78 trang 25 lượt tải

Cực trị hàm hợp và hàm liên kết (VD – VDC) – Đặng Việt Đông Toán 12

50

Cực trị hàm hợp và hàm liên kết (VD – VDC) – Đặng Việt Đông Toán 12 được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

Chủ đề: Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số 375 tài liệu

Môn: Toán 12 3.9 K tài liệu

Tác giả:

Profile

Mai Nguyệt

1 năm trước
Danh sách Quiz
/78
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 1
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
CỰC TRỊ
HÀM HỢP VÀ HÀM LIÊN KẾT
(Mức độ VD-VDC)
ÔN THI TNTHPT 2020
Dạng 1: Cực trị f(x), f(u),… biết các đồ thị không tham số
Dạng 2: Cực trị f(x), f(u),… biết các BBT, BXD không tham số
Dạng 3: Cực trị f(x), f(u),…liên quan biểu thức đạo hàm không tham số )
Dạng 4: Cực trị của hàm liên kết h(x) = f(u) + g(x) biết các BBT, đồ thị không tham số
Dạng 5: Cực trị hàm hợp f(u), g(f(x)), hàm liên kết…có tham số
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 2
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
CỰC TRỊ HÀM HỢP VÀ HÀM LIÊN KẾT
Dạng 1: Cực trị f(x), f(u),… biết các đồ thị không tham số (Không GTTĐ)
Câu 1. Cho hàm số =
(
)
có đồ thị như hình bên dưới. Hàm số =
(
)
có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 3. B. 2. C. 5. D. 4.
Lời giải
Chọn A
Gọi =, với 1<<4 là điểm cực tiểu của hàm số =
(
)
Từ đồ thị ta có bảng biến thiên của hàm số =
(
)
như sau
Ta có =
(
)
⇒
󰆒
=2.
󰆒
(
)
Cho
󰆒
=0 ⇔
2=0
󰆒
(
)
=0
⇔
=0
=0
=
⇔
=0
=±
√
, với 1<<4
Bảng biến thiên của hàm số =
(
)
Vậy hàm số =
(
)
có 3 cực trị.
Câu 2. Cho hàm số bậc bốn =
(
)
có đồ thị như hình bên.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 3
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
Số điểm cực trị của hàm số
(
)
=
(
−
+ 2
)
là
A. 5. B. 3. C. 7. D. 9.
Lời giải
Chọn A
Ta có:
󰆒
(
)
=
(
−2+ 2
)
󰆒
(
−
+ 2
)
.
󰆒
(
)
=0⇔
−2+ 2=0
󰆒
(
−
+ 2
)
=0
⇔
=1
−
+ 2=,∈
(
−2;−1
)
−
+ 2=,∈
(
−1;0
)
−
+ 2=,∈
(
1;2
)
.
Đặt ℎ
(
)
=−
+ 2.
ℎ
󰆒
(
)
=−2+2.
ℎ
󰆒
(
)
=0⇔=1.
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên, ta suy ra:
+ Phương trình: −
+ 2=,∈
(
−2;−1
)
: có 2 nghiệm đơn.
+ Phương trình: −
+ 2=,∈
(
−1;0
)
: có 2 nghiệm đơn.
+ Phương trình: −
+ 2=,∈
(
1;2
)
: vô nghiệm.
Suy ra số điểm cực trị của hàm số
(
)
=
(
−
+ 2
)
là 5.
Câu 3. Cho hàm số =
(
)
liên tục trên ℝ và có đồ thị như hình vẽ bên. Hỏi hàm số =
(
)
có
bao nhiêu điểm cực trị?
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 4
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
A.
6
.
B. 8. C. 7. D. 9.
Lời giải
Chon D
Ta có:
󰆒
=
󰆒
(
)
.
󰆒
(
)
⇒
󰆒
=0⇔
󰆒
(
)
.
󰆒
(
)
=0⇔
󰇩
󰆒
(
)
=0
󰆒
(
)
=0
.
Lại có
󰆒
(
)
=0⇔
=∈
(
1;2
)
=2
=∈
(
2;3
)
;
󰆒
(
)
=0⇔󰇯
(
)
=∈
(
1;2
)
(
)
=2
(
)
=∈
(
2;3
)
.
Quan sát đồ thị ta thấy phương trình
(
)
=;
(
)
=2;
(
)
= có tổng tất cả 6 nghiệm phân biệt khác
các nghiệm=; =2; =. Từ đó suy ra phương trình
󰆒
=0 có 9 nghiệm đơn phân biệt. Suy ra
hàm số đã cho có 9 điểm cực trị.
Câu 4. Cho hàm số
(
)
=
+ 
+ + có đồ thị như hình bên dưới.
Số điểm cực trị của hàm số =
(
−2
+ 4
)
là
A. 3. B. 4. C. 2. D. 5.
Lời giải
Chọn D
Quan sát đồ thị
(
)
, hàm số có hai điểm cực trị =−2; =0 vì vậy
󰆒
(
)
=3
+ 2+ có hai
nghiệm =−2; =0 nên
󰆒
(
)
=3
(
+ 2
)
.
Ta có:
󰆒
=
(
−4+ 4
)
󰆒
(
−2
+ 4
)
=3
(
−4+ 4
)(
−2
+ 4
)(
−2
+ 4+ 2
)
󰆒
=−48
(
−2
)(
−1
)(
−2−1
)
đổi dấu khi qua các điểm =0; =2; =1; =1±
√
2.
Vậy hàm số đã cho có 5 điểm cực trị.
Câu 5. Cho hàm số =
(
)
xác định và có đạo hàm
󰆒
(
)
trên tập số thực ℝ. Đồ thị hàm số =
󰆒
(
)
cho như hình vẽ bên.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 5
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
Hàm số
(
)
=
(
+ + 2
)
có điểm cực đại là:
A. =1. B. =−
. C. =
. D. =−2.
Lời giải
Chọn B
󰆒
(
)
=
(
2+ 1
)
󰆒
(
+ +2
)
.
Câu 9. Cho hàm số bậc ba =
(
)
có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Tìm số điểm cực trị của hàm số
(
)
=
(
−
+ 3
)
.
A. 5. B. 4. C. 6. D. 3.
Lời giải
Chọn A
󰆒
(
)
=
(
−
+ 3
)
󰆒
.
󰆒
(
−
+ 3
)
=
(
−2+ 3
)
󰆒
(
−
+ 3
)
.
Ta có
󰆒
(
)
=0⇔
(
−2+ 3
)
󰆒
(
−
+ 3
)
=0⇔
−2+ 3=0
󰆒
(
−
+ 3
)
=0
⇔
󰇩
=
󰆒
(
−
+ 3
)
=0
Xét phương trình
󰆒
(
−
+ 3
)
=0. Dựa vào đồ thị hàm số =
(
)
, ta thấy
󰆒
(
−
+ 3
)
=0⇔
−
+ 3=0
−
+ 3=−2
⇔
=0
=3
−
+ 3+ 2=0
⇔
⎣
⎢
⎢
⎢
⎡
=0
=3
=

√

=

√

.
Bảng biến thiên hàm số
(
)
=
(
−
+ 3
)
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 6
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
Nhìn vào bảng biến thiên,
󰆒
(
)
=0 có 5 nghiệm phân biệt và
󰆒
(
)
đổi dấu khi qua các nghiệm này nên
hàm số
(
)
=
(
−
+ 3
)
có 5 điểm cực trị.
Câu 10. Cho hàm số =
(
)
có đạo hàm
󰆒
(
)
trên ℝ và đồ thị của hàm số =
󰆒
(
)
như hình vẽ. Hàm
số
(
)
=
(
−2−1
)
đạt cực đại tại giá trị nào sau đây?
A. =2. B. =0. C. =−1. D. =1.
Lời giải
Chọn D
Ta có
󰆒
(
)
=
(
2−2
)
.
󰆒
(
−2−1
)
. Cho
󰆒
(
)
=0⇔
=1
−2−1=−1
−2−1=2
⇔
=0
=±1
=2
=3
Ta có bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số đạt cực đại tại =1.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 7
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
Câu 11. Cho hàm số =
(
)
có đạo hàm liên tục trên ℝ và
(
0
)
<0, đồng thời đồ thị hàm số =
󰆒
(
)
như hình vẽ bên dưới
Số điểm cực trị của hàm số
(
)
=
(
)
là
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Lời giải
Chọn C
Dựa vào đồ thị, ta có
󰆒
(
)
=0⇔
=−2
=1
(
é
)
.
Bảng biến thiên của hàm số =
(
)
Xét
󰆒
(
)
=2
󰆒
(
)
(
)
;
󰆒
(
)
=0⇔
󰆒
(
)
=0
(
)
=0
↔
theo BBT
(
)
=−2
=1
(
nghi�m kép
)
=
(
<−2
)
=
(
>0
)
.
Suy hàm g(x) = 0 có 3 nghiệm đơn.
Vậy hàm số
(
)
có 3 điểm cực trị.
Chú ý: Dấu của
󰆒
(
)
được xác định như sau: Ví dụ chọn =0∈
(
−1;
)
=0 →
theo đó thì 󰆒
(
)
󰆒
(
0
)
>0.
(
1
)
Theo giả thiết
(
0
)
<0.
(
2
)
Từ
(
1
)
và
(
2
)
, suy ra
󰆒
(
0
)
<0 trên khoảng
(
−1;
)
.
Nhận thấy =−2; =; = là các nghiệm đơn nên
󰆒
(
)
đổi dấu khi qua các nghiệm này. Nghiệm
=1 là nghiệm kép nên
󰆒
(
)
không đổi dấu khi qua nghiệm này.
Câu 13. Cho hàm số =
(
)
. Biết rằng hàm số =
󰆒
(
)
liên tục trên ℝvà có đồ thị như hình vẽ bên.
Hỏi hàm số =
(
5 −
)
có bao nhiêu điểm cực trị?
y=0
f(-2)
f(0)
++ +
-
0
0
+∞1
0
-2
-∞
f
f'
x
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 8
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
A. 7. B. 9. C. 4. D. 3.
Lời giải
Chọn A
Ta có
󰆒
=−2
󰆒
(
5 −
)
⇔
=0
5 −
=−4
5 −
=1
5 −
=4
⇔
=0
=±3
=±2
=±1
.
Ta có BBT
⇒hàm số =
(
5 −
)
có 7điểm cực trị.
Câu 16. Cho hàm số =
(
)
. Hàm số =
󰆒
(
)
có đồ thị trên một khoảng như hình vẽ bên.
Trong các khẳng định sau, có tất cả bao nhiêu khẳng định đúng ?
(
)
. Trên , hàm số =
(
)
có hai điểm cực trị.
(

)
. Hàm số =
(
)
đạt cực đại tại
.
(

)
. Hàm số =
(
)
đạt cực tiểu tại
.
A. 3. B. 0. C. 1. D. 2.
Lời giải
Chọn D
Dựa vào đồ thị của hàm số =
󰆒
(
)
, ta có bảng xét dấu:
Như vậy: trên , hàm số =
(
)
có điểm cực tiểu là
và điểm cực đại là
,
không phải là điểm
cực trị của hàm số.
Câu 17. Cho hàm số =() liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 9
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
Hỏi hàm số =
(
)
có bao nhiêu điểm cực trị ?
A. 7 B. 9 C. 6 D. 8
Lời giải
Chọn B
Ta có ′ = ′
(
)
.′()
Suy ra '=0 ⇔
′()=0(1)
′
(
()
)
=0(2)
Dựa vào đồ thị trên ta thấy
+ có 3 nghiệm phân biệt
<
=2<
<3
+ ⇔󰇯
()=
∈(1;2)
()=
=2
()=
∈(2;3)
.
Phương trình ()=
∈(1;2) có 2 nghiệm đơn phân biệt
Phương trình ()=2có 2 nghiệm đơn phân biệt
Phương trình ()=
∈(2;3) có 2 nghiệm đơn phân biệt.
Vậy hàm số đã cho có 9 cực trị.
Câu 18. Cho hàm số
(
)
xác định trên ℝ và có đồ thị
󰆒
(
)
như hình vẽ. Hàm số =
(
−4+ 1
)
có
mấy điểm cực trị
A. 5. B. 4. C. 3. D. 2
Lời giải
Chọn C
Ta có =
(
−4+ 1
)
⇒
󰆒
=
(
2−4
)
.
󰆒
(
−4+ 1
)
.
󰆒
=0⇔
2−4=0
󰆒
(
−4+ 1
)
=0
⇔
=2
−4+1=−2
−4+1=1
⇔
=2
=1;=3
=0;=4
.
Quan sát đồ thị hàm số
󰆒
(
)
ta có
󰆒
(
)
đổi dấu qua =1 nên hàm số =
(
)
có một cực trị tại =
1.
2
1
x
y
O
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 10
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
Mà =1, =3 là nghiệm kép, còn các nghiệm còn lại là nghiệm đơn nên hàm số =
(
−4+ 1
)
có 3 cực trị.
Câu 19. Cho hàm số bậc năm =
(
)
có đồ thị =
󰆒
(
)
như hình bên. Số điểm cực trị của hàm số
(
)
=
(
+ 3
)
là
A. 4. B. 7. C. 6. D. 11.
Lời giải
Chọn C
Ta có
󰆒
(
)
=
(
3
+ 6
)
.
󰆒
(
+ 3
)
.
󰆒
(
)
=0⇔
3
+ 6=0
󰆒
(
+ 3
)
=0
.
Phương trình
3
+ 6=0⇔
󰇣
=0
=−2
.
Phương trình
󰆒
(
+ 3
)
=0⇔
+ 3
=<0
+ 3
=0
+ 3
=4
+ 3
=>4
.
Ta thấy:
+ 3
=0⇔
(
+3
)
=0⇔=0;=−3
Và
+ 3
=4⇔
(
−1
)(
+ 2
)
=0⇔=1;=−2.
Hàm số ℎ
(
)
=
+ 3
có ℎ
󰆒
(
)
=3
+ 6=0⇔
󰇣
=0
=−2
.
Bảng biến thiên của hàm ℎ
(
)
:
Dựa vào bảng biên thiên của hàm ℎ
(
)
, ta có
Phương trình
+ 3
=<0 có duy nhất một nghiệm
<−3.
Phương trình
+ 3
=>4 có duy nhất một nghiệm
>1.
Do đó, phương trình
󰆒
(
)
=0 có bốn nghiệm đơn phân biệt và hai nghiệm bội ba nên hàm số =
(
)
có 6 điểm cực trị.
Câu 22. Cho hàm số =
(
)
có đạo hàm trên ℝ và có đồ thị là đường cong như hình vẽ
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 11
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
Đặt
(
)
=3
(
)
+ 4. Số điểm cực trị của hàm số
(
)
là
A. 2. B. 8. C. 10. D. 6.
Lời giải
Chọn B
󰆒
(
)
=3
󰆒
(
)
.
󰆒
(
)
.
󰆒
(
)
=0⇔3
󰆒
(
)
.
󰆒
(
)
=0⇔
󰇩
󰆒
(
)
=0
󰆒
(
)
=0
⇔
(
)
=0
(
)
=
=0
=
,
(
2<<3
)
.
(
)
=0 có 3 nghiệm đơn phân biệt
,
,
khác 0 và .
Vì 2<<3 nên
(
)
= có 3 nghiệm đơn phân biệt
,
,
khác
,
,
, 0, .
Suy ra
󰆒
(
)
=0 có 8 nghiệm đơn phân biệt.
Do đó hàm số
(
)
=3
(
)
+ 4 có 8 điểm cực trị.
Câu 24. Cho hàm số =
(
)
có đạo hàm trên tập ℝ. Hàm số =
󰆒
(
)
có đồ thị như hình bên. Hàm số
=
(
1 −
)
đạt cực đại tại các điểm
A. =−1. B. =3. C. =0. D. =±
√
2.
Lời giải
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 12
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
Chọn D
Ta có
󰆒
=−2
󰆒
(
1 −
)
, cho
󰆒
=0⇔−2
󰆒
(
1 −
)
=0⇔
=0
1 −
=−1
1 −
=3
⇔
=0
=±
√
2
=−2
(
)
.
Bảng xét dấu của
󰆒
:
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy hàm số đạt cực đại tại =±
√
2.
Câu 26. Cho hàm số bậc bốn =
(
)
có đồ thị như hình bên dưới.
Số điểm cực trị của hàm số
(
)
=
(
−3
+ 2
)
là
A. 5. B. 3. C. 7. D. 11.
Lời giải
Chọn C
Từ đồ thị hàm số =
(
)
ta suy ra
󰆒
(
)
=0⇔
=<−2
=∈
(
−2;2
)
=>2
.
Xét hàm số
(
)
=
(
−3
+ 2
)
.
Ta có
󰆒
(
)
=
(
3
−6
)
󰆒
(
−3
+ 2
)
.
󰆒
(
)
=0⇔
3
−6=0
󰆒
(
−3
+ 2
)
=0
⇔
=0∨=2
−3
+ 2=<−2
(
1
)
−3
+ 2=∈
(
−2;2
)
(
2
)
−3
+ 2=>2
(
3
)
Xét hàm số ℎ
(
)
=
−3
+ 2.
Ta có ℎ
󰆒
(
)
=3
−6.
ℎ
󰆒
(
)
=0⇔
󰇣
=0
=2
.
Bảng biến thiên của hàm số ℎ
(
)
như sau:
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy:
Phương trình (1) có 1 nghiệm
<0.
Phương trình (2) có 3 nghiệm
<0, 0<
<2,
>2.
+
-
+
-
0
0
0
2
0
- 2
y'
x
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 13
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
Phương trình (3) có 1 nghiệm
>2.
Mặt khác, các nghiệm này không trùng nhau.
Vậy phương trình
󰆒
(
)
=0 có 7 nghiệm đơn. Suy ra hàm số
(
)
=
(
−3
+ 2
)
có 7 điểm cực
trị.
Câu 27. Cho hàm số=
(
)
xác định và liên tục trênℝ, có đồ thị hàm số=
󰆒
(
)
như hình vẽ.
Hỏi hàm số =
√
1 + −1
có bao nhiêu điểm cực đại trên khoảng
(
−2; 2
)
?
A. 4. B. 1. C. 3. D. 7.
Lời giải
ChọnC
Từ đồ thị của hàn số =
󰆒
(
)
, ta có bảng biến thiên của hàm số =
(
)
như sau
Xét hàm số
(
)
=
√
1 + −1
.
Ta có:
󰆒
(
)
=
√
1 + −1
󰆒
.
󰆒
√
1 + −1
=

√

󰆒
√
1 + −1
.
󰆒
(
)
=0⇔
=0
󰆒
√
1 + −1
=0
≠−1
.
󰇥
=0
≠−1
⇔
=
+
≠−
+ 2
⇔=
+ 2.
󰆒
√
1 + −1
=0
≠−1
⇔
⎩
⎨
⎧
󰇯
√
1 + −1=−1
√
1 + −1=0
√
1 + −1=2
≠−1
⇔
=−1
(

)
=0
=8
(

)
≠−1
⇔=0⇔=.
Vì ∈
(
−2; ∈2
)
nên ta có các nghiệm thỏa mãn
󰆒
(
)
=0là
=−
3
2
;
=−;
=0;
=
2
;
=.
Bảng biến thiên của hàm số =
(
)
trên khoảng
(
−2; 2
)
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 14
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
Từ đó suy ra hàm số =
(
)
có 3 điểm cực đại.
Câu 28. Cho hàm số bậc bốn =
(
)
có đồ thị như hình dưới. Số điểm cực trị của hàm số
(
)
=
(
−8
+ 1
)
là
A. 5. B. 3. C. 9. D. 11
Lời giải
Chọn C
Ta có:
󰆒
(
)
=
(
4
−16
)
(
−8
+ 1
)
⇒
󰆒
(
)
=0⇔
(
4
−16
)
(
−8
+ 1
)
=0⇔
=0
=±2
󰆒
(
−8
+ 1
)
=0
(
1
)
Đặt =
−8
+ 1. Khi đó
(
1
)
trở thành
󰆒
(
)
=0
Dựa vào đồ thị hàm số trên suy ra hàm số =
(
)
có 3 cực trị⇒
󰆒
(
)
=0có 3 nghiệm đơn
,
,
(
<
<
)
. Với
<−15; −15<
<1;
>1
Xét hàm số =
−8
+ 1⇒
󰆒
=4
−16⇒
󰆒
=0⇔
󰇣
=0
=±2
BBT:
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy
Ứng với nghiệm
<−15ta không nhận được nghiệm
nào, −15<
<1ta được 4 nghiệm ,
>1 ta
được 2 nghiệm suy ra phương trình
(
1
)
có 6 nghiệm đơn
Vậy
󰆒
(
)
=0có 9 nghiệm đơn ⇒hàm số
(
)
=
(
+ 3
)
có 9 điểm cực trị
Câu 29. Cho hàm số =
(
)
có tập xác định là =ℝ và có đồ thị như hình vẽ bên dưới, đạo hàm xác
định trên ℝ. Hỏi hàm số =
(
−1
)
có bao nhiêu điểm cực trị?
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 15
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
A. 13. B. 12. C. 15. D. 11.
Lời giải
Chọn A
Xét hàm số: =
(
)
=
(
−1
)
⇒
󰆒
(
)
=2.
󰆒
(
−1
)
.
󰆒
(
−1
)
.
󰆒
(
)
=2.
󰆒
(
−1
)
.
󰆒
(
−1
)
=0⇔󰇯
=0
󰆒
(
−1
)
=0
(
1
)
󰆒
(
−1
)
=0
(
2
)
.
Với phương trình (1), ta có:
󰆒
(
−1
)
=0⇔
−1=−1
−1=1
−1=2
⇔󰇯
=0
=±
√
2
=±
√
3
.
Với phương trình (2), ta có:
󰆒
(
−1
)
=0⇔󰇯
(
−1
)
=−1
(
3
)
(
−1
)
=1
(
4
)
(
−1
)
=2
(
5
)
.
Với phương trình (3)
(
−1
)
=−1⇔
−1=2
−1=∈
(
−1;0
)
−1=<−1
⇔󰇯
=±
√
3
=±
√
1 +
=+1<0
.
Với phương trình (4)
(
−1
)
=1⇔
−1=<−1
−1=∈
(
0;1
)
−1=∈
(
1;2
)
−1=ℎ>2
⇔
⎣
⎢
⎢
⎢
⎡
=+1<0
=±
√
1 +
=±
1 +
=±
√
1 + ℎ
.
Với phương trình (5)
(
−1
)
=2⇔
−1=1
−1=<−1
−1=>2
⇔
=0
=+ 1<0
=±
√
1 +
.
Vậy =0; =±
√
2; ±
√
1 + ; ±
√
1 + ; ±
1 + ; ±
√
1 + ℎ; ±
√
1 + là các điểm cực trị.
Câu 30. Cho hàm số =
(
)
. Đồ thị hàm số =
󰆒
(
)
như hình bên dưới
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 16
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
Hàm số
(
)
=
√
+ 4+ 3
có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 5. B. 3. C. 2. D. 7.
Lời giải
Chọn A
Dựa vào đồ thị ta có bảng biến thiên của hàm số =
(
)
.
Ta có
(
)
=
√
+ 4+ 3
⇒
󰆒
(
)
=

√

.
󰆒
√
+ 4+ 3
.
Cho
󰆒
(
)
=0⇔
+2=0
󰆒
√
+ 2+ 2
=0
⇔󰇯
+1=0
+ 4+ 3=1
+ 4+ 3=3
⇔
+1=0
+ 4+ 2=0
+ 4−6=0
⇔󰇯
=−1
=−2 ±
√
2
=−2 ±
√
10
Vì
󰆒
(
)
=0 có 5 nghiệm bội lẻ nên hàm số
(
)
=
√
+ 4+3
có 5 điểm cực trị.
Câu 33. Cho hàm số bậc bốn =()có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số ()=(
+
) có bao nhiêu
điểm cực trị?
A. 5. B. 11. C. 4. D. 6.
Lời giải
Chọn A
Ta có ′()=(3
+ 2)′(
+
)
′()=0⇔(3
+ 2)′(
+
)=0⇒
3
+ 2=0()
′(
+
)=0()
()⇔
=0
=−
2
3
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 17
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
Từ đồ thị ta có:
()⇔
⎣
⎢
⎢
⎡
+
=
1
3
(1)
+
=1(2)
+
≈2,5(3)
Ta thấy các phương trình (1), (2), (3) đều có một nghiệm thực đơn không trùng nhau và đều không trùng
nghiệm
,
. Vậy phương trình ′()=0 có 5 nghiệm thực đơn phân biệt do đó hàm số ()có 5 cực
trị.
Câu 34. Cho hàm số =
(
)
liên tục trên ℝ, có 3 cực trị và có đồ thị như hình vẽ.
Tìm số cực trị của hàm số =󰇡
(

)
󰇢
A. 3. B. 0. C. 1. D. 2.
Lời giải
Chọn D
Tập xác định: =ℝ\
{
1
}
.
󰆒
=
−1
3
(
−1
)
.
󰆒
1
(
−1
)
.
󰆒
=0⇔
−1
3
(
−1
)
.
󰆒
1
(
−1
)
=0⇔
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎡
1
(
−1
)
=
<0
(
VN
)
1
(
−1
)
=0
(
VN
)
1
(
−1
)
=
>0
⇔=1 ±
1
√
Cho >1+
1
√
⇒=
1
(
−1
)
>
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 18
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
󰆒
(
)
=
−1
3
(
−1
)
.
󰆒
1
(
−1
)
=
−1
3
(
−1
)
.
󰆒
(
)
<0.
Ta có bảng biến thiên:
Dựa vào BBT ta có hàm số có 2 điểm cực trị.
Câu 37. Cho hàm số bậc bốn =
(
)
có đồ thị như hình bên.
Số điểm cực trị của hàm số
(
)
=
(
−
−3
+ 4
)
là
A. 5. B. 3. C. 7. D. 11.
Lời giải
Chọn C
+) Ta có
󰆒
(
)
=−
(
3
+ 6
)
󰆒
(
−
−3
+ 4
)
.
nên
󰆒
(
)
=0⇔
3
+ 6=0
󰆒
(
−
−3
+ 4
)
=0
⇔
⎣
⎢
⎢
⎡
=0;=−2
(
1
)
+ 3
=4−,<0
(
2
)
+ 3
=4−,0<<4
(
3
)
+ 3
=4−,>4
(
4
)
+) Ta có
(
1
)
có hai nghiệm đơn là
=0,
=−2.
+) Xét hàm số =
+ 3
có
󰆒
(
)
=3
+ 6=0⇔
󰇣
=0
=−2
.
BBT:
Dựa vào bảng biến thiên ta nhận thấy:
+ Phương trình
(
2
)
có một nghiệm duy nhất là
>1.
+ Phương trình
(
3
)
có ba nghiệm phân biệt là −3<
<−2<
<0<
<1.
+ Phương trình
(
4
)
có một nghiệm duy nhát là
<−3.
Vậy
󰆒
(
)
=0có 7nghiệm lặp bội lẻ do đó hàm số
(
)
có 7điểm cực trị
Câu 38. Cho hàm số =
(
)
liên tục và có đạo hàm trên
[
0;6
]
. Đồ thị của hàm số =
󰆒
(
)
trên đoạn
[
0
;6
]
được cho bởi hình bên dưới. Hỏi hàm số =
[
(
)]
+ 2019có tối đa bao nhiêu điểm cực trị trên đoạn
[
0;6
]
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 19
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
A. 7. B. 6. C. 4. D. 3.
Lời giải
Chọn A
Ta có
󰆒
=2
(
)
󰆒
(
)
;
󰆒
=0⇔
(
)
=0
󰆒
(
)
=0
.
Từ đồ thị của hàm số =
󰆒
(
)
trên đoạn
[
0;6
]
suy ra
󰆒
(
)
=0⇔
=1
=3
=5
.
Bảng biến thiên của hàm số =
(
)
trên đoạn
[
0;6
]
:
Từ bảng biến thiên suy ra phương trình
(
)
=0có tối đa 4 nghiệm phân biệt trong
[
0;6
]
là
∈
(
0;1
)
,
∈
(
1;3
)
,
∈
(
3;5
)
,
∈
(
5;6
)
.
Vậy hàm số =
[
(
)]
+ 2019có tối đa 7 điểm cực trị trên đoạn
[
0;6
]
.
Câu 41. Cho hàm số =
(
)
liên tục trên ℝ và đồ thị hàm số =
(
)
như hình vẽ.
Số điểm cực trị của hàm số =2020
(
()
)
là
A. 13. B. 12. C. 10. D. 14.
Lời giải
Chọn B
Xét hàm số:
(
)
=2020
(
()
)
. Ta có:
󰆒
(
)
=2020
(
()
)
.2020.
[
(
() −1
)]
󰆒
=
󰆒
(
)
.
󰆒
(
() −1
)
.2020
(
()
)
.2020.
󰆒
(
)
=0⇔
󰆒
(
)
=0
(
1
)
󰆒
(
() −1
)
=0
(
2
)
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 20
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
Từ đồ thị hàm số =() ta thấy (1) có tập nghiệm =
{
−1;1;3;6
}
, các nghiệm này đều là nghiệm bội
lẻ.
󰆒
(
() −1
)
=0⇔
⎣
⎢
⎢
⎡
(
)
−1=−1
(
)
−1=1
(
)
−1=3
(
)
−1=6
⇔
⎣
⎢
⎢
⎡
(
)
=0(3)
(
)
=2
(
4
)
(
)
=4
(
5
)
(
)
=7
(
6
)
(3) có 1 nghiệm đơn không thuộc và 1 nghiệm bội chẵn =3.
(4) có 5 nghiệm đơn phân biệt không thuộc .
(5) có 1 nghiệm đơn không thuộc và 1 nghiệm bội chẵn =6.
(6) có 1 nghiệm đơn không thuộc .
Chú ý rằng các nghiệm của (3), (4), (5), (6) là khác nhau nên từ các nhận xét trên suy ra phương trình
󰆒
(
)
=0
có tất cả 12 nghiệm, các nghiệm này đều là nghiệm đơn và nghiệm bội lẻ. Do đó số điểm cực
trị của hàm số =2020
(
()
)
là 12.
Câu 42. Cho hàm số =
(
)
xác định trên ℝ, có đồ thị
(
)
như hình vẽ. Hàm số
(
)
=
(
+
)
đạt
cực tiểu tại điểm
. Giá trị của
thuộc khoảng nào sau đây?
A.
(
1;3
)
. B.
(
−1;1
)
. C.
(
0;2
)
. D.
(
3;+∞
)
.
Lời giải
Chọn B
Ta có:
󰆒
(
)
=
󰆒
(
+
)
.
(
3
+ 1
)
Cho:
2
3
3 1 0 1
0
0 2
x
g x
f x x
Dễ thấy
(
1
)
vô nghiệm.
Từ đồ thị hàm số =
(
)
ta thấy
󰆒
(
)
=0⇔
󰇣
=0
=2
.
Vậy
(
2
)
⇔
+ =0
+ =2
⇔
(
+ 1
)
=0
(
−1
)(
+ + 2
)
=0
⇔
󰇣
=0
=1
Với <0, ta có:
+ <0⇒
󰆒
(
+
)
<0 ⇒
󰆒
(
)
<0.
Với 0<<1, ta có: 0<
+ <2⇒
󰆒
(
+
)
>0⇒
󰆒
(
)
>0.
Với >1, ta có:
+ >2⇒
󰆒
(
+
)
<0⇒
󰆒
(
)
<0.
Vậy ta có bảng biến thiên của hàm
(
)
như sau:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 21
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
Vậy hàm số
(
)
đạt cực tiểu tại điểm
=0∈
(
−1;1
)
.
Câu 43. Cho hàm số =
(
)
có đồ thị như hình vẽ. Biết tất cả các điểm cực trị của hàm số =
(
)
là
−2;0;2;;6 với 4<<6. Số điểm cực trị của hàm số =
(
−3
)
là
A. 11. B. 8. C. 9. D. 7.
Lời giải
Chọn A
Lưu ý: Số điểm cực trị của hàm số đa thức liên tục trên ℝ là số nghiệm đơn hoặc nghiệm bội bậc lẻ của
phương trình
󰆒
=0
Ta có:
󰆒
=
(
6
−6
)
.
󰆒
(
−3
)
󰆒
=0⇔
6
−6=0
(
1
)
󰆒
(
−3
)
=0
(
2
)
.
(
1
)
⇔
󰇣
=0
=±1
.
(
2
)
⇔
⎣
⎢
⎢
⎢
⎡
−3
=−2
−3
=0
−3
=2
−3
=
−3
=6
(
∗
)
Đặt =
(
≥0
)
, khi đó ta thu
(
2
)
⇔
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎡
−3=−2
(
3
)
−3=0
(
4
)
−3=2
(
5
)
−3=
(
6
)
−3=6
(
7
)
Nhận thấy, với mỗi >0 là nghiệm của một trong các phương trình từ đến ta thu được hai nghiệm
tương ứng đối nhau, với =0 ta được nghiệm kép =0.
Do đó ta chỉ quan tâm nghiệm >0,
Xét hàm số
(
)
=
−3 có đồ thị như hình vẽ sau:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 22
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
Từ đồ thị ta thấy:
Phương trình
(
3
)
có nghiệm kép
=1, trường hợp này ta không có cực trị.
Phương trình
(
4
)
có một nghiệm 1<
<2, trường hợp này ta được 2 điểm cực trị.
Phương trình
(
5
)
có một nghiệm
=2, trường hợp này ta được 2 điểm cực trị.
Phương trình
(
6
)
với 4<<6 ta được một nghiệm
>
=2, ta được 2 điểm cực trị.
Phương trình
(
7
)
với <6 ta được 1 nghiệm
>
, trường hợp này ta được 2 điểm cực trị.
Vậy tổng cộng ta được 11 điểm cực trị.
Câu 45. Cho hàm số =
(
)
có đạo hàm trên ℝ. Đồ thị hàm số =
󰆒
(
)
như hình vẽ bên dưới.
Hàm số
(
)
=
√
−90+2021
có bao nhiêu điểm cực trị ?
A. 7. B. 4. C. 6. D. 5.
Lời giải
Chọn B
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 23
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
+ Dựa vào đồ thị hàm số =
󰆒
(
)
, ta có:
󰆒
(
)
=0⇔
=
=
=
=
(trong đó <0<<<và =là nghiệm
bội chẵn)
Hàm số:
(
)
=
√
−90+ 2021
, với điều kiện:
−90+ 2021≥0⇔
󰇣
≤43
≥47
Ta có:
󰆒
(
)
=

√

.
󰆒
√
−90+ 2021
+
󰆒
(
)
=0⇒
2−90=0
󰆒
√
−90+ 2021
=0
⇔
⎣
⎢
⎢
⎢
⎡
=45
√
−90+2021=
√
−90+2021=
√
−90+2021=
√
−90+2021=
(do điều kiện nên loại
nghiệm=45 và vì <0nên phương trình
√
−90+ 2021=vô nghiệm)
⇔󰇯
√
−90+ 2021=
√
−90+ 2021=
√
−90+ 2021=
⇔󰇯
(
−45
)
−4=
(
−45
)
−4=
(
−45
)
−4=
⇔󰇯
=45 ±
√
4 +
=45 ±
√
4 +
=45 ±
√
4 +
.
Trong các nghiệm trên, nghiệm =45 ±
√
4 +
là nghiệm bội chẵn. Do đó hàm số chỉ đạt cực trị tại
các điểm có hoành độ là =45 ±
√
4 +
và =45 ±
√
4 +
.
Vậy hàm số
(
)
=
√
−90+ 2021
có 4cực trị.
Câu 48. Câu46. Cho hàm số =
(
)
có đồ thị như hình vẽ. Biết tất cả các điểm cực trị của hàm số=
(
)
là −2;0;2;;6 với4<<6.
Số điểm cực trị của hàm số =
(
−3
)
là
A. 8. B. 11. C. 9. D. 7.
Lời giải
Chọn C
()=
(
−3
)
.
′
(
)
=
(
−3
)
′=
(
−3
)
′.′
(
−3
)
=
(
6
−6
)
′
(
−3
)
.
y =
f
(x)
y
x
a
O
6
2
-2
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 24
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
′=0⇔
(
6
−6
)
′
(
−3
)
=0⇔
6
−6=0
′
(
−3
)
=0
⇔
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎡
=0
=±1
−3
=−2
(
1
)
−3
=0
(
2
)
−3
=2
(
3
)
−3
=
(
4
)
−3
=6
(
5
)
.
−3
=−2
(
1
)
⇔
−3
+ 2=0⇔
=1⇔=±1.
−3
=0
(
2
)
⇔
=0
(
∗
)
=3
⇔
=0
=±
√
3
.
−3
=2
(
3
)
⇔
−3
−2=0⇔
=2⇔=±
√
2.
Ta xét bảng biến thiên của hàm số:
=ℎ
(
)
=
−3
′=ℎ′
(
)
=6
−6=0⇔󰇯
=0⇒ℎ
(
0
)
=0
=−1⇒ℎ
(
−1
)
=−2
=1⇒ℎ
(
1
)
=2
Từ bảng biến thiên ta suy ra phương trình
−3
=
(
4
)
có một nghiệm biệt khác
{
0;−1;1
}
và khác
nghiệm của phương trình
(
2
)
;
(
3
)
Phương trình
−3
=6
(
5
)
có hai nghiệm phân biệt khác
{
0;−1;1
}
và khác nghiệm của phương trình
(
2
)
;
(
3
)
;
(
4
)
. Ta có thể lấy nghiệm gần đúng như sau:
−3
=6
(
5
)
⇔
−3
−6=0⇔
=,≈5,547,∈
(
5;6
)
⇔
=
√
=−
√
⇔
≈2,355
≈−2,355
−3
=
(
4
)
4<<6
⇔4<
−3
<6⇔
󰇱
<
<
√
≈2,195
≈2,355
⇔
−
√
<<−
√
√
<<
√
Vậy ′=′
(
)
=0 có:
+) 2 nghiệm bằng =1⇒=1 không là điểm cực trị.
+) 2 nghiệm bằng =−1⇒=−1 không là điểm cực trị.
+) 3 nghiệm bằng =0⇒=0 là 1 điểm cực trị.
+) 1 nghiệm bằng =−
√
3
⇒=−
√
3
là 1 điểm cực trị.
+) 1 nghiệm bằng =
√
3
⇒=
√
3
là 1 điểm cực trị.
+) 1 nghiệm bằng =
√
⇒=
√
là 1 điểm cực trị.
+) 1 nghiệm bằng =−
√
⇒=−
√
là 1 điểm cực trị.
+) 1 nghiệm bằng =
√
2⇒=
√
2là 1 điểm cực trị.
+) 1 nghiệm bằng =−
√
2⇒=−
√
2là 1 điểm cực trị.
+) 1 nghiệm
và
∈
−
√
;−
√
⇒
là 1 điểm cực trị.
+) 1 nghiệm
và
∈
√
;
√
⇒
là 1 điểm cực trị.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 25
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
Vậy có tất cả 9 điểm cực trị.
Câu 49. Cho hàm số =
(
)
có bảng biến thiên như sau
Số điểm cực trị của hàm số ()=
(
−
+ 4
)
là
A.
5
. B.
3
. C.
7
. D. 11.
Lời giải
Chọn C
Từ đồ thị, ta có bảng biến thiên của ( )y f x như sau:
()=
(
−
+ 4
)
⇒
󰆒
()=
(
−
+ 4
)
󰆒
󰆒
(
−
+ 4
)
=
(
−4
+ 8
)
󰆒
(
−
+ 4
)
󰆒
()=0⇔
(
−4
+ 8
)
󰆒
(
−
+ 4
)
=0⇔
−4
+ 8=0
󰆒
(
−
+ 4
)
=0
⇔
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎡
=±
√
2
=0
󰇯
−
+ 4
=<0
(
1
)
−
+ 4
=∈
(
0;4
)
(
2
)
−
+ 4
=>4
(
3
)
Xét hàm số ℎ()=−
+ 4
⇒ℎ′()=−4
+ 8⇒ℎ′()=0⇔
=0
=±
√
2
Bảng biến thiên
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 26
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
Từ bảng biến thiên, ta thấy
Đường thẳng =<0 cắt đồ thị hàm số ( )y h x tại 2 điểm
Đường thẳng =∈
(
0;4
)
cắt đồ thị hàm số ( )y h x tại 4 điểm.
Đường thẳng =>4 cắt đồ thị hàm số ( )y h x tại 0 điểm.
Như vậy, phương trình ( ) 0g x có tất cả 7 nghiệm đơn phân biệt.
Vậy hàm số
3 2
( ) 3g x f x x có 7 cực trị
Câu 50. Cho hàm số =
(
)
có đạo hàm tại ∀∈ℝ, hàm số ′
(
)
=
+ 
+ + có đồ thị như
hình vẽ.
Số điểm cực trị của hàm số =
[
′
(
)]
là
A. 7. B. 11. C. 9. D. 8.
Lời giải
Chọn A
Đồ thị ′
(
)
đi qua các điểm
(
0;0
)
;
(
−1;0
)
;
(
1;0
)
nên ta có
=0
=−1
=0
.
Do đó ′
(
)
=
−⇒′′
(
)
=3x
−1.
Đặt
(
)
=
′
(
)
.
Ta có:
′
(
)
=′
[
′
(
)]
.′′
(
)
=
[(
−
)
−
(
−
)](
3
−1
)
=
(
−1
)(
−+ 1
)(
3
−1
)
.
Dễ thấy ′
(
)
=0 có 7 nghiệm phân biệt, tất cả đều là nghiệm đơn nên hàm số có 7 điểm cực trị.
Câu 59. Cho hàm số
(
)
liên tục trên ℝvà có đồ thị hàm số =′
(
)
như hình vẽ bên dưới.
2
∞
∞
44
∞
∞
0
+
+
2
h x( )
h' x( )
x
0
0 0 +
0
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 27
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
Hàm số
(
)
=󰇡


󰇢 có bao nhiêu điểm cực tiểu?
A. 5. B. 3. C. 4. D. 2.
Lời giải
Chọn D
+ Ta có
(
)
=󰇡


󰇢⇒
󰆒
(
)
=


(

)
.
󰆒
󰇡


󰇢.
+
󰆒
(
)
=0⇔
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎡


=0


=1


=2
−
+ 4=0
0
1(nghiÖmbéich½n)
4 (nghiÖmbéich½n)
2
2
x
x
x
x
x
.
Bảng xét dấu:
Vậy hàm số
(
)
=󰇡


󰇢 có 2 điểm cực tiểu.
Câu 77. Cho hàm số =
(
)
liên tục trên ℝvà có đồ thị hàm số =
(
)
như hình vẽ. Số điểm cực trị
của hàm số =2020
(
(
)

)
là
A. 13. B. 12. C. 10. D. 14.
Lời giải
Chọn B
Đặt =
(
)
−1ta có =2020
(
)
và
󰆒
=
󰆒
(
)
.
󰆒
=
󰆒
(
)
.
󰆒
.2020
(
)
2020.
󰆒
=0⇔
󰆒
=0
󰆒
(
)
=0
.
Dựa vào đồ thị hàm số =
(
)
ta có
󰆒
=0⇔
󰆒
(
)
=0⇔
=−1
=1
=3
=6
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 28
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
󰆒
(
)
=0⇔
=−1
=1
=3
=6
⇔
⎣
⎢
⎢
⎡
(
)
=0
(
)
=2
(
)
=4
(
)
=7
.
Dựa vào đồ thị hàm số =
(
)
ta có:
+ Phương trình
(
)
=0có một nghiệm đơn
>7.
+ Phương trình
(
)
=2có năm nghiệm đơn
,
,
,
,
thỏa mãn −2<
<−1,
=0, 1<
<2, 4<
<5, 6<
<7.
+ Phương trình
(
)
=4có một nghiệm đơn
<−2.
+ Phương trình
(
)
=7có một nghiệm đơn
<
.
Vậy
󰆒
=0có tất cả 12 nghiệm đơn, do đó hàm số =2020
(
(
)

)
có 12 điểm cực trị.
Dạng 2: Cực trị f(x), f(u),… biết các BBT,BXD không tham số (Không GTTĐ)
Câu 82. Cho hàm số =
(
)
có bảng biến thiên như sau
Tìm số điểm cực trị của hàm số
(
)
=
(
3 −
)
.
A. 2. B. 3. C. 5. D. 6.
Lời giải
Chọn B
Ta có
󰆒
(
)
=−
󰆒
(
3 −
)
.
󰆒
(
)
=0⇔
󰆒
(
3 −
)
=0
theo BBT
󰇎
⎯
⎯
⎯
⎯
⎯
⎯
⎯
󰇏
󰇣
3 −=0
3 −=2
⇔
󰇣
=3
=1
.
󰆒
(
)
không xác định ⇔3 −=1⇔=2.
Bảng biến thiên
Vậy hàm số
(
)
=
(
3 −
)
có 3 điểm cực trị.
Câu 84. Cho hàm số
(
)
, bảng biến thiên của hàm số
󰆒
(
)
như sau:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 29
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
Số điểm cực trị của hàm số =
(
6 −3
)
là
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Lời giải
Chọn C
Ta có
󰆒
=−3.
󰆒
(
6 −3
)
. Cho
󰆒
=0 ⇔
6 −3=−3
6 −3=1
6 −3=3
⇔ 󰇯
=3
=
=1
Bảng biến thiên
Nhận xét:
󰆒
đổi dấu 3 lần khi đi qua các nghiệm nên phương trình
󰆒
=0 có 3 nghiệm phân biệt. Vậy hàm
số =
(
6 −3
)
có 3 cực trị.
Câu 86. Cho hàm số =
(
)
có bảng biến thiên như sau.
Đồ thị hàm số =
|
(
−2001
)
−2019
|
có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 2. B. 3. C. 5. D. 4.
Lời giải
Chọn B
Ta có: Công thức tổng quát tìm số cực trị của hàm số =
|
(
)
|
có công thức tính là =+ .
Trong đó
là số điểm cực trị của hàm số gốc =
(
)
là số giao điểm của đồ thị hàm số =
(
)
với trục (không tính điểm tiếp xúc)
Dựa vào bảng biến thiên ta có: Số điểm cực trị của đồ thị =
(
−2001
)
−2019 bằng số điểm cực trị
của đồ thị hàm số =
(
)
, tức là có số điểm cực trị là =2.
Xét phương trình
(
−2001
)
−2019=0⇔
(
−2001
)
=2019 (1)
Theo phép tịnh tiến đồ thị hàm số =
(
−2001
)
cắt đường thẳng =2019 tại 2 điểm (trong đó có 1
điểm tiếp xúc tại
)
Nên suy ra =1 (vì điểm tiếp xúc phải loại)
Vậy =2 +1=3.
Câu 90. Cho hàm số =
(
)
có bảng biến thiên
Hỏi hàm số =
(
)
=
[
(
2 −
)]
+ 2020 có bao nhiêu điểm cực đại?
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 30
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
A. 1. B. 3. C. 2. D. 4.
Lời giải
Chọn C
Ta có ′
(
)
=−2.
(
2 −
)
.
󰆒
(
2 −
)
.
Khi đó ′
(
)
=0⇔−2.
(
2 −
)
.
󰆒
(
2 −
)
=0⇔
(
2 −
)
=0
󰆒
(
2 −
)
=0
⇔
2 −=<−2
2 −=>1
2 −=−2
2 −=1
⇔
=2−>4
=2−<1
=4
=1
′
(
)
không xác định ⇔
󰆒
(
2 −
)
không xác định ⇔2 −=0⇔=2
Dựa vào bảng biến thiên của
(
)
ta thấy
(
2 −
)
>0⇔<2 −<⇔2 −<<2 −
󰆒
(
2 −
)
>0⇔
󰇣
2 −<−2
0<2 −<1
⇔
󰇣
>4
1<<2
Ta có bảng xét dấu ′
(
)
Vậy hàm số =
(
)
=
[
(
2 −
)]
+ 2020 có 2 điểm cực đại.
Câu 92. Cho hàm số =
(
)
có đạo hàm trên ℝvà có bảng xét dấu của =
󰆒
(
)
như sau:
Hỏi hàm số
(
)
=
(
−2
)
có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 3. B. 5. C. 2. D. 4.
Lời giải
Chọn A
Xét hàm số
(
)
có TXĐ: ℝ và
󰆒
(
)
=2
(
−1
)
.
󰆒
(
−2
)
.
󰆒
(
)
=0⇔
=1
󰆒
(
−2
)
=0
⇔
=1
−2=−2
−2=1
−2=3
⇔
=1
−2−1=0
−2−3=0
⇔
=1
=1±
√
2
=−1
=3
(vì phương trình
−2=−2 vô nghiệm)
Từ giả thiết suy ra: Các nghiệm −2;3 của ′ là nghiệm đơn hoặc bội lẻ nên
󰆒
đổi dấu khi qua mỗi
nghiệm đó, còn 1 là nghiệm bội chẵn nên
󰆒
không đổi dấu khi qua nghiệm 1.
⇒
󰆒
đổi dấu khi qua mỗi nghiệm ±1;3 và ko đổi dấu khi qua mỗi nghiệm 1 ±
√
2.
⇒ Hàm số
(
)
có 3 điểm cực trị.
Câu 94. Cho hàm số =
(
)
liên tục trên ℝ và có bảng biến thiên như sau:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 31
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong số các mệnh đề sau đối với hàm số
(
)
=
(
2 −
)
−2?
I. Hàm số
(
)
đồng biến trên khoảng
(
−4;−2
)
.
II. Hàm số
(
)
nghịch biến trên khoảng
(
0;2
)
.
III. Hàm số
(
)
đạt cực tiểu tại điểm −2.
IV. Hàm số
(
)
có giá cực đại bằng −3.
A. 2. B. 3. C. 4. D. 1.
Lời giải
Chọn D
Ta có
󰆒
(
)
=−
󰆒
(
2 −
)
.
󰆒
(
)
=0⇔
󰆒
(
2 −
)
=0⇔
󰇣
2 −=0
2 −=2
󰆒
(
)
>0⇔
󰆒
(
2 −
)
<0⇔
󰇥
2 −>0
2 −<2
⇔
󰇥
<2
>0
⇔∈
(
0;2
)
.
󰆒
(
)
<0⇔
󰆒
(
2 −
)
>0⇔
󰇣
2 −<0
2 −>2
⇔
󰇣
>2
<0
.
Từ bảng biến thiên ta thấy:
Hàm số đồng biến trên khoảng
(
0;2
)
.
Hàm số nghịch biến trên các khoảng
(
−∞;0
)
và
(
2;+∞
)
.
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm 0.
Hàm số đạt giá trị cực đại bằng −3.
Câu 103. Cho hàm số , bảng biến thiên của hàm số như sau
Số điểm cực trị của hàm số là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
f x
f x
2
2
y f x x
9
3
7
5
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 32
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
Từ bảng biến thiên ta có phương trình
󰆒
(
)
=0 có các nghiệm tương ứng là
=,∈
(
−∞;−1
)
=,∈
(
−1;0
)
=,∈
(
0;1
)
=,∈
(
1;+∞
)
.
Xét hàm số =
(
−2
)
⇒
󰆒
=2
(
−1
)
󰆒
(
−2
)
.
Giải phương trình
󰆒
=0⇔2
(
−1
)
󰆒
(
−2
)
=0⇔
−1=0
󰆒
(
−2
)
=0
⇔
⎣
⎢
⎢
⎢
⎡
=1
−2=
(
1
)
−2=
(
2
)
−2=
(
3
)
−2=
(
4
)
.
Vẽ đồ thị hàm số ℎ
(
)
=
−2
Dựa vào đồ thị ta thấy: phương trình
(
1
)
vô nghiệm. Các phương trình
(
2
)
;
(
3
)
;
(
4
)
mỗi phương trình có 2
nghiệm. Các nghiệm đều phân biệt nhau.
Vậy phương trình
󰆒
=0 có 7 nghiệm phân biệt nên hàm số =
(
−2
)
có 7 điểm cực trị.
Câu 104. Cho hàm số
(
)
liên tục trên và có bảng xét dấu đạo hàm
󰆒
(
)
như sau:
Hàm số
(
)
=
(
−2+ 1 −
|
−1
|
)
có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 8. B. 7. C. 9. D. 10.
Lời giải
Chọn B
Hàm số
(
)
=
(
−2+ 1 −
|
−1
|
)
xác định trên tập ℝ.
Ta có:
󰆒
(
)
=
(
−2+ 1 −
|
−1
|
)
󰆒
.
󰆒
(
−2+1 −
|
−1
|
)
.
󰆒
(
)
=0⇔
(
−2+1 −
|
−1
|
)
󰆒
=0
󰆒
(
−2+1 −
|
−1
|
)
=0
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 33
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
⇔
⎣
⎢
⎢
⎡
2−2 −
(
|
−1
|
)
󰆒
=0
−2+ 1 −
|
−1
|
=−1
−2+ 1 −
|
−1
|
=0
−2+ 1 −
|
−1
|
=1
⇔
⎣
⎢
⎢
⎡
2−2−
(
|
−1
|
)
󰆒
=0
(
1
)
|
−1
|
−
|
−1
|
=−1
(
2
)
|
−1
|
−
|
−1
|
=0
(
3
)
|
−1
|
−
|
−1
|
=1
(
4
)
(
1
)
⇔
󰇣
2−2−1=0ℎ≥1
2−2+1=0ℎ<1
⇔󰇯
=
ℎ≥1
=
ℎ<1
,
(
2
)
⇔
|
−1
|
−
|
−1
|
+ 1=0 vô nghiệm,
(
3
)
⇔
|
−1
|
−
|
−1
|
=0⇔
|
−1
|
=0
|
−1
|
=1
⇔
=1
=0
=2
,
(
4
)
⇔
|
−1
|
−
|
−1
|
−1=0⇔󰇯
|
−1
|
=

√
(
)
|
−1
|
=

√
⇔󰇯
=

√
=

√
.
Ta có
󰆒
(
)
=0 có 7 nghiệm phân biệt nên có tối đa 7 điểm cực trị.
Câu 105. Cho hàm số =
(
)
có đạo hàm trên ℝ và có bảng xét dấu
󰆒
(
)
như sau
Hỏi hàm số =
(
−2
)
có bao nhiêu điểm cực tiểu?
A. 4. B. 2. C. 3. D. 1.
Lời giải
Chọn D
Đặt
(
)
=
(
−2
)
. Ta có
󰆒
(
)
=
(
2−2
)
󰆒
(
−2
)
.
󰆒
(
)
=0⇔
=1
−2=−2
−2=1
−2=3
⇔
=1
−2+ 2=0
−2−1=0
−2−3=0
⇔
=1
=1 ±
√
2
=−1
=3
.
Trong đó các nghiệm −1,1,3 là nghiệm bội lẻ và 1 ±
√
2 là nghiệm bội chẵn. Vì vậy hàm số
󰆒
(
)
chỉ đổi
dấu khi đi qua các nghiệm −1,1,3.
Ta có
󰆒
(
0
)
=−2
󰆒
(
0
)
<0 (do
󰆒
(
0
)
>0).
Bảng xét dấu
󰆒
(
)
Vậy hàm số =
(
−2
)
có đúng 1 điểm cực tiểu là =1.
Câu 106. Cho hàm số
( )y f x
có đạo hàm tại x , hàm số
3 2
( )f x x ax bx c
có bảng biến thiên
như hình vẽ dưới đây, giao điểm của đồ thị hàm số
󰆒
() với  là
(
0;0
)
;
(
−1;0
)
;
(
1;0
)
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 34
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
Số điểm cực trị của hàm số =
[
󰆒
(
)]
là
A. 7. B. 11. C. 9. D. 8.
Lời giải
Từ giả thiết, có đồ thị hàm số
󰆒
()=
+
+ + đi qua các điểm
(
0;0
)
;
(
−1;0
)
;
(
1;0
)
.
Khi đó ta có hệ phương trình:
=0
+=−1
−=1
⇔
=0
=−1
=0
⇒
󰆒
(
)
=
−⇒
󰆔
(
)
=3
−1.
Đặt:
(
)
=
󰆒
(
)
Ta có:
󰆒
(
)
=
(
[
󰆒
(
)])
󰆒
=
󰆒
[
󰆒
(
)]
.
󰆔
(
)
=
[(
−
)
−
(
−
)](
3
−1
)
=
(
−1
)(
+ 1
)(
−−1
)(
−+ 1
)(
3
−1
)
󰆒
(
)
=0⇔
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎡
=0
=1
=−1
−−1=0
−+ 1=0
3
−1=0
⇔
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎡
=0
=1
=−1
=(≈0,76)
=
(
≈−1,32
)
=±
1
√
3
Ta có bảng biến thiên:
* Cách xét dấu
󰆒
(
)
: chọn =2∈
(
1;+∞
)
ta có:
󰆒
(
2
)
>0⇒
󰆒
(
)
>0∀∈
(
1;+∞
)
, từ đó suy ra
dấu của
󰆒
(
)
trên các khoảng còn lại.
Dựa vào BBT suy ra hàm số có 7 điểm cực trị.
Câu 108. Cho hàm số
(
)
, bảng biến thiên của hàm số
󰆒
(
)
như sau:
Số điểm cực trị của hàm số
(
)
=
[(
+ 1
)
]
là
A. 5. B. 3. C. 2. D. 4.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 35
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
Lời giải
Chọn A
Ta có
(
)
=
[(
+ 1
)
]
=
(
+ 2+ 1
)
⇒
󰆒
(
)
=
(
2+ 2
)
.
󰆒
(
+ 2+1
)
.
Cho
󰆒
(
)
=0 ⇔
2+ 2=0
󰆒
(
+ 2+ 1
)
=0
⇔
=−1
+ 2+ 1=,<0
+ 2+ 1=,0<`<3
+ 2+ 1=,>3
+ 2+1 −=0 có =4<0, <0 nên phương trình vô nghiệm.
+ 2+1 −=0 có =4>0, 0<<
nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
+ 2+1 −=0 có =4>0, >3 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
Nhận xét: 5 nghiệm trên khác nhau đôi một nên phương trình
󰆒
(
)
=0 có 5 nghiệm phân biệt.
Vậy hàm số
(
)
=
[(
+ 1
)
]
có 5 cực trị.
Câu 109. Cho hàm số ( )y f x có đạo hàm tại x , hàm số
3 2
( )f x x ax bx c
có bảng biến thiên
như hình vẽ dưới đây, giao điểm của đồ thị hàm số
󰆒
() với  là
(
0;0
)
;
(
−1;0
)
;
(
1;0
)
Số điểm cực trị của hàm số =
[
󰆒
(
)]
là
A. 7. B. 11. C. 9. D. 8.
Lời giải
Từ giả thiết, có đồ thị hàm số
󰆒
()=
+
+ + đi qua các điểm
(
0;0
)
;
(
−1;0
)
;
(
1;0
)
.
Khi đó ta có hệ phương trình:
=0
+=−1
−=1
⇔
=0
=−1
=0
.
⇒
󰆒
(
)
=
−⇒
󰆔
(
)
=3
−1
Đặt:
(
)
=
󰆒
(
)
Ta có:
󰆒
(
)
=
(
[
󰆒
(
)])
󰆒
=
󰆒
[
󰆒
(
)]
.
󰆔
(
)
=
[(
−
)
−
(
−
)](
3
−1
)
=
(
−1
)(
+ 1
)(
−−1
)(
−+ 1
)(
3
−1
)
󰆒
(
)
=0⇔
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎡
=0
=1
=−1
−−1=0
−+ 1=0
3
−1=0
⇔
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎡
=0
=1
=−1
=(≈1,32)
=
(
≈−1,32
)
=±
1
√
3
Ta có bảng biến thiên:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 36
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
* Cách xét dấu
󰆒
(
)
: chọn =2∈
(
;+∞
)
ta có:
󰆒
(
2
)
>0⇒
󰆒
(
)
>0∀∈
(
;+∞
)
, từ đó suy ra
dấu của
󰆒
(
)
trên các khoảng còn lại.
Dựa vào BBT suy ra hàm số có 7 điểm cực trị.
Câu 110. Cho hàm số
(
)
liên tục trên ℝ, bảng biến thiên của hàm số
󰆒
(
)
như sau:
Số điểm cực trị của hàm số
(
)
=󰇡

󰇢 là
A. 6. B. 2. C. 1. D. 4.
Lời giải
Chọn A
Ta có
󰆒
(
)
=

.󰇡

󰇢.
Cho
󰆒
(
)
=0 󰇯

=0
󰆒
󰇡

󰇢=0
⇔
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎡
−1=0

=,<−2

=,−2<<2

=,>2
−1=0 có 2 nghiệm phân biệt =±1.
Xét hàm số ℎ
(
)
=

Tập xác định =ℝ\
{
0
}
. Ta có ℎ
󰆒
(
)
=

. Cho ℎ
󰆒
(
)
=0 ⇔ =±1.
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy
ℎ
(
)
= có 2 nghiệm phân biệt, với <−2
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 37
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ℎ
(
)
= vô nghiệm, với −2<<2
ℎ
(
)
= có 2 nghiệm phân biệt, với >2
Vậy hàm số
(
)
=󰇡

󰇢 có 6 điểm cực trị.
Dạng 3: Cực trị f(x), f(u),…liên quan biểu thức đạo hàm không tham số (Không GTTĐ)
Câu 111. Cho hàm số =
(
)
có đạo hàm
󰆒
(
)
=
(
−1
)(
−4
)
với mọi ∈ℝ. Hàm số
(
)
=
(
3 −
)
có bao nhiêu điểm cực đại?
A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Lời giải
Chọn B
Từ giả thiết, ta có bảng biến thiên của hàm số
(
)
Ta có
(
)
=
(
3 −
)
󰆒
(
)
=−
󰆒
(
3 −
)
.
Từ bảng biến thiên của hàm số
(
)
ta có
󰆒
(
)
≥0⇔
󰆒
(
3 −
)
≤0⇔
󰇣
3 −≤−1
1≤3 −≤4
⇔
󰇣
≥4
−1≤≤2
.
Như thế ta có bảng biến thiên của hàm số
(
)
Từ bảng biến thiên, ta nhận thấy hàm số
(
)
có một điểm cực đại.
Câu 114. Cho hàm số =
(
)
có đạo hàm
󰆒
(
)
=
(
−1
)(
13−15
)
. Khi đó số điểm cực trị của
hàm số =󰇡


󰇢 là
A. 5. B. 3. C. 2. D. 6.
Lời giải
Chọn D
Ta có:
󰆒
=
5
+ 4
󰆒
.
󰆒
5
+ 4
=
5
(
+ 4
)
−5.2
(
+ 4
)
5
+ 4
5
+ 4
−113.
5
+ 4
−15
=
−5
+ 20
(
+ 4
)
5
+ 4
󰇧
5−
−4
+ 4
󰇨󰇧
65−15
−60
+ 4
󰇨
=
5
(
2 −
)(
2 +
)
(
+ 4
)
⋅
(
5
)
(
+ 4
)
⋅
(
−1
)(
4 −
)
+ 4
⋅
(
3 −
)
(
15−20
)
(
+ 4
)
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 38
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
󰆒
=0⇔
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎡
=2
=−2
=0
=1
=4
=3
=
4
3
Do phương trình
󰆒
=0 có 6 nghiệm đơn và 1 nghiệm kép nên hàm số =󰇡


󰇢 có 6 điểm cực trị.
Câu 116. Cho hàm số =
(
)
xác định và liên tục trên ℝ có
󰆒
(
)
=
(
−2
)(
+ 5
)(
+ 1
)
và
(
2
)
=
1. Hàm số
(
)
=
[
(
)]
có bao nhiêu điểm cực trị ?
A. 1. B. 2. C. 3. D. 5.
Lời giải
Chọn C
Từ giả thiết ta có
󰆒
(
)
=
(
−2
)(
+ 5
)(
+ 1
)
⇒
󰆒
(
)
=0⇔
=2
=−5
=−1
Bảng biến thiên của =
(
)
Từ BBT suy ra
(
)
>0,∀≥0 nên
(
)
>0,∀∈ℝ
Xét hàm số
(
)
=
[
(
)]
󰆒
(
)
=󰇡
(
)
󰇢
󰆒
=4.
(
)
′
(
)
=4
(
−2
)(
+ 5
)(
+
1
)
(
)
Xét
󰆒
(
)
=0⇔
=0
=±
√
2
BBT của
(
)
=
[
(
)]
Từ BBT trên suy ra hàm số
(
)
=
[
(
)]
có ba điểm cực trị.
Câu 119. Cho hàm số =
(
)
có đạo hàm
󰆒
(
)
=.
(
−1
)
, ∀∈ℝ. Hàm số =
(
+
)
có bao
nhiêu điểm cực trị?
A. 5. B. 3. C. 4. D. 2.
Lời giải
2
0
∞
+
∞+
g(x)
∞
∞
0
+
+
g'(x)
x
- 2
0 0
+
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 39
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
Chọn A
Xét đạo hàm ′=
(
2+ 1
)
′
(
+
)
. Ta có ′=0⇔
(
2+ 1
)
′
(
+
)
=0
Thay bởi
(
+
)
ta có ′
(
+
)
=
(
+
)
.
(
+ −1
)
Khi đó
(
2+ 1
)
′
(
+
)
=0⇔
(
2+ 1
)(
+
)
.
(
+ −1
)
=0
⇔
(
2+ 1
)
(
+1
)
󰇡−

√
󰇢
.󰇡+

√
󰇢
=0
(
1
)
Ta thấy phương trình
(
1
)
có 5 nghiệm bội lẻ phân biệt nên ′
(
)
đổi dấu 5 lần qua các nghiệm.
Vậy hàm số =
(
+
)
có 5 cực trị.
Câu 120. Cho hàm số =() có đúng 3 điểm cực trị là 0; 1; 2 và có đạo hàm liên tục trên ℝ. Khi đó
hàm số =(4−4
) có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 5. B. 4. C. 2. D. 3.
Lời giải
Chọn D
Ta có:
󰆒
=(4 −8)
󰆒
(4−4
)=0⇔
4 −8=0
󰆒
(4−4
)=0
⇔
⎣
⎢
⎢
⎢
⎡
=
1
2
4−4
=0
4−4
=1
4−4
=2
⇔
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎡
=
1
2
=0
=1
=
=
1
2
.
4−4
=1⇔
=
=
1
2
󰆒
=0 có 2 nghiệm đơn và 1 nghiệm bội 3 nên hàm số có 3 điểm cực trị.
Dạng 4: Cực trị của hàm liên kết h(x) = f(u) + g(x) biết các BBT, đồ thị không tham số
Câu 1: Cho hàm số
(
)
xác định trên ℝ và có đồ thị của hàm số
󰆒
(
)
như hình vẽ
Hàm số =
(
)
=
(
)
−3 có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Lời giải
Chọn C
Ta có
󰆒
(
)
=
(
(
)
−3
)
󰆒
=
󰆒
(
)
−3;
Khi đó
󰆒
(
)
=0⇔
󰆒
(
)
=3
Dựa vào đồ thị của hàm số
󰆒
(
)
nhận thấy phương trình
󰆒
(
)
=3 có 3 nghiệm phân biệt.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 40
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
Từ đó ta có bảng biến thiên của hàm số
(
)
như sau:
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số=
(
)
, nhận xét hàm số có 3 điểm cực trị.
Câu 2: Cho hàm số =
(
)
có đạo hàm liên tục trên ℝ. Đồ thị hàm số =
󰆒
(
)
như hình vẽ sau:
Số điểm cực trị của hàm số =
(
−2019
)
−2020+ 2021 là
A. 3. B. 1. C. 4. D. 2.
Lời giải
Chọn B
Ta có
󰆒
=
[
(
−2019
)
−2020+2021
]
󰆒
=
󰆒
(
−2019
)
−2020.
Đồ thị hàm số =
󰆒
(
−2019
)
−2020 được suy ra từ đồ thị hàm số =
󰆒
(
)
bằng cách tịnh tiến sang
phải 2017 đơn vị và tịnh tiến xuống dưới 2018đơn vị.
Do đó đồ thị hàm số =
󰆒
(
−2019
)
−2020 chỉ cắt trục hoành tại 1 điểm và đổi dấu qua điểm đó nên
hàm số =
(
−2019
)
−2020+ 2021 có một điểm cực trị.
Câu 3: Cho hàm số =
(
)
có đạo hàm trên ℝ và đồ thị của hàm số =
󰆒
(
)
như hình bên.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 41
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
Khẳng định nào dưới đây đúng ?
A. Hàm số =
(
)
−
−+ 2019 đạt cực đại tại =0.
B. Hàm số =
(
)
−
−+ 2019 đạt cực tiểu tại =0.
C. Hàm số =
(
)
−
−+ 2019 không có cực trị.
D. Hàm số =
(
)
−
−+ 2019 không có cực trị tại =0.
Lời giải
Chọn A
Ta có
󰆒
=
󰆒
(
)
−2−1.
Cho
󰆒
=0⇔
󰆒
(
)
=2+1
(
1
)
.
Dựa vào đồ thị của hàm số =
󰆒
(
)
và đường thẳng =2+ 1 ta có thể nhận thấy phương trình
(
1
)
có
ít nhất 2 nghiệm là =0 và =2.
Xét dấu =1∈
(
0;2
)
, ta có
󰆒
(
1
)
=
󰆒
(
1
)
−5<0 từ đó ta nhận định hàm số =
(
)
−
−+
2019 đạt cực đại tại =0. Ta chọn đáp án A
Câu 4: Cho hàm số =
(
)
xác định và liên tục trên ℝ. Đồ thị hàm số =
/
(
)
như hình bên. Tìm số
cực trị của hàm số
(
)
=2
(
+ 2
)
+
(
+1
)(
+ 3
)
.
A. 2. B. 3. C. 4. D. 1.
Lời giải
Chọn A
(
)
=2
(
+ 2
)
+
(
+1
)(
+ 3
)
⇒
/
(
)
=2
/
(
+2
)
+ 2+ 4
.
/
(
)
=0⇔
/
(
+ 2
)
=−
(
+2
)
(
1
)
.
Đặt =+ 2.
Khi đó
(
1
)
trở thành
/
(
)
=−
(
2
)
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 42
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
(
2
)
là pt hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số =
/
(
)
và =−.
Dựa vào đồ thị của hàm số =
/
(
)
và =−.
Ta có:
/
(
)
=− ⇔
=−1
=0
=1
=2
.
Khi đó
=−3
=−2
=−1
=0
.
Bảng biến thiên hàm số
Vậy hàm số
(
)
có hai cực trị.
Câu 5: Cho hàm số
(
)
có đạo hàm liên tục trên ℝ. Đồ thị hàm số
󰆒
(
)
như hình vẽ.
Hàm số =
(
+ 4
)
−
−4 có bao nhiêu điểm cực trị thuộc khoảng
(
−5;1
)
.
A. 5. B. 4. C. 6. D. 3.
Lời giải
Ta có:
󰆒
=
(
2+ 4
)
󰆒
(
+ 4
)
−
(
2+ 4
)
=
(
2+ 4
)[
′
(
+ 4
)
−1
]
.
′=0⇔
2+ 4=0
󰆒
(
+ 4
)
=1
⇔
=−2
+ 4=−4
+ 4=0
+ 4=∈
(
1;5
)
⇔
=−2
=0
=−4
=−2 ±
√
4 +
.
Vì ∈
(
1;5
)
nên −2 ±
√
4 + ∈
(
−5;1
)
.
Dễ thấy
󰆒
đổi dấu khi qua các nghiệm kể trên.
Vậy hàm số =
(
+ 4
)
−
−4 có 5 điểm cực trị thuộc khoảng
(
−5;1
)
.
Câu 6: Cho hàm số =
(
)
có đạo hàm đến cấp hai trên ℝ và bảng xét dấu của hàm số =
󰆒
(
)
như
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 43
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
hình sau
Hàm số
(
)
=
(
1 −
)
+
−2
+ 3 đạt cực tiểu tại điểm nào trong các điểm sau?
A. =0. B. =3. C. =1. D. =−3.
Lời giải
Chọn B
+) Ta có ′
(
)
=−
󰆒
(
1 −
)
+
−4+ 3.
+)
󰆒
(
1 −
)
=0⇔
1 −=−2
1 −=0
1 −=4
⇔
=3
=1
=−3
.
+)
−4+ 3=0⇔
󰇣
=1
=3
.
+) Ta lập được bảng xét dấu của
󰆒
(
)
như sau:
Từ bảng xét dấu ta thấy hàm số
(
)
đạt cực tiểu tại =3.
Câu 7: Cho hàm số
(
)
có đồ thị
󰆒
(
)
như hình vẽ dưới. Hàm số
(
)
=
(
)
−
+ 2
−5+2001
có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 3. B. 1. C. 2. D. 0.
Lời giải
Chọn C
Có
󰆒
(
)
=
󰆒
(
)
−
+ 4−5⇒
󰆒
(
)
=0⇔
󰆒
(
)
=
−4+5
Ta có đồ thị hàm số =
−4+ 5 và đồ thị hàm =
󰆒
(
)
như hình vẽ dưới
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 44
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
Quan sát hình vẽ ta thấy
󰆒
(
)
=0 có 3 nghiệm phân biệt trong đó chỉ có 1 nghiệm bội chẵn
Vậy hàm số
(
)
có 2 điểm cực trị.
Câu 8: Cho hàm số bậc năm =
(
)
có đồ thị =
󰆒
(
)
như hình bên. Số điểm cực trị của hàm số
(
)
=
(
+ 3
)
−2
−6
là
A. 5. B. 7. C. 10. D. 11.
Lời giải
Chọn C
Ta có
󰆒
(
)
=
(
3
+ 6
)
.
󰆒
(
+ 3
)
−6
−12=
(
3
+ 6
)[
󰆒
(
+ 3
)
−2
]
.
󰆒
(
)
=0⇔
3
+ 6=0
󰆒
(
+ 3
)
=2
.
Phương trình 3
+ 6=0⇔
󰇣
=0
=−2
.
Phương trình
󰆒
(
+ 3
)
=2⇔
+ 3
=<0
+ 3
=∈
(
0;2
)
+ 3
=∈
(
2;4
)
+ 3
=>4
.
Hàm số ℎ
(
)
=
+ 3
có ℎ
󰆒
(
)
=3
+ 6=0⇔
󰇣
=0
=−2
.
Bảng biến thiên của hàm ℎ
(
)
:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 45
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
Dựa vào bảng biên thiên của hàm ℎ
(
)
, ta có
Phương trình
+ 3
=<0có duy nhất một nghiệm
<−3.
Phương trình
+ 3
=>4có duy nhất một nghiệm
>1.
Phương trình
+ 3
=∈
(
0;2
)
có ba nghiệm phân biệt không trùng với các nghiệm trên.
Phương trình
+ 3
=∈
(
2;4
)
có ba nghiệm phân biệt không trùng với các nghiệm trên.
Do đó, phương trình
󰆒
(
)
=0có mười nghiệm đơn phân biệt nên hàm số =
(
)
có mười điểm cực trị.
Câu 9: Cho hàm số =
(
)
xác định trên ℝ và có bảng xét dấu đạo hàm ′
(
)
như hình dưới đây. Hỏi
hàm số =
(
)
+
−3
−9+ 1 đạt cực tiểu tại điểm nào dưới đây?
A.
=3. B.
=−1. C.
=−3. D.
=4.
Lời giải
Chọn C
Xét hàm số =
(
)
=
(
)
+
−3
−9+1
TXĐ: =ℝ
′
(
)
=′
(
)
+ 3
−6−9
Ta có: 3
−6−9=0⇔
󰇣
=−1
=3
Bảng xét dấu:
Vậy hàm số đạt cực tiểu tại =3.
Câu 10: Cho hàm số =
(
)
có đạo hàm đến cấp hai trên ℝ và có bảng xét dấu của hàm số =′
(
)
như hình sau:
Hỏi hàm số
(
)
=
(
1 −
)
+
−2
+ 3 đạt cực tiểu tại điểm nào trong các điểm sau?
A. =3. B. =0. C. =−3. D. =1.
Lời giải
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 46
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
Chọn A
󰆒
(
)
=−
󰆒
(
1 −
)
+
−4+3.
−
󰆒
(
1 −
)
>0⇔
󰆒
(
1 −
)
<0⇔
󰇣
1 −<−2
0<1 −<4
⇔
󰇣
>3
−3<<1
Bảng xét dấu
󰆒
(
)
:
Từ bảng xét dấu
󰆒
(
)
ta suy ra hàm số đạt cực tiểu tại =3.
Câu 11: Cho hàm số =
(
)
có đạo hàm trên ℝ và có bảng biến thiên như hình vẽ
Hàm số
(
)
=3
(
2 −
)
+
−3 đạt cực đại tại điểm
A. =1. B. =−1. C. =3. D. =2.
Lời giải
Chọn B
Ta có
󰆒
(
)
=−3
󰆒
(
2 −
)
+ 3
−3.
Từ bảng biến thiên của hàm số =
(
)
ta thấy:
󰆒
(
2 −
)
=0⇔
2 −=1
2 −=2
2 −=3
⇔
=1
=0
=−1
󰆒
(
2 −
)
>0⇔
2 −>1
2 −<3
2 −≠2
⇔∈
(
−1;1
)
\
{
0
}
󰆒
(
2 −
)
<0⇔
󰇣
2 −<1
2 −>3
⇔
󰇣
>1
<−1
. Ta có bảng biến thiên của hàm số
(
)
:
(Nhờ thầy vẽ lại BBT ạ)
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số
(
)
đạt cực đại tại =−1.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 47
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
Câu 12: Cho hàm số . Hàm số có đồ thị như hình bên.
Hàm số nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Ta có .
Đặt , , ta xét hàm số .
Từ đồ thị hàm số ta có đồ thị hàm số và như hình vẽ
.
Từ đó ta có bảng xét dấu như sau:
Ta có
.
Ta có bảng xét dấu như sau:
f x
y f x
4
2 3 2
2 2 2
4
x
g x f x x x x x
1;2
1;1
2;1
2;3
2
2
2
2 1 2 1
2
x x
g x x f x x
2
2
u x x
1
u
1
1
2
h u f u u
y f x
y f u
1
1
2
y u
h u
2
1 2 1 1 2
u x x x
2
4 2 4 1 5
u x x x
g x
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 48
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
.
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng .
Câu 13: Cho hàm số =
(
)
xác định trên ℝ. Biết rằng hàm số =
󰆒
(
)
có đồ thị như hình vẽ
Số điểm cực trị của hàm số
(
)
=
(
−2
)
−󰇡
−2
+
+ 2+2020󰇢 là
A. 7. B. 6. C. 5. D. 8.
Lời giải
Chọn C
+) Ta có
󰆒
(
)
=
(
2−2
)
󰆒
(
−2
)
−
(
2
−6
+ 2+2
)
=2
(
−1
)
.
[
󰆒
(
−2
)
−
(
−
2−1
)]
󰆒
(
)
=0⇔
−1=0
󰆒
(
−2
)
−
(
−2−1
)
=0
⇔
=1
󰆒
(
−2
)
=
−2−1
(
∗
)
.
+) Giải (*):
Đặt =
−2, phương trình trở thành
󰆒
(
)
=−1.
4
2 3 2
2 2 2
4
x
g x f x x x x x
1;2
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 49
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
Từ đồ thị hàm số =
󰆒
(
)
và đường thẳng =−1 ta có
󰆒
(
)
=−1⇔
=−1
=1
=2
=3
.
Suy ra
−2=−1
−2=1
−2=2
−2=3
⇔
(
−1
)
=0
−2−1=0
−2−2=0
−2−3=0
⇔
⎣
⎢
⎢
⎢
⎡
=1
=1±
√
2
=1±
√
3
=−1
=3
.
Bảng xét dấu
(Xét dấu của
󰆒
(
)
bằng cách lấy một điểm
thuộc khoảng đang xét, thay vào
󰆒
(
)
, kết hợp với đồ thị).
Vậy hàm số
(
)
=
(
−2
)
−󰇡
−2
+
+ 2+ 2020󰇢 có 5 điểm cực trị.
Câu 14: Cho hàm số =
(
)
. Hàm số =′
(
)
xác định, liên tục trên ℝ và có đồ thị như hình vẽ
Hàm số
(
)
=4
(
)
−
+ 6
có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 3. B. 1. C. 5. D. 0.
Lời giải
Chọn A
Ta có ′
(
)
=4′
(
)
−4
+ 12.
′
(
)
=0⇔′
(
)
=
−3 (1)
Dựa vào đồ thị hàm số =′
(
)
ta vẽ thêm đồ thị hàm số =
−3.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 50
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị =′
(
)
và =
−3.
Dựa vào đồ thị ta có (1) ⇔
=,−2<<−1
=,−1<<0
=,>2
.
Bảng biến thiên
Ta thấy hàm số =
(
)
có ba điểm cực trị.
Câu 15: Cho hàm số =
(
)
. Hàm số =′
(
)
có đồ thị như hình vẽ.
Số điểm cực trị của đồ thị hàm số =
(
)
=
(
−4+3
)
−3
(
−2
)
+
(
−2
)
là
A. 6. B. 7. C. 8. D. 9.
Lời giải
Chọn A
Ta có ′
(
)
=2
(
−2
)
′
(
−4+3
)
−6
(
−2
)
+ 2
(
−2
)
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 51
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
′
(
)
=2
(
−2
)[
′
(
−4+ 3
)
+
−4+1
]
′
(
)
=0⇔
=2
′
(
−4+3
)
=2−
(
−4+ 3
)
Từ đồ thị hàm số
Ta có đường thẳng =2 − cắt đồ thị =′
(
)
tại bốn điểm phân biệt có hoành độ
là =−2;=0;=1;=2.
Vậy ⇔
⎣
⎢
⎢
⎢
⎡
=2
−4+3=−2
−4+3=0
−4+3=1
−4+3=2
⇔
⎣
⎢
⎢
⎢
⎡
=2
=1
=3
=2±
√
2
=2±
√
3
Ta có BBT:
Từ BBT suy ra đồ thị hàm số có 6 điểm cực trị.
Câu 16: Cho hàm số
(
)
. Hàm số =
󰆒
(
)
xác định, liên tục trên ℝ và có đồ thị như hình vẽ.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 52
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
Hàm số
(
)
=4
(
)
−
+ 6
có bao nhiêu điểm cực trị ?
A. 0. B. 1. C. 3. D. 5.
Lời giải
Chọn C
Ta có:
(
)
=4
(
)
−
+ 6
⇒
󰆒
(
)
=4
󰆒
(
)
−4
+ 12.
⇒
󰆒
(
)
=0⇔4
󰆒
(
)
−4
+ 12=0⇔′
(
)
=
−3=ℎ
(
)
.
ℎ
(
)
=
−3⇒ℎ
󰆒
(
)
=3
−3.
⇒ℎ
󰆒
(
)
=0⇔3
−3=0⇔
󰇣
=−1
=1
.
Ta có bảng biến thiên của hàm số ℎ
(
)
=
−3 là
Ta có đồ thị của hai hàm số =
󰆒
(
)
và ℎ
(
)
=
−3 là
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 53
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
Dựa vào đồ thị ta thấy 2 đồ thị cắt nhau tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là
<
<
.
Ta có bảng xét dấu của hàm số
󰆒
(
)
=4
󰆒
(
)
−4
+ 12 là
Dựa vào BBT, ta suy ra hàm số
(
)
=4
(
)
−
+ 6
có 3 điểm cực trị.
Câu 17: Cho hàm số =
(
)
có bảng biến thiên như sau
Tìm giá trị cực trị của hàm số
(
)
=
(
−3
)
−
−
+ 3−

trên đoạn
[
−1;2
]
?
A. 2022. B. 2019. C. 2020. D. 2021.
Lời giải
Chọn D
󰆒
(
)
=
(
3
−3
)
󰆒
(
−3
)
−
−2
+ 3=
(
−1
)[
3
󰆒
(
−3
)
−
−3
]
Mà ∈
[
−1;2
]
⇒
−3∈
[
−2;2
]
⇒
󰆒
(
−3
)
<0⇒3
󰆒
(
−3
)
−
−3<0, do đó
󰆒
(
)
=0⇔
−1=0⇔=±1.
Ta có bảng biến thiên của
(
)
trên đoạn
[
−1;2
]
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 54
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
Vậy giá trị cực trị của hàm số là
(
1
)
=
(
−2
)
+ 2=2021.
Câu 18: Cho hàm số =
(
)
xác định trên ℝ và có bảng xét dấu đạo hàm ′
(
)
như hình vẽ. Hỏi hàm
số =3
(
−1
)
−
+ 3
+ 9
+ 2023 có ít nhất bao nhiêu điểm cực trị?
A. 1. B. 2. C. 3. D. 0.
Lời giải
Chọn C
Xét hàm số: =
(
)
=3
(
−1
)
−
+ 3
+ 9
+ 2023 có TXĐ: =ℝ.
Đạo hàm: ′
(
)
=6.′
(
−1
)
−6
+ 12
+ 18=6.
[
′
(
−1
)
−
+ 2
+ 3
]
.
⇒ ′
(
)
=0 ⇔ 6.
[
′
(
−1
)
−
+ 2
+ 3
]
=0 ⇔
=0
′
(
−1
)
−
+ 2
+ 3=0
.
Ta luôn có =0 là điểm cực trị (do nhân tử ′
(
−1
)
−
+ 2
+ 3 không thể có nghiệm bội lẻ =
0 nữa, vì vậy ta không phải quan tâm đến sự trùng nghiệm tại =0).
Xét phương trình: ′
(
−1
)
−
+ 2
+ 3=0.
Đặt =
−1 ⇒ ′
(
−1
)
−
+ 2
+ 3=0 ⇔ ′
(
)
−
+ 4=0.
Xét dấu biểu thức ′
(
)
−
+ 4=0 trên ℝ, ta có:
⇒ Hàm số =
(
)
đạt cực trị tại =±
√
3.
Vậy hàm số =
(
)
đạt cực trị tại ít nhất 3 điểm.
Câu 19: Cho hàm số =
(
)
, =
(
)
liên tục trên ℝ, các hàm số =
󰆒
(
)
và =
󰆒
(
)
có đồ thị
như hình vẽ dưới đây (đồ thị =
󰆒
(
)
đậm hơn).
Hàm số =
(
+ 1
)
−
(
+1
)
đạt cực tiểu tại điểm
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 55
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
A.
=−1. B.
=−2. C.
=0. D.
=−3.
Lời giải
Chọn C
Ta có:
󰆒
=
󰆒
(
+1
)
−
󰆒
(
+ 1
)
.
Xét phương trình
󰆒
=0⇔
󰆒
(
+1
)
−
󰆒
(
+ 1
)
=0⇔
󰆒
(
+1
)
=
󰆒
(
+ 1
)
⇔
+1=−2
+1=0
+1=1
⇔
=−3
=−1
=0
.
Ta có bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại =0.
Câu 20: Cho hàm số =
(
)
có đạo hàm liên tục trên ℝ và bảng xét dấu đạo hàm
Hàm số=3
(
−
+ 4
−6
)
+ 2
−3
−12
có bao nhiêu điểm cực tiểu?
A. 1. B. 2. C. 0. D. 3.
Lời giải
Chọn B
Xét hàm số =
(
)
=3
(
−
+ 4
−6
)
+ 2
−3
−12
có tập xác định =ℝ.
Có
󰆒
(
)
=3
(
−4
+ 8
)
󰆒
(
−
+ 4
−6
)
+ 12
−12
−24
=12
(
−
+ 2
)
󰆒
(
−
+ 4
−6
)
+ 12
(
−
−2
)
=12
(
−
+ 2
)
󰆒
(
−
+ 4
−6
)
+ 12
(
−2
)(
+ 1
)
=12
(
−
+ 2
)[
󰆒
(
−
+ 4
−6
)
−
(
+ 1
)]
Có −
+ 4
−6=−
(
−4
+ 6
)
=−
[(
−2
)
+ 2
]
=−
(
−2
)
−2≤−2,∀ ⇒
󰆒
[
−
(
−
2
)
−2
]
<0, (theo bbt).
Suy ra
[
󰆒
(
−
+ 4
−6
)
−
(
+ 1
)]
<0
Do đó
󰆒
(
)
=0⇔12
(
−
+ 2
)
=0⇔
=0
=−
√
2
=
√
2
.
Bảng biến thiên:
x
f '(x)
-∞
+∞
- 2
2
0
0
_
+
_
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 56
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
Dựa vào bảng biến thiên hàm số =
(
)
có hai điểm cực tiểu.
Câu 21: Cho hàm số =
(
)
liên tục và có đạo hàm trên ℝ. Biết hàm số =
󰆒
(
)
có đồ thị như hình
bên dưới. Tìm số điểm cực đại của đồ thị hàm số
(
)
=3
(
−2
+ 2
)
−2
−6
+
18
.
A. 2. B. 3. C. 1. D. 4.
Lời giải
Chọn A
Ta có
(
)
=3
(
−2
+ 2
)
−2
−6
+ 18
⇒
󰆒
(
)
=3
(
4
−4
)
.
󰆒
(
−2
+ 2
)
−12
−24
+ 36
Cho
󰆒
(
)
=0 ⇔ 3
(
4
−4
)
.
󰆒
(
−2
+ 2
)
−12
−24
+ 36=0
⇔ 3
(
4
−4
)
.
󰆒
(
−2
+ 2
)
−
(
12
+ 24
−36
)
=0
⇔ 3
(
4
−4
)
.
[
󰆒
(
−2
+ 2
)
−
(
+ 3
)]
=0
⇔
4
−4=0
󰆒
(
−2
+ 2
)
−
(
+ 3
)
=0
⇔
=0
=±1
󰆒
(
−2
+ 2
)
=
+ 3
Nhận thấy:
−2
+ 2=
(
−1
)
+ 1≥1,∀∈ℝ
Kết hợp với đồ thị hàm số =
󰆒
(
)
suy ra
󰆒
(
−2
+ 2
)
≤0,∀∈ℝ
Mặt khác
+ 3>0,∀∈ℝ
Do đó
󰆒
(
−2
+ 2
)
=
+ 3 ⇔
󰆒
(
−2
+ 2
)
−
(
+ 3
)
<0,∀∈ℝ
⇒ phương trình
󰆒
(
−2
+ 2
)
=
+ 3 vô nghiệm
Vậy phương trình
󰆒
(
)
=0 ⇔
󰇣
=0
=±1
Ta có bảng biến thiên của hàm số =
(
)
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 57
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
Từ BBT ⇒ =
(
)
có 2 điểm cực đại.
Câu 22: Cho hàm số =
(
)
có đạo hàm liên tục trên ℝ và bảng biến thiên
Hàm số
(
)
=15
(
−
+ 4
−6
)
+ 10
−15
−60
đạt cực tiểu tại
<0. Chọn mệnh đề
đúng?
A.
∈󰇡−
;−2󰇢. B.
∈󰇡−2;−
󰇢. C.
∈󰇡−
;−1󰇢. D.
∈
(
−1;0
)
.
Lời giải
Chọn C
Ta có
(
)
=60
(
−
+ 2
)
′
(
−
+ 4
−6
)
+ 60
(
−
−2
)
=60
[(
−
+ 2
)
′
(
−
+ 4
−6
)
+
(
+ 1
)(
−2
)]
=60
(
−
+ 2
)[
′
(
−
+ 4
−6
)
−
(
+ 1
)]
′
(
)
=0⇔60
(
−
+ 2
)[
′
(
−
+ 4
−6
)
−
(
+ 1
)]
=0
⇔
⎣
⎢
⎢
⎡
=0
=
√
2
=−
√
2
′
(
−
+ 4
−6
)
−
(
+ 1
)
=0
−
+ 4
−6=−2 −
(
−4
+ 4
)
=−2 −
(
−2
)
≤−2⇒′
(
−
+ 4
−6
)
≤0
Mà −
(
+ 1
)
<0⇒′
(
−
+ 4
−6
)
−
(
+ 1
)
<0 ∀∈ℝ nên phương trình ′
(
−
+ 4
−
6
)
−
(
+ 1
)
=0 vô nghiệm.
Ta có BBT của ′
(
)
như sau
Hàm số
(
)
đạt cực tiểu tại
<0 nên suy ra hàm số
(
)
đạt cực tiểu tại
=−
√
2. ⇒
∈
󰇡−
;−1󰇢.
Câu 23: Cho hàm số =
(
)
có bảng biến thiên
+
–
0
0
–
+ ∞2
– 2
– ∞
f
'(x)
x
g x
)
0
0
2
– 2
x
g
'(x)
– ∞
0
+ ∞
0
– +
–
+
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 58
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
Số điểm cực đại và cực tiểu của hàm số =
(
2
)
−2
(
2
)
+ 1 lần lượt là
A. 2;3. B. 3;2. C. 1;1. D. 2;2.
Lời giải
Chọn A
Ta có
󰆒
=2
(
2
)
.
󰆒
(
2
)
.2−4
󰆒
(
2
)
=4
󰆒
(
2
)[
(
2
)
−1
]
󰆒
=0⇔
󰆒
(
2
)
=0
(
2
)
=1
⇔
⎣
⎢
⎢
⎢
⎡
2=−1
2=2
2=∈
(
−∞;−1
)
2=∈
(
−1;2
)
2=∈
(
2;+∞
)
Ta có bảng xét dấu đạo hàm của hàm số =
(
2
)
−2
(
2
)
+ 1
Ta thấy
󰆒
có ba lần đổi dấu từ âm sang dương, hai lần đổi dấu từ dương sang âm.
Vậy hàm số =
(

)
−
(

)
+ có hai điểm cực đại và ba điểm cực tiểu.
Câu 24: Cho hàm số =
(
)
có bảng biến thiên như sau
Hàm số
(
)
=2
(
)
+ 4
(
)
+ 1 có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực tiểu?
A. 4 B. 9 C. 5 D. 7
Lời giải
Chọn C
Ta có
󰆒
(
)
=6
(
)
.
󰆒
(
)
+ 8
(
)
.
󰆒
(
)
=0
⇔
(
)
=0
󰆒
(
)
=0
(
)
=−
4
3
Dựa vào bảng biến thiên ta có:
󰆒
(
)
=0⇔
󰇣
=0
=±1
,
(
)
=0⇔
=
=
,
(
)
=−
⇔
=
=
=
=
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 59
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
thỏa mãn:
<<−1<<0<<1<<
Khi đó để có nhiều điểm cực tiếu nhất thì xét dấu của
󰆒
(
)
có dạng:
Do đó hàm số có nhiều nhất điểm cực tiểu.
Câu 25: Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ.
Tìm số điểm cực trị của hàm số .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm phân biệt suy ra phương trình có nghiệm phân
biệt .
Từ đồ thị hàm số suy ra hàm số có điểm cực trị phân biệt suy ra có
nghiệm phân biệt lần lượt khác các giá trị .
Từ, suy ra phương trình có nghiệm đơn.
Vậy hàm số có điểm cực trị.
Câu 26: Cho hàm số bậc ba =
(
)
liên tục trên ℝvà có đồ thị như hình vẽ.
y f x
4 2
3 2 5
F x f x f x
6
3
5
7
4 2 3
3 2 5 ' 12 ' 4 '
F x f x f x F x f x f x f x f x
2
' 4 ' 3 1
F x f x f x f x
' 0 ' 0
F x f x f x
0
' 0
' 0
f x
F x
f x
f x
4
0
f x
4
1 2 3 4
, , ,
x x x x
f x
f x
3
5 6 7
, ,
x x x
' 0
f x
3
5 6 7
, ,
x x x
1 2 3 4
, , ,
x x x x
' 0
F x
7
F x
7
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 60
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
Số điểm cực trị của hàm số =
2
(

)
trên đoạn
󰇣
;
󰇤
.
A. 1. B. 0. C. 2. D. 3.
Lời giải
Chọn A
Hàm số bậc ba =
(
)
có dạng
3 2
f x ax bx cx d
(
≠0
)
.
Đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ nên =0.
Mặt khác đồ thị hàm số đi qua các điểm
(
−1;2
)
,
(
1;−2
)
,
(
2;2
)
nên ta có hệ phương trình:
−+ −=2
+ + =−2
4+ 2+ =1
⇔
=1
=0
=−3
.
Do đó
(
)
=
−3.
Đặt =,∈
󰇣
;
󰇤
⇒∈
[
−1;0
]
⇒
(

)
=
(
)
=
−3với ∈
[
−1;0
]
.
Ta có
󰆒
(
)
=3
−3<0;∀∈
[
−1;0
]
⇒
(
)
nghịch biến trên
[
−1;0
]
Suy ra 2
(
)
∈
[
2
(
0
)
;2
(
−1
)]
hay 2
(
)
∈
[
0;4
]
.
Đặt =
2
(
)
⇒∈
[
0;2
]
⇒=
(
)
=
−3với ∈
[
0;2
]
.
Ta có
󰆒
(
)
=3
−3⇒
󰆒
(
)
=0⇔=1∈
[
0;2
]
.
Bảng biến thiên của
(
)
Dựa vào bảng biến thiên suy ra hàm số
(
)
có 1điểm cực trị trên đoạn
[
0;2
]
hay
hàm số =
2
(

)
có 1điểm cực trị trên đoạn
󰇣
;
󰇤
.
Câu 27: Cho hàm số
(
)
có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:
Đặt
(
)
=
(
)
+


. Khẳng định nào sau đây sai?
A. Hàm số =
(
)
đạt cực đại tại =0.
B. Hàm số =
(
)
đồng biến trên khoảng
(
−1;1
)
.
C. Hàm số =
(
)
nghịch biến trên khoảng
(
0;1
)
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 61
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
D.
(
−3
)
−
(
−2
)
<0.
Lời giải
Chọn B
Ta có
󰆒
(
)
=2
󰆒
(
)
+
(
3
−6
)
.


=
2
󰆒
(
)
+
(
3−6
)


󰆒
(
)
=0⇔
∈
{
1;4
}
⇔∈
{
±1;±2
}
(
3−6
)


=0⇔=2.
Ta có bảng xét dấu:
(kxđ: không xác định)
Dựa vào bảng xét dấu, ta chọn .
Câu 28: Cho hàm số =
(
)
, hàm số =
󰆒
(
)
có đồ thị như hình vẽ. Hàm số
(
)
=2󰇡

󰇢+
(

)
+ 3có bao nhiêu điểm cực trị trên khoảng
(
0;2
)
?
A. 9. B. 7. C. 6. D. 8.
Lời giải
Chọn B
Ta có
(
)
=2󰇡

󰇢+ 󰇡

󰇢
+ 3
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 62
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
󰆒
(
)
=
5
2
2
󰆒
5−1
2
+ 2.
5−1
2
=0
⇔
=0
2
󰆒
5−1
2
+2.
5−1
2
=0
Đặt =

vì ∈
(
0;2
)
⇒∈
[
−3;2
]
Khi đó: 2
󰆒
󰇡

󰇢+ 2.󰇡

󰇢=0thành
󰆒
(
)
=−⇔
⎣
⎢
⎢
⎡
=1
=
=−1
=−3
Với =1⇒

=1⇔=
⇔
=
∈
(
0;2
)
=
∈
(
0;2
)
.
Với =
⇒

=
⇔=
⇔
=
∈
(
0;2
)
=
∈
(
0;2
)
.
Với =−1⇒

=−1⇔=−
⇔
=
∈
(
0;2
)
=
∈
(
0;2
)
.
Với =−3⇒

=−3⇔=−1⇔=

∈
(
0;2
)
.
=0⇔
=
∈
(
0;2
)
=

∈
(
0;2
)
.
Vì =

là nghiệm kép nên không là điểm cực trị của hàm số =
(
)
.
Vậy hàm số =
(
)
có 7điểm cực trị trên khoảng
(
0;2
)
.
Dạng 5: Cực trị hàm hợp f(u), g(f(x)),hàm liên kết…có tham số
Câu 38: Cho hàm số =
(
)
liên tục trên ℝ
và có bảng xét dấu đạo hàm như sau
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
để hàm số
(
)
=
(
+
)
đồng biến trên khoảng
(
0;2
)
.
A. 3. B. 4. C. 2. D. 1.
Lời giải
Chọn A
Từ giả thiết suy ra hàm số =
(
)
đồng biến trên các khoảng
(
−1;1
)
,
(
1;3
)
và liên tục tại =1nên
đồng biến trên
(
−1;3
)
.
Ta có
󰆒
(
)
=
󰆒
(
+
)
và ∈
(
0;2
)
⇔+∈
(
;+ 2
)
.
(
)
đồng biến trên khoảng
(
0;2
)
⇔
(
;2+
)
⊂
(
−1;3
)
⇔
󰇥
≥−1
2 + ≤3
⇔−1≤≤1.
Vì ∈ℤ nên có 3 giá trị là =−1;=0;=1.
Câu 44: Cho =
(
)
là hàm số bậc ba và có bảng biến thiên như hình vẽ
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 63
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
Có bao nhiêu giá trị nguyên ∈
(
−5;5
)
để hàm số
(
)
=
(
(
)
+
)
có 4 điểm cực trị?
A. 5. B. 6. C. 7. D. 8.
Lời giải
Chọn B
󰆒
(
)
=
󰆒
(
)
.
󰆒
(
(
)
+
)
.
󰆒
(
)
=0 ⇔
󰆒
(
)
=0
󰆒
(
(
)
+
)
=0
⇔
=−2
=2
(
)
+ =−2
(
)
+ =2
⇔
=−2
=2
(
)
+ 2=−
(
)
−2=−
, trong đó =−2 và =2 là hai nghiệm bội lẻ.
Đặt
(
)
=
(
)
+ 2 và
(
)
=
(
)
−2, ta có đồ thị sau
Với
󰇥
∈
(
−5;5
)
∈ℤ
và nhìn vào đồ thị, ta thấy hàm số
(
)
có 4 điểm cực trị
󰆒
(
)
=0 có 4 nghiệm
bội lẻ⇔∈
{
−4;−3;−1;1;3;4
}
..
Câu 29: Cho hàm số =
(
)
có đồ thị =
󰆒
(
)
như hình vẽ và
󰆒
(
)
<0∀∈
(
−∞;−3,4
)
∪
(
9;+∞
)
.
Đặt
(
)
=
(
)
−+ 5với ∈ℕ. Có bao nhiêu giá trị của để hàm số =
(
)
có đúng
hai điểm cực trị?
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 64
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
A. 8. B. 11. C. 9. D. 10.
Lời giải
Chọn C
Ta có
󰆒
(
)
=
󰆒
(
)
−. Suy rA.
󰆒
(
)
=0⇔
󰆒
(
)
=.
Do đó: Số nghiệm của phương trình
󰆒
(
)
=0tương đương với số giao điểm của đồ thị hàm số
󰆒
(
)
và
đường thẳng =.
Nhận xét: Hàm số =
(
)
có đúng hai điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình
󰆒
(
)
=0có số nghiệm
lớn hơn bằng 2, trong đó có đúng 2nghiệm đơn.
Dựa vào đồ thị và các lập luận trên, suy ra
󰇣
≤5
10≤<13
,
mà ∈ℕnên ∈
{
0;1;2;3;4;5;10;11;12
}
.
Vậy có 9giá trị thỏa mãn.
Câu 30: Cho hàm số =
(
)
có đồ thị hàm số =
󰆒
(
)
(như hình vẽ). Gọi là tập tất cả các giá trị
nguyên của tham số thuộc khoảng
(
−5;5
)
sao cho hàm số =
(
)
−+2020 có đúng
một điểm cực trị. Tổng các phần tử của bằng
A. −5.−3. B. 2. C. −1. D. Lời giải
Chọn B
Ta có
󰆒
=
󰆒
(
)
− ;
󰆒
=0⇔
󰆒
(
)
−=0⇔
󰆒
(
)
=
(
1
)
.
Hàm số có đúng một điểm cực trị khi phương trình
(
1
)
có nghiệm duy nhất hoặc có hai nghiệm trong đó
có 1 nghiệm kép ⇒
󰇣
≤−1
≥3
Vì ∈
(
−5;5
)
⇒∈−5;−1 ∪3;5
)
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 65
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
Mặt khác nguyên nên ∈
{
−4;−3;−2;−1;3;4
}
⇒=
{
−4;−3;−2;−1;3;4
}
.
Tổng các phần tử của bằng: −4 −3 −2 −1 + 3 + 4=−3.
Câu 31: Cho hàm số =
(
)
=
|
−1
|
+
|
−5
|
+
|
−8
|
. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của tham
số ∈
[
−23;23
]
để hàm số =
(
|
|
+
)
có ba điểm cực trị?
A. 46. B. 27. C. 19. D. 28.
Lời giải
Chọn D
+ Xét hàm số =
(
)
=
|
−1
|
+
|
−5
|
+
|
−8
|
có bảng biến thiên kép như hình vẽ:
+ Hàm số
(
)
có điểm cực trị là =5 → hàm số
(
+
)
có một điểm cực trị là: =(5−).
+ Hàm số
(
|
|
+
)
có 3 điểm cực trị thì hàm số:
(
+
)
phải có một điểm cực trị dương
+ Suy ra: 5 −>0⇔<5⇒−23≤≤4⇒ có 28 giá trị nguyên của thỏa mãn.
Câu 34: Cho hàm số =() có đồ thị là một đường parabol như hình vẽ bên dưới. Gọi là tập chứa tất
cả các giá trị thực của tham số để hàm số =3.
(
(
)
+
)
có hai điểm cực trị. Tập là
A. 󰇡−∞;

󰇢. B. 󰇡−2;

󰇢. C. 󰇡

;+∞󰇢. D.
(
0;+∞
)
.
Lời giải
Chọn A
Từ đồ thị hàm số ta thấy parabol có dạng: =()=
+ + v à đi qua các điểm
(
0;2
)
;
(
1;0
)
;
(
3;0
)
.
Ta có hệ phương trình:
=2
++ =0
9+3+ =0
⇔
=
=−
=2
⇒()=
−
+ 2
Suy ra hàm số =3.
(
(
)
+
)
=3
󰇣
−
+ 2 +
󰇤
=2
−8
+ 3(+ 2)
′=6
−16+ 3(+ 2)
′=0⇔6
−16+ 3(+ 2)=0 có 2 nghiệm phân biệt ⇔(−8)
−3.6(+ 2)>0⇔<

.
Câu 36: Cho hàm số =(). Hàm số =
󰆒
(
)
có đồ thị như hình bên. Tìm để hàm số =
(
+
)
có 3 điểm cực trị?
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 66
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
A. ∈
[
0;3
]
. B. ∈0;3
)
. C. ∈
(
3;+∞
)
. D. ∈
(
−∞;0
)
.
Lời giải
Chọn B
Ta có:
󰆒
()=0⇔
=0
=1
=3
và
󰆒
(
)
không đổi dấu khi qua 1 hay 1 là nghiệm bội chẵn.
󰆒
=
[
(
+
)]
󰆒
=
󰆒
(
+
)
.2
󰆒
=0⇔
󰆒
(
+
)
=0
=0
⇔
+ =0
+ =1
(
)
+ =3
=0
⇔
=−
=3 −
=0
.
Hàm số =
(
+
)
có 3 điểm cực trị
󰆒
=0 có 3 nghiệm phân biệt và
󰆒
đổi dấu khi qua ba nghiệm
đó ⇔∈0;3
)
.
Câu 39: Cho hàm số ()xác định, liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ:
Để hàm số =(
+ +1), với ,≠0có năm cực trị thì điều kiện cần và đủ là
A. 4<
≤8. B.
≤4. C. 4≤
<8. D.
≥8.
Lời giải
Chọn A
Ta có: ′=(2+).′(
+ +1);
′=0⇔
2+ =0
′(
+ +1)=0
⇔
⎣
⎢
⎢
⎢
⎡
=−
2
+ + 1=0
+ + 1=−1
+ + 1=1
⇔
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎡
=−
2
=0
=−
+ + 1=0(1)
+ + 2=0(2)
Để hàm số =(
+ +1), với ,≠0có năm cực trị thì điều kiện cần và đủ là phương trình ′=0có
5 nghiệm đơn phân biệt
2
3
0
1 2
x
y
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 67
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
TH1: (1) có 2 nghiệm phân biệt ∉
󰇥
−

;−
;0
󰇦
, phương trình (2) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép.
⇔
−4>0
−8≤0
⇔4<
≤8
TH2: (2) có 2 nghiệm phân biệt ∉
󰇥
−

;−
;0
󰇦
, phương trình (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép.
⇔
−4≤0
−8>0
⇔8<
≤4vô lý.
Câu 41: Cho hàm số =
(
)
, trong đó
(
)
là một đa thức. Hàm số =
󰆒
(
)
có đồ thị như hình vẽ
sau:
Hỏi có nhiêu giá trị nguyên của thuộc
(
−5;5
)
để hàm số =
(
)
=
(
−2
|
|
+
)
có 9 điểm cực
trị?
A. 2. B. 3. C. 4. D. 1.
Lời giải
Chọn B
Ta có hàm =
(
)
là hàm số chẵn nên đồ thị đối xứng qua trục .
Xét ≥0, =
(
)
=
(
−2+
)
,
󰆒
=
󰆒
(
)
=
(
2−2
)
󰆒
(
−2+
)
.
󰆒
(
)
=0⇔
(
2−2
)
󰆒
(
−2+
)
=0⇔
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎡
=1
(
nghieäm®¬n
)
−2+=−2
(
nghieäm®¬n
)
−2+=−1(nghieäm®¬n)
−2+=1
(
nghieäm®¬n
)
−2+=2
(
ℎääℎü
)
⇔
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎡
=1
(
nghieäm®¬n
)
(
−1
)
=−1 −
(
nghieäm®¬n
)
(
−1
)
=−
(
nghieäm®¬n
)
(
−1
)
=2−
(
nghieäm®¬n
)
(
−1
)
=3−
(
ℎääℎü
)
.
Để hàm số có 9 cực trị thì hàm số =
(
)
có 4 điểm cực trị trên miền >0⇔
󰆒
(
)
có 4 nghiệm đơn
dương
−1 −>0
−>0
2 −>0
⇔
<−1
<0
<2
⇔<−1, kết hợp ∈ℤ, ∈
(
−5;5
)
nên ∈
{
−4;−3;−2
}
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 68
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
Câu 42: Cho hàm số đa thức bậc bốn =
(
)
, biết hàm số có ba điểm cực trị =−3, =3,=5. Có
tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số sao cho hàm số
(
)
=

−
có đúng
7 điểm cực trị
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
Lời giải
Chọn D
Ta có
󰆒
(
)
=
(
3
+ 6
)

.
󰆒

−
󰆒
(
)
=0⇔
(
3
+ 6
)

.
󰆒

−
=0
⇔
⎣
⎢
⎢
⎢
⎡
=0
=−2

−=−3

−=3

−=5
⇔
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎡
=0
=−2

=−3,
(
1
)

=+ 3,
(
2
)

=+ 5,
(
3
)
.
Hàm số
(
)
có 7 điểm cực trị khi và chỉ khi tổng số nghiệm đơn và bội lẻ, khác 0 và −2 của các phương
trình
(
1
)
,
(
2
)
,
(
3
)
là 5.
Xét hàm số ℎ
(
)
=

có ℎ
󰆒
(
)
=
(
3
+ 6
)

.
Ta có ℎ
󰆒
(
)
=0⇔
󰇣
=0
=−2
.
Bảng biến thiên:
Khi đó có 3 trường hợp sau:
Trường hợp 1:
Khi đó:
+3≥
1<−3<
⇔
≥
−3≈51,6
4<<
+ 3≈57,6
Do nguyên nên ∈
{
52;53;54;55;56;57
}
.
Trường hợp 2:
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 69
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
Khi đó:
+ 5≥
1<+ 3<
0<−3≤1
⇔
>
−5≈49,6
−2<<
−3
3<≤4
⇔∈∅.
Trường hợp 3:
Khi đó:
1<+ 5<
+ 3≤1
−3>0
⇔
−4<<
−5≈49,6
≤−2
>3
⇔∈∅.
Vậy có 6 giá trị nguyên của tham số thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 46: Cho hàm số =
(
)
=
+ 
+
+ + có đồ thị =
󰆒
(
)
như hình vẽ và
(
0
)
=
0.
Tìm tất cả các giá trị của tham số để hàm số =
(
)
−
(
)
có đúng 11 điểm cực trị ?
A. ∈
(
0;1
)
. B. ∈
1 −
√
2;1 +
√
2
.
C. 󰇫
∈
1 −
√
2;1 +
√
2
∉{0;1;2}
. D. ∈
(
0;2
)
.
Lời giải
Chọn C
+)
󰆒
(
)
=4
(
−1
)(
−2
)
=4
−12
+ 8⇒
(
)
=
−4
+ 4
+ .
+) Do
(
0
)
=0⇒=0 suy ra
(
)
=
−4
+ 4
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 70
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
(
)
=1⇔
−4
+ 4
−1=0⇔
=1
=1−
√
2
=1+
√
2
.
+) Bảng biến thiên
Đặt
(
)
=
(
)
−
(
)
⇒
󰆒
(
)
=
󰆒
(
)
−
(
)
.
󰆒
(
)
󰆒
(
)
=0⇔
󰇩
󰆒
(
)
=0
󰆒
(
)
−
(
)
=0
⇔
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎡
=0
=1
=2
(
)
=
(
)(
1
)
(
)
=
(
)
+ 1
(
2
)
(
)
=
(
)
+ 2
(
3
)
Dựa vào bảng biến thiên, ta suy ra
(
)
≥0,∀∈ℝ nên ta xét các trường hợp
* Trường hợp 1:
(
)
=0, khi đó
Phương trình
(
1
)
cho 2 nghiệm kép =0;=2.
Phương trình
(
2
)
cho 3 nghiệm: =1 là nghiệm kép và 2 nghiệm đơn
,
∉
1 −
√
2;1 +
√
2
.
Phương trình
(
3
)
cho 2 nghiệm đơn
,
∉
1 −
√
2;1 +
√
2
.
Suy ra hàm số =
(
)
có tất cả 7 điểm cực trị là ∈
{
0;1;2;
;
;
;
}
(loại).
* Trường hợp 2:
(
)
>0, khi đó phương trình
(
2
)
và
(
3
)
luôn cho 4 nghiệm không thuộc khoảng
1 −
√
2;1 +
√
2
.
Vậy hàm số =
(
)
có 11 điểm cực trị ⇔ phương trình
(
1
)
có 4 nghiệm phân biệt
⇔0<
(
)
<1.
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số =
(
)
ta có: 0<
(
)
<1⇔󰇫
∈
1 −
√
2;1 +
√
2
∉
{
0;1;2
}
.
Vậy 󰇫
∈
1 −
√
2;1 +
√
2
∉
{
0;1;2
}
.
Câu 48: Cho hàm số
(
)
có đạo hàm liên tục trên ℝ và đồ thị hàm số
󰆒
(
)
như hình vẽ. Có bao nhiêu số
nguyên để hàm số =
(
+
)
có đúng 3 điểm cực trị?
A. 2. B. Vô số. C. 4 D. 3.
Lời giải
Chọn D
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 71
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
󰆒
=2.
󰆒
(
+
)
.
󰆒
=0⇔
=0
󰆒
(
+
)
=0
⇔
=0
+ =0
+ =1
+ =3
⇔
=0
=−
+ =1
=−+ 3
.
Đồ thị hàm số
󰆒
(
)
tiếp xúc với trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 1. Do đó hoặc phương trình
+
=1
vô nghiệm hoặc nghiệm của phương trình
+ =1 là nghiệm bội chẵn của phương trình
󰆒
=
0.
Nếu
󰇥
−≠0
−+ 3≠0
⇔
󰇥
≠0
≠3
thì =0 là nghiệm đơn của phương trình
󰆒
=0.
Nếu
󰇣
−=0
−+ 3=0
⇔
󰇣
=0
=3
thì nghiệm =0 là nghiệm bội ba của phương trình
󰆒
=0.
Suy ra =0 là một điểm cực trị của hàm số =
(
+
)
,
∀.
Xét các phương trình:
=− (1) và
=−+ 3 (2).
Nhận xét: Phương trình (1) và (2) không có nghiệm chung; −<−+ 3,∀
Minh họa đồ thị
Xét −>0 thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt
;
và phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt
;
. Khi đó
󰆒
đổi dấu 5 lần qua các nghiệm
;
;
;
và 0 nên hàm số =
(
+
)
có 5 điểm
cực trị.
Xét −+ 3≤0 thì phương trình (1) vô nghiệm; phương trình (2) hoặc vô nghiệm hoặc có nghiệm kép
=0. Khi đó hàm số =
(
+
)
có 1 điểm cực trị.
Xét
󰇥
−≤0
−+ 3>0
⇔
󰇥
≥0
<3
⇔0≤<3. Khi đó phương trình (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép =
0; phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 0. Suy ra hàm số =
(
+
)
có 3 điểm cực trị.
Do đó, để hàm số =
(
+
)
có 3 điểm cực trị thì 0≤<3.
Mặt khác
nguyên nên ∈
{
0;1;2
}
.
Vậy có 3 giá trị nguyên của để hàm số có đúng 3 điểm cực trị.
Câu 129. Cho hàm số () có đạo hàm ′()=(+ 1)
(
−4). Có bao nhiêu giá trị nguyên dương
của tham số thực để hàm số ()=(2
−12+) có đúng 5 điểm cực trị?
A. 18. B. 17. C. 19. D. 16.
Lời giải
Chọn B
Từ giả thiết ta có ′()=0⇔(+ 1)
(
−4)=0
⇔
=0
=−1
=4
.
Ta có ′()=(4−12)′(2
−12+) nên:
′()=0⇔(4−12)′(2
−12+ )=0
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 72
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
⇔
=3
2
−12+=−1
2
−12+=0
2
−12+=4
⇔
=3
2
−12+=−1
ℎ()=2
−12+ =0 (1)
()=2
−12+−4=0 (2)
.
Ta có () có đúng 5 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình ′()=0 có đúng 5 nghiệm đơn hoặc bội
lẻ. Điều này xảy ra khi PT và PT đều có 2 nghiệm phân biệt khác 3. Điều kiện này tương đương với:
⎩
⎨
⎧
′
>0
′
>0
(3)≠0
ℎ(3)≠0
⇔
36 −2>0
36 −2(−4)>0
−18≠0
−22≠0
⇔
<18
<22
≠18
≠22
⇔<18.
Vậy có 17 giá trị nguyên dương của tham số thực thỏa mãn đề bài.
Câu 35: Cho hàm số =
(
)
có đạo hàm
󰆒
(
)
=
(
+1
)
(
−3
)
(
+ 
)
. Có bao nhiêu giá trị
nguyên của để hàm số =
(
2+ 1
)
có đúng 1 điểm cực trị?
A. 2. B. 3. C. 1. D. 4.
Lời giải
Chọn A
Ta có
󰆒
(
)
=
(
+ 1
)
(
−3
)
(
+ 
)
=
󰆒
(
)
=
(
+ 1
)
(
−3
)
(
+
)
.
′=2′
(
2+ 1
)
=2
(
2+ 1
)
(
2+ 2
)
(
2−2
)
(
2+ 1 +
)
󰆒
=0⇔
⎣
⎢
⎢
⎡
(
2+ 1
)
=0
(
1
)
(
2+ 2
)
=0
(
2
)
(
2−2
)
=0
(
3
)
2+ 1 + =0
(
4
)
.
Phương trình
(
1
)
có 1 nghiệm bội lẻ =−
.
Phương trình
(
2
)
có 1 nghiệm bội chẵn =−1.
Phương trình
(
3
)
có 1 nghiệm bội lẻ =1.
Số điểm cực trị của hàm số là số nghiệm bội lẻ của phương trình
󰆒
=0. Do đó, hàm số có 1 điểm cực trị
khi và chỉ khi phương trình
(
4
)
có nghiệm =1hoặc =−
⇔
󰇣
=0
=−3
.
Câu 37: Cho hàm số =
(
)
liên tục trên ℝvà có
󰆒
(
)
=
(
−2
)
(
+ 3−4
)
. Gọi S là tập các số
nguyên ∈
[
−10;10
]
để hàm số =
(
−4+
)
có đúng 3 điểm cực trị. Số phần tử của
S bằng
A. 10. B. 5. C. 14. D. 4.
Lời giải:
Chọn B
Ta có:
󰆒
()=0⇔
(
−2
)
=0
+ 3−4=0
Đặt =()=
(
−4+
)
󰆒
()=
(
2−4
)
󰆒
(
−4+ )
󰆒
()=0⇔
2−4=0
󰆒
(
−4+ )=0
⇔
⎣
⎢
⎢
⎡
=2
(
−4+ −2
)
=0
ℎ
(
)
=
−4+ −1=0(1)
ℎ
()=
−4++ 4=0(2)
Hàm số có 3 cực trị khi một trong 2 phương trình và có 2 nghiêm phân biệt khác 2 và phương trình có lại
có 1 nghiệm hoặc vô nghiệm.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 73
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
1
1
2
2
1
2
(2) 0
0
0
(2) 0
0
0
h
h
󰇩
0≤<5
󰇥
≥3
<0
⇔0≤<5
mà ∈
[
−10;10
]
do đó ∈
{
0;1;2;3;4
}
có 5 phần tử.
Câu 49: Cho hàm số =
(
)
có đạo hàm
󰆒
(
)
=
(
−1
)
(
−2
)
với ∀∈ℝ. Có bao nhiêu giá trị
nguyên dương của tham số để hàm số
(
)
=
(
−8+
)
có 5 điểm cực trị?
A. 17. B. 18. C. 16. D. 15.
Lời giải
Chọn D
Ta có
󰆒
(
)
=
(
2−8
)
.
󰆒
(
−8+
)
.
Vì
󰆒
(
)
=
(
−1
)
(
−2
)
nên
󰆒
(
)
=
(
2−8
)(
−8+ −1
)
(
−8+
)(
−8+ −2
)
.
󰆒
(
)
=0⇔
=4
−8+ −1=0
(
1
)
−8+ =0
(
2
)
−8+ −2=0
(
3
)
.
Các phương trình
(
1
)
,
(
2
)
,
(
3
)
không có nghiệm chung từng đôi một và
(
−8+ −1
)
≥0 với
∀∈ℝ.
Suy ra
(
)
có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi mỗi phương trình
(
2
)
và
(
3
)
có hai nghiệm phân biệt khác 4
⇔
󰆒
=16 −>0
󰆒
=16 −+ 2>0
16 −32 + ≠0
16 −32 + −2≠0
⇔
<16
<18
≠16
≠18
⇔<16.
Vì nguyên dương và <16 nên có 15 giá trị thỏa mãn.
Câu 50: Cho hàm số =
(
)
có đạo hàm
󰆒
(
)
=
(
−1
)
(
−2
)
, với ∀∈ℝ. Số giá trị nguyên
của tham số để hàm số
(
)
=
(
−3
+
)
có 8 điểm cực trị là
A. 2. B. 3. C. 1. D. 4.
Lời giải
Chọn C
Ta có
󰆒
(
)
=
(
3
−6
)
.
󰆒
(
−3
+
)
.
󰆒
(
)
=0⇔
3
−6=0
−3
+ =1
−3
+ =0
−3
+ =2
⇔
⎣
⎢
⎢
⎢
⎡
=0
=2
−3
+ =1
−3
+ =0
−3
+ =2
.
Vì khi đi qua các nghiệm của phương trình
−3
+ =1 (nếu có) dấu của
󰆒
(
−3
+
)
không
đổi nên dấu của
󰆒
(
)
chỉ phụ thuộc các nghiệm của hai phương trình còn lại.
Vậy hàm số =
(
)
có 8 điểm cực trị khi và chỉ khi mỗi phương trình
−3
+ =0 và
−3
+
=2 phải có ba nghiệm phân biệt (khác 0 và khác 2).
Xét hàm số ℎ
(
)
=−
+ 3
, ta có ℎ
󰆒
(
)
=−3
+ 6; ℎ
󰆒
(
)
=0⇔
󰇣
=0
=2
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 74
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
Bảng biến thiên của hàm số =ℎ
(
)
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy điều kiện để mỗi phương trình −
+ 3
= và −
+ 3
=−2
phải có ba nghiệm phân biệt (khác 0 và khác 2) là
0<−2<<4⇔2<<4.
Vậy chỉ có một giá trị nguyên của thỏa mãn là =3.
Câu 51: Cho hàm số
(
)
có đạo hàm
󰆒
()=(+ 1)
(
−4
)
.Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của
tham số để hàm số ()=
(
2
−12+
)
có đúng 5 điểm cực trị ?
A. 18. B. 17. C. 16. D. 19.
Lời giải.
Chọn B
Ta có:
󰆒
()=0⇔(+1)
(
−4
)
=0⇔
=−1
=0
=4
, trong đó =−1là nghiệm kép.
()=
(
2
−12+
)
⇒
󰆒
(
)
=
(
4−12
)
󰆒
(
2
−12+
)
Xét
󰆒
(
)
=0⇔
(
4−12
)
󰆒
(
2
−12+
)
=0(*)
⇔
=3
2
−12+=−1
2
−12+=0
2
−12+=4
⇔
=3
2
−12+ =−1()
2
−12=−
(
1
)
2
−12=4 −
(
2
)
(Điểm cực trị của hàm số
(
)
là nghiệm bội lẻ của phương trình (*) nên ta loại phương trình 2
−
12+ =−1)
Xét hàm số =2
−12có đồ thị (C).
′=4−12
Ta có bảng biến thiên
Để
(
)
có đúng 5 điểm cực trị thì mỗi phương trình
(
1
)
;
(
2
)
đều có hai nghiệm phân biệt khác 3.
Do đó, mỗi đường thẳng =4 −và =−phải cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ khác
3. Nhận xét: đường thẳng =4−luôn nằm trên đường thẳng =−.
Ta có: −18<−⇔<18. Vậy có 17giá trị nguyên dương.
Câu 52: Cho hàm số xác định trên R và hàm số có đồ thị như hình bên dưới và
với mọi . Đặt . Có bao nhiêu giá trị
dương của tham số để hàm số có đúng hai điểm cực trị?
y f x
'
y f x
' 0
f x
; 3,4 9;x
5
g x f x mx
m
g x
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 75
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
A. 4. B. 7. C. 8. D. 9.
Lời giải
Chọn C
Ta có ; . Để hàm số có đúng hai
điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình có hai nghiệm bội lẻ phân biệt .
Khi đó∈
{
1,2,3,4,5,10,11,12
}
. Vậy có 8 giá trị của thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Câu 43: Cho hàm số =
(
)
có đạo hàm
󰆒
(
)
=
+
√
12−
(
3+ −24
)
∀∈ℝ. Biết rằng
hàm số không có điểm cực trị nào và , là hai số thực không âm thỏa mãn 3−≤6. Tìm
giá trị lớn nhất của biểu thức =2+ .
A. 8. B. 9. C. 11. D. 10.
Lời giải
Chọn B
Vì
󰆒
(
)
là tam thức bậc hai có hệ số =1>0 nên
(
)
không có điểm cực trị nào ⇔
󰆒
(
)
≥0∀∈
ℝ⇔≤0⇔12+
(
3+ −24
)
≤0⇔3+ ≤12.
⇒ , là hai số thực thỏa mãn hệ bất phương trình:
0
0
3 12
3 6
m
n
m n
n m
(
)
.
Biểu diễn miền nghiệm của
(
)
trong mặt phẳng tọa độ , ta được hình tứ giác  với
(
0;2
)
,
(
3;3
)
,
(
4;0
)
dưới đây:
Đặt
(
;
)
=2+ , ta biết rằng
(
;
)
có GTLN và giá trị ấy đạt được tại 1 trong 4 đỉnh của tứ
giác . Mà
(
0;0
)
=0,
(
0;2
)
=2,
(
3;3
)
=9,
(
4;0
)
=8.
Vậy 
(
;
)
=
(
3;3
)
=9.
g x f x m
0 0
g x f x m
f x m
y g x
0
g x
5
10 13
m
m
m
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 76
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
Câu 53: Cho hàm số =()có đạo hàm
󰆒
(
)
=
(
−
)(
−4+3
)
, ∀∈ℝ. Tính tổng tất cả các
giá trị nguyên của tham số m để hàm số
(
)
=
(
+
)
có 3 cực trị.
A. 0. B. 6. C. 3. D. 2.
Lời giải
Chọn C
Ta có
󰆒
(
)
=
(
−1
)
(
−3
)
=0⇔
=0
=1
=3
.
Lại có
󰆒
(
)
=2.
󰆒
(
+
)
=0⇔
=0
󰆒
(
+
)
=0
⇔
=0
+ =0
+ =1
+ =3
⇔
=0
=−
(
1
)
=1 −
(
2
)
=3 −
(
3
)
.
Do
(
2
)
có nghiệm luôn là nghiệm bội chẵn; các phương trình
(
1
)
,
(
3
)
có nghiệm không chung nhau và
−<3 − nên:
Hàm số
(
)
có 3 cực trị ⇔
󰆒
(
)
=0có 3 nghiệm bội lẻ⇔
󰇥
3 −>0
−≤0
⇔0≤<3.
Vì ∈ℤ⇒∈
{
0;1;2
}
. Vậy tổng các giá trị nguyên bằng 3.
Câu 55: Cho hàm số =
(
)
. Hàm số =
󰆒
(
)
có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của
tham số để hàm số =
(
−
)
có ba điểm cực trị?
A. 4. B. 2. C. 3. D. 1.
Lời giải
Chọn A
Cách 1:
Ta có
󰆒
=2.
󰆒
(
−
)
.
󰆒
=0⇔
=0
󰆒
(
−
)
=0
⇔
=0
−=0
−=2
−=4
⇔
=0
=
=+ 2
=+ 4
.
Từ đồ thị ta thấy
󰆒
(
−
)
>0⇔0<
−<4 ⇔<
<+ 4.
󰆒
(
−
)
<0⇔
−<0
−>4
⇔
<
>+ 4
.
TH1: Với ≤−4.
󰆒
=2.
󰆒
(
−
)
=0⇔=0.
Suy ra hàm số =
(
−
)
không thể có ba cực trị.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 77
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
TH2: Với −4<≤−2.
󰆒
=2.
󰆒
(
−
)
=0⇔
=0
=±
√
+ 4
.
Bảng xét dấu của
󰆒
=2.
󰆒
(
−
)
Từ bảng trên suy ra hàm số có 3 cực trị.
TH3: Với −2<≤0.
󰆒
=2.
󰆒
(
−
)
=0⇔󰇯
=0
=±
√
+ 2
=±
√
+ 4
.
Bảng xét dấu của
󰆒
=2.
󰆒
(
−
)
Từ bảng trên suy ra hàm số có 3 cực trị.
TH4: Với >0.
󰆒
=2.
󰆒
(
−
)
=0⇔
⎣
⎢
⎢
⎡
=0
=±
√
=±
√
+ 2
=±
√
+ 4
.
Bảng xét dấu của
󰆒
=2.
󰆒
(
−
)
.
Từ bảng trên suy ra hàm số có 5 cực trị.
Từ các trường hợp trên, hàm số =
(
−
)
có ba cực trị khi ∈−4;0.
Vì ∈ℤ nên ∈
{
−3;−2;−1;0
}
.
Cách 2:
Ta có
󰆒
=2.
󰆒
(
−
)
.
󰆒
=0⇔
=0
󰆒
(
−
)
=0
⇔
=0
−=0
−=2
−=4
⇔
=0
=
=+ 2
=+ 4
.
Dễ thấy
=0 là nghiệm bội lẻ của phương trình
󰆒
=0⇒=0 là 1 điểm cực trị của hàm số =
(
−
)
.
=+ 2 là nghiệm bội chẵn của phương trình
󰆒
=0.
Mặt khác <+ 4∀ nên hai phương trình
= và
=+ 4 không có nghiệm trùng nhau.
Vậy để hàm số =
(
−
)
có 3 điểm cực trị thì có 2 nghiệm phân biệt khác 0 đồng thời vô nghiệm
hoặc có 1 nghiệm kép bằng 0 ⇒−4<≤0⇒∈
{
−3;−2;−1;0
}
.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 78
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
Câu 54: Cho hàm số =
(
)
có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Gọi là tập chứa tất cả các giá trị nguyên
của tham số ∈
[
−2021;2012
]
để hàm số =
(
(
)
−2+ 1
)
có đúng 4 điểm cực trị. Số
phần tử của tập là
A. 4029. B. 4038. C. 4030. D. 4028.
Lời giải
Chọn A
Đặt
(
)
=
(
(
)
−2+ 1
)
⇒′
(
)
=′
(
)
′
(
(
)
−2+ 1
)
.
′
(
)
=0⇔
=−1
=2
′
(
(
)
−2+ 1
)
=0
Xét phương trình ′
(
(
)
−2+ 1
)
=0⇔
(
)
−2+ 1=−1
(
)
−2+ 1=2
⇔
(
)
+ 2=2
(
)
−1=2
.
Ta áp dụng kĩ năng hợp hàm, tức là xét tương giao của đường thẳng =2 và hai đồ thị hàm số =
(
)
+ 2; =
(
)
−1
Để hàm số
(
)
=
(
(
)
−2+ 1
)
có 4 điểm cực trị thì đường thẳng =2 phải cắt đồ thị 2 hàm số
trên tại hai điểm phân biệt (không kể tiếp xúc)
Dựa vào đồ thị ta thấy điều kiện là
󰇣
2≥7
2≤−4
∈
[
;
]
󰇒
⎯
⎯
⎯
⎯
⎯
⎯
⎯
⎯
⎯
⎯
⎯
󰇏
󰇣
4≤≤2012
−2021≤≤−2
⇒ c ó 4029 giá trị m
nguyên thỏa mãn yêu cầu.

Tài liệu khác của Toán 12

Preview text:

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020 CỰC TRỊ
H ÀM HỢP VÀ HÀM LIÊN KẾT (Mức độ VD-VDC) ÔN THI TNTHPT 2020
Dạng 1: Cực trị f(x), f(u),… biết các đồ thị không tham số
Dạng 2: Cực trị f(x), f(u),… biết các BBT, BXD không tham số
Dạng 3: Cực trị f(x), f(u),…liên quan biểu t hức đạo hàm không tham số )
Dạng 4: Cực trị của hàm liên kết h(x) = f(u) + g(x) biết các BBT, đồ thị không tham số
Dạng 5: Cực trị hàm hợp f(u), g(f(x)), hàm liên kết…có tham số
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 1
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
CỰC TRỊ HÀM HỢP VÀ HÀM LIÊN KẾT
Dạng 1: Cực trị f(x), f(u),… biết các đồ thị không tham số (Không GTTĐ)
Câu 1. Cho hàm số = ( ) có đồ thị như hình bên dưới. Hàm số = (
) có bao nhiêu điểm cực trị? A. 3. B. 2. C. 5. D. 4. Lời giải Chọn A Gọi = , với 1 <
< 4 là điểm cực tiểu của hàm số = ( )
Từ đồ thị ta có bảng biến thiên của hàm số = ( ) như sau Ta có = ( ) ⇒ = 2 . ( ) 2 = 0 = 0 = 0 Cho = 0 ⇔ ( ) = 0 ⇔ = 0 ⇔ , với 1 < < 4 = ±√ =
Bảng biến thiên của hàm số = ( ) Vậy hàm số = ( ) có 3 cực trị.
Câu 2. Cho hàm số bậc bốn = ( ) có đồ thị như hình bên.
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 2
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
Số điểm cực trị của hàm số ( ) = (− + 2 ) là A. 5. B. 3. C. 7. D. 9. Lời giải Chọn A Ta có: ( ) = (−2 + 2) (− + 2 ). = 1 −2 + 2 = 0 − + 2 = , ∈ (−2; −1) ( ) = 0 ⇔ ( ⇔ − + 2 ) = 0 − + 2 = , ∈ (−1; 0) . − + 2 = , ∈ (1; 2) Đặt ℎ( ) = − + 2 . ℎ ( ) = −2 + 2. ℎ ( ) = 0 ⇔ = 1. Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên, ta suy ra: + Phương trình: − + 2 = ,
∈ (−2; −1): có 2 nghiệm đơn. + Phương trình: − + 2 = ,
∈ (−1; 0): có 2 nghiệm đơn. + Phương trình: −
+ 2 = , ∈ (1; 2): vô nghiệm.
Suy ra số điểm cực trị của hàm số ( ) = (− + 2 ) là 5. Câu 3. Cho hàm số
= ( ) liên tục trên ℝ và có đồ thị như hình vẽ bên. Hỏi hàm số = ( ) có
bao nhiêu điểm cực trị?
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 3
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020 A. 6. B. 8. C. 7. D. 9. Lời giải Chon D ( ) = 0 Ta có: = ( ). ( ) ⇒ = 0 ⇔ ( ). ( ) = 0 ⇔ . ( ) = 0 = ∈ (1; 2) ( ) = ∈ (1; 2) Lại có ( ) = 0 ⇔ = 2 ; ( ) = 0 ⇔ ( ) = 2 . = ∈ (2; 3) ( ) = ∈ (2; 3)
Quan sát đồ thị ta thấy phương trình ( ) = ; ( ) = 2; ( ) = có tổng tất cả 6 nghiệm phân biệt khác
các nghiệm = ; = 2; = . Từ đó suy ra phương trình
= 0 có 9 nghiệm đơn phân biệt. Suy ra
hàm số đã cho có 9 điểm cực trị.
Câu 4. Cho hàm số ( ) = + +
+ có đồ thị như hình bên dưới.
Số điểm cực trị của hàm số = (−2 + 4 ) là A. 3. B. 4. C. 2. D. 5. Lời giải Chọn D
Quan sát đồ thị ( ), hàm số có hai điểm cực trị = −2; = 0 vì vậy ( ) = 3 + 2 + có hai nghiệm = −2; = 0 nên ( ) = 3 ( + 2) . Ta có: = (−4 + 4) (−2 + 4 ) = 3 (−4 + 4)(−2 + 4 )(−2 + 4 + 2) = −48 ( − 2)( − 1)(
− 2 − 1) đổi dấu khi qua các điểm = 0; = 2; = 1; = 1 ± √2.
Vậy hàm số đã cho có 5 điểm cực trị.
Câu 5. Cho hàm số = ( ) xác định và có đạo hàm
( ) trên tập số thực ℝ. Đồ thị hàm số = ( ) cho như hình vẽ bên.
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 4
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020 Hàm số ( ) = (
+ + 2) có điểm cực đại là: A. = 1. B. = − . C. = . D. = −2. Lời giải Chọn B ( ) = (2 + 1) ( + + 2).
Câu 9. Cho hàm số bậc ba
= ( ) có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Tìm số điểm cực trị của hàm số ( ) = (− + 3 ). A. 5. B. 4. C. 6. D. 3. Lời giải Chọn A ( ) = (− + 3 ) . (− + 3 ) = (−2 + 3) (− + 3 ). −2 + 3 = 0 = Ta có ( ) = 0 ⇔ (−2 + 3) (− + 3 ) = 0 ⇔ ( ⇔ − + 3 ) = 0 (− + 3 ) = 0 Xét phương trình (−
+ 3 ) = 0. Dựa vào đồ thị hàm số = ( ), ta thấy (− + 3 ) = 0 ⇔ = 0 ⎡ = 0 = 3 − + 3 = 0 ⎢ ⇔ = 3 ⇔ = √ . − + 3 = −2 ⎢ − + 3 + 2 = 0 ⎢ ⎣ = √
Bảng biến thiên hàm số ( ) = (− + 3 ).
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 5
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
Nhìn vào bảng biến thiên,
( ) = 0 có 5 nghiệm phân biệt và ( ) đổi dấu khi qua các nghiệm này nên hàm số ( ) = (−
+ 3 ) có 5 điểm cực trị.
Câu 10. Cho hàm số = ( ) có đạo hàm ( ) trên ℝ và đồ thị của hàm số = ( ) như hình vẽ. Hàm số ( ) = (
− 2 − 1) đạt cực đại tại giá trị nào sau đây? A. = 2. B. = 0. C. = −1. D. = 1. Lời giải Chọn D = 0 = 1 = ±1 Ta có ( ) = (2 − 2). ( − 2 − 1). Cho ( ) = 0 ⇔ − 2 − 1 = −1 ⇔ = 2 − 2 − 1 = 2 = 3 Ta có bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số đạt cực đại tại = 1.
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 6
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
Câu 11. Cho hàm số = ( ) có đạo hàm liên tục trên ℝ và (0) < 0, đồng thời đồ thị hàm số = ( ) như hình vẽ bên dưới
Số điểm cực trị của hàm số ( ) = ( ) là A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Lời giải Chọn C = −2
Dựa vào đồ thị, ta có ( ) = 0 ⇔ = 1( é ).
Bảng biến thiên của hàm số = ( ) x -∞ -2 0 1 +∞ f' - 0 + + 0 + f y=0 f(0) f(-2) = −2 ( ) = 0 theo BBT ( ) = 1 (nghi�m kép) Xét ( ) = 2 ( ) ( ); ( ) = 0 ⇔ ↔ . ( ) = 0 = ( < −2) = ( > 0)
Suy hàm g(x) = 0 có 3 nghiệm đơn.
Vậy hàm số ( ) có 3 điểm cực trị. Chú ý: Dấu của
( ) được xác định như sau: Ví dụ chọn = 0 ∈ (−1; ) theo đó thì ( )  = 0 → (0) > 0. (1)
 Theo giả thiết (0) < 0. (2) Từ (1) và (2), suy ra
(0) < 0 trên khoảng (−1; ).
Nhận thấy = −2; = ; = là các nghiệm đơn nên
( ) đổi dấu khi qua các nghiệm này. Nghiệm
= 1 là nghiệm kép nên ( ) không đổi dấu khi qua nghiệm này. Câu 13. Cho hàm số
= ( ). Biết rằng hàm số =
( )liên tục trên ℝvà có đồ thị như hình vẽ bên. Hỏi hàm số = (5 −
)có bao nhiêu điểm cực trị?
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 7
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020 A. 7. B. 9. C. 4. D. 3. Lời giải Chọn A = 0 = 0 5 − = −4 = ±3 Ta có = −2 (5 − ) ⇔ ⇔ . 5 − = 1 = ±2 5 − = 4 = ±1 Ta có BBT ⇒hàm số = (5 − )có 7điểm cực trị.
Câu 16. Cho hàm số = ( ). Hàm số =
( ) có đồ thị trên một khoảng như hình vẽ bên.
Trong các khẳng định sau, có tất cả bao nhiêu khẳng định đúng ?
( ). Trên , hàm số = ( ) có hai điểm cực trị.
( ). Hàm số = ( ) đạt cực đại tại . (
). Hàm số = ( ) đạt cực tiểu tại . A. 3. B. 0. C. 1. D. 2. Lời giải Chọn D
Dựa vào đồ thị của hàm số =
( ), ta có bảng xét dấu:
Như vậy: trên , hàm số = ( ) có điểm cực tiểu là và điểm cực đại là , không phải là điểm cực trị của hàm số.
Câu 17. Cho hàm số = ( ) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ.
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 8
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020 Hỏi hàm số =
( ) có bao nhiêu điểm cực trị ? A. 7 B. 9 C. 6 D. 8 Lời giải Chọn B Ta có ′ = ′ ( ) . ′( ) ′( ) = 0(1) Suy ra '=0 ⇔ ′( ( )) = 0(2)
Dựa vào đồ thị trên ta thấy + có 3 nghiệm phân biệt < = 2 < < 3 ( ) = ∈ (1; 2) + ⇔ ( ) = = 2 . ( ) = ∈ (2; 3) Phương trình ( ) =
∈ (1; 2) có 2 nghiệm đơn phân biệt
Phương trình ( ) = 2có 2 nghiệm đơn phân biệt Phương trình ( ) =
∈ (2; 3) có 2 nghiệm đơn phân biệt.
Vậy hàm số đã cho có 9 cực trị.
Câu 18. Cho hàm số ( ) xác định trên ℝ và có đồ thị ( ) như hình vẽ. Hàm số = ( − 4 + 1) có mấy điểm cực trị y 2  O 1 x A. 5. B. 4. C. 3. D. 2 Lời giải Chọn C Ta có = ( − 4 + 1) ⇒ = (2 − 4). ( − 4 + 1). = 2 2 − 4 = 0 = 2 = 0 ⇔ ( ⇔ ⇔ = 1; = 3 − 4 + 1) = 0 − 4 + 1 = −2 . − 4 + 1 = 1 = 0; = 4
Quan sát đồ thị hàm số ( ) ta có ( ) đổi dấu qua = 1 nên hàm số = ( ) có một cực trị tại = 1.
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 9
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
Mà = 1, = 3 là nghiệm kép, còn các nghiệm còn lại là nghiệm đơn nên hàm số = ( − 4 + 1) có 3 cực trị.
Câu 19. Cho hàm số bậc năm = ( ) có đồ thị =
( ) như hình bên. Số điểm cực trị của hàm số ( ) = ( + 3 ) là A. 4. B. 7. C. 6. D. 11. Lời giải Chọn C Ta có ( ) = (3 + 6 ). ( + 3 ). 3 + 6 = 0 ( ) = 0 ⇔ ( . + 3 ) = 0 Phương trình = 0 3 + 6 = 0 ⇔ . = −2 Phương trình + 3 = < 0 ( + 3 ) = 0 ⇔ + 3 = 0 . + 3 = 4 + 3 = > 4 Ta thấy: + 3 = 0 ⇔ ( + 3) = 0 ⇔ = 0; = −3 Và + 3 = 4 ⇔ ( − 1)( + 2) = 0 ⇔ = 1; = −2. = 0 Hàm số ℎ( ) = + 3 có ℎ ( ) = 3 + 6 = 0 ⇔ . = −2
Bảng biến thiên của hàm ℎ( ):
Dựa vào bảng biên thiên của hàm ℎ( ), ta có Phương trình + 3 =
< 0 có duy nhất một nghiệm < −3. Phương trình + 3 =
> 4 có duy nhất một nghiệm > 1. Do đó, phương trình
( ) = 0 có bốn nghiệm đơn phân biệt và hai nghiệm bội ba nên hàm số = ( ) có 6 điểm cực trị.
Câu 22. Cho hàm số = ( ) có đạo hàm trên ℝ và có đồ thị là đường cong như hình vẽ
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 10
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020 Đặt ( ) = 3
( ) + 4. Số điểm cực trị của hàm số ( ) là A. 2. B. 8. C. 10. D. 6. Lời giải Chọn B ( ) = 3 ( ) . ( ). ( ) = 0 ( ) = 0 ( ) ( ) = 0 ⇔ 3 ( ) . ( ) = 0 ⇔ ⇔ = , (2 < < 3). ( ) = 0 = 0 =
( ) = 0 có 3 nghiệm đơn phân biệt , , khác 0 và . Vì 2 <
< 3 nên ( ) = có 3 nghiệm đơn phân biệt , , khác , , , 0, . Suy ra
( ) = 0 có 8 nghiệm đơn phân biệt. Do đó hàm số ( ) = 3
( ) + 4 có 8 điểm cực trị.
Câu 24. Cho hàm số = ( ) có đạo hàm trên tập ℝ. Hàm số =
( ) có đồ thị như hình bên. Hàm số = (1 −
) đạt cực đại tại các điểm A. = −1. B. = 3. C. = 0. D. = ±√2. Lời giải
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 11
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020 Chọn D = 0 = 0 Ta có = −2 (1 − ), cho = 0 ⇔ −2 (1 − ) = 0 ⇔ 1 − = −1 ⇔ = ±√2 . 1 − = 3 = −2( ) Bảng xét dấu của : x - 2 2 0 y' + - 0 0 + - 0
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy hàm số đạt cực đại tại = ±√2.
Câu 26. Cho hàm số bậc bốn = ( ) có đồ thị như hình bên dưới.
Số điểm cực trị của hàm số ( ) = ( − 3 + 2) là A. 5. B. 3. C. 7. D. 11. Lời giải Chọn C = < −2
Từ đồ thị hàm số = ( ) ta suy ra ( ) = 0 ⇔ = ∈ (−2; 2). = > 2 Xét hàm số ( ) = ( − 3 + 2). Ta có ( ) = (3 − 6 ) ( − 3 + 2). = 0 ∨ = 2 3 − 6 = 0 − 3 + 2 = < −2 (1) ( ) = 0 ⇔ ( ⇔ − 3 + 2) = 0 − 3 + 2 = ∈ (−2; 2) (2) − 3 + 2 = > 2 (3) Xét hàm số ℎ( ) = − 3 + 2. Ta có ℎ ( ) = 3 − 6 . = 0 ℎ ( ) = 0 ⇔ . = 2
Bảng biến thiên của hàm số ℎ( ) như sau:
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy:
Phương trình (1) có 1 nghiệm < 0.
Phương trình (2) có 3 nghiệm < 0, 0 < < 2, > 2.
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 12
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
Phương trình (3) có 1 nghiệm > 2.
Mặt khác, các nghiệm này không trùng nhau. Vậy phương trình
( ) = 0 có 7 nghiệm đơn. Suy ra hàm số ( ) = ( − 3 + 2) có 7 điểm cực trị.
Câu 27. Cho hàm số = ( )xác định và liên tục trênℝ, có đồ thị hàm số = ( )như hình vẽ. Hỏi hàm số = √1 +
− 1 có bao nhiêu điểm cực đại trên khoảng (−2 ; 2 )? A. 4. B. 1. C. 3. D. 7. Lời giải ChọnC
Từ đồ thị của hàn số =
( ), ta có bảng biến thiên của hàm số = ( ) như sau Xét hàm số ( ) = √1 + − 1 . Ta có: ( ) = √1 + − 1 . √1 + − 1 = √1 + − 1 . √ = 0 ( ) = 0 ⇔ √1 + − 1 = 0. ≠ −1 = 0 = + ⇔ ⇔ = + 2 . ≠ −1 ≠ − + 2 ⎧ √1 + − 1 = −1 = −1 ( ) √1 + − 1 = 0 ⇔ √1 + − 1 = 0 ⇔ = 0 ≠ −1 ⎨ √1 + − 1 = 2 = 8 ( ) ⎩ ≠ −1 ≠ −1 ⇔ = 0 ⇔ = .
Vì ∈ (−2 ; ∈ 2 ) nên ta có các nghiệm thỏa mãn ( ) = 0là 3 = − ; = − ; = 0; = ; = . 2 2
Bảng biến thiên của hàm số =
( ) trên khoảng (−2 ; 2 )
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 13
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020 Từ đó suy ra hàm số =
( ) có 3 điểm cực đại.
Câu 28. Cho hàm số bậc bốn
= ( )có đồ thị như hình dưới. Số điểm cực trị của hàm số ( ) = ( − 8 + 1) là A. 5. B. 3. C. 9. D. 11 Lời giải Chọn C Ta có: ( ) = (4 − 16 ) ( − 8 + 1) = 0 ⇒ ( ) = 0 ⇔ (4 − 16 ) ( − 8 + 1) = 0 ⇔ = ±2 ( − 8 + 1) = 0(1) Đặt = − 8 + 1. Khi đó(1) trở thành ( ) = 0
Dựa vào đồ thị hàm số trên suy ra hàm số = ( )có 3 cực trị⇒ ( ) = 0có 3 nghiệm đơn , , ( < < ). Với < −15; −15 < < 1; > 1 = 0 Xét hàm số = − 8 + 1 ⇒ = 4 − 16 ⇒ = 0 ⇔ = ±2 BBT:
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy Ứng với nghiệm
< −15ta không nhận được nghiệm nào, −15 < < 1ta được 4 nghiệm , > 1 ta
được 2 nghiệm suy ra phương trình (1)có 6 nghiệm đơn Vậy
( ) = 0có 9 nghiệm đơn ⇒hàm số ( ) = ( + 3 )có 9 điểm cực trị
Câu 29. Cho hàm số = ( ) có tập xác định là
= ℝ và có đồ thị như hình vẽ bên dưới, đạo hàm xác
định trên ℝ. Hỏi hàm số = (
− 1) có bao nhiêu điểm cực trị?
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 14
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020 A. 13. B. 12. C. 15. D. 11. Lời giải Chọn A Xét hàm số: = ( ) = ( − 1) ⇒ ( ) = 2 . ( − 1). ( − 1) . = 0 ( ) = 2 . ( − 1). ( − 1) = 0 ⇔ ( − 1) = 0(1) . ( − 1) = 0(2) − 1 = −1 = 0
Với phương trình (1), ta có: ( − 1) = 0 ⇔ − 1 = 1 ⇔ = ±√2. − 1 = 2 = ±√3 ( − 1) = −1(3)
Với phương trình (2), ta có: ( − 1) = 0 ⇔ ( − 1) = 1(4) . ( − 1) = 2(5) − 1 = 2 = ±√3 Với phương trình (3) ( − 1) = −1 ⇔ − 1 = ∈ (−1; 0) ⇔ = ±√1 + . − 1 = < −1 = + 1 < 0 − 1 = < −1 = + 1 < 0 ⎡ − 1 = ∈ (0; 1) ⎢ = ±√1 + Với phương trình (4) ( − 1) = 1 ⇔ ⇔ . − 1 = ∈ (1; 2) ⎢ = ± 1 + ⎢ − 1 = ℎ > 2 ⎣ = ±√1 + ℎ − 1 = 1 = 0 Với phương trình (5) ( − 1) = 2 ⇔ − 1 = < −1 ⇔ = + 1 < 0. − 1 = > 2 = ±√1 +
Vậy = 0; = ±√2; ±√1 + ; ±√1 + ; ± 1 + ; ±√1 + ℎ; ±√1 + là các điểm cực trị.
Câu 30. Cho hàm số = ( ). Đồ thị hàm số = ( ) như hình bên dưới
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 15
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020 Hàm số ( ) = √
+ 4 + 3 có bao nhiêu điểm cực trị? A. 5. B. 3. C. 2. D. 7. Lời giải Chọn A
Dựa vào đồ thị ta có bảng biến thiên của hàm số = ( ). Ta có ( ) = √ + 4 + 3 ⇒ ( ) = . √ + 4 + 3 . √ + 2 = 0 Cho ( ) = 0 ⇔ √ + 2 + 2 = 0 + 1 = 0 + 1 = 0 = −1 ⇔ + 4 + 3 = 1 ⇔ + 4 + 2 = 0 ⇔ = −2 ± √2 + 4 + 3 = 3 + 4 − 6 = 0 = −2 ± √10 Vì
( ) = 0 có 5 nghiệm bội lẻ nên hàm số ( ) = √
+ 4 + 3 có 5 điểm cực trị.
Câu 33. Cho hàm số bậc bốn = ( )có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số ( ) = ( + ) có bao nhiêu điểm cực trị? A. 5. B. 11. C. 4. D. 6. Lời giải Chọn A Ta có ′( ) = (3 + 2 ) ′( + ) 3 + 2 = 0( ) ′( ) = 0 ⇔ (3 + 2 ) ′( + ) = 0 ⇒ ′( + ) = 0( ) = 0 ( ) ⇔ 2 = − 3
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 16
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020 Từ đồ thị ta có: 1 ⎡ + = (1) 3 ( ) ⇔ ⎢ ⎢ + = 1(2) ⎣ + ≈ 2,5(3)
Ta thấy các phương trình (1), (2), (3) đều có một nghiệm thực đơn không trùng nhau và đều không trùng nghiệm ,
. Vậy phương trình ′( ) = 0 có 5 nghiệm thực đơn phân biệt do đó hàm số ( )có 5 cực trị.
Câu 34. Cho hàm số = ( ) liên tục trên ℝ, có 3 cực trị và có đồ thị như hình vẽ.
Tìm số cực trị của hàm số = ( ) A. 3. B. 0. C. 1. D. 2. Lời giải Chọn D Tập xác định: = ℝ\{1}. −1 1 = . . 3( − 1) ( − 1) 1 ⎡ = < 0 (VN) ⎢( − 1) −1 1 ⎢ 1 1 = 0 ⇔ . = 0 ⇔ = 0 (VN) ⇔ = 1 ± 3( − 1) ( − 1) ⎢( − 1) ⎢ √ ⎢ 1 = > 0 ⎣( − 1) 1 1 Cho > 1 + ⇒ = > √ ( − 1)
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 17
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020 −1 1 −1 ( ) = . = . ( ) < 0. 3( − 1) ( − 1) 3( − 1) Ta có bảng biến thiên:
Dựa vào BBT ta có hàm số có 2 điểm cực trị.
Câu 37. Cho hàm số bậc bốn = ( )có đồ thị như hình bên.
Số điểm cực trị của hàm số ( ) = (− − 3 + 4)là A. 5. B. 3. C. 7. D. 11. Lời giải Chọn C +) Ta có ( ) = −(3 + 6 ) (− − 3 + 4). = 0; = −2(1) ⎡ 3 + 6 = 0 + 3 = 4 − , < 0(2) nên ( ) = 0 ⇔ ⇔ ⎢ ( − − 3 + 4) = 0 ⎢ + 3 = 4 − , 0 < < 4(3) ⎣ + 3 = 4 − , > 4(4)
+) Ta có (1)có hai nghiệm đơn là = 0, = −2. = 0 +) Xét hàm số = + 3 có ( ) = 3 + 6 = 0 ⇔ . = −2 BBT:
Dựa vào bảng biến thiên ta nhận thấy:
+ Phương trình (2)có một nghiệm duy nhất là > 1.
+ Phương trình (3)có ba nghiệm phân biệt là −3 < < −2 < < 0 < < 1.
+ Phương trình (4)có một nghiệm duy nhát là < −3. Vậy
( ) = 0có 7nghiệm lặp bội lẻ do đó hàm số ( )có 7điểm cực trị
Câu 38. Cho hàm số = ( )liên tục và có đạo hàm trên [0; 6]. Đồ thị của hàm số = ( )trên đoạn [0
; 6]được cho bởi hình bên dưới. Hỏi hàm số = [ ( )] + 2019có tối đa bao nhiêu điểm cực trị trên đoạn [0; 6].
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 18
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020 A. 7. B. 6. C. 4. D. 3. Lời giải Chọn A ( ) = 0 Ta có = 2 ( ) ( ); = 0 ⇔ . ( ) = 0 = 1
Từ đồ thị của hàm số =
( )trên đoạn [0; 6]suy ra ( ) = 0 ⇔ = 3. = 5
Bảng biến thiên của hàm số = ( )trên đoạn [0; 6]:
Từ bảng biến thiên suy ra phương trình ( ) = 0có tối đa 4 nghiệm phân biệt trong [0; 6]là ∈ (0; 1), ∈ (1; 3), ∈ (3; 5), ∈ (5; 6).
Vậy hàm số = [ ( )] + 2019có tối đa 7 điểm cực trị trên đoạn [0; 6].
Câu 41. Cho hàm số = ( ) liên tục trên ℝ và đồ thị hàm số = ( ) như hình vẽ.
Số điểm cực trị của hàm số = 2020 ( ( ) ) là A. 13. B. 12. C. 10. D. 14. Lời giải Chọn B
Xét hàm số: ( ) = 2020 ( ( ) ). Ta có: ( ) = 2020 ( ( ) ). 2 020. [ ( ( ) − 1)] =
( ). ( ( ) − 1). 2020 ( ( ) ). 2 020. ( ) = 0(1) ( ) = 0 ⇔ ( ( ) − 1) = 0(2)
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 19
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
Từ đồ thị hàm số = ( ) ta thấy (1) có tập nghiệm = {−1; 1; 3; 6}, các nghiệm này đều là nghiệm bội lẻ. ( ) − 1 = −1 ( ) = 0(3) ⎡ ⎡ ( ) − 1 = 1 ( ) = 2(4) ( ( ) − 1) = 0 ⇔ ⎢ ⇔ ⎢ ⎢ ( ) − 1 = 3 ⎢ ( ) = 4(5) ⎣ ( ) − 1 = 6 ⎣ ( ) = 7(6)
(3) có 1 nghiệm đơn không thuộc và 1 nghiệm bội chẵn = 3.
(4) có 5 nghiệm đơn phân biệt không thuộc .
(5) có 1 nghiệm đơn không thuộc và 1 nghiệm bội chẵn = 6.
(6) có 1 nghiệm đơn không thuộc .
Chú ý rằng các nghiệm của (3), (4), (5), (6) là khác nhau nên từ các nhận xét trên suy ra phương trình
( ) = 0 có tất cả 12 nghiệm, các nghiệm này đều là nghiệm đơn và nghiệm bội lẻ. Do đó số điểm cực
trị của hàm số = 2020 ( ( ) ) là 12.
Câu 42. Cho hàm số = ( ) xác định trên ℝ, có đồ thị ( ) như hình vẽ. Hàm số ( ) = ( + ) đạt cực tiểu tại điểm . Giá trị của
thuộc khoảng nào sau đây? A. (1; 3). B. (−1; 1). C. (0; 2). D. (3; +∞). Lời giải Chọn B Ta có: ( ) = ( + ). (3 + 1) 2
3x 1  0   1
Cho: g x  0    f  3
x x  0 2  Dễ thấy (1) vô nghiệm. = 0
Từ đồ thị hàm số = ( ) ta thấy ( ) = 0 ⇔ . = 2 ( + 1) = 0 = 0 Vậy (2) ⇔ + = 0 ⇔ ⇔ + = 2 ( − 1)( + + 2) = 0 = 1 Với < 0, ta có: + < 0 ⇒ ( + ) < 0 ⇒ ( ) < 0. Với 0 < < 1, ta có: 0 < + < 2 ⇒ ( + ) > 0 ⇒ ( ) > 0. Với > 1, ta có: + > 2 ⇒ ( + ) < 0 ⇒ ( ) < 0.
Vậy ta có bảng biến thiên của hàm ( ) như sau:
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 20
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
Vậy hàm số ( ) đạt cực tiểu tại điểm = 0 ∈ (−1; 1).
Câu 43. Cho hàm số = ( ) có đồ thị như hình vẽ. Biết tất cả các điểm cực trị của hàm số = ( ) là −2; 0; 2; ; 6 với 4 <
< 6. Số điểm cực trị của hàm số = ( − 3 ) là A. 11. B. 8. C. 9. D. 7. Lời giải Chọn A
Lưu ý: Số điểm cực trị của hàm số đa thức liên tục trên ℝ là số nghiệm đơn hoặc nghiệm bội bậc lẻ của phương trình = 0 Ta có: = (6 − 6 ). ( − 3 ) 6 − 6 = 0(1) = 0 ⇔ . ( − 3 ) = 0(2) = 0 (1) ⇔ . = ±1 − 3 = −2 ⎡ ⎢ − 3 = 0 (2) ⇔ ⎢ − 3 = 2 (∗) ⎢ − 3 = ⎣ − 3 = 6 − 3 = −2(3) ⎡ ⎢ − 3 = 0(4) Đặt =
( ≥ 0), khi đó ta thu(2) ⇔ ⎢ − 3 = 2(5) ⎢ ⎢ − 3 = (6) ⎣ − 3 = 6(7)
Nhận thấy, với mỗi > 0 là nghiệm của một trong các phương trình từ đến ta thu được hai nghiệm
tương ứng đối nhau, với = 0 ta được nghiệm kép = 0.
Do đó ta chỉ quan tâm nghiệm > 0, Xét hàm số ( ) =
− 3 có đồ thị như hình vẽ sau:
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 21
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020 Từ đồ thị ta thấy:
Phương trình (3) có nghiệm kép
= 1, trường hợp này ta không có cực trị.
Phương trình (4) có một nghiệm 1 <
< 2, trường hợp này ta được 2 điểm cực trị.
Phương trình (5) có một nghiệm
= 2, trường hợp này ta được 2 điểm cực trị.
Phương trình (6) với 4 <
< 6 ta được một nghiệm >
= 2, ta được 2 điểm cực trị.
Phương trình (7) với < 6 ta được 1 nghiệm >
, trường hợp này ta được 2 điểm cực trị.
Vậy tổng cộng ta được 11 điểm cực trị.
Câu 45. Cho hàm số = ( )có đạo hàm trên ℝ. Đồ thị hàm số =
( )như hình vẽ bên dưới. Hàm số ( ) = √
− 90 + 2021 có bao nhiêu điểm cực trị ? A. 7. B. 4. C. 6. D. 5. Lời giải Chọn B
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 22
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020 = =
+ Dựa vào đồ thị hàm số = ( ), ta có: ( ) = 0 ⇔ (trong đó < 0 < < < và = là nghiệm = = bội chẵn) ≤ 43 Hàm số: ( ) = √
− 90 + 2021 , với điều kiện: − 90 + 2021 ≥ 0 ⇔ ≥ 47 Ta có: ( ) = . √ − 90 + 2021 √ = 45 ⎡√ − 90 + 2021 = 2 − 90 = 0 ⎢ + ( ) = 0 ⇒ ⇔ √
− 90 + 2021 = (do điều kiện nên loại √ − 90 + 2021 = 0 ⎢ ⎢√ − 90 + 2021 = ⎣√ − 90 + 2021 =
nghiệm = 45 và vì < 0nên phương trình √ − 90 + 2021 = vô nghiệm) √ − 90 + 2021 = ( − 45) − 4 = = 45 ± √4 + ⇔ √ − 90 + 2021 = ⇔ ( − 45) − 4 = ⇔ = 45 ± √4 + . √ − 90 + 2021 = ( − 45) − 4 = = 45 ± √4 +
Trong các nghiệm trên, nghiệm = 45 ± √4 +
là nghiệm bội chẵn. Do đó hàm số chỉ đạt cực trị tại
các điểm có hoành độ là = 45 ± √4 + và = 45 ± √4 + . Vậy hàm số ( ) = √
− 90 + 2021 có 4cực trị.
Câu 48. Câu46. Cho hàm số
= ( )có đồ thị như hình vẽ. Biết tất cả các điểm cực trị của hàm số =
( )là −2; 0; 2; ; 6 với4 < < 6. y -2 O 2 a 6 x y = f(x)
Số điểm cực trị của hàm số = ( − 3 ) là A. 8. B. 11. C. 9. D. 7. Lời giải Chọn C ( ) = ( − 3 ). ′( ) = ( − 3 ) ′ = ( − 3 )′. ′( − 3 ) = (6 − 6 ) ′( − 3 ).
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 23
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020 = 0 ⎡ = ±1 ⎢ ⎢ − 3 = −2(1) 6 − 6 = 0 ′ = 0 ⇔ (6 − 6 ) ′( − 3 ) = 0 ⇔ ⇔ ⎢ − 3 = 0(2) . ′( − 3 ) = 0 ⎢ − 3 = 2(3) ⎢ ⎢ − 3 = (4) ⎣ − 3 = 6(5) − 3 = −2(1) ⇔ − 3 + 2 = 0 ⇔ = 1 ⇔ = ±1. = 0(∗) = 0 − 3 = 0(2) ⇔ ⇔ . = 3 = ±√3 − 3 = 2(3) ⇔ − 3 − 2 = 0 ⇔ = 2 ⇔ = ±√2.
Ta xét bảng biến thiên của hàm số: = ℎ( ) = − 3 = 0 ⇒ ℎ(0) = 0 ′ = ℎ′( ) = 6 − 6 = 0 ⇔ = −1 ⇒ ℎ(−1) = −2 = 1 ⇒ ℎ(1) = 2
Từ bảng biến thiên ta suy ra phương trình − 3
= (4) có một nghiệm biệt khác {0; −1; 1} và khác
nghiệm của phương trình (2); (3) Phương trình − 3
= 6(5) có hai nghiệm phân biệt khác {0; −1; 1} và khác nghiệm của phương trình
(2); (3); (4). Ta có thể lấy nghiệm gần đúng như sau: = − 3 = 6(5) ⇔ − 3 − 6 = 0 ⇔ = , ≈ 5,547, ∈ (5; 6) ⇔ √ = −√ ≈ 2,355 ⇔ ≈ −2,355 < < − 3 = (4) √ − ⇔ 4 < − 3 < 6 ⇔ √ < < −√ ≈ 2,195 ⇔ 4 < < 6 ≈ 2,355 √ < < √ Vậy ′ = ′( ) = 0 có: +) 2 nghiệm bằng = 1 ⇒
= 1 không là điểm cực trị.
+) 2 nghiệm bằng = −1 ⇒
= −1 không là điểm cực trị. +) 3 nghiệm bằng = 0 ⇒
= 0 là 1 điểm cực trị.
+) 1 nghiệm bằng = −√3 ⇒
= −√3là 1 điểm cực trị.
+) 1 nghiệm bằng = √3 ⇒
= √3là 1 điểm cực trị. +) 1 nghiệm bằng = √ ⇒
= √ là 1 điểm cực trị. +) 1 nghiệm bằng = −√ ⇒
= −√ là 1 điểm cực trị.
+) 1 nghiệm bằng = √2 ⇒
= √2là 1 điểm cực trị.
+) 1 nghiệm bằng = −√2 ⇒
= −√2là 1 điểm cực trị. +) 1 nghiệm và ∈ −√ ; −√ ⇒ là 1 điểm cực trị. +) 1 nghiệm và ∈ √ ; √ ⇒ là 1 điểm cực trị.
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 24
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
Vậy có tất cả 9 điểm cực trị.
Câu 49. Cho hàm số = ( ) có bảng biến thiên như sau
Số điểm cực trị của hàm số ( ) = (− + 4 ) là A. 5 . B. 3 . C. 7 . D. 11. Lời giải Chọn C
Từ đồ thị, ta có bảng biến thiên của y f (x) như sau: ( ) = (− + 4 ) ⇒ ( ) = (− + 4 ) (− + 4 ) = (−4 + 8 ) (− + 4 ) −4 + 8 = 0 ( ) = 0 ⇔ (−4 + 8 ) (− + 4 ) = 0 ⇔ (− + 4 ) = 0 ⎡ = ±√2 ⎢ = 0 ⇔ ⎢ − + 4 = < 0 (1) ⎢ ⎢ − + 4 = ∈ (0; 4) (2) ⎣ − + 4 = > 4 (3) = 0 Xét hàm số ℎ( ) = − + 4 ⇒ ℎ′( ) = −4 + 8 ⇒ ℎ′( ) = 0 ⇔ = ±√2 Bảng biến thiên
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 25
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020 x ∞ 2 0 2 + ∞ h' x ( ) + 0 0 + 0 4 4 h(x) ∞ 0 ∞
Từ bảng biến thiên, ta thấy Đường thẳng =
< 0 cắt đồ thị hàm số y h(x) tại 2 điểm Đường thẳng =
∈ (0; 4) cắt đồ thị hàm số y h(x) tại 4 điểm. Đường thẳng =
> 4 cắt đồ thị hàm số y h(x) tại 0 điểm.
Như vậy, phương trình g (
x)  0 có tất cả 7 nghiệm đơn phân biệt.
Vậy hàm số g x f  3 2 ( )
x  3x  có 7 cực trị
Câu 50. Cho hàm số = ( ) có đạo hàm tại ∀ ∈ ℝ, hàm số ′( ) = + + + có đồ thị như hình vẽ.
Số điểm cực trị của hàm số = [ ′( )] là A. 7. B. 11. C. 9. D. 8. Lời giải Chọn A = 0
Đồ thị ′( ) đi qua các điểm (0; 0); (−1; 0); (1; 0) nên ta có = −1. = 0 Do đó ′( ) = − ⇒ ′′( ) = 3x − 1. Đặt ( ) = ′( ) . Ta có:
′( ) = ′[ ′( )]. ′′( ) = [( − ) − ( − )](3 − 1) = ( − 1)( − + 1)(3 − 1).
Dễ thấy ′( ) = 0 có 7 nghiệm phân biệt, tất cả đều là nghiệm đơn nên hàm số có 7 điểm cực trị.
Câu 59. Cho hàm số ( ) liên tục trên ℝvà có đồ thị hàm số = ′( ) như hình vẽ bên dưới.
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 26
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020 Hàm số ( ) =
có bao nhiêu điểm cực tiểu? A. 5. B. 3. C. 4. D. 2. Lời giải Chọn D + Ta có ( ) = ⇒ ( ) = . . ( )  x  0 ⎡ = 0  ⎢
x  1 (nghiÖm béi ch½n) = 1  + ( ) = 0 ⇔ ⎢
  x  4 (nghiÖm béi ch½n) . ⎢  ⎢ = 2 x  2  ⎣− + 4 = 0  x  2  Bảng xét dấu: Vậy hàm số ( ) = có 2 điểm cực tiểu. Câu 77. Cho hàm số
= ( )liên tục trên ℝvà có đồ thị hàm số = ( )như hình vẽ. Số điểm cực trị của hàm số = 2020 ( ( ) )là A. 13. B. 12. C. 10. D. 14. Lời giải Chọn B
Đặt = ( ) − 1ta có = 2020 ( )và = ( ). = ( ). . 2020 ( ) 2 020. = 0 = 0 ⇔ . ( ) = 0 = −1 = 1
Dựa vào đồ thị hàm số = ( )ta có = 0 ⇔ ( ) = 0 ⇔ . = 3 = 6
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 27
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020 = −1 ( ) = 0 ⎡ ( ) = 2 ( ) = 1 = 0 ⇔ ⇔ ⎢ . = 3 ⎢ ( ) = 4 = 6 ⎣ ( ) = 7
Dựa vào đồ thị hàm số = ( )ta có:
+ Phương trình ( ) = 0có một nghiệm đơn > 7.
+ Phương trình ( ) = 2có năm nghiệm đơn , , , , thỏa mãn −2 < < −1, = 0, 1 < < 2, 4 < < 5, 6 < < 7.
+ Phương trình ( ) = 4có một nghiệm đơn < −2.
+ Phương trình ( ) = 7có một nghiệm đơn < . Vậy
= 0có tất cả 12 nghiệm đơn, do đó hàm số = 2020 ( ( ) )có 12 điểm cực trị.
Dạng 2: Cực trị f(x), f(u),… biết các BBT,BXD không tham số (Không GTTĐ)
Câu 82. Cho hàm số = ( ) có bảng biến thiên như sau
Tìm số điểm cực trị của hàm số ( ) = (3 − ). A. 2. B. 3. C. 5. D. 6. Lời giải Chọn B Ta có ( ) = − (3 − ). theo BBT 3 − = 0 = 3  ( ) = 0 ⇔
(3 − ) = 0 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⇔ . 3 − = 2 = 1
 ( ) không xác định ⇔ 3 − = 1 ⇔ = 2. Bảng biến thiên
Vậy hàm số ( ) = (3 − ) có 3 điểm cực trị.
Câu 84. Cho hàm số ( ), bảng biến thiên của hàm số ( ) như sau:
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 28
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
Số điểm cực trị của hàm số = (6 − 3 ) là A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Lời giải Chọn C 6 − 3 = −3 = 3 Ta có = −3. (6 − 3 ). Cho = 0 ⇔ 6 − 3 = 1 ⇔ = 6 − 3 = 3 = 1 Bảng biến thiên
Nhận xét: đổi dấu 3 lần khi đi qua các nghiệm nên phương trình
= 0 có 3 nghiệm phân biệt. Vậy hàm
số = (6 − 3 ) có 3 cực trị.
Câu 86. Cho hàm số = ( ) có bảng biến thiên như sau.
Đồ thị hàm số = | ( − 2001) − 2019| có bao nhiêu điểm cực trị? A. 2. B. 3. C. 5. D. 4. Lời giải Chọn B
Ta có: Công thức tổng quát tìm số cực trị của hàm số = | ( )| có công thức tính là = + . Trong đó
là số điểm cực trị của hàm số gốc = ( )
là số giao điểm của đồ thị hàm số = ( ) với trục
(không tính điểm tiếp xúc)
Dựa vào bảng biến thiên ta có: Số điểm cực trị của đồ thị = ( − 2001) − 2019 bằng số điểm cực trị
của đồ thị hàm số = ( ), tức là có số điểm cực trị là = 2.
Xét phương trình ( − 2001) − 2019 = 0 ⇔ ( − 2001) = 2019 (1)
Theo phép tịnh tiến đồ thị hàm số = ( − 2001) cắt đường thẳng = 2019 tại 2 điểm (trong đó có 1 điểm tiếp xúc tại )
Nên suy ra = 1 (vì điểm tiếp xúc phải loại) Vậy = 2 + 1 = 3.
Câu 90. Cho hàm số = ( ) có bảng biến thiên
Hỏi hàm số = ( ) = [ (2 − )] + 2020 có bao nhiêu điểm cực đại?
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 29
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020 A. 1. B. 3. C. 2. D. 4. Lời giải Chọn C
Ta có ′( ) = −2. (2 − ). (2 − ). 2 − = < −2 (2 − ) = 0 2 − = > 1 Khi đó ′( ) = 0 ⇔ −2. (2 − ). (2 − ) = 0 ⇔ ⇔ ⇔ (2 − ) = 0 2 − = −2 2 − = 1 = 2 − > 4 = 2 − < 1 = 4 = 1 ′( ) không xác định ⇔
(2 − ) không xác định ⇔ 2 − = 0 ⇔ = 2
Dựa vào bảng biến thiên của ( ) ta thấy (2 − ) > 0 ⇔ < 2 − < ⇔ 2 − < < 2 − ( 2 − < −2 > 4 2 − ) > 0 ⇔ ⇔ 0 < 2 − < 1 1 < < 2
Ta có bảng xét dấu ′( ) Vậy hàm số =
( ) = [ (2 − )] + 2020 có 2 điểm cực đại.
Câu 92. Cho hàm số = ( ) có đạo hàm trên ℝvà có bảng xét dấu của = ( ) như sau: Hỏi hàm số ( ) = (
− 2 ) có bao nhiêu điểm cực trị? A. 3. B. 5. C. 2. D. 4. Lời giải Chọn A
Xét hàm số ( ) có TXĐ: ℝ và ( ) = 2( − 1). ( − 2 ). = 1 = 1 = 1 = 1 ( ) − 2 = −2 = 0 ⇔ = 1 ± √2 ( ⇔ ⇔ ⇔ − 2 ) = 0 − 2 − 1 = 0 − 2 = 1 = −1 − 2 − 3 = 0 − 2 = 3 = 3 (vì phương trình − 2 = −2 vô nghiệm)
Từ giả thiết suy ra: Các nghiệm −2; 3 của ′ là nghiệm đơn hoặc bội lẻ nên đổi dấu khi qua mỗi
nghiệm đó, còn 1 là nghiệm bội chẵn nên không đổi dấu khi qua nghiệm 1.
⇒ đổi dấu khi qua mỗi nghiệm ±1; 3 và ko đổi dấu khi qua mỗi nghiệm 1 ± √2.
⇒ Hàm số ( ) có 3 điểm cực trị.
Câu 94. Cho hàm số = ( ) liên tục trên ℝ và có bảng biến thiên như sau:
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 30
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong số các mệnh đề sau đối với hàm số ( ) = (2 − ) − 2?
I. Hàm số ( ) đồng biến trên khoảng (−4; −2).
II. Hàm số ( ) nghịch biến trên khoảng (0; 2).
III. Hàm số ( ) đạt cực tiểu tại điểm −2.
IV. Hàm số ( ) có giá cực đại bằng −3. A. 2. B. 3. C. 4. D. 1. Lời giải Chọn D Ta có ( ) = − (2 − ). ( ) 2 − = 0 = 0 ⇔ (2 − ) = 0 ⇔ 2 − = 2 ( ) 2 − > 0 < 2 > 0 ⇔ (2 − ) < 0 ⇔ ⇔ ⇔ ∈ (0; 2). 2 − < 2 > 0 ( ) 2 − < 0 > 2 < 0 ⇔ (2 − ) > 0 ⇔ ⇔ . 2 − > 2 < 0
Từ bảng biến thiên ta thấy:
Hàm số đồng biến trên khoảng (0; 2).
Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; 0) và (2; +∞).
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm 0.
Hàm số đạt giá trị cực đại bằng −3.
Câu 103. Cho hàm số f x , bảng biến thiên của hàm số f  x như sau
Số điểm cực trị của hàm số y f  2 x  2x là A. 9 . B. 3. C. 7 . D. 5 . Lời giải Chọn C
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 31
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020 = , ∈ (−∞; −1) = , ∈ (−1; 0)
Từ bảng biến thiên ta có phương trình ( ) = 0 có các nghiệm tương ứng là . = , ∈ (0; 1) = , ∈ (1; +∞) Xét hàm số = ( − 2 ) ⇒ = 2( − 1) ( − 2 ). = 1 ⎡ − 2 = (1) − 1 = 0 ⎢ Giải phương trình = 0 ⇔ 2( − 1) ( − 2 ) = 0 ⇔ − 2 = (2) ( ⇔ − 2 ) = 0 ⎢ . ⎢ − 2 = (3) ⎣ − 2 = (4)
Vẽ đồ thị hàm số ℎ( ) = − 2
Dựa vào đồ thị ta thấy: phương trình (1) vô nghiệm. Các phương trình (2); (3); (4) mỗi phương trình có 2
nghiệm. Các nghiệm đều phân biệt nhau. Vậy phương trình
= 0 có 7 nghiệm phân biệt nên hàm số = (
− 2 ) có 7 điểm cực trị.
Câu 104. Cho hàm số ( ) liên tục trên và có bảng xét dấu đạo hàm ( ) như sau: Hàm số ( ) = (
− 2 + 1 − | − 1|) có bao nhiêu điểm cực trị? A. 8. B. 7. C. 9. D. 10. Lời giải Chọn B Hàm số ( ) = (
− 2 + 1 − | − 1|) xác định trên tập ℝ. Ta có: ( ) = ( − 2 + 1 − | − 1|) . ( − 2 + 1 − | − 1|). ( − 2 + 1 − | − 1|) = 0 ( ) = 0 ⇔ ( − 2 + 1 − | − 1|) = 0
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 32
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020 2 − 2 − (| − 1|) = 0 2 − 2 − (| − 1|) = 0(1) ⎡ ⎡ − 2 + 1 − | − 1| = −1
| − 1| − | − 1| = −1(2) ⇔ ⎢ ⇔ ⎢ ⎢ − 2 + 1 − | − 1| = 0
⎢| − 1| − | − 1| = 0(3) ⎣ − 2 + 1 − | − 1| = 1
⎣| − 1| − | − 1| = 1(4) = ℎ ≥ 1 ( 2 − 2 − 1 = 0 ℎ ≥ 1 1) ⇔ ⇔ , 2 − 2 + 1 = 0 ℎ < 1 = ℎ < 1
(2) ⇔ | − 1| − | − 1| + 1 = 0 vô nghiệm, | − 1| = 0 = 1
(3) ⇔ | − 1| − | − 1| = 0 ⇔ ⇔ = 0, | − 1| = 1 = 2 | − 1| = √ ( ) = √
(4) ⇔ | − 1| − | − 1| − 1 = 0 ⇔ ⇔ . | − 1| = √ = √ Ta có
( ) = 0 có 7 nghiệm phân biệt nên có tối đa 7 điểm cực trị.
Câu 105. Cho hàm số = ( )có đạo hàm trên ℝ và có bảng xét dấu ( ) như sau Hỏi hàm số = (
− 2 )có bao nhiêu điểm cực tiểu? A. 4. B. 2. C. 3. D. 1. Lời giải Chọn D Đặt ( ) = (
− 2 ). Ta có ( ) = (2 − 2) ( − 2 ). = 1 = 1 = 1 ( ) − 2 = −2 − 2 + 2 = 0 = 0 ⇔ ⇔ ⇔ = 1 ± √2. − 2 = 1 − 2 − 1 = 0 = −1 − 2 = 3 − 2 − 3 = 0 = 3
Trong đó các nghiệm −1,1,3 là nghiệm bội lẻ và 1 ± √2 là nghiệm bội chẵn. Vì vậy hàm số ( ) chỉ đổi
dấu khi đi qua các nghiệm −1,1,3. Ta có
(0) = −2 (0) < 0 (do (0) > 0). Bảng xét dấu ( ) Vậy hàm số = (
− 2 ) có đúng 1 điểm cực tiểu là = 1.
Câu 106. Cho hàm số y f ( x) có đạo hàm tại x    , hàm số 3 2 f (
x)  x ax bx c có bảng biến thiên
như hình vẽ dưới đây, giao điểm của đồ thị hàm số ( ) với
là (0; 0); (−1; 0); (1; 0)
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 33
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
Số điểm cực trị của hàm số = [ ( )] là A. 7. B. 11. C. 9. D. 8. Lời giải
Từ giả thiết, có đồ thị hàm số ( ) = + +
+ đi qua các điểm (0; 0); (−1; 0); (1; 0). = 0 = 0
Khi đó ta có hệ phương trình: + = −1 ⇔ = −1 ⇒ ( ) = − ⇒ ( ) = 3 − 1. − = 1 = 0 Đặt: ( ) = ( ) Ta có: ( ) = ( [ ( )]) = [ ( )]. ( ) = [( − ) − ( − )](3 − 1) = ( − 1)( + 1)( − − 1)( − + 1)(3 − 1) = 0 = 0 ⎡ ⎡ = 1 = 1 ⎢ ⎢ = −1 ⎢ ( ) = −1 = 0 ⇔ ⎢ ⇔ = (≈ 0,76) ⎢ − − 1 = 0 ⎢ = ( ≈ −1,32) ⎢ − + 1 = 0 ⎢ 1 ⎣3 − 1 = 0 ⎢ = ± ⎣ √3 Ta có bảng biến thiên: * Cách xét dấu
( ): chọn = 2 ∈ (1; +∞) ta có: (2) > 0 ⇒
( ) > 0∀ ∈ (1; +∞), từ đó suy ra dấu của
( )trên các khoảng còn lại.
Dựa vào BBT suy ra hàm số có 7 điểm cực trị.
Câu 108. Cho hàm số ( ), bảng biến thiên của hàm số ( ) như sau:
Số điểm cực trị của hàm số ( ) = [( + 1) ] là A. 5. B. 3. C. 2. D. 4.
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 34
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020 Lời giải Chọn A Ta có ( ) = [( + 1) ] = ( + 2 + 1) ⇒ ( ) = (2 + 2). ( + 2 + 1). = −1 2 + 2 = 0 + 2 + 1 = , < 0 Cho ( ) = 0 ⇔ ( + 2 + 1) = 0 ⇔ + 2 + 1 = , 0 < ` < 3 + 2 + 1 = , > 3 + 2 + 1 −
= 0 có = 4 < 0, < 0 nên phương trình vô nghiệm. + 2 + 1 − = 0 có = 4 > 0, 0 <
< nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
+ 2 + 1 − = 0 có = 4 > 0, > 3 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
Nhận xét: 5 nghiệm trên khác nhau đôi một nên phương trình
( ) = 0 có 5 nghiệm phân biệt.
Vậy hàm số ( ) = [( + 1) ] có 5 cực trị.
Câu 109. Cho hàm số y f (x) có đạo hàm tại x    , hàm số 3 2 f (  )
x x ax bx c có bảng biến thiên
như hình vẽ dưới đây, giao điểm của đồ thị hàm số ( ) với
là (0; 0); (−1; 0); (1; 0)
Số điểm cực trị của hàm số = [ ( )] là A. 7. B. 11. C. 9. D. 8. Lời giải
Từ giả thiết, có đồ thị hàm số ( ) = + +
+ đi qua các điểm (0; 0); (−1; 0); (1; 0). = 0 = 0
Khi đó ta có hệ phương trình: + = −1 ⇔ = −1. − = 1 = 0 ⇒ ( ) = − ⇒ ( ) = 3 − 1 Đặt: ( ) = ( ) Ta có: ( ) = ( [ ( )]) = [ ( )]. ( ) = [( − ) − ( − )](3 − 1) = ( − 1)( + 1)( − − 1)( − + 1)(3 − 1) = 0 = 0 ⎡ ⎡ = 1 = 1 ⎢ ⎢ = −1 ⎢ ( ) = −1 = 0 ⇔ ⎢ ⇔ = (≈ 1,32) ⎢ − − 1 = 0 ⎢ = ( ≈ −1,32) ⎢ − + 1 = 0 ⎢ 1 ⎣3 − 1 = 0 ⎢ = ± ⎣ √3 Ta có bảng biến thiên:
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 35
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020 * Cách xét dấu
( ): chọn = 2 ∈ ( ; +∞) ta có: (2) > 0 ⇒
( ) > 0∀ ∈ ( ; +∞), từ đó suy ra dấu của
( )trên các khoảng còn lại.
Dựa vào BBT suy ra hàm số có 7 điểm cực trị.
Câu 110. Cho hàm số ( ) liên tục trên ℝ, bảng biến thiên của hàm số ( ) như sau:
Số điểm cực trị của hàm số ( ) = là A. 6. B. 2. C. 1. D. 4. Lời giải Chọn A Ta có ( ) = . . − 1 = 0 ⎡ = 0 ⎢ = , < −2 Cho ( ) = 0  ⇔ ⎢ = 0 ⎢ = , −2 < < 2 ⎢ ⎣ = , > 2
− 1 = 0 có 2 nghiệm phân biệt = ±1. Xét hàm số ℎ( ) = Tập xác định = ℝ\{0}. Ta có ℎ ( ) = . Cho ℎ ( ) = 0 ⇔ = ±1. Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy
ℎ( ) = có 2 nghiệm phân biệt, với < −2
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 36
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
ℎ( ) = vô nghiệm, với −2 < < 2
ℎ( ) = có 2 nghiệm phân biệt, với > 2 Vậy hàm số ( ) = có 6 điểm cực trị.
Dạng 3: Cực trị f(x), f(u),…liên quan biểu thức đạo hàm không tham số (Không GTTĐ) Câu 111. Cho hàm số = ( ) có đạo hàm ( ) = (
− 1)( − 4) với mọi ∈ ℝ. Hàm số ( ) =
(3 − ) có bao nhiêu điểm cực đại? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Lời giải Chọn B
Từ giả thiết, ta có bảng biến thiên của hàm số ( )
Ta có ( ) = (3 − )  ( ) = − (3 − ).
Từ bảng biến thiên của hàm số ( ) ta có ( ) 3 − ≤ −1 ≥ 4 ≥ 0 ⇔ (3 − ) ≤ 0 ⇔ ⇔ . 1 ≤ 3 − ≤ 4 −1 ≤ ≤ 2
Như thế ta có bảng biến thiên của hàm số ( )
Từ bảng biến thiên, ta nhận thấy hàm số ( ) có một điểm cực đại.
Câu 114. Cho hàm số = ( ) có đạo hàm ( ) =
( − 1)(13 − 15) . Khi đó số điểm cực trị của hàm số = là A. 5. B. 3. C. 2. D. 6. Lời giải Chọn D Ta có: 5 5 5( + 4) − 5 . 2 5 5 5 = . = − 1 13. − 15 + 4 + 4 ( + 4) + 4 + 4 + 4 −5 + 20 5 5 − − 4 65 − 15 − 60 = ( + 4) + 4 + 4 + 4 5(2 − )(2 + ) (5 )
( − 1)(4 − ) (3 − ) (15 − 20) = ⋅ ⋅ ⋅ ( + 4) ( + 4) + 4 ( + 4)
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 37
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020 = 2 ⎡ = −2 ⎢ = 0 ⎢ = 1 = 0 ⇔ ⎢ ⎢ = 4 ⎢ = 3 ⎢ 4 ⎣ = 3 Do phương trình
= 0 có 6 nghiệm đơn và 1 nghiệm kép nên hàm số = có 6 điểm cực trị.
Câu 116. Cho hàm số = ( ) xác định và liên tục trên ℝ có ( ) = ( − 2)( + 5)( + 1) và (2) = 1. Hàm số ( ) = [ (
)] có bao nhiêu điểm cực trị ? A. 1. B. 2. C. 3. D. 5. Lời giải Chọn C = 2 Từ giả thiết ta có ( ) = ( − 2)( + 5)( + 1) ⇒ ( ) = 0 ⇔ = −5 = −1
Bảng biến thiên của = ( )
Từ BBT suy ra ( ) > 0, ∀ ≥ 0 nên ( ) > 0, ∀ ∈ ℝ Xét hàm số ( ) = [ ( )] ( ) = ( ) = 4 . ( ) ′( ) = 4 ( − 2)( + 5)( + 1) ( ) = 0 Xét ( ) = 0 ⇔ = ±√2 BBT của ( ) = [ ( )] x ∞ - 2 0 2 + ∞ g'(x) 0 + 0 0 + + ∞ + ∞ g(x)
Từ BBT trên suy ra hàm số ( ) = [ (
)] có ba điểm cực trị.
Câu 119. Cho hàm số = ( ) có đạo hàm
( ) = . ( − 1) , ∀ ∈ ℝ. Hàm số = ( + )có bao nhiêu điểm cực trị? A. 5. B. 3. C. 4. D. 2. Lời giải
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 38
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020 Chọn A
Xét đạo hàm ′ = (2 + 1) ′(
+ ). Ta có ′ = 0 ⇔ (2 + 1) ′( + ) = 0 Thay bởi ( + ) ta có ′( + ) = ( + ). ( + − 1) Khi đó (2 + 1) ′( + ) = 0 ⇔ (2 + 1)( + ). ( + − 1) = 0 ⇔ (2 + 1) ( + 1) − √ . + √ = 0 (1)
Ta thấy phương trình (1)có 5 nghiệm bội lẻ phân biệt nên ′( ) đổi dấu 5 lần qua các nghiệm. Vậy hàm số = ( + ) có 5 cực trị.
Câu 120. Cho hàm số = ( ) có đúng 3 điểm cực trị là 0; 1; 2 và có đạo hàm liên tục trên ℝ. Khi đó hàm số = (4 − 4
) có bao nhiêu điểm cực trị? A. 5. B. 4. C. 2. D. 3. Lời giải Chọn D Ta có: 1 1 ⎡ = ⎡ = ⎢ 2 4 − 8 = 0 ⎢ 2 = 0 = (4 − 8 ) (4 − 4 ) = 0 ⇔ ⇔ ⇔ ⎢ . (4 − 4 ) = 0 ⎢4 − 4 = 0 = 1 ⎢ ⎢ 4 − 4 = 1 1 ⎣ ⎢ 4 − 4 = 2 ⎣ = = 2 1 4 − 4 = 1 ⇔ = = 2
= 0 có 2 nghiệm đơn và 1 nghiệm bội 3 nên hàm số có 3 điểm cực trị.
Dạng 4: Cực trị của hàm liên kết h(x) = f(u) + g(x) biết các BBT, đồ thị không tham số
Câu 1: Cho hàm số ( ) xác định trên ℝ và có đồ thị của hàm số ( ) như hình vẽ Hàm số =
( ) = ( ) − 3 có bao nhiêu điểm cực trị? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Lời giải Chọn C Ta có ( ) = ( ( ) − 3 ) = ( ) − 3; Khi đó ( ) = 0 ⇔ ( ) = 3
Dựa vào đồ thị của hàm số ( ) nhận thấy phương trình
( ) = 3 có 3 nghiệm phân biệt.
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 39
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
Từ đó ta có bảng biến thiên của hàm số ( ) như sau:
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số =
( ), nhận xét hàm số có 3 điểm cực trị.
Câu 2: Cho hàm số = ( ) có đạo hàm liên tục trên ℝ. Đồ thị hàm số = ( ) như hình vẽ sau:
Số điểm cực trị của hàm số = ( − 2019) − 2020 + 2021 là A. 3. B. 1. C. 4. D. 2. Lời giải Chọn B Ta có
= [ ( − 2019) − 2020 + 2021] = ( − 2019) − 2020. Đồ thị hàm số =
( − 2019) − 2020 được suy ra từ đồ thị hàm số =
( ) bằng cách tịnh tiến sang
phải 2017 đơn vị và tịnh tiến xuống dưới 2018đơn vị.
Do đó đồ thị hàm số =
( − 2019) − 2020 chỉ cắt trục hoành tại 1 điểm và đổi dấu qua điểm đó nên
hàm số = ( − 2019) − 2020 + 2021 có một điểm cực trị.
Câu 3: Cho hàm số = ( ) có đạo hàm trên ℝ và đồ thị của hàm số = ( ) như hình bên.
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 40
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
Khẳng định nào dưới đây đúng ? A. Hàm số = ( ) − −
+ 2019 đạt cực đại tại = 0. B. Hàm số = ( ) − −
+ 2019 đạt cực tiểu tại = 0. C. Hàm số = ( ) − −
+ 2019 không có cực trị. D. Hàm số = ( ) − −
+ 2019 không có cực trị tại = 0. Lời giải Chọn A Ta có = ( ) − 2 − 1. Cho = 0 ⇔ ( ) = 2 + 1 (1).
Dựa vào đồ thị của hàm số =
( ) và đường thẳng = 2 + 1 ta có thể nhận thấy phương trình (1) có
ít nhất 2 nghiệm là = 0 và = 2. Xét dấu = 1 ∈ (0; 2), ta có (1) =
(1) − 5 < 0 từ đó ta nhận định hàm số = ( ) − − +
2019 đạt cực đại tại = 0. Ta chọn đáp án A
Câu 4: Cho hàm số = ( ) xác định và liên tục trên ℝ. Đồ thị hàm số = /( ) như hình bên. Tìm số
cực trị của hàm số ( ) = 2 ( + 2) + ( + 1)( + 3). A. 2. B. 3. C. 4. D. 1. Lời giải Chọn A
( ) = 2 ( + 2) + ( + 1)( + 3) ⇒ /( ) = 2 /( + 2) + 2 + 4 .
/( ) = 0 ⇔ /( + 2) = −( + 2) (1). Đặt = + 2.
Khi đó (1) trở thành /( ) = − (2).
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 41
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
(2) là pt hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số = /( ) và = − .
Dựa vào đồ thị của hàm số = /( ) và = − . = −1 = 0 Ta có: /( ) = − ⇔ . = 1 = 2 = −3 = −2 Khi đó . = −1 = 0
Bảng biến thiên hàm số
Vậy hàm số ( ) có hai cực trị.
Câu 5: Cho hàm số ( ) có đạo hàm liên tục trên ℝ. Đồ thị hàm số ( ) như hình vẽ. Hàm số = ( + 4 ) −
− 4 có bao nhiêu điểm cực trị thuộc khoảng (−5; 1). A. 5. B. 4. C. 6. D. 3. Lời giải Ta có: = (2 + 4) (
+ 4 ) − (2 + 4) = (2 + 4)[ ′( + 4 ) − 1]. = −2 = −2 2 + 4 = 0 + 4 = −4 = 0 ′ = 0 ⇔ ( ⇔ ⇔ + 4 ) = 1 + 4 = 0 = −4 . + 4 = ∈ (1; 5) = −2 ± √4 +
Vì ∈ (1; 5) nên −2 ± √4 + ∈ (−5; 1).
Dễ thấy đổi dấu khi qua các nghiệm kể trên. Vậy hàm số = ( + 4 ) −
− 4 có 5 điểm cực trị thuộc khoảng (−5; 1).
Câu 6: Cho hàm số = ( ) có đạo hàm đến cấp hai trên ℝ và bảng xét dấu của hàm số = ( ) như
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 42
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020 hình sau Hàm số ( ) = (1 − ) + − 2
+ 3 đạt cực tiểu tại điểm nào trong các điểm sau? A. = 0. B. = 3. C. = 1. D. = −3. Lời giải Chọn B
+) Ta có ′( ) = − (1 − ) + − 4 + 3. 1 − = −2 = 3 +) (1 − ) = 0 ⇔ 1 − = 0 ⇔ = 1 . 1 − = 4 = −3 = 1 +) − 4 + 3 = 0 ⇔ . = 3
+) Ta lập được bảng xét dấu của ( ) như sau:
Từ bảng xét dấu ta thấy hàm số ( ) đạt cực tiểu tại = 3.
Câu 7: Cho hàm số ( ) có đồ thị ( ) như hình vẽ dưới. Hàm số ( ) = ( ) − + 2 − 5 + 2001
có bao nhiêu điểm cực trị? A. 3. B. 1. C. 2. D. 0. Lời giải Chọn C Có ( ) = ( ) − + 4 − 5 ⇒ ( ) = 0 ⇔ ( ) = − 4 + 5 Ta có đồ thị hàm số =
− 4 + 5 và đồ thị hàm = ( ) như hình vẽ dưới
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 43
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
Quan sát hình vẽ ta thấy
( ) = 0 có 3 nghiệm phân biệt trong đó chỉ có 1 nghiệm bội chẵn
Vậy hàm số ( ) có 2 điểm cực trị.
Câu 8: Cho hàm số bậc năm = ( )có đồ thị =
( )như hình bên. Số điểm cực trị của hàm số ( ) = ( + 3 ) − 2 − 6 là A. 5. B. 7. C. 10. D. 11. Lời giải Chọn C Ta có ( ) = (3 + 6 ). ( + 3 ) − 6 − 12 = (3 + 6 )[ ( + 3 ) − 2]. 3 + 6 = 0 ( ) = 0 ⇔ ( . + 3 ) = 2 = 0 Phương trình 3 + 6 = 0 ⇔ . = −2 + 3 = < 0 + 3 = ∈ (0; 2) Phương trình ( + 3 ) = 2 ⇔ . + 3 = ∈ (2; 4) + 3 = > 4 = 0 Hàm số ℎ( ) = + 3 có ℎ ( ) = 3 + 6 = 0 ⇔ . = −2
Bảng biến thiên của hàm ℎ( ):
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 44
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
Dựa vào bảng biên thiên của hàm ℎ( ), ta có Phương trình + 3 =
< 0có duy nhất một nghiệm < −3. Phương trình + 3 =
> 4có duy nhất một nghiệm > 1. Phương trình + 3 =
∈ (0; 2)có ba nghiệm phân biệt không trùng với các nghiệm trên. Phương trình + 3 =
∈ (2; 4)có ba nghiệm phân biệt không trùng với các nghiệm trên. Do đó, phương trình
( ) = 0có mười nghiệm đơn phân biệt nên hàm số = ( )có mười điểm cực trị.
Câu 9: Cho hàm số = ( ) xác định trên ℝ và có bảng xét dấu đạo hàm ′( ) như hình dưới đây. Hỏi hàm số = ( ) + − 3
− 9 + 1 đạt cực tiểu tại điểm nào dưới đây? A. = 3. B. = −1. C. = −3. D. = 4. Lời giải Chọn C Xét hàm số = ( ) = ( ) + − 3 − 9 + 1 TXĐ: = ℝ ′( ) = ′( ) + 3 − 6 − 9 = −1 Ta có: 3 − 6 − 9 = 0 ⇔ = 3 Bảng xét dấu:
Vậy hàm số đạt cực tiểu tại = 3.
Câu 10: Cho hàm số = ( ) có đạo hàm đến cấp hai trên ℝ và có bảng xét dấu của hàm số = ′( ) như hình sau:
Hỏi hàm số ( ) = (1 − ) + − 2
+ 3 đạt cực tiểu tại điểm nào trong các điểm sau? A. = 3. B. = 0. C. = −3. D. = 1. Lời giải
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 45
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020 Chọn A ( ) = − (1 − ) + − 4 + 3. 1 − < −2 > 3 − (1 − ) > 0 ⇔ (1 − ) < 0 ⇔ ⇔ 0 < 1 − < 4 −3 < < 1 Bảng xét dấu ( ): Từ bảng xét dấu
( ) ta suy ra hàm số đạt cực tiểu tại = 3.
Câu 11: Cho hàm số = ( )có đạo hàm trên ℝ và có bảng biến thiên như hình vẽ Hàm số ( ) = 3 (2 − ) +
− 3 đạt cực đại tại điểm A. = 1. B. = −1. C. = 3. D. = 2. Lời giải Chọn B Ta có ( ) = −3 (2 − ) + 3 − 3.
Từ bảng biến thiên của hàm số = ( ) ta thấy: 2 − = 1 = 1 (2 − ) = 0 ⇔ 2 − = 2 ⇔ = 0 2 − = 3 = −1 2 − > 1
(2 − ) > 0 ⇔ 2 − < 3 ⇔ ∈ (−1; 1)\{0} 2 − ≠ 2 ( 2 − < 1 > 1 2 − ) < 0 ⇔ ⇔
. Ta có bảng biến thiên của hàm số ( ): 2 − > 3 < −1
(Nhờ thầy vẽ lại BBT ạ)
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số ( ) đạt cực đại tại = −1.
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 46
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
Câu 12: Cho hàm số f x . Hàm số y f  x có đồ thị như hình bên. 4 x
Hàm số g x  f  2 x x 3 2 2 
x  2x  2x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? 4 A. 1; 2 . B. 1;  1 . C. 2  ;1 . D. 2;3. Lời giải Chọn A 2   x  2x 
Ta có g x  2 x   1 f    2 x  2x   1 .   2     1  Đặt 2
u x  2 x , u   
1 , ta xét hàm số h u   f u   u 1 .    2  1
Từ đồ thị hàm số y f   x ta có đồ thị hàm số y f u  và y u 1như hình vẽ 2 .
Từ đó ta có bảng xét dấu h u  như sau: Ta có 2
u  1  x  2x  1  x  1 2 2
u  4  x  2x  4  x  1 5 .
Ta có bảng xét dấu g x như sau:
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 47
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020 . 4 x
Vậy hàm số g x  f  2 x x  3 2 2 
x  2x  2x nghịch biến trên khoảng 1; 2 . 4
Câu 13: Cho hàm số = ( ) xác định trên ℝ. Biết rằng hàm số =
( ) có đồ thị như hình vẽ
Số điểm cực trị của hàm số ( ) = ( − 2 ) − − 2 + + 2 + 2020 là A. 7. B. 6. C. 5. D. 8. Lời giải Chọn C +) Ta có ( ) = (2 − 2) ( − 2 ) − (2 − 6 + 2 + 2) = 2( − 1). [ ( − 2 ) − ( − 2 − 1)] − 1 = 0 = 1 ( ) = 0 ⇔ ( ⇔ − 2 ) − ( − 2 − 1) = 0 ( − 2 ) = − 2 − 1(∗). +) Giải (*): Đặt =
− 2 , phương trình trở thành ( ) = − 1.
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 48
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
Từ đồ thị hàm số =
( ) và đường thẳng = − 1 ta có = −1 ( ) = 1 = − 1 ⇔ . = 2 = 3 Suy ra = 1 − 2 = −1 ( − 1) = 0 ⎡ = 1 ± √2 − 2 = 1 ⎢ ⇔ − 2 − 1 = 0 ⇔ . − 2 = 2 = 1 ± √3 − 2 − 2 = 0 ⎢ ⎢ = −1 − 2 = 3 − 2 − 3 = 0 ⎣ = 3 Bảng xét dấu (Xét dấu của
( ) bằng cách lấy một điểm thuộc khoảng đang xét, thay vào ( ), kết hợp với đồ thị). Vậy hàm số ( ) = ( − 2 ) − − 2 +
+ 2 + 2020 có 5 điểm cực trị.
Câu 14: Cho hàm số = ( ). Hàm số = ′( ) xác định, liên tục trên ℝ và có đồ thị như hình vẽ Hàm số ( ) = 4 ( ) − + 6
có bao nhiêu điểm cực trị? A. 3. B. 1. C. 5. D. 0. Lời giải Chọn A Ta có ′( ) = 4 ′( ) − 4 + 12 . ′( ) = 0 ⇔ ′( ) = − 3 (1)
Dựa vào đồ thị hàm số = ′( ) ta vẽ thêm đồ thị hàm số = − 3 .
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 49
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị = ′( ) và = − 3 . = , −2 < < −1
Dựa vào đồ thị ta có (1) ⇔ = , −1 < < 0 . = , > 2 Bảng biến thiên Ta thấy hàm số =
( ) có ba điểm cực trị.
Câu 15: Cho hàm số = ( ). Hàm số = ′( ) có đồ thị như hình vẽ.
Số điểm cực trị của đồ thị hàm số = ( ) = (
− 4 + 3) − 3( − 2) + ( − 2) là A. 6. B. 7. C. 8. D. 9. Lời giải Chọn A Ta có ′( ) = 2( − 2) ′(
− 4 + 3) − 6( − 2) + 2( − 2)
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 50
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020 ′( ) = 2( − 2)[ ′( − 4 + 3) + − 4 + 1] = 2 ′( ) = 0 ⇔ ′( − 4 + 3) = 2 − ( − 4 + 3) Từ đồ thị hàm số
Ta có đường thẳng = 2 − cắt đồ thị = ′( ) tại bốn điểm phân biệt có hoành độ là = −2; = 0; = 1; = 2. = 2 = 2 ⎡ ⎡ − 4 + 3 = −2 = 1 ⎢ ⎢ Vậy ⇔ ⎢ − 4 + 3 = 0 ⇔ ⎢ = 3 ⎢ − 4 + 3 = 1 ⎢ = 2 ± √2 ⎣ − 4 + 3 = 2 ⎣ = 2 ± √3 Ta có BBT:
Từ BBT suy ra đồ thị hàm số có 6 điểm cực trị.
Câu 16: Cho hàm số ( ). Hàm số =
( ) xác định, liên tục trên ℝ và có đồ thị như hình vẽ.
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 51
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020 Hàm số ( ) = 4 ( ) − + 6
có bao nhiêu điểm cực trị ? A. 0. B. 1. C. 3. D. 5. Lời giải Chọn C Ta có: ( ) = 4 ( ) − + 6 ⇒ ( ) = 4 ( ) − 4 + 12 . ⇒ ( ) = 0 ⇔ 4 ( ) − 4 + 12 = 0 ⇔ ′( ) = − 3 = ℎ( ). ℎ( ) = − 3 ⇒ ℎ ( ) = 3 − 3. = −1 ⇒ ℎ ( ) = 0 ⇔ 3 − 3 = 0 ⇔ . = 1
Ta có bảng biến thiên của hàm số ℎ( ) = − 3 là
Ta có đồ thị của hai hàm số = ( ) và ℎ( ) = − 3 là
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 52
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
Dựa vào đồ thị ta thấy 2 đồ thị cắt nhau tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là < < .
Ta có bảng xét dấu của hàm số ( ) = 4 ( ) − 4 + 12 là
Dựa vào BBT, ta suy ra hàm số ( ) = 4 ( ) − + 6 có 3 điểm cực trị.
Câu 17: Cho hàm số = ( ) có bảng biến thiên như sau
Tìm giá trị cực trị của hàm số ( ) = ( − 3 ) − − + 3 − trên đoạn [−1; 2] ? A. 2022. B. 2019. C. 2020. D. 2021. Lời giải Chọn D ( ) = (3 − 3) ( − 3 ) − − 2 + 3 = ( − 1)[3 ( − 3 ) − − 3] Mà ∈ [−1; 2] ⇒ − 3 ∈ [−2; 2] ⇒ ( − 3 ) < 0 ⇒ 3 ( − 3 ) − − 3 < 0, do đó ( ) = 0 ⇔ − 1 = 0 ⇔ = ±1.
Ta có bảng biến thiên của ( ) trên đoạn[−1; 2]
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 53
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
Vậy giá trị cực trị của hàm số là (1) = (−2) + 2 = 2021.
Câu 18: Cho hàm số = ( ) xác định trên ℝ và có bảng xét dấu đạo hàm ′( ) như hình vẽ. Hỏi hàm số = 3 ( − 1) − + 3 + 9
+ 2023 có ít nhất bao nhiêu điểm cực trị? A. 1. B. 2. C. 3. D. 0. Lời giải Chọn C Xét hàm số: = ( ) = 3 ( − 1) − + 3 + 9 + 2023 có TXĐ: = ℝ. Đạo hàm: ′( ) = 6 . ′( − 1) − 6 + 12 + 18 = 6 . [ ′( − 1) − + 2 + 3]. = 0 ⇒ ′( ) = 0 ⇔ 6 . [ ′( − 1) − + 2 + 3] = 0 ⇔ ′( − 1) − + 2 + 3 = 0.
Ta luôn có = 0 là điểm cực trị (do nhân tử ′( − 1) − + 2
+ 3 không thể có nghiệm bội lẻ =
0 nữa, vì vậy ta không phải quan tâm đến sự trùng nghiệm tại = 0). Xét phương trình: ′( − 1) − + 2 + 3 = 0. Đặt = − 1 ⇒ ′( − 1) − + 2 + 3 = 0 ⇔ ′( ) − + 4 = 0.
Xét dấu biểu thức ′( ) − + 4 = 0 trên ℝ, ta có:
⇒ Hàm số = ( ) đạt cực trị tại = ±√3. Vậy hàm số =
( ) đạt cực trị tại ít nhất 3 điểm.
Câu 19: Cho hàm số = ( ), =
( ) liên tục trên ℝ, các hàm số = ( ) và = ( ) có đồ thị
như hình vẽ dưới đây (đồ thị = ( ) đậm hơn).
Hàm số = ( + 1) − ( + 1) đạt cực tiểu tại điểm
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 54
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020 A. = −1. B. = −2. C. = 0. D. = −3. Lời giải Chọn C Ta có: = ( + 1) − ( + 1). + 1 = −2 Xét phương trình = 0 ⇔ ( + 1) − ( + 1) = 0 ⇔ ( + 1) = ( + 1) ⇔ + 1 = 0 ⇔ + 1 = 1 = −3 = −1. = 0 Ta có bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại = 0.
Câu 20: Cho hàm số = ( ) có đạo hàm liên tục trên ℝ và bảng xét dấu đạo hàm - 2 2 x -∞ +∞ f '(x) _ 0 0 _ + Hàm số = 3 (− + 4 − 6) + 2 − 3 − 12
có bao nhiêu điểm cực tiểu? A. 1. B. 2. C. 0. D. 3. Lời giải Chọn B Xét hàm số = ( ) = 3 (− + 4 − 6) + 2 − 3 − 12 có tập xác định = ℝ. Có ( ) = 3(−4 + 8 ) (− + 4 − 6) + 12 − 12 − 24 = 12 (− + 2) (− + 4 − 6) + 12 ( − − 2) = 12 (− + 2) (− + 4 − 6) + 12 ( − 2)( + 1) = 12 (− + 2)[ (− + 4 − 6) − ( + 1)] Có − + 4 − 6 = −( − 4 + 6) = −[( − 2) + 2] = −( − 2) − 2 ≤ −2, ∀ ⇒ [−( − 2) − 2] < 0, (theo bbt). Suy ra [ (− + 4 − 6) − ( + 1)] < 0 = 0 Do đó ( ) = 0 ⇔ 12 (− + 2) = 0 ⇔ = −√2. = √2 Bảng biến thiên:
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 55
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
Dựa vào bảng biến thiên hàm số =
( ) có hai điểm cực tiểu.
Câu 21: Cho hàm số = ( ) liên tục và có đạo hàm trên ℝ. Biết hàm số =
( ) có đồ thị như hình
bên dưới. Tìm số điểm cực đại của đồ thị hàm số ( ) = 3 ( − 2 + 2) − 2 − 6 + 18 . A. 2. B. 3. C. 1. D. 4. Lời giải Chọn A Ta có ( ) = 3 ( − 2 + 2) − 2 − 6 + 18 ⇒ ( ) = 3(4 − 4 ). ( − 2 + 2) − 12 − 24 + 36 Cho ( ) = 0 ⇔ 3(4 − 4 ). ( − 2 + 2) − 12 − 24 + 36 = 0 ⇔ 3(4 − 4 ). ( − 2 + 2) − (12 + 24 − 36 ) = 0 ⇔ 3(4 − 4 ). [ ( − 2 + 2) − ( + 3)] = 0 = 0 4 − 4 = 0 ⇔ = ±1 ( ⇔ − 2 + 2) − ( + 3) = 0 ( − 2 + 2) = + 3 Nhận thấy: − 2 + 2 = ( − 1) + 1 ≥ 1, ∀ ∈ ℝ
Kết hợp với đồ thị hàm số = ( ) suy ra ( − 2 + 2) ≤ 0, ∀ ∈ ℝ Mặt khác + 3 > 0, ∀ ∈ ℝ Do đó ( − 2 + 2) = + 3 ⇔ ( − 2 + 2) − ( + 3) < 0, ∀ ∈ ℝ ⇒ phương trình ( − 2 + 2) = + 3 vô nghiệm = 0 Vậy phương trình ( ) = 0 ⇔ = ±1
Ta có bảng biến thiên của hàm số = ( )
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 56
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020 Từ BBT ⇒ =
( ) có 2 điểm cực đại.
Câu 22: Cho hàm số = ( ) có đạo hàm liên tục trên ℝ và bảng biến thiên x – ∞ – 2 2 + ∞ – 0 + 0 – f '(x) Hàm số ( ) = 15 (− + 4 − 6) + 10 − 15 − 60 đạt cực tiểu tại < 0. Chọn mệnh đề đúng? A. ∈ − ; −2 . B. ∈ −2; − . C. ∈ − ; −1 . D. ∈ (−1; 0). Lời giải Chọn C Ta có ( ) = 60(− + 2 ) ′(− + 4 − 6) + 60( − − 2 ) = 60[(− + 2 ) ′(− + 4 − 6) + ( + 1)( − 2 )] = 60(− + 2 )[ ′(− + 4 − 6) − ( + 1)] ′( ) = 0 ⇔ 60(− + 2 )[ ′(− + 4 − 6) − ( + 1)] = 0 = 0 ⎡ = √2 ⇔ ⎢ ⎢ = −√2 ⎣ ′(− + 4 − 6) − ( + 1) = 0 − + 4 − 6 = −2 − ( − 4 + 4) = −2 − ( − 2) ≤ −2 ⇒ ′(− + 4 − 6) ≤ 0 Mà −( + 1) < 0 ⇒ ′(− + 4 − 6) − (
+ 1) < 0 ∀ ∈ ℝ nên phương trình ′(− + 4 − 6) − ( + 1) = 0 vô nghiệm.
Ta có BBT của ′( ) như sau x – ∞ – 2 2 0 + ∞ – 0 g '(x) + 0 – 0 + g x)
Hàm số ( ) đạt cực tiểu tại
< 0 nên suy ra hàm số ( ) đạt cực tiểu tại = −√2. ⇒ ∈ − ; −1 .
Câu 23: Cho hàm số = ( ) có bảng biến thiên
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 57
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
Số điểm cực đại và cực tiểu của hàm số =
(2 ) − 2 (2 ) + 1 lần lượt là A. 2; 3. B. 3; 2. C. 1; 1. D. 2; 2. Lời giải Chọn A Ta có = 2 (2 ).
(2 ). 2 − 4 (2 ) = 4 (2 )[ (2 ) − 1] 2 = −1 ⎡2 = 2 (2 ) = 0 ⎢ = 0 ⇔ ⇔ 2 = ∈ (−∞; −1) (2 ) = 1 ⎢ ⎢2 = ∈ (−1; 2) ⎣2 = ∈ (2; +∞)
Ta có bảng xét dấu đạo hàm của hàm số = (2 ) − 2 (2 ) + 1
Ta thấy có ba lần đổi dấu từ âm sang dương, hai lần đổi dấu từ dương sang âm. Vậy hàm số = ( ) − (
) + có hai điểm cực đại và ba điểm cực tiểu.
Câu 24: Cho hàm số = ( ) có bảng biến thiên như sau Hàm số ( ) = 2 ( ) + 4
( ) + 1 có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực tiểu? A. 4 B. 9 C. 5 D. 7 Lời giải Chọn C Ta có ( ) = 6 ( ). ( ) + 8 ( ). ( ) = 0 ( ) = 0 ( ) = 0 ⇔ 4 ( ) = − 3
Dựa vào bảng biến thiên ta có: = = 0 = ( ) = = 0 ⇔ , ( ) = 0 ⇔ , ( ) = − ⇔ = ±1 = = =
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 58
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020 thỏa mãn: < < −1 < < 0 < < 1 < <
Khi đó để có nhiều điểm cực tiếu nhất thì xét dấu của ( ) có dạng:
Do đó hàm số có nhiều nhất điểm cực tiểu.
Câu 25: Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ.
Tìm số điểm cực trị của hàm số F x 4  f x 2 3
 2 f x  5 . A. 6 . B. 3 . C. 5 . D. 7 . Lời giải Chọn D F x 4  f x 2 
f x    F x 3 3 2 5 '
 12 f xf ' x  4 f xf ' x
F x  f xf x  2 ' 4 '
3 f x   1
F ' x  0  f xf ' x  0
f x  0
F ' x  0  
f ' x  0 
Đồ thị hàm số f x cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt suy ra phương trình f x  0 có 4 nghiệm phân
biệt x , x , x , x . 1 2 3 4
Từ đồ thị hàm số f x suy ra hàm số f x có 3điểm cực trị phân biệt x , x , x suy ra f ' x  0có 3 5 6 7
nghiệm phân biệt x , x , x lần lượt khác các giá trị x , x , x , x . 5 6 7 1 2 3 4
Từ, suy ra phương trình F ' x  0 có 7 nghiệm đơn.
Vậy hàm số F x có 7 điểm cực trị.
Câu 26: Cho hàm số bậc ba = ( )liên tục trên ℝvà có đồ thị như hình vẽ.
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 59
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
Số điểm cực trị của hàm số = 2 ( ) trên đoạn ; . A. 1. B. 0. C. 2. D. 3. Lời giải Chọn A
Hàm số bậc ba = ( )có dạng   3 2
f x ax bx cx d ( ≠ 0).
Đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ nên = 0.
Mặt khác đồ thị hàm số đi qua các điểm (−1; 2), (1; −2), (2; 2)nên ta có hệ phương trình: − + − = 2 = 1 + + = −2 ⇔ = 0 . 4 + 2 + = 1 = −3 Do đó ( ) = − 3 . Đặt = , ∈ ; ⇒ ∈ [−1; 0] ⇒ ( ) = ( ) = − 3 với ∈ [−1; 0]. Ta có ( ) = 3
− 3 < 0; ∀ ∈ [−1; 0] ⇒ ( )nghịch biến trên [−1; 0]
Suy ra 2 ( ) ∈ [2 (0); 2 (−1)]hay 2 ( ) ∈ [0; 4]. Đặt = 2 ( ) ⇒ ∈ [0; 2] ⇒ = ( ) = − 3 với ∈ [0; 2]. Ta có ( ) = 3 − 3 ⇒ ( ) = 0 ⇔ = 1 ∈ [0; 2].
Bảng biến thiên của ( )
Dựa vào bảng biến thiên suy ra hàm số ( )có 1điểm cực trị trên đoạn [0; 2]hay hàm số = 2 (
) có 1điểm cực trị trên đoạn ; .
Câu 27: Cho hàm số ( ) có bảng xét dấu của đạo hàm như sau: Đặt ( ) = ( ) +
. Khẳng định nào sau đây sai? A. Hàm số =
( ) đạt cực đại tại = 0.
B. Hàm số = ( ) đồng biến trên khoảng (−1; 1). C. Hàm số =
( ) nghịch biến trên khoảng (0; 1).
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 60
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
D. (−3) − (−2) < 0. Lời giải Chọn B Ta có ( ) = 2 ( ) + (3 − 6 ). = 2 ( ) + (3 − 6) ( ) = 0 ⇔ ∈ {1; 4} ⇔ ∈ {±1; ±2} (3 − 6) = 0 ⇔ = 2. Ta có bảng xét dấu: (kxđ: không xác định)
Dựa vào bảng xét dấu, ta chọn . Câu 28: Cho hàm số = ( ), hàm số =
( )có đồ thị như hình vẽ. Hàm số ( ) = 2 + (
) + 3có bao nhiêu điểm cực trị trên khoảng (0; 2 )? A. 9. B. 7. C. 6. D. 8. Lời giải Chọn B Ta có ( ) = 2 + + 3
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 61
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020 5 5 − 1 5 − 1 ( ) = 2 + 2. = 0 2 2 2 = 0 ⇔ 5 − 1 5 − 1 2 + 2. = 0 2 2 Đặt = vì ∈ (0; 2 ) ⇒ ∈ [−3; 2] = 1 ⎡ = Khi đó: 2 + 2. = 0thành ( ) = − ⇔ ⎢ ⎢ = −1 ⎣ = −3 = ∈ (0; 2 ) Với = 1 ⇒ = 1 ⇔ = ⇔ . = ∈ (0; 2 ) = ∈ (0; 2 ) Với = ⇒ = ⇔ = ⇔ . = ∈ (0; 2 ) = ∈ (0; 2 ) Với = −1 ⇒ = −1 ⇔ = − ⇔ . = ∈ (0; 2 ) Với = −3 ⇒ = −3 ⇔ = −1 ⇔ = ∈ (0; 2 ). = ∈ (0; 2 ) = 0 ⇔ . = ∈ (0; 2 ) Vì =
là nghiệm kép nên không là điểm cực trị của hàm số = ( ). Vậy hàm số =
( )có 7điểm cực trị trên khoảng (0; 2 ).
Dạng 5: Cực trị hàm hợp f(u), g(f(x)),hàm liên kết…có tham số
Câu 38: Cho hàm số = ( ) liên tục trên ℝ
và có bảng xét dấu đạo hàm như sau
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số ( ) = ( + ) đồng biến trên khoảng (0; 2). A. 3. B. 4. C. 2. D. 1. Lời giải Chọn A
Từ giả thiết suy ra hàm số = ( ) đồng biến trên các khoảng (−1; 1), (1; 3) và liên tục tại = 1nên
đồng biến trên (−1; 3). Ta có ( ) = ( + ) và ∈ (0; 2) ⇔ + ∈ ( ; + 2). ( ) ≥ −1
đồng biến trên khoảng (0; 2) ⇔ ( ; 2 + ) ⊂ (−1; 3) ⇔ ⇔ −1 ≤ ≤ 1. 2 + ≤ 3 Vì
∈ ℤ nên có 3 giá trị là = −1; = 0; = 1.
Câu 44: Cho = ( ) là hàm số bậc ba và có bảng biến thiên như hình vẽ
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 62
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
Có bao nhiêu giá trị nguyên
∈ (−5; 5) để hàm số ( ) = ( ( ) + ) có 4 điểm cực trị? A. 5. B. 6. C. 7. D. 8. Lời giải Chọn B ( ) = ( ). ( ( ) + ). ( ) = 0 ( ) = 0 ⇔ ( ( ) + ) = 0 = −2 = −2 = 2 = 2 ⇔ ( ) + = −2 ⇔
( ) + 2 = − , trong đó = −2 và = 2 là hai nghiệm bội lẻ. ( ) + = 2 ( ) − 2 = −
Đặt ( ) = ( ) + 2 và ( ) = ( ) − 2, ta có đồ thị sau ∈ (−5; 5) Với
và nhìn vào đồ thị, ta thấy hàm số ( ) có 4 điểm cực trị  ( ) = 0 có 4 nghiệm ∈ ℤ bội lẻ⇔
∈ {−4; −3; −1; 1; 3; 4}..
Câu 29: Cho hàm số = ( )có đồ thị =
( )như hình vẽ và ( ) < 0∀ ∈ (−∞; −3,4) ∪ (9; +∞). Đặt ( ) = ( ) − + 5với
∈ ℕ. Có bao nhiêu giá trị của để hàm số = ( )có đúng hai điểm cực trị?
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 63
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020 A. 8. B. 11. C. 9. D. 10. Lời giải Chọn C Ta có ( ) = ( ) − . Suy rA. ( ) = 0 ⇔ ( ) = .
Do đó: Số nghiệm của phương trình
( ) = 0tương đương với số giao điểm của đồ thị hàm số ( )và đường thẳng = . Nhận xét: Hàm số
= ( )có đúng hai điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình ( ) = 0có số nghiệm
lớn hơn bằng 2, trong đó có đúng 2nghiệm đơn. ≤ 5
Dựa vào đồ thị và các lập luận trên, suy ra , 10 ≤ < 13 mà ∈ ℕnên
∈ {0; 1; 2; 3; 4; 5; 10; 11; 12}.
Vậy có 9giá trị thỏa mãn. Câu 30: Cho hàm số
= ( ) có đồ thị hàm số =
( ) (như hình vẽ). Gọi là tập tất cả các giá trị
nguyên của tham số thuộc khoảng (−5; 5) sao cho hàm số = ( ) − + 2020 có đúng
một điểm cực trị. Tổng các phần tử của bằng A. −5.−3. B. 2. C. −1. D. Lời giải Chọn B Ta có = ( ) − ; = 0 ⇔ ( ) − = 0 ⇔ ( ) = (1).
Hàm số có đúng một điểm cực trị khi phương trình (1) có nghiệm duy nhất hoặc có hai nghiệm trong đó ≤ −1 có 1 nghiệm kép ⇒ ≥ 3 Vì ∈ (−5; 5) ⇒ ∈ −5; −1 ∪ 3; 5).
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 64
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020 Mặt khác nguyên nên
∈ {−4; −3; −2; −1; 3; 4} ⇒
= {−4; −3; −2; −1; 3; 4}.
Tổng các phần tử của bằng: −4 − 3 − 2 − 1 + 3 + 4 = −3.
Câu 31: Cho hàm số = ( ) = | − 1| + | − 5| + | − 8|. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
∈ [−23; 23] để hàm số = (| | + ) có ba điểm cực trị? A. 46. B. 27. C. 19. D. 28. Lời giải Chọn D
+ Xét hàm số = ( ) = | − 1| + | − 5| + | − 8| có bảng biến thiên kép như hình vẽ:
+ Hàm số ( ) có điểm cực trị là = 5 → hàm số ( +
) có một điểm cực trị là: = (5 − ). + Hàm số (| | +
) có 3 điểm cực trị thì hàm số: ( +
) phải có một điểm cực trị dương + Suy ra: 5 − > 0 ⇔ < 5 ⇒ −23 ≤
≤ 4 ⇒ có 28 giá trị nguyên của thỏa mãn.
Câu 34: Cho hàm số = ( ) có đồ thị là một đường parabol như hình vẽ bên dưới. Gọi là tập chứa tất
cả các giá trị thực của tham số để hàm số = 3 . ( ( ) +
) có hai điểm cực trị. Tập là A. −∞; . B. −2; . C. ; +∞ . D. (0; +∞). Lời giải Chọn A
Từ đồ thị hàm số ta thấy parabol có dạng: = ( ) = +
+ v à đi qua các điểm (0; 2); (1; 0); (3; 0). = 2 = Ta có hệ phương trình: + + = 0 ⇔ = − ⇒ ( ) = − + 2 9 + 3 + = 0 = 2 Suy ra hàm số = 3 . ( ( ) + ) = 3 − + 2 + = 2 − 8 + 3( + 2) ′ = 6 − 16 + 3( + 2) ′ = 0 ⇔ 6 − 16 + 3(
+ 2) = 0 có 2 nghiệm phân biệt ⇔ (−8) − 3.6( + 2) > 0 ⇔ < . Câu 36: Cho hàm số = ( ). Hàm số =
( ) có đồ thị như hình bên. Tìm để hàm số = ( + ) có 3 điểm cực trị?
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 65
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020 y 0 1 2 3 x 2 A. ∈ [0; 3]. B. ∈ 0; 3). C. ∈ (3; +∞). D. ∈ (−∞; 0). Lời giải Chọn B = 0 Ta có: ( ) = 0 ⇔
= 1 và ( ) không đổi dấu khi qua 1 hay 1 là nghiệm bội chẵn. = 3 = [ ( + )] = ( + ). 2 + = 0 = − ( + = 1( ) = 0 ⇔ + ) = 0 ⇔ ⇔ = 3 − . = 0 + = 3 = 0 = 0 Hàm số = ( +
) có 3 điểm cực trị 
= 0 có 3 nghiệm phân biệt và đổi dấu khi qua ba nghiệm đó ⇔ ∈ 0; 3).
Câu 39: Cho hàm số ( )xác định, liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ: Để hàm số = ( +
+ 1), với , ≠ 0có năm cực trị thì điều kiện cần và đủ là A. 4 < ≤ 8 . B. ≤ 4 . C. 4 ≤ < 8 . D. ≥ 8 . Lời giải Chọn A Ta có: ′ = (2 + ). ′( + + 1); ⎡ = − 2 ⎡ = − ⎢ = 0 2 + = 0 ⎢ 2 ⎢ ′ = 0 ⇔ ⇔ ⇔ ′( + + 1) = 0 ⎢ + + 1 = 0 ⎢ = − ⎢ + + 1 = −1 ⎢ ⎣ + + 1 = 1 ⎢ + + 1 = 0(1) ⎣ + + 2 = 0(2) Để hàm số = ( +
+ 1), với , ≠ 0có năm cực trị thì điều kiện cần và đủ là phương trình ′ = 0có 5 nghiệm đơn phân biệt
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 66
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
TH1: (1) có 2 nghiệm phân biệt ∉ −
; − ; 0 , phương trình (2) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép. ⇔ − 4 > 0 ⇔ 4 < ≤ 8 − 8 ≤ 0
TH2: (2) có 2 nghiệm phân biệt ∉ −
; − ; 0 , phương trình (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép. ⇔ − 4 ≤ 0 ⇔ 8 < ≤ 4 vô lý. − 8 > 0 Câu 41: Cho hàm số
= ( ), trong đó ( ) là một đa thức. Hàm số =
( ) có đồ thị như hình vẽ sau:
Hỏi có nhiêu giá trị nguyên của thuộc (−5; 5) để hàm số = ( ) = ( − 2| | + ) có 9 điểm cực trị? A. 2. B. 3. C. 4. D. 1. Lời giải Chọn B Ta có hàm =
( ) là hàm số chẵn nên đồ thị đối xứng qua trục . Xét ≥ 0, = ( ) = ( − 2 + ), = ( ) = (2 − 2) ( − 2 + ). = 1(nghieäm®¬n) ⎡ ⎢ − 2 + = −2(nghieäm®¬n) ( ) = 0 ⇔ (2 − 2) ( − 2 + ) = 0 ⇔ ⎢ − 2 + = −1(nghieäm®¬n) ⇔ ⎢ ⎢ − 2 + = 1(nghieäm®¬n) ⎣ − 2 + = 2( ℎ ä ä ℎ ü ) = 1(nghieäm®¬n) ⎡ ⎢( − 1) = −1 − (nghieäm®¬n)
⎢( − 1) = − (nghieäm®¬n) . ⎢ ⎢( − 1) = 2 − (nghieäm®¬n) ⎣( − 1) = 3 − ( ℎ ä ä ℎ ü )
Để hàm số có 9 cực trị thì hàm số = ( ) có 4 điểm cực trị trên miền > 0 ⇔ ( ) có 4 nghiệm đơn −1 − > 0 < −1 dương − > 0 ⇔ < 0 ⇔ < −1, kết hợp ∈ ℤ, ∈ (−5; 5) nên ∈ {−4; −3; −2}. 2 − > 0 < 2
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 67
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
Câu 42: Cho hàm số đa thức bậc bốn = ( ), biết hàm số có ba điểm cực trị = −3, = 3, = 5. Có
tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số sao cho hàm số ( ) = − có đúng 7 điểm cực trị A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 Lời giải Chọn D Ta có ( ) = (3 + 6 ) . − ( ) = 0 ⇔ (3 + 6 ) . − = 0 = 0 = 0 ⎡ ⎡ = −2 = −2 ⎢ ⎢ ⇔ = − 3, (1) ⎢ − = −3 ⇔ ⎢ . ⎢ ⎢ − = 3 ⎢ = + 3, (2) ⎣ − = 5 ⎣ = + 5, (3)
Hàm số ( ) có 7 điểm cực trị khi và chỉ khi tổng số nghiệm đơn và bội lẻ, khác 0 và −2 của các phương trình (1), (2), (3) là 5. Xét hàm số ℎ( ) = có ℎ ( ) = (3 + 6 ) . = 0 Ta có ℎ ( ) = 0 ⇔ . = −2 Bảng biến thiên:
Khi đó có 3 trường hợp sau: Trường hợp 1: + 3 ≥ ≥ − 3 ≈ 51,6 Khi đó: ⇔ 1 < − 3 < 4 < < + 3 ≈ 57,6 Do nguyên nên ∈ {52; 53; 54; 55; 56; 57}. Trường hợp 2:
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 68
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020 + 5 ≥ > − 5 ≈ 49,6 Khi đó: 1 < + 3 < ⇔ −2 < < − 3 ⇔ ∈ ∅. 0 < − 3 ≤ 1 3 < ≤ 4 Trường hợp 3: 1 < + 5 < −4 < < − 5 ≈ 49,6 Khi đó: + 3 ≤ 1 ⇔ ≤ −2 ⇔ ∈ ∅. − 3 > 0 > 3
Vậy có 6 giá trị nguyên của tham số thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 46: Cho hàm số = ( ) = + + + + có đồ thị = ( ) như hình vẽ và (0) = 0.
Tìm tất cả các giá trị của tham số để hàm số =
( ) − ( ) có đúng 11 điểm cực trị ? A. ∈ (0; 1). B. ∈ 1 − √2; 1 + √2 . ∈ 1 − √2; 1 + √2 C. . D. ∈ (0; 2). ∉ {0; 1; 2} Lời giải Chọn C +) ( ) = 4 ( − 1)( − 2) = 4 − 12 + 8 ⇒ ( ) = − 4 + 4 + . +) Do (0) = 0 ⇒ = 0 suy ra ( ) = − 4 + 4 .
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 69
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020 = 1 ( ) = 1 ⇔ − 4 + 4 − 1 = 0 ⇔ = 1 − √2. = 1 + √2 +) Bảng biến thiên Đặt ( ) = ( ) − ( ) ⇒ ( ) = ( ) − ( ) . ( ) = 0 ⎡ = 1 ( ) = 0 ⎢ = 2 ( ) = 0 ⇔ ⇔ ⎢ ( ) − ( ) = 0 ⎢ ( ) = ( )(1) ⎢ ( ) = ( ) + 1(2) ⎣ ( ) = ( ) + 2(3)
Dựa vào bảng biến thiên, ta suy ra ( ) ≥ 0, ∀ ∈ ℝ nên ta xét các trường hợp
* Trường hợp 1: ( ) = 0, khi đó
Phương trình (1) cho 2 nghiệm kép = 0; = 2.
Phương trình (2) cho 3 nghiệm: = 1 là nghiệm kép và 2 nghiệm đơn , ∉ 1 − √2; 1 + √2 .
Phương trình (3) cho 2 nghiệm đơn , ∉ 1 − √2; 1 + √2 . Suy ra hàm số =
( ) có tất cả 7 điểm cực trị là ∈ {0; 1; 2; ; ; ; } (loại).
* Trường hợp 2: ( ) > 0, khi đó phương trình (2) và (3) luôn cho 4 nghiệm không thuộc khoảng 1 − √2; 1 + √2 . Vậy hàm số =
( ) có 11 điểm cực trị ⇔ phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt ⇔ 0 < ( ) < 1. ∈ 1 − √2; 1 + √2
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số = ( ) ta có: 0 < ( ) < 1 ⇔ . ∉ {0; 1; 2} ∈ 1 − √2; 1 + √2 Vậy . ∉ {0; 1; 2}
Câu 48: Cho hàm số ( ) có đạo hàm liên tục trên ℝ và đồ thị hàm số ( ) như hình vẽ. Có bao nhiêu số nguyên để hàm số = ( +
) có đúng 3 điểm cực trị? A. 2. B. Vô số. C. 4 D. 3. Lời giải Chọn D
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 70
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020 = 2 . ( + ). = 0 = 0 = 0 + = 0 = − = 0 ⇔ ( ⇔ ⇔ + ) = 0 . + = 1 + = 1 + = 3 = − + 3 Đồ thị hàm số
( ) tiếp xúc với trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 1. Do đó hoặc phương trình +
= 1 vô nghiệm hoặc nghiệm của phương trình +
= 1 là nghiệm bội chẵn của phương trình = 0. − ≠ 0 ≠ 0 Nếu ⇔
thì = 0 là nghiệm đơn của phương trình = 0. − + 3 ≠ 0 ≠ 3 − = 0 = 0 Nếu ⇔
thì nghiệm = 0 là nghiệm bội ba của phương trình = 0. − + 3 = 0 = 3
Suy ra = 0 là một điểm cực trị của hàm số = ( + ), ∀ . Xét các phương trình: = − (1) và = − + 3 (2).
Nhận xét: Phương trình (1) và (2) không có nghiệm chung; − < − + 3, ∀ Minh họa đồ thị Xét −
> 0 thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt ; và phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt ;
. Khi đó đổi dấu 5 lần qua các nghiệm ; ; ; và 0 nên hàm số = ( + ) có 5 điểm cực trị. Xét −
+ 3 ≤ 0 thì phương trình (1) vô nghiệm; phương trình (2) hoặc vô nghiệm hoặc có nghiệm kép = 0. Khi đó hàm số = ( + ) có 1 điểm cực trị. − ≤ 0 ≥ 0 Xét ⇔ ⇔ 0 ≤
< 3. Khi đó phương trình (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép = − + 3 > 0 < 3
0; phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 0. Suy ra hàm số = ( + ) có 3 điểm cực trị. Do đó, để hàm số = ( +
) có 3 điểm cực trị thì 0 ≤ < 3.
Mặt khác nguyên nên ∈ {0; 1; 2}.
Vậy có 3 giá trị nguyên của để hàm số có đúng 3 điểm cực trị.
Câu 129. Cho hàm số ( ) có đạo hàm ′( ) = ( + 1) (
− 4 ). Có bao nhiêu giá trị nguyên dương
của tham số thực để hàm số ( ) = (2 − 12 +
) có đúng 5 điểm cực trị? A. 18. B. 17. C. 19. D. 16. Lời giải Chọn B
Từ giả thiết ta có ′( ) = 0 ⇔ ( + 1) ( − 4 ) = 0 = 0 ⇔ = −1 . = 4
Ta có ′( ) = (4 − 12) ′(2 − 12 + ) nên:
′( ) = 0 ⇔ (4 − 12) ′(2 − 12 + ) = 0
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 71
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020 = 3 = 3 2 − 12 + = −1 2 − 12 + = −1 ⇔ ⇔ . 2 − 12 + = 0 ℎ( ) = 2 − 12 + = 0 (1) 2 − 12 + = 4 ( ) = 2 − 12 + − 4 = 0 (2)
Ta có ( ) có đúng 5 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình ′( ) = 0 có đúng 5 nghiệm đơn hoặc bội
lẻ. Điều này xảy ra khi PT và PT đều có 2 nghiệm phân biệt khác 3. Điều kiện này tương đương với: ′ > 0 ⎧ 36 − 2 > 0 < 18 ′ > 0 36 − 2( − 4) > 0 < 22 ⇔ ⇔ ⇔ < 18. ⎨ (3) ≠ 0 − 18 ≠ 0 ≠ 18 ⎩ℎ(3) ≠ 0 − 22 ≠ 0 ≠ 22
Vậy có 17 giá trị nguyên dương của tham số thực thỏa mãn đề bài.
Câu 35: Cho hàm số = ( )có đạo hàm ( ) = ( + 1) ( − 3) ( + ). Có bao nhiêu giá trị
nguyên của để hàm số = (2 + 1)có đúng 1 điểm cực trị? A. 2. B. 3. C. 1. D. 4. Lời giải Chọn A Ta có ( ) = ( + 1) ( − 3) ( + ) = ( ) = ( + 1) ( − 3) ( + ).
′ = 2 ′(2 + 1) = 2(2 + 1) (2 + 2) (2 − 2) (2 + 1 + ) (2 + 1) = 0 (1) ⎡(2 + 2) = 0 (2) = 0 ⇔ ⎢ . ⎢(2 − 2) = 0 (3) ⎣2 + 1 + = 0 (4)
Phương trình (1)có 1 nghiệm bội lẻ = − .
Phương trình (2)có 1 nghiệm bội chẵn = −1.
Phương trình (3)có 1 nghiệm bội lẻ = 1.
Số điểm cực trị của hàm số là số nghiệm bội lẻ của phương trình
= 0. Do đó, hàm số có 1 điểm cực trị = 0
khi và chỉ khi phương trình (4)có nghiệm = 1hoặc = − ⇔ . = −3
Câu 37: Cho hàm số = ( ) liên tục trên ℝvà có ( ) = ( − 2) (
+ 3 − 4). Gọi S là tập các số nguyên
∈ [−10; 10]để hàm số = ( − 4 +
) có đúng 3 điểm cực trị. Số phần tử của S bằng A. 10. B. 5. C. 14. D. 4. Lời giải: Chọn B ( − 2) = 0 Ta có: ( ) = 0 ⇔ + 3 − 4 = 0 Đặt = ( ) = ( − 4 + ) ( ) = (2 − 4) ( − 4 + ) = 2 ⎡ 2 − 4 = 0 ( − 4 + − 2) = 0 ( ) = 0 ⇔ ⇔ ⎢ ( − 4 + ) = 0 ⎢ℎ ( ) = − 4 + − 1 = 0(1) ⎣ℎ ( ) = − 4 + + 4 = 0(2)
Hàm số có 3 cực trị khi một trong 2 phương trình và có 2 nghiêm phân biệt khác 2 và phương trình có lại
có 1 nghiệm hoặc vô nghiệm.
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 72
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020  1 h (2)  0   1   0    0 ≤ < 5  2  0   ≥ 3 ⇔ 0 ≤ < 5  2 h (2)  0 < 0   1   0     2  0 mà ∈ [−10; 10] do đó
∈ {0; 1; 2; 3; 4} có 5 phần tử.
Câu 49: Cho hàm số = ( ) có đạo hàm ( ) = ( − 1) (
− 2 ) với ∀ ∈ ℝ. Có bao nhiêu giá trị
nguyên dương của tham số để hàm số ( ) = ( − 8 + ) có 5 điểm cực trị? A. 17. B. 18. C. 16. D. 15. Lời giải Chọn D Ta có ( ) = (2 − 8). ( − 8 + ). Vì ( ) = ( − 1) ( − 2 ) nên ( ) = (2 − 8)( − 8 + − 1) ( − 8 + )( − 8 + − 2). = 4 − 8 + − 1 = 0(1) ( ) = 0 ⇔ − 8 + = 0(2) . − 8 + − 2 = 0(3)
Các phương trình (1), (2), (3) không có nghiệm chung từng đôi một và ( − 8 + − 1) ≥ 0 với ∀ ∈ ℝ.
Suy ra ( ) có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi mỗi phương trình (2) và (3) có hai nghiệm phân biệt khác 4 = 16 − > 0 < 16 < 18 ⇔ = 16 − + 2 > 0 ⇔ ⇔ < 16. 16 − 32 + ≠ 0 ≠ 16 16 − 32 + − 2 ≠ 0 ≠ 18 Vì nguyên dương và
< 16 nên có 15 giá trị thỏa mãn. Câu 50: Cho hàm số
= ( ) có đạo hàm ( ) = ( − 1) (
− 2 ), với ∀ ∈ ℝ. Số giá trị nguyên
của tham số để hàm số ( ) = ( − 3 +
) có 8 điểm cực trị là A. 2. B. 3. C. 1. D. 4. Lời giải Chọn C Ta có ( ) = (3 − 6 ). ( − 3 + ). = 0 3 − 6 = 0 ⎡ = 2 ⎢ ( ) = 0 ⇔ − 3 + = 1 ⇔ − 3 + = 1. − 3 + = 0 ⎢ ⎢ − 3 + = 0 − 3 + = 2 ⎣ − 3 + = 2
Vì khi đi qua các nghiệm của phương trình − 3 + = 1 (nếu có) dấu của ( − 3 + ) không
đổi nên dấu của ( ) chỉ phụ thuộc các nghiệm của hai phương trình còn lại. Vậy hàm số =
( ) có 8 điểm cực trị khi và chỉ khi mỗi phương trình − 3 + = 0 và − 3 +
= 2 phải có ba nghiệm phân biệt (khác 0 và khác 2). = 0 Xét hàm số ℎ( ) = − + 3 , ta có ℎ ( ) = −3 + 6 ; ℎ ( ) = 0 ⇔ . = 2
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 73
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
Bảng biến thiên của hàm số = ℎ( )
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy điều kiện để mỗi phương trình − + 3 = và − + 3 = − 2
phải có ba nghiệm phân biệt (khác 0 và khác 2) là 0 < − 2 < < 4 ⇔ 2 < < 4.
Vậy chỉ có một giá trị nguyên của thỏa mãn là = 3.
Câu 51: Cho hàm số ( )có đạo hàm ( ) = ( + 1) (
− 4 ).Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của
tham số để hàm số ( ) = (2 − 12 +
)có đúng 5 điểm cực trị ? A. 18. B. 17. C. 16. D. 19. Lời giải. Chọn B Ta có: = −1 ( ) = 0 ⇔ ( + 1) ( − 4 ) = 0 ⇔
= 0 , trong đó = −1là nghiệm kép. = 4 ( ) = (2 − 12 + ) ⇒ ( ) = (4 − 12) (2 − 12 + ) Xét ( ) = 0 ⇔ (4 − 12) (2 − 12 + ) = 0(*) = 3 = 3 2 − 12 + = −1 2 − 12 + = −1( ) ⇔ ⇔ 2 − 12 + = 0 2 − 12 = − (1) 2 − 12 + = 4 2 − 12 = 4 − (2)
(Điểm cực trị của hàm số ( )là nghiệm bội lẻ của phương trình (*) nên ta loại phương trình 2 − 12 + = −1) Xét hàm số = 2 − 12 có đồ thị (C). ′ = 4 − 12 Ta có bảng biến thiên
Để ( )có đúng 5 điểm cực trị thì mỗi phương trình (1); (2)đều có hai nghiệm phân biệt khác 3.
Do đó, mỗi đường thẳng = 4 −
và = − phải cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ khác
3. Nhận xét: đường thẳng = 4 −
luôn nằm trên đường thẳng = − . Ta có: −18 < − ⇔
< 18. Vậy có 17giá trị nguyên dương.
Câu 52: Cho hàm số y f x xác định trên R và hàm số y f ' x có đồ thị như hình bên dưới và
f ' x  0 với mọi x  ;3, 4  9;   . Đặt g x  f x  mx  5. Có bao nhiêu giá trị
dương của tham số m để hàm số g x có đúng hai điểm cực trị?
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 74
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020 A. 4. B. 7. C. 8. D. 9. Lời giải Chọn C
Ta có g x  f  x  m ; g x  0  f  x  m  0  f  x  m . Để hàm số y g x có đúng hai m  5
điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình g x  0 có hai nghiệm bội lẻ phân biệt  . 10  m 13  Khi đó
∈ {1,2,3,4,5,10,11,12}. Vậy có 8 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu đề bài. Câu 43: Cho hàm số = ( ) có đạo hàm ( ) = + √12 − (3 +
− 24) ∀ ∈ ℝ. Biết rằng
hàm số không có điểm cực trị nào và , là hai số thực không âm thỏa mãn 3 − ≤ 6. Tìm
giá trị lớn nhất của biểu thức = 2 + . A. 8. B. 9. C. 11. D. 10. Lời giải Chọn B
Vì ( ) là tam thức bậc hai có hệ số = 1 > 0 nên ( ) không có điểm cực trị nào ⇔ ( ) ≥ 0∀ ∈ ℝ ⇔ ≤ 0 ⇔ 12 + (3 + − 24) ≤ 0 ⇔ 3 + ≤ 12. m  0  n  0
⇒ , là hai số thực thỏa mãn hệ bất phương trình:  ( ). 3m n  12 
3n m  6 
Biểu diễn miền nghiệm của ( ) trong mặt phẳng tọa độ
, ta được hình tứ giác với (0; 2), (3; 3), (4; 0) dưới đây: Đặt ( ; ) = 2
+ , ta biết rằng ( ; ) có GTLN và giá trị ấy đạt được tại 1 trong 4 đỉnh của tứ giác
. Mà (0; 0) = 0, (0; 2) = 2, (3; 3) = 9, (4; 0) = 8. Vậy ( ; ) = (3; 3) = 9.
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 75
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
Câu 53: Cho hàm số = ( )có đạo hàm ( ) = ( − )(
− 4 + 3), ∀ ∈ ℝ. Tính tổng tất cả các
giá trị nguyên của tham số m để hàm số ( ) = ( + ) có 3 cực trị. A. 0. B. 6. C. 3. D. 2. Lời giải Chọn C = 0
Ta có ( ) = ( − 1) ( − 3) = 0 ⇔ = 1. = 3 = 0 = 0 = 0 + = 0 = − (1) Lại có ( ) = 2 . ( + ) = 0 ⇔ ( ⇔ ⇔ + ) = 0 . + = 1 = 1 − (2) + = 3 = 3 − (3)
Do (2)có nghiệm luôn là nghiệm bội chẵn; các phương trình (1),(3) có nghiệm không chung nhau và − < 3 − nên: 3 − > 0
Hàm số ( )có 3 cực trị ⇔
( ) = 0có 3 nghiệm bội lẻ⇔ ⇔ 0 ≤ < 3. − ≤ 0 Vì ∈ ℤ ⇒
∈ {0; 1; 2}. Vậy tổng các giá trị nguyên bằng 3.
Câu 55: Cho hàm số = ( ). Hàm số =
( ) có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số = ( − ) có ba điểm cực trị? A. 4. B. 2. C. 3. D. 1. Lời giải Chọn A Cách 1: Ta có = 2 . ( − ). = 0 = 0 = 0 − = 0 = = 0 ⇔ ( − ) = 0 ⇔ ⇔ . − = 2 = + 2 − = 4 = + 4 Từ đồ thị ta thấy ( − ) > 0 ⇔ 0 < − < 4 ⇔ < < + 4. ( − ) < 0 ⇔ − < 0 ⇔ < . − > 4 > + 4 TH1: Với ≤ −4. = 2 . ( − ) = 0 ⇔ = 0. Suy ra hàm số = ( −
) không thể có ba cực trị.
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 76
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020 TH2: Với −4 < ≤ −2. = 0 = 2 . ( − ) = 0 ⇔ . = ±√ + 4 Bảng xét dấu của = 2 . ( − )
Từ bảng trên suy ra hàm số có 3 cực trị. TH3: Với −2 < ≤ 0. = 0 = 2 . ( − ) = 0 ⇔ = ±√ + 2. = ±√ + 4 Bảng xét dấu của = 2 . ( − )
Từ bảng trên suy ra hàm số có 3 cực trị. TH4: Với > 0. = 0 ⎡ = ±√ = 2 . ( − ) = 0 ⇔ ⎢ . ⎢ = ±√ + 2 ⎣ = ±√ + 4 Bảng xét dấu của = 2 . ( − ).
Từ bảng trên suy ra hàm số có 5 cực trị.
Từ các trường hợp trên, hàm số = ( − ) có ba cực trị khi ∈ −4; 0. Vì ∈ ℤ nên ∈ {−3; −2; −1; 0}. Cách 2: Ta có = 2 . ( − ). = 0 = 0 = 0 − = 0 = = 0 ⇔ ( − ) = 0 ⇔ ⇔ . − = 2 = + 2 − = 4 = + 4 Dễ thấy
= 0 là nghiệm bội lẻ của phương trình = 0 ⇒
= 0 là 1 điểm cực trị của hàm số = ( − ). =
+ 2 là nghiệm bội chẵn của phương trình = 0. Mặt khác <
+ 4∀ nên hai phương trình = và =
+ 4 không có nghiệm trùng nhau. Vậy để hàm số = ( −
) có 3 điểm cực trị thì có 2 nghiệm phân biệt khác 0 đồng thời vô nghiệm
hoặc có 1 nghiệm kép bằng 0 ⇒ −4 < ≤ 0 ⇒ ∈ {−3; −2; −1; 0}.
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 77
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020
Câu 54: Cho hàm số = ( ) có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Gọi là tập chứa tất cả các giá trị nguyên của tham số
∈ [−2021; 2012] để hàm số = ( ( ) − 2
+ 1) có đúng 4 điểm cực trị. Số phần tử của tập là A. 4029. B. 4038. C. 4030. D. 4028. Lời giải Chọn A Đặt ( ) = ( ( ) − 2
+ 1) ⇒ ′( ) = ′( ) ′( ( ) − 2 + 1). = −1 ′( ) = 0 ⇔ = 2 ′( ( ) − 2 + 1) = 0 ( ) − 2 + 1 = −1 ( ) + 2 = 2
Xét phương trình ′( ( ) − 2 + 1) = 0 ⇔ ⇔ . ( ) − 2 + 1 = 2 ( ) − 1 = 2
Ta áp dụng kĩ năng hợp hàm, tức là xét tương giao của đường thẳng
= 2 và hai đồ thị hàm số = ( ) + 2; = ( ) − 1
Để hàm số ( ) = ( ( ) − 2
+ 1) có 4 điểm cực trị thì đường thẳng = 2 phải cắt đồ thị 2 hàm số
trên tại hai điểm phân biệt (không kể tiếp xúc) 2 ≥ 7 ∈[ ; ] 4 ≤ ≤ 2012
Dựa vào đồ thị ta thấy điều kiện là
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⇒ c ó 4029 giá trị m 2 ≤ −4 −2021 ≤ ≤ −2
nguyên thỏa mãn yêu cầu.
ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 78
Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông

Tài liệu liên quan: