Công thức Nhị thức Newton: Các dạng toán kèm bài tập chi tiết
1. Lý thuyết Nhị thức Newton
Nhị thức Newton là một định lý toán học quan trọng liên quan đến khai triển hàm mũ của tổng và
phân tích các đa thức bậc cao. Định lý Nhị thức Newton có ứng dụng rộng rãi trong toán học và
nhiều lĩnh vực khác, bao gồm:
+ Tính tổ hợp và chỉnh hợp: Định lý Nhị thức Newton là công cụ quan trọng trong việc tính toán
số cách sắp xếp hoặc chọn k phần tử từ n phần tử mà không quan trọng thứ tự, điều này có ứng
dụng trong nhiều vấn đề tổ hợp và chỉnh hợp.
+ Dãy số: Định lý Nhị thức Newton thường được sử dụng để chứng minh các thuộc tính của các
dãy số, ví dụ như dãy số Fibonacci và dãy số Pascal.
+ Xác suất và thống kê: Trong xác suất và thống kê, định lý Nhị thức Newton được sử dụng để
tính xác suất và biểu diễn các phân phối xác suất, nhất là trong việc tính toán xác suất của các biến ngẫu nhiên rời rạc.
+ Lý thuyết đồ thị: Công thức Nhị thức được sử dụng để tính toán số lượng đồ thị con trong một
đồ thị, điều này có ứng dụng trong lý thuyết đồ thị và các vấn đề liên quan đến mạng lưới.
Công thức Nhị thức Newton: Hệ quả:
Tính chất của công thức nhị thức Newton:
+ Số các số hạng của công thức là n + 1
+ Tổng số mũ của a và b trong mỗi số hạng luôn luôn bằng số mũ của nhị thức: (n – k) + k = n
+ Số hạng tổng quát của nhị thức là: Tk+1 = Cnk an-k bk ( Đó là số hạng thứ k + 1 trong khai triển ( a + b)n )
+ Các hệ số nhị thức cách đều hai số hạng đầu, cuối thì bằng nhau.
2. Các dạng bài toán Nhị thức Newton
Bài toán tìm số hạng thứ k trong khai triển nhị thức Newton
Bước 1: Khai triển nhị thức newton để tìm số hạng tổng quát: Khai triển nhị thức newton
Bước 2: Dựa vào đề bài, giải phương trình hai số mũ bằng nhau Số hạng chứa xm ứng với giá trị
k thỏa: np – pk + qk = m Từ đó tìm: k = ( m – np) / ( p – q) Vậy hệ số của số hạng chứa xm là:
Cnk an-k bk với giá trị k đã tìm được ở trên Nếu k không nguyên hoặc k > n thì trong khai triển
không chứa xm, hệ số phải tìm bằng 0
Chú ý: Xác định hệ số của số hạng chứa xm trong khai triển P(x) = ( a + bxp + cxq)n được viết
dưới dạng a0 + a1x + …+ a2nx2n Ta làm như sau: Viết
Viết số hạng tổng quát khi khai triển các số hạng dạng bxp + cxq Thành một đa thức theo lũy thừa
của x Từ số hạng tổng quát của hai khai triển trên ta tính được hệ số của xm
Chú ý: Để xác định hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức newton
Ta làm như sau: Tính hệ số ak theo k và n. Giải bất phương trình sau với ẩn số k.
Hệ số lớn nhất phải tìm ứng với số tự nhiên k lớn nhất thỏa mãn bất phương trình trên.
Bài toán tìm hệ số trong khai triển nhị thức Newton.
Tìm hệ số xk trong khai triển nhị thức newton
Phương pháp chung: Sử dụng công thức khai triển nhị thức newton. Tìm số hạng có chứa xk và tìm hệ số tương ứng.
Ví dụ: Tìm hệ số của x3 trong khai triển ( 2 + x)5 Giải: Ta có
Cho k = 3 ta được hệ số của x3 là: C35. 25-3 = 40
Bài toán tính tổng, chứng minh đẳng thức Phương pháp giải:
Sử dụng khai triển: (a + b)n = C0n an + C1n an-1b + C2n an-2b2 + …+ Cn-1 n abn-1 + Cnn bn
Suy ra điều phải chứng minh. Bằng cách thay a, b, n bằng các giá trị thích hợp ta sẽ được các đẳng
thức. Bài toán ứng dụng nhị thức newton trong các bài liên quan đến tổ hợp
Bài toán ứng dụng nhị thức newton trong các bài liên quan đến tổ hợp
Chọ một khai triển (a + x)n phù hợp, ở đây a là hằng số. Sử dụng các phép biến đổi đại số hoặc
lấy đạo hàm, tích phân. Dựa vào điều kiện bài toán, thay x bởi một giá trị cụ thể.
3. Một số bài tập vận dụng liên quan
Câu 1. Tìm hệ số của số hạng trong khai triển a) (2x – 3y)17 chứa x8y9 b) (3x – x2)12 chứa x15 c) chứa x11 d) chứa x2 Hướng dẫn giải
a) Số hạng tổng quát trong khai triển (2x −3y)17 là:
Để có số hạng chứa x8y9 thì: k = 9. Vậy hệ số của số hạng chứa x8y9 là:
b) Số hạng tổng quát trong khai triển (3x – x2)12 là:
Để có số hạng chứa x15 thì: 12 + k = 15 ⇔ k = 3. Vậy hệ số của số hạng chứa x15 là:
c) Số hạng tổng quát trong khai triển là:
Để có số hạng chứa x11 thì: 20 − 3k = 11 ⇔ k = 3. Vậy hệ số của số hạng chứa x11 là:
d) Số hạng tổng quát trong khai triển là:
Để có số hạng chứa x2 thì: Vậy hệ số của số hạng chứa x2 là:
Câu 2. Tìm hệ số của x5 trong khai triển : P(x) = (1 + x) + 2(1 + x)2 + ... + 8(1 + x)8. A. 630 B. 635 C. 636 D.637
Lời giải: Các biểu thức (1 + x), (1 + x)2, ⋯, (1 + x)4 không chứa số hạng chứa x5.
Hệ số của số hạng chức x5 trong khai triển 5(x + 1)5 là 5C55
Hệ số của số hạng chứa x5 trong khai triển 6(x + 1)6 là 6C56
Hệ số của số hạng chứa x5 trong khai triển 7(x + 1)7 là 7C57
Hệ số của số hạng chứa x5 trong khai triển 8(x + 1)8 là 8C58
Vậy hệ số của x5 trong khai triển P(x) là 5C55 + 6C56 + 7C57 + 8C58 = 636 Chọn đáp án C.
Câu 3. Tìm hệ số của x3 trong khai triển của biểu thức: Hướng dẫn giải:
Trong tổng này, số hạng Ck6 . 2k . x6 - 3k có số mũ của x bằng 3 khi và chỉ khi
Do đó hệ số của x3 trong khai triển của biểu thức đã cho là:
Câu 4. a) Tìm số hạng chứa x10 trong khai triển biết
b) Tìm số hạng chứa x2 trong khai triển
c) Tìm số hạng chứa x8 trong khai triển Hướng dẫn giải:
a) Tìm số hạng chứa x10 trong khai triển biết
Điều kiện n ∈ ℕ, n ≥ 4. Khi đó:
Khi đó số hạng tổng quát trong khai triển là:
Số hạng chứa x10 ứng với: 45 − 5k = 10 ⇔ k = 7.
Vậy số hạng chứa x10 trong khai triển là:
b) Tìm số hạng chứa x2 trong khai triển , biết
Điều kiện n ∈ ℕ, n ≥ 2. Khi đó:
Khi đó số hạng tổng quát trong khai triển là: Số hạng chứa x2 ứng với: 12 − 5k = 2 ⇔ k = 2.
Vậy số hạng chứa x2 trong khai triển là:
c) Tìm số hạng chứa x8 trong khai triển , biết
Điều kiện n ∈ ℕ, n ≥ 3. Khi đó:
Khi đó số hạng tổng quát trong khai triển là:
Số hạng chứa x8 ứng với: 14 − 2k = 8 ⇔ k = 3. Vậy số hạng chứa x8 trong khai triển là:
Câu 5. Xác định số nguyên dương n để trong khai triển (1 + x2)n có hệ số của x8 bằng 6 lần hệ số của x4. Hướng dẫn giải
Điều kiện n ∈ ℕ, n ≥ 4. Khi đó số hạng tổng quát trong khai triển là:
Hệ số của x8 là . Hệ số của x4 là
Do hệ số của x8 bằng 6 lần hệ số của x4 nên:
Vậy n = 11 là giá trị cần tìm. Câu 6.
a) Biết tổng các hệ số trong khai triển (1 + x2)n là 1024. Tìm hệ số của x12.
b) Tìm hệ số của x6 trong khai triển
với n là số nguyên dương và biết rằng tổng các
hệ số trong khai triển bằng 1024. Hướng dẫn giải
a) Biết tổng các hệ số trong khai triển (1 + x2)n là 1024. Tìm hệ số của x12. Đặt: P(x) = (1 + x2)n.
Tổng các hệ số trong khai triển P(x) là P(1) = 2n. Do tổng các hệ số trong khai triển (1 + x2)n là
1024 nên: 2n = 1024 ⇔ n = 10.
Khi đó số hạng tổng quát trong khai triển là:
. Số hạng chứa x12 ứng với: 2k = 12 ⇔ k = 6. Vậy hệ số của x12 là
b) Tìm hệ số của x6 trong khai triển
với n là số nguyên dương và biết rằng tổng các hệ số
trong khai triển bằng 1024. Đặt
. Tổng các hệ số trong khai triển P(x) là P(1) = 2n. Do
tổng các hệ số trong khai triển là 1024 nên: 2n = 1024 ⇔ n = 10.
Khi đó số hạng tổng quát trong khai triển là:
Số hạng chứa x6 ứng với: 2k = 6 ⇔ k = 3. Vậy hệ số của x6 là