A. C

ng
B. C

d
i
C. B ng nhau


ng

p
n: ch
n A. Nu hai vecto c


ng v
i m
t vecto th
ba v
c
 kh
c
vecto không th

b ng nhau.
B
i 3: -b và cho c
c vecto a v
b tho
m
n |a| =
4, |b| = 2.

ng d
n gi
i:
Ta c
: c = a - b => c
2
= (a - b)
2
= a
2
- 2ab +b
2
= |a|
2
- 2|a|.|b|.cos(a,b) + |b|
2
=> c
2
= 4
2
- 2.4.1.cos60
o
+ 2
2
= 3 => |c| =
Ta l
i c
:
a . c = a. (a - b) = a
2
- a .b => a.c =3

a.c = |a|.|c|. Cos (a,c) <=> 3= 2. cos(a, c) => cos(a,c) = 3/(2 ) = /2 => g
c gi
a 2
vecto b 
.
B
i 4:G
i G l
tr
ng tâm tam gi
c vuông ABC v
i c
nh hyn BC = 12. Vecto c

d
i b ng bao nhiêu

d
i b ng 2

d
i b ng 4.

d
i b ng 8

d
i b ng 5

p
n: Ch
n A. Vecto c

d
i b ng 2
B
i 5: Ch
n kh


ng:
A. Hai vecto c
gi
vuông g
c th
c

B. Hai vecto c

ch


ng
C. Hai vecto c

gi
c
a ch
ng song song ho
c tr
ng nhau
D. Hai vecto c


ng v
i 1 vecto th
ba th
c

ng
B
i 6: Cho hai vecto c

d
i b ng 1 v
tho
m
u ki
n, T
nh g
c gi
a 2 vecto





p
n b
i 6: Ch
n D, ta c
cosa = -1/2 => g
c gi
a 2 vecto b 
(
p d
ng l
thuyt b
nh

ng b ng b

d
i).

p
n b
i 5: Ch
n C. Hai vecto c

gi
c
a ch
ng song song ho
c tr
ng nhau l
kh


ng.
B
i 7: Gi
s
v
l n 
t l
vecto ch
ch


ng th
ng a v
b. Gi
s
. T
nh g
c gi
a a v
b
A. -




p
n: D. G
c gi
a a v
b l

B
i 8: T
di
n OABC c
c
c c

t vuông g
c v
 u c

d
i l
I. G
i M
l

m c
a canh AB, G
c gi
a hai vecto b ng:





p
n: Ch

L
i gi
i chi tit: L y N l
 
m c
a AC suy ra MN // BC. Ta
c
:
x
t tam gi
c OMN c
OM = ON = 1/
MN = 1/2 BC = /2 => = 1/2 => = 60
o
=> = 120
o
B
i 9: 
b c

b
i b ng 1 v
tho
m
n
u ki
n |3a + 2b} = .

ng d
n gi
i: Ta c
:
|3a + 2b| = <=> (|3a 2b|)
2
= 7 <=> 9a
2
+ 12b + 4b = 7
V
a
2
= |a|
2
=1; b
2
= |b|
2
=1 ( b

ng b ng b

d
i)
Sau ra: 4 . 1 + 12ab + 9 . 1 = 7 <=> 12ab = 7 - 4 - 9 = -6 <=> ab = -1/2.

: cos(a; b) = (a.b) /(|a|.|b|) = -1/2
V
y g
c gi
a 2 vecto a v
b

B
i 10: Cho tam gi
c ABC vuông cân t
i A. T
nh g
c gi
a hai vecto
A, v
B. v

p
n: a, 
b, 
B
i 11: Cho h
nh thoi ABCD bit g
c BAD b 
, T
nh g
c gi
a hai vecto v
L
i gi
i: Ta c
AB // DC v
AB = DC (v
ABCD l
h
nh thoi) => = =>
M
= 120
o
=>
V y g
c gi
a hai vecto DC v
AD l

.
B
i 12: Cho h
nh ch
p S.ABCD c
 y l
h
nh vu
ng c
nh , SA vuông g
c v
i m
t ph
ng

y t
i A, SA = . Gc gi

ng th
ng SC v
m
t ph
ng ABCD





p
n, Ch
n B. G
c gi

ng th
ng SC v
m
c ph
ng ABCD l

.
L
i gi
i chi tit:
Ta c
SA vuông g
c v
i m
t ph
ng ABCD nên AC l
h
nh chiu c
a SC trên m
t ph
ng ABC. Do

g
c gi
a SC v
m
t ph
ng ABCD b ng g
c c
a SC v
AC b ng g
c SCA.
Xet h
nh vuôn ABCD, ta c
AC =
X
t tam gi
c SAC vuông t
i A, ta c
=> = 30 
B
i 13: Cho h
nh ch
p S.ABCD c
 y ABCD l
h
nh b
nh h
nh v
i BC = 2a, SA vuông g
c v
i
m
t ph

y, G
c gi

n th
ng SD v
BC n m trong kho
ng n
o
A. (20
o
; 30
o
)
B. (40
o
; 50
o
)
C. (30
o
; 40
o
)
D. (50
o
; 60
o
)
L
i gi
i chi ti
p
n D. (50; 60)
Ta c
BC // AD <=> g
c (SD, BC) = g
c SDA ( Do tam gi
c SAD vuông t
A nên g
c SDA < 90

)
X
t tam gi
c SAD vuông t
i A, ta c
tan = SA/AD = 3a/2a =3/2 => g
c SDA x p x

v
n m trong kho
ng (50
o
; 60
o
)
B
i 14: Cho t
di
n ABCD c
AC = BD = 2a. G
i M, N l
t l

m BC, AD. Bit t ng
MN = . T
nh g
c gi
a AC v
BD.




L
i gi
i chi tit: Ch

p

G
i I l

m c
a AB, ta c
IM = IN = a
p d

nh l
c
a cossin cho tam gi
c IMN ta c
:
=> g
c MIN b 
=> g
c gi
a AC v
BD b 
.
B
i 16: Cho h
nh ch
u S.ABCD c
c

y , canh bên 2a. G
c gi
a c
nh bên v
m
t

y b ng




L
i gi
i chi tit: Ch

p

Ta c
g
c gi
a c
nh bên v
m

y alf g
c gi
a SD v
(ABCD). G
i O l

m c
a AC v
BD. V
A.ABCD l
h
nh ch
u nên SO vuông g
c v
i m
t ph
ng ABCD.
=> OD l
h
nh chiu cua SD trên m
t ph
ng ABCD

g
c gi
a SD v
m
t ph
ng ABCD l
g
c SDO
X
t h
nh vuông ABCD c
OD = BD/2 = a
X
t tam gi
c SOD vuông t
i O => g
c SDO b 
| 1/6

Tài liệu khác của Toán 10

Preview text:

Công thức, cách tính góc giữa hai vecto kèm bài tập vận dụng
1. Khái niê ̣m góc giữa 2 vecto
* Khái niê ̣m góc giữa 2 vecto: là góc ngắn nhất mà ta ̣i đó quay bất kỳ của hai vecto nào về vecto
kia với điều kiện cả hai vecto có cùng phương. Trong mă ̣t phẳng (Không gian) cho hai veto và
. Lấy O là một điểm bấ kỳ, gọi A là điểm sao cho = và B là điểm sao so = . khi đó góc
gọi là góc gữa hai vecto và vecto . Kí hiệu : .
* Đă ̣c điểm của góc giữa 2 vecto: -
- Góc giữa hai vecto cùng hướng và khác 0 luôn bằng 0o
- Góc gữa hai vecto ngươ ̣c hướng và khác luôn bằ ng 180o - Nếu = 90o thì ta nói và
vuông góc với nhau, kí hiê ̣u là hoă ̣c . Đă ̣c biê ̣t
đươ ̣c coi là vuông góc với mo ̣i vecto.
* Đi ̣nh lý góc giữa 2 vecto:
_ Góc không xác đi ̣nh nếu tồn ta ̣i 1 vecto không hay có thể nói góc bằng 0
- Cả hai vecto đều khác 0, tiến hành đưa về chung gốc để có thể tính toán.
2. Công thức tính góc giữa hai vecto
* Cách 1: Sử du ̣ng đi ̣nh nghi ̃a góc giữa 2 vecto để tính góc giữa 2 vecto - Cho hai vecto = và = đều khác vecto , ta có:
* Cách 2: Tính cos góc giữa hai vecto từ đó suy ra góc giữa 2 vecto, cách này áp du ̣ng trong hê ̣ toa ̣ đô ̣: - Cho hai vecto và đều khác veto ta có: ⇔ ⇔
Lưu ý: Góc giữa 2 vecto luôn có số đo từ 0o o đến 180 .
BÀI TẬP VẬN DUNG LIÊN QUAN
Bài 1: Cho hai vecto khác vecto . Khẳng đi ̣nh nào sau đây đúng
A. Hai vecto cúng phương khi và chỉ khi giá chủa chúng song song với nhau
B. Hai vecto cùng phương khi và chỉ khi giá của chúng trùng nhau
C. Nếu hai vecto cùng phương thì chúng cùng hướng
D. Hai vecto cùng phương khi và chỉ khi giá của chúng song song hoă ̣c trùng nhau.
Đáp án: D. Hai vecto cùng phương khi và chỉ khi giá của chúng song song và bằng nhau.
Bài 2: Nếu hai vecto cùng ngươ ̣c hướng với mô ̣t vecto thứ ba (và cả 3 vecto đều khác vecto không) thì ba vecto đó: A. Cùng hướng B. Cùng đô ̣ dài C. Bằ ng nhau D. Ngươ ̣c hướng
Đáp án: cho ̣n A. Nếu hai vecto cùng ngược hướng với mô ̣t vecto thứ ba và cả ba vecto đề khác
vecto không thì ba vecto đó bằng nhau.
Bài 3: Tính góc giữa vecto a và vec to c, biết viecto c = a-b và cho các vecto a và b thoả mãn |a| = 4, |b| = 2. Hướng dẫn giải:
Ta có: c = a - b => c2 = (a - b)2 = a2 - 2ab +b2 = |a|2 - 2|a|.|b|.cos(a,b) + |b|2
=> c2 = 42 - 2.4.1.cos60o + 22 = 3 => |c| = Ta la ̣i có:
a . c = a. (a - b) = a2 - a .b => a.c =3
Do đó a.c = |a|.|c|. Cos (a,c) <=> 3= 2.
cos(a, c) => cos(a,c) = 3/(2 ) = /2 => góc giữa 2 vecto bằ ng 30 đô ̣.
Bài 4:Go ̣i G là tro ̣ng tâm tam giác vuông ABC với ca ̣nh hyền BC = 12. Vecto có đô ̣ dài bằng bao nhiêu A. Đô ̣ dài bằng 2 B. Đô ̣ dài bằng 4. C. Đô ̣ dài bằng 8 D. Đô ̣ dài bằng 5
Đáp án: Cho ̣n A. Vecto có đô ̣ dài bằng 2
Bài 5: Cho ̣n khẳng đi ̣nh đúng:
A. Hai vecto có giá vuông góc thì cùng phương
B. Hai vecto cùng phương thì chúng ngươ ̣c hướng
C. Hai vecto cùng phương thì giá của chúng song song hoă ̣c trùng nhau
D. Hai vecto cùng ngươ ̣c hướng với 1 vecto thứ ba thì cùng hướng
Bài 6: Cho hai vecto có đô ̣ dài bằng 1 và thoả mãn điều kiê ̣n, Tính góc giữa 2 vecto a. 30 đô ̣ B. 60 đô ̣ C. 90 đô ̣ D. 120 đô ̣
Đáp án bài 6: Cho ̣n D, ta có cosa = -1/2 => góc giữa 2 vecto bằng 120 đô ̣ (áp du ̣ng lý thuyết bình
phương cô hướng bằng bình phương đô ̣ dài).
Đáp án bài 5: Cho ̣n C. Hai vecto cùng phương thì giá của chúng song song hoă ̣c trùng nhau là khẳng đi ̣nh đúng. Bài 7: Giả sử và
lần lươ ̣t là vecto chỉ chỉ phương của 2 đường thẳng a và b. Giả sử
. Tính góc giữa a và b A. -30 đô ̣ B. 30 đô ̣ C. 150 đô ̣ D. 170 đô ̣
Đáp án: D. Góc giữa a và b là 170 đô ̣
Bài 8: Tứ diê ̣n OABC có các ca ̣nh OA, OB, OC đôi mô ̣t vuông góc và đều có đô ̣ dài là I. Go ̣i M
là trung điểm của canh AB, Góc giữa hai vecto bằ ng: A. 0 đô ̣ B. 45 đô ̣ C. 60 đô ̣ D. 120 đô ̣
Đáp án: Cho ̣n D. 120 đô ̣
Lời giải chi tiết: Lấy N là trung điểm của AC suy ra MN // BC. Ta có: xét tam giác OMN có OM = ON = 1/ MN = 1/2 BC = /2 => = 1/2 => = 60o => = 120o
Bài 9: Tính góc giữa 2 vecto a và b, biết rằng Cho 2 vecto a và b có đô ̣ bài bằng 1 và thoả mãn điều kiê ̣n |3a + 2b} = .
Hướng dẫn giải: Ta có: |3a + 2b| =
<=> (|3a 2b|)2 = 7 <=> 9a2 + 12b + 4b = 7
Vì a2 = |a|2 =1; b2 = |b|2 =1 ( bình phương vô hướng bằng bình phương đô ̣ dài)
Sau ra: 4 . 1 + 12ab + 9 . 1 = 7 <=> 12ab = 7 - 4 - 9 = -6 <=> ab = -1/2.
Do đó: cos(a; b) = (a.b) /(|a|.|b|) = -1/2
Vâ ̣y góc giữa 2 vecto a và b à 120 đô ̣
Bài 10: Cho tam giác ABC vuông cân ta ̣i A. Tính góc giữa hai vecto A, và B. và Đáp án: a, = 45 đô ̣ b, = 135 đô ̣
Bài 11: Cho hình thoi ABCD biết góc BAD bằng 120 đô ̣, Tính góc giữa hai vecto và
Lời giải: Ta có AB // DC và AB = DC (vì ABCD là hình thoi) => = => Mà = 120o =>
Vấ y góc giữa hai vecto DC và AD là 120 đô ̣.
Bài 12: Cho hình chóp S.ABCD có đấy là hình vuô ̣ng ca ̣nh
, SA vuông góc với mă ̣t phẳng đáy ta ̣i A, SA =
. Góc giữa đường thẳng SC và mă ̣t phẳng ABCD A. 20 đô ̣ B. 30 đô ̣ C. 45 đô ̣ D. 60 đô ̣
Đáp án, Cho ̣n B. Góc giữ đường thẳng SC và mă ̣c phảng ABCD là 30 đô ̣. Lời giải chi tiết:
Ta có SA vuông góc với mă ̣t phẳng ABCD nên AC là hình chiếu của SC trên mă ̣t phẳng ABC. Do
đó góc giữa SC và mă ̣t phẳng ABCD bằng góc của SC và AC bằng góc SCA.
Xet hình vuôn ABCD, ta có AC =
Xét tam giác SAC vuông ta ̣i A, ta có => = 30 đô ̣
Bài 13: Cho hình chíp S.ABCD có đấy ABCD là hình bình hành với BC = 2a, SA vuông góc với
mă ̣t phẳng đáy, Góc giữa hai đườn thẳng SD và BC nằm trong khoảng nào A. (20o; 30o) B. (40o; 50o) C. (30o; 40o) D. (50o; 60o)
Lời giải chi tiết: Đáp án D. (50; 60)
Ta có BC // AD <=> góc (SD, BC) = góc SDA ( Do tam giác SAD vuông ta ̣ A nên góc SDA < 90 đô ̣)
Xét tam giác SAD vuông ta ̣i A, ta có tan
= SA/AD = 3a/2a =3/2 => góc SDA xấp xỉ 56 đô ̣
và nằm trong khoảng (50o; 60o)
Bài 14: Cho tứ diê ̣n ABCD có AC = BD = 2a. Go ̣i M, N lần lươ ̣t là trung điểm BC, AD. Biết tằng MN =
. Tính góc giữa AC và BD. A . 30 đô ̣ B. 45 đô ̣ C. 60 đô ̣ D. 90 đô ̣
Lời giải chi tiết: Cho ̣n đáp án C. 60 đô ̣
Go ̣i I là trung điểm của AB, ta có IM = IN = a
Áp du ̣ng đi ̣nh lý của cossin cho tam giác IMN ta có:
=> góc MIN bằng 120 đô ̣ => góc giữa AC và BD bằng 60 đô ̣.
Bài 16: Cho hình chóp đều S.ABCD có ca ̣nh đáy
, canh bên 2a. Góc giữa ca ̣nh bên và mă ̣t đáy bằng A. 30 đô ̣ B. 45 đô ̣ C. 60 đô ̣ D. 90 đô ̣
Lời giải chi tiết: Cho ̣n đáp án C. 60 đô ̣
Ta có góc giữa ca ̣nh bên và mă ̣t đáy alf góc giữa SD và (ABCD). Go ̣i O là giao điểm của AC và
BD. Vì A.ABCD là hình chóp đều nên SO vuông góc với mă ̣t phẳng ABCD.
=> OD là hình chiếu cua SD trên mă ̣t phảng ABCD
Do đó góc giữa SD và mă ̣t phảng ABCD là góc SDO
Xát hình vuông ABCD có OD = BD/2 = a
Xét tam giác SOD vuông ta ̣i O => góc SDO bằng 60 đô ̣